La Física moderna (1889-01-01 00:00:00), página 13

y para que esta expresión se anule, puesto que el denominador no puede ser infinito, habrá de ser cero el numerador; se obtiene, pues, la ecuación

\[
R x^2 - m r = 0,
\]

cuyas raíces

\[
x = \pm \sqrt{\frac{m r}{R}}
\]

son los valores buscados. Ahora bien; descartada la solución negativa, que no puede satisfacer á las condiciones físicas de la cuestión, precisa saber si la positiva cumple la otra condición necesaria para hacer máximo á \( I \), es decir, si hace negativa á la segunda derivada de la función [1]. Derivando, por tanto, la [2], resultará

\[
I'' = \frac{-(Rx^2 + mr)^2 . 2mRx - (m^2 R - mErx^2 . 2(Rx^2 + mr) . 2Rx)}{(Rx^2 + mr)^3}
\]

y efectuando las reducciones posibles

\[
I'' = \frac{-2mERx(Rx^2 + mr)(3mr - Rx^2)}{(Rx^2 + mr)^4},
\]

donde si hacemos \( x = \pm \sqrt{\frac{m r}{R}} \) es fácil ver que todos los factores son positivos, pues el último paréntesis del numerador, único que tiene signo —, se convierte en \( 3mr - mr = 2mr \); y como la fracción está afectada del signo —, conclúyese, finalmente, que \( I'' \) se hace negativo para \( x = \pm \sqrt{\frac{m r}{R}} \)

valor que resuelve la cuestión.

La resistencia total interior es

\[
\frac{m}{x} \cdot \frac{r}{x} = \frac{m r}{x^2}
\]

y poniendo en esta expresión el valor

\[
x = \sqrt{\frac{m r}{R}}
\]

resulta

\[
\frac{m r}{\sqrt{m r R}} = R
\]

lo que establece que para la máxima intensidad la resistencia total interior debe ser igual á la exterior.

Debiendo ser \( x \) un número entero y además divisor de \( m \), podrá parecer que sólo tenemos resuelto el problema para el caso en que esto suceda; pero es fácil aplicar el resultado obtenido al caso en que la expresión de \( x \) no nos diera un número que cumpliera estas condiciones. En efecto, dando la función [2] un valor para \( I' \) constantemente positivo para todo valor de \( x \) menor que \( \sqrt{\frac{m r}{R}} \), la [1] dará á \( I \) valores crecientes desde \( x = 0 \) á \( x = \sqrt{\frac{m r}{R}} \); por otra parte, los valores de \( x \) mayores que \( \sqrt{\frac{m r}{R}} \) hacen negativa á \( I' \); luego desde \( x = \sqrt{\frac{m r}{R}} \) á \( x = \infty \), \( I \) decrece constantemente. De donde resulta que tomando para el valor de \( x \) el mayor número entero \( v_1 \), que, siendo divisor de \( m \),

esté contenido en \( \sqrt{\frac{m r}{R}} \), puede tenerse la seguridad de que cualquiera otro divisor de \( m \) menor que \( v_1 \) dará á \( I \) menor valor; del mismo modo, si tomamos para \( x \) el divisor entero de \( m \), \( v_2 \) que sea inmediatamente superior á \( \sqrt{\frac{m r}{R}} \), \( I \) tomará un valor mayor que el que tomaría para todo otro valor de \( x > v_2 \); por tanto, la cuestión queda reducida á comparar los valores de \( I \) correspondientes á los \( v_1 \) y \( v_2 \) de \( x \).

Aun puede evitarse esta comparación en el caso en que el divisor inmediato superior \( v_2 \) se aproxime tanto ó más que \( v_1 \) á \( \sqrt{\frac{m r}{R}} \); entonces tomaríamos sin más examen el valor \( v_2 \). Para convencernos de ello pongamos á la vista el máximo teórico de \( I \), que es

\[
I = \frac{E}{2r} \sqrt{\frac{m r}{R}}; \quad [3]
\]

llamemos \( e_1 \) y \( e_2 \) respectivamente á las diferencias

\[
\sqrt{\frac{m r}{R}} - v_1, \quad v_2 - \sqrt{\frac{m r}{R}}
\]

de donde tendremos

\[
v_1 = \sqrt{\frac{m r}{R}} - e_1 \\
v_2 = \sqrt{\frac{m r}{R}} + e_2;
\]

llamemos, en fin, \( I_1 \) \( I_2 \) los valores que da la [1] para \( x \) igual á \( v_1 \) y á \( v_2 \); haciendo las sustituciones de estos valores en [1], resultará

\[
I_1 = \frac{m E (\left( \sqrt{\frac{m r}{R}} - e_1 \right)^2 + m r)}{R (\left( \sqrt{\frac{m r}{R}} - e_1 \right)^2 + m r)}
\]

\[
I_2 = \frac{m E (\left( \sqrt{\frac{m r}{R}} + e_2 \right)^2 + m r)}{R (\left( \sqrt{\frac{m r}{R}} + e_2 \right)^2 + m r)}
\]

y hallando las diferencias entre estos valores y el que da la [3], se obtiene

\[
I - I_1 = \frac{e_1^2 E \sqrt{m^3 r R}}{2 m r [R (\left( \sqrt{\frac{m r}{R}} - e_1 \right)^2 + m r)]}
\]

\[
I_2 - I = \frac{e_2^2 E \sqrt{m^3 r R}}{2 m r [R (\left( \sqrt{\frac{m r}{R}} + e_2 \right)^2 + m r)]}
\]

donde se ve que si \( e_1 \) es igual ó mayor que \( e_2 \), la primera de ambas diferencias es mayor que la segunda, y por tanto, el valor de \( I \) correspondiente al de \( x = v_2 \) está más próximo al máximo teórico que el que corresponde al de \( x = v_1 \).

MANUEL ABASCAL Y PÉREZ,
Alumno de la Escuela General Preparatoria de Ingenieros y Arquitectos.