La Física moderna (1889-03-01 00:00:00), página 3

En el segundo caso, es decir, si las esferas se ponen en comunicación por medio de un alambre conductor (1), se tendrá que los potenciales también serán iguales en los dos cuerpos; pero el de la esfera pequeña se deberá únicamente á la carga eléctrica que posea , porque la otra no ejerce ya influencia por estar alejada.

En ambos casos es indudable que los potenciales deben ser iguales: así, pues, la carga que tenga la esfera pequeña en el segundo caso, será mayor que en el otro.

Definición algebraica del potencial.—Se ha definido el potencial eléctrico de un punto con relación á un cuerpo electrizado, como el trabajo gastado para traer, desde el infinito hasta dicho punto , á la unidad de electricidad.

Ese trabajo es, por lo tanto, igual al que produciría la unidad de electricidad, si dejándola libre fuera rechazada desde dicho punto hasta el infinito. Así, pues, toda la electricidad depositada en un cuerpo supone un trabajo potencial, es decir, que puede efectuarse. La expresión dada es la definición mecánica del potencial.

El análisis matemático demuestra que dicho trabajo es finito é igual al cociente que se obtiene dividiendo la masa eléctrica por la distancia que hay desde el punto que se considera al cuerpo electrizado.

Así, llamando (c) la cantidad de electricidad y (r) la distancia, se tiene que la expresión algebraica del potencial es:

\[
V = \frac{c}{r} \tag{2}.
\]

Si en lugar de una sola masa eléctrica existieran otras (c', c''...), y el punto cuyo potencial se trata de hallar estuviera á las distancias (r', r''...) de dichas masas, se tendría:

\[
V' = \frac{c}{r} + \frac{c'}{r'} + \frac{c''}{r''} + \ldots = \sum \frac{c}{r}
\]

Por lo tanto el potencial eléctrico es una expresión algebraica, cuyo valor para un punto del espacio, es la suma de los cocientes que se obtienen dividiendo las masas eléctricas por sus distancias á dicho punto.

Relación entre la fuerza eléctrica y el potencial.—La fuerza eléctrica desarrollada por las acciones ejercidas entre la unidad de electricidad y la masa (c) á la distancia (r) tiene por valor

\[
f = \frac{c \times 1}{r^2} = \frac{c}{r^2}.
\]

Si consideramos, en la misma dirección de la fuerza, otro punto infinitamente próximo, tendremos que su distancia al cuerpo electrizado será (r + d r) y su potencial (V + d V).

La derivada del potencial del punto primitivo será:

\[
\frac{d V}{d r} = \frac{d}{d r} \frac{c}{r} = -\frac{c}{r^2}.
\]

Así, pues, se tendrá:

\[
\frac{d V}{d r} = -\frac{c}{r^2} = -f;
\]

ó lo que es lo mismo: la fuerza eléctrica en un punto del campo es igual á la derivada del potencial tomándola en la dirección de la línea de fuerza, pero de signo contrario.

Así, pues, se tendrá:

\[
V - V_1 = \frac{c}{r(r+d)} \times d.
\]

Dividiendo por (d) los dos miembros,

\[
\frac{V - V_1}{d} = \frac{c}{r(r+d)}.
\]

Siendo (d) una cantidad muy pequeña, se podrá despreciar el producto (r d), y tendremos

\[
\frac{V - V_1}{d} = \frac{c}{r^2}.
\]

Pero la expresión

\[
\frac{c}{r^2} = \frac{c \times 1}{r^2}
\]

es la fuerza eléctrica desarrollada entre la unidad de electricidad, que se supone existe en el punto del campo eléctrico que se considera, y la masa eléctrica (c) del cuerpo. Así, llamando (f) dicha fuerza, se tiene

\[
\frac{V - V_1}{d} = \frac{c}{r^2} = f,
\]

ó

\[
V - V_1 = f \times d.
\]

Como \( f \times d \) es el trabajo de la fuerza (f) al transportar la unidad de electricidad desde uno á otro punto, se tendrá que la diferencia de potenciales entre los dos puntos es el trabajo que efectuaría la unidad de electricidad al pasar de un punto á otro.

(1) El alambre debe tener mucha longitud y pequeño diámetro, con objeto de que la esfera pequeña esté libre, en lo posible, de la influencia de la otra; además es necesario que el alambre no contenga cantidad apreciable de electricidad para que tampoco ejerza influencia.

(2) Sin entrar en desarrollos del cálculo infinitesimal se puede dar una idea clara y sencilla, para relacionar las dos definiciones del potencial: la algebraica y la mecánica.

En efecto; supongamos que se toma un punto muy próximo al que se ha considerado, siendo la distancia entre los dos (d), cuyo valor será muy pequeño.

Los potenciales en los dos puntos serán:

\[
V = \frac{c}{r},
\]

y

\[
V_1 = \frac{c}{r+d}.
\]

Restando esta expresión de la primera, se tendrá la diferencia de potenciales entre los dos puntos:

\[
V - V_1 = \frac{c}{r} - \frac{c}{r+d}.
\]

El segundo miembro de esta expresión se puede poner bajo la forma

\[
\frac{c}{r} - \frac{c}{r+d} = \frac{c(r+d)-cr}{r(r+d)} = \frac{c}{r(r+d)} \times d.
\]