ferjorosa/bne-hemeroteca-ocr-xix huggingface dataset:
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-06-01 00:00:00), página 2

De él se derivan las relaciones que ligan tres á tres los elementos del triángulo esférico rectángulo, mediante las reglas siguientes:

Un elemento extremo del diagrama es igual al cociente de los dos que le son consecutivos en su recta.

Un elemento intermedio es igual al producto de los dos que le son adyacentes en su recta; y es también igual al cociente de los dos que le son consecutivos en dicha recta.

La secante del elemento inferior del triángulo es igual al producto de las secantes de los dos elementos superiores.

La secante de uno de los elementos superiores es igual al cociente de secantes del elemento inferior y del superior adyacente al primero.

La secante de un elemento cualquiera del triángulo es igual al producto de los extremos de la recta opuesta á dicho elemento.

Es de advertir que, al hacer uso de las dos primeras reglas, debe atribuirse á cada elemento lineal el número trigonométrico que se encuentre en la parte superior de su recta y en el ángulo más próximo al elemento extremo que entre en la relación que se construye; y si tal ángulo se encuentra ocupado por el elemento, hay que dar á éste el número trigonométrico que se encuentre en el ángulo opuesto por el vértice.

Aplicando estas reglas, y haciendo uso de las leyes de reciprocidad para dar forma entera á los resultados fraccionarios trigonométricos, obtendremos:

    221)
    sn B = \( \frac{sn\ b}{sn\ a} \)
    222)
    sn B = sn\ b\ csc\ a

    223)
    tg B = \( \frac{tg\ b}{sn\ c} \)
    224)
    tg B = tg\ b\ csc\ c

    225)
    sc B = \( \frac{tg\ a}{tg\ c} \)
    226)
    sc B = tg\ a\ ctg\ c

    227)
    sn C = \( \frac{sn\ c}{sn\ a} \)
    228)
    sn C = sn\ c\ csc\ a

    229)
    tg C = \( \frac{tg\ c}{sn\ b} \)
    230)
    tg C = tg\ c\ csc\ b

    231)
    sc C = \( \frac{tg\ a}{tg\ b} \)
    232)
    sc C = tg\ a\ ctg\ b
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-06-01 00:00:00), página 20

SOLUCIONES DE CUESTIONES PROPUESTAS

CUESTIÓN 11

Compónese la masa de pan de \( \frac{13}{35} \) de agua por \( \frac{22}{35} \) de harina.

El peso del pan cocido es los \( \frac{6}{7} \) de su peso en masa. ¿Qué cantidad habrá que poner de harina y de agua para obtener 352 kilogramos de pan?

PRIMERA SOLUCIÓN

Siendo el peso del pan los \( \frac{6}{7} \) del peso de la masa, 35\( kg \) de ésta darán 30\( kg \) de pan, que estará compuesto de 22\( kg \) de harina y 8\( kg \) de agua. Así, pues, la harina necesaria para obtener 352\( kg \) de pan, se hallará por la proporción

\[
\frac{30}{22} = \frac{352}{x}, \quad \text{que da} \quad x = 258\cdot133;
\]

y la cantidad correspondiente de agua se hallará por la proporción

\[
\frac{22}{13} = \frac{258\cdot133}{z}, \quad \text{que da} \quad z = 152\cdot533.
\]

SEGUNDA SOLUCIÓN

Como el peso del pan es los \( \frac{6}{7} \) del peso de la masa, este peso será los \( \frac{7}{6} \) del primero; y por tanto, los 352\( kg \) de pan procederán de 410\( kg \).666 de masa. Así, para hallar la harina necesaria, pondremos

\[
\frac{35}{22} = \frac{410\cdot666}{x}, \quad \text{de donde} \quad x = 258\cdot133,
\]

y para hallar el agua correspondiente, escribiremos

\[
\frac{35}{13} = \frac{410\cdot666}{z}, \quad \text{de donde} \quad z = 152\cdot533.
\]

JOSÉ LLUCH MELÉNDEZ,
Alumno de 1.er año de la Facultad de Ciencias de Valencia.

La solución dada por D. Lorenzo Miralles, residente en Madrid, es análoga á la segunda de las dos anteriores.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-06-01 00:00:00), página 3

233) \( snb = snasnB \)
234) \( snb = \frac{tg\alpha}{tgC} \)
235) \( snb = tgccctgC \)

236) \( tgb = snctgB \)
237) \( tgb = \frac{tga}{scC} \)
238) \( tgb = tgacsnC \)

239) \( snc = snasnC \)
240) \( snc = \frac{tg\beta}{tgB} \)
241) \( snc = tgbctgB \)

242) \( tgc = snbtgC \)
243) \( tgc = \frac{tga}{scB} \)
244) \( tgc = tgacsnB \)

245) \( sna = \frac{snb}{snB} \)
246) \( sna = snbcscB \)

247) \( sna = \frac{snc}{snC} \)
248) \( sna = snccscC \)

249) \( tga = tyb scC \)
250) \( tga = tgcsB \)

251) \( sca = scbscc \)
252) \( scb = \frac{sca}{sec} \)
253) \( scb = sca csnC \)

254) \( sec = \frac{sca}{scb} \)
255) \( sec = sca csnB \)

256) \( sca = tgBtygC \)
257) \( tgB = \frac{sca}{tgC} \)
258) \( tgB = sca ctgC \)

259) \( tgC = \frac{sca}{tgB} \)
260) \( tgC = sca ctgB \)

261) \( scb = snC scB \)
262) \( snC = \frac{seb}{scB} \)
263) \( snC = scbc snB \)

264) \( scB = \frac{scb}{snC} \)
265) \( scB = scbc scC \)

266) \( scc = snB scC \)
267) \( snB = \frac{scc}{scC} \)
268) \( snB = sccc snC \)

269) \( scC = \frac{scc}{snB} \)
270) \( scC = sccc scB \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-06-01 00:00:00), página 4

También pueden resolverse los triángulos esféricos rectángulos mediante el

Diagrama 13

recíproco del 12, y formado con los números trigonométricos de los ángulos oblicuos B, C, y de los elementos lineales \( a, b, c \) del triángulo.

Aplicando las reglas establecidas para el diagrama 12, pero reemplazando secantes por cosenos en las tres últimas, obtendremos:

271) \( \csc B = \frac{\csc b}{\csc a} \)

272) \( \csc B = \csc b \sn a \)

273) \( \ctg B = \frac{\ctg b}{\csc c} \)

274) \( \ctg B = \ctg b \sn c \)

275) \( \csn B = \frac{\ctg a}{\ctg c} \)

276) \( \csn B = \ctg a \tg c \)

277) \( \csc C = \frac{\csc c}{\csc a} \)

278) \( \csc C = \csc c \sn a \)

279) \( \ctg C = \frac{\ctg c}{\csc b} \)

280) \( \ctg C = \ctg c \sn b \)

281) \( \csn C = \frac{\ctg a}{\ctg b} \)

282) \( \csn C = \ctg a \tg b \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-06-01 00:00:00), página 5

283) \( \csc b = \csc a \csc B \)
284) \( \csc b = \frac{\ctg c}{\ctg C} \)
285) \( \csc b = \ctg c \tg C \)
286) \( \ctg b = \csc c \ctg B \)
287) \( \ctg b = \frac{\ctg a}{\csn C} \)
288) \( \ctg b = \ctg a \sc C \)
289) \( \csc c = \csc a \csc C \)
290) \( \csc c = \frac{\ctg b}{\ctg B} \)
291) \( \csc c = \ctg b \tg B \)
292) \( \ctg c = \csc b \ctg C \)
293) \( \ctg c = \frac{\ctg a}{\csn B} \)
294) \( \ctg c = \ctg a \sc C \)

295) \( \csc a = \frac{\csc b}{\csc B} \)
296) \( \csc a = \csc b \ sn B \)
297) \( \csc a = \frac{\csc c}{\csc C} \)
298) \( \csc a = \csc c \ sn C \)
299) \( \ctg a = \ctg b \ csn C \)
300) \( \ctg a = \ctg c \ csn C \)

301) \( \csna = \csnb \csnc \)
302) \( \csn b = \frac{\csna}{\csn c} \)
303) \( \csn b = \csna \sc C \)
304) \( \csn c = \frac{\csna}{\csn b} \)
305) \( \csn c = \csna \sc b \)
306) \( \csna = \ctg B \ctg C \)
307) \( \ctg B = \frac{\csna}{\ctg C} \)
308) \( \ctg B = \csna \tg C \)
309) \( \ctg C = \frac{\csna}{\ctg B} \)
310) \( \ctg C = \csna \tg B \)
311) \( \csn b = \csc C \csn B \)
312) \( \csc C = \frac{\csn b}{\csn B} \)
313) \( \csc C = \csn b \sc C \)
314) \( \csn B = \frac{\csn b}{\csc C} \)
315) \( \csn B = \csn b \sn C \)
316) \( \csn c = \csc B \csn C \)
317) \( \csc B = \frac{\csn c}{\csn C} \)
318) \( \csc B = \csn c \sc C \)
319) \( \csn C = \frac{\csn c}{\csc B} \)
320) \( \csn C = \csn c \csn B \)

(Se continuará.)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-06-01 00:00:00), página 6

TEORÍA SUCINTA DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

(Continuación. Véase pág. 88)

Se tiene también, para \( x^2 \) inferior á 1,

\[
l (1 + x) = \frac{x}{1} - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \text{etc.}
\]

\[
l (1 - x) = - \frac{x}{1} - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \text{etc.};
\]

de donde, por sustracción,

\[
\frac{1}{2} l \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right) = \text{Arg Th} x = \frac{x}{1} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \frac{x^7}{7} + \text{etc.}, \tag{1}
\]

análogo á

\[
\text{Arg tang } x = \frac{x}{1} - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \text{etc.} \tag{2}
\]

La fórmula del binomio da, siendo \( x^2 \) á lo más igual á 1,

\[
\frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} = 1 - \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} x^4 - \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} x^6 + \ldots
\]
\[
+ (-1)^n \theta \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \ldots \ldots \frac{2n-1}{2n} x^{2n};
\]

estando \( \theta \) comprendida entre 0 y 1. Multipliquemos uno y otro miembro por \( dx \) é integremos entre los límites 0 y \( x \). La integral \( \int_0^x \theta x^{2n} dx \) está comprendida entre 0 é \( \int_0^x x^{2n} dx \), es decir que es de la forma \( \theta' \frac{x^{2n} + 1}{2n + 1} \), estando \( \theta' \) comprendida también entre 0 y 1. Se tiene pues
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-06-01 00:00:00), página 7

\[
\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1 + x^2}} = l(x + \sqrt{1 + x^2}) = \operatorname{Arg}\operatorname{Sh} x = x - \frac{1}{2} \frac{x^3}{3} +
\]
\[
+ \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{x^5}{5} + \ldots + (-1)^n 0' \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \ldots \frac{2n-1}{2n} \frac{x^{2n} + 1}{2n + 1}
\]
es decir, haciendo crecer á \( n \) indefinidamente

\[
\operatorname{Arg}\operatorname{Sh} x = x - \frac{1}{2} \frac{x^3}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \frac{x^5}{5} - \text{etc.}
\] (3)

Esta fórmula es análoga á

\[
\operatorname{Arc}\operatorname{sen} x = x + \frac{1}{2} \frac{x^3}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \frac{x^5}{5} + \text{etc.}
\] (4)

Para \( x = 1 \), la fórmula (3) da

\[
l(1 + \sqrt{2}) = 0,881\ 373\ 587 = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{5} -
\]
\[
- \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{7} + \text{etc.}
\]

expresión que M. Laisant ha representado por II.

La combinación de las series (1) (2) (3) (4) conduce á diversos resultados bastante interesantes.

18. Analogía entre las funciones hiperbólicas y las funciones circulares. En análisis superior se toman por definición de los senos y cosenos circulares é hiperbólicos las relaciones (a), (b), (c), (d), donde \( x \) es real ó imaginaria. Las otras funciones se definen por las relaciones

\[
\begin{cases}
\operatorname{Th} x = \frac{\operatorname{Sh} x}{\operatorname{Ch} x} = \frac{1}{\operatorname{Coth} x}, & \operatorname{Sech} x = \frac{1}{\operatorname{Ch} x}, & \operatorname{Cosech} x = \frac{1}{\operatorname{Sh} x}; \\
\tan g x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} = \frac{1}{\cot x}, & \sec x = \frac{1}{\cos x}, & \cosec x = \frac{1}{\operatorname{sen} x};
\end{cases}
\] (g)

Partiendo de estas definiciones pueden demostrarse las fórmulas que dan sen \((t + u)\), Sh \((t + u)\), etc., y, por tanto,
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-06-01 00:00:00), página 8

todas las propiedades de las funciones circulares y de las funciones hiperbólicas.

Si se cambia \( x \) en \( x \sqrt{-1} \), la serie (a) se convierte en la serie (c) y recíprocamente; la serie (2) se convierte en la serie (d), multiplicada por \( \sqrt{-1} \) y recíprocamente. Exprésase este hecho, en forma abreviada, escribiendo

\[
\text{Ch}(x \sqrt{-1}) = \cos x, \qquad \text{Sh}(x \sqrt{-1}) = \sqrt{-1} \sin x,
\]
\[
\cos(x \sqrt{-1}) = \text{Ch } x, \qquad \sin(x \sqrt{-1}) = \sqrt{-1} \text{ Sh } x.
\]

De aquí se deduce

\[
\text{Th}(x \sqrt{-1}) = \sqrt{-1} \tan x,
\]
\[
\tan(x \sqrt{-1}) = \sqrt{-1} \text{ Th } x,
\]
\[
\coth(x \sqrt{-1}) = -\sqrt{-1} \cot x,
\]
\[
\cot(x \sqrt{-1}) = \sqrt{-1} \coth x,
\]
\[
\text{Sech}(x \sqrt{-1}) = \sec x,
\]
\[
\sec(x \sqrt{-1}) = \text{Sech } x,
\]
\[
\text{Cosech}(x \sqrt{-1}) = -\sqrt{-1} \cosec x,
\]
\[
\cosec(x \sqrt{-1}) = -\sqrt{-1} \text{ Cosech } x.
\]

Según estas relaciones, se ve que las funciones hiperbólicas definidas como en el § I, y las funciones circulares definidas como en trigonometría, son casos particulares de las funciones generales definidas por las series (a), (b), ó (c), (d) y las relaciones (g), y así se explica la semejanza de sus propiedades.

(Se continuará.)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-06-01 00:00:00), página 9

PUNTOS DE INFLEXIÓN
de la curva en que se convierte la sección plana de un cono,
al desarrollar éste sobre un plano (1)

Como el método clásico para hallar tales puntos dió motivo á fundada objeción del Sr. Carvallo, juez de los exámenes de admisión en la Escuela politécnica de Paris, (Nouvelles Annales, Diciembre de 1894), proponemos, teniéndolas por firmes, estas dos demostraciones del siguiente

Teorema. Si en un punto A de una sección plana de un cono, el plano secante es normal á la superficie, sin ser perpendicular á la generatriz, que pasa por dicho punto, el desarrollo de la sección poseerá un punto de inflexión en el punto correspondiente á A.

Primera demostración. Imaginemos una pirámide SCABD... inscripta en el cono y de caras tan angostas como se quiera: por definición, el desarrollo del cono será el límite del desarrollo de esa pirámide, cuando sus caras se reduzcan, tendiendo á convertirse en líneas rectas. Trazado el plano secante CABD, normal á la cara SAB sin ser perpendicular á la arista SA, extendamos la pirámide sobre el plano de dicha cara. Uno de los dos ángulos SAX y SAY, por ejemplo el primero,

será agudo y el otro obtuso. Pero en virtud de un teorema de geometría elemental, el ángulo SAX será menor que el SAC;

(1) Traducido de los Nouvelles Annales de Mathématiques, Febrero de 1896, página 65.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-05-01 00:00:00), página 1

ARCHIVO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

Núm. 5 MAYO 1896

SUMARIO.—Diagramas mnemónicos de Trigonometría, por D. Luis G. Gasco. (Continuación.)—Teoría sucinta de las funciones hiperbólicas, por P. Mansion. (Continuación.)—Nueva demostración de las fórmulas trigonométricas de un ángulo igual á la suma ó diferencia de dos dados, por D. Ventura Reyes Prósper.—Análisis armónico, por J. Clerk Maxwell.—Soluciones de cuestiones propuestas.

DIAGRAMAS MNEMÓNICOS DE TRIGONOMETRÍA

(Continuación. Véase pág. 64)

Para resolver los triángulos rectilíneos oblicuángulos, en los casos en que sean conocidos dos lados y el ángulo comprendido, ó un lado y los dos ángulos adyacentes, propone-mos el

Diagrama 11

constituido con la suma y la diferencia de dos lados, divididas por el tercero, y con el seno y el coseno de la semisuma
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-05-01 00:00:00), página 10

métrica es fácil hacerlo y se ha llegado así á establecer la sabida fórmula

\[
\frac{1}{6} \begin{vmatrix}
1 & \cos \alpha & \cos \beta \\
\cos \alpha & 1 & \cos \gamma \\
\cos \beta & \cos \gamma & 1
\end{vmatrix} = V
\]

en la que V expresa el volumen del tetraedro que resulta de tomar á partir del vértice del triedro y sobre cada una de sus aristas, una longitud igual á la unidad.

Es probable que la consideración de la determinante de segundo grado

\[
\begin{vmatrix}
1 & \cos \alpha \\
\cos \alpha & 1
\end{vmatrix} = \operatorname{sen}^2 \alpha
\]

condujese al ilustre profesor de Erlangen á la idea del seno del triedro expresada por la determinante de tercer grado.

Comenzaré por hallar el valor de \( \cos (\alpha \pm \beta) \) para luego deducir el de \( \operatorname{sen} (\alpha \pm \beta) \).

Supongamos ahora que \( \gamma = \alpha \pm \beta \).

En este caso las tres aristas que formaban el triedro vienen á colocarse en un plano y el seno del triedro debe valer cero, pues el volumen que entonces se obtiene es nulo.

Tendremos pues

\[
\begin{vmatrix}
1 & \cos \alpha & \cos \beta \\
\cos \alpha & 1 & \cos \gamma \\
\cos \beta & \cos \gamma & 1
\end{vmatrix} = \beta
\]

Desarrollando la determinante por la regla de Sarrus s saca:

\[
1 - \cos^2 \alpha - \cos^2 \beta - \cos^2 \gamma + 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma = 0
\]

ú ordenando con respecto á \( \cos \gamma \),

\[
\cos^2 \gamma - 2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma + \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta - 1 = 0,
\]
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-05-01 00:00:00), página 11

Resolviendo esta ecuación de segundo grado con respecto á cos \( \gamma \) se halla:

\[
\cos \gamma = \cos \alpha \cos \beta \pm \sqrt{\cos^2 \alpha \cos^2 \beta + 1 - \cos^2 \alpha - \cos^2 \beta}
\]

\[
= \cos \alpha \cos \beta \pm \sqrt{\cos^2 \alpha \cos^2 \beta + \sen^2 \alpha - \cos^2 \beta}
\]

\[
= \cos \alpha \cos \beta \pm \sqrt{\sen^2 \alpha - \cos^2 \beta (1 - \cos^2 \alpha)}
\]

\[
= \cos \alpha \cos \beta \pm \sqrt{\sen^2 \alpha - \cos^2 \beta \sen^2 \alpha}
\]

\[
= \cos \alpha \cos \beta \pm \sqrt{\sen^2 \alpha (1 - \cos^2 \beta)}
\]

\[
= \cos \alpha \cos \beta \pm \sqrt{\sen^2 \alpha \sen^2 \beta}
\]

\[
= \cos \alpha \cos \beta \pm \sen \alpha \sen \beta
\]

Esta es la fórmula que deseábamos obtener. De ella se deduce muy fácilmente ésta:

\[
\sen (\alpha \pm \beta) = \sen \alpha \cos \beta \pm \sen \beta \cos \alpha
\]

En efecto, si hacemos \( \gamma' = 90^\circ - \alpha - \beta \) tendremos, por ejemplo,

\[
\cos \gamma' = \sen (\alpha + \beta) = \cos [90^\circ - (\alpha + \beta)] =
\]
\[
= \cos [(90^\circ - \alpha) - \beta] = \cos (90^\circ - \alpha) \cos \beta + \sen (90^\circ - \alpha) \sen \beta
\]
ó sea
\[
\sen \alpha \cos \beta + \sen \beta \cos \alpha.
\]

La discusión y generalización de estas fórmulas para cualquier valor de \( \alpha \) y de \( \beta \) se hace con tan extremada simplicidad que no creo oportuno el insistir sobre ésto.

DR. VENTURA REYES PRÓSPER,
Catedrático.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-05-01 00:00:00), página 12

ANÁLISIS ARMÓNICO (1)

POR

J. Clerk Maxwell

En su tratado de Física ó Filosofía natural, Sir William Thomson y el Profesor Tait designan con el nombre de Análisis armónico un método general aplicable á problemas físicos y sugerido, según parece, por el estudio de las vibraciones de las cuerdas y por la descomposición de tales vibraciones en sus tonos fundamentales y armónicos.

Al oscilar entre sus dos extremos fijos una cuerda de uniforme tensión, efectúa un movimiento periódico, lo cual quiere decir que al cabo de cierto intervalo de tiempo, que se llama el periodo fundamental del movimiento, la forma de la cuerda y la velocidad de cada parte de ella vuelven á ser las mismas que antes, con tal que durante ese período no se disipe en cantidad perceptible la energía del movimiento.

Ofrécense para semejante problema dos métodos diferentes: uno, el llamado método ondulatorio, y otro, el método armónico. Fúndase el primero en que cuando, tendida una cuerda de longitud indefinida, se produce en ella una onda de cualquier forma, esta onda se propaga en ambos sentidos con cierta velocidad V, llamada velocidad de propagación. Pero si, al avanzar en sentido positivo esa onda de forma cualquiera, encuentra otra que camine en sentido opuesto y posea tal forma que las rectas, por las cuales se unan los puntos correspondientes de ambas ondas, queden divididas por mitad en cierto punto de la recta señalada por la cuerda en sosiego, la partícula situada en tal punto permanecerá inmóvil cuando por ella, en opuesto sentido, crucen las dos ondas.

(1) Traducido de la Encyclopaedia Britannica, tomo XI, pág. 481.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-05-01 00:00:00), página 13

Suponiendo que las ondas propagadas en sentido positivo tengan forma periódica, esto es, que después de haber recorrido la onda la distancia \( l \), la posición de cada partícula de la cuerda sea la misma que era en un principio, \( l \) será entonces lo que se llama longitud de onda, y el tiempo invertido por la onda en recorrer esta longitud será lo que se llama duración del período, la cual, designada por \( T \), estará ligada con la longitud de onda y con su velocidad por la relación

\[
l = VT.
\]

Mas si una serie de ondas, semejante á la antedicha, pero en posición inversa, camina en sentido opuesto, habrá una serie de puntos, separados cada uno del siguiente por una distancia igual á \( \frac{1}{2} l \), en los cuales las partículas correspondientes de la cuerda permanecerán inmóviles: luego el movimiento oscilatorio de la cuerda no variará en nada, si atándola por dos cualesquiera de dichos puntos á dos apoyos fijos, se suprimen las dos porciones de cuerda que queden por fuera, pues no influirán en el movimiento de la otra parte, entre ellos comprendida. Hallámonos con ésto ante una cuerda uniforme tendida entre dos apoyos fijos, y de lo expuesto se infiere que será dado representar en un todo el movimiento de esta cuerda como resultante de dos series de ondas periódicas que en sentido opuesto caminen, teniendo cada serie longitud de onda igual al duplo de la distancia entre los dos puntos fijos, ó igual á un submúltiplo de esta distancia, mas quedando enteramente arbitraria la forma de tales ondas, sujetas á la anterior condición.

Si, para dejar determinado el problema, se supone que el desvío y velocidad iniciales de cada partícula de la cuerda estén dados en función de la distancia á que la partícula se halle de un extremo de la cuerda, será fácil calcular, partiendo de tales datos, la forma común á todas las ondas que se propaguen; y la figura de la cuerda en cualquier momento posterior se deducirá, calculando las posiciones de las dos series de ondas en ese momento, y componiendo sus desvíos.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-05-01 00:00:00), página 14

Así, pues, el método ondulatorio imagina el verdadero movimiento de la cuerda como resultante de dos movimientos ondulatorios, ninguno de los cuales por sí sólo, prescindiendo del otro, subsistiría con la condición de que los extremos de la cuerda estuvieran fijos. Es periódico cada movimiento ondulatorio y posee una longitud de onda igual á dos veces la distancia entre los puntos fijos; pero una serie de ondas es el reverso de la otra en cuanto al desvío, á la velocidad y al sentido de la propagación. Cumplidas estas condiciones, la forma de la onda es enteramente arbitraria; y de tipo asimismo arbitrario es el movimiento de una partícula de la cuerda, del cual sólo se sabe que es producido por dos ondas que pasan por ella en opuesto sentido.

En cambio, el método armónico considera el movimiento de la cuerda como compuesto de series de movimientos vibratorios, en número infinito, si se quiere, pero cada uno de tipo enteramente definido; y resuelve el problema como caso particular del planteado por el movimiento de la cuerda entre sus extremos fijos.

Llaman Thomson y Tait movimiento armónico sencillo el efectuado, sobre un diámetro fijo AA' de una circunferencia, por el pie P de la perpendicular trazada á dicho diámetro desde un punto Q que recorre uniformemente esa circunferencia. En tal movimiento armónico la amplitud es el máximo desvío alcanzado á uno ó otro lado del punto medio de la línea recorrida; el período es el tiempo transcurrido desde que el punto móvil pasa por un punto de la línea recorrida hasta que vuelve de nuevo, en el mismo sentido, á pasar por el mismo punto; y la fase en un momento dado es la fracción de período que ha transcurrido desde que el punto móvil pasó por el punto medio en sentido positivo.

En una cuerda tendida el movimiento de una partícula no es armónico sencillo sino en ciertos casos particulares. Cuando esto ocurre, la forma de la cuerda en cualquier instante es la de una curva de senos, la cual pasa por los dos puntos fijos, tiene por eje la recta por ellos trazada, y posee una longitud de onda igual al duplo de la longitud de la cuerda ó igual á un submúltiplo de esta longitud. La ampli-