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función periódica de un sólo valor, y puede, por tanto, expresar cualquier función de un sólo valor entre valores dados de la variable.

Bastará un sólo ejemplo para que se eche de ver cuán importante es tal teorema en el estudio de los problemas de Física. La propiedad más señalada, ó rasgo característico, de un sonido musical es su periodicidad. Luego puede descomponerse este sonido en una serie de movimientos armónicos sencillos. Mas los periodos respectivos son el período fundamental, y submúltiplos del mismo, á saber, la mitad, el tercio, la cuarta parte, etc. El primero de estos periodos, es decir, el fundamental, da el tono de la nota; los otros forman su timbre.

No para demostrar el teorema enunciado, sino para que se comprenda rápidamente como pudo ocurrirse, exponemos el siguiente razonamiento.

Revélase la periodicidad de una función \( f \) en que la igualdad

\[
f(x + \frac{1}{2} a) = f(x - \frac{1}{2} a),
\]

en la cual se designa por \( a \) el período, subsiste, cualquiera que sea \( x \). Pero aplicando la notación simbólica usada en el cálculo infinitesimal, se tiene, llamando \( e \) la base de logaritmos neperianos,

\[
f(x + h) = (1 + h \frac{d}{dx} + \frac{h^2}{1.2} \frac{d^2}{dx^2} + \ldots) f(x) = e^{h \frac{d}{dx}} f(x);
\]

luego aquella igualdad se escribirá simbólicamente de este modo

\[
e^{\frac{a}{2} \frac{d}{dx}} f(x) = e^{-\frac{a}{2} \frac{d}{dx}} f(x),
\]

ó bien

\[
\left\{ e^{\frac{a}{2} \frac{d}{dx}} - e^{-\frac{a}{2} \frac{d}{dx}} \right\} f(x) = 0.
\]

Ésto sentado, nótese que la ecuación

\[
e^{\frac{1}{2} \xi} - e^{-\frac{1}{2} \xi} = 0
\]

posee una raíz real

\[
\xi = 0,
\]
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y una serie indefinida de pares de raíces imaginarias dadas por la expresión

\[
\frac{1}{2} \xi = \pm i \pi \sqrt{-1}
\]

en la cual representa \( i \) un número entero. Será, pues,

\[
e^{\frac{1}{2} \xi} - e^{-\frac{1}{2} \xi} = \xi \left( 1 + \frac{\xi^2}{2^2 \pi^2} \right) \left( 1 + \frac{\xi^2}{4^2 \pi^2} \right) \left( 1 + \frac{\xi^2}{6^2 \pi^2} \right) \ldots ;
\]

y por tanto, la ecuación diferencial que á \( f(x) \) se refiere, dará, además de un término constante, una serie indefinida de términos procedentes de las soluciones de ecuaciones de segundo grado, cuyo tipo será

\[
\left\{ \frac{a^2}{2^2 i^2 \pi^2} \left( \frac{d}{dx} \right)^2 + 1 \right\} f(x) = 0.
\]

Mas la solución de esta ecuación representativa dará de la ecuación completa la siguiente integral particular

\[
f(x) = P_i \cos \left( \frac{2 i \pi x}{a} + Q_i \right).
\]

Luego la solución general será

\[
f(x) = A_0 + \sum_{i=1}^{\infty} P_i \cos \left( \frac{2 i \pi x}{a} + Q_i \right)
\]
\[
= A_0 + \sum_{i=1}^{\infty} A_i \cos \frac{2 i \pi x}{a} + \sum_{i=1}^{\infty} B_i \sin \frac{2 i \pi x}{a},
\]

y por integración especial podremos hallar las constantes de tal expresión.

Como ejemplo sencillo supóngase que, conforme acontece al calentar y enfriar alternativamente la superficie de un sólido, ó al establecer y cortar alternativamente la corriente eléctrica en una batería y en un alambre telegráfico, ó en otros muchos casos, \( f(x) \) valga la unidad desde \( x = 0 \) hasta \( x = a \), y cero desde \( x = a \) hasta \( x = 2a \). Será entonces

\[
f(x) = \frac{1}{2} + \frac{2}{\pi} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{2i+1} \sin \frac{(2i+1) \pi x}{a}.
\]
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s - a, s - b, s - c entre la semisuma indicada y cada uno de los lados a, b, c. De él se derivan las expresiones trigonométricas usuales del cuadrado de la mitad de un ángulo esférico A, y las especiales de Mendoza, que dan el valor directo del ángulo entero.

Aplicando la regla primera, establecida para los triángulos esférico-rectángulos, y las leyes de reciprocidad, obtendremos:

381) \( vrA = \frac{sn(s-b)sn(s-c)}{sn\ b\ sn\ c} \)

382) \( vrA = \frac{csc\ b\ csc\ c}{csc(s-b)csc(s-c)} \)

383) \( vrA = sn(s-b)sn(s-c)csc\ b\ csc\ c \)

384) \( sn^2 \frac{\Lambda}{2} = \frac{sn(s-b)sn(s-c)}{sn\ b\ sn\ c} \)

385) \( sn^2 \frac{\Lambda}{2} = \frac{csc\ b\ csc\ c}{csc(s-b)csc(s-c)} \)

386) \( sn \frac{\Lambda}{2} = \sqrt{sn(s-b)sn(s-c)csc\ b\ csc\ c} \)

387) \( tg^2 \frac{\Lambda}{2} = \frac{sn(s-b)sn(s-c)}{sn\ s\ sn(s-a)} \)

388) \( tg^2 \frac{\Lambda}{2} = \frac{csc\ s\ csc\ (s-a)}{csc(s-b)csc(s-c)} \)

389) \( tg \frac{\Lambda}{2} = \sqrt{sn(s-b)sn(s-c)csc\ s\ csc\ (s-a)} \)

390) \( sc^3 \frac{\Lambda}{2} = \frac{sn\ b\ sn\ c}{sn\ s\ sn(s-a)} \)

391) \( sc^3 \frac{\Lambda}{2} = \frac{csc\ s\ csc\ (s-a)}{csc\ b\ csc\ c} \)

392) \( sc \frac{\Lambda}{2} = \sqrt{sn\ b\ sn\ c\ csc\ s\ csc\ (s-a)} \)

393) \( svA = \frac{sn\ s\ sn(s-a)}{sn\ b\ sn\ c} \)

394) \( svA = \frac{csc\ b\ csc\ c}{csc\ s\ csc\ (s-a)} \)

395) \( svA = sn\ s\ sn(s-a)csc\ b\ csc\ c \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-08-01 00:00:00), página 20

SOLUCIONES DE CUESTIONES PROPUESTAS

CUESTIÓN 24

Demostrar que \( n(n^2 + 5) \) es un múltiplo de 6, cualquiera que sea el número entero \( n \).

SOLUCIÓN

Dos casos pueden ocurrir en la cuestión propuesta: que \( n \) sea múltiplo de 6 ó que no lo sea.

En el primer caso el teorema está demostrado.

En el segundo \( n \) estará comprendido en una de las expresiones \( a + 1, a + 2, a + 3, a + 4, a + 5, a \pm 1, a \pm 2, a \pm 3 \), siendo \( a \) un múltiplo de 6. Esto sentado observemos que

\[
n^2 + 5 = (a \pm 1)^2 + 5 = a^2 \pm 2a + 6,
\]

luego cuando \( n \) es de la forma \( a \pm 1 \) queda demostrado el teorema.

Si \( n \) es de la forma \( a \pm 2 \), tendremos

\[
n(n^2 + 5) = n^3 + 5n = a^3 \pm 6a^2 + 17a \pm 18,
\]

expresión cuyo segundo miembro es múltiplo de 6, luego el primero también lo ha de ser: el teorema es, pues, cierto cuando \( n = a \pm 2 \).

Si \( n \) es de la forma \( a \pm 3 \) tendremos

\[
n(n^2 + 5) = n^3 + 5n = a^3 \pm 9a^2 + 32a \pm 42,
\]

expresión que es divisible por 6, luego el teorema es cierto en todos los casos.

José Lluch Meléndez,
Alumno de la Facultad de Ciencias de Valencia.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-08-01 00:00:00), página 3

396) \( \csn^2 \frac{\Lambda}{2} = \frac{\sn s \sn (s-a)}{\sn b \sn c} \)

397) \( \csn^2 \frac{\Lambda}{2} = \frac{\csc b \csc c}{\csc s \csc (s-a)} \)

398) \( \csn \frac{\Lambda}{2} = \sqrt{\sn s \sn (s-a) \csc b \csc c} \)

399) \( \ctg^2 \frac{\Lambda}{2} = \frac{\sn s \sn (s-a)}{\sn (s-b) \sn (s-c)} \)

400) \( \ctg^2 \frac{\Lambda}{2} = \frac{\csc (s-b) \csc (s-c)}{\csc s \csc (s-a)} \)

401) \( \ctg \frac{\Lambda}{2} = \sqrt{\sn s \sn (s-a) \csc (s-b) \csc (s-c)} \)

402) \( \csc^2 \frac{\Lambda}{2} = \frac{\sn b \sn c}{\sn (s-b) \sn (s-c)} \)

403) \( \csc^2 \frac{\Lambda}{2} = \frac{\csc (s-b) \csc (s-c)}{\csc b \csc c} \)

404) \( \csc \frac{\Lambda}{2} = \sqrt{\sn b \sn c \csc (s-b) \csc (s-c)} \)

Mediante una evolución circular entre las letras \( a, b, c \) se encuentran las fórmulas correspondientes al ángulo B.

405) \( vr B = \frac{sn (s-a) sn (s-c)}{sn a sn c} \)

406) \( vr B = \frac{\csc a \csc c}{\csc (s-a) \csc (s-c)} \)

407) \( vr B = sn (s-a) sn (s-c) \csc a \csc c \)

408) \( \sin^2 \frac{B}{2} = \frac{sn (s-a) sn (s-c)}{sn a sn c} \)

409) \( \sin^2 \frac{B}{2} = \frac{\csc a \csc c}{\csc (s-a) \csc (s-c)} \)

410) \( \sn \frac{B}{2} = \sqrt{sn (s-a) sn (s-c) \csc a \csc c} \)

411) \( \tg^2 \frac{B}{2} = \frac{sn (s-a) sn (s-c)}{sn s sn (s-b)} \)

412) \( \tg^2 \frac{B}{2} = \frac{\csc s \csc (s-b)}{\csc (s-a) \csc (s-c)} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-08-01 00:00:00), página 4

413) \( \tg \frac{B}{2} = \sqrt{\sn(s-a)\sn(s-c)\csc s \csc (s-b)} \)

414) \( \sc^2 \frac{B}{2} = \frac{\sn a \sn c}{\sn s \sn (s-b)} \)

415) \( \sc^2 \frac{B}{2} = \frac{\csc s \csc (s-b)}{\csc a \csc c} \)

416) \( \sc \frac{B}{2} = \sqrt{\sn a \sn c \csc s \csc (s-b)} \)

417) \( sv B = \frac{\sn s \sn (s-b)}{\sn a \sn c} \)

418) \( sv B = \frac{\csc a \csc c}{\csc s \csc (s-b)} \)

419) \( sv B = \sn s \sn (s-b) \csc a \csc c \)

420) \( \csn^2 \frac{B}{2} = \frac{\sn s \sn (s-b)}{\sn a \sn c} \)

421) \( \csn^2 \frac{B}{2} = \frac{\csc a \csc c}{\csc s \csc (s-b)} \)

422) \( \csn \frac{B}{2} = \sqrt{\sn s \sn (s-b) \csc a \csc c} \)

423) \( \ctg^2 \frac{B}{2} = \frac{\sn s \sn (s-b)}{\sn (s-a) \sn (s-c)} \)

424) \( \ctg^2 \frac{B}{2} = \frac{\csc (s-a) \csc (s-c)}{\csc s \csc (s-b)} \)

425) \( \ctg \frac{B}{2} = \sqrt{\sn s \sn (s-b) \csc (s-a) \csc (s-c)} \)

426) \( \csc \frac{B}{2} = \frac{\sn a \sn c}{\sn (s-a) \sn (s-c)} \)

427) \( \csc^2 \frac{B}{2} = \frac{\csc (s-a) \csc (s-c)}{\csc a \csc c} \)

428) \( \csc \frac{B}{2} = \sqrt{\sn a \sn c \csc (s-a) \csc (s-c)} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-08-01 00:00:00), página 5

Por nueva evolución circular entre las letras \(a\), \(b\), \(c\) se hallan las fórmulas correspondientes al ángulo \(C\).

429) \(vr C = \frac{sn(s-a)sn(s-b)}{sn a sn b}\)

430) \(vr C = \frac{\csc a \csc b}{\csc(s-a)\csc(s-b)}\)

431) \(vr C = sn(s-a)sn(s-b)\csc a \csc b\)

432) \(sn^2 \frac{C}{2} = \frac{sn(s-a)sn(s-b)}{sn a sn b}\)

433) \(sn^2 \frac{C}{2} = \frac{\csc a \csc b}{\csc(s-a)\csc(s-b)}\)

434) \(sn \frac{C}{2} = \sqrt{sn(s-a)sn(s-b)\csc a \csc b}\)

435) \(tg^2 \frac{C}{2} = \frac{sn(s-a)sn(s-b)}{sn ssn(s-c)}\)

436) \(tg^2 \frac{C}{2} = \frac{\csc c \csc (s-c)}{\csc(s-a)\csc(s-b)}\)

437) \(tg \frac{C}{2} = \sqrt{sn(s-a)sn(s-b)\csc c \csc (s-c)}\)

438) \(sc^2 \frac{C}{2} = \frac{sn a sn b}{sn ssn(s-c)}\)

439) \(sc^2 \frac{C}{2} = \frac{\csc c \csc (s-c)}{\csc a \csc b}\)

440) \(sc \frac{C}{2} = \sqrt{sn a sn b \csc c \csc (s-c)}\)

441) \(sv C = \frac{sns sn(s-c)}{sn a sn b}\)

442) \(sv C = \frac{\csc a \csc b}{\csc c \csc (s-c)}\)

443) \(sv C = sn ssn(s-c)\csc a \csc b\)

444) \(csn^2 \frac{C}{2} = \frac{sn ssn(s-c)}{sn a sn b}\)

445) \(csn^2 \frac{C}{2} = \frac{\csc a \csc b}{\csc c \csc (s-c)}\)

446) \(csn \frac{C}{2} = \sqrt{sn ssn(s-c)\csc a \csc b}\)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-08-01 00:00:00), página 6

417) \( ctg^2 \frac{C}{2} = \frac{sn s s n (s - c)}{sn (s - a) sn (s - b)} \)

418) \( ctg^2 \frac{C}{2} = \frac{csc (s - a) csc (s - b)}{csc csc csc (s - c)} \)

449) \( ctg \frac{C}{2} = \sqrt{sn s s n (s - c) csc (s - a) csc (s - b)} \)

450) \( csc^2 \frac{C}{2} = \frac{sn a s n b}{sn (s - a) sn (s - b)} \)

451) \( csc^2 \frac{C}{2} = \frac{csc (s - a) csc (s - b)}{csc a csc b} \)

452) \( csc \frac{C}{2} = \sqrt{sn a s n b csc (s - a) csc (s - b)} \)

También pueden resolverse los triángulos esféricos oblicuángulos, en el caso de que sean conocidos los tres lados, mediante el

Diagrama 17

formado con los senos de los lados \( b, c \) del triángulo, con el del semiexceso \( e \) de 360° sobre la suma de los tres lados, y con los de las sumas \( a + e, b + e, c + e \) de cada uno de los lados \( a, b, c \) y el semiexceso indicado. De él se derivan las expresiones trigonométricas generales del cuadrado de la mitad de un ángulo esférico \( A \), y las especiales de Mendoza, que dan el valor directo del ángulo entero.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-08-01 00:00:00), página 7

Aplicando las mismas reglas que en el diagrama anterior, obtendremos:

453) \( vr \Lambda = \frac{sn(b+e)sn(c+e)}{sn\ b\ sn\ c} \)

454) \( vr \Lambda = sn(b+e)\ sn(c+e)\ csc\ b\ csc\ c \)

455) \( sn^2 \frac{\Lambda}{2} = \frac{sn(b+e)\ sn'(c+e)}{sn\ b\ sn\ c} \)

456) \( sn \frac{\Lambda}{2} = \sqrt{sn(b+e)sn(c+e)csc\ b\ csc\ c} \)

457) \( tg^2 \frac{\Lambda}{2} = \frac{sn(b+e)sn(c+e)}{sn\ e\ sn(a+e)} \)

458) \( tg \frac{\Lambda}{2} = \sqrt{sn(b+e)sn(c+e)csc\ e\ csc(a+e)} \)

459) \( sc^2 \frac{\Lambda}{2} = \frac{sn\ b\ sn\ c}{sn\ e\ sn(a+e)} \)

460) \( sc \frac{\Lambda}{2} = \sqrt{sn\ b\ sn\ c\ csc\ e\ csc(a+e)} \)

461) \( sv \Lambda = \frac{sn\ e\ sn(a+e)}{sn\ b\ sn\ c} \)

462) \( sv \Lambda = sn\ e\ sn(a+e)\ cse\ b\ cse\ c \)

463) \( csn^2 \frac{\Lambda}{2} = \frac{sn\ e\ sn(a+e)}{sn\ b\ sn\ c} \)

464) \( csn \frac{\Lambda}{2} = \sqrt{sn\ e\ sn(a+e)csc\ b\ cse\ c} \)

465) \( ctg^2 \frac{\Lambda}{2} = \frac{sn\ e\ sn(a+e)}{sn(b+e)sn(c+e)} \)

466) \( ctg \frac{\Lambda}{2} = \sqrt{sn\ e\ sn(a+e)csc(b+e)csc(c+e)} \)

467) \( csc^2 \frac{\Lambda}{2} = \frac{sn\ b\ sn\ c}{sn(b+e)sn(c+e)} \)

468) \( csc \frac{\Lambda}{2} = \sqrt{sn\ b\ sn\ c\ csc(b+e)csc(c+e)} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-08-01 00:00:00), página 8

Las fórmulas correspondientes al ángulo B se obtienen por evolución circular entre las letras a, b, c, y son

469) \( vrB = \frac{sn(a+e)sn(c+e)}{snasnc} \)

470) \( vrB = sn(a+e)sn(c+e)cscacscacsec \)

471) \( sn^2 \frac{B}{2} = \frac{sn(a+e)sn(c+e)}{snasnc} \)

472) \( sn \frac{B}{2} = \sqrt{sn(a+e)sn(c+e)cscacscacsec} \)

473) \( tg^2 \frac{B}{2} = \frac{sn(a+e)sn(c+e)}{snesn(b+e)} \)

474) \( tg \frac{B}{2} = \sqrt{sn(a+e)sn(c+e)csecsc(b+c)} \)

475) \( sc^2 \frac{B}{2} = \frac{snasnc}{snesn(b+e)} \)

476) \( sc \frac{B}{2} = \sqrt{snasncscsecsc(b+e)} \)

477) \( svB = \frac{snesn(b+e)}{snasnc} \)

478) \( svB = snesn(b+e)cscacscacsec \)

479) \( csn^2 \frac{B}{2} = \frac{snesn(b+e)}{snasnc} \)

480) \( csn \frac{B}{2} = \sqrt{snesn(b+e)cscacscacsec} \)

481) \( ctg^2 \frac{B}{2} = \frac{snesn(b+e)}{sn(a+e)sn(c+e)} \)

482) \( ctg \frac{B}{2} = \sqrt{snesn(b+e)csec(a+e)csec(c+e)} \)

483) \( csc^2 \frac{B}{2} = \frac{snasnc}{sn(a+e)sn(c+e)} \)

484) \( csc \frac{B}{2} = \sqrt{snasncsc(a+e)csec(c+e)} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-08-01 00:00:00), página 9

Las fórmulas correspondientes al ángulo C se hallan por nueva evolución circular entre las letras a, b, c, y son

485) \( vr\ C = \frac{sn(a+e)\ sn(b+e)}{sn\ a\ sn\ b} \)

486) \( vr\ C = sn(a+e)\ sn(b+e)\ csc\ a\ csc\ b \)

487) \( sn^2 \frac{C}{2} = \frac{sn(a+e)\ sn(b+e)}{sn\ a\ sn\ b} \)

488) \( sn \frac{C}{2} = \sqrt{sn(a+e)\ sn(b+e)\ csc\ a\ csc\ b} \)

489) \( tg^2 \frac{C}{2} = \frac{sn(a+e)\ sn(b+e)}{sn\ e\ sn(c+e)} \)

490) \( tg \frac{C}{2} = \sqrt{sn(a+e)\ sn(b+e)\ csc\ e\ csc\ (c+e)} \)

491) \( sc^2 \frac{C}{2} = \frac{sn\ a\ sn\ b}{sn\ e\ sn(c+e)} \)

492) \( sc \frac{C}{2} = \sqrt{sn\ a\ sn\ b\ csc\ e\ csc\ (c+e)} \)

493) \( sv\ C = \frac{sn\ e\ sn(c+e)}{sn\ a\ sn\ b} \)

494) \( sv\ C = sn\ e\ sn(c+e)\ csc\ a\ csc\ b \)

495) \( csn^2 \frac{C}{2} = \frac{sn\ e\ sn(c+e)}{sn\ a\ sn\ b} \)

496) \( csn \frac{C}{2} = \sqrt{sn\ e\ sn(c+e)\ csc\ a\ csc\ b} \)

497) \( ctg^2 \frac{C}{2} = \frac{sn\ e\ sn(c+e)}{sn(a+e)\ sn(b+e)} \)

498) \( ctg \frac{C}{2} = \sqrt{sn\ e\ sn(c+e)\ csc\ (a+e)\ csc\ (b+e)} \)

499) \( csc^2 \frac{C}{2} = \frac{sn\ a\ sn\ b}{sn(a+e)\ sn(b+e)} \)

500) \( csc \frac{C}{2} = \sqrt{sn\ a\ sn\ b\ csc\ (a+e)\ csc\ (b+e)} \)

(Se continuará.)
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ARCHIVO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

Núm. 10 OCTUBRE 1896

SUMARIO.—Diagramas mnemónicos de Trigonometría, por D. Luis G. Gaseó. (Continuación.)—Teoría sucinta de las funciones hiperbólicas, por P. Mansion. (Continuación.)—Nota sobre las aproximaciones en el cálculo logarítmico, por Vladislao Puchewicz.—Cuestiones propuestas.

DIAGRAMAS MNEMÓNICOS DE TRIGONOMETRÍA

(Continuación. Véase pág. 169)

IX
Analogías de Neper

Para recordar las analogías de Neper, ó sea las fórmulas que relacionan cinco á cinco los elementos del triángulo esférico oblicuángulo, proponemos el

Diagrama 20

    tg \( \frac{1}{2} (a + b) \)
    sn \( \frac{1}{2} (A + B) \)

    tg \( \frac{1}{2} c \)
    sn \( \frac{1}{2} (A - B) \)

    tg \( \frac{1}{2} (a - b) \)
    csn \( \frac{1}{2} (A + B) \)

    tg \( \frac{1}{2} c \)
    csn \( \frac{1}{2} (A - B) \)

    tg \( \frac{1}{2} (A + B) \)
    sn \( \frac{1}{2} (a + b) \)

    ctg \( \frac{1}{2} C \)
    sn \( \frac{1}{2} (a - b) \)

    tg \( \frac{1}{2} (A - B) \)
    csn \( \frac{1}{2} (a + b) \)

    ctg \( \frac{1}{2} C \)
    csn \( \frac{1}{2} (a - b) \)

que consta de dos partes, muy semejantes al diagrama 11, formada la primera con las tangentes de la semisuma y de la
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-10-01 00:00:00), página 10

655) \( tg \frac{1}{2} c = tg \frac{1}{2} (a - b) \frac{\csc \frac{1}{2} (A - B)}{\csc \frac{1}{2} (A + B)} \)

656) \( tg \frac{1}{2} c = tg \frac{a - b}{2} sn \frac{A + B}{2} \csc \frac{A - B}{2} \)

657) \( ctg \frac{1}{2} c = ctg \frac{1}{2} (a + b) \frac{sc \frac{1}{2} (A + B)}{sc \frac{1}{2} (A - B)} \)

658) \( ctg \frac{1}{2} c = ctg \frac{1}{2} (a + b) \frac{csn \frac{1}{2} (A - B)}{csn \frac{1}{2} (A + B)} \)

659) \( ctg \frac{1}{2} c = ctg \frac{a + b}{2} sc \frac{A + B}{2} csn \frac{A - B}{2} \)

660) \( ctg \frac{1}{2} c = ctg \frac{1}{2} (a - b) \frac{sn \frac{1}{2} (A - B)}{sn \frac{1}{2} (A + B)} \)

661) \( ctg \frac{1}{2} c = ctg \frac{1}{2} (a - b) \frac{\csc \frac{1}{2} (A + B)}{\csc \frac{1}{2} (A - B)} \)

662) \( ctg \frac{1}{2} c = ctg \frac{a - b}{2} csc \frac{A + B}{2} sn \frac{A - B}{2} \)

(Se continuará.)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-10-01 00:00:00), página 11

TEORÍA SUCINTA DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

(Continuación. Véase pág. 172)

La longitud T de la tangente en M (x, y) contada hasta el punto N (−x, 0) de encuentro con el eje de la parábola es igual á p Sh t Ch t; pues

\[
T^2 = (2x)^2 + y^2 = p^2 \operatorname{Sh}^4 t + p^2 \operatorname{Sh}^2 t = p^2 \operatorname{Sh}^2 t \operatorname{Ch}^2 t.
\]

Se tiene por tanto

\[
t = \frac{s - T}{p},
\]

lo cual es una interpretación bastante curiosa de t.

Al valor de s se llega, algo menos sencillamente, tomando para variable independiente el ángulo θ de la tangente MN con la ordenada MM'. Este ángulo θ está ligado con t por la relación Ch t cos θ = t, pues cos θ = y : T = 1 : Ch t.

Encuéntrase asimismo, para la superficie S y el volumen V del paraboloide engendrado por el arco s al girar alrededor del eje de la parábola,

\[
S = \frac{2}{3} \pi p^2 (\operatorname{Ch}^3 t - 1), \qquad V = \frac{1}{4} \pi p^3 \operatorname{Sh}^4 t,
\]

valores que por otra parte fácilmente se obtienen, tomando y como variable independiente.

25. Observación general sobre el empleo de las funciones hiperbólicas en las aplicaciones del análisis. En las cuestiones que acabamos de tratar, y en especial en el estudio de la calenaria, de la tractriz y de la pseudoesfera, las funciones hiperbólicas se introducen por sí mismas en los cálculos, que se efectúan todos muy sencillamente.

Pero sería una ilusión creer que el empleo de las funciones circulares no hubiese presentado las mismas ventajas bajo el punto de vista precisamente de la sencillez de los cálculos. Por el contrario, en general, bajo este punto de vista, pueden á menudo emplearse indiferentemente una u otra especie de funciones. Así, las cuestiones de los núms. 22, 23, 24
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-10-01 00:00:00), página 12

y aun la del 21, se tratan con igual facilidad tomando á \( \theta \) como variable independiente, ó asignando este papel á la variable \( x \).

Fácil es de encontrar la razón de este hecho. Se ha visto en los núms. 8 y 15, que las funciones hiperbólicas pueden expresarse por medio de las funciones circulares y recíprocamente. Toda cuestión tratada por medio de las unas puede también tratarse por medio de las otras é inversamente.

Pero no es menos cierto que en determinados problemas son las funciones circulares, y en otras las funciones hiperbólicas las que se introducen naturalmente en los cálculos. Si se quiere evitar el empleo de las funciones hiperbólicas, lo que parece poco razonable, sólo podrá conseguirse, sin tantos y sin complicaciones de cálculo, sirviéndose implícitamente de las relaciones de los núms. 8 y 15, que acabamos de recordar. Por otra parte, únicamente empleando la notación de las funciones hiperbólicas es como se hará resaltar las analogías de ciertas cuestiones conexas, como suficientemente lo prueban los ejemplos de los núms. 19 y 20, á los cuales añadimos el que sigue.

Tratemos de encontrar el límite, para \( n \) indefinidamente creciente, de

\[
y = \frac{(\sqrt{1 + a^2} + a)^n - (\sqrt{1 + a^2} - a)^n}{(\sqrt{1 + a^2} + a)^n + (\sqrt{1 + a^2} - a)^n}
\]

Pongamos \( a = \mathrm{Sh}\ t \), lo cual envuelve

\[
\begin{align*}
\sqrt{1 + a^2} &= \mathrm{Ch}\ t \\
\sqrt{1 + a^2} + a &= \mathrm{Ch}\ t + \mathrm{Sh}\ t = e^t \\
\sqrt{1 + a^2} - a &= \mathrm{Ch}\ t - \mathrm{Sh}\ t = e^{-t}
\end{align*}
\]

Resultará

\[
y = \frac{e^{nt} - e^{-nt}}{e^{nt} + e^{-nt}} = \mathrm{Th}\ nt
\]

que, para \( n = \infty \), según el núm. 4, da \( \lim y = 1 \).

(Se continuará.)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-10-01 00:00:00), página 13

NOTA SOBRE LAS APROXIMACIONES EN EL CÁLCULO LOGARÍTMICO (1)

Los autores de los manuales de Álgebra, al hablar de la aproximación de un número dado por su logaritmo, hacen la observación de que, siendo \( \Delta \) la diferencia tabular, el número sólo puede obtenerse aproximado á \( \frac{1}{\Delta} \): observación que sería completamente justificada, si el logaritmo, mediante el cual calculamos el número, lo mismo que el logaritmo tabular, fuesen exactos. Pero como el logaritmo tabular no está aproximado más que á \( \frac{1}{2} \) (2), las diferencias sólo lo están á 1, y el logaritmo del número buscado, resultado en general de operaciones con otros logaritmos, tiene una aproximación variable, esta observación no nos basta para definir la aproximación de un número calculado mediante logaritmos. El mismo M. Vieille, en su obra especial Théorie générale des approximations numériques, á pesar de ocuparse minuciosamente de los errores que provienen de la hipótesis de la proporcionalidad de los pequeños incrementos de los números y de sus logaritmos, no resuelve sin embargo la cuestión general.

En esta Nota demuestro que siempre puede obtenerse el logaritmo de un número aproximado á \( \frac{1}{2} \), calculo la aproximación de un número encontrado mediante su logaritmo, dada la aproximación de este logaritmo, y aplico estas reglas á un

(1) Traducido de los Nouvelles Annales de Mathématiques.
(2) Al hablar de un logaritmo, llamo unidad á la unidad del orden á que corresponde la última cifra de los logaritmos tabulares; al hablar de un número, la misma palabra designa la unidad del orden á que pertenece la cifra última de los números tabulares. Creo que este doble empleo de la misma palabra no ofrecerá al lector dificultad alguna.