ferjorosa/bne-hemeroteca-ocr-xix huggingface dataset:
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-01-01 00:00:00), página 15

que se conserva constante, aun cuando los números \( a \) y \( b \) aumenten ó disminuyan, mientras la razón de los nuevos valores sea la misma de los primitivos. De esta manera pueden construirse tablas especiales (1) en que al lado de log. \( x \), siendo \( x = \frac{b}{a} \), figuren log. \( (1 + x) \) y log. \( (1 - x) \) ó log. \( (x - 1) \), conforme \( x \) sea ó no inferior á 1.

En realidad basta componer tales tablas suponiendo \( x < 1 \), pues de dos números dados, \( a \) puede designar el mayor y \( b \) el menor, y en tal caso su suma

\[
a + b = a \left(1 + \frac{b}{a}\right) = a (1 + x)
\]

da siempre

\[
\log.(a + b) = \log.a + \log.(1 + x),
\]

y su diferencia

\[
a - b = a \left(1 - \frac{b}{a}\right) = a (1 - x)
\]

(conservando el mismo minuendo y sustraendo, si es \( a - b \), y trocándolos si es \( b - a \), para que la diferencia sea positiva) da á su vez

\[
\log.(a - b) = \log.a + \log.(1 - x).
\]

Bajo este supuesto construidas las tablas, log. \( x \) siempre es negativo, log. \( (1 + x) \) positivo y log. \( (1 - x) \) negativo; y respecto de sus valores absolutos, á medida que el de log. \( x \) va creciendo á partir de 0, que corresponde á \( x = 1 \) ó \( b = a \),

(1) La idea de los logaritmos de sumas y diferencias fué sugerida por Leonnelli en su Suplemento logarithmico (Supplément logarithmique contenant la décomposition des grandeurs numériques quelconques en facteurs finis; etc.), Burdeos, 1803 (Año XI). Gauss publicó las tablas de estos logaritmos en la Correspondencia mensual de Zach (Zach, Monatliche Correspondenz), 1812, tomo XXVI, pág. 499. Después se han impreso tablas más ó menos extensas, ya con el nombre de logaritmos de adición y sustracción, ya con el de logaritmos de Gauss. En la edición de las tablas de Vega, publicada por Huelisse, en Leipzig, 1840, se incluyeron las de dichos logaritmos con cinco decimales, calculadas por Gauss, las que Zech extendió á siete decimales, haciendo después edición separada. Wittstein tiene también tablas de éstas, unas con siete decimales y otras con cinco. Muehler ha publicado otras con cuatro. Gascó las tiene publicadas también con cuatro decimales, pero esencialmente diferentes de las de Müller.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-01-01 00:00:00), página 16

disminuye el valor de \( x \), y, por lo tanto, disminuyen asimismo el de \( \log.(1 + x) \), desde \( \log.(1 + 1) = \log.2 = 0,301030 \ldots \), y el de \( \log.(1 - x) \), desde el de \( \log.(1-1) = \log.0 \), que es infinito. Termina la serie de los \( \log.(1 + x) \) cuando, siguiendo la disminución indicada, aparecen nulas en la mantisa todas las cifras decimales con que están calculados los logaritmos de la tabla. Y la serie de los \( \log.(1 - x) \), aunque de hecho se extiende hasta que el valor absoluto es cero, es decir, hasta que \( x = 0 \), aparentemente termina al llegar al valor común de \( \log.x \) y \( \log.(1 - x) \), que es el correspondiente á \( x = \frac{1}{2} \), en cuyo caso

\[
\log.x = \log.(1 - x) = -0,301030 \ldots,
\]

pues llegados aquí, basta para continuar la tabla leer en orden inverso, de abajo arriba, y la columna de la derecha antes que la de la izquierda, porque los valores de la variable y función, desde ese valor, quedan invertidos respecto de los anteriores. Á pesar de ello, cuando están con cierta aproximación calculadas las tablas, la de los logaritmos de sustracción es bastante más extensa que la de los logaritmos de adición, porque las diferencias consecutivas de aquéllos no menguan tan aprisa como las de éstos.

Suelen en tales tablas sobreentenderse los signos, porque fácilmente se suplen, y á semejanza de lo que se hace en las de los logaritmos de números naturales cuando las mantisas no son muy reducidas, compéndianse en igual caso los logaritmos de sumas y diferencias, disponiendo las tablas por doble entrada, esto es, sobreentendiendo, después de escritas una vez, las cifras repetidas al principio de la mantisa, y escribiendo en un mismo renglón las partes distintas pertenecientes á valores de la variable que sólo difieren en la última cifra, la cual se anota encima de la porción de mantisa correlativa, mientras que las cifras anteriores de la variable se ponen á la izquierda en ese mismo renglón. Atendiendo, pues, á estas advertencias, al hallar en la tabla de logaritmos de sumas

    0
    1
    2
    7
    8
    9

    1,017
    0,039 874
    866
    857
    813
    804
    796
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-01-01 00:00:00), página 17

y en la de logaritmos de diferencias

    0
    1
    2
    7
    8
    9

    0,038 50
    1,071 431
    421
    410
    356
    345
    334

debe leerse respectivamente

    Log. \( x \)
    Log. \( (1+x) \)
    Log. \( x \)
    Log. \( (1-x) \)

    -1,0170
    +0,039 874
    -0,038 500
    -1,071 431

    -1,0171
    +0,039 866
    -0,038 501
    -1,071 421

    -1,0172
    +0,039 857
    -0,038 502
    -1,071 410

Por tanto, por lo que toca á los signos, cuando se pida log. \( (a + b) \) se sumará con log. \( a \) el log. \( (1 + x) \), como en las tablas se halla, y cuando se pida log. \( (a - b) \), ó bien se restará de log. \( a \) el log. \( (1 - x) \), como está en las tablas, ó bien se sumará con aquél el complemento á cero de éste ó su complemento á diez, rebajando luego otras tantas unidades.

Al margen de estas tablas, á fin de hacer más pronto la interpolación, cuando el logaritmo que se da ó busca no se halla consignado, se ponen asimismo tablitas auxiliares, todas ó la mayor parte de ellas con los productos, por los números dígitos, de las diferencias de logaritmos consecutivos, y algunas otras, á veces, con las cifras que deben agregarse á la mantisa de la variable ó argumento para que, aumentando de unidad en unidad la última cifra de la función, se salve la diferencia que existe entre los dos valores consecutivos de esta función inscritos en las tablas generales.

Otra disposición dan á éstas otros autores, refundiendo en una misma las dos de logaritmos de sumas y diferencias, con cuyo objeto amplían la de los primeros de modo que comprenda los log. \( (x + 1) \) no sólo cuando \( x < 1 \) sino también cuando \( x > 1 \), lo cual puede hacerse fácilmente, pues si \( x_1 \) es el número recíproco de \( x \), se tiene

\[
\frac{1}{x_1} = x \qquad x + 1 = x(x_1 + 1),
\]

y por tanto

\[
\log. x_1 = -\log. x, \qquad \log. (x + 1) = -\log. x_1 + \log. (x_1 + 1);
\]

pero \( x_1 < 1 \), cuando \( x > 1 \), y por consiguiente log. \( (x_1 + 1) \) es
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-01-01 00:00:00), página 18

un logaritmo ya calculado. Así extendida la tabla, contiene á la derecha de los log. \( x \), ya sea \( x \) mayor ó menor que 1, los log. \( (x + 1) \); pero como \( x \) es un valor general, reemplazando \( x + 1 \) por \( x \), puede decirse á su vez que á la izquierda de los log. \( x \) están los log. \( (x - 1) \), á condición para ello que \( x > 1 \); de manera que, bajo este supuesto, para hallar log. \( (x - 1) \), basta considerar como pertenecientes á variable los valores que en las sumas eran de función y viceversa.

Con esta tabla, pues, para calcular log. \( (a + b) \), puede indistintamente sacarse factor común el mayor de los números dados \( a \) ó el menor \( b \), mas'para hallar log. \( (a - b) \) debe ser dicho factor el menor número \( b \). Por ejemplo, si se pide log. \( (1 - x_1) \), siendo \( x_1 < 1 \), se hará

\[
x = \frac{1}{x_1} \qquad 1 - x_1 = x_1(x_1 - 1),
\]

de donde se deducirá

\[
\log. x = - \log. x_1, \quad \log. (1 - x_1) = - \log. x + \log. (x - 1).
\]

En dicha tabla el valor 0 del argumento ó variable log. \( x \), cuando la función es log. \( (x + 1) \), está en medio de la serie de todos los asignados á dicha variable, precediendo por orden ascendente los negativos y siguiendo de la misma manera los positivos; de suerte que la tabla empieza por el negativo de mayor valor absoluto incluido en ella, y termina por el positivo de igual condición. Mas conviene advertir, para evitar equivocaciones, que los valores negativos del argumento, únicos que hay en la tabla, pues los log. \( (x + 1) \) todos son positivos, suelen estar reemplazados por sus complementos á cero ó á diez, debiendo, por consiguiente, si es esto último, suponerlos rebajados en el cálculo en otras tantas unidades.

Con las aclaraciones que preceden y la misma inspección de las tablas de logaritmos de adición y sustracción, el manejo de ellas no ofrece dificultades.

E. León y Ortiz.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-01-01 00:00:00), página 19

REGLAS PRÁCTICAS
PARA EL
DESARROLLO DE LAS DETERMINANTES DE CUARTO GRADO

Notoria es la importancia que para el desarrollo inmediato de las determinantes de tercer grado tiene la tan conocida regla de SARRUS, y como en varias ocasiones es también muy conveniente obtener el desarrollo directo de las determinantes de cuarto grado, proponemos para ello las reglas (1) siguientes, la primera de las cuales hemos procurado armonizar con aquélla en cuanto nos ha sido posible.

REGLA PRIMERA

Se prolongan las filas de la matriz, repitiendo las tres primeras columnas de la misma, y se multiplican los elementos de la diagonal principal, los de cada una de sus paralelas, los de la diagonal secundaria, y los de cada una de sus paralelas, dando alternativamente el signo + y el — á los productos. Así quedan construidos ocho términos de la determinante. Anteponiendo la tercera fila á las demás, y formando también productos según diagonales, se obtienen otros ocho términos; y resultan los ocho restantes, posponiendo la primera fila á todas las otras, y construyendo productos análogos.

Sea la matriz

\[
\begin{vmatrix}
a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\
a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \\
a_4 & b_4 & c_4 & d_4
\end{vmatrix}
\]

modificándola según la primera parte de la regla, se transforma en

(1) Hace ya bastantes años que, con ocasión de un trabajo sobre las determinantes en general, dedujimos estas REGLAS PRÁCTICAS, y las dimos á conocer á algunos compañeros; mas hasta hoy no las habíamos publicado.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-01-01 00:00:00), página 20

\[
\begin{array}{cccc|cccc}
a_1 & b_1 & c_1 & d_1 & a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 & d_2 & a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3 & d_3 & a_3 & b_3 & c_3 \\
a_4 & b_4 & c_4 & d_4 & a_4 & b_4 & c_4
\end{array}
\]

de donde se originan los ocho términos siguientes

\[
a_1b_2c_3d_4 - b_1c_2d_3a_4 + c_1d_2a_3b_4 - d_1a_2b_3c_4 + d_1c_2b_3a_4 - a_1d_2c_3b_4 +
+ b_1a_2d_3c_4 - c_1b_2a_3d_4
\]

El segundo aspecto de la matriz modificada, marcando con puntos los lugares que antes ocupaban en ella los elementos antepuestos, es

\[
\begin{array}{cccc|cccc}
a_3 & b_3 & c_3 & d_3 & a_3 & b_3 & c_3 \\
a_1 & b_1 & c_1 & d_1 & a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 & d_2 & a_2 & b_2 & c_2 \\
. & . & . & . & . & . & .
\end{array}
\]

de donde, considerando como no existente la fila de puntos, se engendran los ocho términos

\[
a_3b_1c_2d_4 - b_3c_1d_2a_4 + c_3d_1a_2b_4 - d_3a_1b_2c_4 + d_3c_1b_2a_4 - a_3d_1c_2b_4 +
+ b_3a_1d_2c_4 - c_3b_1a_2d_4
\]

El tercer aspecto de la matriz modificada es

\[
\begin{array}{cccc|cccc}
a_3 & b_3 & c_3 & d_3 & a_3 & b_3 & c_3 \\
. & . & . & . & . & . & . \\
a_2 & b_2 & c_2 & d_2 & a_2 & b_2 & c_2 \\
. & . & . & . & . & . & .
\end{array}
\]

y, prescindiendo de las filas de puntos, genera los ocho términos

\[
a_3b_2c_4d_1 - b_3c_2d_4a_1 + c_3d_2a_4b_1 - d_3a_2b_4c_1 + d_3c_2b_4a_1 - a_3d_2c_4b_1 +
+ b_3a_2d_4c_1 - c_3b_2a_4d_1
\]
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-01-01 00:00:00), página 21

La suma algébrica de los 24 términos obtenidos constituye el desarrollo completo de la determinante de cuarto grado.

Si en vez de referirse á filas las prolongaciones y cambios de lugar se verifican en las columnas, los aspectos de la matriz modificada serán

\[
\begin{array}{cccc}
a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\
a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \\
a_4 & b_4 & c_4 & d_4 \\
a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\
a_3 & b_3 & c_3 & d_3
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{cccc}
c_1 & a_1 & b_1 & d_1 \\
c_2 & a_2 & b_2 & d_2 \\
c_3 & a_3 & b_3 & d_3 \\
c_4 & a_4 & b_4 & d_4 \\
c_1 & a_1 & b_1 & d_1 \\
c_2 & a_2 & b_2 & d_2 \\
c_3 & a_3 & b_3 & d_3
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{cccc}
b_1 & . & d_1 & a_1 \\
b_2 & . & d_2 & a_2 \\
b_3 & . & d_3 & a_3 \\
b_4 & . & d_4 & a_4 \\
b_1 & . & d_1 & a_1 \\
b_2 & . & d_2 & a_2 \\
b_3 & . & d_3 & a_3
\end{array}
\]

y se obtendrá el desarrollo

\[
a_1 b_2 c_3 d_4 - a_2 b_3 c_4 d_1 + a_3 b_4 c_1 d_2 - a_4 b_1 c_2 d_3 + a_3 b_4 c_2 d_1 - a_1 b_4 c_3 d_2 +
+ a_2 b_1 c_4 d_3 - a_3 b_2 c_1 d_4
\]
\[
+ c_1 a_2 b_3 d_4 - c_2 a_3 b_4 d_1 + c_3 a_4 b_1 d_2 - c_4 a_1 b_2 d_3 + c_4 a_3 b_2 d_1 - c_1 a_4 b_3 d_2 +
+ c_3 a_4 b_1 d_3 - c_3 a_2 b_1 d_4
\]
\[
+ c_1 b_2 d_3 a_4 - c_2 b_3 d_4 a_1 + c_3 b_4 d_1 a_2 - c_4 b_1 d_2 a_3 + c_4 b_3 d_2 a_1 - c_1 b_4 d_3 a_2 +
+ c_2 b_1 d_4 a_3 - c_3 b_2 d_1 a_4
\]

REGLA SEGUNDA

Para facilitar la expresión de la segunda regla, llamaremos elementos opuestos de otros dos los que con éstos completan una matriz de segundo orden, formando los unos la diagonal principal, y los otros la secundaria. Así los elementos opuestos de los \(c_3\), \(d_4\) son los \(c_4\), \(d_3\), porque los cuatro forman la matriz \(\begin{vmatrix} c_3 & d_4 \\ c_4 & d_3 \end{vmatrix}\); los opuestos de los \(b_2\), \(c_3\) son los \(b_3\), \(c_2\), pues con los cuatro se constituye la matriz \(\begin{vmatrix} b_2 & c_3 \\ b_3 & c_2 \end{vmatrix}\).

Hecha esta advertencia, el enunciado de la regla segunda es el siguiente:

Se escriben á continuación de la matriz las tres primeras
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-01-01 00:00:00), página 22

columnas de la misma, y se forman productos de los elementos en diagonal principal, de los correspondientes á cada una de su paralelas; de los en diagonal secundaria, y de los de sus respectivas paralelas, alternando los signos, empezando por el +. Así se obtienen ocho términos de la determinante, que llamaremos primarios ó fundamentales.

De cada término primario se derivan dos secundarios: el uno se forma repitiendo los dos primeros factores y reemplazando los dos últimos por sus opuestos en la matriz, y el otro se construye repitiendo los factores extremos y reemplazando los medios por sus opuestos. El signo de cada término secundario es siempre opuesto al del primario de que deriva.

El conjunto de términos primarios y secundarios constituye el desarrollo completo de la determinante.

Sea la matriz de cuarto orden, modificada según la primera parte de la regla,

\[
\begin{array}{cccc|cccc}
a_1 & b_1 & c_1 & d_1 & a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 & d_2 & a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3 & d_3 & a_3 & b_3 & c_3 \\
a_4 & b_4 & c_4 & d_4 & a_4 & b_4 & c_4
\end{array}
\]

Los ocho términos primarios que de ella se originan son:

\[
a_1b_2c_3d_4 - b_1c_2d_3a_4 + c_1d_2a_3b_4 - d_1a_2b_3c_4 + d_1c_2b_3a_4 - a_1d_2c_3b_4 + b_1a_2d_3c_4 - c_1b_2a_3d_4
\]

de los cuales derivan los secundarios

\[
-a_1b_2d_3c_4 + b_1c_2a_3d_4 - c_1d_2b_3a_4 + d_1a_2c_3b_4 - d_1c_2a_3b_4 + a_1d_2b_3c_4 - b_1a_2c_3d_4 + c_1b_2d_3a_4
\]
\[
-a_1c_2b_3d_4 + b_1d_2c_3a_4 - c_1a_2d_3b_4 + d_1b_2a_3c_4 - d_1b_2c_3a_4 + a_1c_2d_3b_4 - b_1d_2a_3c_4 + c_1a_2b_3d_4
\]

Obsérvese que mediante esta regla se obtienen los términos del desarrollo sin inversión de índices ó sin inversión de letras, según se modifique la matriz, agregando columnas ó agregando filas.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-01-01 00:00:00), página 23

REGLA TERCERA

Se multiplica cada elemento de la primera columna por cada uno de los que en la segunda están situados más bajos que él, y se escriben los productos en una fila. Se multiplica cada elemento de la segunda columna por cada uno de sus inferiores en la primera, escribiendo estos productos en otra fila debajo de los anteriores, y restándolos de ellos ordenadamente. Con los elementos de las columnas tercera y cuarta se forman productos y diferencias de análoga manera, y se escriben también en fila, correspondiéndose, pero en orden inverso, ó sea colocando en último lugar el primer producto.

Se multiplican ordenadamente las diferencias obtenidas en la primera serie de operaciones por las encontradas en la segunda; se cambia el signo de los productos segundo y penúltimo, y la suma algébrica de los resultados es la expresión de la determinante.

Sea la matriz

\[
\begin{array}{cccc}
a_1 & b_1 & c_1 & d_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 & d_2 \\
a_3 & b_3 & c_3 & d_3 \\
a_4 & b_4 & c_4 & d_4
\end{array}
\]

denotando por \( \overline{\partial}_1, \overline{\partial}_2, \ldots \overline{\partial}_6, \overline{\partial}_1', \overline{\partial}_2', \ldots \overline{\partial}_6' \) las sucesivas diferencias de productos, el cuadro de operaciones será

\[
\begin{array}{cccccc}
a_1b_2 & a_1b_3 & a_1b_4 & a_2b_3 & a_2b_4 & a_3b_4 \\
b_1a_2 & b_1a_3 & b_1a_4 & b_2a_3 & b_2a_4 & b_3a_4 \\
\overline{\partial}_1 & \overline{\partial}_2 & \overline{\partial}_3 & \overline{\partial}_4 & \overline{\partial}_5 & \overline{\partial}_6 \\
c_3d_4 & c_2d_4 & c_2d_3 & c_1d_4 & c_1d_3 & c_1d_2 \\
d_3c_4 & d_2c_4 & d_2c_3 & d_1c_4 & d_1c_3 & d_1c_2 \\
\overline{\partial}_6' & \overline{\partial}_5' & \overline{\partial}_4' & \overline{\partial}_3' & \overline{\partial}_2' & \overline{\partial}_1'
\end{array}
\]

\[
D = \overline{\partial}_1 \overline{\partial}_6' - \overline{\partial}_2 \overline{\partial}_5' + \overline{\partial}_3 \overline{\partial}_4' + \overline{\partial}_4 \overline{\partial}_3' - \overline{\partial}_5 \overline{\partial}_2' + \overline{\partial}_6 \overline{\partial}_1'
\]

Luis G. Gascó.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-01-01 00:00:00), página 24

ESTUDIO DE UN LUGAR GEOMÉTRICO CURIOSO DE SEXTO ORDEN
FORMADO POR TRES DE SEGUNDO

1. Nos referimos al lugar geométrico de los puntos desde los cuales se proyectan los tres vértices de un triángulo, bajo dos segmentos iguales, sobre una recta cualquiera de su plano. (fig. pág. 17).

Sea ABC el triángulo, y \( g_1 \) la recta dada. Por un vértice cualquiera A del triángulo tracemos una paralela Ab' á la recta \( g_1 \); y llevemos sobre ella dos series de puntos A, d, e, k, h, c, g, ... y A, d', e', k', h', c', g', ... tales que se tenga \( Ad' = 2Ad; Ae' = 2Ae; Ah' = 2Ah \); etc. Es evidente que un segmento cualquiera \( g'd' \) de la serie acentuada es doble que su correspondiente gd en la serie sin acentos; pues de \( Ag' = 2Ag \) y \( Ad' = 2Ad \), se deduce por sustracción que \( g'd' = 2gd \). Pero estas series cuya razón de segmentos correspondientes es constante, son semejantes; y por consiguiente el punto del infinito se corresponde consigo mismo, es decir, es punto doble. El otro punto doble es el punto A, puesto que si \( Ad = 0 \), por ejemplo, \( Ad' = 0 \) también, según la ley de su construcción.

2. Sentado ésto, proyectemos la serie sin acentos desde el vértice C del triángulo dado, y la serie con acentos desde el vértice B: habremos construido así dos haces de rectas homográficos, como perspectivas de series homográficas; haces que no estarán en posición perspectiva, puesto que el rayo común BC no se corresponde consigo mismo. En efecto, al rayo común Cc', considerado como del haz C, le corresponde el Bc que pasa por el punto medio e del segmento Ac', según la ley de sucesión de los puntos de las series; y á dicho rayo común Bb, considerado como del otro haz, le corresponde el Cb', que pasa por el punto b' determinado por la condición \( Ab' = 2Ab \).

3. Los rayos correspondientes de ambos haces se cortarán, por consiguiente, según sabemos, en puntos de una cónica que pasa por B y por C. También pasará esta cónica por A
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-01-01 00:00:00), página 26

y por L, que son puntos dobles de las series; y por tanto, los rayos de ambos haces, que en ellos se cortan, son correspondientes. Si tomamos el punto medio s del lado AB del triángulo dado, y lo unimos con C, esta mediana determinará en las series el punto k, y la paralela á ella trazada por B determinará el punto k'; y puesto que AB = 2As, será Ak' = 2Ak, luego los rayos Ck y Bk' son correspondientes y paralelos, y determinan el punto K de la curva; pasa ésta, pues, por A, B, C, L y K, y es una hipérbola perfectamente determinada por cinco de sus puntos, entre ellos los dos del infinito.

4. Los puntos de esta hipérbola gozan de la propiedad de que, unidos con los tres vértices del triángulo, determinan sobre la recta Af, y por tanto sobre cualquiera paralela á Af, como la recta g1, dos distancias iguales. El punto D da las Ad y dd'; el E, las Ae = ee'; el H las Ah = hh', y así sucesivamente; desde todos los puntos resulta que los lados AC y BC del triángulo se proyectan según dos distancias iguales, y el lado AB según una distancia doble de cada una de ellas.

5. Si ahora proyectamos la serie sin acentos desde el vértice B, y la otra desde el C, habremos construido como antes otros dos haces de rectas homográficos, que no están en posición perspectiva, por las mismas razones aducidas en el número 2; y las intersecciones de cada par de rayos correspondientes darán otra curva de 2.º orden que pasará como la primera por ABCL y por el punto del infinito de la mediana correspondiente al lado CA, puesto que dicha mediana y su paralela por C determinan en las series dos puntos cuyas distancias á A son doble una que otra y están en el orden ahora establecido; son, pues, rayos correspondientes paralelos que dan un punto en el infinito de la curva. En el caso de la figura, la paralela á la recta g1 trazada por B se confunde con la mediana Br, por consiguiente el punto L se confunde con el otro punto del infinito, lo que quiere decir que la figura será una parábola como caso límite de la hipérbola.

Desde todos los puntos de esta segunda curva es el lado CA el que se proyecta en la recta g1 sobre la suma de las proyecciones de los otros dos lados CB y BA, que se proyectan bajo dos segmentos iguales.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-01-01 00:00:00), página 27

6. Por último, si en vez de las series anteriores tomamos dos, cuya ley de formación sea la de que los pares de puntos correspondientes equidistan de A, uno á la derecha y otro á la izquierda, estas series serán simétricas y formarán una involución; serán, por consiguiente, homográficas y tendrán por puntos dobles los puntos A y L como antes. Proyectadas desde B y desde C, se originarán dos haces de rectas homográficos no perspectivos, cuyos rayos correspondientes engendrarán otra tercera curva de segundo orden que pasará por ABCL y por el punto del infinito de la mediana correspondiente al lado BC, pues es evidente que los rayos de los haces B y C, paralelos á la mediana Ag, determinan en las series dos puntos correspondientes, como equidistantes de A; éstos serán, pues, rayos correspondientes, y como son paralelos, determinarán un punto del infinito de la curva en la dirección de la referida mediana.

Desde todos los puntos de esta tercera hipérbola se proyectan bajo segmentos iguales los lados AC y AB; y bajo un segmento doble, igual á su suma, el lado BC.

En resumen: 1.º El lugar geométrico de los puntos desde los cuales, como centros de proyección, se proyectan los tres vértices de un triángulo sobre una recta \( g_1 \) arbitraria de su plano, bajo dos segmentos iguales, es un sistema de tres hipérbolas que pasan todas por los tres vértices del triángulo y por el punto del infinito de la recta \( g_1 \); y además cada una por el punto del infinito de una mediana, con lo que quedan completamente determinadas. De estas hipérbolas puede una convertirse en parábola cuando la recta \( g_1 \) es paralela á una mediana del triángulo.

2.º Proyectando sobre \( g_1 \) los tres vértices del triángulo desde un punto cualquiera de una de estas tres curvas, el lado, cuya mediana correspondiente corta á la curva en el infinito, se proyecta según una magnitud, y los otros dos lados según las dos mitades de esta magnitud.

Cecilio Jiménez Rueda,
Profesor auxiliar de la Universidad de Madrid.