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ejemplo numérico, haciendo caso omiso de los errores que provienen de la proporcionalidad, pues sabido es que pueden despreciarse en vista de los errores que provienen de la inexactitud de los logaritmos tabulares.

Sean \( \varepsilon_1 \) y \( \varepsilon_2 \) los errores de dos logaritmos tabulares consecutivos, \( \gamma = \varepsilon_2 - \varepsilon_1 \) el error de la diferencia tabular, y \( d \) la parte fraccionaria del número, cuyo logaritmo deseamos obtener. El error, en este logaritmo, será en tal caso la suma de los errores del logaritmo tabular y del incremento calculado mediante la diferencia, es decir

\[
\varepsilon_1 + d \gamma.
\]

Como el límite de \( \varepsilon_1 \) es \( \frac{1}{2} \), y el límite de \( \gamma \) es 1, á primera vista pudiera creerse que el límite de (1) fuese \( 1 \frac{1}{2} \); pero demostraremos que este límite es igual á \( \frac{1}{2} \).

Hagamos notar que pueden presentarse los tres casos siguientes: 1º que \( \varepsilon_1 \) y \( \varepsilon_2 \) tengan los mismos signos, y que, respecto al valor numérico, \( \varepsilon_1 \) sea mayor que \( \varepsilon_2 \); 2º que sean de signos iguales, pero que el valor numérico de \( \varepsilon_2 \) sea mayor que el de \( \varepsilon_1 \); 3º que sean de signos contrarios.

En el primer caso, \( \gamma \) es menor que \( \frac{1}{2} \) y de signo contrario á \( \varepsilon_1 \), y como \( d \) es una fracción propiamente dicha, la expresión (1) es una diferencia de dos fracciones, cada una de las cuales es menor que \( \frac{1}{2} \); de consiguiente esta expresión es también menor que \( \frac{1}{2} \).

En el segundo caso, \( \gamma \) es también menor que \( \frac{1}{2} \), pero de signo contrario á \( \varepsilon_1 \); ahora bien, reemplazando \( \varepsilon_1 \) por \( \varepsilon_2 - \gamma \), se obtiene

\[
\varepsilon_2 - \gamma + d \gamma = \varepsilon_2 - (1 - d) \gamma,
\]

y esta expresión, en la que \( \gamma \) es del mismo signo que \( \varepsilon_2 \), es
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también una diferencia de dos fracciones, menor que \( \frac{1}{2} \) cada una de ellas.

En el tercer caso, \( \gamma \) puede ser mayor que \( \frac{1}{2} \); pero si ponemos en (1) \( \varepsilon_2 - \varepsilon_1 \) en vez de \( \gamma \), resulta

\[
\varepsilon_1 + d (\varepsilon_2 - \varepsilon_1) = (1 - d) \varepsilon_1 + \varepsilon_2,
\]

y como \( \varepsilon_1 \) y \( \varepsilon_2 \) son de signos contrarios, tenemos aún la diferencia de dos fracciones, cada una de ellas menor que \( \frac{1}{2} \).

Vemos pues que, si tratamos de obtener el resultado con la mayor aproximación posible, no hay que despreciar en el incremento del logaritmo las cifras del orden inferior al de las unidades de los logaritmos. Aun en los cálculos elementales sería provechoso conservar estas cifras, sobre todo tratándose de multiplicar el logaritmo por un número entero.

Hasta aquí hemos supuesto que el número cuyo logaritmo queríamos calcular, lo mismo que su parte fraccionaria \( d \), eran exactos: si el número sólo estuviere aproximado á \( a \), se necesitaría ante todo conocer el error que de ello resultaría para el logaritmo. Este error tendrá por límite \( a \Delta' \), donde \( \Delta' \) es el límite superior de la diferencia tabular. Encuéntrese este límite superior comparando la diferencia marcada al lado del número dado con las diferencias inmediatas.

Mediante estas reglas podremos siempre definir el límite del error en un logaritmo que resulta de operaciones con otros logaritmos y que representa el logaritmo del número buscado: este límite podrá ponerse bajo la forma \( m \cdot \frac{1}{2} \). Si calculamos el número correspondiente á tal logaritmo, hay que añadir al número tabular la fracción \( \frac{\delta}{\Delta} \), donde \( \Delta \) es la diferencia tabular, y \( \delta \) la diferencia entre nuestro logaritmo y el logaritmo tabular. La aproximación de \( \Delta \) es 1, es decir
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2 \cdot \frac{1}{2}, y la de \( \delta \) es \((m + 1)\frac{1}{2}\). Busquemos el error absoluto de la fracción \( \frac{\delta}{\Delta} \) según la fórmula

\[
\frac{\delta + \beta}{\Delta + \gamma} - \frac{\delta}{\Delta} = \frac{\Delta \beta - \delta \gamma}{(\Delta + \gamma) \Delta}
\]

Para encontrar el límite superior de esta fracción, observemos que \( \delta \) y \( \Delta \) son positivos, y representemos por \( \beta' \) y \( \gamma' \) los valores absolutos de \( \beta \) y \( \gamma \). El numerador de esta fracción no puede ser mayor que \( \Delta \beta' + \delta \gamma' \), y, á fortiori, tampoco puede ser mayor que \( \Delta (\beta' + \gamma') \); el denominador no puede ser menor que \( (\Delta - \gamma') \Delta \), de manera que la fracción no puede ser mayor que \( \frac{\beta' + \gamma'}{\Delta - \gamma'} \). Sustituyendo para \( \beta' \) y \( \gamma' \) sus valores límites \((m + 1)\frac{1}{2}\) y 1, obtendremos el valor límite del error

\[
(2) \quad \frac{m + 3}{2 (\Delta - 1)}
\]

Como, en general, la división \( \delta : \Delta \) no resulta exacta, habrá que añadir aún á este límite una fracción \( \frac{r}{\Delta} \) (siendo \( r \) el resto de la división \( \delta : \Delta \)), fracción que en el límite podrá reemplazarse por \( \frac{r}{\Delta - 1} \).

En el caso en que el logaritmo se encuentre en las tablas, el límite del error es

\[
(2') \quad \frac{m + 1}{2 (\Delta - 1)}
\]

porque entonces deberá ponerse \( \delta = 0 \), por lo cual el término \( \delta \gamma \) desaparece en el numerador.
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La fracción (2') representa el límite de lo que habría de añadirse al número tabular, si tanto el logaritmo que nos sirve para calcular el número, como el logaritmo tabular pudiesen darse exactamente.

Como ejemplo, calculemos la superficie de un triángulo por la fórmula

\[
S = \frac{a^2 \sen B \sen C}{2 \sen (B + C)}
\]

donde

\[
a = 413,386, \quad B = 36^\circ 47' 23'', \quad C = 49^\circ 25' 40''.
\]

El cálculo será

\[
\begin{align*}
\log a^2 &= 5,2327116 & \text{aproximado á } 2 \frac{1}{2} \\
\log \sen B &= 1,77733976 & \text{''} & 1 \frac{1}{2} \\
\log \sen C &= 1,8805774 & \text{''} & 1 \frac{1}{2} \\
\log 2 &= 1,6989700 & (1) \\
\log \sen (B + C) &= 0,00094708 & \text{''} & 1 \frac{1}{2}
\end{align*}
\]

\[
\log S_2 = 4,59054584 \quad \text{aproximado á } 5 \frac{1}{2}
\]

Encontraremos en las tablas cinco cifras enteras, 38953, á las cuales se deberá añadir la fracción \( \frac{49,5}{412} \) teniendo en cuenta el error \( \frac{5+3}{2\cdot411} = \frac{4}{411} \).

(1) No marcamos la aproximación de log 2, pues, aun tomando este logaritmo con ocho cifras, sería 0,30103000, siendo su valor más exacto 0,30102999566 ... Como el número 2 entra con frecuencia en los cálculos, vale la pena recordar que su logaritmo no aumenta el error, excepto en el caso en que se le multiplique por un número considerable.
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Efectuando la división 49,4 : 112, obtendremos la primera cifra del cociente 4 y el resto 4,6; la segunda cifra del cociente será también 4, y el resto correspondiente 0,12. Si tomamos S = 38953,4, este valor será en todo caso demasiado pequeño, por ser la parte omitida del incremento \( \frac{4,6}{112} \) mayor que el error de sentido indefinido \( \frac{4}{111} \); pero el error por defecto será menor que \( \frac{8,6}{111} \), y también menor que 0,1. Si tomamos S = 38953,44, el límite del error será \( \frac{4,12}{111} \), menor que 0,04.

Supongamos ahora que los datos de este cálculo no sean números exactos, sino aproximados á \( \frac{1}{2} \) de su última cifra. De acuerdo con el significado convenido de la palabra unidad en el número, el límite de este error tendrá para cada número la expresión \( \frac{1}{20} \).

Para el número \( a \), la diferencia tabular es 105; pero, después de 105, encontramos diferencias 106: por tanto, para limite superior de esta diferencia hay que tomar 106, y el error del logaritmo de \( a^2 \), que proviene de la inexactitud del número, tendrá por límite

\[
2 \cdot \frac{1}{20} \cdot 106 = 21,2 \frac{1}{2} .
\]

De la misma manera podrían calcularse los límites en los logaritmos de los senos, pero encontramos en este ejemplo un caso especial: siendo (B + C) menor que 90°, los errores de B y de C dan errores del mismo sentido en los logaritmos de sen B y sen C que en el logaritmo de sen (B + C), y como este último logaritmo debe restarse de la suma de los dos primeros, el error total será también la diferencia de los
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errores correspondientes (1). Obtenemos para limite de estos tres errores \( \frac{1}{20} (282 - 13) + \frac{1}{20} (181 - 13) = 43,7 \frac{1}{2} \), de manera que el limite del error total, en el logaritmo, será

\[
(5 + 21,2 + 43,7) \frac{1}{2}, \text{ es decir } 70 \frac{1}{2},
\]

y el limite del error en el número \( \frac{73}{2,111} = \frac{36,5}{111} \).

Siendo como antes \( \frac{49,4}{112} \) el incremento del número, si se toman para S las cinco cifras enteras, se tiene un valor de S aproximado por defecto en menos de \( \frac{85,9}{111} \), es decir en menos de una unidad. Si se toma S con la primera cifra decimal, el sentido del error queda indeterminado, y el limite del error es \( \frac{36,5}{111} + \frac{4,6}{112} \), es decir menor que 0,4.

Vladislao Puchewicz.

(1) Designemos los errores de B y C por \( \alpha \) y \( \beta \) (que son de signos indeterminados), el error de (B + C) será entonces (\( \alpha + \beta \)); designemos los limites de las diferencias tabulares correspondientes por \( \Delta'_B \), \( \Delta'_C \) y \( \Delta'_{B+C} \); el limite del error será

\[
\alpha \Delta'_B + \beta \Delta'_C - (\alpha + \beta) \Delta'_{B+C} = \alpha (\Delta'_B - \Delta'_B + C) + \beta (\Delta'_C - \Delta'_B + C),
\]

donde en tal caso para \( \Delta'_{B+C} \) deberá tomarse, no el limite superior, sino el limite inferior.
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semidiferencia de dos lados, divididas por la tangente de la mitad del tercer lado, y con el seno y el coseno de la semisuma de los ángulos opuestos, respectivamente divididos por el seno y el coseno de la semidiferencia de los mismos; y constituida la segunda con las tangentes de la semisuma y de la semidiferencia de dos ángulos, divididas por la cotangente de la mitad del tercer ángulo, y con el seno y el coseno de la semisuma de los lados opuestos, respectivamente divididos por el seno y el coseno de la semidiferencia de los mismos.

Las dos partes del diagrama 20 están reunidas en el

Diagrama 21

    sn \( \frac{1}{2} (a + b) \)
    sn \( \frac{1}{2} (A + B) \)

    sn \( \frac{1}{2} (a - b) \)
    sn \( \frac{1}{2} (A - B) \)

    csn \( \frac{1}{2} (a + b) \)
    csn \( \frac{1}{2} (A + B) \)

    csn \( \frac{1}{2} (a - b) \)
    csn \( \frac{1}{2} (A - B) \)

    tg \( \frac{1}{2} (a + b) \)
    tg \( \frac{1}{2} (A + B) \)

    tg \( \frac{1}{2} c \)
    ctg \( \frac{1}{2} C \)

    tg \( \frac{1}{2} (a - b) \)
    tg \( \frac{1}{2} (A - B) \)

    tg \( \frac{1}{2} c \)
    ctg \( \frac{1}{2} C \)

que ofrece la ventaja de presentar en orden natural los números trigonométricos de los elementos lineales y angulares del triángulo.

De uno ú otro diagrama se derivan las relaciones ó analogías de Neper mediante la siguiente regla, idéntica á la correspondiente al diagrama 11.

Una expresión cualquiera del diagrama es igual al cociente de las dos que le son consecutivas en su recta, ó bien un extremo cualquiera del diagrama es igual al recíproco del otro extremo de la misma recta.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-10-01 00:00:00), página 20

CUESTIONES PROPUESTAS

40. Deducir geométricamente expresiones formulares de las diferencias finitas del seno y del coseno.

41. Determinar geométricamente las derivadas ó coeficientes diferenciales del seno y del coseno.

42. Dada la función \( \varphi(x) = (x-a)(x-b)(x-c)(x-d) \), poner en forma de matriz determinante de 4.º orden la expresión \( \varphi(x) - x \frac{d\varphi}{dx} \).

43. Demostrar que todas las rectas de una congruencia lineal se apoyan sobre dos rectas fijas.

44. Construir el eje de un complejo lineal que contiene una recta dada L, y dos rectas conjugadas también dadas D y D'.

45. Dada la base B de un sistema de numeración, demostrar que los productos de \((B-1)\) por dos enteros que sumen \((B+1)\), se escriben en dicho sistema con las mismas cifras tomadas en un orden inverso.

46. Hallar el número de lados de un polígono que tiene 20 diagonales, sin aplicar las ecuaciones de segundo grado.

47. Deducir geométricamente expresiones formulares de las diferencias finitas de la tangente y de la cotangente.

48. Determinar geométricamente las derivadas ó coeficientes diferenciales de la tangente y de la cotangente.

49. Sábase que cada cuatro años viene uno bisiesto; bisiesto que se suprime cada 100 años, y se restablece cada 400 años.—Si siguiendo esta ley se suprimieran los bisiestos cada 100² años, cada 100³ años, etc., y se restablecieran al fin de cada periodo de \(4 \times 100^2\), de \(4 \times 100^3\), etc., años, demostrar que al cabo de un número indefinido de años esa operación equivale á haber añadido 8 días cada 33 años.

50. Demostrar que todo múltiplo de 8 es la suma de 8 cuadrados impares.—(E. CATALAN).
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-10-01 00:00:00), página 3

Aplicando esta regla obtendremos, del diagrama 20,

    597)
    \( \frac{tg\ \frac{1}{2}\ (a + b)}{tg\ \frac{1}{2}\ c} = \frac{csn\ \frac{1}{2}\ (A - B)}{csn\ \frac{1}{2}\ (A + B)} \)

    598)
    \( \frac{tg\ \frac{1}{2}\ (a - b)}{tg\ \frac{1}{2}\ c} = \frac{sn\ \frac{1}{2}\ (A - B)}{sn\ \frac{1}{2}\ (A + B)} \)

    599)
    \( \frac{tg\ \frac{1}{2}\ (A + B)}{ctg\ \frac{1}{2}\ C} = \frac{csn\ \frac{1}{2}\ (a - b)}{csn\ \frac{1}{2}\ (a + b)} \)

    600)
    \( \frac{tg\ \frac{1}{2}\ (A - B)}{ctg\ \frac{1}{2}\ C} = \frac{sn\ \frac{1}{2}\ (a - b)}{sn\ \frac{1}{2}\ (a + b)} \)

y del diagrama 21

    600)
    \( \frac{sn\ \frac{1}{2}\ (a + b)}{sn\ \frac{1}{2}\ (a - b)} = \frac{ctg\ \frac{1}{2}\ C}{tg\ \frac{1}{2}\ (A - B)} \)

    599)
    \( \frac{csn\ \frac{1}{2}\ (a + b)}{csn\ \frac{1}{2}\ (a - b)} = \frac{ctg\ \frac{1}{2}\ C}{tg\ \frac{1}{2}\ (A + B)} \)

    597)
    \( \frac{tg\ \frac{1}{2}\ (a + b)}{tg\ \frac{1}{2}\ c} = \frac{csn\ \frac{1}{2}\ (A - B)}{csn\ \frac{1}{2}\ (A + B)} \)

    598)
    \( \frac{tg\ \frac{1}{2}\ (a - b)}{tg\ \frac{1}{2}\ c} = \frac{sn\ \frac{1}{2}\ (A - B)}{sn\ \frac{1}{2}\ (A + B)} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-10-01 00:00:00), página 4

Estos resultados admiten entre otras las siguientes formas:

601) \( \frac{tg \frac{1}{2}(a+b)}{tg \frac{1}{2}c} = \frac{sc \frac{1}{2}(A+B)}{sc \frac{1}{2}(A-B)} \)

602) \( \frac{tg \frac{1}{2}(a-b)}{tg \frac{1}{2}c} = \frac{csc \frac{1}{2}(A+B)}{csc \frac{1}{2}(A-B)} \)

603) \( \frac{sc \frac{1}{2}(a+b)}{sc \frac{1}{2}(a-b)} = \frac{tg \frac{1}{2}(A+B)}{ctg \frac{1}{2}C} \)

604) \( \frac{csc \frac{1}{2}(a+b)}{csc \frac{1}{2}(a-b)} = \frac{tg \frac{1}{2}(A-B)}{ctg \frac{1}{2}C} \)

605) \( \frac{sn \frac{1}{2}(a+b)}{sn \frac{1}{2}(a-b)} = \frac{tg \frac{1}{2}(90^{\circ}-C)}{tg \frac{1}{2}(A-B)} \)

606) \( \frac{tg \frac{1}{2}(a+b)}{tg \frac{1}{2}c} = \frac{sc \frac{1}{2}(A+B)}{sc \frac{1}{2}(A-B)} \)

607) \( \frac{tg \frac{1}{2}(a-b)}{tg \frac{1}{2}c} = \frac{sn \frac{1}{2}(A-B)}{sn \frac{1}{2}(A+B)} \)

608) \( \frac{sc \frac{1}{2}(a+b)}{sc \frac{1}{2}(a-b)} = \frac{tg \frac{1}{2}(A+B)}{tg \frac{1}{2}(90^{\circ}-C)} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-10-01 00:00:00), página 5

609) \( \frac{csn \frac{1}{2} (a + b)}{csn \frac{1}{2} (a - b)} = \frac{ctg \frac{1}{2} (A + B)}{ctg \frac{1}{2} (90^{\circ} - C)} \)

610) \( \frac{ctg \frac{1}{2} (a + b)}{ctg \frac{1}{2} c} = \frac{csn \frac{1}{2} (A + B)}{csn \frac{1}{2} (A - B)} \)

611) \( \frac{ctg \frac{1}{2} (a - b)}{ctg \frac{1}{2} c} = \frac{csc \frac{1}{2} (A - B)}{csc \frac{1}{2} (A + B)} \)

612) \( \frac{csc \frac{1}{2} (a + b)}{csc \frac{1}{2} (a - b)} = \frac{ctg \frac{1}{2} (90^{\circ} - C)}{ctg \frac{1}{2} (A - B)} \)

613) \( \frac{sn \frac{1}{2} (a - b)}{sn \frac{1}{2} (a + b)} = tg \frac{1}{2} (A - B) tg \frac{1}{2} C \)

614) \( \frac{csn \frac{1}{2} (a - b)}{csn \frac{1}{2} (a + b)} = tg \frac{1}{2} (A + B) tg \frac{1}{2} C \)

615) \( \frac{sn \frac{1}{2} (A - B)}{sn \frac{1}{2} (A + B)} = tg \frac{1}{2} (a - b) ctg \frac{1}{2} c \)

616) \( \frac{csn \frac{1}{2} (A - B)}{csn \frac{1}{2} (A + B)} = tg \frac{1}{2} (a + b) ctg \frac{1}{2} c \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-10-01 00:00:00), página 6

617) \( \frac{sc \frac{1}{2}(a+b)}{sc \frac{1}{2}(a-b)} = tg \frac{1}{2}(A+B)tg \frac{1}{2}C \)

618) \( \frac{csc \frac{1}{2}(a+b)}{csc \frac{1}{2}(a-b)} = tg \frac{1}{2}(A-B)tg \frac{1}{2}C \)

619) \( \frac{sc \frac{1}{2}(A+B)}{sc \frac{1}{2}(A-B)} = tg \frac{1}{2}(a+b)ctg \frac{1}{2}c \)

620) \( \frac{csc \frac{1}{2}(A+B)}{csc \frac{1}{2}(A-B)} = tg \frac{1}{2}(a-b)ctg \frac{1}{2}c \)

621) \( sn \frac{a+b}{2}tg \frac{A-B}{2} = sn \frac{a-b}{2}ctg \frac{C}{2} \)

622) \( csn \frac{a+b}{2}tg \frac{A+B}{2} = csn \frac{a-b}{2}ctg \frac{C}{2} \)

623) \( sn \frac{A+B}{2}tg \frac{a-b}{2} = sn \frac{A-B}{2}tg \frac{c}{2} \)

624) \( csn \frac{A+B}{2}tg \frac{a+b}{2} = csn \frac{A-B}{2}tg \frac{c}{2} \)

625) \( tg \frac{a+b}{2}sc \frac{A-B}{2} = sc \frac{A+B}{2}tg \frac{c}{2} \)

626) \( tg \frac{a-b}{2}csc \frac{A-B}{2} = csc \frac{A+B}{2}tg \frac{c}{2} \)

627) \( tg \frac{A+B}{2}sc \frac{a-b}{2} = sc \frac{a+b}{2}ctg \frac{C}{2} \)

628) \( tg \frac{A-B}{2}csc \frac{a-b}{2} = csc \frac{a+b}{2}ctg \frac{C}{2} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-10-01 00:00:00), página 7

629) \( sn \frac{a+b}{2} csc \frac{a-b}{2} = ctg \frac{A-B}{2} ctg \frac{C}{2} \)

630) \( csn \frac{a+b}{2} sc \frac{a-b}{2} = ctg \frac{A+B}{2} ctg \frac{C}{2} \)

631) \( sn \frac{A+B}{2} csc \frac{A-B}{2} = ctg \frac{a-b}{2} tg \frac{c}{2} \)

632) \( csn \frac{A+B}{2} sc \frac{A-B}{2} = ctg \frac{a+b}{2} tg \frac{c}{2} \)

633) \( sc \frac{a+b}{2} csn \frac{a-b}{2} = tg \frac{A+B}{2} tg \frac{C}{2} \)

634) \( csc \frac{a+b}{2} sn \frac{a-b}{2} = tg \frac{A-B}{2} tg \frac{C}{2} \)

635) \( sc \frac{A+B}{2} csn \frac{A-B}{2} = tg \frac{a+b}{2} ctg \frac{c}{2} \)

636) \( csc \frac{A+B}{2} sn \frac{A-B}{2} = tg \frac{a-b}{2} ctg \frac{c}{2} \)

Las cuatro analogías fundamentales (597, 598, 599 y 600) pueden condensarse en las dos fórmulas siguientes:

637) \( \frac{tg \frac{1}{2}(a \pm b)}{tg \frac{1}{2}c} = \begin{cases} csn \frac{1}{2}(A-B) \\ sn \frac{1}{2}(A+B) \end{cases} \)

638) \( \frac{tg \frac{1}{2}(\Delta \pm B)}{ctg \frac{1}{2}C} = \begin{cases} csn \frac{1}{2}(a-b) \\ sn \frac{1}{2}(a+b) \end{cases} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-10-01 00:00:00), página 8

Para el cálculo simultáneo de dos ángulos A, B, de un triángulo esférico oblicuángulo, en función de los lados opuestos a, b, y del ángulo C comprendido por éstos, pueden emplearse las siguientes fórmulas, tomando una cualquiera de las correspondientes á la semisuma de los ángulos buscados, con otra cualquiera de las que corresponden á la semidiferencia de los mismos.

639) \( \tg \frac{1}{2} (A + B) = \ctg \frac{1}{2} C \frac{\sc \frac{1}{2} (a + b)}{\sc \frac{1}{2} (a - b)} \)

640) \( \tg \frac{1}{2} (A + B) = \ctg \frac{1}{2} C \frac{\csn \frac{1}{2} (a - b)}{\csn \frac{1}{2} (a + b)} \)

641) \( \tg \frac{1}{2} (A + B) = \ctg \frac{1}{2} C \sc \frac{a + b}{2} \csn \frac{a - b}{2} \)

642) \( \ctg \frac{1}{2} (A + B) = \tg \frac{1}{2} C \frac{\sc \frac{1}{2} (a - b)}{\sc \frac{1}{2} (a + b)} \)

643) \( \ctg \frac{1}{2} (A + B) = \tg \frac{1}{2} C \frac{\csn \frac{1}{2} (a + b)}{\csn \frac{1}{2} (a - b)} \)

644) \( \ctg \frac{1}{2} (A + B) = \tg \frac{1}{2} C \csn \frac{a + b}{2} \sc \frac{a - b}{2} \)

645) \( \tg \frac{1}{2} (A - B) = \ctg \frac{1}{2} C \frac{\sn \frac{1}{2} (a - b)}{\sn \frac{1}{2} (a + b)} \)

646) \( \tg \frac{1}{2} (A - B) = \ctg \frac{1}{2} C \frac{\csc \frac{1}{2} (a + b)}{\csc \frac{1}{2} (a - b)} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-10-01 00:00:00), página 9

647) \( tg \frac{1}{2} (\Lambda - B) = ctg \frac{1}{2} C \ csc \frac{a + b}{2} \ sn \frac{a - b}{2} \)

648) \( ctg \frac{1}{2} (\Lambda - B) = tg \frac{1}{2} C \ \frac{sn \frac{1}{2} (a + b)}{sn \frac{1}{2} (a - b)} \)

649) \( ctg \frac{1}{2} (\Lambda - B) = tg \frac{1}{2} C \ \frac{csc \frac{1}{2} (a - b)}{csc \frac{1}{2} (a + b)} \)

650) \( ctg \frac{1}{2} (\Lambda - B) = tg \frac{1}{2} C \ sn \frac{a + b}{2} \ csc \frac{a - b}{2} \)

El tercer lado c se obtiene por una de las fórmulas siguientes:

651) \( tg \frac{1}{2} c = tg \frac{1}{2} (a + b) \ \frac{sc \frac{1}{2} (\Lambda - B)}{sc \frac{1}{2} (\Lambda + B)} \)

652) \( tg \frac{1}{2} c = tg \frac{1}{2} (a + b) \ \frac{csn \frac{1}{2} (\Lambda + B)}{csn \frac{1}{2} (\Lambda - B)} \)

653) \( tg \frac{1}{2} c = tg \frac{a + b}{2} \ csn \frac{\Lambda + B}{2} \ sc \frac{\Lambda - B}{2} \)

654) \( tg \frac{1}{2} c = tg \frac{1}{2} (a - b) \ \frac{sn \frac{1}{2} (\Lambda + B)}{sn \frac{1}{2} (\Lambda - B)} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-12-01 00:00:00), página 1

ARCHIVO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

Núm. 12 DICIEMBRE 1896

SUMARIO.—Diagramas mnemónicos de Trigonometría, por D. Luis G. Gascó. (Conclusión.)—Fórmulas fundamentales de Geometría tricircular y tetraesférica, por E. Lucas. (Conclusión.)—Sobre una serie recurrente, por M. J. Neuberg.

DIAGRAMAS MNEMÓNICOS DE TRIGONOMETRÍA

(Conclusión. Véase pág. 210)

Dados en un triángulo esférico oblicuángulo dos lados \( a, b \), con el ángulo C comprendido por ellos, y calculados los otros dos ángulos A, B, se puede obtener el tercer lado c por cualquiera de las fórmulas siguientes:

730) \( sn \frac{1}{2} c = sn \frac{1}{2} C \frac{sn \frac{1}{2} (a + b)}{csn \frac{1}{2} (A - B)} \)

731) \( sn \frac{1}{2} c = sn \frac{1}{2} C \frac{sc \frac{1}{2} (A - B)}{csc \frac{1}{2} (a + b)} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-12-01 00:00:00), página 10

SOBRE UNA SERIE RECURRENTE (1)

por M. J. Neuberg

Acaso no ofrezca nada de nuevo la presente nota, pero como tiene por objeto una cuestión elemental apenas tratada en los manuales de uso corriente, podrá interesar á gran número de nuestros lectores.

1. Sea la serie \((u)\)

\[
u_0, u_1, u_2, u_3, \ldots, u_n, u_{n+1}, \ldots,
\]

cuyos dos primeros términos son arbitrarios y los otros se calculan por la fórmula de recurrencia de escala \((a, b)\)

\[
u_n = au_{n-1} + bu_{n-2}
\] (1)

de manera que

\[
\begin{align*}
u_2 &= au_1 + bu_0 \\
u_3 &= au_2 + bu_1 \\
u_4 &= au_3 + bu_2 \\
&\ldots \ldots \ldots
\end{align*}
\]

Fácilmente se ve que los números \(u_3, u_4, \ldots\) se expresan directamente en función de los términos iniciales \(u_0, u_1\); por ejemplo

\[
\begin{align*}
u_3 &= a (au_1 + bu_0) + bu_1 \\
&= (a^2 + b)u_1 + abu_0 \\
u_4 &= a [(a^2 + b)u_1 + abu_0] + b (au_1 + bu_0) \\
&= (a^3 + 2ab)u_1 + (a^2b + b^2)u_0, \text{ etc.}
\end{align*}
\]

(1) Traducido del periódico belga Mathesis;