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CUESTIONES PROPUESTAS

1. Supóngase una bola de billar lanzada oblicuamente á una cualquiera de las bandas, y admitase que pueda moverse indefinidamente, obedeciendo sólo á la ley de la reflexión. Tal sería el caso ideal de una bola puesta en movimiento, y á la vez sustraída á toda acción externa, como el rozamiento, la gravedad, etc. Se pregunta si dicha bola pasará ó no por un punto de la mesa, fijado arbitrariamente después de lanzada aquélla.—PIOL.

2. Entre todos los poliedros de \( n \) caras que tengan un mismo volumen, ¿cuál es el de área mínima?—C. F. SAINTE-MARIE.

3. Cuántas fracciones irreducibles hay cuyo denominador no tenga más de \( n \) cifras?—E. FRIOCOURT.

4. Determinar: 1.º la elipse inscripta en un triángulo y cuya área sea un máximo. 2.º La circunscripta al mismo y cuya área sea un mínimo. 3.º El centro común de las elipses inscripta y circunscripta, cuya diferencia de áreas sea un mínimo.—MULLER.

5. ¿Cuál es el lugar geométrico de los vértices de los ángulos rectos cuyos lados son tangentes á una cicloide?—NESTER.

6. ¿Por qué un huevo vacío se mantiene en equilibrio en un chorro de agua?

7. Demostrar que con cuatro colores diferentes se pueden colorear todas las provincias de una carta geográfica, por numerosas que sean, de manera que dos contiguas cualesquiera tengan colores distintos; á condición de que cada par de provincias vecinas linden siempre por una línea y nunca por un punto solamente.—MANSION.

8. Hallar la relación entre el área de un polígono convexo y el área del polígono cuyos vértices son las proyecciones de un punto interior del primer polígono sobre los lados que lo forman.

9. Siendo \( p \) un número primo con 10, demostrar que se puede siempre encontrar un múltiplo de \( p \) terminado por cifras arbitrarias.

10. Resolver el problema anterior en un sistema de numeración de base B, siendo \( p \) primo con B.
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ARCHIVO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

1896
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ARCHIVO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

PERIÓDICO MENSUAL PUBLICADO POR D. LUIS GONZAGA GASCÓ CATEDRÁTICO DE ANÁLISIS EN LA UNIVERSIDAD DE VALENCIA CON LA COLABORACIÓN DE D. EDUARDO LEÓN Catedrático de Geodesia en la Universidad Central, Madrid D. MARIANO BELMÁS Licenciado en Ciencias Director de la Gaceta de O. P., Madrid Y DE VARIOS PROFESORES ESPAÑOLES Y EXTRANJEROS

TOMO PRIMERO

VALENCIA Librería de P. Aguilar 1, CABALLEROS, 1
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-01-01 00:00:00), página 6

VALENCIA: IMPRENTA DE NICASIO RIUS MONFORT
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-01-01 00:00:00), página 7

ÍNDICE

Páginas.

Al Público, por la Redacción .................................................. 1
Tablas logarítmicas de adición y sustracción, por D. E. LEÓN Y ORTIZ ................................................................. 6
Reglas prácticas para el desarrollo de las determinantes de cuarto grado, por D. LUIS G. GASCÓ ............................................. 11
Estudio de un lugar geométrico curioso de sexto orden, formado por tres de segundo, por D. CECILIO JIMÉNEZ RUBEDA ............................................................ 16
Diagramas mnemónicos de trigonometría por D. LUIS G. GASCÓ, 21, 41, 61, 81, 101, 121, 141, 161, 181, 201 y 221
Teoría sucinta de las funciones hiperbólicas, por P. MANSION . . 29, 46, 65, 86, 106, 125, 150, 170, 191 y 211
Distancias focales de espejos y lentes, por EDWIN H. BARTON ................................................................. 35
Trazado de la hipérbola, por GEORGE J. BURCH ..................... 38
Vibraciones y ondas sonoras, por DAVID THOMSON ............... 51
Métodos gráficos relativos á las lentes, por R. S. COLE .......... 72
Curiosidades: eclipses de sol, reformas del calendario, pasos del planeta Venus .................................................... 75
Nueva demostración de las fórmulas trigonométricas de un ángulo igual á la suma ó diferencia de dos dados, por D. VENTURA REYES PRÓSPER ................. 89
Análisis armónico, por J. CLERK MAXWELL ......................... 92
Puntos de inflexión de la curva en que se convierte la sección plana de un cono, al desarrollar éste sobre un plano, por F. BALITRAND ........................................... 108
Del plagiógrafo ó pantógrafo de inclinación, por J. J. SYLVESTER ................................................................. 112
Movimiento armónico, por P. G. TAIT . . 114, 128 y 154
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Curiosidades: numeración egipcia, numeración hebrea, numeración china ............................................. 136
Raíces de los números, por D. Esteban Sanchis Barachina .......................................................... 173
Nota sobre las aproximaciones en el cálculo logarítmico, por Vladislao Puchewicz ......................... 193
Fórmulas fundamentales de Geometría tricircular y tetraesférica, por E. Lucas ............................... 214 y 228
Sobre una serie recurrente, por M. J. Neuberg ............................................................................. 230
Cuestiones propuestas .................................................... 20, 40, 60, 80 y 200
Soluciones de cuestiones propuestas, por los señores Alonso, Bozal, Lluch, Luzón, Miralles y Reyes Prósper .................................................... 98, 100, 120, 140, 160, 180 y 220
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ARCHIVO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

Núm. 1 ENERO 1896

SUMARIO.—Al público, por la Redacción.—Tablas logarítmicas de adición y sustracción, por D. E. León y Ortiz.—Reglas prácticas para el desarrollo de las determinantes de cuarto grado, por D. Luis G. Gaseó.—Estudio de un lugar geométrico curioso de sexto orden, formado por tres de segundo, por D. Cecilio Jiménez Rueda.—Cuestiones propuestas.

AL PÚBLICO

Riqueza que circula son los conocimientos difundidos por revistas especiales; y llevados del deseo de aumentar en España semejante circulación, nos decidimos á publicar este modesto periódico, encaminado á dar noticias de los adelantos que en las ciencias exactas, puras y aplicadas, en estos tiempos con rapidez se realizan; á recordar descubrimientos, próximos ó lejanos, que á otros recientes prepararon el camino, y á recoger artículos y memorias, ó meros apuntamientos y reflexiones que nos remitan las personas entendidas en las diferentes materias, en las cuales se inquiere y demuestra por medio del cálculo matemático ó con auxilio de figuras geométricas: campo en verdad grandioso, donde cabe contentar diversas vocaciones.

Pues convidan al aficionado al análisis matemático la teoría coordinatoria, el estudio de las ecuaciones algébricas, la resolución de las ecuaciones numéricas, la investigación de las propiedades y relaciones de los números enteros y la teoría de las formas algébricas,
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ARCHIVO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

Núm. 6 JUNIO 1896

SUMARIO.—Diagramas mnemónicos de Trigonometría, por D. Luis G. Gascó. (Continuación.)—Teoría sucinta de las funciones hiperbólicas, por P. Mansión. (Continuación.)—Puntos de inflexión de la curva en que se convierte la sección plana de un cono, al desarrollar éste sobre un plano, por F. Baltrand.—Del plagiógrafo ó pantógrafo, por J. J. Sylvester.—Movimiento armónico, por P. G. Tait.—Soluciones de cuestiones propuestas.

DIAGRAMAS MNEMÓNICOS DE TRIGONOMETRÍA

(Continuación. Véase pág. 85)

VII
Resolución de triángulos esférico-rectángulos

Para resolver los triángulos esféricos rectángulos, en todos los casos que pueden ocurrir, proponemos el

Diagrama 12

formado con los números trigonométricos de los ángulos oblicuos B, C, y de los elementos lineales a, b, c del triángulo.
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luego en el desarrollo el punto C vendrá á un punto C₁ situado respecto de la recta XY á distinto lado que el punto S. En cambio, el ángulo SBY, obtuso como el SAY, del cual difiere en cantidad sumamente pequeña, será mayor que el SBD; luego en el desarrollo el punto D vendrá á un punto D₁ situado respecto de la recta XY al mismo lado que el punto S. Así, pues, prolongada en ambos sentidos la recta AB, que en el límite es un elemento de la curva transformada, cruzará esta curva; y por tanto, el punto A será un punto de inflexión.

Mas la demostración cae por su base cuando el plano secante es perpendicular á la generatriz SA.

SEGUNDA DEMOSTRACIÓN. Si por tres generatrices de un cono cualquiera se hace pasar otro de revolución, cuando las tres generatrices se acerquen indefinidamente, ambos conos serán osculadores en toda la generatriz de contacto; luego osculadoras serán á su vez, en el punto correspondiente de la generatriz de contacto, las secciones de los dos conos por un mismo plano; y otro tanto acontecerá á los desarrollos de estas dos secciones. Por consiguiente, bastará hallar los puntos de inflexión de la curva en que se convierta la sección plana de un cono de revolución, cuando éste quede extendido en un plano.

Imaginemos vertical el eje de tal cono, y sobre el plano horizontal que pase por su vértice, proyectemos cualquier curva trazada en la superficie del cono. Llamando \( \theta \) el ángulo que las generatrices formen con el eje, \( \rho \) y \( \omega \) las coordenadas polares que pertenezcan á un punto de dicha proyección; en el supuesto de que el vértice del cono sea el polo; y \( \rho_1 \) y \( \omega_1 \) las pertenecientes al punto que en el desarrollo del cono corresponda al punto antedicho, se tendrán las relaciones

\[
\omega = \frac{\omega_1}{\operatorname{sen} \theta}, \qquad \rho = \rho_1 \operatorname{sen} \theta .
\]

Mas, sobre el referido plano horizontal, toda sección plana del cono se proyecta según una cónica que tiene por foco el vértice y por directriz la intersección del plano secante con ese plano horizontal. Luego llamando \( \varphi \) el ángulo comprendido
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-06-01 00:00:00), página 11

entre estos dos planos, la excentricidad de la mencionada cónica valdrá

\[
e = \tan \varphi \tan \theta,
\]

y la ecuación polar de la misma curva será

\[
\rho = \frac{p}{1 - e \cos \omega}.
\]

Por consiguiente, la curva en que ésta se convierta al desarrollar el cono, tendrá por ecuación

\[
\rho_1 \sin \theta = \frac{p}{1 - e \cos \left( \frac{\omega_1}{\sin \theta} \right)}.
\]

Adviértase ahora que estando los puntos de inflexión de esta curva dados por la relación

\[
\left( \frac{1}{\rho_1} \right)'' + \frac{1}{\rho_1} = 0,
\]

en la cual el primer término indica la segunda derivada del término siguiente, tales puntos se hallarán donde se cumpla la condición

\[
\cos \omega = \cos \left( \frac{\omega_1}{\sin \theta} \right) = -\frac{\tan^2 \theta}{e} = -\frac{\tan \theta}{\tan \varphi}.
\]

Pero la ecuación del plano tangente al cono en el punto \( \rho, \omega, z \), es

\[
x \cos \omega + y \sin \omega - z \tan \theta = 0
\]

y para que este plano sea perpendicular al que tiene por ecuación

\[
z - x \tan \varphi = 0
\]

es decir, al trazado por el vértice del cono paralelamente al plano secante, se debe tener

\[
\cos \omega = -\frac{\tan \theta}{\tan \varphi},
\]

condición que coincide con la anterior.

Queda, pues, demostrado el teorema.

F. BALITRAND,
Teniente de Ingenieros.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-06-01 00:00:00), página 12

DEL PLAGIÓGRAFO Ó PANTÓGRAFO DE INCLINACIÓN (1)

POR

J. J. Sylvester

Estudiando combinaciones de varillas articuladas, se nos ocurrió modificar el antiguo y usual pantógrafo de manera que al reproducir, ampliada ó reducida, una figura, se la hiciera al propio tiempo girar en torno del centro de semejanza. Decida, quien tenga autoridad para ello, hasta dónde es original la idea y si puede ésta ser de utilidad para el dibujante y el grabador, como nuestra invención del isogonios-tato, destinado á mantener igual ángulo, tuvo aplicación práctica para mover automáticamente la serie de prismas de un espectroscopio.

El pantógrafo usual lo representa la figura 1 limitada al paralelogramo de varillas articuladas OACB y á la prolongación de la varilla BC. Es O el punto fijo, P el trazador, Q el copiador, y al abrir ó cerrar el ángulo AOB, cualquier curva trazada por P es imitada por Q, que describe otra semejante y semejantemente colocada respecto de O.

Consiste la modificación en lo siguiente: llévese el punto P á P', describiendo en torno de A un ángulo PAP'; llévese

Fig. 1

(1) Traducido del periódico inglés Nature, tomo XII, pág. 168.
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á su vez Q á Q', describiendo en torno de B un ángulo QBQ' igual al anterior, pero de opuesto sentido, y déjense P' y Q' enlazados invariablemente, del modo que se quiera, aquél con la varilla AC y éste con la BC. Es fácil ver que, ya se vaya abriendo ó cerrando el varillaje que forma el paralelogramo, se tendrá constantemente, por las igualdades AP = AP', BQ = BQ', OB = AC, y por la semejanza de los triángulos OAP' y Q'BO, derivada de la de los triángulos OAP y QBO y de la igualdad de ángulos OAP' = Q'BO,

\[
OQ' : OP' = AC : AP;
\]

por consiguiente, será también constantemente el ángulo

\[
P'OQ' = P'AP = QBQ',
\]

pues los triángulos semejantes OAP' y Q'BO darán la igualdad de ángulos

\[
OP'A = Q'OB;
\]

pero en el triángulo OP'A es el ángulo

\[
P'AP = 180^\circ - OAP - AOP' - OP'A,
\]

y en el paralelogramo OACB es el ángulo

\[
P'OQ' = 180^\circ - OAP - AOP' - Q'OB.
\]

Así, pues, mientras el trazador P' describa una curva, el copiador Q' describirá otra semejante, ampliada ó reducida, conforme estén los puntos correlativos P y Q situados en el plagiógrafo, y al propio tiempo girada en torno del punto O según el ángulo constante P'OQ'.

Si, como sucede en la figura 2, además de formar el

ángulo CAD = EBC, se toma AD = AC y BE = BC, los rayos vectores OD y OE permanecerán siempre iguales é
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-06-01 00:00:00), página 14

inclinados según ángulo constante igual á los CAD y CBE. En tal caso la combinación de varillas aprovechará para llevar una figura dibujada en un papel á otra parte del mismo, sin alterar la forma ni la magnitud de esa figura, haciéndola girar tan sólo, en torno de un punto, un ángulo dado.

MOVIMIENTO ARMÓNICO (1)

POR

P. G. Tait

PROFESOR DE FÍSICA EN LA UNIVERSIDAD DE EDIMBURGO

1. Cuando un punto recorre uniformemente una circunferencia, el movimiento presenta aspectos muy distintos según el sitio desde donde el espectador lo contempla. Suponiendo que esté él á muy grande distancia comparada con el radio de la circunferencia, lo que contemple vendrá á ser la proyección ortogonal de la órbita verdadera sobre un plano perpendicular á la visual. Pero una proyección ortogonal de una circunferencia es generalmente una elipse, cuyo centro es la proyección del centro de aquélla, y como áreas iguales se proyectan ortogonalmente según áreas iguales, el movimiento aparente será elíptico y se efectuará describiendo el radio vector, trazado desde el centro, áreas iguales en tiempos iguales. Luego la aceleración estará dirigida hacia el centro. Además, puesto que las aceleraciones se proyectan según las mismas reglas que las velocidades y las rectas recorridas, y puesto que en un movimiento circular uniforme la aceleración es constante y está dirigida hacia el centro, se

(1) Traducido de la Encyclopædia Britannica, tomo XV, pág. 685.
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infiere que en el movimiento elíptico mencionado, en el cual se describen en iguales tiempos áreas iguales en torno del centro, la aceleración, no sólo estará dirigida hacia el centro, sino que será proporcional á la longitud del radio vector (1). Pero esta órbita proyectada puede á su vez proyectarse, cuantas veces se quiera, sobre diferentes planos, con lo cual la curva permanecerá elíptica, el radio vector trazado desde el centro describirá áreas iguales en tiempos iguales, y la aceleración será proporcional á la longitud de este radio vector. Así, pues, por distintas que sean en magnitud y proporción de ejes todas esas órbitas elípticas, tendrán una propiedad común, á saber: que el tiempo invertido en recorrer cada una de ellas, será el mismo.

En resumen, cuando la órbita es una elipse descrita en torno de su centro, la aceleración está dirigida hacia este punto y es proporcional al radio vector, y el tiempo en que se describe tal elipse depende solo de la razón que tiene la aceleración con la longitud del radio vector; ó, lo que es lo mismo, depende sólo de la magnitud de la aceleración á la unidad de distancia; proposición, cuya recíproca, evidentemente, es cierta también. Esto sentado, conviene notar un caso importantísimo: aquel, en que se contempla de perfil ó de canto el camino circular descrito uniformemente, el cual se proyecta entonces sobre una recta, donde el punto móvil parece oscilar. Tal acontece, por ejemplo, muy aproximadamente con los satélites de Júpiter contemplados desde la tierra. Del mismo modo, casi con exactitud, parecen moverse las manchas solares, la mancha encarnada de Júpiter y otras análogas. Pero la grande importancia de esta clase de movimiento estriba en ser éste el tipo más sencillo de oscilación de una partícula material separada de su posición de

(1) Por la ley de Hooke la fuerza elástica desplegada por un desvío es proporcional al mismo y tiende á reponer la partícula en su posición de equilibrio. Citámoslo de paso para encarecer la importancia de este estudio.
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equilibrio estable. Pueden citarse como ejemplos las vibraciones del éter cuando la luz homogénea, polarizada en un plano, pasa por éste; las vibraciones del aire cuando suena una nota musical; las oscilaciones del péndulo cuando describen arcos pequeños; las vibraciones más sencillas de un diapasón ó de una cuerda metálica de piano; y las indicaciones de un mareógrafo cuando el mar está tranquilo. De aquí la necesidad de estudiar detenidamente tal movimiento.

2. Define se por movimiento armónico sencillo el movimiento componente, paralelo á un diámetro, de un movimiento circular uniforme.

Si, por ejemplo, es P (figura 1) el punto que recorre uniformemente una circunferencia APA', el pie M de la perpendicular PM á un diámetro AOA' tendrá un movimiento armónico sencillo.

Fig. 1

Es claro que la velocidad \( v \) y la aceleración \( j \) de M serán las componentes, según AA', de la velocidad V y de la aceleración J de P; luego

\[
v = \frac{PM}{PO} \cdot V, \qquad j = \frac{MO}{PO} \cdot J,
\]

ó bien, puesto que

\[
J = \frac{V^2}{PO}, \qquad \text{será} \qquad j = \frac{MO}{PO^2} \cdot V^2.
\]
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-06-01 00:00:00), página 17

Introduciendo en el cálculo la velocidad angular \( \omega \) de PO, se tendrá

\[
\omega = \frac{1}{PO} \cdot V, \qquad v = PM \cdot \omega, \qquad j = MO \cdot \omega^2
\]

por donde se ve que la velocidad \( v \) de M aumenta desde A, punto en que es nula, hasta O, donde vale V; después disminuye hasta anularse en A'; y en orden inverso adquiere la misma serie de valores numéricos desde que, alcanzado el punto A', se invierte el sentido del movimiento. En cuanto á la aceleración \( j \) de M, está siempre dirigida hacia O; adquiere su máximo valor en A y en A', y es siempre proporcional á la distancia desde O, esto es, á OM.

Llamando T el período del movimiento armónico sencillo, es decir, el tiempo invertido por el punto P en recorrer toda la circunferencia, y designando por \( a \) el radio de la misma, radio equivalente á la amplitud del movimiento armónico sencillo, será

\[
T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{V} a
\]

y por tanto, si por \( x \) entendemos el desvío OM del punto M desde O, la relación característica de tal clase de movimiento será en valor absoluto

\[
j = \frac{4\pi^2}{T^2} x \qquad \text{o} \qquad T = 2\pi \sqrt{\frac{x}{j}}
\]

3. Conviene, antes de seguir más adelante, definir algunos términos. Sea E la posición que el punto, que recorre la circunferencia, ocupa cuando empieza á contarse el tiempo, esto es, cuando \( t = 0 \), y sea P la posición ocupada al cabo del tiempo \( t \): llámase el ángulo AOE la época del movimiento armónico sencillo, y el ángulo AOP la fase en el momento dado. Los valores de la época y de la fase en unidades de tiempo se deducen dividiendo por \( \omega \) sus medidas circulares.
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Es fácil hallar el valor de \( x \) en función de \( t \) y de la época \( \varepsilon \), pues

\[
x = OM = OP \cos POA = OP \cos (\text{POE} + \text{EOA});
\]

luego

\[
x = a \cos (\omega t + \varepsilon).
\]

Encuéntrase esta expresión, acaso más á menudo que ninguna otra, en todas las ramas de la Física matemática, pues cada fenómeno periódico puede traducirse matemáticamente por medio de términos, ó series de términos, de esa forma, los cuales tanto intervienen en las fórmulas de la longitud y radio vector de un planeta ó satélite, como en las más complejas ondulaciones que agitan el agua, el aire ó el medio lucífero.

De dicha expresión de \( x \) pueden deducirse por cálculo las relaciones obtenidas antes geométricamente, pues si por \( \dot{x} \) y \( \ddot{x} \) se indican las derivadas primera y segunda de \( x \) con respecto á \( t \), será

\[
v = \dot{x} = - a \omega \sen (\omega t + \varepsilon),
\]
\[
j = \ddot{x} = - a \omega^2 \cos (\omega t + \varepsilon) = - x \omega^2.
\]

4. El método gráfico más sencillo para mostrar la ley de un movimiento rectilíneo es combinar éste con otro movimiento uniforme en dirección perpendicular á la recta donde el primero se realiza; y esto es lo que suele hacerse en la mayoría de los instrumentos de registro automático, en los cuales una cinta de papel, impulsada por un mecanismo de relojería, se desliza uniformemente por debajo del punto móvil en dirección perpendicular á la recta en que éste se mueve, con lo cual en dicha cinta puede dejarse una huella por algún medio mecánico, ó por algún lápiz, chispa eléctrica ó, mejor todavía, impresión fotográfica. Cuando tal procedimiento se aplica al movimiento armónico sencillo, la curva
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trazada tiene la forma que se ve en la figura 2. Llámase esta línea la curva de senos

Fig. 2

ó curva armónica. Puede resultar más estrecha ó más amplia en sentido vertical ú horizontal; pero el tipo genérico es siempre el mismo. Representa tal curva las figuras más sencillas formadas por una cuerda, al vibrar, y representa también la figura de la sección hecha, en un momento dado, en la superficie del agua rizada por ondulación ó escarceo, figura que, sin alteración, va avanzando, según el tiempo transcurre, en el sentido en que las ondas caminan.

Exprésase ésto analíticamente con la fórmula

\[
y = a \cos (nt - mx),
\]

en la cual \( x \) é \( y \) indican la abscisa horizontal y la ordenada vertical de un punto de la superficie del agua, contándose \( y \) desde el nivel de la misma cuando está sosegada. Suponiendo constante \( x \), se tendrá el simple y armónico subir y bajar que, transcurriendo el tiempo, se notará en el sitio señalado por el valor de \( x \); y suponiendo \( t \) constante, se tendrá la antedicha figura del grabado ó sea la figura que toda la superficie del agua presentará, vista de una ojeada en el momento señalado por el valor de \( t \). Es claro que el período invertido en el avance de la onda es \( \frac{n}{m} \), pues aumentando \( t \) en cualquier cantidad \( \tau \), y á su vez \( x \) en la cantidad correlativa \( \frac{n}{m} \tau \), no padecerá alteración el valor de \( y \).

(Se continuará.)