ferjorosa/bne-hemeroteca-ocr-xix huggingface dataset:
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-04-01 00:00:00), página 2

VI

Resolución de triángulos rectilíneos-oblicuángulos

Para resolver los triángulos rectilíneos oblicuángulos, en el caso de que sean conocidos los tres lados, proponemos el

Diagrama 10

formado con los lados \( b, c \), del triángulo, con la semisuma \( s \) de los tres lados, y con las diferencias \( s-a, s-b, s-c \) entre la semisuma indicada y cada uno de los lados \( a, b, c \). De él se derivan las expresiones trigonométricas usuales del cuadrado de la mitad de un ángulo \( A \), y las especiales de Mendoza, que dan el valor directo del ángulo entero.

Aplicando la regla primera, establecida para los triángulos rectilíneo-rectángulos, obtendremos

151) \( vr\ A = \frac{(s-b)(s-c)}{bc} \)

152) \( sn^3 \frac{\Lambda}{2} = \frac{(s-b)(s-c)}{bc} \)

153) \( sn \frac{\Lambda}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}} \)

154) \( tg^3 \frac{\Lambda}{2} = \frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)} \)

155) \( tg \frac{\Lambda}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-04-01 00:00:00), página 20

CUESTIONES PROPUESTAS

29. Hallar el lugar geométrico de los focos de las cónicas inscriptas en un cuadrilátero.

30. Hallar el número de términos de una continuante de \( n^{\text{mo}} \) orden.

31. Demostrar que las coordenadas baricéntricas homogéneas de una recta son proporcionales á las distancias á que están de la recta los vértices del triángulo de referencia.

32. Demostrar que las rectas de una congruencia lineal, que encuentran á una recta arbitraria, forman una superficie de segundo grado.

33. Hallar una fórmula, función de \( n \), que exprese el número de domingos que caen en día 20 de mes, en \( n \) años.

34. Varias familias de distinto apellido se convienen en que sus individuos y descendientes se casen sólo con individuos ó descendientes de las mismas. ¿Al cabo de cuánto tiempo se habrán reducido á uno sólo los distintos apellidos á causa de los casamientos? Tómense á arbitrio los números y promedios que deben figurar en la cuestión.

35. ¿Cuál debe ser el último número de la primera línea horizontal de una tabla pitagórica, para que la suma de todos los números, que compongan esta tabla, sea igual á 36100?

36. Repartir los nueve números dígitos en el perímetro de un triángulo, de modo que, situado uno en cada vértice y cuatro en cada lado, sea la misma en los tres lados la suma de cuadrados de los números correspondientes.

37. Demostrar que la suma de dos números triangulares consecutivos es un cuadrado.

38. Demostrar que si se divide un cuadrilátero en dos por una recta, los puntos de intersección de las diagonales de los tres cuadriláteros están en línea recta.

39. Demostrar, sin valerse de la Geometría analítica, que dos triángulos polares recíprocos son homológicos.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-04-01 00:00:00), página 3

156) \( sc^2 \frac{A}{2} = \frac{bc}{s(s-a)} \)

157) \( sc \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{bc}{s(s-a)}} \)

158) \( sv A = \frac{s(s-a)}{bc} \)

159) \( csn^2 \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{bc} \)

160) \( csn \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}} \)

161) \( ctg^2 \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)} \)

162) \( ctg \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}} \)

163) \( csc^2 \frac{A}{2} = \frac{bc}{(s-b)(s-c)} \)

164) \( csc \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{bc}{(s-b)(s-c)}} \)

Mediante una evolución circular entre las letras \( a, b, c \) se encuentran las fórmulas correspondientes al ángulo B

165) \( vr B = \frac{(s-a)(s-c)}{ac} \)

166) \( sn^2 \frac{B}{2} = \frac{(s-a)(s-c)}{ac} \)

167) \( sn \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{ac}} \)

168) \( tg^2 \frac{B}{2} = \frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)} \)

169) \( tg \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}} \)

170) \( sc^2 \frac{B}{2} = \frac{ac}{s(s-b)} \)

171) \( sc \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{ac}{s(s-b)}} \)

172) \( sv B = \frac{s(s-b)}{ac} \)

173) \( csn^2 \frac{B}{2} = \frac{s(s-b)}{ac} \)

174) \( csn \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{ac}} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-04-01 00:00:00), página 4

175) \( ctg^2 \frac{B}{2} = \frac{s(s - b)}{(s - a)(s - c)} \)

176) \( ctg \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s - b)}{(s - a)(s - b)}} \)

177) \( csc^2 \frac{B}{2} = \frac{a\ c}{(s - a)(s - c)} \)

178) \( csc \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{a\ c}{(s - a)(s - c)}} \)

Por nueva evolución circular entre las letras \( a, b, c \) se hallan las fórmulas correspondientes al ángulo C

179) \( vr\ C = \frac{(s - a)(s - b)}{a\ b} \)

180) \( sn^2 \frac{C}{2} = \frac{(s - a)(s - b)}{a\ b} \)

181) \( sn \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s - a)(s - b)}{a\ b}} \)

182) \( tg^2 \frac{C}{2} = \frac{(s - a)(s - b)}{s(s - c)} \)

183) \( tg \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s - a)(s - b)}{s(s - c)}} \)

184) \( sc^2 \frac{C}{2} = \frac{a\ b}{s(s - c)} \)

185) \( sc \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{a\ b}{s(s - c)}} \)

186) \( sv\ C = \frac{s(s - c)}{a\ b} \)

187) \( csn^2 \frac{C}{2} = \frac{s(s - c)}{a\ b} \)

188) \( csn \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s - c)}{a\ b}} \)

189) \( ctg^2 \frac{C}{2} = \frac{s(s - c)}{(s - a)(s - b)} \)

190) \( ctg \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s - c)}{(s - a)(s - b)}} \)

191) \( csc^2 \frac{C}{2} = \frac{a\ b}{(s - a)(s - b)} \)

192) \( csc \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{a\ b}{(s - a)(s - b)}} \)

(Se continuará.)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-04-01 00:00:00), página 5

TEORÍA SUCINTA DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

(Continuación. Véase pág. 50)

Se tiene pues

\[
\operatorname{Arg} \operatorname{Ch} x = \pm l (x + \sqrt{x^2 - 1}), \qquad \operatorname{Arg} \operatorname{Sh} y = l (y + \sqrt{1 + y^2}),
\]

\[
\operatorname{Arg} \operatorname{Th} z = l \sqrt{\frac{1 + z}{1 - z}}.
\]

Encuéntrase igualmente para las funciones inversas de \( X = \operatorname{Sech} t, Y = \operatorname{Cosech} t, Z = \operatorname{Coth} t \),

\[
\operatorname{Arg} \operatorname{Sech} X = \pm l \left( \frac{1 + \sqrt{1 - X^2}}{X} \right),
\]

\[
\operatorname{Arg} \operatorname{Cosech} Y = l \left( \frac{1 + \sqrt{1 + Y^2}}{Y} \right),
\]

\[
\operatorname{Arg} \operatorname{Coth} Z = l \sqrt{\frac{Z + 1}{Z - 1}}.
\]

Estas notaciones pueden servir para hacer resaltar, en el cálculo integral, las analogías de ciertas fórmulas que contienen funciones hiperbólicas inversas con las que contienen funciones circulares inversas.

11. Notaciones alemanas. En Alemania las funciones circulares, directas é inversas, se designan como en Italia y Francia, es decir, por medio de letras romanas.

Las funciones hiperbólicas se representan como las funciones circulares, pero por medio de letras góticas. Así, en lugar de

\[
\operatorname{Sh} t, \qquad \operatorname{Arg} \operatorname{Sh} y
\]

Gudermann et M. Günther escriben

\[
\operatorname{Sin} t, \qquad \operatorname{Arcsin} t,
\]

notaciones que se leen seno gótico y arcoseno gótico, y que son menos expresivas y menos fáciles de transcribir que las de Riccati y Hôuel.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-04-01 00:00:00), página 6

II. Interpretación geométrica

12. Funciones circulares. En la ecuación del círculo de radio igual á la unidad, \( x^2 + y^2 = 1 \), pongamos

\[
y = \operatorname{sen} \theta,
\]

para un punto cualquiera \( m \), siendo \( \theta \) una variable auxiliar, y se tendrá

\[
x = \cos \theta.
\]

La tangente en el punto \( m \), cuya ecuación es \( Xx + Yy = 1 \), tiene por coordenadas en el origen

\[
X = \frac{1}{x} = \sec \theta, \quad Y = \frac{1}{y} = \cosec \theta.
\]

En el caso de la figura, \( \sec \theta = Os \) y \( \cosec \theta = Os' \); pero la demostración precedente prueba que las coordenadas en el origen, de la tangente en el punto considerado, representan siempre, en magnitud y en signo, \( \sec \theta \), \( \cosec \theta \), siendo \( \theta \) el valor de la variable auxiliar en este punto.

El radio vector \( Om \), cuya ecuación es \( Y = \frac{y}{x} X \), encuentra á las paralelas á los ejes, trazadas por A y B á una distancia de O igual á la unidad, en puntos \( t \) y \( t' \), que tienen, el primero tang \( \theta \) por ordenada, y el segundo cot \( \theta \) por abscisa.

La variable auxiliar \( \theta \) es la medida del arco \( Am \), tomado con signo conveniente, ó la del doble del sector \( OAm \) tomado con el mismo signo.

Si se conocen los valores \( \theta_1, \theta_2 \) de la variable \( \theta \) correspondientes á dos puntos \( m_1, m_2 \) (no indicados en la figura), el punto \( m_3 \) que corresponde á \( \frac{1}{2} (\theta_1 + \theta_2) \), se encuentra en la intersección del círculo con el radio que pasa por el punto medio de la cuerda \( m_1 m_2 \). Esta recta pasa además por el punto de intersección de las tangentes en \( m_1 \) y \( m_2 \).

13. Funciones hiperbólicas. En la ecuación de la hipér-
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-04-01 00:00:00), página 7

bola equilátera de semi-eje transverso igual á la unidad,
\( x^2 - y^2 = 1 \), pongamos
\[
y = \mathrm{Sh}\ t.
\]
Se tendrá evidentemente, para la rama de hipérbola de abscisas positivas,
\[
x = \mathrm{Ch}\ t.
\]
La tangente en el punto M, cuyas coordenadas son Ch \( t \), Sh \( t \) (ó, más sencillamente, en el punto M, cuyo parámetro es \( t \)), tiene por ecuación Xx - Yy = 1. Esta tangente tiene por coordenadas en el origen
\[
\mathrm{X} = \frac{1}{x} = \mathrm{Sch}\ t, \quad \mathrm{Y} = -\frac{1}{y} = -\mathrm{Cosech}\ t.
\]
En el caso de la figura, Sech \( t = \mathrm{OS} \), Cosech \( t = -\mathrm{OS}' \); pero la demostración precedente es general: la secante hiperbólica de \( t \) es la abscisa en el origen, la cosecante hiperbólica, la ordenada en el origen, tomada negativamente, de la tangente á la hipérbola representada por \( x = \mathrm{Ch}\ t, y = \mathrm{Sh}\ t \), en el punto de parámetro \( t \).
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-04-01 00:00:00), página 8

El radio vector OM, cuya ecuación es \( Y = \frac{y}{x} X \), encuentra á las paralelas á los ejes trazadas por A y B, en puntos T y T', que tienen, el primero, Th t por ordenada, y el segundo, Coth t por abscisa.

Si \( t_1 \) y \( t_2 \) son los parámetros de dos puntos, M₁ M₂, las coordenadas del punto medio M₄ de la cuerda M₁ M₂, serán

\[
\frac{\mathrm{Ch}\ t_1 + \mathrm{Ch}\ t_2}{2}, \qquad \frac{\mathrm{Sh}\ t_1 + \mathrm{Sh}\ t_2}{2}.
\]

La recta que une este punto con el origen tiene por ecuación

\[
y = \frac{\mathrm{Sh}\ t_1 + \mathrm{Sh}\ t_2}{\mathrm{Ch}\ t_1 + \mathrm{Ch}\ t_2} x \quad \text{o} \quad y = x \ \mathrm{Th}\ \frac{1}{2}\ (t_1 + t_2);
\]

y corta á la hipérbola en un punto M₃ cuyas coordenadas son

\[
x = \mathrm{Ch}\ \frac{1}{2}\ (t_1 + t_2), \qquad y = \mathrm{Sh}\ (t_1 + t_2),
\]

ó cuyo parámetro es \( t_3 = \frac{1}{2}\ (t_1 + t_2) \). Sábese además, por la teoría de los diámetros y es fácil de verificar directamente, que OM₃ pasa por el punto de encuentro de las tangentes en M₁ y M₂ (1).

Por la extremidad positiva del eje OA tracemos una paralela á la cuerda M₁M₃, que encuentra á la curva en un punto M₅ de parámetro \( t_5 \), y al diámetro OM₄ en M₆ (2). Según lo que se acaba de ver, \( t_3 \), parámetro de M₃, intersección de

(1) De los triángulos equivalentes OM₁M₄, OM₂M₄, restemos los trapecios equivalentes que tienen por lados paralelos las semi-cuerdas de la hipérbola, en número indefinidamente creciente, que son paralelas á M₁M₂ y están divididas en partes iguales por OM₃. Encontraremos que el área del sector hiperbólico OM₁M₃ es igual á la del sector hiperbólico OM₂M₃; dicho de otro modo, OM₃ divide al sector OM₁M₂ en dos partes iguales, lo que resulta también del número siguiente.

(2) El lector puede trazar la figura. La construcción análoga en el círculo es demasiado sencilla para que necesite ser expuesta explícitamente.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-04-01 00:00:00), página 9

OM_6 con la curva, será igual á la semi-suma \( \frac{1}{2} t_5 \) de los parámetros de A y M_5. Luego \( t_5 = t_1 + t_2 \). El punto M_5 está además evidentemente sobre la paralela á OM_4 trazada por la segunda extremidad A' del eje OA. Es pues fácil construir el punto M_5 correspondiente á \( t_1 + t_2 \), cuando se conocen los puntos M_1, M_2, correspondientes á \( t_1, t_2 \).

14. Continuación. Interpretación geométrica de t. Consideremos un sector hiperbólico OAM, cuya extremidad M tenga por parámetro t. Fácil será, según el número precedente, construir los puntos que tengan por parámetros \( \frac{1}{2} t; \frac{1}{4} t, \frac{3}{4} t; \frac{1}{8} t, \frac{3}{8} t, \frac{5}{8} t, \frac{7}{8} t \), y así sucesivamente. Sean \( n = 2^k, n\beta = t \), y llamemos 1, 2, 3, ..., (n - 1) los puntos cuyos parámetros sean \( \beta, 2\beta, 3\beta, ..., (n-1)\beta \). Los triángulos OA1, O12, O23, ... son equivalentes como se sabe. Por otra parte, el área del triángulo cuyos vértices tienen por coordenadas

\[(0, 0), \quad [\mathrm{Ch}\,(p-1)\,\beta, \mathrm{Sh}\,(p-1)\,\beta], \quad [\mathrm{Ch}\,p\beta, \mathrm{Sh}\,p\beta],\]

es, según una fórmula conocida,

\[\frac{1}{2} [\mathrm{Sh}\,p\beta\,\mathrm{Ch}\,(p-1)\,\beta - \mathrm{Sh}\,(p-1)\,\beta\,\mathrm{Ch}\,p\beta] = \frac{1}{2} \mathrm{Sh}\,\beta.\]

Según esto

Polígono OA123...M = \( \frac{n}{2} \mathrm{Sh}\,\beta = \frac{n\beta}{2} \frac{\mathrm{Sh}\,\beta}{\beta} = \frac{1}{2} t \times \frac{\mathrm{Sh}\,\beta}{\beta} \);

de donde, pasando al límite,

\[\mathrm{Sect.\ hip.\ OAM} = \frac{1}{2} t \times \lim_{\beta \to 0} \frac{\mathrm{Sh}\,\beta}{\beta}.\]

Pero, según la tercera definición del número e, dada al principio de este trabajo, se tiene, poniendo \( 2\beta = \alpha \),

\[\lim \frac{\mathrm{Sh}\,\beta}{\beta} = \lim \frac{e^\beta - e^{-\beta}}{2\beta} = \lim \frac{e^{2\beta} - 1}{2\beta} \cdot \frac{1}{e^\beta} =\]
\[= \lim \frac{e^\alpha - 1}{\alpha} \cdot \lim \frac{1}{e^\beta} = 1 \times 1 = 1.\]
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-01-01 00:00:00), página 1

ARCHIVO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

PERIÓDICO MENSUAL PUBLICADO POR D. LUIS GONZAGA GASCO CATEDRÁTICO DE ANÁLISIS EN LA UNIVERSIDAD DE VALENCIA CON LA COLABORACIÓN DE D. EDUARDO LEÓN Catedrático de Geodesia en la Universidad Central, Madrid D. MARIANO BELMÁS Licenciado en Ciencias Director de la Gaceta de O. P., Madrid Y DE VARIOS PROFESORES ESPAÑOLES Y EXTRANJEROS

TOMO PRIMERO

MADRID
Librería de V. Suárez
Preciados, 48

VALENCIA
Librería de P. Aguilar
Caballeros, 1

Impr. N. Rius
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-01-01 00:00:00), página 10

cuya estructura no padece mudanza por una transformación lineal de las variables. Convidanle, á su vez, si se complace en deducir relaciones entre cantidades infinitamente pequeñas, ó en remontarse desde ellas hasta las de cantidades finitas, el cálculo diferencial, las cuadraturas, la transformación de múltiples integrales, la integración de ecuaciones diferenciales y el cálculo de variaciones. En todo lo cual es dado discurrir, conservándose en una región abstracta ó valiéndose de ello para hallar propiedades de líneas y superficies en Geometría analítica ó resolver en Mecánica racional sus problemas, concernientes á fuerzas, masas, espacios, tiempos y velocidades.

En cambio, quien prefiera razonamiento con menos algoritmos, no tiene más sino entrarse por la Geometría pura, construida á la manera antigua, es decir, subordinada á la intuición y escrupulosa de la evidencia de sus principios, ó trazada conforme al uso moderno que, con más atrevimiento y menos trabas, establece la correlación ó mutua dependencia de diferentes figuras —por ejemplo, de una ideada en el espacio y de la perspectiva de ella en un plano—siguiendo para ésto métodos ingeniosos, susceptibles de generalidad como los del cálculo, porque también en ellos se emplea razonamiento implícito sobre cantidades indeterminadas. Discurriendo asimismo con figuras, más que con símbolos algébricos, puede recorrerse gran parte de la Mecánica racional, y aun mayor de la Cinemática, ciencia intermedia entre la Geometría y dicha Mecánica, pues sirve de ampliación á la primera y de preliminar ó introducción á la segunda.

Campo hay también para aquel á quien agrade depurar las nociones fundamentales y el rigor de todo razonamiento. Note, en efecto, los adelantos realizados por el imaginarismo desde que, atendiendo á la variedad de situación ó modo que cabe en la magnitud geométrica, se echó de ver que había equivocación en sentar que todo número, no positivo ni negativo, no era real. Re-
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pare en los progresos de la Geometría proyectiva, debidos á un razonamiento, al cual unas veces acompaña la intuición, pero otras le deja para que aproveche un dato real, sin tropezar con la circunstancia imposible en él envuelta, ó para que se valga de puntos evanescentes en el infinito ó de líneas evanescentes en el mismo confín, señalando aquéllos ó éstas por determinada dirección, como puntos de un horizonte indefinido ó líneas de una bóveda celeste no menos indefinida. Y reflexione asimismo en la distinción que se establece entre la Geometría construída sobre el postulado de Euclides y la que, prescindiendo de este postulado, extiende sus consecuencias hasta donde lógicamente le es hacedero. Por añadidura, si la dialéctica sirve para esclarecer y fijar el sentido de ciertos símbolos matemáticos, este simbolismo, á su vez, puede aplicarse, como en el día se intenta, á emitir y enlazar las proposiciones, mediante las cuales se desenvuelve el discurso dialéctico.

Colmados puede ver sus deseos en Física, Geodesia y Astronomía quien se complazca en ejercitar el análisis algébrico, ó el estudio geométrico, en ciencias prácticas. Hallará en la Física ondas sonoras, vibraciones del éter, interferencias y difracción, transformaciones de energía, potencial eléctrico, líneas de fuerza, corrientes eléctricas y demás aspectos estáticos ó dinámicos de los medios ó ambientes físicos. Encontrará en la Geodesia labor esmerada para hallar teóricamente la figura de la tierra ó para moldearla entre redes de triángulos y oscilaciones del péndulo. Y verá en la Astronomía singular maestría para inferir la situación de las estrellas en el cielo y de los lugares en la tierra, y para calcular los movimientos, distancias, atracción y condiciones de estabilidad de los cuerpos que componen nuestro sistema planetario. Ni es sólo en la parte teórica de los problemas de tales ciencias donde el cálculo se aplica, pues en todas ellas se requiere medir con la aproximación necesaria magnitudes, de las cuales dependen los valores de las incógnitas, y como, no obstante la
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habilidad desplegada en multitud de pormenores prácticos, no cabe salvar todo error, hay que recurrir al cálculo de probabilidades para saber el grado de certidumbre consentido por el azar.

Por este sucinto bosquejo es fácil ver que un periódico consagrado á las ciencias exactas, puras y aplicadas, puede componerse de muy variados é interesantes artículos. A mayor abundamiento, es dado aumentar el atractivo proponiendo problemas, los cuales no sólo sirven para ejercitar el ingenio, sino para ampliar también los medios de investigación, pues sugieren á veces métodos generales para resolver otras cuestiones, donde se cifran nuevos principios y propiedades. No hay exageración en decir que las Matemáticas se han constituido resolviendo problemas, y bien sabido es cuántos progresos se alcanzaron merced á algunas memorables cuestiones, como el problema de las tangentes, el de la atracción de un elipsoide, el de la rotación de un sólido en torno de su centro de gravedad, y otros muchos, en los cuales, ya lograda la solución, quedó el ánimo indeciso sin saber si era más importante el resultado obtenido ó las riquezas descubiertas á los lados de la senda recorrida.

De todo lo antedicho quisiéramos que hubiera en este periódico, para presentarlo como modesto compendio de las materias que, por su mucha abundancia, están repartidas en excelentes y muy nutridas revistas extranjeras. En ello tenemos puesta la mira, y no desconfiamos de conseguirlo, no por lo poco que valen nuestros pobres esfuerzos, sino por lo mucho que esperamos del talento y actividad de las personas que nos secunden. Con singular placer é íntima satisfacción recibiremos los artículos de autores españoles; pero, á la par que estos trabajos, publicaremos traducidos los de autores extranjeros, porque es necesario en la ciencia el libre cambio, y lo bueno, de allí donde se encuentre, debe importarse. De este modo puede el periódico reflejar algún tanto la condición más honrosa de un buen
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profesor: la de ser, al mismo tiempo, maestro que enseña y discípulo que aprende.

Finalmente, para propagar mejor útiles conocimientos, nos proponemos imitar, hasta donde nuestras fuerzas alcancen, el ejemplo de algunas sociedades científicas, las cuales recogen y reimprimen las memorias clásicas que más contribuyeron á desarrollar ésta ó aquélla rama del saber, ó alguna parte principal de esa rama. Esto es justo, porque no todos los autores ejercieron con sus descubrimientos igual influencia. Descartes es Descartes, y lo mismo puede repetirse de Newton, Leibnitz, Laplace y otros, cuyos nombres basta decirlos sin adjetivo alguno para que se recuerde cuánto valen. Por eso publicaremos por separado, como folletos ó libros sueltos, trabajos de insignes matemáticos, empezando por unas Memorias de Abel. Pero además de esta biblioteca clásica procuraremos formar otra biblioteca de matemáticos españoles, pues aunque no alcancen algunos tan relevante mérito, nadie nos culpará por una protección justificada que en nada perjudica al libre cambio que antes ensalzábamos.

Explicado nuestro propósito, mucho agradeceremos al público que, con su benevolencia y eficaz cooperación, nos muestre que está dispuesto á constituir la verdadera Redacción del Archivo de Matemáticas, Puras y Aplicadas, Revista de la cual sólo aspiramos á ser los editores.
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TABLAS LOGARÍTMICAS DE ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN

Si \( a \) y \( b \) son dos números positivos, partiendo de las igualdades
\[
a + b = a \left(1 + \frac{b}{a}\right) \qquad a - b = a \left(1 - \frac{b}{a}\right),
\]
é igualando \( \frac{b}{a} \) á algunos números gonométricos ó potencias de éstos, se transforman, como es sabido, las sumas y diferencias de los números \( a \) y \( b \) en productos. Se recordará, por ejemplo, que si suponiendo \( b < a \) se hace
\[
\frac{b}{a} = \cos \varphi,
\]
resulta, en virtud de relaciones conocidas,
\[
a + b = 2 a \cos^2 \frac{\varphi}{2} \qquad a - b = 2 a \sen^2 \frac{\varphi}{2};
\]
y que si, prescindiendo de que \( b \) sea mayor ó menor que \( a \), se hace
\[
\frac{b}{a} = \tang \gamma,
\]
resulta
\[
a + b = a \frac{\sqrt{2} \cos \left(\frac{\psi}{2} - \gamma\right)}{\cos \gamma} \qquad a - b = a \frac{\sqrt{2} \sen \left(\frac{\psi}{2} - \gamma\right)}{\cos \gamma},
\]
designando \( \psi \) el ángulo recto.

Por medio, pues, de las transformaciones precedentes ú otras análogas (hecho el cambio de signo de la diferencia cuando ésta sea negativa), pueden calcularse dichas sumas y diferencias con las tablas de logaritmos de los números gonométricos, auxiliadas por las de logaritmos de los números naturales; pero el cálculo primero, ó sea el del logaritmo \( 1 + \frac{b}{a} \) ó el de \( 1 - \frac{b}{a} \) ó \( \frac{b}{a} - 1 \), según que \( b \) sea menor ó mayor que \( a \), puede dejarse hecho para cuantas veces ocurra la misma diferencia
\[
\log b - \log a = \log \frac{b}{a}.
\]