ferjorosa/bne-hemeroteca-ocr-xix huggingface dataset:
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-12-01 00:00:00), página 11

Se puede pues poner

\[
u_n = c_n u_1 + d_n u_0 \tag{2}
\]

y es evidente que los números \(c, d\) únicamente dependen de los números \(a, b\).

La fórmula (2) comprende los números \(u_0, u_1\) con tal que se haga

\[
c_0 = 0, \qquad d_0 = 1, \qquad c_1 = 1, \qquad d_1 = 0.
\]

2. Las series (c), (d)

\[
c_0, c_1, c_2, c_3, \ldots, c_n, c_{n+1}, \ldots \\
d_0, d_1, d_2, d_3, \ldots, d_n, d_{n+1}, \ldots
\]

son recurrentes y tienen la misma escala (\(a, b\)) que la serie (\(u\)). En efecto, de las igualdades

\[
u_{n-1} = c_{n-1} u_1 + d_{n-1} u_0, \\
u_{n-2} = c_{n-2} u_1 + d_{n-2} u_0,
\]

se concluye

\[
u_n = a (c_{n-1} u_1 + d_{n-1} u_0) + b (c_{n-2} u_1 + d_{n-2} u_0) \\
= (ac_{n-1} + bc_{n-2}) u_1 + (ad_{n-1} + bd_{n-2}) u_0;
\]

por consiguiente

\[
c_n = ac_{n-1} + bc_{n-2}, \qquad d_n = ad_{n-1} + bd_{n-2}.
\]

Según esto, para calcular los términos de una serie cualquiera de escala (\(a, b\)), que tenga por términos iniciales \(u_0, u_1\), basta calcular los de dos series que tengan la misma escala y por términos iniciales 0, 1 y 1, 0, respectivamente.

Las series auxiliares (c), (d) se reducen fácilmente la una á la otra. Pues si los términos iniciales de una serie recu-
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-12-01 00:00:00), página 12

rrente se multiplican por un factor \( m \), todos los números de la serie quedan multiplicados por \( m \). Ahora bien,

\[
c_0 = 0, \qquad c_1 = 1, \qquad d_1 = 0, \qquad d_2 = b,
\]

por tanto

\[
d_1 = bc_0, \qquad d_2 = bc_1.
\]

De consiguiente, la serie

\[
d_1, \quad d_2, \quad d_3, \ldots
\]

se obtiene multiplicando por \( b \) la serie

\[
c_0, \qquad c_1, \qquad c_2, \ldots
\]

Puede decirse que basta calcular la serie recurrente (c) que tiene por términos iniciales 0, 1, y aplicar la fórmula

\[
u_n = c_n u_1 + b c_{n-1} u_0.
\]

3. Para calcular la serie (\( u \)), también podemos valernos de dos series recurrentes cualesquiera, que tengan la misma escala (\( a, b \)). En efecto, sean estas series

\[
v_0, v_1, v_2, v_3, \ldots, \qquad w_0, w_1, w_2, w_3 \ldots
\]

Tendremos

\[
u_n = c_n u_1 + d_n u_0 \\
v_n = c_n v_1 + d_n v_0 \\
w_n = c_n w_1 + d_n w_0
\]

eliminando \( c_n, d_n \) se halla

\[
\begin{vmatrix}
u_n & u_1 & u_0 \\
v_n & v_1 & v_0 \\
w_n & w_1 & w_0
\end{vmatrix} = 0 \tag{3}
\]

ó

\[
u_n = \frac{w_1 u_0 - u_1 w_0}{v_0 w_1 - v_1 w_0} v_n + \frac{v_1 u_0 - u_1 v_0}{v_0 w_1 - v_1 w_0} w_n.
\]
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-12-01 00:00:00), página 13

Esta relación tiene la forma

\[
u_n = Av_n + Bw_n
\]

y los números A, B dependen únicamente de los términos iniciales de las tres series \((u), (v), (w)\).

4. Existen dos series recurrentes de escala \((a, b)\) cuyos términos tienen una expresión analítica conocida.

En efecto, sean \(a, \beta\) las raíces de la ecuación (ecuación generaliz de Lagrange)

\[
x^2 = ax + b
\]

tendremos

\[
\alpha^2 = a\alpha + b, \qquad \beta^2 = a\beta + b,
\]

y por consiguiente

\[
\alpha^n = a\alpha^{n-1} + b\alpha^{n-2}, \qquad \beta^n = a\beta^{n-1} + b\beta^{n-2}.
\]

Pongamos \(v_n = \alpha^n, w_n = \beta^n\); entonces será

\[
v_n = av_{n-1} + bv_{n-2}
\]
\[
w_n = aw_{n-1} + bw_{n-2}
\]

y la ecuación (3) se transforma en

\[
\begin{vmatrix}
u_n & u_1 & u_0 \\
\alpha^n & \alpha & 1 \\
\beta^n & \beta & 1
\end{vmatrix} = 0
\] (4)

De aquí se deduce

\[
u_n = \frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta} u_1 - \alpha \beta \frac{\alpha^{n-1} - \beta^{n-1}}{\alpha - \beta} u_0
\] (5)

\[
u_n = \frac{u_1 - \beta u_0}{\alpha - \beta} \alpha^n - \frac{u_1 - \alpha u_0}{\alpha - \beta} \beta^n;
\] (6)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-12-01 00:00:00), página 14

luego

\[
c_n = \frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta}, \quad d_n = -\alpha \beta \frac{\alpha^{n-1} - \beta^{n-1}}{\alpha - \beta},
\]

\[
A = \frac{u_1 - \beta^n u_0}{\alpha - \beta}, \quad B = \frac{\alpha^n u_0 - u_1}{\alpha - \beta}.
\]

5. El método precedente parece caer en defecto cuando \( \alpha = \beta \). Sin embargo, la solución resulta aún de la fórmula (5) si se efectúan las divisiones indicadas y se pasa luego al límite para \( \beta = \alpha \); se halla

\[
u_n = n \alpha^{n-1} u_1 - (n-1) \alpha^n u_0.
\]

6. Para presentar una aplicación consideremos las series recurrentes de escala (1, 1). La serie (c) está entonces constituida por los números de Fibonacci (ó de Lamé)

\[
0, \ 1, \ 1, \ 2, \ 3, \ 5, \ 8, \ 13, \ldots
\]

de los cuales cada uno á partir del tercero es igual á la suma de los dos precedentes. Si los términos iniciales son \( u_0, u_1 \), se tiene

\[
u_n = c_n u_1 + c_{n-1} u_0.
\]

La ecuación generalriz es \( x^2 = x + 1 \) y tiene por raíces

\[
\alpha = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \qquad \beta = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}.
\]

Los números de Fibonacci tienen pues por expresión general

\[
c_n = \frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta} = \frac{(\sqrt{5} + 1)^n - (1 - \sqrt{5})^n}{2^n \sqrt{5^n}}
\]
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-12-01 00:00:00), página 16

Curiosidades: numeración egipcia, numeración hebrea, numeración china ............................................. 136
Raíces de los números, por D. ESTEBAN SANCHIS BARRACHINA .................................................. 173
Nota sobre las aproximaciones en el cálculo logarítmico, por VLADISLAO PUCHEWICZ .................... 193
Fórmulas fundamentales de Geometría tricircular y tetraesférica, por E. LUCAS ................................. 214 y 228
Sobre una serie recurrente, por M. J. NEUBERG ............................................................................. 230
Cuestiones propuestas ............................................. 20, 40, 60, 80 y 200
Soluciones de cuestiones propuestas, por los señores ALONSO, BOZAL, LLUCH, LUZÓN, MIRALLES Y REYES PRÓSPER ............................................. 98, 100, 120, 140, 160, 180 y 220
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-12-01 00:00:00), página 2

732) \( sn \frac{1}{2} c = sn \frac{1}{2} C \ sn \frac{a + b}{2} \ sc \frac{A - B}{2} \)

733) \( sn \frac{1}{2} c = csn \frac{1}{2} C \frac{sn \frac{1}{2} (a - b)}{sn \frac{1}{2} (A - B)} \)

734) \( sn \frac{1}{2} c = csn \frac{1}{2} C \frac{csc \frac{1}{2} (A - B)}{csc \frac{1}{2} (a - b)} \)

735) \( sn \frac{1}{2} c = csn \frac{1}{2} C \ sn \frac{a - b}{2} \ csc \frac{A - B}{2} \)

736) \( csn \frac{1}{2} c = sn \frac{1}{2} C \frac{csn \frac{1}{2} (a + b)}{csn \frac{1}{2} (A + B)} \)

737) \( csn \frac{1}{2} c = sn \frac{1}{2} C \frac{sc \frac{1}{2} (A + B)}{sc \frac{1}{2} (a + b)} \)

738) \( csn \frac{1}{2} c = sn \frac{1}{2} C \ csn \frac{a + b}{2} \ sc \frac{A + B}{2} \)

739) \( csn \frac{1}{2} c = csn \frac{1}{2} C \frac{csn \frac{1}{2} (a - b)}{sn \frac{1}{2} (A + B)} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-12-01 00:00:00), página 3

740) \( csn \frac{1}{2} c = csn \frac{1}{2} C \frac{csc \frac{1}{2} (A + B)}{sc \frac{1}{2} (a - b)} \)

741) \( csn \frac{1}{2} c = csn \frac{1}{2} C csn \frac{a - b}{2} csc \frac{A + B}{2} \)

742) \( sc \frac{1}{2} c = sc \frac{1}{2} C \frac{sc \frac{1}{2} (a - b)}{csc \frac{1}{2} (A + B)} \)

743) \( sc \frac{1}{2} c = sc \frac{1}{2} C \frac{sn \frac{1}{2} (A + B)}{csn \frac{1}{2} (a - b)} \)

744) \( sc \frac{1}{2} c = sc \frac{1}{2} C sc \frac{a - b}{2} sn \frac{A + B}{2} \)

745) \( sc \frac{1}{2} c = csc \frac{1}{2} C \frac{sc \frac{1}{2} (a + b)}{sc \frac{1}{2} (A + B)} \)

746) \( sc \frac{1}{2} c = csc \frac{1}{2} C \frac{csn \frac{1}{2} (A + B)}{csn \frac{1}{2} (a + b)} \)

747) \( sc \frac{1}{2} c = csc \frac{1}{2} C sc \frac{a + b}{2} csn \frac{A + B}{2} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-12-01 00:00:00), página 4

748) \( \csc \frac{1}{2} c = \sec \frac{1}{2} C \frac{\csc \frac{1}{2} (a - b)}{\csc \frac{1}{2} (A - B)} \)

749) \( \csc \frac{1}{2} c = \sec \frac{1}{2} C \frac{\sn \frac{1}{2} (A - B)}{\sn \frac{1}{2} (a - b)} \)

750) \( \csc \frac{1}{2} c = \sec \frac{1}{2} C \csc \frac{a - b}{2} \sn \frac{A - B}{2} \)

751) \( \csc \frac{1}{2} c = \csc \frac{1}{2} C \frac{\csc \frac{1}{2} (a + b)}{\sec \frac{1}{2} (A - B)} \)

752) \( \csc \frac{1}{2} c = \csc \frac{1}{2} C \frac{\csn \frac{1}{2} (A - B)}{\csn \frac{1}{2} (a + b)} \)

753) \( \csc \frac{1}{2} c = \csc \frac{1}{2} C \csc \frac{a + b}{2} \csn \frac{A - B}{2} \)

Dados en un triángulo esférico oblicuángulo dos ángulos A, B, con el lado c común á ambos, y calculados los otros dos lados \( a, b \), se puede obtener el tercer ángulo C por cualquiera de las siguientes fórmulas:

754) \( \sn \frac{1}{2} C = \sn \frac{1}{2} c \frac{\csn \frac{1}{2} (A - B)}{\sn \frac{1}{2} (a + b)} \)

755) \( \sn \frac{1}{2} C = \sn \frac{1}{2} c \frac{\csc \frac{1}{2} (a + b)}{\sec \frac{1}{2} (A - B)} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-12-01 00:00:00), página 5

756) \( sn \frac{1}{2} C = sn \frac{1}{2} c \ csn \frac{A - B}{2} \csc \frac{a + b}{2} \)

757) \( sn \frac{1}{2} C = csn \frac{1}{2} c \frac{csn \frac{1}{2} (A + B)}{csn \frac{1}{2} (a + b)} \)

758) \( sn \frac{1}{2} C = csn \frac{1}{2} c \frac{sc \frac{1}{2} (a + b)}{sc \frac{1}{2} (A + B)} \)

759) \( sn \frac{1}{2} C = csn \frac{1}{2} c \ csn \frac{A + B}{2} \ sc \frac{a + b}{2} \)

760) \( csn \frac{1}{2} C = sn \frac{1}{2} c \frac{sn \frac{1}{2} (A - B)}{sn \frac{1}{2} (a - b)} \)

761) \( csn \frac{1}{2} C = sn \frac{1}{2} c \frac{\csc \frac{1}{2} (a - b)}{\csc \frac{1}{2} (A - B)} \)

762) \( csn \frac{1}{2} C = sn \frac{1}{2} c \ sn \frac{A - B}{2} \csc \frac{a - b}{2} \)

763) \( csn \frac{1}{2} C = csn \frac{1}{2} c \frac{sn \frac{1}{2} (A + B)}{csn \frac{1}{2} (a - b)} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-12-01 00:00:00), página 6

764) \( \csn \frac{1}{2} C = \csn \frac{1}{2} c \frac{\sc \frac{1}{2} (a - b)}{\csc \frac{1}{2} (A + B)} \)

765) \( \csn \frac{1}{2} C = \csn \frac{1}{2} c \sn \frac{A + B}{2} \sc \frac{a - b}{2} \)

766) \( \sc \frac{1}{2} C = \sc \frac{1}{2} c \frac{\csc \frac{1}{2} (A + B)}{\sc \frac{1}{2} (a - b)} \)

767) \( \sc \frac{1}{2} C = \sc \frac{1}{2} c \frac{\csn \frac{1}{2} (a - b)}{\sn \frac{1}{2} (A + B)} \)

768) \( \sc \frac{1}{2} C = \sc \frac{1}{2} c \csc \frac{A + B}{2} \csn \frac{a - b}{2} \)

769) \( \sc \frac{1}{2} C = \csc \frac{1}{2} c \frac{\csc \frac{1}{2} (A - B)}{\csc \frac{1}{2} (a - b)} \)

770) \( \sc \frac{1}{2} C = \csc \frac{1}{2} c \frac{\sn \frac{1}{2} (a - b)}{\sn \frac{1}{2} (A - B)} \)

771) \( \sc \frac{1}{2} C = \csc \frac{1}{2} c \csc \frac{A - B}{2} \sn \frac{a - b}{2} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-12-01 00:00:00), página 7

772) \( \csc \frac{1}{2} C = \sec \frac{1}{2} c \frac{\sec \frac{1}{2} (A + B)}{\sec \frac{1}{2} (a + b)} \)

773) \( \csc \frac{1}{2} C = \sec \frac{1}{2} c \frac{\csn \frac{1}{2} (a + b)}{\csn \frac{1}{2} (A + B)} \)

774) \( \csc \frac{1}{2} C = \sec \frac{1}{2} c \sec \frac{A + B}{2} \csn \frac{a + b}{2} \)

775) \( \csc \frac{1}{2} C = \csc \frac{1}{2} c \frac{\sec \frac{1}{2} (A - B)}{\csc \frac{1}{2} (a + b)} \)

776) \( \csc \frac{1}{2} C = \csc \frac{1}{2} c \frac{\sn \frac{1}{2} (a + b)}{\csn \frac{1}{2} (A - B)} \)

777) \( \csc \frac{1}{2} C = \csc \frac{1}{2} c \sec \frac{A - B}{2} \sn \frac{a + b}{2} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-12-01 00:00:00), página 8

FÓRMULAS FUNDAMENTALES

DE

GEOMETRÍA TRICIRCULAR Y TETRAESFÉRICA

(Conclusión. Véase pág. 219)

5. El círculo conjugado del triciclo de referencia tiene por ecuación

\[
x_1^2 \frac{\cos x_{23}}{\cos x_{31} \cos x_{12} - \cos x_{23}} + x_2^2 \frac{\cos x_{31}}{\cos x_{12} \cos x_{23} - \cos x_{31}} +
+ x_3^2 \frac{\cos x_{12}}{\cos x_{23} \cos x_{31} - \cos x_{12}} = 0.
\]

6. El conjunto de los círculos inscritos en el triciclo tiene por ecuación

\[
\operatorname{sen} \frac{x_{23}}{2} \sqrt{x_1} + \operatorname{sen} \frac{x_{31}}{2} \sqrt{x_2} + \operatorname{sen} \frac{x_{12}}{2} \sqrt{x_3} = 0;
\]

las ecuaciones de los círculos exinscritos se obtienen por el principio de los signos.

Los ciclos que unen los vértices del triciclo de referencia con los puntos de contacto de los círculos inscritos tienen por ecuación

\[
x_1 \operatorname{sen}^2 \frac{1}{2} x_{23} = x_2 \operatorname{sen}^2 \frac{1}{2} x_{31} = x_3 \operatorname{sen}^2 \frac{1}{2} x_{12}
\]

y se encuentran en un mismo punto. Este teorema permite resolver el problema de los círculos tangentes á tres círculos dados, por un método diferente del de Gergonne.

El ciclo tangente común á los círculos inscritos I y á los círculos exinscritos I_1, tiene por ecuación

\[
x_1 \operatorname{sen}^2 \frac{1}{2} x_{23} = 4 (x_2 - x_3) \operatorname{sen} \frac{1}{2} (x_{31} + x_{12}) \operatorname{sen} \frac{1}{2} (x_{31} - x_{12}).
\]
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-12-01 00:00:00), página 9

Esta es la expresión analítica más sencilla del teorema del Dr. HART.

7. Se encuentra también fácilmente la ecuación de los círculos que cortan á tres círculos dados bajo un ángulo dado, y se puede aplicar este procedimiento al problema de MALFATTI, generalizado por STEINER. Añadiremos el teorema siguiente:

El cuadrado del radio del círculo radical de tres círculos, es igual á la media armónica de los productos de los radios de los círculos tangentes del mismo par.

Las consideraciones que anteceden se aplican también á la tetraesfera.

IV

Es de advertir que las fórmulas precedentemente consideradas se simplifican notablemente tomando los sistemas particulares

1.º De tres círculos iguales y cuyos centros estén igualmente distantes unos de otros.—Sistema tricircular isogonal.
2.º De tres círculos ortogonales dos á dos.—Sistema tricircular ortogonal.
3.º De tres círculos tangentes entre sí dos á dos.—Sistema tricircular agonial.

Observaremos que el mismo sistema tetraesférico ortogonal, añadiendo la esfera radical, y por el cambio mutuo de las esferas, da lugar á cinco sistemas de coordenadas tetraesféricas, á los cuales corresponden cinco sistemas de coordenadas tetraédricas, y el sistema cartesiano cualquiera que sea.

Existen entre estos once sistemas de coordenadas y los once sistemas correlativos, numerosas relaciones que parecen muy importantes en la investigación de nuevas propiedades del espacio.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-11-01 00:00:00), página 1

ARCHIVO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

Núm. II NOVIEMBRE 1896

SUMARIO.—Diagramas mnemónicos de Trigonometría, por D. Luis G. Gascó. (Continuación.)—Teoría sucinta de las funciones hiperbólicas, por P. Mansion. (Conclusión.)—Fórmulas fundamentales de Geometría tricircular y tetraesférica, por E. Lucas.—Soluciones de cuestiones propuestas.

DIAGRAMAS MNEMÓNICOS DE TRIGONOMETRÍA

(Continuación. Véase pág. 190)

Para el cálculo simultáneo de dos lados \( a, b \), de un triángulo esférico oblicuángulo, en función de los ángulos opuestos A, B, y del lado c, común á ambos, pueden emplearse las siguientes fórmulas, tomando una cualquiera de las correspondientes á la semisuma de los lados buscados, con otra cualquiera de las que corresponden á la semidiferencia de los mismos.

663) \( tg \frac{1}{2} (a + b) = tg \frac{1}{2} c \frac{sc \frac{1}{2} (A + B)}{sc \frac{1}{2} (A - B)} \)

664) \( tg \frac{1}{2} (a + b) = tg \frac{1}{2} c \frac{csn \frac{1}{2} (A - B)}{csn \frac{1}{2} (A + B)} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-11-01 00:00:00), página 10

721) \( \csc \frac{a + b}{2} \sn \frac{1}{2} c = \sc \frac{A - B}{2} \sn \frac{1}{2} C \)

722) \( \csc \frac{a - b}{2} \sn \frac{1}{2} c = \csc \frac{A - B}{2} \csn \frac{1}{2} C \)

723) \( \sc \frac{a + b}{2} \csc \frac{1}{2} C = \sc \frac{A + B}{2} \sc \frac{1}{2} c \)

724) \( \sc \frac{a - b}{2} \sc \frac{1}{2} C = \csc \frac{A + B}{2} \sc \frac{1}{2} c \)

725) \( \csc \frac{a + b}{2} \csc \frac{1}{2} C = \sc \frac{A - B}{2} \csc \frac{1}{2} c \)

726) \( \csc \frac{a - b}{2} \sc \frac{1}{2} C = \csc \frac{A - B}{2} \csc \frac{1}{2} c \)

Las cuatro fórmulas fundamentales (687, 688, 689 y 690) pueden condensarse en las dos siguientes:

727)
\[
\frac{\sn \frac{1}{2} (a \pm b)}{\sn \frac{1}{2} c} = \frac{\{ \csn \} \frac{1}{2} (A - B)}{\{ \sn \} \frac{1}{2} C}
\]

728)
\[
\frac{\csn \frac{1}{2} (a \pm b)}{\csn \frac{1}{2} c} = \frac{\{ \csn \} \frac{1}{2} (A + B)}{\{ \sn \} \frac{1}{2} C}
\]

que á su vez se resumen en la que sigue

729)
\[
\frac{\sn \ldots \csn \frac{1}{2} (a \pm b)}{\sn \ldots \csn \frac{1}{2} c} = \frac{\{ \csn \} \frac{1}{2} (A - + B)}{\{ \sn \} \frac{1}{2} C}
\]

(Se concluirá.)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-11-01 00:00:00), página 11

TEORÍA SUCINTA DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

(Conclusión (1). Véase pág. 192)

APÉNDICE

TRIGONOMETRÍA LOBATCHEFSKIANA

I
En la geometría no euclidea de Lobatchefski se tiene entre los lados \(a\), \(b\), \(c\) de un triángulo y el ángulo A opuesto al lado \(a\), la relación fundamental

\[
\mathrm{Ch}\, a = \mathrm{Ch}\, b\, \mathrm{Ch}\, c - \mathrm{Sh}\, b\, \mathrm{Sh}\, c\, \cos A,
\] (1)

Proponemos, como ejercicio, á nuestros lectores, deducir de esta relación y de las relaciones análogas obtenidas por permutación de las letras \(a\), \(b\), \(c\), A, B, C, las fórmulas siguientes:

\[
\frac{\mathrm{Sh}\, a}{\mathrm{sen}\, A} = \frac{\mathrm{Sh}\, b}{\mathrm{sen}\, B} = \frac{\mathrm{Sh}\, c}{\mathrm{sen}\, C}
\] (2)

\[
\mathrm{Coth}\, a\, \mathrm{Sh}\, b = \mathrm{Ch}\, b\, \cos C + \mathrm{sen}\, C\, \cot A
\] (3)

\[
\cos A = -\cos B\, \cos C + \mathrm{sen}\, B\, \mathrm{sen}\, C\, \mathrm{Ch}\, a.
\] (4)

II
Si el ángulo A es recto, se tiene

\[
\mathrm{Ch}\, a = \mathrm{Ch}\, b\, \mathrm{Ch}\, c \tag{1'}
\]
\[
\mathrm{Sh}\, b = \mathrm{Sh}\, a\, \mathrm{sen}\, B \qquad \mathrm{Sh}\, c = \mathrm{Sh}\, a\, \mathrm{sen}\, C \tag{2'}
\]
\[
\mathrm{Th}\, b = \mathrm{Th}\, a\, \cos C \qquad \mathrm{Th}\, c = \mathrm{Th}\, a\, \cos B \tag{2''}
\]
\[
\mathrm{Th}\, b = \mathrm{Sh}\, c\, \mathrm{tang}\, B \qquad \mathrm{Th}\, c = \mathrm{Sh}\, b\, \mathrm{tang}\, C \tag{2'''}
\]
\[
\mathrm{Ch}\, a = \cot B\, \cot C \tag{3'}
\]
\[
\cos B = \mathrm{Ch}\, b\, \mathrm{sen}\, C \qquad \cos C = \mathrm{Ch}\, c\, \mathrm{sen}\, B. \tag{4'}
\]

(1) Debemos á la amabilidad del Sr. Mansion el siguiente Apéndice, que no existe en la edición belga.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-11-01 00:00:00), página 12

Según (2''), si cos C = Th b, Th a = 1, el lado a y por consiguiente el lado c, son infinitos y asíntotas uno de otro.

III

En un cuadrilátero que tenga por lados a, b, c, d y sea rectángulo en (a, b) y (b, c), se tiene

\[
\text{Ch } d = \text{Ch } a \text{ Ch } b \text{ Ch } c - \text{Sh } a \text{ Sh } c.
\] (5)

Uno cualquiera de los ángulos no rectos, (a, d) por ejemplo, está determinado por la fórmula

\[
\text{Sh } c = \text{Sh } a \text{ Ch } d - \text{Ch } a \text{ Sh } d \cos (a, d)
\] (6)

que puede ponerse bajo la forma siguiente (BATTAGLINI)

\[
\text{Ch} \left( c + \frac{\pi}{2} i \right) = \text{Ch} \left( a + \frac{\pi}{2} i \right) \text{Ch } d - \text{Sh} \left( a + \frac{\pi}{2} i \right) \text{Sh } d \cos(a, d) \quad (1')
\]

como si (a, d) correspondiese á un triángulo cuyos lados fuesen \( a + \frac{\pi}{2} i, d, c + \frac{\pi}{2} i \), denotando \( \sqrt{-1} \) con \( i \).

IV

En un cuadrilátero trirrectángulo, en el cual los ángulos (d, a), (a, b), (b, c) son rectos y r es la diagonal que pasa por el ángulo no recto (c, d), se tiene

\[
\text{Ch } a \text{ Ch } d = \text{Ch } r = \text{Ch } b \text{ Ch } c \tag{7}
\]
\[
\text{Sh } c = \text{Sh } a \text{ Ch } d \qquad \text{Sh } d = \text{Sh } b \text{ Ch } c \tag{6'}
\]
\[
\frac{\text{Sh } c}{\text{Ch } r} = \text{Th } a \qquad \frac{\text{Sh } d}{\text{Ch } r} = \text{Th } b \tag{6''}
\]
\[
\text{Th } c = \text{Th } a \text{ Ch } b \qquad \text{Th } d = \text{Th } b \text{ Ch } a \tag{6'''}
\]
\[
\text{Sh}^2 c + \text{Sh}^2 d = \text{Sh}^2 r. \tag{8}
\]
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-11-01 00:00:00), página 13

El ángulo no recto (c, d) satisface las relaciones

\[
\cos (c, d) = \mathrm{Th}\ c\ \mathrm{Th}\ d = \mathrm{Sh}\ a\ \mathrm{Sh}\ b \tag{9}
\]

\[
\operatorname{sen} (c, d) = \frac{\mathrm{Ch}\ r}{\mathrm{Ch}\ c\ \mathrm{Ch}\ d} \tag{10}
\]

\[
\operatorname{tang} (c, d) = \frac{\mathrm{Ch}\ r}{\mathrm{Sh}\ c\ \mathrm{Sh}\ d}. \tag{11}
\]

Según (9), este ángulo es nulo y los lados c, d, son infinitos y asíntotas uno de otro, si \( \mathrm{Sh}\ a\ \mathrm{Sh}\ b = 1 \).

V

En geometría analítica, tomando el punto (a, b) como origen de coordenadas; como ejes la dirección de los lados a, b; como coordenadas ordinarias del punto (c, d). X = Sh b, Y = Sh a; como coordenadas homogéneas, x = Sh d, y = Sh c, u = Ch r; se tendrá, según (6'') y (8):

\[
X = \frac{x}{u} \qquad Y = \frac{y}{u} \qquad x^2 + y^2 + 1 = u^2.
\]

Las fórmulas de transformación de las coordenadas x, y, u, en geometría lobatchefskiana plana, son las mismas que las fórmulas de transformación de las coordenadas ortogonales, de origen fijo, en geometría euclídea de tres dimensiones.

ADVERTENCIA

En la pág. 86 línea 5 dice D en vez de D; léase D en vez de D_x
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-11-01 00:00:00), página 14

FÓRMULAS FUNDAMENTALES

DE

GEOMETRÍA TRICIRCULAR Y TETRAESFÉRICA (1)

por E. Lucas

I

Notaciones

Designaremos
1. Por \( x_i \) la potencia de un punto del plano (ó del espacio), con relación á un círculo (ó á una esfera), que tenga por centro \( O_i \), dividida por el diámetro \( 2r_i \).
2. Por \( d_{ij} \) la distancia de los centros \( O_i \) y \( O_j \); por \( S_{ijk} \) el área del triángulo formado por los tres centros \( O_i, O_j \) y \( O_k \); por \( V_{ijkl} \) el volumen del tetraedro formado por los centros \( O_i, O_j, O_k, O_l \), conforme á los principios de los signos de dirección, y de circulación, en el plano y en el espacio.
3. Por \( x_{ij} \) el ángulo formado por los círculos ó las esferas que tienen por centros \( O_i \) y \( O_j \), y por \( x_{ijk} \) el ángulo triédro formado por las tres esferas que tienen por centros \( O_i, O_j \) y \( O_k \). Se tiene además

\[
\cos x_{ij} = \frac{r_i^2 + r_j^2 - d_{ij}^2}{2r_i r_j}
\]

Cuando los círculos no se cortan, se emplean las funciones hiperbólicas.
4. Por \( \xi_i \) la coordenada trilineal (ó tetraédrica) de un punto, con relación al lado (ó al plano) opuesto al centro \( O_i \), en el triángulo (ó el tetraedro) de referencia, formado por los centros de tres círculos ó de cuatro esferas; por \( \xi_{ij} \) y por \( \xi_{ijk} \) el ángulo plano y el ángulo triédro formado por estas coorde-

(1) Traducido de los Annali di Matematica pura ed applicata.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-11-01 00:00:00), página 15

nadas. Llamaremos triciclo y tetraesfera de referencia al conjunto de los tres círculos ó de las cuatro esferas.

5. Por O el centro radical del triciclo ó de la tetraesfera, y por R el radio del círculo ó de la esfera que los corta ortogonalmente.

6. Por \( \Delta_{ijkl} \ldots \) la determinante que tiene por elemento principal \( a_{ii} a_{jj} a_{kk} a_{ll} \), y de consiguiente

\[
\Delta_{ijkl} = \Sigma (\pm a_{ii} a_{jj} a_{kk} a_{ll} \ldots )
\]

Pondremos además

\[
\Delta_{ijkl} \ldots = \operatorname{sen}^2 x_{ijkl} \ldots ,
\]

cuando tengamos \( a_{ij} = a_{ji} = \cos x_{ij} \).

II

Relaciones de primer grado

1. Designando con el nombre de ciclo un círculo ortogonal al círculo O, y con el nombre de esfera una esfera ortogonal á la esfera O, se tiene, para todos los puntos del ciclo ó de la esfera, la relación

\[
\Sigma u_i x_i = 0
\]

suponiendo \( i = 1, 2, 3 \) para el plano, é \( i = 1, 2, 3, 4 \) para el espacio.

Los sistemas de los ciclos y de esferas gozan de las propiedades descriptivas y métricas de los sistemas de rectas y de planos. He aquí algunos ejemplos.

Teorema. Los ciclos bisectores del triciclo de referencia tienen por ecuaciones

\[
x_1 = \pm x_2 = \pm x_3,
\]

y se cortan tres á tres en los dos mismos puntos, que son los puntos límites del sistema de los círculos tangentes del mismo par.