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Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-11-01 00:00:00), página 16

Teorema. Los ciclos trazados ortogonalmente desde los vértices sobre los lados opuestos, tienen por ecuaciones

\[
x_1 \cos x_{23} = x_2 \cos x_{31} = x_3 \cos x_{12},
\]

y se encuentran en los mismos puntos.

Teorema. Si dos triciclos son tales que los círculos trazados perpendicularmente desde los vértices del primero sobre los lados del segundo se encuentran en los dos mismos puntos, reciprocamente los ciclos trazados perpendicularmente desde los vértices del segundo sobre los lados del primero se cortan en los mismos puntos.

Teorema. Si se une el punto P, tomado en el plano de un triciclo, con los tres vértices, por ciclos AP, BP, CP, se tiene la relación

\[
\frac{\operatorname{sen} PAB \cdot \operatorname{sen} PBC \cdot \operatorname{sen} PCA}{\operatorname{sen} PBA \cdot \operatorname{sen} PCB \cdot \operatorname{sen} PAC} = -1.
\]

Este teorema puede generalizarse, y aplicarse á un policiclo, como lo ha hecho Carnot para los polígonos planos ó alabeados (1).

2. Teorema. El punto que divide en la relación de \( p' \) á \( -p \) al ciclo que une los dos puntos P (\( x_1 x_2 x_3 \)) y P' (\( x'_1 x'_2 x'_3 \)), ó cuyas coordenadas trícirculares son proporcionales á las cantidades

\[
px_1 + p'x'_1, \quad px_2 + p'x'_2, \quad px_3 + p'x'_3,
\]

se obtiene por la intersección del ciclo P P' con la recta que une el centro radical O al punto que divide la recta P P' en la relación dada (2).

(1) Carnot: Géométrie de position, p. 301.
(2) Para conservar la analogía con la teoría de la recta y del plano, consideramos sólo los puntos situados, sea en el interior, sea en el exterior del círculo radical (ó de la esfera) que representa aquí lo que, en las teorías ordinarias, representa la recta (ó el plano) del infinito.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-11-01 00:00:00), página 17

Teorema. Los ciclos que unen los vértices de un triciclo con los puntos medios de los lados opuestos se encuentran en un mismo punto.

Teorema. Los ciclos que unen los puntos medios de los lados opuestos de un tetraciclo y los de los ciclos diagonales, se encuentran en un mismo punto.

Teorema. Si se unen los tres vértices de un triciclo á tres puntos situados sobre los lados opuestos, y que dividen estos lados en relaciones cuyo producto es igual á —1, los tres ciclos de unión se encuentran en un mismo punto.

Observación. Las propiedades del sistema formado por un punto y sus proyecciones sobre los lados (ó los planos) del triángulo (ó del tetraedro) de referencia, las del cuadrilátero (ó del exaedro) completo, las de los triángulos (ó de los tetraedros) homológicos, etc., se demuestran de la misma manera.

3. El radio \( \rho \) del ciclo U que tiene por ecuación

\[
u_1 x_1 + u_2 x_2 + u_3 x_3 = 0,
\]

está dado por la expresión

\[
\rho^2 = \frac{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + 2 u_1 u_2 \cos x_{12} + 2 u_2 u_3 \cos x_{23} + 2 u_3 u_1 \cos x_{31}}{\left( \frac{u_1}{r_1} + \frac{u_2}{r_2} + \frac{u_3}{r_3} \right)^2}
\]

y la distancia circular \( \delta \) (potencia dividida por el diámetro) de un punto \((x_1, x_2, x_3)\) á este ciclo está dada por la fórmula siguiente

\[
\delta = \frac{u_1 x_1 + u_2 x_2 + u_3 x_3}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + 2 u_1 u_2 \cos x_{12} + 2 u_2 u_3 \cos x_{23} + 2 u_3 u_1 \cos x_{31}}}
\]

enteramente análoga á la de la geometría trilineal.

Las cantidades \(u_1, u_2, u_3\), son las coordenadas puntuales del
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ciclo V, y las coordenadas trilineales del centro de este ciclo derivan de las relaciones

\[
\frac{u_1}{r_1 d_{23} \xi_1} = \frac{u_2}{r_2 d_{31} \xi_2} = \frac{u_3}{r_3 d_{12} \xi_3}.
\]

De aquí resulta que, si \( f(u_1, u_2, u_3) = 0 \) designa la ecuación de una analagmática en coordenadas tangenciales, el lugar del centro del ciclo tangente, llamado *deferente* de la analagmática, está dado, en coordenadas trilineales, por la ecuación

\[
f(r_1 d_{23} \xi_1, r_2 d_{31} \xi_2, r_3 d_{12} \xi_3) = 0.
\]

y recíprocamente.

El ángulo de los dos ciclos V y V' está dado por la fórmula

\[
\cos(V, V') =
\]
\[
= \frac{u_1 u_1' + u_2 u_2' + u_3 u_3' + (u_1 u_2' + u_2 u_1') \cos x_{12} + ...}{\sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + 2u_1 u_2 \cos x_{12}} + ... \sqrt{u_1'^2 + u_2'^2 + u_3'^2 + 2u_1' u_2' \cos x_{12}} + ...}
\]

Para el espacio hay fórmulas análogas.

III

Relaciones de segundo grado

1. El radio R del círculo radical del triciclo está dado por la fórmula

\[
4 R^2 S^2_{123} = - r_1^2 r_2^2 r_3^2 \sin x_{123}.
\]

De esta expresión se deduce fácilmente la *relación fundamental* que liga entre sí las coordenadas tricirculares de un punto. Esta relación es

\[
\Delta_{123} = 0,
\]

suponiendo

\[
a_{ij} = r_i x_i + r_j x_j + r_i r_j \cos x_{ij}.
\]
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-11-01 00:00:00), página 19

2. La ecuación del círculo radical es, en coordenadas tangenciales,

\[
u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + 2 u_1 u_2 \cos x_{12} + 2 u_2 u_3 \cos x_{23} + 2 u_3 u_1 \cos x_{31} = 0
\]

y, en coordenadas tricirculares,

\[
R = \begin{vmatrix}
\cos x_{11} & \cos x_{12} & \cos x_{13} & x_1 \\
\cos x_{21} & \cos x_{22} & \cos x_{23} & x_2 \\
\cos x_{31} & \cos x_{32} & \cos x_{33} & x_3 \\
x_1 & x_2 & x_3 & 0
\end{vmatrix} = 0.
\]

3. Entre los ángulos de cuatro ciclos se tiene la relación

\[
\Delta_{1234} = 0
\]

suponiendo

\[
a_{ij} = \cos x_{ij}.
\]

4. El conjunto de los círculos circunscritos al triciclo de referencia tiene por ecuación, en coordenadas tricirculares,

\[
R - (x_1 \sen x_{23} \pm x_2 \sen x_{31} \pm x_3 \sen x_{12})^2 = 0.
\]

Esta ecuación llega á ser del grado diez y seis en coordenadas cartesianas. Con auxilio del principio de los signos el conjunto de los dos círculos circunscritos al triciclo, cuyos ángulos están claramente determinados, tiene por ecuación

\[
\frac{1}{x_1} \sen \frac{x_{31} + x_{12} - x_{23}}{2} + \frac{1}{x_2} \sen \frac{x_{12} + x_{23} - x_{31}}{2} +
\frac{1}{x_3} \sen \frac{x_{23} + x_{31} - x_{12}}{2} = 0.
\]

(Se concluirá.)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-11-01 00:00:00), página 2

665) \( tg \frac{1}{2} (a + b) = tg \frac{1}{2} csc \frac{A + B}{2} csn \frac{A - B}{2} \)

666) \( ctg \frac{1}{2} (a + b) = ctg \frac{1}{2} c \frac{sc \frac{1}{2} (A - B)}{sc \frac{1}{2} (A + B)} \)

667) \( ctg \frac{1}{2} (a + b) = ctg \frac{1}{2} c \frac{csn \frac{1}{2} (A + B)}{csn \frac{1}{2} (A - B)} \)

668) \( ctg \frac{1}{2} (a + b) = ctg \frac{1}{2} c csn \frac{A + B}{2} sc \frac{A - B}{2} \)

669) \( tg \frac{1}{2} (a - b) = tg \frac{1}{2} c \frac{sn \frac{1}{2} (A - B)}{sn \frac{1}{2} (A + B)} \)

670) \( tg \frac{1}{2} (a - b) = tg \frac{1}{2} c \frac{csc \frac{1}{2} (A + B)}{csc \frac{1}{2} (A - B)} \)

671) \( tg \frac{1}{2} (a - b) = tg \frac{1}{2} c csc \frac{A + B}{2} sn \frac{A - B}{2} \)

672) \( ctg \frac{1}{2} (a - b) = ctg \frac{1}{2} c \frac{sn \frac{1}{2} (A + B)}{sn \frac{1}{2} (A - B)} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-11-01 00:00:00), página 20

SOLUCIONES DE CUESTIONES PROPUESTAS

CUESTIÓN 24

Demostrar que \( n(n^2 + 5) \) es un múltiplo de 6, cualquiera que sea el número entero \( n \).

SOLUCIÓN

La expresión propuesta puede transformarse de este modo:

\[
n(n^2 + 5) = n(n + 1)(n + 2) - 3n(n - 1);
\]

pero en el segundo miembro el minuendo es múltiplo de 6 por ser producto de tres números consecutivos, y el sustraendo es también divisible por 6, pues contiene el factor 3, y además uno de los números consecutivos \( n - 1 \) y \( n \) será par; luego la diferencia de ambos productos, es decir, \( n(n^2 + 5) \), será asimismo un múltiplo de 6.

ÁNGEL BOZAL OBEJERO.
Madrid.

OTRAS SOLUCIONES

El número \( n(n^2 + 5) \) es múltiplo de 2, porque uno de los dos factores \( n \) y \( n^2 + 5 \) será par; y es también múltiplo de 3, porque si no lo es \( n \), se tendrá

\[
n = 3m \pm 1; \qquad n^2 + 5 = 9m^2 \pm 6m + 6;
\]

luego en tal caso el segundo factor será divisible por 3. En su consecuencia el número propuesto es un múltiplo de 6.

Puede también demostrarse la proposición por medio de las igualdades

\[
n(n^2 + 5) = 6n + n(n^2 - 1) = 6n + (n - 1)n(n + 1);
\]

pues la última expresión consta de dos términos, de los cuales el primero tiene manifiesto el factor 6 y el segundo es divisible por este número, por ser producto de tres enteros consecutivos.

J. V. ALONSO.
Madrid.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-11-01 00:00:00), página 3

673) \( ctg \frac{1}{2} (a - b) = ctg \frac{1}{2} c \frac{csc \frac{1}{2} (A - B)}{csc \frac{1}{2} (A + B)} \)

674) \( ctg \frac{1}{2} (a - b) = ctg \frac{1}{2} c sn \frac{A + B}{2} csc \frac{A - B}{2} \)

El tercer ángulo C se obtiene por una de las fórmulas

675) \( tg \frac{1}{2} C = ctg \frac{1}{2} (A + B) \frac{sc \frac{1}{2} (a + b)}{sc \frac{1}{2} (a - b)} \)

676) \( tg \frac{1}{2} C = ctg \frac{1}{2} (A + B) \frac{csn \frac{1}{2} (a - b)}{csn \frac{1}{2} (a + b)} \)

677) \( tg \frac{1}{2} C = ctg \frac{A + B}{2} sc \frac{a + b}{2} csn \frac{a - b}{2} \)

678) \( tg \frac{1}{2} C = ctg \frac{1}{2} (A - B) \frac{sn \frac{1}{2} (a - b)}{sn \frac{1}{2} (a + b)} \)

679) \( tg \frac{1}{2} C = ctg \frac{1}{2} (A - B) \frac{csc \frac{1}{2} (a + b)}{csc \frac{1}{2} (a - b)} \)

680) \( tg \frac{1}{2} C = ctg \frac{A - B}{2} csc \frac{a + b}{2} sn \frac{a - b}{2} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-11-01 00:00:00), página 4

681) \( ctg \frac{1}{2} C = tg \frac{1}{2} (A + B) \frac{sc \frac{1}{2} (a - b)}{sc \frac{1}{2} (a + b)} \)

682) \( ctg \frac{1}{2} C = tg \frac{1}{2} (A + B) \frac{csn \frac{1}{2} (a + b)}{csn \frac{1}{2} (a - b)} \)

683) \( ctg \frac{1}{2} C = tg \frac{A + B}{2} csn \frac{a + b}{2} sc \frac{a - b}{2} \)

684) \( ctg \frac{1}{2} C = tg \frac{1}{2} (A - B) \frac{sn \frac{1}{2} (a + b)}{sn \frac{1}{2} (a - b)} \)

685) \( ctg \frac{1}{2} C = tg \frac{1}{2} (A - B) \frac{csc \frac{1}{2} (a - b)}{csc \frac{1}{2} (a + b)} \)

686) \( ctg \frac{1}{2} C = tg \frac{A - B}{2} sn \frac{a + b}{2} csc \frac{a - b}{2} \)

Dados en un triángulo esférico oblicuángulo dos lados \( a, b \), y el ángulo A opuesto al primer lado, ó dos ángulos A, B, y el lado \( a \) opuesto al primer ángulo, se determina, por la analogía de los cuatro senos, el ángulo B opuesto al segundo lado, ó el lado \( b \) opuesto al segundo ángulo, y, en uno ó otro caso, el tercer lado \( c \) se calcula por una de las fórmulas 651) á 662) inclusive, y el tercer ángulo C se obtiene por una de las fórmulas 675) á 686) inclusive.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-11-01 00:00:00), página 5

X

Fórmulas de Gauss

Para recordar las fórmulas llamadas de Gauss, y también de Delambre, ó sea las que relacionan los seis elementos del triángulo esférico oblicuángulo, proponemos el

Diagrama 22

    sn \( \frac{1}{2} (a + b) \)
    sn \( \frac{1}{2} (A + B) \)

    sn \( \frac{1}{2} c \)
    csn \( \frac{1}{2} C \)

    sn \( \frac{1}{2} (a - b) \)
    sn \( \frac{1}{2} (A - B) \)

    sn \( \frac{1}{2} c \)
    csn \( \frac{1}{2} C \)

    csn \( \frac{1}{2} (a + b) \)
    csn \( \frac{1}{2} (A + B) \)

    csn \( \frac{1}{2} c \)
    sn \( \frac{1}{2} C \)

    csn \( \frac{1}{2} (a - b) \)
    csn \( \frac{1}{2} (A - B) \)

    csn \( \frac{1}{2} c \)
    sn \( \frac{1}{2} C \)

formado con los senos y cosenos de la semisuma y de la semidiferencia de dos lados, respectivamente divididos por el seno y por el coseno de la mitad del tercer lado, y con los senos y cosenos de la semisuma y de la semidiferencia de los ángulos opuestos, respectivamente divididos por el coseno y por el seno de la mitad del tercer ángulo. De él se derivan las fórmulas de Gauss mediante la siguiente regla poco diferente de las correspondientes á los diagramas anteriores.

Una expresión cualquiera del diagrama es igual á su opuesta en la misma recta, ó bien un extremo cualquiera del diagrama es igual al otro extremo de la misma recta.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-11-01 00:00:00), página 6

Aplicando esta regla obtendremos

687) \( \frac{sn\ \frac{1}{2}\ (a+b)}{sn\ \frac{1}{2}\ c} = \frac{csn\ \frac{1}{2}\ (A-B)}{sn\ \frac{1}{2}\ C} \)

688) \( \frac{sn\ \frac{1}{2}\ (a-b)}{sn\ \frac{1}{2}\ c} = \frac{sn\ \frac{1}{2}\ (A-B)}{csn\ \frac{1}{2}\ C} \)

689) \( \frac{csn\ \frac{1}{2}\ (a+b)}{csn\ \frac{1}{2}\ c} = \frac{csn\ \frac{1}{2}\ (A+B)}{sn\ \frac{1}{2}\ C} \)

690) \( \frac{csn\ \frac{1}{2}\ (a-b)}{csn\ \frac{1}{2}\ c} = \frac{sn\ \frac{1}{2}\ (A+B)}{csn\ \frac{1}{2}\ C} \)

resultados que admiten, entre otras, las siguientes formas:

691) \( \frac{sc\ \frac{1}{2}\ (a+b)}{sc\ \frac{1}{2}\ c} = \frac{sc\ \frac{1}{2}\ (A+B)}{csc\ \frac{1}{2}\ C} \)

692) \( \frac{sc\ \frac{1}{2}\ (a-b)}{sc\ \frac{1}{2}\ c} = \frac{csc\ \frac{1}{2}\ (A+B)}{sc\ \frac{1}{2}\ C} \)

693) \( \frac{csc\ \frac{1}{2}\ (a+b)}{csc\ \frac{1}{2}\ c} = \frac{sc\ \frac{1}{2}\ (A-B)}{csc\ \frac{1}{2}\ C} \)

694) \( \frac{csc\ \frac{1}{2}\ (a-b)}{csc\ \frac{1}{2}\ c} = \frac{csc\ \frac{1}{2}\ (A-B)}{sc\ \frac{1}{2}\ C} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-11-01 00:00:00), página 7

695) \( \frac{sn\ \frac{1}{2}\ (a+b)}{sn\ \frac{1}{2}\ c} = \frac{sc\ \frac{1}{2}\ (90^{\circ}-C)}{sc\ \frac{1}{2}\ (A-B)} \)

696) \( \frac{sn\ \frac{1}{2}\ (a-b)}{sn\ \frac{1}{2}\ c} = \frac{sn\ \frac{1}{2}\ (A-B)}{sn\ \frac{1}{2}\ (90^{\circ}-C)} \)

697) \( \frac{sc\ \frac{1}{2}\ (a+b)}{sc\ \frac{1}{2}\ c} = \frac{sc\ \frac{1}{2}\ (A+B)}{sc\ \frac{1}{2}\ (90^{\circ}-C)} \)

698) \( \frac{sc\ \frac{1}{2}\ (a-b)}{sc\ \frac{1}{2}\ c} = \frac{sn\ \frac{1}{2}\ (90^{\circ}-C)}{sn\ \frac{1}{2}\ (A+B)} \)

699) \( \frac{csn\ \frac{1}{2}\ (a+b)}{csn\ \frac{1}{2}\ c} = \frac{csn\ \frac{1}{2}\ (A+B)}{csn\ \frac{1}{2}\ (90^{\circ}-C)} \)

700) \( \frac{csn\ \frac{1}{2}\ (a-b)}{csn\ \frac{1}{2}\ c} = \frac{csc\ \frac{1}{2}\ (90^{\circ}-C)}{csc\ \frac{1}{2}\ (A+B)} \)

701) \( \frac{csc\ \frac{1}{2}\ (a+b)}{csc\ \frac{1}{2}\ c} = \frac{csn\ \frac{1}{2}\ (90^{\circ}-C)}{csn\ \frac{1}{2}\ (A-B)} \)

702) \( \frac{csc\ \frac{1}{2}\ (a-b)}{csc\ \frac{1}{2}\ c} = \frac{csc\ \frac{1}{2}\ (A-B)}{csc\ \frac{1}{2}\ (90^{\circ}-C)} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-11-01 00:00:00), página 8

703) \( \frac{sn \frac{1}{2} (a + b)}{sn \frac{1}{2} c} = csn \frac{1}{2} (A - B) csc \frac{1}{2} C \)

704) \( \frac{sn \frac{1}{2} (a - b)}{sn \frac{1}{2} c} = sn \frac{1}{2} (A - B) sc \frac{1}{2} C \)

705) \( \frac{csn \frac{1}{2} (a + b)}{csn \frac{1}{2} c} = csn \frac{1}{2} (A + B) csc \frac{1}{2} C \)

706) \( \frac{csn \frac{1}{2} (a - b)}{csn \frac{1}{2} c} = sn \frac{1}{2} (A + B) sc \frac{1}{2} C \)

707) \( \frac{sc \frac{1}{2} (a + b)}{sc \frac{1}{2} c} = sc \frac{1}{2} (A + B) sn \frac{1}{2} C \)

708) \( \frac{sc \frac{1}{2} (a - b)}{sc \frac{1}{2} c} = csc \frac{1}{2} (A + B) csn \frac{1}{2} C \)

709) \( \frac{csc \frac{1}{2} (a + b)}{csc \frac{1}{2} c} = sc \frac{1}{2} (A - B) sn \frac{1}{2} C \)

710) \( \frac{csc \frac{1}{2} (a - b)}{csc \frac{1}{2} c} = csc \frac{1}{2} (A - B) csn \frac{1}{2} C \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-11-01 00:00:00), página 9

711) \( sn \frac{a+b}{2} sn \frac{1}{2} C = csn \frac{A-B}{2} sn \frac{1}{2} c \)

712) \( sn \frac{a-b}{2} csn \frac{1}{2} C = sn \frac{A-B}{2} sn \frac{1}{2} c \)

713) \( csn \frac{a+b}{2} sn \frac{1}{2} C = csn \frac{A+B}{2} csn \frac{1}{2} c \)

714) \( csn \frac{a-b}{2} csn \frac{1}{2} C = sn \frac{A+B}{2} csn \frac{1}{2} c \)

715) \( sn \frac{a+b}{2} csc \frac{1}{2} c = csn \frac{A-B}{2} csc \frac{1}{2} C \)

716) \( sn \frac{a-b}{2} csc \frac{1}{2} c = sn \frac{A-B}{2} sc \frac{1}{2} C \)

717) \( csn \frac{a+b}{2} sc \frac{1}{2} c = csn \frac{A+B}{2} csc \frac{1}{2} C \)

718) \( csn \frac{a-b}{2} sc \frac{1}{2} c = sn \frac{A+B}{2} sc \frac{1}{2} C \)

719) \( sc \frac{a+b}{2} csn \frac{1}{2} c = sc \frac{A+B}{2} sn \frac{1}{2} C \)

720) \( sc \frac{a-b}{2} csn \frac{1}{2} c = csc \frac{A+B}{2} csn \frac{1}{2} C \)
Boletín de la Comisión del Mapa Geológico de España (1875-01-01 00:00:00), página 1

BOLETIN

DE LA

COMISION DEL MAPA GEOLÓGICO DE ESPAÑA.
Boletín de la Comisión del Mapa Geológico de España (1875-01-01 00:00:00), página 10

por si sola más extensa que las dos memorias impresas en 1874, no obstante lo cual será también más voluminoso que el primero el segundo tomo del Boletín.

Comienza este con la Sinópsis paleontológica de España, obra de suma importancia y de las más apropiadas que pudieran intentarse para fomentar y facilitar los estudios geológicos en la Península. A primera vista parecía irrealizable poderla dar en un breve plazo; pero merced á los numerosos materiales acumulados desde hace años con incansable laboriosidad por D. Lucas Mallada, ingeniero de la Comisión, considera esta dominada tamaña empresa, y cree poder conciliar la necesidad urgente de que circule entre nuestros geólogos la Paleontología española, con las dificultades de todo género en que se tropieza siempre que se trata de dar á la estampa una obra científica de cierto costo, por más que sea de provechosa enseñanza.

Publicanse ahora, divididas en sistemas ó formaciones, y con mayor ó menor extensión según su novedad ó importancia, las descripciones y figuras de las especies fósiles que constan ya recogidas en la Península; y una vez terminada con arreglo á este plan la Sinópsis, que puede considerarse como base y punto de partida, seguirán imprimiéndose sucesiva e indefinidamente otros estudios paleontológicos, ordenados de manera que formen, por decirlo así, los suplementos de aquella. Bajo este sistema y con esas ideas se ha podido dar principio á una obra de tal magnitud, para cuyo cumplido término hará falta, como sucede en otros países, el concurso, ya de las personas muy peritas en la ciencia, ya de las que, estimuladas por trabajos como el del Sr. Mallada y animadas por las facilidades que su Catálogo general de fósiles les presta, se dediquen al estudio de las faunas y floras de las pasadas épocas geológicas.
Boletín de la Comisión del Mapa Geológico de España (1875-01-01 00:00:00), página 100

numerosos barrancos de rapidísima pendiente que, á pesar de lo cavernoso del suelo, según ya veremos, deben dar á ese río en tiempo de lluvias un carácter verdaderamente torrencial, como efectivamente lo demuestran los grandes cantos que, procedentes de las cumbres, van paulatinamente arrastrando hacia la vaguada, y que concluyen de determinar la topografía de aquel suelo sumamente quebrado, tanto por la repetición de sus elevadas prominencias, como por la fuerte inclinación de sus laderas, siempre notable é inaccesible á veces. Cada una de esas prominencias, más ó menos separada de sus inmediatas por los indicados barrancos, se conoce en la localidad con un nombre particular, siendo la más próxima á Arnedillo la que lleva el de Peña Roja, á la orilla derecha del Cidacos, á cuyo pie viene á parar un puente llamado de San Andrés, que parte del extremo oriental del pueblo. Esa Peña Roja, que solo merece tal denominación en lo que aparece como núcleo, termina en su parte superior en lo que llaman Pico de San Andrés, que es seguramente el más alto de los de aquel recinto. Un barranco, ocupado por cierto por los asentamientos de un soberbio criadero de yeso, de que más adelante volveremos á hacer mención, y que sin embargo no ha debido ser conocido sino, á lo sumo, en lo que va de siglo, pues es raro que de otro modo no lo cite Larruga en sus Memorias políticas y económicas, separa esa Peña Roja de otra montaña que, encontrándose á su lado occidental, puede, en conjunto, denominarse de la Encineta, y dividirse en tres porciones principales: la Peña del Baño, más al Oeste la Peña de la Encineta, y por la parte meridional la Peña del Monte, separada, como ya queda indicado, de la Peña de Isasa por el valle de Prójano. Enfrente de la Peña del Baño, á la orilla izquierda del Cidacos, se levanta el cerro que, al menos en una porción de su extensión, lleva el nombre de Parte de Peña.

Consecuencia más bien de las condiciones topográficas de la localidad que de las dependientes de la composición de su suelo, suficientemente variada para que de la desagregación, descomposición y mezcla de sus detritus resultase una tierra vegetal de buena calidad, es que el espesor que esta alcanza sea por lo regular insignificante, á no ser en las ligeras depresiones que se han formado á las inmediaciones de las porciones bajas de los barrancos. Hacia las cumbres, calizas á no ser por rara excepción, esa tierra casi no existe, y la vegetación espontánea es bien escasa y hasta nula en las porciones más culminantes, que se ofrecen del todo peladas. No quiere
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decir esto que un botánico no pueda encontrar diversidad de plantas por aquellos vericuetos, y nada menos que 37 especies de medicinales cita D. Leon Príncipe, Director que, hasta su reciente fallecimiento, ha sido estos últimos años de las aguas y baños minero-medicinales de Arnedillo, en la Monografía que de ese establecimiento balneario publicó en 1870, como reconocidas en aquellos alrededores; pero la verdad es que las que pueden constituir pastos se reducen á la salvia, espliego y romero, con alguna otra. Sin embargo, no sólo los laboriosos habitantes de Arnedillo cultivan el olivo y la viña en las laderas de su escarpado suelo hasta la altura en que á esas plantas es dado prosperar, sino que en los mismos olivares, y por cima de estos, hasta en vertientes bien altas é inclinadas, siembran trigo, cebada y centeno, á cuyo efecto tienen dispuestas aquellas de modo que forman una sucesión de gradas ó bancales muy bien arreglados y conservados, tanto para labrar, aunque con grandes penalidades y sin que apenas puedan valerse más que de bestias menores, las pequeñas porciones planas y poco distantes de la horizontal que con tal artificio resultan, como para regarlas aprovechando cuanta agua les puede suministrar el Cidacos, y, en determinados momentos, los barrancos que á él afluyen. Véanse finalmente á las mismas márgenes de ese río algunos trozos de huerta, donde, en medio de las hortalizas, crecen algunos frutales, y aún por fuera de esos trozos, siempre en las citadas orillas, no deja de encontrarse algún nogal y algún chopo; pero á pesar de todo, no hay para qué distimularlo, ni la comarca deja de presentar un aspecto muy árido, ni la vista encuentra horizonte en que extenderse.

En tal comarca, y relegado á lo profundo de la garganta por donde el Cidacos corre, se halla edificado con sus empinadas calles el pueblo de Arnedillo, sobre la margen izquierda de aquel, pasando materialmente por cima del nivel de sus tejados el camino que al mismo desde Calahorra conduce; y poco más arriba, á cosa de un kilómetro del puente de San Andrés, se halla en la opuesta orilla el establecimiento de baños fundado sobre el célebre manantial de aguas salinas que, con sus cincuenta y dos y medio centígrados de temperatura, brota en la base de la Peña del Baño, que forma parte de la falda septentrional de la Encineta.

Ya en lo que precede queda sentado que desde el momento en que, caminando río arriba, se abandona la Peña Rejona se entra en el terreno secundario; pero falta indicar ahora cuál sea la disposición