ferjorosa/bne-hemeroteca-ocr-xix huggingface dataset:
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-02-01 00:00:00), página 20

CUESTIONES PROPUESTAS

11. Compónese la masa de pan de \( \frac{13}{35} \) de agua por \( \frac{22}{35} \) de harina. El peso del pan cocido es los \( \frac{6}{7} \) de su peso en masa.—¿Qué cantidad habrá que poner de harina y de agua para obtener 352 kg. de pan?

12. Tres trozos de hielo son tales, que el volumen del primero excede en \( \frac{1}{8} \) al del segundo; éste es los \( \frac{16}{27} \) del volumen del tercero; y la diferencia de los del primero y tercero es de 1,005093 \( m^3 \).—¿Cuántos litros de agua dará la fusión de los tres trozos, sabiendo que el agua aumenta \( \frac{1}{9} \) de su volumen al pasar del estado líquido al sólido?

13. Demostrar que el polinomio \( 1 + x^n + x^{2n} + x^{3n} + \ldots + x^{(p-1)n} \) es un múltiplo de \( 1 + x + x^2 + x^3 + \ldots + x^{(p-1)} \) siendo \( n \) y \( p \) dos números primos entre sí.

14. Demostrar que \( (p-1)! \) dividido por la suma de los \( (p-1) \) primeros números da \( (p-1) \) de resto.

15. Un plano Q se mueve sobre un plano fijo P de modo que todos sus puntos describen curvas cerradas; se supone que los arcos de estas curvas, representados materialmente, tienen una masa proporcional al ángulo que ha girado el plano Q para engendrarlos. Demostrar que dichas curvas tienen todas el mismo centro de gravedad.—E. Duporcq.

16. Las cónicas que tienen entre sí un contacto de tercer orden en un punto dado, tienen en este punto una misma tangente, un mismo diámetro y un mismo radio de curvatura. Demostrar geométricamente que el lugar de sus focos es una estrofoide.—A. Goulard.

17. Sean C y D dos puntos de una circunferencia situados á un mismo lado de la cuerda AB. Determinar geométricamente un punto E de la circunferencia, de suerte que DE y CE corten á AB en dos puntos equidistantes de su punto medio.

18. Demostrar por el método de los cuadrinomios los teoremas de Apolonio relativos á las cónicas.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-02-01 00:00:00), página 3

Tangente de un ángulo es la relación entre la perpendicular y la proyección.

Secante de un ángulo es la relación entre la distancia y la proyección.

Coseno de un ángulo es la relación entre la proyección y la distancia.

Cotangente de un ángulo es la relación entre la proyección y la perpendicular.

Cosecante de un ángulo es la relación entre la distancia y la perpendicular (1).

Así, siendo ABC el ángulo, EF = p la perpendicular,

EB = d la distancia, y BF = p' la proyección, será

\[
sn\ B = \frac{p}{d} \qquad csn\ B = \frac{p'}{d}
\]
\[
tg\ B = \frac{p}{p'} \qquad ctg\ B = \frac{p'}{p}
\]
\[
sc\ B = \frac{d}{p'} \qquad csc\ B = \frac{d}{p}
\]

(1) Considerada la perpendicular como ordenada ortogonal del punto elegido en un lado del ángulo, respecto al otro lado tomado como eje de las x, la proyección como su abscisa, y la distancia como radio del arco correspondiente, resulta que

Seno de un ángulo es la relación entre la ordenada y el radio.
Tangente de un ángulo es la relación entre la ordenada y la abscisa.
Secante de un ángulo es la relación entre el radio y la abscisa.
Coseno de un ángulo es la relación entre la abscisa y el radio.
Cotangente de un ángulo es la relación entre la abscisa y la ordenada.
Cosecante de un ángulo es la relación entre el radio y la ordenada.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-02-01 00:00:00), página 4

Para recordar estas fórmulas-definiciones (1) proponemos el

Diagrama 1.º

cuya ley de construcción es evidente, y del cual se derivan dichas seis fórmulas por la regla única que sigue:

Un elemento extremo cualquiera del diagrama es igual al cociente de los dos que le son consecutivos en su recta.

Aplicando esta regla obtendremos

1) \( \text{sn B} = \frac{p}{d} \)
2) \( \text{tg B} = \frac{p}{p'} \)
3) \( \text{sc B} = \frac{d}{p'} \)
4) \( \text{csn B} = \frac{p'}{d} \)
5) \( \text{ctg B} = \frac{p'}{p} \)
6) \( \text{csc B} = \frac{d}{p} \)

(1) Para los que prefieran referir las definiciones de los números trigonométricos á las coordenadas ortogonales de un punto, puede servir el siguiente diagrama, del cual se deducen las fórmulas-definiciones adjuntas:

\[
\begin{align*}
\text{sn B} &= \frac{y}{r} & \text{csn B} &= \frac{x}{r} \\
\text{tg B} &= \frac{y}{x} & \text{ctg B} &= \frac{x}{y} \\
\text{sc B} &= \frac{r}{x} & \text{csc B} &= \frac{r}{y}
\end{align*}
\]

en las que \( y, x, r \) designan respectivamente ordenada, abscisa y radio.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-02-01 00:00:00), página 5

II

Relaciones goniométricas de reciprocidad

Para recordar las fórmulas de reciprocidad, ó sea las que, en forma monomia, relacionan dos á dos los números trigonométricos del mismo ángulo, proponemos el

Diagrama 2.º

que resulta reuniendo en un solo punto, marcado con el número 1, los tres vértices del diagrama 1.º De él se derivan dichas fórmulas de reciprocidad por las dos reglas siguientes:

Un elemento extremo cualquiera del diagrama es igual al cociente de los dos que le son consecutivos en su recta.

El producto de los dos elementos extremos de una misma recta es igual al elemento medio.

Aplicando estas reglas obtendremos

7) \( sn\ B = \frac{1}{csc\ B} \)
8) \( tg\ B = \frac{1}{ctg\ B} \)
9) \( sc\ B = \frac{1}{csn\ B} \)
10) \( csn\ B = \frac{1}{sc\ B} \)
11) \( ctg\ B = \frac{1}{tg\ B} \)
12) \( csc\ B = \frac{1}{sn\ B} \)
13) \( sn\ B \cdot csc\ B = 1 \)
14) \( tg\ B \cdot ctg\ B = 1 \)
15) \( sc\ B \cdot csn\ B = 1 \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-02-01 00:00:00), página 6

III

Relaciones goniométricas monomias

Para recordar las fórmulas goniométricas monomias, ó sea las que expresan cada número trigonométrico en función de otros dos correspondientes al mismo ángulo, proponemos el

Diagrama 3.º

que resulta circunscribiendo una circunferencia al diagrama 2.º De él se derivan dichas fórmulas monomias por las dos reglas siguientes:

Un elemento cualquiera del diagrama es igual al cociente de los dos circularmente consecutivos á él.

Un elemento cualquiera es igual al producto de los dos que le son circularmente contiguos.

Aplicando estas reglas obtendremos

16) \( snB = \frac{csnB}{ctgB} \)
17) \( snB = \frac{tgB}{scB} \)
18) \( snB = tgB.csnB \)
19) \( tgB = \frac{snB}{csnB} \)
20) \( tgB = \frac{scB}{cscB} \)
21) \( tgB = snB.scB \)
22) \( scB = \frac{tgB}{snB} \)
23) \( scB = \frac{cscB}{ctgB} \)
24) \( scB = tgB.cscB \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-02-01 00:00:00), página 7

25) \( \csn B = \frac{\ctg B}{\csc B} \)
26) \( \csn B = \frac{\sn B}{\tg B} \)
27) \( \csn B = \sn B \cdot \ctg B \)
28) \( \ctg B = \frac{\csn B}{\sn B} \)
29) \( \ctg B = \frac{\csc B}{\sc B} \)
30) \( \ctg B = \csn B \cdot \csc B \)
31) \( \csc B = \frac{\sc B}{\tg B} \)
32) \( \csc B = \frac{\ctg B}{\csn B} \)
33) \( \csc B = \sc B \cdot \ctg B \)

IV
Relaciones goniométricas binomias

Para recordar las fórmulas goniométricas binomias, ó sea las que relacionan dos á dos, en forma binomia, los números trigonométricos de un mismo ángulo, proponemos el

Diagrama 4.º

que resulta uniendo por medio de rectas los extremos snB y csnB, tgB y scB, ctgB y cscB del diagrama 2.º De él se derivan dichas fórmulas binomias por las siguientes reglas:

La suma de los cuadrados de los elementos extremos superiores de cada triángulo es igual al cuadrado del elemento inferior.

El cuadrado de uno de los elementos superiores de cada triángulo es igual á la diferencia de cuadrados del elemento inferior y del superior adyacente al primero.

Aplicando estas reglas obtendremos

34) \( \sn^2 B + \csn^2 B = 1 \)
35) \( \sn^2 B = 1 - \csn^2 B \)
36) \( \sn B = \sqrt{1 - \csn^2 B} \)
37) \( \csn^2 B = 1 - \sn^2 B \)
38) \( \csn B = \sqrt{1 - \sn^2 B} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-02-01 00:00:00), página 8

39) \( tg^2 B + 1 = sc^2 B \)
40) \( sc^2 B - tg^2 B = 1 \)
41) \( sc^2 B = tg^2 B + 1 \)
42) \( sc B = \sqrt{tg^2 B + 1} \)
43) \( tg^2 B = sc^2 B - 1 \)
44) \( tg B = \sqrt{sc^2 B - 1} \)
45) \( 1 + ctg^2 B = csc^2 B \)
46) \( csc^2 B - ctg^2 B = 1 \)
47) \( csc^2 B = ctg^2 B + 1 \)
48) \( csc B = \sqrt{ctg^2 B + 1} \)
49) \( ctg^2 B = csc^2 B - 1 \)
50) \( ctg B = \sqrt{csc^2 B - 1} \)

Las fórmulas sumatorias 35, 36, 37, 38, 40, 43, 44, 46, 49 y 50, pueden ponerse en forma factorial como sigue:

51) \( sn^2 B = (1 + csn B) (1 - csn B) \)
52) \( sn B = \sqrt{(1 + csn B) (1 - csn B)} \)
53) \( csn^2 B = (1 + sn B) (1 - sn B) \)
54) \( csn B = \sqrt{(1 + sn B) (1 - sn B)} \)
55) \( (sc B + tg B) (sc B - tg B) = 1 \)
56) \( tg^2 B = (sc B + 1) (sc B - 1) \)
57) \( tg B = \sqrt{(sc B + 1) (sc B - 1)} \)
58) \( (csc B + ctg B) (csc B - ctg B) = 1 \)
59) \( ctg^2 B = (csc B + 1) (csc B - 1) \)
60) \( ctg B = \sqrt{(csc B + 1) (csc B - 1)} \)

(Se continuará).
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-02-01 00:00:00), página 9

TEORÍA SUCINTA DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS
por P. Mansión
CATEDRÁTICO NUMERARIO DE LA UNIVERSIDAD DE GANTE
VERSIÓN ESPAÑOLA POR D. LUIS G. GASCÓ
con adiciones y mejoras comunicadas por el autor

El número \( e = 2,7\ 1828\ 1828\ 459045 \ldots \) es, con \( \pi \), relación de la circunferencia al diámetro, el número incommensurable que ocurre con más frecuencia en el Análisis y en la Geometría. Puede definirse por cualquiera de las igualdades:

\[
e = 1 + \frac{1}{1} + \frac{1}{1.2} + \frac{1}{1.2.3} + \frac{1}{1.2.3.4} + \frac{1}{1.2.3.4.5} + \text{etc.};
\]

\[
e = \lim \left( 1 + \frac{1}{m} \right)^m, \qquad m = \infty;
\]

\[
\text{Lim} \frac{e^{\alpha} - 1}{\alpha} = 1, \qquad \alpha = 0.
\]

El P. V. de Riccati, S. J. (1707-1775) ha formado, mediante el número \( e \), ciertas expresiones, llamadas funciones hiperbólicas, que gozan de propiedades semejantes á las que tienen las funciones circulares seno, coseno, tangente, etc., pero más fáciles de establecer. Varios geómetras de los siglos XVIII y XIX (entre otros Moivre, de Fongenex, Lambert, Euler, Guérmann, Grassmann, Lamé, Forti, Gronau, Huel, Laisant, Günther), que emplearon consciente ó inconscientemente las funciones hiperbólicas, han hecho resaltar la utilidad de las notaciones de Riccati.

La semejanza de propiedades entre las funciones hiperbólicas y las funciones circulares se puede explicar partiendo de la analogía que existe entre el círculo y la hipérbola equilátera, ó bien comparando los desarrollos en serie de estas dos especies de funciones.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-04-01 00:00:00), página 1

ARCHIVO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

Núm. 4 ABRIL 1896

SUMARIO.—Diagramas mnemónicos de Trigonometría, por D. Luis G. Gascó. (Continuación.)—Teoría sucinta de las funciones hiperbólicas, por P. Mansion. (Continuación.)—Métodos gráficos relativos á las lentes, por R. S. Cole.—Curiosidades.—Cuestiones propuestas.

DIAGRAMAS MNEMÓNICOS DE TRIGONOMETRÍA

(Continuación. Véase pág. 45)

Los diagramas 5, 6, 7 y 8 están condensados en el

Diagrama 9.º

del cual se derivan, por las reglas conocidas, todas las relaciones que ligan tres á tres los elementos del triángulo rectilíneo-rectángulo.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-04-01 00:00:00), página 10

Se tiene pues finalmente

\[
\text{Sect. hip. OAM} = \frac{1}{2} t,
\]

es decir, que \( t \) es el doble del sector hiperbólico OAM, como \( \theta \) es el doble del sector circular OAm.

15. Relaciones entre las funciones hiperbólicas y las circulares.

I. Para simplificar consideremos solamente los puntos de la hipérbola y del círculo, cuyas dos coordenadas son positivas. Por el pie s de la ordenada Ms del punto M de parámetro \( t \), tracemos la tangente sms' al círculo. Se tendrá \( Om = Os \cos(\text{ángulo AOM}) \), ó

\[
1 = \text{Cht} \cos (\text{ángulo AOM}).
\]

El ángulo AOM, ó 2 veces el sector OAM, será pues la variable \( \theta \), ligada al doble sector \( t = 2OAM \), por la relación (1) del n° 8.

Las relaciones (2) del n° 8 corresponden por tanto á las propiedades geométricas siguientes:

Puesto que Sech \( t = \cos \theta \), la tangente en M á la hipérbola, pasa por el pie S de la ordenada del punto m del círculo. A causa de Sh \( t = \tang \theta \), Th \( t = \sen \theta \), se tiene en consecuencia

\[
sM = At, \quad AT = Sm;
\]
\[
BT' = \Coth t = \cosec \theta = Os;
\]
\[
OS' = \Cosech t = \cot \theta = Bt'.
\]

II. La recta Ov, que une el punto medio v de AM á O pasa por el punto N de la hipérbola de parámetro \( \frac{1}{2} t \) y por el punto \( \tau \) de intersección de las tangentes AT, Ms. Luego, \( A\tau = \Th \frac{1}{2} t \). Según el teorema de Laisant, \( \Th \frac{1}{2} t = \tang \frac{1}{2} \theta \).
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-04-01 00:00:00), página 11

Por consiguiente, Ov pasa también por el punto medio n del arco Am y la tangente ms al círculo pasa igualmente por τ.

Es fácil, según ésto, construir el punto N, sin que esté trazada la hipérbola, por uno de los procedimientos que permiten deducir de un punto de una de las dos curvas, el punto correspondiente de la otra. Recíprocamente, dado el punto N de parámetro \( \frac{1}{2} t \), puédese también deducir de él el punto M de parámetro t, buscando primero el punto auxiliar n y después el punto m.

(Se continuará.)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-04-01 00:00:00), página 12

MÉTODOS GRÁFICOS RELATIVOS Á LAS LENTES (1)

Acaso ofrezcan interés los siguientes métodos que se fundan en sencillas construcciones geométricas y que no sabemos hayan sido publicados.

Sean (fig. 1) AB y CD dos rectas paralelas, sea E el

punto de intersección de AD con BC, y trácese EF, paralela á los dos primeros, hasta encontrar en F á la recta BD.

Dará EF en los dos triángulos ABD y BCD estas relaciones:

\[
\frac{BF}{BD} = 1 - \frac{EF}{AB}, \quad \frac{BF}{BD} = \frac{EF}{CD},
\]

de donde se infiere

\[
\frac{1}{EF} = \frac{1}{AB} + \frac{1}{CD}.
\]

Tal propiedad suministra un método gráfico para enlazar el valor recíproco de la distancia focal \( f \) de una lente con los valores recíprocos de las distancias \( u, v \) del objeto y de su imagen á la misma lente, pues contadas tales distancias desde el centro óptico ó punto nodal, y reputadas como positivas cuando se cuenten en sentido contrario al de los rayos

(1) Traducido del Philosophical Magazine, Marzo 1896, pág. 216.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-04-01 00:00:00), página 13

incidentes y como negativas cuando se cuenten en el mismo sentido, la fórmula es

\[
\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}, \quad \text{o bien} \quad \frac{1}{v} = \frac{1}{u} + \frac{1}{f}.
\]

Luego si dadas \( u, f \), se pide \( v \), trazaremos á escala, para representar aquéllas, las dos paralelas AB y CD, y completada la figura, EF representará \( v \). Y si dadas \( u, v \), se quiere \( f \), señalarémos los datos con dos paralelas proporcionadas AB y EF, y terminada la figura, será CD la distancia focal. Los valores negativos de \( u, v, f \), quedarán indicados por líneas trazadas por debajo de BD.

El dibujo antedicho muestra también las magnitudes relativas de la imagen y del objeto; pues la relación de esas magnitudes es la misma de \( v : u \), esto es, EF : AB, y la imagen será directa ó inversa según que EF y AB estén ó no á un mismo lado de BD.

Sirve también esa figura para hallar la distancia focal de la lente que equivale á dos ó más, puestas en contacto, como se hace para lograr el acromatismo; porque el valor recíproco de esa distancia focal, es la suma de los valores recíprocos de las distancias focales de las lentes componentes.

En el caso de dos lentes separadas por un intervalo \( a \), bastante pequeño con relación á las distancias focales \( f_1 \) y \( f_2 \) de éstas, para que el cuadrado de \( a \) se desdene, se puede asimismo, ampliando la indicada construcción, hallar la distancia focal de la lente única, equivalente á ambas, y las distancias de su centro óptico á los de las lentes dadas.

Figura 2.

En efecto, sean (fig. 2), AB y CD dos rectas paralelas que representen \( f_1 \) y \( f_2 \); prolonguense éstas dos rectas hasta
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-04-01 00:00:00), página 14

E y F de manera que AE = CF = a; señálese el punto H en que se cortan AD y BF, y el punto K de intersección de BC con ED; trácense HL y KM, paralelas á AB y CD, hasta encontrar BD en L y M, y márquense los puntos X, Y, de intersección de HL y KM con BC y AD. Se tendrán las relaciones

\[
\frac{1}{HL} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{a + f_2}, \quad \frac{HX}{HL} = \frac{a}{a + f_2},
\]

\[
\frac{1}{KM} = \frac{1}{f_2} + \frac{1}{a + f_1}, \quad \frac{KY}{KM} = \frac{a}{a + f_1}.
\]

Por consiguiente

\[
HX = \frac{a f_1}{a + f_1 + f_2}, \qquad KY = \frac{a f_2}{a + f_1 + f_2};
\]

y puesto que

\[
XL = HL - HK, \qquad YM = KM - KY,
\]

será

\[
XL = \frac{f_1 f_2}{a + f_1 + f_2} = YM.
\]

Luego —HX y KY representarán las distancias á que de los dos centros ópticos de las dos lentes dadas se encontrará el centro óptico de la lente que puede reemplazarlas, y XL ó YM será la distancia focal de esta lente equivalente.

R. S. Cole,
Devonport (Inglaterra). Doctor en Filosofía.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-04-01 00:00:00), página 15

CURIOSIDADES

Eclipses de sol.—Cuando la luna nueva se halla de la línea de los nodos á distancia comprendida entre 13° 30' y 19° 40', pueden acontecer eclipses de sol; y acontecen con seguridad cuando esa distancia no supera á 13° 30'. Pero una lunación, ó intervalo entre dos lunas nuevas, es de 29 días 531 y el período de la revolución sinódica de los nodos, es decir, de la revolución de éstos, contada desde la línea que une la tierra con el sol, es de 346 días 608. Convertida en fracción continua la razón de este número al de la lunación, resulta

\[
11 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{4 + \frac{1}{10 + \frac{1}{1}}}}}}
\]

cuya cuarta y quinta reducida son \( \frac{47}{4} \) y \( \frac{223}{119} \). Luego, al cabo de 47 meses lunares, las cosas vuelven á estar casi como estaban, y al cabo de 223 meses lunares ocurre ésto con mayor aproximación todavía.

Fué conocido este último periodo desde la más romota antigüedad con el nombre de saros por los pastores caldeos,
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-04-01 00:00:00), página 16

los cuales, guiándose por él, predecían la serie de los varios eclipses que en cada período acontecerían. Equivale á 18 años y 10 ú 11 días, y no carece de utilidad para los modernos astrónomos, pues advertidos por él de que ciertas conjunciones envuelven posibilidad de eclipse, pueden preparar para ellas los cálculos necesarios.

El otro periodo de 47 lunaciones equivale á 1388 días, y multiplicado por 5 da el periodo de 19 años, que se repite renovando las fases de la luna en las mismas fechas relativas. Es este periodo de 19 años el célebre ciclo de Metón, revelado á los antiguos griegos en los juegos olímpicos del año 433 anterior á nuestra Era, y con tanto júbilo acogido, que los griegos acordaron grabar en monumentos públicos con cifras de oro las fechas comprendidas en ese ciclo descubierto por Metón.

Reformas del calendario.—La duración del año trópico medio, esto es, la duración que tendría el año trópico, si el equinoccio variara sólo en virtud de la precesión, es de \( 365^{dias}242256 \). Mas convertida en fracción continua la fracción decimal que sigue á los \( 365^{dias} \), equivale á

\[
\frac{1}{4 + \frac{1}{7 + \frac{1}{1 + \frac{1}{4 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \ldots}}}}}}
\]
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-04-01 00:00:00), página 17

cuyas fracciones convergentes sucesivas son

\[
\frac{1}{4}, \frac{7}{29}, \frac{8}{33}, \frac{39}{161}, \frac{47}{191}, \ldots
\]

La reforma del calendario romano, que, á partir del año 46 anterior á nuestra Era—ó el año 708 de la fundación de Roma—decretó Julio César, adopta, siguiendo el dictamen dado por Sosigenes, astrónomo de Alejandría, la fracción \( \frac{1}{4} \) y, de acuerdo con ella, establece que de cada cuatro años, tres sean comunes ó de 365 días, y el cuarto, bisiesto ó de 366 días. Pero tal fracción es excesiva, y al cabo de 4 siglos, asciende el error á 3 días.

La reforma del calendario persa que en el siglo XI de nuestra Era—por el año 1079—fué decretada por Gelal-Eddin Malech Shah, sultán de Khorasán, es celebrada por su exactitud, pues combina la fracción \( \frac{7}{29} \) con la \( \frac{8}{33} \), propuesta, según se cree, por Omar Cheyam, uno de los ocho astrónomos nombrados por dicho soberano para entender en la corrección del referido calendario.

No menos digna de elogio es la reforma del calendario juliano que en 1582 decretó el Papa Gregorio XIII, de conformidad con lo propuesto por Luis Lilio Gheraldi, médico y astrónomo de Nápoles, y coordinado por el jesuita P. Cristóbal Clavio en lo concerniente á las fiestas religiosas. Combina esta corrección las dos fracciones \( \frac{1}{4} \) y \( \frac{47}{191} \), triplicando los dos términos de la primera, duplicando los dos de la última y sumando los productos correlativos, con lo cual resulta la fracción \( \frac{97}{400} \), que da 97 años bisiestos en 400 años, en vez de 100 que daba la fracción \( \frac{1}{4} \), en la cual se basaba el calendario juliano. Rebájanse de 400 años, 3 bisiestos, periódicamente y de un modo sencillo, conservando como general la
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-04-01 00:00:00), página 18

regla de un bisiesto por cada 4 años y poniéndole sólo como excepción que los años que redondean siglos, no sean bisietos si el número de siglos, es decir, el de centenas, no es divisible por 4: así 1900 no será año bisiesto. El error con el calendario así dispuesto no asciende á 1 día sino al cabo de unos 40 siglos transcurridos desde que comenzó á regir.

Pasos del planeta Venus.—Cuando en su conjunción inferior se halla Venus cerca de un nodo de su órbita, se ve pasar el planeta, como una mancha negra, por el disco del sol. Pero la cuerda que parece recorrer sobre este disco es distinta, según el lugar desde donde el paso se observa; y de tal diferencia puede deducirse con bastante precisión la distancia de la tierra al sol, como indicó Halley en 1716 al anunciar el paso de 1761. Mas este fenómeno no acontece á menudo. Las revoluciones sidéreas de Venus y de la tierra son respectivamente de \(224^{dias} 700\) y \(365^{dias} 256\), y la fracción continua que expresa el cociente del primer número por el segundo, es

\[
\frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{29 + \frac{1}{3 + \ldots}}}}}}}
\]
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-04-01 00:00:00), página 19

cuya quinta reducida vale \( \frac{8}{13} \) y la sexta \( \frac{235}{382} \). Como es pequeña la fracción \( \frac{1}{29} \), esa quinta reducida da un valor bastante cercano á la verdad, es decir, que 13 revoluciones sidéreas de Venus y 8 años muy poco discrepan de ser iguales. Por eso, no lejos de cada nodo, acontecen dos pasos—uno antes y otro después de llegar el planeta al nodo—entre los cuales media un intervalo de 8 años. Pero hasta otro paso han de transcurrir luego \( 105 \frac{1}{2} \) años ó \( 121 \frac{1}{2} \) años, según haya de acaecer cerca del modo ascendente ó cerca del descendente. La suma de estos tres intervalos \( 105 \frac{1}{2} + 8 + 121 \frac{1}{2} \) da el numerador de la sexta reducida, es decir, los 235 años que median entre un paso posterior á un nodo y el siguiente paso anterior al mismo nodo. Por el adjunto cuadro se comprenderá mejor la ley seguida en la repetición del fenómeno.

PASO DE VENUS

    Cerca del nodo ascendente.
    Cerca del nodo descendente.

    1639. . . . . 4 Diciembre.
    1761. . . . . 5 Junio.

    1874. . . . . 8 Diciembre.
    1769. . . . . 3 Junio.

    1882. . . . . 6 Diciembre.
    2004. . . . . 7 Junio.

    2012. . . . . 5 Junio.