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será entonces, en un momento dado, el aspecto que presente la hilera de las diferentes partículas?

Sea T el tiempo invertido por cada partícula en una vibración completa, y \( \frac{T}{p'} \) el intervalo que debe transcurrir para que se transmita á b cualquier fase de a. Si en cierto instante ha alcanzado a su máxima desviación, á la derecha por ejemplo, b caminará hacia la suya, pero aun distará un poco de ella, c distará un poco más de la suya, y así prosiguiendo. Mas se hallará al cabo una partícula p, á una distancia \( ap = p'.ab \), que irá tras de a rezagada en vibración un tiempo \( p' \cdot \frac{T}{p'} = T \), y que, por tanto, se encontrará precisamente en la misma fase que a. Es claro que entre ambas partículas a, p, las habrá en todas las fases posibles del movimiento vibratorio. Así, en h que está de a á una distancia \( \frac{1}{2} ap \), la diferencia de fase, comparada con la de a, valdrá \( \frac{1}{2} T \), lo cual quiere decir que, en un momento dado, h y a alcanzarán su máxima desviación por opuesto lado de sus respectivas posiciones de equilibrio, ó en otros términos, que h estará cabalmente en fase opuesta á la de a.

Son vibraciones longitudinales las hasta aquí examinadas, esto es, vibraciones acaecidas en la misma dirección en que se transmite la conmoción de una á otra partícula. Pero las vibraciones pueden ocurrir en cualquier dirección y hasta ser curvilíneas. Llámense transversales cuando se realizan perpendicularmente á la recta, según la cual se transmite la conmoción.

Mas el razonamiento expuesto en el caso precedente es de aplicación general y puede repetirse para las vibraciones transversales. Señálense las posiciones \( a_1, b_1, c_1, \ldots \), que las diversas partículas, en su oscilación transversal, ocupan en el momento en que a alcanza su máximo desvío sobre su posición de equilibrio, y trácese una línea continua que pase por los puntos señalados: tal línea, con sus ordenadas, presentará á la vista el estado del movimiento vibratorio en ese
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momento. Así, estarán en la misma fase a y p, b y q, c y r..., y en fase opuesta a y h, b é i, c y k...

La distancia que, como la a p ó b q..., media entre dos partículas de igual fase, es recorrida por la conmoción en el tiempo T de una vibración completa y comprende partículas con todas las fases posibles de movimiento vibratorio. Pasada esta distancia, la curva se repite exactamente, es decir, las fases se suceden en el mismo orden que antes.

Bien se echa de ver la semejanza que la curva trazada tiene con las ondas de un lago ó estanque rizado por el viento, pues hay en ella surcos ó valles, como Ah₁B, y lomas ó cumbres, como Bp₁C. De aquí, que tanto en Acústica como en Óptica se usen los términos onda y ondulación. Llámase longitud de onda, y suele designarse por \( \lambda \), la distancia AC = ap = bq... que separa dos partículas de igual fase y que, por tanto, comprende un valle y una cumbre.

Como la curva se repite en cada trecho igual á \( \lambda \), infiérase que en un momento dado dos partículas estarán en igual fase, si la distancia entre ellas, en la dirección en que la conmoción se transmite, es igual á \( \lambda \), 2\( \lambda \), 3\( \lambda \)... y en general n\( \lambda \), representando por n un número entero. Pero estarán en contraria ó opuesta fase dos partículas como a y h, b é i,... separadas por una distancia igual á \( \frac{1}{2} \lambda \), ó bien \( \frac{1}{2} \lambda + \lambda = \frac{3}{2} \lambda \), ó en general \( \frac{1}{2} \lambda + n \lambda = (2n + 1) \frac{\lambda}{2} \), esto es, un múltiplo impar de \( \frac{\lambda}{2} \).

Construcción semejante á la que acaba de indicarse para señalar los desvíos de las partículas en un momento dado, puede hacerse para mostrar gráficamente las velocidades de
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que en el mismo momento estén animadas. Levántense en los diferentes puntos \(a\), \(b\), \(c\), ... rectas perpendiculares á la línea que los contiene; dése á esas rectas, en el sentido de las velocidades, longitudes proporcionales á éstas, y trácese una curva por los puntos extremos de dichas perpendiculares: tal curva será el dibujo apetecido. En el grabado está indicada por puntos. La onda en ella es de igual longitud que la onda en la curva de desviaciones, pero el punto más alto de la loma y el más bajo del surco, de una de estas curvas, corresponden á los puntos donde la otra curva corta la línea de equilibrio.

Para representar gráficamente los desvíos y velocidades de partículas que vibran longitudinalmente, conviene que las rectas, con las cuales esas magnitudes se señalen, no sean trazadas en la dirección de la línea \(abc\) ..., según la cual se transmite el movimiento, sino perpendicularmente á ella, dirigiendo hacia arriba las ordenadas que indiquen desvíos ó velocidades á la derecha, es decir, en el sentido en que la conmoción se realiza; y hacia abajo las ordenadas que indiquen desvíos ó velocidades en sentido opuesto. Hecho así, las ondas de desvío y de velocidad quedarán representadas del mismo modo que las concernientes á vibraciones transversales, y por tanto á las mismas leyes estarán ajustadas.

Mas no sólo permite el mencionado dibujo abarcar de una mirada las circunstancias del movimiento vibratorio en un momento dado, sino en cualquier otro. Pues si, por ejemplo, se desea saber lo sucedido al cabo de un intervalo de tiempo \(\frac{T}{p'}\), bastará imaginar que toda la onda (ya sea de desvío ó de velocidad) se haya corrido á la derecha una distancia igual á \(ab\), y con ello se verá que el estado de movimiento en que \(a\) se hallaba, se ha trasladado á \(b\), el de \(b\) á \(c\), y así prosiguiendo. Al cabo de otro intervalo igual, el estado de las partículas se mostrará del mismo modo con la onda, corrida á la derecha otro igual espacio. De suerte que todas las circunstancias quedarán manifiestas haciendo avanzar de continuo por la línea \(abc\) ... las dos ondas (la de desvío y la
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de velocidad) con un movimiento cuya velocidad V permita salvar el espacio ab en el tiempo \( \frac{T}{p'} \), siendo, por consiguiente,

\[
V = ab : \frac{T}{p'} = \frac{p' \cdot ab}{T} = \frac{AC}{T} = \frac{\lambda}{T}.
\]

Llámase ésta la velocidad de propagación de la onda y equivale, como se ve, á la longitud de la onda dividida por el tiempo de la vibración completa de cada partícula. Expre- sando, cosa por lo común más conveniente, T en función del número n de vibraciones completas realizadas en un tiempo determinado, á saber, en el que sirva de unidad, será

\[
\frac{1}{T} = n \quad \text{y} \quad V = n \lambda.
\]

Hay que notar, sin embargo, una diferencia muy importante entre las vibraciones longitudinales y las transversales, pues al propagarse estas últimas de una á otra partícula en un medio elástico, no alteran las distancias relativas de las partículas, ó en otros términos, no causan en todo el medio ninguna variación de densidad; y en cambio, las vibraciones longitudinales, que ponen la mayor parte de las partículas más cerca ó más lejos unas de otras que estaban antes de ser conmovidas, producen necesariamente condensaciones alternadas con enrarecimientos ó dilataciones.

En efecto, échase de ver en la figura que, en el momento á que se refiere, son iguales y del mismo sentido los desvíos de las partículas inmediatas, entre las cuales está comprendida a; luego en dicho momento la densidad del medio en a es igual á la del medio sosegado. Y lo propio acontece en los puntos h, p..., de máximo desvío y velocidad de vibración nula. Pero en un punto como e, situado entre a y A, los desvíos de las dos partículas inmediatas, precedente y siguiente, ambos ocu- rren á la derecha, mas el de la partícula precedente es el mayor de los dos, y, por tanto, la densidad del medio en todo el trecho a A excede á la densidad del medio sosegado. Y de la misma suerte, en cualquier punto como f, situado entre A
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y \( h \), igual hecho acontece, pues si bien los desvios de las dos partículas contiguas ocurren por la izquierda, es mayor el de la partícula siguiente á \( f \). Por consiguiente, desde \( a \) hasta \( h \), el medio está condensado. En cambio, entre \( h \) y B, por ejemplo en \( k \), los desvios de las dos partículas contiguas ocurren á la izquierda; pero el de la partícula precedente es el mayor; por tanto, aquí el medio está enrarecido; y como asimismo se probaría que otro tanto acontece desde B hasta \( p ... \), resulta dilatación ó enrarecimiento desde \( h \) hasta \( p \). En A la condensación es la máxima, porque á ambos lados de este punto los desvíos son iguales y están dirigidos hacia A; así como en B la dilatación es la máxima, porque á derecha é izquierda de este punto los desvíos son iguales y ambos se apartan de B.

Infiérese de lo antedicho que si se traza una curva en la cual cada ordenada sea proporcional á la diferencia entre la densidad en el punto correspondiente del medio conmovido y la densidad del medio sosegado—dirigiendo hacia arriba las ordenadas que señalen condensación y hacia abajo las que indiquen dilatación—esa curva cortará la línea de reposo ó equilibrio de las partículas \( abc ... \) en los mismos puntos donde la corte la curva de velocidades. Su onda, pues, tendrá la misma longitud \( \lambda \) y se elevará ó descenderá á la par que la otra se eleve ó descienda. Pero aun hay más íntimo enlace entre la onda de velocidad y la onda de condensación y dilatación, cuando, como acontece siempre en Acústica, son pequeños los desvíos de las partículas. Pues, puede demostrarse que entonces, en cualquier punto del medio, el grado de condensación ó enrarecimiento es proporcional á la velocidad de vibración en dicho punto. Luego las mismas ordenadas que representen las velocidades, representarán los grados de condensación ó dilatación, ó en otros términos, la onda de estas magnitudes coincidirá en el dibujo con la onda de velocidad.
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mismo. De él se derivan las relaciones que ligan tres á tres los elementos del triángulo, mediante las reglas siguientes:

Un elemento extremo del diagrama es igual al cociente de los dos que le son consecutivos en su recta.

Un elemento intermedio es igual al producto de los dos que le son adyacentes en su recta.

El cuadrado del elemento inferior del triángulo es igual á la suma de los cuadrados de los dos elementos superiores.

El cuadrado de uno de los elementos superiores es igual á la diferencia de cuadrados del elemento inferior y del superior adyacente al primero.

Aplicando estas reglas, y haciendo uso de las leyes de reciprocidad para dar forma entera á los resultados de forma trigonométrica fraccionaria, obtendremos:

    61)
    \( sn\ B = \frac{b}{a} \)
    62)
    \( tg\ B = \frac{b}{c} \)
    63)
    \( sc\ B = \frac{a}{c} \)

    64)
    \( sn\ C = \frac{c}{a} \)
    65)
    \( tg\ C = \frac{c}{b} \)
    66)
    \( sc\ C = \frac{a}{b} \)

    67)
    \( b = a\ sn\ B \)
    73)
    \( c = a\ sn\ C \)
    79)
    \( a = b\ sc\ C \)

    68)
    \( b = \frac{a}{sc\ C} \)
    74)
    \( c = \frac{a}{sc\ B} \)
    80)
    \( a = \frac{b}{sn\ B} \)

    69)
    \( b = a\ csn\ C \)
    75)
    \( c = a\ csn\ B \)
    81)
    \( a = b\ csc\ B \)

    70)
    \( b = c\ tg\ B \)
    76)
    \( c = b\ tg\ C \)
    82)
    \( a = c\ sc\ B \)

    71)
    \( b = \frac{c}{tg\ C} \)
    77)
    \( c = \frac{b}{tg\ B} \)
    83)
    \( a = \frac{c}{sn\ C} \)

    72)
    \( b = c\ ctg\ C \)
    78)
    \( c = b\ ctg\ B \)
    84)
    \( a = c\ csc\ C \)

    85)
    \( a^2 = b^2 + c^2 \)
    86)
    \( a = \sqrt{b^2 + c^2} \)

    87)
    \( b^2 = a^2 - c^2 \)
    88)
    \( b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{(a + c)(a - c)} \)

    89)
    \( c^2 = a^2 - b^2 \)
    90)
    \( c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{(a + b)(a - b)} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-03-01 00:00:00), página 20

CUESTIONES PROPUESTAS

19. Demostrar que en un rayo luminoso polarizado circularmente, la velocidad es constantemente igual al valor máximo que toma en ciertos momentos en cada uno de los dos rayos componentes.

20. Demostrar que el valor inverso de la resistencia de un conductor eléctrico múltiple es igual á la suma de los valores inversos de las resistencias de los conductores componentes.

21. Repartir 38 540 pesetas entre tres niños de 7, 10 \( \frac{1}{2} \) y 11 años de edad, de modo que, colocada á interés compuesto, al 4 \( \frac{1}{2} \) por 100, la parte de cada niño, vengan á reunir los tres la misma cantidad á la edad de 20 años.

22. El volante de una máquina de vapor da 180 vueltas en 5 minutos contados con un reloj que retrasa 2 minutos 40 segundos por día; ¿Cuál es el número exacto de vueltas que da el volante en un minuto?

23. Un kilogramo de hulla da 7 656 calorías; uno de leña 3 600. Un metro cúbico de leña pesa 360 kilogramos; un hectólitro de hulla pesa 48 kilogramos: pero el metro cúbico de leña cuesta 26 pesetas, y los 15 hectólitros de hulla 40 pesetas. ¿Qué ventaja hay en emplear uno de los dos combustibles con preferencia al otro?

24. Demostrar que \( n(n^2 + 5) \) es un múltiplo de 6, cualquiera que sea el número entero \( n \).

25. Hallar la mayor potencia de 11 que divida á 10 000!

26. Hallar dos números amigos, diferentes de 220 y 284.

27. Demostrar que una de las dos expresiones \( (2n+1)!+1 \) ó \( (2n+1)!-1 \) es siempre divisible por un número primo, de la forma \( 4n+3 \).

28. Hallar la condición con la cual deben cumplir dos círculos, dados por sus ecuaciones, para que se pueda trazar un triángulo inscripto en uno y circunscripto al otro.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-03-01 00:00:00), página 3

También pueden resolverse los triángulos rectilíneos rectángulos mediante el

Diagrama 6.º

formado con los conúmeros trigonométricos de los ángulos agudos B, C del triángulo, y con los elementos lineales \( a, b, c \) del mismo.

Aplicando las reglas establecidas para el diagrama 5.º, obtendremos:

91) \( \csn C = \frac{b}{a} \)
92) \( \ctg C = \frac{b}{c} \)
93) \( \csc C = \frac{a}{c} \)
94) \( \csn B = \frac{c}{a} \)
95) \( \ctg B = \frac{c}{b} \)
96) \( \csc B = \frac{a}{b} \)

97) \( b = a \csn C \)
103) \( c = a \csn B \)
109) \( a = b \csc B \)
98) \( b = \frac{a}{\csc B} \)
104) \( c = \frac{a}{\csc C} \)
110) \( a = \frac{b}{\csn C} \)
99) \( b = a \sn B \)
105) \( c = a \sn C \)
111) \( a = b \sc C \)
100) \( b = c \ctg C \)
106) \( c = b \ctg B \)
112) \( a = c \csc C \)
101) \( b = \frac{c}{\ctg B} \)
107) \( c = \frac{b}{\ctg C} \)
113) \( a = \frac{c}{\csn B} \)
102) \( b = c \tg B \)
108) \( c = b \tg C \)
114) \( a = c \sc B \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-03-01 00:00:00), página 4

Pueden asimismo resolverse los triángulos rectilíneos rectángulos mediante el

Diagrama 7.º

formado con los números trigonométricos de uno de los ángulos agudos B, con los conúmeros del mismo, y con los elementos lineales \( a, b, c \) del triángulo.

Aplicando las mismas reglas que en los casos anteriores, obtendremos:

115) \( sn\ B = \frac{b}{a} \)
116) \( tg\ B = \frac{b}{c} \)
117) \( sc\ B = \frac{a}{c} \)

118) \( csn\ B = \frac{c}{a} \)
119) \( ctg\ B = \frac{c}{b} \)
120) \( csc\ B = \frac{a}{b} \)

121) \( b = a\ sn\ B \)
125) \( c = a\ csn\ B \)
129) \( a = b\ csc\ B \)

122) \( b = \frac{a}{csc\ B} \)
126) \( c = \frac{a}{sc\ B} \)
130) \( a = \frac{b}{sn\ B} \)

123) \( b = c\ tg\ B \)
127) \( c = b\ ctg\ B \)
131) \( a = c\ sc\ B \)

124) \( b = \frac{c}{ctg\ B} \)
128) \( c = \frac{b}{tg\ B} \)
132) \( a = \frac{c}{csn\ B} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-03-01 00:00:00), página 5

Igualmente pueden resolverse los triángulos rectilíneos rectángulos mediante el

Diagrama 8.º

formado con los conúmeros trigonométricos del ángulo agudo C, con los números del mismo, y con los elementos lineales \(a\), \(b\), \(c\) del triángulo.

Aplicando las mismas reglas que en los casos anteriores, obtendremos:

133) \(csn\ C = \frac{b}{a}\)
134) \(ctg\ C = \frac{b}{c}\)
135) \(csc\ C = \frac{a}{c}\)
136) \(sn\ C = \frac{c}{a}\)
137) \(tg\ C = \frac{c}{b}\)
138) \(sc\ C = \frac{a}{b}\)
139) \(b = a\ csn\ C\)
140) \(b = \frac{a}{sc\ C}\)
141) \(b = c\ ctg\ C\)
142) \(b = \frac{c}{tg\ C}\)
143) \(c = a\ sn\ C\)
144) \(c = \frac{a}{csc\ C}\)
145) \(c = b\ tg\ C\)
146) \(c = \frac{b}{ctg\ C}\)
147) \(a = b\ sc\ C\)
148) \(a = \frac{b}{csn\ C}\)
149) \(a = c\ csc\ C\)
150) \(a = \frac{c}{sn\ C}\)

(Se continuará.)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-03-01 00:00:00), página 6

TEORÍA SUCINTA DE LAS FUNCIONES HÍPERBÓLICAS

(Continuación. Véase pág. 34)

Dividiendo la primera de estas relaciones por la tercera, se halla

\[
\frac{\mathrm{Sh}\ m + \mathrm{Sh}\ n}{\mathrm{Ch}\ m + \mathrm{Ch}\ n} = \mathrm{Th}\ \frac{1}{2}\ (m + n).
\]

8. Expresión de las funciones hiperbólicas por medio de las funciones circulares. Pongamos

\[
\mathrm{Ch}\ t \cos \theta = 1,
\]
siendo \( \theta \) un ángulo comprendido entre \(-90^\circ\) y \(+90^\circ\) y del mismo signo que \( t \). Este ángulo, llamado amplitud hiperbólica de \( t \), se representa abreviadamente por la notación \( \mathrm{Amh}\ t \).

Dedúcese fácilmente de (1)

\[
\begin{align*}
\mathrm{Ch}\ t &= \sec \theta, & \mathrm{Sech}\ t &= \cos \theta, \\
\mathrm{Sh}\ t &= \tang \theta, & \mathrm{Cosech}\ t &= \cot \theta, \\
\mathrm{Th}\ t &= \sen \theta, & \mathrm{Cot}\ t &= \cosec \theta,
\end{align*}
\]
y también el teorema de Laisant, á saber

\[
\mathrm{Th}\ \frac{1}{2}\ t = \frac{2\ \mathrm{Sh}\ \frac{1}{2}\ t\ \mathrm{Ch}\ \frac{1}{2}\ t}{2\ \mathrm{Ch}^2\ \frac{1}{2}\ t} = \frac{\mathrm{Sh}\ t}{1 + \mathrm{Ch}\ t} = \frac{\tang \theta}{1 + \frac{1}{\cos \theta}} =
\]
\[
= \frac{\sen \theta}{1 + \cos \theta} = \tang \frac{1}{2}\ \theta.
\]

Se tiene, en consecuencia,

\[
e^t = \mathrm{Ch}\ t + \mathrm{Sh}\ t = \frac{1 + \sen \theta}{\cos \theta} = \tang \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right)
\]
\[
t = \log.\ \mathrm{nep.}\ \tang \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right)
\]
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-03-01 00:00:00), página 7

9. Tabla de funciones hiperbólicas. Para transformar en tabla de funciones hiperbólicas una tabla de funciones circulares, basta añadir á ésta una columna que contenga los valores de t correspondientes á los diversos valores de θ desde 0 á 90°. Así es como ha procedido Hoüel en sus Tablas con 4 decimales, que ocupan diez páginas de su Recueil de Formules et de Tables numériques (Paris, Gauthier-Villars, 1866; 3me édition, 1884). Da en seis columnas los valores de

sen θ,  cosec θ,  tan θ, - cot θ,  sec θ,  cos θ,

para cada milésimo del cuadrante. Al lado de los valores de θ están inscritos los valores correspondientes de t. Por tanto, las seis columnas dan también, para estos valores de t, los valores de

Th t,  Coth t,  Sh t,  Cosech t,  Ch t,  Sech t.

Otras diez páginas, fronteras á las primeras, hacen conocer los logaritmos de los números contenidos en las seis columnas, y además los valores de Mt, siendo M el módulo de los logaritmos vulgares ó logaritmos de Briggs, de suerte que

\[
Mt = \text{Log. Briggs} \ \text{tang} \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\theta}{2} \right).
\]

En el caso de ser t bastante grande, el valor de Mt es útil para calcular el logaritmo vulgar de \( \frac{1}{2} e^t = \text{Sh } t = \text{Ch } t \). Se tiene, en efecto,

\[
\text{Log. Briggs} \ \frac{1}{2} \ e^t = Mt - \text{Log. Briggs} \ 2 = Mt - 0,80103.
\]

He aquí una tablita análoga á la de Hoüel, que da para todos los grados del cuadrante los valores naturales de las funciones hiperbólicas y circulares.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-03-01 00:00:00), página 8

TABLA DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS Y CIRCULARES

    t
    θ
    Th t sen θ
    Coth t cosec θ
    Sh t tang θ
    Cosech t cot θ
    Ch t sec θ
    Sech t cos θ
    *
    *

    0,0000
    0°
    0,0000
    ∞
    0,0000
    ∞
    1,0000
    1,0000
    90°
    ∞

    0,0175
    1°
    0,0175
    57,2987
    0,0175
    57,2900
    1,0002
    0,9998
    89°
    4,7413

    0,0349
    2°
    0,0349
    28,6537
    0,0349
    28,6363
    1,0006
    0,9994
    88°
    4,0481

    0,0524
    3°
    0,0523
    19,1073
    0,0524
    19,0811
    1,0014
    0,9986
    87°
    3,6425

    0,0699
    4°
    0,0698
    14,3356
    0,0699
    14,3007
    1,0024
    0,9976
    86°
    3,3548

    0,0874
    5°
    0,0872
    11,4737
    0,0875
    11,4301
    1,0038
    0,9962
    85°
    3,1313

    0,1049
    6°
    0,1045
    9,5668
    0,1051
    9,5144
    1,0055
    0,9945
    84°
    2,9487

    0,1225
    7°
    0,1219
    8,2055
    0,1228
    8,1443
    1,0075
    0,9925
    83°
    2,7942

    0,1401
    8°
    0,1392
    7,1853
    0,1405
    7,1154
    1,0098
    0,9903
    82°
    2,6603

    0,1577
    9°
    0,1564
    6,3925
    0,1584
    6,3138
    1,0124
    0,9877
    81°
    2,5424

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    68°
    1,6379

* * cos θ sec θ cot θ tang θ cosec θ sen θ Th t
Sech t Ch t Cosech t Sh t Coth t Th t