ferjorosa/bne-hemeroteca-ocr-xix huggingface dataset:
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tud de la curva de senos es una función armónica sencilla del tiempo; y el periodo es el llamado fundamental ó un submúltiplo de este mismo. Cada movimiento vibratorio de esta clase es posible dinámicamente, y cualquier número de ellos pueden coexistir, cada uno con independencia de los otros.

Ajustando la amplitud y fase iniciales de cada movimiento vibratorio de modo adecuado para que el movimiento resultante constituya el estado inicial de la cuerda, tendremos una nueva representación del movimiento completo de la cuerda, el cual aparecerá, por lo tanto, como resultante de una serie de vibraciones armónicas sencillas cuyos periodos serán los fundamentales ó submúltiplos de los mismos. Problema de análisis armónico será el hallar las amplitudes y fases de varias vibraciones armónicas sencillas que cumplan con las condiciones iniciales.

Tenemos, pues, dos métodos para resolver la ecuación diferencial parcial del movimiento de una cuerda. El primero, es decir, el que llamábamos método ondulatorio, da la solución en una fórmula donde queda una función arbitraria, cuya índole ha de fijarse con sujeción á condiciones iniciales. El segundo, esto es, el método armónico, da una serie de términos que envuelven senos y cosenos, cuyos coeficientes han de determinarse. De un modo más general puede definirse el método armónico como aquel por cuyo medio el problema plantead se resuelve por una suma ó una resultante de términos, cada uno de los cuales es solución de un caso particular del problema. Defíñese la índole de estos casos particulares por la condición de que cada dos de ellos sean conjugados uno de otro.

La prueba matemática de esta conjunción es que la energía del sistema, nacida de dos movimientos armónicos coexistentes, sea igual á la suma de las energías que provengan de esos dos movimientos por separado. En otros términos, ninguna parte de la energía depende del producto de las amplitudes de los dos distintos movimientos armónicos. Cuando dos movimientos componentes de un mismo sistema son conjugados, cada uno se efectúa con independencia del otro.
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El caso más sencillo de análisis armónico, es decir, aquel de que es un ejemplo el estudio de una cuerda vibrante, se resuelve por completo con el llamado teorema de Fourier, el cual establece que toda función, de un período variable sencillo \( p \), que en ninguna fase se vuelve infinita, puede desarrollarse según una fórmula compuesta de un término constante y de dos series de términos, de las cuales una contiene los cosenos y otra los senos de los múltiplos de la fase. Así, suponiendo \( \varphi (\xi) \) función periódica de la variable \( \xi \), con un período \( p \), se tendrá

\[
\varphi (\xi) = A_0 + \sum_{i=1}^{\infty} A_i \cos \frac{2 i \pi \xi}{p} + \sum_{i=1}^{\infty} B_i \sen \frac{2 i \pi \xi}{p}
\] (1)

El problema que más á menudo acontece y que, á la vez, con mayor facilidad se resuelve, consiste en hallar los valores de los coeficientes \( A_0, A_i, B_i \), los cuales están dados por las fórmulas

\[
A_0 = \frac{1}{p} \int_0^p \varphi (\xi) d\xi,
\]

\[
A_i = \frac{2}{p} \int_0^p \varphi (\xi) \cos \frac{2 i \pi \xi}{p} d\xi,
\]

\[
B_i = \frac{2}{p} \int_0^p \varphi (\xi) \sen \frac{2 i \pi \xi}{p} d\xi,
\]

como puede verse desde luego, multiplicando los dos miembros de la igualdad (1) por uno ú otro de los tres factores

\[
d\xi, \quad \cos \frac{2 i \pi \xi}{p} d\xi, \quad \sen \frac{2 i \pi \xi}{p} d\xi,
\]

é integrando después entre 0 y \( p \).

Es evidente que la serie antedicha sólo posee un valor para cada valor dado de \( \xi \), y por tanto no puede representar una función de \( \xi \) que alcance más de un valor ó se vuelva
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-05-01 00:00:00), página 17

imaginaria con cierto valor de \( \xi \). Esa serie es convergente y para todo valor de \( \xi \) se aproxima al verdadero de \( \varphi (\xi) \) de manera que si \( \xi \) varía de un modo continuo ó por grados infinitamente pequeños, la función variará del mismo modo.

Aprovechando Sir William Thomson la máquina de integrar inventada por su hermano el profesor James Thomson, construyó otra por cuyo medio, ya registrada la curva que deja en pos una cantidad variable periódicamente, como la altura de las mareas, la temperatura ó presión de la atmósfera, ó la intensidad de las componentes del magnetismo terrestre, pueden obtenerse á un tiempo ocho integrales de las requeridas en la serie de Fourier. Es verdad que en vez de trazar la acción de la marea una curva, y la máquina otra curva después, pudiera el eje cronométrico de la misma máquina ser impelido por un reloj y la propia marea señalar la segunda variable de la máquina; pero, aparte de que así se invertiría más tiempo, sería menester contar con una máquina costosa en cada estación donde se midieran las mareas.

No carecerá de interés advertir de paso la analogía que los métodos matemáticos y mecánicos del análisis armónico tienen con los procedimientos dinámicos que se siguen cuando un rayo de luz compuesta se resuelve en vibraciones simples por medio de un prisma, ó cuando un sonido armónico particular se destaca de un tono complejo con un resonador, ó cuando la onda sonora, sumamente complicada, que lanza una orquesta ó bien la discorde gritería que produce una multitud de gente son traducidas en notas musicales ó en palabras distintas por quien escucha atentamente, provisto del arpa de tres mil cuerdas, cuya resonancia en el pabellón de su oído le hace distinguir las múltiples componentes de las ondas del océano aéreo.
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SOLUCIONES DE CUESTIONES PROPUESTAS

CUESTIÓN 9

Siendo \( p \) un número primo con 10, demostrar que se puede siempre encontrar un múltiplo de \( p \) terminado por cifras arbitrarias.

SOLUCIÓN

El número \( p \) por ser primo con 10 ha de terminar en 1, 3, 7 ó 9.

Si examinamos los múltiplos de los números 1, 3, 7 y 9, notaremos que en cada uno de los cuatro grupos cada múltiplo termina por una cifra diferente, y como hay diez múltiplos están empleadas todas las cifras de la numeración; luego cuando el número de cifras arbitrarias de que se trata es uno podemos decir que está demostrado el teorema.

Supongamos ahora para la demostración general, que las cifras terminales escogidas son \( a, b, c \) y \( d \); el número completo será \( Nabcd \), llamando \( N \) al grupo de cifras indeterminadas que preceden al grupo terminal \( abcd \).

Cualquiera que sea la cifra \( d \), siempre se puede hallar un número de una cifra que multiplicado por \( p \) dé un producto que termine en \( d \); si este producto lo restamos del número \( Nabcd \) quedará un resto de la forma \( N_1a_1b_1c_1o \).

Cualquiera que sea la cifra \( c_1 \) siempre es posible hallar un número de una sola cifra que multiplicado por \( p \) dé un producto que termine en \( c_1 \); si este producto lo restamos del número \( N_1a_1b_1c_1 \) llegaremos á un resto de la forma \( N_2a_2b_2o \).

De este modo llegaremos á un resto \( N_3a_3 \), en el cual \( N_3 \) ha de tener por lo menos \( m - 1 \) cifras, siendo \( m \) el número de cifras que tiene \( p \), y, como hemos demostrado, puede hallarse un número de una sola cifra que multiplicado por \( p \) dé un producto que termine en \( a_3 \). Formando un número cuyas cifras sean las que hemos utilizado como multiplicadores de-
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p queda demostrada la existencia de un número que multiplicado por p da un producto que termina en abcd.

JOSÉ LLUCH MELÉNDEZ,
Alumno de 1.º año de la Facultad de Ciencias de Valencia.

OTRA SOLUCIÓN

Primeramente, los productos de p por los nueve primeros números tendrán distinta cifra de unidades, pues si fueran

\[
ap = 10q + r,
\]
\[
a'p = 10q' + r,
\]

sería
\[
(a - a')p = 10(q - q');
\]

y siendo p primo con 10, deberá ser \(a - a'\) divisible por este número, que es mayor que dicha diferencia.

Infiérese de aquí que existe un número dígito, por el cual multiplicado p, da un producto terminado en una cifra de unidades prefijada y distinta de cero.

Esto sentado, es fácil ver, por la siguiente multiplicación de números cuyas últimas cifras están indicadas por letras

\[
\begin{array}{l}
p = \ldots v \mu \lambda \\
n = \ldots \gamma \beta \alpha \\
\phantom{p} \ldots a'a'a \\
\phantom{p} \ldots b'b' \\
\phantom{p} \ldots .c'' \\
\phantom{p} \ldots . . . . . \\
m = \ldots . . . . . c'ba
\end{array}
\]

que, siendo p primo con 10, el producto de p por n será un número m terminado en cifras dadas ...cba, si las últimas cifras del factor n se eligen de manera que el producto de p por \(a\) termine en \(a\), el de p por \(b\) acabe en \(b' = b - a'\), el de p por \(c\) acabe en \(c'' = c - b'' - a''\), y así prosiguiendo.

LORENZO MIRALLES.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-05-01 00:00:00), página 2

de los ángulos opuestos, respectivamente divididos por el seno y el coseno de la diferencia de los mismos.

De él se derivan las relaciones ó analogías de Mollweide mediante la siguiente regla, casi idéntica á la correspondiente al diagrama 2.

Una expresión extrema cualquiera del diagrama es igual al cociente de las dos que le son consecutivas en su recta, ó bien un extremo cualquiera del diagrama es igual al recíproco del otro extremo de la misma recta.

Aplicando esta regla obtendremos

193) \[
\frac{a + b}{c} = \frac{\csn \frac{1}{2} (\Lambda - B)}{\csn \frac{1}{2} (\Lambda + B)}
\]

194) \[
\frac{a - b}{c} = \frac{\sn \frac{1}{2} (\Lambda - B)}{\sn \frac{1}{2} (\Lambda + B)}
\]

resultados que admiten entre otras las siguientes formas

195) \[
\frac{a + b}{c} = \frac{\sc \frac{1}{2} (\Lambda + B)}{\sc \frac{1}{2} (\Lambda - B)}
\]

196) \[
\frac{a - b}{c} = \frac{\csc \frac{1}{2} (\Lambda + B)}{\csc \frac{1}{2} (\Lambda - B)}
\]

197) \[
\frac{a + b}{c} = \sc \frac{\Lambda + B}{2} \csn \frac{\Lambda - B}{2}
\]

198) \[
\frac{a - b}{c} = \csc \frac{\Lambda + B}{2} \sn \frac{\Lambda - B}{2}
\]
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-05-01 00:00:00), página 20

CUESTIÓN 10

Resolver el problema anterior (cuestión 9) en un sistema de numeración de base B, siendo p primo con B.

SOLUCIÓN

Los números 1, B, B^2, B^3, ..., primos todos con p, divididos por este número, dan restos, inferiores á p y distintos de 0, que deben desde el primero repetirse, pues si B^r y B^n dan restos iguales, se tendrá

\[
B^r \equiv B^n \pmod{p} \quad \text{o} \quad B^n (B^{r-n} - 1) = \dot{p};
\]

luego

\[
B^{r-n} \equiv 1 \pmod{p}.
\]

Mas si B^a es uno de los dividendos que dan por resto 1, se expresará esto, escribiendo la igualdad

\[
B^a - 1 = \dot{p},
\]

de la cual se infiere que multiplicando el primer miembro por los números, todos ellos de una cifra, menos el primero que es la base, puestos en la primera de las dos columnas siguientes, se tendrán los múltiplos de p contenidos en la segunda:

    B
    B^{a+1} \ldots - B + 0

    B - 1
    B^{a+1} - B^a - B + 1

    B - 2
    B^{a+1} - B^a - 2B + 2

    \vdots
    \vdots

    B - (B - 1)
    B^{a+1} - B^a - (B - 1) B + (B - 1);\end{array}

pero como el último término de cada uno de estos múltiplos es una sola cifra, que varía de 0 á B - 1, y los otros términos acaban en cero, queda demostrada la proposición para la última cifra. Fácil es generalizarla á las demás.

Jorge Luzón.

Toledo.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-05-01 00:00:00), página 3

199) \( \frac{a + b}{a - b} = \frac{tg \frac{1}{2}(A + B)}{tg \frac{1}{2}(A - B)} \)

200) \( \frac{a + b}{a - b} = \frac{ctg \frac{1}{2}(A - B)}{ctg \frac{1}{2}(A + B)} \)

201) \( \frac{a + b}{a - b} = tg \frac{A + B}{2} ctg \frac{A - B}{2} \)

202) \( \frac{a + b}{c} = \frac{csn \frac{1}{2}(A - B)}{sn \frac{1}{2} C} \)

203) \( \frac{a - b}{c} = \frac{sn \frac{1}{2}(A - B)}{csn \frac{1}{2} C} \)

204) \( \frac{a + b}{c} = \frac{csc \frac{1}{2} C}{se \frac{1}{2}(A - B)} \)

205) \( \frac{a - b}{c} = \frac{sc \frac{1}{2} C}{csc \frac{1}{2}(A - B)} \)

206) \( \frac{a + b}{c} = csn \frac{A - B}{2} csc \frac{C}{2} \)

207) \( \frac{a - b}{c} = sn \frac{A - B}{2} sc \frac{C}{2} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-05-01 00:00:00), página 4

208) \( \frac{a + b}{a - b} = \frac{\operatorname{ctg} \frac{1}{2} C}{\operatorname{tg} \frac{1}{2} (A - B)} \)

209) \( \frac{a + b}{a - b} = \frac{\operatorname{ctg} \frac{1}{2} (A - B)}{\operatorname{tg} \frac{1}{2} C} \)

210) \( \frac{a + b}{a - c} = \operatorname{ctg} \frac{A - B}{2} \operatorname{ctg} \frac{C}{2} \)

Para el cálculo simultáneo de dos ángulos B, C, de un triángulo, en función de los lados opuestos \( a, b \), y del ángulo C comprendido por ellos, se emplean usualmente las siguientes fórmulas

211) \( \left\{ \begin{array}{l}
\frac{A + B}{2} = 90^{\circ} - \frac{C}{2} \\
\operatorname{tg} \frac{A - B}{2} = \frac{a - b}{a + b} \operatorname{ctg} \frac{C}{2}
\end{array} \right. \)

212) \( \left\{ \begin{array}{l}
\frac{A + B}{2} = 90^{\circ} - \frac{C}{2} \\
\operatorname{ctg} \frac{A - B}{2} = \frac{a + b}{a - b} \operatorname{tg} \frac{C}{2}
\end{array} \right. \)

y el tercer lado \( c \) se obtiene por una de las fórmulas

213) \( c = (a + b) \frac{\operatorname{sn} \frac{C}{2}}{\operatorname{csn} \frac{A - B}{2}} \)

214) \( c = (a + b) \operatorname{sc} \frac{A - B}{2} \operatorname{sn} \frac{C}{2} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-05-01 00:00:00), página 5

215) \( c = (a - b) \frac{csn}{2} \frac{C}{sn \frac{A - B}{2}} \)

216) \( c = (a - b) \csc \frac{A - B}{2} \csn \frac{C}{2} \)

Conocidos en un triángulo un lado \( a \) y los ángulos \( B, C \), adyacentes al mismo, se calculan simultáneamente los lados \( b, c \), opuestos á los ángulos dados, por las fórmulas

217) \( b + c = a \frac{B + C}{2} \frac{sc}{B - C} \frac{2}{sc} \)

218) \( b + c = a \ sc \frac{B + C}{2} \ csn \frac{B - C}{2} \)

219) \( b - c = a \ sn \frac{B - C}{2} \frac{2}{sn} \frac{B + C}{2} \)

220) \( b - c = a \ sn \frac{B - C}{2} \csc \frac{B + C}{2} \)

que se derivan de las (195), (197), (194) y (198), por evolución circular entre los elementos \( a, b, c \) y \( A, B, C \).

El ángulo \( A \) se halla por la relación

\[
A = 180^{\circ} - (B + C)
\]

(Se continuará.)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-05-01 00:00:00), página 6

TEORÍA SUCINTA DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

(Continuación. Véase pág. 71)

III. Derivadas, integrales, series

16. Derivadas é integrales. Se encuentra inmediatamente, escribiendo D en vez de \( D_x \).

\[
\begin{align*}
D \operatorname{Sh} x &= \operatorname{Ch} x, & \int \operatorname{Ch} x \, dx &= \operatorname{Sh} x, \\
D \operatorname{Ch} x &= \operatorname{Sh} x, & \int \operatorname{Sh} x \, dx &= \operatorname{Ch} x, \\
D \operatorname{Th} x &= \frac{1}{\operatorname{Ch}^2 x}, & \int \frac{dx}{\operatorname{Ch}^2 x} &= \operatorname{Th} x, \\
D \operatorname{Coth} x &= -\frac{1}{\operatorname{Sh}^2 x} & \int \frac{dx}{\operatorname{Sh}^2 x} &= -\operatorname{Coth} x, \\
D l \operatorname{Sh} x &= \operatorname{Coth} x, & \int \operatorname{Coth} x \, dx &= l \operatorname{Sh} x, \\
D l \operatorname{Ch} x &= \operatorname{Th} x; & \int \operatorname{Th} x \, dx &= l \operatorname{Ch} x.
\end{align*}
\]

Para las funciones hiperbólicas inversas resulta

\[
\begin{align*}
D \operatorname{Arg} \operatorname{Ch} x &= D \pm l (x + \sqrt{x^2 - 1}) = \frac{\pm 1}{\sqrt{x^2 - 1}}, & (x > 1) \\
D \operatorname{Arg} \operatorname{Sh} x &= D l (x + \sqrt{x^2 + 1}) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}} \\
D \operatorname{Arg} \operatorname{Th} x &= D \frac{1}{2} l \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right) = \frac{1}{1 - x^2}, & (x^2 < 1) \\
D \operatorname{Arg} \operatorname{Coth} x &= D \frac{1}{2} l \left( \frac{x + 1}{x - 1} \right) = \frac{1}{1 - x^2}, & (x^2 > 1) \\
D \operatorname{Arg} \operatorname{Sech} x &= D \pm l \left( \frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x} \right) = \frac{\pm 1}{x \sqrt{1 - x^2}} & (x < 1)
\end{align*}
\]
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-05-01 00:00:00), página 7

D Arg Cosech \( x = D l \left( \frac{1 + \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}}}{x} \right) = \frac{-1}{x \sqrt{1 + x^2}} \).

Las fórmulas correspondientes en cálculo integral son

\[
\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 - 1}} = l (x + \sqrt{x^2 - 1}) = \pm \operatorname{Arg} \operatorname{Ch} x, \quad (x > 1)
\]

\[
\int \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 1}} = l (x + \sqrt{x^2 + 1}) = \operatorname{Arg} \operatorname{Sh} x,
\]

\[
\int \frac{dx}{1 - x^2} = l \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}} = \operatorname{Arg} \operatorname{Th} x, \quad (x^2 < 1)
\]

\[
\int \frac{dx}{1 - x^2} = l \sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}} = \operatorname{Arg} \operatorname{Coth} x, \quad (x^2 > 1)
\]

\[
\int \frac{dx}{x \sqrt{1 - x^2}} = - l \left( \frac{1 + \sqrt{1 - x^2}}{x} \right) = \operatorname{Arg} \operatorname{Sech} x, \quad (x < 1)
\]

\[
\int \frac{dx}{x \sqrt{1 + x^2}} = - l \left( \frac{1 + \sqrt{1 + x^2}}{x} \right) = - \operatorname{Arg} \operatorname{Cosech} x,
\]

análogas á fórmulas conocidas relativas á las funciones circulares inversas.

Las integrales que contienen funciones hiperbólicas se obtienen, en general, por procedimientos semejantes á los que dan las integrales que contienen funciones circulares. Ejemplos:

\[
\int \frac{dx}{\operatorname{Sh} x} = \int \frac{dx}{2 \operatorname{Sh} \frac{1}{2} x \operatorname{Ch} \frac{1}{2} x} = \int \frac{d \frac{1}{2} x}{\operatorname{Ch}^2 \frac{1}{2} x} / \operatorname{Th} \frac{1}{2} x = l \operatorname{Th} \frac{1}{2} x
\]

\[
\int \frac{dx}{\operatorname{Ch} x} = \int \frac{dx}{\operatorname{Ch}^2 \frac{1}{2} x + \operatorname{Sh}^2 \frac{1}{2} x} = 2 \int \frac{d \operatorname{Th} \frac{1}{2} x}{1 + \operatorname{Th}^2 \frac{1}{2} x} = 2 \operatorname{arc tang} \operatorname{Th} \frac{1}{2} x
\]
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-05-01 00:00:00), página 8

Observación. Si se tiene Ch t cos θ = 1, se encuentra

\[
\frac{dθ}{dt} = \cos θ, \quad \frac{dt}{dθ} = \mathrm{Ch}\ t.
\]

17. Series. Los principales desarrollos en serie de las funciones hiperbólicas se obtienen tan fácilmente como los de las funciones circulares.

Se sabe que, para todo valor real de x,

\[
e^x = 1 + \frac{x}{1} + \frac{x^2}{1.2} + \frac{x^3}{1.2.3} + \frac{x^4}{1.2.3.4} + \text{etc.},
\]
\[
e^{-x} = 1 - \frac{x}{1} + \frac{x^2}{1.2} - \frac{x^3}{1.2.3} + \frac{x^4}{1.2.3.4} - \text{etc.}
\]

De donde, por adición y sustracción,
\[
\mathrm{Ch}\ x = 1 + \frac{x^2}{1.2} + \frac{x^4}{1.2.3.4} + \frac{x^6}{1.2.3.4.5.6} + \text{etc.}, \tag{a}
\]
\[
\mathrm{Sh}\ x = x + \frac{x^3}{1.2.3} + \frac{x^5}{1.2.3.4.5} + \frac{x^7}{1.2.3.4.5.6.7} + \text{etc.}, \tag{b}
\]
fórmulas análogas á las
\[
\mathrm{Cos}\ x = 1 - \frac{x^2}{1.2} + \frac{x^4}{1.2.3.4} - \frac{x^6}{1.2.3.4.5.6} + \text{etc.}, \tag{c}
\]
\[
\mathrm{Sin}\ x = x - \frac{x^3}{1.2.3} + \frac{x^5}{1.2.3.4.5} - \frac{x^7}{1.2.3.4.5.6.7} + \text{etc.} \tag{d}
\]

De aquí se deduce fácilmente
\[
\frac{1}{2} (\mathrm{Ch}\ x + \mathrm{cos}\ x) = 1 + \frac{x^4}{1.2.3.4} + \frac{x^8}{1.2.3.4.5.6.7.8} + \text{etc.},
\]
\[
\frac{1}{2} (\mathrm{Ch}\ x - \mathrm{cos}\ x) = \frac{x^2}{1.2} + \frac{x^6}{1.2.3.4.5.6} + \text{etc.},
\]
\[
\frac{1}{2} (\mathrm{Sh}\ x + \mathrm{sin}\ x) = \frac{x}{1} + \frac{x^5}{1.2.3.4.5} + \text{etc.},
\]
\[
\frac{1}{2} (\mathrm{Sh}\ x + \mathrm{sin}\ x) = \frac{x^3}{1.2.3} + \frac{x^7}{1.2.3.4.5.6.7} + \text{etc.},
\]

(Se continuará.)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-05-01 00:00:00), página 9

NUEVA DEMOSTRACIÓN

de las

fórmulas trigonométricas de un ángulo igual á la suma
ó diferencia de dos dados

Me propongo, en esta corta nota, deducir por medio de consideraciones estereométricas las fórmulas que expresan el valor del seno y coseno de \( \alpha \pm \beta \). No conozco ningún autor que dé una demostración semejante á la que presento, y me ha complacido siempre en extremo buscar el enlace entre la Geometría plana y la del espacio, lo que en algunos casos proporciona demostraciones más sencillas, y en otros, por lo menos, un concepto más claro del asunto, ofreciendo generalizaciones curiosas. Tales razones me inducen á publicar estas líneas.

Es conocido que la raíz cuadrada de la determinante de tercer orden

\[
\begin{vmatrix}
1 & \cos \alpha & \cos \beta \\
\cos \alpha & 1 & \cos \gamma \\
\cos \beta & \cos \gamma & 1
\end{vmatrix}
\]

cuyo valor es susceptible de tomar todos los comprendidos entre \( -1 \) y \( +1 \), éstos incluidos, ha sido denominada por el geómetra alemán Christián von Staudt, seno de un triángulo cuyas caras son \( \alpha, \beta, \gamma \). Es evidente que dos triángulos simétricos tendrán igual seno.

Si se quiere dar á esta definición una interpretación geo-
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-07-01 00:00:00), página 1

ARCHIVO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

Núm. 7 JULIO 1896

SUMARIO.—Diagramas mnemónicos de Trigonometría, por D. Luis G. Gasco. (Continuación.)—Teoría sucinta de las funciones hiperbólicas, por P. Mansion. (Continuación.)—Movimiento armónico, por P. G. Tait. (Continuación.)—Curiosidades.—Soluciones de cuestiones propuestas.

DIAGRAMAS MNEMÓNICOS DE TRIGONOMETRÍA

(Continuación. Véase pág. 105)

Pueden asimismo resolverse los triángulos esféricos rectángulos mediante el

Diagrama 14

formado con los números trigonométricos \( sc \), \( tg \) y \( sn \) de los ángulos oblicuos C, B del triángulo, y con los conúmeros \( clg \) y \( esc \) de los elementos lineales \( a \), \( b \), \( c \) del mismo.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-07-01 00:00:00), página 10

se infiere que la época del movimiento resultante estará dada por la relación

\[
\tan Q = \frac{a \sen \varepsilon + a' \sen \varepsilon'}{a \cos \varepsilon + a' \cos \varepsilon'}
\]

cuyo valor se ve claramente que es intermedio entre los de \( \tan \varepsilon \) y \( \tan \varepsilon' \), cuando los ángulos \( \varepsilon \) y \( \varepsilon' \) son ambos positivos é inferiores á \( \frac{1}{2} \pi \).

Si los periodos de los movimientos componentes no fueran iguales, bastaría un leve artificio para aplicar el mismo método de composición. Pues se tendría

\[
x = a \cos (\omega t + \varepsilon) + a' \cos (\omega' t + \varepsilon')
\]
\[
= a \cos (\omega t + \varepsilon) + a' \cos (\omega t + \varepsilon' + (\omega' - \omega) t),
\]

por donde se ve que los antedichos valores de P y Q aun cumplirían las condiciones expresadas si en vez de \( \varepsilon' \) se escribiera \( \varepsilon' + (\omega' - \omega) t \). Luego podrían considerarse los dos movimientos componentes como si fuesen de igual periodo, con tal que la época de uno de ellos aumentara constantemente con una velocidad angular igual á la diferencia de las velocidades angulares en las circunferencias de los dos movimientos componentes. El triángulo OPQ no conservaría entonces invariable su forma, sino que pasaría de un modo gradual ó continuo por todas las que cabe darle variando las diferencias de fase de los movimientos armónicos componentes. Es claro que el periodo en que volvería á su primitivo valor sería \( \frac{2 \pi}{\omega' - \omega} \) y por consiguiente tanto mayor cuanto menos discreparan los periodos de los movimientos componentes.

7. Ofrecen las mareas uno de los mejores ejemplos de los principios establecidos. Si fueran producidas solamente por el sol ó por la luna, el nivel del mar, dos veces por día, solar ó lunar, tendría en cualquier punto dado una alza y otras dos veces una baja, con movimiento próximamente armónico sencillo, cuya fase dependería tan sólo de la distancia á que el cuerpo productor de la marea se hallara del meridiano supe-