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Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-09-01 00:00:00), página 2

los ángulos A, B, C y el semiexceso indicado. De él se derivan las expresiones trigonométricas usuales del cuadrado de la mitad de un lado esférico \(a\), y las especiales de Mendoza, que dan el valor directo del ángulo entero.

Aplicando las mismas reglas que en los dos diagramas anteriores, obtendremos:

501) \(vr\ a = \frac{sn\ E; sn(A-E)}{sn\ B\ sn\ C}\)

502) \(vr\ a = sn\ E\ sn(A-E)\ csc\ B\ csc\ C\)

503) \(sn^2 \frac{a}{2} = \frac{sn\ E\ sn(A-E)}{sn\ B\ sn\ C}\)

504) \(sn \frac{a}{2} = \sqrt{sn\ E\ sn(A-E)\ csc\ B\ csc\ C}\)

505) \(tg^2 \frac{a}{2} = \frac{sn\ E\ sn(A-E)}{sn(B-E)\ sn(C-E)}\)

506) \(tg \frac{a}{2} = \sqrt{sn\ E\ sn(A-E)\ csc(B-E)\ csc(C-E)}\)

507) \(sc^2 \frac{a}{2} = \frac{sn\ B\ sn\ C}{sn(B-E)\ sn(C-E)}\)

508) \(sc \frac{a}{2} = \sqrt{sn\ B\ sn\ C\ csc(B-E)\ csc(C-E)}\)

509) \(sv\ a = \frac{sn(B-E)\ sn(C-E)}{sn\ B\ sn\ C}\)

510) \(sv\ a = sn(B-E)\ sn(C-E)\ csc\ B\ csc\ C\)

511) \(csn^2 \frac{a}{2} = \frac{sn(B-E)\ sn(C-E)}{sn\ B\ sn\ C}\)

512) \(csn \frac{a}{2} = \sqrt{sn(B-E)\ sn(C-E)\ csc\ B\ csc\ C}\)

513) \(ctg^2 \frac{a}{2} = \frac{sn(B-E)\ sn(C-E)}{sn\ E\ sn(A-E)}\)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-09-01 00:00:00), página 20

TERCERA DEMOSTRACIÓN

Suponiendo \( n = 1 \), \( n (n^2 + 5) \) es divisible por 6, y vamos á demostrar que si se tiene para un valor \( q \) de \( n \)

\[
q (q^2 + 5) = m \cdot 6,
\]

esta igualdad valdrá para \( n = q + 1 \).

En efecto:

\[
(q + 1) [(q + 1)^2 + 5] = (q + 1) (q^3 + 2q + 1 + 5) =
\]
\[
= q^3 + 2q^2 + q + 5q + q^2 + 2q + 1 + 5 =
\]
\[
= q (q^2 + 5) + 3q^2 + 3q + 6 =
\]
\[
= (m + 1) 6 + 3q^2 + 3q ,
\]

en virtud de la igualdad (1).

Tendremos por tanto,

\[
(q + 1) [(q + 1)^2 + 5] \equiv 3q^2 + 3q \pmod{6}.
\]

Si demostramos, pues, que

\[
3 (q^2 + q)
\]

es divisible por 6, tendremos conseguido nuestro objeto.

Basta para ésto demostrar que \( q^2 + q \) es divisible por dos. Ahora, si \( q \) es par, esto es evidente, y si \( q \) es impar, su cuadrado será impar, y la suma de dos números impares es par. Luego siempre \( q^2 + q \) es divisible por 2, y en consecuencia \( 3 (q^2 + q) \) lo es por 6. De donde, \( (q + 1) [(q + 1)^2 + 5] \) es siempre divisible por 6, en el supuesto de que \( q (q^2 + 5) \) lo sea. Pero \( 1(1^2 + 5) \) es divisible por 6, luego \( 2 (4 + 5) \), \( 3 (9 + 5) \) etc., lo serán también.

DR. VENTURA REYES PRÓSPER,
Catedrático del Instituto de Cuenca.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-09-01 00:00:00), página 3

514) \( ctg \frac{a}{2} = \sqrt{sn(B-E)sn(C-E)cscE csc(A-E)} \)

515) \( csc^2 \frac{a}{2} = \frac{sn B sn C}{sn E sn (A-E)} \)

516) \( csc \frac{a}{2} = \sqrt{sn B sn C csc E csc (A-E)} \)

Mediante una evolución circular entre las letras A, B, C se encuentran las fórmulas correspondientes al lado b.

517) \( vr b = \frac{sn E sn (B-E)}{sn A sn C} \)

518) \( vr b = sn E sn (B-E) csc A csc C \)

519) \( sn^2 \frac{b}{2} = \frac{sn E sn (B-E)}{sn A sn C} \)

520) \( sn \frac{b}{2} = \sqrt{sn E sn (B-E) csc A csc C} \)

521) \( tg^2 \frac{b}{2} = \frac{sn E sn (B-E)}{sn (A-E) sn (C-E)} \)

522) \( tg \frac{b}{2} = \sqrt{sn E sn (B-E) csc (A-E) csc (C-E)} \)

523) \( sc^2 \frac{b}{2} = \frac{sn A sn C}{sn (A-E) sn (C-E)} \)

524) \( sc \frac{b}{2} = \sqrt{sn A sn C csc (A-E) csc (C-E)} \)

525) \( sv b = \frac{sn (A-E) sn (C-E)}{sn A sn C} \)

526) \( sv b = sn (A-E) sn (C-E) csc A csc C \)

527) \( csn^2 \frac{b}{2} = \frac{sn (A-E) sn (C-E)}{sn A sn C} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-09-01 00:00:00), página 4

528) \( csn \frac{b}{2} = \sqrt{sn (A - E) sn (C - E) csc A csc C } \)

529) \( ctg^2 \frac{b}{2} = \frac{sn (A - E) sn (C - E)}{sn E sn (B - E)} \)

530) \( ctg \frac{b}{2} = \sqrt{sn (A - E) sn (C - E) csc E csc (B - E)} \)

531) \( csc^2 \frac{b}{2} = \frac{sn A sn C}{sn E sn (B - E)} \)

532) \( csc \frac{b}{2} = \sqrt{sn A sn C csc E csc (B - E)} \)

Por nueva evolución circular entre las letras A, B, C se hallan las fórmulas correspondientes al lado c.

533) \( vr c = \frac{sn E sn (C - E)}{sn A sn B} \)

534) \( vr c = sn E sn (C - E) csc A csc B \)

535) \( sn^2 \frac{c}{2} = \frac{sn E sn (C - E)}{sn A sn B} \)

536) \( sn \frac{c}{2} = \sqrt{sn E sn (C - E) csc A csc B} \)

537) \( tg^2 \frac{c}{2} = \frac{sn E sn (C - E)}{sn (A - E) sn (B - E)} \)

538) \( tg \frac{c}{2} = \sqrt{sn E sn (C - E) csc (A - E) csc (B - E)} \)

539) \( sc^2 \frac{c}{2} = \frac{sn A sn B}{sn (A - E) sn (B - E)} \)

540) \( sc \frac{c}{2} = \sqrt{sn A sn B csc (A - E) csc (B - E)} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-09-01 00:00:00), página 5

541) \( sv\ c = \frac{sn(A-E)\ sn(B-E)}{sn\ A\ sn\ B} \)

542) \( sv\ c = sn(A-E)\ sn(B-E)\ csc\ A\ csc\ B \)

543) \( csn^2 \frac{c}{2} = \frac{sn(A-E)\ sn(B-E)}{sn\ A\ sn\ B} \)

544) \( csn\ \frac{c}{2} = \sqrt{sn(A-E)\ sn(B-E)\ csc\ A\ csc\ B} \)

545) \( ctg^2 \frac{c}{2} = \frac{sn(A-E)\ sn(B-E)}{sn\ E\ sn(C-E)} \)

546) \( ctg\ \frac{c}{2} = \sqrt{sn(A-E)\ sn(B-E)\ csc\ E\ csc\ (C-E)} \)

547) \( csc^2 \frac{c}{2} = \frac{sn\ A\ sn\ B}{sn\ E\ sn\ (C-E)} \)

548) \( csc\ \frac{c}{2} = \sqrt{sn\ A\ sn\ B\ csc\ E\ csc\ (C-E)} \)

Pueden también resolverse los triángulos esféricos oblicuángulos, en el caso de que sean conocidos los tres ángulos, mediante el

Diagrama 19

formado con los números trigonométricos del lado \( a \) del triángulo, con los senos de los ángulos B, C, con el coseno de la se-
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misuma S de los tres ángulos, y con los de las diferencias S—A, S—B, S—C, entre la semisuma indicada y cada uno de los ángulos A, B, C. De él se derivan las expresiones trigonométricas usuales del cuadrado de la mitad de un lado esférico a, y las especiales de Mendoza, que dan el valor directo del ángulo entero.

Aplicando las mismas reglas que en los tres diagramas anteriores, y trasladando á los segundos miembros los signos negativos, obtendremos:

549) \( vr\ a = - \frac{csn\ S\ csn\ (S-\Lambda)}{sn\ B\ sn\ C} \)

550) \( vr\ a = -csn\ S\ csn\ (S-\Lambda)\ csc\ B\ csc\ C \)

551) \( sn^2 \frac{a}{2} = - \frac{csn\ S\ csn\ (S-\Lambda)}{sn\ B\ sn\ C} \)

552) \( sn\ \frac{a}{2} = \sqrt{-csn\ S\ csn\ (S-\Lambda)\ csc\ B\ csc\ C} \)

553) \( tg^2 \frac{a}{2} = - \frac{csn\ S\ csn\ (S-\Lambda)}{csn\ (S-B)\ csn\ (S-C)} \)

554) \( ty\ \frac{a}{2} = \sqrt{-csn\ S\ csn\ (S-\Lambda)\ sc\ (S-B)\ sc\ (S-C)} \)

555) \( sc^2 \frac{a}{2} = \frac{sn\ B\ sn\ C}{csn\ (S-B)\ csn\ (S-C)} \)

556) \( sc\ \frac{a}{2} = \sqrt{sn\ B\ sn\ C\ sc\ (S-B)\ sc\ (S-C)} \)

557) \( sv\ a = \frac{csn\ (S-B)\ csn\ (S-C)}{sn\ B\ sn\ C} \)

558) \( sv\ a = csn\ (S-B)\ csn\ (S-C)\ csc\ B\ csc\ C \)

559) \( csn^2 \frac{a}{2} = \frac{csn\ (S-B)\ csn\ (S-C)}{sn\ B\ sn\ C} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-09-01 00:00:00), página 7

560) \( \csn \frac{a}{2} = \sqrt{\csn (S - B) \csn (S - C) \csc B \csc C} \)

561) \( \ctg^2 \frac{a}{2} = - \frac{\csn (S - B) \csn (S - C)}{\csn S \csn (S - A)} \)

562) \( \ctg \frac{a}{2} = \sqrt{-\csn (S - B) \csn (S - C) \sc S \sc (S - A)} \)

563) \( \csc^2 \frac{a}{2} = - \frac{\sn B \sn C}{\csn S \csn (S - A)} \)

564) \( \csc \frac{a}{2} = \sqrt{-\sn B \sn C \sc S \sc (S - A)} \)

Las fórmulas correspondientes al lado \( b \) se obtienen por evolución circular entre las letras A, B, C, y son:

565) \( vr b = - \frac{\csn S \csn (S - B)}{\sn A \sn C} \)

566) \( vr b = - \csn S \csn (S - B) \csc A \csc C \)

567) \( \sn^2 \frac{b}{2} = - \frac{\csn S \csn (S - B)}{\sn A \sn C} \)

568) \( \sn \frac{b}{2} = \sqrt{-\csn S \csn (S - B) \csc A \csc C} \)

569) \( \tg^2 \frac{b}{2} = - \frac{\csn S \csn (S - B)}{\csn (S - A) \csn (S - C)} \)

570) \( \tg \frac{b}{2} = \sqrt{-\csn S \csn (S - B) \sc (S - A) \sc (S - C)} \)

571) \( \sc^3 \frac{b}{2} = \frac{\sn A \sn C}{\csn (S - A) \csn (S - C)} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-09-01 00:00:00), página 8

572) \( sc \frac{b}{2} = \sqrt{sn A \ sn C \ sc (S - A) \ sc (S - C)} \)

573) \( sv b = \frac{csn (S - A) csn (S - C)}{sn A \ sn C} \)

574) \( sv b = csn (S - A) csn (S - C) csc A \ csc C \)

575) \( csn^2 \frac{b}{2} = \frac{csn (S - A) csn (S - C)}{sn A \ sn C} \)

576) \( csn \frac{b}{2} = \sqrt{csn (S - A) csn (S - C) csc A \ csc C} \)

577) \( ctg^2 \frac{b}{2} = - \frac{csn (S - A) csn (S - C)}{csn S \ csn (S - B)} \)

578) \( ctg \frac{b}{2} = \sqrt{- csn (S - A) csn (S - C) \ sc S \ sc (S - B)} \)

579) \( csc^2 \frac{b}{2} = - \frac{sn A \ sn C}{csn S \ csn (S - B)} \)

580) \( csc \frac{b}{2} = \sqrt{- sn A \ sn C \ sc S \ sc (S - B)} \)

Las fórmulas correspondientes al lado c se hallan por nueva evolución circular entre las letras A, B, C, y son:

581) \( vr c = - \frac{csn S \ csn (S - C)}{sn A \ sn B} \)

582) \( vr c = - csn S \ csn (S - C) \ csc A \ csc B \)

583) \( sn^2 \frac{c}{2} = \frac{csn S \ csn (S - C)}{sn A \ sn B} \)

584) \( sn \frac{c}{2} = \sqrt{- csn S \ csn (S - C) \ csc A \ csc B} \)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-09-01 00:00:00), página 9

585) \( tg^2 \frac{c}{2} = - \frac{csn\ S\ csn\ (S-C)}{csn\ (S-\Lambda)\ csn\ (S-B)} \)

586) \( tg \frac{c}{2} = \sqrt{-csn\ S\ csn\ (S-C)\ sc\ (S-\Lambda)\ sc\ (S-B)} \)

587) \( sc^2 \frac{c}{2} = \frac{sn\ A\ sn\ B}{csn\ (S-\Lambda)\ csn\ (S-B)} \)

588) \( sc \frac{c}{2} = \sqrt{sn\ A\ sn\ B\ sc\ (S-\Lambda)\ sc\ (S-B)} \)

589) \( sv\ c = \frac{csn\ (S-\Lambda)\ csn\ (S-B)}{sn\ A\ sn\ B} \)

590) \( sv\ c = csn\ (S-\Lambda)\ csn\ (S-B)\ csc\ A\ csc\ B \)

591) \( csn^2 \frac{c}{2} = \frac{csn\ (S-\Lambda)\ csn\ (S-B)}{sn\ A\ sn\ B} \)

592) \( csn \frac{c}{2} = \sqrt{csn\ (S-\Lambda)\ csn\ (S-B)\ csc\ A\ esc\ B} \)

593) \( ctg^2 \frac{c}{2} = - \frac{csn\ (S-\Lambda)\ csn\ (S-B)}{csn\ S\ csn\ (S-C)} \)

594) \( ctg \frac{c}{2} = \sqrt{-csn\ (S-\Lambda)\ csn\ (S-B)\ sc\ S\ sc\ (S-C)} \)

595) \( csc^2 \frac{c}{2} = - \frac{sn\ A\ sn\ B}{csn\ S\ csn\ (S-C)} \)

596) \( csc \frac{c}{2} = \sqrt{-sn\ A\ sn\ B\ sc\ S\ sc\ (S-C)} \)

(Se continuará.)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-08-01 00:00:00), página 1

ARCHIVO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS

Núm. 8 AGOSTO 1896

SUMARIO.—Diagramas mnemónicos de Trigonometría, por D. Luis G. Gascó. (Continuación.)—Teoría sucinta de las funciones hiperbólicas, por P. Mansion. (Continuación.)—Movimiento armónico, por P. G. Tait. (Conclusión.)—Soluciones de cuestiones propuestas.

DIAGRAMAS MNEMÓNICOS DE TRIGONOMETRÍA

(Continuación. Véase pág. 124)

VIII
Resolución de triángulos esférico-oblicuángulos

Para resolver los triángulos esféricos oblicuángulos, en el caso de que sean conocidos los tres lados, proponemos el

Diagrama 16

formado con los senos de los lados b, c del triángulo, con el de la semisuma s de los tres lados, y con los de las diferencias
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-08-01 00:00:00), página 10

TEORÍA SUCINTA DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS

(Continuación. Véase pág. 127)

20. Propiedades de la hipérbola. En gran número de casos es ventajoso reemplazar la ecuación usual de la elipse

\[
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,
\]

por las ecuaciones simultáneas, en las que \( \theta \) es un ángulo auxiliar,

\[
x = a \cos \theta, \quad y = b \sen \theta.
\]

Igualmente, para estudiar la hipérbola que tiene por ecuación

\[
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1,
\]

es á veces útil poner, para la semi-hipérbola de la derecha

\[
x = a \Ch t, \quad y = b \Sh t,
\]

y para la de la izquierda

\[
x = -a \Ch t, \quad y = b \Sh t.
\]

Demostremos, por ejemplo, mediante la variable auxiliar \( t \), los dos teoremas de Apolonio. El semi-diámetro \( a' \) que tiene por extremidad el punto \( (x' = a \Ch t, y' = b \Sh t) \) está dado por la fórmula

\[
a' = \sqrt{a^2 \Ch^2 t + b^2 \Sh^2 t}
\]

y el ángulo \( \omega \) que este diámetro hace con el eje de las \( x \) es tal que

\[
\tang \omega = \frac{y'}{x'} = \frac{b}{a} \Th t, \quad \sen \omega = \frac{b \Sh t}{a'}, \quad \cos \omega = \frac{a \Ch t}{b'}.
\]
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-08-01 00:00:00), página 11

El coeficiente de dirección de la tangente en el punto \((x', y')\) es

\[
\tang \omega' = \frac{b^2 x'}{a^2 y'} = \frac{b}{a} \Coth t;
\]

este coeficiente es también el coeficiente de dirección del diámetro \(b'\), conjugado de \(a'\). Obtiéndose la longitud de \(b'\) buscando la distancia del origen al punto de intersección de la recta

\[
y = x \tang \omega', \quad \text{o} \quad y = \frac{b}{a} \Coth t,
\]

con la hipérbola

\[
\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1
\]

conjugada de la primera. Para las coordenadas \(x'', y''\) de este punto se encuentran los valores

\[
y'' = b \Ch t, \quad x'' = a \Sh t.
\]

De consiguiente

\[
b' = \sqrt{a^2 \Sh^2 t + b^2 \Ch^2 t},
\]

además

\[
\sen \omega' = \frac{b \Ch t}{b'}, \qquad \cos \omega' = \frac{a \Sh t}{b'}.
\]

Se tiene pues

\[
\sen (\omega' - \omega) = \sen \omega' \cos \omega - \sen \omega \cos \omega' = \frac{ba (\Ch^2 t - \Sh^2 t)}{b' a'} = \frac{ab}{a'b'}
\]

\[
a'^2 - b'^2 = a^2 \Ch^2 t + b^2 \Sh^2 t - (a^2 \Sh^2 t + b^2 \Ch^2 t) = a^2 - b^2,
\]

es decir los teoremas de Apolonio.

21. *Catenaria.* La catenaria es la curva formada por un hilo pesado suspendido por sus dos extremidades. Tiene por ecuación, en coordenadas rectangulares,

\[
y = a \Ch \frac{x}{a},
\]

de manera que

\[
y' = \Sh \frac{x}{a}, \quad y'' = \frac{1}{a} \Ch \frac{x}{a}, \quad \sqrt{1 + y'^2} = \Ch \frac{x}{a}.
\]
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-08-01 00:00:00), página 12

El eje de las \( x \) se llama la directriz de la curva; el eje de las \( y \) es un eje de simetría, que encuentra á la curva en el vértice A, distante de la directriz una longitud igual á \( a \).

La tangente MT y la normal MN en el punto M (\( x, y \)), tienen respectivamente por ecuaciones

\[
Y - a \operatorname{Ch} \frac{x}{a} = \operatorname{Sh} \frac{x}{a} (X - x), \quad Y - a \operatorname{Ch} \frac{x}{a} = \frac{1}{\operatorname{Sh} \frac{x}{a}} (X - x).
\]

La distancia Pm del pie de la ordenada de M á la tangente es constante é igual á \( a \). En efecto

\[
Pm = \frac{-a \operatorname{Ch} \frac{x}{a}}{-\sqrt{1 + \operatorname{Sh}^2 \frac{x}{a}}} = a.
\]

Por consiguiente, la distancia \( Pn = Mm \) de P á la normal MN es igual á \( \sqrt{(y^2 - a^2)} = a \operatorname{Sh} \frac{x}{a} \). De aquí un medio fácil de construir la tangente y la normal.
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-08-01 00:00:00), página 13

Para la longitud N de la normal MN y para el radio de curvatura \( \rho = MC \) se encuentra el mismo valor. Pues

\[
N = y \sqrt{1 + y'^2} = a \operatorname{Ch}^3 \frac{x}{a},
\]

\[
\rho = \frac{(1 + y'^2)^{\frac{3}{2}}}{y'} = \operatorname{Ch}^3 \frac{x}{a} : \frac{1}{a} \operatorname{Ch} \frac{x}{a} = a \operatorname{Ch}^2 \frac{x}{a}.
\]

La longitud del arco AM y el área del trapecio curvilíneo AMPO están dadas por las fórmulas

\[
AM = \int_0^x \sqrt{1 + y'^2} \, dx = \int_0^x \operatorname{Ch} \frac{x}{a} \, dx = a \operatorname{Sh} \frac{x}{a} = Mm = Pn,
\]

\[
AMPO = \int_0^x y \, dx = a \int_0^x \operatorname{Ch} \frac{x}{a} \, dx = a^2 \operatorname{Sh} \frac{x}{a} = a \times Mm = PmMn,
\]

resultados que son muy notables.

Sean \( x_s, y_s \) las coordenadas del centro de gravedad del arco \( s = LM \) terminado en los puntos L (\( x_o, y_o \)), M (\( x, y \)); \( x_u, y_u \) las del centro de gravedad del cuadrilátero curvilíneo \( u = as = \text{LMPK} \) correspondiente. Se tendrá

\[
x_s = \frac{1}{s} \int_{x_o}^x x ds = \frac{1}{as} \int_{x_o}^x x a ds = \frac{1}{u} \int_{x_o}^x x du = x_u,
\]

\[
y_s = \frac{1}{s} \int_{x_o}^x y ds = \frac{1}{as} \int_{x_o}^x y a ds = \frac{2}{u} \int_{x_o}^x \frac{y}{2} du = 2 y_u.
\]

El centro de gravedad del área u está pues en el medio de la ordenada del centro de gravedad del arco s.

Se prueba fácilmente que \( x_s = x_u \) es la abscisa del punto de intersección de las tangentes en L y M; puesto que \( y_s = 2y_u \) es la mitad de la ordenada del punto de intersección de las normales en L y M.

(Se continuará.)
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-08-01 00:00:00), página 14

MOVIMIENTO ARMÓNICO

(Conclusión. Véase pág. 135.)

12. Cuando los períodos de los dos movimientos componentes sean no iguales, pero casi iguales, la fase del uno se adelantará paulatinamente á la del otro, y el camino descrito irá trazando de un modo continuo todas las elipses posibles y conservará las propiedades comunes á todas ellas. Será una especie de espiral que á cada vuelta tocará sucesivamente los cuatro lados del antedicho cuadrado ó rectángulo.

13. Por razonamiento semejante al que arriba empleamos, se echará de ver que, concurriendo cualquier número de movimientos armónicos sencillos en direcciones cualesquiera, con arbitrarias amplitudes y diferencias de fase, con tal que todos esos movimientos tengan igual período, el movimiento resultante se realizará en una elipse, en torno del centro de la misma. Pero ésto se prueba más fácilmente por medio del cálculo.

En efecto, si en la recta cuyos cosenos directivos, con relación á los tres ejes de coordenadas, son \( l, m, n \), se realiza un movimiento armónico sencillo expresado por

\[
\xi = a \cos (\omega t + \varepsilon),
\]

los movimientos componentes paralelos á los tres ejes darán espacios representados por \( l \xi, m \xi \) y \( n \xi \). Luego, si todos esos movimientos poseen igual período, el movimiento resultante de los componentes paralelos al eje de las \( x \) dará

\[
x = \Sigma |a l \cos (\omega t + \varepsilon)| =
\]
\[
= \cos \omega t. \Sigma (a l \cos \varepsilon) - \sin \omega t. \Sigma (a l \sin \varepsilon).
\]

Tendremos, por tanto, tres ecuaciones de la forma

\[
x = A \cos \omega t - A' \sen \omega t,
\]
\[
y = B \cos \omega t - B' \sen \omega t,
\]
\[
z = C \cos \omega t - C' \sen \omega t.
\]
Archivo de matemáticas puras y aplicadas (1896-08-01 00:00:00), página 15

Mas si se eligen tres números \( \lambda, \mu, \nu \), tales que

\[
\lambda A + \mu B + \nu C = 0,
\]
\[
\lambda A' + \mu B' + \nu C' = 0,
\]

se tendrá también

\[
\lambda x + \mu y + \nu z = 0.
\]

Pero las dos ecuaciones anteriores dan sin ambigüedad las relaciones de \( \mu \) y \( \nu \) á \( \lambda \). Luego la última ecuación representa un plano definido. En él se efectúa el movimiento resultante. Eligiendo ese plano por el de las \( x \) é \( y \), se anula el valor de \( z \) dado por la tercera de las ecuaciones de las coordenadas, y eliminando \( t \) entre las dos primeras, es decir, las de \( x \) é \( y \), resulta la ecuación de una elipse.

14. Cuando los periodos de los movimientos armónicos sencillos no son iguales, se tiene

\[
x = a \cos (\omega t + \varepsilon), \qquad y = a' \cos (\omega' t + \varepsilon').
\]

Es fácil trazar por puntos la curva correspondiente, pero exceptuando el caso en que haya entre \( \omega \) y \( \omega' \) una relación numérica sencilla, no podrá presentarse como algébrica la ecuación que ligue \( x \) con \( y \). Si es \( 2\omega' = \omega \), cabe mudar la época de manera que las ecuaciones se escriban de este modo:

\[
x = a \cos (2\omega' t + \omega), \qquad y = a' \cos \omega' t.
\]

Desarrollando el segundo miembro de la primera ecuación, y sustituyendo en ese desarrollo los valores de \( \cos \omega' t \) y de sen \( \omega' t \) deducidos de la segunda, se eliminará \( t \) y resultará con ello la ecuación

\[
\frac{x}{a} = \left( \frac{2y^2}{a'^2} - 1 \right) \cos a - \frac{2y}{a'} \sqrt{1 - \frac{y^2}{a'^2}} \sen a,
\]

que representa en general una curva de cuarto grado, pare-
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cida á un 8 de ojos más ó menos cerrados, como se ve en las cuatro primeras formas de la figura 6; pero cuando \( \alpha = n \pi \),

dichos ojos desaparecen y la figura se convierte en un trozo de parábola, con el vértice á la derecha ó á la izquierda, según que \( n \) sea impar ó par. Corresponde en el presente caso tal parábola á la recta del caso descrito en el párrafo 13. Cuando los períodos discrepan muy poco de la razón \( 2 : 4 \), aparecen en la trayectoria sucesivamente las formas mencionadas, yendo y viniendo el punto por cada una de ellas; y cada vez que descrita la forma parabólica, comienza á entreabrirse, se traza la forma de 8 en sentido contrario al seguido cuando se trazó esta misma forma antes de cerrarse la trayectoria en parábola.

15. Bastan los principios expuestos para estudiar cualquier ejemplo de esta clase de movimientos. Pero uno ó dos casos particulares merecen mención especial. Ya queda examinado en el párrafo 5 el caso de dos movimientos circulares uniformes efectuados en un plano con iguales periodos. En la figura 3 describe el punto P su circunferencia en torno de O, traza Q la suya alrededor de P, y de ambos movimientos resulta uno circular uniforme del punto Q en torno de O. El radio de este último, según lo que valga la diferencia de fase, puede ser igual á la suma ó diferencia de los radios de los movimientos componentes ó poseer un valor intermedio entre dichos radios. Cuando los periodos no son enteramente iguales, el movimiento puede suponerse efectuado en una circunferencia cuyo radio oscila de un modo continuo entre los límites mencionados, y la trayectoria resultante es una especie de espiral comprendida entre dos circunferencias concéntricas trazadas con los antedichos radios.

Pero cuando los movimientos circulares componentes llevan opuesto sentido, ofrecen un movimiento resultante de tanto interés como importancia. Claro es, que ahora habrá
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posiciones en que OP y PQ estén en una misma recta. Pero si OA con AB, (figura 7), es una de estas posiciones, en cualquiera otra estarán OP y PQ igualmente inclinadas respecto de OA. El punto Q describirá una elipse cuyo semieje mayor OB será la suma de los radios, y cuyo semieje menor equivaldrá á la diferencia. Por lo tanto, si los radios son iguales, re-

Fig. 7

sultará un movimiento armónico sencillo según la recta OBB'; y con ésto queda demostrada una proposición de grandísima importancia en Óptica, á saber, que puede mirarse todo movimiento armónico sencillo como resultante de dos movimientos circulares iguales y opuestos, realizados en un plano. Si los radios fueran iguales, pero los periodos no enteramente iguales, podría reputarse el movimiento como armónico sencillo efectuado en una recta que girara en un plano con velocidad angular uniforme. En tal caso se hallan el péndulo de Foucault y la luz polarizada en un plano cuando cruza según el eje de un cristal de cuarzo ó á través de un trozo de vidrio ó de otra materia transparente en el campo magnético.

16. Cuando concurren movimientos circulares uniformes realizados con distintos periodos, se producen trayectorias en forma de epícicloides, etc. Entre estas combinaciones, como caso particular, figura la de un movimiento circular con otro rectilíneo, ambos uniformes, los cuales dan cicloides, etc. Pero no hacemos aquí más que mencionar tales movimientos.

17. Compéndianse las aplicaciones más importantes del análisis armónico sencillo en el siguiente

Teorema de Fourier. Una función armónica compleja, aumentada con un término constante, es la expresión propia de toda