分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：高二数学,导数,切线
1 已知f(x)=x^3+ax^2+bx(a,b∈R)的图像过点P(1,2),且在点P处的切线斜率为8 (1),求a,b的值(2),求函数f(x)的但单调区间2.已知函数f(x)=2x+2/x-3lnx。 求函数f（x)的最小值3已知关于x的方程sinx/x=k(k∈(0,1))在(-3π,o)∪(0,3π)内且仅有4个根 ,从小到大依次为x1,x2,x3,x4.(1)求证:x4=tanx4(2)是否存在常数k,使得x2,x3,x4成等差数列?若存在,求出k的值,否则说明理由
回答：1.已知f(x)经过P(1,2)，则：f(1)=1+a+b=2所以，a+b=1……………………………………………………（1）又，f'(x)=3x^2+2ax+b且，f'(1)=8则，3+2a+b=8所以：2a+b=5…………………………………………………（2）联立(1)(2)得到：a=4，b=-3所以，f(x)=x^3+4x^2-3x则，f'(x)=3x^2+8x-3=(3x-1)(x+3)那么，当f'(x)=0时，有x1=-3，x2=1/3当x＞1/3时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；当-3＜x＜1/3时，f'(x)＜0，f(x)单调递减；当x＜-3时，f'(x)＞0，f(x)单调递增。2.f(x)表达式中，分式的分母具体是什么？加上括号！f(x)=2x+(2/x)-3lnx定义域为x＞0且，f'(x)=2-(2/x^2)-(3/x)=(2x^2-3x-2)/x^2则当f'(x)=0时有：2x^2-3x-2=0===> (2x+1)(x-2)=0===> x=2即，当x＞2时，f'(x)＞0，f(x)单调递增；当0＜x＜2时，f'(x)＜0，f(x)单调递减所以，在x＞0时，f(x)在x=2处取得最小值即，f(x)有最小值f(2)=4+1-3ln2=5-ln2.3.(1)方程sinx/x=k（k∈(0,1)）在(-3π,0)∪(0,3π)上有且仅有4个根即，说明曲线y=sinx与直线y=kx（k∈(0,1)）在(0,3π)上有且仅有2个实数根由草图上可以发现：直线y=kx在x=x4点与曲线y=sinx相切曲线y=sinx在(x4,sinx4)点的切线的斜率为k=y'(x4)=cosx4而，k=(sinx4-0)/(x4-0)=sinx4/x4所以：cosx4=sinx4/x4则，x4=sinx4/cosx4=tanx4(2)假设存在k，使得x2、x3、x4成等差数列则，2x3=x2+x4而x2、x3关于原点对称，即x2=-x3所以，3x3=x4因为点(x3,sinx3)和点(x4,sinx4)均在直线y=kx上所以，sinx3/x3=sinx4/x4=k===> sinx3/x3=sin(3x3)/(3x3)===> 3sinx3=sin(3x3)===> 3sinx3=3sinx3-4sin^3(x3)===> sin(x3)=0===> x3=0（舍去），x3=π，或者x3=2π那么，x4=3x3=3π，或者x4=6π此时，x4均不包含在(0,3π)内所以，这样的k不存在。