分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：一道立体几何题已知球的半径为R，在球内做一个内接圆柱，当这个圆柱 
已知球的半径为R，在球内做一个内接圆柱，当这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？请给出具体过程，有必要可图，谢谢
回答：已知球的半径为R，在球内做一个内接圆柱，当这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？ 请给出具体过程，有必要可图，谢谢如图设内接圆柱体的底面半径为r那么，圆柱体的高h=2*√(R^2-r^2)所以，圆柱体的侧面积S=2πrh=2π*r*2√(R^2-r^2)=4π*r*√(R^2-r^2)令S(r)=4π*r*√(R^2-r^2)则，S'(r)=4π[√(R^2-r^2)+r*(1/2)*(-2r)/√(R^2-r^2)]当S'(r)=0时有最大值所以，[√(R^2-r^2)+r*(1/2)*(-2r)/√(R^2-r^2)]=0解得：r=(√2/2)R此时，h=2*√(R^2-r^2)=√2R或者：令S(r)=4π*r*√(R^2-r^2)因为0＜r＜R所以，令r=Rcosθ（0＜θ＜90°）则，S(r)=4π*Rcosθ*√(R^2-R^2cos^2 θ)=4π*Rcosθ*Rsinθ=2πR^2*sin(2θ)很明显，当sin(2θ)=1时有最大值此时，θ=45°所以，r=Rcosθ=(√2/2)Rh=2Rsinθ=(√2)R