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问题：如图，已知点Q是三角形ABC三个内角平分线的交点，P是三角形AB? 
如图，在三角形AB中，角C=90，点M在BC上，且BM=AC,点N在AC上，且AN=MC,AM与BN相交于P求证：角BPM=45
回答：过M作A的平行线，过A作BC的平行线，两线交于Q。连结NQ。QM与BN交于S。容易知道∠AQN=∠BQN=45,∴∠BQN=90º=∠MQA,又AQ:QN=QM:QB,∴△QAM∽△QNB,∴∠AMQ=NBQ,又∠PSM=∠QSB,∴根据三角形内角和等于180，得∠MPS=∠BQS，∵∠BQS=45,∴∠BPM=∠MPS=∠BQS=45°，参考:证法一（初中知识证法）： 证：已知在△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC，AM与BN相交于点P。 设AC=BM=X，MC=AN=Y，则 BC=BM+MC=X+Y，CN=AC-AN=X-Y AM=√（AC^2+MC^2）=√（X^2+Y^2） 过N点作NE⊥AM，交AM于E点，则△AEN∽△ACB AE/AN=AC/AM，NE/AN=MC/AM AE=AN*AC/AM=Y*X/√（X^2+Y^2） NE=AN*MC/AM=Y^2/√（X^2+Y^2） 过P点作PF⊥BC，交BC于F点，则△PFM∽△ACM，△BPF∽△BNC PF/FM=AC/MC，PF=FM*AC/MC=FM*X/Y PF/BF=CN/BC，PF=BF*CN/BC=BF*（X-Y）/（X+Y） BF*（X-Y）/（X+Y）=FM*X/Y BF=（FM*X/Y）*[（X+Y）/（X-Y）]=FM*X*（X+Y）/[Y*（X-Y）] BF=BM+FM=X+FM FM*X*（X+Y）/[Y*（X-Y）]=X+FM FM=XY*（X-Y）/（X^2+Y^2） PM/FM=AM/CM PM=FM*AM/MC=[XY*（X-Y）/（X^2+Y^2）]*[√（X^2+Y^2）/Y] =X*（X-Y）/√（X^2+Y^2） PE=AM-AE-PM =√（X^2+Y^2）-Y*X/√（X^2+Y^2）-X*（X-Y）/√（X^2+Y^2） =Y^2/√（X^2+Y^2） =NE 因为NE⊥AM，即NE⊥PE 可知在直角△NEP中，NE=PE 故 ∠EPN=45° 但∠BPM=∠EPN 所以∠BPM=45° 证法二： 证：已知在△ABC中,∠C=90°,点M在BC上,且BM=AC,点N在AC上,且AN=MC，AM与BN相交于点P。 设AC=BM=X，MC=AN=Y，则 BC=BM+MC=X+Y，CN=AC-AN=X-Y tan∠AMC=AC/MC=X/Y tan∠NBC=CN/BC=（X-Y）/（X+Y） ∠AMC=∠BPM+∠NBC ∠BPM=∠AMC-∠NBC tan∠BPM=tan（∠AMC-∠NBC） =（tan∠AMC-tan∠NBC）/（1+tan∠AMC*tan∠NBC） =[X/Y-（X-Y）/（X+Y）]/[1+（X/Y）*（X-Y）/（X+Y）] =[X*（X+Y）-Y*（X-Y）]/[Y*（X+Y）+X*（X-Y）] =（X ^2+Y ^2）/（X ^2+Y ^2） =1 因为∠BPM<180° 所以∠BPM=45°