分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：求四面体体积一球外接于四面体ABCD，另一半径为1的球与平面AB 
一球外接于四面体AB，另一半径为1的球与平面ABC相切，且两球内切于点D，已知AD=3，cos∠BAC=4/5，cos∠BAD=cos∠CAD=√2/2，求四面体ABCD的体积。
回答：首先证明四面体ABCD的高DH为另一球的一条直径.
设DE⊥AB，DF⊥AC，垂足为F、E，则
AE=AF=ADcos∠BAD=3/√2，
cos∠HAE=cos∠HAF=√[(1+cos∠BAC)/2]=3/√10.
∴AH=AE/cos∠HAE=√5，DH=√(AD^2-AH^2)=2.
∴四面体外接球的中心在DH上.
∴AD=BD=CD，AC=AB=2AE=3√2.
于是，S△ABC=(1/2)AB·AC·sin∠BAC=27/5.
故四面体ABCD的体积为
V=(1/3)·S△ABC·DH=18/5。