分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：不等式问题设xi&gt;0，i=1,2…6，求证(x1)^2/[ 

设xi>0，i=1,2…6，求证
(x1)^2/[x6*(x1+x2)]+(x2)^2/[x1*(x2+x3)]+(x3)^2/[x2*(x3+x4)]+(x4)^2/[x3*(x4+x5)]+(x5)^2/[x4*(x5+x6)] (x6)^2/[x5*(x6+x1)]≥3

回答：设xi>0，i=1,2…6，求证 
(x1)^2/[x6*(x1+x2)]+(x2)^2/[x1*(x2+x3)]+(x3)^2/[x2*(x3+x4)]+(x4)^2/[x3*(x4+x5)]+(x5)^2/[x4*(x5+x6)]+(x6)^2/[x5*(x6+x1)]≥3 

简证如下:记所证不等式左边为P，P的分母之和为Q.
则Q式中共12项，在六个元15项xi*xj中，缺x1*x4,x2*x5,x3*x6三项.即
Q=(x1+x4)*(x2+x5)+(x2+x5)*(x3+x6)+(x3+x6)*(x1+x4)
由柯西不等式得:
P*Q≥(x1+x2+x3+x4+x5+x6)^2
所以只需证:
(x1+x2+x3+x4+x5+x6)^2≥3Q
<==> Σ(xi)^2+2(x1*x4+x2*x5+x3*x6)≥Q
<==> (x1+x4)^2+(x2+x5)^2+(x3+x6)^2≥Q
<==> (x1+x4-x2-x5)^2+(x2+x5-x3-x6)^2+(x3+x6-x1-x4)^2≥0.