分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：设a,b,c&gt;0,求证不等式∑a(a^2+bc)/(b+c? 
设a,b,c>0,求证不等式
∑a(a^2+bc)/(b+c)≥∑a(b^3+c^3)/(a^2+bc)
回答：设a,b,c>0,求证不等式 
∑a(a^2+bc)/(b+c)≥∑a(b^3+c^3)/(a^2+bc)

证明 记
T=[a(a^2+bc)(c+a)(a+b)+b(b^2+ca)(a+b)(b+c)+c(c^2+ab)(b+c)(c+a)](a^2+bc)(b^2+ca)(c^2+ab)
-[a(b^3+c^3)(b^2+ca)(c^2+ab)+b(c^3+a^3)(c^2+ab)(a^2+bc)+c(a^3+b^3)(a^2+bc)(b^2+ca)](b+a)(c+a)(a+b)
=abc[a^8+b^8+c^8-2(b^2+c^2)a^6-2(c^2+a^2)b^6-2(a^2+b^2)c^6+3(bc)^4+3(ca)^4+3(ab)^4]
=abc{(a^4+b^4+c^4)^2-2(a^4+b^4+c^4)[(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2]+[(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2]^2}
=abc[a^4+b^4+c^4-(bc)^2-(ca)^2-(ab)^2]^2>=0