分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：不等式证明设正实数a、b、c满足a+b+c=1.证明:10(a^ 
设正实数a、b、c满足a+b+c=1.证明: 10(a^3+b^3+c^3)-9(a^5+b^5+c^5)>=1。
回答：设正实数a、b、c满足a+b+c=1. 
证明：10(a^3+b^3+c^3)-9(a^5+b^5+c^5)>=1.    (1)

虽然齐次化思想在证明非齐次不等式时非常重要，但也不是每题必用的，下面给出本题的一种不化齐次的证法.

证明：由(1) 的全对称性,不妨设a>=b>=c,则1-9a^2<=0,1-9c^2>=0,且有a^3-a<=b^3-b<=c^3-c<0.
注意到
10a^3-9a^5=(1-9a^2)(a^3-a)+a, 10b^3-9b^5=(1-9b^2)(b^3-b)+b, 10c^3-9c^5=(1-9c^2)(c^3-c)+c,
于是,我们有
10(a^3+b^3+c^3)-9(a^5+b^5+c^5)=(1-9a^2)(a^3-a)+(1-9b^2)(b^3-b)+(1-9c^2)(c^3-c)+a+b+c
=(1-9a^2)(a^3-a)+(1-9b^2)(b^3-b)+(1-9c^2)(c^3-c)+1
>=(1-9a^2)(b^3-b)+(1-9b^2)(b^3-b)+(1-9c^2)(b^3-b)+1
>=[(1-9a^2)+(1-9b^2)+(1-9c^2)](b^3-b)+1
=3[(a+b+c)^2-3(a^2+b^2+c^2)](b^3-b)+1
=-3[(a-b^2+(b-c)^2+(c-a)^2](b^3-b)+1
>=1.
因此,不等式(1)成立.