分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：求解一题矩阵运算有一n*n的非负矩阵A，存在一个整数k&lt;= 
有一n*n的非负矩阵A，存在一个整数k<=n，使A的k次方A^k的任意元素a_ij都大于0，即a_ij(k)>0 

怎样证明（E+A)的n-1方（E+A)^(n-1)里的所有元素也大于0  （E是单位矩阵）
回答：反证：如果(E+A)^(n-1)不为正矩阵，那么因为E+A为非负，(E+A)^(n-1)中必有某个元素是0。设这是(i,j)元素。

把矩阵(E+A)^(n-1)展开：

(E+A)^(n-1)=E+C(n-1,1)A+C(n-1,2)A^2+...+A^(n-1). 因为A的各次方都为非负，E也为非负，系数都为正，所以这说明E,A,A^2,A^3,..,A^n的(i,j)元素都为0。由Hamilton-Cayley公式，
A^n=p0E+p1A+p2A^2+...+p(n-1)A^(n-1)，这说明A^n的(i,j)元素也为0。所以对然后正整数k:k<=n, A^k都不可能是正矩阵，与所给矛盾。

因此(E+A)^(n-1)为正矩阵。

[注：如果A是一个图的邻接矩阵，那么A当然是非负矩阵。反过来一个非负矩阵一定也是某个图的邻接矩阵。]