分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：高中数学平均数问题设P是三角形ABC内一点，求证：角PAB,角P 
设P是三角形 AB 内一点，求证：角PAB,角PBC,角PCA至少有一个小于或等于30度
回答：如图,为方便写,按标示字母,∠PAB=α,∠PBC=β,∠PCA=γ由正弦定理得 PA/sinβ'=PB/sinαPAsinα=PBsinβ'同理:PBsinβ=PCsinγ'PCsinγ=PAsinα'相乘:sinαsinβsinγ=sinα'sinβ'sinγ'(sinαsinβsinγ)^2=(sinαsinβsinγ)*(sinα'sinβ'sinγ')<=[(sinα+sinβ+sinγ+sinα'+sinβ'+sinγ')/6]^6<={sin[(α+β+γ+α'+β'+γ')/6]}^6.....(注)=(sin30)^6=(1/2)^6sinαsinβsinγ<=(1/2)^3sinα,sinβ,sinγ至少有一个<=1/2不妨设sinα<=1/2当0<α<90,α<=30当90<α<180,α>=150,β+γ<=30,β<=30,γ<=30所以α,β,γ中至少有一个小于或等于30度[注]:(1)设f(x)在(a,b)内有定义，f(x)称为(a,b)上的凹函数，当且仅当任意x1，x2∈(a,b)，有f[(x1＋x2)／2]>=[f(x1)＋f(x2)]／2．(2)f(x)=sin x在(0，π)上是凹函数(3)凹函数有性质:对任意ai>0 (i=1，2，…，n)，a1＋a2＋…＋an=1，任意x1，x2，…，xn∈(a,b)，有f(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)>=a1f(x1)＋a2f(x2)＋…＋anf(xn)