分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：数学题如图，D是等边三角形ABC外的一点，DB=DC，∠BDC= 
如图，D是等边三角形AB外的一点，DB=DC，∠BDC=120°，点E、F分别在AB、AC上。（1）求证：AD是BC的垂直平分线；（2）求证：若ED平分∠BEF，则：①FD平分∠EFC；②△AEF的周长是BC的2倍。
回答：如图，D是等边三角形AB外的一点，DB=DC，∠BDC=120°，点E、F分别在AB、AC上。 （1）求证：AD是BC的垂直平分线；因为△ABC为等边三角形，所以：AB=AC已知DB=DC边AD公共所以，△ABD≌△ACD（SSS）所以，∠BAD=∠CAD即AD为∠BAC平分线而，AB=AC所以，AD垂直平分BC （2）求证：若ED平分∠BEF，则：①FD平分∠EFC；如图过点D作EF的垂线，垂足为G因为DB=DC，∠BDC=120°所以，∠DBC=∠DCB=(180°-120°)/2=30°而△ABC为等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°所以，∠ABD=∠ACD=90°已知∠1=∠2∠EBD=∠EGD=90°边ED公共所以，Rt△EBD≌Rt△EGD（AAS）所以，BE=EG，BD=GD=CD而∠FGD=∠FCD=90°边FD公共所以，Rt△FGD≌Rt△FCD所以，∠3=∠4即，FD平分∠EFD②△AEF的周长是BC的2倍。由①知，△BED≌△GED，△FGD≌△FCD所以，EG=EB，FG=FC所以，△AEF周长=AE+EF+AF=AE+EG+GF+AF=(AE+EB)+(FC+AF)=AB+AC而，△ABC为等边三角形所以，AB+AC=2BC所以，△AEF周长=2BC