分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：求最小值设x,y∈R+，且满足:x+y=1。求1/x^2+8/y? 
求最小值
设x,y∈R+，且满足:x+y=1。求1/x^2+8/y^2最小值。


回答：求最小值 
设x,y∈R+，且满足:x+y=1。求1/x^2+8/y^2最小值。 
这个题有好几种求法。下面给出两种不同求证。

解（一) 最小值为27。当x=1/3,y=2/3取得。
那么我们只需证
1/x^2+8/y^2>=27
将y=1-x代入化简得:
-27x^4+54x^3-18x^2-2x+1>=0  (0<x<1)
<==> (3x-1)^2*(-3x^2+4x+1)>=0
显然在0<x<1时上式恒成立。当x=1/3时取等号。

解(二) 
1/x^2+8/y^2=(1/x^2+8/y^2)*(x+y)^2
=9+y^2/x^2+8x^2/y^2+2y/x+16x/y
=9+(y^2/x^2+8x/y+8x/y)+(8x^2/y^2+y/x+y/x)
>=9+3*{8*8}^(1/3)+3*{8}^(1/3)
=9+3*4+3*2=27.
当且仅当y^2/x^2=8x/y且x+y=1，即x=1/3,y=2/3时取得最小值。