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问题：求三棱锥的内切球和外接球半径已知一个三棱锥的底面是边长为a的正△ 
已知一个三棱锥的底面是边长为a的正△，侧棱长均为b，求它的内切球和外接球半径 

要推导过程 
谢谢

回答：已知一个三棱锥的底面是边长为a的正△，侧棱长均为b，求它的内切球和外接球半径已知三棱柱P-AB的底面ABC为边长=a的正三角形，左右侧棱长均为b1）外接球的情形连接PO，并延长PO交面ABC于点O'因为P-ABC为正三棱椎，所以：O'为△ABC的内心且，PO⊥面ABC连接CO'并延长，交AB边于点D，则D为AB中点连接OC则，OP=OC=R（外接球半径）因为ABC为正三角形，所以：CO'=a*(√3/2)*(2/3)=(√3/3)a设OO'=x那么：PO'=R+x在Rt△OO'C中，由勾股定理有：OC^2=OO'^2+CO'^2即：R^2=x^2+[(√3/3)a]^2=x^2+(a^2/3)……………………（1）而，在Rt△PO'C中，也有：PC^2=PO'^2+CO'^2即：b^2=(R+x)^2+[(√3/3)a]^2=(R+x)^2+(a^2/3)…………（2）联立(1)(2)得到：R=(b^2/2)*{√[3/(3b^2-a^2)]}2）内切球情形连接PO并延长，交底面ABC于O'连接CO'并延长，交边AB于D，则D为AB中点连接PD，球O切面PAB于点E，切面ABC于O'连接OO'、OE，则：OO'⊥面ABC，OE⊥面PAB同1）有：CO'=(√3/3)aPO'^2=PC^2-CO'^2=b^2-(a^2/3)所以：PO=√[b^2-(a^2/3)]所以，PO=PO'-OO'=√[b^2-(a^2/3)]-r由于Rt△DOO'≌Rt△DOE，所以：DO'=DE=CO'/2=(√3/6)a而，PD^2=PB^2-BD^2=b^2-(a/2)^2=b^2-(a^2/4)所以：PD=√[b^2-(a^2/4)]设内切球半径为r，那么：由Rt△POE∽Rt△PDO'得到：PO/PD=OE/DO'{√[b^2-(a^2/3)]-r}/√[b^2-(a^2/4)]=r/(√3a/6)解得：r=[a*√(3b^2-a^2)]/[√3a+b*√(b^2-a^2/4)]