分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：设f(x)在x>0时连续，f(1)=3,且∫xy1f（t）dt= 
设f(x)在x>0时连续，f(1)=3,且∫xy  1    f（t）dt=x∫y  1    f（t）dt   +y∫x  1    f（t）dt  （x〉0，y〉0），则f(x)=


详细解答，谢谢 
回答：∫(1,xy) f（t）dt=x∫(1,y) f（t）dt +y∫(1,x) f（t）dt .
固定y，两边对x求导，
f(xy)*y=∫(1,y) f（t）dt+yf(x).
x=1--->yf(y)= ∫(1,y) f（t）dt+3y
f(y)连续，所以∫(1,y) f（t）dt可导--->f(y)可导，两边对y求导
f(y)+yf'(y)=f(y)+3
f'(y)=3/y,
f(y)=3ln|y|+C
f(1)=3--->c=3
所以f(x)=3lnx+3 (x>0)