分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：已知函数y=f(x)(x不等于0)满足对任意非零实数x、y都有f? 
已知y=f(x) (x不等于0) 满足对任意非零实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y)1、求证  f(1)＝f(-1)=0 求证 、 y=f(x) 是偶函数           3、若 y=f(x)在（0，正无穷）上是增函数      解不等式 f(x)+f(x-1/2)<0 
回答：已知y=f(x) (x不等于0) 满足对任意非零实数x、y都有f(xy)=f(x)+f(y)1、求证 f(1)＝f(-1)=0 2、求证  y=f(x) 是偶函数 3、若 y=f(x)在（0，正无穷）上是增函数，解不等式 f(x)+f(x-1/2)<0 1).令x=y=1得，f(1)=f(1)+f(1) ,所以f(1)=0　　令x=y=-1 得，f(1)=f(-1)+f(-1)　，所以f(-1)=02).令y=-1得:f(-x)＝f(x)+f(-1) ,所以 f(-x)＝f(x)　　所以y=f(x)是偶函数3).先证明f(x)在(-∝,0)上是减函数设0＜x1＜x2　，由已知得：f(x1)＜f(x2)因为f(x)是偶函数，所以得：f(-x1)＜f(-x2)但是此时-x1＞-x2＞0 ,所以f(x)在(-∝,0)上是减函数令y=x- 1/2得：f(x(x-1/2))＝f(x) +f(x-1/2)因为f(x)+f(x-1/2)＜0 ，f(1)=f(-1)=0所以 f(x(x-1/2))＜f(1)或f(x(x-1/2))＜f(-1)因为y=f(x)在（0,+∝）上是增函数,在(-∝,0)上是减函数所以0＜x(x-1/2)＜1或-1＜x(x-1/2)＜0即-1＜x(x-1/2)＜1且x(x-1/2)≠0解得：(1-√17)/4 ＜x＜(1+√17)/4且x≠0,x≠1/2