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问题：一道数学高考难题已知椭圆C的中心为坐标原点O，一个长轴顶点为（0 
已知椭圆的中心为坐标原点O，一个长轴顶点为（0，1），短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，若直线l与y轴交于点P（0，m),与椭圆C交于不同的两点A、B，且向量AP=3倍的向量PB.(I)求椭圆C的离心率及其标准方程。（II)求实数m的取值范围。
回答：(I)  椭圆方程为(y²/a²)+(x²/b²)=1.由已知可知b=c,a=√2b,又
点（0，1）在椭圆上, ∴ (1/2b²)+(0/b²)=1, b²=1/2,
∴ 椭圆方程为y²+2x²=1. e=c/a=√2/2.
(II) 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1≠x2.设L的方程: y=kx+m,把它代入椭圆方程,得(2+k²)x²+2mkx+m²-1=0......①
x1+x2=-2mk/(2+k²),x1x2=(m²-1))/(2+k²).
∵ 向量AP=3倍的向量PB, ∴ (-x1,m-y1)=3(x2,y2-m),于是
x1=-3x2, x1+x2=-2x2, ∴ x2=mk/(2+k²),x1=(x1+x2)-x2=-3mk/(2+k²), ∴ [-3mk/(2+k²)][mk/(2+k²)]=(m²-1))/(2+k²).
∴ k²=(1-m²)/(4m²-1)......②
∵x1≠x2, ∴ ①式的判别式△>0,可得2(1-m²)+k²>0,把②式代入
得(m²-1)(4m²-1)<0, ∴ 1/4<m²<1, 1/2<|m|<1,
∴ m∈(-1,-1/2)∪(1/2,1)