分类：教育/科学-学习帮助
问题：一个函数题已知二次函数f(x)对任意实数x，都有f(1
已知二次f(x)对任意实数x，都有f(1-x)=f(1+x)成立，设向量a=(sinx,2),b=(zsinx,1/2),c=(cos2x,1),d=(1,2).(1)分别求a*b和c*d的取值范围;(2)当x取值在[0,π]时，求不等式f(a*b)>f(c*d)的解集.
回答：(1) 向量a·b=(sinx,2)(2sinx,1/2)=2sin²x+1, ∵ -1≤sinx≤1, ∴ 1≤2sin²x+1≤3, 即向量a·b的取值范围是[1,3]向量c·f=(c2x,1)(1,2)=cos2x+2, ∵ -1≤cos2x≤1, ∴ 1≤cos2x+2≤3, 即向量c·d的取值范围是[1,3](2) ∵ 二次函数f(x)对任意实数x，都有f(1-x)=f(1+x)成立,∴ 函数的图象关于直线x=1对称.(i)  若二次函数f(x)开口向上,则f(x)在[1,+∞)上是增函数,x∈[0,π]时,向量a·b和向量c·d∈[1,3]是[1,+∞)的子集, ∴ f(x)在[1,3]上是增函数,不等式f(a·b)>f(c·d)<===>2sin²x+1>cos2x+2<===>2sin²x+1>3-2sin²x, ∴ sin²x>1/2, |sinx|>√2/2, ∴ x∈(π/4,3π/4)(ii) 若二次函数f(x)开口向下,则f(x)在[1,+∞)上是减函数,同理,不等式f(a·b)>f(c·d)<===>2sin²x+1<cos2x+2<===>2sin²x+1<3-2sin²x, ∴ sin²x<1/2, |sinx|<√2/2, ∴ x∈[0,π/4)∪(3π/4,π]