分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：类似定积分保号性f(x),g(x)均可积，若f(x)&gt;g( 
f(x),g(x)均可积，若f(x)>g(x),则对f(x)的在[a,b]定积分>对g(x)的在[a,b]定积分呢?(有点类似于保号性),多谢
回答：先证明命题如下.
命题:若在[α,β]，F(x)≥0,且可积,∫{α→β}F(x)dx=0.
==>任意ε>0,有α≤δ<η≤β，
使M（δ，η）=sup{ F(x)，x∈[δ，η]} ≤ε
命题的证明: 根据可积性得,任意ε>0，有n>0，
使
1/n[M（a，a+（b-a）/ n）+ M（a+（b-a）/ n，a+2（b-a）/ n）+..+ M（a+（b-a）（n-1）/ n，b）] ≤ε/2
若所有：
M（a，a+（b-a）/ n）， M（a+（b-a）/ n，a+2（b-a）/ n），..， M（a+（b-a）（n-1）/ n，b）>
>ε，
则ε<ε/2矛盾，所以题成立。

现证明你的问题。
1.在[a,b],设F(x)=f(x)-g(x)>0,且可积.

反证法：
2.设∫{a→b}F(x)dx=0==>
a≤c<d≤b,∫{c→d}F(x)dx=0.


3．根据上面的命题得：有
ⅰ。a≤a1<b1≤b，
使M（a1，b1）=sup{ F(x)，x∈[a1，b1]} ≤1

ⅱ。
a1≤a2<b2≤b1，
使M（a2，b2）=sup{ F(x)，x∈[a2，b2]} ≤1/2

ⅲ。
用递推的方法得：有
a（n-1）≤an<bn≤b（n-1），
使M（an，bn）=sup{ F(x)，x∈[an，bn]} ≤1/n

ⅳ。由于a（n-1）≤an<bn≤b（n-1）
==>
A=∩{ 1≤n}[an，bn]不空
当x∈A==> x∈[an，bn] ==>
F（x）≤M（an，bn）=sup{ F(x)，x∈[an，bn]} ≤1/n
==> F（x）≤0，和F(x)>0矛盾。
所以∫{a→b}F(x)dx>0。
你的命题成立。