分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：计算为柱面被两个平面截下部分的外侧 
计算 为柱面 被两个平面 截下部分的外侧
回答：用Divergence Theorem.曲面不封闭，加上下两个圆盘S1(向上),S2(向下)，使其封闭.在S1上z=1,所以∫∫S1 y^2dzdx+zdxdy=∫∫S1 dxdy=S1的面积=pi.在S2上z=0, 所以∫∫S2 y^2dzdx+zdxdy=0因此∫∫(S+S1+S2) y^2dzdx+zdxdy=∫∫∫[2y+1] dV x^2+(y-1)^2=1,x=rct,y=1+rsint,z=z∫∫∫[2y+1] dV =∫(r=0-->1)∫(t=0-->2pi)∫(z=0-->1) [2+2rsint+1] rdzdtdr=∫(r=0-->1)∫(t=0-->2pi) [2+2rsint+1] rdzdtdr=3pi所以所求曲面积分=3pi-pi=2pi.注：求三重积分也可以利用重心的方法求得：显然可见柱体的重心(centroid)为(0,1,1/2)因此三重积分∫∫∫[2y+1] dV =2*∫∫∫y dV +V的体积=2*1*V的体积+V的体积=3*V的体积=3*pi*1^1*1=3*pi