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问题：三角函数求实数α的取值范围，使得对任意实数x和任意θ∈[0,π/ 
求实数α的取值范围，使得对任意实数x和任意θ∈[0,π/2]恒有(x+3+2sinθcθ)^2+(x+αsinθ+αcosθ)^2≥1/8
回答：解：原不等式等价于(3+2sinθcθ-αsinθ-αcosθ)²≥1/4, θ∈[0,π/2]将其看作关于α的二次方程.解得α≥(3+2sinθcosθ+1/2)/(sinθ+cosθ)  或α≤(3+2sinθcosθ-1/2)/(sinθ+cosθ)∵θ∈[0,π/2], 1≤sinθ+cosθ≤√2(3+2sinθcosθ+1/2)/(sinθ+cosθ)=(sinθ+cosθ)+5/2*1/(sinθ+cosθ)当1≤x≤√2时, f(x)=x+5/2*1/x为减函数, 所以max[(3+2sinθcosθ+1/2)/(sinθ+cosθ)]=max[f(x)]=1+5/2=7/2∴α≥7/2(θ∈[0,π/2], 1≤x≤√2) 又(3+2sinθcosθ-1/2)/(sinθ+cosθ)=(sinθ+cosθ)+3/2*1/(sinθ+cosθ)≥2√(3/2)=√6当且仅当sinθ+cosθ=√6/2时, 等号成立∴α≤√6综上所述 α≥7/2 或 α≤√6.