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问题：曲线问题平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B 
平面直角坐标系中，O为坐标原点，给定两点A（1，0），B（0，-2），点满足：向量OC=a向量OA+b向量OB，a-2b=1（1）求点C的轨迹方程（2）设点C的轨迹与双曲线X2/a2-y2/b2=1交于两点M，N，且以MN为直径的圆过原点，求证：1/a2-1/b2为定值？
回答：解：（1）设点C坐标是（x,y),则向量OC=a向量OA+b向量OB=
（a,-2b)=（x,y),
x=a,y=-2b,因为a-2b=1
所以x+y=1为C点的轨迹方程
（2）由x+y=1与双曲线X2/a2-y2/b2=1解交点得
(b^2-a^2)x^2+2a^2x-(a^2+a^2b^2)=0
设M（x1,y1)，N(x2,y2)
因为MN为直径的圆过原点，
所以MO垂直NO，y1/x1*y2/x2=-1
所以1-(x1+x2)+2x1x2=0,由韦达定理知
1+2a^2/(b^2-a^2)-2(a^2+a^2b^2)/(b^2-a^2)=0
所以1/a2-1/b2=2
所以1/a2-1/b2为定值？