分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：证明定积分收敛当(
当(-1＜k＜0)时，如何证明广义定积分
∫(0,∞)(x^k)[1/(e^x-1)-1/x]dx
是收敛的？
回答：设f(k)=∫(0,∞)(x^k)[1/(e^x-1)-1/x]dx 
令x=2t得
2^(-k)f(k)=2^(-k)∫(0,∞)(x^k)[1/(e^x-1)-1/x]dx 
=∫(0,∞)(t^k)[1/(e^t-1)-1/t-1/(e^t+1)]dt
=∫(0,∞)(t^k)[1/(e^t-1)-1/t]dt-∫(0,∞)(t^k)[1/(e^t+1)]dt
=f(k)-∫(0,∞)(t^k)[1/(e^t+1)]dt
∴∫(0,∞)(t^k)[1/(e^t+1)]dt=[1-2^(-k)]f(k)
而∫(0,∞)(t^k)[1/(e^t+1)]dt＜∫(0,∞)[(t^k)e^(-t)]dt
=Γ(k+1)
∵ -1＜k＜0
∴ k+1＞0，即最常见的伽马函数
Γ(k+1)=∫(0,∞)[(t^k)e^(-t)]dt是收敛的
故f(k)=∫(0,∞)(x^k)[1/(e^x-1)-1/x]dx收敛得证。