分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：趣味沙龙6
一个大，连切4刀（平面）后再分开。第一问：最多可切出几片瓜皮？第二问：在可切出最多片瓜皮数的各种情况下，瓜瓤数最少会是几块？最多又会是几块？
回答：【①山路水桥从球极投影角度解析】关于瓜皮数最大值可以用方法严格论证，切n刀分割出最多西瓜皮块数为S(n)=n^2-n+2。　　三维空间问题有一定直观性，由于不如平面更直观，而球面本质是二维的，利用复变函数球极投影，可以建立立体西瓜皮与平面（过南极的切平面）一一对应关系。　　球面上的刀痕圆的球极投影或是平面上的直线（刀口经过北极），或是圆（刀口平行于赤道），或是椭圆（刀口不经过北极，也不平行于赤道。因为两个圆至多有两个交点，画成椭圆后，不小心可能得到更多交点，为避免此尴尬，图中也都画成圆）。　　当球面上的每个刀痕圆之间有两个交点，且每个交点处没有第三个圆通过。此时球面被分割“块数”最多。（如果有两个刀痕圆都经过北极，那么球极投影是两条相交直线，学过复变的都知道，两个交点的一个在有限区域内，另一个是无穷远点）。　　【注意附图中最外面部分也对应了一块西瓜皮】　　以下我们把球面上的刀痕圆的球极投影也都称为圆。　　数学归纳法可以证明切n刀分割出最多西瓜皮块数为S(n)=n^2-n+2　　n=1，显然一个圆把全平面分成S(1)=2个部分，即S(n)=n^2-n+2成立。　　n=k时，设S(k)=k^2-k+2，即S(n)=n^2-n+2成立。　　再切一刀，就是在投影平面上，再画一个圆，和前k个圆有2k个交点，由于没三个圆共点，所以分出区域多了2k部分，共有S(k)+2k=k^2+k+2=(k+1)^2-(k+1)+2，　　即n=k+1时，S(n)=n^2-n+2也成立。【②【数森老师】】在瓜皮最多的条件下。关于瓜瓤数的最大值，【数森老师】已经指出【它就是n个平面划分空间的数目 Q(n) = (n^3+5n+6)/6】【③【常规老师】】在瓜皮最多的条件下。关于瓜瓤数的最小值D(n)，考虑到可以使一块瓜瓤带两个皮的情况（我本来的思维方式有局限性），那么只要我们每刀都垂直于同一个平面α（见常规老师的图）。　　D(n)就是n条直线分割平面的最多部分的数目D(n) = 1+n(n+1)/2 。【④常规老师结论】S(n)与 D(n)之间关系S(n)=2*D(n)-2n。山路水桥的等价解释，虚拟切口平面α下瓜皮数为2*D(n)，真正被虚拟切口切到的仅2n块瓜皮，所以S(n)=2*D(n)-2n。第一问：最多可切出几片瓜皮=======＞S(4)=14。 第二问：在可切出最多片瓜皮数的各种情况下， 瓜瓤数最少会是几块=======＞D(4)=11。最多又会是几块=======＞Q(4)=15。