分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：求证组合恒等式 
回答：首先Dk表示k个元素的错位排列。1.n个元素的全排列有两种方案：a).n！种方法；b).分为n+1类：恰有0个元素在原来的位置，有(n,0)D0；恰有1个元素在原来的位置，有C(n,1)D1；恰有2个元素在原来的位置，有C(n,2)D2；恰有3个元素在原来的位置，有C(n,3)D3；........恰有n个元素在原来的位置，有C(n,n)Dn，所以第一个结论成立。2.∑(k=0,n)kC(n,k)D(n-k)=∑(k=1,n)k*n!/[k!*(n-k)!]*D(n-k)=∑(k=1,n)n(n-1)!/[(k-1)!(n-k)!]*D(n-k)=n∑(k=1,n)(n-1)!/[(k-1)!(n-1-k+1)]*D(n-k)=n∑(k=1,n)C(n-1,k-1)D(n-k)=n∑(k=1,n)C(n-1,n-k)D(n-k)=n∑(i=0,n-1)C(n-1,i)D(n-i)  （因为n-k=i,k=1,2,3....n,则i=n-1,n-2,...3,2,1,0）=n*（n-1)!=n！即第二个等式成立。