分类：教育/科学-学习帮助
问题：完全平方数设a,b为正整数，当a^2+b^2被a+b除时商为q余 
设a,b为正整数，当a^2+b^2被a+b除时商为q余数为r,r不为0, 求出所有的正整数对(a,b)使得q^2+r=1977
回答：解：记q²+r=1977……(1)
由题意a²+b²=q(a+b)+r, 1≤r＜a+b……(2)
由(1)：r=1977-q², 代入(2), 得
q²-(a+b)q+(a²+b²-1977)=0
∵q为实数, 所以判别式≥0
即 (a+b)²-4(a²+b²-1977)≥0
=> 3a²-2ab+3b²-4×1977≤0
若此关于a的一元二次不等式有解, 其判别式≥0
即 (-2b)²-4×3×(3b²-4×1977)≥0
解得b≤54, 同理有a≤54.
故r＜a+b≤108, q²=1977-r＞1977-108=1869
∴1869＜q²＜1977
只有q=44满足条件, 得r=41代入(2), 得
(a-22)²+(b-22)²=1009
完全平方数的个位数只能是0,1,4,5,6,9
两个完全平方数相加得1009, 因此这两个数末尾只能为0,4,5,9
当a-22末尾为0时, b-22末尾数只能为3,7
当a-22末尾为2,8时, b-22末尾数只能是5
因为0＜a≤54, 0＜b≤54, 不难验证有4组解：
(a,b)=(37,50), (50,37), (7,50), (50,7)