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问题：求证:当x>1时,n(x
求证:当x>1时,n(x-1)<x^n-1<n(x-1)x^n-1 (n∈N,n>2).
回答：求证:当x>1时,n(x-1)<x^n-1<n(x-1)x^n-1 (n∈N,n>2).当n＞2，x＞1时，(x-1)＞0，x^(n-1)＞1所以：n(x-1)＜n(x-1)x^(n-1)但是第二个不等号是不成立的！假设x^(n-1)＜n(x-1)x^(n-1)成立：因为x^(n-1)＞1＞0所以可以===> n(x-1)＞1那么：假设n=3，x=1.1——这都满足题目的条件但是n(x-1)=0.3＜1,所以上述假设不成立————题目是错误的！！！！根据修改后解答如下：求证:当x>1时,n(x-1)<(x^n)-1<n(x-1)x^(n-1) (n∈N,n>2). ①令f(x)=(x^n)-1-n(x-1)（x＞1，n＞2，n∈N）则，f'(x)=n*x^(n-1)-n=n*[x^(n-1)-1]因为x＞1，n＞2所以：x^(n-1)＞1则，x^(n-1)-1＞0所以，f'(x)=n*[x^(n-1)-1]＞0所以，f(x)为增函数又，f(1)=0所以，f(x)＞0即，(x^n)-1＞n(x-1)②令函数g(x)=n(x-1)x^(n-1)-(x^n-1)=n(x-1)x^(n-1)-x^n+1=n[x^n-x^(n-1)]-x^n+1=n*x^n-n*x^(n-1)-x^n+1=(n-1)*x^n-n*x^(n-1)+1那么，g'(x)=n(n-1)*x^(n-1)-n(n-1)*x^(n-2)=n*(n-2)*x^(n-2)*(x-1)因为x＞1，n＞2所以：g'(x)＞0则，函数g(x)为增函数又，g(1)=0所以，g(x)＞0即，n(x-2)*x^(n-1)＞(x^n)-1综上：n(x-1)＜(x^n)-1＜n(x-1)*x^(n-1)