分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：设f(x)在[
设f(x)在[-1/a,a]上非负连续(a>0),且∫a  -1/a  xf(x)dx =0 ,证明:∫a  -1/a  x^2f(x)dx <=∫a  -1/a  f(x)dx 
回答：设f(x)在[-1/a,a]上非负连续(a>0),且∫(-1/a,a)  xf(x)dx =0 ,证明:∫(-1/a,a) x^2f(x)dx <=∫(-1/a,a) f(x)dx 考虑积分:∫(-1/a,a) (x-a)(x+1/a)f(x)dx 因为f(x)>=0, x-a<0, x+1/a>0,所以上面积分的被积<=0，因此其积分<=0。∫(-1/a,a) (x-a)(x+1/a)f(x)dx <=0<---->∫(-1/a,a) (x^2-ax+x/a-1)f(x)dx <=0<---->∫(-1/a,a) x^2f(x)+(a-1/a)∫(-1/a,a) xf(x)dx -∫(-1/a,a) f(x)dx <=0<---->∫(-1/a,a) x^2f(x) -∫(-1/a,a) f(x)dx <=0<---->∫(-1/a,a) x^2f(x) <=∫(-1/a,a) f(x)dx 证毕。[倒数第二步时候用到了∫(-1/a,a)  xf(x)dx =0 ]