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问题：几道数学圆锥曲线题1.椭圆C的焦点为F1(
1.椭圆C的焦点为(-2根号2,0),F2(2根号2,0),长轴长为6,设直线y=x+2交椭圆C于A,B两点,求线段AB的中点坐标2.抛物线x2=-2y与定点M(0,-1)的直线l交于A,B两点,O为坐标原点,若直线OA,OB的斜率之和为1,求直线l的方程3.直线y=x+b与双曲线2x2 - y2 =2交于A,B两点,若以AB为直径的圆过原点,求b4.双曲线x2 - (1/2)y2 =1,过点B(1,1)能否作直线m,使m与双曲线交于P,Q两点,且点B是线段PQ的中点?若存在,求出直线m方程,若不存在,说明理由
回答：1.椭圆C的焦点为(-2√2,0),F2(2√2,0),长轴长为6,直线y=x+2交椭圆C于A,B两点,求线段AB的中点坐标 a=3，c=2√2--->b²=a²-c²=1--->椭圆C方程：x²/9+y²=1 与直线x=y-2联立--->(y-2)²+9y²=9--->10y²-4y-5=0 --->yA+yB=4/10=0.4--->xA+xB=(yA-2)+(yB-2)=-3.6 --->AB的中点坐标为(-1.8,0.2) 2.抛物线x²=-2y与过定点M(0,-1)的直线l交于A,B两点,O为坐标原点,若直线OA,OB的斜率之和为1,求直线l的方程 设L方程为：y=kx-1 与抛物线方程联立：x²=-2(kx-1)--->x²+2kx-2=0 --->xA+xB=-2k, 又: yA=-xA²/2, yB=-xB²/2 k(OA)+k(OB)=(yA/xA)+(yB/xB) 　　　　　 =(yAxB+yBxA)/(xAxB) 　　　　　 =(-1/2)(xA²xB+xB²xA)/(xAxB) 　　　　　 =-(xA+xB)/2 　　　　　 =k = 1 --->L方程为：y=x-1 3.直线y=x+b与双曲线2x²-y²=2交于A,B两点,若以AB为直径的圆过原点,求b 直线与双曲线方程联立：x²-2bx-(b²+2)=0 --->xA+xB=2b, xAxB=-b²-2 --->yA+yB=(xA+b)+(xB+b)=4b--->圆心即AB中点M(b,2b) 　　(xA-xB)²=(xA+xB)²-4xAxB=8b²+8 --->直径|AB|=√2|xA-xB|=4√(b²+1) 圆过原点--->|OM|=|AB|/2--->5b²=4(b²+1)--->b=2 4.双曲线x²-(1/2)y²=1,过点B(1,1)能否作直线m,使m与双曲线交于P,Q两点,且点B是线段PQ的中点?若存在,求出直线m方程,若不存在,说明理由 假设存在m，其斜率为k（有对称性知k存在） 设A(xP,yP),B(xQ,yQ)---->(xP+xQ)/2=1, (yP+yQ)/2=1 又：xP²-y²/2=1，xQ²-yQ²/2=1 相减：(xP+xQ)(xP-xQ) - (yP+yQ)(yP-yQ)/2 = 0 --->2(xP-xQ) = yP-yQ --->k = (yP-yQ)/(xP-xQ) = 2 --->m方程：(y-1)=2(x-1)，即：2x-y=1