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问题：设x+y+z=0，求证:6(x^3+y^3+z^3)^2≤(x^? 
回答：证法一:
由z=-(x+y)，得x^3+y^3+z^3=3xyz，
记I=6(x^3+y^3+z^3)^2=54x^3y^3z^3.
由x+y+z=0及对称性，不妨设x>0，y≤0，则
I=216·(|xy|/2)·(|xy|/2)·z^2
≤[(|xy|/2+|xy|/2+z^2)/3]^3
=(2z^2+2|xy|)^2.
而x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=z^2+2|xy|，
故2z^2+2|xy|=x^2+y^2+z^2.
从而原式得证.

证法二:
由x+y+z=0及对称性，不妨设x≥0，y≥0，z≤0.
∴x+y=-z
→z^2=(x+y+z)^2
→(x^2+y^2+z^2)^3=8(x^2+xy+y^2)^3.
∴x^2+xy+y^2
=x(x+y)/2+y(x+y)/2+(x^2+y^2)/2
≥3[xy(x+y)^2/4·(x^2+y^2)/2]^(1/3)
≥3[(xyz)^2/4]^(1/3)
∴(x^2+y^2+z^2)^3
≥3×27×(xyz/2)^2
=54(xyz)^2
=6(x^3+y^3+z^3)^2
故原式得证。