分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：定积分证明题如何证明：∫(0,∞)[(x^k)sinx]dx=Γ 
如何证明： ∫(0,∞)[(x^k)sinx]dx=Γ(k+1)c(kπ/2). 其中，-2＜k＜0. Γ(k+1)为伽马函数。 
回答：证明：Γ(a)=∫(0,∞)[x^a*e^-x]dx我们令x=ty(t>0)有：Γ(a)/(t^a)=∫(0,∞)[y^(a-1)*e^(-ty)]dy于是：x^k=[1/Γ(-k)]*∫(0,∞)[z^(-k-1)*e^(-zx)]dz有根据余元公式Γ(p)Γ(1-p)=π/sinpπ则x^k=(Γ(k+1)sin-kπ)/π*(∫(0,∞)[z^(-k-1)*e^(-zx)]dz)因而∫(0,∞)[(x^k)sinx]dx=(Γ(k+1)sin-kπ)/π*∫(0,∞)sinxdx*∫(0,∞)[z^(-k-1)*e^(-zx)]dz由一致收敛性，交换积分顺序得：∫(0,∞)[(x^k)sinx]dx=(Γ(k+1)sin-kπ)/π*∫(0,∞)z^(-k-1)dz*∫(0,∞)[sinx*e^(-zx)]dx容易计算∫(0,∞)[sinx*e^(-zx)]dx=1/(1+z^2)(只要用两次分部积分就行，会发现相同形式的)从而∫(0,∞)[(x^k)sinx]dx=(Γ(k+1)sin-kπ)/π*∫(0,∞)[z^(-k-1)/(1+z^2)]dz在此我们再令z^2=t,则dz=(1/2)*z^(-1/2)dz∫(0,∞)[(x^k)sinx]dx=(Γ(k+1)sin-kπ)/(2π)*∫(0,∞)[z^(-k/2-1)/(1+k)]dz考虑到β的另外一种变形即B(a,b)=∫(0,∞)[y^(a-1)/(1+y)^(a+b)]此时a=-k/2,b=1+k/2,a+b=1,又可以用余元公式了记B(-k/2,1+k/2)=π/sin(-kπ/2)故∫(0,∞)[(x^k)sinx]dx=(Γ(k+1)sin-kπ)/(2π)*B(-k/2,1+k/2)=(Γ(k+1)sin-kπ)/(2π)*π/sin(-kπ/2)=Γ(k+1)cos(-kπ/2)  （二倍角公式） =Γ(k+1)cos(kπ/2).证毕