分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：求解~~~已知三棱锥S
已知三棱锥S-AB的底面是正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是三角形SBC的垂心,二面角H-AB-C的平面角等于30度,SA^2 = 12.求三棱锥的体积.(99年联赛)要求有解答过程,最好配图
回答：已知三棱锥S-AB的底面是正三角形,A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心,二面角H-AB-C的平面角等于30°，SA²=12.求三棱锥的体积如图：A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心高SE⊥BC--->SA⊥BC；高BG⊥SC--->BA⊥SC (三垂线定理逆定理)设F是S在底面ABC的射影--->AE⊥BC,AB⊥CD（三垂线定理）--->F是△ABC的垂心，又△ABC是正三角形--->F是底面中心--->S-ABC是正三棱锥AB⊥SCD--->GD⊥AB--->二面角H-AB-C的平面角∠GDC=30°侧棱SC与底面的角∠SCF=60°又：SC²=SA²=12--->CF=(SC/2)=√3，SF=3--->CD=(3/2)CF=3√3/2--->△ABC边长=3--->V(S-ABC)=(1/3)S(ABC)SF　　　　　　=(1/3)(√3/4)*3²*3　　　　　　=9√3/4