分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：高中数学已知曲线x^2
已知曲线x^2-y^2/2=1.
(1)求证:对一切实数k,直线kx-y-(根2)k+(根2)=0与双曲线均相交;
(2)求以点A(2,1)为中点的弦的方程;
(3)求过点A(2,1)的各弦中点M的轨迹.












回答：简解:
(1){x^2-y^2/2=1,kx-y-(根2)k+根2}
--->(2-k^2)x^2+(2根2)k(k-1)x-2(k^2-2k+2)=0 ......(*)
k=士根2,方程(*)有根;
k不=士根2,判别式8(k-2)^2>=0.
故方程(*)总有根,即直线与双曲线均相交.

(2)设过A(2,1)的端点P1(m,n)、P2(p,q),则
{m^2-n^2/2=1,p^2-q^2/2=1}
--->k=(n-q)/(m-p)=(2×2)/(1×1)=4,
故直线为4x-y-7=0.

(3)以M(x0,y0)为中点的弦如果存心,则它的方程为
y-y0=(2x0/y0)(x-x0)
此弦过(2,1),则有
1-y0=(2x0/y0)(2-x0)
--->(x0-1)^2/(7/8)-(y0-1/2)^2/(7/4)=1.
故所求中点轨迹为
(x-1)^2/(7/8)-(y-1/2)/(7/4)=1.