分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：在区间D上，若函数f(x)为增函数，而函数(1/x)f(x)为减? 
在区间D上，若f(x)为增函数，而函数(1/x)f(x)为减函数，则称f(x)为弱增函数，已知函数f(x)=1-1/(根号1+x )(1)判断函数f(x)在区间(0,1]上是否是弱增函数(2)设x1,x2属于[0,正无穷大），x1不等于x2，证明|f(x2)-f(x1)|<1/2|x2-x1|急求详细过程!!谢谢
回答：(1)f(x)=1-1/√(1+x),易证√(1+x)在(0,1]上增，1/√(1+x)在(0,1]上减，所以f(x)=1-1/√(1+x)在(0,1]上增
而(1/x)f(x)=1/[x√(1+x)(√(1+x)+1)](分子分母同×[√(1+x)+1]，显然，分母是正的增函数，故(1/x)f(x)在(0,1]上减
(2)|f(x2)-f(x1)|/|x2-x1|可以看成是连接A(x1,f(x1))、B(x2,f(x2))的斜率的绝对值，对f(x)求导：f'(x)=(1/2)(x+1)^(-3/2)，因为：当x1、x2∈[0，+∞)时，(x+1)^(-3/2)小于1，即y=f(x)的曲线上在[0，+∞)段上切线斜率小于1/2，原题得证