分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：8年级数学题如图，直线y=x+b（b≠0）交坐标轴于A、B两点， 
如图，直线y=x+b（b≠0）交坐标轴于A、B两点，交双曲线y=2/x于点D，过D作两坐标轴的垂线D、DE，连接OD．（1）求证：AD平分∠CDE；（2）对任意的实数b（b≠0），求证AD•BD为定值；（3）是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．要有过程解答。
回答：如图，直线y=x+b（b≠0）交坐标轴于A、B两点，交双曲线y=2/x于点D，过D作两坐标轴的垂线D、DE，连接OD． （1）求证：AD平分∠CDE；已知直线y=x+b，则：x=0时，y=b；y=0时，x=-b所以，A(-b,0)，B(0,b)所以，|OA|=|OB|=|b|那么，三角形OAB为等腰直角三角形所以，∠OAB=45°则，∠CAD=45°而，DC⊥x轴，DE⊥y轴所以，∠ADC=45°那么，∠ADE=45°即，AD平分∠CDE （2）对任意的实数b（b≠0），求证AD•BD为定值；设直线y=x+b与双曲线y=2/x的交点为D(m,m+b)则m+b=2/m由前面知A(-b,0)，B(0,b)所以：AD=√[(m+b)^2+(m+b)^2]=√[2(m+b)^2]=√[2*(2/m)^2]=√(8/m^2)BD=√(m^2+m^2)=√(2m^2)所以，AD*BD=√[(8/m^2)*2m^2]=4 （3）是否存在直线AB，使得四边形OBCD为平行四边形？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．假设存在这样的直线y=x+b，使得四边形OBCD为平行四边形因为平行四边形对角线互相平分，所以点A为OC、BD中点而由前面知道，△ACD为等腰直角三角形所以，AC=CD而，OA=AC所以，OC=2CD即说明点D的横坐标为纵坐标的2倍，设D(m,2m)因为点D在双曲线y=2/x上，所以：2m=2/m解得，m=±1那么，点D(±1,±2)而点D又在直线y=x+b上，所以：①当点D为(1,2)时，2=1+b，则：b=1；②当点D为(-1,-2)时，-2=-1+b，则：b=-1所以，存在直线y=x±1，使得四边形OBCD为平行四边形