分类：教育/科学-升学入学-高考
问题：数列求值是否存在常数a,b,c使等式1^2+3^2+5^2+…… 
是否存在常数a,b,c使等式1^2+3^2+5^2+……(2n-1)^2=1/3an(bn^2+c)对于任何整数n都成立，证明结论.

回答：解：1^2+3^2+5^2+……(2n-1)^2
=（1+1+1……+1）-4（1+2+3+……+n）+4（1^2+2^2+……+n^2)
=n-2n(n+1)+4*1/6*n(n+1)(2n+1)
=1/3n[3-6(n+1)+2(n+1)(2n+1)]
=1/3n(4n^2-1)
要使等式1^2+3^2+5^2+……(2n-1)^2=1/3an(bn^2+c)对于任何整数n都成立，则 a=1,b=4,c=-1
证明：
（1）n=1时，左边=1，右边=1/3*1*（4*1-1）=1
所以n=1时等式成立
（2）假设n=k时原等式成立，即
1^2+3^2+5^2+……(2k-1)^2=1/3k(4k^2-1)
则n=k+1时
1^2+3^2+5^2+……(2k-1)^2+(2k+1)^2
=1/3k(4k^2-1)+(2k+1)^2
=4/3k^3-1/3k+4k^2+4k+1
=4/3(k^3+3k^2+3k+1)-1/3k-1/3
=4/3(k+1)^3-1/3(k+1)
=1/3(k+1)[4(k+1)^2-1]
即n=k+1时等式成立
综上所述，对于任何整数n，等式1^2+3^2+5^2+……(2n-1)^2=1/3n(4n^2-1)都成立