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问题：平面几何难题寻求帮助！如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1 
如图，已知四边形AB、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D¬2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．求证：四边形A2B2C2D2是正方形．
回答：由已知，向量A2B2=A2A+AB+BB2=A2A1+A1B1+B1B2=(1/2)(A2A+AB+BB2+A2A1+A1B1+B1B2)=(1/2)(AB+A1B1),同理D22=(1/2)(DC+D1C1)=A2B2，B2C2=(1/2)(BC+B1C1)=A2D2，∴A2B2*B2C2=(1/4)(AB+A1B1)(BC+B1C1)=(1/4)(AB*B1C1+A1B1*BC)=0①(因<AB,B1C1>与<A1B1，BC>互补），∴四边形A2B2C2D2是矩形。A2C2=A2B2+B2C2=(1/2)(AB+BC+A1B1+B1C1)=(1/2)(AC+A1C1),同理，B2D2=(1/2)(BD+B1D1),AC*A1C1=(AB+BC)(A1B1+B1C1)=AB*A1B1+BC*B1C1（由①）=CD*C1D1+BC*B1C1=(BC+CD)(B1C1+C1D1)=BD*B1D1,∴A2C2^2=(1/4)(AC^2+2AC*A1C1+A1C1^2)=(1/4)(BD^2+2BD*B1D1+B1D1^2)=B2D2^2,∴矩形A2B2C2D2是正方形.