分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：定积分的计算∫（
∫（-1到1）d/dx(arctan1/x)dx,它的积分，如果先不考虑定积分的上下限，那么∫d/dx(arctan1/x)dx，这个式子不就是相当于对arctan1/x先求导再积分，那么他的结果应该是arctan1/x。可是，答案先求了d/dx(arctan1/x)结果是-1/(1+x^2),再对它求积分，那结果就是arctanx，为什么结果会不同呢？  而且答案还说arctan1/x不是d/dx(arctan1/x)在[-1,1]上的原，所以不能直接在[-1,1]上用莱布尼兹公式，但是拆成[-1,0][0,1]，就分别把上下限带入了arct∫（-1到1）d/dx(arctan1/x)dx,它的积分，如果先不考虑定积分的上下限，那么∫d/dx(arctan1/x)dx，这个式子不就是相当于对arctan1/x先求导再积分，那么他的结果应该是arctan1/x。可是，答案先求了d/dx(arctan1/x)结果是-1/(1+x^2),再对它求积分，那结果就是arctanx，为什么结果会不同呢？  而且答案还说arctan1/x不是d/dx(arctan1/x)在[-1,1]上的原，所以不能直接在[-1,1]上用莱布尼兹公式，但是拆成[-1,0][0,1]，就分别把上下限带入了arctan1/x求，此时arctan1/x它就是d/dx(arctan1/x)的原函数了吗，都是同一道题，区间也都相同，怎么有的时候是原函数有的时候不是呢？
回答：①因为被积函数在积分区间上没有原函数。

②尽管被积函数在半开半闭区间[-1,0)上有原函数arctan(1/x)，
在半开半闭区间(0,1]有原函数arctan(1/x)，
但并不说明arctan(1/x)是被积函数在[-1,1]上的原函数，实际上arctan(1/x)在[-1,1]上连续都不能保证，更谈不上可导了。

③尽管被积函数在半开半闭区间[-1,0)上有原函数arctan(1/x)，还是不能用牛顿莱布尼兹公式，x=0不能代入，只能求
lim<x→ -0>arctan(1/x)= - π/2。

同样道理尽管被积函数在半开半闭区间(0,1]上有原函数arctan(1/x)，还是不能用牛顿莱布尼兹公式，x=0不能代入，只能求
lim<x→ +0>arctan(1/x)=π/2。