分类：教育/科学-理工学科-物理学
问题：三角形重心试证:到三角形三顶点距离的平方和为最小的点是三角形的重 
试证:到三角形三顶点距离的平方和为最小的点是三角形的重心。
回答：命题 在ΔAB中，G是重心,M是平面上任一点。求证; MA^2+MB^2+MC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3GM^2 证明 ΔABC的三条中线AD,BE,CF交于G，不妨设M在ΔBGC内。 对于ΔAMD和G，由斯特瓦尔定理得; MA^2*DG+MD^2*AG-MG^2*AD=AD*DG*AG 因为 DG=AD/3,GA=2AD/3，代入整理得: 3*MG^2=MA^2+2*MD^2-2*AD^2/3 (1) 容易算出，在ΔMBC和ΔGBC中有 MD^2=(MB^2+MC^2)/2-BC^2/4 GD^2=(GB^2+GC^2)/2-BC^2/4 将上述两式代入(1) 式得: 3*MG^2=MA^2+MB^2+MC^2-(GB^2+GC^2)+2GD^2-2*AD^2/3 = MA^2+MB^2+MC^2-( GA^2+GB^2+GC^2) 所以 MA^2+MB^2+MC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3GM^2 从等式显然可看出, 当M异于G时，有 MA^2+MB^2+MC^2>GA^2+GB^2+GC^2 所以到三角形三顶点距离的平方和为最小的点是三角形的重心。