分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：已知数列{an}中，a1=1,a2=1/4,且a&lt;n+1&? 
已知数列{an}中，a1=1,a2=1/4,且a<n+1>=[(n-1)an]/(n-an)
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：对于一切n∈N﹡,有a1²+a2²+a3²+a4²+a5²……a^k²＜7/6
回答：解：（1）由a<n+1>=[(n-1)an]/(n-an)得
1/a<n+1>-(n+1)=n/(n-1)*(1/an-n),
n依次取2，3，……得
1/a3-3=2/1*(1/a2-2),
1/a4-4=3/2(1/a3-3),
……
1/an-n=(n-1)/(n-2)(1/a<n-1>-n+1),
相乘得
1/an-n=(n-1)(1/a2-2)=2(n-1),
∴1/an=3n-2,
∴an=1/(3n-2),
n=1,2上式也成立。
（2）∵1/(3k-2)^2<2/3*[1/(6k-7)-1/(6k-1)],
∴a1²+a2²+a3²+a4²+a5²+……+(an)²
=1+1/16+1/7^2+1/10^2+……+1/(3n-2)^2
<1+2/3*[1/5-1/11+1/11-1/17+……+1/(6n-7)-1/(6n-1)]
=1+2/3*[1/5-1/(6n-1)]
<1+2/15<7/6.