分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：求助不等式证明己知a,b,c都是正数，abc=1。证明1/(1+ 
己知a,b,c都是正数，abc=1。证明
1/(1+b+c)+1/(1+c+a)+1/(1+a+b)≤1/(2+a)+1/(2+b)+1/(2+c)
回答：己知a,b,c都是正数，abc=1。证明 
1/(1+b+c)+1/(1+c+a)+1/(1+a+b)≤1/(2+a)+1/(2+b)+1/(2+c)

证明 由abc=1条件,设a=x^2/yz, b=y^2/zx, c=z^2/xy，x,y,z∈R+.
作代换,等价于
∑xyz/(xyz+y^3+z^3)≤∑yz/(2yz+x^2)    (1)

设M=1-∑xyz/(xyz+y^3+z^3),N=1-∑yz/(2yz+x^2).
则化简得:
M=∑{x(y+z)*(y-z)^2/[(xyz+y^3+z^3)∑x]}
N=∑{x(2xy+2xz-yz)*(y-z)^2/[2(2xy+z^2)(2xz+y^2)*∑x]

欲证(1),只需证 M≥N,即
∑{x(y+z)*(y-z)^2/[(xyz+y^3+z^3)∑x]}≥
∑{x(2xy+2xz-yz)*(y-z)^2/[2(2xy+z^2)(2xz+y^2)*∑x]

<==>
∑{x(y+z)[6x^2*yz+2x(y^3+z^3)+yz(y^2+z^2)]+x(yz)^2∑x}(y-z)^2/[(2xy+z^2)(2xz+y^2)(xyz+y^3+z^3)]≥0.

显然成立.