分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：三角不等式在三角形ABC中,x、y、z为任意实数,求证:x^2+ 
在三角形AB中,x、y、z为任意实数,求证:x^2+y^2+z^2>=2xycosC+2yzcosA+2zxcosB.其中当且仅当x:y:z=sinA:sinB:sinC时取等号.
回答：证明:
x^2+y^2+z^2-(2xycosC+2yzcosA+2zxcosB
=(x-ycosC-zcosB)^2+(ysinC-zsinB)^2
>=0
--->x^2+y^2+z^2>=2xycosC+2yzcosA+2zxcosB.


上式取等号的充要条件为:
x-ycosC-zcosB=0    (1)
ysinC-zsinB=0    (2)
由(2)得,y:z=sinB:sinC    (3)
又由(2),得z=ysinC/sinB    (4)

由(4)代入(1),得
x-ycosC-(ysinC/sinB)cosB=0
--->x:y=cosC+(sinCcosB/sinB)=sinA:sinB    (5)

由(3)、(5)就证明了,当且仅当
x:y:z=sinA:sinB:sinC时取等号.