分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：请教初一奥数1、已知(y
1、已知(y-z)^2+(x-y)^2+(z-x)^2=(y+z-2x)^2+(z+x- 
2y)^2+(x+y-2z)^2,求(yz+1)(zx+1)(xy+1)/(x^2+ 
1)(y^2+1)(z^2+1)的值。 
2、已知x^2-x-1=0,求x^8+x^-8的值。

回答：1、已知(y-z)^2+(x-y)^2+(z-x)^2=(y+z-2x)^2+(z+x-2y)^2+(x+y-2z)^2,求(yz+1)(zx+1)(xy+1)/(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)的值。
(y-z)^2+(x-y)^2+(z-x)^2=(y+z-2x)^2+(z+x-2y)^2+(x+y-2z)^2
===> [(y-z)^2-(y+z-2x)^2]+[(z-x)^2-(z+x-2y)^2]=(x+y-2z)^2-(x-y)^2（移项）
===> (y-z+y+z-2x)(y-z-y-z+2x)+(z-x+z+x-2y)(z-x-z-x+2y)=(x+y-2z+x-y)(x+y-2z-x+y)（平方差公式）
===> (2y-2x)(2x-2z)+(2z-2y)(2y-2z)=(2x-2z)(2y-2z)
===> 4(y-x)(x-z)+4(z-y)(y-z)=4(x-z)(y-z)
===> (y-x)(x-z)+(z-y)(y-z)=(x-z)(y-z)
===> (x-z)[(y-x)-(y-z)]-(z-y)^2=0
===> (x-z)(z-x)-(z-y)^2=0
===> -(x-z)^2-(z-y)^2=0
===> (x-z)^2+(z-y)^2=0
因为(x-z)^2、(z-x)^2均大于或等于零，要满足其和为零，则它们均同时为零
===> (x-z)^2=0，且(z-y)^2=0
===> x=y=z
所以，原式=(yz+1)(zx+1)(xy+1)/(x^2+1)(y^2+1)(z^2+1)=1

2、已知x^2-x-1=0,求x^8+x^-8的值。
因为：x^8+x^-8=(x^4+x^-4)^2-2
<=== x^4+x^-4=(x^2+x^-2)^2-2
<=== x^2+x^-2=(x+x^-1)^2-2
<=== (x+x^-1)^2=(x-x^-1)^2+4
由已知条件：x^2-x-1=0得到：x^2-1=x
两边同时除以x，就有：x-x^-1=1
所以，代入上面各式（自下而上），得到：
(x+x^-1)^2=1+4=5
x^2+x^-2=5-2=3
x^4+x^-4=3^2-2=9-2=7
所以，x^8+x^-8=(x^4+x^-4)^2-2=7^2-2=49-2=47