分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：证明实数域上的二元多项式环R[x,y]不是主理想环 
回答：事实上，结论对任意域都成立。设理想I=(x,y)。若I是一个主理想，则存在f(x,y)∈R[x,y]使得I=(f(x,y))。于是f(x,y)|x, f(x,y)|y. 不难验证f(x,y)只能=某个非零常数a∈R。因此I=(a)。进一步地，1=a^-1*a∈I，故存在p(x,y),q(x,y)∈R[x,y], 使得1=p(x,y)x+q(x,y)y。但是等式右端显然没有非零常数项，矛盾。所以I不是一个主理想。从证明也可以看出只需要用到R是一个域，与具体的实数并没有关系。