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问题：已知集合A＝｛x|x=m+n√2,m,n∈Z｝（1）证明任何整数? 
已知集合A＝｛x|x=m+n√2,m,n∈Z｝
（1）证明任何整数都是A的元素
（2）设X1，X2∈A，求证：X1·X2∈A
回答：首先要明确集合A中元素的性质，

凡能写成 m+n√2,m,n∈Z 形式的数都是A的元素，
比如3+√8=3+2√2，是A的元素；
再比如 5=5+0√2，也是A的元素；
而3+√12=3+2√3，就不是A的元素；

任一整数 a 都能写成 a+0√2 的形式，
所以任何整数都是A的元素。

在(2)中，X1·X2=(a+b√2)(p+q√2)=(ap+2bq)+(aq+bp)√2
X1·X2是一个数，它能写成 m+n√2 的形式，
注意n是√2的系数，要求√2的系数为整数，而不是n√2为整数
这里m=ap+2bq，n=aq+bp，m,n都是整数。
因此X1·X2也是A的元素。
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（1）证明任何整数都是A的元素
证明：整数x可表示成m+n√2的形式,其中m=x,n=0, m,n都为整数
所以整数x∈A

（2）设X1，X2∈A，求证：X1·X2∈A
证明：因为X1，X2∈A
设X1=a+b√2,X2=p+q√2,
X1·X2=(a+b√2)(p+q√2)=(ap+2bq)+(aq+bp)√2
因为a,b,p,q都是整数，所以ap+2bq、aq+bp也是整数
所以X1·X2∈A