分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：数学压轴题速求如图1，抛物线y=ax^2
如图1，抛物线y=ax^2-3ax+b经过点A（-1,0）（3,2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B（1）求此抛物线的解析式（2）若直线y=kx-1（k≠0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值（3）如图2，过点E（1，-1），作EF⊥x轴于点F，将三角形AEF绕平面内某点旋转180°后得到三角形MNQ（点M,N,Q分别与点A,E,F对应）使点M，N在抛物线上，求点M,N的坐标
回答：解：（1）抛物线y=ax^2-3ax+b经过点A（-1,0）（3,2）两点∵抛物线y=ax2-3ax+b过A（-1，0）、C（3，2），∴0=a+3a+b，2=9a-9a+b．解得a=-1/2，b=2，∴抛物线解析式y=-1/2x^2+(3/2)x+2．（2）解：过点C作CH⊥AB于点H，由y=-1/2x^2+(3/2)x+2  得B（4，0）, D（0，2）．∵C（3，2） D和C的纵坐标相等∴CD∥AB．由抛物线的对称性得四边形ABCD是等腰梯形，∴S△AOD≌S△BHC．设矩形ODCH的对称中心为P，则P（3/2 ，1）．由矩形的中心对称性知：过P点任一直线将它的面积平分．∴过P点且与CD相交的任一直线将梯形ABCD的面积平分．当直线y=kx-1经过点P时P（3/2 ，1）在 y=kx-1（k≠0） 1=(3/2 )K-1  K=4/3  时平分3）如图2，过点E（1，-1），作EF⊥x轴于点F，将三角形AEF绕平面内某点旋转180°后得到三角形MNQ（点M,N,Q分别与点A,E,F对应）使点M，N在抛物线上，求点M,N的坐标（3）：由题意知，四边形AEMN为平行四边形，∴AN‖EM且AN=EM．∵E（1，-1）、A（-1，0），∴设M（m，n），则N（m-2，n+1）∵M、N在抛物线上，∴n=-1/2 m^2+ 3/2m+2，n+1=-1/2（m-2）^2+ 3/2（m-2）+2，解得m=3，n=2．∴M（3，2），N（1，3）．