分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：能被5整除的m个不同的正偶数与能被3整除的n个不同正奇数的总和为? 
最大值为123.求M的最大值。
回答：由题意，有M≥5·(2+4+···+2m)+3·[1+3+5+···+(2n-1)]=5m(m+1)+3n^2.即5(m^2+m)+3n^2≤M→5(m+1/2)^2+3n^2≤M+5/4.依auchy不等式知，5(m+1/2)+3n≤√[(√5)^2+(√3)^2]·√[(√5(m+1/2))^2+(√3n)^2]≤√8·√(M+5/4)=√(8M+10).故5m+3n≤√(8M+10)-5/2.∵5m+3n的最大值为123，∴123≤√(8M+10)-5/2<124.∴1967.5312≤M<1999.0312.所以，M的最大值不超过1999.当5m+3n=123时，m=3k，n=41-5k(k∈N).∵5m^2≤M<2000，3n^2≤M<2000，∴m<20，n<26.∴{3k<20，41-5k<26}，解得3<k<20/3.∴k为4、5、6，则(m，n)的三组值为(12，21)、(15，16)、(18，11).容易验证，(12，21)、(18，11)两组均不满足关系式5m(m+1)+3n^2≤M<2000.只有(15，16)满足：5×15×(15+1)+3×16^2=1968<2000.且可适当选取15个能被5整除的正偶数和16个被3整除的正奇数，使这些数的和为1 998.例如，5×(2+4+···+28+30)+3×(1+3+···+29+31)=1968，5×(2+4+···+28+30)+3×(1+3+···+29+41)=1998.不存在整数m、n，使得M为1999.否则，出现5×2m0+3×2n0=1999-1968＝31.此方程无(解)整数解.故M的最大值为1999。