分类：教育/科学-理工学科
问题：求解函数方程函数f:R→R,f((x
f:R→R,f((x-y)/(x+y))=(f(x)-f(y))/(f(x)+f(y)),求f(x)=?
回答：设f可导，（或在某1点可导）1。显然x=y，得f（0）=0， y =0，得f（1）=1。2。设y=ux==》f((1-u)/(1+u))=(f(x)-f(ux))/(f(x)+f(ux))==2f(x)/(f(x)+f(ux))-1,两边对x求导，得0=2(f'(x)f(ux)-uf(x)f'(ux))/[(f(x)+f(ux))^2]==>==>f'(x)f(ux)-uf(x)f'(ux))=0,u=y/x==>xf'(x)/f(x)=yf'(y)f'(y)=常数3。解微分方程：xf'(x)/f(x)=C得：f(x)=Dx^C，代入f（1）=1==》D=1。f:R→R==》C为自然数。f（0）=0，C>0.x=1==>f((1-y)/(1+y))=(1-f(y))/(1+f(y)),==>((1-y)/(1+y))^C=(1-(y)^C)/(1+(y)^C), (1)(1)两边对y求导,再y=0==》C=1==》f(x)=x4。若无连续，可导等条件。可用Zorn定理构造许多符合f((x-y)/(x+y))=(f(x)-f(y))/(f(x)+f(y))的函数,但这些函数表示不出来，只能证明存在。