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问题：中值定理证明题老师，这一题的证明过程中出现了极限不等式的性质，但 
，这一题的证明过程中出现了极限不等式的性质，但是如我截得的图片所示，书上介绍的不等式的性质，跟这个不太 一样啊，请问极限不等式的性质在这题中是怎么用的？还有，在证明步骤的第三行中，为什么说f(x）>f(x0),于是f(x)在[a+δ,b-δ]有最小值？谢谢！
回答：这里极限不等式的性质，实际上有两个。
第一个性质是考研的重点，一般书上作为局部保号性的推论，也称为局部保序性。
第二个性质本质上保号性的逆定理，但是不加等号就有不成立的可能（定理成立其逆未必成立），加了等号就没有问题了。


书上写得不好，要重新写……

①f(x)在(a,a+δ]上总有f(x)＞f(x0)；
②f(x)在[b-δ,b)上总有f(x)＞f(x0)；
③f(x)在闭区间[a+δ,b-δ]上连续，f(x)在闭区间[a+δ,b-δ]上一定有最小值，

由①、②、③可知闭区间[a+δ,b-δ]上最小值点也就是f(x)在开区间(a,b)上的最小值点。