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问题：设X1=1,X2=1+X1/(1+X1),...,Xn=1+Xn? 
设X1=1,X2=1+X1/(1+X1),...,Xn=1+Xn-1/(1+Xn-1),求limXn(请用的方法详细解答)
回答：Xn=1+X(n-1)/[1+X(n-1)], X1=1

1. 
显然2≥Xn≥1. 


2.用归纳法证明:X(n+1)≥Xn. 
ⅰ.X2=1+1/2≥1=X1. 

ⅱ.设X(k+1)≥Xk. 
X(k+2)-X(k+1)=X(k+1)/[1+X(k+1)]-Xk/[1+Xk]=
=[X(k+1)-Xk]/[(1+Xk)(1+X(k+1)]≥0 
所以对于所有n,X(n+1)≥Xn. 

3.数列{Xn}递增有上界,所以存在极限. 
设Lim{n→∞}Xn=a 
X(n+1)=1+Xn/[Xn+1]的两边取极限, 
得:a=1+a/(1+a) 
==>a^2-a-1 =0,解得 a = (1+√5)/2
==>
lim{n→∞}Xn = (1+√5)/2.