分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：数学！！在线等待！！！直线x+y=1与双曲线x^2/a^2
直线x+y=1与双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1,（a>0,b>0),交与MN两点，向量OM*向量ON=0，（O为坐标原点），若0<a<=1/2,求离心率e的取值范围

回答：设M(x1,y1),N(x2,y2),把y=1-x代入b²x²-a²y²-a²b²=0得
(a²-b²)x²-2a²x+a²(1+b²)=0, ∴ x1+x2=2a²/(a²-b²),
x1x2=a²/(a²-b²).y1y2=(1-x1)(1-x2)
=1+x1x2-(x1+x2)=(a²b²-b²)/(a²-b²). ∵ 向量OM*向量ON=0，
∴ x1x2+y1y2=0,可得2a²=(2-e²)/(1-e²), ∵ 0<a≤1/2,
∴ 0<2a²≤1/2, ∴ 0<(2-e²)/(1-e²)≤1/2, ∵ e>1
∴ 1<e≤√3