分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：柯西数列和有界数列的关系一个数列是柯西数列，那么它就是有界数列请 
一个数列是柯西数列，那么它就是有界数列
请问这个命题如何证明？？？
回答：一个数列是柯西数列，那么它就是有界数列 
请问这个命题如何证明？？？

看来，楼主对柯西收敛原理的充分性证明存有疑虑，所以解答楼主的问题必须得绕开柯西收敛原理。呵呵！

证明 设数列{an|是柯西数列,则由柯西数列的定义知：对于任意事先给定正数ε，存在正整数N, 使得对于任意m,n>N,恒有
   |am-an|<ε     (1)
特别地，在(1)中，取ε=1,m=N+1,则对于任意n>N，有
   |an|=|(an-a(N+1))+a(N+1)|
≤|an-a(N+1)|+|a(N+1)|
=|a(N+1)-an|+|a(N+1)|
<1+|a(N+1)|;
令M=max{|a1|,|a2|,…,|aN|,1+|a(N+1)|},则对于正整数n，恒有
   |an|≤M.
因此，数列{an}是有界数列.