分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：求三角形内心与重心之距公式证明 
求三角形与重心之距公式证明
回答：设R,r,s分别表示△ABC的外接圆半径，内切圆半径和半周长,a,b,c为其边长,G重心为,I为内心.

由三角形的恒等式
∵AG^2=(2b^2+2c^2-a^2)/9,BG^2=(2c^2+2a^2-b^2)/9,CG^2=(2a^2+2b^2-c^2)/9,
∴AG^2+BG^2+CG^2=(a^2+b^2+c^2)/3=2(s^2-4Rr-r^2)/3,
∵AI^2=bc(s-a)/s, BI^2=ca(s-b)/s, CI^2=ab(s-c)/s.
∴AI^2+BI^2+CI^2=bc+ca+ab-3abc/s=s^2-8Rr+r^2.
由三角形重心性质:
3GI^2=AI^2+BI^2+CI^2-AG^2-BG^2-CG^2
<==> 9GI^2=3(s^2-8Rr+r^2)-2(s^2-4Rr-r^2)
<==>  9GI^2=s^2-16Rr+5r^2.