分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：复变函数问题。一、设f（z）在|z
一、设f（z）在|z - z0|< R 内解析，且除f（z0） = 0 外，在其他点不恒为零。证明：必存在一个 z0 的邻域，在这个邻域?龋?z0 外不再有f（z）的零点。（解析零点的孤立性。）二、设g（z）在 C：|z|=1上及其内部解析，且在C上|g（z）|< 1。证明：在 C ?戎挥幸桓龅?z0 使 g（z0） = z0 。
回答：一.f（z）在|z - z0|< R 内解析,则f（z）=a0+a1(z - z0)+..+an(z - z0)^n+..而 除f（z0） = 0 外，在其他点不恒为零.==>有k>0,使ak≠0,且a0=..=a(k-1)=0==>f（z）=(z - z0)^k[ak+a(k+1)(z - z0)+..+an(z - z0)^(n-k)+..],=(z - z0)^k[ak+g(z)],g(z)=a(k+1)(z - z0)+..+an(z - z0)^(n-k)+...由于g(z0)=0,则R>δ>0,当|z - z0|<δ, |g(z)|<|ak|/2,==>|ak+g(z)|>|ak|-|g(z)|>|ak|/2≠0.所以在|z - z0|<δ中,f（z）没有其他的零点。二. 设h(z)=z-g(z),则在 ：|z|=1上,|z-h(z)|=|g(z)|<1=|z|,根据Rouche定理得:在|z|<1中z和h(z)的零点一样多,而z只有一个零点(是0),所以h(z)也只一个的零点z0.