分类：教育/科学-升学入学-高考
问题：数学证明在△ABC中，求证cos(A/2)+cos(B/2)+c 
在△AB中，求证cos(A/2)+cos(B/2)+cos(C/2)>2
回答：在△AB中，求证 cos(A/2)+cos(B/2)+cos(C/2)>2           (1)对所证不等式作角变换:A/2→90°-A,B/2→90°-B,C/2→90°-C.等价于在锐角三角形求证sinA+sinB+sinC>2                       (2)由正弦定理得:a+b+c>4R                               (3)而在锐角三角形中,有a+b+c>2(2R+r)                          (4)故成立.给出一般证法在△ABC中，n≥1，求证cos(A/n)+cos(B/n)+cos(C/n)>2+cos(π/n)证明 不妨设C=max(A,B,C) ，则有cos(A/n)+cos(B/n)+cos(C/n)-2-cos(π/n)=cos(A/n)-1+cos(B/n)-1+cos(C/n)-cos(π/n)=-2[sin(A/2n)]^2-2[sin(B/2n)]^2+2sin[(π+C)/2n]*sin[(π-C)/2n]故只需证sin[(π+C)/2n]*sin[(π-C)/2n]>sin(A/2n)]^2+[sin(B/2n)]^2    (1)若(π+C)/2n<π/2，则sin[(π+C)/2n]>sin[(π-C)/2n]         (2)若(π+C)/2n≥π/2, 则π-(π+C)/2n=[(2n-1)π-C]/2n≥(π-C)/2n>0，知(2)成立。因此我们只需证{sin[(π-C)/2n]}^2>sin(A/2n)]^2+[sin(B/2n)]^2       (3)<==> [sin(A+B)/2n]^2>sin(A/2n)]^2+[sin(B/2n)]^2而[sin(A+B)/2n]^2-sin(A/2n)]^2-[sin(B/2n)]^2=sin(A/2n)]^2*{cos(B/2n)]^2-1}+[sin(B/2n)]^2*{[cos(A/2n)]^2-1}+2sin(A/2n)*sin(B/2n)*cos(A/2n)*cos(B/2n)=2sin(A/2n)*sin(B/2n)*[cos(A/2n)*cos(B/2n)-sin(A/2n)*sin(B/2n)]=2sin(A/2n)*sin(B/2n)*cos[(A+B)/2n]>0，所以(3)式也即(1)式成立，命题得证。