分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：已知不等式(x^2+5+m)/√(x^2+m)≥(5+m)/√m? 
已知不等式(x^2+5+m)/√(x^2+m)≥(5+m)/√m对任意x∈R都成立，求实数m的取值范围
要有过程 
回答：已知不等式(x^2+5+m)/√(x^2+m)≥(5+m)/√m对任意x∈R都成立，求实数m的取值范围.解法一 注意到(x^2+5+m)/√(x^2+m)=√(x^2+m)+5/√(x^2+m)，故我们考查对勾：f(t)=t+5/t,其中t=√(x^2+m)≥√m因为当0<t≤√5时,函数f(t)单调递减；当t≥√5时,函数f(t)单调递增，所以,当且仅当√m≥√5,即m≥5时,函数f(t)在[√m,+∞)上单调递增，从而有f(t)≥f(√m)=√m+5/√m,即  (x^2+5+m)/√(x^2+m)≥(5+m)/√m .因此,实数m的取值范围是m≥5.解法二 g(x)=(x^2+5+m)/√(x^2+m)-(5+m)/√m=[√(x^2+m)-√m]+5[1/√(x^2+m)-1/√m]=[√(x^2+m)-√m]-5[√(x^2+m)-√m]/√(mx^2+m^2)=[√(x^2+m)-√m]*[1-5/√(mx^2+m^2)]=[√(x^2+m)-√m]*[√(mx^2+m^2)-5]/√(mx^2+m^2)=x^2*(mx^2+m^2-25)/{√(mx^2+m^2)*[√(x^2+m)-√m]*[√(mx^2+m^2+5]},      (*)由题意知m>0,故由(*)式可知：g(x)≥0对于任意x∈R都成立<==>mx^2+m^2-25≥0对于任意x∈R都成立<==>m≥5.因此,实数m的取值范围是m≥5.