分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：代数！！设A,B为两个n阶矩阵,A的n个特征值两两互异.若A的特 
设A,B为两个n阶矩阵,A的n个特征值两两互异.若A的特征向量总是B的特征向量,证明:AB=BA.

回答：很久没碰线代了。
思路：主要是用相似变换。
由A有n个不同的特征值可知A对应的特征向量线性无关，推出A 能对角化。又A的特征向量总是B的特征向量，可得B也能对角化。（n阶矩A能对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量）
AP=PV1,BP=PV2,其中P为A的特征向量构成的矩阵，V1为A的特征值构成的对角阵，V2为B的特征值构成的对角阵。
ABP=APV2=PV1V2=PV
BAP=BPV1=PV2V1=PV 推出ABP=BAP,可得(AB-BA)P=0,由于P是可逆的，所以AB-BA=0,得AB=BA.