分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：高三题目10设函数f(x)＝1
设f(x)＝1-e^(-x).(Ⅰ)证明：当x>-1时，f(x)≥x/(x+1);(Ⅱ)设当x≥0时，f(x)≤x/(ax+1),求a的取值范围.
回答：(1)x>-1→x+1>0,则待证式等价于e^x≥1+x.令g(x)＝e^x-x-1→g'(x)＝e^x-1.x≥0时,g'(x)≥0,g(x)在[0,+∞)上递增;x≤0时,g'(x)≤0,g(x)在(-∞,0]上递减.∴g(x)|min＝g(0)＝0.∴x∈R时,g(x)≥0,即e^x≥1+x.∴x>-1时，f(x)>x/(x+1).(2)x≥0时,f(x)＝1-e^(-x)≥0,∴f(x)≤x/(ax+1)成立的必要条件是ax+1>0,即a≥0.可见,f(x)≤x/(ax+1)等价于:h(x)＝axf(x)+f(x)-x≤0.h'(x)＝af(x)+axf'(x)+f'(x)-1＝af(x)-axf(x)+ax-f(x)＝(a-ax-1)f(x)+ax.∵f(x)≥x/(x+1)→x≤(x+1)f(x),∴h'(x)≤(a-ax-1)f(x)+a(x+1)f(x)＝(2a-1)f(x).若a≤1/2,则h'(x)≤0,h(x)是减，∴h(x)≤h(0)＝0→f(x)≤x/(ax+1).由上知,e^x≥1+x (x∈R)∴e^(-x)≥1-x→x≥1-e^(-x),即x≥f(x).∴h'(x)≥(a-ax-1)f(x).若a>1/2,则2a-ax-1>0,即0<x<(2a-1)/a时,h'(x)>0,∴h(x)是增函数，从而h(x)>h(0)＝0,即f(x)>x/(ax+1)，这与已知相矛盾.综上知，实数a的取值范围为[0,1/2]。