分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：设a,b,c&gt;=0,ab+bc+ca=1/3.证明：1/(? 
设a,b,c>=0,ab+bc+ca=1/3.证明：1/(a^2-bc+1)+1/(b^2-ca+1)+1/(c^2-ab+1)=<3.
回答：设P=a+b+c，Q=ab+bc+ca，
则原式等价于
∑1/(a^2-bc+Q+2Q)≤1/Q
↔∑[Q/(aP+2Q)≤1
↔∑[(-Q)/(aP+2Q)+1/2]≥-1+(3/2)
↔∑[aP/(aP+2Q)]≥1.
依Cauchy不等式，得
[∑aP(aP+2Q)]·∑[aP/(aP+2Q)]≥(∑aP)^2
↔∑[aP/(aP+2Q)]
≥(∑aP)^2/∑(a^2P^2+aP·2Q)
=P^4/[P^2(∑a^2+2Q)]
=1.
故原式成立。