分类：教育/科学-学习帮助
问题：解析几何的题目已知抛物线x^2=4y与圆X^2+Y^2=32相交 
已知抛物线x^2=4y与圆X^2+Y^2=32相交于A、B两点，圆与y轴正半轴交于点，l是切点落在弧ACB上的切线，且L交抛物线于M（x1,y1) N(x2,y2)两点（1）求点A。B，C的坐标（2）若直线L的方程是y＝kx＋b，试求b与k的关系并求出b的取值范围（3）若d表示M，N到抛物线焦点的距离之和，求d取最大值时L的方程
回答：解:(1)解方程组{x^2=4y,X^2+Y^2=32,得{x1=4,y1=4；{x2=-4,y2=4.(舍去了负的y值)在X^2+Y^2=32中，令x=0，得y=4√2(舍去了负值).所以，点A、B、的坐标依次为(4,4)、(-4,4)、(0,4√2).(2)把y=kx+b代入x^2=4y，消去y，整理，得x^2-4kx-4b=0.因为L：y=kx+b与抛物线x^2=4y相交，所以关于x的方程x^2-4kx-4b=0的判别式Δ=(-4k)^2-4*1*(-4b)=16k^2+16b>0,即k^2+b>0.把y=kx+b代入X^2+Y^2=32，消去y，整理，得(1+k^2)x^2+2bkx+b^2-32=0.因为L：y=kx+b与圆X^2+Y^2=32相切，所以关于x的方程(1+k^2)x^2+2bkx+b^2-32=0的判别式Δ'=(2bk)^2-4*(1+k^2)*(b^2-32)=128-4b^2+128k^2=0,即b^2=32+32k^2.又因L：y=kx+b与圆X^2+Y^2=32相切的切点在弧ACB上，所以-4≤-(2bk)/[2(1+k^2)]≤4,即-4≤bk/(1+k^2)≤4.所以k与b应同时满足以下三个关系式:k^2+b>0,b^2=32+32k^2,-4≤bk/(1+k^2)≤4.由-4≤bk/(1+k^2)≤4得{4k^2-bk+4≥0,4k^2+bk+4≥0,所以要使,-4≤bk/(1+k^2)≤4恒成立，则需Δ''=(±b)^2-4×4×4≥0.所以，可得-8≤b≤8.又因为L与圆相切于点C时，L的截距b最小，所以,b≥4√2.所以，4√2≤b≤8.这就是b的取值范围.(3)A,B到焦点的距离和也就是到准线y=-1的距离和，也就是AB与y轴交点P（0,b)到准线的距离的2倍，所以当b=8时，d（max）=2*(8+1)=18，此时,32k^2=8^2-32=32,k^2=1,即k=±1,直线L的方程为y=x+8,或y=-x+8.