分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：数学在△ABC中,AB=AC,高AD、BE交于点H，AK=KH, 
在△AB中,AB=AC,高AD、BE交于点H，AK=KH,EF⊥BC于点F，G在AD延长线上，DG＝EF,证BG⊥BK。（D在BC上，E在AC上，K在AH上）
回答：如图已知AB=A，BD⊥BC所以，点D为BC中点设BD=CD=a，CF=b，EF=DG=c所以，DF=CD-CF=a-b由Rt△ADC∽Rt△EFC得到：AD/EF=CD/CF===> AD/c=a/b===> AD=ac/b由Rt△BDH∽Ry△BFE得到：BD/BF=DH/EF===> a/(2a-b)=DH/c===> DH=ac/(2a-b)所以，AH=AD-DH=(ac/b)-[ac/(2a-b)]=2ac*(a-b)/[b*(2a-b)]已知K为AH中点所以，KH=ac*(a-b)/[b*(2a-b)]所以，KD=KH+HD=ac*(a-b)/[b*(2a-b)]+[ac/(2a-b)]=[ac/(2a-b)]*[(a-b)/b+1]=a^2*c/[b*(2a-b)]………………………………………………（1）由Rt△BEC∽Rt△EFC得到：EF/BF=CF/EF===> EF^2=BF*CF===> c^2=(2a-b)*b代入(1)得到：KD=a^2*c/c^2=a^2/c所以，KG=KD+DG=(a^2/c)+c=(a^2+c^2)/c已知AG⊥BC所以，在Rt△BDK中，由勾股定理得到：BK^2=BD^2+KD^2=a^2+(a^2/c)^2=a^2+(a^4/c^2)=(a^2/c^2)*(a^2+c^2)同理，在Rt△BDG中：BG^2=BD^2+DG^2=a^2+c^2所以：BK^2+BG^2=(a^2/c^2)*(a^2+c^2)+(a^2+c^2)=(a^2+c^2)^2*[(a^2/c^2)+1]=(a^2+c^2)^2/c^2=[(a^2+c^2)/c]^2=KG^2所以，BK⊥BG.