分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：求复合三角函数y=(sinA+sinB+sinC)/(cosA+? 
已知A、B、为任意三角形的内角，求函数y=(sinA+sinB+sinC)/(cosA+cosB+cosC)的取值范围。答案据说是(0,2)；请给出详细解题过程。
回答：求P=(sinA+sinB+sin)/(cosA+cosB+cosC)的值域做一个角的变换，B+C=2x,C+A=2y,A+B=2z则A=y+z-x,B=z+x-y,c=x+y-z,x,y,z均为锐角,且x+y+z=π于是sinA+sinB+sinC=4sinxsinysinzcosA+cosB+cosC=1+4cosxcosycoszP=4/(cscxcscycscz+4cotxcotycotz)记Q=cscxcscycscz+4cotxcotycotz再令a=cotx,b=coty,c=cotz,那么ab+bc+ca=1，a,b,c>0于是1+c^2=(c+a)(b+c)Q=√[(1+a^2)(1+b^2)(1+c^2)]+4abc=(a+b)(b+c)(c+a)+4abc=(a+b+c)(ab+bc+ca)+3abc=a+b+c+3abc当一个角趋于0，另两个角趋于π/2时，Q趋于无穷大P的下界为0，P>0假设c为最大者，先固定c，此时有ab≤1/3,ab≥3a^2b^2,则ab+c(a+b)=1,a+b=(1-ab)/cQ=(1-ab)/c+c+3abc=(1-ab)/c+c(1+3ab)≥2√(1+2ab-3a^2b^2)≥2√(1+ab)>2以下考察Q是否趋向于2，当其中一个角趋于π/2,另两个角趋于π/4时，Q趋于2,所以Q的下界为2,即Q>2，P<2【这里已经证明了P>2，回到原式也能看出，当两个角趋于π/2，第三个角趋于0时，分子趋于2，分母趋于1】综上所述，P的值域为(0,2)实际上，在前面已经证明了P可以趋于0了！下面从原式出发再作说明：由于原来的三角形为任意三角形，我们都知道cosA+cosB+cosC>1，但分子中，当有两个角趋于0，第三个角趋于π时，原式明显趋于0我的方法比较粗俗，证得不太漂亮，还望见谅首先sinA+sinB+sin=2sin(A/2+B/2)cos(A/2-B/2)+sin(π-A-B)=2sin(A/2+B/2)cos(A/2-B/2)+sin(A+B)=2sin(A/2+B/2)cos(A/2-B/2)+2sin(A/2+B/2)cos(A/2+B/2)=2sin(A/2+B/2)[cos(A/2-B/2)+cos(A/2+B/2)]=2sin(π/2-C/2)*2cos(A/2)cos(B/2)=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)其次cosA+cosB+cosC=2cos(A/2+B/2)cos(A/2-B/2)+cos(π-A-B)=2cos(A/2+B/2)cos(A/2-B/2)-cos(A+B)=2cos(A/2+B/2)cos(A/2-B/2)-2cos²(A/2+B/2)+1=2cos(A/2+B/2)[cos(A/2-B/2)-cos(A/2+B/2)]+1=2cos(π/2-C/2)*2sin(A/2)sin(B/2)+1=4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)+1于是y=(sinA+sinB+sinC)/(cosA+cosB+cosC)=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)/[4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)+1]考虑到0<A,B,C<π则0<A/2,B/2，C/2<π/2,因此cos(A/2)>0,cos(B/2)>0,cos(C/2)>0sin(A/2)>0,sin(B/2)>0,sin(C/2)>0则y=4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)/[4sin(A/2)sin(B/2)sin(C/2)+1]>0，于是函数y的下界就确定了由于cos(A/2)>0,cos(B/2)>0,cos(C/2)>0，我们把cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)除到分母上去就得到：y=4/[4tan(A/2)tan(B/2)tan(C/2)+sec(A/2)sec(B/2)sec(C/2)]我要利用三角恒等式：tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(C/2)+tan(C/2)tan(A/2)=1下面做出证明：左=tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)tan(π/2-A/2-B/2)+tan(A/2)tan(π/2-A/2-B/2)=tan(A/2)tan(B/2)+tan(B/2)cot(A/2+B/2)+tan(A/2)cot(A/2+B/2)=tan(A/2)tan(B/2)+[tan(A/2)+tan(B/2)]/tan(A/2+B/2)=tan(A/2)tan(B/2)+1-tan(A/2)tan(B/2)=1=右现在我们令u=tan(A/2),v=tan(B/2),w=tan(C/2)则uv+vw+wu=1，u>0,v>0,w>0又由于sec²x=1+tan²x,特别地，当0<x<π/2,时有secx=(1+tan²x)½现在我们重新来考虑函数y分子=4分母=4uvw+[(1+u²)(1+v²)(1+w²)]½我们现在的任务是要找函数y的上界，由于分子是常数4，我们自然希望分母能取的越小越好，又由于分母是正数。由于轮换对称性，u,v,w的地位等价。则uv,vw,wu中必有一者≥1/3，不妨设1/3≤vw<1u=(1-vw)/(v+w),1+u²=(1+v²)(1+w²)/(v+w)²分母=4vw(1-vw)/(v+w)+[(1+u²)(1+v²)(1+w²)]½=4vw(1-vw)/(v+w)+(1+v²)(1+w²)/(v+w)=[-3v²w²+4vw+v²+w²+1]/(v+w)我们来考虑：分母-2=[-3v²w²+4vw+v²+w²+1]/(v+w)-2=[(-3v²w²+4vw-1)+(v²-2v+1)+(w²-2w+1)]/(u+w)=[(3vw-1)(1-vw)+(1-v)²+(1-w)²]/(v+w)由于1/3≤vw<1,则(3vw-1)(1-vw)≥0,等号当且仅当vw=1/3时成立又因为(1-v)²+(1-w)²≥0,等号当且仅当v=w=1时成立因而(3vw-1)(1-vw)+(1-v)²+(1-w)²>0不等号严格取到故分母>2,此时y<4/2=2,2就是所要求的函数y的上界综上所述：y的取值范围是(0,2)