分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：关于算子问题！见图 
见图
回答：H为Hilbert空间.现分dimH<+∞和dimH=+∞两种情况讨论. 当然dimH=+∞时,是你知道的谱分解的方法. 1. dimH=n<+∞,由于H和^n同构,可设H=C^n, 则正算子为非负Hermite矩阵. ⅰ. 首先证明:矩阵T≥0,0<α<1 ==> T^α≤(1-α)E+αT 由于C^n=V(λ1)?V(λ2)?..?V(λk) 其中V(λi)为T的特征空间,显然它们两两垂直. 而x∈V(λi),T^α(x)=(λi)^αx. 任意x∈C^n,则x=x1+x2+..+xk,xi∈V(λi), [(1-α)E+αT-T^α](x)= =[(1-α)+αλ1-(λ1)^α]x1+..+[(1-α)+αλk-(λk)^α]xk ==> <[(1-α)E+αT-T^α](x),x>= =[(1-α)+αλ1-(λ1)^α]||x1||^2+...+ +[(1-α)+αλk-(λk)^α]||xk||^2≥0 ==> T^α≤(1-α)E+αT ⅱ. A>0,B≥0==>T=A^(-1/2)BA^(-1/2)≥0 ==> 0<α<1,任意x∈C^n <[(1-α)A+αB-A^(1/2)T^αA^(1/2)](x),x>= =<A^(1/2)[(1-α)E+αT-T^α](A^(1/2)x),x>= =<[(1-α)E+αT-T^α](A^(1/2)x,(A^(1/2)x>≥0 ==> (1-α)A+αB≥A^(1/2)T^αA^(1/2) dimH=n<+∞,有上面的证明是因为,所有复数只分正则点和特征值 两种,且C^n=V(λ1)?V(λ2)?..?V(λk). 而dimH=+∞,则没有这种性质了.但用谱分解的方法也很简单. 2. dimH=+∞, ⅰ. 首先证明:算子T≥0,0<α<1 ==> T^α≤(1-α)I+αT,I(x)=x. m,M分别为T的最小和最大谱点,显然0≤m. ==> x∈H, <[(1-α)I+αT-T^α](x),x>= =∫{m-0→M}[(1-α)+αλ-λ^α]d<Eλx,x>≥0 ==> T^α≤(1-α)I+αT. ⅱ. A>0,B≥0==>T=A^(-1/2)BA^(-1/2)≥0 ==> 0<α<1,任意x∈H <[(1-α)A+αB-A^(1/2)T^αA^(1/2)](x),x>= =<A^(1/2)[(1-α)I+αT-T^α](A^(1/2)x),x>= =<[(1-α)I+αT-T^α](A^(1/2)x,(A^(1/2)x>≥0 ==> (1-α)A+αB≥A^(1/2)T^αA^(1/2).