分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：求椭圆方程及三角形AOB面积最小值已椭圆C:x^2/a^2+y^ 
已椭圆:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为 (根6)/3,短轴一个端点到右焦点的距离为 根3.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为 (根3)/2,求三角形AOB面积的最大值.
回答：解:
(1)依题意,有
{c/a=(根6)/3, a=根3}
--->a^2=3,c^2=2
故b^2=a^2-c^2=3-2=1
即所求椭圆方程为:
x^2/3+y^2=1.

(2)设A(m,n)、B(p,q).
(i)当AB垂直于X轴时,
|AB|=根3.
(ii)当AB与X轴不垂直时,设AB: y=kx+t
由已知 |t|/根(1+k^2)=根3
--->t^2=3(k^2+1)/4
把y=kx+t代入椭圆方程整理,得
(3k^2+1)x^2+6kmx+3m^2-3=0
故依韦达定理得
m+p=-6kt/(3k^2+1),
mp=3(t^2-1)/(3k^2+1)
故:
|AB|^2=(1+k^2)(p-m)^2
=(1+k^2)[(p+m)^2-4pm]
=(1+k^2)[36kt^2/(3k^2+1)^2-12(m^2-1)/(3k^2+1)]
=3+12/[9k^2+(1/k^2)+6](k不为0)
=<3+[12/(2×3+6)]
=4
故当且仅当9k^2=1/k^2,即k=士(根3)/3时,上式等号成立.
且k=0时,|AB|=根3.
综上所述,|AB|max=2
即当|AB|最大时,三角形AOB面积最大值
S=1/2*|AB|max*(根3)/2
=(根3)/2.