分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：一道几何证明题设P是正方形ABCD外接圆上劣弦AB上任一点，求证 
设P是正方形AB外接圆上劣弦AB上任一点，求证PA*PB+PB*PC+PD*PA=PC*PD
回答：设P是正方形ABCD外接圆上劣弦AB上任一点，求证 
PA*PB+PB*PC+PD*PA=PC*PD 

证明 在圆内接四边形PBCD中，由托勒密定理得:
PB*CD+PD*BC=PC*BD
∵CD=BC,BD=√2*BC,
∴PB+PD=√2*PC     (1)
在圆内接四边形PADB中，由托勒密定理得:
PA*BD+PB*AD=PD*AB
∴√2*PA=PD-PB     (2)
故 PA*(PB+PD)=√2*PC*PA=PC*(PD-PB)
即 PA*PB+PB*PC+PD*PA=PC*PD.