分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：圆的内接五边形的作图及证明尺规作图:作一个已知圆的内接正五边形, 
尺规作图:作一个已知圆的内接正五边形,请写明步骤,并证明其结果为正五边形!
回答：在半径为1的圆O内作互相垂直的两条直径PQ和AM作OQ的垂直平分线交OQ于R以R为圆心,为半径画弧交OP于HAH就是这圆内接正五边形的边长.以A为圆心,AH为半径画弧交圆于B,E两点,分别以B,E为圆心,AH为半径画弧交圆于C,D,顺次连结ABCDEA,五边形ABCDE就是所要画的正五边形.证明过程比较麻烦,等一会儿再证.先证AH=√[(5-√5)/2]由作图可知: OR=1/2,  RA=(1/2)√5,  RH=RA=(1/2)√5,OH=(√5-1)/2, OA=1 ∴AH=√[(5-√5)/2]再证cos72°=(√5-1)/4设a=36°,2a=72°,3a=108°,sin3a=sin2asin3a=sin2acosa+cos2asina=……=3sina-4(sina)^3sin2a=2sinacosa3sina-4(sina)^3=2sinacosa,  3-4(sina)2=2cosa4(cosa)^2-2cosa-1=0, cosa>0, ∴cosa=(√5+1)/4cos2a=2(cosa)^2-1=(√5-1)/4, ∴cos72°=(√5-1)/4证明∠AOB=70°△AOB中，OA=OB=1，AB=AH=√[(5-√5)/2]由余弦定理，cosAOB=(1+1-[(5-√5)/2])/2=(√5-1)/4=cos72°∴∠AOB=72°最后证明五边形ABCDE是正五边形由AB=AE=BC=ED可知，∠AOB=∠AOE=∠BOC=∠EOD=72°∴∠COD=360°-4*72°=72°A，B，C,D,E将圆五等分∴五边形ABCDE是正五边形证明完毕请仔细阅读，欢迎指正。