分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：高二题正三棱柱ABC
正三棱柱AB-A1B1C1底面ABC边长为2√3，AA1=2,过底面的棱BC做一个与底面ABC成45度角的平面，次平面被正三棱柱所截，求截面的面积，并求此截面分正三棱柱所成两部分几何体的体积比.
回答：正三棱柱AB-A1B1C1底面ABC边长为2√3，AA1=2,过底面的棱BC做一个与底面ABC成45度角的平面，次平面被正三棱柱所截，求截面的面积，并求此截面分正三棱柱所成两部分几何体的体积比.如图取BC中点O，在AA1延长线上取一点D，使得AD=3（即：A1D=1）连接DO、DB、DC，且DB交A1B1于点E，DC交A1C1于点F，EF交DO于O'因为ABC-A1B1C1为正三棱锥，所以：底面ABC为等边三角形即，AB=AC=BC=2√3又，O为BC中点所以，AO⊥BC，且AO=(2√3)*(√3/2)=3又因为DA⊥面ABC，所以：DA⊥BC所以，BC⊥面DAO所以，BC⊥DO即，∠DOA即为面DBC与底面ABC所成的角。所以：∠DOA=45°而，DA⊥面ABC所以，△DAO为等腰直角三角形那么，AD=AO=3所以，A1D=AD-AA1=3-2=1由于A1E//AB，所以：DA1/DA=A1E/AB则：A1E/AB=1/3所以，A1E=AB/3=2√3/3同理，A1F=2√3/3所以，EF//B1C1而，∠EA1F=60°所以，△AEF为等边三角形。所以，EF=AE=AF=2√3/3且，截面EFCB为等腰梯形等腰梯形的高h=AA1/sin45°=2/(√2/2)=2√2所以，等腰梯形EFCB的面积S=(1/2)*(EF+BC)*h=(1/2)*[(2√3/3)+(2√3)]*(2√2)=8√6/3因为DA1/DA=1/3所以，三棱椎D-A1EF与D-ABC的体积比为(1/3)^3=1/27三棱锥D-A1EF的体积V=(1/3)s△A1EF*DA1=(1/3)*[(1/2)AE^2*(√3/2)]*1=(1/3)*(1/2)*(2√3/3)^2*(√3/2)=√3/9那么，棱台A1EF-ABC的体积V1=(√3/9)*26=(26√3)/9又，正三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC*AA1=(1/2)*AB^2*(√3/2)*2=(1/2)*(2√3)^2*(√3/2)*2=6√3所以，三棱柱CC1F-BB1E的体积V2=V-V1=(6√3)-(26√3)/9=(28√3)/9所以，V1/V2=(26√3/9)/(28√3/9)=13:14