分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：初三数学压轴题已知:等边△ABC的边长为6,点D、E分别在边AB 
已知:等边△ABC的边长为6,点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE=2。若点F从点B开始以每秒1个单位长的速度沿射线BC方向。设点F运动的时间为t秒。当t ＞ 0时，直线FD与过点A且平行于BC的直线相交于点G，GE的延长线与BC的延长线相交与点H，AB与GH相交与点O。（1）设EGA的面积为S，写出S与  的函数关系式 （2）当 t为何值时，AB⊥GH （3）请你证明△GFH的面积为定植 （4）当t为何值时，点F 和点C是线段BH的三等分点
回答：  解：（1）如图2：∵//BC，∴ ，     又∵AB=6，AD=2∴ DB=4，由于BF= t  ∴       ∴AG= 过点E作EK⊥AG，垂足为K。               ∵∠BCA=600，     ∴∠CAK=600     ∴∠AEK=300     ∵AE=2，AK=1，EK= ∴S= AG。EK= × t× = t     (2)如图2，连结DE，由AD=DE可知，△ADE为等边三角形。     若AB⊥HG，则AO=OD，∠AEO=∠DEO。     ∵GA//DE，∴∠AGE=∠GED，∵∠AGE=∠AEG     ∴ AG=AE=2     ∵ t=2，∴t=4.   即当t=4时，AB⊥GH     （3）∵△GAD ∽△FAB ∴ ∵△GAE ∽△HCE  ∴ ，∴BF=CH     当点F与点C重合时，BC=FH     当点F在BC边上时，BC=BF+FC=CH+FC=FH     当点F在BC的延长线时，BC=BF-FC=CH-FC=FH     ∴BC=FH。     ∵△ABC与△GFH的高相等，     ∴S△GFH=S△ABC= ×6×3 =9 ∴无论t为何值，△GFH的面积均为9 。     （4）BC=FH，BF=CH。     1当点F在线段BC上时，若点F 和点C是线段BH的三等分点，则BF=FC=CH，∵BF=CH，∴BF=FC。     ∵BC=6， ∴BF=FC=3，     ∴当t=3时，点F和点C是线段BH的三等分点。     2如图3，当点F在BC的延长线上时，若点F 和点CA是线段BH的三等分点，则BC-CF=FH。     ∵BC=FH，     ∴ BC=CF 。            ∵BC=6     ∴CF=6     ∴BF=12     ∴当t=12时，点F 和点C是线段BH的三等分点。