分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：几何
在ΔAB中,∠ABC=40°,∠ACB=30°, P为ΔABC内一点，∠PAB=100°,∠PCB=20°,则∠PBC=？
回答：在ΔAB中,∠ABC=40°,∠ACB=30°, P为ΔABC内一点，∠PAB=100°,∠PCB=20°,则∠PBC=？ 几何证法 以BC为对称轴，取A点的对轴点D，连CD，DP且延长交CA亍E，连BD，AD。因为∠ACB=30°，所以ΔADC为正三角形。因为∠ABC=40°,∠ACB=30°, ∠PAB=100°，所以∠PAC=10°=∠PCA，那么E点为CA的中点，PE⊥CA。因为得：∠APE=80°。又∠ABD=2∠ABC=80°，所以A，B，D，P点四点共圆。因为∠DAP=100°-（90°-40°）=50°=∠DBP因此∠PBC=∠PBD-∠BDC=10°。三角证法  因为∠ABC=40°,∠ACB=30°, ∠PAB=100°，所以∠PAC=10°=∠PCA，∠PCB=20°。设∠PBA=x,则∠PBC=40°-x。根据塞瓦定理的等价式得:sin100*sin(40-x)*sin10=sin10*sinx*sin20<==> (sin20+sin80*cos40)sinx=sin80*sin40*cosx<==> cotx*(sin80*sin40)=sin20+sin80*cos40注意恒等式:sin20+sin80*cos40-√3*sin80*sin40=sin20+cos10*[cos40-√3*sin40]=sin20+2cos10*cos100==sin20-2cos10*sin10=0所以 cotx=√3,故x=30°,因此∠PBC=10°.证毕。