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问题：一道竞赛题平面上每一个点对应一个数，并且平面上任意一个三角形的内 
平面上每一个点对应一个数，并且平面上任意一个三角形的对应的数是这个三角形三个顶点对应的数的算术平均数，证明平面上所有点只能对应同一个数。
回答：这是一个命得很好的题！不愧为竞赛题！好极了！
我思考后，终于获得了一个比较好的解法，愿与网友共享．希望看到网友提供更好的解法．

在平面上任取两个不同的点A，B，设其对应的数分别为a，b．如能证明a=b，命题即得证．
以A，B为相邻顶点，作正五边形ABCDE．设对角线AC与BD交于F点，对角线BE与AD交于G点．设C，D，E，F，G对应的数分别为c，d，e，f，g．
由于△BCE的内心为F，△ACE的内心为G，则有
f=(b+c+e)/3，g=(a+c+e)/3．
又由于△FDA的内心和△GBD的内心同为该正五边形的中心，则有
f+d+a=g+b+d，
此即
(b+c+e)/3+d+a=(a+c+e)/3+b+d，
所以，
a=b．
证毕．