分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：数学双曲线双曲线x^2/a^2
双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的一条准线被它的两条渐近线截得线段长度等于它的一个焦点到一条渐近线的距离,则双曲线的两条渐近线的夹角为多少?
回答：x^2/a^2-y^2/b^2=1中c^2=a^2+b^2,右焦点是F(c,0),渐近线方程是y=+'-x,右准线方程是x=a^2/c
解准线和渐近线的方程组得到x=a^2/c,y=ab/c
所以此线段的长为2ab/c,又焦点到准线的距离为c-a^2/c
因此得方程 2ab/c=c-a^2/c
--->2ab=c^2-a^2
--->4a^2*b^2=(c^2-a^2)^2
b^2=c^2-a^2--->4a^2=c^2-a^2
--->5a^2=c^2
--->(c/a)^2=5
--->a/c=1/√5
所以渐近线与实轴的角的余弦cosA=a/c=1/√5
故二渐近线之间的角的余弦值是cos2A=2(cosA)^2-1=2(1/√5）^2-1=-3/5,因此二渐近线的夹角是arccos(3/5).