分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：请教初一奥数1、已知m+n+p=3a,求证：(a
1、已知m+n+p=3a,求证：(a-m)^3+(a-n)^3+(a-p)^3-3(a-m)(a-n)(a-p)=0
2、已知a、b、c两两不等，且满足a^2+b^2+mab=b^2+c^2+mbc=c^2+a^2+mca 。（1）求m的值；（2）求证： a^2+b^2+c^2=2(a^2+b^2+mab）
3、已知m^2+n^2=1,p^2+q^2=1,mp+nq=0,求证:(1)m^2+p^2=1; (2)n^2+q^2=1; (3)mn+pq=0
4、已知a:b=c:d(a,b,c,d>0)，求证： a^n+b^n/c^n+d^n=(1、已知m+n+p=3a,求证：(a-m)^3+(a-n)^3+(a-p)^3-3(a-m)(a-n)(a-p)=0
2、已知a、b、c两两不等，且满足a^2+b^2+mab=b^2+c^2+mbc=c^2+a^2+mca 。（1）求m的值；（2）求证： a^2+b^2+c^2=2(a^2+b^2+mab）
3、已知m^2+n^2=1,p^2+q^2=1,mp+nq=0,求证:(1)m^2+p^2=1; (2)n^2+q^2=1; (3)mn+pq=0
4、已知a:b=c:d(a,b,c,d>0)，求证： a^n+b^n/c^n+d^n=(a+b)^n/(c+d)^n (n属于N）
回答：1、利用公式 
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2]/2 

用(a-m),(a-n),(a-p)分别去换上式中的a,b,c,得 
(a-m)^3+(a-n)^3+(a-p)^3-3(a-m)(a-n)(a-p) 
=[(a-m)+(a-n)+(a-p)][(m-n)^2+(n-p)^2+(p-m)^2]/2 
=[3a-m-n-p][(m-n)^2+(n-p)^2+(p-m)^2]/2 
=0 

2、已知a、b、c两两不等，且满足a^2+b^2+mab=b^2+c^2+mbc=c^2+a^2+mca 。 
（1）求m的值； 
（2）求证： a^2+b^2+c^2=2(a^2+b^2+mab） 

由于a^2+b^2+mab=b^2+c^2+mbc 
从而(a-c)(a+c+mb)=0 
因此a+c+mb=0 
同理b+c+ma=0,a+b+mc=0 
三式相加,得 
(a+b+c)(m+2)=0 
如果a+b+c≠0,那么m=-2;　 
如果a+b+c=0,那么m=1 
否则,由a+c+mb=0,b+c+ma=0,a+b+mc=0,可推出a=b=c=0 

当a+b+c=0时, 
a+b=-c 
(a+b)^2=(-c)^2 
a^2+b^2+c^2=(a^2+b^2）+(a+b)^2=2(a^2+b^2+ab） 

当m=-2时, 
(a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2 
? 

3、已知m^2+n^2=1,p^2+q^2=1,mp+nq=0, 
求证:(1)m^2+p^2=1; (2)n^2+q^2=1; (3)mn+pq=0 

因为 
(m^2+p^2-1)^2+(n^2+q^2-1)^2 +2(mn+pq)^2 
=[(m^2+p^2)^2-2(m^2+p^2)+1]+[(n^2+q^2)^2-2(n^2+q^2)+1] 
+2(mn+pq)^2 
=[(m^2+n^2)^2-2(m^2+n^2)+1]+[(p^2+q^2)^2-2(p^2+q^2)+1] 
+2(mn+pq)^2-2(mn)^2-2(pq)^2 +2(mp)^2+2(nq)^2 
=[(m^2+n^2-1]^2+[(p^2+q^2-1]^2 
+2(mp)^2+2(nq)^2+4mnpq 
=[(m^2+n^2-1]^2+[(p^2+q^2-1]^2+2(mp+nq)^2 
=0 
所以 
(m^2+n^2-1)=0 
(p^2+q^2-1)=0 
(mp+nq)=0 

m^2+n^2=1 
p^2+q^2=1 
mp+nq=0 


4、已知a:b=c:d(a,b,c,d>0)， 
求证： a^n+b^n/c^n+d^n=(a+b)^n/(c+d)^n (n属于N） 

设a:b=c:d=k 
则a=bk,c=dk, 
[a^n+b^n]/[c^n+d^n] 
=[b^n(k^n+1)]/[d^n(k^n+1)] 
=b^n/d^n 

(a+b)^n/(c+d)^n 
=(bk+b)^n/(dk+d)^n 
=[b^n(k+1)^n]/[d^n(k+1)^n] 
=b^n/d^n 

所以a^n+b^n/c^n+d^n=(a+b)^n/(c+d)^n .