分类：教育/科学-升学入学-考研
问题：求教2个线性代数问题问题1:设A是一个n阶实对称矩阵,证明存在一 
问题1:设A是一个n阶实对称矩阵,证明存在一个n阶实矩阵B,使A*B+B的转置*A是正定矩阵与秩(A)=n互为充要条件. 问题2:设A,B均是n阶矩阵,且秩(A)+秩(B)<n,证明:A,B有公共的特征向量. 问题出自陈文登复习书,谢谢
回答：问题1:设A是一个n阶实对称矩阵,证明存在一个n阶实矩阵B,使AB+B^tA是正定矩阵与秩(A)=n互为充要条件, B^t=B的转置1.设秩(A)=n==>A^2是正定矩阵.B=A/2==>AB+B^tA=A^2是正定矩阵.2.设AB+B^tA=是正定矩阵.A是一个n阶实对称矩阵==>有n阶实正交矩阵Q，使A=Q^t diag（λ1，λ2，。。，λn）Q，λ1，λ2，。。，λn为A的所有特征值。==》diag（λ1，λ2，。。，λn）QBQ^t++QB^tQ^tdiag（λ1，λ2，。。，λn）=QCQ^t={cij}。QCQ^t是正定矩阵.若秩(A）<n==》可设λ1=0==》c11=0和QCQ^t是正定矩阵矛盾。==》秩(A）=n。问题2:设A,B均是n阶矩阵,且秩(A)+秩(B)<n,证明:A,B有公共的特征向量. 设E1为AX=0的解空间，E2为BX=0的解空间。==》DimE1=n-秩(A)，DimE2=n-秩(B)，Dim[E1∩E2]=DimE1+DimE2-Dim[E1+E2]==2n-[秩(A)+秩(B)]-Dim[E1+E2]>n-Dim[E1+E2]≥0==》E1∩E2中有非零向量X==》AX=BX=0==》X是A,B的公共的特征向量。