分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：42IMO不等式用琴生怎么证a/sqrt(a^2+8bc)+b/ 
a/sqrt(a^2+8bc)+ b/sqrt(b^2+8ac) + c/sqrt(c^2+8ab)>=1 儿来
回答：a/sqrt(a^2+8bc)+b/sqrt(b^2+8ac)+c/sqrt(c^2+8ab)>=1   (1)本题的证明方法有好几种,在我所见到的几种证明中,官方解答是最繁杂的,最简单的证法是利用权方和不等式(它是柯西不等式的变式的推广,但却是赫尔德不等式的一个推论).利用生不等式来证明不等式(1)的证法,据说是由一名韩裔美籍选手在当年参赛时首先给出的.这里给出证明思路,具体的证明留给楼主。通过代换：bc/a^2=e^x,ca/b^2=e^y,ab/c^2=e^z,将(1)转化为1/√(1+e^x)+1/√(1+e^y)+1/√(1+e^z)>=1,其中x+y+z=0.其实,将(1)去分母并两边平方这样的通常被人们认为是“暴力证法”的证明方法,对于本题来说也许恰好是一种“无招生有招”的方法,因为它只需要利用基本不等式就可以了. 当然也可以先作通过代换：bc/a^2=x,ca/b^2=y,ab/c^2=z,将(1)转化为1/√(1+x)+1/√(1+y)+1/√(1+z)>=1(其中xyz=1),然后再实施“暴力证法”(这样可以是计算量小一些),楼主不妨一试.下面给出利用权方和不等式的证法.证明 在权方和不等式:x^(p+1)/u^p+y^(p+1)/v^p+z^(p+1)/w^p>=(x+y+z)^(p+1)/(u+v+w)^p(其中p>0)中，取p=3/2,得a/√(a^2+8bc)+b/√(b^2+8ac)+c/√(c^2+8ab)=a^(3/2)/√(a^3+8abc)+b^(3/2)/√(b^3+8abc)+c^(3/2)/√(c^3+8abc)>=(a+b+c)^(3/2)/√(a^3+b^3+c^3+24abc)=[(a+b+c)^3/(a^3+b^3+c^3+24abc)]^(1/2)         （2）所以,要证(1),只需证:(a+b+c)^3>=a^3+b^3+c^3+24abc       (3)而(3)<==>a^2*b+a*b^2+b^2*c+b*c^2+c^2*a+c*a^2>=6abc  (4)由基本不等式易证(4)成立,从而(3)成立，于是(1)成立.注：仿照上面的证法,可以证明：当λ>=8时,有a/√(a^2+λbc)+b/√(b^2+λac)+c/√(c^2+λab)>=3/√(1+λ).