分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：关于曲面想请问像z=x^2+2y^2和z=6
想请问像 z=x^2+2y^2  和 z=6-2x^2-y^2  这类上没有列出的类型的曲面要怎样去大致的知道它的形状，因为有时候积分（比如上面两个曲面组成的立体，求其体积）都不知道谁在上方谁在下方，就感觉有点拿不准。另外问一下，如果不知道谁在上，谁在下而任选一个为下限另一个为上限，比如用柱面方程求解，如果积分值为负值，是否就表示下限那个曲面实际上在上方，而上限那个曲面实际在下方，是这样吗？
回答：z=x^2+2y^2叫椭圆抛物面，里在“二次曲面”部分是介绍过这种曲面的，它的立体图形如开口向上的旋转抛物面，只不过用平行于xoy面的平面去截，截痕不是圆，而是椭圆。z=6-2x^2-y^2也是椭圆抛物面，只不过开口向下，并且顶点从原点向上平移6个单位。z=xy叫双曲抛物面，即马鞍面，它是“二次曲面”部分标准位置的马鞍面绕z轴旋转45度角以后得到的。求曲面z=f(x,y)与z=g(x,y)围成的立体体积，其实是不需要知道曲面的形状的，方法如下：（1）由z=f(x,y)与z=g(x,y)构成的方程组，消去z，就可以得到两曲面的交线在xoy平面内的投影曲线（一定是闭曲线，只要它们确实能够围成立体），投影曲线所围的区域D就是积分区域；（2）在D内任意取一点，比较在该点处z=f(x,y)与z=g(x,y)两函数值的大小，函数值较大的那块曲面在上，另一块在下。例如点(u,v)∈D，有f(u,v)>g(u,v)，则在D上就一定会有f(x,y)≥g(x,y)，因而被积函数为：f(x,y)-g(x,y)；（3）求这个二重积分，就可以得到立体的体积了。