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问题：立体几何,球求半径为R的球的内接正三棱锥的体积的最大值.今天要, 
求半径为R的球的内接正三棱锥的体积的最大值.

今天要,谢谢了!!!
回答：设正三棱锥底面外接圆半径为r，高为h，则r^2=R^2-(h-R)^2=2Rh-h^2
底面正三角形高为(3/2)r，边长为(√3)r，
所以底面积=(1/2)*(√3)r*(3/2)r=(3√3)r^2/4=(3√3)(2Rh-h^2)/4
正三棱锥体积：V=(√3)(2Rh^2-h^3)/4
V'=(√3)(4Rh-3h^2)/4
令V'=0，得h=4R/3
V''=(√3)(4R-6h)/4
V''(4R/3)<0
所以当h=4R/3时，V取得最大值=[(8√3)/27]R^3。