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问题：矩阵理论1.证明任何一个复矩阵A，可分解为A=D+N，其中D为可 
1.证明任何一个复矩阵A，可分解为A=D+N，其中D为可对角化矩阵，N是幂零矩阵
2.如果矩阵A的特征多项式和最小多项式相同，问A的  Jordan标准型有何特点？并证明。
回答：1.ⅰ.先设A为上三角矩阵,且对角线的元素:λ1,..,λn则A=g{λ1,..,λn}+N,其中diag{λ1,..,λn}对角矩阵,N为上三角矩阵对角线的元素都是0.==>N的特征多项式=|xE-N|=x^n,由Hamilton-Cayley定理得:N^n=0  ==>N是幂零矩阵==>命题成立.ⅱ.任何一个复矩阵A,则有上三角矩阵B和A相似,如:Jordan标准型==>A=PBP^(-1)由ⅰ.得:B=D+M,其中D是对角矩阵,M是幂零矩阵,==>A=PDP^(-1)+PMP^(-1)==>PDP^(-1)是可对角化矩阵,PMP^(-1)是幂零矩阵.2.ⅰ.矩阵A的特征多项式f(x)=∏{1≤i≤k}(x-λi)^(ai)最小多项式g(x)=∏{1≤i≤k}(x-λi)^(bi)A的 Jordan标准型中有ci个关于λi的Jordan块,根据定理得:则bi=这ci个Jordan块的最大阶数.ⅱ.若ai=bi==>ci=1,即Jordan标准型中只有1个关于λi的Jordan块.==>如果矩阵A的特征多项式和最小多项式相同<==>Jordan标准型中每个不同的λi,只有1个关于λi的Jordan块.