分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦点为? 
圆上，P的中点Q在y轴上，且∠PF1F2=π/6.(1)求椭圆方程和点p的坐标；（2）在上述椭圆上是否存在点M，使它到点N（0,3）的最长距离为6，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
回答：已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦点为,F2，横坐标为根号3的点P在椭圆上，PF1的中点Q在y轴上，且∠PF1F2=π/6. (1)求椭圆方程和点p的坐标； 过点P作x轴的垂线，垂足为A因为QO⊥x轴，PA⊥x轴所以，QO//PA已知点Q为PF1中点，那么QO为△PF1A中位线所以，O为F1A中点所以，点A与F2重合则，F1(-√3,0)，F2(√3,0)所以，F1F2=2c=2√3在Rt△PF1F2中，∠PF1F2=π/6，则：PF2=F1F2*tan(π/6)=2√3*(√3/3)=2即，点P(√3,2)点P在椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞0）上，则：3/a^2+4/b^2=1c^2=a^2-b^2=3联立解得：a^2=9，b^2=6所以，椭圆方程为：x^2/9+y^2/6=1（2）在上述椭圆上是否存在点M，使它到点N（0,3）的最长距离为6，若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.已知椭圆方程为x^2/9+y^2/6=1，点M为其上一点不妨设点M(3cosα,√6sinα)那么，它与点N(0,3)之间的距离为：d^2=(3cosα-0)^2+(3-√6sinα)^2=9cos^2 α+9+6sin^2 α-6√6sinα=9(sin^2 α+cos^2 α)-3sin^2 α-6√6sinα+9=9-3sin^2 α-6√6sinα+9=-3sin^2 α-6√6sinα+18=-3*(sin^2 α+2√6sinα+6)+36=-3*(sinα+√6)^2+36≤36当且仅当sinα=-√6时取等号，此时MN的最大距离为6但是，sinα∈[-1,1]，它不可能=-√6所以，不存在这样的点M