分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：设函数f(x)=x^3+ax^2
1)若a>0，求f(x)的单调区间(2)当函数y=f(x)与y=g(x)的图象只有一个公共点且g(x)存在最小值时,记g(x)的最小值为h(a),求h(a)的值域
回答：f(x)=x^3+ax^2-a^2x+1,g(x)=ax^2-2x+1,其中实数a不等0，
（1）a>0,f'(x)=3x^2+2ax-a^2=3(x+a)(x-a/3),
x<-a或x>a/3时f'(x)>0;-a<x<a/3时f'(x)<0,
∴f(x)的增区间是(-∞，-a),(a/3,+∞）；减区间是（-a,a/3).
(2)y=f(x)与y=g(x)的图象只有一个公共点,
∴方程x^3+ax^2-a^2x+1=ax^2-2x+1
即x^3+(2-a^2)x=0只有一个解x=0，
∴2-a^2>=0,
∴-√2<=a<0,或0<a<=√2.
g(x)=a(x-1/a)^2+1-1/a,
0<a<=√2时h(a)=g(x)|min=1-1/a∈（-∞，1-（√2）/2];
-√2<=a<0时g(x)没有最小值。
∴h(a)的值域是（-∞，1-（√2）/2]。