分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：不等式(1)设a、b、c∈R+，证明：(a^2
设a、b、c∈R+，证明：
(a^2-2a+2)/(b+c)+(b^2-2b+2)/(c+a)+(c^2-2c+2)/(a+b)≥3/2。
回答：证明：
依均值不等式，得
a3+1+1≥3a
→a3-2a+2≥a.
同理，
b3-2b+2≥b，
c3-2c+2≥c.
可见，要证明原式，只需证明：
a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)≥3/2 ……(*)
事实上，由Cauchy不等式，得
[(b+c)+(c+a)+(a+b)]·[1/(b+c)+1/(c+a)+1/(a+b)]≥(1+1+1)2
→(a+b+c)/(b+c)+(a+b+c)/(c+a)+(a+b+c)/(a+b)≥9/2
→a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)≥3/2，
∴(*)式得证，从而原不等式得证。