分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：曲线长度与面积关系超难问题严格证明:对于平面上任意长度为1的曲线 
严格证明:对于平面上任意长度为1的曲线,总存在面积为1/4的矩形能完全覆盖它.
回答：　　解答：　　此问题很有意思，其关键是确定覆盖矩形的方位。通过分析，我以为高手阿炳确定的矩形方位是对的。以下是我思考后的证明，供您参考，不知您是否满意？【证明】　　设矩形的两条相邻边长分别为a,b，则有以下两条引理：引理1：如果矩形的两条相邻边长之和不大于1，则其面积不大于1/4。即a+b≤1，推出a*b≤1/4。由基本不等式a*b≤((a+b)/2)²不难得出引理1。引理2：如果相同矩形邻接后矩形（两条相邻边长分别为a,2b）的对角线长度不大于1，则其面积不大于1/4。即√(a² +(2b)²)≤1，推出a*b≤1/4。由基本不等式a*b=2*(a/2)*b≤(a/2)² +b²=(√( (a/2)² +b²))²=(√( a² +(2b)²)/2)²不难得出引理2。设长度为1的平面曲线的端点为NM，L是经过N,M（M,N可以重合）的一条直线，作矩形AB满足条件：1）AB平行L2）曲线NM全部在矩形ABCD中3）矩形ABCD中的每条边上至少有曲线NM上的一个点设AB，BC边的边长分别为a,b，下面证明，矩形ABCD的面积≤1/4。证明中主要用到以下基本的定理：（用不难证明叙述）两点间曲线中，直线长度不会超过其它曲线；三角形（广义）中，一边长度不会超过其它两边长度之和；直角三角形（广义）中，直角边长度不会超过斜边长度。（1）如果线段AB或线段CD和L重合由对称性，不妨设线段AB和L重合，曲线NM在BC，CD，DA上的交点分别为F，G，E，则曲线NM的走向只有两种类型：1）N==>G==>E==>F==>M这种情况下，a+b≤折线(NG+GE+EF+FM)长度≤曲线NM长度=1，由引理1，矩形ABCD的面积≤1/4。2）N==>E==>G==>F==>M这种情况下，将图形作CD轴的对称图形后不难证明：√(a² +(2b)²)≤折线(NE+EG+GF+FM)长度≤曲线NM长度=1，由引理2，矩形ABCD的面积≤1/4。（2）如果线段AB和线段CD都不和L重合设曲线NM在AB，BC，CD，DA上的交点分别为H，F，G，E，则曲线NM的走向只有四种类型：1）N==>H==>E==>F==>G==>M这种情况下，a+b≤折线(NH+HE+EF+FG+GM)长度≤曲线NM长度=1，由引理1，矩形ABCD的面积≤1/4。2）N==>E==>G==>H==>F==>M这种情况下，将图形作CD轴的对称图形后不难证明：√(a² +(2b)²)≤折线(NE+EG+GH+HF+FM)长度≤曲线NM长度=1，由引理2，矩形ABCD的面积≤1/4。3）N==>E==>F==>G==>H==>M这种情况下，a+b≤折线(HE+EF+FG+GH+HM)长度≤曲线NM长度=1，由引理1，矩形ABCD的面积≤1/4。4）N==>E==>G==>F==>H==>M这种情况下，将图形作CD轴的对称图形后不难证明：√(a² +(2b)²)≤折线(NE+EG+GF+FH+HM)长度≤曲线NM长度=1，由引理2，矩形ABCD的面积≤1/4。综合上述，不管何种情况总有：矩形ABCD的面积≤1/4。说明：当一些点重合时，不影响上面证明过程。