分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的? 
找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。 
回答：找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。 

设n＝100a＋10b＋c
∵n能被11整除
∴a＋c－b＝11　(1)　即c＝11＋b－a
∴n/11＝9a＋b＋1
∴9a＋b＋1＝a^2＋b^2＋c^2
∴9a＋b＋1＝a^2＋b^2＋(11＋b－a)^2
即2a^2＋2b^2＋120＋21b－2ab－31a＝0
∵关于a的二次方程有正整数根
∴△＝(2b＋31)^2－8(2b^2＋120＋21b)为完全平方数
即1－44b－12b^2为完全平方数
∴b＝0　代入2a^2＋2b^2＋120＋21b－2ab－31a＝0中
　得2a^2－31a＋120＝0
解得：a＝8
从而c＝3
∴三位数是803

第二种情况
∴a＋c－b＝0　（2）　即c＝b－a
∴n/11＝9a＋b
∴9a＋b＝a^2＋b^2＋c^2
∴9a＋b＝a^2＋b^2＋(b－a)^2
即2a^2＋2b^2－b－2ab－9a＝0
∵关于a的二次方程有正整数根
∴△＝(2b＋9)^2－8(2b^2－b)为完全平方数
即81＋44b－12b^2为完全平方数
∴b＝5　代入2a^2＋2b^2－b－2ab－9a＝0中
　得2a^2－19a＋45＝0
解得：a＝5
从而c＝0
∴三位数是550

综上：三位数是803、550