分类：教育/科学-升学入学-高考
问题：数学问题若函数f（x）=（x^2+ax+b）e^(x
若f（x）=（x^2+ax+b）e^(x-2），x属于R，在x=1处取得极值1）求a与b的关系式（用a表示b），求出f（x）的取值范围2）是否存在实数m，使得对任意a属于（0，1）及x属于[0,2]总有|f（x1）|-|f（x2）|小于[（m+2）a+m^2]e^-1 +1恒成立，若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由请详细解答，谢谢
回答：若f（x）=（x^2+ax+b）e^(x-2），x属于R，在x=1处取得极值 1）求a与b的关系式（用a表示b），求出f（x）的取值范围 解：f'(x)=(2x+a)e^(x-2)+(x^2+ax+b)e^(x-2)=[x^2+(a+2)x+a+b]e^(x-2),因f(x)在x=1处取极值，故f'(1)=(2a+b+3)/e=0,∴b=-2a-3.显然，x→+∞时，f(x)→+∞，∴f(1)=(-a-2)/e是f(x)的极小值。x→-∞时，f(x)→0.∴当a≥-2时，f(x)的取值范围是[(-a-2)/e,+∞）；当a<-2时f(1)不是极值，不合题意。2）是否存在实数m，使得对任意a属于（0，1）及x属于[0,2]总有|f（x1）|-|f（x2）|小于[（m+2）a+m^2]e^-1 +1恒成立，若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由 解：f(x)=(x^2+ax-2a-3)e^(x-2),由(1),|f（x1）|-|f（x2）|≤|f(x1)-f(x2)|≤max{f(0)-f(1),f(2)-f(1)}=(a+2+e)/e,对任意a属于（0，1）及x属于[0,2]总有|f（x1）|-|f（x2）|<[（m+2）a+m^2]e^-1 +1恒成立，化为(2+e)/e<m^2*e^(-1)+1,且(4+e)/e<(m^2+m+2)e^(-1)+1.又化为2<m^2,且m^2+m-2>0,∴“m<-√2或m>√2”且“m<-2或m>1”，∴m的取值范围是(-∞，-2）U(√2，+∞）。