分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：有函数逼近论的参考资料么 
回答：插值法(Interpolation)一、教学目的：帮助学生掌握数值逼近的基本思路和主要方法。在应用中培养学生的分析能力，判断能力，计算能力。二、教学重点：Lagrange插值、Newton 插值、Hermite插值。三、教学方法：提问、讲授、示范。四、关键词：多项式插值（Polynomial Interpolation）五、教学过程：§1  Lagrange插值教学基本内容：插值问题插值多项式的存在性和唯一性Lagrange插值公式主要内容：　　插值方法是数值分析中的一种古老而重要的方法。早在6世纪，我国的六(554～610)就首先提出等距节点插值方法，并成功地应用于天文计算。17世纪I. Newton和J. Gregory建立了等距节点上的插值公式。18实际J. L. Lagrange给出了更一般的非等距节点上的插值公式。在近代，插值方法是数据处理、函数近似表示和计算机几何造型等常用的工具，又是导出其他许多数值方法（如数值积分、非线性方程求根、微分方程数值解等）的依据。　　在生产和实验中，函数有时仅能获得它的若干点的函数值或微商值，即只给出的一张数据表。如果根据这张数据表，构造一个简单函数，使之满足数据表中的数据。这样的函数就是的逼近函数。这种逼近问题就称为插值问题。一、插值问题　　1. 设表示所有次数不超过的多项式的集合。设是一组互异的点，，所谓次多项式插值，就是求多项式，使之满足　　　　　　　　　　　　　　　                    (1.1)其中称为插值节点，是插值多项式，是被插（值）函数，(1.1)是插值条件， 　　　　　　　　　　　　　　　　                        (1.2)是插值余项，是插值区间，称为型值点。二、插值多项式的存在性和唯一性　　1. 定理1（存在性和唯一性）满足插值条件(1.1)的多项式存在，并且唯一。　　　证  设，由插值条件(1.1)得非齐次线性方程组　　　　　　　　　　　　　                  (1.3)其系数行列式是Vandermonde行列式。 因为是一组互异的点，所以.　　由Cramer法则知：方程组(1.3)有唯一的一组解，即满足插值条件(1.1)的多项式存在，并且唯一。                                                    证毕！　　　　2. 几何解释：通过曲线上给定的个点，可唯一地作一条次代数曲线作为曲线的近似曲线。三、Lagrange插值公式　　1. 定理2（Lagrange插值公式）  次多项式　　　　　　　　　　　　　　　　　                      (1.4)满足插值条件(1.1)，其中　　　　　　　　　　　　　　                (1.5)称(1.4)式为Lagrange插值多项式或Lagrange插值公式；(1.5)式为Lagrange插值基函数。　　　证 作次多项式，使之满足对，有又因为，即，所以构造次多项式，显然即满足条件(1.1)的插值多项式。                                     证毕！　　　[注]  若设，则，于是                                        (1.6)　　　例1 已知，求的Lagrange插值多项式。　　　解  设，则故所求插值多项式为.　　　例2  求经过点三点的Lagrange插值多项式。　　　解  设，则故所求插值多项式为.　　2. 定理3（Lagrange插值公式的余项）设在包含插值节点的区间上次可微，则对，存在（与有关），使得　　　　　　　　　　　                   (1.7)　　　证 当时，(1.7)自然成立。　　　当时，作辅助函数                (1.8)显然在上次可微，且.　　　因为互不相同，由Rolle定理知：在内至少有个不同的零点。　　　同理，由Rolle定理知：在内至少有个不同的零点。　　　依此类推，在内至少有1个不同的零点，即即.  证毕！　　　　　推论  若是次数不超过次的多项式，的次Lagrange插值多项式为，则.　　　证  由(1.7)式立得！　　　或：由插值多项式的唯一性立得！　　　或：由代数基本定理立得！                                         证毕！　　　　　　命题 (1) ；　　　　(2) ;　　　　(3) .　　　证 (1) 令，则；则由上述推论知：的次Lagrange插值多项式为，即.　　(2) 对，令，则；则由上述推论知：的次Lagrange插值多项式为，即.　　(3) 对，有　　　　.　　　　　　3. Lagrange插值公式的优、缺点：　　　优点：结构紧凑、思想清晰、显式表示、公式对称，与插值节点的编号无关，适合理论分析。　　　缺点：没有承袭性。§2  Newton插值公式教学基本内容：差分及其性质差商及其性质Newton插值公式等距节点上的Newton插值公式主要内容：一、差分及其性质　　  差分的理论是微分学的原始形式，也是微分的离散化。在历史上，微分学正是由有限差分的理论产生的，因此差分与微分有着极其相似的性质。下面仅以向强差分为例进行说明。　　1. 定义1  设；是步长，称                        (3.1)为在处的一阶向前差分；         (3.2)为在处的二阶向前差分；　　一般地，在处的阶向前差分定义为阶向前差分的一阶向前差分：　　             (3.3)　　　　　定义2  设；是步长，称                  (3.4)为在处的一阶向后差分；       (3.5)为在处的二阶向后差分；　　一般地，在处的阶向后差分定义为阶向后差分的一阶向前差分：　　           (3.6)　　　　此外还可以定义在处的一阶中心差分                      (3.7)　　2. 差分的性质（以向前差分为例，向后差分和中心差分也有类似的性质）　　(1) 常数的差分等于零。即：若（常数），则　　(2) 若是常数，则　　(3) 若，其中是常数，则.　　(4) 设是次多项式（最高次系数为），则当时，的阶差分为次多项式；且；当时，.　　(5) 设；，则                (3.8)其中.　　(6) 设；则， 　　实际计算向前差分时，一般采用向前差分表    一阶差分  二阶差分  三阶差分  四阶差分          　　　　　　实际计算向后差分时，一般采用向后差分表    一阶差分  二阶差分  三阶差分        　　二、差商及其性质　　1. 定义3  设是一组互异的点，，称　　　　　　　　　　　　　　                        (3.9)为在处的一阶差商。　　　　　　　　　　　　                    (3.10)为在处的二阶差商。（一阶差商的差商）其中.　　一般地，在处的阶差商（差商的差商）是　　　　　　　　　            (3.11)　　2. 性质　　(1) 若， 是常数，则.　　(2) 若，则.　　(3)  ，其中.　　（为清楚起见，用二阶差商具体推导出：　　 (4)  差商具有对称性。（In fact, 由性质(3)立得。）　　 (5)  若是关于的次多项式，则是关于的次多项式。　　In fact,　　 记，则是关于的次多项式。　　因为，所以；其中是关于的次多项式。于是是关于的次多项式。证毕！　　(6) 若，则.　　3. 重节点的差商　  ；　　一般地，.　　实际计算差商时，一般利用差商表    一阶差商  二阶差商  三阶差商        　三、Newton插值公式　　　定理1  设是一组互异的点，，则次多项式　　　　　　　　　　             (3.12)满足插值条件，并称(2.1)为Newton插值多项式。且余项为　　　　　　       (3.13)　　　证  因为，所以　　　　　　　　　　　　　                    (3.14)其中；　　因为，所以代入(3.14)，得　　　　　　　         (3.15)其中；依次类推，得其中　　　　　；     　　.          证毕！　　　[注]  1) 由§1的插值问题解的唯一性知：Newton插值公式仅是Lagrange插值公式的一种变形。　　　2)  Newton插值公式既具有Lagrange插值公式便于理论上分析的优点，又具有Aitken算法的承袭性。※　　　例1  已知列表函数    1      2      3      4    0     －5    －6     3试求满足上述插值条件的3次Newton插值多项式　　　解  造差商表        则所求3次Newton插值多项式为　　　　　　　　定理2  设在包含插值节点的区间上次可微，则存在介于之间的，使得　　　　　　　　　　　　　　                       (3.16)　　　证  由Lagrange插值余项及Newton插值余项，介于与之间，，得：特别地，当时，有              ，介于之间。         证毕！四、等距节点上的Newton插值公式　　设是一组等距插值节点，. 用数学归纳法，可以证明函数的差分与差商之间的关系：　　　定理3  ；                            (3.17)　　　　　　.                          (3.18)　　　1. ，即在左端点附近进行插值，一般地，宜用Newton向前插值公式。设的满足插值条件的次Newton插值公式为　　　　　　　　　　              (3.19)利用(3.17)式及，(3.19)化为         (3.20)并称(3.20)式为Newton向前插值公式。　　　2. ，即在右端点附近进行插值，一般地，宜用Newton向后插值公式。设的满足插值条件的次Newton插值公式为　　　　　　　　　　　　　                (3.21)利用(3.18)式及，(3.21)化为　　　　　　        (3.22)并称(3.22)式为Newton向后插值公式。　　　例2  已知函数的数值表    0      1      2      3    1      2     17     64试分别求出的三次Newton向前和向后插值公式；并分别计算和时，的近似值。　　　解  造向前和向后差分表        则所求三次Newton向前插值公式为，.　　所求三次Newton向后插值公式为，.§3  Hernite插值公式教学基本内容：两个节点的三次Hermite插值个节点的Hermite插值主要内容：　　在某些问题中，为了保证插值函数能更好地密合原来的函数，不但要求“过点”，即：两者在节点处具有相同的函数值，而且要求“相切”，即：两者在节点处还具有相同的导数值，这类插值称作“切触插值”或“Hermite插值”。　　一、两个节点的三次Hermite插值　1. 问题  已知，求作三次多项式，使之满足　　　　　　　　　             (4.1)　2. 几何解释  代数曲线与曲线不但有两个交点，而且在点处两者相切。　　3. 求解　　为简化计算，先设，则插值条件(4.1)化为　　　　　　　　　　               (4.2)　　　定理1  三次多项式　　　　　　　　　　               (4.3)满足插值条件(4.2)，其中　　   (4.4)并称(4.3)为三次Hermite插值公式，(4.4)为三次Hermite插值基函数。　　　证  作三次多项式，使之分别满足　　　　　　　　　　　　                  (4.5)由条件(4.5)可设，其中.　　因为，所以；　　又因为，且，即所以.  　　同理可得其他。且证毕！　　　推论  设为任意两个节点，令，则　　　　　　　　　　               (4.6)　　　　　　　　　　               (4.7)　4. 插值余项　　　定理2  设在包含插值节点的区间上4次可微，则对，存在介于与之间的，使得　　　　　　　　　              (4.8)　　　证  若或，则(4.8)显然成立。　　设（不妨设），作辅助函数　　　　　　　　　　　　　                   (4.9)其中. 则令，则.　　　分别在上对运用Rolle定理，得：，使得　　　再分别在上对运用Rolle定理，得：，使得.　　　再分别在上对运用Rolle定理，得：，使得.　　　再在上对运用Rolle定理，得：，使得，即即，于是　　　　　　　　　　.            证毕！二、个节点的Hermite插值　1. 问题  已知，求作次多项式，使之满足　　　　　　　　　　　                  (4.10)　　　　　类似于三次Hermite插值公式的构造过程，得　　　定理3  次多项式　　　　　　　　　　　　　                      (4.11)满足插值条件(4.10)，其中　　　   (4.12)并称(4.11)为次Hermite插值公式，(4.12)为次Hermite插值基函数。　　　定理4  设在包含插值节点的区间上次可微，则对，存在介于与之间的，使得　　　　　　         (4.13)§4  分段多项式插值教学基本内容：分段多项式插值的概念分段三次Hermite插值主要内容：一、分段多项式插值的概念　　1. 高次多项式插值的Rung现象　　  多项式历来被认为是最好的逼近工具之一，用多项式作插值函数，就是前面已经讨论过的代数插值。对于这种插值，插值多项式的次数随着节点的个数的增加而升高，然而高次多项式插值的逼近效果往往并不理想。上世纪初，Rung就发现：随着节点的加密，采用高次多项式插值，当增大时，插值函数在两端回发生激烈的振荡。这就是所谓的Rung现象。　　对于这一情形，Faber证明过以下结果：　　　Faber定理  对区间上任意给定的三角阵总存在，使得由三角阵中的任一行元素为插值节点所生成的次插值多项式，当时，不能一致收敛到.　　　2. 分段多项式插值　　　定义  将所考察的区间作一分划：在每个小区间上构造插值多项式；将每个小区间上的插值多项式拼接在一起，作为整个区间上的插值函数。并称这样构造出的插值函数为分段插值多项式。　　若分段插值多项式在每个小区间上都是次多项式，则称为具有分划的分段次多项式，点称为的结点。二、分段三次Hermite插值　　1. 求作具有分划的分段3次多项式，使之满足　　　　　　　　　　              (5.1)　　由“§4 Hermite插值”得：对，有　　　　       (5.2)满足插值条件(5.1). 其中 ，　　   (5.3)　　2. 误差估计及收敛性　　　定理  设在区间上4次可微，则对，有　　　　　　　　　　　　　                   (5.4)其中.　　若，则当时，在区间上一致收敛到.　　　证  记，对，由三次Hermite插值余项定理得　　　　　　      (5.5)由高等数学中求最大值的方法，易知：当时，在区间上达到最大值，由(5.5)得　　若，则. 故当时，由(5.4)知：在区间上一致收敛到.                                                  证毕！　　　　3. 分段多项式插值的优、缺点　　　优点：1) 显式算法，算法简单，收敛性、稳定性好。只要结点间距充分小，分段插值总能获得所要求的精度，而不会出现Rung现象。　　　　　2) 局部性。如果要修改某个数据，插值曲线仅仅在某个局部范围内受到影响；而代数插值却会影响到整个插值区间。　　　缺点：光滑度不高。若要提高光滑度，必须提供较多的信息才能达到。　　练习题：P121  5.1       P122  5.10  5.13小   结　　插值方法是数值分析中很古老的一个分支，在数值分析的许多分支中，如数值积分、曲线与曲面拟合、微分方程数值解等方面均有应用。可以说：插值方法是数值分析的基本工具。本章主要介绍插值函数（多项式、有理分式）的构造与误差。构造插值函数的主要方法是用插值基函数与待定系数法。所介绍的三种多项式插值各有其优缺点：Lagrange插值结构紧凑、思想清晰、显式表示，形式对称；其缺点是没有承袭性。借助差商构造的Newton插值则克服了Lagrange插值的缺点，具有承袭性，从而在需要增加节点时，可大大减少计算量。逐步线性插值——Aitken算法将一个高次插值过程转化为线性插值的多次重复，并具有承袭性；但不适合求插值多项式本身。鉴于它们的优缺点，在实际应用时，应根据插值接点的情况选取不同的插值方法。例如，插值节点非等距时，用Lagrange插值比较合适；对等距节点的插值最好选用Newton向前或向后插值；如果计算插值多项式在某个固定点的函数值，选用Aitken算法比较合适。由于所谓的Runge现象，在实际应用中，一般不用高次多项式插值，常采用分段低次插值。为了解决具有奇点函数的计算问题，宜采用有理分式函数插值。对于带微商的插值，最常用的是Hermite插值。