分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：微积分中对数函数积分定义的一个问题有点长，呵呵，对数函数用积分定 
有点长，呵呵，函数用积分定义是lnx=∫[1→x]1/tdt，积分符号我只能这么打了，根据微积分基本定理lnx的导数是1/x,根据lnx的导数是1/x推出第一个对数运算律lnxy=lnx+lny,这个推导不打了，只需要求个导，其中只用到了复合函数求导法则，但第二个对数运算律lnx^r=rlnx,我就不会了，书上没给答案，只给了提示，说先证明两边有相同的导数，等式右边会，但左边求完导是1/x乘x^r的导数。x^r的导数公式推导正用到了lnx的导数是1/x和第二个对数运算律lnx^r=rlnx，也就是说没有第二个对数运算律lnx^r=rlnx就没有x^有点长，呵呵，函数用积分定义是lnx=∫[1→x]1/tdt，积分符号我只能这么打了，根据微积分基本定理lnx的导数是1/x,根据lnx的导数是1/x推出第一个对数运算律lnxy=lnx+lny,这个推导不打了，只需要求个导，其中只用到了复合函数求导法则，但第二个对数运算律lnx^r=rlnx,我就不会了，书上没给答案，只给了提示，说先证明两边有相同的导数，等式右边会，但左边求完导是1/x乘x^r的导数。x^r的导数公式推导正用到了lnx的导数是1/x和第二个对数运算律lnx^r=rlnx，也就是说没有第二个对数运算律lnx^r=rlnx就没有x^r的导数公式，所以有个先后，在证明时不能引用还要近一步证明的理论。那怎么办啊？难道x^r的导数公式有其他证明法，我只知道幂函数导数公式证明需要四种情况，1指数是正整数，这个我会，用二项式定理，2指数是负整数，这个也简单,但指数是分数和指数是无理数可怎么证，我在书上查不到，很重要的一点是，第二个对数运算律lnx^r=rlnx，不要高中的证明，高中关于对数函数的定义不是精确的，对数函数的积分定义lnx=∫[1→x]1/tdt才是精确的，要在这个环境下证明，所以只有高中知识的人就不要答了，呵呵。
回答：你的问题不是伪问题，思考也蛮深，但是有点钻牛角尖了。高中里只要有了指数函数的定义和反函数的概念，那么对数函数的定义就没有不精确的讲法了。用“变上限定积分函数”来定义对数函数，是我国30年前的时髦（当时本人曾经做过这个尝试）。但是60年前海外这样做是建立一套新的系统，完全不可同日而语。海外教材这样定义，至少在60年前没有人说过我的更精确，只是说在很多方面可以体现出更大的优越性。定义了边长为1的正方形面积，可以证明a、b是正整数时，边长为a、b的长方形面积为S=ab，接下去有理数也可以证明了，小学里不接触无理数（除了π），这点够了。中学里接触了无理数，但是不读专业的人，直到大学毕业，都没有证明过【边长为a、b的长方形面积为S=ab】在实数内也成立，因为需要实数的连续性和极限。这里其实也是一样，有了ln(xy)=lnx+lny，利用数学归纳法可以证明ln(x^n)=nlnx，再来个类似于逆运算ln[x^(1/n)]=(1/n)lnx，于是对于有理数r，也就有 ln(x^r)=r lnx。接下来无理数，就复杂得多了，需要实数的连续性和极限。我想你应该明白我的意思了。