分类：烦恼-校园生活
问题：求三角形周长最小值三角形ABC三边长a,b,c均为整数,∠A=2 
三角形AB三边长a,b,c均为整数,∠A=2∠B,∠C为钝角.求三角形ABC周长的最小值.
回答：三角形ABC三边长a,b,c均为整数,∠A=2∠B,∠C为钝角. 
求三角形ABC周长的最小值.

解 ∵∠A=2∠B,∴a^2=b(b+c）.
令 b=m^2,b+c=n^2,故a=mn.
∵a+b>c,∴a^2=b(b+c)<b(2b+a)
故a<2b.
又∵c^2>a^2+b^2 <==> c^2>b(b+c)+b^2,
故 c>2b,a^2=b(b+c)>3b^2.
综上可得:√3b<a<2b.
即 √3m<n<2m.
故得 2m-√3m>1.<==>m>2+√3>3
所以m≥4,
当m=4,4√3<n<8,故n=7.
a+b+c=n^2+mn=77.
而当m≥5时,n>7,此时a+b+c=n^2+mn>77.
故 三角形ABC周长的最小值77,
此时a=28,b=16,c=33.