分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：高考数学题已知函数f(x)=
已知f(x)=-x^2+8x,g(x)=6lnx+m.(1)求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t)(2)是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象只有三个不同的交点?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.
回答：解:(1)f(x)=-x^2+8x=-(x-4)^2+16.当t+1<4,即t<3时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,h(t)=f(t+1)=-(t+1)^2+8(t+1)^2=-t^2+6t+7;当t=<4=<t+1,即3=<t=<4时,h(t)=f(4)=16;当t>4时,f(x)在[t,t+1]上单调递减,h(t)=f(t)=-t^2+8t综上知,h(t)为一个分段:h(t)=-t^2+6t+7(t<3)h(t)=16(3=<t=<4)h(t)=-t^2+8t(t>4)(2)y=f(x)图象与y=g(x)图象有且只有三个不同的交点,即P(x)=g(x)-f(x)的图象与X轴的正半轴有且只有三个不同的交点.因P(x)=x^2-8x+6lnx+m,即P'(x)=2x-8+6/x=2(x-1)(x-3)/x(x>0),故当x属性(0,1)时,P'(x)>0,P(x)是增函数;当x属于(1,3)时,P'(x)<0,P(x)是减函数;当x属于(3,+无穷)时,P'(x)>0,P(x)是增函数;当x=1,或x=3时,p'(x)=0.故P(x,y)|max=P(1)=m-7,P(x)|min=P(3)=m+6ln3-15.当x充分接近0时,P(x)<0;当x充分大时,P(x)>0;所以,要使P(x)的图象与X轴正半轴有三个不同的交点,必须且只需:{P(x)|max=m-7>0,P(x)|min=m+6ln3-15<0}--->7<m<15-6ln3.故存在实数m,使得函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点,m的取值范围为:(7,15-6ln3).