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问题：中值定理中C的极限f"(x)在(a,b)内连续，x0∈(a,b) 
f"(x)在(a,b)内连续，x0∈(a,b)，且f"(x0)≠0，当异于x0的x∈(a,b)时，存在x0到x之间的，使f(x)-f(x0)=f'(C)(x-x0)。可以证明lim<x趋于x0>(C-x0)/(x-x0)=1/2（我已经看懂了这个证明）。我这里继续思考的问题有两个：①拉格朗日中值定理中的C唯一吗？②当条件f"(x0)≠0不成立时，结论要怎么修改？
回答：你看到的所谓“证明”肯定是不正确的，因为首先应该利用给定的条件证明C（下面我们用习惯上的记号ξ来表示）的唯一性，否则无法展开对极限的研究讨论。
你看到的证明的基本思路我想还是对的，你可能会发现我下面的思路沿用的是一样的思路。

在附件里。我回答了你的两个问题。文件太大，无法截图，你自己下载阅读吧！