分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：高三题目13设函数f(x)＝1/(xlnx)(x&gt;0且x≠ 
设f(x)＝1/(xlnx) (x>0且x≠1).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)已知2^(1/x)>x^a对任意x∈(0,1)成立，求实数a的取值范围。
回答：(1)f(x)＝1/(xlnx)→f'(x)＝-(1+lnx)/(xlnx)^2.
f'(x)>0→x<1/e;f'(x)<0→x>1/e.
而x>0且x≠1,故
x∈(0,1/e)时，f(x)单调递增；
x∈(1/e,1)∪(1,+∞)时，f(x)单调递减.

(2)2^(1/x)>x^a→a/ln2>1/(xlnx) (0<x<1)……(*)
由(1)知x∈(0,1)时，f(x)≤f(1/e)＝-e,
为使(*)对所有x∈(0,1)成立，当且仅当
a/ln2>-e,即实数a>-eln2。