分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：不等式对任何正数a，b，c，求证:√(a^2+b^2

对任何正数a，b，c，求证: √(a^2+b^2-ab)+√(a^2+c^2-ac)≥√(b^2+c^2+bc) 。


回答：对任何正数a，b，c，求证: √(a^2+b^2-ab)+√(a^2+c^2-ac)≥√(b^2+c^2+bc) 。此题可用构造法证明。下面综合法来推证。证明 因为 (bc-ab-ca)^2≥0 <==> 3b^2*c^2-6abc(b+c)+3a^2(b+c)^2≥0<==> 4(a^2+b^2-ab)*(a^2+c^2-ac)≥(bc+ca+ab-2a^2)^2<==> 2√[(a^2+b^2-ab)*(a^2+c^2-ac)]≥bc+ca+ab-2a^2<==> a^2+b^2-ab+a^2+c^2-ac+2√[(a^2+b^2-ab)*(a^2+c^2-ac)]≥b^2+c^2+bc<==> [√(a^2+b^2-ab)+√(a^2+c^2-ac)]^2≥[√(b^2+c^2+bc)]^2<==> √(a^2+b^2-ab)+√(a^2+c^2-ac)≥√(b^2+c^2+bc) 。所以当1/a=1/b+1/c，也即1/a=1/b+1/c时取等号。关于儿的问题提问出错了，(bc+ca+ab)^2应该为(a+b+c)^2，不然量纲不对了。为了习惯，符号更改如下。设x，y，z为正实数，求证:√[(x^2+xy+y^2)*(y^2+yz+z^2)]+√[(y^2+yz+z^2)*(z^2+zx+x^2)]+√[(z^2+zx+x^2)(x^2+xy+y^2)]≥(x+y+z)^2.(1)证明 设P是最大角不大于120°的ΔABC的费马点，记BC=a，CA=b，AB=c，PA=x，PB=y，PC=z，S表示ΔABC的面积，R,r,p分别表示ΔABC的外接圆半径, 内切圆半径和半周长。则2S=yz*sin120°+zx*sin120°+xy*sin120°, 所以yz+zx+xy=(4√3)*S/3    (2)由于P点的三个张角均为120°，由余弦定理得:a^2=y^2+z^2+yz，b^2=z^2+zx+x^2，c^2= x^2+xy+y^2    (3)由(2),(3)可得: (x+y+z)^2=(a^2+b^2+c^2+4√3*S)/2故所证不等式转化为:2(bc+ca+ab)≥a^2+b^2+c^2+4√3*S<==> 4r(4R+r)≥4√3*S   <==> 4R+r≥√3*p为己知不等式。