分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：一道超难的数学题,急急急???设a,b,c为正实数，且满足abc 
设a,b,c为正实数，且满足abc=1,证明（a-1+1/b)(b-1+1/c)(
c-1+1/a)<1

回答：设a,b,c为正实数，且满足abc=1,证明（a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)≤1。如果（a-1+1/b)、(b-1+1/c)、(c-1+1/a)都大于0，只要用几何平均值不会超过平均值：即对任正数x、y、z，有：xyz≤[(x+y+z)/3]^3因为（a-1+1/b)+(b-1+1/c)+(c-1+1/a)=(a+1/a)+(b+1/b)+(c+1/c)-3≥2+2+2-3=3所以（a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)≤(3/3)^3=1；如果（a-1+1/b)、(b-1+1/c)、(c-1+1/a)中有一个小于0或三个都小于0，则乘积（a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)是负数，不等式成立；那么（a-1+1/b)、(b-1+1/c)、(c-1+1/a)中是否可能恰有两个小于0呢？下面证明是不可能的：不妨设a-1+1/b<0,b-1+1/c<0,即0<a+1/b<1,0<b+1/c<1同时成立（因为a，b，c都是正数，上面两个不等式的左端显然是成立的），即0<a+1/b=a+abc/b=a+ac<1,0<b+1/c=b+abc/c=b+ab<1同时成立，就有0<(a+ac)(b+ab)<1，即0<ab+aab+abc+aabc=ab+aab+1+aabc<1，从而有ab+aab+aabc<0与a，b，c都是正数矛盾，于是得证。综上所述，在所给条件下，不等式（a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)≤1成立。