分类：教育/科学-升学入学-高考
问题：几何竞赛题在锐角三角形ABC中,BE,CF为高,BM,CN为角平 
在锐角三角形AB中,BE,CF为高,BM,CN为角平分线.证明锐角三角形ABC的内心I在线段EF上的充要条件是外心O在MN上.
回答：在锐角三角形AB中,BE,CF为高,BM,CN为角平分线.证明锐角三角形ABC的内心I在线段EF上的充要条件是外心O在MN上.简证 △ABC为锐角三角形,所以外心O在形内.设BC=a,CA=b,AB=c,O到三边BC,CA,AB的距离分别为X,Y,Z.则X=R*cosA,Y=R*cosB,Z=R*cosC,AM=bc/(a+c),AN=bc/(a+b),AE=c*cosA,AF=b*cosA.(一),O在MN上.因为S(AMN)=S(AOM)+S(AON)<===>S(ABC)*(AM/AC)*(AN/AB)=S(AOM)+S(AON)<===>(aR*cosA+bR*cosB+cR*cosC)*[b/(a+b)]*[c/(a+c)]=bcR[cosC/(a+b)+cosB/(a+c)]<===> cosA=cosB+cosC                      (1)(二)I在EF上因为S(AEF)=S(AIE)+S(AIF)<===>S(ABC)*(AE/AC)*(AF/AB)=S(AIE)+S(AIF)<===>r(a+b+c)(cosA)^2=r(b+c)cosA<===>(a+b+c)cosA=b+c<==>(a+b+c)cosA=c*cosA+a*cosC+b*cosA+a*cosB<===>cosA=cosB+cosC               (2)因此 O在MN上<==>I在EF上.