分类：教育/科学-升学入学-高考
问题：一个不等式难题在三角形A1A2A3中，设A2A3=a,A3A1= 
在三角形A1A2A3中，设A2A3=a,A3A1=b,A1A2=c,m1,m2,m3分别是边A2A3,A3A1,A1A2上的中线.
求证:
1/m2*m3+1/m3*m1+1/m1*m2≥4(a^2+b^2+c^2)/[(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2]
回答：在三角形A1A2A3中，设A2A3=a,A3A1=b,A1A2=c,m1,m2,m3分别是边A2A3,A3A1,A1A2上的中线. 
求证: 
1/m2*m3+1/m3*m1+1/m1*m2≥4(a^2+b^2+c^2)/[(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2]

简证  先证一个三角形边长不等式.
(a+b+c)*[(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2]≥3abc(a^2+b^2+c^2)    (1)

(1)<===>
∑a^3*(b^2+c^2)-3abc∑a^2+abc∑bc≥0

设a=max(a,b,c),上式分解为
bc(b+c-a)*(a-b)*(a-c)+a(a^2+ab+ac-2bc)*(b-c)^2≥0
上式显然成立,故(1)式得证.

对不等式(1),运用三角形中线对偶定理即得所证不等式.