分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：代数设a为质数，b为正整数,且9(2a+b)^2=509(4a+ 
设a为质数，b为正整数,且9(2a+b)^2=509(4a+511b),求a,b
回答：解:左=[3(2a+b)]^2,为完全平方数.
   右=509(4a+511b)也应该是完全平方数.
    经检验,509是质数,(分别除以质数3,7,11,13,17,19,23,都除不尽),
    4a+511b=509*另一个完全平方数.记另一个完全平方数=m^2.
    [3(2a+b)]^2=509(4a+511b)=(509m)^2=509*509*m^2.
   得(1):   3(2a+b)=509m,  
     (2):   4a+511b=509*m^2.
  由(1):   509是质数,m是3的倍数.记m=3k,代入(1),(2):
   得(3):   2a+b=509k .
   得(4):   4a+511b=509*9k^2.   由(3) 、(4),得
            2a=511k-9k^2=k(511-9k)..........(5)
            a为质数,2a只有2a=1*2*a一种表达,所以,k有以下三种可能:k=1,k=2,k=a.
第一种可能:k=1,2a=511-9=502,a=251.
经检验,251是为质数.满足.b=509k-2a=509-251*2=509-502=7.
第二种可能:k=2,2a=511k-9k^2=511*2-36=986,a=493=29*17,
合数不符合.
第三种可能:k=a,2=511-9k=511-9a, a=(511-2)/9=509/9,非整数,不符合.
   只有第一种符合,即 a=251,b=7.  OK!