分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：高一数学二次函数已知函数f(x)=(4
已知f(x)=(4-3a)x^2-2x+a，其中a∈R,且a＜4/3,求f(x)在[0,1]上的最大值。解⑴当a≤2/3时,0＜1/(4-3a)≤1/2，f(x)的图像为开口向上的抛物线，且顶点的横坐标在[0,1/2]内，所以f(x)max=f(1)=2-2a。    ⑵当2/3＜a≤1时，1/2＜1/(4-3a) ≤1, f(x) 的图像为开口向上的抛物线，且顶点的横坐标在(1/2,1]内，所以f(x)max=f(0)=a。⑶当1＜a＜4/3时，1/(4-3a)＞1, f(x) 的图像为开口向上的抛物线，且顶点的横坐标在[0,1]上是已知f(x)=(4-3a)x^2-2x+a，其中a∈R,且a＜4/3,求f(x)在[0,1]上的最大值。解⑴当a≤2/3时,0＜1/(4-3a)≤1/2，f(x)的图像为开口向上的抛物线，且顶点的横坐标在[0,1/2]内，所以f(x)max=f(1)=2-2a。    ⑵当2/3＜a≤1时，1/2＜1/(4-3a) ≤1, f(x) 的图像为开口向上的抛物线，且顶点的横坐标在(1/2,1]内，所以f(x)max=f(0)=a。⑶当1＜a＜4/3时，1/(4-3a)＞1, f(x) 的图像为开口向上的抛物线，且顶点的横坐标在[0,1]上是减函数，即f(x)max=f(0)=a。综上所述，f(x)max=2-2a (a≤2/3)              f(x)max=a(4/3＞a＞2/3)这是某书上的一道例题，该题以2/3、1、4/3为端点进行分段讨论，请问:①是怎样想到以2/3、1、4/3为端点进行分段讨论的?②解⑴中“且顶点的横坐标在[0,1/2]内，”是否应该改为“且顶点的横坐标在（0,1/2]内，”请说出改或不改的理由。
回答：答：
（1）
在a＜4/3的条件下，f(x)=(4-3a)x^2-2x+a的图像为开口向上的抛物线。
f(x)在[0,1]的哪一点上一定是取得最大值，能根据抛物线对称轴的位置来作出判定：
若对称轴在[0,1/2]上，就可知道f(1)是最大值。
若对称轴在（1/2,1]上，就可知道f(0)是最大值。
若对称轴在 X>1 之处，就可知道f(0)是最大值。
上述三个判断不用解释了吧？
之所以用2/3、1、4/3为端点进行分段讨论，就是为了能进行以上三个判断：
对f(x)=(4-3a)x^2-2x+a 进行配方，可得到对称轴是X=1/(4-3a)
要让对称轴在[0,1/2]上，就要0＜1/(4-3a)≤1/2，即a≤2/3
要让对称轴在（1/2,1]上，就要1/2＜1/(4-3a) ≤1，即2/3＜a≤1
要让对称轴在 X>1 之处，就要1/(4-3a)＞1，即1＜a＜4/3
现在再看例题的解答就明白了吧？

（2）
你说的对，应该改为“且顶点的横坐标在（0,1/2]内”，因为在
a≤2/3条件下，对称轴X=1/(4-3a)不可能为0，而顶点一定是在对称轴上，故顶点的横坐标只能在（0,1/2]内。
严格来说，分界点算在前一个区间内，就不要再算到后一个区间内，例题中这一点是考虑了的。我上述的解答中，主要是说明思路，解答你“怎样想到”的问题，区间的叙述可能不够严格。