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问题：椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率e=√(2/3)，过点? 
椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率e=√(2/3)，过点（-1，0）的直线l交椭圆于A、B两点，且满足：向量CA=向量λBC（λ≥2）。（1）若λ为常数，试用直线l的斜率k（k≠0）表示三角形OAB的面积；（2）若λ为常数，当三角形OAB的面积取得最大值时，求椭圆E的方程；（3）若λ变化，且λ=k2+1，试问：实数λ和直线l的斜率k（k∈R）分别为何值时，椭圆E的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程。
回答：解：设椭圆方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1（a＞b＞ 0），由e=c/a=√(2/3)及a^2=b^2+c^2得a^2=3b^2，故椭圆方程为x^2+3y^2=3b^2     (1)（1）∵直线L：y=k（x+1）交椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，并且向量=向量λBC（λ≥2）∴（x1+1，y1）=λ（-1-x2，-y2），即方程x1+1=-λ(x2+1)y1=-λy2             (2)把y=k（x+1）代入椭圆方程,得:（3k^2+1）x^2+6k^2x+3k^2-3b^2=0,且△=k^2（3b^2-1）+b^2>0, ∴x1+x2=-6k^2/(3k^2+1)   (3)x1x2=(3k^2-3b^2)/(3k^2+1)  (4)∴S△OAB=(1/2) √(1+k^2)Ιx1-x2ΙΙkΙ/√(1+k^2)Ι=(1/2)ΙkΙΙx1-x2Ι=Ιλ+1Ι/2ΙΙkΙΙx2+1Ι联立(2)、(3)得：x2+1=2/[(1-λ)(3k^2+1)]∴S△OAB=(λ+1)/(λ-1)×[ΙkΙ/(3k^2+1)]  (k≠0)（2）S△OAB=（λ+1）/(λ-1)×[ΙkΙ/(3k^2+1)]= （λ+1）/(λ-1)×1/[3ΙkΙ+（1/ΙkΙ）]≤（λ+1）/(λ-1)×1/2√3  (λ≥2)当且仅当3ΙkΙ=1/ΙkΙ即k=±√3/3时，S△OAB取得最大值。此时 ，又∵x1+1=-λ（x2+1），∴x1=1/(λ-1),x2=-λ/(λ-1)，代入(4)得：3b^2=(λ^2+1)/ (λ-1)^2故此时椭圆的方程为 x^2+3y^2=(λ^2+1)/(λ-1)^2  (λ≥2)（3）由(2)、(3)联立得：x1=-2λ/[(λ-1)(3k^2+1)]-1,  x2=2/[(λ-1)(3k^2+1)]-1将x1、x2代入(4)得：3b^2=4λ/[(λ-1)^2(3k^2+1)]+1由k^2=λ-1得：3b^2=4λ/[(λ-1)^2(3k^2-2)]+1=(4/3)[1/(λ-1)^2+2/[ (λ-1)^2(3k^2-2)]+1易知：当λ≥2时，3b^2是λ的减函数，故当λ=2时，(3b^2)max=3.故当λ=2，k=±1时，椭圆短半轴长取得最大值，此时椭圆方程为x^2+3y^2=3。