分类：教育/科学-升学入学-考研
问题：请教一道证明题设f(x)连续，则定积分∫xf(sinx)dx积分 
设f(x)连续，则定积分      ∫xf(sinx)dx       积分区间为(0-π)=定积分 （π/2）*∫f(sinx)dx    积分区间为(0-π)=定积分     π*∫f(sinx)dx    积分区间为(0-π/2)=定积分     π*∫f(cx)dx    积分区间为(0-π/2)
回答：记住：定积分的结果只与被积、积分上下限有关，与被积变量的形式无关设u=π -x代入原式∫xf(sinx)dx =∫(π -u)f(sinu)du[积分区间0->π]=∫(π -x)f(sinx)dx[积分区间0->π]=π∫f(sinx)dx-∫xf(sinx)dx[积分区间0->π]=〉2∫xf(sinx)dx =π∫f(sinx)dx[积分区间0->π]=〉∫xf(sinx)dx=(π/2）*∫f(sinx)dx[积分区间0->π]在第一道题的基础之上∫xf(sinx)dx=(π/2）*∫f(sinx)dx[积分区间0->π/2]             +(π/2）*∫f(sinx)dx[积分区间π/2->π]设u=π-x,∫f(sinx)dx[积分区间π/2->π]=∫f(sinx)dx[积分区间0->π/2]=>∫xf(sinx)dx=π*∫f(sinx)dx 积分区间为(0-π/2)设u= π/2 - x代入原式∫xf(sinx)dx =∫(π/2 -u)f(cosu)du[积分区间-π/2->π/2]=π/2∫f(cosx)dx-∫xf(cosx)dx[积分区间-π/2->π/2]其中∫xf(cosx)dx=0[积分区间-π/2->π/2](关于x轴对称[xf(cosx)为奇函数])π/2∫f(cosx)dx=π∫f(cosx)dx[积分区间0->π/2]](关于x轴对称[f(cosx)为偶函数])=>∫xf(sinx)dx =π∫f(cosx)dx[积分区间0->π/2]