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问题：导数方程(x^3)+6x^2+9x+4=0的实根的个数是？ 
方程(x^3)+6x^2+9x+4=0的实根的个数是？
回答：解法一


设f(x)=(x^3)+6x^2+9x+4
f'(x)=3x^2+12x+9=3(x+1)(x+3)
f(-3)=-27+54-27+4=4>0  f(-1)=-1+6-9+4=0
当x<-3时 f（x)单调增加
当-3<x<-1时 f(x)单调减小
x>-1时单调增加


f(-∞)<0 f(-3)>0 根据洛尔定理必然存在x1∈（-∞，-3）使得f(x)=0 又由于f(x)单调 所以在（-∞，-3）内只有一个值

当x∈（-3，-1）时f(x)单调减小  f(x)>f(-1)=0 方程在此区间无解
当x=-1时 f(x)=0  所以x=-1是解
当x>-1时 f(x)单调增加 所以f(x)>f(-1)=0 无解



解法二 
∵x=-1为方程的(x^3)+6x^2+9x+4=0一个解 所以x+1必然是多项式(x^3)+6x^2+9x+4的一个因子 采用因式分解法
(x^3)+6x^2+9x+4=(x^3+x^2)+(5x^2+5x)+(4x+4)=(x+1)(x^2+5x+4)=(x+1)^2(x+4)
∴(x^3)+6x^2+9x+4=(x+1)^2(x+4)=0的方程的解有2个
为x1=x2=-1 x2=-4