分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：简单的存在性问题设边长为a,b,c的三线段构成锐角三角形,证明: 
设边长为a,b,c的三线段构成锐角三角形,证明:存在一个对棱相等且分别为a,b,c的四面体。并计算其体积。
回答：设边长为a,b,c的三线段构成锐角三角形,证明:存在一个对棱相等且分别为a,b,c的四面体。并计算其体积。证明 作长方体AB-A'B'C'D',使得A'D=a,A'B=b,BD=c,则四面体C'-A'BD即为对棱相等且分别为a,b,c的四面体(这种四面体称为“等面四面体”).记AB=x,AD=y,AA'=z,则y^2+z^2=a^2,   (1)z^2+x^2=b^2,   (2)x^2+y^2=c^2,   (3)由(1),(2),(3)显然可得b^2+c^2>a^2,c^2+a^2>b^2,a^2+b^2>c^2,所以，长为a,b,c的三线段构成锐角三角形.因此，等面四面体C'-A'BD的四个面是边长为a,b,c的锐角三角形.下面给出等面四面体C'-A'BD的的体积公式.由(1),(2),(3)解得x=(1/√2)*√(b^2+c^2-a^2),y=(1/√2)*√(c^2+a^2-b^2),z=(1/√2)*√(a^2+b^2-c^2),所以，等面四面体C'-A'BD的的体积为V=xyz-(4/6)xyz=(1/3)xyz=(√2/12))*√[(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)],即V=(√2/12))*√[(b^2+c^2-a^2)(c^2+a^2-b^2)(a^2+b^2-c^2)].