分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：一个不等式问题设x,y,z为正实数，且yz+zx+xy=1，求证 

设x,y,z为正实数，且yz+zx+xy=1，求证:
1/(y+z)^2+1/(z+x)^2+1/(x+y)^2>=9/4.

回答：设x,y,z为正实数，且yz+zx+xy=1，求证: 1/(y+z)^2+1/(z+x)^2+1/(x+y)^2>=9/4. 证明 先将所证不等式齐次化，即(yz+zx+xy)*[1/(y+z)^2+1/(z+x)^2+1/(x+y)^2]≥9/4.  (1)设a,b,c为任意三角形AB三边长，令a=y+z,b=z+x,c=x+y，则(1)可化为:[2(bc+ca+ab)-(a^2+b^2+c^2)]*(1/a^2+1/b^2+1/c^2)≥9   (2){设P为三角形ABC平面上任一点，我曾看到有如下不等式:(PA+PB+PC)^2*(1/a^2+1/b^2+1/c^2))≥9      (3)而(PA+PB+PC)^2≥2(bc+ca+ab)-(a^2+b^2+c^2)   (4)}(2)式化简为:[2(bc+ca+ab)-(a^2+b^2+c^2)]*(b^2*c^2+c^2*a^2+a^2*b^2)≥9(abc)^2<==> -Σa^4*(b^2+c^2)-2Σb^3*c^3+2abcΣa^2*(b+c)-12(abc)^2≥0不失一般性,设a=max(a,b,c)，则上式可分解为:a(b^2+c^2)*(b+c-a)*(a-b)*(a-c)+bc(5a^2-ab-ac-bc)*(b-c)^2≥0.当a=max(a,b,c)，上式显然成立。