分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：不等式设三角形三边长为a,b,c,且a+b+c=4，求证:a^2 

设三角形三边长为a,b,c, 且a+b+c=4，求证:a^2+b^2+c^2+abc<8。

回答：设三角形三边长为a,b,c, 且a+b+c=4，求证:a^2+b^2+c^2+abc<8.
证明:a^2+b^2+c^2+abc<8   (1)
<=>(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)+abc<8
<=>2(ab+bc+ca)-abc>8  (2)
因为a+b+c=4,所以0<a,b,c<2,
于是 0<(2-a)(a-b)(2-c)=8-4(a+b+c)+2(ab+bc+ca)-abc
=8-16+2(ab+bc+ca)-abc
=-8+2(ab+bc+ca)-abc,
即 2(ab+bc+ca)-abc>8,
因此,(2)成立,从而(1)成立.