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问题：有关向量组的秩的定义定义是：向量组中存在p个线性无关的向量ai1 
定义是：向量组中存在p个线性无关的向量ai1...aip，且任意一个向量均可由它们线性表示（或任意p+1个向量线性相关），则称向量组的秩为p。

我不明白既然“任意一个向量均可由它们线性表示”那么这p个向量就是线性相关的啊！怎么是无关呢？？
回答：楼上意思是对的，但表述不够通俗明确。

向量组中存在p个线性无关的向量ai1...aip，且任意一个向量均可由它们线性表示（或任意p+1个向量线性相关），则称向量组的秩为p。

这样理解：
任一个向量a，有两种情况：
1。
这个a就是这p个线性无关的向量组ai1...aip中的一个，
此时这个a可以用这p个(包括与a相等的向量在内)线性无关的向量ai1...aip线性表示；这无疑是正确的，因为自身等于自身，其余系数取零即可；
2。
这个a不是这p个线性无关的向量ai1...aip中的一个，
这个a可以用这p个线性无关的向量ai1...aip线性表示。

换句话说，这个矩阵中任一个向量都可以用那p个线性无关的向量组ai1...aip，线性表示，或任意p+1个向量线性相关，则第p+1个向量可以是那p个线性无关向量组中的一个，则称向量组的秩为p。