分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：一道高数证明题，请帮忙！设f(x)在[0,1]上有连续的一阶导数 
设f(x)在[0,1]上有连续的一阶导数,且f(x)≥0,f’(x)≤0 ，若F(x)===∫(0→x)f(t)dt,求证：对任意的x∈(1,1)，都有
xF(1)≤F(x)≤2∫(0→1)F(t)dt

回答：1。由积分中值定理得：F(1)=∫(0→1)f(t)dt=f(t1)，

2。G（x）=F(x)-xF(1)，
G’（x）=f(x)-F(1)=f(x)-f(t1)
f’(x)≤0==>f(x)递减。
==》
ⅰ）x≤t1，0≤G’（x）==》
G（x）≥G(0)=0。
ⅱ）t1≤x，G’（x）≤0==》
G（x）≥G(1)=0。
==》对任意的x∈(0,1)，xF(1)≤F(x)。

3。xF(1)≤F(x)==》
F(1)/2=∫(0→1)xF(1)dx≤∫(0→1)F(x)dx
f(x)≥0==》
F(x)/2≤F(1)/2≤∫(0→1)F(t)dt。

==》对任意的x∈(0,1)，都有
xF(1)≤F(x)≤2∫(0→1)F(t)dt。