分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：多项式问题设p、q是任意的正整数,证明:存在整系数多项式p(x) 
设p、q是任意的正整数,证明:存在整系数多项式p(x),使得对x轴上长为1/q的某个区间中的每一个点x,都有|p(x)-(p/q)|<1/q^2.
回答：证明:
      如果q=1,则令p(x)恒等于p,满足题设.

      如果q>1,则考虑长为1/q的区间I=(1/2q,3/2q)
      由于3/2q<1,故存在整数m,使得(3/2q)^m<1/q
      记a=1-(1/2q)^m,则对区间I中任意一个x,有0<1-qx^m<a<1.
      取充分大的整数n,使得a^n<1/pq
      记p(x)=p/q*[1-(1-qx^m)^n]
      因为p(x)=p/q*[1-(1-qx^m)^n]Q(x)=px^mQ(x)恒成立,且多项式Q(x)的系数是整数,故多项式p(x)也是整系数,面且当x属于区间I时,
      |p(x)-p/q|=p/q*|(1-qx^m)^n|<(p/q)a^n<1/q^2

      综上所述,原命题得证.