分类：教育/科学-学习帮助
问题：整数范围内解方程x^3+y^3+z^3
x^3+y^3+z^3-3xyz=2003.
回答：x^3+y^3+z^3-3xyz=2003
→(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]=4006.
∵4006=2×2003且(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2≡0(mod2)
①{x+y+z=1，(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=4006}
②{x+y+z=2003，(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=2}
对于①，可整理为6x^2+6y^2+6xy-6x-6y+2=4006.
但4006≡4(mod6)，矛盾.
对于②，|x-y|、|y-z|、|z-x|中两个为1，一个为0，不妨设x≥y≥z.
当x-1=y=z时，3y+1=2003无解.
当x=y=z+1时，3x-1=2003→x=668.
∴满足条件的三元整数组为
(x，y，z)=(668，668，667)或(668，667，668)或(667，668，668)。