分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：在看戴德金分割的时候，对每一个分割对应一个数不太理解，为什么对有? 
在看戴德金分割的时候，对每一个分割对应一个数不太理解，为什么对有理数的每一个分割就会对应的一个数，这需要证明吧？
回答：龚说的对，戴德金分割(Dedekind cut)是为解决实数理论的逻辑基础提出的第一个成功方法。记Q为有理数集合。Q的一对子集A，B=Q\A称为一个戴德金分割，如果：1. A，B非空；2.A中没有最大元素；3.对x,y∈Q, 若x∈A且y<x，则y∈A。从定义可见，B中所有元素比A中任意元素都大。如果B中有最小元素b, 当然b是有理数，这个分割就对应这个有理数b。因为有理数集合是有序集合，最小元素唯一，故分割（A，B）就唯一对应有理数b。如果B中没有最小元素，则（A，B）定义了唯一一个无理数（实数）r：A中所有有理数<r，B中所有有理数>r。其实恰好说明了有理数之间是有“空隙”的，r恰好填补了A、B之间的空隙。尽管戴德金分割的背景是实数，但中表述中并不出现直观的实数，因为他就用分割来定义实数：一个“实数”就是一个分割！也就是一个集合（A定了，B=Q\A也唯一确定）。因此也不存在是否唯一对应的问题。假设a=(A，B），x=(X,Y)是两个实数（分割），定义a<x，当且仅当A包含于X；a=x当且仅当A=X（集合相等）。进而他对分割定义加法0，乘法1以及相应的运算法则，用分割（也就是用集合论方法）完全重构了实数R。这样就把实数理论放到了一个坚实的逻辑基础之上了。