分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：请教证明的问题问题请看图片，谢谢！ 
问题请看，谢谢！
回答：f在（0，+∞）上一致连续。

1。
由于Lim{x→+∞}[f'(x)√x]和Lim{x→0+}[f'(x)√x]存在，
则有A,B>1，当0<x≤1/B或B≤x时，|f'(x)√x|<A.

注意：我们只要“f'(x)√x的有界性”。

2.
设g(x)=√x
任意y<x≤1/B,则有
|[f(x)-f(y)]/[g(x)-g(y)]|=|f'(z)/g'(z)|, (y<z<x)
==>
|f(x)-f(y)|=|√x-√y||2f'(z)√z|<
<2A[√x-√y]

3.
任意 B≤y<x,则有
|f(x)-f(y)|=|f'(z)(x-y)|, (y<z<x)
==>
|f(x)-f(y)|=|x-y||f'(z)√z|/√z<
<A[x-y]

4.
任意ε>0,
ⅰ.
由于g(x)=√x在[0,1/B]连续,
所以g(x)=√x在[0,1/B]一致连续，则有
δ（1）>0,当任意y<x≤1/B，
x-y<δ（1）,[√x-√y]<ε/(4A)
根据2。==》|f(x)-f(y)|<ε/2

ⅱ.
由于f(x)在[1/B,B]连续,
所以g(x)=√x在[1/B,B]一致连续，则有
δ（2）>0,当任意1/B≤y<x≤B，
x-y<δ（2）,|f(x)-f(y)|<ε/2

ⅲ.
取δ=min{δ（1）,δ（2）,ε/(2A)},
当任意0<y<x,0<x-y<δ

((1))
若y，x∈(0,1/B]或y，x∈[1/B,B]或y，x∈[B,+∞),
则有|f(x)-f(y)|<ε/2。

((2))
y∈(0,1/B]或x∈[1/B,B],
==>
|f(x)-f(y)|≤|f(1/B)-f(y)|+|f(x)-f(1/B)|<ε

((3))
y∈[1/B,B]或x∈[B,+∞],
==>
|f(x)-f(y)|≤|f(B)-f(y)|+|f(x)-f(B)|<ε

所以f在（0，+∞）上一致连续。


另外极限为无穷，题目错。如：f(x)=x^2.