分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：函数极限根据极限的定义证明:函数F(X)当X趋向于无穷时,极限存 
根据极限的定义证明:F(X)当X趋向于无穷时,极限存在的充分必要条件是左右极限存在并且相等
回答：楼主是预习者,我就来照顾一把,因为我自己也是.
证明:必要性:设lim(x->∞)f(x)=A,则由x->∞情形的极限的定义可知,对于任意给定的正数ε,总存在正数X,使得当|x|>X(即x>X或x<-X)时,恒有
     |f(x)-A|<ε     (1)
因为当x>X时,(1)恒成立,所以由x->+∞情形的极限的定义,有
      lim(x->+∞)f(x)=A,
又因为当x<-X时,(1)也恒成立,所以由x->-∞情形的极限的定义,有
      lim(x->-∞)f(x)=A.
充分性:(i)设lim(x->+∞)f(x)=A,则由x->+∞情形的极限的定义可知,对于任意给定的正数ε,总存在正数X_1,使得当x>X_1时,恒有
     |f(x)-A|<ε     (2)
(ii)又设lim(x->-∞)f(x)=A,则由x->-∞情形的极限的定义可知,对于上面任意给定的正数ε,总存在正数X_2,使得当x<-X_2时,不等式(2)恒成立.
令X=max{X_1,X_2}, 则由(i),(ii)知,当|x|>X时,不等式(2)恒成立.
所以由x->∞情形的极限的定义可知,
   lim(x->∞)f(x)=A.
注:对于必要性的证明,一般人们往往写成"必要性显然",在这里由于楼主是预习者,我们就把证明写得详尽些.