分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：数学问题3证明：∫&lt;0,π&gt;[x^n*sinx]dx 
证明：
∫<0,π>[x^n*sinx]dx等价于[π^(n+2)]/(n^2)
(当n→∞时)
回答：令In=∫<0,π>[x^n*sinx]dx
In=-x^n*cosx|<0,π>+n∫<0,π>[x^(n-1)*cosx]dx
=π^n+x^n*sinx|<0,π>-n(n-1)∫<0,π>[x^(n-2)*sinx]dx
=π^n+0-n(n-1)I(n-2)  ……(1)
令Jn=(n+1)(n+2)In/[π^(n+2)]
则（1）化为：π^2/[(n+1)(n+2)]*Jn=1-J(n-2) ……(2)
∵Jn≥0，∴J(n-2)≤1，即Jn≤1，（把n用n+2换）
对(2)两边n取极限，lim<n->+oo>[1-J(n-2)]=0,
即lim<n->+oo>Jn=1，∴In等价于[π^(n+2)]/(n^2)