分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：数学Rt△AOB中，∠OAB=л/6,斜边AB=4,Rt△AOC 
Rt△AOB中，∠OAB=л/6,斜边AB=4,Rt△可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角，动点D在斜边AB上。（1）求证平面COD⊥平面AOB(2)当D为AB中点时，求异面直线AO与CD所成角大小。（3）求CD与平面AOB所成角最大值。
回答：Rt△AOB中，∠OAB=л/6,斜边AB=4,Rt△可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角B-AO-C是直二面角，动点D在斜边AB上。（1）求证平面COD⊥平面AOB 已知Rt△AOB中，AB为斜边所以，∠AOB=90°即，AO⊥OB而Rt△AOC是Rt△AOB绕AO旋转所得所以，AO⊥OC又CO⊥BO所以，CO⊥面AOB而CO包含于面COD所以，面COD⊥面AOB(2)当D为AB中点时，求异面直线AO与CD所成角大小。如图，过点D作OB的垂线，垂足为E，连接CE因为AO⊥OB，AO⊥OC所以，AO⊥面BOC因为AO⊥OB，DE⊥OB所以，DE//AO所以，DE⊥面BOC则，DE⊥EC即，△DEC为直角三角形又，BO⊥AO，CO⊥AO所以，∠BOC就是二面角B-AO-C的平面角则，∠BOC=90°即，△BOC为直角三角形在Rt△AOB中，AB=4，∠OAB=30°所以，OB=2，AO=2√3而点D为AB中点，DE//AO所以，DE为△AOB的中位线所以，OE=OB/2=1，DE=AO/2=√3在Rt△COE中由勾股定理得到：CE^2=OC^2+OE^2=2^2+1^2=5所以，CE=√5所以，在Rt△DEC中，tan∠EDC=CE/DE=(√5)/(√3)=(√15)/3则，∠EDC=arctan(√15/3)因为DE//AO所以，∠EDC就是异面直线AO、CD所成的角即，异面直线AO、CD所成的角为arctan(√15/3)（3）求CD与平面AOB所成角最大值。过点C作面AOB的垂线因为CO⊥AO，CO⊥BO所以，CO⊥面AOB则点C在面AOB内的射影就是点O那么，∠CDO就是CD与面AOB所成的角连接OD设AD=x那么，在△OAD中由余弦定理得到：OD^2=AO^2+AD^2-2AO*AD*cos∠OAD=(2√3)^2+x^2-2*2√3*x*(√3/2)=12+x^2-6x所以，OD=√(x^2-6x+12)因为CO⊥面AOB所以，CO⊥OD即，△COD为直角三角形所以，tan∠CDO=CO/OD=2/√(x^2-6x+12)=2/√[(x-3)^2+3]那么，x=3时，tan∠CDO有最大值=2/√3所以，∠CDO的最大值为arctan(2√3/3)即，CD与面AOB所成角的最大值为arctan(2√3/3)