分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：设x^3+ax^2+bx+c=0的根全为实数,求最大根与最小根差? 
回答：证明:
设三根分别为α、β、γ,
不妨设α>β>γ,由韦达定理,得
α+β+γ=-a,αβ+βγ+γα=b,
∴(4/3)[(α^2+β^2+γ^2)-(αβ+βγ+γα)]
   =(2/3)[(α-β)^2+(β-γ)^2+(γ-α)^2]
   ≥0 …… (1)
利用不等式x^2+y^2≥(1/2)(x+y)^2,得
(4/3)(a^2-b)
≥(2/3)[(1/2)(α-γ)^2+(α-γ)]
=(α-γ)^2
∴(2/根3)(a^2-b)^(1/2)≥α-γ …… (2)
另一方面,
a^2-3b
=(α^2+β^2+γ^2)-(αβ+βγ+γα)
=(α-γ)^2+(β-α)(β-γ)
≤(α-γ)^2 …… (3)
而由(1)知,a^2-3b≥0,
∴(a^2-3b)^(1/2)≤α-γ.
故由(2)、(3)知,原方程最大根与最小根之差的范围为:
(a^2-3b)^(1/2)≤α-γ≤(2/根3)(a^2-3b)^(1/2).