分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：0是自然数么? 
0是数么?
回答：现在一般认为，0是自然数从历史上看，国内外界对于0是不是自然数历来有两种观点：一种认为0是自然数，另一种认为0不是自然数。建国以来，我国的中小学教材一直规定自然数不包括0。目前，国外的数学界大部分都规定0是自然数。为了方便于国际交流，1993年颁布的《中华人民共和国国家标准》（GB 3100-3102-93）《量和单位》（11-2.9）第311页，规定自然数包括0。所以在近几年进行的中小学数学教材修订中，教材研究编写人员根据上述国家标准进行了修改。即一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。自然数 即非负整数: 0, 1, 2, 3, 4, ... 自然数主要用处有二: 数数目 ("有 3 个苹果?), 或排列 ("排名第 4")。 数学家一般以 N 或 <math>\mathbb{N}</math> (粗黑色的 N) 代表以自然数组成的集合。此集合无限而可数。 历史与 0 的定性 自然数由数数目而起。古希腊人最早研究其抽象特性，当中毕达哥拉斯学派更视之为宇宙之基本。其他古文明也对其研究作出极大贡献，猷以印度对 0 的接受，为人称道。 零早于公元前400年被巴比伦人用作数码使用。马雅人于公元200年将零视为数字，但未与其他文明有所交流。现代的观念由印度学者Brahmagupta于公元628提出，经阿拉伯人传至欧洲。欧洲洲人开始时仍对零作为数字感到抗拒，认为零不是一个?自然?数。 十九世纪未， 集合论者给自然数一个较严谨的定义。据此定义，把零（对应于空集)包括于自然数内更为方便。Cnic 亦跟从逻辑论者及电算机科学家，接受集合论者的定义。有些数学家，主要是数论学家，则依从传统把零拒之于自然数之外。 [编辑]定义 要给出自然数的严谨定义并非易事。Peano 公设提出自然数要适合五点： 有一起始自然数 0。 任一自然数 a 必有后继（successor），记作 a + 1。 0并非任何自然数的后继。 不同的自然数有不同的后继。 （数学归纳公设）设 0 有一特性，而当一自然数有此特性则其后继亦有此特性，则所有自然数皆有此特性。 若把 0 除出自然数之外，则公设内所有的 0 都要换作 1。 集合论中的一般构作法是把一自然数看作是所有比它少的自然数组成的集，即 0 = {}, 1 = {0}, 2 = {0,1}, 3 = {0,1,2}... 若有人把自然数看作集合，通当就是如上。 在此定义下，在集合 n 内就有 n 个元素；而若 n 小于 m，则 n 会是 m 的子集合。 [编辑]性质 自然数加法可经 a + 0 = a 及 a + (b + 1) = (a + b) + 1 递归定义而成。因而得出可置换么半群 (N, +)， 是由 1 生出的自由么半群，其中么元为 0。此么半群服从cancellation law，可嵌入一群内：最小的是整数群。 同理，自然数乘法 * 可经 a * 0 = 0 及 a * (b + 1) = ab + a 得出。而 (N, *) 亦是可置换么半群; * 和 + 服从分配律： a * (b + c) = ab + ac。 我们说 a ≤ b 当且谨当有自然数 c 使得 a + c = b。(N,≤)是一个良序集,即每个非空子集都有一个最小的自然数。此序亦与加法及乘法兼容，即若 a， b 和 c 皆自然数且 a ≤ b，则 a + c ≤ b + c 及 ac ≤ bc。 给出两个自然数 a 和 b 而 b ≠ 0，可找到唯一两个自然数 q 及 r (r < b) 使得 a = bq + r q 称为 商数 而 r 称为 余数。 若 r=0 则 a 可被 b 除尽，记 a|b。 相关慨念有可除性，辗转相除，质数及其他数论慨念。 [编辑]推广 自然数有两种推广： 序数用作排列，而基数用于判定集合的大小。对于有限序列或有限集合，序数及基数皆与自然数同。 取自" "