分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：数学已知定义在正实数集上的函数f(x)=1/2x^2+2ax,g 
已知定义在正实数集上的f(x)=1/2x^2+2ax,g(x)=3a^2lnx+b,其中a>0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在公共点处的切线相同.⑴若a=1,求b值⑵用a表示b,并求b最大值
回答：y=f(x),y=g(x)有公共点,且在公共点处的切线相同. 就是导数相等。
(i)
f(x)=1/2x^2+2ax=1/2x^2+2x
g(x)=3a^2lnx+b=3lnx+b
f'(x)=g'(x)
==>x+2=3/x
==>x^2+2x-3=0
==>(x-1)(x+3)=0
==>{x1=1,x2=-3(舍）}
∴f(1)=g(1)
==>1/2+2=3*0+b
==>b=5/2

(ii)用a表示b,并求b最大值

f'(x)=g'(x)
==>x+2a=3a^2/x
==>x^2+2ax-3a^2=0
==>(x-a)(x+3a)=0
==>{x=a,x=-3a（舍）}
∴f(a)=g(a)
==>a^2/2+2a^2=3a^2lna+b
==>b=5a^2/2-3a^2lna
==>b'=2a-6alna
令：b'=0
2a-6alna=0
==>lna=1/3
==>a=e^(1/3)

maxb=[5*e^(2/3)]/2-3*e^(2/3)*1/3
==>5/2*e^(2/3)-e^(2/3)
==>3e^(2/3)/2