分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：欢迎聪明的数学高手1。在1，2，3，。。。，2007中的每个数前 
1。  在1，2，3，。。。，2007中的每个数前面任意添上一个正号，试判断它们的和是奇数。 2。 1，2，3，。。。98共98个自然数中，能够表示成两整数 的和与这两整数的差的积的数的个数有多少个？3。 将图131中的圆圈任意涂上红色或蓝色，问有无可能使得在同一条直线上的红圈都是奇数？说明理由。 4。 在六张纸片的正面分别写上整数1，2，3，4，5，6，打乱次序后将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1——6这六个整数。然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出六个数，证明：所得的六个数中至少有两个是相同的。 5。 1。  在1，2，3，。。。，2007中的每个数前面任意添上一个正号，试判断它们的和是奇数。 2。 1，2，3，。。。98共98个自然数中，能够表示成两整数 的和与这两整数的差的积的数的个数有多少个？3。 将图131中的圆圈任意涂上红色或蓝色，问有无可能使得在同一条直线上的红圈都是奇数？说明理由。 4。 在六张纸片的正面分别写上整数1，2，3，4，5，6，打乱次序后将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1——6这六个整数。然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出六个数，证明：所得的六个数中至少有两个是相同的。 5。 设1，2，3，。。。，9的任一排的a1,a2,...求证:(a1-1)(a2-2)...(a9-9)是一个偶数。 6。 有N个数X1X2+X2X3+。。。+XN-1XN+XNX1=0，求证：N 是四的倍数。 7。 设A，B是正整数，且满足关系式（11111+A）（11111-B）=1 ，求证；A-B是4的倍数。 8。 已知P，Q为质数，且P+Q=2005，求P/Q+Q/P的值。 
回答：1。 在1，2，3，。。。，2007中的每个数前面任意添上一个正负号，试判断 判断它们的和是奇数。  解： 在1，2，3，。。。，2007中有1004个奇数，故它们的代数和是偶数。2。 1，2，3，。。。98共98个自然数中，能够表示成两整数 的和与这两整数的差的积的数的个数有多少个？ 解： x+y与x-y同奇偶。x+y与x-y都是奇数<==>(x+y)(x-y)是奇数，x+y与x-y都是偶数<==>(x+y)(x-y)是4的倍数 ，故所求个数为49+24=73.4. 。 在六张纸片的正面分别写上整数1，2，3，4，5，6，打乱次序后将纸片翻过来，在它们的反面也随意分别写上1——6这六个整数。然后计算每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值，得出六个数，证明：所得的六个数中至少有两个是相同的。解：每张纸片正面与反面所写数字之差的绝对值可以是0，1，2……，5；若没有两个相同，则遍历0，1，2……，5，于是必有一张纸片正面与反面所写数字相同，为简单起见，不妨设为6，于是正面分别写1，2……，5的纸片正面与反面所写数字之差的绝对值遍历1，2……，5，这是不可能的。所以所得的六个数中至少有两个是相同的。5.设1，2，3，。。。，9的任一排列为a1,a2……a9求证:(a1-1)(a2-2)...(a9-9)是一个偶数。解：1，2，……，9；a1,a2……a9中有10奇数，故9个括号中至少有一个括号内两个数都是奇数，它们的差是偶数，所以(a1-1)(a2-2)...(a9-9)是一个偶数。6。 有N个整数X1，X2，。。。，XN，满足：X1X2+X2X3+。。。+XN-1XN+XNX1=0，求证：N 是四的倍数。 解：0*X2=0,N可为2，命题不成立。7。 设A，B是正整数，且满足关系式（11111+A）（11111-B）=123456789，求证；A-B是4的倍数。解：以4为模，关系式变为（-1+A）（-1-B）≡1,即-A+B-AB≡0, A(1+B)≡BB是奇数时，1+B是偶数，上式不成立,故B为偶数，于是（11111-B）是奇数，（11111+A）是奇数，A是偶数，AB是4的倍数，A-B≡-AB≡0,A-B是4的倍数。     8。 已知P，Q为质数，且P+Q=2005，求P/Q+Q/P的值。解：P+Q=奇数，故P,Q是一奇数一偶数，不妨设P=2,则Q=2003, P/Q+Q/P=2/2003+2003/2=1001+2007/4006,为所求。