分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：解方程求y"
求y"-5y'+6y=xe^(2x)通解。
回答：这是非齐次线性微分方程,它对应的齐次方程为:
y"-5y'+6y=0...(1)
特征方程为:
r^2-5r+6=0,即(r-2)(r-3)=0
其解为:r=2,r=3
因此(1)的解为:y=c1e^2x+c2e^3x,其中c1,c2为任意常数。
下面运用常数变易法,设原方程中
y=c1(x)e^2x+c2(x)e^3x...(2)
则c1'(x),c2'(x)满足:
c1'(x)e^2x+c2'(x)e^3x=0...(3)
c1'(x)·2e^2x+c2'(x)·3e^3x=xe^2x...(4)
(3)×3-(4)得
c1'(x)=-x
(4)-(3)×2得
c2'(x)=xe^(-x)
积分得
c1(x)=-0.5x^2+c1
c2(x)=(-x-1)e^(-x)+c2
代入(2)得
y=-0.5x^2·e^2x+(-x-1)e^2x+c1e^2x+c2e^3x,
即y=-(0.5x^2+x)e^2x+ce^2x+c2e^3x,
其中c,c2为任意常数(这里c=c1-1)。