分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：数学题设a,b,c是三角形三边。且有a+2*b+3*c=6;求表 
设a,b,c是三角形三边。 

且有a+2*b+3*c=6; 
求表达式的取值范围 a+b^2+c^3

回答：且有a+2*b+3*c=6; 
则 3<=a+b^2+c^3 <39/8。

设a=1+x,a=1+y,c=1+z. 那么x,y,z>-1.
a+2b+3c=6 --> x+2y+3z=0.
因为a+2b+3c=6, 可以看到
a<2,否则如果a>=2, 那么 2b+3c=4, b+c<=2不可能是三角形。
b<2.否则如果b>=2, 那么a+3z<=2.a+z<=2. 不可能是三角形。
c<3/2,否则如果c>=3/2，那么a+2b<=3/2,不可能是三角形。
所以-1<x<1, -1<y<1, -1<z<1/2。

a+b^2+c^3=(1+x)+(1+y)^2+(1+z)^3
=1+x+1+2y+y^2+1+3z+3z^2+z^3
=3+y^2+3z^2+z^3

y^2+3z^2+z^3<(-1)^2+3(1/2)^2+(1/2)^3=15/8. 这是当x和z 充分接近3/2,所以y充分接近0时。 a+b^2+c^3<39/8。永远达不到39/8。

y^2+3z^2+z^3=y^2+z^2(z+3)>=0,所以a+b^2+c^3>=3。等号出来当x=y=z=0,或者a=b=c=1时。

 3<=a+b^2+c^3 <39/8。