分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：数学问题
设a,b,c,d都是实数，如果a^2+b^2=2,c^2+d^2=2,ac=bd，证明a^2+c^2=2,b^2+d^2=2,ab=。反过来的结论也成立。
回答：设a,b,c,d都是实数，如果a^2+b^2=2,c^2+d^2=2,ac=bd，证明a^2+c^2=2,b^2+d^2=2,ab=cd。反过来的结论也成立。

证明  [证充分必要条件]，注意到恒等式:
(a^2+b^2-2)^2+( c^2+d^2-2)^2+2(ac-bd)^2
=a^4+b^4+c^4+d^4+2(a^2*b^2+c^2*d^2+a^2*c^2+b^2*d^2)-4(a^2+b^2+c^2+d^2)-4abcd+8
=(a^2+c^2-2)^2+( b^2+d^2-2)^2+2(ab-cd)^2

因为 a^2+b^2=2,c^2+d^2=2,ac=bd, 则有
(a^2+c^2-2)^2+( b^2+d^2-2)^2+2(ab-cd)^2=0，
由于a,b,c,d都是实数，故(a^2+c^2-2),( b^2+d^2-2),(ab-cd) 也都是实数。
从而得: a^2+c^2=2,b^2+d^2=2,ab=cd，反过来证明也一样。证毕。