分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：函数有界性的定理如何证明证明:函数于区间[m,n]内有连续,则在 
证明:于区间[m,n]内有连续,则在次区间内函数一定有最大最小值.
回答：需使用3个定理如下：定理1：任意数列{Ut}满足：m≤Ut≤n，则有{Ut}的子列{U（t（s））}收敛。定理2：[m,n]中的所有有理数可记为数列{Rt}。定理3：[m,n]中的所有数x，有[m,n]中有理数列{At}，使x=Lim{t→∞}At=x1。设f于区间[m,n]内有连续设[m,n]中的所有有理数数列{Rt}（定理2），定义数列{Pt}，使Pt=Rs，满足：f（Pt）=Max{f（Rs），1≤s≤t}由定理1得：有{Pt}的子列{Pt（s）}收敛，设Lim{s→∞}Pt（s）=y。2。任意：[m,n]中的数x，定理3得：有[m,n]中有理数列{At}，使x=Lim{t→∞}At=x。ⅰ。对于任意ε>0，由f在x的连续性得：有f（At）>f（x）-εⅱ。由f在y的连续性得：有S，当s≥Sf（y）>f（Pt（s））-εⅲ。At是[m,n]中的有理数，则At=Ru，取v≥S，使t（v）≥u，则有f（Pt（v））=Max{f（Rs），1≤s≤t}≥f（Ru）=f（At）==》f（y）+ε>f（Pt（v））≥f（At）>f（x）-ε==》f（y）≥f（x）==》f（y）最大值。3。同理f最小值.