分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：一道有关圆锥曲线的填空题RT 
RT
回答：抛物线y^2=2px的焦点F(p/2,0)，准线方程为x=-p/2.
由题意,设直线l的方程为y=k(x-p/2) ①　
A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点为M(x0,y0),
将①代入y^2=2px,得k^2x^2-(k^2+2)px+(k^2p^2)/4=0,
则x1+x2=p+2p/(k^2),x1x2=(p^2)/4,

从而有x0=p/2+p/(k^2),y0=k*p/(k^2)=p/k,
所以AB的垂直平分线为y-p/k=-(1/k)*[x-p/2-p/(k^2)],
令x=-p/2,可求得P点坐标为(-p/2,2p/k+p/k^3),

注意到△ABP为正三角形,
所以PM=根号(3)*AB/2,
即3AB^2=4PM^2
又AB=x1+x2+p=2p+2p/(k^2),
PM^2=(p+p/k^2)^2+(p/k+p/k^3)^2,

从而有1+1/k^2=3,即k^2=1/2
所以k=根号(2)/2