分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：证明恒不等式证明：当x≥1时，有下面的恒不等式成立[(x
证明：当x≥1时，有下面的恒不等式成立
[(x-1)x^2]/(x+3)≥x^2+4x+1-2(2x+1)√[(2x+1)/3]
回答：证明：当x≥1时，有下面的恒不等式成立 
[(x-1)x^2]/(x+3)≥x^2+4x+1-2(2x+1)√[(2x+1)/3]
证：设t=√[(2x+1)/3],x>=1,则t>=1,x=（3t^2-1)/2.
（左-右）*8（x+3)
=[(3t^2-3)*(3t^2-1)^2]
-[(3t^2-1)^2+8(3t^2-1)+4-24t^3]*(3t^2+5)
=12[6t^5-12t^4+10t^3-5t^2+1]
=12(t-1)[(t-1)(6t^3+4t+3)+2],
当t>=1时上式显然非负，故原不等式成立。
证明：当x≥1时，有下面的恒不等式成立 
[(x-1)x^2]/(x+19)≥x^2+4x+1-2(2x+1)√[(2x+1)/3] 
证：设t=√[(2x+1)/3],x>=1,则t>=1,x=（3t^2-1)/2.
（左-右）*8（x+19)
=[(3t^2-3)*(3t^2-1)^2]
-[(3t^2-1)^2+8(3t^2-1)+4-24t^3]*(3t^2+37)
=12[6t^5-36t^4+74t^3-53t^2+9]
=12(t-1)[(t-1)(6t^3-24t^2+20t+11)+2],①
下面证明g(t)=6t^3-24t^2+20t+11>0.事实上，
g'(t)=18t^2-48t+20,由g'(t)=0得t1=(4+√6)/3.
g(t1)=(83-24√6)/9>0,g(1)=13.
当t>=1时①式非负，故原不等式成立。