分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：求u最小值设x、y、z∈R+,且x+y+z=1,求u=(3x^2 
设x、y、z∈R+,且x+y+z=1,求u=(3x^2-x)/(1+x^2)+(3y^2-y)/(1+y^2)+(3z^2-z)/(1+z^2)的最小值.
回答：解：
x=y=z=1/3时,u取最小值0,下面给出证明：
变化结构
(3x^2-x)/(1+x^2)=3*[x/(1+x^2)](x-1/3).
联想对于单调函数f(x),x∈D,若x1、x2∈D,则有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]≥0.
构造函数f(t)=t/(1+t^2),t∈(0,1),则f'(t)=(1-t^2)/(1+t^2)^2>0.所以f(t)在(0,1)上递增.
则(x-1/3)[f(x)-f(1/3)]≥0,
即(x-1/3)[x/(1+x^2)-3/10]
∴(3x^2-x)/(1+x^2)≥9/10*(x-1/3)……(1)
同理可得,
(3y^2-y)/(1+y^2)≥9/10*(y-1/3)……(2)
(3z^2-z)/(1+z^2)≥9/10*(z-1/3)……(3)
所以,由(1)+(2)+(3),得
u≥9/10*(x+y+z-1)=0,当x=y=z=1/3时,等号成立.
故u的最小值为0.