分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：几何难题在任意四边形ABCD中，分别以边AB，BC，CD，DA为? 
几何难题在任意四边形AB中，分别以边AB，BC，CD，DA为斜边向四边形外侧作等腰直角三角形ΔABE，ΔBCF，ΔCDG，ΔDAH。求证:EG=FH，EG⊥FH。
回答：在任意四边形AB中，分别以边AB，BC，CD，DA为斜边向四边形外侧作等腰直角三角形ΔABE,ΔBCF,ΔCDG,ΔDAH。求证:EG=FH，EG⊥FH。此命题就是Von.Aubel定理。Von.Aubel定理: 以任意四边形ABCD的边为斜边作四个转向相同的等腰直角三角形ΔABE，ΔBCF，ΔCDG，ΔDAH。则:EG=FH，EG⊥FH。关于上述定理的几点说明:(1)，条件是任意四边形，所以不一定是凸四边形;(2)，作四个转向相同的等腰直角三角形，所以可以同时向四边形形外或四边形形内，作等腰直角三角形。(3)，当四边形退化为三角形时，结论也成立。即A与D，H重合，求证:EG=AF，EG⊥AF。下面给出详细的证明。证明  先给出一个引理，引理: 以任意三角形ABC的边AB，BC为斜边作两个转向相同的等腰直角三角形ΔABE，ΔBCF，O点是AC的中点，则EO=FO，EO⊥FO。简证如下: 以F点为中心，对△BEF按逆时针旋转90°，则B→C，设E→D。 显然有 DC=BE，且DC⊥BE，又BE=AE,BE⊥AE，所以 DC∥AE，DC=AE。 从而DE与AC互相平分，即AC的中点O亦为DE的中点。 因为DE是等腰直角△DEF的斜边，故△EOF为等腰直角三角形。 因此EO⊥FO 且EO=FO。证明  连AC，取AC的中点O，连EO，FO，GO，HO。EG，FH的交点为Q。根据上述引理知:EO=FO，EO⊥FO，GO=HO，GO⊥HO，而∠EOG=90°+∠EOH=∠FOH。所以△EOG≌△FOH，于是得:EG=FH，∠GEO=∠HFO，因此得E，F，O，Q四点共圆，即得: ∠EOF=90°=∠EQF。故EG⊥FH。证毕。实际上述命题[即Von.Aubel定理] 有更简单的证法。即由旋转变换之积的定理证，一步到位，很简洁。在这里不作详细介绍了。