分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：有一高数证明题看不懂；已知函数Γ（α）=∫[0，+∞]x＾（α－ 
已知Γ（α）=∫[0，+∞]x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx的定义域为（0，+∞）．求证：函数Γ（α）在（0，+∞）连续．证明如下：Γ（α）=∫[0，+∞]x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx=∫[0，１]x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx＋∫[１，+∞]x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx．对任意α∈（0，+∞），存在α1与α2,使0＜α1≤α≤α2.对任意x∈（0，1]，有x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）≤x＾（α1－１）×ｅ＾（－ｘ）.对任意x∈[1，+∞）,有x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）≤x＾（α2－１）×ｅ＾（－ｘ）.“已知瑕积分∫已知Γ（α）=∫[0，+∞]x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx的定义域为（0，+∞）．求证：函数Γ（α）在（0，+∞）连续．证明如下：Γ（α）=∫[0，+∞]x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx=∫[0，１]x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx＋∫[１，+∞]x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx．对任意α∈（0，+∞），存在α1与α2,使0＜α1≤α≤α2.对任意x∈（0，1]，有x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）≤x＾（α1－１）×ｅ＾（－ｘ）.对任意x∈[1，+∞）,有x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）≤x＾（α2－１）×ｅ＾（－ｘ）.“已知瑕积分∫[0，1]x＾（α1－１）×ｅ＾（－ｘ）dx与无穷积分∫[1，+∞]x＾（α2－１）×ｅ＾（－ｘ）dx都收敛,则∫[0，+∞]x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx在区间[α1,α2]一致收敛.”…………。疑问：为什么“已知瑕积分∫[0，1]x＾（α1－１）×ｅ＾（－ｘ）dx与无穷积分∫[1，+∞]x＾（α2－１）×ｅ＾（－ｘ）dx都收敛”，就可推出“∫[0，+∞]x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx在区间[α1,α2]一致收敛”。
回答：注意:优判别法对无穷区间的积分和瑕积分都适用.1.比如本题的瑕积分:∫[0，１]x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx任意ε>0,有1>a>0,对于任意0<b<c<a,有0<∫[b，c]x＾（α1－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx<ε==>0＜α1≤α≤α20<∫[b，c]x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx<<∫[b，c]x＾（α1－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx<ε==>∫[0，1]x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx,在区间[α1,α2]一致收敛.2.利用:“∫[0，+∞]x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx在区间[α1,α2]一致收敛”。可直接推出Γ（α）在[α1,α2]连续．==>Γ（α）在（0，+∞）连续．(还需要我写吗?)补充:对无穷区间的积分和瑕积分都是极限,所以才有收敛,一致收敛的概念.如:∫[0，１]x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx==Lim{a->0}F(a,α),其中F(a,α)=∫[a，１]x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx另外:∫[0，+∞]x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx在区间[α1,α2]一致收敛收敛等价于∫[0，1]x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx,和∫[１，+∞]x＾（α－１）×ｅ＾（－ｘ）ｄx同时在区间[α1,α2]一致收敛.