分类：教育/科学-升学入学-高考
问题：数学高考难题请教老师们成材之路２１３探索（１）若椭圆上存在一点Ｐ 
成材之路２１３探索
（１）  若椭圆上存在一点Ｐ，使∠Ｆ１ＰＦ２为钝角，求：椭圆离心率的取值范围
（２）  若椭圆上存在一点Ｐ，使∠Ｆ１ＰＦ２＝６０度，求：椭圆离心率的取值范围
（３）  若Ａ为椭圆长轴一端点，且椭圆上存在Ｐ，使ＯＰ⊥ＰＡ，求：椭圆离心率的取值范围
注：Ｆ１、Ｆ２为焦点，Ｏ为坐标原点
标准答案：请写出详尽的步骤才能看懂。
（１）  根号２／２＜ｅ＜１
（２）  １／２≤ｅ＜１
（３）  根号２／２＜ｅ＜１

回答：设|P|=r1,|PF2|=r2, ∠F1PF2=θ. 则在△F1PF2中由余弦定理,得cosθ=[(r1)²+(r1)²-4c²]/(2r1r2)=[(r1+r1)²--2r1r2-4c²]/(2r1r2)=[4a²-2r1r2-4c²]/(2r1r2)=2(a²-c²)/r1r2-1, ∴ r1r2=2(a²-c²)/(1+cosθ), 又r1+r2=2a, ∴ r1,r2是方程t²-2at+2(a²-c²)/(1+cosθ)=0的两个实根,∴ 判别式△≥0, 可得cosθ≥1-2e²……(*)(1) θ为钝角,cosθ<0, 由(*)式,得1-2e²<0, ∴ √2/2<e<1(2) θ=60°,由(*)式,得1-2e²≤1/2, ∴ 1/2≤e<1(3) θ=90°,由(*)式,得1-2e²≤0,∴ √2/2≤e<1