分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：一个不等式问题已知a&gt;0,b&gt;0,c&gt;0,且a 
已知 a>0,b>0,c>0,且ab+bc+ca=1.求证
(1/a+6b)^(1/3)+(1/b+6c)(1/3)+(1/c+6a)^(1/3)=<1/(abc).

(1/3)开3次方的意思,懂的麻烦答下,不懂的不要回答,占了帖子! 

回答：证明  因为a,b,c均大于0，且ab+bc+ca=1，
根据均值不等式有
[(1/a+6b)^(1/3)+(1/b+6c)^(1/3)+(1/c+6a)^(1/3)]^3
≤9(1/a+6b+1/b+6c+1/c+6a) 
=9[1/a+1/b+1/c+6(a+b+c)/(bc+ca+ab)]
=9[(bc+ca+ab)/(abc)+6(a+b+c)/(bc+ca+ab)]      (1)

bc+ca+ab≥3(abc)^(2/3)                       
<==> 1≥27(abc)^2 <==> 1/(abc)^2≥27 
 1/(abc)^3 ≥27/(abc)=27(bc+ca+ab)/(abc)      (2)

据此我们只需证
9[(bc+ca+ab)/(abc)+6(a+b+c)/(bc+ca+ab)]≤27(bc+ca+ab)/(abc)
<===> 
3(a+b+c)/(bc+ca+ab)≤(bc+ca+ab)/(abc)
<===>  
3abc(a+b+c)≦(bc+ca+ab)^2
<==>  
abc(a+b+c)≤b^2*c^2+c^2*a^2+a^2*b^2      (3)

(3)式成立显然.