分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：线性代数题证明：(1)两个单位下三角形矩阵的乘积仍是单位下三角矩 
证明：
(1)两个单位下三角形矩阵的乘积仍是单位下三角矩阵；
(2)可逆的单位下三角矩阵的逆矩阵仍是单位下三角矩阵。

回答：A=(aij),B=(bij),当i<j时，aij=bij=0
设C=AB=(cij),则cij=ai1b1j+ai2b2j+……+ainbnj
当i<j时，b1j=b2j=……=b(j-1)j=0;ai(i+1)=ai(i+2)=……=ain=0
所以cij=0，即C为下三角阵，再由可逆阵之积可逆，所以，C为可逆的下三角阵。事实上，cii=aiibii
以上证明的是（2）
A=(aij),B=(bij),当i>j时，aij=bij=0,aii,bii=+/-1
设C=AB=(cij),则cij=ai1b1j+ai2b2j+……+ainbnj
仿上述证明，当i>j时，cij=0,且cii=aiibii
若aii=bii=1,则cii=1;若aii=+/-1,bii=+/-1,则cii=+/-1
于是（1）也得证！