分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：设f(x)在[0,1]上连续且单调减少，利用积分中值定理证明∫( 
 ∫(0→a)f(x)dx≥a∫(0→1)f(x)dx(0<a<1)

回答：[∫(0→a)f(x)dx]-a[∫(0→1)f(x)dx]
=[∫(0→a)f(x)dx]-a[∫(0→a)f(x)dx+∫(a→1)f(x)dx]
=(1-a)[∫(0→a)f(x)dx]-a[∫(a→1)f(x)dx]
=(1-a)[af(u)]-a[(1-a)f(v)]
=a(1-a)[f(u)-f(v)。

最后第二个等式是根据f(x)在[0,1]上连续，利用积分中值定理得到，其中 0≤u≤a≤v≤1。

根据f(x)在[0,1]上单调减少，所以有f(u)≥f(v)，
这就得到了 ∫(0→a)f(x)dx-a∫(0→1)f(x)dx≥0， 
即   ∫(0→a)f(x)dx≥a∫(0→1)f(x)dx(0<a<1)。