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问题：双曲线X~2
双曲线X~2-(Y~2)/3=1上动弦P1P2的中垂线l经过定点A(0,4),求l的斜率k的取值范围.
回答：l的方程y=kx+4,P1P2的斜率k'=-1/k,设P1(x1,y1),P2(x2,y2),P1P2的中点M(x',y'), 由3(x1)^-(y1)^=3…①,3(x2)^-(y2)^=3…②,①-②得3x'-k'y'=0, ∴ 斜率为k'=-1/k的平行弦的中点的轨迹方程为3x+(y/k)=0,把它和l的方程联立, 当k≠0时.x=-1/k, ∵ |x|≥1, ∴ |-1/k|≥1,∴ -1≤k<0或0<k≤1.
当k=0时,l的方程为y=4,它不可能成为双曲线X~2-(Y~2)/3=1上动弦P1P2的中垂线.
∴ l的斜率k的取值范围是[-1,0)∪(0,1].