分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：关于二次函数已知二次函数y=x^2
已知二次y=x^2-2x-1的图像的顶点为A，二次函数y=ax^2+bx的图像与X轴交于原点O和点C，它的顶点B在函数y=x^2-2x-1的图像的对称轴上。（1）求点a与点c的坐标；（2）当四边形AOBC为菱形时，求函数y=ax^2+bx的关系式.
回答：已知二次y=x^2-2x-1的图像的顶点为A，二次函数y=ax^2+bx的图像与X轴交于原点O和点C，它的顶点B在函数y=x^2-2x-1的图像的对称轴上。 （1）求点a与点c的坐标； y=x^2-2x-1=(x-1)^2-2所以，其顶点为A(1，-2)y=ax^2+bx=x(ax+b)，它与x轴的交点即y=0时x=0，或者x=-b/a则点C(-b/a,0)…………………………………………………………（1）又，其顶点B为x=-b/(2a)，y=-b^2/(4a)即，B(-b/(2a),-b^2/(4a))已知点B在y=x^2-2x-1的对称轴x=1上，那么：-b/(2a)=1所以，-b/a=2…………………………………………………………（2）那么，代入(1)就有，点C(2,0)综上：A(1，-2)，C(2,0)（2）当四边形AOBC为菱形时，求函数y=ax^2+bx的关系式.由前面知，点A(1，-2)，O(0,0)，B(1,-b^2/(4a))，C(2,0)很显然AB⊥OC，且O、C两点关于AB对称所以，当四边形AOBC为菱形时，OB=OA即，OC为AB的垂直平分线所以，A、B两点关于OC（即x轴）对称所以，B点纵坐标为-b^2/(4a)=2===> b^2=-8a…………………………………………………………（3）由(2)得到：b=-2a，代入(3)有：4a^2=-8a===> 4a^2+8a=0===> 4a(a+2)=0===> a=0（舍去，此时就不是二次函数），a=-2所以，b=-2a=4所以，函数解析式为：y=-2x^2+4x