分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：证：如果有曲线，它的割线的斜率等于被连接两点的导数的平均值，则该? 
回答：设曲线过(0,0), 则 (y'+y'(0))/2 = (y-0)/(x-0) = y/x

故 y' = 2*y/x - a, a为常数, 即 x^2*y' - 2*x*y = -a*x^2

所以 (y/x^2)' = -a/x^2 , 两边积分得 y/x^2 - c = a(1/x - b)

即 y = c1*x^2 + c2*x +c3 , c1,c2,c3为常数。不妨就记为 y = a*x^2 + b*x + c

这是一个抛物线。其上任意两点(x1,y1)=(x1,a*x1^2+b*x1+c),(x2,y2)=(x2,a*x2^2+b*x2+c)有 (y1'+y2')/2 = a*(x1+x2) + b = (a*(x1-x2)*(x1+x2)+b*(x1-x2))/(x1-x2) 
= (y1-y2)/(x1-x2), 满足要求。