分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：求四边形面积最值。过圆锥曲线的焦点作两互相垂直的弦与曲线交于四点 
过圆锥曲线的焦点作两互相垂直的弦与曲线交于四点A、B、、D，求四边形ABCD面积S的最值。
回答：以圆锥曲线焦点F为极点，对称轴为极轴建立极坐标系，且设弦A倾角为θ，则与AC垂直且过F的弦BD的倾角为π/2+θ.设四边形ABCD面积为S，则圆锥曲线为ρ=ep/(1-ecosθ)，所以{ρ1=|AF|=ep/(1-ecosθ){ρ2=|CF|=ep/(1-ecos(π+θ)){ρ3=|BF|=ep/(1-ecos(π/2+θ)){ρ4=|DF|=ep/(1-ecos((3π/2)+θ))∴S=(1/2)|AC|·|BD|      =(1/2)(ρ1+ρ2)(ρ3+ρ4)      =2(ep)^2/[1-e^2+(1/4)e^4(sin2θ)^2].⑴e≠1，(sin2θ)^2=0，即θ=0或π/2时，S|max=2(ep)^2/(1-e^2);(sin2θ)^2=1，即θ=π/4或3π/4时，S|min=2(ep)^2/[1-e^2+(1/4)e^4]=8(ep)^2/(e^2-2).⑵当e=1时(此时曲线为抛物线)，S=8p^2(csc2θ)，只有当(sin2θ)^2=1，即θ=π/4或3π/4时，S|min=8p^2，无最大值S|max。