分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：无限个无穷小的和是无穷小吗？书上给出两个无穷小的和是无穷小的证明 
书上给出两个无穷小的和是无穷小的证明。那么用归纳法，就可以得到3个，4个，.....,N个无穷小的和是无穷小,这里N是一个固定的数，那么N+1个无穷小的和仍然是无穷小，依此类推，对于任意自然数N,N个无穷小的和是无穷小，而自然数集是无穷的，所以说无限个无穷小的和是无穷小。现考虑无限个无穷小{1/n},{1/n},{1/n},.....的和，即（1/n+1/n+1/n+......)，当n趋于无穷时，它的极限按上段讨论应为0。但是假设有n个1/n相加，（即使n->∞）它的和为1，再加后面的1/n+...，（1/n+1/n+1/n+.....书上给出两个无穷小的和是无穷小的证明。那么用归纳法，就可以得到3个，4个，.....,N个无穷小的和是无穷小,这里N是一个固定的数，那么N+1个无穷小的和仍然是无穷小，依此类推，对于任意自然数N,N个无穷小的和是无穷小，而自然数集是无穷的，所以说无限个无穷小的和是无穷小。现考虑无限个无穷小{1/n},{1/n},{1/n},.....的和，即（1/n+1/n+1/n+......)，当n趋于无穷时，它的极限按上段讨论应为0。但是假设有n个1/n相加，（即使n->∞）它的和为1，再加后面的1/n+...，（1/n+1/n+1/n+......)应大于1；同样，假设有2n个1/n相加，（即使n->∞）它的和为2,再加后面的1/n+...，（1/n+1/n+1/n+......)应大于2,所以说它的值不确定.是不是加法不能对无穷个数相加，但级数可以对无穷个数相加呀。百思不得其解。
回答：n个无穷小相加的问题，不是不能相加，当n趋于无穷大时，就是无穷多个无穷小量相加的结果不再是无穷小，只有在有限个无穷小相加的条件下，不管多大的数量，只要是有限个，都仍然是无穷小，
一个特殊的实例就是如果n个相同的无穷小相加就等于是该无穷小量乘以n，当n为有限时，其结果仍是无穷小；但当n为无限时，其结果就未必是无穷小了，需要判断了。