分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：若k是大于1的整数，a是倒数方程x&sup2;
若k是大于1的整数，a是倒数方程x²-kx+1=0的根，对于大于10的任意数n，a^(2^n)+a^(-2^n)的个位数字是7，则k的个位数字是？
回答：因a是倒数方程x^2-kx+1=0的跟，由倒数方程的性质知1/a也是它的根，由韦达定理，有a+1/a=k
a^(2^n)+a^(-2^n)=(a^(2^(n-1))+a^(-2^(n-1)))^2-2
当k为偶数时，容易看出a^(2^n)+a^(-2^n)的个位数字只能是偶数，当k的个位数字是1时，a^(2^n)+a^(-2^n)的个位数字为9，当k的个位数字为3时，a^(2^n)+a^(-2^n)的个位数字为7，当k的个位数字为5时，a^(2^n)+a^(-2^n)的个位数字，对于n>10,a^(2^n)+a^(-2^n)的个位数字也是7，当k的个位数字为7时，a^(2^n)+a^(-2^n)的个位数字也是7，当k的个位数字为9时，a^(2^n)+a^(-2^n)的个位数字为9，故当k>1时，对任何大于10的自然数n，使a^(2^n)+a^(-2^n)的个位数字总是7，则k的个位数字是3，5，7