分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：不等式2设a,b,c是正实数，且满足abc=1,求(a
设a,b,c是正实数，且满足abc=1,
求(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)
回答：应该是求最大值？
由题设知a,b,c中有两个不小于1，另一个不大于1；或者有两个不大于1，另一个不小于1。此时，在
a-1+1/b,b-1+1/c,c-1+1/a中至多有一个负值。
当a-1+1/b,b-1+1/c,c-1+1/a中有一个负值时，三者的乘积小于0，肯定不是最大的情形，故只考虑三者均为正的情形。
∵abc=1
∴a-1+1/b=a-1+ac=a(1-1/a+c)
同理 b-1+1/c=b(1-1/b+a)
c-1+1/a=c(1-1/c+b).
由均值不等式，得(a-1+1/b)(c-1+1/a)=a(1-1/a+c)(c-1+1/a)
≤a{[(1-1/a+c)+(c-1+1/a)]/2}²=ac².
同理(a-1+1/b)(b-1+1/c)≤ba²,
(b-1+1/c)(c-1+1/a)≤cb².
将上面三式两边相乘，得
(a-1+1/b)²(b-1+1/c)²(c-1+1/a)²≤1.
仅当a=b=c=1时，(a-1+1/b)(b-1+1/c)(c-1+1/a)有最大值1。