分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：三角形不等式设a,b,c是三角形ABC的三边长.求证3(a/b+ 
设a,b,c是三角形AB的三边长.求证3(a/b+b/c+c/a)>=(a+b+c)*(1/a+1/b+1/c)
回答：设a,b,c是三角形ABC的三边长.求证 
3(a/b+b/c+c/a)>=(a+b+c)*(1/a+1/b+1/c)      (1)

<==>
2(ca^2+ab^2+bc^2)>=3abc+ac^2+cb^2+ba^2     (2)

<==>
a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2>=3(a-b)*(a-c)*(b-c)   (3)

由已知恒等式:
(c-b)^3+(a-c)^3+(b-a)^3=3(a-b)*(a-c)*(b-c)  
即知成立.

附证
设x,y,z为正数,记a=y+z,b=z+x,c=x+y,代入(2)式化简得:
x^3+y^3+z^3+x^2y+y^2z+z^2x>=2(xy^2+yz^2+zx^2)
<==>
x(x-z)^2+y(y-x)^2+z(z-y)^2>=0.
显然成立.