分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：请教高一函数单调性的证明问题在图片谢谢！ 
问题在谢谢！
回答：解：(1)由已知x/m-1≥0, n/x-1≥0, 始终大于0f(m)=(m/m-1)²+(n/m-1)²=(n/m-1)²f(n)=(n/m-1)²+(n/n-1)²=(n/m-1)²若f(m)=f(n)则因式x/m-1, n/x-1其中一个为0若x/m-1＞0 且 n/x-1＞则有f(x)=(x/m-1)²+(n/x-1)²≥2(x/m-1)(n/x-1)当且仅当x/m-1=n/x-1即x=√mn时等号成立则f(√mn)=2(√mn/m-1)²比较f(m)=f(n)＞f(√mn)所以原函数的图像关于x=√mn轴对称且当x=√mn原函数的值最小故只需考虑一个区间[m,√mn]或[√mn,n]函数可变形为f(x)=[(x/m-1)-(n/x-1)]²+2(x/m-1)(n/x-1)````=(x/m-n/x)²+2[(n/m+1)-(x/m+n/x)]````=(x/m-n/x)²-2(x/m+n/x)+2(n/m+1)设x1, x2∈[m,√mn]且x1＞x2, 则f(x1)=(x1/m-n/x1)²-2(x1/m+n/x1)+2(n/m+1)f(x2)=(x2/m-n/x2)²-2(x2/m+n/x2)+2(n/m+1)则`f(x1)-f(x2)=[(x1/m-n/x1)²-2(x1/m+n/x1)+2(n/m+1)]-[(x2/m-n/x2)²-2(x2/m+n/x2)+2(n/m+1)]=[(x1/m-n/x1)²-(x2/m-n/x2)²]+2(x2/m+n/x2-x1/m-n/x1)]=(x1/m-n/x1-x2/m+n/x2)(x1/m-n/x1+x2/m-n/x2)+2[(x2-x1)/m+n(x1-x2)/x1x2]=[(x1-x2)/m+n(x1-x2)/x1x2][(x1+x2)/m-n(x1+x2)/x1x2]+2(x1-x2)(n/x1x2-1/m)=(x1-x2)(1/m+n/x1x2)(x1+x2)(1/m-n/x1x2)+2(x1-x2)(n/x1x2-1/m)=(x1-x2)(n/x1x2-1/m)[2-(x1+x2)(1/m+n/x1x2)]=(x1-x2)[(mn-x1x2)/mx1x2][2-(x1+x2)(1/m+n/x1x2)]……(1)∵x1-x2＞0, 1≤m²＜x1x2＜mn, x1+x2>2m≥2∴(x1-x2)[(mn-x1x2)/mx1x2]＞0, (x1+x2)(1/m+n/x1x2)＞2(1/m+1/m)=2即f(x1)＜f(x2)则原函数在区间[m,√mn]内单调递减同理原函数在区间[√mn,n]内单调递增(2)x1, x2∈[m,n], |f(x1)-f(x2)|＜1恒成立由(1)知f(x)在[m,n]上最小值为f(√mn)=2[√(n/m)-1]²最大值为f(m)=(n/m-1)²`|f(x1)-f(x2)|≤(n/m-1)²-2[√(n/m)-1]²=(n/m)²-4n/m+4√(n/m)-1令k=√(n/m)s(k)=k⁴-4k²+4k-1∵1≤m＜n≤2∴1＜n/m≤2即1＜k≤√2∵s(k)=(k-1)²(k²+2k-1)由图像易知k=1时s(k)有最小值0k＞1时, s(k)单调递增∴s(k)≤s(√2)=4√2-5＜1综上得证...