分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：高中立体几何难题，请高人相助如图，在正三棱柱ABC
如图， 在正三棱柱AB-A1B1C1中，AB=AA1，E为棱BB1的中点(1)试判断平面A1EC与平面AA1C1C的位置关系，并证明(2)若我们把平面A1EC与平面A1B1C1所成的锐二面角为   60°时的正三棱柱称为“和谐棱柱”，试判断此棱柱是否为“和谐棱柱”，并说明理由。
回答：由于是正三棱柱
所以上下底面都是正三角形
又AA1=AB，所以所有的棱都相等，侧面为正方形

(1)设A1C中点为O
因为A1E=EC
所以EO垂直于A1C……等腰三角形底边中线与垂线重合

同理，EO垂直于A1C

所以EO垂直于面ACC1A1
所以A1EC与ACC1A1垂直

(2)
延长CE和C1B1交于F，连接A1F
则两平面A1EC与A1B1C1的交线就是A1F

CC1=2EB1
由相似三角形比例关系知
C1F=2B1F=2B1C1=2A1C1
而，A1C1与C1F的夹角为60度

所以A1C1F恰为30°，60°，90°的直角三角形
所以C1A1垂直两平面交线A1F

又CC1垂直于面A1B1C1
于是∠CA1C就是所求得二面角
是正方形对角线与边的夹角，即45°

所以不是和谐棱柱