分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：数学1设函数f(x)=
1 设f(x)=-1/3x^3+2ax^2-3a^2x+b, 0<a<1.  (1)求函数f(x)的单调区间、极值。  （2）若当x∈[a+1,a+2]时，恒有｜f'(x)|≤a,试确定a的取值范围。
回答：解:
(1)f'(x)=-x^2+4ax-3a^2=-(x-a)(x-3a)
令f'(x)>0,-x^2+4ax-3a^2>0,即(x-a)(x-3a)<0
得a<x<3a
即当x ∈(a,3a)时,f(x)单调增
当x∈(-∞,a)∪(3a,+∞)时,f(x)单调减
极值点x=a,和x=3a,在x=a有极小值,x=3a有极大值
f(a)=-(1/3)a^3+2a(a^2)-3a^2*a+b=-(4/3)a^3+b
(3a)=-(1/3)(3a)^3+2a(3a)^2-3a^2*3a+b=b
(2)|f'(x)|≤a
|-x^2+4ax-3a^2|≤a,即|x^2-4ax+3a^2|≤a
设g(x)=|x^2-4ax+3a^2|,对称轴x=2a因为0<a<1,所以2a<a+1
g(x)与x轴有两交点(a,0)和(3a,0),3a<a+2
g(x)在x∈[a+1,3a)单调减,在x=a+1处有最大值.要使得｜f'(x)|≤a,恒成立,则|f(a+1)|≤a,得0<a<1
g(x)在x∈(3a,a+2]单调增,在x=a+2处有最大值.要使得｜f'(x)|≤a,恒成立,则|f(a+2)|≤a,得4/5≤a<1
综上所述:a的取值范围[4/5,1)