分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：小小趣题9
蛇年春节，爱问爱心团队来到儿童福利院和小朋友一起联欢。------------一个有奖：（奖品是满足一个新年心愿）把送来的50根跳绳的手柄先去掉，再把100个绳头聚拢在一起，由小朋友们依次，每人任选2个绳头打1个幸运结，50人次后全部结好，然后打算到操场由大家展拉起来。------------让每个小朋友先猜猜展开后将会看到几个绳圈？如果您是其中1位小朋友的爱心搭档，您会建议猜哪个数呢？
回答：这个题目很有趣，答案的形式也非常简洁。
设有n条绳子，形成k个圈的概率为P(n,k)。考虑第n根绳子，它自成一圈的概率是1/(2n - 1),与另一根绳子合成一根长绳子的概率是2(n - 1)/(2n - 1)，所以有递推公式：

P(n,k) = 2(n - 1)/(2n - 1) * P(n-1,k) + P(n-1, k-1)/(2n-1).

由此易得（母函数）

f(n,x) = Sum[P(n,k)x^k, {k,1,n}] = x(x + 2)(x + 4).....(x + 2n - 2)/(2n - 1)!!

所以只需要展开上面的多项式，看哪一项的系数最大就可以了。对于n = 50, 借助计算机可得x^3的系数最大，P(50,3) = 0.2789...。可以证明，如果n非常大，概率最大的圈子数约等于不小于
(1 + 1/2 + ... + 1/n)/2的最小整数，与log(n)/2的增长形式相同，非常慢，当n=1000时只等于4。