分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：求证一个不等式设xi为实数，a&gt;0，满足:x1+x2+…+ 
设xi为实数，a>0，满足:
x1+x2+…+xi+…+xn=a                  (1)
x1^2+x2^2+…+xi^2+…+xn^2=a^2/(n-1)  (2)
求证:0≤xi≤2a/n.

回答：设xi为实数，a>0，满足: 
x1+x2+…+xi+…+xn=a (1) 
x1^2+x2^2+…+xi^2+…+xn^2=a^2/(n-1) (2) 
求证:0≤xi≤2a/n. 


证明 先证xi≥0.如果x1<0，则
x2+…+xi+…+xn=a-x1>a,
那么据柯西不等式得:
(n-1)(x2^2+…+xi^2+…+xn^2)≥(x2+…+xi+…+xn)^2>a^2
即 x2^2+…+xi^2+…+xn^2>a^2/(n-1) 
与(2)矛盾,所以x1≥0.同样可证xi≥0.

其次证xi≤2a/n.
令 yi=2a/n-xi，则有:
y1+y2++…+yi+…+yn=a             (3)
y1^2+y2^2+…+yi^2+…+yn^2=x1^2+x2^2+…+xi^2+…+xn^2+4a^2/n-(4a/n)*(x1+x2+…+xi+…+xn)=a^2/(n-1).
于是根据前面所证yi≥0,
故有2a/n-xi≥0,即2a/n≥xi.