分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：几何设P是三角形ABC内一点，直线AP，BP，CP与三边的交点分 
设P是三角形AB内一点，直线AP，BP，CP与三边的交点分别为D,E,F。试证三角形DEF的面积不超过三角形ABC面积的四分之一。
回答：证明  设三角形AB的面积为S, 三角形DEF的面积为S1, 三角形AEF的面积为Sa, 三角形BFD的面积为Sb, 三角形CDE的面积为Sc。令BD=xBC,CE=yCA,AF=zAB，则CD=(1-x)BC,AE=(1-y)CA,BF=(1-z)AB。则命题要证:S≥4S1.根据三角形面积公易求得:Sa=(AE*AF*sinA)/2=z*(1-y)*S，   (a)Sb=(BD*BF*sinB)/2=x*(1-z)*S，   (b)Sc=(CD*CE*sinC)/2=y*(1-x)*S。   (c)所以有S1=S-Sa-Sb-Sc=S*[1-z*(1-y)-x*(1-z)-y*(1-x)]=S*[1-(x+y+z)+yz+zx+xy] ，所证不等式S≥4S1转化为证明4*[1-(x+y+z)+yz+zx+xy]≤1      (1)根据塞瓦定理得:xyz=(1-x)*(1-y)*(1-z)          (2)上述恒等式展开等价于:1+yz+zx+xy=2xyz+x+y+z将其代入得:8xyz≤1.由算术--几何平均不等式得:2√[x(1-x)]≤1, 2√[y(1-y)]≤1,2√[z(1-z)]≤1,  上述三式相乘得: 8√[xyz(1-x)*(1-y)*(1-z)]≤1  <==> 8xyz≤1 .