分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：数学立体几何如图，已知正方体abcd
如图，已知正方体ab-a1b1c1d1的棱长为a，e、f分别是楞aa1、cc1的中点，（1）求证：四边形ebfd1为菱形；（2）求四棱锥a1-ebfd1的体积
回答：根据叙述，图如下。（1）要证EBFD1为菱形，需证四点共面且四边相等。四边相等容易看出，因为四条边都是直角边长为a和a/2的直角三角形的斜边，故四边相等。关键是要证四点共面，这只要说明BF//ED1就可以了。为此，取DD1的中点G,连接AG和FG。FG和AB平行且相等（因为FG和AB都与DC平行且相等),故ABFG是平行四边形，由此知BF//AG.由于ED1也平行于AG,即ED1//AG，故BF//ED1,于是，菱形得证。（2）求四棱锥A1-EBFD1的体积.连接BD1.四棱锥A1-EBFD1可看作被平面A1BD1分成了两个底面积相等的三棱锥，其高（即A1到底面的距离）也相同，故这两个三棱锥的体积相等。算出一个再乘2就可以了。三棱锥A1-EBD1也可看作是三棱锥D1-A1EB,而三棱锥D1-A1EB的底面积和高都是很容易找到的：D1A1是其高。（因为D1A1显然垂直于平面A1EB).底面A1EB的面积是边长为a的正方形面积的1/4D1A1=a，A1EB的面积=a^2/4三棱锥D1-A1EB的体积=(1/3)*底面积*高=a^3/12∴ 四棱锥A1-EBFD1的体积=a^3/6