分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：数列求最大值给定正整数n和实数M，对于满足条件:(a1)^2+[ 
给定正整数n和实数M，对于满足条件:(a1)^2+[a(n+1)]^2≤M^2的所有等差数列:a1,a2,a3…. ，试求S=a(n+1)+a(n+2)+……+a(2n+1) 的最大值。

回答：给定正整数n和实数M，对于满足条件:(a1)^2+[a(n+1)]^2≤M^2的所有等差数列:a1,a2,a3…. ，试求S=a(n+1)+a(n+2)+……+a(2n+1) 的最大值。 这道题有许多种解法,浙大赵小云给出许多解法.仅供参考.解一 由auchy不等式求解S=a(n+1)+a(n+2)+……+a(2n+1)=(n+1)*[a(n+1)+a(2n+1)]/2=(n+1)*[3a(n+1)-a1]/2=<[(n+1)/2]* √{[3^2+(-1)^2]*[(a(n+1))^2+(a1)^2]}=<[(n+1)/2]*M*√10。所以S的最大值为[(n+1)/2]*︱M︱*√10。解二，设a1=︱M︱k*sint，a(n+1)=︱M︱k*cost， 0<k≤1，0<t<2π，则S=[(n+1)/2]*[a(n+1)+a(2n+1)]=[(n+1)/2]*[a(n+1)+2a(n+1)-a1]=[(n+1)/2]*[3︱M︱k*cost -︱M︱k*sint]=[√10*︱M︱*k*(n+1)/2]*cos(t+x)≤[√10*︱M︱*(n+1)/2]*cos(t+x)≤[√10*︱M︱*(n+1)/2]等号当且仅当k=1,t+x=2π时取得, 其中锐角x满足sinx=1/√10，cosx=3/√10。解三 设a1=a，公差为d。则a(n+1)=a+nd，那么题设条件转化为a^2+(a+nd)^2≤M^2    (1)由S=(n+1)*a(n+1)+n(n+1)d/2=(n+1)(a+nd)+n(n+1)d/2<==> d=2[S-a(n+1)]/[3n(n+1)]   (2)将(2)式(代入(1)得:a^2{a+2[S-a(n+1)]/[3(n+1)]}^2≤M^2<==> 10a^2+4S*a/(n+1)-4S^2/(n+1)^2-9M^2≤0   (3)把(3)式视作二次函数f(a) ，f(a)≤0，则△≥0，即[4S/(n+1)]^2≥40*[4S^2/(n+1)^2-9M^2]<==> 45M^2≥18S^2/(n+1)^2<==> S≤[(n+1)︱M︱√10]/2。当△=0，即a=︱M︱/√10,d=√[8M^2/(5n^2)]时有Smax=[(n+1)︱M︱√10]/2。解四 记a1=a，a(n+1)=b，公差为d。S=a(n+1)+a(n+2)+…a(2n+1)=(n+1)b+n(n+1)d/2故a+nd/2=S/(n+1)    (1)M^2≥a^2+b^2=(a-nd)^2+a^2=4(a+nd/2)^2/10+(4a-3nd)^2/10故M^2≥4S^2/(n+1)^2/10因此S^2≤10M^2*(n+1)/2<==> S≤[(n+1)︱M︱√10]/2。