分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：求最小值如果正实数x、y、z满足x^3+y^3+z^3
如果正实数x、y、z满足x^3+y^3+z^3-3xyz=1,求x^2+y^2+z^2的最小值.
回答：解：
设x+y+z=k>0.
∵x^3+y^3+z^3-3xyz
=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
=1
∴x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=1/k.
而(x+y+z)^2
=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx
=k^2
∴xy+yz+zx=(k^3-1)/3k.
∴x^2+y^2+z^2
=(k^3+2)/3k
=(k^2/3)+(1/3k)+(1/3k)
≥3*[(k^2/3)*(1/3k)*(1/3k)]^(1/3)
=1
∴当x=y=0,z=1时,上式取等号,
即所求最小值为：
(x^2+y^2+z^2)|min=1.