分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：已知函数f(x)=x^3+b^2+cx+d在(
已知f(x)=x^3+b^2+cx+d在(-∞,2]上单调递增，在[0，2]上单调递减，且方程f(x)=0的三个根为α，2，β（α<2<β）。（1）比较f(1)与2的大小（2）求|α—β|的范围谢谢！！
回答：函数f(x)=x^3+bx^2+cx+d在（－∞，0]上递增 [0，2]上递减
很容易得到f'(x)=3x^2+2bx+c，f'(0)=0，c=0,f'(2)<=0,b<=-3
又方程f(x)=0的三个根为α，2，β（α<2<β），这表明b<-3
可得f(x)=(x-α)(x-β)(x-2)=x^3-(α+β+2)x^2+(2α+2β+αβ)x-2αβ
于是2α+2β+αβ=0，b=-(α+β+2),d=-2αβ
8+4b+d=0,
f(1)=b+d+1=-3b-8+1>9-8+1=2，所以f(1)>2
由b<-3可得-(α+β+2)<-3即α+β>1
于是|α—β|^2=(α+β)^2-4αβ=(α+β)^2+8(α+β)>9
所以|α—β|>3