分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：不等式问题设x,y,z为非负实数，求证:√(y^2+z^2+zx 
设x,y,z为非负实数，求证:
√(y^2+z^2+zx+xy)+√(z^2+x^2+xy+yz)+√(x^2+y^2+yz+zx)≥2(x+y+z).

回答：设x,y,z为非负实数，求证:
√(y^2+z^2+zx+xy)+√(z^2+x^2+xy+yz)+√(x^2+y^2+yz+zx)≥2(x+y+z).

证明  下列三个局部不等式成立
2√[(z^2+x^2+xy+yz)(x^2+y^2+yz+zx)]≥2x^2+x(y+z)+2yz  (1)
2√[(x^2+y^2+yz+zx)(y^2+z^2+zx+xy)]≥2y^2+y(z+x)+2zx  (2)
2√[(y^2+z^2+zx+xy)(z^2+x^2+xy+yz)]≥2z^2+z(x+y)+2xy  (3)

(z^2+x^2+xy+yz)(x^2+y^2+yz+zx)-[2x^2+x(y+z)+2yz]^2
=[3x^2+4x(y+z)+4yz]*(y-z)^2≥0，

所以(1)式成立.
同理可证另外两式。
(1)+(2)+(3)再加2(x^2+y^2+z^2+yz+zx+xy)得:
[√(y^2+z^2+zx+xy)+√(z^2+x^2+xy+yz)+√(x^2+y^2+yz+zx)]^2≥4(x+y+z)^2.
上式开方后即得所证不等式.