分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：抛物线问题设抛物线:y^2=2px(p&gt;0)上有两点A,B? 
抛物线问题
设抛物线:y^2=2px (p>0) 上有两点A,B，抛物线:y^2=2px与线段AB围成的抛物线弓形面积为S，过A,B分别作切线两切线交点P，设三角形APB面积为Δ。求证:3S=2Δ.

回答：抛物线问题 设抛物线:y^2=2px (p>0) 上有两点A,B，抛物线:y^2=2px与线段AB围成的抛物线弓形面积为S，过A,B分别作切线两切线交点N，设三角形ANB面积为Δ。求证:3S=2Δ.更改了两切线交点P为N.在证明之前，我们作如下定义:抛物线上任意一段曲线弧AB为弓，其弧两端所张线段AB为弓的底，弓与底所围成的图形，称作抛物线弓形，弓上任意两点的连线称作弓形的弦，所以底也是一条弦。与底边平行的弦的中点轨迹称为中线，中线与弓的交点称为弓形的顶点。为证明上述命题，首先证明两个抛物线弓形的性质.引理1  抛物线弓形的中线平行于它所在抛物线的轴式在轴上。引理2  抛物线弓形顶点的切线平行于底边。引理3  抛物线弓形顶点的切线平分底边两端点切线交点与底边中点连线。以上三个引理证明简单，以下仅给出几个数据，不作详细证明。设A,B是抛物线:y^2=2px (p>0) 上有两点，则A(a^2/2p,a),B(b^2/2p,b)，底AB的中点为M，则M点的坐标，M[(a^2+b^2)/4p,(a=b)/2]。过A点,B点的切线交于N，连NM,NM与抛物线交于C.C点即为抛物线弓形的顶点.切线NA的方程为:y=px/a+a/2;    (1-1)切线NB的方程为:y=px/b+b/2.    (1-2)据两切线方程可求得交点N的坐标,N[ab/2p,(a+b)/2].所以M,C,N在一直线上，且直线MCN平行于X轴,当a^2=b^2时，直线MCN与X轴重合。据此可得C点坐标,C[(a+b)^2/8p,(a+b)/2]，于是过C的切线PCQ[P在AN上，Q在BN上]方程为:y=2px/(a+b)+(a+b)/4.   (1-3)对比直线AB与切残PCQ的斜率，即知两直线平行。易验证C点是线段MN的中点，又是线段PQ的中点。因此MPNQ是平行四边形。上述三个引理的证明，一般不采用上面的证法，可直接证明。下面根据引理1,引理2来证明上述命题根据引理1,引理2知,C点是线段PQ的中点，所以S(ACB)=S(ANB)/2=Δ/2。又设C1,C2分别是抛物线弓形AC1C,BC2C的顶点，由引理1,引理2知:S(AC1C)+S(BC2C)=[S(APC+S(BQC)]/2=Δ/8。用上面的方法，可依次类推下去，可得各组[第一组一个三角形，即ΔACB,第二组两个三角形,即ΔAC1C,ΔBC2C;第三组四个三角形…;第n组2^(n-1)个三角形;…]三角形面积和为:Δ/2; Δ/8; Δ/32…; Δ/2^(2n-1)….故S=Δ/2+Δ/8+Δ/32+…+Δ/2^(2n-1)….=(Δ/2)*(1+1/2^2+1/2^4+…+/2^(2n)…)=(Δ/2)*[1/(1-1/4)]=2Δ/3。证毕。