分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：数列问题求高手解答 
回答：以下sqrt(x)表示x的平方根,x^2表示x的平方。1.解:显然该数列的各项都是正数。a(n+1)=a(n)+sqrt(a(n)^2+1)用1除以上式两边得1/a(n+1)=sqrt(a(n)^2+1)-a(n)两式相减再除以2得a(n)=(a(n+1)^2-1)/2a(n+1)由题意得tanθ(n)=(tanθ(n+1)^2-1)/2tanθ(n+1)即tanθ(n)=-1/tan2θ(n+1)也就是说tanθ(n)=tan(2θ(n+1)-π/2)由0<θ(n+1)<π/2得-π/2<2θ(n+1)-π/2<π/2.再由0<θ(n)<π/2得θ(n)=2θ(n+1)-π/2也就是(θ(n)-π/2)/2=θ(n+1)-π/2由题意得θ(1)=π/4因此{θ(n)-π/2}是以-π/4为首项,1/2为公比的等比数列。(2)解:显然{a(n)}严格递增,且a(2)=1+sqrt(2)>2>π/2.当n=1时,a(1)+a(2)+......+a(n)=a(1)=1>(1-1)π/2.假设当n=k时结论成立,则当n=k+1时,a(1)+a(2)+......+a(n)=a(1)+a(2)+......+a(k+1)>(k-1)π/2+a(k+1)>(k-1)π/2+π/2=kπ/2=(n-1)π/2因此当n=k+1时原结论成立。综上所述,对于任意正整数n,原结论成立。