分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：立体几何问题设正四棱锥的外接球,内切球半径分别为R,r,求证:R? 
立体几何问题
设正四棱锥的外接球, 内切球半径分别为R,r, 求证:R≥(√2+1)r

回答：设正四棱锥的外接球, 内切球半径分别为R,r, 求证:R≥(√2+1)r 

证明 设正四棱锥的底正方形边长为2a,棱锥高为h.
正四棱锥的外接球半径就是底边为2√2a，高为h的等腰三角形的外接圆半径.
由此可求得:
R=(2a^2+h^2)/(2h).
正四棱锥的内切球半径就是底边为2a，高为h的等腰三角形的内切圆半径.
由此可求得:
r=ah/[√(h^2+a^2)+a]=a[√(h^2+a^2)-a]/h.
故 R/r=(2a^2+h^2)/[2a√(h^2+a^2)-2a^2].
令b^2=a^2+h^2,所以 R/r=(a^2+b^2)/[2a(b-a)].
令t=b/a, 显然t>1. 则 T=R/r=(t^2+1)/(2t-2).
下面来求 T=(t^2+1)/(2t-2)的最小值Tmin.
<==> t^2-2Tt+2T+1=0,
因为t为实数,故判别式
Δ=4[T^2-2T-1]≥0, <==> T^2-2T-1≥0
解此不等式得:T≥1+√2.
因此得R/r≥(√2+1).证毕.

此题好！好！