分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：求下列微分方程的通解 
求下列微分方程的通解
回答：xy'-y-√(y^2-x^2)=0xy'-y-|x|√[(y/x)^2-1]设u=y/x, y=ux, y'=u'x+u代入方程x[u'x+u]-xu-|x|√(u^2-1)=0x^2u'=|x|√(u^2-1)du/√(u^2-1)=|x|/x^2 dx如果x>0, du/√(u^2-1)=dx/xln|u+√(u^2-1)|=ln|x|+Du+√(u^2-1)=xy/x+√(y^2-x^2)/x=Cx  [注：x>0,所以√(u^2-1)=√[(y/x)^2-1]=√(y^2-x^2)/x]y+√(y^2-x^2)=Cx^2如果x<0, du/√(u^2-1)=-dx/xln|u+√(u^2-1)|=-ln|x|+Du+√(u^2-1)=c/x y/x-√(y^2-x^2)/x=c/x [注：x<0,所以√(u^2-1)=√[(y/x)^2-1]=-√(y^2-x^2)/x]y-√(y^2-x^2)=E.你也通过分子有理化把上面的方程写成x^2/[y+√(y^2-x^2)]=E，或者y+√(y^2-x^2)=x^2/E=Cx^2.所以方程的通解为y+√(y^2-x^2)=Cx^2. C为任意常数。