分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：几何
002 己知AD,BE,F分别为锐角三角形ABC的三边上的高, 作DP⊥AB,DQ⊥AC，P,Q为垂足.求证:(1),PQ=(DE+DF+EF)/2；(2) 如果∠A为钝角，则PQ=(DE+DF-EF)/2.
回答：DE^2=^2+CE^2-2CD*CE*cosC=b^2cosC^2+a^2cosC^2-2abcosC^3=cosC^2(a^2+b^2-2abcosC)=cosC^2*c^2所以DE=c*cosC同理EF=a*cosADF=b*cosBPQ^2=AP^2+AQ^2-2AP*AQcosA=b^2sinB^2sinC^2+c^2sinB^2sinC^2-2bcsinB^2sinC^2cosA=sinB^2sinC^2(b^2+c^2-2bc*cosA)=a^2sinB^2sinC^2=a^2*b^2*c^2/16R^4(R为三角形外接圆半径)所以PQ=abc/4R^2所以(DE+DF+EF)/PQ=cosC/sinAsinB+cosB/sinAsinC+cosA/sinBsinC=-(cotAcotB-1+cotBcotC-1+cotCcotA-1)=-(1-3)=2所以PQ=(DE+DF+EF)/2(注：cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1第二小题用与第一题同种方法可解得）