分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：弦中点问题是否存在这样的直线,它被双曲线x^2
是否存在这样的直线,它被双曲线x^2-y^2/2=1截得的线段中点是(1,1)?
回答：假设存在,它与双曲线两个交点为(a,b)和(2-a,2-b)
则2a^2-b^2=2(1)
2(2-a)^2-(2-b)^2=2(2)
(1)-(2)并化简得 b=2a+1
代入(1)并化简得 2a^2+4a+3=0(3)
(3)中△<0,无实数解.
所以,这样的直线不存在.
---------------------------------------------
补充回答:
设直线y-1=k(x-1),代入双曲线方程,根据x1+x2=2或y1+y2=2,得出直线方程y=2x-1.到这里可能没有错,但没有检验,故结论可能不正确(实际是不正确!)
将直线方程与双曲线方程联列,发现无实数解,说明这直线与双曲线没有公共点.所以这样的直线还是不存在.与我前面得出的结论一致.
请注意:在实数范围内应用根与系数的关系,前提是有实数根,即那个判别式△≥0.