分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：求定积分的问题（不可求积） 
回答：这是欧拉-泊松积分方法一：(学过概率论的朋友们一定不会感到陌生)标准正态分布的密度函数ψ(u)=(1/√(2π))*e^(-u²/2),-∞<u<+∞其分布函数为Φ(u)=(1/√(2π))*∫<-∞,u>[e^(-t²/2)]dt-∞<u<+∞据分布函数的有界性定理有：Φ(+∞)=(1/√(2π))*∫<-∞,+∞>[e^(-t²/2)]dt=1我们令t=(√2)u,则dt=(√2)du于是有(1/√(π))*∫<-∞,+∞>[e^(-u²)]du=1则∫<-∞,+∞>[e^(-u²)]du=√π据被积函数的奇偶性知：∫<0,+∞>[e^(-u²)]du=(√π)/2方法二：(学习过分析的朋友们肯定不会忘记)二重积分P=∫<0,+∞>∫<0,+∞>e^(-x²-y²)dxdy存在因为逐次积分P=∫<0,+∞>dx∫<0,+∞>e^(-x²-y²)dy=∫<0,+∞>[e^(-x²)]dx∫<0,+∞>[e^(-y²)]dy={∫<0,+∞>[e^(-x²)]dx}²存在如将它变为极坐标，则就易于计算；此时xy平面上的第一象限就变成rθ平面上的由直线θ=0,r=0及θ=π/2所围的长带因此P=∫<0,π/2>∫<0,+∞>[r*e^(-r²)]drdθ=(π/2)∫<0,+∞>[r*e^(-r²)]dr=π/4所以∫<0,+∞>[e^(-x²)]dx=(√π)/2这一简洁的计算方法是属于泊松的其实可以将上面的方法说得更具体一些(就用两边夹的办法吧)考察S(a)=[0,a]×[0,a]上的积分∫(S(a))∫e^(-x²-y²)dσ={∫<0,a>[e^(-x²)]dx}²记D(a)={(x,y)|x²+y²≤a²,x≥0,y≥0}由D(a)⊂S(a)⊂D(a*√2)知：∫(D(a))∫e^(-x²-y²)dσ≤∫(S(a))∫e^(-x²-y²)dσ={∫<0,a>[e^(-x²)]dx}²≤∫(D(a*√2))∫e^(-x²-y²)dσ令a→+∞,则由迫敛性可以得到:{∫<0,a>[e^(-x²)]dx}²=π/4，则∫<0,+∞>[e^(-x²)]dx=(√π)/2方法三：(这个学过含参变量积分的朋友们也许尝试过)记J=∫<0,+∞>[e^(-x²)]dx令x=ut,其中u为任意正数，我们得出J=u*∫<0,+∞>[e^(-u²*t²)]dt现在用e^(-u²)乘等式的左右两边，再对u从0到∞作积分得：J*∫<0,+∞>[e^(-u²)]du=J²=∫<0,+∞>[u*e^(-u²)]du∫<0,+∞>[e^(-u²*t²)]dt交换积分顺序后得到：J²=∫<0,+∞>dt∫<0,+∞>[u*e^(-u²*(t²+1))]du=(1/2)∫<0,+∞>[1/(1+t²)]dt=π/4,于是J=(√π)/2下面我们来说明交换积分顺序的合理性我们要利用下面给出的推论：设对于非负连续函数f(x,y),积分∫<a,+∞>f(x,y)dx及∫<c,+∞>f(x,y)dy是连续函数，那么式子∫<0,+∞>dy∫<a,+∞>f(x,y)dx=∫<a,+∞>dx∫<c,+∞>f(x,y)dy中的二重积分中有一个存在，则其他一个也存在，而且与第一个相等我们对矩形[u0,∞;0,∞]可应用推论，其中u0>0方法四：(我个人觉得也是最绝妙的，阅读过《微积分学教程》的朋友们应该见过，当然也可能在一些较高级的微积分教材上有)下面就逐字逐句按照菲赫金戈尔斯上的证明写出来记K=∫<0,+∞>[e^(-x²)]dx为了这个目的我们要预先建立几个不等式以微分学中常用的方法不难验证，函数(1+t)*e^(-t)在t=0时达到它的最大值1.因之对t>0以及t<0都有(1+t)e^(-t)<1令这里的t=±x²，即得(1-x²)e^(x²)<1与(1+x²)e^(-x²)<1,由此推知：1-x²<e^(-x²)<1/(1+x²)     其中x>0假若限定这里的第一个不等式中的x在区间(0,1)内变动(因而1-x²>0),而第二个不等式中的x则看作时任意的，我们就可以把上列各式同升任意自然数n次方这样即得：(1-x²)^n<e^(-nx²)     其中0<x<1与        e^(-nx²)<1/(1+x²)^n   其中x>0取积分,第一个不等式从0到1，第二个不等式从0,到+∞即得：∫<0,1>[(1-x²)^n]dx<∫<0,1>[e^(-nx²)]dx<∫<0,+∞>[e^(-nx²)]dx<∫<0,+∞>[1/(1+x²)^n]dx但是∫<0,+∞>[e^(-nx²)]dx=(1/√n)*K     (用变换u=x*√n)∫<0,1>[(1-x²)^n]dx=∫<0,π/2>[(sint)^(2n+1)]dt=[(2n)!!/(2n+1)!!]             (用变换x=cost)而且∫<0,+∞>[1/(1+x²)^n]=∫<0,π/2>[(sint)^(2n-2)]dt=[(2n-3)!!/(2n-2)!!]*(π/2)(用变换x=cott,当然还有许多解这类积分的方法，这里就用菲赫金戈尔斯的方法了)至于我们这里用的∫<0,π/2>[(sinx)^m]dx的已知表达式，我相信您应该会建立一个递推关系式来求的吧，实在不会的话，可以看看数学课本，应该都有类似的结论和证明的，这里就不多说了这样一来，对于我们还是未知其值得K就被限定于下列两个表达式之间：(√n)*[(2n)!!/(2n+1)!!]<K<(√n)*[(2n-3)!!/(2n-2)!!]*(π/2)所以，取平方即变成：[n/(2n+1)]*[(2n)!!/(2n-1)!!]²/(2n+1)<K²<[n/(2n-1)]*[(2n-3)!!/(2n-2)!!]²*(2n-1)*(π/2)²现在从沃利斯公式：π/2=lim<n→∞>{[(2n)!!/(2n-1)!!]²/(2n+1)}容易看出来，不等式两端的表达式当n→∞时都趋于同一个极限π/4于是由迫敛性知：K²=π/4,K=(√π)/2   (因K>0)至于沃利斯公式的证明也可以参见一般的数学分析课本（简单说两句利用在区间(0,π/2)上有(sinx)^(2n+1)<(sinx)^(2n)<(sinx)^(2n-1)从(0,π/2)上积分可推导出来的）我现在就知道这些了，等到复变函数学完后，也许会尝试用复变的知识来搞一下，总之现在就到这里吧。