分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：求函数最小值求函数y=x^2
求y=x^2-x+1+根(2x^4-8x^2+68),的最小值.
回答：解:

y=x^2-x+1+根(2x^4-8x^2+68)
--->y=x^2-x+1+根[2(x+3)^2+2(x^2-5)^2]


设P(x,x^2)是抛物线y=x^2上一点,它到直线y=x-1的距离(Q为垂足)为
|PQ|=|x^2-x+1|/根[(-1)^2+1^2]
=(根2)/2*|x^2-x+1|


P到M(-3,5)的距离为
|PM|=根[(x+3)^2+(x^2-5)^2]


当|PQ|+|PM|值最小,即当且仅当M、P、Q三点共线时,此直线即过M点垂直于直线y=x-1的直线y=-x+2.
易得,此直线与抛物线y=x^2的交点为P1(-2,4)、P2(1,1)


|PQ|+|PM|的最小值就是点M到直线y=x-1的距离
|MQ|=|3-(-5)+1|/根[(-1)^2+1^2]=(9根2)/2.


所以,
y=(根2)[(根2)/2*(x^2-x+1)+根((x+3)^2+(x^2-5)^2)]
=(根2)*(|PQ|+|PM|)
>=9


因此,当且仅当x=-2、1时,最小值y|min=9.