分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：求证一道不等式已知p=1,ab+bc+ca=(1
已知p=1,ab+bc+ca=(1-q^2)/3,r=abc,其中a,b,c均为正实数。

求证：
(1-4q^2)[(1-q^2)^2/(9r^2)-2/r]/3>=9

大家爱帮帮忙。
回答：∵p=a+b+c=1, ab+bc+ca=(1-q^2)/3.
∴q^2=(a^2+b^2+c^2)-(bc+ca+ab).
∴1-4q^2=6(bc+ca+ab)-3(a^2+b^2+c^2)

上式不等式齐次化为:
[2∑bc-∑a^2]*∑(bc)^2≥9(abc)^2               (1)

(1)<==>
-∑(b^2+c^2)a^4+2∑(bc)^3+2abc∑(b+c)a^2-12(abc)^2≥0 (2)

设a=max(a,b,c),(2)式分解为:
a(b^2+c^2)(b+c-a)(a-b)(a-c)+bc(5a^2-ab-ac-bc)(b-c)^2≥0
上式显然成立.

(1)式化三角刑形s,R,r形式为:
(4R+r)s^4-r(68R^2-2r^2)s^2+r^3*(4R+r)^3≥0  (3)
(3式分解为:
[(4R+r)s^2+r(4R^2+4Rr+3r^2)]*(s^2-16Rr+5r^2)+4r^4*(R-2r)^2≥0
∵s^2-16Rr+5r^2≥0,∴上式成立.