分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：高中数学题目已知f(θ)=(sinθ)^2+[sin(θ+α)] 
已知f(θ)=(sinθ)^2+[sin(θ+α)]^2+[sin(θ+β)]^2,其中α、β为常数且0≤α≤β≤π,当且仅当α、β为何值时,f(θ)为与θ无关的定值.
回答：解：设f(θ)的定值为k,∵此时f(θ)与θ无关,不妨分别取θ=0,π/2,得f(0)=(sinα)^2+(sinβ)^2 ……(1)f(π/2)=1+(cα)^2+(cosβ)^2 ……(2)由(1)+(2),得f(0)+f(π/2)=3 →2k=3,即k=3/2.又,(2)-(1),得1+cos2α+cos2β=0 ……(3)由f(π/4)=1/2+[sin(π/4+α)]^2+[sin(π/4+β)]^2=3/2+1/2×(sin2α+sin2β)=3/2所以,sin2α+sin2β=0 ……(4)解(3)、(4),得cos2α=cos2β=-1/2∴α=π/3,β=2π/3,(0≤α≤β≤π)将此结果代回原式,即有f(θ)=(sinθ)^2+[sin(θ+π/3)]^2+[sin(θ+2π/3)]^2=3/2×[(sinθ)^2+(cosθ)^2]=3/2所以,当且仅当α=π/3,β=2π/3(0≤α≤β≤π)时,f(θ)为与θ无关的定值3/2.我实在想不出更简洁的方法啊.