分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：几道数学题(数学高手请进)1在平面直角坐标系中,已知点A(2,0 
1   在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),B(-2,0),P是平面内一动点,直线PA,PB的斜率之积为  -3/4 .(1)  求动点P 的轨迹  方程(2)过点(0.5 ,0)作直线l 与轨迹 C 交于E,F两点,线段EF 的中点为 M ,求直线 AM 的斜率 k 的取值范围2    已知f(x)=ln x , g(x)=0.5x的平方+mx+3.5  (m<0),直线l 与函数f(x),g(x)的图像都相切,且与函数f(x)的图像的切点的横坐标为1.(1)  求直线l 的方程及 1   在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),B(-2,0),P是平面内一动点,直线PA,PB的斜率之积为  -3/4 .(1)  求动点P 的轨迹  方程(2)过点(0.5 ,0)作直线l 与轨迹 C 交于E,F两点,线段EF 的中点为 M ,求直线 AM 的斜率 k 的取值范围2    已知f(x)=ln x , g(x)=0.5x的平方+mx+3.5  (m<0),直线l 与函数f(x),g(x)的图像都相切,且与函数f(x)的图像的切点的横坐标为1.(1)  求直线l 的方程及 m 的值(2)  若 h(x)= f(x+1)-g'(x) , 其中g'(x)是g(x)的导函数,求函数 h(x) 的最大值(3)   当 0<b<a 时.求证:                       f(a+b) - f(2a)<(b-a)/2a
回答：1. (1) 设P(x,y),Kpa×Kpb=y²/(x²-4)=-3/4 ∴动点P的轨迹的方程3x²+4y²=12(2) L:y=n(x-0.5), E(x1,y1),F(x2,y2),M(x0,y0)把y=n(x-0.5)代入3x²+4y²=12,得(3+4n²)x²-4n²x+n²-12=0…(*),x0=(x1+x2)/2=2n²/(3+4n²),y0=n(x0-1)=-3n²/(3+4n²),∴ 直线AM的斜率K=n²/(2n²+2),由(*)式的判别式△≥0得,n∈Rn≠0时,K=1/[2+(2/n²)]<1/2, n=0时,K=0, ∴ K的取值范围是[0,1/2)2. (1) f'(x)=1/x,切点(1,1),L的方程:y=x+1,它与g(x)的图象相切,∴ 方程组①y=x+1与② y=0.5x²+mx+3.5只有一组解,消y,得x²+2(m-2)x+5=0,由△=0,得m=2-√5或m=2+√5(∵m<0,舍去)(2) g'(x)=x+m ,h(x)=ln(x+1)-x-m, h'(x)=1/(x+1)-1=0,得驻点x=0, ∵ -1<x<0时,h'(x)>0, x>0时,h'(x)<0, ∴ x=0时,h(x)有最大值=ln1-0-(2-√5)=√5-2(3) 设F(x)=f(x)-x+1=lnx-x+1,∵ F'(x)=(1/x)-1,当0<x<1时,F'(x)>0,x=1时,F'(x)=0,当x>0时,F'(x)<0∴ F(x)在(0,1)上是增函数,FF(x)在(1,+∞)上是减函数,x=1时F(x)有最大值0, ∴ ,x≠1时,F(x)<0,即f(x)<x-1. ∵ 0<b<a, ∴ a+b<2a, (a+b)/(2a)≠1∴ f(a+b)-f(2a)=ln[(a+b)/(2a)]<[(a+b)/(2a)]-1=(b-a)/(2a)