分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：求证不等式设x,y,z∈R+,求证x^3+y^3+z^3+3xy 
设x,y,z∈R+,求证
x^3+y^3+z^3+3xyz≥yz√[2y^2+2z^2]+zx√[2z^2+2x^2]+xy√[2x^2+2y^2]
回答：设x,y,z∈R+,求证 
x^3+y^3+z^3+3xyz≥yz√[2y^2+2z^2]+zx√[2z^2+2x^2]+xy√[2x^2+2y^2]

证明 由柯西不等式得:
[∑yz√(2y^2+2z^2)]^2≤2∑yz*∑yz(y^2+z^2)     (1)

故只需证
(x^3+y^3+z^3+3xyz)^2≥2∑yz*∑yz(y^2+z^2)      (2)

(2)展开为
∑x^6-2∑(y^2+z^2)x^4+2∑(yz)^3+2xyz∑x^3-2xyz∑(y+z)x^2+9(xyz)^2≥0  (3)

设x=min(x,y,z),(3)式分解为
x^2*(x^2-y^2)*(x^2-z^2)+[-x^4+2(y+z)x^3-2(y^2+3yz+z^2)x^2
+2xyz(y+z)+(y+z)^2*(y^2+z^2)-(yz)^2]*(y-z)^2≥0

上式中括号易验大于0.故不等式得证。