分类：烦恼-校园生活
问题：重心性质如何证明重心到三角形3个顶点距离的平方和最小? 
重心性质 如何证明重心到三角形3个顶点距离的平方和最小?  

回答：命题  在ΔAB中，G是重心,M是平面上任一点。求证;MA^2+MB^2+MC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3GM^2证明  ΔABC的三条中线AD,BE,CF交于G，不妨设M在ΔBGC内。对于ΔAMD和G，由斯特瓦尔定理得;MA^2*DG+MD^2*AG-MG^@*AD=AD*DG*AG因为 DG=AD/3,GA=2AD/3，代入整理得:3*MG^2=MA^2+2*MD^2-2*AD^2/3   (1)容易算出，在ΔMBC和ΔGBC中有MD^2=(MB^2+MC^2)/2-BC^2/4GD^2=(GB^2+GC^2)/2-BC^2/4将上述两式代入(1) 式得:3*MG^2=MA^2+MB^2+MC^2-(GB^2+GC^2)+2GD^2-2*AD^2/3= MA^2+MB^2+MC^2-( GA^2+GB^2+GC^2)所以  MA^2+MB^2+MC^2=GA^2+GB^2+GC^2+3GM^2从等式显然可看出, 当M异于G时，有MA^2+MB^2+MC^2>GA^2+GB^2+GC^2所以到三角形三顶点距离的平方和为最小的点是三角形的重心。