分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：设n是正整数，f(n)表示不超过√n的正整数的个数（如f(3)=? 
设n是正整数，f(n)表示不超过√n的正整数的个数（如f(3)=1，f(9)=3）
⑴求f(2007)
⑵求正整数n，使他满足：f(1)+f(2)+……+f(n)=2009
回答：f(n)=k，k^2≤n＜(k+1)^2，（1）因为√2007=44.79955……，所以f(2007)=44（2）设 S(m)=f(1)+f(2)+f(3)+……+f(m)， 则 S[(k+1)^2-1]=[f(1)+f(2)+f(3)]+[f(4)+f(5)+……+f(8)]+[f(9)+f(10)+f(11)+……+f(15)]+……+【f(k^2-2k+1)+f(k^2-2k+2)+f(k^2-2k+3)+……+f[(k+1)^2-1]】=1*(2^2-1)+2*(3^2-2^2)+3*(4^2-3^2)+……+k*[(k+1)^2-k^2]=k*(k+1)^2-[*1^2+(2-1)*2^2+(3-2)*3^2+(4-3)*4^2+……+(k-(k-1))*k^2]=k*(k+1)^2-[1^2+2^2+3^2+4^2+……+k^2]=k*(k+1)^2-k*(k+1)*(2k+1)/6=k*(k+1)*(4k+5)/6，S(195)=S(^2-1)=13*14*57/6=1729，S(224)=S(15^2-1)=14*15*61/6=2135，f(196)=f(197)=f(198)=……=f(224)=14，因为 (2009-1729)/14=20，所以 n=195+20=215。===============================================【验证】 S(215)=S(195+20)=S(195)+20*14=2009。