分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：度量空间的并集是不是还是度量空间当然，有限并和无限并，能否举例？ 
当然，有限并和无限并，能否举例？ 
回答：设(A(i),d(i)),i∈I为度量空间。
A=∪{i∈I}A(i)
用“搭桥”的方法定义A上的距离d。

注意：每个x∈A，只取一个i(x)，是x∈A(i(x)).

1。
在任意A(i)中取一个a(i)∈A(i),
x,y∈A，定义d(x,y)如下：
根据上面的注意，x∈A(i),y∈A(j)

ⅰ.
若i=j,则定义，
d(x,y)=d(i)(x,y).

ⅱ.
若i≠j,则定义，
d(x,y)=1+d(i)(x,a(i))+d(j)(y,a(j)).

2.
现证明：d为A上的距离，只需验证三角不等式就可以了。
x∈A(i),y∈A(j)，z∈A(k)。
ⅰ。
若i=j=k,显然满足三角不等式。

ⅱ。
若i=j≠k
d(x,y)=d(i)(x,y)≤
≤[1+d(i)(a(i),x)+d(k)(a(k),z)]+
+[1+d(i)(a(i),y)+d(k)(a(k),z)]=d(x,z)+d(y,z)

ⅲ。
若i=k≠j
d(x,y)=[1+d(i)(a(i),x)+d(j)(a(j),y)]≤
≤[d(i)(x,z)]+
+[1+d(j)(a(j),y)+d(i)(a(i),z)]=d(x,z)+d(y,z)

ⅳ。
若i≠j≠k
d(x,y)=[1+d(i)(a(i),x)+d(j)(a(j),y)]≤
≤[1+d(i)(x,a(i))+d(k)(z,a(k))]+
+[1+d(j)(a(j),y)+d(k)(a(k),z)]=d(x,z)+d(y,z)

所以d为A上的距离。因此度量空间的并集还是度量空间。