分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：已知f(x)=x^2+ax+b(a、b∈R),且A={x|x=f? 
B={x|x=f[f(x)]}.1)求证:A为B的子集.2)A={-1,3}时,用列举法表示B.3)若A只含有一个元素,则A=B.
回答：(1)证明:任取x∈A,则x=f(x),从而x=f[f(x)].∴x∈B,即A为B的子集.(2)∵A={-1,3},∴-1=f(-1),3=f(3),即{-1=1-a+b{3=9+3a+b解得,a=-1,b=-3∴f(x)=x^2-x-3.∴x=f[f(x)]→x=(x^2-x-3)^2-(x^2-x-3)-3→(x^2-x-3)^2=x^2→x1=3,x2=-1,x3=根3,x4=-根3.∴B={3,-1,根3,-根3}.(3)设A={c},即f(x)-x=0有解c,亦即c为f(x)-x=0的重根∴f(x)-x=(x-c)^2 →f(x)=(x-c)^2+x.于是,f[f(x)]=[f(x)-c]^2+f(x)∴0=f[f(x)]-x=[f(x)-c]+f(x)-x=[(x-c)^2+x-c]^2+(x-c)^2所以,{(x-c)^2+x-c=0{x-c=0解得,x=c.故f[f(x)]=x也只有唯一解x=c,即B={c}∴A=B.