分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：(重复)三角形不等式
问题 设 a,b,c是三角形AB的三边长.求证： [cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)]>=(a/c+b/a+c/b)*[tan(A/2)+tan(B/2)+tan(C/2)] 
回答：问题 设 a,b,c是三角形AB的三边长.求证： [cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)]>=(a/c+b/a+c/b)*[tan(A/2)+tan(B/2)+tan(C/2)] 证明 设s,R,r分别表示三角形ABC的半周长,外接圆与内切圆半径。则有 cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=s/r; tan(A/2)+tan(B/2)+tan(C/2)=(4*R+r)/s. 所以待证不等式等价于 s^2>=r*(4R+r)*(a/c+b/a+c/b) 令x=s-b,y=s-b,z=s-c，则s=x+y+z,r*(4R+r)=yz+zx+xy，a=y+z,b=z+x,c=x+y。作置换等价于 (y+z)*(z+x)*(x+y)*(x+y+z)^2>=(y*z+z*x+x*y)*((y+z)^2*(z+x)+(z+x)^2*(x+y)+(x+y)^2*(y+z)) 展开等价于: x^3*y^2+y^3*z^2+z^3*x^2-x*y*z(y*z+z*x+x*y)>=0 <==> x*y^2*(x-z)^2+y*z^2*(y-x)^2+z*x^2*(z-y)^2>=0。 显然成立。