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问题：竞赛数学任给七个实数，证明必存在两个实数x,y满足:0≤(x

任给七个实数，证明必存在两个实数x,y满足:0≤(x-y)/(1+xy)≤1/√3。

回答：任给七个实数，证明必存在两个实数x,y满足:0≤(x-y)/(1+xy)≤1/√3。

证 联想两角差的正切公式，可将7个实数表示成:tanβ1,tanβ2,tanβ3,tanβ4,tanβ5,tanβ6,tanβ7.且不妨设
-π/2<β1≤β2≤β3≤β4≤β5≤β6≤β7<π/2，将区间(-π/2,π/2)分成6个子区间(-π/2,-π/3],(-π/3,-π/6],(-π/6,0],(0,π/6],(π/6,π/3],(π/3,π/2),根据抽屉原理，上述7个βi中必有某两个数在同一个子区间。不妨设βj,β(j+1)在同一个子区间内(1≤j≤6)，因为
0≤β(j+1)-βj≤π/6.
则  0≤tan[β(j+1)-βj]≤tan(π/6)=1/√3.
即 0≤(x-y)/(1+xy)≤1/√3。证毕。