分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：高中数学用向量法证明：空间四边形的对角线互相垂直的充要条件是对边 
用向量法证明：空间四边形的对角线互相垂直的充要条件是对边的平方和相等。
回答：作AO⊥BD于O,连OC.
向量AC⊥BD
<==>向量AC*BD=0,
∴向量OC*BD=(AC-AO)*BD=AC*BD-AO*BD=0,
由勾股定理，AB^2=AO^2+OB^2,
CD^2=CO^2+OD^2,
BC^2=OB^2+CO^2,
DA^2=OD^2+AO^2,
∴AB^2+CD^2=BC^2+DA^2.
反之，若AB^2+CD^2=BC^2+DA^2，作AO⊥BD于O,作CO⊥BD于O',
由勾股定理，AB^2=AO^2+OB^2,
DA^2=OD^2+AO^2,
∴AB^2-AD^2=OB^2-OD^2,
同理BC^2-CD^2=O'B^2-O'D^2,
∴OB^2-OD^2=O'B^2-O'D^2，
∴O'与O重合。
∴向量AC*BD=(AO+OC)*BD=AO*BD+O'C*BD=0,
∴AC⊥BD.