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问题：第十一届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试题（小学组）一根长 
一根长为L的木棍，用红色刻度线将它分成m等份，用黑色刻度线将它分成n等份（m>n）。 
（1）设X是红色与黑色刻度线重合的条数，请说明：X＋1是m和n的公约数； 
（2）如果按刻度线将该木棍锯成小段，一共可以得到170根长短不等的小棍，其中最长的小棍恰有100根。试确定m和n的值。 
 

回答：(1)
重合的刻度线把木棍分成x+1段,每段长L/(x+1)
设每段除两端外有p条不重复的红刻度
则(p+1)*L/m=L/(x+1)
m=(p+1)(x+1)
x+1是m的约数
同理,x+1是n的约数
x+1是m和n的公约数

(2)
设有x条重合刻度
则木棍上有刻度[重合的算作1条](m-1)+(n-1)-x
(m-1)+(n-1)-x+1=170
m+n-x-1=170..............①

m>n,不重合的黑色刻度线一定在两条红色刻度线之间
且两条红色刻度线之间最多1条黑色刻度线,
它把红色刻度线之间部分分成两段

黑色刻度线除去重合的,还有n-1-x条
最长的小棍是两红色刻度线之间没有黑色刻度线部分
m-(n-1-x)=100
m-n+x+1=100..............②

①+②
2m=270,m=135
代入②:
n-(x+1)=35
由(1)知:(x+1)是m和n的公约数
设n=p(x+1)
(p-1)(x+1)=35=5*7

若p=2,
x+1=35不是135的约数
若p=6,
x+1=7不是135的约数
若p=8,
x+1=5,n=40
当m=135,n=40,有4条重复刻度,符合题意
若p=36,
x+1=1,n=36
当m=135,n=36,有8条重复刻度,矛盾

所以:m=135,n=40