分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：数学题设函数f（x）=（1/3）mx3+(4+m)x2,g(x) 
设f（x）=（1/3）mx3+(4+m)x2,g(x)=alnx,其中a≠0（1）若函数y=g（x）图像恒过定点P，且点P在y=f（x）的图像上，求m的值（2）当a=8时，设F(x)=f’（x）+g（x），讨论F（x）的单调性（3）在（1）的条件下，设G（x）{（f（x），x≤1），（g（x），x>1），曲线y=G（x）上是否存在两点P、Q，使三角形OPQ是以O为直角顶点的直角三角形，且该三角形斜边的中点在y轴上？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由
回答：(1) y=g(x)图像恒过定点P(1,0), 点P在y=f(x)的图像上, 则m/3+4+m=0, 得 m=-3.(2) f(x)=-x^3+x^2, g(x)=8lnx, F(x)=f'(x)+g(x)=-3x^2+2x+8lnx.  F'(x)=-6x+2+8/x=-2(3x^2-x-4)/x=-2(x+1)(3x-4)/x,  令f'(x)>0, 解得 x∈(-∞,-1)∪(0,4/3), 此时，F(x)单调增加；  令f'(x)<0, 解得 x∈(-1,0)∪(4/3,+∞), 此时，函数F(x)单调减少。(3) G(x)=-x^3+x^2,  x≤1,    g(x)=alnx,      x>1.    设P(m, -m^3+m^2), Q(n, alnn) (m<1, n>1), OP斜率为 -m^2+m,    则PQ中点 M((m+n)/2,(alnn-m^3+m^2)/2), 据题设，得     m+n=0,    (-m^2+m)(alnn/n)=-1,    将m=-n代入后式，得 a(n+1)lnn=1, a=1/[(n+1)lnn],    因 n>1, 则a>0.