分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：高一数学指数函数若函数f(x)=a^x(a^x
若f(x)=a^x(a^x-3a^2-1)(a＞0,且a≠1)在[0,+∞)上是增函数，求实数a的取值范围。 解:令t= a^x,∵x∈[0, +∞), ∴f(t)=t^2-(3a^2+1)t,t≥0. ① 当0＜a＜1时，t= a^x在[0,+∞)上为减函数，且t∈(0,1], 而f(x)在[0,+∞)上为增函数， ∴f(t)在(0,1]上应为减函数， 又∵f(t)的对称轴为(3a^2+1)/2, ∴(3a^2+1)/2≥1,解得a≥√3/3,∴√3/3≤a≤1. ② 当a＞1时，(以下略)。 疑问:“若f(x)=a^x(a^x-3a^2-1)(a＞0,且a≠1)在[0,+∞)上是增函数，求实数a的取值范围。 解:令t= a^x,∵x∈[0, +∞), ∴f(t)=t^2-(3a^2+1)t,t≥0. ① 当0＜a＜1时，t= a^x在[0,+∞)上为减函数，且t∈(0,1], 而f(x)在[0,+∞)上为增函数， ∴f(t)在(0,1]上应为减函数， 又∵f(t)的对称轴为(3a^2+1)/2, ∴(3a^2+1)/2≥1,解得a≥√3/3,∴√3/3≤a≤1. ② 当a＞1时，(以下略)。 疑问:“①当0＜a＜1时，t= a^x在[0,+∞)上为减函数，且t∈(0,1], 而f(x)在[0,+∞)上为增函数，” 根据上述条件就能说明“∴f(t)在(0,1]上应为减函数，”吗，为什么?请高手将此处详细解释一下，谢谢! 这是某书上的一道例题。以上是我的提问。以下是您的解答你的疑问本质是对复合函数单调性的理解.设外函数y=f(u),内函数u=φ(x),则复合函数y=f[φ(x)]的单调性有个口诀:内外函数同单调(同增或同减),复合函数是增函数;内外函数异单调(一增一减),复合函数是减函数. 对于本题:y=f(t)=t^2-(3a²+1)t,t=a^x. ∵ 0≤x≤1, ∴ 0<a<1时, 0<t≤1,即内函数的定义域是[0,1]时,外函数的定义域是(0,1].要求复合函数y=f(x)在[0,+∞)上是增函数,而内函数在[0,1]是减函数, ∴ 外函数在(0,1]上必须是减函数,这就要求外函数y=f(t)的对称轴在其定义域的右边,即(3a²+1)/2≥1.根据您的回答，我又产生以下疑问:(1)“0≤x≤1”,“即内函数的定义域是[0,1]，”此处是不是错了。原题的定义域可是[0,+∞)。(2)对于复合函数的单调性，我是否可以这样理解:无论其内外函数的定义域是否相同，只要是内外函数同单调，则复合函数是增函数，否则即为减函数。
回答：回复:你看的很认真,这种学习精神值得发扬.(1))“0≤x≤1”,“即内函数的定义域是[0,1]，”写错了,还是[0,+∞)内函数的值域,即外函数的定义域才是(0,1]”.
(2)内外函数的定义域一般不相同,因为内函数的值域就是外函数的定义域.比如y=kx+b的定义域与值域相同，而y=x^2的定义域与值域就不相同,而这两种函数都可以作为内(或外)函数.