分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：几何问题在△ABC中,己知∠A=2∠B，∠C是钝角，三边长a,b 
在△AB中,己知∠A=2∠B，∠C是钝角，三边长a,b,c都是整数的三角形，求周长的最小值。
回答：在△AB中,己知∠A=2∠B，∠C是钝角，三边长a,b,c都是整数的三角形，求周长的最小值。 解 由∠A=2∠B,可得:a^2=b(b+c)                      (1)根据正弦定理得: a/sinA=b/sinB=a/sin2B  故得：cosB=a/2b<1，即 a<2b      (2)因为∠C是钝角，由余弦定理得: a^2+b^2<c^2<==> a^2<c^2-b^2=(c-b)*(c+b)=a^2*(c-b)/b，即得: 2b<c，所以 a^2=b(b+c)>b(b+2b)=3b^2即得:a>√3*b                        (3)故有 2b>a>√3*b。设b=m^2，b+c=n^2，m,n∈N，所以a^2=m*n，即 2m^2>mn>√3*m^2，即 2m>n>√3*m，所以2m，√3*m有自然数n。从而 2m-√3*m>1，即m>1/(2-√3)>2+√3>3，故m>=4。当n=4时，b=16，8>n>4√3，所以n=7，a=28，c=33。a+b+c=16+28+33=77.因此满足上述的条件的三角形的周长的最小值为77。