分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：数学问题如图，在三角形ABC中，角BAC=90度，AB=AC,D 
如图，在三角形AB中，角BAC=90度，AB=AC,D、E在上，且角DAE=45度，求证：CD的平方+BE的平方=DE的平方
回答：[def128128]提出:一个条件不等式     在等腰直角三角形中，∠BA=90°，E，F在BC边上[E点靠近B点，F点靠近C点]。求证： (1）如果∠EAF≤45°，则BE^2+CF^2≥EF^2; (2) 如果∠EAF≥45°，则BE^2+CF^2≤EF^2. [shc100]解答。复制解答过程在等腰直角三角形中，∠BAC=90°，E，F在BC边上[E点靠近B点，F点靠近C点]。求证： (1) 如果∠EAF≤45°，则BE^2+CF^2≥EF^2; (2) 如果∠EAF≥45°，则BE^2+CF^2≤EF^2. 证明 设AE为y，AF为z，AB=AC=a。 在△ABE，△ACF中[∠ABE=45°，∠ACF=45°]，根据余弦定理得: y^2=a^2+BE^2-a*BE*√2; BE^2=y^2-a^2+a*BE*√2; z^2=a^2+CF^2-a*CF*√2; CF^2=z^2-a^2+a*CF*√2. 两式相加得: BE^2+CF^2=y^2+z^2-2a^2+a√2(BE+CF)=y^2+z^2-2a^2+a√2(a√2-EF) =y^2+z^2-a√2EF。 注意到:△AEF面积的两种表示式 yzsin(∠EAF)/2=aEF/(2√2)  a√2EF=2yzsin∠EAF 所以有 BE^2+CF^2=y^2+z^2-2yzsin∠EAF 而在△AEF中，根据余弦定理得: EF^2=y^2+z^2-2yzcos∠EAF 对比上述两式，当∠EAF=45°时，有BE^2+CF^2=EF^2。 (1) 如果∠EAF≤45°，则tan∠EAF≤1，即BE^2+CF^2≥EF^2; (2) 如果∠EAF≥45°，则tan∠EAF≥1，即BE^2+CF^2≤EF^2.