分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：问一道中值定理的题目设f(x)在[0.1]上连续，在(0.1)内 
设f(x)在[0.1]上连续，在(0.1)内可导，f(0)=0，且|f'(x)|<=|f(x)|，求证f(x)=0.
回答：设f(x)在[0.1]上连续，在(0.1)内可导，f(0)=0，且|f'(x)|<=|f(x)|，求证f(x)=0.证明一 (i)因为f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，f(0)=0，所以由Lagrange中值定理有|f(x)|=|f(0)+f'(ξ1)x|≤|f(ξ1)|x,当限制x∈(0,1/2]时，则有|f(x)|≤|f(ξ1)|/2，(其中0<ξ1<x≤1/2)同理 |f(ξ1)|≤|f(ξ2)|/2，(其中0<ξ2<ξ1)……|f(ξ(n-1))|≤|f(ξ(n))|/2，(其中0<ξ(n)<ξ(n-1))由上面n个不等式得|f(x)|≤|f(ξ(n))|/2^n，(其中0<ξ(n)<ξ(n-1)<…<ξ1<x≤1/2)因为f(x)在闭区间[0,1/2]上连续，所以f(x)在闭区间[0,1/2]上有界，即存在M>0,使得对于任意x∈[0,1/2],有|f(x)|≤M,特别地，有  |f(ξ(n))|≤M，因此  |f(x)|≤M/2^n.令n→∞,则有|f(x)|≡0，x∈[0,1/2].(ii)由(i)证明的结论知f(1/2)=0.因为f(x)在[1/2,1]上连续，在(1/2,1)内可导，所以由Lagrange中值定理有|f(x)|=|f(1/2)+f'(η1)(x-1/2)|≤|f(η1)||x-1/2|≤|f(η1)|/2  ((其中1/2<η1<x≤1)同理 |f(η1)|≤|f(η2)|/2，(其中1/2<η2<η1)……|f(η(n-1))|≤|f(η(n))|/2，(其中1/2<η(n)<η(n-1))由上面n个不等式得|f(x)|≤|f(η(n))|/2^n，(其中1/2<η(n)<η(n-1)<…<η1<x≤1/2)因为f(x)在闭区间[1/2,1]上连续，所以f(x)在闭区间[1/2,1]上有界，即存在M'>0,使得对于任意x∈[0,1/2],有|f(x)|≤M',特别地，有  |f(η(n))|≤M'，因此  |f(x)|≤M/2^n.令n→∞,则有|f(x)|≡0，x∈[1/2,1].由(i),(ii)知|f(x)|≡0，x∈[0,1].证明二  (i)因为f(x)在[0,1/2]上连续，所以|f(x)|在[0,1/2]上也连续，由闭区间上连续函数的最大值最小值定理知，存在x1∈[0,1/2],使得|f(x1)|=max<0≤x≤1/2>|f(x)|=M;再由Lagrang中值定理有M=|f(x1)|=|f(0)+f'(ξ)(x1-0)|=|f'(ξ)|x1≤|f(ξ)|/2≤M/2,(其中0<ξ<x1≤1/2)所以  M=0,因此 |f(x)|≡0，x∈[0,1/2].(ii)因为f(x)在[1/2,1]上连续，所以|f(x)|在[1/2,1]上也连续，由闭区间上连续函数的最大值最小值定理知，存在x2∈[1/2,1],使得|f(x1)|=max<1/2≤x≤1>|f(x)|=M';再由Lagrang中值定理有M'=|f(x2)|=|f(1/2)+f'(η)(x1-0)|=|f'(η)|x1≤|f(η)|/2≤M/2,(其中1/2<η<x2≤1)所以  M'=0,因此 |f(x)|≡0，x∈[1/2,1].由(i),(ii)知|f(x)|≡0，x∈[0,1].证明三 (反证法)假设f(x)不恒等于0，则存在x'∈(0,1],使得f(x')≠0,不妨设f(x')>0.记x1=inf{x|在(x,x')内使得f(x)>0}，由连续函数的局部保号性定理知，只能是f(x1)=0,且在(x1,x')内f(x)>0.令g(x)=lnf(x),x∈(x1,x'),则|g'(x)|=f'(x)/f(x)|=|f'(x)|/|f(x)|≤1故知g(x)在(x1,x')内有界,而lim<x→x1+0>f(x)=f(x1)=0,所以lim<x→x1+0>g(x)=-∞,矛盾!因此原结论成立，即|f(x)|≡0，x∈[0,1].注记： 仿照证明三,或者仿照证明一、证明二并运用归纳法，可以证明：设f(x)在[0,+∞)上可导，且f(0)=0,|f'(x)|≤|f(x)|,则|f(x)|≡0，x∈[0,+∞).