分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：一个中线不等式设ma,mb,mc为三角形ABC的三条中线,R为其 
设ma,mb,mc为三角形AB的三条中线,R为其外接圆半径. 求证8[(ma)^3+(mb)^3+(mc)^3]=<27R^3
回答：设ma,mb,mc为三角形ABC的三条中线,R为其外接圆半径. 求证 
8[(ma)^3+(mb)^3+(mc)^3]=<27R^3 

更正 8[(ma)^3+(mb)^3+(mc)^3]=<81R^3

因为 4R=abc/S   S表示三角形面积.

运用三角形中线对偶定理,所证不等式等价于
9S^3*(a^3+b^3+c^3)=<8(ma*mb*mc)^3     (1)

再运用中线不等式:
8R*ma*mb*mc>=(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2     (2)

===>
[(bc)^2+(ca)^2+(ab)^2]^3>=9(abc)^3*(a^3+b^3+c^3)   (3)

(3)式的证明不复杂了.