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问题：证明C[a,b]的完备化空间是L[a,b]证明:C[a,b]的完 
证明:[a,b]的完备化空间是L[a,b]，其中C[a,b]中的 距离为：|f-g|的积分值。
回答：由于L[a,b]是完备空间，只需证明C[a,b]在L[a,b]中稠密。

1.
对于任意f∈L[a,b],任意ε>0,
简单函数g(x)=c1χ(E1,x)+...+ctχ(Et,x),
使∫{[a,b]}|g(x)-f(x)|dx<ε/2,
取A=max{|ci|,1≤i≤t}
==>
|g(x)|≤A,x∈[a,b],

2.
根据Lusin定理得：有h∈C[a,b],使
m({x,g(x)≠h(x)})<ε/(4A),
且|h(x)|≤A,x∈[a,b].
设E={x,g(x)≠h(x)})
==>
∫{[a,b]}|g(x)-h(x)|dx=
=∫{E}|g(x)-h(x)|dx<2Am(E)<ε/2
==>
||f-h||=∫{[a,b]}|f(x)-h(x)|dx<ε.

所以C[a,b]在L[a,b]中稠密。