分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：大一微积分函数问题(1)设f(x)是[0,+∞）上的单减函数，证 
(1) 设f(x)是[0,+∞）上的单减，证明：对任何满足λ+μ=1的正数λ，μ及x∈[0,+∞),有下列不等式成立：  f(x)≦λf(λx)+μf(μx)(2)设f(x)/x是(0,+∞)内的单减函数，证明：对任何满足λ+μ=1的正数λ，μ及x∈（0,+∞)，有下列不等式成立： f(x)≦f(λx)+f(μx) 并由此证明：对任何正数a，b，有下列不等式成立：f(a+b)≦f(a)+f(b)
回答：这是初等数学。不是大一微积分。

(1) λx≦x, μx≦x, f(x)≦f(λx), f(x)≦f(μx)
f(x)=(λ+μ)f(x)=λf(x)+μf(x)≦λf(λx)+μf(μx)；

(2)令g(x)=f(x)/x，则由(1)知：g(x)≦λg(λx)+μg(μx)，
即 f(x)/x≦λ[f(λx)/(λx)]+μ[f(μx)/(μx)]，
于是可得 f(x)≦f(λx)+f(μx)；

(3)若f(x)是(0,+∞）上的单减函数，
由(2)可知：对任何满足λ+μ=1的正数λ，μ及x∈（0,+∞)，
总成立不等式  f(x)≦f(λx)+f(μx)。
对任何正数a，b，令x=a+b，记 λ=a/(a+b)，μ=b/(a+b)，
则 λ，μ及x∈（0,+∞)，且 λ+μ=1。
代入 f(x)≦f(λx)+f(μx)，
即可得 f(a+b)≦f(a)+f(b)。