分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：用函数增减性定义证明：f(x)=2x+sinx在(,)内是严格递? 
用增减性定义证明：f(x)=2x+sinx在(,)内是严格递增函数。
回答：用增减性定义证明： f(x)=2x+sinx在(－∞,＋∞)内是严格递增函数。对于不太简单的函数，利用函数增减性的定义来证明函数的单调性比利用导数证明单调性要复杂得多。为了满足楼主的要求，下面给出利用函数增减性定义的证明。证明 设任意x1,x2∈(－∞,＋∞)，且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=(2x1+sinx1)-(2x2+sinx2)=2(x1-x2)+(sinx1-sinx2)=2(x1-x2)+2cos((x1+x2)/2)*sin((x1-x2)/2)=2(x1-x2)[1+cos((x1+x2)/2)*sin((x1-x2)/2)/(x1-x2)]  (1)由已知不等式：sinα<α(其中0<α<π/2)知，当0<x2-x1<π/2|cos((x1+x2)/2)*sin((x1-x2)/2)/(x1-x2)|<=sin((x2-x1)/2)/(x2-x1)<1/2<1;当x2-x1>π/2>,显然有 |cos((x1+x2)/2)*sin((x1-x2)/2)/(x1-x2)|<|sin((x2-x1)/2)|/(x2-x1)<1/(π/2)=2/π<1,所以，任意x1,x2∈(－∞,＋∞)，且x1<x2，恒有|cos((x1+x2)/2)*sin((x1-x2)/2)/(x1-x2)|<1,即 -1<cos((x1+x2)/2)*sin((x1-x2)/2)/(x1-x2)<1,于是知 1+cos((x1+x2)/2)*sin((x1-x2)/2)/(x1-x2)>0.    (2)由(1),(2)及x1<x2知f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2),因此，由定义知：f(x)=2x+sinx在(－∞,＋∞)内是严格递增函数.