分类：教育/科学-理工学科-数学
问题：不等式问题设x,y,z&gt;１，且x+y+z=9.求证2√[6 
设x,y,z>１，且x+y+z=9.求证
2√[6xyz(27+xyz)]≥3(yz+zx+xy)+5xyz

回答：设x,y,z>１，且x+y+z=9.求证 4√[xyz(729+19xyz)]≥9(yz+zx+xy)+19xyz            (1)(1)式配不平,左边的19,猜测应该22.才对吧！4√[xyz(729+22xyz)]≥9(yz+zx+xy)+19xyz            (2)证明 对(2)式平方,再齐次化,得:16xyz[(x+y+z)^3+22xyz]≥[(x+y+z)(yz+zx+xy)+19xyz]^2  (3)(3)<==>16xyz[∑x^3+3∑x^2*(y+z)+28xyz]≥∑x^4*(y^2+z^2)+2∑(yz)^3+2xyz∑x^3+40xyz∑x^2*(y+z)+367(xyz)^2<===>-∑(y^2+z^2)x^4-2∑(yz)^3+xyz[∑x^3+2∑(y+z)x^2-42xyz]≥0 (4)当x>1,y>1,z>1,且x+y+z=9时.易验证:(y+z)^2<(x+y)^2+(x+z)^2+(x+y)*(x+z)<===>yz<3x(x+y+z)==>  (y+z)^2<12*9不失一般性x=min(x,y,z),因此我们只需在yz<3x(x+y+z)情况下证明(4)式成立即可.(4)式分解如下:[12yz(x+y)*(x+z)-16(yz)^2](x-y)*(x-z)+[12x^2*yz+14xyz(y+z)-x^4-2x^3*(y+z)-x^2*(y^2+z^2)-(yz)^2](y-z)^2≥0<===>4yz[3x(x+y+z)-yz](x-y)*(x-z)+yz[3x(x+y+z)-yz]*(y-z)^2+x[9xyz+11yz(y+z)-x^3-2x^2*(y+z)-x(y^2+z^2)]*(y-z)^2≥0∵x=min(x,y,z),yz<3x(x+y+z).∴上式成立.从而(2)式得证.