Phase transitions in planar statistical mechanics

Diese Arbeit widmet sich der Untersuchung von Phasenübergängen und dem damit verbundenen Verhalten im Ashkin–Teller (AT)-Modell auf dem Quadratgitter \(\Z^2\) und seinen verwandten Modellen, einschließlich der Sechs- und Acht-Vertex-Modelle, des Potts-Modells und der FK-Perkolation. Das AT-Modell wurde als Verallgemeinerung des Ising-Modells eingeführt und kann durch ein Paar von Ising-Spin-Konfigurationen mit Kopplungskonstanten \(J,J'\) für jede von ihnen und \(U\) für ihr punktweises Produkt, welches deren Zusammenspiel beschreibt, dargestellt werden. Die Arbeit kann in drei Teile gegliedert werden. Der erste Teil untersucht das isotrope (\(J=J'\)) ferromagnetische AT-Modell auf dem Quadratgitter \(\Z^2\). Wir bestätigen das Auftreten eines einzigen Phasenübergangs wenn \(J\geq U&gt;0\) und von zwei verschiedenen wenn \(U&gt;J&gt;0\). Im ersten Fall identifizieren wir den Übergang an der selbst-dualen Kurve. Im zweiten Fall zeigen wir, dass die beiden unterschiedlichen Übergangskurven zueinander dual sind. Ein wesentlicher Teil ist die genaue Untersuchung des selbst-dualen Modells durch seine Zusammenhänge mit dem Sechs-Vertex-Modell und der selbst-dualen FK-Perkolation. Das Hauptresultat in diesem Zusammenhang ist die \emph{exponentielle Abnahme der Korrelationen der einzelnen Spins und die gleichmäßige Positivität der Korrelationen des Produkts, jeweils im endlichen Volumen und unter den ungünstigsten Randbedingungen, wenn \(U&gt;J\). Im zweiten Teil betrachten wir das AT-Modell in der Gegenwart negativer Kopplungskonstanten auf den Ganzzahlgittern \(\Z^d\) in beliebigen Dimensionen \(d\geq 2\) und wir bestätigen sowohl ferromagnetisches als auch antiferromagnetisches Verhalten. Wir weisen zunächst die Existenz einer partiellen antiferromagnetischen Phase im isotropen Modell in einem perturbativen Unterregime nach. In \(d=2\) zeigen wir, dass die zugehörige gestaffelte Sechs-Vertex-Höhenfunktion lokalisiert ist, während sie gleichzeitig antiferromagnetisches Verhalten aufweist. Anschließend demonstrieren wir ferromagnetisches Verhalten, indem wir ein weiteres Unterregime in eine Familie von glatten Kurven partitionieren, entlang derer das Modell einen subkritisch scharfen Ordnungs-Unordnungs-Phasenübergang durchläuft, wodurch die Schwierigkeit des Fehlens allgemeiner Monotonieeigenschaften in den Parametern umgangen wird. Der dritte Teil baut auf dem ersten auf und behandelt das zugehörige selbst-duale Potts-Modell mit \(q&gt;4\) Zuständen auf dem Quadratgitter \(\Z^2\). Unter Ordnungs-Unordnungs-Dobrushin-Randbedingungen auf einer Box der Größe \(n\) weisen wir nach, dass die Grenzfläche zwischen den geordneten und ungeordneten Phasen dünn ist, Fluktuationen der Ordnung \(\sqrt{n}\) aufweist und reskaliert zu einer Brownschen Brücke konvergiert. Dies wird durch eine Kopplung mit einer graphischen Darstellung des AT-Modells erreicht, die es ermöglicht, die Grenzfläche des Potts-Modells mit einem subkritischen Cluster in Relation zu setzen, der darauf bedingt ist lange zu sein, und dann die renommierte Ornstein--Zernike-Theorie zu entwickeln, um die Konvergenz des Letzteren zu deduzieren. In einer weiteren Arbeit, die nicht Teil dieser Dissertation ist, bauen wir auf diesem Projekt auf und weisen das sogenannte Benetzungsphänomen nach. Wir präsentieren die relevante Kopplung des Potts-Modells unter Ordnungs-Ordnungs-Dobrushin-Randbedingungen und einer graphischen Darstellung des AT-Modells unter der Bedingung, dass zwei lange Cluster existieren, welche sich als gegenseitig abstoßend herausstellen.