## 3 Localization Method
### Initial Solution  
To guarantee convergence of the GN iteration, this paper introduces an SDR method that transforms the nonconvex ML problem into a convex one, thereby forming an SDP problem. Let us start by considering the ML cost function (15) and reformulating it as a constrained optimization problem,  
\[ \begin{split}&\min_{\mathbf{u},\mathbf{\mathsf{a}},\mathbf{\mathsf{d}},\mathbf{ \mathsf{d}}}(\mathbf{\mathsf{r}}-\mathbf{\mathsf{A}}\mathbf{\mathsf{d}})^{T}\mathbf{\mathsf{Q}}^ {-1}(\mathbf{\mathsf{r}}-\mathbf{\mathsf{A}}\mathbf{\mathsf{d}})+(\dot{\mathbf{\mathsf{r}}}-\mathbf{ \mathsf{A}}\mathbf{\mathsf{d}})^{T}\mathbf{\mathsf{Q}}^{-1}(\dot{\mathbf{\mathsf{r}}}-\mathbf{ \mathsf{A}}\mathbf{\mathsf{d}})\\ &\text{s.t.}\ \ \ d_{i,k}=\left\|\mathbf{\mathsf{u}}_{k}-\mathbf{\mathsf{s}}_{i,k} \right\|_{i},\\ &\dot{d}_{i,k}=\frac{(\dot{\mathbf{\mathsf{u}}}-\dot{\mathbf{\mathsf{s}}} _{i})^{T}(\mathbf{\mathsf{u}}_{k}-\mathbf{\mathsf{s}}_{i,k})}{\left\|\mathbf{\mathsf{u}}_{ k}-\mathbf{\mathsf{s}}_{i,k}\right\|},\quad i=1,\cdots,M,\quad k=1,\cdots,K,\end{split}  \tag{23}\]  
where  
\[\mathbf{\mathsf{d}}=[d_{1,1},d_{2,1},\cdots,d_{M,1},\cdots,d_{M,K}]^{T}, \tag{24}\] \[\mathbf{\mathsf{d}}=[d_{1,1},d_{2,1},\cdots,d_{M,1},\cdots,d_{M,K}]^{T}, \tag{25}\]  
and \(\mathbf{\mathsf{A}}=\mathbf{\mathsf{I}}_{K}\bigotimes\mathbf{\mathsf{B}}\), \(\mathbf{\mathsf{B}}=\left[-\mathbf{\mathsf{I}}_{M-1},\mathbf{\mathsf{I}}_{M-1}\right]\), \(\mathbf{\mathsf{Q}}=\mathrm{E}[\mathbf{\mathsf{n}}\mathbf{\mathsf{n}}^{T}]\), \(\mathbf{\mathsf{Q}}=\mathrm{E}[\mathbf{\mathsf{e}}\mathbf{\mathsf{e}}^{T}]\). Denote \(\mathbf{\mathsf{h}}=\left[\mathbf{\mathsf{d}}^{T},\mathbf{\mathsf{d}}^{T}\right]^{T}\), \(\mathbf{\mathsf{A}}_{1}=\mathbf{\mathsf{A}}[\mathbf{\mathsf{I}}_{MK},\mathbf{\mathsf{O}}_{MK \times MK}]\) and \(\mathbf{\mathsf{A}}_{2}=\mathbf{\mathsf{A}}[\mathbf{\mathsf{O}}_{MK\times MK},\mathbf{\mathsf{ I}}_{MK}]\). The problem given in (23) can be rewritten as  
\[\min_{\mathbf{\mathsf{u}},\mathbf{\mathsf{a}},\mathbf{\mathsf{h}}}(\mathbf{\mathsf{ r}}-\mathbf{\mathsf{A}}_{1}\mathbf{\mathsf{h}})^{T}\mathbf{\mathsf{Q}}^{-1}(\mathbf{\mathsf{r}}- \mathbf{\mathsf{A}}_{1}\mathbf{\mathsf{h}})+(\dot{\mathbf{\mathsf{r}}}-\mathbf{\mathsf{A}}_{2} \mathbf{\mathsf{H}})^{T}\mathbf{\mathsf{Q}}^{-1}(\dot{\mathbf{\mathsf{r}}}-\mathbf{\mathsf{A}} _{2}\mathbf{\mathsf{h}})\] (26a) s.t. \[\mathbf{\mathsf{h}}((k-1)M+\dot{i})=\left\|\mathbf{\mathsf{u}}_{k}-\mathbf{ \mathsf{s}}_{i,k}\right\|_{i}, \tag{26b}\] \[\mathbf{\mathsf{h}}((k-1+K)M+\dot{i})=\frac{(\dot{\mathbf{\mathsf{u}}}- \dot{\mathbf{\mathsf{s}}}_{i})^{T}(\mathbf{\mathsf{u}}_{k}-\mathbf{\mathsf{s}}_{i,k})}{ \left\|\mathbf{\mathsf{u}}_{k}-\mathbf{\mathsf{s}}_{i,k}\right\|},\] (26c) \[i=1,\cdots,M,\quad k=1,\cdots,K.\]  
The objective function (26a) for minimization is nonconvex. The convex equivalent form is  
\[\mathrm{tr}[(\mathbf{\mathsf{A}}_{1}^{T}\mathbf{\mathsf{Q}}^{-1}\mathbf{\mathsf{A}}_{1}+ \mathbf{\mathsf{A}}_{2}^{T}\mathbf{\mathsf{Q}}^{-1}\mathbf{\mathsf{A}}_{2})\mathbf{\mathsf{H}}] -2\mathbf{\mathsf{H}}^{T}(\mathbf{\mathsf{A}}_{1}^{T}\mathbf{\mathsf{Q}}^{-1}\mathbf{\mathsf{ r}}+\mathbf{\mathsf{A}}_{2}^{T}\mathbf{\mathsf{Q}}^{-1}\mathbf{\mathsf{r}}) \tag{27}\]  
where \(\mathbf{\mathsf{H}}=\mathbf{\mathsf{h}}\mathbf{\mathsf{h}}^{T}\) and \(\mathrm{tr}(\cdot)\) represents the trace of a matrix. Two constant terms (26b) and (26c) are discarded without affecting the results in (27). Acknowledging that the constraints (26b) and (26c) are nonconvex, they must be relaxed into convex constraints while maintaining a tight connection with the original ones. Let \(\mathbf{\mathsf{X}}=[\mathbf{\mathsf{u}},\mathbf{\mathsf{r}}\dot{\mathbf{\mathsf{u}}}]\) and \(\mathbf{\mathsf{Y}}=\mathbf{\mathsf{X}}^{T}\mathbf{\mathsf{X}}\).