## 3 Jacobian Matrix Derivation for MES
### Jacobian Matrix for DGN
#### 3.3.2 Modified Matrix-Based DGN Model  
\[F_{\rm g}^{2}=\left[ \begin{array}{l}\Delta f_{\rm L}=-A_{\rm g}f_{\rm P}+B _{\rm g}f_{\rm E}+f_{\rm L}+T_{\rm C}\tau_{\rm C}\\ \Delta d=W_{\rm N}\Pi+W_{\rm F}f_{\rm E}-d\\ \Delta\rho={\rm diag}(\rho)\left(\overline{f_{\rm D}}+\overline{T_{\rm Cd}}| \tau_{\rm C}|+\overline{B_{\rm gd}^{\rm C}}|f_{\rm C}|+\overline{B_{\rm gd}^{ \rm C}}|f_{\rm S}|+\overline{-A_{\rm gd}}|f_{\rm P}|+\overline{-\Delta f_{\rm L }}\right)\cdots\\ \cdots-\overline{-B_{\rm gd}^{\rm S}}{\rm diag}(g_{\rm P})|f_{\rm S}|-\sum\limits \limits_{\Gamma\in\mathcal{G}\mathcal{G}\mathcal{V}}\left(-B_{\rm g}^{\prime} \
ot{\epsilon}|f^{\prime}\right)-\overline{-B_{\rm gd}^{\rm C}}{\rm diag}(|f_ {\rm C}|)\overline{B_{\rm gd}^{\rm C}}^{\rm T}\rho\cdots\\ \cdots-\overline{A_{\rm gd}}{\rm diag}(|f_{\rm P}|)\overline{-A_{\rm gd}}^{\rm T }\rho-(\overline{-T_{\rm Cd}}|\tau_{\rm C}|+\overline{M_{\rm L}}+\overline{-f _{\rm D}})\cdot\rho_{\rm SP}\\ \Delta q={\rm diag}(q)\left(\overline{f_{\rm D}}+\overline{T_{\rm Cd}}|\tau_{ \rm C}|+\overline{B_{\rm gd}^{\rm C}}|f_{\rm C}|+\overline{B_{\rm gd}^{\rm C}}| f_{\rm S}|+\overline{-A_{\rm gd}}|f_{\rm P}|+\overline{-A_{\rm f}}| \right)\cdots\\ \cdots-\overline{B_{\rm gd}^{\rm S}}{\rm diag}(g_{\rm P})|f_{\rm S}|-\sum\limits \limits_{\Gamma\in\mathcal{G}\mathcal{G}\mathcal{V}}\left(-B_{\rm g}^{\prime} \
ot{\epsilon}|f^{\prime}\right)-\overline{-B_{\rm gd}^{\rm C}}{\rm diag}(|f_ {\rm C}|)\overline{B_{\rm gd}^{\rm C}}^{\rm T}q\cdots\\ \cdots-\overline{A_{\rm gd}}{\rm diag}(|f_{\rm P}|)\overline{-A_{\rm gd}}^{\rm T }q-(\overline{-T_{\rm Cd}}|\tau_{\rm C}|+\overline{M_{\rm L}}+\overline{-f_{ \rm D}})\cdot\mathbf{q_{\rm sp}}\end{array} \right] \tag{67}\]  
For the modified DGN model, its mismatch vector \(F_{\rm g}\
ot{\epsilon}\) is accordingly revised as  
In addition, the Jacobian matrix for the modified DGN model \(J_{\rm gg}\
ot{\epsilon}\) is also derived, which is identical to \(J_{\rm gg}\) except for the following elements:  
\[\left\{ \begin{array}{l}J_{31}=\left[\overline{A_{\rm gd}}{\rm diag}\left( \overline{-A_{\rm gd}}^{\rm T}\rho\right)-{\rm diag}(\rho)\overline{-A_{\rm gd }}-R_{\rho}A_{\rm gd}\right]\Gamma A_{\rm gd}^{\rm T}\cdots\\ \cdots+\left[{\rm diag}(\rho)\overline{T_{\rm Cd}}+{\rm diag}\left(\rho_{\rm sp }\right)\overline{-T_{\rm Cd}}-R_{\rho}|T_{\rm Cd}|\right]Y\\ R_{\rho}={\rm diag}\Big{[}\overline{(-\Delta f_{\rm L}}\cdot\rho+\overline{ \Delta f_{\rm L}}\cdot\rho_{\rm sp})\cdot|\Delta f_{\rm L}|^{-1}\Big{]} \end{array} \right. \tag{68}\]  
\[J_{32}=\left[ \begin{array}{c}-{\rm diag}(\rho)\overline{B_{\rm gd}^{\rm S}} -\overline{B_{\rm gd}^{\rm S}}{\rm diag}(\rho_{\rm S})+R_{\rho}\Big{|}B_{\rm g }^{\rm S}\\ B_{\rm g}^{\rm C}{\rm diag}\Big{(}\overline{B_{\rm gd}^{\rm C}}^{\rm T}\rho \Big{)}-R_{\rho}B_{\rm g}^{\rm C}+\left[{\rm diag}(\rho)\overline{T_{\rm Cd}}+{ \rm diag}\big{(}\rho_{\rm sp}\big{)}\overline{-T_{\rm Cd}}-R_{\rho}|T_{\rm Cd }|\right]\Xi\end{array} \right]^{\rm T} \tag{69}\]  
\[J_{33}=-\mu\chi^{-1}A_{\rm g}{\rm diag}(f_{\rm P})\overline{-A_{\rm gd}}^{\rm T }\big{[}E+R_{\rho}{\rm diag}(\rho^{-1})\big{]}+B_{\rm g}^{\rm C}{\rm diag}(f_ {\rm C})\overline{B_{\rm gd}^{\rm C}}^{\rm T}\cdots\\ \cdots+{\rm diag}\big{(}\overline{f_{\rm D}}+\overline{-\Delta f_{\rm L}}\big{)}+ \overline{T_{\rm Cd}}{\rm diag}(\tau_{\rm C})\overline{T_{\rm Cd}}^{\rm T}- \overline{B_{\rm gd}^{\rm S}}{\rm diag}(f_{\rm S})\overline{B_{\rm gd}^{\rm S}} ^{\rm S-T} \tag{70}\]  
\[J_{34}={\rm diag}\Big{[}R_{\rho}q^{-2}\cdot(|T_{\rm Cd}|\tau_{\rm C,st}+q\cdot \overline{f_{\rm D}})-\rho\cdot q^{-2}\cdot(\overline{T_{\rm Cd}}\tau_{\rm C,st}+q \cdot\overline{f_{\rm D}})-\rho_{\rm sp}\cdot q^{-2}\cdot(\overline{-T_{\rm Cd }}\tau_{\rm C,st}-q\cdot\overline{-f_{\rm D}})\Big{]} \tag{71}\]\[\left\{