掛谷集合

在數學中，掛谷集合或者貝西科維奇集合，是一個在歐幾里德空間中的點的集合，包含了在任何方向上的單位線段。例如，歐幾里德平面中的一個半徑為1/2的圓盤，或在三維空間中一個半徑為1/2的球，形成了一個掛谷集。 許多在此方面的研究已經研究了這樣的點集面積最小值的問題。 貝西科維奇表明貝西科維奇集可以為無限小集。掛谷轉針集合集合，單位線段在其中可以連續旋轉180度，使其與其原來的位置顛倒。半徑為的1/2圓盤也是掛谷轉針集合的一個例子。掛谷轉針問題.掛谷轉針問題，詢問在平面上是否有一個面積最小的區域"D"，在其中針可以旋轉360度。掛谷宗一於1917年首次對於凸集提出此問題。Pál的研究顯示，凸集的最小面積可以透過一個高為1和麵積為1/√3的 等邊三角形達到。掛谷似乎認為面積最小的沒有凸性限制的掛谷集 "D" 將是一個三尖瓣線。然而這是錯誤的；還有較小的非凸掛谷集合。貝西科維奇集合.貝西科維奇可以證明在其中單位長度的轉針可以旋轉一週的區域"D"的面積沒有一個大於0的下界。 這個結論建立於他早期對於每個方向上包含單位段的平面集的研究。這樣的集合現在被稱作貝西科維奇集合。 貝西科維奇在1919年的工作顯示這樣的點集可以有無限小量度的面積 。在此之前，分析學家可能已經考慮過這個問題。一種構造貝西科維奇集合的方法在O. 佩龍能夠簡化貝西科維奇的原始結構之後被稱作"佩龍樹"： 作一個高為1的三角形，將其分為二部，將每一部分平移到另一部分上，使得它們的底重合於一些較小的區間。然後這個新圖形便有了更小的面積。現在，想象我們把我們的三角形分為8個子三角形。對於每對相鄰的三角形，重演如上所述的重疊過程，獲得4個新圖形，每個包括兩個重疊的三角形。接著，將相鄰的新圖形移動，使其底部分重合，所以我們只剩下兩個圖形，最後用同樣方法將這兩個圖形重合。最後，我們得到了一個看上去像是樹之類的東西的圖形，但面積遠小於原來的三角形。為了構造更小的點集，將三角形細分為2"n" 個三角形，每個三角形的底長為2−"n"，並執行與我們之前兩次和八次劃分三角形時相同的操作。如果我們在每個三角形上所做的重疊量足夠小，並且我們三角形的細分割槽域的大小"n"足夠大，我們就可以形成一棵我們想要的面積最小的樹。一個貝西科維奇集合可以由等邊三角形產生的佩隆樹的三個旋轉組合而成。進一步採用該方法，我們可以構造一個集合序列，其交集是一個度量零的貝西哥維奇集合。這樣做的一種方法是觀察，如果我們有一個平行四邊形，兩個邊在"x"=0和"x"=1線上，那麼我們就可以找到一個平行四邊形的並集，這些平行四邊形的邊也在這些線上，它們的總面積是任意小的，並且包含了平行四邊形中將"x"=0上的一個點連線到"x"=1上的一個點的所有直線的平移。這可由貝西奧維奇的構造方法稍變化而得。重複以上，我們可以找到一個集合序列formula_1每一個直線"x"=0和"x"=1之間的平行四邊形的有限並集，其面積趨向於零，並且每一條都包含單位面積中連線"x"=0和"x"=1的所有直線的平移。這些集合的交集是一個包含所有這些線的轉換的度量零集，因此這個交集的兩個副本的並集是一個度量零的貝西科維奇集。除了“萌芽”方法之外，還有其他方法可以構造貝西科維奇的度量零集。例如使用康托爾集在二維平面中構造一個貝西科維奇測量零點集。掛谷轉針集合.透過使用Pál的技巧，即所謂的Pál連線，可以從由佩龍樹組成的貝西科維奇集合建立一個單位線段可以在其中連續旋轉180度的集合。1941年，H.J.van Alphen證明在半徑為2+ε的圓記憶體在任意小的掛谷轉針集合。1965年，人們發現了面積比三尖瓣線小的單連通的掛谷轉針集合。Melvin Bloom和I.J.Schoenberg各自獨立證明了掛谷轉針集合的面積趨近於布盧姆·勳伯格數formula_2。勳伯格推測這個數字是單連通掛谷轉針集合面積的下限。然而，在1971年，F.Cunningham指出，當ε&gt;0時，半徑為1的圓記憶體在一個面積小於ε的單連通的掛谷轉針集合。雖然有測量為任意小正數的掛谷轉針集合和測量為0的貝西科維奇針組，但沒有測量為0量的卡基亞針組。掛谷猜想.猜想敍述.然後，在更高維度中，也可以問最小的貝西科維奇集合有多大。這個問題衍生了許多稱為掛谷猜想的猜想，並且開拓了稱為幾何測度論的數學領域。特別是，如果存在測度為零的貝西科維奇集，那麼是否存在某些小於它們所處空間的維數的維度 "s"，使得該掛谷集具有 "s" 維豪斯多夫測度零？這個問題產生了以下猜想：掛谷集合猜想：將R"n"中的貝西科維奇集合定義為一個包含每個方向的單位線段的集合。這樣的集合的豪斯多夫維數和閔科夫斯基維數等於n.已知這對於"n" = 1,2是正確的，但是在更高維度中僅知道部分結果。掛谷最大值函式.解決這個問題的一種現代方法是考慮一種特殊型別的最大函式，我們將其構造如下：將 S"n"−1 ⊂ R"n" 表示為n維空間中的單位球。定義formula_3為長度為1，半徑δ&gt; 0的圓柱體，以點 "a" ∈ R"n"為中心，其長邊平行於單位向量"e" ∈ S"n"−1的方向。然後對於區域性可積函式f，我們定義f的掛谷極大值函式formula_4其中"m"表示n維勒貝格度量。請注意formula_5定義為球體S"n"−中的向量e。然後對這些函式進行猜想，如果猜想是真的，將推出更高維度的掛谷集猜想：掛谷極大函式猜想：對於所有ε &gt; 0，存在一個常數"Cε" &gt; 0，這樣對於任何函式f和所有δ&gt; 0，formula_6成果.以下是一些有利於證明掛谷猜想的成果：在分析學的應用.有些令人驚訝的是，這些猜想已經被證明與其他領域的一些問題有關，特別是在諧波分析中。例如，在1971年，Charles Fefferman能夠使用貝西科維奇集構造來證明，在大於1的維度中，當p≠2時，截斷的傅立葉積分不需要在"Lp"範數中收斂。掛谷問題的類比和推廣.包含圓和球體的集合.掛谷問題的一個類推，是要求集合包含其他形狀，例如圓形或球面，而非原問題的線段。包含k維圓盤的集合.掛谷猜想的一個推廣是考慮包含每個k維子空間的一部分的集合，而不是每個方向的線段。定義("n", "k")-貝西科維奇集"K" 為R"n" 中的緊緻集，其勒貝格測度為零，且包含每個方向的k維單位圓盤的平移，即：若以"B"表示以零為中心的單位球，則對於每個k維子空間"P"，存在"x" ∈ R"n"使得("P" ∩ "B") + "x" ⊆ "K"。因此，("n", 1)-貝西科維奇集就是前面描述的標準貝西科維奇集。("n", "k")-貝西科維奇猜想：對於"k" &gt; 1，不存在("n", "k")-貝西科維奇集。1979年，Marstrand證明了不存在(3, 2)-貝西科維奇集。大約在同一時間，Falconer證明了當2"k" &gt; "n"時，不存在("n", "k")-貝西科維奇集。截至2020年，最優的成果是，Bourgain證明了當2"k"−1 + "k" &gt; "n"時，不存在這樣的集。在有限域的向量空間的掛谷集.1999年，Wolff提出了Kakeya問題的有限域模擬，希望解決這一猜想的技術可以推廣到歐幾里德情形。有限域Kakeya猜想：令F為有限域，令"K" ⊆ Fn為掛谷集，即對於每個向量"y" ∈ F"n"存在"x" ∈ F"n"使"K"包含一條直線{"x" + "ty" : "t" ∈ F}。集合"K"的大小至少為"cn"|F|"n" ，其中"cn"&gt;0是隻與"n"有關常量。Zeev-Dvir在2008年證明了這個猜想，表明這個說法適用於"cn" = 1/"n"!。 在他的證明中，他觀察到掛谷集上"n"元次數低於|F|的為零的多項式必須為零。另一方面，次數低於|F|的"n"元多項式形成有以下維數的向量空間：formula_10因此，至少有一個次數小於 |F|的非平凡多項式在任何給定集上收斂，且點數小於此數。結合這兩個觀察結果，Kakeya集必須至少有|F|"n"/"n"! 個點。現在仍未清楚這些技術是否會延伸到證明原始掛谷猜想，但這一證明確實使基本代數反例不太可能，從而為原始猜想提供了可信度。Dvir撰寫了一篇關於有限域掛谷問題及其與隨機抽取器關係的綜述文章。