三維點群

幾何學中，三維點群是三維空間中，任何一個固定原點的對稱群。等價的說法是，其為球面的對稱群。此類群皆為正交群formula_1的子群，即固定原點的全體等距同構組成的群，亦可視為全體正交矩陣的乘法群。formula_1本身則是全體等距同構的歐氏群formula_3的子群。立體的對稱群必由等距同構組成，反之，要分析等距對稱構成的群，就是分析所有可能的對稱。有界三維立體的全體等距同構，必存在共同的不動點，不妨設其中之一為原點。立體的對稱群，有時稱為全體對稱群作強調，用以突顯與旋轉群的分別。立體的旋轉群是其全體對稱群與三維空間本身的旋轉群formula_4之交。立體的旋轉群等於全體對稱群，當且僅當立體具。三維點群在化學廣泛用於描述分子的對稱，及組成共價鍵的分子軌域的對稱。此背景下，也稱分子對稱群。有限考克斯特群是一族特殊的點群，僅由過原點的若干個鏡射生成。formula_5階考克斯特群是由formula_5個鏡射生成，可以表示。則改為用方括號和數字描述，並設有其他標記，用以表示旋轉群或其他子群。群結構.formula_4是直接歐氏群formula_8的子群，其元素皆是直接等距同構，即保持定向的等距變換。formula_4僅含保持原點不變的直接等距同構。formula_1則是formula_4與點反演生成的群formula_12的直積：formula_16所以，三維空間中，藉點反演，可以得到直接與間接等距變換之間的一一對應，此外，formula_1中僅由直接等距變換組成的子群formula_18描述反射面的方向，以旋轉軸為豎直，故反射面水平即垂直於與旋轉軸，反射面豎直即包含為旋轉軸。相應下標用字母h和v。最簡單的非平凡軸向群皆同構於抽象群formula_112，但是formula_1的不同子群：第一組單軸迴圈群中，formula_54的階為formula_5，則生成formula_123，階為formula_124。若不加入與軸垂直的鏡面，但加入formula_5塊透過軸的鏡面，則得到formula_126，階亦為formula_124。後者是正formula_5稜錐的對稱群。具formula_54或formula_111的典型物體是螺旋槳。若上述兩種鏡面皆加入，則水平鏡面與豎直鏡面相交得到formula_5條軸，而鏡射的複合生成繞該些軸的formula_65旋轉，故群不再單軸。新群的階為formula_133，記為formula_134。其旋轉子群為formula_124個元素的二面體群formula_111，仍有與主旋轉軸垂直的二重旋轉軸，但不再有鏡面。注意，在二維，formula_111包括鏡射，但鏡射也可以視為將不辨前後之別的扁平物體翻轉得到。但在三維，鏡射與翻轉不再相同：群formula_111有翻轉但無鏡射。餘下一類是formula_140，其有包含主旋轉軸的豎直鏡面，但沒有水平鏡面，取而代之的操作是先水平鏡射，再旋轉formula_142。formula_134是正formula_5稜柱和雙稜錐的對稱群。formula_145則是正formula_5角反稜柱的對稱群，亦是正formula_5方偏方面體的對稱群。最後，formula_111是稍稍扭過的正formula_5稜柱的對稱群。formula_150及formula_151較特殊，因為並無特別的主旋轉軸：三條互相垂直的旋轉軸皆為二重軸。formula_150是下節所有多面體對稱群的子群，而formula_151則是多面體群formula_154與formula_155的子群。formula_150可以作為下列化學品的對稱群：formula_150的元素，與的可逆元表示的旋轉，有一對二的關係。群formula_158由「先關於水平面作鏡射，再旋轉formula_100」生成。對於奇數formula_5，是等於前述兩個操作分開執行，生成的群formula_123，階為formula_124，故不必用到記號formula_158。然而，對偶數formula_5，兩個群有差異，且formula_158僅有formula_5個元素。與formula_140類似，其包含若干瑕旋轉，但不包含對應的旋轉。七列軸向群的元素僅有下列四對重複：formula_115是由獨一個點反演生成的formula_33階群，又記為formula_114。此處「重複」是指作為formula_1的子群共軛，是強於作為抽象群代數同構的條件。例如，前一種意義下，有三個不同的formula_33階群，但祇有一個formula_33階抽象群。類似，也有formula_190與formula_191抽象同構。群的構造亦可描述如下：取formula_5趨向formula_231的極限，則得到連續軸向群：七個其他點群.餘下七個點群又稱為高度對稱或多面體對稱，因為有多於一條旋轉軸的重數大於二。下表中，formula_54表示一條formula_5重軸，即旋轉角為formula_234，formula_158則表示同樣旋轉角的瑕旋轉軸。所用記號，首先是字母表示的，然後括號內為，然後為及圖，最後是赫爾曼–莫甘記號及倘有的簡寫。相關的連續群有：如無窮等距變換群一節所言，任何物理實體，若有formula_21對稱性，則必有formula_241對稱性。軌形記號與階.若已知群的軌形記號，則可計算其階數，等於formula_33除以的尤拉示性數。軌形的尤拉示性數是將formula_33減去軌形記號中，各符號特徵數的總和：此公式同樣適用於與：對該等群，特徵數之和為formula_33，所以階數是無窮大。亦見條目。反射考克斯特群.三維反射點群又稱為考克斯特群，能以表示，是交於同一個中心點的若干鏡面反射生成的群。該些鏡面將球面分割成球面三角形區域。若考克斯特群能以少於三個鏡射生成，則該球面三角形退化，變成或半球面。在，該些群是formula_257、formula_258、formula_259、formula_260。不可約群的鏡面數是formula_261，其中formula_262是群的，而formula_5是反射方向的秩，等於符號的下標。旋轉群.有限旋轉群，即formula_4的有限子群，僅有：迴圈群formula_54。特別地，二面體群formula_270、formula_271等，是平面正多邊形嵌入到三維空間後的旋轉群。此種薄片也可以視為退化的正稜柱，或稱為二面體，二面體群因而得名。當且僅當物體有時，其旋轉群等於整個對稱群。換言之，手性物體就是對稱群在旋轉群列表中的物體。用、，及括號內的表示，旋轉群是：旋轉群與其他群的對應.下列群有點反演：如上文所述，此種群與所有旋轉群之間，有一一對應：下列群具有間接的等距變換，但無點反演：上述各群分別對應一個旋轉群formula_18及其指標formula_33的子群formula_34，使得該群是由formula_18的元素，加上formula_43經點反演後的元素得到，如上文所述：極大對稱群.離散點群中，formula_155和formula_334並非任何其他離散點群的真子群，故謂極大。其公共子群中，最大的是formula_335。由此，可以將二重旋轉對稱改成四重而得formula_336，亦可加入五重旋轉對稱而得formula_334。類似地，有兩個晶體學點群並非任何其他晶體學點體的真子群：formula_155與formula_339。視乎方向，其極大公共子群為formula_340或formula_341。按抽象群同構分類.下列若干個表，將前述諸群，按抽象群同構分類。最小幾個不能表示成三維對稱群的抽象群為：formula_342階的四元群、formula_343階的formula_344、formula_345階的formula_346，以及十四個formula_347階群的其中十個。下表中，「formula_33階元素數」一列，數算formula_349三類等距變換子群的總數，是有助分辨抽象群型別的特徵數，而該總數之內，各類等距變換子群的數目，則有助辨別屬同一類抽象群的不同等距變換群。迴圈群.formula_5重旋轉對稱的對稱群為formula_54。其抽象同構類是迴圈群formula_352，亦可記作formula_54。然而，另有兩列對稱群同構於迴圈群：故可總結出下表：二面群.二維二面體群formula_111有旋轉和反射，但二維反射亦可視為在三維空間中，將不區分正反面的薄片翻轉。然而在三維，反射與翻轉須作區分。以formula_111表示的對稱群，有formula_5條二重軸，與formula_5重的主旋轉軸垂直，但無反射。formula_111是正formula_5稜柱、正雙formula_5角錐、正formula_5角反稜柱、formula_5方偏方面體的旋轉群。若略作改動，如在每面加上相同的標記，或稍為改變形狀，則可以使物體具有手性，從而令formula_111為其全對稱群。相應的抽象群型別是二面體群formula_376，亦可照樣記為formula_111。但除formula_111外，還有三個無窮序列的對稱群，同構於二面體群：注意有以下同構：formula_391於是可以整理出下表：其他.formula_395的階數為formula_133，同構於抽象群formula_397。在formula_388時，formula_395等同formula_400，已於上小節討論，故本小節僅考慮formula_401的情況。此係列的群可以整理成下表：formula_134的階數為formula_133，同構於抽象群formula_404。對於奇數formula_5，已於上小節討論，故此處僅考慮階數為formula_406的群formula_407，其抽象群類別為formula_408。此係列的群可以整理成下表：餘下七個多面體群是：基本域.點群的基本域是錐體。若物體有給定的對稱群，則指明物體的某一個基本域變換至哪個基本域，就足以確定該變換。另外，僅從該件物體在一個基本域內的形狀，就足以確定整件物體的形狀。若物體是曲面，則可由其被一個基本域截得的部分確定，該部分亦是，兩者的邊界未能貼合，則需要新增徑向的面或其他曲面，以使各基本面連線成一個整體。若基本面以反射面為界，則必然貼合。基本面可以取為任意平面被基本域所截的部分，如此得到一個多面體，具有給定的對稱群，如四角化菱形三十面體的每一個面，即為全的一個基本面。若調整該面的方向，則有時可以使相鄰的若干個基本面共面，而合併成同一個面，得到具同樣對稱群的其他多面體，如正十二面體和正二十面體。若基本面的邊界能夠貼合，且基本面的法向量是在基本域內，則所得的多面體為凸多面體。基本面也可以取為其他形狀，不必在同一平面內，例如可取為若干個不同平面的區域連線而成的曲面。二元多面體群.考慮三維旋量群formula_410到旋轉群formula_4的二重覆疊投映。由於formula_410已是單連通，故為formula_4僅有的非平凡連通覆疊。由，formula_410與formula_4的子群之間有伽羅瓦連線：formula_410子群投映到formula_4，必為旋轉子群，而反之，旋轉子群的原像亦必為是formula_410的子群。注意formula_410可以等價描述成特殊酉群formula_420，或是單位四元數群，亦屬李群，拓撲上同胚於三維球面formula_421。有限點群的原像稱為二元多面體群，記作formula_422，與formula_423對應，而名稱則是相應點群的名稱加上「二元」字首，階數為點群階數的兩倍。例如，formula_424的原像，便是formula_425。二元多面體群為：該些群能按，而formula_442在二元多面體群作用下的商空間，是。對於不保定向的點群，情況較複雜，因為有兩個Pin群，所以對應給定的點群，有兩個可能的二元群。注意前述「覆疊」僅是群的覆疊，而不是多面體空間的覆疊：球面本身單連通，並無非平凡覆疊。所以，並無所謂「二元多面體」覆疊原有的多面體。二元多面體群是旋量群的離散子群，所以若選定旋量群的表示，作用於一個向量空間，則該二元多面體群在該表示下，可能將某個多面體映到自身，例如在formula_443對映下，二元多面體群作用為旋轉，與底下的群是同一個多面體的等距變換，然而，在或其他表示下，二元多面體群可以作用在不同的多面體上。二元多面體群不是的對稱群。球面確實覆疊射影空間，故可以考慮射影空間的密鋪，視之為另一種「多面體」，即射影多面體，但是，考慮二元多面體群時，並非取多面體所覆疊的空間，而是取覆疊對稱群的群，所以兩件事不相同。