巴拿赫-阿勞格魯定理

泛函分析和鄰近數學分支中，巴拿赫-阿勞格魯定理或阿勞格魯定理證明，閉區間上連續函式的空間formula_1，其連續對偶空間的單位球，為弱*。1932年，斯特凡·巴拿赫證明，任何可分賦範向量空間的連續對偶中，閉單位球必為弱*序列緊。一般情況的證明，是由於1940年發表。納裡奇與貝肯斯坦書中，引述Pietsch [2007]指，至少有12個數學家可以主張自己證明此定理或某個重要前身。布林巴基-阿勞格魯定理。敍述.一般敍述.對於域formula_2上的向量空間formula_3，以formula_4表示其代數對偶。兩者由雙線性求值對映formula_5所聯絡，該對映由formula_6定義。所以，三元組formula_7組成，稱為典範對偶系。若formula_3進一步具有拓撲，即為拓撲向量空間，則可分辨其上的函式連續與否，並定義其連續對偶formula_9為代數對偶formula_4中，連續泛函組成的子集。以formula_11表示formula_4上的。類似有formula_13是formula_9上的弱*拓撲。弱*拓撲又稱逐點收斂拓撲，因為給定對映formula_15和一網對映formula_16，網formula_17在弱*拓撲中收斂至formula_15，當且僅當對定義域中每點formula_19，函式值組成的網formula_20收斂到formula_21。阿勞格魯定理設formula_3為任意拓撲向量空間，其formula_27在formula_9上的formula_13中，必為緊集。此外，formula_30亦是formula_25相對於典範對偶系formula_7的極集，在拓撲空間formula_33同樣為緊。賦範特例.若formula_3為賦範向量空間，則原點鄰域的極集，在對偶空間中為閉，且其範數有上界。特別地，若formula_25為formula_3的開。此時，定理化為以下特例：巴拿赫-阿勞格魯定理若formula_3為賦範空間，則連續對偶空間formula_9中，運算元範數的閉單位球，為中的緊集。當formula_3的連續對偶formula_9是無窮維賦範空間時，formula_9中的閉單位球，不可能是平常範數拓撲的緊集。原因是，範數拓撲的閉單位球為緊，當且僅當空間為有限維。此定理顯示出，在同一個向量空間上，考慮不同的拓撲，到㡳有何用。但注意，巴拿赫-阿勞格魯定理並不推出弱*拓撲為區域性緊，因為僅知閉單位球在中為原點的鄰域，在弱*拓撲中則不一定。弱*拓撲中，單位球的內部可能為空，除非空間為有限維。實際上，韋伊證明，區域性緊的豪斯多夫拓撲向量空間必為有限維。證明.對偶理論證明.記formula_3的基域為formula_2，此處為實數域formula_46或複數域formula_47。證明會用到、、連續線性運算元的基本性質，可些條目，以下亦會簡單提及。先列舉一些常見定義和性質。當代數對偶formula_4配備formula_11時，為一個豪斯多夫拓撲向量空間，記為formula_33。空間formula_33總是，但連續對偶formula_52則不一定，此即證明需牽涉formula_33的原因。具體而言，本證明用到的性質是：完備豪斯多夫空間的子集為緊，當且僅當其為閉，且。注意formula_9從formula_33繼承的子空間拓撲，等於弱*拓撲formula_13。為驗證此事，只需檢查對每個formula_57，formula_9中的網在其中一個拓撲中收斂到formula_59，當且僅當在另一個拓撲中亦然。三元組formula_60也是，但與formula_7不同，前者一般而言未必是對偶系。以下定義極集時，會註明是對於何種對偶而言。設formula_25為formula_3原點的鄰域，又設：極集的基本性質有formula_74。下證巴拿赫-阿勞格魯定理，分若干步：較初等的證明.以下證明，僅用到集合論、點集拓撲、泛函分析的基本概念。拓撲方面，需要熟悉使用拓撲空間中的網、積拓撲、兩者與逐點收斂的關聯。設向量空間formula_3的基域為formula_2，為實數系formula_46或複數系formula_47兩者之一。對任意實數formula_144，以formula_145表示以原點為球心，半徑為formula_144的閉球。在formula_147中，此為緊的閉集。極集的等價表示.由於formula_25是formula_3中原點的鄰域，可知formula_25亦是formula_3的吸收集，即對每個formula_152，皆有正實數formula_153使formula_154。以formula_155表示formula_25相對典範對偶系formula_7的極集。將證明，此極集formula_75，與定理提到，formula_25相對formula_60的極集formula_30，兩者相等。formula_97成立，是因為連續線性泛函按定義必是線性泛函。反之，欲證formula_163，設formula_83滿足formula_165，即線性泛函formula_15在鄰域formula_25上有界。所以formula_15是連續線性運算元，從而有formula_104，即所求證。至此，已證明formula_171，餘下的證明中，需理解笛卡兒積formula_172與所有formula_173的對映構成的空間formula_174等同。仍需證明以下兩個命題：以上命題推出，formula_175為formula_189的閉子集，而由吉洪諾夫定理，該積空間為緊。因為緊空間的閉子集仍為緊，所以有formula_30為緊集，從而證畢巴拿赫-阿勞格魯定理的主要結論。極集為閉.以下證明前述命題1。代數對偶formula_4總是積空間formula_193 的閉子集。要證明formula_175在formula_174中為閉，祇需證明集合formula_196是formula_174的閉子集，因為若有此結論，則formula_198是formula_174中兩閉集之交，故亦為閉集。設formula_200，又設formula_16為formula_202中的網，在formula_174中收斂到formula_15。需要證明formula_205。換言之，要證對每個formula_85，formula_84。由於在純量域formula_2中，formula_210，且每項formula_88皆屬於formula_2中的閉子集formula_213，此網的極限formula_91亦必屬於該閉集，即formula_208。證畢命題1。上述證明可以推廣，以論證以下命題：設formula_216為任意集合，formula_217為拓撲空間formula_218的閉子集，則在formula_219的逐點收斂拓撲中，formula_220為閉子集。命題1為其特殊情況，取formula_221和formula_222便得。極集包含於緊空間之積.以下證明前述命題2。對任意formula_223，以formula_224表示到第formula_225個坐標的。欲證formula_226。換言之，欲對每個formula_152，證明formula_228。於是選定formula_152，設formula_230；要證formula_231。由formula_181的定義，formula_184，故formula_234。因為formula_235，線性泛函formula_15滿足formula_237，所以由formula_238，可知formula_239所以formula_240，即formula_241，證畢命題2。序列版本.巴拿赫-阿勞格魯定理有個特殊情況，對可分空間使用，並將「緊」換成「序列緊」。此時定理斷言：可分賦範向量空間的對偶中，閉單位球在弱*拓撲下是序列緊。可度量.實際上，可分空間的對偶的閉單位球上，弱*拓撲可度量，故緊與序列緊等價。明確而言，設formula_3為可分賦範向量空間，而formula_243為連續對偶formula_9中的閉單位球。根據formula_3可分的定義，有某個可數稠密子集，列舉為formula_246。則下式定義一個度量：對於formula_247，formula_248其中formula_249表示formula_9與formula_3的對偶匹配，即將後一個元素代入到前一個元素求值。此度量下，formula_243為序列緊之事，用類似阿爾澤拉-阿斯科利定理的對角線證法，即可證明。由於證明本質為構造性下半連續。考慮另一個例子，設formula_262為實軸上，在無窮遠處消失的連續函式組成的空間，則由里斯-馬可夫表示定理，formula_9為實軸上全體有限拉東測度的空間。此時序列巴拿赫-阿勞格魯定理等價於。證明.下證序列版本的巴拿赫-阿勞格魯定理。對每個formula_152，設formula_265以及formula_266因為formula_267是複平面的緊子集，formula_268在積拓撲中亦為緊。formula_9中的閉單位球formula_270，可以自然地看成formula_268的子空間：考慮對映formula_272其為單射，且對於formula_270的弱*拓撲和formula_268的積拓撲而言，是連續對映。在像集上，對映的逆也連續。欲完成定理的證明，只需證明對映的像為閉集。給定網formula_268中的網formula_276等式formula_277定義的泛函formula_278，也在formula_279中。定理證畢。推論.賦範空間.假設formula_3為賦範空間，則其連續對偶空間formula_9具有對偶範數。與選擇公理的關係.通常，會用到吉洪諾夫定理來證明巴拿赫-阿勞格魯定理，所以要依賴於ZFC公理系統，尤其是選擇公理。主流泛函分析中，許多結果皆依賴選擇公理。然而，本定理在可分空間的情況並不依賴選擇公理，該情況下有構造性證明。對於不可分的情況，比選擇公理嚴格弱，但亦足以證明巴拿赫-阿勞格魯定理。反之，巴拿赫-阿勞格魯定理也推出超濾子引理，所以兩者等價。