模式 (自然界)

在大自然中，我們可以觀察到各種各樣不同的圖案、形式或規律，它們可被統稱為「自然界中的模式」。這些「模式」會在不同的現實情況中重複出現，當中有部分更可以透過運用數學建模去理解。自然的模式會以例如對稱、樹狀、螺旋、曲折、波狀、泡沫、鑲嵌、裂紋和班紋等等不同方式呈現。 在歴史上，早期的希臘哲學家如柏拉圖、畢達哥拉斯和恩培多克勒等，已開始研究不同種類的模式；他們都試圖去解釋自然界中隱藏著的秩序。而隨著時間的推移，現代人亦逐漸發展並加深了對各種自然模式的理解。例如在19世紀時，比利時物理學家約瑟夫·普拉託對肥皂膜作出了研究，並得出了「極小曲面」的概念。德國生物學家和藝術家恩斯特·海克爾又繪畫了數百種海洋生物，以展現它們的對稱之美。蘇格蘭生物學家達西·湯普森更帶頭研究植物和動物的生長模式，利用了簡單的方程式去解釋螺旋形態的生長。到20世紀，英國數學家艾倫·圖靈預測了產生斑點和條紋圖案如何可以模擬出植物的生長模式。總的來說，我們可以利用科學中的數學、物理學和化學知識，去理解自然界中不同層次和尺度的模式。又可以透過生物學上的自然選擇和性選擇過程，來解釋各種生物所呈現的獨特模式。在有關「模式形成」的研究當中，科學家更是利用了計算機模型，去廣泛地模擬和探索各種各樣模式背後的原理。歷史.早期的希臘哲學家試圖解釋自然界中的秩序，造就了現代人關於「自然模式」的概念。例如，畢達哥拉斯注意到樹葉圖案的螺旋形排列，以及樹幹會隨著年齡的增長顯示出年輪，並提出了一個規則，可以用來瞭解樹枝橫截面的總面積。1202 年，列奧納多·斐波那契透過他的著作《計算之書》在他 1854 年出版的書中，更詳細地探討了在植物中各部位的排列、動物的骨骼、牠們的靜脈和神經的分支模式、以及晶體等等的例子當中，所表現出的黃金比例。在 19 世紀，比利時物理學家約瑟夫·普拉託，凸顯了它們的對稱性，以支援他的「仿達爾文」進化論。 美國攝影師威爾遜·本特利（Wilson Bentley) 則於 1885 年拍攝了第一張有關雪花的顯微照片，展現了微觀世界中美麗的自然模式。到 20 世紀，阿圖·哈里·查爾赫更開發了「L-系統」，這是數學上的一種形式文法，可用於以分形的方式對植物的生長模式進行數學建模。 L-系統有一個符號字母表，可以使用「產生式規則」組合以構建更大的字串，同時亦有機制將生成的字串轉換為幾何結構。到 1975 年，基於戈特弗裡德·萊布尼茨、格奧爾格·康托爾、海里格·馮·科赫和瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基等人在數個世紀以來在「模式數學」上的緩步發展，本華·曼德博寫出了一篇著名的論文《英國的海岸線有多長？統計自相似和分數維度》，將該類數學思想結晶成「分形」的概念。模式的成因.在諸如蘭花、蜂鳥和孔雀尾巴等生物身上可見到的豐富「設計」，具有藝術家難以仿效的形狀、圖案和色彩之美。 人們在自然界中所感知到的美，背後有著不同層次的科學原因，其中主要是令模式得以實現的的數學原理，以及在物種當中令模式得以演化的自然選擇原理。數學旨在發現和解釋各種各樣抽象的模式或規律。 很多自然界中可見的模式可以在混沌理論、分形、對數螺線、拓撲學和其他數學範疇中找到解釋。例如，利用L-系統可建構出可信的數學模型，去模擬不同種類樹木的生長模式。物理學定律將數學上的抽象模式應用到現實世界中，而暫時將現實當作是完美的、或理想化的。例如，當晶體沒有位錯等結構缺陷並且完全對稱時，它就是完美的晶體。但精確的數學上的完美只能近似真實的事物。 而實際上，自然界中可見的模式均受物理定律所支配；例如，可以利用流體動力學來解釋曲流的形成過程。在生物學中，自然選擇可以令生物發展出各種模式；而當中有著不同的原因，包括偽裝、性擇、和不同型別的傳信行為，例如擬態和清除共生。在植物中，百合等蟲媒花的形狀、顏色和圖案，進化至可以易於吸引蜜蜂等昆蟲；例如一些呈放射狀的顏色和條紋圖案，成為在遠處也可以看到的蜜源標記。模式的型別.對稱.對稱性在生物中無處不在。動物主要是左右對稱或映象對稱的，植物的葉子和某些花也是如此。 有些棘皮動物具有五重對稱性，包括海星、海膽和海百合。在非生物中，雪花具有突出的六重對稱性；每個薄片的結構記錄了其結晶過程中所遇到的環境變化，其六個臂中每個的生長模式幾乎相同。 晶體一般具有多種對稱性和晶體習性；它們可以是立方體或八面體，但真正的晶體不能具有五重對稱性。 在非生物中亦可見到不同尺度的旋轉對稱性，包括當水滴落入池塘時形成的冠形飛濺圖案， 以及像土星這樣的行星的球形和星環。生物上的對稱有多種成因。徑向對稱適合像海葵這種在成蟲階段不會移動的生物，因為食物和威脅可能來自任何方向。但向一個方向移動的動物必然有上和下側、頭和尾，因此也有左和右側。頭部會出現特化，有嘴和感覺器官對稱性的原因。早期的棘皮動物是雙側對稱的，它們的幼蟲仍然如此。Sumrall 和 Wray 認為，舊對稱性的喪失既有生物發展上的原因，也有生態環境上的原因。樹狀，分形.達芬奇在義大利文藝復興時期描述了樹木的分枝模式。他在《繪畫論》中說：一棵樹在其每個階段高度的所有樹枝的切面寬度算在一起時，與[在它們下面的]樹幹的切面寬度相等。更普遍的說法是，當母枝分岔成兩個或多個子枝時，子枝的切面面積加起來就是母枝的切面面積。 這等於說，如果一個母枝分裂成兩個子枝，則母枝和兩個子枝的橫截面直徑的長度值可以構成一個直角三角形。一種解釋是，這個生長模式可以讓樹木更好地抵禦強風。 生物力學模型的模擬結果與這個規則相符。分形是無限自相似的、具有分形維數的迭代數學結構。 無限迭代在自然界中是不可能的，因此現實中所有的“分形”模式都只是近似的。例如，蕨類植物和傘形科植物的葉子只有2、3 或 4 層的自相似、以及每個分支點的分支數量。分形模式在自然界中廣泛存在，出現在雲、河網、地質斷層線、山脈、海岸線、動物體色、雪花、晶體、血管分支、浦肯野細胞、肌動蛋白細胞骨架、和海浪等等，多種多樣的現象中。螺旋.螺旋在植物和一些動物中很常見，尤其是軟體動物。例如在鸚鵡螺中，其殼的每個腔室都是下一個腔室的近似副本，按固定比例縮放並以對數螺旋形排列。 基於現代對分形的理解，生長上呈現的螺旋狀可以被視為自相似模式的一種特例。植物中的螺旋模式可以在各種生長情況中看到，例如葉序。舉例說，當葉子在莖上交替排列時，如果螺旋每旋轉一圈會接觸到兩片葉子，這模式或比例就稱為 1/2。在榛子中，比例是 1/3；在杏子中是 2/5；梨是 3/8；杏仁則是 5/13。在向日葵和雛菊的圓盤形花序中，小花沿費馬螺線排列，但這只是看似如此，因為連續的小花其實間隔很遠，分隔角度為黃金角即 137.508°；當花頭成熟、所有小花都長到相同大小時，這個特別的花頭間距便會組成更明顯的、符合斐波那契數字的螺旋圖案。從物理學的角度來看，螺旋是能量最低的形態，它透過動態系統中的自組織過程自發出現。 從化學的角度來看，螺旋模式可以透過反應-擴散過程產生，當中包括活化和抑制作用。葉序受到不同的化學機制所控制，包括一些可調節植物激素「生長素」濃度的蛋白質，以及一些可調控莖周圍芽的相對角度的其他機制。 而從生物學的角度來看，在任何給定的空間中儘可能遠地佈置葉子是自然選擇的結果，因為這樣可以讓植物最大程度地獲取資源，尤其是用於光合作用的陽光。混沌、流動、蜿蜒.在數學上，一個動力系統如果對初始條件高度敏感，則它便是所謂混沌的，這需要符合拓撲混合和稠密週期軌跡的數學特性。基本上，除了分形，混沌理論亦普遍地影響著自然界中的模式。混沌與分形之間存在著關係——數學上，混沌系統中的"奇異吸引子"具有分形維數。 一些元胞自動機表現出混沌的行為，尤其是史蒂芬·沃爾夫勒姆所提出的「規則30」。渦街是由流體便開始被破壞，而產生出渦街的現象。曲流是當河流或其他渠道中的流體不斷流過一些彎位時，所逐漸形成的蜿蜒彎道。當流動路徑稍微有彎曲時，隨著螺旋流將沙子和礫石等物質拖過河流到彎道內側，每個彎道的大小和曲率就會因而增加。而彎道的外側變得水流清徹且不受保護，因此侵蝕加速，於是在強大的正反饋作用中進一步增加了河道的蜿蜒曲折。波浪、沙丘.波浪是在移動時攜帶著能量的擾動。機械波透過介質的形狀。新月形沙丘是由風作用在沙漠地面而產生的；新月的兩個角和滑波面指向順風方向。沙子從逆風面。當滑波面超過休止角時，沙子便會發生像雪崩一樣的崩塌，這是一種非線性行為：持續新增少量沙子不會發生任何事情，但是在臨界點再添上少量沙子卻會突然引發大型崩塌。 不過，在這種非線性行為之外，新月形沙丘的整體行為則更像是孤波。氣泡、泡沫.肥皂泡會形成一個球面，一個面積最小的表面——可以圍起某一體積的最小表面面積。兩個氣泡一起形成的形狀則更復雜：兩個氣泡的外表面都是球形的；而這兩個表面由第三個球形表面連線起來，其中較小的氣泡會稍微凸出到較大的氣泡之中。泡沫是一團氣泡；自然界中存在著由不同物質形成的泡沫。由肥皂膜組成的泡沫遵循普拉託定律，即要求三個肥皂膜在每個邊緣以 120° 相交，四個肥皂膜邊緣在每個頂點以大約 109.5° 的四面體角相交。普拉託定律進一步要求薄膜是平滑和連續的，並且在每個點處具有恆定的平均曲率。例如，薄膜可以透過在一個方向向下彎曲，而整體上保持幾乎平坦。 在現實中，具有最小表面的結構可以作為例如帳篷之用。在活細胞的尺度上，泡沫型態很常見；例如放射蟲、海綿骨針、矽鞭毛藻的外骨骼、和一種海膽。鑲嵌.鑲嵌或密鋪是透過在整個平面上用重複的形狀鋪砌而形成的圖案或模式。在數學上，只有 17 種獨立的方式可以密鋪平面，這稱為 17 個桌布群。 雖然在藝術和設計中很常見完全重複的鋪砌形狀，但在生物中卻不容易找到。社群性黃蜂的紙蜂巢中的巢室，和蜜蜂的蠟蜂巢中的巢室，是眾所周知的鑲嵌例子。在動物中像硬骨魚、爬行動物或穿山甲，或在植物中像蛇皮果這樣的水果，都受到重疊鱗片或骨皮層的保護，這些鱗片或皮層大體上都是形狀重複的單元，儘管它們實際上的大小通常是漸變的。在花㚏中，花格貝母的花瓣上有棋盤狀的格紋。而礦物的結構則很好地示範了規律地重複的三維陣列。儘管已知的礦物有數十萬種，但晶體中可能的原子排列方式卻很少，因為受到晶體結構、晶系和點群所規限；例如對於三維空間中的 7 個晶格系統，在幾何學上只可能有 14 種布拉維晶格。裂紋.裂紋是在物料中形成的長形開口，以釋放其所受到應力。當彈性物料均勻地拉伸或收縮時，它最終會達到其斷裂強度，然後在各個方向突然斷裂，產生 120°接頭的裂縫，因此三個裂縫在一個節點處相遇。相反，當非彈性材料斷裂時，則會形成直裂紋以釋放應力。斷裂之後，在同一方向上的應力將單純地開啟現有的裂縫；而直角方向上的應力則會產生新的裂縫，與舊裂縫成 90° 角。因此，裂縫的模式表明了該種物料是否具有彈性。 例如在橡樹樹皮這樣堅韌的纖維物料中，裂紋會如常形成以緩解應力，但因為受到樹皮內的強彈性纖維束所阻，裂紋不會長得很長。由於每種樹在細胞和分子層面上都有自己不同的結構，因此每種樹的樹皮都有自己獨特的裂紋模式。斑點、條紋.動物的身體上經常呈現著各種圖案模式：例如豹子和瓢蟲身上有班點，神仙魚和斑馬身上有條紋。 科學家嘗試從進化學角度探索這些模式背後的成因：這些圖案應該具有某些功能，令該種動物的後代增加了存活和繁殖的機會。動物圖案的功能之一是偽裝， 例如，更難被察覺到的豹子會捕獲到更多的獵物。另一個功能是發出訊號， 例如，瓢蟲會較少被用肉眼捕食的掠食性鳥類攻擊，如果它有大膽的警告顏色，並且還帶有令人厭惡的苦味或毒性，或者模仿其他令人厭惡的昆蟲。一隻幼鳥可能會看到像瓢蟲這樣的昆蟲並試圖吃掉它，但它只會嘗試一次，因為它很快便會吐出苦澀的蟲子；而附近的其他瓢蟲將不會受到捕食的干擾。年輕的豹子和瓢蟲，繼承了以某種方式產生斑點的基因，而得以生存。可是，雖然這些論點解釋了為什麼這些動物需要牠們的圖案，卻仍沒有解釋這些圖案本身是如何形成的。模式的形成機制.艾倫·圖靈。後來的研究成功地建立了令人信服的圖案模型，廣泛地包括了例如斑馬條紋、長頸鹿斑點、美洲虎斑點等模式。 理查德·普魯姆的「啟用-抑制模型」，從圖靈的工作發展而來，使用六個變數來解釋他們所觀察到的九種基本羽毛內色素沉著的模式：從最簡單的中央色素斑塊，到同心斑塊、條形、人字形、眼點、一對中心點、成對的點行，和點陣列。 另一個更精細的模型模擬了普通珠雞中複雜的羽毛圖案，其中單個羽毛的特徵是從羽毛基端的條形圖案過渡到遠端的一系列點圖案。這種圖案需要經由兩個抑制訊號所產生的化學振盪，在空間和時間上都有相互作用才能形成。在所謂「虎紋叢林」 和「冷杉波浪」 的植被景觀中，圖案模式可以基於各種物理上的原因而形成。虎紋叢林會出現在植物生長受降雨限制的乾旱斜坡上：因為每個大致水平的植被條段都有效地收集了其上方裸露區域的雨水。 而在山坡森林中，冷杉波浪會在風擾後，在再生長過程中發生：當一些樹木被吹倒後，原先被它們遮蔽的樹木就會暴露出來，進而更有可能受到破壞，因此樹林的間隙往往會順風擴大；而同時，在迎風面，年輕的樹木在剩餘的高大樹木的風影的保護下得以生長。 自然圖案亦有時是由於動物的活動所造成，例如在美國西北部的美馬塚和其他一些地區，有些圖案似乎是由囊鼠多年的挖洞活動而形成的； 而在奈米比亞出現的所謂「仙女環」，則似乎是由於沙漠白蟻群的相互競爭，以及沙漠植物之間對水的爭奪，這兩者的的相互作用而產生的。在具有活躍上層的永久凍土層中，會因每年的凍結和融化而產生所謂「圖案地面」，形成圓形、網狀、冰楔多邊形、臺階和條紋。熱收縮導致收縮裂縫的形成；到解凍時，水充滿裂縫，在下一次凍結成冰時膨脹，並將裂縫擴大成楔形。這些裂縫可能會連線起來，而形成多邊形和其他形狀。脊椎動物大腦上出現的裂隙模式是由「受限擴張」的物理過程引起的，這取決於兩個幾何引數：大腦皮層的相對切向擴張，和皮層的相對厚度。類似的腦回擴張所產生的壓縮機械力可產生類似的裂隙模式。而在自然和實驗上的觀察中，這種表面摺疊會隨著大腦體積的增大而增加；這個觀察亦得到了計算機模擬中的數值模型所支援。腳註引文參考書目.先驅作家一般書籍自然的模式