莫爾圓

莫爾圓得名自德國土木工程師，是一種用二維方式表示柯西應力張量轉換關係的圖。先針對假設為連續的物體進行，之後特定一點的柯西應力張量分量會和坐標繫有關。莫爾圓是用圖形的方法去確認一個旋轉坐標繫上的應力分量，也就是在同一點上，但是作用在不同方向平面上的分量。圓上每一個點的橫坐標formula_1及縱坐標formula_2都是在這個旋轉坐標系統上某一個方向的正應力及剪應力。換句話說，莫爾圓表示了在所有方向平面上應力狀態的軌跡，而X軸和Y軸為應力元素的主軸。是第一個想到用圖形來表示應力的人，他是在分析水平樑承受彎曲時的縱向應力及垂直應力時所想到的。莫爾的貢獻不止是用莫爾圓表示二維及三維的應力，他也根據莫爾圓發展了結構失效判定的準則。其他表示應力狀態的方式有及柯西應力二次曲線。莫爾圓可以擴充套件到對稱的 2x2 張量，包括應變及轉動慣量張量。應力及莫爾圓.考慮一個會變形的物體，物體的內部就會有力的分佈。物體內部的力會依循尤拉運動定律，正如物體受力依循牛頓運動定律一様。物體內部力的強度可以用應力來表示。因為物體假設為連續體，其內部的力也是會均勻分佈在其體積中。在工程中，可以完全由二階的張量中的九個應力元素 formula_3完全決定，此二階張量稱為柯西應力張量, formula_4:formula_5若確定了一物體在特定坐標系統formula_6下的應力分佈，有可能需要知道特定一點formula_7相對另一個有旋轉的坐標系統formula_8下的應力張量，也就是在需要關注的點，在特定角度下的的應力張量。而此坐標系統formula_8和原有的坐標系統formula_6之間有一個角度差。例如，一般會需要知道最大的正向應力以及最大的剪應力，也需要知道其對應的方向。因此，需要發展一種張量轉換的方式，可以配合坐標系統的旋轉得到新坐標系統的張量。依照張量的定義，柯西應力張量遵守張量轉換定律。應力的莫爾圓是用圖解方式來說明柯西應力張量轉換定律的方式。二維張量下的莫爾圓.在二維下，一點formula_7相對於垂直方向的應力張量可以用三個應力向量完全表示。在垂直坐標系統formula_6下，其應力分量為：法向應力formula_13及formula_14，以及剪應力formula_15。由於角動量守恆，柯西應力張量會有對稱性，也就是formula_16，因此柯西應力張量可以寫成：formula_17其目的是在另一個透過formula_7點，但存在角度差的坐標系統formula_8下，找到應力分量formula_1及formula_2。坐標系統formula_8和原坐標系統formula_6的角度差即為formula_24。莫爾圓的方程.要推導二維平面應力及平面應變的莫爾圓方程，先考慮一個位在位置formula_7的二維的無限小方形元素，和formula_26-formula_27平面平行。利用無限小元素上的力平衡，正向應力formula_1及剪應力formula_2的大小為：formula_30formula_31上述二個方程也可以用柯西應力張量的張量變換定律來求得，這和在formula_1及formula_2方向用力平衡計算是等效的。這二個方程是莫爾圓的引數式。在方程中，formula_34為引數，而formula_1和formula_2為坐標，因此表示若選擇適當的坐標系統，使formula_1為橫軸，formula_2縱軸，給定引數formula_24，會給定在莫爾圓上的一點。若從引數式中消去引數formula_34，可以得到非引數式的莫爾圓方程。可以用重組formula_1及formula_2的方程來達到。先將第一式等號右側的第一項移到等號左邊，二式平方後相加，可得formula_43其中formula_44這就是圓的方程formula_45在formula_46坐標系統中，其半徑formula_47，圓心在坐標formula_48處。符號體系.在使用莫爾圓時，需考慮兩組分別的符號體系，一個是針對實體空間下應力分量的符號體系，另一個是針對「莫爾圓空間」下應力分量的符號體系。此外，工程力學的體系和用的符號體系不同。沒有所有系統都適用的標準符號體系，是否要使用特定的符號體系取決於計算及詮釋特定問題的方便程度。上述圖4的莫爾圓推導都是使用工程力學的符號體系，以下也會繼續使用工程力學的符號體系。實體空間符號體系.為了描述柯西應力張量的方便，應力分量的第一個下標表示應力分量作用的面，第二個下標表示應力分量的方向。因此formula_15是作用在以formula_50軸正向為其法向量的平面上，而方向是往formula_26軸的正方向。在實體空間符號體系，正的正向應力是由作用平面往外。在實體空間符號體系中，正剪應力在法向量為正的材料元素平面上，其作用方向會往軸的正方向，同樣的，正剪力在法向量為負的材料元素平面上，其作用方向會往軸的負方向。例如作用在正向平面的剪應力formula_15和formula_53為正，因為這二個剪應力的作用方向往formula_26軸及formula_50軸的正方向。而相對應的作用在負向平面的剪應力formula_15和formula_53，其作用方向往formula_26軸及formula_50軸的負方向，因此這二個剪應力也為正。莫爾圓空間符號體系.在莫爾圓空間符號體系中，應力的符號體系和實體空間符號體系中的相同：正的正向應力是由作用平面往外不過剪應力的符號體系和實體空間符號體系中的不同。在莫爾圓空間符號體系中，正的剪應力會使材料往逆時針方向旋轉，而負的剪應力會使材料往順時針方向旋轉。因此在莫爾圓空間中，剪應力分量formula_15為正，而formula_53為負。這和實體空間符號體系中formula_15和formula_53符號相同的情形不同。在繪製莫爾圓時，有二個作法可以繪製在數學上正確的莫爾圓：將正的剪應力畫在上方會讓莫爾圓上的formula_34角為正值時，旋轉方向是順時針旋轉，這和實體空間符號體系中的相反。因此有些作者會選擇讓正的剪應力畫在下方，這會讓莫爾圓上的formula_34角為正值時，旋轉方向是逆時針旋轉，類似實體空間符號體系的情形。為了克服剪應力軸往下才是正向的問題，有另外一種「替代的」符號體系，其中正的剪應力假設為將材料將順時針方向旋轉，而負的剪應力假設為將材料將逆時針方向旋轉。在「替代」體系下，正的剪應力軸往上，而且在莫爾圓上formula_34為正值時，旋轉方向為逆時針。此符號體系產生的莫爾圓和圖5，符號體系#2中的相同，因為正的剪應力formula_64也是會逆時針旋轉的剪應力，也畫在下方。而負的剪應力formula_64也是會順時針旋轉的剪應力，也畫在上方。此條目在實體空間符號體系中，會依照工程力學的符號體系，而在莫爾圓空間中，會使用「替代的」符號體系。繪製莫爾圓.假設已知待研究物體上的點formula_7的應力分量formula_13、formula_14及formula_15，如圖4所示。以下方法可以繪製點formula_7的莫爾圓，以表示其應力狀態。找主要正向應力.主要應力的大小是點formula_89和點formula_90中的橫坐標。最大正向應力formula_92的大小恆為這二個橫坐標中最大的那一個，而formula_93最小正向應力的大小的大小恆為這二個橫坐標中最小的那一個。這二個點的縱坐標為0，對應在主要平面上的剪應力為零，主要應力的大小也可以表示為formula_94formula_95其中平均正向應力formula_96的大小是圓心formula_86的橫坐標，為formula_98其半徑的長度formula_99為formula_100找最大和最小剪應力.最大剪應力和最小剪應力對應圓上最大及最小的縱坐標。這二個點是圓和透過圓心formula_86的垂直線的交點。因此，最大和最小剪應力的大小為圓的半徑formula_99formula_103找任意平面的應力分量.如前面所述，在二維應力分析後，可以知道在材料某一點formula_7上的應力分量formula_13、formula_14及 formula_15。這些應力分量作用在透過formula_7點的二垂直平面 formula_109 及 formula_82，如圖5及圖6所述。莫爾圓也可以計算在莫爾圓上formula_111的應力分量formula_1及formula_2，事實是作用在formula_111平面上，此平面也透過formula_7點，和formula_82平面有夾角formula_24，計算應力分量有二種方式：倍角法以及平面原點法倍角法.如圖6所示，若平面formula_111是平面formula_82再逆時針旋轉角度formula_24後的平面，要找到在平面formula_111上的應力分量formula_122，可以在莫爾圓上從已知應力點 formula_80同樣以逆時針旋轉，但旋轉角度 formula_34，旋轉到點formula_125，也就是讓formula_126線和formula_127線之間的夾角是formula_34。倍角法的作法源自於透過formula_7點的二實際平面之間的夾角formula_24，是其對應應力點 formula_122在莫爾圓上和圓心連線形成夾角的一半。倍角關係是因為莫爾圓的引數式是formula_34的函式。也可以從在材料點 formula_7上的平面formula_81和formula_82夾角是90度，而在莫爾圓上其應力點夾角為180度看出。極點法.第二種方式和要找到莫爾圓上的一個點，稱為極點。可以根據直線和莫爾圓的交點找到平面上的正向應力以及剪應力。找主要平面的方向.最大主要應力及最小主要應力所在的平面方向也稱為主要平面，可以用莫爾圓中的∠BOC及∠BOE判斷，然後將二個角度都取一半。因此formula_148和formula_149之間的夾角是角∠BOC，是formula_150角度的二倍。而formula_152和formula_153也可以用以下的方程取得formula_154此方程的解會是二個角度，彼此相差formula_155。可以直接用圓的幾何求解此方程，或是用圓的引數式，並且讓formula_64等於零。一般三維應力下的莫爾圓.若要繪製三維應力下的莫爾圖，需要先量測其主應力的大小formula_157以及方向formula_158。考慮以主應力軸為坐標系統，而不是用formula_159, formula_160, formula_161坐標系統，並且假設formula_162，則在一法向量為 formula_163的平面，其應力向量formula_164的應力分量及剪力分量會滿足下式formula_165formula_166由於formula_167，可以用高斯消去法求解formula_168, formula_169, formula_170：formula_171因為formula_162及formula_173都不是負值，因此其分子滿足formula_174 因為其分母formula_175而且formula_176formula_177 因為其分母formula_178而且formula_179formula_180 因為其分母formula_181而且formula_182方程式可以寫成formula_183是三個應力莫爾圓formula_184, formula_185和formula_186的方程，其半徑分別是formula_187, formula_188及formula_189，而其圓心分別在formula_190, formula_191, formula_192。有了上述三個應力莫爾圓的方程，所有可能的應力點formula_122都會在三個應力莫爾圓之間的陰影區域。應力點formula_122 可能滿足圓formula_184的方程，或是在圓formula_184的外面，可能滿足圓formula_185的方程，或是在圓formula_185的裡面，可能滿足圓formula_186的方程，或是在圓formula_186的外面。