彼得-魏爾定理

彼得-魏爾定理是調和分析和群表示論中的一組重要定理，於1927年由赫爾曼·魏爾和他的學生證明。該定理刻畫了緊群不可約表示的完備性，可以視作有限群表示理論中弗羅貝尼烏斯定理的推廣。定理分為三部分：第一部分指出，緊群formula_1的所有有限維不可約的，在formula_1上所有復值連續群函式構成、配備了的空間中稠密。第二部分指出，formula_1在任何一個可分希爾伯特空間上的酉表示都完全可約。第三部分斷言，formula_1的所有有限維不可約酉表示的矩陣元構成了formula_1上平方可積的復值函式空間的一組標準正交基。背景.20世紀20年代，魏爾在研究廣義相對論的數學基礎時，對連續群的表示理論產生了興趣。在研究中，他試圖將有限群表示理論中的弗羅貝尼烏斯定理推廣到連續群，尤其是特殊線性群。與此同時，等其它數學家的工作也為研究群表示提供了更強有力的工具。1927年，魏爾在其學生彼得的協助下證明了本定理，斷言了緊群不可約表示的完備性。然而，因為魏爾在當時並不知道如何在除緊李群之外的一般緊群上定義群作用下不變的積分，他在證明中不必要地假定了群運算的可微性。這一問題直至1933年才由建立的哈爾測度理論徹底解決。彼得-魏爾定理在抽象調和分析理論中扮演了重要的角色。正如所述：“現代調和分析發軔於20世紀20年代...她誕生於1927年，而彼得和魏爾的論文是她的出生證明。”此外，馮諾依曼於1933年利用該定理的一個推論，解決了緊群版本的希爾伯特第五問題。定理的陳述和證明.定理I.設formula_1為緊群，formula_7是formula_1上所有復值連續函式構成、配備了一致範數的賦範線性空間，formula_9是formula_1的所有有限維不可約酉表示的矩陣元張成的線性空間，則formula_9在formula_7中稠密。證明概要.對formula_13，可以定義卷積運算元formula_14：formula_15利用阿爾澤拉引理可以證明，該運算元是formula_16上的緊運算元。設formula_17，由formula_1的緊性可知formula_19在formula_1上一致連續。即對任意formula_21，存在群單位元formula_22的鄰域的formula_23，使得任意formula_24，都有formula_25。不失一般性，可以假設formula_26。設formula_27是定義在formula_1上，且支集formula_29的連續實值函式。由烏雷松引理，這樣的函式總是存在的。不失一般性，可以假設formula_30且formula_31，因為對任意formula_27總可以透過如下的變換使其滿足上述條件：formula_33此時，可以證明formula_34為formula_16上的緊自伴運算元。利用緊自伴運算元的譜定理，可知：formula_36其中formula_37為運算元formula_34本徵值為formula_39的有限維本徵子空間，formula_40是formula_34的核。因此，formula_42可以寫成一列絕對一致收斂的函式項級數和：formula_43故而存在formula_44，使得formula_45，formula_46。另一方面：formula_47因此：formula_48設formula_49是formula_1的左正則表示，不難證明運算元formula_51與formula_34對易，因此本徵子空間formula_37也是左正則表示的有限維不變子空間。由於有限維表示完全可約，formula_37可以寫成formula_1的有限維不可約酉表示的表示空間的直和。在每個這樣的空間formula_56上：formula_57其中formula_58是該不可約表示的矩陣元。這意味著formula_59，進而formula_60。總之，對於任意formula_17，formula_62，都存在formula_9中的某個元素，使得其與formula_19之差的一致範數小於formula_65。這意味著formula_9在formula_7中稠密。以上證明的思路來自彼得和魏爾的原始論文。實際上，利用和魏爾斯特拉斯逼近定理亦可直接推出本定理。定理II.設formula_68是緊群formula_1在可分希爾伯特空間formula_70上的任意酉表示，則formula_70可分解為formula_68的有限維不變子空間的直和，其中每個子空間都承載了formula_1的不可約表示。證明概要.設formula_74是formula_70上定義的內積。對任意formula_76，定義運算元formula_77：formula_78可證formula_79是formula_70上的非零緊自伴運算元，且與formula_81對易。利用緊自伴運算元的譜定理，可對formula_70作如下分解：formula_83其中，formula_79的每個有限維特徵子空間formula_85又是群表示formula_68的不變子空間，故其可進一步分解為承載formula_1的有限維不可約表示的子空間的直和。設formula_88是formula_70中可以分解為承載有限維不可約表示的子空間的直和的最大子空間，formula_88是formula_91的正交補。顯然formula_91也是formula_68的不變子空間，若formula_91不是零空間，formula_68在formula_91上的限制也是formula_1的酉表示。因此，將以上的論證中的formula_70用formula_91代替，則可立即推出formula_91也有承載formula_1的有限維不可約表示的子空間。這與formula_88的定義矛盾。因此formula_103，定理得證。定理III.設formula_1是緊群，則formula_1的所有不等價不可約酉表示的矩陣元的集合formula_106構成formula_16的標準正交基。證明概要.注意到formula_7在formula_109中稠密，利用舒爾正交關係和定理I即可得到本定理。推論.點分離推論.由彼得-魏爾定理可以推出如下結論：設formula_110是緊群formula_1任意非恆等元，則存在formula_1的不可約表示formula_68，使得formula_81不是單位矩陣。換言之，如果formula_110和formula_116屬於緊群formula_1，對formula_1的一切不可約表示，formula_110和formula_116的表示矩陣都相同，則formula_121。證明如下：對任意formula_122，由烏雷松引理，存在formula_1上連續函式formula_19使得formula_125。由彼得-魏爾定理，formula_19可以寫成一列絕對一致收斂的矩陣元formula_127的級數和。若對一切不可約表示formula_68，formula_81都是單位陣，則前述級數展開的每一項，都滿足formula_130，因此formula_131。這一矛盾意味著必然存在某個不可約表示formula_68，使得formula_81不是單位矩陣。該推論最早出現在彼得和魏爾的原始論文中，並在相關理論日後的發展過程中發揮了重要的作用。馮諾依曼解決緊群版本的希爾伯特第五問題時，就用到了這一推論。特徵標完備性.緊群formula_1上群共軛不變的函式構成formula_109的子空間類函式空間。利用彼得-魏爾定理可以推出，formula_1的所有不可約表示的特徵標張成的線性空間在類函式空間稠密：設formula_19是任意共軛不變的函式。由彼得-魏爾定理，對任意formula_62，存在formula_139，使得formula_140。記formula_141為如下積分：formula_142由於formula_139，formula_144，且formula_145。利用舒爾正交關係可證，formula_146可以寫成特徵標的線性組合。此外，因formula_19共軛不變，注意到以下事實本推論即證：formula_148該推論在連通緊李群表示的分類理論中扮演著重要的角色。