狹義相對論中的加速度

狹義相對論中的加速度類似於牛頓力學中的概念，乃速度對於時間的微分。因為相對論中的勞侖茲轉換及時間膨脹，時間與距離的概念變為複雜，因此「加速度」的定義也變得複雜。狹義相對論為平直閔考斯基時空的理論，即使加速度存在依然有效，前提是能量動量張量所造成的重力場效應可以忽略。否則，則需用到廣義相對論以及彎曲時空來詮釋。在地球表面附近，時空彎曲程度不明顯，因此實務上採用狹義相對論來詮釋物理現象仍是合宜作法，比如粒子加速器實驗。如同在外界慣性座標系中的測量，三維空間中的普通加速度的加速規來測量固有加速度。另一種有用的形式是四維加速度，其分量可透過勞侖茲轉換在不同參考系中做連結。連結加速度與力的運動方程式也可得到。幾種特殊形式的加速物體運動方程式以及它們的彎曲世界線可以透過對上述方程式的積分求得。知名的特例如，適用於常數值縱向固有加速度的例子，以及等速率圓周運動。最後，在狹義相對論的架構下，描述加速參考系中的物理現象亦為可行。歷史演進上，在相對論發展的早年即已出現包含加速度的相對論性方程式，在早年的教科書中有整理，如馬克斯·馮·勞厄。三維加速度.在牛頓力學與狹義相對論中，三維加速度或座標加速度的定義保持一致。formula_1是速度formula_2對座標時間的一階導數，亦即是位置formula_3對座標時間的二階導數：formula_4。然而在另一相異的慣性參考系中做三維加速度測量時，兩項理論的預測就出現重大歧異。牛頓力學中，時間是絕對的，採用的慣性系轉換式為伽利略轉換。因此，從伽利略轉換推導而得的三維加速度在所有慣性系中皆相同：formula_6。相反地，在狹義相對論中，formula_7與formula_8兩者皆與勞侖茲轉換相依，因此三維加速度formula_9及其分量在不同慣性系也各不相同。當慣性系間的相對速度是沿著x軸，即formula_10，勞侖茲轉換式為：或是對於一長度formula_12及任意方向的速度向量formula_13，勞侖茲轉換式為：\left(\gamma_{v}-1\right)-t\gamma_{v}\right]\\t^{\prime} &amp; =\gamma_{v}\left(t-\frac{\mathbf{r\cdot v}}{c^2}\right)&amp; \begin{align}\mathbf{r} &amp; =\mathbf{r}'+\mathbf{v}\left[\frac{\left(\mathbf{r'\cdot v}\right)}{v^{2}}\left(\gamma_{v}-1\right)+t'\gamma_{v}\right]\\t &amp; =\gamma_{v}\left(t'+\frac{\mathbf{r'\cdot v}}{c^2}\right)為了求得三維加速度的轉換式，必須分別對勞侖茲轉換式中的空間座標formula_7及formula_16做時間formula_8與formula_18的微分。首先是得到三維速度formula_19及formula_20的轉換式於速度formula_10之加速度：a_{y}^{\prime} &amp; =\frac{a_{y}}{\gamma_{v}^{2}\left(1-\frac{u_{x}v}{c^{2}}\right)^{2}}+\frac{a_{x}\frac{u_{y}v}{c^{2}}}{\gamma_{v}^{2}\left(1-\frac{u_{x}v}{c^{2}}\right)^{3}}\\&amp; \begin{align}a_{x} &amp; =\frac{a_{x}^{\prime}}{\gamma_{v}^{3}\left(1+\frac{u_{x}^{\prime}v}{c^{2}}\right)^{3}}\\a_{y} &amp; =\frac{a_{y}^{\prime}}{\gamma_{v}^{2}\left(1+\frac{u_{x}^{\prime}v}{c^{2}}\right)^{2}}-\frac{a_{x}^{\prime}\frac{u_{y}^{\prime}v}{c^{2}}}{\gamma_{v}^{2}\left(1+\frac{u_{x}^{\prime}v}{c^{2}}\right)^{3}}\\若從式(1b)出發，則得到通解，速度與加速度可以是任意方向：此轉換式表示：若有兩慣性系formula_26與formula_27，兩者相對速度formula_28，則formula_26系中測到一物體瞬時速度為formula_19、加速度為formula_9，該物體在formula_27系中則具有瞬時速度formula_20、加速度formula_24。一如速度加成式，這些加速度轉換式可保證一物體無法加速到光速，遑論超過光速。四維加速度.若改採用四維向量，即formula_35乃四維位置，formula_36乃四維速度，則一物體的四維加速度formula_37可透過對原時formula_38的微分求得：&amp; =\left(\gamma^{4}\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{a}}{c},\ \gamma^{4}\frac{(\mathbf{a}\cdot\mathbf{u})\mathbf{u}}{c^{2}}+\gamma^{2}\mathbf{a}\right)其中formula_9為物體的三維加速度；formula_19為物體的瞬時三維速度，長度為formula_41，所對應的勞侖茲因子為formula_42。若只考慮空間分量且速度是沿著x方向的加速度，則關係式可簡化為：formula_44與前述的三維加速度不同，四維加速度不需要推導新的轉換關係式，因為所有四維向量在兩個具有相對速度formula_12的慣性系之間都呈現勞侖茲協變性。因此只要將式(1a)中的formula_46代換為formula_47，即為四維加速度在兩慣性系之間的轉換式：formula_48又或將式(1b)中的formula_49代換為formula_50，亦可得到任意相對速度formula_28情形的轉換式：formula_52,此外，四維加速度自身內積formula_53及向量大小formula_54為不變數，因此：固有加速度.在無限小的瞬間，總有一慣性系formula_27與一加速物體的加速度，則關係式為：a_{y}^{0} &amp; =\frac{a_{y}}{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}\\&amp; \begin{align}a_{x} &amp; =a_{x}^{0}\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{3/2}\\a_{y} &amp; =a_{y}^{0}\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)\\a_{z} &amp; =a_{z}^{0}\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)&amp; \begin{align}\mathbf{a}^{0} &amp; =\mathbf{a}\left(\gamma^{3},\ \gamma^{2},\ \gamma^{2}\right)\\\mathbf{a} &amp; =\mathbf{\mathbf{a}}^{0}\left(\frac{1}{\gamma^{3}},\ \frac{1}{\gamma^{2}},\ \frac{1}{\gamma^{2}}\right)或將固有加速度此一特例條件代入通式(1d)，其中任意方向的速度formula_19其長度為formula_41：formula_68另外固有加速度與四維加速度的長度也有密切關係：如前述，四維加速度的長度為不變數，可在瞬間共動慣性系formula_27中被測定，其中formula_70，且因formula_71，formula_72：因此四維加速度長度對應到固有加速度長度。將此結果與式(3)結合，可得到將formula_27系中formula_58與formula_26系中formula_9連結的另一種關係式求法，亦即：formula_77從這裡可得到式(4a)，只要再次採用如下條件：速度沿著x方向的加速度。加速度與力.四維力formula_79可寫為三維力formula_80的函式：formula_81。四維力、四維加速度以及不變質量formula_82則具有如下關係式：formula_83；因此可得formula_84。速度沿任意方向的情形下，三維力與三維加速度的關係式則可寫成：\mathbf{a} &amp; =\frac{1}{m\gamma}\left(\mathbf{f}-\frac{(\mathbf{f}\cdot\mathbf{u})\mathbf{u}}{c^{2}}\right)當速度沿著x方向，即formula_43，且僅考慮平行於速度方向的加速度與力，則三維力與三維加速度的關係式為：f_{y} &amp; =\frac{ma_{y}}{\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}}\\&amp; \begin{align}a_{x} &amp; =\frac{f_{x}}{m}\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{3/2}\\a_{y} &amp; =\frac{f_{y}}{m}\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}\\&amp; \begin{align}\mathbf{f} &amp; =m\mathbf{a}\left(\gamma^{3},\ \gamma,\ \gamma\right)\\\mathbf{a} &amp; =\frac{\mathbf{f}}{m}\left(\frac{1}{\gamma^{3}},\ \frac{1}{\gamma},\ \frac{1}{\gamma}\right)牛頓力學中，將質量簡單定義為三維力與三維加速度的比值；此想法在狹義相對論中變為拙劣，因為這樣定義的質量將與速度的大小及方向相依。是故如下曾出現在舊版教科書中的質量定義在當代已捨棄不用：formula_86，稱為「縱向質量」；formula_87，稱為「橫向質量」。式(5a)中三維加速度與三維力的關係式也可透過運動方程式求得：其中formula_88是三維動量。若慣性參考系formula_26與formula_27間的相對速度為沿著x方向，即formula_10，且僅考慮平行於速度方向的情形時，formula_26中的三維力formula_80與formula_27中的三維力formula_95之間的轉換關係式可透過對formula_19、formula_9、formula_98、formula_99等相關轉換式做代換，或透過四維力進行勞侖茲轉換後取其分量，而得到以下結果：(\mathbf{f}\cdot\mathbf{u})}{1-\frac{u_{x}v}{c^{2}}}\\f_{y}^{\prime} &amp; =\frac{f_{y}}{\gamma_{v}\left(1-\frac{u_{x}v}{c^{2}}\right)}\\&amp; \begin{align}f_{x} &amp; =\frac{f_{x}^{\prime}+\frac{v}{c^{2}}(\mathbf{f}^{\prime}\cdot\mathbf{u}^{\prime})}{1+\frac{u_{x}^{\prime}v}{c^{2}}}\\f_{y} &amp; =\frac{f_{y}^{\prime}}{\gamma_{v}\left(1+\frac{u_{x}^{\prime}v}{c^{2}}\right)}\\又或將之推廣到任意方向的formula_19及formula_28：固有加速度與固有力.透過一共動彈簧秤來測量一瞬時慣性系中的力formula_103可稱為固有力。從式(6a)與式(6b)，設定formula_104、formula_62、formula_63、formula_64等條件，可得到固有力的關係式。當速度沿x軸，formula_65，且僅考慮平行之加速度，可採用式(6a)：&amp; \begin{align}f_{x} &amp; =f_{x}^{0}\\f_{y} &amp; =f_{y}^{0}\sqrt{1-\frac{u^{2}}{c^{2}}}\\&amp; \begin{align}\mathbf{f}^{0} &amp; =\mathbf{f}\left(1,\ \gamma,\ \gamma\right)\\\mathbf{f} &amp; =\mathbf{f}^{0}\left(1,\ \frac{1}{\gamma},\ \frac{1}{\gamma}\right)任意方向、大小為formula_41的速度formula_19之通則採用式(6b)：formula_111因為formula_112，牛頓力學關係式formula_113在瞬時慣性系中成立，是故式(4a)、式(5b)、式(7a)可歸結為：透過這些式子，歷史上對橫向質量formula_114定義中的明顯矛盾可以得到解釋。愛因斯坦的定義是固有力與三維加速度的比值：formula_115，而勞侖茲的定義則是三維力與三維加速度的比值formula_116。彎曲世界線.對運動方程式做積分，可得到一加速物體的世界線，對應到一連串的瞬時慣性系。如此則需考慮相關的「時鐘假設」：共動時鐘的原時與加速度無關。也就是說，對外部慣性系而言，這些時鐘的時間膨脹只相依於和外部慣性系之間的相對速度。以下是兩個簡單的彎曲世界線範例，透過對式(4a)中固有加速度的積分而得：a) ：式(4a)中為恆定的縱向固有加速度formula_117，造成世界線&amp; \tau(t)=\frac{c}{\alpha}\ln\left(\sqrt{1+\left(\frac{\alpha t}{c}\right)^{2}}+\frac{\alpha t}{c}\right),\quad x(t)=\frac{c^{2}}{\alpha}\left(\sqrt{1+\left(\frac{\alpha t}{c}\right)^{2}}-1\right)此世界線對應到雙曲方程式formula_118，因此這樣的移動物體世界線被稱作雙曲運動。此方程組常用來計算孿生子悖論或貝爾太空船悖論的不同版本案例，亦與有關。b) 式(4a)中為恆定的橫向固有加速度formula_119，可視為向心加速度，造成一勻速旋轉物體的世界線：formula_120其中formula_121為切線速率，formula_122是軌道半徑；角速度formula_123為座標時間的函式，另外formula_124為固有角速度。加速參考系.加速運動亦可透過加速座標系或來描述。以此方式建立的固有參考系與密切相關。舉例而言，一雙曲加速參考系的座標有時稱為潤德勒座標，而勻速旋轉參考系的情形，則稱為旋轉圓柱座標，或稱。歷史.更多資訊請·勞厄、包立、米勒、Zahar、Gourgoulhon，以及狹義相對論發現史中的歷史資料。1899年：在一靜止靜電粒子系統formula_125及具有相對平移的另一系統formula_26之間，亨德里克·勞侖茲在包含一因子formula_127的情況下，推導出了加速度、力、質量之間的正確關係，下式中formula_128為勞侖茲因子：(7a)中formula_129項：formula_130, formula_131, formula_131；(4a)中formula_133項：formula_134, formula_135, formula_135；(5b)中formula_137項：formula_138, formula_139, formula_139，因此為縱向與橫向質量；勞侖茲提到了他無法決定formula_127的值。若當時他設formula_142，則他的關係式會跟相對論關係式一模一樣。1904年：勞侖茲以更詳盡的方法推導初上述關係式，採用了靜止於系統formula_143及移動於系統formula_144之粒子的性質，搭配上新的輔助變數formula_145，相當於1899年推導中的formula_146，而得到：(7a)中，formula_80為formula_103之函式，可得formula_149；(7b)中，formula_150為formula_151之函式，可得formula_152；(4a)中，formula_9為formula_58之函式，可得formula_155；(5b, 7b)中，縱向與橫向質量為靜質量之函式，可得formula_156。這次勞侖茲可以展示formula_157，而他的數學式與相對論形式完全相符。他也推導了運動方程式：formula_158而formula_159對應於(5c)裡的formula_160，其中formula_157、formula_162、formula_163、formula_164、formula_165，以及視為的formula_166。他更進一步地闡述：這些數學式不只適用於帶電粒子的力與質量，也適用於其他過程，因此使得乙太中地球運動的影響無法被偵測出來。1905年：儒勒·昂利·龐加萊引入了三維力的轉換式(6a):formula_167其中formula_168，而formula_128為勞侖茲因子，formula_170為電荷密度。或以現代符號表記：formula_171，formula_172，formula_173，以及formula_174。與勞侖茲相同，他設定formula_157。1905年：阿爾伯特·愛因斯坦以其狹義相對論為基礎，推匯出運動方程式。此表示出等價慣性系之間的關係，而不需要用到機械式乙太。愛因斯坦總結到，在一瞬時慣性系formula_128中，運動方程式維持牛頓力學形式：formula_177。此關係式對應到formula_113，因為formula_179，formula_180，以及formula_181。透過轉換式轉換至一相對移動之系統formula_182，他得到了在新參考系中能觀察到之電磁分量方程式：formula_183。此關係式對應到(5b)，其中formula_184，因為formula_179，formula_186，formula_187，以及formula_188。也因此，愛因斯坦決定了縱向與橫向質量，儘管他將之與瞬時慣性系formula_128中的力formula_181以及在系統formula_182中之三維加速度formula_9做了關聯：formula_193此關係式對應到(7b)，其中formula_194。1905年：龐加萊引入了三維加速度轉換式：formula_195其中formula_196，以及formula_165，formula_171，formula_199。他更進一步地引入了四維力，採如下形式：formula_200其中formula_201 and formula_173，以及formula_203.1906年：馬克斯·普朗克導出了運動方程式：formula_204其中formula_205 and formula_206以及formula_207這些方程式對應到(5c)，其中formula_208，以及formula_209，formula_210，formula_211，與勞侖茲所給的相應。1907年：愛因斯坦分析了一均勻加速參考系，得到與座標相依的時間膨脹及光速之關係式，類同於Kottler-Møller-Rindler座標。1907年：赫爾曼·閔考斯基定義了四維力與四維加速度之間的關係：formula_212對應到formula_213。1908年：閔考斯基將formula_214對原時作微分的二次導數稱之為「加速向量」之中心點指向點formula_215所成之向量的大小。1909年：馬克斯·玻恩 denotes the motion with constant magnitude of Minkowski's acceleration vector as "hyperbolic motion" (), in the course of his study of rigidly accelerated motion. He set formula_219 (now called proper velocity) and formula_220 as Lorentz factor and formula_221 as proper time, with the transformation equationsformula_222.which corresponds to (8) with formula_223 and formula_224. Eliminating formula_225 Born derived the hyperbolic equation formula_226, and defined the magnitude of acceleration as formula_227. He also noticed that his transformation can be used to transform into a "hyperbolically accelerated reference system" ().1909年： extends Born's investigation to all possible cases of rigidly accelerated motion, including uniform rotation.1910年：阿諾·索末菲 brought Born's formulas for hyperbolic motion in a more concise form with formula_228 as the imaginary time variable and formula_229 as an imaginary angle:formula_230He noted that when formula_231 are variable and formula_229 is constant, they describe the worldline of a charged body in hyperbolic motion. But if formula_231 are constant and formula_229 is variable, they denote the transformation into its rest frame.1911年：索末菲 explicitly used the expression "proper acceleration" () for the quantity formula_235 in formula_236, which corresponds to (4a), as the acceleration in the momentary inertial frame.1911年：黑格洛茲 explicitly used the expression "rest acceleration" () instead of proper acceleration. He wrote it in the form formula_237 and formula_238 which corresponds to (4a), where formula_239 is the Lorentz factor and formula_240 or formula_241 are the longitudinal and transverse components of rest acceleration.1911年：馬克斯·馮·勞厄 derived in the first edition of his monograph "Das Relativitätsprinzip" the transformation for three-acceleration by differentiation of the velocity additionformula_242equivalent to (1c) as well as to Poincaré (1905/6). From that he derived the transformation of rest acceleration (equivalent to 4a), and eventually the formulas for hyperbolic motion which corresponds to (8):formula_243thusformula_244,and the transformation into a hyperbolic reference system with imaginary angle formula_229:formula_246.He also wrote the transformation of three-force asformula_247equivalent to (6a) as well as to Poincaré (1905).1912年-1914年：obtained general covariance of Maxwell's equations, and used four-dimensional Frenet-Serret formulas to analyze the Born rigid motions given by Herglotz (1909). He also obtained the proper reference frames for hyperbolic motion and uniform circular motion.1913年：馮·勞厄 replaced in the second edition of his book the transformation of three-acceleration by Minkowski's acceleration vector for which he coined the name "four-acceleration" (), defined by formula_248 with formula_249 as four-velocity. He showed, that the magnitude of four-acceleration corresponds to the rest acceleration formula_250 byformula_251,which corresponds to (4b). Subsequently, he derived the same formulas as in 1911 for the transformation of rest acceleration and hyperbolic motion, and the hyperbolic reference frame.