拓撲量子場論

拓撲量子場論是一類計算拓撲不變數的量子場論。其共同特徵是某些相關函式不依賴於背景時空流形的度量。雖然拓撲量子場論由物理學家發明，但是在數學上也具有重要意義，與紐結理論、代數拓撲中的、代數幾何中的模空間等分支均有聯絡。西蒙·唐納森、沃恩·瓊斯、愛德華·威滕和馬克西姆·孔採維奇都因對拓撲場論方面的研究而獲得菲爾茲獎。20世紀70年代，阿爾伯特·施瓦茨就研究過一種拓撲量子場論。80年代末，在邁克爾·阿蒂亞啟發下，研究了三個拓撲量子場論：一個由超對稱楊-米爾斯場論扭變得到，用以將西蒙·唐納森不變數和弗勒爾瞬子同調解釋為量子物理物件；第二個是非阿貝爾的陳-塞蒙斯場論，用以將瓊斯多項式及其衍生物解釋為量子物理物件；第三個由超對稱 Σ 模型扭變得到，用以將格羅莫夫的贗全純曲線和弗勒爾的拉格朗日同調解釋為量子物理物件。1994年威滕應用弦論學家得到的強弱對偶結果將唐納森不變數等價為更易計算的塞伯格-威滕不變數。進入21世紀，威滕等人又研究了具有更多超對稱的楊-米爾斯場論的扭變，並將數學中的幾何郎蘭茲對偶解釋為量子場論中的強弱對偶。威滕等人進一步發現，Σ模型、陳-塞蒙斯場論、以及超對稱楊-米爾斯場論之間有千絲萬縷的聯絡，它們都可以包含在弦論或者M-理論中，在這個大框架之下，瓊斯多項式的範疇化——霍萬諾夫同調被解釋為量子物理物件。在凝聚體物理學中，拓撲量子場論是拓撲有序態的低能有效理論，例如分數量子霍爾態、弦網凝聚態及其他強關聯液態自旋量子。綜述.在拓撲量子場論中，相關函式並不取決於時空的度量。這意味著理論對時空形狀的改變不敏感：時空彎曲或收縮時，相關函式並不因此改變。因此，它們是拓撲不變數。在粒子物理學中常用的、平坦的閔可夫斯基時空中，拓撲場論並不十分有趣。這是由於閔可夫斯基空間可以被收縮成一點，所以其中的TQFT只計算出平凡的拓撲不變數。因此，TQFT通常在黎曼曲面等彎曲的時空上研究。大多數已知的拓撲場論定義在5維的彎曲時空中。更高維度的拓撲場論似乎存在，但人們未能清楚理解這些理論。量子引力被相信是背景獨立的，而TQFT恰好能提供背景獨立的量子場論的例子。這一特性促進了現行的對此類模型的理論探索。具體模型.已知的拓撲場論可分為兩個大類：施瓦茨類TQFT與威滕類TQFT。後者有時被稱為上同調場論。施瓦茨類TQFT/陳-西蒙斯.在施瓦茨類TQFT中，系統的相關函式或配分函式可由度量獨立的作用量泛函的路徑積分計算出來。例如，在BF模型中，時空為二維流形 "M"，可觀察量由2-形式 "F"、輔助標量 "B"以及它們的導數所構造得到。作用量為formula_1時空度量在理論任何地方都沒有出現，因此這個理論顯然是拓撲不變的。第一個TQFT的例子於1977年由A. Schwarz給出，它的作用量泛函是formula_2另一個較為著名的例子是陳-西蒙斯理論，可用於計算紐結不變數。一般而言配分函式取決於度量，但以上兩例得證為度量獨立。威滕類TQFT.第一個威滕類TQFT的例子出現於威滕1988年的論文#重定向 中，即4維的拓撲楊–米爾斯理論。雖然其中的作用量泛函包含時空度量 "g"αβ，但是在拓撲扭曲之後，理論變為度量獨立。而系統應力-能量張量 "T"αβ 對度量的獨立性則取決於BRST-運算元是否閉合。遵循著威滕的例子，人們在拓撲弦論中找到了大量其它的例子。數學表述.最初的阿蒂亞—西格爾公理.受所提出的共形場論的公理和威滕的超對稱的幾何意義的想法#重定向 的啟示，阿蒂亞提出了一套拓撲量子場論的公理#重定向 。阿蒂亞的公理建立於以可微變換粘合邊界，類比於西格爾公理中所使用的共形變換。這套公理對於施瓦茨類TQFT的數學處理相對有用，但其如何體現威滕類TQFT的全部結構卻不清楚。公理的基本思路是將TQFT視為從某個特定配邊的範疇到向量空間的範疇的一個函子。有兩套不同的公理都可被稱作阿蒂亞公理。它們的區別基本在於所研究的TQFT是定義在某個單一固定的"n" 維黎曼/洛侖茲時空"M" 中，或者是同時定義在所有"n" 維時空中。設Λ為帶單位元的交換環。對於定義在基環Λ上的"d" 維TQFT，阿蒂亞最初提議的公理如下：這些資料需滿足如下公理：注意．如果對閉合流形 "M" 我們視"Z"("M")為一個數值不變數，那麼對帶邊流形我們應視"Z"("M") ∈ "Z"(∂"M")為“相對”不變數。設"f" : Σ × "I" → Σ × "I"為保向微分同胚，然後透過"f" 粘合Σ × "I" 的兩端。這樣我們得到流形Σ"f"，而公理蘊涵了formula_3這裡Σ("f")指"Z"(Σ)上的誘導自同構。注意． 若"M" 是一個邊界為Σ的帶邊流形，我們總能構造其“雙倍”、閉合流形formula_4。第五條公理表明formula_5其中等式右邊我們計算由埃爾米特度量中的範數。與物理的聯絡.物理上，公理(2)和(4)與相對論不變性有關，而公理(3)和(5)則說明理論的量子本質。Σ意指物理空間卻可以透過中介流形formula_6從Σ0傳到Σ1；這反映出"M" 的拓撲性質。若∂"M" = Σ，那麼希爾伯特空間"Z"(Σ)中特別的向量"Z"("M")可被看作又"M" 定義的"真空態"。對於閉合流形"M" 數值"Z"("M")即真空期望值。類比於統計力學，它又稱為配分函式。理論中哈密頓算符為零的原因可透過費曼對量子場論的路徑積分表述合理地解釋。它整合了相對論不變性，且理論在形式上可由適當的拉格朗日量——該理論中經典場的泛函——定義。若拉格朗日量形式上只涉及時間上的一階導數，它將匯出零哈密頓算符，但拉格朗日量本身可以擁有非平凡的特性，將其與流形"M" 聯絡起來。阿蒂亞的例子.1988年，阿蒂亞發表論文，描述了許多當年學界考慮到TQFT的新例子。#重定向 論文討論了一些新的拓撲不變數和新思想，包括卡森不變數、唐納森不變數、格羅莫夫理論、弗洛爾同調和瓊斯多項式。"d" = 0.在這種情況下，Σ由有限多個點組成。對每個單點我們賦予一個向量空間"V" = "Z" (point)，並對每"n" 個點賦予"n" 重張量積"V" ⊗"n" = "V" ⊗ ... ⊗ "V"。對稱群"Sn" 作用在"V" ⊗"n" 上。得到量子希爾伯特空間的標準方法是先給出一個經典辛流形。從而，"d" = 0 情況下的拓撲量子場論自然地與經典的李群和對稱群的表示論聯絡起來。固定時空的情況.設"BordM" 為如下範疇：態射"M" 的"n" 維子流形、物件為這些子流形的邊界的連通單元。若兩個態射經由"M" 的子流形同倫等價，那麼我們視它們為等價態射，並由此得到商範疇"hBordM"："hBordM" 的物件為"BordM" 的物件，而"hBordM" 的態射為"BordM" 中態射的等價類。"M" 上的TQFT是一個從"hBordM" 到向量空間的範疇的對稱么半函子。注意到若兩個配邊的邊界吻合，它們可以被“縫合”而生成一個新的配邊。這是配邊範疇裡的運算。由於函子需要保留運算，這要求縫合的配邊對應的線性對映等於每個配邊所對應的線性對映的合成。2維TQFT的範疇與交換的範疇等價。同時考慮所有"n" 維時空.要同時考慮所有時空，我們必須將"hBordM" 替換成一個更大的範疇。因此設"Bordn" 為協邊的範疇：態射為"n" 維帶邊流形，物件為"n" 維流形的邊界的連通單元。與上節相仿，若兩態射同倫等價，則視其為等價態射，並得到商範疇 "hBordn" 。"Bordn" 是一個么半範疇，其運算為將兩個協邊對映到它們的不交併。那麼，"n" 維流形上的TQFT就是一個從"hBordn" 到向量空間的範疇的函子，並將協邊的不交併映到張量積。例如，對於(1+1)維協邊，同樣取決於邊界的分組。因此，(1+1)維TQFT對應於。此外，我們同時考慮由以上的協邊聯絡的四維、三維及二維流形，可以得到大量重要的例項。後續發展.拓撲量子場論對塞伯格—威滕規範場論、拓撲弦理論、紐結理論和量子理論的關聯、和量子紐結不變數等有諸多應用。此外，它為數學和物理都提供了非常有趣的研究物件。最近，TQFT中的非區域性運算元成為重要的研究方向(#重定向 )。如果弦理論被視作根本理論，那麼非區域性TQFT則是為區域性弦理論提供一個簡化計算的逼近的非物理的模型。