量子操作

量子操作是對量子系統所能經歷的一系列變換的數學表述。這一概念是由在討論密度矩陣的廣義隨機變換時首度引入。量子操作的表述需要系統採用密度矩陣描述。嚴格而言，量子操作是一個密度算符集到其自身的線性完全正對映。在量子運算領域，量子操作通常稱作。“量子操作”有時會被一些學者用來描述密度矩陣空間的或非跡增對映，而“量子通道”則特指其中嚴格的保跡對映。量子操作不僅僅涉及孤立系統的時間演化及對稱變換，同時還涉及測量效應以及系統與環境間的暫態相互作用。量子系統所能經歷的一些過程並不能用量子操作描述。原則上，量子系統的密度矩陣可以經過任意的時間演化。量子操作可以透過“”這一概念進行推廣。量子儀器可以捕捉測量過程中量子資訊外的經典資訊。背景.量子力學的薛定諤繪景可以在一定的前提假設下對於量子系統的時間演化提供充分的描述。這些假設包括：時間演化的薛定諤繪景有幾種等價的數學表述，其中較為著名的一種為薛定諤方程。它給出了系統狀態對時間的導數，或者更為準確地來說是：時間經過"t"個單位對孤立系統S產生的影響透過作用在與S相關的希爾伯特空間"H"上的么正算符"U""t"給出。即如果系統在時刻"s"處於對應"v" ∈ "H"的狀態，那麼經過"t"個單位的時間後，其狀態為"U""t" "v"。 對於相對論性系統，儘管沒有全域時標，但特定可逆變換對於量子系統的作用仍是可以描述的。例如，系統狀態在不同參考系間的變換，可以透過么正變換給出。在任意情況下，處於純態的系統經過狀態變化後仍處於純態；相關過程是在理想的框架下描述的，不涉及退相干。對於開放系統，例如正在進行測量的系統，情況截然不同。首先，這些系統所經歷的狀態變化在描述時不能排除純態集的變換。在這樣的相互作用後，處於純態φ的系統將不再處於原來的純態。一般而言，其會處於純態序列φ1..., φ"k"的統計混合態，相應狀態的機率為λ1..., λ"k"。從純態到混合態的過程稱作“退相干”。目前已經有許多可以處理相互作用中的系統的數學表述。量子操作於1983年由提出。他的這項工作是基於蔡文端此前做的數學工作。這一方法可以將測量這樣的操作表述為密度態間的對映。特別地，量子操作的影響僅限制在密度態集內。定義.密度算符是帶有單位跡的希爾伯特空間上的非負算符。數學上，量子操作是希爾伯特空間"H"與"G"上跡類算符空間間的線性對映Φ，存在：存在formula_2也為非負的。換言之，Φ是完全正的，當對所有"n"存在formula_3為正。其中formula_4表示formula_5矩陣的C*-代數上的同一對映。需要注意，在第一個條件下，量子操作不一定能保留統計系綜的歸一性。在機率論中，量子操作可能是個次馬爾可夫鏈。為了使量子操作不會令密度矩陣集發生變化，需要再假定跡守恆。在量子資訊領域，量子操作被定義為不會令跡增加的完全正對映，又稱“”或“隨機對映”。這裡的表述僅限於量子態間的通道，然而這一概念可以延伸至經典態的通道，從而允許量子資訊與經典資訊可以同時處理。克勞斯算符.克勞斯定理給出了表徵量子操作的量子態密度算符間對映的特性：設"H"和"G"分別是"n"維和"m"維的希爾伯特空間，而Φ是作用在"H"上的密度矩陣到作用在"G"上的密度矩陣的對映，則存在formula_6為"G"到"H"的對映，令formula_7。相應地，任意這種形式的對映Φ是一種量子操作，令formula_8。這裡的矩陣formula_9稱作“克勞斯算符”。可以將上述結果延伸至任意可分希爾伯特空間"H"和"G"。此時，"S"被一個跡類算符取代，而formula_9則被一系列有界算符取代。酉等價性.一般地，一種量子操作Φ並不僅僅確定唯一的克勞斯算符。比如，對於Φ進行的喬列斯基分解不同，得到的克勞斯算符也有所不同。下面的這條定理給出了兩組表徵同一量子操作克勞斯算符的酉等價性：設Φ是一個有限維希爾伯特空間"H"上的量子過程，且存在兩組可以表徵該過程的克勞斯矩陣{"B""i"}"i"≤ N及{"C""i"}"i"≤ N 。則存在么正算符 formula_11令：formula_12在無窮維情形中，這一結果可以推廣至兩組的關係。由斯坦斯普林定理可以得到，所有的量子操作在給原始系統附加適當的經由么正演化即可執行。評註.上述結果也可從完全正對映定理匯出，由此可以透過一個特定的埃爾米特正密度算符的跡表徵完全正有限維對映。在給定量子通道的所有可能的克勞斯表示中，存在一個正則形式的克勞斯算符集，其中的克勞斯算符互相正交：formula_13。這樣的一組正交克勞斯算符的正則集可以透過對相應的上述矩陣進行對角化然後透過本徵矢改造為方陣即可得到。同時還存在完全正對映定理無窮維情況的代數推廣：透過定義量子通道的一種新的密度算符。這種矩陣可以用來定義相對保真度及量子通道間的互資訊。動力學考量.對於一個非相對論性量子系統，其時間演化可以透過"Q"的自同構單引數群{α"t"}"t"描述。這中描述可以簡化至么正變化：在特頂的若技術要求下，存在一個希爾伯特空間上的么正變化的強連續單引數群{"U""t"}"t"，令"Q"中的元素"E"依下面這個方程演化：formula_14。系統的時間演化還可以透過統計態空間的時間演化加以考量。統計態的演化由{β"t"}"t"這類算符給出，滿足：formula_15易見，對於每個"t"，"S" → "U"*"t" "S" "U""t"是一個量子操作。此外，這個操作是可逆的。這個結果可以進行推廣：如果"G"是"Q"的連通對稱李群，滿足同樣的弱連續條件，那麼"G"中任意元素"g"的群作用有么正算符"U"給出：formula_16"g" → "U""g"的這一對映稱作"G"的射影表示。"S" → "U"*"g" "S" "U""g"是可逆量子操作。量子測量.量子操作可以用來描述量子測量過程。下面給出的表述描述的是對於可分復希爾伯特空間"H"上的自共軛射影的測量，即採用方法。在一般情形中，測量可以透過採用非正交算符。非正交情形可以用來提高量子儀器的效率。雙態測量.量子系統可以透過一系列的是非問題進行測量。這一組問題可以理解為是從量子邏輯中命題的正交補格"Q"選取得的。這一補格等價於可分復希爾伯特空間"H"的自共軛射影空間。考察處於某態"S"的系統，為了確定其是否具有某一屬性"E"。這裡的"E"是量子是非問題格中的一個元素。這裡的測量指對系統進行一定的處理來確定其是否具有該屬性。在這裡的討論中，對於系統狀態的考察可以透過考慮系統的系綜賦以操作定義。每個測量會產生確定值：0或1。此外對系綜進行測量導致統計態產生可預測變化。統計態的這一變換可以由量子操作給出：formula_17這裡的"E"可以理解為一個投影算符。一般情形.在一般情形中，可觀測量的測量值的可能取值不止於2個。當可觀測量"A"具有一個純點譜，那麼其可以以本徵矢為正交基底進行表記。即"A"可以進行譜分解：formula_18其中E"A"(λ)是一組互相正交的投影。每一個投影都在與測量值λ相關的"A"的本徵空間上。可觀測量"A"的測量值為"A"的本徵值。對於系統系綜進行的重複測量會得出"A"的本徵值譜的機率分佈。這個分佈是離散的，滿足：formula_19對於統計態"S"的測量由下面這個對映給出：formula_20即在測量完成後不久，系統統計態是一個與可觀測量測量值λ相關的本徵空間上的經典分佈："S"是一個混合態。非完全正對映.蘇德爾辛等人後來提出，對於開放量子演化的表述並不一定具有完全正性。他們透過計算得到，當系統與環境在起始時具有一定初始相關性時，對系統所賦以的對映並不一定是正的。然而，這一對映僅在狀態不滿足對於起始相關性做出的假設時才不是正的。他們因而得出為了對量子演化進行充分的理解，非完全正對映也需要納入考察範圍內。