拉普拉斯方法

在數學上，以皮埃爾-西蒙·拉普拉斯命名的拉普拉斯方法是用於得出下列積分形式的近似解的方法：formula_1其中的 "ƒ"("x") 是一個二次可微函式， "M" 是一個很大的數，而積分邊界點 "a" 與 "b" 則允許為無限大。此外，函式 "ƒ"("x") 在此積分範圍內的 全域極大值 所在處必須是唯一的並且不在邊界點上。則它的近似解可以寫為:formula_2其中的 "x"0 為極大值所在處。這方法最早是拉普拉斯在 (1774, pp. 366–367) 所發表。(待考查)拉普拉斯方法的想法概論.}  ，此 "s" 很顯然的當 "M" 很大時為一個微小的數，則上述的積分可以寫為formula_3因此，我們的相對誤差很顯然的為formula_4現在，讓我們把積分分為 formula_5 的與餘下的部分。基於上述四點，就有辦法證明拉普拉斯方法的可靠性。而 Fog(2008) 又將此方法推廣到任意精確。 ***待考查***此方法的正式表述與證明：假設 formula_6 是一個在 formula_7 這點滿足 (1) formula_8 ，(2)唯一全域最大，(3) formula_9 附近為二階可微且 formula_10 (4) 當拉普拉斯方法的積分範圍為無限大時，此積分會收斂，則，formula_11其他形式.有時拉普拉斯方法也會被寫成其他形式，如：formula_12其中 formula_13為正 (好像不必要)。重要的是，這方法精確度與函式 formula_14 和 formula_15 有關。 ***待考查***} ，所以，若我們令 formula_16 且 formula_17 ，則formula_18所以，只要我們求得上式的上限為何，即可得相對誤差。注意，這裡的推導還可以再最佳化，不過，由於此處我只想顯示它會收斂到0，因此，不再細推。由於 formula_19 ，因此formula_20其中 formula_21 與 formula_22 雷同，所以只算 formula_21 ，經過 formula_24 的變換後，得到formula_25也就是說，只要 formula_26 取得夠大，它就會趨近於0。而 formula_27 與 formula_28 也雷同，所以也只算一個：formula_29其中formula_30並且 formula_31 在此範圍內要與 formula_32 同號。這裡讓我們選過 formula_33 的切線為 formula_34 吧！即 formula_35 ，如圖所示：由圖可以看出，當 formula_36 或者 formula_37 變小時，滿足上列不等式的區間會變大，因此，為了涵蓋整個區間， formula_37 有了上限。此外，formula_39 的積分也相對容易，因此，很適合用來預估誤差。由泰勒展開我們得知，formula_40且formula_41然後將它們代回 formula_27 的計算裡，不過，您可以看到，上述的兩個餘項皆與 formula_43 的開根號成反比，為了式子的漂亮，讓我省略它們吧！不省略只是看起來較醜陋而已，不過，那樣子較嚴謹便是。formula_44所以，原則上也是 formula_26 越大則越趨近於0。只不過，在決定 formula_34 的過程，設下了 formula_26 的上限。至於靠近極大值的點的積分，我們一樣可以利用泰勒展開來求，當 formula_31 在此點的一階微分不為0時，formula_49會看到它原則上與 formula_43 的開根號成反比，其實，當 formula_51 為常數時，積分出來的也會有如此的行為。所以，概括的講，靠近極大點的附近的積分原則上會隨著 formula_52 的增大而變小，而其餘的部分，只要 formula_26 夠大，也會趨近於0，只是這formula_26 是有上限的，取決於我們所找的上限函式 formula_34 是否在這區間內總是大於 formula_56 ；不過，一旦有一個滿足條件的 formula_34 被找到，由於切線的起點為 formula_33 ，因此，formula_26 可以取正比於 formula_60 即可，所以， formula_43 越大，formula_26 也可以設越大。至於多維的情形，讓我們令 formula_63 是一個 formula_64 維向量，而 formula_65 則是一個純量函式，則此拉普拉斯方法可以寫成formula_66其中的 formula_67 是一個在formula_68 取值的 海森矩陣，而 formula_69 則是指矩陣的 行列式 ；此外，與單變數的拉普拉斯方法類似，這裡的 海森矩陣 必須為 負定矩陣，即該矩陣的所有本徵值皆小於0，這樣才會是極大值所在。.拉普拉斯方法的推廣：最速下降法.此拉普拉斯方法可以被推廣到 複分析 裡頭使用，搭配 留數定理 ，以找出一個過最速下降點的 contour (翻路徑的話，會與path integral 相衝，所以，這裡還是以英文原字稱呼) 的 曲線積分 ，用來取代原有的複數空間的 contour積分。因為有時 formula_70 的一階微分為0的點未必就在實數軸上，而就算真在實數軸上，也未必二階微分在 formula_71 方向上為小於0 的實數；此種情況下，就得使用最速下降法了。由於最速下降法中，已經利用另一條透過最速下降的鞍點來取代原有的 contour 積分，經過變數變換後就會變得有如拉普拉斯方法，因此，我們可以透過這新的 contour ，找到原本的積分的漸進近似解，而這將大大的簡化整個計算。就好像原本的路徑像是在蜿蜒的山路開車，而新的路徑就像乾脆繞過這座山開，反正目的只是到達目的地而已，留數定理已經幫我們把中間的差都算好了。請讀 Erdelyi (2012)與 Arfken &amp; Weber (2005) 的書裡有關 "steepest descents" 的章節。以下就是該方法在"z" 平面下的形式：formula_72其中 "z"0 就是新的路徑透過的鞍點。注意，開根號裡的負號是用來指定最速下降的方向，千萬別認為取 formula_73 的絕對值來取代這個負號，若然，那就大錯特錯了。另外要注意的是，如果該被積函式是 亞純函式 ，就有必要將被新舊 contour 包到的極點所貢獻的留數給加入，範例請參考 Okounkov 的文章 arXiv:math/0309074 的第三章。更進一步一般化.最速下降法還可以更進一步的推廣到所謂的 "非線性穩定相位/最速下降法" (nonlinear stationary phase/steepest descent method)。這方法主要用在解非線性偏微分方程，透過將非線性偏微分方程轉換為求解柯西變換(Cauchy transform)的積分形式，就可以藉由最速下降法的想法來得到非線性解的漸進解。以 艾裡方程(線性) formula_74 為例，它可以寫成積分形式如下：formula_75由這條積分式，我們就可以藉由最速下降法(若 formula_76 指的是負實數軸，那麼就回到此拉普拉斯方法了)來得到它的漸進解了。然而，若方程式如 KdV方程 formula_77 是個非線性偏微分方程，想要找到它的解相對應的一個複數 contour 積分的話，就沒那麼簡單，在非線性穩定相位/最速下降法裡所用到的概念主要是基於散射逆轉換 (inverse scattering transform) 的處理方式，即先將原本的非線性偏微分方程變成 Lax 對 ，其中一個像是線性的 薛丁格方程式 ，其位能障為我們要找的 formula_78 ，本徵值為 formula_79 ，波函式為 formula_80 (不過，它並非我們所要的 formula_81 )；因此可以解它的散射矩陣，若利用解析延拓將原本的波函式由實數 formula_79 延拓到複數空間時，就可以得到黎曼希爾伯特問題(RHP)的形式。利用這個黎曼希爾伯特問題(RHP) ，我們可以解得 formula_83 的柯西變換的積分形式，再利用此線性薛丁格方程的特性，就可以反推出 formula_78 的複數 contour 積分 形式了。而 Lax 對 的另一個偏微分方程則是決定每個 formula_80 隨時間變化的行為，由於 formula_78 在 formula_87 時被要求為0 ，會發現整個偏微分方程會變得十分簡單，並且只決定 formula_88 裡的 formula_89 的值，不過，條件是 formula_80 必須是指由正負無限遠入射或反射波的解。這樣，我們所得到的這個只與時間與本徵值有關的係數 formula_89 就可以直接被應用在上述的黎曼希爾伯特問題(RHP)裡的躍變矩陣裡了。接著就是非線性穩定相位/最速下降法所要做的工作，即找出 鞍點 來，在該點附近基於最速下降法的精神做近似。不過，這近似因著考慮到收斂性，需要將原本的 contour 變形，與將原本的黎曼希爾伯特問題(RHP)作轉換，所以有再比原本的最速下降法多出一些步驟來。這整個方法最早由 Deift 與 Zhou 在 1993 基於 Its 之前的工作所提出的，後續又有許多人加以改進，主要的應用則有 孤波 理論，可積模型等。複數積分.以下的積分常用在 拉普拉斯變換#拉普拉斯逆變換 裡，formula_92假定我們想要得到該積分在 formula_93 時的結果(若 formula_94 為時間，通常就是在找經過夠久時間後達穩定的結果)，我們可以透過 解析延拓 的概念，先將這時間換成虛數，如 "t" = "iu" 並且一併做 formula_95 的變換，則我們可以將上式轉換為如下的 拉普拉斯變換#雙邊拉普拉斯變換formula_96這裡就可以套用此拉普拉斯方法求漸進解，最後，再利用 "u" = "t" / "i" 把 "t" 換回來，就可以得到該拉普拉斯逆變換的漸進解了。例子1：斯特靈公式.拉普拉斯方法可以用在推導 斯特靈公式 上；當 "N" 很大時，formula_97證明：由 Γ函式 的積分定義，我們可以得到formula_98接著讓我們做變數變換，formula_99因此formula_100將這些代回 Γ函式 的積分定義裡，我們可以得到formula_101經由此變數變換後，我們有了拉普拉斯方法所需要的formula_6 為formula_103而它乃為二次可微函式，且formula_104formula_105因此， "ƒ"("z") 的極大值出現在 "z"0 = 1 而且在該點的二次微分為 formula_106 。因此，我們得到formula_107例子2：貝氏網路 ，引數估計與機率推理.關於機率推理的簡介，請參考 http://doc.baidu.com/view/e9c1c086b9d528ea81c77989.html 。而在 的文章裡，則回顧瞭如何應用此拉普拉斯方法 (無論是單變數或者多變數) 如何應用在 "機率推理" 上，以加速得到系統的 後驗矩 (數學) (posterior moment) ， 等，並舉醫學診斷上的應用為例。