圓周率

圓周率是數學常數，為圓的周長和其直徑的比，近似值約，常用符號表示。是無理數，不能用分數表示出來，但近似formula_4等有理數。學界認為π的數字序列在統計上是隨機分佈，但迄今未能證明。此外，π還是超越數，它不是任何有理係數多項式的根，化圓為方的問題不可能用尺規作圖解決。幾個文明古國很早就須計算出π的精確值以便於生產的計算。西元5世紀，中國劉宋數學家祖沖之用幾何方法將圓周率計算到小數點後7位。大約同時，印度數學家也將圓周率計算到小數點後5位。史上首條π的精確無窮級數公式直到約1000年後才由印度數學家發現。微積分出現，π的位數很快計到數百位，足以滿足任何科學工程的計算需求。在20和21世紀，計算機技術快速發展，π的計算精度急速提高。截至2022年6月，π的十進位制精度已達100兆位。幾乎所有科學研究對π的精度要求都不超過幾百位，當前計算π的值主要都為打破記錄、測試超級計算機的計算能力和高精度乘法演算法。:17π的定義涉及圓，在三角學和幾何學的許多公式，特別是廣泛應用在圓形、球形或橢球形相關公式中。在近代數學分析裡，π改由實數系統譜性質中的特徵值或週期來定義，其他數學領域如數論、統計以及幾乎所有物理學領域均有出現，π的廣泛用途使它成為科學界內外最廣為人知的數學常數。幾本專門介紹π的書籍經已出版，圓周率日和π值計算突破記錄也往往會成為報紙的新聞頭條。此外，背誦π值的世界記錄已達10萬位。基本概念.名稱.數學家用小寫希臘字母表示圓周和其直徑之比，有時也將其拼寫為“--”，來自希臘語“--”在數學要和表示連乘積的大寫Π相區分開。關於選擇符號π的原因，請入π符號一節。定義.π常用定義為圓的周長formula_5與直徑formula_6的比值：:8formula_7。無論圓的大小如何，比值formula_8為恆值。如果圓的直徑變為原先的二倍，周長也變為二倍，比值formula_8不變。π目前的定義暗地用了歐幾里得幾何的一些定理，雖然圓的定義可擴充套件到任意曲面，但這些圓不符合定律formula_7。這裡，圓的周長指其圓周的弧長，弧長這概念可以不依賴幾何學，而是用微積分學的極限來定義。例如，若想計算笛卡兒座標系中單位圓formula_11上半部分的弧長，需要用到積分：formula_12上述積分是由卡爾·魏爾斯特拉斯於1841年對π的積分定義。π這些依賴周長、且暗地依賴積分的定義如今在並不常見。雷默特解釋說現代教微積分時，大學一般將微分學課程安排在積分學課程之前，所以不依賴於後者的π的定義就很有必要了。其中一種定義由提出，由愛德蒙·蘭道推廣，其表述如下：π是兩倍於能使餘弦函式等於零的最小正數。餘弦函式可以由獨立於幾何之外的冪級數定義，或者使用微分方程的解來定義。在相似的啟發下，π可以用關於復變數formula_13的復指數函式formula_14來定義。復指數類似餘弦函式，可用多種方式定義。令函式formula_14值為一的複數集合是如下所示的等差數列：formula_16，並且其中包括獨特的正實數。基於同樣想法但更抽象的定義運用了精巧的拓撲學和代數學概念，用以下定理描述：存在唯一的從加法模數整陣列成的實數群R/Z到絕對值為1的複數組成的乘法群的連續同態。數字π定義為此同態派生的模的一半。周長固定，圓會圍成最大面積，π同樣表述為等周不等式中出現的常數。此外，在很多其他緊密相關的方程中，π作為某些幾何或者物理過程的特徵值出現；詳見下文。無理及正規性.π是無理數，無法表示成兩整數之比的形式，不過估計其無理性度量比ln(2)的要大，但是小於劉維爾數的無理性度量。檢驗，包括正規數檢驗，可驗證的位數沒有明顯的固定模式。的小數中任意固定長度的序列出現機率都相同。不過有關π是正規數的猜想既無證明，亦無否證:22-23。電腦出現後可生成大量π的不同位數，並統計分析之。金田康正詳細統計分析了π的十進位制數字，並驗證了其分佈正規：例如，假設檢定0到9十個數的出現頻率，找不到有特定重複規律的證據:22, 28–30。根據無限猴子定理，任何任意長度、由隨機內容組成的子序列看起來都有可能像不隨機生成。因此，就算π的小數序列透過了隨機性統計測試，其中也可能有幾位的數字看起來似有規律可循而非隨機數，例如π的十進位制寫法在小數第762位後開始出現了連續六個9:3。超越性.不僅是無理數，還是超越數，即不是任何有理係數多項式的根。的超越性衍生出一些重要的結果：不能經有限次四則運算和開平方運算有理數來獲得，因此不是規矩數。換言之，尺規作圖作不出長度為的線段，也就不可能用尺規方法做出與已知圓面積相等的正方形。後者即為有名的化圓為方問題，該問題早在古典時代即已提出，曾困擾人數千年之久。直至今天，依然有民間數學愛好者聲稱他們解決了這問題。連分式.像所有無理數一樣無法表示成分數，但等全部無理數都能表示成一系列叫連分數的連續分數形式：formula_2在這連分數的任意一點截斷化簡，都能得到π的近似值；前四位近似值是3、formula_20、formula_21、formula_22。這些數在歷史上是π最廣為人知且廣為使用的幾個近似值。用以上方式得出的的近似值要比任何有相同或更小的整數分母的其他整數分數近似值更接近π。π是超越數，據定義來說它不是代數數，又因此不可能是二次無理數；是故π不能表示為迴圈連分數。儘管的簡單連分數沒有表現出任何其他明顯規律，數學家發現了數條廣義連分數能表示π，例如：formula_23近似值.圓周率近似值包括：其他進位制的近似值複數與尤拉恆等式.任何複數與正實軸經順時針轉動的夾角。這樣一來，formula_13就可寫成formula_30，這裡formula_31代表虛數單位，即formula_32＝-1。複分析中，尤拉公式將三角函式與復指數函式糅合在一起：formula_33，這裡數學常數"e"是自然對數的底數。尤拉公式確立了formula_34的復指數與複平面上以原點為圓心的單位圓上的點之間的關係，而且當formula_35時，尤拉公式就能改寫為尤拉恆等式的形式：。此等式亦稱“最奇妙的數學公式”，全因它將五個最基本的數學常數簡潔聯絡起來。尤拉等式亦可用於求出方程formula_36的formula_37個不同複數根，可以根據以下公式求得：formula_39。譜特徵.常出現在有關幾何的問題中。然而，不少和幾何無關的問題也可看到的身影。在許多用處中都會以特徵值形式出現。例如理想的問題可以建模為函式formula_40在單位區間formula_41的圖形，固定邊界值為formula_42。弦振動的模態會是微分方程的formula_43，此處λ是相關的特徵值。受施圖姆－劉維爾理論限制，formula_44只能是一些特定的數值。而formula_45即為一個特徵值，因為函式formula_46滿足邊界條件及微分方程formula_45。是上述方程的最小特徵值，也和絃振動的有關。一種讓弦振動的方式是提供弦能量，能量會滿足維廷格函式不等式，其中提到若函式formula_48使得formula_42，且formula_40和formula_51都是平方可積函式，則以下的不等式成立：formula_52此例中等號成立的條件恰好是formula_40為formula_54倍數的時候。因此似乎是維爾丁格不等式的最佳常數，也是最小的特徵值在更高維度的分析也有類似的角色，出現在其他類似問題的特徵值中。就如以上所述，的一項特點是等周定理中的最佳常數：周長為formula_55的平面若爾當曲線，所圍面積formula_56滿足以下的不等式formula_57，formula_58及formula_59，故等號成立的條件是曲線為圓形。圓周率π也和龐加萊不等式的最佳常數有關，是一維及二維的特徵向量最佳值中最小，會出現在許多經典的物理現象中，例如經典的位勢論。其一維的情形即為維廷格不等式。圓周率π也是傅立葉變換的重要常數，傅立葉變換屬於積分變換，將實數線上有複數值、可積分的函式，轉換為以下形式：formula_60傅立葉變換有幾種不同的寫法，但不論怎麼寫，傅立葉變換及反傅立葉變換中，一定會有某處出現。不過上述的定義是最經典的，因為其描述了"L"2空間中唯一的么正算符，也是formula_61空間到formula_62空間的代數同態。不確定性原理也用到。不確定性原理提出了可以將函式在空間及在頻域中區域性化程度的下限，用傅立葉轉換的方式表示：formula_63。物理的結果，有關量子力學中同時觀測位置及動量的不確定性，見下文。傅立葉分析中出現π是的結果，證實了海森伯群的是唯一。高斯積分.高斯積分是對高斯函式formula_64在整條實軸上的積分，即函式下方與X軸圍成的面積，其結果為formula_65，formula_66此積分的計算可以先計算formula_67對整條實軸的積分的平方，透過轉換笛卡爾座標系為極座標系從而求得formula_68其他計算方法可斯積分。高斯函式更一般的形式為formula_69，求一般形式的高斯積分均可透過換元積分法轉化為求formula_70的積分。另外，當高斯函式為以下形式時，它則是平均數為formula_71和標準差為formula_72的正態分佈的機率密度函式：formula_73這函式是機率密度函式，函式下方與X軸圍成的面積必須為1，令formula_74和formula_75即可變換得出formula_76。機率論與統計學領域經常使用正態分佈來作為複雜現象的簡單模型：例如科學家通常假設大多數試驗觀測值的隨機誤差都是服從正態分佈。機率論與統計學中的中心極限定理解釋了正態分佈以及的核心作用，這定理本質上是聯絡著的譜特徵與海森堡不確定性原理相關的特徵值，並且在不確定性原理中有formula_77，這裡的formula_78與formula_79分別為位置與動量的標準差，formula_80是約化普朗克常數，而不等式的等號當且僅當粒子的波函式為高斯函式使成立。同樣地，作為唯一獨特的常數使得高斯函式等於其自身的傅立葉變換，此時的高斯函式形式為formula_81。根據豪的計算，39位精確度已可將可觀測宇宙圓周的精確度準確至一粒原子大小，足以運算絕大多數宇宙學的計算需求。儘管如此，和π有關的成就往往成為世界各地的新聞頭條；部分人出於對破紀錄的衝動，依然奮力算出π小數點後上千甚至上百萬位:17–19。此外也有測試超級計算機、測試數值分析演算法等實際好處。純粹數學這領域也能計算π的位數評定其隨機度:18。快速收斂級數.現代計算π的程式不僅侷限於迭代演算法。20世紀80與90年代，出現了可用來計算π的新無窮級數，其收斂速度可與迭代演算法媲美，而又有著複雜度、記憶體密集度更低的優勢。印度數學家斯里尼瓦瑟·拉馬努金是這方面的先驅，他在1914年發表了許多與π相關的公式，這些公式十分新穎，極為優雅而又頗具數學深度，收斂速度也非常快。:103–104下式即為一例，其中用到了模方程：formula_120這無窮級數收斂速度遠快於絕大多數反正切數列，包括梅欽公式。:104第一位使用拉馬努金公式計算π並取得進展的是，他在1985年算得了小數點後一千七百萬位。:104, 206拉馬努金公式開創了現代數值近似演算法的先河，此後波爾文兄弟和進一步發展了這類演算法。:110–111後者於1987年提出了楚德諾夫斯基公式，如下所示：formula_121此公式每計算一項就能得到π的約14位數值，因而用於突破圓周率的數位的計算。利用這公式，楚德諾夫斯基兄弟於1989年算得π小數點後10億位。:110–111, 206類似的公式還有。2006年，加拿大數學家西蒙·普勞夫利用PSLQ按照以下模版生成了幾條計算π的新公式：formula_122，formula_123為e，formula_124是奇數，formula_125是普勞夫計算出的有理常數。統計模擬法.統計模擬法是以機率統計理論為指導的一類非常重要的計數方法，經大量重複試驗計算事件發生頻率，按照大數定律投針問題就是其中一項例項：長度formula_126的針隨機往畫滿間距formula_127的平行線的平面上拋擲formula_37次， 如果針與平行直線相交formula_129次，formula_37充分大就可根據以下公式算出的近似值：formula_131用統計模擬法計的另一例子是隨機往內切四分之一圓的正方形內拋擲大量點，落在四分之一圓內的點的數量與拋擲點的總量的比值會近似於formula_132。:39–40此外還可用隨機遊走試驗，並用統計模擬法計算值，如拋擲一枚均勻的硬幣formula_133次，並記錄正面朝上的次數，所得結果中，正面朝上的次數formula_134服從二項分佈且formula_135因為硬幣均勻，所以N次試驗中每次試驗結果相互獨立。由此可定義一系列獨立的隨機變數formula_136，當拋擲結果為正面時formula_137否則為-1，且formula_138且取何值有相同機率。對隨機變數formula_139求和可得formula_140設k為“硬幣正面朝上的次數”減去“硬幣反面朝上的次數”，即可得到formula_141。變換式子，得formula_142，因此formula_143，其中formula_144。可證明，formula_145，formula_146，以及formula_147並且當"N"變大時，formula_148的值會漸近於formula_149，因此當"N"充分大時可根據以下公式算出的近似值：formula_150表示位於距原點formula_151的單位質量電場，是位勢的負梯度：formula_154特殊情況有庫侖定律和牛頓萬有引力定律。高斯定律表明，透過包含原點的任何平滑、簡單、封閉、可定向曲面formula_155的場的向外通量等於formula_156：formula_157formula_158formula_159formula_160標準形式會將formula_161的這因子吸收到常數formula_124中，但這種說法表明了它必須出現在“某處”。此外，formula_161是單位球面的表面積，但並沒有假設formula_155是球面。然而，作為散度定理的結果，由於遠離原點的區域是真空，只有formula_165中的表面formula_155的同調類與計算積分有關，因此可以由相同同調類中的任何方便的表面代替，特別是球形，因為球面座標可以用於計算積分。高斯定律的結果之一是位勢formula_167的負拉普拉斯運算元等於狄拉克δ函式的formula_156倍：formula_169透過卷積就能得到物質的更一般分佈，給出泊松方程formula_170其中formula_171是分佈函式。常數在與愛因斯坦場方程中的四維勢起類似的作用，愛因斯坦方程是形成廣義相對論基礎的一條基本公式，並且把引力的基本相互作用描述為物質和能量引起的時空彎曲的結果：formula_172formula_173是裡奇曲率張量，formula_174是數量曲率，formula_175是度量張量，formula_176是宇宙學常數，formula_177是萬有引力常數，formula_178是真空中的光速，而formula_179是應力－能量張量。愛因斯坦方程的左邊是度量張量的拉普拉斯運算元的非線性模擬，並化簡至在弱域的極限，而右邊是分佈函式的模擬乘以formula_180。柯西積分公式.在複分析中，沿複平面若爾當曲線的圍道積分是研究解析函式的重要手段之一。簡化版的柯西積分公式表明，對任何若爾當曲線formula_181內任一點formula_182，以下圍道積分給出formula_183：formula_184該命題是柯西積分定理的直接推論，後者表明上述圍道積分在圍道的同倫變換下保持不變，因而沿任一曲線的積分和沿以formula_182為圓心的圓周積分的結果相同。更為一般地，該公式對不透過formula_182點的任意可求長曲線都成立，但等式右邊要乘以曲線關於該點的卷繞數。一般形式的柯西積分公式建立了全純函式formula_187在若爾當曲線formula_181上的值與曲線內任意點formula_182處值的關係：formula_190柯西積分定理是留數定理的一項特例。根據留數定理，在區域內除去有限個點解析的亞純函式formula_191在邊界上的圍道積分與函式在這些點的留數之和滿足：formula_192Γ函式與斯特靈公式.階乘函式formula_193的值等於所有小於等於formula_37的正整數之積，它的定義域只包含非負整數。Γ函式則是階乘的推廣。它在複平面的右半平面定義為：formula_195再利用解析延拓可以將它的定義域擴充套件到除去非正整數的整塊複數域。當自變數formula_196取正整數時，formula_197函式給出階乘formula_198；當自變數取半整數時，計算結果含有。例如formula_199，formula_200。根據魏爾施特拉斯分解定理，formula_197函式可分解為如下的無窮乘積：formula_202formula_181是尤拉－馬斯刻若尼常數。利用該分解公式和formula_197函式在formula_205的值formula_206，亦可以證明沃利斯乘積式。formula_197函式和黎曼ζ函式、的恆等式存在關聯，其中扮演著重要的角色。formula_197函式常用於計算formula_37維歐氏空間中"n" 維球的體積和"n" 維球面的表面積。對formula_37維歐氏空間中半徑為formula_25"formula_37"維球，其體積formula_213和表面積formula_214滿足：formula_215formula_216兩者還滿足如下的關係式：formula_217當formula_37很大，用formula_197函式可得到階乘formula_193的近似公式formula_221，稱斯特靈公式，等價於：formula_222斯特靈近似的幾何應用之一是。將formula_37維歐幾里得空間的單純形記作formula_224，formula_225則表示該單純形的所有面擴大formula_226。於是formula_227這是僅含一點晶格點之凸體體積的上界。數論與黎曼ζ函式.黎曼ζ函式formula_228 在數學的許多領域均有應用。當自變數formula_229 ，可寫作formula_230找到這無窮級數的解析解是數學界著名的“巴塞爾問題”。1735年，尤拉解決了這問題，他得到該無窮級數等於formula_231。尤拉的結論可推匯出數論中一項結果，即兩隨機整數互質，任取兩隨機整數都能以質數formula_233整除的機率為formula_234，至少有一數不能整除的機率則為formula_237。又，一隨機整數能否以兩不同質數整除是相互獨立事件，兩隨機整數互質的機率可以表示成關於所有質數formula_233的無窮乘積formula_239這結論可結合隨機數生成器，用統計模擬法計的近似值。:43﻿巴塞爾問題的結論意味著幾何匯出量的數值與質數的分佈有著深刻的關聯。巴塞爾問題是谷山－志村定理的一種特殊情況，是的一項特例，即猜想一個這種形式的算術量關於所有質數formula_233的無窮乘積能夠等於一個幾何量——某體積的倒易。巴塞爾問題中，這空間是SL2(R)/。formula_241函式同樣滿足黎曼方程的公式，其中用到了和伽瑪公式：formula_242除此之外，formula_241函式導數也滿足formula_244最終的結果是可以從諧振子中求得。這泛函行列式可以無窮乘積展開式計算，而且這種方法等價於沃利斯乘積公式。這種方法可用於量子力學，尤其是玻爾模型中的變分。傅立葉級數.週期函式的傅立葉級數很自然出現了。週期函式即實數的小數部分所構成群formula_245上的函式。傅立葉分解指出，formula_246上的復值函式formula_40可表示為無窮多個formula_246的的線性疊加之和。也就是說，formula_246到圓群formula_250的對映是連續群同態。formula_246的特徵都有formula_252的形式，是一條定理。formula_246有唯一的特徵值，直到複共軛，那是一群同態。在圓群用哈爾測度，常數是這特徵值的拉東－尼科迪姆導數值的一半。其他的特徵值的導數值為formula_254的正整數倍。因此，常數是獨特的數字，以至於配備了其哈爾測度的群formula_246，有對於formula_254整數倍的點陣的龐特里亞金對偶性。這是的一維版本。模形式與𝜃函式.常數與模形式和Θ函式密切相關——比如，橢圓曲線中的就很大程度涉及楚德諾夫斯基演算法。模形式是以在上半平面的全純函式的在formula_257下的變換特性歸納。Θ函式便是一例：formula_260它是一種名為的模形式，有時以formula_261表達。常數是特殊常數，它會使雅可比formula_262函式形成自守形式，即該函式會以特定方式變換。有若干恆等式在所有自守形式下成立。，例如：formula_263它使得formula_264必然在離散海森伯群下以表示變換。一般模形式和其他formula_262函式也包含，這也是根據。柯西分佈與位勢論.積分formula_266，柯西分佈formula_267是機率密度函式，總機率等於1。柯西分佈的夏農熵等於formula_268，也含。柯西分佈在位勢論中扮演著重要的角色因為它是最簡單的和與在半平面上做布朗運動相關聯的經典泊松核。以及希爾伯特變換與泊松核的漸近線有關。希爾伯特變換formula_269是由奇異積分的柯西主值給出的積分變換formula_270。常數是唯一的歸一化因子因此formula_269定義了一個在實數軸上的平方可積分實值函式的希爾伯特空間上的。 和傅立葉變換一樣，希爾伯特變換就其在希爾伯特空間formula_272的變換特性而言可以完全特徵化。直到歸一化，它是唯一的與正膨脹對易且與實數軸的所有反射反對易有界線性運算元。常數是唯一能使這變換么正的歸一化因子。複變動態系統.大衛·波在1991年發現在曼德博集合分形也有π出現。他檢查在曼德博集合在formula_273位置的特性。若考慮坐標在「頸部」formula_274的點，而formula_275趨近零，在發散之前迭代的次數和formula_275相乘，會趨近。若是在右側尖點處附近的點formula_277也會有類似的特性：在發散之前迭代的次數和formula_275的平方根相乘，也會趨近。數學之外的π.描述物理現象.與圓以及球座標系關係密切，即使不是物理常數，也常出現在描述宇宙的基本原則方程中。比方說，經典力學領域的簡單公式給出長L的單擺小幅擺動的近似週期formula_279，formula_280為地球引力加速度常數。海森堡不確定性原理是量子力學的基本公式，表明測量粒子時，其位置不確定度：formula_284。近似三這特性，和電子偶素的半衰期相對較長有密切的聯絡。其半衰期的倒數和精細結構常數formula_113的關係為formula_286，formula_129為電子質量。許多結構工程的公式也有，例如尤拉推導的挫曲公式說明瞭長度為formula_288、截面二次軸矩為"I"的細長形物體，在不挫曲的條件下可以承受的最大軸向負載formula_289：formula_290流體動力學的斯托克斯定律中也有。斯托克斯定律是半徑約為formula_174的小球體在黏度formula_292的流體中以速度formula_293運動時會受到的阻力滿足：formula_294在理想狀態下，河的曲折程度隨著時間的推移逐漸趨向於。河流外邊緣的快速水流彎曲會使河流內邊緣加倍侵蝕，河道變得更彎曲，整條河彎折更厲害。然而，這股彎折勁兒最終會導致河流折回一開始彎折的地方，導致“短路”，並形成河跡湖。這兩種相反因素使河道長度與源頭到入海口的比值的平均值為π。π的記憶技巧.π文字學於2015年3月21日在印度於9小時27分鐘內背誦了7萬位的π，創下健力士世界紀錄大全認證的世界紀錄。2006年，日本退休工程師原口證自稱已經背誦了十萬位小數，但他未獲健力士世界紀錄大全認證。常用於記憶π的一項技巧是背誦以單詞長度代表數值的故事或詩歌：第一單詞有三字母，第二單詞有一字母，第三單詞有四字母，第四單詞有一字母，第五單詞有五字母，如此類推。早期例子是英國科學家詹姆士·金斯設計的詩歌：「--」:44–45這類詩歌有時在英文中稱為「--」。除了英文，用於記憶π的詩歌亦有不同語言的版本:44-45。但是，記憶的人一般並不以詩歌記憶來創下紀錄，而是用如記憶數字規律或的方法。有好幾位作家仿照上述記憶技巧，用的數值創作了新型的方式，當中單詞長度須符合的數值。《》以上述技巧包含了前3835位的值，一本標準長度的書《Not a Wake》有一萬單詞，其中各單詞亦代表了的一位。大眾文化.也許因為的公式很簡短而且四處可見， 比其他數學常數在流行文化中更常見。在2008年由英國公開大學及英國廣播公司聯合製作的記錄片《》於2008年十月由英國廣播公司第四臺播放。影片講述了英國數學家馬庫斯·杜·索托伊在到訪印度研究當地三角學的貢獻時，展示出歷史上π最精確的計算公式的資訊圖形。巴黎的科學博物館發現宮有間圓形房間叫「房」，牆上刻有的707位數，數字貼在圓頂狀的天花板上，由大型的木製字元組成。數值是1853年由英國數學家計算出來，但是該結果於第528位後開始出現謬誤，在1946年發現，1949年修正。:50卡爾·薩根的小說《接觸未來》中則暗示說，宇宙的創造者在π的數字中暗藏了一則資訊。π的數字也用在凱特·布希所出的專輯中的《Pi》的歌詞裡。美國人在3月14日慶祝圓周率日，此節日在學生中很流行。一些自稱“數學極客”的人常常用與其數位來創作一些數學或技術圈內人士才能領會到的笑話。麻省理工學院則有幾句包含“3.14159”的大學。2015年的圓周率日格外重要，按照美式寫法，當天的日期時間codice_1較其他圓周率日包含更多位數的。在北電網路於2011年舉行的技術專利拍賣會上，谷歌用了一些包含在內的數學或科學常數來競價。在1958年，提議將換成τ都比自然，也能因此簡化許多公式。有媒體報道稱，因為formula_295的值大小約為6.28，現已有人在6月28日慶祝“formula_295節”，並吃“兩個派”；然而，主流數學界還並未使用formula_295。1897年，有業餘美國數學家試圖藉印第安納州議會來透過後世所謂印第安納圓周率法案的法案。這法案試圖以法律命令強制規定數學常數之值而臭名遠播。該法案描述化圓為方的方法，並間接提到了的錯誤值，例如3.2。該法案通過了印第安納州眾議院的表決，但參議院否決之。:211–212書籍.