譜 (泛函分析)

在數學中，特別是在泛函分析中，有界運算元的譜是矩陣的特徵值集合的推廣。具體來說，對於有界線性運算元"T"，如果"T"-λ"I"不可逆，其中"I"是恆等運算元，則複數λ會被認為屬於"T"的譜中。譜和相關性質的研究被稱為譜理論，其具有許多應用，最值得注意的是量子力學的數學表述。有限維向量空間上的運算元的譜就是特徵值的集合。然而，無限維空間上的運算元在譜中可能有其他元素，並且可能沒有特徵值。例如，考慮希爾伯特空間ℓ2上的右移運算元"R"，formula_1。該運算元沒有特徵值，因為如果"Rx"=λ"x"，則透過展開表示式可以得到"x"1=0，"x"2=0……另一方面，0在譜中，因為運算元"R"-0不可逆：因為第一項非零的任意向量不在它的值域中，所以它不是滿射。事實上，複巴拿赫空間上的每個有界線性運算元都必有非空譜。譜的概念可以擴充套件到稠定無界運算元。在這種情況下，複數λ被認為是在運算元"T":"D"→"X"，逆的有界性可由逆的存在性直接得到。巴拿赫空間"X"上的有界線性運算元"B"("X")是有單位的巴拿赫代數的一個例子。由於除了任何這樣的代數都具有的性質之外，譜的定義沒有涉及"B"("X")的任何性質，所以譜的概念可以在此逐字地使用相同的定義推廣。有界運算元的譜.定義.作用在巴拿赫空間formula_2上的formula_3是標量域formula_4上的有界線性運算元，且formula_5是formula_2上的恆等運算元。formula_3的譜是所有使得運算元formula_8沒有有界線性逆的formula_9的集合。由於formula_8是一個線性運算元，所以如果它的逆存在，則一定是線性的；並且，透過有界逆定理可知，它的逆是有界的。 因此，譜正好由那些使得formula_11不是雙射的標量formula_12組成。給定運算元formula_3的譜通常記為formula_14，而它的補集，也即預解集，記為 formula_15。譜和特徵值.如果formula_12是formula_3的特徵值，則運算元formula_18不是一一對映，因此其逆formula_19沒有定義。但否命題是不對的：即使formula_12不是特徵值,運算元formula_21可能也沒有逆。因此，運算元的譜總是包含其所有特徵值，但卻不限於此。例如考慮希爾伯特空間formula_22，它由所有雙向無限實數序列formula_23構成，這些序列須滿足平方和formula_24有限。雙向移位運算元formula_3簡單地將序列的每個元素移動一個位置；即如果formula_26則對所有整數formula_27有formula_28。特徵值方程formula_29在該空間中無解，因為如果有解則意味著所有formula_30擁有相同的絕對值。基本性質.有界運算元"T"的譜總是複平面的非空閉有界子集。如果譜是空的，那麼預解函式formula_43，在複雜平面上處處有定義且有界。但可以證明，預解函式"R"在其定義域是全純的。透過向量值情形的劉維爾定理可知這個函式是常數。因為它在無窮遠處為零，所以恆為零。產生矛盾。譜的有界性由關於"λ"的諾伊曼級數展開得出；頻譜"σ"("T")有界||"T"||。類似的，可以證出譜是閉集。譜的界||"T"||可以稍作改進。"T"的譜半徑"r"("T")是複平面上最小的包含譜σ("T")以原點為圓心的圓的半徑，即formula_44。譜半徑公式指出，對於巴拿赫代數的任何元素"T"有formula_45。運算元譜點分類.巴拿赫空間上的有界運算元"T"可逆，當且僅當"T"有正下界且值域稠密。 因此，T的譜可以分為以下部分：注意到近似點譜和剩餘譜不一定不相交。以下小節提供了關於上述σ("T")分類的更多細節。點譜.如果一個運算元不是單射，那它顯然是不可逆的。 因此，如果λ是"T"的特徵值，則必有λ∈σ("T")。"T"的特徵值集合被稱為"T"的點譜，記為σp("T")。近似點譜.更一般地，"T"如果沒有正下界，則不可逆； 也就是說，不存在"c"&gt;0滿足||"Tx"||≥"c"||"x"||對所有 "x" ∈ "X" 。因此，譜包括近似特徵值集合，即使得 "T" -λ"I"  沒有正下界的λ； 等價地，它是滿足如下條件的λ的集合，存在單位向量"x"1, "x"2, ...使得formula_46。近似特徵值集合被稱為近似點譜，記為σap("T")。容易看出特徵值屬於近似點譜。例子 考慮"l"2(Z)上雙向移位運算元"T"定義如下formula_47其中ˆ表示第零個位置。直接計算可知"T"沒有特徵值，但滿足|λ|=1的每個λ都是近似特徵值；令"x""n"表示向量formula_48則對所有"n"有||"x""n"||=1，但formula_49。由於"T"是酉運算元，所以它的譜位於單位圓上。 因此"T"的近似點譜是其整個譜。 這對於更一般的一類運算元也是正確的。酉運算元是正規的。由譜定理可知，希爾伯特空間H上的有界運算元是正規的，當且僅當其等價於乘法運算元。 可以證出，有界乘法運算元的譜與它的近似點譜相等。剩餘譜.運算元可以是單射甚至有正下界，但不可逆。"l" 2(N)上的單向移位運算元就是一例。這個移位運算元是一個等距同構，因此下界為1。但是它不可逆，因為它不是滿射。滿足λ"I"-"T"是單射但值域不稠密的λ的集合被稱為剩餘譜，記為σr("T")。連續譜.滿足λ"I"-"T"是單射且值域稠密但不是滿射的λ的集合，被稱為"T"的連續譜，記為σc("T")。 因此，連續譜由那些不是特徵值且不在剩餘譜中的近似特徵值構成。即formula_50。邊緣譜.運算元的邊緣譜是其譜中模等於其譜半徑的點的集合。例子.氫原子提供了這種分解的例子。氫原子的哈密頓運算元的特徵函式被稱為本徵態，並被分為兩類。 氫原子的束縛態對應於譜的離散部分。進一步結果.如果"T"是一個緊運算元，則可以證明譜中任意非零λ是特徵值。 換句話說，這種運算元的譜，被定義為特徵值概念的推廣，在這種情形下僅包括通常的特徵值和0。如果"X"是希爾伯特空間且"T"是正規運算元，則有被稱為譜定理的顯著結果，給出了正規有限維運算元的對角化定理的類比。無界運算元的譜.可以推廣譜的定義用於巴拿赫空間"X"上的無界運算元，這些運算元不再是巴拿赫代數"B"(X)中的元素。 推廣類似於有界情形。 複數λ被稱為在預解集中，即線性運算元"T"formula_51的譜的補集，如果運算元formula_52有有界逆，即如果存在有界運算元formula_53使得formula_54。如果該性質不滿足，則複數λ在譜中。 可以以與有界情形完全相同的方式來對譜進行分類。無界運算元的譜通常是複平面的閉子集，可能為空集。對於預解集中的"λ"，與有界情形相同，λ"I"-"T" 必須是雙射，因為它必須有雙邊逆。 如前所述，如果逆存在，則其線性直接可得，但一般來說，它可能無界，因此必須單獨檢驗該條件。然而如果引入了"T"是閉運算元的附加假設，由閉影象定理可知，逆的有界性可由其存在性直接得到。 因此，與有界情情形相同，複數"λ"位於閉運算元"T"的譜中，當且僅當λ"I"-"T"不是雙射。 注意到閉運算元包括所有有界運算元。透過其譜測度，可以定義任何自伴運算元的譜分解，有界或其他型別分解為絕對連續、純點和奇異部分。有單位的巴拿赫代數的譜.令"B"為包含單位"e"的復巴拿赫代數。我們定義"B"的元素"x"的譜σ("x")為使λ"e"-"x"在"B"中不可逆的那些複數λ的集合。這推廣了巴拿赫空間"X"上有界線性運算元"B"("X")的譜的定義，因為"B"("X")是一個巴拿赫代數。