狀態觀測器

狀態觀測器是控制理論中配合受控體的系統，在已知受控體架構的情形下，可以根據受控體的輸入及輸出而估測其內部的狀態，是許多實務應用的基礎。許多的控制理論都會假設可以知道系統的狀態，例如利用全狀態回授來穩定線性系統的例子。不過許多系統都無法直接量測到實際的狀態，只能用狀態對輸出的影響來間接估計狀態。像隧道中的車輛就是一個例子。車輛在隧道中的速度不易直接量測，只可以用隧道中的實際狀態來估計。假如系統可觀測，可以從輸出配合狀態觀測器來完全估測系統的狀態。典型的觀測器模型.針對線性系統的狀態觀測器，最常用的是線性觀測器、滑動模式觀測器，也有線上性觀測器中加入立方項的觀測器。以下會說明線性觀測器的結構。離散系統.線性非時變離散系統的狀態方程式如下：formula_1formula_2在時間formula_3時，formula_4是系統狀態，formula_5是輸入，formula_6是輸出。狀態方程式提到系統目前的輸出以及未來的狀態是由目前狀態以及目前輸入所決定。若系統有可觀測性，可以用系統輸出formula_6來調整狀態觀測器的狀態。受控體的觀測器模型可以用上式來推導，也可以加入額外的項，確保觀測器在持續收到系統的輸入及輸出時，其狀態可以收斂到受控體的狀態。可以將系統的輸出減去觀測器的輸出，再乘以矩陣formula_8，再加到狀態觀測器的方程式中，以產生如下式定義的Luenberger觀測器。其中的狀態觀測器的變數會加上hat: formula_9和 formula_10，以區隔實際系統的變數。formula_11formula_12觀測器漸近收斂的條件是觀測器誤差formula_13在formula_14時，可以收斂到0。此離散系統的Luenberger觀測器漸近收斂的條件是矩陣formula_15的特徵值都在單位圓內。因為控制的需求，觀測器的輸出除了作為觀測器的輸入，也會透過增益矩陣formula_16，成為受控體的輸入。formula_17觀測器的方程式會變成：formula_18formula_19或是formula_20formula_21因為控制理論中的分離原理，可將估測器以及控制器分開設計, 因此可以選擇formula_16和formula_8，以達到系統的整體穩定性。根據經驗法則，會選擇觀測器formula_24 的極點，使其比系統formula_25極點快十倍以上。連續系統.連續系統中的觀測器和離散系統中的類似。會選擇觀測器增益formula_8使連續系統誤差可以漸近收斂到0針對連續時間線性系統formula_28formula_29其中formula_30，觀測器類似以上離散系統的例子：formula_31.formula_32觀測器誤差formula_33會滿足下式formula_34.若formula_35有可觀測性，可以適當選擇觀測器增益formula_8，以調整矩陣formula_24的特徵值。另外，也可以使矩陣formula_24為赫維茲矩陣，讓觀測器誤差formula_39可以漸近收斂到0。峰值現象以及其他的觀測器技術.若觀測器增益formula_8很高，線性的Luenberger觀測器會很快收斂，但大增益會造成峰值現象，使觀測器在有量測誤差的情形下，在有限時間內使觀測器狀態誤差變成零，其他有誤差的狀態，其行為會類似峰值減弱後的Luenberger觀測器。滑動模式觀測器類似卡爾曼濾波，有較理想的抗雜訊能力。另一種作法是用多觀測器，可以顯著的改善暫態，抑制觀測器的過沖。多觀測器可以適用在所有適用高增益的系統。非線性系統的狀態觀測器.針對非線性系統，最常用的是高增益狀態觀測器、滑動模式觀測器以及擴充套件觀測器。為了說明非線性系統中的狀態觀測器，先考慮以下的無輸入非線性系統：formula_41其中formula_42，也假設有量測輸出formula_43如下formula_44有許多設計觀測器的非近似式作法。以下提到的觀測器也可以適用於有輸入的系統formula_45formula_46 .線性化誤差動態系統.Krener和Isidori，以及Krener和Respondek有針對狀態觀測器的研究，若存在可線性化的轉換formula_47，使新變數的系統方程如下formula_48formula_49Luenberger觀測器可以設計為formula_50.轉換後變數formula_51的觀測器誤差可以滿足同一個方程式formula_34.Gauthier、Hammouri和Othmanand Hammouri and Kinnaert已證明，若存在變換formula_47，使系統可以轉換為以下的型式formula_54formula_55則觀測器可以設計如下formula_56,其中formula_57是時變的觀測器增益。Ciccarella、Dalla Mora和Germani有提供更進階以及一般性的結果，只需要簡單的規律性假設，不需要非線性的轉換，證明觀測狀態可以全域收斂到實際狀態。多觀測器.多觀測器是高增益觀測器的擴充套件，由一個觀測器到多個觀測器一起使用，可以讓多個模型同時作用。多觀測器會分為二層：一層包括了多個高增益觀測器，有相關同一組狀態旳不同的估測量，第二層決定第一層各估測量的權重。此演演算法很容易實現，其中也沒有微分等有危險性的運算。多觀測器的概念最早曾應用在適應控制中，用來取得資訊。假設高增益觀測器有n+1個formula_58formula_59其中formula_60是觀測器的編號。第一層的觀測器包括了相同的增益formula_61，但其啟始狀態formula_62不同。在第二層中會將所有formula_63觀測器的結果合併為一個，以得到單一狀態向量的估測值formula_65其中formula_66是加權因子。這些因子會改變，以提供第二層的估測用，並且提昇觀測器的效果。假設formula_67且formula_68其中formula_69是某向量，會和第formula_70個估測器的誤差formula_71有關。經過轉換，可以得到以下的線性回歸問題formula_72根據上式，有可能估算formula_73。為了要建構流形，需要對映formula_74在formula_75之間，並且保證可以用可量測的訊號來計算formula_76。首先要從觀測器誤差中消除formula_77的峰值現象formula_78.將formula_79針算formula_80的微分,可以找到以下的值formula_81formula_82其中formula_83是某時間常數。formula_84和formula_85和其積分有關，因此可以應用在控制系統上。而且formula_77是在估測律中指定，因此此流形可以量測。第二層formula_87，其中formula_88是用來估測formula_89係數。其對映誤差定義為formula_90其中formula_91。若係數formula_92等於formula_89，對映誤差formula_94。因此可用上式來計算formula_95，因為流形的特形，可以減少峰值現象。所建立的對映提供估測過程中許多的彈性。甚至可以在第二層估計formula_96的值，以計算狀態formula_97邊界觀測器.邊界觀測器 是一組特殊的觀測器，會同時提供一個狀態的二個估測值，分別是真實值的上限和下限。真實值會在上下限估測範圍內。邊界範圍在實際應用上非常重要，可以知道每一個估測的精準度。在數學上，若適當的選擇formula_61，可以用二種Luenberger觀測器來達到正向系統特性：一個是上限formula_99。因此formula_105恆成立。| last = Sontag| first = Eduardo| year = 1998| title = Mathematical Control Theory: Deterministic Finite Dimensional Systems. Second Edition| publisher = Springer| isbn = 0-387-98489-5