群

在數學中，群是由一種配備二元運算的代數結構，其二元運算有結合律、單位元和逆元素。很多常用的數學結構都是群，如整數系配備上加法就形成一個群。群的定義為眾多代數結構所共有，這使人們可以從不同的代數結構簡潔地歸納出普遍的結果，這使得群成為當代數學的核心概念。很多自然界的變換都符合群的定義，所以研究某群變換下保持不變的某種性質——也就是對稱性，和群有密切的聯絡。例如，在對稱群裡的哪些變換下，面積或角度會保持不變，就是描述立體幾何的對稱性。歷史.抽象群的現代概念是從多個數學領域發展出來的。群論的最初動機是為了求解高於4次的多項式方程。十九世紀法國數學家埃瓦里斯特·伽羅瓦，擴充套件了保羅·魯菲尼和約瑟夫·拉格朗日先前的工作，依據特定多項式方程的根給出有限群的第一個抽象定義。幾何是第二個系統性的使用群，特別是對稱群的領域。這類群是菲利克斯·克萊因1872年的愛爾蘭根綱領的一部分。在新型的幾何如雙曲幾何和射影幾何形成之後，克萊因利用群論以更連貫的方式來組織它們。索菲斯·李進一步發展了這些想法，在1884年創立了李群的研究。對群論有貢獻的第三個領域是數論。一些阿貝爾群結構在卡爾·弗里德里希·高斯的數論著作《算術研究》中被隱含地用到，並被利奧波德·克羅內克更明顯地用到。 1847年，恩斯特·庫默爾發展了描述用素數做因數分解的理想類群，使證明費馬大定理的早期嘗試達到了高潮。把上述各種合成一個群的統一理論是從卡米爾·若爾當的“Traité des substitutions et des équations algébriques” (1870年）開始的。 瓦爾特·馮·迪克和後來阿爾曼德·波萊爾和雅克·蒂茨的重要著作奠基。芝加哥大學於1960-61年舉辦的“群論年”活動促使群論家們以丹尼爾·戈倫斯坦，約翰·格里格斯·湯普森和瓦爾特·法伊特為基礎展開合作。在大量其他數學家的幫助下，他們完成了有限單群的分類。這項工程，不論是從證明長度來說還是從參與人數來說，其浩大程度超越了之前一切的數學成果。簡化此證明的研究還在進行中。群論在當下仍是一個活躍的數學分支，並仍在對其他分支產生重大影響。[a]正式定義.給定集合 formula_1 ，且它配備的二元運算 formula_2 滿足：的話，稱 formula_5 是一個群。當其配備的二元運算 formula_6 不是那麼重要時， formula_5 也常常簡記為 formula_1 。群運算的次序很重要，也就是說，formula_9。如以下面舉例一節的二面體群就不是交換群。等價的定義.上面關於單位元和逆元素的部分也可以改為：因為不管原來的淡紫色定義，還是淡黃色的替代性定義，配上結合律都會等價於以下的定義：以下是等價性的證明：(1)左單位元必為右單位元假設 formula_10 對所有 formula_11 有「 formula_12 」，且「存在 formula_13 使 formula_14 」。因為 formula_15 ，所以根據假設存在 formula_16 滿足formula_17所以根據結合律和假設有formula_18所以左逆元必為右逆元，這樣根據結合律有formula_19所以左單位元必為右單位元。(2)右逆元必為左逆元類似地，假設 formula_20 對所有 formula_11 有「 formula_22 」，且「存在 formula_23 使 formula_24 」。因為 formula_25 ，所以根據假設存在 formula_26 滿足formula_27所以根據結合律和假設有formula_28所以右逆元也為左逆元。(3)右單位元必為左單位元這樣根據結合律有formula_29所以右單位元必為左單位元。綜合以上所述，再考慮到淡藍色的定義是要求 formula_10 同時為左右單位元且存在左右逆元，這樣就證明以上三種定義在有結合律的前提下等價。formula_31舉例.整數加法群.整數系 formula_32 是由所有整數所組成：..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, ...可以看出，整數系和整數的加法是可以構成群的：實數乘法群.實數集去除 0 即 R# 是在乘法 '*' 下的群。A1: 任何兩個 R# 的元素相乘產生 R# 的另一個元素。A2: ("a"*"b")*"c" = "a"*("b"*"c")。A3: "a"*1 = "a"。因此 1 指示單位元。A4: "a" -1*"a" = 1。因此 "a" -1 指示逆元。二面體群.以下是正方形的8個旋轉和翻轉：如果 formula_33 和 formula_34 是上述8個「操作」的其中一個，「操作的複合」 formula_4 定義為先對正方形操作 formula_33 之後再操作 formula_34 。比如說，右旋270° ( formula_38 ) 然後水平翻轉，這樣就可以表示為 formula_41 。下面的群表列出了這種「操作的複合」的所有可能結果。如果取formula_42那麼根據以上的群表，雙變數函式 formula_43 的確是個二元運算，且 formula_44 為群。它被稱為二面體群。注意到上表淡紫色的部分破壞了交換律，所以二面體群不是交換群。基本性質.單位元的唯一性.若群 "formula_46" 同時有兩個單位元 "formula_10" 和 "formula_48" ，那根據定義裡對單位元的定義，對於任意 "formula_11" 有：formula_50formula_51這樣的話，把 formula_52 分別代換為 formula_53 和 formula_54 就有formula_55formula_56所以formula_57所以群的單位元是唯一的。這樣的話，根據函式符號與唯一性間的關係，可新增新的三元函式符號 formula_58 與以下的新公理formula_63這條公理直觀上表示「只要 formula_6 是 formula_1 上的一個二元運算，且存在 formula_6 的單位元；那就以 formula_58 來簡記 "formula_46" 上的那個唯一單位元。否則取 formula_58 為空集。」為了簡便起見， formula_58 通常記為 formula_71 甚至是 formula_54 。逆元的唯一性.在增添新函式符號 formula_58 與其對應的新公理以後，就可以證明逆元素的唯一性。若群 "formula_46" 的某元素 "formula_11" 有兩個逆元 "formula_13" 和 "formula_77" ，那根據定義和 formula_58 的新公理有formula_79formula_80那這樣的話，依據定義裡的結合律和 formula_58 的新公理有formula_82所以任意 "formula_11" 只有一個逆元。這樣根據函式符號與唯一性間的關係，可新增一個三元函式符號 formula_84 與以下的新公理formula_88這條公理直觀上表示「只要 "formula_46" 為一群，且 "formula_11" ，那就以 formula_84 來簡記 "formula_52 "在" formula_46" 上對應的那個唯一逆元素，否則取 formula_84 為空集。」簡便起見， formula_84 通常記為 "formula_96"。群的冪.若 "formula_46" 為一群，可以仿造整數指數，對任意 formula_11 作如下關於符號簡寫的遞迴定義formula_99 formula_101對所有的整數 formula_102 ， formula_103對所有的整數 formula_102 ， formula_105除法與減法.如果群的運算可以跟直觀上的加法聯想在一起而改記為「 "formula_106" 」或「 "formula_107" 」，這時也會把 formula_108 改記為 formula_109 或 formula_110 ，這時會暱稱 formula_109 為減法。更有甚者，formula_96 會被記為 formula_113 。類似的，如果群的運算可以跟直觀上的乘法聯想在一起而改記為「 "formula_114" 」或「 "formula_115" 」，這時會把 formula_116 改記為 formula_117 或 formula_118 ，並暱稱為除法；更有甚者，formula_96 會被記為 formula_120 。注意以上都是為了直觀理解方便所規定的簡寫，並不是斷定群的運算必然跟一般實數的加減乘除一模一樣。下列章節使用了數學符號如"X" = { "x", "y", "z" }來表示集合"X"包含元素"x"、"y"和"z"，或formula_121來表示"x"是"X"的一個元素。記法formula_122意味著"f"是對"X"的所有元素指定"Y"的一個元素的函式。基本概念.要超越上述純粹符號操作水平去理解群，必須採用更加結構性的概念。[c]有一個概念性原理位於所有下列概念的底層：要發揮群提供的結構的優勢，與群有關的構造必須與群運算"相容"。下列概念中以各種方式表現了這種相容性。例如，群可以透過叫做群同態的函式相互關聯。根據上述這個原理，要求它們以精確的意義照顧到群結構。群的結構還可以透過把它們分解成子群和商群來理解。“保持結構”的原理是在數學中反復出現的一個主題，它是靠範疇來工作的一個例項，在這裡的情況下靠群範疇。群同態.群同態[g]是保持群結構的函式。兩個群之間的函式"a": "G" → "H"是同態，如果等式"a"("g"·"k") = "a"("g")·"a"("k")對於所有"G"中的元素"g"、"k"都成立，就是說在進行對映"a"之後還是之前進行群運算所得到的結果是一樣的。這個要求保證了"a"(e"G") = e"H"，以及對於"G"中的所有"g"，都有"a"("g")−1 = "a"("g"−1)。因此群同態保持了群公理提供的"G"的所有結構。兩個群"G"和"H"被稱為同構的，如果存在群同態"a": "G" → "H"和"b": "H" → "G"，使得先後應用兩個函式分別等於"G"和"H"的恆等函式。就是說，對於任何"G"中的"g"和"H"中"h"，有"a"("b"("h")) = "h"和"b"("a"("g")) = "g"。從抽象的觀點來看，同構的群攜帶了相同的資訊。例如，證明對於"G"的某個元素"g"有"g"·"g" = e"G"，等價於證明"a"("g")·"a"("g") = e"H"，因為應用"a"於第一個等式得到第二個，而應用"b"於第二個得到第一個。子群.非正式的說，子群是包含在更大的群"G"內的一個群"H"。具體的說，"G"的單位元包含在"H"中，並且只要"h"1和"h"2在"H"中，則"h"1· "h"2和"h"1−1也在其中，所以"H"的元素對於限制於"H"的"G"上的群運算確實形成了一個群。在上面例子中，單位元和旋轉構成了一個子群，在上面的群表中突出為紅色：任何兩個復合的旋轉仍是一個旋轉，並且旋轉可以被相反方向上的旋轉所抵消。我們可以透過以下方法檢驗子集“H"是群"G"是子群 : 對於所有元素"g", "h" ∈ "H"，只需檢查"g"−1"h" ∈ "H"。瞭解子群族對於作為一個整體來理解群是重要的。[d]給定群"G"的任何子集"S"，由"S"所生成的子群是由"S"的元素和它們的逆元的乘積組成。它是包含"S"的"G"的最小子群。在上面介紹例子中，r2和fv所生成的子群由這兩個元素本身、單位元id和fh = fv·r2構成。這還是個群，因為結合這四個元素或它們的逆元中任何兩個仍得到這個子群中的元素。迴圈群.設 formula_123 為一個群，若 formula_1 裡面存在元素 formula_52，使formula_126則稱 formula_123 為一個迴圈群。陪集.在很多情況下，需要認為兩個群元素是等同的，如果它們只差一個給定子群中的元素。例如，在上述D4中，一旦進行了翻轉，只進行旋轉運算正方形就永遠不能回到r2的構型，就是說旋轉運算對於是否已經進行了翻轉的問題是無關緊要的。陪集可用來把這種現象形式化：子群"H"定義了左陪集和右陪集，它們可以認為是把"H"平移了一個任意群元素"g"。用符號表示，"H"的包含"g"的左和右陪集分別是"gH" = {"gh", formula_128}和"Hg" = {"hg", formula_128}。任何子群"H"的陪集形成了"G"的一個劃分；就是說所有左陪集的並集與"G"相等，而且兩個陪集要麼相等，要麼有空的交集。第一種情況"g"1"H" = "g"2"H"出現當且僅當"g"1−1"g"2 ∈ "H"，就是說如果這兩個元素差異了"H"的一個元素。類似的考慮也適用於"H"的右陪集。"H"的左和右陪集可以相等也可以不相等。如果它們相等，就是說對於所有"G"中的"g"有"gH" = "Hg"，則"H"被稱為正規子群。在前面介紹的對稱群D4中，由旋轉構成的子群"R"的左陪集"gR"要麼等於"R"，如果"g"是"R"自身的一個元素；要麼等於。子群"R"還是正規的，因為fv"R" = "U" = "R"fv且對於任何fv以外的元素也是類似的。商群.有時在由陪集形成的集合上可以賦予一個滿足群公理的運算而使之成為"商群"或"因子群"。這僅在子群是正規的時候才可行。給定任何正規子群"N"，商群定義為"G" / "N" = {"gN", formula_11}，“formula_1 模 formula_132”這個集合從最初的群"G" 繼承了一個群運算：對於所有"G" 中的"g" 和"h"，("gN")· ("hN") ="N"。這個定義是由關聯任何元素"g"到它的陪集 "gN" 的對映"G" → "G" / "N"是群同態的想法所激發的，或者是叫做泛性質的一般抽象考慮。陪集"eN " = "N"充當了這個群的單位元，在商群中"gN" 的逆元是("gN")−1 ="N"。[e]商群D4 / "R"的元素是代表單位元的"R" 自身和"U" = fv"R"。商群上的群運算如右側所示。例如，"U"·"U" = fv"R"·fv"R" ="R" = "R"。子群和對應的商群都是阿貝爾群，而D4不是阿貝爾群。透過較小的群構造較大的群，例如從子群"R" 和商群D4 / "R"構造D4，被抽象為叫做半直積的概念。商群和子群一起形成了用它的展示描述所有群的一種方法：任何群都是這個群的生成元上的自由群模以“關係”子群得到的商群。例如，二面體群D4可以由兩個元素 "r" 和 "f" 生成，這意味著正方形的所有對稱都是這兩個對稱或它們的逆元的有限復合。與關係在一起"r "4 = "f "2 = ("rf" )2 = 1,這個群就完全描述出來了。群的展示還可以被用來構造凱萊圖，它是一種利用圖形來輔助理解離散群的工具。子群和商群以下列方式相互關聯："G" 的子集"H" 可以被看作單射"H" → "G"，就是說任何目標元素都有最多一個對映到它的元素。單射的對立是滿射，比如規範對映"G" → "G" / "N"。[y]透過這些同態理解子群和商群強調了這些定義中內在的結構性概念。一般的說，同態既不是單射也不是滿射。群同態的核與像和第一同構定理研究這個現象。共軛.如果同一個群中的兩個元素"p" 和"q "滿足關係："p = x−1qx"，其中"x" 也是同一個群中的元素，則稱元素"p" 和"q" 共軛。共軛關係是一個等價關係，即它滿足三個性質：共軛是自反的、對稱的和傳遞的。在群中可以找到一個集合，這個集合中每一個元素都相互共軛，而在這個集合以外群的其他部分已經沒有任何元素與他們具有共軛關係了。稱這種集合為群中的一個共軛類。同一個群的兩個類之間一定沒有共同的元素。群中一個元素一定屬於且僅屬於一個類。如果群中沒有元素與該元素共軛，則該元素自成一類。階.群中元素個數稱為群"G"的"階"，記為|"G"|子群的階能整除這個群的階應用.群的例子和應用大量存在。起點是上面介紹過的整數的群 Z 帶有加法作為群運算。如果把加法替代為乘法，就得到了乘法群。這些群是抽象代數中重要概念的前身。群應用於很多數學領域中。數學物件的性質經常是透過將群關聯與數學物件關聯，並研究相應的群的性質來研究的。例如，儒勒·昂利·龐加萊透過引入基本群創立了現在所謂的代數拓撲。透過這種連線方式，拓撲性質比如臨近和連續轉換成了群的性質。[i]例如，右側的影象描繪了平面減去一個點的基本群的元素。這個群的元素給出為在這個區域內的環路。藍色環路被認為是零同倫所生成的，去掉了一個點的平面的基本群是無限迴圈群。基本群以這種方式探測到了這個圓孔。在更新近的應用中，影響已經被倒轉過來，由群論背景來激發幾何結構了。[j]在類似的脈絡下，幾何群論採用了幾何概念，比如在雙曲群的研究中。其他一些大量應用群論的數學分支包括代數幾何和數論。例如，典型群和Picard群在代數幾何上有重要應用；了上述理論應用之外，還存在很多群的實踐應用。密碼學依賴於抽象群論方式和從計算群論中特別是實現於有限群上的時候所得到的演算法知識的結合。群論的應用不限於數學；科學如物理、化學和電腦科學都受益於這個概念。數.很多數系統，比如整數和有理數享有自然給予的群結構。在某些情況下比如對於有理數，加法和乘法運算二者都引發群結構。這種系統是叫做環和勞侖茲變換;}-，它有關於兩個相互運動的觀察者的時間和速度的測量。它們可以用純群論方式推演，透過把變換表達為閔可夫斯基時空的旋轉對稱。在忽略萬有引力的情況下，後者充當了狹義相對論的時空模型。閔可夫斯基時空的完全對稱群，就是說包括了平移，叫做龐加萊群。透過上述聯絡，它在狹義相對論中扮演了關鍵角色，並隱含地用於量子場論。 隨位置變化的對稱與規範場論一起構成現代物理對相互作用的描述的中心。推廣.在抽象代數中，透過放鬆定義群的某個公理可定義出更多的一般結構。例如，如果省略所有元素都逆元的要求，結果的代數結構就叫做么半群。自然數集N么半群正式的增加元素的逆元，非常類似於從(Z\{0},·)得出(Q\{0},·)的方式，這叫做格羅滕迪克群。廣群非常類似於群，除了復合"a" · "b"不必須在所有的"a"和"b"上有定義之外。它們由更加復雜形式的對稱的研究所引發，常見於拓撲和分析結構比如基本廣群中。表格給出一些推廣群的結構。注釋.^  a:  《數學評論》列出了3,224篇2005年寫的關於群論和它的應用的研究論文。錯誤使用： 必須同時 輸入引數 #1。^  c:  比如ang (2002, 2005)和Herstein (1996, 1975)的書。錯誤使用： 必須同時 輸入引數 #1。^  e:  群運算的這麼規範的擴充套件是泛性質的例項。^  f:  例如，依據拉格朗日定理，如果"G"是有限的，則任何子群和任何商群的大小整除"G"的大小。^  g:  詞同態演化自希臘語ὁμός—相同和μορφή—結構。錯誤使用： 必須同時 輸入引數 #1。^  i:  例子弗特－範坎彭定理。^  j:  一個例子是群的群上同調，它等於它的分類空間的單同調。錯誤使用： 必須同時 輸入引數 #1。^  l:  透過增加分數的從整數到有理數的轉變推廣為分式體。^  m:  用任何-{zh-cn:域; zh-tw:體"F"替代Q同樣是真的。Lang 2005, §III.1, p. 86。錯誤使用： 必須同時 輸入引數 #1。^  o:  陳述的性質是素數的一個可能定義。元。^  p:  例如，迪菲-赫爾曼金鑰交換協議使用離散對數。錯誤使用： 必須同時 輸入引數 #1。錯誤使用： 必須同時 輸入引數 #1。錯誤使用： 必須同時 輸入引數 #1。錯誤使用： 必須同時 輸入引數 #1。錯誤使用： 必須同時 輸入引數 #1。^  v:  例如瓦西度規，這裡的對稱極大的減小了物理系統的復雜性。錯誤使用： 必須同時 輸入引數 #1。^  x:  例如，群作用在單模上的效果的Schur引理。更加復雜的例子是絕對伽羅瓦群作用在平展上同調上。^  y:  單射和滿射分別對應於單同態和滿同態。在傳給對偶範疇的時候它們是可互換的。