微積分基本定理

微積分基本定理描述了微積分的兩個主要運算──微分和積分之間的關係。定理的第一部分，稱為微積分第一基本定理，此定理表明：給定任一連續函式，可以構造出該函式的反導函式。這一部分定理的重要之處在於它保證了連續函式的反導函式的存在性。定理的第二部分，稱為微積分第二基本定理或牛頓-萊布尼茨公式，表明某函式的定積分可以用該函式的任意一個反導函式來計算。這一部分是微積分或數學分析中相當關鍵且應用很廣的一個定理，因為它大大簡化了定積分的計算。該定理的一個特殊形式，首先由詹姆斯·格里高利證明和出版。定理的一般形式，則由艾薩克·巴羅完成證明。對微積分基本定理比較直觀的理解是：把函式在一段區間的「無窮小變化」全部「加起來」，會等於該函式的淨變化，這裡「無窮小變化」就是微分，「加起來」就是積分，淨變化就是該函式在區間兩端點的差。我們從一個例子開始。假設有一個物體在直線上運動，其位置為formula_1，其中formula_2為時間，formula_1意味著formula_4是"formula_2"的函式。這個函式的導數等於位置的無窮小變化formula_6除以時間的無窮小變化formula_7。我們把速度定義為位置的變化除以時間的變化。用萊布尼茲記法：formula_8整理，得formula_9根據以上的推理，formula_4的變化──formula_11，是formula_6的無窮小變化之和。它也等於導數和時間的無窮小乘積之和。這個無窮的和，就是積分；所以，一個函式求導之後再積分，得到的就是原來的函式。我們可以合理地推斷，這個運算反過來也成立，積分之後再求導，得到的也是原來的函式。歷史.詹姆斯·格里高利首先發表了該定理基本形式的幾何證明，艾薩克·巴羅證明了該定理的一般形式 。巴羅的學生艾薩克·牛頓使微積分的相關理論得以完善。萊布尼茨使得相關理論實現體系化並引入了沿用至今微積分符號，正式表述.微積分基本定理有兩部分，第一部分是定積分的微分，第二部分是原函式和定積分之間的關聯。第一部分 / 第一基本定理.設 formula_13，formula_14於 formula_15 黎曼可積分，定義函式 "formula_16" 如下：formula_17則第二部分 / 第二基本定理.若兩函式 formula_23 滿足：則有：formula_29可簡記為formula_30證明.第一部分.(1)"formula_18" 於 formula_15 連續因為 formula_20 為黎曼可積，所以 formula_20 有界 (否則會有矛盾) ，也就是存在 formula_35 使formula_36 (對所有的 formula_37)根據黎曼積分的定義，若取 formula_38 則formula_39那這樣，如果取 formula_40 且 formula_41 ，則formula_42那根據函式極限的定義，可以得到formula_43故得証。 "formula_44"(2)若 "formula_20" 於 "formula_21" 連續，則formula_22"formula_20" 於 "formula_49" 連續意為：對所有 "formula_50" ，都存在 "formula_51" 使得所有的 "formula_20" 定義域裡的 formula_4 只要滿足 formula_54 就有 formula_55而根據黎曼積分的定義可以知道，若對黎曼可積分的 "formula_56" 有 "formula_57" ，則formula_58這樣考慮上述連續定義 formula_59 的部分會有formula_60類似的， formula_61 的部分會有formula_62那同樣根據函式極限的定義，就有formula_63即為所求。 "formula_44"第二部分.設formula_20在區間formula_15上連續，並設formula_18為formula_20的原函式。我們從以下表達式開始formula_69設有數formula_70使得formula_71可得formula_72我們加上formula_73及其相反數，這樣等式仍成立：formula_74以上表達式可用以下的和表示：formula_75我們將使用均值定理。就是：設"formula_18"在閉區間formula_15連續，在開區間formula_78可導，則開區間formula_78內一定存在formula_49使得formula_81可得formula_82函式"formula_18"在區間formula_15可導，所以在每一個區間formula_85也是可導和連續的。因此，根據均值定理，formula_86把上式代入(1)，得formula_87根據第一部分的結論，我們有formula_88。另外，formula_89可表示為第formula_90個小區間的formula_11。formula_92注意到我們正在描述矩形的面積，並把這些面積相加起來。每一個矩形都描述了一部分曲線的估計。同時也注意到，formula_93並不需要對於任何formula_90都是相同的，換句話說，矩形的長度可以變化。我們要做的，是要用formula_95個矩形來近似代替曲線。現在，當formula_95增加而每一個矩形越來越小時，它的面積就越來越接近曲線的真實面積。當矩形的寬度趨近於零時取極限，便得出黎曼積分。也就是說，我們取最寬的矩形趨於零，而矩形的數目趨於無窮大時的極限。所以，我們把(2)式的兩邊取極限，得formula_97formula_98和formula_99都不依賴於formula_100，所以左面的極限仍然是formula_101。formula_102右邊的表示式定義了formula_20從formula_104到formula_105的積分。這樣，我們有formula_106證明完畢。formula_107例子.計算以下積分：formula_108在這裡，formula_109，formula_110是一個原函式。因此：formula_111推廣.我們不需要假設formula_20在整個區間是連續的。這樣定理的第一部分便說明：如果formula_20是區間formula_15內的任何一個勒貝格可積的函式，formula_115是formula_15內的一個數，使得formula_20在formula_115連續，則formula_119在formula_120是可導的，且formula_121。我們可以把"formula_20"的條件進一步降低，假設它僅僅是可積的。這種情況下，我們便得出結論：formula_18幾乎處處可導，且formula_124幾乎處處等於formula_125。這有時稱為勒貝格微分定理。定理的第一部分對於任何具有原函式formula_18的勒貝格可積函式"formula_20"都是正確的。泰勒定理中把誤差項表示成一個積分的形式，可以視為微積分基本定理的一個推廣。對於複數函式，也有一個類似的形式：假設formula_128是formula_129的一個開集，formula_130是一個在"formula_128"處具有全純原函式"formula_18"的函式。那麼對於所有曲線formula_133，曲線積分可以用下式來計算：formula_134微積分基本定理可以推廣到多維空間的曲線和曲面積分，也可以推廣到流形。這個方向上的一個有力的表述是斯托克斯定理：設formula_135為一個可定向分段光滑formula_95維流形，並設formula_137為formula_138階"formula_135"上的C1類緊支撐微分形式。如果formula_140表示"Mformula_135"的邊界，並以"formula_135"的方向誘導的方向為邊界的方向，則formula_143這裡formula_144是外導數，它僅僅用流形的結構來定義。斯托克斯定理將德拉姆上同調和奇異鏈的同調聯絡起來。