範疇論

範疇論是數學的一門學科，是關於數學結構及其關係的一般理論，以抽象的方法處理數學概念，將這些概念形式化成一組組的「物件」及「態射」。數學中許多重要的領域可以形式化為範疇。使用範疇論可以令這些領域中許多難理解、難捉摸的數學結論更容易敘述證明。一個範疇包含兩類數學物件：物件與態射。以集合範疇為例，其物件為集合，態射為集合間的函式。若以第一個態射的目標為源發出第二個態射，這樣形成的“複合態射”的性質同複合函式類似。但需注意，範疇的物件不一定要是集合，態射也不一定要是函式；一個數學概念若可以找到一種方法，以符合物件及態射的定義，則可形成一個有效的範疇，且所有在範疇論中導出的結論都可應用在這個數學概念之上。範疇最簡單的例子之一為廣群，其態射皆為可逆的。群胚的概念在拓撲學中很重要。範疇現在在大部分的數學分支中都有出現，在理論電腦科學的某些領域中用於對應資料型別，而在數學物理中被用來描述向量空間。範疇論不只是對研究範疇論的人有意義，對其他數學家而言也有著其他的意思。一個可追溯至1940年代的述語「一般化的抽象廢話」，即被用來指範疇論那相對於其他傳統的數學分支更高階的抽象化。範疇論在20世紀中葉由塞繆爾·艾倫伯格、桑德斯·麥克萊恩等人在代數拓撲工作的基礎上提出。背景.研究範疇就是試圖以「公理化」的方法抓住在各種相關連的「數學結構」中的共同特性，並以結構間的「結構保持函式」將這些結構相關起來。因此，對範疇論系統化的研究將允許任何一個此類數學結構的普遍結論由範疇的公理中證出。考慮下面的例子：由群組成的類Grp 包含了所有具有「群結構」的物件。要證明有關群的定理，即可由此套公理進行邏輯的推導。例如，由公理中可立即證明出，群的單位元素是唯一的。不是隻專注在有特定結構的個別物件上；經由研究這些態射，可以學到更多關於這些物件的結構。以群為例，其態射為群同態。兩個群間的群同態會嚴格地「保持群的結構」，這是個以將一個群中有關結構的訊息運到另一個群的方法，使這個群可以看做是另一個群的「過程」。因此，對群同態的研究提供了一個得以研究群的普遍特性及群公理的推論的工具。類似的研究也出現在其他許多的數學理論中，如在拓撲學中對拓撲空間的連續對映的研究，及對流形的光滑函式的研究等。函子.再抽象化一次，範疇自身亦為數學結構的一種，因此可以尋找在某一意義下會保持其結構的「過程」；此一過程即稱之為函子。函子將一個範疇的每個物件和另一個範疇的物件相關連起來，並將第一個範疇的每個態射和第二個範疇的態射相關連起來。實際上，即是定義了一個「範疇和函子」的範疇，其元件為範疇，態射為函子。經由研究範疇和函子，不只是學習了一類數學結構，及在其之間的態射；還學習了「在不同型別的數學結構之間的關係」。此一基本概念首次出現於代數拓撲之中。不同的「拓撲」問題可以轉換至通常較易解答的「代數」問題之上。在拓撲空間上如基本群或基本群胚等基本的架構，可以表示成由群胚所組成的範疇之間的基本函子，而這個概念在代數及其應用之中是很普遍的。自然變換.再抽象化一次，架構通常會「自然地相關連」，這個第一眼會覺得很曖昧的概念，產生了自然變換此一清楚的概念。許多數學上的重要架構可以從此一角度來研究。歷史註記.範疇、函子和自然變換是由塞繆爾·艾倫伯格和桑德斯·麥克蘭恩在1945年引進的。這些概念最初出現在拓撲學，尤其是代數拓撲學裡，在同態的過程中起了重要作用。烏拉姆說，在1930年代的後期，波蘭學派中曾出現類似的想法。艾倫堡和麥克蘭說，他們的目的在於理解自然對映；為此，必須定義函子；為了定義函子，就自然地要引進範疇。同調代數由於計算上的需要而使用範疇論，這對範疇論起到了推進作用；此後範疇論又在代數幾何的公理化過程中得到發展。代數幾何與羅素-懷特海德的關於數學統一性基礎的觀點相牴觸。廣義範疇論隨後產生，且更容納了語意靈活性和高階邏輯等多種新特徵的泛代數，現在被運用到數學的所有分支。特殊範疇拓撲斯甚至可以代替公理集合論作為數學的基礎。然而範疇論對這些範圍廣泛的基礎應用還是有爭議的；但作為構造性數學的基礎或註釋，範疇論被研究的相當透徹。儘管如此，公理集合論至今仍然是數學家們的通用語言，並沒有被範疇論的註釋所取代。將範疇論引入大學程度的教學還是遭到了相當的反對。範疇邏輯是直覺邏輯中型別論的一個被明確定義的分支，在計算機學科的函數語言程式設計和域理論中均有應用，並且都是在笛卡爾閉範疇中對λ演算的非句法性描述。至少，用範疇論可以精確地描述在這些相關的領域裡什麼是共同的。範疇、物件與態射.範疇.一個“範疇” formula_1 由如下3個數學物件組成：由以上公理可證得，每個物件都只存在一個單位態射。有些作者將物件本身用單位態射來定義，這在本質上是相同的。如果物件的類確實是個集合，那麼這種範疇就被稱為“小范疇”。許多重要的範疇不是小范疇。範疇中的態射有時又稱為“箭號”，這種叫法來自於交換圖。範疇舉例.每一範疇都由其物件，態射，和複合態射來表述。為了方便起見，以下的“函式”即是指態射，不再一一說明。態射.對映之間的關係在大多數情形下可用更直觀的交換圖來表示，在此圖中物件被表示成頂點，態射被表示為箭頭。一個表為formula_62的態射可具有以下任意一種性質。屈態射必為滿態射，切態射必為單態射。另外，下面三條表述等價：函子.函子是範疇之間保持結構的對映，可以看成以所有範疇為成員的範疇中的態射。一個從範疇formula_51到範疇formula_55的函子formula_90被定義為：並使下列性質成立：一個從範疇formula_51到範疇formula_55的反變函子formula_90不同於函子的地方僅在於將formula_55中的對映箭頭倒過來。比如說formula_96是formula_51中任一態射，則有formula_112。定義反變函子的最簡捷的方法是作為formula_51的反範疇formula_52到formula_55上的函子。有關函子的具體例子和性質請詳見函子條目。自然和自然同構.“自然變換”是兩個函子之間的關係。函子通常用來描述“自然構造”，而自然變換則描述函子間的“自然同態”。有時，兩個截然不同的構造會產生“相同”結果，這可以用函子之間的自然同態來表述。定義.如果formula_90和formula_117是從範疇formula_51到範疇formula_55的函子，則從formula_90到formula_117的一個自然變換會給formula_51中的每個物件formula_92，關聯一個formula_55中相應的態射formula_125，使得對formula_51中的任何態射formula_96，都有formula_128；這也就是說下列圖表是可交換的：如有從formula_90到formula_117的自然變換，使得formula_131對formula_51中所有物件formula_92來說都同構，則稱這兩個函子formula_90和formula_117“自然同構”。舉例.設formula_35是域，formula_137是formula_35上的任意向量空間，則有從向量空間到其二重對偶的一個“自然”內射型線性對映formula_139 。這些對映在以下意義上是“自然”的：二重對偶運算是一個函子，這些對映正好構成了從恆等函子到二重對偶函子的自然變換。如果向量空間的維數是有限的，我們就得到一個自然同構；因為“有限向量空間自然同構於其二重對偶”。考慮阿貝爾群及其同態構成的範疇formula_140。對任意阿貝爾群formula_92、formula_142和formula_143，我們得到群同構formula_144 。這些同構是“自然”的，因為它們定義了兩個函子間的一種自然變換：formula_145。泛結構、極限和上極限.運用範疇論的語言，許多數學研究領域都可以歸結成一些恰當的範疇，例如所有集合的範疇，所有群的範疇，所有拓撲的範疇，等等。這些範疇裡的確有一些“特殊的”物件，例如空集或者兩個拓撲的直積。然而，在範疇的定義裡，物件是原子性的，那就是說，我們無法知道一個物件到底是集合，是拓撲，還是其它抽象概念。有必要定義特殊物件而不涉及物件的內在結構，這是一個挑戰。那麼到底怎樣不用元素而定義空集，不用開集而定義拓撲積呢？解決這個問題的途徑是借用物件和物件之間的關係，而這些關係由相應範疇中的態射給出。現在問題轉化為尋找泛性質，這些泛性質可以唯一地決定我們所感興趣的物件。事實上，為數眾多的重要結構都可用純範疇論的方法來描述。在定義泛性質時，我們要用到一個非常關鍵的概念：範疇性“極限”和其“上極限”。等價範疇.人們很自然地要問，在什麼樣的情形下，兩個範疇“在本質上是相同”的，換一句話來說，對其中一個範疇成立的定理，可以既定地轉換成另一個範疇的定理。用來描述這種情形的主要方法是“範疇的等價性”，由函子給出。範疇的等價性在數學中有很多的應用。進一步的概念和結果.範疇和函子的定義只是範疇代數中最基本的部分。除此之外的重要部分如下列所述。基本上是以閱讀順序排列，儘管它們彼此之間有著內在的聯絡。高維範疇.上述許多概念，特別是範疇的等價性、伴隨函子和函子範疇等，可抽象至更高維的背景中。簡而言之，若將態射視為“從一個物件到另一個物件的過程”，那麼高維範疇就允許我們考慮“高維過程”，從而方便地概括之。例如，範疇的二維範疇，其中態射的雙態射僅僅是通常意義上的態射的自然變換。另一個基本例子是，考慮一個具有單一物件的二維範疇，即么半範疇。雙範疇是比二維範疇弱的概念。其中態射的組成不是嚴格意義上的關聯，而只是平凡的同構。這個過程可以擴充套件到任意自然數維，稱為n維範疇。甚至還有與序數ω對應的ω維範疇的概念。高維範疇是更廣泛的高維代數的一部分。研究史.雖然塞繆爾·艾倫伯格和桑德斯·麥克萊恩在1942年一篇關於群論的論文中已經給出了函子和自然變換的具體例子，他們在1945年的一篇論文中，向這些概念引入了更普遍的意義，還有範疇的額外概念，並討論了範疇論在代數拓撲領域的應用。這些工作是直觀幾何同調到同調代數過渡的一個重要部分。以斯塔尼斯拉夫·烏拉姆名義寫的一系列文章，都聲稱類似的想法在1930年代末的波蘭已經流行了。艾倫伯格是波蘭人，1930年代在波蘭學習數學。範疇論在某種意義上也是埃米·諾特將抽象過程形式化的延續；諾特意識到，理解一種數學結構需要理解保留了結構的過程。#重定向範疇論最初源自同調代數的需要，併為現代代數幾何上的應用來得較晚。某些稱作拓撲斯的範疇甚至可以替代公理集合論作為數學的基礎。拓撲斯也可看做是特定型別的範疇，有兩個額外的拓撲斯公理。範疇論的這些基礎應用已經研究得相當詳細，常是作為數學構成主義的基礎。拓撲斯理論是抽象層論的一種形式，源於幾何學，啟發了諸如無點拓撲學之類想法。範疇邏輯現在是基於直覺主義邏輯型別論，定義明確的領域，並在函數語言程式設計和域理論中得到應用，其中一個笛卡兒閉範疇被視作λ演算的非語義描述。範疇論澄清了領域間在某種抽象意義上的共同點。範疇論還有其他應用。例如，約翰·拜艾茲展示了物理學中費曼圖和么半範疇之間的聯絡。範疇論的另一個應用是拓撲斯理論，已在數學音樂理論中得到了應用，可參Guerino Mazzola的書《音樂的拓撲斯，概念、理論和表現的集合邏輯》。