冪

\\\scriptstyle\text{ }\\\scriptstyle\frac{\scriptstyle\text{分 子 }}{\scriptstyle\text{分 母 }}\end{matrix}\right\}\,=\,;zh-hant:formula_1;}-在數學中，重複連乘的運算叫做乘方，乘方的結果稱為 冪，就可將 formula_23 看作乘方的結果 ——“冪”。formula_24冪運算又稱指數運算、取冪，是數學運算，表示式為 formula_23，讀作「formula_20 的 formula_18 次方」或「formula_20 的 formula_18 次冪」。其中，formula_20 稱為底數，而 formula_18 稱為指數，通常指數寫成上標，放在底數的右邊。當不能用上標時，例如在程式語言或電子郵件中，formula_23 通常寫成 b^n 或 b**n；也可視為超運算，記為 b[3]n；亦可以用高德納箭號表示法，寫成 b↑n。當指數為 1 時，通常不寫出來，因為運算出的值和底數的數值一樣；指數為 2 時，可以讀作“formula_20 的平方”；指數為 3 時，可以讀作“formula_20 的立方”。由於在十進位制中，十的冪很容易計算，只需在後面加零即可，所以科學記數法藉此簡化記錄的數字；二的冪則在電腦科學中相當重要。。這樣定義了後，很易想到如何一般化指數 0 和負數的情況：指數是零時，底數不為零，冪均為一，即：formula_35formula_36。若以分數為指數的冪，則定義：formula_37，即 formula_20 的 formula_18 次方再開 formula_40 次方根。0的0次方目前沒有數學家給予正式的定義；在部分數學領域中，如組合數學，常用的慣例是定義為 1 ，也有人主張定義為 1 。此外，當 formula_18 是複數，且 formula_20 是正實數時，formula_44exp 是指數函式，而 ln 是自然對數。formula_45formula_46formula_48運算律.加法和乘法存在交換律，比如：formula_54，formula_55，但是冪的運算不存在交換律，formula_56，但是formula_57。同樣，加法和乘法存在結合律，比如：formula_58，formula_59。不過，冪運算沒有結合律：formula_60，而formula_61，所以formula_62。但是冪運算仍然有其運算律，稱為指數律：整數指數冪.整數指數冪的運算只需要初等代數的知識。正整數指數冪.表示式formula_69被稱作formula_70的平方，因為邊長為"formula_70"的正方形面積是formula_72。表示式formula_73被稱作"formula_70"的立方，因為邊長為"formula_70"的正方體體積是formula_76。所以formula_77讀作「3的平方」，formula_78讀作「2的立方」。指數表示的是底數反覆相乘多少次。比如formula_79，指數是5，底數是3，表示3反覆相乘5次。或者，整數指數冪可以遞迴地定義成：formula_80指數是1或者0.注意formula_81表示僅僅1個3的乘積，就等於3。注意formula_82，formula_83，formula_84，formula_85，繼續，得到formula_86，所以formula_87另一個得到此結論的方法是：透過運演算法則formula_88當formula_89時，formula_90零的零次方.formula_91 其實還並未被數學家完整的定義，但部分看法是formula_92 ，在程式語言中 formula_93在這裡給出這一種極限的看法formula_94於是，可以求出 x 取值從 1 到 0.0000001 計算得到的值，如圖負數指數.我們定義任何不為 0 的數 a 的 -1 次方等於它的倒數。formula_95對於非零formula_70定義formula_97,而formula_98時分母為 0 沒有意義。證法一：根據定義formula_99，當formula_100時formula_101得formula_102, 所以formula_103。證法二：透過運演算法則formula_104當formula_105時，可得formula_106負數指數formula_107還可以表示成1連續除以formula_18個formula_70。比如：formula_110.特殊數的冪.10的冪.在十進位制的計數系統中，10的冪寫成1後面跟著很多個0。例如：formula_111因此10的冪用來表示非常大或者非常小的數字。如：299,792,458，可以寫成 formula_112，近似值 formula_113 或 formula_114國際單位制詞頭也使用10的冪來描述特別大或者特別小的數字，比如：詞頭“千”就是 formula_115，詞頭“毫”就是 formula_1161的冪.1的任何次冪都為1。0的冪.0的正數冪都等於0。0的負數冪沒有定義。任何非0之數的0次方都是1；而0的0次方是懸而未決的，某些領域下常用的慣例是約定為1。但某些教科書表示0的0次方為無意義。也有人主張定義為1。負1的冪.-1的奇數冪等於-1-1的偶數冪等於1指數非常大時的冪.一個大於1的數的冪趨於無窮大，一個小於-1的數的冪趨於負無窮大當formula_117，formula_118，formula_119當formula_120，formula_118，formula_122 或 formula_123 , (視乎n 是奇數或偶數)一個絕對值小於1的數的冪趨於0當formula_124，formula_118，formula_1261的冪永遠都是1當formula_127，formula_118，formula_129如果數"a"趨於1而它的冪趨於無窮，那麼極限並不一定是上面幾個。一個很重要的例子是：當formula_130的冪其他指數的極限的極限正實數的實數冪.一個正實數的實數冪可以透過兩種方法實現。N次方根.一個數formula_70的formula_18次方根是formula_133，"formula_133"使formula_135。如果"formula_70"是一個正實數，"formula_18"是正整數，那麼方程formula_135只有一個正實數根。這個根被稱為"formula_70"的"formula_18"次方根，記作：formula_141，其中formula_142叫做根號。或者，"formula_70"的"formula_18"次方根也可以寫成formula_145.例如formula_146當指數是formula_147時根號上的2可以省略，如：formula_148有理數冪.有理數指數冪定義為formula_149e的冪.這個重要的數學常數"e"，有時叫做尤拉數，近似2.718，是自然對數的底。它提供了定義非整數指數冪的一個方法。它是從以下極限定義的：formula_150指數函式的定義是：formula_151可以很簡單地證明"e"的正整數"k"次方formula_152是：formula_153formula_154formula_155formula_156formula_157實數指數冪.因為所有實數可以近似地表示為有理數，任意實數指數"x"可以定義成：formula_158例如：formula_159於是formula_160實數指數冪通常使用對數來定義，而不是近似有理數。自然對數formula_161是指數函式formula_162的反函式。它的定義是：對於任意formula_163，滿足formula_164根據對數和指數運算的規則：formula_165這就是實數指數冪的定義：formula_166實數指數冪formula_167的這個定義和上面使用有理數指數和連續性的定義相吻合。對於複數，這種定義更加常用。負實數的實數冪.如果formula_70是負數且formula_18是偶數，那麼formula_170是正數。如果"formula_70"是負數且"formula_18"是奇數，那麼formula_170是負數。使用對數和有理數指數都不能將formula_174時必須使用虛數單位formula_184。使用對數的方法不能定義formula_185時的formula_174為實數。實際上，formula_162對於任何實數"formula_133"都是正的，所以formula_189對於負數沒有意義。使用有理數指數冪來逼近的方法也不能用於負數formula_70因為它依賴於連續性。函式formula_191對於任何正的有理數formula_70是連續的，但是對於負數"formula_70"，函式formula_194在有些有理數formula_195上甚至不是連續的。例如：當formula_196，它的奇數次根等於-1。所以如果"formula_18"是正奇數整數，formula_198當formula_40是奇數，formula_200當"formula_40"是偶數。雖然有理數formula_202使formula_203的集合是稠密集，但是有理數formula_202使formula_205的集合也是。所以函式formula_206在有理數域不是連續的。因此，如果要求負實數的任意實數冪，必須將底數和指數看成複數，按複數的正實數冪或複數的複數冪方法計算。正實數的複數冪.e的虛數次冪.複數運算的幾何意義和"e"的冪可以幫助我們理解formula_207，對於足夠大的formula_18，這個三角形可以看作一個扇形，這個扇形的中心角就等於formula_211弧度。對於所有formula_176，三角形formula_213互為相似三角形。所以當"formula_18"足夠大時formula_215的極限是複數平面上的單位圓上formula_133弧度的點。這個點的極座標是formula_217，直角座標是formula_218。所以formula_219，而這個函式可以稱為純虛數指數函式。這就是尤拉公式，它透過複數的意義將代數學和三角學聯絡起來了。等式formula_220的解是一個整數乘以formula_221：formula_222更一般地，如果formula_223，那麼formula_224的每一個解都可以透過將formula_221的整數倍加上formula_20得到：formula_227這個復指數函式是一個有周期formula_221的週期函式。更簡單的：formula_229。三角函式.根據尤拉公式，三角函式餘弦和正弦是：formula_230歷史上，在複數發明之前，餘弦和正弦是用幾何的方法定義的。上面的公式將複雜的三角函式的求和公式轉換成了簡單的指數方程formula_231使用了複數指數冪之後，很多三角學問題都能夠使用代數方法解決。e的複數指數冪.formula_232可以分解成formula_233。其中formula_162是formula_232的模，formula_236決定了formula_232的方向正實數的複數冪.如果formula_70是一個正實數，formula_239是任何複數，formula_240定義成formula_241，其中formula_242是方程formula_243的唯一解。所以處理實數的方法同樣可以用來處理複數。例如：formula_244formula_245複數的複數冪.複數的虛數冪.讓我們從一個簡單的例子開始：計算formula_246。formula_247其中formula_248的得法文正實數的複數冪複數的複數冪.類似地，在計算複數的複數冪時，我們可以將指數的實部與虛部分開以進行冪計算。例如計算formula_249：formula_250一般情況.複數的複數冪必須首先化為底數為formula_251的形式：formula_252又，由複數的極座標表示法：formula_253故formula_254。然後，使用尤拉公式處理即可。由於複數的極座標表示法中，輻角formula_255的取值是具有周期性的，因此複數的複數冪在大多數情況下是多值函式。不過實際應用中，為了簡便起見，輻角都只取主值，從而使冪值唯一。在函式中.當函式名後有上標的數，一般指要重複它的運算。例如formula_256即formula_257。特別地，formula_258指formula_259的反函式。但三角函式的情況有所不同，一個正指數應用於函式的名字時，指答案要進行乘方運算，而指數為-1時則表示其反函式。例如：formula_260表示formula_261。因此在三角函式時，使用formula_262來表示formula_263的反函式formula_264。計算自然數"formula_18"的formula_266的演算法.最快的方式計算formula_266，當formula_18是正整數的時候。它利用了測試一個數是奇數在計算機上是非常容易的，和透過簡單的移所有位向右來除以2的事實。在C/C++語言中，你可以寫如下演算法：double power(double a, unsigned int n)double y = 1;double f = a;while (n &gt; 0) {if (n % 2 == 1) y *= f;n »= 1;f *= f;return y;此演算法的時間複雜度為formula_269，比普通演算法快，在formula_18較大的時候更為顯著。例如計算formula_272，普通演算法需要算100次，上述演算法則只需要算7次。若要計算formula_273可先以上述演算法計算formula_274，再作倒數。