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泰勒級數

在數學中，泰勒級數用無限項連加式——級數來表示一個函式，這些相加的項由函式在某一點的導數求得。泰勒級數是以於1715年發表了泰勒公式的英國數學家布魯克·泰勒來命名的。透過函式在自變數零點的導數求得的泰勒級數又叫做麥克勞林級數，以蘇格蘭數學家科林·麥克勞林的名字命名。拉格朗日在1797年之前，最先提出帶有餘項的現在形式的泰勒定理。實際應用中，泰勒級數需要截斷，只取有限項，可以用泰勒定理估算這種近似的誤差。一個函式的有限項的泰勒級數叫做泰勒多項式。一個函式的泰勒級數是其泰勒多項式的極限上，與自身泰勒級數相等的函式稱為解析函式。定義.在數學上，對於一個在實數或複數formula_1鄰域上，以實數作為變數或以複數作為變數的函式，並且是無窮可微的函式formula_2，它的泰勒級數是以下這種形式的冪級數：formula_3這裡，formula_4表示formula_5的階乘，而formula_6表示函式formula_7在點formula_1處的formula_5階導數。如果formula_10，也可以把這個級數稱為麥克勞林級數。解析函式.如果泰勒級數對於區間formula_11中的所有formula_12都收斂並且級數的和等於formula_2，那麼我們就稱函式formula_2為解析形的函式能夠被表示為冪級數的形式時，才是解析形的函式。通常會用泰勒定理來估計級數的餘項，這樣就能夠確定級數是否收斂於formula_2。上面給出的冪級數展開式中的係數正好是泰勒級數中的係數。以下三個事實可以說明為什麼泰勒級數是十分重要的：對於一些無窮的可以被微分函式formula_2，雖然它們的展開式會收斂，但是並不等於formula_2。例如，分段函式formula_18，如果formula_19並且formula_20，則formula_21時所有的導數都為零，所以這個formula_2的泰勒級數為零，且其收斂半徑為無窮大，不過函式formula_2僅在formula_21處為零。但是，在以複數作為變數的函式中這個問題並不存在，因為當formula_25沿虛軸趨於零，formula_26並不趨於零。如果一個函式在某處引發一個奇點，它就無法被展開為泰勒級數，不過如果變數formula_12是負指數冪的話，我們仍然可以將其展開為一個級數。例如，雖然在formula_21的時候，formula_18會引發奇點，但仍然能夠把這個函式展開為一個洛朗級數。最近，專家們發現了一個用泰勒級數來求解微分方程的方法——。用皮卡反覆運算便可以推匯出這個方法。常用的函式:麥克勞林級數.下面我們給出了幾個重要的麥克勞林級數。當變數formula_12是複數時，這些等式依然成立。formula_31formula_32formula_33二項式係數formula_34。指數函式和自然對數.以formula_35為底數的指數函式的麥克勞林序列是formula_36 以formula_35為底數的自然對數的麥克勞林序列是formula_38 formula_39 三角函式.常用的三角函式可以被展開為以下的麥克勞林序列：formula_40在formula_41展開式中的Bk是伯努利數。在formula_42展開式中的"E""k"是尤拉數。formula_43formula_44formula_45formula_46formula_47formula_48展開式中的"B""k"是伯努利數。formula_49多元函式的展開.泰勒級數可以推廣到有多個變數的函式：formula_50歷史.希臘哲學家芝諾在考慮了利用無窮級數求和來得到有限結果的問題，得出不可能的結論 - 芝諾悖論。後來，亞里士多德對芝諾悖論在哲學上進行了反駁，但德謨克利特以及後來的阿基米德進行研究，此部分數學內容才得到解決。 正是用了阿基米德的窮竭法才使得一個無窮級數被逐步的細分，得到了有限的結果。幾個世紀之後，中國數學家劉徽也獨立提出了類似的方法。進入14世紀，最早使用了泰勒級數以及相關的方法。儘管他的數學著作沒有流傳下來，但後來印度數學家的著作表明他發現了一些特殊的泰勒級數，這些級數包括正弦、餘弦、正切、和反正切三角函式等等。之後，在他的基礎上進行了一系列的延伸與合理逼近，這些工作一直持續到16世紀。到了17世紀，詹姆斯·格雷果裡同樣繼續著這方面的研究並且發表了若干麥克勞林級數。但是直到1715年，布魯克·泰勒 提出了一個通用的方法來構建適用於所有函式的此類列級數。這就是後來被人們所熟知的泰勒級數。麥克勞林級數是泰勒級數的特例，是愛丁堡大學的科林·麥克勞林教授在18世紀發表的，並以其名字命名。與牛頓插值公式的淵源.牛頓插值公式也叫做牛頓級數，由“牛頓前向差分方程”的項組成，得名於伊薩克·牛頓爵士，最早發表為他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編“宇宙體系”的引理五，此前詹姆斯·格雷果裡於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續“泰勒展開”的離散對應。差分.對於x值間隔為非一致步長，牛頓計算均差，對"x"值間隔為單位步長1或一致但非單位量的情況，計算差分，前向差分的定義為：formula_51插值公式.牛頓前向差分插值公式為：formula_52這成立於任何多項式函式和大多數但非全部解析函式。無窮級數.牛頓在1665年得出並在1671年寫的《流數法》中發表了formula_53的無窮級數，在1666年得出了formula_54和formula_55的無窮級數，在1669年的《分析學》中發表了formula_56、formula_57、formula_54和formula_59的無窮級數；萊布尼茨在1673年大概也得出了formula_56、formula_57和formula_55的無窮級數。布魯克·泰勒在1715年著作《Methodus Incrementorum Directa et Inversa 》中研討了有限差分方法，其中論述了他在1712年得出的泰勒定理，這個成果此前詹姆斯·格雷果裡在1670年和萊布尼茨在1673年已經得出，而約翰·伯努利在1694年已經在《教師學報》發表。他對牛頓的均差分的步長取趨於formula_63的極限，得出：formula_64
安全多方計算

安全多方計算的研究主要是針對無可信第三方的情況下，如何安全地計算一個約定函式的問題。安全多方計算是電子投票、以及網上拍賣等諸多應用得以實施的密碼學基礎。一個安全多方計算協議，如果對於擁有無限計算能力攻擊者而言是安全的，則稱作是資訊理論安全的或無條件安全的；如果對於擁有多項式計算能力的攻擊者是安全的，則稱為是密碼學安全的或條件安全的。已有的結果證明了在無條件安全模型下，當且僅當惡意參與者的人數少於總人數的1/3時，安全的方案才存在。而在條件安全模型下，當且僅當惡意參與者的人數少於總人數的一半時，安全的方案才存在。安全多方計算起源於1982年姚期智的。後來Oded Goldreich有比較細緻系統的論述。
二叉堆

二叉堆是一種特殊的堆，二叉堆是完全二叉樹或者是近似完全二叉樹。二叉堆滿足堆特性：父節點的鍵值總是保持固定的序關係於任何一個子節點的鍵值，且每個節點的左子樹和右子樹都是一個二叉堆。當父節點的鍵值總是大於或等於任何一個子節點的鍵值時為「最大堆」。當父節點的鍵值總是小於或等於任何一個子節點的鍵值時為「最小堆」。儲存.二叉堆一般用陣列來表示。如果根節點在陣列中的位置是1，第"n"個位置的子節點分別在2"n"和 2"n"+1。因此，第1個位置的子節點在2和3，第2個位置的子節點在4和5。以此類推。這種基於1的陣列儲存方式便於尋找父節點和子節點。如果儲存陣列的下標基於0，那麼下標為i的節點的子節點是2"i" + 1與2"i" + 2；其父節點的下標是⌊"floor"(("i" − 1) ∕ 2)⌋。函式"floor"("x")的功能是“向下取整”，或者說“向下舍入”，即取不大於"x"的最大整數。比如"floor"(1.1)、"floor"(1.9)都返回1。如下圖的兩個堆：1 112 3 9 104 5 6 7 5 6 7 88 9 10 11 1 2 3 4將這兩個堆儲存在以1開始的陣列中：位置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11左圖: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11右圖: 11 9 10 5 6 7 8 1 2 3 4對於一個很大的堆，這種儲存是低效的。因為節點的子節點很可能在另外一個記憶體頁中。B-heap是一種效率更高的儲存方式，把每個子樹放到同一記憶體頁。如果用指標連結串列儲存堆，那麼需要能訪問葉節點的方法。可以對二叉樹“穿線”(threading)方式，來依序遍歷這些節點。基本操作.在二叉堆上可以進行插入節點、刪除節點、取出值最小的節點、減小節點的值等基本操作。插入節點.在陣列的最末尾插入新節點。然後自下而上調整子節點與父節點：比較當前節點與父節點，不滿足「堆性質」則交換。從而使得當前子樹滿足二叉堆的性質。時間複雜度為formula_1。刪除根節點.刪除根節點用於堆排序。對於最大堆，刪除根節點就是刪除最大值；對於最小堆，是刪除最小值。然後，把堆儲存的最後那個節點移到填在根節點處。再從上而下調整父節點與它的子節點：對於最大堆，父節點如果小於具有最大值的子節點，則交換二者。這一操作稱作down-heap或bubble-down, percolate-down, sift-down, trickle down, heapify-down, cascade-down,extract-min/max等。直至當前節點與它的子節點滿足「堆性質」為止。下屬對最大堆的自上而下調整堆的虛擬碼中，陣列A的下標索引值是從1開始：Max-Heapify ("A", "i"):"left" ← 2"i""right" ← 2"i" + 1"largest" ← "i"if "left" ≤ "heap_length"["A"] and "A"["left"] &gt; A["largest"] then:"largest" ← "left"if "right" ≤ "heap_length"["A"] and "A"["right"] &gt; "A"["largest"] then:"largest" ← "right"if "largest" ≠ "i" then:swap "A["i"] ↔ "A"["largest"]Max-Heapify("A", "largest")構造二叉堆.一個直觀辦法是從單節點的二叉堆開始，每次插入一個節點。其時間複雜度為formula_2。最優演算法是從一個節點元素任意放置的二叉樹開始，自底向上對每一個子樹執行刪除根節點時的Max-Heapify演算法使得當前子樹成為一個二叉堆。具體而言，假設高度為h的子樹均已完成二叉堆化，那麼對於高度為h+1的子樹，把其根節點沿著最大子節點的分枝做調整，最多需要h步完成二叉堆化。可以證明，這個演算法的時間複雜度為formula_3。建造最大堆的虛擬碼：Build-Max-Heap ("A"):"heap_length"["A"] ← "length"["A"]for "i" ← "floor"("length"["A"]/2) downto 1 doMax-Heapify("A", "i")合併兩個二叉堆.最優方法是把兩個二叉堆首尾相連放在一個數組中，然後構造新的二叉堆。時間複雜度為formula_4，其中n、k為兩個堆的元素數目。如果經常需要合併兩個堆的操作，那麼使用二項式堆更好，其時間複雜度為formula_1。
三綱五常

三綱五常，又簡稱綱常，中國儒家倫理架構，起源先王之學，經“思孟學派”“五行”闡發，歷經漢朝，並盛行於宋、明、清三代。三綱即三倫理：君為臣綱，父為子綱，夫為妻綱。五常即五人倫：仁、義、禮、智、信起源.三綱之觀念原存於法家，在《韓非子·忠孝》中，首次提出：“臣事君，子事父，妻事夫，三者順，天下治；三者逆，天下亂。”儒家的孟子提出「惻隱之心」、「羞惡之心」、「辭讓之心」、「是非之心」，分別為「仁」、「義」、「禮」、「智」的源頭，並列「四端」。而“三綱、五常”的說法西漢董仲舒的《春秋繁露》一書。董仲舒從天人關係出發，根據“天尊地卑”思想，明辨了三綱五常，稱“惟天子受命於天，天下受命於天子”；又循“陰陽五行”說，確立了“綱常”理論，孔子曰：“天數右陽而不右陰”。(董仲舒)又說:“君臣父子夫婦之義皆取諸陰陽之道，君為陽，臣為陰；父為陽，子為陰；夫為陽，婦為陰。”後漢章帝召開白虎觀會議，定“三綱”之說。《白虎通義·三綱六紀》稱“三綱者何﹖……君為臣綱﹑夫為妻綱﹑父為子綱。”這種名教觀念是儒家政治思想的重要組成，即透過上定名份來教化天下，以維護社會的倫理綱常、政治制度。隋代王通與宋代朱熹均聯用過三綱五常。朱熹提出“存天理，滅人慾”，“人慾”即指一切違背三綱五常的動機與行為。朱熹認為：“宇宙之間一理而已。天得之而為天，地得之而為地，而凡生於天地之間者，又各得之以為性；其張之為三綱，其紀之為五常，蓋皆此理之流行，無所適而不在。若其訊息盈虛，迴圈不已，則自未始有物之前，以至人消物盡之後，終則復始，始復有終，又未嘗有頃刻之或停也。”三綱五常本指天理人事的應對進退，後被專制主義巧取為封建“道統”，甚至在不明事理的鄉願下導致「禮教殺人」，而這原非聖賢的本願。說文解字記載「玉，石之美者有五德。潤澤以溫，仁之方也；䚡理自外，可以知中，義之方也;其聲舒揚，專以遠聞，智之方也；不撓而折，勇之方也；銳廉而不忮，潔之方也。」孔子曰：「君子比德於玉」。君子無故玉不去身，玉有五德，潤澤以溫是謂仁，廉而不劌是謂義，垂而墜不飛揚是謂禮，縝密堅實是謂智，質地明晰是謂信。」子貢問於孔子曰：「敢問君子貴玉而賤玟者何也？為玉之寡而玟之多與？」孔子曰：「非為玟之多故賤之也、玉之寡故貴之也。夫昔者君子比德於玉焉：溫潤而澤，仁也；縝密以慄，知也；廉而不劌，義也；垂之如隊，禮也；叩之其聲清越以長，其終詘然，樂也；瑕不掩瑜、瑜不掩瑕，忠也；孚尹旁達，信也；氣如白虹，天也；精神見於山川，地也；圭璋特達，德也。天下莫不貴者，道也。《詩》雲：『言念君子，溫其如玉。』故君子貴之也。」影響.三綱五常既有儒家的觀念，也有法家觀念。東漢馬融將“三綱”同“五常”相提並論，合稱為“三綱五常”，造成了人們對孔孟之道的誤解。孔子從沒要求“君要臣死，臣不得不死；父要子亡，子不得不亡”，孔子有言：“君使臣以禮，臣事君以忠”，“士有諍友，則身不離於令名；父有諍子，則身不陷於不義。故當不義，則子不可以不諍於父，臣不可以不諍於君。故當不義，則諍之，從父之令，又焉得為孝乎？”。孟子則更進一步闡述：“君之視臣如手足，則臣視君如腹心；君之視臣如犬馬，則臣視君如國人；君之視臣如土芥，則臣視君如寇讎。”
列支敦斯登

列支敦斯登公國。夾在瑞士與奧地利兩國間。同時該國也是唯一一個德語是官方語言但與德國沒有交界的國家。這個君主立憲制的山區小國，雖然土地狹小兼人口稀少，國民收入水準卻極高，人均國民生產總值高達160,000歐元，以阿爾卑斯山美麗風光、避稅天堂與高生活水準而著稱。歷史.很久以前，列支敦斯登的領土曾經是羅馬帝國瑞提亞行省的一部分。多個世紀以來，由於這塊領土地理上並不處於歐洲的戰略要地，因此在歐洲歷史上少有影響力。在現今這個王朝統治以前，這個地區曾是連續幾位霍恩埃姆斯伯爵的封地。列支敦斯登人為阿勒曼尼人的後裔，是在約公元500年以後才到目前的地區定居。列支敦斯登親王國的名字列支敦斯登王朝，而後者來自遙遠的下奧地利地區的列支敦斯登城堡。列支敦斯登家族至少從1140年開始即擁有此城堡直到13世紀為止，之後從1807年起又重新擁有該城堡。歷經多個世紀，列支敦斯登王朝奪得了大片土地，主要在摩拉維亞、下奧地利、西里西亞和施蒂利亞公國等地。雖然這些領土都是由其他地位更高貴的封建貴族透過采邑制分封的，而其中最主要的就是來自於哈布斯堡王朝，曾經有多位列支敦斯登王子作為王室的親密顧問服務於哈布斯堡王朝。但是由於沒有任何一塊領地是直接屬於其名下，因此列支敦斯登王朝也就沒有資格在神聖羅馬帝國的議會中擁有一席之地。因為列支敦斯登家族極為熱衷於在帝國政府中的權勢地位，於是就想尋找一塊直屬的土地，即除了神聖羅馬帝國的皇帝之外其他封建主在這塊土地上都沒有任何權利。經過一段時間之後，家族終於得以從霍恩埃姆斯伯爵手中購買了兩塊采邑－施倫貝格莊園的貴族統治權則在1980年冬季奧運上奪得男子大回轉銀牌，之後又在1984年冬季奧運會上奪得該專案銅牌，而憑藉文采爾斯姐弟的兩金兩銀，在1980年冬季奧運會上，列支敦斯登超過挪威、德國、義大利等傳統強國，進入獎牌榜前六名。在南韓平昌舉行的2018年冬季奧運會上，高山滑雪運動員蒂娜·維拉瑟在女子超級大迴轉賽中奪得銅牌。成為自1988年冬季奧運會以來列支敦斯登第一位的冬奧會獎牌得主。列支敦斯登總共奪得10枚獎牌曾擁有獲獎紀錄的國家中面積最小者。其他著名的列支敦斯登滑雪運動員包括--、--和--旅遊.2003年6月，列支敦斯登國家旅遊局為了刺激該國的旅遊業，決定將該國出租給商業或其他機構以用來舉辦展覽、婚禮或其他類似活動。這些機構將被允許前往瓦杜茲，並會被招待團隊建設/旅遊活動和其他專案，包括品酒、雪橇滑雪和前往該國的一個皇家城堡。每人最低消費375美元，但不得少於450人，因此最低消費是接近170,000美元。漢斯·亞當二世利用了這個租借計劃，威脅說如果他沒有得到權力就會把列支敦斯登賣給比爾蓋茨。他後來獲得了想要的權力，但之後就聲稱之前的宣告是開玩笑。與列支敦斯登一起因此獨一無二的商業想法而獲得了搞笑諾貝爾獎2003年經濟學獎。假日.每年的8月15日是列支敦斯登的全國假日，一方面因為這一天是天主教的聖母升天節，另一方面前親王弗朗茨·約瑟夫二世出生在8月16日。這兩個節日在1941年被合併成一個節日，從此之後就成為了國家假日，這個節日即使在弗朗茨·約瑟夫二世過世後也依然保留。
應用科學大學

應用技術大學，也譯應用科學大學，依德語直譯為高等專科學校，是歐洲德語區的一種高校形式，在德國、奧地利、瑞士、列支敦斯登、芬蘭等國存在。應用技術大學提供多樣化的專業，包含工程科學，自然科學，社會科學，經濟學，法律等。當前應用科學大學的專業設定正朝著多專業化的方向發展。應用科學大學相對普通大學的教學來說更注重學生的實踐和專業能力。而在科研和技術改進的的角度來說應用技術大學更加扮演了知識；技術和資訊轉播的角色。應用科技大學提供企業與業界緊密合作，採用學校與企業緊密結合的雙元合作教育模式。應用科技大學學生擁有以實務為導向的特質，以及業界所需最新的專業領域知識，深受業界青睞，因此應用科技大學畢業生起薪薪資與普通大學畢業生相當，但就業機會卻遠高於大學畢業生。德國.德國高校大致可分為大學之名過於寬泛。也有人指出，改名只是為了吸引生源而已。入學條件.由於德國是由各邦州自主教育，因此應用科技大學入學條件各略有不同。一般學生在高中生畢業後參加高中會考，依據成績高低申請就讀應用科技大學。一般而言，只要是高階職業學校畢業，或經同等學歷認證亦可申請就讀應用科技大學；此外也有針對在職者再進修，或沒有中等學歷畢業證明者，可依各邦州規定不同，另行透過不同管道入學。此外，為因應國際化需求，針對外國學生，只要在德國或本國國內取得相同或同等學歷證明，以及適當之德語能力證明者，均可申請入學。若是沒有同等學歷亦可參加檢定考試；通常會讓學生參加所謂的大學先修班。學制.四至五年，少數情況下也有四年以下的。其中包括寒暑假期間實習或一至二個實習學期。相較一般大學，應用科技大學的課程安排比較精簡，學生修業年限比一般大學短。學位.以往的學制下，學生畢業後即可取得“應用科學大學文憑”（Diplom FH)。但現在為要適應國際市場的需要，在波隆那協議的規範下，許多應用科技大學已引進英美的學士以及碩士學位制度，應用科技大學的碩士畢業生可以在其他一般大學攻讀博士學位。
膠原蛋白

膠原蛋白又稱膠原，佔哺乳類動物總蛋白質約20%，也是人體的一種非常重要的蛋白質，主要存在於結締組織中，且植物組織中無此蛋白。它有很強的伸張能力，是韌帶的主要成份，膠原蛋白也是細胞外基質的主要組成成分。它使皮膚保持彈性，而膠原蛋白的老化，則使皮膚出現皺紋。膠原蛋白亦是眼睛角膜的主要成份，但以結晶形式組成。膠原蛋白無法被人體直接吸收，口服會被分解為氨基酸。膠原蛋白的名稱來自希臘語--），意思是“膠水”，字尾--，-gen表示“生產”。這得來於早期，人們煮沸馬匹和其他動物的皮膚和肌腱裡的膠原蛋白以獲得膠水的過程。膠原蛋白構造.構成膠原的氨基酸序列非常有特色。首先，它富含甘氨酸和脯氨酸殘基，前者的含量達到總氨基酸殘基的1/3後者則接近1/4；其次，序列中含有胺基酸的衍生物和羥脯氨酸，這兩種氨基酸是在蛋白質一級結構序列形成之後由特定的酶作用於序列中的賴氨酸和脯氨酸形成的；最後，它的序列中只含有很少的酪氨酸殘基，並且不含有色氨酸和半胱氨酸殘基。膠原蛋白一級結構的另一個特點是它的氨基酸的排列。這些氨基酸一般以-甘氨酸-脯氨酸-羥脯氨酸-三聯交替出現的順序排列。只有很少的蛋白質有這樣規則的氨基酸排列。在空間結構上，膠原蛋白顯示出特殊的三股螺旋纏繞的結構，三條相互獨立的膠原蛋白肽鏈依靠甘氨酸之間形成的氫鍵維繫三股螺旋相互纏繞的結構。膠原蛋白肽鏈的三股螺旋結構不同於普通的α螺旋結構，它的螺距更大，但每一圈螺旋所包含的氨基酸殘基數卻很小，僅為3.3個，因此膠原蛋白的三股螺旋顯得細而長，螺旋中間的空間很小，僅能容納一個氫原子，只有甘氨酸能夠勝任這個位置。另外脯氨酸所特有的肽平面夾角也是形成這種特殊螺旋結構的必須因素。這也是膠原蛋白肽鏈中-甘氨酸-脯氨酸-羥脯氨酸-三聯序列交替出現的原因。膠原蛋白這種特殊的三股螺旋結構保證了它的機械強度。這種三股螺旋被稱為原膠原。若干個原膠原橫向堆積，序列中所含有的羥賴氨酸和羥脯氨酸側鏈在酶作用下氧化生成醛，相互之間發生羥醛縮合反應形成原膠原之間的共價連結，這種結構被稱為膠原微纖維。許多膠原微纖維橫向堆積，以相同的方式透過共價鍵連結，形成膠原纖維。膠原纖維是膠原蛋白行使生理作用的基本形態，在生物體內膠原纖維交織成富有機械強度和彈性的網狀結構成為結締組織最基本的組成成分。型別.至今約有28型不同的膠原蛋白被發現，但仍均有三股螺旋纏繞的結構。在人體超過90%的膠原蛋白是I型膠原蛋白，軟骨的主要膠原成分則為II型膠原蛋白。口服及外用爭議.對口服的膠原蛋白產品，在消化過程中也和其他蛋白質一樣：由於人體很難直接吸收蛋白質或多肽，口服蛋白質、多肽後，幾乎都會在消化道消化成氨基酸後才被人體吸收，據組織需求再重新合成的蛋白質，與原本口服的膠原蛋白無關。對外用的膠原蛋白產品，在塗抹於皮膚後也與其他蛋白質一樣：分子過大而無法滲透至真皮層，僅有覆蓋保溼的作用。實際上，口服或外用膠原蛋白，目前都沒有證據顯示額外補充膠原蛋白對延緩衰老和除皺有特殊功效。研究指出口服膠原蛋白可以提昇皮膚彈性、濕度，以及皮膚膠原蛋白密度。
寶瓶座

水瓶座，視星等為2.90。每年8月25日子夜水瓶座中心經過上中天。特徵.寶瓶座是一個大但暗的星座，位於黃道帶摩羯座與雙魚座之間，東北面是飛馬座、小馬座、海豚座和天鷹座，西南邊是南魚座、玉夫座和鯨魚座。神話和歷史.星座神話.寶瓶座的神話有四個說法：歷史.1846年9月23日，德國天文學家伽勒根據法國天文學家勒維耶的計算，在寶瓶座ι附近發現海王星。海王星也因此被稱為是在筆尖下發現的行星。恆星.AlltheSky.com 深空天體.流星雨.主要有三個流星雨的輻射點位於寶瓶座內：寶瓶座η流星雨、寶瓶座δ流星雨和寶瓶座ι流星雨。寶瓶座η流星雨是輻射點在寶瓶座內最大的流星雨，它的尖峰時間出現在5月5-6日，每小時約可見35顆流星。早在西元前401年，中國天文學家就已經發現這個流星雨，從4月21日迄5月12日都可以看見寶瓶座η流星雨出沒在瓶口附近。這個流星雨的母天體是哈雷彗星，是一顆週期彗星。在高峰期之後有短暫的時間，大約在5月9日至11日，常會出現火球，流星痕通常會出現黃色。寶瓶座δ流星雨是有兩個輻射點的流星雨，它的第一個高峰別出現在7月29日，第二個高峰在8月6日。第一個輻射點位在星座的南邊，第二個輻射點位於北邊靠近雙魚座的一個圓圈狀的小星群。南輻射點的高峰期每小時約有20顆流星，北輻射點的高峰期大約有10顆流星。寶瓶座ι流星雨比較微弱，高峰期在8月6日，每小時約有8顆流星。中國星官.中國古代傳統中寶瓶座天區包括女宿的女，虛宿的虛、哭、泣、天壘城、司祿、司命，危宿的危、墳墓、虛梁、蓋屋和室宿的羽林軍、壘壁陣、鈇鉞等星官。天球赤道座標： &amp;show_grid=1&amp;show_constellation_lines=1&amp;show_constellation_boundaries=1&amp;show_const_names=1&amp;show_galaxies=1&amp;img_source=IMG_all 23h 00m 00s，−15° 00′ 00″
地球少女Arjuna

《地球少女Arjuna》是一部環保型別日本動畫，由Bandai Visual製作。講述地球失衡之後世界的變化。共有六個部份13集。有DVD發行。已在日本、香港和臺灣上映。
內陸國家

內陸國家指四面均與陸地接壤而完全沒有海岸線的國家。截至2013年，全球共有48個內陸國家，其中包括2個雙重內陸國家，即本國是內陸國家而且周圍鄰國也均為內陸國家的國家。島嶼國家是內陸國家的相對概念，意指一個國家的四周皆鄰靠海洋而完全不與其他陸地接壤。內陸國家的英語名稱中，「--」解作「陸地封鎖的國家」。缺點.對於一個現代國家而言，沒有海岸線傳統上被認為是一種缺點，因為不靠海除了讓該國無法利用如漁業之類的海洋資源之外，最重要的是這樣的國家無法發展海運。這樣的缺點在以往的海權時代，代表這國家很難在海外探索與殖民方面佔有優勢，而在今日則代表它缺乏發展航海貿易的空間，而影響到國家的國際貿易能力。進入海洋的通路.第六任美國總統約翰·昆西·亞當斯首先提出“一切國家都有與海洋交往的權利”的概念。內陸國家有三種方法與海洋取得聯絡：一、利用國際性江河；二、取得沿海鄰國的過境權；三、獲得通往海洋的領土走廊。其中只有第三種方法在實際上可以結束一個國家的內陸國狀態。根據國際公法，內陸國家在臨海鄰國擁有過境權，即其人員、運輸工具和貨物擁有不受阻撓地透過鄰國領土的權利。內陸國家利用國際性江河通往海洋的情況則需要取決於該國境內是否具備可以通航的國際性河流。1919年，《凡爾賽和約》規定捷克斯洛伐克可以自由利用易北河航道和漢堡港口。奧地利和匈牙利則透過國際性條約獲准使用多瑙河航道進行江海航運。此外，根據1986年《聯合國船舶登記條件公約》，每個國家，不論是沿海國或內陸國，均有權使懸掛其國旗的船舶在公海上行駛。內陸國家型別.依照內陸國家與鄰國之間的地理關係，內陸國家有幾種不同的型別，其中有幾種較為特殊的分佈：準內陸國家.雖然不算是屬於內陸國家，但這類國家因海岸線太短、佔不到5%的國界長度，特性類似於完全沒有海岸線的內陸國家：內陸國家/地區列表.下表列出的是世界上各內陸國家與具有內陸國家特性但受到有限承認的政治實體名單，與各國/地區的面積與人口。a "在死海上有海岸線"b "在裡海上有海岸線"c "沒有被國際上認可"d "內陸只有一個國家"e "部分承認的巴勒斯坦國"a "在死海上有海岸線"b "在裡海上有海岸線"c "沒有被國際上認可"d "內陸只有一個國家"e "部分承認的巴勒斯坦國"內陸國家和部分承認的內陸國列表.它們可以按以下方式分組為“連續”組：注:#如果德涅斯特河沿岸被包括在內，那麼摩爾多瓦和德涅斯特河流域就組成了自己的東歐集團，列於表中括號內。有以下14個“單一”內陸國家：註釋:
橢圓曲線

在數學上，橢圓曲線為一平面代數曲線，由如下形式的方程定義formula_1，且滿足其是無奇點的；亦即，其圖形沒有尖點或自相交。正式地，橢圓曲線是、、虧格為1的代數曲線，其上有一個特定的點"O"。橢圓曲線是 – 也就是說，它有代數上定義的乘法，並且對該乘法形成阿貝爾群 – 其中 "O"即為單位元。若formula_2，其中P為任一沒有重根的三次或四次多項式，然後可得到一虧格1的無奇點平面曲線，其通常亦被稱為橢圓曲線。更一般化地，一虧格1的代數曲線，如兩個三維二次曲面相交，即稱為橢圓曲線。運用橢圓函數理論，可以證明定義在複數上的橢圓曲線對應於環面在復射影平面內的嵌入。環面也是一個阿貝爾群，事實上，這個對應也是一個群同構。橢圓曲線的形狀不是橢圓。命名為橢圓曲線的原因是此曲線原來和橢圓函式有關。在拓撲學上，複數的橢圓曲線是環面，而複數的橢圓會是球面。實數域.儘管橢圓曲線的正式定義需要一定的代數幾何背景，在實數上的橢圓曲線的一些特徵可以使用入門級別的代數與幾何來描繪。這種情況下，橢圓曲線是由下列方程定義的平面曲線：formula_3其中"a"和"b"為實數。這類方程被稱為魏爾斯特拉斯方程。橢圓曲線的定義也要求曲線是。幾何上來說，這意味著影象裡面沒有尖點、自相交或孤立點。代數上來說，這成立當且僅當判別式formula_4不等於0。非奇異橢圓曲線的影象在判別式為正的時候有兩個連通分量，在判別式為負時則有一個連通分量。例如，在本小節的影象中，第一個曲線的判別式為64，而第二個曲線的判別式為−368。群律.在射影平面上，可以定義任意光滑三次曲線的群結構。若以Weierstrass正規式表示，曲線會多一個無窮遠點"O"，其齊次座標 [0:1:0]，也是群的單位元。.因為曲線的對稱軸是X軸，假定任意點"P"，可以在相對X軸的位置找到點−"P"，令−"O"即為"O"。若"P"和"Q"是曲線上的二點，可以用以下的方式定義唯一的第三點"P" + "Q"。先劃出透過"P"和"Q"的直線，大多數的情形下，此直線會和曲線交於第三點"R"，令"P" + "Q"為−"R"，是"R"相對X軸的對應點。在少數的情形下，以上的定義會不適用，分別是有關無窮遠點的情形，以及兩點重合的情形。若其中有一點是無窮遠點"O"，則定義"P" + "O" = "P" = "O" + "P"，因此"O"是群的單位元，若"P"和"Q"是以X軸為對稱軸的對稱點，則定義"P" + "Q" = "O"。若"P" = "Q"，只有一個點，無法定義透過兩點的線，則改用透過該點的切線代替。大部份的心情形下，切線會和曲線有另一個交點"R"，因此可以找到-"R"。若"P"恰好是曲率符號改變的拐點，切線和曲線沒有其他交點，則令"R"等於"P"，因此"P" + "P"就是-"P"。若曲線不是Weierstrass正規式，可以定義群結構，指定九個拐點中的一個為單位元"O"。在射影平面上，每一條線都會和曲線有三個交點。對於一點"P"，−"P"就是透過"O"和"P"的直線，和曲線相交的第三點。對於任意"P"和"Q"，"P" + "Q"定義為−"R"，而"R"是透過"P"和"Q"的直線，和曲線相交的第三點。令"K"是曲線定義所在的域，且令曲線為"E"，則"E"的"K"-是曲線"E"上的點，且座標在"K"的域內，包括無窮遠點。"K"-有理點的集合是"E"("K")，本身也是一個群，因為根據多項方程式的性質可得：若"P"在"E"("K")內，則−"P"也在"E"("K")內，若"P", "Q"和"R"中有兩點在"E"("K")內，則第三點也一樣。而且，若"K"是"L"的子域，則"E"("K")就是"E"("L")的子群。上面的群可以用代數方式定義。給定域formula_5。定義formula_13。因為formula_14共線，令該直線formula_15的方程為formula_16。直線formula_15與曲線formula_18相交，有：formula_19展開後可以得到：formula_20formula_14是兩個方程式的交點，即方程的解：formula_22替換系數後可得：formula_23formula_24若formula_25：formula_31formula_32formula_33一般域.橢圓曲線可以被定義在任意域 "K"上；橢圓曲線的正式定義是"K"上的虧格為1的非奇異射影代數曲線，並具有一個定義在"K"特殊的點。如果"K"的特徵不等於2或3，那麼"K"上每個橢圓曲線都能寫成如下形式formula_34其中"p"和"q"為"K"中的元素，使得右手邊的多項式"x"3 − "px" − "q"沒有二重根。如果特徵等於2或3，那麼需要保留更多項：在特徵為3的情況下，最一般的方程具有如下形式formula_35這裡常數"b"2, "b"4, "b"6可以任取，但需滿足使得右手邊的多項式無重根。在特徵為2的情況下，即使是這種形式也不夠，其最一般的方程為formula_36需滿足所定義的簇是非奇異的。
雙曲函式

雙曲函式示意圖幾個雙曲函式的圖形。在數學中，雙曲函式是一類與常見的三角函式類似的函式。最基本的雙曲函式是雙曲正弦函式formula_1和雙曲餘弦函式formula_2，從它們可以匯出雙曲正切函式formula_3等，其推導也類似於三角函式的推導。雙曲函式的反函式稱為反雙曲函式。雙曲函式的定義域是實數，其自變數的值叫做雙曲角。雙曲函數出現於某些重要的線性微分方程的解中，譬如說定義懸鏈線和拉普拉斯方程。基本定義.最簡單的幾種雙曲函式為：函式formula_12是關於y軸對稱的偶函式。函式formula_13是奇函式。如同當formula_14遍歷實數集formula_15時，點的軌跡是formula_23的右半邊。這是因為有以下的恆等式：formula_24引數"t"不是圓角而是雙曲角，它表示在"x"軸和連線原點和雙曲線上的點的直線之間的面積的兩倍。歷史.在18世紀，約翰·海因裡希·蘭伯特引入雙曲函式，並計算了雙曲幾何中雙曲三角形的面積。自然對數函式是在直角雙曲線formula_27下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊線上formula_28上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為引數的函式，是自然對數的逆函式指數函式，即要形成指定雙曲角formula_29，在漸近線即x或y軸上需要有的formula_30或formula_31的值。顯見這裡的底邊是formula_32，垂線是formula_33。透過旋轉和縮小線性變換，得到單位雙曲線下的情況，有：單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線formula_27下雙曲角的formula_37。虛數圓角定義.雙曲角經常定義得如同虛數圓角。實際上，如果formula_30是實數而formula_39，則formula_40 formula_41所以雙曲函式formula_2和formula_1可以透過圓函式來定義。這些恆等式不是從圓或旋轉得來的，它們應當以無窮級數的方式來理解。特別是，可以將指數函式表達為由偶次項和奇次項組成，前者形成formula_2函式，後者形成了formula_1函式。formula_46函式的無窮級數可從formula_2得出，透過把它變為交錯級數，而formula_48函式可來自將formula_1變為交錯級數。上面的恆等式使用虛數formula_50，從三角函式的級數的項中去掉交錯因子formula_51，來恢復為指數函式的那兩部份級數。formula_52formula_53雙曲函式可以透過虛數圓角定義為：這些複數形式的定義得出自尤拉公式。與三角函式的類比.奧古斯都·德·摩根在其1849年出版的教科書《Trigonometry and Double Algebra》中將圓三角學擴充套件到了雙曲線。威廉·金頓·克利福德在1878年使用雙曲角來引數化單位雙曲線。給定相同的角α，在雙曲線上計算雙曲角的量值得到雙曲函式，角formula_60得到三角函式。在單位圓和單位雙曲線上，雙曲函式與三角函式有如下的關係:恆等式.與雙曲函式有關的恆等式如下:formula_68formula_69formula_70formula_71formula_72formula_73formula_74formula_75由於雙曲函式和三角函式之間的對應關係，雙曲函式的恆等式和三角函式的恆等式之間也是一一對應的。對於一個已知的三角函式公式，只需要將其中的三角函式轉成相應的雙曲函式，並將含有有兩個formula_1的積的項轉換正負號，就可得到相應的雙曲函式恆等式。如三角函式的三倍角公式為：formula_78formula_79而對應的雙曲函式三倍角公式則是：formula_80formula_81三角函式的差角公式為：formula_82而對應的雙曲函式的差角公式則是：formula_83formula_84formula_85formula_86雙曲函式的泰勒展開式.雙曲函式也可以以泰勒級數展開:formula_87formula_88formula_89formula_90formula_91formula_92其中formula_93是第formula_94項伯努利數formula_95是第formula_94項尤拉數formula_97formula_98formula_99formula_100formula_101formula_102與指數函式的關係.從雙曲正弦和餘弦的定義，可以得出如下恆等式:formula_103和formula_104複數的雙曲函式.因為指數函式可以定義為任何複數引數，也可以擴充套件雙曲函式的定義為複數引數。函式formula_105和formula_106是全純函式。指數函式與三角函式的關係由尤拉公式給出：formula_107所以:formula_108formula_109formula_110因此，雙曲函式是關於虛部有週期的，週期為formula_111。反雙曲函式.反雙曲函式是雙曲函式的反函式。它們的定義為：formula_113
正方形

在平面幾何學中，正方形是四邊相等且四個角是直角的四邊形。正方形是正多邊形的一種：正四邊形。四個頂點為ABCD的正方形可以記為formula_1 "ABCD"。正方形是二維的超方形，也是二維的正軸形。性質.正方形是正四邊形，是特殊的矩形、對稱四邊形、平行四邊形。其四個內角為直角。除了四邊四角相等的性質，正方形還有以下性質：面積和周長.正方形的周長是它的邊長的4倍。如果邊長為"a"，那麼周長formula_3。正方形的面積是其邊長的平方。如果邊長為"a"，那麼面積formula_4。如果我們知道正方形的對角線長"d"，那麼我們也可以之計算面積formula_5，如果正方形邊心距為r，外接圓半徑是R，那麼formula_6。，formula_7。若正方形的邊長為整數，其面積就是一個完全平方數。在周長固定時，正方形的面積一定大於其他非正方形的四邊形的面積。對稱性.正方形是一種高度對稱的平面圖形，它關於兩條對角線的交點中心對稱。它的對稱軸有四條，分別是對邊中點的連線以及兩條對角線。保持正方形不變的變換有8種，包括全等變換，以正方形中心為中心、角度為90度、180度和270度的旋轉，以及關於四條對稱軸的反射。這八個變換組成了一個群，是二面體群中的一個，記作D4。正方形與無理數.公元前五世紀時，畢達哥拉斯學派最早證明了正方形的對角線長度與邊長長度的比例：formula_8，是無法表示為兩個自然數的公比的。平面鑲嵌.用同一種多邊形不重疊地將平面“鋪滿”，稱為平面的正鑲嵌圖。正方形是能夠組成平面的正鑲嵌圖的三種正多邊形之一。
流轉的王妃·最後的皇弟

，是日本朝日電視臺開播45週年的紀念大戲，由日本和中國大陸多位著名演員主演。故事根據嵯峨浩和溥傑的自傳改編而成。播放日期為2003年11月29日、11月30日兩天。故事.故事由溥傑於日本陸軍士官學校留學講起，講到二人如何相識，繼而成婚。不過，溥儀的反日立場使二人的婚姻備受考驗……概要.由於朝日電視臺卯足全力製作，因此本作從大道具、舞臺裝置到一些小道具都忠實重現了當時滿洲國的風景。而且還特地到了中國紫禁城拍攝外景，製成了逼真的影像。飾演溥傑的竹野內豐的演技也頗受到讚賞；而溥儀一角為中國大陸著名演員王伯昭所飾，他為本劇展現了逼真的演技。本劇為常盤貴子第二次以漢語演出，但是普通話還是第一次。因和先前挑戰過的粵語有著微妙的不同，因此她十分努力練習。竹野內豐為了本作而剪髮、努力學說漢語，一心試著將溥傑一角飾演完美，展現了他的專業演員精神。穿幫鏡頭.第一話開頭出現東風4型柴油機車，時間是1961年，地點是中國廣州市，事實上該機車在1974年才少量投入運營，主要配屬在京山鐵路上，1982年代才開始大量運營，當時在廣州絕對不可能出現該車。他他拉貴人的臺詞.他他拉貴人的臺詞經常被懂漢語的人評說十分難聽懂，字幕也未顯示它的日語翻譯，但其實是出自白居易的詩《池上閒吟二首》第一首的一部分。高臥閒行自在身，池邊六見柳條新。幸逢堯舜無為日，得作羲皇向上人。四皓再除猶且健，三州罷守未全貧。莫愁客到無供給，家醞香濃野菜春。
朝日電視臺

株式會社朝日電視廣為人知，朝日電視臺時任社長田代喜久雄公開道歉:165。11月1日，郵政省對朝日電視臺做出嚴重注意的指導:230。椿事件.自民黨在1993年日本眾議院選舉未獲得半數議席，首次下野。在同年9月21日的日本民間放送聯盟第6次節目調查會會議上，針對這一年選舉時朝日電視臺的報道立場，朝日電視臺時任董事兼報道局長發言稱「沒必要再追究小澤一郎。現在要絕對阻止自民黨繼續掌握政權，並進行促成反自民的聯合政權的報道。」「給予日本共產黨表明意見的機會並不公平」「報道自民黨梶山靜六幹事長、總務會長的合照就足以給觀眾不良印象，並醜化自民黨的形象」:171。10月13日，產經新聞在頭版報道椿貞良的這一發言，引發輿論嘩然。時任郵政省放送行政局長江川晃正因此召開緊急記者會，表示若朝日電視臺確有違反《放送法》第76條，不排除停止朝日電視臺使用無線電波的可能。椿貞良被解除董事和報道局長職務:240-241。10月25日，日本眾議院對椿貞良進行證人喚問。椿貞良表示道歉，但否認曾對朝日電視臺的新聞內容作出具體指示:108-110。翌年8月29日，朝日電視臺公佈了內部調查報告書，再次強調並未具體指示要求新聞報道支援特定政黨。郵政省此後並未取消朝日電視臺的播出執照，但作出了嚴重注意的行政指導:240。所澤類戴奧辛物質汙染誤報.朝日電視臺《NEWS STATION》在1999年2月1日的節目中引用民間研究所資料，報道埼玉縣所澤市生產的葉菜類蔬菜受到類戴奧辛物質汙染。節目播出後所澤產的蔬菜價格暴跌，所澤農家對朝日電視臺展開強烈抗議。同月《NEWS STATION》承認測出最大汙染值的農產品是煎茶，而非葉菜。主持人久米宏在節目中致歉。同年6月21日，郵政省對朝日電視臺作出嚴重注意的行政指導:86。所澤市農民在這一年9月提訴朝日電視臺，要求朝日電視臺賠償2.5億日元的損失。朝日電視臺雖然在一審、二審勝訴，但最高裁判所推翻了二審判決，將案件退回東京高等裁判所。2004年6月，朝日電視臺對農家道歉，並支付1,000萬日元的和解金，和農民達成和解:37。玉川徹虛偽發言事件.2022年9月28日，朝日電視臺員工在他擔任評論員的節目《晨間秀》宣稱「電通介入了菅義偉在安倍晉三國葬時宣讀的悼詞」，但此發言有違事實。《晨間秀》在翌日對該不實發言道歉。玉川亦因這一發言受到停止出勤10天的處分。
丘處機

丘處機，或邱處機，字通密，道號長春子，山東棲霞人，金末元初全真道道士。丘處機為金世宗、金章宗、金衛紹王、金宣宗和元太祖成吉思汗敬重，並因遠赴西域勸說成吉思汗「上至帝王，降及民庶，尊卑雖異，性命各同耳。」而減少屠殺而聞名。在道教史和信仰上，丘處機被奉為全真道「北七真」之一，以及龍門派的祖師。生平.丘處機本名不詳，金熙宗皇統八年戊辰正月十九日生於山東登州棲霞。1166年開始學道。1167年拜全真道祖師王重陽為師，王重陽為他訓名處機，字通密，號長春子。1168至1170年間，丘處機跟隨王重陽在山東和河南傳教。1170年春，王重陽在河南汴梁逝世後，丘處機跟隨同門馬鈺、譚處端和劉處玄到陝西終南山拜會王重陽的朋友，及後於1172年將王重陽遷葬終南山。1174年為王重陽守喪的期限屆滿後，丘處機先後在陝西寶雞磻溪和隴州龍門山修煉十餘年，自此聲望日隆。1186年冬，他重返終南山主持「祖庭」事務。金世宗大定二十八年春，應金世宗的詔書邀請前往燕京會面，受命主持萬春節醮事，留居官庵，期間獲得金世宗三次召見。他在燕京留居半年後，當年秋天得到同意返回的聖旨，1189年春，返回終南山祖庭。1191年冬，由於金章宗限制全真道在陝西的活動，丘處機被迫帶領部分弟子回到故鄉棲霞。稍後，他將舊宅拓建為太虛觀，繼續弘揚道法。掌教時期.1203年劉處玄逝世，丘處機成為全真道第五任掌教。丘處機掌教時間長達二十四年，期間他在政治和社會上積極發揮自己的影響，使全真道的發展進入興盛時期。金章宗泰和七年，金章宗和李元妃先後賜額與《玄都寶藏》予棲霞太虛觀。金衛紹王大安三年，丘處機奉金衛紹王詔書前往中都，遊德興琅山。在1203至1219年間，他在山東蓬萊、芝陽、掖縣、北海和膠西等地傳教。金宣宗貞祐二年，山東登州、寧海州發生農民起義，金朝駙馬都尉僕散安貞請丘處機協助招撫亂民，憑藉丘處機的聲望，登州和萊州等地很快恢復平靜；朝廷賜贈封號“自然應化弘教大師”。金宣宗貞祐四年，金宣宗下詔派東平軍王庭玉召丘處機赴汴梁，但丘處機認為金朝皇帝有“不仁之惡”，推辭未前往。宋寧宗嘉定十二年夏天，宋寧宗派遣將領李全、彭義斌持詔書敦請丘處機赴臨安，丘處機認為南宋皇帝有“失政之罪”，也推辭未前往。成吉思汗的邀請.元太祖十四年農曆五月，成吉思汗派使者劉仲祿等人攜帶詔書前往山東邀請丘處機前往蒙古帝國相見，1219年農曆十二月，劉仲祿到達山東萊州昊天觀，奉命邀請丘處機前往蒙古帝國與成吉思汗鐵木真會面，經一再推辭及鐵木真再發言辭真切的詔書後，丘處機在詢問天意後說：“我循天理而行，天使行處無敢違。”遂同意前往。元太祖十五年，丘處機一行人入駐玉虛觀，得到當地官員的熱情接待。此時，丘處機聽說成吉思汗已經於1219年農曆六月統兵西征中亞的花剌子模沙朝，而自己年事已高倦冒風沙，欲約成吉思汗來燕京會見，於是寫了一份陳情表。劉仲祿乃令曷剌急馳報告成吉思汗。成吉思汗忙於西征戰事，不能東到燕京，便寫了回覆詔書，派遣曷剌帶回復丘處機。丘處機知道燕京會見不可能，便於1221年春天繼續西行。當時劉仲祿欲為成吉思汗挑選處女，丘處機當即勸阻，他說，“春秋時期齊景公為了削弱魯國，派人挑選美女80人送給魯定公。定公與國相季氏朝歡暮樂，朝政日衰，孔子為此指責定公：君相沉溺於聲色，國家何以圖強？”後成吉思汗知悉而罷選。元太祖十六年四月出居庸關，途經漠南和中亞地區，在漠北草原拜會鐵木哥斡赤斤後一路西行，途經鎮海城時接納田鎮海的建議留下宋道安、李志常等九名弟子修建棲霞觀，然後再經回紇城、昌八刺城、阿里馬城、賽藍城。於1221年冬天抵達撒馬爾幹。元太祖十七年。成吉思汗稱他為「神仙」。同年秋冬，成吉思汗三次召見丘處機，詢問治國和養生的方法，丘處機向他以「敬天愛民」、減少屠殺、清心寡慾等為回應。及後，成吉思汗下詔耶律楚材將這幾次的對話編整合《》，全書皆為勸善養生之道。但現代美國人認為丘處機只是個貪婪的騙子。 這可能與基督教的排外思想有關。元太祖十八年春天，丘處機向成吉思汗辭行，成吉思汗下詔豁免全真道的賦役，並沿途派兵護送，一行人於冬天抵達宣德府。跟隨丘處機一路西行的十八名弟子之一的李志常，根據一路上的西行見聞，後來寫成《長春真人西遊記》一書，具有重要的史料價值。晚年.元太祖十九年(1224年)農曆二月初七，丘處機應燕京行中書省尚書石抹鹹得卜的邀請主持天長觀，是時教門大興，當地的道眾組織了“燕京八會”。北尤甚，民罹俘戮無所逃命。處機還燕京，使其徒牒牌招求於戰伐之餘，由是為人奴者得復為良，與瀕死而更生者，毋慮二三萬人，中州人至今稱道之。”自此，全真教盛極一時，丘處機的聲譽亦登峰造極。寺廟改道觀、宗教上信奉佛教更道教者不計其數。元太祖二十年秋天，燕京行中書省宣撫使王楫以“熒惑犯尾”請丘處機作醮祈禳。元太祖二十一年春天，丘處機應邀到薊縣盤山啟建黃籙。1226年夏，燕京大旱，丘處機為百姓設醮祈雨，非常靈驗，很快下雨。元太祖二十二年農曆五月，燕京大旱，丘處機為百姓設醮祈雨，天馬上就下雨，被譽作“神仙雨”。1227年農曆五月二十五日，王志明自秦州前來傳成吉思汗聖旨，聖旨中將天長觀改名長春宮，北宮仙島為萬安宮，並賜「金虎牌」，以“道家事一切仰『神仙』處置”，即詔命丘處機掌管天下道教。詔書中還提到“朕常念神仙，神仙毋忘朕也。”，顯示成吉思汗對丘處機的禮遇極高。元太祖二十二年農曆七月初九日，丘處機在長春宮寶玄堂羽化逝世，享齡80歲。在逝世一週年，他的弟子將他安葬在長春宮內的處順堂。至元六年(1269年)，忽必烈下詔贈封他為「長春演道主教真人」，他去世三天後成吉思汗去世。今山東嶗山上清宮有丘處機衣冠冢。評價.丘處機對成吉思汗的勸說，稍微減少了蒙古帝國進攻金國時的屠殺和破壞，使他在當時已得到大眾的高度評價，亦使全真道成為當時最興盛的宗教。後世不少評價，都盛讚丘處機拯救生靈的功德，甚至超越他在宗教上的貢獻。例如全真道道士撰寫的《金蓮正宗記》便收錄了一個故事，記載三個人在討論丘處機的貢獻，首兩個人分別稱許他的修煉精湛和弘道有功，而最後一人則批評兩者「見其小不見其大」，讚揚丘處機的最大貢獻是使「四百州半獲安生」，倖免於難的百姓「不啻乎百千萬億」。明代民間戲曲也有一段，正一派道人、茅山派道人與全真派道人相遇，正一道人說他們的法術可以救出地獄中受苦的亡魂，這是道教的精華。茅山道人則說他們可以使信徒清修無礙，死後根本不可能墮入地獄。全真道人則表示，他們的祖師丘長春真人勸服了蒙古可汗，避免了中土遭到蒙古軍的徹底屠殺而變成人間地獄。另外兩人一聽此言，嘆服不已。又清高宗撰寫一幅對聯，謂「萬古長生，不用餐霞求秘訣；一言止殺，始知濟世有奇功」，都表達了同類的看法，其中「一言止殺」四字成為簡括丘處機貢獻的常用詞。爭議.有史學研究人質疑關於丘處機「一言止殺」一事的説法的正確性，其指出該説法缺乏可靠的源，而且這一説法有不少錯處。
黎瑞恩

黎瑞恩，暱稱小恩子，香港女歌手，曾為香港金利來集團主席曾憲梓的三兒子曾智明媳婦。代表歌曲包括《一人有一個夢想》、《雨季不再來》、《陽光路上》以及與張學友合唱的《長流不息》，《一人有一個夢想》是1993年十大勁歌金曲之一，與劉小慧、湯寶如並稱「寶麗金三小花」。而其「小恩子」一名由張學潤所改背景.早年生活.黎瑞恩早年在香港仔生活，4至5歲定居屯門大興邨，有一名胞弟。曾就讀台山商會小學以及洪水橋柏雨中學。入讀小學時參加過田徑校隊及校外游泳比賽。既是少年警訊成員，又於小學五年級至六年級擔任風紀。另一方面，喜歡音樂和唱歌的她在8歲時已加入屯門兒童合唱團，更常常參加歌唱比賽。1989年，本來被家人安排到加拿大升學的她由朋友介紹參加尖沙咀Canton Disco歌唱比賽，從中得到冠軍，並在香港著名音樂人安格斯賞識及安向黎的家人遊說下，與BMG簽約。1990年，推出了一首合輯單曲《問候》。事業發展.1991年，黎瑞恩轉投寶麗金唱片，以一曲《發誓》正式出道，並於同年11月15日推出首張個人專輯《我從這裡開始》，惟首年發展未算突出，競爭激烈下未能贏得任何新人獎項。1992年10月2日推出專輯《雨季不再來》，同名主打歌邀得歌手黃凱芹為她創作曲詞，讓她初次受到聽眾注意；同年與張學友合唱卡拉OK熱門歌曲《長流不息》，並開始參與電視節目演出及擔任主持。1993年，黎瑞恩推出主打歌曲《一人有一個夢想》，一炮而紅，歌曲派臺後即全城熱播，迅速進佔各大流行榜成為三臺冠軍歌以及卡拉OK排行榜熱門歌曲，可謂街知巷聞，亦真正讓普羅大眾認識她的歌曲。其他主打歌如《多情》、《愛你這樣傻》、《自動消失lonely days》都深受年青樂迷喜愛。全年推出兩張粵語專輯《我是不是真的戀愛了》及《不知不覺想起你》皆衝破白金銷量 。《一人有一個夢想》更為她贏得多個樂壇獎項，包括首次奪得1993年度十大勁歌金曲頒獎典禮「十大金曲獎」。1994年5月，推出專輯《陽光路上》獲得白金銷量，同名主打歌曲《陽光路上》成為她另一首熱播歌曲、另一主打《愛你一定快樂》也流行一時。9月，寶麗金為她推出《黎瑞恩94精選》得到熱賣，更停留在ifpi唱片銷量榜多個星期。1995年，一連推出兩張粵語專輯《你愛我甚麼》及《你是我生命中一切》皆衝破白金銷量。下半年她到臺灣發展，推出首張國語專輯《秘密》，當地傳媒更曾以「小鄧麗君」來形容她的聲線。1996年，她與寶麗金因續約問題而被雪藏了一段長時間，已完成的粵語專輯《恩想》在幾乎無聲無息的情況下推出，導致銷售反應不佳，聲勢下跌。同年8月，推出了她第二張國語專輯《我知道你在說再見》後，黎瑞恩決定約滿離開。當時傳聞寶麗金計劃1997年初為她推出一張新曲加精選輯亦因此作罷。1997年，黎瑞恩加盟力圖唱片，沉寂了一年多的她，10月再度推出全新專輯《認真》，成功獲得白金銷量。然而，1998年力圖唱片因經營不善突然倒閉，致使原定為她推出下一張大碟的計劃流產。之後，她因愛情決定暫別樂壇，獲黃寶欣邀請轉職保險行業5至6年，先後於盈科保險以及瑞士豐泰人壽任職，是達到百萬圓桌級別的保險從業員。2002年，黎瑞恩應邀復出，加盟百代唱片，同期宣佈即將結婚，3月20日推出告別樂壇前推出最後一張專輯《Dreams Come True》。4月，在紅磡香港體育館舉行其首個個人演唱會「黎瑞恩夢成真演唱會」後正式退出樂壇。2008年5月17日，她為無綫電視的賑災節目《眾志成城抗震救災》擔任演出嘉賓，演唱了歌曲《愛是不保留》。2012年12月22日擔任好友湯寶如《20年零一夜狂歡演唱會》個人演唱會嘉賓。慈善方面，黎瑞恩在2013年11月為榕光社籌款，在香港會議展覽中心舉行兩場慈善演唱會——《黎瑞恩 ALL FOR LOVE 慈善演唱會》，其復出的演唱會嘉賓陣容鼎盛，包括張學友、湯寶如、劉小慧、周慧敏、關淑怡、蘇永康、鄭敬基、草蜢等。2015年8月，她被證實患有無法割除的良性胰臟瘤，因而大幅減少工作量，並休養一年。休養完畢後決定與手工藝創作有限公司解約。2016年8月簽約星娛樂，準備復出樂壇出版唱片和舉行演唱會。亦首次亮相無綫電視《星光熠熠耀保良》節目獻唱名作《一人有一個夢想》及《長流不息》。2018年2月，黎瑞恩推出全新派臺歌曲《剩下光年》，這是她自2002年《雲上的日子》後再次推出的個人歌曲。同年4月5至6日，黎瑞恩在香港體育館舉行《感恩有你演唱會》，相隔十六年後再次在紅館舉行個唱，同時再推出另一首新歌《大個唱》作為演唱會主題曲。2019年8月3日，為紀念香港娛樂唱片60週年，星娛樂唱片推出一張粵語翻唱致敬大碟《娛樂經典60年》，收錄了多首重新編曲演唱的經典粵語歌曲，由十位香港歌手參與，黎瑞恩為其中一員。同年首次與影后鮑起靜合作的微電影《骨肉香》入圍海外影展。個人生活.2002年，黎瑞恩與曾憲梓三兒子曾智明結婚，結束七年的愛情長跑，兩人育有一女一子。退出樂壇後的黎瑞恩，除了與家人一起出席公開活動以外，甚少公開露面。2014年年初，傳出其夫在廣州包養小三逾兩年，對方比黎瑞恩年輕約20年，兩人傳陷婚變危機。2014年6月，黎瑞恩接受傳媒的電話訪問，親證自己與丈夫已離婚，而她亦會獨力撫養子女。其他事件.黎瑞恩於1984年7月因目睹有街童潛入屯門大興邨興盛樓的幼稚園內縱火而向警方舉報，並於1985年獲屯門區撲滅罪行委員會頒發「模範市民獎」。2020年10月，黎瑞恩被人偷相作頭像冒認，在作曲家伍仲衡的社交平臺直播下留言，惡意抨擊歌手吳業坤，她其後回應事件：「我鬧人都唔會擺自己個樣出嚟啦，死蠢！」事件.2021年12月，黎瑞恩因為一篇送別愛女曾凱栭到國外留學的貼文，被網民懟她為何不送女兒到中國讀書。黎瑞恩解釋，是因為中國沒有女兒要報讀的科目，作為父母只可以引領女兒走正確的方向，讓她選擇自己的道路，再次激起一些愛國網民懟她「中國缺乏什麼科目」，並質疑她沒有引導女兒和指責她是「漢奸」。黎瑞恩不料網民的反應如此激烈，無奈表示是因為中國沒有這些科目，所以才會送去外國學習，然後才能回饋祖國。黎瑞恩隨後要求憤怒的網民別再回覆她，並停止繼續留言。