空間 (數學)

數學上，空間是指一種具有特殊性質及一些額外結構的集合。在初等數學或中學數學中，空間通常指三維空間。現代數學使用了多種型別的空間，如歐幾里得空間、線性空間、拓撲空間、希爾伯特空間或機率空間，但並不存在單稱為「空間」的數學物件。空間由被視為點的數學物件和點之間的關係組成。點的性質可以千差萬別：例如，點可以是集合的元素，另一個空間上的函式，也可以是另一個空間的子空間。點之間的關係決定了空間的性質，更確切地說一般認為同構空間完全相同，空間之間的同構是點之間的一一對應關係。例如，歐幾里得公理唯一確定了三維歐幾里得空間各點之間的關係，所以所有三維歐幾里得空間都是相同的。數學物件應被視為幾何“空間”還是代數“結構”，並不總是很清楚。尼古拉·布林巴基提出了結構的一般定義，包括了所有常見的空間型別，提供了同構的一般證明方法，並證明了同構結構之間的性質轉移是合理的。歷史.幾何學黃金時代之前.在古希臘數學中，“空間”指日常生活中觀察到的三維現實的幾何抽象。約公元前300年，歐幾里得給出了關於空間性質的公理，將所有數學都建立在幾何基礎上，甚至透過比較線段長度來定義數字。1637年，勒內·笛卡爾提出了直角座標系。當時，幾何定理被視作可透過直覺和推理實現認識的絕對客觀真理，類似於自然科學的物件；:11公理則被認為是定義的明顯含義。:15幾何圖形有兩種等價關係：全等和相似。平移、旋轉和翻折對圖形進行全等變換；位似變換則得到相似圖形。例如，所有圓都相似，但橢圓和圓不相似。第三種等價關係由加斯帕爾·蒙日於1795年提出，出現在射影幾何中：在適當的投影變換下，橢圓、拋物線和雙曲線都會變成圓，稱它們射影等價。歐幾里得幾何與射影幾何之間的關係:133表明，數學物件並非以結構呈現。:21數學物件的性質由數學理論描述，而這些性質作為公理，是理論的基礎。:20距離和角度不會出現在射影幾何定理中，因為射影幾何公理中沒有出現這些概念，也沒有從概念中定義出來。“三角形的內角和是多少”這樣的問題，在歐幾里得幾何中有意義，但在射影幾何中則毫無意義。19世紀出現了不同的情況：在某些幾何中，三角形內角和定義明確，但異於一般值分別獲得了非歐雙曲幾何“模型”，從而完全證明了這理論在邏輯上的可能性。:24這一發現迫使人們放棄了對歐幾里得幾何為真理的宣稱，表明公理並非“顯而易見”，也不是“定義的含義”，而是假設。它們不必匹配實驗現實，它的定理也不失為“數學真理”。:15非歐幾何的歐氏模型，是選擇歐氏空間中的物件及之間的關係，這些關係滿足非歐幾何的所有公理。這些歐氏物件和關係模仿了非歐關係，這表明在數學中，物件間的關係是必不可少的，而物件的性質卻不是。幾何學黃金時代及之後.英語中的幾何學一詞是geometry，來自古希臘語geo-“地”與-metron“測量”，最初指的是測量生活中空間的長度、區域的面積與體積的實用方法，後來得到了推廣。據Bourbaki:131，1795年來描述空間。解析幾何取得了巨大進步，併成功透過變換群不變式的計算，取代了經典幾何定理。:134,5那時起，業餘數學家更關心古典幾何的新定理。:136但古典幾何的遺產並沒有丟失。Bourbaki認為:138“古典幾何學作為一門獨立、活躍學科的角色被超越了，因此它被轉化為當代數學的一種通用語言。”同時，數開始取代集合成為數學的基礎。例如，理查德·戴德金的論文《連續性與無理數》的空間。基的轉變需要新的公理，如採用這些公理，幾何學經典公理就變成了定理。現在，空間由選定的數學物件組成，這些物件被視為點，而點之間的關係則是選定的。因此，空間只是一種方便的數學結構。人們可能會認為，與其他數學物件相比，“空間”更具有幾何感，但事實並非總是如此。1854年，伯恩哈德·黎曼在就職演講上指出，以n個實數為引數的數學物件可當做是n維空間中的點。:140當代數學家仍遵循這一思想，並發現在幾乎所有地方使用經典幾何術語極具啟發性。:138函式是重要的數學物件，正如黎曼指出，函式一般構成無窮維的函式空間，:141在20世紀的泛函分析中得到了詳細闡述。空間的分類.3個分類層級.每種空間雖然都有自己的定義，但“空間”的一般概念卻無法形式化。有些結構可叫做“空間”，有些則不能，沒有明確標準。另外，“結構”也沒有能通行的定義。據Pudlák所說：“數學[……]不能完全用數學結構這樣的單一概念來解釋。然而，Bourbaki的結構主義方法是我們所擁有的最好的方法。”Bourbaki的結構主義方法將在最後一節“空間與結構”中討論，現在先按他的精神，概述空間的可能分類。我們將空間分為3層。鑑於每種數學理論都由屬性描述物件，那麼首先就要問：具體是哪些屬性？這就是第一個的問題。在第三級分類中，則考慮所有可能問題。例如，歐幾里得空間和射影空間的區別屬於一級分類的區別，因為兩點之間的距離在歐幾里得空間中是確定的，而在投影空間中是不確定的。此外，“三角形內角和是多少”在歐幾里得空間中有意義，但在射影空間中無意義；在非歐空間中，這個問題也有意義，而異於歐氏空間，後者的區別便不屬於一級。同樣，歐幾里得平面與歐幾里得三維空間之間的區別也不是一級分類的區別；“維度具體是多少”的問題，在兩種情形下都有意義。二級分類可以區分歐氏空間和非歐空間、有限維空間和無限維空間、緊空間和非緊空間等。用Bourbaki的話說，二級分類是按“種”分類，不過與生物分類不同，一個空間可能屬於多個“種”。三級分類區分不同維度的空間，但不區分歐幾里得平面和所有實數對的集合。更正式地說，三級分類的標準是同構。空間之間的同構定義為兩者的點之間的一一對應，保留了一級分類規定的所有關係。同構就是空間之間的等價關係。同構的概念揭示了一級分類。給定同一一級分類的兩個空間之間的一一對應關係，便可以問這是否是同構。這個問題對於兩個不同類的空間毫無意義。與自身同構，稱為自同構。歐氏空間的自同構是平移、旋轉、反射和它們的組合。同維歐氏空間都是同質的，因為每個點都可以透過自同構變換成其他每個點。歐幾里得公理沒留下自由的空間，唯一決定了空間的所有幾何屬性。更確切地說，所有三維歐氏空間都互相同構。用Bourbaki的話來說，相應的理論是唯一等價的。相對地，拓撲空間之間通常不同構，理論是“多價的”。類似想法也見於數理邏輯：範疇理論的所有同勢模型都相互同構。Bourbaki認為，對多價理論的研究是現代數學區別於古典數學的顯著特徵。空間種類之間的關係.拓撲概念，但反過來就不是了：同胚可能會使距離改變。用Bourbaki的話說，“拓撲空間”是“歐氏空間”結構的內在結構。類似觀點見於範疇論：歐氏空間範疇是拓撲空間範疇上的具體範疇；遺忘函子將前者對映到後者。3維歐氏空間是歐氏空間的特例。用Bourbaki的話說，3維歐氏空間“種”要比歐氏空間“種”更豐富。同樣，緊拓撲空間的種類也比拓撲空間的種類豐富。如圖3所示，空間種類的此種關係可用圖表示。A到B的箭頭意味著，每個A空間特也是B空間；或可視作B空間；或提供了B空間，等等。將A和B視作空間種類，可以將箭頭解釋為A到B的轉化。圖3的兩個箭頭都不可逆，但原因不同。“歐幾里得”到“拓撲”的過程是遺忘的。拓撲區分連續與不連續，但不分直線和曲線。直覺告訴我們，歐幾里得結構無法從拓撲中復原。可以證明拓撲空間的自同構給定的歐氏結構，而前後的歐氏結構都對應單一拓撲結構。相比之下，從“3維歐氏”到“歐氏”空間的變換就不是遺忘的；後者不一定是3維的，但若恰好是3維的，則不會丟失任何結構。後一種變換是單射。我們用尾部帶鉤的箭頭“↣”表示單射。兩種變換都不是滿射，即並非每個B空間都來自A空間。首先，3維歐氏空間是歐氏空間的特例而非通例；其次，歐氏空間的拓撲是拓撲的特例與線性結構相容的拓撲。這種拓撲一般來說不唯一，但當實線性空間為有限維時唯一。對這些空間而言，變換既是單射也是雙射，即雙射；如圖4中“有限維實線性拓撲”到“有限維實線性”的箭頭；逆變換也存在。因此，這兩種結構等價。在實踐中，一般不區分等價的結構種類。等價結構可被視為單一結構，如圖4的大框所示。箭頭表示的變換服從同構，也就是說兩個同構A空間會產生兩個同構B空間。圖4上的圖是交換圖：圖中同始同終的有向路徑都會導向相同的結果。除了圖9中的虛線箭頭外，下面的其他圖也是交換圖。“拓撲”到“可測”的箭頭是虛線，原因是：“為將拓撲空間轉為可測空間，需要賦予一個σ代數。最常用的是Borel集合的σ代數，也有其他選擇。”實箭頭表示平凡的所謂“典型”變換，自然而然地提出並廣泛使用。例如，在歐氏空間上討論連續函式時，無需說明其拓撲結構。事實上存在其他拓撲結構，如細拓撲；但這些拓撲結構總是明確指定的，因為它們遠不如常用的拓撲結構引人注目。虛線箭頭表示有幾種拓撲結構在使用，但沒有一種很普遍。空間型別.線性空間與拓撲空間.線性空間和拓撲空間是兩個基本空間。線性空間具有代數性質，有實線性空間，例如一維複線性空間的複平面可以同構變換為二維實線性空間；實線則只能被視作一維實線性空間。更一般地說，域上的向量空間也具有子域上的向量空間的結構。根據定義，線性空間中的線性運算產生了直線，也找不到圓，因為線性空間中沒有標量積那樣的結構來測量角度。線性空間的維度是線性獨立向量的最大數目，也等價於跨空間的向量的最小數目；這個數可能是無限的。同一域上的兩個線性空間只有在維度相同時才同構；n維複線性空間也是2n維實線性空間。拓撲空間具有分析性質。根據其定義，拓撲空間中的開集可引出連續函式、路徑、對映；收斂數列、極限；內部、邊界、外部等概念。而一致連續、有界集、柯西序列、可微函式和拓撲維數等。對n維歐氏空間，兩者都等於n。拓撲空間的子集仍是拓撲空間。低維流形在同胚意義上有完全的分類。線性結構和拓撲結構都蘊含於拓撲向量空間結構。線性拓撲空間是具有連續線性運算的拓撲空間，因此，同樣是拓撲的線性空間一般不是線性拓撲空間。有限維線性空間都是線性拓撲空間，因為其中只有一種拓撲結構，使其成為線性拓撲空間。因此“有限維線性空間”與“有限維線性拓撲空間”等價，所以有限維線性拓撲空間的可逆線性變換都是同胚變換。對有限維實線性空間，這三個維度概念是一致的；但在無限維空間中，不同拓撲結構可以符合給定的線性結構，可逆線性變換一般不是同胚變換。仿射與射影空間.透過線性空間引入仿射空間和射影空間 是很方便的，具體如下。(n+1)維線性空間的n維線性子空間與原空間不同類，包含一個特殊點：原點。用外部向量移動它，就得到n維仿射子空間，這是同累變換。仿射空間不必包含於線性空間中，但與某線性空間的仿射子空間同構。給定域上的所有n維仿射空間都互相同構，用約翰·拜艾茲的話說：“仿射空間是忘記了原點的向量空間。”特別地，線性空間都是仿射空間。給定(n+1)維線性空間L中的n維仿射子空間A，A中的直線可定義為A與L的二維線性子空間的交。更一般地說，A的k維仿射子空間是A與同A相交的L的(k+1)維線性子空間的交。仿射子空間A的每點都是A與L的一維線性子空間的交點。但L的一部分一維子空間與A平行，可以說它們相交於無窮遠。根據定義，(n+1)維線性空間的所有一維線性子空間的集合，是n維射影空間；仿射子空間A則作為合適子集，嵌入在射影空間中。但射影空間本身是同類的。射影空間中的直線對應(n+1)維線性空間的2維線性子空間；更一般地說，射影空間的k維射影子空間對應(n+1)維線性空間的(k+1)維線性子空間，且與k維射影空間同構。按這種定義，仿射空間和射影空間具有代數性質；它們可以是實空間、復空間，可以是任何域上的空間。每個實或復仿射空間或射影空間也是拓撲空間。仿射空間是非緊流形，而射影空間是緊流形。在實射影空間中，直線與圓同胚，因此是緊的，這與仿射空間線性中的直線不同。度量空間與一致空間.度量空間定義了點之間的距離。度量空間之間的同構稱為等距。度量空間是拓撲空間；若拓撲空間可蘊含於度量空間，稱拓撲空間可度量。所有流形都可度量。度量空間中，可以定義閉集和柯西序列。稱所有柯西序列收斂的度量空間為完備空間。不完備空間都作為密集，嵌入到某個完備空間中；緊度量空間都是完備空間；數線是非緊完備空間；開區間(0,1)不完備。歐氏空間都是完備空間。此外，歐氏空間的所有幾何概念都可用度量描述。例如，連線兩定點A、C的直線段由所有點B組成，這樣|AC|等於|AB|+|BC|。豪斯多夫維數。n維歐氏空間的豪斯多夫維數都是n。一致空間沒有距離，但仍允許均勻連續與柯西序列也是一致空間，在有限維時完備，在無限維時通常不完備。更一般地說，交換拓撲群都是一致空間。非交換拓撲群則蘊含左不變、右不變兩個一致結構。賦範空間、巴拿赫空間、內積空間與希爾伯特空間.歐氏空間中的向量構成線性空間，但每個向量formula_1都有長度，即範數formula_2。具有範數的實或複線性空間就是賦範空間。賦範空間既是線性拓撲空間，又是度量空間。巴拿赫空間則是完備的賦範空間，許多序列或函式的空間都是無窮維巴拿赫空間。範數&lt;1的所有向量的集合構成賦範空間的單位球，是凸的中心對稱集，一般不是橢球；例如，可能是多邊形。平行四邊形法則formula_3在賦範空間中通常不適用，但在歐氏空間中對向量成立，因為向量的歐氏平方範數是它與自身的內積：formula_4.內積空間是實或複線性空間，具有雙線性或半雙線性形式，滿足某些條件，稱為內積。內積空間都是賦範空間。當且僅當賦範空間滿足平行四邊形法則，或其單位球是橢球時，它才蘊含於內積空間。內積空間定義了向量夾角。希爾伯特空間是完備內積空間 。許多序列或函式的空間都是無窮維希爾伯特空間。希爾伯特空間在量子力學中非常重要。n維線性實內積空間都互相同構。可以說，n維歐氏空間就是無原點的n維實內積空間。光滑流形與黎曼流形.光滑流形不叫做“空間”但可以是。光滑流形都是拓撲流形，可以嵌入有限維線性空間。有限維線性空間中的光滑面是光滑流形：例如，橢球面是光滑流形，而多面體表面則不是。實或復有限維線性、仿射、射影空間也是光滑流形。光滑流形中的光滑路徑的每點上都有切向量，其屬於流形在這一點上的切空間。n維光滑流形的切空間是n維線性空間。光滑流形上光滑函式的微分提供了切空間上每一點的線性函式。黎曼流形或黎曼空間是切空間有內積、滿足部分條件的光滑流形。歐氏空間是黎曼空間，歐氏空間中的光滑面也是黎曼空間，雙曲非歐空間也是黎曼空間。黎曼空間中的曲線有長度，兩點之間最短曲線的長度定義了距離，因此黎曼空間是度量空間。交於一點的兩條曲線間的夾角是切線間的夾角。若放棄切空間內積的正定性，就得到了偽黎曼流形，包括對廣義相對論非常重要的洛倫茲空間。可測、測度空間與機率空間.再放棄距離和角度，保留分佈、機率分佈等概念。經典數學中的“幾何體”遠比一組點更有規律。幾何體的邊界體積為零，因此集合體的體積就是內部的體積，可以由無限個立方體序列窮盡。相反，任意點集的邊界體積可以非零。測度論成功地將體積概念擴充套件到了一大類集合，即所謂可測集。事實上，不可測集在應用中幾乎從未出現過。在可測空間中給出的可測集會產生可測函式與對映。為將拓撲空間轉為可測空間，要賦予它σ-代數。最常用的是博雷爾集的σ-代數，也有其他選擇。拓撲並不由博雷爾σ-代數唯一確定；例如，可分希爾伯特空間上的賦範拓撲和弱拓撲會產生相同的博雷爾σ-代數。並非每個σ-代數都是某個拓撲的博雷爾σ-代數。實際上，σ-代數可由給定集合生成，而與任何拓撲無關。可測空間的每個子集本身就是一個可測空間。標準可測空間。標準可測空間之間的每個雙射可測對映都同構，即反對映也可測。而此類空間之間的對映可測，當且僅當圖在積空間中也可測。相似地，緊可測空間之間的每個連續雙射都是同胚對映，即逆對映也連續。當且僅當其圖在積空間中為閉，此類空間之間的對映採才連續。歐氏空間中的每一個博雷爾集，只要賦予博雷爾σ代數，就是標準可測空間。所有不可數標準可測空間都相互同構。測度空間是賦予了測度的可測空間。具備勒貝格測度的歐氏空間就是測度空間。積分論定義了測度空間上可測函式的可積分性和積分。測度為0的集合稱為空集，是可忽略的。因此“模0同構”被定義為全測度子集間的同構。機率空間也是可測空間，整個空間的測度為1。任何機率空間族，但沒有無限維勒貝格測度。標準機率空間非常有用。標準機率空間上，條件期望可視作對條件度量的積分的積還是標準機率空間。所有非元標準機率空間都互為模0同構，其中一個是具有勒貝格測度的區間(0,1)。這些空間不那麼幾何。特別是，維度的概念適用於所有其他空間，卻不適用於可測空間、測度空間和機率空間。非交換幾何.微積分的理論研究，即數學分析，在20世紀初開始考慮實、復值函式的線性空間。最早的例子是函式空間，每個函式空間都適用於一類問題。這些例子有許多共同特徵，很快被抽象為希爾伯特空間、巴拿赫空間和更一般的拓撲向量空間。這些都是解決各種數學問題的強大工具。巴拿赫代數的一類空間提供了最詳盡的資訊，是帶有連續乘法運算的巴拿赫空間。早期的重要例子是測度空間X上有界可測函式的巴拿赫代數。這類函式在逐點加與標量乘法下是巴拿赫空間。有了逐點乘，它就成了一種特殊的巴拿赫空間，現在稱為交換諾依曼代數。逐點乘決定了這個代數在X上平方可積函式的希爾伯特空間上的表示。馮·諾依曼的早期發現是，這種對應關係也可以反向起作用：給定一些溫和的技術假設，交換諾依曼代數與希爾伯特空間上的表示一同決定了一個測度空間，而這兩種構造是互逆的。馮·諾依曼隨後提出，非交換諾依曼代數應像交換諾依曼代數一樣有幾何意義。他與Francis Murray共同提出了諾依曼代數的分類。直積分構造說明了如何將任何諾依曼代數分解為更簡單的代數集，即因子。馮·諾依曼和Murray將因子分為三類。第一類與交換情形幾乎相同；第二類和第三類表現出新的現象。第二類諾依曼代數確定了新的幾何，其特殊之處在於，維數可以是任何非負實數；第三類異於前兩類，經過幾十年的努力，被證明與第二類因子密切相關。與馮·諾依曼和Murray的因子分類工作同時發展起來的，還有一種略有不同的函式空間幾何方法，這就是C*-代數。此處，激勵性的例子是C*-代數formula_5，其中"X"是區域性緊的豪斯多夫拓撲空間。由定義可知，這是X上連續復值函式的代數，這些函式在無窮遠處消失將與C*-代數相同；因此，由於缺乏直接定義非交換空間的方法，非交換空間被定義為非交換C*-代數。許多標準幾何工具都可用C*-代數重述，這為研究非交換C*-代數提供了幾何啟發。這兩個例子現在都屬於非交換幾何。諾依曼代數和C*-代數的具體例子分別被稱為非交換測度論和非交換拓撲學。非交換幾何不僅是為了追求一般性而追求，也不僅是一種好奇心。非交換空間自然產生於某些構造中，甚至不可避免，例如用風箏形和飛鏢形填滿平面的彭羅斯密鋪。有這樣一個定理：這樣的密鋪中，風箏和飛鏢的每個有限片段出現的頻率都無限多，因此不能透過觀察有限部分來區分兩個彭羅斯密鋪。彭羅斯密鋪確定了非交換C*-代數，所以可用非交換幾何工具來解決。另一個例子也是微分幾何中非常有趣的例子，來自流形的葉狀結構。流形分割為低維子流形，每片葉都與附近的葉區域性平行。所有葉組成拓撲空間，但無理旋轉的例子表明，經典測度論無法進入這個拓撲空間。不過，有與葉空間關聯的非交換諾依曼代數，再次為本不可理解的空間賦予了良好的幾何結構。概形.代數幾何研究多項式方程的幾何性質。多項式是由基本算術運算加法和乘法定義的函式，因此多項式與代數密切相關。代數幾何提供了一種將幾何技術應用於純代數問題的方法，反之亦然。在1940年代之前，代數幾何只處理複數，最基本的簇是射影空間。射影空間幾何與透視理論密切相關，其代數由齊次多項式描述。所有其他種類都被定義為射影空間的子集。射影簇是由一組齊次多項式定義的子集。在射影簇的每點上，集合中的所有多項式都必須等於零。線性多項式零集的補是仿射空間，仿射簇是射影簇與仿射空間的交。安德烈·韋伊發現，幾何推理有時適用於數論情形，其中的空間可能是離散的，甚至可能是有限的。為實現這一想法，韋伊重新闡釋了代數幾何的基礎，使代數幾何擺脫了對複數的依賴，又引入了不嵌入射影空間的抽象代數簇，現在統稱為簇。作為大多數現代代數幾何基礎的空間型別要比韋伊的抽象代數簇更廣泛，叫做概形，由亞歷山大·格羅滕迪克提出。概形論的動機之一是，多項式在函式中的結構非同尋常，代數簇因此是剛性的。研究退化情形時，這就帶來了問題。例如，圓上幾乎任何一對點都能確定叫做正割線的獨特直線，這兩點繞圓移動時，正割線不斷變化。然而當兩點相撞時，正割線就退化為唯一的切線，但圓上的單點這種構造的幾何特徵並不足以唯一確定一條線。研究這樣的情況，需要一種能為退化情形分配額外資料的理論。拓撲空間是概形論的組分之一。拓撲空間具有連續函式，但過於籠統，難以反映底層代數結構。因此概形的另一個要素是拓撲空間上的層，稱作“結構層”。在拓撲空間的每個開子集上，結構層制定了函式集合，稱作“正則函式”。拓撲空間和結構層必須共同滿足條件：函式來自代數運算。與流行類似，概形也被定義為以初等模型為區域性近似的空間。流形中，這種初等模型是歐氏空間；概形中，這種初等模型叫做仿射概形。仿射概形提供了代數幾何與交換代數的直接聯絡。交換代數的基本研究物件是交換環，若formula_8是交換環，則就有相應的仿射概形formula_9，將formula_8的代數結構轉為幾何結構。反過來，仿射概形都決定了一個交換環，即其結構層的整體瓣的環。這兩種運算互逆，因此仿射概形提供了一種研究交換代數問題的新方式。根據定義，概形中的每個點都有開鄰域，就是仿射概形。仿射概形之外還有很多。特別地，射影空間滿足固有性。射影概形，即射影空間的閉子概形，是最重要的一族概形。概形有一些推廣的嘗試。邁克爾·阿廷將代數空間定義為由定義了平展態射的等價關係構成的概形之商。袋鼠空間保留了概形的許多有用性質，同時也更靈活。例如，Keel–Mori定理可用於證明許多模空間都是代數空間。比代數空間更一般的是德利涅-芒福德疊，與概形類似，但允許出現無法完全用多項式描述的奇點。它們與概形的關係與軌形之於流形的關係相同。例如，仿射平面透過繞原點旋轉的有限群之商，得到不是概形也不是代數空間的DM疊。在遠離原點的地方，群作用的商確定了圓上等距點的有限集；在原點處，群作用固定了這個點。在商DM疊中，這點則變為帶有額外資料的商。這樣的細化結構在模空間論中非常有用，事實上，它最初用來描述的是代數曲線的模。進一步的推廣是代數疊或阿廷疊。DM疊限於有限群作用的商，雖然這足以解決模理論中的許多問題，但對其他問題來說仍有很多限制，而阿廷疊允許更多的商。拓撲斯.格羅滕迪克在研究韋伊猜想時，提出了一種新拓撲學，現在稱為格羅滕迪克拓撲。拓撲空間公理化了“鄰近性”概念：當且僅當兩點位於許多相同的開集中時，才稱它們鄰近。相對地，格羅滕迪克拓撲公理化了“覆蓋”概念。空間的覆蓋是指共同包含環境空間所有資訊的子空間集合。層是用覆蓋定義的，所以格羅滕迪克拓撲也可看作是層論的公理化。格羅滕迪克的拓撲學研究使他提出了拓撲斯理論。在他的自傳《收穫與播種》中，他將拓撲稱為“最廣闊的概念”。層用於表達區域性資料。所有層組成的層範疇包含了表達區域性資料的所有可能方式。由於拓撲空間由點構造，而點本身就是一種區域性資料，因此可以用層範疇替代原始空間。因此，格羅滕迪克將拓撲斯定義為層範疇，並將拓撲斯本身作為研究物件。這些拓撲現在被稱為格羅滕迪克拓撲。每個拓撲空間都確定了一個拓撲斯，反之亦然。有些拓撲空間中，取相關的拓撲斯會丟失資訊，但這些一般被認為是病態的可表述為概形的平展拓撲斯的上同調，而這個拓撲斯並不來自拓撲空間。拓撲空間常會產生特殊的拓撲斯，稱為區域性/場所。拓撲空間的開子集確定了格；拓撲空間公理使得這些格成為完全海廷代數。區域性論便以此為出發點。區域性被定義為完全海廷代數，拓撲空間的基本性質用這些術語重新詮釋、再現。區域性的概念比拓撲空間更寬泛，因為索伯拓撲空間決定了唯一的區域性，但許多有趣的區域性並不來自拓撲空間。因為區域性不需要有點，所以區域性的研究稱為無點拓撲。拓撲斯還與數理邏輯有著深刻聯絡。每個格羅滕迪克拓撲斯都有一個特殊層，稱為子物件分類器，類似於所有可能真值的集合。在集合拓撲斯中，子物件分類器是集合formula_11，對應“假”與“真”；但在其他拓撲斯中，則可以更復雜。Lawver和Tierney認識到，將子物件分類器公理化，會產生一種更一般的拓撲斯，稱為基本拓撲斯，是直覺主義邏輯的模型。除了提供一種將邏輯工具用於幾何的強大方法外，這還使得在邏輯中使用幾何方法成為可能。空間與結構.Kevin Carlson說：這兩個詞[“空間”與“結構”]都沒有單一數學定義。這兩個詞基本上可以在所有相同的情況下使用，但你通常認為“空間”偏幾何，“結構”偏代數。[...]所以可以說，“結構”是做代數的地方，“空間”是做幾何的地方。很多偉大的數學都來自結構到空間的傳遞，反之亦然，比如研究拓撲空間的基本群或環的譜。但歸根結底，這種區分既不嚴格也不快速，而且只能到此為止：很多東西顯然既是結構也是空間，有些東西顯然既不是結構也不是空間，有些人很可能不同意我在這裡所說的一切。儘管如此，Bourbaki還是提出了“結構”的一般定義，其中包含了上述幾乎所有空間與。下面是Robert Reed評論Leo Corry一本書的最後幾句話：Corry似乎認為，結構的任何正式定義都無法公正地反映這一概念在數學實踐中的應用[...]Corry的觀點可以概括為，他認為“結構”本質上指的是一種"做"數學的方式，因此這一概念可能與數學這一文化藝術品本身一樣，永遠無法精確定義。幾何“空間”和代數“結構”之間的區別有時很明顯，有時卻難以捉摸。例如，群顯然是代數，而歐幾里得空間是幾何。環上的模和環“一樣代數”，但當環是域時，模呈現為線性空間；它是代數還是幾何呢？當它在實數上、有有限維、具有內積，就變成了歐氏空間；這時是幾何了。複平面完全相同，是“進行復分析的地方”，而非“做代數或做幾何的地方”。除了上面的“非交換幾何”“概形”“拓撲斯”等節之外，“空間型別”一章討論的空間都是集合元素通常不會稱為“點”。不過，有時人們會使用多個主基集。例如，2維射影幾何可以透過點集和線集兩個基集形式化。此外，射影平面的顯著特點之一是點與線作用的對稱性。幾何性較弱的例子：圖可以由2個基集形式化，即頂點集。Bourbaki規定，結構/空間所用的可以有有限個主基集，有有限個輔基集。。上面的“非交換幾何”“概形”“拓撲斯”等節中討論的許多數學結構都沒有規定點的基集。例如無點拓撲學/區域性論從單個基集開始，其元素模仿拓撲空間中的開集；另見分體拓撲學。數學空間列表.