指數函式

指數函式是形式為formula_1的數學函式，其中formula_2是底數，而formula_3是指數（--現今指數函式通常特指以formula_4為底數的指數函式，為數學中重要的函式，也可寫作formula_6。這裡的formula_4是數學常數，也就是自然對數函式的底數，近似值為formula_8，又稱為尤拉數。作為實數變數formula_3的函式，formula_10的影象總是正的，它不觸及formula_3軸，儘管它可以任意程度的靠近它，即formula_3軸是這個影象的水平漸近線。一般的說，變數formula_3可以是任何實數或複數，甚至是完全不同種類的數學物件。它的反函式是定義在所有正數formula_3上的自然對數formula_16。本文集中於帶有底數為尤拉數formula_4的指數函式。有時，特別是在科學中，術語指數函式更一般性的用於形如formula_18的函式，這裡的formula_2稱為底數，是不等於formula_20的任何正實數。概要.最簡單的說，指數函式按恆定速率翻倍。例如細菌培養時細菌總數每三個小時翻倍，和汽車的價值每年減少10%都可以被表示為一個指數。特別是複利，事實上就是它導致了雅各布·伯努利在1683年介入了現在叫做formula_21的數：formula_22後來約翰·伯努利在1697年研究了指數函式的微積分。設1份借貸有formula_3利率，逐月複利話，則每月增加當前值的formula_24倍，每月總值都要乘以formula_25，一年的總值為formula_26，逐日複利的話，就是formula_27。設年中時段數可為無限，則有如下最初由尤拉提出的指數函式定義：formula_28指數函式有基本的指數恆等式，formula_29這是它寫為formula_30的原因。在雅各布·伯努利之前，約翰·納皮爾在1614年以及Jost Bürgi在6年後，分別發表了獨立編制的對數表，當時透過對接近1的底數的大量乘冪運算，來找到指定範圍和精度的對數和所對應的真數，當時還沒出現有理數冪的概念，直到1742年William Jones才發表了現在的冪指數概念。按後世的觀點，Jost Bürgi的底數1.000110000相當接近自然對數的底數formula_21，而約翰·納皮爾的底數0.999999910000000相當接近formula_32。實際上不需要做開高次方這種艱難運算，約翰·納皮爾用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算，建議納皮爾改用10為底數未果，他用自己的方法於1624年部份完成了常用對數表的編制。形式定義.指數函式formula_30可以用各種等價的方式定義。特別是它可以定義為冪級數：formula_34或序列的極限：formula_35在這些定義中，formula_36表示formula_37的階乘，而formula_3可以是任何實數、複數、和巴拿赫代數的元素。設formula_39是確定的非負實數。定義formula_40據二項式定理，formula_41故此formula_43可證明當formula_37趨於無限大時上述二定義等價。這些定義的進一步解釋和它們的等價性的證明，章。性質.從指數函式的定義：formula_45可得出它有冪運算的“指數定律”：formula_46formula_47formula_48formula_49formula_50它們對所有實數"formula_3"與formula_52都是有效的。因為在指數函式的定義中formula_3是實數，可以使用自然對數，把更一般的指數函式，即正實數的實數冪函式定義為formula_54定義於所有的formula_55，和所有的實數"formula_3"。它叫做“底數為formula_2的指數函式”。從而拓展了透過乘方和方根運算定義的正實數的有理數冪函式：formula_58而方根運算可透過自然對數和指數函式來表示formula_59介入數formula_60的根本動機，特別是在微積分中，是透過指數函式和對數來進行導數和積分運算。 一般指數函式formula_61有極限形式的導數:formula_62最右端的極限無關於變數"formula_3"：它依賴於底數formula_2而是常量。根據求導的鏈式法則：formula_65當這個底數是formula_60時，這個常量等於1，因此有:formula_67導數和微分方程.指數函式在數學和科學中的重要性主要源於它的導數的性質。特別是formula_68就是說，formula_69是它自己的導數。這可以用泰勒級數證明：formula_70對於常數formula_71的形如formula_72的函式是唯一有這個性質的函式。其他等價說法有：事實上，很多不同的方程引發指數函式，包括薛定諤方程和拉普拉斯方程和簡單諧波運動的方程。對於有其他底數的指數函式：formula_76所以任何指數函式都是它自己導數的常數倍。如果一個變數的增長或衰減速率是與它的大小成比例的，比如在無限制情況下的人口增長、複利和放射性衰變，則這個變數可以寫為常數倍的時間的指數函式。進一步的，對任何可微函式formula_77，我們可以透過鏈式法則找到：formula_78.透過尤拉連分數公式得到"formula_69"的連分數：formula_80formula_81的廣義連分數收斂更快速:formula_82或者，替換formula_83:formula_84有特殊情況formula_85:formula_86在複平面上.如同在實數情況下，在複平面的指數函式可以用多種等價方式定義。比如冪級數形式的:formula_87或者序列的極限：formula_88它帶有虛數週期formula_89，它可以寫為formula_90這裡的formula_91和formula_92是實數值。拉公式，這個公式把指數函式和三角函式與指數函式聯絡起來。在考慮定義在複平面上的函式的時候，指數函式擁有重要的性質對於所有的formula_98和formula_99。它是週期的全純函式。我們看到除了多項式的所有初等函式都以某種方式起源於指數函式。擴充套件自然對數到復平面上的多值函式formula_100，我們可以接著定義更一般性的指數函式：formula_101對於所有複數formula_98和formula_99，這也是多值函式，即使是在formula_98為實數的情況下。前面關於正實數情況下的指數乘積規則在多值函式情況下必須改為:formula_105，而是 formula_106 多值於整數"n" 之上。指數函式把在複平面上任何直線對映到在複平面中以原點為中心的對數螺線。要注意兩個特殊情況：當最初的線平行於實軸的時候，結果的螺線永不遮蓋自身；當最初的線平行於虛軸的時候，結果的螺線是某個半徑的圓。矩陣和巴拿赫代數.上面給出的指數函式的定義可以用於所有巴拿赫代數，特別是對於方塊矩陣。在這種情況下我們有formula_107formula_108formula_109與formula_110是互倒的formula_109在點formula_112的導數是從formula_113到formula_114的線性對映。在非交換巴拿赫代數的上下文中，比如矩陣代數或在巴拿赫空間或希爾伯特空間上的運算元，指數函式經常被認做實數引數的函式：formula_115這裡的"A"是這個代數的固定元素而"t"是任何實數。這個函式有重要的性質formula_116formula_117formula_118在李代數上.從李代數到李群的“指數對映”有著上述性質。事實上因為R是帶有乘法的所有正實數的李群的李代數，實數引數的常規指數函式是李代數下的特殊情況。類似的，因為所有方塊實數矩陣的李代數M ("n", R)屬於所有正可逆方塊矩陣的李群，方塊矩陣的指數函式是李代數指數對映的特殊情況。