分體拓撲學

在形式本體論是一種關於整體、部分、部分之部分以及部分間邊界之間關係的，用於具體表達分體論及拓撲學概念的一階理論（英語：--歷史與研究動機.分體拓撲學開始於阿爾弗雷德·諾思·懷特黑德的理論，在1916年至1929年間闡述於他出版的一些著作及文章。懷特黑德的早期研究在尼彭(Kneebone)(1963年: chpt. 13.5)與西門(Simons)(1987年: 2.9.1)的著作中均有討論到。懷特黑德的理論在1929年出版的書"歷程與實在(Process and Reality)"中擴大討論到整體與部分的關係，這是夾雜著以諸如切點及連通空間的拓撲觀念一起來討論。儘管懷特黑德有如數學家版的洞察力，他的理論仍是不夠充分且不是很正式的立論，甚至頗有瑕疵。經由證明懷特黑德理論能夠被充分地正式化、且作一些訂正，就此克拉克(Clarke)(1981年, 1985年)確立了現代化的分體拓撲學。 克拉克與懷特黑德的理論在賽門(Simons)(1987年: 2.10.2)及盧卡斯(Lucas)(2000年: chpt. 10)的書上都有討論到。入門觀點包含兩項現代懷特黑德理論的論述，因於基安吉阿卡茅·葛拉(Giangiacomo Gerla)的論說，理論上每項不同的論點將在下一章節中陳述說明。雖然分體拓撲學是數學理論，不過我們將之後的發展歸功於邏輯學家與理論電腦科學家。盧卡斯(2000年: chpt. 10)、卡塞迪與瓦力(1999年: chpts. 4,5)論述中提到分體拓撲學的有關引介，說到只要修過一階邏輯的課程任何人都可以理解分體拓撲學的理論。更多進一步分體拓撲學的論述包含孔(Cohn)及瓦力(Varzi)(2003年)的著作，而以複雜數學來論述的有羅艾伯(Roeper)(1997年)的著作。關於懷特黑德無點幾何學的數學論述，拉(Gerla)(1995年)的著述。巴力·史密斯(Barry Smith)(1996年)、安東尼·孔(Anthony Cohn)及共同作者、再則瓦力(Varzi)單獨個人與其他人，他們所有人都證明分體拓撲學能夠用在形式本體論與本體論，藉此達到正式化關連的作用，諸如在切點、連通空間、邊界、內部、孔洞(hole)等等上的應用。卡塞迪與瓦力較優法.卡塞迪與瓦力(1999年: chpt.4)闡述種種的分體論理論於一致的標記法上。這一章節闡述了一些巢狀理論，而這些巢狀理論在GEMTC的較優理論裡也已發展到頂點了，接著咱們緊跟著他們的解說來走。在GEMTC的分體拓撲闡述中，有部分為GEM的傳統理論。卡塞迪與瓦力也沒有說到是否GEMTC的模型論包含到任何傳統的拓撲空間。我們以一些論域觀點作為起始論述，它們的元素稱為個體(即一個分體論同義詞表示"個體的計算")。卡塞迪與瓦力較偏好限制本體論至實體物件，不過其他人就任意地應用分體拓撲理論來合理化幾何圖形與事件，並藉由提出人工智慧的研究工作來解決問題。使用一個大寫的拉丁字母來定義一個二元關係及謂詞變數(--)，而謂詞變數的字母關係到一階邏輯的關係。從拉丁字母群(A-Z)的後段取用小寫字母來定義變數範圍，且及於整個定義域；而從字母群的初始段取用的小寫字母就用來作為任意個體的名稱。假如以一公式以原子公式表示再接著，因此邏輯雙如言右邊的次公式表為原子公式的定義，他們的變數就為非約束形式。否則，變數不是外顯性的量化而是內隱性的全稱量化。底下所提的公理Cn系列對應到卡塞迪與瓦力(1999年: chpt. 4)著述裡的公理C.n系列。咱們從拓撲的基本理論談起，如二元關係的"連線"特性；基本原子公式"Cxy"表示""x"是連線到"y"。連結是被控制著，至少，是經由這些公理來達成：C1. formula_1 (自反關係)C2. formula_2 (對稱)現在假定二元關係為"E"，定義為：formula_3"Exy"讀為"y"包圍"x"且也全然為拓撲關係。而C1-2的表達結果即"E"是自反關係及傳遞關係，因此亦是預序關係。假如"E"也假定為外延公理，以致於：formula_4接著"E"被證明為反對稱關係且因此變成為一偏序關係。在區域內，標記為"xKy"，為懷特黑德理論(1919年,1925年)上的單一最初關係，且為分體拓撲學的起始點。令"子集"(parthood)為主要分體論定義上最初的二元關係，且令原子公式"Pxy"定義作"x"是"y"的一部分"。咱們假設"P"為一偏序關係。稱其為結果的最簡化分體論M。假如"x"為"y"的一部分，我們假定"y"包圍"x"：C3. formula_5C3精巧的連線分體論這個部分到拓撲學的範圍內。令"O"表示為這個分體論"重覆"的二元關係，定義為：formula_6令"Oxy"表示為""x"與"y"重覆"，再著手進行"O"的處理，C3的結果為：formula_7要注意到逆命題(converse)是不需要一直堅持著。儘管情況顯示重覆是需要連結的，然而連結的情況是反而是不需要重覆的。假如不是這種情況，拓撲學不會僅是一個分體論模式(這兒"重覆"總是表示為原來的或是定義好的兩種情況之一)。基礎分體拓撲學(MT)即表示這個理論含有最初的"C"與"P"，定義的"E"與"O"，及公理C1-3，而這些公理可以用來確定"P"即是偏序關係。在MT中以標準的外延公理分體論GEM來替代M產生GEMT理論.令"IPxy"表示為""x"是"y"內之一部分"，"IP"定義為：formula_8令σ"x" φ("x")定義為所有在定義域滿足φ("x")之分體邏輯和(合併)。σ為一約束變數字首(--)運算元。GEM的公理假設φ("x")是一個一階邏輯則這個和就存在著。根據現成的σ及"IP"關係的條件，咱們能定義"x"內部結構，formula_9 而這是"x"所有的內部部分"z"分體之和，或則：formula_10這個定義出兩個簡單結果為：formula_11這兒"W"表全體的個體部分，且C5. formula_12 (子集)運算元 i 含有超過兩個公理屬性：C6. formula_13 (等冪)C7. formula_14而"a"×"b"為"a"與"b"的分體乘積，在"Oab"不成立時並不定義。i分散在乘積裡。現在看得出來，對於拓撲學的內部運算元而言i為同構。也因此i的對偶性(--)、拓撲閉包運算元c，以i的觀點可以被定義出來，且卡齊米日·庫拉托夫斯基公理對c而言是一些定理。同樣地，已知c的公理是類比於C5-7，i依c可以被定義，且C5-7可以成為定理。將C5-7加進GEMT而產生卡塞迪與瓦力較優分體拓撲理論，GEMTC。"x"為"自我連線"，假如它滿足下列謂語變數邏輯：formula_15要注意到在定義上MT不但是單獨、且為充分之最原始的及有定義的謂語變數。謂語變數"SC"可以正式成立需要的條件、是基於所給予的懷特黑德'的"歷程與實在"書中所述：兩個個體之分體邏輯和是能夠存在：他們也必須是連結的。正式定義為：C8. formula_16給予一些分體拓撲X，加C8到X結果產生出卡塞迪與瓦力所稱的X的"懷特黑德衍伸式"，表記為WX。因此這個定理為WGEMTC，它的公理為C1-8。C8的逆向為GEMTC定理。因此，已知一GEMTC的公理，假如"O"及"SC"視為起初的謂語變數，則"C"為一已定義的謂語變數。假如主要的分體論是沒有原子公式且比GEM來的弱，這公理確定是缺少原子公式(P9出於"卡塞迪與瓦力1999"的論述)那就可以被C9替代，如此則可以設想沒有一個個體有拓撲邊界：C9. formula_17當定義域包含有幾何圖形時，則邊界值可以是點、曲線，或面。考慮到其它的本體論時、邊界值能夠代表什麼意思，討論起來不是一件簡單的事情，在卡塞迪與瓦力(1999年: chpt. 5)的著作裡有討論到這些問題。