直言三段論

直言三段論是所有前提都是直言命題的演繹推理。例子：所有動物都會死。所有人都是動物。所以，所有人都會死。前兩個命題被分別稱為大前提和小前提。如果這個三段論是有效的，這兩個前提邏輯上蘊含了最後的命題，它叫做結論。結論的真實性建立在前提的真實性和它們之間的聯絡之上：中項在前提中必須周延至少一次，形成在結論中的主詞和謂詞之間的連線。即使直言三段論是有效的，但如果有前提為假的話結論仍可能是假，例如以下的三段論：所有的魚都在水裡遊。烏鴉是魚。所以，所有的烏鴉都在水裡遊。此為第一格AAA三段論，為有效，但是因為前提是錯的，因而導致結論為假。語氣和格.三段論形式如下：大前提：所有M是P小前提：所有S是M結論：所有S是P其中S代表結論的主詞。三段論的命題可分為全稱：三段論中，結論中的謂詞稱作大詞：將以上整合在一起，三段論的大前提、小前提、結論分別可為A、E、I、O型命題之一，又可分為4格，故總共有256種三段論。三段論依語氣與格的分類縮寫，例如AAA-1代表「大前提為A型，小前提為A型，結論為A型，第1格」的三段論。此外，三段論的四種格之間可相互轉換：E和I命題對換前後兩項的位置而保持同原命題等價。A命題不能對換前後兩項的位置，但可以在前項確實有元素存在的前提下，轉換成弱於原命題的I命題。O命題不能對換前後兩項的位置。有效性.考慮各種直言三段論的有效性將是非常冗長耗時的。幸運的是前人想出了三個可供選擇的方法來找出有效性。方法之一是記住下一章節中列出的所有論式。還可以透過構造文氏圖的方法得到有效形式。因為有三種項，文氏圖需要三個交疊的圓圈來表示每一個類。首先，為小項構造一個圓圈。臨近小項的圓圈的是同小項有著交疊的大項的圓圈。在這兩個圓圈之上是中項的圓圈。它應當在三個位置有著交疊：大項，小項和大項與小項交疊的地方。一個三段論是有效的，其必然條件是透過圖解兩個前提得出結論的真實性。永不圖解結論，因為結論必須從前提推匯出來。總是首先圖解全稱命題。這是透過對一個類在另一個類中沒有成員的區域加黑影來實現的。所以在前面例子的AAA-1形式中大前提“所有M是P”中，對M不與P交疊的所有區域加黑影，包括M與S交疊的部分。接著對小前提重複同樣的過程。從這兩個前提中可推匯出在類S中所有成員也是類P的成員。但是，不能推出類P的所有成員都是類S的成員。作為文氏圖方法的另一個例子，考慮形式EIO-1的三段論。它的大前提是“沒有M是P”，它的小前提是“有些S是M”，它的結論是“有些S不是P”。這個三段論的大項是P;它的小項是S，它的中項是M。大前提在圖中透過對交集M ∩ P加陰影表示。小前提不能透過對任何區域加黑影表示。轉而，我們可以在交集S ∩ M的非黑影部分使用x符號來表示“有些S是M”。。接著因為存在符號位於S內但在P外，所以結論“存在一些S不是P”是正確的。本文最後一節列出了所有24個有效論式的文氏圖。最後一種方法是記住下面非形式表述的幾條規則以避免謬論。儘管文氏圖對於詮釋目的是好工具，有人更喜歡用這些規則來檢驗有效性。基本規則：若一個三段論式滿足以上的所有規則，就必定有效。其他檢查：有效三段論式.有加括號者必須假設所有提及的集合非空才有效。唯有第一格的所有有效三段論式的結論涵蓋了AEIO全部四種命題，第二格的所有有效三段論式皆為否定結論。1-AAA, (1-AAI), 1-EAE, (1-EAO), 1-AII, 1-EIO2-AEE, (2-AEO), 2-EAE, (2-EAO), 2-AOO, 2-EIO(3-AAI), (3-EAO), 3-AII, 3-IAI, 3-OAO, 3-EIO(4-AAI), 4-AEE, (4-AEO), (4-EAO), 4-IAI, 4-EIO在全部256種三段論式中，有24種有效，但是如果不能確定所有提及的集合為非空，則只有15種有效。常犯的無效三段論式.1-AEE, 1-AEO, 1-EEA, 1-EEE, 1-EEI, 1-AIA, 1-IAA, 1-IAI, 1-III, 1-AOO, 1-OAO, 1-IEO2-AAA, 2-AAI, 2-AII, 2-IAI, 2-OAO, 2-IEO, 2-EOI, 2-OEI, 2-IOO, 2-OIO3-AAA, 3-AEE, 3-EAE, 3-AEO, 3-AOO, 3-AIA, 3-IAA, 3-III, 3-EOI, 3-OEI, 3-IEO4-AAA, 4-EAE, 4-AII, 4-IEO三段論式列表.總共有19個有效的論式，為便於記憶，中世紀的學者將這些有效論式分別取了對應的拉丁語名字，每個名字的母音即是對應的語氣，例如Barbara代表AAA。經典三段論式.下面列出的是亞里士多德的《前分析篇》中關於前3個格的14個三段論式。第1格.所有M是P.所有S是M.∴所有S是P.formula_1沒有M是P.所有S是M.∴沒有S是P.formula_2所有M是P.有些S是M.∴有些S是P.formula_3沒有M是P.有些S是M.∴有些S不是P.formula_4第2格.沒有P是M.所有S是M.∴沒有S是P.formula_5所有P是M.沒有S是M.∴沒有S是P.formula_6沒有P是M.有些S是M.∴某些S不是P.formula_7所有P是M.某些S不是M.∴某些S不是P.formula_8第3格.所有M是P.所有M是S.∴有些S是P.formula_9沒有M是P.所有M是S.∴有些S不是P.formula_10有些M是P.所有M是S.∴有些S是P.formula_11某些M不是P.所有M是S.∴某些S不是P.formula_12所有M是P.有些M是S.∴有些S是P.formula_13沒有M是P.有些M是S.∴某些S不是P.formula_14增補的論式.第4格由亞裡士多德的學生泰奧弗拉斯托斯補充。第4格.所有P是M.沒有M是S.∴沒有S是P.formula_15所有P是M.所有M是S.∴有些S是P.formula_16沒有P是M.所有M是S.∴有些S不是P.formula_17有些P是M.所有M是S.∴有些S是P.formula_18沒有P是M.有些M是S.∴有些S不是P.formula_19結論弱化的論式.在假定結論的主詞確定有成員存在的前提下，可弱化論式中的結論A為I，結論E為O，它們也可以被增補為有效論式，從而得到所有可能的24有效論式。它們是：AAI-1。對附加的謂詞演算公式的註解.按照布林邏輯和集合代數的觀點，三段論可以解釋為：集合S和集合M有某種二元關係，並且集合P和集合M有某種二元關係，從而推論出集合S和集合P是否存在進而為何種可確定的二元關係。兩個集合之間的二元關係用直言命題可確定的有四種：將參與推理的命題分為兩類：規則和事實，全稱命題是規則，而特稱命題只陳述事實：兩個規則可以推出一個新規則，一個規則和一個存在事實可以推出一個新的存在事實，兩個存在事實什麼也推不出來。A命題可以和所有四種命題一起工作。E命題還可以和I命題一起工作。兩個E命題無法推理。E命題和O命題不能一起工作，因為推出的是兩個否定的合取，不屬於這四種命題之一，IE的組合都得出P不包含於S結論，不屬於四種命題之一。有效的論式在AA、AE、EA、AI、IA、EI、AO、OA這8種組合和4種格共32種情況中檢驗。首先是推出新規則的推理。第1格和第4格的中項分別位於兩前提的主詞和謂詞位置上，所以是可直接推出結論。AA組合推出A，其中只有AAA-1是合理的，它推論出S包含於P的關係；第4格AA組合推論出P包含於S的關係，這不是四種命題之一，只能在P確實有元素存在的前提下弱化為AAI-4。AE及EA組合推出E，其中EAE-1和AEE-4是直接推出的，其中AEE-4需要對換結論E命題的主詞和謂詞位置，EAE-2和AEE-2分別是它們二者在對換前提E命題的主詞和謂詞位置後的等價者。AA和EA的第3格組合通過合成推理在中項確定有元素存在情況下形成AAI-3和EAO-3。EAO-4是EAO-3對換前提E命題的主詞和謂詞位置後的等價者。AE第3格組合得出 P不包含於S的結論，不屬於四種命題之一。其他論式都是一個全稱命題作為規則，而另一個特稱命題提出兩個事實的合取，規則消去一個事實形成一個新事實，從而得到一箇舊事實和新事實合取的新存在事實。AII-1、IAI-4、EIO-1是直接推出的，其中IAI-4需要對換結論I命題的主詞和謂詞位置，AII-3、IAI-3、EIO-2、EIO-3、EIO-4分別是它們三者在對換前提E命題的主詞和謂詞位置後的等價者。OAO-3是直接推出的，它沒有等價者。AOO-2沒有等價者，這裡對A命題採用了否定後件推理，歷史上採用反證法，假定結論O命題不成立，它與大前提A命題推出與小前提O命題矛盾的結果，所以結論成立。歷史上，對於AAI-4、AAI-3、EAO-3、EAO-4，如它們的拉丁語名字中的p所指示的，透過把A命題是被弱化為I命題的方式引入某個集合確實有元素存在的前提。後人認為它們不是直言的，這個問題被稱為存在性引入問題。最後，有全稱結論的5個論式AAA-1、EAE-1、EAE-2、AEE-2、AEE-4的弱化結論可得出AAI-1、EAO-1、EAO-2、AEO-2、AEO-4，也可算入有效論式中。24論式圖示.下表以文氏圖展示24個有效直言三段論，不同欄表示不同的前提，不同外框顏色表示不同的結論，需要存在性預設的推理以虛線與斜體字標示。