流形

在數學中，流形，簡稱n流形，是一個拓撲空間，其性質是每個點都有一個鄰域，該鄰域同胚於n維歐氏空間的一個開集。流形是歐幾里得空間中的曲線、曲面等概念的推廣。歐幾里得空間就是最簡單的流形的例項。地球表面這樣的球面則是一個稍微複雜的例子。一般的流形可以透過把許多平直的片折彎並粘連而成。流形在數學中用於描述幾何形體，它們為研究形體的可微性提供了一個自然的平臺。物理學上，經典力學的相空間和構造廣義相對論的時空模型的四維偽黎曼流形都是流形的例項。位形空間中也可以定義流形。環面就是雙擺的位形空間。一般可以把幾何形體的拓撲結構看作是完全“柔軟”的，因為所有變形。該譯名由著名數學家和數學教育學家江澤涵引入。這樣，流形的硬度使它能夠容納微分結構，而它的軟度使得它可以作為很多需要獨立的區域性擾動的數學和物理的模型。簡介.流形可以視為近看起來像歐幾里得空間或其他相對簡單的空間的物體:1。例如，人們曾經以為地球是平的。這是因為相對於地球來說人類實在太小，平常看到的地面是地球表面微小的一部分。所以，儘管知道地球實際上差不多是一個圓球，如果只需要考慮其中微小的一部分上發生的事情，比如測量操場跑道的長度或進行房地產交易時，仍然把地面看成一個平面。一個理想的數學上的球面在足夠小的區域上的特性就像一個平面，這表明它是一個流形:283。但是球面和平面的整體結構是完全不同的：如果在球面上沿一個固定方向走，最終會回到起點，而在一個平面上，可以一直走下去。回到地球的例子。像旅行的時候，會用平面的地圖來指示方位。如果將整個地球的各個地區的地圖合訂成一本地圖集，那麼在觀看各個地區的地圖後，就可以在腦海中“拼接”出整個地球的景貌。為了能讓閱讀者順利從一張地圖接到下一張，相鄰的地圖之間會有重疊的部分，以便在腦海裡“粘合”兩張圖。類似地，在數學中，也可以用一系列“地圖”來描述一個流形:283。而“地圖”之間重疊的部分在不同的地圖裡如何變換，則描述了不同“地圖”的相互關係。描述一個流形往往需要不止一個“地圖”，因為一般來說流形並不是真正的歐幾里得空間。舉例來說，地球就沒法用一張平面的地圖來合適地描繪。流形要求區域性“看起來像”簡單的空間，這不是一個簡單的要求。例如，在球上吊一根線，這個整體就不是一個流形。包含了線和球連線的那一點的附近區域一定不是簡單的：既不是線也不是面，無論這個區域有多小。流形有很多種。最簡單的是拓撲流形，它們區域性看來像歐幾里得空間。其他的種類包含了它們在使用中所需要的額外的結構。例如，一個微分流形不僅支援拓撲，而且要支援微積分。黎曼流形的思想導致了廣義相對論的數學基礎，使得人們能夠用曲率來描述時空。引例.圓.圓是除歐幾里得空間外的拓撲流形的一個簡單例子。考慮一個半徑為1，圓心在原點的圓。若formula_2和formula_3是圓上的點的座標，則有formula_4。區域性看來，圓像一條線，而線是一維的。換句話說，只要一個座標就可以在區域性描述一個圓。例如，圓的上半部，formula_3座標大於零的部分，任何一點都可以用formula_2座標確定。投影對映：formula_7把上半圓對映到開區間formula_8。反過來，給定一個formula_2，formula_10就是上半圓的一點：formula_11這樣的一個對映formula_12就是一個座標卡，它告訴讀者一張“地圖”上的點是如何對應到另一張“地圖”上的相應的點，說明了兩張地圖之間的關係:5。上，下，左，右四個座標卡表明圓是一個流形，但它們不是唯一可以描述圓形的圖冊。座標卡除了可以是幾何投影，也可以是別的對映，而座標卡的數量也可以不是四個，只要能夠覆蓋整個圓就行了。考慮以下兩個座標卡formula_28 和 formula_29這裡formula_30是過點formula_31和固定點formula_32之直線的斜率。比如右圖中，點formula_33和formula_32確定的直線，固定點是formula_45。formula_39的逆對映為formula_47很容易確認formula_4對於所有斜率值formula_49成立。這兩個座標卡提供了圓的又一個圖冊，其變換對映為formula_50注意每個座標卡都缺了一點，對於formula_49是點formula_32，對於formula_53是點formula_45，所以每個座標卡不能獨自覆蓋整個圓。利用拓撲學的工具可以證明，沒有單個的座標卡可以覆蓋整個圓；在這個簡單的例子裡，已經可以看到流形擁有多個座標卡的靈活性:4。其他曲線.流形不必連通；一對分離的圓可以是一個流形。它們不必是閉的，所以不帶兩個端點的線段也是流形。它們也不必有限，這樣拋物線也是一個流形。定義.拓撲流形的數學定義可以表述為：設"M"是豪斯多夫空間，若對任意一點formula_55，都有"x"在"M"中的一個鄰域"U"同胚於"m"維歐幾里得空間formula_56的一個開集，就稱"M"是一個"m"維流形或 "m"維拓撲流形。座標卡.一個流形的一個座標對映保持，也就是可逆的在兩個方向都連續的對映。例如上節提到的對映formula_12是圓圈的一個卡。卡對於計算極其重要，因為它使得計算可以在簡單空間進行，再把結果傳回流形。圖冊.多數流形的表述需要多於一個的卡。圖冊不是唯一的，因為所有流形可以被不同的卡的組合用很多方式覆蓋。包含所有和給定圖冊相一致的卡的圖冊稱為極大圖冊(maximal atlas)。不像普通的圖冊，極大圖冊是唯一的。雖然可能在定義中有用，但這個物件非常抽象，通常不直接使用。座標變換對映.圖冊中的卡通常會互相重疊，而流形中的一個點可能會被好幾個圖所表示。如果兩個圖重疊，它們的部分會表示流形的同一個區域。這些部分之間的關聯代表流形上同一點的座標點的對映，譬如上面圓圈例子中的對映"T"，稱為座標變換，變換函式，或者轉換對映。附加結構.圖冊也可用於定義流形上的附加結構。結構首先在每個卡上分別定義。如果所有變換對映和這個結構相容，該結構就可以轉到流形上。這是微分流形的標準定義方式。如果圖冊的變換對映對於一個拓撲流形保持R"n"自然的微分結構，該微分結構就傳到了流形上並把它變成微分流形。通常，流形的結構依賴於圖冊，但有時不同的圖冊給出相同的結構。這樣的圖冊稱為相容的。構造.一個流形可以以不同方式構造，每個方式強調了流形的一個方面，因而導致了不同的觀點。圖冊構造.構造一個流形的一個簡單方法是在上面的例子中的圓圈的構造方法。首先，確認R2的一個子集，然後覆蓋這個子集的圖冊被構造出來。"流形"的概念歷史上就是從這樣的構造發展出來的。這裡有另一個例子，把這個方法應用在球面的構造上:帶圖冊的球面.球面的表面可以幾乎和圓圈一樣的方法來處理。可把球面視作R3的子集:formula_58球面是二維的，所以每個座標圖將對映球面的一部分到一個R2的開子集。例如考慮北半球，它是帶正"z"座標的部分。定義如下的函式χformula_59把北半球對映到開單位圓盤，透過把它投影到平面的兩個座標圖一起，就得到了一個覆蓋整個球面的含6個座標圖的圖冊。這可以很容易地擴充套件到高維的球面。貼補.流形可以透過把碎片以一種相容的方式粘合來構造，使得碎片成為互相覆蓋的座標圖。這種構造對於任何流形都是可行的，所以經常作為流形的表述，特別是微分和黎曼流形。它集中於圖冊的構造，把流形作為座標圖所自然的提供的貼片，因為不涉及外部的空間，這導致了流形的內在的觀點。這裡，流形透過給定圖冊來構造，圖冊透過定義轉換對映來得到。因此，流形上的一個點可以看成是透過變換對映映到同一個點的座標點的等價類。座標圖把等價類對映到一個貼片上的點。通常會對變換對映有很強的一致性要求。對於拓撲流形，它們被要求為同胚；如果它們也是微分同胚，最後得到的流形就是微分流形。這可以透過變換對映圓圈例子的第二部分中的"t" = 1⁄"s"來解釋。從直線的兩個複製開始。第一個複製用座標"s"，第二個複製用"t"。現在，透過把第二個複製上的點"t"和第一個複製上的點1⁄"s"作為同一個點來粘合起來(點"t" = 0不和任何第一個複製上的點認同)。這就給出了一個圓圈。內在和外在的觀點.第一種構造和這種構造非常相似，但是他們代表了相當不同的觀點。在第一種構造中，流形被視為嵌入到某個歐幾里得空間中。這是"外在的觀點"。當一個流形用這種方式來看的時候，它很容易透過直覺從歐幾里得空間得到附加的結構。例如，在歐幾里得空間，很明顯某個點的一個向量是否和穿過該點的曲面相切或者垂直。貼補構造不用任何嵌入，只是簡單把流形看作拓撲空間本身。這個抽象的觀點稱為"內在的觀點"。這使得什麼是切向量更難以想象。但是它表達了流形的本質，在計算上來講，這可以避免使用更高的維數，例如只要二維而不是三維就可以作球面上的計算。"n"維球面S"n"可以透過粘合R"n"的兩個複製來構造。他們之間的變換函式定義為formula_60這個函式是它自身的逆，因而可以在兩個方向使用。因為變換對映是一個光滑函式，這個圖冊定義了一個光滑流形。如果取"n" = 1，就得到了上面圓圈的例子。函式的零點.很多流形可以定義為某個函式的零點集。這個構造自然的把流形嵌入一個歐幾里得空間，因而導向一個外在的觀點。這很形象，但不幸的是不是每個流形都可以這樣表示。如果一個可微函式的雅可比矩陣在函式為0的每一點是滿秩的，則根據隱函式定理，每個這樣的點周圍存在一個為0的鄰域微分同胚於一個歐幾里得空間。因此零點集是一個流形。"n"維球面S"n"經常定義為formula_61這等價為如下函式的零點formula_62這個函式的雅可比矩陣是formula_63，它的秩對於除了原點的所有點為1(對於1×"n"矩陣就是滿秩的)。這證明"n"維球面是一個微分流形。黏合一個流形上的不同點.可以把流形上的不同點定義為相同。這可以視為把不同的點粘合為同一個點。這構造出的結果不保證是流形，但在有些情況下會是流形。這些情況下，黏合過程是用群來完成的，這是作用在流形上的群。兩個點被視為同一個如果一個能被該群的一個元素移動到另一個上面。如果"M"是該流形而"G"是該群，結果空間稱為商空間，並記為"M"/"G"。可以透過黏合點來構造的流形包括環面和實射影空間。舉例來說，假設 formula_64， 則二維實射影空間 formula_65。直積.流形的直積也是流形。但不是每個流形都是一個積。積流形的維數是其因子的維數之和。其拓撲是乘積拓撲，而座標圖的直積是積流形的座標圖。這樣，積流形的圖冊可以用其因子的圖冊構造。如果這些圖冊定義了因子上的微分結構，相應的積圖冊定義了積流形上的一個微分結構。因子上定義的其他結構也可以同樣處理。如果一個因子有一個邊界，積流形也有邊界。直積可以用來構造環面和有限圓柱面，例如，分別定義它們為S1 × S1和S1 × [0, 1]。沿邊界粘合.兩個帶邊界的流形可以沿著邊界粘合。如果用正確的方式完成，結果也是流形。類似的，一個流形的兩個邊界也可以粘合起來。形式化的，粘合可以定義為兩個邊界的一個雙射。兩個點被認同為一個，如果它們互相對映到對方。對於一個拓撲流形，這個雙射必須是同胚，否則結果就不是拓撲流形。類似的，對於一個微分流形，它必須是微分同胚。對於其它流形，其他的結構必須被這個雙射所保持。有限的圓柱面可以作為一個流形構造，先從一個長條R × [0, 1]開始，然後把對邊透過適當的微分同胚粘合起來。克萊因瓶可以由一個帶孔的球面和一個莫比烏斯帶沿著各自的圓形邊界粘合起來得到。拓撲流形.最容易定義的流形是拓撲流形，它區域性看起來象一些「普通」的歐幾里得空間R"n"。形式化地講，一個拓撲流形是一個區域性同胚於一個歐幾里得空間的拓撲空間。這表示每個點有一個鄰域，它有一個同胚將它對映到R"n"。這些同胚是流形的座標圖。通常附加的技術性假設被加在該拓撲空間上，以排除病態的情形。可以根據需要要求空間是豪斯多夫的並且第二可數。這表示下面所述的有兩個原點的直線不是拓撲流形，因為它不是豪斯朵夫的。流形在某一點的"維數"就是該點對映到的歐幾里得空間圖的維數。連通流形中的所有點有相同的維數。有些作者要求拓撲流形的所有的圖對映到同一歐幾里得空間。這種情況下，拓撲空間有一個拓撲不變數，也就是它的維數。其他作者允許拓撲流形的不交併有不同的維數。微分流形.很容易定義拓撲流形，但是很難在它們上面工作。對於多數應用，拓撲流形的一種，微分流形比較好用。如果流形上的區域性座標圖以某種形式相容，就可以在該流形上討論方向，切空間，和可微函式。特別是，可以在微分流形上應用「微積分」。可定向性.考慮一個拓撲流形，其座標圖對映到R"n"。給定一個R"n"的有序基，座標圖就給它所覆蓋的流形的一片引入了一個方向，可以視為或者右手或者左手的。重疊的座標圖不要求在方向上一致，這給了流形一個重要的自由度。對於某些流形，譬如球面，可以選取一些座標圖使得重疊區域在"手性"上一致；這些流形稱為"可定向"的。對於其它的流形，這不可能做到。後面這種可能性容易被忽視，因為任何在三維空間中嵌入的閉曲面都是可定向的。考慮三個例子: (1)莫比烏斯帶，它是有邊界的流形，實射影平面，它很自然的出現在幾何學中。莫比烏斯帶.從一個豎著的無限圓柱面開始，這是一個無邊界的流形。在高和低的地方各剪一刀，產生兩個圓形邊界，和它們之間的一個圓形的帶子。這是一個帶邊界的可定向流形，若在它上面動一個小"手術"。把帶子剪開，使得它能展開成一個矩形，但把兩頭捏住。把其中一頭轉180°，把內面翻倒朝外，然後把兩頭無縫的粘回來。現在有了一個永久半翻轉的帶子，就是莫比烏斯帶。它的邊界不再是一對圓圈，而是克萊因瓶.取兩個莫比烏斯帶；每個都以一個圈為邊界。把每個圈拉成一個圓圈，並把帶子變成交叉帽把圓圈粘合起來會產生一個新的閉合流形，沒有邊界的克萊因瓶。把曲面閉合起來並不能改變不可定向性，它只是移除了邊界。這樣克萊因瓶就成了一個不能分辨內外的閉合曲面。實射影平面.從圓心為原點的球面開始。穿過原點的每條直線在兩個相對的點穿透球面。雖然在物理上不能這麼做，但在數學上可以把相對點黏合為同一點。這樣產生的閉合曲面是實射影平面，為一個不可定向曲面。它有一些等價的表述和構造，但是這個方法揭示了它的名字:所有給定的穿過原點的直線射影到該"平面"的一個"點"。豪斯多夫假設.兩個原點的線.這裡給出一個空間的例子，它滿足拓撲流形所有的條件，除了它不是豪斯多夫空間。取兩個R的複製，把它們寫作formula_66 and formula_67,並定義如下等價關係formula_68 if formula_69.從這個等價關係得到的商空間 L 是一個象實直線那樣的空間，formula_70，再加上額外的一點 formula_71。特別的是，formula_72 上的 formula_73 和 formula_71 這兩點不能被不相交的開集所分離，所以L不是豪斯多夫的。它是一個拓撲流形，但不是豪斯多夫拓撲流形。經常，拓撲流形被定義為必須是豪斯多夫的，在這個定義下，上面的例子不是流形。流形的其他型別和推廣.要在流形上研究幾何，通常必須用附加的結構來裝飾這些空間，例如上面的微分流形所加入的微分結構。根據所需要的不同的幾何，有許多其它的可能性:歷史.第一個清楚地把曲線和曲面本身構想為空間的可能是高斯，他以他的“絕妙定理”建立了內在的微分幾何。黎曼是第一個廣泛的展開真正需要把流形推廣到高維的工作的人。"流形"的名字來自黎曼原來的德語術語"Mannigfaltigkeit"，William Kingdon Clifford把它翻譯為"manifoldness"fach ausgedehnte Mannigfaltigkeiten"堆。黎曼直覺上的"Mannigfaltigkeit"概念發展為今天形式化的流形。黎曼流形和黎曼曲面就是以他的名字命名的。交換簇的概念在黎曼的時代已經被隱含地作為複流形使用。從幾何方面考慮，拉格朗日力學和哈密爾頓力學的本質也是流形理論。龐加萊研究了三維流形，並提出著名的龐加萊猜想：所有閉簡單連通的三維流形同胚於3維球嗎？這個猜想已被Grigori Perelman解決。赫爾曼·外爾於1912年給出了微分流形的一個內在的定義。1930年代，該課題基礎性方面的工作被Hassler Whitney等人釐清，使得從19世紀下半葉起開始發展起來的相關的直覺知識變得更精確，並透過微分幾何和李群使微分流形的理論得到進一步的發展。相關條目.一般參考.