複平面

數學中，複平面，一個複數的實部用沿著 x-軸的位移表示，虛部用沿著 y-軸的位移表示。複平面有時也叫做阿爾岡平面，因為它用於阿爾岡圖中。這是以讓-羅貝爾·阿爾岡敘述的。阿爾岡圖經常用來標示覆平面上函式的極點與零點的位置。複平面的想法提供了一個複數的幾何解釋。在加法下，它們像向量一樣相加；兩個複數的乘法在極座標下的表示最簡單——乘積的長度或模長是兩個絕對值或模長的乘積，乘積的角度或輻角是兩個角度或輻角的和。特別地，用一個模長為 1 的複數相乘即為一個旋轉。記號約定.在複分析中複數通常用符號formula_1表示，它可以分為實部 (formula_2) 與虛部 (formula_3)：formula_4這裡formula_2與formula_3是實數，formula_7是虛單位。在這種通常記法下複數formula_1對應與笛卡兒平面中的點formula_9。笛卡兒平面中的點formula_9在極座標中也能表示為formula_11在笛卡兒平面中可能假設反正切函式formula_12取值於formula_13到formula_14弧度formula_17這裡formula_18這裡formula_19是複數formula_1的絕對值或模長；formula_21，formula_1的輻角，通常取值於區間formula_23；最後一個等式得自尤拉公式。注意formula_1的輻角是多值的，因為復指數函式是週期為formula_26。從而，如果formula_21是formula_28的一個值，其它值由formula_29給出，這裡formula_30是任何formula_31整數。圍道積分理論是複分析的重要組成部分。在此情形，沿著閉曲線的積分方向是要緊的——沿著相反的方向所得的積分值乘以 −1。習慣上“正方向”是逆時針方向。例如，沿著單位圓我們從點formula_32開始，向左上移動經過formula_33，然後向左下經過 −1，右下經過formula_34，最後向右上移動到達起點formula_32，這就是單位圓的正方向。幾乎所有複分析專注複函式——即將複平面的一個子集映到複平面某個另外的子集。這裡習慣說formula_36的定義域位於 "z"-平面上，並稱formula_36的值域或像作為 "w"-平面中的一個點集。用符號記成formula_38並經常將函式formula_39視為 "z"-平面 的變換。球極平面投影.將複平面視為一個球面的一部分是有用的。給定一個單位半徑球面，使複平面穿過其正中間，這樣球的中心與複平面的原點formula_42重合，球面上的赤道與平面的單位圓重合。我們可以將球面上的點與複平面建立如下一一對應。給定平面上一點，連線這一點與球面的北極之直線與球面恰好交於另一點。點formula_42將投影到球面的南極。因為單位圓周的內部在球面內，整個區域將映到北半球。顯然這個過程是可逆的——給定任何球面上的不為北極的點，我們連線這一點與北極，與平面恰好交與一點。在這個球極平面投影中只北極這一點，不能對應到複平面上任何一點。我們將其變成一一對應，新增一個理想的點——所謂的無窮遠點——到複平面上，使其與球面的北極對應。複平面新增一個無窮遠點這個拓撲空間，稱為擴充複平面。這就是數學家在討論複分析時為什麼說單個無窮遠點。在實數軸上有兩個無窮遠點，但擴充複平面上只有一個無窮遠點。想象一下球面上的經線和緯線投影到平面上會變成什麼。平行於赤道的所有緯線，它們將變為以原點formula_42為圓心的圓周；而經線將變為經過原點的直線。這不是從球面到平面惟一的球極平面投影。例如，球面的南極點可能置於平面的原點formula_42之上，球面於平面在這一點相切。細節事實上並不重要，任何球面到平面的球極投影都將產生一個無窮遠點，球面上的緯線與經線將分別映成平面上的圓周與直線。切割複平面.當討論一個複變函式時，想象“切割”複平面經常會有方便之處。這種想法自然出現於多種不同情境。多值關係與分支點.考慮簡單的二值關係formula_49在我們可將這個關係處理為單值函式之前，所得值域必須做些限制。在處理實數的平方根時這是容易做到的。例如，我們可定義formula_50為非負實數formula_3使得formula_52。這個想法在二維複平面不再如此有效。為了看出為什麼，考慮點formula_1沿著單位圓周移動formula_36值的變化方式。我們有formula_55顯然，當formula_1沿著圓周移動一圈，formula_57只移動半圈。從而複平面上一個連續運動將正平方根formula_58變為負平方根formula_59。問題之出現是由於在點formula_42只有一個平方根，但其它複數formula_61都恰有兩個平方根。在實數軸上我們在單點formula_62處立一個“障礙”以避免這個問題。在複平面上需要更大的障礙，防止出現任何圍繞formula_42的完全迴路。通常做法是引入一個分支切割；在這種情形可以從formula_42起沿著正實數軸一直到無窮遠點剪開，從而在切開的平面上限制為formula_65。現在我們可以給出formula_66的一個完整描述。為此我們需要兩個 "z"-平面副本，每一個沿著實軸剪開。在一個副本上我們定義 1 的平方根為formula_58，而在另一個上定義 1 的平方根為formula_59。我們稱這兩個切開的整個平面為“片”。由一個連續性討論，我們可以看出函式formula_66將第一片映為上半 "w"-平面，formula_70，而將第二片應為下半 "w"-平面，formula_71)。這個例子中的分支切割不必非要沿著實軸，甚至不必是直線。任何連線原點formula_42與無窮遠點的連續曲線都行。在某些情形，分支切割甚至不必經過無窮原點。例如，考慮關係formula_73這裡多項式formula_74在formula_75為零，所以formula_76顯然由兩個分支點。我們可沿著實軸從 −1 到 1 切開平面，formula_77在所得的片上是單值函式。或者，從formula_32沿著正實軸經過無窮遠點，然後沿著負實軸到達另一分支點formula_79切開。這種情況使用如上所述的球極平面投影最容易看清。在球面上一種切割是沿著連線赤道上兩點formula_79與formula_32穿過南半球並經過南極點的經線；第二種切割是經過北半球，連線同樣兩個赤道點並經過北極的經線。亞純函式定義域的限制.亞純函式是在其定義域中除了有限或可數無窮個點之外全純從而解析的複函式。函式不能定義的那些點稱為亞純函式的極點。有時所有極點位於一條直線上，在這種情形說這個函式在“切開的平面上全純”。這裡是一個簡單的例子。Γ函式，其定義為formula_82這裡formula_83是尤拉-馬歇羅尼常數，當formula_84等於零或負整數時，無窮乘積的分母恰有一個為零，故formula_85只有單極點 0, −1, −2, −3, ...。因為所有極點在負實數軸上，從formula_42到無窮遠點，這個函式可以描述為“在切開的複平面上全純，切割是沿著負實軸從 0到無窮遠點。”或者，formula_85也能描述為“在切開的複平面formula_88併除去點formula_42上全純。”注意這種切割與我們能剛才遇到的分支截斷稍有不同，因為這事實上在切開的複平面上除去了實軸。分支截斷留下實軸作為切開復平面的一邊完全分開。當然，為了構造formula_85一個全純區域事實上不必完全將從formula_42到formula_94的整個線段除去。我們只需將平面在可數無窮個點 {0, −1, −2, −3, ...} 處穿孔。但這個穿孔平面上的閉迴路可能圍繞一個或多個formula_85的極點，由留數定理得到的圍道積分不必為零。透過切開復平面我們不僅確保formula_85在這些限制的區域上全純，而且也確保 formula_97在切開的複平面的任何閉曲線上圍道積分恆等於零。而這在一些數學論證中可能非常重要。收斂區域的分類.許多複函式是用無窮級數或連分數定義的。分析這些無窮長表示式的一個基本考慮是確定它們收斂為一個有限值的複平面區域。平面上一個切割可能對這個過程有幫助，如下例所示。考慮由無窮級數定義的函式formula_98因為formula_99對任何複數formula_84成立，顯然formula_101是一個formula_84的偶函式，所以可以限制在半個複平面上分析。又因為當formula_103時級數沒有定義，有理由沿著整個虛軸切開平面，使這個級數在實部不為零的收斂，當formula_84是純虛數時需做更細緻的檢驗。這個例子中切割不過是方便之舉，因為無窮和無定義的點是離散的，且切開的平面可被一個合適的穿孔平面替代。在某些情形，切割是必須的，不止是為了方便。考慮無窮週期連分數formula_105可以formula_101收斂到一個有限值當且僅當formula_84不是formula_108的負實數。換句話說，這個連分數的收斂區域是切開的複平面，這裡切割沿著負實軸從formula_109直到無窮遠點。將切開的平面重新黏合.我們已經見到關係formula_110怎樣透過將formula_111的定義域分割成兩個不連通的片變成一個單值函式。還可以將這兩片黏合在一起形成一個黎曼曲面，在它上面formula_112可以定義為一個全純函式，其像是整個 "w"-平面。具體做法如下：考慮兩個切開的複平面副本，切割沿著正實軸從formula_114到無窮遠點。在一片上定義formula_115，所以由定義formula_116。在第二片上定義formula_117，同樣由定義有formula_118。現在將第二片翻轉，從而虛軸與第一片虛軸方向相反，實軸指向相同的方向，將兩片“黏合”起來。得到一個黎曼曲面，formula_112在這個曲面上單值全純。為了理解為什麼formula_111在這個區域上是單值，想象沿著單位圓繞一圈，從第一片上的formula_125 開始。當formula_126是我們仍然在第一片上；當formula_121我們轉移到第二片，沿著分支點 formula_42在第二片上再繞一圈回到我們的起點，由我們的黏合方式，這裡formula_129等價於formula_119。換句話說，當變數formula_84沿著分支點繞兩週，formula_84在 "w"-片面的像只繞一週。形式微分說明formula_133由此我們可說formula_111的導數在黎曼曲面上除了formula_42之外任何地方都存在且為有限。上面討論過的函式formula_138的黎曼曲面如何構造呢？我們同樣從兩個 "z"-平面副本開始，但這一次每個沿著實軸從formula_139到formula_125切開——它們是 formula_141的兩個分支點。我們將其中一個翻轉，從而兩個虛軸指向相反，將這兩個切片的對應邊黏合。透過沿著以formula_125為中心的單位圓繞一圈，我們可以驗證formula_143在所得的曲面上是單值函式。從第一片上formula_144開始，沿著圓周繞半圈遇到formula_114的切割。切割強迫我們轉到第二片，從而當 formula_84沿著分支點formula_139 繞 一整圈，formula_148恰好繞了半圈，formula_148的符號反過來了。這個例子中標記formula_154的自然方式是在第一片上令formula_155，第二片為formula_156。兩片的虛軸方向相反，從而一片上逆時針意義的正旋轉仍然是另一片上的閉迴路運動。想象這個曲面嵌入一個三維空間，兩片都平行於 "xy"-平面。則這個平面上出現一個鉛直洞，在此處兩個切割連線起來。如果當切割是從 formula_139沿負實軸到無窮，然後沿正實軸到formula_125，又是如何呢？同樣可以構造一個黎曼曲面，但這一次“洞”是水平的。 從拓撲上說，這兩個黎曼曲面是等價的，它們都是虧格為 1 的可定向二維曲面。其它含義.本文中上面幾節將“複平面”處理為複數的幾何類比。儘管術語“複平面”這種用法具有長期與數學悠久的歷史，但並不意味著是惟一的稱之為“複平面”的數學概念。至少有三種其它可能。