拉普拉斯方程

拉普拉斯方程，又名調和方程、位勢方程，是一種偏微分方程。因為由法國數學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯首先提出而得名。求解拉普拉斯方程是電磁學、天文學、熱力學和流體力學等領域經常遇到的一類重要的數學問題，因為這種方程以勢函式的形式描寫電場、引力場和流場等物理物件的性質。:619ff定義.三維情況下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，問題歸結為求解對實自變數"x"、"y"、"z"二階可微的實函式φ：使用笛卡爾座標，formula_1。使用柱座標，formula_2使用球面座標，formula_3。使用曲線座標，formula_4或formula_5。這組方程又經常寫為formula_6或者formula_7；其中，div表示向量場的散度。這方程又可寫為formula_8；其中，Δ稱為拉普拉斯運算元。拉普拉斯方程的解稱為調和函式。:671-672如果等號右邊是一個給定的函式"f"("x", "y", "z")，即formula_9，則該方程稱為泊松方程。拉普拉斯方程和泊松方程是最簡單的橢圓型微分方程。偏微分運算元formula_10或formula_11稱為拉普拉斯運算元。邊界條件.拉普拉斯方程的狄利克雷問題可歸結為求解在區域formula_12內定義的函式formula_13，使得formula_13在formula_12的邊界上等於某給定的函式。為方便敘述，以下采用拉普拉斯運算元應用的其中一個例子——熱傳導問題作為背景進行介紹：固定區域邊界上的溫度，直到區域內部熱傳導使溫度分佈達到穩定，這個溫度分佈場就是相應的狄利克雷問題的解。:37-38拉普拉斯方程的諾伊曼邊界條件不直接給出區域formula_12邊界處的溫度函式φ本身，而是φ沿formula_12的邊界法向的導數。從物理的角度看，這種邊界條件給出的是向量場的勢分佈在區域邊界處的已知效果。:37-38拉普拉斯方程的解稱為調和函式，此函式在方程成立的區域內是解析的。任意兩個函式，如果它們都滿足拉普拉斯方程，這兩個函式的任意線性組合同樣滿足前述方程。這種非常有用的性質稱為疊加原理。可以根據該原理將各種通解線性組合起來，以滿足所有邊界條件。:124-130二維拉普拉斯方程.兩個自變數的拉普拉斯方程具有以下形式：formula_18解析函式.解析函式的實部和虛部均滿足拉普拉斯方程。換言之，若 "z" = "x" + "iy"，並且formula_19，那麼 "f"("z") 是解析函式的充要條件是 u(x,y)，v(x,y) 可微，且滿足下列柯西-黎曼方程：:671-672formula_20。上述方程繼續求導就得到formula_21。所以 "u" 滿足拉普拉斯方程。類似的計算可推得 "v" 同樣滿足拉普拉斯方程。反之，給定一個由解析函式"f"("z") 的實部確定的調和函式，若寫成下列形式：formula_22，則等式formula_23。成立就可使得柯西-黎曼方程得到滿足。上述關係無法確定ψ，只能得到它的微增量表達式：formula_24。φ 滿足拉普拉斯方程意味著 ψ 滿足可積條件：formula_25。所以可以透過一個線積分來定義 ψ。可積條件和斯托克斯定理的滿足說明線積分的結果與積分經過的具體路徑無關，僅由起點和終點決定。於是，我們便透過複變函式方法得到了 φ 和 ψ 這一對拉普拉斯方程的解。這樣的解稱為一對共軛調和函式。這種構造解的方法只在區域性有效，或者說，建構函式的積分路徑不能圍繞有 "f"("z") 的奇點。譬如，在極座標平面 ("r","θ") 上定義函式formula_26，那麼相應的解析函式為formula_27。在這裡需要注意的是，極角 "θ" 僅在不包含原點的區域內才是單值的。拉普拉斯方程與解析函式之間的緊密聯絡說明拉普拉斯方程的任何解都無窮階可導，因此可以展開成冪級數形式，至少在不包含奇點的圓域內是如此。這與波動方程的解形成鮮明對照，後者包含"任意"函式，其中一些的可微分階數是很小的。冪級數和傅立葉級數之間存在著密切的關係。如果我們將函式 "f" 在複平面上以原點為中心，"R" 為半徑的圓域內展開成冪級數，即formula_28，將每一項係數適當地分離出實部和虛部formula_29。那麼formula_30，這便是 "f" 的傅立葉級數。這些三角函式自身也可以用倍角公式展開。流體動力學.設 formula_31、formula_32 分別為滿足定常、不可壓縮和無旋條件的流體速度場的 formula_33 和 formula_34 方向分量，那麼不可壓縮條件為：:99-101formula_35，無旋條件為：formula_36。若定義一個標量函式 formula_37，使其微分滿足：formula_38，那麼不可壓縮條件便是上述微分式的可積條件。積分的結果函式 formula_37 稱為流函式，因為它在同一條流線上各點的值是相同的。formula_37 的一階偏導為：formula_41，無旋條件即令 formula_37 滿足拉普拉斯方程。formula_37 的共軛調和函式 formula_13 稱為速度勢。柯西-黎曼方程要求formula_45。所以每一個解析函式都對應著平面內的一個定常不可壓縮無旋流場。解析函式的實部為速度勢函式，虛部為流函式。靜電學.根據麥克斯韋方程組，二維空間中不隨時間變化的電場 ("u","v") 滿足：:83formula_46，和formula_47，其中 ρ 為電荷密度。第一個麥克斯韋方程便是下列微分式的可積條件：formula_48，所以可以構造電勢函式 φ 使其滿足formula_49。第二個麥克斯韋方程即：formula_50，這是一個泊松方程，當空間不包含自由電荷時，方程等號右邊變為0，方程變為拉普拉斯方程。三維拉普拉斯方程.基本解.拉普拉斯方程的基本解滿足formula_51，其中的三維δ函式代表位於formula_52的一個點源。由基本解的定義，若對"u"作用拉普拉斯運算元，再把結果在包含點源的任意體積內積分，那麼formula_53。由於座標軸旋轉不改變拉普拉斯方程的形式，所以基本解必然包含在那些僅與到點源距離"r"相關的解中。如果我們選取包含點源、半徑為"a"的球形域作為積分域，那麼根據高斯散度定理:318-322formula_54。求得在以點源為中心，半徑為"r"的球面上有formula_55，所以formula_56。經過類似的推導同樣可求得二維形式的解formula_57。格林函式.格林函式是一種不但滿足前述基本解的定義，而且在體積域"V"的邊界"S"上還滿足一定的邊界條件的基本解。譬如，formula_58可以滿足formula_59，formula_60。現設"u"為在"V"內滿足泊松方程的任意解：formula_61，且"u"在邊界"S"上取值為"g"，那麼我們可以應用格林定理，得到:652-659formula_62。"un"和"Gn"分別代表兩個函式在邊界"S"上的-{法向}-導數。考慮到"u"和"G"滿足的條件，可將這滿足狄利克雷邊界條件的公式化簡為formula_63。所以格林函式描述了量"f"和"g"對formula_64點函式值的影響。圓球殼案例.格林函式在半徑為"a"的球面內的點上得值可以透過映象法求得：距球心ρ的源點"P"的透過球面的“反射映象”"P' "距球心formula_65。需要注意的是，如果"P"在球內，那麼"P"'將在球外。於是可得格林函式為formula_66；其中，"R"表示距源點"P"的距離，"R' "表示距映象點"P' "的距離。從格林函式上面的表示式可以推出泊松積分公式。設ρ、θ和φ為源點"P"的三個球座標分量。此處θ按照物理學界的通用標準定義為座標矢徑與豎直軸。於是球面內拉普拉斯方程的解為：:64-65formula_67；其中，formula_68。這個公式的一個顯見的結論是：若"u"是調和函式，那麼"u"在球心處的取值為其在球面上取值的平均。於是我們可以立即得出以下結論：任意一個調和函式的最大值必然不會在其定義域的內部點取得。