相干性

在物理學中，相干性又稱同調性，是波的一個理想，它使波可進行“定態干涉”或同調的。更概括地說，相干性描述了單波與自己、多波之間、波包之間，某些物理量間的相關特性。當兩個波彼此相互干涉時，因為相位的差異，會造成相長干涉或相消干涉。假若兩個正弦波的相位差為常數，則這兩個波的頻率必定相同，稱這兩個波「完全相干」。兩個「完全不相干」的波，例如白熾燈或太陽所發射出的光波，由於產生的干涉圖樣不穩定，無法被明顯地觀察到。在這兩種極端之間，存在著「部分相干」的波。相干性又大致分類為時間相干性與空間相干性。時間相干性與波的頻寬有關；而空間相干性則與波源的有限尺寸有關。波與波之間的相干性可以用來量度。是波與波之間的干涉圖樣的輻照度對比，相干度可以從干涉可見度計算出來。波源.一般而言，互不相關的波源無法形成可觀察到的干涉圖樣。例如白熾燈或太陽是由很多互不相關、持續生成的微小發光點所組成，每一個發光點只會作用一段時間formula_1，發射出一個有限長度的波列，之後，再也不會發光，但在其它位置，又會出現新的發光點。為了要能拍攝到這類光源所產生的由兩個波列疊加形成的干涉圖樣，攝影儀器的曝光時間必須要小於formula_2。在舊時，無法製造出這麼高階的攝影儀器，因此從這類光源很難拍攝到干涉圖樣。但是，透過適當處理，仍舊可以觀察到這些光源的干涉圖樣。:457, 460為了要觀察到這些互不相關的波源所形成的涉圖樣，必須從這些波源製造出相干性較高的波。有兩種方法可以達成這目標：自從鐳射、激微波的發明以後，物理學者不再為尋找高相干性的光源這問題而煩惱，鐳射所製造出來的波列通常能維持formula_3之久。這給予足夠的曝光時間來拍攝干涉圖樣。應用.以前，只有在學習光學的楊式雙縫實驗時，才會接觸到相干性這術語。現今許多涉及波動的領域，像聲學、電子工程、量子力學等等，都會使用到這術語。許多科技的運作都倚賴相干性質為基礎。例如，全像攝影術、音波相位陣列、光學相干斷層掃描、天文光學干涉儀、與射電望遠鏡、等等。相干性與相關性.兩個波的相干性，稱為「互相干性」，來自於它們彼此之間的相關程度，也就是說，它們彼此之間的相似程度。互相關函式可以量度互相干性。:564:545-550互相關函式可以量度從一個波預測另一個波的能力。舉例而言，設想完全同步相關的兩個波。在任意時間，假若一個波發生任何變化，則另一個波也會做出同樣的變化；讓這兩個波互相干涉，則在任意時間，它們都會展示出完全相長干涉，它們具有完全相干性。互相關函式可以用來支援模式識別系統，例如，指紋識別。如稍後所述，第二個波不必是另外一個實體，它可能是在不同時間或不同位置的第一個波。這案例所涉及的相關稱為「自相干性」；對於這案例，可以用自相關函式來量度自相干性。自相關函式可以用來從帶有隨機噪聲背景的訊號中提取出資訊訊號。:545-550嚴格定義.假設在點S1、點S2的波擾分別為formula_4、formula_5，則其互相關函式formula_6為:566-571:115-118formula_7；其中，單書名號表示取時間平均值，formula_8是平均的時間間隔，formula_9是相對時移。互相關函式又稱為「互相干函式」。理論而言，必需取formula_8趨向於無窮大的極限；然而，實際而言，只要平均的時間間隔比相干時間長久很多就行了。從互相關函式的定義式，可以衍生出自相關函式，又稱為「自相干函式」。波formula_4與相對時移formula_9的自己波，兩者之間的自相干函式為formula_13。歸一化的互相干函式formula_14又稱為兩個波的「複相干度」，以方程式表示為formula_15。從柯西-施瓦茨不等式可以推匯出formula_16。絕對值formula_17就是「相干度」。當formula_18時，波formula_19與波formula_20完全相干；當formula_21時，兩個波完全不相干；當formula_22時，兩個波部分相干。「干涉可見度」量度干涉圖樣的明暗條紋的清晰程度，以方程式定義，formula_23；其中，formula_24、formula_25分別為干涉圖樣的最大輻照度與最小幅照度。干涉可見度的範圍在0到1之間。假設兩個波的振幅相等，則干涉可見度等於相干度：formula_26。各種波動例項.下述這些波的共同之處是，它們的物理行為可以用波動方程式或推廣的波動方程式來描述：這些種類的波的物理行為，大多數可以直接測量獲得。因此，波與波之間的互相干函式可以很簡單地求得。但是，在光學裡，不能直接的測量電磁場，因為電磁場的震盪太快，比任何探測器的時間解析度還要快。可行之道是測量光波的輻照度。大多數在這條目提到的涉及相干性的概念，都是先在光學領域發展成功，然後再適應於其它領域。因此，許多相干性測量標準都是採用間接地測量，甚至在可以直接測量的領域，都是這樣做。時間相干性.一個波formula_4與延遲了時間formula_9的自己波，兩者之間的自相干函式formula_29，可以用來量度時間相干性。對應的複相干度為formula_30，又稱為「複時間相干度」。時間相干性可以表達波源的單色性質，可以量度一個波在延遲某時間後干涉自己的能力，因此又稱為「縱向相干性」。經過一段延遲時間formula_9後，假若一個波的相位或波幅開始發生足夠顯著的變化，則定義此延遲時間為「相干時間」formula_32。有限長度的波列透過某固定點的有限時間大約是相干時間。當formula_33時，一個波formula_4與自己的相干度為formula_35；而當formula_36時，相干度formula_37會顯著地減小，顯示在觀察屏的干涉圖樣也會變得模糊不清。「相干長度」formula_38定義為，在相干時間formula_32內，波所能傳播的距離，又稱為「縱向相干長度」。:560, 571-573相干時間與頻寬的關係.由於週期的倒數是頻率，一個波在越短時間內，變的不自相干，則波的頻寬formula_41越大。兩個物理量的關係方程為:358-359, 560formula_42。用波長formula_43來表達，formula_44。用數學表述，這結果可以從傅立葉變換推匯出來。自相干函式的傅裡葉變換就是。:572例項.試想下述四個關於時間相干性的例項：白光的頻寬大約為3×1014Hz，因此相干時間為3×10-15s，相干長度非常短，大約只有900nm。普通放電燈的頻寬也很寬闊，因此相干長度也相當短，大約為幾個mm數量級。國際標準Kr86低氣壓放電燈的相干長度比較長，大約為0.3m。:316鐳射通常是最單色的光源。高度的單色性意味著相干長度很長。例如，單模能夠發射相干長度接近400m的光。特別穩定性氦氖鐳射的相干長度可以達到1.5×107m。:316全息攝影需要用到長相干時間的光。:635由於具有脈衝高能量與較長的相干時間這兩種優點，紅寶石鐳射時常被應用於全息攝影。:549相對比較，光學相干斷層掃描使用短相干時間的光。測量方法.在光學裡，時間相干性可以用干涉儀來測量，例如，邁克生干涉儀或馬赫-曾德爾干涉儀。干涉儀先將輸入波複製，延後formula_9時間，然後將輸入波與複製波合併為輸出波，再用輻照度探測器來測量經過時間平均後的輸出波輻照度，得到的資料，稍加運算，可以求得干涉可見度。這樣，可以知道延遲時間為formula_9的相干度。對於大多數的天然光源，由於相干時間超短於探測器的時間解析度，探測器自己就可以完成時間平均工作。思考圖 (3)案例，在相干時間formula_32內，波的輻照度顯著地漲落不定。假設延遲時間為formula_48，則一個無窮快的探測器所測量出的輻照度也會顯著地漲落不定。對於這案例，可以手工計算輻照度的時間平均值來求得時間相干性。空間相干性.為了展示出顯著的干涉圖樣，楊氏雙縫實驗所使用的光源必須具有空間相干性。光學影像系統與天文望遠鏡的製作必需考慮到光源的空間相干性。空間相干性與波源的有限尺寸有關。這可以用楊式雙縫實驗來解釋。在典型的楊式雙縫實驗裡，只存在有一個點光源S，其所發射出的單色光，在透過不透明擋板的位於點S1、點S2的兩條狹縫之後，會在觀察屏顯示出干涉圖樣。現在將這實驗加以延伸，將點光源S改為綿延有限尺寸formula_49的線光源。從做實驗獲得的結果，物理學者發覺，假定線光源與擋板之間的距離formula_50足夠遠，則若要在觀察屏的中央軸區域顯示出干涉圖樣，必須先滿足以下條件：:42-43formula_51；其中，formula_52是點S1、點S2對於頂點S的夾角。formula_53是光波的平均波長。注意到formula_54、formula_55；其中，formula_56是兩個狹縫之間的距離，formula_57是有限尺寸光源對於檔板中央軸交點的夾角。所以，必須滿足條件:42-43formula_58。因此，可以估算這問題的「橫向相干長度」為formula_59。假若兩個狹縫之間的距離大於formula_60，則干涉圖樣會消滅殆盡。對於三維案例，可以使用物理量「相干面積」，以方程式表示為formula_61。在許多物理系統裡，像水波或光波一類的波可以傳播於一維或多維的空間。空間相干性量度位於點S1、點S2的兩個波擾，經過時間平均後，彼此相互干涉的能力。更精確地說，空間相干性是這兩個波擾除去了延遲時間因素之後的互相關函式。假設某波前的波幅為常數，則在其任意兩個位置的波擾，彼此之間都具有完全空間相干性。繼續思考楊氏雙縫實驗，只專注於檔板與觀察屏之間的狀況。假設點S1、點S2的兩個波擾分別為formula_4、formula_5，則其互相干函式formula_64與點S1、點S2的位置和延遲時間formula_9有關。由於在觀察屏的干涉圖樣，其中心點Q是中央軸與觀察屏的交點，從點S1、點S2同時發射的光波，會在同時抵達點Q，延遲時間為formula_66；其中，formula_67、formula_68分別是從S1、點S2到點Q的距離，formula_69是光速。因此，除去了延遲時間因素，互相干函式formula_70可以量度在點S1、點S2的兩個波擾的空間相干性。複相干度formula_71稱為在點S1、點S2的兩個波擾的「複空間相干度」。:572例項.圖5：一個單色平面波，相干長度與相干面積為無窮值。圖6：一個波前不規則的單色波。因為在點X1與點X1後面λ整數倍數之處的波幅永遠相同，相干長度為無窮值，因為在點X1與點X2的波幅永遠相同，相干面積也為無窮值。圖7：一個波前不規則的波，相干長度與相干面積為有限值。圖8：一個波前不規則、相干長度與相干面積為有限值的波，入射於具有一條狹縫的檔板。入射波穿過狹縫後，衍射出來的波，其空間相干性會增加。經過傳播一段距離，在離狹縫較遠處，圓形波前的波近似於平面波。相干面積變為無窮值，而相干長度不變。圖9：兩個同樣的波，在空間裡傳播。一個波是另外一個波的位移，兩個波的相干長度與相干面積分別為無窮值。兩個波的結合，在某些位置，會建設性干涉。經過空間平均，探測器所觀察到的干涉圖樣，其干涉可見度會減低。例如，一個未校準的馬赫-曾德爾干涉儀就會出現這種狀況。試想一個電燈泡的鎢絲，從其不同位置會獨立地發射出毫無固定相位關係的光波。仔細觀察，在任意時間，光波的剖面都毫無規律可言。每經過一段相干時間formula_32，光波的剖面都會機率性地變化。電燈泡是一個白光光源，相干時間formula_32很短，是一個空間不相干光源。電波望遠鏡天線陣的空間相干性很高，在天線陣對端的每兩根天線所發射出的光波，彼此之間都有特別設計的固定相位關係。雷射產生的光波的時間相干性與空間相干性通常都很高，其相干度依鐳射的性質而定。全像攝影術的運作，需要時間相干與空間相干的光波。它的發明者，伽博·丹尼斯，在雷射還沒有被發明前，就已經成功地做出全像圖。他將水銀燈的發射線激發出的單色光，透過針孔過濾器，製成全像攝影術所需要的相干光波。2011年2月，物理學者發現，冷卻至接近絕對零度的氦原子，當變為玻色-愛因斯坦凝聚時，它們的物理行為會如同雷射發射出的相干光束一樣。波譜相干性.不同頻率的波。反過來說，假若不同頻率的波是不相干的，則結合在一起它們會形成像白光或白噪聲一類的波。脈衝波的時間持續期formula_2被頻寬formula_41限制，依據關係方程式：formula_76。這關係方程式也可以從傅裡葉變換推匯出。對於量子尺寸的粒子，這是海森堡不確定原理的必然結果。測量光的波譜相干性，需要用到，像、頻域分辨光學開關或。量子相干性.在量子力學裡，物質具有波動性。例如，楊氏雙縫實驗也可以用電子來完成。從電子源發射出的每一個電子可以穿過兩條狹縫中的任何一條狹縫，因此，有兩種抵達觀察屏最終位置的方法可供選擇。一種方法是將狹縫S1關閉，電子只能穿過狹縫S2；另一種方法是將狹縫S2關閉，電子只能穿過狹縫S1。每一種方法可以設定為一個特別的量子態。由於這兩個量子態會相互干涉，因而影響電子抵達偵測屏最終位置的機率分佈，也因此形成了觀察屏的干涉圖樣。這相互干涉的能力展現出粒子的「量子相干性」。假若，試圖探測電子到底是經過哪一條狹縫。那麼，兩個量子態的相位關係會不再存在。這雙態系統就會被退相干化。這現象顯示出量子系統的互補性。大尺寸量子相干會導致新穎奇異的現象，稱為。例如，雷射、超導現象、超流體等等，都是高度相干的量子系統，它們產生的效應可以在宏觀尺寸觀察到。超流體現象是玻色-愛因斯坦凝聚。所有組成凝聚的粒子都同相，可以用單獨一個量子波函式來描述。換另一方面，薛丁格貓思想實驗強調，不能任意地將量子相干用在宏觀案例。但是，物理學者於2009年成功地在機械的運動裡觀測到量子相干現象。