扭率張量

在微分幾何中，扭率或稱撓率此一概念是刻畫沿著曲線移動的標架的扭曲或螺旋的方法。例如曲線的撓率，出現在弗萊納公式中，量化了一條曲線變化時關於它的切向量的扭曲程度。在曲面的幾何中，“測地撓率”描述了曲面關於曲面上一條曲線的扭曲。相伴的曲率概念度量了沿著曲線的活動標架“沒有扭曲的轉動”。更一般地，在裝備一個仿射聯絡的微分流形上，撓率與曲率構成了聯絡的兩個基本不變數。在這種意義下，撓率給出了切空間關於一條曲線平行移動怎樣扭曲的內蘊刻畫；而曲率描述了切空間沿著曲線怎樣旋轉。撓率可具體的描述為一個張量，或一個向量值2-形式。如果 ∇ 是微分流形上一個聯絡，那麼撓率張量用向量場 "X" 與 "Y" 表示定義為：formula_1這裡 ["X","Y"] 是向量場的李括號。撓率在測地線幾何的研究特別重要。給定一個引數化測地線系統，我們一定指定一族仿射聯絡具有這些測地線，但是具有不同的撓率。具有惟一“吸收撓率”的聯絡，將列維-奇維塔聯絡推廣到其他，也許沒有度量的情形。吸收撓率在G-結構與嘉當等價方法的研究中也起著重要的作用。撓率透過關聯的射影聯絡在研究測地線非引數族也很有用。在相對論中，這種想法以愛因斯坦-嘉當理論的形式提供了工具。撓率張量.設 "M" 是切叢上帶有聯絡 ∇ 的流形。撓率張量是一個向量值 2-形式，定義在向量場 "X" 於 "Y"上formula_2這裡 ["X","Y"] 是兩個向量場的李括號。由萊布尼茲法則，對任何光滑函式 "f" 有 "T"("fX","Y") = "T"("X","fY") = "fT"("X","Y")。所以 "T" 是一個張量，儘管是用非張量的共變導數定義的：它給出了切向量上的一個 2 形式，但共變導數只對向量場有定義。曲率和比安基恆等式.聯絡 ∇ 的曲率張量是一個對映 T"M" ∧ T"M" → End(T"M") ，定義在向量場 "X", "Y", 與 "Z" 上formula_3注意，對位於一點的向量，這個定義與這個向量如何擴張成一個向量場的方式無關。比安基恆等式聯絡了曲率和撓率。 將 "X", "Y" 與 "Z" 的迴圈求和記為 formula_4，例如formula_5那麼下面的公式成立1. 比安基第一恆等式：formula_62. 比安基第二恆等式：formula_7撓率張量的分量.撓率張量在切叢的區域性截面的基 (e1, ..., en) 下可寫成分量 formula_8。令 "X"=ei，"Y"=ej，引入交換子係數 γkijek := [ei,ej]。那麼撓率的分量是formula_9如果基是和樂的，則李括號變為零，formula_10，從而 formula_11。特別地，測地線方程確定聯絡的對稱部分，而撓率張量確定反對稱部分。撓率形式.撓率形式，是撓率的另一種刻畫，適用於 "M" 的標架叢 F"M"。這個主叢裝備有一個聯絡形式 ω，一個 gl("n")-值的 1-形式將豎直向量映到 gl("n") 中的右作用的生成元，且透過在 gl("n") 上的伴隨表示等變糾纏於 GL("n") 在 F"M" 的切叢上的右作用。標架叢也帶有一個典範 1 形式 θ，取值於Rn，定義在標架 "u" ∈ Fx"M"為formula_12這裡 π : F"M" → "M" 是主叢的投影對映。那麼撓率形式是formula_13等價地， Θ = Dθ，這裡 "D" 是由聯絡確定的外共變導數。撓率形式是一個取值於 Rn的扭曲形式，意味著在 "g" ∈ Gl("n") 的右作用下等變：formula_14這裡 "g" 透過它在 Rn 上的基本表示作用在左邊。曲率形式與比安基恆等式.曲率形式是 gl("n")-值 2-形式formula_15這裡，"D" 同樣表示外共變導數。用曲率形式和撓率形式表示，相應的比安基恆等式為：進一步，我們可以從曲率形式和撓率形式復原曲率和撓率。在 Fx"M" 中的點 "u"，我們有formula_18formula_19這裡 "u" : Rn → Tx"M" 是確定纖維中標架的函式，且向量透過 π-1 的提升與選取無關，因為曲率和撓率形式是水平的。標架中的曲率形式.撓率形式可用底流形 "M" 上的聯絡形式，在切叢的一個特殊的標架 (e1...,en) 下寫出。聯絡形式表述這些截面的外共變導數formula_20切叢的焊接形式那麼撓率 2-形式有分量formula_21在最右邊的表示式中，formula_22是撓率張量的標架分量，由首先的定義給出。容易證明 Θi 像張量一個變化：如果另一個標架formula_23對某個可逆矩陣值函式 ("g"ij)，那麼formula_24換句話說，Θ 是 (1,2) 型張量。做為另一種選擇，焊接形式能用無標架形式刻畫為 "M" 上的 T"M"-值 1形式θ，在對偶同構 End(T"M") ≈ T"M" ⊗ T*"M" 下對應於切叢的恆等同態。則撓率 2-形式是formula_25的一個截面，由formula_26給出。這裡 "D" 是外共變導數。不可約分解.撓率張量可以分解為兩個不可約部分：不含跡的部分與包含跡的部分。用指標記法，"T" 的跡為formula_27不含跡的部分為formula_28這裡 δij 是克羅內克函式。本質上有，formula_29"T" 的跡 tr "T"，是如下定義的 T*"M" 中一個元素。對固定的任何向量"X" ∈ T"M"，"T" 定義了一個 Hom(T"M", T"M") 中一個元素 "T"("X")，透過formula_30那麼 (tr "T")("X") 定義為這個同態的跡。這就是，formula_31"T" 不含跡的部分為formula_32這裡 ι 表示內乘。作為比安基恆等式的推論，1-形式 tr T 是一個閉 1-形式：formula_33這裡 "d" 是外導數。特徵描述與解釋.這一節中總是假設："M" 是微分流形，∇ 是 "M" 切叢上的共變導數除非另外指明。仿射進化.假設 "x"t 是 "M" 上一條曲線。"x"t 的仿射定義為 Tx0"M" 中惟一的曲線 "C"t 使得formula_34這裡formula_35是與 ∇ 關聯的平行移動。特別地，如果 "x"t 是一個閉環路，則 "C"t 是否閉取決於聯絡的撓率。從而撓率解釋為曲線的 development 的螺位錯。這樣，撓率與聯絡的和樂轉移分量聯絡起來。相伴的曲率概念描繪了無窮小線性變換。參考標架的扭曲.在經典曲線的微分幾何中，弗萊納公式描述了一個特別的活動標架沿著一條曲線怎樣“扭曲”。用物理語言，撓率對應於一個假想的沿著曲線的陀螺的角動量。帶有。這個力便由撓率衡量。更準確地，假設觀察者沿著測地線 γ("t") 移動，攜帶著一個測量桿。當觀察者移動時，杆子掃過一個曲面。沿著這個曲面有一個自然座標系 ("t","x")，這裡 "t" 是由觀察者確定的時間引數，"x" 是沿著測量桿的長度。測量桿須沿著曲線平行移動的條件為formula_36從而，撓率由formula_37給出。如果不是零，則杆上標出的這點的軌跡為螺旋而不是測地線。它們將繞著觀察者旋轉。這種撓率的解釋在平行引力理論中扮演著重要的角色。平行引力理論，也稱為愛因斯坦-嘉當理論，是相對論的一種替代性表述。纖維的撓率.在材料科學中，特別是彈性理論，撓率的想法也扮演著重要的角色。其中一個問題是藤生長的建模，專注於藤如何能繞著物件纏繞。藤自身模型化為一對相互纏繞的彈性纖維。在其能量極小狀態，藤自然生長成一個螺旋狀。但是藤也有可能伸長以達到廣度佈局與能量最小化佈局之間的差異。撓率與渦旋.在流體力學中，撓率自然與渦線相關。測地線與撓率的吸收.假設 γ("t") 是 "M" 上一條曲線。則 γ 是一條仿射引數化測地線如果formula_38對屬於 γ的定義域中所有時間 "t"：粗略地講為所有仿射引數化測地線。用測地波浪將聯絡分類時，不同撓率不能區分開來：更準確地，如果 "X" 與 "Y" 是 "p" ∈ "M"的一對切向量，那麼令formula_41是兩個聯絡的差，用 "X" 與 "Y" 從 "p" 處的任意擴張計算。由萊布尼茲乘積法則，我們看出 Δ 事實上與 "X" 和 "Y" 如何擴張無關。設 "S"與 "A" 分別為 Δ 的對稱與交替部分：formula_42formula_43則換句話說，兩個聯絡之差的對稱部分決定了它們是否具有相同的引數化測地線，然而差的斜對稱部分由這兩個聯絡的相對撓率決定。另一個推論是這是黎曼幾何基本定理到仿射聯絡的一個推廣。選出從屬於一族引數化測地線惟一的聯絡也稱為撓率的吸收，這是嘉當等價方法的一個使用之處。