伯特蘭定理

在經典力學裡，伯特蘭定理闡明，只有兩種位勢formula_1可以給出閉合軌道：formula_2。formula_3。其中，formula_4是徑向座標，formula_5是正值常數。假若物體從某位置移動，經過一段路徑後，又回到原先位置，則稱此路徑為閉合軌道。1687年，物理學家艾薩克·牛頓在著作《自然哲學的數學原理》裡提出了萬有引力定律，解釋了行星繞著太陽的公轉為何遵守克卜勒定律。此後許多科學家開始研究，當行星的運動稍許偏離了這軌道時，可能會發生的狀況。其中一個問題為軌道是否仍舊閉合。但經過多年的探討亦無法給出合理的解答。直到1873年，法國數學家約瑟·伯特蘭發表伯特蘭定理，才正確解析此問題。該定理對於經典天體力學研究非常重要，伯特蘭定理給予實驗者一個精確的方法，來測試萬有引力的平方反比性質。在現代物理學裡，理論物理學家發現由於廣義相對論效應，引力與距離不再成精確的平方反比關係，因此軌道是非閉合的。天文學家作實驗觀測到，水星繞著太陽公轉的橢圓軌道，其近拱點呈緩慢進動狀態。前論.所有吸引性連心力都可以產生圓形的公轉軌道；這圓形軌道當然是閉合軌道；其形成的唯一條件是連心力恰巧地與離心力等值；後者決定了維持某圓形半徑所需的角速度。本篇文章不研究非連心力。一般而言，非連心力不會產生圓形的公轉軌道。採用極坐標formula_6，一個移動於連心勢formula_7的粒子，其拉格朗日量formula_8是formula_9。其中，formula_10是粒子質量，formula_11、formula_12分別表示formula_4、formula_14對於時間formula_15的導數。這粒子的拉格朗日方程式為formula_16、formula_17。由於角坐標formula_14顯性地跟拉格朗日量無關，formula_14是個可略坐標，其共軛動量formula_20守恆，formula_20是個常數：formula_22。將角動量的方程式代入徑向拉格朗日方程式，可以得到一個formula_4的二次微分方程式，formula_24。假設軌道是圓形軌道，方程式左手邊第一個專案是零，則如同期待的，連心力formula_25等值於離心力formula_26。對於時間的導數與對於角變數的導數之間關係為formula_27。將這公式代入，可推匯出一個跟角度有關，跟時間無關的軌道方程式：formula_28。設定變數formula_29，改換方程式的變數為formula_30，同時將方程式兩邊乘以formula_31，可以得到一個常係數非齊次線性全微分方程式：formula_32。導引.如同前面所說，給予粒子適當的初始速度，任何連心力都能產生標準圓形軌道。可是，假設給予粒子某徑向速度，則這些軌道可能不穩定。為了簡化標記，設定formula_33；(1)其中，formula_34是連心力函式。則軌道方程式為formula_35。如果要得到半徑為formula_36的圓形運動軌道，必要條件是軌道方程式左邊第一項等於零，方程式變為formula_37。思考對於標準圓形運動軌道的變數formula_30的微擾formula_39，函式formula_40在formula_41的泰勒級數為formula_42。將此展開示代入軌道方程式：formula_43。設定常數formula_44：formula_46。(2)取至formula_47的1次方：formula_48。formula_49必須是個非負數；否則，軌道的半徑會呈指數方式遞增。一階微擾解答為formula_50；其中，振幅formula_51是個積分常數。假若這軌道是閉合軌道，則formula_52必須是有理數。繼續運算，從方程式(1)，取對於formula_30的導數：formula_54 。這方程式對於任意formula_41值都必須成立，因此可以將formula_41認定為函式formula_57的引數。用符號formula_30來代替formula_41，formula_60。將方程式的變數換回為formula_4，formula_62。這意味著作用力必須遵守冪定律：formula_63。代入方程式 (1) , formula_64的一般形式為formula_65。(3)假設實際軌道與圓形有更大的差別，則可以用傅立葉級數來展開formula_47：formula_68。因為高頻率專案的係數太小，傅立葉級數只取至formula_69專案。方程式 (2)也只取至formula_47的三次方。注意到formula_71與formula_72的數量級為formula_73，超小於formula_51；formula_75的數量級為formula_76，超小於formula_71與formula_72。將上述傅立葉級數代入方程式 (2)，匹配方程式兩邊同頻率專案的係數。這樣，可以得到一系列方程式：formula_79，(4)formula_80，(5)formula_81。(6)求formula_40在formula_41對於formula_30的微分：formula_85formula_86。(7)formula_87。(8)將方程式(7)、(8)代入方程式(4)、(6)：formula_88，(9)formula_89。(10)再將方程式 (7)、(8)、(9)、(10)代入方程式 (5)，經過一番運算，可以得到伯特蘭定理的重要結果：formula_90。解答formula_45是標準圓形軌道。只有平方反比連心勢 (formula_92)與徑向諧振子勢 (formula_93)能夠造成穩定的，閉合的，非圓形的公轉軌道。平方反比力.平方反比連心力給出的連心勢，像重力勢或靜電勢，以方程式表示為formula_94。處於這種連心勢的粒子，其一般軌道方程式寫為formula_95。其解答為軌道函式formula_96：formula_97；其中，formula_98是橢圓軌道的離心率，formula_99是相位差，是一個積分常數。這是焦點位於原點的圓錐曲線的一般方程式。當formula_100時，這軌道對應於圓形軌道；當formula_101時，這軌道是橢圓形軌道；當formula_102時，這軌道是拋物線軌道；當formula_103時，這軌道是雙曲線軌道。離心率與粒子能量formula_104的關係為formula_105。所以，當formula_106時，這軌道是圓形軌道；當formula_107時，這軌道是橢圓形軌道；當formula_108時，這軌道是拋物線軌道；當formula_109時，這軌道是雙曲線軌道。徑向諧振子.為了方便解析這問題，採用直角坐標formula_110。勢能可以寫為formula_111。處於徑向諧振子位勢的粒子，其拉格朗日量formula_8是formula_113。這粒子的拉格朗日方程式為formula_114、formula_115、formula_116；其中，formula_117是振動頻率。常數formula_5必須為正值；否則，粒子會朝著無窮遠飛離。這些微分方程式的解答為formula_119、formula_120、formula_121；其中，formula_122、formula_123、formula_124分別為x、y、z方向的振幅，formula_125、formula_126、formula_127分別為其相位由於上述方程式經過整整一週期formula_128後，會重複自己，軌道解答formula_129是閉合軌道。牛頓旋轉軌道定理.牛頓旋轉軌道定理表明，對於一個感受到線性作用力或平方反比作用力的移動中的粒子，假設再增添立方反比力於此粒子，只要因子formula_130是有理數，則粒子的軌道仍舊是閉合軌道。根據牛頓旋轉軌道定理的方程式，增添的立方反比力formula_131為formula_132；其中，formula_133是粒子原本的角動量，formula_10是粒子的質量。所以，formula_135。由於formula_130是有理數，formula_130可以寫為分數formula_138；其中，formula_10和formula_140都是整數。對於這案例，增添立方反比力使得粒子完成formula_10圈公轉的時間等於原本完成formula_140圈公轉的時間。這種產生閉合軌道的方法不違背伯特蘭定理，因為，增添的立方反比力與粒子的原本角動量有關。