標架叢

數學中，標架叢是一個與任何向量叢 "E" 相伴的主叢。F("E") 在一點 "x" 的纖維是 "E""x" 的所有有序基或曰標架。一般線性群透過基變更自然作用在 F("E") 上，給出標架叢一個主 GL"k"(R)-叢結構，這裡 "k" 是 "E" 的秩。一個光滑流形的標架叢是與其切叢相伴的叢。因此它有經常稱為切標架叢（--定義與構造.設 "E" → "X" 是拓撲空間 "X" 上一個 "k" 階實向量叢。在點 "x" ∈ "X" 的一個標架是向量空間 "E""x" 的一個有序基。等價地，一個標架可以視為線性同構formula_1在 "x" 的所有標架集合，記作 "F""x"，所有可逆 "k"×"k" 矩陣組成的一般線性群 GL"k"(R) 在它上面有一個自然右作用：一個群元素 "g" ∈ GL"k"(R) 透過複合作用在 "p" 的標架上給出一個新標架formula_2GL"k"(R) 在 "F""x" 上這個作用是自由傳遞的。作為一個拓撲空間 "F""x" 同胚於 GL"k"(R)，但它沒有群結構，因為沒有“優先的標架”。空間 "F""x" 稱為一個 GL"k"(R)-torsor。"E" 的標架叢，記作 F("E") 或 FGL("E")，是所有 "F""x" 的不交併：formula_3F("E") 中每個點是一個二元組 ("x", "p")，其中 "x" 是 "X" 中一點而 "p" 是 "x" 處一個標架。存在自然投影 "π" : F("E") → "X" 將 ("x", "p") 送到 "x"。群 GL"k"(R) 如上右作用在 F("E") 上。這個作用顯然是自由的且軌道恰是 "π" 的纖維。標架叢 F("E") 可給一個自然的拓撲，其叢結構由 "E" 確定。設 ("U""i", "φ""i") 是 "E" 的一個區域性平凡化。則對每個 "x" ∈ "U""i" 有一個線性同構 "φ""i","x" : "E""x" → R"k"。這個資料決定了一個雙射formula_4由下式給出formula_5有了這個雙射後，每個 "π"−1("U""i") 可賦予 "U""i" × GL"k"(R) 的拓撲。則 F("E") 上的拓撲是由包含對映 "π"−1("U""i") → F("E") 餘誘導的最終拓撲。有了上面所有資料後，標架叢 F("E") 成為 "X" 上一個結構群為 GL"k"(R) 的主纖維叢，具有區域性平凡化 ({"U""i"}, {"ψ""i"})，可以驗證 F("E") 的轉移函式與 "E" 的相同。上面所有工作對光滑範疇也成立：如果 "E" 是光滑流形 "M" 上一個光滑向量叢，則 "E" 的標架叢可賦予 "M" 上光滑主叢結構。相伴向量叢.向量叢 "E" 與它的標架叢 F("E") 是相伴叢。每一個決定了另一個。標架叢 F("E") 可如上由 "E" 構造出來，或更抽象地利用。在後一個方法中，F("E") 與 "E" 有同樣底、平凡化鄰域以及轉移函式，但有抽象纖維 GL"k"(R)，這裡結構群 GL"k"(R) 作用在纖維 GL"k"(R) 上是左乘。給定一個線性表示 "ρ" : GL"k"(R) → "V"，有一個向量叢相伴與 F("E")formula_6它由乘積 F("E") × "V" 模去等價關係 ("pg","v") ~ ("p","ρ"("g")"v")，對所有 "g" 屬於 GL"k"(R)，給出。記等價類為 ["p","v"]。向量叢 "E" 自然同構於叢 F("E") ×"ρ" R"k"，這裡 "ρ" 是 GL"k"(R) 在 R"k" 上的基本表示。同構由formula_7給出，這裡 "v" 是 R"k" 中一個向量而 "p" : R"k" → "E""x" 是 "x" 處一個標架。容易驗證這個對映是良定義的。任何相伴與 "E" 的向量叢可由如上構造給出。例如，"E" 的對偶叢由 F("E") ×"ρ"* (R"k")* 給出，這裡 "ρ"* 是基本表示的對偶。"E" 的張量叢可類似地構造。切標架叢.一個光滑流形 "M" 的切標架叢是與 "M" 的切叢相伴的標架叢。 "M" 的標架叢通常記作 F"M" 或 GL("M") 而不是 F("TM")。如果 "M" 是 "n"-維的則切叢的秩為 "n"，所以 "M" 的標架叢是 "M" 上一個主 GL"n"(R) 叢。光滑標架."M" 的標架叢的區域性截面稱為 "M" 上的光滑標架。主叢橫截定理說 "M" 中任何有光滑標架的開集 "U" 上標架叢是平凡的。給定一個光滑標架 "s" : "U" → F"U"，平凡化 "ψ" : F"U" → "U" × GL"n"(R) 由formula_8給出，這裡 "p" 是 "x" 處一個標架。從而一個流形是可平行化的當且僅當 "M" 的標架叢有一個整體截面。因為 "M" 的切叢在 "M" 的任何座標鄰域是可平凡化的，故標架叢也是。事實上，給定任何座標鄰域 "U" 帶有座標 ("x"1,…,"x""n")，座標向量場formula_9定義了 "U" 上一個光滑標架。在標架叢上工作的一個好處是它們允許我們處理標架而不是座標架；我們可選取對手中問題合適的標架。這有時稱為活動標架法。焊接形式.流形 "M" 的標架叢是一類特殊的主叢，它的幾何本質上繫於 "M" 的幾何。這種關係可用 F"M" 上一個稱之為焊接形式向量值 1-形式表示。設 "x" 是流形 "M" 上一點，"p" 是 "x" 處一個標架，故formula_10是 R"n" 與 "M" 在 "x" 處切叢的一個線性同構。F"M" 的焊接形式是一個 R"n"-值 1-形式 "θ"，定義為formula_11這裡 "ξ" 與 F"M" 相切於 ("x","p")，"p"-1:T"x""M" → R"n" 是標架對映的逆，d"π" 是投影對映 "π": F"M" → "M" 的微分。焊接形式是水平的，它在與 "π" 的纖維相切的向量上為零，以及右等變，即formula_12這裡 "R""g" 是由 "g" ∈ GL"n"(R) 的左平移。F"M" 上這樣性質的形式稱為基本或張量性形式。這樣的形式與 "TM"-值 1-形式一一對應，從而與 "M" 上光滑叢對映 "TM" → "TM" 一一對應。這樣看來，"θ" 恰好是 "TM" 上恆等對映。標準正交標架叢.如果向量叢 "E" 配有一個黎曼叢度量，則每個纖維 "E""x" 不僅是一個向量空間而且是一個內積空間。這樣便可以討論 "E""x" 的所有標準正交標架集合。"E""x" 的一個標準正交標架是 "E""x" 的一個有序標準正交基，或等價地，一個等距線性同構formula_13這裡 R"k" 配有標準歐幾里得度量。正交群 O("k") 透過右複合自由傳遞作用在所有標準正交標架上。換句話說，所有標準正交標架集合是一個右 O("k")-torsor。"E" 的標準正交標架叢，記作 FO("E")，是在底空間 "X" 上每一點 "x" 處的所有標準正交標架集合。它可用完全類似於通常標架叢的方法構造出來。秩 "k" 的黎曼向量叢 "E" → "X" 的標準正交標架是 "X" 上一個主 O("k")-叢。同樣，此構造在光滑範疇一樣成立。如果向量叢 "E" 可定向，則我們可定義 "E" 的定向標準正交標架叢，記作 FSO("E")，是所有正定向標準正交標架叢，這是一個主 SO("k")-叢。如果 "M" 是一個 "n"-維黎曼流形，則 "M" 的標準正交標架叢，記作 FO"M" 或 O("M")，是與 "M" 的切叢相伴的標準正交標架叢。如果 "M" 可定向，則也有定向標準正交標架叢 FSO"M"。給定一個黎曼向量叢 "E"，標準正交標架叢是一般線性標架叢的 O("k")-子叢。換句話說，包含對映formula_14是一個主叢對映。我們說 FO("E") 是 FGL("E") 的結構群從 GL"k"(R) 到 O("k") 的約化。"G"-結構.如果光滑流形 "M" 有額外的結構，通常自然地考慮 "M" 全標架叢的一個適應於給定結構的子叢。例如，如果 "M" 是一個黎曼流形，我們從上面看到自然地去考慮 "M" 的標準正交標架叢。標準正交標架叢只不過是FGL("M") 的結構群到正交群 O("n") 的約化。一般地，如果 "M" 是一個光滑 "n"-流形，"G" 是 GL"n"(R) 的一個子李群，我們定義 "M" 上一個 G-結構為 FGL("M") 結構群到 "G" 的一個約化。具體地說，這是 "M" 上一個主 "G"-叢 F"G"("M")，以及 "M" 上一個 "G"-等變叢對映formula_15在這種語言中，"M" 上一個黎曼度量給出 "M" 上一個 O("n")-結構。下面是其它一些例子。在某些例子中，"M" 上一個 "G"-結構惟一確定了 "M" 上對應的結構。例如 "M" 上一個 SL"n"(R)-結構確定了 "M" 上一個體積形式。但是，在某些情形，比如辛與複流形，需要一個可積性條件。"M" 上一個 Sp2"n"(R)-結構惟一確定了 "M" 上一個非退化 2-形式，但對 "M" 是辛的，這個 2-形式必須也是閉的。