龐特里亞金對偶性

在數學上，特別是在調和分析與拓撲群的理論中，龐特里雅金對偶定理解釋了傅立葉變換的一般性質。它統合了實數線上或有限阿貝爾群上的一些結果，如：此理論由龐特里亞金首開，並結合了約翰·馮·諾伊曼與安德烈·韋伊的哈爾測度理論，它依賴於區域性緊阿貝爾群的對偶群理論。哈爾測度.一個拓撲群formula_1被稱作區域性緊的，若且唯若其單位元素e有個緊鄰域。明白地說，這代表存在一個包含e的開集formula_2，使得它在formula_1裡的閉包formula_4是緊的。區域性緊群formula_1最值得注意的性質之一是它帶有一個唯一的自然測度，稱作哈爾測度，這使得我們可以一致地為formula_1中「夠好」的子集測量大小；在此「夠好」的明確意義是博雷爾集，即由緊集生成的σ-代數。更明確地說，區域性緊群formula_1的一個右哈爾測度是指一個有限可加的博雷爾測度μ，並在formula_8的意義下滿足「右不變性」；此測度尚須滿足一些正則性。任兩個右不變哈爾測度至多差一個正的比例常數。準此要領，亦可定義左不變哈爾測度，當formula_1是阿貝爾群時兩者符應。此測度讓我們得以定義formula_1上的複數值博雷爾函式的積分，特別是可以考慮相關的formula_11空間：formula_12以下是區域性緊阿貝爾群的若干例子：對偶群.若formula_1是區域性緊緻阿貝爾群，formula_1的特徵標是一個從formula_1到圓群formula_16的連續群同態；特徵標在逐點乘法下構成一個群，一個特徵標的反元素是它的複共軛。可證明所有formula_1上的特徵標在緊緻開拓撲下構成一個區域性緊緻阿貝爾群，稱作對偶群，記為formula_23或formula_24。若formula_1可分，則formula_23可度量化，對一般的formula_1則不盡然。這可用線性代數中的對偶空間來類比，就像一個佈於formula_28的向量空間formula_2有對偶空間formula_30，對偶群可看成formula_31。更抽象的說，這兩者都是可表函子，被formula_28及formula_16所表示。定理：二次對偶formula_34與formula_1有個自然同構。在此，「自然」或「典範」同構意謂一個「自然地」定義的對映formula_36，要點是它在範疇中滿足函子性。舉例明之：任何有限阿貝爾群都同構於其對偶群，但並不存在典範同構。定理中的自然同構定義如下：formula_37。換言之，我們藉著將一個元素formula_38在每個formula_1的特徵上求值，得到一個formula_23上的特徵。例子.在整數對加法形成的無窮迴圈群formula_41 上，設χ為一特徵，則formula_42，因此χ決定於χ(1)的值；反之，給定一個formula_43，必存在特徵χ使得χ(1)=α，由此得到群同構formula_44。此外也容易驗證formula_45上的緊-開拓撲對應到formula_16誘導自formula_47的拓撲。因此，formula_15的對偶群自然地同構於formula_16。反之，formula_16上的特徵皆形如formula_51，其中"n"是整數。由於formula_16是緊的，其對偶群上的拓撲由一致收斂性給出，對應的不外是formula_41上的離散拓撲。因此formula_16的對偶群自然地同構於formula_41。實數對加法構成的群formula_56同構於自身的對偶群；formula_14上的特徵皆形如formula_58，其中"r"是實數。藉著這些對偶性，下節描述的傅立葉變換將符應於formula_14上的古典版本。傅立葉變換.對於一個區域性緊阿貝爾群formula_1，傅立葉變換的值域是其對偶群。設formula_61，則其傅立葉變換是下述formula_23上的函式：formula_63其中μ是formula_1上的一個哈爾測度。可以證明formula_65是formula_23上的有界連續函式，且在無窮遠處趨近零。同理可給出formula_67的傅立葉逆變換formula_68其中ν是formula_23上的一個哈爾測度。群代數.區域性緊阿貝爾群formula_1上的可積函式構成一個代數，其乘法由卷積給出：設formula_71，則卷積定義為formula_72。定理：巴拿赫空間formula_73在卷積下構成一個交換結合代數。此代數稱作formula_1的群代數。根據formula_73的完備性，它是個巴拿赫空間。巴拿赫代數formula_73一般沒有乘法單位元，除非formula_1離散。但它有個近似單位元，這是個網，以一有向集formula_78為索引，寫作formula_79並滿足下述性質。formula_80。傅立葉變換將卷積映至逐點乘法，即：formula_81。特別是，對任意formula_1上的特徵χ，可在群代數上定義一"積性線性泛函"formula_83。群代數的重要性質之一，在於這些線性泛函窮竭了群代數上所有非平凡的積性線性泛函。見"Loomis"著作的第34節。普朗歇爾暨傅立葉反轉定理.如前所述，一個區域性緊阿貝爾群formula_1的對偶群依然是區域性緊阿貝爾群，因而帶有一族哈爾測度，彼此至多差一個比例常數。定理：對偶群上存在一個哈爾測度，使得傅立葉變換在緊支集連續函式空間上的限制為等距同構。它可以唯一地延拓為一個麼正運算元。formula_85其中formula_86是對偶群上既取的哈爾測度。注意到：若formula_1非緊，formula_73並不包含formula_89，所以我們須訴諸一些技巧，例如限制於一個稠密子空間。依循"Loomis"書中術語，我們稱一對formula_1與其對偶群上的哈爾測度formula_91是"相繫的"，若且唯若傅立葉反轉公式成立。傅立葉變換之麼正性遂蘊含：對所有formula_1上的連續緊支集複數值函式formula_93都有formula_94在平方可積函式空間上，我們考慮的傅立葉變換是透過上述麼正延拓得到的運算元。對偶群本身也有個傅立葉逆變換；它可以刻劃為傅立葉變換之逆，這是以下傅立葉反轉公式的內涵。定理：取定一對相繫哈爾測度formula_91；對於傅立葉變換在緊支集連續函式上的限制，其伴隨運算元是傅立葉逆變換：formula_96formula_99formula_100玻爾緊化.龐特里亞金對偶定理的重要應用之一是下述刻劃：定理：一個區域性緊阿貝爾群formula_1為緊，若且唯若對偶群formula_23為離散。另一方面，formula_1為離散若且唯若formula_23為緊。對任何拓撲群，無論區域性緊或交換與否，皆可定義玻爾緊化。上述對偶性的用處之一是刻劃區域性緊阿貝爾群的玻爾緊化。對一個區域性緊阿貝爾群formula_1，考慮拓撲群formula_111，其中formula_112就群結構而言是formula_23，但帶離散拓撲。由於下述包含對映formula_114是個連續同態，其對偶同態formula_115是個映至一個緊群的同態；可以證明它滿足定義玻爾緊化的泛性質，因而formula_111確為formula_1的玻爾緊化。範疇論觀點.函子的觀點對於研究對偶群是很有用的。以下將以LCA表示所有區域性緊阿貝爾群及其間的連續群同態構成之範疇。對偶群的構造formula_118給出一個對偶函子formula_119。其二次迭代formula_120遂給出函子formula_121。定理：對偶函子是一個範疇等價。定理：對偶函子的二次迭代自然同構於LCA上的恆等函子。此同構可以類比於有限維向量空間的二次對偶。龐特里亞金對偶性將離散群與緊群的子範疇交換。若formula_122是一個環，而formula_1是個左formula_122-模，則從對偶性可推知離散左formula_122-模與緊右formula_122-模對偶。LCA裡的自同態環formula_127依對偶性對應至其反環。舉例明之：取formula_128，則formula_129；前者滿足formula_130，對後者亦然。非交換理論.對非交換群formula_1沒有類似的理論，因為此時對偶的物件formula_23={formula_1的不可約表示之同構類}不只有一維表示，因此不構成一個群。在範疇論中類似的推廣稱作Tannaka-Krein對偶定理；但它缺乏與調和分析的聯絡，因而無法處理關於formula_23上的普朗歇爾測度的問題。某些非交換群的對偶理論以C*-代數的語言表述。源流.龐特里亞金在1934年為區域性緊阿貝爾群及其對偶性的理論奠下基礎。他的進路須假定群是第二可數的，並且是緊群或離散群。此條件先後由E.R. van Kampen改進為區域性緊阿貝爾群。下列書籍都有區域性緊阿貝爾群、對偶定理與傅立葉變換的相關章節。Dixmier的著作有非交換調和分析的材料，也有英譯本。