絕熱不變數

絕熱不變數，又稱浸漸不變數或緩漸不變數，是指一個物理系統中，經過一個緩慢的變化而幾乎保持不變的物理量，比如理想氣體在絕熱過程中的熵。這可以理解為，物理系統從一個狀態向另一個狀態過渡時，假如這個過程的持續時間趨向於無窮大，那麼絕熱不變數的變化就趨向於零。浸漸不變數有一種錯誤的寫法是寢漸不變數。出現這種錯誤的原因是繁體“浸”的一種字型是“寖”，和“寢”很像。在熱力學中，絕熱過程是一個隔絕系統與外界熱交換的過程，可快可慢。如果一個熱力學過程發生得非常緩慢，以至於比體系達到平衡還要慢，那麼這個過程就是可逆的，也被稱為準靜態過程。在可逆的絕熱過程中，系統時刻保持平衡，而且系統的熵是定值。在20世紀上半葉，量子物理學家用“絕熱過程”來描述可逆的絕熱過程和其他緩慢變化的過程。這種量子力學的定義更接近於熱力學中的準靜態過程，與絕熱過程沒有直接關係。在力學裡面，絕熱變化是哈密頓函式的緩慢變化，其中能量的相對變化速度要遠遠緩於週期運動的頻率。相空間內，週期運動軌道所圍成的體積就是絕熱不變數。在量子力學中，絕熱變化的變化率遠遠低於本徵態間的頻率差。在這種情況下系統的能級不會變化，所以系統的量子數是絕熱不變數。在舊量子論中，系統的量子數等於經典的絕熱不變數。這就確定了玻爾-索末菲量子化條件：量子數等於相空間內運動軌道所圍成的體積。在等離子體物理學中，絕熱不變數有三個μ、J、Φ，每個都與不同型別的週期性運動相對應。熱力學.在熱力學中，可逆絕熱過程是熵不會增加的過程。在這種情況下，所有的變化發生得比較緩慢，使得系統時刻保持平衡，而且只允許相同溫度的子系統間發生熱交換。對於孤立系統，絕熱過程不允許熱量流入或者流出。理想氣體的絕熱膨脹.如果一個裝有理想氣體的容器在瞬間膨脹，那麼其中氣體的溫度不會改變，因為氣體分子並不會改變速度。此時分子平均動能不變，然而氣體的體積卻增加了。然而，如果容器膨脹得比較緩慢，使得理想氣體壓強定律時刻適用，那麼氣體分子的動能會不斷減少，而且減少的動能用來向膨脹的容器壁做功。功的數值是壓強乘上容器壁面積再乘上向外的位移，也就是壓強乘上氣體體積增加量：formula_1如果氣體沒有吸熱，那麼氣體的內能會減少相同的大小。根據定義，理想氣體的內能只是分子平均能量的函式，而與體積無關，所以formula_2其中formula_3是每個分子的定容熱容。當氣體內能的變化完全是由於對容器壁做功而引起，那麼溫度的變化量由下式給出：formula_4這就得到了溫度和體積變化關係的微分方程，這樣就可以積分得到不變數。常數formula_5是玻耳茲曼常數，透過採用自然單位制，我們可以視其為1：formula_6因此formula_7是一個絕熱不變數。它和理想氣體的熵formula_8有關：formula_9所以，理想氣體的熵也是個絕熱不變數。formula_10項使得熵具有可加性，成為廣延量，故兩團理想氣體的熵就是它們各自的熵相加。在微觀表述下，一個擁有formula_11個粒子的系統，formula_8是formula_11維相空間裡所有滿足能量為formula_14和體積為formula_15的狀態數的對數。對於一團單原子的理想氣體，這很容易算出來。我們先寫出系統的能量：formula_16滿足總能量為formula_17的各種粒子的狀態在相空間內確定了一個球面。這個球面是一個formula_11維的，半徑為formula_19的球的表面。這個球的體積是formula_20，其中formula_21是伽馬函式。由於每個氣體分子都可以在體積formula_15內部的任意位置存在，所以相空間內總能量為formula_17的氣體狀態佔有的體積是formula_24。由於formula_25個氣體分子是全同的，所以相空間內戰友的體積要除以formula_26，也就是formula_25個粒子的全排列。對伽馬函式應用斯特林公式，忽略當formula_25趨於無限時的有限常數項，formula_29formula_30由於單原子理想氣體的定容熱容是formula_31，我們可以看到這和熱力學匯出的熵函式是一樣的。維恩定律，光子氣體的絕熱膨脹.對於一盒處於熱力學平衡的熱輻射，在忽略量子力學效應的情況下，其中的經典電磁場的能量是無窮大的，因為能量均分原理要求每一種頻率的輻射都有相同大小的能量，然而熱輻射的頻率由無窮多種。這在物理上是荒謬的，因為這就意味著所有的能量都會以高頻電磁波耗散。然而，即使忽略量子力學，我們還是可以單單從熱力學中匯出一些關於熱力學平衡分佈的性質，因為絕熱不變數可以推廣到體積可變的光子氣體上。當光子氣體的體積緩慢增大，因為碰壁而被反射的光的頻率可以透過多普勒頻移得出。當容器壁靜止，則光反射時不改變頻率。當容器壁緩慢移動，則僅僅在與容器壁固連的參考系中，反射光的頻率才不會變。當容器壁向外移動，那麼反射光會發生紅移，頻率的改變數formula_32由下式給出：formula_33同時，光的能量也會因體積膨脹而減少，因為光壓對容器壁做正功。由於光被反射，光壓等於兩倍的光動量，也就是formula_34。光壓做功功率等於光壓乘上速度：formula_35綜合上述兩式，我們發現光的頻率的改變數和能量的改變數成比例關係：formula_36由於光子氣體的緩慢膨脹會保持熱力學分佈不變，那麼我們可以得出，能量為formula_17的光剛好具有頻率formula_38的機率一定是formula_39的函式。這個分佈函式無法僅僅從熱力學推匯出來，不過維恩猜測了一種在高頻率的情況下成立的分佈函式形式。他假設分佈函式有一個玻爾茲曼因子。這並不符合經典熱力學，因為在經典熱力學的情況下這個因子是formula_40，然而此時維恩以一個新的，未經證實的卻符合高頻範圍實驗資料的假設因子取代之：formula_41當所有空腔內的頻率的能量的期望值相加，我們便得到了維恩分佈。這是一種描述經典光子氣體的熱力學分佈。維恩定律蘊含了光是一份份，也就是量子化地傳遞能量的假設。維恩的光子氣體的熵正比於體積的formula_25次方，其中formula_25是光的“份”數。這啟發了愛因斯坦提出光量子的假說，其中光量子的能量正比於其頻率。這樣，光子氣體的熵就具有了統計學意義，也就是光子在容器內可能存在的位置數。經典力學，作用量.假設哈密頓函式緩慢變化。比如，一個頻率可變的一維諧振子：formula_44這個經典週期運動的作用量formula_45是相空間內運動軌道圍成的體積：formula_46由於formula_45是一個完整週期的積分，所以formula_45只是能量的函式。當哈密頓函式不隨時間改變，即formula_45是常數，正則共軛座標formula_50就會隨時間線性增大。formula_51所以在求作用量formula_45時，在週期運動路徑上的對時間formula_53的積分，可以用常數formula_54來轉換為對formula_50的積分。將formula_45的積分式對formula_45求導，可以得到一個固定了formula_54的恆等式：formula_59被積函式是formula_60和formula_61的泊松括號。對於兩個正則共軛量，比如formula_60和formula_61，在任何正則座標系內都恆等於1。所以formula_64於是formula_54就是週期的倒數。formula_50對於所有的formula_45，都是一個隨時間線性增大的變數。formula_50是一個角度變數。formula_45的絕熱不變數.哈密頓函式僅僅是作用量formula_45的函式，對於最簡單的諧振子，formula_71當formula_72不隨時間變化，formula_45就是個常數。當formula_72緩慢地隨時間變化，formula_45的變化率可以透過重寫formula_45的積分表示式得到：formula_77該式對時間的導數是formula_78接下來我們把時間的微分用角度formula_50的微分表示。應用formula_80並設formula_81以不失一般性，我們就能得到formula_82只要formula_45和formula_50在每一個週期裡都變化不大，上式都可以分部積分，從而等於0。這說明緩慢變化中，作用量的變化量的一階小量等於0。這就是絕熱不變數定理：作用量是絕熱不變數。對於一個諧振子，當能量為formula_17時，作用量formula_45，也就是相空間內沿著週期運動路徑圍成的面積，是一個橢圓的面積。這個橢圓代表能量formula_17：formula_88橢圓的半長軸是formula_89，半短軸是formula_19。得到作用量formula_91。所以假如一個單擺被緩慢收緊，其頻率會變化，而能量也會以相同比例變化。舊量子論.當普朗克發現可以透過向熱輻射新增經典的能量均分原理，而將維恩定律推廣到所有頻率，甚至低頻的時候，物理學家們想了解其他系統的量子化行為。普朗克輻射定律定量地指出，電磁場的能量是以一小份為單位的，每一份正比於電磁場的頻率：formula_92從絕熱不變數可以推出每一個量子之與能量和頻率的商有關，而且由於能量必須具有可加性，那麼每一個能級的寬度必須是相等的。愛因斯坦以及其後的德拜，透過考慮以量子化的振子來描述固體中聲波傳播的機制，發展了量子力學。這個模型解釋了當溫度非常低的時候，固體的熱容不遵守經典能量均分原理formula_93，而趨於0的原因。在索爾維會議上，量子化其他物理學的問題被提了出來。洛倫茲指出了一個問題。考慮一個量子化的，擺長非常緩慢減小的單擺，其量子數是無法改變的，因為不存在一個足夠高的頻率以實現兩種狀態的過渡。然而事實上單擺的頻率隨著擺線變短而改變，所以量子態的能量也會改變。愛因斯坦解釋說，對於緩慢的擺線收緊，單擺的頻率和能量都會變化，但比值保持不變。與其很相似的是，維恩觀察到在緩慢增大一個熱輻射腔的體積的時候，熱輻射的能量和頻率的比值是定值。最後的結論是，量子化的物件必須是絕熱不變數。這場討論被索末菲發展到了一個更一般的理論：任何一個力學系統的量子數都是由絕熱不變數給出。由於諧振子的的作用量是一個整數，那麼一般化的量子化條件是：formula_94這個量子化條件是舊量子論的基石，可以定性預測原子系統的行為。這個理論對於量子數比較小的系統並不精確，因為這個理論糅合了經典和量子力學。不過，這是向新量子論邁出的重要一步。等離子體物理.第一種絕熱不變數，磁矩μ.μ是旋轉粒子的磁矩，定義為：formula_95磁矩μ在時間和空間變化的磁場B中均恆定，因此它滿足絕熱不變數的定義條件，對應於拉莫爾迴轉這一週期性運動。運動積分計算如下：formula_96在formula_97不變的情況下，磁矩μ為運動常數。這是在假定formula_98的情況下；在以formula_99為參量的展開式中，不論展開到哪一階，磁矩μ均恆定。在一次拉莫爾迴轉的迴轉週期內，磁矩μ的變化遠遠小於磁場B的變化。μ非絕熱不變數的情形.formula_100時，μ非絕熱不變數，常見的例子有以下三種：第二種絕熱不變數，J.兩個磁鏡間，被俘獲的一個粒子，以反跳頻率做週期運動。這一週期性運動所對應的絕熱不變數稱為縱向不變數，通常記作J，定義如下：formula_106,比如，在地磁場所產生的磁鏡中，大量粒子被捕獲，這些粒子繞地球在徑向上緩慢漂移，這一過程發生在電離層中。而且，儘管地磁場在太陽風的作用下並不對稱，粒子們仍然會回到同一條磁力線上。J非絕熱不變數的情形.在渡越時間磁抽運的情形中，等離子體被加熱，磁場的變化的時間小於反跳時間，因而J不守恆，也即J非絕熱不變數。第三種絕熱不變數，Φ.對應於導向中心環繞地球的粒子緩慢漂移這一週期性運動，存在第三種絕熱不變數，即漂移表面所包圍的總磁通量Φ。但由於地磁場B的漲落比起這一漂移來，要迅速的多，因而這一不變數基本上沒有什麼應用性可言。Φ非絕熱不變數的情形.在激發電離層磁流體波時，粒子在環繞地球漂移一週時能碰到同一相位的波，如果相位恰當，波可以從粒子獲得能量而被激發，此時，Φ非絕熱不變數