譜序列

在同調代數中，譜序列是一種藉著逐步逼近以計算同調或上同調群的技術，由讓·勒雷在1946年首創。其應用見諸代數拓撲、群上同調與同倫理論。動機.讓·勒雷當初為了研究代數拓撲學，而引入層的概念，從而面臨計算層上同調的問題。為此，勒雷發明瞭現稱勒雷譜序列的計算方法，它聯絡了一個層的上同調群與其正像的上同調群。人們很快就發現：勒雷譜序列只是一個特例。譜序列還現身於纖維化等幾何問題；更抽象地說，對合成函子取導函子也會得到譜序列，稱為格羅滕迪克譜序列。雖然導範疇在理論層面提供了較簡鍊的框架，譜序列仍是最有效的計算工具。由於譜序列包含大量的項，實際計算時往往會陷入帶三重指標的群或模的迷陣。在許多實際狀況中，譜序列最後會「塌陷」，此時譜序列可以給出明確的資訊。若譜序列不塌陷，則須靠一些竅門取得有用的資訊。形式定義.以下固定一個阿貝爾範疇 formula_1，常見例子是一個環上的模範疇。譜序列是一個非負整數 formula_2 及下述資料：通常省去 formula_7 與 formula_8 的同構，而寫成等式。最基本的例子是鏈複形 formula_11，它帶有一個微分 formula_12。取 formula_13，並令 formula_14，於是必有 formula_15；這個新鏈複形上的微分只有一個自然的選擇，就是零對映。於是有 formula_16。綜之，我們得到一個鏈複形範疇上的譜序列：由於只有 formula_19 時微分對映才可能非零，此序列在第一步後就不含任何新資訊。較常見的是雙分次模範疇上的譜序列，表作 formula_20，此時的微分對映次數與 formula_21 有關：對於上同調譜序列，formula_5 的次數是 formula_23。對於同調譜序列，通常將各項寫成 formula_4，微分對映 formula_25 的次數是 formula_26。譜序列之間的態射 formula_27 定義為一族態射 formula_28，使之與同構 formula_29 交換。譜序列對此構成了一個阿貝爾範疇。正合偶.交換代數中大部分的譜序列來自鏈複形，而已知構造譜序列最有力的方法是 William Massey 的正合偶。正合偶在代數拓撲學中很常見，此時對於許多譜序列，正合偶是唯一已知的構造法。事實上，正合偶可以用來構造所有已知的譜序列。同樣固定一個阿貝爾範疇formula_1，一個正合偶是：使之滿足下述正合條件：將這組資料簡記為 formula_35。正合偶通常以三角形表示。formula_36 對應到譜序列的 formula_37 項，而 formula_38 是一些輔助資料。為了得到譜序列的後續項，以下將構造匯出偶。令：現在可以驗證 formula_54 構成正合偶。formula_52 對應到譜序列的 formula_56 項。續行此法，可以得到一族正合偶 formula_57。相應的譜序列定義為 formula_58，formula_59。圖解.一個雙分次譜序列含有大量要追蹤的資訊，不過有個常見的圖解法有助於闡明其結構。以下取上同調譜序列為例。在此有三個指標 formula_60。對每個 formula_21，設想有一張方格紙，分別讓 formula_62 對應於橫、縱軸。每一個格子點 formula_63 對應到物件 formula_20。微分 formula_65 的次數為 formula_66，方向如圖所示。收斂與退化.在第一個簡單的例子中，譜序列在 formula_67 後的微分對映皆為零，故不再改變。這時可定義該譜序列的極限為 formula_68。對於一般的譜序列，也往往存在一個極限，極限與各項的關係可說是譜序列的眾妙之門。定義：若譜序列 formula_20 對每個 formula_63 都存在 formula_71，使得當 formula_72 時，formula_73 及 formula_74 皆為零，則稱 formula_20 之極限項為 formula_76。最常見的例子是集中在第一象限的譜序列，此時極限項恆存在。其中的指標 formula_78 指涉過濾結構。若存在物件 formula_79、過濾結構 formula_80，及一族同構 formula_81，滿足 formula_82，則稱 formula_20 收斂到 formula_79，通常表為下述符號：formula_85習慣上，人們也常將左式寫成 formula_86，因為譜序列中最重要的頁往往是 formula_86。最簡單的收斂特例是退化：定義：固定 formula_88，若對每個 formula_89，微分對映 formula_90 都是零，則稱該譜序列在第 formula_21 頁退化。退化性保證了 formula_92，此時 formula_4 即其極限。如果一個雙分次譜序列 formula_20 的非零項集中於某一條水平或垂直線上，則必在 formula_95 時退化。例子.過濾結構導出的譜序列.最常見的譜序列之一來自帶有過濾結構的物件，通常是鏈複形或上鏈複形。這是一個物件 formula_36 及微分對映 formula_97 ，使之滿足 formula_98，以及formula_99formula_100同調群上也有相應的過濾formula_101對此，定義相應的分次物件formula_102formula_103取微分對映為零，可視之為複形。以下式定義譜序列：formula_104formula_105此時有 formula_106，且譜序列收斂：formula_107通常也寫成 formula_108。取 formula_1 為取值在某個阿貝爾範疇中的上鏈複形範疇。此時的物件 formula_36 是個上鏈複形 formula_111，formula_12 是上鏈複形的微分對映。上述譜序列帶有三個指標 formula_113，並可進一步化成下述形式：formula_114formula_115formula_116雙複形的譜序列.以下考慮取值在某個阿貝爾範疇中的雙複形，即一組物件 formula_117，及兩組微分對映 formula_118 及 formula_119，滿足formula_120formula_121對一個雙複形，可定義其全複形 formula_122 為formula_125formula_126formula_36 上有兩組過濾，分別是：formula_128formula_129它們給出兩個譜序列 formula_130 與 formula_131。首先計算 formula_132 項：formula_133formula_134formula_135同理可計算 formula_136：formula_137formula_138formula_139。這兩個譜序列通常是不同的，但隨著 formula_21 增大，它們都收斂到 formula_141，由此可以得到一些有趣的比較定理。例子.Tor函子的交換性.利用譜序列，可以迅速匯出Tor函子的交換性，即一自然同構：formula_142取定平坦分解 formula_143 及 formula_144。視之為集中於正項的複形，其微分對映分別記為 formula_145。考慮雙複形 formula_146，其微分對映定義為 formula_147。取其譜序列，遂得到：formula_148formula_149由於複形 formula_150 是平坦分解，其同調群只集中在零次項，此時其表示式為：formula_151formula_152故 formula_153 只在 formula_154 上有非零項，而 formula_155 只在 formula_156 上有非零項，這保證了譜序列在第二頁退化，由此匯出同構：formula_157formula_158當 formula_159 時，上述等式的右項同構，由此得到 Tor 的交換性。示性數.運用譜序列時，通常會假設某些項為零，或假設譜序列在第一或第二頁退化。但有時儘管對各項及微分對映一無所知，仍可從譜序列中萃取資訊，最簡單的例子是示性數：固定一個阿貝爾範疇 formula_1 及一個交換群 formula_36，所謂示性數是一個函式 formula_162，滿足：例如：取 formula_1 為某個域 formula_166 上的有限維向量空間範疇，則 formula_167 是一個示性數。對任一 formula_1 上的有限複形 formula_169，定義formula_170容易證明 formula_171。考慮任一在 formula_1 上的收斂譜序列 formula_173，由於譜序列的每一頁都是前一頁的同調，遂得到formula_174然而formula_175於是得到formula_176