三角函式

三角函式是數學很常見的一類關於角度的函式。三角函式將直角三角形的內角和它的兩邊的比值相關聯，亦可以用單位圓的各種有關線段的長的等價來定義。三角函式在研究三角形和圓形等幾何形狀的性質時有著重要的作用，亦是研究振動、波、天體運動和各種週期性現象的基礎數學工具。在數學分析上，三角函式亦定義為無窮級數或特定微分方程的解，允許它們的取值擴充套件到任意實數值，甚至是複數值。常見的三角函式有正弦函式、正矢函式和半正矢函式等其它三角函式。不同的三角函式之間的關係可以幾何直觀或計算得出，稱為三角恆等式。三角函式一般用於計算三角形中的未知長度的邊和未知的角度，在導航、工程學和物理學方面都有廣泛的用途。另外，以三角函式為模版，可以定義一類相似的函式，叫做雙曲函式。常見的雙曲函式也稱雙曲正弦函式、雙曲餘弦函式等。歷史.三角函式的早期研究可以追溯到古代。例如古埃及數學家在鑑別尼羅河泛濫後的土地邊界、保持金字塔每邊斜度相同，都使用了三角術，只是他們可能還沒有對這種方式定名而已。古希臘三角術的奠基人是公元前2世紀的喜帕恰斯。他按照古巴比倫人的做法，將圓周分為360等份。對於指定弧度，他給出了對應的弦的長度數值，這記法和現代的正弦函式等價。喜帕恰斯實際上給出了最早的三角函式數值表。然而古希臘的三角學基本是球面三角學。這與古希臘人研究的主體是天文學有關。梅涅勞斯在他的著作《球面學》中使用了正弦來描述球面的梅涅勞斯定理。古希臘三角學與其天文學的應用在埃及的托勒密時代達到了高峰，托勒密在《數學彙編》。1631年徐光啟與鄧玉函、湯若望合撰《大測》首次將三角函式引入中國並確立了正弦、餘弦等譯名。幾何定義.以直角三角形來定義.直角三角形只有銳角：以直角座標系來定義.假設formula_11是平面直角座標系formula_12中的一點，formula_13是橫軸正向formula_14逆時針旋轉到formula_15方向所形成的一個角，formula_16是formula_17到原點formula_18的距離，則formula_9的六種三角函式定義為：這樣可以定義任何角度的三角函式為formula_20的週期函式，如formula_22formula_23正弦、餘弦、正割或餘割的基本週期是formula_20弧度或360°；正切或餘切的基本週期是formula_25弧度或180°。單位圓定義.三角函式亦可以根據直角座標系formula_26中半徑為1，以圓心為原點formula_27的單位圓來定義。指定一角formula_9，假設formula_29為起始點，如果formula_30則將formula_31以逆時針方向轉動，如果formula_32則以順時針方向移動，直到轉過的角度等於formula_9為止。假設最終點"A"轉到的位置為formula_34，那麼基本性質.從幾何定義中能推匯出很多三角函式的性質。例如正弦函式、正切函式、餘切函式和餘割函式是奇函式，餘弦函式和正割函式是偶函式。正弦和餘弦函式的影象形狀一樣，可以看作是沿著座標橫軸平移得到的兩組函式。正弦和餘弦函式關於formula_35軸對稱。正切函式和餘切函式、正割函式和餘割函式也分別如此。三角恆等式.不同的三角函式之間有很多對任意的角度取值都成立的等式，稱為三角恆等式。最著名的是畢達哥拉斯恆等式，它說明對於任何角，正弦的平方加上餘弦的平方必定會是1。這能從斜邊為1的直角三角形應用勾股定理來得出。利用符號形式表示的話，畢達哥拉斯恆等式為formula_36。因此可以推匯出formula_37。formula_38。另一個關鍵聯絡是和差公式，它能根據兩個角度自身的正弦和餘弦而給出它們的和與差的正弦和餘弦。它們可以利用幾何的方法使用托勒密的論證方法來推匯出來；還可以利用代數方法使用尤拉公式來檢定。當兩角相同，和角公式簡化為更簡單的等式，稱為二倍角公式：formula_39formula_40formula_41這些等式還可以用來推導積化和差恆等式，以前曾經利用它把兩數的積變換成兩數的和而像對數那樣使運算更快。還有半形公式：formula_42formula_43formula_44微積分.三角函式的積分和導數可數表、積分表和三角函式積分表。以下是六種基本三角函式的導數和積分。分析學定義.級數定義.在幾何學中，三角函式的定義建立在幾何直觀上，只用幾何和極限的性質就可以直接得知正弦和餘弦的導數。在分析學中，三角函式是解析函式，數學家利用泰勒級數給出了不依賴幾何直觀的代數定義：formula_45formula_46可以證明以上的無窮級數對任意實數formula_47都是收斂的，所以很好地定義了正弦和餘弦函式。三角函式的級數定義經常用作嚴格處理三角函式和起點應用，因為無窮級數的理論可以從實數系的基礎發展而來，不需要任何幾何方面的考慮。這樣，這些函式的可微性和連續性便可以單獨從級數定義來確立。其他三角函式的級數定義：formula_48formula_49formula_50formula_51其中formula_52是伯努利數，formula_53是尤拉數。這些定義也可以看作是每個三角函式作為實函式的泰勒級數。從複分析的一條定理得出，這實函式到複數有唯一的解析擴充套件。它們有同樣的泰勒級數，複數的三角函式是使用上述級數來定義。與指數函式和複數的關系.可以從上述的級數定義證明正弦和餘弦函式分別是復指數函式在它的自變數為純虛數時候的虛數和實數部分：formula_54。尤拉首先注意到這關係式，因此叫做尤拉公式。從中可推出，對實數"x"，formula_55進一步還可定義對複自變數"z"的三角函式：formula_56formula_57formula_58formula_59formula_60較少見的三角函式.除了上述六種基本函式，史上還有下列幾種較少見的三角函式：微分方程定義.三角函式在物理學是研究振動和波不可或缺的工具，如簡諧振動滿足以下微分方程，正弦和餘弦函式都滿足formula_64就是說，它們加上自己的二階導數都等於0函式。在由所有這條方程的解的二維向量空間formula_65中，正弦函式是滿足初始條件formula_66和formula_67的唯一解，而餘弦函式是滿足初始條件formula_68和formula_69的唯一解。因為正弦和餘弦函式是線性無關的，它們在一起形成了formula_65的基。這種定義正弦和餘弦函式的方法本質上等價於使用尤拉公式。。很明顯這條微分方程不只用來定義正弦和餘弦函式，還可用來證明正弦和餘弦函式的三角恆等式。進一步的，觀察到正弦和餘弦函式滿足formula_71，這意味著它們是二階導數運算元的特徵函式。正切函式是非線性微分方程formula_72滿足初始條件formula_73的唯一解。有個非常有趣的形象證明證明了正切函式滿足這微分方程，-的"Visual Complex Analysis"。弧度的重要性.弧度透過測量沿著單位圓的路徑的長度而指定一角，並構成正弦和餘弦函式的特定輻角。特別是，只有對映弧度到比率的那些正弦和餘弦函式才滿足描述它們的經典微分方程。如果正弦和餘弦函式的弧度輻角是正比於頻率的formula_74則導數將正比於“振幅”。formula_75。這裡的formula_76是表示在單位之間對映的常數。如果formula_47是度，則formula_78。如果formula_47是圈，則formula_82這意味著使用度的正弦的二階導數不滿足微分方程formula_83，但滿足formula_84；對餘弦也是類似的。這意味著這些正弦和餘弦是不同的函式，因此只有它的輻角是弧度的條件下，正弦的四階導數才再次是正弦。因為凡是作為函式意義上的正弦、餘弦、正切，都只用弧度定義，而不用360度的角度定義。利用函式方程定義三角函式.在數學分析中，可以利用基於和差公式這樣的性質的函式方程來定義三角函式。例如，取用給定此種公式和畢達哥拉斯恆等式，可以證明只有兩個實函式滿足這些條件。即存在唯一的一對實函式formula_1和formula_2使得對於所有實數formula_47和formula_88，下列方程成立：formula_89formula_90formula_91並滿足附加條件formula_92。從其他函式方程開始的推導也有可能，這種推導可以擴充套件到複數。作為例子，這推導可以用來定義伽羅瓦域中的三角學。計算.計算三角函式是一個十分複雜的主題，由於計算機和提供對任何角度的內建三角函式的科學計算器的廣泛使用，現在大多數人都不再需要了。本節中將描述它在三個重要背景下的計算詳情：歷史上三角函式表的使用、計算機使用的現代技術以及容易找到簡單精確值的一些“重要”角度。在計算機誕生前，人們通常透過對計算到多個有效數字的三角函式表的內插來計算三角函式的值。這種表格在人們剛剛產生三角函式的概念的時候就已經有了，它們通常是透過從已知值開始並重復應用半形和和差公式而生成。現代計算機使用了各種技術。一個常見的方式，特別是在有浮點單元的高階處理器上，是組合多項式或有理式逼近，因為它只用了移位和加法。出於效能的原因，所有這些方法通常都用硬體來實現。對於非常高精度的運算，在級數展開收斂變得太慢的時候，可以用算術幾何平均來逼近三角函式，它自身透過複數橢圓積分來逼近三角函式。三角函式的特殊值.特殊角度可用勾股定理的任何整數倍之正弦、餘弦和正切都可人手計算。以下是常用的特殊函式值。注：formula_96有時會寫作無定義。反三角函式.三角函式屬週期函式而不是單射函式，嚴格來說並沒有反函式，要定義其反函式必須先限制三角函式的定義域，使得三角函式成為雙射函式。基本的反三角函式定義為：對於反三角函式，符號formula_97和formula_98經常用於formula_99和formula_100。使用這種符號的時候，反函式可能跟三角函式的倒數混淆。“formula_101”字首可避免這種混淆，儘管“formula_102”可能偶爾跟“arcsecond”混淆。正如正弦和餘弦那樣，反三角函式也可以根據無窮級數來定義。例如，formula_103這些函式也可以透過證明它們是其他函式的原函式來定義。例如反正弦函式，可以寫為如下積分：formula_104可以在反三角函式條目中找到類似的公式。使用複對數可把這些函式延伸到複數輻角：formula_105formula_106formula_107相關定理.三角函式，正如其名，在三角學十分重要。三角學研究發現了許多利用三角函式來刻畫三角形、圓形或多邊形的定理。正弦定理.正弦定理聲稱對於邊長為formula_108、formula_109和formula_110而相應角為formula_111、formula_112和formula_113的三角形，有：formula_114其中formula_115是三角形的外接圓半徑。正弦定理用於計算已知兩角和一邊時三角形的未知邊長，是三角測量中常見情況，前述為數學常用。至於物理學應用為三分力且合力為0的情況。餘弦定理.餘弦定理是托勒密定理的延伸：formula_116也可表示為formula_117。餘弦定理用於確定三角形已知兩邊和一角時未知的值。formula_118餘切定理.formula_119其中formula_120為三角形的內切圓半徑，formula_121為三角形半周長。週期函式.三角函式在物理也重要，如用正弦和餘弦函式描述簡諧運動，它描述了很多自然現象，比如附著在彈簧上的物體的振動，掛在繩子上物體的小角度擺動。正弦和餘弦函式是圓周運動的一維投影。三角函式在一般週期函式的研究中也很有用。這些函式有作為影象的特徵波模式，在描述迴圈現象比如聲波或光波的時候是很有用的。每個訊號都可以記為不同頻率的正弦和餘弦函式的和；這是傅立葉分析的基礎想法，這裡的三角級數可以用來解微分方程的各種邊值問題。例如，方波可以寫為傅立葉級數formula_122。右邊動畫可見，只用幾項就形成非常準確的估計。只用於實時更新，並非必須來表示