卡爾·弗里德里希·高斯

約翰·卡爾·弗里德里希·高斯的美譽。生平.早年.1777年4月30日，約翰·卡爾·弗里德里希·高斯出生在布倫瑞克-沃爾芬位元爾親王國是一位技術精湛的藝術編制師，他意識到了侄子高斯的天賦異稟，便不時儘自己所能指點高斯。1809年舅父離世時，高斯經常說“一個天生的天才就這樣離去了”。父親格布哈德曾力圖讓高斯走他的老路，成為一名石匠或園丁，不支援高斯接受教育，不過母親和舅父都意識到了高斯的天賦，極力支援和擁護高斯透過教育來發展才能。高斯是數學領域的神童。當高斯的小學老師位元納和其助手意識到他天賦異稟，便向普魯士元帥布倫瑞克-呂訥堡公爵介紹高斯的才能。公爵也很快意識到高斯的才能，便把高斯送往卡羅琳學院並給予經濟支援，1792年至1795年間，高斯在此就讀，其中有一位老師是埃伯哈德·奧古斯特·威廉·馮·齊默爾曼。此後直至1798年，公爵繼續給予和資助高斯在哥廷根大學進行學業，高斯在此學習數學、自然科學和古典學。儘管高斯是一名在校學生，但也是一位自學成才的學生，他獨立地發現了幾個已被發現的重要的數學定理。他於1796年解決了自古希臘時期起就困擾著數學家的幾何問題：他證明了可以透過尺規作圖構造出某些正多邊形產生了許多想法。1798年，高斯完成了他的鉅作《算術研究》，該作直到1801年才正式出版。晚年.晚年的高斯雖然患有痛風，但仍然思維活躍。62歲時，他開始自學俄語，可能是為了閱讀俄羅斯數學家羅巴切夫斯基關於非歐幾里得幾何的著作。 他的最後一次天文觀測是對於1851年7月28日的日食和高斯的學生兼摯友在高斯的葬禮上致悼詞。貢獻.數學.代數和數論.高斯在其1799年的博士論文中清晰地闡明瞭複數的概念和應用，並且嚴格證明了代數基本定理，該定理指出任何一個一元復係數多項式方程都至少有一個複數根，在此之前，包括讓·勒朗·達朗貝爾在內的數學家作出了對此定理錯誤的證明，高斯的論文也包含對達朗貝爾證明的指正。從高斯的數學日記中的條目可知，他至少已於1796年開始研究數論問題，其中他的一些發現已經由其他學者先於其完成。1798年相異費馬素數的乘積，高斯給出了這一命題充分性的證明，但沒有給出必要性的證明。必要性的嚴格證明由法國數學家於1837年給出。高斯可能在1801年就知曉了類數公式，同年，他發表了關於有限域中係數多項式的解的數量的結論，150年後促成了。此外他還研究了連分數，發現了素數分佈規律即質數定理，和證明了費馬大定理n=5的情形和正則排列的克卜勒猜想。透過對足夠多的測量資料的處理後，可以得到一個新的、機率性質的測量結果。在這些基礎之上，高斯隨後專注於曲面與曲線的計算，併成功得到高斯鐘形曲線，並在機率論中大量使用。高斯推導了尋找復活節日期和逾越節日期的計算方法。1805年，他在計算小行星帕拉斯的軌道時，發現了用於計算離散傅立葉變換的庫利-圖基快速傅立葉變換演算法，比詹姆斯·庫利和約翰·圖基早160年，之後他將其延伸為。幾何.1796年，高斯給出了僅用尺規作圖構造出正17邊形的方法，這是2000多年來正多邊形尺規作圖的首次進展。非歐幾何方面。高斯稱其發現了非歐幾何的可能性，事實上他確是正真預見並具有相當完整的非歐幾何想法的第一人，但他並沒有正式發表過相關內容。1829年之前高斯給其他數學家的信件中，他模糊地討論了平行公設的問題，認為，在鮑耶·亞諾什發表非歐幾何之前，高斯實際上已經完全掌握了非歐幾何，但是他拒絕發表任何東西，因為他害怕引起爭議。“非歐幾何”一詞由他創造，這一發現是幾何領域的革命性轉變，因為它使數學家擺脫了錯誤的觀念，即歐幾里得公理是使幾何學一致且無矛盾的唯一方法。對非歐幾何的研究促成了愛因斯坦的廣義相對論，後者將宇宙描述為非歐幾里得空間。天文學和大地測量學.1818年至1826年間，高斯主導了漢諾威公國的大地測量工作。透過最小二乘法為基礎的測量平差的方法和求解線性方程組的方法，顯著地提高了測量的精度。高斯在最小二乘法基礎上創立的測量平差理論的幫助下，測算天體的執行軌跡。他用這種方法，測算出了小行星穀神星的執行軌跡。穀神星於1801年被義大利天文學家皮亞齊發現，但因病他耽誤了觀測，從而失去了這顆小行星的軌跡。皮亞齊以希臘神話中的“豐收女神”對它命名，稱為穀神星，並將自己以前觀測的資料發表出來，希望全球的天文學家一起尋找。高斯透過以前3次的觀測資料，計算出了穀神星的執行軌跡。奧地利天文學家海因裡希·歐伯斯根據高斯計算出的軌道成功地發現了穀神星。高斯將這種方法發表在其著作《天體運動論》中。高斯親自參加野外測量工作。他白天觀測，夜晚計算。在五到六年間，經他親自計算過的大地測量資料超過100萬個。當高斯領導的三角測量外場觀測走上正軌後，高斯把主要精力轉移到處理觀測成果的計算上，寫出了近20篇對現代大地測量學具有重大意義的論文。在這些論文中，他推導了由橢圓面向圓球面投影時的公式，並作出了詳細證明。這個理論直至現在仍有應用的價值。漢諾威公國的大地測量工作至1848年結束。這項大地測量史上的巨大工程，如果沒有高斯在理論上的仔細推敲，在觀測上力圖合理和精確，在資料處理上儘量周密和細緻，就不能圓滿的完成。在當時的不發達的條件下，佈設了大規模的大地控制網，精確地確定2578個三角點的大地座標。為了用橢圓在球面上的正形投影理論以解決大地測量中出現的問題，在這段時間內高斯亦從事了曲面和投影的理論，併成為了微分幾何的重要理論基礎。相對論證明了宇宙空間實際上是非歐幾何的空間。高斯的思想被近100年後的物理學所認可。高斯試圖在漢諾威公國的大地測量中透過測量Harz的Brocken——Thüringer Wald的Inselsberg——哥廷根的Hohen Hagen三個山頭所構成的三角形的內角和，以驗證非歐幾何的正確性，但未成功。後來高斯朋友的兒子鮑耶·亞諾什在1823年證明了非歐幾何的存在，高斯對他勇於探索的精神表示了讚揚。1840年，俄國學者羅巴切夫斯基用德文寫了《平行線理論的幾何研究》一文，這篇論文的發表引起了高斯的注意。他非常重視這一論證，積極建議哥廷根大學聘請羅巴切夫斯基為通訊院士。為了能直接閱讀他的著作，從這一年開始，63歲的高斯開始學習俄語，並最終掌握了這門外語。高斯、亞諾什和羅巴切夫斯基後來被並稱為微分幾何的始祖。物理學.出於對實際應用的興趣，高斯發明了日光反射儀。日光反射儀可以將光束反射至大約450公里外的地方。高斯後來不止一次地為原先的設計作出改進，試製成功了後來被廣泛應用於大地測量的鏡式六分儀。19世紀30年代，高斯發明了磁強計。他辭去了天文臺的工作，而轉向物理的研究。他與物理學家威廉·愛德華·韋伯在電磁學領域共同工作。他比韋伯年長27歲，以亦師亦友的身份與其合作。1833年，透過受電磁影響的羅盤指標，他向韋伯傳送出電報。這不僅是從韋伯的實驗室與天文臺之間的第一個電話電報系統，也是世界首創的第一個電話電報系統。1840年，他和韋伯畫出了世界第一張地球磁場圖，並且定出了地球磁南極和磁北極的位置。次年，這些位置得到美國科學家的證實。高斯在數個領域進行研究，但只把他認為已經成熟的理論發表出來。他經常對他的同事表示，該同事的結論自己以前已經證明過了，只是因為基礎理論的不完備而沒有發表。事實上高斯把他的研究結果都記錄了起來。他死後，他的20部紀錄著他的研究結果和想法的筆記被發現，證明高斯所說的是事實。一般人認為，20部筆記並非高斯筆記的全部。婚姻與家庭.1805年10月9日，高斯與其第一任妻子約翰娜·奧斯托夫。路易斯出生一個月後的1809 年10月11日，高斯的妻子逝世，幾個月後路易斯也不幸夭折。高斯對妻子的離去十分悲痛，他用古老的旋律風格給妻子寫了一封古代哀歌式的悼詞。之後的1810年8月4日，高斯與他的第一任妻子的朋友Friederica Wilhelmine Waldeck。自1818年起，明娜的健康狀況下降，患上了肺結核，最終於1931年9月12日去世，終年43歲。之後特蕾莎接管這個家，照顧高斯的餘生。高斯的母親自1817年起和高斯住在一起，最終於1839年去世，享年95歲。當第一任妻子逝世後，高斯變得和他父親一樣想要支配自己的子女。之後高斯與他的兒子們發生了衝突，他不希望他們中任何一個進入數學或科學的領域，唯恐“拉低家族聲譽”，同時他認為他們中沒有人能超越他自己的成就。當長子約瑟夫還在上學時，他就於1921年作為助手協助父親高斯的測量工作。在大學的短暫學習後，他於1824年入伍，並於1829年再次協助高斯的測量工作。1830年代後期，他負責將測量區域擴大到王國的西部地區。然而，儘管經過多年的努力，他一直處於較低的軍銜，薪資很微薄，還需要依賴父親的經濟支援，尤其是在1840年結婚後加劇了這種情況。之後他離開了軍隊，並憑藉自己的測量學背景，擔任了的總監，負責鐵路網的建設。1836年，約瑟夫曾花費數個月在美國研究鐵路系統。歐根在算術和語言方面展現著與高斯一樣出色的才能，並且他的性格活潑而時有叛逆。他想學習語文學，但高斯希望他成為一名律師。歐根負債累累，還在公眾面前引發醜聞，他在這種情況下於1830年9月突然離開哥廷根，經由不來梅市移民到美國。起初，他揮霍了攜帶的一點錢，並且父親高斯還拒絕給他另外的經濟支援，之後他參軍了五年，還在工作過，並在那裡學會了蘇族語。後來他移居密西西比州併成為了一名成功的商人。多年來，歐根的成功才逐漸改變了他在高斯的朋友和同事中的名聲。威廉與天文學家弗里德里希·威廉·貝塞爾的侄女結婚，並於1837年移居美國密蘇里州。他最初在那裡是一位農民，後來在聖路易斯市的製鞋業致富。歐根和威廉在美國擁有許多後代，同時高斯的女兒們沒有後代，於是德國的高斯家族僅由約瑟夫傳承下來了。性格特點.高斯是個充滿熱情且工作認真的完美主義者，他拒絕發表他認為不完整和可能涉及爭論的作品，這符合他個人的座右銘："Pauca sed matura"。從他的個人日記可知，對於同時代數學家所發表的一些重大的數學成果，高斯先於他們幾年或者幾十年就已經發現。 英國數學家埃裡克·坦普爾·貝爾曾稱，如果高斯及時發表他的所有數學成果，這將使數學直接進步50年。高斯通常不願意透露他那些優雅證明背後的靈感，還細心地抹去了導致他得到這些結論的所有思考痕跡。高斯不喜歡教學，他教授的學生不多，但一些學生卻成為了具有影響力的數學家，其中包括理查德·戴德金、伯恩哈德·黎曼和弗里德里希·貝塞爾。在高斯的推薦下，1811年3月哥廷根大學授予貝塞爾榮譽博士學位。此外，高斯還推薦授予與他有過一段書信往來的女性數學家索菲·熱爾曼榮譽學位，但她因患乳腺癌離世未能收到。高斯在1808年9月2日寫給的一封信中總結了他對追求知識的觀點：不是知識本身，而是學習的行為，不是擁有，而是去獲得的行為，給予了我最大的樂趣。當我闡明和詳盡討論一個主題後，我就轉身離開它，只為再次踏入“黑暗”。永不滿足的人是如此奇怪，如果他建成了一座大廈，那不是為了安詳地居住在其中，而是為了開始建造另一個。我想，世界的征服者一定有這樣的感覺，在一個王國剛剛被他征服之後，他就會向其他國家伸出了雙臂。高斯堅持對宗教的寬容，他相信打擾其他正處在他們自己和平信念中的人是不對的。軼事.高斯的母親沒有記錄高斯的出生日期，但她記得是在耶穌升天節的前八天出生的。後來高斯找到一種尋找復活節日期的方法，於是透過計算得到了自己的出生日期。德國地質學家、高斯在哥廷根大學的學生和摯友寫有高斯的傳記，其中寫道，三歲的高斯便能糾正父親的計算錯誤。另外他還寫了一個著名的故事：在小學時，老師位元納和他的助手在全班佈置了一道等差數列求和的練習題，全班約有一百人，高斯最先給出正確答案，並且比其他人快得多。薩托里爾斯沒有給出這個故事的具體細節，更沒有給出這道題的具體內容，後來隨著時間推移，這個故事出現了許多版本，也越來越詳細地描述了求和題的具體內容，最廣為流傳的就是1至100之間所有的整數求和。高斯把數學稱作“科學的皇后”。據稱，高斯曾經說過：如果一個學生在被告知尤拉恆等式時未能立刻視之為明顯的事實，這個學生將永遠不會成為一流的數學家。紀念.1989年至2001年，高斯的肖像和他所發現的正態分佈曲線與哥廷根地標性建築一起印在德國10馬克的鈔票中。另一方面，在漢諾威有和他有關的日光反射儀以及三角測量方法。在德國也發行了三種用以表彰高斯的郵票。第一種郵票發行於1977年——即高斯誕辰200週年。高斯的雕像矗立在不倫瑞克和哥廷根，位於後者的與德國數學家海因裡希·馬丁·韋伯的紀念碑在一起。高斯的半身像放置於瓦爾哈拉神殿和位於波茨坦的。下薩克森州和哥廷根大學圖書館已經將高斯的全部著作數位化，並放置於網際網路上。Daniel Kehlmann在2005年寫的一本小說《》，以小說的歷史鏡頭來探索高斯的一生和工作，藉此與另一位德國地理學家亞歷山大·馮·洪堡作對比。2012年，由小說改編而成的同名電影《》上映。2007年，他的半身像被引進德國巴伐利亞州雷根斯堡瓦爾哈拉神殿。在高斯的榮耀中，以他命名的事物包括：2018年4月30日，Google以首頁塗鴉紀念高斯的241歲誕辰。著作.高斯的最為著名的著作有：與他人通訊的信件.哥廷根科學院提供了迄今為止已知的高斯與他人往來信件的完整全集，可線上訪問。他與其家人的書面遺產也可以在不倫瑞克市檔案館中找到。