多重積分

多重積分，例如求formula_1或者formula_2型別的多元函式的積分。簡介.正如單變數的正函式的定積分代表函式影象和"x"軸之間區域的面積一樣，正的雙變數函式的雙重積分代表函式所定義的曲面和包含函式定義域的平面之間所夾的區域的體積。（注意同樣的體積也可以透過三變數常函式"f"("x", "y", "z") = 1在上述曲面和平面之間的區域中的三重積分得到。若有更多變數，則多元函式的多重積分給出超體積。"n"元函式"f"("x"1, "x"2,…, "x""n")在定義域"D"上的多重積分通常用巢狀的積分號按照演算的逆序標識。積分域或者對每個積分變數在每個積分號下標識，或者用一個變數標在最右邊的積分號下：formula_3因為不可能計算多於一個自變數的函式的不定積分，“不定”多重積分是不存在的。因此所有多重積分都是“定”積分。通常在座標系中，多重積分都利用巢狀的累次積分計算。而累次積分為了簡便可記為：formula_4其中積分域為：formula_5注意的是，該式一般情況下並不表示多個定積分的積，在實際計算中從最右側積分變數開始積分，其結果會作為外一層積分的被積函式。範例.譬如，邊長為4 × 6 × 5的長方體的體積可以透過兩種方法得到：formula_6formula_7 (1可以省略不寫)數學定義.令"n"為大於1的自然數。考慮所謂的"半開"n維矩形。對於平面，formula_8。formula_9。將每個區間["a""i", "b""i")分成有限個不重疊的子區間，每個都是左閉右開。將子區間記為"I""i"。則，所有所有如下形式的子矩形的族formula_10是"T"的一個劃分，也即，子矩形"C"是互不重疊的，而且它們聯集為"T"。"C"中的子矩形的直徑按照定義是"C"中最大的邊長，而"T"的劃分的直徑定義成劃分中的所有子矩形的最大直徑。令"f" : "T" → R為定義在"T"上的函式。考慮如上定義的"T"的劃分formula_11其中"m"是正整數。如下形式的和稱為黎曼和formula_12其中，對於每個"k"，點"P""k"在"C""k"中，而m("C""k")是笛卡爾積為"C""k"的區間的邊長之積。函式"f"稱為黎曼可積，如果如下極限存在formula_13其中極限取遍所有直徑小於δ的"T"的劃分。若"f"黎曼可積，"S"稱為"f"在"T"上的黎曼積分。記為formula_14。定義在任意有界"n"維集合上的函式的黎曼和可以透過將函式延拓到一個半開半閉矩形上來求出，其取值在原來的定義域之外為0。然後，原來的函式的積分就定義為延展的函式在矩形區域中的積分。下文中"n"維黎曼積分簡稱多重積分。性質.多重積分具有很多與單變數函式的積分一樣的性質。而且，和單變數情況一樣，可以用多重積分找出函式在給定集合上的積分。具體來講，給定集合"D" ⊆ R"n"和"D"上的可積函式"f"，"f"在定義域上的平均值為formula_15其中"m"是"D"的測度。特例."T" ⊆ R2時，積分formula_16是"f"在"T"上的雙重積分，而若"T" ⊆ R3，積分formula_17是"f"在"T"上的三重積分。注意，按常規，雙重積分用兩個積分號，而三重積分有三個；這只是記法上方便，也是為了透過重複積分來計算多重積分。積分方法.多重積分問題的解決在多數情況下依賴於將多重積分轉化為一系列單變數積分，而其中每個單變數積分都是直接可解的。直接檢驗.有時可以直接獲得積分的結果，而無需任何直接計算。常數.在常函式的情況中，結果很直接：只要將常函式"c"乘以測度就可以了。如果"c" = 1，而且是在R2的子集中積分，則乘積就是區域面積，而在R3中，它就是區域的體積。formula_18 and formula_19在"D"上積分"f"：formula_20。利用可能的對稱性.如果定義域存在沿著某條軸的對稱性而且函式對於那個變數是奇函式，則積分為0。對於R"n"中的函式，只要相關變數對於形成對稱的軸是奇變數就可以了。例一:給定formula_21以及formula_22為積分割槽域。利用線性性質，積分可以分解為三部分：formula_23formula_24 和 formula_25 都是奇函式，而且顯然"T"對於"x"和"y"軸都是對稱的；因此唯一有貢獻的部分是常函式"5"因為其它兩個都貢獻0.例二：考慮函式formula_26以及圓心在原點的半徑為2的球formula_27該球顯然是對於三條軸都對稱，但是隻要對於"x"軸積分就可以看出結果是0，因為"f"對於該變數是奇函式。簡化公式.簡化公式基於簡單積分割槽域來將多重積分轉化為單變數積分的序列。它們必須從右至左計算，過程中將其它變數暫時視為常數。R2中的常規區域.此種方法適用於滿足下述條件的任何定義域 "D":"x"軸.將 "D" 對 "x"軸做垂直投影，函式formula_31是連續函式，並且"D"可以視為α("x")和β("x")之間的區域。則formula_32"y"軸.將 "D"對"y"軸做垂直投影，函式formula_31是連續函式，並且"D"可以視為α("y")和β("y")之間的區域。則formula_34範例.考慮區域：formula_35。計算formula_36該區域可以沿x或者y軸分解。要採用公式，必須先找到限制"D"的兩個函式和定義區間。這個例子中，這兩個函式為：formula_37 和 formula_38而區間為formula_39。應用簡化公式，得到：formula_40。然後就是用積分的基本技術：formula_41。如果沿著y軸分解，可以計算formula_42並得到同樣的結果。R3中的分解.這些公式可以推廣到三重積分："T"是一個可以投影到"xy"平面的體，它夾在α ("x","y")和β("x","y")兩個函式之間。那麼：formula_43。變數替換.積分的極限常常不易交換，這時可以採用"變數替換"來重寫積分，令區域更加簡易，從而可以用更簡單的公式表達。為此，函式必須變換到新座標系下。例:函式為formula_44;若採用替換formula_45則formula_46可以得到新函式formula_47.常用的變數替換有三種；但是，更普遍的變換可以用同樣的原理來發現。極座標.在R2中，若定義域有某種圓形對稱性而函式也有某種特徵，則可以採用極座標變換，也就是說將點"P(x,y)"從笛卡爾座標變換到相應的極座標中。這使得定義域的形狀改變，從而簡化運算。該變換的基本關係如下：formula_48。例:函式為formula_49應用該變換得到formula_50。例:函式為formula_51這裡有：formula_52這裡使用了勾股定理。定義域的變換是根據"x"和"y"透過環厚和角度的幅度來限定ρ, φ的區間。例:區域為formula_53，圓周半徑2；很明顯，這個區域所覆蓋的角度是整個圓周角，所以φ從0變化到2π，而環半徑從0變化到2。例:區域為formula_54，這是在正"y"半平面中的圓環；注意φ表示平面角而ρ從2變化到3。因此變換出來的區域為矩形：formula_55.該變換的雅可比行列式為：formula_56這可以透過將"x" = ρ cos(φ), "y" = ρ sin(φ)代入關於ρ的第一行和關於φ的第二行的偏微分中得到，所以微分"dx dy"變換為ρ "d"ρ "d"φ.一旦函式和區域的變換完成後，可以定義極座標中的變數變換公式：formula_57。注意φ在[0, 2π]區間中有效，而ρ測量長度，因此只能取非負值。此外，應用變數變換公式的前提是，雅可比行列式的值在變換後的積分變數(如此例中的ρ和φ)組成的有界閉區域(如此例中φ和ρ構成的二維域)上恆不為零。但是在極座標中當且僅當ρ為零時，才有雅可比行列式為零，故可證明該變數變換公式成立。例 (2-e):函式為formula_58區域和例2-d相同。從前面對"D"的分析，我們知道ρ的區間為[2,3]，而φ的為[0,π].函式變換為：formula_59。最後，應用積分公式：formula_60。一旦區間給定，就可以得到formula_61。柱極座標.R3中，在有圓形底面的定義域上的積分可以透過變換到柱極座標系來完成；函式的變換用如下的關係進行：formula_62區域的變換可以從圖形中得到，因為底面的形狀可能不同，而高遵循初始區域的形狀。例:區域為formula_63。因為"z"分量沒有變化，"dx dy dz"和在極座標中一樣變化：變為"ρ dρ dφ dz"。最後，變換到柱極座標的最後公式為：formula_65。這個方法在柱形或者錐形區域的情況較為適用，也適用於容易分辨"z"區間和變換圓形底面和函式的其它情況。例:函式為formula_66而積分割槽域為圓柱: formula_67.將"D"變換到柱極座標如下：formula_68。函式變為formula_69最有應用積分公式：formula_70推演一下公式，得到formula_71球極座標.R3中，有些區域有球形對稱性，所以將積分割槽域的每點用兩個角度和一個距離標識較為合適。因此可以採用變換到球極座標系；函式變換由如下關係產生：formula_72注意"z"軸上的點沒有唯一表示，formula_73可以在0到2π間變化。這個方法最為適用的區域顯然是球。例:區域為formula_74；應用變換後得到：formula_75。座標變換的雅可比行列式為：formula_76因此formula_77變換為formula_78.得到最後公式:formula_79。應當在積分割槽域為球形對稱並且函式很容易透過基本三角公式簡化的時候才使用這個方法。。formula_80。注意從雅可比行列式來的formula_81和formula_82因子。注意下面例子中，φ和θ的作用反過來了。例:"D"和例4-a相同，而formula_83是被積函式。很容易變換為：formula_84，而從"D"到"T"的變換是已知的：formula_85。應用積分公式：formula_86並展開：formula_87formula_88。例:區域"D"是球心在原點半徑為"3a"的球而formula_90是被積函式。看起來採用球極座標變換較為合適，但是事實上，限定新區域"T"的變數很明顯應該是：formula_91。但是採用這個變換就有formula_92.應用積分公式得到：formula_93這很難求解。而如果採用柱極座標，新的"T"區間為：formula_94"z"區間可以透過將球切成兩個半球並求解從"D"的公式來的不等式得到。新函式就是"ρ2".採用積分公式formula_95.得到formula_96。然後應用變換formula_97(新區間變為formula_98)。得到formula_99因為formula_100，所以formula_101將積分限反過來，然後分配括號中的項，很容易將積分分解為可以直接積分的兩部分：formula_102formula_103由於採用柱極座標，很容易就將這個三重積分變換為簡單的單變數積分。參看柱極和球極座標下的∇中討論的不同的體積元。數學應用範例-體積計算.利用上面描述的方法，很容易計算一些立體的體積。體積formula_104"驗證"：體積=底面積×高 = formula_105體積formula_106。體積formula_107formula_108formula_109"驗證"：體積 = 底面積×高/3 = formula_110。多重廣義積分.定義域無界或者函式值在靠近定義域邊界時無界的情況下，可以引入二重廣義積分或者三重廣義積分。多重積分和累次積分.富比尼定理斷言若formula_111也即，積分絕對收斂，則多重積分和累次積分給出同樣的結果，formula_112。一個特例是如果formula_113是有界函式而"A"和"B"為有界集時。如果積分不是絕對收斂，必須小心，不要混淆"多重積分"和"累次積分"的概念，特別是當它們採用形式上相同的記法的時候。記法formula_114在某些情況下表示累次積分而非真正的雙重積分。累次積分中，外圍的積分formula_115是對於如下"x"的函式關於"x"的積分formula_116。雙重積分卻是定義在"xy"平面的區域上。若雙重積分存在，則它等於兩個累次積分中的任何一個，它也就是透過其中之一來計算的。但是有時這兩個累次積分存在，而雙重積分不存在。這種情況下，有時兩個累次積分不相等，也即，formula_119。這是條件收斂的積分的重排序的一個例子。如果要強調使用雙重積分而非累次積分時，可以採用如下記法formula_120一些實際應用.很普遍地，像單變數一樣，我們透過多重積分可以找到給定集合上的函式的平均值。給定一個集合"D" ⊆ R"n"和一個在"D"上可積的函式"f"，"f"在區域上的平均值是formula_15其中"m"("D")是"D"的測度。此外，這些積分在物理中有大量應用。力學中，轉動慣量可以作為密度乘以剛體和轉軸的距離的平方的體積分計算：formula_122。與三維歐氏空間R3中的質量測度formula_123表示的關聯的引力勢：formula_124如果存在一個連續函式 formula_125 表示 x 處的密度分佈, 那麼 formula_126, 其中formula_127 是歐幾里得體積元, 那麼引力勢就是formula_128在電磁學中，麥克斯韋方程組可以寫作多重積分，用以計算總磁場和電場。下例中，由電荷分佈產生的電場透過向量函式的"三重積分"得到：formula_129。