多項式

多項式可以寫成只由一項構成的多項式也稱為單項式。如果一項中不含未知數，則稱之為常數項。多項式在數學的很多分支中乃至許多自然科學以及工程學中都有重要作用。定義.給定一個環formula_3以及一個未知數formula_5，則任何形同：formula_6的代數表示式叫做formula_3上的一元多項式。其中formula_8是formula_3中的元素。未知數不代表任何值，但環formula_3上的所有運算都對它適用。在不至於混淆的情形下，一般將一元多項式簡稱為多項式。可以證明，兩個多項式的和、差與積仍然是多項式，即多項式組成一個環formula_11，稱為formula_3上的多項式環。而所有的二元多項式則可以定義為所有以一元多項式為係數的多項式，即形同formula_13的代數表示式。其中formula_14都是formula_15中的元素。全體這樣的表示式也構成一個環，記為formula_16。以此類推，可以定義所有formula_17元多項式集合：formula_18多項式總可以表示為有限個元素的和，其中每個元素都是未知數與formula_3中一個常數的乘積，這樣的元素稱為多項式的項，其中的常數稱為該項的係數。在formula_20中，多項式的每一項都是形同formula_21的乘積形式。其中formula_22是係數，formula_23被稱為formula_24在這一項中的次數。所有formula_23之和稱為這一項的次數。比如在以下這一項：formula_26中，係數是formula_27，不定元formula_5的次數是formula_29，formula_30的次數是formula_31，這一項的次數是formula_32。可以寫成只由一項構成的多項式也稱為單項式。如果一項中不含未知數，則稱之為常數項。次數.某個未知數formula_33在多項式各項中最大的次數稱為多項式中未知數formula_33的次數，擁有這樣次數的formula_33的項被稱為formula_33的最高次項。所有項的次數中最高的稱為多項式的次數。對於一元多項式來說，唯一的未知數的次數也稱為多項式的次數，未知數的最高次項也稱為多項式的最高次項。例如多項式：formula_37中formula_38的次數最高，是formula_32，故此多項式的次數為四。因而此多項式可稱為三元四次四項式。formula_38稱為四次項，formula_41、formula_42稱為一次項或線性項，而formula_43是零次項或常數項。多項式formula_44的次數記作formula_45。約定零多項式沒有次數，也沒有未知數。常數多項式分為零次多項式和零多項式。一次多項式又稱為線性多項式。多項式中的一次項又稱為線性項。如果某個多項式的所有項都有相同次數，則稱其為齊次多項式。一個一元多項式被稱為首一多項式，如果它的最高次項的係數是formula_3的單位元。多項式的升冪及降冪排列.選定一個未知數後，多項式可依各項中該未知數的次數以降序或升序排列。次數從低到高是升冪排列。次數從高到低是降冪排列。例如formula_47是依"X"的次數降冪排列。多項式的運算.多項式的加法.兩個多項式相加可以看作是對兩組單項式的和進行重組與合併同類項。透過加法結合律，可以將同類項放在一起，合併之後就得到了兩個多項式的和。例如以下的兩個多項式：formula_48它們的和是：formula_49化簡之後得到：formula_50多項式的減法.例：formula_51、formula_52則formula_53多項式乘法.例如以下的兩個多項式：formula_54計算它們的乘積，步驟如下：formula_55化簡之後得到：formula_56多項式除法.和整數之間的帶餘除法類似。可以證明，設有多項式formula_57和非零多項式formula_58，則存在唯一的多項式formula_59和formula_3，滿足：formula_61其中多項式formula_3若非零多項式，則其次數嚴格小於formula_58的次數。作為特例，如果要計算某個多項式formula_44除以一次多項式formula_65得到的餘多項式，可以直接將formula_22代入到多項式formula_44中。formula_44除以formula_65的餘多項式是formula_70。具體的計算可以使用類似直式除法的方式。例如，計算formula_71除以formula_72，列式如下：formula_73因此，商式是formula_74，餘式是formula_75。多項式的矩陣演算法.乘法.formula_76formula_77除法.令 formula_78則formula_79，應用多項式乘法的矩陣演算法，越右側代表越高次項。formula_80首先，從高次方作f(x)除以g(x)，求formula_81formula_82formula_83再求formula_84formula_85formula_86MATLAB程式實作f = [1 -1 -2 1 3 -1];g = [3 -1 1 -1];zero_pad = zeros(1, length(f) - length(g));g = toeplitz([3 zero_pad], [3 -1 1 -1 zero_pad]);[row_len, col_len] = size(g);q = f(end - row_len + 1 : end) / g(:, end - row_len + 1 : end)r = f(1 : end - row_len) - q * g(:, 1 : end - row_len)因式分解.因式分解是指把一個多項式分解成幾個裡不同。比如多項式formula_87在有理數域內分解為：formula_88在實數域內則可以進一步分解為：formula_89在複數域內還可以再進一步分解：formula_90。如果給定了係數域，那麼在不考慮因式排列順序的情況下，因式分解是唯一的。如果一個多項式不能被表示為次數嚴格比它低的多項式的乘積，就稱它為不可約多項式。因式分解一般是指將多項式分解到不可再分的多項式乘積，也就是不可約多項式的乘積，否則稱其為不完全的因式分解。對於一元多項式來說，所有復係數多項式都可以分解成若干個一次因式的乘積，這個結論等價於代數基本定理。所有實係數多項式都可以分解為次數不超過二次的多項式的乘積。比較複雜的是有理數係數多項式的因式分解。首先，給定一個有理係數多項式formula_44，可以將其乘以一個特定的有理數formula_92，將其變成一個整係數多項式，所以有理係數多項式和整係數多項式的因式分解是等價的。如果一個整係數多項式各項係數的最大公約數是formula_31，就稱其為本原多項式。不是本原多項式的整係數多項式formula_44，假設其各項係數的最大公約數是formula_95，那麼可以將formula_44的因式分解問題轉化為本原多項式formula_97的因式分解問題。所以有理數係數和整係數多項式的因式分解都等價於本原多項式的因式分解問題。利用本原多項式可以證明：整係數多項式如果能分解為有理係數多項式的乘積，那麼也必然能分解成整係數多項式的乘積。艾森斯坦判別法給出了判定整係數多項式不可約的充分條件。另一個常用的準則與多項式的最高次項係數與常數項係數有關。如果某個多項式formula_98有某個有理數根formula_99，那麼分子formula_100必然整除常數項係數formula_101，而分母formula_102也必然整除最高次項係數formula_103。多項式函式.多項式函式是指給多項式中的不定元賦值的對映。比如說一元多項式函式的普遍形式為：formula_104formula_105其中的formula_106是一個formula_107代數，可以是有理數、實數或複數。多項式函式是函式而不是多項式，但多項式函式之間也可以進行像多項式一般的加法、乘法運算，其結果仍舊是多項式函式。所以所有的多項式函式也構成一個環，而且這個環顯然和多項式環formula_11同構。與多元多項式對應的也有多元多項式函式。比如formula_109就是一個與二元多項式對應的二元多項式函式。所有多項式函式都是光滑函式也趨於無窮大。如果把正是對應位置的數字。例如，formula_115可看作formula_116時的formula_117。多項式方程.多項式方程是指多項式函式構成的方程。給定多項式formula_98，則對應的多項式函式可以構造方程：formula_119。例如：formula_120就是一個多項式方程。如果某個formula_121使得多項式方程formula_122，那麼就稱formula_123為多項式方程的解，或多項式函式的一個根或零點。多項式函式的根與多項式有如下關係：如果某個formula_124是多項式函式formula_125的一個根，那麼一次多項式formula_126整除多項式formula_44，也就是說存在多項式formula_59，使得：formula_129；反之亦然。如果存在正整數formula_112，使得formula_132，那麼稱formula_123是多項式函式的一個formula_112重根。多項式的根是否存在以及根的數目取決於多項式的係數域以及指定的根所在的域。代數基本定理說明，復係數多項式在複數域內必然有至少一個根。這可以推出，formula_135次多項式函式必定有formula_135個根。這裡說的formula_135個根指包括了重根的情況。另外可以證明，奇數次實係數多項式在實數域內至少有一個根。字典排列法.formula_138是兩個不同的項若存在i使得formula_139，但formula_140，則formula_141在formula_142前例如formula_143，這種排列法稱為字典排列法。多項式的分析特性.多項式函式在分析學中有重要的作用。由於多項式函式有簡潔明確的形式，很容易對其進行量化分析。比如，多項式函式formula_144。它的導函式是：formula_145。它的原函式是：formula_146。這個定義可以類比到多項式本身，令多項式中也定義導數的概念。多項式formula_147的導數多項式是：formula_148。它的積分多項式則是：formula_149。一個formula_135次多項式的導數多項式是一個formula_153次多項式。常數多項式的導數多項式是零多項式。它的積分多項式則是一個formula_154次多項式。formula_155和formula_156分別稱為多項式的微分運算元和積分運算元。任意環上的多項式.多項式可以推廣到係數在任意一個環的情形，請目多項式環。