三角形

三角形，又稱三邊形，是由三條線段順次首尾相連，或不共線的三點兩兩連線，所組成的一個閉合的平面幾何圖形，是最基本和最少邊的多邊形。一般用大寫英語字母formula_1、formula_2和formula_3為三角形的頂點標號；用小寫英語字母formula_4、formula_5和formula_6表示邊；用formula_7、formula_8和formula_9給角標號，又或者以formula_10這樣的頂點標號來表示。分類.以角度分類.銳角三角形.銳角三角形的所有內角均為銳角。鈍角三角形.鈍角三角形是其中一角為鈍角的三角形，其餘兩角均小於90°。直角三角形.有一個角是直角三角函式.直角三角形各邊與角度的關係，可以三角比表示。以邊長分類.不等邊三角形.三條邊邊長皆不相等的三角形稱為不等邊三角形。等邊三角形.等邊三角形，為三邊相等的三角形。其三個內角相等，均為60°。它是銳角三角形的一種。設其邊長是 formula_4 ，則其面積公式為 formula_12 。等邊三角形是正四面體、正八面體和正二十面體這三個正多面體面的形狀。六個邊長相同的等邊三角形可以拼成一個正六邊形。等腰三角形.等腰三角形是三條邊中有兩條邊相等的三角形。等腰三角形中的兩條相等的邊被稱為「腰」，而另一條邊被稱為「底邊」，兩條腰交叉組成的那個點被稱為「頂點」，它們組成的角被稱為「頂角」。等邊三角形和等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。令其底邊是 formula_5 ，腰是 formula_4，則其面積公式為 formula_15等腰三角形的對應高，角平分線和中線重合。退化三角形.退化三角形是指面積為零的三角形。滿足下列條件之一的三角形即可稱為退化三角形：三個內角的度數為(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°)；三邊其中一條邊的長度為0；一條邊的長度等於另外兩條之和。有人認為退化三角形並不能算是三角形，這是由於它介乎於三角不等式之間，在一些資料中已否定了其中一條邊等於其餘兩條邊之和的情況。勒洛三角形.勒洛三角形，也譯作萊洛三角形或弧三角形，又被稱為劃粉形或曲邊三角形，是除了圓形以外，最簡單易懂的勒洛多邊形，一個定寬曲線。將一個曲線圖放在兩條平行線中間，使之與這兩平行線相切，則可以做到：無論這個曲線圖如何運動，只要它還是在這兩條平行線內，就始終與這兩條平行線相切。這個定義由十九世紀的德國工程師命名。一般性質.勾股定理.勾股定理，又稱畢氏定理或畢達哥拉斯定理。其斷言，若直角三角形的其中一邊 formula_6 為斜邊，即 formula_6 的對角 formula_18 ，則formula_19。勾股定理的逆定理亦成立，即若三角形滿足formula_19，則formula_18正弦定理.設 formula_22 為三角形外接圓半徑，則formula_23餘弦定理.對於任意三角形：formula_24formula_25formula_26勾股定理是本定理的特殊情況，即當角 formula_27 時， formula_28 ，於是 formula_29 化簡為 formula_30 。全等及相似.全等三角形.三角形具有穩定性，若二個三角形有以下的邊角關係確定後，它的形狀、大小就不會改變，二個三角形即為全等三角形。全等三角形的判斷準則有以下幾種：SSA不能保證兩個三角形全等，除非該角大於等於90°，此時可以保證全等。:34特殊線段.三角形中有著一些特殊線段，是三角形研究的重要物件。以上特殊線段，每個三角形均有三條，且三線共點。中線長度.設在formula_31中，若三邊formula_4、formula_5、formula_34的中線分別為formula_35、formula_36、formula_37，則：formula_38formula_39formula_40高線長度.設在formula_31中，連線三個頂點formula_1、formula_2、formula_3上的高分別記作formula_45、formula_46、formula_47，則：formula_48formula_49formula_50其中 formula_51 。角平分線長度.設在formula_31中，若三個角formula_1、formula_2、formula_3的角平分線分別為formula_56、formula_57、formula_58，則：formula_59formula_60formula_61三角形的心.三角形的內心(Incenter) 、外心(Circumcenter)、垂心(Orthocenter) 及形心(Centroid)稱為三角形的四心，定義如下：關於三角形的四心，有這樣的一首詩：垂心四點共線，為垂心和形心線段的中點。連同以下的旁心，合稱為三角形的五心：外接圓和內切圓半徑.設外接圓半徑為formula_22 ， 內切圓半徑為formula_63 ，則：formula_64formula_65其中formula_66為三角形面積；formula_67為三角形半周長，formula_51面積.基本公式.三角形的面積 formula_1 是底邊 formula_70 與高 formula_71 乘積的一半，即：formula_72，其中的高是指底邊與對角的垂直距離。證明從右圖可知，將兩個全等三角形相拼，可得一平行四邊形。而將該平行四邊形分割填補，正好能得到一個面積等於 formula_73 的長方形。因此原來的三角形面積為formula_72。證畢。已知兩邊及其夾角.設 formula_4 formula_5 為已知的兩邊， formula_9 為該兩邊的夾角，則三角形面積是：formula_78。證明觀察右圖，根據正弦的定義：formula_79。因此：formula_80。將此式代入基本公式，可得：formula_81。證畢。已知兩角及其夾邊.formula_8 、 formula_9 為已知的兩角， formula_4 為該兩角的夾邊，則三角形面積是：formula_85。證明從正弦定理可知：formula_86代入 formula_87 ，得：formula_88。注意到formula_89，因此：formula_90證畢。已知三邊長.海龍公式，其表示形式為：formula_91，其中 formula_67 等於三角形的半周長，即：formula_51秦九韶亦求過類似的公式，稱為三斜求積法：formula_94也有用冪和來表示的公式：formula_95證明將海倫公式略為變形，知formula_96多次使用平方-{}-差公式，得formula_97等號兩邊開根號，再同除以4，得formula_98亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式：formula_99基於海倫公式在三角形擁有非常小的角度時並不數值穩定，有一個變化的計法。設 formula_100 ，三角形面積為：formula_101。證明設 formula_4 、 formula_5、formula_6為三角形三條邊， formula_7 、 formula_8 、 formula_9 為相應邊的對角。從餘弦定理可知：formula_108以畢氏三角恆等式可得：formula_109。將此式代入formula_78，得：formula_111。因式分解及簡化後可得：formula_112代入formula_51，即可證畢。已知座標系中三頂點座標.由 formula_114 、 formula_115 及 formula_116 三個頂點構成的三角形，其面積可用行列式的絕對值表示：formula_117證明無論三角形的頂點位置如何，該三角形總可以用一個直角梯形和直角三角形的頂點的座標，該三角形的面積容易求出，即用上述的行列式表示。若三個頂點設在三維座標繫上，即由 formula_118 、 formula_119 及 formula_120 三個頂點構成三角形，其面積等於各自在主平面上投影面積的畢氏和，即：formula_121已知周界及內切圓或外接圓半徑.設三角形三邊邊長分別為 formula_4 、 formula_5 及 formula_6 ，三角形半周長為 formula_67 ，內切圓半徑為 formula_63，則：formula_128若設外接圓半徑為 formula_22 ，則：formula_130證明內切圓半徑公式根據右圖，設 formula_131 ， formula_132 ， formula_133 ，則三角形面積可表示為：formula_134外接圓半徑公式根據正弦定理：formula_135因此：formula_136已知兩邊向量.設從一角出發，引出兩邊的向量為 formula_137 及 formula_138 ，三角形的面積為：formula_139證明根據向量積定義，formula_140，其中 formula_141 是兩支向量的夾角。因此：formula_142證畢。半形定理.在三角形formula_143中，三個角的半形的正切和三邊有如下關係：formula_144證明以正弦及餘弦之比表示正切：formula_145因為formula_146formula_147所以formula_148formula_149formula_150而formula_151formula_152formula_153所以formula_154同理可得formula_155formula_156