序數

數學集合論中，序數是自然數的一種擴充套件，與基數相對，著重於次序的性質。大於有限數的序數也稱作超限序數。超限序數是由數學家格奧爾格·康托爾於1897年引入，用來考慮無窮序列，並用來對具有序結構的無窮集進行分類。序數對自然數的擴充套件.自然數可以用來做兩件事：描述一個集合的大小，或者描述序列中一個元素的位置。在有限的世界裡這兩個概念是一致的，當處理無限集合時人們不得不區分這兩者。從大小的概念可以引申出如康托爾描述的“基數”，而位置的概念則被推廣到這裡將要說明的序數。基數這一概念可以適用於沒有特殊結構的集合，而序數卻和同一種稱為良序集的特殊集合有著密切的關聯，同時也可以用來給出良序集的“長度”—沒有用來標定良序集的元素的最小序數就是這個良序集的長度。這個“長度”也稱為集合的序型別。任何一個序數都是透過先於它的所有序數構成的集合來定義：實際上，序數最常見的定義就是把每個序數等同於先於它的所有序數構成的集合。比如，序數42就是比它小的序數的序型別，也即，我們把從0一個序數。目前為止，我們只考慮了有限的序數，即自然數。但無限的序數也是存在的：最小的無限序數是ω，它是自然數。或許對序數更清晰的直覺可以透過檢視最初的幾個序數建立起來：如上所述，序數開始於自然數，0, 1, 2, 3, 4, 5, …；然後在所有的自然數之後是第一個無限序數，ω，緊接其後的是ω+1, ω+2, ω+3，等等。我們可以按照如上方式無限的進行下去。定義.良序集定義.良序集合是在其中所有非空子集都有一個最小元素的有序集合：這等價於的狀態可以被良序，即在每一個步驟都伴隨著“更低”的步驟的方式下，則這個計算必然會終止。現在我們不想區分兩個良序集合，如果它們只是在“它們元素的標記”上不同，或者更加形式的說：如果我們可以把第一個集合的元素和第二個集合的元素配對起來，使得如果在第一個集合中一個元素小於另一個元素，則在第二個集合中第一個元素的配對者也小於第二個元素的配對者，反之亦然。這種一一對應叫做序同構的“規範”代表，就顯得很自然了。這就是序數所提供的作用，並且它還給任何良序集合的元素提供了規範的標記方式。所以我們本質上希望定義序數為良序集合的同構類：就是說，作為“是序同構”這一等價關係的等價類。但是這涉及一個技術上的困難，事實上這個等價類實在太大了，所以在策梅洛-弗蘭克爾集合論中並不是一個集合。但是這不是個嚴重的困難。我們稱序數是在這個類中任何集合的序型別。以等價類來定義序數.序數的最初定義，例如在《數學原理》中，把一個良序的序型別定義為，由類似。序數的馮·諾伊曼定義.與其定義序數為良序集合的等價類，我們可以嘗試定義它為代表這個類的某個特定良序集合。因此我們希望把序數構造為特殊的良序集合，使得所有良序集合都同構於一個且只是一個序數。馮·諾伊曼提議了巧妙的定義，現在被作為了標準：定義每個序數為特殊的良序集合，也就是在它之前的所有序數的集合。形式的說:一個集合"S"是一個序數，當且僅當"S"中的元素在集合從屬關係下為全序集，並且"S"的任意元素也是"S"的子集。自然地，這樣的一個集合"S"在集合包含關係下為良序集。這依賴於良基公理：所有非空集合"B"都有一個元素"b"不相交於"B"。按此定義，自然數也是序數。例如，2是4 = {0, 1, 2, 3}的一個元素，而2等於{0, 1}，因而它是{0, 1, 2, 3}的子集。可以透過超限歸納法證明，所有有限的良序集合都精確的同構於這樣構建的序數的其中一個。進一步的，所有序數的元素也是序數自身。給定兩個序數"S"和"T"，"S"是"T"的一個元素，當且僅當"S"是"T"的真子集。此外，要麼"S"是"T"的一個元素，要麼"T"是"S"的一個元素，要麼它們是相等的。所以所有的序數集合都是全序集。事實上: 所有的序數集合都是良序集。這個重要結果一般化了“所有的自然數集合是良序集”此一事實，並允許我們自由地透過序數使用超限歸納法。另一個推論是所有序數"S"都是完全由小於"S"的序數作為元素的一個集合。這個陳述以其他序數完全確定了所有序數的內部結構。它被用於證明關於序數的很多其他有用的結果。其中的一個例子是在序數間的次序關係的重要性質：所有的序數集合都有一個上確界，這個序數是透過取在這個集合中的所有序數的並集而獲得的。另一個例子是所有序數的蒐集不是集合的事實。因為所有序數只會是包含其他序數，從而所有序數的蒐集的所有成員也是它的子集。所以，如果這個蒐集是個集合，透過定義它自身將必定是個序數；那麼它將是自身的成員，這跟正規公理矛盾。。所有序數的類通常寫為"Ord"、"ON"或"∞"。一個序數是有限的，當且僅當它的反序也是良序的，即當且僅當它的所有子集都有最大元素。假設良序定理，所有集合都可加上良序關係。利用超窮遞迴可證明所有良序集都與某序數同構。有限集合所有良序關係都是同構的，若有"n"個元素，對應序數就是"n"。無限集合有無限的良序關係，如自然數集配以0b ⇒ "f"。一個集合對應的最小序數，就是這集合的基數。其他的定義方式.還有序數定義的其他現代公式化。這些定義在本質等價於上面給出的定義。下面給出其中的一個。一個類"S"被稱為傳遞性的，如果"S"的每個元素"x"是"S"的子集，也就是formula_1。序數接著被定義為其成員也是傳遞的傳遞集合。從它得出成員們自身也是序數。注意使用了正規公理是良序的。超限歸納法.超限歸納法在任何良序集合中成立，但是它與序數的關係如此重要而值得在這裡重申。若有一性質可從小於給定序數"α"的序數的集合傳遞到"α"自身，則此性質對所有序數都成立。就是說，如果“若"P"("β")對所有"β"&lt;"α"為真，"P"("α")就為真”，則"P"("α")對所有"α"都為真。或者更加實際的說：為了證明性質"P"對所有序數"α"成立，你可以假定它對於所有"β"&lt;"α"的更小的序數們已經是成立的。超限遞迴.超限歸納不只能用來證明各種結論，而且還可以用於定義函式，你可以假定它對所有"β"&lt;"α"更小的序數們已經定義了。你可以透過超限歸納法證明有且只有一個函式滿足直到幷包括"α"的遞迴公式。下面是透過在序數上超限歸納定義的一個例子。不過，這個例子不是太有趣，因為對於所有序數"α"有"F"("α")="α"：而這可以透過超限歸納嚴格的證明。後繼與極限序數.任何非零序數都有一個最小元素。如果一個序數有最大元素"α"，則它是在"α"之後的下一個序數，它叫做後繼序數，就是"α"的後繼者，寫做α+1。在序數的馮·諾伊曼定義中，"α"的後繼者是formula_2，因為它的元素是"α"的那些元素和"α"自身。不是後繼者的非零序數叫做極限序數。使用這個術語的一個理由是，極限序數實際上是在拓撲意義上的所有更小序數的極限。相當一般的說，在 ("α"ι&lt;γ)是一個序數序列更小序數的極限。因此，所有序數要麼是零，要麼是一個後繼者被稱為是連續的。我們將看到序數加法、乘法和指數作為它們的第二個引數的函式是連續的。標定序數類.我們已經提到了任何良序集合都類似，大於對於所有formula_8的第formula_10個元素的最小元素。又例如，我們可以應用它於極限序數的類：要麼是極限要麼是零的第formula_6個序數是formula_12：第formula_6個加法不可分解序數被標定為formula_14。標定序數類的技術經常在不動點的論述中有用：例如，使得formula_15的第formula_6個序數被寫為formula_17。閉無界集合與類.一個序數被稱為是無界的或共尾的，當給定任何序數，總是有這個類的某個元素大於它的時候。特別重要的序數類是閉合無界的。例如，所有極限序數的類是閉合且無界的：也就是說，總是有一個極限序數大於給定序數，而且極限序數的極限是極限序數。加法不可分解序數的類，formula_24序數的類，基數的類，都是閉合無界的；而正規基數的類是無界但不閉合的，序數的任何有限集合則是閉合但非無界的。一個類是固定的，如果它與所有閉合無界類有非空交集。任何閉合無界類的超類都是固定的，並且固定類必然是無界的；但也有著不閉合的固定類，以及那些沒有閉合無界子類的固定類。因為兩個閉合無界類的交集是閉合和無界的，所以固定類和閉合無界類的交集是固定的。但是兩個固定類的交可以為空，比如帶有共尾性ω的序數的類和帶有不可數共尾性的序數的類。與其考慮作適用於序數的，假定小於formula_3的任何序數會小於在這個集合中的某個序數。更加一般的說，我們可以稱任何序數formula_3的子集為共尾於formula_3，如果小於formula_3的所有序數會小於"或等於"在這個集合中的某個序數。稱這個子集formula_3下閉合，如果它對在formula_3內的序拓撲是閉合的，就是說，在這個集合中的序數的極限要麼在這個集合中，要麼等於formula_3自身。序數算術.在序數上有三個常見運算：加法、乘法和指數。每個大致上都可以用兩種不同的方式定義：要麼構造一個明確的良序集合去表示這個運算，要麼使用超限遞迴。康托爾正規化提供了一個表示序數的標準方式。所謂的"自然"算術運算保持了交換律，但代價是損失了連續性。序數與基數.基數的初始序數.每個序數都有一個關聯的基數，就是透過簡單的忘記次序而獲得的它的勢。如果某良序集合的序型別就是該序數，那麼它們都會有相同的勢。有給定基數作為它的勢的最小序數，叫做這個勢的初始序數。所有有限序數是初始的，而絕多數無限序數都不是初始的。選擇公理等價於聲稱所有集合都可以良序化，就是說所有基數都有一個初始序數。在這種情況下，傳統上把基數等同為該初始序數，並稱這個初始序數是一個基數。第α個無限序數被寫為formula_35。它的勢被寫為formula_36。例如，ω0 = ω的勢為formula_37，它也是ω²或ε0。共尾性.序數formula_3的共尾性是作為formula_3的共尾子集的序型別的最小序數formula_19。注意一些作者只對極限序數定義或使用共尾性。序數或任何其他良序集合的集合的共尾性是這個集合的序型別的共尾性。因此對於極限序數，存在著一個極限為formula_3的formula_19-標定的嚴格遞增序列。例如，ω²的共尾性是ω，因為序列ω·"m"趨向於ω²；但是，更加一般的說，任何可數極限序數都有共尾性ω。一個不可數的極限序數可以有要麼同formula_46一樣的共尾性ω，要麼有不可數共尾性。0的共尾性是0。任何後繼序數的共尾性是1。任何極限序數的共尾性至少是formula_55。等於其共尾性的序數叫做正規的，並且它總是初始序數。任何正規序數的極限都是初始序數的極限，因而也是初始的，即使它不是正規的。如果有選擇公理，則對於每個α，formula_56都是正規的。在這種情況下，序數0, 1, formula_55, formula_42，和formula_44都是正規的，而2, 3, formula_46，和ωω·2是非正規的初始序數。任何序數"α"的共尾性都是正規序數，就是說"α"的共尾性的共尾性等同於"α"的共尾性。所以共尾性運算是等冪的。某些“大的”可數序數.我們已經提及了。也可以在邱奇-克萊尼序數之上定義更大的序數，這些大序數會在邏輯的多個部分有研究價值。