度量空間

在數學中，賦距空間是具有距離這一個概念的集合，具體來說，是裝配了一個稱為度量的函式，用以表示此集合中任兩個成員間的距離。歷史上是由法國數學家莫里斯·弗雷歇在1906年於其義大利語著作《--》首次使用。賦距空間中最符合人們對於現實直觀理解的為三維歐幾里得空間。事實上，“度量”的概念即是歐幾里得距離四個周知的性質之推廣。歐幾里得度量定義了兩點間之距離為連線這兩點的直線段之長度。此外，亦存在其他的度量空間，如橢圓幾何與雙曲幾何，而在球體上以角度量測之距離亦為一度量。狹義相對論使用雙曲幾何的雙曲面模型，作為速度之度量空間。賦距空間還能匯出開集與閉集之類的拓撲性質，這導致了對更抽象的拓撲空間之研究。定義."formula_1" 為集合，若其裝配了函式 formula_2 ，對任意 formula_3 滿足：則稱 formula_4 為定義在 "formula_1" 上的度量(metric)或是距離函式，且稱 formula_6 為度量空間。若依上下文可知道使用的度量為何，通常會省略 formula_4 ，只稱「 "formula_1" 為度量空間 」。雖然大部分的書籍會將「 對任意 formula_9 ，formula_10 」列入度量的定義中，但由上面的三個定義就足以推出這個性質，這是因為formula_11所以本節並沒有把這個性質列入定義。直觀上，對於任何道路系統與地形，兩個位置間之距離可被定義為連線這些位置的最短路徑的長度，這樣上面的三角不等式正代表距離是最短路徑。拓撲性質.對於度量空間 formula_6 內的任一點 formula_26，可定義中心為 formula_26，半徑為 formula_48 的開球formula_49這樣的話，若取所有開球構成的集合為拓撲基formula_50那就可以定義以下的拓撲結構formula_51也就是把開集定義成任意個開球的並集，這樣的話任意度量空間都自然地是個拓撲空間。簡便起見，也會以度量空間 formula_6 來稱呼這個自然存在的拓撲空間 formula_53 。反之，若可從某拓撲空間內建構出一個符合上述關係的度量，則稱此拓撲空間為可度量化空間；進一步的細節請見烏雷松度量化定理。閉集.定理 —度量空間 formula_6 內的子集 formula_55 是閉的，若且唯若每個 formula_55 的極限點都在 formula_55 內。formula_55 是閉的意思就是 formula_60 為開集，換句話說，存在一個以開球為元素的集合 formula_61 使得formula_62也就是說(1) formula_63也就是「任何元素 formula_64 不屬於 formula_55 ，等價於存在一個 formula_66 裡的開球 formula_67 ，使得 formula_26 在 formula_67 裡」。這樣的話，若 formula_70 為 formula_55 的極限點，換句話說(2) formula_72此時若假設 formula_73 ，根據(1)式，還有 formula_61 ，顯然可以得到formula_75那這樣根據(2)式和普遍化，會有 formula_76可是這樣再根據(1)式會有formula_77這樣就會推出以下的矛盾formula_78所以根據反證法， formula_79 ，也就是 formula_55 的極限點必須在 formula_55 裡。若 formula_70 為 formula_55 的極限點就有 formula_79 ，也就是formula_86換句話說，根據反證法、德摩根定理和量詞符號的意義，上式等價於(3) formula_87但考慮到以下的基本邏輯性質formula_88所以(3)實際上等價於(4) formula_89也就是「任何元素 formula_70 不屬於 formula_55 ，等價於存在一個與 formula_55 不相交的開集 formula_67 ，使得 formula_94 在 formula_67 裡」。這樣的話，若取以下的集合formula_96 上的度量，很自然地可以對度量空間 formula_6 作如下推廣：formula_98 是 formula_1 上的一個序列，若存在 formula_70 使得「對任意正實數 formula_101 ，存在正整數 formula_102 ，使任意的正整數 formula_103 只要有 formula_104 ，就有 formula_105。」那稱 formula_70 為序列 formula_98 的極限，且用formula_108或更簡略的formula_109來表達。完備化.仿造以有理數柯西序列數列構造實數的過程，可以將任意度量空間擴張為完備空間，也就是在新度量空間取值的柯西序列，都會在新度量的意義下收斂。以下的結果歷史上是由費利克斯·豪斯多夫於1914年首先提出的。等價關係.對於任意度量空間 formula_6 ，若定義 formula_111 為formula_112也就是說， formula_111 為所有在 formula_1 上取值的柯西序列所構成的集合。然後定義以下的等價關係formula_115也就是兩序列之間的距離趨近於零，則被認為是等價的。接下來取 formula_116 ，也就是所有 formula_117 在 formula_111 上的等價類所構成的集合。新的度量.這樣可以定義一個函式 formula_119 滿足formula_120也就是新的度量，是等價類之間距離的極限值。為了證明的確可以定義這樣的函式，要先證明對任意柯西序列 formula_121 ，formula_122 是存在的。根據 formula_111 的定義，對任意正實數 formula_124 ，可以取正整數 formula_102 ，使任意的正整數 formula_126 只要有 formula_127 就有formula_128formula_129度量空間的型別.有界與完全有界空間.度量空間 "M" 被稱為有界的，如果存在某個數 "r"，使得對於所有 "M" 中的 "x" 和 "y" 有 "d"("x","y") ≤ "r"。r 最小可能的值稱之為 M 的直徑。空間 "M" 稱之為預緊緻的或完全有界的，如果對於所有 "r" &gt; 0 存在有限多個半徑為 "r" 的開球，其並集覆蓋 "M"。因為這些球為有限個，所以該空間的直徑亦為有限值，從而得出(使用三角不等式)所有完全有界空間都是有界的。但逆命題不成立，因為任何無限集合均可給定其離散度量(上面第一個例子)，使得該空間是有界的，但不是完全有界的。須注意，在討論實數空間的區間及歐氏空間的區域時，有時會將有界集合指為「有限區間」或「有限區域」。不過，有界性與「有限」之間一般並無關連；有限通常意含著有界，但反之不一定成立。緊緻空間.度量空間 M 是緊緻的，若每個 M 內的序列均有個子序列，會收斂於 M 內的一點。這稱為序列緊緻性，且在度量空間裡，這等價於可數緊緻與以開覆蓋定義之緊緻性等拓撲性質。緊緻度量空間的例子包括具絕對值度量的閉區間 [0,1]、所有具有限多個點的度量空間，以及康託爾集。每個緊緻集合的閉子集亦是緊緻的。一度量空間為緊緻的，若且唯若該空間是完備的，且為完全有界的。這即是所謂的海涅－博雷爾定理。須注意，緊緻性僅決取於拓撲，而有界性則決取於度量。勒貝格數引理表示，對於緊緻度量空間 M 內的每個開覆蓋，均存在一個「勒貝格數」δ，使得每個 M 內直徑  0，對映 "ƒ" : "M"1 → "M"2 為利普希茨連續，若formula_153每個利普希茨連續對映均是一致連續的，但反之不一定成立。若 K &lt; 1，則 f 稱之為壓縮對映。令 "M"2 = "M"1，且 "M"1 是完備的。若 f 是個壓縮對映，則 f 會有個唯一的不動點。若 "M"1 是緊緻的，則條件可稍微放寬一點：f 會有個唯一的不動點，若formula_154.等距同構.對映 "f":"M"1→"M"2 稱之為等距同構，若formula_155等距同構總會是單射的；緊緻或完備集合在等距同構下的像仍分別會是緊緻或完備的。不過，若等距同構不是滿射的，則閉的。擬等距同構.對映　"f" : "M"1 → "M"2　稱之為擬等距同構，若存在常數 A ≥ 1 與 B ≥ 0，使得formula_156且有一個常數 C ≥ 0，使得 "M"2 內的每個點與像 "f"("M"1) 內的某個點間之距離至多為 C。須注意，擬等距同構不需要是連續的。擬等距同構比較度量空間的「大尺度結構」；多用於幾何群論內與字度量有關的理論。度量空間等價性的概念.度量空間之間有著不同的等價性。依據兩個空間之間能夠存在的函式，可給出不同等價的程度與型別。給定兩個度量空間 ("M"1, "d"1) 和 ("M"2, "d"2):拓撲性質.度量空間是個仿緊緻豪斯多夫空間，因此是個正規空間。度量空間也是個第一可數空間，因為可使用具有理數半徑的球作為該空間的基。依據提策擴充套件定理，每個度量空間都能具有單位分解，且每個定義於度量空間的閉子集上之連續實數值函式均能擴充套件成整個空間的連續對映。每個定義於度量空間的子集上之實數值利普希茨連續對映亦能擴充套件成整個空間的利普希茨連續對映。度量空間 M 上的度量拓撲是使得 formula_157 對映至非負實數的度量 d 為連續之最粗糙拓撲。點和集合間的距離.構造分離一個點與一個閉集的函式(作為完全正則空間的要求)的簡單方式是考慮點和集合之間的距離。 如果 ("M","d") 是度量空間，"S" 是 "M" 的子集而 "x" 是 "M" 的點，則可定義從 "x" 到 "S" 的距離為formula_158，其中的 formula_159 表示下確界。d(x, S) = 0 若且唯若 x 包含於 S 的閉包內。此外，可將三角不等式推廣如下：formula_160其中，可證明對映 formula_161 是連續的。給定兩個 M 內的子集 S 與 T，可定義豪斯多夫距離為formula_162，其中的 formula_163 表示上確界。一般而言，豪斯多夫距離 "d"H("S","T") 可以是無限大的。兩個集合的在豪斯多夫距離上會互相靠近，若其中一個集合的每個元素會靠近另一集合的某個元素。豪斯多夫距離 "d"H 會將由所有 M 內非空緊緻子集所組成之集合 K(M) 轉換成一個度量空間。可證明若 M 是完備的，則 K(M) 亦是完備的。然後，可定義任兩個度量空間之間的格羅莫夫-豪斯多夫距離為這兩個空間的等距同構嵌入版本間之最短豪斯多夫距離。使用此一距離，由所有緊緻度量空間所組成的類本身即會形成一個度量空間。積度量空間.如果 formula_164 是度量空間，而 "N" 是在 "Rn" 上的歐幾里得範數，則 formula_165 亦為度量空間，且積度量定義為formula_166積度量匯出之拓撲等價於積拓撲。依據有限維的範數之等價性，曼哈頓範數、p-範數、最大範數，及其他當座標內的分量增加時不會減少之範數，所給出的度量均為拓撲同構。同樣的，度量空間的可數積度量可以定義為如下度量：formula_167度量空間的不可數積度量不一定是可度量化的。例如， formula_168 不是第一可數空間，因此不能度量化。距離的連續性.值得注意的是，在一個空間 formula_169 中，距離對映 formula_170 在上述任何一個積度量 formula_171 下均是一致連續的，且特別是，在 formula_157 下的積拓撲會是連續的。商度量空間.若 M 為度量空間，其度量為 d，且 ~ 為 M 上之等價關係，則可在商集合 M/~ 上賦加下面的度量。給定兩個等價類 [x] 與 [y]，可定義formula_173其中，formula_174、formula_175、formula_176，則會是個度量。此外，若 M 是個緊緻空間，則該度量在 M/~ 上匯出之拓撲為商拓撲。商度量 d 具有下列泛性質：若 formula_177 是個度量空間之間的，滿足當 formula_179 時，f(x)=f(y) 的條件，則函式 formula_180 定義為 formula_181，亦會是個度量對映 formula_182。一個拓撲空間是序列的，若且唯若該空間是個度量空間的商空間。度量空間的推廣.度量空間作為豐富範疇.有序集 formula_184 可透過令 formula_185 時恰有一態射 formula_186，否則沒有態射，將之視為一個範疇。使用 + 作為張量積，0 作為單位元，該集合可變成一個麼半範疇 formula_187。每個度量空間 (M, d) 均可被視為 formula_187 上的豐富範疇 formula_189。其步驟如下：