正交矩陣

!style=" text-align: left; background: #DCF0FF; font-size: 90%;"|線性空間與線性變換線性空間 · 線性變換 · 線性子空間 · 線性生成空間 · 基 · 線性對映 · 線性投影 · 線性無關 · 線性組合 · 線性泛函 · 行空間與列空間 · 對偶空間 · 正交 · 特徵向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化在矩陣論中，正交矩陣是一個方塊矩陣formula_1，其元素為實數，而且行向量與列向量皆為正交的單位向量，使得該矩陣的轉置矩陣為其逆矩陣：formula_2其中，formula_3為單位矩陣。正交矩陣的行列式值必定為formula_4或formula_5，因為：formula_6以下是一些重要的性質：概述.正交矩陣是實數特殊化的酉矩陣，因此總是正規矩陣。儘管我們在這裡只考慮實數矩陣，這個定義可用於其元素來自任何域的矩陣。正交矩陣畢竟是從內積自然引出的，對於複數的矩陣這導致了歸一要求。要看出與內積的聯絡，考慮在"n"維實數內積空間中的關於正交基寫出的向量v。v的長度的平方是vTv。如果矩陣形式為"Q"v的線性變換保持了向量長度，則formula_10。所以有限維線性等距同構，比如旋轉、反射和它們的組合，都產生正交矩陣。反過來也成立：正交矩陣蘊涵了正交變換。但是，線性代數包括了在既不是有限維的也不是同樣維度的空間之間的正交變換，它們沒有等價的正交矩陣。有多種原由使正交矩陣對理論和實踐是重要的。"n"×"n"正交矩陣形成了一個群，即指示為"O"可用正交矩陣表示。例子.下面是一些小正交矩陣的例子和可能的解釋。基本構造.低維度.最簡單的正交矩陣是1×1矩陣[1]和[−1]，它們可分別解釋為恆等和實數線針對原點的反射。如下形式的2×2矩陣formula_17它的正交性要求滿足三個方程在考慮第一個方程時，不丟失一般性而設"p" = cos θ, "q" = sin θ；因此要麼"t" = −"q", "u" = "p"要麼"t" = "q", "u" = −"p"。我們可以解釋第一種情況為旋轉θ，第二個解釋為針對在角θ/2的直線的反射。formula_18旋轉formula_19反射在45°的反射對換"x"和"y"；它是置換矩陣，在每列和每行帶有一個單一的1：formula_20。單位矩陣也是置換矩陣。反射是它自己的逆，這蘊涵了反射矩陣是對稱的也是正交的。兩個旋轉矩陣的積是一個旋轉矩陣，兩個反射矩陣的積也是旋轉矩陣。更高維度.不管維度，總是可能把正交矩陣按純旋轉與否來分類，但是對於3×3矩陣和更高維度矩陣要比反射覆雜多了。例如，formula_21和formula_22表示透過原點的反演和關於"z"軸的旋轉反演。旋轉也變得更加複雜；它們不再由一個角來刻畫，並可能影響多於一個平面子空間。儘管經常以一個軸和角來描述3×3旋轉矩陣，在這個維度旋轉軸的存在是偶然的性質而不適用於其他維度。但是，我們有了一般適用的基本建造板塊如置換、反射、和旋轉。基本變換.最基本的置換是換位，透過交換單位矩陣的兩行得到。任何"n"×"n"置換矩陣都可以構造為最多"n"−1次換位的積。構造自非零向量v的Householder反射為formula_23。這裡的分子是對稱矩陣，而分母是v的平方量的一個數。這是在垂直於v的超平面上的反射。如果v是單位向量，則"Q" = "I"−2vvT就足夠了。Householder反射典型的用於同時置零一列的較低部分。任何"n"×"n"正交矩陣都可以構造為最多"n"次這種反射的積。Givens旋轉作用於由兩個座標軸所生成的二維描述所有3×3旋轉矩陣。雅可比旋轉有同Givens旋轉一樣的形式，但是被用做相似變換，選擇來置零2×2子矩陣的兩個遠離對角元素。性質.矩陣性質.實數方塊矩陣是正交的，當且僅當它的列形成了帶有普通歐幾里得點積的歐幾里得空間Rn的正交規範基，它為真當且僅當它的行形成R"n"的正交規範基。假設帶有正交列的矩陣叫正交矩陣可能是誘人的，但是這種矩陣沒有特殊價值而沒有特殊名字；他們只是"M"T"M" = "D"，"D"是對角矩陣。任何正交矩陣的行列式是 +1或−1。這可從關於行列式的如下基本事實得出：formula_24。逆敘述不真；有 +1行列式不保證正交性，即使帶有正交列，可由下列反例證實。formula_25對於置換矩陣，行列式是 +1還是−1匹配置換是偶還是奇的標誌，行列式是行的交替函式。比行列式限制更強的是正交矩陣總可以是在複數上可對角化來展示特徵值的完全的集合，它們全都必須有絕對值1。群性質.正交矩陣的逆是正交的，兩個正交矩陣的積是正交的。事實上，所有"n"×"n"正交矩陣的集合滿足群的所有公理。它是"n"("n"−1)/2維的緊緻李群，叫做正交群並指示為"O"("n")｡行列式為 +1的正交矩陣形成了路徑連通的子群指標為2的"O"("n")正規子群，叫做旋轉的特殊正交群"SO"("n")。商群"O"("n")/"SO"("n")同構於"O"(1)，帶有依據行列式選擇[+1]或[−1]的投影對映。帶有行列式−1的正交矩陣不包括單位矩陣，所以不形成子群而只是陪集；它也是連通的。所以每個正交群被分為兩個部分；因為投影對映分裂，"O"("n")是"SO"("n")與"O"(1)的半直積。用實用術語說，一個相當的陳述是任何正交矩陣可以透過採用一個旋轉矩陣並可能取負它的一列來生成，如我們在2×2矩陣中看到的。如果"n"是奇數，則半直積實際上是直積，任何正交矩陣可以透過採用一個旋轉矩陣並可能取負它的所有列來生成。現在考慮 ("n"+1)×("n"+1)右底元素等於1的正交矩陣。最後一列的子群。formula_26因為Householder正交矩陣形式的基本反射可把任何正交矩陣簡約成這種約束形式，一系列的這種反射可以把任何正交矩陣變回單位矩陣；因此正交群是反射群。最後一列可以被固定為任何單位向量，並且每種選擇給出不同的"O"("n")在"O"("n"+1)中的複本；以這種方式"O"("n"+1)是在單位球"S""n"與纖維"O"("n")上的叢。類似的，"SO"("n")是"SO"("n"+1)的子群；任何特定正交矩陣可以使用類似過程透過Givens平面旋轉來生成。叢結構持續："SO"("n")↪ "SO"("n"+1) → "S""n"。一個單一旋轉可以在最後一列的第一行生成一個零，而"n"−1次旋轉序列將置零"n"×"n"旋轉矩陣的除了最後一列的最後一行的所有元素。因為平面是固定的，每次旋轉只有一個自由度，就是它的角度。透過歸納，"SO"("n")因此有formula_27自由度，"O"("n")也是。置換矩陣簡單一些；它們不形成李群，只是一個有限群，"n"!次對稱群"S""n"。透過同類的討論，"S""n"是"S""n"+1的子群。偶置換生成行列式 +1的置換矩陣的子群，"n"!/2次交錯群。規範形式.更廣泛的說，任何正交矩陣的效果分離到在正交二維空間上的獨立動作。就是說，如果"Q"是狹義正交的，則你可以找到改變基的一個正交矩陣"P"，把"Q"帶回到分塊對角形式：formula_28。這裡的矩陣"R"1...,"R""k"是2×2旋轉矩陣，而餘下的元素是零。作為例外，一個旋轉塊可以是對角的，±"I"。因此如果需要的話取負一列，並注意2×2反射可對角化為+1和−1，任何正交矩陣可變為如下形式formula_30,矩陣"R"1,…,"R""k"給出位於複平面中單位圓上的特徵值的共軛對；所以這個分解複合確定所有帶有絕對值1的特徵值。如果"n"是奇數，至少有一個實數特徵值+1或−1；對於3×3旋轉，關聯著+1的特徵向量是旋轉軸。數值線性代數.優點.數值分析自然的利用了正交矩陣的很多數值線性代數的性質。例如，經常需要計算空間的正交基，或基的正交變更；二者都採用了正交矩陣的形式。有行列式±1和所有模為1的特徵值是對數值穩定性非常有利的。一個蘊涵是條件數為1。置換是很多演算法成功的根本，包括有區域性定支點。但是它們很少明顯作為矩陣出現；它們的特殊形式允許更有限的表示，比如"n"個索引的列表。同樣的，使用Householder和Givens矩陣的演算法典型的使用特殊方法的乘法和儲存。例如，Givens旋轉隻影響它所乘的矩陣的兩行，替代完全的"n"3次的矩陣乘法為更有效的"n"次運算。在使用這些反射和旋轉向矩陣介入零的時候，騰出的空間足夠儲存充足的資料來重生成這個變換。分解.一些重要的矩陣分解涉及到了正交矩陣，包括：;QR分解："M" = "QR", "Q"正交，"R"上三角。;奇異值分解："M" = "UΣV"T, "U"和"V"正交，"Σ"非負對角。;譜分解："S" = "QΛQ"T, "S"對稱，"Q"正交，"Λ"對角。;極分解："M" = "QS", "Q"正交，"S"對稱半正定。