外代數

外代數，以紀念數學家赫爾曼·格拉斯曼。數學上，向量空間formula_1的外代數是一個特定有單位的結合代數，其包含了"formula_1"為其中一個子空間。它記為formula_3或formula_4. 而它的乘法，稱為楔積或外積，記為formula_5. 楔積是結合的和雙線性的；其基本性質是它在"formula_1"上是交錯的，也就是：formula_7，對於所有向量formula_8這表示formula_9，對於所有向量formula_10，以及formula_11，當formula_12 線性相關時。值得注意的是，以上三性質只對formula_1中向量成立，不是對代數formula_3中所有向量成立。外代數事實上是“最一般的”滿足這些屬性的代數。這意味著所有在外代數中成立的方程只從上述屬性就可以得出。formula_3的這個一般性形式上可以用一個特定的泛性質表示，請參看下文。形式為formula_16的元素，其中formula_17在"formula_1"中，稱為formula_19-向量。所有"formula_19"-向量生成的formula_3的子空間稱為"formula_1"的formula_19"-階外冪，記為formula_24。外代數可以寫作每個formula_19"階冪的直和：formula_26該外積有一個重要性質，就是formula_19-向量和formula_28-向量的積是一個formula_29-向量。這樣外代數成為一個分次代數，其中分級由formula_19給出。這些formula_19-向量有幾何上的解釋：2-向量formula_32代表以formula_33和formula_34為邊的帶方向的平行四邊形，而3-向量formula_35代表帶方向的平行六面體，其邊為"formula_33", "formula_34", 和formula_38。外冪的主要應用在於微分幾何，其中他們用來定義微分形式。因而，微分形式有一個自然的楔積。所有這些概念由格拉斯曼提出。定義及運算律.外代數有很多種等價的定義，下面的定義是最簡潔的一個。定義: 設 formula_1是域 formula_40上的一個向量空間，讓formula_41則定義formula_42令 formula_28為 formula_1的張量代數的理想，則將formula_1上的外代數formula_48定義為商代數formula_49，即formula_50並且把formula_51的等價類 formula_52記為formula_53，其中 formula_54。設formula_55 稱formula_56為formula_1的formula_19-階外冪。注：運算律 將上面的注中的內容用formula_107寫出，則分別給出(1) formula_108, formula_109證明如下： 作為等價類，我們從formula_110中任意挑選一個代表元formula_111，則formula_96而且formula_113。根據商代數的定義，formula_114類似地，可以證明formula_115(2) 根據注3.1中的內容，顯然有formula_116.(3) 根據注3.2中的內容，對任意formula_117成立著formula_118注：即使formula_40的特徵為2，這個公式也是對的，只不過此時有formula_120而已。(4) 根據商代數的定義以及張量代數的性質，運算formula_121滿足結合律和分配律：formula_122formula_123formula_124其中formula_125都是任意的。以前兩條性質為例，其證明如下：設張量formula_126分別是formula_127中的代表元，即formula_128, formula_129, formula_130, 則formula_131formula_132(5) 根據上面的(3)和(4)，用數學歸納法可以證明：formula_133formula_134證明從略。基底和維數.若formula_1的維數是formula_136而formula_137是"formula_1"的基，則集合formula_139是formula_19階外冪formula_24的一個基。理由如下：給定任何如下形式的楔積formula_142則每個向量formula_143可以記為基向量formula_144的一個線性組合；利用楔積的雙線性性質，這可以擴張為那些基向量的楔積的線性組合。任何出現同樣基向量兩次的楔積為0；任何基向量出現的次序不正確的可以重新排序，在交換任何兩個基向量的時候變換符號。一般來講，最後基formula_19-向量前的係數可以用透過積"formula_144"來描述"formula_143"的矩陣的子式來計算。數一下基元素，我們可以看到formula_24的維數是"n" 取 "k"。特別的有，formula_149對於formula_150.外代數是一個分級代數，是如下直和formula_151其維數等於二項式係數之和，也就是formula_152.例子: 歐氏三維空間的外代數.考慮空間formula_153，其基為formula_154。一對向量formula_155formula_156的楔積為formula_157其中formula_158是三維空間formula_159的基底。再加一個向量formula_160,這三個向量的楔積是formula_161其中formula_162是一維空間formula_163的基底。空間formula_164是formula_153, 而空間formula_166是formula_167。取所有四個子空間的直和得到一個向量空間formula_168，這是八維向量空間formula_169.那麼，給定一對8維向量formula_170和formula_171, 其中formula_170如上給出，而formula_173,formula_170和formula_171的楔積如下(用列向量表達),formula_176.容易驗證8維楔積以向量formula_177為乘法么元。也可以驗證該formula_168代數的楔積是結合的(也是雙線性的):formula_179所以該代數是有單位且結合的。叉乘的實質，贗向量與贗標量.對三維歐幾里得空間formula_180可以建立一個線性同構formula_181如下：任取formula_180的右手的標準正交基formula_183，formula_184，formula_185，規定formula_186把formula_187，formula_188，formula_189分別對映為formula_185，formula_183，formula_184，則formula_186的定義與右手的標準正交基如何選取無關。不難看出，對任意向量formula_194和formula_195，這個線性同構把formula_196對映為formula_197。這就是叉乘的實質。例如，formula_180中平行四邊形formula_199的面積向量可以表示為formula_200. 經過推廣之後，高維黎曼流形formula_201中的緊的二維曲面formula_202的面積則可以用formula_203來計算，由此可以看到外積和叉乘的深刻關係。在物理學中，向量兩個概念經常需要加以區分。從根本上說，向量是formula_180中的元素，所以在空間反演變換下不會改變方向；而贗向量其實是formula_209中的元素，故在空間反演變換下會改變方向。類似地，藉助於右手的標準正交基，可以把formula_210中的元素formula_211對映為“標量"formula_212。但是，在空間反演變換下它就會原形畢露，所以稱它為贗標量。真正的標量在空間反演下是不變的，而贗標量在空間反演下會改變符號。把 2-向量formula_196對映為向量formula_197以及把 3-向量formula_211對映為一個實數formula_170的對映實際上是一個叫做霍奇對偶的線性對映。泛性質及構造.令formula_1為一個域formula_40上的向量空間。formula_219是“最一般”的包含formula_1的並有一個交替乘法在"formula_1"上由單位的結合"formula_40"-代數這個事實可以用如下的泛性質形式化的表達：任給一個有單位的結合 "formula_40"-代數formula_224和一個"formula_40"-線性對映formula_226使得formula_227對於每個formula_34屬於"formula_1"成立，則存在"恰好一個"由單位的代數同態formula_230使得formula_231所有formula_34屬於"formula_1"成立。要構造最一般的包含"formula_1"的代數，而且其乘法是在"formula_1"上交替的，很自然可以從包含"formula_1"的最一般的代數開始，也就是張量代數formula_237，然後透過合適的商來強制交替的性質。這樣我們取formula_237中由所有形為formula_239的元素生成的雙邊理想formula_28，其中formula_34屬於"formula_1"，並定義formula_219為商formula_244。然後可以直接證明formula_219包含"formula_1"並且滿足上述泛性質。如果不是先定義formula_219然後把外冪formula_24等同為特定的子空間，我們也可以先定義空間formula_24然後把它們合併成為一個代數formula_219。這個方法在微分集合中常常用到，並在下節中有描述。反對稱運算元和外冪.給定兩個向量空間"formula_1"和formula_254，一個從formula_255到"formula_254"的"反對稱運算元"是一個多線性對映formula_257使得只要formula_17是"formula_1"中線性相關的向量，則formula_260.最著名的例子是行列式值，從formula_261到formula_40的反對稱線形運算元。對映formula_263它關聯"formula_1"中的formula_19個向量到他們的楔積，也就是它們相應的"formula_19"-向量，這也是反對稱的。事實上，這個對映是定義在"formula_255"上的“最一般”的反對稱運算元：給定任何其它反對稱運算元formula_257，存在一個唯一的線性對映formula_269。這個泛性質表述了空間formula_24並且可以作為它的定義。所有從"formula_255"到基域"formula_40"的反對稱對映組成一個向量空間，因為兩個這樣的對映的和、或者這樣一個對映和一個標量的乘積也是反對稱的。若"formula_1"是有限維的，維數formula_136，則該空間可以認同為formula_275，其中formula_276表示"formula_1"的對偶空間。特別的有，從"formula_255"到"formula_40"的反對稱對映的空間是formula_136取"formula_19"維的。在這個等同關係下，若基域是formula_282或者formula_283，楔積有一個具體的形式：它從兩個給定的反對稱對映得到一個新的反對稱對映。設formula_284和formula_285為兩個反對稱對映。和在多線性對映的張量積的情況一樣，楔積的變數數是每個對映的變數數之和。它定義如下：formula_286其中多線性對映的交替formula_287定義為其變數的所有排列的帶符號平均：formula_288注意： 有一些書中楔積定義為formula_289指標記法.在主要由物理學家使用的指標記法中有：formula_290微分形式.令formula_291為一個微分流形。一個微分"k"-形式formula_292是formula_293的一個截面。等價的有：formula_292是formula_291的光滑函式，對於formula_291的每個點formula_299給定一個formula_300的元素。大致來講，微分形式是餘切向量的全域性版本。微分形式是微分幾何的重要工具，其中，它們被用於定義德拉姆上同調和亞歷山大-斯潘尼爾上同調。推廣.給定一個交換環formula_282和一個"formula_282"-模"formula_291"，我們可以定義和上文一樣的外代數formula_304，它是張量代數formula_305適當的商。它會滿足類似的泛性質。物理應用.格拉斯曼代數在物理中有重要應用，它們被用於建模和費米子和超對稱性相關的各種概念。"參看"：超空間，超代數，超群