二次互反律

在數論中，特別是在同餘理論裡，二次互反律是一個用於判別二次剩餘，即二次同餘方程formula_1之整數解的存在性的定律。二次互反律揭示了方程formula_1 可解和 formula_3可解的簡單關係。運用二次互反律可以將模數較大的二次剩餘判別問題轉為模數較小的判別問題，並最後歸結為較少的幾個情況，從而在實際上解決了二次剩餘的判別問題。然而，二次互反律只能提供二次剩餘的存在性，對於二次同餘方程的具體求解並沒有實際幫助。二次互反律常用勒讓德符號表述：對於兩個奇素數 formula_4 和 formula_5，formula_6其中formula_7是勒讓德符號。但是對於更一般的雅可比符號和希爾伯特符號也有對應的二次互反律。尤拉和勒讓德都曾經提出過二次互反律的猜想。但第一個嚴格的證明是由高斯在1796年作出的，隨後他又發現了另外七個不同的證明。在《算數研究》一書和相關論文中，高斯將其稱為“基石”：這個定理肯定屬於最優雅的基本定理。(Art. 151)私下裡高斯把二次互反律譽為算術理論中的寶石，是一個黃金定律。高斯之後雅可比、柯西、劉維爾、克羅內克、弗洛貝尼烏斯等也相繼給出了新的證明。至今，二次互反律已有超過200個不同的的證明。二次互反律可以推廣到更高次的情況，如三次互反律等等。相關術語.一個整數 formula_8 是模整數 formula_9 的二次剩餘，是指它與某個整數的平方關於模"formula_9" 同餘。直觀來說，是指二次同餘方程formula_11有整數解。如果這樣的整數解不存在，則稱 formula_8 是模整數 formula_9 的二次非剩餘。術語中的“二次”一詞是為了表示與平方同餘，在不至於混淆的行文中，可以略掉。當模數是質數時，通常將0的情況區別討論，因此有：幾個簡單情況.有了上節的關於乘積的性質，可以發現：研究一個合數是否是模某個質數formula_4的剩餘，只需將這個合數進行質因數分解，研究其每個質因數是不是模"formula_4"的剩餘即可。因此，為了尋找模質數的二次剩餘的規律，可以先研究對於前幾個質數2、3、5等的情況，看對於什麼樣的質數"formula_4"，2、3、5等是模它們的剩餘。此外為了研究正負號對乘積的影響，也要研究-1的情況。為了發現規律，可以藉助50以內的質數的二次剩餘表。50以內的質數的二次剩餘表.下表列出了1至20模50以內的質數的二次剩餘。其中每一行列出了模相應質數的所有剩餘。因此要看某個整數 formula_17 是否是模某個質數 formula_4 的剩餘，只需要看 formula_17 是否在模 formula_4 的那一行中出現就行了。例如，要檢查7是不是模37的剩餘，可以檢視7是否出現在模37的一行中。實際上7出現在左數第9個格子裡，因此7是模37的二次剩餘。又如，要檢查7是不是模43的剩餘，可以檢視7是否出現在模43的一行中。實際上並沒有7出現，因此7是模43的二次非剩餘。。又如，要檢查7是不是模41的剩餘，可以檢視7是否出現在模41的一行中。實際上並沒有7出現，因此7是模41的二次非剩餘。–1的情況.首先，看看對於什麼樣的質數，–1是模它的二次剩餘。查對上表後可以發現：–1對於模formula_21是二次剩餘，而對formula_22則不是。比如：formula_23，formula_24，formula_25，等等。可以發現前者都是模4餘1的質數，後者都是模4餘3的質數。於是可以猜想：同餘方程formula_26 有解當且僅當 formula_27。2的情況.接下來看對什麼樣的質數，2是模它的二次剩餘。同樣查對上表後可以發現：對於模8餘±1的質數，如formula_28，2是模它的二次剩餘。對於模8餘±3的質數如formula_29 等則不然。3的情況.3是模11、13、23、37和47的剩餘，但不是模5、7、17、19、29、31、41或43的剩餘。前者模12都餘±1，後者都模12餘±5。–3是模7、13、19、31、37和43的剩餘，但不是模5、11、17、23、29、41或47的剩餘，前者模3都餘1，後者模3都餘2。由於模3的剩餘只有1，可以發現一個規律：對於所有為模3的剩餘的質數，-3是模它的剩餘。5的情況.5是模11、19、29、31和41的剩餘，但不是模3、7、13、17、23、37、43或47的剩餘，前者模5都餘±1，後者模5都餘±2。由於模5的剩餘只有±1，可以發現規律：對於所有為模5的剩餘的質數，5是模它的剩餘。6的情況.6是模5、19、23、29、43和47的剩餘，但不是模7、11、13、17、31、37或41的剩餘，前者模24都餘±1或±5，後者模24都餘±7或±11。7的情況.7是模3、19、29、31、37和47的剩餘，但不是模5、11、13、17、23、41或43的剩餘，前者模28都餘±1、±3或±9，後者模28都餘±5、±11或±13。–7是模2、11、23、29、37和43的剩餘，但不是模3、5、13、17、19、31、41或47的剩餘，前者模7都餘1、2、4，後者模7都餘3、5、6。由於模7的剩餘只有1、2或4，可以發現一個規律：對於所有為模7的剩餘的質數，-7是模它的剩餘。n2+n+2 的因數.不難發現formula_30，在"formula_9"是整數的情況，只能被模7二次剩餘的質數整除，不可能被模7二次非剩餘的質數整除，因為formula_32，所以只能被模7二次剩餘的質數整除。對於2、7、11、23、29、37、43、53、67、71、79、107、109、113、127、137等質數都是模7的二次剩餘。對於3、5、13、17、19、31、41、47、59、61、73、83、89、97、101、103、131、139等質數都是模7的二次非剩餘。高斯和勒讓德的敘述.對於一般的情況，也有類似的規律。在此基礎上，高斯和勒讓德提出了兩個一般性的敘述，兩者是等價的。高斯的敘述.如果formula_33 那麼 formula_1 可解當且僅當formula_35可解。如果formula_36 那麼 formula_1 可解當且僅當formula_38可解。藉助於以下變數：formula_39，命題可以簡化為：formula_1可解當且僅當formula_41可解。在高斯的敘述中已經可以見到“互反”的體現，即將formula_1 的可解性與formula_35的可解性聯絡起來。在下表中可以看出，這表現了一種對稱性。下表列明瞭質數之間相互是否為二次剩餘的情況。方格內為R表示對應的formula_5。可以看到白格內的元素是關於對角線對稱的，黃格內則關於對角線反對稱。可以說黃格代表了一種“特殊情況”。勒讓德的敘述.觀察上表中黃格的情況，可以看出相對應的兩個質數都是模4餘3的。因此勒讓德的陳述為：如果formula_46 或者 formula_47 那麼formula_48 可解當且僅當 formula_49 可解。如果formula_50 那麼formula_48 可解當且僅當 formula_49 不可解。研究歷史.二次互反律曾被不少的數學家研究，因此二次互反律的敘述有很多種。要注意的是當時的數學記號並不統一。尤拉和勒讓德並沒有高斯的同餘記號，高斯也不知道勒讓德符號。下文中的formula_4和formula_5總是不相等的正奇質數。前期探索.費馬曾經證明了一系列關於將質數表示成平方和的定理formula_55 當且僅當 formula_56 或 formula_57formula_58 當且僅當 formula_56 或 formula_60formula_61 當且僅當 formula_62 或 formula_63他並沒有給出二次互反律的陳述，儘管由此類的定理可以得到–1、±2和±3的情況。此外尤拉曾經猜想 ：如果formula_64 那麼 formula_65如果formula_66 那麼 formula_67證明費馬的這類命題是導致二次互反律的發現的因素之一。定理的首次敘述：尤拉.尤拉在1783年曾經寫過：1) 如果 formula_68 那麼formula_5是模formula_4的二次剩餘當且僅當formula_71，其中formula_72是一個模"formula_5"的二次剩餘。2) 如果 formula_74 那麼"formula_5"是模"formula_4"的二次剩餘當且僅當formula_77, 其中formula_78為奇數但不被"formula_5"整除。這是二次互反律首次被完整地陳述。尤拉也證明了 2的情況。勒讓德與他的符號.勒讓德用formula_8和formula_81表示模4餘1的正質數，用"formula_78"和formula_83表示模4餘3的正質數。他建立了一個有8個定理的表格，這8個定理合起來就是二次互反律。勒讓德認為表示式formula_84出現了太多次，可以簡寫為：formula_85其中formula_86、formula_87為互質的數。這個符號就是現在使用的勒讓德符號：對於所有的整數"formula_8"以及任意奇質數formula_4：..勒讓德使用勒讓德符號的敘述為：formula_90，如果 formula_91 或 formula_92formula_93，如果 formula_94他也提到上面的兩種情況可以合併為：formula_95勒讓德完整地證明了八種情況中的第一、第二和第七種。在證明第八種情況時，勒讓德作了一個可以等價於狄利克雷定理的假設。正如高斯在其《算術研究》中指出的。勒讓德實際上證明了二次互反律是狄利克雷定理成立的情況下的一個推論。首次的證明：高斯.第一個完整地給出二次互反律的證明的人是德國數學家高斯。高斯在1796年給出了二次互反律的第一個證明。高斯首先證明了 -1和2的情況。作為進行數學歸納法的開始，他證明了±3和±5的情況。他注意到-3和+5的情況較有規律，容易敘述，因此把定理敘述為：如果 formula_4 是形式為formula_97，那麼 formula_4。在下一句中，高斯將其列為“基本定理”。在引進formula_103後，高斯令formula_8和formula_108表示模4餘1的質數，用formula_78和formula_110表示模4餘3的，於是寫出了勒讓德得到的8種情況：在接下來的文章中他將其推廣到關於所謂的雅可比符號，以下的大寫字母表示的意思和相應的小寫字母一樣，但不再是質數。最後他分各種情況分別運用強數學歸納法將其證明。證明中高斯用到了一個引理：如果formula_111 是質數，那麼存在奇質數 formula_112 使得 formula_113如果使用勒讓德符號，那麼高斯的陳述就是令formula_39，也就是說 formula_115 且 formula_116。那麼 formula_117高斯一生中給出了二次互反律的八個證明，其中他最為滿意的是第五個證明。如果formula_118 那麼 formula_119其它陳述.艾森斯坦.艾森斯坦曾聲稱：如果 formula_120 並且 formula_121 那麼 formula_122莫德爾.莫德爾證明了以下命題與二次互反律等價：令 formula_123和 formula_124 為整數，那麼對每個整除 formula_125 的質數formula_126有：如果 formula_127有一個非平凡解，那麼formula_128也有。關於雅可比符號的互反律.雅可比符號是勒讓德符號的一個推廣，與後者主要的區別是“分母”只需為正奇數，而不需要一定是質數。當“分母”為質數時，兩者意義相同。雅可比符號的運算規律與勒讓德符號相同，即：formula_129formula_130如果兩個數都是正奇數，那麼二次互反律對雅可比符號也成立：formula_131然而，當雅可比符號為+1，“分母”為合數時，“分子”不一定是“分母”的二次剩餘。高斯的第九至十四種情況可以被表示為：formula_132由於formula_133為質數，上式左邊是勒讓德符號，於是我們可以知道formula_134是否是模"formula_133"的剩餘。以上各節的公式對雅可比符號仍然成立。尤拉的公式可以寫作：formula_136其中formula_137為整數，formula_138舉例來說：formula_1392是模7、23、31的剩餘，但2是模5的非剩餘，因此也不是模15的。這與勒讓德提出過的一個問題有關：若已知formula_140 ，我們知道formula_141是模formula_142、formula_143、……中所有質數的非剩餘，如果這種質數存在的話。但此種質數的存在性直到數十年後才由狄利克雷證明。艾森斯坦的公式則需要兩數互質才能成立：如果formula_144 是正奇數，且formula_145，那麼如果formula_146 且 formula_147，則formula_148使用希爾伯特符號的互反律.二次互反律也可以用希爾伯特符號：formula_149 來敘述。其中formula_141、formula_151是兩個非零的有理數，formula_152則可代表任意非平凡的有理數絕對值。希爾伯特二次互反律的證明可以歸結到幾個特殊情況，可以證明其中非平凡的情況與勒讓德符號下的二次互反律的兩個輔助定理是等價的。在希爾伯特二次互反律中其實並沒有“互反”的情形，它的名字只是表明它的歷史作為二次互反律的研究成果。不同於二次互反律要考慮正負問題，並要區分2的情況，希爾伯特二次互反律對所有的有理數都是平等的。因此使用希爾伯特符號的二次互反律推廣起來更為自然：其推廣到整體域時只需做出很少改變，並對所有的整體域都適用。應用.以二次互反律配合以下兩個輔助定理formula_165formula_166即能迅速地計算勒讓德符號，從而解決二次剩餘的判別問題。例如判別37是否是模89的二次剩餘：formula_167所以 formula_168因此37不是模89的二次剩餘。推廣.二次互反律的推廣主要是在代數數論中。例如：高斯考察過四次互反律。在他的首篇論文裡他證明了一系列定理，其中最重要的是：如果formula_169，那麼formula_170有解當且僅當formula_171，其中formula_8、formula_78是整數，如果formula_169，那麼formula_175有解當且僅當formula_176，其中formula_8、formula_78是整數，如果formula_169，那麼formula_180有解當且僅當formula_181，其中formula_8、formula_78是整數，如果formula_184，那麼模formula_4的二次剩餘必然是四次剩餘。在第二篇論文中，高斯引進了著名的高斯整數。高斯證明了模4餘1的質數總能分解為兩個高斯整數中質數的乘積、唯一分解定理等其它代數數論的基礎定理，並引進了一些基本概念，如範數和單位元。在高斯整數中，四次互反律的敘述十分簡單。高斯並且注意到在艾森斯坦整環中，三次互反律最為簡單。一部分的原因是高斯整數中1有4個四次方根，而艾森斯坦整數中1有3個三次方根。其它的推廣是在以上整環中的二次互反律。高斯率先研究了高斯整數中的二次互反律。