分數傅立葉變換

在數學中，分數傅立葉變換等許多相關的數學運算。分數傅立葉變換的物理意義即做傅立葉變換 formula_1 次，其中 formula_1 不一定要為整數；而做了分數傅立葉變換之後，訊號或輸入函式便會出現在介於時域與頻域之間的分數域。若再更進一步地廣義化分數傅立葉變換，則可推廣至線性標準變換。由來.對訊號 formula_3 做一次傅立葉變換的結果為formula_4 ，做兩次傅立葉變換的結果為formula_5 ，表示成formula_6 ，而當做了 formula_1 次的傅立葉變換可以寫成一般式 formula_8 。至此，都以 formula_1為整數做考量，當令 formula_10 即 formula_11 時，將 formula_3 的分數傅立葉變換定義為 formula_13，其中 formula_14 可以不必為整數。歷史.分數傅立葉變換這個概念，其實最早在西元1929年，N.Wiener就已提出，但是並沒有受到太多的矚目。過了約莫50年，V.Namias 在西元1980年重新提出這個概念，但是一直到西元1994年，才有人真正把分數傅立葉變換用在訊號處理上，此人為 L. B. Almeida。詳細歷史：1937年提出分數傅立葉變換的概念雛形; 1980年Namias較明確地提出分數傅立葉變換的數學表示式，並將其用於具有確定邊界條件的量子力學薛定諤方程的求解1987年Bride &amp; Kerr 給出嚴格的數學定義以及性質1993年由德國的學者羅曼，土耳其的Ozaktas和以色列的Mendlovic等人首次將分數傅立葉變換概念引入光學並給出了相應的光學過程; Mendlovic＆Ozaktas：漸變折射率GRIN介質中光傳播。 A. W. Lohmann: 維格納分佈函式和以及透鏡實現，自由空間的光衍射。 1993年Ozaktas，羅曼，Mendlovic等人在光學中全面引入分數傅立葉變換; 1995年Shih提出了另外一種分數傅立葉變換的形式; 1997年劉樹田等人根據Shih的定義給出了廣義分數傅立葉變換，1999年劉樹田等人將分數傅立葉變換應用於影象加密研究中; 2001年Ozaktas等人出版“分數傅立葉變換及其在光學和訊號處理中應用”一書。定義.第一種定義:formula_15第二種定義:formula_16formula_17, formula_18 為實數。當 formula_19 時 (亦即 formula_20 )，分數傅立葉變換就成了傅立葉變換。表示法.formula_21 ，則可推廣為formula_22;依此類推，formula_23表示formula_24的formula_25次逆變換formula_26。而分數傅立葉變換將以上定義推廣至非整數次的formula_27，且formula_28為實數，表示為formula_29，當formula_30是一個整數時則代表傅立葉轉換做formula_25次。例如:formula_32時相當於做一次傅立葉變換，如果在時頻分析(Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號順時針轉90度formula_33時相當於做兩次傅立葉變換，如果在時頻分析(Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號順時針轉180度,formula_34formula_35時相當於做三次傅立葉變換，如果在時頻分析(Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號順時針轉270度formula_36時相當於做四次傅立葉變換，如果在時頻分析(Time-Frequency Analysis)圖上，則是對訊號順時針轉360度,formula_37性質.對於任一實數formula_28，一個對formula_39函式做formula_28角度分數傅立葉變換定義為formula_41並且具備以下特性formula_42。formula_43若formula_44,其中formula_45為一整數則相當於做formula_45次傅立葉轉換；當formula_47時，這個定義就變成了連續傅立葉變換的定義 ，當formula_48時，它就變成了連續傅立葉變換之逆變換的定義。若formula_28為formula_50的整數倍，則餘切函式和餘割函式不會收斂。有一方法可解決此問題，就是取limit讓以上定義變成有一個狄拉克δ函式被積分的情況，使得formula_51formula_52formula_53formula_54若從時頻分析圖上來看，代表的意義是在時頻分析上旋轉一角度後能量守恆formula_55定理.formula_3 的分數傅立葉轉換 (formula_14)的時頻分佈，等同於 formula_3 的時頻分佈(維格納分佈,加伯轉換)順時針旋轉角度 formula_14，用數學式子表示如下:維格納分佈(Wigner distribution function).假設(a) formula_60 是 formula_3 的維格納分佈(b) formula_62 是 formula_63 的維格納分佈(c) formula_63 是 formula_3 的分數傅立葉轉換，則formula_66加伯轉換(Gabor transform).假設(a) formula_67 是 formula_3 的加伯轉換(b) formula_69 是 formula_63 的加伯轉換(c) formula_63 是 formula_3 的分數傅立葉轉換，則formula_73例子一:對一個加伯轉換後的餘弦函式做不同角度的分數傅立葉轉換。如下圖例子二:對一個加伯轉換後的矩形函式做不同角度的分數傅立葉轉換。如下圖應用.可用分解訊號和濾除雜訊；一般來說分為兩種，一種是在時域(Time domain)上，一種是在頻域(Frequency domain)上，這邊利用分數傅立葉轉換使其在分數域當中濾波。(一)時域.假設現在formula_3是由兩個訊號組成:formula_75，formula_76和formula_77 用數學表示分別如下:formula_78formula_79formula_80由式子可以很明顯地看出，formula_81兩訊號是方波。若要將這兩個訊號分開，是非常簡單的一件事情，因為這兩個訊號在時域上毫無重疊，便可以直接在時域上將這兩個訊號分開。則 formula_3 乘上 formula_83 時，formula_76這個訊號會被保留，formula_77這個訊號就被濾掉了。此作法可成功將這兩個訊號分開。限制.此種方法的限制為欲分解的訊號必須在時域不能重疊，否則無法成功分解。formula_75，formula_87，formula_88。(二)頻域.可以很明顯地看出formula_76和formula_77 在時域上完全重疊，因此很難在時域分解這兩個訊號。此時，可以妥善利用傅立葉轉換將訊號formula_3轉到頻域，其在頻域的表示式如下所示:formula_92formula_93formula_94由formula_95可以很明顯地看出，若要將這兩個訊號在頻域上分開，是非常簡單的一件事情，因為這兩個訊號經過傅立葉轉換後，在頻域上完全沒有重疊。例子.假設 formula_96 為一個低通濾波器(Low-pass Filter)formula_97則 formula_95 乘上 formula_96 時，formula_100 會被保留，formula_101 就被濾掉了。反之，若要保留 formula_101 而濾掉 formula_100 ，則可以使用高通濾波器(High-pass Filter)。這種把欲處理訊號先轉換到頻域，再做分解的動作，是濾波器設計的常見方法之一。限制.欲分解的訊號必須在頻域不能重疊，否則無法成功分解。formula_104 (啁啾雜訊) + 三角波訊號。(三)時頻域分解.三角波訊號(藍色)是我們要的訊號，將前面的啁啾(綠色)視為雜訊，由圖中可以發現到，不論在時域或是頻域，皆無法直接將噪音項formula_105去除，這是因為formula_105和三角波訊號在時域和頻域皆重疊(如下圖左上、右上)。因此，對於兩個在時、頻域皆重疊的訊號來說，很難在一維的時域和頻域中將其分解。但若使用二維的時頻分析，則將有機會可以將兩個在時、頻域皆重疊的訊號分解。這是因為兩個在時、頻域皆重疊的訊號其時頻分佈並不一定會重疊。因此，只要這兩個訊號的時頻分佈沒有互相重疊，就可以善用分數傅立葉變換將其成功分解(如下圖左下、右下)。例子一.假設有噪音幹擾，所以接收到的訊號除了原始訊號以外，還包含了雜訊。用時頻分析方法來處理接收到的訊號，黑色為原始訊號(signal)的時頻分佈，而綠色為噪音(noise)的時頻分佈，如下圖。現在想把雜訊濾掉，以下探討3種方法來還原原始訊號。方法1 : 使用垂直的 Cutoff line若在時頻分佈圖中使用垂直的 Cutoff line ，就相當於在一維時域中，要把訊號和噪音分離。但是由下圖可清楚看出，使用垂直的 Cutoff line 後，仍然會有一部分的噪音無法被去除。因此方法1無法完美重建原始訊號，而會有扭曲的情形發生。方法2 : 使用水平的 Cutoff line若在時頻分佈圖中使用水平的 Cutoff line ，就相當於在一維頻域中，要把訊號和噪音分離。但是由下圖可清楚看出，使用水平的 Cutoff line 後，仍然會有一部分的噪音無法被去除。因此方法2也無法完美重建原始訊號，而會有扭曲的情形發生。方法3 : 使用斜的 Cutoff line若在時頻分佈圖中使用斜的 Cutoff line ，則可以完美分離訊號和噪音。如下圖。Cutoff line 的引數包含了 formula_14 和 formula_108，formula_14 是cutoff line和縱軸f-axis的夾角，而 formula_108 則是cutoff line 距離原點的距離。以下示範如何使用分數傅立葉轉換和Cutoff line來將噪音濾除:步驟(1) 首先決定cutoff line和縱軸f-axis的夾角 formula_14步驟(2) 利用分數傅立葉轉換對時頻分佈旋轉 formula_14，使 cutoff line 垂直橫軸 t-axis。步驟(3) 算出 formula_108後，再利用低通遮罩(Low pass Mask)將噪音濾掉。步驟(4) 最後再做一次分數傅立葉轉換 formula_114，將時頻分佈旋轉回原來的位置。令接收到的訊號為 formula_115，最後得到的訊號為 formula_116，可將以上步驟用數學式子表示如下:formula_117formula_118例子二:假設發射一訊號s(t)，中間受到雜訊幹擾，最後收到的訊號為f(t)=s(t)+noise(a) 發射訊號的時域圖(b) 接收訊號的時域圖(c) 發射訊號的韋格納分佈(d) 接收訊號的韋格納分佈，有由此可見cross-term已經大大的影響時頻圖的可見姓，加上雜訊後的韋格納分佈更是無法清楚地將訊號分離開來(e) 發射訊號的加伯轉換(f) 接收訊號的加伯轉換(g) 接收訊號的加伯-維格納轉換(h) 濾波器的設計，這邊總共有四條cutoff lines，其中有兩條平行，所以總共需要做三次不同的分數傅立葉轉換，再藉由cutoff lines來去除雜訊(i) 濾波器的設計，這邊總共有四條cutoff lines，其中有兩條平行，所以總共需要做三次不同的分數傅立葉轉換，再藉由cutoff lines來去除雜訊(j) 對(i)做分數傅立葉轉換(k) 利用高通濾波器濾波，把兩條cutoff lines設定在低頻(l) 經過(k)濾波器以後(m) 透過同上的手法再做兩次低通濾波器，把旁邊兩條線給去除後可得到的還原訊號(n) 發射訊號(藍色)和還原訊號(綠色)的比較，兩者的MSE僅有0.1128%由以上可知，透過分數傅立葉旋轉時頻圖的技巧來設計濾波器，我們可以精準地還原訊號例子三:一樣假設接收訊號受到了雜訊幹擾(a) 發射訊號(b) 接收訊號(c) 接收訊號的韋格納分(d) 接收訊號的加伯轉換(e) 接收訊號的加伯-維格納轉換，在這邊的濾波器需要五條cutoff lines(藍線)，但有兩條是垂直時間軸，可以直接在時間軸上去除，剩下的三條則需要利用分數傅立葉轉換來去除。(f) 還原訊號，MSE僅0.3013%比較傅立葉轉換和分數傅立葉轉換.傅立葉轉換優點: 運算複雜度較低，有快速傅立葉轉換的演演算法。缺點: 僅有一個維度，頻域，來分析；雜訊若和訊號重疊，則難以分離。分數傅立葉轉換優點: 運用旋轉的技巧在時頻圖上去除雜訊，多了一個維度來分析；除非雜訊和訊號同時在頻域和時域上重疊，否則將可以分離兩訊號。缺點: 運算複雜度較高。相關條目.其他的時間-頻率變換：