二項式係數

在數學上，二項式係數是二項式定理中各項的係數。一般而言，二項式係數由兩個非負整數formula_1和formula_2為引數決定，寫作 formula_3，定義為 formula_4的多項式展開式中，formula_5項的係數，因此一定是非負整數。如果將二項式係數 formula_6寫成一行，再依照 formula_7順序由上往下排列，則構成帕斯卡三角形。二項式係數常見於各數學領域中，尤其是組合數學。事實上，formula_8可以被理解為從formula_1個相異元素中取出formula_2個元素的方法數，所以 formula_8大多讀作「formula_1取formula_2」。二項式係數 formula_8的定義可以推廣至formula_1是複數的情況，而且仍然被稱為二項式係數。歷史及記號.雖然二項式係數在西元10世紀就已經被發現。約1150年，印度數學家婆什迦羅第二於其著作《Lilavati》 中給出一個簡單的描述。二項式係數亦有不同的符號表達方式，包括：formula_17、formula_18、formula_19、formula_20、formula_21，其中的 C 代表組合。很多計算機使用含有 C 的變種記號，使得算式只佔一行的空間，相同理由也發生在置換數 formula_22，例如寫作 P("n", "k")。定義及概念.對於非負整數formula_1和formula_2，二項式係數formula_8定義為formula_4的多項式展開式中，formula_5項的係數，即formula_28事實上，若formula_29、formula_30為交換環上的元素，則formula_31此數的另一出處在組合數學，表達了從"formula_1"物中，不計較次序取"formula_2"物有多少方式，亦即從一"formula_1"元素集合中所能組成"formula_2"元素子集的數量。此定義與上述定義相同，理由如下：若將冪formula_36的"formula_1"個因數逐一標記為formula_38組成的所有序列中，其和為"formula_2"的數目為formula_8，又如算式formula_48，其中每一formula_49均為非負整數，則有formula_50種寫法。這些例子中，大部分可視作等同於點算"formula_2"個元素的組合的數量。計算二項式係數.除展開二項式或點算組合數量之外，尚有多種方式計算formula_8的值。遞迴公式.以下遞迴公式可計算二項式係數：formula_53其中特別指定：formula_54formula_55此公式可由計算formula_56中的"formula_5"項，或點算集合formula_58的"formula_2"個元素組閤中包含"formula_1"與不包含"formula_1"的數量得出。顯然，如果formula_62，則formula_63。而且對所有"formula_1"，formula_65，故此上述遞迴公式可於此等情況下中斷。遞迴公式可用作建構帕斯卡三角形。乘數公式.個別二項式係數可用以下公式計算：formula_66上式中第一個分數的分子是一階乘冪。此公式可以二項式係數在計算組合數量的意義理解：分子為從"formula_1"個元素中取出"formula_2"個元素的序列之數量，當中包含同樣的元素但不同排列次序的序列。分母則計算同樣的"formula_2"個元素可有多少種排序方式。階乘公式.二項式係數最簡潔的表示式是階乘:formula_70其中「formula_71」是"formula_1"的階乘，此公式從上述乘數公式中分子分母各乘以formula_73取得，所以此公式中的分子分母有眾同共同因子。除非先行抵銷兩邊中的共同因子，否則以此公式進行計算時較率欠佳，尤因階乘的數值增長特快。惟此公式展示了二項式係數的對稱特性：一般化形式及其與二項式級數的關係.若將"formula_1"換成任意數值formula_75，甚至是在任何能為正整數給出逆元素的交換環中的一元素，則二項式係數可籍乘數公式擴充套件：formula_76此定義能使二項式公式一般化，故formula_77仍能相稱地稱作二項式係數：此公式對任何複數"formula_75"及formula_79，formula_80時成立，故此亦可視作formula_79的冪級數的恆等式，即係數為常數1，任意冪之級數定義，且在此定義下，對於冪的恆等式成立，例如formula_82若"formula_75"是一非負整數"formula_1"，則所有formula_62的項為零，此無窮級數變成有限項的和，還原為二項式公式，但對於"formula_75"的其他值，包括負數和有理數，此級數為無窮級數。帕斯卡三角形 (楊輝三角).帕斯卡法則是一重要的遞迴等式：此式可以用於數學歸納法，以証明formula_87對於所有"formula_1"和"formula_2"均為自然數，此特性並不易從公式(1)中得出。帕斯卡法則建構出帕斯卡三角形:第"formula_1"橫行列出formula_87的formula_94項，其建構方法為在外邊填上1，然後將上一行中每兩個相鄰數相加的和填在其下，此方法可快速地計算二項式係數而不涉及乘法或分數，例如從第5橫行可馬上得出formula_95在斜線上相鄰項的差就是上一斜線上的數值，此乃上述遞迴等式(3)的延伸意義。組合數學和統計學.二項式係數是組合數學中的重要課題，因其可用於眾多常見的點算問題中，例如以多項式表達二項式係數.就任就非負整數"formula_2"，formula_111可表達為一多項式除以formula_90：formula_113此為帶有理數係數，變數是formula_114的多項式，可對任意實數或複數"formula_114"運算以得出二項式係數，此「廣義二項式係數」見於牛頓廣義二項式定理。就任意"formula_2"，多項式formula_117可看成是惟一的"formula_2"次多項式formula_119滿足formula_120及formula_121.其係數可以第一類斯特靈數表示，即：formula_122formula_117之導數可以對數微分計算：formula_124以二項式係數為多項式空間之基底.在任何包含Q的域中，最多formula_125階的多項式有惟一的線性組合formula_126。係數formula_127是數列formula_128的第"k"差分，亦即：整數值多項式.每一多項式formula_117在整數引數時均是整數值。故此，二項式係數多項式的整數線性組合亦為整數值。反之，(3.5)表達了任何整數值的多項式均是二項式係數多項式的整數線性組合。一般而言，對於一個特徵0域"formula_2"的任何子環formula_132，在formula_133內的多項式在整數引數時之值均在"formula_132"內當且僅當該多項式是一二項式係數多項式的"formula_132"-線性組合。整數值多項式formula_136可表達作：formula_137從formula_138時formula_139用帕斯卡矩陣的逆可算出：formula_140formula_141這種二項式係數多項式結合朱世傑恆等式應用於等冪求和。有關二項式係數的恆等式.關係式.階乘公式能聯絡相鄰的二項式係數，例如在"formula_2"是正整數時，對任意"formula_1"有：兩個組合數相乘可作變換：formula_147* formula_152formula_153formula_155formula_157* formula_159formula_160formula_161formula_162