黎曼積分

在實分析中，由黎曼創立的黎曼積分首次對函式在給定區間上的積分給出了一個精確定義。黎曼積分在技術上的某些不足之處可由後來的黎曼－斯蒂爾傑斯積分和勒貝格積分得到修補。概念.讓函式 formula_1 為定義在區間 formula_2 的非負函式，我們想要計算 formula_3所代表的曲線與 formula_4座標軸跟兩條垂直線 formula_5 跟 formula_6 所夾圖形的面積，可將區域 formula_7 的面積以下面符號表示：formula_9黎曼積分的基本概念就是對 "x"-軸的分割越來越細，則其所對應的矩形面積和也會越來越趨近圖形 formula_7 的面積。同時請注意，如函式為負函式， formula_11，則其面積亦為負值。定義.區間的分割.一個閉區間formula_2的一個分割P是指在此區間中取一個有限的點列formula_13。(由a至b內的所有x)每個閉區間formula_14叫做一個子區間。定義formula_15為這些子區間長度的最大值：formula_16，其中formula_17。再定義取樣分割。一個閉區間formula_2的一個取樣分割是指在進行分割formula_13後，於每一個子區間中formula_14取出一點formula_21。formula_15的定義同上。精細化分割：設formula_23以及formula_24構成了閉區間formula_2的一個取樣分割，formula_26和formula_27是另一個分割。如果對於任意formula_28，都存在formula_29使得formula_30，並存在formula_31使得formula_32，那麼就把分割：formula_26、formula_27稱作分割formula_23、formula_24的一個精細化分割。簡單來說，就是說後一個分割是在前一個分割的基礎上新增一些分點和標記。於是我們可以在此區間的所有取樣分割中定義一個偏序關係，稱作“精細”。如果一個分割是另外一個分割的精細化分割，就說前者比後者更“精細”。黎曼和.對一個在閉區間formula_2有定義的實值函式formula_1，formula_1關於取樣分割formula_23、formula_24的黎曼和定義為以下和式：formula_42和式中的每一項是子區間長度formula_43與在formula_44處的函式值formula_45的乘積。直觀地說，就是以標記點formula_44到X軸的距離為高，以分割的子區間為長的矩形的面積。黎曼積分.不太嚴格地來說，黎曼積分就是當分割越來越“精細”的時候，黎曼和趨向的極限。下面的證明中，會對“越來越‘精細’”作出嚴格的定義。要使得“越來越‘精細’”有效，需要把formula_15趨於0。如此formula_14中的函式值才會與formula_45接近，矩形面積的和與“曲線下方”的面積的差也會越來越小。實際上，這就是黎曼積分定義的大概描述。嚴格定義如下：formula_7是函式formula_1在閉區間formula_2上的黎曼積分，當且僅當對於任意的formula_53，都存在formula_54，使得對於任意的取樣分割formula_23、formula_24，只要它的子區間長度最大值formula_57，就有：formula_58也就是說，對於一個函式formula_1，如果在閉區間formula_2上，無論怎樣進行取樣分割，只要它的子區間長度最大值足夠小，函式formula_1的黎曼和都會趨向於一個確定的值，那麼formula_1在閉區間formula_2上的黎曼積分存在，並且定義為黎曼和的極限，這時候稱函式formula_1為黎曼可積的。這個定義的缺陷是沒有可操作性，因為要檢驗所有formula_57的取樣分割是難以做到的。下面引進另一個定義，然後證明它們是等價的。另一個定義: formula_7是函式formula_1在閉區間formula_2上的黎曼積分，當且僅當對於任意的formula_53，都存在一個取樣分割formula_23、formula_24，使得對於任何比其“精細”的分割formula_26 and formula_27，都有：formula_74這兩個定義是等價的。如果有一個formula_7滿足了其中一個定義，那麼它也滿足另一個。首先，如果有一個formula_7滿足第一個定義，那麼只需要在子區間長度最大值formula_57的分割中任取一個。對於比其精細的分割，子區間長度最大值顯然也會小於formula_78，於是滿足formula_74其次證明滿足第二個定義的formula_7也滿足第一個定義。首先引進達布積分的概念，第二個定義和達布積分的定義是等價的，具體見達布積分。其次我們證明達布積分的定義滿足第一個定義。任選一個分割formula_23使得它的上達布和與下達布和都與formula_7相差不超過formula_83。令formula_84等於formula_85，其中formula_86和formula_87是formula_1在formula_89上的上確界和下確界。再令formula_78是formula_91和formula_92中的較小者。可以看出，當一個分割的子區間長度最大值小於formula_78時，formula_1關於它的黎曼和與上達布和或下達布和至多相差formula_83，所以和formula_7至多相差formula_97。由於以上原因，黎曼積分通常被定義為達布積分，因為達布積分比黎曼積分更簡單、更有可操作性。formula_103黎曼積分的性質.由於一個函式的黎曼積分是一個實數，因此在固定了一個區間formula_2後，將一個黎曼可積的函式設到其黎曼積分的對映formula_105是所有黎曼可積的函式空間上的一個線性泛函。formula_118無論"a"、"b"、"c"之間的大小關係如何，以上關係式都成立。formula_125黎曼積分的推廣.黎曼積分可推廣到值屬於formula_127維空間formula_128的函式。積分是線性定義的，即如果formula_129，則formula_130。特別地，由於複數是實數向量空間，故值為複數的函式也可定義積分。黎曼積分只定義在有界區間上，擴充套件到無界區間並不方便。可能最簡單的擴充套件是透過極限來定義積分，即如同反常積分一樣。我們可以令formula_131不幸的是，這並不是很合適。平移不變性喪失了。例如，令formula_132若formula_133，formula_134，formula_135若formula_136。則對所有formula_4formula_138.但如果我們將formula_3向右平移一個單位得到formula_140，則對所有formula_141，我們得到formula_142.由於這是不可接受的，我們可以嘗試定義：formula_143此時，如果嘗試對上面的formula_1積分，我們得到formula_145，因為我們先使用了極限formula_146。如果使用相反的極限順序，我們得到formula_147。這同樣也是不可接受的，我們要求積分存在且與積分順序無關。即使這滿足，依然不是我們想要的，因為黎曼積分與一致極限不再具有可交換性。例如，令formula_148在formula_149上，其它域上等於0。對所有formula_127，formula_151。但formula_152一致收斂於0，因此formula_153的積分是0。因此formula_154。即使這是正確的值，可看出對於極限與普通積分可交換的重要準則對反常積分不適用。這限制了黎曼積分的應用。一個更好的途徑是拋棄黎曼積分而採用勒貝格積分。雖然勒貝格積分是黎曼積分的擴充套件這點看上去並不是顯而易見，但不難證明每個黎曼可積函式都是勒貝格可積的，並且當二者都有定義時積分值也是一致的。事實上黎曼積分的一個直接擴充套件是Henstock–Kurzweil積分。擴充套件黎曼積分的另一種途徑是替換黎曼累加定義中的因子formula_155，粗略地說，這給出另一種意義上長度間距的積分。這是黎曼-斯蒂爾切斯積分所採用的方法。