黎曼級數定理

黎曼級數定理，是一個有關於無窮級數性質的數學定理，得名於19世紀德國著名數學家波恩哈德·黎曼。黎曼級數定理說明，如果一個實數項無窮級數若是條件收斂的，它的項在重新排列後，重新排列後的級數收斂的值可以收斂到任何一個給定的值，甚至發散。許多有限項級數具有的性質，在一般的無窮級數不一定滿足，例如一般的有限項級數可以重新排列各項，其級數和不會改變，但在無窮級數中，只有絕對收斂的無窮級數才可以重新排列各項而不改變收斂值。相關定義.給定無窮級數formula_1，其部分和為：formula_2。如果部分和的數列formula_3收斂於某個數值：formula_4，則級數收斂。也就是說，如果對於任何的formula_5，總存在一個整數"N"，使得如果formula_6，則formula_7.那麼級數formula_1收斂。如果級數formula_1收斂，但級數formula_10發散，則稱此級數是條件收斂的。:149定理的陳述.假設formula_1是一個條件收斂的無窮級數。對任意的一個實數formula_12，都存在一種從自然數集合到自然數集合的排列formula_13，使得formula_14此外，也存在另一種排列formula_15，使得formula_16類似地，也可以有辦法使它的部分和趨於formula_17，或沒有任何極限。:192反之，如果級數是絕對收斂的，那麼無論怎樣重排，它仍然會收斂到同一個值，也就是級數的和。:193例子.交錯調和級數是條件收斂級數的一個經典的例子：formula_18收斂，而formula_19是調和級數，它是發散的。雖然在標準的表示法中，交錯調和級數收斂於ln(2)，我們可以把它的項重新排列，使它收斂於任何一個數，甚至發散。例如，如果排列為以下的形式，formula_20那麼這時的和等於formula_21可以看出，它的和是原來的和的一半。:153-154:108-111趨近任一個實數.用不同的排列方法，可以讓交錯調和級數趨向任意一個給定的實數。事實上，由於調和級數formula_22是發散的，它的部分和可以近似估計為：formula_23其中formula_24表示一個當N趨於無窮大時的無窮小，formula_25指尤拉常數。如果將調和級數formula_26中所有負項相加，得到的級數會是：formula_27它的部分和是：formula_28因此所有正項相加的級數formula_29的部分和是：formula_30這也是一個發散級數，趨向正無窮。因此，對任意給定的正實數formula_12，可以使用以下的演算法來構造出趨向formula_12的重排級數formula_33的每一項：交替重複這兩步來重排級數，可以將重排級數的部分和formula_48保持在formula_12上下，而因為formula_48是重複第k步時首次“跨過”formula_12時候的值，因而它與formula_12的差距必定不超過“跨越”時的“步長”，也就是formula_53。隨著formula_54越來越大，formula_48與formula_12的差距也會越來越趨近於0. 因此使用這個演算法構造出來的重排級數formula_33最終會收斂於formula_12。:111-113證明.對一般的條件收斂級數，也可以用以上的演算法來證明黎曼級數定理。上文中有關交錯調和級數的演算法之所以成立，原因有二：首先，所有正項構成的級數發散到正無窮大，所有負項構成的級數發散到負無窮大，所以每次超出目標值formula_12；其次，調和級數是由formula_61相加而成，而隨著formula_62趨向無窮，formula_61趨向於0，也就是說“步長”趨向0，所以最終能夠收斂。所以只需要證明，任何條件收斂級數都滿足這兩個性質：就能證明黎曼級數定理成立了。性質一：設有給定的條件收斂級數formula_64，級數和為formula_65。為了簡便起見，假設formula_66中每一項都不等於0。formula_66中的正項和負項必定都有無窮多個。將formula_66中所有大於0的項按照它們原來在formula_66中的順序重新標號排列，可以得到由所有正項排列而成的級數formula_70。同樣可以建立由所有負項排列而成的級數formula_71。formula_72是一個正項級數，所以它要麼收斂到某個定值，要麼發散到正無窮大。假設formula_72收斂到某個定值formula_74，那麼可以證明formula_75也是收斂級數，級數和為formula_76。因而可以證明，級數formula_77也是收斂級數，這與formula_66是條件收斂級數的設定矛盾。所以，formula_72發散到正無窮大。同理可證，formula_75發散到負無窮大。:154-155性質二：設formula_64是一個條件收斂的級數，級數和為formula_65。這說明，級數formula_66的部分和formula_84趨向極限formula_65。所以對任意formula_5，存在自然數formula_87使得對任意formula_88，都有：formula_89所以對任意formula_90，formula_91這說明當formula_92趨於無窮大時，formula_93趨於0.證明了性質一與性質二後，就可以用上文提到的演算法構造趨向任何實數甚至發散的重排方式。對於任意實數formula_12，不妨假設formula_95. 首先將formula_72的項按順序累加，直到部分和超過formula_12為止，然後再將formula_75的項按順序累加在其後，直到部分和小於formula_12為止，接著再將formula_72剩餘的項按順序累加在其後，直到部分和超過formula_12為止……這個演算法可以一直進行下去，因為根據性質一，formula_72和formula_75都是發散的。而在執行演算法的過程中，部分和與formula_12會越來越接近。因為無論是在部分和低於formula_12，逐項增加到超過formula_12的過程中，還是在部分和超過了formula_12，逐項減少到低於formula_12的過程中，部分和與formula_12的差距都不超過前一次“跨越”formula_12值的那一刻，部分和與formula_12的差距。而這個差距又小於等於部分和“跨越”formula_12值時的“步長”。假設第formula_113次“跨越”的是在累加第formula_54項的時候發生的，那麼直到第formula_115次“跨越”時，部分和與formula_12的差距都小於等於formula_117。隨著formula_113趨於無窮大，formula_54也趨於無窮大，因而根據性質二，formula_117趨於0，也就是說部分和與formula_12的差距趨於0。這等價於說重排後的級數formula_122收斂於formula_12。如果formula_124，只需要將演算法中的正負項顛倒即可。如果將演算法中第formula_113次累加正項要超越的值從formula_12改為formula_127，然後累加負項直到低於formula_127，再開始第formula_115次累加正項直到超越formula_130，如此以往，就能得到發散到正無窮大的重排級數。反之也能得到發散到負無窮大的重排級數。而如果將演算法中每次累加正項要超過的值設為1，將每次累加負項要低於的值設為0，那麼重排級數的值將在0和1左右上下反覆擺動，從而不收斂於任何定值。這就是黎曼級數定理。:193-197:154-156推廣.此定理可推廣至。給定一個複數收斂級數∑ "a""n"，則重排後的級數∑ "a""σ" ("n")之和有以下幾種可能：formula_131更一般的說，給定一個有限維度實向量空間"E"，考慮其向量組成的收斂級數，則重排級數之和的集合為"E"的仿射子空間。