測量平差

在測量學中，測量平差，也稱為平差或最小二乘平差，是指依據某類最最佳化準則對帶有觀測誤差的測量資料進行調整，以求得測量物件的最佳估計值的理論和方法。測量平差的問題測量過程中的多餘觀測。受到測量誤差的影響，透過多餘觀測得到的測量值必然無法精確滿足測量物件之間應存在的數學關係，這些測量值之間的不一致性被稱為不符值或閉合差。包含多餘觀測的觀測值在數學上組成了一個無精確解的，但根據所選取的最最佳化準則，可以從該系統中求得一個符合該準則的近似解。測量平差的基本任務即是處理觀測值之間的不符值，並依據選取的最最佳化準則，求得觀測量的最佳估計值，並對其精度進行評定。由於經典的測量平差方法通常選取最小二乘準則作為最最佳化準則，這類經典的平差方法也被稱為最小二乘平差。依據經典測量平差求得的估計值是測量物件的最優線性無偏估計。函式模型.平差的函式模型是描述觀測量與未知量之間的數學關係的模型。這些數學關係即可是幾何關係，也可是物理關係。例如，大地測量中的測量控制網和攝影測量中的共線方程描述的是幾何關係，而在重力測量、衛星定軌或是形變監測中使用的模型描述的則是物理關係。函式模型中的觀測量在實際的觀測過程中確定，而未知量可根據模型的需要進行選取，測量平差的目的即是對這些未知量做出最優估計。觀測量.函式模型的觀測量指經測量得到的測量物件的測量值，可分為必要觀測量和多餘觀測量。必要觀測量.必要觀測量是唯一確定函式模型所需要的觀測量，僅與函式模型有關，必要觀測量之間相互獨立。以平面三角形為例，唯一確定其形狀需要兩個角度觀測量，必要觀測數為2；而唯一確定其形狀和大小則需要兩個角度及一條邊長、一個角度及兩條邊長，或是三條邊長的觀測量，必要觀測數為3。平差模型中的總觀測數 formula_1 與必要觀測數 formula_2 之間必須滿足 formula_3 ，才能保證該模型滿秩，平差模型有解。多餘觀測量.多餘觀測量則是在必要觀測以外進行額外觀測得到的觀測量，其數目 formula_4 亦稱為自由度或冗餘度，由總觀測數 formula_1 和必要觀測數 formula_2 確定：formula_7由多餘觀測可列出與其數目相對應的條件方程，從而檢核出條件方程中的不符值或閉合差，進而對測量物件的理論值和測量精度進行估計。未知量.函式模型的未知量通常特指模型的待求引數。其與觀測量的區別在於，這些未知量既可以是被直接觀測的物件的數目 formula_8 與必要觀測量的數目 formula_2 之間的數量關係與函式模型的型別一一對應：條件方程.測量平差中的條件方程是指描述各觀測量之間，以及各觀測量與引數之間應當滿足的數學關係的方程式，其數學形式可統一為formula_18式中， formula_19 表示經測量得到的觀測量的理論值，formula_20 表示選取的引數的理論值。根據函式模型中選取引數的不同，條件方程有以下特殊形式：幾何圖形的條件方程.在大地測量中，條件方程選取的依據通常是觀測量之間的幾何關係。以右圖的平面測角三角網為例，其被測量的 formula_23 、formula_24 和 formula_25 等九個角度需要滿足內角和條件、圓周條件和邊長條件三類條件方程：formula_32上式可由正弦定理匯出，將未知邊長 formula_33 透過兩種方式表示由已知邊長 formula_34 的求得：formula_35消去作為係數的已知邊長 formula_34，即可得到僅由角度測量值表示的邊長條件方程。觀測方程.測量平差中的觀測方程是指將觀測量表達為引數的函式的方程式，其數學形式可統一成：formula_37在觀測方程中，觀測量和引數分別列於等號的兩側，且每一個觀測量都對應一條觀測方程。相較於條件方程，觀測方程無需考慮觀測量之間應滿足的數學關係，更為簡單且便於電算。隨機模型.平差的隨機模型描述的是平差模型中各類隨機變數自身以及隨機量之間的統計相關性質。在經典平差方法中，觀測量被假設為僅包含偶然誤差的隨機變數，服從於正態分佈。因此，常以方差和中誤差描述這類隨機變數自身的精度，並以協方差描述隨機變數之間的相關性，而方差-協方差矩陣即是這類隨機變數的隨機模型：formula_38式中，formula_39 是隨機變數的方差-協方差陣，通常直接簡稱為方差陣或協方差陣；formula_40 和 formula_41 分佈是隨機變數的協因數陣和權陣，且互為對方的逆；formula_42 是該隨機變數的先驗單位權方差。獨立觀測量的權和協因數.假設獨立觀測值 formula_43 的方差是 formula_44，則其有方差陣formula_45選定先驗單位權中誤差為 formula_42，按下式確定觀測值的權 formula_47 ：formula_48因此，各觀測值之間權的比例僅取決於觀測值的方差，即有 formula_49，按如下方式組成權陣formula_50又觀測值的協因數陣與權陣互逆，則有 formula_51.相關觀測量的權和協因數.若相關觀測值有協方差陣formula_52式中 formula_44 為各觀測量自身的方差，formula_54 為兩相關觀測量之間的協方差。選定先驗單位權中誤差為 formula_42，相關觀測值的協因數陣為 formula_56，相關觀測量的權陣則被定義為 formula_57.經典平差方法.以最小二乘為最最佳化準則的平差方法，可根據函式模型的不同分為條件平差、間接平差和混合平差等型別。這些模型的共同點在於，其模型中的誤差均被假設為僅包含偶然誤差，且透過最小二乘準則得到的觀測量和引數的估計值具有相同的統計性質。因此，這些平差模型亦被統稱為經典平差模型，其在形式上可以統一為概括平差模型。各類平差模型的計算步驟類似，首先建立函式模型並對其進行線性化，其次組成法方程並求解，再次由解得的聯絡數或引數求出觀測值的改正數和觀測值的估計值，最後進行精度評定。條件平差方法.條件平差方法是以僅給出觀測量之間約束條件的條件方程作為函式模型的平差方法，其函式模型的一般形式為 formula_21，所有的觀測值和非零常數都位於方程組的同一側。方程組中，條件方程的個數與多餘觀測量 formula_4 相等，觀測量的個數則為 formula_1。取 formula_61作為係數矩陣，formula_62 作為常數向量，該函式模型可線性化為 formula_63；又由 formula_64，因此取閉合差為 formula_65，將上式表述為觀測值改正數 formula_66 與觀測值閉合差 formula_67 之間的關係式，即formula_68以最小二乘準則 formula_69 作為該函式模型的附加條件進行解算，最終觀測值改正數和觀測量估計值的解分別為formula_70formula_64由協因數傳播律，觀測值改正數和觀測量估計值的協因數陣分別為formula_72formula_73解算過程中出現的各矩陣和向量的大小、計算公式和含義如下表所示：間接平差方法.間接平差方法是以觀測方程為函式模型的平差方法，亦稱引數平差，其函式的一般形式為 formula_37，方程組中一側僅有觀測值，另一側則是所選引數和非零常數，觀測方程的個數與觀測量的個數 formula_1 相等，引數的個數則與必要觀測數 formula_2 相等。類似於條件平差，取 formula_77作為係數矩陣，formula_78 作為常數向量，該函式模型可線性化為 formula_79；設引數有近似值 formula_80，即有 formula_81；又由 formula_64，因此取約化觀測量為 formula_83，線性化後的函式模型亦可表示為formula_84該式也稱誤差方程，式中由引數改正數 formula_85 表達的觀測值改正數需滿足最小二乘準則 formula_69，以此求得自由極值下的引數改正數和引數估計值分別為formula_87formula_81在誤差方程中，由引數改正數 formula_85 表達的觀測量、最終觀測值改正數和觀測量估計值的解分別為formula_84formula_64由協因數傳播律，引數估計值、觀測值改正數和觀測量估計值的協因數陣分別為formula_92formula_93formula_94解算過程中出現的各矩陣和向量的大小、計算公式和含義如下表所示：概括平差方法.概括平差方法的提出旨在同一條件平差和間接平差等經典平差方法的函式模型，以對其共性和特性進行研究。從概括平差方法出發可以證明各經典平差模型之間的等價性，從而將透過概括平差方法證明的數學性質推廣到所有經典平差方法中。附有限制條件的間接平差模型和附有限制條件的條件平差模型均已被證明可作為概括模型的函式模型。在此以附有限制條件的條件平差為例，其具體形式為formula_95模型中共有 formula_96 個觀測量和 formula_97 個引數，其中獨立觀測量的個數為 formula_98，獨立引數的個數為 formula_99；因此，一般條件方程的個數為 formula_100，限制條件方程的個數為 formula_101，且滿足 formula_102 的關係。取 formula_103、formula_104 和 formula_105 作為係數矩陣，formula_106 和 formula_107 作為常數項，將該函式模型線性化為formula_108類似於條件平差模型，以最小二乘準則 formula_69 作為該函式模型的附加條件進行解算，最終引數改正數和觀測值改正數的解分別為formula_110formula_111引數估計值和觀測量估計值分別為formula_81formula_64引數估計值、觀測值改正數和觀測量估計值的協方差陣分別為formula_114formula_115formula_73解算過程中出現的各矩陣和向量的大小、計算公式和含義如下表所示：概括平差方法與各類經典平差方法間的聯絡.根據概括平差方法和各類經典平差方法的函式模型，可以得出如下轉換關係：值得注意的是，當係數矩陣 formula_117 時，該方法轉化為附有限制條件的間接平差方法，且該方法中亦包含有一般觀測方程和限制條件方差。因此附有限制條件的間接平差方法是與附有限制條件的條件平差方法等價的概括平差方法。