無限衝激響應

無限脈衝響應濾波器，簡稱IIR數位濾波器，是數位濾波器的一種。由於無限脈衝響應濾波器中存在反饋迴路，因此對於脈衝輸入訊號的響應是無限延續的。濾波器的任務是透過一定運算關係，改變輸入訊號的頻譜。數字濾波器是利用計算機程式、專用晶片等軟、硬體改變數字訊號頻譜。如果要處理的是模擬訊號可以透過A/D在訊號形式上進行轉換，在利用數字濾波器處理後經過D/A恢復為模擬訊號。選頻數字濾波器.利用選頻濾波器的特性可以提取有用的訊號頻率分量，這類濾波器適用輸入訊號中有用訊號頻帶與幹擾訊號頻帶不同的情況。選頻數字濾波器設計過程一般歸納為以下三個步驟:概述.無限脈衝響應濾波器的脈衝響應無限長，不像有限脈衝響應濾波器，所以有以下問題：能使用最小相位濾波器來解決以上問題，使一無限脈衝響應濾波器為穩定且能量集中在formula_1附近。最小相位濾波器為穩定。formula_3formula_4其中formula_5為formula_6個零點，formula_7為formula_8個極點，formula_6個零點和formula_8個極點都在單位圓內。formula_3假設formula_12在單位圓外。formula_13formula_14formula_15為最小相位濾波器，符合formula_16且formula_15和formula_18只有相位不同。另外，formula_19稱為全通濾波器。formula_20其中formula_18：無限脈衝響應濾波器，formula_22：最小相位濾波器，formula_23：全通濾波器。特性.無限脈衝響應濾波器的優點：無限脈衝響應濾波器的缺點：數字濾波器設計原理.IIR數字濾波器設計有以下幾種基本方法:設計方法.脈衝響應不變法.脈衝響應不變法也稱衝激響應不變法，是滿足s平面到z平面的對映兩個基本要求的常用方法之一。實現方法是已知模擬濾波器的衝衝響應ha(t)，讓數字濾波器h(n)的包絡為ha(t)，即formula_24故此得名脈衝不變法，這種方法的實質上是時域取樣法，基本設計步驟是先得到模擬濾波器的系統函式Ha(s)；然後對沖激響應ha(t)取樣，得到數字濾波器的單位脈衝響應h(n)；最後，h(n)所對應的z變換，正是所要求的數字系統的系統函式H(z)，即formula_25脈衝不變法又稱標準z變換法。根據理想取樣序列z變換與拉普拉斯變換的關係式，我們可以得到formula_26—(1)其對映關係為formula_27 或 formula_28由(1)式當s = jΩ 時，得到的數字濾波器的響應為formula_29—(2)由(2)式可見，數字濾波器的頻率響應不是簡單的重現模擬濾波器的頻率響應，而是模擬濾波器頻率響應的週期展開，其中頻率對映關係為formula_30若模擬濾波器是帶限的，即formula_31 ,則formula_32—(3)這時，數字濾波器可在摺疊頻率內不失真的重現模擬濾波器的頻率響應。但是實際模擬濾波器頻率響應不可能是真正帶限的，所以脈衝響應不辨法總會有混疊失真。下面以Ha(s)均為單極點為例，討論脈衝不變法設計IIR濾波器的具體方式。Ha(s)可展開為部分分式formula_33上面式子中formula_34是H_a(s)的極點，對應的模擬系統單位沖激響應為formula_35對ha(t)取樣，所有連續時間便量t由離散時間便量nT代替，則formula_36對Ha(n)取z變換formula_37上式中formula_38是z平面的極點，當極點sk在s平面的左半平面時，formula_39，則formula_40 ，formula_41 ，H(z)的極點在單位圓內。由此可知，s平面與z平面的極點一一對應，並且穩定的模擬系統變換後仍為穩定的數字系統。在(3)式formula_42，考慮到若取樣頻率很高時，會使得數字系統的福頻特性的增益很高。為防止溢位，通常在取樣時做修正，令h(n)=Tha(n)，這樣實際數字濾波器的系統函式及頻率響應特性分別為formula_43formula_44由以上分析可見，按照formula_45變換過程，從模擬濾波器Ha(s)得到數字濾波器H(z)，設計還是相當冗繁，不過由於s平面與z平面的極點一一對應，我們可以簡化變換步驟。設Ha(s)均為一階極點，省略中間步驟，從formula_46設計過程分為兩個步驟:formula_47formula_48如果Ha(s)還有m階的重極點，我們給出對應的z變換的有理分式為formula_49除了單極點與重極點外，對Ha(s)的共軛極點，我們也給出對應的z變換的一般有理分式formula_50formula_51這樣，當Ha(s)部分分式展開式中如果有重極點或共軛極點，在上述設計過程第二步做相應修改即可。脈衝不變法的頻率變換formula_52是線性關係，所以在幅度及相位上數字濾波器都保留著模擬濾波器的頻率響應特點。但是由於脈沖不變法本身具有頻譜週期延展拓寬的特性，所以失真較大。尤其是對衰減特性差的濾波器頻率響應會有嚴重的混疊現象，適用範圍受到限制。下面給出用脈沖不變法設計數字濾波器的一般步驟在設計過程中，除了第一步求數字臨界頻率formula_53時，要用到取樣間隔T或取樣頻率fs以外，最後的結果與其他各步驟中T或fs的取值無關。所以為了簡化運算，在實際運算時，除了第一步外，通常取T=1。脈衝響應不變法.這是由解出和類比濾波器在同樣的取樣時間下有一樣輸出值的T(z)所獲得,且當這兩者的輸入接為一個脈衝時才適用。有一點需要注意的是,藉由此種方法產生的數位濾波器的所有輸入皆是一個近似值，除了只對於脈衝輸入非常精確。這是一種最簡單的IIR濾波器設計方法，它在低頻是最精確的，所以通常被用在低通濾波器上。對於拉普拉斯轉換(Laplace transform)或是z-transform，轉換過後的輸出只是輸入乘上相對應的轉換函式，T(s)或T(z)。Y(s)和Y(z)分別是輸入X(s)和輸入X(z)轉換過後的輸出。formula_58formula_59然而，當拉普拉斯轉換和z-transform對單位脈衝作轉換時為1，轉換後的輸出結果分別為formula_60formula_61現在類比濾波器的輸出在時域上就只是拉普拉斯逆轉換(inverse Laplace transform)formula_62如果我們用nT代替t，可以得到在取樣時間下源於脈衝的輸出，y(nT)，又可以為了便利性表為y(n)formula_63這個離散時間訊號可以被z-transform得到T(z)formula_64formula_65formula_66最後這條等式指出在數學領域描述數位IIR濾波器就是對取樣完經拉普拉斯轉換為T(s)的類比訊號作z-transform，通常會簡化為formula_67雖然在數學領域上不是完全正確的。需特別注意有一個乘法數T出現在式子中，這是因為就算拉普拉斯轉換和z-transform對單位脈衝為1，脈衝本身不一定是一樣的。對類比訊號而言，脈衝在t=0時有無限大的值但是面積為1，但在離散時間的脈衝t=0時為1，所以為了這個情況，需要乘法數T的存在。step invariant.這通常相較於impulse invariant昰一個更好的設計方法，數位濾波器正是在取樣時有幾段不同常數的輸入，也就是由離散步階(step)組成。step invariant IIR 濾波器和同樣輸入步階訊號至ADC相比是較低精確度的，然而，和impulse invariant相比這對任何輸入而言是一個較好的近似法。當T(z)和T(s)兩者都是步階(step)輸入時，step invariant解決一樣取樣值的困擾，對數位濾波器的輸入為u(s)，對類比濾波器的輸入是u(t)，z-transform和拉普拉斯轉對這兩個輸入作轉換以得到轉換後的輸出訊號。z-transform的轉換函式為formula_68經z-transform的輸出formula_69Laplace transform的轉換函式為formula_70經Laplace transform的輸出formula_71類比濾波器的輸出是y(t)，就是Y(s)的拉普拉斯逆轉換。如果每經過T秒就被取樣一次，它就是y(n)，也就是Y(z)的逆轉換。這些訊號被用來解出數位濾波器的和類比濾波器在取樣時間下有著相同輸出以下的等式指出T(z)的解法，也就是對類比濾波器取近似的公式formula_72formula_73formula_74formula_75bilinear transform(雙線性變換).BLT公式利用拉普拉斯轉換(Laplace transform)的特性：對於一個x(t)經Laplace轉換成的X(s)而言，它的積分在沒有初始條件下相當於X(s)/s。所以得出將拉普拉斯轉換的訊號乘上1/s相當於對此訊號在時域下做積分。然而，接下來這個不同的等式一樣也是用近似積分x(t)訊號的特性達成：利用x(nT)=x(n)。在沒有初始條件下積分訊號相當於計算訊號下的面積formula_76此等式告訴我們再經過一個新的數入訊號x(n)後計算新的面積y(n)，就只是將先前運算的面積y(n-1) 加上新輸入和先前輸入的平均乘上取樣時間。藉由z轉換先前的等式變為以下的式子formula_77formula_78formula_79當我們得出X(z)和Y(z)後，我們將解出T(z)先前的等式是一個數位訊號處理系統中的轉換函式，此函式將一個系統中的類比轉換函式趨近成作積分，並在分子分母同乘上z後開始解sformula_80formula_81這個關係被用在任何類比濾波器的拉普拉斯轉換函式，以或取近似於類比濾波器的數位無限脈衝響應(IIR)濾波器T(z)。這個結果被標示在下列公式中，此公式用來運算BLT IIR數位濾波器，並從類比濾波器的拉普拉斯轉換函式開始運算起formula_82這條公式指出近似類比濾波器的bilinear transform數位IIR濾波器可以從把類比轉換函式T(s)中的s替換成和z的關係得出