希爾伯特-黃轉換

希爾伯特-黃轉換不同，希爾伯特-黃轉換算是一種應用在資料資料上的演演算法，而非理論工具。本質模態函式.任何一個資料，滿足下列兩個條件即可稱作本質模態函式。因此，一個函式若屬於IMF，代表其波形區域性對稱於零平均值。此類函式類似於弦波，但是這些類似於弦波的部分其週期與振幅可以不是固定。因為，可以直接使用希爾伯特轉換，求得有意義的瞬時頻率。經驗模態分解(EMD).建立IMF是為了滿足希爾伯特轉換對於瞬時頻率的限制條件之前置處理，也是一種轉換的過程。我們將IMF來做希爾伯特轉換可以得到較良好的特性，不幸的是大部分的資料並不是IMF，而是由許多弦波所合成的一個組合。如此一來，希爾伯特轉換並不能得到正確的瞬時頻率，我們便無法準確的分析資料。為瞭解決非線性資料在分解成IMF時所遇到的困難，便發展出EMD。經驗模態分解是將訊號分解成IMF的組合。經驗模態分解是藉著不斷重覆的篩選程式來逐步找出IMF。以訊號formula_1為例，篩選程式的流程概述如下:步驟 1 : 找出formula_1中的所有區域性極大值以及區域性極小值，接著利用三次樣條(cubic spline)，分別將區域性極大值串連成上包絡線與區域性極小值串連成下包絡線。步驟 2 : 求出上下包絡線之平均，得到均值包絡線formula_3。步驟 3 : 原始訊號formula_1與均值包絡線相減，得到第一個分量formula_5。formula_6步驟 4 : 檢查formula_5是否符合IMF的條件。如果不符合，則回到步驟1並且將formula_5當作原始訊號，進行第二次的篩選。亦即formula_9重複篩選formula_10次formula_11直到formula_12符合IMF的條件，即得到第一個IMF分量formula_13，亦即formula_14步驟 5 : 原始訊號formula_1減去formula_13可得到剩餘量formula_17，表示如下式formula_18步驟 6 : 將formula_17當作新的資料，重新執行步驟1至步驟5，得到新的剩餘量formula_20。如此重複formula_21次formula_22formula_23.formula_24當第formula_21個剩餘量formula_26已成為單調函式(monotonic function)，將無法再分解IMF時，整個EMD的分解過程完成。原始訊號formula_1可以表示成formula_21個IMF分量與一個平均趨勢(mean trend)分量formula_29的組合，亦即formula_30如此一來，原始資料便分解成n個IMF和一個趨勢函式，我們便可將IMF做希爾伯特轉換來進行瞬時頻率的分析。停止準則(Stopping Criterion).為了確保經驗模態分析法分解出的本質模態函式能夠保留瞬時頻率與瞬時振幅的物理意義，必須設定篩選的停止準則來決定篩選的次數，以避免次數過多，破壞其訊號的物理性質。而大部分的判斷準則建立在振幅及能量的判斷上，以下將介紹幾種不同的停止準則。標準差準則:利用連續兩次篩選結果的分量標準差 (Standard Deviation, SD) 作為停止準則如下式所示，一般當標準差小於0.2到0.3間時，即停止篩選動作。for "j" = 1,2...,"d".常數 "c""d" 是一個維度標準化的常數formula_32Linderhed則使用真二維EMD來壓縮圖檔，相較於其他型別的壓縮方式，此方法能提供一個更低的失真率。Song and Zhang [2001], Damerval et al. [2005] and Yuan et al. [2008] 則使用Delaunay triangulation來找尋圖形的上界以及下界。依據需求決定極大值的定義以及不同的漸進方式的選擇，可以分別得到不同的效果。應用.由前述可知，希爾伯特-黃轉換與傳統的傅立葉轉換、小波轉換上的訊號處理方式，希爾伯特-黃轉換是一套基於差值所建立出來的訊號處理模式，在大多數的情況下，運算量會遠小於上述基於旋積所延伸出來的訊號轉換方式。由於本質上的差異，透過希爾伯特-黃轉換在各種應用上，皆有可能得到一種新的解讀方式與成果，因此希爾伯特-黃轉換被廣泛到運用到各個領域之中：1.ECG的分析：由於ECG再測量時，常會有基準線(baseline)的偏移，因此使用希爾伯特-黃轉換最後可以在EMD中，找到整體的趨勢線，將之屏棄之後就能得到基準線校準之後的ECG訊號。除此之外，ECG經過希爾伯特-黃轉換處理之後，可以有效的濾掉原本的高頻雜訊，使得相較於FFT之後的頻譜，相較於直接轉換的原訊號相比，在ECG相對應的峰值頻率能夠較為專一清楚。#重定向2.太陽黑子的觀測： 2015年1月21日 (三) 17:56 (UTC)太陽黑子是觀察太陽活動的一個重要依據，透過太陽黑子的觀測，人們可以得知太陽目前的活躍程度，由於太陽黑子的多寡大小等，皆為不穩定、非線性的訊號，因此對於傅立葉變換來說，可能會因為Windows Function的性質差異，使得反映出來當下的資料有所誤差。而對於希爾伯特-黃轉換來說，並不會造成太大的影響，因此希爾伯特-黃轉換在太陽黑子的觀測上能有較佳的結果。3.語音辨識：由於每個人的音色、說話習慣是截然不同的，透過希爾伯特-黃轉換，能夠將各種不同頻率的泛音以及振幅有規律且有效的分離出來，對於語音辨識來說是非常好的轉換工具。同時，除了作為區分人與人之間身份的特性之外，希爾伯特-黃轉換之後的語音訊號，對於應用大量機器學習的語音相關技術來說，是一個分類清楚且特性明顯的訓練資料，能夠進一步用來發展語意辨識等需要依靠大量資料，才能建構出有效模型的技術。此類特性為傅立葉轉換難以比擬的。4.建築結構的檢測：希爾伯特-黃轉換能將訊號拆解成許多種子訊號，透過比對結構檢測產生的訊號，能清楚的找到異常的檢測訊號，並進一步找出建築結構有安全疑慮之處。5.經濟資料的預測：希爾伯特-黃轉換可以處理金融相關的趨勢，找到短期中期長期的相關趨勢。例如在股票資料資料中先找到一條平滑的趨勢曲線以擬合經驗資料，再以與原資料的差值包含盡可能多的有意義的週期;而平滑曲線可呈現長期趨勢，差值則可進一步用於分析短期行為。6.影像處理：希爾伯特-黃轉換在改良EMD之後,在影像的融合與增強上，相較於原本的EMD快上一倍。7.地震研究：希爾伯特-黃轉換用來處理地震表面波的散射並比對經過傅立葉轉換後之後的地震訊號，提供另一種角度研究並解析地震訊號。西元1999年時，臺灣發生慘重的集集大地震，在事後比對由傅立葉轉換所產生的頻譜分析，發現在非靜態、非線性的的表面訊號之中，因為傅立葉轉換本身線性的特性，使得低頻訊號被嚴重低估，同時產生大力的高頻泛音。#重定向由於地震訊號大多為非靜態、非線性的，這樣的特性透過希爾伯特-黃轉換分析，可能可以得到重大的分析成果，透過分離並保真原有訊號，可以得知高頻訊號與低頻訊號可能發別來自於不同的區域，藉此研究地殼運動。8.神經科學：EEG運用希爾伯特-黃轉換之後，將之與TMS做比對，找尋腦部對於輸入訊號的反應。9.大氣科學：由於大氣科學中，無論是氣流、降雨等，多半皆為間歇性的訊號，並不會是一個穩定的連續訊號，不過透過頻寬較窄的IMF，使得最後得到的結果，可以呈現一個週期且有趨勢的變化。例如：曾經有研究運用希爾伯特-黃轉換以3至5年為週期分析後指出維吉尼亞的降雨與Southern Oscillation 指數的相關係數高達0.65。10.衛星訊號可用來分析非線性且不穩定的太空天氣資料(例如地球磁場的Kp指數、質子密度、電子密度、10.7 cm radio flux (RF)或X射線等等)，可以結合這些太空天氣的相關引數，進而避免SEU(Single Event Upset)甚至其餘ARO(Automatic Reconfiguration Order)事件的發生機率，也可使得衛星任務更為穩定。總結以上，可以發現希爾伯特-黃轉換與傳統的頻譜分析有極大的差異，希爾伯特-黃轉換由於透過EMD來分析，使得其在預測趨勢、分類資料上，相較於傳統的基於傅立葉轉換所發展出來的訊號技術，更能夠讓使用者從訊號之中找到想要的趨勢，因此在各個不同領域之中，都能或多或少看到希爾伯特-黃轉換的應用。這些應用在傳統訊號處理領域是較為少見的，不過由於希爾伯特-黃轉的建立方式的特性，使得他在統計上擁有極大的優點。曲線選擇.由上述可知，經驗模態分解(EMD)是透過最大值重建訊號，並剔除之。因此，漸進的方式對於希爾伯特-黃轉換來說，是一個非常重要的選擇，不同的漸進選擇會影響到希爾伯特-黃轉換最後的結果。在大多數的情況之中，所選擇的大多都是貝茲曲線，其能夠有效產生出弦波，不過在某些極端例子中，例如脈衝波等，使用貝茲曲線作為希爾伯特-黃轉換的漸進方式，會使得得出來的結果變得平滑而喪失了脈衝波的特性。因此針對輸入訊號選擇適當的漸進方式，對於希爾伯特-黃轉換是非常重要的課題。一般而言，越多階的曲線會得到較佳的漸進效果，不過同時的也會增加計算量。同時，倘若沒有設定結束遞回的條件，任意一個訊號最後是否都能製造出有限組IMF，換言之，IMF的疊加是否可以收斂成任意一個訊號，這個問題在經過證明之後，發現是一個NP問題。結論.傅立葉變換是將一個訊號分解成無限多個弦波來分析資料，但是希爾伯特-黃轉換則是將一個訊號分解成數個近似於弦波的訊號和一個趨勢函式來做分析。兩者各有其優缺點，整理如下優點：1.避免複雜的數學運算2.可分析頻率會隨時間變化的訊號3.較適於分析氣候、經濟等具有趨勢的資料4.可以找出一個函式的趨勢缺點：1.缺乏嚴謹的物理及數學上的意義2.需要複雜的遞迴，運算時間反而比短時距傅立葉變換要長3.希爾伯特轉換未必能正確計算出本質模態函式之瞬時頻率4.無法使用快速傅立葉變換5.只有在特例時使用希爾伯特-黃轉換較快傳統上認為希爾伯特-黃轉換是一套無用且精準度低的方式，同時在發展前期，受到Bedrosian theorem的限制，直到後續又許多改良方法之後，使得希爾伯特-黃轉換的缺點得到改善。同時其善於處理非靜態、非線性的特性使得希爾伯特-黃轉換提供了另外一套分析工具，彌補了傅立葉轉換先天上的系統限制。混合兩種方式之後，相較於單用一種方式的訊號，能夠得到更多的資訊提供判讀及分析。