圓的面積

一個半徑為 "r" 的圓的面積為formula_1。這裡的希臘字母π，和通常一樣代表圓周長和直徑的比值，即為圓周率。現代數學家可以用微積分或更高深的後繼理論實分析得到這個面積。但是，在古希臘,數學家阿基米德在《》中使用歐幾里得幾何證明了一個圓周內部的面積等於一個以其圓周長及半徑作為兩個直角邊的直角三角形面積。周長為formula_2，直角三角形的面積為兩直角邊乘積的一半，得出圓的面積為formula_1。中國古代流傳之《九章算術·方田》章中的圓田術對圓面積計算的敘述為“半周半徑相乘得積步”。魏晉時代的劉徽註解《九章算術》時，則以“窮盡”割圓術提供了相同結果的證明。除了這上述古老和現代的方法，我們也考察一些具有歷史和實際興趣的不同方法算術證明.按照阿基米德的方法，比較一個圓與底為圓周長高為半徑的直角三角形。如果圓與三角形的面積不相等，那麼必為大於或小於。我們用反證法排除這兩種情形，剩下惟一可能就是等於。證明的關鍵是利用正多邊形。不大於.假設圓面積formula_4大於三角形formula_5。記formula_6為超過的部分。取一正方形內接於圓周，所有四個角在圓周上。在正方形和圓周之間是四個小弓形。如果這四個弓形的總面積formula_7大於formula_6，將每條弧平分。這樣內接正方形變成了內接正八邊形，產生了的 8 個弓形，總面積formula_9更小。繼續分割，直到總面積差formula_10小於formula_6。現在內接正多邊形的面積formula_12，一定比三角形的面積大。formula_13但這產生了矛盾：從圓心向正多邊形的每一邊作垂線，垂線的長度formula_14一定比圓半徑小。而且每條多邊形的邊長formula_15小於弓形弧長，這樣邊長formula_16總和小於圓周長。多邊形區域和formula_17個底為formula_15高formula_14的三角形面積，即等於 formula_20。但是由於formula_21和formula_22，多邊形面積一定小於三角形面積formula_23，矛盾。從而我們的假設formula_4比formula_25大一定是錯誤的。不小於.假設圓面積小於三角形的面積。記formula_26為不足的部分。取一個圓外切正方形，所以每條邊的中點在圓周上。如果正方形和圓周的面積差formula_7，大於formula_26，將所有角用圓的切線裁去得到了一個圓外切正八邊形，繼續這樣的過程直到面積差小於formula_26。正多邊形的面積formula_30一定小於formula_25。formula_32這樣同樣得到了矛盾：因為圓心到多邊形各邊的垂線是半徑，長為formula_33。而邊長總和大於圓周長，多邊形由 "n" 個全等的三角形組成，總面積大於formula_25。又一次我們得到了矛盾，從而假設formula_4大於formula_25一定也是錯的。所以圓的面積一定恰好和三角形的面積相等。這樣便證明了結論。重排證明.按照 Satō Moshun (佐藤茂春《演算法天元指南》) #重定向 和列奧納多·達芬奇#重定向 的方法，我們可用另一方式使用圓內接正多邊形。假設我們有一個內接正六邊形。將其從圓心剪開為 6 個三角形。相對的兩個三角形和兩條相同的直徑相接；沿著一條滑動，這樣輻射狀的邊變為相鄰。它們現在組成了一個平行四邊形，六邊形的邊組成了一組相對底邊formula_15。兩條輻射狀邊組成了斜邊，高為formula_14。事實上，我們可以把所有的三角形連續排列起來，可組成一個大平行四邊形。如果我們把邊數增加為 8 條以及更多，同樣成立。對一個正formula_39多邊形，平行四邊形的底邊長為formula_40，高為formula_14。當邊數增加時，平行四邊形的邊長趨近於周長一半，高趨近於圓半徑。取極限，平行四邊形變為一個寬formula_42高formula_33的長方形。洋蔥證明.使用微積分，我們將圓像洋蔥一樣分為薄圓環，遞增地求出面積。這是二維微積分學。對“洋蔥”以 "t" 為半徑的無窮薄圓環，貢獻的面積是formula_44，周長的長度乘以其無窮小寬度。這樣對半徑為formula_33的圓給出了一個初等積分：formula_46半圓證明.利用三角換元法，我們代換formula_47：formula_48formula_49圓面積 formula_50formula_51formula_52formula_53利用三角恆等式 formula_54，formula_55formula_56formula_57快速逼近.阿基米德演算法逼近圓的面積數值非常費力，他算到96邊形就停下了。日後出現一個更快的方法，由威理博·斯涅爾提出（"Cyclometricus"，#重定向給定一個圓周，設formula_58為內接正formula_17邊形的周長，設formula_60為外切正formula_17邊形的面積。那麼我們用如下兩個公式：formula_62    formula_63    阿基米德將一個六邊形翻倍4次得到了96邊形。對一個單位圓，一個內接正六邊形有formula_64，一個外切正六邊形有formula_65。很幸運地我們有十進位制小數記法和上面兩個公式，所以可以快速算完七次：最後一個數值的一個最佳有理逼近是formula_66，這是formula_67非常好的一個近似。但是斯涅爾提出了一個比阿基米德方法更佳的界。formula_68從而我們能得到同樣的逼近，從 48 邊形算得十進位制值約為 3.14159292。推導.讓我們考慮邊長為formula_69的圓內接正formula_17邊形，其中一條邊為formula_71是圓的一條弦。設formula_72為圓周上formula_73的對徑點，從而formula_74是一條直徑，formula_75是直徑上的一個圓內接三角形。由泰勒斯定理，這是一個直角三角形，角formula_76 是直角。設formula_77長formula_78，我們稱為formula_69的補；從而formula_80。設formula_4平分弧formula_71，設formula_83為formula_4的對徑點。從而formula_85的長度為formula_86，formula_87的長度為formula_88，formula_89是直徑formula_90上的直角三角形。因為formula_4平分弧formula_71，formula_90垂直於弦formula_71，垂足設為formula_95。三角形formula_96也是一個直角三角形，相似於formula_89，因為它們在formula_4有公共角。從而所有三條對應的邊有相同的比例，特別地我們有formula_99以及formula_100。圓心formula_101，平分formula_74，所以三角形formula_103也相似於formula_75，formula_105的長度是formula_77 的一半。就邊長而言，我們得出formula_107在第一個等式中formula_108為formula_109，長度formula_110，而formula_90為直徑formula_112。對一個單位圓我們有著名的魯道夫·範·科伊倫翻倍公式，formula_113現在如果我們外切一個正 "n" 邊形，邊為formula_114 平行於formula_71，那麼formula_116和formula_117是相似三角形，得出formula_118。稱外切邊長為formula_119，那麼formula_120。從而我們得到formula_123稱外切周長為formula_124，內接周長formula_125。那麼將這些等式聯合起來，我們有formula_126所以formula_127給出一個幾何平均等式。同樣我們也推出formula_128或formula_129給出一個調和平均等式。飛鏢逼近.當更好的方法尋找圓的面積無效時，我們可以求助於“擲飛鏢”。這種蒙特卡羅演算法的原理是：如果隨機樣本一致地散佈於一個包含圓的正方形中，樣本擊中圓的比例趨近於圓和正方形的面積比。這可以視為求圓面積的最後一種手段，因為它要求巨大的樣本數才能確保精確度，一個 10−"n" 的估計需要大約 100"n" 個隨機樣本#重定向 。在某些情形，蒙特卡羅演算法是數值逼近可用的最好方法。有限拼圖.我們已經看到可以將圓分為無窮塊重組為一個長方形。最近#重定向 發現的一個驚人的事實是我們可以將圓分為很大但有限塊然後重拼成一個相同面積的正方形。這稱為塔斯基分割圓問題。米可斯·拉茲柯維奇的證明本質是他證明了“存在”這樣的分解，但是沒有給出任何實際的分解。推廣.我們可以將圓伸縮長為一個橢圓。因為伸縮是一個平面的線性變換，一個變形因子會改變面積但是保持面積的比例。這個觀察可以用於從單位圓得出任何橢圓的面積。考慮單位圓內切於邊長為 2 的正方形。一個伸長或收縮分別把水平與垂直半徑變為橢圓的半長軸與半短軸。正方形變為一個外切於橢圓的長方形。圓與正方形面積比為formula_130，這意味著橢圓與長方形的面積比也是formula_130。假設formula_132和formula_133分別為橢圓的半長軸與半短軸。因長方形的面積為formula_134，從而橢圓的面積是formula_135。我們也可以考慮高維數類似測度，比如可能想要求出球體的體積。當我們知道球面面積公式後，可以使用與圓一樣的“洋蔥”積分法。