四次方程

四次方程，是未知數最高次數不超過四次的多項式方程。一個典型的一元四次方程的通式為：formula_1 其中 formula_2本篇只討論一元四次方程，並簡稱為四次方程。四次方程的解法.數學家們為了解開四次方程——確切地說，找到解開四次方程的方法——做出了許多努力。像其它多項式一樣，有時可以對四次方程進行因式分解；但高次冪下的因式分解往往非常困難，尤其是當根是無理數或複數時。因此找到一個公式解意義重大。經過諸多研究後，數學家們終於找到了四次方程的公式解。不過之後埃瓦里斯特·伽羅瓦證明，求根公式止步於四次方程，更高次冪的方程無法透過固定的公式求出。對於五次及以上的方程，需要一種更為有效的方式來求解。由於四次方程的複雜性解。特殊情況.名義上的四次方程.如果formula_3，那麼其中一個根為formula_4，其它根可以透過消去四次項，並解產生的三次方程,formula_5雙二次方程.四次方程式中若formula_6 和 formula_7 均為 formula_8者有下列形態：formula_9因此它是一個雙二次方程式。解雙二次方程式非常容易，只要設 formula_10 ，我們的方程式便成為：formula_11這是一個簡單的二次方程式，其根可用二次方程式的求根公式來解：formula_12當我們求得 "z" 的值以後，便可以從中得到formula_13 的值：formula_14formula_15若任何一個 formula_16 的值為負數或複數，那麼一些 formula_13 的值便是複數。費拉里的方法.開始時，四次方程首先要被轉化為低階的四次方程式。轉變成減少次數的四次方程.要讓以下四次方程式變成標準的四次方程式，先在等式兩邊分別除以formula_18formula_19formula_20第一步：消除 formula_21列。為了做到這一步，先把變數formula_22變成formula_23，其中formula_24.將變數替換：formula_25展開後變成：formula_26整理後變成以u為變數的表示式formula_27現在改變表示式的係數，為formula_28formula_29formula_30結果就是我們期望的低階四次方程式，為formula_31如果 formula_32 那麼等式就變成了雙二次方程式，更加容易解決；利用反向替代，我們可以獲得我們要解決的變數 formula_22的值.費拉里的解法.這種降低的四次方程的方法是被費拉里發現的，然而，這種方式曾經被發現過。接下來，利用一個恆等式formula_34從方程 (1)和上式，得出：formula_35結果把 formula_36配成了完全平方式：formula_37。左式中，formula_38 並不出現，但其符號已改變並被移到右邊。下一步是在方程formula_39 左邊的完全平方中插入變數 formula_40，相應地在右邊插入一項formula_41。根據恆等式formula_42及formula_43兩式相加，可得formula_44與等式(2)相加，得formula_46也就是formula_47現在我們需要尋找一個formula_45值，使得方程formula_49的右邊為完全平方。而這-{只}-要令二次方程的判別式為零。為此，首先展開完全平方式為二次式：formula_50右邊的二次式有三個係數。可以驗證，把第二項係數平方，再減去第一與第三項係數之積的四倍，可得到零：formula_51因此，為了使方程(3)的右邊為完全平方，我們必須解出下列方程：formula_52把二項式與多項式相乘，formula_53兩邊除以formula_54，再把formula_55移動到右邊，formula_56這是關於formula_45的三次方程。兩邊除以formula_58，formula_59轉化巢狀的三次方程為降低次數的三次方程.方程formula_60是巢狀的三次方程。為了解方程formula_60，我們首先用換元法把它轉化為減少次數的三次方程：formula_62方程formula_60變為formula_64展開，得formula_65合併同類項，得formula_66這是巢狀的三次方程。記formula_67formula_68則此三次方程變為formula_69解巢狀的降低次數的三次方程.令 formula_70這對於平方根的正負號均成立，只要等式兩邊取相同的符號。formula_71的正負是多餘的，因為它將被本頁後面馬上將提到的另一個formula_72消去。從而它可分解因式為：formula_73.注：若 formula_74 則 formula_75。如果 formula_76則方程為雙二次方程，前面已討論過。因此方程formula_49化為formula_78.等式formula_79兩邊各有一個乘起來的完全平方式。兩完全平方式相等。如果兩平方式相等，則兩平方式的因子也相等，即有下式：formula_80.對 formula_23合併同類項，得formula_82.注：formula_83 及 formula_84 中的下標formula_85 用來標記它們是相關的。方程formula_86是關於formula_23的二次方程。其解為formula_88整理，得formula_89這就是降低次數的四次方程的解，因此原來的四次方程的解為formula_90注意：兩個 formula_83 來自等式formula_92的同一處，並且它們應有相同的符號，而 formula_93 的符號是無關的。費拉里方法的概要.給定一個四次方程formula_94其解可用如下方法求出：formula_95formula_29formula_97若 formula_32，求解 formula_99 並代入 formula_100，求得根formula_101formula_67formula_103formula_104formula_105formula_106formula_107兩個formula_108 必須有相同的符號,formula_109 的符號無關。為得到全部的根，對formula_108，formula_109 ,formula_112,formula_113,formula_114及 formula_115 及 formula_116 及 formula_117 來求formula_118。二重根將得出兩次，三重根及四重根將得出四次此即所求。還有解四次方程的其他方法，或許更好些。費拉里首先發現這些迷宮般的解之一。他所解的方程是formula_123 ，它已經化為簡約的形式。它有一對解，可由上面給出的公式得到。笛卡兒方法.formula_124formula_125此四次方程是下列兩個二次方程之積：formula_126以及formula_127展開，得formula_128formula_129設formula_130formula_131formula_132formula_133則方程變為formula_134formula_135方程(13)與(14)相乘，得formula_136把方程(15)與原來的四次方程比較，可知formula_137formula_138formula_139formula_140由formula_137，得formula_142由formula_138得formula_144將formula_142代入上式，得formula_146將formula_142代入formula_139，得formula_149兩邊同時除以formula_150，得formula_151formula_152，得formula_153formula_154，得formula_155將代入formula_140，得formula_157formula_158formula_159formula_160formula_161formula_162formula_163formula_164令formula_165，則上述方程可化為formula_166這是一個關於y的一元三次方程，其解為formula_167由formula_165得formula_169開平方，得formula_170分別將formula_142，formula_172，formula_173代入方程(13)和(14)，有formula_174formula_175即formula_176注：formula_83 及 formula_84 中的下標formula_85 用來標記它們是相關的。方程是關於x的一元二次方程，其解為formula_180尤拉的方法.formula_181兩邊同時除以a，得formula_182令 formula_183，代入上式，得formula_184展開後變成：formula_185整理後變成以z為變數的表示式formula_186令formula_187formula_188formula_189則上述方程可化為formula_190令formula_191,其中formula_192，formula_193，formula_194是任取的，代入上述方程，得formula_195展開，得formula_196整理後變成formula_197令formula_198formula_199則有formula_200由 formula_198，得formula_202將，得formula_203由此可以得到formula_204由formula_205，得formula_206兩邊平方，得formula_207聯立得formula_208令formula_209，formula_210，formula_211，則上述方程組可化為formula_212formula_213，formula_214，formula_215 是以下方程的三個根：formula_216這是一個一元三次方程，其解為formula_217formula_218formula_219由formula_209，formula_210，formula_211得formula_223方程的解為formula_224原四次方程的解為formula_225其中formula_226，formula_227，formula_228滿足formula_229formula_230formula_231其它方法.化為雙二次方程.一個例子可見雙二次方程。求根公式.四次方程的求根公式可以透過上述的伽羅瓦理論和因式分解得到。對於formula_232，有：formula_233formula_234formula_235formula_236PlanetMath指出，這四個形式直接使用，即使是在計算機上也過於複雜。這四個解的推導過程的最後幾步有較為簡單的中間形式可以採用。得到這些解需要用到三次方程的求根公式。