階乘

在數學中，正整數的階乘是所有小於等於該數的正整數的積，計為formula_1，例如5的階乘表示為formula_2，其值為120：並定義，1的階乘formula_3和0的階乘formula_4都為1，其中0的階乘表示一個空積。1808年，基斯頓·卡曼引進這個表示法：formula_5，符號formula_6表示連續乘積，亦即formula_7。階乘亦可以遞迴方式定義：formula_8，formula_9。除了自然數之外，階乘亦可定義於整個實數，其與伽瑪函式的關係為：formula_10階乘應用在許多數學領域中，最常應用在組合數學、代數學和數學分析中。在組合數學中，階乘代表的意義為formula_11個相異物件任意排列的數量，例如前述例子，其代表了5個相異物件共有120種排列法。在正整數的情形下，formula_11的階乘又可以稱為n的排列數。歷史.早在12世紀，印度學者就已有使用階乘的概念來計算排列數的紀錄。1677年時，法比安·斯特德曼使用來解釋階乘的概念。在描述遞迴方法之後，斯特德將階乘描述為：「現在這些方法的本質是這樣的：一個數字的變化數包含了所有比他小的數字的所有變化數……因為一個數字的完全變化數是將較小數字的變化數視為一個整體，並透過將所有數字的完整變化聯合起來。」，其原文如下：Now the nature of these methods is such, that the changes on one number comprehends [includes] the changes on all lesser numbers ... insomuch that a compleat Peal of changes on one number seemeth to be formed by uniting of the compleat Peals on all lesser numbers into one entire body.而符號是由法國數學家克里斯蒂安·克蘭普在1808年使用。定義.階乘可透過連乘積來定義：formula_13用連乘積符號可表示為：formula_14從上述公式中，可以推匯出遞迴關係式：formula_15但遞迴定義須給出base case，因此需要定義零的階乘。除此之外，遞迴關係在階乘函式中各個值皆成立，例如：formula_160的階乘.為了將遞迴關係式擴充套件到formula_17，因此需要定義0的階乘：可以得到：formula_18有幾個獨立的理由認為這個定義是和諧的。 其中包括：而從空集合中選擇0個元素的方法數為一種，即沒有任何東西可以取，唯一的取法就是什麼都不做。定義formula_21可以滿足：formula_22.更一般地，在formula_11個相異元素的集合中取出formula_11個相異元素的方法數，可由二項式係數給出：其方法數只有一種，即全部取出。定義formula_21可以滿足：formula_26formula_27性質.formula_1可質因子分解為formula_29，如formula_30。計算.階乘與斯特靈公式formula_1，數字越大formula_33會越趨近formula_1。但formula_32在負值則會因為出現虛數而無法使用。計算formula_1時，若formula_11不太大，普通的科學計算機都可以計算，能夠處理不超過formula_38數值的計算機可以計算至formula_39，而雙精度浮點數的計算機則可計算至formula_40。當formula_11很大時，可用斯特林公式估計：formula_42更精確的估計是：formula_43其中formula_44非正整數的階乘.階乘原始的定義是在整數，為離散，然而在部分領域如機率論要探討到連續或其他需求時，則需要將階乘從正整數推廣到實數，甚至是複數。formula_45函式和formula_6函式.除了非負整數之外，還可以為非整數值定義階乘函式，但這需要使用更高階的數值分析方法。可以透過插值的方式將階乘兩整數之間填入數值，但其插入的數值必須也要滿足階乘的遞迴定義。一個良好的插值結果是formula_45函式，其為所有非負整數和複數給出了定義，而當formula_48的實部為正時，可以透過下列瑕積分來計算formula_45函式值：formula_50它與階乘的關係是對於任何自然數n滿足：formula_51複數的階乘.可以透過formula_45函式來計算複數的階乘。右圖顯示了複數階乘之模與輻角的等值線令formula_53為：formula_54右圖顯示了幾個模formula_55與輻角formula_56的幾個等級，圖表的繪製範圍為formula_57, formula_58個單位長。較粗的鉛直線為輻角值為formula_59的等值線。細線表示模或輻角相等之函式值的位置。在每個負整數的位置為奇點，無法定義其模和輻角，並且在離奇點越近的地方，等值線的密度就越密集。在|"z"| &lt; 1時，可使用泰勒級數來計算：formula_60其泰勒級數的前幾項係數為：其中，γ為尤拉-馬斯刻若尼常數部分計算機代數的系統存在可以直接產生這些展開式係數的語法，例如SageMath。此種方式甚至可以將階乘推廣至四元數甚至其他數學結構。較大的階乘值可透過雙伽瑪函式積分的連續分數來近似，這個方法由T. J. Stieltjes於1894提出。將階乘寫為formula_61，其中formula_62為：formula_63Stieltjes給出了其連分數值：formula_64前幾項係數formula_65為：負整數的階乘.負整數的階乘可透過階乘的遞迴定義formula_66逆推而得：formula_67但由於在此定義下計算負一的階乘會出現除以零，因此無法直接給出負整數的階乘。其他數學結構的階乘.透過伽瑪函式或其展開式亦可以將階乘擴充套件到其他能定義加法和乘法等基本運算的數學結構，如矩陣。矩陣的階乘具有如下性質：formula_69。並且formula_70，其中，formula_71是單位矩陣、formula_72是一個方陣，同時formula_73是一個非奇異矩陣。換句話說，即矩陣formula_72為單位矩陣的純量formula_11倍，其階乘為formula_76，例如formula_77對於一個可對角化矩陣formula_78其階乘為：formula_79其中，formula_80和formula_81是formula_82的特徵值，分別為formula_83和formula_84，其中，formula_85變化.定義擴充套件.階乘的定義可推廣到複數，其與伽瑪函式的關係為：formula_86。伽瑪函式滿足formula_87，另一種定義擴充套件是阿達馬伽瑪函式，但由於其不在所有實數上皆能滿足階乘的遞迴定義，只有在正整數上滿足階乘的遞迴定義formula_66因此比較少被拿出來討論。formula_89其後面的項formula_90只有在正整數的情形為零。也因為其有加上一項，也因此，此擴充套件在描述負階乘時不會有除以零的情況，而使阿達馬伽瑪函式是一個處處連續、無奇點的函式。雙階乘.正整數的雙階乘表示小於等於該數的所有具相同奇偶性的正整數的乘積，即：formula_94廣義的雙階乘.無視上述定義的formula_95因為即使值的formula_96，雙階乘為奇數可擴充套件到最實數和複數formula_48的注意到，當formula_48是一個正的奇數則：formula_99獲得的表達接受一個以上公式formula_100和formula_101並表示在條件發生的階乘函式的formula_102既可以看出等同於一個給定在這裡。formula_103定義為所有複數除負偶數。比較上式與formula_104的原始定義，廣義的雙階乘在formula_104的計算上須包含formula_106，即formula_107其中 formula_108使用它的定義，半徑為formula_109的n維超球其體積可表示為：formula_110 n=1,3,5...formula_111 n=2,4,6...多重階乘.formula_112被稱為formula_11的formula_114重階乘，定義為：formula_115廣義的多重階乘.能將多重階乘推廣到複數formula_116四次階乘.所謂的四次階乘 不是 formula_117，而是 formula_118，前幾個四次階乘為1, 2, 12, 120, 1680, 30240, 665280, ...它也等於formula_119過階乘.hyperfactorial寫作formula_120，其定義為：formula_121hyper階乘和階乘差不多，但產生更大的數。hyper階乘的增長速度卻並非跟一般階乘在大小上相差很遠。前幾項的hyper階乘為：1, 4, 108, 27648, 86400000, ... 超階乘.1995年，尼爾·斯洛恩和西蒙·普勞夫定義了超階乘為首formula_11個階乘的積。即formula_123。一般來說formula_124前幾項的超階乘為：1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, ... 另一種定義.柯利弗德·皮寇弗在他的書"Key to Infinity"定義了另一個超階乘，寫作formula_125：formula_127(4),表示hyper4，使用高德納箭號表示法即formula_128。這個數列：formula_129formula_130formula_131，讀作6個6重冪。formula_132 = formula_133，一直寫24個24，讀作24個24重冪。質數階乘.質數階乘是所有小於或等於該數且大於或等於2的質數的積，自然數formula_11的質數階乘，寫作formula_135。目前質數階乘只能用遞迴方式定義，因為尚未找到一個能用基本函式表示所有質數的函式或一條包含所有質數的曲線一般情況下質數階乘定義為：formula_136其中, formula_137是質數計數函式，小於或等於某個實數formula_11的質數的個數的函式formula_139。自然數階冪.階冪也稱疊冪或者重冪記作formula_140，它的定義是將自然數1至formula_11的數由大到小作冪指數重疊排列，數學定義如下：formula_142其中formula_143，前幾項的重冪數為：1 , 2 , 9 , 262144 , ... 第5個重冪數是一個有183231位阿拉伯數字組成的超大自然數，其值約為formula_144另外一種定義則是每個階冪都先取一次階乘：formula_145前幾個階乘階冪為：1, 2, 36, 48708493958471199415506599153950129703565945470976, ... 第5個階乘階冪值已大於formula_146，其值約為formula_147二次階冪：formula_148其中formula_11，formula_150，且formula_151。倒數階乘.倒數階乘是指所有小於及等於該數的正整數之倒數的積，其值與階乘的倒數相同：formula_152其無窮級數收斂在e：formula_153考量階乘可以表示為連續的伽瑪函式，則有formula_154這個值又稱為。反階乘.反階乘是階乘的反函式，用於求解指定的數是哪個數的階乘。例如120的反階乘為5，因為5的階乘為120。反階乘可以透過泰勒級數或反伽瑪函式來評估與計算。