層 (數學)

數學上，在給定拓撲空間"X"上的一個層和一個層相似，但它可能不可以粘起來。事實上，層使得我們可以用一種細緻的方式討論什麼是"區域性性質"，就像應用在"函式"上的層。簡介.層用於拓撲，代數幾何和微分幾何，只要想跟蹤給定的幾何空間的隨著每個開集變化的代數資料，就可以用層。他們是研究"區域性有變化"的物件的"全域性工具"。這樣，它們是研究有區域性本質的實體的全域性行為的自然工具，例如開集，解析函式，流形，等等。作為一個典型的例子，考慮拓撲空間"X",對於每個"X"中的開集"U"，令"F"("U")為所有連續函式"U" → R的集合。如果"V"是"U"的開子集，則"U"上的函式可以限制到"V"上，而我們得到對映"F"("U") → "F"("V")。"粘合"描述了下列過程：假設"U""i"是給定的開集其併為"U"，對於每個"i"我們給定一個元素"f""i" ∈ "F"，一個連續函式"f""i" : "U""i" → R。如果這些函式在重合的地方相等，則我們可以一種唯一的方式把他們粘起來得到一個連續函式"f" : "U" → R，它和所有給定的函式"f""i"一致。所有集合"F"("U")的類和限制對映"F"("U") → "F"("V")成為一個"X"上的集合的層。進一步的，每個"F"("U")是一個交換環，而限制對映是環同態，這使"F"成為"X"上的環的層。作為很相似的例子，考慮一個微分流形"X"，對於"X"的每個開集"U"，令"F"("U")為所有可微函式"U" → R的集合。這裡同樣的有粘合，並且我們得到"X"上的環的層。另一個"X"上的層是，對於"X"的每個開集"U"給定所有定義在"U"上的可微向量場的向量空間。限制和粘合向量場和函式上的操作一樣，然後我們得到流形"X"上的向量空間的層。形式化定義.要定義層，我們分兩步進行。第一步是引入"預層"的概念，它抓住了把區域性資訊和拓撲空間聯絡起來的思想。第二步是引入額外的公理，稱為"粘合公理"，它抓住了把區域性資訊粘合起來得到全域性資訊的想法。預層的定義.假設"X"為一個拓撲空間，而C是一個範疇由如下資料給出：這個定義可以用範疇論的術語很自然的表達。首先我們定義"X"上的開集的範疇為範疇Top"X"，其物件是"X"的開集而其態射為包含對映。Top"X"就成了和"X"的開子集上的偏序⊂相關的範疇。一個"X"上的C預層就是從Top"X"到C的反變函子。若"F"是一個"X"上的C-值預層，而"U"是一個"X"的開子集，則"F(U)"稱為"F"在"U"上的"截面"。。粘合公理."高層次的討論請參看主條目粘合公理"層是小開集上面的截面可以粘合成為大開集上的截面的預層。這裡粘合公理會以一種要求C為一個具體範疇的形式給出。令"U"為一個開集族{"Ui"}的並集。對於每個"Ui"，選定一個截面在"Ui"上的"fi"。我們稱"fi"是"相容的"如果對於每個"i"和"j",res"Ui","Ui"∩"Uj"("fi") = res"Uj","Ui"∩"Uj"("fj").直觀的講，如果"fi"表示函式，這是在說任何兩個相容的函式在它們重疊的地方一致。層公理說我們可以從"fi"產生一個唯一的"U"上的截面"f"，其到每個"Ui"的限制為"fi",也即，res"U","Ui"("f")="fi"。有時，這會分為兩個公理，一個保證存在性，而另一個保證唯一性。例子.除了簡介中給出的連續函式的層，可微函式的層和向量場的層之外，截面的層也是很重要的例子。假設"E"和"X"為拓撲空間而π : "E" → "X"是一個連續函式。對於"X"中的每個開集"U"，令"F"("U")為使得π("f"("x")) = "x"對於所有"U"中的"x"成立的所有連續對映"f" : "U" → "E"的集合。這樣的函式"f"稱為π的截面。不難驗證"F"是"X"上集合的層。實際上，每個"X"上集合的層基本上都是這個型別，對於某一個特殊的對映π來說;參看下面的內容。給定一個"X"上的層"F" on "X","F"("X")的元素也稱為全域性截面，這是一個從上面的例子中來的術語。進一步的例子：層的態射.令"F"和"G"為"X"上兩個層，都在範疇"C"中取值。我們定義從"G"到"F"的態射為一族在範疇"C"內對於所有在"X"中的開"U"的態射φ"U" : "G"("U") → "F"("U")，它們和限制對映可交換。也就是，下面的圖必須可交換對於"X"中的每一對開集"U" ⊆ "V"。若"F"和"G"視為從Top"X"到"C"的反變函子，則它們之間的態射不過就是一個自然變換。"X"上的層的一個"同構"就是這個範疇裡的一個同構。可以把這個概念推廣到不同空間上的層之間的態射。令"f" : "X" → "Y"為一個兩個拓撲空間之間的連續函式，並令"F"為"X"上的層且"G"為"Y"上的層，二者都在"C"中取值。那麼從"G"到"F"的相對於"f"的態射為一族態射φ"U" : "G"("U") → "F"("f"−1("U"))對於"Y"中每個開集"U"，使得圖對於"Y"中每一對開集"U" ⊆ "V"可交換。前面的定義是"f"是"X"上的恆等對映時的特殊情況。在一般情況中範疇理論的表述稍微複雜一點。令Top為從拓撲空間範疇Top到小范疇範疇Cat的反變函子，它把每個拓撲空間"X"映到其開集的偏序集範疇Top"X"。這裡Top("f")是一個反變函子，從Top"Y"到Top"X"，把每個開集映到它的原象。把"F"和Top("f")複合，我們得到一個從Top"Y"到"C"的反變函子。一個從"G"到"F"相對於"f"的態射就是從"G"到"F" ○ Top("f")的自然變換。注意上面所有這些對於預層也成立。層在一點的莖和函式的芽.固定"X"中一點"x"。我們要研究"F"在點"x"附近的行為。在分析術語中，我們要在越來越靠近點"x"時取某種極限。相應的概念是"F"("N")在"N"跑遍"x"的以包含關係排序的領域時的有向極限。如果"F"是"X"上的C-值層，則莖"Fx"是C的一個物件，對於像交換群範疇或交換環範疇這樣的範疇來說。對於任意包含"x"的開集"U"，存在一個從"F"("U")到"Fx"的態射。如果C是一個具體範疇，則應用這個態射到"Fx"中的一個元素"f"上就得到"Fx"的一個元素，稱為"f"在"x"的芽。這和在數學的其他地方所用的"函式的芽"的概念對應。直觀的講，函式"f"在"x"的芽決定了"f"在"x"的區域性行為；它是"f"的一種"幽靈"，只在離"x"很近的地方可以看。參看區域性環中給出的詳細例子。對於某些層，芽的行為很好，可以給出好的區域性資訊；解析函式在一點附近的芽透過它的冪級數擴張決定了函式在一個小領域的取值。但是，有些層行為不好；光滑函式的芽在任意一點都不決定任何一個該點的小領域的函式值。作為一個例子，取任何隆起函式。它在它為1的區間是常數函式的區域性行為，但是知道隆起函式在一點附近是常數1並不告訴你函式在哪裡開始衰減；從它區域性的行為，你甚至不能肯定它是一個隆起函式!層的平展空間.層論發展的早期，就證明了給定層"X"上的"F"和給定一個特定拓撲空間"E"以及一個從"E"到"X"的連續函式一樣。更精確的講：對於一個"X"上的集合層"F"，存在一個局域同胚π: "E" → "X"使得"F"和上節例子中所述的π的截面層同構。進一步的有，空間"E"是確定的，最多差一個"F"的同胚。這是"F"的"莖空間"：每個莖給了離散拓撲，並且我們取所有莖的不交併，而π把所有的莖"F""x"對映到"x"。這個莖的空間的拓撲可以取為這樣一個拓撲，它使得層"F"可以從π截面的層中重建出來。在高一級的抽象中，我們可以說"X"上的集合的層的範疇是等價於到"X"的區域性同胚的範疇的。。在Godement的深具影響的關於同調代數和層論的書中，空間"E"被稱為espace étalé(平展空間);在那本書中，層事實上"定義"為從區域性同胚的截面得到；上面給出的函子方式的定義後來才出現，但現在更為普遍。上面的考慮對於"X"上的C層也成立：我們還是從莖的空間出發，每個莖是C中的一個物件，而截面自然也成為"C"中的物件。給定任意連續對映"g" : "Z" → "X",相應的截面的層給了上述方式的莖的空間"E"和一個區域性同胚π : "E" → "X"。在某種意義上，這是處理對映"g"的所有'分支'，並且是以'儘可能最好的方式'。這可以用共軛函子表示；但是從某種意義上講層的更廣泛的概念遠離了幾何直覺。推廣.可以定義一個交換群的層的上同調理論，它可以給出很多有用的更具體的資訊。主要的問題是長正合序列的存在性來自於層的一個正合序列。在應用中，重點曾被放在比有限復空間更不行為良好的空間的層上。例如，代數幾何中有Zariski拓撲的空間很少滿足豪斯多夫性質。代數幾何的情況最早是Jean-Pierre Serre使用全域性截面函子的導函子，給出了更好的解決方案。格羅滕迪克想要發展層的一個上同調理論，以得到更強的結果，並且，特別的有，能夠允許Weil猜想的證明。透過精確的分析定義層所需的"X"的性質，他在一個範疇上定義了格羅滕迪克拓撲的概念。有格羅滕迪克拓撲的一個範疇稱為一個"site"。可以在任意站上定義層的概念。站的概念後來導致Lawvere發展出基本拓撲斯的概念。歷史.層論最初的起源很難確認—它們可能和解析延拓的思想共存。可以識別的獨立的層論才從上同調的基礎工作中出現大約花了15年的時間。至此，層成為數學的一個主流部分，其應用根本不侷限於代數拓撲。後來層範疇的邏輯被發現是直覺邏輯。這表明層論的某些方面甚至可以追述到萊布尼茲。