傅立葉級數

在數學中，傅立葉級數是把類似波的函式表示成簡單正弦波的方式。更正式地說，對於滿足狄利克雷定理的週期函式，其傅立葉級數是由一組簡單振盪函式的加權和表示的方法。離散時間傅立葉變換是一個週期函式，通常用定義傅立葉級數的項進行定義。另一個應用的例子是Z變換，將傅立葉級數簡化為特殊情形 |z|=1。傅立葉級數也是取樣定理原始證明的核心。傅立葉級數的研究是傅立葉分析的一個分支。歷史.傅立葉級數得名於法國數學家約瑟夫·傅立葉(1768年–1830年)，他提出任何函式都可以展開為三角級數。此前數學家如拉格朗日等已經找到了一些非週期函式的三角級數展開，而認定一個函式有三角級數展開之後，透過積分方法計算其係數的公式，尤拉、達朗貝爾和克萊羅早已發現，傅立葉的工作得到了丹尼爾·伯努利的贊助。傅立葉介入三角級數用來解熱傳導方程，其最初論文雖經、加斯帕爾·蒙日同意，但在1807年經拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德評審後被拒絕出版，他的現在被稱為的理論後來發表於1820年的《熱的解析理論》中。將週期函式分解為簡單振盪函式的總和的最早想法，可以追溯至公元前3世紀古代天文學家的均輪和本輪學說。傅立葉級數在數論、組合數學、訊號處理、機率論、統計學、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。定義.現在，讓我們考慮一個函式formula_1 ，其中formula_2"，且formula_1 在 長度為 formula_4的區間上可積。一些常見的可積區間為:"formula_5，formula_6formula_7,formula_8我們將用formula_9與formula_10的無窮級數來表示 formula_1。事實上，整個分析的過程就是一個權重的表現，由formula_12階的諧波formula_13還有formula_14搭配上彼此在這個函式formula_1 中的權重來實現用三角級數來表示整個formula_1 ，其中formula_12階諧波在函式中的權重可以藉由在區間上的積分來獲取，其中上述的權重就是所謂的傅立葉係數:我們可以從部分和開始普遍來說N是理論上趨近於無限大的，但是就算趨近於無限大，對所有的x(例如在某一點上不連續)，傅立葉級數也不一定收斂到formula_1 。我們還可以利用三角恆等式，去把後面的正弦函式跟餘弦函式合併起來formula_19然後定義formula_20還有formula_21然後我們習慣將普遍化formula_1到整個複數上，藉由尤拉公式去分開餘弦函式變成指數的形式表示。formula_23因此，根據定義，我們可以得到:formula_24而最後的結論是複數函式.如果formula_1是一個複數函式，其中實部跟虛部都是實值函式，其中formula_2，二者都可以被表示為傅立葉級數，那實部跟虛部的係數還有部分和可以被表示為:formula_27 還有 formula_28formula_29然後定義formula_30這與 Eq.4相同，但是如果說 formula_31 還有 formula_32 不再繼續複數共軛. 關於 formula_31 的公式一樣沒有變化:formula_34基本性質.傅立葉級數的唯一性.如果有一個定義在formula_35的函式formula_36和formula_37,其中函式formula_36和formula_37的傅立葉係數formula_40還有formula_41相同，且傅立葉級數都收斂到函式本身，那麼可以證明此傅立葉級數具有唯一性，也就是formula_42。換句話說，如果函式formula_36在formula_35上可積，傅立葉係數formula_40為0，對所有的formula_46，那麼函式formula_47摺積.摺積的觀念在傅立葉分析中扮演了重要的角色，所以說瞭解摺積是必要的。假設formula_36還有formula_37在formula_50上可積的函式，定義formula_36還有formula_37在formula_35上的摺積formula_54為:formula_55 我們也可以藉由變數變換去得到 formula_56至於關於摺積的性質，可以目摺積然後當我們在考慮一個函式formula_36的傅立葉級數的部分和，我們可以將其表示為formula_36跟formula_59的摺積，其中formula_59為狄利克雷核。formula_61這個範例可以讓我們看到，研究函式的傅立葉級數的部分和就是由研究函式跟狄利克雷核的摺積。微分性質.我們說formula_36屬於在formula_63 formula_64 如果formula_36是一個在實數上以formula_66為週期的函式，且formula_67次可微而且formula_67階連續。黎曼-勒貝格引理.當 "x" = π 時，傅立葉級數收斂於 0，為在 "x" = π 處 "s" 的左極限和右極限之和的一半。這是傅立葉級數的狄利克雷定理的特例。這個例子為我們引出了巴塞爾問題的一種解法。例2：傅立葉誘導.例1中我們的函式的傅立葉級數展開式看起來不比 "s"("x") = "x/π" 簡單，因此人們需要傅立葉級數的原因也就不會立即顯現出來。但還有很多應用，我們舉用傅立葉誘導解熱方程式的例子。考慮邊長為 "π" 米的方形金屬版，座標為 ("x", "y") ∈ [0, "π"] × [0, "π"]。如果板內沒有熱源，並且四個邊中三個都保持在 0 攝氏度，而第四條邊 "y" = π，對於 "x" 屬於 (0, "π")，保持在溫度梯度 "T"("x", "π") = "x" 攝氏度，於是可以證明穩態熱分佈為formula_85這裡，sinh 為雙曲正弦函式。熱方程的這個解是透過將 Eq.1 的每一項乘以 sinh("ny")/sinh("n"π) 得到的。我們示例的函式 "s"("x") 的傅立葉級數似乎很複雜，熱分佈 "T"("x", "y") 是非平凡的。函式 "T" 不能寫成解析解。用傅立葉的方法卻可以求解這個熱分佈問題。其他例子.我們也可以應用傅立葉級數去證明等周不等式，或是構造處處連續處處不可微的函式。延伸.希爾伯特空間的解讀.所謂的兩個不同向量正交是指它們的內積為0，這也就意味著這兩個向量之間沒有任何相關性,例如，在三維歐氏空間中，互相垂直的向量之間是正交的。事實上，正交是垂直在數學上的一種抽象化和一般化。一組n個互相正交的向量必然是線性無關的，所以必然可以張成一個n維空間，也就是說，空間中的任何一個向量可以用它們來線性表出。在希爾伯特空間釋義下，函式的集合{"en" = "einx"; "n" ∈ Z}是[−π, π]平方可積函式"L"2([−π, π])的正交基。這個空間實際上是一個希爾伯特空間，有著針對任何兩個的元素"f"和"g"的如下內積:formula_86三角函式族的正交性用公式表示出來就是：formula_87formula_88(這裡的δ"mn"是克羅內克函式)，而formula_89傅立葉級數的收斂性.至今還沒有判斷傅立葉級數的收斂性充分必要條件，但是對於實際問題中出現的函式，有很多種判別條件可用於判斷收斂性。比如x(t)的可微性或級數的一致收斂性。在閉區間上滿足狄利克雷條件的函式表示成的傅立葉級數都收斂。狄利克雷條件如下：滿足以上條件的x(t)傅立葉級數都收斂，且：1.當t是x(t)的連續點時，級數收斂於x(t)；2.當t是x(t)的間斷點時，級數收斂於formula_90.1966年，里納特·卡爾松證明了勒貝格二次可積函式的傅立葉級數一定是幾乎處處收斂的，即級數在除了一個勒貝格零測集外均收斂。吉布斯現象：在x(t)的不可導點上，如果我們只取(1)式右邊的無窮級數中的有限項作和X(t)，那麼X(t)在這些點上會有起伏。一個簡單的例子是方波訊號。