量子纏結

}-假設一個零自旋中性π介子衰變成一個電子與一個正電子:421-422。這兩個衰變產物各自朝著相反方向移動。電子移動到區域A，在那裡的觀察者「愛麗絲」會觀測電子沿著某特定軸向的自旋；正電子移動到區域B，在那裡的觀察者「鮑勃」也會觀測正電子沿著同樣軸向的自旋。在測量之前，這兩個糾纏粒子共同形成了零自旋的「糾纏態」formula_1，是兩個直積態的疊加，以狄拉克標記表示為formula_2；其中，formula_3、formula_4分別表示粒子的自旋為上旋或下旋。在圓括弧內的第一項formula_5表明，電子的自旋為上旋若且唯若正電子的自旋為下旋；第二項formula_6表明，電子的自旋為下旋若且唯若正電子的自旋為上旋。兩種狀況疊加在一起，每一種狀況都有可能發生，不能確定到底哪種狀況會發生，因此，電子與正電子糾纏在一起，形成糾纏態。假若不做測量，則無法知道這兩個粒子中任何一個粒子的自旋，根據哥本哈根詮釋，這性質並不存在。這單態的兩個粒子相互反關聯，對於兩個粒子的自旋分別做測量，假若電子的自旋為上旋，則正電子的自旋為下旋，反之亦然；假若電子的自旋下旋，則正電子自旋為上旋，反之亦然。量子力學不能預測到底是哪一組數值，但是量子力學可以預言，獲得任何一組數值的機率為50%:421-422。愛麗絲測量電子的自旋，她可能會得到兩種結果：上旋或下旋，假若她得到上旋，則根據哥本哈根詮釋，糾纏態塌縮為第一個專案所代表的量子態formula_7，隨後，鮑勃測量正電子的自旋，他會得到下旋的機率為100%；類似地，假若愛麗絲測量的結果為下旋，則糾纏態塌縮為第二個專案所代表的量子態formula_8，隨後鮑勃會測量得到上旋。設想一個類比的經典統計學實驗，將一枚硬幣沿著圓周切成兩半，一半是正面，另一半是反面，將這兩枚半幣分別置入兩個信封，然後隨機交給愛麗絲與鮑勃。假若愛麗絲開啟信封，檢視她得到的是哪種硬幣，她將無法預測這結果，因為得到正面或反面的機率各為50%。鮑勃也會遇到同樣的狀況。可以確定的是，假若愛麗絲得到正面，則鮑勃會得到反面；假若愛麗絲得到反面，則鮑勃會得到正面。這兩個事件完全地反關聯。在先前的量子糾纏實驗裡，愛麗絲與鮑勃分別測量粒子沿著同樣軸向的自旋，雖然這涉及到量子關聯，他們仍舊會得到與經典關聯實驗同樣的結果。怎樣區分量子關聯與經典關聯？假若愛麗絲與鮑勃分別測量粒子沿著不同軸向的自旋，而不是沿著同樣軸向，然後檢驗實驗資料是否遵守貝爾不等式，則他們會發覺，量子糾纏系統必定違反貝爾不等式，而經典物理系統必定遵守貝爾不等式。因此，貝爾不等式乃是一種很靈敏的偵測量子糾纏的工具。量子糾纏實驗所涉及的量子關聯現象無法用經典統計物理學概念來解釋，在經典統計物理學裡，找不到類似案例:61-65。粒子沿著不同軸向的自旋彼此之間是不相容可觀察量，對於這些不相容可觀察量作測量必定不能同時得到明確結果，這是量子力學的一個基礎理論。在經典力學裡，這基礎理論毫無意義，理論而言，任何粒子性質都可以被測量至任意準確度。貝爾定理意味著一個事實，一個已被實驗檢試的事實，即對兩個不相容可觀察量做測量得到的結果不遵守貝爾不等式。因此，基礎而言，量子糾纏是個非經典現象。不確定性原理的維持必須倚賴量子糾纏機制。例如，設想先前的一個零自旋中性π介子衰變案例，兩個衰變產物各自朝著相反方向移動，現在分別測量電子的位置與正電子的動量，假若量子糾纏機制不存在，則可藉著守恆定律預測兩個粒子各自的位置與動量，這違反了不確定性原理。由於量子糾纏機制，粒子的位置與動量遵守不確定性原理。從以相對論性速度移動的兩個參考系分別測量兩個糾纏粒子的物理性質，儘管在每一個參考系，測量兩個粒子的時間順序不同，獲得的實驗資料仍舊違反貝爾不等式，仍舊能夠可靠地複製出兩個糾纏粒子的量子關聯。數學表述.以下各小節是為那些具有量子力學正式的數學描述的一個良好的工作知識的讀者而寫，包括文章推導中熟悉的形式和理論框架：狄拉克符號(BRA-KET符號)和量子力學的數學表述。本章節涉及到密度算符概念，若不熟悉密度算符相關概念，請先閱讀條目密度算符。嚴格定義.假設一個複合系統是由兩個子系統A、B所組成，這兩個子系統A、B的希爾伯特空間分別為formula_9、formula_10，則複合系統的希爾伯特空間formula_11為張量積formula_12。設定子系統A、B的量子態分別為formula_13、formula_14，假若複合系統的量子態formula_15不能寫為張量積formula_16，則稱這複合系統為子系統A、B的纏結系統，兩個子系統A、B相互纏結。純態.假設一個複合系統是由兩個不相互作用的子系統A、B所組成，子系統A、B的量子態分別為formula_13、formula_14，則複合系統的量子態formula_15為formula_20。這種形式的量子態稱為直積態，是「可分態」。對於子系統A做測量，必定不會影響到子系統B；反之亦然。因此，對於這種複合系統，測量任意子系統的可觀察量時，不必考慮到另外一個子系統。假設子系統A、B相互耦合，則複合系統的量子態formula_15不能用單獨一項直積態表示，必須用多項直積態的量子疊加表示。量子態formula_15不具有可分性，是「糾纏態」。假設formula_24、formula_25分別為希爾伯特空間formula_9、formula_10的規範正交基。在希爾伯特空間formula_28裡，這複合系統的量子態formula_15可以表示為formula_30；其中，formula_31是複係數。例如，假設formula_32、formula_33分別為規範正交基formula_24的基底向量，formula_35、formula_36分別為規範正交基formula_25的基底向量。以下形式的量子態是一個糾纏態formula_15：formula_39。現在假設愛麗絲、鮑勃分別是子系統A、B的觀察者，規範正交基formula_24的基底向量formula_32、formula_33為可觀察量formula_43的本徵態向量，對應的本徵值分別為formula_44、formula_45。規範正交基formula_25的基底向量formula_35、formula_48為可觀察量formula_49的本徵態向量，對應的本徵值分別為formula_44、formula_45。假設愛麗絲測量可觀察量formula_43，則結果可能有兩種結果，每一種結果發生的機率相同，都是50%：由此可見，愛麗絲對子系統A測量可觀察量formula_43這定域動作改變了子系統B，儘管子系統A、B之間可能相隔很長一段距離，這就是兩個子系統量子糾纏的現象。更詳盡內容，請PR佯謬。由於愛麗絲測量得到的結果具有隨機性，愛麗絲不知道複合系統會怎樣塌縮，她不能夠以超光速傳遞這資訊給鮑勃，因此，沒有違反因果性。混合態.混合態是由幾種純態依照統計機率組成的量子態。假設一個量子系統處於純態formula_60、formula_61、formula_62、……的機率分別為formula_63、formula_64、formula_65、……，則這混合態量子系統的密度算符formula_66定義為formula_67。注意到所有機率的總和為1：formula_68。將先前對於純態的可分性所做的定義加以延伸，具有可分性的兩體混合態，其密度算符可以寫為:131-132formula_69；其中，formula_70是正實值係數，可以詮釋為機率，formula_71是子系統A的一組密度算符，formula_72是子系統B的一組密度算符。假若兩體混合態可以以上述方程式表示，則這混合態具有可分性，其量子系統遵守貝爾不等式，不被量子糾纏；否則，這混合態具有不可分性，是糾纏態，其量子系統被量子糾纏，但並不一定會違反貝爾不等式:131-132。一般而言，很不容易辨識任意混合態量子系統到底是否被量子糾纏。一般兩體案例已被證明為NP困難。對於formula_73與formula_74案例，佩雷斯-霍羅德基判據是可分性的充要條件。怎樣做實驗製成混合態？試想非偏振態光子是怎樣製成的。一種方法是利用處於動力學平衡的系統，這系統擁有很多個微觀態從一個微觀態變換到另一個微觀態。熱力學隨機性可以解釋白熾燈怎樣發射非偏振光子。另一種方法是引入不確定性於系統的製備程式，例如，將光束透過表面粗糙的雙折射晶體，使得光束的不同部分獲得不同偏振。第三種方法應用EPR機制，有些放射性衰變會發射兩個光子朝著反方向移動離開，這糾纏系統的量子態為formula_75；其中，formula_76、formula_77分別為右旋圓偏振態、左旋圓偏振態。整個系統是處於純態，但是每一個光子子系統的物理行為如同非偏振態光子，從分析光子子系統的約化密度算符，可以得到這結論。約化密度算符.約化密度算符的點子最先由保羅·狄拉克於1930年提出。假設由兩個子系統A、B所組成的複合系統，其量子態為純態formula_78，其密度算符formula_66為formula_80。這密度算符也是投影算符，能夠將複合系統的希爾伯特空間formula_11裡的任意量子態formula_82投影到量子態formula_78：formula_84。取密度算符formula_66對於子系統B的偏跡數，可以得到子系統A的約化密度算符formula_86：formula_87。例如，先前提到的糾纏態formula_88，其子系統A的約化密度算符formula_86為formula_90。如同預想，這公式演示出，子系統A的約化密度算符formula_86為混合態。馮紐曼熵.在量子統計力學是經典統計力學關於熵概念的延伸。對於約化密度矩陣為formula_86的糾纏態，馮紐曼熵的定義為:301formula_93；其中，formula_94是約化密度矩陣formula_86的第formula_96個本徵態的本徵值。#重定向由於一個被定義在A部份的算符formula_43的期望值formula_98是formula_99可以視每一個本徵值formula_100為處於本徵態formula_101的機率。若formula_102是單位矩陣，則可發現所有的機率formula_100總和為1。從定義的數學形式來看，假若探測到第formula_96個本徵態的機率為formula_105，則貢獻的馮紐曼熵為formula_106假若formula_86是一個純態，則只有其中一個本徵態formula_108被探測到的機率為formula_109，其他的本徵值都是零，所以純態的馮紐曼熵為formula_110因此從數學而言，馮紐曼熵的下極限為零。馮紐曼熵愈大表示formula_100的機率分佈愈平均，所以對於一個formula_112的約化密度矩陣，每一個本徵態出現的機率都是formula_113，馮紐曼熵是formula_114。馮紐曼熵可以被視為量子系統無序現象的一種度量，純態的馮紐曼熵最小，數值為formula_44，而完全隨機混合態則的馮紐曼熵最大，數值為formula_116。倫伊熵.倫伊熵以匈牙利數學家命名，可視為馮紐曼熵的一種推廣。定義為formula_117其中，formula_118是一個實數。當取極限formula_119時，倫伊熵就是馮紐曼熵。量子糾纏度量.量子糾纏與量子系統失序現象、量子資訊喪失程度密切相關。量子糾纏越大，則子系統越失序，量子資訊喪失越多；反之，量子糾纏越小，子系統越有序，量子資訊喪失越少。因此，馮紐曼熵可以用來定量地描述量子糾纏，另外，還有其它種度量也可以定量地描述量子糾纏。對於兩體複合系統，這些糾纏度量較常遵守的幾個規則為:129-130對於兩體純態formula_120，根據施密特分解:129-130formula_121；其中，formula_122、formula_123分別為子系統A、B的馮紐曼熵，formula_100是先前提到的子系統A約化密度算符的幾個本徵值之一。所以，整個複合系統的糾纏度量formula_125可以設定為任意子系統A或B的馮紐曼熵：formula_126；對於兩體純態formula_120，假若子系統的約化密度矩陣是對角矩陣formula_128 ，則這兩體純態具有最大可能的糾纏度量formula_129，但是它的子系統也完全失序，並且無法預測對於子系統做測量得到的結果，只能預測兩個子系統之間的量子關聯。順帶一題，一個formula_112的對稱矩陣，每個矩陣元皆以亂數決定形成一個隨機矩陣，對角化之後得到的formula_131個本徵值並不等於formula_113，而是一個半圓分佈，因此隨機矩陣的馮紐曼熵並不是formula_116。對於兩體純態，馮紐曼熵和倫伊熵都能夠量度量子糾纏，因為它能夠滿足某些量度量子糾纏必須遵守的判據。雖然如此，但是馮紐曼熵具有熱力學熵的相加性，倫伊熵則沒有熱力學熵的相加性。至於混合態，目前量度量子糾纏並沒有好的方法。量子糾纏與不可分性.假設一個量子系統是由幾個處於量子糾纏的子系統組成，而整體系統所具有的某種物理性質，子系統不能私自具有，這時，不能夠對子系統給定這種物理性質，只能對整體系統給定這種物理性質，它具有「不可分性」。不可分性不一定與空間有關，處於同一區域的幾個物理系統，只要彼此之間沒有任何糾纏，則它們各自可擁有自己的物理性質。物理學者艾雪·佩雷斯給出不可分性的數學定義式，可以計算出整體系統到底具有可分性還是不可分性。假設整體系統具有不可分性，並且這不可分性與空間無關，則可將它的幾個子系統分離至兩個相隔遙遠的區域，這動作凸顯出不可分性與定域性的不同──雖然幾個子系統分別處於兩個相隔遙遠的區域，仍舊不可將它們個別處理。在EPR佯謬裡，由於兩個粒子分別處於兩個相隔遙遠的區域，整體系統被認為具有可分性，但因量子糾纏，整體系統實際具有不可分性，整體系統所具有明確的自旋z分量，兩個粒子各自都不具有:52-53。應用.量子糾纏是一種物理資源，如同時間、能量、動量等等，能夠萃取與轉換。應用量子糾纏的機制於量子資訊學，很多平常不可行的事務都可以達成：不同種類的糾纏態.以下列出一些常遇到的糾纏態：貝爾態有兩個量子位元formula_134、formula_135：formula_136、formula_137。這四個純態都是最大糾纏態，它們共同形成規範正交基在兩個量子位元的希爾伯特空間裡。貝爾定理主要使用貝爾態來做出重要論述。GHZ態的量子位元數formula_138大於2，以方程式表示為formula_139。假若formula_140，這方程式約化為貝爾態formula_141的方程式。通常，GHZ態的量子位元數為formula_142，是一種特別的三體系統。量子三元是量子位元的推廣。量子三元的三個基態分別為formula_143、formula_144、formula_145。自旋為1的粒子，其自旋自由度有三，所對應的本徵值為+1, 0, -1，此種粒子可用來製備量子三元。NOON態是兩個專案的量子疊加，一個專案是formula_131個粒子處於量子態formula_147與formula_44個粒子處於量子態formula_149，另一個專案是formula_44個粒子處於量子態formula_147與formula_131個粒子處於量子態formula_149：formula_154。在量子計量學裡，光學干涉儀利用NOON態來準確地量度相位:23-26。糾纏系統的製備.量子糾纏通常是因為亞原子粒子直接耦合而產生的。早期，就是用來製備糾纏態的一種方法。例如，處於激發態的鈣原子，會先後發射出兩個光子，因此衰變至基態。假若第一個光子具有左旋圓偏振，則第二個光子具有左旋圓偏振；假若第一個光子具有右旋圓偏振，則第二個光子具有右旋圓偏振。假若不做測量，則不能知道到底哪個光子具有左旋圓偏振，哪個光子具有右旋圓偏振。因此這兩個光子被糾纏在一起，糾纏態為分別描述這兩種組合的兩個直積態的疊加：formula_155；其中，formula_77、formula_76分別是左旋圓偏振態、右旋圓偏振態，下標formula_45、formula_159分別標示第一個、第二個光子:18-19。現今最常用的方法之一是自發參量下轉換。這自發參量下轉換方法的一種實現是照射鐳射束於偏硼酸鋇晶體，大多數光子會穿透過晶體，只有少數光子，會因第二型自發參量下轉換，生成一對一對的孿生光子。這些孿生光子對的直線軌道分別包含於兩個圓錐面，如引言段落的繪圖所示，一個圓錐麵包含水平偏振軌道，另一個圓錐麵包含垂直偏振軌道，而兩個圓錐面的交集是兩條直線，軌道為這兩條直線的兩個光子可以具有水平偏振或垂直偏振，假若一個具有水平偏振，則另一個具有垂直偏振；假若一個具有垂直偏振，則另一個具有水平偏振。假若不做測量，則不能知道到底哪個光子具有水平偏振，哪個光子具有垂直偏振，因此，這兩個偏振相互垂直的光子糾纏在一起，糾纏態為formula_160；其中，formula_161是水平偏振，formula_162是垂直偏振:205。在凝聚態量子計算機裡，最具有潛力的候選之一是量子點科技。量子點是一種半導體奈米晶體，能夠束縛激子於微小三維空間內。激子是一對電子與電洞因靜電庫侖作用相互吸引而構成的束縛態。假若電子與電洞復合，造成激子衰變，過剩能量會以光子形式發射釋出。在量子點裡，也可能找到雙激子，這是由兩個電子與兩個電洞組成的束縛態。雙激子會先發射一個光子，衰變成一個激子，然後再發射一個光子，衰變至基態。假若第一個光子具有水平偏振，則第二個光子也具有水平偏振，否則，兩個光子都具有垂直偏振。這兩種過程疊加而生成一對偏振糾纏的光子，其糾纏態為formula_163:20-21。在光學諧振腔內，裡德伯原子會因拉比振動發射或吸收光子的機制，應用這機制來交換光子，兩個或三個裡德伯原子可以形成糾纏態。幾個囚禁在離子阱內的囚禁離子可以被糾纏在一起。給定離子的兩個內態分別為基態formula_164與激發態formula_165，每一種內態都有其特定的內能。囚禁在諧振子位勢內的離子會擁有離散的振動能級formula_166與對應的振動能態formula_167。照射邊帶頻率formula_168鐳射於離子，可以將內態與振動能級態糾纏在一起，糾纏態為formula_169；其中，formula_170是formula_164與formula_165之間的拉比頻率，formula_173是振動能級formula_166與formula_175之間的頻率差。時間奧秘.亞瑟·愛丁頓認為，能量的緩慢散佈是時間流向不可逆反的證據。但是，從基本的物理定律，並無法觀測到時間流向；順著時間流向或逆著時間流向，這些物理定律都能同樣成立，這引起物理學者極大的困惑，他們只能從熱力學的統計分佈給出時間流向的理論論述。物理學者賽斯·勞埃德在1988年博士論文裡猜想，量子糾纏是時間流向的源頭；時間的流向是關聯遞加的方向，這機制源自於量子糾纏。起初，這點子並未受到學術界重視。後來，越來越多物理學者在這方面有所突破，他們發現了時間流向的更基礎源頭，微觀粒子彼此相互作用產生量子糾纏，因此形成能量散佈與平衡的現象，關於微觀粒子的資訊透過量子糾纏機制，從一至十、從十至百，逐步洩露到整個環境，因此顯示出時間流向。有些物理學者主張，時間是一種從量子糾纏衍生出來的凸顯現象。於1960年代提出的惠勒－德威特方程式嘗試將量子力學與廣義相對論連結在一起，但是，這方程式並沒有將時間納入考量，因此引發了時間問題找到一個建基於量子糾纏現象的解答，說明怎樣用量子糾纏來測量時間。2013年，義大利都靈的國立計量研究院實驗團隊完成實驗檢試佩吉與烏特斯的點子，證實這點子值得進一步研究。蟲洞.將兩個黑洞糾纏在一起，然後再將它們分離，就可製成一個蟲洞連結在它們之間。2013年，史丹福大學教授李奧納特·色斯金與普林斯頓高等研究院教授胡安·馬爾達西那共同提出了ER=EPR猜想，認為兩個量子糾纏的粒子彼此之間的連結是一個蟲洞。將這論述加以延伸，物理學者質疑，蟲洞的連結與量子糾纏的連結是同一種現象，只有系統的尺寸如同天壤之別。類似地從弦理論來檢視，糾纏兩個夸克也會有同樣的作用。這些理論結果為一些新理論提供支援。這些新理論表明，引力與它的物理性質不是基礎的，而是來自於量子糾纏。雖然量子力學正確地描述在微觀層次的相互作用，它尚未能夠解釋引力。量子引力理論應該能夠演示出古典引力不是基礎的，就如同阿爾伯特·愛因斯坦所提議，而是從更基礎的量子現象產生。施溫格效應從真空生成的糾纏粒子對，處於電場的作用下，可以被捕獲，不讓它們湮滅回真空。這些被捕獲的粒子相互糾纏，可以對映到閔可夫斯基時空。閔可夫斯基時空的意思為三維的空間和一維的時間，也被人們常誤會為四維空間。與之不同，有些物理學者認為，引力存在於第五維。按照愛因斯坦的定律，將時空彎曲與變形。根據全息原理，所有在第五維的事件可以變換為在其它四維的事件，因此，在糾纏粒子被生成的同時，蟲洞也被生成。更基礎地，這論述建議，引力與它彎曲時空的能力來自於量子糾纏。案例.以兩顆向相反方向移動但速率相同的電子為例，即使一顆行至太陽邊，一顆行至冥王星邊，在如此遙遠的距離下，它們仍保有關聯性而狀態發生變化，另一顆也會即時發生相應的狀態變化。如此現象導致了鬼魅似的超距作用之猜疑，彷彿兩顆電子擁有超光速的秘密通訊一般，似與狹義相對論中所謂的定域性原理相違背。這也是當初阿爾伯特·愛因斯坦與同僚玻理斯·波多斯基、納森·羅森於1935年提出的EPR佯謬來質疑量子力學完備性的理由。具有量子纏結的兩顆電子——電子1和電子2，其自旋性質之纏結態可以下面式子為例：formula_176無法寫成formula_177，即兩個量子態的張量積。下標1和2表示這是電子1和電子2的量子態，採取formula_178表示自旋的formula_179方向分量向上，formula_180表示自旋的formula_179方向分量向下。太陽邊的科學家決定對電子1做投影式量子測量，其測到的隨機性結果不是formula_178就是formula_180。當其測量結果顯示為狀態formula_178，則冥王星的科學家在此之後，或很近、或較遠的時間點對電子2做測量，必定會測到formula_178的狀態。因為投影式量子測量已經將原先量子態formula_186選擇性地塌縮到formula_187，也可寫成formula_188或formula_189。這樣，可以從電子1狀態是formula_143知道選擇到formula_191這一邊。注意到：formula_189已經是兩個成員系統各自量子態的張量積，所以測量後狀態已非纏結態。