連分數

在數學中，連分數或繁分數即如下表達：formula_1這裡的formula_2是某個整數，而所有其他的數formula_3都是正整數，可依樣定義出更長的表示式。如果部分分子允許假定任意的值，在某些上下文中可以包含函式，則最終的表示式是廣義連分數。在需要把上述標準形式與廣義連分數相區別的時候，可稱它為簡單或正規連分數，或稱為是規範形式的。例子.連分數常用於無理數的逼近，例如：formula_4由此得到formula_5的漸近分數：formula_6、…formula_7由此得到黃金分割的漸近分數：formula_8、…注意將上述系列的分母1,1,2,3,……等數依序排列均可得到斐波那契數列。formula_9由此得到圓周率的漸近分數formula_10、formula_12、…數學上可以證明，由連分數得到的漸近分數，在分子或分母小於下一個漸進分數的分數中，其值是最接近精確值的近似值。動機.研究連分數的動機源於想要有實數在“數學上純粹”的表示。多數人熟悉實數的小數表示：formula_13這裡的formula_2可以是任意整數，其它formula_15都是formula_16的一個元素。在這種表示中，例如數formula_17被表示為整數序列formula_18。這種小數表示有些問題。例如，在這種情況下使用常數10是因為我們使用了10進位制系統。我們還可以使用8進位制或2進位制系統。另一個問題是很多有理數在這個系統內缺乏有限表示。例如，數formula_19被表示為無限序列formula_20。連分數表示法是避免了實數表示的這兩個問題。讓我們考慮如何描述一個數如formula_21，約為4.4624。近似為4，而實際上比4多一點，約為formula_22。但是在分母中的2是不準確的；更準確的分母是比2多一點，約為formula_23，所以formula_21近似為formula_25。但是在分母中的6是不準確的；更準確分母是比6多一點，實際是formula_26。所以formula_21實際上是formula_28。這樣才準確。去掉表示式formula_28中的冗餘部分可得到簡略記號formula_30。實數的連分數表示可以用這種方式定義。它有一些可取的性質：最後一個性質非常重要，且傳統的小數點表示就不能如此。數的截斷小數表示產生這個數的有理數逼近，但通常不是非常好的逼近。例如，截斷formula_32在各種位置上產生逼近比，如formula_33、formula_34和formula_35。但是明顯的最佳有理數逼近是「formula_36」自身。formula_17的截斷小數表示產生逼近比，如formula_38和formula_39。formula_17的連分數表示開始於formula_41。截斷這個表示產生極佳的有理數逼近3、formula_42、formula_43、formula_44、formula_45、...。formula_39和formula_43的分母相當接近，但近似值formula_39的誤差是遠高於formula_43的19倍。作為對formula_17的逼近，formula_51比3.1416精確100倍。連分數表示的演算法.考慮實數formula_52。設formula_53是"formula_52"的整數部分，而formula_55是它的小數部分。則"r"的連分數表示是formula_56，這裡的「…」是formula_57的連分數表示。習慣上用分號取代第一個逗號。要計算實數"formula_52"的連分數表示，首先寫下"formula_52"的整數部分，然後從"formula_52"減去這個整數部分。如果差為0則停止；否則找到這個差的倒數並重復。這個過程將終止，當且僅當"formula_52"是有理數。數3.245還可以表示為連分數展開formula_62；面的有限連分數。這個演算法適合於實數，但如果用浮點數實現的話，可能導致數值災難。作為替代，任何浮點數是一個精確的有理數，所以歐幾里得演算法的變體可以用來給出精確的結果。連分數的表示法.可以把連分數簡寫作：formula_63或者，用Pringsheim的記法寫作：formula_64還有一個有關的記法：formula_65有時使用尖括號，如：formula_66在使用尖括號的時候，分號是可選的。還可以定義無限簡單連分數為極限：formula_67對於正整數"a"1, "a"2, "a"3 ...的任意選擇，皆存在此一極限。或者可以用高斯的記法formula_68有限連分數.所有有限連分數都表示一個有理數，而所有有理數都可以按兩種不同的方式表示為有限連分數。這兩種表示除了最終項之外都是一致的。在較長的連分數表示，其最終項是1；較短的表示去掉了最後的1，而向新的終項加1。在短表示中的最終項因此大於1，如果短表示至少有兩項的話。其符號表示：formula_69例如：formula_70formula_71連分數的倒數.有理數的連分數表示和它的倒數除了依據這個數小於或大於1而分別左移或右移一位以外是相同的。換句話說，formula_72和formula_73互為倒數。這是因為如果formula_74是整數，接著如果formula_75，則formula_76且formula_77，而且如果formula_78，則formula_79且formula_80帶有最後的數生成對formula_81和它的倒數是同樣的的連分數的餘數。例如：formula_82formula_83無限連分數.所有無限連分數都是無理數，而所有無理數可用一種精確的方式表示為無限連分數。無理數的無限連分數表示是非常有用的，因為它的初始段提供了對這個數的優異的有理數逼近。這些有理數可以叫做這個連分數的收斂子。所有偶數編號的收斂子都小於最初的數，而奇數編號的收斂子都大於它。對於連分數formula_84，前四個收斂子是formula_87用普通語言來說，第3個收斂子的分子是藉由第3個商乘上第2個收斂子的分子，並加上第1個收斂子的分子而成。分母的形成也很類似。如果找到連續的收斂子，帶有分子formula_89和分母formula_90，則相關的遞迴關係是：formula_91連續的收斂子由如下公式給出formula_92一些有用的定理.如果formula_93是正整數的無限序列，遞迴的定義序列formula_94和formula_95：定理1.對於任何正數formula_96formula_97定理2.formula_98的 收斂子 序列是formula_99所組成數列，它收斂到極限 formula_98。定理3.如果對連分數的第"n"個收斂子是formula_101，則formula_102推論1：每個收斂子都在它的最低的那些項中。推論2：在連續的收斂子之間的差是單位分數：formula_106推論3：連分數等價於交替項的級數：formula_107推論4：矩陣formula_108的行列式值為正1或負1，因此屬於2x2 么模矩陣formula_109的群。定理4.每個收斂子。用符號來說，如果第"formula_112"個收斂子是formula_114，則formula_115對於所有r。推論1：奇數收斂子持續遞增而總是小於formula_117。推論2：偶數收斂子持續遞減而總是大於"formula_117"。formula_120定理5.推論1：任何收斂子都比其分母小於這個收斂子的分母的任何其他分數更接近於這個連分數。推論2：立即前導於一個大商的任何收斂子都是對這個連分數的接近逼近。半收斂子.如果formula_121和formula_122是連續的收斂子，則如下形式的任何分數formula_123這裡的formula_124是非負整數，而分子和分母在formula_112和formula_126項之間，叫做“半收斂子”、次收斂子或中間分數。這個術語經常意味著排除了是收斂子的可能性，不是收斂子而是一種半收斂子。對實數formula_127的連分數展開的半收斂子包括了所有比有更小分母的任何逼近都好的有理數逼近。另一個有用的性質是連續的半收斂子formula_128和formula_129有著formula_130。最佳有理數逼近.連分數理論在丟番圖逼近領域起基礎性的作用，可以解決實數的最佳逼近問題，具體可應主頁面。事實上，最初發展連分數理論的動機正是為了解決實數的最佳逼近問題。Cataldi表示連分數為formula_131 &amp;formula_132。&amp;formula_133。&amp;formula_134帶有指示隨後連分數要去的地方的點