線性對映

!style=" text-align: left; background: #DCF0FF; font-size: 90%;"|線性空間與線性變換線性空間 · 線性變換 · 線性子空間 · 線性生成空間 · 基 · 線性對映 · 線性投影 · 線性無關 · 線性組合 · 線性泛函 · 行空間與列空間 · 對偶空間 · 正交 · 特徵向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化線性對映是於向量空間之間，保持向量加法和標量乘法的函式，所以線性對映也是向量空間間的同態。線性運算元是與線性對映相關的慣用名詞，但其實際意義存在許多分歧，詳見相關名詞一節。正式定義.設 formula_1 和 formula_2 都是在域 formula_3 上定義的向量空間，若函式formula_4 對任二向量 formula_5 與任何標量 formula_6，滿足：則formula_7 被稱為是線性對映。這等價於要求 formula_7 對任意向量 formula_9 和任意標量 formula_10 須滿足formula_11若要特別強調標量所在的母集合是域 formula_3 ，會特稱 formula_7 為 "formula_3"-線性對映。如對複數的共軛運算 formula_15 是formula_16-線性對映。線性泛函.域本身就是定義在自己之上的變分問題。相關名詞.線性變換和線性運算元與本條目的線性對映密切相關，但不同作者對它們有不同的定義。而這種定義分歧的根源在於，如 formula_22 這樣，定義域和值域落在同個向量空間的特殊線性對映，有些人為了凸顯而予之不同的稱呼。比如Axler和龔昇就稱這種特殊線性對映為線性運算元，但另一方面將線性對映和線性變換視為同義詞；李尚志則將這種特殊線性對映稱為線性變換；而泛函分析的書籍一般將三者都視為同義詞。但為清晰起見，本條目一律以線性對映稱呼，其他的細節都以函式的慣用符號表達。矩陣.若向量空間 "formula_1" 和 "formula_2" 都是有限維的，且它們定義在同個標量域 formula_3 上，則從 "formula_1" 到 "formula_2" 的所有線性對映可以用矩陣表示。反之亦然，下面將詳述如何表示。以矩陣表示線性對映.假設 formula_52 是個線性對映，且formula_53formula_54分別是 "formula_1" 和 "formula_2" 的基底。根據基底 formula_57 的基本定義，對於每個基向量 formula_58 ，存在唯一一組標量 formula_59 使得formula_60直觀上，標量 formula_59 就是對基向量 formula_58 的作用結果 formula_63 ，在基底 formula_57 下的諸分量。現在任取一個 "formula_1" 裡的向量 "formula_66" ，因為基底 formula_67 的基本定義，存在唯一一組標量 formula_68 使得formula_69這樣根據求和符號的性質，可以得到formula_70然後考慮到 formula_71 ，所以根據基底 formula_57 的基本定義，存在唯一一組標量 formula_73 使得formula_74因為這樣的標量 formula_75 是唯一存在的，所以對 formula_76 有formula_77考慮到矩陣乘法的定義，上式可以改寫為formula_78也就是說，只要知道 formula_79 在 formula_57 下的諸分量 formula_81 ，任意向量 "formula_66 "的作用結果 formula_83 ，都可以表示為矩陣 formula_84 與行向量 formula_85 的乘積。更直觀的來說，矩陣 formula_84 就是把 formula_79 的諸分量沿行擺放所構成的。由上面的推導可以知道，不同的基底 formula_67 和 formula_57 下，矩陣 formula_84 也不同，為了強調這點，也會將矩陣 formula_91 記為formula_92來強調這種關聯性。若 formula_93 ，在同個向量空間 "formula_1" 通常沒有取不同基底的必要，那上面的推導可以在 formula_95 的前提下進行。這時上式可以進一步簡寫為formula_96以線性對映表示矩陣.若有由 formula_97 個標量構成的矩陣 formula_98 ，如果取 formula_99 為formula_100其中formula_101因為矩陣乘法只有唯一的結果，上面的定義的確符合函式定義的基本要求。然後考慮 formula_102 和 formula_103 都可以視為定義在同個標量域 formula_3 上的向量空間，而且矩陣乘法是線性的，所以上述定義的函式 formula_7 的確符合線性對映的基本定義。線性對映的矩陣的例子.二維空間formula_111的線性變換的一些特殊情況有：從給定線性對映構造新的線性對映.兩個線性對映的複合對映是線性的：如果formula_4和formula_121是線性的，則formula_122也是線性的。若線性對映可逆，則該線性對映的逆也是線性對映。如果formula_123和formula_124是線性的，則它們的和formula_125也是線性的(這是由formula_126定義的)。如果formula_4是線性的，而"a"是基礎域"K"的一個元素，則定義自 ("af")("x") = "a" ("f"("x"))的對映"af"也是線性的。所以從formula_1到formula_2的線性對映的集合formula_130自身形成在formula_3上的向量空間，有時指示為formula_132。進一步的說，在formula_133的情況中，這個向量空間(指示為formula_134)是在映射覆合下的結合代數，因為兩個線性對映的複合再次是線性對映，所以對映的複合總是結合律的。給定有限維的情況，如果基已經選擇好了，則線性對映的複合對應於矩陣乘法，線性對映的加法對應於矩陣加法，而線性對映與標量的乘法對應於矩陣與標量的乘法。自同態線性對映.自同態的線性對映在泛函分析和量子力學中都有很重要的地位。按前文約定，我們用“線性運算元”來簡稱它。自同態和自同構.自同態是一個數學物件到它本身的保持結構的對映，例如群formula_135的自同態則是群同態formula_136。對於向量空間formula_1，其自同態是線性運算元formula_22；所有這種自同態的集合formula_134與如上定義的加法、複合和標量乘法一起形成一個結合代數，帶有在域formula_3上的單位元(特別是一個環)。這個代數的乘法單位元是恆等對映formula_141。若"formula_1"的自同態也剛好是同構則稱之為自同構。兩個自同構的複合再次是自同構，所以"formula_1"的所有的自同構的集合形成一個群，"formula_1"的自同構群可表為formula_145或formula_146。因為自同構正好是那些在複合運算下擁有逆元的自同態，所以formula_145也就是在環formula_134中的可逆元群。如果"formula_1"之維度formula_109有限formula_134同構於帶有在"formula_3"中元素的所有formula_153矩陣構成的結合代數，且"formula_1"的自同態群同構於帶有在"formula_3"中元素的所有formula_153可逆矩陣構成的一般線性群formula_157。核、像和秩-零化度定理.如果formula_4是線性的，我們定義formula_7的核和像為formula_160formula_161formula_162是"formula_1"的子空間，而formula_164是"formula_2"的子空間。下面的叫做秩-零化度定理的維度公式經常是有用的：formula_166formula_167的數也叫做“formula_7的秩”(rank)並寫為formula_169，有時寫為formula_170；formula_171的數也叫做“formula_7的零化度”(nullity)並寫為formula_173。如果"formula_1"和"formula_2"是有限維的，基已經選擇好並且"formula_7"被表示為矩陣"formula_24"，則"formula_7"的秩和零化度分別等於矩陣"formula_24"的秩和零化度。推廣.多重線性對映是線性對映最重要的推廣，它也是格拉斯曼代數和張量分析的數學基礎。其特例為雙線性對映。