特殊酉群

在數學中，formula_1 階特殊酉群。群運算是矩陣乘法。特殊酉群是由 formula_3 酉矩陣組成的酉群 formula_5 的一個子群，酉群又是一般線性群 formula_6) 的一個子群。群 formula_2 在粒子物理中標準模型中有廣泛的應用，特別是 formula_8 在電弱相互作用與 formula_9 在量子色動力學中。最簡單的情形 formula_10，是平凡群，只有一個元素。群 formula_8 同構於範數為 formula_12 的四元數，從而微分同胚於三維球面。因為單位四元數可表示三維空間中的旋轉，我們有一個滿同態從 formula_8 到旋轉群 formula_14，其核為 formula_15。性質.特殊酉群 SU("n") 是一個 "n"2-1 維實矩陣李群。在拓撲上是緊及單連通的。在代數上，它是一個單李群。SU("n") 的中心同構於迴圈群 Z"n"。當 "n" ≥ 3，它的外自同構群是 Z2，而 SU(2) 的外自同構群是平凡群。SU("n") 代數由 "n"2 個運算元生成，滿足交換關係：formula_16另外，運算元formula_17滿足formula_18這意味著 SU("n") 獨立的生成元個數是 "n"2-1。生成元.一般地，SU("n") 的無窮小生成元 "T"，由一個無跡埃爾米特矩陣表示。即*formula_19以及*formula_20基本表示.在定義或基本表示中，由 formula_3 矩陣表示的生成元是：*formula_22這裡係數 formula_23 是結構常數，它對所有指標都是反對稱的，而係數 formula_24 對所有指標都是對稱的。從而*formula_25*formula_26我們也有*formula_27作為一個正規化約定。伴隨表示.在伴隨表示中，生成元表示由 formula_28 矩陣表示，其元素由結構常數定義：*formula_29SU(2).formula_30 一個一般矩陣元素形如formula_31這裡 formula_32 使得 formula_33。我們考慮如下對映 formula_34，，定義為formula_36考慮到 formula_37 微分同胚於 formula_38 和 formula_35 同胚於 formula_40，我們可看到 formula_41 是一個實線性單射，從而是一個嵌入。現在考慮 formula_41 限制在三維球面上，記作 formula_43，我們可發現這是三維球面到 formula_35 的一個緊子流形的一個嵌入。但顯然有 formula_45，作為一個流形微分同胚於 formula_30，使 formula_30 成為一個緊連通李群。現在考慮李代數 formula_48，一個一般元素形如formula_49這裡 formula_50 以及 formula_51。易驗證這樣形式的矩陣的跡是零併為反埃爾米特的。從而李代數由如下矩陣生成formula_52易見它具有上面提到的一般元素的形式。它們滿足關係 formula_53 和 formula_54。從而交換子括號由formula_55確定。上述生成元與泡利矩陣有關，formula_56, formula_57 及 formula_58。SU(3).SU(3) 的生成元 "T"，在定義表示中為formula_59這裡 formula_60 為蓋爾曼矩陣，是 SU(2) 泡利矩陣在 SU(3) 之類比：注意它們都是無跡埃爾米特矩陣。它們服從關係*formula_61這裡 "f" 是結構常數，如上所定義，它們的值為formula_62formula_63formula_64"d" 的取值：formula_65formula_66formula_67李代數.formula_68 對應的李代數記作 formula_69。它的標準數學表示由無跡反埃爾米特 formula_70 復矩陣組成，以通常交換子為李括號。粒子物理學家通常增加一個因子 formula_71，從而所有矩陣成為埃爾米特的。這只不過是同一個實李代數一個不同的更方便的表示。注意 formula_69 是 formula_73 上一個李代數。例如，下列量子力學中使用的矩陣組成 formula_74 在 formula_73 上的一組基：formula_76formula_77formula_78這個表示經常用於量子力學表示基本粒子比如電子的自旋。它們也作為我們三維空間量子相對論描述中的單位向量。注意任意兩個不同生成元的乘積是另一個生成元，以及生成元反交換。與單位矩陣一起formula_81它們也是 formula_74 的生成元。當然這裡它取決於我們最終處理的問題，比如在非相對論量子力學中為 2-旋量；或在相對論狄拉克理論中，我們需要到 4-旋量的一個擴張；或在數學中甚至是克利福德代數。注：在矩陣乘法下，生成克利福德代數 formula_83，而在交換子括號下生成李代數 formula_74。回到一般的 formula_68：如果我們選擇一個特定的基，則純虛數無跡對角 formula_70 矩陣子空間組成一個 formula_87 維嘉當子代數。將這個李代數復化，從而現在允許任何無跡 formula_70 矩陣。權本徵向量是嘉當子代數自己，只有一個非零元素的矩陣不是對角的。儘管嘉當子代數 formula_89 只是 formula_87 維，但為了化簡計算，經常引入一個輔助元素，與所有元素交換的單位矩陣。故 formula_68 的秩是 formula_87，它的鄧肯圖由 formula_98 給出，有 formula_87 個頂點的鏈。它的根系由 formula_100 個根組成，生成一個 formula_87 歐幾里得空間。這裡，我們使用 formula_1 冗餘座標而不是 formula_87 座標來強調根系的對稱。換句話說，我們是將這個 formula_87 維向量空間嵌入 formula_1-維中。則根由所有 formula_100 置換 formula_108。兩段以前的構造解釋了為什麼。單根的一個選取為formula_108,formula_110,formula_111.它的嘉當矩陣是formula_112.它的外爾群或考克斯特群是對稱群 formula_113，formula_114-單形的對稱群。廣義特殊酉群.對一個域 "F"，"F" 上廣義特殊酉群 SU("p","q";"F")，"F" 上一個秩為 "n"="p"+"q" 的向量空間上使得一個符號為 ("p","q") 的非退化埃爾米特形式不變的所有行列式為 1 線性變換組成的群。這個麼正群經常稱為 "F" 上符號為 ("p","q") 的特殊酉群。域 "F" 可以換為一個交換環，在這種情形向量空間換為自由模。特別地，固定 GL("n",R) 中一個符號為 ("p","q") 的埃爾米特矩陣，則所有formula_115滿足formula_116formula_117經常可以見到記號 formula_118 略去環或域，在這種形式環或域是指 C，這給出一個典型李群。當 "F"=C 時，"A" 的標準選取是formula_119對某些維數 "A" 可能有更好的選擇，當限制為 C 的一個子環時有更好表現。例子.這類群的一個重要例子是皮卡模群 SU(2,1;Z["i"])，作用在二維實雙曲空間上。2003年，Gábor Francsics 與彼得·拉克斯算出了這個群在 formula_120 上作用的基本-{域}-，。另一個例子是 SU(1,1;C)，同構於 SL(2,R)。重要子群.在物理學中，特殊酉群用於表示波色對稱。在對稱性破缺理論中尋找特殊酉群的子群很重要。在大一統理論中 SU(n) 重要的子群是，對 "p"&gt;1，"n"-"p"&gt;1：formula_121為了完整性，還有正交與辛子群：formula_122formula_123因為 SU("n") 的秩是 "n"-1，U(1) 是 1，一個有用的檢驗是看子群的秩是小於還是等於原來群的秩。SU("n") 是多個其它李群的子群：formula_124formula_125formula_126formula_127formula_128formula_129。有同構 SU(4)=Spin(6)，SU(2)=Spin(3)=USp(2) 以及 U(1)=Spin(2)=SO(2)。最後值得指出的是 SU(2) 是 SO(3) 的二重覆疊群，這個關係在非相對論量子力學 2-旋量的旋轉中起著重要的作用。