自然對數

自然對數為以數學常數e為底數的對數函式，標記作formula_1或formula_2，其反函式為指數函式formula_3。自然對數積分定義為對任何正實數formula_4，由 formula_5 到 formula_4 所圍成， formula_7 曲線下的面積 。如果formula_4小於1，則計算面積為負數。formula_9formula_10 則定義為唯一的實數 formula_4 使得 formula_12。歷史.十七世紀.約翰·納皮爾在1614年以及約斯特·比爾吉在6年後，分別發表了獨立編制的對數表，當時透過對接近1的底數的大量乘冪運算，來找到指定範圍和精度的對數和所對應的真數，當時還沒出現有理數冪的概念。按後世的觀點，約斯特·比爾吉的底數1.000110000相當接近自然對數的底數formula_10，而約翰·納皮爾的底數0.999999910000000相當接近formula_16。實際上不需要做開高次方這種艱難運算，約翰·納皮爾用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算，建議納皮爾改用10為底數未果，他用自己的方法於1624年部份完成了常用對數表的編制。形如formula_17的曲線都有一個代數反導數，除了特殊情況formula_18對應於雙曲線的，即雙曲線扇形；其他情況都由1635年發表的給出，其中拋物線的弓形面積由公元前3世紀的阿基米德完成，雙曲線的弓形面積需要發明一個新函式。1647年將對數聯絡於雙曲線formula_7的弓形面積，他發現x軸上formula_20兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形同formula_21對應的扇形，在formula_22時面積相同，這指出了雙曲線從formula_23到formula_24的積分formula_25滿足：formula_261649年，將雙曲線下的面積解釋為對數。大約1665年，伊薩克·牛頓推廣了二項式定理，他將formula_27展開並逐項積分，得到了自然對數的無窮級數。“自然對數”最早描述見於尼古拉斯·麥卡託在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中，他也獨立發現了同樣的級數，即自然對數的麥卡託級數。十八世紀.大約1730年，尤拉定義互為逆函式的指數函式和自然對數為：formula_28formula_291742年威廉·瓊斯發表了現在的冪指數概念。形式定義.尤拉定義自然對數為序列的極限：formula_30formula_31正式定義為積分，formula_32這個函式為對數是因滿足對數的基本性質:formula_33這可以透過將定義了formula_34的積分拆分為兩部份，並在第二部份中進行換元formula_35來證實:formula_36formula_37冪公式formula_38可如下推出:formula_39第二個等式使用了換元formula_40。自然對數還有在某些情況下更有用的另一個積分表示：formula_41(數對數)導數.自然對數的導數為formula_49證明一 :formula_50證明二: 按此影片 formula_51formula_52formula_53formula_54設 formula_55formula_56formula_57formula_58formula_59設 formula_60formula_61formula_62formula_63formula_64用自然對數定義的更一般的對數函式，formula_65，根據其逆函式即一般指數函式的性質，它的導數為：formula_66根據鏈式法則，以formula_67為引數的自然對數的導數為formula_68右手端的商叫做formula_69的，透過formula_70的導數的方法計算formula_71叫做對數微分。冪級數.自然對數的導數性質導致了formula_72在0處的泰勒級數，也叫做麥卡託級數：formula_73對於所有formula_74 但不包括formula_75把formula_76代入formula_4中，可得到formula_78自身的級數。透過在麥卡託級數上使用尤拉變換，可以得到對絕對值大於1的任何formula_4有效的如下級數:formula_80這個級數類似於貝利-波爾溫-普勞夫公式。還要注意到formula_81是自身的逆函式，所以要生成特定數formula_82的自然對數，簡單把formula_81代入"formula_4"中。formula_85對於formula_86自然數的倒數的總和formula_87叫做調和級數。它與自然對數有密切聯絡：當formula_88趨於無窮的時候，差formula_89收斂於尤拉-馬歇羅尼常數。這個關係有助於分析演算法比如快速排序的效能。積分.自然對數透過分部積分法積分:formula_90假設:formula_91formula_92所以:formula_93自然對數可以簡化形如formula_94的函式的積分：formula_95的一個原函式給出為formula_96。這是基於鏈式法則和如下事實:formula_97換句話說，formula_98且formula_99例子.下面是formula_100的例子：formula_101設formula_102且formula_103：formula_104與雙曲函式的關係.在18世紀，約翰·海因裡希·蘭伯特介入雙曲函式，並計算雙曲幾何中雙曲三角形的面積。對數函式是在直角雙曲線formula_7下定義的，可構造雙曲線直角三角形，底邊線上formula_106上，一個頂點是原點，另一個頂點在雙曲線。這裡以自然對數即雙曲角作為引數的函式，是自然對數的逆函式指數函式，即要形成指定雙曲角formula_107，在漸近線即x或y軸上需要有的formula_4或formula_82的值。顯見這裡的底邊是formula_110，垂線是formula_111。透過旋轉和縮小線性變換，得到單位雙曲線下的情況，有：單位雙曲線中雙曲線扇形的面積是對應直角雙曲線formula_7下雙曲角的formula_115。連分數.儘管自然對數沒有簡單的連分數，但有一些廣義連分數如:formula_116formula_117這些連分數特別是最後一個對接近1的值快速收斂。但是，更大的數的自然對數，可以輕易的用這些更小的數的自然對數的加法來計算，帶有類似的快速收斂。例如，因為formula_118，2的自然對數可以計算為:formula_119進而，因為formula_120，10的自然對數可以計算為:formula_121複數對數.指數函式可以擴充套件為對任何複數formula_4得出複數值為formula_3的函式，只需要簡單使用"formula_4"為複數的無窮級數；這個指數函式的逆函式形成複數對數，並帶有正常的對數的多數性質。但是它涉及到了兩個困難: 不存在"formula_4"使得formula_126；並且有著formula_127。因為乘法性質仍適用於複數指數函式，formula_128，對於所有複數formula_129和整數formula_88。所以對數不能定義在整個複平面上，並且它是多值函式，就是說任何複數對數都可以增加formula_131的任何整數倍而成為等價的對數。複數對數只能在切割平面上是單值函式。例如，formula_132或formula_133或formula_134等等；儘管formula_135，formula_136不能定義為formula_131或formula_138或formula_139，以此類推。主值定義.對於每個非0複數formula_140，主值formula_141是虛部位於區間formula_142內的對數。表示式formula_143不做定義，因為沒有複數formula_144滿足formula_145。要對formula_141給出一個公式，可以先將formula_129表達為極坐標形式，formula_148。給定formula_129，極坐標形式不是確切唯一的，因為有可能向formula_150增加formula_151的整數倍，所以為了保證唯一性而要求"formula_150"位於區間formula_142內；這個"formula_150"叫做幅角的主值，有時寫為formula_155或formula_156。則對數的主值可以定義為 ：formula_157例如，formula_158。科學應用.自然指數有應用於表達放射衰變之類關於衰減的過程，如放射性原子數目的微分方程formula_159隨時間變化率formula_160，常數formula_161為原子衰變機率，積分得formula_162。