角動量算符

在量子力學裡，角動量算符是一種算符，類比於經典的角動量。在原子物理學涉及旋轉對稱性的理論裡，角動量算符佔有中心的角色。角動量，動量，與能量是物體運動的三個基本特性。簡介.角動量促使在旋轉方面的運動得以數量化。在孤立系統裡，如同能量和動量，角動量是守恆的。在量子力學裡，角動量算符的概念是必要的，因為角動量的計算實現於描述量子系統的波函式，而不是經典地實現於一點或一剛體。在量子尺寸世界，分析的物件都是以波函式或量子幅來描述其機率性行為，而不是命定性(--)行為。數學定義.在經典力學裡，角動量 formula_1 定義為位置 formula_2 與動量 formula_3 的叉積：formula_4 。在量子力學裡，對應的角動量算符 formula_5 定義為位置算符 formula_6 與動量算符 formula_7 的叉積：formula_8 。由於動量算符的形式為formula_9 。角動量算符的形式為formula_10 。其中，formula_11 是梯度算符。角動量是厄米算符.在量子力學裡，每一個可觀察量所對應的算符都是厄米算符。角動量是一個可觀察量，所以，角動量算符應該也是厄米算符。讓我們現在證明這一點，思考角動量算符的 x-分量 formula_12 ：formula_13 。其伴隨算符 formula_14 為formula_15 。由於 formula_16 、formula_17 、formula_18 、formula_19 ，都是厄米算符，formula_20 。由於 formula_19 與 formula_16 之間、formula_18 與 formula_17 之間分別相互對易，所以，formula_25 。因此，formula_12 是一個厄米算符。類似地，formula_27 與 formula_28 都是厄米算符。總結，角動量算符是厄米算符。再思考 formula_29 算符，formula_30 。其伴隨算符 formula_31 為formula_32 。由於 formula_33 算符、formula_34 算符、formula_35 算符，都是厄米算符，formula_36 。所以，formula_29 算符是厄米算符。對易關係.兩個算符 formula_38 與 formula_39 的交換算符 formula_40 ，表示出它們之間的對易關係。角動量算符與自己的對易關係.思考 formula_12 與 formula_27 的交換算符，formula_43 。由於兩者的對易關係不等於 0 ， formula_44 與 formula_45 彼此是不相容可觀察量。formula_12 與 formula_27 絕對不會有共同的基底量子態。一般而言，formula_12 的本徵態與 formula_27 的本徵態不同。給予一個量子系統，量子態為 formula_50 。對於可觀察量算符 formula_12 ，所有本徵值為 formula_52 的本徵態 formula_53 ，形成了一組基底量子態。量子態 formula_50 可以表達為這基底量子態的線性組合：formula_55 。對於可觀察量算符 formula_27 ，所有本徵值為 formula_57 的本徵態 formula_58 ，形成了另外一組基底量子態。量子態 formula_50 可以表達為這基底量子態的線性組合：formula_60 。根據哥本哈根詮釋，量子測量可以用量子態塌縮機制來詮釋。假若，我們測量可觀察量 formula_44 ，得到的測量值為其本徵值 formula_52 ，則量子態機率地塌縮為本徵態 formula_63 。假若，我們立刻再測量可觀察量 formula_44 ，得到的答案必定是 formula_52 ，量子態仍舊處於 formula_63 。可是，假若，我們改為測量可觀察量 formula_45 ，則量子態不會停留於本徵態 formula_63 ，而會塌縮為 formula_27 的本徵態。假若，得到的測量值為其本徵值 formula_70 ，則量子態機率地塌縮為本徵態 formula_71 。根據不確定性原理，formula_72 。formula_44 的不確定性與 formula_45 的不確定性的乘積 formula_75 ，必定大於或等於 formula_76 。formula_44 與 formula_78 之間，formula_45 與 formula_78 之間，也有類似的特性。角動量平方算符與角動量算符之間的對易關係.思考 formula_29 與 formula_28 的交換算符，formula_83。formula_84 與 formula_28 是對易的，formula_86 與 formula_78 彼此是相容可觀察量，兩個算符有共同的本徵態。根據不確定性原理，我們可以同時地測量到 formula_86 與 formula_78 的本徵值。類似地，formula_90 、formula_91 。formula_29 與 formula_12 之間、formula_29 與 formula_27 之間，都分別擁有類似的物理特性。哈密頓算符與角動量算符之間的對易關係.思考哈密頓算符 formula_96 與 formula_28 的交換算符，formula_98 ，formula_96 與 formula_28 是對易的，formula_101 與 formula_78 彼此是相容可觀察量，兩個算符擁有共同的本徵態。根據不確定性原理，我們可以同時地測量到 formula_101 與 formula_78 的同樣的本徵值。類似地，formula_105 ，formula_106 。formula_96 與 formula_12 之間，formula_96 與 formula_27 之間，都分別擁有類似的物理特性。在經典力學裡的對易關係.在經典力學裡，角動量算符也遵守類似的對易關係：formula_111 ；其中，formula_112 是帕松括號，formula_113 是列維-奇維塔符號，formula_114 、formula_115 、formula_116 ，代表直角坐標 formula_117 。本徵值與本徵函式.採用球坐標。展開角動量算符的方程式：formula_118 ；其中，formula_119 、formula_120 、formula_121 ，分別為徑向單位向量、天頂角單位向量、與方位角單位向量。轉換回直角坐標，formula_122 。其中，formula_123 、formula_124 、formula_125 ，分別為 x-單位向量、y-單位向量、與 z-單位向量。所以，formula_12 、formula_27 、formula_28 分別是formula_129 、formula_130 、formula_131 。角動量平方算符是formula_30 ；其中，formula_133formula_134、formula_135formula_136 、formula_137 。經過一番繁雜的運算，終於得到想要的方程式:169formula_138 。滿足算符 formula_29 的本徵函式是球諧函式 formula_140 ：formula_141 ；其中，本徵值 formula_142 是正整數。球諧函式也是滿足算符 formula_28 微分方程式的本徵函式：formula_144 ；其中，本徵值 formula_145 是整數，formula_146 。因為這兩個算符的正則對易關係是 0 ，它們可以有共同的本徵函式。球諧函式 formula_140 表達為formula_148 ；其中，formula_114 是虛數單位，formula_150 是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為formula_151 ；而 formula_152 是 formula_153 階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為：formula_154 。球諧函式滿足正交歸一性：formula_155 。這樣，角動量算符的本徵函式，形成一組單範正交基。任意波函式 formula_156 都可以表達為這單範正交基的線性組合：formula_157 ；其中，formula_158 。