對數

\\\scriptstyle\text{ }\\\scriptstyle\frac{\scriptstyle\text{分 子 }}{\scriptstyle\text{分 母 }}\end{matrix}\right\}\,=\,;zh-hant:formula_1;}-在數學中，對數是冪運算的逆運算。定義.當formula_18時，則有formula_19其中formula_20是對數的底的對數，formula_22也稱為真數。底數formula_20的值在實數範圍內常取formula_26、 10、2等，但一定不能是1或0當"formula_22"和"formula_20"進一步限制為正實數的時候，對數是唯一的實數。例如，因為formula_29，我們可以得出formula_30，用日常語言說，即「81以3為底的對數是4」。 這個意思就是說，3的4次方是81。歷史.對數.15世紀時，法國數學家和德國數學家在開展研究工作時產生了發展對數的思想，他們，尤其是後者，對等差數列和等比數列的關係作了一些研究。但他們並沒有使其得到更進一步的發展。一般認為對數於16世紀末至17世紀初期間由蘇格蘭數學家約翰·納皮爾男爵和瑞士工程師約斯特·比爾吉發明。比爾吉曾擔任過著名天文學家開普勒的助手，因此會經常接觸到複雜的天文計算，他也因此產生了化簡數值計算的想法。納皮爾是一位蘇格蘭貴族，對數值的計算有很深的研究。為了找到簡化球面三角計算的方法，他也產生了發展對數的想法。1614年，他在自己的書籍《奇妙的對數表的描述》上釋出了自己的對數表，相較比爾吉早了6年。納皮爾發明的納皮爾算籌用加減法代替了乘除法，成功簡化了乘除法的運算，他的對數被後人稱為納皮爾對數，記法為Nap·logx。1624年，英國數學家書籍《對數算術》成功出版，書中寫有14位常用對數表。布里格斯率先採用了以10為底的常用對數，而現在它已通用。他還製作了正弦和正切的對數表。荷蘭數學家兼出版商在布里格斯的基礎上加以改進，他出版的數個對數表在歐洲迅速普及起來。17世紀中葉，對數自此傳入中國。此書稱真數為“原數”，對數為“比例數”。而《數理精蘊》中則稱作對數比例：“對數比例乃西士若往·納白爾所作，以借數與真數對列成表，故名對數表。”中國因此普遍稱之為“對數”。對數對科學的進步有所貢獻，特別是對天文學，使某些繁難的乘法計算轉換為加法計算。在計算器和計算機發明之前，對數長期用於測量、航海、和其他應用數學分支中。符號.對數符號formula_31出自拉丁文logarithmus，最早由1632年義大利數學家卡瓦列裡所使用。納皮爾在表示對數時套用logarithm整個詞，並未作簡化。1624年，開普勒才把對數符號簡化為formula_31，奧特雷德在1647年也用簡化了的Log。1893年，皮亞諾用formula_33及formula_34分別表示以formula_26為底的對數和以10為底的對數。1902年，等人以formula_36表示以formula_37為底的formula_38的對數。20世紀初，形成了對數的現代標準表示formula_39，為了使用方便，自然對數formula_40的記法得到了普遍認可。對數函式.函式formula_41依賴於formula_42和formula_22二者，但是術語對數函式在標準用法中用來稱呼形如formula_41的函式，在其中底數formula_42是固定的而只有一個引數"formula_42"。對數函式影象和指數函式影象關於直線formula_47對稱，互為逆函式。對數函式的性質有：有理和無理指數.如果formula_62是自然數，formula_63表示等於formula_20的formula_62個因子的乘積：formula_66。但是，如果formula_20是不等於1的正實數，這個定義可以擴充套件到在一個域中的任何實數formula_62。類似的，對數函式可以定義於任何正實數。對於不等於1的每個正底數formula_20，有一個對數函式和一個指數函式，它們互為反函式。對數可以簡化乘法運算為加法，除法為減法，冪運算為乘法，根運算為除法。所以，在發明電子計算機之前，對數對進行冗長的數值運算是很有用的，它們廣泛的用於天文、工程、航海和測繪等領域中。它們有重要的數學性質而在今天仍在廣泛使用中。特殊底數.最常用做底數的是"e"、10和2。在數學分析中，以formula_26為底對數很常見。另一方面，以10為底對數在十進位制表示法中，手工計算很容易：formula_71所以formula_72表示正整數formula_22的位數：數字的十進位制位數是嚴格大於formula_72的最小的整數。例如formula_75，下一個整數是4，即1430的位數。以2為底的對數常用於計算機科學，因為計算機中二進位制很普及。當然上面的演算法也可推廣到二進位制：嚴格大於formula_76的最小整數是formula_22在二進位制下的位數。事實上經由簡單推導即可得知，floor(logpx)+1 得到formula_22在formula_79進位制下的位數：若formula_22在formula_79進位制下有formula_62位，則p^{n-1}\leq x ；而formula_79是不小於 2 的正整數導致以其為底的formula_84是增函式，故三邊取對數得formula_85，取下整正好得到formula_86。下表列出了這些底數的常用的對數符號以及他們所使用的領域。許多學科都寫formula_87來代替formula_88，而formula_38的值根據前後文可以確定。記號formula_90也出現過。“ISO表示法”一列指定了ISO推薦的表示方法。底數變換.儘管有很多有用的恆等式，對計算器最重要的是找到不是建造於計算器內的底數(通常是formula_91和formula_92)的其他底數的對數。要使用其他底數formula_20找到底數formula_42的對數:formula_95。此外，這個結果蘊涵了所有對數函式都是相互類似的。所以用計算器計算對134217728底數2的對數:formula_96。對數的用途.對數對解冪是未知的方程是有用的。它們有簡單的導數，所以它們經常用在解積分中。對數是三個相關的函式中的一個。在等式formula_97中，formula_38可以從formula_22的formula_62次方根，"formula_62"從formula_22的"formula_38"底數的對數，"formula_22"從"formula_38"的"formula_62"次的冪來確定。數恆等式得到掌控對數函式的一些規則。簡便計算.對數把注意力從平常的數轉移到了冪。只要使用相同的底數，就會使特定運算更容易：這些關係使在兩個數上的這種運算更快，#重定向群論.從純數學的觀點來看，恆等式：formula_107，在兩種意義上是基本的。首先，其他3個算術性質可以從它得出。進一步的，它表達了在正實數的乘法群和所有實數的加法群之間的同構。對數函式是從正實數的乘法群到實數的加法群的唯一連續同構。複對數.複對數計算公式：formula_108formula_109formula_110formula_111微積分.自然對數函式的導數是formula_112。透過應用換底規則，其他底數的導數是formula_113。自然對數formula_114的不定積分是formula_115而其他底數對數的不定積分是formula_116。計算自然對數的級數.有一些級數用來計算自然對數。最簡單和低效的是:formula_117當formula_118。下做推導：由formula_119。在兩邊積分得到formula_120formula_121。設formula_122並因此formula_123，得到formula_124更有效率的級數是基於反雙曲函式的formula_125對帶有正實部的formula_126。推導：代換formula_127為formula_22，得到formula_129。做減法，得到formula_130。設formula_131並因此formula_132，得到formula_133。例如，應用這個級數於formula_134得到formula_135並因此formula_136formula_137formula_138在這裡我們在第一行的總和中提出了因數formula_139。對於任何其他底數formula_20，我們使用formula_141。計算機.多數計算機語言把formula_142用做自然對數，而常用對數典型的指示為log10(x)。引數和返回值典型的是浮點資料型別。因為引數是浮點數，可以有用的做如下考慮：浮點數值formula_22被表示為尾數formula_144和指數formula_62所形成的formula_146。因此formula_147。所以，替代計算formula_148，我們計算對某個formula_144的formula_150使得formula_151。有在這個範圍內的"formula_144"意味著值formula_153總是在範圍formula_154內。某些機器使用在範圍formula_155內的尾數，並且在這個情況下formula_156的值將在範圍formula_157內。在任何一種情況下，這個級數都是更容易計算的。一般化.普通的正實數的對數一般化為負數和複數引數，儘管它是多值函式，需要終止在分支點0上的分支切割，來製作一個普通函式或主分支。複數formula_126的的對數是複數formula_160，這裡的formula_161是"formula_126"的模，formula_163是輻角，而formula_164是虛單位；詳情對數。離散對數是在有限群理論中的相關概念。它涉及到解方程formula_97，這裡的formula_38和formula_22是這個群的元素，而formula_62是指定在群運算上的冪。對於某些有限群，據信離散對數是非常難計算的，而離散指數非常容易。這種不對稱性可用於公開金鑰加密。矩陣對數是矩陣指數的反函式。對於不等於1的每個正數formula_38，函式formula_170是從在乘法下的正實數的群到在加法下實數的群的同構。它們是唯一的連續的這種同構。對數函式可以擴充套件為在乘法下正實數的拓撲空間的哈爾測度。對數表.在發明計算器之前，使用對數意味著查對數表，它必須手工建立。