機率分佈

機率分佈簡稱分佈，亦稱機率分配或分配，是機率論中的一個概念。使用時可以有以下兩種含義：稱"X"和"Y"為同分布的隨機變數，當且僅當對任意事件formula_3，有formula_4成立。但是，不能認為同分布的隨機變數是相同的隨機變數。事實上即使"X"與"Y"同分布，也可以沒有任何點ω使得"X(ω)=Y(ω)"。在這個意義下，可以把隨機變數分類，每一類稱作一個分佈，其中的所有隨機變數都同分布。用更簡要的語言來說，同分布是一種等價關係，每一個等價類就是一個分佈。需注意的是，通常談到的離散分佈、均勻分佈、伯努利分佈、正態分佈、泊松分佈等，都是指各種型別的分佈，而不能視作一個分佈。formula_7，對任意實數formula_8定義。具有相同分佈函式的隨機變數一定是同分布的，因此可以用分佈函式來描述一個分佈，但更常用的描述手段是機率密度函式。分佈函式的性質刻劃.對於特定的隨機變數 formula_9，其分佈函式formula_10是單調不減及右連續，而且formula_11，formula_12。這些性質反過來也描述了所有可能成為分佈函式的函式：隨機變數的分佈.設 formula_16 為機率測度，formula_17 為隨機變數，則函式formula_18稱為 formula_17 的機率分佈函式。如果將 formula_17 看成是數軸上的隨機點的座標，那麼，分佈函式 formula_21 在 formula_22 處的函式值就表示 formula_17 落在區間 formula_24 上的機率。例如，設隨機變數 formula_17 為擲兩次骰子所得的點數差，而整個樣本空間由 36 個元素組成。其分佈函式是：formula_26離散機率分佈族.上面所列舉的例子屬於離散分佈，即分佈函式的值域是離散的，比如只取整數值的隨機變數就是屬於離散分佈的。formula_27表示隨機變數formula_28的機率值。如果"X"的取值只有formula_29，則：其他常見的離散機率分佈族有：二項式分佈.二項分佈是最重要的離散機率分佈之一，由瑞士數學家雅各布·伯努利所發展，一般用二項分佈來計算機率的前提是，每次抽出樣品後再放回去，並且只能有兩種試驗結果，比如黑球或紅球，正品或次品等。二項分佈指出，隨機一次試驗出現的機率如果為formula_32，那麼在formula_33次試驗中出現formula_34次的機率為：formula_35例如，在擲3次骰子中，不出現6點的機率是：formula_36在連續兩次的輪盤遊戲中，至少出現一次紅色的機率為：formula_37二項分佈在formula_38時表現出影象的對稱性，而在formula_32取其它值時是非對稱的。另外二項分佈的期望值formula_40，以及方差formula_41超幾何分佈.作為離散機率分佈的超幾何分佈尤其指在抽樣試驗時抽出的樣品不再放回去的分佈情況。在一個容器中一共有formula_42個球，其中formula_43個黑球，formula_44個紅球，透過下面的超幾何分佈公式可以計算出，從容器中抽出的formula_33個球中有formula_34個黑球的機率是多少：formula_47例如，容器中一共10個球，其中6個黑色，4個白色，一共抽5次，在這5個球中有3個黑球的機率是：formula_48超幾何分佈與二項式分佈的關係.與二項式分佈不同的是，在超幾何分佈中，特別強調的是抽出的樣品在下一次抽取前不再放回去，但是如果抽取的次數formula_33和總共樣品數formula_42相比很小，這時在計算上二項分佈和超幾何分佈相互間則沒有主要的區別，此時人們更願意採用二項分佈的方法，因為在數學計算上二項分佈要簡單一些。Poisson分佈.Poisson近似是二項分佈的一種極限形式。其強調如下的試驗前提：一次抽樣的機率值formula_32相對很小，而抽取次數formula_33值又相對很大。因此泊松分佈又被稱之為罕有事件分佈。泊松分佈指出，如果隨機一次試驗出現的機率為formula_32，那麼在formula_33次試驗中出現formula_34次的機率按照泊松分佈應該為：formula_57其中，數學常數formula_58(自然對數的底數)例如，某工廠在生產零件時，每200個成品中會有1個次品，那麼在100個零件中最多出現2個次品的機率按照泊松分佈應該是：formula_59在實踐中如果遇到formula_33值很大導致二項分佈難於計算時，可以考慮使用泊松分佈，但前提是formula_61必須趨於一個有限極限#重定向連續機率分佈族.設formula_17是具有分佈函式formula_65的連續隨機變數，且"F"的一階導數處處存在，則其導函式formula_66稱為formula_17的機率密度函式。每個機率密度函式都有如下性質：第一個性質表明，機率密度函式與formula_22軸形成的區域的面積等於1，第二個性質表明，連續隨機變數在區間formula_71的機率值等於密度函式在區間formula_71上的積分，也即是與formula_17軸在formula_71內形成的區域的面積。因為formula_75，且formula_76是formula_21的導數，因此按照積分原理不難推出上面兩個公式。正態分佈、指數分佈、formula_78-分佈，formula_65-分佈以及formula_80-分佈都是連續分佈。常見的連續機率分佈族有：正態分佈.連續隨機變數的機率密度函式如果是如下形式，formula_81那麼這個連續分佈被稱之為正態分佈，或者高斯分佈。其密度函式的曲線呈對稱鐘形，因此又被稱之為鐘形曲線，其中formula_82是平均值，formula_83是標準差。正態分佈是一種理想分佈，許多典型的分佈，比如成年人的身高，汽車輪胎的運轉狀態，人類的智商值，都屬於或者說至少接近正態分佈。同樣按照連續分佈的定義，常態機率密度函式具有和普通機率密度函式類似的性質：如果給出一個正態分佈的平均值formula_82以及標準差formula_83，可以根據上面的第二個公式計算出任一區間的機率分佈情況。但是如上的計算量是相當龐大的，沒有計算機的輔助基本是不可能的，解決這一問題的方法是藉助formula_88-變換以及標準正態分佈表格。中間值formula_90以及標準差formula_91的正態分佈被稱之為標準正態分佈，其累積分佈函式是formula_92將普通形式的正態分佈變換到標準正態分佈的方法是formula_93例如，已知formula_17服從正態分佈，且formula_95，formula_96，求區間機率值formula_97。計算過程如下：設另一隨機變數formula_98，則formula_99服從標準常態分佈，且formula_100所以formula_101其中formula_102值透過查formula_88-表格獲得。正態分佈與二項分佈的關係.在離散分佈中如果試驗次數formula_33值非常大，而且單次試驗的機率formula_32值又不是很小的情況下，正態分佈可以用來近似的代替二項分佈。一個粗略的使用正態分佈的近似規則是：formula_106。從二項分佈中獲得formula_82和formula_83值的方法是如果formula_111，則必須採用下面的近似修正方法：formula_112上修正值0.5的目的是在formula_83值很大時獲得更精確的近似值，只有formula_83很小時，修正值0.5可以不被考慮。例如，隨機試驗為連續64次擲硬幣，獲得的國徽數位於32和42之間的機率是多少？用正態分佈計算如下，formula_115formula_116formula_117，符合近似規則，應用formula_88-變換：formula_119formula_120在運用formula_88-表格時注意到利用密度函式的對稱性來求出formula_88為負值時的區域面積。