基數 (數學)

在日常交流中，基數或量數，是對應量詞的數，例如「一顆蘋果」中的「一」。與序數相對，序數是對應排列的數，例如「第一名」中的「一」及「二年級」中的「二」。在數學集合論中，基數或勢，即集合中包含的元素的「個數」。有限集合的基數，其意義與日常用語中的「基數」相同，例如formula_1的基數是3。無限集合的基數，其意義在於比較兩個集的大小，例如整數集和有理數集的基數相同；整數集的基數比實數集的小。歷史.康托爾在1874年－1884年引入最原始的集合論時，首次引入基數概念。他最先考慮的是集合formula_2和formula_3，它們並非"相同"，但有"相同的基數"。驟眼看來，這是顯而易見，但究竟何謂兩個集合有相同數目的元素？康託爾的答案，是透過所謂的一一對應，即把兩個集合的元素一對一的排起來——若能做到，兩個集合的基數自然相同。這答案，容易理解但卻是革命性的，因為用相同的方法即可比較任意集合的大小，包括無窮集合。最先被考慮的無窮集合是自然數集formula_4及其無限子集。他把所有與formula_5能一一對應的集為可數集。令康託爾意外的是，原來formula_5的所有無限子集都能與formula_5一一對應。他把formula_5的基數稱為formula_9，是最小的艾禮富數。康託爾發現，原來有理數集合與代數數集合也是可數的。於是乎在1874年初，他嘗試證明是否所有無限集合均是可數，其後他得出了實數集不可數的結論。原先的證明用到了涉及區間套的複雜論證，而在他1891年的論文中，他以簡單而巧妙的對角論證法重新證明瞭這一結果。實數集的基數，記作c，代表連續統。接著康託爾構作一個比一個大的集合，得出一個比一個大的基數，而這些巨大集合的元素已不可如實數般書寫出來。因此關於基數的一般理論，需要一個新的語言描述，這就是康託爾發明集合論的主因。康託爾隨後提出連續統假設：c就是第二個超窮基數formula_10，即継formula_9之後最小的基數。現已知這假設是不能證明的，即接受或否定它會得出兩套不同但邏輯上可行的公理化集合論。動機.在非正式使用中，基數就是通常被稱為計數的東西。它們同一於開始於formula_12的自然數。計數可以形式化地定義為有限基數，而無限基數-{只}-出現在高等數學和邏輯中。更正式地，一個非零的數可以用於兩個目的：描述一個集合的大小，或描述一個元素在序列中位置。對於有限集合和序列，可以輕易的看出著兩個概念是相符的，因為對於所有描述在序列中的一個位置的數，我們可以構造一個有正好大小的集合，比如3描述了formula_14在序列formula_15中的位置，並且我們可以構造有三個元素的集合formula_16。但是在處理無限集合的時候，在這兩個概念之間的區別是本質的—這兩個概念對於無限集合實際上是不同的。考慮位置的方面會引申出序數的概念，而大小則被這裡描述的基數所廣義化。在基數的形式定義背後的直觀想法是，可以構造一個記號來指明集合的相對大小，而不需理會它有哪些種類的成員。對於有限集合這是容易的：只需簡單的數算一個集合的成員數目。為了比較更大集合的大小，得藉助更加巧妙的概念。一個集合formula_17至少等大小於。一一對映對集合formula_18的每個元素確定了一個唯一的集合formula_17的元素。透過例子就最易理解了；假設有集合formula_23和formula_24，我們可以注意到有一個對映：formula_25formula_26formula_27這是一對一的，使用上述的大小概念，我們因此總結出formula_17有大於等於formula_18的勢。注意元素formula_30沒有元素對映到它，但這是允許的，因為我們只要求一一對映，而不必須是一對一-{}-並且完全的對映。這個概念的好處是它可以擴充套件到無限集合。我們可以把這個概念擴充套件到一個類似於等式的關係。兩個集合formula_18和formula_17被稱為有相同的"勢"，如果存在formula_18和formula_17之間的雙射。透過Schroeder-Bernstein定理，這等價於有從formula_18到formula_17和從formula_17到formula_18的兩個一一對映。我們接著記之為 formula_39。formula_18的基數自身經常被定義為有著 formula_41 的最小序數formula_42。這叫做馮·諾伊曼基數指派；為使這個定義有意義，必須證明所有集合都有同某個序數一樣的勢；這個陳述就是良序原理。然而即使不給集合的勢指派一個名字，討論集合之間相對的勢還是可以的。一個經典例子是無限旅館悖論，也叫做希爾伯特旅館悖論。假設你是有無限個房間的旅館主人。旅館客滿，而又來了一個新客人。可以讓在房間1的客人轉移到房間2，房間2的客人轉移到房間3，以此類推，騰空房間1的方式安置這個新客人。我們可以明確的寫出這個對映的一個片段：formula_43formula_44formula_45formula_46在這種方式下我們可以看出集合formula_47和集合formula_48有相同的勢，因為已知這兩個集合之間存在雙射。這便給"無限集合"提供了一個合適的定義，即是與自身某個真子集有著相同的勢的任何集合；在上面的例子中formula_48是formula_47的真子集。當我們考慮這些大物件的時候，我們還想看看計數次序的概念是否符合上述為無限集合定義的基數。事實上是不一致的；透過考慮上面的例子，我們可以看到如果有“比無限大一”的某個物件存在，它必須跟起初的無限集合有一樣的勢。這時候可以使用另一種稱為序數的形式概念，它是建基於計數並依次考慮每個數的想法上。而我們會發現，勢和序的概念對於無限的情況是有分歧的。可以證明實數的勢大於剛才描述的自然數的勢，透過對角論證法可以一目瞭然。跟勢相關的經典問題主要關注在某一對無限基數之間是否有別的基數。現時數學家已經在描述更大更大基數的性質。因為基數是數學中如此常用的概念，有各種各樣的名字指涉它。勢相同有時也叫做等勢、均勢或等多。定義.首先，給出集合formula_18和formula_17，我們稱formula_18的勢小於等於formula_17，記作 formula_55，當且僅當存在由formula_18到formula_17的單射；稱formula_18的勢與formula_17相等，記作 formula_39， 當且僅當存在由formula_18到formula_17的雙射。康托爾-伯恩斯坦-施羅德定理指出如果 formula_55 及 formula_64 則 formula_39。假設選擇公理，所有集合都可良序，且對於所有集合formula_18與formula_17，有 formula_55 或 formula_64。因此，我們可以定義序數，而集合formula_18的基數則是與formula_18等勢的最小序數formula_72。有限集的基數.自然數的一種定義是formula_75。可以見到，與數formula_76等勢的集必有formula_76個元素。如集合formula_78的基數為formula_79。以下是有限集的三個等價定義：它與某自然數等勢；它只有一個等勢的序數，就是它的基數；它沒有等勢的真子集。無限集的基數.最小的無限集合是自然數集。formula_80與formula_81基數相同，因為可以讓前一集合的formula_82與後一集合的formula_83一一對應。從這個例子可以看出，對於一個無窮集合來說，它可以和它的一個真子集有相同的基數。以下是無限集的四個等價定義：它不與任何自然數等勢；它有超過一個等勢的序數；它有至少一個真子集和它等勢；存在由自然數集到它的單射。基數算術.我們可在基數上定義-{若干}-算術運算，這是對自然數運算的推廣。給出集合formula_18與formula_17，定義 formula_86，則基數和是formula_87。若formula_18與formula_17不相交，則 formula_90。基數積是formula_91其中formula_92是formula_18和formula_17的笛卡兒積。基數指數是formula_95其中formula_96是所有由formula_17到formula_18的函式的集合。在有限集時，這些運算與自然數無異。一般地，它們亦有普通算術運算的性質：無窮集合的加法及乘法非常簡單。若formula_18與formula_17皆非空而其中之一為無限集，則formula_109。基數序列及連續統假設.對每一個基數，存在一個最小比它大的基數。這在自然數當然是對的。自然數集的基數是formula_9，康托爾稱下一個為formula_10，相類似的，還定義瞭如下一個序列：formula_112。設formula_113。連續統假設猜想，就是formula_114。連續統假設是與一般集論公理是獨立的。更一般的假設，即formula_115。廣義連續統假設，就是對所有無窮基數formula_116，都不存在介乎formula_117與formula_118之間的基數。