秩 (線性代數)

!style=" text-align: left; background: #DCF0FF; font-size: 90%;"|線性空間與線性變換線性空間 · 線性變換 · 線性子空間 · 線性生成空間 · 基 · 線性對映 · 線性投影 · 線性無關 · 線性組合 · 線性泛函 · 行空間與列空間 · 對偶空間 · 正交 · 特徵向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化線上性代數中，一個矩陣 formula_1 的列秩是列向量生成的最大線性無關組的向量個數。類似地，行秩是矩陣formula_1 的線性無關的橫行的個數。矩陣的列秩和行秩總是相等的，因此它們可以簡單地稱作矩陣 formula_1 的秩。通常表示為 formula_4 ，formula_5 或formula_6。可替代定義.用-{行列式}-定義.設 formula_1 為 formula_8 矩陣。若 formula_1 至少有一個 formula_10 階非零子式，而其所有 formula_11 階子式全為零，即矩陣的最高階非零子式的階數為r。則稱 formula_10 為 formula_1 的秩。用向量組的秩定義.對於 formula_14 維線性空間 formula_15 中的一個向量組 formula_16，若formula_17 中的 formula_10 個向量線性無關，且若 formula_19，formula_20 中 formula_11 個向量都線性相關，則稱 formula_22 為 formula_23 的極大線性無關組，formula_10 為 formula_23 的秩。可以證明 formula_26 的秩等於向量組 formula_26 生成的子空間的維數。矩陣 formula_1 的列秩定義為 formula_1 的列向量組的秩，也即矩陣的列空間的維數。類似地，矩陣的行秩定義為 formula_1 的行向量組的秩，即矩陣的行空間的維數。用線性對映定義.考慮線性對映：formula_31formula_32對於每個矩陣 formula_1，formula_34 都是一個線性對映，同時，對每個 formula_35 的線性對映 formula_36，都存在矩陣 formula_37使得 formula_38。也就是說，對映formula_39formula_40是一個同構對映。所以一個矩陣 formula_1 的秩還可定義為 formula_34 的像的維度。矩陣 formula_1 稱為 formula_34 的變換矩陣。這個定義的好處是適用於任何線性對映而不需要指定矩陣，因為每個線性對映有且僅有一個矩陣與其對應。秩還可以定義為 formula_45 的核的維度；秩-零化度定理聲稱它等於 formula_36 的像的維度。行秩列秩相等性.矩陣的行秩與列秩相等，是線性代數基本定理的重要組成部分。其基本證明思路是，矩陣可以看作線性對映的變換矩陣，列秩為像空間的維度，行秩為非零原像空間的維度，因此列秩與行秩相等，即像空間的維度與非零原像空間的維度相等。這從矩陣的奇異值分解就可以看出來。給出這一結果的兩種證明. 第一個證明是簡短的，僅用到向量的線性組合的基本性質. 第二個證明利用了正交性. 第一個證明利用了列空間的基, 第二個證明利用了行向量空間的基. 第一個證明適用於定義在標量域上的矩陣，第二個證明適用於內積空間。二者都適用於實或復的歐氏空間，也都易於修改去證明當A是線性變換的情形.證明一.令 formula_1 是一個 formula_8 的矩陣，其列秩為 formula_10 . 因此矩陣 formula_1 的列空間的維度是 formula_10 . 令 formula_52 是 formula_1 的列空間的一組基，構成 formula_54 矩陣 formula_55的列向量 formula_56，並使得 formula_1 的每個列向量是 formula_55的formula_10 個列向量的線性組合. 由矩陣乘法的定義，存在一個 formula_60 矩陣 formula_61, 使得 formula_62. (formula_1 的 formula_64 元素是 formula_65 與 formula_61 的第 formula_67 個行向量的點積.)現在，由於 formula_62, formula_1 的每個行向量是 formula_61 的行向量的線性組合，這意味著 formula_1 的行向量空間被包含於 formula_61 的行向量空間之中. 因此 formula_1 的行秩 ≤ formula_61的行秩. 但formula_61僅有formula_10行, 所以formula_61的行秩 ≤ formula_10 = formula_1的列秩. 這就證明了formula_1的行秩 ≤ formula_1的列秩.把上述證明過程中的“行”與“列”交換，利用對偶性質同樣可證formula_1的列秩 ≤ formula_1的行秩。更簡單的方法是考慮formula_1的轉置矩陣formula_85，則formula_1的列秩 = formula_85的行秩 ≤ formula_85的列秩 = formula_1的行秩. 這證明了formula_1的列秩等於formula_1的行秩. 證畢.證明二.令formula_1是formula_8矩陣，其行秩是formula_10. 因此formula_1的行向量空間的維度是formula_10，設formula_97是formula_1的行向量空間的一組基. 如果把這組基當作原像列向量看待，則向量集formula_99是線性獨立的。 這是因為對一組標量係數formula_52，如果:formula_101其中formula_102. 則可以推出有兩個事實: (a) formula_103是formula_1行向量空間的線性組合, 即formula_103屬於formula_1的行向量空間；(b) 由於formula_107 = 0, formula_103正交於formula_1的所有行向量，從而正交於formula_1的行向量空間的所有向量. 事實(a)與(b)結合起來，則formula_103正交於自身，這意味著formula_103 = 0. 由formula_103的定義:formula_114再由formula_115是formula_1的行向量空間的一組線性獨立的基，可知formula_117. formula_99因而是線性獨立的.formula_119是formula_1的列空間中的向量. 因此formula_99是formula_1的列空間中formula_10個線性獨立的向量. 所以formula_1的列向量空間的維數(formula_1的列秩)必然不小於formula_10. 這證明了formula_1的行秩r ≤ formula_1的列秩. 把這一結果應用於formula_1的轉置矩陣可以得到: formula_1的列秩 = formula_85的行秩 ≤ formula_85列秩 = formula_1的行秩. 這證明了formula_1的列秩等於formula_1的行秩，證畢.最後, 還可以證明rk("A") = rk("A"*), 其中"A"*是"A"的共軛轉置或稱施密特轉置. 當"A"的元素都是實數, 這一結果變為rk("A") = rk("A"T). 然而對於復係數矩陣，rk("A") = rk("A"*)並不等價於行秩等於列秩, 需要用到上述兩個證明.證明三.令"A"是一個"m"×"n"矩陣. 定義rk(A)為"A"的列秩，"A"*為"A"的共軛轉置或稱施密特轉置. 首先可知"A"*"Ax" = 0當且僅當"Ax" = 0."A"*"Ax" = 0 ⇒ "x"*"A"*"Ax" = 0 ⇒ "(Ax)"*"(Ax)" = 0 ⇒ ‖Ax‖2 = 0 ⇒ Ax = 0,其中‖·‖是歐氏範數. 這說明"A"的零空間與"A"*"A"的零空間相同. 由秩－零化度定理, 可得rk("A") = rk("A"*"A"). "A"*"A"的每一個列向量是"A"*的列向量的線性組合. 所以"A"*"A"的列空間是"A"*的列空間的子空間. 從而rk("A"*"A") ≤ rk("A"*). 即: rk("A") = rk("A"*"A") ≤ rk("A"*). 應用這一結果於"A"*可獲得不等式: 由於("A"*)* = "A", 可寫作rk("A"*) ≤ rk(("A"*)*) = rk("A"). 這證明了rk("A") = rk("A"*). 證畢.性質.我們假定"A"是在域"F"上的"m" × "n"矩陣並描述了上述線性對映。向量組的線性相關性.將formula_14個formula_156維列向量排列成formula_157的矩陣"A"，這個對應矩陣的秩即為原向量組的秩。原向量組線性相關的充分必要條件為：formula_158如果formula_159則向量組線性無關。另外，不存在formula_160特殊的，若向量的個數formula_14大於向量的維數formula_156，則根據：formula_163這個向量組必然線性相關。計算.計算矩陣"A"的秩的最容易的方式是高斯消去法，即利用矩陣的初等變換生成一個行階梯形矩陣，由於矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，因此"A"的行階梯形矩陣有同"A"一樣的秩。經過初等變換的矩陣的非零行的數目就是原矩陣的秩。例如考慮4 × 4矩陣formula_164我們看到第2縱列是第1縱列的兩倍，而第4縱列等於第1和第3縱列的總和。第1和第3縱列是線性無關的，所以"A"的秩是2。這可以用高斯演算法驗證。它生成下列"A"的行階梯形矩陣:formula_165它有兩個非零的橫行。在應用在計算機上的浮點數的時候，基本高斯消去的QR分解，它也比高斯消去在數值上更強壯。秩的數值判定要求對一個值比如來自SVD的一個奇異值是否為零的依據，實際選擇依賴於矩陣和應用二者。應用.計算矩陣的秩的一個有用應用是計算線性方程組解的數目。如果係數矩陣的秩等於增廣矩陣的秩，則該方程組有解。在這種情況下，如果它的秩等於方程的數目那麼該方程組有唯一的一個精確解。如果增廣矩陣的秩大於係數矩陣的秩，則方程組是不一致的。在控制論中，矩陣的秩可以用來確定線性系統是否為可控制的，或可觀察的。