基 (線性代數)

!style=" text-align: left; background: #DCF0FF; font-size: 90%;"|線性空間與線性變換線性空間 · 線性變換 · 線性子空間 · 線性生成空間 · 基 · 線性對映 · 線性投影 · 線性無關 · 線性組合 · 線性泛函 · 行空間與列空間 · 對偶空間 · 正交 · 特徵向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化線上性代數中，基。透過基底可以直接地描述向量空間 formula_1 上定義的線性對映 formula_2 ，詳請性對映#矩陣一節。定義.為了記號表示方便，這裡仿造數列級數定義一個"向量序列的級數"：對於向量序列 序列_{i\in\mathbb{N}} ，根據集合論和數學歸納法，存在一個向量序列 formula_3 滿足formula_7 稱為 formula_8 的級數通常會仿造數列級數而把上面定義的 formula_9 寫為formula_10或更直觀的formula_11Hamel基.formula_1 是定義在域 formula_13上的向量空間，如果 formula_1 的子集 formula_17 滿足：則稱 formula_17 是向量空間 formula_1 的一組Hamel基。formula_17 裡的元素被稱為基向量 ，若基向量的總數是有限個，formula_17 則會被稱為有限基或直接簡稱為基。上面的第二個條件，也可以等價地改寫為以下兩條：等價性來自於線性無關：若有第二組相異 formula_29 基向量和第二組標量 formula_30 也滿足 formula_31 的話，把這住兩組基向量合併，並重新排列，於兩組間重複的記為 formula_32 ，其他不重複的部分，第一組的記為 formula_33 ；而第二組的記為 formula_34 ；然後設 formula_32 於原來第一組對應的標量係數是 formula_36 ；原第二組則是對應 formula_37 。另外 formula_33 對應的標量係數則為 formula_39 ；formula_34 對應的標量係數則為 formula_41 ； 這樣把 formula_20 的第一組線性組合表示式減去第二組會有formula_43這樣依據線性無關，就有formula_44formula_45formula_46這就確保任意 formula_20 的線性組合表示式都是用同一組的基向量，且其標量係數也是唯一的。Schauder基.除了上小節單以線性組合定義的Hamel基，也有以無窮級數展開任意向量為動機來定義基：formula_1 是定義在域 formula_13 上的巴拿赫空間（範數記為formula_50]] 滿足：那向量序列 formula_53 則被稱為是向量空間 formula_1 的一組Schauder基。第二項條件通常會簡寫為對每個 formula_20 ，都存在唯一組標量formula_55，使 formula_65甚至寫為formula_66例子.在傅立葉級數的研究中，函式formula_67是所有的在區間[0, 2π]上為平方可積分的向量空間的“正交基”，這種函式formula_68滿足formula_69函式族formula_67是線性無關的，所有在[0, 2π]上平方可積分的函式是它們的“無限線性組合”，在如下意義上formula_71對於適合的係數"a""k", "b""k"。但是多數平方可積分函式不能表達為這些基函式的有限線性組合，因為它們不構成Hamel基。這個空間的所有Hamel基都大於這個函式的只可數無限集合。此類空間的Hamel基沒有什麼價值，而這些空間的正交基是傅立葉分析的根本。維度.如果基中元素個數有限，就稱向量空間為有限維向量空間，並將元素的個數稱作向量空間的維度。如果原本的基底為：formula_72那時也可依據元素個數的數數是以一對一對應來定義的本質，反過來用基向量序列 formula_73 來間接代表formula_17。事實上，不是所有空間都擁有由有限個元素構成的基底。這樣的空間稱為無限維空間。某些無限維空間上可以定義由無限個元素構成的基。在現代集合論中，如果承認選擇公理，就可以證明任何向量空間都擁有一組基。一個向量空間的基不止一組，但同一個空間的兩組不同的基，它們的元素個數或勢會是相等的。一組基裡面的任意一部分向量都是線性無關的；反之，如果向量空間擁有一組基，那麼在向量空間中取一組線性無關的向量，一定能得到一組基。特別地，在內積向量空間中，可以定義正交的概念。透過特別的方法，可以將任意的一組基變換成正交基乃至標準正交基。性質.設formula_17是向量空間formula_1的子集。則formula_17是基，當且僅當滿足了下列任一條件：如果承認良序定理或任何選擇公理的等價物，那麼作為推論，可以證明任何的向量空間都擁有一組基。，叫做這個向量空間的維度。這個結果叫做維度定理，它要求系統承認嚴格弱形式的選擇公理即超濾子引理。標準基.在行向量空間formula_90中有單位行向量那麼在該空間中，任意向量formula_91,都可以唯一表示成formula_92.然後我們可以看出，formula_90可以由它的向量子空間構成同樣的，單位列向量就可以表達為.線性無關的單位行向量生成formula_90. 那麼是formula_90的基，稱這個基為標準基.基的擴張.如上所述，一個向量空間的每一組基都是一個極大的線性無關集合，同時也是極小的生成集合。可以證明，如果向量空間擁有一組基，那麼每個線性無關的子集都可以擴張成一組基，每個能夠生成整個空間的子集也必然包含一組基。特別地，在任何線性無關集合和任何生成集合之間有一組基。以數學語言來說：如果formula_96是在向量空間formula_1中的一個線性無關集合而集合formula_98是一個包含formula_96而且能夠生成formula_1的集合，則存在formula_1的一組基formula_17，它包含了formula_96而且是formula_98的子集：formula_105。以上兩個結論可以幫助證明一個集合是否是給定向量空間的基。如果不知道某個向量空間的維度，證明一個集合是它的基需要證明這個集合不僅是線性無關的，而且能夠生成整個空間。如果已知這個向量空間的維度，那麼這個集合的元素個數必須等於維數，才可能是它的基。在兩者相等時，只需要證明這個集合線性無關，或這個集合能夠生成整個空間這兩者之一就夠了。這是因為線性無關的子集必然能擴充成基；而這個集合的元素個數已經等於基的元素個數，需要新增的元素是0個。這說明原集合就是一組基。同理，能夠生成整個空間的集合必然包含一組基作為子集；但假如這個子集是真子集，那麼元素個數必須少於原集合的元素個數。然而原集合的元素個數等於維數，也就是基的元素個數，這是矛盾的。這說明原集合就是一組基。有序基和座標.基底是作為向量空間的子集定義的，其中的元素並不按照順序排列。為了更方便相關的討論，通常會將基向量進行排列。比如說將：formula_106寫成有序向量組：formula_107。這樣的有序向量組稱為有序基。在有限維向量空間和可數維數的向量空間中，都可以自然地將基底表示成有序基。在有序基下，任意的向量都可以用確定的陣列表示，稱為向量的座標。例如，在使用向量的座標表示的時候習慣談論“第一個”或“第二個”座標，這隻在指定了基的次序前提下有意義。在這個意義下，有序基可以看作是向量空間的座標架。設formula_1是在域formula_109上的"n"維向量空間。在formula_1上確定一個有序基等價於確定一個從座標空間formula_111到formula_1的一個選定線性同構formula_113。"證明"：這個證明利用了formula_111的標準基是有序基的事實。首先假設formula_115是線性同構。可以定義formula_1的一組有序基formula_117如下：formula_118其中的formula_119是formula_111的標準基。反過來說，給定一個有序基，考慮如下定義的對映"φ"("x") = "x"1"v"1 + "x"2"v"2 + ... + "x""n""v""n",這裡的"x" = "x"1e1 + "x"2e2 + ... + "x""n"e"n"是F"n"的一個元素。不難檢查出"φ"是線性同構。這兩個構造明顯互逆。所以"V"的有序基一一對應於線性同構F"n" → "V"。確定自有序基{"v""i"}線性對映"φ"的逆對映為"V"裝備了座標：如果對於向量"v" ∈ "V", "φ"-1("v") = ("a"1, "a"2...,"a""n") ∈ F"n"，則"a""j" = "a""j"("v")的分量是"v"的座標，在"v" = "a"1("v") "v"1 + "a"2("v") "v"2 + ... + "a""n"("v") "v""n"的意義上。從向量"v"到分量"a""j"("v")的對映是從"V"到F的線性對映，因為"φ"-1是線性的。所以它們是線性泛函。它們形成"V"的對偶空間的基，叫做對偶基。