映象法

映象法。例如，給定一個由一片無限平面導體和一個點電荷構成的物理系統，這無限平面導體可以被視為一片鏡子，在鏡子裡面的映象電荷與鏡子外面的點電荷，所形成的新系統，可以使得導體平面上的電場垂直於導體，與原本系統等價。藉此方法，我們可以將問題簡化，很容易地計算出導體外的電勢、導體的表面感應電荷密度、總感應電荷等等。映象法的有效性是唯一性定理的必然結果，該定理指出如果指定了在體積 "V" 的整個區域內的電荷密度和 "V" 的所有邊界上的電位值，區域 "V" 內的電位唯一確定。另外，應用此結果到高斯定理的微分形式就能表明，在由導體包圍的包含電荷密度為 ρ 的體積 "V" 中，如果每個導體所帶電荷已經給出，那麼電場是唯一確定的。擁有電勢或電場的資訊以及相應邊界條件，只要在指定區域的電荷分佈滿足泊松方程並設定正確的邊界值，我們就可以把我們考慮的電荷分佈換為更容易分析的結構。唯一定理.唯一定理表明，任意能夠滿足給定條件的解答，是唯一存在的解答。因此，給定條件唯一地決定了這解答。舉例而言，假若，在一個三維空間區域裡，電勢 formula_1 滿足formula_2 ，而在區域的表面，又滿足邊界條件formula_3 ，其中，formula_4 和 formula_5 是函式，則 formula_6 是唯一的解答函式。唯一性定理適用於以下三種邊界情況：應用唯一定理於映象法，只要問題能夠給足上述任意一種邊界條件，則求得的電勢函式解答必定是唯一的正確解答。範例.點電荷與無限平面導體.舉一個簡單的例子，如右圖所示，設定一個接地的無限平面導體於 xy-平面，其上方有一個點電荷 formula_7 ，坐標是 formula_8 。應用庫侖定律和相關靜電理論，這物理系統的各種物理量，像導體表面的電荷分佈，或點電荷所感受到的作用力，都不是很容易可以計算求得。應用映象法，可以將無限平面導體改換成一個映象電荷，坐標是 formula_9 ，電量為 formula_10 。在任意點 formula_11 ，新系統的電勢與原本系統的電勢完全相同；而且滿足邊界條件——導體的電勢為零。在新系統裡，應用庫侖定律，可以很容易地計算出點電荷所感受到的作用力。採用圓柱坐標 formula_12 ，在 +z-半空間內的任意一點，其電勢 formula_13 可以很容易的計算出來：formula_15 。根據唯一定理，這解答是原本問題的唯一解答。無限平面導體的表面電荷密度 formula_16 是formula_17 。積分表面電荷密度於無限平面導體，可以得到無限平面導體的總感應電量 formula_18 ：答案非常簡單，就是 formula_10 。這問題指引出一個更進階的問題：給予一對平行的無限平面導體，其中間有一個點電荷，求兩片無限平面導體之間的電勢？這是一個非常有意思，值得研習的問題。點電荷與兩個半無限平面導體構成的二面角.所有二面角成formula_20 (formula_21為正整數) 的兩個半無限導體平面間的場都可以用映象法求解，像點荷個數為formula_22.#重定向多個點電荷與無限平面導體.映象法可以延伸至兩個或多於兩個點電荷。只要對於每一個點電荷，都新增一個對應的映象電荷。根據疊加原理，總電勢等於所有點電荷、映象電荷產生的電勢的總和。在 xy-平面的任意一位置，點電荷產生的電勢會與其映象電荷產生的電勢相抵消。因此，在 xy-平面的任意一位置，總電勢等於零，滿足邊界條件。圖右展示一個物理系統案例，裡面有兩個真實的點電荷和一個無限平面導體，兩個點電荷的坐標分別是 formula_23 和 formula_24 ，電量分別是 formula_25 和 formula_26 。應用映象法，可以將無限平面導體替換為兩個映象電荷，坐標分別是 formula_27 和 formula_28 電量分別是 formula_29 和 formula_30 。點電偶極子與無限平面導體.假設，在無限平面導體上方，有一個電偶極子，其電偶極矩是 formula_31 ，坐標是 formula_32 ，則可以將無限平面導體改換為一個反對稱的映象電偶極子，電偶極矩是 formula_33 ，坐標是 formula_34 。點電荷與圓球殼導體.映象法也可以應用於圓球殼導體。實際而言，無限平面導體的映象法解答是圓球殼導體映象法解答的特別案例。只要將圓球殼的半徑拉長至無窮大，就可以得到無限平面導體。如圖右，採用原點位於圓球殼殼心的球坐標系。被置於真空中的接地的圓球殼，其半徑為 formula_35 ，內部有一個點電荷 formula_7 ，位置是 formula_37 ，以綠色表示。這點電荷的映象電荷，電量是 formula_38 ，位於圓球殼外部，與圓心的距離是 formula_39 ，以紅色表示。兩個點電荷所產生的電勢，在位置 formula_40 ，可以疊加為formula_41經過一番運算，可以得到formula_42 。請注意，在圓球殼，由於映象電荷並不真實存在，而是虛擬的，所以formula_45 公式不正確。儘管球內並無實際的映象電荷，但是圓球殼的內表面仍然存在感應電荷，不過數值與映象電荷完全不同。假設點電荷位於 z-坐標軸，那麼，表面感應電荷密度 formula_48 是天頂角 formula_49 的函式，以方程式表達為formula_50 。積分感應電荷密度於所有立體角，則可以得到在圓球殼的總感應電量 formula_18 ：formula_52 。由於總感應電量與點電荷電量的代數和等於零，所以整個物理系統的總電量等於零。圓球殼導體能夠除去點電荷所造成的非球形對稱性。在圓球殼以外的物理是球形對稱的。應用高斯定律，可以計算出電場 formula_53 ，formula_54 。假設圓球殼不接地，則圓球殼外表面的感應電荷密度是formula_55 。圓球殼外，離圓心距離為 formula_56 的電場 formula_53 為formula_58 。請注意，這問題的逆反問題也可以用映象法解析。在一個半徑為 formula_35 、接地的圓球殼導體外部，擺放一個點電荷 formula_7 於位置 formula_61 ，離圓心距離為 formula_62 。那麼，圓球殼外部的電勢為點電荷的電勢與圓球殼內部的映象電荷的電勢的總和。類似前面案例，映象電荷的電量是 formula_38 ，位置是 formula_64 。由於圓球殼內部的真實電量是零，所以，圓球殼內部的電勢為常數。電偶極子與圓球殼導體.映象法對於電偶極矩的計算公式比較複雜。假若我們將電偶極子視為一對距離很近的點電荷，則映象電偶極子的電量和電偶極矩都會有所改變。給予電偶極子的電偶極矩為 formula_65 ，位置為 formula_61 ，在半徑為 formula_35 圓球殼的內部。其映象電偶極子的位置會是 formula_64 ，映象電荷的電量為formula_69 ，電偶極矩為formula_70 。反演法.映象法的圓球殼計算方式直接地引匯出反演法。採用球坐標 formula_71 ，給予一個位置的調和函式 formula_72 ，則對於一個半徑為 formula_35 的圓球，此調和函式的映象調和函式是formula_74 。給予一集合的點電荷，位置和電量分別為 formula_75 、 formula_76 。假若其產生的電勢是 formula_77 ，則其映象電勢 formula_78 是由一集合位置和電量分別為 formula_79 、 formula_80 的映象電荷所產生的。給予一個連續電荷分佈，電荷密度為 formula_81 。假設其其產生的電勢是 formula_77 ，則其映象電勢 formula_78 是由電荷密度為 formula_84 的連續電荷分佈產生的。