Lp空間

在數學中，"Lp"空間是由p次可積函式組成的空間；對應的ℓp空間是由"p"次可和序列組成的空間。它們有時叫做勒貝格空間。在泛函分析和拓撲向量空間中，他們構成了巴拿赫空間一類重要的例子。"Lp"空間在工程學領域的有限元分析中有應用。基本知識.長度、距離與範數.泛函分析中，常常會在某類函式的集合上架設拓撲結構乃至更復雜的結構，以便使用拓撲乃至分析學的知識來討論這些集合的屬性。最常見的附加結構是賦範向量空間。將函式集合作為裝備了範數向量空間來看待，有助於理解函式類的關係和性質。範數是歐幾里德空間中長度概念的推廣。在平面幾何或立體幾何中，長度以及距離是最基本的概念之一。物件的形狀、位置、大小等性質或關係都是建立在長度和距離的定義上。最直觀的長度概念是由平直物理空間中抽象而來，滿足勾股定理。例如說在平面上，原點到點formula_1的向量長度是formula_2。三維空間中，原點到點formula_3的向量長度formula_4。長度函式formula_5滿足如下的基本性質：比如說在更一般的"n"維歐幾里德空間formula_9中，可以定義向量formula_10的歐幾里德長度是formula_11這個函式也滿足以上的基本性質。更一般地，在向量空間formula_12中，滿足以上性質的函式：formula_13稱為formula_12上的“長度”函式或範數。比如在歐幾里德空間formula_9中也可以對給定的實數"p" ≥ 1定義範數：formula_16這個範數稱為formula_9上的"L"∞-範數），定義為：formula_18對不同的"p"來說，等長度點的集合是不一樣的。比如右圖列出了三種不同範數下單位圓形狀。可數維度空間的"p"-範數.有限維空間中的"p"-範數的定義拓展到其上。這個定義一般適用於由數列或序列構成的空間，稱為formula_20空間。常見的有如下例子：事實上，序列集合上可以自然地按照序列的加法和數乘定義出向量空間。而formula_20空間則是在這個向量空間中定義如下的"p"-範數：formula_25然而，上式中右側的級數不總是收斂的。所以formula_20空間實際上是所有序列集合中，令上式右側的級數能夠收斂的元素組成的子集。可以證明，隨著"p" &lt; "q"，那麼formula_20空間是formula_29空間的真子集。比如說，以下的數列：formula_30不屬formula_21，因為formula_32的和是無窮大。不過，由於formula_33的和是有限的，所以數列formula_34屬於formula_22."L p"空間.當空間維度是無窮而且不可數的時候，無法運用有限維或可數維度空間的辦法來定義範數，但對於可積函式空間，仍然能夠定義類似的概念。具體來說，給定測度空間("S", "Σ", "μ")以及大於等於1的實數"S"可積的函式，也就是集合：formula_39集合中的函式可以進行加法和數乘：formula_40從閔可夫斯基不等式可知，兩個"p"次可積函式。另外，容易證明formula_41；閔可夫斯基不等式的積分形式說明三角不等式對formula_42成立。滿足這樣條件的formula_42構成一個半範數，令formula_44成為一個半賦範向量空間。之所以是半範數，是因為滿足formula_45的函式formula_46不一定是零函式。然而可以透過一套標準的拓撲方法從這個半賦範空間得到一個賦範空間：考慮formula_44中所有使得formula_45的函式formula_46的集合：formula_50集合formula_51可以看作是對映formula_52的零空間。對可測函式formula_46來說，formula_54幾乎處處為零。所以formula_55幾乎處處為0formula_56而formula_51同時也是formula_44的一個子空間。設formula_59是formula_44關於formula_51的商空間。formula_59中的某個元素formula_46可以看作是所有和函式formula_46相差一個formula_51中元素的函式構成的等價類。這樣定義的空間formula_59是一個賦範向量空間，稱為"p"-範數。需要注意的是，"L p"空間中的元素嚴格來說並不是具體的函式，而是一族函式構成的等價類。而當需要將"L p"空間元素當作函式來計算的時候，參與計算的實際是從這一族函式中抽取的一個代表函式。與序列空間一樣，在函式空間上也可以定義一致範數。定義的方法和範數一樣，首先定義：formula_69幾乎處處小於等於formula_70formula_71formula_72是一個半範數，取formula_73幾乎處處為0formula_56，則formula_75關於formula_51的商空間是一個賦範向量空間，記作formula_77。一致範數與"p"-範數之間存在以下關係：formula_78可以證明，"L p"空間是完備的空間，也即是說是一個巴拿赫空間。"L p"空間的完備性通常被稱為里茲－費舍爾定理。具體的證明可以藉助測度上的勒貝格積分的相關收斂定理來完成。特例."L p"空間都是巴拿赫空間，但只有當"p" = 2的時候，"L"2空間是希爾伯特空間。也就是說，可以為"L"2空間中的元素定義內積。具體形式是：formula_79其中的formula_80表示複數的共軛。這個內積是從2-範數自然誘導的內積。"L"2空間在傅立葉級數和量子力學以及其他領域有著重要的運用。formula_20空間可以看作是"L p"空間的特例。只要取"L p"空間中的formula_82，測度為formula_83上的計數測度，則對應的formula_84就是formula_20空間。"L""p"空間的性質.對偶空間.一個拓撲向量空間的對偶空間是指由這個向量空間上的所有的連續線性泛函構成的泛函空間。對某個大於1的實數"Lq"("S", "μ")同構。這個關係可以透過一個自然的同構對映展現：formula_87formula_88赫爾德不等式保證了其中的泛函formula_89是良好定義並且是連續的。formula_90是一個線性對映，根據赫爾德不等式的極限情況，formula_89作為泛函的範數和formula_46一樣，這說明formula_90是一個等距對映。此外還可以證明，對偶空間"Lq"("S", "μ")。以上性質說明，當大於1的時候，"Lp"("S", "μ")的二次對偶空間。具體來說，從formula_90出發，可以構造出以下的關係：formula_98formula_99與formula_100的複合對映"Lp"("S", "μ")對映到其二次對偶空間的賦值嵌入對映：formula_101 使得formula_102從而formula_103作為兩個等距同構的複合對映，"Lp"("S", "μ")**也是同構關係。如果測度"L∞"("S", "μ")也是等距同構。可以證明，formula_104是"L1"("S", "μ")*上的一個同構。嵌入.給定兩個實數：1 ≤ "p" "Lq"("S", "μ")的時候會發現，前者中包含一些區域性行為更加不規則的函式，而後者中則包含了“尾巴更粗”的函式。舉例來說，formula_105中的連續函式，無論自變數多大，函式值都可以不在0附近，但反過來說，無論自變數取多少，函式的值也不能超過上界和下界。假設全集"μ"中的測度有限，以及1 ≤ "p" &lt; "q" ≤ ∞。那麼由赫爾德不等式有如下限制：formula_107這說明空間"Lp"("S", "μ")上的恆等對映formula_108是有界連續對映。formula_108的運算元範數就是由以上不等式取等號的情形確定的：formula_110稠密子空間.研究某個複雜的無窮維賦範空間的時候，常常會使用一個由空間中比較“簡單”的元素構成的稠密子集來逼近空間中的一個元素。假設1 ≤ "p" "Lp"("S", "μ")中的元素可以用測度空間 ("S", "Σ", "μ") 上的簡單可積函式逼近。給定測度空間("S", "Σ", "μ")，其上的一個簡單可積函式指的是形同：formula_111的函式。其中的"Lp"("S", "μ")中稠密。如果"Lp"("S", "μ")中稠密。