二埠網路

二埠網路、電子濾波器以及阻抗匹配網路。被動二埠網路的分析是互易定理的副產物，最初由洛倫茲提出。二埠網路能將電路的整體或一部分用它們相應的外特性引數來表示，而不用考慮其內部的具體情況，這樣被表示的電路就成為具有一組特殊性質的“黑箱”，從而就能抽象化電路的物理組成，簡化分析。任意具有4個端子的線性電路都可以變換成二埠網路，且滿足不含獨立源的條件和埠條件。描述二埠網路的引數不只有一組，常用的幾組引數是分別為阻抗引數Z、導納引數Y、混合引數h、g和傳輸引數，每組引數都在下文中有描述。這幾組引數只能用於線性網路，因為它們匯出的條件是假定任何給定的電路情況都是各種短路和開路情況的線性疊加。這幾組引數通常用矩陣表示法表示，透過以下變數建立關係：formula_1 輸入電壓formula_2 輸出電壓formula_3 輸入電流formula_4 輸出電流如圖1所示。這些電流和電壓變數在低頻到中頻情況下是非常有用的。在高頻情況下，使用功率和能量變數會更合適，這時二埠電流－電壓法就應該由基於S的方法代替。請注意，四端子網路，但不等同於二埠網路，因為只有2個端子滿足流入一個端子的電流等於流出另一個端子的電流時，即滿足埠條件時，才能稱這2個端子為一個埠，而四端子網路的端子可能無法滿足埠條件。因此對於一個四端子網路，只有當連線到其內部電路的2對端子滿足埠條件時，這個四端子網路才是一個二埠網路。一般性質.二埠網路具有若干常用於實際網路中的特定性質，能大大簡化分析。這些性質包括：阻抗引數.阻抗引數又稱開路阻抗引數，因為計算這一引數時電路滿足開路條件Ix=0。一般形式的開路阻抗矩陣中，所有的輸出電壓都用Z引數矩陣和輸入電流表示，滿足如下矩陣方程：formula_31其中formula_32和formula_33分別是formula_34 階方陣formula_35和formula_36。一般來說，開路阻抗矩陣中的元素都是複數和頻率函式。對於一埠網路，Z引數矩陣縮減為單元素矩陣，變成了2個端子間的普通阻抗。二埠網路的Z引數矩陣方程的具體形式如下，其中formula_37為二埠網路的開路阻抗矩陣：formula_38其中formula_39formula_40對於n埠網路，以上表達式可歸納為formula_41Z引數矩陣中每一元素的單位均是歐姆。對於互易網路，formula_6。對於對稱網路，formula_43。對於互易無耗網路，所有的formula_44都是純虛數。發射極退化的雙極型電流鏡.圖3展示了一個雙極型電流鏡，發射極接入電阻是為了增加電流鏡的輸出電阻。電晶體"Q"1是二極體接法，也就是說其集電極－基極電壓為零。圖4展示了一個與圖3電路等效的小訊號電路。電晶體"Q"1由其發射極電阻"rE" ≈ "VT / IE"表示，這是因為"Q"1的混合π模型中的獨立電流源消耗的電流與"rπ"上跨接的電阻1 / "gm"消耗的電流相同，所以這樣簡化電路是可行的。第二個電晶體"Q2"用其混合π模型表示。表1列出的Z引數表示式使圖2中的Z引數等效電路與圖4中的小訊號電路成為電學等效電路。電阻"RE"引入的負反饋在引數中有所體現。例如，當電流鏡在差分放大器中用作有源負載時，"I1 ≈ -I2"，這使得電流鏡的輸出阻抗近似為"R22 -R21" ≈ 2 β "rORE" /( "rπ+2RE" )，但是如果未接入負反饋，輸出阻抗僅為"rO"。同時，電流鏡基準測的阻抗近似為"R"11 − "R"12 ≈ formula_45 formula_46，僅是一個不大的值，但仍比無負反饋時的阻抗"rE"大。在差分放大器應用中，較大的輸出電阻可以增大差模電壓放大倍數，這是一個優點，而較小的電流鏡輸入電阻可以避免密勒效應，因此這也是一個優點。導納引數.導納引數又稱短路導納引數，因為計算這一引數時電路滿足短路條件Vx=0。一般形式的短路導納引數中，所有的輸出電流都用Y引數矩陣和輸入電壓表示，滿足如下矩陣方程：formula_47其中formula_33和formula_32分別是formula_34 階方陣formula_36和formula_35。一般來說，短路導納引數中的元素都是複數和頻率函式。對於一埠網路，Y引數矩陣縮減為單元素矩陣，變成了2個端子間的普通導納。二埠網路的Y引數矩陣方程的具體形式如下，其中formula_53為二埠網路的短路導納矩陣：formula_54其中formula_55formula_56對於n埠網路，以上表達式可歸納為formula_57Y引數矩陣中每一元素的單位均是西門子。對於互易網路，formula_8。對於對稱網路，formula_59。對於互易無耗網路，所有的formula_60都是純虛數。混合引數.混合引數。formula_62其中formula_63formula_64對於互易網路，formula_9。對於對稱網路，formula_66。當輸出端需要電流放大電路時，這種等效電路常被選用。請注意，混合引數矩陣的非對角線元素均為無量綱量，而對角線元素的量綱互為倒數。三極體的h引數微變等效電路."h"ix、"h"rx、"h"fx和"h"ox分別對應"h"11、"h"12、"h"21和1/"h"22。共基極放大器.表2中列出的公式使圖6中的電晶體與圖8中其相應的小訊號低頻混合π模型成為h引數等效電路。圖8中：如上所示，"h"21為負，這是因為一般規定電流"I"1、"I"2流入二埠的方向為正方向。"h"12為非零值表明輸出電壓對輸入電壓有影響，也就是說放大電路為雙向放大電路；若"h"12 = 0，則放大電路為單向放大電路。第二類混合引數.下式中的formula_67為二埠網路的第二類混合矩陣。formula_68其中formula_69formula_70對於互易網路，formula_10。對於對稱網路，formula_72。當輸出端需要電壓放大電路時，這種等效電路常被選用。請注意，g引數矩陣的非對角線元素均為無量綱量，而對角線元素的量綱互為倒數。共基極放大器.表3中列出的公式使圖9中的電晶體與圖10中其相應的小訊號低頻混合π模型成為h引數等效電路。圖10中：如上所示，"g"12為負，這是因為一般規定二埠電流"I"1、"I"2流入的方向為正方向。"g12"為非零值表明輸出電流對輸入電流有影響，也就是說放大電路為雙向放大電路；若"g"12 = 0，則放大電路為單向放大電路。傳輸引數.傳輸引數又稱ABCD引數、級聯引數、傳輸線引數、F引數、T引數，其定義有多種不同的形式，下面列出兩種最常見的等價定義形式。定義一.最常見的一種定義形式如下，下式中的formula_73為二埠網路的傳輸矩陣：formula_74其中formula_75formula_76對於互易網路，formula_12。對於對稱網路，formula_78。對於互易無耗網路，"A"與"D"為純實數，而"B"與"C"為純虛數。這種表示法是首選方法，因為當引數用於表示二埠的級聯時，書寫矩陣的順序與繪製電路圖相同，都是從左到右。下面給出的定義形式是上述定義的變體，下式中的formula_79為二埠網路的反向傳輸矩陣：formula_80其中formula_81以上公式中的formula_82和formula_83為負，因為formula_84被定義為formula_85的相反數，即formula_86。採用這一約定的原因是若滿足上述關係，一個二埠網路的輸出電流與下一個與其級聯的二埠網路的輸入電流相等。因此，輸入電壓/電流矩陣向-{}-量可以被直接替換為前一個二埠網路的矩陣方程以構造組合formula_87矩陣。電話四線傳輸系統在British Post Office Research Department Report 630中定義。定義二.部分學者將formula_88引數矩陣的元素符號指定為"aij" (i, j = 1, 2)，將逆formula_87引數矩陣的元素符號指定為"bij" (i, j = 1, 2)，二者都很簡潔，且不會與電路元件的符號混淆。下列公式中的formula_90為二埠網路的A引數矩陣。formula_92formula_93兩種形式滿足的關係非常簡單，互為逆矩陣，即formula_94請注意，A矩陣、B矩陣分別代表ABCD矩陣、反向ABCD矩陣，不要與定義一中的引數A、B混淆。基本電路元件的傳輸引數.下表列出了一些簡單的基本電路元件的反向傳輸引數矩陣。二埠網路的組合聯接.當聯接2個或2個以上的二埠網路時，組合網路的二埠引數可以透過對組合網路的每一組成部分的引數矩陣進行矩陣代數運算求取。若恰當的選取與二埠聯接方式相匹配的二埠引數，矩陣運算將會極為簡單，例如串聯聯接最好用Z引數來描述。二埠網路的聯接中要注意埠的組合規則，因為當連線電勢相異的部分時，有一些連線會導致組合網路不滿足埠條件，且違反組合規則。要解決這一難題，可以在出現問題的二埠網路輸出端接入匝數比為1:1的理想變壓器。這一舉動並不會改變二埠網路的引數，而且還能保證二埠網路互相聯接時滿足埠條件。圖12和圖13中分別展示了串聯聯接中有關這一問題的一個例項和解決方案。簡表：串聯.若兩個二埠網路以串聯方式聯接，最好選擇Z引數來描述二埠網路。組合網路的Z引數矩陣是由兩個獨立網路分別的Z引數矩陣相加得到：formula_95兩個獨立網路的Z引數矩陣方程如下：formula_96formula_97此時，formula_98、formula_99、formula_100和formula_85分別滿足關係formula_102、formula_103、formula_104、formula_105，故如下關係成立：formula_106因此，串聯二埠網路的Z引數矩陣為formula_107如前文所述，有些組合網路不能透過分析結果直接串聯得到。一個簡單的例項是由電阻"R"1和"R"2組成的L形網路。這一網路的Z引數為：formula_108圖12展示了2個串聯的相同網路。理論上，由矩陣相加得到的整體"Z"引數為formula_109但是，如果直接分析這一組合網路會得到formula_110二者的分歧在於下方二埠網路中的"R"1被加在輸出埠的2個端子間的電阻短接，這就導致2個獨立網路中每一網路的輸入埠中分別有一個端子無電流流過，但另一個端子仍有電流流入。因此，2個原始網路的輸入埠都無法滿足埠條件。解決方案是在2個二埠網路中至少一個網路的輸出端接入一個理想變壓器。雖然這種方法是教科書上常見的介紹二埠網路原理的方法，在每個獨立二埠網路的設計中都使用變壓器是否實用是需要考慮的問題。並聯.若兩個二埠網路以並聯方式聯接，最好選擇Y引數來描述二埠網路。組合網路的Y引數矩陣是由兩個獨立網路分別的Y引數矩陣相加得到：formula_111兩個獨立網路的Y引數矩陣方程如下：formula_112formula_113此時，formula_100、formula_85、formula_98和formula_99分別滿足關係formula_118、formula_119、formula_120、formula_121，故如下關係成立：formula_122因此，並聯二埠網路的Y引數矩陣為formula_123串－並聯.若兩個二埠網路以串－並聯方式聯接，最好選擇h引數來描述二埠網路。組合網路的h引數矩陣是由兩個獨立網路分別的h引數矩陣相加得到：formula_124兩個獨立網路的h引數矩陣方程如下：formula_125formula_126此時，formula_100、formula_85、formula_98和formula_99分別滿足關係formula_104、formula_119、formula_102、formula_121，故如下關係成立：formula_135因此，並聯二埠網路的h引數矩陣為formula_136並－串聯.若兩個二埠網路以並－串聯方式聯接，最好選擇g引數來描述二埠網路。組合網路的g引數矩陣是由兩個獨立網路分別的h引數矩陣相加得到：formula_137兩個獨立網路的g引數矩陣方程如下：formula_138formula_139此時，formula_100、formula_85、formula_98和formula_99分別滿足關係formula_118、formula_105、formula_120、formula_103，故如下關係成立：formula_148因此，並聯二埠網路的g引數矩陣為formula_149級聯.級聯又稱鏈聯，是將二埠網路輸出埠的2個端子分別連線到下一個二埠網路輸入埠的2個端子的聯接方式。若兩個二埠網路以級聯方式聯接，最好選擇ABCD引數來描述二埠網路。組合網路的ABCD引數矩陣是由兩個獨立網路分別的ABCD引數矩陣進行矩陣相乘得到：formula_150"n"個二埠網路組成的級聯網路的引數可以透過對"n"個矩陣進行矩陣相乘得到。若利用"b"引數矩陣計算級聯網路的引數，也是透過對"n"個矩陣進行矩陣相乘實現，不過矩陣相乘的順序必須顛倒：formula_151兩個獨立網路的ABCD引數矩陣方程如下：formula_152formula_153此時，formula_154、formula_155、formula_156和formula_157滿足如下關係：formula_158因此，級聯二埠網路的ABCD引數矩陣為formula_159下面給出一個例項：假設一個二埠網路由串聯電阻"R"後接並聯電容"C"組成，這一網路整體上可以被視為2個結構更為簡單的網路的級聯：formula_160formula_161整個網路的傳輸矩陣formula_162只需要將2個二埠網路組成部分的傳輸矩陣進行矩陣相乘即可得出：formula_163formula_164formula_165因此formula_166散射引數.上述引數都是就埠的電壓和電流而言定義的，而S引數是就埠的而言定義的。S引數常用於特高頻和微波頻率，因為：S引數矩陣方程定義為formula_167其中formula_168是埠"k"上的入射波，formula_169是埠"k"上的反射波，一般規定formula_168和formula_169與功率的平方根有關，因此二者與波電壓有關，定義如下：每一個埠的入射波定義為formula_172每一個埠的反射波定義為formula_173其中formula_174是每一個埠基準阻抗構成的對角矩陣，formula_175是formula_174的按元素的複共軛矩陣，formula_177和formula_178分別是每一個埠電壓和電流的-{列向量}-，且 formula_179。若假設每一個埠上的基準阻抗均相等，則定義可簡化為formula_180formula_181其中formula_182是每一埠的特性阻抗。上述矩陣方程以引數formula_183、formula_184、formula_185和formula_186給出了每一埠的反射功率波與入射功率波的關係。若在埠1加入射功率波formula_187，由其引起的出射波一部分會出現在埠1，那麼由最大功率傳輸定理，formula_194會被完全吸收，這使得formula_190等於零。因此，formula_198且formula_199同樣，如果埠1終端接入的負載阻抗與系統阻抗相等，formula_187會為零，則formula_201且formula_202各引數的物理含義和網路特性如下：formula_183是輸入埠電壓反射係數，即埠2匹配時，埠1的反射係數formula_184是反向電壓增益，即埠1匹配時，埠2到埠1的反向傳輸係數formula_185是正向電壓增益，即埠2匹配時，埠1到埠2的正向傳輸係數formula_186是輸出埠電壓反射係數，即埠1匹配時，埠2的反射係數對於互易網路，formula_207。對於對稱網路，formula_208。對於反對稱網路，formula_209。對於互易無耗網路，formula_210且formula_211。二埠網路的S引數矩陣很常用，是生成的大型網路的高階矩陣的基本組成部分。特性引數.非互易網路的一個典型例子是工作線上性條件下的放大器，而互易網路的例子是匹配衰減器。在以下的引數中，按一般約定假設輸入和輸出分別連線到埠1和埠2。系統額定阻抗、頻率以及其他會影響裝置的因素也都一定要事先精確規定。複線性增益G定義為formula_212，這一引數是電壓增益，即輸出電壓除以輸入電壓的線性比，所有的值都是複數量。而標量線性增益是複線性增益的大小，定義為formula_213，這一引數是標量電壓增益，由於是標量，故不用考慮相位。增益g的標量對數表達式為formula_214 dB這一引數比線性增益更常用，是一個正數量，常被直接稱為增益，而負數量可被稱為負增益，不過更常用的說法是稱為損耗，等同於其以dB為單位的幅度。例如，一條10米長的電纜在100 MHz條件下的增益是- 1 dB，或者說這條電纜在100 MHz條件下的損耗是1 dB。formula_215的單位一般為dB，定義為：formula_216 dB按其定義來說，由於插入損耗是一種損耗，上式中得到的符號可以略去。插入損耗常與上述的formula_217混淆，在這裡需要特別考慮。二者的不同在於formula_217描述了裝置的輸入失配，而插入損耗並不是輸入阻抗或電源阻抗的函式。因此二者的表示式可以進一步改寫為formula_219，其中formula_220是電源的可用功率formula_221，其中formula_222是埠1的插入損耗對應的功率輸入formula_223是一個關於網路的實際輸入阻抗與系統額定阻抗值接近程度的標量量度，以對數幅值表達，定義為formula_224 dB由定義來看，回波損耗是一個正標量值，因為公式中包含2對幅值符號。線性部分formula_225相當於反射電壓幅值除以入射電壓幅值。輸出回波損耗formula_226與輸入回波損耗的定義相似，只不過描述物件是輸出埠而不是輸入埠，定義為formula_227 dB反向增益formula_228的標量對數表達式為formula_229 dB反向增益常會被表達為反向隔離度formula_230。反向隔離度是一個正數量，與formula_228的大小相等，表示式為formula_232 dB輸入埠電壓反射係數formula_233以及輸出埠電壓反射係數formula_234分別等於formula_183和formula_186，定義為formula_237且formula_238formula_183和formula_186是複數量，因此formula_233和formula_234也是複數量。電壓反射係數是複數量，可以用極座標圖或史密斯圖表示。埠的用小寫s表示，是於回波損耗相匹配的一個類似量度，不過不同之處在於，電壓駐波比這個線性標量描述的是駐波最大電壓與駐波最小電壓的比。因此，其與電壓反射係數的大小有關，也與輸入埠的formula_183和輸出埠的formula_186的大小有關。對於輸入埠，電壓駐波比formula_245定義為formula_246對於輸出埠，電壓駐波比formula_247定義為formula_248散射傳輸引數.散射傳輸引數又稱T引數，是從入射波和反射波的角度來定義的引數。T引數與S引數的不同之處，在於T引數是將埠1的訊號波與埠2的訊號波關聯起來，而S引數是將反射波與入射波關聯起來。從這一方面來說，T引數與ABCD引數充當了相同的角色，能透過將級聯網路組成部分的T引數進行矩陣相乘得到級聯組合網路的T引數。同ABCD引數一樣，T引數也可稱為傳輸引數。T引數不像S引數一樣容易直接測出，但是可以透過S引數非常容易地轉換得出。二埠網路的T引數矩陣與S引數矩陣非常接近，T引數是與歸一化入射波和歸一化反射波有關，符合如下關係：formula_249另一種定義方式：formula_250MATLAB的RF工具箱外掛以及多部著作均採用第一種定義，而本節的S與T引數的轉換公式是基於第二種定義推導的，因此要特別注意，而將第一種定義中的T11和T22交換，T12和T21交換並不會影響定義的正確性。與S引數相比，T引數的優點在於其只需要將每個級聯的獨立二埠的T引數矩陣進行矩陣相乘，就能確定若干個級聯二埠網路的效果。將二埠網路1、2和3的T引數矩陣分別設為formula_251、formula_252和formula_253，則3個級聯的二埠網路的T引數矩陣順序相乘就能得到組合網路的矩陣formula_254：formula_255如S引數一樣，T引數是複值，二者可以直接轉換。雖然級聯T引數是由獨立網路的T引數進行簡單的矩陣相乘得到，但是將每個網路的S引數轉換為T引數進行運算後，再將級聯網路的T引數轉換為等效的級聯網路S引數是有意義的，因為這種運算方法在實際中常常需要應用。不過在運算完成後，所有埠間的雙向複全波互作用就要考慮到。下列等式是S與T引數相互轉換的公式。S引數轉換為T引數：formula_256formula_257formula_258formula_259T引數轉換為S引數：formula_260formula_261formula_262formula_263引數轉換.其中formula_264，formula_265。下面以h引數轉換為Y引數的推導過程為例。formula_266將h引數方程組進行等式變形，得到Y引數方程組的形式：formula_267將第一個式子代入第二個式子：formula_268對第二個式子進行整理：formula_269其中formula_270。整理後的Y引數方程組為formula_271與Y引數方程組的標準形式進行比較，可以得到以下代換關係：formula_272其中formula_273散射引數一般透過直接測量得到，但也可透過與其他引數相互轉換匯出，下面舉出S引數與其他引數的轉換公式示例。下面列出S引數與Z引數的轉換公式。二埠S引數可以由等效的二埠Z引數得出，表示式如下：formula_274formula_275formula_276formula_277其中formula_278而formula_182是每一埠的特性阻抗。上式中的formula_280和formula_281一般用複數表示。注意對於某些特定formula_281值，formula_283將會為0，因此這將導致計算formula_280的表示式中分母formula_283為0。下面列出S引數與Y引數的轉換公式。二埠Y引數可以由等效的二埠S引數得出，表示式如下：formula_286formula_287formula_288formula_289其中formula_290而formula_182是每一埠的特性阻抗。上式中的formula_280和formula_293一般用複數表示。注意對於某些特定formula_280值，formula_283將會為0，因此這將導致計算formula_293的表示式中分母formula_283為0。二埠S引數也可由等效的二埠Y引數得出，表示式如下：formula_298formula_299formula_300formula_301其中formula_302而formula_182是每一埠的特性阻抗。電路變換.輸入、輸出阻抗和電流、電壓增益.輸入阻抗Zin、輸出阻抗Zout、電流增益KI、電壓增益KV分別定義為：formula_304。其中ZL是連線到埠2上的負載阻抗，ZS是連線到埠1上的電源阻抗。下面以h引數的輸入阻抗求取為例。輸入阻抗為formula_305不帶負載的二埠網路的h引數方程組為formula_306接入負載後formula_307將上式代入h引數方程組，並進行等式變換formula_308formula_309formula_310formula_311formula_312formula_313formula_314其中formula_270。多於2個埠的網路.二埠網路非常普遍，如放大器和濾波器都是二埠網路，但是如定向耦合器和等電阻網路有多於2個的埠。下列表示法可用於具有任意埠數的網路：例如，三埠網路的阻抗引數為下列形式：formula_316而下列引數只限於在二埠網路中應用：