安培環路定律

安培環路定律常直接簡稱為“安培定律”，是由安德烈-馬裡·安培於1826年提出的一條靜磁學基本定律。安培環路定律表明了：在真空中載流導線所載有的穩恆電流，與磁感應強度沿著環繞導線的任意閉合迴路，兩者之間的關係為formula_1；其中，formula_2是環繞著導線的閉合迴路，formula_3是磁感應強度，formula_4是微小線元素向量，formula_5是磁常數，formula_6是閉合迴路formula_2所圍住的電流。亦即，在真空中的穩恆電流會產生穩恆磁場，而磁感應強度B沿任意環繞載流導線的閉合路徑的線積分值乘以真空磁導率。1861年，詹姆斯·馬克士威又將這方程式重新推導一遍，使得符合電動力學條件，並且發表結果於論文《論物理力線》內。馬克士威認為，含時電場會生成磁場，假若電場含時間，則前述安培定律方程式不成立，必須加以修正。經過修正後，新的方程式稱為馬克士威-安培方程式，是馬克士威方程組中的一個方程式，以積分形式表示為formula_8；其中，formula_9是邊緣為formula_2的任意曲面，formula_11是穿過曲面formula_9的電流的電流密度，formula_13是電位移，formula_14是微小面元素向量。右手定則.載流迴圈所產生的磁場方向可以使用右手定則來判斷。其方法為將拇指外的四根手指向手掌彎的方向視為磁場方向，則拇指所指的方向即為電流的方向。右手定則也可以用來辨明一條電線四周磁場的方向。對於這用法，右手定則稱為「安培右手定則」，或「安培定則」。如右圖，安培右手定則表明，假若將右手的大拇指朝著電線的電流方向指去，再將四根手指握緊電線，則四根手指彎曲的方向為磁場的方向。原版安培環路定律.安培環路定律的歷史原版形式，連結了磁場與源電流。這定律可以寫成兩種形式，積分形式和微分形式。根據克耳文－斯托克斯定理，對於任意向量formula_15，formula_16。所以，這兩種形式是等價的。積分形式.電流formula_17在一個曲面formula_9上的通量，等於磁場formula_3沿著formula_9的邊緣閉合迴路formula_2的路徑積分。採用國際單位制，原版安培環路定律的積分形式可以寫為：formula_22。請注意到這方程式有些模糊之處，需要特別澄清：安培環路定律可由必歐-沙伐定律和磁場的疊加性證明。在靜磁學中，安培環路定律的角色與高斯定律在靜電學的角色類似。當系統組態具有適當的對稱性時，我們可以利用這對稱性，使用安培環路定律來便利地計算磁場。例如，當計算一條直線的載流導線或一個無限長螺線管的磁場時，可以採用圓柱坐標系來匹配系統的圓柱對稱性。微分形式.根據克耳文－斯托克斯定理，這方程式也可以寫為微分形式。只有當電場不含時間的時候，也就是說，當電場對於時間的偏微分等於零的時候，這方程式才成立。採用國際單位制，這方程式表示為formula_28。磁場formula_29的旋度等於傳導電流密度formula_30。電流分類.電流可以細分為自由電流和束縛電流，而束縛電流又可分類為磁化電流和電極化電流。以方程式表示，總電流密度formula_11是formula_32；其中，formula_33是自由電流密度或傳導電流密度，formula_34是磁化電流密度，formula_35是電極化電流密度。從微觀而言，所有的電流基本上是一樣的。但是，由於實用原因，物理學家會將電流分類為自由電流和束縛電流，對於每一類電流有不同的處理方式。例如，束縛電流通常發生於原子尺寸。物理學家或許想要使用較簡單但適用於較大尺寸狀況的理論。因此，較微觀的安培定律，以B場formula_3和微觀電流formula_37和自由電流來表達的形式。後面證明段落，會有詳細的關於自由電流和束縛電流的定義，與兩種表述等價的證明。自由電流.通常在教科書內所提及的單獨的“電流”二字，都是指的自由電流，即自由載流子。磁化電流.當一個物質被磁化的時候，產生微觀電流。將這些電流總合在一起，會有如同宏觀電流一般的效應，環繞於磁化物體內部或表面。稱這電流為磁化電流，是束縛電流的一部分。稱磁化電流的密度為「體磁化電流密度」formula_34，用方程式定義為formula_39；其中，formula_40是磁化強度。電極化電流.束縛電流的另外一種電極化電流。感受到電場的作用，可電極化物質內的正束縛電荷和負束縛電荷會以原子距離相互分離。假設電場隨著時間而變化，束縛電荷也會隨著時間而移動，因而產生「電極化電流」，稱其密度為「電極化電流密度」formula_41，用方程式定義為formula_42；其中，formula_43是電極化強度。注意到電極化強度的定義式formula_44；其中，formula_45是「體束縛電荷密度」。取電極化電流密度的散度：formula_46。所以，電極化電流密度與體束縛電荷密度的關係為formula_47。原版安培環路定律的不足處.原版安培環路定律只適用於靜磁學。在電動力學裡，當物理量含時間，有些細節必須仔細檢查。思考安培方程式，formula_48；其中，formula_3是B場，formula_5是磁常數，formula_51是總電流。取散度於這方程式，則會得到formula_52。應用一個向量恆等式，旋度的散度必定等於零。所以，formula_53。這意味著電流密度的散度等於零：formula_54。在靜磁學內，這是正確的。但是，出了靜磁學範圍，當電流不穩定的時候，這就不一定正確了。舉個經典例子，如圖右，一個正在充電的電容器，其兩片金屬板會隨著時間分別累積異性電荷。設定表面formula_55的邊緣為閉合迴路formula_2。應用安培定律，formula_57。在這裡，formula_6是透過任意曲面的電流，只要這曲面符合一個條件：邊緣為閉合迴路formula_2。所以，這任意曲面可以是表面formula_55，而formula_6是formula_17；或者這任意曲面可以是封閉圓柱表面減去左邊表面formula_63，而由於透過這任意曲面的電流是formula_64，formula_6是formula_64。選擇不同的曲面會得到不同的答案，這在物理學裡，是絕對不允許發生的事。為瞭解決上述難題，安培環路定律必須加以修改延伸。應用流體力學的方法，馬克士威摹想磁場為電介質渦旋大海，而位移電流即為大海內的電極化電流。在他於1861年發表的論文《論物理力線》裡面，馬克士威將位移電流專案加入了安培定律。位移電流.在自由空間內，位移電流跟電場隨著時間的變化率有關；而在電介質內，上述貢獻仍舊存在，但另外一個重要貢獻則與電介質的電極化有關。雖然電荷不能自由地運動於電介質，感受到外電場的作用，分子的束縛電荷可以做微小的運動。因此，正值和負值的束縛電荷會產生小距離的分離，造成電極化的增加，這可以用變數電極化強度formula_67來表達。電極化強度隨著時間的變化所產生的效應就是電極化電流。位移電流密度formula_68定義為formula_69；其中，formula_70是電位移，定義為formula_71；其中，formula_72是電常數，formula_73是電極化強度。所以，位移電流密度分為兩個部分：formula_74。這方程式右手邊的第一個專案是馬克士威修正專案，在任何地方都可存在，甚至在真空也可以存在。馬克士威修正專案並不涉及任何真實的電荷運動，但是，它描述一個含時電場的物理行為，就好像是真實的電流。第二個專案是電極化電流密度，與電介質內單獨分子的極化性有關。原本定律的延伸：馬克士威-安培方程式.將馬克士威修正專案加入安培方程式：formula_75 ;或者，使用H場formula_37和位移電流formula_77來表達，formula_78。這就是馬克士威-安培方程式，可以補救原本安培環路定律的限制。假若使用B場formula_3的馬克士威-安培方程式，由於習慣，時常會稱formula_80專案為位移電流密度。由於增添了位移電流，馬克士威能夠推論。CGS單位制的安培方程式.採用CGS單位制，安培方程式的積分形式，包括馬克士威修正專案，可以寫為formula_81；其中，formula_82是光速。其微分形式可以寫為formula_83。