阿蒂亞-辛格指標定理

在數學中，阿蒂亞-辛格指標定理斷言：對於緊流形上的橢圓偏微分運算元，其解析指標。它涵攝了微分幾何中許多大定理，例如陳-高斯-博內定理和黎曼－羅赫定理，在理論物理學中亦有應用。此定理由邁克爾·阿蒂亞與艾沙道爾·辛格於1963年證出。微分運算元的符號.設 formula_2 是帶 formula_3 個變元 formula_4 的 formula_5 階微分運算元。其符號定義是以 formula_6 為變元的函式，其定義是將formula_7映至formula_8因此符號對變元 formula_9 是個 "n" 次齊次多項式。若此多項式滿足 formula_10，則稱 formula_2 是橢圓運算元。例一. 帶 formula_3 個變元的拉普拉斯運算元其符號為 formula_13，這是一個橢圓運算元。以上所述是 formula_14 上的偏微分運算元。今考慮微分流形 formula_15，其上的 formula_5 階偏微分運算元可以藉區域性坐標系定義。此時其符號是 formula_15 的餘切叢 formula_18 上的函式；對固定的 formula_19，其符號是向量空間 formula_20 上的 formula_5 次齊次函式，此定義與區域性座標的選取無關。進一步言之，對於向量叢之間的偏微分運算元 formula_22，其符號是拉回叢 formula_23 的截面。若對每個 formula_19，此符號限制為可逆對映 formula_25，則稱 formula_2 為橢圓運算元。粗略來說，橢圓運算元的關鍵特性在於它們「幾乎」可逆。對於緊流形上的橢圓運算元 formula_22，存在一個橢圓偽微分運算元 formula_28 使得 formula_29 與 formula_30 都是緊運算元。由此可推知 formula_2 的核與餘核都是有限維的。解析指標.既然 formula_2 有偽逆，它便是 Fredholm 運算元。對這類運算元，可定義指標為Index("D") = Dim Ker(D) − Dim Coker("D") = Dim Ker(D) − Dim Ker("D"*)。在微分幾何的脈絡下，常另稱為formula_2的解析指標。例二. 考慮流形 formula_34，運算元 formula_35，其中 formula_36，這是最簡單的橢圓運算元。若 formula_37，則 formula_38，反之則為零空間；其伴隨運算元 formula_39 滿足類似的性質，不難算出 formula_2 的指數為零。由此例可見 formula_41 與 formula_42 在 formula_43 變化時可能有不連續點，但其差則是個常數。拓撲指標.設 formula_15 是 "n" 維緊微分流形，橢圓偏微分運算元 formula_22 的拓撲指標定義為formula_46換言之，是同調類 formula_47 的最高維項在 formula_15 的基本同調類上的取值。在此：在特別的情況下，上方的定義可以被簡單化。設formula_15為一個 formula_58維、可定向、緊的流行，還假設它的尤拉示性數不等於零。引用託姆同構並從分類空間formula_59的上同調環拉回尤拉類的逆元，我們可以將拓樸指標寫為formula_60指標定理.符號同前。橢圓運算元 formula_2 的解析指標在微小的擾動下不變，因此產生了一個自然的問題，稱為指標問題：可否以流形 formula_15 及向量叢 formula_63 的拓撲不變量表示解析指標？阿蒂亞-辛格指標定理給出的解答是："D" 的解析指標等於拓撲指標解析指標通常難以計算，而拓撲指標儘管定義複雜，卻往往有直截了當的幾何意義。藉由選取適當的橢圓運算元 formula_22，指標定理可以給出豐富的幾何資訊。例子.尤拉示性數.設 formula_15 為有定向的緊流形。任選一黎曼度量，取 formula_66，並取 formula_67，定義運算元 formula_68。此時的拓撲指標等於 formula_15 的尤拉示性數，解析指標等於 formula_70。希策布魯赫-黎曼-羅赫定理.設 formula_15 為緊複流形，formula_72 為其上的複向量叢。定義formula_73formula_74formula_75則解析指標等於formula_76而拓撲指標等於index("D") = ch("V")Td("X")["X"],Â 虧格與 Rochlin 定理.流形的Â虧格是個有理數。對於自旋流形，這個值總是整數，若 formula_77，則它還是個偶數。這個定理可以由指標定理匯出，方法是考慮適當的狄拉克運算元；當 formula_77 時，此運算元的核與餘核帶有四元數環上的向量空間結構，其複維度必為偶數，因此解析指標也必然是偶數。歷史淵源.蓋爾芳特首先注意到解析指標的同倫不變性，並在1959年提出了橢圓運算元的指標問題，希望以流形的拓撲不變數描述解析指標。黎曼-羅赫定理是最早知道的特例；另一方面，波萊爾與希策布魯赫早先證明瞭自旋流形的Â虧格的整性，並猜想這個性質可以由某個狄拉克運算元的指標詮釋。這個問題也由阿蒂亞與辛格在1961年聯手解決。阿蒂亞與辛格在1963年宣佈他們的指標定理，但一直沒有正式發表，只出現在 Palais 在1965年出版的書上。他們在1968年發表了第二個證明，用K理論取代了初版證明中的配邊論手法。阿蒂亞、博特與 Patodi 在 1973 年以熱傳導方程的手法給出另一個證明。格茨勒基於愛德華·維騰的想法，給出了區域性狄拉克運算元的區域性指標定理的簡短證明，這涵攝了實際應用中的大多數例子。證明手法.偽微分運算元.偽微分運算元的想法可以從歐氏空間上的常係數偏微分運算元解釋，在此情況下，這些運算元不外是多項式函式的傅立葉變換；如果我們容許更一般的函式，其傅立葉變換就構成了偽微分運算元。對於一般的流形，可以透過區域性坐標系定義偽微分運算元，只是手續稍微繁瑣一些。指標定理的許多證明中都利用偽微分運算元，而非一般的微分運算元，因為前者的理論更富彈性。舉例來說，橢圓運算元的偽逆不是微分運算元，卻仍是偽微分運算元；另一方面，群 formula_79 的元素對應到橢圓偽微分運算元的符號。對偽微分運算元可以定義階數，這個數可以是任意實數，甚至是負無窮大；此外也能定義其符號。橢圓偽微分運算元定義為些對長度夠長的餘切向量為可逆的偽微分運算元。指標定理的多數版本皆可推廣到橢圓偽微分運算元的情形。配邊.指標定理的首個證明奠基於希策布魯赫-黎曼-羅赫定理，並運用到配邊理論與偽微分運算元。想法簡述如下。考慮由資料 formula_80 構成的環，其中 formula_15 是緊定向微分流形，formula_82 是向量叢，其加法與乘法分別由不交併與積匯出；我們考慮此環對關係 formula_83 的商環。這個構造類似於配邊環，不過此時我們還慮及流形上的向量叢。解析指標與拓撲指標皆可詮釋為從此環映至整數環的同態。託姆的配邊理論給出了這個環的一組生成元，我們可以對這些較簡單的例子驗證指標定理，從而匯出一般的情形。K 理論.阿蒂亞與辛格正式發表的第一個證明採用了K-理論。設 formula_84 為緊流形，formula_85 為閉浸入，他們對橢圓運算元定義了一個推前運算 formula_86，並證明 formula_86 保持指標。我們一方面可取 formula_88 為一個包括 formula_15 的高維球面；另一方面，仍取 formula_88 為前述球面，而 formula_15 為其內一點。由於 formula_86 保持指標，而拓撲指標也具備相容的運算，兩相比較後可將指標定理化約到一個點的情形，此時極易證明。熱傳導方程.阿蒂亞、博特 與 Patodi 在1973年給出了熱傳導方程手法的證明。格茨勒、伯利納與弗尼在2002年給出一個精神相近的簡化證明，其中利用了超對稱的想法。設 formula_2 為偏微分運算元，formula_39 為其伴隨運算元，則 formula_95、formula_96 是自伴運算元，並具有相同的非零特徵值，但是它們核空間不一定有相同維度。formula_2 的指標寫作formula_98在此 formula_99 可任取。上式右側是兩個熱核的差，它們在 formula_100 時有漸近表示式，它乍看複雜，但不變數理論表明其中有許多相銷項，藉此可明確寫下領導項，由此可證出指標定理。這些相銷現象稍後也得到超對稱理論的詮釋。0 → "E"0 → "E"1 →"E"2 → ... → "E""m" →0推廣.其中的每個箭頭都是偽微分運算元，其符號構成一個正合複形。當只有兩項非零時，前述條件等價於其間的運算元是橢圓的，因此橢圓運算元是橢圓複形的特例。反過來說，給定一個橢圓複形，分別考慮其奇次項與偶次項的直和，其間的對映由原複形的對映及伴隨對映給出，如此則可得到橢圓運算元。阿貝爾獎公告上的引語.當阿蒂亞與辛格在2004年獲得阿貝爾獎時，公告上是這麼形容阿蒂亞-辛格指標定理的：