狄拉克δ函式

在科學和數學中，狄拉克δ函式有時可看作是在原點處無限高、無限細，但是總面積為1的一個尖峰，在物理上代表了理想化的質點或點電荷的密度。從純數學的觀點來看，狄拉克δ函式的近似。在訊號處理上，δ函式的離散函式，其定義域為離散集，值域可以是0或者1。概述."δ"函式的圖形通常可以視為整條"x"軸和正"y"軸。雖然稱為函式，但"δ"函式並非真正的函式，至少它的值域不在實數以內。例如，"f"("x") = "δ"("x")和"g"("x") = 0這兩個數學物件除了在"x" = 0以外都有相同的值，但其積分卻不相同。根據勒貝格積分理論，若"f"和"g"為函式，使得"f" = "g"幾乎處處成立，則"f"可積當且僅當"g"可積且"f"和"g"的積分相同。要嚴謹處理"δ"函式，須用到測度論或分佈。"δ"函式可以代表一個既高又窄的尖峰函式，用以描述點電荷和質點等抽象化的概念。舉例來說，要描述球桿擊球的動力學問題，可以用"δ"函式描述擊球那一刻的力。不但各種方程式會因此簡化，而且只需球桿傳遞的總衝量就能算出球擊出後的運動，而不須考慮球桿向球傳遞能量的複雜具體情況。在應用數學中，"δ"函式往往能看作是某函式序列的極限，該序列中的每一項都在原點處有一個尖峰，例如以零為中心、方差趨向零的高斯分佈序列。歷史.約瑟夫·傅利葉在他的《熱分析理論》中呈現了以下的方程式，今天稱為傅裡葉積分定理：formula_1這相當於以這種方式引入了"δ"函式：formula_2之後，奧古斯丁·路易·柯西用指數函式表達了這一定理：formula_3柯西指出，在某些情況下，積分的計算順序會影響計算結果。分佈理論允許重新排列柯西方程式，使它更接近以上傅裡葉的方程式：formula_4其中"δ"函式可表達為：formula_5在接下來的幾個世紀，數學家才逐漸理解這一指數形式的嚴謹含義，以及方程式中的函式"f"所需的條件。用舊有的數學觀念來理解，會有以下的問題：經典傅裡葉變換的最大缺點在於，能夠有效計算的只有很狹窄的一類函式。這些函式必須足夠快地降至零，才能保證傅裡葉積分值的存在。例如，連多項式這種如此簡單的函式，也不存在經典意義上的傅裡葉變換。經典傅裡葉變換擴充套件至分佈，大大增加了能夠進行變換的函式型別，移除了諸多障礙。之後，米歇爾·普朗歇爾進一步推廣了傅裡葉積分，並建立了狄拉克"δ"函式的嚴格定義。1827年，柯西首次明確寫下一個無限高的單位脈衝函式。西莫恩·德尼·帕松和古斯塔夫·基爾霍夫之後在研究波傳播的時候，考慮過這一函式。基爾霍夫與赫爾曼·馮·亥姆霍茲將單位脈衝描述為高斯分佈的極限，這也符合開爾文勳爵對點熱源的描述。19世紀末，奧利弗·黑維塞利用形式上的傅裡葉級數對單位脈衝進行操作。1930年，保羅·狄拉克在影響深遠的《量子力學原理》中引入了"δ"函式作為一種「方便的記號」，故此該函式今天以他命名。定義.籠統地來說，"δ"函式是在實數線上的一個函式，在原點上無限，在所有其他點上為零，formula_6並同時滿足以下條件formula_7這只是一個概略的表述："δ"函式並不是一個嚴格意義上的函式，沒有任何定義在實數線上的函式能滿足以上的條件。更嚴謹地來說，"δ"函式可以定義為分佈或測度。測度.測度是其中一種嚴謹定義"δ"函式的方法。作為一個測度，"δ"函式取一個實線R的子集"A"，當0 ∈ "A"時輸出"δ"("A") = 1，否則"δ"("A") = 0。如果把"δ"函式想象成位於0的一個理想化的質點，則"δ"("A")代表集合"A"所包含的質量。一個函式相對於"δ"的積分便可以定義為相對於這個測度的勒貝格積分。對於所有連續緊支撐函式"f"，這一積分滿足：formula_8測度"δ"相對於勒貝格測度不絕對連續，它其實是一個。因此，它並不具有拉東-尼科迪姆導數，也就是不存在滿足以下條件的函式"δ"：formula_9雖然這種寫法仍非常常見，但是它實際上只是一種方便的記號，而不是任何有良好定義的積分。作為R上的機率測度，狄拉克測度可以透過它的累積分佈函式──單位階躍函式──來定義：formula_10換句話說，"H"("x")是積累指示函式1(−∞, "x"]相對於測度"δ"的積分：formula_11"δ"函式相對於一個連續函式的積分可以透過黎曼－斯蒂爾傑斯積分嚴格定義：formula_12"δ"函式的所有更高矩都是零。其特徵函式和矩母函式都等於1。分佈.在分佈理論中，一個廣義函式並不像普通函式一樣直接定義，而是在它相對其他函式積分的時候，以它如何影響這一積分來定義。沿著這條思路，只須定義"δ"函式相對某個足夠「良好」的測試函式的「積分」就足夠了。如果"δ"函式已經定義為測度，則這種積分可以是測試函式相對於這"δ"測度的勒貝格積分。測試函式空間一般可包括所有formula_13上的緊支撐光滑函式。作為一個分佈，"δ"函式是在測試函式空間上的線性泛函，定義為\end{cases}要取得"δ"，對"g"("x" · "ξ")相對球體測度dω積分，再對積分施用拉普拉斯運算元的冪，其中"ξ"屬於單位球面"S""n"−1：formula_14此處的拉普拉斯運算元理解為弱導數，所以上式的意思是，對於任何測試函式"φ"，formula_15這一結果來自牛頓位勢公式。這實際上是拉東變換的逆轉公式，因為它能夠從"φ"("x")在超曲面上的積分取回"φ"("x")的值。例如，若"n"是奇數，而"k" = 1，則右邊的積分等於formula_16其中"Rφ"("ξ", "p")是"φ"的拉東變換：formula_17平面波分解的另一個等價表示式是formula_18對於偶數"n"，且formula_19對於奇數"n"。傅裡葉核.在對傅裡葉級數的研究當中，一個重要的問題是須要判斷，和某週期函式相關的傅裡葉級數是否收斂到該函式，以及從何種意義上收斂。週期為2π的函式"f"的傅裡葉級數的第"n"部分和，定義是與狄利克雷核在區間[−π,π]上的卷積：formula_20因此formula_21其中formula_22傅裡葉級數的一個基礎結果說明，當"N" → ∞，狄利克雷核趨向於"δ"函式的倍數。收斂指的是從分佈意義上的收斂，即formula_23對於一切緊支撐光滑函式"f"。從而，在區間[−π,π]上有formula_24儘管如此，但這並不對所有緊支撐連續函式成立，換言之，"DN"從測度意義上並不弱收斂。鑒於傅裡葉級數無法收斂，因此數學家建立了各種可和性方法來達到收斂。從切薩羅求和法發展出費耶核formula_25費耶核從一種更強的意義向"δ"函式收斂：formula_26對於一切緊支撐連續函式"f"。結果是，所有連續函式的傅裡葉級數在每一點上都是切薩羅可和的，且和的值等於該函式的值。希爾伯特空間理論.狄拉克"δ"分佈是在包含所有平方可積函式的希爾伯特空間L2上所稠密定義的一個無界線性泛函。緊支撐光滑函式在"L"2中是一個稠密集，且"δ"分佈對於緊支撐光滑函式有良好定義。在許多應用中，可以對"L"2的某個子空間賦予更強的拓撲，使得"δ"函式能夠定義一個有界線性運算元。索伯列夫嵌入定理應用在實數線R上的索伯列夫空間上時，意味著任何平方可積函式"f"，只要滿足formula_27就必定是連續的，而且滿足formula_28從而"δ"是一個在索伯列夫空間"H"1上的有界線性泛函。另一個等價的說法是，"δ"是"H"1的連續對偶空間"H"−1的元素。更一般地說，在"n"維中，有"δ" ∈ "H"−"s"(R"n")，條件是"s" &gt; "n" / 2。全純函式空間.在複分析中，"δ"函式出現在柯西積分公式中，公式說明，若"D"是複數平面上一個具有光滑邊緣的域，則formula_29對於一切在"D"的閉包內連續的全純函式。從而，對於此類全純函式，"δ"函式"δ""z"可以以柯西積分表示：formula_30更一般地來說，設"H"2(∂"D")是一個哈代空間，它是所有在"D"中直到"D"的邊緣都是連續的全純函式，在"L"2(∂"D")中的凸包。"H"2(∂"D")中的函式可以唯一地延續成"D"上的全純函式，而且柯西積分公式仍然成立。特別是對於"z" ∈ "D"，"δ"函式"δ""z"是一個"H"2(∂"D")上的連續線性泛函。這是多複數變數函式中的特殊情況：對於光滑域"D"，Szegő核代替了柯西積分的角色。單位分解.在可分希爾伯特空間中，給定一個由函式{"φ""n"}組成的標準正交基，那麼任何向量"f"都可以表達成：formula_31係數{αn}可以如下得出：formula_32也可以寫為formula_33這是狄拉克符號的一種。在這種寫法下，"f"以並矢方式展開：formula_34設"I"是該希爾伯特空間上的恆等運算元，則表示式formula_35稱為單位分解。當希爾伯特空間是"L"2("D")，包含所有在域"D"上的平方可積函式，那麼formula_36就是一個積分運算元，而"f"可以重新表達為：formula_37右邊的級數是在"L"2當中向"f"收斂。就算"f"是連續函式，點收斂極限也不一定存在。儘管如此，往往可以濫用符號，寫formula_38如此來表示"δ"函式：formula_39在適當的(Φ, "L"2("D"), Φ*)中，其中Φ ⊂ "L"2("D")包含所有緊支撐光滑函式，視乎基"φ""n"的性質，上方的級數有可能在Φ*中收斂。在大多數實際情況下，標準正交基來自於某個積分或微分運算元，這時候級數會從分佈的意義上收斂。無限小"δ"函式.1827年柯西在若干論文中寫下無限高、無限窄的函式時，用到了一個無限小數"α"，使得函式"δα"滿足formula_40他把無限小數定義為一個趨向於零的序列。非標準分析能夠嚴謹地處理無限小數。利用超實數的語言，狄拉克"δ"函式可以用含有無限小數的延伸實數來表達，詳見#重定向 論文所列出的相關書目。這樣定義的"δ"函式是真正意義上的函式，使得對於每個實函式"F"，都有formula_41結果與傅裡葉和柯西用別的語言所表達的一樣。狄拉克梳子.由一系列狄拉克測度組成的均勻脈衝串叫做，亦稱Shah分佈，是一個取樣函式，常用在數碼訊號處理和離散時間訊號分析中。狄拉克梳子是許多單個"δ"函式的無限和，和的極限是分佈意義上的極限：formula_42這可以理解為，在每個整數處都有一個單位質點。狄拉克梳子是其自身的傅裡葉變換。其重要性在於，若"f"是速降函式，則"f"在週期化後的結果以以下卷積表示：formula_43特別有，formula_44這正是帕松求和公式。索霍茨基－魏爾斯特拉斯定理.索霍茨基－魏爾斯特拉斯定理是量子力學中重要的定理，它把"δ"函式和分佈p.v.1/"x"聯絡起來，後者是函式1/"x"的柯西主值，定義是formula_45索霍茨基公式說明，formula_46此處的極限是分佈意義上的極限，就是說對於一切緊支撐光滑函式"f"，formula_47與克羅內克"δ"函式的關係.克羅內克"δ"函式"δij"的定義是，formula_48對於所有整數"i"、"j"。它滿足以下的篩選性質：若formula_49是一個兩頭無限的序列，則formula_50這和狄拉克"δ"函式的篩選性質十分相似：對於任何R上的實函式或複函式"f"，有formula_51也就是說，克羅內克"δ"函式可以看作是與狄拉克"δ"函式對應的離散函式。應用.機率論.在機率論和統計學中，狄拉克函式往往以機率密度函式的身份，來代表一個離散分佈或部分離散、部分連續的分佈。例如，設一組點x = {"x"1, ..., "xn"}，對應機率為"p"1, ..., "pn"；由這些點所組成的離散分佈的機率密度函式可以寫作formula_52又舉一例，設一個分佈，其中十分之六的情況下輸出標準正態分佈，而十分之四的情況下輸出單個數值3.5，這是一個部分連續、部分離散的混合分佈。其密度函式是formula_53也可以以完全不同的方法，用"δ"函式表示擴散過程中的。一個隨機過程的區域性時的表示式為formula_54這代表了該過程在某特定區間內，在點"x"所花的時間。更準確地說，當只有一個維度時，上面的積分可以寫成formula_55其中1["x"−"ε", "x"+"ε"]是區間["x"−"ε", "x"+"ε"]的指示函式。量子力學.以下舉一個例子，展示"δ"函式如何在量子力學中派上用場。一個粒子的波函式所給出的，是粒子出現在特定空間範圍內的機率幅。波函式假定屬於希爾伯特空間"L"2，且粒子在某空間範圍內出現的總機率，等於波函式的絕對值平方在該範圍內的積分。一組波函式{"φ""n"}叫做標準正交，如果formula_56其中"δ"指的是克羅內克"δ"函式，而不是狄拉克"δ"函式。一組標準正交波函式叫做在平方可積函式空間中完備，如果任何波函式"ψ"都可以表達為一些"φ""n"的線性組合：formula_57其中formula_58。量子力學中的哈密頓算符量度的是，上式所表達的就是單位分解：formula_59此處，特徵值都是離散的，但一個可觀察量的特徵值也可以是連續的，就如位置算符"Qψ"("x") = "xψ"("x")。位置的光譜是整條實數線，所以稱作連續光譜。不過，和哈密頓算符不同的是，位置算符並沒有正式的本徵函式。為瞭解決這一困局，通常會擴大所允許使用的函式，從普通的函式到所有分佈。換言之，量子力學的希爾伯特空間要由合適的取代。這樣一來，位置算符就有了一套完備的本徵分佈，對應於實數線上的每個點"y"：formula_60位置的本徵函式用狄拉克符號記作formula_61，亦稱為位置本徵態。這種處理方法同樣可以應用於動量算符，以及一切希爾伯特空間上的自伴無界運算元"P"，前提是"P"具有連續光譜，且不存在退化特徵值。更確切地說，有一個實數的子集Ω和一組分佈"φ""y"，對應於Ω的每個元素"y"，使得formula_62也就是說，"φ""y"是"P"的特徵向量都滿足歸一化條件：formula_63那麼對於一切測試函式ψ，就有formula_64其中formula_65此處所得出的單位分解和離散的情況比較，有相似之處：formula_66其中以運算元為值的積分同樣理解為弱積分。若"P"的光譜同時含有連續和離散部分，則它的單位分解須包含跑遍所有離散態的和，再加上跑遍所有連續態的積分。"δ"函式在量子力學中還有眾多特殊應用，例如"δ"位勢阱。結構力學.在結構力學中，"δ"函式可以用來描述結構上的瞬時荷載或點荷載。一個諧振子在"t"=0時突然受到衝量為"I"的力的衝擊，其演變可以如下描述：formula_67其中"m"是質量，ξ是撓度，而"k"是彈簧常數。根據尤拉﹣伯努力理論，一條細長的樑的靜力負荷撓度是formula_68其中"EI"是樑的彎曲剛度，"w"是撓度，"x"是空間坐標，而"q"("x")則是負荷分佈。如果棟樑在"x" = "x"0處受到點力"F"的負荷，那麼負荷分佈可以寫作formula_69由於"δ"函式的積分是黑維塞階躍函式，因此細長棟樑在多個點受到點力負荷時的靜力負荷撓度，可以用一組分段多項式來表示。"δ"函式還可以描述作用在一條樑上的點。設兩個相距"d"的相反方向的點力"F"，它們在棟樑上所產生的彎矩為"M" = "Fd"。在保持"M"不變的情況下，使"d"趨向於零。假設所產生的彎矩位於"x" = 0，方向是順時針，那麼對棟樑的負荷分佈就是formula_70因此點彎矩可以用"δ"函式的導數來描述。對棟樑方程積分，得出的撓度一樣是分段多項式。