閔考斯基時空

閔可夫斯基時空，在數學物理學中是指由三維歐幾里德空間與時間組成的四維流形，其中任意兩個事件之間的時空間隔與所依照的慣性系無關。儘管赫爾曼·閔可夫斯基一開始是為了電磁理論的麥克斯韋方程組而發展這一理論，但閔可夫斯基時空的結構卻可以從狹義相對論的公設直接推出。閔可夫斯基空間與阿爾伯特·愛因斯坦的狹義相對論緊密相關，並且是狹義相對論最為常用的數學表述結構。歐幾里德空間的單個分量以及時間可能會因為長度收縮以及時間膨脹等效應而發生變化，在閔可夫斯基空間中，不同參考系中兩個事件間的時空總距離則都是一致的。不過由於時間維度與三個空間維度的處理方式仍存在不同之處，閔可夫斯基空間與四維歐幾里德空間仍是不同的。在三維歐幾里德空間。它是由旋轉、反射以及平移生成的。當將時間作為第四個維度考慮在內時，時間的平移以及就需要考慮在內。由上述提及的變換所構成的群稱作伽利略群。所有的伽利略變換保證三維歐幾里德距離不變。這個距離只是空間上的距離。時間則獨立於空間，同時保持不變。在狹義相對論中，空間和時間則會互相影響。閔可夫斯基空間對於時空的表述是藉助不定非退化雙線性形式完成的。這一形式在下文中會依據語境不同被叫作“閔可夫斯基度規”、“閔可夫斯基範數平方”或是“閔可夫斯基內積”閔可夫斯基內積是在兩個事件的座標差向量作為自變數時對時空間隔定義的。在引入這種內積後，時空的數學模型就被叫作閔可夫斯基空間。對應於伽利略群，閔可夫斯基時空中保證時空間隔不變的變換群叫作“龐加萊群”。總體而言，伽利略時空與閔可夫斯基時空在被看作流形時是完全相同的。他們之所以不同是因為定義於其上的結構是不同的。前者有的是歐幾里德距離，獨立於空間的時間以及由伽利略變換相互關聯的慣性系，而後者有的是閔可夫斯基度規和由洛倫茲變換相互關聯的慣性系。歷史.四維歐幾里德時空.亨利·龐加萊在1905年至1906年間發現當將時間作為一個虛座標i是虛數單位）並與三個表示空間的實座標共同組成四維時空時，洛倫茲變換就可以看作是這一時空中的座標旋轉。狹義相對論可以保證這個量：formula_1在兩個慣性系間的座標變換，也就是洛倫茲變換，前後保持不變。注：此處及以下公式使用了幾何單位制，即令c=1的單位制，所以在這種單位制下t和x,y,z量綱相同。這裡對於光速("t", "x", "y", "z") ↦ ("x", "y", "z", "it")構造的。洛倫茲變換在座標空間中作為普通的旋轉變換保證formula_2不變。後一種表述可以讓前面的表述更為容易理解，但兩式中t所表示的意義不同也可能會造成混淆。無論是在座標空間還是在實際的時空中，在由兩個空間單位向量確定的平面中的旋轉就是通常意義上的旋轉。不過當那個平面是由一個時間單位向量以及一個空間單位向量確定的時候，其中的“旋轉”稱作，與歐幾里德旋轉就不那麼相似了。赫爾曼·閔可夫斯基基於這一構想在四維空間中重新闡釋了麥克斯韋方程組，並展示了其在洛倫茲變換前後的不變性。他又進一步在四維空間中重新表述了愛因斯坦的狹義相對論，由此總結出時間與空間應該做相同的處理，並提出了事件是在一個統一的四維時空連續統中發生的概念。閔可夫斯基空間.1908年，在有關“空間與時間”的講座中，閔可夫斯基又利用另一種方式來闡釋這種四維時空。他將虛的時間座標替換為實的時間座標，並利用一個四維實向量空間來表述時空的四個自變數("x", "y", "z", "t")。這個空間中的點與時空中的事件一一對應。在這個時空中還有一個特別的光錐。空間中不在光錐上的點可以依據它們與光錐的關係劃分為“類空”或“類時”。這與現今對時空的認知基本一致。不過那種將時間作為虛座標的做法由於某些原因仍在狹義相對論以及量子場論有所應用。將時間作為實座標的閔可夫斯基空間與將時間作為虛座標的四維歐幾里德空間之間的轉換叫作威克轉動。在閔可夫斯基的論文中，下面定義的閔可夫斯基度規叫作“線元素”，涉及特定向量正交性的閔可夫斯基內積沒有被命名，而閔可夫斯基範數平方則叫作“和”。閔可夫斯基圖是閔可夫斯基使用的一項重要的工具。他利用這一工具來定義概念並展示了洛倫茲變換的一些性質，不包括其具體應用以及時空間隔不變性的推導。這個數學結構提供了目前廣義相對論以外所有相對論理論的背景。對於廣義相對論，閔可夫斯基時空仍可作為區域性平坦的彎曲時空的出發點。閔可夫斯基本人對於他的這種重新闡釋方法有著這樣的評價：我想要在從實驗物理學土壤中勃發出的下埋置的時空觀在那裡擁有它自身的力量。它是激進的。自此，單是空間或是時間將隱沒入陰影之中，只有它們的聯合體才會維繫著一個獨立的現實。更進一步的歷史方面的資訊，請重定向 , #重定向 and #重定向 。數學結構.下文中，時空將被賦以對應某個慣性系的座標系。這樣就可以得到一個的原點。這個原點在把時空構造為向量空間的過程中很重要。儘管從物理意義來說這樣的一個正則原點並不需要存在。人們可以構造具有更簡單結構的時空，比如仿射空間，但這會新增不必要的討論，並且不能反映平坦空間目前是如何從數學上處理的。總體而言，閔可夫斯基空間是一個四維實向量空間。時空中每個點的切空間上具有非退化對稱雙線性形式，這裡稱作“閔可夫斯基內積”，為(− + + +)。每個事件的切空間是一個具有與時空相同維度的四維向量空間。切向量.切空間在實際應用中可能並不會涉及。閔可夫斯基空間的切空間的性質可以讓人們擁有利用閔可夫斯基空間本體裡的向量標示切空間中向量的規範方法。例子請重定向 。標識的過程通常是利用數學方法完成的。它們可以在直角座標系中表示為：formula_3其中切空間的基矢定義為：formula_4這裡的n元向量也可以定義切向量。將切向量定義為普通向量的方法在直角座標系，點"x""μ"的變換方式相同。具體來說，就是：formula_5這種定義在標準同構下與上文給出的定義等價。標準基底.閔可夫斯基時空的一組常用標準基底是四個互相正交的向量的集合("e"0, "e"1, "e"2, "e"3)使得formula_6這些條件可以更簡要地寫成如下形式：formula_7其中μ與ν涵蓋的數值有{0, 1, 2, 3}，矩陣η稱為閔可夫斯基度規，數值為formula_8相對於一組標準基底，一向量formula_9 的分量可以寫作formula_10，並且我們使用愛因斯坦標記來寫formula_11。分量formula_12稱作formula_9 的「類時分量」(timelike component)，而其他三個分量則稱作「類空分量」(spatial components)。以分量來寫，兩個向量formula_9與formula_15間的內積可寫成formula_16，而一向量formula_9的範數(norm)平方值為formula_18。因果結構.四維向量依據它們內積的正負號來區分。四維向量formula_19、formula_9與formula_15可分類如下：這樣的術語源自於相對論中對於閔可夫斯基時空的使用。閔可夫斯基時空中一事件所有零向量的集合構成了該事件的光錐(light cone)。注意到這些標記的使用與參考系無關。向量場被稱作是類時、類空或零，是看場定義所在的各點，其所對應的向量是類時、類空或零。關於零向量一個有用的結果：「若兩個零向量formula_28、formula_29正交。」一旦時間方向選定了，類時向量與零向量可以再分為各種類別。以類時向量(timelike vector)來說，我們有以零向量(null vector)來說，可分為三種類別：加上類空向量，全部共有六種類別。閔可夫斯基時空中的正交歸一基底(orthonormal basis)必然包含一個類時與三個類空的單位向量。若希望以非正交歸一基底來做運算，則可有其他的向量組合。例如：可以輕鬆建構一種基底，整個是由零向量所組成，稱之為「零基底」(null basis)。參閲.維基共享資源上的相關多媒體資源：