拉比周期

在物理學中，拉比周期是在振盪外場中的二能級量子體系的週期性行為。一個二能級系統具有兩個可能的狀態，如果狀態不是簡併的，當吸收一份能量以後，體系可以被激發。這種效應在量子光學、核磁共振和量子計算中非常重要，它是以伊西多·伊薩克·拉比的名字命名的。當一個原子被一束相干光照射的時候，它將週期性地吸收光子並透過受激發射重新將光子發射出來，這樣一個週期稱為拉比周期，它的倒數稱為。這種機制是量子光學的基礎，其模型的建立可以依據傑恩斯-卡明斯模型和布洛赫向量形式。例如，對於頻率受外部電磁場調製到激發態的二能級原子，利用布洛赫方程可以得到，原子處於激發態的機率為formula_1 ，其中formula_2為。更一般地，可以考慮一個沒有本徵態的二能級體系，如果這個體系初態位於其中一個能級，時間演化將導致每個能級的態密度按照某個特徵頻率振盪，其角頻率也稱為。數學處理.拉比效應的數學細節請 例如，若將電磁場頻率調至激發能，並於電磁場當中置入一個雙態原子，那麼處於激發態原子之機率可以從Bloch方程得出：formula_3formula_4是拉比頻率。更一般而言，我們可以考慮一種，兩個能階都不是能量本徵態的系統 。因此，如果在其中一個能階對系統初始化，則時間演化將使每個能階的總粒子數以某個特徵頻率振盪，其角頻率也稱為拉比頻率。 該雙態量子系統的狀態可以表示為二維希爾伯特空間複向量 ，這意味著每個狀態向量 formula_5是以標準的複數座標表示。formula_6formula_7和formula_8是座標。如果向量歸一化， formula_7和formula_8的關聯為formula_11 。 基向量表示為formula_12和formula_13所有與該系統相關的可觀測物理量均為2 formula_14 2埃爾米特矩陣 ，這表示系統的哈密頓量也是相似矩陣。如何在量子系統中準備振盪實驗.可以透過以下步驟建構振盪實驗：如果formula_15是H的本徵態且P(t)=1 ，那麼就不會產生振盪。此外，如果兩個態formula_18和formula_15皆為簡併態，那麼包括formula_15在內的所有態皆為H的本徵態。因此也不會產生振盪。另一方面，若H無簡併本徵態，且初態不是本徵態，則振盪將會產生。 雙態系統哈密頓量的最一般形式給定如下formula_21formula_22和formula_23是實數。 這個矩陣可以分解為 formula_24formula_25是2 formula_14 2單位矩陣，formula_27是泡利矩陣 。 尤其是在與時間無關的情況下，這種分解能夠簡化系統分析，其中formula_28和formula_23是常數。考慮置於磁場formula_30 之中的自旋1/2粒子。該系統的互動作用能量算符為formula_31 ， formula_32formula_33是粒子磁矩的大小， formula_34是旋磁比 ，formula_35是泡利矩陣之向量。此處哈密頓量之本徵態是formula_36，而formula_15和formula_38具有對應的本徵值formula_39 。 我們可以在系統處於狀態formula_40下，給出找到任意狀態formula_41之機率formula_42。在formula_43的時刻，讓系統處於準備狀態formula_44 。 注意到formula_44是formula_46的本徵態 ： formula_47此處的哈密頓量與時間無關。 因此，透過求解平穩的薛丁格方程，在經過時間t之後，狀態演變為formula_48 ，帶有系統總能量formula_49 。因此經過時間t之後，狀態成為： formula_50現在假設在t時刻，對x方向上的自旋進行測量。 下式給出測量到自旋向上的機率：formula_51formula_52是特徵角頻率，假設formula_53的情形，給定formula_54 。 在這種情況下，當系統最初自旋是在formula_44方向，那麼x方向發現自旋向上的機率會隨著時間formula_56而振盪。 同樣，如果我們測量formula_57方向，那麼所測量到的系統自旋為formula_58之機率為formula_59 。在formula_60簡併情形下 ，特徵頻率為0，無振盪發生。留意到，如果系統處於給定哈密頓量的本徵態，則系統將維持在該狀態，保持不變。這同樣也適用於時間相依的哈密頓函式。 以formula_61 為例；如果系統的初始自旋狀態為formula_62 ，那麼在formula_56時刻，自旋在y方向測量結果為formula_64之機率為formula_65 。以包立矩陣推導非微擾過程之拉比公式.考慮以下形式的哈密頓量formula_66該矩陣的特徵值為formula_67。系統當前處於formula_68，而之後處於任意態 formula_69的機率為formula_70這可以簡化為formula_71...(1)這表明， 當系統最初處於狀態formula_72時，該系統最終處於狀態formula_69的機率是有限的。機率是以角頻率 formula_74振盪，而formula_75是系統唯一的玻爾頻率，又稱為{{link-en|拉比頻率|Rabi frequency}}。而式子(1)亦可稱為拉比公式。在時間t之後，系統處於狀態formula_72的機率為formula_77，同樣也是振盪形式。這些二能階系統的振盪稱為拉比振盪，在許多問題之中都會發生這種振盪，如中微子振盪、{{le|電離氫分子|Hydrogen_ion}}、量子計算、氨邁射等等。量子計算中的拉比振盪.任何雙態量子系統都可以用來模擬量子位元。現在考慮一個自旋formula_78系統，將磁矩formula_79置於經典磁場formula_80之中。令系統旋磁比formula_81，因此磁矩formula_82，可以給出該系統的哈密頓量formula_83，此處formula_84，formula_85。透過上述步驟，我們可以求得哈密頓量的特徵值和特徵向量。現在，讓量子位元在formula_86時刻處於量子態formula_87，那麼，在formula_88時刻，量子位元處於量子態formula_69的機率為formula_90formula_91，這種現象就稱作拉比振盪。因此，量子位元會在量子態formula_72和formula_69之間振盪。振盪的振幅會在formula_94達到最大，而這即為共振條件。共振時的躍遷機率為formula_95，要從一個量子態formula_72躍遷到另一個量子態formula_69，只需調整旋轉場作用的時間formula_88滿足formula_99或是formula_100就充分了，這叫做「formula_101脈衝」。如果選擇的時間介於0和formula_102之間，我們會得到formula_72和formula_69的疊加態。尤其是當formula_105的時候，我們會得到一個「formula_106脈衝」，它的作用是造成formula_107量子態躍遷，而這個操作在量子計算中起到至關重要的作用。當對鐳射場中的二能階原子進行大致滿意的旋轉波近似時，方程基本上是相同的。然後兩個原子能階之間的能量差formula_108(formula_52是鐳射波的頻率)及拉比頻率formula_110，與原子的躍遷電偶極矩formula_111與鐳射波電場formula_112的乘積成正比，也就是formula_113。總而言之，拉比振盪是用於操縱量子位元的基本過程，而這個振盪是在適當調整的時間間隔內，藉由將量子位元暴露在週期性的電場或磁場中來獲得。A Java applet that visualizes Rabi Cycles of two-state systems (laser driven).extended version of the applet. Includes electron phonon interaction.