剛體

在物理學裡，理想剛體是一種有限尺寸，可以忽略形變的固體。不論是否感受到外力，在剛體內部，質點與質點之間的距離都不會改變。這種理想模型適用條件是，運動過程比固體中的彈性波的傳播要緩慢得多。根據相對論，這種物體不可能實際存在，但物體通常可以假定為完美剛體，前提是必須滿足運動速度遠小於光速的條件。在經典力學裡，剛體通常被視為連續質量分佈體；在量子力學裡，剛體被視為一群粒子的聚集。例如，分子時常會被視為剛體。運動學.位置與取向.剛體是由一群數量超多的質點組成。實際而言，不可能精確地追蹤其中每一個質點的運動。為了簡化運算，可以利用剛體的「剛性」，即其內部所有質點彼此之間距離不變的性質。假若物體具有剛性，則倚靠設定三個不共線質點的位置，就足以設定此物體的位置。這意味著，在三維空間裡，剛體至多隻有九個自由度，但由於假定三個質點之間的距離固定不變，所以，剛體只有六個自由度。假設還有其它約束，例如，剛體的運動必需繞著其內部一點旋轉，則自由度會小於六。關於其它任意質點P的位置，只要知道質點P對於上述三個質點之中的任意一個質點的相對位置，就可以重建這質點的位置。通常，整個剛體的空間位形可以簡易地以引數設定：方向餘弦.方向餘弦方法可以用來設定附體參考系B的取向，即剛體的取向。假設沿著參考系S的坐標軸的三個單位向量分別為formula_1、formula_2、formula_3，沿著參考系B的坐標軸的三個單位向量分別為formula_4、formula_5、formula_6。定義formula_7與formula_8之間的方向餘弦formula_9為formula_10；其中，formula_11是formula_7與formula_8之間的夾角。formula_4、formula_5、formula_6與formula_1、formula_2、formula_3之間的關係分別為formula_20、formula_21、formula_22。兩個參考系的坐標軸所形成的矩陣稱為「方向餘弦矩陣」formula_23：formula_24。採用愛因斯坦求和約定，由於formula_25，給定方向餘弦矩陣formula_23，則可設定附體參考系B的取向，也就是剛體的取向。反過來，經過一番運算，可以得到formula_27。給定位置向量formula_28formula_29，則formula_28與formula_7的內積為formula_32。方向餘弦矩陣formula_23可以將從空間參考系S觀測的位置坐標formula_34，變換為從附體參考系B觀測的位置坐標formula_35，因此又稱為「變換矩陣」。變換矩陣formula_23也可以做反變換如下：formula_37。變換矩陣formula_23是一種正交矩陣，滿足「正交條件」formula_39；其中，formula_40是克羅內克函式。注意到formula_11與formula_42不同，夾角formula_42是formula_44與空間參考系S的坐標軸單位向量formula_45之間的夾角。變換矩陣formula_23通常不是對稱矩陣。對於二維旋轉，變換矩陣formula_23可以視為旋轉矩陣。例如，將附體參考系B或剛體旋轉，從formula_4、formula_5、formula_6旋轉formula_51角弧成為formula_52、formula_53、formula_54；其中，formula_55。對於這旋轉，旋轉矩陣formula_23為formula_57。參考軸formula_58與formula_44之間的關係為formula_60。旋轉矩陣formula_23也可以視為將點P的位置向量formula_62旋轉formula_63角弧成為點P'的位置向量formula_64：formula_65。尤拉角.方向餘弦矩陣formula_23足以設定附體參考系B的取向。但是，矩陣formula_23有九個元素，而剛體只能供給三個自由度來設定取向，因為這九個元素不是自變數。尤拉角的三個自變數可以用來設定剛體的取向。相對於空間參考系S，附體參考系B的取向，可以用三個尤拉角來設定。圖。設定xyz-軸為空間參考系S的坐標軸，XYZ-軸為附體參考系B的坐標軸。稱xy-平面與XY-平面的相交為「交點線」，用英文字母代表。按照「zxz順規」，尤拉角可以這樣定義：每一個尤拉角的旋轉都對應於一個簡單的旋轉矩陣：formula_71、formula_72、formula_73。設定剛體取向的旋轉矩陣formula_23是由三個簡單旋轉矩陣formula_75、formula_76、formula_77共同合成：formula_78。單獨分開工作，每個矩陣各自代表一種旋轉。按照順序相乘，經過一番運算，可以得到formula_23矩陣：formula_80 。formula_23的逆矩陣是：formula_82 。尤拉旋轉定理.尤拉旋轉定理表明，在三維空間裡，假設約束剛體內部一點固定不動，則其任意位移等價於繞著某固定軸的一個旋轉，而這固定軸必包含這固定點。換句話說，設定附體參考系B的原點為這固定點，則附體參考系B不會因為這位移而涉及任何平移運動，再設定附體參考系B的z-軸與固定軸同軸，則這位移對應於繞著附體參考系B的z-軸旋轉formula_70角弧，而z-軸的方向是由formula_68與formula_69角弧給出。對於內部有一點被約束固定不動的剛體，尤拉旋轉定理將其任意位移等價為繞著某固定軸的一個旋轉。這允許使用旋轉來表達取向的改變。因此，變換矩陣formula_23可以視為三維旋轉的旋轉矩陣，將附體參考系B或剛體做任意環繞著固定點的旋轉，從formula_4、formula_5、formula_6旋轉成為formula_52、formula_53、formula_54。參考軸formula_58與formula_44之間的關係為formula_60。沙勒定理.當剛體移動時，它的位置與取向都可能會隨著時間演進而改變。沙勒定理是尤拉旋轉定理的一個推論。根據沙勒定理，剛體的最廣義位移等價於一個平移加上一個旋轉。因此，剛體運動可分為平移運動與旋轉運動。剛體的現在位置與現在取向可以視為是從某個初始位置與初始取向經過平移與旋轉而成。如右圖所示，從時間formula_96到時間formula_97，當剛體在做平移運動時，任意內部兩點，點P與點Q的軌跡的方向保持恆定。挑選剛體內部一點G來代表整個剛體，設定附體參考系B的原點於點G，則從空間參考系S觀測，在剛體內部任意一點P的位置formula_99為formula_100；其中，formula_101、formula_102分別是基點G的位置、點P對於基點G的相對位置。從附體參考系B觀測，剛體內部每一點的位置都固定不變，但從空間參考系S觀測，剛體從時間formula_96到時間formula_97的運動，可以分為基點G從formula_105到formula_106的平移運動，與位移formula_102從時間formula_96到時間formula_97的旋轉運動。平移速度與角速度.從不同的參考系觀測剛體運動，可能會獲得不同的平移速度和不同的角速度。為了確保測量結果具有實際物理意義，必需先給定參考系。剛體的平移速度是向量，是其位置向量的時間變化率，是附著於剛體的基點G的速度。對於純平移運動，剛體內部所有點的移動速度相同。假設涉及旋轉運動，則通常剛體內部任意兩點的瞬時速度不相等；只有當它們恰巧處於同一直軸，而這直軸平行於轉動瞬軸，則它們的瞬時速度相等。角速度也是向量，描述剛體取向改變的角速率，和剛體旋轉時的瞬時轉軸的方向。在任意時間，剛體內部每一個質點的角速度相同。向量的時間變化率.假設一剛體呈純旋轉運動，其附體參考系B也會跟著旋轉，因此，對於任意向量formula_110，從這附體參考系B與從空間參考系S觀測，會得到不同的結果。假設附體參考系B formula_111與空間參考系S formula_112同原點。對於這些參考系，三維含時向量formula_113分解為formula_114。formula_113對於時間的導數為formula_116。單獨計算附體參考軸對於時間的導數：formula_117；其中，formula_118是方向餘弦對於時間的導數。由於formula_119垂直於formula_7，formula_119只能是其他兩個單位向量的線性組合：formula_122；其中，formula_123是列維-奇維塔符號，formula_124是係數。對於任意formula_125 ,單位向量formula_7與formula_127的內積對於時間的導數為formula_128所以，formula_124的下標formula_130多餘無用，可以刪除，變為formula_131：formula_132。思考formula_133方程式最右邊專案formula_134，對換傀標formula_130 formula_136，可以得到formula_137。向量formula_138是由三個係數formula_139、formula_140、formula_141組成，對應於附體參考系的三個參考軸formula_4、formula_5、formula_6，係數數值可以從尤拉角計算求得：formula_145、formula_146、formula_147。試想對應於尤拉角formula_68、formula_69、formula_70的三個旋轉軸分別為formula_151、formula_152、formula_153，三個角速度分別為formula_154、formula_155、formula_156。這三個角速度的向量和，對於附體參考系B的分量分別為formula_157、formula_158、formula_159。注意到附體參考系B的formula_4、formula_5、formula_6就是尤拉角的formula_163、formula_164、formula_153，所以，向量formula_138是附體參考系B旋轉的角速度。總結，向量formula_113對於時間的導數為formula_168。設定formula_169、formula_170分別為從空間參考系S、附體參考系B觀測到的向量formula_113對於時間的導數，上述方程式可以表達為formula_172。專案 formula_173可以想像為，從空間參考系S觀測，剛體內部位置向量為formula_110的質點，由於剛體旋轉而產生的速度。向量formula_113是任意向量，因此可以將formula_176、formula_177當作算符，這樣，對應的算符方程式的形式為：formula_178。這算符方程式可以作用於任意含時向量。運動學方程式.根據沙勒定理，剛體的最廣義位移等價於一個平移加上一個旋轉。挑選剛體內部一點G來代表整個剛體，設定附體參考系B的原點於基點G，則從空間參考系S觀測，在剛體內部任意一點P的位置formula_99為formula_100；其中，formula_101、formula_102分別是基點G的位置、點P對於基點G的相對位置。點P的速度formula_183為formula_184；其中，formula_185、formula_186分別是基點G的速度、點P對於基點G的相對速度。應用前段推導出的適用於任意含時向量的算符方程式，可以計算出formula_187。由於從附體參考系B觀測，剛體內部每一點的位置都固定不變，專案formula_188等於零：formula_189；其中，formula_138是剛體的角速度向量。所以，點P的速度為formula_191。點P的加速度formula_192為formula_193；其中，formula_194、formula_195分別是基點G的速度、點P對於基點G的相對速度。再應用前段推導出的算符方程式，可以計算出formula_196；其中，formula_197是附體參考系B旋轉的角加速度向量。主專案：剛體動力學動力學.當描述剛體的動力運動時，必需先處理妥善剛體的平移運動，即先選擇一個參考點來代表剛體與其附體參考系B。剛體內部任意一點都可以被選為參考點。但是，根據實際應用需要，比較適當的選擇為：當質心被選為參考點時：