集合 (數學)

集合簡稱集，是一個基本的數學模型，指具有某種特定性質的事物的總體。集合裡的事物稱作元素，它們可以是任何型別的數學物件：數字、符號、變數、空間中的點、線、面，甚至是其他集合。若formula_1是集合formula_2的元素，記作formula_3。集合在現代數學無處不在，其基本理論是於十九世紀末創立的。自20世紀上半葉以來，集合理論，更確切地說是策梅洛-弗蘭克爾集合論，一直是為所有數學分支奠定嚴格實際基礎的標準。導言.定義.簡單來說，所謂的一個"集合"，就是將數個物件歸類而分成為一個或數個形態各異的大小整體。一般來講，集合是具有某種特性的事物的整體，或是一些確認物件的彙集。構成集合的事物或物件稱作“元素”或“成員”。集合的元素可以是任何事物，可以是人，可以是物，也可以是字母或數字等。在數學交流當中為了方便，集合會有一些別名。比如：符號.元素通常用formula_4等小寫字母來表示；而集合通常用formula_5等大寫字母來表示。當元素formula_6屬於集合formula_7時，記作formula_8。當元素formula_6不屬於集合formula_7時，記作formula_11。如果formula_12兩個集合所包含的元素完全一樣，則二者相等，寫作formula_13集合的特性.無序性：一個集合中，每個元素的地位都是相同的，元素之間是無序的。互異性：一個集合中，任何兩個元素都認為是不相同的，即每個元素只能出現一次。確定性：給定一個集合，任給一個元素，該元素或者屬於或者不屬於該集合，二者必居其一，不允許有模稜兩可的情況出現。formula_14大於零的前三個自然數formula_15光的三原色和白色formula_16formula_17紅色formula_18藍色formula_18綠色formula_18白色formula_21集合的表示.儘管兩個集合有不同的表示，它們仍可能是相同的。比如：上述集合中，formula_22而formula_23，因為它們正好有相同的元素。元素列出的順序不同，或者元素列表中有重複，都和集合相同與否沒有關係。比如：這三個集合formula_24，formula_25和formula_26是相同的，因為它們有相同的元素。集合間的關係.子集與包含關係.定義.集合formula_2、formula_28，若formula_29，有formula_30。則稱formula_2是formula_28的子集，亦稱formula_2包含於formula_28，或formula_28包含formula_2，記作formula_37或formula_38，否則稱formula_2不是formula_28的子集，記作formula_41或formula_42。若formula_37，且formula_44，則稱formula_2是formula_28的真子集，亦稱formula_2真包含於formula_28，或formula_28真包含formula_2，記作formula_51或formula_52。* 所有男人的集合是所有人的集合的真子集。* 所有自然數的集合是所有整數的集合的真子集。*formula_76*formula_77集合的運算.併.兩個集合可以相"加"。formula_2和formula_28的聯集是將formula_2和formula_28的元素放到一起構成的新集合。定義.給定集合formula_2，formula_28，定義運算formula_84如下：formula_85或formula_86。formula_87稱為formula_2和formula_28的聯集。*formula_90紅色formula_18白色formula_92紅色formula_18白色formula_21*formula_95綠色formula_96紅色formula_18白色formula_18綠色formula_92紅色formula_18白色formula_18綠色formula_21*formula_103基本性質.作為集合間的二元運算，formula_84運算具有以下性質。交.一個新的集合也可以透過兩個集合均有的元素來構造。formula_2和formula_28的交集，寫作formula_115，是既屬於formula_2的、又屬於formula_28的所有元素組成的集合。若formula_118，則formula_2和formula_28稱作不相交。定義.給定集合formula_2、formula_28，定義運算formula_123如下：formula_124且formula_86。formula_115稱為formula_2和formula_28的交集。基本性質.作為集合間的二元運算，formula_123運算具有以下性質。其它性質還有：*formula_139紅色formula_18白色formula_141*formula_95綠色formula_143紅色formula_18白色formula_18綠色formula_146綠色formula_21*formula_148補集.兩個集合也可以相"減"。formula_2在formula_28中的相對補集，國際上通常寫作 formula_151，中文教材中有時也會寫作formula_152。表示屬於formula_28的、但不屬於formula_2的所有元素組成的集合。在特定情況下，所討論的所有集合是一個給定的全集formula_155的子集。這樣， formula_156稱作formula_2的絕對補集，或簡稱補集，寫作formula_158或formula_159。補集可以看作兩個集合相減，有時也稱作差集。定義.給定集合formula_2，formula_28，定義運算-如下：formula_162且formula_163。formula_164稱為formula_28對於formula_2的差集，相對補集或相對餘集。在上下文確定了全集formula_155時，對於formula_155的某個子集formula_2，一般稱formula_156為formula_2的補集或餘集，通常記為formula_158或formula_174，也有記為formula_175, formula_158, formula_177，以及formula_178的。基本性質.作為集合間的二元運算，- 運算有如下基本性質：*formula_190紅色formula_18白色formula_192*formula_95綠色formula_194紅色formula_18白色formula_18綠色formula_192*formula_198* 若formula_155是整數集，則奇數的補集是偶數對稱差.定義.給定集合formula_2，formula_28，定義對稱差運算formula_202如下：formula_203。基本性質.作為集合間的二元運算，formula_202運算具有如下基本性質：運算性質.集合的運算除了以上情況之外，集合間還具有以下運算性質：formula_213formula_214formula_215formula_216集合的元素個數.上述每一個集合都有確定的元素個數；比如：集合 "A" 有三個元素、而集合 "B" 有四個。一個集合中元素的數目稱為該集合的基數。數學寫法有很多種，不同作者及不同書本用不同的寫法: formula_217。集合可以沒有元素。這樣的集合叫做空集，用 formula_218 或符號formula_70表示。比如：集合formula_2是2004年所有住在月球上的人，它沒有元素，則formula_221。在數學上，空集非常重要。更多資訊請集。如果集合只含有限個元素，那麼這個集合可以稱為有限集合。集合也可以有無窮多個元素，這樣的集合稱為無限集合。比如：自然數集便是無限集合。關於無窮大和集合的大小的其他資訊請見集合的勢。公理化集合論.若把集合看作“符合任意特定性質的一堆東西”，會得出所謂羅素悖論。為解決羅素悖論，數學家提出公理化集合論。在公理集合論中，集合是一個不加定義的概念。類.在更深層的公理化數學中，集合僅僅是一種特殊的類，是“良性類”，是能夠成為其它類的元素的類。類區分為兩種：一種是可以順利進行類運算的“良性類”，我們把這種“良性類”稱為集合；另一種是要限制運算的“本性類”，對於本性類，類運算並不是都能進行的。定義 類A如果滿足條件“formula_222”，則稱類A為一個集合(簡稱為集)，記為formula_223。否則稱為本性類。這說明，一個集合可以作為其它類的元素，但一個本性類卻不能成為其它類的元素。因此可以理解為“本性類是最高層次的類”。