拓撲空間

拓撲空間是一種賦予「一點附近」這個概念的抽象數學結構，由此可以定義出如收斂、連通、連續等概念。拓撲空間在現代數學的各個分支都有應用，是一個居於中心地位的、統一性的概念。拓撲空間有獨立研究的價值，研究拓撲空間的數學分支稱為拓撲學。定義動機.拓撲結構最實用的動機，在於怎麼去定義「一點的附近」，用以定義函式極限。對於度量空間 formula_1 內的任一點 formula_2，可定義中心為 formula_2，半徑為 formula_4 的開球formula_5然後把開球視為點 formula_2 附近的「開放邊界區域」。但考慮到「區域」應該是有任意形狀的，那一般的「開放邊界區域」，應該是任取裡面的點 formula_2 ，都會有一個夠小的開球 formula_8 完全落在這個區域裡，也就是說，可以定義 formula_1 的開子集 formula_10 為滿足如下條件的子集合formula_11這樣定義的開集有一些有趣的性質：(1) 任二開集的交集也是開集任取兩個 formula_1 的開子集 formula_13 ，若 formula_14 ，根據定義存在 formula_15 使得formula_16formula_17這樣若取 formula_18 ，則會有：formula_19也就是說， formula_20 也是個開集。(2) 任意個開集的並集也會是開集若 formula_21 是一群開集所構成的集合，也就是說formula_22如果取formula_23換句話說：formula_24這樣的話，顯然有formula_25所以 formula_26 也會是一個開集。以上的性質促使人們在不依託度量情況下，去定義一個描述「一點的附近」的結構，換句話說，去抽象的定義一群開集是這麼樣的特殊集合，任二開集的交集是開的且任意開集的聯集也是開的。正式定義.拓撲結構一詞涵蓋了開集系，閉集系，鄰域系，開核，閉包，導集，濾子等若干概念。可以從這些概念出發，給出若干種等價結構。開集系.根據定義動機一節可以作如下的定義：formula_27 的子集族 formula_28 若滿足以下開集公理則稱 formula_29 為 formula_27 的開集系或拓撲，formula_31 則被稱為一拓撲空間，formula_27 內的元素 formula_33 則稱為拓撲空間 formula_31 的點。開集系的代號 formula_29 是字母「O」的德文尖角體，取名自德語形容詞「--」。從開集系出發定義其它概念：閉集系.formula_27 的子集族 formula_49 若滿足如下閉集公理：則稱 formula_50 為 formula_27 的閉集系。開集系的代號 formula_50 是字母「 F」 的德文尖角體，取名自法語動詞「--」的過去分詞「--」。根據德摩根定理和量詞符號的意義，以下的子集族formula_53為開集系，類似地，對於開集系 formula_29 ，以下的子集族formula_55為閉集系，所以閉集系跟拓撲是等價的結構。從閉集系出發定義其它概念：鄰域系.函式 formula_63若對任意 formula_33 滿足如下鄰域公理：這樣任意 formula_67 被稱為 formula_2 的鄰域系， formula_67 裡的元素 formula_70 則稱為 formula_2 的鄰域。換句話說，函式 formula_72 將 formula_27 的每個點 formula_33 對映至 formula_67 ，而 formula_67 則是所有 formula_2 的鄰域所構成的集族。鄰域系的代號 formula_72 是字母「 U」 的德文尖角體，取名自德語動詞「 --」的名詞化「--」。若取以下的子集族formula_79因為 formula_27 包含任意鄰域， formula_27 本身顯然為任意 formula_33 的領域，故 formula_83 ；另外空集合 formula_84 沒有任何屬於它的點，所以根據實質條件的意義，formula_85。若取 formula_86 ，根據鄰域公理的第二項有 formula_87 ；若取 formula_88 ，且 formula_89 ，那換句話說formula_90這樣的話有formula_91那這樣根據鄰域公理第三項，formula_92，所以 formula_93 的確是個開集合系。類似地對於開集系 formula_29 ，若對任意 formula_33 取formula_96那 formula_67 也會符合上面四款鄰域系公理，所以對所有 formula_33 定義了鄰域系等同於定義了一個拓撲。從鄰域系出發定義其它概念：閉包公理.formula_27的冪集formula_110上的一元運算formula_111。當且僅當運算formula_115滿足下述的閉包公理：集合formula_39的閉包通常記為formula_61。從閉包出發定義其它概念：開核公理.formula_27的冪集formula_110上的一元運算formula_134。當且僅當運算formula_138滿足如下開核公理：集合formula_39的開核通常記為formula_45。。從開核出發定義其它概念：導集公理.formula_27的冪集formula_156上的一元運算formula_157，當且僅當formula_162滿足以下導集公理：從導集出發定義其它概念：拓撲之間的關係.同一個全集可以擁有不同的拓撲，有些是有用的，有些是平庸的，這些拓撲之間可以形成一種偏序關係。當拓撲formula_170的每一個開集都是拓撲formula_171的開集時，稱拓撲formula_171比拓撲formula_170更細，或稱拓撲formula_170比拓撲formula_171更粗。僅依賴於特定開集的存在而成立的結論，在更細的拓撲上依然成立；類似的，僅依賴於特定集合不是開集而成立的結論，在更粗的拓撲上也依然成立。最粗的拓撲是由空集和全集兩個元素構成的拓撲，最細的拓撲是離散拓撲，這兩個拓撲都是平庸的。在有些，我們也用大小或者強弱來表示這裡粗細的概念。連續對映與同胚.類似定義拓撲空間，連續對映也有基於開集，閉集，開核，閉包和鄰域等概念的等價定義。拓撲空間上的一個對映formula_176稱為連續對映，當且僅當它滿足以下條件之一：同胚對映是一個連續的雙射，並且它的逆對映也連續。兩個拓撲空間之間存在同胚對映，則稱這兩個空間是同胚的。從拓撲學的觀點上來講，同胚的空間是等同的。拓撲空間範疇.拓撲空間作為物件，連續對映作為態射，構成了拓撲空間範疇，它是數學中的一個基礎性的範疇。試圖透過不變數來對這個範疇進行分類的想法，激發和產生了整個領域的研究工作，包括同倫論、同調論和K-理論。相關概念.基本概念.給定拓撲空間formula_190，A是X的子集，有以下概念：A的開核o(A)又稱為A的內部，其元素稱為A的內點。X - c(A)稱為A的外部，其元素稱為A的外點。c(A)∩c(X-A)稱為A的邊界，其元素稱為A的邊界點。A的閉包c(A)中的點稱為A的觸點。稱A在X中是稠密的，當且僅當c(A) = X。稱A是X的邊緣集，當且僅當X-A在X中是稠密的。稱A在X中是疏的，當且僅當c(A)是X中的邊緣集。稱A是X中的第一範疇集，當且僅當A可以表示為可數個疏集的並。稱A是X中的第二範疇集，當且僅當A不是X中的第一範疇集。X中的點x稱為A的聚點，當且僅當x ∈ c(A - {x})。A的所有聚點組成的集合稱為A的導集。A中的點x稱為A的孤立點，當且僅當它不是A的聚點。稱A為孤點集或離散集，當且僅當A中所有的點都是A的孤立點。稱A為自密集，當且僅當A中的點都是A的聚點。稱A為完備集，當且僅當A等於其導集。A的最大自密子集稱為A的自密核。稱A是無核集，當且僅當A的自密核是∅。網.網的目的在推廣序列及極限，網的收性稱作Moore-Smith收斂。其關鍵在於以有向集合代替自然數集formula_191。空間formula_27上的一個網formula_193是從有向集合formula_39映至formula_27的對映。若存在formula_33，使得對每個formula_2的鄰域formula_129都存在formula_199，使得formula_200，則稱網formula_193收斂至formula_2。幾乎所有點集拓撲學的基本概念都能表述作網的收斂性，請條目網拓撲空間的例子.例子.{∅, "X"} 會形成一個-{zh-hans:平庸拓撲;zh-hant:密著拓撲}-。3點集 X={a,b,c}的拓撲總共有29個,可分為九類，具體如下：拓撲空間的分類.依據點和集合分離的程度、大小、連通程度、緊性等。可以對拓撲空間進行各種各樣的分類。並且由於這些分類產生了許多不同的術語。以下假設X為一個拓撲空間。分離公理.詳細資料請參照分離公理以及相關條碼。有些術語在老的採用了不同地定義方式，請參照分離公理的歷史。X中兩個點x，y稱為拓撲不可區分的，當且僅當如下結論之一成立：*對X中每個開集U，或者U同時包含x，y兩者，或者同時不包含它們。*x的鄰域系和y的鄰域系相同。*formula_203，且formula_204。X稱為可分的，當且僅當它擁有一個可數的稠密子集。X稱為第一可數的，當且僅當其任何一個點都有一個可數的區域性基。X稱為第二可數的，當且僅當其擁有一個可數的基。X稱為連通的，當且僅當它不是兩個無交的非空開集的並。。X稱為區域性連通的，當且僅當它的每個點都存在一個特殊的區域性基，這個區域性基由連通集構成。X稱為完全不連通的，當且僅當不存在多於一個點的連通子集。X稱為道路連通的，當且僅當其任意兩點"x"和"y"，存在從"x"到"y"的道路"p"，也即，存在一個連續對映"p": [0,1] → "X"，滿足"p"= "y"。道路連通的空間總是連通的。X稱為區域性道路連通的，當且僅當其每個點都有一個特殊的區域性基，這個區域性基由道路連通集構成。一個區域性道路連通空間是連通的，當且僅當它是道路連通的。X稱為單連通的，當且僅當它是道路連通且每個連續對映formula_205都與常數對映同倫。X稱為可縮的，當且僅當它同倫等價到一點。X稱為超連通的，當且僅當任兩個非空開集的交集非空。超連通蘊含連通。X稱為極連通的，當且僅當任兩個非空閉集的交集非空。極連通蘊含道路連通。X稱為平庸的，當且僅當其開集只有本身與空集。緊性.X稱為緊的，當且僅當其任意開覆蓋都有有限開覆蓋的加細。X稱為擁有林德洛夫性質，當且僅當其任意開覆蓋都有可數開覆蓋的加細。X稱為仿緊的，當且僅當其任意開覆蓋都有區域性有限開覆蓋的加細。X稱為可數緊的，當且僅當其任意可數開覆蓋都有限開覆蓋的加細。X稱為可數緊的，當且僅當其任意點列都包含收斂子列。X稱為偽緊的，當且僅當其上的任意實值連續函式都有界。可度量化.可度量性意味著可賦予空間一個度量，使之給出該空間的拓撲。目前已有許多版本的度量化定理，其中最著名的是Urysohn度量化定理：一個第二可數的正則豪斯多夫空間可被度量化。由此可匯出任何第二可數的流形皆可度量化。擁有代數結構的拓撲空間.對於任一類代數結構，我們都可以考慮其上的拓撲結構，並要求相關的代數運算是連續對映。例如，一個拓撲群formula_206乃是一個拓撲空間配上連續對映formula_207，使之具備群結構。同樣地，可定義拓撲向量空間為一個賦有拓撲結構的向量空間，使得加法與純量乘法是連續對映，這是泛函分析的主題；我們可以類似地定義拓撲環、拓撲域等等。結合拓撲與代數結構，往往可以引出相當豐富而實用的理論，例如微分幾何探究的主齊性空間。在代數數論及代數幾何中，人們也常定義適當的拓撲結構以簡化理論，並得到較簡明的陳述；如數論中的區域性域等等。擁有序結構的拓撲空間.拓撲空間也可能擁有自然的序結構，例子包括：n個元素的集上總拓撲數規律