傅立葉變換

傅立葉變換在時域和頻域之間的變換。因其基本思想首先由法國學者約瑟夫·傅立葉系統地提出，所以以其名字來命名以示紀念。傅立葉變換在物理學和工程學中有許多應用。傅立葉變換的作用是將函式分解為不同特徵的正弦函式的和，如同化學分析來分析一個化合物的元素成分。對於一個函式，也可對其進行分析，來確定組成它的基本成分。經過傅立葉變換生成的函式 formula_1 稱作原函式 formula_2 的傅立葉變換，應用意義上稱作頻譜。在特定情況下，傅立葉變換是可逆的，即將 formula_1 透過逆變換可以得到其原函式 formula_2。通常情況下，formula_2 是一個實函式，而 formula_1 則是一個複數值函式，其函式值作為複數可同時表示振幅和相位。高斯函式是傅立葉變換的本徵函式。定義.一般情況下，若「傅立葉變換」一詞不加任何限定語，則指的是「連續傅立葉變換」傅立葉變換將可積函式 formula_7表示成復指數函式的積分形式或級數形式。formula_8，formula_9 為任意實數。formula_9 的定義域為頻域。若約定自變數 formula_11 表示"時間"由下式得到formula_2：formula_15，formula_11 為任意實數。formula_11 的定義域為時域。傅立葉逆定理表明 formula_2 可由formula_1確定，傅立葉在其1822年出版的著作《熱分析理論 中首次引入這個定理。雖然現在標準下的證明直到很久以後才出現。formula_2 和formula_21 常常被稱為"傅立葉積分對" 或"傅立葉變換對"。簡介.傅立葉變換源自對傅立葉級數的研究。在對傅立葉級數的研究中，複雜的週期函式可以用一系列簡單的正弦或餘弦波之和表示。傅立葉變換是對傅立葉級數的擴充套件，由它表示的函式的週期趨近於無窮。應用.傅立葉變換在醫學、資料科學、物理學、聲學、光學、結構力學、量子力學、數論、組合數學、機率論、統計學、訊號處理、密碼學、大氣科學、海洋學、通訊、金融等領域都有著廣泛的應用。例如在訊號處理中，傅立葉變換的典型用途是將複雜的訊號分解成具有不同振幅的單一頻率分量，並以此實現濾波等操作；進一步的，量子力學中位置空間的波函式的傅立葉變換是動量空間的波函式。基本性質.線性性質.兩函式之和的傅立葉變換等於各自變換之和。嚴格數學描述是：若函式formula_22和formula_23的傅立葉變換formula_24和formula_25都存在，formula_26和formula_27為任意常係數，則formula_28；傅立葉變換算符formula_29可經歸一化成為么正算符。平移性質.若函式formula_22存在傅立葉變換，則對任意實數formula_31，函式formula_32也存在傅立葉變換，且有formula_33。式中花體 formula_29 是傅立葉變換的作用運算元，平體 formula_1 表示變換的結果，formula_36為自然對數的底，formula_37為虛數單位formula_38。微分關係.若函式formula_22當formula_40時的極限為0，且其導函式formula_41的傅立葉變換存在，則有formula_42，即導函式的傅立葉變換等於原函式的傅立葉變換乘以因子formula_43。更一般地，若formula_44，且formula_45存在，則formula_46，即函式"k"階導函式的傅立葉變換等於原函式的傅立葉變換乘以因子formula_47。卷積特性.若函式formula_22及formula_49都在formula_50上絕對可積，則卷積函式formula_51的傅立葉變換存在，且formula_53。卷積性質的逆形式為formula_54，即兩個函式的卷積的傅立葉逆變換等於兩函式各自的傅立葉逆變換的乘積乘以formula_55。帕塞瓦爾定理.若函式formula_22可積且平方可積，則formula_57。其中formula_58是formula_59的傅立葉變換。更一般化而言，若函式formula_22和formula_49皆為平方可積函式，則formula_62。其中formula_58和formula_64分別是formula_59和formula_66的傅立葉變換, formula_67代表複共軛。傅立葉變換的不同變種.傅立葉變換也可以寫成角頻率形式： "ω"2"πξ"其單位是弧度每秒。應用ξ=ω/到上述公式會成為下面的形式：formula_68根據這一形式，逆變換變為：formula_69若不按照本文中使用的，而像這樣定義傅立葉變換，那它將不再是"L"2(R"n")上的一個麼正變換 。另外這樣的定義也使傅立葉變換與其逆變換顯得不太對稱。另一個形式是把(2"π")"n"均勻地分開給傅立葉變換和逆變換，即定義為：formula_70formula_71根據這一形式，傅立葉變換是再次成為"L"2(R"n")上的一個么正變換。它也恢復了傅立葉變換和逆變換之間的對稱。所有三種形式的變化可以透過對正向和反向變換的復指數核取共軛來實現。核函式的符號必須是相反的。除此之外，選擇是習慣問題。如上所討論的，一個隨機變數的特徵函式是相同的傅立葉變換斯蒂爾切斯其分佈的測量，但在這種情況下它是典型採取不同的慣例為常數。通常情況下特徵函式的定義formula_72在上面“非統一角頻率”形式的情況下，存在的2π無因子出現在任一積分的，或在指數。不同於任何約定的上面出現的，本公約採取的指數符號相反。傅立葉級數.連續形式的傅立葉變換其實是傅立葉級數的推廣，因為積分其實是一種極限形式的求和運算元而已。對於週期函式，其傅立葉級數是存在的：formula_73其中formula_74為復振幅。對於實值函式，函式的傅立葉級數可以寫成：formula_75其中"a""n"和"b""n"是實頻率分量的振幅。傅立葉分析最初是研究週期性現象，即傅立葉級數的，後來透過傅立葉變換將其推廣到了非週期性現象。理解這種推廣過程的一種方式是將非週期性現象視為週期性現象的一個特例，即其週期為無限長。離散時間傅立葉變換.離散傅立葉變換是離散時間傅立葉變換。DTFT在時域上離散，在頻域上則是週期的。DTFT可以被看作是傅立葉級數的逆轉換。離散傅立葉變換.為了在科學計算和數字訊號處理等領域使用計算機進行傅立葉變換，必須將函式"x""n"定義在"離散"點而非連續域內，且須滿足有限性或週期性條件。這種情況下，使用離散傅立葉變換，將函式"x""n"表示為下面的求和形式：formula_76其中formula_77是傅立葉振幅。直接使用這個公式計算的計算複雜度為formula_78，而快速傅立葉變換可以將複雜度改進為formula_79。計算複雜度的降低以及數位電路計算能力的發展使得DFT成為在訊號處理領域十分實用且重要的方法。在阿貝爾群上的統一描述.以上的傅立葉變換都可以被統一描述為任意區域性緊緻的阿貝爾群上的傅立葉變換。這一問題屬於調和分析的範疇。在調和分析中，一個變換從一個群變換到它的對偶群中的介紹。時頻分析變換.小波變換，Chirplet變換和分數傅立葉變換的都是為了得到時間訊號的頻率資訊。同時解析頻率和時間的能力在數學上受不確定性原理的限制。傅立葉變換家族.主條目：傅立葉變換家族中的關係下表列出了傅立葉變換家族的成員。容易發現，函式在時域的週期性。反之連續則意味著在對應域的訊號的非週期性。下表給出詳細的情形：常用傅立葉變換表.下面的表記錄了一些封閉形式的傅立葉變換。對於函式formula_80, formula_81和formula_81，它們的傅立葉變換分別表示為formula_21, formula_84 和formula_85。只包含了三種最常見的形式。注意條目105給出了一個函式的傅立葉變換與其原函式，這可以看作是傅立葉變換及其逆變換的關係。函式關係.下表列出的常用的傅立葉變換對可以在#重定向 或#重定向 中找到。平方可積函式.\,formula_99formula_101二元函式.e^{\frac{-\left(\omega_x^2/a^2 + \omega_y^2/b^2\right)}{4\pi}}"400：" 變數formula_107、formula_108、formula_109、formula_110、formula_111、formula_112為實數。二重積分是對整個平面積分。"401：" 這兩個函式都是高斯函式，而且可能不具有單位體積。"402：" 此圓有單位半徑，如果把 formula_113認作階梯函式 formula_114; Airy分佈用 formula_115表達。#重定向