積分

積分是微積分學與數學分析裡的一個核心概念。通常分為定積分和不定積分兩種。直觀地說，對於一個給定的正實值函式formula_1，formula_1在一個實數區間formula_3上的定積分formula_4可以在數值上理解為在formula_5座標平面上，由曲線formula_6，直線formula_8，formula_9以及formula_10軸圍成的曲邊梯形的面積值。formula_11的不定積分是指任何滿足導數是函式formula_1的函式formula_13。一個函式formula_11的不定積分不是唯一的：只要formula_15是formula_1的不定積分，那麼與之相差一個常數的函式 formula_17也是formula_18的不定積分。微積分基本定理是微積分學中的一條重要定理，由艾薩克·牛頓和戈特弗裡德·威廉·萊布尼茨在十七世紀分別獨立發現。微積分基本定理將積分與微分建立聯絡，透過找出一個函式的原函式，即可方便地計算它在一個區間上的積分。積分和導數已成為高等數學中最基本的工具，並在自然科學和工程學中得到廣泛運用。積分的一個嚴格的數學定義由波恩哈德·黎曼給出，因此習慣上我們常見的積分也稱為“黎曼積分”。黎曼的定義運用了極限的概念，把曲邊梯形設想為一系列矩形組合的極限。從十九世紀起，更高階的積分定義逐漸出現，有了對各種積分割槽間上的各種型別的函式的積分。對微分形式的積分是微分幾何中的基本概念。對積分概念的推廣來自於物理學的需要，並體現在許多重要的物理定律中，尤其是電動力學。現代的積分概念基於測度論，主要是由昂利·勒貝格建立的勒貝格積分。簡介.積分發展的動力源自實際應用中的需求。實際操作中，有時候可以用粗略的方式進行估算一些未知量，但隨著科技的發展，很多時候需要知道精確的數值。要求簡單幾何形體的面積或體積，可以套用已知的公式。但如果游泳池是卵形、拋物型或更加不規則的形狀，就需要用積分來求出容積。物理學中，常常需要知道一個物理量的累積效果，這時也需要用到積分。我們以下面這個問題作為介紹積分概念的開始：考慮平方根函式formula_19，其中formula_20。在區間[0,1]上，函式formula_18“下方”的面積是多少？問題中的“下方”面積，是指函式formula_22的圖象與x軸之間的部分的面積formula_23。我們把這個面積稱為函式formula_18在區間[0,1]上的積分，寫作：formula_25其中的formula_26稱為積分變數，表示要求面積的範圍是用座標軸橫軸的刻度計算；formula_27則表示從0開始算起，到1為止，稱為積分範圍或積分域，其中0稱為積分下界，1稱為積分上界，formula_28叫做積分號，是從拉長的字母S演變過來的。函式formula_29寫在中間，稱為被積函式。改進的方法是用更多的小方框來將函式圖象“覆蓋”，如右圖中的做法，就是將座標軸橫軸[0,1]等分成5個部分：[0,0.2)、[0.2,0.4)、[0.4,0.6)、[0.6,0.8)、[0.8,1]，然後每一部分上放一個黃色的長方形：formula_30、formula_31、formula_32、formula_33、formula_34。這樣函式下方的部分就被5個黃色長方形覆蓋了，所以面積formula_23小於5個黃色長方形面積之和：formula_36求出了formula_23的上限之後，用類似的方法可以求formula_23的下限。同樣是將座標軸等分成若干部分，然後在每個部分放上長方形，不過這時候長方形的高度需要是函式在這個部分的最小值，也就是最左側的值。比如，如果將橫軸等分成12個部分，然後按照以上的方法放上綠色長方形，那麼從圖中可以看出，formula_23必定大於綠色長方形面積之和：formula_40於是，面積formula_23的取值介於0.6203和0.7497之間。要取得更加精確的估計，可以將橫軸細分成更多的部分，並按照同樣的方法放置長方形，計算長方形的面積之和。隨著長方形越來越多，每個長方形越來越“細”，計算出的formula_23的範圍會越來越窄，最後得出formula_23的精確值。以上的方法可能出現的“漏洞”，是所謂的“取值範圍”不一定會越來越小，最後聚集到同一個值上。雖然直觀上來說，由於函式下方的圖形面積是確定的，只要不斷地用相似的形狀“逼近”，最後總會趨向函式下方圖形的真實面積。然而，對於某些“病態”的函式，以上的方法是無法得到確定的數值的。十九世紀的數學家波恩哈德·黎曼證明了，對於滿足某些條件的良態函式，以上的方法一定能求出函式下方的面積。現代的數學家將這種方法求出的面積稱為黎曼積分，並給出了嚴格的定義。對於那些無法用黎曼的方法定義“函式下方圖形面積”的函式，黎曼之後的數學家發展出了一些更寬泛的定義，讓這些函式也能定義積分。術語和標記.如果一個函式的積分存在，並且有限，就說這個函式是可積的。一般來說，被積函式不一定只有一個變數，積分域也可以是不同維度的空間，甚至是沒有直觀幾何意義的抽象空間。如同上面介紹的，對於只有一個變數 formula_10的實值函式 formula_18 ， formula_18在閉區間 formula_47上的積分記作formula_48其中的formula_26除了表示formula_10是formula_18 中要進行積分的那個變數。一般的區間或者積分範圍formula_53，formula_54上的積分可以記作formula_55如果變數不只一個，比如說在二重積分中，函式formula_56 在區域D上的積分記作formula_57 或者 formula_58其中 formula_59 與區域D對應，是相應積分域中的微分元。嚴格定義.定義積分的方法不止一種，各種定義之間也不是完全等價的。其中的差別主要是在定義某些特殊的函式：在某些積分的定義下這些函式不可積分，但在另一些定義之下它們的積分存在。然而有時也會因為教學的原因造成定義上的差別。最常見的積分定義是黎曼積分和勒貝格積分。黎曼積分.黎曼積分得名於德國數學家波恩哈德·黎曼，建立在函式在區間取樣分割後的黎曼和之上。設有閉區間formula_47，那麼formula_47的一個分割是指在此區間中取一個有限的點列formula_62。每個閉區間formula_63叫做一個子區間。定義formula_64 為這些子區間長度的最大值：formula_65，其中formula_66。而閉區間formula_47上的一個取樣分割是指在進行分割formula_62後，於每一個子區間中formula_63取出一點 formula_70。對一個在閉區間formula_47有定義的實值函式formula_18，formula_18關於取樣分割formula_74 、formula_75的黎曼和定義為以下和式：formula_76和式中的每一項是子區間長度formula_77與在formula_78處的函式值formula_79的乘積。直觀地說，就是以標記點formula_78到X軸的距離為高，以分割的子區間為長的矩形的面積。最簡單的取樣分割方法是將區間均勻地分成若干個長度相等的子區間，然後在每個子區間上按相同的準則取得標記點。例如取每個子區間右端formula_81等等。不同的取樣分割方式得到的黎曼和一般都不相同，而如果當formula_64足夠小的時候，所有的黎曼和都趨於某個極限，那麼這個極限就叫做函式formula_18在閉區間formula_47上的黎曼積分。即，formula_23是函式formula_18在閉區間formula_47上的黎曼積分，當且僅當對於任意的formula_89，都存在formula_90，使得對於任意的取樣分割formula_74、formula_75，只要它的子區間長度最大值formula_93 ，就有：formula_94也就是說，對於一個函式formula_18，如果在閉區間formula_47上，無論怎樣進行取樣分割，只要它的子區間長度最大值足夠小，函式formula_18的黎曼和都會趨向於一個確定的值formula_23，那麼formula_18在閉區間formula_47上的黎曼積分存在，並且定義為黎曼和的極限formula_23。這時候稱函式formula_18為黎曼可積的。將formula_18在閉區間formula_47上的黎曼積分記作：formula_105勒貝格積分.勒貝格積分的出現源於機率論等理論中對更為不規則的函式的處理需要。黎曼積分無法處理這些函式的積分問題。因此，需要更為廣義化的積分概念，使得更多的函式能夠定義積分。同時，對於黎曼可積的函式，新積分的定義不應當與之衝突。勒貝格積分就是這樣的一種積分。 黎曼積分對初等函式和分段連續的函式定義了積分的概念，勒貝格積分則將積分的定義推廣到測度空間裡。:Intro.2-3勒貝格積分的概念定義在測度的概念上。測度是日常概念中測量長度、面積的推廣，將其以公理化的方式定義。黎曼積分實際可以看成是用一系列矩形來儘可能鋪滿函式曲線下方的圖形，而每個矩形的面積是長乘寬，或者說是兩個區間之長度的乘積。測度為更一般的空間中的集合定義了類似長度的概念，從而能夠“測量”更不規則的函式曲線下方圖形的面積，從而定義積分。在一維實空間中，一個區間 "A "= ["a", "b"] 的勒貝格測度μ("A")是區間的右端值減去左端值， "b" − "a"。這使得勒貝格積分和正常意義上的黎曼積分相相容。在更復雜的情況下，積分的集合可以更加複雜，不再是區間，甚至不再是區間的交集或並集，其“長度”則由測度來給出。:Intro.3給定一個集合formula_106上的formula_107代數formula_108以及formula_108上的一個測度formula_110，那麼對於formula_108中的一個元素formula_112，定義指示函式formula_113關於測度formula_110的積分為：formula_115再定義可測的非負簡單函式formula_116的積分為：formula_118:28對於一般的函式formula_119，如果對每個區間formula_120，都滿足 formula_121，那麼測度論中定義formula_122是可測函式。對於一個非負的可測函式formula_122，它的積分定義為：formula_124為簡單函式，並且formula_125恒大於零formula_126:30這個積分可以用以下的方式逼近：formula_127:344直觀上，這種逼近方式是將formula_18的值域分割成等寬的區段，再考察每段的“長度”，用其測度表示，再乘以區段所在的高度。其覆蓋之處如右圖中的紅色區域所示。佛蘭德總結說，“黎曼積分是把定義域區間["a", "b"]劃分為子區間”，而勒貝格積分則是“劃分formula_18的值域”。至於一般的可測函式formula_18，它的積分是函式曲線在x軸上方“圍出”的面積，減去曲線在x軸下方“圍出”的面積。嚴格定義需要引進“正部函式”和“負部函式”的概念：formula_131 如果formula_132 則formula_133 否則formula_134formula_135 如果formula_136 則formula_137 否則formula_138可以驗證，總有formula_139 而formula_18的積分定義為：formula_141:41-42:345以上定義有意義僅當formula_142和formula_143中至少有一個的值是有限的，這時稱formula_18的勒貝格積分存在或積分有意義。如果formula_142和formula_143都是有限的，那麼稱formula_18可積。:42-45:345給定一個可測集合formula_148，可以定義可積函式在formula_148上的積分為：formula_150:345其他定義.除了黎曼積分和勒貝格積分以外，還有若干不同的積分定義，適用於不同種類的函式。性質.通常意義上的積分都滿足一些基本的性質。以下的formula_154在黎曼積分意義上表示一個區間，在勒貝格積分意義下表示一個可測集合。線性.積分是線性的。如果一個函式formula_18可積，那麼它乘以一個常數後仍然可積。如果函式formula_18和formula_157可積，那麼它們的和與差也可積。formula_158所有在formula_154上可積的函式構成了一個線性空間。黎曼積分的意義上，所有區間["a", "b"]上黎曼可積的函式formula_18和formula_157都滿足：formula_162所有在可測集合formula_154上勒貝格可積的函式formula_18和formula_157都滿足：formula_166在積分割槽域上，積分有可加性。黎曼積分意義上，如果一個函式formula_18在某區間上黎曼可積，那麼對於區間內的三個實數a, b, c，有formula_168如果函式formula_18在兩個不相交的可測集formula_154和formula_171上勒貝格可積，那麼formula_172如果函式formula_18勒貝格可積，那麼對任意formula_89，都存在formula_175，使得formula_108中任意的元素formula_148，只要formula_178，就有formula_179保號性.如果一個函式formula_18在某個區間上黎曼可積，並且在此區間上大於等於零。那麼它在這個區間上的積分也大於等於零。如果formula_18勒貝格可積並且幾乎總是大於等於零，那麼它的勒貝格積分也大於等於零。作為推論，如果兩個formula_154上的可積函式formula_18和formula_157相比， formula_18積分。如果黎曼可積的非負函式formula_18在formula_154上的積分等於0，那麼除了有限個點以外，formula_191。如果勒貝格可積的非負函式formula_18在formula_154上的積分等於0，那麼formula_18幾乎處處為0。如果formula_108中元素formula_148的測度formula_197等於0，那麼任何可積函式在formula_148上的積分等於0。函式的積分表示了函式在某個區域上的整體性質，改變函式某點的取值不會改變它的積分值。對於黎曼可積的函式，改變有限個點的取值，其積分不變。對於勒貝格可積的函式，某個測度為0的集合上的函式值改變，不會影響它的積分值。如果兩個函式幾乎處處相同，那麼它們的積分相同。如果對formula_108中任意元素formula_148，可積函式formula_18在formula_148上的積分總等於formula_157。介值性質.如果formula_18在formula_154上可積， formula_209和formula_210分別是formula_18在formula_154上的最大值和最小值，那麼：formula_213其中的formula_214在黎曼積分中表示區間formula_154的長度，在勒貝格積分中表示formula_154的測度。絕對連續性.積分的絕對連續性表明，如果函式在某區間或集合上可積，那麼當積分割槽域是近乎全區域的時候，積分的值也會逼近在全區域上的積分值。如果函式formula_18在某區間formula_154上黎曼可積，那麼對於滿足formula_219，formula_220的區間序列formula_221，有formula_222積分不等式.涉及積分的基本不等式可以看作是一些離散不等式的類比。如柯西不等式的積分版本：假如有函式formula_18和formula_157使得formula_225、formula_226、formula_227都在區間formula_154上黎曼可積，那麼formula_229而更廣泛的赫爾德不等式也有積分版本。設有正實數formula_230和formula_231，其倒數和為1：formula_232，則對黎曼可積函式formula_18和formula_157，有以下不等關係：formula_235可以看出柯西不等式是赫爾德不等式在formula_236的時候的特例。此外閔可夫斯基不等式也有積分版本。設有正實數formula_237，則對黎曼可積函式formula_18和formula_157，有以下不等關係：formula_240對於勒貝格可積的函式，類似的不等式可以幫助構建formula_241空間。一個函式formula_18可積當且僅當函式formula_243可積，並且formula_18的積分的絕對值，小於等於其絕對值的積分：formula_245。如果函式formula_18勒貝格可積，那麼formula_243幾乎處處有限。微積分基本定理.微積分基本定理是將微分運算聯絡在一起的基本定理。從基本定理可以看出微分和積分運算之間的互逆關係。定理敘述如下：設有在閉區間["a", "b"]上連續的可積函式formula_18。考慮積分上限函式formula_249，則formula_250在閉區間["a", "b"]上連續，在開區間("a", "b") 上可導，並且對開區間("a", "b") 中任意的formula_10有：formula_252微積分基本定理的一個實用的直接推論，也被稱為微積分第二基本定理：設有在閉區間["a", "b"]上連續的可積函式formula_18。考慮它的一個原函式formula_13，即：formula_252則formula_18在區間["a", "b"]上的定積分滿足：formula_257推廣.反常積分.狹義的黎曼積分中，被積函式是定義在閉區間。這時候，考察被積函式在閉區間["a", "b" - ε]上的積分值formula_258，如果當其中的正實數 ε 趨向於0的時候，積分值formula_258趨於一個極限formula_260，那麼就稱被積函式在["a", "b")上廣義可積，並且稱其為瑕積分formula_260。這個定義也可以簡單地記作：formula_262另一個基本的情形是區間長度為無限大的情形，稱為無窮限廣義積分。比如說被積函式在在閉區間["a", ∞)上有定義。考慮被積函式在閉區間["a", "b"]上的積分值formula_263，如果當"b"趨向正無窮大的時候，積分值formula_263趨於一個極限formula_260，那麼就稱被積函式在["a", ∞)上廣義可積，並且稱為無窮限積分formula_260。這個定義也可以簡單地記作：formula_267其餘更加複雜的情形包括瑕點在區間內部，或者同時包含了無窮限的情形等等。這些情形都可以拆分為基本情形的組合，然後使用以上的方法探討廣義積分的存在性。比如，考慮函式formula_268在正實數區間。這時候可以將這個積分分割為兩個部分來考察。比如說以1為界限，左右分割為0到1的積分和1到正無窮大的積分。首先考察1到正無窮大的部分，依據上述方法，可以首先考察formula_11在閉區間[1, "t"]上的積分：formula_270當實數"t"趨於無窮大的時候，上述積分值的極限為formula_271 所以formula_11從1到正無窮大的積分可以定義為：formula_273同樣地，考察從0到1的部分，可以首先考察formula_11在閉區間["s", 1]上的積分：formula_275當正實數"s"趨於0的時候，上述積分值的極限為formula_276 所以formula_11從0到1的積分可以定義為：formula_278因此可以定義formula_268在正實數區間上的積分為這兩部分的和：formula_280多重積分.狹義積分的積分範圍是實數的一個區間或者可測子集。多重積分將積分範圍擴充套件到多維空間中的區域或可測子集。比如說二重積分的積分範圍是平面上的一個區域。這時候積分formula_281中的變數formula_10可以是向量空間裡面的一個向量。富比尼定理證明，在一定條件下，多重積分可以轉換為累次積分。也就是說，在多維空間上的積分可以透過轉化為多個巢狀的一重積分來計算。通常的方法是將多重的積分變數轉變為各個座標指標上的積分變數。例如，考慮以下二重積分：formula_283其中的formula_284是一個半徑為1的圓盤。這個二重積分可以轉變成：formula_285路徑積分與曲面積分.路徑積分也稱曲線積分，可以看作是區間上積分的推廣。積分的範圍不是區間曲面上進行積分，稱為曲面積分。路徑積分和曲面積分是物理學中很重要的工具，例如計算電場或重力場中的做功、量子力學中計算粒子出現的機率，會用到路徑積分。流體力學中計算流體的流量、電力學中使用高斯定律計算電場和電荷分佈時，會用到曲面積分。