曲線的微分幾何

曲線的微分幾何是幾何學的一個分支，使用微分與積分專門研究平面與歐幾里得空間中的光滑曲線。從古代開始，許多具體曲線已經用綜合方法深入研究。微分幾何採取另外一種方式：把曲線表示為引數形式，將它們的幾何性質和各種量，比如曲率和弧長，用向量分析表示為導數和積分。分析曲線最重要的工具之一為 Frenet 標架，是一個活動標架，在曲線每一點附近給出“最合適”的座標系。曲線的理論比曲面理論及其高維推廣的範圍要狹窄得多，也簡單得多。因為歐幾里得空間中的正則曲線沒有內蘊幾何。任何正則曲線可以用弧長引數化，從曲線上來看不能知道周圍空間的任何資訊，所有曲線都是一樣的。不同空間曲線只是由它們的彎曲和扭曲程度區分。數量上，這由微分幾何不變數曲線的“曲率”和“撓率”來衡量。曲線基本定理斷言這些不變數的資訊完全確定了曲線。定義.設 formula_1 是一個正整數，formula_2 是正整數或 formula_3，formula_4 是實數非空區間，formula_5 屬於 formula_4。一個formula_7 類向量值函式formula_10稱為一條 formula_7 類引數曲線或曲線 formula_8 的一個 formula_7 引數化，formula_5 稱為曲線 formula_8 的引數，formula_16 稱為曲線的像。將引數曲線 formula_8 和它的像 formula_16 區別開來是非常重要的，因為一個給定的formula_19的子集可以是許多不同的引數曲線的像。可以想象引數 formula_5 代表時間，而曲線 formula_21 作為空間中一個運動粒子軌跡。如果 "I" 是閉區間 ["a", "b"]，我們稱 γ("a") 為曲線 γ 的起點而 γ("b") 為終點。如果 formula_22，我們說 γ 是閉的或是一個環路。進一步，我們稱 γ 是一條閉 Cr-曲線，如果 γ("k")(a) = γ("k")("b") 對所有 "k" ≤ "r"。如果 formula_23 為單射，我們稱為簡單曲線。如果引數曲線 formula_8 區域性可寫成冪級數，我們稱曲線解析或是 formula_25 類。記號 -formula_8 表示朝相反的方向運動的曲線。一條 formula_27-曲線formula_28稱為 formula_29 階正則當且僅當對任何 formula_5 屬於formula_4formula_32在 formula_33 中線性無關。特別地，一條 formula_34-曲線 formula_8 是正則的如果formula_36 對任何 formula_37重新引數化與等價關係.給定一條曲線的像我們可以定義曲線的許多不同的引數化。微分幾何旨在描述在一定的引數化下不變的性質。所以我們需在所有引數曲線集合上定義一種合適的等價關係。曲線的微分幾何性質在重新引數化下不變從而滿足等價類性質。這個等價類稱為 Cr 曲線，是曲線的微分幾何研究的中心。兩個 "C""r" 引數曲線formula_38與formula_39要稱為等價，就要存在一個 "C""r" 雙射formula_40使得formula_41和formula_42γ2 稱為 γ1 的重新引數化。這種 γ1 的重新引數化在所有引數 "C""r" 曲線的集合上定義了一種等價關係，其等價類稱為 Cr 曲線。對定向 Cr 曲線，我們可以定義一種“加細”的等價關係，要求 φ 滿足 φ'("t") &gt; 0。等價的 "C""r" 曲線有相同的像；等價的定向 "C""r" 曲線有相同的運動方向。長度與自然引數化."C"1 曲線 γ : ["a", "b"] → R"n" 的長度 "l" 可以定義為formula_43曲線的長度在重引數化下保持不變，從而是曲線的一個微分幾何性質。對任何正則 "C""r" 曲線 γ: ["a", "b"] → R"n" 我們可以定義一個函式formula_44寫成formula_45這裡 "t"("s") 是 "s"("t") 的逆函式，我們得到 γ 的一個新引數化 formula_46，稱為自然、弧長或單位速度引數化；引數 "s"("t") 稱為 γ 的自然引數。我們偏愛這個引數，因為自然引數 "s"("t") 以單位速度轉動 γ 的像，所以formula_47在實際中常常很難計算出一條曲線的自然引數，但在理論討論中很有用。給定一條引數化曲線 γ("t") 的自然引數化是在差一個引數移動的意義下是惟一的。數量formula_48經常稱為曲線的能量或作用量；這個名稱是有理由的，因為測地線方程是這個作用量的尤拉-拉格朗日運動方程。Frenet 標架.一個 Frenet 標架是一個移動的參考標架，由描述曲線在每一點 γ("t") 區域性性質的"n" 個正交向量 "e""i"("t") 組成。這是微分幾何處理曲線的主要工具，因為在這個區域性參考系中，遠比使用歐幾里得那樣的整體座標系更容易和自然地描述區域性性質。給定 R"n" 中一條 "n" 階正則 "C""n"+1-曲線 γ，曲線的 Frenet 標架是一組正交向量formula_49稱為 Frenet 向量。它們是透過對 γ("t") 的各階導數使用格拉姆-施密特正交化演算法得到的：formula_50formula_51實值函式 χ"i"("t") 稱為 廣義曲率，定義為formula_52Frenet 標架和廣義曲率在重新引數化下是不變的，故它們是曲線的微分幾何性質。特殊 Frenet 向量和廣義曲率.最初三個 Frenet 向量和廣義曲率可以在三維空間中看到。它們有額外的名字以及與名稱相關更多資訊。切向量.如果曲線 γ 表示一個質點的軌跡，那麼質點在給定點 "P" 的瞬時速度用一個向量表示，稱為曲線在 "P" 的切向量。數學表述為，給定一條曲線 γ = γ("t")，對引數 "t" 的任何值： "t" = "t0"，向量：formula_53是點 "P" = γ("t0") 的切向量。一般說，切向量可以為零向量。切向量的長度：formula_54是在時間 "t"0 的速率。第一個 Frenet 向量 "e1"("t") 是在同一方向的單位切向量，在 γ 的每個正則點有定義：formula_55如果 "t" = "s" 是自然引數則切向量有單位長，從而公式化簡為：formula_56單位切向量確定了曲線的定向，或隨著引數增長的前進方向。法向量.法向量，有時也稱為曲率向量，表明曲線和一條直線的偏離程度。法向量定義為formula_57其正規形式單位法向量，是 Frenet 向量 "e"2("t")，定義為formula_58"t" 點的切向量和法向量張成 "t" 點的密切平面。曲率.第一個廣義曲率 χ1("t") 稱為曲率，度量了曲線 γ 偏離密切平面上一條直線的程度。定義為formula_59稱為 γ 在點 "t" 的曲率。曲率的倒數formula_60稱為曲率半徑。半徑為 "r" 的圓周有常曲率formula_61但一條直線的曲率是 0 。次法向量.次法向量是第三個 Frenet 向量 "e"3("t") ，總是正交於 "t" 點的單位切向量和單位法向量。其定義為formula_62在 3 維空間中等式簡化為formula_63撓率.第二廣義曲率 χ2("t") 稱為撓率，度量了 γ 和一條平面曲線的偏離程度。或者說，如果撓率為 0 則曲線完全在某平面內。formula_64稱為 γ 在點 "t" 的撓率。曲線論主要定理.給定 "n" 個函式formula_65滿足formula_66那麼存在惟一的 "n" 階正則 "C""n"+1-曲線 γ，具有如下性質formula_67formula_68這裡集合formula_49是曲面的 Frenet 標架。再附加起始 "t"0 ∈ "I"，起始點 "p"0 ∈ R"n" 以及一個初始正交標架 {"e"1, ..., "e""n"-1} 滿足formula_70formula_71那麼我們可以排除歐幾里得作用得到惟一的曲線 γ。Frenet-Serret 公式.Frenet-Serret 公式是一組一階常微分方程。其解為由廣義曲率函式 χ"i" 所刻畫的曲線的 Frenet 向量組。formula_72formula_73formula_74