么半群

!style=" text-align: left; background: #DCF0FF; font-size: 90%;"| 連續群G2 F4E6 E7E8勞侖茲群龐加萊群!style=" text-align: left; background: #DCF0FF; font-size: 90%;"| 無限維群環路群量子群 O(∞) SU(∞) Sp(∞)!style=" text-align: left; background: #DCF0FF; font-size: 90%;"| 代數群在抽象代數中，么半群，又稱為單群、亞群、獨異點、具么半群或四分之三群是指一個帶有可結合二元運算和單位元的代數結構。麼半群在許多的數學分支中都會出現。在幾何學中，么半群捉取了函式複合的概念；更確切地，此一概念是從範疇論中抽象出來的，之中的么半群是個帶有一個物件的範疇。么半群也常被用來當做電腦科學的堅固代數基礎；在此，變換么半群和語法么半群被用來描述有限狀態自動機，而和則是做為程序演算和平行計算的基礎。么半群的研究中一些較重要的結論有克羅恩-羅德斯定理和。定義.么半群是一個帶有二元運算 *: "M" × "M" → "M" 的集合 "M" ，其符合下列公理：通常也會多加上另一個公理：但這不是必要的，因為在二元運算中即內含了此一公理。另外，么半群也可以說是帶有單位元的半群。么半群除了沒有逆元素之外，滿足其他所有群的公理。因此，一個帶有逆元素的么半群和群是一樣的。生成元和子么半群.么半群 "M" 的 子么半群是指一個在 "M" 內包含著單位元且具封閉性的子集 "N"。很明顯地， "N" 自身會是個么半群，在導自 "M" 的二元運算之下。等價地說，子么半群是一個子集 "N" ，其中 "N"="N"* ，且上標 * 為克萊尼星號。對任一於 "M" 內的子集 "N" 而言，子么半群 "N"* 會是包含著 "N" 的最小么半群。子集 "N" 被稱之為 "M" 的生成元，若且唯若 "M"="N"*。若 "N" 是有限的， "M" 即被稱為是有限生成的。可交換么半群.運算為可交換的么半群稱之為可交換么半群。可交換么半群經常會將運算寫成加號。每個可交換么半群都自然會有一個它自身的代數預序 ≤ ，定義為下： "x ≤ y" 若且唯若存在 "z" 使得 "x+z=y" 。可交換么半群 "M" 的序單位是一個在 "M" 內的元素 "u" ，其中對任一在 "M" 內的元素 "x" 而言，總會存在一個正整數 "n" 使得 "x ≤ nu"。這經常用在 "M" 是偏序阿貝爾群 "G" 的正錐體的情況，在這種情況下我們稱 "u" 是 "G" 的序-單位。有接受任何交換么半群，並把它變成全資格阿貝爾群的代數構造；這個構造叫做格羅滕迪克群。部分可交換么半群.運算只對某些元素而不是所有元素是交換性的的么半群是跡么半群；跡么半群通常出現在併發計算理論中。例子.某些固定字母Σ的有限字元串所組成的集合，會是個以字元串串接為運算的么半群。空字元串當成單位元。這個么半群標記為Σ*，並稱為在Σ內的自由么半群。此外，"f"也可以想成在點formula_4上的函式，給定如下formula_5或等價地表示成formula_6formula_7元素間的乘法即由複合函式給定。注意當formula_8時，函式"f"是formula_9的置換，並給出個數為"n"的唯一迴圈群。性質.在一么半群內，可以定義一元素"x"的正整數冪："x"1="x" 及 "x"n="x"*...*"x" (乘上"n"次)，其中"n"&gt;1。冪的規則"x"n+p="x"n*"x"p則是很明顯的。由定義可以證明其單位元"e"是唯一的。然後，對任一"x"，可以設"x"0為"e"，則其冪的規則在非負冪中依然會是成立的。"逆元素"：一元素"x"稱為可逆，若存在一元素"y"，使得"x"*"y" = "e"且"y"*"x" = "e"。此一元素"y"便稱做"x"的逆元素。結合律使得其逆元素(若存在)是唯一的。若 "y"是"x"的逆元素，則可以定義"x"的負冪，以"x"−1="y"及 "x"−n="y"*...*"y" (乘上"n"次)，其中"n"&gt;1。如此冪的規則在所有整數就都成立了，這也是為什麼"x"的逆元素通常會寫做"x"−1。所有在么半群"M"內的可逆元素，和其自身的運算可組成一個群。在這意思之下，每個么半群都含有一個群。但並不是每個么半群都包含在一個群內的。例如，絕對可能有一個么半群，其兩個元素"a"和"b"會有"a"*"b"="a"的關係，即使"b"不是單位元。如此的么半群是不可能包含於一個群內的，因為在群裡，兩邊一同乘"a"的逆元素，就會得到"b" = "e"的結果，但這不是真的。一個么半群(M,*)若具有消去性，即表示對任何在"M"內的"a"、"b"、"c"，"a"*"b" = "a"*"c"永遠意指"b" = "c"且"b"*"a" = "c"*"a"也永遠意指"b" = "c"。一具有消去性的可交換么半群總是可以包含於一個群內。這是為什麼整數(加法運算下的群)可以由自然數(具有消去性的加法運算下的可交換么半群)建立。但一具有消去性的不可交換么半群則一定不可能包含於一個群之中。若一么半群有消去性且是有限的，它會是一個群。一可逆么半群為一么半群，其任一在"M"內的"a"，總存在一唯一在"M"內的a-1，使得a=aa-1a且a-1=a-1aa-1。一么半群"G"的子么半群是"G"的子集"H"，其包含有單位元，且若"x"、"y"屬於"H"，則"xy"屬於"H"。很清楚地，"H"本身也是個么半群，在"G"的二元運算之下。作用和運算元么半群.運算元么半群是一作用在集合"X"上的么半群"M"。亦即，存在一運算$ : "M" × "X" → "X"符合么半群的運算。運運算元么半群也叫做作用(因為它們類似於群作用), 轉移系統, 半自動機或變換半群。么半群同態.兩個么半群("M", *)和("M"′, @)之間的同態是一個函式"f" : "M" → "M"′，會有如下兩個性質：其中"e"和"e"′分別是"M"和"M"′的單位元。不是每一個群胚同態都會是個么半群同態，因為它不一定會維持單位元。和上述不同，群同態的情況則會成立：群論的公理確保每一兩群之間的群胚同態都會維持住單位元。對於么半群，這不是永遠成立的，而必須有另外的要求。雙射么半群同態稱做么半群同構。么半群同餘和商么半群.么半群同餘是相容於么半群乘積的等價關係。就是說它是子集formula_10使得它是自反的、對稱的和傳遞的(如同所有等價關係必須的那樣)，還要有如果 formula_11 且 formula_12 對於所有 "M" 中的 formula_13 和 formula_14，則有 formula_15 的性質。么半群同餘引發同餘類formula_16而么半群運算 * 引發在同餘類上的二元運算 formula_17:formula_18它是么半群同態。它明顯的也是結合的，所以所有同餘類的集合也是么半群。這個么半群叫做商么半群，可以寫為formula_19一些額外的符號是公用的。給定子集 formula_20，寫formula_21對於引發自 "L" 的同餘類的集合。在這個表示法中，明顯的 formula_22。但是一般的說，formula_23 不是么半群。走相反的方向，如果 formula_24 是商么半群的子集，寫formula_25當然這只是 "X" 的成員的並集。一般的說，formula_26 不是么半群。明顯的有 formula_27 且 formula_28。和範疇論的關係.么半群可視之為一類特殊的範疇。么半群運算滿足的公理同於範疇中從一個物件到自身的態射。換言之："么半群實質上是隻有單個物件的範疇。精確地說，給定一個么半群 ("M",*)，可構造一個只有單個物件的小範疇，使得其態射由 "M" 的元素給出，而其合成則由 么半群的運算 * 給出。同理，么半群之間的同態不外是這些範疇間的函子。就此意義來說，範疇論可視為是么半群概念的延伸。許多關於么半群的定義及定理皆可推廣至小範疇。么半群一如其它代數結構，本身也形成一個範疇，記作 Mon，其物件是么半群而態射是么半群的同態。範疇論中也有麼半物件的概念，它抽象地定義了何謂一個範疇中的么半群。