窗函式

窗函式在訊號處理中是指一種除在給定區間之外取值均為0的實函式。譬如：在給定區間內為常數而在區間外為0的窗函式被形象地稱為矩形窗。任何函式與窗函式之積仍為窗函式，所以相乘的結果就像透過視窗“看”其他函式一樣。窗函式在頻譜分析、濾波器設計、波束形成、以及音訊資料壓縮等方面有廣泛的應用。頻譜分析.從理論上可以得出函式 formula_1 的傅立葉變換除了在頻率 formula_2 之外處處為 0。但是許多其它的函式或者波形資料並沒有這樣方便的閉式變換，或者是我們只對某一時間範圍內的頻譜資料感興趣，在這種情況下，就需要對有限時間範圍的波形進行傅立葉變換或者其它類似的變換。通常透過波形與一個窗函式的乘積來表示。但是，包括矩形窗在內的所有窗函式都會對待測頻譜產生影響。離散時間訊號.當輸入波形是取樣訊號而非連續訊號時，傅立葉分析通常對訊號應用窗函式並用離散傅立葉變換。但是離散傅立葉變換得到的頻譜只是離散時間傅立葉變換頻譜的一個粗糙取樣。上圖是正弦訊號應用矩形窗後傅立葉頻譜的一部分。位於橫軸0點位置的是正弦訊號真實頻譜，其餘頻譜均為譜洩漏。頻率單位為“DFT bins”。但是這種狀況下最有趣的是那些與實際頻譜相一致的即值為零的那些點。這種情況下，DFT創造了沒有洩露的假象。儘管不如本例這樣，洩露是DFT中人為引入的也是普遍誤解。但是既然任何窗函式都有洩露，那些表面上的不存在洩露才是人為造成的。總洩漏.概念的解析度和動態範圍往往是有些主觀的，這取決於使用者的實際意圖。但他們也往往是高度相關，與總洩漏，這是量化的。它通常表示為一個等效頻寬，B認為它作為再分配DTFT成長方形的高度等於頻譜寬度 B的最大和洩漏的，更大的頻寬。它有時被稱為噪聲等效頻寬或等效噪聲頻寬，因為它是成正比的平均功率將每個登記的DFT並當輸入訊號包含隨機噪聲元件。圖的功率譜，平均隨著時間的推移，通常顯示一個單位的噪聲底，造成這種效果。噪聲的高度層是成正比的，所以乙兩個不同的視窗功能可以產生不同的噪音樓層。處理增益與損耗.在訊號處理中，透過某些操作，可以利用訊號和噪聲之間性質的差異，來提高訊號某些方面的品質。當某個正弦訊號隨機地疊加的破壞性噪聲，頻譜分析能區別的訊號與噪聲的分量，往往能使檢測訊號的某些特性更容易，如測量振幅和頻率。比如說，若將大多數的正弦訊號能量集中於一個頻率附近，並將噪聲均勻分佈，能有效的改善信噪比。處理增益通常用來描述SNR改善的程度。頻譜分析的處理增益取決於窗函式的噪聲頻寬和潛在的扇形損失。這些效果可能部分抵消，因為窗函式有最少的扇形自然有最大的滲漏。右圖描述了三種不同的窗函式對相同的資料的影響。此資料包含兩個相等強度的正弦訊號與外加的噪聲。兩正弦波的頻率被定為其中一個無扇形而另一個有最大扇形。兩個正弦訊號在Hann Window下都造成比Blackman–Harris window更少的信噪比損耗。一般情況下，這防止我們在低動態範圍的應用採用高動態範圍的窗。不應使用窗函式的應用.在一些應用中，最好不使用窗函式。例如：典型的窗函式.矩形窗(Rectangular).每個DFT過程都被窗所修飾限制，因為一個有限時間序列等效上是由無限長時間序列乘上一長度與資料區塊長度相同(NΔt)的矩形窗。在矩形窗的例子中，其DFT是由訊號本身的DFT及一矩形的DFT做迴旋所產生，然而矩形窗屬於時間變數的零次冪窗。矩形窗使用最多，習慣上不加窗就是使訊號透過了矩形窗。這種窗的優點是主瓣比較集中，缺點是旁瓣較高，並有負旁瓣，導致變換中帶進了高頻幹擾和洩漏，甚至出現負譜現象。formula_3formula_4formula_5高斯窗.高斯函式經由傅立葉轉換得到的結果，仍然是高斯函式。由於高斯函式會向無限大與負無限大處無限延伸，因此一般都會設定一個截斷高斯函式的閾值，或是將高斯函式搭配其他兩端數值為零的函式。另外，由於取高斯函式的對數會產生拋物曲線，此性質可用於頻率估測的近二次內插中。受限高斯窗.受限高斯窗在給定時間寬度 N"σ""t" 下，將產生最小可能的方均根頻率寬度 "σ""ω"，並最佳化方均根時頻頻寬的乘積。近似受限高斯窗.近似受限高斯窗，在給定時間寬度 N"σ""t" 下，可由下方的式子進一步近似：formula_6其中 Gaussian 定義為:formula_7formula_8Hamming窗與Hann窗.當  formula_9 ，稱作 Hamming窗；當  formula_10  則叫作 Hann窗。formula_11Hann窗.Hann窗有時也稱為 "Hanning" 窗，以與 Hamming 窗的名稱類似。但是這是不對的，因為這兩個窗是分別根據 Julius von Hann 和 Richard Hamming 的名字命名的。Hann窗又稱升餘弦窗。Hann窗可以看作是3個矩形時間窗的頻譜之和，或者說是 3個 sinc(t) 型函式之和，而括號中的兩項相對於第一個譜窗向左、右各移動了π/T，從而使旁瓣互相抵消，消去高頻干擾和漏能。從減小洩漏觀點出發，Hann窗優於矩形窗。但Hann窗主瓣加寬，相當於分析頻寬加寬，頻率分辨力下降。formula_12Hamming窗.如果我們將  formula_13  設為接近 0.53836 的數值，或是更精確來說是 25/46，便會得到Hamming窗，而設定這個數值的用意，是在頻率為 5π/("N" − 1) 處產生零交會處(zero-crossing)，使原先Hann窗的第一個旁瓣(sidelobe)可以被大幅消除，產生只有Hann窗 1/5 高度的旁瓣。formula_14formula_15formula_16formula_17formula_18formula_19Blackman窗.根據一般習慣，Blackman窗所設定的數值並非完全精確("α" = 0.16, "a"0 = 0.42, "a"1 = 0.5, "a"2 = 0.08)，而是近似於精確Blackman的數值("a"0 = 7938/18608 ≈ 0.42659, "a"1 = 9240/18608 ≈ 0.49656, "a"2 = 1430/18608 ≈ 0.076849)。如此的數值設定，其用意是在第三個及第四個旁瓣位置產生零交會處(zero-crossing)。formula_20formula_21formula_22低解析度窗.Nuttall窗.當我們考慮 "n" 為一實數，Nuttall窗函式及其一次導數在任意處皆為連續，且當 "n = 0" 時的數值為 0，而Blackman-Nuttall窗及Blackman-Harris窗，在 "n = 0" 處則有一微小的正值。formula_21formula_24formula_21formula_26Blackman-Harris窗.Blackman-Harris窗是Hamming窗家族的一般化，藉由加上更多位移sinc函式而產生，並能夠減低旁瓣的影響。formula_27formula_28平頂窗.平頂窗在部分割槽域為負值，並且在頻域中具有較小的扇形損失。該特性有利於測量正弦頻率分量，但具有較低頻率精準度以及高雜訊頻帶等缺點。我們可以利用低通濾波器的設計方法產生平頂窗函式。formula_29其他窗函式.正弦窗.正弦窗有時也稱作餘弦窗，因為其函式可同時由正弦或餘弦函式的方式表示。正弦窗的自相關函式可產生波曼窗(Bohman window)。指數正弦/餘弦窗.此類別的窗具有以下形式：formula_30矩形窗("α" = 0)、正弦窗、以及Hann窗("α" = 2)皆屬於這類窗的一員。多夫-柴比雪夫窗.formula_31α引數控制了視窗的尖細程度，α也是旁瓣准尉的對數，因此α=2.0表示比主瓣低了兩個度(decades)或是-40dB。視窗的特徵是主瓣的背景洩漏在轉換後的輸出唯一常數振福。對一個已給定洩漏等級，當主瓣的寬度為最小時，這個視窗是最佳化。另外優點在於，當只有小數目輸入訊號取樣點時，可用來做小轉換，這個視窗在主瓣附近提供很好的能見度。Jian-Jiun Ding, class lecture of Time Frequency Analysis and Wavelet transform, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University, Taipei, Taiwan, 2018.