電勢

在靜電學裡，電勢又稱-{zh-cn:電位;zh-tw:電動勢;zh-hk:電位}-（eForce/ eFrc)，是描述電場中某一點之能量高低性質的物理純量，操作型定義為“電場中某處的電勢”等於“處於電場中該位置的單位電荷所具有的電勢能”，單位用伏特。電勢的數值不具有絕對意義，只具有相對意義，因此為了便於分析問題，必須設定一個參考位置，並把它設為零，稱為零勢能點。通常，會把無窮遠處的電勢設定為零。那麼，電勢可以定義如下：假設檢驗電荷從無窮遠位置，經過任意路徑，克服電場力，以緩慢、沒有產生加速度的方式移動到某位置，則在這位置的電勢，等於因移動檢驗電荷所做的功與檢驗電荷的電荷量的比值。在國際單位制裡，電位的單位為伏特而命名。電勢必需滿足帕松方程式，同時符合相關邊界條件；假設在某區域內的電荷密度為零，則帕松方程式約化為拉普拉斯方程式，電勢必需滿足拉普拉斯方程式。在電動力學裡，當含時電磁場存在的時候，電勢可以延伸為「廣義電勢」。特別注意，廣義電勢不能被視為電勢能每單位電荷。簡介.處於外電場的帶電粒子會受到外電場施加的作用力，稱為電場力，促使帶電粒子加速運動。對於帶正電粒子，電場力與電場同方向；對於帶負電粒子，電場力與電場反方向。電場力的數值大小與電荷量、電場數值大小成正比。作用力與勢能之間有非常直接的關係。隨著物體朝著作用力的方向的加速運動，物體的動能變大，勢能變小。例如，一個石頭在山頂的重力勢能大於在山腳的重力勢能。隨著物體的滾落，重力勢能變小，動能變大。對於某種特別作用力，科學家可以定義其向量場和其位勢，使得物體因為這向量場而具有的勢能，只與物體位置、參考位置之間的距離有關。稱這種作用力為保守力，這種向量場為保守場。例如，重力、靜電場的電場力，都是保守力。靜電場的純量勢稱為電勢，或稱為靜電勢。電勢和磁向量勢共同形成一個四維向量，稱為四維勢。從某一個慣性參考系觀察到的四維勢，應用勞侖茲變換，可以計算出另外一個慣性參考系所觀察到的四維勢。靜電學裡的電勢.在靜電學裡，電場formula_2內某位置formula_3的電勢formula_4，以方程式定義為formula_5；其中，formula_6是在位置formula_3的檢驗電荷formula_8所具有的電勢能。電勢能的數值是人為設定的，沒有絕對意義，只有相對於某參考位置的已設定參考值時才有物理意義。假若要設定電勢能在空間任意位置的數值，必須先設定其在某參考位置formula_9的數值。為了方便運算，假設其參考數值為0。然後，就可以將在位置formula_3的電勢能formula_11定義為從參考位置formula_9緩慢地將檢驗電荷formula_8移動至formula_3所需做的機械功formula_15：formula_16。移動檢驗電荷時所施加的外力formula_17，必須恰巧抵消處於電場formula_2的檢驗電荷formula_8所感受到的電場力formula_20，即formula_21。其所做機械功等於外力formula_17的路徑積分：formula_23；其中，formula_24是從參考位置formula_9到位置formula_3的一條任意路徑，formula_27是微小線元素。在靜電學裡，formula_28，電場是保守場，所以，在積分時，可以選擇任意路徑formula_24，計算出來的結果都一樣。欲知更詳盡細節，請目保守力。由於這方程式右邊的路徑積分跟路徑formula_24無關，只跟路徑的初始位置formula_9、終止位置formula_3有關，因此若能夠假設無窮遠位置formula_33的電勢能為0，則可以設定參考位置formula_9在無窮遠位置formula_33：formula_36。所以，電勢就是從無窮遠位置到檢驗位置對於電場做路徑積分所得結果的負值：formula_37。在任意兩個位置formula_38、formula_39之間的「電勢差」formula_40為formula_41。由於電場formula_2是保守場，電勢差也與積分路徑無關，只跟積分路徑的初始位置與終止位置有關。點電荷.由點電荷 "Q" 所產生的電勢，在距離 "r" 時，可表示為formula_43其中，"ε"0 是真空電容率。在無限遠處，電勢為零。由多個點電荷產生的電勢，相等於各點電荷所產生的電勢之和。此外，電勢場是純量場，電場則是向量場。疊加原理.電場遵守疊加原理：假設在三維空間裡，由兩組完全不相交的電荷分佈所產生的電場分別為formula_44、formula_45，則總電場為formula_46。總電勢為每單位電荷克服電場力所做的機械功之和：formula_47。所以，電勢也遵守疊加原理。當計算一組電荷分佈所產生的電勢時，只需要知道在電荷分佈的每個源位置的單獨電荷所產生在檢驗位置的電勢，就可以應用積分運算，得到整個電荷分佈所產生在檢驗位置的電勢。電勢的微分方程式.應用積分符號內取微分方法，電勢的梯度為formula_48。所以，電場與電勢之間的關係為formula_49。根據高斯定律的方程式，formula_50；其中，formula_51是電荷密度，formula_52是電常數。所以，電勢滿足帕松方程式：formula_53。假設電荷密度為零，則這方程式變為拉普拉斯方程式：formula_54。請注意，假若formula_55，也就是說，電場不具保守性，則不能使用這些方程式。由於電勢乃是純量，而電場是具有三個分量的向量，所以，很多時候，使用電勢來解析問題會省去很多運算工作，帶來很大的便利。拉普拉斯方程式的解答.在某空間區域內，假設電荷密度為零，則電勢必須滿足拉普拉斯方程式，並且符合所有相關邊界條件。邊界條件.在靜電學裡，有三種邊界條件：根據拉普拉斯方程式的，對於這些種類的邊界條件，拉普拉斯方程式的解答都具有唯一性。所以，只要找到一個符合邊界條件的解答，則這解答必定為正確解答。分離變數法.應用分離變數法來解析拉普拉斯方程式，可以將問題的偏微分方程式改變為一組較容易解析的常微分方程式。對於一般問題，通常會採用直角坐標系、圓柱坐標系或球坐標系來分離拉普拉斯方程式。但是，對於其它比較特別的問題，另外還有八種坐標系可以用來分離拉普拉斯方程式。分離之後，找到每一個常微分方程式的通解，電勢可以表達為這些通解的乘積。將這表示式與邊界條件相匹配，就可以設定一般解的係數，從而找到問題的特解。根據拉普拉斯方程式的唯一性定理，這特解也是唯一的正確解答。兩個半平面導體案例.假設在xy-平面的無限平面導體被一條位於formula_56的絕緣線條分為兩半，兩個處於y+、y--半平面的導體的電勢分別設定為formula_57、formula_58，則計算z+-半空間任意位置的電勢這問題，由於邊界條件的幾何形狀適合用直角坐標來描述，可以以直角坐標formula_59將拉普拉斯方程式表示為：formula_60。因為這案例與x-坐標無關，方程式可以簡化為formula_61。應用分離變數法，猜想解答的形式為formula_62。將這公式代入拉普拉斯方程式，則可得到formula_63。注意到這方程式的每一個專案都只含有一個變數，並且跟其它變數無關。所以，每一個專案都等於常數：formula_64、formula_65。這樣，一個二次偏微分方程式被改變為兩個簡單的二次常微分方程式。解答分別為formula_66、formula_67；其中，formula_68、formula_69、formula_70、formula_71都是係數函式。當formula_72趨向於無窮大時，formula_73趨向於零，所以，formula_74。綜合起來，電勢為formula_75。由於在formula_76，y+、y--半平面的電勢分別為formula_57、formula_58，所以，當formula_79時，formula_80、當formula_81時，formula_82。應用傅立葉變換，可以得到formula_83、formula_84。所以，由formula_68專案貢獻出的電勢為formula_86 。類似地，由formula_69專案貢獻出的電勢為formula_88 。總電勢為formula_89。帕松方程式的解答.電荷分佈所產生的電勢.根據庫侖定律，一個源位置為formula_90的點電荷formula_8，所產生在任意位置formula_3的電場為formula_93。注意到，以上這些推導，並沒有涉及時間引數。加入時間引數formula_94，結果也成立。所以，永遠可以找到磁向量勢formula_95：formula_96。根據法拉第電磁感應定律，向量場formula_97是一個保守場：formula_98。所以，必定可以找到純量勢formula_4，滿足formula_100。因此，下述方程式成立：formula_101。靜電勢只是這含時定義的一個特別案例，在這案例裡，磁向量勢formula_95不含時間。從另一方面來說，對於含時向量場，電場的路徑積分與靜電學的結果大不相同：formula_103。