格奧爾格·康托爾

格奧爾格·費迪南德·路德維希·菲利普·康托爾。他創立了現代集合論，是實數系以至整個微積分理論體系的基礎，還提出了勢和良序概念的定義；康託爾確定了在兩個集合中的成員，其間一對一關係的重要性，定義了無限且有序的集合，並證明瞭實數比自然數更多。康託爾對這個定理所使用的證明方法，事實上暗示了“無限的無窮” 的存在。他定義了基數和序數及其算術。康託爾很清楚地自知自覺他的成果，富有極濃厚的哲學興趣。康託爾提出的超越數，最初被當時數學界同儕認為如此反直覺-甚至令人震驚-因而拒絕接受他的理論，且以利奧波德·克羅內克為首的眾多數學家長期攻擊。克羅內克反對代數數為可數的，而超越數為不可數的證明。康託爾本身是一位虔誠的路德派，相信這個理論是經由上帝傳達給他；但一些基督教神學家認為康託爾的理論，是在挑戰神學中只有上帝才具有絕對而唯一的無限性質。康託爾自 1869年任職於德國哈勒大學直到 1918年在哈勒大學附屬精神病院逝世；他的抑鬱症一直再發的病因，被歸咎於當代學界的敵對態度，儘管有人將這些事件解釋為，是他本人所患有的情感雙極障礙的病徵。他所受到的嚴厲攻擊，與後來的讚譽相匹配：在 1904年倫敦皇家學會授予他西爾維斯特獎章，這是皇家學會可授予數學研究者的最高榮譽。在康托爾死後數十年，維特根斯坦撰文哀悼昔時學術界指責「集合論是假借透過數學而有害處的方言」的氛圍，他認為那是「可笑」和「錯誤」的「完全無稽之談」。當代數學家絕大多數接受康托爾的理論，並認為這是數學史上一次重要的變革。大衛·希爾伯特說：「沒有人能夠把我們從康託爾建立的樂園中趕出去。」生平.青年時期.康托爾1845年出生於俄國聖彼得堡的商人殖民地，並在城裡生活直到他十一歲，他父親是丹麥商人，母親是俄國音樂家。他是六個孩子中最年長的一個，被認為是一位傑出的小提琴手。他的祖父弗蘭茲伯姆是俄羅斯帝國管絃樂團的著名音樂家和獨奏家。康託爾的父親曾是聖彼得堡證券交易所的成員；當他生病時，為了尋求比聖彼得堡更溫和的冬天，於 1856年他們全家先遷移到了德國的威斯巴登，然後到了法蘭克福。1860年康託爾從達姆施塔特的Realschule區中學畢業；他在數學方面的學業成績優異，尤其是三角學。1862年康託爾進入瑞士聯邦理工學院。在1863年6月他父親去世後，他繼承了豐厚的財產；康託爾將他的學業轉移到柏林大學，研習卡爾·魏爾施特拉斯、利奧波德·克羅內克和恩斯特·庫默爾的課程。1866年夏天他在哥廷根大學度過了一段時間。格奧爾格·康託爾是一個好學生，在 1867年於柏林大學獲得了博士學位。任教及研究生涯.康託爾於1867年在柏林大學提交了關於數論的論文。在柏林女子學校短暫講授後，康託爾在哈勒大學任職並在那度過了他整個的職業生涯，在 1869年他任職時所提出的數論論文，因而取得了特許任教資格。1874年康託爾與 Vally Guttmann結婚，在他們度過哈爾茨山脈的蜜月期間，康託爾花了很多時間與理查德·戴德金討論數學，兩人結識是因他兩年前的瑞士度假時而遇到戴德金。他們育有六個孩子，1886年出生的魯道夫是他們最小的孩子。儘管他任教職的薪酬很低，但康託爾能負擔這人口眾多的家庭生計支出，要歸功於他父親的優渥遺產。康託爾在 1872年升任副教授，並在他三十四歲時(1879年)就成為教授，是一個顯著的功名；但康託爾希望在德國柏林更有聲望的領先大學中，擔任主席；然而他的研究工作成果遭遇了太多的反對，每當康託爾在柏林申請更高階的職位，他都被拒絕了。通常是因當時克羅內克有異議的關係，使其所望難以實現。所以康託爾相信因為克羅內克的反對立場，會讓他無法離開哈勒。1881年康託爾的同事愛德華海涅去世，產生了一個主席空缺。哈勒大學採納康託爾的提議，將主席此一職位依序提供給戴德金、安裡西·韋伯或是弗朗茨·梅滕斯 這三位，但他們全都拒絕了；這個職位最終任命給 Friedrich Heinrich Albert Wangerin，但他從來沒有接近過康託爾。1882年康託爾和戴德金之間通訊聯絡的數學關係告一段落，顯然是由於戴德金拒絕了哈勒大學的主席一職。在 1884年5月康託爾遭受了自身抑鬱症的第一次發作。對他工作的批評讓他頭腦昏沉：他在 1884年寫給 米塔·列夫勒 的52封信，每封信中都提到克羅內克，其中一段內文揭漏了他自信心所受到的殘害：...我不知道何時會回到崗位上繼續我的研究。此刻我無能為力，並將我自己限制在論文中最必要的責任上；如果我心智精神能有新鮮的感覺，我能比較快樂地參與學界的活動。此後康託爾康復，隨後作出了進一步的重要貢獻，包括他的對角論證和定理。1889年康託爾成立了德國數學學會，並於 1891年在哈勒大學主持了首次會議，在那裡他首先介紹了他發明的對角線論證法；儘管克羅內克反對他的工作，但此時他的聲譽已足夠強大到確保當選，為這個學術社群的第一任主席。他最終撇開了克羅內克對他的敵意，並尋求與克羅內克的和解，康託爾邀請他在會上發言，但克羅內克卻因為妻子因當時的滑雪事故中死亡而無法出席。而即使克羅內克在 1891年 12月 29日去世之後，康託爾也再達不到其於 1874-84年發表論文的卓越水準。分裂它們的哲學分歧和困難依舊存在。康託爾在 1897年在瑞士蘇黎世舉行的第一屆國際數學家大會中也發揮了重要作用。晚年時期.康托爾的後半生受到精神疾病的嚴重影響工作，他不得不經常入院治療。根據後來他發表的論文推測，他患的可能是躁鬱症。他曾寫了一篇驗證1000以下的歌德巴赫猜想的論文，其實幾十年前已經有人驗證到了10000。他又發表了幾篇文學方面的論文，試圖證明弗蘭西斯·培根其實是莎士比亞作品的真正作者。以及神學方面的論文，企圖證明絕對無限即是上帝。第一次世界大戰期間，他陷於赤貧狀態，最後死於哈雷大學的精神病院。數學領域上的成就.康託爾在 1874至1884 這十年間的研究成果，是集合論的起源。在此之前追溯已往到亞里斯多德時代，數學領域中的集合，從最初就隱含地使用了相當原始的集合概念。沒有人意識到集合這個概念中，有任何未深入研討的內容。在康託爾之前的集合概念，只區分為一般人直覺上容易理解的有限集合，而所謂的“無窮”集合被認為是哲學而非數學研討的命題。康託爾證明無窮集合存在著許多可能的大小，而擴充套件了數學領域中對於集合概念，其真實涵義的研討。集合論已經發揮了現代數學基礎理論的作用，因為它明確定義並解釋了，幾乎所有的傳統數學領域以及 非可數的無窮集合。康託爾發展了拓撲中的重要概念，其與基數的關係。例如，他表明康托爾集不是密集的，而與實數系集合一樣具有相同的基數，而有理數的集合是密集而且可數的。他還表明了線性稠密可數的、而沒有終點的序，和有理數集合是同構的。康託爾介紹了集合論的基本結構，如formula_1集合的冪集，是對於formula_1集合其中所有元素，各種組合而構成的一個子集。他後來證明瞭即使 formula_1屬於無窮集合， formula_1的冪集大小，也將會是嚴格大於 formula_1的大小，這個結果很快就被稱為康託爾定理。康託爾發展了整套的集合論和無窮集合的算術，稱為基數和序數，它擴充了自然數的算術。他對基數的標記符號是希伯來文 formula_6與自然數下標；對於標示序的符號他採用了希臘字母 ω。這個符號表示法目前數學界仍在使用。康託爾的連續統假說是 1900年巴黎數學家國際會議，大衛·希爾伯特提出23個尚無證明命題的第一個。康託爾的研究成果也吸引了其它人的關注。美國哲學家皮爾士讚揚他的集合論；而在 1897年蘇黎世舉行的第一屆國際數學家會，康託爾發表的公開講座之後，Hurwitz 和阿達馬也都表示了欽佩。在那次大會上康託爾重新與戴德金交換了友誼和信件。自 1905年起康託爾與英國翻譯家菲利普朱爾丹就集合論的歷史，和康託爾的宗教思想，進行了對談，這些對談後來整合出版為康託爾的講述作品。數論，三角級數和序數.康託爾的前十篇論文題目是關於數論。在哈勒大學教授愛德華海涅的建議下，康託轉向分析。海涅提出了困惑著約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷、魯道夫·利普希茨、波恩哈德·黎曼和海涅自己的問題：如何呈現三角級數的建構函式的唯一性質？康託爾在 1869年解決了這個難題，而在研究這個三角級數唯一定理的時候，他發現了超限序數，出現在對於三角級數的集合"S"，其下標為"n"的第"n"個索引的匯出集合 "S""n"之中。1870 至 1872年之間康託爾發表了更多關於三角函式的論文，並且還將無理數定義為有理數的收斂序列。戴德金引用了這篇論文，並在他的論文中首次提出了戴德金切割的實數定義。即使康託爾革命性地以無限基數的概念來擴大集合概念的同時，他卻自相矛盾地反對同期數學分析學者 Otto Stolz 和 Paul du Bois-Reymond 的無限小理論；康託爾還發表了一個錯誤的“證明”，試圖證明無窮小量的不一致性。集合論.一一對應和對角線證明方法.康托爾提出了透過一一對應的方法對無限集合的大小進行比較，並將能夠彼此建立一一對應的集合稱為等勢，即可以被認為是“一樣大”的。他引入了可數無窮的概念，用來指與自然數集合等勢的集合，並證明了有理數集合是可數無窮，而實數集合不是可數無窮，這表明無窮集合的確存在著不同的大小，他稱與實數等勢的集合為不可數無窮。原始證明發表於 1874年，這個證明使用了較為複雜的歸納反證法。1891年他用對角線法重新證明了這個定理。另外，他證明了代數數集合是可數集，以及 formula_7維空間與一維空間之間存在一一對應。在上述理論的基礎上，康托爾又系統地研究了序數理論，提出了良序定理，即可以給任何集合內的所有元素定義一個大小關係，使得任意兩個元素都可以比較大小，且該集合的任意子集都有最小元素。連續統假設.康托爾晚年致力於證明他自己提出的連續統假設，即任意實數的無窮集合或者是可數無窮或者是不可數無窮，二者必居其一，但沒有成功。