向量空間

!style=" text-align: left; background: #DCF0FF; font-size: 90%;"|線性空間與線性變換線性空間 · 線性變換 · 線性子空間 · 線性生成空間 · 基 · 線性對映 · 線性投影 · 線性無關 · 線性組合 · 線性泛函 · 行空間與列空間 · 對偶空間 · 正交 · 特徵向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化向量空間是一群可縮放和相加的數學實體所構成的特殊集合，其特殊之處在於縮放和相加後仍屬於這個集合。這些數學實體被稱為向量，而向量空間正是線性代數的主要研究物件。正式定義.給定域 formula_1 和某集合 formula_2 ，它們具有了以下兩種運算：且這兩種運算滿足：這樣稱 「 formula_2 為定義在域 formula_12 上的向量空間」，而 formula_2 裡的元素 formula_16 被稱為向量；域 formula_12 裡的元素 formula_18 被稱為標量。這樣域 formula_12 就是囊括所有標量的集合，所以為瞭解說方便，有時會將 formula_12 暱稱為標量域或是標量母空間。在不跟域的加法混淆的情況下，向量加法 formula_21 也可以簡寫成 formula_10 。前四個條件規定 formula_23 是交換群。上述的完整定義也可以抽象地概述成「 formula_1 是個域，且 formula_2 是一個 formula_26模」。基本性質.以下定理都沿用正式定義一節的符號與前提條件。定理 (1) — 向量加法的單位元是唯一的。以上的定理事實上繼承自群的單位元唯一性。這樣的話，可以仿造群的習慣以記號 formula_27 代表「向量加法 formula_21 的唯一單位元」，並稱之為 formula_2 的零向量。在不跟標量域的加法單位元 formula_30 混淆的情況下，零向量 formula_31 也可以簡寫成 formula_32 。定理 (2) —任意向量的向量加法逆元素是唯一的。以上的定理事實上繼承自群的逆元唯一性，這樣的話，可以仿造群的習慣以 formula_33 代表「向量 formula_34 在向量加法 formula_21 下的唯一逆元素」，甚至可以把 formula_36 簡記為 formula_37 ，並暱稱為向量減法。在不跟標量的加法混淆的情況下， formula_33 也可記為 formula_39 ； formula_37 也可記為 formula_41 。定理 (3) — 對所有的純量 formula_18 都有 formula_43 。考慮到標量乘法對向量加法的分配律和零向量的性質會有formula_44那取向量 formula_45 為 formula_46 的向量加法逆元素，配上向量加法的結合律和單位元的定義會有formula_47故得証。formula_48定理 (4) —對所有的向量 formula_16 ，若純量 formula_30 是域加法的單位元，則 formula_51 。考慮到域 formula_12 自身的定義，還有標量乘法對域加法的分配律的話有formula_53那取向量 formula_54 為 formula_55 的向量加法逆元素，配上向量加法的結合律和單位元的定義會有formula_56故得証。formula_48定理 (5) —對所有的向量 formula_45 和標量 formula_18 ，如果 formula_60 ，則 formula_61 或 formula_62 ( 其中 formula_30 是域加法的單位元)。若 formula_64 ，根據定理(3)本定理顯然成立。下面只考慮 formula_65 的狀況。假設存在向量 formula_16 和標量 formula_18 滿足 formula_68 且 formula_69 ，但 formula_60 。若以 formula_71 表示域的乘法單位元，那根據其性質與和定義關於標量乘法單位元的部分會有formula_72那再根據定義關於標量乘法與域乘法的部分，還有域乘法的交換律會有formula_73那再套用定理(3)和前提假設會有formula_74這跟前提假設是矛盾的，所以根據反證法和德摩根定理，對所有向量 formula_16 和所有標量 formula_18 ，只有可能「 formula_61 或 formula_62 」或「formula_79」，但這段敘述正好等價於定理想證明的，故得証。formula_80定理 (6) —如果 formula_81 是 formula_18 的域加法逆元素，那對所有的向量 formula_45 ，formula_84 的向量加法逆元素必為 formula_85 。以下設純量 formula_30 是域加法的單位元。考慮到域 formula_12 自身的定義，還有標量乘法對域加法的分配律會有formula_88formula_89然後考慮到前面的定理(4)，就有formula_90formula_91然後考慮到定理(2)保證的逆元素唯一性，就可以知道向量 formula_84 的加法逆元素必為 formula_85 。formula_48系理 —如果 formula_95 是域加法單位元 formula_71 的域加法逆元素，那對所有的向量 formula_45 ，其向量加法逆元素必為 formula_98 。額外結構.研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下：例子.對一般域"V"稱為有限域向量空間。最簡單的w，都有：(u + v) + w，w + v，v，#重定向 v就滿足v + w0。"a" v + "a "w."a" v + "b" v.("ab")v。v。更為常見的例子是給定了直角座標系的平面：平面上的每一點formula_99都有一個座標formula_100，並對應著一個向量formula_101。所有普通意義上的平面向量組成了一個空間，記作ℝ²，因為每個向量都可以表示為兩個實數構成的有序陣列formula_101。可以驗證，對於普通意義上的向量加法和標量乘法，ℝ²滿足向量空間的所有公理。實際上，向量空間是ℝ²的推廣。同樣地，高維的歐幾里得空間ℝn也是向量空間的例子。其中的向量表示為formula_103，其中的formula_104都是實數。定義向量的加法和標量乘法是：formula_105，formula_106formula_107可以驗證這也是一個向量空間。再考慮所有係數為實數的多項式的集合formula_108。對於通常意義上的多項式加法和標量乘法，formula_108也構成一個向量空間。更廣泛地，所有從實數域射到實數域的連續函式的集合formula_110也是向量空間，因為兩個連續函式的和或差以及連續函式的若干倍都還是連續函式。方程組與向量空間.向量空間的另一種例子是齊次線性方程組的解的集合。例如下面的方程組：formula_111formula_112如果formula_113和formula_114都是解，那麼可以驗證它們的“和”formula_115也是一組解，因為：formula_116formula_117同樣，將一組解乘以一個常數後，仍然會是一組解。可以驗證這樣定義的“向量加法”和“標量乘法”滿足向量空間的公理，因此這個方程組的所有解組成了一個向量空間。一般來說，當齊次線性方程組中未知數個數大於方程的個數時，方程組有無限多組解，並且這些解組成一個向量空間。對於齊次線性微分方程，解的集合也構成向量空間。比如說下面的方程：formula_118出於和上面類似的理由，方程的兩個解formula_119和formula_120的和函式formula_121也滿足方程。可以驗證，這個方程的所有解構成一個向量空間。子空間基底.如果一個向量空間V的一個非空子集合W對於V的加法及標量乘法都封閉。V的子空間中，最平凡的就是空間V自己，以及只包含0的子空間formula_122。給出一個向量集合B，那麼包含它的最小子空間就稱為它的生成子空間，也稱線性包絡，記作span(B)。給出一個向量集合B，若它的生成子空間就是向量空間V，則稱B為V的一個生成集。如果一個向量空間V擁有一個元素個數有限的生成集，那麼就稱V是一個有限維空間。可以生成一個向量空間V的線性獨立子集，稱為這個空間的基。若V={0}，約定唯一的基是空集。對非零向量空間V，基是V“最小”的生成集。向量空間的基是對向量空間的一種刻畫。確定了向量空間的一組基B之後，空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中元素的線性組合。如果能夠把基中元素按下標排列：formula_123，那麼空間中的每一個向量v便可以透過座標系統來呈現：formula_124這種表示方式必然存在，而且是唯一的。也就是說，向量空間的基提供了一個座標系。可以證明，一個向量空間的所有基都擁有相同基數，稱為該空間的維度。當V是一個有限維空間時，任何一組基中的元素個數都是定值，等於空間的維度。例如，各種實數向量空間：ℝ⁰, ℝ¹, ℝ², ℝ³,…, ℝ∞,…中， ℝn的維度就是"n"。在一個有限維的向量空間中，確定一組基formula_125，那麼所有的向量都可以用n個標量來表示。比如說，如果某個向量v表示為：formula_126那麼v可以用陣列formula_127來表示。這種表示方式稱為向量的座標表示。按照這種表示方法，基中元素表示為：formula_128formula_129formula_130可以證明，存在從任意一個n維的formula_131-向量空間到空間formula_132的雙射。這種關係稱為同構。線性對映.給定兩個係數域都是F的向量空間V和W,定義由V到W的線性變換為所有從V射到W並且它保持向量加法和標量乘法的運算的函式f：formula_133formula_134所有線性變換的集合記為formula_135，這也是一個係數域為F的向量空間。在確定了V和W上各自的一組基之後，formula_135中的線性變換可以透過矩陣來表示。如果兩個向量空間V和W之間的一個線性對映是一一對映，那麼這個線性對映稱為同構，表示兩個空間構造相同的意思。如果在V和W之間存在同構，那麼稱這兩個空間為同構的。如果向量空間V和W之間存在同構formula_133，那麼其逆對映formula_138也存在，並且對所有的formula_139，都有：formula_140