四維向量

在相對論裡，四維向量是實值四維向量空間裡的向量。這四維向量空間稱為閔考斯基時空。四維向量的分量分別為在某個時間點與三維空間點的四個數量。在閔考斯基時空內的任何一點，都代表一個「事件」，可以用四維向量表示。從任意慣性參考系觀察某事件所獲得的四維向量，透過勞侖茲變換，可以變換為從其它慣性參考系觀察該事件所獲得的四維向量。本文章只思考在狹義相對論範圍內的四維向量，儘管四維向量的概念延伸至廣義相對論。在本文章內寫出的一些結果，必須加以修改，才能在廣義相對論範圍內成立。數學性質.在閔考斯基時空內的任何一點，都可以用四維向量 formula_1 來表示；其中，上標 formula_2 標記時空的維數次序。稱這四維向量為「坐標四維向量」，又稱「四維坐標」，定義為formula_3 ；其中，formula_4 是光速，formula_5 是時間，formula_6 是位置的三維直角坐標。為了確使每一個坐標的單位都是長度單位，定義 formula_7 。「四維位移」定義為兩個事件之間的向量差。在時空圖裡，四維位移可以用從第一個事件指到第二個事件的箭矢來表示。當向量的尾部是坐標系的原點時，位移就是位置。四維位移 formula_8 表示為formula_9 。帶有上標的四維向量 formula_10 稱為反變向量，其分量標記為formula_11 。假若，標號是下標，則稱四維向量 formula_12 為協變向量。其分量標記為formula_13 。在這裡，閔考斯基度規 formula_14 被設定為formula_15 。採用愛因斯坦求和約定，則四維向量的協變坐標和反變坐標之間的關係為formula_16 。閔考斯基度規與它的「共軛度規張量」 formula_17 相等：formula_18 。勞侖茲變換.給予兩個慣性參考系 formula_19、 formula_20 ；相對於參考系 formula_19，參考系 formula_20 以速度 formula_23 移動。對於這兩個參考系，相關的「勞侖茲變換矩陣」 formula_24 是formula_25；其中，formula_26 是勞侖茲因子，formula_27是「貝塔因子」。對於這兩個參考系 formula_19、 formula_20 ，假設一個事件的四維坐標分別為 formula_30、 formula_31 。那麼，這兩個四維坐標之間的關係為formula_32 、formula_33 ；其中，formula_34 是 formula_35 的反矩陣，formula_36 。將這兩個四維坐標之間的關係式合併為一，則可得到formula_37 。因此，可以找到勞侖茲變換矩陣的一個特性：formula_38 ；其中，formula_39 是克羅內克函式。另外一個很有用的特性為formula_40 ；給定一個事件在某慣性參考系的四維坐標，透過勞侖茲變換，就可計算出這事件在另外一個慣性參考系的四維坐標。這是個很有用的物理性質。當研究物理現象時，所涉及的四維向量，最好都能夠具有這有用的性質。這樣，可以使得數學分析更加精緻犀利。以方程式表示，對於兩個參考系 formula_19、 formula_20，具有這種有用性質的四維向量 formula_10 、formula_44 滿足formula_45 、formula_46 。在計算這四維向量對於時間的導數時，若能選擇固有時為時間變數，則求得的四維向量仍舊具有這有用的性質。因為，固有時乃是個不變數；改變慣性參考系不會改變不變數。假設一個物體運動於閔考斯基時空。在「實驗室參考系」裡，物體運動的速度隨著時間改變。對於每瞬時刻，選擇與物體同樣運動的慣性參考系，稱為「瞬間共動參考系」。在這瞬間共動參考系裡，物體的速度為零，因此，這參考系也是物體的「瞬間靜止參考系」。隨著物體不斷地改變運動速度與方向，新的慣性參考系也會不斷地改換為瞬間共動參考系。:41-42隨著這些不斷改換的瞬間同行坐標系所測得的時間即為固有時，標記為 formula_47 。這就好像給物體掛戴一隻手錶，隨著物體的運動，手錶也會做同樣的運動，而手錶所紀錄的時間就是固有時。這物體的運動可以用一條世界線 formula_48 來描述。由於時間膨脹，發生於物體的兩個本地事件的微小固有時間隔 formula_49 與從別的慣性參考系 formula_19 所觀測到的微小時間間隔 formula_51 的關係為formula_52 。所以，固有時 formula_47 對於其它時間 formula_5 的導數為formula_55 。閔考斯基內積.在閔考斯基空間裡，兩個四維向量 formula_56 與 formula_57 的內積，稱為閔考斯基內積，以方程式表示為：formula_58 。由於這內積並不具正定性，即formula_59可能會是負數；而歐幾裡得內積一定不是負數。許多學者喜歡使用相反正負號的 formula_60：formula_61 。這樣，formula_56 與 formula_57 的內積改變為formula_64 。其它相聯的量值也會因而改變正負號，但這不會改變系統的物理性質。從參考系 formula_19 改換至另一參考系 formula_66 ，formula_56 與 formula_57 的內積為formula_69 。所以，在閔考斯基時空內，兩個四維向量的內積是個不變數：:44-46formula_70 。四維向量可以分類為類時，類空，或類光：類時向量：formula_71 ，類空向量：formula_72 ，類光向量：formula_73 。動力學例項.四維速度.設想一個物體運動於閔考斯基時空，則其世界線的任意事件 formula_74 的四維速度 formula_56 定義為:46-48formula_76 ；其中，formula_77 是三維速度，或經典速度向量。formula_56 的空間部分與經典速度 formula_79 的關係為formula_80 。四維速度與自己的內積等於光速平方，是一個不變數：formula_81 。在物體的瞬間共動參考系裡，物體的速度為零，因此，四維速度為formula_82 ，其方向與瞬間共動參考系的第零個基底向量 formula_83 同向；其中，formula_84 表示從瞬間共動參考系觀察得到的資料。四維加速度.四維加速度 formula_85 定義為 :46-48formula_86 。經過一番運算，可以得到勞侖茲因子對於時間的導數：formula_87 ；其中，formula_88 是經典加速度。所以，四維加速度 formula_85 可以表示為formula_90 。由於 formula_91 是個常數，四維加速度與四維速度相互正交；也就是說，四維速度與四維加速度的閔考斯基內積等於零：formula_92 。對於每一條世界線，這計算結果都成立。注意到在瞬間共動參考系裡， formula_93 只有時間分量不等於零，所以， formula_85 為的時間分量為零：formula_95 。四維動量.一個靜止質量為 formula_96 的粒子的四維動量 formula_97 定義為formula_98 。經典動量 formula_99 定義為formula_100 ；其中，formula_101 是相對論性質量。所以，formula_97 的空間部分等於經典動量 formula_99 ：formula_104。四維力.作用於粒子的四維力定義為粒子的四維動量對於固有時的導數：formula_105。提出四維動量內的靜止質量因子，即可發覺四維力就是靜止質量乘以四維加速度：formula_106 。因此，四維力可以表示為formula_107 。經典力 formula_108 定義為formula_109 。所以，formula_110的空間部分等於 formula_111 ：formula_112 。物理內涵.在四維向量的表述裡，存在著許多能量與物質之間的關係。從這些特別關係，可以顯示出這表述的功能與精緻。質能方程式.假設，在微小時間間隔 formula_113 ，一個運動於時空的粒子，感受到作用力 formula_108 的施加，而這粒子的微小位移為 formula_115 。那麼，作用力 formula_108 對於這粒子所做的微小機械功 formula_117 為formula_118 。因此，這粒子的動能的改變 formula_119 為formula_120 。粒子的動能 formula_121 對於時間的導數為formula_122 。將前面經典力和經典速度的公式帶入，可以得到formula_123 。這公式的反微分為formula_124 。當粒子靜止時，動能等於零。所以，formula_125 。這公式的右手邊第二個專案就是靜止能量 formula_126 。動能 formula_121 加上靜止能量 formula_128 等於總能量 formula_129 ：formula_130 。再加簡化，以相對論性質量 formula_101 表示：formula_132 。這方程式稱為質能方程式。能量-動量關係式.使用質能方程式 formula_133 ，四維動量可以表示為formula_134 。四維動量與自己的內積為formula_135 。改以四維速度來計算內積：formula_136 。所以，能量-動量關係式為formula_137 。電磁學例項.四維電流密度.在電磁學裡，四維電流密度 formula_138 是一個四維向量，定義為formula_139 ；其中，formula_140 是電荷密度，formula_141 是三維電流密度。在瞬間共動參考系所觀測到的電荷密度，稱為固有電荷密度 formula_142 。四維電流密度與四維速度的關係為formula_143 。電荷守恆定律能以三維矢量表示為formula_144 。這定律也能以四維電流密度表示為formula_145 。從這方程式，可以推論四維電流密度的四維散度等於零。電磁四維勢.電磁四維勢是由電勢 formula_146 與向量勢 formula_147 共同形成的，定義為formula_148 。黎曼-索末菲方程式表示電磁四維勢與四維電流密度之間的關係：formula_149 ;其中，formula_150 是磁常數，formula_151 是達朗貝爾算符，又稱為四維拉普拉斯算符。四維頻率和四維波向量.一個平面電磁波的四維頻率 formula_152 定義為formula_153 ；其中，formula_154 是電磁波的頻率，formula_155 是朝著電磁波傳播方向的單位向量。四維頻率與自己的內積永遠等於零：formula_156 。一個近單色光的波包的波動性質可以用四維波向量 formula_157 來描述：formula_158 。其中，formula_159 是三維波向量。四維波向量與四維頻率之間的關係為formula_160 。