線性時不變系統理論

線性非時變系統理論俗稱--系統理論，源自應用數學，直接在核磁共振頻譜學、地震學、電路、訊號處理和控制理論等技術領域運用。它研究的是線性、非時變系統對任意輸入訊號的響應。雖然這些系統的軌跡通常會隨時間變化來測量和跟蹤，但是應用到影象處理和場論時，--系統在空間維度上也有軌跡。因此，這些系統也被稱為"線性非時變平移"，在最一般的範圍理論給出此理論。在離散系統中對應的術語是"線性非時變平移系統"。由電阻、電容、電感組成的電路是LTI系統的一個很好的例子。概述.顧名思義，線性非時變系統必須同時滿足線性和非時變性：輸入formula_10產生輸出formula_11特別地，其中，formula_12和formula_13是標量，而輸入在序號為formula_14的連續統內變化。因此，如果輸入函式可以由一個連續統的輸入函式像上面展示的那樣，“線性”組合而成，則對應的輸出函式，可以透過相應連續統的輸出函式以相同的方式"縮放"和"求和"得到。LTI系統的理論的基本結論是任何LTI系統都可以完全用一個單一方程來表示，稱為系統的衝激響應。系統的輸出可以簡單表示為輸入訊號與系統的衝激響應的卷積。這種分析方法通常稱為"時域"觀點。相同的結果對於離散時間線性移位不變系統也成立，其中訊號為離散時間取樣訊號，並且卷積對序列定義。同理，任何LTI系統的特徵可由"頻域"的系統傳遞函式刻畫，它是系統衝激響應的拉普拉斯變換。由於這些變換的性質，該系統在頻域的輸出是傳遞函式與輸入的變換的乘積。換句話說，時域中的卷積相當於頻域中的乘法。對於所有的LTI系統中，本徵函式和所用變換的基函式，是復指數函式。這即是說，如果一個系統的輸入是復波形formula_21，復振幅為formula_22，複頻率為formula_23，輸出將是輸入的復常數倍，表示為新復振幅formula_24的式子formula_25。比值formula_26是頻率formula_23的傳遞函式。因為是正弦的復指數與複共軛頻率的總和，如果輸入到該系統是一個正弦波，則系統的輸出也將是一個正弦波，或許具有不同振幅和不同相位的，但總是在相同的頻率達到穩定狀態。LTI系統不能產生頻率成分中沒有的輸入。LTI系統理論善於描述了許多重要的系統。至少相對於時間變化的和/或非線性的情況下最LTI系統被認為是“容易”來分析。任何可以被模擬為常係數線性齊次微分方程系統是LTI系統。這類系統的例項是電路由電阻器R，電感L和電容器C的。理想的彈簧 - 質量 - 阻尼系統也是LTI系統，並且在數學上是等效的RLC電路。LTI系統概念都是連續時間和離散時間的情況下相似。在影象處理中，時間變數被替換為2空間變數，時間不變性的概念被替換為二維移不變性。當分析濾波器組s和MIMO系統中，常常是有用考慮的訊號向量。線性系統不是時不變可以用其他方法來解決，如格林函式方法。同樣的方法時，必須使用問題的初始條件是不為空。連續時間系統.衝激響應和卷積.輸入訊號為x(t)，輸出訊號為y(t)的線性時不變系統的行為可以用卷積積分描述：其中formula_28為當輸入訊號formula_29時系統的衝激響應。因此formula_30與輸入函式formula_31的加權平均成正比。權重函式為formula_32，就是平移了formula_33的量。隨著formula_34改變，權重函式會突出輸入函式的不同部分。當對所有非負formula_35，formula_36均為零時，formula_30只由時間formula_34之前的formula_39值決定，而系統稱為因果系統。要理解為何LTI系統的輸出可以用卷積產生，就令記號formula_40表示變數formula_41和常量formula_35的函式formula_43。用簡潔的記號formula_44表示formula_45。那麼就會有一個從輸入函式formula_46轉換到formula_47的連續時間系統。在一般情況下，輸出的每一個值可以對應輸入的每一個值。這個概念表示為：formula_48其中formula_49為對時間formula_34的變換運算元。在典型的系統中，formula_30很大程度上取決於formula_34臨近時間的formula_39的值。除非變換本身隨著formula_34變化，否則輸出函式就是常數，系統也沒有意義。對一個線性系統，formula_55必須滿足Eq.1：\, \operatorname{d}\tau.而時不變系統的要求是：在這種記號下，我們可以把衝激響應寫成formula_56。同樣：將此結果代入卷積積分：formula_57該形式為formula_58且formula_59情形下Eq.2等式右側的形式。那麼Eq.2允許這個延拓：formula_60綜上所述，輸入函式formula_61可以用Eq.1中描述的時移衝激函式的連續統的“線性”組合來表示。系統的線性特性允許系統由相應的以相同方式組合的衝激響應的連續統來表示系統的響應。而時不變特性允許用卷積積分來表示這種組合。上述數學運算可以用一個簡單的圖形模擬。指數函式作為本徵函式.本徵函式是運算元輸出為經過放縮的相同函式的函式。即，formula_62,其中"f"是本徵函式而formula_63是特徵值。指數函式formula_64是線性時不變運算元的本徵函式。可以用一個簡單的證明來說明這個概念。假設輸入是formula_66。系統衝激響應formula_67的輸出就是formula_68由卷積的交換性質，上式等價於formula_69其中標量formula_70只與引數"s"有關。因此，系統的響應是一個縮放的輸入。特別地，對任意I formula_65，系統輸出為輸入formula_21和常量formula_73的乘積。因此，formula_64是LTI系統的本徵函式，對應的特徵向量為formula_73。直接證明.也可以用復指數直接匯出LTI系統的本徵函式。我們令formula_76為某復指數，formula_77為它的時移版本。對常數formula_78由線性得formula_79。由formula_80的時不變性有formula_81。所以formula_82。令formula_83並重新命名就得到：formula_84即復指數formula_85作為輸入，將得到一個相同頻率的復指數作為輸出。傅立葉與拉普拉斯變換.本徵函式的指數函式性質對分析和了解LTI系統都是很有用處的。拉普拉斯變換formula_86就是從衝激響應得到特徵值的方法。純正弦尤其要關注。通常稱這些為復指數，即使引數為純虛數。傅立葉變換formula_90給出了純復正弦的特徵值。formula_73與formula_92都可以稱作"系統函式"、"系統響應"或"傳遞函式"。拉普拉斯變換通常用於單邊訊號的背景下，即"t"小於某個值時訊號的所有值為零。通常，“起始時間”設定為零，為方便起見，不失一般性，變換都從零到無窮積分。傅立葉變換是用來分析系統處理無窮限訊號的，如調製的正弦訊號，即使它不能直接應用在非的輸入與輸出訊號上。拉普拉斯變換實際在這些訊號初始時間之前全為零的訊號可以直接使用，即便他們不是平方可積的，比如平穩系統。傅立葉變換通常透過維納－辛欽定理用在無窮訊號光譜上，即使在訊號的傅立葉變換不存在的時候。由於這兩種變換的卷積性質，在變換存在的條件下，能夠給出系統輸出的卷積可以轉換為變換域的乘積formula_93。計算變換、乘積和反變換不僅比原始的卷積容易，而且還能從系統響應瞭解系統的行為。可以觀察系統函式 |"H"("s")| 的模來看出輸入formula_94是否能夠"透過"這個系統或被此係統"拒絕"或"削弱"。取導數的拉普拉斯變換，得到一個簡單的與拉普拉斯變換變數"s"的乘積。formula_97導數的拉普拉斯變換如此簡單一定程度上說明了拉普拉斯變換的用途。formula_98。因為積分是線性的所以它也是線性的formula_99此外，它也是時不變的formula_100實際上，formula_101可以寫成與 formula_102的卷積。formula_103其中矩形脈衝函式是formula_104重要的系統特性.因果性和穩定性是描述系統的兩個重要性質。如果獨立變數是時間，那麼因果性是必須的，但並不是所有系統的獨立變數都是時間。例如，一個處理靜止影象的系統不需要具備因果性。非因果系統可以建立，並可以在許多情況下發揮作用。即使是非實數系統也可以構建，並且在很多場合也是非常有用的。因果性.如果系統輸出只與當前以及過去的輸入有關，那麼該系統就是因果系統。因果性的充分必要條件是formula_105其中formula_67是衝激響應。由於拉普拉斯變換的逆變換不唯一，所以通常不能根據拉普拉斯變換確定系統的因果性。只有在確定了系統的收斂域之後才能確定該系統的因果性。穩定性.如果系統對每個有界輸入來說輸出都是有界的，那麼系統就是有界輸入有界輸出穩定的，用數學方法表示就是如果每個輸入滿足formula_107就會導致輸出滿足formula_108的：formula_112。在頻域中，收斂域必須包含虛軸formula_113。作為一個例子，衝激響應等於Sinc函式的理想低通濾波器不是BIBO穩定的，因為Sinc函式不具有有限的L1範數。因此，對於一些有界輸入，理想低通濾波器的輸出是無界的。特別地，若對formula_114的輸入為零，並且在formula_115時等於正弦訊號的截止頻率，則在非過零時刻輸出是無界的。離散時間系統.幾乎所有的連續時間系統都能找到與之對應的離散時間系統。連續時間系統中的離散時間系統.在許多情況下，離散時間系統的一部分。例如，數字錄音系統記錄模擬聲音、數字化、或許對數字訊號進行處理、然後重放模擬訊號。正式場合下所研究的離散時間訊號幾乎總是連續時間訊號的均勻取樣。如果formula_17是一個連續時間訊號，那麼模數轉換器將把它轉換成離散時間訊號formula_117，formula_118,其中"T"是取樣週期。為了保證離散訊號能夠忠實地表示輸入訊號，非常重要的一點就是需要限制輸入訊號的頻率範圍。根據取樣定理，離散時間訊號所包括的最大頻率範圍是formula_119。其它頻率都成為這個範圍的混疊訊號。時不變和線性變換.我們從一個衝激響應是二維函式的時變系統開始來看看時不變這個條件是如何將系統降到一維的。例如，假設輸入訊號是 formula_117，其中n是整數，即formula_121。線性運算元formula_122表示系統在輸入訊號上的操作，對於這個index set來說合適的運算元是一個二維函式formula_123。由於formula_122是一個線性運算元，系統在輸入訊號formula_117上的作用就是下面累加和所表示的線性變換formula_126如果線性運算元formula_122也是時不變的，那麼formula_128。如果取formula_129那麼formula_130為了簡化通常我們丟棄formula_131的第二個引數零，這樣重疊積分現在變成了濾波中常見的卷積和formula_132。這樣，卷積和表示一個線性時不變系統在任意輸入函式上所起的作用，對於類似的有限維引數，換矩陣衝激響應.如果我們給系統輸入一個離散δ函式，由於δ函式是一個理想的脈衝，所以系統的線性時不變變換就是衝激響應。我們用下式表示：formula_133。注意formula_134這樣formula_135就是系統的衝激響應。這個衝激響應可以按照下面的方法用於得到"任意"輸入訊號的響應。再次應用formula_136的過濾特性，我們將輸入訊號寫成δ的累加和：formula_137。輸入經過系統變換，formula_138formula_139formula_141formula_144系統的所有資訊都包含在衝激響應formula_135中。例子.一個簡單的線性時不變運算元的例項是延時運算元formula_147。formula_148formula_149導數取Z變換，就變成一個簡單的與Z相乘：formula_150。差分的Z變幻如此簡單也在一定程度上表明瞭Z變換的用途。另外一個簡單的線性時不變運算元是平均運算元formula_151.由於和是線性的所以它也是線性的：formula_152formula_153formula_154formula_155.它也是時不變的：formula_156formula_157formula_158formula_159.重要的系統特性.因果性和穩定性是系統的重要特性。與連續時間系統不同，我們可以實現非因果的離散時間系統。透過在系統中加入延時就很容易將非因果有限衝激響應系統變成因果系統。甚至可以構建非因果的無限衝激響應系統。我們也可以構建不穩定的系統，這種系統在很多場合都很有用，甚至也可以構建在很多情況下非常有用的non-real系統。因果性.如果系統的輸出只與當前以及過去的輸入有關，那麼系統就是因果系統。因果性的必要且充分條件是formula_160其中formula_135是衝激響應。由於逆變換不是唯一的，所以通常很難從Z變換確定系統的因果性。如果收斂域確定，系統的因果性也就隨之確定。穩定性.如果離散系統每個有界的輸入，輸出都是有界的那麼系統就是有界輸入輸出穩定。用數學方法表示就是formula_162並且formula_163，那麼系統就是穩定的。必要且充分條件就是衝激響應formula_135滿足formula_167。在頻域中，收斂域必須包含單位圓formula_168。