行列式

!style=" text-align: left; background: #DCF0FF; font-size: 90%;"|線性空間與線性變換線性空間 · 線性變換 · 線性子空間 · 線性生成空間 · 基 · 線性對映 · 線性投影 · 線性無關 · 線性組合 · 線性泛函 · 行空間與列空間 · 對偶空間 · 正交 · 特徵向量 · 最小二乘法 · 格拉姆-施密特正交化行列式，行列式作為基本的數學工具，都有著重要的應用。行列式概念最早出現在解線性方程組的過程中。十七世紀晚期，關孝和與萊布尼茨的著作中已經使用行列式來確定線性方程組解的個數以及形式。十八世紀開始，行列式開始作為獨立的數學概念被研究。十九世紀以後，行列式理論進一步得到發展和完善。矩陣概念的引入使得更多有關行列式的性質被發現，行列式在許多領域都逐漸顯現出重要的意義和作用，其定義也被推廣到諸如線性自同態和向量組等結構上。行列式的特性可以被概括為一個交替多線性形式，這個本質使得行列式在歐幾里德空間中可以成為描述“體積”的函式。記法.矩陣formula_3的行列式記作formula_1。行列式經常使用豎直線記法。例如，對於一個矩陣：formula_5formula_1也記作formula_2，或以細長的垂直線取代矩陣的方括號，明確的寫為：formula_8當這個記法用於絕對值時，其作用物件為數，矩陣的絕對值是無定義的。矩陣範數通常以雙垂直線來表示，且可以使用下標。故不會與二者造成混淆。直觀定義.一個"n"階方塊矩陣formula_3的行列式可直觀地定義如下：formula_11其中，formula_12是集合formula_13上置換的全體，即集合formula_13到自身上的一一對映的全體；formula_15表示對formula_12全部元素的求和，即對於每個formula_17，formula_18在加法算式中出現一次；對每一個滿足formula_19的數對formula_20，formula_21是矩陣formula_3的第formula_23行第formula_24列的元素。formula_25表示置換formula_17的符號差，具體地說，滿足formula_27但formula_28的有序數對formula_20稱為formula_30的一個逆序。如果formula_30的逆序共有偶數個，則formula_32，如果共有奇數個，則formula_33。舉例來說，對於3元置換formula_34，因此formula_33，從而3階行列式中項formula_45的符號是負號。注意到對於任意正整數formula_46，formula_12共擁有"n"!個元素，因此上式中共有formula_48個求和項，即這是一個有限多次的求和。對於簡單的2階和3階的矩陣，行列式的表示式相對簡單，而且恰好是每條主對角線。但對於階數formula_51的方陣formula_3，這樣的主對角線和副對角線分別只有formula_46條，由於formula_3的主、副對角線總條數formula_55的元素個數因此，行列式的相加項中除了這樣的對角線乘積之外，還有其他更多的項。例如4階行列式中，項formula_56就不是任何對角線的元素乘積。不過，和2、3階行列式情況相同的是，"n"個元素相乘得到，且保證在每行和每列中都恰好只選取一個元素，而整個行列式恰好將所有這樣的選取方法遍歷一次。另外，formula_57矩陣的每一行或每一列也可以看成是一個formula_46元向量，這時矩陣的行列式也被稱為這formula_46個formula_46元向量組成的向量組的行列式。幾何意義：二維和三維歐氏空間中的例子.行列式的一個自然的源起是n維平行體的體積有著本質上的關聯。二維向量組的行列式.在一個二維平面上，兩個向量formula_61和formula_62的行列式是：formula_63比如說，兩個向量formula_64和formula_65的行列式是：formula_66經計算可知，當係數是實數時，行列式表示的是向量formula_67和formula_68形成的平行四邊形的有向面積，並有如下性質：並且formula_74。其幾何意義是：以同一個向量formula_75作為一條邊的兩個平行四邊形的面積之和，等於它們各自另一邊的向量formula_76和formula_77加起來後的向量：formula_78和formula_75所構成的平行四邊形的面積，如左圖中所示。三維向量組的行列式.在三維的有向空間中，三個三維向量的行列式是：formula_80。比如說，三個向量formula_81、formula_82和formula_83的行列式是：formula_84當係數是實數時，行列式表示formula_67、formula_68和formula_87三個向量形成的平行六面體的有向體積，也叫做這三個向量的混合積。同樣的，可以觀察到如下性質：基底的選擇.在以上的行列式中，我們不加選擇地將向量在所謂的正交基下分解，實際上在不同的基底之下，行列式的值並不相同。這並不是說平行六面體的體積不唯一。恰恰相反，這說明體積的概念依賴於衡量空間的尺度，也就是基底的取法。用基底的變換可以看作線性對映對基底的作用，而不同基底下的行列式代表了基變換對“體積”的影響。可以證明，對於所有同定向的標準正交基，向量組的行列式的值在絕對值意義上是一樣的。也就是說，如果我們選擇的基底都是“單位長度”，並且兩兩正交，那麼在這樣的基之下，平行六面體的體積的絕對值是唯一的。線性變換.設n維的有向歐幾里得空間。一個線性變換把一個向量線性地變為另一個向量。比如說，在三維空間中，向量(formula_98)被對映到向量(formula_99)：formula_100其中formula_101、formula_102、formula_103是係數。如右圖，正方體。更詳細地說，行列式表示的是線性變換前後平行六面體的體積的變化係數。如果設左邊的正方體體積是一，那麼中間的平行六面體的體積就是線性變換的行列式的值，右邊的平行四邊形體積為零，因為線性變換的行列式為零。這裡我們混淆了線性變換的行列式和向量組的行列式，但兩者是一樣的，因為我們在對一組基作變換。行列式與空間定向.}-以上二維和三維行列式的例子中，行列式被解釋為向量形成的圖形的面積或體積。面積或體積的定義是恆正的，而行列式是有正有負的，因此需要引入有向面積和有向體積的概念。負的面積或體積在物理學中可能難以理解，但在數學中，它們和有向角的概念類似，都是對空間鏡面對稱特性的一種刻畫。如果行列式表示的是線性變換對體積的影響，那麼行列式的正負就表示了空間的定向。如上圖中，左邊的黃色骰子在經過了線性變換後變成中間綠色的平行六面體，這時行列式為正，兩者是同定向的，可以透過旋轉和拉伸從一個變成另一個。而骰子和右邊的紅色平行六面體之間也是透過線性變換得到的，但是無論怎樣旋轉和拉伸，都無法使一個變成另一個，一定要透過鏡面反射才行。這時兩者之間的線性變換的行列式是負的。可以看出，線性變換可以分為兩類，一類對應著正的行列式，保持空間的定向不變，另一類對應負的行列式，顛倒空間的定向。一般域上的行列式：嚴格的定義.由二維及三維的例子，可以看到一般的行列式應該具有怎樣的性質。在formula_46維歐幾里得空間中，作為“平行多面體”的“體積”的概念的推廣，行列式繼承了“體積”函式的性質。首先，行列式需要是線性的，這可以由面積的性質類比得到。這裡的線性是對於每一個向量來說的，因為當一個向量變為原來的formula_101倍時，“平行多面體”的“體積”也變為原來的formula_101倍。其次，當一個向量在其它向量組成的“超平面”上時，formula_46維“平行多面體”的“體積”是零。也就是說，當向量線性相關時，行列式為零。在一般係數域上的線性空間中，行列式也正是由這樣的特性所刻劃的：交替多線性形式.行列式是係數域為formula_108的有限維線性空間formula_109上射到formula_108的交替n-線性形式。具體來說，設formula_109是一個係數在域formula_108上的有限維線性空間，維數為formula_46。一個formula_109上的交替formula_115線性形式是指滿足以下性質的函式formula_116：所有E上的交替formula_115線性形式的集合記作formula_123。定理：formula_123的維度是1。也就是說，設formula_125是formula_109的一組基，那麼，所有的交替formula_115線性形式formula_128都可以寫成formula_129其中formula_130是在基formula_131下的展開。證明：對任一個formula_115線性形式formula_116，考慮將formula_134依照多線性性質展開，formula_135這時，由交替性，formula_136當且僅當formula_137是formula_138的一個排列，所以有formula_139這裡，formula_140。向量組的行列式.設formula_125是formula_109的一組基，根據上面的定理和線性形式的性質，可以定義formula_131下的行列式。定義：formula_109上的一組基formula_145的行列式是唯一一個滿足：formula_146的交替n-線性形式formula_147。其中的唯一性是因為如果有兩個交替formula_115線性形式滿足條件，則它們的差在一組基上為0，從而恆等於0。於是，一組基上的一個向量組的行列式就是：定義：確定了formula_109上的一組基formula_131後，向量組formula_151在formula_131下的行列式是：formula_153其中formula_130是在formula_131下的展開。可以見到這個定義與之前直觀的定義是吻合的，它有時也被稱作萊布尼茲公式。基變更公式.設formula_131與formula_157是向量空間中的兩組基，則將上面定理中的formula_158改為formula_159就得到向量組在兩組基下的行列式之間的關係：formula_160，矩陣的行列式.設formula_161為所有定義在係數域formula_108上的formula_57矩陣的集合。將formula_57矩陣formula_165發現了所謂的雅可比行列式。1841年，雅可比發表了一篇關於函式行列式的論文，討論函式的線性相關性與雅可比行列式的關係。應用.行列式與線性方程組.行列式的一個主要應用是解線性方程組。當線性方程組的方程個數與未知數個數相等時，方程組不一定總是有唯一解。對一個有"n"個方程和"n"個未知數的線性方程組，我們研究未知數係數所對應的行列式。這個線性方程組有唯一解當且僅當它對應的行列式不為零。這也是行列式概念出現的根源。當線性方程組對應的行列式不為零時，由克萊姆法則，可以直接以行列式的形式寫出方程組的解。但用克萊姆法則求解計算量巨大，因此並沒有實際應用價值，一般用於理論上的推導。行列式與矩陣.矩陣的概念出現得比行列式晚，直到十九世紀中期才被引入，然而兩者在本質上仍然有密切關係。透過矩陣，線性方程組可以表示為formula_418其中formula_419是由方程組中未知數的係數構成的方塊矩陣，formula_420是未知數，而formula_421。在矩陣理論中，行列式也有各種用途。多項式formula_422稱為方塊矩陣formula_3的特徵值多項式。這是一個由行列式定義的多項式，它的解是矩陣所有的特徵值。換句話說，formula_424是矩陣formula_3的特徵值當且僅當formula_426不是可逆矩陣。特徵值多項式在矩陣理論中有重要的應用。行列式與多項式.早在高斯的時代，行列式就和多項式的研究聯絡在一起。行列式的一個應用是在所謂的“結式”上。結式是兩個多項式formula_427和formula_428的西爾維斯特矩陣的行列式。兩個多項式的結式等於0當且僅當它們有高於或等於一次的公因子多項式。結式還可以判斷多項式是否有重根：如果多項式formula_427和它的微分多項式formula_430的結式不為零，那麼這個多項式沒有重根，否則有重根。行列式在多項式逼近理論中也有出現。給定一組插值點，判別插值多項式的存在性需要看所謂的範德蒙矩陣，而由於範德蒙矩陣的行列式不為零，因此根據克萊姆法則，插值多項式唯一存在。朗斯基行列式.朗斯基行列式是函式矩陣的行列式，因此本身也是一個函式。給定"n"個"n-1"次連續可微函式，"f1"、...、"fn"，它們的朗斯基行列式"W(f1, ..., fn)"為：formula_431可以證明，如果"f1"、...、"fn"線性相關，那麼它們的朗斯基行列式恆等於零。線上性微分動力系統理論中，朗斯基行列式用來判別若干個解的線性相關性。如果"n"個解"f1"、...、"fn"線性無關，那麼它們的朗斯基行列式將總不為零。根據劉維爾定理，"n"維空間上的線性微分方程：formula_432的基礎解系所構成的朗斯基行列式formula_433滿足：formula_434，同樣地，線性微分方程：formula_435的基礎解系所構成的朗斯基行列式formula_433滿足：formula_437行列式與多重積分.行列式體現了線性變換對於空間體積的作用，對於非線性的函式，其對體積的影響更為複雜，但對於足夠“良好”的函式，在一個微小的範圍內，比如說在空間中一點的附近，可以將函式的效果近似地用線性的變換來代替。由此，對於某些函式，也可以將它在某一點附近的作用效果用它在這一點上的偏導數構成的矩陣來表示。這類行列式被稱為“雅可比行列式”，即是雅可比矩陣的行列式，只對連續可微的函式有定義。在計算“體積”的多重積分中，雅可比行列式應用於換元積分的時候。積分的思想是將空間割成許多個微小的體積元，稱為積分元素，再將每個體積元上的函式值乘以體積元的體積後相加。將一個積分元素換為另一個積分元素時，實際上作了一次對空間中體積的度量方式的改變：分劃體積元的方式不同了。譬如在二維空間中，將直角座標積分換為極座標積分時，面積元素由方塊區域變成扇形區域。因此，要測量這種體積度量方式的改變，可以將這種變換看成一個非線性的變換函式：formula_438。而它在每一點的影響可以透過雅可比行列式來體現。行列式與非線性方程組及分枝理論.運用雅可比行列式的還有非線性方程組的數值求解。對於一般的非線性方程組，不存在求解公式，-{只}-能夠用數值分析的方法求近似解。求近似解的基本思想也是將非線性問題在區域性的地方逐步線性化，化歸為線性方程組來求解。設有方程組：formula_439其中formula_440是連續可微函式，並在解的附近雅可比行列式不為零，那麼可以用牛頓法迭代求得近似解。迭代程式為：formula_441其中的formula_442是第k次迭代時的解的近似數值。每次迭代時先求解關於線性方程組formula_443然後計算新的近似值formula_444在實際應用中，還需要考慮帶有引數的非線性方程組：formula_445其中的formula_417可以代表溫度、外力等環境因素。當環境改變時，方程解上的雅可比行列式可能從非零變為零。雅可比行列式為零的點稱為臨界點或分支點，是方程的解改變性質的地方。和線性方程組類似，當雅可比行列式的值為零時，方程組會出現區域性多值的情況。尋找分支點和分支方向的研究是非線性方程求解的一大問題。