轉動慣量

在經典力學中，轉動慣量又稱慣性矩，通常以"formula_1"表示，國際單位制為formula_2。轉動慣量是一個物體對於其旋轉運動的慣性大小的量度。一個剛體對於某轉軸的轉動慣量決定對於這物體繞著這轉軸進行某種角加速度運動所需要施加的力矩。轉動慣量在轉動力學中的角色相當於線性動力學中的質量，描述角動量、角速度、力矩和角加速度等數個量之間的關係。定義.對於一個質點，formula_3，其中formula_4是其質量，formula_5是質點和轉軸的垂直距離。對於一個有多個質點的系統，formula_6。對於剛體，可以用無限個質點的轉動慣量和，即用積分計算其轉動慣量，formula_7，其中formula_8是密度，formula_9是微量體積。相關概念.定軸轉動動力學方程.在直線運動，formula_10。在旋轉運動，則有formula_11，其中formula_12是力矩，formula_13是角加速度。定軸轉動動能.一般物件的動能是formula_14。將速度formula_15和質量formula_4，用轉動力學的定義取代：formula_17，formula_18得出formula_19，簡化得formula_20。如果一個人坐在一張可轉動的椅子，雙手拿重物，張開雙手，轉動椅子，然後突然將手縮到胸前，轉動的速度將突然增加，因為轉動慣量減少了。常用定理.平行軸定理.平行軸定理是說，如果一個質量為formula_4的物件，以某條經過質心formula_22點的直線為軸，其轉動慣量為formula_23。在空間取點formula_24，使得formula_25垂直於原本的軸。那麼如果以經過formula_24、平行於原本的軸的直線為軸，formula_25的距離為formula_28，則formula_29。垂直軸定理.垂直軸定理是說，如果一個平面物件，以該平面內兩條互相垂直、交於formula_22點的直線為軸，轉動慣量分別為formula_31、formula_32，則它以過formula_22點且垂直於該平面的直線為軸的轉動慣量formula_34。伸展定則.伸展定則是說，如果一個物件中的任一質點沿平行於某條軸的方向發生任意位移，該物件對該軸的轉動慣量不變。慣性張量.對於三維空間中任意一參考點formula_35與以此參考點為原點的直角坐標系formula_36，一個剛體的慣性張量formula_37是formula_38。這裡，矩陣的對角元素formula_39、formula_40、formula_41分別為對於formula_42-軸、formula_43-軸、formula_44-軸的轉動慣量。設定formula_45為微小質量formula_46對於點formula_35的相對位置。則這些轉動慣量以方程式定義為formula_48，formula_49，formula_50。矩陣的非對角元素，稱為慣量積，以方程式定義為formula_51，formula_52，formula_53。導引.如圖formula_22，一個剛體對於質心formula_55與以點formula_55為原點的直角座標系formula_57的角動量formula_58定義為formula_59。這裡，formula_60代表微小質量formula_46在formula_57座標系的位置，formula_63代表微小質量的速度。因為速度是角速度formula_64叉積位置，所以，formula_65。計算formula_42-軸分量，formula_67相似地計算formula_43-軸與formula_44-軸分量，角動量為formula_70，formula_71，formula_72。如果，我們用方程式設定對於質心formula_55的慣性張量formula_74，讓角速度formula_64為formula_76，那麼，formula_77。平行軸定理.平行軸定理能夠很簡易的，從對於一個以質心為原點的座標系統的慣性張量，轉換至另外一個平行的座標系統。假若已知剛體對於質心formula_55的慣性張量formula_74，而質心formula_55的位置是formula_81，則剛體對於原點formula_82的慣性張量formula_37，依照平行軸定理，可以表述為formula_84，formula_85，formula_86，formula_87，formula_88，formula_89。證明：a)參考圖B，讓formula_90、formula_45分別為微小質量formula_46對質心formula_55與原點formula_82的相對位置：formula_95，formula_96。依照方程式，formula_97formula_98。所以，formula_99相似地，可以求得formula_40、formula_41的方程式。b)依照方程式，formula_102。formula_103。因為formula_104，formula_95，所以formula_106相似地，可以求得對於點formula_82的其他慣量積方程式。對於任意軸的轉動慣量.參檢視C，設定點formula_82為直角座標系的原點，點formula_35為三維空間裡任意一點，formula_35不等於formula_82。思考一個剛體，對於formula_112-軸的轉動慣量是formula_113。這裡，formula_114是微小質量formula_46離formula_112-軸的垂直距離，formula_117是沿著formula_112-軸的單位向量，formula_119是微小質量formula_46的位置。展開叉積，formula_121。稍微加以編排，formula_122特別注意，從方程式，這些積分專案，分別是剛體對於formula_42-軸、formula_43-軸、formula_44-軸的轉動慣量與慣量積。因此，formula_126。如果已經知道，剛體對於直角座標系的三個座標軸，formula_42-軸、formula_43-軸、formula_44-軸的轉動慣量。那麼，對於formula_112-軸的轉動慣量，可以用此方程式求得。主轉動慣量.因為慣性張量formula_37是個實值的三維對稱矩陣，我們可以用對角線化，將慣量積變為零，使慣性張量成為一個對角矩陣。我們可以證明得到的三個特徵值必為正實數，而且三個特徵向量必定互相正交。換另外一種方法，我們需要解析特徵方程式formula_132。也就是以下行列式等於零的三次方程式：formula_133 。這方程式的三個根formula_134、formula_135、formula_136都是正實的特徵值。將特徵值代入方程式，再加上方向餘弦方程式，formula_137，我們可以求到特徵向量formula_138、formula_139、formula_140。這些特徵向量都是剛體的慣量主軸；而這些特徵值則分別是剛體對於慣量主軸的主轉動慣量。假設formula_42-軸、formula_43-軸、formula_44-軸分別為一個剛體的慣量主軸，這剛體的主轉動慣量分別為formula_144、formula_145、formula_146，角速度是formula_64。那麼，角動量為formula_148。動能.剛體的動能formula_149可以定義為formula_150，這裡，formula_151是剛體質心的速度，formula_152是微小質量formula_46相對於質心的速度。在方程式裡，等號右邊第一個專案是剛體平移運動的動能，第二個專案是剛體旋轉運動的動能formula_154。由於這旋轉運動是繞著質心轉動的，formula_155。這裡，formula_64是微小質量formula_46繞著質心的角速度，formula_60是formula_46對於質心的相對位置。應用向量恆等式，可以得到formula_160。或者，用矩陣來表達，formula_161。所以，剛體的動能為formula_162。假設formula_42-軸、formula_43-軸、formula_44-軸分別為一個剛體的慣量主軸，這剛體的主轉動慣量分別為formula_144、formula_145、formula_146，角速度是formula_64。那麼，剛體的動能為formula_170。計算範例.利用線密度可輕易計算出細長棒子沿質心自轉的轉動慣量。formula_171當自轉軸移到末端，轉動慣量變成：formula_172formula_173