並矢張量

在多重線性代數裡，並矢張量(--)是一個以特別標記法寫出的二階張量，是由成對的向量並置形成的。針對這特別標記法，有一套專門計算這種表示式，類似於矩陣代數規則的方法。並矢張量的每一對向量的並置稱為並矢(--)。兩個單位基底向量的並矢積稱為單位並矢(--)。純量與單位並矢的乘積就是並矢。例如，設定兩個三維向量 formula_1 和 formula_2 ，formula_3 ，formula_4 ；其中，formula_5 、formula_6 、formula_7，形成了一個三維空間裡的標準正交基的單位基底向量。那麼，formula_1 與 formula_2 並置成為formula_10 ；其中，formula_11 、formula_12 、formula_13 等等，都是單位並矢，formula_14 、formula_15 、formula_16 等等，都是並矢。並矢張量 formula_17 也可以表達為formula_18 。定義.根據--與--所著作的權威教科書，在三維空間裡，並矢張量 formula_19 是一個3×3陣列，其分量 formula_20 ，當從一個坐標系變換到另外一個坐標系時，遵守協變變換(--)的定律。formula_21 ；其中，formula_22 是變換後的分量。所以，並矢張量是一個二階協變張量。反過來說，按照這定義推廣，任意二階協變張量都是並矢張量：formula_23 。並矢張量運算.應用點積，並矢張量 formula_19 可以與向量 formula_1 綜合在一起：formula_26 ；其中，formula_27 、formula_28 、formula_29 ，都是標準正交基的基底向量。注意到 formula_30 ；其中，formula_31 是克羅內克函式。所以，formula_32 ；這點積運算得到的結果是一個協變向量。並矢張量的縮併(--)運算，將每一個並置 formula_33 ，替換為兩個單位基底向量的點積 formula_34 ，以方程式表達為formula_35 。只成立於三維空間，並矢張量的旋轉因子運算，將每一個並置 formula_33 ，替換為兩個單位基底向量的叉積 formula_37 ，以方程式表達為formula_38 。這也可以表達為 formula_19 與列維-奇維塔符號 formula_40 的完全縮併：formula_41 。進階理論.兩個向量 formula_42 的並矢積 formula_17 其實就是張量積 formula_44 。 兩個並矢積作形式上的相加就是並矢張量，從而並矢張量和二階張量是同義詞。力學、電動力學中常見的例子就是單位並矢張量 formula_45 、轉動慣量 formula_46 以及馬克士威應力張量等；量子力學中的角動量耦合(--)理論也要用到並矢張量。需要注意：並矢積是不可交換的，也就是說，除非兩個向量 formula_42 線性相關，否則一定有 formula_48。在物理學中，並矢張量最重要的應用之一就是它和向量的縮併。對於並矢積 formula_17 和向量 formula_50 的縮併，規定formula_51 。如果要求這種規定也適用於量子力學中的態向量，在這種情況下就要特別注意每個式子右端各個向量的先後順序：用狄拉克符號來寫，則 formula_52 。進階定義.設 formula_53 是域 formula_54 上的一個線性空間，則下述定義是等價的。定義1. 對於任意 formula_55，稱它們的張量積 formula_56 為 formula_1 和 formula_2 的並矢積並將其簡記為 formula_17 ，稱為並矢張量。更加推廣，稱 formula_60 中的元素為 formula_53 上的並矢張量，或者二階反變張量。定義2. 如果有 formula_54 上的一個線性空間 formula_63 以及雙線性對映 formula_64 滿足(1) formula_65, formula_66 以及 formula_67 使得formula_68 ；(2) 當 formula_69 線性無關時，formula_70 是 formula_63 中的線性無關向量組，則稱 formula_63 中的元素為 formula_53 上的並矢張量或二階反變張量，把 formula_74 記為 formula_17 。定義3. formula_53 上的並矢張量這個概念可以按照下述規則來建立：(1) 任意向量 formula_1 和 formula_2 並置擺放形成一個並矢積 formula_17；(2) 對於任意的 formula_80 和任意的 formula_55，規定 formula_82 ，並把上述結果不加區分地記作 formula_83；(3) 稱有限個並矢積的形式和為一個並矢張量；(4) 對任意正整數 formula_84，如果 formula_69 線性無關，則 formula_86 是線性無關向量組——特別是， formula_87 的充分必要條件是 formula_88 或 formula_89；(5) 對任意的 formula_50、formula_1、formula_92，成立著分配律formula_93 。注： 所謂形式和，就是說我們既不刻意追究求和的實際含義，也關心求和的結果在哪個集合中，而只是知道這種求和滿足交換律和結合律。並矢張量與向量的縮併.既然上述定義等價，我們就把 formula_53 上所有的並矢張量所構成線性空間記為 formula_60。在此基礎上，如果 formula_53 是一個內積空間並把 formula_55 的內積記為 formula_98，則定義並矢張量 formula_102 和向量 formula_1 的縮併 formula_104 和 formula_105 都是 formula_53 中的向量，滿足下述運算律：(6) 對於任意的 formula_107 以及 formula_108，formula_109 ，從而可以把上述兩個結果分別記為 formula_110 和 formula_111。在上述公式中，formula_112 表示 formula_113 的複共軛。(7) 對於任意的 formula_115 以及 formula_108，總有formula_117 。(8) 對於任意的 formula_118 以及 formula_119，總有formula_120 。(9) 對任意的 formula_121，總有formula_122 。範例.旋轉.設定 formula_123 為一個並矢張量：formula_124 。formula_123 是一個二維空間的 90° 旋轉運算元 (--) 。它可以從左邊點積一個向量來產生一個旋轉：formula_126 ；或以矩陣表達，formula_127 。一個一般的二維旋轉並矢張量，會產生 formula_128 角度反時針方向的旋轉，表達為formula_129 ；其中，formula_130 是二維的單位並矢張量。量子力學.設 formula_53 是量子力學中所有的角動量本徵態所張成的希爾伯特空間，則formula_142就是一個並矢張量。不妨把這個並矢張量記作 formula_102，則它和 formula_144 的縮併就是formula_145，formula_146。在這其中，量子力學中最廣為人知的就是透過CG向量耦合係數所組合出來的張量。當然，在角動量耦合理論中，這樣的張量被等同為某些角動量本徵態，除了物理上的考慮之外，這更主要地還是有關李群 formula_147及其李代數 formula_148 的表示的另外一個話題，請參看李群表示及李代數的表示 (--) ，在這裡就不再深入探討了。實際上可以這樣說，在量子力學中，只要物理問題涉及了系統的耦合，數學上就會導致態向量的並矢。在這方面，還可以舉一個常見的例子：由一維諧振子的態向量所構成的並矢張量可以用來描述二維諧振子系統。經典力學.三維歐幾里得空間上的並矢張量的例子非常多，例如轉動慣量、應力張量、應變等等。這些例子實際上就是並矢張量這個概念的最初原型。並矢張量的展開.下面我們要說明，前面建議的規則 (1) 到 (9) 足以講清楚二階張量的運算和性質。考慮 formula_53 為歐幾里得空間的情形，則 formula_53 是實數域 formula_151 上的有限維線性空間的使用，我們明顯地寫出了求和號而不使用愛因斯坦求和約定。但是，為了簡便，求和的上下限被略去了。以下運算中，等於號上方的標號是規則的編號。首先，我們要證明所有的二階張量都能夠用 formula_159 展開。重複地利用規則 (5) 可得formula_160 。接下來重複地利用規則 (2) 可得formula_161 。這樣，我們就證明了所有的並矢，即形如 formula_17 的張量都能夠寫成 formula_159 的線性組合。接下來，按照規則 (3) 以及上面的結論，所有的二階張量最終都能夠表達為 formula_159 的線性組合。反之，由規則 (1) 和 (3)，每一個 formula_159 都是一個二階張量，再由規則 (3)，它們的任意線性組合也是二階張量。至此，我們證明了二階張量等價於 formula_159 的線性組合。然後，從規則 (4) 可以證明，全部的 formula_159 是線性無關的，因此構成了 formula_60 的基底。最後，利用規則不難把所有的縮併最終歸結為計算 formula_169。特別是，如果所給的基是標準正交基，那麼結果就非常簡單了。實線性空間上的並矢張量和線性變換互相等同.對於 formula_170 維歐幾里得空間 formula_53 而言，由於 formula_172，規則 (6) 和 (8) 表明，給定任意一個並矢張量 formula_102 之後，從向量 formula_1 到 formula_104的對映是線性對映，所以，#重定向引理1. 對於歐幾里得空間 formula_53 上的任意一個線性變換 formula_182，總是存在著 formula_53 上的並矢張量 formula_102 和 formula_185 使得 formula_186, formula_187 。證明： 由於證明方法類似，我們只證明 formula_102 的存在性。設 formula_153 是 formula_53 的一個基底，令formula_191 ，則內積的正定性導致 formula_192 所構成的 formula_193 矩陣 formula_194 為正定矩陣。給了 formula_53 上的一個線性變換 formula_182 之後，我們可以藉助於基底得到一個矩陣 formula_197，其中，上標號是橫標號，下標號是豎標號：formula_198 。在這裡我們使用了愛因斯坦求和約定。現在我們利用 formula_199 的逆矩陣formula_200 ，構造一個並矢張量formula_201 ，則formula_202 ，可見由 formula_203 。類似地也可以構造一個 formula_204 ，使之滿足 formula_187 。事實上，還可以證明 formula_185 是 formula_102 的轉置——用基底來展開，就是說formula_208 。結論證畢。把 formula_170 維歐幾里得空間 formula_53 上的所有的線性對映所構成的線性空間記為 formula_211，則後者的維數為 formula_212. 由並矢張量和向量的縮併中的規則 (6) 和 (7) 不難得到引理2.#重定向前面已經分析過，formula_213 。根據引理2和引理1，我們就得到了定理 對映 formula_214 和 formula_215 都是線性同構。這就是說，對於歐幾里得空間來說，它上面的並矢張量和線性變換可以互相等同。一般說來，用 formula_216 作等同比較自然些。這種等同就是愛因斯坦在相對論中用所引入的指標升降法(儘管其中的線性空間是閔可夫斯基空間，但是方法是相似的)。具體來說，並矢張量是具有兩個上指標的二階反變張量，而線性變換則是一階協變一階反變的張量，formula_216 就是用度規張量把二階反變張量的右指標降下來，而 formula_218 則是把左邊的反變指標降下來。特別是，當 formula_219 為恆等對映時，formula_220，從而得到推論 把 formula_53 上的單位張量，則它可以藉助於基底展開為 formula_224 。在上述討論過程中我們實際上沒有真正用到內積的正定性，而真正實質性的條件有兩點：formula_194 可逆。所以歐幾里德空間可以放鬆為 formula_151 上帶有一個非退化的對稱雙線性型的線性空間。相對論中所用到的閔可夫斯基空間就是這樣的。