正交群

數學上，數域"F"上的"n"階正交群，記作O("n","F")，是"F"上的"n"×"n" 正交矩陣在矩陣乘法下構成的群。它是一般線性群GL("n","F")的子群，由formula_1給出。這裡"QT"是"Q"的轉置。實數域上的經典正交群通常就記為O("n")。更一般地，"F"上一個非奇異二次型的正交群是保持二次型不變的矩陣構成的群。嘉當-迪奧多內定理描述了這個正交群的結構。每個正交矩陣的行列式為1或−1。行列式為1的"n"×"n"正交矩陣組成一個O("n","F")的正規子群，稱為特殊正交群SO("n","F")。如果"F"的特徵為2，那麼1 = −1，從而O("n","F")和SO("n","F")相等；其他情形SO("n","F")在O("n","F")中的指數是2。特徵2且偶數維時，很多作者用另一種定義，定義SO("n","F")為迪克森不變數的核，這樣它在O("n","F")中總有指數2。O("n","F")和SO("n","F")都是代數群，因為如果一個矩陣是正交的條件，即轉置等於逆矩陣，能夠定義成一些關於矩陣分量的多項式方程。實數域上的正交群.實數域R上的正交群O("n",R)和特殊正交群SO("n",R)在不會引起誤會時經常記為O("n")和SO("n")。他們是"n"("n"-1)/2 維實緊李群。O("n",R)有兩個連通分支，SO("n",R)是單位分支，即包含單位矩陣的連通分支。實正交群和特殊正交群有如下的解釋：O("n",R)是歐幾里得群"E"("n")的子群，"E"("n")是R"n"的等距群；O("n",R)由其中保持原點不動等距組成。它是以原點為中心的球面 ("n" = 3)、超球面和所有球面對稱的物件的對稱群。SO("n",R)是"E"+("n")的子群，"E"+("n")是“直接”等距，即保持定向的等距；SO("n",R)由其中保持原點不動的等距組成。它是以原點為中心的球面和所有球面對稱物件的旋轉群。取合適的正交基，等距是formula_2的形式。這裡矩陣"R"1...,"R""k"是2×2旋轉矩陣。圓的對稱群是O(2,R)，也稱為Dih(S1)，這裡S1是模長1複數的乘法群。SO(2,R) (作為李群)同構於圓S1。這個同構將複數exp(φ"i") = cos(φ) + "i" sin(φ)映到正交矩陣formula_3。群SO(3,R)，視為3維空間的旋轉，是科學和工程中最重要的群。轉群和3×3旋轉矩陣利用軸和角的一般公式在代數拓撲方面，對"n" &gt; 2，SO("n",R)的基本群是2階迴圈，而自旋群Spin("n")是其萬有覆疊。對"n" = 2基本群是無限迴圈而萬有覆疊對應於實數軸李群O("n",R)和SO("n",R的李代數由斜對稱實"n"×"n"矩陣組成，李括號由交換子給出。這個李代數經常記為 o("n",R)或so("n",R)。保持原點的3維同構.保持R"3"原點不動的同構，組成群O("3",R)，能分成如下幾類：特別地指出4階和5階正交群，在更寬泛的意義下6階也是，稱為反射旋轉。類似的幾里得群。共形群.作為保持距離的同構，正交變換也保角，從而是共形變換，但是不是所有的共形變換都是正交變換。R"n"的線性共形對映構成的群記作CO("n")，由正交群和收縮的乘積給出。如果"n"是奇數，兩個子群不相交，他們是直積：formula_4；如果"n"是偶數，兩個子群的交是formula_5，所以這不是直積，但這是和正收縮子群的直積：formula_6。我們可以類似地定義CSO("n")，這時總有formula_7。複數域上正交群.複數域C上，O("n",C)和SO("n",C)是C上"n"("n"-1)/2維的李群，這意味著實維數是"n"("n"-1)。O("n",C)有兩個連通分支，SO("n",C)是包含恆同矩陣的分支。當"n" ≥ 2時，這些群非緊。和實情形一樣，SO("n",C)不是單連通的，對"n" &gt; 2 SO("n",C)的基本群是2階迴圈群，而SO(2,C)的基本群是無窮迴圈群。O("n",C)和SO("n",C)的複李代數由斜對稱複"n"×"n"矩陣組成，李括號由交換子給出。拓撲.低維數.低維實正交群是熟悉的空間：formula_8由於三維旋轉在工程中有重要應用，產生了很多SO(3)上的卡。同倫群.正交群的同倫群和球面的同倫群密切相關，從而一般是很難計算的。但是我們可以計算出穩定正交群的同倫群，定義為包含序列formula_9的正向極限。formula_10是formula_11的齊性空間，從而有如下纖維叢：formula_12可以理解為：正交群formula_11 傳遞地作用於單位球面formula_10上，一點的穩定子群是其正交補的正交群，這是第一維的正交群。對映formula_15是自然包含。從而包含formula_15是"(n-1)" -連通的，故同倫群穩定，對formula_17有formula_18，所以穩定空間的同倫群等於非穩定空間的低維同倫群。透過博特週期性定理，formula_19，從而"O"的同倫群以8為週期，即 formula_20，這樣我們只要計算出最低8個同倫群就算出了所有群。formula_21和KO-理論的關係.透過cluching construction，穩定空間"O"的同倫群和穩定球面上的向量叢等價，提高一個維數：formula_22。設formula_23，我們得到：formula_25同倫群的計算和解釋.低維群.最初的幾個同論群可以用低維群的同論群具體的描述。formula_28得出：李群.由李群一般性事實，formula_32總消失，formula_33是自由阿貝爾群。向量叢.從向量叢的觀點來看，formula_34是formula_35上的向量叢，具有兩個點。從而在每個點上，叢是平凡的，這個叢的非平凡性是兩個點上向量空間的維數之差，所以formula_36是維數。環路空間.利用博特週期性中環路空間具體的描述，我們可以將高維同倫群理解為容易分析的低維空間的同倫。利用formula_24、"O"，以及"O/U"有兩個分支，formula_38和formula_39有formula_40個分支，其實是連通的。同倫群的解釋.一小部分結論：令formula_45，以及formula_46為射影線formula_47上的重複線叢，formula_48是其K-理論。注意到formula_49，這些得出相應球面上的向量叢，以及：有限群上的正交群.正交群也能定義在有限域formula_58上，這裡formula_59是一個質數formula_60的冪。在這樣的域上定義正交群，偶數維時有兩類：formula_61和formula_62；奇數維有一類：formula_63。如果formula_64是正交群formula_65作用的向量空間，它可以寫成正交直和：formula_66，這裡formula_67是雙曲線而formula_68不包含奇異向量。如果formula_69，那麼formula_65是正型別；若formula_71那麼formula_65有偶維數；若formula_68有維數2，則formula_65是負型別。在"n" = 1的特例，formula_75是階為formula_76的二面體群。當特徵大於2時，記O("n","q") = { "A" ∈ GL("n","q") : "A"·"A"t=I }。關於這些群的階數我們有以下公式formula_77。如果formula_78是formula_79中的平方元素formula_80。如果formula_78不是formula_79中的平方元素formula_83。迪克森不變數.對偶數維正交群，迪克森不變數是從正交群到"Z"/2"Z"的同態，是0或1取決於一個元素是偶數個還是奇數個反射的複合。在特徵不等於2的域上迪克森不變數和行列式等價：行列式等於−1的迪克森不變數次冪。在特徵2的域上，行列式總為1，所以迪克森不變數給出了額外的資訊。在特徵2域上許多作者定義特殊正交群為迪克森不變數為0的元素，而不是行列式為1。迪克森不變數也能對所有維數的克利福德群和Pin群類似地定義。特徵2域上正交群.特徵2域上的正交群常常有不同的表現。這一節列出一些不同：旋量模.旋量模是一個從域"F"上正交群到域"F"的乘法群模去平方元素"F"*/"F"*2的同態，將關於模長為"n"向量的反射映到"F"*/"F"*2中的"n"。旋量模對實數域上的正交群是平凡的，但是其它域上常常不平凡，譬如實數域上不定二次型定義的正交群。伽羅瓦上同調和正交群.代數群的伽羅瓦上同調理論，引入了一些更深入的觀點。它們有解釋的價值，特別是二次型理論的聯絡；但就目前所發現的現象而言，大部分都是“馬後炮”。第一個觀點是一個域上的二次型或者一個正交群的扭曲形式可以與伽羅瓦"H"1等同起來。作為一個代數群，正交群一般不是連通或單連通的；第二個觀點是引入自旋現象，但前一個和判別式相聯絡。一個旋量模的“spin”名字可以用與自旋群來解釋。正交群的自旋群覆疊給出了一個代數群的短正合列：formula_84這裡μ2是單位根的代數群；在一個特徵非2的域上，粗略地看，和作用平凡的兩元素群相同。從"H"0到"H"1(μ2)的連線同態本質上是spinor模，因為 "H"1(μ2)同構於域模去平方元素的乘法群。正交群的"H"1到自旋群覆疊的核的"H"2也存在連線同態。因上同調是非阿貝爾的，所以，至少用普通定義，這是我們能走得最遠的。重要子群.物理中，特別是在Kaluza-Klein緊化領域，找出正交群的子群非常重要。主要結論如下：formula_85formula_86formula_87formula_88正交群O(n)也是一些李群的重要子群：formula_89formula_90formula_91formula_92formula_93formula_94formula_95群O(10)在超弦理論中非常重要，因為它是10維時空的對稱群。