洛倫茲變換

洛倫茲變換是觀測者在不同慣性參照系之間對物理量進行測量時所進行的轉換關係，在數學上表現為一套方程組。洛倫茲變換因其創立者——荷蘭物理學家亨德里克·洛倫茲而得名。洛倫茲變換最初用來調和19世紀建立起來的經典電動力學同牛頓力學之間的矛盾，後來成為狹義相對論中的基本方程組。洛倫茲變換的提出.19世紀後期建立了麥克斯韋方程組，標誌著經典電動力學取得了巨大成功。然而麥克斯韋方程組在經典力學的伽利略變換下並不是協變的。由麥克斯韋方程組可以得到電磁波的波動方程，由波動方程解出真空中的光速是一個常數。按照經典力學的時空觀，這個結論應當只在某個特定的慣性參照系中成立，這個參照系就是以太。其它參照系中測量到的光速是以太中光速與觀察者所在參照系相對以太參照系的速度的向量疊加。然而1887年的邁克耳孫-莫雷實驗測量不到地球相對於以太參照系的運動速度。1904年，洛倫茲提出了洛倫茲變換用於解釋邁克耳孫-莫雷實驗的結果。根據他的設想，觀察者相對於以太以一定速度運動時，長度在運動方向上發生收縮，抵消了不同方向上的光速差異，這樣就解釋了邁克耳孫-莫雷實驗的零結果。洛倫茲變換的數學形式.洛倫茲提出洛倫茲變換是基於以太存在的前提的，然而以太被證實是不存在的，根據光速不變原理，相對於任何慣性參照系，光速都具有相同的數值。愛因斯坦據此提出了狹義相對論。在狹義相對論中，空間和時間並不相互獨立，而是一個統一的四維時空整體，不同慣性參照系之間的變換關係式與洛倫茲變換在數學表示式上是一致的，即：formula_1其中x、y、z、t分別是慣性座標系Σ下的座標和時間，x'、y'、z'、t'分別是慣性座標系Σ'下的座標和時間。v是Σ'座標系相對於Σ座標系的運動速度，方向沿x軸。由狹義相對性原理，只需在上述洛倫茲變換中把v變成-v，x'、y'、z'、t'分別與v, x、y、z、t互換，就得到洛倫茲變換的反變換式：formula_2洛倫茲變換是高速運動的宏觀物體在不同慣性參照系之間進行時空座標變換的基本規律。當相對速度v遠遠小於光速c時，洛倫茲變換退化為經典力學中的伽利略變換:formula_3所以，狹義相對論與經典力學並不矛盾，狹義相對論將經典力學擴充套件到了宏觀物體在一切運動速度下的普遍情況，經典力學只是相對論在低速時，不需考慮到相對論效應，因為用相對論進行處理時計算往往變得非常繁瑣，而結果與經典情況相差不大。當處理高速運動的物理時，比如高能加速器中的電子，則必須要考慮相對論效應對結果帶來的修正。洛倫茲變換的四維形式.在狹義相對論中，某一事件可以用帶有四個引數的時空座標不變的變換。如果將x、y、z記成x1、x2、x3，並且令：formula_4那麼洛倫茲變換可以寫成如下的矩陣形式：formula_5其中formula_6，稱為洛倫茲因子。勞侖茲變換的推導.相對原則和光速不變的物理原則是狹義相對論通常的出發點。實際上勞侖茲變換並不取決於光的物理性質：最重要的是粒子間的作用的局域性：一粒子對另外一粒子的影響作用不能任意快地傳遞，而作用傳遞的最高速度必須在所有參照系都是一樣的速度。此最高速度剛好等於真空中光速。從群論出發的推導.所有參照系間轉換以轉換疊加作為乘法組成一個群。它們符合以下公理：符合群公理的轉換矩陣.考慮兩個參照系formula_8和formula_16，formula_16的原點相對formula_8原點速度為formula_19。出於時空的均勻性勞侖茲變換必須保留慣性運動，因此它必須是一個綫性轉換而可以以矩陣表示：formula_23以上formula_24是有待計算的矩陣元。它們是相對速度formula_19的函式。參照系formula_16的原點formula_27在參照系formula_8的運動：formula_29得formula_30同樣參照系formula_8的原點formula_32在參照系formula_16的運動：formula_34得formula_35因此主斜兩項相等且可稱為formula_36。還有formula_37：formula_38因為formula_39，formula_40的意義就是時間膨脹的因子。因為時空的各向同性，formula_40只能取決於速度而不取決於方向。也就是說formula_42。群元可逆因此取逆矩陣：formula_43當然逆轉換隻等同於反方向同速的轉換。運用上段formula_40的性質formula_45每項比較得到：formula_46從群的閉合性要求連續兩次轉換等於以速度和的單次轉換。也就是說兩個矩陣的積：formula_47必須擁有同樣的矩陣型式。這意味著主斜綫上兩項相等。因此以下比例：formula_48必須是一個和參照系相對速度formula_19無關的常數。插入較前等式得formula_40的定義：formula_51而最廣泛的勞侖茲變換矩陣型式為：formula_52到這裡formula_53就是轉換的不變速度。如果formula_54，c是一個速度的下限。這明顯與物理現實不符。因此formula_55。但還可以分成formula_56和formula_57兩種情形：伽利略轉換.formula_58得伽利略轉換矩陣：formula_59在此情況下時間是絕對的：formula_60。勞侖茲變換.在更一般formula_61的情況就得到先前的勞侖茲變換矩陣：formula_62formula_63是在所有參照系內不變的速度上限。到底世界是屬於formula_58還是formula_65型別是最終只能靠實驗驗證。例如邁克耳孫-莫雷實驗。速度變換公式.由洛倫茲變換可以得到相對論的速度變換公式。設ux、uy、uz分別是物體在慣性座標系Σ下沿各座標軸的速度分量，u'x、u'y、u'z分別是物體在慣性座標系Σ'下沿各座標軸的速度分量，那麼：formula_66formula_67formula_68如果把v變成-v，ux、uy、uz分別與u'x、u'y、u'z互換，就得到上述速度變換的反變換式。當速度v遠小於光速時，上述速度變換式退化為經典的速度變換式：formula_69formula_70formula_71其他物理量的變換.對於有著類時分量formula_72和類空分量formula_73的四維向量formula_74，其閔考斯基範：formula_75。所以我們可以仿照四維位置的勞倫茲變換，寫出一般四維向量的勞倫茲變換：formula_76其中formula_77，formula_78是formula_79方向上的單位向量。formula_80分解成垂直formula_79方向和平行於formula_79方向的方法與位置向量的分解方法相同。取得逆變換的方法也是與四維位置的情況相同，就是交換formula_74與formula_85，然後使用相反的相對運動方向，即formula_86。常見的四維向量如下表：洛倫茲變換的幾何理解.在平面幾何，一個向量在某座標系統為formula_87。如果我們在原點以formula_88順時針旋轉原本座標軸做新的座標系統。在新系統內，同一向量座標為:formula_89：formula_90當然雖然向量的座標在不同座標系統裡面不一樣，它的長度不變：formula_91。另外如果我們以另外角度formula_92再旋轉一次，那向量新座標和原座標關係為：formula_93即："連續的轉角可加"。我們可以相似般把洛倫茲變換看成一種類似的座標旋轉。定義快度formula_94。那以上洛倫茲變換公式可以寫成：formula_97也就是說："洛倫茲變換數學上等同於雙曲角旋轉"。此座標“旋轉”中類似“長度”的不變數是：formula_98。如果我們先轉換到相對原本參考系統速度為formula_99的參考系統，然後再轉換到相對第二個參考系統速度為formula_100的參考系統。令formula_101、formula_102。那麼在原本參考系統座標為formula_103的事件在兩次轉換後參考系統內座標formula_104為：formula_105所以我們發現洛倫茲變換裡直接相加的數量不是速度formula_106而是這個類似角度的formula_94。日常經驗我們使用的伽利略變換把速度直接相加減。這是因為在速度遠小於光速的時候formula_109近似速度formula_110。當然我們也可以直接從原本的參考系統直接轉換到最後的參考系統。如果兩者速度為formula_111，那麼formula_112因此得到相對論速率加法公式。