級數

級數。序列formula_3中的項稱作級數的通項。級數的通項可以是實數、矩陣或向量等常量，也可以是關於其他變數的函式，不一定是一個數。一般的，如果級數的通項是常量，則稱之為常數項級數，如果級數的通項是函式，則稱之為函式項級數。常見的簡單有窮數列的級數包括等差數列和等比數列的級數。有窮數列的級數一般透過初等代數的方法就可以求得。無窮級數有發散和收斂的區別，稱為無窮級數的斂散性。判斷無窮級數的斂散性是無窮級數研究中的主要工作。無窮級數在收斂時才會有一個和；發散的無窮級數在一般意義上沒有和，但可以用一些別的方式來定義。無窮級數的研究更多的需要數學分析的方法來解決。無窮級數一般寫作formula_4、formula_5或者formula_6，級數收斂時，其和通常被表示為formula_7，其中符號formula_8稱為求和號。無窮級數的定義.設formula_9是一個無窮序列 ：formula_10，其前n項的和稱為formula_11的部分和：formula_12formula_9部分和依次構成另一個無窮序列：formula_14這兩個序列合稱為一個級數，記作formula_11或者formula_6。無窮級數的斂散性.對於級數formula_6，如果當formula_18趨於正無窮大時，formula_19趨向一個有限的極限：formula_20，那麼這個無窮級數就叫做是收斂的，formula_21叫做級數formula_6的和。如果極限不存在，這個無窮級數就是發散的。收斂的無窮級數存在唯一的一個和"formula_21"。這時可以定義級數formula_11的餘項和：formula_25。任意項級數.如果級數formula_6中的各項可以是正數，負數或零，則級數formula_6稱為任意項級數。將任意項級數各項formula_28取絕對值，得到正項級數。formula_29如果任意項級數formula_6收斂，而級數formula_31發散，則稱級數formula_6條件收斂。如果級數formula_31收斂，則稱級數絕對收斂絕對收斂.定理：如果任意項級數formula_6的各項的絕對值所組成的正項級數formula_31收斂，則級數formula_6收斂。formula_41和 formula_42，則formula_43.formula_44和 formula_45收斂級數的性質.這兩個級數的斂散性是一樣的。無窮級數的研究歷史.將一個函式展開成無窮級數的概念最早來自14世紀印度的馬德哈瓦。他首先發展了冪級數的概念，對泰勒級數、麥克勞林級數、無窮級數的有理逼近以及無窮連分數做了研究。他發現了正弦、餘弦、正切函式等的泰勒展開，還用冪級數計算了 π 的值。他的學生繼承和發展了他關於級數的工作。17世紀，詹姆斯·格里高利也開始研究無窮級數，並發表了若干函式的麥克勞林展開式。1715年，布魯克·泰勒提出了構造一般解析函式的泰勒級數的方法。18世紀時尤拉又發展了超幾何級數和q-級數的理論。對審斂法的研究.14世紀時，馬德哈瓦已經開始討論判別無窮級數斂散性的方法。他提出了一些審斂的準則，後來他的學生將其推廣。然而在歐洲，審查無窮級數是否收斂的研究一般被認為是從19世紀由高斯開始的。他於1812年發表了關於尤拉的超幾何級數formula_53的論文，提出了一些簡單的收斂準則，並對餘項和以及收斂半徑進行了討論。柯西提出了嚴格的審斂法的重要性，他證明了兩個收斂級數的乘積不一定是收斂的，同時開始研究嚴格的審斂準則。尤拉和高斯各自給出了各種審斂法則。柯西更研究了複函式的冪級數展開。1826年，阿貝爾在他的關於二項式級數formula_54的論文中更正了柯西的若干個結論，並給出了二項式級數的嚴格的求和方法，指出了連續性在收斂問題中的重要性。柯西提出的審斂法並不是普遍適用的，只能用於判別某些特定函式的斂散性。同時代的其他數學家，比如拉貝，以及貝特朗、斯托克斯、切比雪夫等人的審斂法也是如此。對普遍的審斂法則的研究由恩斯特·庫默爾開始，之後的艾森斯坦、維爾斯特拉斯、尤里斯·迪尼等都曾致力於這一領域。普林斯海姆於1889年發表的論文闡述了完整的普適審斂理論。對一致連續性的研究.1821年，柯西首先開始對一致連續性的研究，但其中有不少錯誤和侷限。這些錯誤最早被阿貝爾指出，但首先得出正確結論的是西德爾和斯托克斯。1853年，柯西在注意到阿貝爾的批評後重新開展研究，並得到了與斯托克斯一樣的結論。然而，一致連續性的重要性在很長一段時間裡沒有受到重視。更多級數請數列表。類別.幾何級數.幾何級數是指通項為等比數列的級數，比如：formula_55一般來說，幾何級數formula_56收斂當且僅當formula_57。調和級數.調和級數是指通項為formula_58的級數：formula_59它是發散的。formula_60-級數."formula_60"-級數是指通項為formula_62的級數：formula_63對於實數值的"formula_60"，當formula_65時收斂，當formula_66時發散。這可以由積分比較審斂法得出。函式formula_67是黎曼ζ函式在實軸大於1的部分的限制，關於黎曼formula_68函式有著名的黎曼猜想。特別地，當formula_69時，formula_60-級數即為調和級數。formula_71裂項級數.收斂當且僅當數列formula_72收斂到某個極限formula_73，並且這時級數的和是formula_74。泰勒級數.泰勒級數是關於一個光滑函式formula_75在一點formula_39附近取值的級數。泰勒函式由函式在點formula_39的各階導數值構成，具體形式為：formula_78這是一個冪級數。如果它在formula_39附近收斂，那麼就稱函式formula_75在點formula_39上是解析的。交錯級數.具有以下形式的級數formula_82其中所有的formula_83非負，被稱作交錯級數。交錯級數的收斂通常要藉助萊布尼茨判別法。冪級數.形同formula_84的函式項無窮級數稱為formula_85的冪級數。它的收斂與否和係數formula_83有關。傅立葉級數.任何週期函式都可以用正弦函式和餘弦函式構成的無窮級數來表示，稱為傅立葉級數。傅立葉級數是函式項無窮級數，也就是說每項都是一個函式。傅立葉級數在數論、組合數學、訊號處理、機率論、統計學、密碼學、聲學、光學等領域都有著廣泛的應用。例如，週期為formula_87的週期函式formula_88可以表示為：formula_89其中，formula_90，formula_91，特別的，formula_92常數項無窮級數審斂法.正項級數.若通項為實數的無窮級數formula_11每一項formula_28都大於等於零，則稱formula_11是一正項級數。如果無窮級數 formula_11 是正項級數，則部分和formula_97是一個單調遞增數列。由數列極限的判別準則：單調有界數列必有極限。因此，倘若部分和數列"Sn"有界，formula_11收斂，且formula_99 ;反之，若部分和數列趨於正無窮，級數發散。比較判別法.設formula_11 和 formula_101是正項級數。如果存在正實數formula_102，使得從若干項開始，formula_103，則* 當formula_101 收斂時，可推出 formula_11 也收斂。* 當formula_11 發散時，可推出 formula_101 也發散。如果formula_109，則* 當formula_101 收斂時，可推出 formula_11 也收斂。* 當formula_11 發散時，可推出 formula_101 也發散。如果formula_114或其它有限數，則formula_101 和formula_11 同時收斂或發散。比如，我們已知級數：formula_117收斂，則級數：formula_118也收斂，因為對任意的formula_18，formula_120。比較判別法的特點是要已知若干級數的斂散性。一般來說，我們可以選擇比較簡單的級數：formula_121作為“標準級數”，依此判斷其他函式的斂散性。需要知道的是當formula_122時，formula_123發散，當formula_124時，formula_123收斂。達朗貝爾判別法.在比較判別法中，如果取幾何級數為比較的標準級數，可得：設formula_11是通項大於零的正項級數。並且formula_127，則* 當formula_128 時，級數formula_11收斂。* 當formula_124 時，級數formula_11發散。* 當formula_132 時，級數formula_11可能收斂也可能發散。這個判別法也稱為比值判別法或比值審斂法。設 formula_11 是正項級數。並且formula_135，則* 當formula_128時，級數 formula_11 收斂。* 當formula_124時，級數 formula_11 發散。* 當formula_132時，級數 formula_11 可能收斂也可能發散。柯西收斂準則.這個判別法也稱為根值判別法或根值審斂法'。交錯級數.具有以下形式的級數formula_82其中所有的formula_83非負，被稱作交錯級數。萊布尼茨判別法.在上述的級數formula_82中，如果當formula_18趨於無窮時, 數列formula_83的極限存在且等於 0，並且每個formula_83小於formula_148，那麼級數收斂。任意項級數.對於通項為任意實數的無窮級數formula_11，將級數formula_151稱為它的絕對值級數。可以證明，如果formula_151收斂，那麼 formula_11也收斂，這時稱 formula_11絕對收斂。如果formula_11收斂，但是formula_151發散，則稱formula_11條件收斂。比如說，級數formula_158絕對收斂，因為前面已經證明 formula_159收斂。而級數formula_160是條件收斂的。它自身收斂到formula_161，但是它的絕對值級數formula_162是發散的。黎曼級數定理說明，如果一個無窮級數formula_11條件收斂，那麼對於任意的實數formula_164，存在一個正整數到正整數的雙射formula_165，使得級數formula_166收斂到 formula_164。對於正負無窮大，上述雙射也存在。函式項級數.設formula_168為定義在區間formula_169上的函式列，則表示式：formula_170稱為函式項級數，簡記為formula_171。對函式項級數的主要研究是：收斂域.對區間formula_169上的每個 formula_176，級數 formula_177是常數項級數。若formula_177收斂，則稱formula_176是formula_171的一個收斂點，formula_171全體收斂點的集合稱為它的收斂域。若formula_177發散，則稱formula_176是formula_171的一個發散點，formula_171全體發散點的集合稱為它的發散域。formula_171在其收斂域的每一點上都有定義，因此定義了一個函式，稱為formula_171的和函式，記為formula_188。按照定義，formula_189，其中formula_190為函式項級數在formula_176點上的部分和。一致收斂.函式項級數的取值可以在它的收斂域上用和函式定義，但和函式的性質可能會和級數的每一項不同。比如說，當函式項級數formula_171中的每一項formula_193在收斂域上都是連續函式時，和函式未必會是連續函式。以下是一個例子：設formula_194，也就是說formula_195，formula_196等等，它們顯然都是連續函式。這時函式項級數在formula_164 點上的部分和formula_198。在區間formula_199的每一點上，部分和都有極限：當formula_200時，formula_201當formula_202時，formula_203於是在區間formula_199上，級數formula_171 收斂，其和函式formula_188為：當formula_207時，formula_208；formula_209。這不是一個連續函式。然而，如果函式項級數能夠滿足某些更嚴格的條件的話，可以證明級數的和函式的規則性將會等於每一項函式的規則性，這就是所謂的一致收斂性質。和函式列的一致收斂性質一樣，函式項級數formula_171在某個區間formula_169內一致收斂的定義是它的部分和函式formula_97 在區間formula_169上一致收斂到和函式formula_215，formula_216或者寫成formula_217可以證明：如果級數formula_171 在區間formula_169 內一致收斂，並且每個formula_193 都是連續函式，那麼和函式formula_215 在區間formula_169 上也是連續函式。進一步的，如果導函式級數的每一項都是formula_223函式，並且各階導函式級數formula_225在區間formula_169內都一致收斂，那麼級數和函式formula_227 也是formula_223函式，並且：formula_229 ，formula_230。絕對收斂.函式項級數也有絕對收斂的概念。對於某個給定的區間formula_169和範數formula_232，函式項級數formula_171在區間formula_169內絕對收斂，當且僅當常數級數formula_235收斂。絕對收斂的函式在每一點都收斂，並且在區間formula_169內一致收斂。#重定向冪級數.形同formula_84的函式項無窮級數稱為formula_85的冪級數。一般只需討論形同formula_239的冪級數。冪函式的收斂域.根據阿貝爾定理，它的收斂域是一個關於零對稱的區間，即為formula_240叫做冪級數的收斂半徑。並有定理：設冪級數formula_239滿足formula_243，則：冪級數的和函式.求解冪級數的和函式有時需要利用先對各項積分。漸進級數.漸進級數是用來對某些函式的間斷點附近的情況進行逼近的級數。漸進級數一般是發散的，它的部分和趨於無窮大，因此可以很好地逼近一個趨於無窮大的函式。但要注意的是，漸進級數提供的逼近是相對的，即只是比值趨於一致，與函式值之間的誤差並不像收斂的級數一樣趨於無窮小。一般來說，漸進級數在若干項後便達到最小的絕對誤差，之後的絕對誤差一般會增大甚至趨於無窮。發散級數的和.發散級數的部分和沒有極限，但是在應用中可以使用比較弱的級數和定義，比如切薩羅求和、阿貝爾求和以及尤拉求和。推廣.級數的概念可以在任何的對稱拓撲群中定義，常用的是在一個巴拿赫空間中。