函式

函式是數學描述對應關係的一種特殊集合。簡介.若formula_1是實數，以有序對 formula_2 為元素所構成的集合就是一個函式。直觀上代表＂輸入＂ formula_1 就可以得到唯一值 formula_4 的對應關係。一般會以英文字母 formula_5 表示函式，並把 formula_1 依據函式 formula_7 的對應規則所得到的值寫作formula_8 ，並讀作"f of x"。函式的概念不限於數之間的對應關係，例定義函式 formula_9 為世界上所有國家跟它現在的首都的對應關係，那輸入英國就會輸出唯一值倫敦：formula_10。直觀上的"多變數函式"其實也可以概括到一般函式的定義裡。例如算式 formula_11 有兩個實數引數 formula_1 和 formula_13。可以將這兩個引數看作一個實數有序對 formula_14 ，然後定義一個以 formula_15 為元素所構成的函式 formula_7 ，然後把 formula_17 簡記成符合直觀的 formula_18 。數學中，對應、對映、變換通常都是函式的別稱，但也可能有別的意思，如在拓撲學的對映有時代表的是連續函式。在型別論的λ演算中，"對應關係"可以是作為一個原始概念(也就是無定義名詞)，而不像上述的定義把函式視為集合的衍伸物。歷史.函式這個數學名詞是萊布尼茲在1694年開始使用的，用來描述跟曲線相關的一個量，如曲線的斜率或者曲線上的某一點。萊布尼茲所指的函式現在被稱作可導函式，數學家之外的普通人一般接觸到的函式即屬此類。對於可導函式可以討論它的極限和導數，此兩者描述了函式輸出值的變化同輸入值變化的關係，是微積分學的基礎。中文的“函式”一詞由清朝數學家李善蘭譯出。其《代數學》書中解釋：“凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函式”。正式定義.函式( formula_7 )是一種特殊的二元關係 (也就是元素都是 formula_21 這樣形式的二元有序對的集合) ，滿足若以正式的邏輯符號表述就是(設下面這條合式公式簡記為 formula_26 ，等等的討論會用到)formula_27也就是直觀上，可以把有序對 formula_21 看成 ("輸入值", "輸出值")；而函式本身是窮舉輸出入值來詳盡定義的對應規則。而且依照函式 formula_7 的規則，若 formula_1 同時對應 到 formula_13 和 formula_32，則必然 formula_25，也就是說一個 formula_1 只能對應到僅僅唯一的一個輸出。函式值的簡記.習慣上把 formula_23 等價的寫為 formula_36 。但事實上， formula_8 是在一階邏輯公理化集合論下，基於 formula_26 所確保的唯一性，而新增的雙元函式符號 ( formula_1 和 formula_7 各為一個變數) ，而它的＂定義＂本質上是以下額外增加的公理 ( 唯一性保證新增這條公理後，"新理論"所擁有的定理和"舊理論"是一樣的，詳請式符號與唯一性)formula_41其中 formula_42 為以下合式公式的簡寫formula_43formula_42 事實上就是 formula_7 為二元關係的正式邏輯符號表述。直觀上＂n變數＂的函式，也就是以formula_46為元素的函式 formula_47，習慣上會把以下的項formula_48進一步簡寫為formula_49定義域與值域.實用上如果能指出函式 formula_7 的 "輸入值範圍" 跟 "輸出值範圍" ，對數學的討論是相當方便的；事實上公理化集合論確保對任意集合 formula_51 有以下兩個單元函式符號 formula_52 和 formula_53 以及以下公理formula_54formula_55簡單來說， formula_52 是所有蒐集所有 formula_51 裡所有有序對的第一個元素所構成的集合； formula_53 是所有蒐集所有 formula_51 裡所有有序對的第二個元素所構成的集合，集合論保證了兩者一定唯一存在。如果 formula_51 本身就是函式的話，直觀上 formula_52 就是＂輸入值範圍＂，所以被稱為定義域；而直觀上 formula_53 就是 ＂輸出值範圍＂，所以被稱為值域。所以在 formula_7 是函式的情況下，有以下慣用的記號formula_64這個記號嚴格上來說代表formula_7 是函式且 formula_66。也就是函式 formula_7 的＂輸入值範圍＂為 formula_68 ， ＂輸出值範圍＂包含於 formula_69。 formula_69 通常會被稱為對應域(特別注意對應域不是唯一的)屬於定義域 formula_71 的元素 formula_1 常被俗稱為自變數，但是這跟實驗上的自變數和因變數是稍有不同的，因為一個是以現實手段操縱所得到的實驗值之間的關聯，但另一個是源於集合論的抽象邏輯概念。一對一與滿射.滿足的函式 formula_7 被稱為一對一函式。這種狀況下，很容易證明以下的集合：formula_79也是一個函式，稱為 formula_7 的反函式。formula_81與formula_82互為反函式，並且於鏡射於軸formula_83上另外基於 formula_64 這個簡記裡只有指出 "輸出值" 不會超出 formula_69 "，所以通常會定義滿射為一個值域就是 formula_69 的函式，但這只是一個為了彌補這個慣用簡記法的缺陷所延伸出的冗餘定義而已。函式圖形.sin(x)等函式的圖形如果函式 formula_7 的值域跟定義域都是實數集合(俗稱 formula_7 為實函式)，可以x軸代表定義域的範圍；y軸代表值域的範圍，把函式的每個元素標示在平面直角坐標上，這被稱為實函式 formula_7 在平面上的函式圖形。對於"雙變數"的實函式 formula_90 ，也就是以 (formula_91)formula_92為元素的函式，可以取formula_93formula_94然後以 x 軸為 formula_95 變化範圍；y 軸為 formula_96 變化範圍；最後取z 軸為 formula_90 的值域變化範圍，這樣就可以在三維直角坐標繪出 formula_90 的函式圖形。實函式的判別.平面上的任意圖形可用豎直判別法判斷是否為實函式的圖形，即圖形與任何一條平行於 y 軸的直線不能有一個以上的交點。但實際上這僅僅是函式正式定義的一種應用，因為平行於 y 軸的直線代表的是形如formula_99的集合，也就是此直線交 x 軸於 formula_100 ，那這樣直線與實函式 formula_7 的交集就是formula_102而屬於這個交集裡的平面點最多隻能有一個，否則就會跟每個 formula_103 只能對應一個 formula_8 的基本定義矛盾。像和原像.像可以指兩種不同的概念第一種是形如 formula_8 的項，直觀上代表的是依照函式 formula_7 的對應規則，使 formula_1 能對應到的那個"值"。(嚴謹的意義請回去參考函式值的簡記)第二種指的是集合 formula_51 在函式 formula_7 下定義的集合 formula_110formula_111注意 formula_7 的值域就是定義域 formula_71 的像 formula_114 。在正式定義一節的最後例子中， formula_115 在 formula_7 的像是 formula_117，而 formula_7 的值域是 formula_119 。類似的，集合 formula_120 在函式 formula_7 下的原像定義為：formula_122沿用同一例子，可以看到 formula_123 的原像是 formula_124 ，即空集。以下是formula_7及formula_126的一些特性：這些特性適合定義域的任意子集formula_133及formula_134和到達域的任意子集formula_135及formula_136，甚至可推廣到任意子叢集的交集和並集。函式的限制及擴張.若 formula_137 且 formula_138 ， 那以下定義的集合formula_139 ( 注意到 formula_140 代表笛卡兒積 )formula_141顯然為一函式，稱為 formula_7 在 formula_143 的限制。反之，若 formula_144 、 formula_145 、 formula_146 且 formula_147，那 formula_7 稱為 formula_90 的擴張。點態運算.設 formula_150 且 formula_151 且 formula_152 為環。這樣可以定義＂函式和＂ formula_153 與＂函式積＂ formula_154 如下：formula_155formula_156很容易證明以上兩者也是函式，類似的對任意的 formula_157 可以定義下面這兩個集合formula_158formula_159也是函式，其中 formula_160 被稱為常數函式。函式範例.常用的數學函式包括多項式函式、根式函式、冪函式、對數函式、有理函式、三角函式、反三角函式等。它們都是初等函式。非初等函式包括伽馬函式和貝塞爾函式等。函式的分類.函式可分為範疇論觀點下的函式.在範疇論中，函式的槪念被推廣為態射的槪念。一個範疇包括一組物件與一組態射，每一個態射是個三元組("X", "Y", "f")，"X"稱為源物件，而源物件與目標物件是範疇內的物件。基於這種解釋，可以把函式看作集合範疇裡面的態射。