一階邏輯

一階邏輯是使用於數學、哲學、語言學及電腦科學中的一種形式系統，也可以稱為：一階斷言演算、低階斷言演算、量化理論或謂詞邏輯。一階邏輯和命題邏輯的不同之處在於，一階邏輯包含量詞。高階邏輯和一階邏輯不同之處在於，高階邏輯的斷言符號可以有斷言符號或函式符號當做引數，且容許斷言量詞或函式量詞。在一階邏輯的語義中，斷言被解釋為關係。而高階邏輯的語義裡，斷言則會被解釋為集合的集合。在通常的語義下，一階邏輯是可靠的。雖然一階邏輯的邏輯歸結只是半可判定性的，但還是有許多用於一階邏輯上的自動定理證明。一階邏輯也符合一些使其能透過證明論分析的元邏輯定理，如勒文海姆–斯科倫定理及緊緻性定理。一階邏輯是數學基礎中很重要的一部份。許多常見的公理系統，如一階皮亞諾公理、馮諾伊曼-博內斯-哥德爾集合論和策梅洛-弗蘭克爾集合論都是一階理論。然而一階邏輯不能控制其無窮模型的基數大小，因根據勒文海姆–斯科倫定理和康託爾定理，可以構造出一種“病態”集合論模型，使整個模型可數，但模型內卻會覺得自己有「不可數集」。類似地，可以證明實數系的普通一階理論既有可數模型又有不可數模型。這類的悖論被稱為斯科倫悖論。但一階的直覺主義邏輯裡，勒文海姆–斯科倫定理不可證明，故不會有以上之現象。簡介.在命題邏輯裡，「蘇格拉底是哲學家」、「柏拉圖是哲學家」只能簡單標記為 formula_1 及 formula_2 。而一階邏輯先設符號 formula_3 意為 「 "x" 是哲學家」，然後以 formula_4 代表蘇格拉底、 formula_5 代表柏拉圖，則 formula_6 對應 formula_1 ； formula_8 對應 formula_2 。也就是賦予斷言符號「formula_3 」語意的解釋。這個解釋預設一個「所有人類的群體」，並將變數 formula_11 解釋為自群體中取出來的某人。斷言符號可以包含一個以上的變數。例如：設 formula_12 意為「 x 與 y 是夫妻」，則 formula_13 意為「蘇格拉底和 "y" 是夫妻」。一階邏輯和命題邏輯相同，斷言符號和變數還能與邏輯符號組成更複雜的敘述。例如：設斷言符號 formula_14 意為 formula_11 是學者。則「若 "x" 為哲學家，則 "x" 為學者」可表示為：formula_16而「對所有 "x" ，若 "x" 為哲學家，則 "x" 為學者」則記為：formula_17也就是自左方開始閱讀，以 formula_18 表示「對於所有 "x" 」，可以將之理解為「對於所有 "x" ， formula_18 右方的敘述為真。」其中，formula_18 這個符號被稱為 formula_11 的全稱量詞。直觀上有「若所有"x"是哲學家，那"x"的長子也會是哲學家」這樣“合理”的敘述。若設 formula_22 意為 「 "x" 的長子」，那麼這段“合理”敘述可記為：formula_23formula_24 表示“與 formula_11 有唯一對應的那個物件”，被稱為函式符號。這段直觀為真的敘述，經過適當的擴充套件以後就是一階邏輯其中的一條公理。而對於「有 "x" 是哲學家」這一敘述，則引入另一種量詞表記為：formula_26自左方開始閱讀，以 formula_27 代表「存在 "x" 」，可以將之理解為「有 "x" 使 formula_27 右方的敘述為真」。其中，formula_27 被稱為 formula_11 的存在量詞。全稱量詞和存在量詞一起被簡稱為量詞。直觀上，「並非所有 "x" 不是哲學家」，和「有 "x" 是哲學家」是等價的；且「不存在 "x" 不是學者」也與「所有的 "x" 是學者」等價。所以只要有「否定」這個邏輯概念，那麼一階邏輯就能以全稱量詞為基礎，作以下的符號定義：formula_33由此，存在量詞被定義為全稱量詞的衍伸。形式理論.一階邏輯的形式理論可分成幾個部份：基本符號.一套理論能容許多少符號，取決於人類能運用物理定律來塑造多少符號，但目前無法確知宇宙是不是有限，或是以可無限制地分割。雖然所有的公理化集合論都以量詞的形式隱晦的承認跟自然數一樣多的無窮，甚至以這樣的可數無窮為基礎，去建構出不可數的實數，但將抽象的理論對應到現實時，還是需要回答物理上有沒有可數或不可數的無窮。所以謹慎起見，如果沒有特別申明的話，以下各種類符號的數目上限都是有限的。邏輯符號.一階邏輯通常擁有以下的符號：並非所有的符號都不可或缺的，像謝費爾豎線「formula_54」可以用來定義量詞以外的所有邏輯符號，換句話說：formula_55formula_56formula_57formula_58另外，一些作者不區分語義解釋和形式理論，所以會將表示真值的符號納入形式理論裡，也就是說，用 T 、V"pq" 或 formula_59 來表示「真」，並用 F 、 O"pq" 或 formula_60 來表示「假」。斷言符號.「他們兩人是夫妻」，是一個關於兩個“物件”的斷言，而「他是人」、「三點共線」則表明斷言容許一個或者多個物件。所以對於自然數 formula_61 、formula_62 約定：formula_63為一階邏輯的合法詞彙。它在直觀上表示一個有 formula_61 個“物件”的斷言，稱為 formula_61 元斷言符號。下標的自然數 formula_62 只是拿來和其他同為 formula_61 元的斷言符號作區別。實用上只要有申明，不至於和其他詞彙引起混淆的話，可以用任意的形式簡寫一個斷言符號。如：公理化集合論裡的雙元斷言符號 formula_68 也可以表示為 formula_69 。函式符號.「物體的顏色」、「夫妻的長子」這種斷言說明瞭一組物件所唯一對應的物件。但不同的夫妻有不同的長子；不同的物體有不同的顏色。據此，形式上對於自然數 formula_61 、formula_62 約定：formula_72為一階邏輯的合法詞彙，直觀上表示 formula_61 個“物件”所對應到的東西，稱它為 formula_61 元函式符號。需要特別注意，這種“唯一對應”的直觀想法，必須配上關於“等式”的性質，才能在形式理論中被實現。與斷言符號一樣，只要不引起混淆，就可以用任何的形式簡寫函式符號。如：公理化集合論裡的 formula_75 是依據聯集公理而定義的新函式符號，也可以冗長的表記為 formula_76 。常數符號.「刻度0」、「原點」、「蘇格拉底」是直觀上＂唯一不變＂的物件。據此，對自然數 formula_62 約定formula_78為一階邏輯的合法詞彙，直觀上表示一個“唯一不變”的物件，稱為常數符號。同樣的。“常數的不變性”需配上等式的性質才能被實現。為了不和變數的表記混淆，常數符號一樣可以用任何的形式簡寫，如公理化集合論裡的 formula_79 是根據空集公理和函式符號與唯一性，而定義的新常數符號。亦可冗長的表示為 formula_78 。語法.和自然語言。項.「那對夫妻的長子的職業」、「formula_81」、「formula_82」代表變數可以與函式符號組成更一般的物件。據此形式，遞迴地規定一類合法詞彙——項為：習慣上以大寫的西方字母代表項，如果變數不得不採用大寫字母，而可能跟項引起混淆的話，需額外規定分辨的辦法。原子公式.為了比較簡潔地規定甚麼是合式公式，先規定原子公式為：formula_86這樣的形式。公式.一階邏輯的合式公式以下面的規則遞迴地定義：另外成對的中括弧跟大括弧，符號辨識上視為成對的小括弧，而草書的大寫西方字母為公式的代號。舉例來說，formula_97是公式而formula_98則不是公式。而接下來只要對任意公式formula_32 、 formula_91 與變數 formula_11，做以下符號定義formula_102formula_103formula_104formula_105 這樣所有的邏輯連線詞與量詞就納入了合式公式的規範。施用.所謂的施用/作用，是以下公式形式的口語說法：就類似於運運算元作用在它們身上。自由變數和約束變數.量詞所施用的公式被稱為量詞的範圍；反過來說，不出現在 formula_18 的範圍內的某個 formula_11 被稱為自由的 formula_11。例如，對於公式：formula_141formula_142 就是量詞 formula_18 的範圍；而 formula_144 裡的 formula_11 就是不自由的；反之 formula_146 裡的 formula_147 就是自由的。說 formula_11 於公式 formula_32 完全自由，意為於 formula_32 出現的 formula_11 都是自由的；反之，說 formula_11 於公式 formula_32 完全不自由/完全被約束，意為 formula_32 內根本沒有 formula_11 ，或是 formula_32 內沒有自由的 formula_11 。若 formula_32 內所有的變數都完全不自由，formula_32 特稱為封閉公式/句子。括弧的簡寫.括弧是為了保證語意解釋符合預期，但太多的括弧書寫不易，為此規定以下的“重構法”，從表面上不合法的一串符號找出作者原來想表達的公式：舉例來說formula_161的重構過程如下#formula_162 #formula_164 #formula_166 可以被重構為公式的一串符號則寬鬆的認定為“合式公式”。波蘭表示法.波蘭表示法將邏輯連線詞前置於被施用的公式而非傳統的中間。如果沿用以上的＂施用順序＂，這個表示法允許捨棄所有括弧。如公式formula_168轉成波蘭表示法的過程如下formula_169 formula_170 推理規則.一階邏輯通常只有以下的推理規則對於公式 formula_32 和 formula_91 有formula_173 和 formula_32 組合出 formula_91。也就是俗稱的MP律，直觀意義非常明顯，就是"p"=&gt;"q"且"p"可以推出"q"。在只以謝費爾豎線「formula_54」為基礎邏輯連線詞的公理系統裡，MP律會被改寫成：對於公式 formula_32 、formula_91 和 formula_179 有formula_180 和 formula_32 組合出 formula_91。公理.邏輯公理.如果formula_91、formula_179、formula_185都是公式，則：都是公理。它們實際上是公理模式，代表著“跟自然數一樣多”條的公理。在有另外，在只以謝費爾豎線「formula_54」為基礎邏輯連線詞的公理系統裡，上面三條公理模式等價於下面這條公理模式：如果 formula_91、formula_179、formula_185 、formula_194 和 formula_195 都是公式，則：都是公理。量詞公理.formula_11 為任意變數， formula_91 、 formula_179 為任意公式，則formula_208為公理其中 formula_209 代表把 formula_91 裡自由的 formula_11 都替換成 formula_200 所得到的新公式。formula_215為公理formula_219也是公理。它們實際上也是公理模式。等式和它的公理.根據不同作者的看法，甚至是理論本身的需求，「等式」在形式理論裡可能是斷言符號或是一段公式，但也有視為元定理的另一套處理方法，以下暫且以公理模式的方式處理。以元定理處理的方法會在等式定理詳述。formula_220 是一段變數 formula_11 、 formula_147 完全自由，且型式完全被確定的公式 formula_223 的簡寫。要求：formula_235為公理。事實上這兩個公理模式也確保了函式符號“唯一對應”和常數符號的“唯一性”，但證明這些性質需要一些元定理，簡便起見合併於下面的等式定理一節講述。標準語義.一階邏輯的標準語義源於波蘭邏輯學家阿爾弗雷德·塔斯基所著《On the Concept of Truth in Formal Languages》。根據上面語法一節，公式是由原子公式遞迴地新增邏輯連結詞而來的，而原子公式是由斷言符號與項所構成的。所以要檢驗一條公式在特定的論域下正不正確，就要規定項的取值，然後檢驗這樣的取值會不會落在斷言符號所對應的關係裡。由此延伸出所有公式的“真假值“。也就是一套一階邏輯的語義解釋，要包含通常一套解釋方法會以代號 formula_236 表示。項的取值.量詞的解釋需要指明變數取值範圍的論域——也就是一個集合 formula_237 。而變數可能跟自然數一樣多，換句話說，所有變數在論域 formula_237 取的值可以依序以自然數標下標——也就是一個在 formula_237 取值的數列。如果以 formula_240 的代號來列舉變數，那麼從 formula_237 的某套變數取值就以formula_242或較直觀的符號formula_243來表示。一套解釋 formula_236 會將 formula_61 元函式符號 formula_246 解釋成某個 formula_247 的 formula_61 元函式；而常數符號 formula_249 解釋成特定的 formula_250 ，這樣就可以用上面語法一節定義項的方式，遞迴地規定項的取值：在解釋 formula_236 下的某套變數取值下，一列項 formula_254 的取值分別為 formula_255，則這套變數取值下，項 formula_256 的取值規定為formula_257真假的賦值.直觀上要解釋關係最直接的方法，就是列舉所有符合關係的物件；例如如果想說明夫妻關係，可以列舉所有的雙元有序對，但並非所有的人類有序對都會在這個關係中。以此為基礎，若以 formula_258 代表所有以 formula_259 個 formula_237 中的元素構成的 formula_259 元有序對的集合 ，那一套解釋 formula_236 會將 formula_259 元斷言符號 formula_265 解釋為一個formula_266的formula_259 元有序對子集合。這樣就可以依據語法的遞迴定義，以下面的規則對每條公式賦予真值。在一套解釋 formula_236 下：formula_272反之formula_273則定義為假。更進一步的來說代數化語義.另一種一階邏輯語義的方法可經由命題邏輯的林登鮑姆-塔斯基代數擴充套件而成。有如下幾種型別：這些代數都是純粹擴充套件兩元素布林代數而成的格。塔斯基和葛範德於1987年證明，沒有超過包在三個以上的量化內的原子句子的部份一階邏輯，其表示力和關係代數相同。上述部份一階邏輯令人十分地感到有興趣，因為它已足夠表示皮亞諾算術和公理化集合論，包括典型的ZFC。他們亦證明瞭，具有簡單有序對的一階邏輯和具有兩個有序的投影函式的關係代數等價。空論域.上述的語義解釋都要求論域為非空集合。但在如自由邏輯之中，設定空論域是被允許的。甚至代數結構的類包含一個空結構，當允許空論域時，這個類只能是一階邏輯中的一個基本類，不然就要將空結構由類中移除。不過，空論域存在著一些難點：因此，若空論域是被允許的，通常也必須被視成特例。不過，大多數的作家會簡單地將空論域由定義中排除。常用的推理性質.定理與證明.以下介紹一些基本用語和符號在一階邏輯理論 formula_295 下， formula_303 代表有一列公式 formula_304 滿足：*formula_307 為 formula_295 的公理。*存在 formula_310使得 formula_311 為 formula_312 口語上會稱公式 formula_32 。而這列formula_304 會稱為formula_303 的證明。例如定理formula_318 formula_319 的證明：formula_320：formula_321 formula_322：formula_323 formula_324：formula_325 formula_326：formula_327 formula_330：formula_331 以上其實是蘊含了無限多定理的元定理的證明(因為沒有給出合式公式的明確形式)。方便起見，這種元定理還是會稱為定理並以同樣的形式來表達。直觀上的證明，總是會有一些“前提假設”，對此，若以 formula_334 代表一列有限數目的公式，那formula_335 代表有一列公式 formula_304 滿足：*formula_307 為 formula_295 的公理。*formula_307 為 formula_334 中的其中一條公式。*存在 formula_310使得 formula_311 為 formula_312 這樣稱 formula_304 為在前提 formula_334 下， formula_32 的證明；或是說 formula_32 是 formula_334 的推論結果。若要特別凸顯 formula_334 裡的一條＂前提條件＂ formula_91 對＂證明過程＂的重要性，可以用 formula_354 的符號去特別凸顯。若 formula_334 裡的公式列舉出來有 formula_356 ，那亦可表示為formula_357證明過程沒有被引用的公式盡可能不寫出來。另一方面從以上對於證明定義可以發現，依怎樣的順序列舉前提條件，對於證明本身是不會有任何影響的。本節所介紹的符號，在引用哪個理論很顯然的情況下，formula_358 的下標formula_295 可以省略。實際的證明常常會＂引用＂別的定理代號。演繹元定理.從公理會得出不但直觀且實用的演繹元定理：Metatheorem of Deduction：一階邏輯理論 formula_295 下，若有 formula_361 ，則有 formula_362因為 formula_334 代表的是有限條公式，所以透過演繹元定理可以將證明過程必要的前提條件遞迴地移到 formula_364 後，直到不需要任何前提為止；然後由MP律可以知道，若有 formula_362 ，則有 formula_361，如此一來透過演繹元定理搬到推論結果的合式公式，也可以任意的搬回來。所以 formula_367 等價於某定理 formula_368 。因此也會將 formula_367 稱為一個定理。而從演繹元定理和MP律，會有以下直觀且實用的元定理 formula_370 formula_371以下如果需要將引用的定理以演繹元定理進行＂搬移＂，會省略掉搬移的過程並在搬移後得到的結果後標註也會省略過程，單有結果和代號標註。否定.以下的證明會分成使用的部分，用以證明兩者的等價性。 Double negation, eliminationformula_372 Double negation, introductionformula_373上面兩定理表達了雙否定推理上等價於於原公式，引用兩者任一會都以簡寫。 Transposition-1formula_374 Transposition-2formula_375注意到即可。以上二定理說明 formula_376 推理上等價於 formula_377 ，引用這兩個定理中任一都以表示。至此，已經可以證明：所以綜合以上所述，在有。由的定理formula_378實質條件.以下的定理重現了實質條件的直觀理解。material conditionformula_379material conditionformula_381material conditionformula_382material conditionformula_383反證法.Proof by Contradictionformula_384Proof by Contradictionformula_385證明提示：仿。邏輯與和邏輯或.交換性.以下為邏輯與的交換性formula_386類似的，正是邏輯或的交換性：formula_387 直觀意義.＂且＂的直觀意義是實質條件元定理的直接結果Intuitive meaning of And：formula_388 formula_389 formula_390 從 」標示 formula_396 部分的證明。類似的，＂或＂的直觀意義是的直截結果Intuitive meaning of OR：formula_397 formula_398 formula_399 formula_400 以下的定理則是的直截結果Disjunction：formula_401結合律.對於＂且＂，展開符號定義後，可以從直觀意義輕鬆地得到Associativity of AND：formula_402證明提示： ＂或＂也有類似的性質Associativity of ORformula_403證明提示： 分配律.＂且＂和＂或＂之間還有分配律Distribution：formula_404Distribution：formula_405德摩根定律.以下的元定理的名字來自於英國邏輯學家奧古斯塔斯·德摩根。De Morgan I：formula_406De Morgan II：formula_407證明普遍化元定理.公理模式可以稍加延伸成以下的元定理元定理：對任意變數 formula_11 ，若 formula_409 則有 formula_410。更進一步，有以下元定裡元定理：在 formula_411 裡變數 formula_11 都完全被約束，若formula_413則有formula_414可以稍加修飾，以套用在含有存在量詞的公式上元定理：若變數 formula_11 在 formula_334 的公式和 formula_179 裡都完全被約束則 若 formula_418 則 formula_419 若 formula_420 則 formula_421證明提示：對量詞的可交換性.由普遍化，很容易證明以下關於＂交換性＂的定理 formula_422 formula_423 formula_424注意最後，使 formula_427＂，但是任取一個 formula_425 的數 formula_429 和任意的數 formula_5 ， formula_431 並不一定會為零。量詞的簡寫.數學中常常有 ＂對所有 formula_432 有...＂，或是 ＂存在 formula_433 使的...＂。而兩句話比較清晰，接近一階邏輯語言的說法是 ＂對所有 formula_434 ，只要 formula_432 則...＂ 與 ＂存在 formula_436 ， formula_433 且...＂。「大於」直觀上是一個二元關係，也就是說，在公理化集合論裡對應於一條 formula_434  在裡面完全自由的合式公式。據此，可做以下的符號定義如果變數 formula_11 和 formula_147 都於合式公式 formula_442 裡完全自由，那formula_443formula_444但直觀上也會說 ＂對所有 formula_445 和 formula_446 有...＂，這樣連續，帶有條件的全稱量詞也是有＂交換性＂的。 為了討論這個問題，首先需要一些前置的定理 formula_447這樣就可以證明以下定理如果變數 formula_11 和 formula_147 都於合式公式 formula_442 和 formula_451 裡完全自由，若項 formula_200 裡沒有 formula_147 那formula_454如果再加上 ＂項 formula_455 裡沒有 formula_11 ＂ 那就是 ＂對所有 formula_445 和 formula_446 有...＂，也就是以上所討論的情況了。以這個定理配上全稱量詞本身的交換性定理，那這句話就可以等價的說成 ＂對所有 formula_259 和 formula_61 若 formula_445 且 formula_446 則...＂，所以根據＂且＂的可交換性，可以進一步的說成 ＂對所有 formula_446 和 formula_445 有...＂，所以連續帶有條件的全稱量詞是＂可交換的＂。也就是說如果變數 formula_11 和 formula_147 都於合式公式 formula_442 和 formula_451 裡完全自由，若項 formula_200 裡沒有 formula_147 ，且項 formula_455 裡沒有 formula_11 則formula_473但對於存在量詞，仿造上面的證明過程，只能得出以下非等價的定理。formula_474這是因為一般來說， formula_475 不總是能推出 formula_185 。所以帶有條件的存在量詞是沒有交換性的。等式定理.一般來說，等式 formula_220 會被視為某個合式公式 formula_478 的簡寫。若使用元定理的形式刻劃等式的性質，會作如下的定義說一階邏輯理論 formula_295 帶相等符號 formula_478 意為formula_496formula_501並在這種狀況下，規定 formula_220 為 formula_478 的簡寫。上面的定義符合函式符號直觀上的＂唯一對應＂。為了證明常數符號的＂唯一性＂，需要以下元定理說一階邏輯理論 formula_295 帶相等符號 formula_478 ，等同於要求：formula_520從上面可以得知，如果等式符號僅僅為斷言符號，那等式和它的公理一節的等式公理模式，是等價於本節的。由上面的元定理，對帶有等式符號的 formula_295 可以證明以下的等式性質若 formula_200 、 formula_455 與 formula_524 為 formula_295 的任意項，則有證明提示：對任意常數符號 formula_531 ，上列元定理確保了formula_532formula_533也就是常數符號的＂唯一性＂。函式符號與唯一性.唯一性.數學討論中，常常唯一存在某個符合特定條件的數，像是「存在唯一的實數 formula_534 使的對所有的實數 formula_535 ， formula_536 」；更精確地來說，這句話的意思是：「存在 formula_534 使的對所有的實數 formula_535 ， formula_536」且「對所有的 formula_540 和所有 formula_535，若 formula_536 且 formula_543 則 formula_544 」這樣一般來說，可以對任意變數 formula_11 和合式公式 formula_546 做以下的符號定義：formula_547注意到要能定義唯一性，一階邏輯理論一定要帶有等號。新舊理論的等效條件.上節所提到的例子，實際上就是所謂的實數 formula_553 ，但常數符號不能憑空從理論中冒出來，所以仔細來說，「定義實數 formula_553 」的過程應該是在原來的理論體新增新的常數符號「 formula_553 」與以下的公理：「對所有的實數 formula_535 有 formula_557 」這樣的話，如果有個敘述是「實數 formula_535 滿足 formula_559」，那這個含有新函式符號的敘述應等價於：存在 formula_534 使得「formula_561 」且「對所有的 formula_562 ， formula_563」也就是說，這樣創造一個新的理論，裡面的每個新敘述會對應到舊理論的某舊敘述，且照理來說，新的對舊的也會對，且反之亦然。一般來說，如果新的一階邏輯理論，是在舊的理論增添一些新符號跟新公理，那為了讓新舊理論等效，對於任意新理論的合式公式 formula_179 ，都要有某條相應的舊理論公式 formula_565 滿足以下條件：若 formula_179 本來就內含在舊理論裡，則 formula_565 就是 formula_179 。formula_571若 formula_572 ，則有 formula_573 。從條件事實上是比「舊的對那新的也對」強的條件，但在之後的推導上比較方便所以才會採用它。預備定理.在以嚴謹的方式實踐以上提及的直觀動機前，需要一個預備定理變數 formula_11 在和合式公式 formula_546 與 formula_581 完全自由，則有formula_582新理論的假設.一般來說，如果變數 formula_583 在 formula_584 完全自由，且舊理論裡有：formula_586那所謂的新理論，就是新增一個函式符號 formula_587 和以下的新公理：formula_589如果僅僅是：formula_590的話，新增的是常數符號 formula_591 與以下的新公理：formula_593新增常數符號的情況可視為新增函式符號情況的特例，因為常數符號可以視為「零變數」的函式符號。但不管如何，還需假設 formula_587 和新理論的邏輯公理、量詞公理相容，也就是所有公理模式須涵蓋內含 formula_587 的項。特別像是這種將自由變數代換成項的公理模式，也就是說，若項 formula_200 內含 formula_587 ，且公式 formula_598 內自由的 formula_11 都不在 formula_200 的變數的量詞範圍內，那formula_601仍然是新理論的公理。另外還需要考慮到 formula_587 與等號的相容性，需額外假設：對任何介於 formula_603 與 formula_61 的下標 formula_605 和變數 formula_583formula_607是公理這樣就有以下直觀的定理對變數 formula_583 有formula_609換句話說，「 formula_610 」在新理論裡等價於 「對所有的實數 formula_535 ， formula_536」。一階邏輯的元定理.下面列出了一些重要的元邏輯定理。轉換自然語言到一階邏輯.用自然語言表達的概念必須在一階邏輯。一階邏輯的限制.所有數學概念都有它的強項和弱點；下面列出一階邏輯的一些問題。難於表達if-then-else.帶有等式的FOL不包含或允許定義if-then-else斷言或函式if公式。這是不幸的，因為很多數學函式是依據if-then-else而方便的表達的，而if-then-else是描述大多數計算機程式的基礎。在數學上，有可能重定義匹配公式運算元的新函式的完備集合，但是這是非常笨拙的。斷言if，它們都接受一個公式作為條件，並且等於a如果條件為真，或b如果條件為假。這些擴充套件使FOL易於用於某些問題，並使某類自動定理證明更容易。其他人進一步擴充套件FOL使得函式和斷言可以在任何位置接受項和公式二者。型別.除了在公式到自身的概念中。某些人爭辯說缺乏型別是巨大優點，而很多其他人發覺了定義和使用型別的優點，比如幫助拒絕某些錯誤或不想要的規定想要指示型別的那些人必須使用在FOL中可獲得的符號來提供這種資訊。這麼做使得這種表達更加複雜，並也容易導致錯誤。單一引數斷言可以用來在合適的地方實現型別的概念。例如：formula_615，斷言Man。斷言還可以同指示型別的“存在”量詞一起使用，但這通常應當轉而與邏輯合取運算元一起來做，比如：formula_616。容易寫成formula_617，但這將等價與formula_618，這通常不是想要的。類似的，可以做一個型別是另一個型別的子型別的斷言，比如：formula_619。難於刻畫模型大小.從Löwenheim–Skolem定理得出在一階邏輯中不可能刻畫有限性或可數性。若一階理論有任意有限大的模型，則也有無窮大的模型，所以說不能刻劃有限性。:1而若理論有某個無窮基數大小的模型，則也必有任意更大的模型，所以不能刻劃可數性。:45另一個例子，是無法用一階語言將實數系公理化，因為不論用何種一階理論描述，既然該理論有實數系此種無窮模型刻劃實數系的性質。實數系滿足的公理中，有上確界性質一項，它聲稱實數的所有有界的、非空集合都有上確界。一階邏輯祗能對元素量化，但此公理中，要對模型的全部子集量化，這就需要二階邏輯了。:30圖可及性不能表達.很多情況可以被建模為節點和有向連線斷言符號，使得f在一個有向圖中成立，如果在這個圖中存在從關聯於u的節點到關聯於v的節點的路徑。