直線

直線，是一個點在平面或空間沿著一定方向和其相反方向運動的軌跡，是不彎曲的線。直線是幾何學的基本概念，在不同的幾何學體系中有著不同的描述。在這裡主要描述歐幾裡得空間中的直線。其他曲率非零狀況下的直線，請參考非歐幾裡得幾何。歐幾裡得幾何研究曲率為零的空間下狀況，它並未對點、直線、平面、空間給出定義，而是透過公理來描述點線面的關係。歐幾裡得幾何中的直線可以看作是一個點的集合，這個集合中的任意一點都在這個集合中的其他任意兩點所確定的直綫上。“過兩點有且只有一條直線”是歐幾裡得幾何體系中的一條公理，“有且只有”意即“確定”，即兩點確定一直線。在幾何學中，直線沒有粗細，沒有端點，沒有方向性，具有無限的長度，具有固定的位置。線性方程.在解析幾何中，我們常用線性方程描述一條直線。二維直角坐標系方程.平行於"x"-或"y"-軸最簡單的直線方程是平行於"x"-軸或"y"-軸的直線：formula_1 或 formula_2，當中 formula_3 和 formula_4 分別是"x"-和"y"-截距。一般式對於所有的直線，都可以形式formula_5來表示。這表示示形式並不是唯一的，但習慣上常限制 formula_6 及 formula_7 。在此限制下，同一條直線只有一種表達形式。在這形式下，直線的斜率是 formula_8 ，"x"-截距是 formula_9 ，"y"-截距是 formula_10 。斜截式在直線不平行於"y"-軸時，若斜率是 formula_11 ，"y"-截距是 formula_4 ，則有方程formula_13 。在這形式下，直線的表達形式是唯一的。二點式若直線穿過兩點 formula_14 和 formula_15 ，則有方程formula_16。等價地，可以用行列式formula_17表示。點斜式若直線穿過一點 formula_18 ，而且斜率是 formula_11，則有方程formula_20。截距式若直線的"x"-和"y"-截距分別是 formula_3 和 formula_4 ，則方程為formula_23。法線式過原點向直線作一垂直線段，若該線長度為 formula_24 ，且與正"x"-軸的傾斜角為 formula_25 ，則有方程formula_26。向量式若直線穿過一點 formula_27 ，且有方向向量 formula_28 ，則有向量方程formula_29，當中 formula_30 ，而 formula_31 是一任意實數。須要注意的是，這直線的表達形式並不是唯一的。引數式從向量式出發，可以引數 formula_31 表示方程formula_33 ，其中 formula_31 是一任意實數。三維直角坐標系方程.在三維坐標上，由於一條等式只代表一個平面，一條直線須由最少兩條等式定義。平行於"x"-、"y"-或"z"-軸平行於"x"-、"y"-或"z"-軸的直線有方程formula_35 、formula_36 或 formula_37的形式。一般式對於任何直線，一般式都能以兩個非平行平面定義：formula_38 ，其中 formula_39 。由於從一條直線可引申出無限對平面，這表示方式並不是唯一的。因此又能考慮以三個共線平面定義：formula_40，或合併記作formula_41，其中係數須乎合關係 formula_42 ，以保證三個平面相交於同一直線。事實上，這三條等式分別對應著直線在"xy"-、"yz"-和"xz"-平面的投影。在限制 formula_6 及 formula_44 下，同一條直線只有一種表達形式。二點式若直線穿過兩點 formula_49 和 formula_50 ，則有方程formula_51 。等價地，可以用行列式formula_52表示。向量式若直線穿過一點 formula_53 ，且有方向向量 formula_54 ，則有向量方程formula_29 ，當中 formula_56 ，而 formula_31 是一任意實數。須要注意的是，這直線的表達形式並不是唯一的。引數式從向量式出發，可以引數 formula_31 表示方程formula_59 ，其中 formula_31 是一任意實數。直線與解析幾何.點與直線的距離.一般情況下，點與直線的距離，是指點到直線的最短距離，即垂直距離。在二維直角坐標中，直線 formula_5 與點 formula_62 的最短距離為formula_63給出向量式 formula_29 和 點 formula_65 ，則有距離formula_66在三維直角坐標中，直線 formula_40 與點 formula_68 的最短距離為formula_69。給出向量式 formula_29 和點 formula_71 ，則有距離formula_72兩條相交直線的相交點.不考慮重合的情形，在二維平面中，兩條相交直線可以相交或平行。給定兩條直線 formula_73 和 formula_74 ，二者相交的條件是formula_75。或等價地，formula_76，當中 formula_77。這時兩線的相交點可從克萊姆法則求得formula_78 ， formula_79。在三維空間中，不考慮重合的情形，兩條直線可以相交、平行或歪斜。給定兩條直線 formula_80 及 formula_81 ，二者相交的條件是formula_82 、 formula_83 及 formula_84 不全為 formula_85 ，且formula_86。這時兩線的相交點可從克萊姆法則求得formula_87 ， formula_88 ， formula_89 。兩條相交直線的夾角.若兩線相交，則會形成夾角。兩線之間的夾角，通常指不大於90°的一隻。在二維平面上，給定直線 formula_13 ，該線與"x"-軸的夾角為formula_91 。給定兩條直線 formula_92 和 formula_93 ，二者互相垂直當且僅當formula_94 。而其他情況，兩線相交所形成的夾角 formula_95 ，則由formula_97給出。給定相交直線向量式 formula_98 和 formula_99 ，則有formula_100 。在三維空間中，給定兩條相交直線 formula_101 和 formula_102 ，二者互相垂直當且僅當formula_103 。而其他情況，兩線相交所形成的夾角 formula_95 ，則由formula_106給出，當中 formula_77 。若取 formula_108 ， 則公式退化成二維的形式。給定相交直線向量式 formula_98 和 formula_99 ，則有formula_100。兩條直線的距離.一般情況下，兩條直線的距離，是指最短距離。二維情況下，兩條相交直線的距離必然為 formula_85 。若有兩條平行直線 formula_113 及 formula_114 ，則有距離formula_115。給定平行向量式 formula_116 和 formula_117 ，則有formula_118。三維情況下，兩條相交直線的距離同樣必然為 formula_85 。若有兩條平行直線 formula_120 及 formula_121 ，則有距離formula_122。給定平行直線向量式 formula_116 和 formula_124 ，則有formula_118。兩條歪斜直線有方程 formula_80 及 formula_81 ，則有距離formula_128 ，當中 formula_77 。給定歪斜直線向量式 formula_98 和 formula_131 ，則有距離formula_132。