拉格朗日量

在分析力學裡，一個動力系統的拉格朗日量，又稱拉格朗日函式，簡稱“拉氏量”，是描述整個物理系統的動力狀態的函式，對於一般經典物理系統，通常定義為動能減去勢能，以方程式表示為formula_1；其中，formula_2為拉格朗日量，formula_3為動能，formula_4為勢能。在分析力學裡，假設已知一個系統的拉格朗日量，則可以將拉格朗日量直接代入拉格朗日方程式，稍加運算，即可求得此係統的運動方程式。拉格朗日量是因數學家和天文學家約瑟夫·拉格朗日而命名。在場論，若formula_5是作用量，則拉格朗日方程是formula_6概念.拉格朗日量是動能formula_3與勢能formula_4的差值：formula_9。通常，動能的引數為廣義速度formula_10都互相獨立，就可以用拉格朗日方程式來求得系統的運動方程式。假設一個物理系統的拉格朗日量為formula_2，則此物理系統的運動，以拉格朗日方程式表示為formula_15；其中，formula_11是時間，formula_17是廣義座標，formula_18是廣義速度。拉格朗日量與作用量的關係.一個物理系統的作用量formula_19是一種泛函，以數學方程式定義為formula_20；其中，formula_21是系統的拉格朗日量，廣義坐標formula_22是時間formula_11的函式，formula_24和formula_25分別為初始時間和終結時間。假若，作用量的一次變分formula_26，作用量formula_19為平穩值，則formula_28正確地描述這物理系統的真實演化。從這變分運算，可以推匯出拉格朗日方程式詳盡相關導引，請格朗日方程式。能量守恆定律.思考拉格朗日量對於時間的全導數：formula_29。將拉格朗日方程式代入，可以得到formula_30。定義能量函式formula_31為formula_32，則能量函式與拉格朗日量有以下含時關係式：formula_33。假若拉格朗日量顯性地與時間無關，formula_34，則能量函式是個常數：formula_35。稱這常數formula_36為這物理系統的能量。因此，這物理系統的能量守恆。拉格朗日表述.重要性.拉格朗日表述是經典力學的一種重新表述。拉格朗日表述的重要性，不只是因為它可以廣泛應用在經典力學；而更是因為它能夠幫助物理學家更深刻地瞭解一個物理系統的物理行為。雖然拉格朗日只是在尋找一種表述經典力學的方法，他用來推導拉格朗日方程式的平穩作用量原理，現在已被學術界公認為在量子力學也極具功用。可略坐標和守恆定律.拉格朗日量有一個優良的性質，那就是守恆定律可以很容易地從它的表示式讀出來。例如，假設拉格朗日量formula_2跟某廣義速度formula_38有關，而跟廣義坐標formula_39無關，則對應的廣義動量formula_40是一個守恆量。這種坐標稱為「可略坐標」，或「迴圈坐標」。更詳細地說，拉格朗日量的形式為formula_41。直接檢視，就可以發覺formula_2跟formula_39無關，因此可以推斷formula_40是一個守恆量。以此類推，假設，時間formula_11不在formula_2的表示式裡面，則哈密頓量守恆，即能量守恆。這種物理行為是諾特定理的一個特別案例。關於能量守恆問題，稍後會有更詳細解說。經典力學例項.假設，在三維空間裡，一個運動中的粒子的動能為formula_47，勢能為formula_48，則拉格朗日量是formula_49；其中，formula_50是粒子質量，formula_51是位置向量，formula_52是粒子的速度。直角座標系.採用直角座標系。那麼，拉格朗日方程式就是formula_53；其中，formula_54是位置向量formula_51的第formula_56個直角座標分量。那麼，formula_57、formula_58。這物理系統的運動方程式為formula_59。由於勢能對於位置的負梯度是作用力：formula_60，所以，formula_61。這方程式與牛頓第二定律方程式完全相同。由此可以觀察出，拉格朗日表述與牛頓表述的功能相等。能量函式formula_62為formula_63，由於拉格朗日量顯性地與時間無關，能量函式formula_62是個常數formula_36。球座標系.假設選擇球座標系，則拉格朗日量是formula_66；其中，formula_67是徑向距離，formula_68是天頂角，formula_69是方位角。稍加運算，得到運動方程式為：formula_70、formula_71、formula_72。特別注意，formula_2跟formula_69無關。所以，formula_69是可略座標，角動量的z-分量formula_76是常數。檢驗粒子的拉格朗日量.假定檢驗粒子的質量和電荷超小，其對於外在系統的影響可以忽略。檢驗粒子時常可以想像為簡單的質點粒子，只擁有質量和電荷性質。像電子或上夸克一類的真實粒子具有更複雜的性質，它們的拉格朗日量含有更多專案。狹義相對論裡的拉格朗日量.在狹義相對論的四維空間裡，一個移動中的粒子的相對論性拉格朗日量可以寫為formula_77；其中，formula_50是粒子的靜質量，formula_79是光速，formula_52是粒子的速度。其拉格朗日方程式為formula_81；其中，formula_82是勞侖茲因子。注意到動量formula_83、作用力formula_84。將這些公式代入拉格朗日方程式，就可複製牛頓第二定律的方程式：formula_85。因此，這拉格朗日量被認定為正確無誤。這粒子的廣義動量formula_86定義為formula_87。formula_89。這是質能方程式：粒子的總能量等於其質量乘以光速平方formula_90。靜質量的能量formula_91是個常數，可以忽略。相對論性拉格朗日量又變回經典拉格朗日量：formula_9。電動力學裡的相對論性拉格朗日量.一個移動於電磁場的帶電粒子的相對論性拉格朗日量可以寫為formula_93；其中，formula_94是帶電粒子的電荷量，formula_95是電勢，formula_96是磁向量勢。其拉格朗日方程式為formula_97。所以，formula_98。注意到作用力formula_99，電場formula_100，磁場formula_101。將這些公式代入上述方程式，經過一番運算，就可以得到勞侖茲力方程式：formula_102。這拉格朗日量可以複製出勞侖茲力方程式。因此，這拉格朗日量被認定為正確無誤。協變的拉格朗日量.前面這些拉格朗日量都不具有協變形式，當變換坐標系時，拉格朗日量的形式可能會有所改變。為了確保這形式不會改變，必須將拉格朗日量寫為協變形式。對於自由粒子，作用量formula_103為formula_104；其中，formula_105和formula_106分別是初始時間和終結時間。為了要使得拉格朗日量具有協變形式，必須引用張量來表達。採用愛因斯坦求和約定，注意到四維速度與自己的內積：formula_107；其中，formula_108是四維速度，是四維坐標formula_109對於固有時formula_110的導數。將積分元素從微小時間元素formula_112改變為微小固有時元素formula_113，由於formula_114，協變的作用量可以寫為formula_115。協變的拉格朗日量formula_116變為formula_117；其中，formula_118是閔可夫斯基度規。其拉格朗日方程式為formula_119。注意到約束formula_120，這粒子只能運動於四維速度空間內的特定的三維曲面。將這約束代入上述方程式，可以正確地複製自由粒子的運動方程式。formula_121。電動力學裡的相對論性拉格朗日量的協變表述.現在假設這粒子是移動於電磁場的帶電粒子。電磁場的協變位勢可以寫為formula_122；其中，formula_123是電磁四維勢。協變的拉格朗日量formula_116是formula_125。其拉格朗日方程式為formula_126。經過一番運算，可以得到formula_127其中，formula_128是電磁張量。這正是勞侖茲力方程式的協變形式。總結，協變的拉格朗日方程式可以複製出協變的勞侖茲力方程式。場論例子.電磁學.formula_129formula_130formula_131量子電動力學.formula_132量子色動力學.formula_133楊-米爾斯場論.包括QED、量子色動力學、等重力.formula_134formula_135formula_136相對論.formula_137formula_138formula_139formula_140formula_141formula_142formula_143