丟番圖逼近

丟番圖分析是數論的一個分支。最經典的丟番圖逼近主要用於有理數逼近實數，亦即實數的有理逼近相關問題。其中有理數一般用分數形式表達，且一律要求分子為整數，分母為正整數，通常要求是既約分數。丟番圖逼近的名稱源於古希臘數學家丟番圖。這是因為有理逼近可以歸結為求不等式整數解的問題，而求方程整數解的問題一般稱為丟番圖方程，故而得名。事實上，丟番圖逼近與不定方程的研究確有頗多相關。丟番圖逼近的首要問題是尋求實數的最佳丟番圖逼近，簡稱最佳逼近。具體來說，對於一個實數 "formula_1"，希望找到一個“最優”的有理數 formula_2 作為 formula_1 的近似，使在分母不超過 formula_4 的所有有理數中，"formula_2" 與 "formula_1" 的距離最小。這裡的“距離”可以是歐氏距離，即兩數之差的絕對值；也可以用 formula_7 等方式度量。滿足此類要求的有理數 formula_2 稱為實數 "formula_1" 的一個最佳逼近。關於如何尋找實數的最佳逼近及相關論題，已於18世紀隨著連分數理論的發展得到基本解決。其後，該領域的主要注意力轉向對有理逼近的誤差進行估計、度量，以給出儘可能精確的上下界，證明了它的超越性。這在人類歷史上尚屬首次。由此可見，丟番圖逼近與數論的另一分支——超越數論緊密相關。除了上述最經典的單個實數的有理逼近問題，該領域還包括多個實數的聯立逼近，非齊次逼近，實數的代數數逼近，一致分佈等方面。甚至連p進數上的丟番圖逼近也有頗多研究。實數的最佳丟番圖逼近.有理數與實數的距離.無論何種丟番圖逼近問題, 都需要定義“距離”。對於實數的有理逼近，要考慮的是有理數 "formula_2" 與實數 "formula_1" 的距離。對此一般有兩種定義方式，其一是非常自然的歐氏距離 formula_14，其二是 formula_7 第二種定義方式是有理數所獨有的，在丟番圖逼近的理論和實踐中都很常用，不過這樣定義的距離並非一個度量。這兩種距離也可看作只由分母 "formula_4" 決定的。此時，上述第二種定義變為formula_17上式右端的記號在丟番圖逼近中很常用。沿用此記號，第一種定義變為formula_18此時不要求 "formula_19" 互素。對於實數的最佳逼近問題，依“距離”的定義不同，有第一類和第二類之分，二者的結論有所不同。未加限定時，“最佳逼近”一詞一般指的是第一類最佳逼近。問題的提法.在本節中，對有理數 "formula_2"，我們用“優”一詞形容它與給定實數 "formula_1" 的距離更接近，此處的“距離”一般是按照1.1節給出的兩種定義方式之一。當 "formula_1" 為無理數時，無論按上述哪一種距離，只要分母 "formula_4" 足夠大，"formula_2" 總能與 "formula_1" 任意接近。因此，單純討論“最優”有理數意義不大，還需要對有理數的範圍，主要是分母的範圍加以限制。這樣，給定一個實數 "formula_1" 後，就產生了以下三個自然的問題：問題1正是經典丟番圖逼近領域的一個核心問題，也是後兩個問題的基礎；問題2可視作問題1的擴充套件，從某些角度看它的提法甚至更為自然；問題3則可看作問題2的某種反問題。丟番圖逼近領域的最佳逼近一詞，一般就指符合問題1中條件的有理數。兩種距離都可以考慮，分別對應兩類最佳逼近。具體來說，給定一個實數 "formula_1"，稱有理數 "formula_2" 為 "formula_1" 的第一類最佳逼近，當且僅當對每個與 "formula_2" 不同的有理數 "formula_34"，在 formula_35 時恆有formula_36如果其餘條件不變，最後的不等式變為formula_37則稱 "formula_2" 為 "formula_1" 的第二類最佳逼近。顯然，第二類最佳逼近一定是第一類的，反之則未必。例如對於2/3來說，1/2是第一類最佳逼近，但不是第二類的。對於問題2, 3，依“距離”的定義不同，也有類似的第一類和第二類之分。問題1解決後，不難得到問題2, 3的結論。事實上，後兩個問題中所求的有理數一定是一個最佳逼近。結論.實數最佳逼近問題與連分數理論有密切聯絡，後者提供了計算最佳逼近的理論依據和具體演算法。下面總假設實數 "formula_1" 的簡單連分數表示式為formula_41再設"Ck" = "pk/qk"為 "formula_1" 的k階漸進分數，其中formula_43習慣上認為中間分數不包括漸近分數，因此，上述記號中一般要求 formula_44 此時 formula_45 總在 formula_46 和 formula_47 之間。第二類最佳逼近.第二類最佳逼近的結論比較簡單：實數的第二類最佳逼近恰是它的簡單連分數的所有漸近分數。此時需要注意："formula_1" 為有理數時，它的簡單連分數展開要取最後一位不是1的那個。例如2/3的連分數要寫成[0; 1, 2]而不是[0; 1, 1, 1]，故此時[0; 1, 1]=1/2不是2/3的漸近分數。事實上，1/2確實不是2/3的第二類最佳逼近。另外，此論斷有一個平凡的例外：若formula_49"，formula_1" 的第0個漸近分數並非第二類最佳逼近。對於問題2，給定正整數 formula_51，設 formula_52，則在分母不超過M的有理數中，最優的是第 formula_53 個漸近分數 formula_46對於問題3，給定一個第二類最佳逼近，它一定是某個漸近分數 "formula_46"，那麼比它更優的有理數中分母最小的是 "formula_47"。第一類最佳逼近.對於第一類最佳逼近，問題要複雜一些。此時漸近分數當然仍是最佳逼近，但某些中間分數亦是。具體來說，formula_65另一方面，第一類最佳逼近一定是漸近分數或中間分數。為使此論斷無例外，需補充定義-1階漸進分數為1/0，這樣可以考慮0階的中間分數。這裡還需要特別注意： "formula_1" 為有理數時，它的簡單連分數展開要取最後一位是1的那個。例如2/3的連分數要寫成[0;1, 1, 1]而不是[0;1, 2]，故此時[0; 1, 1]=1/2是2/3的漸近分數。事實上，1/2確實是2/3的第一類最佳逼近。總結起來，"formula_1" 的第一類最佳逼近恰有三類：問題2, 3的結論與上一小節類似。例子.考慮自然對數底 e=2.718281828459045235……，其連分數表示式為formula_75它的第二類最佳逼近依次是：formula_76它的第一類最佳逼近依次是：formula_77和漸近分數一樣，最佳逼近一般也按分母由小到大排列。又如圓周率 π=3.145926535897……，其連分數表示式為formula_78它的前幾個漸近分數如下：formula_79其中的22/7正是約率，而355/113正是密率。按上面的結論，由於292為偶數，且formula_80故355/113之後的下一個第一類最佳逼近是formula_81。這說明355/113比分母小於16604的任何有理數都更接近π，可見密率的精確性。劉維爾定理與Roth定理.丟番圖逼近理論的基礎之一是劉維爾的一個關於代數數逼近的定理：定理：設無理數formula_1是一個整係數formula_83次多項式的根，則存在常數formula_84，使得對任意兩整數 formula_85 恆有formula_86劉維爾定理可用於構造超越數。在這之前，數學家們已利用連分數匯出關於平方根與其它二次無理數的許多逼近性質。這個結果後來由Axel Thue等人改進，並導致Roth定理：對於代數數formula_1，將劉維爾定理中的指數由其次數formula_83縮至任意的formula_89。之後Schmidt又將此結果推廣到一致逼近。這些命題的證明頗為困難，而且不能得到formula_91的確切數值，在應用上有所缺憾。均勻分佈.另一個主題是模1的均勻分佈理論。取一實數序列 formula_92 並考慮其真分數部分；或抽象地說，將其看作 formula_93，即拓撲學中所說的一維圓環 formula_94上的數列。對圓環上的任一段區間，我們研究有限集 formula_95 中有多大比例落在該區間內，並考慮這個比例與區間長度之間的關係。一個序列均勻分佈意味著當 formula_96 時，此比例收斂於我們所“期望”的值。赫爾曼·外爾證明了一個基本結論：均勻分佈等價於該序列元素的指數和有上界。這表明丟番圖逼近與指數和相消的一般問題密切相關，而後者在解析數論的誤差項估計中無處不在。其它.在Roth定理以後，丟番圖逼近論的主要進展與超越理論相關。均勻分佈關乎分佈的不規則性，因而帶有組合學的本性。丟番圖逼近論中仍有陳述簡單卻懸而未解的問題，例如李特爾伍德猜想：對任意兩個實數 formula_97,formula_98其中formula_99表示到最近整數的距離。