萊昂哈德·尤拉

萊昂哈德·尤拉，瑞士數學家、物理學家、天文學家、地理學家、邏輯學家和工程師。近代數學先驅之一。尤拉在包括微積分和圖論在內的多個數學領域都做出過重大貢獻。他首次引進的許多數學術語和書寫格式一直沿用至今，例如函式的記法formula_1，虛數單位formula_2的記法 formula_3 ，圓周率的記法 formula_4 ，求和符號formula_5，差分符號formula_6以及用小寫字母表示三角形的邊和用大寫字母表示三角形的角等。還給出了自然對數的底數formula_7定義，其也稱為尤拉數。此外，他還在力學、流體動力學、光學、天文學和樂理領域有突出的貢獻。尤拉是18世紀傑出的數學家，同時也是有史以來最偉大的數學家之一。他也是一位多產作者，其學術著作有60-80冊。尤拉逝世後，幾位著名的數學家高度評價他對數學的貢獻，例如法國數學家皮埃爾-西蒙·拉普拉斯曾這樣評價尤拉對於數學的貢獻：“讀尤拉的著作吧，在任何意義上，他都是我們的大師”。德國數學家卡爾·弗里德里希·高斯曾寫道：“對尤拉所有的著作的研究將永遠是數學各個領域最好的學習之所，沒有任何其他東西可以取代它”。他成年後的大部分時間是在俄羅斯聖彼得堡和當時的普魯士首都柏林度過的。生平.早年於瑞士.1707年4月15日，萊昂哈德·歐拉出生於瑞士巴塞爾，父親保羅·尤拉。在歐拉出生後不久，他們全家就從巴塞爾搬遷至郊外的裡恩，在那裡尤拉度過了他童年的大部分時光。自幼時起，尤拉就從父親那裡接觸和學習數學，他的父親曾在巴塞爾大學學習過瑞士數學家雅各布·伯努利的課程。大約8歲時，歐拉回到巴塞爾的外祖母家居住，並就讀於當地的拉丁學校。由於學校取消了數學課，父親安排一位對數學有濃厚興趣的年輕神學家約翰內斯給尤拉做私人輔導。1720年，13歲的尤拉進入巴塞爾大學學習，以如此小的年紀上大學在當時並不少見。尤拉的父親想讓尤拉走他的老路，成為一名牧師，應父親的要求，尤拉在大學學習神學、希臘語和希伯來語。1723年尤拉取得哲學碩士學位，其學位論文的內容是笛卡爾哲學和牛頓哲學的比較研究。在此期間尤拉的初等數學的課程由雅各布·伯努利的弟弟約翰·伯努利講授，伯努利意識到了尤拉在數學上的非凡天賦，便不斷支援和幫助尤拉，同時他還說服了尤拉的父親，同意讓尤拉以數學而非牧師為以後的事業。伯努利對尤拉後來的科學生涯產生了深遠影響，從尤拉開始科學生涯直到約翰·伯努利去世，這大約二十年的時間裡，尤拉與他保持著友好的書信往來。1726年，尤拉完成了一篇題為《"De Sono"》的博士學位論文，內容是研究聲音的傳播 。1727年，尤拉參加了由法國科學院主辦的有獎競賽，當年的問題是找出船上的桅杆的最優放置方法。被譽為“艦船建造學之父”的皮埃爾·布格獲得第一名，尤拉獲得第二名。之後的一些年，尤拉15次參加這項賽事，一共12次贏得第一名。從1720年第一次舉辦到18世紀的大部分時間，這項競賽的獎項被認為是歐洲最重要的科學獎項。1725年，約翰·伯努利的兩個兒子尼古拉·伯努利進入位於聖彼得堡的俄國皇家科學院工作，同時他們向尤拉保證，稱如果職位有空缺，他們會推薦尤拉去擔任。1726年7月31日，尼古拉因闌尾炎去世，這時他在俄國僅度過了不到一年的時間。之後丹尼爾便接替了他哥哥在數學和物理學部門的職位，同時推薦尤拉來接替他自己在生理學所空出的職位。尤拉於1726年11月欣然接受了邀請，但由於他未能成功地申請巴塞爾大學的物理學教授職位，因此他推遲了前往聖彼得堡的行程。在聖彼得堡.1727年5月17日，尤拉抵達聖彼得堡，不久他從原來的醫學部門的初級職位晉升至數學部門的職位。他與丹尼爾住在一起，並且與之保持著密切的合作關係。尤拉也很快掌握了俄語，適應了在聖彼得堡的生活，同時他還另外擔任了俄國海軍軍醫的職務。俄國皇家科學院由彼得大帝於1724年建立，旨在提升俄國的教育水平，縮小其與西歐在科學領域領先地位之間的差距。在凱瑟琳一世繼續推行其已故丈夫的進步政策和支援下，學院擁有充足的財力和一個規模龐大的圖書館，這其中包括有彼得大帝和其他貴族們的私人圖書。同時為了減輕教授們的教學負擔，學院只招收較少數量的學生。學院非常重視研究，併為其成員給予時間和自由來探究科學問題。因此，學院對於像尤拉這樣的來自外國的學者具有特別的吸引力。但凱瑟琳一世在尤拉抵達聖彼得堡之前已經去世。隨後12歲的彼得二世即位，保守派貴族奪得權利，這些貴族們對學院中外國科學家心存疑慮和敵意，削減了對尤拉及其同事的資助，同時阻止外國和非貴族學生進入中學和大學。1730年彼得二世去世後，這種被敵視的情況有所好轉。尤拉在學院的地位迅速提升，並於1731年獲得物理學教授的職位。他還離開了俄國海軍，拒絕晉升為海軍上尉。兩年後，丹尼爾·伯努利厭惡了在聖彼得堡受到的種種審查和敵視，重新返回巴塞爾，尤拉於是接替他成為數學部門的主任。1734年1月7日，尤拉與瑞士畫家的女兒凱瑟琳娜·格塞爾結婚 ，兩人在涅瓦河邊上買了一套房子，共育有13個子女，其中僅有3個兒子和2個女兒活到成年。在柏林.考慮到俄國持續的動亂，尤拉於1741年6月19日離開聖彼得堡，前往柏林科學院就職，職位由腓特烈二世提供。他在柏林生活了25年，並寫下了數百篇文章。1748年，歐拉出版了關於函式方面的著作《無窮小分析引論》；1755年，他出版了關於微分的著作《》，同年他當選為瑞典皇家科學院和法國科學院的外籍院士。尤拉在柏林的著名學生包括，他後來被認為是俄國第一位天文學家。1748 年，巴塞爾大學邀請尤拉接替彼時去世的約翰·伯努利的職位，但他拒絕了。1753年，他在夏洛滕堡買了一棟房子，在此與家人和喪偶的母親一同居住。尤拉成為腓特烈二世的侄女的講師。尤拉在1760年代初給她寫了200多封信，這些信後來被彙編為題為《》的一卷。這部著作包含了尤拉對數學和物理的各個主題的闡述，同時也是探究尤拉個性和宗教信仰的珍貴資料。這部著作被翻譯成多種語言在歐洲和美國出版，它比尤拉其他任何數學著作都更為廣泛地被大眾閱讀。這些信件的受歡迎程度，也證明了歐拉向普羅大眾科普科學問題的能力，這對於專注於研究的科學家來說是一種罕見的能力。在柏林期間，尤拉仍與俄國皇家科學院保持著密切聯絡。他還幫助來自該學院的學生，有時會在自己家中接待這些來自俄羅斯學生。1760年，正值七年戰爭爆發，尤拉在夏洛滕堡的農場遭到俄羅斯軍隊的洗劫。將軍得知此事後，為尤拉的財產損失支付了賠償金。隨後伊麗莎白女皇追加4000盧布的賠償金，這筆賠償金在當時是一筆鉅款。1766年尤拉決定離開柏林重返俄國。在尤拉的科學生涯中，他的視力一直在惡化。1738年，也就是一次患重病後的第三年，他的右眼近乎失明，但他把這歸咎於他為聖彼得堡科學院進行的繁瑣的地圖學工作，真正失明的原因至今仍眾說紛紜。在柏林期間，他的右眼視力仍不斷惡化，以至於腓特烈二世稱其為“獨眼巨人”。尤拉談到其視力喪失時說：“現在我的干擾會更少了”。在柏林的時間，尤拉處於其創作力的巔峰，他一共撰寫了380篇著作，其中有275篇被出版。所有著作包括在柏林科學院發表的125篇論文，以及逾100篇送至俄國皇家科學院的論文，後者保留了尤拉的成員身份，並每年向他支付津貼。1748年，尤拉分兩部分出版了《無窮小分析引論》。他除了專注於自己的研究，還負責管理圖書館、天文臺、植物園，參與日曆和地圖的製作，這些都使得柏林科學院從中獲得收益。 他還參與了國王的夏宮無憂宮的噴泉的設計。重返聖彼得堡.葉卡捷琳娜二世即位後，俄國政局趨於穩定，於是尤拉於1766年接受了俄國皇家科學院的邀請，重返聖彼得堡。尤拉也提出一些條件：年薪3000盧布、給予他妻子撫卹金以及承諾將他的三個兒子任命到學院高職位等。這些要求也都被滿足。1766年，尤拉再次抵達聖彼得堡後，僅有的可以看清東西的左眼被診斷患有白內障，後來很快也失明瞭。1771年，應葉卡捷琳娜二世的邀請，德國著名眼科醫生溫澤爾爵士前往聖彼得堡為尤拉治療眼睛。溫澤爾為尤拉做手術，將左眼的白內障摘除了，尤拉的視力有所恢復能看清東西了，但手術幾天過後，他又幾乎失明瞭，眼部還時常感到疼痛。儘管眼睛失明，尤拉憑藉著極強的心算能力和記憶力，他的生產力幾乎沒有被影響。他將自己的研究成果口授給一位助手，助手再用德語記錄下來。在助手的幫助下，尤拉的出版頻率甚至有所增加，1775年，他平均每週就完成一篇數學論文。尤拉一生中近一半的作品，都是在重返聖彼得堡後這一時期所創作的。除了眼睛失明，1771年還發生了一件嚴重的事件，一場火災燒燬了尤拉的屋子和幾乎其他所有的財產，其本人也差點喪命。不過，尤拉的大部分手稿倖免於難，另外有一篇關於月球理論的著作部分被毀壞，憑藉著自身超強的記憶力，很快就完善了這篇損壞的著作。1773年，尤拉的第一任妻子凱瑟琳娜逝世。之後尤拉再婚，1776年，他與其第一任妻子同父異母的妹妹莎樂美·阿比蓋爾·格塞爾結婚。這段婚姻直至尤拉逝世。逝世.1783年9月18日，尤拉與家人共進晚餐後，與瑞典天文學家討論新發現的行星天王星及其軌道時，突然因腦溢血而暈倒，幾小時後的大約11點，尤拉被確認去世。為俄羅斯科學院寫了一篇簡單的訃告，師從於尤拉的俄羅斯數學家寫了一篇長文悼詞，並在尤拉的追悼會上發表。在法國科學院寫的悼詞中，法國數學家兼哲學家孔多塞侯爵寫道："il cessa de calculer et de vivre"——“他停止了計算和生命”尤拉被安葬在瓦西里島上的，位置與其第一任妻子凱瑟琳娜相鄰。1837年，俄羅斯科學院為他修建了一座新的墓碑，取代原先已經雜草叢生的舊墓碑。1957年，為紀念尤拉誕辰250週年，他的墳墓被遷至亞歷山大·涅夫斯基修道院的。貢獻.尤拉的研究的廣度十分大。他幾乎涉足數學的所有領域，包括幾何學、微積分學、三角學、代數和數論。他研究的物理學領域有連續介質力學和月球運動論等。他的著作的彙編《》共有74卷。他一共發表了866篇論文或出版物。據統計，他的所有著作約佔18世紀數學、物理學、力學、天文學和航海學總產出的四分之一。尤拉被認為是最多產的數學家之一，他的名字出現在眾多科學門類中。數學符號.尤拉引入許多數學符號，並透過他的許多教科書而廣為流傳。其中最為著名的是他引進了“函式”的概念，並且第一個用formula_8表示以formula_9為自變數的函式。他引入了三角函式現代符號表示法，以formula_7表記自然對數的底，用希臘字母formula_5表記累加求和和以formula_3表示虛數單位。用希臘字母formula_4來表示圓周率也由尤拉推廣普及，這一表示法最先源自英國數學家威廉·瓊斯。分析學.18世紀微積分學取得了巨大進步，尤拉的家族朋友伯努利家族在該領域的早期進展中貢獻良多。得益於他們的影響，研究微積分成為了尤拉工作的主要重點。儘管尤拉的一些證明不符合現代數學的嚴謹標準，但這些證明仍為數學帶來了巨大的進步。尤拉因頻繁使用冪級數和推進其應用和發展而在分析領域聞名。例如：formula_14尤拉對冪級數的運用使他能夠在1735年解決著名的巴塞爾問題，由於這個問題於1644年提出，還難倒了眾多數學家，他也因此名聲大噪。起初他給出了錯誤的證明，後來在1741年給出了嚴密的證明。巴塞爾問題即求全體正整數平方的倒數之和：formula_15尤拉在1735年引入了常數：formula_16現在稱之為尤拉常數或尤拉-馬斯刻若尼常數，這一公式在計算難於計算的積分、求和與級數的時候極為有效。他還研究了該常數與調和級數、伽馬函式以及黎曼zeta函式的值之間的關係。尤拉定義了複數的指數函式，並發現了它與三角函式的關係，這一關係式稱為尤拉公式：對於任意實數formula_9，formula_7為自然對數的底數，formula_3為虛數單位，滿足formula_20美國理論物理學家理查德·費曼稱這一公式為“最卓越的數學公式”。上述公式當formula_9等於formula_4時得到一個特例，稱為尤拉恆等式，該等式將自然常數、圓周率、虛數單位、乘法單位元聯絡在了一個等式中：formula_23或formula_24尤拉建立了彈性體的力矩定律：作用在彈性細長杆上的力矩正比於物質的彈性和透過質心軸和垂直於兩者的截面的轉動慣量。他還直接從牛頓運動定律出發，建立了流體力學裡的尤拉方程。這些方程組在形式上等價於粘度為0的納維-斯托克斯方程。人們對這些方程的主要興趣在於它們能被用來研究衝擊波。他對微分方程理論作出了重要貢獻。他還是尤拉近似法的創始人，這些計算法被用於計算力學中。此中最有名的被稱為尤拉方法。在數論裡他引入了尤拉函式。自然數formula_25的尤拉函式formula_26被定義為小於formula_25並且與formula_25互質的自然數的個數。例如，formula_29，因為有四個自然數1，3，5和7與8互質。在計算機領域中廣泛使用的RSA公鑰密碼演算法也是以尤拉函式為基礎。在分析領域，是尤拉綜合了戈特弗裡德·威廉·萊布尼茨的微分與艾薩克·牛頓的流數尤拉還發現了公式的 V - E + F = 2 的數量與頂點(Vertex, V)，邊(Edge, E)和麵(Face, F)的凸多面體，因此，對一個平面圖形。此公式中的常數是現在被稱為尤拉示性數的圖形，是有關屬的物件。研究和推廣這一公式，特別是透過柯西和歐萊雅Huillier，是在原點的拓撲結構。尤拉在1736年解決了柯尼斯堡七橋問題，並且發表了論文《關於位置幾何問題的解法》，對一筆畫問題進行了闡述，是最早運用圖論和拓撲學的典範。在1739年，尤拉寫下了《音樂新理論的嘗試》，書中試圖把數學和音樂結合起來。一位傳記作家寫道：這是一部“為精通數學的音樂家和精通音樂的數學家而寫的”著作。在經濟學方面，尤拉證明，如果產品的每個要素正好用於支付它自身的邊際產量，在固定規模報酬的情形下，總收入和產出將完全耗盡。在幾何學和代數拓撲學方面，尤拉公式給出了單連通多面體的邊、頂點和-{面}-之間存在的關係：formula_30其中，F為給定多面體的面數之和，E為邊數之和，V為頂點數之和。這個定理也可用於平面圖。對非平面圖，尤拉公式可以推廣為：如果一個圖可以被嵌入一個流形formula_31，則：formula_32其中χ為此流形的尤拉示性數，在流形的連續變形下是不變數。單連通流形的尤拉特徵值是2。對任意的平面圖，尤拉公式可以推廣為：formula_33，其中formula_34為圖中連通分支數。數獨是尤拉發明的拉丁方的概念，在當時並不流行，直到20世紀由日本上班族鍛治真起帶起流行。紀念.尤拉在柏林居住過的房子被儲存了下來，門前還有一塊於1907年修建的牌匾。尤拉的肖像被印在第六系列和第七系列瑞士10法郎的鈔票，這同樣還出現在眾多德國和俄羅斯的郵票上，通常還帶有尤拉生前所涉及的科學問題。月球撞擊坑尤拉隕石坑和小行星2002均以尤拉命名。日內瓦大學在智利拉西拉天文臺建立的口徑1.2米望遠鏡命名為萊昂哈德·尤拉望遠鏡。2013年4月15日谷歌以首頁塗鴉紀念尤拉306週年誕辰，展示了尤拉角、尤拉公式、尤拉恆等式、尤拉示性數和七橋問題等。