籌算

籌算是漢字文化圈古代使用算籌進行十進位制計算的程式。歷史.籌算具體出現時間已然不可考，但根據典籍記錄和考古發現，至少在戰國初年籌算已然出現。它使用中國商代發明的十進位制計數，可以很方便地進行四則運算以及乘方，開方等較複雜運算，並可以對零、負數和分數作出表示與計算。籌算在公元6世紀由中國傳入韓國和日本。七世紀的印度數學，分數中的分子在上，分母在下，與中國同，分數的乘除法也和《九章算術》相同。古印度數學絕大部分來自中國。。一直到被珠算完全取代之前，籌算是東亞古代進行日常計算的方法，算籌是東亞古代數學家研究數學時常用的計算器具，是東亞古代各種重要數學發明的基礎，開創了中國以至東亞古代以計算為中心的機械化數學體系，與古希臘以邏輯推理為中心的數學體系有所不同；機械化的數學體系是一千多年世界數學的主流影響.籌算的乘除法傳入印度，成為土盤演算法。9世紀初至10世紀，又經印度傳入阿拉伯,這時期的阿拉伯闡述印度數學的數學著作，諸如《印度算術原理》，其土盤算式雖然用阿拉伯數字表示，但其十進位制概念，分數的表示法，以及加、減、乘、除四則運算的計算方法，和中國的籌算雷同，有的還用空格“0”表示“0”，和籌算一模一樣。有學者認為，中國古代的籌算，透過絲綢之路傳入印度、阿拉伯，促成印度－阿拉伯數字體系。數字表示.算籌數系是世界上唯一隻用一個符號的方向和位置的組合，表示任何十進位數字或分數的系統。單位數字：將籌棍豎排一根棍表示1，兩根棍表示2，5根棍表示5如圖上。但從6至9數字的表示，不是並排6至9根籌棍，而是採用同位五進位制，即用一根籌棍代表數碼5，橫放在籌數1至4的上方如圖。這已蘊含算盤雛形。上排是籌算中1至9的豎碼，下排是相應數字的橫碼。大於9的數字，則用十進位制表示，在個位數的位置左邊，放置一個籌數，代表這個籌數的十倍，在十位數值左的位置，代表百位數，如此類推。如圖所示數二百三十一。《孫子算經》雲：凡算之法：先識其位，一從十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當。籌算板一般是桌面或地面，通常沒有格子。如果籌碼2，3，1並排排列，有可能被誤讀為51或24；為了避免鄰位誤讀，每隔一位交替使用豎碼橫碼，即個位豎碼，十位用橫碼，百位用豎碼，千位用橫碼，如此類推，就可以完全避免誤讀了。零的表示.中國自有籌算起就有“0”，即以空位表示“0”。籌算中的零是位置零和運算結果的零，沒有特定符號，這和阿拉伯數字專有一個符號0不同，#重定向正負數.宋代數學家用紅色籌碼代表正數，用黑色籌碼代表負數，也有一律用黑色籌碼，但在數字最後一位加一根斜棍標示為負數。小數.孫子算經的度量衡已有十進位制概念，如尺、寸、分、釐、毫、絲、忽。七丈一尺二寸三分四釐五毫六絲，用現代表示方法為71.23456尺，用算籌排為其中為十位數，為個位數，為十分之一位等等。南宋秦九韶在《數書九章》中將小數推廣到非度量衡，如1.1446154日表示為：日即在個位數1下記一“日”字。加法.算籌本身已經包含加法，因此用算籌進行加法運算十分方便快捷。籌算加法與阿拉伯數字加法最大的不同，在於算籌本身具有可加性，用算籌進行加法運算，只須機械地搬動籌棍，即可進行運算，不需要另外背誦加法表，這與阿拉伯數字不同，不可能將阿拉伯數字1和2機械地疊成3字，2和3疊成一個5字。左圖表示formula_1的運籌步驟：上行被加數籌碼，在運算過程中逐步變化；下行加數籌碼，在運算過程中逐步消失。減法.不需向上一數量級借位的情況下，只要從被減數中去掉與減數相同數目的籌棍，剩餘的籌碼就是答案。左圖為計算54-23的演示步驟。右圖為計算4231-789的演示步驟，此情況即為需要向上一數量級借位：乘法.運用算籌進行乘除運算時必須先學會九九表:《夏侯陽算經》雲：夫乘除之法，先明九九，一叢十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當。滿六已上，五在上方。六不積算，五不單張。上下相乘，實居中央。言十自當。已法除之，宜得上商，橫算相當。以次右行，極於左方。《孫子算經》對籌算乘法有詳細闡述。左圖即為籌算38×76的演示步驟：P.S.:範例圖片是一邊乘一邊加而不是像文字描述所說乘完後才加。除法.左圖為計算formula_2的演示步驟：孫子除法在9世紀初最早由花拉子米從印度介紹到阿拉伯國家，十世紀阿拉伯數學家阿爾烏幾里德《印度的算術》敘述的早期除法和十一世紀波斯數學家伊本·拉班《印度算術原理》敘述的除法，也是不折不扣的孫子除法：分數.用籌算進行除法運算時，如留有餘數，則必須保留除數和餘數，形成一對籌碼，一在上一在下。劉徽《九章算術注》中，在上的籌稱“實”，為在下的籌稱為“法”：《孫子算經》中，在上的籌稱為“子”，。如右圖一對籌碼一在上一在下，1是子，7是母，構成分數 formula_4。這種籌算分數的表示法，在9世紀由花拉子米介紹到阿拉伯國家。分數加法.formula_5分數減法.formula_8分數乘法.formula_11此演算法的實質是將帶分數先化成假分數，再行乘法。分數除法.此演算法的實質是將帶分數先化成假分數，並將除數取倒數相乘。最大公約數.九章算術給出求兩個數最大公約數的方法，即輾轉相除，以至最後餘數相等，即為最大公約數。左圖為求 formula_15 的最大公約數，並進行約分。最大公約數為25，約分得formula_16。分數內插法.何承天發明名為調日法的分數內插法，反覆將弱值分數與強值分數的分子分母相加已求得更佳的近似值。祖沖之用此法求的著名的圓周率約率formula_17和密率formula_18開平方根.孫子算經卷中：“今有積，二十三萬四千五百六十七步。問：為方幾何？答曰：四百八十四步九百六十八分步之三百一十一。術曰：置積二十三萬四千五百六十七步，為實，次借一算為下法，步之超一位至百而止。上商置四百於實之上，副置四萬於實之下。下法之商，名為方法；命上商四百除實，除訖，倍方法，方法一退，下法再退，復置上商八十以次前商，副置八百於方法之下。下法之上，名為廉法；方廉各命上商八十以除實，除訖，倍廉法，從方法，方法一退，下法再退，復置上商四以次前，副置四於方法之下。下法之上，名曰隅法；方廉隅各命上商四以除實，除訖，倍隅法，從方法，上商得四百八十四，下法得九百六十八，不盡三百一十一，是為方四百八十四步九百六十八分步之三百一十一”。右圖為籌算開方 formula_19。演算法如下：十一世紀波斯數學家伊本·拉班的開平方術，與孫子基本上相同，唯最後分母加1，所以平方根的小數比真值略小，孫子演算法所得，則比真值略大。開立方根.九章算術卷第四《少廣》有數道開立方題，其開立方術為後世開立方術的基礎。〔二二〕又有積一百九十三萬七千五百四十一尺、二十七分尺之一十七。問為立方幾何？答曰：一百二十四尺、太半尺。開立方術曰：置積為實。借一算步之，超二等。議所得，以再乘所借一算為法，而除之。除已，三之為定法。復除，折而下。以三乘所得數置中行。復借一算置下行。步之，中超一，下超二等。復置議，以一乘中，再乘下，皆副以加定法。以定法除。除已，倍下、並中從定法。復除，折下如前。開之不盡者，亦為不可開。若積有分者，通分內子為定實。定實乃開之，訖，開其母以報除。若母不可開者，又以母再乘定實，乃開之。訖，令如母而一。formula_21北宋數學家賈憲發明增乘開立方法和遞增三乘開四次方術。右圖為賈憲增乘開立方解九章算術第四卷少廣〔一九〕今有積一百八十六萬八百六十七尺。問為立方幾何？答曰：一百二十三尺。：formula_22聯立方程.九章算術　卷第八　方程：〔一〕今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九鬥；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四鬥；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六鬥。 問上、中、下禾實一秉各幾何？答曰：上禾一秉，九鬥、四分鬥之一，中禾一秉，四鬥、四分鬥之一，下禾一秉，二斗、四分鬥之三。有三捆上等穀物，兩捆中等穀物，一捆下等穀物，共39鬥；有兩捆上等，三捆中等，一捆下等，共34鬥；有一捆上等，兩捆中等，三捆下等，共26鬥。分別找出上、中、下等穀物的數量。方程術曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九鬥，於右方。中、左禾列如右方。以右行上禾遍乘中行而以直除。又乘其次，亦以直除。然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除。左方下禾不盡者，上為法，下為實。實即下禾之實。求中禾，以法乘中行下實，而除下禾之實。餘如中禾秉數而一，即中禾之實。求上禾亦以法乘右行下實，而除下禾、中禾之實。餘如上禾秉數而一，即上禾之實。實皆如法，各得一斗。一捆下等穀物的數量=formula_23鬥一捆上等穀物=formula_24鬥一捆中等穀物=formula_25鬥行列式.日本數學家關孝和在《三部抄》的《解伏題之法》中，將線性方程組的係數縱橫寫成方陣的形式，發明了行列式。關孝和還提出了兩種計算行列式的值的方法：逐式交乘法和交式斜乘法。高次方程.南宋數學家秦九韶將賈憲的增乘開方術推廣，以求解高次方程。右圖為秦九韶解下列四次方程式的程式。formula_26程式：得formula_27四元高次方程.籌算的應用在朱世傑《四元玉鑑》中的四元術到達高峰。"今有股弦較除弦和與直積等。只雲勾股較除弦較和與勾同。問弦幾何？"答曰：五步。術曰：立天元一為勾，地元一為股，人元一為弦，物元一為開數。：得到今式formula_28太雲式：formula_29三元式：formula_30太三元式與雲式相消，人天易位 人弦--&gt;天勾得：前式formula_31太及後式 formula_32太相消得formula_33解之得 formula_34 天勾=5；人天易位 天勾--&gt;人弦得弦=五步。"今有股乘五較與弦冪加勾乘弦等。只雲勾除五和與股冪減勾弦同。問黃方帶勾股弦共幾何？"答曰：一十四0 步。草曰：立天元0 一為勾，地元一為股，人元一為弦，物元一為開數。得四元方程1： 0 0 formula_35;2： 0 0 formula_36;3： 0 0 formula_37;4： 0 0 formula_38;消元，物易天位formula_39解之，物易天位，得 十四步。