亞歷山大·格羅滕迪克

亞歷山大·格羅滕迪克，法國數學家、1966年菲爾茲獎得主，被譽為是20世紀最偉大的數學家。他於德國柏林出生，一生主要在法國成長及居住，但是工作生涯中長時期是無國籍的，1970至1980年代入籍法國。他是現代代數幾何的奠基者，他的工作極大地拓展了代數幾何此一領域，並將交換代數、同調代數、層論以及範疇論的主要概念也納入其基礎中。他的導致了純粹數學很多領域革命性的進展。他的多產數學家工作在1949年開始。1958年他獲任為法國高等科學研究所的研究教授，直至1970年，他發現研究所受到軍事資助，與個人政治理念相反，因而離任。雖然他後來成為蒙彼利埃大學教授，也做了一些私人的數學研究，但他其時已離開數學界，把精力用於政治理想上。他在1988年正式退休後，到比利牛斯山隱居，與世隔絕，直至2014年在法國聖利齊耶離世，享年86歲。經歷.父母.格羅滕迪克的父親是猶太人，可能名叫亞歷山大·夏皮羅，用過「薩沙」一名，1890年生於俄羅斯、白俄羅斯、烏克蘭的邊境。他15歲被反政府組織招攬，參與反沙皇鬥爭。他後來被捕，起初判處死刑，但因為年輕改為判囚終身。接著十年他在獄中度過，乘局勢混亂逃走，加入烏克蘭的反政府農民軍。他娶猶太女人並誕下一子，但他非常風流，忙於婚外情。在一次逃避被警察抓獲而嘗試自殺的行動中丟失了一隻胳膊，得到多個女人和同志協助逃走，以假名「亞歷山大·塔納羅夫」先後到柏林和巴黎。返回柏林後，他結識了漢堡出身、信奉新教的已婚婦漢卡·格羅森迪克；兩人生下亞歷山大·格羅森迪克，起初名為亞歷山大·拉達茨，拉達茨是漢卡丈夫姓氏。他們和兒子及漢卡的婚生女兒合組家庭。童年.漢卡和薩沙希望成為作家，並與各方激進人士聯絡。1933年，納粹黨上臺，迫使他們離開德國往西班牙。1936年他們參與了人民陣線發動的內戰。亞歷山大·格羅森迪克居住在德國一位牧師的家中，這位牧師擔任漢堡附近一所學校的校長。1939年他與父母在法國重聚。他們被拘捕和驅逐。薩沙被囚在法國阿列日省的韋爾內集中營，然後轉送到奧斯威辛集中營，1942年被害。漢卡和亞歷山大·格羅滕迪克被帶到於法國洛澤爾省的裡厄克羅集中營。學生時代.戰爭結束後，亞歷山大·格羅滕迪克和母親定居於蒙彼利埃附近，靠格羅滕迪克的助學金維持生計。他註冊了數學課，但很少去上大課，喜歡自己獨自研究體積的概念。如他在《收穫與播種》中所解釋的，這是他開始獨立研究的標誌，也引導他重新發現勒貝格積分。1948年，格羅滕迪克決定去巴黎繼續深造。他設法獲得了法國大學互助會的獎學金，之後被昂利·嘉當接受進入在巴黎高等師範學院開辦的研究班，並將他推薦到讓·迪厄多內的門下。格羅森迪克在巴黎認識了許多那個時期巴黎數學界的精英們，人們推薦他離開巴黎的環境。格羅森迪克於是來到了另一個在泛函分析領域的數學聖地南錫，準備在讓·迪厄多內和洛朗·施瓦茨的指導下開始自己的論文。僅僅幾個月後，在20歲的年齡，格羅森迪克就已經撰寫了6篇博士論文作為他學術生涯的開端。學術生涯.1950年到1953年間，格羅滕迪克撰寫的6篇文章中的一篇〉; zh-hk:》後來被他選來作為他的博士論文。之後在導師洛朗·施瓦茨的推薦之下，格羅森迪克進入了著名的布林巴基討論班，並在那裡待了好幾年。作為一個孩子的父親，格羅森迪克很難找到一份穩定的工作。由於他的無國籍身份，他無法成為一名正式的研究員；而獲得法國國籍的條件是服兵役，這是他無法接受的。於是他離開法國，以一名客座教授的身份，先是在1953到1954年間在巴西待了一段時間，之後又在1955年去了堪薩斯大學和芝加哥大學。在美國，他遇見了一位數學系的女學生，並且和她育有一子。格羅森迪克在那段時間轉變了他的研究方向。在他的泛函分析卓越工作後，格羅森迪克轉向代數幾何。他革命性地改寫這學科，與讓-皮埃爾·塞爾合作，建立新的基礎，引入概形的概念。他們通訊極多，雖然風格相反，但兩人能互相補充而得到成果。他在1956年回到巴黎，傾向於拓撲學和代數幾何的研究。他創造了黎曼-羅赫定理的新版本，揭示代數簇的拓撲和解析性質間的隱藏關連。1957年他的母親離世，之後多月他感到抑鬱。次年，他決定停止未完成的工作，實現一些驚人的突破。他也認識了他的未來妻子，和她生了三個孩子。為數學和理論物理研究而設立的法國高等科學研究所接待他。他在那裡再遇到讓·迪厄多內、勒內·託姆、路易·米歇爾和大衛·呂埃勒，並著手建立代數幾何理論。他於1958年應邀在國際數學家大會做1小時報告，報告的內容與其說是對當時該學科已知內容的總結，不如說是對未來10年中他將要做的工作的預告。自1960年到1967年，他和讓·迪厄多內合作寫了《代數幾何基礎》的首八卷。他的代數幾何討論班整理出版了7卷SGA。他既反對美國干涉越南戰爭，也反對蘇聯的軍事擴張。1966年他獲得菲爾茲獎，但他拒絕往蘇聯領獎。1967年往越南旅行，在美軍和南越對河內城進行轟炸時，在城外的叢林裡給學生講範疇論的課，以抗議越南戰爭。布拉格之春和1968年5月事件使他投身反對行列，直到1970年他辭掉法國高等科學研究所的工作，抗議其資助部份來自國防部。激進生態行動.辭職後他創辦生存和生活組織，以推廣他的反戰和生態保護思想。他被數學界拋棄，他向法蘭西學院和法國國家科學研究中心的求職都被拒絕。他離婚，並與在美國認識的博士生賈斯蒂娜·巴比於巴黎附近建立社群。晚年.1973年他們移居到埃羅省的村莊，實驗反正統文化。賈斯蒂娜·巴比生了一個孩子，不久後離開了他。他獲蒙彼利埃大學聘為教授，留任到1988年退休。自1980年到1995年他寫了四本書："La longue marche à travers la théorie de Galois", "Esquisse d'un programme", "À la poursuite des champs"和"Les dérivateurs"。但最著名的是他1985年寫的自傳式書籍《收穫與播種》，共929頁，並且從未被出版社正式發行書籍過，這本書主要是描述他一生經歷三種情感：女人、數學和默想。1988年他以下列理由拒絕授與他和皮埃爾·德利涅的克拉福德獎：他也拒絕了為祝賀他六十歲生辰而編輯的文集《The Grothendieck Festschrift》，因他相信自己的工作沒有被好好理解。1990年，他遺下他的全部數學寫作手稿，定居在比利牛斯山。此後他過著隱居生活，與研究界完全斷絕。他與外界斷絕通訊多年後，2010年1月，忽然寄親筆信給他的學生呂克·伊呂西，宣佈不許他的著作出版或再版，或以電子方式傳播，並稱在過去未得他許可而出版的著作，及在將來他仍在世時所出版的著作都是非法，要求停止出售及於圖書館收藏。然而該信的內容可能已撤回或被刻意忽略，因為據稱SGA 4的再版工作直至2014年仍在進行，且一些資深數學人士亦對此不以為然，甚至以卡夫卡的例子反駁。2014年11月13日，格羅滕迪克在阿列日省聖吉龍一家醫院中去世，享年86歲。研究成果與影響.格羅滕迪克對代數幾何的影響，在於他釐清了這門領域的基礎，發展了證明好些著名猜想所需的數學工具。代數幾何是透過代數方程去研究幾何物件，比如代數曲線和曲面，而代數方程的性質，是用環論的技術去研究。循著這條進路，幾何物件的性質，就與相關的環及定義幾何物件的空間的性質聯絡起來。格羅滕迪克為代數幾何奠定的嶄新基礎，是將空間和相關的環作為研究的主要物件。他發展出概形理論，概形大致可以想成是拓撲空間，其中每個開集都有一個相關的可交換環。概形已經成為現代代數幾何學者的基本研究物件。格羅滕迪克對經典黎曼－羅赫定理的推廣，把複代數曲線的拓撲性質及代數性質聯絡起來。他用來證明定理而發展的工具，開創了代數K-理論和拓撲K-理論的研究，將研究物件與環關聯，從而研究這些物件的拓撲性質。他構建的新的上同調理論，用代數技術研究拓撲物件，在代數數論、代數拓撲以及表示論中有深遠的影響。他創造的拓撲斯理論，是點集拓撲學的範疇論推廣，影響了集合論和數理邏輯。他對幾何的貢獻，藉著在算術幾何中用代數方法研究數字，也促進了數論的發展。一個著名例子是，這是算術幾何中的一組猜想，描述代數曲線上的點的個數的分析不變數，稱為zeta函式。他發現韋伊上同調的第一個例子ℓ進平展上同調，開啟了證明韋伊猜想的道路，終於由他的學生皮埃爾·德利涅完成。直至今日，ℓ進上同調仍然是數論學者的基本工具，在朗蘭茲綱領有應用。格羅滕迪克對於不同數學結構中共有的泛性質的強調，將範疇論帶入主流，成為數學中的組織原則。範疇論提供了一套語言，描述許多不同的數學系統之間的相似結構和技術。他的阿貝爾範疇概念，現在是同調代數的基本研究物件。他構想中的理論，推動代數K-理論、、的現代發展。個人生活.國籍.格羅滕迪克生於魏瑪德國。1938年他10歲時，以難民身份移居法國。1945年德國陷落時，他的國籍的記錄被毀。他在戰後沒有申請法國國籍。因此他長時間以無國籍身份工作，用南森護照旅遊。1970至1980年代，他確信不會被召入伍，才歸化為法國公民。他之所以不願意持有法國國籍，有謂原因之一是他不想在法國軍隊中服役，此想法多少受到1954年至1962年的阿爾及利亞戰爭影響。註釋與補充