斯涅爾定律

當光波從一種介質傳播到另一種具有不同折射率的介質時，會發生折射現象，其入射角與折射角之間的關係，可以用斯涅爾定律，這定律也成立，允許光波因負折射角而朝後折射。斯涅爾定律表明，當光波從介質1傳播到介質2時，假若兩種介質的折射率不同，則會發生折射現象，其入射光和折射光都處於同一平面，稱為「入射平面」，並且與介面法線的夾角滿足如下關係：formula_1；其中，formula_2、formula_3分別是兩種介質的折射率，formula_4和formula_5分別是入射光、折射光與介面法線的夾角，分別叫做「入射角」、「折射角」。這公式稱為「斯涅爾公式」。斯涅爾定律可以從費馬原理推匯出來，也可以從惠更斯原理、平移對稱性或馬克士威方程組推匯出來。歷史.最早有系統研究折射問題的學者是住在埃及的希臘人托勒密。西元二世紀，在著作《光學》第五卷裡，他提出了他的折射實驗與定律。但是，他從做實驗得到的資料與結論並不準確，沒有給出正弦定律。在那時候，希臘學者不清楚正弦的概念。為巴格達宮廷效勞的伊朗學者伊本·沙爾。很可惜的是其它學者並沒有注意到他的研究結果。之後很多年，人們都是從托勒密的錯誤理論開始研究折射。十一世紀初，阿拉伯學者海什木重做托勒密的實驗。他在著作《光學書》裡，從做實驗得到的資料，粗略地總結出一些定則。他也沒有得到正弦定律。1602年，英國天文學者託馬斯·哈里奧特又重新發現了折射定律，可是，他並沒有發表他的結果，雖然他曾經在與約翰內斯·開普勒通訊中提到這件事。1621年，斯涅爾推匯出一個數學等價形式，但是在他有生之年，學術界並不知道他的成就。勒內·笛卡兒在1637年專著《屈光學》裡，獨立地推匯出這個定律，並且用他的理論解析了一系列光學問題。在這導引裡，他做了兩個假定，第一個假定是光的傳播速度與介質密度呈正比，第二個假定是光速度沿著介面方向的分量守恆。1662年，皮埃爾·德·費馬發表了另一種導引，從他的版本的最小作用量原理推匯出同樣的定律，但是費馬的假定是光的傳播速度與介質密度呈反比。因此，他激烈地反駁笛卡兒的解答，認為笛卡爾的假定有誤。1802年，託馬斯·楊做實驗發現，當光波從較低密度介質傳播到較高密度介質時，光波的波長會變短，他因此推論光波的傳播速度會降低。根據歷史學者以撒·福雪斯在著作《De natura lucis et proprietate》裡的敘述，笛卡兒先閱讀了斯涅爾的論文，然後調製出自己的導引。有些歷史學者覺得這指控太過誇張，難以置信；但是很多歷史學者都存疑曾經發生了這回事，費馬與惠更斯分別多次重複地譴責笛卡兒的行為缺失。儘管這不名譽事件所造成的風波，在法國，斯涅爾定律被稱為「笛卡兒定律」，或「斯涅爾-笛卡兒定律」1678年，克里斯蒂安·惠更斯在著作《光論》裡表明，應用惠更斯原理，可以從光的波動性質，解釋或推匯出斯涅爾定律。從費馬原理推導.費馬原理又稱為「最短時間原理」：光線傳播的路徑是需時最少的路徑。費馬原理更正確的版本應是「平穩時間原理」。對於某些狀況，光線傳播的路徑所需的時間可能不是最小值，而是最大值，或甚至是拐值。例如，對於平面鏡，任意兩點的反射路徑光程是最小值；對於半橢圓形鏡子，其兩個焦點的光線反射路徑不是唯一的，光程都一樣，是最大值，也是最小值；對於半圓形鏡子，其兩個端點Q、P的反射路徑光程是最大值；又如最右圖所示，對於由四分之一圓形鏡與平面鏡組合而成的鏡子，同樣這兩個點Q、P的反射路徑的光程是拐值。設定介質1、介質2的折射率分別為formula_2、formula_3，光線從介質1在點O傳播進入介質2，formula_4為入射角，formula_5為折射角。從費馬原理，可以推匯出斯涅爾定律。光線在介質１與介質２的速度 formula_10 和 formula_11 分別為formula_12、formula_13；其中，formula_14是真空光速。由於介質會減緩光線的速度，折射率formula_2和formula_3都大於formula_17。如右圖所示，從點Q到點P的傳播時間formula_18為formula_19。根據費馬原理，光線傳播的路徑是所需時間為極值的路徑，取傳播時間formula_18對變數formula_21的導數，設定其為零：formula_22。根據正弦函式定義，可以得到傳播速度與折射角的關係式：formula_23。將傳播速度與折射率的關係式代入，就會得到斯涅爾定律：formula_24。從惠更斯原理推導.惠更斯原理表明，波前的每一點可以視為產生球面次波的點波源，而以後任何時刻的波前則可看作是正切這些次波的包絡。假設傳播速度為formula_25的波前，在時間formula_26為平面，在這波前的每一點所產生的球面次波，在時間formula_27已傳播了距離formula_28，由於正切這些球面次波的包絡只能為平面，所以波前在時間formula_29為平面。波前傳播的方向垂直於這兩個相互平行的平面。如右圖所示，光波從介質1傳播進入介質2，其入射角、折射角分別為formula_4、formula_5，傳播速度分別為formula_10、formula_11，假設formula_34。在時間formula_35時，光波的波前會包含點formula_36和點 formula_37的位置，標記這時的波前為formula_38。假設時間formula_35與formula_40之間的間隔為常數formula_41，則以下幾個直線段之間的長度相等關係成立：formula_42、formula_43。從波前formula_44的每一個點波源發射出的球面次波，分別在介質1、介質2的傳播速度為formula_10、formula_11，formula_47必須正切這些球面次波。特別而言，在時間間隔formula_41之後，波前formula_47在介質1的部分必須平行於相距formula_50的波前formula_44，而波前formula_47在介質2的部分必須正切從點波源formula_53發射出的半徑為formula_54的球面次波。所以，在透過介面時，會出現彎曲的波前formula_47。由於光波傳播的方向垂直於波前，所以在介質1、介質2裡，波前與介面之間的夾角分別等於入射角formula_4、折射角formula_5。直線段長度formula_58與formula_59之間的關係為formula_60。即formula_61。應用折射率formula_62的定義式：formula_63；其中，formula_14為光速。總結，斯涅爾定律成立：formula_24；其中，formula_2、formula_3分別為介質1、介質2的折射率從平移對稱性推導.假設對某系統整體做一個平移之後，這系統仍舊保持不變，則稱此係統具有平移對稱性。從平移對稱性，可以推匯出斯涅爾定律。這是建立於橫向均勻介面不能改變橫向動量的道理。由於波向量formula_68與光子的動量成正比，假設介質1、介質2的介面垂直於z-方向，則在介質1、介質2裡的光波橫向傳播方向必須保持不變：formula_69、formula_70。因此，formula_71。應用折射率formula_62的定義式：formula_73；其中，formula_74是光波的角頻率。總結，斯涅爾定律成立：formula_24。微觀至原子尺寸，雖然沒有任何介面是完全均勻的，假若精細至光波波長尺寸，傳播區域可以估視為均勻，則平移對稱性仍不失為優良近似。從馬克士威方程組推導.幾何光學的三條基礎定律為光波是電磁輻射，必須滿足馬克士威方程組與伴隨的邊界條件，其中一條邊界條件為，在邊界的臨近區域，電場平行於邊界的分量必須具有連續性。假設邊界為xy-平面，則在邊界，formula_77；其中，formula_78、formula_79、formula_80分別為在入射波、反射波、折射波的電場平行於邊界的分量。假設入射波是頻率為formula_74的單色平面波，則為了在任意時間滿足邊界條件，反射波、折射波的頻率必定為formula_74。設定formula_78、formula_79、formula_80的形式為formula_86、formula_87、formula_88；其中，formula_89、formula_90、formula_91分別是入射波、反射波、折射波的波向量，formula_92、formula_93、formula_94分別是入射波、反射波、折射波的波幅。為了在邊界任意位置formula_95滿足邊界條件，相位變化必須一樣，必須設定formula_96。因此，formula_97、formula_98。不失一般性，假設formula_99，則立刻可以推斷第一定律成立，入射波、反射波、折射波的波向量，與介面的法線共同包含於入射平面。從波向量x-分量的相等式，可以得到formula_100。而在同一介質裡，formula_101。所以，第二定律成立，入射角formula_102等於反射角formula_103。應用折射率formula_62的定義式：formula_73，可以推斷第三定律成立：formula_106；其中，formula_107、formula_108分別是折射介質的折射率與折射角。從入射波、反射波、折射波之間的相位關係，就可以推匯出幾何光學的三條基礎定律。全內反射與臨界角.「光密介質」是折射率比較大的介質；「光疏介質」是折射率比較小的介質。假設光從折射率為formula_2的光密介質傳播進入到折射率為formula_3的光疏介質，而入射角formula_4等於臨界角formula_112，則折射光線會沿折射介面的切線進行，即折射角formula_113。此時會有formula_114。因此，可推得formula_115。假若入射角formula_116，則無法找到對應的折射角formula_5，不存在折射光，而只存在反射光，這現象稱為全內反射。臨界角formula_112是促使全內反射發生的最小入射角，它的值取決於兩種介質的折射率的比值：formula_119。例如，水的折射率為1.33，空氣的折射率近似等於1.00，臨界角為formula_120弧度，即48.8°。耗損性、吸收性、導電性介質.在導電性介質裡，電容率與折射率都是複值，連帶的，折射角與波向數都是複值。這意味著，等實相位曲面的法線與介面的法線之間的角度等於折射角，而等波幅曲面是與介面相互平行的平面。由於這兩個曲面通常不會重疊在一起，這種波被稱為「非均勻波」。折射波呈指數衰減，指數與折射率的虛數部分成正比。各向異性物質.對於各向同性或鏡面介質，通常斯涅爾定律成立。對於各向異性介質，例如，方解石，雙折射會將折射線分為兩束射線，「尋常射線」與「非常射線」。尋常射線照樣遵守斯涅爾定律，而非常射線可能會與入射線不共面。