代數

代數是一個較為基礎的數學分支。它的研究物件有許多。諸如數、數量、代數式、關係、方程理論、代數結構等等都是代數學的研究物件。初等代數一般在中學時講授，介紹代數的基本思想：研究當我們對數字作加法或乘法時會發生什麼，以及瞭解變數的概念和如何建立多項式並找出它們的根。代數的研究物件不僅是數字，還有各種抽象化的結構。例如整數集作為一個帶有加法、乘法和序關係的集合就是一個代數結構。在其中我們只關心各種關係及其性質，而對於「數本身是甚麼」這樣的問題並不關心。常見的代數結構型別有群、環、域、模、線性空間等。歷史.代數的起源可以追溯到古巴比倫的時代，當時的人們發展出了較之前更進步的算術系統，使其能以代數的方法來做計算。經由此係統的被使用，他們能夠列出含有未知數的方程並求解，這些問題在今日一般是使用線性方程、二次方程和不定線性方程等方法來解答的。相對地，這一時期大多數的埃及人及西元前1世紀大多數的印度、希臘和中國等數學家則一般是以幾何方法來解答此類問題的，如在《萊因德數學紙草書》、《繩法經》、《幾何原本》及《九章算術》等書中所描述的一般。希臘在幾何上的工作，以"幾何原本"為其經典，提供了一個將解特定問題解答的公式廣義化成描述及解答方程之更一般的系統之架構。代數的英語為 algebra ，源於阿拉伯語單字「"al-jabr"」，出自《代數學》這本書的書名上，意指"移項和合並同類項之計算的摘要"，其為波斯回教數學家花拉子米於820年所著。"Al-Jabr"此詞的意思為「"重聚"」。傳統上，希臘數學家丟番圖被認為是「代數之父」，但現在則有些爭論，是否花拉子米比丟番圖更適合此稱號。支援花拉子米的人指出其對於約化的成果到今日都還有用途，且他更給出了一個解答二次方程的一詳盡說明。而支援丟番圖的人則主張在"Al-Jabr"裡出現的代數比在"Arithmetica"裡出現的更為基本，且"Arithmetica"是簡字的而"Al-Jabr"卻完全是文辭的。另一位波斯數學家歐瑪爾·海亞姆發展出代數幾何，且找出了三次方程的一般幾何解法。印度數學家摩訶吠羅和婆什迦羅與中國數學家朱世傑解出了許多三次、四次、五次及更高次多項式方程的解了。代數更進一步發展的另一個關鍵事件在於三次及四次方程的一般代數解，其發展於16世紀中葉。行列式的概念發展於17世紀的日本數學家關孝和手中，並於十年後由萊布尼茨繼續發展著，其目的是為了以矩陣來解出線性方程組的答案來。加布裡爾·克拉默也在18世紀時在矩陣和行列式上做了一樣的工作。抽象代數的發展始於19世紀，一開始專注在今日稱為伽羅瓦理論及規矩數的問題上。發展歷程.符號代數發展的階段可大致區分如下：代數數個關鍵的發展的時間軸，表述如下：初等代數.初等代數是代數中最基本的一種型別。其教導物件為假定不具有對算術基本原則之類的數學知識之學生。雖然在算術裡，只有數和其算術運算會出現；而在代數，數則通常會以 formula_9、formula_10、formula_11、formula_12、formula_3、formula_14 等符號來標記，表示式則會以 formula_15、formula_16、formula_17、formula_18 等符號來標記。這是很有用的，因為：抽象代數.抽象代數將基本代數和數的算術中的一些相似概念延廣成更一般的概念。集合：不單只考量數的不同型別，抽象代數處理更為一般的概念－"集合"：一群稱為元素之物件的聚集。所有相似型別的數都是一種集合。另一些集合的例子有所有兩階方陣組成之集合、所有兩次多項式組成的集合、所有平面的二維向量所組之集合、及如如整數同餘 formula_12 的群之迴圈群等各種有限群。集合論是邏輯的一個分支且技術上不屬於代數的一種分支。二元運算：加法formula_28的概念被抽象化成了一種"二元運算"，稱之為*。對於在集合 formula_29 內的兩個元素 formula_9 和 formula_10， formula_32 會給出集合內的另一個元素。加法formula_28、減法formula_34、乘法formula_35、除法formula_36都是二元運算，且矩陣、向量及多項式等之加法和乘法也是二元運算。單位元素：零和一兩個數被抽象化成單位元素的概念。零是加法的單位元素而一則是乘法的單位元素。對於一任意的二元運算*，單位元素formula_37必須得滿足formula_38和formula_39兩個條件。其在加法中為formula_40和formula_41，而在乘法中則為formula_42和formula_43。但若取正自然數和加法，則其不存在有單位元素。逆元素：負數導致出了"逆元素"的概念。對加法而言，formula_9的逆元素為formula_45，而對乘法而言，其逆元素則為formula_46。一通常之逆元素formula_47必須滿足formula_48和formula_49之性質。結合律：整數的加法有一稱為結合律的性質。亦即，數相加的順序不影響其總和。例如：formula_50。一般化地，其可以被寫成formula_51。此一性質在大多數的二元運算中存在著，但不包括減法和除法。交換律：整數的加法有一稱為交換律的性質。亦即，數被加的順序不影響其總和。例如：formula_52。一般化地，其可以被寫成formula_53。只有一些二元運算擁有此一性質。其在整數的加法和乘法上成立，但在矩陣乘法上則不成立。群.結合上面的概念可給出在數學中最重要的結構之一：群。群為一個集合formula_29和一二元運算*之結合，使其可有如下性質：實際上，提及此性質是很多餘的，因為每一個二元運算都已經說過其運算為封閉了。但封閉性經常被強調為群的一種性質。若一群亦為可交換的－即對任兩個於formula_29內的元素formula_9和formula_77會等同於formula_78－則此群稱為阿貝爾群。例如，加法的運算下之整數集合為一個群。在此一群中，其單位元素是 formula_79 且其任一元素 formula_9 的逆元素為其負數 formula_45。其有關結合律的要求亦是吻合的，因為對任何整數 formula_9、formula_10、formula_71，formula_85。非零有理數會形成一個於乘法下的群。在此，其單位元為 formula_86，當對於任一有理數 formula_9，formula_88。formula_9 的逆元素為 formula_90，當 formula_91。但無論如何，於乘法運算下的整數不會形成一個群。這是因此一整數的乘法逆元通常不會是一個整數。例如，formula_92是一個整數，但其乘法逆元為formula_93，不為一個整數。群的理論被學習於群論中。此一理論的一主要成果為有限簡單群分類，主要發表於1955年至1983年之間，其目的在於將所有的有限簡單群分類至約30種的基本型別中。半群、擬群和么半群是類似於群的結構，但更具一般性。它們由一個集合和一個封閉二元運算所組成，但不必然滿足其他條件。半群有一"結合"二元運算，但沒有單位元素。么半群是一有單位元素但可能沒有每個元素之逆元素的半群。擬群滿足任一元素皆以一唯一的前或後運算轉換成另一元素，但此一二元運算可能不具結合律。所有的群都是么半群，且所有的么半群都是半群。環和體－具兩個二元運算的結構.群只有一個二元運算。但為了完整說明不同型別的數之行為，具兩個運運算元的結構是需要的。其中最重要的為環和體。分配律廣義化了數中的"分配律"，且要求其運運算元運算時應採之順序。對於整數而言，formula_94且formula_95，而且formula_96稱之此於+上是"可分配"的。環有兩個二元運算formula_28和formula_35，其中formula_96於formula_28上是可分配的。在第一個運算formula_28下，它會形成一個"阿貝爾群"。而在第二個運算formula_35下，其為結合的，但不需要有一單位元素或逆元素，所以除法是不被允許的。其加法formula_28單位元寫成formula_79，而其formula_9的加法逆元則寫成formula_45。整數是環的一個例子。其有使其為一整環的額外性質。體是一具有在運算formula_35下，除了formula_79的所有元素會形成一"阿貝爾群"之額外性質的環。其乘法formula_35單位元素寫成formula_86，而其formula_9的乘法逆元則寫成formula_47。有理數、實數和複數都是體的例子。代數.代數一詞亦可用來稱呼不同的代數結構，包含有：