量子諧振子

在量子力學裡，量子諧振子是古典諧振子的延伸。其為量子力學中數個重要的模型系統中的一者，因為一任意勢在穩定平衡點附近可以用諧振子勢來近似。此外，其也是少數幾個存在簡單解析解的量子系統。量子諧振子可用來近似描述分子振動。一維諧振子.哈密頓算符與能量本徵態.在一維諧振子問題中，一個質量為"m"的粒子，受到一位勢formula_1。此粒子的哈密頓算符為formula_2其中"x"為位置算符，而"p"為動量算符formula_3。第一項代表粒子動能，而第二項代表粒子處在其中的位能。為了要找到能階以相對應的能量本徵態，必須解所謂的「定態薛丁格方程式」：formula_4.在座標基底下可以解這個微分方程式，用到冪級數方法。可以見到有一族的解：formula_5formula_6前8個解如右圖。函式formula_7為埃爾米特多項式：formula_8注意到不應將之與哈密頓算符搞混，儘管哈密頓算符也標作"H"。相應的能階為formula_9。值得注意的是能譜，理由有三。首先，能量被「量子化」且其平均動能是正值。這樣的現象意義重大但並不那麼顯而易見，因為通常能量的零點並非一個有意義的物理量，因為可以任意選擇；有意義的是能量差。雖然如此，基態能量有許多的意涵，特別是在量子重力。最後一個理由為能階值是等距的，不像波耳模型或盒中粒子問題那樣。注意到基態的機率密度集中在原點。這表示粒子多數時間處在勢阱的底部，合乎對於一幾乎不帶能量之狀態的預期。當能量增加時，機率密度變成集中在「古典轉向點」轉向點，因為在此處粒子速度最慢。因此滿足對應原理。階梯算符方法.前述的冪級數解雖然直觀，但顯得相當繁複。階梯算符方法起自保羅·狄拉克，允許抽像求得能量本徵值，而不用直接解微分方程式。此外，此法很容易推廣到更複雜的問題，尤其是在量子場論中。跟從此方法，定義算符"a"與其伴隨算符"a"†：formula_12算符"a"並非厄米算符，因其與伴隨算符"a"†並不相同。算符"a"與"a"†有如下性質：formula_13在推導"a"†形式的過程中，已用到算符"x"與"p"為厄米算符這樣的事實。這些可觀測量算符可以被表示為階梯算符的線性組合：formula_14.利用上面關係，可以證明如下等式：formula_15formula_16.現在，讓formula_17代表帶有能量"E"的能量本徵態。任何右括向量與自身的內積必須是非負值，因此formula_18。將"a"†"a"以哈密頓算符表示：formula_19，因此formula_20。注意到當。利用上面等式，可以指出"a"及"a"†與"H"的對易關係：formula_23.因此要是並非零右括向量，formula_25.類似地，也可以指出formula_26.換句話說，"a"作用在能量為"E"的本徵態，而產生出——還多了一個常數乘積——另一個能量為formula_27的本徵態，而"a"†作用在能量為"E"的本徵態，產生出另一個能量為formula_28的本徵態。因為這樣，"a"稱作降算符而"a"†稱作升算符。兩者合稱階梯算符。在量子場論中，"a"與"a"†也分別稱作消滅算符與創生算符，以其分別摧毀與創造粒子——對應於能量量子。給定任何能量本徵態，可以拿降算符"a"作用在其上，產生了另一個能量少了formula_29的本徵態。重複使用降算符，似乎可以產生能量本徵態其能量低到"E" = −∞。不過這樣就就與早先的要求formula_20相違背。因此，必須有一最底的能量本徵態——基態，標示作formula_31，使得formula_32。在這情況下，繼續使用降算符只會產生零右括向量，而不是產生額外的能量本徵態。此外，還指出了formula_34。最後，透過將升算符作用在formula_31上，並且乘上適當的歸一化因子，可以產生出一個能量本徵態的無限集合formula_36使得formula_37，這與前段所給的能譜相符合。這方法也能夠用來很快地找到量子諧振子的基態波函式。只要將消滅算符作用於基態，formula_38變為formula_39。所以，formula_40。這個方程式的解為，經過歸一化，formula_41。自然長度與能量尺度.量子諧振子擁有自然長度與自然能量兩個自然尺度，可以用來簡化問題。這可以透過無因次化來得到。結果是如果以formula_29為單位來測量能量，以及formula_43為單位來測量距離，則薛丁格方程式變成：formula_44，且能量本徵態與本徵值變成formula_45formula_46.為了避免混淆，在此文中不採用這些自然單位。不過，這用法在執行運算上總會因便利性而遲早被使用。案例：雙原子分子.在雙原子分子中，自然頻率可以發現為 ：formula_47其中formula_48為角頻率，"k"是共價鍵勁度係數formula_49是約化質量。N維諧振子.一維諧振子很容易地推廣到formula_50維。在一維中，粒子的位置是由單一座標"x"來指定的。在formula_50維中，這由formula_50個位置座標所取代，以formula_53標示。對應每個位置座標有個動量，標示為"p"1, ..., "p""N"。這些算符之間的正則對易關係為formula_54.系統的哈密頓算符為formula_55。從這個哈密頓量的形式，可以發覺，formula_50維諧振子明確地可比擬為formula_50個質量相同，彈性常數相同，獨立的一維諧振子。在這案例裡，變數formula_53是formula_50個粒子的位置坐標。這是反平方連心位勢的一個優良的特性，允許位勢被分離為formula_50個專案，每一個專案只跟一個位置坐標有關。這觀察使得問題的解答變的相當簡單。對於一個集合的量子數formula_61，一個formula_50維諧振子的能量本徵函式formula_63等於formula_50個一維本徵函式formula_65的乘積：formula_66。採用階梯算符方法，定義formula_50組階梯算符，formula_68，formula_69。類似前面所述的一維諧振子案例，可以證明每一個formula_70與formula_71算符將能量分別降低或升高formula_10。哈密頓量是formula_73。這量子系統的能階formula_74是formula_75；其中，正整數formula_76是formula_77的量子數。如同一維案例，能量是量子化的。formula_50維基態能階是一維基態能階的formula_50倍。只有一點不同，在一維案例裡，每一個能階對應於一個單獨的量子態。在formula_50維案例裡，除了底態能階以外，每一個能階都是簡併的，都對應於多個量子態。簡併度可以很容易地計算出來。例如，思考三維案例，設定formula_81。每一個formula_82相同的量子態，都會擁有相同的能量。給予formula_82，首先選擇一個formula_84。那麼，formula_85，有formula_86個值，從formula_87到formula_88，可以選擇為formula_89的值。formula_90的值自動的設定為formula_91。因此，簡併度是formula_92。對於formula_50維案例，formula_94。維均向諧振子案例：三維均向諧振子.球對稱的三維均向諧振子可以用分離變數法來求解。這方法類似於氫原子問題裡的方法，只有球對稱位勢不一樣：formula_95；其中，formula_96是這問題的質量。由於formula_97會被用來標記磁量子數，所以，用formula_96來標記質量。這問題的薛丁格方程式為formula_99。薛丁格方程式的全部解答寫為formula_100；其中，formula_101是歸一常數，formula_102formula_103是formula_104階廣義拉蓋爾多項式 (--)，formula_104是個正整數，formula_106是球諧函式，formula_107是約化普朗克常數。能量本徵值是formula_108。能量通常可以用一個量子數formula_82來描述：formula_110。由於formula_104是個正整數，假若formula_82是偶數，那麼，角量子數也是偶數：formula_113；假若formula_82是奇數，那麼，角量子數也是奇數：formula_115。磁量子數formula_97滿足不等式formula_117。對於每一個formula_82與formula_119，存在formula_120個不同的量子態。每一個量子態都有不同的磁量子數formula_97。因此，formula_82的兼併度是formula_123；其中，總和的指數formula_119的初始值是formula_125。這結果與先前的方程式相同。耦合諧振子.設想formula_50個相同質量的質點，以彈簧連結為一條一維的線形鏈條。標記每一個質點的離開其平衡點的位置為formula_53。整個系統的哈密頓量是formula_130；其中，formula_131。這個問題可以用坐標變換來變換成一組獨立的諧振子，每一個獨立的諧振子對應於一個獨特的晶格集體波震動。這些波震動表現出類似粒子般的性質，稱為聲子。許多固體的離子晶格都會產生聲子。在固態物理學裡，這方面的理論對於許多現象的研究與瞭解是非常重要的。）線上物理網頁：量子諧振子