球對稱位勢

球對稱位勢乃是一種只與徑向距離有關的位勢。許多描述宇宙互動作用的基本位勢，像重力勢、電勢，都是球對稱位勢。這條目只講述，在量子力學裡，運動於球對稱位勢中的粒子的量子行為。這量子行為，可以用薛丁格方程式表達為formula_1；其中，formula_2是普朗克常數，formula_3是粒子的質量，formula_4是粒子的波函式，formula_5是位勢，formula_6是徑向距離，formula_7是能量。由於球對稱位勢formula_8只與徑向距離有關，與天頂角formula_9、方位角formula_10無關，為了便利分析，可以採用球坐標formula_11來表達這問題的薛丁格方程式。然後，使用分離變數法，可以將薛丁格方程式分為兩部分，徑向部分與角部分。薛丁格方程式.採用球坐標formula_11，將拉普拉斯運算元formula_13展開：formula_14。滿足薛丁格方程式的本徵函式formula_4的形式為：formula_16，其中，formula_17，formula_18，formula_19，都是函式。formula_18與formula_19時常會合併為一個函式，稱為球諧函式，formula_22。這樣，本徵函式formula_4的形式變為：formula_24。角部分解答.引數為天頂角formula_9、方位角formula_10的球諧函式formula_27，滿足角部分方程式formula_28；其中，非負整數formula_29是角動量的角量子數。formula_30投影。不同的formula_29與formula_30給予不同的球諧函式解答formula_27：formula_35；其中，formula_36是虛數單位，formula_37是伴隨勒讓德多項式，用方程式定義為formula_38；而formula_39是formula_29階勒讓德多項式，可用羅德里格公式表示為formula_41。徑向部分解答.將角部分解答代入薛丁格方程式，則可得到一個一維的二階微分方程式：formula_42。(1)設定函式formula_43。代入方程式(1)。經過一番繁雜的運算，可以得到formula_44。(2)徑向方程式變為formula_45；(3)其中，有效位勢formula_46。這正是函式為formula_47，有效位勢為formula_48的薛丁格方程式。徑向距離formula_6的定義域是從formula_50到formula_51。新加入有效位勢的專案，稱為離心位勢。為了要更進一步解析方程式(2)，必須知道位勢的形式。不同的位勢有不同的解答。例項.在這裡，有四個很特別、很重要的例項。這些例項都有一個共同點，那就是，它們的位勢都是球對稱的。因此，它們的角部分解答都是球諧函式。這四個例項是：真空狀況例項.思考formula_52的狀況，設定formula_60，在設定無因次的變數formula_61。代入方程式(2)，定義formula_62，就會得到貝塞爾方程式，一個二階常微分方程式：formula_63。貝塞爾方程式的解答是第一類貝塞爾函式formula_64；而formula_17是第一類球貝塞爾函式：formula_66。(4)在眞空裡，一個粒子的薛丁格方程的解，以球坐標來表達，是球貝塞爾函式與球諧函式的乘積：formula_67；其中，歸一常數formula_68，formula_29是非負整數，formula_30是整數，formula_71，formula_72是實數，formula_73。這些解答都是角動量確定態的波函式。這些確定態都有明確的角動量。波函式歸一化導引.波函式的角部分已經歸一化，剩下來必須將徑向部分歸一化。徑向函式的歸一化條件為formula_74。根據球貝塞爾函式的封閉方程式，formula_75；其中，formula_76，formula_77為克羅內克δ。所以，formula_78。取平方根，歸一常數formula_68。球對稱的三維無限深方形位勢阱.思考一個球對稱的無限深方形阱，阱內位勢為0，阱外位勢為無限大。用方程式表達：formula_80。其中，formula_81是球對稱阱的半徑。立刻，可以察覺，阱外的波函式是0；而由於阱內的薛丁格方程式與真空狀況的薛丁格方程式相同，波函式是球貝塞爾函式formula_82。為了滿足邊界條件，波函式必須是連續的。匹配阱內與阱外的波函式，球貝塞爾函式在徑向坐標formula_83之處必須等於0：formula_84。設定formula_85為formula_29階球貝塞爾函式formula_87的第formula_88個0點，則formula_89。那麼，離散的能級formula_90為formula_91。薛丁格方程式的整個解答是formula_92；其中，歸一常數formula_93。波函式歸一化導引.波函式的角部分已經歸一化，剩下來必須將徑向部分歸一化。徑向函式的歸一化條件為formula_94；將球貝塞爾函式與第一類貝塞爾函式的關係方程式(4)代入積分：formula_95。設定變數formula_96，代入積分：formula_97。根據貝塞爾函式的正交歸一性方程式，formula_98；其中，formula_99，formula_100為克羅內克δ，formula_101表示formula_102的第formula_88個0點。注意到formula_104的第formula_88個0點formula_85也是formula_107的第formula_88個0點。所以，formula_109。取平方根，歸一常數formula_110。三維均向諧振子.三維均向諧振子的位勢為formula_111；其中，formula_112是角頻率。用階梯算符的方法，可以證明N維諧振子的能量是formula_113。所以，三維均向諧振子的徑向薛丁格方程式是formula_114。(5)設定常數formula_115，formula_116。回想formula_117，則徑向薛丁格方程式有一個歸一化的解答：formula_118；其中，函式formula_119是廣義拉蓋爾多項式，formula_120是歸一化常數：formula_121。本徵能級formula_122的本徵函式formula_123，乘以球諧函式formula_124，就是薛丁格方程式的整個解答：formula_125；其中formula_126。假若formula_88是偶數，設定formula_128；否則，設定formula_129。導引.在這導引裡，徑向方程式會被轉換為廣義拉蓋爾微分方程式。這方程式的解是廣義拉蓋爾多項式。再將廣義拉蓋爾多項式歸一化以後，就是所要的答案。首先，將徑向坐標無因次化，設定變數formula_130；其中，formula_116。則方程式(5)變為formula_132；(6)其中，formula_133是新的函式。當formula_134接近0時，方程式(6)最顯著的專案是formula_135。所以，formula_136與formula_137成正比。又當formula_134無窮遠時，方程式(6)最顯著的專案是formula_139。因此，formula_136與formula_141成正比。為了除去formula_136在原點與無窮遠的極限性態，達到孤立解答函式的形式的目的，必須使用formula_136的替換方程式：formula_144。經過一番運算，這個替換將微分方程式(6)轉換為formula_145。(7)轉換為廣義拉蓋爾方程式.設定變數formula_146，則微分運算元為formula_147，formula_148。代入方程式(7)，就可得到廣義拉蓋爾方程式：formula_149；其中，函式formula_150。假若，formula_151是一個非負整數，則廣義拉蓋爾方程式的解答是廣義拉蓋爾多項式：formula_152。因為formula_72是非負整數，要求波函式歸一化.回憶到formula_117，徑向函式可以表達為formula_118；其中，formula_120是歸一常數。formula_161的歸一條件是formula_162。設定formula_163。將formula_123與formula_165代入積分方程式：formula_166。應用廣義拉蓋爾多項式的正交歸一性，這方程式簡化為formula_167。因此，歸一常數可以表達為formula_168。應用伽瑪函式的數學特性，同時注意formula_88與formula_29的奇偶性相同，可以導引出其它形式的歸一常數。伽瑪函式變為formula_171。在這裡用到了雙階乘 (--)的定義。所以，歸一常數等於formula_172。類氫原子.類氫原子只含有一個原子核與一個電子，是個簡單的二體系統。兩個物體之間，互相作用的位勢遵守庫侖定律：formula_173；其中，formula_174是真空電容率，formula_175是原子序，formula_176是單位電荷量，formula_6是電子離原子核的徑向距離。將位勢代入方程式(1)，formula_178。這方程式的解答是formula_179；其中，formula_180。formula_181近似於波耳半徑formula_182。假若，原子核的質量是無限大的，則formula_183，並且，約化質量等於電子的質量，formula_184。formula_185是廣義拉蓋爾多項式，定義為formula_186；其中，formula_187是拉蓋爾多項式，可用羅德里格公式表示為formula_188。為了滿足formula_161的邊界條件，formula_88必須是正值整數，能量也離散為能級formula_191。隨著量子數的不同，函式formula_161與formula_27都會有對應的改變。為了要結束廣義拉蓋爾多項式的遞迴關係，必須要求formula_194。知道徑向函式formula_161與球諧函式formula_27的形式，就可以寫出整個類氫原子量子態的波函式，也就是薛丁格方程式的整個解答：formula_197。導引.為了要簡化薛丁格方程式，設定能量與長度的原子單位 (--formula_198，formula_199。將變數formula_200與formula_201代入徑向薛丁格方程式(2)：formula_202。(8)這方程式有兩類解答：這條目只講述第(1)類解答。設定正實數formula_206與formula_207。代入方程式(8)：formula_208。(9)當formula_209接近0時，方程式(9)最顯著的專案是formula_210。所以，formula_211與formula_212成正比。又當formula_209無窮遠時，方程式(9)最顯著的專案是formula_214。因此，formula_211與formula_216成正比。為了除去formula_211在原點與無窮遠的極限性態，達到孤立解答函式的形式的目的，必須使用formula_211的替換方程式：formula_219。經過一番運算，得到formula_220的方程式：formula_221；其中，formula_222。假若，formula_223是個非負整數formula_72 ，則這方程式的解答是廣義拉蓋爾多項式formula_225。採用Abramowitz and Stegun的慣例。無因次的能量是formula_226；其中，主量子數formula_227滿足formula_228，或formula_229。由於formula_230，徑向波函式是formula_231。能量是formula_232。