三次方程

三次方程是未知項總次數最高為3的整式方程，一元三次方程一般形式為formula_1，其中formula_2是屬於一個域的數字，通常這個域為ℝ或ℂ。本條目只解釋一元三次方程，而且簡稱之為三次方程式。歷史.中國唐朝數學家王孝通在武德九年前後所著的《緝古算經》中建立了25個三次多項式方程和提出三次方程實根的數值解法。波斯數學家歐瑪爾·海亞姆透過用圓錐截面與圓相交的方法構建了三次方程的解法。他說明了怎樣用這種幾何方法利用三角法表得到數字式的答案。中國南宋的數學家秦九韶在他1247年編寫的《數書九章》一書中提出了高次方程的數值解法秦九韶演算法，提出“商常為正，實常為負，從常為正，益常為負”的原則。在十六世紀早期，義大利數學家費羅找到了能解一種三次方程的方法，也就是形如formula_3的方程。事實上，如果我們允許formula_4是複數，所有的三次方程都能變成這種形式，但在那個時候人們不知道複數。尼科洛·塔爾塔利亞被認為是最早得出三次方程式一般解的人。1553年他在一場數學競賽中解出所有三次方程式的問題。隨後卡爾丹諾拜訪了塔爾塔利亞請教三次方程式解法並得到了啟發。卡爾丹諾注意到塔爾塔利亞的方法有時需要他給複數開平方。他甚至在《數學大典》裡包括了這些複數的計算，但他並不真正理解它。拉斐爾·邦貝利詳細地研究了這個問題，並因此被人們認為是複數的發現者。判別式.當formula_5時，方程有一個實根和兩個共軛複根；當formula_6時，方程有三個實根：當formula_7時，方程有一個三重實根；當formula_8時，方程的三個實根中有兩個相等；當formula_9時，方程有三個不等的實根。三次方程解法.求根公式法.formula_10formula_11formula_12formula_13紅色字型部分為判別式formula_14。當formula_5時，方程有一個實根和兩個共軛複根；當formula_6時，方程有三個實根：當formula_7時，方程有一個三重實根；當formula_8時，方程的三個實根中有兩個相等；當formula_9時，方程有三個不等的實根。formula_10formula_21formula_22formula_23卡爾達諾法.令formula_24為域，可以進行開平方或立方運算。要解方程只需找到一個根formula_25，然後把方程formula_26除以formula_27，就得到一個二次方程，而我們已會解二次方程。在一個代數封閉域，所有三次方程都有三個根。複數域就是這樣一個域，這是代數基本定理的結果。解方程步驟：formula_29，其中formula_30，formula_31，formula_32。formula_38，其中formula_39和formula_40是域中的數字。formula_41；formula_42。這個假設的hint如下:記formula_46。前一方程化為formula_47。展開：formula_48。重組：formula_49。分解：formula_50。接下來，formula_59和formula_60是formula_56和formula_57的立方根，適合formula_63，formula_64，最後得出formula_33。在域formula_66裡，若formula_67和formula_68是立方根，其它的立方根就是formula_69和formula_70，當然還有formula_71和formula_72，其中formula_73，是1的一個複數立方根。因為乘積formula_63固定，所以可能的formula_75是formula_76，formula_77和formula_78。因此三次方程的其它根是formula_79和formula_80。判別式.最先嘗試解的三次方程是實係數。因為實數域並非代數封閉，方程的根的數目不一定是3個。所遺漏的根都在formula_66裡，就是formula_82的代數閉包。其中差異出現於formula_56和formula_57的計算中取平方根時。取立方根時則沒有類似問題。可以證明實數根數目依賴於輔助方程的判別式formula_85，注意到實係數三次方程有一實根存在，這是因為非常數多項式在formula_97和formula_98的極限是無窮大，對奇次多項式這兩個極限異號，又因為多項式是連續函式，所以從介值定理可知它在某點的值為0。第一個例子.解formula_99。我們依照上述步驟進行：formula_113和formula_114，formula_115和formula_116。formula_117，formula_118該方程的另外兩個根：formula_119，formula_120，第二個例子.這是一個歷史上的例子，因為它是邦別利考慮的方程。方程是formula_121。從函式formula_122算出判別式的值formula_123，知道這方程有三實根，所以比上例更容易找到一個根。前兩步都不需要做，做第三步：formula_105，formula_51，formula_107。formula_127和formula_128。formula_56和formula_57是formula_131的根。這方程的判別式已算出是負數，所以只有實根。很弔詭地，這方法必須用到複數求出全是實數的根。這是發明複數的一個理由：複數是解方程必需工具，即使方程或許只有實根。我們解出formula_132和formula_133。取複數立方根不同於實數，有兩種方法：幾何方法，用到輻角和模；代數方法，分開復數的實部和虛部：現設formula_134。formula_135等價於：formula_136formula_137formula_138得到formula_139和formula_140，也就是formula_141，而formula_60是其共軛：formula_143。歸結得formula_144，可以立時驗證出來。其它根是formula_145和formula_146，其中formula_147。當formula_14是負，formula_56和formula_57共軛，故此formula_59和formula_60也是；所以我們可確保formula_154是實數，還有formula_155和formula_156。盛金公式法.formula_10，其中係數皆為實數。判別式.重根判別式：formula_158；總判別式：formula_159。情況1：formula_160.formula_161。情況2：formula_162.讓formula_163，得：formula_164；formula_165；formula_166。情況3：formula_87.讓formula_168，得：formula_169；formula_170。情況4：formula_90.讓formula_172，得：formula_173；formula_174；formula_175。極值.駐點的公式.設formula_176將其微分，可得formula_177拐點.formula_178設formula_179，可得formula_180。formula_181駐點的型別.由函式取極值的充分條件可知：formula_182，formula_183是formula_184的極大值點；formula_185，formula_183是formula_184的極小值點；formula_188，formula_183是formula_184的拐點。formula_191可知：formula_192，formula_180的駐點為極大值點；formula_194，formula_180的駐點為極小值點；formula_196，formula_180的駐點為拐點。