索伯列夫空間

數學上，一個索伯列夫空間是一個由函式組成的賦範向量空間。對於某個給定的"p" ≥ 1，索伯列夫空間的範數是函式"f" 的"k"階導數和函式"f" 的有限"Lp"範數的結合。索伯列夫空間以蘇聯數學家舍蓋·索伯列夫來命名。它的重要性體現在一些偏微分方程的弱解在特定的索伯列夫空間存在，即使該偏微分方程在具有經典導數定義的連續函式空間不存在強解。簡介.對於數學函式的光滑性有很多種。最基本的要求可能就是函式要連續，更進一步的要求是可微。可微函式在很多領域相當重要，特別是在微分方程中。在二十世紀，人們發現formula_1函式空間不是研究微分方程的解的恰當的空間。而索伯列夫空間正是formula_1空間的替代品，用於研究偏微分方程的解。技術性討論.我們從最簡單情況下的索伯列夫空間開始，也就是單位圓上的一維情況。在這個情況下，索伯列夫空間formula_4定義為"L"p的子集，使得"f"和它的直到"k"階的導數有一個有限的"L"p範數，對於某個給定的"p" ≥ 1。定義正確意義上的導數時必須小心。在這個一維問題中，假設formula_5是幾乎處處可微並且等於其導數的勒貝格積分就足夠了。按照這個定義，索伯列夫空間有一個自然的範數,formula_6賦予了範數formula_7的formula_4是一個完備空間。實際上只要取序列中的第一項和最後一項就可以了，也即，如下的範數formula_9和上述範數等價。例子.有些索伯列夫空間有簡單的表述。例如，在一維情況，formula_10就是絕對連續函式空間，而"W"1,∞是李普希茲函式空間。還有，formula_11可以自然地用其傅立葉級數的術語定義，也就是formula_12其中formula_13是"f"的傅立葉級數。和前面一樣，可以採用等價的範數formula_14兩個表達都可以從帕塞瓦爾定理以及微分等價於傅立葉係數乘以"in"這個事實匯出。這個特殊情況很重要，因此有一個特別的符號，formula_15:formula_16非整數"k"的索伯列夫空間.為避免混淆，在討論不是整數的"k"的時候，我們通常用"s"來取代它，也即formula_17或者formula_18。"p" = 2的情形."p" = 2的情形是最簡單的情形，因為傅立葉表述可以直接推廣。我們定義範數為formula_19而索伯列夫空間formula_18為具有有限範數的函式的空間。分數階微分.如果"p"不是2，就採取類似的方法。在這個情況下帕塞瓦爾定理不再成立，但是微分還是對應於在傅立葉域中的乘法，並且可以推廣到非整數階。因此，可以定義一個分數階微分的運算元其階為s，如下所示formula_21換句話說，取傅立葉變換，乘以formula_22再取逆傅立葉變換。這使得我們可以定義formula_23的索伯列夫範數如下formula_24而且，跟平常一樣，索伯列夫空間是有有限索伯列夫範數的函式的空間。復插值.獲取“分數索伯列夫空間”的另一個辦法是採用復插值。復插值是一個通用的技術：對於任何0 ≤ t ≤ 1 和巴拿赫空間"X"及"Y"，且這二者都包含於某個更大的巴拿赫空間中，我們可以建立“過渡空間”，記為["X","Y"]"t"。。這樣的空間"X"和"Y"稱為插值對。下面提一些關於復插值的有用的定理："定理 (插值): "[ ["X,Y"]"a" , ["X,Y"]"b" ]"c" = ["X,Y"]"cb"+(1-"c")"a"."定理 (運算元的插值): 若"{"X,Y"}"和"{"A,B"}"是插值對，並且若T是一個線性對映，定義與X"+"Y到A"+"B中，使得T在X到A和Y到B上連續，則T從"["X,Y"]"t到"["A,B"]"t上連續。並且有如下的插值不等式："formula_25參看: Riesz-Thorin定理。回到索伯列夫空間上來，我們要透過對幾個formula_4的插值得到非整數"s"的formula_17。第一件事當然是看看這個可以給出一致的結果，而我們確實有"定理: formula_28，如果n是一個整數使得n=tm。"因此，復插值是一個得到一個空間formula_4之間的空間formula_17的一個連續統的一致的方法。而且，它給出了和分數階微分同樣的空間。多維情況.現在考慮在R"n"及其子集上的索伯列夫空間。從圓到線的變化只涉及傅立葉公式的技術細節 — 基本上就是將傅立葉級數變為傅立葉變換，將求和變為積分。到多維情況的轉換有更大的難度，從定義就開始變化。formula_5是formula_32的積分這個條件無法一般化，而最簡單的解決辦法是考慮分佈理論意義下的導數。由此可以得到一個形式化的定義。令"D"為Rn中開集。定義索伯列夫空間formula_33為定義於"D"上的函式"f"的族，使得對於滿足下式的每個多重索引formula_34formula_35formula_36是一個函式，且formula_37在它上面的一個合適的範數是所有這樣的α上的那些"Lp"範數的和。它是完備的，因此是一個巴拿赫空間。實際上，這個方法在一維也成立，並且和前面分數階微分中所述並無多大區別。例子.在多維情況，有些結果不再成立，例如，formula_10只包含連續函式。例如，1/|"x"|屬於formula_39，其中formula_40是三維的單位球。對於足夠大的"k"，formula_41將只包含連續函式，但是對於哪個"k"才夠取決於"p"以及維數這二者。但是，"W"1,∞和formula_11的表述在做了必要的修改之後還是成立的。索伯列夫嵌入.索伯列夫空間formula_43是formula_44的子集。一個很自然的問題是:有沒有其它的"Lp"空間包含formula_43？索伯列夫嵌入定理給出一個簡單的表達:"定理:令formula_46且formula_47。則如下命題成立:"跡.令"s" &gt; ½。若"X"為開集，使得其邊界 "G""足夠光滑"，則我們可以定義對映"P"的"跡"（也即，"限制")如下formula_54也即，"u"限制到邊界"G"上。一個可能的光滑條件是一致formula_55， "m" ≥ "s"。 這個跡對映"P"其定義域為formula_56，而其像正好是formula_57。如果要完全形式化，"P"首先定義在無窮可微函式上，並且透過連續性擴充套件到整個formula_56。注意取跡'失去了半個導數'。確定formula_17的跡對映的像要困難很多，需要使用實插值這個工具，在此不具體討論。其最後的結果是Besov空間。事實上，在formula_17空間的情形，我們不是失去半個導數，我們失去了1/"p"個導數。延拓運算元.若"X"是開域，其邊界不是太不良則存在一個運算元"A"將"X"的函式到R"n"的函式，使得：我們稱運算元"A"為"X"的延拓運算元。延拓運算元是最自然的定義非整數"s"的formula_56方法。我們定義formula_56為："u"屬於formula_56當且僅當"Au"屬於formula_66。等價的有，復插值產生同樣的formula_56空間只要"X"存在一個延拓運算元。如果"X"沒有一個延拓運算元，復插值是唯一取得formula_56空間的辦法。因此，插值不等式仍然成立。用零延拓.我們定義formula_69為無窮可微緊支撐函式的空間formula_70在formula_56中的閉包。給定一個跡的定義如上，我們可以給出如下命題"定理：令X為一致Cm正規空間，m ≥ s並令P為線性對映，將formula_56中的u對映到"formula_73"其中d/dn是垂直於G的導數，而k是最大的小於s的整數。則formula_74正好是P的核。"若formula_75，我們可以一種自然的方式定義它的零延拓formula_76，也就是formula_77若formula_78，否則formula_79。"定理：令s&gt;½。將u變為formula_80的對映是到formula_81中的連續對映，當且僅當s不是形為n+½。"