波函式

在量子力學裡，量子系統的量子態可以用波函式來描述。薛丁格方程式設定波函式如何隨著時間流逝而演化。波函式 formula_1 是一種複值函式，表示粒子在位置 formula_2 、時間 formula_3 的機率幅，它的絕對值平方 formula_4 是在位置 formula_2 、時間 formula_3 找到粒子的機率密度。以另一種角度詮釋，波函式formula_1是「在某時間、某位置發生相互作用的機率幅」。歷史.在1920年代與1930年代，理論量子物理學者大致分為兩個陣營。第一個陣營的成員主要為路易·德布羅意和埃爾溫·薛丁格等等，他們使用的數學工具是微積分，他們共同建立了波動力學。第二個陣營的成員主要為維爾納·海森堡和馬克斯·玻恩等等，使用線性代數，他們建立了矩陣力學。後來，薛丁格證明這兩種方法完全等價。:606–609德布羅意於1924年提出的德布羅意假說表明，每一種微觀粒子都具有波粒二象性。電子也不例外，具有這種性質。電子是一種波動，是電子波。電子的能量與動量分別決定了它的物質波頻率與波數。既然粒子具有波粒二象性，應該會有一種能夠正確描述這種量子特性的波動方程式，這點子給予埃爾溫·薛定諤極大的啟示，他因此開始尋找這波動方程式。薛定諤參考威廉·哈密頓先前關於牛頓力學與光學之間的類比這方面的研究，在其中隱藏了一個奧妙的發現，即在零波長極限，物理光學趨向於幾何光學；也就是說，光波的軌道趨向於明確的路徑，而這路徑遵守最小作用量原理。哈密頓認為，在零波長極限，波傳播趨向於明確的運動，但他並沒有給出一個具體方程式來描述這波動行為，而薛定諤給出了這方程式。他從哈密頓-雅可比方程成功地推匯出薛定諤方程式。:207他又用自己設計的方程式來計算氫原子的譜線，得到的答案與用波耳模型計算出的答案相同。他將這波動方程式與氫原子光譜分析結果，寫為一篇論文，1926年，正式發表於物理學界:163-167。從此，量子力學有了一個嶄新的理論平臺。薛丁格給出的薛定諤方程式能夠正確地描述波函式的量子行為。那時，物理學者尚未能解釋波函式的涵義，薛定諤嘗試用波函式來代表電荷的密度，但遭到失敗。1926年，玻恩提出機率幅的概念，成功地解釋了波函式的物理意義:219-220。可是，薛定諤本人不贊同這種統計或機率方法，和它所伴隨的非連續性波函式塌縮，如同愛因斯坦認為量子力學只是個決定性理論的統計近似，薛定諤永遠無法接受哥本哈根詮釋。在他有生最後一年，他寫給玻恩的一封信內，薛定諤清楚地表明瞭這意見。:4791927年，道格拉斯·哈特里與弗拉基米爾·福克在對於多體波函式的研究踏出了第一步，他們發展出哈特里－福克方程來近似方程的解。這計算方法最先由哈特里提出，後來福克將之加以改善，能夠符合包立不相容原理的要求。:344-345薛定諤方程式不具有勞侖茲不變性 ，無法準確給出符合相對論的結果。薛定諤試著用相對論的能量動量關係式，來尋找一個相對論性方程式，並且描述電子的相對論性量子行為。但是這方程式給出的精細結構不符合阿諾·索末菲的結果，又會給出違背量子力學的負機率和怪異的負能量現象，他只好將這相對論性部分暫時擱置一旁，先行發表前面提到的非相對論性部分。:196-197:31926年，奧斯卡·克萊因和沃爾特·戈爾登將電磁相對作用納入考量，獨立地給出薛定諤先前推導出的相對論性部分，並且證明其具有勞侖茲不變性。這方程式後來稱為克萊因-戈爾登方程式。:31928年，保羅·狄拉克最先成功地統一了狹義相對論與量子力學，他推匯出狄拉克方程式，適用於電子等等自旋為1/2的粒子。這方程式的波函式是一個旋量，擁有自旋性質。:167概述.位置空間波函式.假設一個自旋為零的粒子移動於一維空間。這粒子的量子態以波函式表示為 formula_8 ；其中，formula_9 是位置，formula_3 是時間。波函式是複值函式。測量粒子位置所得到的結果不是決定性的，而是機率性的。粒子的位置 formula_9 在區間 formula_12 的機率formula_14為formula_15 ；其中，formula_3 是對於粒子位置做測量的時間。換句話說，formula_17 是粒子在位置 formula_9 、時間 formula_3 的機率密度。這導致歸一化條件：在位置空間的任意位置找到粒子的機率為100%：formula_20 。動量空間波函式.在動量空間，粒子的波函式表示為 formula_21 ；其中，formula_22 是一維動量，值域從 formula_23 至 formula_24 。測量粒子動量所得到的結果不是決定性的，而是機率性的。粒子的動量 formula_22 在區間 formula_12 的機率為formula_28 。動量空間波函式的歸一化條件也類似：formula_29 。兩種波函式之間的關係.位置空間波函式與動量空間波函式彼此是對方的傅立葉變換。他們各自擁有的資訊相同，任何一種波函式都可以用來計算粒子的相關性質。兩種波函式之間的關係為:108formula_30 、formula_31 。薛丁格方程式.在一維空間裡，運動於位勢 formula_32 的單獨粒子，其波函式滿足含時薛丁格方程式formula_33 ；其中，formula_34 是質量，formula_35 是約化普朗克常數。不含時薛丁格方程式與時間無關，可以用來計算粒子的本徵能量與其它相關的量子性質。應用分離變數法，猜想 formula_36 的函式形式為formula_37 ；其中，formula_38 是分離常數，稍加推導可以論定 formula_38 就是能量，formula_40 是對應於 formula_38 的本徵函式。代入這猜想解，經過一番運算，可以推匯出一維不含時薛丁格方程式：formula_42 。波函式的機率詮釋.波函式 formula_1 是機率波。其模的平方 formula_44 代表粒子在該處出現的機率密度，並且具有歸一性，全空間的積分formula_45 。波函式的另一個重要特性是相干性。兩個波函式疊加，機率的大小取決於兩個波函式的相位差，類似光學中的楊氏雙縫實驗。波函式的本徵值和本徵態.在量子力學中，可觀察量 formula_46 以算符 formula_47 的形式出現。formula_47 代表對於波函式的一種運算。例如，在位置空間裡，動量算符 formula_49 的形式為formula_50 。可觀察量 formula_46 的本徵方程式為formula_52 。對應的 formula_53 稱為算符 formula_47 的本徵值，formula_55 稱為算符 formula_47 的本徵態。假設對於 formula_47 的本徵態 formula_55 再測量可觀察量 formula_46 ，則得到的結果是本徵值 formula_53 。態疊加原理.假設對於某量子系統測量可觀察量 formula_46 ，而可觀察量 formula_46 的本徵態 formula_63 、formula_64 分別擁有本徵值 formula_65 、formula_66 ，則根據薛定諤方程的線性關係，疊加態 formula_67 也可以是這量子系統的量子態：formula_68 ；其中， formula_69 、formula_70 分別為疊加態處於本徵態 formula_63 、formula_64 的機率幅。假設對這疊加態系統測量可觀察量 formula_46 ，則測量獲得數值是 formula_74 或 formula_75 的機率分別為 formula_76 、formula_77 ，期望值為formula_78 。定態.在量子力學中，一類基本的問題是哈密頓算符 formula_79 不含時間的情況。對於這問題，應用分離變數法，可以將波函式 formula_1 分離成一個只與位置有關的函式 formula_81 和一個只與時間有關的函式 formula_82 ：formula_83 。將這公式代入薛定諤方程，就會得到formula_84 。而 formula_85 則滿足本徵能量薛丁格方程式：formula_86 。例子.自由粒子.3D空間中的自由粒子，其波矢 為"ω"，其波函式為：formula_87無限深方形阱.粒子被限制在"x"0和"x""L"之間的1D空間中，其波函式為::30-38formula_88其中，formula_89是能量本徵值，formula_90是正整數，formula_34是質量。有限位勢壘.在1D情況下，粒子處於如下勢壘中：formula_92為常數)formula_93量子點.量子點是在把激子在三個空間方向上束縛住的半導體奈米結構。粒子在三個方向上都處在勢阱中。勢阱可以由於靜電勢，或者以上三者的結合。量子點具有分離的量子化的能譜。所對應的波函式在空間上位於量子點中，但延伸於數個晶格週期中。其中的能級可以用類似無限深方形阱的模型來描述，能級位置取決於勢阱寬度。