斯特靈數

在數學中，史特靈數用於解決各種數學分析和組合數學問題，史特靈數是兩組不同的數，均是18世紀由引入並以其命名，以'和'的稱呼區分。此外，有時候也將稱為第三類史特靈數。第一類史特靈數.定義.可以定義為對應遞降階乘展開式的各項係數，即formula_1其中，formula_2即為第一類史特靈數。例如：formula_4則formula_5於是formula_6，formula_7，formula_8，formula_9。由此可知，formula_2是代數數，或稱為有符號。有符號史特靈數的絕對值formula_11可以看作。與有符號史特靈數類似，無符號史特靈數可以定義為對應遞進階乘展開式的各項係數，即formula_41其中，formula_16即為無符號史特靈數。不過要注意，這裡的記號formula_16有時候會用來表示高斯二項式係數。有符號史特靈數和無符號史特靈數有如下關係：formula_45拓展示例.無符號史特靈數有更多的應用。例如，將formula_12個元素分成formula_13組，每組內的元素再進行排列的方法數目即可用無符號史特靈數formula_16求得。以formula_49為例：或用有向圖表示如下：遞推關係式.無符號史特靈數有如下遞推關係式：formula_50其中，formula_51，且初始條件為formula_52，formula_53。有符號史特靈數有如下遞推關係式：formula_55第一類史特靈數表.下表其實是一部分無符號史特靈數，要想獲得有符號史特靈數，可以透過它們之間的關係式：formula_45求得。簡單性質.觀察前面的“第一類史特靈數表”，我們可以得到一些簡單的性質：formula_52，formula_58。如果formula_60，我們有formula_61；或更一般地，如果formula_62，我們有formula_63。還有formula_64，formula_65，formula_66，formula_67，formula_68。注：這裡記號formula_69表示組合數。第二類史特靈數.定義.與第一類史特靈數類似，可以用遞降階乘定義為formula_70其中，formula_71即為第二類史特靈數，也可以記為formula_72。例如：formula_73即formula_74將遞降階乘展開並合併同類項，得formula_75比較等式兩邊係數，得formula_76解得formula_77，formula_78，formula_79，formula_80。第二類史特靈數計算的是將含有formula_12個元素的集合拆分為formula_13個非空子集的方法數目。例如：對於集合formula_83，若拆分為formula_20個非空子集，顯然有零種方法；拆分為formula_17個非空子集，只有formula_83一種方法；拆分為formula_18個非空子集，有formula_88formula_89，formula_90formula_91，formula_92formula_93三種方法；拆分為formula_19個非空子集，有formula_88formula_92formula_91一種方法。於是formula_77，formula_78，formula_79，formula_80。第二類史特靈數可以使用以下公式進行計算：formula_102取formula_103進行驗算，有formula_104即formula_105於是formula_106拓展示例.將formula_12個人分成formula_13組的分組方法的數目。例如有甲、乙、丙、丁四人，若所有人分成formula_17組，只能所有人在同一組，因此formula_110；若所有人分成formula_111組，只能每人獨立一組，因此formula_112；若分成formula_18組，可以是甲乙一組、丙丁一組，或甲丙一組、乙丁一組，或甲丁一組、乙丙一組，或其中三人同一組另一人獨立一組，即：因此formula_114。同理，可以得到formula_115。遞推關係式.第二類史特靈數有與第一類史特靈數類似的遞推關係式：formula_116其中，formula_51，且初始條件為formula_118，formula_119。第二類史特靈數表.下面為部分第二類史特靈數：簡單性質.觀察前面的“第二類史特靈數表”，我們可以得到一些簡單的性質：formula_118，formula_122。如果formula_60，我們有formula_125；或更一般地，如果formula_62，我們有formula_127。還有formula_128，formula_129，formula_130，formula_131，formula_132，formula_133，formula_134。其他性質.貝爾數和第二類史特靈數有如下關係：formula_135兩類之間的關係.第一類和第二類史特靈數可以看作互為逆矩陣的關係：formula_136以及formula_137其中，formula_138是克羅內克爾δ。拉赫數.定義.是由在1954年發現的，因為拉赫數與史特靈數關係密切，所以有時拉赫數也被稱為第三類史特靈數。可以用遞進階乘和遞降階乘定義為formula_139或formula_140其中， formula_141即為拉赫數。例如：formula_142即formula_143等式兩邊展開並合併同類項，得formula_144比較等式兩邊係數，得formula_145解得formula_146，formula_147，formula_148，formula_149。或formula_150即formula_151等式兩邊展開並合併同類項，得formula_152比較等式兩邊係數，得formula_153解得formula_146，formula_147，formula_148，formula_149。以上定義的拉赫數是無符號拉赫數的定義如下：formula_158或formula_159無符號拉赫數計算的是將含有formula_12個元素的集合拆分為formula_13個非空線性有序子集的方法數目。例如：對於集合formula_83，若拆分為formula_20個非空線性有序子集，顯然有零種方法；拆分為formula_17個非空線性有序子集，有formula_165，formula_166，formula_167，formula_168，formula_169，formula_170六種方法；拆分為formula_18個非空線性有序子集，有formula_172formula_173，formula_172formula_175，formula_176formula_177，formula_176formula_179，formula_180formula_181，formula_180formula_183六種方法；拆分為formula_19個非空線性有序子集，有formula_172，formula_176，formula_180一種方法。於是formula_146，formula_147，formula_148，formula_149。無符號拉赫數可以使用以下公式進行計算：formula_192有符號拉赫數可以使用以下公式進行計算：formula_193遞推關係式.無符號拉赫數有如下遞推關係：formula_194或formula_195其中，formula_196，formula_196，formula_198，formula_200拉赫數表.下面為部分無符號拉赫數：簡單性質.觀察前面的“拉赫數表”，我們可以得到一些簡單性質：formula_201，formula_202如果formula_204，有formula_201，formula_206還有formula_207formula_208formula_209formula_210formula_211formula_212其他性質.無符號拉赫數計算公式可以作進一步拓展：formula_213formula_214無符號拉赫數與兩類史特靈數都有關係，關係如下：formula_215取formula_216進行驗算，有formula_217即formula_218於是formula_219由無符號拉赫數與兩類史特靈數之間的關係，考慮到兩類史特靈數之間的關係，有formula_220其中，formula_138是克羅內克爾δ。三類之間的關係.三類史特靈數以及乘方、階乘之間的關係可以用下圖表示：