超越數

在數論中，超越數是指任何一個不是代數數的無理數。只要它不是任何一個有理係數代數方程的根，它即是超越數。最著名的例子是自然對數底e以及圓周率π。幾乎所有的實數和複數都是超越數，這是因為代數數的集合是可數集，而實數和複數的集合是不可數集之故。定義.超越數是代數數的相反，也即是說若formula_1是一個超越數，那麼對於任何整數formula_2都符合：formula_3例子.超越數的例子包括：所有超越數構成的集是一個不可數集，也就是說，幾乎所有的實數和複數都是超越數；儘管如此，現今發現的超越數極少，甚至連formula_27是不是超越數也不知道，因為要證明一個數是超越數或代數數是十分困難的。超越數的證明，給數學帶來了大的變革，解決了幾千年來數學上的難題——尺規作圖三大問題，即倍立方問題、三等分任意角問題和化圓為方問題。隨著超越數的發現，這三大問題被證明為不可能。可能的超越數.以下數仍待證明為超越數或代數數：猜想：簡要地證明formula_47是超越數.第一個對自然對數底 "e"是超越數的證明可以追溯到1873年。我們現在跟隨的是大衛·希爾伯特的策略。他給出了夏爾·埃爾米特的原始證明的簡化。思路如下所示：為尋找矛盾，假設formula_47是代數數。那就存在一個有限的整係數集formula_49滿足下列等式：formula_50現在對於一個正整數formula_51，我們定義如下的多項式：formula_52並在上述等式的兩端乘上formula_53於是我們得到等式：formula_54該等式可以寫成這種形式formula_55其中formula_56formula_57引理 1. 對於恰當選擇的formula_51， formula_59 是非零整數。證明： "P" 的每一項都是整數乘以階乘的和，這可以從以下的關係式得出formula_60對於任何正整數 "j" 成立。它是非零的，因為對於每一個滿足 0&lt; "a" ≤ "n" 的 "a" ，formula_61中的被積函式均為 "e−x" 乘以一些項的和，在積分中用 "x" - "a" 替換 "x" 後， "x" 的最低冪次是 "k"+1 。然後這就變成了具有以下形式的積分的和formula_62其中 "k"+1 ≤ "j" ，而且它是一個能被 ("k"+1)! 整除的整數。在除以 "k!" 後，我們得到模 ("k"+1) 得 0 的數。不過，我們可以寫成：formula_63於是formula_64透過選擇 "k" ，使得 "k"+1 是大於 "n" 與 |"c"0| 的質數，我們可以得出 formula_65 模 ("k"+1) 為非零，從而該數為非零整數。引理 2. 對於充分大的 "k" ， formula_66 。證明： 注意到formula_67使用 formula_68 和 formula_69 在區間 [0,"n"] 的上限 G 和 H ，我們可以推出formula_70從而formula_71於是有formula_72這點足以完成對引理的證明。注意可以選擇滿足兩個引理的formula_51，從而我們能得出矛盾。進而得以證明formula_47的超越性。馬勒的分類.在1932年把超越數分為3類，分別叫做S數、T數和U數。這些類別的定義利用了劉維爾數思想的擴充。實數的無理性度量.一種定義劉維爾數的方式是考慮對於給定的實數formula_1，可以使得一次多項式formula_76盡可能小但不精確地等於 0 。這裡的formula_77 , formula_78是滿足formula_79, formula_80以正整數formula_81為界的整數。令formula_82為這些多項式所取的最小非零絕對值，並且令：formula_83formula_84formula_85常稱為實數formula_1的無理性度量。對於有理數formula_87，而且對無理數其值至少為1 。劉維爾數可以定義為具有無窮大的無理性度量的數。表明了實代數無理數的無理性度量均為 1 。複數的超越性度量.接下來考慮多項式對於複數formula_1的取值，這些多項式係數為整數，次數至多為formula_41，而且至多為formula_81，此處的formula_41, formula_81是正整數。令formula_93為以formula_1為變數的上述多項式所取的最小非零值，並且令：formula_95formula_96假如對於盡可能小的正整數formula_41，formula_98為無窮大，則這種情況下複數formula_1稱為formula_41次的U數。現在我們可以定義formula_101formula_102常稱為formula_1的超越性度量。假如formula_98有界，則formula_102有限，formula_1稱為S數。如果formula_98有限而無界，則formula_1稱為T數。formula_1為代數數當且僅當formula_110。顯然劉維爾數是U數的子集。在1953年構造了任意次數的U數。劉維爾數是不可數集，從而U數也是。它們的測度為 0 。T陣列成的集合測度亦為 0 。人們花了 35 年時間證明它們存在。在 1968 年證明瞭T數的樣例存在。由是可知幾乎所有複數都是S數。馬勒證明瞭當formula_1為任意非零代數數時formula_112均為S數：這點揭示了formula_47是S數且給出了formula_28的超越性證明。對於formula_28我們至多知道它不是U數。其他更多的超越數仍未歸類。兩個數formula_1, formula_117稱為代數相關，當存在 2 個變數的整係數非零多項式formula_118滿足formula_119。一個有力的定理指出，屬於相同馬勒分類的 2 個複數是代數相關的。這允許我們構造新形式的超越數，例如劉維爾數與formula_47或formula_28的和。通常推測 S 代表馬勒的老師卡爾·西格爾，而 T 和 U 是接下來的兩個字母。Koksma 的等價分類.在 1939 年提出了基於代數數逼近的另一種分類。考慮用次數formula_122且高formula_123的代數數逼近複數formula_1。令formula_46為該有限集中滿足formula_126取最小正值得代數數。定義formula_127和formula_128如下：formula_129formula_130若對於最小的正整數formula_41，formula_128為無窮大，則稱formula_1為formula_41次的U*數。若formula_128有界且不收斂到 0 ，則則稱formula_1為S*數，一個數formula_1被稱為 A*數 ，當formula_128收斂到 0 。若所有的formula_128均為有限但無界，則稱 "x" 為T*數，Koksma和馬勒的分類是等價的，因為它們將超越數以同樣的方式分類。"A*數"就是代數數。勒維克的構造.令formula_140可以證明formula_141的formula_41次方根是formula_41次的U數。此構造可以改進以建立formula_41次U數的不可數個系列。令formula_145為上述formula_141的級數中 10 的冪次的集合。formula_145所有子集的集合是不可數的。在表示formula_141的級數中刪去任意一個formula_145的子集，將產生不可數個顯然的劉維爾數，它們每一個的formula_41次方根都是次數為formula_41的U數。型別.數列formula_152的上界稱為型別。幾乎所有實數都是型別為 1 的S數，此型別數在實S數中是最小的。幾乎所有複數都是型別為 1/2 的S數，此型別數在複S數中同樣是最小的。以上判斷對於幾乎所有數成立的猜想由馬勒提出，於 1965 年由 Vladimir Sprindzhuk 證明。