eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（九年级 · 解析几何）：四边形 $A B C D$ 与四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 相似,相似比为 $2: 3$, 四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 与四边形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ 相似，相似比为 $5: 4$, 则四边形 $A B C D$ 与四边形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ 相似且相似比为 ( )

选项：
A. $5: 6$
B. $6: 5$
C. $5: 6$ 或 $6: 5$
D. $8: 15$

答案：A
解析：【分析】

本题考查了相似多边形的性质, 解题的关键是将相似比进行转换.首先将 $2: 3$ 转化为 $10: 15$, 将 $5: 4$ 转化为 15: 12 , 然后求得四边形 $A B C D$ 与四边形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ 相似比即可.

## 【解答】

解: $\because$ 四边形 $A B C D$ 与四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 相似, 相似比为 $2: 3$, 即相似比为 $10: 15$;

四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 与四边形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ 相似, 相似比为 $5: 4$, 即相似比为 $15: 12$;

$\therefore$ 四边形 $A B C D$ 与四边形 $A_{2} B_{2} C_{2} D_{2}$ 且相似比为 $10: 12$, 也就是5: 6 .

故选: $A$.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, $\triangle A B C$ 的两个顶点 $B 、 C$ 均在第一象限内, 以点 $A(0,1)$ 为位似中心, 在 $y$ 轴左侧作 $\triangle A B C$ 的位似图形 $\triangle A D E, \triangle A B C$ 与 $\triangle A D E$ 的相似比为 $1: 2$. 若点 $C$ 的纵坐标是 $m$, 则其对应点 $E$ 的纵坐标是

( )



选项：
A. $\frac{-m+3}{2}$
B. $2 m+3$
C. $-(2 m+3)$
D. $-2 m+3$


答案：D
解析：解: 点 $C$ 的纵坐标为 $m$, 则 $A$ 、 $C$ 间的垂直距离为 $(m-1)$, $\because \triangle A B C$ 与 $\triangle A D E$ 的相似比为 $1: 2, \therefore E, A$ 间的垂直距离为 $2(m-1)$, $\therefore$ 点 $E$ 的纵坐标是 $-[2(m-1)-1]=-(2 m-3)=-2 m+3$.

##
题目（九年级 · 解析几何）：若二次函数 $y=k x^{2}-4 x+1$ 的图象与 $x$ 轴有交点，则 $k$ 的取值范围是 $(\quad)$

选项：
A. $k \leq 4$
B. $k \geq 4$
C. $k>4$ 且 $k \neq 0$
D. $k \leq 4$ 且 $k \neq 0$

答案：D
解析：【分析】

本题主要考查了二次函数的概念, 拋物线与 $x$ 轴的交点的知识, 属于基础题。

$k \neq 0$ 时, 直接利用拋物线与 $x$ 轴交点个数与 $\Delta$ 的关系求出 $k$ 的取值范围, 综合得出 $k$ 的取值范围.

## 【解答】

解: 因为函数为二次函数,

所以 $k \neq 0$ 时, 令 $y=k x^{2}-4 x+1=0$,

$\because y=k x^{2}-4 x+1$ 的图象与 $x$ 轴有交点,

$\therefore \Delta=16-4 k \geq 0$,

$\therefore k \leq 4$,

综上, $k$ 的取值范围为 $k \leq 4$, 且 $k \neq 0$

故选 $D$.

##
题目（九年级 · 解析几何）：将拋物线 $y=x^{2}$ 向下平移 2 个单位, 所得拋物线的表达式为 ( )

选项：
A. $y=x^{2}+2$
B. $y=x^{2}-2$
C. $y=(x+2)^{2}$
D. $y=(x-2)^{2}$

答案：B
解析：略
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 二次函数 $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A, B$ 且 $A$ 的横坐标在 -1 和 0 之间, 与 $y$ 轴交于负半轴, 对称轴为直线 $x=1$, 对于该二次函数, 下列结论正确的是( )


选项：
A. 点 $(2, c)$ 一定在该抛物线上

B. $2 a=b$

C. $a-b+c<0$

D. $a>0, b>0, c<0$

## 第 II 卷（非选择题）

##
答案：A
解析：解: $\therefore$ 当 $x=0$ 时, $y=c$,

$\therefore$ 点 $(0, c)$ 在 $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ 的图象上,

$\because$ 对称轴为直线 $x=1$,

$\therefore(2, c)$ 关于直线 $x=1(0, c)$ 对称

$\therefore$ 点 $(2, c)$ 在 $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ 的图象上, 故 A 正确,

$\because$ 对称轴为直线 $x=1$,

$$
\therefore-\frac{b}{2 a}=-1
$$

$\therefore b=-2 a$, 故 $B$ 错误,

由图象可知: 当 $x=-1$ 时, $y-a-b+c>0$, 故 $C$ 错误,

$\because$ :抛物线开口线上,

$\therefore a>0$,

$\because$ 对称轴在 $y$ 轴右侧,

$\therefore b<0$,

$\because$ :拖物线与 $y$ 轴交于负半轴,

$\therefore c<0$, 故 $D$ 错误,

故选 $A$.

根据对称性判断 $A$, 根据对称轴判断 $B$, 根据 $x=-1$ 时, $y>0$ 判断 $C$, 根据图象性质判断 $D$.

本题主要考查了二次函数图象的性质及二次函数图象与系数的关系, 熟练掌握二次函数的相关知识点是解决本题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：二次函数 $y=(x+2)^{2}-1$ 的图象大致为

( )

选项：
A.


B.


C.


D.




答案：D
解析：【分析】

本题主要考查的是二次函数的图象和性质的有关知识，由题意根据给出的图象得出抛物线的开口方向和对称轴以及与 $y$ 轴的交点坐标, 然后再进行求解即可.

## 【解答】

解: $\because y=(x+2)^{2}-1$,

$\therefore a=1>0$, 对称轴为 $x=-2$, 与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0,3)$,

则抛物线开口向上, 排除 $A$,

对称轴为 $x=-2$ 排除 $B, C$,

只有 $D$ 满足.

故选 $D$.
题目（九年级 · 解析几何）：小明将如图两水平线 $l_{1}, l_{2}$ 的其中一条当成 $x$ 轴, 且向右为正方向;两条直线 $l_{3}, l_{4}$ 的其中一条当成 $y$ 轴,且向上为正方向, 并在此坐标平面中画出二次函数 $y=a x^{2}-2 a^{2} x+1$ 的图象, 则 ( )



选项：
A. $l_{1}$ 为 $x$ 轴, $l_{3}$ 为 $y$ 轴
B. $l_{2}$ 为 $x$ 轴, $l_{3}$ 为 $y$ 轴
C. $l_{1}$ 为 $x$ 轴, $l_{4}$ 为 $y$ 轴
D. $l_{2}$ 为 $x$ 轴, $l_{4}$ 为 $y$ 轴


答案：D
解析：略

##
题目（九年级 · 解析几何）：平面直角坐标系中, 拋物线 $y=a x^{2}-3 a x+c(a \neq 0)$ 与直线 $y=2 x+1$ 上有三个不同的点 $A\left(x_{1}, m\right)$, $B\left(x_{2}, m\right), C\left(x_{3}, m\right)$. 如果 $n=x_{1}+x_{2}+x_{3}$, 那么 $m$ 和 $n$ 的关系是

( )

选项：
A. $m=2 n-3$
B. $m=n^{2}-3$
C. $m=2 n-5$
D. $m=n^{2}-5$


答案：C
解析：解: $\because y=a x^{2}-3 a x+c$,

$\therefore$ 对称轴为直线 $x=-\frac{-3 a}{2 a}=\frac{3}{2}$,

如图, 在抛物线上的两点 $A$ 和 $B$, 关于直线 $x=\frac{3}{2}$ 对称, 则

C点在反直线 $y=2 x+1$ 上,

$\therefore x_{1}+x_{2}=3$,

$\because n=x_{1}+x_{2}+x_{3}$,



$\therefore n=3+x_{3}$,

$\therefore x_{3}=n-3$,

$\therefore m=2(n-3)+1$,

$\therefore m=2 n-5$,

故选: $C$.

根据题意设在拋物线上的两点 $A$ 和 $B$, 纵坐标相同, 则关于对称轴对称, 即可求得 $x_{3}=n-3$, 则 $C(n-$
$3, m)$, 代入解析式, 即可求得 $m=2 n-5$.

本题考查了二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，图象上的点的坐标适合解析式.

##
题目（九年级 · 解析几何）：已知拋物线 $y=a(x-2)^{2}+h$ 经过点 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$, 且 $\left|x_{1}-2\right|<\left|x_{2}-2\right|$, 则下列不等式一定成立的是 $(\quad$ )

选项：
A. $y_{1}-y_{2}>0$
B. $y_{1}-y_{2}<0$
C. $a\left(y_{1}-y_{2}\right)>0$
D. $a\left(y_{1}-y_{2}\right)<0$

答案：D
解析：解: 由抛物线 $y=a(x-2)^{2}+h$ 可知对称轴为直线 $x=2$,

$\because$ 且 $\left|x_{1}-2\right|<\left|x_{2}-2\right|$,

当 $a>0$ 时, $y_{1}<y_{2}$,

则 $y_{1}-y_{2}<0$,

$\therefore a\left(y_{1}-y_{2}\right)<0$,

当 $a<0$ 时, $y_{1}>y_{2}$,

则 $y_{1}-y_{2}>0$,

$\therefore a\left(y_{1}-y_{2}\right)<0$,

综上，下列不等式一定成立的是 $D$,

故选: D.

根据二次函数的性质进行讨论即可判断.

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征, 熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：函数 $y=k x+k$ 和函数 $y=-k x^{2}+4 x+4(k$ 是常数, 且 $k \neq 0)$ 在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )

选项：
A.


$B$.


C.


D.




答案：A
解析：解：（1)当 $k>0$ 时：

函数 $y=k x+k$ 的图象过一、二、三象限, 函数 $y=-k x^{2}+4 x+4$ 的图象开口向下;

$\therefore B$ 不正确, 不符合题意.

(2) 当 $k<0$ 时:

函数 $y=k x+k$ 的图象过二、三、四象限，函数 $y=-k x^{2}+4 x+4$ 的图象开口向上;

$\therefore C$ 不正确, 不符合题意.

$\because$ 函数 $y=-k x^{2}+4 x+4$ 的对称轴为直线 $x=-\frac{4}{-2 k}=\frac{2}{k}<0$,

$\therefore A$ 正确, 符合题意; $D$ 不正确, 不符合题意.

故选: $A$.

分别分析当 $k>0$ 和 $k<0$ 时两种情况下两个函数在同一平面坐标系中的图象，并结合二次函数的对称轴进行综合判断即可.

本题考查一次函数及二次函数的图象, 熟悉它们图象的性质是本题的关键.

##
题目（九年级 · 解析几何）：二次函数 $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ 的图象如图, 给出下列四个结论:
(1) $4 a c-b^{2}<0$;
(2) $3 b+2 c<0$;
(3) $4 a+c<2 b$;
(4) $m(a m+b)+b<$ $a(m \neq-1)$, 其中结论正确的个数是 $(\quad)$



选项：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4


答案：C
解析：解: $\because$ 图象与 $x$ 轴有两个交点,
$\therefore$ 方程 $a x^{2}+b x+c=0$ 有两个不相等的实数根,

$\therefore b^{2}-4 a c>0$,

$\therefore 4 a c-b^{2}<0$, (1) 正确;

$\because-\frac{b}{2 a}=-1$

$\therefore b=2 a$,

$\because a+b+c<0$,

$\therefore \frac{1}{2} b+b+c<0,3 b+2 c<0$, (2)正确;

$\because$ 当 $x=-2$ 时, $y>0$,

$\therefore 4 a-2 b+c>0$,

$\therefore 4 a+c>2 b$, (3)错误;

$\because$ 由图象可知 $x=-1$ 时该二次函数取得最大值,

$\therefore a-b+c>a m^{2}+b m+c(m \neq-1)$.

$\therefore m(a m+b)+b<a$, (4)正确,

$\therefore$ 正确的有(1)(2)三个,

故选: $C$.

由抛物线与 $x$ 轴有两个交点得到 $b^{2}-4 a c>0$, 可判断(1); 根据对称轴是 $x=-1$, 可得 $x=-2 、 0$ 时, $y$ 的值相等, 所以 $4 a-2 b+c>0$, 可判断(3); 根据 $-\frac{b}{2 a}=-1$, 得出 $b=2 a$, 再根据 $a+b+c<0$,可得 $\frac{1}{2} b+b+c<0$, 所以 $3 b+2 c<0$, 可判断(2); $x=-1$ 时该二次函数取得最大值, 据此可判断(4).本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是能看懂图象，利用数形结合的思想解答.

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题目（九年级 · 解析几何）：二次函数 $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ 的图象如图, 图象过点 $(-2,0)$, 对称轴为直线 $x=1$, 下列结论: (1) $a b c<0$; (2) $2 a-b=0$; (3) $b^{2}-4 a c>0$; (4) $9 a+c>3 b$, 其中正确的结论有个( )



选项：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4


答案：B
解析：【分析】

本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程. 根据图象得出 $a<0,-\frac{b}{2 a}=1, c>0$, 结合图象上的点和与 $x$ 轴交点个数即可逐项判断.

## 【解答】

解: $\because$ 二次函数的图象的开口向下,

$\therefore a<0$,

$\because$ 二次函数的图象 $y$ 轴的交点在 $y$ 轴的正半轴上,

$\therefore c>0$,

$\because$ 二次函数图象的对称轴是直线 $x=1$,
$\therefore-\frac{b}{2 a}=1$,

$\therefore 2 a+b=0, b>0$

$\therefore a b c<0, \therefore$ (1)正确, (2)错误;

$\because$ 二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 图象与 $x$ 轴有两交点,

$\therefore b^{2}-4 a c>0$, 故(3)正确;

$\because$ 二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 图象可知, 当 $x=-3$ 时, $y<0$,

$\therefore 9 a-3 b+c<0$, 即 $9 a+c<3 b$, 故(4)错误;

故选 $B$.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 二次函数 $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A 、 B$ 两点,与 $y$ 轴交于 $C$ 点, 且对称轴为直线 $x=1$, 点 $B$ 坐标为 $(-1,0)$.则下面的五个结论: (1) $a b c>0$; (2) $4 a-2 b+c>0$; (3)当 $y<0$ 时, $x<-1$ 或 $x>3$; (4) $2 c=3 b$; (5) $a+b>m(a m+b)(m$ 为实数且 $m \neq 1)$. 其中正确的结论
   有 ( )个.


选项：
A. 1

B. 2

C. 3

D. 4


答案：C
解析：解: $\because$ 对称轴为 $x=1$,

$\therefore x=-\frac{b}{2 a}=1$,

$\therefore b=-2 a$.

由题意, $\because a<0$,

$\therefore b>0$.

又与 $y$ 轴交点在 $y$ 轴正半轴上,

$\therefore c>0$.

$\therefore a b c<0$, 故(1)错误.

$\because x=-2<-1$, 且 $x=-1$ 时 $y=0$,

$\therefore$ 当 $x=-2$ 时, $y=4 a-2 b+c<0$, 故(2)错误.

$\because x=-1$ 时 $y=0$, 对称轴为直线 $x=1$,

$\therefore$ 当 $x=3$ 时 $y=0$.

结合图象可得, 当 $y<0$ 时, $x<-1$ 或 $x>3$,

故(3)正确.

$\because b=-2 a$,

$$
\therefore a=-\frac{1}{2} b
$$

又 $x=-1$ 时 $y=0$,

$\therefore a-b+c=0$.

$$
\therefore c=\frac{3}{2} b
$$

$\therefore 2 c=3 b$, 故(4)正确.
$\because$ 对称轴为 $x=1$, 且取得最大值,

$$
\therefore a+b+c>a m 2+b m+c .(m \neq 1)
$$

$\therefore a+b>m(a m+b)$, 故(5)正确.

故选: $C$.

依据题意, 根据二次函数的图象与性质, 再结合图象即可判断得解.

本题考查了二次函数的图象与系数的关系: 二次函数 $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ 的图象为拋物线, 当 $a>$ 0 , 抛物线开口向上; 对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2 a}$; 抛物线与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0, c)$; 当 $b^{2}-4 a c>0$, 拋物线与 $x$ 轴有两个交点; 当 $b^{2}-4 a c=0$, 抛物线与 $x$ 轴有一个交点; 当 $b^{2}-4 a c<0$, 拋物线与 $x$ 轴没有交点.

##
题目（九年级 · 解析几何）：关于 $x$ 的二次函数 $y=2(x-3)^{2}$ 与 $y=-2(x-3)^{2}$ 的性质中，下列说法错误的是 $(\quad)$


选项：
A. 开口方向相同

B. 对称轴相同

C. 开口大小相同

D. 当 $x<3$ 时, $y=2(x-3)^{2}$ 随 $x$ 的增大而减小, $y=-2(x-3)^{2}$ 随 $x$ 的增大而增大

## 第 II 卷（非选择题）

##
答案：A
解析：解: 二次函数 $y=2(x-3)^{2}$ 的开口向上, 对称轴是直线 $x=3$, 顶点坐标是 $(3,0)$, 当 $x<3$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小;

二次函数 $y=-2(x-3)^{2}$ 的开口向下, 对称轴是直线 $x=3$, 顶点坐标是 $(3,0)$, 当 $x<3$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而增大;

故选项 $A$ 符合题意, 选项 $B 、 C 、 D$ 不符合题意.

故选: $A$.

根据题目中的函数解析式和二次函数的性质, 可以判断各个选项是否正确, 从而可以解答本题.

本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.
题目（九年级 · 解析几何）：已知点 $A\left(3, y_{1}\right), B\left(4, y_{2}\right), C\left(-3, y_{3}\right)$ 均在抛物线 $y=2 x^{2}-4 x+m$ 上, 下列说法中正确的是 $($ )

选项：
A. $y_{3}<y_{2}<y_{1}$
B. $y_{2}<y_{1}<y_{3}$
C. $y_{3}<y_{1}<y_{2}$
D. $y_{1}<y_{2}<y_{3}$

答案：D
解析：略
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 二次函数 $y=a x^{2}+b x+c(a>0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点, 与 $y$ 轴正半轴交于点 $C$, 它的对称轴为直线 $x=-1$. 则下列选项中正确的是 $(\quad)$



选项：
A. $a b c<0$
B. $4 a c-b^{2}>0$
C. $c-a>0$
D. 当 $x=-n^{2}-2$ ( $n$ 为实数)时, $y \geq c$


答案：D
解析：【分析】

本题主要考查二次函数的图象和性质. 熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题
的关键.

由图象开口向上, 可知 $a>0$, 与 $y$ 轴的交点在 $x$ 轴的上方, 可知 $c>0$, 根据对称轴方程得到 $b>0$,于是得到 $a b c>0$, 故 $A$ 错误; 根据二次函数 $y=a x^{2}+b x+c(a>0)$ 的图象与 $x$ 轴的交点, 得到 $b^{2}-$ $4 a c>0$, 求得 $4 a c-b^{2}<0$, 故 $B$ 错误; 根据对称轴方程得到 $b=2 a$, 当 $x=-1$ 时, $y=a-b+c<0$,于是得到 $c-a<0$, 故 $C$ 错误; 当 $x=-n^{2}-2$ ( $n$ 为实数)时, 代入解析式得到 $y=a x^{2}+b x+c=$ $a\left(-n^{2}-2\right)^{2}+b\left(-n^{2}-2\right)+c=a n^{2}\left(n^{2}+2\right)+c$, 于是得到 $y=a n^{2}\left(n^{2}+2\right)+c \geq c$, 故 $D$ 正确.

## 【解答】

解: 由图象开口向上, 可知 $a>0$,

与 $y$ 轴的交点在 $x$ 轴的上方, 可知 $c>0$,

又对称轴方程为 $x=-1$, 所以 $-\frac{b}{2 a}<0$, 所以 $b>0$,

$\therefore a b c>0$, 故 $A$ 错误;

$\therefore$ 二次函数 $y=a x^{2}+b x+c(a>0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点,

$\therefore b^{2}-4 a c>0$,

$\therefore 4 a c-b^{2}<0$, 故 $B$ 错误;

$\because-\frac{b}{2 a}=-1$,

$\therefore b=2 a$,

$\because$ 当 $x=-1$ 时, $y=a-b+c<0$,

$\therefore a-2 a+c<0$,

$\therefore c-a<0$, 故 $C$ 错误;

当 $x=-n^{2}-2$ ( $n$ 为实数)时, $y=a x^{2}+b x+c=a\left(-n^{2}-2\right)^{2}+b\left(-n^{2}-2\right)+c=a n^{2}\left(n^{2}+2\right)+c$, $\because a>0, n^{2} \geq 0, n^{2}+2>0$,

$\therefore y=a n^{2}\left(n^{2}+2\right)+c \geq c$, 故 $D$ 正确,

故选: D.

##
题目（九年级 · 解析几何）：已知二次函数 $y=(x+m-4)(x-m)+3$, 点 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)\left(x_{1}<x_{2}\right)$ 是其图象上两点 ( )

选项：
A. 若 $x_{1}+x_{2}>4$, 则 $y_{1}>y_{2}$
B. 若 $x_{1}+x_{2}<4$, 则 $y_{1}>y_{2}$
C. 若 $x_{1}+x_{2}>-4$, 则 $y_{1}>y_{2}$
D. 若 $x_{1}+x_{2}<-4$, 则 $y_{1}<y_{2}$

答案：B
解析：解: $\because y=(x+m-4)(x-m)+3$,

$\therefore$ 拋物线对称轴为直线 $x=\frac{4-m+m}{2}=2$, 抛物线开口向上,

$\therefore$ 当 $x_{1}+x_{2}=4$ 时, 点 $A, B$ 关于对称轴对称, $y_{1}=y_{2}$,

当 $x_{1}+x_{2}>4$ 时, 点 $B$ 到对称轴的距离大于点 $A$ 到对称轴的距离, $y_{1}<y_{2}$,

当 $x_{1}+x_{2}<4$ 时, 点 $B$ 到对称轴的距离小于点 $A$ 到对称轴的距离, $y_{1}>y_{2}$,

故选: $B$.
由拋物线解析式可得抛物线对称轴为直线 $x=2$, 根据抛物线开口向上可得 $x_{1}+x_{2}>4$ 与 $x_{1}+x_{2}<4$时点 $A, B$ 到对称轴的距离大小关系, 进而求解.

本题考查二次函数的性质, 解题关键是由函数解析式求出抛物线对称轴, 根据拋物线开口方向及对称轴求解.
题目（九年级 · 解析几何）：在平面直角坐标系中, 二次函数 $y=a x^{2}-4 a x+2(a<0)$ 部分图象和一次函数 $y=-\frac{1}{2} x+2$ 的图象如图所示. 已知它们有一个交点为 $A$, 点 $B(-1,-1)$ 在该二次函数图象上, 则它们的另一个交点在 ( )



选项：
A. $M N$ 之间
B. 点 $N$
C. $N Q$ 之间
D. 点 $Q$


答案：A
解析：解: 把点 $B$ 代入 $y=a x^{2}-4 a x+2$ 中,

得: $a+4 a+2=-1$,

解得 $a=-\frac{3}{5}$,

$\therefore$ 拋物线的解析式为 $y=-\frac{3}{5} x^{2}+\frac{12}{5} x+2$,

联立抛物线和直线的解析式得:

$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{3}{5} x^{2}+\frac{12}{5} x+2 \\ y=-\frac{1}{2} x+2\end{array}\right.$

解得 $\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=2\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{29}{6} \\ y=-\frac{5}{12}\end{array}\right.$,

$\therefore$ 它们的另一个交点坐标为 $\left(\frac{29}{6},-\frac{5}{12}\right)$,

$\because M(4,0), N\left(5,-\frac{1}{2}\right), Q(6,-1)$,

又 $\because 4<\frac{29}{6}<5$,

$\therefore$ 它们的另一个交点在 $M N$ 之间,

故选: $A$.

由点 $B$ 的坐标即可确定二次函数的解析式, 和直线联立即可确定另一个交点的坐标.

本题主要考查二次函数的图象和性质, 关键是要能根据点 $B$ 的坐标确定抛物线的解析式.

##
题目（九年级 · 解析几何）：已知抛物线 $y=x^{2}+4 x+n$ 与 $x$ 轴交于 $A, B$ 两点, 抛物线 $y=x^{2}-4 x+n$ 与 $x$ 轴交于 $C, D$ 两点, 其中 $n>0$, 若 $A D=4 B C$, 则 $n$ 的值为 $($ )

选项：
A. $\frac{4}{25}$
B. $\frac{16}{25}$
C. $\frac{36}{25}$
D. $\frac{64}{25}$

答案：D
解析：解: 把 $y=0$ 代入 $y=x^{2}+4 x+n$ 得: $x^{2}+4 x+n=0$,

解得: $x_{1}=\frac{-4-\sqrt{16-4 n}}{2}=-2-\sqrt{4-n}, x_{2}=\frac{-4+\sqrt{16-4 n}}{2}=-2+\sqrt{4-n}$,

把 $y=0$ 代入 $y=x^{2}-4 x+n$ 得: $x^{2}-4 x+n=0$,

解得: $x_{3}=\frac{4-\sqrt{16-4 n}}{2}=2-\sqrt{4-n}, x_{4}=\frac{4+\sqrt{16-4 n}}{2}=2+\sqrt{4-n}$,

$\because A D=4 B C$,

$\therefore A D^{2}=16 B C^{2}$,
$\because$ 拋物线 $y=x^{2}+4 x+n$ 与抛物线 $y=x^{2}-4 x+n$ 中的二次项系数相同,

$\therefore A B=C D$,

又 $\because A D=4 B C$,

$\therefore$ 如下图所示, 点 $A$ 在点 $B$ 左侧, 点 $C$ 在点 $D$ 左侧,



$\therefore\left(x_{1}-x_{4}\right)^{2}=16\left(x_{2}-x_{3}\right)^{2}$, 即 $(-2-\sqrt{4-n}-2-\sqrt{4-n})^{2}=16(-2+\sqrt{4-n}-2+\sqrt{4-n})^{2}$,

$\therefore(-2-\sqrt{4-n})^{2}=16(-2+\sqrt{4-n})^{2}$,

令 $\sqrt{4-n}=m$, 则 $(-2-m)^{2}=16(-2+m)^{2}$,

解得: $m_{1}=\frac{10}{3}, m_{2}=\frac{6}{5}$,

当 $m_{1}=\frac{10}{3}$ 时, $\sqrt{4-n}=\frac{10}{3}$, 解得: $n=-\frac{64}{9}$,

$\because n>0$,

$\therefore n=-\frac{64}{9}$ 不符合题意舍去;

当 $m_{2}=\frac{6}{5}$ 时, $\sqrt{4-n}=\frac{6}{5}$, 解得: $n=\frac{64}{25}$,

$\because \frac{64}{25}>0$,

$\therefore n=\frac{64}{25}$ 符合题意;

综上分析可知, $n=\frac{64}{25}$,

故选: $D$.

先求出抛物线 $y=x^{2}+4 x+n$ 与 $x$ 轴的交点, 拋物线 $y=x^{2}-4 x+n$ 与 $x$ 轴的交点, 然后根据 $A D=$ $4 B C$, 得出 $A D^{2}=16 B C^{2}$, 列出关于 $n$ 的方程, 解方程即可.

本题主要考查了抛物线与 $x$ 轴的交点问题, 根据题意用 $n$ 表示出 $A D^{2}=16 B C^{2}$, 列出关于 $n$ 的方程是解

题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 已知二次函数 $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ 的图象如图所示, 有下列5个结论: (1) $a b c>0$; (2) $b-$ $a>c$; (3) $4 a+2 b+c>0$; (4) $3 a>-c$; (5) $a+b>m(a m+b)(m \neq 1$ 的实数).其中正确结论有 $($ )



选项：
A. (1)(2)(3)
B. (2)(3)(5)
C. (2)(3)(4)
D. (3)(4)(5)


答案：B
解析：【分析】

本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系, 二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 的系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与 $y$ 轴的交点、抛物线与 $x$ 轴交点的个数确定, 熟练掌握二次函数的性质是关键. 由抛物线对称轴的位置判断 $a b$ 的符号, 由拋物线与 $y$ 轴的交点判断 $c$ 的符号, 然后根据对称轴及拋物线与 $x$ 轴交点情况进行推理, 进而对所得结论进行判断. 【解答】

解: (1) $\because$ 对称轴在 $y$ 轴的右侧,

$\therefore a b<0$,

由图象可知: $c>0$,

$\therefore a b c<0$,

故(1)不正确;

(2) 当 $x=-1$ 时, $y=a-b+c<0$,

$\therefore b-a>c$,

故(2)正确;

(3)由对称知, 当 $x=2$ 时, 函数值大于 0 , 即 $y=4 a+2 b+c>0$,

故(3)正确;

(4) $\because x=-\frac{b}{2 a}=1$,

$\therefore b=-2 a$,

$\because a-b+c<0$,

$\therefore a+2 a+c<0$,

$3 a<-c$,

故(4)不正确;

(5)当 $x=1$ 时, $y$ 的值最大. 此时, $y=a+b+c$,

而当 $x=m$ 时, $y=a m^{2}+b m+c$,

所以 $a+b+c>a m^{2}+b m+c(m \neq 1)$,

故 $a+b>a m^{2}+b m$, 即 $a+b>m(a m+b)$,

故(5)正确.

故(2)(3)(5)正确.

故选 $B$.

##
题目（九年级 · 解析几何）：三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同. 当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为 10 米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为 14 米时，单个小的水面宽度为 4 米, 若大孔水面宽度为20米, 则单个小孔的水面宽度为( )



选项：
A. $4 \sqrt{3}$ 米
B. $5 \sqrt{2}$ 米
C. $2 \sqrt{13}$ 米
D. 7米


答案：B
解析：【分析】

本题考查二次函数的应用, 解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质和数形结合的思想解答.根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为 $A$ 的小孔所在抛物线的解析式, 将 $x=-10$ 代入可求解.

## 【解答】

解: 如图, 建立如图所示的平面直角坐标系, 由题意可得 $M N=4, E F=14, B C=10, D O=\frac{3}{2}$,



设大孔所在抛物线解析式为 $y=a x^{2}+\frac{3}{2}$,

$\because B C=10$,

$\therefore$ 点 $B(-5,0)$,

$\therefore 0=a \times(-5)^{2}+\frac{3}{2}$,

$\therefore a=-\frac{3}{50}$,
$\therefore$ 大孔所在抛物线解析式为 $y=-\frac{3}{50} x^{2}+\frac{3}{2}$,

设点 $A(b, 0)$, 则设顶点为 $A$ 的小孔所在抛物线的解析式为 $y=m(x-b)^{2}$,

$\because E F=14$,

$\therefore$ 点 $E$ 的横坐标为 -7 ,

$\therefore$ 点 $E$ 坐标为 $\left(-7,-\frac{36}{25}\right)$,

$\therefore-\frac{36}{25}=m(x-b)^{2}$,

$\therefore x_{1}=\frac{6}{5} \sqrt{-\frac{1}{m}}+b, x_{2}=-\frac{6}{5} \sqrt{-\frac{1}{m}}+b$,

$\because M N=4$,

$$
\therefore\left|\frac{6}{5} \sqrt{-\frac{1}{m}}+b-\left(-\frac{6}{5} \sqrt{-\frac{1}{m}}+b\right)\right|=4
$$

$\therefore m=-\frac{9}{25}$,

$\therefore$ 顶点为 $A$ 的小孔所在抛物线的解析式为 $y=-\frac{9}{25}(x-b)^{2}$,

$\because$ 大孔水面宽度为 20 米,

$\therefore$ 当 $x=-10$ 时, $y=-\frac{9}{2}$,

$\therefore-\frac{9}{2}=-\frac{9}{25}(x-b)^{2}$,

$\therefore x_{1}=\frac{5}{2} \sqrt{2}+b, x_{2}=-\frac{5 \sqrt{2}}{2}+b$,

$\therefore$ 单个小孔的水面宽度 $=\left|\left(\frac{5}{2} \sqrt{2}+b\right)-\left(-\frac{5}{2} \sqrt{2}+b\right)\right|=5 \sqrt{2}$ (米),

故选: B.

##
题目（九年级 · 解析几何）：已知抛物线 $y=x^{2}+b x+c$ 的部分图象如图所示，若 $y<0$ ，则 $x$ 的取值范围是

( )



选项：
A. $-1<x<4$
B. $-1<x<3$
C. $x<-1$ 或 $x>4$
D. $x<-1$ 或 $x>3$


答案：B
解析：【分析】

本题考查了二次函数的图象的性质及学生的识图能力, 是一道不错的考查二次函数图象的题目. 根据抛物线与 $x$ 轴的交点坐标及对称轴求出它与 $x$ 轴的另一交点坐标, 求当 $y<0, x$ 的取值范围就是求函数图象位于 $x$ 轴的下方的图象相对应的自变量 $x$ 的取值范围.

## 【解答】

解: 由图象知, 拋物线与 $x$ 轴交于 $(-1,0)$, 对称轴为 $x=1$,

$\therefore$ 拋物线与 $x$ 轴的另一交点坐标为 $(3,0)$,

$\because y<0$ 时, 函数的图象位于 $x$ 轴的下方,

且当 $-1<x<3$ 时函数图象位于 $x$ 轴的下方,

$\therefore$ 当 $-1<x<3$ 时, $y<0$.

故选 $B$.

##
题目（九年级 · 解析几何）：某种飞机着陆后滑行的距离 $s$ (单位: $m$ ) 与滑行时间 $t$ (单位: $s$ )的函数关系式满足 $s=-\frac{6}{5} t^{2}+60 t$,则该飞机从着陆到停下来滑行的距离是( )

选项：
A. $25 m$
B. $50 \mathrm{~m}$
C. $625 m$
D. $750 \mathrm{~m}$

答案：D
解析：解: $\because y=-\frac{6}{5} t^{2}+60 t=-\frac{6}{5}(t-25)^{2}+750$,

$\therefore$ 当 $t=25$ 时, $y$ 取得最大值 750 ,

即飞机着陆后滑行 750 米才能停下来,

故选: D.

将函数解析式配方成顶点式求出 $y$ 的最大值即可得.

本题主要考查二次函数的应用, 理解题意得出飞机滑行的距离即为 $y$ 的最大值是解题的关键.

##
题目（九年级 · 解析几何）：如图是一款拋物线型落地灯筒示意图, 防滑螺母 $C$ 为抛物线支架的最高点, 灯罩 $D$ 距离地面1.5米,最高点 $C$ 距灯柱的水平距离为 1.6 米, 灯柱 $A B$ 为 1.5 米, 若茶几摆放在灯罩的正下方, 则茶几到灯柱的距离 $A E$ 为多少米. ( )



选项：
A. 3.2
B. 0.32
C. 2.5
D. 1.6


答案：A
解析：【分析】

本题考查了二次函数的应用以及用待定系数法求函数解析式与能力. 以 $A E$ 所在直线为 $x$ 轴、 $A B$ 所在直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系, 利用待定系数法求出函数解析式, 再求出 $y=1.5$ 时 $x$ 的值, 即可得出答案.

## 【解答】

解: 如图所示, 以 $A E$ 所在直线为 $x$ 轴、 $A B$ 所在直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系,



根据题意知, 拋物线的顶点 $C$ 的坐标为 $(1.6,2.5)$,

设抛物线的解析式为 $y=a(x-1.6)^{2}+2.5$,

将点 $B(0,1.5)$ 代入得, $2.56 a+2.5=1.5$,

解得 $a=-\frac{25}{64}$,

$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=-\frac{25}{64}(x-1.6)^{2}+2.5$,

当 $y=1.5$ 时,$-\frac{25}{64}(x-1.6)^{2}+2.5=1.5$,

解得 $x=0$ (舍)或 $x=3.2$,

所以茶几到灯柱的距离 $A E$ 为 3.2 米,

故选: A.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 在平面直角坐标系中, 直线 $y_{1}=m x+n$ 与抛物线 $y_{2}=a x^{2}+b x-3$ 相交于点 $A, B$.结合图象, 判断下列结论: (1)当 $-2<x<3$ 时, $y_{1}>y_{2}$; (2) $x=3$是方程 $a x^{2}+b x-3=0$ 的一个解; (3)若 $\left(-1, t_{1}\right),\left(4, t_{2}\right)$ 是抛物线上的两点,则 $t_{1}<t_{2}$; (4)对于抛物线 $y_{2}=a x^{2}+b x-3$, 当 $-2<x<3$ 时, $y_{2}$ 的取值范围是 $0<y_{2}<5$. 其中正确结论的个数是 ( )



选项：
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个


答案：C
解析：解: (1) $\because$ 直线 $y_{1}=m x+n$ 与抛物线 $y_{2}=a x+b x-3$ 相交于点 $A, B$, $\therefore$ 由图象可知: 当 $-2<x<3$ 时, 直线 $y_{1}=m x+n$ 在抛物线 $y_{2}=a x+b x-3$ 的上方,

$\therefore y_{1}>y_{2}$,

$\therefore$ (1)正确.

(2)由图象可知: 抛物线 $y_{2}=a x+b x-3$ 有两个交点,

$\therefore$ 方程 $a x^{2}+b x-3=0$ 有两个不相等的实数根.

$\therefore x=3$ 是方程 $a x^{2}+b x-3=0$ 的一个解,

$\therefore$ (2) 正确.

(3)将点 $(-2,5) 、(3,0)$ 代入 $y=a x^{2}+b x-3$ 得: $\left\{\begin{array}{l}4 a-2 b-3=5 \\ 9 a+3 b-3=0\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{l}a=\frac{3}{2} \\ b=-4\end{array}\right.$,

$\therefore$ 拋物线解析式为 $y=\frac{3}{2} x^{2}-4 x-3$,

当 $x=-1$ 时, $t_{1=-} \frac{1}{2}$,

当 $x=4$ 时, $t_{2=5}$,

$\therefore t_{1}<t_{2}$,

$\therefore$ (3)正确.

(4)由(3)可知 $(-2,5)$ 与点 $(4,5)$ 关于对称轴 $x$ 对称，

$\therefore$ 对称轴 $x=\frac{-2+4}{2}=1$.

将 $x=1$ 代入抛物线解析式得 $y=-\frac{11}{2}$,

$\therefore$ 当 $-2<x<1$ 时, $-\frac{11}{2}<y<5$.

当 $1<x<3$ 时, $-\frac{11}{2}<y<0$.

$\therefore$ (4)错误.

故选: $C$.

①根据函数的图象特征即可得出结论.

②根据二次函数与二次方程根的关系即可得出结论.

(3)将点 $(-2,5) 、(3,0)$ 代入 $y=a x^{2}+b x-3$ 得出解析式, 再求出 $t$ 的值即可得出结论.

(4)由图象和(3)可得出二次函数的对称轴, 再根据二次函数的增减性以及二次函数图象即得出 $y$ 得取值范围.

本题考查了二次函数的图象特征、二次函数与方程、不等式(组)之间的关系，利用数形结合的思想是解决此类问题的关键.

##
题目（九年级 · 解析几何）：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具, 明朝科学家徐光启在 侬政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理, 如图 1 . 筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 $O$ 为圆心的圆, 如图 2 . 已知圆心 $O$ 在水面上方, 且 $\odot O$ 被水面截得的弦 $A B$ 长为 6 米, $\odot O$ 半径长为 4 米. 若点 $C$ 为运行轨道的最低点, 则点 $C$ 到弦 $A B$ 所在直线的距离是 $(\quad)$



图1



图2

选项：
A. 1 米
B. $(4-\sqrt{7})$ 米
C. 2 米
D. $(4+\sqrt{7})$ 米


答案：B
解析：【分析】

连接 $O C$ 交 $A B$ 于点 $D$, 连接 $O A$, 根据垂径定理得到 $A D=\frac{1}{2} A B$, 根据勾股定理求出 $O D$, 结合图形计算,得到答案.

本题考查的是垂径定理的应用, 掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键.

## 【解答】

解: 连接 $O C$ 交 $A B$ 于点 $D$, 连接 $O A$,



图2

$\because$ 点 $C$ 为运行轨道的最低点,

$\therefore O C \perp A B$,

$\therefore A D=\frac{1}{2} A B=3$ (米),

在Rt $\triangle O A D$ 中, $O D=\sqrt{O A^{2}-A D^{2}}=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$ (米),

$\therefore$ 点 $C$ 到弦 $A B$ 所在直线的距离 $C D=O C-O D=(4-\sqrt{7})$ 米,

故选: $B$.

##
题目（九年级 · 解析几何）：《九章算术》是我国古代著名数学经典, 其中对勾股定理的论述比西方早一千多年, 其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小. 以锯锯之，深一寸，锯道长一尺. 问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深 1 寸，锯道长 1 尺. 如图，已知弦 $A B=1$ 尺, 弓形高 $C D=1$ 寸, (注： 1 尺 $=10$ 寸)问这块圆柱形木材的直径是 $($ )



选项：
A. 13 寸
B. 6.5 寸
C. 26 寸
D. 20 寸

## 第 II 卷（非选择题）

##
答案：C
解析：解：设 $\odot O$ 的半径为 $r$.

在Rt $\triangle A D O$ 中, $A D=5, O D=r-1, O A=r$,

则有 $r^{2}=5^{2}+(r-1)^{2}$,

解得 $r=13$,

$\therefore \odot O$ 的直径为 26 寸,

故选: $C$.

本题考查垂径定理的应用、勾股定理等知识, 解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题, 属于中考常考题型. 设 $\odot O$ 的半径为 $r$.在 $R t \triangle A D O$ 中, $A D=5, O D=r-1, O A=r$, 则有 $r^{2}=5^{2}+(r-1)^{2}$,解方程即可.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, 弦 $C D$ 交 $A B$ 于点 $P, A P=2, B P=6, \angle A P C=30^{\circ}$, 则 $C D$ 的长为 ( )



选项：
A. $\sqrt{15}$
B. $2 \sqrt{5}$
C. $2 \sqrt{15}$
D. 8


答案：C
解析：如图, 过点 $O$ 作 $O H \perp C D$ 于点 $H$, 连结 $O C . \because O H \perp C D, \therefore C H=D H$.



$\because A P=2, B P=6, \therefore A B=8, \therefore O A=4, \therefore O P=O A-A P=2$.

在Rt $\triangle O P H$ 中, $\because \angle O P H=\angle A P C=30^{\circ}, \therefore O H=\frac{1}{2} O P=1$.

在Rt $\triangle O H C$ 中, $\because O C=4, O H=1, \therefore C H=\sqrt{O C^{2}-O H^{2}}=\sqrt{15}, \therefore C D=2 C H=2 \sqrt{15}$.

##
题目（九年级 · 解析几何）：高速公路的隧道和桥梁最多, 如图是一个隧道的横截面, 若它的形状是以 $O$ 为圆心的圆的一部分,路面 $A B=8$ 米, 净高 $C D=8$ 米, 则此圆的半径 $O A=($ )



选项：
A. 5 米
B. $\frac{11}{2}$ 米
C. 6 米
D. $\frac{13}{2}$ 米


答案：A
解析：【分析】

本题考查垂径定理, 勾股定理, 关键是应用勾股定理列出关于半径的方程, 设 $\odot O$ 的半径是 $r$ 米, 由垂径定理, 勾股定理, 列出关于 $r$ 的方程, 即可求解.

## 【解答】

解: 设 $\odot O$ 的半径是 $r$ 米,

$\because C D \perp A B$,

$\therefore A D=\frac{1}{2} A B=4$ (米),

$\because O A^{2}=O D^{2}+A D^{2}$,

$\therefore r^{2}=(8-r)^{2}+4^{2}$,
$\therefore r=5$,

$\therefore \odot O$ 的半径 $O A$ 是 5 米.

故选 $A$.

##
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 在直角坐标系中, 直线 $y=\frac{3}{4} x-3$ 交 $x$ 轴于点 $B$, 交 $y$ 轴于点 $A$,以坐标原点 $O$ 为圆心, 以 $O A$ 为半径作 $\odot O$ 交直线 $A B$ 于点 $C$, 则 $B C$ 的值 ( )


选项：
A. $\frac{5}{6}$

B. $\frac{7}{5}$



C. $\frac{8}{5}$

D. $\frac{9}{5}$


答案：B
解析：解: 如图, 过点 $O$ 作 $O D \perp A B$ 于点 $D$, 则 $A D=C D$,



$\because$ 直线 $y=\frac{3}{4} x-3$ 交 $x$ 轴于点 $B$, 交 $y$ 轴于点 $A$,

$\therefore A(0,-3), B(4,0)$,

$\therefore$ 在Rt $\triangle A O B$ 中, $O A=3, O B=4$, 由勾股定理得 $A B=5$,

$\therefore O A \times O B=A B \times O D$,

$\therefore O D=\frac{3 \times 4}{5}=\frac{12}{5}$,

$\therefore$ 在Rt $\triangle A O D$ 中, $O A=3, O D=\frac{12}{5}$, 由勾股定理得 $A D=\sqrt{3^{2}-\left(\frac{12}{5}\right)^{2}}=\frac{9}{5}$,

$\therefore C D=\frac{9}{5}$,

$\therefore B C=A B-A D-C D=5-\frac{9}{5}-\frac{9}{5}=\frac{7}{5}$.

故选: $B$.

过点 $O$ 作 $O D \perp A B$ 于点 $D$, 则由垂径定理可得 $A D=C D$; 由直线 $y=\frac{3}{4} x-3$ 交 $x$ 轴于点 $B$, 交 $y$ 轴于点 $A$,分别得出点 $A$ 和点 $B$ 的坐标, 由勾股定理得出 $A B$ 的值; 再由面积法得出 $O D$ 的长; 然后由勾股定理求得 $A D$ 的长, 则 $C D$ 的值也可得, 最后用 $A B$ 的长减去 $A D$ 和 $C D$ 的长即为 $B C$ 的长.
本题考查了垂径定理、一次函数在几何问题中的应用、面积法及勾股定理等知识点, 熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.

##
题目（九年级 · 解析几何）：比章算术》是我国古代著名数学经典, 其中对勾股定理的论述比西方早一千多年.其中有这样一个问题: “今有圆材埋在壁中, 不知大小, 以锯锯之, 深一寸, 锯道长一尺. 问径几何? ” 其意为:今有一圆柱形木材, 埋在墙壁中, 不知其大小用锯去锯该材料, 锯口深 1 寸, 锯道长 1 尺, 如图, 已知弦 $A B=1$ 尺, 弓形高 $C D=1$ 寸(注: 1 尺=10寸), 问这块圆柱形木材的直径是 $($ )



选项：
A. 13 寸
B. 6.5 寸
C. 26 寸
D. 20 寸


答案：C
解析：解: 设 $\odot O$ 的半径为 $r$.

在Rt $\triangle A D O$ 中, $A D=5, O D=r-1, O A=r$,

则有 $r^{2}=5^{2}+(r-1)^{2}$,

解得 $r=13$,

$\therefore \odot O$ 的直径为 26 寸,

故选: $C$.

设 $\odot O$ 的半径为 $r$.在 $R t \triangle A D O$ 中, $A D=5, O D=r-1, O A=r$, 则有 $r^{2}=5^{2}+(r-1)^{2}$, 解方程即

可;

本题考查垂径定理、勾股定理等知识, 解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题, 属于中考常考题型.
题目（九年级 · 解析几何）：抛物线 $y=x^{2}-6 x-1$ 与 $y$ 轴的交点坐标是 ( )
  
选项：
A. $(0,1)$
  B. $(0,-1)$
  C. $(0,-6)$
  D. $(0,3)$


答案：B
解析：把 $x=0$ 代入抛物线表达式, 求出 $y$ 即可解决.

【详解】解: 把 $x=0$ 代入抛物线表达式, 得 $y=-1$,

$\therefore$ 抛物线 $y=x^{2}-6 x-1$ 与 $y$ 轴的交点坐标是 $(0,-1)$.

故选: B.

【点睛】本题考查了求二次函数图象与坐标轴的交点坐标, 从数与形两个方面来理解二次函数图象与 $y$ 轴交点是解题关键.
题目（九年级 · 解析几何）：二次函数 $y=x^{2}$ 的图象向右平移 3 个单位, 向上平移 3 个单位, 得到新函数图象表达式是（）
  
选项：
A. $y=(x+3)^{2}+3$
  B. $y=(x-3)^{2}+3$
  C. $y=(x+3)^{2}-3$
  D. $y=(x-3)^{2}-3$


答案：B
解析：根据二次函数的平移规律“左加右减, 上加下减”, 即可求解.

【详解】解: 将二次函数 $y=x^{2}$ 的图象向右平移 3 个单位,向上平移 3 个单位, 得到函数图象的表达式是 $y=(x-3)^{2}+3$

故选: B.

【点睛】本题考查了二次函数的平移, 熟练掌握平移规律是解题的关键.