题目（九年级 · 组合几何学）：(本小题8.0分)

如图, 四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O, A B=17, C D=10, \angle A=90^{\circ}, \cos B=\frac{3}{5}$, 求 $A D$ 的长.


选项：
答案：解: : 四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O, \angle B A D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle C=180^{\circ}-\angle B A D=90^{\circ}, \angle A B C+\angle A D C=180^{\circ}$.

作 $A E \perp B C$ 于 $E, D F \perp A E$ 于 $F$, 则四边形 $C D F E$ 是矩形, $E F=C D=10$.

<ImageHere>

在Rt $\triangle A E B$ 中,

$\because \angle A E B=90^{\circ}, A B=17, \cos \angle A B C=\frac{3}{5}$,

$\therefore B E=A B \cdot \cos \angle A B E=\frac{51}{5}$.

$\therefore A E=\sqrt{A B^{2}-B E^{2}}=\frac{68}{5}$.

$\therefore A F=A E-E F=\frac{68}{5}-10=\frac{18}{5}$.

$\because \angle A B C+\angle A D C=180^{\circ}, \angle C D F=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A B C+\angle A D F=90^{\circ}$.

$\because \cos \angle A B C=\frac{3}{5}$,

$\therefore \sin \angle A D F=\cos \angle A B C=\frac{3}{5}$.

在Rt $\triangle A D F$ 中,

$\because \angle A F D=90^{\circ}, \sin \angle A D F=\frac{3}{5}$,

$\therefore A D=\frac{A F}{\sin \angle A D F}=\frac{\frac{18}{5}}{\frac{3}{5}}=6$.

【解析】本题考查了圆内接四边形的性质, 矩形的判定与性质, 勾股定理, 解直角三角形, 求出 $A F=\frac{18}{5}$ 以及 $\sin \angle A D F=\frac{3}{5}$ 是解题的关键. 根据圆内接四边形的对角互补得出 $\angle C=90^{\circ}, \angle A B C+$ $\angle A D C=180^{\circ}$. 作 $A E \perp B C$ 于 $E, D F \perp A E$ 于 $F$, 则 $C D F E$ 是矩形, $E F=C D=10$. 解 $R t \triangle A E B$, 得出 $B E=A B \cdot \cos \angle A B E=\frac{51}{5}, A E=\sqrt{A B^{2}-B E^{2}}=\frac{68}{5}$, 那么 $A F=A E-E F=\frac{18}{5}$. 再证明 $\angle A B C+$ $\angle A D F=90^{\circ}$, 根据互余角的互余函数相等得出 $\sin \angle A D F=\cos \angle A B C=$
$\frac{3}{5}$ 解 $R t \triangle A D F$, 即可求出 $A D=\frac{A F}{\sin \angle A D F}=6$.
解析：解: : 四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O, \angle B A D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle C=180^{\circ}-\angle B A D=90^{\circ}, \angle A B C+\angle A D C=180^{\circ}$.

作 $A E \perp B C$ 于 $E, D F \perp A E$ 于 $F$, 则四边形 $C D F E$ 是矩形, $E F=C D=10$.



在Rt $\triangle A E B$ 中,

$\because \angle A E B=90^{\circ}, A B=17, \cos \angle A B C=\frac{3}{5}$,

$\therefore B E=A B \cdot \cos \angle A B E=\frac{51}{5}$.

$\therefore A E=\sqrt{A B^{2}-B E^{2}}=\frac{68}{5}$.

$\therefore A F=A E-E F=\frac{68}{5}-10=\frac{18}{5}$.

$\because \angle A B C+\angle A D C=180^{\circ}, \angle C D F=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A B C+\angle A D F=90^{\circ}$.

$\because \cos \angle A B C=\frac{3}{5}$,

$\therefore \sin \angle A D F=\cos \angle A B C=\frac{3}{5}$.

在Rt $\triangle A D F$ 中,

$\because \angle A F D=90^{\circ}, \sin \angle A D F=\frac{3}{5}$,

$\therefore A D=\frac{A F}{\sin \angle A D F}=\frac{\frac{18}{5}}{\frac{3}{5}}=6$.

【解析】本题考查了圆内接四边形的性质, 矩形的判定与性质, 勾股定理, 解直角三角形, 求出 $A F=\frac{18}{5}$ 以及 $\sin \angle A D F=\frac{3}{5}$ 是解题的关键. 根据圆内接四边形的对角互补得出 $\angle C=90^{\circ}, \angle A B C+$ $\angle A D C=180^{\circ}$. 作 $A E \perp B C$ 于 $E, D F \perp A E$ 于 $F$, 则 $C D F E$ 是矩形, $E F=C D=10$. 解 $R t \triangle A E B$, 得出 $B E=A B \cdot \cos \angle A B E=\frac{51}{5}, A E=\sqrt{A B^{2}-B E^{2}}=\frac{68}{5}$, 那么 $A F=A E-E F=\frac{18}{5}$. 再证明 $\angle A B C+$ $\angle A D F=90^{\circ}$, 根据互余角的互余函数相等得出 $\sin \angle A D F=\cos \angle A B C=$
$\frac{3}{5}$ 解 $R t \triangle A D F$, 即可求出 $A D=\frac{A F}{\sin \angle A D F}=6$.