eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高二 · 算术）：在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=-9, a_{5}=-1$, 记 $T_{n}=a_{1} a_{2} \cdots a_{n}(n=1,2, \cdots)$, 则数列 $\left\{T_{n}\right\}$ ( )
选项：
A. 有最大项，有最小项
B. 有最大项, 无最小项
C. 无最大项, 有最小项
D. 无最大项, 无最小项
答案：B
解析：, \therefore n \leq 5$ 时, $a_{n}<0 ; n \geq 6$ 时, $a_{n}>0 \quad \therefore T_{1}=-9<0 \quad, \quad T_{2}=(-9) \times(-7)=63>0 \quad, \quad T_{3}=(-9) \times(-7) \times(-5)=-315<0 \quad$, $T_{4}=(-9) \times(-7) \times(-5) \times(-3)=945>0, T_{5}=(-9) \times(-7) \times(-5) \times(-3) \times(-1)=-945<0$, 当 $n \geq 6$ 时, $a_{n}>0$, 且 $a_{n} \geq 1, \therefore T_{n+1}<T_{n}<0, \therefore T_{n}=a_{1} a_{2} \cdots a_{n}(n=1,2, \cdots)$ 有最大项 $T_{4}, 无最小项, 故选 B.
题目（高二 · 算术）：等差数列 $x, 3 x+3,6 x+6, \cdots$ 的第四项等于 ( )
选项：
A. 0
B. 9
C. 12
D. 18
答案：B
解析：解析: $\because$ 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}: x, 3 x+3,6 x+6, \ldots$,

$\therefore 2(3 x+3)=x+6 x+6$,

解得 $x=0$.

$\therefore$ 此数列的首项 $a_{1}=0$, 公差 $d=3$.

$\therefore a_{4}=0+3 \times(4-1)=9$.

故选: B.
题目（高二 · 算术）：等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 若公差 $d>0,\left(S_{8}-S_{5}\right)\left(S_{9}-S_{5}\right)<0$, 则 ( )
选项：
A. $a_{7}=0$
B. $\left|a_{7}\right|=\left|a_{8}\right|$
C. $\left|a_{7}\right|>\left|a_{8}\right|$
D. $\left|a_{7}\right|<\left|a_{8}\right|$
答案：D
解析：解析: $\because$ 公差 $d>0,\left(S_{8}-S_{5}\right)\left(S_{9}-S_{5}\right)<0$,

$\therefore S_{9}>S_{8}$,
$\therefore S_{8}<S_{5}<S_{9}$,

$\therefore a_{6}+a_{7}+a_{8}<0, \therefore a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}>0$,

$\therefore a_{7}<0, a_{7}+a_{8}>0$,

$\therefore\left|a_{7}\right|<\left|a_{8}\right|$,

故选: D.
题目（高二 · 算术）：在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{2}+a_{4}=2, a_{5}=3$, 则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 6 项和为 ( )
选项：
A. 6
B. 9
C. 10
D. 11
答案：B
解析：解析：设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d, \because a_{2}+a_{4}=2, a_{5}=3$ ，

$\therefore 2 a_{1}+4 d=2, a_{1}+4 d=3$,

解得： $a_{1}=-1, d=1$,

则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 6 项和 $=-6+\frac{6 \times 5}{2} \times 1=9$.

故选: B.
题目（高二 · 算术）：设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 若 $a_{2}=3, S_{5}=35$, 则 $a_{6}=(\quad)$
选项：
A. 13
B. 15
C. 17
D. 19
答案：D
解析：解析: $\left\{\begin{array}{c}a_{2}=a_{1}+d=3 \\ S_{5}=5 a_{1}+\frac{4 \times 5}{2} d=35\end{array}\right.$ 所以 $\left\{\begin{array}{c}a_{1}+d=3 \\ a_{1}+2 d=7\end{array}\right.$ 解得 $d=4$, 所以 $a_{6}=a_{2}+4 d=19$
题目（高二 · 算术）：已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 13 项之和为 39 , 则 $a_{6}+a_{7}+a_{8}$ 等于 ( )
选项：
A. 6
B. 9
C. 12
D. 18
答案：B
解析：解析: 由题意, 得 $S_{13}=39$, 所以 $13 a_{7}=39$, 解得 $a_{7}=3$, 所以 $a_{6}+a_{7}+a_{8}=3 a_{7}=3 \times 3=9$
题目（高二 · 算术）：在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, 其前 $n$ 项和为 $S n$, 若 $a_{5}, a_{7}$ 是方程 $x^{2}+10 x-16=0$ 的两个根, 那么 $S_{11}$ 的值为( )
选项：
A. 44
B. -44
C. 55
D. -55
答案：D
解析：解析: $\because a_{5}, a_{7}$ 是方程 $x^{2}+10 x-16=0$ 的两个根,

$\therefore a_{5}+a_{7}=-10$,

则 $S_{11}=\frac{11\left(a_{1}+a_{11}\right)}{2}=\frac{11\left(a_{5}+a_{7}\right)}{2}=\frac{11 \times(-10)}{2}=-55$
题目（高二 · 算术）：已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列, 若 $a_{3}+a_{4}+a_{8}=9$, 则 $S_{9}=(\quad)$
选项：
A. 24
B. 27
C. 36
D. 54
答案：B
解析：解析: 根据等差数列的通项公式, 我们根据 $a_{3}+a_{4}+a_{8}=9$, 易求也 $a_{5}=3$, 由等差数列的前 $n$ 项和公式,我们易得 $S_{9}=\frac{9}{2}\left(a_{1}+a_{9}\right)$, 结合等差数列的性质 “当 $2 q=m+n$ 时, $2 \mathrm{a}_{q}=\mathrm{a}_{\mathrm{m}}+\mathrm{a}_{\mathrm{n}}$, 得 $\left(a_{1}+a_{9}=2 a_{5}\right)$, 即可得到答案.

解:设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d, \because a_{3}+a_{4}+a_{8}=9 \therefore\left(a_{1}+2 d\right)+\left(a_{1}+3 d\right)+\left(a_{1}+7 d\right)=9$

即 $3\left(a_{1}+4 d\right)=9 \therefore a_{1}+4 d=3$

即 $a_{5}=3$

又 $\because S_{9}=\frac{9}{2}\left(a_{1}+a_{9}\right)=9$

$a_{5}=27$
题目（高二 · 算术）：已知正项等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}\left(n \in \mathrm{N}^{*}\right), a_{5}+a_{7}-a_{6}^{2}=0$, 则 $S_{11}$ 的值为 ().
选项：
A. 11
B. 12
C. 20
D. 22
答案：D
解析：设正项等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d(d>0)$, 则 $\left(a_{1}+4 d\right)+\left(a_{1}+6 d\right)-\left(a_{1}+5 d\right)^{2}=0$, 得 $\left(a_{1}+5 d\right)\left(a_{1}+5 d-2\right)=0$, 所以 $a_{1}+5 d=0$ 或 $a_{1}+5 d=2$. 又 $a_{1}>0$, 所以 $a_{1}+5 d>0$, 则 $a_{1}+5 d=2, S_{11}=11 a_{1}+\frac{11 \times 10}{2} d=11\left(a_{1}+5 d\right)=11 \times 2=22$, 故选 D.
题目（高二 · 算术）：记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, 若 $3 S_{3}=S_{2}+S_{4}, a_{1}=2$, 则 $a_{5}=($ )
选项：
A. -12
B. -10
C. 10
D. 12
答案：B
解析：由 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列, 且 $3 S_{3}=S_{2}+S_{4}$, 故有 $3\left(3 a_{1}+\frac{3 \times 2}{2} d\right)=\left(2 a_{1}+\frac{2 \times 1}{2} d\right)+\left(4 a_{1}+\frac{4 \times 3}{2} d\right)$, 即 $3 a_{1}+2 d=0$ 又由 $a_{1}=2$, 故可得 $d=-3$,故 $a_{3}=a_{1}+4 d=2+4 \times(-3)=-10$, 故选 B
题目（高二 · 算术）：已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 且 $a_{8}-a_{5}=-6, S_{9}-S_{4}=75$, 则 $S_{n}$ 取得最大值时 $n=(\quad)$
选项：
A. 14
B. 15
C. 16
D. 17
答案：A
解析：答案: A
题目（高二 · 算术）：设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 若 $a_{5}=5 a_{3}$, 则 $\frac{S_{9}}{S_{5}}=(\quad)$
选项：
A. 2
B. $\frac{25}{9}$
C. 9
D. $\frac{9}{25}$
答案：C
解析：$\because a_{5}=5 a_{3}$, 又 $\frac{S_{9}}{S_{5}}=\frac{\frac{9\left(a_{1}+a_{9}\right)}{2}}{\frac{5\left(a_{1}+a_{5}\right)}{2}}=\frac{9\left(a_{1}+a_{9}\right)}{5\left(a_{1}+a_{5}\right)}=\frac{9 \times 2 a_{5}}{5 \times 2 a_{3}}=9$.
题目（高二 · 算术）：等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 公差不为零, 首项 $a_{1}=1, a_{2}$ 是 $a_{1}$ 和 $a_{5}$ 的等比中项, 则数列前 10 项之和是 $(\quad)$
选项：
A. 190
B. 145
C. 100
D. 90
答案：C
解析：设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差 $d \neq 0, \because a_{2}$ 是 $a_{1}$ 和 $a_{5}$ 的等比中项,

$\therefore a_{2}^{2}=a 1 \cdot a 5, \therefore(1+d)^{2}=1 \times(1+4 d)$, 解得 $d=2$.

则数列的前 10 项之和 $=10+\frac{10 \times 9}{2} \times 2=100$.

故选: C.
题目（高二 · 算术）：已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列, $a_{10}=10$, 其前 10 项和 $S_{10}=70$, 则其公差等于 ( )
选项：
A. $-\frac{2}{3}$
B. $-\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{2}{3}$
答案：D
解析：$\because\left\{\begin{array}{l}a_{10}=10 \\ S_{10}=70\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a_{1}+(10-1) d=10 \\ 10 a_{1}+\frac{10(10-1)}{2} d=70\end{array} \Rightarrow d=\frac{2}{3}\right.\right.$. 故选 D.
题目（高二 · 算术）：设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 且 $a_{4}+a_{8}=0$, 则一定有 $(\quad)$
选项：
A. $S_{4}<S_{5}$
B. $S_{4}=S_{5}$
C. $S_{6}<S_{5}$
D. $S_{6}=S_{5}$
答案：D
解析：解析: 由等差数列的性质得 $a_{4}+a_{8}=2 a_{6}=0$, 即 $a_{6}=0$, 所以 $S_{6}=S_{5}$ 故选 D
题目（高二 · 算术）：已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=3$, 且 $4 a_{1}, 2 a_{2}, a_{3}$ 成等差数列, 则 $a_{3}+a_{4}+a_{5}=(\quad)$
选项：
A. 33
B. 72
C. 84
D. 189
答案：C
解析：由题意可设公比为 $q$, 则 $4 a_{2}=4 a_{1}+a_{3}$,

又 $a_{1}=3, \therefore q=2$.

$\therefore a_{3}+a_{4}+a_{5}=a_{1} q^{2}\left(1+q+q^{2}\right)=3 \times 4 \times(1+2+4)=84$.
题目（高二 · 算术）：已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项为 2 , 前 3 项和 $S_{3}=6$, 则其公比 $q$ 等于 ( )
选项：
A. 1
B. -2
C. 2
D. 1 或-2
答案：D
解析：根据题意,等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项为 2 , 前 3 项和 $S_{3}=6$,

则 $S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}=2+2 q+2 q^{2}=6$,

变形可得: $q^{2}+q-2=0$ ，

解可得: $q=1$ 或 -2 ;

故选: D.
题目（高二 · 算术）：等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项为正数, 且 $a_{5} a_{6}+a_{4} a_{7}=18$, 则 $\log _{3} a_{1}+\log _{3} a_{2}+\cdots+\log _{3} a_{10}=(\quad)$
选项：
A. 12
B. 10
C. 8
D. $2+\log _{3} 5$
答案：B
解析：解析: $a_{5} a_{6}+a_{4} a_{7}=18 \therefore a_{5} a_{6}=9$,

$\log _{3} a_{1}+\log _{3} a_{2}+\cdots+\log _{3} a_{10}=\log _{3}\left(a_{1} a_{2} \cdots a_{10}\right)$

$=\log _{3}\left(a_{5} a_{6}\right)^{5}=5 \log _{3} 9=10$.
题目（高二 · 算术）：已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列, $a_{3}=2, a_{6}=16$, 则公比 $q=(\quad)$
选项：
A. $-\frac{1}{2}$
B. -2
C. 2
D. $\frac{1}{2}$
答案：C
解析：答案: C
题目（高二 · 算术）：已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, 行 $a_{5}+a_{7}=8$, 则 $a_{4}\left(a_{6}+2 a_{3}\right)+a_{3} a_{11}$ 的值为 ( )
选项：
A. 8
B. 16
C. 64
D. 128
答案：C
解析：解析: 等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{4}\left(a_{6}+2 a_{8}\right)+a_{3} a_{11}=a_{4} a_{6}+2 a_{4} a_{8}+a_{3} a_{11}=a_{5}^{2}+2 a_{5} a_{7}+a_{7}^{2}=\left(a_{5}+a_{7}\right)^{2}$,

$\because a_{5}+a_{7}=8$,

$\therefore a_{4}\left(a_{6}+2 a_{8}\right)+a_{3} a_{11}=8^{2}=64$.

故选: C
题目（高二 · 算术）：记正项等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 若 $4\left(a_{1}+a_{2}\right)=3, S_{6}=\frac{63}{4}$, 则 $a_{7}=(\quad)$
选项：
A. $\frac{1}{256}$
B. $\frac{1}{128}$
C. 16
D. 32
答案：C
解析：解析: 依题意, 得 $S_{6}-a_{1}-a_{2}=15$, 所以 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}(1+q)=\frac{3}{4}, \\ a_{1} q^{2}\left(1+q+q^{2}+q^{3}\right)=15 .\end{array}\right.$ 两式相除可得, $q^{2}\left(1+q^{2}\right)=20$.
所以 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}=\frac{1}{4}, \text { 所以 } a_{7}=a_{1} q^{6}=\frac{1}{4} \times 2^{6}=16 . \\ q=2 .\end{array}\right.$
题目（高二 · 算术）：等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正数, 且 $a_{2} a_{9}+a_{5} a_{6}=6$, 则 $\log _{3} a_{1}+\log _{3} a_{2}+\cdots+\log _{3} a_{10}=(\quad)$
选项：
A. 6
B. 5
C. 4
D. $1+\log _{3} 5$
答案：B
解析：答案: B
题目（高二 · 算术）：在正项等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{3} a_{7}=4$, 数列 $\left\{\log _{2} a_{n}\right\}$ 的前 9 项之和为( )
选项：
A. 11
B. 9
C. 15
D. 13
答案：B
解析：$\because\left\{a_{n}\right\}$ 是正项等比数列, $\therefore a_{3} a_{7}=a_{1} a_{9}=a_{2} a_{8}=a_{4} a_{6}=a_{2}^{5}=4$,

$\therefore a_{5}=2$

$S_{9}=\log _{2} a_{1}+\log _{2} a_{2}+\log _{2} a_{3}+\log _{2} a_{4}+\log _{2} a_{5}+\log _{2} a_{6}+\log _{2} a_{7}+\log _{2} a_{8}+\log _{2} a_{9}$

$=\log _{2}\left(a_{1} a_{2} \ldots a_{9}\right)$

$=\log _{2}\left[\left(a_{3} a_{7}\right)\left(a_{1} a_{9}\right)\left(a_{2} a_{8}\right)\left(a_{4} a_{6}\right)\left(a_{5}\right)\right]$

$=\log _{2}\left(4^{4} \times 2\right)=\log _{2} 2^{9}=9$

故答案为 B
题目（高二 · 算术）：已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $\mathrm{R}$, 且满足 $f(x+2)=3 f(x)$, 当 $x \in[0,2)$ 时, $f(x)=e^{x}$ 则 $f(0)+f(1)+f(2)+\cdots+f(2020)=(\quad)$
选项：
A. $\frac{1-3^{1010}}{1-3}+e \frac{1-3^{1011}}{1-3}$
B. $\frac{1-3^{1011}}{1-3}+e \frac{1-3^{1010}}{1-3}$
C. $\frac{1-3^{1009}}{1-3}+e \frac{1-3^{1010}}{1-3}$
D. $\frac{1-3^{1010}}{1-3}+e \frac{1-3^{1009}}{1-3}$
答案：B
解析：由题意有, 当 $x \in[0,2)$ 时, $f(x)=e^{x}, \therefore f(0)+f(1)=e^{0}+e^{1}$

当 $x \in[2,4)$ 时, $f(x)=3 e^{x-2}, \therefore f(2)+f(3)=3 e^{0}+3 e^{1}$

当 $x \in[4,6)$ 时, $f(x)=3^{2} \cdot e^{x-4}, \therefore f(4)+f(5)=3^{2} \cdot e^{0}+3^{2} \cdot e^{1}$
当 $x \in[2018,2020)$ 时, $f(x)=3^{1009} \cdot e^{x-2018}, \therefore f(2018)+f(2019)=3^{1009} \cdot e^{0}+3^{1009} \cdot e^{1}$当 $x \in[2020,2022)$ 时 $f(x)=3^{1010} \cdot e^{x-2020}, \therefore f(2020)=3^{1010} \cdot e^{0}$

$\therefore f(0)+f(1)+f(2)+\cdots+f(2020)$

$=[f(0)+f(2)+f(4)+\cdots+f(2020)]+[f(1)+f(3)+f(5)+\cdots+f(2019)]$

$=\left(3^{0}+3^{1}+\cdots+3^{1010}\right)+e\left(3^{0}+3^{1}+\cdots+3^{1009}\right)=\frac{1-3^{1011}}{1-3}+e \frac{1-3^{1010}}{1-3}$, 故答案为 $\mathrm{B}$
题目（高二 · 算术）：设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $\mathrm{n}$ 项和为 $S_{n}$, 若 $S_{2}=3, S_{4}=15$, 则 $S_{6}=(\quad)$
选项：
A. 31
B. 32
C. 63
D. 64
答案：C
解析：等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$. 若 $S_{2}=3, S_{4}=15$,

所以 $S_{2}, S_{4}-S_{2}, S_{6}-S_{4}$, 也是等比数列, $\left(S_{4}-S_{2}\right)^{2}=S_{2} \cdot\left(S_{6}-S_{4}\right)$,

即 $12^{2}=3 \cdot\left(S_{6}-15\right)$,

解得 $S_{6}=63$
题目（高二 · 算术）：已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前项和为 $S_{n}$, 则下列判断一定正确是 ( )
选项：
A. 若 $S_{3}>0$, 则 $a_{2020}>0$
B. 若 $S_{3}<0$, 则 $a_{2020}<0$
C. 若 $a_{2}>a_{1}$, 则 $a_{2021}>a_{2020}$
D. 若 $\frac{1}{a_{2}}>\frac{1}{a_{1}}$, 则 $a_{2021}<a_{2020}$
答案：D
解析：答案: D
题目（高二 · 算术）：各项均为正数的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前项和为 $S_{n}$, 若 $S_{n}=2, S_{3 n}=14$, 则 $S_{4 n}=(\quad)$
选项：
A. 80
B. 16
C. 26
D. 30
答案：D
解析：设各项均为正数的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比等于 q,

$\because S_{n}=2, S_{3 n}=14$

$\therefore \frac{a_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}=2, \frac{a_{1}\left(1-q^{3 n}\right)}{1-q}=14$, 解得 $q^{n}=2, \frac{a_{1}}{1-q}=-2$.

$\therefore S_{4 n}=\frac{a_{1}}{1-q}\left(1-q^{4 n}\right)=-2(1-16)=30$,

故选 D.
题目（高二 · 算术）：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 满足 $a_{1}=1, a_{2}=3, a_{n+2}=3 a_{n}+(-1)^{n} a_{n}$ 则 $S_{2 n}=(\quad)$
选项：
A. $4^{n}+2^{n}-2$
B. $-\frac{4^{n}}{3}+2^{n}-\frac{4}{3}$
C. $4^{n}+2^{n}+2$
D. $4^{n}+2^{n}$
答案：A
解析：当 $n$ 为奇数时, $a_{n+2}=2 a_{n}$, 所以奇数项为以 1 为首项, 2 为公比的等比数列: 当 $n$ 为偶数时 $a_{n+2}=4 a_{n}$, 所以偶数项为以 3 为首项, 4 为公比的等比数列, 所以
$S_{2 n}=S_{\pi}+S_{G}=\frac{1-2^{n}}{1-2}+\frac{3\left(1-4^{n}\right)}{1-4}=4^{n}+2^{n}-2$
题目（高二 · 算术）：$\frac{1}{1 \times 4}+\frac{1}{4 \times 7}+\cdots+\frac{1}{(3 n-2)(3 n+1)}=(\quad)$
选项：
A. $\frac{n}{3 n+1}$
B. $\frac{n+1}{3 n+1}$
C. $\frac{2 n-1}{3 n+1}$
D. $\frac{2 n-2}{3 n+1}$
答案：A
解析：原式 $=\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{7}\right)+\ldots+\frac{1}{3}\left(\frac{1}{3 n-2}-\frac{1}{3 n+1}\right)=\frac{1}{3}$

$\left[\left(1-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{7}\right)+\ldots+\left(\frac{1}{3 n-2}-\frac{1}{3 n+1}\right)\right]=-\left(1-\frac{1}{3 n+1}\right)$

$=\frac{n}{3 n+1}$

故选 A.
题目（高二 · 算术）：化简式子 $\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{3 \times 4}+\frac{1}{4 \times 5}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}=(\quad)$
选项：
A. $\frac{1}{n+1}$
B. $\frac{n-1}{n+1}$
C. $\frac{n}{n+1}$
D. $\frac{n-1}{n}$
答案：C
解析：$\because \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} \therefore \frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{3 \times 4}+\cdots+\frac{1}{n \times(n+1)}$

$=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$
题目（高二 · 算术）：等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 若 $S_{2 n}=3\left(a_{1}+a_{3}+a_{5}+\cdots \cdots+a_{2 n-1}\right)\left(n \in \mathrm{N}^{*}\right)$, $a_{1} a_{2} a_{3}=8$, 则 $S_{8}=(\quad)$
选项：
A. 510
B. 255
C. 127
D. 6540
答案：B
解析：设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$,

$\because S_{2 n}=3\left(a_{1}+a_{3}+a_{5}+\cdots+a_{2 n-1}\right)\left(n \in \mathrm{N}^{*}\right)$,

$\frac{a_{1}}{1-q} \cdot\left(1-q^{2 n}\right)=3 \cdot \frac{a_{1}}{1-q^{2}} \cdot\left(1-q^{2 n}\right)$,

$\therefore q=2$,

$\because a_{1} a_{2} a_{3}=a_{2}^{3}=8$,

$\therefore a_{2}=2, a_{1}=1$,

则 $S_{8}=\frac{1-2^{8}}{1-2}=255$.

故选: B.
题目（高二 · 算术）：《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题: “衰分”是按比例递减分配的意思, 通常称递减的比例(百分

比)为“衰分比”. 如: 甲、乙、丙、丁 “哀” 得 $100,60,36,21\.6$ 个单位,递减的比例为 $40 \%$, 今共有粮 $m(m>0)$ 石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”, 已知丙衰分得 80 石,乙、丁衰分所得的和为 164 石,则“衰分比”与 $m$ 的值分别为
选项：
A. $20 \% 369$
B. $80 \% \quad 369$
C. $40 \% 360$
D. $60 \% \quad 365$
答案：A
解析：设“衰分比”为 $a$, 甲衰分得 $b$ 石, 由题意得 $\left\{\begin{array}{l}b(1-a)^{2}=80 \\ b(1-a)+b(1-a)^{3}=164 \text {, } \\ b+80+164=m\end{array}\right.$ 解得 $b=125, a=20 \%, m=369$故选 A
题目（高二 · 算术）：已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列, $a_{1}=1, a_{3}=2$, 则 $\frac{a_{5}+a_{10}}{a_{1}+a_{6}}=()$
选项：
A. 1
        B. 2
        C. 4
        D. 8
答案：C
解析：设公比为 $q$, 因为 $a_{1}=1, a_{3}=2$, 所以 $q^{2}=\frac{a_{3}}{a_{1}}=2$, 所以 $\frac{a_{5}+a_{10}}{a_{1}+a_{6}}=$ $\frac{a_{1} q^{4}+a_{6} q^{4}}{a_{1}+a_{6}}=q^{4}=2^{2}=4$, 故选 C.
题目（高二 · 算术）：已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{5}^{2}+a_{9}^{2}=10$, 则 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}$ 的最大值为 ( )
选项：
A. $5 \sqrt{5}$
       B. 20
       C. 25
       D. 100
答案：C
解析：因为 $a_{5}^{2}+a_{9}^{2}=10$, 所以令 $a_{5}=\sqrt{10} \cos \alpha, a_{9}=\sqrt{10} \sin \alpha(\alpha \in[0,2 \pi))$, 因此公差

    $d=\frac{1}{4} \sqrt{10}(\sin \alpha-\cos \alpha), a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}=5 a_{3}=5\left(a_{5}-2 d\right)$, 因此有

    $5\left(a_{5}-2 d\right)=5\left[\sqrt{10} \cos \alpha-2 \cdot \frac{1}{4} \sqrt{10}(\sin \alpha-\cos \alpha)\right]=25 \cos (\alpha+\theta)$, 其中

    $\tan \theta=\frac{1}{3}$, 因为 $25 \cos (\alpha+\theta) \leq 25$, 所以 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}$ 的最大值为 25 , 故选 C。
题目（高二 · 算术）：设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 若 $a_{3}=2, a_{1}+a_{4}=5$, 则 $S_{6}=(\quad)$
选项：
A. 10
       B. 9
       C. 8
       D. 7
答案：B
解析： $a_{3}=a_{1}+2 d=2, a_{1}+a_{4}=2 a_{1}+3 d=5$, 解得 $a_{1}=4, d=-1$, 故 $S_{6}=6 a_{1}+15 d=9$.故选 B。
题目（高二 · 算术）：若正项等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+2}=a_{n+1}+2 a_{n}$, 则其公比为
选项：
A. $\frac{1}{2}$
       B. 2 或 -1
       C. 2
       D. -1
答案：C
解析：根据题意, 设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$, 若 $a_{n+2}=a_{n+1}+2 a_{n}$, 则有 $a_{n} q^{2}=a_{n} q+2 a_{n}$, 即 $q^{2}-q-2=0$, 解得 $q=-1$ (舍去) 或 $q=2$, 故选 C.
题目（高二 · 算术）：（2018 华南师大附中综合练习三）等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1, a_{2}+a_{3}=3$, $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}=(\quad)$
选项：
A. 7
B. 14
C. 21
D. 28
答案：B
解析：设公差为 $d$, 则 $1+d+1+2 d=3, d=\frac{1}{3}$, 所以 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}=$ $7 \times 1+\frac{7 \times 6}{2} \times \frac{1}{3}=14$. 故选 B.
题目（高二 · 算术）：(2018 河北衡水中学第 16 次模拟) 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是各项为正数的等比数列, 点 $M\left(2, \log _{2} a_{2}\right)$ 、 $N\left(5, \log _{2} a_{5}\right)$ 都在直线 $y=x-1$ 上, 则数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 ( )
选项：
A. $2^{n}-2$
B. $2^{n+1}-2$
C. $2^{n}-1$
D. $2^{n+1}-1$
答案：C
解析：因为点 $M\left(2, \log _{2} a_{2}\right) 、 N\left(5, \log _{2} a_{5}\right)$ 都在直线 $y=x-1$ 上, 所以 $\log _{2} a_{2}=2-1=1$, 可得 $a_{2}=2, \log _{2} a_{5}=5-1=4$, 可得 $a_{5}=16$, 则公比 $q^{3}=\frac{a_{5}}{a_{2}}=8, q=2$, 所以 $S_{n}=\frac{1-2^{n}}{1-2}=2^{n}-1$,故选 C.
题目（高二 · 算术）：(2018 四川联测促改 4 月联考) 已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中， $a_{1}=1, a_{4}=\frac{1}{8}$, 且 $a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\cdots+a_{n} a_{n+1}<k$, 则 $k$ 的取值范围是
选项：
A. $\left[\frac{1}{2}, \frac{2}{3}\right]$
B. $\left[\frac{1}{2},+\infty\right)$
C. $\left[\frac{1}{2}, \frac{2}{3}\right)$
D. $\left[\frac{2}{3},+\infty\right)$
答案：D
解析：设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$, 则 $q^{3}=\frac{a_{4}}{a_{1}}=\frac{1}{8}$, 解得 $q=\frac{1}{2}$, 所以 $a_{n}=\frac{1}{2^{n-1}}$,所以 $a_{n} a_{n+1}=\frac{1}{2^{n-1}} \times \frac{1}{2^{n}}=\frac{1}{2^{2 n-1}}$, 所以数列 $\left\{a_{n} a_{n+1}\right\}$ 是首项为 $\frac{1}{2}$, 公比为 $\frac{1}{4}$ 的等比数列,所以 $a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\cdots+a_{n} a_{n+1}=\frac{\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{4^{n}}\right)}{1-\frac{1}{4}}=\frac{2}{3}\left(1-\frac{1}{4^{n}}\right)<\frac{2}{3}$, 所以 $k \geq \frac{2}{3}$. 故 $k$ 的取值范围是 $\left[\frac{2}{3},+\infty\right)$. 故选 D.
题目（高二 · 算术）：(2018 福建泉州二模) 已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列, $a_{1}=1, a_{3}=2$, 则 $\frac{a_{5}+a_{10}}{a_{1}+a_{6}}=(\quad)$
选项：
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
答案：C
解析：设公比为 $q$, 因为 $a_{1}=1, a_{3}=2$, 所以 $q^{2}=\frac{a_{3}}{a_{1}}=2$, 所以 $\frac{a_{5}+a_{10}}{a_{1}+a_{6}}=$ $\frac{a_{1} q^{4}+a_{6} q^{4}}{a_{1}+a_{6}}=q^{4}=2^{2}=4$, 故选 C.
题目（高二 · 算术）：（2018 辽宁实验中学第九次模拟）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题: “三百七十八里关, 出行健步不为难, 次日脚痛减一半, 六朝才得到其关, 要见次日行里数, 请公仔细算相还.,其大意为 “有一个人走了 378 里路, 第一天健步行走, 从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半, 走了 6 天后到达目的地, 请计算此人第二天走的路程” . 该问题的计算结果为 ( )
选项：
A. 24 里
B. 48 里
C. 96 里
D. 192 里
答案：C
解析：设第一天走了 $x$ 里, 依题意有 6 天内每天走的路程成公比为 $\frac{1}{2}$ 的等比数列, 所以 $\frac{x\left[1-\left(\frac{1}{2}\right)^{6}\right]}{1-\frac{1}{2}}=378$, 解得 $x=192$, 所以第二天走的路程为 $\frac{1}{2} x=96$ 里. 故选 C.
题目（高二 · 算术）：(2018 江西重点中学下学期联考) 在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=-\frac{1}{4}, a_{n}=1-\frac{1}{a_{n-1}}\left(n \geq 2, n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ 则 $a_{2018}$
的值为 ( )
选项：
A. $-\frac{1}{4}$
B. 5
C. $\frac{4}{5}$
D. $\frac{5}{4}$
答案：B
解析： $a_{n+3}=1-\frac{1}{a_{n+2}}=1-\frac{1}{1-\frac{1}{a_{n+1}}}=\frac{-1}{a_{n+1}-1}=a_{n}$, 所以 $\left\{a_{n}\right\}$ 是周期数列, 周期为 3 , 则 $a_{2018}=a_{672 \times 3+2}=a_{2}=1-\frac{1}{a_{1}}=5$. 故选 B.
题目（高二 · 算术）：(2018 四川内江三模) 已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正数, 若 $a_{4}=4 a_{3} a_{7}$, 则 $a_{5}+a_{7}$ 的最小值为
选项：
A. 4
B. 2
C. 1
D. $\frac{1}{2}$
答案：D
解析：设公比为 $q(q>0)$, 由 $a_{4}=4 a_{3} a_{7}$ 得 $a_{3} q=4 a_{3} \cdot a_{3} q^{4}$, 即 $a_{3} q^{3}=\frac{1}{4}$, 所以 $a_{5}+a_{7}=a_{3} a^{2}+a_{3} a^{4}=a_{3} q^{3}\left(\frac{1}{q}+q\right)=\frac{1}{4}\left(q+\frac{1}{q}\right) \geq \frac{1}{4} \times 2=\frac{1}{2}$, 当且仅当 $q=1$ 时, 等号成立. 故选 D.
题目（高二 · 算术）：（2018 辽宁大连二十四中最后一卷）已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=3^{n}(\lambda-n)-6$, 若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调递减, 则 $\lambda$ 的取值范围是
选项：
A. $(-\infty, 2)$
B. $(-\infty, 3)$
C. $(-\infty, 4)$
D. $(-\infty, 5)$
答案：A
解析：因为 $S_{n}=3^{n}(\lambda-n)-6$, 所以 $S_{n-1}=3^{n-1}(\lambda-n+1)-6, n>1$, 所以 $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=3^{n-1}(2 \lambda-2 n-1)$ 为单调递减数列, 所以 $a_{n+1}<a_{n}$, 且 $a_{2}<a_{1}$. 所以, $3^{n}(2 \lambda-2 n-3)<3^{n-1}(2 \lambda-2 n-1)$ 且 $\lambda<2$, 化简得 $\lambda<n+2(n>1)$ 且 $\lambda<2$, 所以 $\lambda<2$, 故选 A.
题目（高二 · 算术）：(2018 湖南衡阳一模) 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 若 $S_{n}=2 a_{n}-2^{n}$, 则 $S_{8}=(\quad)$
选项：
A. 2096
B. 2088
C. 2064
D. 2048
答案：D
解析：因为 $S_{n}=2 a_{n}-2^{n}=2\left(S_{n}-S_{n-1}\right)-2^{n}$, 整理得 $S_{n}-2 S_{n-1}=2^{n}$, 等式两边同时除以 $2^{n}$ 得 $\frac{S_{n}}{2^{n}}-\frac{S_{n-1}}{2^{n-1}}=1$, 又 $S_{1}=2 a_{1}-2=a_{1}$ 可得 $a_{1}=S_{1}=2$, 所以数列 $\left\{\frac{S_{n}}{2^{n}}\right\}$ 可看作以 1 为首项, 1 为公差的等差数列, 所以 $\frac{S_{n}}{2^{n}}=n$, 所以 $S_{n}=n \cdot 2^{n}$. 所以 $S_{8}=8 \times 2^{8}=2048$. 故选 D.
题目（高二 · 算术）：(2018 河北唐山二模) 设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是任意等差数列, 它的前 $n$ 项和、前 $2 n$ 项和与前 $4 n$ 项和分别为 $X$ 、 $Y 、 Z$ ，则下列等式中恒成立的是
选项：
A. $2 X+Z=3 Y$
B. $4 X+Z=4 Y$
C. $2 X+3 Z=7 Y$
D. $8 X+Z=6 Y$
答案：D
解析：设等差数列的前 $3 n$ 项的和为 $R$, 则由等差数列的性质, 可得 $X, Y-X, R-Y, Z-R$成等差数列, 所以 $2(Y-X)=X+(R-Y)$, 解得 $R=3 Y-3 X$, 又因为 $2(R-Y)=$ $(Y-X)+(Z-R)$, 把 $R=3 Y-3 X$ 代入, 得 $8 X+Z=6 Y$, 故选 D.
题目（高二 · 算术）：(2018 江西高三质监) 已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的首项 $a_{1}=2$, 前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 若 $S_{5}+4 S_{3}=5 S_{4}$, 则数列 $\left\{\frac{2 \log _{2} a_{n}+1}{\log _{2} a_{n}-6}\right\}$ 的最大项等于 ( )
选项：
A. -11
B. $-\frac{3}{5}$
C. $\frac{19}{3}$
D. 15
答案：D
解析：由已知得 $S_{5}-S_{4}=4\left(S_{4}-S_{3}\right) \Rightarrow a_{5}=4 a_{4} \Rightarrow q=4, a_{n}=2 \times 4^{n-1}=2^{2 n-1}$,所以 $\frac{2 \log _{2} a_{n}+1}{\log _{2} a_{n}-6}=\frac{4 n-1}{2 n-7}$, 由函数 $y=\frac{4 x-1}{2 x-7}$ 的图像得到, 当 $n=4$ 时, 数列 $\left\{\frac{2 \log _{2} a_{n}+1}{\log _{2} a_{n}-6}\right\}$ 的最大项等于
题目（高二 · 算术）：在函数: (1) $y=\cos |2 x|$; (2) $y=|\cos x|$; (3) $y=\cos \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)$ 中, 最小正周期为 $\pi$ 的所有函数为 $(\quad)$
选项：
A. (1)(2)(3)
   B. (1)(3)
   C. (1)(2)
   D. (1)
答案：A
解析：由图象(略)知, (1)(2)的最小正周期均为 $\pi ; y=\cos \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)$ 的最小正周期为 $\pi$.

## 【答案】 A
题目（高二 · 算术）：$y=\sin x-|\sin x|$ 的值域是( )
选项：
A. $[-1,0]$
   B. $[0,1]$
   C. $[-1,1]$
   D. $[-2,0]$
答案：D
解析：$y=\left\{\begin{array}{l}0,0 \leqslant \sin x \leqslant 1, \\ 2 \sin x,-1 \leqslant \sin x<0,\end{array}\right.$ 因此函数的值域为 $[-2,0]$. 故选 D.

## 【答案】 $\mathrm{D}$
题目（高二 · 算术）：下列式子与 $\sin \left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)$ 相等的是 ( )
选项：
A. $ \sin \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)$
B. $\cos \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)$
C $\cdot \cos \left(\frac{3}{2} \pi-\theta\right)$
D. $\sin \left(\frac{3}{2} \pi+\theta\right)$
答案：D
解析：解析: 因为 $\sin \left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)=-\sin \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=-\cos \theta$,

对于 $\mathrm{A}, \sin \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=\cos \theta$;

对于 $\mathrm{B}, \cos \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=-\sin \theta$;

对于 C, $\cos \left(\frac{3 \pi}{2}-\theta\right)=\cos \left[\pi+\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)\right]$

$=-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=-\sin \theta$;

对于 $\mathrm{D}, \sin \left(\frac{3 \pi}{2}+\theta\right)=\sin \left[\pi+\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)\right]$
$=-\sin \left(\frac{\pi}{2}+\theta\right)=-\cos \theta$.

答案: D
题目（高二 · 代数）：设 $a>0, b>0$, 且不等式 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{k}{a+b} \geq 0$ 恒成立, 则实数 $k$ 的最小值等于 ( )
选项：
A. 0
B. 4
C. -4
D. -2
答案：C
解析：$\because \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{k}{a+b} \geq 0, \therefore k \geq-\frac{(a+b)^{2}}{a b}$, 而 $\frac{(a+b)^{2}}{a b}=\frac{b}{a}+\frac{a}{b}+2 \geq 4(a=b$ 时取等号 $)$, $\therefore-\frac{(a+b)^{2}}{a b} \leq-4, \therefore$ 要使 $k \geq-\frac{(a+b)^{2}}{a b}$ 恒成立, 应有 $k \geq-4, \therefore$ 实数 $k$ 的最小值等于 $-4 \mathrm{C}$.
题目（高二 · 代数）：已知 $a=1, b=\sqrt{3}-\sqrt{2}, c=\sqrt{6}-\sqrt{5}$, 则 $a, b, c$ 的大小关系是( )
选项：
A. $a>b>c$
B. $a>c>b$
C. $b>c>a$
D. $c>b>a$
答案：A
解析：A
题目（高二 · 代数）：已知 $a>b>0, c>1$, 则下列各式成立的是
选项：
A. $\ln a<\ln b$
B. $a^{c}<b^{c}$
C. $c^{a}>c^{b}$
D. $\frac{c-1}{b}<\frac{c-1}{a}$
答案：C
解析：考查函数 $y=\ln x, y=c x(c>1)$, 都是单调递增函数, 又 $a>b>0$, 所以 $\mathrm{A}$ 错, $\mathrm{C}$ 对.可取 $a=2, b=1, c=2$, 代入可知, B,D 都错.故选 C.
题目（高二 · 代数）：已知 $a \in R$, 函数 $f(x)$ 满足: 存在 $x_{0}>0$, 对任意的 $x>0$, 恒有 $|f(x)-a| \leq\left|f\left(x_{0}\right)-a\right|$. 则 $f(x)$ 可以为( )
选项：
A. $f(x)=\lg x$
B. $f(x)=-x^{2}+2 x$
C. $f(x)=\sin x$
D. $f(x)=2^{x}$
答案：C
解析：若存在 $x_{0}>0$, 对任意的 $x>0$, 恒有 $|f(x)-a| \leq\left|f\left(x_{0}\right)-a\right|$.

即函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上存在最大值,

分析给定的四个函数, $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{D}$ 均不满足条件.
题目（高二 · 代数）：设 $0<a<b$ 且 $a+b=1$, 则下列四数中最大的是 ( )
选项：
A. $a$
B. $a^{2}+b^{2}$
C. $2 a b$
D. $\frac{1}{2}$
答案：B
解析：取 $a=0.4, b=0.6$,则 $a^{2}+b^{2}=0.16+0.36=0.52$,$2 a b=2 \times 0.4 \times 0.6=0.48$,故选 B.