eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高二 · 组合几何学）：16.如图所示, 四边形 $A B C D$ 是正方形, $B E / / A C, A C=C E, E C$ 的延长线交 $B A$ 的延长线于点 $F$.求证: $A F=A E$.


选项：
答案：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为 1 ，则 $A(-1 ， 1) ， B(0 ， 1)$.

<ImageHere>

设 $E(x, y)$ ，则 $\overrightarrow{B E}=(x, y-1) ， \overrightarrow{A C}=(1 ，-1)$.

又 $\because \overrightarrow{A C} / / \overrightarrow{B E}, \therefore x(-1)-1 \times(y-1)=0$ ，

$\therefore x+y-1=0$.

又 $\because|\overrightarrow{C E}|=|\overrightarrow{A C}|, \quad \therefore x^{2}+y^{2}-2=0$.
由 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-2=0 ， \\ x+y-1=0 ，\end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1+\sqrt{3}}{2} ， \\ y=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1-\sqrt{3}}{2} ， \\ y=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$ (舍).

$\therefore E\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}, \frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)$.

又设 $F\left(x^{\prime} ， 1\right)$ ，由 $\overrightarrow{C F}=\left(x^{\prime} ， 1\right)$ 和 $\overrightarrow{C E}=\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2} ， \frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)$ 共线得 $\frac{1-\sqrt{3}}{2} x^{\prime}-\frac{1+\sqrt{3}}{2}=0$ ，得 $x^{\prime}$

$=-2-\sqrt{3}$,

$\therefore F(-2-\sqrt{3}, 1)$,

$\therefore \overrightarrow{A F}=(-1-\sqrt{3}, 0), \overrightarrow{A E}=\left(\frac{3+\sqrt{3}}{2},-\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)$,

$\therefore|\overrightarrow{A E}|=\sqrt{\left(\frac{3+\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=1+\sqrt{3}=|\overrightarrow{A F}|$,

$\therefore A F=A E$.
解析：如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为 1 ，则 $A(-1 ， 1) ， B(0 ， 1)$.



设 $E(x, y)$ ，则 $\overrightarrow{B E}=(x, y-1) ， \overrightarrow{A C}=(1 ，-1)$.

又 $\because \overrightarrow{A C} / / \overrightarrow{B E}, \therefore x(-1)-1 \times(y-1)=0$ ，

$\therefore x+y-1=0$.

又 $\because|\overrightarrow{C E}|=|\overrightarrow{A C}|, \quad \therefore x^{2}+y^{2}-2=0$.
由 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-2=0 ， \\ x+y-1=0 ，\end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1+\sqrt{3}}{2} ， \\ y=\frac{1-\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1-\sqrt{3}}{2} ， \\ y=\frac{1+\sqrt{3}}{2}\end{array}\right.$ (舍).

$\therefore E\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2}, \frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)$.

又设 $F\left(x^{\prime} ， 1\right)$ ，由 $\overrightarrow{C F}=\left(x^{\prime} ， 1\right)$ 和 $\overrightarrow{C E}=\left(\frac{1+\sqrt{3}}{2} ， \frac{1-\sqrt{3}}{2}\right)$ 共线得 $\frac{1-\sqrt{3}}{2} x^{\prime}-\frac{1+\sqrt{3}}{2}=0$ ，得 $x^{\prime}$

$=-2-\sqrt{3}$,

$\therefore F(-2-\sqrt{3}, 1)$,

$\therefore \overrightarrow{A F}=(-1-\sqrt{3}, 0), \overrightarrow{A E}=\left(\frac{3+\sqrt{3}}{2},-\frac{1+\sqrt{3}}{2}\right)$,

$\therefore|\overrightarrow{A E}|=\sqrt{\left(\frac{3+\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{-1-\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=1+\sqrt{3}=|\overrightarrow{A F}|$,

$\therefore A F=A E$.
题目（高二 · 组合数学）：15. 如图所示, 平行四边形 $A B C D$ 中, $O$ 是两对角线 $A C, B D$ 的交点, 设点集 $S=\{A, B, C, D$, $0\}$, 向量集合 $T=\{\overrightarrow{M N} \mid M, N \in S$, 且 $M, N$ 不重合 $\}$, 试求集合 $T$ 中元素的个数.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_f934fd3200dbf4af6dd7g-135，.jpg?height=206&width=488&top_left_y=751&top_left_x=818)
选项：
答案：12
解析：由题可知, 集合 $T$ 中的元素实质上是 $S$ 中任意两点连成的有向线段, 共有 20 个,即 $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A O}, \overrightarrow{B A}, \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{B D}, \overrightarrow{B O}, \overrightarrow{C A}, \overrightarrow{C B}, \overrightarrow{C D}, \overrightarrow{C O}, \overrightarrow{D A}, \overrightarrow{D B}, \overrightarrow{D C}, \overrightarrow{D O}, \overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}, \overrightarrow{O C}$, $\overrightarrow{O D}$. 由平行四边形的性质可知, 共有 8 对向量相等, 即 $\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{D C}, \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{B C}, \overrightarrow{D A}=\overrightarrow{C B}, \overrightarrow{B A}=\overrightarrow{C D}$, $\overrightarrow{A O}=\overrightarrow{O C}, \overrightarrow{O A}=\overrightarrow{C O}, \overrightarrow{D O}=\overrightarrow{O B}, \overrightarrow{O D}=\overrightarrow{B O}$. 又集合元素具有互异性, 故集合 $T$ 中的元素共有 12 个.
题目（高二 · 画法几何学）：画出不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x-y-2 \leq 0, \\ x+y+3 \leq 0, \\ 1 \leq|x+3| \leq 2\end{array}\right.$ 表示的平面区域, 并求其面积.
选项：
答案：平面区域见解析, 面积为 10

 解析  $x-y-2 \leq 0$ 不等式组表示直线 $x-y-2=0$ 左上方的点和该直线, $x+y+3 \leq 0$ 表示直线 $x+y+3=0$ 左下方的点和该直线, 由 $\left\{\begin{array}{l}x-y-2=0, \\ x+y+3=0,\end{array}\right.$ 得 $C\left(-\frac{1}{2},-\frac{5}{2}\right)$. 由不等式 $1 \leq|x+3| \leq 2$ 可得 $-2 \leq x \leq-1$ 或 $-5 \leq x \leq-4$, 则不等式组表示的区域如图阴影部分.

<ImageHere>

由 $\left\{\begin{array}{l}x=-1, \\ x+y+3=0,\end{array}\right.$ 得点 $(-1,-2)$. 由 $\left\{\begin{array}{l}x=-1, \\ x-y-2=0,\end{array}\right.$ 得 $(-1,-3)$. 同样的可以求出直线 $x-y-2=0$, $x+y+3=0$ 与 $x=-2$ 的交点为 $(-2,-4),(-2,-1)$, 所以小梯形的面积为 $S_{1}=\frac{1}{2}[(-2)-(-3)+(-1)-(-4)] \times 1=2$, 同理可以求出大梯形的面积 $S_{2}=8$, 所以不等式组围成的平面区域的面积为 $S=S_{1}+S_{2}=2+8=10$.
解析：平面区域见解析, 面积为 10

 解析  $x-y-2 \leq 0$ 不等式组表示直线 $x-y-2=0$ 左上方的点和该直线, $x+y+3 \leq 0$ 表示直线 $x+y+3=0$ 左下方的点和该直线, 由 $\left\{\begin{array}{l}x-y-2=0, \\ x+y+3=0,\end{array}\right.$ 得 $C\left(-\frac{1}{2},-\frac{5}{2}\right)$. 由不等式 $1 \leq|x+3| \leq 2$ 可得 $-2 \leq x \leq-1$ 或 $-5 \leq x \leq-4$, 则不等式组表示的区域如图阴影部分.



由 $\left\{\begin{array}{l}x=-1, \\ x+y+3=0,\end{array}\right.$ 得点 $(-1,-2)$. 由 $\left\{\begin{array}{l}x=-1, \\ x-y-2=0,\end{array}\right.$ 得 $(-1,-3)$. 同样的可以求出直线 $x-y-2=0$, $x+y+3=0$ 与 $x=-2$ 的交点为 $(-2,-4),(-2,-1)$, 所以小梯形的面积为 $S_{1}=\frac{1}{2}[(-2)-(-3)+(-1)-(-4)] \times 1=2$, 同理可以求出大梯形的面积 $S_{2}=8$, 所以不等式组围成的平面区域的面积为 $S=S_{1}+S_{2}=2+8=10$.
题目（高二 · 逻辑题）：10. 设命题 “如果 $a, b, c$ 均为奇数, 那么方程 $a x^{2}+b x+c=0(a \neq 0)$没有等根” . 试判断它的四种命题的真假.
选项：
答案：：解 设 $a=2 m-1, b=2 n-1, c=2 p-1(m, n, p \in \mathbf{Z})$,则 $b^{2}-4 a c=(2 n-1)^{2}-4(2 m-1)(2 p-1)$

$=4\left[n^{2}-n-(2 m-1)(2 p-1)\right]+1$ 为奇数.

$\therefore b^{2}-4 a c \neq 0$.
$\therefore$ 方程 $a x^{2}+b x+c=0(a \neq 0)$ 没有等根.

即原命题是真命题.

它的逆否命题 “若方程 $a x^{2}+b x+c=0(a \neq 0)$ 有等根, 则 $a, b, c$不全为奇数”也是真命题.

它的逆命题为 “若方程 $a x^{2}+b x+c=0(a \neq 0)$ 没有等根, 则 $a, b$, $c$ 均为奇数”

当 $a=1, b=0, c=-1$ 时, 方程 $x^{2}-1=0$ 没有等根, 其中 $b=0$不是奇数.

所以它的逆命题是假命题.

它的否命题 “如果 $a, b, c$ 不全为奇数, 那么方程 $a x^{2}+b x+c=$ $0(a \neq 0)$ 有等根” 也是假命题.
解析：：解 设 $a=2 m-1, b=2 n-1, c=2 p-1(m, n, p \in \mathbf{Z})$,则 $b^{2}-4 a c=(2 n-1)^{2}-4(2 m-1)(2 p-1)$

$=4\left[n^{2}-n-(2 m-1)(2 p-1)\right]+1$ 为奇数.

$\therefore b^{2}-4 a c \neq 0$.
$\therefore$ 方程 $a x^{2}+b x+c=0(a \neq 0)$ 没有等根.

即原命题是真命题.

它的逆否命题 “若方程 $a x^{2}+b x+c=0(a \neq 0)$ 有等根, 则 $a, b, c$不全为奇数”也是真命题.

它的逆命题为 “若方程 $a x^{2}+b x+c=0(a \neq 0)$ 没有等根, 则 $a, b$, $c$ 均为奇数”

当 $a=1, b=0, c=-1$ 时, 方程 $x^{2}-1=0$ 没有等根, 其中 $b=0$不是奇数.

所以它的逆命题是假命题.

它的否命题 “如果 $a, b, c$ 不全为奇数, 那么方程 $a x^{2}+b x+c=$ $0(a \neq 0)$ 有等根” 也是假命题.
题目（高二 · 逻辑题）：9. 判断命题 “已知 $a, x \in \mathbf{R}$, 若关于 $x$ 的不等式 $x^{2}+(2 a+1) x$ $+a^{2}+2 \leqslant 0$ 的解集非空, 则 $a \geqslant 1$ ” 的逆否命题的真假.
选项：
答案：：解 原命题的逆否命题为:

已知 $a, x \in \mathbf{R}$, 如果 $a<1$, 那么关于 $x$ 的不等式 $x^{2}+(2 a+1) x+$ $a^{2}+2 \leqslant 0$ 的解集为空集.

判断如下:

抛物线 $y=x^{2}+(2 a+1) x+a^{2}+2$ 开口向上,

判别式 $\Delta=(2 a+1)^{2}-4\left(a^{2}+2\right)=4 a-7$

$\because a<1, \quad \therefore 4 a-7<0$.

即抛物线 $y=x^{2}+(2 a+1) x+a^{2}+2$ 与 $x$ 轴无交点.

$\therefore$ 关于 $x$ 的不等式 $x^{2}+(2 a+1) x+a^{2}+2 \leqslant 0$ 的解集为空集.

故逆否命题为真.
解析：：解 原命题的逆否命题为:

已知 $a, x \in \mathbf{R}$, 如果 $a<1$, 那么关于 $x$ 的不等式 $x^{2}+(2 a+1) x+$ $a^{2}+2 \leqslant 0$ 的解集为空集.

判断如下:

抛物线 $y=x^{2}+(2 a+1) x+a^{2}+2$ 开口向上,

判别式 $\Delta=(2 a+1)^{2}-4\left(a^{2}+2\right)=4 a-7$

$\because a<1, \quad \therefore 4 a-7<0$.

即抛物线 $y=x^{2}+(2 a+1) x+a^{2}+2$ 与 $x$ 轴无交点.

$\therefore$ 关于 $x$ 的不等式 $x^{2}+(2 a+1) x+a^{2}+2 \leqslant 0$ 的解集为空集.

故逆否命题为真.
题目（高二 · 逻辑题）：8. 写出下列命题的否定, 并判断其真假.

(1)p: $\exists x_{0}, y_{0} \in \mathbf{Z}$, 使得 $\sqrt{2} x_{0}+y_{0}=3$;

(2) $q: \forall x \in \mathbf{R}, x^{2}+x-4>0$.
选项：
答案：：解 (1)綈 $p: \forall x, y \in \mathbf{Z}, \sqrt{2} x+y \neq 3$,

当 $x=0, y=3$ 时, $\sqrt{2} x+y=3$,

因此綈 $p$ 是假命题.

(2)綈 $q: \exists x \in \mathbf{R}, x^{2}+x-4 \leqslant 0$,
当 $x=0$ 时, $x^{2}+x-4=-4 \leqslant 0$,

因此綈 $q$ 是真命题.
解析：：解 (1)綈 $p: \forall x, y \in \mathbf{Z}, \sqrt{2} x+y \neq 3$,

当 $x=0, y=3$ 时, $\sqrt{2} x+y=3$,

因此綈 $p$ 是假命题.

(2)綈 $q: \exists x \in \mathbf{R}, x^{2}+x-4 \leqslant 0$,
当 $x=0$ 时, $x^{2}+x-4=-4 \leqslant 0$,

因此綈 $q$ 是真命题.
题目（高二 · 逻辑题）：9. 命题 “存在 $x \in \mathbf{R}$, 使 $2 x^{2}-3 a x+9<0$ ” 为假命题, 求实数 $a$的取值范围.
选项：
答案：：解 $\because$ “存在 $x \in \mathbf{R}$, 使 $2 x^{2}-3 a x+9<0$ ” 为假命题.

$\therefore$ 它的否定 “对任意的 $x \in \mathbf{R}, 2 x^{2}-3 a x+9 \geqslant 0$ ” 为真命题.

$\therefore$ 只要 $\Delta=9 a^{2}-4 \times 2 \times 9 \leqslant 0$ 即可.

解得 $-2 \sqrt{2} \leqslant a \leqslant 2 \sqrt{2}$.

故 $a$ 的取值范围是 $[-2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}]$.
解析：：解 $\because$ “存在 $x \in \mathbf{R}$, 使 $2 x^{2}-3 a x+9<0$ ” 为假命题.

$\therefore$ 它的否定 “对任意的 $x \in \mathbf{R}, 2 x^{2}-3 a x+9 \geqslant 0$ ” 为真命题.

$\therefore$ 只要 $\Delta=9 a^{2}-4 \times 2 \times 9 \leqslant 0$ 即可.

解得 $-2 \sqrt{2} \leqslant a \leqslant 2 \sqrt{2}$.

故 $a$ 的取值范围是 $[-2 \sqrt{2}, 2 \sqrt{2}]$.
题目（高二 · 逻辑题）：10. 已知 $p: x>1$ 或 $x<-\frac{1}{5}, q: \frac{1}{x^{2}+4 x-5}>0$, 则綈 $p$ 是綈 $q$ 的什么条件?
选项：
答案：：解 $p: x>1$ 或 $x<-\frac{1}{5}$, 则綈 $p:-\frac{1}{5} \leqslant x \leqslant 1$.

$q: \frac{1}{x^{2}+4 x-5}>0$, 即 $x^{2}+4 x-5>0$, 则綈 $q: x^{2}+4 x-5 \leqslant 0$, 即一 $5 \leqslant x \leqslant 1$.

$\because\left\{x \left\lvert\,-\frac{1}{5} \leqslant x \leqslant 1\right.\right\} \quad\{x \mid-5 \leqslant x \leqslant 1\}$,

$\therefore$ 綈 $p$ 是綈 $q$ 的充分不必要条件.
解析：：解 $p: x>1$ 或 $x<-\frac{1}{5}$, 则綈 $p:-\frac{1}{5} \leqslant x \leqslant 1$.

$q: \frac{1}{x^{2}+4 x-5}>0$, 即 $x^{2}+4 x-5>0$, 则綈 $q: x^{2}+4 x-5 \leqslant 0$, 即一 $5 \leqslant x \leqslant 1$.

$\because\left\{x \left\lvert\,-\frac{1}{5} \leqslant x \leqslant 1\right.\right\} \quad\{x \mid-5 \leqslant x \leqslant 1\}$,

$\therefore$ 綈 $p$ 是綈 $q$ 的充分不必要条件.
题目（高二 · 逻辑题）：9. 已知命题 $p: \lg \left(x^{2}-2 x-2\right) \geqslant 0$; 命题 $q: 0<x<4$. 若 $p$ 且 $q$ 为假, $p$ 或 $q$ 为真, 求实数 $x$ 的取值范围.
选项：
答案：：解 由 $\lg \left(x^{2}-2 x-2\right) \geqslant 0$, 得 $x^{2}-2 x-2 \geqslant 1$,

$\therefore x \geqslant 3$, 或 $x \leqslant-1$. 即 $p: x \geqslant 3$, 或 $x \leqslant-1$.

$\therefore$ 綈 $p:-1<x<3$.又 $\because q: 0<x<4$,

$\therefore$ 綈 $q: x \geqslant 4$, 或 $x \leqslant 0$.

由 $p$ 且 $q$ 为假, $p$ 或 $q$ 为真知 $p, q$ 一真一假，

<ImageHere>

得 $x \geqslant 4$, 或 $x \leqslant-1$;

当 $p$ 假 $q$ 真时, 由 $\left\{\begin{array}{l}-1<x<3, \\ 0<x<4,\end{array}\right.$ 得 $0<x<3$,

$\therefore$ 实数 $x$ 的取值范围是 $\{x \mid x \leqslant-1$, 或 $0<x<3$, 或 $x \geqslant 4\}$.
解析：：解 由 $\lg \left(x^{2}-2 x-2\right) \geqslant 0$, 得 $x^{2}-2 x-2 \geqslant 1$,

$\therefore x \geqslant 3$, 或 $x \leqslant-1$. 即 $p: x \geqslant 3$, 或 $x \leqslant-1$.

$\therefore$ 綈 $p:-1<x<3$.又 $\because q: 0<x<4$,

$\therefore$ 綈 $q: x \geqslant 4$, 或 $x \leqslant 0$.

由 $p$ 且 $q$ 为假, $p$ 或 $q$ 为真知 $p, q$ 一真一假，



得 $x \geqslant 4$, 或 $x \leqslant-1$;

当 $p$ 假 $q$ 真时, 由 $\left\{\begin{array}{l}-1<x<3, \\ 0<x<4,\end{array}\right.$ 得 $0<x<3$,

$\therefore$ 实数 $x$ 的取值范围是 $\{x \mid x \leqslant-1$, 或 $0<x<3$, 或 $x \geqslant 4\}$.
题目（七年级 · 组合数学）：把下列各数填到相应的集合中.

$1, \frac{1}{3}, 0.5,+7,0,-\pi,-6.4,-9, \frac{6}{13}, 0.3,5 \%,-26,1.010010001 \ldots$

正数集合: \{

$\ldots\}$

负数集合: \{

$\cdots\}$

整数集合: \{

$\cdots\}$

分数集合: \{
选项：
答案：解：正数集合： $\left\{1, \frac{1}{3}, 0.5,+7, \frac{6}{13}, 0.3,5 \%, 1.010010001 \ldots\right\}$;

负数集合: $\{-\pi,-6.4,-9,-26 \ldots\}$;

整数集合: $\{1,+7,0,-9,-26 \ldots\}$

分数集合: $\left\{\frac{1}{3}, 0.5,-6.4, \frac{6}{13}, 0.3,5 \%, 1.010010001 \ldots\right\}$.
解析：解：正数集合： $\left\{1, \frac{1}{3}, 0.5,+7, \frac{6}{13}, 0.3,5 \%, 1.010010001 \ldots\right\}$;

负数集合: $\{-\pi,-6.4,-9,-26 \ldots\}$;

整数集合: $\{1,+7,0,-9,-26 \ldots\}$

分数集合: $\left\{\frac{1}{3}, 0.5,-6.4, \frac{6}{13}, 0.3,5 \%, 1.010010001 \ldots\right\}$.
题目（七年级 · 组合数学）：如图, 一只甲虫在 $5 \times 5$ 的方格 (每小格边长为 1 ) 上沿着网格线运动. 它从 $\mathrm{A}$ 处出发看望 $\mathrm{B} 、$ C、 $\mathrm{D}$ 处的其他甲虫, 规定：向上向右走为正，向下向左走为负，如果从 A 到 B 记为: $\mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}(+1$, $+4)$, 从 $\mathrm{B}$ 到 $\mathrm{A}$ 记为: $\mathrm{B} \rightarrow \mathrm{A}(-1,-4)$, 其中第一个数表示左右方向, 第二个数表示上下方向,那么图中.


（2）若这只甲虫的行走路线为 $\mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{C} \rightarrow \mathrm{D}$ ，请计算该甲虫走过的路程;

（3）若这只甲虫从 $\mathrm{A}$ 处去甲虫 $\mathrm{P}$ 处的行走路线依次为 $(+2,+2),(+1,-1),(-2,+3),(-$ $1,-2)$, 请在图中标出 $\mathrm{P}$ 的位置.
选项：
答案：(1) $+3 ;+4 ;+3 ;-2 ; D ;-2$

(2) 解: 由题意得: $1+4+2+0+1+2=10$;

（3）解：如图所示：这只甲虫从 $\mathrm{A}$ 处去甲虫 $\mathrm{P}$ 处的行走路线依次经过 $H, M, B$, 再到 $\mathrm{P}$,

<ImageHere>
解析：(1) 规定：向上向右走为正，向下向左走为负，

则 $\mathrm{A} \rightarrow \mathrm{C}(+3,+4), \mathrm{B} \rightarrow \mathrm{D}(+3,-2), \mathrm{C} \rightarrow \mathrm{D}(+1,-2)$,

故答案为: $+3,+4 ;+3,-2 ; \mathrm{D},-2$
题目（七年级 · 组合数学）：如图, 从左到右, 在每个小格子都填入一个整数, 使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等.

| 9 | $\&$ | $\#$ | $\mathrm{x}$ | -6 |  |  |  | 2 |  | $\ldots$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |

(1) 可求得 $x=$ \$ \qquad \$ , 第 2021 个格子中的数为 \$ \qquad \$ ;

（2）判断: 前 $m$ 个格子中所填整数之和是否可能为 2023? 若能, 求出 $m$ 的值; 若不能, 请说明理由.

（3）如果 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b}$ 为前三个格子中的任意两个数, 那么所有的 $|\mathrm{a}-\mathrm{b}|$ 的和可以通过计算: $|9-\&|+\mid 9-$ $\#+|\&-\#++\&-9|+|\#-9|+|\#-\&|$ 得到, 若 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 为前 7 个格子中的任意两个数, 则所有的 $|\mathrm{a}-\mathrm{b}|$ 的和为多少?
选项：
答案：(1) $9 ;-6$

(2) 解: 前 $\mathrm{m}$ 个格子中所填整数之和可能为 2023 ,

$\because 9+(-6)+2=5,2023 \div 5=404 \ldots 3,9+(-6)=3$,

故前 $\mathrm{m}$ 个格子中所填数字之和可能为 2023 ;

$\mathrm{m}$ 的值为: $404 \times 3+2=1214$

(3) 解: 由于是三个数重复出现, 那么前 7 个格子中, 这三个数中, 9 出现了三次,

-6 和 2 都出现了 2 次,

原式 $=[|9-(-6)| \times 2+|9-2| \times 2] \times 3+[|-6-9| \times 3+|-6-2| \times 2] \times 2+[|2-9| \times 3+|2-(-6)| \times 2] \times 2$ $=[15 \times 2+14] \times 3+[15 \times 3+16] \times 2+[21+16] \times 2=328$.
解析：(1) $\because$ 任意三个相邻格子中所填整数之和都相等,

$\therefore 9+\&+\#=\&+\#+x=\#+x+(-6)$,

$\therefore \mathrm{x}=9, \&=-6$,

由格子中后面有个数字 2, 可知\#=2,

故这个表格中的数据以 $9,-6,2$ 循环出现,

$\because 2021 \div 3=674 \ldots 2$,

$\therefore$ 第 2021 个格子中的数为 -6,

故答案为: $9,-6$;
题目（七年级 · 组合数学）：将 $n$ 个互不相同的整数置于一排, 构成一个数组. 在这 $n$ 个数字前任意添加“+”或“-”号, 可以得到一个算式. 若运算结果可以为 0 , 我们就将这个数组称为“运算平衡”数组.

（1）数组 $1,2,3,4$ 是否是“运算平衡”数组? 若是, 请在以下数组中填上相应的符号, 并完成运算;

$1234=$

(2) 若数组 $1,4,6, m$ 是“运算平衡”数组, 则 $m$ 的值可以是多少?

（3）若某“运算平衡”数组中共含有 $n$ 个整数, 则这 $n$ 个整数需要具备什么样的规律?
选项：
答案：(1) 解: 数组 $1,2,3,4$ 是“运算平衡”数组, $+1-2-3+4=0$;

（2）解: 要使数组 $1,4,6, m$ 是“运算平衡”数组, 有以下情况: $1+4+6+m=0 ;-1+4+6+m=0 ; 1-4+6+m=0 ; \quad 1+4-6+m=0 ; 1+4+6-m=0 ;-1-4+6+m=0 ;-1+4-6+m=0 ;-$ $1+4+6-\mathrm{m}=0 ; \quad 1-4-6+\mathrm{m}=0 ; \quad 1-4+6-\mathrm{m}=0 ; \quad 1+4-6-\mathrm{m}=0 ; \quad-1-4-6+\mathrm{m}=0 ; \quad-1-4+6-\mathrm{m}=0, \quad-1+4-6-\mathrm{m}=0, \quad 1-4-6-$ $\mathrm{m}=0 ;-1-4-6-\mathrm{m}=0$; 共 16 中情况,

经计算得 $\mathrm{m}= \pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 11$;

(3) 解: 这 $n$ 个整数互不相同, 在这 $n$ 个数字前任意添加“+”或“-”号后运算结果为 0 .
解析：(1) 解: 数组 $1,2,3,4$ 是“运算平衡”数组, $+1-2-3+4=0$;

（2）解: 要使数组 $1,4,6, m$ 是“运算平衡”数组, 有以下情况: $1+4+6+m=0 ;-1+4+6+m=0 ; 1-4+6+m=0 ; \quad 1+4-6+m=0 ; 1+4+6-m=0 ;-1-4+6+m=0 ;-1+4-6+m=0 ;-$ $1+4+6-\mathrm{m}=0 ; \quad 1-4-6+\mathrm{m}=0 ; \quad 1-4+6-\mathrm{m}=0 ; \quad 1+4-6-\mathrm{m}=0 ; \quad-1-4-6+\mathrm{m}=0 ; \quad-1-4+6-\mathrm{m}=0, \quad-1+4-6-\mathrm{m}=0, \quad 1-4-6-$ $\mathrm{m}=0 ;-1-4-6-\mathrm{m}=0$; 共 16 中情况,

经计算得 $\mathrm{m}= \pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 11$;

(3) 解: 这 $n$ 个整数互不相同, 在这 $n$ 个数字前任意添加“+”或“-”号后运算结果为 0 .
题目（七年级 · 计数）：城固资源富集, 享有“天然药库”的美誉, 现有 20 筐药材, 以每筐 10 千克为标准质量, 超过的质量用正数表示，不足的质量用负数表示，结果记录如下:

| 与标准质量的差值（单位: 千克） | -0.8 | -0.5 | -0.3 | 0 | 0.4 | 0.5 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 筐数 | 1 | 4 | 2 | 3 | 2 | 8 |

（1）与标准质量相比, 这 20 筐药材总计超过或不足多少千克?

（2）若这些药材平均以每千克 15 元的价格出售, 则这 20 筐药材可卖多少元?
选项：
答案：(1) 解: $(-0.8) \times 1+(-0.5) \times 4+(-0.3) \times 2+0 \times 3+0.4 \times 2+0.5 \times 8$, $=-0.8-2-0.6+0+0.8+4$ $=1.4$ (千克),所以这 20 筐药材总计超过 1.4 千克.

(2) 解: $(10 \times 20+1.4) \times 15$,

$=201.4 \times 15$,

$=3021($ 元 $)$,

所以这 20 筐药材可卖 3021 元.
解析：(1) 解: $(-0.8) \times 1+(-0.5) \times 4+(-0.3) \times 2+0 \times 3+0.4 \times 2+0.5 \times 8$, $=-0.8-2-0.6+0+0.8+4$ $=1.4$ (千克),所以这 20 筐药材总计超过 1.4 千克.

(2) 解: $(10 \times 20+1.4) \times 15$,

$=201.4 \times 15$,

$=3021($ 元 $)$,

所以这 20 筐药材可卖 3021 元.
题目（七年级 · 计数）：(7 分) 学校为了响应国家阳光体育活动, 选派部分学生参加足球、乒乓球、篮球、排球队集训. 根据参加项目制成如下两幅不完整的统计图 (如图 1 和如图 2, 要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类, 图中用足球、乒乓球、篮球、排球代表喜欢这四种球类某种球类的学生人数)



图1



图2

请你根据图中提供的信息解答下列问题:

（1）参加篮球队的有 40 人, 参加足球队的人数占全部参加人数的 $30 \ldots \%$.

（2）喜欢排球队的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度? 并补全频数分布折线统计图.

（3）若足球队只剩一个集训名额, 学生小明和小虎都想参加足球队, 决定采用随机摸球的方式确定参加权, 具体规则如下: 一个不透明的袋子中装着标有数字 1、2、3、4 的四个完全相同的小球，小明随机地从四个小球中摸出一球然后放回，小虎再随机地摸出一球，若小明摸出的小球标有数字比小虎摸出的小球标有的数字大, 则小明参加, 否则小虎参加, 试分析这种规则对双方是否公平?
选项：
答案：解: (1) $\because$ 结合折线图与扇形图得出参加乒乓球队的人数为 20 , 占总数的 $20 \%$,

$\therefore$ 总人数为: $20 \div 20 \%=100$ 人,

$\therefore$ 参加篮球队的有: $100 \times 40 \%=40$ 人,

参加足球队的人数占全部参加人数的: $30 \div 100 \times 100 \%=30 \%$,故答案为: 40,30 ;

（2）喜欢排球队的人数在扇形统计图中所占的圆心角是百分比为: 1 $(40 \%+30 \%+20 \%)=10 \%$,圆心角度数 $=360 \times 10 \%=36^{\circ} ;$ 正确补全折线图中篮球、排球折线;

<ImageHere>

(3) 用列表法

| 小虎 <br> 小明 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 1 | 1,1 | 1,2 | 1,3 | 1,4 |


| 2 | 2,1 | 2,2 | 2,3 | 2,4 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 3 | 3,1 | 3,2 | 3,3 | 3,4 |
| 4 | 4,1 | 4,2 | 4,3 | 4,4 |

共有 16 种可能的结果, 且每种结果的可能性相同, 其中小明可能获得参加权的结果是六种,

分别是 $2,1 ３ ， 1 ３ ， 2 ; 4 ， 1 ４ ， 2 ; 4 ， 3$;

$\therefore$ 小明获参加权的概率 $\mathrm{P}_{1}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$, 小虎获参加权的概率 $\mathrm{P}_{2}=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$, 或小虎获参加权的概率 $\mathrm{P}_{2}=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$,

$\because \mathrm{P}_{1}<\mathrm{P}_{2}, \therefore$ 这个规则对双方不公平.
解析：解: (1) $\because$ 结合折线图与扇形图得出参加乒乓球队的人数为 20 , 占总数的 $20 \%$,

$\therefore$ 总人数为: $20 \div 20 \%=100$ 人,

$\therefore$ 参加篮球队的有: $100 \times 40 \%=40$ 人,

参加足球队的人数占全部参加人数的: $30 \div 100 \times 100 \%=30 \%$,故答案为: 40,30 ;

（2）喜欢排球队的人数在扇形统计图中所占的圆心角是百分比为: 1 $(40 \%+30 \%+20 \%)=10 \%$,圆心角度数 $=360 \times 10 \%=36^{\circ} ;$ 正确补全折线图中篮球、排球折线;



(3) 用列表法

| 小虎 <br> 小明 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 1 | 1,1 | 1,2 | 1,3 | 1,4 |


| 2 | 2,1 | 2,2 | 2,3 | 2,4 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 3 | 3,1 | 3,2 | 3,3 | 3,4 |
| 4 | 4,1 | 4,2 | 4,3 | 4,4 |

共有 16 种可能的结果, 且每种结果的可能性相同, 其中小明可能获得参加权的结果是六种,

分别是 $2,1 ３ ， 1 ３ ， 2 ; 4 ， 1 ４ ， 2 ; 4 ， 3$;

$\therefore$ 小明获参加权的概率 $\mathrm{P}_{1}=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$, 小虎获参加权的概率 $\mathrm{P}_{2}=\frac{10}{16}=\frac{5}{8}$, 或小虎获参加权的概率 $\mathrm{P}_{2}=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$,

$\because \mathrm{P}_{1}<\mathrm{P}_{2}, \therefore$ 这个规则对双方不公平.
题目（七年级 · 计数）：（2021-浙江宁波市$\cdot$七年级期中）某校为了解九年级女生“仰卧起坐”成绩的情况，随机选取该年级部分女生进行测试. 以下是根据测试成绩绘制的统计图表的一部分.

| 成绩等级 | 频数 (人) | 频率 |
| :---: | :---: | :---: |
| 优秀 |  |  |
| 良好 | 20 | 0.4 |
| 及格 |  |  |
| 不及格 | 5 |  |



根据以上信息, 解答下列问题: （1）被测试女生中，成绩等级为“良好”的女生人数为人,成绩等级为“及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为 \$ \qquad \$ \%; （2）被测试女生的总人数为人, 成绩等级为“不及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为 \$ \qquad \$ $\% ; \quad(3)$若该校九年级共有 240 名女生，根据调查结果，估计该校八年级女生成绩等级为“优秀”的学生人数.
选项：
答案：(1) 20,20 ;
(2) 50,10 ;
(3) 72 人

【分析】（1）根据统计表和扇形统计图给出的数据即可得出答案;

(2) 根据良好的人数和所占的百分比求出总人数, 再用“不及格”的女生人数除以总人数即可得出所
占的百分比; (3) 用总人数乘以等级为“优秀”的学生人数所占的百分比即可.

【详解】解: (1) 被测试女生中, 成绩等级为“良好”的女生人数为 20 ;

成绩等级为“及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为 $20 \%$, 故答案为: 20,20 ;

(2) 被测试女生总数是 $20 \div 0.4=50$ (人),

成绩等级为“不及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为 $\frac{5}{50} \times 100 \%=10 \%$; 故答案为: 50,10 ;

（3）及格人数有 $50 \times 20 \%=10$ (人)，优秀人数有： $50-20-10-5=15$ (人)， $240 \times \frac{15}{50}=72$ (人),

答: 该校八年级女生成绩等级为“优秀”的学生人数有 72 人.

【点睛】本题考查的是表格统计图和扇形统计图的综合运用. 读獚统计图, 从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键. 表格统计图能清楚地表示出每个项目的数据; 扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
解析：（1）根据统计表和扇形统计图给出的数据即可得出答案;

(2) 根据良好的人数和所占的百分比求出总人数, 再用“不及格”的女生人数除以总人数即可得出所
占的百分比; (3) 用总人数乘以等级为“优秀”的学生人数所占的百分比即可.

【详解】解: (1) 被测试女生中, 成绩等级为“良好”的女生人数为 20 ;

成绩等级为“及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为 $20 \%$, 故答案为: 20,20 ;

(2) 被测试女生总数是 $20 \div 0.4=50$ (人),

成绩等级为“不及格”的女生人数占被测试女生总人数的百分比为 $\frac{5}{50} \times 100 \%=10 \%$; 故答案为: 50,10 ;

（3）及格人数有 $50 \times 20 \%=10$ (人)，优秀人数有： $50-20-10-5=15$ (人)， $240 \times \frac{15}{50}=72$ (人),

答: 该校八年级女生成绩等级为“优秀”的学生人数有 72 人.

【点睛】本题考查的是表格统计图和扇形统计图的综合运用. 读獚统计图, 从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键. 表格统计图能清楚地表示出每个项目的数据; 扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.
题目（七年级 · 计数）：(2022-浙江) 为了了解某中学学生的身高情况, 随机对该校男、女生的身高进行抽样调查. 抽取的样本中, 男、女生的人数相同, 根据所得数据绘制成如图所示的统计图表.

| 组别 | 男女生身高 $(\mathrm{cm})$ |
| :--- | :--- |
| $A$ | $150 \leqslant x<155$ |


| $B$ | $155 \leqslant x<160$ |
| :--- | :--- |
| $C$ | $160 \leqslant x<165$ |
| $D$ | $165 \leqslant x<170$ |
| $E$ | $170 \leqslant x<175$ |



男生身高直方图



女生身高扇形图

根据图表中提供的信息, 回答下列问题: (1) 在样本中, 组距是 \$ \qquad \$ ，女生身高在 $B$ 组的有

人; (2) 在样本中, 身高在 $170 \leqslant x<175$ 之间的共有人, 人数最多的是 \$ \qquad \$组 $($ 填组别序号) ; (3) 已知该校共有男生 500 人, 女生 480 人, 请估计身高在 $160 \leqslant x<170$ 之间的学生有多少人?


选项：
答案：（1） $5 、 12$; （2） $10 、 C$; (3) 541 人

【分析】(1) 根据组距的定义结合表格可得组距, 求出男生总人数, 再用女生总人数乘以 $B$ 组的百分比可得; (2) 将位于这一小组内的频数相加, 分别计算出各组人数之和即可求得结果;

（3）分别用男、女生的人数乘以对应的百分比, 相加即可得解.

【详解】解: (1) 在样本中, 组距是 5 , 男生共有 $2+4+8+12+14=40$ 人,

$\because$ 男、女生的人数相同, 女生身高在 B 组的人数有 $40 \times(1-35 \%-20 \%-15 \%-5 \%)=12$ 人,故答案为: $5 、 12$;

(2) 在样本中, 身高在 $170 \leq x<175$ 之间的人数共有 $8+40 \times 5 \%=10$ 人,

$\because A$ 组人数为 $2+40 \times 20 \%=10$ 人, $B$ 组人数为 $4+12=16$ 人, $C$ 组人数为 $12+40 \times 35 \%=26$ 人, $D$ 组人数为 $14+40 \times 10 \%=18$ 人, $E$ 组人数为 $8+40 \times 5 \%=10$ 人, $\therefore C$ 组人数最多, 故答案为: $10 、 C$;

(3) $500 \times \frac{12+14}{40}+480 \times(35 \%+10 \%)=541$ (人),

故估计身高在 $160 \leq x<170$ 之间的学生约有 541 人.

【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力; 利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图, 才能作出正确的判断和解决问题.
解析：(1) 根据组距的定义结合表格可得组距, 求出男生总人数, 再用女生总人数乘以 $B$ 组的百分比可得; (2) 将位于这一小组内的频数相加, 分别计算出各组人数之和即可求得结果;

（3）分别用男、女生的人数乘以对应的百分比, 相加即可得解.

【详解】解: (1) 在样本中, 组距是 5 , 男生共有 $2+4+8+12+14=40$ 人,

$\because$ 男、女生的人数相同, 女生身高在 B 组的人数有 $40 \times(1-35 \%-20 \%-15 \%-5 \%)=12$ 人,故答案为: $5 、 12$;

(2) 在样本中, 身高在 $170 \leq x<175$ 之间的人数共有 $8+40 \times 5 \%=10$ 人,

$\because A$ 组人数为 $2+40 \times 20 \%=10$ 人, $B$ 组人数为 $4+12=16$ 人, $C$ 组人数为 $12+40 \times 35 \%=26$ 人, $D$ 组人数为 $14+40 \times 10 \%=18$ 人, $E$ 组人数为 $8+40 \times 5 \%=10$ 人, $\therefore C$ 组人数最多, 故答案为: $10 、 C$;

(3) $500 \times \frac{12+14}{40}+480 \times(35 \%+10 \%)=541$ (人),

故估计身高在 $160 \leq x<170$ 之间的学生约有 541 人.

【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力; 利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图, 才能作出正确的判断和解决问题.
题目（七年级 · 计数）：(本小题 8.0 分)

某电力公司检修小组乘汽车沿一条东西走向的公路检修线路, 向东行驶记为正.某天从 $A$ 地出发到收工时，行走记录为(单位: $k m):+6,-9,+7,-5$.

(1)画一条数轴, 以原点表示 $A$ 地, 在数轴上表示出检修小组每次行走的终点位置.

(2)估计汽车行驶 $100 \mathrm{~km}$ 的耗油量为 $12.5 \mathrm{~L}$, 则这天检修小组从出发到收工共耗油多少升?
选项：
答案：(1)图略.

$(2)|+6|+|-9|+|+7|+|-5|=27(\mathrm{~km})$,

所以耗油 $27 \times
题目（七年级 · 算术）：（1）写出下列各数的绝对值, 并分别把它们和它们的绝对值在数轴上表示出来.

$-1,2,-\frac{1}{2},-(-3),|-3.5|$.



(2) 已知 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 互为相反数, $\mathrm{c}, \mathrm{d}$ 互为倒数, $\mathrm{m}$ 绝对值等于 2 的数, 求 $\frac{a+b}{a+b+c}+m^{2}-2 c d$ 的值.
选项：
答案：(1) 解: $-1,2,-\frac{1}{2},-(-3),|-3.5|$ 的绝对值分别为;

$|-1|=1,|2|=2,\left|-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2},|-(-3)|=3,|-3.5|=3.5$,

并分别把它们和它们的绝对值在数轴上表示如下图:

<ImageHere>

（2）解：由题意可知: $a+b=0, c d=1, m= \pm 2$,

$\therefore$ 原式 $=0+4-2$
$=2 ;$
解析：(1) 解: $-1,2,-\frac{1}{2},-(-3),|-3.5|$ 的绝对值分别为;

$|-1|=1,|2|=2,\left|-\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2},|-(-3)|=3,|-3.5|=3.5$,

并分别把它们和它们的绝对值在数轴上表示如下图:



（2）解：由题意可知: $a+b=0, c d=1, m= \pm 2$,

$\therefore$ 原式 $=0+4-2$
$=2 ;$
题目（七年级 · 算术）：计算:

(1) $10-(-5)+(-9)$

(2) $\left(-\frac{1}{6}+\frac{2}{3}-\frac{5}{12}\right) \div\left(-\frac{1}{48}\right)$

(3) $-1^{2021}-\frac{1}{6} \div\left(-3 \times \frac{1}{9}\right)+|-2|$
选项：
答案：(1) 解: $10-(-5)+(-9)$

$=10+5-9$

$=6$

(2) 解: $\left(-\frac{1}{6}+\frac{2}{3}-\frac{5}{12}\right) \div\left(-\frac{1}{48}\right)$

$=\left(\frac{1}{6}-\frac{2}{3}+\frac{5}{12}\right) \times 48$

$=\frac{1}{6} \times 48-\frac{2}{3} \times 48+\frac{5}{12} \times 48$

$=8-32+20$

$=-4$

(3) 解: $-1^{2021}-\frac{1}{6} \div\left(-3 \times \frac{1}{9}\right)+|-2|$

$=-1-\frac{1}{6} \div\left(-\frac{1}{3}\right)+2$

$=-1+\frac{1}{6} \times 3+2$

$=-1+\frac{1}{2}+2$

$=\frac{3}{2}$
解析：(1) 解: $10-(-5)+(-9)$

$=10+5-9$

$=6$

(2) 解: $\left(-\frac{1}{6}+\frac{2}{3}-\frac{5}{12}\right) \div\left(-\frac{1}{48}\right)$

$=\left(\frac{1}{6}-\frac{2}{3}+\frac{5}{12}\right) \times 48$

$=\frac{1}{6} \times 48-\frac{2}{3} \times 48+\frac{5}{12} \times 48$

$=8-32+20$

$=-4$

(3) 解: $-1^{2021}-\frac{1}{6} \div\left(-3 \times \frac{1}{9}\right)+|-2|$

$=-1-\frac{1}{6} \div\left(-\frac{1}{3}\right)+2$

$=-1+\frac{1}{6} \times 3+2$

$=-1+\frac{1}{2}+2$

$=\frac{3}{2}$