题目（七年级 · 解析几何）：小华同学探究平行线的性质:

(1)如图(1)在平面上画出两条平行线 $A B / / C D$, 在平行线之间取一点 $E$, 连接 $B E$ 和 $D E$, 已知 $\angle A B E=30^{\circ}, \angle C D E=35^{\circ}$, 求: $\angle B E D$ 的度数.

(2)如图(2)在平面上画出两条平行线 $A B / / C D$, 在平行线右上方取一点 $F$, 连接 $B F$ 和 $D F$, 已知 $\angle A B F=150^{\circ}, \angle C D F=130^{\circ}$, 求: $\angle B F D$ 的度数.

(3)如图(3)在平面上画出两条平行线 $A B / / C D$, 在平行线正上方取一点 $G$, 连接 $B G$ 和 $D G$, 已知 $\angle A B G=\alpha, \angle C D G=\beta(\alpha>\beta)$, 直接写出 $\angle B G D$ 的度数(用含有 $\alpha 、 \beta$ 的式子表示).



图 1



图 2



图 3
选项：
答案：【答案】解: (1)过点 $E$ 作 $E F / / A B$,

$\because \angle A B E=30^{\circ}$,

$\therefore \angle B E F=\angle A B E=30^{\circ}$.

<ImageHere>

图 1

$\because E F / / A B 、 A B / / C D$,

$\therefore E F / / C D$.

$\because \angle C D E=35^{\circ}$,

$\therefore \angle D E F=\angle C D E=35^{\circ}$.

$\therefore \angle B E D=\angle B E F+\angle D E F$
$=65^{\circ}$.

(2)过点 $F$ 作 $E F / / A B$

$\because \angle A B F=150^{\circ}$,

$\therefore \angle E F B=180^{\circ}-\angle A B F$

$=180^{\circ}-150^{\circ}$

<ImageHere>

图 2

$=30^{\circ}$.

$\because E F / / A B 、 A B / / C D$,

$\therefore E F / / C D$.

$\because \angle C D F=130^{\circ}$.

$\therefore \angle E F D=180^{\circ}-\angle C D F$

$=180^{\circ}-130^{\circ}$

$=50^{\circ}$.

$\therefore \angle B F D=\angle E F D-\angle E F B$

$=50^{\circ}-30^{\circ}$

$=20^{\circ}$.

(3) $\angle B G D=\alpha-\beta$.

延长 $A B$ 交 $G D$ 于点 $E$.

$\because A B / / C D$,

$\therefore \angle G E B=\angle D=\beta$.

<ImageHere>

图 3

在 $\triangle B G E$ 中,

$\angle B G D=\angle A B G-\angle G E B$

$=\alpha-\beta$.

【解析】(1)过点 $E$ 作 $E F / / A B$, 通过平行线的判定和性质, 把 $\angle B 、 \angle D$ 搬至 $\angle B E D$, 求出 $\angle B E D$ 的度数;

(2)过点 $F$ 作 $E F / / A B$, 通过平行线的判定和性质, 把 $\angle B 、 \angle D$ 与 $\angle E F D 、 \angle E F B$ 联系起来,利用角的和差关系求出 $\angle B E D$ 的度数;

(3)延长 $A B$ 交 $G D$ 于点 $E$, 利用三角形的外角和内角的关系, 易得结论.

本题考查了平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定，添加适当辅助线把分散的角集中起来是解决本题的关键.
解析：【答案】解: (1)过点 $E$ 作 $E F / / A B$,

$\because \angle A B E=30^{\circ}$,

$\therefore \angle B E F=\angle A B E=30^{\circ}$.



图 1

$\because E F / / A B 、 A B / / C D$,

$\therefore E F / / C D$.

$\because \angle C D E=35^{\circ}$,

$\therefore \angle D E F=\angle C D E=35^{\circ}$.

$\therefore \angle B E D=\angle B E F+\angle D E F$
$=65^{\circ}$.

(2)过点 $F$ 作 $E F / / A B$

$\because \angle A B F=150^{\circ}$,

$\therefore \angle E F B=180^{\circ}-\angle A B F$

$=180^{\circ}-150^{\circ}$



图 2

$=30^{\circ}$.

$\because E F / / A B 、 A B / / C D$,

$\therefore E F / / C D$.

$\because \angle C D F=130^{\circ}$.

$\therefore \angle E F D=180^{\circ}-\angle C D F$

$=180^{\circ}-130^{\circ}$

$=50^{\circ}$.

$\therefore \angle B F D=\angle E F D-\angle E F B$

$=50^{\circ}-30^{\circ}$

$=20^{\circ}$.

(3) $\angle B G D=\alpha-\beta$.

延长 $A B$ 交 $G D$ 于点 $E$.

$\because A B / / C D$,

$\therefore \angle G E B=\angle D=\beta$.



图 3

在 $\triangle B G E$ 中,

$\angle B G D=\angle A B G-\angle G E B$

$=\alpha-\beta$.

【解析】(1)过点 $E$ 作 $E F / / A B$, 通过平行线的判定和性质, 把 $\angle B 、 \angle D$ 搬至 $\angle B E D$, 求出 $\angle B E D$ 的度数;

(2)过点 $F$ 作 $E F / / A B$, 通过平行线的判定和性质, 把 $\angle B 、 \angle D$ 与 $\angle E F D 、 \angle E F B$ 联系起来,利用角的和差关系求出 $\angle B E D$ 的度数;

(3)延长 $A B$ 交 $G D$ 于点 $E$, 利用三角形的外角和内角的关系, 易得结论.

本题考查了平行线的性质和判定，掌握平行线的性质和判定，添加适当辅助线把分散的角集中起来是解决本题的关键.