题目（九年级 · 画法几何学）：(本小题8.0分)

如图, $\odot O$ 的直径 $A B=12, A M 、 B N$ 是 $\odot O$ 的切线, 在 $A M$ 上取一点 $D$ ( $D$ 与 $A$ 不重合), $D E$ 切 $\odot O$ 于 $E$, 且 $D E$ 与 $B N$ 交于 $C$ 点,



(1)求证: $O D \perp O C$;

(2)设 $A D=x, B C=y$, 求出 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式, 并指出是何种函数.
选项：
答案：解: (1)证明: 连结 $O E$,

<ImageHere>

$\because A M 、 C D$ 是 $\odot O$ 的切线,

$\therefore \angle O A D=\angle O E D=90^{\circ}, A D=D E$,

在 $R t \triangle A D O$ 和 $R t \triangle E D O$ 中

$$
\left\{\begin{array}{l}
A D=E D \\
O D=O D^{\prime}
\end{array}\right.
$$

$\therefore R t \triangle A D O \cong R t \triangle E D O$,

$\therefore \angle A O D=\angle D O E$,

$\because B N 、 C D$ 也是 $\odot O$ 的切线,

$\therefore \angle O E C=\angle O B C=90^{\circ}, C E=C B$,

在 $R t \triangle O E C$ 和 $R t \triangle O B C$ 中

$$
\left\{\begin{array}{l}
C E=C B \\
O C=O C^{\prime}
\end{array}\right.
$$

$\therefore R t \triangle O E C \cong R t \triangle O B C$,

$\therefore \angle B O C=\angle E O C$,

$\therefore \angle D O C=\angle D O E+\angle E O C=\frac{1}{2}(\angle A O E+\angle E O B)=90^{\circ}$,

$$
\therefore O D \perp O C \text {; }
$$

(2)如图, 作 $D F \perp B N$ 交 $B C$ 于 $F$, 设 $A D=x, B C=y$,

<ImageHere>

$\because A M 、 B N$ 与 $\odot O$ 切于点定 $A 、 B$,

$\therefore A B \perp A M, A B \perp B N$.

又 $\because D F \perp B N$,
$\therefore \angle B A D=\angle A B C=\angle B F D=90^{\circ}$,

$\therefore$ 四边形 $A B F D$ 是矩形,

$\therefore B F=A D=x, D F=A B=12$,

$\because B C=y$

$\therefore F C=B C-B F=y-x$

$\because D E$ 切 $\odot O$ 于 $E$,

$\therefore D E=A D=x, C E=B C=y$,

则 $D C=D E+C E=x+y$ ，

在Rt $\triangle D F C$ 中，

由勾股定理得: $(x+y)^{2}=(y-x)^{2}+12^{2}$,

整理为: $y=\frac{36}{x}$,

$\therefore y$ 与 $x$ 的函数关系式是 $y=\frac{36}{x}$, 是反比例函数.

【解析】此题考查了切线的性质, 切线长定理, 直角三角形全等的判定与性质, 勾股定理, 函数关系式等.

(1)可先连接 $O E$, 根据切线长定理, 切线性质可证明 Rt $\triangle A D O \cong R t \triangle E D O$ 和 Rt $\triangle O E C \cong R t \triangle O B C$,进而得到角的关系得到 $\angle A O D=\angle D O E, \angle B O C=\angle E O C$, 进而得到 $O D \perp O C$;

(2)根据切线长定理得到 $B F=A D=x, C E=C B=y$, 则 $D C=D E+C E=x+y$, 在直角 $\triangle D F C$ 中根据勾股定理, 就可以求出 $y$ 与 $x$ 的关系.
解析：解: (1)证明: 连结 $O E$,



$\because A M 、 C D$ 是 $\odot O$ 的切线,

$\therefore \angle O A D=\angle O E D=90^{\circ}, A D=D E$,

在 $R t \triangle A D O$ 和 $R t \triangle E D O$ 中

$$
\left\{\begin{array}{l}
A D=E D \\
O D=O D^{\prime}
\end{array}\right.
$$

$\therefore R t \triangle A D O \cong R t \triangle E D O$,

$\therefore \angle A O D=\angle D O E$,

$\because B N 、 C D$ 也是 $\odot O$ 的切线,

$\therefore \angle O E C=\angle O B C=90^{\circ}, C E=C B$,

在 $R t \triangle O E C$ 和 $R t \triangle O B C$ 中

$$
\left\{\begin{array}{l}
C E=C B \\
O C=O C^{\prime}
\end{array}\right.
$$

$\therefore R t \triangle O E C \cong R t \triangle O B C$,

$\therefore \angle B O C=\angle E O C$,

$\therefore \angle D O C=\angle D O E+\angle E O C=\frac{1}{2}(\angle A O E+\angle E O B)=90^{\circ}$,

$$
\therefore O D \perp O C \text {; }
$$

(2)如图, 作 $D F \perp B N$ 交 $B C$ 于 $F$, 设 $A D=x, B C=y$,



$\because A M 、 B N$ 与 $\odot O$ 切于点定 $A 、 B$,

$\therefore A B \perp A M, A B \perp B N$.

又 $\because D F \perp B N$,
$\therefore \angle B A D=\angle A B C=\angle B F D=90^{\circ}$,

$\therefore$ 四边形 $A B F D$ 是矩形,

$\therefore B F=A D=x, D F=A B=12$,

$\because B C=y$

$\therefore F C=B C-B F=y-x$

$\because D E$ 切 $\odot O$ 于 $E$,

$\therefore D E=A D=x, C E=B C=y$,

则 $D C=D E+C E=x+y$ ，

在Rt $\triangle D F C$ 中，

由勾股定理得: $(x+y)^{2}=(y-x)^{2}+12^{2}$,

整理为: $y=\frac{36}{x}$,

$\therefore y$ 与 $x$ 的函数关系式是 $y=\frac{36}{x}$, 是反比例函数.

【解析】此题考查了切线的性质, 切线长定理, 直角三角形全等的判定与性质, 勾股定理, 函数关系式等.

(1)可先连接 $O E$, 根据切线长定理, 切线性质可证明 Rt $\triangle A D O \cong R t \triangle E D O$ 和 Rt $\triangle O E C \cong R t \triangle O B C$,进而得到角的关系得到 $\angle A O D=\angle D O E, \angle B O C=\angle E O C$, 进而得到 $O D \perp O C$;

(2)根据切线长定理得到 $B F=A D=x, C E=C B=y$, 则 $D C=D E+C E=x+y$, 在直角 $\triangle D F C$ 中根据勾股定理, 就可以求出 $y$ 与 $x$ 的关系.