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题目（高二 · 立体几何学）：设 $\alpha, \beta$ 是两个不同的平面, $m$ 是直线且 $m \subset \alpha$. “ $m / / \beta$ ”是 “ $\alpha / / \beta$ ”的
选项：
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案：B
解析：解析: 解答: 因为 $\alpha, \beta$ 是两个不同的平面, $m$ 是直线且 $m \subset \alpha$. 若 “ $m / / \beta$ ”, 则平面 $\alpha 、 \beta$可能相交也可能平行, 不能推出 $\alpha / / \beta$, 反过来若 $\alpha / / \beta, m \subset \alpha$, 则有 $m / / \beta$, 则“ $m / / \beta$ ”是“ $\alpha / / \beta$ ”的必要而不充分条件., 故选B.

分析: 解答此类问题的关键是分析条件 $p$ 和 $q$ 是否具有推出关系, 首先要化简条件, 其次要明确条件 $p$ 是什么, 结论 $q$ 是什么, 接着判断一是 $p$ 能否推得条件 $q$; 二是 $q$ 能否推得条件 $p$, 方可解决; 注意养成“解决彻底”的好习惯, 既要解决充分性, 又要解决必要性.
题目（高二 · 立体几何学）：在 $\triangle A B C$ 中, 若 $A=\frac{\pi}{3}, b=16$, 此三角形面积 $S=220 \sqrt{3}$, 则 $a$ 的值是 ( )
选项：
A. $20 \sqrt{6}$
B. 75
C. 51
D. 49
答案：D
解析：在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\mathrm{A}=\frac{\pi}{3}, \mathrm{~b}=16$, 此三角形面积 $\mathrm{S}=220 \sqrt{3}$,

$\therefore \frac{1}{2} b c \sin A=220 \sqrt{3}$, 解得 $\mathrm{c}=55$, 由余弦定理得, $\mathrm{a}^{2}=\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}-2 \mathrm{bc} \cos \mathrm{A}$

$=16^{2}+55^{2}-2 \times 16 \times 55 \times \frac{1}{2}=2401$, 则 $\mathrm{a}=49$, 故选 D.
题目（高二 · 立体几何学）：$\triangle A B C$ 三边上的高依次为 $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}$, 则 $\triangle A B C$ 为 ( )
选项：
A. 针角三角形
B. 直角三角形
C. 锐角三角形
D. 不存在这样的三角形
答案：A
解析：设 $\triangle A B C$ 三边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$, 则根据三角形面积公式得:

$S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2} b \cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{2} c \cdot \frac{1}{4}$, 所以 $\frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}$,

设 $a=2 k, b=3 k, c=4 k(k>0)$. 因为 $2 k+3 k>4 k$, 故能构成三角形,

取大角 C, $\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}=\frac{(2 k)^{2}+(3 k)^{2}-(4 k)^{2}}{2 \times 2 k \cdot 3 k}=-\frac{1}{4}<0$ ，

所以 $\mathrm{C}$ 为钝角, 所以 $\triangle A B C$ 为针角三角形. 故选 $\mathrm{A}$.
题目（高二 · 立体几何学）：平行四边形中, $A C=\sqrt{65}, B D=\sqrt{17}$, 周长为 18 , 则平行四边形面积是 ( )
选项：
A. 16
B. 17.5
C. 18
D. 18.53
答案：A
解析：解析 设两邻边 $A D=b, A B=a, \angle B A D=\alpha$,

则 $a+b=9, a^{2}+b^{2}-2 a b \cos \alpha=17$,

$a^{2}+b^{2}-2 a b \cos \left(180^{\circ}-\alpha\right)=65$

解得: $a=5, b=4, \cos \alpha=\frac{3}{5}$ 或 $a=4, b=5, \cos \alpha=\frac{3}{5}$,

$\therefore S_{\triangle A B C D}=a b \sin \alpha=16$
题目（高二 · 立体几何学）：设 $\alpha, \beta$ 为两个不同的平面, $m, n$ 为两条不同的直线, $m \subset \alpha, n \subset \beta$, 有两个命题: $p$ : 若 $m / / n$ ，则 $\alpha / / \beta ; q$ : 若 $m \perp \beta ，$ 则 $\alpha \perp \beta$, 那么( )
选项：
A.“ $p$ 或 $q$ ”是假命题
B. $p$ 且 $q$ ”是真命题
C.“非 $p$ 或 $q$ ”是假命题
D.“非 $p$ 且 $q$ ”是真命题
答案：D
解析：解析：解答：显然命题 $p$ 是假命题, 则非 $p$ 为真命题.由面面垂直的判定定理知命题 $q$ 为真命题 , 所以非 $p$ 且 $q$ 是真命题., 故选D.

分析: 先判断两个命题的真假性, 再判断复合命题的真假性即可; 判断复合命题的口诀（或命题：有真则真; 且命题：有假则假；非命题：真假相反。
题目（高二 · 立体几何学）：水以匀速注入如图容器中, 试找出与容器对应的水的高度 $h$ 与时间 $t$ 的函数关系图象 ( )


选项：
A.B.![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_34f7c102900d30622a7ag-073.jpg?height=285&width=325&top_left_y=1808&top_left_x=363)C.![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_34f7c102900d30622a7ag-073.jpg?height=265&width=323&top_left_y=2129&top_left_x=364)D.![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_34f7c102900d30622a7ag-073.jpg?height=268&width=314&top_left_y=2393&top_left_x=377)
答案：A
解析：解答: 由于容器上细下粗, 所以水以横速注入水, 开始阶段高度增加的慢, 以后高度增加的越来越快, 因此 $h$ 与 $t$ 图象越来越陡峭, $rac{\Delta h}{\Delta t}$ 原来越大, 选 $A$分析: 本题主要考查了变化的快慢与变化率, 解决问题的关键是根据 $rac{\Delta h}{\Delta t}$ 进行具体分析即可.
题目（高二 · 立体几何学）：已知 $\cos (\alpha+\beta)=\frac{4}{5}, \cos (\alpha-\beta)=-\frac{4}{5}$, 则 $\cos \alpha \cos \beta$ 的值为 ( )
选项：
A. 0
B. $\frac{4}{5}$
C. 0 或 $\frac{4}{5}$
D. 0 或 $\pm \frac{4}{5}$
答案：A
解析：$\cos (\alpha+\beta)=\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta=\frac{4}{5}$ ，

$\cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta=-\frac{4}{5}$,

两式相加可得 $2 \cos \alpha \cos \beta=0$, 即 $\cos \alpha \cos \beta=0$, 故选 $\mathrm{A}$.
题目（高二 · 立体几何学）：已知 $\cos \alpha+\sin ^{2} \beta=\frac{3}{2}, \sin \alpha+\sin \beta \cos \beta=\frac{1}{3}$, 则 $\cos (\alpha+2 \beta)=(\quad)$
选项：
A. $\frac{4}{9} $B. $ \frac{5}{9}$ C.  $\frac{5}{36}$D. $-\frac{5}{18}$
答案：C
解析：由 $\cos \alpha+\sin ^{2} \beta=\frac{3}{2}$, 知 $2 \cos \alpha-\cos 2 \beta=2$ (1),

在 $\sin \alpha+\sin \beta \cos \beta=\frac{1}{3}$ 两边同时乘以 2 得 $2 \sin \alpha+\sin 2 \beta=\frac{2}{3}$ (2),

将(1)(2)两个等式平方相加得 $4+1-4 \cos (2 \beta+\alpha)=4+\frac{4}{9}$, 解得 $\cos (\alpha+2 \beta)=\frac{5}{36}$,

故选 C.
题目（高二 · 立体几何学）：已知 $0<\alpha<\frac{\pi}{2}<\beta<\pi, \cos \alpha=\frac{3}{5}, \sin (\alpha+\beta)=-\frac{3}{5}$, 则 $\cos \beta$ 的值为()
选项：
A. -1
    B. -1 或 $-\frac{7}{25}$
    C. $-\frac{24}{25}$
    D. $\pm \frac{24}{25}$
答案：C
解析：$\because 0<\alpha<\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}<\beta<\pi, \therefore \frac{\pi}{2}<\alpha+\beta<\frac{3}{2} \pi$,

$\therefore \sin \alpha=\frac{4}{5}, \cos (\alpha+\beta)=-\frac{4}{5}, \quad \therefore \cos \beta=\cos [(\alpha+\beta)-\alpha]$ $=\cos (\alpha+\beta) \cos \alpha+\sin (\alpha+\beta) \sin \alpha=\left(-\frac{4}{5}\right) \times \frac{3}{5}+\left(-\frac{3}{5}\right) \times \frac{4}{5}=-\frac{24}{25}$, 故选 C.
题目（高二 · 立体几何学）：以下三个命题: (1)分别在两个平面内的直线一定是异面直线; (2)过平面 $\alpha$ 的一条斜线有且只有一个平面与 $\alpha$ 垂直; (3)平行于同一条直线的两个平面平行. 其中真命题的个数是 ( )
选项：
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：B
解析：解析 :(1)错, 异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线, (2)正确, (3)错.

答案 :$B$
题目（高二 · 立体几何学）：已知 $O$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 所在平面内一点, 向量 $\overrightarrow{\mathrm{OP}_{1}} 、 \overrightarrow{\mathrm{OP}_{2}} 、 \overrightarrow{\mathrm{OP}_{3}}$ 满足条件 $\overrightarrow{O P_{1}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}_{2}}+\overrightarrow{\mathrm{OP}_{3}}=\overrightarrow{0}$, 且 $\left|\overrightarrow{O P_{1}}\right|=\left|\overrightarrow{O P_{2}}\right|=\left|\overrightarrow{O P_{3}}\right|=1$, 则 $\triangle \mathrm{ABC}$ 是 ( )
选项：
A. 等腰三角形
    B. 直角三角形
    C. 等腰直角三角形
    D. 等边三角形
答案：D
解析：由 $\overrightarrow{O P_{1}}+\overrightarrow{O P_{2}}+\overrightarrow{O P_{3}}=\overrightarrow{0}$ 得 $O$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的重心; 由 $\left|\overrightarrow{O P_{1}}\right|=\left|\overrightarrow{O P_{2}}\right|=\left|\overrightarrow{O P_{3}}\right|=1$ 得 $O$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的
外心，故重心与外心重合, 所以 $\triangle \mathrm{ABC}$ 是等边三角形, 选 D.
题目（高二 · 立体几何学）：已知 $A=\{$ 与 $\vec{a}$ 共线的向量 $\}, B=\{$ 与 $\vec{a}$ 长度相等的向量 $\}, C=\{$ 与 $\vec{a}$ 长度相等且方向相反的向量 $\}$,其中 $\vec{a}$ 为非零向量, 则下列命题中错误的是（ ）
选项：
A. $C \subseteq A$
   B. $A \cap B=\{\vec{a}\}$
   C. $C \subseteq B$
   D. $A \cap B \neq\{\vec{a}\}$
答案：B
解析：$\because A \cap B$ 表示与向量 $\vec{a}$ 长度相等且共线（方向相同或相反）的向量, 结合选项知 B 错误.
题目（高二 · 立体几何学）：已知 $O$ 是 $\triangle A B C$ 所在平面内一点, $D$ 为 $B C$ 边中点, 且 $2 \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\mathbf{0}$, 那么 ()
选项：
A. $\overrightarrow{A O}=\overrightarrow{O D}$
    B. $\overrightarrow{A O}=2 \overrightarrow{O D}$
    C. $\overrightarrow{A O}=3 \overrightarrow{O D}$
    D. $2 \overrightarrow{A O}=\overrightarrow{O D}$
答案：A
解析：$O$ 是 $\triangle A B C$ 所在平面内一点, $D$ 为 $B C$ 边中点,

$\therefore \overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=2 \overrightarrow{O D}$, 且 $2 \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}$,

$\therefore \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O D}=\overrightarrow{0}$, 即 $\overrightarrow{A O}=\overrightarrow{O D}$, 故选 A.
题目（高二 · 立体几何学）：已知向量 $\vec{a} 、 \vec{b} 、 \vec{c}$ 满足 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$, 且 $\vec{a}^{2}<\vec{b}^{2}<\vec{c}^{2}$, 则 $\vec{a} \cdot \vec{b} 、 \vec{b} \cdot \vec{c} 、 \vec{a} \cdot \vec{c}$ 中最小的值是 ( )
选项：
A. $\vec{a} \cdot \vec{b}$
   B. $\vec{b} \cdot \vec{c}$
   C. $\vec{a} \cdot \vec{c}$
   D. 不能确定
答案：B
解析：因为 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$, 所以 $\vec{b}=-(\vec{a}+\vec{c})$,

所以 $\vec{a} \cdot \vec{b}-\vec{b} \cdot \vec{c}=\vec{b} \cdot(\vec{a}-\vec{c})=-(\vec{a}+\vec{c})(\vec{a}-\vec{c})=-\left(\vec{a}^{2}-\vec{c}^{2}\right)>0$, 所以 $\vec{a} \cdot \vec{b}>\vec{b} \cdot \vec{c}$ ，同理可得, $\vec{a} \cdot \vec{c}>\vec{b} \cdot \vec{c}$, 故 $\vec{b} \cdot \vec{c}$ 最小.故选 $B$.
题目（高二 · 立体几何学）：下列命题正确的是 ( )
选项：
A. 若 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 共线, $\boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{c}$ 共线, 则 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{c}$ 共线

B. 三个向量共面, 即它们所在的直线共面

C. 若 $\boldsymbol{a} \| \boldsymbol{b}$, 则存在唯一的实数 $\lambda$, 使 $\boldsymbol{a}=\lambda \boldsymbol{b}$

D. 零向量是模为 0 , 方向任意的向量
答案：D
解析：$\mathrm{A}$ 选项，若 $\boldsymbol{b}=\mathbf{0}$, 则根据零向量方向的任意性，可以 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 共线， $\boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{c}$ 共线; 但 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{c}$ 不一定共线, 故 A 错;

$\mathrm{B}$ 选项, 因为向量是可以自由移动的量, 因此三个向量共面, 其所在的直线不一定共面; 故 B 错;

$\mathrm{C}$ 选项, 根据共线向量定理, 若 $\boldsymbol{a} \| \boldsymbol{b}$, 其中 $\boldsymbol{b} \neq \mathbf{0}$, 则存在唯一的实数 $\lambda$ 使 $\boldsymbol{a}=\lambda \boldsymbol{b}$; 故 $\mathrm{C}$ 错;

$\mathrm{D}$ 选项，根据零向量的定义可得，零向量是模为 0 , 方向任意的向量, 即 D 正确,

故选 D.
题目（高二 · 立体几何学）：已知 $\cos (\alpha+\beta)=\frac{4}{5}, \cos (\alpha-\beta)=-\frac{4}{5}$, 则 $\cos \alpha \cos \beta$ 的值为( A )
选项：
A. 0
   B. $\frac{4}{5}$
   C. 0 或 $\frac{4}{5}$
   D. 0 或 $\pm \frac{4}{5}$
答案：A
解析：[解析] 由条件得, $\cos \alpha \cos \beta-\sin \alpha \sin \beta=\frac{4}{5}$,

$\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta=-\frac{4}{5}$,

左右两边分别相加可得 $\cos \alpha \cdot \cos \beta=0$.
题目（高二 · 立体几何学）：设 $a=\sqrt{2}\left(\cos ^{2} 16^{\circ}-\sin ^{2} 16^{\circ}\right), b=\sin 15^{\circ}+\cos 15^{\circ}, c=\sqrt{1+\cos 56^{\circ}}$, 则 $a, b$, $c$ 的大小关系为 ( )
选项：
A. $c<b<a$
   B. $b<c<a$
   C. $a<b<c$
   D. $b<a<c$
答案：C
解析：$a=\sqrt{2}\left(\cos ^{2} 16^{\circ}-\sin ^{2} 16^{\circ}\right)=\sqrt{2} \cos 32^{\circ}$,

$b=\sin 15^{\circ}+\cos 15^{\circ}=\sqrt{2} \sin 60^{\circ}=\sqrt{2} \cos 30^{\circ}$,

$c=\sqrt{1+\cos 56^{\circ}}=\sqrt{2 \cos ^{2} 28^{\circ}}=\sqrt{2} \cos 28^{\circ}$

又 $\because y=\cos x$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上单调递减, $\therefore \cos 28^{\circ}>\cos 30^{\circ}>\cos 32^{\circ}$,

$\therefore c>b>a$. 故选: C.
题目（高二 · 组合数学）：已知函数 $f(n)=\left\{\begin{array}{l}n^{2}, n \text { 为奇数 } \\ -n^{2}, n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$ 且 $a_{n}=f(n)+f(n+1)$, 则 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{2014}$ 等于 ( )
选项：
A. -2013
B. -2014
C. 2013
D. 2014
答案：D
解析：当 $n$ 为奇数时, $a_{n}=n^{2}-(n+1)^{2}=-2 n-1$, 当 $n$ 为偶数时 $a_{n}=-n^{2}+(n+1)^{2}$

$=2 n+1$, 所以 $a_{1}=-3, a_{2}=5, a_{3}=-7, a_{4}=9, \cdots$, 故 $a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}=\cdots$

$=a_{2013}+a_{2014}=2$, 所以 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{2014}=2 \times \frac{2014}{2}=2014$, 故选 D.
题目（高二 · 组合数学）：诗歌是一种抒情言志的文学载体, 用高度凝练的语言、形象表达作者丰富的情感, 诗歌也可以反映数量关系的内在联系和规律, 人们常常把数学问题和算法理论编成朗朗上口的诗歌词赋, 是抽象理性的数学问题诗词化, 比如诗歌: “十里长街闹盈盈, 庆祝祖国万象新; 佳节礼花破长空, 长街灯笼胜繁星; 七七数时余两个, 八个一数恰为零; 三数之时剩两盛, 灯笼几盛放光明”, 则此诗歌中长街灯笼最少几盏 ( )
选项：
A. 70
B. 128
C. 140
D. 150
答案：B
解析：: 根据题意和选项发现 $\frac{128}{7}=18 \cdots 2, \frac{128}{8}=16, \frac{128}{3}=42 \cdots 2$ 满足题意, 即选 B 选项.
题目（高二 · 组合数学）：我国古代数学典籍《九章算术》第七章 “盈不足” 章中有一道 “两鼠穿墙” 问题: 有厚墙 5 尺,两只

老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙, 大老鼠第一天进一尺, 以后每天加倍; 小老鼠第一天也进一尺,以每

天减半。问两鼠在第几天相遇？（）
选项：
A. 第 2 天
B. 第 3 天
C. 第 4 天
D. 第 5 天
答案：B
解析：第一天: 大老鼠 $1+$ 小老鼠 $1=2$; 第二天: 大老鼠 2+小老鼠 $1，.5=3，.5$ 第三天: 大老鼠 $4+$ 小老鼠 $1，.75=5，.75$ 相遇
题目（高二 · 组合数学）：【山东省、湖北省部分重点中学 2018 届高三第二次 (12 月) 联考】已知从 1 开始的连续奇数蛇形排列形成宝塔形数表, 第一行为 1 , 第二行为 3,5 , 第三行为 $7,9,11$, 第四行为 $13,15,17$, 19, 如图所示, 在宝塔形数表中位于第 $i$ 行, 第 $j$ 列的数记为 $a_{i, j}$, 比如 $a_{3,2}=9, a_{4,2}=15, a_{5,4}=23$,若 $a_{i, j}=2017$, 则 $i+j=(\quad)$



## ......
选项：
A. 64
B. 65
C. 71
D. 72
答案：D
解析：奇数数列 $a_{n}=2 n-1=2017 \Rightarrow n=1009$, 即 2017 为底 1009 个奇数. 学科\&网按照蛇形排列, 第 1 行到第 $\mathrm{i}$ 行末共有 $1+2+\cdots+i=\frac{i(1+i)}{2}$ 个奇数,则。第 1 行到第 44 行末共有 990 个奇数; 第 1 行到第 45 行末共有 1035 个奇数; 则 2017 位于第 45 行; 而第 45 行是从右到左依次递增,且共有 45 个奇数; 故 2017 位于第 45 行, 从右到左第 19 列, 则 $i=45, j=27 \Rightarrow i+j=72$, 故选 D.
题目（高二 · 组合数学）：意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时, 发现有这样的一列数: $1,1,2,3,5,8, \ldots$,该数列的特点是: 前两个数均为 1 , 从第三个数起, 每一个数都等于它前面两个数的和. 人们把这样的一列数组成的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 称为斐波那契数列. 则 $\sum_{i=1}^{8}\left(a_{i} a_{i+2}\right)-\sum_{i=1}^{8} a_{i+1}^{2}=(\quad)$
选项：
A. 0
B. -1
C. 1
D. 2
答案：A
解析：由题意, 得 $a_{1} a_{3}-a_{2}^{2}=1 \times 2-1=1, a_{2} a_{4}-a_{3}^{2}=1 \times 3-4=-1, a_{3} a_{5}-a_{4}^{2}=2 \times 5-9=1$ ， $a_{4} a_{6}-a_{5}^{2}=3 \times 8-25=-1, \cdots, a_{8} a_{10}-a_{9}^{2}=21 \times 55-34^{2}=-1$, 所以 $\sum_{i=1}^{8}\left(a_{i} a_{i+2}\right)-\sum_{i=1}^{8} a_{i+1}^{2}=0$; 故选

A
题目（高二 · 组合数学）：（2017 新课标 I ）几位大学生响应国家的创业号召, 开发了一款应用软件. 为激发大家学习数学的兴趣, 他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动. 这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列 $1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16, \cdots$, 其中第一项是 $2^{0}$, 接下来的两项是 $2^{0}, 2^{1}$, 再接下来的三项是 $2^{0}, 2^{1}, 2^{2}$, 依此类推. 求满足如下条件的最小整数 $N: N>100$ 且该数列的前 $N$ 项和为 2 的整数幂. 那么该款软件的激活码是( )
选项：
A. 440
    B. 330
    C. 220
    D. 110
答案：A
解析：对数列进行分组如图

则该数列前 $k$ 组的项数和为 $1+2+3+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2}$

由题意可知 $N>100$, 即 $\frac{k(k+1)}{2}>100$, 解得 $k \geqslant 14, n \in \mathbf{N}^{*}$
即 $N$ 出现在第 13 组之后.

又第 $k$ 组的和为 $\frac{1-2^{k}}{1-2}=2^{k}-1$

前 $k$ 组的和为

$1+(1+2)+\cdots+\left(1+2+\cdots+2^{k}\right)=\left(2^{1}-1\right)+\left(2^{2}-1\right)+\cdots+\left(2^{k}-1\right)$

$=\left(2^{1}+2^{2}+\cdots+2^{k}\right)-k=2^{k+1}-k-2$,

设满足条件的的 $N$ 在第 $k+1\left(k \in \mathbf{N}^{*}, k \geqslant 13\right)$ 组, 且第 $N$ 项为第 $k+1$ 的第 $m\left(m \in \mathbf{N}^{*}\right)$ 个数,

第 $k+1$ 组的前 $m$ 项和为 $1+2+2^{2}+\cdots+2^{m-1}=2^{m}-1$,

要使该数列的前 $N$ 项和为 2 的整数幂,

即 $2^{m}-1$ 与 $-k-2$ 互为相反数,

即 $2^{m}-1=2+k ，$

所以 $k=2^{m}-3$,

由 $k \geqslant 14$, 所以 $2^{m}-3 \geqslant 14$, 则 $m \geqslant 5$, 此时 $k=2^{5}-3=29$

对应满足的最小条件为 $N=\frac{29(29+1)}{2}+5=440$, 故选 A.
题目（高二 · 组合数学）：已知数列 $1, \frac{1}{2}, \frac{2}{1}, \frac{1}{3}, \frac{2}{2}, \frac{3}{1}, \frac{1}{4}, \frac{2}{3}, \frac{3}{2}, \frac{4}{1}, \cdots$, 则 $\frac{5}{6}$ 是数列中的( )
选项：
A. 第 48 项
B. 第 49 项
C. 第 50 项
D. 第 51 项
答案：C
解析：解析 将数列分为第 1 组一个, 第 2 组二个, , 第 $n$ 组 $n$ 个,

即 $\left(\frac{1}{1}\right),\left(\frac{1}{2}, \frac{2}{1}\right),\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{2}, \frac{3}{1}\right), \cdots,\left(\frac{1}{n}, \frac{2}{n-1}, \cdots, \frac{n}{1}\right)$,

则第 $n$ 组中每个数分子分母的和为 $n+1$, 则 $\frac{5}{6}$ 为第 10 组中的第 5 个, 其项数为 $(1+2+$ $3+\cdots+9)+5=50$.
题目（高二 · 组合数学）：已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}=\left\{\begin{array}{ll}2 a_{n} & \left(0 \leqslant a_{n}<\frac{1}{2}\right), \\ 2 a_{n}-1 & \left(\frac{1}{2} \leqslant a_{n}<1\right) .\end{array} \quad\right.$ 若 $a_{1}=\frac{6}{7}$, 则 $a_{2010}$ 的值为 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{6}{7}$
B. $\frac{5}{7}$
C. $\frac{3}{7}$
D. $\frac{1}{7}$
答案：C
解析：解析 计算得 $a_{2}=\frac{5}{7}, a_{3}=\frac{3}{7}, a_{4}=\frac{6}{7}$, 故数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是以 3 为周期的周期数列,

又知 2010 除以 3 能整除, 所以 $a_{2010}=a_{3}=\frac{3}{7}$.
题目（高二 · 组合数学）：现有 200 根相同的钢管, 把它们堆成正三角形垛, 要使剩余的钢管尽可能少, 那么剩余钢管的根数为 ( )
选项：
A. 9
    B. 10
    C. 19
    D. 29
答案：B
解析：解析 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列, 最上面一层钢管数为 1 , 逐层增加 1 个.

$\therefore$ 钢管总数为: $1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$.

当 $n=19$ 时, $S_{19}=190$.

当 $n=20$ 时, $S_{20}=210>200$.

$\therefore n=19$ 时, 剩余钢管根数最少, 为 10 根.
题目（高二 · 组合数学）：有 2 位同学报名参加 5 个课外活动小组, 每位同学限报其中的一个小组, 则不同的报名方法有 ( )
选项：
A. 10 种
B. 20 种
C. 25 种
D. 32 种
答案：C
解析：解析：每位同学都有 5 种选择, 则不同的报名方法有 $5 \times 5=25$ 种.故选 C.
题目（高二 · 逻辑题）：下列命题中是假命题的是
选项：
A. $\exists \alpha, \beta \in \mathrm{R}$, 使 $\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha+\sin \beta$

B. $\forall \varphi \in \mathrm{R}$, 函数 $f(x)=\sin (2 x+\varphi)$ 都不是偶函数

C. $\exists m \in R$, 使 $f(x)=(m-1) \cdot x m^{2}-4 m+3$ 是幂函数, 且在 $(0,+\infty)$ 上单调递减

D. $\forall a>0$, 函数 $f(x)=\ln ^{2} x+\ln x-a$ 有零点
答案：B
解析：解析：解答：对于 $\mathrm{A}$, 当 $\alpha=0$ 时, $\sin (\alpha+\beta)=\sin \alpha+\sin \beta$ 成立; 对于 $\mathrm{B}$, 当 $\varphi=\frac{\pi}{2}$ 时, $f(x)$ $=\sin (2 x+\varphi)=\cos 2 x$ 为偶函数; 对于 C, 当 $m=2$ 时, $f(x)=(m-1) \cdot x m^{2}-4 m+3=x^{-1}=\frac{1}{x}$,满足条件; 对于 $\mathrm{D}$, 令 $\ln x=t, \forall a>0$, 对于方程 $t^{2}+t-a=0, \Delta=1-4(-a)>0$, 方程恒有解, 故满足条件. 综上可知, 故选 B.

分析：本题主要考查命题的基本知识的应用和真假命题的判断，根据概念逐项分析即可。
题目（高二 · 逻辑题）：命题 $p$ : “不等式 $\frac{x}{x-1} \geq 0$ 的解集为 $\{x \mid x \leq 0$ 或 $x \geq 1\}$ ”; 命题 $q$ : “不等式 $x^{2}>4$ 的解集为 $\{x \mid x>2\}$ ”, 则
选项：
A. $\mathrm{p}$ 真 $\mathrm{q}$ 假
B. $\mathrm{p}$ 假 q 真
C. 命题“ $\mathrm{p}$ 且 $q$ ”为真
D. 命题“ $\mathrm{p}$ 或 $\mathrm{q}$ ”为假
答案：D
解析：解析: 解答: 不等式 $\frac{x}{x-1} \geq 0$ 的解集为 $\{x \mid x \leq 0$ 或 $x \geq 1\}$, 故命题 $p$ 为假;不等式 $x^{2}>4$ 的解集为 $\{x \mid x>2$ 或 $x<-2\}$,故命题 $q$ 为假.于是命题“ $p$ 或 $q$ ”为假, 故选 D.

分析：先判断命题 $P$ 和命题 $q$ 为的真假, 命题 $P$ 为真命题。命题 $q$ 为假命题,
再由真值表对照答案逐一排除即可。
题目（高二 · 逻辑题）：下列语句中, 命题的个数为 ( )

(1)空集是任何非空集合的真子集；(2)三角函数是周期函数吗？

(3)若 $x \in \mathrm{R}$ ，则 $x^{2}+4 x+7>0$; (4)指数函数的图象真漂亮!
选项：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
答案：B
解析：解析：解答：由命题的定义可知, (1)(3)语句是命题, 而(2)(4)不是命题,故选 B.

分析：可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题.并不是任何语句都是命题,只有那些能判断真假的语句才是命题.一般来说, 疑问句、祈使句、感叹句都不是命题.在数学或其他领域, 有一类陈述句,如“每一个不小于 6 的偶数都是两个奇质数的和”, 目前不能判断它的真假,但以后总能确定它的真假, 因此通常把它也算作命题.
题目（高二 · 逻辑题）：下列说法正确的是
选项：
A. 命题“若 $x^{2}>1$, 则 $x>1$ ”的否命题为“若 $x^{2}>1$, 则 $x \leq 1$ ”

B. 命题“ $\exists x_{0} \in \mathrm{R}, x_{0}^{2}>1$ ” 的否定是“ $\forall x \in \mathrm{R}, x^{2}>1$ ”

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_34f7c102900d30622a7ag
答案：D
解析：分析：本题主要考查命题的基本知识的应用和真假命题的判断，根据概念逐项分析即可。
题目（高二 · 逻辑题）：下列每题:

(1)2004 年 10 月 01 日是国庆节, 又是中秋节;

(2) 10 的倍数一定是 5 的倍数;

(3)梯形不是矩形;

(4) 方程 $x^{2}=1$ 解 $\mathrm{x}= \pm 1$;

其中使用逻辑连接词的命题有 ( )
选项：
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
答案：C
解析：解析：解答：(1)2004 年 10 月 1 日是国庆节, 又是中秋节, 是且的形式; (2) 10 的倍数一定是 5 的倍数, 没有使用逻辑连接词; (3)梯形不是矩形, 是非的形式; (4)方程 $x^{2}=1$ 解 $\mathrm{x}= \pm 1$,是或的形式; 故选 C。

分析：(1)是且的形式; (2)没有使用逻辑连接词; (3)是非的形式; (4)是或的形式.

复合命题: 所谓复合命题是指由简单命题用连接词连接而成的命题. 不含逻辑连接词的命题叫简单命题. 含逻辑连接词 (“或”, “且”, “非”) 的命题叫复合命题.
题目（高二 · 逻辑题）：命题“若一个数是负数, 则它的平方是正数”的逆命题是( )
选项：
A. “若一个数是负数, 则它的平方不是正数”

B. “若一个数的平方是正数, 则它是负数”

C. “若一个数不是负数, 则它的平方不是正数”

D. “若一个数的平方不是正数, 则它不是负数”
答案：B
解析：解析: 解答: 原命题的逆命题是: 若一个数的平方是正数, 则它是负数.

答案 B

分析： 逆命题：交换原命题的条件和结论;

否命题: 同时否定原命题的条件和结论;

逆否命题：交换原命题的条件和结论，并同时否定.
题目（高二 · 逻辑题）：命题“若 $x, y$ 都是偶数, 则 $x+y$ 也是偶数”的逆否命题是( )
选项：
若 $x+y$ 是偶数, 则 $x$ 与 $y$ 不都是偶数

B. 若 $x+y$ 是偶数, 则 $x$ 与 $y$ 都不是偶数

C. 若 $x+y$ 不是偶数, 则 $x$ 与 $y$ 不都是偶数

D. 若 $x+y$ 不是偶数, 则 $x$ 与 $y$ 都不是偶数
答案：C
解析：解析: 解答: 由于“ $x, y$ 都是偶数”的否定表达是“ $x, y$ 不都是偶数”, “ $x+y$ 是偶数”的否定表达是 “ $x+y$ 不是偶数”, 故原命题的逆否命题为 “若 $x+y$ 不是偶数, 则 $x, y$ 不都是偶数”,故选 C.

分析： 逆命题：交换原命题的条件和结论;

否命题：同时否定原命题的条件和结论；

逆否命题：交换原命题的条件和结论，并同时否定.
题目（高二 · 逻辑题）：命题“若 $\alpha=\frac{\pi}{4}$, 则 $\tan \alpha=1$ ”的逆否命题是( )
选项：
A. 若 $\alpha \neq \frac{\pi}{4}$, 则 $\tan \alpha \neq 1$
B. 若 $\alpha=\frac{\pi}{4}$, 则 $\tan \alpha \neq 1$
C. 若 $\tan \alpha \neq 1$, 则 $\alpha \neq \frac{\pi}{4}$
D. 若 $\tan \alpha \neq 1$, 则 $\alpha=\frac{\pi}{4}$
答案：C
解析：解析: 解答: 命题“若 $\alpha=\frac{\pi}{4}$, 则 $\tan \alpha=1$ ”的逆否命题是“若 $\tan \alpha \neq 1$, 则 $\alpha \neq \frac{\pi}{4}$ ”, 故选 C.

分析： 逆命题：交换原命题的条件和结论;

否命题: 同时否定原命题的条件和结论;

逆否命题：交换原命题的条件和结论，并同时否定.
题目（高二 · 逻辑题）：命题“若 $f(x)$ 是奇函数, 则 $f(-x)$ 是奇函数”的否命题是 ( ).
选项：
A. 若 $f(x)$ 是偶函数, 则 $f(-x)$ 是偶函数

B. 若 $f(-x)$ 不是奇函数, 则 $f(x)$ 不是奇函数

C. 若 $f(-x)$ 是奇函数, 则 $f(x)$ 是奇函数

D. 若 $f(x)$ 不是奇函数, 则 $f(-x)$ 不是奇函数
答案：D
解析：解析: 解答: 否命题是条件和结论都否定, 奇函数的否定应为不是奇函数, 故选 D.

分析： 逆命题：交换原命题的条件和结论;

否命题: 同时否定原命题的条件和结论;

逆否命题：交换原命题的条件和结论，并同时否定.
题目（高二 · 逻辑题）：命题p: $(x-1)(y-2)=0$; 命题 $q:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=0$, 则命题 $p$ 是命题 $q$ 的 ( )
选项：
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件
答案：B
解析：解析: 解答: 命题 $p:(x-1)(y-2)=0 \Rightarrow x=1$ 或 $y=2$.

命题 $q:(x-1)^{2}+(y-2)^{2}=0 \Rightarrow x=1$ 且 $y=2$.

由 $q \Rightarrow p$ 成立, 而由 $P \not \Rightarrow q$ 成立. 故选 $B$.

分析: 解答此类问题的关键是分析条件 $p$ 和 $q$ 是否具有推出关系, 首先要化简条件, 其次要明确条件 $p$ 是什么, 结论 $q$ 是什么, 接着判断一是 $p$ 能否推得条件 $q$; 二是 $q$ 能否推得条件 $p$; 注意养成“解决彻底”的好习惯, 既要解决充分性, 又要解决必要性.
题目（高二 · 逻辑题）：若 $\mathrm{A}$ 是 $\mathrm{B}$ 成立的充分条件, $\mathrm{D}$ 是 $\mathrm{C}$ 成立的必要条件, $\mathrm{C}$ 是 $\mathrm{B}$ 成立的充要条件, 则 $\mathrm{D}$ 是 $\mathrm{A}$ 成立的（）。
选项：
A. 充分条件
B. 必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件分析
答案：B
解析：解析：解答: $\because \mathrm{A}$ 是B的充分条件, $\therefore \mathrm{A} \Rightarrow \mathrm{B}(1)$

$\because \mathrm{D}$ 是C成立的必要条件, $\therefore \mathrm{C} \Rightarrow \mathrm{D}(2)$

$\because \mathrm{C}$ 是B成立的充要条件, $\therefore \mathrm{C} \Leftrightarrow \mathrm{B}(3)$

由(1)(3)得 $A \Rightarrow C(4$, 由(2)(4)得 $A \Rightarrow D$.

$\therefore \mathrm{D}$ 是 $\mathrm{A}$ 成立的必要条件. 选 $\mathrm{B}$.

分析: 解答此类问题的关键是搞清楚 $A 、 B 、 C 、 D$ 之间的关系, 通过 B、C 作为桥梁联系

A、D.
题目（高二 · 逻辑题）：以下说法错误的是 ( )
选项：
A. 命题 “若 $x^{2}-3 x+2=0$, 则 $x=1$ ” 的逆否命题是 “若 $x \neq 1$, 则 $x^{2}-3 x+2 \neq 0$ ”

B. “ $x=1$ ”是“ $x^{2}-3 x+2=0$ ”的充分不必要条件

C. 命题 “若 $\alpha=\beta$, 则 $\sin \alpha=\sin \beta$ ” 的逆否命题为真

D. 命题“若 $x^{2}=1$, 则 $x=1$ ”的否命题为“若 $x^{2}=1$, 则 $x \neq 1$ ”
答案：D
解析：解析: 解答: 逆否命题的条件与结论分别是原命题的结论的否定与条件的否定,故A正确;若 $x=1$, 则 $x^{2}-3 x+2=0$, 反之不一定成立, 故 $\mathrm{B}$ 正确; 逆否命题与原命题真假性相同, 而原命题为真, 故逆否命题也为真,即 $C$ 正确;否命题既否定条件也否定结论,故 $D$ 错误.,故选D.

分析: 解答此类问题的关键是分析条件 $p$ 和 $q$ 是否具有推出关系, 首先要化简条件, 其次要明确条件 $p$ 是什么, 结论 $q$ 是什么, 接着判断一是 $p$ 能否推得条件 $q$; 二是 $q$ 能否推得条件 $p$;注意养成“解决彻底”的好习惯, 既要解决充分性, 又要解决必要性.
题目（高二 · 逻辑题）：若 $a, b \in \mathrm{R}$, 则“ $|a+b|=|a|+|b|$ ”是“ “ $a b>0$ ”的 ( )
选项：
A. 充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：B
解析：解析: 解答: 因为当 $a=0, b=1$ 时, $|a+b|=|a|+|b|$, 但 $a b>0$ 不成立, 反之若 $a b>0$, 则 $|a+b|=|a|+|b|$ 成立,故“ $|a+b|=|a|+|b|$ ”是“ $a b>0$ ”的必要不充分条件.,故选B.

分析: 解答此类问题的关键是分析条件 $p$ 和 $q$ 是否具有推出关系, 首先要化简条件, 其次要明确条件 $p$ 是什么, 结论 $q$ 是什么, 接着判断一是 $p$ 能否推得条件 $q$; 二是 $q$ 能否推得条件 $p$;注意养成“解决彻底”的好习惯, 既要解决充分性, 又要解决必要性.
题目（高二 · 逻辑题）：设原命题 “若 $p$ 则 $q$ ” 真而逆命题假, 则 $p$ 是 $q$ 的（）
选项：
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
答案：A
解析：解析：解答：原命题 “若 $p$ 则 $q$ ” 真而逆命题假, 则 $p$ 是 $q$ 充分不必要条件,故选A.

分析: 解答此类问题的关键是分析条件 $p$ 和 $q$ 是否具有推出关系, 首先要化简条件, 其次要明确条件 $p$ 是什么, 结论 $q$ 是什么, 接着判断一是 $p$ 能否推得条件 $q$; 二是 $q$ 能否推得条件 $p$; 注意养成“解决彻底”的好习惯, 既要解决充分性, 又要解决必要性.
题目（高二 · 逻辑题）：若命题 $p: \varphi=\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbf{Z}$, 命题 $q: f(x)=\sin (\omega x+\varphi)(\omega \neq 0)$ 是偶函数, 则 $p$ 是 $q$ 的 $(\quad)$
选项：
A. 充要条件
B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
答案：A
解析：解析: 解答: 当 $\varphi=\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbf{Z}$ 时, $f(x)= \pm \cos \omega x$ 是偶函数, 所以 $p$ 是 $q$ 的充分条件; 若函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)(\omega \neq 0)$ 是偶函数, 则 $\sin \varphi= \pm 1$, 即 $\varphi=\frac{\pi}{2}+k \pi, k \in \mathbf{Z}$, 所以 $p$ 是 $q$ 的必要条件, 故 $p$ 是 $q$ 的充要条件, 故选A.

分析: 解答此类问题的关键是分析条件 $p$ 和 $q$ 是否具有推出关系, 首先要化简条件, 其次要明确条件 $p$ 是什么, 结论 $q$ 是什么, 接着判断一是 $p$ 能否推得条件 $q$; 二是 $q$ 能否推得条件 $p$; 注意养成“解决彻底”的好习惯, 既要解决充分性, 又要解决必要性.
题目（高二 · 逻辑题）：设集合 $M=\{x \mid 0<x \leq 3\}, N=\{x \mid 0<x \leq 2\}$, 那么“ “ $a \in M$ ”是“ $a \in N$ ”的( )
选项：
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案：B
解析：解析: 解答: $M=\{x \mid 0<x \leq 3\}, N=\{x \mid 0<x \leq 2\}$, 所以 $N \subseteq M$, 故 $a \in M$ 是 $a \in N$ 的必要不充分条件 ,故选B.

分析: 解答此类问题的关键是分析条件 $p$ 和 $q$ 是否具有推出关系, 首先要化简条件, 其次要明确条件 $p$ 是什么, 结论 $q$ 是什么, 接着判断一是 $p$ 能否推得条件 $q$; 二是 $q$ 能否推得条件 $p$; 注意养成“解决彻底”的好习惯, 既要解决充分性, 又要解决必要性.
题目（高二 · 逻辑题）：下面四个条件中,使 $a>b$ 成立的充分而不必要的条件是 ( )
选项：
A. $a>b+1$
B. $a>b-1$
C. $a^{2}>b^{2}$
D. $a^{3}>b^{3}$
答案：A
解析：解析: 解答: $a>b+1 \Rightarrow \mathrm{a}>\mathrm{b}$; 反之, 例如 $a=2, b=1$ 满足 $a>b$, 但 $a=b+1$ 即 $a>b$ 推不出 $a>b+1$, 故 $a>b+1$是 $\mathrm{a}>\mathrm{b}$ 成立的充分而不必要的条件.故选A.

分析: 解答此类问题的关键是分析条件 $p$ 和 $q$ 是否具有推出关系, 首先要化简条件, 其次要明确条件 $p$ 是什么, 结论 $q$ 是什么, 接着判断一是 $p$ 能否推得条件 $q$; 二是 $q$ 能否推得条件 $p$; 注意养成“解决彻底”的好习惯, 既要解决充分性, 又要解决必要性.
题目（高二 · 逻辑题）：已知命题 $p$ 所有有理数都是实数; 命题 $q$ : 正数的对数都是负数, 则下列命题中为真命题的是 ( )
选项：
A. $(\neg p) \vee q$
B. $p \wedge q$
C. $(\neg p) \wedge(\neg q)$
D. $(\neg p) \vee(\neg q)$
答案：D
解析：解析：解答：不难判断命题 $p$ 为真命题, 命题 $q$ 为假命题, 从而只有 $(\neg p) \vee(\neg q)$ 为真命题,故选D.

分析：先判断命题 $\mathrm{P}$ 和命题 $\mathrm{q}$ 为的真假, 命题 $\mathrm{P}$ 为真命题。命题 $\mathrm{q}$ 为假命题,再由真值表对照答案逐一排除即可。
题目（高二 · 逻辑题）：下列语句: (1) $\sqrt{3}$ 的值是无限循环小数; (2) $x^{2}>x$; (3) $\triangle A B C$ 的两角之和; (4)毕业班的学生. 其中不是命题的是( )
选项：
A. (1)(2)(3)
B. (1)(2)(4)
C. (1)(3)(4)
D. (2)(3)(4)
答案：D
解析：解析：解答：对于(1)能判断真假, 对于(2)、(3)、(4)均不能判断真假. 故选D(1)是命题, (2)

、(3)、(4)均不是命题, 故选D.

分析：根据命题的定义分别去判断即可。
题目（高二 · 逻辑题）：已知命题 $p$ : 若实数 $x, y$ 满足 $x^{2}+y^{2}=0$, 则 $x, y$ 全为 0 ; 命题 $q$ : 若 $a>b$, 则 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$, 给出下列四个命题: (1) $p \wedge q$; (2) $p \vee q$; (3) $\neg p$; (4) ᄀq.

其中真命题是（ ）.
选项：
A. (1)(2)
B. (2)(3)
C. (1)4
D. (2)(4)
答案：D
解析：解析: 解答: 命题 $p$ 为真命题, 命题 $q$ 为假命题, $\therefore p \vee q$ 与 $\neg q$ 为真命题, 故填(2)(4), 故选D



分析: 先判断命题 $p ; q ; \neg p ; \neg q$ 的真假性, 再判断复合命题的真假性即可; 判断复合命题的口诀（或命题: 有真则真; 且命题: 有假则假; 非命题: 真假相反。)
题目（高二 · 逻辑题）：设 $p$ : 函数 $f(x)=2^{|x-a|}$ 在区间 $(4,+\infty)$ 上单调递增; $q: \log _{a} 2<1$. 如果 “非 $p$ ”是真命题 , “ $p$ 或 $q$ ”也是真命题, 那么实数 $a$ 的取值范围是 ( ).
选项：
A. $(-\infty, 4)$
B. $(-\infty, 4]$
C. $(4,+\infty)$
D. $[4,+\infty)$
答案：C
解析：解析：解答：由题意知： $p$ 为假命题, $q$ 为真命题. 当 $a>1$. 时, 由 $q$ 为真命题得 $a>2$. ; 由 $p$ 为假命题结合图像可知: $a>4$. 当 $0<a<1$ 时, 无解. 所以 $a>4$. 故选C.

分析: 先判断两个命题的真假性, 再判断复合命题的真假性即可; 判断复合命题的口诀 (或命题: 有真则真; 且命题: 有假则假; 非命题: 真假相反。)
题目（高二 · 逻辑题）：已知 $P: “ x^{2}-x-6<0 ", q$ “ $x^{2}>1$ ”, 若“ $p$ 且 $q$ ”为真命题, 试求 $x$ 的取值范围 ( ).
选项：
A. $\{x \mid-2<x<-1\}$
B. $\{x \mid 1<x<3\}$
C. $\{x \mid-2<x<-1$ 或 $1<x<3\}$
D. $\{x \mid-2 \leq x<-1$ 或 $1 \leq x<3\}$
答案：C
解析：解析: 解答: 若 $p: x^{2}-x-6<0$ 成立, 则 $-2<x<3$. 若 $q$ 成立, 则 $x<-1$ 或 $x>1$.

若“ $p$ 且 $q$ ”为真命题, 则 $p$ 真 $q$ 真, 所以 $x$ 的取值范围是 $\{x \mid-2<x<-1$ 或 $1<x<3\}$. 故选C.

分析: 先判断两个命题的真假性, 再判断复合命题的真假性即可; 判断复合命题的口诀 (或命题：有真则真；且命题：有假则假；非命题：真假相反。)