eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（八年级 · 度量几何学）：在Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, \angle B=4 \angle A$, 求 $\angle B$ 度数.


选项：
答案：解: $\because \angle B=4 \angle A$,

$\therefore \angle A=\frac{1}{4} \angle B$,

$\because \angle C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A+\angle B=90^{\circ}$,

$\therefore \frac{1}{4} \angle B+\angle B=90^{\circ}$,

解得 $\angle B=72^{\circ}$.
解析：解: $\because \angle B=4 \angle A$,

$\therefore \angle A=\frac{1}{4} \angle B$,

$\because \angle C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A+\angle B=90^{\circ}$,

$\therefore \frac{1}{4} \angle B+\angle B=90^{\circ}$,

解得 $\angle B=72^{\circ}$.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 已知 $D$ 为 $\triangle A B C$ 边 $B C$ 延长线上一点, $D F \perp A B$ 于 $F$ 交 $A C$ 于 $E$, $\angle A=35^{\circ}, \angle D=42^{\circ}$, 求 $\angle A C D$ 的度数.


选项：
答案：解: $\because D F \perp A B$,

$\therefore \angle B F D=90^{\circ}$,

$\because \angle D=42^{\circ}$,

$\therefore \angle B=90^{\circ}-\angle D=48^{\circ}$,

$\therefore \angle A C D=\angle B+\angle A=48^{\circ}+35^{\circ}=83^{\circ}$.

答: $\angle A C D=83^{\circ}$.
解析：解: $\because D F \perp A B$,

$\therefore \angle B F D=90^{\circ}$,

$\because \angle D=42^{\circ}$
$\therefore \angle B=90^{\circ}-\angle D=48^{\circ}$,

$\therefore \angle A C D=\angle B+\angle A=48^{\circ}+35^{\circ}=83^{\circ}$.

答: $\angle A C D=83^{\circ}$.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, $D C$ 是 $A B$ 的垂直平分线, 交 $A B$ 于点 $C, \angle A=40^{\circ}$, 求 $\angle B$ 的度数.


选项：
答案：解: $\because D C$ 是 $A B$ 的垂直平分线,

$\therefore D A=D B$,

$\therefore \angle B=\angle A=40^{\circ}$,

故 $\angle B$ 的度数为 $40^{\circ}$.
解析：解: $\because D C$ 是 $A B$ 的垂直平分线,

$\therefore D A=D B$,

$\therefore \angle B=\angle A=40^{\circ}$,

故 $\angle B$ 的度数为 $40^{\circ}$.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, C D$ 是高, $\angle A=60^{\circ}$, 线段 $A B$ 的长为 16 , 求线段 $A D$ 的长.


选项：
答案：解: $\because \angle A C B=90^{\circ}, \angle A=60^{\circ}$

$\therefore \angle B=30^{\circ}$

$\therefore A C=\frac{1}{2} A B$

$\because \angle A=60^{\circ}, C D$ 是高

$\therefore \angle A D C=90^{\circ}, \angle A C D=30^{\circ}$

$\therefore A D=\frac{1}{2} A C$

$\therefore A D=\frac{1}{4} A B$

$\because A B=16$

$\therefore A D=4$
解析：解: $\because \angle A C B=90^{\circ}, \angle A=60^{\circ}$
$\therefore \angle B=30^{\circ}$

$\therefore A C=\frac{1}{2} A B$

$\because \angle A=60^{\circ}, C D$ 是高

$\therefore \angle A D C=90^{\circ}, \angle A C D=30^{\circ}$

$\therefore A D=\frac{1}{2} A C$

$\therefore A D=\frac{1}{4} A B$

$\because A B=16$

$\therefore A D=4$
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 是一块草坪, 已知 $A D=12 \mathrm{~m}, C D=9 \mathrm{~m}, \angle A D C=90^{\circ}, A B=39 \mathrm{~m}, B C=36 \mathrm{~m}$, 求这块草坪的面积.


选项：
答案：解: 连接 $A C, \because A D=12, C D=9, \angle A D C=90^{\circ}$,

<ImageHere>

$\therefore A C=\sqrt{C D^{2}+A D^{2}}=\sqrt{9^{2}+12^{2}}=15$,

$\because A B=39, B C=36, A C=15$

$\therefore C B^{2}+A C^{2}=15^{2}+36^{2}=39^{2}=A B^{2}$,

$\therefore \angle A C B=90^{\circ}$,

$\therefore$ 这块空地的面积为: $\frac{1}{2} B C \cdot A C-\frac{1}{2} D C \cdot A D=\frac{1}{2} \times 15 \times 36-\frac{1}{2} \times 9 \times 12=216$ (平方米),

故这块草坪的面积 216 平方米.
解析：解: 连接 $A C, \because A D=12, C D=9, \angle A D C=90^{\circ}$,



$\therefore A C=\sqrt{C D^{2}+A D^{2}}=\sqrt{9^{2}+12^{2}}=15$,

$\because A B=39, B C=36, A C=15$

$\therefore C B^{2}+A C^{2}=15^{2}+36^{2}=39^{2}=A B^{2}$,

$\therefore \angle A C B=90^{\circ}$,

$\therefore$ 这块空地的面积为: $\frac{1}{2} B C \cdot A C-\frac{1}{2} D C \cdot A D=\frac{1}{2} \times 15 \times 36-\frac{1}{2} \times 9 \times 12=216$ (平方米),

故这块草坪的面积 216 平方米.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 已知 $B F \perp A C$ 于 $F, C E \perp A B$ 于 $E, B F$ 交 $C E$ 于 $D$, 且 $B D=C D$,

求证: 点 $D$ 在 $\angle B A C$ 的平分线上.


选项：
答案：证明: $\because B F \perp A C, C E \perp A B$,

$\therefore \angle D E B=\angle D F C=90^{\circ}$,

在 $\triangle D B E$ 和 $\triangle D C F$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}\angle D E B=\angle D F C \\ \angle B D E=\angle C D F \\ B D=C D\end{array}\right.$

$\therefore \triangle D B E \cong \triangle D C F(A A S)$,

$\therefore D E=D F$,

又 $\because B F \perp A C, C E \perp A B$, 垂足分别为 $F 、 E$,

$\therefore D$ 点在 $\angle B A C$ 的平分线上
解析：证明: $\because B F \perp A C, C E \perp A B$,

$\therefore \angle D E B=\angle D F C=90^{\circ}$,

在 $\triangle D B E$ 和 $\triangle D C F$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}\angle D E B=\angle D F C \\ \angle B D E=\angle C D F \\ B D=C D\end{array}\right.$

$\therefore \triangle D B E \cong \triangle D C F(A A S)$,

$\therefore D E=D F$,

又 $\because B F \perp A C, C E \perp A B$, 垂足分别为 $F 、 E$,

$\therefore D$ 点在 $\angle B A C$ 的平分线上
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle B=90^{\circ}$, 分别以点 $A 、 C$ 为圆心, 大于 $\frac{1}{2} A C$ 长为半径画弧, 两弧相交于点 $M 、 N$, 连接 $M N$, 与 $A C 、 B C$ 分别交于点 $D 、 E$, 连接 $A E$.



(1) 求 $\angle A D E ; \quad$ (直接写出结果)

(2) 当 $A B=3, A C=5$ 时, 求 $\triangle A B E$ 的周长.
选项：
答案：解: (1) $\because$ 由题意可知 $M N$ 是线段 $A C$ 的垂直平分线,

$\therefore \angle A D E=90^{\circ}$

(2) $\because$ 在 $R t \triangle A B C$ 中, $\angle B=90^{\circ}, A B=3, A C=5$,

$\therefore B C=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$,

$\because M N$ 是线段 $A C$ 的垂直平分线,
$\therefore A E=C E$,

$\therefore \triangle A B E$ 的周长 $=A B+(A E+B E)=A B+B C=3+4=7$.
解析：解: (1) $\because$ 由题意可知 $M N$ 是线段 $A C$ 的垂直平分线,

$\therefore \angle A D E=90^{\circ}$

(2) $\because$ 在 $R t \triangle A B C$ 中, $\angle B=90^{\circ}, A B=3, A C=5$,

$\therefore B C=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$,

$\because M N$ 是线段 $A C$ 的垂直平分线,
$\therefore A E=C E$,

$\therefore \triangle A B E$ 的周长 $=A B+(A E+B E)=A B+B C=3+4=7$.
题目（八年级 · 度量几何学）：海滨公园是珠海市市民放风筝的最佳场所, 某校八年级（1）班的小华和小轩学习了 “勾股定理”之后, 为了测得风筝的垂直高度 $C E$, 他们进行了如下操作: (1)测得水平距离 $B D$ 的长为 12 米; (2)根据手中剩余线的长度计算出风筝线 $B C$ 的长为 20 米; (3)牟线放风筝的小明的身高为 1.62 米.



(1) 求风筝的垂直高度 $C E$;

(2) 如果小明想风筝沿 $C D$ 方向下降 11 米, 则他应该往回收线多少米?
选项：
答案：(1) 解: 在 $R t \triangle C D B$ 中,

由勾股定理得, $C D^{2}=B C^{2}-B D^{2}=20^{2}-12^{2}=256$,

所以， $C D=16 （$ 负值舍去），

所以, $C E=C D+D E=16+1.62=17.62$ (米),

答: 风筝的高度 $C E$ 为 17.62 米;

<ImageHere>

(2) 解: 由题意得, $C M=11$ 米,
$\therefore D M=5$ 米,

在 $R t \triangle B D M$ 中, 由勾股定理得: $\mathrm{MB}^{2}=12^{2}+5^{2}=13^{2}$,

$\therefore \mathrm{BM}=13$

$\therefore B C-B M=20-13=7$ (米),

$\therefore$ 他应该往回收线 7 米.
解析：(1) 解: 在 $R t \triangle C D B$ 中,

由勾股定理得, $C D^{2}=B C^{2}-B D^{2}=20^{2}-12^{2}=256$,

所以， $C D=16 （$ 负值舍去），

所以, $C E=C D+D E=16+1.62=17.62$ (米),

答: 风筝的高度 $C E$ 为 17.62 米;



(2) 解: 由题意得, $C M=11$ 米,
$\therefore D M=5$ 米,

在 $R t \triangle B D M$ 中, 由勾股定理得: $\mathrm{MB}^{2}=12^{2}+5^{2}=13^{2}$,

$\therefore \mathrm{BM}=13$

$\therefore B C-B M=20-13=7$ (米),

$\therefore$ 他应该往回收线 7 米.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图 1 所示,一架云梯斜靠在一坚直的墙上, 云梯的顶端距地面 15 米,

梯子的长度比梯子底端离墙的距离大 5 米.



图1



图2

(1) 这个云梯的底端离墙多远?

(2) 如图 2 所示, 如果梯子的顶端下滑了 8 米, 那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米?
选项：
答案：解: (1) 根据题意, 得 $\mathrm{OA}=15$ 米, $\mathrm{AB}-\mathrm{OB}=5$ 米

由勾股定理得 $O A^{2}+O B^{2}=A B^{2}$

$\therefore 15^{2}+O B^{2}=(5+O B)^{2}$

$\therefore O B=20$

即这个云梯的底端离墙 20 米远;

(2) 由 (1) 可得: $A B=20+5=25$ 米

根据题意可得: $\mathrm{OC}=15-8=7$ 米, $\mathrm{CD}=\mathrm{AB}=25$ 米

由勾股定理得 $\mathrm{OC}^{2}+\mathrm{OD}^{2}=\mathrm{CD}^{2}$

可得: $\mathrm{OD}=\sqrt{\mathrm{CD}^{2}-\mathrm{OC}^{2}}=\sqrt{25^{2}-7^{2}}=24$

$B D=O D-O B=24-20=4$ 米

即梯子的底部在水平方向滑动了 4 米
解析：解: (1) 根据题意, 得 $\mathrm{OA}=15$ 米, $\mathrm{AB}-\mathrm{OB}=5$ 米

由勾股定理得 $O A^{2}+O B^{2}=A B^{2}$

$\therefore 15^{2}+O B^{2}=(5+O B)^{2}$

$\therefore O B=20$

即这个云梯的底端离墙 20 米远;

(2) 由 (1) 可得: $A B=20+5=25$ 米

根据题意可得: $\mathrm{OC}=15-8=7$ 米, $\mathrm{CD}=\mathrm{AB}=25$ 米

由勾股定理得 $\mathrm{OC}^{2}+\mathrm{OD}^{2}=\mathrm{CD}^{2}$

可得: $\mathrm{OD}=\sqrt{\mathrm{CD}^{2}-\mathrm{OC}^{2}}=\sqrt{25^{2}-7^{2}}=24$

$B D=O D-O B=24-20=4$ 米

即梯子的底部在水平方向滑动了 4 米
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中. $\angle B=90^{\circ}, A B=5 \mathrm{~cm}, B C=7 \mathrm{~cm}$, 点 $P$ 从点 $A$ 开始沿 $A B$ 边向点 $B$ 以 $1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速度移动, 点 $Q$ 从点 $B$ 开始沿 $B C$ 边向点 $C$ 以 $2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速度移动.

(1) 如果点 $P 、 Q$ 分别从 $A 、 B$ 同时出发, 那么几秒后 $\triangle P B Q$ 的面积等于 $4 \mathrm{~cm}^{2}$ ?

(2) 在（1）中 $\triangle P B Q$ 的面积能否等于 7? 请说明理由.


选项：
答案：解: (1) 设 $x$ 秒后 $\triangle P B Q$ 的面积等于 $4 \mathrm{~cm}^{2}$,则 $B Q=2 x, B P=5-x$,

根据题意得出: $\frac{1}{2} \times 2 x \times(5-x)=4$,

解得: $x_{1}=1, x_{2}=4$ (不合题意舍去) ,

答: 1 秒后 $\triangle P B Q$ 的面积等于 $4 \mathrm{~cm}^{2} ;$

(2) 不能,

由题意可得出: $\frac{1}{2} \times 2 \times \times(5-x)=7$,

整理得出: $x^{2}-5 x+7=0$,

$b^{2}-4 a c=25-4 \times 7=-3<0$,

$\therefore$ 此方程无实数根, 则 $\triangle P B Q$ 的面积不能等于 7.

【解析】(1) 设 $x$ 秒后 $\triangle P B Q$ 的面积等于 $4 \mathrm{~cm}^{2}$, 进而表示出 $B P, B Q$ 的长, 即可得出答案;

（2）根据 (1) 中解法表示出 $\triangle P B Q$ 的面积, 利用根的判别式, 即可得出答案.
解析：解: (1) 设 $x$ 秒后 $\triangle P B Q$ 的面积等于 $4 \mathrm{~cm}^{2}$,则 $B Q=2 x, B P=5-x$,

根据题意得出: $\frac{1}{2} \times 2 x \times(5-x)=4$,

解得: $x_{1}=1, x_{2}=4$ (不合题意舍去) ,

答: 1 秒后 $\triangle P B Q$ 的面积等于 $4 \mathrm{~cm}^{2} ;$

(2) 不能,

由题意可得出: $\frac{1}{2} \times 2 \times \times(5-x)=7$,

整理得出: $x^{2}-5 x+7=0$,

$b^{2}-4 a c=25-4 \times 7=-3<0$,

$\therefore$ 此方程无实数根, 则 $\triangle P B Q$ 的面积不能等于 7.

【解析】(1) 设 $x$ 秒后 $\triangle P B Q$ 的面积等于 $4 \mathrm{~cm}^{2}$, 进而表示出 $B P, B Q$ 的长, 即可得出答案;

（2）根据 (1) 中解法表示出 $\triangle P B Q$ 的面积, 利用根的判别式, 即可得出答案.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 四边形 $A C D E$ 是证明勾股定理时用到的一个图形, $a 、 b 、 c$ 是 Rt $\triangle A B C$ 和 Rt $\triangle B E D$ 的边长, 已知 $A E=\sqrt{2} c$, 这时我们把关于 $x$ 的形如 $a x^{2}+\sqrt{2} c x+b=0$ 二次方程称为 “勾系一元二次方程 $"$.



请解决下列问题:

(1)写出一个 “勾系一元二次方程” ;

(2)求证: 关于 $x$ 的 “勾系一元二次方程” $a x^{2}+\sqrt{2} c x+b=0$, 必有实数根;

(3)若 $x=-1$ 是 “勾系一元二次方程” $a x^{2}+\sqrt{2} c x+b=0$ 的一个根, 且四边形 $A C D E$ 的周长是 $6 \sqrt{2}$, 求 $\triangle A B C$ 的面积.
选项：
答案：解: (1) 当 $a=3, b=4, c=5$ 时, 勾系一元二次方程为 $3 x^{2}+5 \sqrt{2} x+4=0$;

(2) 依题意得 $\Delta=(\sqrt{2} c)^{2}-4 a b=2 c^{2}-4 a b$,

$\because a^{2}+b^{2}=c^{2}$

$\therefore 2 c^{2}-4 a b=2\left(a^{2}+b^{2}\right)-4 a b=2(a-b)^{2} \geq 0$, 即 $\Delta \geq 0$, 故方程必有实数根;

(3) 把 $x=-1$ 代入得 $a+b=\sqrt{2} c$,

$\because$ 四边形 $A C D E$ 的周长是 $6 \sqrt{2}$,

即 $2(a+b)+\sqrt{2} c=6 \sqrt{2}$,

故得到 $c=2$,
$\therefore a^{2}+b^{2}=4, a+b=2 \sqrt{2}$,

$\because(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2 a b$,

$\therefore a b=2$,

故 $\triangle A B C$ 的面积为 $\frac{1}{2} a b=1$.

【解析】此题主要考查一元二次方程的应用, 解题的关键是熟知勾股定理、根的判别式及完全平方公式的应用.

(1) 直接找一组勾股数代入方程即可;

(2) 根据根的判别式即可求解;

（3）根据方程的解代入求出 $a, b, c$ 的关系, 再根据完全平方公式的变形进行求解.
解析：解: (1) 当 $a=3, b=4, c=5$ 时, 勾系一元二次方程为 $3 x^{2}+5 \sqrt{2} x+4=0$;

(2) 依题意得 $\Delta=(\sqrt{2} c)^{2}-4 a b=2 c^{2}-4 a b$,

$\because a^{2}+b^{2}=c^{2}$

$\therefore 2 c^{2}-4 a b=2\left(a^{2}+b^{2}\right)-4 a b=2(a-b)^{2} \geq 0$, 即 $\Delta \geq 0$, 故方程必有实数根;

(3) 把 $x=-1$ 代入得 $a+b=\sqrt{2} c$,

$\because$ 四边形 $A C D E$ 的周长是 $6 \sqrt{2}$,

即 $2(a+b)+\sqrt{2} c=6 \sqrt{2}$,

故得到 $c=2$,
$\therefore a^{2}+b^{2}=4, a+b=2 \sqrt{2}$,

$\because(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2 a b$,

$\therefore a b=2$,

故 $\triangle A B C$ 的面积为 $\frac{1}{2} a b=1$.

【解析】此题主要考查一元二次方程的应用, 解题的关键是熟知勾股定理、根的判别式及完全平方公式的应用.

(1) 直接找一组勾股数代入方程即可;

(2) 根据根的判别式即可求解;

（3）根据方程的解代入求出 $a, b, c$ 的关系, 再根据完全平方公式的变形进行求解.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 等腰直角 $\triangle A B C$ 和等腰直角 $\triangle E D B, \angle A C B=\angle E D B=90^{\circ}, A C=B C, D E=B D, P$ 为 $A E$ 的中点



图1



图2

(1)连接 $P C, P D$, 则 $P C$ 与 $P D$ 的位置关系是 ，数量关系是 , 并证明你的结论;

(2)当 $E$ 在线段 $A B$ 上变化时, 其他条件不变, 作 $E F \perp B C$ 于 $F$, 连接 $P F$, 试判断 $\triangle P C F$ 的形状;

(3)在点 $E$ 运动过程中, $\triangle P C F$ 是否为等边三角形? 若可以, 试求 $\triangle A C B$ 与 $\triangle E D B$ 的两边之比.
选项：
答案：解： (1) $P C \perp P D, P C=P D$,

证明:

<ImageHere>

作 $E F \perp B C$ 于 $F$, 连接 $P F$, 作 $P H \perp B C$ 于 $H$,

则四边形 $E F B D$ 是正方形,

在 $\triangle P E F$ 和 $\triangle P E D$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}P E=P D \\ \angle P E F=\angle P E D, \\ P E=P E\end{array}\right.$

$\therefore \triangle P E F \cong \triangle P E D$,

$\therefore P F=P D, \angle E P F=\angle E P D$,

$\because A C / / P H / / E F, P$ 为 $A E$ 的中点,

$\therefore C H=H F$, 又 $P H \perp B C$,
$\therefore P C=P F, \angle C P H=\angle F P H$,

$\therefore P C=P D, \angle C P D=2 \times 45^{\circ}=90^{\circ}$,

故答案为: $P C \perp P D ; P C=P D$;

(2)

<ImageHere>

作 $P H \perp B C$ 于 $H$,

则 $A C / / P H / / E F, P$ 为 $A E$ 的中点,

$\therefore C H=H F$, 又 $P H \perp B C$,

$\therefore P C=P F$,

$\therefore \triangle P C F$ 为等腰三角形;

(3)设 $E F=B F=x, H F=y$,

$\because \triangle P C F$ 是等边三角形,

$\therefore P H=\sqrt{3} y$,

$\because P H / / E F$,

$\therefore \triangle B E F \sim \triangle B P H$,

$\therefore \frac{E F}{P H}=\frac{B F}{B H}$, 即 $\frac{x}{\sqrt{3} y}=\frac{x}{x+y}$,

解得, $y=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x$,

$\because P H$ 是梯形 $A C F E$ 的中位线,

$\therefore A C=(\sqrt{3}+2) x$,

则 $\triangle A C B$ 与 $\triangle E D B$ 的两直角边之比为 $\sqrt{3}+2$.
解析：解： (1) $P C \perp P D, P C=P D$,

证明:



作 $E F \perp B C$ 于 $F$, 连接 $P F$, 作 $P H \perp B C$ 于 $H$,

则四边形 $E F B D$ 是正方形,

在 $\triangle P E F$ 和 $\triangle P E D$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}P E=P D \\ \angle P E F=\angle P E D, \\ P E=P E\end{array}\right.$

$\therefore \triangle P E F \cong \triangle P E D$,

$\therefore P F=P D, \angle E P F=\angle E P D$,

$\because A C / / P H / / E F, P$ 为 $A E$ 的中点,

$\therefore C H=H F$, 又 $P H \perp B C$,
$\therefore P C=P F, \angle C P H=\angle F P H$,

$\therefore P C=P D, \angle C P D=2 \times 45^{\circ}=90^{\circ}$,

故答案为: $P C \perp P D ; P C=P D$;

(2)



作 $P H \perp B C$ 于 $H$,

则 $A C / / P H / / E F, P$ 为 $A E$ 的中点,

$\therefore C H=H F$, 又 $P H \perp B C$,

$\therefore P C=P F$,

$\therefore \triangle P C F$ 为等腰三角形;

(3)设 $E F=B F=x, H F=y$,

$\because \triangle P C F$ 是等边三角形,

$\therefore P H=\sqrt{3} y$,

$\because P H / / E F$,

$\therefore \triangle B E F \sim \triangle B P H$,

$\therefore \frac{E F}{P H}=\frac{B F}{B H}$, 即 $\frac{x}{\sqrt{3} y}=\frac{x}{x+y}$,

解得, $y=\frac{\sqrt{3}+1}{2} x$,

$\because P H$ 是梯形 $A C F E$ 的中位线,

$\therefore A C=(\sqrt{3}+2) x$,

则 $\triangle A C B$ 与 $\triangle E D B$ 的两直角边之比为 $\sqrt{3}+2$.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在四边形 $A B C D$ 中, $A B / / C D, A B=C D, \angle A=\angle A D C, E, F$分别为 $A D, C D$ 的中点, 连接 $B E, B F$, 延长 $B E$ 交 $C D$ 的延长线于点 $M$.

(1)求证: 四边形 $A B C D$ 为矩形;

(2)若 $M D=6, B C=12$, 求 $B F$ 的长度. (结果可保留根号)


选项：
答案：(1)证明: $\because$ 在四边形 $A B C D$ 中, $A B / / C D, A B=C D$,

$\therefore$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形,

$\therefore A B / / C D$,

$\therefore \angle A+\angle A D C=180^{\circ}$,

$\because \angle A=\angle A D C$

$\therefore \angle A=90^{\circ}$,

$\therefore$ 四边形 $A B C D$ 是矩形;

(2)解: $\because A B / / C D$,

$\therefore \angle A B E=\angle M$,

$\because E$ 为 $A D$ 的中点,

$\therefore A E=D E$.

在 $\triangle A B E$ 和 $\triangle D M E$ 中
$\left\{\begin{array}{l}\angle A E B=\angle M E D \\ \angle A B E=\angle M \\ A E=D E\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A B E \cong \triangle D M E(A A S)$,

$\therefore A B=D M=6$,

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形,

$\therefore D C=A B=D M=6, \angle C=90^{\circ}$,

$\because F$ 为 $C D$ 的中点,

$\therefore C F=\frac{1}{2} C D=3$,

在Rt $\triangle B C F$ 中, 由勾股定理得: $B F=\sqrt{B C^{2}+C F^{2}}=\sqrt{12^{2}+3^{2}}=3 \sqrt{17}$.
解析：(1)证明: $\because$ 在四边形 $A B C D$ 中, $A B / / C D, A B=C D$,

$\therefore$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形,

$\therefore A B / / C D$,

$\therefore \angle A+\angle A D C=180^{\circ}$,

$\because \angle A=\angle A D C$

$\therefore \angle A=90^{\circ}$,

$\therefore$ 四边形 $A B C D$ 是矩形;

(2)解: $\because A B / / C D$,

$\therefore \angle A B E=\angle M$,

$\because E$ 为 $A D$ 的中点,

$\therefore A E=D E$.

在 $\triangle A B E$ 和 $\triangle D M E$ 中
$\left\{\begin{array}{l}\angle A E B=\angle M E D \\ \angle A B E=\angle M \\ A E=D E\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A B E \cong \triangle D M E(A A S)$,

$\therefore A B=D M=6$,

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形,

$\therefore D C=A B=D M=6, \angle C=90^{\circ}$,

$\because F$ 为 $C D$ 的中点,

$\therefore C F=\frac{1}{2} C D=3$,

在Rt $\triangle B C F$ 中, 由勾股定理得: $B F=\sqrt{B C^{2}+C F^{2}}=\sqrt{12^{2}+3^{2}}=3 \sqrt{17}$.
题目（八年级 · 解析几何）：设函数$y_{1}=k_{1}x+b$,函数${y}_{2}=frac{{k}_{2}}{{x}}left(k_{1},k_{2},bright.$是常数,$left.k_{1}>0,k_{2}>0,b>0right)$.已知函数$y_{1}$的图象与$y$轴交于点$A$,与函数$y_{2}$的图象的一个交点为点$B(1,m)$.(1)若$k_{2}=3,m=b+1$.(1)求函数$y_{1}$的表达式.(2)当$2<y_{1}<y_{2}$时,直接写出$x$的取值范围.(2)设点$A$关于$x$轴的对称点为点$C$,将点$C$向左平移2个单位得到点$D$.若点$D$恰好也是函数$y_{1},y_{2}$图象的交点,试写出$k_{1},k_{2}$之间的等量关系,并说明理由.
选项：
答案：（1）(1)利用待定系数法求解即可;(2)画出图象,根据求$2<y_{1}<y_{2}$时,$x$的取值范围,即求函数$y_{1}$的图象位于直线$y=2$的图象上方时,位于函数$y_{2}$的图象下方时$x$的取值范围,再结合图象即可解答;(2)利用一次函数解析式求出点$A$的坐标,再根据轴对称和平移的性质得出点$D$的坐标.由点$D$是函数$y_{1},y_{2}$图象的交点,即说明点$D$的坐标满足两个函数的解析式,从而即可解答.【解析】解:(1)(1)若$k_{2}=3$,则函数${y}_{2}=frac{3}{{x}}$.$because$点$B(1,m)$在函数$y_{2}$的图象上,$thereforem=frac{3}{1}=3$$thereforeB(1,3),b+1=3$$thereforeb=2$,$therefore$函数$y_{1}=k_{1}x+2$.$because$点$B(1,3)$在函数$y_{1}$的图象上,$therefore3=k_{1}+2$,解得:$k_{1}=1$,$therefore$函数$y_{1}$的表达式为$y_{1}=x+2$;(2)根据两函数解析式可画出图象如下,<ImageHere>$because$求$2<y_{1}<y_{2}$时,$x$的取值范围,即求函数$y_{1}$的图象位于直线$y=2$的图象上方时,位于函数$y_{2}$的图象下方时$x$的取值范围,$because$由图象可知当$0<x<1$时,函数$y_{1}$的图象位于直线$y=2$的图象上方,位于函数$y_{2}$的图象下方,$therefore$当$2<y_{1}<y_{2}$时,$x$的取值范围是$0<x<1$;(2)$k_{2}=2k_{1}$.理由:对于$y_{1}=k_{1}x+b$,令$x=0$,则$y_{1}=b$,$thereforeA(0,b)$.$because$点$A$关于$x$轴的对称点为点$C$,$thereforeC(0,-b)$.$because$将点$C$向左平移2个单位得到点$D$,$thereforeD(-2,-b)$.$because$点$D$恰好也是函数$y_{1},y_{2}$图象的交点,$therefore-b=-2k_{1}+b,quad-{b}=frac{{k}_{2}}{-2}$,$thereforek_{1}=b,k_{2}=2b$,$thereforek_{2}=2k_{1}$.【点睛】本题考查次函数与反比例函数的交点,掌握函数图象上的点的坐标满足该函数解析式是解题关键.
解析：（1）(1)利用待定系数法求解即可;(2)画出图象,根据求$2<y_{1}<y_{2}$时,$x$的取值范围,即求函数$y_{1}$的图象位于直线$y=2$的图象上方时,位于函数$y_{2}$的图象下方时$x$的取值范围,再结合图象即可解答;(2)利用一次函数解析式求出点$A$的坐标,再根据轴对称和平移的性质得出点$D$的坐标.由点$D$是函数$y_{1},y_{2}$图象的交点,即说明点$D$的坐标满足两个函数的解析式,从而即可解答.【解析】解:(1)(1)若$k_{2}=3$,则函数${y}_{2}=frac{3}{{x}}$.$because$点$B(1,m)$在函数$y_{2}$的图象上,$thereforem=frac{3}{1}=3$$thereforeB(1,3),b+1=3$$thereforeb=2$,$therefore$函数$y_{1}=k_{1}x+2$.$because$点$B(1,3)$在函数$y_{1}$的图象上,$therefore3=k_{1}+2$,解得:$k_{1}=1$,$therefore$函数$y_{1}$的表达式为$y_{1}=x+2$;(2)根据两函数解析式可画出图象如下,$because$求$2<y_{1}<y_{2}$时,$x$的取值范围,即求函数$y_{1}$的图象位于直线$y=2$的图象上方时,位于函数$y_{2}$的图象下方时$x$的取值范围,$because$由图象可知当$0<x<1$时,函数$y_{1}$的图象位于直线$y=2$的图象上方,位于函数$y_{2}$的图象下方,$therefore$当$2<y_{1}<y_{2}$时,$x$的取值范围是$0<x<1$;(2)$k_{2}=2k_{1}$.理由:对于$y_{1}=k_{1}x+b$,令$x=0$,则$y_{1}=b$,$thereforeA(0,b)$.$because$点$A$关于$x$轴的对称点为点$C$,$thereforeC(0,-b)$.$because$将点$C$向左平移2个单位得到点$D$,$thereforeD(-2,-b)$.$because$点$D$恰好也是函数$y_{1},y_{2}$图象的交点,$therefore-b=-2k_{1}+b,quad-{b}=frac{{k}_{2}}{-2}$,$thereforek_{1}=b,k_{2}=2b$,$thereforek_{2}=2k_{1}$.【点睛】本题考查次函数与反比例函数的交点,掌握函数图象上的点的坐标满足该函数解析式是解题关键.
题目（八年级 · 解析几何）：如图,在平面直角坐标系中,将一块等腰直角三角板$ABC$放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,点$C$坐标为$(-1,0)$,点$A$的坐标为$(0,2)$,一次函数$y=k+b$的图象经过点$B,C$,反比例函数$y=frac{{m}}{{x}}$图象也经过点$B$.(1)求反比例函数的关系式;(2)直接写出当$x<0$时,$kx+b-frac{{m}}{{x}}<0$的解集.(3)若$P$是$y$轴正半轴一点,当$triangleACP$是等腰三角形时,求出点$P$的坐标.
选项：
答案：(1)过点$B$作$BFperpx$轴于点$F$,利用$AAS$证明$triangleBFCcongtriangleCOA$,得$CF=OA=2,BF=$$OC=1$,可知点$B$的坐标,代入反比例函数解析式即可;(2)根据图象直接可得答案;（3）分$AP=AC、PA=PC、CA=CP$三种情形,分别画出图形,从而解决问题.【解析】解：(1)过点$B$作$BFperpx$轴于点$F$,<ImageHere>$becauseangleBCA=90^{circ}$,$thereforeangleBCF+angleACO=90^{circ}$.又$becauseangleCAO+angleACO=90^{circ}$,$thereforeangleBCF=angleCAO$$becauseangleBFC=angleCOA=90^{circ},BC=AC$.$thereforetriangleBFCcongtriangleCOA(AAS)$,$thereforeCF=OA=2,BF=OC=1$,$therefore$点$B$的坐标为$(-3,1)$,将点$B$的坐标代入反比例函数解析式可得:$1=frac{{k}}{-3}$解得:$k=-3$,故可得反比例函数解析式为:$y=frac{3}{x}$;(2)结合点$B$的坐标及图象,可知:当$x<0$时,$kx+b-frac{m}{x}<0$的解集为:$-3<x<0$;（3）分三种情况求解：如图,<ImageHere>(1)当$AP=AC$时,$because$点$P$在$y$轴正半轴,$thereforeP_{1}$符合要求,$P_{2}$不符合要求,$becauseA(0,2),C(-1,0)$,$thereforeAC=sqrt{1^{2}+2^{2}}=sqrt{5}$,$therefore{AP}_{1}={AC}=sqrt{5}$,$therefore0{P}_{1}={OA}+{AP}{P}_{1}=2+sqrt{5}$,$therefore{P}_{1}(0,2+sqrt{5})$(2)当$AC=CP$时,$P_{3}$在$y$轴负半轴,不符合题意,在正半轴上点$P$与点$A$重合,不符合题意,故$AC=CP$时,不存在;(3)当$AP=CP$时,设$P_{4}(0,m)$,$thereforeP_{4}C=P_{4}A=2-m$,在Rt$triangleOCP_{4}$中，由勾股定理，得$1^{2}+m^{2}=(2-m)^{2}$,解得,${m}=frac{3}{4}$,$therefore{P}_{4}left(0,frac{3}{4}right)$,综上所述,点$P$坐标为$left(0,frac{3}{4}right)$或$(0,2+sqrt{5})$.【点睛】本题是反比例函数综合题,主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,勾股定理,函数与不等式的关系等知识,构造全等三角形求出点$B$的坐标是解题的关键.
解析：(1)过点$B$作$BFperpx$轴于点$F$,利用$AAS$证明$triangleBFCcongtriangleCOA$,得$CF=OA=2,BF=$$OC=1$,可知点$B$的坐标,代入反比例函数解析式即可;(2)根据图象直接可得答案;（3）分$AP=AC、PA=PC、CA=CP$三种情形,分别画出图形,从而解决问题.【解析】解：(1)过点$B$作$BFperpx$轴于点$F$,$becauseangleBCA=90^{circ}$,$thereforeangleBCF+angleACO=90^{circ}$.又$becauseangleCAO+angleACO=90^{circ}$,$thereforeangleBCF=angleCAO$$becauseangleBFC=angleCOA=90^{circ},BC=AC$.$thereforetriangleBFCcongtriangleCOA(AAS)$,$thereforeCF=OA=2,BF=OC=1$,$therefore$点$B$的坐标为$(-3,1)$,将点$B$的坐标代入反比例函数解析式可得:$1=frac{{k}}{-3}$解得:$k=-3$,故可得反比例函数解析式为:$y=frac{3}{x}$;(2)结合点$B$的坐标及图象,可知:当$x<0$时,$kx+b-frac{m}{x}<0$的解集为:$-3<x<0$;（3）分三种情况求解：如图,(1)当$AP=AC$时,$because$点$P$在$y$轴正半轴,$thereforeP_{1}$符合要求,$P_{2}$不符合要求,$becauseA(0,2),C(-1,0)$,$thereforeAC=sqrt{1^{2}+2^{2}}=sqrt{5}$,$therefore{AP}_{1}={AC}=sqrt{5}$,$therefore0{P}_{1}={OA}+{AP}{P}_{1}=2+sqrt{5}$,$therefore{P}_{1}(0,2+sqrt{5})$(2)当$AC=CP$时,$P_{3}$在$y$轴负半轴,不符合题意,在正半轴上点$P$与点$A$重合,不符合题意,故$AC=CP$时,不存在;(3)当$AP=CP$时,设$P_{4}(0,m)$,$thereforeP_{4}C=P_{4}A=2-m$,在Rt$triangleOCP_{4}$中，由勾股定理，得$1^{2}+m^{2}=(2-m)^{2}$,解得,${m}=frac{3}{4}$,$therefore{P}_{4}left(0,frac{3}{4}right)$,综上所述,点$P$坐标为$left(0,frac{3}{4}right)$或$(0,2+sqrt{5})$.【点睛】本题是反比例函数综合题,主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,勾股定理,函数与不等式的关系等知识,构造全等三角形求出点$B$的坐标是解题的关键.
题目（八年级 · 解析几何）：小欣在学习了反比例函数的图象与性质后,进一步研究了函数${y}=frac{1}{{x}+1}$的图象与性质.其研究过程如下:(1)绘制函数图象.(1)列表:下表是$x$与$y$的几组对应值,其中$m=underline{1}$;|$x$|$cdots$|-4|-3|-2|$-frac{3}{2}$|$-frac{4}{3}$|$-frac{2}{3}$|$-frac{1}{2}$|0|1|2|$cdots$||:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:||$y$|$cdots$|$-frac{1}{3}$|$-frac{1}{2}$|-1|-2|-3|3|2|$m$|$frac{1}{2}$|$frac{1}{3}$|$cdots$|(2)描点:根据表中的数值描点$(x,y)$,请补充描出点$(0,m)$;(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,请把图象补充完整.(2)探究函数性质.判断下列说法是否正确(正确的填“$、$”,错误的填“$times$”).(1)函数值$y$随$x$的增大而减小;$qquad$(2)函数图象关于原点对称;$times$(3)函数图象与直线$x=-1$没有交点.$qquad$（3）请你根据图象再写一条此函数的性质:当$x>-1$时,函数值$y$随$x$的增大而减小.
选项：
答案：(1)(1)将$x=0$代入即得$m$的值;(2)描出$(0,1)$即可;(3)把描出的点用平滑的曲线顺次连接即可;(2)根据图象,数形结合即可判断.(3)观察图象即可求得.【解析】解：(1)(1)$x=0$时,$y=frac{1}{0+1}=1$,$thereforem=1$,故答案为:1;(2)如图:<ImageHere>$becausem=1$,$thereforeA$即为补充描出点;(3)补充图象如图:<ImageHere>(2)根据函数图象可得:(1)每一个分支上,函数值$y$随$x$的增大而减小,故(1)错误,应为$times$,(2)图象关于$(-1,0)$对称，故(2)错误，应为$times$,(3)$x=-1$时,$frac{1}{{x}+1}$无意义,函数图象与直线$x=-1$没有交点,应为$sqrt{}$.故答案为:$times,times,sqrt{}$.(3)观察图象,当$x>-1$时,函数值$y$随$x$的增大而减小;故答案为:当$x>-1$时,函数值$y$随$x$的增大而减小.【点睛】本题考查函数的图形及性质,解题的关键是熟练掌握研究函数的方法:用列表、描点、连线作出图象,再数形结合研究函数性质.
解析：(1)(1)将$x=0$代入即得$m$的值;(2)描出$(0,1)$即可;(3)把描出的点用平滑的曲线顺次连接即可;(2)根据图象,数形结合即可判断.(3)观察图象即可求得.【解析】解：(1)(1)$x=0$时,$y=frac{1}{0+1}=1$,$thereforem=1$,故答案为:1;(2)如图:$becausem=1$,$thereforeA$即为补充描出点;(3)补充图象如图:(2)根据函数图象可得:(1)每一个分支上,函数值$y$随$x$的增大而减小,故(1)错误,应为$times$,(2)图象关于$(-1,0)$对称，故(2)错误，应为$times$,(3)$x=-1$时,$frac{1}{{x}+1}$无意义,函数图象与直线$x=-1$没有交点,应为$sqrt{}$.故答案为:$times,times,sqrt{}$.(3)观察图象,当$x>-1$时,函数值$y$随$x$的增大而减小;故答案为:当$x>-1$时,函数值$y$随$x$的增大而减小.【点睛】本题考查函数的图形及性质,解题的关键是熟练掌握研究函数的方法:用列表、描点、连线作出图象,再数形结合研究函数性质.