eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高二 · 解析几何）：6. 设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对边的长分别为 $a, b, c$. 若 $b+c=2 a$, 则 $3 \sin A=5 \sin B$, 则角 $C=$ \$ \qquad \$
选项：
答案：$\frac{2}{3} \pi$
解析：$3 \sin A=5 \sin B$,

$\Rightarrow 3 a=5 b, b+c=2 a \Rightarrow \cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}=-\frac{1}{2} \Rightarrow C=\frac{2}{3} \pi$, 所以 $\frac{2}{3} \pi$.
题目（高二 · 解析几何）：7. 在 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A 、 B 、 C$ 所对的边长分别为 $a 、 b 、 c$, 且 $a^{2}+b^{2}-c^{2}=\sqrt{3} a b$, 则 $\angle C=$ \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$\frac{\pi}{6}$
解析：由余弦定理知 $2 a b \cos C=a^{2}+b^{2}-c^{2}$, 所以 $2 a b \cos C=\sqrt{3} a c, \cos C=\frac{\sqrt{3}}{2}, C=\frac{\pi}{6}$.
题目（高二 · 解析几何）：8. 在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, 内角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 所对的边分别为 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$, 且 $b^{2}=a^{2}+c^{2}-a c$,

( I ) 求角 $\mathrm{B}$ 的大小;

(II) 若 $a=c=2$, 求 $\triangle A B C$ 的面积;

（III）求 $\sin \mathrm{A}+\sin C$ 的取值范围.
选项：
答案：(1) $60^{\circ}$;
(2) $\sqrt{3}$;
(3) $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3}\right]$.
解析：( I ) 由. $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}$, 得 $\cos B=\frac{1}{2}$, 所以 $B=\frac{\pi}{3}$;

(II) 由( I ) 得 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a c \sin 60^{\circ}=\sqrt{3}$.

(III) 由题意得 $\sin A+\sin C=\sin A+\sin \left(\frac{2 \pi}{3}-A\right)=\frac{3}{2} \sin A+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos A=\sqrt{3} \sin \left(A+\frac{\pi}{6}\right)$.

因为 $0<A<\frac{2 \pi}{3}$, 所以 $\frac{\sqrt{3}}{2}<\sqrt{3} \sin \left(A+\frac{\pi}{6}\right) \leq \sqrt{3}$. 故所求的取值范围是 $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \sqrt{3}\right]$.
题目（高二 · 解析几何）：13. $\cos \frac{8}{3} \pi=$
选项：
答案：$-\frac{1}{2}$
解析：$\cos \frac{8}{3} \pi=\cos \left(2 \pi+\frac{2}{3} \pi\right)=\cos \frac{2}{3} \pi=-\frac{1}{2}$.

答案: $-\frac{1}{2}$
题目（高二 · 解析几何）：14. 已知函数 $f(x)=\cos (x+\theta)(0<\theta<\pi)$ 在 $x=\frac{\pi}{3}$ 处取得最小值, 则 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的单调递增区间是
选项：
答案：$\left[\frac{\pi}{3}, \pi\right]$
解析：因为 $0<\theta<\pi$ ，所以 $\frac{\pi}{3}<\frac{\pi}{3}+\theta<\frac{4 \pi}{3}$ ，又 $f(x)=\cos (x+\theta)$ 在 $x=\frac{\pi}{3}$ 处取得最小值，所以 $\frac{\pi}{3}+\theta$ $=\pi ， \theta=\frac{2 \pi}{3}$ ，所以 $f(x)=\cos \left(x+\frac{2 \pi}{3}\right)$.由 $0 \leqslant x \leqslant \pi ，$ 得 $\frac{2 \pi}{3} \leqslant x+\frac{2 \pi}{3} \leqslant \frac{5 \pi}{3}$.由 $\pi \leqslant x+\frac{2 \pi}{3} \leqslant \frac{5 \pi}{3}$ ，得 $\frac{\pi}{3}$ $\leqslant x \leqslant \pi$ ，所以 $f(x)$ 在 $[0 ， \pi]$ 上的单调递增区间是 $\left[\frac{\pi}{3} ， \pi\right]$. 说明: 填开区间也正确)

答案: $\left[\frac{\pi}{3}, \pi\right]$
题目（高二 · 解析几何）：15. 定义在区间 $[0,3 \pi]$ 上的函数 $y=\sin 2 x$ 的图象与 $y=\cos x$ 的图象的交点个数是
选项：
答案：7
解析：画图象(图略)验交点.

则 $x=\frac{\pi}{2} ， \frac{3 \pi}{2} ， \frac{5 \pi}{2}$ 或 $x=\frac{\pi}{6} ， \frac{5 \pi}{6} ， \frac{13 \pi}{6} ， \frac{17 \pi}{6}$ ，故所求交点个数是 7 .

## 答案: 7
题目（高二 · 解析几何）：16. 对于函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin x, & \sin x \leqslant \cos x, \\ \cos x, & \sin x>\cos x,\end{array}\right.$ 给出下列四个命题:

(1)该函数是以 $\pi$ 为最小正周期的周期函数,

(2) 当且仅当 $x=\pi+k \pi(k \in \mathbf{Z})$ 时, 该函数取得最小值 -1 ;

(3)该函数的图象关于直线 $x=\frac{5}{4} \pi+2 k \pi(k \in \mathbf{Z})$ 对称;

(4)当且仅当 $2 k \pi<x<\frac{\pi}{2}+2 k \pi(k \in \mathbf{Z})$ 时, $0<f(x) \leqslant \frac{\sqrt{2}}{2}$.
其中正确命题的序号是 \$ \qquad \$ . (请将所有正确命题的序号都填上)
选项：
答案：(3)(4)
解析：画出 $f(x)$ 在 $[0 ， 2 \pi]$ 上的图象，如图. 由图象知，函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $2 \pi$ ，在 $x$ $=\pi+2 k \pi(k \in \mathbf{Z})$ 和 $x=\frac{3}{2} \pi+2 k \pi(k \in \mathbf{Z})$ 时，该函数都取得最小值 - 1，故(1)(2)错误. 由图象知，函数图象关于直线 $x=\frac{5}{4} \pi+2 k \pi(k \in \mathbf{Z})$ 对称，在 $2 k \pi<x<\frac{\pi}{2}+2 k \pi(k \in \mathbf{Z})$ 时， $0<f(x) \leqslant \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，故(3)(4)正确.



答案: (3)(4)
题目（高二 · 解析几何）：14. 已知 $\sin \left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)-\cos \alpha=\frac{1}{3}$, 则 $\cos \left(2 \alpha+\frac{\pi}{3}\right)=$
选项：
答案：$\frac{7}{9}$
解析：$\because \sin \left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)-\cos \alpha=\frac{1}{3}$ ，

$\therefore \sin \frac{\pi}{6} \cos \alpha-\cos \frac{\pi}{6} \sin \alpha-\cos \alpha$

$=-\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha-\frac{1}{2} \cos \alpha=-\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{3}$,

$\therefore \sin \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{3}$,

$\therefore \cos \left(2 \alpha+\frac{\pi}{3}\right)=1-2 \sin ^{2}\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=1-2 \times\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{7}{9}$.

答案: $\frac{7}{9}$
题目（高二 · 解析几何）：16. 已知 $\alpha 、 \beta \in(0, \pi)$ 且 $\tan (\alpha-\beta)=\frac{1}{2}, \cos \beta=-\frac{7 \sqrt{2}}{10}$, 则 $\tan (2 \alpha-\beta)=$
选项：
答案：1
解析：$\because 0<\beta<\pi ， \cos \beta=-\frac{7 \sqrt{2}}{10}$ ，

$\therefore \sin \beta=\sqrt{1-\cos ^{2} \beta}=\frac{\sqrt{2}}{10}$,

$\therefore \tan \beta=-\frac{1}{7}$.

又 $\because \tan (\alpha-\beta)=\frac{1}{2}$ ，

$\therefore \tan \alpha=\tan [(\alpha-\beta)+\beta]=\frac{\tan (\alpha-\beta)+\tan \beta}{1-\tan (\alpha-\beta) \tan \beta}$

$=\frac{\frac{1}{2}+\left(-\frac{1}{7}\right)}{1-\frac{1}{2} \times\left(-\frac{1}{7}\right)}=\frac{1}{3}$.

又 $\tan (2 \alpha-\beta)=\tan [(\alpha-\beta)+\alpha]=\frac{\tan (\alpha-\beta)+\tan \alpha}{1-\tan (\alpha-\beta) \tan \alpha}$

$=\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}}=1$.

## 答案: 1
题目（高二 · 解析几何）：13. 已知向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足 $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=2, \boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$, 则 $\boldsymbol{b}$ 在 $\boldsymbol{a}$ 方向上的投影是 \$ \qquad \$
选项：
答案：1
解析：$\because|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=2 ， \boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$ ，

$\therefore \boldsymbol{b}$ 在 $\boldsymbol{a}$ 方向上的投影是 $|\boldsymbol{b}| \cos 60^{\circ}=1$.

答案: 1
题目（高二 · 解析几何）：14. 已知向量 $\boldsymbol{a}=(x, y)(x, y \in \mathbf{R}), \boldsymbol{b}=(1,2)$, 若 $x^{2}+y^{2}=1$, 则 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$ 的最大值为 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$\sqrt{5}+1$
解析：设 $O(0 ， 0) ， P(1 ， 2)$ ，则 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt{(x-1)^{2}+(y-2)^{2}} \leqslant|\overrightarrow{O P}|+1=\sqrt{1^{2}+2^{2}}+1$ $=\sqrt{5}+1$.

$\therefore|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$ 的最大值为 $\sqrt{5}+1$.

答案: $\sqrt{5}+1$
题目（高二 · 解析几何）：16. 设向量 $\boldsymbol{a}=\left(a_{1}, a_{2}\right), \boldsymbol{b}=\left(b_{1}, b_{2}\right)$, 定义一种向量积 $\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b}=\left(a_{1} b_{1}, a_{2} b_{2}\right)$, 已知向量 $\boldsymbol{m}=\left(2, \frac{1}{2}\right)$, $\boldsymbol{n}=\left(\frac{\pi}{3}, 0\right)$, 点 $P(x, y)$ 在 $y=\sin x$ 的图象上运动, $Q$ 是函数 $y=f(x)$ 图象上的点, 且满足 $\overrightarrow{O Q}$ $=\boldsymbol{m} \otimes \overrightarrow{O P}+\boldsymbol{n}$ (其中 $O$ 为坐标原点), 则函数 $y=f(x)$ 的值域是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$
解析：令 $Q(c ， d)$ ，由新的运算可得 $\overrightarrow{O Q}=\boldsymbol{m} \otimes \overrightarrow{O P}+\boldsymbol{n}=\left(2 x ， \frac{1}{2} \sin x\right)+\left(\frac{\pi}{3} ， 0\right)$
$=\left(2 x+\frac{\pi}{3}, \frac{1}{2} \sin x\right), \therefore\left\{\begin{array}{l}c=2 x+\frac{\pi}{3}, \\ d=\frac{1}{2} \sin x,\end{array}\right.$

消去 $x$ 得 $d=\frac{1}{2} \sin \left(\frac{1}{2} c-\frac{\pi}{6}\right)$ ，

$\therefore y=f(x)=\frac{1}{2} \sin \left(\frac{1}{2} x-\frac{\pi}{6}\right)$,

易知 $y=f(x)$ 的值域是 $\left[-\frac{1}{2} ， \frac{1}{2}\right]$.

答案: $\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$
题目（高二 · 解析几何）：13. 在 $\triangle A B C$ 中, $\frac{2 a}{\sin A}-\frac{b}{\sin B}-\frac{c}{\sin C}=$
选项：
答案：0
解析：0
题目（高二 · 解析几何）：14. 在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$, 若 $a^{2}+c^{2}-b^{2}=\sqrt{3} a c$, 则角 $B$的值为 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$\frac{\pi}{6}$
解析：$\because a^{2}+c^{2}-b^{2}=\sqrt{3} a c$,

$\therefore \cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}=\frac{\sqrt{3} a c}{2 a c}=\frac{\sqrt{3}}{2}, \therefore B=\frac{\pi}{6}$.
题目（高二 · 解析几何）：15. 已知 $a, b, c$ 分别是 $\triangle A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 所对的边. 若 $a=1, b=\sqrt{3}$, $A+C=2 B$, 则 $\sin C=$
选项：
答案：1
解析：在 $\triangle A B C$ 中, $A+B+C=\pi, A+C=2 B$.

$\therefore B=\frac{\pi}{3}$.

由正弦定理知, $\sin A=\frac{a \sin B}{b}=\frac{1}{2}$.

又 $a<b$.

$\therefore A=\frac{\pi}{6}, C=\frac{\pi}{2}$.

$\therefore \sin C=1$.
题目（高二 · 解析几何）：10. 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $a, b, c$ 分别为内角 $A, B, C$ 的对边, 若 $b=2 a, B=A+60^{\circ}$,则 $A=$
选项：
答案：$30^{\circ}$
解析：because b=2 a \therefore \sin B=2 \sin A$, 又 $\because B=A+60^{\circ}$,

$\therefore \sin \left(A+60^{\circ}\right)=2 \sin A$

即 $\sin A \cos 60^{\circ}+\cos A \sin 60^{\circ}=2 \sin A$,

化简得: $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{3} \cos A, \therefore \tan A=\frac{\sqrt{3}}{3}, \therefore A=30^{\circ}$.
题目（高二 · 解析几何）：7. 在 $\triangle A B C$ 中, $A C=\sqrt{6}, B C=2, B=60^{\circ}$, 则 $C=$
选项：
答案：$75^{\circ}$
解析：由正弦定理得 $\frac{2}{\sin A}=\frac{\sqrt{6}}{\sin 60^{\circ}}, \therefore \sin A=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\because B C=2<A C=\sqrt{6}, \therefore A$ 为锐角. $\therefore A=45^{\circ}$.

$\therefore C=75^{\circ}$.
题目（高二 · 解析几何）：8. 在 $\triangle A B C$ 中, 若 $\tan A=\frac{1}{3}, C=150^{\circ}, B C=1$, 则 $A B=$

答案 $\frac{\sqrt{10}}{2}$
选项：
答案：$\frac{\sqrt{10}}{2}$
解析：$\because \tan A=\frac{1}{3}, A \in\left(0^{\circ}, 180^{\circ}\right), \therefore \sin A=\frac{\sqrt{10}}{10}$.

由正弦定理知 $\frac{B C}{\sin A}=\frac{A B}{\sin C}$,

$\therefore A B=\frac{B C \sin C}{\sin A}=\frac{1 \times \sin 150^{\circ}}{\frac{\sqrt{10}}{10}}=\frac{\sqrt{10}}{2}$.
题目（高二 · 解析几何）：(2019 - 浙江高考模拟) 在 $\triangle A B C$ 中, $A, B, C$ 内角所对的边分别为 $a, b, c$, 已知 $b=2$
且 $c \cos B+b \cos C=4 a \sin B \sin C$, 则 $C$ 的最小值为
选项：
答案：】 $\frac{1}{2}$
解析：$\because \cos B+b \cos C=4 a \sin B \sin C$,

$\therefore \sin C \cos B+\sin B \cos C=4 \sin A \sin B \sin C$,

$\therefore \sin (B+C)=\sin A=4 \sin A \sin B \sin C, \because \sin A \neq 0$,

$\therefore \sin B \sin C=\frac{1}{4}, \therefore \sin C=\frac{1}{4 \sin B}$,

由正弦定理可得 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$, 即 $C=2 \times \frac{\sin C}{\sin B}=8 \sin ^{2} C$,

当 $\sin B=1$ 时, $\sin C_{\text {min }}=\frac{1}{4}$. 当 $\sin C=\frac{1}{4}$ 时, 则 $C$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$.

故答案为: $\frac{1}{2}$.
题目（高二 · 解析几何）：15. 针角 $\triangle A B C$ 中, $a, b, c$ 分别是内角 $A, B, C$ 的对边, $c=1, B=\frac{\pi}{3}$, 则 $a$ 的取值范围是 \$ \qquad \$ .

$$
\text { 【答案】 }\left(0, \frac{1}{2}\right) \cup(2,+\infty)
$$
选项：
答案：$\left(0, \frac{1}{2}\right) \cup(2,+\infty)$
解析：$C$ 是钝角, 得到 $a \in\left(0, \frac{1}{2}\right) ; A$ 是钝角, 得到 $a \in(2,+\infty)$
题目（高二 · 解析几何）：13. 如图, 测量河对岸的塔高 $A B$ 时, 可以选与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个观测
点 $C, D$, 测得 $\angle B C D=15^{\circ}, \angle C B D=30^{\circ}, C D=10 \sqrt{2}$ (米), 并在 $C$ 处测得塔顶 $A$ 的仰角为 $45^{\circ}$, 则塔高 $A B=$米.
选项：
答案：20
解析：在 $\triangle B C D$ 中, $\frac{B C}{\sin \angle D}=\frac{C D}{\sin \angle C B D}$, 即

$\frac{B C}{\sin 135^{\circ}}=\frac{10 \sqrt{2}}{\sin 30^{\circ}}$, 得 $B C=\frac{10 \sqrt{2} \sin 135^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}=20$, 因为 $\triangle A B C$ 是直角三角形, 且 $\angle A C B=45^{\circ}$,所以 $A B=B C=20$ (米).
题目（高二 · 解析几何）：16. 在 $\triangle A B C$ 中, $a, b, c$ 分别为内角 $A, B, C$ 的对边, 若 $\left(\frac{1}{2} b-\sin C\right) \cos A=\sin A \cos C$, 且 $a=2$,则 $\triangle A B C$ 的面积的最大值为
选项：
答案：$\sqrt{2}+1$
解析：$\because\left(\frac{1}{2} b-\sin C\right) \cos A=\sin A \cos C$,

$\therefore \frac{1}{2} b \cdot \cos A-\sin C \cos A=\sin A \cos C$,

$\therefore \frac{1}{2} b \cdot \cos A=\sin A \cos C+\sin C \cos A=\sin (A+C)=\sin B$,

$\therefore \frac{1}{2} \cdot \frac{b}{\sin B} \cdot \cos A=1$ 。

由正弦定理得 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$,

$\therefore \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{\sin A} \cdot \cos A=\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sin A} \cdot \cos A=\frac{\cos A}{\sin A}=1$,

$\therefore \sin A=\cos A, \quad A=\frac{\pi}{4}$ 。

由余弦定理得 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos \frac{\pi}{4} \geq(2-\sqrt{2}) b c$, 当且仅当 $b=c$ 时等号成立。

$\therefore b c \leq \frac{4}{2-\sqrt{2}}=2(2+\sqrt{2})$,

$\therefore S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} b c \sin A \leq \frac{1}{2} \times 2(2+\sqrt{2}) \times \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}+1$ 。

答案: $\sqrt{2}+1$

【指点迷津】本题综合性较大, 且突破了常规性, 即在条件中只在等式的一边给出了三角形的边, 所以在解题中要熟练地对所得中间结论的变形, 如在本题中.要在 $\frac{1}{2} \cdot \frac{b}{\sin B} \cdot \cos A=1$ 的基础上在利用正
弦定理得到 $\sin A=\cos A$ 。对于最值的处理往往要考虑到基本不等式的运用，运用不等式时，不要忘

了基本不等的使用条件。
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 若 $\frac{\sin A}{a}=\frac{\cos B}{b}$, 则 $B=$ \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$45^{\circ}$
解析：解析 由正弦定理, $\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}$.

$\therefore \frac{\sin B}{b}=\frac{\cos B}{b} . \therefore \sin B=\cos B$.

$\therefore B=45^{\circ}$.
题目（高二 · 解析几何）：一船自西向东匀速航行, 上午 10 时到达一座灯塔 $P$ 的南偏西 $75^{\circ}$ 距塔 64 海里的 $M$处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 $N$ 处，则这只船的航行速度为 \$ \qquad \$海里/小时.
选项：
答案：$8 \sqrt{6}$
解析：解析 如图所示,
在 $\triangle P M N$ 中, $\frac{P M}{\sin 45^{\circ}}=\frac{M N}{\sin 120^{\circ}}$,



$\therefore M N=\frac{64 \times \sqrt{3}}{\sqrt{2}}=32 \sqrt{6}$,

$\therefore v=\frac{M N}{4}=8 \sqrt{6}$ (海里/小时).
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c$. 若 $(\sqrt{3} b-c) \cos A=a \cos C$, 则 $\cos A=$ \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$\frac{\sqrt{3}}{3}$
解析：由 $(\sqrt{3} b-c) \cos A=a \cos C$, 得 $(\sqrt{3} b-c) \cdot \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=a \cdot \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}$,

即 $\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,

由余弦定理得 $\cos A=\frac{\sqrt{3}}{3}$.
题目（高二 · 解析几何）：13. $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知 $b \sin C+c \sin B=4 a \sin B \sin C$, $b^{2}+c^{2}-a^{2}=8$, 则 $\triangle A B C$ 的面积为
选项：
答案：$\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
解析：由 $b \sin C+c \sin B=4 a \sin B \sin C$ 得,

$\sin B \sin C+\sin C \sin B=4 \sin A \sin B \sin C$,

因为 $\sin B \sin C \neq 0$, 所以 $\sin A=\frac{1}{2}$,

因为 $b^{2}+c^{2}-a^{2}=8, \cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}>0$, 所以 $\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}$

所以 $b c=\frac{8 \sqrt{3}}{3}$,

所以 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{1}{2} \times \frac{8 \sqrt{3}}{3} \times \frac{1}{2}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$.
题目（高二 · 解析几何）：14. 在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, \angle A B C=120^{\circ}, \angle A B C$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$,且 $B D=1$, 则 $4 a+c$ 的最小值为
选项：
答案：9
解析：因为 $\angle A B C=120^{\circ}, \angle A B C$ 的平分线交 $A C$ 于点 $D$,

所以 $\angle A B D=\angle C B D=60^{\circ}$,

由三角形的面积公式可得 $\frac{1}{2} a c \sin 120^{\circ}=\frac{1}{2} a \sin 60^{\circ}+\frac{1}{2} c \sin 60^{\circ}$,

化简得 $a c=a+c$, 又 $a>0, c>0$, 所以 $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=1$,

则 $4 a+c=(4 a+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)=5+\frac{c}{a}+\frac{4 a}{c} \geqslant 5+2 \sqrt{\frac{c}{a} \cdot \frac{4 a}{c}}=9$,

当且仅当 $c=2 a$ 时取等号, 故 $4 a+c$ 的最小值为 9 .
题目（高二 · 解析几何）：15. $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 若 $\cos A=\frac{4}{5}$, $\cos C=\frac{5}{13}, a=1$, 则 $b=$
选项：
答案：$\frac{21}{13}$
解析：$\because \cos A=\frac{4}{5}, \cos C=\frac{5}{13}$ ，

所以 $\sin A=\frac{3}{5}, \sin C=\frac{12}{13}$,

所以 $\sin B=\sin (A+C)=\sin A \cos C+\cos A \sin C=\frac{63}{65}$,

由正弦定理得： $\frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A}$ 解得 $b=\frac{21}{13}$.
题目（高二 · 解析几何）：16. (已知 $\sin \left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\frac{4}{5}$, 则 $\sin 2 \alpha=$
选项：
答案：$\frac{7}{25}$
解析：$\sin \left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)=\frac{4}{5}$ 可得 $\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin \alpha+\cos \alpha)=\frac{4}{5}$,

两边平方得 $\frac{1}{2}(\sin \alpha+\cos \alpha)^{2}=\frac{16}{25}$, 整理得: $\sin 2 \alpha=\frac{7}{25}$.
题目（高二 · 解析几何）：7. 已知 $\cos \left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)+\sin \alpha=\frac{4}{5} \sqrt{3}$, 则 $\cos \left(\alpha-\frac{\pi}{3}\right)$ 的值是 $\underline{\underline{4}} \underline{\underline{5}}$ -
选项：
答案：$\frac{4}{5}$
解析：$\cos \left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)+\sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha+\frac{3}{2} \sin \alpha=\frac{4}{5} \sqrt{3}$,

$\frac{1}{2} \cos \alpha+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha=\frac{4}{5}$,

$\therefore \cos \left(\alpha-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2} \cos \alpha+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \alpha=\frac{4}{5}$.
题目（高二 · 解析几何）：8. 已知 $\tan \theta=\frac{3}{4}, \theta \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$, 则 $\cos \left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)$ 的值为 $-\frac{3 \sqrt{3}-4}{\underline{10}}$.
选项：
答案：$\frac{3 \sqrt{3}-4}{10}$
解析：because \tan \theta=\frac{3}{4}, \therefore \sin \theta=\frac{3}{5}, \cos \theta=-\frac{4}{5}$,

$\therefore \cos \left(\theta-\frac{\pi}{3}\right)=\cos \theta \cos \frac{\pi}{3}+\sin \theta \sin \frac{\pi}{3}$

$=-\frac{4}{5} \times \frac{1}{2}+\frac{3}{5} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}-4}{10}$.
题目（高二 · 解析几何）：函数 $f(x)=\tan \left(\omega x+\frac{\pi}{6}\right)(\omega>0)$ 的最小正周期为 $2 \pi$, 则 $f\left(\frac{\pi}{6}\right)=$

考点 正切函数的周期性、对称性

题点 正切函数的周期性

答案 1
选项：
答案：1
解析：由已知 $\frac{\pi}{\omega}=2 \pi$, 所以 $\omega=\frac{1}{2}$,

所以 $f(x)=\tan \left(\frac{1}{2} x+\frac{\pi}{6}\right)$,

所以 $f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\tan \left(\frac{1}{2} \times \frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}\right)=\tan \frac{\pi}{4}=1$.
题目（高二 · 解析几何）：函数 $y=\tan x\left(\frac{\pi}{4} \leqslant x \leqslant \frac{3 \pi}{4}\right.$, 且 $\left.x \neq \frac{\pi}{2}\right)$ 的值域是
选项：
答案：$(-\infty,-1] \cup[1,+\infty)$
解析：函数 $y=\tan x$ 在 $\left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上单调递增, 在 $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}\right]$ 上也单调递增, 所以函数的值域是 $(-\infty,-1] \cup[1$, $+\infty)$.
题目（高二 · 解析几何）：13. 如图所示, 已知点 $G$ 是 $\triangle A B C$ 的重心, 过点 $G$ 作直线分别交 $A B, A C$ 两边于 $M, N$ 两点, 且 $\overrightarrow{A M}=x \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A N}=y \overrightarrow{A C}$, 则 $3 x+y$ 的最小值为


选项：
答案：$\frac{4+2 \sqrt{3}}{3}$.
解析：根据条件: $\overrightarrow{A C}=\frac{1}{y} \overrightarrow{A N}, \overrightarrow{A B}=\frac{1}{x} \overrightarrow{A M}$ ，

又 $\overrightarrow{A G}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}, \therefore \overrightarrow{A G}=\frac{1}{3 x} \overrightarrow{A M}+\frac{1}{3 y} \overrightarrow{A N}$.

又 $M, G, N$ 三点共线, $\therefore \frac{1}{3 y}+\frac{1}{3 x}=1$.

$\because x>0, y>0, \therefore 3 x+y=(3 x+y)\left(\frac{1}{3 x}+\frac{1}{3 y}\right)=\frac{4}{3}+\frac{x}{y}+\frac{y}{3 x} \geq \frac{4}{3}+2 \sqrt{\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{3 x}}=\frac{4+2 \sqrt{3}}{3}$.

$\therefore 3 x+y$ 的最小值为 $\frac{4+2 \sqrt{3}}{3}$, 当且仅当 $\frac{x}{y}=\frac{y}{3 x}$ 时“=”成立.

故答案为: $\frac{4+2 \sqrt{3}}{3}$.
题目（高二 · 解析几何）：15. 已知实数 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}2 x-y \geq 0 \\ y \geq x \\ y \geq-x+b\end{array}\right.$, 若 $z=2 x+y$ 的最小值为 3 , 则实数 $b=$
选项：
答案：$\frac{9}{4}$
解析：由已知作可行域如图所示,

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_823e2db37acdc25ab6e0g-202,.jpg?height=731&width=691&top_left_y=817&top_left_x=228)

$z=2 x+y$ 化为 $y=-2 x+z$,

平移直线 $y=-2 x+z$

由图象可知, $z$ 的最小值在直线 $y=2 x$ 与直线 $y=-x+b$ 的交点 $A\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处取得,

由 $\left\{\begin{array}{l}y_{0}=-2 x_{0}+3 \\ y_{0}=2 x_{0} \\ y_{0}=-x_{0}+b\end{array}\right.$, 解得 $x_{0}=\frac{3}{4}, y_{0}=\frac{3}{2}, b=\frac{9}{4}$,

故答案为 $\frac{9}{4}$.
题目（高二 · 解析几何）：16. (2020湖南省长郡中学高三测试 (理) ) 已知实数 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{c}y \leq 2 \\ x+y \geq 1 \\ y \geq 2(x-2)\end{array}\right.$, 若 $z=x+\operatorname{ty}(t>0)$ 的最大值为 11 , 则实数 $t=$
选项：
答案：4
解析：知得到可行域如图:

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_823e2db37acdc25ab6e0g-155,.jpg?height=492&width=574&top_left_y=228&top_left_x=227)

可求出三个交点坐标 $A(3,2), B(-1,2), C\left(\frac{5}{3},-\frac{2}{3}\right)$,

目标函数 $\mathrm{z}=x+\operatorname{ty}(t>0)$ 的最大值为 11 ,

几何意义是直线 $y=-\frac{1}{t} x+\frac{Z}{t}$ 截距的最大值为 11 ,

由图得知,当 $y=-\frac{1}{t} x+\frac{Z}{t}$ 过点 $A$ 截距取得最大值,

故 $11=3+2 t$, 解得 $=4$ 。
题目（高二 · 解析几何）：若不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x-y+5 \geqslant 0, \\ y \geqslant a, \\ 0 \leqslant x \leqslant 2\end{array}\right.$ 表示的平面区域是一个三角形, 则 $a$ 的取值范围是
选项：
答案：$5 \leqslant a<7$
解析：解析 先画出 $x-y+5 \geqslant 0$ 和 $0 \leqslant x \leqslant 2$ 表示的区域, 再确定 $y \geqslant a$ 表示的区域.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_3540a5c85e1968e614e9g-127、.jpg?height=251&width=328&top_left_y=1625&top_left_x=904)

由图知: $5 \leqslant a<7$.
题目（高二 · 解析几何）：8. $\frac{3 \tan \frac{\pi}{8}}{1-\tan 2 \frac{\pi}{8}}=\underline{\underline{3}}$ 一. 导学号 14435059
选项：
答案：$\frac{3}{2}$
解析：$=\frac{3}{2} \times \frac{2 \tan \frac{\pi}{8}}{1-\tan ^{2} \frac{\pi}{8}}=\frac{3}{2} \tan \left(2 \times \frac{\pi}{8}\right)$

$=\frac{3}{2} \tan \frac{\pi}{4}=\frac{3}{2}$.
题目（高二 · 解析几何）：若 $\sin \theta=-\frac{4}{5}, \tan \theta>0$, 则 $\cos \theta=$
选项：
答案：$-\frac{3}{5}$
解析：由已知得 $\theta$ 是第三象限角，

所以 $\cos \theta=-\sqrt{1-\sin ^{2} \theta}=-\sqrt{1-\left(-\frac{4}{5}\right)^{2}}=-\frac{3}{5}$.
题目（高二 · 解析几何）：知 $\sin \alpha \cos \alpha=\frac{1}{2}$, 则 $\sin \alpha-\cos \alpha=$ \$ \qquad \$ .
选项：
答案：0
解析：因为 $(\sin \alpha-\cos \alpha)^{2}=1-2 \sin \alpha \cos \alpha=1-2 \times \frac{1}{2}=0$, 所以 $\sin \alpha-\cos \alpha=0$.

答案: 0
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\frac{\sin \alpha+\cos \alpha}{\sin \alpha-\cos \alpha}=2$, 则 $\sin \alpha \cos \alpha$ 的值为 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$\frac{3}{10}$
解析：由 $\frac{\sin \alpha+\cos \alpha}{\sin \alpha-\cos \alpha}=2$, 得 $\frac{\tan \alpha+1}{\tan \alpha-1}=2, \therefore \tan \alpha=3, \therefore \sin \alpha \cos \alpha=\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha}=\frac{\tan \alpha}{\tan ^{2} \alpha+1}=\frac{3}{10}$.
题目（高二 · 解析几何）：6.函数 $y=\sin x$ 的图象的横坐标和纵坐标同时扩大 3 倍, 再将图象向右平移 3 个单位长度, 所得图象的函数解析式为
选项：
答案：$y=3 \sin \left(\frac{1}{3} x-1\right)$
解析：将函数 $y=\sin x$ 的图象的横坐标和纵坐标同时扩大 3 倍, 所得函数解析式为 $y=3 \sin \frac{1}{3} x$ 再把所得图象向右平移 3 个单位长度, 所得函数解析式为 $y=3 \sin \frac{1}{3}(x-3)=3 \sin \left(\frac{1}{3} x-1\right)$.

答案: $y=3 \sin \left(\frac{1}{3} x-1\right)$
题目（高二 · 解析几何）：7.在函数 $y=2 \sin (\omega x+\varphi)(\omega>0)$ 的一个周期上, 当 $x=\frac{\pi}{6}$ 时, 有最大值 2 , 当 $x=\frac{2 \pi}{3}$ 时, 有最小值 -2 , 则 $\omega=$
选项：
答案：2
解析：依题意知 $\frac{T}{2}=\frac{2 \pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$, 所以 $T=\pi$, 又 $T=\frac{2 \pi}{\omega}=\pi$, 得 $\omega=2$.

答案: 2
题目（高二 · 解析几何）：若 $\sin \theta<\cos \theta$, 且 $\sin \theta \cdot \cos \theta<0$, 则角 $\theta$ 的终边位于第象限。
选项：
答案：四
解析：由条件可知 $\cos \theta>0, \sin \theta<0$, 则 $\theta$ 为第四象限角.
题目（高二 · 解析几何）：$\sin \frac{13 \pi}{6}+\cos \frac{13 \pi}{3}-\tan \left(-\frac{23 \pi}{4}\right)$ 的值为 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：0
解析：原式 $=\sin \left(2 \pi+\frac{\pi}{6}\right)+\cos \left(4 \pi+\frac{\pi}{3}\right)-\tan \left(-6 \pi+\frac{\pi}{4}\right)=\sin \frac{\pi}{6}+\cos \frac{\pi}{3}-\tan \frac{\pi}{4}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-1=0$.

答案: 0
题目（高二 · 解析几何）：$已知角 $\alpha$ 的终边经过点 $P(3,4 t)$, 且 $\sin (2 k \pi+\alpha)=-\frac{3}{5}(k \in \mathbf{Z})$, 则 $t=$ \$ \qquad \ .
选项：
答案：$-\frac{9}{16}$
解析：$\sin (2 k \pi+\alpha)=\sin \alpha=-\frac{3}{5}<0$, 则 $\alpha$ 的终边在第三或第四象限. 又点 $P$ 的横坐标是正数, 所以 $\alpha$ 是第四象限角, 所以 $t<0$, 又 $\sin \alpha=\frac{4 t}{\sqrt{9+16 t^{2}}}$, 所以 $\frac{4 t}{\sqrt{9+16 t^{2}}}=-\frac{3}{5}$, 所以 $t=-\frac{9}{16}$.
题目（高二 · 解析几何）：6.下列叙述正确的有 \$ \qquad \$
(1) $y=\sin x, x \in[0,2 \pi]$ 的图象关于点 $P(\pi, 0)$ 成中心对称;

(2) $y=\cos x, x \in[0,2 \pi]$ 的图象关于直线 $x=\pi$ 成轴对称;

(3)正弦、余弦函数的图象不超过直线 $y=1$ 和 $y=-1$ 所夹的范围.
选项：
答案：(1)(2)(3)
解析：分别画出函数 $y=\sin x, x \in[0,2 \pi]$ 和 $y=\cos x, x \in[0,2 \pi]$ 的图象, 由图象观察可知(1)(2)(3)均正确.

答案: (1)(2)(3)
题目（高二 · 解析几何）：7.关于三角函数的图象, 有下列说法:

(1) $y=\sin |x|$ 与 $y=\sin x$ 的图象关于 $y$ 轴对称;

(2) $y=\cos (-x)$ 与 $y=\cos |x|$ 的图象相同;

(3) $y=|\sin x|$ 与 $y=\sin (-x)$ 的图象关于 $x$ 轴对称;

(4) $y=\cos x$ 与 $y=\cos (-x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称.

其中正确的序号是
选项：
答案：(2)(4)
解析：对(2), $y=\cos (-x)=\cos x, y=\cos |x|=\cos x$, 故其图象相同;

对(4), $y=\cos (-x)=\cos x$,

故其图象关于 $y$ 轴对称, 由作图可知(1)(3)均不正确。

答案: (2)(4)
题目（高二 · 解析几何）：8.直线 $y=\frac{1}{2}$ 与函数 $y=\sin x, x \in[0,2 \pi]$ 的交点坐标是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$\left(\frac{\pi}{6}, \frac{1}{2}\right),\left(\frac{5}{6} \pi, \frac{1}{2}\right)$
解析：令 $\sin x=\frac{1}{2}$, 则 $x=2 k \pi+\frac{\pi}{6}$ 或 $x=2 k \pi+\frac{5}{6} \pi$, 又 $\because x \in[0,2 \pi]$, 故 $x=\frac{\pi}{6}$ 或 $\frac{5}{6} \pi$.

答案: $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{1}{2}\right),\left(\frac{5}{6} \pi, \frac{1}{2}\right)$
题目（高二 · 解析几何）：7.函数 $y=\sin x$ 的图象的横坐标和纵坐标同时扩大 3 倍, 再将图象向右平移 3 个单位长度, 所得图象的函数解析式为 \$ \qquad \$
选项：
解析：将函数 $y=\sin x$ 的图象的横坐标和纵坐标同时扩大 3 倍, 所得函数解析式为 $y=3 \sin \frac{1}{3} x$ 再把所得图象向右平移 3 个单位长度, 所得函数解析式为 $y=3 \sin \frac{1}{3}(x-3)=3 \sin \left(\frac{1}{3} x-1\right)$.

答案: $y=3 \sin \left(\frac{1}{3} x-1\right)$
题目（高二 · 解析几何）：8.在函数 $y=2 \sin (\omega x+\varphi)(\omega>0)$ 的一个周期上, 当 $x=\frac{\pi}{6}$ 时, 有最大值 2 , 当 $x=\frac{2 \pi}{3}$ 时, 有最小值 -2 , 则 $\omega=$
选项：
解析：依题意知 $\frac{T}{2}=\frac{2 \pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$, 所以 $T=\pi$, 又 $T=\frac{2 \pi}{\omega}=\pi$, 得 $\omega=2$.

答案: 2
题目（高二 · 解析几何）：9.如图所示的曲线是 $y=A \sin (\omega x+\varphi)(A>0, \omega>0)$ 的图象的一部分, 则这个函数的解析式是
选项：
解析：数图象可知 $A=2, T=\frac{4}{3}\left(\frac{5 \pi}{6}-\frac{\pi}{12}\right)=\pi$, 即 $\frac{2 \pi}{\omega}=\pi$, 故 $\omega=2$.

又 $\left(\frac{5 \pi}{6}, 0\right)$ 是五点法作图的第五个点, 即 $2 \times \frac{5 \pi}{6}+\varphi=2 \pi$, 则 $\varphi=\frac{\pi}{3}$. 故所求函数的解析式为 $y=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$.

答案: $y=2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$