题目（九年级 · 解析几何）：(10 分） 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 点 $D$ 是直线 $l: y=-x+1$ 上的一个动点, 其横坐标为 $m$,以点 $D$ 为顶点的抛物线 $y=-x^{2}+b x+c$ 交 $y$ 轴于点为 $A$, 其对称轴与 $x$ 轴交于点 $H$.

(1)请用含 $m$ 的代数式表示 $b$ 和 $c$;

(2)记直线 $l$ 与抛物线的另一交点为 $E$

(1) 请用含 $m$ 的代数式表示点 $E$ 的坐标;

(2)问: $\triangle O D E$ 的面积是否会随着 $m$ 的取值变化而变化? 若不变化, 请求出 $\triangle O D E$ 的面积; 若要变化, 请求出 $\triangle O D E$ 的面积的最小值.

(3)当抛物线顶点 $D$ 在第二象限时, 若 $\angle A D H=\angle A H O$, 求 $m$ 的值.
选项：
答案：解: (1) $\because$ 点 $D$ 是直线 $l: y=-x+1$ 上的一个动点, 其横坐标为 $m$,

$\therefore y=-m+1$,

$\therefore D(m,-m+1)$,

$\therefore y=-(x-m)^{2}-m+1=-x^{2}+2 m x-m^{2}-m+1$,

$\therefore b=2 m, c=-m^{2}-m+1$,

$$
\text { (2) (1) } \because\left\{\begin{array}{l}
y=-x+1 \\
y=-x^{2}+2 m x-m^{2}-m+1^{\prime}
\end{array}\right.
$$

$\therefore x^{2}-(2 m+1) x+m^{2}+m=0$,

$\therefore x_{1}=m, x_{2}=m+1$,

$\therefore E(m+1,-m)$,

(2) $\because D(m,-m+1), E(m+1,-m)$,

$\therefore D E=\sqrt{2}$,

$\therefore S_{\triangle O D E}=\frac{1}{2} \cdot D E \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}$,

$\therefore$ 面积不变, 面积为 $\frac{1}{2}$;

(3) $\because$ 顶点 $D$ 在第二象限,

$\therefore m<0$.

当点 $A$ 在 $y$ 轴的正半轴上,

如图(1)作 $A G \perp D H$ 于点 $G$,

<ImageHere>
$\because A\left(0,-m^{2}-m+1\right), D(m,-m+1)$,

$\therefore H(m, 0), G\left(m,-m^{2}-m+1\right)$

$\because \angle A D H=\angle A H O$

$\therefore \tan \angle A D H=\tan \angle A H O$

$\therefore \frac{A G}{D G}=\frac{A O}{H O}$.

$\therefore \frac{-m}{1-m-\left(-m^{2}-m+1\right)}=\frac{-m^{2}-m+1}{-m}$.

整理得: $m^{2}+m=0$.

$\therefore m=-1$ 或 $m=0$ (舍).

当点 $A$ 在 $y$ 轴的负半轴上, 如图(2). 作 $A G \perp D H$ 于点 $G$,

<ImageHere>

$\because A\left(0,-m^{2}-m+1\right), D(m,-m+1)$,

$\therefore H(m, 0), G\left(m,-m^{2}-m+1\right)$

$\because \angle A D H=\angle A H O$

$\therefore \tan \angle A D H=\tan \angle A H O$,

$\therefore \frac{A G}{D G}=\frac{A O}{H O}$.

$\therefore \frac{-m}{1-m-\left(-m^{2}-m+1\right)}=\frac{m^{2}+m-1}{-m}$.

整理得: $m^{2}+m-2=0$.

$\therefore m=-2$ 或 $m=1$ (舍).

综上所述, $m$ 的值为 -1 或 -2 .
解析：解: (1) $\because$ 点 $D$ 是直线 $l: y=-x+1$ 上的一个动点, 其横坐标为 $m$,

$\therefore y=-m+1$,

$\therefore D(m,-m+1)$,

$\therefore y=-(x-m)^{2}-m+1=-x^{2}+2 m x-m^{2}-m+1$,

$\therefore b=2 m, c=-m^{2}-m+1$,

$$
\text { (2) (1) } \because\left\{\begin{array}{l}
y=-x+1 \\
y=-x^{2}+2 m x-m^{2}-m+1^{\prime}
\end{array}\right.
$$

$\therefore x^{2}-(2 m+1) x+m^{2}+m=0$,

$\therefore x_{1}=m, x_{2}=m+1$,

$\therefore E(m+1,-m)$,

(2) $\because D(m,-m+1), E(m+1,-m)$,

$\therefore D E=\sqrt{2}$,

$\therefore S_{\triangle O D E}=\frac{1}{2} \cdot D E \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}$,

$\therefore$ 面积不变, 面积为 $\frac{1}{2}$;

(3) $\because$ 顶点 $D$ 在第二象限,

$\therefore m<0$.

当点 $A$ 在 $y$ 轴的正半轴上,

如图(1)作 $A G \perp D H$ 于点 $G$,


$\because A\left(0,-m^{2}-m+1\right), D(m,-m+1)$,

$\therefore H(m, 0), G\left(m,-m^{2}-m+1\right)$

$\because \angle A D H=\angle A H O$

$\therefore \tan \angle A D H=\tan \angle A H O$

$\therefore \frac{A G}{D G}=\frac{A O}{H O}$.

$\therefore \frac{-m}{1-m-\left(-m^{2}-m+1\right)}=\frac{-m^{2}-m+1}{-m}$.

整理得: $m^{2}+m=0$.

$\therefore m=-1$ 或 $m=0$ (舍).

当点 $A$ 在 $y$ 轴的负半轴上, 如图(2). 作 $A G \perp D H$ 于点 $G$,



$\because A\left(0,-m^{2}-m+1\right), D(m,-m+1)$,

$\therefore H(m, 0), G\left(m,-m^{2}-m+1\right)$

$\because \angle A D H=\angle A H O$

$\therefore \tan \angle A D H=\tan \angle A H O$,

$\therefore \frac{A G}{D G}=\frac{A O}{H O}$.

$\therefore \frac{-m}{1-m-\left(-m^{2}-m+1\right)}=\frac{m^{2}+m-1}{-m}$.

整理得: $m^{2}+m-2=0$.

$\therefore m=-2$ 或 $m=1$ (舍).

综上所述, $m$ 的值为 -1 或 -2 .