题目（九年级 · 解析几何）：(8 分) 如图, 在正方形 $A B C D$ 中, $A B=4, E$ 为 $B C$ 上一点, $F$ 为 $C D$ 上一点, 且 $A E=A F$. 设 $\triangle A E F$ 的面积为 $y, C E=x$.

(1)求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式和自变量 $x$ 的取值范围.

(2)当 $\triangle A E F$ 为正三角形时, 求 $\triangle A E F$ 的面积.




选项：
答案： (1). $y=-\frac{1}{2} x^{2}+4 x$. (2). $32 \sqrt{3}-48$.

【详解】试题分析：（1）根据 $\mathrm{AB}, \mathrm{CE}$ 长度, 利用 $\mathrm{S}_{\triangle A E F}=16-\mathrm{S}_{\triangle A B E}-\mathrm{S}_{\triangle A D F}-\mathrm{S}_{\triangle C E}$ 即可解决.

(2) 根据 $\triangle \mathrm{AEF}$ 为正三角形时得 $\angle B A E=15^{\circ}$, 在 $\mathrm{AB}$ 上取一点 $\mathrm{M}$ 使得 $\mathrm{AM}=\mathrm{ME}$, 则 $\angle \mathrm{MAE}=\angle \mathrm{AEM}=15^{\circ}$, 所以 $\angle \mathrm{BME}=30^{\circ}$, 设 $B E=\mathrm{a}$, 则 $A M=M E=2 a, B M=4-2 x a$, 在 $R T \triangle M B E$利用勾股定理即可求出 $\mathrm{a}$, 进而得出 EC, 再利用（1）结论计算.

试题解析:

(1) $\because$ 四边形 $A B C D$ 为正方形,

$\therefore \angle B=\angle D=90^{\circ}, A B=A D$.

又 $\because A E=A F, \quad \therefore \mathrm{Rt} \triangle A B E \cong \mathrm{Rt} \triangle A D F(H L)$.

$\therefore B E=D F . \therefore C E=C F$.

$\because C E=x, \quad A B=4, \quad \therefore C F=x, \quad B E=D F=4-x$,

$\therefore S_{\triangle} A D F=S_{\triangle} A B E=\frac{1}{2} A B \cdot B E=\frac{1}{2} \times 4 \times(4-x)=8-2 x, \quad S_{\triangle} C E F=\frac{1}{2} C E \cdot C F=\frac{1}{2} x^{2}$,

$\therefore y=S_{\text {正方形 }} A B C D-2 S_{\triangle} A B E-S_{\triangle} C E F=4^{2}-2(8-2 x)-\frac{1}{2} x^{2}=-\frac{1}{2} x^{2}+4 x .(0<\mathrm{x}<4)$

(2)当 $\triangle A E F$ 为正三角形时, $A E=E F$,

$\therefore A E^{2}=E F^{2}$, 即 $16+(4-x)^{2}=2 x^{2}$.

整理, 得 $x^{2}+8 x-32=0$, 解得 $x=-4 \pm 4 \sqrt{3}$.

又 $\because x>0, \quad \therefore x=4 \sqrt{3}-4$.

$\therefore y=-\frac{1}{2} x^{2}+4 x=-\frac{1}{2} \times(4 \sqrt{3}-4)^{2}+4 \times(4 \sqrt{3}-4)=32 \sqrt{3}-48$, 即 $S_{\triangle} A E F=32 \sqrt{3}-48$.

$\therefore$ 当 $\triangle A E F$ 为正三角形时, $\triangle A E F$ 的面积为 $32 \sqrt{3}-48$.

解析：). $y=-\frac{1}{2} x^{2}+4 x$. (2). $32 \sqrt{3}-48$.

【详解】试题分析：（1）根据 $\mathrm{AB}, \mathrm{CE}$ 长度, 利用 $\mathrm{S}_{\triangle A E F}=16-\mathrm{S}_{\triangle A B E}-\mathrm{S}_{\triangle A D F}-\mathrm{S}_{\triangle C E}$ 即可解决.

(2) 根据 $\triangle \mathrm{AEF}$ 为正三角形时得 $\angle B A E=15^{\circ}$, 在 $\mathrm{AB}$ 上取一点 $\mathrm{M}$ 使得 $\mathrm{AM}=\mathrm{ME}$, 则 $\angle \mathrm{MAE}=\angle \mathrm{AEM}=15^{\circ}$, 所以 $\angle \mathrm{BME}=30^{\circ}$, 设 $B E=\mathrm{a}$, 则 $A M=M E=2 a, B M=4-2 x a$, 在 $R T \triangle M B E$利用勾股定理即可求出 $\mathrm{a}$, 进而得出 EC, 再利用（1）结论计算.

试题解析:

(1) $\because$ 四边形 $A B C D$ 为正方形,

$\therefore \angle B=\angle D=90^{\circ}, A B=A D$.

又 $\because A E=A F, \quad \therefore \mathrm{Rt} \triangle A B E \cong \mathrm{Rt} \triangle A D F(H L)$.

$\therefore B E=D F . \therefore C E=C F$.

$\because C E=x, \quad A B=4, \quad \therefore C F=x, \quad B E=D F=4-x$,

$\therefore S_{\triangle} A D F=S_{\triangle} A B E=\frac{1}{2} A B \cdot B E=\frac{1}{2} \times 4 \times(4-x)=8-2 x, \quad S_{\triangle} C E F=\frac{1}{2} C E \cdot C F=\frac{1}{2} x^{2}$,

$\therefore y=S_{\text {正方形 }} A B C D-2 S_{\triangle} A B E-S_{\triangle} C E F=4^{2}-2(8-2 x)-\frac{1}{2} x^{2}=-\frac{1}{2} x^{2}+4 x .(0<\mathrm{x}<4)$

(2)当 $\triangle A E F$ 为正三角形时, $A E=E F$,

$\therefore A E^{2}=E F^{2}$, 即 $16+(4-x)^{2}=2 x^{2}$.

整理, 得 $x^{2}+8 x-32=0$, 解得 $x=-4 \pm 4 \sqrt{3}$.

又 $\because x>0, \quad \therefore x=4 \sqrt{3}-4$.

$\therefore y=-\frac{1}{2} x^{2}+4 x=-\frac{1}{2} \times(4 \sqrt{3}-4)^{2}+4 \times(4 \sqrt{3}-4)=32 \sqrt{3}-48$, 即 $S_{\triangle} A E F=32 \sqrt{3}-48$.

$\therefore$ 当 $\triangle A E F$ 为正三角形时, $\triangle A E F$ 的面积为 $32 \sqrt{3}-48$.