题目（高一 · 计数）：（2020 春・東庄期末）由袁隆平团队研发的第三代杂交水稻于 2019 年 10 月 21 日至 22 日首次公开测产, 经测产专家组评定, 最终由产为 1046.3 公斤, 第三化杂交水稻的综合优势可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展. 某企业引进一条先进的食品生产线, 计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工, 创建一个新产品, 已知该产品的质量以某项指标值 $k$ (70 $\leqslant k<100 ）$ 为衡量标准，质量指标的等级划分如表:

| 质量指标值 $k$ | $90 \leqslant k<100$ | $85 \leqslant k<90$ | $80 \leqslant k<85$ | $75 \leqslant k<80$ | $70 \leqslant k<75$ |
| :------------: | :------------------: | :-----------------: | :-----------------: | :-----------------: | :-----------------: |
|    产品等级    |         $A$          |         $B$         |         $C$         |         $D$         |         $E$         |

为了解该产品的生产效益, 该企业先进行试生产, 从中随机抽取了 1000 件产品, 测量了每件产品


$n \in \mathbf{N}^{*}, 5 n \leqslant k<5(n+1)$.

（1）试确定 $n$ 的所有取值，并求 $a$;

(2) 从样本质量指标值不小于 85 的产品中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取 7 件产品,然后从这 7 件产品中一次性随机抽取 2 件产品, 求至少有 1 件 $A$ 级品的概率;

（3）求样本质量指标值 $k$ 的平均数 $\bar{k}$ （各分组区间的数据以该组区间的中点值代表）.
选项：
答案：解：（1）根据题意, $k \in[70,100 ）$, 按组距为 5 可分成 6 个小区间,分别是 $[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100 ）$.因为 $70 \leqslant k<100$, 由 $5 n \leqslant k<5(n+1) ， n \in \mathbf{N}^{*}$,所以 $n=14,15,16,17,18,19$,每个小区间对应的频率值分别是 $5 Y=\left\{\begin{array}{l}\frac{3 n-39}{60}, n=14,15,16 \\ 5 a \cdot 2^{20-n}, n=17,18,19 .\end{array}\right.$所以 $\frac{3 \times(14+15+16-39)}{60}+5 a(8+4+2)=1$,解得 $a=\frac{1}{100}$.

(2) 由（1）中的数据, 得

$k \in[85,90)$ 的频率为 $\frac{1}{100} \times 2^{20^{-17}} \times 5=0.4$;

$k \in\left[90,95 ）\right.$ 的频率为 $\frac{1}{100} \times 2^{20^{-18}} \times 5=0.2$;

$k \in\left[95,100 】\right.$ 的频率为 $\frac{1}{100} \times 2^{20^{-1}} \times 5=0.1$,

利用按比列分配分层随机抽样抽取的 7 件产品中,
$k \in[85,90)$ 的有 4 件, 分别记作 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$; $k \in\left[90,100 ）\right.$ 的有 3 件, 分别记作 $B_{1}, B_{2}, B_{3}$,

从抽取的 7 件产品中任取 2 件产品, 则样本空间 $\Omega=\left\{A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}, A_{1} A_{4}, A_{1} B_{1}, A_{1} B_{2}, A_{1} B_{3}, A_{2} A_{3}\right.$, $\left.A_{2} A_{4}, A_{2} B_{1}, A_{2} B_{2}, A_{2} B_{3}, A_{3} A_{4}, A_{3} B_{1}, A_{3} B_{2}, A_{3} B_{3}, A_{4} B_{1}, A_{4} B_{2}, A_{4} B_{3}, B_{1} B_{2}, B_{1} B_{3}, B_{2} B_{3}\right\}$,所以 $n(\Omega)=21$.

事件 $A=$ “随机抽取的 2 件产品中至少有一件 $A$ 级品 “,则 $A=\left\{A_{1} B_{1}, A_{1} B_{2}, A_{1} B_{3}, A_{2} B_{1}, A_{2} B_{2}, A_{2} B_{3}, A_{3} B_{1}, A_{3} B_{2}, A_{3} B_{3}, A_{4} B_{1}, A_{4} B_{2}, A_{4} B_{3}, B_{1} B_{2}, B_{1} B_{3}\right.$, $\left.B_{2} B_{3}\right\}$,

所以 $n(A)=15$,

由古典概型公式, 得 $P(A)=\frac{n(\Omega)}{n(A)}=\frac{15}{21}=\frac{5}{7}$.

(3) $k \in[70,75)$ 的概率为 $\frac{3 \times 14-39}{60}=\frac{1}{20}$,

$k \in[75,80)$ 的概率为 $\frac{3 \times 15-39}{60}=\frac{1}{10}$,

$k \in[80,85)$ 的概率为 $\frac{3 \times 16-39}{60}=\frac{3}{20}$,

$k \in[85,90 ）$ 的概率为 0.4 ,

$k \in[90 ， 95 ）$ 的概率为 0.2 ,

$k \in[95 ， 100 ）$ 的概率为 0.1 ,

$\bar{k}=72.5 \times \frac{1}{20}+77.5 \times \frac{1}{10}+82.5 \times \frac{3}{20}+87.5 \times 0.4+92.5 \times 0.2+97.5 \times 0.1=87$.
解析：解：（1）根据题意, $k \in[70,100 ）$, 按组距为 5 可分成 6 个小区间,分别是 $[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100 ）$.因为 $70 \leqslant k<100$, 由 $5 n \leqslant k<5(n+1) ， n \in \mathbf{N}^{*}$,所以 $n=14,15,16,17,18,19$,每个小区间对应的频率值分别是 $5 Y=\left\{\begin{array}{l}\frac{3 n-39}{60}, n=14,15,16 \\ 5 a \cdot 2^{20-n}, n=17,18,19 .\end{array}\right.$所以 $\frac{3 \times(14+15+16-39)}{60}+5 a(8+4+2)=1$,解得 $a=\frac{1}{100}$.

(2) 由（1）中的数据, 得

$k \in[85,90)$ 的频率为 $\frac{1}{100} \times 2^{20^{-17}} \times 5=0.4$;

$k \in\left[90,95 ）\right.$ 的频率为 $\frac{1}{100} \times 2^{20^{-18}} \times 5=0.2$;

$k \in\left[95,100 】\right.$ 的频率为 $\frac{1}{100} \times 2^{20^{-1}} \times 5=0.1$,

利用按比列分配分层随机抽样抽取的 7 件产品中,
$k \in[85,90)$ 的有 4 件, 分别记作 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$; $k \in\left[90,100 ）\right.$ 的有 3 件, 分别记作 $B_{1}, B_{2}, B_{3}$,

从抽取的 7 件产品中任取 2 件产品, 则样本空间 $\Omega=\left\{A_{1} A_{2}, A_{1} A_{3}, A_{1} A_{4}, A_{1} B_{1}, A_{1} B_{2}, A_{1} B_{3}, A_{2} A_{3}\right.$, $\left.A_{2} A_{4}, A_{2} B_{1}, A_{2} B_{2}, A_{2} B_{3}, A_{3} A_{4}, A_{3} B_{1}, A_{3} B_{2}, A_{3} B_{3}, A_{4} B_{1}, A_{4} B_{2}, A_{4} B_{3}, B_{1} B_{2}, B_{1} B_{3}, B_{2} B_{3}\right\}$,所以 $n(\Omega)=21$.

事件 $A=$ “随机抽取的 2 件产品中至少有一件 $A$ 级品 “,则 $A=\left\{A_{1} B_{1}, A_{1} B_{2}, A_{1} B_{3}, A_{2} B_{1}, A_{2} B_{2}, A_{2} B_{3}, A_{3} B_{1}, A_{3} B_{2}, A_{3} B_{3}, A_{4} B_{1}, A_{4} B_{2}, A_{4} B_{3}, B_{1} B_{2}, B_{1} B_{3}\right.$, $\left.B_{2} B_{3}\right\}$,

所以 $n(A)=15$,

由古典概型公式, 得 $P(A)=\frac{n(\Omega)}{n(A)}=\frac{15}{21}=\frac{5}{7}$.

(3) $k \in[70,75)$ 的概率为 $\frac{3 \times 14-39}{60}=\frac{1}{20}$,

$k \in[75,80)$ 的概率为 $\frac{3 \times 15-39}{60}=\frac{1}{10}$,

$k \in[80,85)$ 的概率为 $\frac{3 \times 16-39}{60}=\frac{3}{20}$,

$k \in[85,90 ）$ 的概率为 0.4 ,

$k \in[90 ， 95 ）$ 的概率为 0.2 ,

$k \in[95 ， 100 ）$ 的概率为 0.1 ,

$\bar{k}=72.5 \times \frac{1}{20}+77.5 \times \frac{1}{10}+82.5 \times \frac{3}{20}+87.5 \times 0.4+92.5 \times 0.2+97.5 \times 0.1=87$.