题目（七年级 · 度量几何学）：（2021 春・潮阳区期末）已知: $\angle M O N=36^{\circ}, O E$ 平分 $\angle M O N$, 点 $A, B$ 分别是射线 $O M, O E$, 上的动点 ( $A, B$ 不与点 $O$ 重合), 点 $D$ 是线段 $O B$ 上的动点, 连接 $A D$ 并延长交射线 $O N$ 于点 $C$, 设 $\angle O A C=$ $x$, (1) 如图 1, 若 $A B / / O N$, 则(1) $\angle A B O$ 的度数是 \$ \qquad \$ ; (2)当 $\angle B A D=\angle A B D$ 时， $x=$ \$ \qquad \$ ; 当 $\angle B A D=$ $\angle B D A$ 时, $x=$ $;$ \$ \qquad \$ (2) 如图 2, 若角? 若存在, 求出 $x$ 的值; 若不存在, 请说明理由.



图1



图2
选项：
答案：解： (1) 如图 1, (1) $\because \angle M O N=36^{\circ}, O E$ 平分 $\angle M O N, \therefore \angle A O B=\angle B O N=18^{\circ}$,

$\because A B / / O N, \quad \therefore \angle A B O=18^{\circ}$

(2) 当 $\angle B A D=\angle A B D$ 时, $\angle B A D=18^{\circ}$,

$\because \angle A O B+\angle A B O+\angle O A B=180^{\circ}$

$\therefore \angle O A C=180^{\circ}-18^{\circ} \times 3=126^{\circ}$

(3)当 $\angle B A D=\angle B D A$ 时, $\because \angle A B O=18^{\circ}$,

$\therefore \angle B A D=81^{\circ}, \angle A O B=18^{\circ}$,

$\because \angle A O B+\angle A B O+\angle O A B=180^{\circ}$

$\therefore \angle O A C=180^{\circ}-18^{\circ}-18^{\circ}-81^{\circ}=63^{\circ}$,

故答案为: (1) $18^{\circ}$; (2) $126^{\circ}$; (3) $63^{\circ}$;

(2) 如图 2, 存在这样的 $x$ 的值, 使得 $\triangle A D B$ 中有两个相等的角.

$\because A B \perp O M, \angle M O N=36^{\circ}, O E$ 平分 $\angle M O N$,

$\therefore \angle A O B=18^{\circ}, \angle A B O=72^{\circ}$

若 $\angle B A D=\angle A B D=72^{\circ}$, 则 $\angle O A C=90^{\circ}-72^{\circ}=18^{\circ}$;

若 $\angle B A D=\angle B D A=\left(180^{\circ}-72^{\circ}\right) \div 2=54^{\circ}$ ，则 $\angle O A C=90^{\circ}-54^{\circ}=36^{\circ}$ ；

若 $\angle A D B=\angle A B D=72^{\circ}$, 则 $\angle B A D=36^{\circ}$, 故 $\angle O A C=90^{\circ}-36^{\circ}=54^{\circ}$;

综上所述, 当 $x=18 、 36 、 54$ 时, $\triangle A D B$ 中有两个相等的角.

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图1

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图2
解析：(1) 运用平行线的性质以及角平分线的定义, 可得 $\angle A B O$ 的度数; 根据 $\angle A B O 、 \angle B A D$ 的度数以及 $\triangle A O B$ 的内角和, 可得 $x$ 的值;

(2) 根据三角形内角和定理以及直角的度数, 可得 $x$ 的值.
【答案】解： (1) 如图 1, (1) $\because \angle M O N=36^{\circ}, O E$ 平分 $\angle M O N, \therefore \angle A O B=\angle B O N=18^{\circ}$,

$\because A B / / O N, \quad \therefore \angle A B O=18^{\circ}$

(2) 当 $\angle B A D=\angle A B D$ 时, $\angle B A D=18^{\circ}$,

$\because \angle A O B+\angle A B O+\angle O A B=180^{\circ}$

$\therefore \angle O A C=180^{\circ}-18^{\circ} \times 3=126^{\circ}$

(3)当 $\angle B A D=\angle B D A$ 时, $\because \angle A B O=18^{\circ}$,

$\therefore \angle B A D=81^{\circ}, \angle A O B=18^{\circ}$,

$\because \angle A O B+\angle A B O+\angle O A B=180^{\circ}$

$\therefore \angle O A C=180^{\circ}-18^{\circ}-18^{\circ}-81^{\circ}=63^{\circ}$,

故答案为: (1) $18^{\circ}$; (2) $126^{\circ}$; (3) $63^{\circ}$;

(2) 如图 2, 存在这样的 $x$ 的值, 使得 $\triangle A D B$ 中有两个相等的角.

$\because A B \perp O M, \angle M O N=36^{\circ}, O E$ 平分 $\angle M O N$,

$\therefore \angle A O B=18^{\circ}, \angle A B O=72^{\circ}$

若 $\angle B A D=\angle A B D=72^{\circ}$, 则 $\angle O A C=90^{\circ}-72^{\circ}=18^{\circ}$;

若 $\angle B A D=\angle B D A=\left(180^{\circ}-72^{\circ}\right) \div 2=54^{\circ}$ ，则 $\angle O A C=90^{\circ}-54^{\circ}=36^{\circ}$ ；

若 $\angle A D B=\angle A B D=72^{\circ}$, 则 $\angle B A D=36^{\circ}$, 故 $\angle O A C=90^{\circ}-36^{\circ}=54^{\circ}$;

综上所述, 当 $x=18 、 36 、 54$ 时, $\triangle A D B$ 中有两个相等的角.



图1



图2

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的外角性质的应用, 三角形的内角和等于 $180^{\circ}$, 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和. 利用角平分线的性质求出 $\angle A B O$ 的度数是关键, 注意分类讨论思想的运用.