题目（高三 · 计数）：某服装店每年春季以每件 15 元的价格购入 $\mathrm{M}$ 型号童裤若干, 并开始以每件 30 元的价格出售, 若前 2 个月内所购进的 $\mathrm{M}$ 型号童裤没有售完, 则服装店对没卖出的 $\mathrm{M}$ 型号童裤将以每件 10 元的价格低价处理（根据经验, 1 个月内完全能够把 $\mathrm{M}$ 型号童裤低价处理完毕, 且处理完毕后, 该季度不再购进 $\mathrm{M}$ 型号童裤）。该服装店统计了过去 18 年中每年该季度 $\mathrm{M}$ 型号童裤在前 2 个月内的销售量,制成如下表格（注: 视频率为概率）。

| 前 2 月内的销售量（单位: 件) | 30 | 40 | 50 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 频数（单位: 年) | 6 | 8 | 4 |

（1）若今年该季度服装店购进 $\mathrm{M}$ 型号童裤 40 件, 依据统计的需求量试求服装店该季度销售 $\mathrm{M}$ 型号童裤获取利润 $\mathrm{X}$ 的分布列和期望; (结果保留一位小数)

（2）依据统计的需求量求服装店每年该季度在购进多少件 $\mathrm{M}$ 型号童裤时所获得的平均利润最大.
选项：
答案：答案: (1) 【解析】 设服装店某季度销售 $M$ 型号童裤获得的利润为 $X$ (单位: 元).

当需求量为 30 时, $X=15 \times 30-5(40-30)=400$,

当需求量为 40 时, $X=15 \times 40=600$,

当需求量为 50 时, $X=15 \times 40=600$.

所以 $P(X=400)=\frac{1}{3}, P(X=600)=\frac{2}{3}$.

故 $\mathrm{X}$ 的分布列为

<ImageHere>

所以服装店今年销售 $M$ 型号童裤获得的利润均值为 533.3 元;

（2）解：设销售 $M$ 型号童裤获得的利润为 $Y$.

依题意，视频率为概率，为追求更多的利润，

则服装店每年该季度购进的 $\mathrm{M}$ 型号童裤的件数取值可能为 30 件, 40 件, 50 件.

当购进 $\mathrm{M}$ 型号童裤 30 件时,

$E(Y)=(30-15) \times 30 \times \frac{3}{9}+(30-15) \times 30 \times \frac{4}{9}+(30-15) \times 30 \times \frac{2}{9}=450$

当购进 $M$ 型号童裤 40 件时,

$E(Y)=[(30-15) \times 30-(15-10) \times 10] \times \frac{3}{9}+(30-15) \times 40 \times \frac{4}{9}+(30-15) \times 40 \times \frac{2}{9}$

$=\frac{1600}{3} \approx 533.3$;

当购进 $M$ 型号童裤 50 件时,

$E(Y)=[(30-15) \times 30-(15-10) \times 20] \times \frac{3}{9}+[(30-15) \times 40-(15-10) \times 10] \times \frac{4}{9}+(30-15) \times 50 \times \frac{2}{9}$

$=\frac{4750}{9} \approx 527.8$.

所以服装店每年该季度在购进 40 件 $\mathrm{M}$ 型号童裤时所获得的平均利润最大.

23.答案:（1）解：依题意得 $X$ 的可能取值为 2,4 ,

且 $P(X=2)=\left(1-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{25}{36}, P(X=4)=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$,

则 $\mathrm{X}$ 的分布列为

<ImageHere>

(2) 【解析】 由题可知 $\mathrm{Y}$ 的所有可能取值为 $1, k+1$,

所以 $P(Y=1)=(1-p)^{k}, P(Y=k+1)=1-(1-p)^{k}$,

所以 $E(Y)=(1-p)^{k}+(k+1)\left[1-(1-p)^{k}\right]=k+1-k(1-p)^{k}$.

因为 $E(Y)=k$, 所以 $k+1-k(1-p)^{k}=k$, 即 $(1-p)^{k}=\frac{1}{k}$,
则 $1-p=\left(\frac{1}{k}\right)^{\frac{1}{k}}$, 即 $p=1-\left(\frac{1}{k}\right)^{\frac{1}{k}}$.

当 $k=6$ 时,

$$
p=1-\left(\frac{1}{6}\right)^{\frac{1}{6}}=1-\frac{1}{\sqrt[6]{6}} \approx 1-\frac{1}{1.3480} \approx 0.2581
$$

故 $\mathrm{p}$ 的估计值为 0.258 .
解析：答案: (1) 【解析】 设服装店某季度销售 $M$ 型号童裤获得的利润为 $X$ (单位: 元).

当需求量为 30 时, $X=15 \times 30-5(40-30)=400$,

当需求量为 40 时, $X=15 \times 40=600$,

当需求量为 50 时, $X=15 \times 40=600$.

所以 $P(X=400)=\frac{1}{3}, P(X=600)=\frac{2}{3}$.

故 $\mathrm{X}$ 的分布列为



所以服装店今年销售 $M$ 型号童裤获得的利润均值为 533.3 元;

（2）解：设销售 $M$ 型号童裤获得的利润为 $Y$.

依题意，视频率为概率，为追求更多的利润，

则服装店每年该季度购进的 $\mathrm{M}$ 型号童裤的件数取值可能为 30 件, 40 件, 50 件.

当购进 $\mathrm{M}$ 型号童裤 30 件时,

$E(Y)=(30-15) \times 30 \times \frac{3}{9}+(30-15) \times 30 \times \frac{4}{9}+(30-15) \times 30 \times \frac{2}{9}=450$

当购进 $M$ 型号童裤 40 件时,

$E(Y)=[(30-15) \times 30-(15-10) \times 10] \times \frac{3}{9}+(30-15) \times 40 \times \frac{4}{9}+(30-15) \times 40 \times \frac{2}{9}$

$=\frac{1600}{3} \approx 533.3$;

当购进 $M$ 型号童裤 50 件时,

$E(Y)=[(30-15) \times 30-(15-10) \times 20] \times \frac{3}{9}+[(30-15) \times 40-(15-10) \times 10] \times \frac{4}{9}+(30-15) \times 50 \times \frac{2}{9}$

$=\frac{4750}{9} \approx 527.8$.

所以服装店每年该季度在购进 40 件 $\mathrm{M}$ 型号童裤时所获得的平均利润最大.

23.答案:（1）解：依题意得 $X$ 的可能取值为 2,4 ,

且 $P(X=2)=\left(1-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{25}{36}, P(X=4)=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$,

则 $\mathrm{X}$ 的分布列为



(2) 【解析】 由题可知 $\mathrm{Y}$ 的所有可能取值为 $1, k+1$,

所以 $P(Y=1)=(1-p)^{k}, P(Y=k+1)=1-(1-p)^{k}$,

所以 $E(Y)=(1-p)^{k}+(k+1)\left[1-(1-p)^{k}\right]=k+1-k(1-p)^{k}$.

因为 $E(Y)=k$, 所以 $k+1-k(1-p)^{k}=k$, 即 $(1-p)^{k}=\frac{1}{k}$,
则 $1-p=\left(\frac{1}{k}\right)^{\frac{1}{k}}$, 即 $p=1-\left(\frac{1}{k}\right)^{\frac{1}{k}}$.

当 $k=6$ 时,

$$
p=1-\left(\frac{1}{6}\right)^{\frac{1}{6}}=1-\frac{1}{\sqrt[6]{6}} \approx 1-\frac{1}{1.3480} \approx 0.2581
$$

故 $\mathrm{p}$ 的估计值为 0.258 .