题目（高三 · 代数）：已知数列 (a.) 满足 $\mathrm{a}_{1}=\mathrm{a}, \mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}=\frac{1}{2-a_{n}}$,

(1) 求 $\mathrm{a}_{2}, \mathrm{a}_{3}, \mathrm{a}_{4}$;

(2) 猜想数列 $\left\{\mathrm{a}_{n}\right\}$ 的通项公式, 并用数学归纳法证明.
选项：
答案：答案: (1) 解: 由 $\mathrm{a}_{n+1}=\frac{1}{2-a_{n}}$ 可得 $\mathrm{a}_{2}=\frac{1}{2-a_{n}}=\frac{1}{2-a}$,

$\mathrm{a}_{3}=\frac{1}{2-a_{2}}=\frac{1}{2-\frac{1}{2-a}}=\frac{2-a}{3-2 a}$,

$\mathrm{a}_{4}=\frac{1}{2-a_{3}}=\frac{1}{2-\frac{2-a}{3-2 a}}=\frac{3-2 a}{4-3 a} ;$

(2) 解: 推测 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\frac{(n-1)-(n-2) a}{n-(n-1) a}$.

下面用数学归纳法证明:

(1) 当 $\mathrm{n}=1$ 时, 左边 $\mathrm{a}_{1}=\mathrm{a}$, 右边 $=\frac{(1-1)-(1-2) a}{1-(1-1) a}=\mathrm{a}$, 结论成立;

(2)假设 $\mathrm{n}=\mathrm{k}\left(\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}\right)$ 时等式成立, 有 $\mathrm{a}_{\mathrm{k}}=\frac{(k-1)-(k-2) a}{k-(k-1) a}$, 则当 $\mathrm{n}=\mathrm{k}+1$ 时,

$$
\frac{1}{2-a_{k}}=\frac{1}{2-\frac{(k-1)-(k-2) a}{k-(k-1) a}}=\frac{k-(k-1) a}{2[k-(k-1) a]-[(k-1)-(k-2) a]}=\frac{k-(k-1) a}{(k+1)-k a}
$$

故当 $n=k+1$ 时, 结论也成立,

由(1)(2)可知, 对任何 $\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ 都有 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\frac{(n-1)-(n-2) a}{n-(n-1) a}$.

<ImageHere>

（2）猜想 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\frac{(n-1)-(n-2) a}{n-(n-1) a}$,成立, 证明当 $n=k+1$ 时命题也成立即可.

22. 答案: （1）解: $E_{n}=A_{n}^{n} \cdot A_{n}^{n}=(n !)^{2}, \quad F_{n}=C_{n+1}^{1} \cdot C_{n}^{1}=n(n+1)$;

（2）解: 因为 $\ln E_{n}=2 \ln n !, F_{n}=n(n+1)$,

所以 $\ln E_{1}=0<F_{1}=2, \ln E_{2}=\ln 4<F_{2}=6, \ln E_{3}=\ln 36<F_{3}=12, \cdots$,

由此猜想: 当 $n \in N^{*}$ 时, 都有 $\ln E_{n}<F_{n}$, 即 $2 \ln n !<n(n+1)$.

下面用数学归纳法证明 $2 \ln n !<n(n+1)\left(n \in N^{*}\right)$.

(1) $n=1$ 时，该不等式显然成立.

(2)假设当 $n=k\left(k \in N^{*}\right)$ 时，不等式成立，即 $2 \ln k !<k(k+1) ，$

则当 $n=k+1$ 时, $2 \ln (k+1) !<2 \ln (k+1)+2 \ln k !<2 \ln (k+1)+k(k+1)$,

要证当 $n=k+1$ 时不等式成立. 只要证: $2 \ln (k+1)+k(k+1) \leq(k+1)(k+2)$,

只要证: $\ln (k+1) \leq k+1$..

令 $f(x)=\ln x-x, x \in(1,+\infty)$,

因为 $f^{\prime}(x)=\frac{1-x}{x}<0$, 所以 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递减,

从而 $f(x)<f(1)=-1<0$,

而 $k+1 \in(1,+\infty)$, 所以 $\ln (k+1) \leq k+1$ 成立.

则当 $n=k+1$ 时, 不等式也成立.

综合(1)、(2)得原不等式对任意的 $n \in N^{3}$ 均成立

【分析】（1）根据题意, 领队男生倪某必须排第一个, 然后女生整体在男生的前面, 排成一路纵队入场, 可得 $\mathrm{E}_{\mathrm{n}}$; 根据从男生 (含男生倪某) 和女生中各选一名代表到主席台服务, 可得 $\mathrm{F}_{\mathrm{n}}$;

（2）先猜想出结论, 再用数学归纳法证明, 用数学归纳法证明时, 要分两个步骤, 两者缺一不可. 证明了第二步, 就获得了推理的依据. 仅有第二步而没有第一步, 则失去了递推的基础; 而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论.
解析：答案: (1) 解: 由 $\mathrm{a}_{n+1}=\frac{1}{2-a_{n}}$ 可得 $\mathrm{a}_{2}=\frac{1}{2-a_{n}}=\frac{1}{2-a}$,

$\mathrm{a}_{3}=\frac{1}{2-a_{2}}=\frac{1}{2-\frac{1}{2-a}}=\frac{2-a}{3-2 a}$,

$\mathrm{a}_{4}=\frac{1}{2-a_{3}}=\frac{1}{2-\frac{2-a}{3-2 a}}=\frac{3-2 a}{4-3 a} ;$

(2) 解: 推测 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\frac{(n-1)-(n-2) a}{n-(n-1) a}$.

下面用数学归纳法证明:

(1) 当 $\mathrm{n}=1$ 时, 左边 $\mathrm{a}_{1}=\mathrm{a}$, 右边 $=\frac{(1-1)-(1-2) a}{1-(1-1) a}=\mathrm{a}$, 结论成立;

(2)假设 $\mathrm{n}=\mathrm{k}\left(\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}\right)$ 时等式成立, 有 $\mathrm{a}_{\mathrm{k}}=\frac{(k-1)-(k-2) a}{k-(k-1) a}$, 则当 $\mathrm{n}=\mathrm{k}+1$ 时,

$$
\frac{1}{2-a_{k}}=\frac{1}{2-\frac{(k-1)-(k-2) a}{k-(k-1) a}}=\frac{k-(k-1) a}{2[k-(k-1) a]-[(k-1)-(k-2) a]}=\frac{k-(k-1) a}{(k+1)-k a}
$$

故当 $n=k+1$ 时, 结论也成立,

由(1)(2)可知, 对任何 $\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}$ 都有 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\frac{(n-1)-(n-2) a}{n-(n-1) a}$.



（2）猜想 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\frac{(n-1)-(n-2) a}{n-(n-1) a}$,成立, 证明当 $n=k+1$ 时命题也成立即可.

22. 答案: （1）解: $E_{n}=A_{n}^{n} \cdot A_{n}^{n}=(n !)^{2}, \quad F_{n}=C_{n+1}^{1} \cdot C_{n}^{1}=n(n+1)$;

（2）解: 因为 $\ln E_{n}=2 \ln n !, F_{n}=n(n+1)$,

所以 $\ln E_{1}=0<F_{1}=2, \ln E_{2}=\ln 4<F_{2}=6, \ln E_{3}=\ln 36<F_{3}=12, \cdots$,

由此猜想: 当 $n \in N^{*}$ 时, 都有 $\ln E_{n}<F_{n}$, 即 $2 \ln n !<n(n+1)$.

下面用数学归纳法证明 $2 \ln n !<n(n+1)\left(n \in N^{*}\right)$.

(1) $n=1$ 时，该不等式显然成立.

(2)假设当 $n=k\left(k \in N^{*}\right)$ 时，不等式成立，即 $2 \ln k !<k(k+1) ，$

则当 $n=k+1$ 时, $2 \ln (k+1) !<2 \ln (k+1)+2 \ln k !<2 \ln (k+1)+k(k+1)$,

要证当 $n=k+1$ 时不等式成立. 只要证: $2 \ln (k+1)+k(k+1) \leq(k+1)(k+2)$,

只要证: $\ln (k+1) \leq k+1$..

令 $f(x)=\ln x-x, x \in(1,+\infty)$,

因为 $f^{\prime}(x)=\frac{1-x}{x}<0$, 所以 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递减,

从而 $f(x)<f(1)=-1<0$,

而 $k+1 \in(1,+\infty)$, 所以 $\ln (k+1) \leq k+1$ 成立.

则当 $n=k+1$ 时, 不等式也成立.

综合(1)、(2)得原不等式对任意的 $n \in N^{3}$ 均成立

【分析】（1）根据题意, 领队男生倪某必须排第一个, 然后女生整体在男生的前面, 排成一路纵队入场, 可得 $\mathrm{E}_{\mathrm{n}}$; 根据从男生 (含男生倪某) 和女生中各选一名代表到主席台服务, 可得 $\mathrm{F}_{\mathrm{n}}$;

（2）先猜想出结论, 再用数学归纳法证明, 用数学归纳法证明时, 要分两个步骤, 两者缺一不可. 证明了第二步, 就获得了推理的依据. 仅有第二步而没有第一步, 则失去了递推的基础; 而只有第一步而没有第二步，就可能得出不正确的结论.