题目（八年级 · 组合几何学）：(11 分 ) 已知: 如图, 在菱形 $A B C D$ 中, 对角线 $A C, B D$ 相交于点 $O$, 且 $A C=12 \mathrm{~cm}, B D=16 \mathrm{~cm}$. 点 $\mathrm{P}$ 从点 A 出发, 沿 $\mathrm{AB}$ 方向匀速运动, 速度为 $1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$; 过点 $\mathrm{P}$ 作直线 $\mathrm{PF} / / \mathrm{AD}, \mathrm{PF}$ 交 $\mathrm{CD}$ 于点 $\mathrm{F}$, 过点 $F$ 作 $E F \perp B D$, 且与 $A D 、 B D$ 分别交于点 $E 、 Q$; 连接 $P E$, 设点 $P$ 的运动时间为 $t(s)(0<t<10)$.



解答下列问题:

(1) 填空: $A B=$ $\mathrm{cm} ;$

(2) 当 $\mathrm{t}$ 为何值时, $\mathrm{PE} / / \mathrm{BD}$;

(3) 设四边形 APFE 的面积为 $\mathrm{y}\left(\mathrm{cm}^{2}\right)$

(1)求 $\mathrm{y}$ 与 $\mathrm{t}$ 之间的函数关系式;

(2)若用 $\mathrm{S}$ 表示图形的面积, 则是否存在某一时刻 $\mathrm{t}$, 使得 $\mathrm{S}_{\text {四边抳 } A P \mathrm{APF}^{2}=}{ }^{\frac{8}{25}} \mathrm{~S}$ 㭛 $\mathrm{ABCD}$ ？若存在, 求出 $\mathrm{t}$ 的值; 若不存在, 请说明理由.
选项：
答案： (1) 10

(2) 解: $\because$ 在菱形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\therefore \mathrm{AB} / / \mathrm{CD}, \angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{CDB}$,又 $\because \mathrm{PF} / / \mathrm{AD}$,

$\therefore$ 四边形 APFD 为平行四边形,

$\therefore \mathrm{DF}=\mathrm{AP}=\mathrm{t}$,

又 $\because \mathrm{EF} \perp \mathrm{BD}$ 于 $\mathrm{Q}$, 且 $\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{CDB}$,

$\therefore \angle \mathrm{DEF}=\angle \mathrm{DFE}$,

$\therefore \mathrm{DE}=\mathrm{DF}=\mathrm{t}$,

$\therefore \mathrm{AE}=10-\mathrm{t}$,

当 $P E / / B D$ 时, $\triangle A P E \sim \triangle A B D$,

$\therefore \frac{A P}{A B}=\frac{A E}{A D}$,

$\therefore{ }^{\frac{t}{10}=\frac{10-t}{10}}$,

$\therefore \mathrm{t}=5$,

$\therefore$ 当 $\mathrm{t}=5$ 时, $\mathrm{PE} / / \mathrm{BD}$

(3) 蛸: (1) $\because \angle \mathrm{FDQ}=\angle \mathrm{CDO}, \angle \mathrm{FQD}=\angle \mathrm{COD}=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle \mathrm{DFQ} \backsim \triangle \mathrm{DCO}$.

$\therefore \frac{Q F}{O C}=\frac{D F}{D C}$,
即 $\frac{Q F}{6}=\frac{t}{10}$ ，

$\therefore Q F=\frac{3 t}{5}$

$\therefore E F=2 Q F=\frac{6 t}{5}$,

同理, $Q D=\frac{4 t}{5}$

如图, 过点 $\mathrm{C}$ 作 $\mathrm{CG} \perp \mathrm{AB}$ 于点 $\mathrm{G}$,

<ImageHere>

$\because \mathrm{S}_{\text {粪形 }} \mathrm{ABCD}=\mathrm{AB} \cdot \mathrm{CG}={ }^{\frac{1}{2}} \mathrm{AC} \cdot \mathrm{BD}$,

即 $10 \cdot \mathrm{CG}==^{\frac{1}{2}} \times 12 \times 16$,

$\therefore \mathrm{CG}={ }^{\frac{1}{2}}$.

<ImageHere>

<ImageHere>

$\therefore y=\frac{4 \pi}{5}-\frac{12 t^{2}}{25}$,

(2)当 $S_{\text {四边形 } A P F E}={ }^{\frac{8}{25}} S_{\text {菱形 } A B C D}$

则 $\frac{48 t}{5}-\frac{12 t^{2}}{25}=\frac{8}{25} \times\left(\frac{1}{2} \times 12 \times 16\right)$,
即 $t^{2}-20 t+64=0$,

解这个方程, 得 $t_{1}=4, t_{2}=16>10$ (不合, 舍去)

$\therefore$ 存在 $\mathrm{t}=4 \mathrm{~s}$, 使得 $\mathrm{S}_{\text {四边形 } \mathrm{APFE}}={ }^{\frac{8}{25}} \mathrm{~S}_{\text {菱形 } \mathrm{ABCD}} \cdot$

解： (1) $\because$ 在菱形 $\mathrm{ABCD}$ 中, 对角线 $\mathrm{AC}, \mathrm{BD}$ 相交于点 $\mathrm{O}$, 且 $\mathrm{AC}=12 \mathrm{~cm}, \mathrm{BD}=16 \mathrm{~cm}$,

$\therefore \mathrm{BO}=\mathrm{DO}=8 \mathrm{~cm}, \quad \mathrm{AO}=\mathrm{CO}=6 \mathrm{~cm}$,

$\therefore \mathrm{AB}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10(\mathrm{~cm})$,

故答案为: 10 ;
解析： (1) 10

(2) 解: $\because$ 在菱形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\therefore \mathrm{AB} / / \mathrm{CD}, \angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{CDB}$,又 $\because \mathrm{PF} / / \mathrm{AD}$,

$\therefore$ 四边形 APFD 为平行四边形,

$\therefore \mathrm{DF}=\mathrm{AP}=\mathrm{t}$,

又 $\because \mathrm{EF} \perp \mathrm{BD}$ 于 $\mathrm{Q}$, 且 $\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{CDB}$,

$\therefore \angle \mathrm{DEF}=\angle \mathrm{DFE}$,

$\therefore \mathrm{DE}=\mathrm{DF}=\mathrm{t}$,

$\therefore \mathrm{AE}=10-\mathrm{t}$,

当 $P E / / B D$ 时, $\triangle A P E \sim \triangle A B D$,

$\therefore \frac{A P}{A B}=\frac{A E}{A D}$,

$\therefore{ }^{\frac{t}{10}=\frac{10-t}{10}}$,

$\therefore \mathrm{t}=5$,

$\therefore$ 当 $\mathrm{t}=5$ 时, $\mathrm{PE} / / \mathrm{BD}$

(3) 蛸: (1) $\because \angle \mathrm{FDQ}=\angle \mathrm{CDO}, \angle \mathrm{FQD}=\angle \mathrm{COD}=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle \mathrm{DFQ} \backsim \triangle \mathrm{DCO}$.

$\therefore \frac{Q F}{O C}=\frac{D F}{D C}$,
即 $\frac{Q F}{6}=\frac{t}{10}$ ，

$\therefore Q F=\frac{3 t}{5}$

$\therefore E F=2 Q F=\frac{6 t}{5}$,

同理, $Q D=\frac{4 t}{5}$

如图, 过点 $\mathrm{C}$ 作 $\mathrm{CG} \perp \mathrm{AB}$ 于点 $\mathrm{G}$,



$\because \mathrm{S}_{\text {粪形 }} \mathrm{ABCD}=\mathrm{AB} \cdot \mathrm{CG}={ }^{\frac{1}{2}} \mathrm{AC} \cdot \mathrm{BD}$,

即 $10 \cdot \mathrm{CG}==^{\frac{1}{2}} \times 12 \times 16$,

$\therefore \mathrm{CG}={ }^{\frac{1}{2}}$.





$\therefore y=\frac{4 \pi}{5}-\frac{12 t^{2}}{25}$,

(2)当 $S_{\text {四边形 } A P F E}={ }^{\frac{8}{25}} S_{\text {菱形 } A B C D}$

则 $\frac{48 t}{5}-\frac{12 t^{2}}{25}=\frac{8}{25} \times\left(\frac{1}{2} \times 12 \times 16\right)$,
即 $t^{2}-20 t+64=0$,

解这个方程, 得 $t_{1}=4, t_{2}=16>10$ (不合, 舍去)

$\therefore$ 存在 $\mathrm{t}=4 \mathrm{~s}$, 使得 $\mathrm{S}_{\text {四边形 } \mathrm{APFE}}={ }^{\frac{8}{25}} \mathrm{~S}_{\text {菱形 } \mathrm{ABCD}} \cdot$

解： (1) $\because$ 在菱形 $\mathrm{ABCD}$ 中, 对角线 $\mathrm{AC}, \mathrm{BD}$ 相交于点 $\mathrm{O}$, 且 $\mathrm{AC}=12 \mathrm{~cm}, \mathrm{BD}=16 \mathrm{~cm}$,

$\therefore \mathrm{BO}=\mathrm{DO}=8 \mathrm{~cm}, \quad \mathrm{AO}=\mathrm{CO}=6 \mathrm{~cm}$,

$\therefore \mathrm{AB}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10(\mathrm{~cm})$,

故答案为: 10 ;