题目（高二 · 算术）：递减的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$. 若 $a_{3} a_{5}=63, a_{2}+a_{6}=16$,

(1) 求 $\left\{\mathrm{a}_{n}\right\}$ 的通项公式

(2) 求 $\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\left|a_{3}\right|+\cdots+\left|a_{n}\right|$.
选项：
答案：(1) $\mathrm{a}_{2}+\mathrm{a}_{6}=\mathrm{a}_{3}+\mathrm{a}_{5}=16$, 又 $\mathrm{a}_{3} \cdot \mathrm{a}_{5}=63$,
所以 $a_{3}$ 与 $a_{5}$ 是方程 $x^{2}-16 x+63=0$ 的两根,

解得 $\left\{\begin{array}{l}a_{3}=7 \\ a_{5}=9\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}a_{3}=9 \\ a_{5}=7\end{array}\right.$,

又该等差数列递减, 所以 $\left\{\begin{array}{l}a_{3}=9 \\ a_{5}=7\end{array}\right.$,

则公差 $\mathrm{d}=\frac{\mathrm{a}_{5}-\mathrm{a}_{3}}{2}=-1, \mathrm{a}_{1}=11$,

所以 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=11+(\mathrm{n}-1) \quad(-1)=12-\mathrm{n}$;

（2）易知，当 $n \leq 12$ 时 $a_{n} \geq 0$, 当 $n>12$ 时 $a_{n}<0$,

(1)当 $\mathrm{n} \leq 12$ 时,

$\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\left|a_{3}\right|+\cdots+\left|a_{n}\right|=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}$

$=\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right)}{2} \mathrm{n}\left(\frac{(11+12-\mathrm{n})}{2}=-\frac{1}{2} \mathrm{n}^{2}+\frac{23}{2} \mathrm{n} ;\right.$

(2)当 $n>12$ 时,

$\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\left|a_{3}\right|+\cdots+\left|a_{n}\right|=\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{12}\right)-\left(a_{13}+a_{14}+\cdots+a_{n}\right)$

$=-\mathrm{S}_{\mathrm{n}}+2 \mathrm{~S}_{12}=\frac{1}{2} \mathrm{n}^{2}-\frac{23}{2} \mathrm{n}+2 \times 66=\frac{1}{2} \mathrm{n}^{2}-\frac{23}{2} \mathrm{n}+132 ;$

所以 $\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\left|a_{3}\right|+\cdots+\left|a_{n}\right|=\left\{\begin{array}{c}-\frac{1}{2} n^{2}+\frac{23}{2} n, n \leq 12 \\ \frac{1}{2} n^{2}-\frac{23}{2} n+132, n>12\end{array}\right.$.
解析：(1) $\mathrm{a}_{2}+\mathrm{a}_{6}=\mathrm{a}_{3}+\mathrm{a}_{5}=16$, 又 $\mathrm{a}_{3} \cdot \mathrm{a}_{5}=63$,
所以 $a_{3}$ 与 $a_{5}$ 是方程 $x^{2}-16 x+63=0$ 的两根,

解得 $\left\{\begin{array}{l}a_{3}=7 \\ a_{5}=9\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}a_{3}=9 \\ a_{5}=7\end{array}\right.$,

又该等差数列递减, 所以 $\left\{\begin{array}{l}a_{3}=9 \\ a_{5}=7\end{array}\right.$,

则公差 $\mathrm{d}=\frac{\mathrm{a}_{5}-\mathrm{a}_{3}}{2}=-1, \mathrm{a}_{1}=11$,

所以 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=11+(\mathrm{n}-1) \quad(-1)=12-\mathrm{n}$;

（2）易知，当 $n \leq 12$ 时 $a_{n} \geq 0$, 当 $n>12$ 时 $a_{n}<0$,

(1)当 $\mathrm{n} \leq 12$ 时,

$\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\left|a_{3}\right|+\cdots+\left|a_{n}\right|=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}$

$=\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right)}{2} \mathrm{n}\left(\frac{(11+12-\mathrm{n})}{2}=-\frac{1}{2} \mathrm{n}^{2}+\frac{23}{2} \mathrm{n} ;\right.$

(2)当 $n>12$ 时,

$\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\left|a_{3}\right|+\cdots+\left|a_{n}\right|=\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{12}\right)-\left(a_{13}+a_{14}+\cdots+a_{n}\right)$

$=-\mathrm{S}_{\mathrm{n}}+2 \mathrm{~S}_{12}=\frac{1}{2} \mathrm{n}^{2}-\frac{23}{2} \mathrm{n}+2 \times 66=\frac{1}{2} \mathrm{n}^{2}-\frac{23}{2} \mathrm{n}+132 ;$

所以 $\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\left|a_{3}\right|+\cdots+\left|a_{n}\right|=\left\{\begin{array}{c}-\frac{1}{2} n^{2}+\frac{23}{2} n, n \leq 12 \\ \frac{1}{2} n^{2}-\frac{23}{2} n+132, n>12\end{array}\right.$.