eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（八年级 · 代数）：小明做数学题时,发现$sqrt{1-frac{1}{2}}=sqrt{frac{1}{2}};sqrt{2-frac{2}{5}}=2sqrt{frac{2}{5}};sqrt{3-frac{3}{10}}=3sqrt{frac{3}{10}};sqrt{4-frac{4}{17}}=4sqrt{frac{4}{17}};cdots$;按此规律,若$sqrt{{a}-frac{8}{{~b}}}={a}sqrt{frac{8}{{~b}}}$($a,b$为正整数$)$,则$a+b=73$.
选项：
答案：找出一系列等式的规律为$sqrt{{n}-frac{{n}}{{n}^{2}+1}}=nsqrt{frac{{n}}{{n}^{2}+1}}$($ngeqslant1$的正整数),令$n=8$求出$a$与$b$的值,即可确定出$a+b$的值.【解析】解:根据题中的规律得:$a=8,b=8^{2}+1=65$,则$a+b=8+65=73$.故答案为:73.【点睛】此题考查了二次根式的性质及化简,找出题中的规律是解本题的关键.
解析：找出一系列等式的规律为$sqrt{{n}-frac{{n}}{{n}^{2}+1}}=nsqrt{frac{{n}}{{n}^{2}+1}}$($ngeqslant1$的正整数),令$n=8$求出$a$与$b$的值,即可确定出$a+b$的值.【解析】解:根据题中的规律得:$a=8,b=8^{2}+1=65$,则$a+b=8+65=73$.故答案为:73.【点睛】此题考查了二次根式的性质及化简,找出题中的规律是解本题的关键.
题目（八年级 · 代数）：计算:$sqrt{18}=3sqrt{2}-,(2sqrt{7})^{2}=28,sqrt{frac{4}{3}}=-frac{2sqrt{3}}{3}_$.
选项：
答案：直接利用二次根式的乘法运算法则分别计算得出答案.【解析】解：$sqrt{18}=3sqrt{2},quad(2sqrt{7})^{2}=28,sqrt{frac{4}{3}}=frac{sqrt{4}}{sqrt{3}}=frac{2sqrt{3}}{3}$.故答案为:$3sqrt{2},28,frac{2sqrt{3}}{3}$.【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法,正确化简二次根式是解题关键.
解析：直接利用二次根式的乘法运算法则分别计算得出答案.【解析】解：$sqrt{18}=3sqrt{2},quad(2sqrt{7})^{2}=28,sqrt{frac{4}{3}}=frac{sqrt{4}}{sqrt{3}}=frac{2sqrt{3}}{3}$.故答案为:$3sqrt{2},28,frac{2sqrt{3}}{3}$.【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法,正确化简二次根式是解题关键.
题目（八年级 · 代数）：在式子$frac{x-2}{sqrt{x+1}}$中,$x$的取值范围是$x>-1$.
选项：
答案：根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式,解不等式得到答案.【解析】解：由题意得,$x+1>0$,解得,$x>-1$,故答案为:$x>-1$.【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件,掌握二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为0是解题的关键.
解析：根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式,解不等式得到答案.【解析】解：由题意得,$x+1>0$,解得,$x>-1$,故答案为:$x>-1$.【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、分式有意义的条件,掌握二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为0是解题的关键.
题目（八年级 · 代数）：$x,y$为实数,且$y<sqrt{x-1}+sqrt{1-x}+3$,化简:$|y-3|-sqrt{y^{2}-8y+16}=-1$.
选项：
答案：先根据$sqrt{x-1}、sqrt{1-x}$有意义的条件可得$x-1geqslant0,1-xgeqslant0$,解可求$x=1$,再把$x=1$代$lambday<sqrt{mathbf{x}-1}+sqrt{1-{x}}+3$中,易求$y<3$，从而可对所求式子化简，并合并即可.【解析】解:$becausex-1geqslant0,1-xgeqslant0$,$thereforexgeqslant1,xleqslant1$,$thereforex=1$,又$becausey<sqrt{x-1}+sqrt{1-x}+3$,$thereforey<3$,$therefore|y-3|-sqrt{y^{2}-8y+16}=3-y-(4-y)=-1$.故答案为-1.【点睛】本题考查了二次根式的性质、二次根式的化简求值。解题的关键是注意被开方式是$geqslant0$的.
解析：先根据$sqrt{x-1}、sqrt{1-x}$有意义的条件可得$x-1geqslant0,1-xgeqslant0$,解可求$x=1$,再把$x=1$代$lambday<sqrt{mathbf{x}-1}+sqrt{1-{x}}+3$中,易求$y<3$，从而可对所求式子化简，并合并即可.【解析】解:$becausex-1geqslant0,1-xgeqslant0$,$thereforexgeqslant1,xleqslant1$,$thereforex=1$,又$becausey<sqrt{x-1}+sqrt{1-x}+3$,$thereforey<3$,$therefore|y-3|-sqrt{y^{2}-8y+16}=3-y-(4-y)=-1$.故答案为-1.【点睛】本题考查了二次根式的性质、二次根式的化简求值。解题的关键是注意被开方式是$geqslant0$的.
题目（八年级 · 代数）：观察分析,探究出规律,然后填空:$sqrt{2},2,sqrt{6},2sqrt{2},sqrt{10},2sqrt{3},cdots_sqrt{2{n}}_$(第$n$个数)
选项：
答案：把2写成算术平方根的形式,找出规律,得出被开方数是偶数列,然后写出第$n$个即可得解.【解析】解:第一个:$sqrt{2}=sqrt{2times1}$,第二个:$sqrt{4}=sqrt{2times2}$,第三个:$sqrt{6}=sqrt{6times1}$,第四个:$2sqrt{2}=sqrt{8}=sqrt{2times4}$,第五个:$sqrt{10}=sqrt{2times5}$,...第$n$个:$sqrt{2{n}}$,故答案为:$sqrt{2{n}}$.【点睛】本题考查了二次根式的性质,以及数字规律,把2化成算术平方根的形式得到被开方数是偶数列是解题的关键.
解析：把2写成算术平方根的形式,找出规律,得出被开方数是偶数列,然后写出第$n$个即可得解.【解析】解:第一个:$sqrt{2}=sqrt{2times1}$,第二个:$sqrt{4}=sqrt{2times2}$,第三个:$sqrt{6}=sqrt{6times1}$,第四个:$2sqrt{2}=sqrt{8}=sqrt{2times4}$,第五个:$sqrt{10}=sqrt{2times5}$,...第$n$个:$sqrt{2{n}}$,故答案为:$sqrt{2{n}}$.【点睛】本题考查了二次根式的性质,以及数字规律,把2化成算术平方根的形式得到被开方数是偶数列是解题的关键.
题目（八年级 · 代数）：计算$(sqrt{4-x})^{2}+sqrt{(x-5)^{2}}$的结果是$9-2x$.
选项：
答案：根据二次根式有意义的条件得到$xleqslant4$,根据二次根式化简即可.【解析】解：由题意得：$4-xgeqslant0$,解得:$xleqslant4$,$thereforex-5<0$,则原式,$4-x+5-x=9-2x$,故答案为:$9-2x$.【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简,掌握二次根式有意义的条件、二次根式的性质是解题的关键.
解析：根据二次根式有意义的条件得到$xleqslant4$,根据二次根式化简即可.【解析】解：由题意得：$4-xgeqslant0$,解得:$xleqslant4$,$thereforex-5<0$,则原式,$4-x+5-x=9-2x$,故答案为:$9-2x$.【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简,掌握二次根式有意义的条件、二次根式的性质是解题的关键.
题目（八年级 · 代数）：关于$x$的方程$(m-1)x^{|m+1|}+3x-2=0$是一元二次方程,则$m$的值为-3.
选项：
答案：利用一元二次方程的定义判断即可确定出$m$的值.【解析】解：$because$关于$x$的方程$(m-1)x^{|m+1|}+3x-2=0$是一元二次方程,$therefore|m+1|=2$,且$m-1neq0$,解得:$m=-3$.故答案为:-3.【点睛】此题考查了一元二次方程的定义,以及绝对值,熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键.
解析：利用一元二次方程的定义判断即可确定出$m$的值.【解析】解：$because$关于$x$的方程$(m-1)x^{|m+1|}+3x-2=0$是一元二次方程,$therefore|m+1|=2$,且$m-1neq0$,解得:$m=-3$.故答案为:-3.【点睛】此题考查了一元二次方程的定义,以及绝对值,熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键.
题目（八年级 · 代数）：小华在解方程$x^{2}=8x$时,只得出一个根是$x=8$,则被他漏掉的一个根是$x=0$
选项：
答案：利用因式分解法解方程,则可得到被他漏掉的一个根.【解析】解:$becausex^{2}=8x$,$thereforex^{2}-8x=0$,$thereforex(x-8)=0$,解得:$x_{1}=0$或$x_{2}=8$,故答案为:0.【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法:先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).
解析：利用因式分解法解方程,则可得到被他漏掉的一个根.【解析】解:$becausex^{2}=8x$,$thereforex^{2}-8x=0$,$thereforex(x-8)=0$,解得:$x_{1}=0$或$x_{2}=8$,故答案为:0.【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法:先把方程的右边化为0,再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式,那么这两个因式的值就都有可能为0,这就能得到两个一元一次方程的解,这样也就把原方程进行了降次,把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).
题目（八年级 · 代数）：若$x=2$是关于$x$的方程$ax^{2}-bx=2$的解,则$2023-6a+3b$的值为2020
选项：
答案：把$x=2$代入方程求出$2a-b$的值,代入原式计算即可求出值.【解析】解：把$x=2$代入方程得:$4a-2b=2$,即$2a-b=1$,则原式$=2023-3(2a-b)=2023-3=2020$,故答案为:2020.【点睛】此题考查了一元二次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.
解析：把$x=2$代入方程求出$2a-b$的值,代入原式计算即可求出值.【解析】解：把$x=2$代入方程得:$4a-2b=2$,即$2a-b=1$,则原式$=2023-3(2a-b)=2023-3=2020$,故答案为:2020.【点睛】此题考查了一元二次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.
题目（八年级 · 代数）：对于一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(aneq0)$,下列说法:(1)若$c$是方程$ax^{2}+bx+c=0$的一个根,则一定有$ac+b+1=0$成立;(2)若方程$ax^{2}+c=0$有两个不相等的实根,则方程$ax^{2}+bx+c=0$必有两个不相等的实根;(3)若$a-b+c=0$,则它有一根为-1;(4)若$b=2a+3c$,则一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$有两个不相等的实数根;其中正确的(2)(3)4).
选项：
答案：按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论,可得答案.【解析】解:若$c$是方程$ax^{2}+bx+c=0$的一个根,则$ac^{2}+bc+c=0$,$thereforec(ac+b+1)=0$,$thereforec=0$或$ac+b+1=0$,故(1)错误;若方程$ax^{2}+c=0$有两个不相等的实根,则$-4ac>0$,$thereforeb^{2}-4ac>0$,$therefore$方程$ax^{2}+bx+c=0$必有两个不相等的实根,故(2)正确;若$a-b+c=0$,则$ax^{2}+bx+c=a-b+c$,即:$ax^{2}-a+bx+b=0$$thereforea(x-1)(x+1)+b(x+1)=0$,即:$(x+1)[a(x-1)+b]=0$,$therefore$它有一根为-1,故(3)正确;若$b=2a+3c$,则$Delta=b^{2}-4ac=(2a+3c)^{2}-4ac=4a^{2}+8ac+9c^{2}=4a^{2}+8ac+4c^{2}+5c^{2}$,即:$Delta=4(a+c)^{2}+5c^{2}$,$becauseaneq0,quadthereforeDelta=4(a+c)^{2}+5c^{2}>0$,$therefore$一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$有两个不相等的实数根,故(4)正确;故答案为:(2)(3).【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解,解题的关键是掌握代数式,等式的变形.
解析：按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论,可得答案.【解析】解:若$c$是方程$ax^{2}+bx+c=0$的一个根,则$ac^{2}+bc+c=0$,$thereforec(ac+b+1)=0$,$thereforec=0$或$ac+b+1=0$,故(1)错误;若方程$ax^{2}+c=0$有两个不相等的实根,则$-4ac>0$,$thereforeb^{2}-4ac>0$,$therefore$方程$ax^{2}+bx+c=0$必有两个不相等的实根,故(2)正确;若$a-b+c=0$,则$ax^{2}+bx+c=a-b+c$,即:$ax^{2}-a+bx+b=0$$thereforea(x-1)(x+1)+b(x+1)=0$,即:$(x+1)[a(x-1)+b]=0$,$therefore$它有一根为-1,故(3)正确;若$b=2a+3c$,则$Delta=b^{2}-4ac=(2a+3c)^{2}-4ac=4a^{2}+8ac+9c^{2}=4a^{2}+8ac+4c^{2}+5c^{2}$,即:$Delta=4(a+c)^{2}+5c^{2}$,$becauseaneq0,quadthereforeDelta=4(a+c)^{2}+5c^{2}>0$,$therefore$一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0$有两个不相等的实数根,故(4)正确;故答案为:(2)(3).【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及一元二次方程的解,解题的关键是掌握代数式,等式的变形.
题目（八年级 · 代数）：将方程$2x(x-1)=3(x-5)$化为一般形式$2x^{2}-6x+15=0$.
选项：
答案：去括号,移项,合并同类项,即可得出答案.【解析】解:$2x(x-1)=3(x-5)$,去括号，得$2x^{2}-2x=3x-15$,移项,得$2x^{2}-2x-3x+15=0$,合并同类项,得$2x^{2}-5x+15=0$,故答案为:$2x^{2}-5x+15=0$.【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式,能熟记一元二次方程的一般形式的特点是解此题的关键，注意:一元二次方程的一般形式是$ax^{2}+bx+c=0（a、b、c$为常数，$aneq0）$.
解析：去括号,移项,合并同类项,即可得出答案.【解析】解:$2x(x-1)=3(x-5)$,去括号，得$2x^{2}-2x=3x-15$,移项,得$2x^{2}-2x-3x+15=0$,合并同类项,得$2x^{2}-5x+15=0$,故答案为:$2x^{2}-5x+15=0$.【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式,能熟记一元二次方程的一般形式的特点是解此题的关键，注意:一元二次方程的一般形式是$ax^{2}+bx+c=0（a、b、c$为常数，$aneq0）$.
题目（八年级 · 代数）：$sqrt{m}timesx^{midpi}2mid+3x-7=0$是一元二次方程,则$m=4$.
选项：
答案：根据形如$ax^{2}+bx+c=0(aneq0)$的方程为一元二次方程解答即可.【解析】解:$becausesqrt{{m}}{x}^{|pi<2|}+3{x}-7=0$是一元二次方程,$therefore|m-2|=2,sqrt{m}neq0$,$thereforem=4$或$0,mneq0$,$thereforem=4$,故答案为:4.【点睛】本题考查了一元二次方程的概念,熟记定义是解本题的关键.
解析：根据形如$ax^{2}+bx+c=0(aneq0)$的方程为一元二次方程解答即可.【解析】解:$becausesqrt{{m}}{x}^{|pi<2|}+3{x}-7=0$是一元二次方程,$therefore|m-2|=2,sqrt{m}neq0$,$thereforem=4$或$0,mneq0$,$thereforem=4$,故答案为:4.【点睛】本题考查了一元二次方程的概念,熟记定义是解本题的关键.
题目（八年级 · 代数）：如果方程$x^{2}+4x+n=0$可以配方成$(x+m)^{2}=3$,那么$(n-m)^{2020}=1$.
选项：
答案：先根据配方法求出$m、n$的值,再代入计算可得.【解析】解:$becausex^{2}+4x=-n$,$thereforex^{2}+4x+4=4-n$,即$(x+2)^{2}=4-n$,又$(x+m)^{2}=3$,$thereforem=2,n=1$,则$(n-m)^{2020}=(1-2)^{2020}=1$,故答案为:1.【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.
解析：先根据配方法求出$m、n$的值,再代入计算可得.【解析】解:$becausex^{2}+4x=-n$,$thereforex^{2}+4x+4=4-n$,即$(x+2)^{2}=4-n$,又$(x+m)^{2}=3$,$thereforem=2,n=1$,则$(n-m)^{2020}=(1-2)^{2020}=1$,故答案为:1.【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.
题目（八年级 · 代数）：已知关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+x+c=0$的两根为$-1、2$,则方程$cx^{2}-x+a=0$的两根为${x}_{1}=-frac{1}{2},{x}_{2}=1$.
选项：
答案：因为方程的两个根为-1和2,所以方程可以化为为$a(x+1)(x-2)=0$,得出$a=-1$,$c=2$,代入后面的方程可以用因式分解求出方程的根.【解析】解:$because$关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+x+c=0$的两根为$-1、2$,$thereforea(x+1)(x-2)=0$,整理得$ax^{2}-ax-2a=0$,$therefore-a=1,c=-2a$解得:$a=-1,c=2$,$therefore$方程$cx^{2}-x+a=0$为$2x^{2}-x-1=0$,即$(2x+1)(x-1)=0$,解得:$x_{1}=-frac{1}{2},x_{2}=1$,故答案为:$x_{1}=-frac{1}{2},x_{2}=1$.【点睛】本题考查了一元二次方程的解,因式分解法解一元二次方程,求得$a=-1,c=2$是解题的关键.
解析：因为方程的两个根为-1和2,所以方程可以化为为$a(x+1)(x-2)=0$,得出$a=-1$,$c=2$,代入后面的方程可以用因式分解求出方程的根.【解析】解:$because$关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+x+c=0$的两根为$-1、2$,$thereforea(x+1)(x-2)=0$,整理得$ax^{2}-ax-2a=0$,$therefore-a=1,c=-2a$解得:$a=-1,c=2$,$therefore$方程$cx^{2}-x+a=0$为$2x^{2}-x-1=0$,即$(2x+1)(x-1)=0$,解得:$x_{1}=-frac{1}{2},x_{2}=1$,故答案为:$x_{1}=-frac{1}{2},x_{2}=1$.【点睛】本题考查了一元二次方程的解,因式分解法解一元二次方程,求得$a=-1,c=2$是解题的关键.
题目（八年级 · 代数）：关于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0quad(aneq0)$,现给出以下结论:(1)若$a-b+c=0$,则方程必有一根为-1;(2)若$a-b+c=0$,则方程一定有两个不相等的实数根;(3)若$a、c$异号,则方程一定有两个不相等的实数根;(4)若$m$是方程的根,则等式$(2am+b)^{2}=b^{2}-4ac$一定成立.其中正确的结论是(1)(3)4)$cdot$(写出所有正确结论的序号)
选项：
答案：(1)当$x=-1$时,$ax^{2}+bx+c=a-b+c$,由此即可判定说法正确;(2)由$a-b+c=0$,可得$b=a+c$,再根据$Delta=b^{2}-4ac=(a+c)^{2}-4ac=(a-c)^{2}geqslant0$,由此即可判定说法错误;(3)由$a、c$异号,$aneq0$,可得$Delta=b^{2}-4ac>0$,由此即可判定说法正确;(4)将所求式子作差,判断差的符号即可判断说法正确.【解析】解:(1)$becausea-b+c=0$,$therefore$当$x=-1$时,$ax^{2}+bx+c=a-b+c=0$,$thereforex=-1$为方程$ax^{2}+bx+c=0$的一根,故结论(1)正确;(2)$becausea-b+c=0$$thereforeb=a+c$,$thereforeDelta=b^{2}-4ac=(a+c)^{2}-4ac=(a-c)^{2}geqslant0$,$therefore$方程有两个实数根,故结论(2)错误;(3)$becausea、c$异号,$aneq0$,$thereforeac<0,-4ac>0$$thereforeDelta=b^{2}-4ac>0$,$therefore$方程一定有两个不相等的实数根,故结论(3)正确;(4)$becausex=m$方程的一个根,$therefoream^{2}+bm+c=0$,$therefore(2am+b)^{2}-left(b^{2}-4acright)=4a^{2}m^{2}+4abm+b^{2}-b^{2}+4ac=4aleft(am^{2}+bm+cright)=0$,$therefore(2am+b)^{2}=b^{2}-4ac$,故结论(4)正确;故答案为:(1)(3).【点睛】此题主要考查了一元二次方程的判别式和方程的解等知识,是基础题,需熟练掌握.
解析：(1)当$x=-1$时,$ax^{2}+bx+c=a-b+c$,由此即可判定说法正确;(2)由$a-b+c=0$,可得$b=a+c$,再根据$Delta=b^{2}-4ac=(a+c)^{2}-4ac=(a-c)^{2}geqslant0$,由此即可判定说法错误;(3)由$a、c$异号,$aneq0$,可得$Delta=b^{2}-4ac>0$,由此即可判定说法正确;(4)将所求式子作差,判断差的符号即可判断说法正确.【解析】解:(1)$becausea-b+c=0$,$therefore$当$x=-1$时,$ax^{2}+bx+c=a-b+c=0$,$thereforex=-1$为方程$ax^{2}+bx+c=0$的一根,故结论(1)正确;(2)$becausea-b+c=0$$thereforeb=a+c$,$thereforeDelta=b^{2}-4ac=(a+c)^{2}-4ac=(a-c)^{2}geqslant0$,$therefore$方程有两个实数根,故结论(2)错误;(3)$becausea、c$异号,$aneq0$,$thereforeac<0,-4ac>0$$thereforeDelta=b^{2}-4ac>0$,$therefore$方程一定有两个不相等的实数根,故结论(3)正确;(4)$becausex=m$方程的一个根,$therefoream^{2}+bm+c=0$,$therefore(2am+b)^{2}-left(b^{2}-4acright)=4a^{2}m^{2}+4abm+b^{2}-b^{2}+4ac=4aleft(am^{2}+bm+cright)=0$,$therefore(2am+b)^{2}=b^{2}-4ac$,故结论(4)正确;故答案为:(1)(3).【点睛】此题主要考查了一元二次方程的判别式和方程的解等知识,是基础题,需熟练掌握.
题目（八年级 · 代数）：对于三个数$a,b,c$,用$M{a,b,c}$表示这三个数的平均数,用$min{a,b,c}$表示这三个数中最小的数.例如:$M{-1,2,3}=frac{-1+2+3}{3}=frac{4}{3},min{-1,2,3}=-1$,如果$M{3,2x+1,x-$$1}=min{3,-x+7,2x+5}$,那么$x=2$或-4.
选项：
答案：据$M{3,2x+1,x-1}=min{3,-x+7,2x+5}$,分三种情况讨论,即可得到$x$的值.【解析】解:$M{3,2x+1,x-1}=min{3,-x+7,2x+5}$,(1)若$frac{1}{3}(3+2x+1+x-1)=3$,解得$x=2$(符合题意);(2)若$frac{1}{3}(3+2x+1+x-1)=-x+7$,解得$x=3(-x+7$不是三个数中最小的数,不符合题意);(3)若$frac{1}{3}(3+2x+1+x-1)=2x+5$,解得$x=-4$(符合题意).故答案为:2或-4.【点睛】本题考查了算术平均数,一元一次方程的应用.解题的关键是弄清新定义运算的法则,并分情况讨论.
解析：据$M{3,2x+1,x-1}=min{3,-x+7,2x+5}$,分三种情况讨论,即可得到$x$的值.【解析】解:$M{3,2x+1,x-1}=min{3,-x+7,2x+5}$,(1)若$frac{1}{3}(3+2x+1+x-1)=3$,解得$x=2$(符合题意);(2)若$frac{1}{3}(3+2x+1+x-1)=-x+7$,解得$x=3(-x+7$不是三个数中最小的数,不符合题意);(3)若$frac{1}{3}(3+2x+1+x-1)=2x+5$,解得$x=-4$(符合题意).故答案为:2或-4.【点睛】本题考查了算术平均数,一元一次方程的应用.解题的关键是弄清新定义运算的法则,并分情况讨论.
题目（八年级 · 代数）：实数 $x, y$ 满足 $|3+x|+\sqrt{y-2}=0$, 则代数式 $(x+y)^{2022}$ 的值为
选项：
答案：1
题目（八年级 · 代数）：若关于 $x$ 的不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x<a \\ x<2\end{array}\right.$ 的解集是 $x<2$, 则 $a$ 的取值范围是
选项：
答案：$a \geq 2$
题目（八年级 · 代数）：若反比例函数$y=(m+2)x^{|m|-5}$的图象在第一、三象限,则$m$的值为4.
选项：
答案：根据反比例函数的图象与性质可得到关于$m$的不等式,解不等式即可求得$m$的取值范围.【解析】解:$because$反比例函数$y=(m+2)x^{|m|-5}$的图象在第一、三象限,$therefore|m|-5=-1$,解得:$m=4$或$m=-4$,$becausem+2neq0$,$thereforemneq-2$,$thereforem=pm4$.$because$图象在第一三象限,故$m=4$,故答案为:4.【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质,正确地求得$m$的值是解题的关键.
解析：根据反比例函数的图象与性质可得到关于$m$的不等式,解不等式即可求得$m$的取值范围.【解析】解:$because$反比例函数$y=(m+2)x^{|m|-5}$的图象在第一、三象限,$therefore|m|-5=-1$,解得:$m=4$或$m=-4$,$becausem+2neq0$,$thereforemneq-2$,$thereforem=pm4$.$because$图象在第一三象限,故$m=4$,故答案为:4.【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质,正确地求得$m$的值是解题的关键.
题目（八年级 · 代数）：已知反比例函数的表达式为${y}=frac{1+{m}}{{x}},Aleft(x_{1},y_{1}right)$和$Bleft(x_{2},y_{2}right)$是反比例函数图象上两点,若$x_{1}<0<x_{2}$时,$y_{1}<y_{2}$,则$m$的取值范围是$m>-1$.
选项：
答案：根据反比例函数$y=frac{1+m}{x}$的性质,可以得到关于$m$的不等式,从而可以求得$m$的取值范围.【解析】解:$because$反比例函数的图象上两点$Aleft(x_{1},y_{1}right),Bleft(x_{2},y_{2}right)$,当$x_{1}<0<x_{2}$时,有$y_{1}<y_{2}$,$therefore1+m>0$,解得$m>-1$,故答案为:$m>-1$.【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征,解答本题的关键是明确题意,利用反比例函数的性质解答.
解析：根据反比例函数$y=frac{1+m}{x}$的性质,可以得到关于$m$的不等式,从而可以求得$m$的取值范围.【解析】解:$because$反比例函数的图象上两点$Aleft(x_{1},y_{1}right),Bleft(x_{2},y_{2}right)$,当$x_{1}<0<x_{2}$时,有$y_{1}<y_{2}$,$therefore1+m>0$,解得$m>-1$,故答案为:$m>-1$.【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征,解答本题的关键是明确题意,利用反比例函数的性质解答.
题目（八年级 · 代数）：由电源、开关、滑动变阻器及若干导线组成的串联电路中,已知电源电压为定值,闭合开关后,改变滑动变阻器的阻值$R$(始终保持$R>0$),发现通过滑动变阻器的电流$I$与滑动变阻器的电阻$R$成反比例函数关系,它的图象如图所示,若使得通过滑动变阻器的电流不超过$4A$,则滑动变阻器阻值的范围是$Rgeqslant2$
选项：
答案：设反比例函数解析式为$I=frac{U}{R}$,将点$(2,4)$代入,求得百分率函数解析式为$I=frac{8}{R}$;解不等式即可得到结论.【解析】解：设反比例函数解析式为$I=frac{U}{R}$,将点$(2,4)$代入,得$U=8$,故百分率函数解析式为$I=frac{8}{R}$;$because$电流不超过4安培,则$frac{8}{{R}}leqslant4$,$thereforeRgeqslant2$,故滑动变阻器阻值的范围是$Rgeqslant2$.故答案为:$Rgeqslant2$.【点睛】本题考查了反比例函数的应用,正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键.
解析：设反比例函数解析式为$I=frac{U}{R}$,将点$(2,4)$代入,求得百分率函数解析式为$I=frac{8}{R}$;解不等式即可得到结论.【解析】解：设反比例函数解析式为$I=frac{U}{R}$,将点$(2,4)$代入,得$U=8$,故百分率函数解析式为$I=frac{8}{R}$;$because$电流不超过4安培,则$frac{8}{{R}}leqslant4$,$thereforeRgeqslant2$,故滑动变阻器阻值的范围是$Rgeqslant2$.故答案为:$Rgeqslant2$.【点睛】本题考查了反比例函数的应用,正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键.
题目（八年级 · 代数）：关于 $x$ 的不等式组 $\left\{\begin{array}{l}5-2 x \geq 1 \\ x+2 \geq 0\end{array}\right.$, 则 $x$ 的正整数解为
选项：
答案：1,2
题目（八年级 · 代数）：我们定义 $\left|\begin{array}{ll}a & c \\ b & d\end{array}\right|=a d-b c$, 例如: $\left|\begin{array}{ll}2 & 5 \\ 4 & 3\end{array}\right|=2 \times 3-4 \times 5=-14$,

若字母 $\mathrm{x}$ 满足 $-1<\left|\begin{array}{ll}x & x+1 \\ 2 & 3\end{array}\right|<3$, 则 $\mathrm{x}$ 的取值范围是
选项：
答案：<x<5$
题目（八年级 · 代数）：$x, y$ 为实数, 且 $\sqrt{x-2 y}+(x+y-3)^{2}=0$, 则 $x+y$ 的值为
选项：
答案：3
题目（八年级 · 代数）：若 $x, y$ 都为实数, 且 $|x+2|+\sqrt{y-3}=0$, 则 $x^{y}=$
选项：
答案：-8
题目（八年级 · 代数）：已知等腰三角形两边长分别为 $a$ 和 $b$, 且满足 $|a-1|+(2 a+3 b-11)^{2}=0$, 则等腰三角形的周长是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：7 .
题目（八年级 · 代数）：使代数式 $\sqrt{3-2 x}$ 有意义的 $x$ 的取值范围是
选项：
答案：$x \leq \frac{3}{2}$
解析：根据题意得： $3-2 x \geq 0$,

解得 $x \leq \frac{3}{2}$.

故 $x$ 的取值范围是 $x \leq \frac{3}{2}$.
题目（八年级 · 代数）：已知 $a^{2} b=2400, a b^{2}=5760$, 求 $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ 的值 $=$
选项：
答案：26
解析：$\because a^{2} b=2400, a b^{2}=5760$,

$\therefore a^{3} b^{3}=2400 \times 57600=240^{3}, a^{2} b+a b^{2}=2400+5760$,

$\therefore a b=240, a b(a+b)=8160$,

$\therefore a+b=8160 \div 240=34$,

$\therefore \sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{a^{2}+b^{2}-2 a b}=26$,

故答案为: 26 .
题目（八年级 · 代数）：$y=\frac{x^{2}-9}{\sqrt{x+3}}$ 在实数范围内有意义, $x$ 的取值范围是
选项：
答案：$x>-3$
解析：$\because y=\frac{x^{2}-9}{\sqrt{x+3}}$ 在实数范围内有意义,

$\therefore x+3>0$,

$\therefore x>-3$,

故答案为 $x>-3$.
题目（八年级 · 代数）：已知 $x+\frac{1}{x}=5(0<x<1)$, 则 $\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}=$ \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$-\sqrt{3}$
解析：$\because x+\frac{1}{x}=5(0<x<1)$,

$$
\begin{aligned}
& \therefore \sqrt{x}<\frac{1}{\sqrt{x}} \\
& \therefore\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{2} \\
& =x-2+\frac{1}{x}
\end{aligned}
$$

$=3$,

$\therefore \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}=-\sqrt{3}$,

故答案为: $-\sqrt{3}$.
题目（八年级 · 代数）：已知 $3 \sqrt{x}+4 \sqrt{y}=16, m=4 \sqrt{x}-3 \sqrt{y}$, 则 $m$ 的取值范围是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$-12 \leq m \leq \frac{64}{3}$
解析：由 $3 \sqrt{x}+4 \sqrt{y}=16$, 得 $\sqrt{x}=\frac{16-4 \sqrt{y}}{3}, 16-4 \sqrt{y} \geq 0$,

解得 $\sqrt{y} \leq 4$, 又 $\sqrt{y} \geq 0$,

$\therefore 0 \leq \sqrt{y} \leq 4 . m=4 \sqrt{x}-3 \sqrt{y}=4 \times \frac{16-4 \sqrt{y}}{3}-3 \sqrt{y}=\frac{64-25 \sqrt{y}}{3}$,

即 $m=\frac{64-25 \sqrt{y}}{3}$,

当 $\sqrt{y}=0$ 时,$m_{\text {最大 }}=\frac{64}{3}$,

当 $\sqrt{y}=4$ 时, $m_{\text {最小 }}=-12$,
$m$ 的取值范围是 $-12 \leq m \leq \frac{64}{3}$.

故答案为 $-12 \leq m \leq \frac{64}{3}$.
题目（八年级 · 代数）：已知: $S_{1}=1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}, S_{2}=1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}, S_{3}=1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}, S_{4}=1+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}, S_{5}=1+\frac{1}{5^{2}}+\frac{1}{6^{2}}$, $\ldots$... $\sqrt{S_{n}}=$ \$ \qquad \$ (用含 $n$ 的代数式表示, 其中 $n$ 为正整数)
选项：
答案：$1+\frac{1}{n(n+1)}$
解析：$\because S_{1}=1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}, S_{2}=1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}, S_{3}=1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}, S_{4}=1+\frac{1}{4^{2}}+\frac{1}{5^{2}}, S_{5}=1+\frac{1}{5^{2}}+\frac{1}{6^{2}}, \ldots$,

$\therefore S_{n}=1+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}}=1+\frac{2}{n(n+1)}+\frac{1}{n^{2}(n+1)^{2}}=\left[1+\frac{1}{n(n+1)}\right]^{2}$,

$\therefore \sqrt{S_{n}}=1+\frac{1}{n(n+1)}$.

故答案为: $1+\frac{1}{n(n+1)}$.

由 $S_{1} 、 S_{2} 、 S_{3} 、 S_{4} 、 S_{5} 、 \ldots$ 可得出 $S_{n}=1+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}}=\left[1+\frac{1}{n(n+1)}\right]^{2}$, 开方后即可得出结论.

本题考查了二次根式的性质与化简以及规律型中数的变化, 根据给定等式, 找出变化规律 “ $S_{n}=1+$ $\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}}=\left[1+\frac{1}{n(n+1)}\right]^{2}$ 是解题的关键.
题目（八年级 · 代数）：若 $y=\sqrt{x-3}+\sqrt{3-x}+4$, 则 $x^{y}$ 的平方根是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$\pm 9$
解析：根据题意得: $\left\{\begin{array}{l}x-3 \geq 0 \\ 3-x \geq 0\end{array}\right.$,

解得: $x=3$, 则 $y=4$,

故 $x^{y}=3^{4}$, 则平方根是: $\pm \sqrt{3^{4}}= \pm 9$.

故答案是: $\pm 9$.
题目（八年级 · 代数）：在函数 $y=\sqrt{x}+\frac{1}{3 x-1}$ 中自变量 $x$ 的取值范围是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$x \geq 0$ 且 $x \neq \frac{1}{3}$
解析：根据二次根式有意义， 分式有意义得: $x \geq 0$ 且 $3 x-1 \neq 0$,

解得: $x \geq 0$ 且 $x \neq \frac{1}{3}$.

故答案为 $x \geq 0$ 且 $x \neq \frac{1}{3}$.
题目（八年级 · 代数）：已知 $y=\sqrt{x-3}+\sqrt{6-2 x}+5$, 则 $x+y=$ \$ \qquad \$
选项：
答案：8
解析：由 $y=\sqrt{x-3}+\sqrt{6-2 x}+5$, 得

$x-3 \geqslant 0,6-2 x \geqslant 0$

解得: $x=3, y=5$,

则 $x+y=8$,

故答案为 8 .
题目（八年级 · 代数）：已知 $\sqrt{2}<a<\pi$, 化简: $|a-\pi|+|a-\sqrt{2}|-\sqrt{(2-\pi)^{2}}=$
选项：
答案：$2-\sqrt{2}$
解析：$\because \sqrt{2}<a<\pi, \quad \therefore|a-\pi|+|a-\sqrt{2}|-\sqrt{(2-\pi)^{2}}=\pi-a+a-\sqrt{2}-(\pi-2)=2-\sqrt{2}$.

故答案为: $2-\sqrt{2}$.
题目（八年级 · 代数）：代数式 $\sqrt{(2-a)^{2}}+\sqrt{(a+3)^{2}}$ 的值是一个常数, 则 $a$ 的范围是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$-3 \leq a \leq 2$
解析：原式 $=|a-2|+|a+3|$,

当 $a<-3$, 原式 $=2-a-a-3=-2 a-1$;

当 $-3 \leq a \leq 2$ 时, 原式 $=2-a+a+3=5$;

当 $a>2$ 时, 原式 $=a-2+a+3=2 a+1$;

所以 $-3 \leq a \leq 2$ 时, 代数式的值是一个常数.

故答案为 $-3 \leq a \leq 2$.
题目（八年级 · 代数）：当 $x=\sqrt{3}+1$ 时, 式子 $x^{2}-2 x+2$ 的值为
选项：
答案：4
解析：$\because x=\sqrt{3}+1$,

$\therefore x-1=\sqrt{3}$,

$\therefore(x-1)^{2}=3$, 即 $x^{2}-2 x=2$,

$\therefore x^{2}+2 x+2=2+2=4$.

故答案为 4 .
题目（八年级 · 代数）：小明在解方程 $\sqrt{24-x}-\sqrt{8-x}=2$ 时采用了下面的方法: 由 $(\sqrt{24-x}-\sqrt{8-x})(\sqrt{24-x}+$ $\sqrt{8-x})=(\sqrt{24-x})^{2}-(\sqrt{8-x})^{2}=(24-x)-(8-x)=16$

, 又有 $\sqrt{24-x}-\sqrt{8-x}=2$, 可得 $\sqrt{24-x}+\sqrt{8-x}=8$, 将这两式相加可得 $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{24-x}=5 \\ \sqrt{8-x}=3\end{array}\right.$, 将 $\sqrt{24-x}=5$ 两边平方可解得 $x=-1$, 经检验 $x=-1$ 是原方程的解. 请你学习小明的方法, 解方程 $\sqrt{x^{2}+42}+\sqrt{x^{2}+10}=16$, 则 $x=$ \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$\pm \sqrt{39}$
解析：$\left(\sqrt{x^{2}+42}+\sqrt{x^{2}+10}\right)\left(\sqrt{x^{2}+42}-\sqrt{x^{2}+10}\right)=\left(\sqrt{x^{2}+42}\right)^{2}-\left(\sqrt{x^{2}+10}\right)^{2}=\left(x^{2}+42\right)-\left(x^{2}+\right.$

$10)=32$.

$\because \sqrt{x^{2}+42}+\sqrt{x^{2}+10}=16 . \quad \therefore \sqrt{x^{2}+42}-\sqrt{x^{2}+10}=32 \div 16=2$.

$\therefore\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x^{2}+42}=7 \\ \sqrt{x^{2}+10}=7\end{array}\right.$.
$\because\left(\sqrt{x^{2}+42}\right)^{2}=x^{2}+42=8^{2}=81$.

$\therefore x= \pm \sqrt{39}$.

经检验 $x= \pm \sqrt{39}$ 都是原方程的解,

故答案为 $\pm \sqrt{39}$.
题目（八年级 · 代数）：若 $\sqrt{5}=a, \sqrt{17}=b$, 则 $\sqrt{0.85}$ 的值用 $a, b$ 可以表示为
选项：
答案：$\frac{a b}{10}$
解析：解: $\because \sqrt{5}=a, \sqrt{17}=b$,

$\therefore \sqrt{0.85}=\sqrt{\frac{85}{100}}=\frac{\sqrt{5} \times \sqrt{17}}{\sqrt{100}}=\frac{a b}{10}$.
题目（八年级 · 代数）：若 $0<a<1$, 则 $\sqrt{\left(a+\frac{1}{a}\right)^{2}-4}-\sqrt{\left(a-\frac{1}{a}\right)^{2}+4}$ 的值为
选项：
答案：$-2 a$
解析：解：原式 $=\sqrt{a^{2}+2+\frac{1}{a^{2}}-4}-\sqrt{a^{2}-2+\frac{1}{a^{2}}+4}$

$=\sqrt{a^{2}-2+\frac{1}{a^{2}}}-\sqrt{a^{2}+2+\frac{1}{a^{2}}}$

$=\sqrt{\left(a-\frac{1}{a}\right)^{2}}-\sqrt{\left(a+\frac{1}{a}\right)^{2}}$

$=\left|a-\frac{1}{a}\right|-\left|a+\frac{1}{a}\right|$

$\because 0<a<1$,

$\therefore a+\frac{1}{a}>0, \quad a-\frac{1}{a}=\frac{a^{2}-1}{a}<0$,

$\therefore$ 原式 $=-\left(a-\frac{1}{a}\right)-\left(a+\frac{1}{a}\right) \quad=-a+\frac{1}{a}-a-\frac{1}{a} \quad=-2 a$
题目（八年级 · 代数）：若 $|1001-a|+\sqrt{a-1002}=a$, 则 $a-1001^{2}=$
选项：
答案：1002
解析：解：根据算术平方根的非负性,

$\therefore a-1002 \geq 0$, 解得 $a \geq 1002$,

$\therefore|1001-a|+\sqrt{a-1002}=a-1001+\sqrt{a-1002}=a$, 即 $\sqrt{a-1002}=1001$,

解得 $a=1001^{2}+1002$,

$\therefore a-1001^{2}=1001^{2}+1002-1001^{2}=1002$.
题目（八年级 · 代数）：已知 $x+y=-5, x y=4$, 则 $\sqrt{\frac{\sqrt{x}}{x}}+\sqrt{\frac{x}{y}}=$ \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$\frac{5}{2}$
解析：解: $\because x+y=-5, x y=4$,

$\therefore x<0, y<0$,

$\sqrt{\frac{y}{x}}+\sqrt{\frac{x}{y}}=-\left(\frac{\sqrt{x y}}{x}+\frac{\sqrt{x y}}{y}\right)=-\frac{\sqrt{x y}(x+y)}{x y}$,

$\because x+y=-5, \quad x y=4$,

$\therefore$ 原式 $=\frac{\sqrt{x y}(x+y)}{x y}=\frac{\sqrt{4} \times(-5)}{4}=\frac{5}{2}$.

先化简 $\sqrt{\frac{y}{x}}+\sqrt{\frac{x}{y}}$, 再代入求值即可.
题目（八年级 · 代数）：若 $\sqrt{5-2 \sqrt{6}}=\sqrt{m}-\sqrt{n}$, 则 $m=$ \$ \qquad \$ , $n=$
选项：
答案：32
解析：解: $\because \sqrt{3}>\sqrt{2}$, 即 $\sqrt{3}-\sqrt{2}>0$,

$\therefore \sqrt{5-2 \sqrt{6}}=\sqrt{2+3-2 \sqrt{6}}$

$=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}-2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}+(\sqrt{3})^{2}}$

$=\sqrt{(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}}$

$=|\sqrt{2}-\sqrt{3}|=\sqrt{3}-\sqrt{2}$,

又 $\because \sqrt{5-2 \sqrt{6}}=\sqrt{m}-\sqrt{n}$,

则 $m=3, n=2$.

此题考查了二次根式的化简求值, 其技巧性较强, 灵活变换等式左边的被开方数是解本题的关键.
题目（八年级 · 代数）：已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+3 x+m-4=0$ 的一个实数根是 1 , 那么 $m=$
选项：
答案：0
解析：根据题意, 得

$1+3 \times 1+m-4=0$, 解得 $m=0$ ；

故答案是: 0 .
题目（八年级 · 代数）：若 $m$ 是方程 $x^{2}-4 x+1=0$ 的一个根, 则 $3 m^{2}-12 m+2020$ 的值为
选项：
答案：2017
解析：把 $x=m$ 代入 $x^{2}-4 x+1=0$ 得 $m^{2}-4 m+1=0$,

所以 $m^{2}-4 m=-1$,

所以 $3 m^{2}-12 m+2020$

$$
\begin{gathered}
=3\left(m^{2}-4 m\right)+2020 \\
=3 \times(-1)+2020
\end{gathered}
$$

$=2017$.

故答案为 2017 .
题目（八年级 · 代数）：方程组 $\left\{\begin{array}{l}a x+2 y=2 \\ 2 x+3 y=0\end{array}\right.$ 的解是 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=b\end{array}\right.$ 则关于 $x$ 的不等式 $b x+3 a \geq 0$ 的非负整数解是
选项：
答案：$0 、 1 、 2 、 3$
解析：将 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=b\end{array}\right.$ 代入方程组 $\left\{\begin{array}{l}a x+2 y=2 \\ 2 x+3 y=0\end{array}\right.$,

得: $\left\{\begin{array}{l}3 a+2 b=2 \\ 6+3 b=0\end{array}\right.$,

解得 $\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=-2\end{array}\right.$ ，

$\therefore$ 不等式为 $-2 x+6 \geq 0$,

解得: $x \leq 3$,

$\therefore$ :该不等式的非负整数解为 $0 、 1 、 2 、 3$.

故答案为 $0 、 1 、 2 、 3$.
题目（八年级 · 代数）：对于每个非零自然数 $n$, 一元二次方程 $x^{2}-\frac{2 n+1}{n(n+1)} x+\frac{1}{n(n+1)}=0$ 的两个根在数轴上对应的点分别为 $A_{n}, B_{n}$, 以 $A_{n} B_{n}$ 表示这两点间的距离, 则 $A_{1} B_{1}+A_{2} B_{2}+\cdots+A_{2021} B_{2021}$ 的值是
选项：
答案：$\frac{2021}{2022}$
解析：$x^{2}-\frac{2 n+1}{n(n+1)} x+\frac{1}{n(n+1)}=0$,

$\therefore$ :解得 $x=\frac{1}{n}$ 或 $x=\frac{1}{n+1}$,

$\therefore A_{n} B_{n}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$,

$\therefore A_{1} B_{1}+A_{2} B_{2}+\cdots+A_{2021} B_{2021}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2021}-\frac{1}{2022}=1-\frac{1}{2022}=\frac{2021}{2022}$.

故答案为 $\frac{2021}{2022}$.
题目（八年级 · 代数）：已知方程组 $\left\{\begin{array}{l}3 x+2 y=4 m-2 \\ 2 x+3 y=6 m-3\end{array}\right.$ 的解满足 $-1<x-y<0$, 则 $m$ 的取值范围为 \$ \qquad \$ .
选项：
答案： $\frac{1}{2}<m<1$
略
解析： $\frac{1}{2}<m<1$
略
题目（八年级 · 代数）：若关于 $x$ 的一元二次方程 $1-x^{2}-2 m x-4 m+1=0$ 有两个相等的实数根, 则 $(m-2)^{2}-2 m(m-$ 1)的值为 . \$ \qquad \$
选项：
答案：$\frac{7}{2}$
解析：由题意可知: $\Delta=4 m^{2}-2(1-4 m)=4 m^{2}+8 m-2=0$,

$\therefore m^{2}+2 m=\frac{1}{2}$,

$$
\begin{gathered}
\therefore(m-2)^{2}-2 m(m-1) \\
=-m^{2}-2 m+4 \\
=-\frac{1}{2}+4
\end{gathered}
$$

$=\frac{7}{2}$.

故答案为: $\frac{7}{2}$.
题目（八年级 · 代数）：关于 $x$ 的方程 $(k+1) x^{|k-1|}+k x+1=0$ 是一元二次方程, 则 $k$ 的值为
选项：
答案：3
解析：解: 由题意得, $\left\{\begin{array}{l}k+1 \neq 0 \\ |k-1|=2\end{array}\right.$,

解得 $k=3$.

一元二次方程必须满足两个条件: (1) 未知数的最高次数是 2; (2) 二次项系数不为 0 . 由这两个条件得到相应的关系式, 再求解即可.