eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高二 · 逻辑题）：
$p \vee q$ 为真命题, $p \wedge q$ 为假命题, 求实数 $m$ 的取值范围.
选项：
答案：答案:
解: $p$ 为真命题时, $m(m-4)<0,0<m<4$,

$q$ 为真命题时, $m^{2}>4, m>2$ 或 $m<-2$,

$\because p \vee q$ 为真命题, $p \wedge q$ 为假命题, $\therefore p$ 与 $q$ 一真一假,

当 $p_{\text {真, }} q_{\text {假时, } 0<m \leq 2}$, 当 $p_{\text {假, }} q_{\text {真时, }} m<-2$ 或 $m \geq 4$,

$\therefore m \in(-\infty,-2) \cup(0,2][4,+\infty)$.
解析：答案:
解: $p$ 为真命题时, $m(m-4)<0,0<m<4$,

$q$ 为真命题时, $m^{2}>4, m>2$ 或 $m<-2$,

$\because p \vee q$ 为真命题, $p \wedge q$ 为假命题, $\therefore p$ 与 $q$ 一真一假,

当 $p_{\text {真, }} q_{\text {假时, } 0<m \leq 2}$, 当 $p_{\text {假, }} q_{\text {真时, }} m<-2$ 或 $m \geq 4$,

$\therefore m \in(-\infty,-2) \cup(0,2][4,+\infty)$.

【解析】【分析】此题考查了双曲线、粗圆的简单性质和逻辑连结词“且”“或”的应用。
题目（七年级 · 组合数学）：(6 分) 甲口袋中装有两个相同的小球, 它们分别写有 1 和 2; 乙口袋中装有三个相同的小球, 它们分别写有 3,4 和 5 ; 丙口袋中装有两个相同的小球, 它们分别写有 6 和 7从这 3 个口袋中各随机地取出 1 个小球.

(1) 取出的 3 个小球上恰好有两个偶数的概率是多少?

（2）取出的 3 个小球上全是奇数的概率是多少?
选项：
答案：解: 根据题意, 画出如下的“树形图”:

甲

乙

丙

<ImageHere>

从树形图看出, 所有可能出现的结果共有 12 个. (2 分)

（1）取出的 3 个小球上恰好有两个偶数的结果有 4 个, 即 $1,4,6 ; 2,3,6 ; 2,4$, $7 ; 2,5,6$.

所以 $\mathrm{P}$ (两个偶数) $=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$. (4 分)

（2）取出的 3 个小球上全是奇数的结果有 2 个, 即 $1,3,7 ; 1,5,7$. 所以 P (三个奇数) $=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$. (6 分)
解析：解: 根据题意, 画出如下的“树形图”:

甲

乙

丙



从树形图看出, 所有可能出现的结果共有 12 个. (2 分)

（1）取出的 3 个小球上恰好有两个偶数的结果有 4 个, 即 $1,4,6 ; 2,3,6 ; 2,4$, $7 ; 2,5,6$.

所以 $\mathrm{P}$ (两个偶数) $=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$. (4 分)

（2）取出的 3 个小球上全是奇数的结果有 2 个, 即 $1,3,7 ; 1,5,7$. 所以 P (三个奇数) $=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$. (6 分)
题目（七年级 · 组合数学）：(8 分）已知一个口袋中装有 7 个只有颜色不同的球，其中 3 个白球， 4 个黑球.

(1) 求从中随机抽取出一个黑球的概率是多少;

（2）若往口袋中再放入 $x$ 个白球和 $y$ 个黑球, 从口袋中随机取出一个白球的概率是 $\frac{1}{4}$, 求 $\mathrm{y}$与 $\mathrm{x}$ 之间的函数关系式.
选项：
答案：解: (1) 取一个球, 共有 7 中等可能性的情况,

取出一个黑球的概率 $\mathrm{P}=\frac{4}{3+4}=\frac{4}{7} ;$

(2) $\because$ 取出一个白球的概率 $P=\frac{3+x}{7+x+y}$,

$\therefore \frac{3+x}{7+x+y}=\frac{1}{4},(5$ 分 $)$

$\therefore 12+4 \mathrm{x}=7+\mathrm{x}+\mathrm{y},(6$ 分)

$\therefore \mathrm{y}$ 与 $\mathrm{x}$ 的函数关系式为: $\mathrm{y}=3 \mathrm{x}+5$.
解析：解: (1) 取一个球, 共有 7 中等可能性的情况,

取出一个黑球的概率 $\mathrm{P}=\frac{4}{3+4}=\frac{4}{7} ;$

(2) $\because$ 取出一个白球的概率 $P=\frac{3+x}{7+x+y}$,

$\therefore \frac{3+x}{7+x+y}=\frac{1}{4},(5$ 分 $)$

$\therefore 12+4 \mathrm{x}=7+\mathrm{x}+\mathrm{y},(6$ 分)

$\therefore \mathrm{y}$ 与 $\mathrm{x}$ 的函数关系式为: $\mathrm{y}=3 \mathrm{x}+5$.
题目（七年级 · 组合数学）：(8 分) 汉字是世界上最古老的文字之一, 字形结构体现人类追求均衡对称、和谐稳定的天性, 如图, 三个汉字可以看成是轴对称图形.


(1) 请在方框中再写出 2 个类似轴对称图形的汉字;

（2）小敏和小慧利用“土”、“口”、“木”三个汉字设计一个游戏, 规则如下: 将这三个汉字分别写在背面都相同的三张卡片上, 背面朝上洗匀后抽出一张, 放回洗匀后再抽出一张, 若两次抽出的汉字能构成上下结构的汉字（如“土”“土”构成“圭”）小敏获胜, 否则小慧获胜, 你认为这个游戏对谁有利? 请用列表或画树状图的方法进行分析, 并写出构成的汉字进行说明.
选项：
答案：解：(1) 如: 田、日等;

(2) 这个游戏对小慧有利,

每次游戏时, 所有可能出现的结果如下: (列表)

|  | 土 | 口 | 木 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 土 | (土, 土) | (土, ロ) | (土, 木) |
| 口 | (口, 土) | (口, ロ) | (口, 木) |
| 木 | (木, 土) | (木, ロ) | (木, 木) |

(树状图)

<ImageHere>

总共有 9 种结果，每种结果出现的可能性相同,

其中能组成上下结构的汉字的结果有 4 种:

（土，土）“圭”，(口，口）“吕”（木，口）“杏”或“呆”（口，木）“呆”或“杏”，

$\therefore \mathrm{P}_{\text {(小能获胜) }}=\frac{4}{9}, \mathrm{P}_{\text {(小巷萌胜 }}=\frac{5}{9}, \therefore$ 游戏对小慧有利.

说明: 若组成汉字错误, 而不影响数学知识的考查且结论正确, 本题只扣 1 分.
解析：解：(1) 如: 田、日等;

(2) 这个游戏对小慧有利,

每次游戏时, 所有可能出现的结果如下: (列表)

|  | 土 | 口 | 木 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 土 | (土, 土) | (土, ロ) | (土, 木) |
| 口 | (口, 土) | (口, ロ) | (口, 木) |
| 木 | (木, 土) | (木, ロ) | (木, 木) |

(树状图)



总共有 9 种结果，每种结果出现的可能性相同,

其中能组成上下结构的汉字的结果有 4 种:

（土，土）“圭”，(口，口）“吕”（木，口）“杏”或“呆”（口，木）“呆”或“杏”，

$\therefore \mathrm{P}_{\text {(小能获胜) }}=\frac{4}{9}, \mathrm{P}_{\text {(小巷萌胜 }}=\frac{5}{9}, \therefore$ 游戏对小慧有利.

说明: 若组成汉字错误, 而不影响数学知识的考查且结论正确, 本题只扣 1 分.
题目（七年级 · 组合数学）：如图是由非负偶数排成的数阵:

| 0 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 18 | 20 | 22 | 24 | 26 | 28 | 30 | 32 | 34 |
| 36 | 38 | 40 | 42 | 44 | 46 | 48 | 50 | 52 |
| 54 | 56 | 58 | 60 | 62 | 64 | 66 | 68 | 70 |
| 72 | 74 | 76 | 78 | 80 | 82 | 84 | 86 | 88 |

(1) 写出图中"H"形框中七个数的和与中间数的关系,

（2）在数阵中任意做一个这样的“H”形框，（1）中的关系任然成立吗？并写出理由

(3) 用这样的 “ $H$ " 形框能框出和为 2023 的七个数吗？如果能, 求出七个数的中间数; 如果不能, 请写出理由.
选项：
答案：) $\because 22+40+58+42+26+44+62=294=7 \times 42$,

$\therefore$ 图中"H"形框中七个数的和是中间数的 7 倍;

(2) 成立

设中间数为 $\mathrm{x}$, 则其余六个数分别为 $\mathrm{x}-2, \mathrm{x}+2, \mathrm{x}-20, \mathrm{x}+20, \mathrm{x}-16, \mathrm{x}+16$,

$\therefore x-2+x+2+x-20+x+20+x-16+x+16=7 x$,
所以图中 “ $\mathrm{H}$ ” 形框中七个数的和是中间数的 7 倍;

(3) 不能,

$2023 \div 7=289$,

$\because$ 是非负偶数数阵, 而 289 是奇数,

$\therefore$ 不能框出和为 2023 的七个数.
解析：) $\because 22+40+58+42+26+44+62=294=7 \times 42$,

$\therefore$ 图中"H"形框中七个数的和是中间数的 7 倍;

(2) 成立

设中间数为 $\mathrm{x}$, 则其余六个数分别为 $\mathrm{x}-2, \mathrm{x}+2, \mathrm{x}-20, \mathrm{x}+20, \mathrm{x}-16, \mathrm{x}+16$,

$\therefore x-2+x+2+x-20+x+20+x-16+x+16=7 x$,
所以图中 “ $\mathrm{H}$ ” 形框中七个数的和是中间数的 7 倍;

(3) 不能,

$2023 \div 7=289$,

$\because$ 是非负偶数数阵, 而 289 是奇数,

$\therefore$ 不能框出和为 2023 的七个数.
题目（七年级 · 组合数学）：(本小题 8.0 分)

阅读: 在直线上有 $n$ 个不同的点, 则此图中共有多少条线段? 通过分析、画图尝试得如下表格:

| 图形 | 直线上点的个数 | 共有线段的条数 | 两者关系 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $A_{1}$ $A_{2}$ | 2 | 1 | $0+1=\frac{2 \times(2-1)}{2}=1$ |
| 1 1 1 <br> $A_{1}$ $A_{2}$ $A_{3}$ | 3 | 3 | $0+1+2=\frac{3 \times(3-1)}{2}=3$ |
| $A_{1}$ $A_{2}$ $A_{3}$ $A_{4}$ | 4 | 6 | $0+1+2+3=$ <br> $\frac{4 \times(4-1)}{2}=6$ |
| $\ldots$ | $\ldots$ | $=$ | $\ldots$ |
|  | n |  | $\square$ |

问题:

(1)把表格补充完整;

(2)根据上述得到的信息解决下列问题: 乘火车从 $A$ 站出发, 沿途经过 10 个车站方可到达 $B$ 站,

那么在 $A, B$ 两站之间分别需要安排多少种不同的车票, 有多少种不同的票价?

(3)如图, 长方形边 $A B$ 上有 3 个点 $\left(A_{1}, A_{2}, A_{3}\right.$ 且不与 $A, B$ 重合), $A C$ 边上有 2 个点 $\left(B_{1}, B_{2}\right.$ 且不与

$A, C$ 重合), 过这些点的直线将大长方形分割成若干个小长方形(包括正方形), 求图中共有多少个长方形.


选项：
答案：解：(1)把表格补充完整如下:\n|                    图形                     | 直线上点的个数 |   共有线段的条数   |                    两者关系                     |\n| :-----------------------------------------: | :------------: | :----------------: | :---------------------------------------------: |\n|          1 1 <br> $A_{1}$ $A_{2}$           |       2        |         1          |         $0+1=\\frac{2 \\times(2-1)}{2}=1$         |\n|             $A_{1} A_{2} A_{3}$             |       3        |         3          |        $0+1+2=\\frac{3 \\times(3-1)}{2}=$         |\n| 1 1 1  <br> $A_{1}$ $A_{2}$ $A_{3}$ $A_{4}$ |       4        |         6          |   $0+1+2+3=$ <br> $\frac{4 \times(4-1)}{2}=6$   |\n|                  $\\cdots$                   |    $\\cdots$    |      $\\cdots$      |                      \\|..                       |\n|           <ImageHere>            |      $n$       | $\frac{n(n-1)}{2}$ | $0+1+2+3+\\cdots+(n$ <br> $-1)=\frac{n(n-1)}{2}$ |\n(2) 由题意可得：一共12个车站看作 12 个点, 线段条数为 $\frac{12 \times 11}{2}=66$ (条), 所以有 66 种票价;因为车票有起点和终点站之分,\n所以车票有 $2 \times 66=132($ 种 $)$;\n(3)以 $A 、 B_{1} 、 B_{2} 、 C$ 为端点的线段有 6 个;\n以 $A 、 A_{1} 、 A_{2} 、 A_{3} 、 B$ 为端点的线段有 10 个;\n$\therefore$ 图中长方形的个数为 $6 \times 10=60$ 个.
解析：本题主要考查了线段的定义以及图形变化规律, 理解并应用图表数据中线段上点的个数与线段的条数的公式是解题的关键.
(1)根据已知表格中数据变化规律进而得出答案;
(2)把每一个车站看作一个点，利用图表公式列式进行计算即可得解;
,(3)把 $A B$ 边上看作 5 个点, $A C$ 边上看作 4 个点, 分别求出线段的条数, 再把再把它们相乘, 即可得解.
题目（七年级 · 组合数学）：(本小题 8.0 分)

如图, 在 $\angle A O B$ 的内部, 以点 $O$ 为顶点引射线, 完成下表.



| $\angle A O B$ 内射 <br> 线的条数 | 1 | 2 | 3 | 4 | $\ldots$ | 99 | $\ldots$ | $n$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 角的总个数 |  |  |  |  | $\cdots$ |  | $\cdots$ |  |
选项：
答案：表内从左到右依次填: $3 ; 6 ; 10 ; 15 ; 5050 ; \frac{(n+1)(n+2)}{2}$.
解析：略
题目（七年级 · 组合数学）：(本小题 8.0 分)

正在修建的 “石衡沦港城际铁路”, 总投资约346.9亿元, 计划2023年竣工.石衡沦港城际铁路全线共设车站16座, 那么共需要准备多少种车票? 如果全线共设车站 $n$ 座, 那么共需要多少种车票?


选项：
答案： $(1+2+\cdots+14+15) \times 2=240$ (种).

故共需要准备 240 种车票.

如果全线共设车站 $n$ 座, 那么共需要准备 $n(n-1)$ 种车票.


解析：见答案
题目（七年级 · 组合数学）：(本小题 8.0 分)

图1为奇数排成的数表，用十字框任意框出 5 个数，记框内中间这个数为 $m$ ，其它四个数分别记为 $a, b, c, d$ (如图2); 图 3 为按某一规律排成的另一个数表, 用十字框任意框出 5 个数,记框内中间这个数为 $n$ ，其它四个数记为 $e, f, g, h$ (如图4).

|  | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 13 | 15 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
|  | 21 | 23 | 25 | 27 | 29 | 31 | 33 |
|  | 39 | 41 | $\|43\|$ | 45 | 47 | 49 | 51 |
|  | 57 | 59 | 61 | 63 | 65 | 67 | 69 |
|  | 75 | 77 | 79 | 81 | 83 | 85 | 87 |

图1



图2



图3



图4

(1)请你含 $m$ 的代数式表示 $b$.

(2)请你含 $n$ 的代数式表示 $e$.

(3)若 $a+b+c+d=k m, e+f+g+h=p n$, 求 $k+3 p$ 的值.


选项：
答案：解: (1)根据图 1 可知: 十字框中上方的数比中间的数大 18 ,

即 $b=m-18 ;$

(2)根据图 3 可知: 当 $n>0$ 时, $n+e=2$

解得: $e=2-n$;

当 $n<0$ 时, $n+e=-2$

解得: $e=-2-n$;

综上所述: $e=\left\{\begin{array}{l}2-n(n>0) \\ -2-n(n<0)\end{array}\right.$

(3)根据图1可知: $a=m-2, b=m-18, c=m+2, d=m+18$

$$
\begin{gathered}
\because a+b+c+d=(m-2)+(m-18)+(m+2)+(m+18)=4 m=k m \\
\therefore k=4
\end{gathered}
$$

根据图 3 可知: 当 $n>0$ 时, $n+f=18, n+e=2, n+g=-2, n+h=-18$

$\therefore f=18-n, e=2-n, g=-2-n, h=-18-n$

$$
\therefore e+f+g+h=(18-n)+(2-n)+(-2-n)+(-18-n)=-4 n=p n
$$

$$
\therefore p=-4
$$

$\therefore$ 此时 $k+3 p=4+3 \times(-4)=-8$;

当 $n<0$ 时, $n+f=-18, n+e=-2, n+g=2, n+h=18$

$\therefore f=-18-n, e=-2-n, g=2-n, h=18-n$

$$
\therefore e+f+g+h=(-18-n)+(-2-n)+(2-n)+(18-n)=-4 n=p n
$$

$$
\therefore p=-4
$$

$\therefore$ 此时 $k+3 p=4+3 \times(-4)=-8$;

综上所述: $k+3 p=-8$.


解析：【解析】此题考查的是用代数式表示数字规律, 找到表格中各个数字的关系是解决此题的关键.

(1)根据图 1 可知: 十字框中上方的数比中间的数大 18 , 即可得出结论;

(2)根据图 2 可知: 当中间数为正数时, 十字框中左侧的数与中间的数的和为 2 ; 当中间数为负数时,十字框中左侧的数与中间的数的和为 -2 , 即可得出结论;

(3)根据图1找到 $a 、 b 、 c 、 d$ 与 $m$ 的关系, 即可求出 $k$ 的值; 然后对 $n$ 进行分类讨论: 当 $n>0$ 时,找出 $e, f, g, h$ 与 $n$ 的关系即可求出 $p$ 的值, 代入求值即可; 当 $n<0$ 时, 找出 $e, f, g, h$ 与 $n$ 的关系即可求出 $p$ 的值, 代入求值即可.
题目（七年级 · 组合数学）：小题8.0分)

用 150 张铁皮做罐头盒, 每张铁皮可制盒身 15 个或盒底 45 个, 1 个盒身与 2 个盒底配成一套䉜头盒.问: 用多少张铁皮制盒身, 多少张铁皮制盒底, 使得制成的盒身和盒底恰好配套?
选项：
解析：略
题目（七年级 · 组合数学）：小题 8.0 分)

七年级(1)(2)两班各40人参加垃圾分类知识竞赛, 规则如图.比赛中, 所有同学均按要求一对一连线, 无多连、少连.



(1)分数 $5,10,15,20$ 中，每人得分不可能是 \$ \qquad \$分;

(2)七年级(1)班有 4 人全错, 其余成员中, 满分人数是未满分人数的 2 倍; 七年级(2)班所有人都得分, 最低分人数的 2 倍与其他未满分人数之和等于满分人数.

(1) 问 (1)班有多少人得满分?

(2)若(1)班除0分外, 最低得分人数与其他未满分人数相等, 问哪个班的总分高?
选项：
答案：【小题1】
题目（七年级 · 组合数学）：(本小题 8.0 分)

## $[$ 实际问题]

某商场在 “十一国庆” 期间为了鼓励消费, 设计了抽奖活动, 方案如下：根据不同的消费金额, 每次抽奖时可以从 100 张面值分别为 1 元、 2 元、 3 元、..... 100 元的奖券中 (面值为整数),一次任意抽取 2 张、 3 张、 4 张、……等若干张奖券, 奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取 5 张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额?

[问题建模]

从 $1,2,3$, $n(n$ 为整数, 且 $n \geq 6)$ 这 $n$ 个整数中任取 5 个整数, 这 5 个整数之和共有多少种不同的结果?

[模型探究]

我们采取一般问题特殊化的策略, 先从最简单的情形入手，从中找出解决问题的方法. 从 1 , 2,3 这 3 个整数中任取 2 个整数, 这 2 个整数之和共有多少种不同的结果?

| 所取的 2 个整数 | 1,2 | 1,3 | 2,3 |
| :--- | :---: | :---: | :---: |
| 2 个整数之和 | 3 | 4 | 5 |

如表 (1), 所取的 2 个整数之和可以为 $3,4,5$, 也就是从 3 到 5 的连续整数, 其中最小是 3 , 最大是 5 , 所以共有 3 种不同的结果.

(1) 从 $1,2,3,4,5$ 这 5 个整数中任取 2 个整数, 这 2 个整数之和共有种不同的结果.

(2) 从 $1,2,3$, $n(n$ 为整数, 且 $n \geq 6)$ 这 $n$ 个整数中任取 3 个整数, 这 3 个整数之和共有种不同的结果.

(3)归纳结论: 从 $1,2,3$, $n(n$ 为整数, 且 $n \geq 6)$ 这 $n$ 个整数中任取 5 个整数, 这 5 个整数之和共有种不同的结果.

[问题解决]

从 100 张面值分别为 1 元、 2 元、 3 元、.....、100元的奖券中 (面值为整数)，一次任意抽取 5 张奖券，共有种不同的优惠金额.

[问题拓展]

从 $3,4,5, \ldots \ldots, n(n$ 为整数, 且 $n \geq 6)$ 这 $n-2$ 个整数中任取 5 个整数, 使得取出的这些整数之和共有 121 种不同的结果, 求 $n$ 的值. (写出解答过程)
选项：
答案：$7(3 n-8)(5 n-24) 476$
解析：解: (1)从 $1,2,3,4,5$ 这 5 个整数中任取 2 个整数,

则这 2 个整数之和最小值为: $1+2=3$, 最大值为: $4+5=9$,

则这 2 个整数之和共有 $9-3+1=7$ 种不同情况,

故答案为: 7 ;

(2) 从 $1,2,3, \ldots \ldots, n(n$ 为整数, 且 $n \geq 6$ ) 这 $n$ 个整数中任取 3 个整数,

则这 3 个整数之和最小值为: $1+2+3=6$, 最大值为: $n-2+n-1+n=3 n-3$,

则这 3 个整数之和共有不同结果的种数为: $3 n-3-6+1=(3 n-8)$ 种,

故答案为: $(3 n-8)$;

(3)归纳总结: 从 $1,2,3, \ldots \ldots, n(n$ 为整数, 且 $n \geq 6)$ 这 $n$ 个整数中任取 5 个整数,
则这 5 个整数之和的最小值为: $1+2+3+4+5=15$, 最大值为 $n+(n-1)+(n-2)+(n-$ $3)+(n-4)=5 n-10$,则这 5 个整数之和共有不同结果的种数为: $5 n-10-15+1=(5 n-24)$ 种,故答案为: $(5 n-24)$;

问题解决：从 100 张面值分别为 1 元、 2 元、 3 元、.....、100元的奖券中 (面值为整数)，一次任意抽取5张奖券,

则这 5 张奖券的和的最小值为: $1+2+3+4+5=15$ (元), 最大值为: $100+99+98+97+96=$ 490(元),

则这5张奖券的和共有不同优惠金额的种数为: $490-15+1=476$ (种),

故答案为: 476 ;

问题拓展: 从 $3,4,5, \ldots \ldots, n(n$ 为整数, 且 $n \geq 6)$ 这 $(n-2)$ 个整数中任取 5 个整数,

则这 5 个整数之和的最小值为: $3+4+5+6+7=25$, 最大值为 $n+(n-1)+(n-2)+(n-$ $3)+(n-4)=5 n-10$,

则这 5 个整数之和共有不同结果的种数为: $5 n-10-25+1=(5 n-34)$ 种.

(1)根据整数的总个数 $n$, 与任取的 $a$ 个整数, 分别计算这 $a$ 个整数之和的最大值、最小值, 进而得出共有多少种不同结果情况, 然后延伸到一般情况.

(2)根据整数的总个数 $n$, 与任取的 $a$ 个整数, 分别计算这 $a$ 个整数之和的最大值、最小值, 进而得出共有多少种不同结果情况，然后延伸到一般情况.

(3)根据整数的总个数 $n$, 与任取的 $a$ 个整数, 分别计算这 $a$ 个整数之和的最大值、最小值, 进而得出共有多少种不同结果情况, 然后延伸到一般情况.

本题考查用代数式表示数字的变化规律, 确定任取的 $a$ 个整数之和的最大值和最小值是得出正确答案的关键.
题目（七年级 · 组合数学）：1, 我们在 2016 年 1 月的日历中标出一个十字星, 并计算它的 “十字差” (将十字星左右两
数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的 “十字差”). 该十字星的十字差为 $12 \times 14-6 \times 20=48$, 再选择其它位置的十字星, 可以发现 “十字差” 仍为 48 .

| 日 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
|  |  |  |  |  | 1 | 2 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | $\overline{9}$ |
| 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |
| 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 |
| 24 | 25 | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
| 31 |  |  |  |  |  |  |

图 1

| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| 26 | 27 | 28 | 29 | 30 |
| $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ |

图 2

| 第1行 |  |  |  |  |  |  | 1 |  |  |  |  |  |  |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 第2行 |  |  |  |  |  | 2 | 3 | 4 |  |  |  |  |  |
| 第3行 |  |  |  |  | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |  |  |  |  |
| 第 4 行 |  |  |  | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 |  |  |  |
| 第5行 |  |  | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |  |  |
| 第6行 |  | 26 | 27 | 28 | 29 | 30 | 31 | 32 | 33 | 34 | 35 | 36 |  |
| 第7行 | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ |

图3

（1）如图 2, 将正整数依次填入 5 列的长方形数表中，探究不同位置十字星的 “十字差”,可以发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为

（2）若将正整数依次填入 $k$ 列的长方形数表中 $(k \geq 3)$, 继续前面的探究, 可以发现相应 “十字差” 为与列数 $k$ 有关的定值, 请用 $k$ 表示出这个定值, 并证明你的结论.

（3）如图 3, 将正整数依次填入三角形的数表中, 探究不同十字星的 “十字差” , 若某个十字星中心的数在第 32 行, 且其相应的 “十字差” 为 2015 , 则这个十字星中心的数为 (直接写出结果).
选项：
答案：(1) 根据题意得: $6 \times 8-2 \times 12=48-24=24$; 故答案为 24 ;

(2) 解：定值为 $k^{2}-1=(k+1)(k-1)$;
证明: 设十字星中心的数为 $x$, 则十字星左右两数分别为 $x-1, x+1$, 上下两数分别为 $x-k, x+k(k \geq 3)$,十字差为 $(x-1)(x+1)-(x-k)(x+k)=x^{2}-1-x^{2}+k^{2}=k^{2}-1$,

故这个定值为 $k^{2}-1=(k+1)(k-1)$.

(3)
解析：设正中间的数为 $a$, 则上下两个数为 $a-62, a+64$, 左右两个数为 $a-1, a+1$,根据题意得: $(a-1)(a+1)-(a-62)(a+64)=2015$,

解得: $a=976$.

故答案为 976 .

【解析】 (1) 根据题意求出相应的 “十字差” , 即可确定出所求定值;

(2) 定值为 $k^{2}-1=(k+1)(k-1)$, 理由为: 设十字星中心的数为 $x$, 表示出十字星左右两数, 上下两数, 进而表示出十字差, 化简即可得证;

(3) 设正中间的数为 $a$, 则上下两个数为 $a-62, a+64$, 左右两个数为 $a-1, a+1$, 根据相应的 “十字差” 为 2015 求出 $a$ 的值即可.
题目（七年级 · 计数）：(本小题 8.0 分)

在一次食品安检中, 抽查某企业 10 袋奶粉, 每袋取出 100 克, 检测每 100 克奶粉蛋白质含量与规定每 100 克含量(蛋白质)比较, 不足为负, 超过为正, 记录如下: (注: 规定每 $100 g$ 奶粉蛋白质含量为 $15 \mathrm{~g})$

$-3,-4,-5,+1,+3,+2,0,-1.5,+1,+2.5$

(1)求平均每 100 克奶粉含蛋白质为多少?

(2)每100克奶粉含蛋白质不少于 14 克为合格, 求合格率为多少?
选项：
答案：解: (1) $\frac{-3-4-5+1+3+2+0
解析：-
题目（七年级 · 计数）：小题8.0分)

一天, 小明与小强利用温度计测量山峰的高度, 小明在山顶测得温度是 $-2^{\circ} \mathrm{C}$, 小强此时在山脚测得温度是 $4^{\circ} \mathrm{C}$. 已知该地区高度每增加 $100 \mathrm{~m}$, 气温大约降低 $0.6^{\circ} \mathrm{C}$, 这个山峰的高度大约是多少?
选项：
答案：解：根据题意得：

$[4-(-2)] \div
题目（七年级 · 计数）：(本小题 8.0 分)

10 袋小麦称重后记录如表(单位: $k g$ ), 要求每袋小麦的质量控制在 $(90 \pm 1.5) \mathrm{kg}$. 即每袋小麦的质量不高于 $91.5 \mathrm{~kg}$ ，不低于 $88.5 \mathrm{~kg}$.

| 小麦的袋数 | 1 | 3 | 2 | 1 | 2 | 1 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 小麦的质量 | 88.1 | 89 | 89.8 | 90.6 | 91 | 91.8 |

(1)这10袋小麦中, 不符合要求的有 \$ \qquad \$袋;

(2)将符合要求的小麦以 $90 \mathrm{~kg}$ 为标准, 超出部分记为正数, 不足的记为负数;

(3)求符合要求的小麦一共有多少千克$\cdot$
选项：
答案：解: (1)这 10 袋小麦中, 不符合要求的有 2 袋;故答案为 2 .

(2)将符合要求的小麦以 $90 \mathrm{~kg}$ 为标准, 超出部分记为正数, 不足的记为负数如下:

$-1,-1,-1,
解析：-
题目（七年级 · 计数）：（2021 秋・蚺埠期末）某工厂计划生产甲、乙两种产品, 已知生产每件甲产品需要 4 吨 $A$ 种原料和 2 吨 $B$ 种原料, 生产每件乙产品需要 3 吨 $A$ 种原料和 1 吨 $B$ 种原料. 该厂现有 $A$ 种原料 120 吨, $B$种原料 50 吨. (1) 甲、乙两种产品各生产多少件, 恰好使两种原料全部用完？

(2) 在 (1) 的条件下, 计划每件甲产品的售价为 3 万元, 每件乙产品的售价为 5 万元, 可全部售出. 根据市场变化情况，每件甲产品实际售价比计划上涨 $a \%$ ，每件乙产品实际售价比计划下降 $10 \%$ ，结果全部出售的总销售额比原计划增加了 3.5 万元, 求 $a$ 的值.
选项：
答案：解: (1) 设生产甲种产品 $x$ 件, 乙种产品 $y$ 件, 恰好使两种原料全部用完,依题意得: $\left\{\begin{array}{l}4 x+3 y=120 \\ 2 x+y=50\end{array}\right.$, 解得: $\left\{\begin{array}{l}x=15 \\ y=20\end{array}\right.$.

答: 生产甲种产品 15 件, 乙种产品 20 件, 恰好使两种原料全部用完.

(2) 依题意得: $3 \times(1+a \%) \times 15+5 \times(1-10 \%) \times 20=15 \times 3+20 \times 5+3.5$,解得: $a=30$. 答: $a$ 的值为 30 .

【分析】（1）设生产甲种产品 $x$ 件, 乙种产品 $y$ 件, 恰好使两种原料全部用完, 根据生产甲、乙两种产品正好使用 $A$ 种原料 120 吨、 $B$ 种原料 50 吨, 即可得出关于 $x, y$ 的二元一次方程组, 解之即可得出结论; (2) 利用总销售额 $=$ 销售单价 $\times$ 销售数量, 结合全部出售的总销售额比原计划增加了 3.5 万元, 即可得出关于 $a$ 的一元一次方程, 解之即可得出 $a$ 的值.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系, 正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系, 正确列出一元一次方程.
解析：（1）设生产甲种产品 $x$ 件, 乙种产品 $y$ 件, 恰好使两种原料全部用完, 根据生产甲、乙两种产品正好使用 $A$ 种原料 120 吨、 $B$ 种原料 50 吨, 即可得出关于 $x, y$ 的二元一次方程组, 解之即可得出结论; (2) 利用总销售额 $=$ 销售单价 $\times$ 销售数量, 结合全部出售的总销售额比原计划增加了 3.5 万元, 即可得出关于 $a$ 的一元一次方程, 解之即可得出 $a$ 的值.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系, 正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系, 正确列出一元一次方程.
题目（七年级 · 计数）：喜迎元旦, 某玩具店购进 2022 年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共 100 个, 花去 3300 元，这两种吉祥物的进价、售价如下表:

|  | 进价 (元/个) | 售价 (元/个) |
| :---: | :---: | :---: |
| 冰墩墩 | 30 | 40 |
| 雪容融 | 35 | 50 |

(1) 求冰墩墩、雪容融各进了多少个?

(2) 如果销售完 100 个吉祥物所得的利润, 全部捐赠, 那么, 该玩具店捐赠了多少钱?
选项：
答案：(1) 设冰墩墩进 $x$ 个, 雪容融进了 $y$ 个,由题意可得: $\left\{\begin{array}{c}30 x+35 y=3300 \\ x+y=100\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{l}x=40 \\ y=60\end{array}\right.$,
答: 冰墩墩进 40 个, 雪容融进了 60 个;

(2) $\because$ 利润 $=(40-30) \times 40+(50-35) \times 60=1300 （$ 元）,

:玩具店捐赠了 1300 元.

【解析】（1）设冰墩墩进 $x$ 个, 雪容融进了 $y$ 个, 由某玩具店购进 2022 年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共 100 个, 花去 3300 元，列出方程组，可求解;

(2) 先求出利润, 即可求解.

本题考查了二元一次方程组的应用, 找到正确的等量关系是本题的关键.
解析：(1) 设冰墩墩进 $x$ 个, 雪容融进了 $y$ 个,由题意可得: $\left\{\begin{array}{c}30 x+35 y=3300 \\ x+y=100\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{l}x=40 \\ y=60\end{array}\right.$,
答: 冰墩墩进 40 个, 雪容融进了 60 个;

(2) $\because$ 利润 $=(40-30) \times 40+(50-35) \times 60=1300 （$ 元）,

:玩具店捐赠了 1300 元.

【解析】（1）设冰墩墩进 $x$ 个, 雪容融进了 $y$ 个, 由某玩具店购进 2022 年冬奥会吉祥物冰墩墩与冬残奥会吉祥物雪容融共 100 个, 花去 3300 元，列出方程组，可求解;

(2) 先求出利润, 即可求解.

本题考查了二元一次方程组的应用, 找到正确的等量关系是本题的关键.
题目（七年级 · 计数）：（2021$\cdot$河南南阳市$\cdot$九年级一模） 2020 年国家提出并部署了“新基建”项目, 主要包含“特高压,城际高速铁路和城市轨道交通, $5 G$ 基站建设, 工业互联网, 大数据中心, 人工智能, 新能源汽车充电桩”等. 《2020 新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五大细分领域（5G
基站建设, 工业互联网, 大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩）总体的人才与就业机会. 下图是其中的一个统计图。请根据图中信息, 解答下列问题:

(1) 图中 2020 年“新基建”七大领域预计投资规模的平均数约是亿元 (结果保留一位小数) ;

（2）在由“新基建”七大领域预计投资规模组成的扇形统计图中，“新能源汽车充电㭾”预计投资规模所占的圆心角约是 \$ \qquad \$。 (结果保留整数) $;$

(3) 甲，乙两位待业人员，仅根据上面统计图中的数据，从五大细分领域中，甲选择了“ $5 G$ 基站建设”，乙选择了“人工智能”分别作为自己的就业方向，请简要说明他们选择就业方向的理由各是什么.




选项：
答案：（1）314.6; （2） 49; （3）甲更关注在线职位增长率; 乙关注的是 2020 年预计投资规模最大


解析：(1) 按照求平均数的公式计算即可, 即把七大领域预计投资规模数相加并除以 7 , 就可得平均数; (2) 计算“新能源汽车充电桩”预计投资规模在七大领域预计投资规模总数中的百分数, 它与 $360^{\circ}$ 的积就是所求扇形的圆心角; （3）观察统计图知，“ $5 G$ 基站建设” 在线职位增长率最大，故甲关注它; 而“人工智能”则是五大细分领域中 2020 年预计投资规模最大的，故乙关注它.

【详解】（1） 2020 年“新基建”七大领域预计投资规模的平均数为:

$(100+640+300+200+160+500+300) \div 7 \approx 314.3$ (亿元) 故答案为: 314.3

(2) $\frac{300}{2200} \times 360^{\circ} \approx 49^{\circ}$ 故答案为: 49

（3)五大细分领域中， “ $5 G$ 基站建设” 在线职位与 2019 年同期相比，增长率最大，所以甲关注的是这个增长率; 而“人工智能”则是五大细分领域中 2020 年预计投资规模最大的, 故乙关注它.

【点睛】本题综合考查了各种统计图, 关键是读懂统计图, 获取所需要的信息.
题目（七年级 · 计数）：（2020$\cdot$北京大兴初三一模）新冠肺炎疫情暴发后, 一场同时间赛跑、与病魔较量的战役随即打响. 在疫情防控一线, 除了广大医务工作者义无反顾、日夜奋战之外, 在另一条战线上，科研人员也
在加班加点、紧急攻关. 全国科技战线积极响应党中央号召, 科技、卫健等 12 个部门组成科研攻关组, 短短一个月的时间内就取得了积极进展. 3 月 13 日 $0-24$ 时, 31 个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团新增确诊病例 11 例 (数据不含港澳台)，新增疑似病例 17 例（数据不含港澳台）。如图是根据国家卫健委关于新型冠状病毒肺炎通报的数据（数据不含港澳台）绘制的统计图:根据以上信息，回答下列问题:



(1) 下列推断合理的是 \$ \qquad \$ .

(1)2月 15 日武汉新增确诊病例约为 1500 例; (2)从 2 月 23 日起到 3 月 13 日止, 武汉每日新增确诊病例都在 500 例以下; (3)从 2 月 23 日起到 3 月 13 日止, 全国每日新增疑似病例逐渐减少。(4)3 月 13 日湖北新增疑似病例不超过 17 例.

(2) 结合本题的信息及当前防疫形势, 说说你的感受.
选项：
答案：(1) (1) 4); (2) 见解析.

【分析】（1）利用图中信息一一判断即可．（2）结合本题的信息及当前防疫形势，说说自己的感受即可.

【解析】（1）由图中信息可知：(1)2月 15 日武汉新增确诊病例约为 1500 例, 正确.

(2) 从 2 月 23 日起到 3 月 13 日止, 武汉每日新增确诊病例都在 500 例以下, 错误, 2 月 24 日前每日新增确诊病例都在 500 以上. (3) 从 2 月 23 日起到 3 月 13 日止, 全国每日新增疑似病例逐渐减少。错误,其中 2 月 18 日到 2 月 20 日是逐渐增加的．(4)3 月 13 日湖北新增疑似病例不超过 17 例．正确．故答
案为(1)(4).

（2）国内疫情防控科学有效，防控形势持续向好。相信中国一定能打赢这场战疫.
解析： (1) (1) 4); (2) 见解析.

【分析】（1）利用图中信息一一判断即可．（2）结合本题的信息及当前防疫形势，说说自己的感受即可.

【解析】（1）由图中信息可知：(1)2月 15 日武汉新增确诊病例约为 1500 例, 正确.

(2) 从 2 月 23 日起到 3 月 13 日止, 武汉每日新增确诊病例都在 500 例以下, 错误, 2 月 24 日前每日新增确诊病例都在 500 以上. (3) 从 2 月 23 日起到 3 月 13 日止, 全国每日新增疑似病例逐渐减少。错误,其中 2 月 18 日到 2 月 20 日是逐渐增加的．(4)3 月 13 日湖北新增疑似病例不超过 17 例．正确．故答
案为(1)(4).

（2）国内疫情防控科学有效，防控形势持续向好。相信中国一定能打赢这场战疫.

【点睛】本题考查折线统计图, 解题的关键是读懂图象信息, 属于中考常考题型.
题目（七年级 · 计数）：（2021$\cdot$江西九年级其他模拟） 2020 年中考阅卷期间, 某教师对某省中考数学试卷中一道概率题的得分情况进行了统计分析. 他随机记录了部分学生的得分情况, 并绘制了两幅统计图表 (表和图).试根据图表中的信息解答下列问题.

| 得分 | 人数统计 | 百分比/\% |
| :---: | :---: | :---: |
| 0 | $a$ | 40 |
| 1 | 2 | $b$ |
| 2 | 3 |  |
| 3 | 2 |  |
| 4 | 10 | $c$ |
| 5 | 8 |  |
| 6 | 275 |  |

(1) 该次分析统计中, 样本的总体个数是

（2）上述人数统计表中， $a$ 的值为 \$ \qquad \$ ,$b$ 的值为 \$ \qquad \$ , $c$ 的值为 \$ \qquad \$ ;

（3）在扇形统计图中, 圆心角 $\alpha$ 的度数为 \$ \qquad \$ ,$\beta$ 的度数为 \$ \qquad \$ ;

（4） 2020 年中考, 该省约有 49 万学生参加, 试估计该省此题得 6 分的学生共有多少人?



## 得1-5分
选项：
答案：（1） $500 ;$ （2） $200,0.4,55$; （3） $144^{\circ}, 198^{\circ}$; （4） 26.95 万

【分析】(1) 先求出 $1-5$ 分的总人数, 再根据此种情况在扇形统计图中占 $18^{\circ}$ 即可得出总人数;

(2) 根据得 0 分的人数占 $40 \%$ 可得出 $a$ 的值, 再由 3 分的人数求出 $b$ 的值, 同理得出 $c$ 的值;根据得 0 分与得 6 分人数所占的百分比即可得出结论; (4) 根据得 0 分人数的百分比可得出结论.
【详解】解: $\because 2+3+2+10+8=25, \therefore 25 \div \frac{18^{\circ}}{360^{\circ}}=500$. 故答案为: 500 ;

(2) $\because$ 得 0 分的人数占 $40 \%, \quad \therefore a=40 \% \times 500=200$;

$\because$ 得 3 分的人数有 2 人, $\therefore b \%=\frac{2}{500} \times 100 \%=0.4 \%$, 即 $b=0.4$;

$\because$ 得 6 分的有 275 人, $\therefore c=\frac{275}{500} \times 100=55$. 故答案为: $200,0.4,55$;

(3) $\alpha=40 \% \times 360^{\circ}=144^{\circ}, \beta=55 \% \times 360=198^{\circ}$. 故答案为: $144^{\circ}, 198^{\circ}$;

(4) 因为 $49 \times 55 \%=26.95$, 所以估计 2020 年中考全省概率题得 0 分的学生共有 26.95 万.
解析：（1） $500 ;$ （2） $200,0.4,55$; （3） $144^{\circ}, 198^{\circ}$; （4） 26.95 万

【分析】(1) 先求出 $1-5$ 分的总人数, 再根据此种情况在扇形统计图中占 $18^{\circ}$ 即可得出总人数;

(2) 根据得 0 分的人数占 $40 \%$ 可得出 $a$ 的值, 再由 3 分的人数求出 $b$ 的值, 同理得出 $c$ 的值;根据得 0 分与得 6 分人数所占的百分比即可得出结论; (4) 根据得 0 分人数的百分比可得出结论.
【详解】解: $\because 2+3+2+10+8=25, \therefore 25 \div \frac{18^{\circ}}{360^{\circ}}=500$. 故答案为: 500 ;

(2) $\because$ 得 0 分的人数占 $40 \%, \quad \therefore a=40 \% \times 500=200$;

$\because$ 得 3 分的人数有 2 人, $\therefore b \%=\frac{2}{500} \times 100 \%=0.4 \%$, 即 $b=0.4$;

$\because$ 得 6 分的有 275 人, $\therefore c=\frac{275}{500} \times 100=55$. 故答案为: $200,0.4,55$;

(3) $\alpha=40 \% \times 360^{\circ}=144^{\circ}, \beta=55 \% \times 360=198^{\circ}$. 故答案为: $144^{\circ}, 198^{\circ}$;

(4) 因为 $49 \times 55 \%=26.95$, 所以估计 2020 年中考全省概率题得 0 分的学生共有 26.95 万.

【点睛】本题考查的是扇形统计图, 扇形统计图是用整个圆表示总数, 用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数, 通过扇形统计图可以很清楚的表示出各部分数量与总数之间的关系, 用整个圆的面积表示总数（单位 1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数.