eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（八年级 · 解析几何）：“构造图形解题”, 它的应用十分广泛, 特别是有些技巧性很强的题目, 如果不能发现题目中所隐含的几何意义, 而用通常的代数方法去思考, 经常让我们手足无措, 难以下手, 这时, 如果能转换思维, 发现题目中隐含的几何条件, 通过构造适合的几何图形, 将会得到事半功倍的效果,下面介绍两则实例:

实例一: 1876 年, 美国总统伽非尔德利用实例一图证明了勾股定理: 由 $S_{\text {四边形 } A B C D}=S_{\triangle A B C}+$ $S_{\triangle A D E}+S_{\triangle A B E}$ 得: $\frac{1}{2}(a+b)^{2}=2 \times \frac{1}{2} a b+\frac{1}{2} c^{2}$, 化简得: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.实例二: 欧几里得的 《几何原本》记载, 关于 $x$ 的方程 $x^{2}+a x=b^{2}$ 的图解法是: 画 $R t \triangle A B C$,
使 $\angle A C B=90^{\circ}, B C=\frac{a}{2}, A C=|b|$, 再在斜边 $A B$ 上截取 $B D=\frac{a}{2}$, 则 $A D$ 的长就是该方程的一个正根(如实例二图).

请根据以上阅读材料回答下面的问题:

(1)如图 1, 请利用图形中面积的等量关系, 写出甲图要证明的数学公式是 , 乙图要证明的数学公式是 \$ \qquad \$ , 体现的数学思想是 \$ \qquad \$ ;

(2)如图 2, 若 2 和 -8 是关于 $x$ 的方程 $x^{2}+a x=b^{2}$ 的两个根, 按照实例二的方式构造 $R t \triangle A B C$,连接 $C D$, 求 $C D$ 的长;

(3)若 $x, y, z$ 都为正数, 且 $x^{2}+y^{2}=z^{2}$, 请用构造图形的方法求 $\frac{x+y}{z}$ 的最大值.


甲



图1



实例二图



图2
选项：
答案：(1)完全平方公式, 平方差公式, 数形结合 ;

(2)如图 2 中, 作 $C H \perp A B$ 于 $H$.

<ImageHere>

由题意, $A D=2, B C=B D=3, A C=4$,

$\because \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B C=\frac{1}{2} \cdot A B \cdot C H$,

$\therefore C H=\frac{12}{5}$,

$\therefore B H=\sqrt{B C^{2}-C H^{2}}=\frac{9}{5}$,

$\therefore D H=B D-B H=\frac{6}{5}$,

$\therefore C D=\sqrt{C H^{2}+D H^{2}}=\frac{6 \sqrt{5}}{5}$.

(3)如图 3 中, 用 4 个全等的直角三角形(直角边分别为 $x, y$, 斜边为 $z$ ), 拼如图正方形.

<ImageHere>

当 $x+y$ 是定值时, $z$ 最小的时候, $\frac{x+y}{z}$ 定值最小,

易知当小正方形的顶点是大正方形的中点时, $z$ 的值最小, 此时 $x=y, z=\sqrt{2} x$,

$\therefore \frac{x+y}{z}$ 最大值 $=\frac{x+x}{\sqrt{2} x}=\sqrt{2}$.
解析：(1)完全平方公式, 平方差公式, 数形结合 ;

(2)如图 2 中, 作 $C H \perp A B$ 于 $H$.



由题意, $A D=2, B C=B D=3, A C=4$,

$\because \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B C=\frac{1}{2} \cdot A B \cdot C H$,

$\therefore C H=\frac{12}{5}$,

$\therefore B H=\sqrt{B C^{2}-C H^{2}}=\frac{9}{5}$,

$\therefore D H=B D-B H=\frac{6}{5}$,

$\therefore C D=\sqrt{C H^{2}+D H^{2}}=\frac{6 \sqrt{5}}{5}$.

(3)如图 3 中, 用 4 个全等的直角三角形(直角边分别为 $x, y$, 斜边为 $z$ ), 拼如图正方形.



当 $x+y$ 是定值时, $z$ 最小的时候, $\frac{x+y}{z}$ 定值最小,

易知当小正方形的顶点是大正方形的中点时, $z$ 的值最小, 此时 $x=y, z=\sqrt{2} x$,

$\therefore \frac{x+y}{z}$ 最大值 $=\frac{x+x}{\sqrt{2} x}=\sqrt{2}$.
题目（八年级 · 解析几何）：如图所示, $A, B$ 两点被池塘隔开, 在 $A, B$ 外选一点 $C$, 连接 $A C$ 和 $B C$, 并分别找出 $A C$ 和 $B C$ 的中点 $M, N$, 如果测得 $M N=20 m$, 那 $么 A, B$ 两点间的距离是多少？


选项：
答案：解：如图,

<ImageHere>

$\because A C$ 和 $B C$ 的中点是 $M 、 N$,

$\therefore M N$ 是 $\triangle A B C$ 的中位线,

$\therefore A B=2 M N=40(m)$,

答: $A 、 B$ 两点间的距离是 $40 \mathrm{~m}$.
解析：解：如图,



$\because A C$ 和 $B C$ 的中点是 $M 、 N$,

$\therefore M N$ 是 $\triangle A B C$ 的中位线,

$\therefore A B=2 M N=40(m)$,

答: $A 、 B$ 两点间的距离是 $40 \mathrm{~m}$.
题目（八年级 · 解析几何）：在平行四边形 $A B C D$ 中, 点 $E$ 在 $C D$ 上, 点 $F$ 在 $A B$ 上, 连接 $A E 、 C F 、 D F 、 B E, \angle D A E=\angle B C F$.



图1



图2

(1)如图 1, 求证: 四边形 $D F B E$ 是平行四边形;

(2)如图 2, 若 $E$ 是 $C D$ 的中点, 连接 $G H$, 在不添加任何辅助线的情况下, 请直接写出图 2 中以 $G H$ 为边或以 $G H$ 为对角线的所有平行四边形.
选项：
答案：(1)证明: $\because$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形,

$\therefore A B / / C D, \angle A D E=\angle C B F, A D=B C$,

在 $\triangle A D E$ 和 $\triangle C B F$ 中, $\left\{\begin{array}{l}\angle A D E=\angle C B F \\ A D=B C \\ \angle D A E=\angle B C F\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A D E \cong \triangle C B F(A S A)$,
$\therefore D E=B F$,

又 $\because D E / / B F$,

$\therefore$ 四边形 $D F B E$ 是平行四边形;

(2)解: $\because E$ 是 $C D$ 的中点,

$\therefore D E=C E$,

$\therefore$ 以 $G H$ 为边的平行四边形有平行四边形 $G H F A$ 、平行四边形 $G H B F$ 、平行四边形 $G H E D$ 、平行四边形 $G H C E$

以 $G H$ 为对角线的平行四边形有 $G F H E$.
解析：(1)证明: $\because$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形,

$\therefore A B / / C D, \angle A D E=\angle C B F, A D=B C$,

在 $\triangle A D E$ 和 $\triangle C B F$ 中, $\left\{\begin{array}{l}\angle A D E=\angle C B F \\ A D=B C \\ \angle D A E=\angle B C F\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A D E \cong \triangle C B F(A S A)$,
$\therefore D E=B F$,

又 $\because D E / / B F$,

$\therefore$ 四边形 $D F B E$ 是平行四边形;

(2)解: $\because E$ 是 $C D$ 的中点,

$\therefore D E=C E$,

$\therefore$ 以 $G H$ 为边的平行四边形有平行四边形 $G H F A$ 、平行四边形 $G H B F$ 、平行四边形 $G H E D$ 、平行四边形 $G H C E$

以 $G H$ 为对角线的平行四边形有 $G F H E$.
题目（八年级 · 解析几何）：用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
选项：
答案：解：已知：如图, 直线 $A B, C D$ 被直线 $E F$ 所截, $\angle 1+\angle 2=180^{\circ}$.

<ImageHere>

求证: $A B / / C D$.

证明: 假设直线 $A B$ 与 $C D$ 不平行, 则 $A B$ 与 $C D$ 相交.

设 $A B, C D$ 相交于点 $P$,

得到 $\triangle G P H$,

则 $\angle 1+\angle 2+\angle P=180^{\circ}$.

显然与 $\angle 1+\angle 2=180^{\circ}$ 相矛盾.
$\therefore$ 假设不成立.

$\therefore A B / / C D$
解析：解：已知：如图, 直线 $A B, C D$ 被直线 $E F$ 所截, $\angle 1+\angle 2=180^{\circ}$.



求证: $A B / / C D$.

证明: 假设直线 $A B$ 与 $C D$ 不平行, 则 $A B$ 与 $C D$ 相交.

设 $A B, C D$ 相交于点 $P$,

得到 $\triangle G P H$,

则 $\angle 1+\angle 2+\angle P=180^{\circ}$.

显然与 $\angle 1+\angle 2=180^{\circ}$ 相矛盾.
$\therefore$ 假设不成立.

$\therefore A B / / C D$
题目（八年级 · 解析几何）：已知 $y$ 是 $x$ 的反比例函数, 且当 $x=-2$ 时, $y=\frac{1}{2}$.

(1)求这个反比例函数解析式;

(2)分别求当 $x=3$ 和 $x=-\frac{1}{3}$ 时函数 $y$ 的值.
选项：
答案：解：(1)设反比例函数的解析式为 $y=\frac{k}{x}(k$ 为常数且 $k \neq 0)$,

将 $x=-2, y=\frac{1}{2}$ 代入 $y=\frac{k}{x}, \quad$ 得 $k=-1$,

所以所求函数解析式为 $y=-\frac{1}{x}$.

(2)当 $x=3$ 时,$y=-\frac{1}{3}$ ；

当 $x=-\frac{1}{3}$ 时,$y=3$.

20、【答案】解：(1)依题意得 $\left\{\begin{array}{l}y=2 x \\ y=x+1\end{array}\right.$,解得 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=2\end{array}\right.$.

即反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 图象过点 $(1,2)$,

则 $k=x y=1 \times 2=2$.

故该反比例函数解析式为: $y=\frac{2}{x}$.

(2) 由(1)知, 反比例函数解析式为: $y=\frac{2}{x}$.

则该函数图象经过第一、三象限, 且经过点 $(1,2) 、(-1,-2)$. 其图象如图所示:

<ImageHere>

(3)由(2)中的图象可知, 当 $x>0$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小.
解析：解：(1)设反比例函数的解析式为 $y=\frac{k}{x}(k$ 为常数且 $k \neq 0)$,

将 $x=-2, y=\frac{1}{2}$ 代入 $y=\frac{k}{x}, \quad$ 得 $k=-1$,

所以所求函数解析式为 $y=-\frac{1}{x}$.

(2)当 $x=3$ 时,$y=-\frac{1}{3}$ ；

当 $x=-\frac{1}{3}$ 时,$y=3$.

20、【答案】解：(1)依题意得 $\left\{\begin{array}{l}y=2 x \\ y=x+1\end{array}\right.$,解得 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=2\end{array}\right.$.

即反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ 图象过点 $(1,2)$,

则 $k=x y=1 \times 2=2$.

故该反比例函数解析式为: $y=\frac{2}{x}$.

(2) 由(1)知, 反比例函数解析式为: $y=\frac{2}{x}$.

则该函数图象经过第一、三象限, 且经过点 $(1,2) 、(-1,-2)$. 其图象如图所示:



(3)由(2)中的图象可知, 当 $x>0$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小.
题目（八年级 · 解析几何）：（8 分）环保局对某企业排污情况进行检测, 当所排污水中硫化物的浓度超标, 即硫化物的浓度超过最高允许值 $1.0 \mathrm{mg} / \mathrm{l}$ 时, 环保局要求该企业立即整改, 必须在 15 天以内（含 15 天）排污达标. 整改过程中, 所排污水中硫化物的浓度 $y(m g / l)$ 与时间 $x$ （天）的变化规律如图所示, 其中线段 $A B$ 表示前 5 天的变化规律, 从第 5 天起, 所排污水中硫化物的浓度 $y$ 与时间 $x$ 成反比例关系.

(1) 求整改过程中硫化物的浓度 $y$ 与时间 $x$ 的函数表达式;

（2）该企业能否按期将排污整改达标? 为什么?


选项：
答案：解: (1) 由图象知, 点 $A 、 B$ 的坐标分别为 $(0,14) 、(5,4)$,当 $0 \leq x \leq 5$ 时, 设 $A B$ 的表达式为 $y=k x+b$,

将点 $A 、 B$ 的坐标代入上式得 $\left\{\begin{array}{c}b=14 \\ 5+b=4\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}k=-2 \\ b=14\end{array}\right.$,

故 $y=-2 x+14$;

当 $x>5$ 时，设函数的表达式为 $y=\frac{k}{x} ，$

把点 $B$ 的坐标 $(5,4)$ 代入上式并解得: $k=20$,

故 $y=\frac{20}{x}$;

故函数的表达式为 $y=\left\{\begin{array}{c}-2 x+14(0 \leq x \leq 5) \\ \frac{20}{x}(x>5)\end{array}\right.$;

(2) 不能, 理由:

当 $x=15$ 时, $y=\frac{20}{x}=\frac{20}{15}>1$,

故不能按期完成排污整改达标.
解析：解: (1) 由图象知, 点 $A 、 B$ 的坐标分别为 $(0,14) 、(5,4)$,当 $0 \leq x \leq 5$ 时, 设 $A B$ 的表达式为 $y=k x+b$,

将点 $A 、 B$ 的坐标代入上式得 $\left\{\begin{array}{c}b=14 \\ 5+b=4\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}k=-2 \\ b=14\end{array}\right.$,

故 $y=-2 x+14$;

当 $x>5$ 时，设函数的表达式为 $y=\frac{k}{x} ，$

把点 $B$ 的坐标 $(5,4)$ 代入上式并解得: $k=20$,

故 $y=\frac{20}{x}$;

故函数的表达式为 $y=\left\{\begin{array}{c}-2 x+14(0 \leq x \leq 5) \\ \frac{20}{x}(x>5)\end{array}\right.$;

(2) 不能, 理由:

当 $x=15$ 时, $y=\frac{20}{x}=\frac{20}{15}>1$,

故不能按期完成排污整改达标.
题目（八年级 · 解析几何）：已知 $y=y_{1}-y_{2}, y_{1}$ 与 $x$ 成反比例, $y_{2}$ 与 $(x-2)$ 成正比例, 并且当 $x=-1$ 时, $y=-15$, 当 $x=2$时, $y=\frac{3}{2}$;

(1)求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式;

(2)当 $x=1$ 时, $y$ 的值.
选项：
答案：解: (1) $\because y_{1}$ 与 $x$ 成反比例, $y_{2}$ 与 $(x-2)$ 成正比例,

$\therefore$ 设 $y_{1}=\frac{k_{1}}{x}, y_{2}=k_{2}(x-2)$ ，

$\therefore y=\frac{k_{1}}{x}-k_{2}(x-2)$,

$\because$ 当 $x=-1$ 时, $y=-15$, 当 $x=2$ 时, $y=\frac{3}{2}$;

$$
\therefore\left\{\begin{array}{l}
-k_{1}+3 k_{2}=-15 \\
\frac{1}{2} k_{1}=\frac{3}{2}
\end{array}\right.
$$

解得: $\left\{\begin{array}{l}k_{1}=3 \\ k_{2}=-4\end{array}\right.$

$\therefore y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y=\frac{3}{x}+4 x-8$.

(2)把 $x=1$ 代入 $y=\frac{3}{x}+4 x-8$,

得 $y=3+4-8=-1$.
解析：解: (1) $\because y_{1}$ 与 $x$ 成反比例, $y_{2}$ 与 $(x-2)$ 成正比例,

$\therefore$ 设 $y_{1}=\frac{k_{1}}{x}, y_{2}=k_{2}(x-2)$ ，

$\therefore y=\frac{k_{1}}{x}-k_{2}(x-2)$,

$\because$ 当 $x=-1$ 时, $y=-15$, 当 $x=2$ 时, $y=\frac{3}{2}$;

$$
\therefore\left\{\begin{array}{l}
-k_{1}+3 k_{2}=-15 \\
\frac{1}{2} k_{1}=\frac{3}{2}
\end{array}\right.
$$

解得: $\left\{\begin{array}{l}k_{1}=3 \\ k_{2}=-4\end{array}\right.$

$\therefore y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y=\frac{3}{x}+4 x-8$.

(2)把 $x=1$ 代入 $y=\frac{3}{x}+4 x-8$,

得 $y=3+4-8=-1$.
题目（八年级 · 解析几何）：已知, 矩形 $O A B C$ 中, $A C=10, O A=8$, 对角线 $A C, B O$ 的交点为 $P$,它在平面直角坐标系中的位置如图.

(1)若反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$ 的图象经过点 $P$, 求反比例函数的表达式;

(2)若(1)中反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$ 的图象与边 $B C$ 所在的直线交于点



$M$, 求点 $M$ 的坐标.
选项：
答案：解: (1) $\because$ 矩形 $O A B C$ 中, $A C=10, O A=8$,

$\therefore O C=\sqrt{A C^{2}-O A^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$,

$\therefore$ 点 $P$ 坐标为 $(4,3)$,

$\because$ 反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$ 的图象经过点 $P$,

$\therefore 3=\frac{k}{4}$,

$\therefore k=12$,

$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\frac{12}{x}$;

(2) $\because O C=6$,
$\therefore$ 直线 $B C$ 为 $y=6$,

把 $y=6$ 代入 $y=\frac{12}{x}$, 求得 $x=2$,

$\therefore M(2,6)$
解析：解: (1) $\because$ 矩形 $O A B C$ 中, $A C=10, O A=8$,

$\therefore O C=\sqrt{A C^{2}-O A^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$,

$\therefore$ 点 $P$ 坐标为 $(4,3)$,

$\because$ 反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k \neq 0)$ 的图象经过点 $P$,

$\therefore 3=\frac{k}{4}$,

$\therefore k=12$,

$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=\frac{12}{x}$;

(2) $\because O C=6$,
$\therefore$ 直线 $B C$ 为 $y=6$,

把 $y=6$ 代入 $y=\frac{12}{x}$, 求得 $x=2$,

$\therefore M(2,6)$
题目（八年级 · 解析几何）：如图, 一次函数 $y=a x+b$ 的图象与反比例函数的图象交于 $A(-4,2), B(2, n)$ 两点, 且与 $x$ 轴交于点 $C$.

(1)求这两个函数的解析式;

(2)求 $\triangle A O B$ 的面积;

(3)根据图象写出一次函数的值小于反比例函数的值 $x$ 的取值范围.


选项：
答案：解：(1)设反比例函数的解析式为: $y=\frac{k}{x}$,

$\because A(-4,2)$

$\therefore k=x y=-4 \times 2=-8$,

$\therefore$ 反比例函数的解析式为: $y=-\frac{8}{x}$,

$\because B(2, n)$,

$\therefore n=-\frac{8}{2}=-4$,

$\therefore B(2,-4)$,

设一次函数的解析式为: $y=m x+n$,

$\left\{\begin{array}{l}-4 m+n=2 \\ 2 m+n=-4\end{array}\right.$

解得: $\left\{\begin{array}{l}m=-1 \\ n=-2\end{array}\right.$,

$\therefore$ 一次函数的解析式为: $y=-x-2$;

(2) 一次函数与 $x$ 轴的交点坐标为: $(-2,0)$,

$\therefore S_{\triangle A O B}=S_{\triangle A O C}+S_{\triangle B O C}=\frac{1}{2} \times 2 \times 2+\frac{1}{2} \times 2 \times 4=6$;

(3)一次函数的值小于反比例函数的值 $x$ 的取值范围为: $-4<x<0$ 或 $x>2$.
解析：解：(1)设反比例函数的解析式为: $y=\frac{k}{x}$,

$\because A(-4,2)$

$\therefore k=x y=-4 \times 2=-8$,

$\therefore$ 反比例函数的解析式为: $y=-\frac{8}{x}$,

$\because B(2, n)$,

$\therefore n=-\frac{8}{2}=-4$,

$\therefore B(2,-4)$,

设一次函数的解析式为: $y=m x+n$,

$\left\{\begin{array}{l}-4 m+n=2 \\ 2 m+n=-4\end{array}\right.$

解得: $\left\{\begin{array}{l}m=-1 \\ n=-2\end{array}\right.$,

$\therefore$ 一次函数的解析式为: $y=-x-2$;

(2) 一次函数与 $x$ 轴的交点坐标为: $(-2,0)$,

$\therefore S_{\triangle A O B}=S_{\triangle A O C}+S_{\triangle B O C}=\frac{1}{2} \times 2 \times 2+\frac{1}{2} \times 2 \times 4=6$;

(3)一次函数的值小于反比例函数的值 $x$ 的取值范围为: $-4<x<0$ 或 $x>2$.
题目（八年级 · 解析几何）：某公司推出一种产品, 设 $x$ 是某推销员推销产品的数量, $y$ 是推销费,

如图表示的是该公司每月付给推销员推销费的两种方案; 解答下列问题:

(1) 求 $y_{1}, y_{2}$ 的解析式;

（2）解释图中的两种方案是如何支付推销费的?

（3）作为推销员，如何选择付费方案？


选项：
答案：解：(1) 设 $y_{1}=k_{1} x, y_{2}=k_{2} x+b$,根据图像可得: $600=30 k_{1},\left\{\begin{array}{c}b=300 \\ 30 k_{2}+b=600\end{array}\right.$

解得: $k_{1}=20,\left\{\begin{array}{l}k_{2}=10 \\ b=300\end{array}\right.$

$\therefore y_{1}=20 x, \quad y_{2}=10 x+300$

（2）方案一: 没有基础工资, 每销售 1 件产品, 付推销费 20 元; (即 $y_{1}=20 x$ )
方案二: 每月发基础工资 300 元, 每推销 1 件产品, 再付 10 元推销费;

$\left(\right.$ 即 $\left.y_{2}=10 x+300\right)$

(3) 当 $y_{1}>y_{2}$ 时， $20 x>10 x+300$ 得： $x>30$

即当每月推销量超过 30 件时, 选择方案一付费;

当 $y_{1}=y_{2}$ 时, $20 x=10 x+300$ 得: $x=30$

即当每月推销量等于 30 件时, 选择两种方案付费都一样;

当 $y_{1}<y_{2}$ 时, $20 x<10 x+300$ 得: $x<30$

即当每月推销量不足 30 件时, 选择方案二付费.
解析：解：(1) 设 $y_{1}=k_{1} x, y_{2}=k_{2} x+b$,根据图像可得: $600=30 k_{1},\left\{\begin{array}{c}b=300 \\ 30 k_{2}+b=600\end{array}\right.$

解得: $k_{1}=20,\left\{\begin{array}{l}k_{2}=10 \\ b=300\end{array}\right.$

$\therefore y_{1}=20 x, \quad y_{2}=10 x+300$

（2）方案一: 没有基础工资, 每销售 1 件产品, 付推销费 20 元; (即 $y_{1}=20 x$ )
方案二: 每月发基础工资 300 元, 每推销 1 件产品, 再付 10 元推销费;

$\left(\right.$ 即 $\left.y_{2}=10 x+300\right)$

(3) 当 $y_{1}>y_{2}$ 时， $20 x>10 x+300$ 得： $x>30$

即当每月推销量超过 30 件时, 选择方案一付费;

当 $y_{1}=y_{2}$ 时, $20 x=10 x+300$ 得: $x=30$

即当每月推销量等于 30 件时, 选择两种方案付费都一样;

当 $y_{1}<y_{2}$ 时, $20 x<10 x+300$ 得: $x<30$

即当每月推销量不足 30 件时, 选择方案二付费.
题目（八年级 · 解析几何）：如图, 一次函数 $y=x+b$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k$ 为常数且 $k \neq$ $0)$ 的图象交于 $A(-1, a) 、 B$ 两点, 与 $x$ 轴交于点 $C(-4,0)$.

(1)求一次函数和反比例函数的表达式;

(2) 若点 $D$ 是第四象限内反比例函数图象上的点, 且点 $D$ 到直线 $A C$的距离为 $5 \sqrt{2}$, 求点 $D$ 的横坐标.


选项：
答案：解: (1)将 $C(-4,0)$ 代入 $y=x+b$, 得 $b=4$,

$\therefore$ 一次函数的表达式为 $y=x+4$,

将 $A(-1, a)$ 代入 $y=x+4, y=\frac{k}{x}$ 中, 得: $a=-1+4, a=\frac{k}{-1}$,

$\therefore k=-3$,

$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=-\frac{3}{x}$;

(2) 过点 $D$ 作 $D E / / A C$ 交 $x$ 轴于点 $E$, 过点 $E$ 作 $E F \perp A C$ 于点 $F$,

<ImageHere>

$\therefore$ 设直线 $D E$ 的解析式为 $y=x+m, E F=5 \sqrt{2}$,

$\because y=x+4$,

$\therefore G(0,4)$,

又 $C(-4,0)$,

$\therefore C O=G O=4$,

又 $\angle G O C=90^{\circ}$,

$\because E F \perp A C$,

$\therefore C E=\sqrt{2} E F=10$,

$\therefore E O=6$,

$\therefore E(6,0)$,
将 $E(6,0)$ 代入 $y=x+m$ 中, 得: $m=-6$,

$\therefore y=x-6$,

联立 $\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{3}{x} \\ y=x-6\end{array}\right.$,

解得 $x= \pm \sqrt{6}+3$,

$\therefore$ 点 $D$ 的横坐标 $x= \pm \sqrt{6}+3$.
解析：解: (1)将 $C(-4,0)$ 代入 $y=x+b$, 得 $b=4$,

$\therefore$ 一次函数的表达式为 $y=x+4$,

将 $A(-1, a)$ 代入 $y=x+4, y=\frac{k}{x}$ 中, 得: $a=-1+4, a=\frac{k}{-1}$,

$\therefore k=-3$,

$\therefore$ 反比例函数的表达式为 $y=-\frac{3}{x}$;

(2) 过点 $D$ 作 $D E / / A C$ 交 $x$ 轴于点 $E$, 过点 $E$ 作 $E F \perp A C$ 于点 $F$,



$\therefore$ 设直线 $D E$ 的解析式为 $y=x+m, E F=5 \sqrt{2}$,

$\because y=x+4$,

$\therefore G(0,4)$,

又 $C(-4,0)$,

$\therefore C O=G O=4$,

又 $\angle G O C=90^{\circ}$,

$\because E F \perp A C$,

$\therefore C E=\sqrt{2} E F=10$,

$\therefore E O=6$,

$\therefore E(6,0)$,
将 $E(6,0)$ 代入 $y=x+m$ 中, 得: $m=-6$,

$\therefore y=x-6$,

联立 $\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{3}{x} \\ y=x-6\end{array}\right.$,

解得 $x= \pm \sqrt{6}+3$,

$\therefore$ 点 $D$ 的横坐标 $x= \pm \sqrt{6}+3$.
题目（八年级 · 解析几何）：如图是某游乐园 “水上滑梯” 的侧面示意图, 其中 $B D$ 段可看成双曲线 $y=\frac{k}{x}(x>0)$ 的一部分,矩形 $O A B C$ 是向上攀爬的阶梯部分. 以 $O$ 为中心建立平面直角坐标系, 使点 $A$ 和点 $C$ 分别落在 $x$轴和 $y$ 轴的正半轴上. 已知 $O C=5$ 米, 入口水平平台 $B C=1.8$ 米, 滑梯的出口 $D$ 点到水面的距离



$D E$ 为 0.75 米 $(O 、 A 、 E$ 在一条直线上 $)$. 求 $B 、 D$ 之间的水平距离 $A E$ 的长.
选项：
答案：解: $\because O C=5, B C=1.8$,

$\therefore$ 点 $B$ 的坐标是 $(1.8,5)$, 代入 $y=\frac{k}{x}$, 得

$\frac{k}{1.8}=5, \quad k=9$.

$\therefore$ 双曲线的解析式为 $y=\frac{9}{x}$.

$\because D E=0.75$

$\therefore$ 设点 $D$ 的坐标为 $(m, 0.75)$, 并代入 $y=\frac{9}{x}$, 得

$\frac{9}{m}=0.75, \quad m=12$.

即 $O E=12$.

$\because$ 四边形 $O A B C$ 是矩形,

$\therefore O A=B C=1.8$.

$\therefore A E=O E-O A=12-1.8=10.2$ (米)

因此， $B 、 D$ 之间的水平距离为 10.2 米.
解析：解: $\because O C=5, B C=1.8$,

$\therefore$ 点 $B$ 的坐标是 $(1.8,5)$, 代入 $y=\frac{k}{x}$, 得

$\frac{k}{1.8}=5, \quad k=9$.

$\therefore$ 双曲线的解析式为 $y=\frac{9}{x}$.

$\because D E=0.75$

$\therefore$ 设点 $D$ 的坐标为 $(m, 0.75)$, 并代入 $y=\frac{9}{x}$, 得

$\frac{9}{m}=0.75, \quad m=12$.

即 $O E=12$.

$\because$ 四边形 $O A B C$ 是矩形,

$\therefore O A=B C=1.8$.

$\therefore A E=O E-O A=12-1.8=10.2$ (米)

因此， $B 、 D$ 之间的水平距离为 10.2 米.
题目（八年级 · 立体几何学）：(10 分)

(1) 若多边形的内角和为 $2340^{\circ}$, 求此多边形的边数;

(2) 一个 $n$ 边形的每个外角都相等, 如果它的内角与相邻外角的度数之比为 13: 2 , 求 $n$ 的值.
选项：
答案： (1) 解：设此多边形的边数为 $n$, 则 $(n-2) \cdot 180^{\circ}=2340^{\circ}$,解得 $n=15$.

故此多边形的边数为 15

（2）解：设多边形的一个外角为 $2 x$ 度, 则一个内角为 $13 x$ 度, 依题意得

$13 x+2 x=180$,

解得 $x=12$.

$2 x=2 \times 12=24$,

$360^{\circ} \div 24^{\circ}=15$.

故这个多边形边数为 15 .

解: （1） 设此多边形的边数为 $\mathrm{n}$, 根据多边形的内角和公式, 列出方程, 求解即可;

（2） 设多边形的一个外角为 $2 x$ 度, 相邻的一个内角为 $13 x$ 度 , 根据多边形的内角与其相邻的外角互为邻补角列出方程, 求解算出 $\mathrm{x}$ 的值, 即可即可算出每一个外角的度数, 又任何多边形的外角和都是 $360^{\circ}$, 故用外角的总度数除以每一个外角的度数, 即可算出多边形的边数。
解析： (1) 解：设此多边形的边数为 $n$, 则 $(n-2) \cdot 180^{\circ}=2340^{\circ}$,解得 $n=15$.

故此多边形的边数为 15

（2）解：设多边形的一个外角为 $2 x$ 度, 则一个内角为 $13 x$ 度, 依题意得

$13 x+2 x=180$,

解得 $x=12$.

$2 x=2 \times 12=24$,

$360^{\circ} \div 24^{\circ}=15$.

故这个多边形边数为 15 .

解: （1） 设此多边形的边数为 $\mathrm{n}$, 根据多边形的内角和公式, 列出方程, 求解即可;

（2） 设多边形的一个外角为 $2 x$ 度, 相邻的一个内角为 $13 x$ 度 , 根据多边形的内角与其相邻的外角互为邻补角列出方程, 求解算出 $\mathrm{x}$ 的值, 即可即可算出每一个外角的度数, 又任何多边形的外角和都是 $360^{\circ}$, 故用外角的总度数除以每一个外角的度数, 即可算出多边形的边数。
题目（八年级 · 立体几何学）：如图为一风筝骨架: 已知 $A B=A D, B C=D C$, 求证: $\angle B=\angle D$.


选项：
答案：证明: 连接 $A C$.

<ImageHere>

在 $\triangle A C B$ 和 $\triangle A C D$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}A B=A D \\ A C=A C, \\ B C=D C\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A C B \cong \triangle A C D(\mathrm{SSS})$,

$\therefore \angle B=\angle D$
解析：证明: 连接 $A C$.



在 $\triangle A C B$ 和 $\triangle A C D$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}A B=A D \\ A C=A C, \\ B C=D C\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A C B \cong \triangle A C D(\mathrm{SSS})$,

$\therefore \angle B=\angle D$
题目（八年级 · 立体几何学）：某种牙膏上部圆的直径为 $2.6 \mathrm{~cm}$, 下部底边长为 $4 \mathrm{~cm}$, 如图, 现要制作长方体的牙膏盒, 牙膏盒底面是正方形, 手工课上小明、小亮、小丽、小芳制作的牙膏盒的高度都一样, 且高度符合要求.不同的是底面正方形的边长, 他们制作的边长如下表:

| 制作者 | 小明 | 小亮 | 小丽 | 小芳 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 正方形的边长 | $2 \mathrm{~cm}$ | $2.6 \mathrm{~cm}$ | $3 \mathrm{~cm}$ | $3.4 \mathrm{~cm}$ |

(1) 这 4 位同学制作的盒子都能装下这种牙膏吗? ( $\sqrt{2} \approx 1.42$ )

（2）若你是牙膏厂的厂长，从节约材料又方便取放牙膏的角度来看, 你认为谁的制作更合理?并说明理由.
选项：
答案：（1）牙膏恰好放入牙膏盒内, 牙膏下底部长与牙膏盒底面对角线长相等.

设底面正方形的边长为 $a$, 则根据勾股定理得:

$2 a^{2}=4^{2}$, 解得 $a= \pm \sqrt{8}( \pm 2 \sqrt{2})$,

因为 $a$ 不能为负, 所以 $a$ 为 $=\sqrt{8}(2 \sqrt{2})$;

因此, 只要牙膏盒底面边长大于或等于 $2.84 \mathrm{~cm}$, 牙膏盒都能装下这种牙膏,

所以小丽和小芳制作的盒子能装下这种牙膏.

（2）小丽制作的牙膏盒更合理. 因为她制作的盒子既节约材料又方便取放牙膏.
解析：（1）牙膏恰好放入牙膏盒内, 牙膏下底部长与牙膏盒底面对角线长相等.

设底面正方形的边长为 $a$, 则根据勾股定理得:

$2 a^{2}=4^{2}$, 解得 $a= \pm \sqrt{8}( \pm 2 \sqrt{2})$,

因为 $a$ 不能为负, 所以 $a$ 为 $=\sqrt{8}(2 \sqrt{2})$;

因此, 只要牙膏盒底面边长大于或等于 $2.84 \mathrm{~cm}$, 牙膏盒都能装下这种牙膏,

所以小丽和小芳制作的盒子能装下这种牙膏.

（2）小丽制作的牙膏盒更合理. 因为她制作的盒子既节约材料又方便取放牙膏.
题目（八年级 · 立体几何学）：如图是一张长 $24 \mathrm{~cm}$, 宽 $12 \mathrm{~cm}$ 的矩形铁皮, 将其剪去一个小正方形和两个矩形, 剩余部分（阴影部分）恰好可制成一个有盖的长方体铁盒.



(1) $a=$

(2) 若铁盒底面积是 $80 \mathrm{~cm}^{2}$, 求剪去的小正方形边长.
选项：
答案：解: (1) 12;

（2）设剪去的小正方形边长为 $x \mathrm{~cm}$, 由题意可得方程为:

$(12-2 x)(12-x)=80$,

解得: $x_{1}=2, x_{2}=16$,

又 $x_{2}=16>12$, 不合题意, 舍去.

答: 剪去的小正方形边长为 $2 \mathrm{~cm}$.

【解析】(1) 根据图形可知, $2 a=24$, 求解即可;

（2）设剪去的小正方形边长为 $x \mathrm{~cm}$, 由题意可得方程 $(12-2 x) \quad(12-x)=80$, 求解即可.
解析：解: (1) 12;

（2）设剪去的小正方形边长为 $x \mathrm{~cm}$, 由题意可得方程为:

$(12-2 x)(12-x)=80$,

解得: $x_{1}=2, x_{2}=16$,

又 $x_{2}=16>12$, 不合题意, 舍去.

答: 剪去的小正方形边长为 $2 \mathrm{~cm}$.

【解析】(1) 根据图形可知, $2 a=24$, 求解即可;

（2）设剪去的小正方形边长为 $x \mathrm{~cm}$, 由题意可得方程 $(12-2 x) \quad(12-x)=80$, 求解即可.
题目（八年级 · 画法几何学）：如图,在四边形$ABCD$中,$AD//BC,angleABC=angleADC=90^{circ}$,对角线$AC,BD$交于点$O,DE$平分$angleADC$交$BC$于点$E$,连接$OE$.(1)求证:四边形$ABCD$是矩形;(2)若$angleBDE=15^{circ}$,求$angleDOE$;(3)在（2）的条件下,若$AB=2$,求$triangleBOE$的面积.
选项：
答案：(1)由平行线的性质易证$angleBAD=90^{circ}$,得出$angleBAD=angleABC=angleADC=90^{circ}$,即可得出结论;(2)由矩形和角平分线的性质得出$angleCDE=angleCED=45^{circ}$,则$EC=DC$,推出$angleCDO=60^{circ}$,证明$triangleOCD$是等边三角形,求出$angleOCB=30^{circ}$,得出$angleCOE=75^{circ}$,即可得出结果;(3)作$OFperpBC$于$F$.求出$EC、OF$的长即可.【解析】(1)证明:$becauseAD//BC$,$thereforeangleABC+angleBAD=180^{circ}$,$becauseangleABC=90^{circ}$,$thereforeangleBAD=90^{circ}$,$thereforeangleBAD=angleABC=angleADC=90^{circ}$,$therefore$四边形$ABCD$是矩形;(2)解:$because$四边形$ABCD$是矩形,$DE$平分$angleADC$,$thereforeangleCDE=angleCED=45^{circ}$,$thereforeEC=DC$,又$becauseangleBDE=15^{circ}$,$thereforeangleCDO=60^{circ}$,又$because$矩形的对角线互相平分且相等,$thereforeOD=OC$,$thereforetriangleOCD$是等边三角形,$thereforeangleDOC=angleOCD=60^{circ}$,$thereforeangleOCB=90^{circ}-angleDCO=30^{circ}$,$becauseCO=CE$,$thereforeangleCOE=left(180^{circ}-30^{circ}right)div2=75^{circ}$,$thereforeangleDOE=angleDOC+angleCOE=60^{circ}+75^{circ}=135^{circ};$(3)解:作$OFperpBC$于$F$.$because$四边形$ABCD$是矩形,$thereforeCD=AB=2,angleBCD=90^{circ},AO=CO,BO=DO,AC=BD$,$thereforeAO=BO=CO=DO$,$thereforeBF=FC$,$thereforeOF=frac{1}{2}CD=1$,$becauseangleOCB=30^{circ},AB=2$,$thereforeBC=2sqrt{3}$,$becauseDE$平分$angleADC,angleADC=90^{circ}$,$thereforeangleEDC=45^{circ}$,在Rt$triangleEDC$中,$EC=CD=2$,$thereforetriangleBOE$的面积$=frac{1}{2}cdotEBcdotOF=frac{1}{2}times(2sqrt{3}-2)times1=sqrt{3}-1$.<ImageHere>【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识;熟练掌握矩形的判定与性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键.
解析：(1)由平行线的性质易证$angleBAD=90^{circ}$,得出$angleBAD=angleABC=angleADC=90^{circ}$,即可得出结论;(2)由矩形和角平分线的性质得出$angleCDE=angleCED=45^{circ}$,则$EC=DC$,推出$angleCDO=60^{circ}$,证明$triangleOCD$是等边三角形,求出$angleOCB=30^{circ}$,得出$angleCOE=75^{circ}$,即可得出结果;(3)作$OFperpBC$于$F$.求出$EC、OF$的长即可.【解析】(1)证明:$becauseAD//BC$,$thereforeangleABC+angleBAD=180^{circ}$,$becauseangleABC=90^{circ}$,$thereforeangleBAD=90^{circ}$,$thereforeangleBAD=angleABC=angleADC=90^{circ}$,$therefore$四边形$ABCD$是矩形;(2)解:$because$四边形$ABCD$是矩形,$DE$平分$angleADC$,$thereforeangleCDE=angleCED=45^{circ}$,$thereforeEC=DC$,又$becauseangleBDE=15^{circ}$,$thereforeangleCDO=60^{circ}$,又$because$矩形的对角线互相平分且相等,$thereforeOD=OC$,$thereforetriangleOCD$是等边三角形,$thereforeangleDOC=angleOCD=60^{circ}$,$thereforeangleOCB=90^{circ}-angleDCO=30^{circ}$,$becauseCO=CE$,$thereforeangleCOE=left(180^{circ}-30^{circ}right)div2=75^{circ}$,$thereforeangleDOE=angleDOC+angleCOE=60^{circ}+75^{circ}=135^{circ};$(3)解:作$OFperpBC$于$F$.$because$四边形$ABCD$是矩形,$thereforeCD=AB=2,angleBCD=90^{circ},AO=CO,BO=DO,AC=BD$,$thereforeAO=BO=CO=DO$,$thereforeBF=FC$,$thereforeOF=frac{1}{2}CD=1$,$becauseangleOCB=30^{circ},AB=2$,$thereforeBC=2sqrt{3}$,$becauseDE$平分$angleADC,angleADC=90^{circ}$,$thereforeangleEDC=45^{circ}$,在Rt$triangleEDC$中,$EC=CD=2$,$thereforetriangleBOE$的面积$=frac{1}{2}cdotEBcdotOF=frac{1}{2}times(2sqrt{3}-2)times1=sqrt{3}-1$.【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行线的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识;熟练掌握矩形的判定与性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键.
题目（八年级 · 画法几何学）：如图1,四边形$ABCD$是正方形,点$E$是边$BC$的中点,$angleAEF=90^{circ}$,且$EF$交正方形外角平分线$CF$于点$F$.请你认真阅读下面关于这个图的探究片段,完成所提出的问题.(1)请证明$AE=EF$请证明.（2）若把条件“点$E$是边$BC$的中点”改为“点$E$是线段$BC$上任意一点”,其余条件不变,那么(1)中的结论$AE=EF$是否成立?若成立,请给与证明;若不成立,请你说明理由.图1图2
选项：
答案：(1)取$AB$中点$M$,连接$ME$,证明$triangleEAMcongtriangleFEC$即可;(2)在$AB$上取点$M$,使得$BE=BM$,连接$ME$,证明$triangleEAMcongtriangleFEC$即可.【解析】解:(1)如题图2,取$AB$中点$M$,连接$ME$,在正方形$ABCD$中,$AB=BC,angleB=angleBCD=90^{circ}$,$becauseM、E$为$AB、BC$的中点,$thereforeBM=BE=AM=CE$,$thereforeangleBME=45^{circ}$,$thereforeangleAME=135^{circ}$,$becauseCF$为外角平分线,$thereforeangleDCF=45^{circ}$,$thereforeangleECF=135^{circ}$,$becauseangleFEC+angleAEB=90^{circ},angleBAE+angleAEB=90^{circ}$,$thereforeangleBAE=angleFEC$$thereforetriangleEAMcongtriangleFEC(ASA)$,$thereforeAE=EF$(2)成立，证明如下:在$AB$上取点$M$,使得$BE=BM$,连接$ME$,$thereforeBM=BE,AM=CE$,$thereforeangleBME=45^{circ}$,$thereforeangleAME=135^{circ}$,$becauseCF$为外角平分线，$thereforeangleDCF=45^{circ}$,$thereforeangleECF=135^{circ}$,$becauseangleFEC+angleAEB=90^{circ},angleBAE+angleAEB=90^{circ}$,$thereforeangleBAE=angleFEC$$thereforetriangleEAMcongtriangleFEC(ASA)$,$thereforeAE=EF$【点睛】本题考查正方形的性质,熟练掌握正方形的边角性质是解题关键.
解析：(1)取$AB$中点$M$,连接$ME$,证明$triangleEAMcongtriangleFEC$即可;(2)在$AB$上取点$M$,使得$BE=BM$,连接$ME$,证明$triangleEAMcongtriangleFEC$即可.【解析】解:(1)如题图2,取$AB$中点$M$,连接$ME$,在正方形$ABCD$中,$AB=BC,angleB=angleBCD=90^{circ}$,$becauseM、E$为$AB、BC$的中点,$thereforeBM=BE=AM=CE$,$thereforeangleBME=45^{circ}$,$thereforeangleAME=135^{circ}$,$becauseCF$为外角平分线,$thereforeangleDCF=45^{circ}$,$thereforeangleECF=135^{circ}$,$becauseangleFEC+angleAEB=90^{circ},angleBAE+angleAEB=90^{circ}$,$thereforeangleBAE=angleFEC$$thereforetriangleEAMcongtriangleFEC(ASA)$,$thereforeAE=EF$(2)成立，证明如下:在$AB$上取点$M$,使得$BE=BM$,连接$ME$,$thereforeBM=BE,AM=CE$,$thereforeangleBME=45^{circ}$,$thereforeangleAME=135^{circ}$,$becauseCF$为外角平分线，$thereforeangleDCF=45^{circ}$,$thereforeangleECF=135^{circ}$,$becauseangleFEC+angleAEB=90^{circ},angleBAE+angleAEB=90^{circ}$,$thereforeangleBAE=angleFEC$$thereforetriangleEAMcongtriangleFEC(ASA)$,$thereforeAE=EF$【点睛】本题考查正方形的性质,熟练掌握正方形的边角性质是解题关键.