eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高一 · 计数）：某公共汽车站每隔 15 分钟有一辆车发出, 并且每辆车在发出前在车站停靠 3 分钟。

(1) 求乘客到站候车时间大于 10 分钟的概率;

（2）求候车时间不超过 10 分钟的概率;

(3) 求乘客到达车站立即上车的概率。
选项：
答案：(1) 如图所示, 设相邻两班车的发车时刻为 $T_{1}, T_{2}, T_{1} T_{2}=15$

<ImageHere>

设 $T_{0} T_{2}=3, T T_{0}=10$, 记 “乘客到站候车时间大于 10 分钟” 为事件 $\mathrm{A}$, 则当乘客到站时刻 $\mathrm{t}$ 落到 $T_{1} T$ 上时, 事件 A 发生. $\because T_{1} T=15-3-10=2, T_{1} T_{2}=15, \therefore P(A)=\frac{T_{1} T}{T_{1} T_{2}}=\frac{2}{15}$

(2) 如图所示, 当乘客到站时刻 $t$ 落在 $T T_{2}$ 上时, 候车时间不超过 10 分钟, 故所求概率 $P=\frac{T T_{2}}{T_{1} T_{2}}=\frac{13}{15}$

(3) 如图所示, 当 $\mathrm{t}$ 落在 $T_{0} T_{2}$ 上时, 乘客到达车站立即上车, 故所求概率 $P=\frac{T_{0} T_{2}}{T_{1} T_{2}}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$.
解析：(1) 如图所示, 设相邻两班车的发车时刻为 $T_{1}, T_{2}, T_{1} T_{2}=15$



设 $T_{0} T_{2}=3, T T_{0}=10$, 记 “乘客到站候车时间大于 10 分钟” 为事件 $\mathrm{A}$, 则当乘客到站时刻 $\mathrm{t}$ 落到 $T_{1} T$ 上时, 事件 A 发生. $\because T_{1} T=15-3-10=2, T_{1} T_{2}=15, \therefore P(A)=\frac{T_{1} T}{T_{1} T_{2}}=\frac{2}{15}$

(2) 如图所示, 当乘客到站时刻 $t$ 落在 $T T_{2}$ 上时, 候车时间不超过 10 分钟, 故所求概率 $P=\frac{T T_{2}}{T_{1} T_{2}}=\frac{13}{15}$

(3) 如图所示, 当 $\mathrm{t}$ 落在 $T_{0} T_{2}$ 上时, 乘客到达车站立即上车, 故所求概率 $P=\frac{T_{0} T_{2}}{T_{1} T_{2}}=\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$.
题目（高一 · 计数）：某工厂有普通工人 1001 人, 高级工程师 20 人, 现抽取普通工人 40 人, 高级工程师 4 人组成代表队参加某项活动, 应怎样抽样?
选项：
答案：从普通工人中抽取 40 人, 适宜用系统抽样; 从高级工程师中抽取 4 人, 适宜用抽签法.

第一步, 将 1001 名普通工人用随机方式编号, 从总体中剔除 1 人 (剔除方法可用随机数表法），将剩下的 1000 名普通工人重新编号（分别为 $0001 ， 0002 \cdots ， 1000 ）$ ，并依次平均分成 40 段第二步，在第一段 $0001,0002 \cdots, 0025$ 这 25 个编号中用简单随机抽样抽出 1 个号码 (如 0003) 作为起始号码, 将编号为 $0003,0028,0053, \cdots, 0978$ 的个体抽出第三步，将 20 名高级工程师用随机方式编号，编号为 01 ,

2. , 20, 将这 20 个号码分别写在 20 张形状、大小一致的小纸条上，揉成小球，制成号签。

第四步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，充分傥匀.

第五步，从袋中逐个抽取 4 个号签，并记录上面的编号。第六步，从总体中将与所抽取号签的编号一致的个体取出在第二步和第六步得到的个体便是代表队成员。
解析：从普通工人中抽取 40 人, 适宜用系统抽样; 从高级工程师中抽取 4 人, 适宜用抽签法.

第一步, 将 1001 名普通工人用随机方式编号, 从总体中剔除 1 人 (剔除方法可用随机数表法），将剩下的 1000 名普通工人重新编号（分别为 $0001 ， 0002 \cdots ， 1000 ）$ ，并依次平均分成 40 段第二步，在第一段 $0001,0002 \cdots, 0025$ 这 25 个编号中用简单随机抽样抽出 1 个号码 (如 0003) 作为起始号码, 将编号为 $0003,0028,0053, \cdots, 0978$ 的个体抽出第三步，将 20 名高级工程师用随机方式编号，编号为 01 ,

2. , 20, 将这 20 个号码分别写在 20 张形状、大小一致的小纸条上，揉成小球，制成号签。

第四步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，充分傥匀.

第五步，从袋中逐个抽取 4 个号签，并记录上面的编号。第六步，从总体中将与所抽取号签的编号一致的个体取出在第二步和第六步得到的个体便是代表队成员。
题目（高一 · 计数）：小明是班里的优秀学生, 他的历次数学成绩分别是 96 分, 98 分, 95 分, 93 分, 但最近的一次考试成绩只有 45 分, 原因是他带病参加了考试, 期末评价时, 按照 $60^{\sim} 79$ 分为 “合格” , $80 \sim 90$ 分为 “良好”, $90^{\sim} 100$ 分为 “优秀” 的原则, 这样给小明评价：这五次数学考试的平均分是 $\frac{96+98+95+93+45}{5}=85.4$, 则按平均分给小明一个 “良好”。试问这种评价是否合理, 如果不合理请给出更合理的评价.
选项：
答案：这种评价是不合理的, 尽管平均数是反映一组数据平均水平的重要特征, 但任何一个数据的改变都会引起它的变化, 而中位数则不受某些极端值的影响。本题中的 5 个成绩从小到大排列为: $45,93,95,96,98$. 中位数是 95 , 较为合理地反映了小明的数学水平, 因而应该用中位数来衡量小明的数学成绩, 应评定为 “优秀” 。
解析：这种评价是不合理的, 尽管平均数是反映一组数据平均水平的重要特征, 但任何一个数据的改变都会引起它的变化, 而中位数则不受某些极端值的影响。本题中的 5 个成绩从小到大排列为: $45,93,95,96,98$. 中位数是 95 , 较为合理地反映了小明的数学水平, 因而应该用中位数来衡量小明的数学成绩, 应评定为 “优秀” 。
题目（高一 · 计数）：在射击比赛中, 甲、乙两名运动员分在同一小组, 给出了他们命中的环数如下表:

| 甲 | 9 | 6 | 7 | 6 | 2 | 7 | 7 | 9 | 8 | 9 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 乙 | 2 | 4 | 6 | 8 | 7 | 8 | 9 | 7 | 9 | 10 |

赛后甲、乙两名运动员都说自己是胜者, 如果你是裁判, 你将给出怎样的评判?
选项：
答案：为了分析的方便, 先计算两人的统计指标如下表所示。

|  | 平均环数 | 方差 | 中位数 | 命中 10 环次数 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 甲 | 7 | 4 | 7 | 0 |
| 乙 | 7 | 5.4 | 7.5 | 1 |

规则 1: 平均环数和方差相结合, 平均环数高者胜。若平均环数相等, 则再看方差, 方
差小者胜，则甲胜.

规则 2: 平均环数与中位数相结合, 平均环数高者胜. 若平均环数相等, 则再看中位数,中位数大者胜, 则乙胜.

规则 3: 平均环数与命中 10 环次数相结合, 平均环数高者胜。若平均环数相等, 则再看命中 10 环次数, 命中 10 环次数多者胜, 则乙胜.

以上规则都是以平均环数为第一标准, 如果比赛规则是看命中 7 环以上或 10 环的次数,那么就不需要先看平均环数了。
解析：为了分析的方便, 先计算两人的统计指标如下表所示。

|  | 平均环数 | 方差 | 中位数 | 命中 10 环次数 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 甲 | 7 | 4 | 7 | 0 |
| 乙 | 7 | 5.4 | 7.5 | 1 |

规则 1: 平均环数和方差相结合, 平均环数高者胜。若平均环数相等, 则再看方差, 方
差小者胜，则甲胜.

规则 2: 平均环数与中位数相结合, 平均环数高者胜. 若平均环数相等, 则再看中位数,中位数大者胜, 则乙胜.

规则 3: 平均环数与命中 10 环次数相结合, 平均环数高者胜。若平均环数相等, 则再看命中 10 环次数, 命中 10 环次数多者胜, 则乙胜.

以上规则都是以平均环数为第一标准, 如果比赛规则是看命中 7 环以上或 10 环的次数,那么就不需要先看平均环数了。
题目（高一 · 计数）：5 指数的平均值附：回归直线方程 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$ 中参数的最小二乘估计公式:

$\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}, \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}$
选项：
答案：则总体数据在区间 $[10,50 ）$ 内的频率约为 A. 0. 5B. 0. 25C. 0. 6D. 0.7 解析》由频率分布表可知样本数据在区间 $[10,50)$ 内的频数等于 $[10,20),[20,30),[30,0)$, $\left[40,50 ）\right.$ 四个分组的频数之和, 即 $2+3+4+5=14$, 频率为 $\frac{14}{20}=0.7$. 由样本的频率分布估计总体分布的思想可知，总体数据在区间 $[10 ， 50 ）$ 内的频率约为 0.7 .

答案: D
解析：则总体数据在区间 $[10,50 ）$ 内的频率约为 A. 0. 5B. 0. 25C. 0. 6D. 0.7 解析》由频率分布表可知样本数据在区间 $[10,50)$ 内的频数等于 $[10,20),[20,30),[30,0)$, $\left[40,50 ）\right.$ 四个分组的频数之和, 即 $2+3+4+5=14$, 频率为 $\frac{14}{20}=0.7$. 由样本的频率分布估计总体分布的思想可知，总体数据在区间 $[10 ， 50 ）$ 内的频率约为 0.7 .

答案: D
题目（高一 · 计数）：某公司计划购买 1 台机器, 该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件, 在购进机器时, 可以额外购买这种零件作为备件, 每个 200 元. 在机器使用期间, 如果备件不足再购买, 则每个 500 元. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件, 为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数, 得下面柱状图:



记 $\mathrm{x}$ 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数, $\mathrm{y}$ 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用（单位: 元）, $\mathrm{n}$ 表示购机的同时购买的易损零件数。

(1) 若 $\mathrm{n}=19$, 求 $\mathrm{y}$ 与 $\mathrm{x}$ 的函数解析式;

（2）若要求 “需更换的易损零件数不大于 $n$ ” 的频率不小于 0.5 , 求 $n$ 的最小值;

（3）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件, 或每台都购买 20 个易损零件, 分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数, 以此作为决策依据, 购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件？
选项：
答案：（1）当 $x \leqslant 19$ 时, $y=3800$; 当 $x>19$ 时, $y=3800+500 （ x-19 ）=500 x-5700$.所以 $\mathrm{y}$ 与 $\mathrm{x}$ 的函数解析式为 $y=\left\{\begin{array}{l}3800, x \leqslant 19 \\ 500 x-5700, x>19\end{array}(x \in \mathbf{N})\right.$

(2) 由柱状图知, 需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46 , 不大于 19 的频率为 0.7 ,故 $\mathrm{n}$ 的最小值为 19 .

（3）若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件, 则这 100 台机器中有 70 台在购买易损零件上的费用为 3800,20 台的费用为 4300,10 台的费用为 4800 , 因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数 $\frac{1}{100} \times(3800 \times 70+4300 \times 20+4800 \times 10)=4000$. 若每台机器在购机同时都购买 20 个易损零件, 则这 100 台机器中有 90 台在购买易损零件上的费用为 4000, 10 台的费用为 4500, 因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 $\frac{1}{100} \times(4000 \times 90+4500 \times 10)=4050$ 比较两个平均数可知, 购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件。
解析：（1）当 $x \leqslant 19$ 时, $y=3800$; 当 $x>19$ 时, $y=3800+500 （ x-19 ）=500 x-5700$.所以 $\mathrm{y}$ 与 $\mathrm{x}$ 的函数解析式为 $y=\left\{\begin{array}{l}3800, x \leqslant 19 \\ 500 x-5700, x>19\end{array}(x \in \mathbf{N})\right.$

(2) 由柱状图知, 需更换的零件数不大于 18 的频率为 0.46 , 不大于 19 的频率为 0.7 ,故 $\mathrm{n}$ 的最小值为 19 .

（3）若每台机器在购机同时都购买 19 个易损零件, 则这 100 台机器中有 70 台在购买易损零件上的费用为 3800,20 台的费用为 4300,10 台的费用为 4800 , 因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数 $\frac{1}{100} \times(3800 \times 70+4300 \times 20+4800 \times 10)=4000$. 若每台机器在购机同时都购买 20 个易损零件, 则这 100 台机器中有 90 台在购买易损零件上的费用为 4000, 10 台的费用为 4500, 因此这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 $\frac{1}{100} \times(4000 \times 90+4500 \times 10)=4050$ 比较两个平均数可知, 购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件。
题目（高一 · 计数）：甲、乙两人在相同条件下各射靶 10 次，每次射靶的成绩情况如图所示.



(1) 请填写下表:

|  | 平均数 | 方差 | 中位数 | 命中 9 环及 9 环 <br> 以上的次数 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 甲 |  |  |  |  |
| 乙 |  |  |  |  |

（2）请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析:

(1)从平均数和方差相结合看, 谁的成绩更稳定; (2)从平均数和中位数相结合看, 谁的成绩好些;

(3)从平均数和命中 9 环及 9 环以上的次数相结合看, 谁的成绩好些;

(4)从折线图上两人射击命中环数的走势看, 谁更有潜力.
选项：
答案：(1) 由图可知, 甲打靶的成绩为 $9,5,7,8,7,6,8,6,7,7$,乙打靶的成绩为 $2,4,6,8,7,7,8,9,9,10$.

则可求得, 甲的成绩的平均数为 7 , 方差为 1.2 , 中位数是 7 , 命中 9 环及 9 环以上的次数为 1 ; 乙的成绩的平均数为 7 , 方差为 5.4 , 中位数是 7.5 , 命中 9 环及以上的次数为 3. 如下表:

|  | 平均数 | 方差 | 中位数 | 命中 9 环及 <br> 环以上的次数 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 甲 | 7 | 1.2 | 7 | 1 |
| 乙 | 7 | 5.4 | 7.5 | 3 |

(2) (1)甲、乙的平均数相同, 乙的方差较大, 所以甲的成绩更稳定. (2)甲、乙的平均数相同, 乙的中位数较大, 所以乙的成绩好些。

(3)甲、乙的平均数相同, 乙命中 9 环及 9 环以上的次数比甲多, 所以乙的成绩好些.

(4)从折线图上看, 在后半部分, 乙呈上升趋势, 而甲趋于稳定, 故乙更有潜力.
解析：(1) 由图可知, 甲打靶的成绩为 $9,5,7,8,7,6,8,6,7,7$,乙打靶的成绩为 $2,4,6,8,7,7,8,9,9,10$.

则可求得, 甲的成绩的平均数为 7 , 方差为 1.2 , 中位数是 7 , 命中 9 环及 9 环以上的次数为 1 ; 乙的成绩的平均数为 7 , 方差为 5.4 , 中位数是 7.5 , 命中 9 环及以上的次数为 3. 如下表:

|  | 平均数 | 方差 | 中位数 | 命中 9 环及 <br> 环以上的次数 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 甲 | 7 | 1.2 | 7 | 1 |
| 乙 | 7 | 5.4 | 7.5 | 3 |

(2) (1)甲、乙的平均数相同, 乙的方差较大, 所以甲的成绩更稳定. (2)甲、乙的平均数相同, 乙的中位数较大, 所以乙的成绩好些。

(3)甲、乙的平均数相同, 乙命中 9 环及 9 环以上的次数比甲多, 所以乙的成绩好些.

(4)从折线图上看, 在后半部分, 乙呈上升趋势, 而甲趋于稳定, 故乙更有潜力.
题目（高一 · 计数）：下面是随机抽取的 9 名 15 岁男生的身高、体重列表:

| 编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 身高/cm | 165 | 157 | 155 | 175 | 168 | 157 | 178 | 160 | 163 |
| 体重 $/ \mathrm{kg}$ | 52 | 44 | 45 | 55 | 54 | 47 | 62 | 50 | 53 |

判断所给的两个变量之间是否存在相关关系.
选项：
答案：观察表格中的数据可知, 人的体重随着身高的增加而增长, 因此人的身高和体重之间存在相关关系.
解析：观察表格中的数据可知, 人的体重随着身高的增加而增长, 因此人的身高和体重之间存在相关关系.
题目（高一 · 计数）：已知 $\mathrm{x}, \mathrm{y}$ 的几组对应数据如下表:

| $x$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $y$ | 2 | 3 | 6 | 9 | 10 |

根据上表利用最小二乘法求得回归方程 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$ 中的 $\hat{b}=2.2$, 则 $\hat{a}$ 为多少?
选项：
答案：易得 $\bar{x}=2, \bar{y}=6$, 则 $\hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}=1.6$
解析：易得 $\bar{x}=2, \bar{y}=6$, 则 $\hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}=1.6$
题目（高一 · 计数）：在某种产品表面进行腐蚀刻线试验, 得到腐蚀深度 $\mathrm{y}$ （单位: um) 与腐蚀时间 $\mathrm{x}$ (单位：s）之间相应的一组观察值，如下表：

| 腐蚀时间 $x$ | 5 | 10 | 15 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 90 | 120 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 腐蚀深度 $y$ | 6 | 10 | 10 | 13 | 16 | 17 | 19 | 23 | 25 | 29 | 46 |

（1）画出散点图;

（2）从散点图中发现腐蚀深度与腐蚀时间之间关系的一般规律;

(3) 求回归方程;

（4）估计腐蚀时间为 $100 \mathrm{~s}$ 时的腐蚀深度。
选项：
答案：（1）散点图如图所示。

<ImageHere>

（2）由图可知, 各点散布在从左下角到右上角的区域内, 因此, 腐蚀深度与腐蚀时间成正相关, 即腐蚀时间越长, 腐蚀深度越深.

（3）从散点图可以看出, 这些点大致分布在一条直线的附近, 因此, 两变量成线性相关关系. 利用计算器求得回归方程为 $\hat{y}=0.304 \mathrm{x}+5.344$.

（4）由（3）知, 当腐蚀时间为 $100 \mathrm{~s}$ 时， $\hat{y}=0.304 \times 100+5.344=35.744 （ u m)$, 即此时腐蚀深度约是 $35.744 \mathrm{um}$.
解析：（1）散点图如图所示。



（2）由图可知, 各点散布在从左下角到右上角的区域内, 因此, 腐蚀深度与腐蚀时间成正相关, 即腐蚀时间越长, 腐蚀深度越深.

（3）从散点图可以看出, 这些点大致分布在一条直线的附近, 因此, 两变量成线性相关关系. 利用计算器求得回归方程为 $\hat{y}=0.304 \mathrm{x}+5.344$.

（4）由（3）知, 当腐蚀时间为 $100 \mathrm{~s}$ 时， $\hat{y}=0.304 \times 100+5.344=35.744 （ u m)$, 即此时腐蚀深度约是 $35.744 \mathrm{um}$.
题目（高一 · 计数）：下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x（吨）与相应的生产能耗 y (吨标准煤) 的几组对应数据.

| $x$ | 3 | 4 | 5 | 6 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $y$ | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |

(1) 画出散点图;

（2）请根据上表提供的数据, 用最小二乘法求出 $\mathrm{y}$ 关于 $\mathrm{x}$ 的回归直线方程 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$.
选项：
答案：(1) 由题设所给数据, 可得散点图如图, $\mathrm{y}$ 与 $\mathrm{x}$ 成线性相关关系.

<ImageHere>

（2）由表中数据计算得: $\sum_{i=1}^{4} x_{i}^{2}=86$

$\bar{x}=\frac{3+4+5+6}{4}=4.5, \bar{y}=\frac{2.5+3+4+4.5}{4}=3.5, \sum_{i=1}^{4} x_{i} y_{i}=66.5$

所以, 由最小二乘法确定的回归方程的系数为:

$\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{4} x_{i} y_{i}-4 \overline{x y}}{\sum_{i=1}^{4} x_{i}^{2}-4 \bar{x}^{2}}=\frac{66.5-4 \times 4.5 \times 3.5}{86-4 \times 4.5^{2}}=0.7, \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}=3.5-0.7 \times 4.5=0.35$

因此，所求的回归直线方程为 $\hat{y}=0.7 x+0.35 \hat{y}=0.7 x+0.35$
解析：(1) 由题设所给数据, 可得散点图如图, $\mathrm{y}$ 与 $\mathrm{x}$ 成线性相关关系.



（2）由表中数据计算得: $\sum_{i=1}^{4} x_{i}^{2}=86$

$\bar{x}=\frac{3+4+5+6}{4}=4.5, \bar{y}=\frac{2.5+3+4+4.5}{4}=3.5, \sum_{i=1}^{4} x_{i} y_{i}=66.5$

所以, 由最小二乘法确定的回归方程的系数为:

$\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{4} x_{i} y_{i}-4 \overline{x y}}{\sum_{i=1}^{4} x_{i}^{2}-4 \bar{x}^{2}}=\frac{66.5-4 \times 4.5 \times 3.5}{86-4 \times 4.5^{2}}=0.7, \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}=3.5-0.7 \times 4.5=0.35$

因此，所求的回归直线方程为 $\hat{y}=0.7 x+0.35 \hat{y}=0.7 x+0.35$
题目（高一 · 计数）：图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.



注: 年份代码 $1-7$ 分别对应年份 $2008-2014$.

（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 $\mathrm{y}$ 与 $\mathrm{t}$ 的关系，请用相关系数加以说明;

（2）建立 $\mathrm{y}$ 关于 $\mathrm{t}$ 的回归方程（系数精确到 0.01 ），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量.

附注:

参考数据: $\sum_{i=1}^{7} y_{i}=9.32, \sum_{i=1}^{7} t_{i} y_{i}=40.17, \sqrt{\sum_{i=1}^{7}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}=0.55, \sqrt{7} \approx 2.646$

参考公式: 相关系数 $r=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(t_{i}-\bar{t}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(t_{i}-\bar{t}\right)^{2} \sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}$

回归方程 $\hat{y}=\hat{a}+\hat{b t}$ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

$\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(t_{i}-\bar{t}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(t_{i}-\bar{t}\right)^{2}}, \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{t}$
选项：
答案：）由折线图中数据和附注中参考数据得

$\bar{t}=4, \sum_{i=1}^{7}\left(t_{i}-\bar{t}\right)^{2}=28, \sqrt{\sum_{i=1}^{7}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}=0.55$

$\sum_{i=1}^{7}\left(t_{i}-\bar{t}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)=\sum_{i=1}^{7} t_{i} y_{i}-\bar{t} \sum_{i=1}^{7} y_{i}=40.17-4 \times 9.32=2.89$

$r \approx \frac{2.89}{0.55 \times 2 \times 2.646} \approx 0.99$

因为 $\mathrm{y}$ 与 $\mathrm{t}$ 的相关系数近似为 0.99 , 说明 $\mathrm{y}$ 与 $\mathrm{t}$ 的线性相关程度相当高, 从而可以用线性回归模型拟合 $\mathrm{y}$ 与 $\mathrm{t}$ 的关系.

(2) 由 $\bar{y}=\frac{9.32}{7} \approx 1.331$ 及 (1) 得 $\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{7}\left(t_{i}-\bar{t}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^{7}\left(t_{i}-\bar{t}\right)^{2}}=\frac{2.89}{28} \approx 0.103$

$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{t} \approx 1.331-0.103 \times 4 \approx 0.92$ 所以 $\mathrm{y}$ 关于 $\mathrm{t}$ 的回归方程为 $\hat{y}=0.92+0.10 t$将 2016 年对应的 $\mathrm{t}=9$ 代入回归方程得 $\hat{y}=0.92+0.10 \times 9=1.82$.所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量约为 1.82 亿吨
解析：）由折线图中数据和附注中参考数据得

$\bar{t}=4, \sum_{i=1}^{7}\left(t_{i}-\bar{t}\right)^{2}=28, \sqrt{\sum_{i=1}^{7}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}=0.55$

$\sum_{i=1}^{7}\left(t_{i}-\bar{t}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)=\sum_{i=1}^{7} t_{i} y_{i}-\bar{t} \sum_{i=1}^{7} y_{i}=40.17-4 \times 9.32=2.89$

$r \approx \frac{2.89}{0.55 \times 2 \times 2.646} \approx 0.99$

因为 $\mathrm{y}$ 与 $\mathrm{t}$ 的相关系数近似为 0.99 , 说明 $\mathrm{y}$ 与 $\mathrm{t}$ 的线性相关程度相当高, 从而可以用线性回归模型拟合 $\mathrm{y}$ 与 $\mathrm{t}$ 的关系.

(2) 由 $\bar{y}=\frac{9.32}{7} \approx 1.331$ 及 (1) 得 $\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{7}\left(t_{i}-\bar{t}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^{7}\left(t_{i}-\bar{t}\right)^{2}}=\frac{2.89}{28} \approx 0.103$

$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{t} \approx 1.331-0.103 \times 4 \approx 0.92$ 所以 $\mathrm{y}$ 关于 $\mathrm{t}$ 的回归方程为 $\hat{y}=0.92+0.10 t$将 2016 年对应的 $\mathrm{t}=9$ 代入回归方程得 $\hat{y}=0.92+0.10 \times 9=1.82$.所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量约为 1.82 亿吨
题目（高一 · 计数）：(12 分) 某校为了了解学生对安全知识的重视程度, 进行了一次安全知识答题市安全知识答题决赛, 求抽到的 2 位学生不同组的概率.

比赛. 随机抽取的 100 名学生的笔试成绩 (满分200 分), 分成 $[160,165$ ),

$[165,170), \ldots,[180,185)$ 共五组后, 得到的频率分布表如下所示:

|  组号  |    分组     | 频数 | 频率  |
| :----: | :---------: | :--: | :---: |
| 第1组  | $[160,165)$ |  1   |       |
| 第2组  | $[165,170)$ |      | 0.300 |
| 第3组  | $[170,175)$ |  30  | $(2$  |
| 第4 组 | $[175,180)$ |  20  | 0.200 |
| 第5组  | $[180,185)$ |  10  | 0.100 |
|  合计  |             | 100  | 1.00  |


选项：
答案：(1) 答案见解析; (2) $\frac{11}{15}$.
解析：(1) 第 2 组的频数为 $100 \times
题目（高一 · 计数）：(12 分) 袋中有 9 个大小相同颜色不全相同的小球, 分别为黑球、黄球、绿球,

从中任意取一球, 得到黑球或黄球的概率是 $\frac{5}{9}$, 得到黄球或绿球的概率是 $\frac{2}{3}$, 试求:

（1）从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少?

（2）从中任取两个球, 得到的两个球颜色不相同的概率是多少?
选项：
答案：(1) 黑球、黄球、绿球的概率分别是 $\frac{1}{3},, \frac{4}{9}$; (2) $\frac{13}{18}$.
解析：(1) 从中任取一球, 分别记得到黑球、黄球、绿球为事件 $A, B, C$,

由于 $A, B, C$ 为互斥事件,

根据已知, 得 $\left\{\begin{array}{l}P(A+B)=P(A)+P(B)=\frac{5}{9} \\ P(B+C)=P(B)+P(C)=\frac{2}{3} \\ P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=1\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}P(A)=\frac{1}{3} \\ P(B)=\frac{2}{9} \text {, } \\ P(C)=\frac{4}{9}\end{array}\right.$

所以, 任取一球, 得到黑球、黄球、绿球的概率分别是 $\frac{1}{3}, \frac{2}{9}, \frac{4}{9}$.

（2）由（1）知黑球、黄球、绿球个数分别为 $3 ， 2 ， 4$,

从 9 个球中取出 2 个球的样本空间中共有 36 个样本点,

其中两个是黑球的样本点是 3 个, 两个黄球的是 1 个, 两个绿球的是 6 个,

于是, 两个球同色的概率为 $\frac{3+1+6}{36}=\frac{5}{18}$,

则两个球颜色不相同的概率是 $1-\frac{5}{18}=\frac{13}{18}$.
题目（高一 · 计数）：(10 分) 某学校为培养学生的兴趣爱好, 提高学生的综合素养, 在高一年级开设各种形式的校本课程供学生选择(如书法讲座、诗歌鉴赏、奥赛讲座等). 现统计
了某班 50 名学生一周用在兴趣爱好方面的学习时间(单位: $h$ )的数据, 按照 $[0,2)$, $[2,4),[4,6),[6,8),[8,10]$ 分成五组, 得到了如下的频率分布直方图.

(1) 求频率分布直方图中 $m$ 的值及该班学生一周用在兴趣爱好方面的平均学习时间;

(2) 从 $[4,6)$, $[6,8)$ 两组中按分层抽样的方法抽取 6 人, 再从这 6 人中抽取 2 人,求恰有 1 人在 $[6,8)$ 组中的概率.


选项：
答案：(1) $m
解析：】(1) $m=
题目（高一 · 计数）：（12 分） $A, B$ 两组各有 7 位病人, 他们服用某种药物后的康复时间（单位:天) 记录如下:

$A$ 组: $10,11,12,13,14,15,16$

$B$ 组: $12,13,15,16,17,14, a$

假设所有病人的康复时间互相独立, 从 $A, B$ 两组随机各选 1 人, $A$ 组选出的人记为甲, $B$ 组选出的人记为乙.

(1) 求甲的康复时间不少于 14 天的概率;

(2) 如果 $a=25$, 求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率;

(3) 当 $a$ 为何值时, $A, B$ 两组病人康复时间的方差相等? (结论不要求证明)
选项：
答案：(1)；(2) $\frac{10}{49}$ ；(3) $a=11$
解析：】(1)；(2) $\frac{10}{49}$ ；(3) $a=11$ 或
题目（高一 · 计数）：(12 分) $x$ 的取值范围为 $[0,10]$, 给出如图所示程序框图, 输入一个数 $x$.



（1）请写出程序框图所表示的函数表达式;

(2) 求输出的 $y \quad(y<5)$ 的概率;

(3) 求输出的 $y(6<y \leq 8)$ 的概率.
选项：
答案：(1) $y=\left\{\begin{array}{l}x-1,7<x \leq 10 \\ x+1,0 \leq x \leq 7\end{array} ;\right.$ (2) $\frac{2}{5}$; (3) $\frac{2}{5}$.
解析：(1) 由已知可得程序框图所表示的函数表达式是 $y=\left\{\begin{array}{l}x-1,7<x \leq 10 \\ x+1,0 \leq x \leq 7\end{array}\right.$.

(2) 当 $y<5$ 时, 若输出 $y=x+1(0 \leq x \leq 7)$,

此时输出的结果满足 $x+1<5$, 所以 $0 \leq x<4$;

若输出 $y=x-1(7<x \leq 10)$,

此时输出的结果满足 $x-1<5$, 所以 $0 \leq x<6$ (不合题意),

所以输出的 $y(y<5)$ 时 $x$ 的范围是 $0 \leq x<4$.

则使得输出的 $y(y<5)$ 的概率为 $p=\frac{4-0}{10-0}=\frac{2}{5}$.

(3) 当 $x \leq 7$ 时, 输出 $y=x+1(0 \leq x \leq 7)$ ，

此时输出的结果满足 $6<x+1 \leq 8$, 解得 $5<x \leq 7$;

当 $x>7$ 时, 输出 $y=x-1(7<x \leq 10)$,

此时输出的结果满足 $6<x-1 \leq 8$, 解得 $7<x \leq 9$,

综上, 输出的 $y(6<y \leq 8)$ 时 $x$ 的范围是 $5<x \leq 9$,

则使得输出的 $y$ 满足 $6<y \leq 8$ 的概率为 $p=\frac{9-5}{10}=\frac{2}{5}$.
题目（高一 · 计数）：某机构通过对某企业今年的生产经营情况的调查, 得到每月利润 $y$ (单位: 万元) 与相应月份数 $x$ 的部分数据如表:

| $x$ | 1 | 4 | 7 | 12 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $y$ | 229 | 244 | 241 | 196 |

（1）根据如表数据, 请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述 $y$ 与 $x$ 的变化关系, 并说明理由, $y=a x^{3}+b, \quad y=-x^{2}+a x+b, \quad y=a \cdot b^{x} ;$

(2) 利用（1）中选择的函数, 估计月利润最大的是第几个月, 并求出该月的利润.
选项：
答案：（1）解：由题目中的数据知,

描述每月利润 $y$ (单位: 万元) 与相应月份数 $x$ 的变化关系函数不可能是常数函数,

也不是单调函数; 所以应选取二次函数 $y=-x^{2}+a x+b_{\text {进行描述; }}$

（2）解: 将 $(1,229),(4,244)$ 代入 $y=-x^{2}+a x+b$, 解得 $a=10, b=220$,

$\therefore y=-x^{2}+10 x+220, \quad 1 \leq x \leq 12, \quad x \in N_{+}$,

$y=-(x-5)^{2}+245, \therefore x=5, \quad y_{\max }=245_{\text {万元 }}$.
解析：(1) 根据题中数据, 即可直接判断出结果; (2) 将题中 $(1,229),(4,244)$ 代入 $y=-x^{2}+a x+b$, 求出参数, 根据二次函数的性质, 以及自变量的范围, 即可得出结果.
题目（高一 · 计数）：某市 2016 年 4 月 1 日-4 月 30 日对空气污染指数的监测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物）：

$61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91,77$,

$86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45$.

（1）完成频率分布表;

（2）作出频率分布直方图;

（3）根据国家标准, 污染指数在 $0 \sim 50$ 之间时, 空气质量为优; 在 $51^{\sim} 100$ 之间时, 为良;在 $101^{\sim} 150$ 之间时, 为轻微污染; 在 $151^{\sim} 200$ 之间时, 为轻度污染. 从 30 天中任意选取一天，则该天空气质量为优或良的概率是多少?

（4）请对该市的空气质量给出一个简短评价。
选项：
答案：（1）频率分布表:

| 分组 | 频数 | 频事 |
| :---: | :---: | :---: |
| $[41,51)$ | 2 | $\frac{2}{30}$ |
| $[51,61)$ | 1 | $\frac{1}{30}$ |
| $[61,71)$ | 4 | $\frac{4}{30}$ |
| $[71,81)$ | 6 | $\frac{6}{30}$ |
| $[81,91)$ | 10 | $\frac{10}{30}$ |
| $[91,101)$ | 5 | $\frac{5}{30}$ |
| $[101,111)$ | 2 | $\frac{2}{30}$ |

（2）频率分布直方图:

<ImageHere>

（3）基本事件是 30 , 污染指数在 $0^{\sim} 100$ 之间的有 28 天, 故所求概率为 $\frac{28}{30}=\frac{14}{15}$

（4）答对下述两条中的一条即可:

(1)由（3）知, 处于优或良的天教共有 28 天, 占当月天教的 $\frac{14}{15}$, 说明该市空气质量基本良好。

(2)轻微污染有 2 天, 占当月天教的 $\frac{1}{15}$, 污染指数在 80 以上的接近轻微污染的天数有 15 天，加上处于轻微污染的天数，共有 17 天，占当月天数的 $\frac{17}{30}$ ，超过 $50 \%$, 说明该市空气质量有待进一步改善。
解析：（1）频率分布表:

| 分组 | 频数 | 频事 |
| :---: | :---: | :---: |
| $[41,51)$ | 2 | $\frac{2}{30}$ |
| $[51,61)$ | 1 | $\frac{1}{30}$ |
| $[61,71)$ | 4 | $\frac{4}{30}$ |
| $[71,81)$ | 6 | $\frac{6}{30}$ |
| $[81,91)$ | 10 | $\frac{10}{30}$ |
| $[91,101)$ | 5 | $\frac{5}{30}$ |
| $[101,111)$ | 2 | $\frac{2}{30}$ |

（2）频率分布直方图:



（3）基本事件是 30 , 污染指数在 $0^{\sim} 100$ 之间的有 28 天, 故所求概率为 $\frac{28}{30}=\frac{14}{15}$

（4）答对下述两条中的一条即可:

(1)由（3）知, 处于优或良的天教共有 28 天, 占当月天教的 $\frac{14}{15}$, 说明该市空气质量基本良好。

(2)轻微污染有 2 天, 占当月天教的 $\frac{1}{15}$, 污染指数在 80 以上的接近轻微污染的天数有 15 天，加上处于轻微污染的天数，共有 17 天，占当月天数的 $\frac{17}{30}$ ，超过 $50 \%$, 说明该市空气质量有待进一步改善。
题目（高一 · 计数）：随机抽取 100 名学生, 测得他们的身高（单位：cm），按照区间 [160，165）, [165, 170)，[170，175）, [175, 180）, [180,185]分组, 得到样本身高的频率分布直方图 （如图）.



(1) 求频率分布直方图中 $\mathrm{x}$ 的值及身高在 $170 \mathrm{~cm}$ 以上的学生人数;

（2）将身高在 $[170 ， 175 ）,[175,180) ，[180,185]$ 区间内的学生依次记为 A, B, C 三个组, 用分层抽样的方法从三个组中抽取 6 人, 求从这三个组中分别抽取的学生人数;

(3) 在（2）的条件下, 要从 6 名学生中抽取 2 人, 用列举法计算 B 组中至少有 1 人被抽中的概率
选项：
答案：由频率分布直方图可知, $5 \mathrm{x}=1-5 \times(0.07+0.04+0.02+0.01)$,所以 $\mathrm{x}=\frac{1}{5}[1-5 \times 0.14]=0.06$. 因此身高在 $170 \mathrm{~cm}$ 以上的学生人数为 $100 \times(0.06 \times 5+0.04$ $\times 5+0.02 \times 5)=60$ (人).

(2) A, B, C 三组的人数分别为 $0.06 \times 5 \times 100=30$ (人), $0.04 \times 5 \times 100=20$ (人), 0.02 $\times 5 \times 100=10$ (人). 因此应该从 A, B, C 三组中每组各抽取 $30 \times \frac{6}{60}=3$ (人), $20 \times \frac{6}{60}=2$ (人), $10 \times \frac{6}{60}=1$ (人).

(3) 在 (2) 的条件下, 设 $A$ 组的 3 位同学为 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, B$ 组的 2 位同学为 $B_{1}, B_{2}, C$ 组
的 1 位同学为 $C$, 则从 6 名学生中抽取 2 人有 15 种可能:

$\left(A_{1}, A_{2}\right),\left(A_{1}, A_{3}\right),\left(A_{1}, B_{1}\right),\left(A_{1}, B_{2}\right),\left(A_{1}, C_{1}\right),\left(A_{2}, A_{3}\right)$

$\left(A_{2}, B_{1}\right),\left(A_{2}, B_{2}\right),\left(A_{2}, C_{1}\right),\left(A_{3}, B_{1}\right),\left(A_{3}, B_{2}\right),\left(A_{3}, C_{1}\right),\left(B_{1}, B_{2}\right),\left(B_{1}, C_{1}\right),\left(B_{2}, C_{1}\right)$

其中 $B$ 组的 2 位学生至少有 1 人被抽中有 9 种可能:

$\left(A_{1}, B_{1}\right),\left(A_{1}, B_{2}\right),\left(A_{2}, B_{1}\right),\left(A_{2}, B_{2}\right),\left(A_{3}, B_{1}\right),\left(A_{3}, B_{2}\right),\left(B_{1}, B_{2}\right),\left(B_{1}, C_{1}\right),\left(B_{2}, C_{1}\right)$

所以 $\mathrm{B}$ 组中至少有 1 人被抽中的概率为 $P=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$
解析：由频率分布直方图可知, $5 \mathrm{x}=1-5 \times(0.07+0.04+0.02+0.01)$,所以 $\mathrm{x}=\frac{1}{5}[1-5 \times 0.14]=0.06$. 因此身高在 $170 \mathrm{~cm}$ 以上的学生人数为 $100 \times(0.06 \times 5+0.04$ $\times 5+0.02 \times 5)=60$ (人).

(2) A, B, C 三组的人数分别为 $0.06 \times 5 \times 100=30$ (人), $0.04 \times 5 \times 100=20$ (人), 0.02 $\times 5 \times 100=10$ (人). 因此应该从 A, B, C 三组中每组各抽取 $30 \times \frac{6}{60}=3$ (人), $20 \times \frac{6}{60}=2$ (人), $10 \times \frac{6}{60}=1$ (人).

(3) 在 (2) 的条件下, 设 $A$ 组的 3 位同学为 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, B$ 组的 2 位同学为 $B_{1}, B_{2}, C$ 组
的 1 位同学为 $C$, 则从 6 名学生中抽取 2 人有 15 种可能:

$\left(A_{1}, A_{2}\right),\left(A_{1}, A_{3}\right),\left(A_{1}, B_{1}\right),\left(A_{1}, B_{2}\right),\left(A_{1}, C_{1}\right),\left(A_{2}, A_{3}\right)$

$\left(A_{2}, B_{1}\right),\left(A_{2}, B_{2}\right),\left(A_{2}, C_{1}\right),\left(A_{3}, B_{1}\right),\left(A_{3}, B_{2}\right),\left(A_{3}, C_{1}\right),\left(B_{1}, B_{2}\right),\left(B_{1}, C_{1}\right),\left(B_{2}, C_{1}\right)$

其中 $B$ 组的 2 位学生至少有 1 人被抽中有 9 种可能:

$\left(A_{1}, B_{1}\right),\left(A_{1}, B_{2}\right),\left(A_{2}, B_{1}\right),\left(A_{2}, B_{2}\right),\left(A_{3}, B_{1}\right),\left(A_{3}, B_{2}\right),\left(B_{1}, B_{2}\right),\left(B_{1}, C_{1}\right),\left(B_{2}, C_{1}\right)$

所以 $\mathrm{B}$ 组中至少有 1 人被抽中的概率为 $P=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$
题目（高一 · 计数）：甲、乙两位学生参加数学竞赛培训, 在培训期间, 他们参加的 5 次预赛成绩记录如下:甲 8282799587

乙 9575809085

(1) 用茎叶图表示这两组数据;

（2）从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个，求甲的成绩比乙高的概率;

(3) 现要从中选派一人参加数学竞赛, 从统计学的角度考虑, 你认为选派哪位学生参加合适？说明理由.
选项：
答案：（1）作出茎叶图如图 3-3 所示。

<ImageHere>

（2）记甲被抽到的成绩为 $\mathrm{x}$ ，乙被抽到的成绩为 $\mathrm{y}$ ，用数对（x,y) 表示基本事件: $(82,95),(82,75),(82,80),(82,90),(82,85),(82,95), \quad(82$, $75),(82,80),(82,90),(82,85),(79,95),(79,75),(79,80)$, $(79,90),(79,85),(95,95),(95,75),(95,80),(95,90),(95$, $85),(87,95),(87,75),(87,80),(87,90)$,

（87，85），基本事件总数 $\mathrm{n}=25$.

记 “甲的成绩比乙高” 为事件 A，事件 A 包含的基本事件： $(82,75),(82,80),(82,75),(82,80),(79,75),(95,75)$, $(95,80),(95,90),(95,85),(87,75),(87,80),(87,85)$, 事件 $\mathrm{A}$ 包含的基本事件数 $\mathrm{m}=12$, 所以 $P(A)=\frac{m}{n}=\frac{12}{25}$

（3）派甲参赛比较合适，理由如下:

$\because \bar{x}_{\text {甲 }}=\frac{1}{5}(82+82+79+95+87)=85, \quad \bar{x}_{\text {乙 }}=\frac{1}{5}(95+75+80+90+85)=85$

$s_{\text {甲 }}^{2}=\frac{1}{5}\left[(79-85)^{2}+(82-85)^{2}+(82-85)^{2}+(87-85)^{2}+(95-85)^{2}\right]=31.6$

$s_{乙}^{2}=\frac{1}{5}\left[(75-85)^{2}+(80-85)^{2}+(85-85)^{2}+(90-85)^{2}+(95-85)^{2}\right]=50$

$\because \bar{x}_{\text {甲 }}=\bar{x}_{乙}, s_{\text {甲 }}^{2}<s_{乙}^{2}, \therefore$ 甲的成绩较稳定, 派甲参赛比较合适。
解析：（1）作出茎叶图如图 3-3 所示。



（2）记甲被抽到的成绩为 $\mathrm{x}$ ，乙被抽到的成绩为 $\mathrm{y}$ ，用数对（x,y) 表示基本事件: $(82,95),(82,75),(82,80),(82,90),(82,85),(82,95), \quad(82$, $75),(82,80),(82,90),(82,85),(79,95),(79,75),(79,80)$, $(79,90),(79,85),(95,95),(95,75),(95,80),(95,90),(95$, $85),(87,95),(87,75),(87,80),(87,90)$,

（87，85），基本事件总数 $\mathrm{n}=25$.

记 “甲的成绩比乙高” 为事件 A，事件 A 包含的基本事件： $(82,75),(82,80),(82,75),(82,80),(79,75),(95,75)$, $(95,80),(95,90),(95,85),(87,75),(87,80),(87,85)$, 事件 $\mathrm{A}$ 包含的基本事件数 $\mathrm{m}=12$, 所以 $P(A)=\frac{m}{n}=\frac{12}{25}$

（3）派甲参赛比较合适，理由如下:

$\because \bar{x}_{\text {甲 }}=\frac{1}{5}(82+82+79+95+87)=85, \quad \bar{x}_{\text {乙 }}=\frac{1}{5}(95+75+80+90+85)=85$

$s_{\text {甲 }}^{2}=\frac{1}{5}\left[(79-85)^{2}+(82-85)^{2}+(82-85)^{2}+(87-85)^{2}+(95-85)^{2}\right]=31.6$

$s_{乙}^{2}=\frac{1}{5}\left[(75-85)^{2}+(80-85)^{2}+(85-85)^{2}+(90-85)^{2}+(95-85)^{2}\right]=50$

$\because \bar{x}_{\text {甲 }}=\bar{x}_{乙}, s_{\text {甲 }}^{2}<s_{乙}^{2}, \therefore$ 甲的成绩较稳定, 派甲参赛比较合适。