eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高三 · 算术）：用数学归纳法证明不等式 $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots \cdots+\frac{1}{2^{n-1}}>\frac{\mathrm{n}}{2}\left(n \in N^{*}\right)$, 第二步由 $\mathrm{k}$ 到 $\mathrm{k}+1$ 时不等式左边需增加（）
选项：
A. $\frac{1}{2^{k}}$
B. $\frac{1}{2^{k-1}+1}+\frac{1}{2^{k}}$
C. $\frac{1}{2^{k-1}+1}+\frac{1}{2^{k-1}+2}+\frac{1}{2^{k}}$
D. $\frac{1}{2^{k-1}+1}+\frac{1}{2^{k-1}+2}+\cdots \cdots+\frac{1}{2^{k}}$
答案：D
解析：解析: 解答: 由题意, $\mathrm{n}=\mathrm{k}$ 时, 最后一项为 $\frac{1}{2^{k-1}}, \mathrm{n}=\mathrm{k}+1$ 时, 最后一项为 $\frac{1}{2^{k}} \therefore$ 由 $\mathrm{n}=\mathrm{k}$ 变到 $\mathrm{n}=\mathrm{k}+1$ 时, 左边增加了 $2^{\mathrm{k}}-\left(2^{k-1}+1\right)+1=2^{k-1}$ 项, 即为 $\frac{1}{2^{k-1}+1}+\frac{1}{2^{k-1}+2}+\cdots \cdots+\frac{1}{2^{k}}$ 故选 D.分析: 本题主要考查了数学归纳法证明不等式, 解决问题的关键是根据根据数学归纳法证明的步骤分析计算即可
题目（高三 · 算术）：用数学归纳法证明: “ $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^{n}-1}<n\left(n>1, n \in N^{*}\right)$ ”时, 由 $n=k(k>1)$ 不等式成立, 推证 $n=k+1$ 时, 左边应增加的项数是 ( )
选项：
A. $2^{k-1}$
B. $2^{k}-1$
C. $2^{k}$
D. $2^{k}+1$
答案：C
解析：解析: 解答: 因为用数学归纳法证明: “ $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^{n}-1}<n\left(n>1, n \in N^{*}\right)$ ”时, 由 $n=k(k>1)$ 不等式成立, 等式左边有 $2^{k}-1$, 因此推证 $n=k+1$ 时, 左边应 $2^{k+1}-1$, 因此应该增加的项数是 $2^{k}$, 选 C

分析: 本题主要考查了数学归纳法证明不等式, 解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的方法分析计算即可
题目（高三 · 算术）：用数学归纳法证明 $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^{n}-1}<n \quad\left(n \in N_{+}, n>1\right)$ 时, 第一步应验证不等式
选项：
A. $1+\frac{1}{2}<2$
B. $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}<2$
C. $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}<3$
D. $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}<3$
答案：B
解析：解析: 解答: 数学归纳法中, 一般情况下第一步验证 $n=1$ 时的情况。因为本题中要求 $n>1$,所以第一步验证 $n=2$ 的情况, 而 $2^{2}-1=3$, 所以此时验证不等式 $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}<2$, 故选 B.分析: 本题主要考查了数学归纳法证明不等式, 解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的步骤分析计算即可
题目（高三 · 算术）：用数学归纳法证明不等式 $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2^{n-1}}>\frac{127}{64}\left(n \in N^{*}\right)$ 成立, 其 $n$ 的初始值至少应为 $(\quad)$
选项：
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
答案：B
解析：解析: 解答: 因为 $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots+\frac{1}{2^{n-1}}=\frac{1-\frac{1}{2^{n}}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{2^{n}-1}{2^{n-1}}$, 当 $n=8$ 时, 左边 $=\frac{255}{128}>\frac{127}{64}$

分析: 本题主要考查了数学归纳法证明不等式, 解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式分析计算即可
题目（高三 · 算术）：利用数学归纳法证明不等式 $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^{n}-1}<f(n)\left(n \geq 2, n \in N^{*}\right)$ 的过程中, 由 $n=k$ 变到 $n=k+1$ 时, 左边增加了 ( )
选项：
A. 1 项
B. $\mathrm{k}$ 项
C. $2^{k^{-1}}$ 项
D. $2^{k}$ 项
答案：D
解析：解析:解答: $n=k$ 时左面为 $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^{k}-1}, n=k+1$ 时左面为 $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^{k+1}-1}$, 所以增加的项数为 $\left(2^{k+1}-1\right)-\left(2^{k}-1\right)=2^{k}$

分析: 本题主要考查了数学归纳法证明不等式, 解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的步骤分析计算即可解决问题
题目（高三 · 算术）：在明代珠算发明之前, 我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍, 算筹有纵式和横式两种, 如图是利用算筹表示 1 9的数字, 表示多位数时, 个位用纵式, 十位用横式, 百位用纵式, 千位用横式, 以此类推, 例如, 137 可以用 7 根小木


数是 ( )




选项：
A. 12
B. 18
C. 24
D. 27
答案：C
解析：答案: C

解：数字 $7 、 2 、 1$ 组成 6 个, 数字 $7 、 6 、 1$ 组成 6 个, 数字 $6 、 3 、 1$ 组成 6 个, 数字 $3 、 2 、 1$ 组成 6 个, 共 24 个符合要求的三位数.

故答案为: C.
题目（高三 · 算术）：复数 $z=|(\sqrt{3}-\mathrm{i}) \mathrm{i}|-\mathrm{i}^{2018}, \mathrm{i}$ 为虚数单位, 则 $|z|=(\quad)$
选项：
A. 2
B. $\sqrt{3}$ C. 1
D. 3
答案：D
解析：由题意 $z=|1+\sqrt{3}|-i^{2}=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}+1=2+1=3, \quad 	herefore|z|=3$,故选 D.
题目（高三 · 算术）：设 $z=\frac{i^{3}}{1+i}+i^{5}$ ，则 $|z|=(\quad)$
选项：
A. $\sqrt{2}$ B. C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D. $\frac{\sqrt{10}}{2}$
答案：C
解析：$z=rac{\mathrm{i}^{3}}{1+\mathrm{i}}+\mathrm{i}^{\mathrm{s}}=rac{-\mathrm{i}(1-\mathrm{i})}{2}+\mathrm{i}=-rac{1}{2}+rac{1}{2} \mathrm{i}, 	herefore|z|=\sqrt{rac{1}{4}+rac{1}{4}}=rac{\sqrt{2}}{2}$,本题正确选项 C.
题目（高三 · 算术）：已知奇函数 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的连续可导函数, 其导函数是 $f^{\prime}(x)$, 当 $x>0$ 时, $f^{\prime}(x)<2 f(x)$恒成立, 则下列不等关系一定正确的是
选项：
A. $e^{2} f(1)>-f(2)$
B. $e^{2} f(-1)>-f(2)$
C. $e^{2} f(-1)<-f(2)$
D. $f(-2)<-e^{2} f(-1)$
答案：C
解析：解析：构造函数 $g(x)=\frac{f(x)}{e^{2 x}}$, 所以 $g^{\prime}(x)=\frac{f^{\prime}(x)-2 f(x)}{e^{2 x}}<0$, 即函数在 $(0,+\infty)$ 上单调递减,又 $f(x)$ 为奇函数, 所以 $g(1)>g(2)$ 即 $e^{2} f(1)>f(2)$, 所以 $e^{2} f(-1)<-f(2)$, 故选 C.
题目（高三 · 算术）：函数 $y=\cos \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)$ 的导函数是 ( )
选项：
A. $y^{\prime}=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)$
B. $y^{\prime}=-2 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)$
C. $y^{\prime}=-\sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)$
D. $y^{\prime}=2 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)$
答案：B
题目（高三 · 算术）：已知 $f^{\prime}(x)$ 是函数 $f(x)$ 的导函数, 且对任意的实数 $x$ 都有 $f^{\prime}(x)=e^{x}(2 x+3)+f(x), f(0)=1$, 则不等式 $f(x)<5 e^{x}$ 的解集为 ( )
选项：
A. $(-4,1)$
B. $(-1,4)$
C. $(-\infty,-4) \cup(1,+\infty)$
D. $(-\infty,-1) \cup(4,+\infty)$
答案：A
题目（高三 · 算术）：设函数 $f(x)$ 满足 $x^{2} f^{\prime}(x)+2 x f(x)=\frac{e^{x}}{x}, f(2)=\frac{e^{2}}{8}$, 则 $x>0$ 时, $f(x)()$
选项：
A. 有极大值, 无极小值
B. 有极小值, 无极大值
C. 既有极大值又有极小值
D. 既无极大值也无极小值
答案：D
解析：解析： $\because$ 函数 $f(x)$ 满足 $x^{2} f^{\prime}(x)+2 x f(x)=\frac{e^{x}}{x}$,
$\therefore\left[x^{2} f(x)\right]^{\prime}=\frac{e^{x}}{x}$, 令 $F(x)=x^{2} f(x)$,

则 $F^{\prime}(x)=\frac{e^{x}}{x}, F(2)=4 ? f(2)=\frac{e^{2}}{2}$,

由 $x^{2} f^{\prime}(x)+2 x f(x)=\frac{e^{x}}{x}$, 得 $f^{\prime}(x)=\frac{e^{x}-2 F(x)}{x^{3}}$, 令 $\varphi(x)=e^{x}-2 F(x)$,

则 $\varphi^{\prime}(x)=e^{x}-2 F^{\prime}(x)=\frac{e^{x}(x-2)}{x}$,

$\therefore \varphi(x)$ 在 $(0,2)$ 上单调递减, 在 $(2,+\infty)$ 上单调递增,

$\therefore \varphi(x)$ 的最小值为 $\varphi(2)=e^{2}-2 F(2)=0, \therefore \varphi(x) \geq 0$.

又 $x>0, \therefore f^{\prime}(x) \geq 0, \therefore f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递增,

$\therefore f(x)$ 既无极大值也无极小值, 故选 D.
题目（高三 · 算术）：单分数 (分子为 1 , 分母为正整数的分数) 的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色, 埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和. 例如 $\frac{2}{5}=\frac{1}{3}+\frac{1}{15}$, $\frac{7}{29}=\frac{1}{6}+\frac{1}{24}+\frac{1}{58}+\frac{1}{87}+\frac{1}{232}, \ldots \ldots$. , 现已知 $\frac{2}{101}$ 可以表示成 4 个单分数的和,记 $\frac{2}{101}=\frac{1}{606}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$, 其中 $x, y, z$ 是以 101 为首项的等差数列, 则 $y+z$的值为 ( )

$\begin{array}{llll}\text {
选项：
A. } 505 & \text { B. } 404 & \text { C. } 303 & \text { D. } 202\end{array}$
答案：A
解析：答案:A

【解析】依题意，拆分后的分数，分子都是 1 ，分母依次变大

又 $\frac{2}{101}=\frac{1}{606}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ 中含 $\frac{1}{606}$ ，

故可分解如下 $\frac{2}{101}=\frac{1}{101}+\frac{1}{101}=\frac{1}{101}+\frac{1}{202}+\frac{1}{202}=\frac{1}{101}+\frac{1}{202}+\frac{3}{606}$

$=\frac{1}{101}+\frac{1}{202}+\frac{2}{606}+\frac{1}{606}=\frac{1}{101}+\frac{1}{202}+\frac{1}{303}+\frac{1}{606}$,

又 $x, y, z$ 是以 101 为首项的等差数列, 故 $x=101, y=202, z=303$,

故 $y+z=202+303=505$ ，故选 A
题目（高三 · 算术）：已知复数 $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ 满足: $\left|z_{1}+4-2 \mathrm{i}\right|=1,\left|z_{2}-4 \mathrm{i}\right|=1,\left|z_{3}-1\right|=\left|z_{3}-\mathrm{i}\right|$,

那么 $\left|z_{3}-z_{1}\right|+\left|z_{3}-z_{2}\right|$ 的最小值为 ( )
选项：
A. $2 \sqrt{17}-2$
B. $2 \sqrt{5}$ C. $2 \sqrt{5}-2$ D. $2 \sqrt{17}$
答案：A
解析：$\left|z_{1}+4-2 iight|=1$, 表示 $z_{1}$ 的轨迹是以 $A(-4,2)$ 为圆心, 以 1 为半径的圆;$\left|z_{2}-4 iight|=1$, 表示 $z_{2}$ 的轨迹是以 $B(0,4)$ 为圆心, 以 1 为半径的圆,$\left|z_{3}-1ight|=\left|z_{3}-iight|$, 表示 $z_{3}$ 的轨迹是直线 $y=x$ ，如图所示:$\left|z_{3}-z_{1}ight|+\left|z_{3}-z_{2}ight|$ 表示直线 $y=x$ 上的点 $C$ 到圆 $A$ 和圆 $B$ 上的点的距离,先作出点 $B(0,4)$ 关于直线 $y=x$ 的对称点 $D(4,0)$, 连接 $A D$, 与直线 $y=x$ 交于点 $C$.$\left|z_{3}-z_{1}ight|+\left|z_{3}-z_{2}ight|$ 的最小值为 $|C E|+|C F|=|A D|-2=\sqrt{(4+4)^{2}+2}-2=2 \sqrt{17}-2$,故选 A.
题目（高三 · 算术）：函数 $y=3 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$ 的导数为（）
选项：
A. $y^{\prime}=6 \cos \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$
B. $y^{\prime}=3 \cos \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$
C. ${ }^{y}=-6 \cos \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$
D. $y^{\prime}=-3 \cos \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$
答案：A
解析：答案: A

【解析】 令 $y=3 \sin t, t=2 x-\frac{\pi}{6}$,

则 $y^{\prime}=(3 \sin t)^{\prime} \cdot\left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)^{\prime}=3 \cos \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right) \cdot 2=6 \cos \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$.
故答案为: A.

【分析】由题意利用复合函数的求导法则, 即可得 $y=6 \cos \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$.
题目（高三 · 算术）：已知函数 $f(x)=x \ln x$, 若 $0<x_{1}<x_{2}$, 则下列结论正确的是 ( )
选项：
A. $x_{2} f\left(x_{1}\right)<x_{1} f\left(x_{2}\right)$
B. $x_{1}+f\left(x_{1}\right)<x_{2}+f\left(x_{2}\right)$
с. $\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}<0$
D. 当 $\ln x>-1$ 时, $x_{1} f\left(x_{1}\right)+x_{2} f\left(x_{2}\right)>2 x_{2} f\left(x_{1}\right)$
答案：AD
解析：设 $g(x)=rac{f(x)}{x}=\ln x$, 函数单调递增, 则 $g\left(x_{2}ight)>g\left(x_{1}ight)$即 $rac{fleft(x_{2}ight)}{x_{2}}>rac{f\left(x_{1}ight)}{x_{1}} 	herefore x_{1} f\left(x_{2}ight)>x_{2} f\left(x_{1}ight), A$ 正确;设 $h(x)=f(x)+x 	herefore h^{\prime}(x)=\ln x+2$ 不是恒大于零, $B$ 错误;$f(x)=x \ln x 	herefore f^{\prime}(x)=\ln x+1$ 不是恒小于零, $C$ 错误;$\ln x>-1$ 故 $f^{\prime}(x)=\ln x+1>0$, 函数单调递增故 $\left(x_{2}-x_{1}ight)\left(f\left(x_{2}ight)-f\left(x_{1}ight)ight)=x_{1} f\left(x_{1}ight)+x_{2} f\left(x_{2}ight)-x_{2} f\left(x_{1}ight)-x_{1} f\left(x_{2}ight)>0$,即 $x_{1} f\left(x_{1}ight)+x_{2} f\left(x_{2}ight)>x_{2} f\left(x_{1}ight)+x_{1} f\left(x_{2}ight)$,$rac{f\left(x_{2}ight)}{x_{2}}=\ln x_{2}>rac{f\left(x_{1}ight)}{x_{1}}=\ln x_{1} 	herefore x_{1} f\left(x_{2}ight)>x_{2} f\left(x_{1}ight)$, 即 $x_{1} f\left(x_{1}ight)+x_{2} f\left(x_{2}ight)>2 x_{2} f\left(x_{1}ight), D$ 正确.
题目（高三 · 算术）：定积分 $\int_{0}^{1} 2 x d x=$ ( )
选项：
A. 1
B. -1
C. 2
D. -2
答案：A
解析：答案: A

【解析】 $\int_{0}^{1} 2 x d x=\left.x 2\right|_{0} ^{1}=1$.

故答案为: A.

【分析】根据定积分的计算可得选项.
题目（高三 · 算术）：正项等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{3}, a_{4 \text { 的等比中项为 }} \int_{\frac{1}{e}}^{e} \frac{1}{x} d x$,
选项：
A. 6
B. 16
C. 32
D. 64

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_7d21164174703021068bg-
答案：D
解析：答案: D

【解析】 因为 $\frac{1}{e} \frac{1}{x} d x=\ln x x_{\frac{1}{e}}^{e}=\ln e-\ln \frac{1}{e}=2$, 即 $a_{3} a_{4}=4$,

又 $a_{1} a_{6}=a_{2} a_{5}=a_{3} a_{4}=4$,

所以 $T_{6}=a_{1} \cdot a_{2} \cdot \cdots \cdot a_{6}=\left(a_{3} a_{4}\right)^{3}=4^{3}=64$.

故答案为: D,

【分析】利用定积分求出 $a_{3}, a_{4}$ 的等比中项, 再利用等比中项公式结合等比数列的性质, 从而得出 $a_{1} a_{6}=a_{2} a_{5}=a_{3} a_{4}=4$, 最后求出 $T_{6}$ 的值.
题目（高三 · 算术）：正项等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{3}, a_{4 \text { 的等比中项为 } \frac{1}{e}}^{e} \frac{1}{x} d x$
选项：
A. 6
B. 16
C. 32
D. 64
答案：B
解析：答案: D

【解析】 因为 $\frac{1}{e}$

$$
\int_{\frac{1}{6}}^{e} \frac{1}{x} d x=\left.\ln x\right|_{\frac{1}{e}} ^{e}=\ln e-\ln \frac{1}{e}=2
$$

又 $a_{1} a_{6}=a_{2} a_{5}=a_{3} a_{4}=4$, 所以 $T_{6}=a_{1} \cdot a_{2} \cdot \cdots \cdot a_{6}=\left(a_{3} a_{4}\right)^{3}=4^{3}=64$ 。

故答案为: D.

【分析】利用定积分求出 $a_{3}, a_{4}$ 的等比中项, 再利用等比中项公式结合等比数列的性质, 从而得出 $a_{1} a_{6}=a_{2} a_{5}=a_{3} a_{4}=4$, 最后求出 $T_{6}$ 的值.
题目（高三 · 算术）：正项等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中， $a_{30} a_{4 \text { 的等比中项为 }} \int_{\frac{1}{e}}^{e} \frac{1}{x} d x$,
选项：
A. 6
B. 16
C. 32
D. 64
答案：D
解析：答案: D
【解析】 因为 $\int_{\frac{1}{e}}^{e} \frac{1}{x} d x=\left.\ln x\right|_{\frac{1}{e}} ^{e}=\ln e-\ln \frac{1}{e}=2$,

, 即 $a_{3} a_{4}=4$,

又 $a_{1} a_{6}=a_{2} a_{5}=a_{3} a_{4}=4$, 所以 $T_{6}=a_{1} \cdot a_{2} \cdot \cdots \cdot a_{6}=\left(a_{3} a_{4}\right)^{3}=4^{3}=64$.

故答案为:

【分析】利用定积分求出 $a_{3}, a_{4}$ 的等比中项, 再利用等比中项公式结合等比数列的性质, 从而得出 $a_{1} a_{6}=a_{2} a_{5}=a_{3} a_{4}=4$, 最后求出 $T_{6}$ 的值.
题目（高三 · 算术）：在用数学归纳法证明等式 $1+2+3+\cdots+2 n=2 n^{2}+n\left(n \in N^{n}\right)$ 的第(ii)步中, 假设 $n=k$ 时原等式成立，那么在 $n=k+1$ 时，需要证明的等式为（）
选项：
A. $1+2+3+\cdots+2 k+2(k+1)=2 k^{2}+k+2(k+1)^{2}+(k+1)$
B. $1+2+3+\cdots+2 k+2(k+1)=2(k+1)^{2}+(k+1)$
C. $1+2+3+\cdots+2 k+(2 k+1)+2(k+1)=2 k^{2}+k+2(k+1)^{2}+(k+1)$
D. $1+2+3+\cdots+2 k+(2 k+1)+2(k+1)=2(k+1)^{2}+(k+1)$
答案：D
解析：答案: D

解: 因为要证 $1+2+3+\cdots+2 n=2 n^{2}+n(n \in N)$,

因此, 当 $n=k+1$ 时, 需要证明

$1+2+3+\cdots+2 k+(2 k+1)+2(k+1)=2(k+1)^{2}+(k+1)\left(n \in N^{*}\right)$.

故答案为: $\mathrm{D}$

【分析】根据数学归纳法的一般步骤, 结合题中条件, 即可得出结果.
题目（高三 · 算术）：证明: $\frac{n+2}{2}<1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2 n}<n+1(n>1)$, 当 $n=2$ 时, 中间式子等于（）
选项：
A. 1
B. ${ }^{1+\frac{1}{2}}$
C. ${ }^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}$
D. ${ }^{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}$
答案：D
解析：答案: D

解: $n=2$ 时中间式子的最后一项为 $\frac{1}{4}$, 中间式子为 $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$.

故答案为: D

【分析】由 $\mathrm{n}=2$ 时中间式子的最后一项为 $\frac{1}{4}$ 可得结果.
题目（高三 · 算术）：用数学归纳法证明“ $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+\cdots+\frac{1}{2 n} \geq \frac{1}{2}\left(n \in_{N}\right)$, , 由 $n=k$ 到 $n=k+1$ 时，不等式左边应添加的项是（ ）
选项：
A. $\frac{1}{2 k+1}$
B. $\frac{1}{2 k+2}$
C. $\frac{1}{2 k+1}+\frac{1}{2 k+2}$
D. $\frac{1}{2 k+1}+\frac{1}{2 k+2}-\frac{1}{k+1}$
答案：D
解析：答案: D

解: 当 $n=k$ 时, 不等式左边为 $\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\cdots+\frac{1}{2 k}$;

当 $n=k+1$ 时, 不等式左边为 $\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\frac{1}{k+4}+\cdots+\frac{1}{2 k}+\frac{1}{2 k+1}+\frac{1}{2 k+2}$

$=\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\cdots+\frac{1}{2 k}+\frac{1}{2 k+1}+\frac{1}{2 k+2}-\frac{1}{k+1}$,

即由 $n=k$ 到 $n=k+1$ 时, 不等式左边应添加的项是 $\frac{1}{2 k+1}+\frac{1}{2 k+2}-\frac{1}{k+1}$.

故答案为: D

【分析】求出当 $n=k$ 和 $n=k+1$ 时, 不等式左边的式子, 即可得出答案.
题目（高三 · 算术）：已知 $a \in R$, 若 $a-1+(a-2) i(i$ 为虚数单位) 是实数, 则 $a=(\quad)$
选项：
A. 1
B. -1
C. 2
D. -2
答案：C
解析：答案: $\mathrm{C}$

【解析】 $a \in R$, 若 $a-1+(a-2) i$ ( $i$ 为虚数单位) 是实数,

可得 $\mathrm{a}-2=0$, 解得 $\mathrm{a}=2$.

故答案为:
C.

【分析】利用复数的虚部为 0 , 求解即可.
题目（高三 · 算术）：已知 $\mathrm{a}$ 是实数, $\frac{a+i}{1-i}$ 是实数, 则 $\cos \frac{a \pi}{3}$ 的值为 ( )
选项：
A. $\frac{1}{2}$
B. $-\frac{1}{2}$
C. 0
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_7d21164174703021068bg-
答案：A
解析：答案: A

【解析】【解析】$\because \frac{a+i}{1-i}=\frac{(a+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{a-1}{2}+\frac{a+1}{2} i_{\text {是实数, }}$

$\therefore \frac{a+1}{2}=0$, 即 $a=-1$.
$\therefore \cos \frac{a \pi}{3}=\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$.

故答案为: A.

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简, 由虚部为 0 求得 $a$ 值, 代入 $\cos \frac{a \pi}{3}$ 得答案.
题目（高三 · 算术）：已知集合 $M=\left\{m \mid m=i^{n}, n \in N\right\}$, 其中 $\mathrm{i}$ 为虚数单位, 则下列元素属于集合 $\mathrm{M}$ 的是（）
选项：
A. $(1-i)(1+i)$
B. $\frac{1-i}{1+i}$
.C. $\frac{1+i}{1-i}$
D. $(1-i)^{2}$
答案：BC
解析：答案: B,C

【解析】根据题意, $M=\left\{m \mid m=i^{n}, n \in N\right\}$ 中,

$n=4 k(k \in N)_{\text {时 },} i^{n}=1 ;$

$n=4 k+1(k \in N)_{\text {时, }}$
$i^{n}=i ; \quad n=4 k+2(k \in N)_{\text {时, }}, i^{n}=-1$;

$n=4 k+3(k \in N)_{\text {时, }} i^{n}=-i$,

$\therefore M=\{-1,1, i,-i\}$.

A 中, $(1-i)(1+i)=2 \notin M$;

B 中, $\frac{1-i}{1+i}=\frac{(1-i)^{2}}{(1+i)(1-i)}=-i \in M$;

C 中, $\frac{1+i}{1-i}=\frac{(1+i)^{2}}{(1-i)(1+i)}=i \in M$;

D 中, $(1-i)^{2}=-2 i \notin M$.

故答案为: BC.

【分析】根据集合求出集合内部的元素, 再对四个选项依次化简即可得出选项.
题目（高三 · 算术）：若 $z=1+2 i+i^{3}$, 则 $\mid z=(\quad)$
选项：
A. 0
B. 1
c. $\sqrt{2}$
D. 2
答案：C
解析：答案: C

【解析】 因为 $z=1+2 i+i^{3}=1+2 i-i=1+i$, 所以 $|z|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$.

故答案为: C.

【分析】先根据 $i^{2}=-1$ 将 $z$ 化简, 再根据向量的模的计算公式即可求出.
题目（高三 · 算术）：复数 $z=\frac{3+i}{1-i}$ (其中 $\mathrm{i}$ 为虚数单位) 的虚部为 ( )
选项：
A. -1
B. 4
C. 2
D. $2 i$
答案：C
解析：因为 $z=rac{3+i}{1-i}=rac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=rac{2+4 i}{2}=1+2 i$,
题目（高三 · 算术）：在复平面内, 复数 $\mathrm{z}$ 对应的点的坐标是 $(1,2)$, 则 $i \cdot z=(\quad)$.
选项：
A. $1+2 i$
B. $-2+i$
.C. $1-2 i$
D. $-2-i$
答案：B
解析：答案: B

【解析】 由题意得 $z=1+2 i, \therefore i z=i-2$.

故答案为: $\mathrm{B}$

【分析】先根据复数几何意义得 $\mathrm{z}$, 再根据复数乘法法则得结果.
题目（高三 · 算术）：已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$, 前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 则 “ $d>0$ ” 是 “ $S_{4}+S_{6}>2 S_{5}$ ” 的 ( )
选项：
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案：C
题目（高三 · 组合数学）：杨辉三角, 是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在欧洲, 这个表叫做帕斯卡三角形。帕斯卡(1623----1662)是在 1654 年发现这一规律的,比杨辉要迟 393 年,比贾宪迟 600 年。下图的表在我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里就出现了, 这又是我国数学史上的一个伟大成就。如图所示, 在“杨辉三角”中, 从 1 开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列: $1,2,3,3,6,4,10,5, \ldots$, 则此数列前 16 项和为( )


选项：
A. 120
B. 163
C. 164
D. 165
答案：C
解析：答案:C

【解析】由由题意及杨辉三角的特点可得:



C.

5.答案:253

【解析】当 $n=23$ 时, 共有 24 个数, 从左往右第 22 个数即为这一行的倒数第 3 个数, 观察可知, 其规律为 1,31,61,101,151,211,281,361,451,551,661,781,911,1051, $1201,1361,1531,1711,1901,2101,2311,253$, 故所求数字为
题目（高三 · 组合数学）：仔细观察下面○和・的排列规律:

若依此规律继续下去, 得到一系列的 0 和・, 那么在前 120 个0和・中, ・的个数是（ ）
选项：
A. 13
B. 14
C. 15
D. 16
答案：B
解析：解析：解答：进行分组 0 - $00|000| 0000|00000| 000000 \mid . . . .$. , 则前 $\mathrm{n}$ 组两种圈的总数是 $\mathrm{f}(\mathrm{n})=2+3+4+\ldots+(\mathrm{n}+1)=\frac{n(n+3)}{2}$, 易知 $\mathrm{f}(14)=119, \mathrm{f}(15)=135$, 故 $\mathrm{n}=14$, 选 B

分析: 本题主要考查了归纳推理, 解决问题的关键是通过观察所给图形的变换规律进行计算即可.
题目（高三 · 组合数学）：已知 $f(n)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\left(n \in N^{*}\right)$, 计算得 $f(2)=\frac{3}{2}, f(4)>2, f(8)>\frac{5}{2}$, $f(16)>3, f(32)>\frac{7}{2}$, 由此推算: 当 $n \geq 2$ 时, 有 ( )
选项：
A. $f(2 n)>\frac{2 n+1}{2}\left(n \in N^{*}\right)$

B. $f(2 n)>\frac{2(n+1)-1}{2}\left(n \in N^{*}\right)$

C. $f\left(2^{n}\right)>\frac{2 n+1}{2}\left(n \in N^{*}\right)$

D. $f\left(2^{n}\right)>\frac{n+2}{2} \quad\left(n \in N^{*}\right)$
答案：D
解析：解析: 解答: $f(4)>2$ 改写成: $f\left(2^{2}\right)>\frac{2+2}{2} ; f(8)>\frac{5}{2}$ 改写成: $f\left(2^{3}\right)>\frac{3+2}{2} ; f(16)>3$改写成: $f\left(2^{4}\right)>\frac{4+2}{2} ; f(32)>\frac{7}{2}$ 改写成: $f\left(2^{5}\right)>\frac{5+2}{2}$, 由此可归纳得出: 当 $n \geq 2$ 时,有 $f\left(2^{n}\right)>\frac{n+2}{2}\left(n \in N^{*}\right)$, 故选择 D.

分析: 本题主要考查了归纳推理, 解决问题的关键是根据归纳推理的方法步骤进行分析计算即可.
题目（高三 · 组合数学）：一个袋中装有除颜色外完全相同的 2 个黑球和 6 个红球, 从中任取 2 个, 可以作为随机变量的是( )
选项：
A. 取到的球的个数
B. 取到红球的个数
C.至少取到 1 个红球
D. 至少取到 1 个红球或 1 个黑球
答案：B
解析：答案:B

【解析】A 中叙述的结果是确定的, 不是随机变量, B 中叙述的结果可能是 $0,1,2$, 所以是随机变量.C 和 D 叙述的结果也是确定的, 故不是随机变量.
题目（高三 · 组合数学）：投郑两枚股子, 所得点数之和记为 $X$, 那么 $X=4$ 表示的随机试验结果是( )。
选项：
A. 一枚是 3 点, 一枚是 1 点
B. 一枚是 3 点, 一枚是 1 点或两枚都是 2 点
C.两枚都是 4 点
D. 两枚都是 2 点
答案：B
解析：答案:B

【解析】投郑两枚股子, 所得点数之和记为 $X$, 那么 $X=4$ 表示的随机试验结果是一枚是 3 点,一枚是 1 点或两枚都是 2 点。故选 B。
题目（高三 · 组合数学）：某学校甲、乙等 10 位同学组成的志愿者服务队由李老师和张老师负责,每次献爱心活动均需该服务队中的 4 位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给 4 位同学,且所发信息都能收到,则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为( )
选项：
A. $\frac{2}{5}$
B. $\frac{12}{25}$
C. $\frac{16}{25}$
D. $\frac{4}{5}$
答案：C
解析：答案: C

解析: 设甲同学收到李老师的信息为事件 ${ }^{A}$,收到张老师的信息为事件 ${ }^{B}$, 事件 $A, B$ 相互独立. 易知 $P(A)=P(B)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$, 则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为 $1-P(\bar{A} \bar{B})=1-[1-P(A)][1-P(B)]=1-\frac{3}{5} \times \frac{3}{5}=\frac{16}{25}$ .故选 C.
题目（高三 · 组合数学）：甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止, 设甲每次投篮命中的概率为 0.4 , 乙每次投篮命中的概率为 0.6 , 而且不受其他次投篮结果的影响.设投篮的轮数为 $X$, 若甲先投,则 $P(X=k)$ 等于 $(\quad)$
选项：
A. ${ }^{
答案：B
解析：答案: B

解析: $\because$ 甲和乙投篮不受其他投篮结果的影响, $\therefore$ 本题是一个相互独立事件同时发生的概率, $\because$ 每次投篮甲投中的概率为
题目（高三 · 组合数学）：在某次人才招聘会上, 假定某毕业生赢得甲公司面试机会的概率为 $\frac{2}{3}$, 赢得乙、丙两公司面试机会的概率均为 ${ }^{\frac{1}{4}}$, 且三个公司是否让其面试是相互独立的.则该毕业生只贏得甲、乙两个公司面试机会的概率为（）
选项：
A. $\frac{1}{16}$
B. ${ }^{\frac{1}{8}}$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{1}{2}$
答案：B
解析：答案: B

解析：记事件 $A$ 为“该毕业生赢得甲公司的面试机会”, 事件 $B$ 为“该毕业生赢得乙公司的面试机会”, 事件 $C$ 为“该毕业生赢得丙公司的面试机会”.
由题易可得 $P(A)=\frac{2}{3}, P(B)=P(C)=\frac{1}{4}$

则事件“该毕业生只贏得甲、乙两个公司面试机会”为 $A B \bar{C}$ ，

由相互独立事件同时成立的概率公式，可得

$$
P(A B \bar{C})=P(A) P(B) P(\bar{C})=\frac{2}{3} \times \frac{1}{4} \times\left(1-\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{8}
$$

.故选 B.
题目（高三 · 组合数学）：已知排球发球考试规则: 每位考生最多可发球三次, 若发球成功, 则停止发球, 否则一直发到 3 次结束为止.某考生一次发球成功的概率为 $p(0<p<1)$, 发球次数为 $X$, 若 $X$ 的数学期望 $E(X)>1.75$ ，则 $p$ 的取值范围为( )
选项：
A. $\left(0, \frac{1}{2}\right)$
B. $\left(0, \frac{7}{12}\right)$
C. $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$
D. $\left(\frac{7}{12}, 1\right)$

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答案：A
解析：答案: A

【解析】由已知条件可得 $P(X=1)=p, P(X=2)=(1-p) p$,

$P(X=3)=(1-p)^{2} p+(1-p)^{3}=(1-p)^{2}$,

则 $E(X)=P(X=1)+2 P(X=2)+3 P(X=3)$

$=p+2(1-p)+3(1-p)^{2}=p^{2}-3 p+3>
题目（高三 · 组合数学）：如图所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的, 称为杨辉三角形, 根据图中的数构成的规律, $a$ 所表示的数是( )


选项：
A. 5
B. 4
C. 6
D. 9
答案：C
解析：答案: C

解析：杨辉三角形中, 各数值等于其“肩数”之和, 所以 $a=3+3=6$. 故选 C.
题目（高三 · 组合数学）：如图所示的数阵称为杨辉三角. 斜线 $A B$ 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列: $1,2,3,3,6,4,10, \cdots$, 记这个数列的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 则 $S_{16}$ 等于 ( )



$\begin{array}{llll}\text {
选项：
A. } 128 & \text { B. } 144 & \text { C. } 155 & \text { D. } 164\end{array}$
答案：D
解析：由图中锯齿形数列，发现:$a_{1}=1, a_{3}=3=1+2, a_{5}=6=1+2+3, \cdots, a_{15}=1+2+3+\cdots+8$,而 $a_{2}=2, a_{4}=3, a_{6}=4, \cdots, a_{16}=9$,所以 $S_{16}=[1+(1+2)+(1+2+3)+\cdots+(1+2+\cdots+8)]+(2+3+4+\cdots+9)$ $=(1 	imes 8+2 	imes 7+3 	imes 6+\cdots+7 	imes 2+8 	imes 1)+rac{(2+9) 	imes 8}{2}=164$故选 D.
题目（高三 · 组合数学）：中国古代十进制的算筹计数法, 在数学史上是一个伟大的创造, 算筹实际上是一根根同长短的小木棍. 如图, 是利用算筹表示 1-9 的一种方法. 则据此, 3 可表示为“三”, 26 可表示为“ $=\perp ”$, 现有 6 根算筹, 据此表示方法, 若算筹不能剩余,则可以用 1-9 这 9 数字表示的两位数的个数为 ( )



$\begin{array}{llll}\text {
选项：
A. } 9 & \text { B. } 13 & \text { C. } 16 & \text { D. } 18\end{array}$
答案：C
解析：根据题意, 现有 6 根算筹, 可以表示的数字组合为 $1 、 5,1 、 9,2 、 4,2 、 8,6 、 4,6 、 8,3$ 、$3,3,7,7 、 7$;数字组合 $1 、 5,1 、 9,2 、 4,2 、 8,6 、 4,6 、 8,3 、 7$ 中, 每组可以表示 2 个两位数, 则可以表示 $2 	imes 7=14$个两位数;数字组合 $3 、 3,7 、 7$, 每组可以表示 1 个两位数, 则可以表示 $2 	imes 1=2$ 个两位数则一共可以表示 $14+2=16$ 个两位数, 故选 C.
题目（高三 · 组合数学）：下列给出的图形中, 星星的个数构成一个数列, 则该数列的一个递推公式可以是 ( )



$\begin{array}{ll}\text {
选项：
A. } a_{n+1}=a_{n}+n, n \in \mathbb{N}^{+} & \text {B. } a_{n}=a_{n-1}+n, n \in \mathbb{N}^{+}, n \geq 2\end{array}$
C. $a_{n+1}=a_{n}+(n+1), n \in \mathbb{N}^{*}, n \geq 2$
D. $a_{n}=a_{n-1}+(n-1), n \in \mathbb{N}^{*}, n \geq 2$
答案：B
解析：结合图象易知, $a_{1}=1, a_{2}=3=a_{1}+2, a_{3}=6=a_{2}+3, a_{4}=10=a_{3}+4$,故选 B.
题目（高三 · 组合数学）：四个小动物换座位, 开始是鼠、猴、兔、猫分别坐 $1 、 2 、 3 、 4$ 号位上 (如图),第一次前后排动物互换座位, 第二次左右列动物互换座位,.. , 这样交替进行下去,那么第 202 次互换座位后，小兔坐在第（）号座位上.



开始



$\begin{array}{llll}\text {
选项：
A. } 1 & \text { B. } 2 & \text { C. } 3 & \text { D. } 4\end{array}$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_28d10227961faf2becddg-
答案：B
解析：由图可知, 经过四次交换后, 每个小动物又回到了原来的位置,故此变换的规律是周期为 4$ecause 202 \div 4=50 \cdots 2$,$	herefore$ 第 202 次互换座位后, 与第 2 次的座位相同, 小兔的座位号为 2 , 故选 B,
题目（高三 · 组合数学）：将正整数排成下图所示的数阵, 其中第 $\mathrm{i}$ 行有 $2^{i-1}$ 个数, 如果 2021 是表中第 $m$行的第 $n$ 个数, 则（）
选项：
A. $m+n=1009$
B. $m+n=1010$
C. $m+n<1009$
D. $m+n>1010$
答案：A
解析：$1+2+\cdots+2^{k-1}=2^{k}-1,2^{10}-1<2021<2^{11}-1$,因此 2021 在第 11 行, 即 $m=11$,又 $2021-\left(2^{10}-1ight)=998$, 即 $n=998$, 所以 $m+n=1009$, 故选 A.
题目（高三 · 组合数学）：杨辉三角, 又称帕斯卡三角, 是二项式系数在三角形中的一种几何排列, 在我国南宋数学家杨辉所著的《评解九章算法》 (1261 年) 一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律, 现把杨辉三角中的数从上到下, 从左到右依次排列, 得数列: $1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1, \ldots$ 记作数列 $\left\{a_{n}\right\}$, 若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 则 $S_{57}=(\quad)$


选项：
A. 265 B. 521 C. 1034
D. 2059
答案：C
解析：将 $1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1, \cdots$分组为 $(1),(1,1),(1,2,1),(1,3,3,1),(1,4,6,4,1), \cdots$,则第 $n$ 组 $n$ 个数且第 $n$ 组 $n$ 个数之和为 $2^{n-1}$,设 $a_{57}$ 在第 $n$ 组中, 则 $rac{n(n-1)}{2} \leq 57 \leq rac{n(n+1)}{2}$, 解得 $n=11$,即 $a_{57}$ 在第 11 组中且为第 11 组中的第 2 个数, 即为 $C_{10}^{1}$, 则 $S_{57}=2^{0}+2^{1}+\cdots+2^{9}+\left(C_{10}^{0}+C_{10}^{1}ight)=1034$, 故选 C
题目（高三 · 组合数学）：电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关, 某品牌的电视机的显像管开关了 10000 次还能继续使用的概率是 0.8 , 开关了 15000 次后还能继续使用的概率是 0.6 , 则已经开关了 10000 次的电视机显像管还能继续使用到 15000 次的概率是 ( )
选项：
A.
答案：D
解析：事件 $A$ : 电视机的显像管开关了 10000 次还能继续使用,记事件 $B$ : 电视机的显像管开关了 15000 次后还能继续使用,则 $P(A B)=0.6, P(A)=0.8$,所以, 已经开关了 10000 次的电视机显像管还能继续使用到 15000 次的概率为 $P(B \mid A)=rac{P(A B)}{P(A)}=rac{0.6}{0.8}=0.75$,故选 D.
题目（高三 · 组合数学）：已知两组数 $a_{1} \leq a_{2} \leq a_{3} \leq a_{4} \leq a_{5}, b_{1} \leq b_{2} \leq b_{3} \leq b_{4} \leq b_{5}$, 其中 $a_{1}=2, a_{2}=7$, $a_{3}=8, a_{4}=9, a_{5}=12, b_{1}=3, b_{2}=4, b_{3}=6, b_{4}=10, b_{5}=11$, 将 $b_{i}(i=1,2,3,4,5)$重新排列记为 $c_{1}, c_{2}, c_{3}, c_{4}, c_{5}$ 则 $a_{1} c_{1}+a_{2} c_{2}+\cdots+a_{5} c_{5}$ 的最大值和最小值分别是 $(\quad)$
选项：
A. 132,6
B.304, 212
C. 22,6
D.21, 36
答案：B
解析：解析:

解答: 因为 $a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\cdots a_{n} b_{n} \geq a_{1} c_{1}+a_{2} c_{2}+\cdots+a_{n} c_{n} \geq a_{1} b_{n}+a_{2} b_{n-1}+\cdots a_{n} b_{1}$, 所以 $a_{1} c_{1}+a_{2} c_{2}+\cdots+a_{5} c_{5}$ 的最大值为 $2 \times 3+7 \times 4+8 \times 6+9 \times 10+12 \times 11=304$, 最小值为 $2 \times 11+7 \times 10+8 \times 6+9 \times 4+12 \times 3=212$, 故选 B 分析: 本题主要考查了排序不等式, 解决问题的关键是根据排序不等式 $a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\cdots a_{n} b_{n} \geq a_{1} c_{1}+a_{2} c_{2}+\cdots+a_{n} c_{n} \geq a_{1} b_{n}+a_{2} b_{n-1}+\cdots a_{n} b_{1}$ 分析计算即可.
题目（高三 · 组合数学）：用数学归纳法证明 $1+2+3+\cdots+n^{2}=\frac{n^{4}+n^{2}}{2}$, 则当 $\mathrm{n}=\mathrm{k}+1$ 时左端应在 $\mathrm{n}=\mathrm{k}$ 的基础上

增加 ( )
选项：
A. $\mathrm{k}^{2}+1$

B. $(k+1)^{2}$

C. $\frac{(k+1)^{4}+(k+1)^{2}}{2}$

D. $\left(\mathrm{k}^{2}+1\right)+\left(\mathrm{k}^{2}+2\right)+\left(\mathrm{k}^{2}+3\right)+\ldots+(\mathrm{k}+1)^{2}$
答案：D
解析：解析:解答:当 $n=k$ 时, 等式左端 $=1+2++k^{2}$,
当 $n=k+1$ 时, 等式左端 $=1+2++k^{2}+\left(k^{2}+1\right)+\left(k^{2}+2\right)+\left(k^{2}+3\right)+\ldots+(k+1)^{2}$, 增加了 $2 k+1$项. 故选 D.

分析: 本题主要考查了数学归纳法的证明步骤, 解决问题的关键是根据归纳法分析即可
题目（高三 · 组合数学）：在应用数学归纳法证明凸 $n$ 边形的对角线为 $\frac{1}{2} n(n-3)$ 条时, 第一步验证 $n$ 等于 ( )
选项：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0


答案：C
解析：解析: 解答: 多边形的边数最少是 3 , 即三角形, $\therefore$ 第一步验证 $\mathrm{n}$ 等于 3 . 故选 C.

分析: 本题主要考查了数学归纳法的证明步骤, 解决问题的关键是第一步应验证 $\mathrm{n}$ 的最小值时, 命题是否成立.
题目（高三 · 组合数学）：有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤, 如果一条长裤与一件上衣配成一套, 则不同的配法种数( )
选项：
A. 7
B. 64
С. 12
D. 81
答案：C
解析：答案: C

【解析】 根据题意, 由于四件不同款式的上衣与三件不同颜色的长裤, 那么先选择裤子有 3 种, 那么在选上衣有 4 种，根据分步乘法计数原理，得到结论为 $3 \times 4=12$,

故答案为: C.