题目（七年级 · 代数）：（2021 春・西乡塘区校级月考）李明在某商场购买甲乙两种商品若干次（每次甲, 乙两种商品都购买), 其中前两次按标价购买, 第三次购买时, 甲, 乙两种商品同时打折, 三次购买甲, 乙两种商品的数量和费用情况如表所示:

|        | 购买甲商品的数量 | 购买乙商品的数量 | 购买总费用 |
| :----: | :--------------: | :--------------: | :--------: |
| 第一次 |        6         |        4         |    880     |
| 第二次 |        4         |        6         |    920     |


| 第三次 |  9   |  8   | 912  |
| :----: | :--: | :--: | :--: |

(1) 求甲，乙两种商品的标价各是多少元?

（2）若李明第三次购买时, 甲, 乙两种商品的折扣相同, 则商场是打几折出售这两种商品的?

（3）在（2）的条件下打折, 若李明第四次购买甲，乙两种商品共花去 1200 元，则李明可能有哪几种购买方案?

【思路点拨】（1）设甲商品的标价是 $x$ 元, 乙商品的标价是 $y$ 元, 利用总价 $=$ 单价 $\times$ 数量, 结合前两次购买的数量及总费用, 即可得出关于 $x, y$ 的二元一次方程组, 解之即可求出甲, 乙两种商品的标价; （2）设商场是打 $m$ 折出售这两种商品的, 利用总价 $=$ 单价 $\times$ 数量, 即可得出关于 $m$ 的一元一次方程, 解之即可得出商场是打 6 折出售这两种商品的;

（3）设李明购买了 $a$ 件甲商品, $b$ 件乙商品, 利用总价 $=$ 单价 $\times$ 数量, 即可得出关于 $a, b$ 的二元一次方程, 结合 $a, b$ 均为正整数, 即可得出各购买方案.

【答案】解: (1) 设甲商品的标价是 $x$ 元, 乙商品的标价是 $y$ 元,

依题意得: $\left\{\begin{array}{l}6 x+4 y=880 \\ 4 x+6 y=920\end{array}\right.$, 解得: $\left\{\begin{array}{l}x=80 \\ y=100\end{array}\right.$.

答: 甲商品的标价是 80 元, 乙商品的标价是 100 元.

(2) 设商场是打 $m$ 折出售这两种商品的,

依题意得： $9 \times 80 \times \frac{m}{10}+8 \times 100 \times \frac{m}{10}=912$, 解得： $m=6$.

答: 商场是打 6 折出售这两种商品的.

（3）设李明购买了 $a$ 件甲商品， $b$ 件乙商品，

依题意得: $80 a+100 b=1200, \therefore b=12-\frac{4}{5} a$.

又 $\because a, b$ 均为正整数, $\therefore\left\{\begin{array}{l}a=5 \\ b=8\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}a=10 \\ b=4\end{array}, \therefore\right.$ 李明共有 2 种购买方案,

方案 1: 购买了 5 件甲商品, 8 件乙商品; 方案 2: 购买了 10 件甲商品, 4 件乙商品.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及二元一次方程的应用, 解题的关键是：（1）找准等量关系, 正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系, 正确列出一元一次方程; （3）找准等量关系, 正确列出二元一次方程
选项：
答案：解: (1) 设甲商品的标价是 $x$ 元, 乙商品的标价是 $y$ 元,

依题意得: $\left\{\begin{array}{l}6 x+4 y=880 \\ 4 x+6 y=920\end{array}\right.$, 解得: $\left\{\begin{array}{l}x=80 \\ y=100\end{array}\right.$.

答: 甲商品的标价是 80 元, 乙商品的标价是 100 元.

(2) 设商场是打 $m$ 折出售这两种商品的,

依题意得： $9 \times 80 \times \frac{m}{10}+8 \times 100 \times \frac{m}{10}=912$, 解得： $m=6$.

答: 商场是打 6 折出售这两种商品的.

（3）设李明购买了 $a$ 件甲商品， $b$ 件乙商品，

依题意得: $80 a+100 b=1200, \therefore b=12-\frac{4}{5} a$.

又 $\because a, b$ 均为正整数, $\therefore\left\{\begin{array}{l}a=5 \\ b=8\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}a=10 \\ b=4\end{array}, \therefore\right.$ 李明共有 2 种购买方案,

方案 1: 购买了 5 件甲商品, 8 件乙商品; 方案 2: 购买了 10 件甲商品, 4 件乙商品.
解析：春・西乡塘区校级月考）李明在某商场购买甲乙两种商品若干次（每次甲, 乙两种商品都购买), 其中前两次按标价购买, 第三次购买时, 甲, 乙两种商品同时打折, 三次购买甲, 乙两种商品的数量和费用情况如表所示:

|        | 购买甲商品的数量 | 购买乙商品的数量 | 购买总费用 |
| :----: | :--------------: | :--------------: | :--------: |
| 第一次 |        6         |        4         |    880     |
| 第二次 |        4         |        6         |    920     |


| 第三次 |  9   |  8   | 912  |
| :----: | :--: | :--: | :--: |

(1) 求甲，乙两种商品的标价各是多少元?

（2）若李明第三次购买时, 甲, 乙两种商品的折扣相同, 则商场是打几折出售这两种商品的?

（3）在（2）的条件下打折, 若李明第四次购买甲，乙两种商品共花去 1200 元，则李明可能有哪几种购买方案?

【思路点拨】（1）设甲商品的标价是 $x$ 元, 乙商品的标价是 $y$ 元, 利用总价 $=$ 单价 $\times$ 数量, 结合前两次购买的数量及总费用, 即可得出关于 $x, y$ 的二元一次方程组, 解之即可求出甲, 乙两种商品的标价; （2）设商场是打 $m$ 折出售这两种商品的, 利用总价 $=$ 单价 $\times$ 数量, 即可得出关于 $m$ 的一元一次方程, 解之即可得出商场是打 6 折出售这两种商品的;

（3）设李明购买了 $a$ 件甲商品, $b$ 件乙商品, 利用总价 $=$ 单价 $\times$ 数量, 即可得出关于 $a, b$ 的二元一次方程, 结合 $a, b$ 均为正整数, 即可得出各购买方案.

【答案】解: (1) 设甲商品的标价是 $x$ 元, 乙商品的标价是 $y$ 元,

依题意得: $\left\{\begin{array}{l}6 x+4 y=880 \\ 4 x+6 y=920\end{array}\right.$, 解得: $\left\{\begin{array}{l}x=80 \\ y=100\end{array}\right.$.

答: 甲商品的标价是 80 元, 乙商品的标价是 100 元.

(2) 设商场是打 $m$ 折出售这两种商品的,

依题意得： $9 \times 80 \times \frac{m}{10}+8 \times 100 \times \frac{m}{10}=912$, 解得： $m=6$.

答: 商场是打 6 折出售这两种商品的.

（3）设李明购买了 $a$ 件甲商品， $b$ 件乙商品，

依题意得: $80 a+100 b=1200, \therefore b=12-\frac{4}{5} a$.

又 $\because a, b$ 均为正整数, $\therefore\left\{\begin{array}{l}a=5 \\ b=8\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}a=10 \\ b=4\end{array}, \therefore\right.$ 李明共有 2 种购买方案,

方案 1: 购买了 5 件甲商品, 8 件乙商品; 方案 2: 购买了 10 件甲商品, 4 件乙商品.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及二元一次方程的应用, 解题的关键是：（1）找准等量关系, 正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系, 正确列出一元一次方程; （3）找准等量关系, 正确列出二元一次方程.