eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（七年级 · 算术）：用 1 块 $A$ 型钢板可制成 2 个 $C$ 型模具和 1 个 $D$ 型模具; 用 1 块 $B$ 型钢板可制成 1 个 $C$ 型模具和 3
个 $D$ 型模具, 现准备 $A 、 B$ 型钢板共 100 块, 并全部加工成 $C 、 D$ 型模具.

(1) 若 $B$ 型钢板的数量是 $A$ 型钢板的数量的两倍还多 10 块, 求 $A 、 B$ 型钢板各有多少块?

(2) 若销售 $C 、 D$ 型模具的利润分别为 80 元/块、 100 元/块，且全部售出.

(1) 当 $A$ 型钢板数量为 25 块时, 那么共可制成 $C$ 型模具 \$ \qquad \$个, $D$ 型模具 \$ \qquad \$个;

(2)当 $C 、 D$ 型模具全部售出所得的利润为 34400 元，求 $A$ 型钢板有多少块?
选项：
答案：(1) 设 $A$ 型钢板有 $x$ 块, $B$ 型钢板有 $y$ 块, 依题意得:

$\{x+y=100$

$\{2 x+10=y$,

解得: $\left\{\begin{array}{l}x=30 \\ y=70\end{array}\right.$,

即在 $A 、 B$ 型钢板共 100 块中, $A$ 型钢板有 30 块, $B$ 型钢板有 70 块.

(2) $1125 \quad 250$

(2)设 $A$ 型钢板的数量为 $m$ 块, 则 $B$ 型钢板的数量为 (100- $m$ ) 块, 依题意得:

$80 \times[2 m+1 \times(100-m)]+100 \times[1 \times m+3(100-m)]=34400$,

解得: $m=30$

答: $A$ 型钢板有 30 块.

【解析】第 (1) 题, 根据 $A$ 型钢板数 + 乙型钢板数 $=100, B$ 型钢板数 $=2 \times$ 甲型钢板数 +10 , 设未知数构建二元一次方程组求解; 第 (2) 题, $C$ 型模具的总数量 $=A$ 型钢板数制成 $C$ 型模具数 $+B$ 型钢板数制成 $C$ 型模具数, $D$ 型模具的总数量 $=A$ 型钢板数制成 $D$ 型模具数 $+B$ 型钢板数制成 $D$ 型模具数, 分别求出 $C 、 D$ 模具总数; 总利润 $=C$ 模具的总利润 $+D$ 模具的总利润, 建立一元一次方程求解.本题综合考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用, 同时解方程组的过程中也体现了消元的思想; 方程的应用题破题关键找到积的等量关系及和的等量关系.
解析：答案】(1) 设 $A$ 型钢板有 $x$ 块, $B$ 型钢板有 $y$ 块, 依题意得:

$\{x+y=100$

$\{2 x+10=y$,

解得: $\left\{\begin{array}{l}x=30 \\ y=70\end{array}\right.$,

即在 $A 、 B$ 型钢板共 100 块中, $A$ 型钢板有 30 块, $B$ 型钢板有 70 块.

(2) $1125 \quad 250$

(2)设 $A$ 型钢板的数量为 $m$ 块, 则 $B$ 型钢板的数量为 (100- $m$ ) 块, 依题意得:

$80 \times[2 m+1 \times(100-m)]+100 \times[1 \times m+3(100-m)]=34400$,

解得: $m=30$

答: $A$ 型钢板有 30 块.

【解析】第 (1) 题, 根据 $A$ 型钢板数 + 乙型钢板数 $=100, B$ 型钢板数 $=2 \times$ 甲型钢板数 +10 , 设未知数构建二元一次方程组求解; 第 (2) 题, $C$ 型模具的总数量 $=A$ 型钢板数制成 $C$ 型模具数 $+B$ 型钢板数制成 $C$ 型模具数, $D$ 型模具的总数量 $=A$ 型钢板数制成 $D$ 型模具数 $+B$ 型钢板数制成 $D$ 型模具数, 分别求出 $C 、 D$ 模具总数; 总利润 $=C$ 模具的总利润 $+D$ 模具的总利润, 建立一元一次方程求解.本题综合考查了二元一次方程组和一元一次方程的应用, 同时解方程组的过程中也体现了消元的思想; 方程的应用题破题关键找到积的等量关系及和的等量关系.
题目（七年级 · 算术）：张老师去文具店给美术小组的 30 名学生买铅笔和橡皮, 到了商店后发现, 若给全组每人买 2 支铅笔和 1 块橡皮, 则要按零售价计算, 共需付款 75 元; 若给全组每人买 3 支铅笔和 2 块橡皮, 则
可按批发价, 共需付款 96 元.已知铅笔每支批发价比零售价低 0.2 元，橡皮每块批发价比零售价低 0.1 元, 求这家文具店每支铅笔和每块橡皮的批发价各是多少元.
选项：
答案：设这家文具店每支铅笔的批发价是 $x$ 元, 每块橡皮的批发价是 $y$ 元,则这家文具店每支铅笔的零售价是 $(x+0.2)$ 元，每块橡皮的零售价是 $(y+0.1)$ 元.

根据题意, 得 $\left\{\begin{array}{l}2 \times 30(x+0.2)+30(y+0.1)=75 \text {, } \\ 3 \times 30 x+2 \times 30 y=96,\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=0.8 \text {, } \\ y=0.4 .\end{array}\right.$

故这家文具店每支铅笔的批发价是 0.8 元，每块橡皮的批发价是 0.4 元.
解析：设这家文具店每支铅笔的批发价是 $x$ 元, 每块橡皮的批发价是 $y$ 元,则这家文具店每支铅笔的零售价是 $(x+0.2)$ 元，每块橡皮的零售价是 $(y+0.1)$ 元.

根据题意, 得 $\left\{\begin{array}{l}2 \times 30(x+0.2)+30(y+0.1)=75 \text {, } \\ 3 \times 30 x+2 \times 30 y=96,\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=0.8 \text {, } \\ y=0.4 .\end{array}\right.$

故这家文具店每支铅笔的批发价是 0.8 元，每块橡皮的批发价是 0.4 元.
题目（七年级 · 算术）：某商场代销甲、乙两种商品, 其中甲种商品的进价为 120 元/件, 售件为 130 元/件, 乙种商品的进价为 100 元/件, 售件为 150 元/件.

(1)若商场用 36000 元购进这两种商品, 销售完后可获得利润 6000 元, 则该商场购进甲、乙两种商品各多少件?

(2)若商场要购进这两种商品共 200 件, 设购进甲种商品 $x$ 件, 销售后获得的利润为 $W$ 元, 试写出利润 $W$ (元)与 $x$ (件)函数关系式(不要求写出自变量 $x$ 的取值范围); 并指出购进甲种商品件数 $x$逐渐增加时, 利润 $W$ 是增加还是减少?
选项：
答案：(1)设购进甲种商品 $x$ 件, 乙种商品 $y$ 件, 由题意, 得 $\left\{\begin{array}{l}120 x+100 y=36000 \\ (130-120) x+(150-100) y=6000\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{l}x=240 \\ y=72\end{array}\right.$

答: 该商场购进甲种商品 240 件, 乙种商品 72 件.

(2) 已知购进甲种商品 $x$ 件, 则购进乙种商品 $(200-x)$ 件, 根据题意, 得 $W=(130-120) x+(150-100)(200-x)=-40 x+10000$,

$\because k=-40<0$,

$\therefore W$ 随 $x$ 的增大而减小.

$\therefore$ 当购进甲种商品的件数 $x$ 逐渐增加时, 利润 $y$ 是逐渐减少的.
解析：(1)设购进甲种商品 $x$ 件, 乙种商品 $y$ 件, 由题意, 得 $\left\{\begin{array}{l}120 x+100 y=36000 \\ (130-120) x+(150-100) y=6000\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{l}x=240 \\ y=72\end{array}\right.$

答: 该商场购进甲种商品 240 件, 乙种商品 72 件.

(2) 已知购进甲种商品 $x$ 件, 则购进乙种商品 $(200-x)$ 件, 根据题意, 得 $W=(130-120) x+(150-100)(200-x)=-40 x+10000$,

$\because k=-40<0$,

$\therefore W$ 随 $x$ 的增大而减小.

$\therefore$ 当购进甲种商品的件数 $x$ 逐渐增加时, 利润 $y$ 是逐渐减少的.
题目（七年级 · 算术）：我们知道简便计算的好处, 事实上, 简便计算在好多地方都存在, 观察下列等式:

$15^{2}=1 \times 2 \times 100+25=225$,

$25^{2}=2 \times 3 \times 100+25=625$,

$35^{2}=3 \times 4 \times 100+25=1225$,

(1)根据上述格式反应出的规律填空: $95^{2}=$

(2)设这类等式左边两位数的十位数字为 $a$, 请用一个含 $a$ 的代数式表示其结果

(3)这种简便计算也可以推广应用:

(1)个位数字是 5 的三位数的平方, 请写出 $195^{2}$ 的简便计算过程及结果,

(2)十位数字相同, 且个位数字之和是 10 的两个两位数相乘的算式, 请写出 $89 \times 81$ 的简便计算过
程和结果.
选项：
答案：(1)9025

(2) $100 a(a+1)+25$;

(3) $1195^{2}=19 \times 20 \times 100+25=38025$.

(2) $89 \times 81$

$$
\begin{aligned}
& =(85+4) \times(85-4) \\
= & 85^{2}-4^{2} \\
= & 8 \times 9 \times 100+25-16 \\
= & 7200+25-16
\end{aligned}
$$

$=7209$.
解析：答案】(1)9025

(2) $100 a(a+1)+25$;

(3) $1195^{2}=19 \times 20 \times 100+25=38025$.

(2) $89 \times 81$

$$
\begin{aligned}
& =(85+4) \times(85-4) \\
= & 85^{2}-4^{2} \\
= & 8 \times 9 \times 100+25-16 \\
= & 7200+25-16
\end{aligned}
$$

$=7209$.
题目（七年级 · 算术）：学校用一笔钱买奖品, 若以 1 支钢笔和 2 本日记本为一份奖品, 则可以买 60 份奖品; 若以 1 支钢笔和 3 本日记本为一份奖品, 则可以买 50 份奖品. 问: 这笔钱全部用来买钢笔或日记本, 各可买多少?
选项：
答案：设钢笔每支 $x$ 元, 日记每本 $y$ 元, 由题意可知

$\therefore 60(x+2 y)=50(x+3 y)$,

化简得 $x=3 y$,

$\therefore$ 钢笔可买 $\frac{60(x+2 y)}{x}=\frac{60(3 y+2 y)}{3 y}=100$,

日记本可买 $\frac{60(x+2 y)}{y}=\frac{60(3 x+2 y)}{y}=300$,

答: 这笔钱全部用来买钢笔可买 100 支, 全部用来买日记可买 300 本.
解析：设钢笔每支 $x$ 元, 日记每本 $y$ 元, 由题意可知

$\therefore 60(x+2 y)=50(x+3 y)$,

化简得 $x=3 y$,

$\therefore$ 钢笔可买 $\frac{60(x+2 y)}{x}=\frac{60(3 y+2 y)}{3 y}=100$,

日记本可买 $\frac{60(x+2 y)}{y}=\frac{60(3 x+2 y)}{y}=300$,

答: 这笔钱全部用来买钢笔可买 100 支, 全部用来买日记可买 300 本.
题目（七年级 · 算术）：为改善南宁市的交通现状, 市政府决定修建地铁, 甲、乙两工程队承包地铁 1 号线的某段修建工作, 从投标书中得知: 甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的 3 倍;若由甲队先做 20 天, 剩下的工程再由甲、乙两队合作 10 天完成.

(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天?

(2)已知甲队每天的施工费用为 15.6 万元, 乙队每天的施工费用为 18.4 万元, 工程预算的施工费用为 500 万元，为缩短工期，拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程，那么工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需增加多少万元？
选项：
答案：(1)设乙队单独完成这项工程需 $x$ 天, 则甲队单独完成这项工作所需天数是 $3 x$ 天,
依题意得: $\frac{30}{3 x}+\frac{10}{x}=1$,

解得 $x=20$,

检验, 当 $x=20$ 时, $3 x \neq 0$,

所以原方程的解为 $x=20$.

所以 $3 x=3 \times 20=60$ (天).

答：乙队单独完成这项工程需 20 天，则甲队单独完成这项工作所需天数是 60 天;

(2)设甲、乙两队合作完成这项工程需要 $y$ 天,

则有 $y\left(\frac{1}{20}+\frac{1}{60}\right)=1$ ，

解得 $y=15$.

需要施工的费用: $15 \times(15.6+18.4)=510($ 万元 $)$.

$\because 510>500$,

$\therefore$ 工程预算的费用不够用, 需要追加预算 10 万元.
解析：(1)设乙队单独完成这项工程需 $x$ 天, 则甲队单独完成这项工作所需天数是 $3 x$ 天,
依题意得: $\frac{30}{3 x}+\frac{10}{x}=1$,

解得 $x=20$,

检验, 当 $x=20$ 时, $3 x \neq 0$,

所以原方程的解为 $x=20$.

所以 $3 x=3 \times 20=60$ (天).

答：乙队单独完成这项工程需 20 天，则甲队单独完成这项工作所需天数是 60 天;

(2)设甲、乙两队合作完成这项工程需要 $y$ 天,

则有 $y\left(\frac{1}{20}+\frac{1}{60}\right)=1$ ，

解得 $y=15$.

需要施工的费用: $15 \times(15.6+18.4)=510($ 万元 $)$.

$\because 510>500$,

$\therefore$ 工程预算的费用不够用, 需要追加预算 10 万元.
题目（七年级 · 算术）：如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分, 那么我们称这个分式为 “和谐分式”.
(1)下列分式:
(1) $\frac{x-1}{x^{2}+1}$,
(2) $\frac{a-2 b}{a^{2}-b^{2}}$,
(3) $\frac{x+y}{x^{2}-y^{2}}$,
(4) $\frac{a^{2}-b^{2}}{(a+b)^{2}}$ ，其中是和谐分式的是 (填写序号即可);

(2)若 $a$ 为正整数, 且 $\frac{x-1}{x^{2}+a x+4}$ 为和谐分式, 请写出 $a$ 的值;

(3)在化简 $\frac{4 a^{2}}{a b^{2}-b^{3}}-\frac{a}{b} \div \frac{b_{0}}{4}$ 时, 小东和小强分别进行了如下三步变形:

小东: 原式 $=\frac{4 a^{2}}{a b^{2}-b^{3}}-\frac{a}{b} \times \frac{4}{b}=\frac{4 a^{2}}{a b^{2}-b^{3}}-\frac{4 a}{b^{2}}=\frac{4 a^{2} b^{2}-4 a\left(a b^{2}-b^{3}\right)}{\left(a b^{2}-b^{3}\right) b^{2}}$;
小强: 原式 $=\frac{4 a^{2}}{a b^{2}-b^{3}}-\frac{a}{b} \times \frac{4}{b}=\frac{4 a^{2}}{b^{2}(a-b)}-\frac{4 a}{b^{2}}=\frac{4 a^{2}-4 a(a-b)}{(a-b) b^{2}}$.

显然，小强利用了式中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是 , 请你接着小强的方法完成化简.
选项：
答案：(1) (2).

分式 $\frac{a-2 b}{a^{2}-b^{2}}=\frac{a-2 b}{(a+b)(a-b)}$, 不可约分,

$\therefore$ 分式 $\frac{a-2 b}{a^{2}-b^{2}}$ 是和谐分式.

(2) $\because$ 分式 $\frac{x-1}{x^{2}+a x+4}$ 为和谐分式, 且 $a$ 为整数,

$\therefore a=4$ 或 $a=-4$ 或 $a=5$.

(3)小强通分时, 利用和谐分式找到了最简公分母.

原式 $=\frac{4 a^{2}-4 a^{2}+4 a b}{(a-b) b^{2}}=\frac{4 a b}{(a-b) b^{2}}=\frac{4 a}{(a-b) b}=\frac{4 a}{a b-b^{2}}$.
解析：答案】(1) (2).

分式 $\frac{a-2 b}{a^{2}-b^{2}}=\frac{a-2 b}{(a+b)(a-b)}$, 不可约分,

$\therefore$ 分式 $\frac{a-2 b}{a^{2}-b^{2}}$ 是和谐分式.

(2) $\because$ 分式 $\frac{x-1}{x^{2}+a x+4}$ 为和谐分式, 且 $a$ 为整数,

$\therefore a=4$ 或 $a=-4$ 或 $a=5$.

(3)小强通分时, 利用和谐分式找到了最简公分母.

原式 $=\frac{4 a^{2}-4 a^{2}+4 a b}{(a-b) b^{2}}=\frac{4 a b}{(a-b) b^{2}}=\frac{4 a}{(a-b) b}=\frac{4 a}{a b-b^{2}}$.
题目（七年级 · 度量几何学）：如图所示是一个长方形.



（1）根据图中尺寸大小, 用含 $x$ 的代数式表示阴影部分的面积 $\mathrm{S}$;

(2) 若 $x=3$, 求 $S$ 的值.
选项：
答案：(1) 解: 由图形可知: $S=4 \times 8-\frac{1}{2} \times 4 \times 8-\frac{1}{2} \times 4(4-x)=16-8+2 x$

$$
=8+2 x
$$

(2) 解: 将 $x=3$ 代入上式, $S=8+2 \times 3=14$
解析：(1) 解: 由图形可知: $S=4 \times 8-\frac{1}{2} \times 4 \times 8-\frac{1}{2} \times 4(4-x)=16-8+2 x$

$$
=8+2 x
$$

(2) 解: 将 $x=3$ 代入上式, $S=8+2 \times 3=14$
题目（七年级 · 度量几何学）：如图, 是某住宅的平面结构示意图, 图中标注了有关尺寸 (墙体厚度忽略不计, 单位: 米), 解答下列问题:



(1) 用含 $x, y$ 的式子表示地面总面积;

（2）当 $x=4, y=2$ 时, 如果铺 1 平方米地砖的费用为 20 元，那么地面铺地砖的费用是多少元?
选项：
答案：(1) 解: 由题意得: 客厅的面积为: $8 x y\left(\right.$ 米 $\left.^{2}\right)$, 厨房的面积为: $x \times 2 y=2 x y\left(\right.$ 米$\left.^{2}\right)$, 卧室的面积为: $2 \mathrm{x} \times 2 \mathrm{y}=4 \mathrm{xy}\left(\right.$ 米 $\left.^{2}\right)$, 卫生间的面积为: $\mathrm{xy}\left(\right.$ 米 $\left.^{2}\right)$,

$\therefore$ 地面总面积为: $8 x y+2 x y+x y+4 x y=15 x y\left(~^{2}\right)$.

（2）解：当 $x=4, y=2$ 时,地面总面积为: $15 \times 4 \times 2=120\left(\right.$ 米 $\left.^{2}\right)$;

$\therefore$ 地面铺地砖的费用为: $120 \times 20=2400 （$ 元 $).$

答: 地面铺地砖的费用为 2400 元.
解析：(1) 解: 由题意得: 客厅的面积为: $8 x y\left(\right.$ 米 $\left.^{2}\right)$, 厨房的面积为: $x \times 2 y=2 x y\left(\right.$ 米$\left.^{2}\right)$, 卧室的面积为: $2 \mathrm{x} \times 2 \mathrm{y}=4 \mathrm{xy}\left(\right.$ 米 $\left.^{2}\right)$, 卫生间的面积为: $\mathrm{xy}\left(\right.$ 米 $\left.^{2}\right)$,

$\therefore$ 地面总面积为: $8 x y+2 x y+x y+4 x y=15 x y\left(~^{2}\right)$.

（2）解：当 $x=4, y=2$ 时,地面总面积为: $15 \times 4 \times 2=120\left(\right.$ 米 $\left.^{2}\right)$;

$\therefore$ 地面铺地砖的费用为: $120 \times 20=2400 （$ 元 $).$

答: 地面铺地砖的费用为 2400 元.
题目（七年级 · 度量几何学）：王明同学家的住房户型呈长方形, 平而图如下 (单位: 米), 现准备铺设地面, 三间卧室铺设木地板, 其它区域铺设地砖.



(1) $\mathrm{a}$ 的值 $=$ \$ \qquad \$ , 所有地面总面积为 \$ \qquad \$平方米:

(2) 铺设地而需要木地板 \$ \qquad \$平方米，需要地砖 \$ \qquad \$平方米: (含 $\mathrm{x}$ 的代数式表示)

（3）已知卧室 2 的面积为 15 平方米, 按市场价格, 木地板单价为 300 元/平方米, 地砖单价为 100 元/平方米, 求小明家铺设地面总费用为多少元.
选项：
答案：(1) $3 ; 136$

(2) $(85+13 x) ;(51+13 x)$

(3) 解: $\because$ 卧室 2 的面积为 15 平方米,

$\therefore$ 卧室 2 的长为: $15 \div 3=5$ (米),

$\therefore 5+\mathrm{x}+4 \mathrm{x}-2+2 \mathrm{x}=10+7$

解得: $x=2$,

则小明家铺设地面总费用为:

$300(85-13 x)+100(51+13 x)$

$=25500-3900 x+5100+1300 x$

$=30600-2600 x$

当 $x=2$ 时，

原式 $=30600-2600 \times 2$

$=30600-5200$

$=25400($ 元 $)$,

答：小明家铺设地面总费用为 25400 元.
解析：(1) 由题意得： $a+5=4+4$, 解得： $a=3$,

则所有地面总面积为: $(10+7) \times(4+4)=136$ (平方米);

故答案为: 3,136 ;

(2) 由题意得: 卧室 2 的长为: $(10+7)-(x+4 x-2+2 x)=19-7 x$ (米),卧室铺设木地板, 其面积为: $4 \times 2 x+4 \times 7+3(19-7 x)=85-13 x$ (平方米),除卧室外, 其余的铺设地砖, 则其面积为: $136-(85-13 x)=51+13 x$ (平方米),故答案为: $(85-13 x),(51+13 x)$;
题目（七年级 · 度量几何学）：探究数轴上两点之间的距离与这两点的对应关系.



(1) 观察数轴, 填空: 点 $\mathrm{A}$ 与点 $\mathrm{B}$ 的距离是 \$ \qquad \$ ; 点 $\mathrm{C}$ 与点 $\mathrm{B}$ 的距离是 \$ \qquad \$
我们发现：在数轴上, 如果点 $\mathrm{M}$ 对应的数为 $m$, 点 $\mathrm{N}$ 对应的数为 $n$, 那么点 $\mathrm{M}$ 与点 $\mathrm{N}$ 之间的距离 $M N$ 可表示为 \$ \qquad \$ (用 $m, n$ 表示).

（2）根据你发现的规律, 解决下列问题：数轴上表示 $x$ 和 2 的两点之间的距离是 3 , 则求 $x$ 的值:

(3) 根据你发现的规律, 利用逆向思维解决下列问题:

(1)若 $|x-2|=5$, 则 $x$ 的值是多少?

(2) 若 $|x+3|=|2 x-4|$, 则 $x$ 的值是多少?
选项：
答案：) $2 ; 5 ; m-n$

（2）解: $\because$ 数轴上表示 $\mathrm{x}$ 和 2 的两点之间的距离是 3 ,

$\therefore|x-2|=3$

$\therefore x=5$ 或 -1

(3) 解: (1) $|x-2|=5$ 表示的意思是 $\mathrm{x}$ 和 2 的两点之间的距离是 5 , 而与 2 距离 5 个单位长度的是 7 或 -3,

$\therefore x=7$ 或 -3 .

(2) $x+3=2 x-4$

$$
\begin{gathered}
x=7 \\
x+3=-2 x+4 \\
3 x=1 \\
x=\frac{1}{3}
\end{gathered}
$$
解析：) $2 ; 5 ; m-n$

（2）解: $\because$ 数轴上表示 $\mathrm{x}$ 和 2 的两点之间的距离是 3 ,

$\therefore|x-2|=3$

$\therefore x=5$ 或 -1

(3) 解: (1) $|x-2|=5$ 表示的意思是 $\mathrm{x}$ 和 2 的两点之间的距离是 5 , 而与 2 距离 5 个单位长度的是 7 或 -3,

$\therefore x=7$ 或 -3 .

(2) $x+3=2 x-4$

$$
\begin{gathered}
x=7 \\
x+3=-2 x+4 \\
3 x=1 \\
x=\frac{1}{3}
\end{gathered}
$$
题目（七年级 · 度量几何学）：已知线段 $A B=a$ (如图), $\mathrm{C}$ 是 $\mathrm{AB}$ 反向延长线上的点, 且 $A C=\frac{1}{3} A B, \mathrm{D}$ 为线段 $\mathrm{BC}$ 的中点.



(1) 将 $\mathrm{CD}$ 的长用含 $\mathrm{a}$ 的代数式表示为 \$ \qquad \$ ;

(2) 若 $A D=3 \mathrm{~cm}$, 求 $\mathrm{a}$ 的值.
选项：
答案：(1) $\frac{2}{3} \mathrm{a}$

(2) 解: $\because \mathrm{AC}=\frac{1}{3} \mathrm{a}, \mathrm{AD}=3 \mathrm{~cm}$,

$\therefore \mathrm{CD}=\frac{1}{3} \mathrm{a}+3$,

$\therefore \frac{1}{3} \mathrm{a}+3=\frac{2}{3} \mathrm{a}$,

解得: $\mathrm{a}=9$.
解析：(1) $\because \mathrm{AB}=\mathrm{a}, \mathrm{AC}=\frac{1}{3} \mathrm{AB}=\frac{1}{3} \mathrm{a}$,

$\therefore \mathrm{CB}=\frac{1}{3} \mathrm{a}+\mathrm{a}=\frac{4}{3} \mathrm{a}$,

$\because \mathrm{D}$ 为线段 $\mathrm{BC}$ 的中点,

$\therefore \mathrm{CD}=\frac{1}{2} \mathrm{CB}=\frac{2}{3} \mathrm{a}$;
题目（七年级 · 度量几何学）：如图所示, 直线 $A B 、 C D$ 相交于点 $O, O M \perp A B$.



(1) 若 $\angle 1=\angle 2$, 判断 $\mathrm{ON}$ 与 $\mathrm{CD}$ 的位置关系, 并说明理由;

(2) 若 $\angle 1=\frac{1}{5} \angle \mathrm{BOC}$, 求 $\angle \mathrm{MOD}$ 的度数.
选项：
答案：(1) 解: $\mathrm{ON} \perp \mathrm{CD}$. 理由如下:

## $\because \mathrm{OM} \perp \mathrm{AB}$

$\therefore \angle \mathrm{AOM}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle 1+\angle \mathrm{AOC}=90^{\circ}$

又 $\because \angle 1=\angle 2$,

$\therefore \angle 2+\angle \mathrm{AOC}=90^{\circ}$,

即 $\angle \mathrm{CON}=90^{\circ}$,

$\therefore \mathrm{ON} \perp \mathrm{CD}$.

(2) 解: $\because \mathrm{OM} \perp \mathrm{AB}, \quad \therefore \angle \mathrm{MOB}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{MOB}+\angle 1=90^{\circ}+\angle 1$

$\because \angle 1=\frac{1}{5} \angle \mathrm{BOC}=\frac{1}{5}\left(\angle 1+90^{\circ}\right)$,

$\therefore \angle 1=22.5^{\circ}$,

又 $\because \angle 1+\angle \mathrm{MOD}=180^{\circ}$,
$\therefore \angle \mathrm{MOD}=180^{\circ}-\angle 1=157.5^{\circ}$.
解析：(1) 解: $\mathrm{ON} \perp \mathrm{CD}$. 理由如下:

## $\because \mathrm{OM} \perp \mathrm{AB}$

$\therefore \angle \mathrm{AOM}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle 1+\angle \mathrm{AOC}=90^{\circ}$

又 $\because \angle 1=\angle 2$,

$\therefore \angle 2+\angle \mathrm{AOC}=90^{\circ}$,

即 $\angle \mathrm{CON}=90^{\circ}$,

$\therefore \mathrm{ON} \perp \mathrm{CD}$.

(2) 解: $\because \mathrm{OM} \perp \mathrm{AB}, \quad \therefore \angle \mathrm{MOB}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{MOB}+\angle 1=90^{\circ}+\angle 1$

$\because \angle 1=\frac{1}{5} \angle \mathrm{BOC}=\frac{1}{5}\left(\angle 1+90^{\circ}\right)$,

$\therefore \angle 1=22.5^{\circ}$,

又 $\because \angle 1+\angle \mathrm{MOD}=180^{\circ}$,
$\therefore \angle \mathrm{MOD}=180^{\circ}-\angle 1=157.5^{\circ}$.
题目（七年级 · 度量几何学）：如图, $\angle A O B=40^{\circ}, O B$ 是 $\angle A O C$ 的平分线, $O D$ 是 $\angle C O E$ 的平分线.



(1) 若 $\angle D O E=10^{\circ}$, 求 $\angle B O D$ 的度数;

(2) 若 $\angle A O D$ 与 $\angle B O D$ 互补, 求 $\angle C O E$ 的度数.
选项：
答案：(1) 解: $\because O B$ 是 $\angle A O C$ 的平分线, $O D$ 是 $\angle C O E$ 的平分线,

$\therefore \angle B O C=\angle A O B=40^{\circ}, \angle C O D=\angle D O E=10^{\circ}$,

$\therefore \angle B O D=\angle B O C+\angle C O D=40^{\circ}+10^{\circ}=50^{\circ}$

(2) 解: $\because O B$ 是 $\angle A O C$ 的平分线, $O D$ 是 $\angle C O E$ 的平分线,

$\therefore \angle B O C=\angle A O B=40^{\circ}$,

设 $\angle C O D=\angle D O E=x^{\circ}$,

$\therefore \angle B O D=\angle B O C+\angle C O D=(40+x)^{\circ}, \quad \angle A O D=\angle A O B+\angle B O C+\angle C O D=(80+x)^{\circ}$,

$\because \angle A O D$ 与 $\angle B O D$ 互补

$\therefore \angle A O D+\angle B O D=(40+x)^{\circ}+(80+x)^{\circ}=180^{\circ}$,

$\therefore x=30$

$\therefore \angle C O D=\angle D O E=30^{\circ}$,

$\therefore \angle C O E=2 \angle C O D=60^{\circ}$
解析：(1) 解: $\because O B$ 是 $\angle A O C$ 的平分线, $O D$ 是 $\angle C O E$ 的平分线,

$\therefore \angle B O C=\angle A O B=40^{\circ}, \angle C O D=\angle D O E=10^{\circ}$,

$\therefore \angle B O D=\angle B O C+\angle C O D=40^{\circ}+10^{\circ}=50^{\circ}$

(2) 解: $\because O B$ 是 $\angle A O C$ 的平分线, $O D$ 是 $\angle C O E$ 的平分线,

$\therefore \angle B O C=\angle A O B=40^{\circ}$,

设 $\angle C O D=\angle D O E=x^{\circ}$,

$\therefore \angle B O D=\angle B O C+\angle C O D=(40+x)^{\circ}, \quad \angle A O D=\angle A O B+\angle B O C+\angle C O D=(80+x)^{\circ}$,

$\because \angle A O D$ 与 $\angle B O D$ 互补

$\therefore \angle A O D+\angle B O D=(40+x)^{\circ}+(80+x)^{\circ}=180^{\circ}$,

$\therefore x=30$

$\therefore \angle C O D=\angle D O E=30^{\circ}$,

$\therefore \angle C O E=2 \angle C O D=60^{\circ}$
题目（七年级 · 度量几何学）：如图, 直线 1 上有 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 两点, $\mathrm{AB}=18 \mathrm{~cm}, \mathrm{O}$ 是线段 $\mathrm{AB}$ 上的一点, $\mathrm{OA}=2 \mathrm{OB}$.



(1) $\mathrm{OA}=$ \$ \qquad \$ $\mathrm{cm}, \mathrm{OB}=$ \$ \qquad \$ $\mathrm{cm}$.

(2) 若动点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 分别从点 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 同时出发, 向右运动, 点 $\mathrm{P}$ 的速度为 $2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$, 点 $\mathrm{Q}$ 的速度为 $1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$. 设运动时间为 $\mathrm{ts}$, 当点 $\mathrm{P}$ 与点 $\mathrm{Q}$ 重合时, $P, Q$ 两点停止运动. 当 $\mathrm{t}$ 为何值时, $2 O P-O Q=$ $3 \mathrm{~cm} ?$
选项：
答案：(1) $12 ; 6$

(2) 解: (1)当点 $P$ 在点 $O$ 左边时, $2(12-2 t)-(6+t)=3, t=3$,

当点 $P$ 在点 $O$ 右边时, $2(2 t-12)-(6+t)=3, t=11$,

$\therefore \mathrm{t}=3 \mathrm{~s}$ 或 $11 \mathrm{~s}$ 时, $2 \mathrm{OP}-\mathrm{OQ}=3 \mathrm{~cm}$.
解析：(1) $\because \mathrm{AB}=18 \mathrm{~cm}, \mathrm{OA}=2 \mathrm{OB}$,

$\therefore 2 \mathrm{OB}+\mathrm{OB}=18 \mathrm{~cm}$,

$\therefore \mathrm{OB}=6 \mathrm{~cm}, \mathrm{OA}=12 \mathrm{~cm}$,

故答案分别为 12,6 .
题目（七年级 · 度量几何学）：如图, 点 $\mathrm{O}$ 在直线 $\mathrm{AB}$ 上, $C O \perp A B, \mathrm{OE}$ 是 $\angle B O D$ 的平分线, $O F \perp O E$



(1) 找出图中与 $\angle B O F$ 相等的角, 并说明理由;

(2) 若 $\angle 2-\angle 1=20^{\circ}$, 求 $\angle B O E$ 的度数.
选项：
答案：(1) 解: $\because \mathrm{CO} \perp \mathrm{AB}, \mathrm{OF} \perp \mathrm{OE}$,

$\therefore \angle \mathrm{COE}+\angle \mathrm{BOE}=\angle \mathrm{BOE}+\angle \mathrm{BOF}=90^{\circ}$

$\therefore \angle \mathrm{COE}=\angle \mathrm{BOF}$

(2) 解: $\because \mathrm{CO} \perp \mathrm{AB}$,

$\therefore \angle \mathrm{COA}=90^{\circ}$, 即 $\angle 2=90^{\circ}-\angle 1$,

又 $\because \angle 2-\angle 1=20^{\circ}$,

$\therefore \angle 2=20^{\circ}+\angle 1$,

$\therefore 90^{\circ}-\angle 1=20^{\circ}+\angle 1$,

解得: $\angle 1=35^{\circ}$,

$\therefore \angle 2=55^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BOD}=180^{\circ}-\angle 2=125^{\circ}$,

$\because \mathrm{OE}$ 是 $\angle \mathrm{BOD}$ 的平分线,

$\therefore \angle \mathrm{BOE}=\angle \mathrm{DOE}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BOD}=62.5^{\circ}$.
解析：(1) 解: $\because \mathrm{CO} \perp \mathrm{AB}, \mathrm{OF} \perp \mathrm{OE}$,

$\therefore \angle \mathrm{COE}+\angle \mathrm{BOE}=\angle \mathrm{BOE}+\angle \mathrm{BOF}=90^{\circ}$

$\therefore \angle \mathrm{COE}=\angle \mathrm{BOF}$

(2) 解: $\because \mathrm{CO} \perp \mathrm{AB}$,

$\therefore \angle \mathrm{COA}=90^{\circ}$, 即 $\angle 2=90^{\circ}-\angle 1$,

又 $\because \angle 2-\angle 1=20^{\circ}$,

$\therefore \angle 2=20^{\circ}+\angle 1$,

$\therefore 90^{\circ}-\angle 1=20^{\circ}+\angle 1$,

解得: $\angle 1=35^{\circ}$,

$\therefore \angle 2=55^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BOD}=180^{\circ}-\angle 2=125^{\circ}$,

$\because \mathrm{OE}$ 是 $\angle \mathrm{BOD}$ 的平分线,

$\therefore \angle \mathrm{BOE}=\angle \mathrm{DOE}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BOD}=62.5^{\circ}$.
题目（七年级 · 度量几何学）：如图, 点 $\mathrm{M}$ 在线段 $\mathrm{AB}$ 上, 线段 $\mathrm{BM}$ 与 $\mathrm{AM}$ 的长度之比为 $5: 4$, 点 $\mathrm{N}$ 为线段 $\mathrm{AM}$ 的中点.



(1) 若 $\mathrm{AB}=27 \mathrm{~cm}$, 求 $\mathrm{BN}$ 的长.

(2) 在线段 $\mathrm{AB}$ 上作出一点 $\mathrm{E}$, 满足 $\mathrm{MB}=3 \mathrm{~EB}$, 若 $\mathrm{ME}=\mathrm{t}$, 求 $\mathrm{AB}$ 的长 (用含 $\mathrm{t}$ 的代数式表示).
选项：
答案：(1) 解: 由题知 $\mathrm{BM}: \mathrm{AM}=5: 4$, 不妨设 $\mathrm{BM}=5 \mathrm{x}, \mathrm{AM}=4 \mathrm{x}$,

$\therefore \mathrm{BM}+\mathrm{AM}=9 \mathrm{x}$,

$\because \mathrm{AB}=27 \mathrm{~cm}$, 且 $\mathrm{AB}=\mathrm{BM}+\mathrm{AM}$,

$\therefore \mathrm{BM}+\mathrm{AM}=9 \mathrm{x}=27$,

$\therefore \mathrm{x}=3$,

$\therefore \mathrm{AM}=12 \mathrm{~cm}, \mathrm{BM}=15 \mathrm{~cm}$.

$\because$ 点 $\mathrm{N}$ 是线段 $\mathrm{AM}$ 的中点,

$\therefore \mathrm{MN}=\frac{1}{2} \mathrm{AM}=6 \mathrm{~cm}$,

$\therefore \mathrm{BN}=\mathrm{BM}+\mathrm{MN}=15+6=21 \mathrm{~cm}$.

(2) 解: 如图所示:

<ImageHere>

$\because \mathrm{BM}: \mathrm{AM}=5: 4$

$\therefore \mathrm{AM}=\frac{4}{5} \mathrm{BM}$,

$\because \mathrm{MB}=3 \mathrm{~EB}$,

$\therefore \mathrm{ME}=\frac{2}{3} \mathrm{MB}=\mathrm{t}$,

$\therefore \mathrm{MB}=\frac{3}{2} \mathrm{t}$,

$\because \mathrm{AB}=\mathrm{AM}+\mathrm{BM}=\frac{4}{5} \mathrm{BM}+\mathrm{BM}=\frac{9}{5} \mathrm{BM}$,

$\therefore \mathrm{AB}=\frac{9}{5} \times \frac{3}{2} \mathrm{t}=\frac{27}{10} \mathrm{t}$.
解析：(1) 解: 由题知 $\mathrm{BM}: \mathrm{AM}=5: 4$, 不妨设 $\mathrm{BM}=5 \mathrm{x}, \mathrm{AM}=4 \mathrm{x}$,

$\therefore \mathrm{BM}+\mathrm{AM}=9 \mathrm{x}$,

$\because \mathrm{AB}=27 \mathrm{~cm}$, 且 $\mathrm{AB}=\mathrm{BM}+\mathrm{AM}$,

$\therefore \mathrm{BM}+\mathrm{AM}=9 \mathrm{x}=27$,

$\therefore \mathrm{x}=3$,

$\therefore \mathrm{AM}=12 \mathrm{~cm}, \mathrm{BM}=15 \mathrm{~cm}$.

$\because$ 点 $\mathrm{N}$ 是线段 $\mathrm{AM}$ 的中点,

$\therefore \mathrm{MN}=\frac{1}{2} \mathrm{AM}=6 \mathrm{~cm}$,

$\therefore \mathrm{BN}=\mathrm{BM}+\mathrm{MN}=15+6=21 \mathrm{~cm}$.

(2) 解: 如图所示:



$\because \mathrm{BM}: \mathrm{AM}=5: 4$

$\therefore \mathrm{AM}=\frac{4}{5} \mathrm{BM}$,

$\because \mathrm{MB}=3 \mathrm{~EB}$,

$\therefore \mathrm{ME}=\frac{2}{3} \mathrm{MB}=\mathrm{t}$,

$\therefore \mathrm{MB}=\frac{3}{2} \mathrm{t}$,

$\because \mathrm{AB}=\mathrm{AM}+\mathrm{BM}=\frac{4}{5} \mathrm{BM}+\mathrm{BM}=\frac{9}{5} \mathrm{BM}$,

$\therefore \mathrm{AB}=\frac{9}{5} \times \frac{3}{2} \mathrm{t}=\frac{27}{10} \mathrm{t}$.
题目（七年级 · 度量几何学）：如图, 已知 $\angle A O B=30^{\circ}, \angle A O E=140^{\circ}, O B$ 平分 $\angle A O C, O D$ 平分 $\angle A O E$.



(1) 求 $\angle A O C$ 的度数.

(2) 求 $\angle C O D$ 的度数.
选项：
答案：(1) 解: $\because \angle \mathrm{AOB}=30^{\circ}, \mathrm{OB}$ 平分 $\angle \mathrm{AOC}$

$\therefore \angle \mathrm{AOC}=2 \angle \mathrm{AOB}=2 \times 30^{\circ}=60^{\circ}$

(2) 解: $\because \angle \mathrm{AOE}=140^{\circ}, \angle \mathrm{AOC}=60^{\circ}$

$\therefore \angle \mathrm{COE}=\angle \mathrm{AOE}-\angle \mathrm{AOC}=140^{\circ}-60^{\circ}=80^{\circ}$

又 $\because \mathrm{OD}$ 平分 $\angle \mathrm{AOE}$

$\therefore \angle \mathrm{DOE}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{AOE}=\frac{1}{2} \times 140^{\circ}=70^{\circ}$

$\therefore \angle \mathrm{COD}=\angle \mathrm{COE}-\angle \mathrm{DOE}=80^{\circ}-70^{\circ}=10^{\circ}$
解析：(1) 解: $\because \angle \mathrm{AOB}=30^{\circ}, \mathrm{OB}$ 平分 $\angle \mathrm{AOC}$

$\therefore \angle \mathrm{AOC}=2 \angle \mathrm{AOB}=2 \times 30^{\circ}=60^{\circ}$

(2) 解: $\because \angle \mathrm{AOE}=140^{\circ}, \angle \mathrm{AOC}=60^{\circ}$

$\therefore \angle \mathrm{COE}=\angle \mathrm{AOE}-\angle \mathrm{AOC}=140^{\circ}-60^{\circ}=80^{\circ}$

又 $\because \mathrm{OD}$ 平分 $\angle \mathrm{AOE}$

$\therefore \angle \mathrm{DOE}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{AOE}=\frac{1}{2} \times 140^{\circ}=70^{\circ}$

$\therefore \angle \mathrm{COD}=\angle \mathrm{COE}-\angle \mathrm{DOE}=80^{\circ}-70^{\circ}=10^{\circ}$