eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $a=1, b=2, C=60^{\circ}$, 则 $c$ 等于 $(\quad)$
选项：
A. $\sqrt{3}$
B. 3
C. $\sqrt{5}$
D. 5
答案：A
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $a=2$, 则 $b \cos C+c \cos B$ 等于( )
选项：
A. 1
B. $\sqrt{2}$
C. 2
D. 4
答案：C
解析：解析 $b \cos C+c \cos B=b \cdot \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}+c \cdot \frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2 a c}=\frac{2 a^{2}}{2 a}=a=2$.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $b^{2}=a c$ 且 $c=2 a$, 则 $\cos B$ 等于 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{3}{4}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{4}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{3}$
答案：B
解析：解析 $\because b^{2}=a c, c=2 a, \therefore b^{2}=2 a^{2}, b=\sqrt{2} a$,

$\therefore \cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}=\frac{a^{2}+4 a^{2}-2 a^{2}}{2 a \cdot 2 a}=\frac{3}{4}$.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, $\sin ^{2} \frac{A}{2}=\frac{c-b}{2 c}$ ( $a, b, c$ 分别为角 $A, B, C$ 的对应边), 则 $\triangle A B C$ 的形状为( )
选项：
A. 正三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形
答案：B
解析：解析 $\because \sin ^{2} \frac{A}{2}=\frac{1-\cos A}{2}=\frac{c-b}{2 c}$,

$\therefore \cos A=\frac{b}{c}=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c} \Rightarrow a^{2}+b^{2}=c^{2}$, 符合勾股定理.

故 $\triangle A B C$ 为直角三角形.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 已知面积 $S=\frac{1}{4}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)$, 则角 $C$ 的度数为 ( )
选项：
A. $135^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $120^{\circ}$
答案：B
解析：$\because S=\frac{1}{4}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)=\frac{1}{2} a b \sin C$,

$\therefore a^{2}+b^{2}-c^{2}=2 a b \sin C, \quad \therefore c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \sin C$.

由余弦定理得: $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C$,

$\therefore \sin C=\cos C$,

$\therefore C=45^{\circ}$.
题目（高二 · 解析几何）：已知 $a 、 b 、 c$ 为 $\triangle A B C$ 的三边长, 若满足 $(a+b-c)(a+b+c)=a b$, 则 $\angle C$ 的大小为
选项：
A. $60^{\circ}$
B. $90^{\circ}$
C. $120^{\circ}$
D. $150^{\circ}$
答案：C
解析：解析 $\because(a+b-c)(a+b+c)=a b$,

$\therefore a^{2}+b^{2}-c^{2}=-a b$,

即 $\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}=-\frac{1}{2}$,

$\therefore \cos C=-\frac{1}{2}, \therefore \angle C=120^{\circ}$.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 若 $2 \cos B \sin A=\sin C$, 则 $\triangle A B C$ 的形状一定是
选项：
A. 等腰直角三角形
B. 直角三角形
C. 等腰三角形
D. 等边三角形
答案：C
解析：解析 $\because 2 \cos B \sin A=\sin C=\sin (A+B)$,

$\therefore \sin A \cos B-\cos A \sin B=0$,

即 $\sin (A-B)=0, \therefore A=B$.
题目（高二 · 解析几何）：$\triangle A B C$ 的三边分别为 $a, b, c$ 且满足 $b^{2}=a c, 2 b=a+c$, 则此三角形是 ( )
选项：
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等边三角形
答案：D
解析：解析 $\because 2 b=a+c, \therefore 4 b^{2}=(a+c)^{2}$, 即 $(a-c)^{2}=0$,

$\therefore a=c . \therefore 2 b=a+c=2 a . \therefore b=a$, 即 $a=b=c$.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 所对的边长分别为 $a, b, c$, 若 $C=120^{\circ}$, $c=\sqrt{2} a$, 则 ( )
选项：
A. $a>b$
B. $a<b$
C. $a=b$
D. $a$ 与 $b$ 的大小关系不能确定
答案：A
解析：解析 在 $\triangle A B C$ 中, 由余弦定理得,

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos 120^{\circ}$

$=a^{2}+b^{2}+a b$.

$\because c=\sqrt{2} a, \quad \therefore 2 a^{2}=a^{2}+b^{2}+a b$.

$\therefore a^{2}-b^{2}=a b>0, \quad \therefore a^{2}>b^{2}, \quad \therefore a>b$.
题目（高二 · 解析几何）：$\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 若 $\cos C=\frac{2 \sqrt{2}}{3}, b \cos A+a \cos B=2$,则 $\triangle A B C$ 的外接圆的面积为 ( )
选项：
A. $4 \pi$
B. $8 \pi$
C. $9 \pi$
D. $36 \pi$
答案：C
解析：解析: $: \mathrm{b} \cos \mathrm{A}+\mathrm{a} \cos \mathrm{B}=2$,

$\therefore$ 由余弦定理可得: $\mathrm{b} \times \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}+\mathrm{a} \times \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}=2$, 整理解得: $\mathrm{c}=2$,

又 $\because \cos C=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$, 可得: $\sin C=\sqrt{1-\cos ^{2} C}=\frac{1}{3}, \therefore$ 设三角形的外接圆的半径为 $\mathrm{R}$, 则 $2 \mathrm{R}=$ $\frac{c}{\sin C}=\frac{2}{\frac{1}{3}}=6$, 可得: $\mathrm{R}=3, \therefore \triangle \mathrm{ABC}$ 的外接圆的面积 $\mathrm{S}=\pi \mathrm{R}^{2}=9 \pi$.

$2 . B$

解析: $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\mathrm{A}=60^{\circ}, \mathrm{b}=1, S_{\triangle A B C}=\sqrt{3}, \therefore \frac{1}{2} \mathrm{bcsinA}=\frac{1}{2} \times 1 \times \mathrm{c} \times \sin 60^{\circ}=\sqrt{3}$, 解得 $\mathrm{c}=4$;

$\therefore \mathrm{a}^{2}=\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}-2 \mathrm{bc} \cos \mathrm{A}=1^{2}+4^{2}-2 \times 1 \times 4 \times \cos 60^{\circ}=13, \therefore \mathrm{a}=\sqrt{13} ; \therefore \frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}=\frac{\sqrt{13}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2 \sqrt{39}}{3}$.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, $A=60^{\circ}, b=1, S_{\triangle A B C}=\sqrt{3}$, 则 $\frac{c}{\sin C}=(\quad)$
选项：
A. $\frac{8 \sqrt{3}}{81}$
B. $\frac{2 \sqrt{39}}{3}$
C. $\frac{26 \sqrt{3}}{3}$
D. $2 \sqrt{7}$
答案：B
解析：$\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\mathrm{A}=60^{\circ}, \mathrm{b}=1, S_{\triangle A B C}=\sqrt{3}, \therefore \frac{1}{2} \mathrm{bcsinA}=\frac{1}{2} \times 1 \times \mathrm{c} \times \sin 60^{\circ}=\sqrt{3}$, 解得 $\mathrm{c}=4$;$\therefore \mathrm{a}^{2}=\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}-2 \mathrm{bc} \cos \mathrm{A}=1^{2}+4^{2}-2 \times 1 \times 4 \times \cos 60^{\circ}=13, \therefore \mathrm{a}=\sqrt{13} ; \therefore \frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}=\frac{\sqrt{13}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2 \sqrt{39}}{3}$.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 若 $2\left(a^{2}+c^{2}\right)-a c=2 b^{2}$,则 $\sin B=(\quad)$
选项：
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{\sqrt{15}}{4}$
D. $D$
答案：C
解析：C 解析: 在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, 由余弦定理得: $\mathrm{a}^{2}+\mathrm{c}^{2}-\mathrm{b}^{2}=2 \mathrm{accos} \mathrm{B}$, 代入已知等式得: $2 \mathrm{accos} \mathrm{B}=\frac{1}{2} \mathrm{ac}$, 即 $\cos \mathrm{B}=\frac{1}{4}, \therefore \sin \mathrm{B}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$,
题目（高二 · 解析几何）：$\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$, 已知 $b=c, a^{2}=2 b^{2}(1-\sin A)$,则 $A=(\quad)$
选项：
A. $\frac{3 \pi}{4}$
B. $\frac{\pi}{3}$
C. $\frac{\pi}{4}$
D. $\frac{\pi}{6}$
答案：C
解析：:$\because b=c, \therefore a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b \cos A=2 b^{2}-2 b^{2} \cos A=2 b^{2}(1-\cos A), \because a^{2}=2 b^{2}(1-\sin A)$, $\therefore 1-\cos \mathrm{A}=1-\sin \mathrm{A}$, 则 $\sin \mathrm{A}=\cos \mathrm{A}$, 即 $\tan \mathrm{A}=1$, 即 $\mathrm{A}=\frac{\pi}{4}$,
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 若 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-b c$,则 $\angle A=(\quad)$
选项：
A. $30^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $75^{\circ}$
答案：C
解析：$\because \mathrm{a}^{2}=\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}-\mathrm{bc}$, 可得: $\mathrm{bc}=\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}-\mathrm{a}^{2}, \therefore \cos \mathrm{A}=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{b c}{2 b c}=\frac{1}{2} ， \because \mathrm{A} \in\left(0,180^{\circ}\right)$, $\therefore \mathrm{A}=60^{\circ}$.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$, 若 $3 a=2 b$, 则 $\frac{2 \sin ^{2} B-\sin ^{2} A}{\sin ^{2} A}$ 的值为 ( )
选项：
A. $-\frac{1}{9}$
B. $\frac{1}{3}$
C. 1
D. $\frac{7}{2}$
答案：D
解析：$\because 3 \mathrm{a}=2 \mathrm{~b}, \therefore \mathrm{b}=\frac{3}{2} a$, 根据正弦定理可得 $\frac{2 \sin ^{2} B-\sin ^{2} A}{\sin ^{2} A}=\frac{2 b^{2}-a^{2}}{a^{2}}=\frac{2 \times \frac{94^{2}}{4}-a^{2}}{a^{2}}=\frac{9}{2}-1=\frac{7}{2}$,
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$, 若 $c^{2}=(a-b)$ ${ }^{2}+6, C=\frac{\pi}{3}$, 则 $\triangle A B C$ 的面积是 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$
B. $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$
C. $\sqrt{3}$
D. $3 \sqrt{3}$
答案：A
解析：由 $c^{2}=(a-b)^{2}+6$, 可得 $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b+6$, 由余弦定理: $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C=a^{2}+b^{2}-a b$,所以: $\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}-2 \mathrm{ab}+6=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}-\mathrm{ab}$, 所以 $\mathrm{ab}=6$; 则 $\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{ABC}}=\frac{1}{2} \mathrm{absinC}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$;
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $b=2, a=3, \cos A=-\frac{5}{13}$, 则 $\sin B$ 等于（）
选项：
A. $\frac{8}{13}$
B. $\frac{9}{13}$
C. $\frac{10}{13}$
D. $\frac{11}{13}$
答案：A
解析：$\because \cos \mathrm{A}=-\frac{5}{13}, \therefore \sin \mathrm{A}=\sqrt{1-\cos ^{2} A}=\frac{12}{13}, \because \mathrm{b}=2, \mathrm{a}=3$, 由正弦定理可得 $\sin \mathrm{B}=\frac{b \sin A}{a}=$ $\frac{2}{3} \times \frac{12}{13}=\frac{8}{13}$,
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\sin \alpha>\sin \beta$, 那么下列命题成立的是
选项：
A. 若 $\alpha, \beta$ 是第一象限角, 则 $\cos \alpha>\cos \beta$

B. 若 $\alpha, \beta$ 是第二象限角, 则 $\tan \alpha>\tan \beta$

C. 若 $\alpha, \beta$ 是第三象限角, 则 $\cos \alpha>\cos \beta$

D. 若 $\alpha, \beta$ 是第四象限角, 则 $\tan \alpha>\tan \beta$
答案：D
解析：解析: 逐个象限判断, 只有第四象限适合.

答案: D
题目（高二 · 解析几何）：使 $\sin x \leqslant \cos x$ 成立的 $x$ 的一个变化区间是
选项：
A. $\left[-\frac{3 \pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$
B. $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$
C. $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$
D. $[0, \pi]$
答案：A
题目（高二 · 解析几何）：如果 $M P, O M$ 分别是角 $\frac{3 \pi}{16}$ 的正弦线和余弦线, 那么下列结论正确的是 ( )
选项：
A. $M P<O M<0$
B. $M P<0<O M$
C. $M P>O M>0$
D. $O M>M P>0$
答案：D
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\alpha$ 是第四象限角, $\tan \alpha=-\frac{5}{12}$, 则 $\sin \alpha=$
选项：
A. $\frac{1}{5}$
B. $-\frac{1}{5}$
C. $\frac{5}{13}$
D. $-\frac{5}{13}$
答案：D
解析：解析: 因为 $\tan \alpha=-\frac{5}{12}$ ，所以 $\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=-\frac{5}{12}$ ，

所以 $\cos \alpha=-\frac{12}{5} \sin \alpha$,

代入 $\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1$ ，解得 $\sin \alpha= \pm \frac{5}{13}$ ，

又 $\alpha$ 是第四象限角，所以 $\sin \alpha=-\frac{5}{13}$.

答案: D
题目（高二 · 解析几何）：已知 $3 \cos ^{2} \theta=\tan \theta+3$, 且 $\theta \neq k \pi(k \in \mathbf{Z})$, 则 $\sin \theta \cos \theta=$
选项：
A. $-\frac{1}{3} \quad$ B. $\frac{1}{3} \quad$ C. $\frac{2}{3}$
D. $-\frac{2}{3}$
答案：A
解析：解析：由题意可得 $3 \cos ^{2} \theta-3=\tan \theta$ ，即 $-3 \sin ^{2} \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ ，由于 $\theta \neq k \pi(k \in \mathbf{Z})$ ，所以 $\sin \theta \cos$ $\theta=-\frac{1}{3}$.

答案: A
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\sin \alpha-\cos \alpha=\frac{4}{3}$, 则 $\sin \alpha \cos \alpha=$
选项：
A. $-\frac{7}{18}$
B. $-\frac{1}{9}$
C. $\frac{1}{9}$
D. $\frac{7}{18}$
答案：A
解析：解析: $\because \sin \alpha-\cos \alpha=\frac{4}{3} ， \therefore(\sin \alpha-\cos \alpha)^{2}=\frac{16}{9}$ ，

即 $1-2 \sin \alpha \cos \alpha=\frac{16}{9} ， \therefore \sin \alpha \cos \alpha=-\frac{7}{18}$.

答案: A
题目（高二 · 解析几何）：若 $\sin \theta, \cos \theta$ 是方程 $4 x^{2}+2 m x+m=0$ 的两根, 则 $m$ 的值为
选项：
A. $1+\sqrt{5}$
B. $1-\sqrt{5}$
C. $1 \pm \sqrt{5}$
D. $-1-\sqrt{5}$
答案：B
解析：解析: 由题意知 $\sin \theta+\cos \theta=-\frac{m}{2} ， \sin \theta \cdot \cos \theta=\frac{m}{4}$.

又 $(\sin \theta+\cos \theta)^{2}=1+2 \sin \theta \cos \theta$ ，

$\therefore \frac{m^{2}}{4}=1+\frac{m}{2}$ ，解得 $m=1 \pm \sqrt{5}$.

又 $\Delta=4 m^{2}-16 m \geqslant 0 ， \therefore m \leqslant 0$ 或 $m \geqslant 4 ，$

$\therefore m=1-\sqrt{5}$.

答案: B
题目（高二 · 解析几何）：若 $\sin (\pi-\alpha)-\cos (-\alpha)=\frac{1}{2}$, 则 $\sin ^{3}(\pi+\alpha)+\cos ^{3}(2 \pi+\alpha)$ 的值是
选项：
A. $-\frac{3}{16} \quad$ B. $\frac{11}{16}$
    C. $-\frac{11}{16}$
    D. $-\frac{5}{16}$
答案：C
解析：解析 : 由已知, $\sin (\pi-\alpha)-\cos (-\alpha)=\sin \alpha-\cos \alpha=\frac{1}{2}$,所以 $(\sin \alpha-\cos \alpha)^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$, 解得 $\cos \alpha \sin \alpha=\frac{3}{8}$.

故 $\sin ^{3}(\pi+\alpha)+\cos ^{3}(2 \pi+\alpha)=\cos ^{3} \alpha-\sin ^{3} \alpha=(\cos \alpha-\sin \alpha)\left(\cos ^{2} \alpha+\cos \alpha \sin \alpha+\sin ^{2} \alpha\right)=-\frac{1}{2}$ $\times\left(1+\frac{3}{8}\right)=-\frac{11}{16}$, 故选 C.
答案: C
题目（高二 · 解析几何）：已知函数 $f(x)=a \sin (\pi x+\alpha)+b \cos (\pi x+\beta)$, 且 $f(2015)=3$, 则 $f(2016)$ 的值是
选项：
A. -1
    B. -2
    C. -3
    D. 1
答案：C
解析：解析: $\because f(2015)=a \sin (2015 \pi+\alpha)+b \cos (2015 \pi+\beta)=a \sin (\pi+\alpha)+b \cos (\pi+\beta)=-a \sin \alpha-$ $b \cos \beta=3$,

$\therefore a \sin \alpha+b \cos \beta=-3$.

$\therefore f(2016)=a \sin (2016 \pi+\alpha)+b \cos (2016 \pi+\beta)$

$=a \sin \alpha+b \cos \beta=-3$.

答案: C
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\cos \alpha=k, k \in \mathbf{R}, \alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$, 则 $\sin (\pi+\alpha)=$
选项：
A. $-\sqrt{1-k^{2}}$
B. $\sqrt{1-k^{2}}$
C. $-k$
D. $\pm \sqrt{1-k^{2}}$
答案：A
解析：解析: 因为 $\alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$, 所以 $\sin \alpha>0$, 则 $\sin (\pi+\alpha)=-\sin \alpha=-\sqrt{1-\cos ^{2} \alpha}=-\sqrt{1-k^{2}}$,故选 A.

答案: A
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\cos (\pi-\alpha)=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(\frac{\pi}{2}<\alpha<\pi\right)$, 则 $\tan (\pi+\alpha)=$
选项：
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
C. $-\sqrt{3}$
D. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
答案：D
解析：解析: 法一: $\cos (\pi-\alpha)=-\cos \alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}$,

$\therefore \cos \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\because \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi, \quad \therefore \sin \alpha>0, \quad \therefore \sin \alpha=\sqrt{1-\cos ^{2} \alpha}=\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2}$,

$\therefore \tan (\pi+\alpha)=\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

法二: 由 $\cos \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\pi}{2}<\alpha<\pi$, 得 $\alpha=\frac{5}{6} \pi$,

$\therefore \tan \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{3}, \therefore \tan (\pi+\alpha)=\tan \alpha=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

答案: D
题目（高二 · 解析几何）：若 $\alpha, \beta$ 的终边关于 $y$ 轴对称, 则下列等式成立的是
选项：
A. $\sin \alpha=\sin \beta$
B. $\cos \alpha=\cos \beta$
C. $\tan \alpha=\tan \beta$
D. $\sin \alpha=-\sin \beta$
答案：A
解析：解析: 法一: $\because \alpha, \beta$ 的终边关于 $y$ 轴对称,
$\therefore \alpha+\beta=\pi+2 k \pi$ 或 $\alpha+\beta=-\pi+2 k \pi, k \in \mathbf{Z}$,

$\therefore \alpha=2 k \pi+\pi-\beta$ 或 $\alpha=2 k \pi-\pi-\beta, k \in \mathbf{Z}$,

$\therefore \sin \alpha=\sin \beta$.

法二: 设角 $\alpha$ 终边上一点 $P(x, y)$, 则点 $P$ 关于 $y$ 轴对称的点为 $P^{\prime}(-x, y)$, 且点 $P$ 与点 $P^{\prime}$到原点的距离相等, 设为 $r$, 则 $\sin \alpha=\sin \beta=\frac{y}{r}$.

答案: A
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\sin (\pi+\theta)=-\sqrt{3} \cos (2 \pi-\theta),|\theta|<\frac{\pi}{2}$, 则 $\theta$ 等于
选项：
A. $-\frac{\pi}{6}$
B. $-\frac{\pi}{3}$
C. $\frac{\pi}{6}$
D. $\frac{\pi}{3}$
答案：D
解析：解析: $\because \sin (\pi+\theta)=-\sqrt{3} \cos (2 \pi-\theta)$,

$\therefore-\sin \theta=-\sqrt{3} \cos \theta$,

$\therefore \tan \theta=\sqrt{3}, \because|\theta|<\frac{\pi}{2}, \quad \therefore \theta=\frac{\pi}{3}$.

答案: D
题目（高二 · 解析几何）：若角 $\alpha$ 的终边过点 $A(2,1)$, 则 $\sin \left(\frac{3}{2} \pi-\alpha\right)=$
选项：
A. $-\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
B. $-\frac{\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
D. $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
答案：A
解析：解析: 根据三角函数的定义可知 $\cos \alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$,

则 $\sin \left(\frac{3}{2} \pi-\alpha\right)=-\cos \alpha=-\frac{2 \sqrt{5}}{5}$, 故选 A.

答案: A
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\alpha$ 为锐角, 且 $2 \tan (\pi-\alpha)-3 \cos \left(\frac{\pi}{2}+\beta\right)+5=0, \tan (\pi+\alpha)+6 \sin (\pi+\beta)-1=0$, 则 $\sin \alpha$的值是\n\n$
选项：
A.  \frac{3 \sqrt{5}}{5} & \text { B. } \frac{3 \sqrt{7}}{7} & \text { C. } \frac{3 \sqrt{10}}{10} & \text { D. } \frac{1}{3}\end{array}$
答案：C
解析：解析：由已知可得 $-2 \tan \alpha+3 \sin \beta+5=0$,\n\n$\tan \alpha-6 \sin \beta-1=0$, 可解得 $\tan \alpha=3$,\n\n又 $\alpha$ 为锐角, 故 $\sin \alpha=\frac{3 \sqrt{10}}{10}$.
题目（高二 · 解析几何）：函数 $y=\cos (\sin x)$ 的最小正周期是
选项：
A. $\frac{\pi}{2}$
    B. $\pi$
    C. $2 \pi$
    D. $4 \pi$
答案：B
解析：解析 : $\cos [\sin (x+\pi)]=\cos (-\sin x)=\cos (\sin x)$,

$\therefore T=\pi$, 故选 B.

答案: B
题目（高二 · 解析几何）：已知函数 $f(x)=f(\pi-x)$, 且当 $x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 时, $f(x)=x+\sin x$, 设 $a=f(1), b=f(2), c=f(3)$,则
选项：
A. $a<b<c$
    B. $b<c<a$
    C. $c<b<a$
    D. $c<a<b$
答案：D
解析：解析: 由已知函数 $f(x)$ 在 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 上是增函数. 因为 $\pi-2 \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), \pi-3 \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, $\pi-3<1<\pi-2$, 所以 $f(\pi-3)<f(1)<f(\pi-2)$, 即 $f(3)<f(1)<f(2), c<a<b$. 故选 D.

答案: D
题目（高二 · 解析几何）：函数 $y=2 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)$ 的一个单调递减区间是
选项：
A. $\left[\frac{3 \pi}{8}, \frac{7 \pi}{8}\right]$
B. $\left[-\frac{\pi}{8}, \frac{3 \pi}{8}\right]$
C. $\left[\frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right]$
D. $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$
答案：A
解析：解析: 令 $z=2 x-\frac{\pi}{4}$, 函数 $y=\sin z$ 的单调递减区间是 $\left[\frac{\pi}{2}+2 k \pi, \frac{3 \pi}{2}+2 k \pi\right](k \in \mathbf{Z})$. 由 $\frac{\pi}{2}+$ $2 k \pi \leqslant 2 x-\frac{\pi}{4} \leqslant \frac{3 \pi}{2}+2 k \pi, k \in \mathbf{Z}$, 得 $\frac{3 \pi}{8}+k \pi \leqslant x \leqslant \frac{7 \pi}{8}+k \pi, k \in \mathbf{Z}$. 令 $k=0$, 得 $\frac{3 \pi}{8} \leqslant x \leqslant \frac{7 \pi}{8}$.

答案: A
题目（高二 · 解析几何）：已知函数 $f(x)=\sin (2 x+\varphi)$ 的图象关于直线 $x=\frac{\pi}{8}$ 对称, 则 $\varphi$ 的值可能是 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{\pi}{2}$
B. $-\frac{\pi}{4}$
C. $\frac{3 \pi}{4}$
D. $\frac{\pi}{4}$
答案：D
解析：解析: 由题意, 当 $x=\frac{\pi}{8}$ 时, $f(x)=\sin \left(2 \times \frac{\pi}{8}+\varphi\right)= \pm 1$, 故 $\frac{\pi}{4}+\varphi=k \pi+\frac{\pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$, 解得 $\varphi=k \pi$ $+\frac{\pi}{4}(k \in \mathbf{Z})$. 当 $k=0$ 时, $\varphi=\frac{\pi}{4}$, 故 $\varphi$ 的值可能是 $\frac{\pi}{4}$.

答案: D
题目（高二 · 解析几何）：与函数 $y=\tan \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$ 的图象不相交的一条直线是
选项：
A. $x=\frac{\pi}{2}$
B. $x=-\frac{\pi}{2}$
C. $x=\frac{\pi}{4}$
D. $x=\frac{\pi}{8}$
答案：D
解析：解析: 当 $x=\frac{\pi}{2}$ 时， $y=\tan \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)=\tan \frac{5 \pi}{4}=1$ ；

当 $x=-\frac{\pi}{2}$ 时， $y=\tan \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)=\tan \left(-\frac{3 \pi}{4}\right)=1$ ；

当 $x=\frac{\pi}{4}$ 时， $y=\tan \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)=\tan \frac{3 \pi}{4}=-1$ ；

当 $x=\frac{\pi}{8}$ 时， $y=\tan \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)=\tan \frac{\pi}{2}$ ，不存在.

答案: D
题目（高二 · 解析几何）：设函数 $f(x)=\cos \omega x(\omega>0)$, 将 $y=f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度后, 所得的图象与原图象重合，则 $\omega$ 的最小值等于 （）
选项：
A. $\frac{1}{3}$
    B. 3
    C. 6
    D. 9
答案：C
解析：解析: 将 $y=f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度后得到 $y=\cos \left[\omega\left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right]$, 所得图象与原图象重合，所以 $\cos \left(\omega x-\frac{\pi}{3} \omega\right)=\cos \omega x$ ，则 $-\frac{\pi}{3} \omega=2 k \pi(k \in \mathbf{Z})$ ，得 $\omega=-6 k(k \in \mathbf{Z})$. 又因为 $\omega>0$ ，所以 $\omega$ 的最小值为 6 ，故选 C.

答案: C
题目（高二 · 解析几何）：函数 $y=2 \sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{5}\right)$ 的周期, 振幅依次是
选项：
A. $4 \pi,-2$
B. $4 \pi, 2$
C. $\pi, 2$
D. $\pi,-2$
答案：B
解析：解析：周期 $T=\frac{2 \pi}{\frac{1}{2}}=4 \pi$ ，振幅为 2 ，故选 B.

答案: B
题目（高二 · 解析几何）：设函数 $f(x)=2 \sin \left(\frac{\pi}{2} x+\frac{\pi}{5}\right)$. 若对任意 $x \in \mathbf{R}$, 都有 $f\left(x_{1}\right) \leqslant f(x) \leqslant f\left(x_{2}\right)$ 成立, 则 $\left|x_{1}-x_{2}\right|$ 的最小值为
选项：
A. 4
B. 2
C. 1
D. $\frac{1}{2}$
答案：B
解析：解析 : 函数 $f(x)$ 的周期 $T=4$. 因为对任意 $x \in \mathbf{R}$ ，都有 $f\left(x_{1}\right) \leqslant f(x) \leqslant f\left(x_{2}\right)$ 成立，所以 $\left|x_{1}-x_{2}\right| \min$ $=\frac{T}{2}=2$.

答案: B
题目（高二 · 解析几何）：动点 $A(x, y)$ 在圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转, 12 秒旋转一周. 已知当时间 $t=0$ 时, 点 $A$ 的坐标是 $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$, 则当 $0 \leqslant t \leqslant 12$ 时, 动点 $A$ 的纵坐标 $y$ 关于 $t$ (单位:秒)的函数的单调递增区间是( )
选项：
A. $[0,1]$
    B. $[1,7]$
    C. $[7,12]$
    D. $[0,1]$ 和 $[7,12]$
答案：D
解析：解析:由已知可得该函数的周期 $T=12 ， \therefore \omega=\frac{2 \pi}{T}=\frac{\pi}{6}$. 又 $\because$ 当 $t=0$ 时， $A\left(\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2}\right) ， \therefore y=$ $\sin \left(\frac{\pi}{6} t+\frac{\pi}{3}\right) ， t \in[0 ， 12]$. 可解得函数的单调递增区间是 $[0 ， 1]$ 和[7，12].

答案: D
题目（高二 · 解析几何）：设 $y=f(t)$ 是某港口水的深度 $y$ (米)关于时间 $t$ (时)的函数, 其中 $0 \leqslant t \leqslant 24$. 下表是该港口某一天从 0 时至 24 时记录的时间 $t$ 与水深 $y$ 的关系:

经长期观察, 函数 $y=f(t)$ 的图象可以近似地看成函数 $y=k+A \sin (\omega t+\varphi)$ 的图象. 下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是
选项：
A. $y=12+3 \sin \frac{\pi}{6} t, t \in[0,24]$
B. $y=12+3 \sin \left(\frac{\pi}{6} t+\pi\right), t \in[0,24]$
C. $y=12+3 \sin \frac{\pi}{12} t, t \in\left[\begin{array}{ll}0,24\end{array}\right]$
D. $y=12+3 \sin \left(\frac{\pi}{12} t+\frac{\pi}{2}\right), t \in[0,24]$
答案：A
解析：解析: 在给定的四个选项中，我们不妨代入 $t=0$ 及 $t=3$ ，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是选项 A，故选 A.

答案: A
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, $\sin A=\sin B$, 则 $\triangle A B C$ 是( )
选项：
A. 直角三角形
C. 针角三角形
B. 锐角三角形
D. 等腰三角形
答案：D
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 若 $\frac{a}{\cos A}=\frac{b}{\cos B}=\frac{c}{\cos C}$, 则 $\triangle A B C$ 是( )
选项：
A. 直角三角形
B. 等边三角形
C. 针角三角形
D. 等腰直角三角形
答案：B
解析：解析 由正弦定理知: $\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{\sin B}{\cos B}=\frac{\sin C}{\cos C}$,

$\therefore \tan A=\tan B=\tan C, \therefore A=B=C$.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, $\sin A=\frac{3}{4}, a=10$, 则边长 $c$ 的取值范围是( )
选项：
A. $\left(\frac{15}{2},+\infty\right)$
B. $(10,+\infty)$
C. $(0,10)$

$$
\text { D. }\left(0, \frac{40}{3}\right]
$$
答案：D
解析：解析 $\because \frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}=\frac{40}{3}, \therefore c=\frac{40}{3} \sin C$.

$\therefore 0<_{C} \leqslant \frac{40}{3}$.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, $a=2 b \cos C$, 则这个三角形一定是 ( )
选项：
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形
D. 等腰或直角三角形
答案：A
解析：解析 由 $a=2 b \cos C$ 得, $\sin A=2 \sin B \cos C$, $\therefore \sin (B+C)=2 \sin B \cos C$,

$\therefore \sin B \cos C+\cos B \sin C=2 \sin B \cos C$,

$\therefore \sin (B-C)=0, \quad \therefore B=C$.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $(b+c):(c+a):(a+b)=4: 5: 6$, 则 $\sin A: \sin B: \sin C$ 等于 $(\quad)$
选项：
A. $6: 5: 4$
B. $7: 5: 3$
C. $3: 5: 7$
D. $4: 5: 6$
答案：B
解析：解析 $\because(b+c):(c+a):(a+b)=4: 5: 6$,

$\therefore \frac{b+c}{4}=\frac{c+a}{5}=\frac{a+b}{6}$.

令 $\frac{b+c}{4}=\frac{c+a}{5}=\frac{a+b}{6}=k(k>0)$,

则 $\left\{\begin{array}{l}b+c=4 k \\ c+a=5 k \\ a+b=6 k\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}a=\frac{7}{2} k \\ b=\frac{5}{2} k \\ c=\frac{3}{2} k\end{array}\right.$

$\therefore \sin A: \sin B: \sin C=a: b: c=7: 5: 3$.
题目（高二 · 解析几何）：一段圆弧的长度等于其所在圆内接正方形的边长, 则其圆心角的弧度数为
选项：
A. $\frac{\pi}{2}$
    B. $\frac{\pi}{3}$
    C. $\sqrt{3}$
    D. $\sqrt{2}$
答案：D
解析：解析:设圆内接正方形的边长为 $a$, 则该圆的直径为 $\sqrt{2} a$,

$\therefore$ 弧长等于 $a$ 的圆弧所对的圆心角 $\alpha=\frac{l}{r}=\frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2} a}=\sqrt{2}$故选 $\mathrm{D}$.

答案: D
题目（高二 · 解析几何）：已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2 , 则这个圆心角所对的弧长为 (
选项：
A. 2 B. $\frac{2}{\sin 1}$
C. $2 \sin 1$
D. $\sin 2$
答案：B
解析：解析: 扇形的半径 $r=\frac{1}{\sin 1}$, 因此弧长 $l=|\alpha| \cdot r=\frac{2}{\sin 1}$

答案:B
题目（高二 · 解析几何）：已知角 $\alpha$ 的终边与单位圆交于点 $\left(-\frac{4}{5}, \frac{3}{5}\right)$, 则 $\tan \alpha$ 等于
选项：
A. $-\frac{4}{3}$
B. $-\frac{4}{5}$
C. $-\frac{3}{5}$
D. $-\frac{3}{4}$
答案：D
题目（高二 · 解析几何）：若角 $\alpha$ 的终边过点 $P(2, \sqrt{5})$, 点 $Q(-4 \sqrt{5}, 10)$ 在角 $\beta$ 的终边上, 则有 $(\quad)$
选项：
A. $\sin \alpha<\sin \beta$
B. $\sin \alpha=\sin \beta$
C. $\sin \alpha>\sin \beta$
D. 不能确定
答案：B
解析：解析: $\because$ 角 $\alpha$ 终边上的点 $P$ 到原点的距离 $r_{1}=\sqrt{2^{2}+(\sqrt{5})^{2}}=3, \therefore \sin \alpha=\frac{\sqrt{5}}{3}$.

$\because$ 角 $\beta$ 终边上的点 $Q$ 到原点的距离 $r_{2}=\sqrt{(-4 \sqrt{5})^{2}+10^{2}}=6 \sqrt{5}, \therefore \sin \beta=\frac{10}{6 \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{3} . \therefore \sin$ $\alpha=\sin \beta$.

答案: B
题目（高二 · 解析几何）：若 $\alpha$ 是第三象限角, 则下列各式中不成立的是
选项：
A. $\sin \alpha+\cos \alpha<0$
B. $\tan \alpha-\sin \alpha<0$
C. $\cos \alpha-\tan \alpha<0$
D. $\tan \alpha \sin \alpha<0$
答案：B
解析：解析: 在第三象限, $\sin \alpha<0, \cos \alpha<0, \tan \alpha>0$, 由此可知选 B.

答案: B
题目（高二 · 解析几何）：化简 $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D}-\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{C D}=$
选项：
A. $\overrightarrow{A D}$
B. $\overrightarrow{D A}$
C. $\overrightarrow{B C}$
D. 0
答案：D
解析：解析: $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D}-\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{C D}=(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D})-(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C D})=\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A D}=0$.

答案: D
题目（高二 · 解析几何）：平面内有四边形 $A B C D$ 和点 $O$, 若 $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O D}$, 则四边形 $A B C D$ 的形状是
选项：
A. 梯形
    B. 平行四边形
    C. 矩形
    D. 菱形
答案：B
题目（高二 · 解析几何）：若 $|\overrightarrow{B B}|=5,|\overrightarrow{A C}|=8$, 则 $|\overrightarrow{B C}|$ 的取值范围是
选项：
A. $[3,8]$\n    B. $(3,8)$\n    C. $[3,13]$\n    D. $(3,13)$\n\n
答案：C
解析：C
题目（高二 · 解析几何）：如图, 在四边形 $A B C D$ 中, 设 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{A D}=\boldsymbol{b}, \overrightarrow{B C}=\boldsymbol{c}$, 则 $\overrightarrow{D C}$ 等于


选项：
A. $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$
B. $\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c})$
C. $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$
D. $\boldsymbol{b}-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}$
答案：A
解析：解析: $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C} ， \therefore \overrightarrow{D C}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A D}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}-\boldsymbol{b}$.

答案: A
题目（高二 · 解析几何）：$\overrightarrow{O P}-\overrightarrow{Q P}+\overrightarrow{P S}+\overrightarrow{S P}$ 等于
选项：
A. $\overrightarrow{Q P}$ B. $\overrightarrow{O Q}$
C. $\overrightarrow{S P}$
D. $\overrightarrow{S Q}$
答案：B
解析：解析: $\overrightarrow{O P}-\overrightarrow{Q P}+\overrightarrow{P S}+\overrightarrow{S P}=\overrightarrow{O P}+\overrightarrow{P Q}=\overrightarrow{O Q}$.

答案: B