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题目（七年级 · 度量几何学）：(本小题8.0分)

同学们都知道, $|4-(-2)|$ 表示 4 与 -2 的差的绝对值, 实际上也可理解为 4 与 -2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离; 同理, $|x-3|$ 也可理解为 $x$ 与 3 两数在数轴上所对应的两点之间的距离. 试探索:

(1)求 $|4-(-2)|=$

(2) 若 $|x-2|=5$, 则 $x=$

(3)请你找出所有符合条件的整数 $x$, 使得 $|1-x|+|x+2|=3$.
选项：
答案：解: (1)6;

(2) 7 或 $-3 ;$

(3) 因为 $|1-x|+|x+2|=|1-x|+|-x-2|$

所以由题意可知: $|1-x|+|x+2|=3$ 表示数 $x$ 到 1 和 -2 的距离之和等于 3 ,

所以 $-2 \leq x \leq 1$,

又因为 $x$ 为整数,

所以 $x=-2$ 或 -1 或 0 或
题目（七年级 · 度量几何学）：(本小题 8.0 分)

同学们都知道, $|5-(-2)|$ 表示 5 与 -2 之差的绝对值, 实际上也可理解为 5 与 -2 两数在数轴上所对应的两点之间的距离, 试探索:

$(1)|5-(-2)|=$ \$ \qquad \$
(2)同理 $|x+5|+|x-2|$ 表示数轴上有理数 $x$ 所对应的点到 -5 和 2 所对应的两点距离之和, 请你找出所有符合条件的整数 $x$, 使得 $|x+5|+|x-2|=7$, 这样的整数是 \$ \qquad \$ .

(3)由以上探索猜想对于任何有理数 $x,|x+6|+|x-3|$ 是否有最小值? 如果有, 写出最小值;如果没有, 说明理由.
选项：
答案：(1) 7

$(2)-5 、-4 、-3 、-2 、-1 、 0 、 1 、 2$

(3)有最小值.

当有理数 $x$ 所对应的点在 $-6,3$ 之间的线段上的点时,最小值为 9 .
解析：

## 【分析】

本题考查绝对值和数轴, 熟练掌握绝对值的几何意义及两点间的距离是关键.

(1)按照去绝对值的方法去绝对值就可以了.

(2)要找出 $x$ 的整数值可以进行分段计算, 分为 3 段进行计算, 最后确定 $x$ 的值.

(3)根据绝对值的意义，即可解答.

## 【解答】

解: $(1)|5-(-2)|=7$.
故答案为: 7 ;

(2)令 $x+5=0$ 或 $x-2=0$ 时, 则 $x=-5$ 或 $x=2$,

当 $x<-5$ 时,

$\therefore-(x+5)-(x-2)=7$,

$-x-5-x+2=7$,

$x=-5$ (范围内不成立),

当 $-5<x<2$ 时,

$\therefore(x+5)-(x-2)=7$,

$x+5-x+2=7$

$7=7$,

$\therefore x=-4,-3,-2,-1,0,1$,

当 $x>2$ 时,

$\therefore(x+5)+(x-2)=7$,

$x+5+x-2=7$,

$2 x=4$,

$x=2$,

$x=2$ (范围内不成立).

$\therefore$ :综上所述, 符合条件的整数 $x$ 有: $-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2$.

故答案为: $-5 、-4 、-3 、-2 、-1 、 0 、 1 、 2$;

(3) 见答案.
题目（七年级 · 度量几何学）：(本小题 8.0 分)

阅读理解，完成下列各题:
定义: 已知 $A 、 B 、 C$ 为数轴上任意三点, 若点 $C$ 到点 $A$ 的距离是它到点 $B$ 的距离的 3 倍, 则称点 $C$ 是 $[A, B]$ 的 倍点. 例如: 如图 1 , 点 $C$ 是 $[A, B]$ 的 3 倍点, 点 $D$ 不是 $[A, B]$ 的3倍点, 但点 $D$ 是 $[B, A]$的 3 倍点, 根据这个定义解决下面问题:



图1



图2

(1)在图1中, 点 $A \_[C, D]$ 的3倍点(填写 “是” 或 “不是” ); $[D, C]$ 的3倍点是点 — (填写 $A$ 或 $B$ 或 $C$ 或 $D$ );

(2)如图 $2, M 、 N$ 为数轴上两点, 点 $M$ 表示的数是 -3 , 点 $N$ 表示的数是 5 , 若点 $E$ 是 $[M, N]$ 的 3 倍点, 则点 $E$ 表示的数是 \$ \qquad \$ ;

(3)若 $P 、 Q$ 为数轴上两点, 点 $P$ 在点 $Q$ 的左侧, $P Q=a$, 一动点 $H$ 从点 $P$ 出发, 以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向右运动, 设运动时间为 $t$ 秒, 求当 $t$ 为何值时, 点 $H$ 恰好是 $P$ 和 $Q$ 两点的 3 倍点? (用含 $a$ 的代数式表示).
选项：
答案：(1) 是; $B$;

(2)3或 $9 ;$

(3) 依题意得 $P Q=a, P H=3 t$.

(1) 当 $H$ 为 $[Q, P]$ 的 3 倍点时, $H P=\frac{1}{4} P Q=\frac{1}{4} a=3 t$,解得 $t=\frac{1}{12} a$;

(2) 当 $H$ 为 $[P, Q]$ 的 3 倍点且 $H$ 在点 $Q$ 的左侧时, $H P=\frac{3}{4} P Q=\frac{3}{4} a=3 t$,解得 $t=\frac{1}{4} a$;

(3)当 $H$ 为 $[P, Q]$ 的 3 倍点且 $H$ 在点 $Q$ 的右侧时, $H P=a+\frac{1}{2} a=\frac{3}{2} a=3 t$,解得 $t=\frac{1}{2} a$.

综上所述, $t$ 的值为 $\frac{1}{12} a$ 或 $\frac{1}{4} a$ 或 $\frac{1}{2} a$.
解析：

## 【分析】

此题主要考查了对 3 倍点的理解和认识, 解本题的关键是分清 3 倍点的两种不同的情况.

(1)根据图形及新定义可直接解得;

(2) 设点 $E$ 表示的数是 $x$, 根据题意列方程求解即可;

(3) 点 $H$ 恰好是 $P$ 和 $Q$ 两点的 3 倍点, 可分为三种情况讨论, 解得 $t$ 有三个值.

## 【解答】

解: (1) $\because A C=|1-(-2)|=3, A D=|-1-(-2)|=1$,

$\therefore A C=3 A D$,

$\therefore$ 点 $A$ 是 $[C, D]$ 的 3 倍点.

$\because B D=|2-(-1)|=3, B C=|2-1|=1$,

$\therefore B D=3 B C$,

$\therefore[D, C]$ 的 3 倍点是点 $B$.

(2) $\because$ 点 $E$ 是 $[M, N]$ 的 3 倍点,

$\therefore E M=3 E N$,

设点 $E$ 表示的数是 $x$,

由题意得 $|x+3|=3|x-5|$,

解得 $x=3$ 或 $x=9$.

(3)见答案.
题目（七年级 · 度量几何学）：(本小题 8.0 分)

阅读材料: 实数的整数部分与小数部分由于实数的小数部分一定要为正数, 所以正、负实数的䈣数部分与小数部分确定方法存在区别:

(1) 对于正实数, 如实数 9.23 , 在整数 $9-10$ 之间, 则整数部分为 9 , 小数部分为 $9.23-9=0.23$.

(2) 对于负实数, 如实数 -9.23 , 在整数 $-10--9$ 之间, 则整数部分为 -10 , 小数部分为 $-9.23-$ $(-10)=0.77$

依照上面规定解决下面问题:

(1) 已知 $\sqrt{7}$ 的整数部分为 $a$, 小数部分为 $b$, 求 $a 、 b$ 的值.

(2)若 $x 、 y$ 分别是 $10-\sqrt{17}$ 的整数部分与小数部分, 求 $x(y+\sqrt{17})$ 的值.

(3)设 $x=\sqrt{5}+1, a$ 是 $x$ 的小数部分, $b$ 是 $-x$ 的小数部分, 求 $(a+b)^{2}$ 的值.
选项：
答案：解: (1) $\because 2^{2}=4,3^{2}=9$, 而 $4<7<9$,

$\therefore 2<\sqrt{7}<3$,

$\therefore \sqrt{7}$ 的整数部分 $a=2$, 小数部分 $b=\sqrt{7}-2$,

即: $a=2, b=\sqrt{7}-2$;

(2) $(2) \because 4<\sqrt{17}<5$,

$$
\therefore-5<-
$$

$\sqrt{17}$

$<-4$,

$$
\therefore 5<10-
$$

$\sqrt{17}$

$<6$,
的整数部分 $x=5$, 小数部分 $y=10-$

$\sqrt{17}$

$$
-5=5-
$$

$\sqrt{17}$

$$
\therefore x(y+
$$

$\sqrt{17}$

$$
)=5 \times(5-
$$

$\sqrt{17}$

$$
\begin{aligned}
& +\sqrt{17}) \\
& =5 \times 5
\end{aligned}
$$

$=25$,

答: $x(y+$

$\sqrt{17}$

) )的值为 25 ;

(3) $\because 2<\sqrt{5}<3$,

$\therefore 3<\sqrt{5}+1<4$,

$\therefore \sqrt{5}+1$ 的整数部分为 3 , 小数部分 $a=\sqrt{5}+1-3=\sqrt{5}-2$,

$\because 2<\sqrt{5}<3$,

$\therefore-3<-\sqrt{5}<-2$,

$\therefore-4<-\sqrt{5}-1<-3$,

$\therefore-\sqrt{5}-1$ 的整数部分为 -3 , 小数部分 $b=-\sqrt{5}-1-(-3)=2-\sqrt{5}$,

$$
\begin{aligned}
& \therefore(a+b)^{2} \\
& =(\sqrt{5}-2+2-\sqrt{5})^{2} \\
& =0^{2}
\end{aligned}
$$

$=0$,

答: $(a+b)^{2}$ 的值为 0 .
解析：(1)根据算术平方根的定义, 估算无理数 $\sqrt{7}$ 的大小即可;

(2)估算无理数 $\sqrt{5}$ 的大小, 进而得出 $\sqrt{5}+1$ 的大小, 确定 $a$ 的值, 估算无理数 $\sqrt{5}$ 的大小, 进而得出
$-\sqrt{5}-1$ 的大小, 进而确定 $b$ 的值, 再代入计算即可.

本题考查估算无理数的大小, 掌握算术平方根的定义是正确解答的前提.
题目（七年级 · 度量几何学）：小题8.0分)

如图, 在数轴上从左往右依次有四个点 $A, B, C, D$, 其中点 $A, B, C$ 表示的数分别是 0,3 , 10 , 且 $C D=2 A B$.



(1) 点 $D$ 表示的数是 \$ \qquad \$ ; (直接写出结果)

(2)线段 $A B$ 以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向右运动, 同时线段 $C D$ 以每秒 1 个单位长度的速度沿数轴向左运动, 设运动时间是 $t$ (秒), 当两条线段重叠部分是 2 个单位长度时.

(1) 求 $t$ 的值;

(2) 线段 $A B$ 上是否存在一点 $P$, 满足 $B D-P A=3 P C$ ? 若存在, 求出点 $P$ 表示的数 $x$; 若不存在,请说明理由.
选项：
答案：(1)16

(2) (1) 当 $C$ 点在 $B$ 点左边时, 根据题意得:

$3+2 t=10-t+2$

$t=\frac{10-3+2}{2+1}=\frac{9}{3}=3$ 秒

当 $B$ 点在 $C$ 点右边时, 根据题意得:

$$
0+2 t+2=16-t
$$

$t=\frac{(16-0)-2}{2+1}=\frac{14}{3}$ 秒.,

综上所述, $t=3$ 秒或 $t=\frac{14}{3}$ 秒时, $B C=2$.

(2)假设存在点 $P$ 且点 $P$ 的坐标为 $x$,
根据题意得到: $16-3-(x-0)=3(10-x)$

解得: $x=\frac{17}{2}$.
解析：

## 【分析】

本题考查实数与数轴、一元一次方程的应用、分类讨论的思想解题的关键是理解题意, 学会用方程的思想思考问题, 应注意分类讨论点 $C$ 的位置情况.

(1)根据线段的和差定义, 求出线段 $O B 、 O D$ 的长即可解决问题;

(2) 1 分两种情形构建方程即可解决问题;

(2)假设存在点 $P$ 且点 $P$ 的坐标为 $x$, 构建方程即可解决问题.

## 【解答】

解: $(1): C D=2 A B, A B=3$,

$\therefore C D=6$,

$\because A C=8$,

$\therefore A D=16$,

$\therefore$ 点 $D$ 表示的数是 16 .

故答案为 16 .

(2) 1 见答案;

(2) 见答案.
题目（七年级 · 度量几何学）：(本小题8.0分)

如图, 数轴的单位长度是 1 , 请回答下列问题:



(1)如果点 $A, B$ 表示的数互为相反数, 那么点 $D$ 表示的数是多少?

(2)如果点 $B, E$ 表示的数的绝对值相等, 那么点 $A$ 表示的数是多少? 图中的 5 个点, 哪一个点表示的数的绝对值最小?最小的绝对值是多少?
选项：
答案：(1)点 $D$ 表示的数为 -6 .

(2) 点 $A$ 表示的数为 -2 , 点 $C$ 表示的数的绝对值最小, 最小的绝对值是 0 .
解析：略
题目（七年级 · 度量几何学）：(本小题8.0分)

有理数 $a, b, c$ 在数轴上的位置如图所示, 且 $|a|=|b|$, 化简 $|c-a|+|c-b|+|a+b|$.


选项：
答案：解: 由数轴, 得 $b>c>0, a<0$, 又 $|a|=|b|$,

$\therefore c-a>0, c-b<0, a+b=0$.

$|c-a|+|c-b|+|a+b|=c-a+b-c=b-a$.
解析：析】由数轴可知: $b>c>0, a<0$, 再根据有理数的运算法则, 求出绝对值里的式子的正负性, 最后根据绝对值的性质化简.

本题考查数轴, 绝对值, 做这类题的关键是明确绝对值里的数值是正是负, 然后根据绝对值的性质 “正数的绝对值是它本身, 负数的绝对值是它的相反数, 0 的绝对值还是 0 ” 进行化简计算.
题目（七年级 · 度量几何学）：(本小题8.0分)

如图, 已知 $\angle C O B=2 \angle A O C, O D$ 平分 $\angle A O B$, 且 $\angle C O D=20^{\circ}$. 求 $\angle A O B$ 的度数.


选项：
答案：解：设 $\angle A O C=x$, 则 $\angle C O B=2 \angle A O C=2 x$,

所以 $\angle A O B=3 x$,

因为 $O D$ 平分 $\angle A O B$,

所以 $\angle A O D=\angle B O D=\frac{1}{2} \angle A O B=\frac{3}{2} x$,

所以 $\angle C O D=\angle A O D-\angle A O C$,

所以 $\frac{3}{2} x-x=20^{\circ}$, 即 $\frac{1}{2} x=20^{\circ}$,
解得 $x=40^{\circ}$.

所以 $\angle A O B=3 x=3 \times 40^{\circ}=120^{\circ}$.
解析：析】本题主要考查了角平分线的定义，根据等量关系列一元一次方程.
题目（七年级 · 度量几何学）：小题8.0分)

已知: 点 $C$ 在直线 $A B$ 上.



(1)若 $A B=2, A C=3$, 求 $B C$ 的长.

(2) 点 $C$ 在射线 $A B$ 上, 且 $B C=2 A B$, 取 $A C$ 的中点 $D$. 若线段 $B D$ 的长为 1.5 , 求线段 $A B$ 的长(要求:补全图形).
选项：
答案：略
解析：略
题目（七年级 · 度量几何学）：(本小题 8.0 分)

邮递员骑车从邮局出发, 先向南骑行 $3 \mathrm{~km}$ 到达 $A$ 村, 继续向南骑行 $5 \mathrm{~km}$ 到达 $B$ 村, 然后向北骑行 $14 \mathrm{~km}$ 到达 $C$ 村, 最后回到邮局.

(1)以邮局为原点, 以向南方向为正方向, 用 $0.5 \mathrm{~cm}$ 表示 $1 \mathrm{~km}$, 画出数轴, 并在该数轴上表示出 $A, B, C$ 三个村庄的位置;

(2) $C$ 村离 $A$ 村有多远.

(3)邮递员一共骑行了多远.
选项：
答案：解：(1)略.

(2) $C$ 村距离 $A$ 村 $9 \mathrm{~km}$.

(3)邮递员一共骑行了 $28 \mathrm{~km}$.
解析：略
题目（七年级 · 度量几何学）：(本小题 8.0 分)

在数轴上, 点 $A$ 表示的数是 -30 , 点 $B$ 表示的数是 170 .



(1)一只电子青蛙 $M$, 从点 $B$ 出发, 以每秒 4 个单位长度的速度向左运动, 同时另一只电子青蛙 $N$, 从点 $A$ 出发以每秒 6 个单位长度的速度向右运动.假设它们在点 $C$ 处相遇, 求点 $C$ 表示的数. (2)两只电子青蛙在点 $C$ 处相遇后, 继续沿原来的运动方向运动.当电子青蛙 $M$ 到达点 $A$ 时, 问:电子青蛙 $N$ 处在什么位置.

(3)如果电子青蛙 $M$ 从点 $B$ 出发向右运动的同时, 电子青蛙 $N$ 也向右运动. (1)中其他条件不变,假设它们在点 $D$ 相遇, 求点 $D$ 所表示的数.
选项：
解析：略
题目（七年级 · 度量几何学）：小题8.0分)

己知数轴上两点 $A, B$ 对应的数分别为 $-3,5$, 点 $P$ 为数轴上一动点, 其对应的数为 $x$,

(1) 若点 $P$ 是 $A B$ 的中点, 求点 $P$ 对应的数;

(2)若点 $P$ 在线段 $A B$ 上, 且将线段 $A B$ 分成 $1: 4$ 的两部分, 求点 $P$ 对应的数;

(3)数轴上是否存在点 $P$, 使点 $P$ 到点 $A$ 的距离与到点 $B$ 的距离之比为 $1: 3$ ? 若存在, 求出 $x$ 的值; 若不存在, 说明理由.
选项：
答案：略
解析：略
题目（七年级 · 度量几何学）：（2021 秋・肇源县期末）完成下面的证明

如图, 点 $B$ 在 $A G$ 上, $A G / / C D, C F$ 平分 $\angle B C D, \angle A B E=\angle F C B, B E \perp A F$ 点 $E$.

求证: $\angle F=90^{\circ}$.


选项：
答案：证明: $\because A G / / C D$ (已知 ),

$\therefore \angle A B C=\angle B C D($ 两直线平行，内错角相等），

$\because \angle A B E=\angle F C B （$ 已知）,

$\therefore \angle A B C-\angle A B E=\angle B C D-\angle F C B$, 即 $\angle E B C=\angle F C D$,

$\because C F$ 平分 $\angle B C D （$ 已知），

$\therefore \angle B C F=\angle F C D$ (角平分线的定义),

$\therefore \angle E B C=\angle B C F($ 等量代换 $)$,

$\therefore B E / / C F （$ 内错角相等，两直线平行），
$\therefore \angle B E F=\angle F$ (两直线平行, 内错角相等)，

$\because B E \perp A F$ （已知）,

$\therefore \angle B E F=90^{\circ}$ (垂直的定义),

$\therefore \angle F=90^{\circ}$.

故答案为: 两直线平行, 内错角相等; 角平分线的定义; $\angle E B C$; 内错角相等, 两直线平行; $\angle B E F$; 两直线平行, 内错角相等; $\angle B E F ;$ 垂直的定义.
解析：根据平行线的性质得到 $\angle A B C=\angle B C D$, 再根据角平分线的定义进而得到 $\angle E B C=\angle B C F$, 即可判定 $B E / / C F$, 根据平行线的性质得出 $\angle B E F=\angle F$, 再根据垂直的定义即可得解.

【答案】证明: $\because A G / / C D$ (已知 ),

$\therefore \angle A B C=\angle B C D($ 两直线平行，内错角相等），

$\because \angle A B E=\angle F C B （$ 已知）,

$\therefore \angle A B C-\angle A B E=\angle B C D-\angle F C B$, 即 $\angle E B C=\angle F C D$,

$\because C F$ 平分 $\angle B C D （$ 已知），

$\therefore \angle B C F=\angle F C D$ (角平分线的定义),

$\therefore \angle E B C=\angle B C F($ 等量代换 $)$,

$\therefore B E / / C F （$ 内错角相等，两直线平行），
$\therefore \angle B E F=\angle F$ (两直线平行, 内错角相等)，

$\because B E \perp A F$ （已知）,

$\therefore \angle B E F=90^{\circ}$ (垂直的定义),

$\therefore \angle F=90^{\circ}$.

故答案为: 两直线平行, 内错角相等; 角平分线的定义; $\angle E B C$; 内错角相等, 两直线平行; $\angle B E F$; 两直线平行, 内错角相等; $\angle B E F ;$ 垂直的定义.

【点睛】此题考查了平行线的判定与性质, 熟记 “两直线平行, 内错角相等” 及 “内错角相等, 两直线平行” 是解题的关键.
题目（七年级 · 度量几何学）：（2021 春・临邑县期末）如图, 直线 $C B / / O A, \angle C=\angle O A B=100^{\circ}, E 、 F$ 在 $C B$ 上, 且满足 $\angle F O B$
$=\angle A O B, O E$ 平分 $\angle C O F$ (1) 求 $\angle E O B$ 的度数; (2) 若平行移动 $A B$, 那么 $\angle O B C: \angle O F C$ 的值是否随之发生变化? 若变化, 找出变化规律或求出变化范围; 若不变, 求出这个比值. (3) 在平行移动 $A B$ 的过程中, 是否存在某种情况, 使 $\angle O E C=\angle O B A$ ? 若存在, 求出其度数; 若不存在, 说明理由.


选项：
答案：解: (1) $\because C B / / O A, \therefore \angle A O C=180^{\circ}-\angle C=180^{\circ}-100^{\circ}=80^{\circ}$,

$\because O E$ 平分 $\angle C O F, \quad \therefore \angle C O E=\angle E O F$,

$\because \angle F O B=\angle A O B, \quad \therefore \angle E O B=\angle E O F+\angle F O B=\frac{1}{2} \angle A O C=\frac{1}{2} \times 80^{\circ}=40^{\circ}$;

(2) $\because C B / / O A, \therefore \angle A O B=\angle O B C$,

$\because \angle F O B=\angle A O B, \quad \therefore \angle F O B=\angle O B C$,

$\therefore \angle O F C=\angle F O B+\angle O B C=2 \angle O B C$,

$\therefore \angle O B C: \angle O F C=1: 2$, 是定值;

(3) 在 $\triangle C O E$ 和 $\triangle A O B$ 中,

$\because \angle O E C=\angle O B A, \angle C=\angle O A B, \quad \therefore \angle C O E=\angle A O B$,

$\therefore O B 、 O E 、 O F$ 是 $\angle A O C$ 的四等分线,

$\therefore \angle C O E=\frac{1}{4} \angle A O C=\frac{1}{4} \times 80^{\circ}=20^{\circ}$,

$\therefore \angle O E C=180^{\circ}-\angle C-\angle C O E=180^{\circ}-100^{\circ}-20^{\circ}=60^{\circ}$,

故存在某种情况, 使 $\angle O E C=\angle O B A$, 此时 $\angle O E C=\angle O B A=60^{\circ}$.
解析：(1) 根据两直线平行, 同旁内角互补求出 $\angle A O C$, 然后求出 $\angle E O B=\frac{1}{2} \angle A O C$, 计算即可得解; (2) 根据两直线平行, 内错角相等可得 $\angle A O B=\angle O B C$, 再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得 $\angle O F C=2 \angle O B C$, 从而得解; (3) 根据三角形的内角和定理求出 $\angle C O E=\angle A O B$, 从而得到 $O B 、 O E 、 O F$ 是 $\angle A O C$ 的四等分线, 再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解.

【答案】解: (1) $\because C B / / O A, \therefore \angle A O C=180^{\circ}-\angle C=180^{\circ}-100^{\circ}=80^{\circ}$,

$\because O E$ 平分 $\angle C O F, \quad \therefore \angle C O E=\angle E O F$,

$\because \angle F O B=\angle A O B, \quad \therefore \angle E O B=\angle E O F+\angle F O B=\frac{1}{2} \angle A O C=\frac{1}{2} \times 80^{\circ}=40^{\circ}$;

(2) $\because C B / / O A, \therefore \angle A O B=\angle O B C$,

$\because \angle F O B=\angle A O B, \quad \therefore \angle F O B=\angle O B C$,

$\therefore \angle O F C=\angle F O B+\angle O B C=2 \angle O B C$,

$\therefore \angle O B C: \angle O F C=1: 2$, 是定值;

(3) 在 $\triangle C O E$ 和 $\triangle A O B$ 中,

$\because \angle O E C=\angle O B A, \angle C=\angle O A B, \quad \therefore \angle C O E=\angle A O B$,

$\therefore O B 、 O E 、 O F$ 是 $\angle A O C$ 的四等分线,

$\therefore \angle C O E=\frac{1}{4} \angle A O C=\frac{1}{4} \times 80^{\circ}=20^{\circ}$,

$\therefore \angle O E C=180^{\circ}-\angle C-\angle C O E=180^{\circ}-100^{\circ}-20^{\circ}=60^{\circ}$,

故存在某种情况, 使 $\angle O E C=\angle O B A$, 此时 $\angle O E C=\angle O B A=60^{\circ}$.

【点睛】本题考查了平行线的性质, 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质, 角平分线的定义, 熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键.
题目（七年级 · 度量几何学）：（2021 春・济宁期末）我们已经学过了对顶角、邻补角、同位角等, 知道了它们的特征. 现在若有两个角, 它们不是同一个顶点, 但这两角的两边相互平行, 我们就把满足这个条件的两个角称作 “平行角”. 如图 1, 已知 $A B / / C D, A D / / B C$, 因此 $\angle B$ 和 $\angle D$ 是 “平行角”.



图1图2



图3

(1) 图 1 中, 证明 $\angle B=\angle D$;

(2) 如图 2, 延长 $D C$ 到 $E$, 可知 $\angle A$ 和 $\angle B C E$ 也是 “平行角” , 判断它们的数量关系;

（3）如图 3, $D E$ 平分 $\angle A D C, B F$ 平分 $\angle A B C$, 请说明图中的 $\angle 1$ 和 $\angle 2$ 是 “平行角”.
选项：
答案：(1) 证明: $\because A B / / C D, A D / / B C$,

$\therefore \angle D+\angle A=180^{\circ}, \angle B+\angle A=180^{\circ} . \therefore \angle B=\angle D$.

(2) 解: 由 (1) 知 $\angle B=\angle D$, 同理可得, $\angle A=\angle B C D$.

$\because \angle B C D+\angle B C E=180^{\circ}, \therefore \angle A+\angle B C E=180^{\circ}$ 。即 $\angle A$ 和 $\angle B C E$ 互补.

(3) 证明: $\because \angle B$ 和 $\angle D$ 是 “平行角”, $\therefore \angle A B C=\angle A D C$.

$\because D E$ 平分 $\angle A D C, B F$ 平分 $\angle A B C$

$\therefore \angle 1=\frac{1}{2} \angle A D C, \quad \angle 2=\frac{1}{2} \angle A B C . \quad \therefore \angle 1=\angle 2$.

又 $\because A B / / D C, \therefore \angle 2=\angle B F C$.

$\therefore \angle 1=\angle B F C . \quad \therefore D E / / B F$.

$\therefore \angle 1$ 和 $\angle 2$ 是 “平行角”.
<ImageHere>
解析：（1）（2）利用平行线的性质，推理得结论;

(3) 要说明 $\angle 1$ 和 $\angle 2$ 是 “平行角”, 需说明 $D E / / B F$, 可利用角平分线的性质和平行线的性质和判定.

【答案】 (1) 证明: $\because A B / / C D, A D / / B C$,

$\therefore \angle D+\angle A=180^{\circ}, \angle B+\angle A=180^{\circ} . \therefore \angle B=\angle D$.

(2) 解: 由 (1) 知 $\angle B=\angle D$, 同理可得, $\angle A=\angle B C D$.

$\because \angle B C D+\angle B C E=180^{\circ}, \therefore \angle A+\angle B C E=180^{\circ}$ 。即 $\angle A$ 和 $\angle B C E$ 互补.

(3) 证明: $\because \angle B$ 和 $\angle D$ 是 “平行角”, $\therefore \angle A B C=\angle A D C$.

$\because D E$ 平分 $\angle A D C, B F$ 平分 $\angle A B C$

$\therefore \angle 1=\frac{1}{2} \angle A D C, \quad \angle 2=\frac{1}{2} \angle A B C . \quad \therefore \angle 1=\angle 2$.

又 $\because A B / / D C, \therefore \angle 2=\angle B F C$.

$\therefore \angle 1=\angle B F C . \quad \therefore D E / / B F$.

$\therefore \angle 1$ 和 $\angle 2$ 是 “平行角”.


【点睛】本题考查了平行线的性质和判定, 理解 “平行角” 是解决本题的关键. “平行角” 的性质: 两个 “平行角” 不是相等就是互补.
题目（七年级 · 度量几何学）：如图, 已知 $A B / / C D, \angle 1=\angle 2$, 求证: $\angle E=\angle F$.


选项：
答案：证明: 延长 $D E$ 交 $A B$ 于点 $M$,

<ImageHere>

$\because A B / / C D$,
$\therefore \angle B M D=\angle 2$,

$\because \angle 1=\angle 2$,

$\therefore \angle B M D=\angle 1$,

$\therefore D M / / F N$,

$\therefore \angle D E F=\angle F$.

【解析】此题考查平行线的判定与性质，解答此题的关键是根据题意做出辅助线一一过 “拐点” 作平行线. 首先延长 $D E$ 交 $A B$ 于点 $M$, 根据平行线的性质证得 $\angle B M D=\angle 2$, 结合已知条件等量代换证得 $\angle B M D=\angle 1$, 然后根据平行线的判定定理证得 $D M / / F N$, 最后根据平行线的性质：两直线平行, 内错角相等即可求解.
解析：答案】证明: 延长 $D E$ 交 $A B$ 于点 $M$,



$\because A B / / C D$,
$\therefore \angle B M D=\angle 2$,

$\because \angle 1=\angle 2$,

$\therefore \angle B M D=\angle 1$,

$\therefore D M / / F N$,

$\therefore \angle D E F=\angle F$.

【解析】此题考查平行线的判定与性质，解答此题的关键是根据题意做出辅助线一一过 “拐点” 作平行线. 首先延长 $D E$ 交 $A B$ 于点 $M$, 根据平行线的性质证得 $\angle B M D=\angle 2$, 结合已知条件等量代换证得 $\angle B M D=\angle 1$, 然后根据平行线的判定定理证得 $D M / / F N$, 最后根据平行线的性质：两直线平行, 内错角相等即可求解.
题目（七年级 · 度量几何学）：如图, $\angle 1=\angle A, \angle 2+\angle 3=180^{\circ}$,



(1) 试判断 $C F$ 与 $D E$ 的位置关系, 并说明理由.

(2) 若 $D E \perp A B, C F=8, A F=6, A C=10$. 试求出点 $F$ 到 $A C$ 的距离.
选项：
答案：(1) $C F$ 与 $D E$ 的位置关系为平行, 理由是:

$\because \angle 1=\angle A$,

$\therefore F G \| A C, \quad \therefore \angle 2=\angle A C F$,

又 $\because \angle 2+\angle 3=180^{\circ}$,

$\therefore \angle A C F+\angle 3=180^{\circ}$,

(2) 过 $F$ 作 $F M \perp A C$ ，如图,

$D E \| C F$,

<ImageHere>

```
\therefore\angleAFC=90,
\becauseCF=8, AF=6, AC=10,
\becauseSAAFC=\frac{1}{2}AF\timesFC=\frac{1}{2}\times6\times8=24,

```

<ImageHere>

```
:\frac{1}{2}AC\timesFM=24,

```

<ImageHere>

```

```

<ImageHere>
解析：(1) $C F$ 与 $D E$ 的位置关系为平行, 理由是:

$\because \angle 1=\angle A$,

$\therefore F G \| A C, \quad \therefore \angle 2=\angle A C F$,

又 $\because \angle 2+\angle 3=180^{\circ}$,

$\therefore \angle A C F+\angle 3=180^{\circ}$,

(2) 过 $F$ 作 $F M \perp A C$ ，如图,

$D E \| C F$,



```
\therefore\angleAFC=90,
\becauseCF=8, AF=6, AC=10,
\becauseSAAFC=\frac{1}{2}AF\timesFC=\frac{1}{2}\times6\times8=24,

```



```
:\frac{1}{2}AC\timesFM=24,

```



```

```
题目（七年级 · 度量几何学）：: 如图所示, 直线 $M N / / G H$, 另一直线交 $G H$ 于 $A$, 交 $M N$ 于 $B$, 且 $\angle M B A=80^{\circ}$, 点 $C$ 为直线 $G H$ 上一动点, 点 $D$ 为直线 $M N$ 上一动点, 且 $\angle G C D=50^{\circ}$.



图1



图2



备用图

(1)如图 1, 当点 $C$ 在点 $A$ 右边且点 $D$ 在点 $B$ 左边时, $\angle D B A$ 的平分线交 $\angle D C A$ 的平分线于点 $P$,求 $\angle B P C$ 的度数;

(2)如图 2, 当点 $C$ 在点 $A$ 右边且点 $D$ 在点 $B$ 右边时, $\angle D B A$ 的平分线交 $\angle D C A$ 的平分线于点 $P$,求 $\angle B P C$ 的度数;

(3) 当点 $C$ 在点 $A$ 左边且点 $D$ 在点 $B$ 左边时, $\angle D B A$ 的平分线交 $\angle D C A$ 的平分线所在直线交于点 $P$,请直接写出 $\angle B P C$ 的度数, 不说明理由.
选项：
答案：(1)如图 1 , 过点 $P$ 作 $P E / / M N$.

$\because P B$ 平分 $\angle D B A$.

$\therefore \angle B P E=\frac{1}{2} \angle D B A=40^{\circ}$.

$\therefore \angle B P E=\angle D B P=40^{\circ}$ (两直线平行, 内错角相等).

同理可证. $\angle C P E=\angle P C A=\frac{1}{2} \angle D C A=25^{\circ}$.

<ImageHere>

图1

$\therefore \angle B P C=40^{\circ}+25^{\circ}=65^{\circ}$.

(2)如图 2, 过点 $P$ 作 $P E / / M N$.

$\because \angle M B A=80^{\circ}$.

$\therefore \angle D B A=180^{\circ}-80^{\circ}=100^{\circ}$.

$\because B P$ 平分 $\angle D B A$.

$\therefore \angle D B P=\frac{1}{2} \angle D B A=50^{\circ}$.

<ImageHere>

图2

$\because M N / / P E$,

$\therefore \angle B P E=180^{\circ}-\angle D B P=130^{\circ}$ (两直线平行, 同旁内角互补).

$\because P C$ 平分 $\angle D C A$.

$\therefore \angle P C A=\angle C P E=\frac{1}{2} \angle D C A=25^{\circ}$ (两直线平行, 内错角相等).
$\therefore \angle B P C=130^{\circ}+25^{\circ}=155^{\circ}$.

(3)如图 3, 过点 $P$ 作 $P E / / M N$.

$\because B P$ 平分 $\angle D B A$.

$\therefore \angle D B P=40^{\circ}=\angle B P E$ (两直线平行等, 内错角相等).

$\therefore C P$ 平分 $\angle D C A . \angle D C A=180^{\circ}-\angle D C G=130^{\circ}$.

$\therefore \angle P C A=\frac{1}{2} \angle D C A=65^{\circ}$.

$\therefore \angle C P E=180^{\circ}-\angle P C A=150^{\circ}$ (两直线平行, 同旁内角互补).

$\therefore \angle B P C=40^{\circ}+115^{\circ}=155^{\circ}$
解析：(1)如图 1 , 过点 $P$ 作 $P E / / M N$.

$\because P B$ 平分 $\angle D B A$.

$\therefore \angle B P E=\frac{1}{2} \angle D B A=40^{\circ}$.

$\therefore \angle B P E=\angle D B P=40^{\circ}$ (两直线平行, 内错角相等).

同理可证. $\angle C P E=\angle P C A=\frac{1}{2} \angle D C A=25^{\circ}$.



图1

$\therefore \angle B P C=40^{\circ}+25^{\circ}=65^{\circ}$.

(2)如图 2, 过点 $P$ 作 $P E / / M N$.

$\because \angle M B A=80^{\circ}$.

$\therefore \angle D B A=180^{\circ}-80^{\circ}=100^{\circ}$.

$\because B P$ 平分 $\angle D B A$.

$\therefore \angle D B P=\frac{1}{2} \angle D B A=50^{\circ}$.



图2

$\because M N / / P E$,

$\therefore \angle B P E=180^{\circ}-\angle D B P=130^{\circ}$ (两直线平行, 同旁内角互补).

$\because P C$ 平分 $\angle D C A$.

$\therefore \angle P C A=\angle C P E=\frac{1}{2} \angle D C A=25^{\circ}$ (两直线平行, 内错角相等).
$\therefore \angle B P C=130^{\circ}+25^{\circ}=155^{\circ}$.

(3)如图 3, 过点 $P$ 作 $P E / / M N$.

$\because B P$ 平分 $\angle D B A$.

$\therefore \angle D B P=40^{\circ}=\angle B P E$ (两直线平行等, 内错角相等).

$\therefore C P$ 平分 $\angle D C A . \angle D C A=180^{\circ}-\angle D C G=130^{\circ}$.

$\therefore \angle P C A=\frac{1}{2} \angle D C A=65^{\circ}$.

$\therefore \angle C P E=180^{\circ}-\angle P C A=150^{\circ}$ (两直线平行, 同旁内角互补).

$\therefore \angle B P C=40^{\circ}+115^{\circ}=155^{\circ}$
题目（七年级 · 度量几何学）：（2021 秋-南安市期中）数学活动课上, 老师准备了若干个如图 1 的三种纸片, $A$ 种纸片是边长为 $a$ 的正方形, $B$ 种纸片是边长为 $b$ 的正方形, $C$ 种纸片是长为 $b$, 宽为 $a$ 的长方形. 并用 $A$ 种纸片一张, $B$ 种纸片一张, $C$ 种纸片两张拼成如图 2 的大正方形. 利用图 2 正方形面积的不同表示方法,
可以验证公式: $(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$. (1) 类似的, 请你用图 1 中的三种纸片拼一个图形验证: $(a+b)$ $(a+2 b)=a^{2}+3 a b+2 b^{2}$, 请画出图形. (2) 已知: $a+b=5, a^{2}+b^{2}=13$, 求 $a b$ 的值; (3) 已知 (2021 $-a)^{2}+(a-2020)^{2}=4043$, 求 $(2021-a)(a-2020)$ 的值; (4) 已知 $(a-2020)^{2}+(a-2022)$ ${ }^{2}=64$, 求 $(a-2021)^{2}$ 的值.


图1


图2
选项：
答案：解: (1) 如图, 可以验证: $(a+b)(a+2 b)=a^{2}+3 a b+2 b^{2}$;

<ImageHere>

(2) $\because(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2 a b \quad \therefore 2 a b=(a+b)^{2}-\left(a^{2}+b^{2}\right), \quad \therefore a b=\frac{(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{2}-\left(\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}\right)}{2}=$,又 $\because a+b=5, a^{2}+b^{2}=13, \therefore a b=\frac{5^{2}-13}{2}=6$;

(3) 设 $2021-a=x, a-2020=y$, 则 $x+y=1$,

$\because(2021-a)^{2}+(a-2020)^{2}=4043, \quad \therefore x^{2}+y^{2}=4043$,

$\because(x+y)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2}, \quad \therefore x y=\frac{(x+y)^{2}-\left(x^{2}+y^{2}\right)}{2}=\frac{1-4043}{2}=-2021$,

即 $(2021-a)(a-2020)=x y=-2021$;

(4) 设 $a-2020=x, a-2022=y$, 则 $x-y=2$,

$\because(a-2020)^{2}+(a-2022)^{2}=64, \quad \therefore x^{2}+y^{2}=64$,

$\because(x-y)^{2}=x^{2}-2 x y+y^{2}, \quad \therefore \mathrm{xy}=\frac{\left(\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}\right)-(\mathrm{x}-\mathrm{y})^{2}}{2}=\frac{64-2^{2}}{2}=30$

$\because x-y=2$,
$\therefore(a-2021)^{2}=(a-2021)(a-2021)=(x-1)(y+1)=x y+x-y-1=30+2-1=31$.
解析：（1）结合算式拼图即可;

(2) 由 $(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$ 可推导出 $a b=\frac{(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{2}-\left(\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}\right)}{2}$ 进行计算即可;

(3) 由 $a b=\frac{(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{2}-\left(\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}\right)}{2}$ 代入计算即可;

(4) 设 $a-2020=x, a-2022=y$, 则 $x-y=2$, 由 $(x-y)^{2}=x^{2}-2 x y+y^{2}$, 可推得 $x y=$ $\frac{\left(x^{2}+y^{2}\right)-(x-y)^{2}}{2}$, 代入即可计算出结果为 31 .

【答案】 解: (1) 如图, 可以验证: $(a+b)(a+2 b)=a^{2}+3 a b+2 b^{2}$;



(2) $\because(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2 a b \quad \therefore 2 a b=(a+b)^{2}-\left(a^{2}+b^{2}\right), \quad \therefore a b=\frac{(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{2}-\left(\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}\right)}{2}=$,又 $\because a+b=5, a^{2}+b^{2}=13, \therefore a b=\frac{5^{2}-13}{2}=6$;

(3) 设 $2021-a=x, a-2020=y$, 则 $x+y=1$,

$\because(2021-a)^{2}+(a-2020)^{2}=4043, \quad \therefore x^{2}+y^{2}=4043$,

$\because(x+y)^{2}=x^{2}+2 x y+y^{2}, \quad \therefore x y=\frac{(x+y)^{2}-\left(x^{2}+y^{2}\right)}{2}=\frac{1-4043}{2}=-2021$,

即 $(2021-a)(a-2020)=x y=-2021$;

(4) 设 $a-2020=x, a-2022=y$, 则 $x-y=2$,

$\because(a-2020)^{2}+(a-2022)^{2}=64, \quad \therefore x^{2}+y^{2}=64$,

$\because(x-y)^{2}=x^{2}-2 x y+y^{2}, \quad \therefore \mathrm{xy}=\frac{\left(\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}\right)-(\mathrm{x}-\mathrm{y})^{2}}{2}=\frac{64-2^{2}}{2}=30$

$\because x-y=2$,
$\therefore(a-2021)^{2}=(a-2021)(a-2021)=(x-1)(y+1)=x y+x-y-1=30+2-1=31$.

【点睛】此题考查了利用完全平方公式的几何背景解决整式计算的能力, 关键是能利用几何图形列出、推理整式并进行运算.