题目（九年级 · 解析几何）：(本小题 8.0 分)

如图, 以线段 $A B$ 为直径作 $\odot O$, 交射线 $A C$ 于点 $C, A D$ 平分 $\angle C A B$ 交 $\odot O$ 于点 $D$, 过点 $D$ 作直线 $D E \perp A C$ 于点 $E$, 交 $A B$ 的延长线于点 $F$. 连接 $B D$ 并延长交 $A C$ 于点 $M$.

(1)求证: 直线 $D E$ 是 $\odot O$ 的切线;

(2)求证: $A B=A M$ ；

(3)若 $M E=1, \angle F=30^{\circ}$, 求 $B F$ 的长.


选项：
答案：(1)证明: 连接 $O D$, 则 $O D=O A$,

$\therefore \angle O D A=\angle O A D$,

$\because A D$ 平分 $\angle C A B$,

$\therefore \angle O A D=\angle D A C$,

$\therefore \angle O D A=\angle D A C$

$\therefore O D / / A C$,

$\because D E \perp A C$,

$\therefore \angle O D F=\angle A E D=90^{\circ}$,

<ImageHere>
$\because O D$ 是 $\odot O$ 的半径, 且 $D E \perp O D$,

$\therefore$ 直线 $D E$ 是 $\odot O$ 的切线.

(2)证明: :线段 $A B$ 是 $\odot O$ 的直径,

$\therefore \angle A D B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A D M=180^{\circ}-\angle A D B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle M+\angle D A M=90^{\circ}, \angle A B M+\angle D A B=90^{\circ}$,

$\because \angle D A M=\angle D A B$,

$\therefore \angle M=\angle A B M$,

$\therefore A B=A M$.

(3)解: $\because \angle A E F=90^{\circ}, \angle F=30^{\circ}$,

$\therefore \angle B A M=60^{\circ}$,

$\therefore \triangle A B M$ 是等边三角形,

$\therefore \angle M=60^{\circ}$,

$\because \angle D E M=90^{\circ}, M E=1$,

$\therefore \angle E D M=30^{\circ}$,

$\therefore M D=2 M E=2$,

$\therefore B D=M D=2$,

$\because \angle B D F=\angle E D M=30^{\circ}$,

$\therefore \angle B D F=\angle F$,

$\therefore B F=B D=2$.

【解析】(1)连接 $O D$, 由 $\angle O D A=\angle O A D=\angle D A C$ 证明 $O D / / A C$, 得 $\angle O D F=\angle A E D=90^{\circ}$, 即可证明直线 $D E$ 是 $\odot O$ 的切线;

(2) 由线段 $A B$ 是 $\odot O$ 的直径证明 $\angle A D B=90^{\circ}$, 再根据等角的余角相等证明 $\angle M=\angle A B M$, 则 $A B=$ $A M ;$

(3)) 由 $\angle A E F=90^{\circ}, \angle F=30^{\circ}$ 证明 $\angle B A M=60^{\circ}$, 则 $\triangle A B M$ 是等边三角形, 所以 $\angle M=60^{\circ}$, 则 $\angle E D M=30^{\circ}$, 所以 $B D=M D=2 M E=2$, 再证明 $\angle B D F=\angle F$, 得 $B F=B D=2$.

此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中 $30^{\circ}$ 角所对的直角边等于斜边的一半等知识, 正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.
解析：(1)证明: 连接 $O D$, 则 $O D=O A$,

$\therefore \angle O D A=\angle O A D$,

$\because A D$ 平分 $\angle C A B$,

$\therefore \angle O A D=\angle D A C$,

$\therefore \angle O D A=\angle D A C$

$\therefore O D / / A C$,

$\because D E \perp A C$,

$\therefore \angle O D F=\angle A E D=90^{\circ}$,


$\because O D$ 是 $\odot O$ 的半径, 且 $D E \perp O D$,

$\therefore$ 直线 $D E$ 是 $\odot O$ 的切线.

(2)证明: :线段 $A B$ 是 $\odot O$ 的直径,

$\therefore \angle A D B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A D M=180^{\circ}-\angle A D B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle M+\angle D A M=90^{\circ}, \angle A B M+\angle D A B=90^{\circ}$,

$\because \angle D A M=\angle D A B$,

$\therefore \angle M=\angle A B M$,

$\therefore A B=A M$.

(3)解: $\because \angle A E F=90^{\circ}, \angle F=30^{\circ}$,

$\therefore \angle B A M=60^{\circ}$,

$\therefore \triangle A B M$ 是等边三角形,

$\therefore \angle M=60^{\circ}$,

$\because \angle D E M=90^{\circ}, M E=1$,

$\therefore \angle E D M=30^{\circ}$,

$\therefore M D=2 M E=2$,

$\therefore B D=M D=2$,

$\because \angle B D F=\angle E D M=30^{\circ}$,

$\therefore \angle B D F=\angle F$,

$\therefore B F=B D=2$.

【解析】(1)连接 $O D$, 由 $\angle O D A=\angle O A D=\angle D A C$ 证明 $O D / / A C$, 得 $\angle O D F=\angle A E D=90^{\circ}$, 即可证明直线 $D E$ 是 $\odot O$ 的切线;

(2) 由线段 $A B$ 是 $\odot O$ 的直径证明 $\angle A D B=90^{\circ}$, 再根据等角的余角相等证明 $\angle M=\angle A B M$, 则 $A B=$ $A M ;$

(3)) 由 $\angle A E F=90^{\circ}, \angle F=30^{\circ}$ 证明 $\angle B A M=60^{\circ}$, 则 $\triangle A B M$ 是等边三角形, 所以 $\angle M=60^{\circ}$, 则 $\angle E D M=30^{\circ}$, 所以 $B D=M D=2 M E=2$, 再证明 $\angle B D F=\angle F$, 得 $B F=B D=2$.

此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中 $30^{\circ}$ 角所对的直角边等于斜边的一半等知识, 正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.