eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高三 · 计数）：假设有两个分类变量 $X$ 和 $Y$ 的 $2 \times 2$ 列联表为:

| $X \quad Y$ | $y_{1}$ | $y_{2}$ | 总计 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $x_{1}$ | 5 | $b$ | $5+b$ |
| $x_{2}$ | 15 | $d$ | $15+d$ |
| 总计 | 20 | 40 | 60 |

对同一样本，以下数据能说明 $X$ 与 $Y$ 有关系的可能性最大的一组为（）
参考公式: $K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$, 其中 $n=a+b+c+d$.
选项：
A. $b=5, d=35$
B. $b=15, d=25$
C. $b=20, d=20$
D. $b=30, d=10$
答案：D
解析：答案:D

【解析】选项 A: $K_{1}^{2}=\frac{60 \times(5 \times 35-15 \times 5)^{2}}{20 \times 40 \times 10 \times 50}=\frac{3}{2}$;

选项 B: $K_{2}^{2}=\frac{60 \times(5 \times 25-15 \times 15)^{2}}{20 \times 40 \times 20 \times 40}=\frac{15}{16}$;
选项 C： $K_{3}^{2}=\frac{60 \times(5 \times 20-15 \times 20)^{2}}{20 \times 40 \times 25 \times 35}=\frac{24}{7} ；$

选项 D: $K_{4}^{2}=\frac{60 \times(5 \times 10-15 \times 30)^{2}}{20 \times 40 \times 35 \times 25}=\frac{96}{7}$ ，

可得 $K_{4}^{2}>K_{3}^{2}>K_{1}^{2}>K_{2}^{2}$,

所以由选项 $\mathrm{D}$ 中的数据得到的 $Z^{2}$ 值最大, 说明 $X$ 与 $Y$ 有关系的可能性最大,

故选 D.
题目（高三 · 计数）：以模型 $y=c e^{6 x}$ 去拟合一组数据时, 为了求出回归方程, 设 $z=\ln y$, 其变换后得到线性回归方程 $z=0.5 x+3$, 则 $c=(\quad)$
选项：
A. 3
B. $e^{3}$
C.
答案：B
解析：答案:B

【解析】因为 $z=
题目（高三 · 计数）：4. 某村庄对该村内 50 名老年人、年轻人每年是否体检的情况进行了调查, 统计数据如表所示:

|  | 每年体检 | 每年未体检 | 合计 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 老年人 | $a$ | 7 | $c$ |
| 年轻人 | 6 | $b$ | $d$ |
| 合计 | $e$ | $f$ | 50 |

已知抽取的老年人、年轻人各 25 名, 则对列联表数据的分析错误的是 ( )
选项：
A. $a=18$
B. $b=19$
C. $c+d=50$
D. $e-f=2$
答案：D
解析：由题意得, $a+7=c=25,6+b=d=25, a+6=e, 7+b=f, e+f=50$,所以 $a=18, b=19, c+d=50, e=24, f=26$, 则 $e-f=-2$,故选 D.
题目（高三 · 计数）：下图是相关变量 $x, y$ 的散点图, 现对这两个变量进行线性相关分析, 方案一:根据图中所有数据, 得到线性回归方程 $\hat{y}=b_{1} x+a_{1}$, 相关系数为 $r_{1}$; 方案二: 剔除点 $(10,32)$, 根据剩下数据, 得到线性回归方程 $\hat{y}=b_{2} x+a_{2}$, 相关系数为 $r_{2}$,则 ( )
选项：
A. $0<r_{1}<r_{2}<1$B. $0<r_{2}<r_{1}<1$C. $-1<r_{1}<r_{2}<0$D. $-1<r_{2}<r_{1}<0$
答案：A
解析：由散点图分布图可知, 变量 $x$ 和 $y$ 成正相关，所以 $0<r_{1}<1,0<r_{2}<1$,在剔除点 $(10,32)$ 之后, 且可看出回归直线 $\hat{y}=b_{2} x+a_{2}$ 的线性相关程度更强, $r_{2}$ 更接近 1.所以 $0<r_{1}<r_{2}<1$, 故选 A.
题目（高三 · 计数）：某种产品的广告费支出 $x$ 与销售额 $y$ (单位: 万元) 之间有如表关系, $y$ 与 $x$的线性回归方程为 $\hat{y}=6.5 x+17.5$, 当广告支出 5 万元时, 随机误差的效应（残差) 为 ( )

| $x$ | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $y$ | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |

$\begin{array}{llll}\text {
选项：
A. } 10 & \text { B. } 20 & \text { C. } 30 & \text { D. } 40\end{array}$
答案：A
解析：因为 $y$ 与 $x$ 的线性回归方程为 $	ilde{y}=6.5 x+17.5$,所以当 $x=5$ 时, $\hat{y}=6.5 	imes 5+17.5=50$,由表格当广告支出 5 万元时, 销售额为 60 万元, 所以随机误差的效应 (残差) 为 $60-50=10$, 故选 A.
题目（高三 · 计数）：某商场为了了解毛衣的月销售量 $y$ (件) 与月平均气温 $x$ ("C) 之间的关系,随机统计了某 4 个月的月销售量与当月平均气温, 其数据如下表:

| 月平均气温 $x(\mathrm{C})$ | 17 | 13 | 8 | 2 |
| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 月销售量 $y$ (件) | 24 | 33 | 40 | 55 |

由表中数据算出线性回归方程 $\$=\$ x+$ 中的 $=-2$, 气象部门预测下个月的平均气温为 $6^{\circ} \mathrm{C}$, 据此估计该商场下个月毛衣销售量约为 ( )
选项：
A. 58 件B. 40 件C. 38 件D. 46 件
答案：D
解析：由表格得 $(ar{x}, ar{y})$ 为 $(10,38)$,因为 $(ar{x}, ar{y})$ 在回归方程 $\$=\$ x+$ 上且 $\$=-2$,$38=10 	imes(-2)+a$, 解得 $a=58$,$	herefore \hat{y}=-2 x+58$当 $x=6$ 时, $\hat{y}=-2 	imes 6+58=46$, 故选 D
题目（高三 · 计数）：观察下列式子: $1+\frac{1}{2^{2}}<\frac{3}{2}, 1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}<\frac{5}{3}, 1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}<\frac{7}{4}, \ldots$, 则可归纳出 $1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{(n+1)^{2}}$ 小于（）
选项：
A. $\frac{n}{n+1}$
B. $\frac{2 n-1}{n+1}$
C. $\frac{2 n+1}{n+1}$
D. $\frac{2 n}{n+1}$
答案：C
解析：由已知式子可知所猜测分式的分母为 $n+1$, 分子第 $n+1$ 个正奇数,即 $2 n+1$,$	herefore 1+rac{1}{2^{2}}+rac{1}{3^{2}}+\cdots+rac{1}{(n+1)^{2}}<rac{2 n+1}{n+1}$, 故选 C.
题目（高三 · 计数）：下列关于回归分析的说法中错误的是 ( )
选项：
A. 回归直线一定过样本中心 $(\bar{x}, \bar{y})$

B. 残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中, 说明选用的模型比较合适

C. 甲、乙两个模型的 $R^{2}$ 分别约为
答案：C
解析：对于 $\mathrm{A}$ 选项, 回归直线一定过样本中心 $(ar{x}, ar{y})$, $\mathrm{A}$ 选项正确;对于 B 选项, 残差图中残差点比较均匀地落在水平的带状区域中, 说明选用的模型比较合适, B 选项正确;对于 $\mathrm{C}$ 选项, 甲、乙两个模型的 $R^{2}$ 分别约为 0.98 和 0.80 , 则模型甲的拟合效果更好, $\mathrm{C}$ 选项错误;对于 D 选项，两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，D 选项正确,故选 C.
题目（高三 · 计数）：假设有两个变量 $x$ 与 $y$ 的 $2 \times 2$ 列联表如下表:



| $x_{1}$ | $a$ | $b$ |
| :--- | :--- | :--- |
| $x_{2}$ | $c$ | $d$ |

对于以下数据, 对同一样本能说明 $x$ 与 $y$ 有关系的可能性最大的一组为 ( )
选项：
A. $a=2, b=3, c=4, d=5$ B. $a=5, b=3, c=3, d=4$

C. $a=3, b=6, c=2, d=5$ D. $a=5, b=3, c=4, d=3$
答案：B
解析：根据观测值求解的公式可以知道,当 $a d$ 与 $b c$ 差距越大，两个变量有关的可能性就越大，检验四个选项中所给的 $a d$ 与 $b c$ 的差距:A: $a d-b c=10-12=-2$;B: $a d-b c=20-9=11$$\mathrm{C}: a d-b c=15-12=3$D: $a d-b c=15-12=3$,显然 $\mathrm{B}$ 中 $|a d-b c|$ 最大, 故答案为 $\mathrm{B}$.
题目（高三 · 计数）：2020 年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行. 下图是该地某小区 2019 年11月至2020 年11月间，当月在售二手房均价 (单位: 万元/平方米) 的散点图. (图中月份代码1 13 分别对应 2019 年11月 2020年11月)



根据散点图选择 $y=a+b \sqrt{x}$ 和 $y=c+d \ln x$ 两个模型进行拟合, 经过数据处理得到的两个回归方程分别为 $\hat{y}=0.9369+0.0285 \sqrt{x}$ 和

$\hat{y}=0.9554+0.0306 \ln x$, 并得到以下一些统计量的值:

|  | $\hat{y}=0.9369+0.0285 \sqrt{x}$ | $\hat{y}=0.9554+0.0306 \ln x$ |
| :---: | :---: | :---: |
| $R^{2}$ | 0.923 | 0.973 |

注: $\bar{x}$ 是样本数据中 $x$ 的平均数, $\bar{y}$ 是样本数据中 $y$ 的平均数, 则下列说法不一定成立的是 ( )
选项：
A. 当月在售二手房均价 $y$ 与月份代码 $x$ 呈正相关关系
B. 根据 $\hat{y}=
答案：C
解析：】对于 $\mathrm{A}$, 散点从左下到右上分布, 所以当月在售二手房均价 $y$ 与月份代码 $x$ 呈正相关关系, 故 A 正确;对于 $\mathrm{B}$, 令 $x=16$, 由 $\hat{y}=0.9369+0.0285 \sqrt{16}=1.0509$ ，所以可以预测 2021 年 2 月在售二手房均价约为 1.0509 万元/平方米, 故 B 正确;对于 $\mathrm{C}$, 非线性回归曲线不一定经过 $(ar{x}, ar{y})$, 故 C 错误;对于 $\mathrm{D} ， R^{2}$ 越大，拟合效果越好，故 $\mathrm{D}$ 正确,故选 C.
题目（高三 · 计数）：已知变量 $y$ 关于变量 $x$ 的回归方程为 $\hat{y}=e^{3 x-0.5}$, 其一组数据如下表所示:

| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $y$ | $e$ | $e^{3}$ | $e^{4}$ | $e^{6}$ |

若 $\hat{y}=e^{9.1}$, 则 $x=(\quad)$
选项：
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
答案：B
解析：由 $\hat{y}=e^{b x-0.5}$, 得 $\ln \hat{y}=b x-0.5$, 令 $z=\ln y$, 则 $\hat{z}=b x-0.5$,由题意, $ar{x}=rac{1+2+3+4}{4}=2.5, ar{z}=rac{1+3+4+6}{4}=3.5$,因为 $(ar{x}, ar{z})$ 满足 $\hat{z}=b x-0.5$.所以 $3.5=b 	imes 2.5-0.5$, 解得 $b=1.6$,所以 $\hat{z}=1.6 x-0.5$,所以 $\hat{y}=e^{1.6 x-0.5}$, 令 $e^{1.6 x-0.5}=e^{9.1}$, 解得 $x=6$.故选 B.
题目（高三 · 计数）：在一组样本数据为 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \cdots,\left(x_{n}, y_{n}\right)\left(n \geq 2, x_{1}, x_{2}, x_{3}\right.$,

$\cdots, x_{n}$ 不全相等 $)$ 的散点图中, 若所有样本点 $\left(x_{i}, y_{i}\right)(i=1,2, \cdots, n)$ 都在直线

$y=-\frac{1}{3} x+2$ 上, 则这组样本数据的相关系数为 ( )
选项：
A. $-\frac{1}{3}$ B. $\frac{1}{3}$
C. 1
D. -1
答案：D
解析：根据回归直线方程是 $y=-rac{1}{3} x+2$,可得这两个变量是负相关, 故这组样本数据的样本相关系数为负值,且所有样本点 $\left(x_{i}, y_{i}ight)(i=1,2, \cdots, n)$ 都在直线上, 则有 $|r|=1$,$	herefore$ 相关系数 $r=-1$ ，故选 D.
题目（高三 · 计数）：某机构为了解某地区中学生在校月消费情况, 随机抽取了 100 名中学生进行调查, 将月消费金额不低于 550 元的学生成为“高消费群”, 调查结果如表所示: 参照公式, 得到的正确结论是 ( )

|  | 高消费群 | 非高消费群 | 合计 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 男 | 15 | 35 | 50 |
| 女 | 10 | 40 | 50 |
| 合计 | 25 | 75 | 100 |

参考公式: $K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$, 其中 $n=a+b+c+d$.

| $P\left(K^{2} \geq k_{0}\right)$ | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $k_{0}$ | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
选项：
A. 有 $90 \%$ 以上的把握认为“高消费群”与性别有关

B. 没有 $90 \%$ 以上的把握认为“高消费群”与性别有关

C. 在犯错误的概率不超过 $1 \%$ 的前提下，认为“高消费群”与性别无关

D. 在犯错误的概率不超过 $1 \%$ 的前提下, 认为“高消费群”与性别有关
答案：B
解析：根据 $2 	imes 2$ 列联表:|  | 高消费群 | 非高消费群 | 合计 || :---: | :---: | :---: | :---: || 男 | 15 | 35 | 50 || 女 | 10 | 40 | 50 || 合计 | 25 | 75 | 100 |利用公式 $K^{2}=rac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$,可得 $K^{2}=rac{100 	imes(15 	imes 40-35 	imes 10)^{2}}{25 	imes 75 	imes 50 	imes 50}=rac{100}{75} \approx 1.33<2.706$,所以没有 $90 \%$ 的把握认为“高消费群”与性别有关，故选 B.
题目（高三 · 计数）：对两个变量 $x 、 y$ 进行线性相关检验, 得线性相关系数 $r_{1}=0.7859$, 对两个变量 $u 、 v$ 进行线性相关检验, 得线性相关系数 $r_{2}=-0.9568$, 则下列判断正确的是

( )
选项：
A. 变量 $x$ 与 $y$ 正相关, 变量 $u$ 与 $\mathcal{v}$ 负相关, 变量 $x$ 与 $y$ 的线性相关性较强

B. 变量 $x$ 与 $y$ 负相关, 变量 $u$ 与 $\mathcal{v}$ 正相关, 变量 $x$ 与 $y$ 的线性相关性较强

C. 变量 $x$ 与 $y$ 正相关, 变量 $u$ 与 $v$ 负相关, 变量 $u$ 与 $\mathcal{v}$ 的线性相关性较强

D. 变量 $x$ 与 $y$ 负相关, 变量 $u$ 与 $v$ 正相关, 变量 $u$ 与 $v$ 的线性相关性较强
答案：C
解析：由线性相关系数 $r_{1}=0.7859>0$ ，知 $x$ 与 $y$ 正相关;由线性相关系数 $r_{2}=-0.9568<0$, 知 $u$ 与 $\mathcal{v}$ 负相关,又 $\left|r_{1}ight|<\left|r_{2}ight|$, 所以, 变量 $u$ 与 $v$ 的线性相关性比 $x$ 与 $y$ 的线性相关性强, 故选 C.
题目（高三 · 计数）：现行普通高中学生在高一时面临着选科的问题, 学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本, 制作出如下两个等高堆积条形图:



根据这两幅图中的信息, 下列哪个统计结论是不正确的（）
选项：
A. 样本中的女生数量多于男生数量

B. 样本中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量

C. 样本中的男生偏爱两理一文

D. 样本中的女生偏爱两文一理
答案：D
解析：由条形图知女生数量多于男生数量, 故 A 正确:有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量, 故 B 正确;男生偏爱两理一文，故 C 正确;女生中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量, 故 D 错误,故选 D.
题目（高三 · 计数）：下面的散点图与相关系数 $r$ 一定不符合的是 ( )


(1)


(2)


(3)


(4)
选项：
A. (1)(2)(3)
B. (1)(2)(4)
C. (1)(3)(4)
D. (2)(3)(4)
答案：C
解析：(1)中，由散点图可得，两相关变量呈负相关，故(1)错，(2)中，由散点图可得，两相关变量呈正相关，且相关系数可能是 $r=0.75$;(3)中, 若相关系数 $r=-1$, 则所有的点应该分布在一条直线上, 散点图显然不符合, 故(3)错;(4)中, 若相关系数 $r=1$, 则所有的点应该分布在一条直线上, 散点图显然不符合, 故(4)错,故选 C.
题目（高三 · 计数）：下表是某厂 $1 \sim 4$ 月份用水量(单位: 百吨)的一组数据: 由散点图可知, 用水量 $y$与月份 $x$ 之间有较好的线性相关关系, 其线性回归方程是 $\hat{y}=-0.6 x+\hat{a}$, 则 $\hat{a}=$ $(\quad)$

| 月份 $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 用水量 $y$ | $4 \cdot 5$ | 4 | 3 | $2 \cdot 5$ |
选项：
A. 2
B. 5
C.
答案：B
解析：由题意知: $ar{x}=rac{1}{4}(1+2+3+4)=2.5, ar{y}=rac{1}{4}(4.5+4+3+2.5)=3.5$,将 $(2.5,3.5)$ 代入线性回归方程 $\hat{y}=-0.6 x+\hat{a}$,即 $3.5=-0.6 	imes 2.5+\hat{a}$, 解得 $\hat{a}=5$.故选 B.
题目（高三 · 计数）：为检测某药品服用后的多长时间开始有药物反应, 现随机抽取服用了该药品的
1000 人，其服用后开始有药物反应的时间（分钟）与人数的数据绘成的频率分布直方图如图所示. 若将直方图中分组区间的中点值设为解释变量 $x$ (分钟), 这个区间上的人数为 $y$ (人), 易见两变量 $x, y$ 线性相关, 那么一定在其线性回归直线上的点为 ( )


选项：
A. $(
答案：C
解析：由频率分布直方图可知，第一个区间中点坐标， $x_{1}=1.0 ， y_{1}=0.10 	imes 1000=100$;第二个区间中点坐标， $x_{2}=2.0, y_{2}=0.21 	imes 1000=210 ；$第三个区间中点坐标， $x_{3}=3.0, y_{3}=0.30 	imes 1000=300 ；$第四个区间中点坐标， $x_{4}=4.0, y_{4}=0.39 	imes 1000=390 ，$则 $ar{x}=rac{1}{4}\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}ight)=2.5, ar{y}=rac{1}{4}\left(y_{1}+y_{2}+y_{3}+y_{4}ight)=250$,则一定在其线性回归直线上的点为 $(ar{x}, ar{y})=(2.5,250)$, 故选 C.
题目（高三 · 计数）：有一散点图如图所示, 在 5 个 $(x, y)$ 数据中去掉 $D(3,10)$ 后, 下列说法正确的是 ( )


选项：
A. 残差平方和变小

B. 方差变大

C. 相关指数 $R^{2}$ 变小

D. 解释变量 $x$ 与预报变量 $y$ 的相关性变弱
答案：A
解析：由散点图可知, 去掉 $D(3,10)$ 后, $y$ 与 $x$ 的线性相关性加强，且为正相关,所以 $r$ 变大, $R^{2}$ 变大, 残差平方和变小, 故选 $\mathrm{A}$.
题目（高三 · 计数）：某大学进行“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团选拔. 某同学经过考核选拔通过该校的“羽毛球”“美术”、“音乐”三个社团的概率依次为 $a, b, \frac{1}{2}$, 已知三个社团中他恰好能进入两个的概率为 $\frac{1}{5}$, 假设该同学经过考核通过这三个社团选拔成功与否相互独立, 则该同学一个社团都不能进入的概率为（）

$\begin{array}{lll}\text {
选项：
A. B. } \frac{3}{5} & \text { C. } \frac{3}{4} & \text { D. } \frac{3}{10}\end{array}$
答案：D
解析：答案:D

【解析】由题知, 三个社团中他恰好能进入两个的概率为 $\frac{1}{5}$,

则 $a b \cdot\left(1-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2} a(1-b)+\frac{1}{2} b(1-a)=\frac{1}{5}$, 所以 $\frac{1}{2}(a+b)-\frac{1}{2} a b=\frac{1}{5}$,

所以 $a+b-a b=\frac{2}{5}$,

所以该同学一个社团都不进入的概率 $P=(1-a)(1-b) \cdot\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}[1-(a+b)+a b]$

$=\frac{1}{2}\{1-[(a+b)-a b]\}=\frac{1}{2} \times\left(1-\frac{2}{5}\right)=\frac{3}{10}$

故选 D.
题目（高三 · 计数）：俄国著名飞机设计师埃格-西科斯基设计了世界上第一架四引擎飞机和第一种投入生产的直升机，当代著名的“黑鹰”直升机就是由西科斯基公司生产的. 1992 年, 为了远程性和安全性上与美国波音 747 竞争, 欧洲空中客车公司设计并制造了 $A 340$, 是一种有四台发动机的远程双过道宽体客机, 取代只有两台发动机的 $A 310$. 假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障率为 $1-p$, 且各引擎是否有故障是独立的, 已知 $A 340$ 飞机至少有 3 个引擎正常运行, 飞机就可成功飞行; $A 310$飞机需要 2 个引擎全部正常运行, 飞机才能成功飞行. 若要使 $A 340$ 飞机比 $A 310$飞机更安全, 则飞机引擎的故障率应控制的范围是 ( )
选项：
A. $\left(\frac{2}{3}, 1\right) \quad$ B. $\left(\frac{1}{3}, 1\right) \quad$ C. $\left(0, \frac{2}{3}\right)$ D. $\left(0, \frac{1}{3}\right)$
答案：C
解析：答案:C

【解析】由题意, 飞机引擎正常运行的概率为 $p$,

则 $A 310$ 飞机能成功飞行的概率为 $\mathrm{C}_{2}^{2} p^{2}=p^{2}$,

$A 340$ 飞机能成功飞行的概率为 $\mathrm{C}_{4}^{3} p^{3}(1-p)+\mathrm{C}_{4}^{4} p^{4}=-3 p^{4}+4 p^{3}$,

令 $-3 p^{4}+4 p^{3}>p^{2}$ ，即 $-3 p^{2}+4 p>1$ ，解得 $\frac{1}{3}<p<1$ ，

所以飞机引擎的故障率应控制的范围是 $\left(0, \frac{2}{3}\right)$, 故选 C.
题目（高三 · 计数）：已知随机变量 $\xi$ 的分布列如下:

| $\xi$ | 0 | 1 | 2 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $P$ | $a$ | $b$ | $c$ |

其中 $a, b, c$ 成等差数列, 则函数 $f(x)=x^{2}+2 x+\xi$ 有且只有一个零点的概率为

( )
选项：
A. $\frac{1}{6} \quad$ B. $\frac{1}{3}$
C. D. $\frac{5}{6}$
答案：B
解析：答案:B

【解析】由题意知 $a, b, c \in[0,1]$, 且 $\left\{\begin{array}{c}2 b=a+c \\ a+b+c=1\end{array}\right.$, 解得 $b=\frac{1}{3}$,

又由函数 $f(x)=x^{2}+2 x+\xi$ 有且只有一个零点,

即对于方程 $x^{2}+2 x+\xi=0$ 只有一个根, 可得 $\Delta=4-4 \xi=0$, 解得 $\xi=1$,

所以 $P(\xi=1)=\frac{1}{3}$, 故选 $\mathrm{B}$.
题目（高三 · 计数）：已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $X \sim B(n, p)$, 若 $E(X)=\frac{5}{4}, D(X)=\frac{15}{16}$,则 $p=(\quad)$

$\begin{array}{llll}\text {
选项：
A. } \frac{1}{4} & \text { B. } \frac{1}{3} & \text { C. } \frac{3}{4} & \text { D. } \frac{4}{5}\end{array}$
答案：A
解析：答案:A

【解析】由题意 $\left\{\begin{array}{l}n p=\frac{5}{4} \\ n p(1-p)=\frac{15}{16}\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}p=\frac{1}{4} \\ n=5\end{array}\right.$, 故选 A.
题目（高三 · 计数）：若随机变量 $X$ 的分布列如下所示:

| $X$ | -1 | 0 | 1 | 2 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | 0.2 | $a$ | $b$ | 0.3 |

且 $E(X)=0.8$, 则 $a 、 b$ 的值分别是 ( )
选项：
A. $0 \cdot 4,0 \cdot 1$ B. $0 \cdot 1,0 \cdot 4$ C. $0 \cdot 3,0 \cdot 2$ D. $0 \cdot 2,0 \cdot 3$
答案：B
解析：答案:B

【解析】由随机变量 $X$ 的分布列得 $
题目（高三 · 计数）：设随机变量 $\xi \sim N(\mu, 1)$, 函数 $f(x)=x^{2}+2 x-\xi$ 没有零点的概率是 0.5 ,
则 $P(0<\xi \leq 1)=(\quad)$

附: 若 $\xi \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$, 则 $P(\mu-\sigma<X \leq \mu+\sigma) \approx 0.6826$,

$P(\mu-2 \sigma<X \leq \mu+2 \sigma) \approx 0.9544$.
选项：
A.
答案：B
解析：答案:B

【解析】 $\because$ 函数 $f(x)=x^{2}+2 x-\xi$ 没有零点, $\therefore$ 二次方程 $x^{2}+2 x-\xi=0$ 无实根, $\Delta=4-4(-\xi)<0, \quad \therefore \xi<-1$,

又 $\because f(x)=x^{2}+2 x-\xi$ 没有零点的概率是 $
题目（高三 · 计数）：某研究员为研究某两个变量的相关性, 随机抽取这两个变量样本数据如下表:

| $x_{i}$ | 0.2 | 1 |  | 2.2 | 3.2 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $y_{i}$ | 1.1 | 2.1 | 2.3 | 3.3 | 4.2 |

若依据表中数据画出散点图, 则样本点 $\left(x_{\mathrm{i}}, y_{i}\right)(\mathrm{i}=1,2,3,4,5)$ 都在曲线 $y=x+1$ 附近波动, 但由于某种原因表中一个 $x$ 值被污损, 将方程 $y=x+1$ 作为回归方程, 则根据回归方程和表中数据可求得被污损数据为( )
选项：
A.
答案：D
解析：+2.1+2.3+3.3+4.2)=2.6$, 由线性回归方程 $\hat{y}=x+1$ 得, $\bar{x}=1.6$, 即 $\frac{1}{5}(0.2+1+x+2.2+3.2)=1.6$, 解得 $x=1.4$, 故选 C.

4.答案: D

【解析】 由回归方程是 ${ }^{y=-\frac{1}{3} x+2}$, 可得变量 $x, y$ 是负相关的, 所以这组样本数据的相关系数为负值, 又所有样本点都在该直线上, 则 $|r|=1$, 所以相关系数 $r=-1$. 故选 D.
题目（高三 · 计数）：根据最小二乘法由一组样本点 $\left(x_{1}, y_{2}\right)$ 其中 $\left.\mathrm{i}=1,2, \cdots, 300\right)$, 求得的回归方程是 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$,则下列说法正确的是( )
选项：
A. 至少有一个样本点落在回归直线 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$ 上

B. 若所有样本点都在回归直线 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$ 上, 则变量间的相关系数为 1

C. 对所有的解释变量 $x_{i}(i=1,2 \cdots 300), b x_{i}+a$ 的值一定与 $y_{i}$ 有误差

D. 若回归直线 $\hat{y}=\hat{b x}+\hat{a}$ 的斜率 $b>0$, 则变量 $x$ 与 $y$ 正相关
答案：D
解析： 由已知得 $\bar{x}=2, \bar{y}=4.5$, 而回归方程过点 $(\bar{x}, \bar{y})$, 则 $4.5=0.95 \times 2+a, \therefore a=2.6$. 8.答案: $\frac{2}{3}$


的残差的绝对值不大于 1 的概率 ${ }^{P=\frac{2}{3}}$.

9.答案: (1)由表中的数据和参考数据得

$$
\begin{aligned}
& \bar{x}=2.5, \bar{y}=200, \sum_{i=1}^{1}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=5, \sqrt{\sum_{i=1}^{+}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}} \approx 158.9 \\
& \sum_{i=1}^{+}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)=\sum_{i=1}^{+} x_{i} y_{i}-\bar{x} \sum_{i=1}^{+} y_{i}=2355-2.5 \times 800=355 \quad \therefore \gamma \approx \frac{355}{2.236 \times 158.90} \approx 0.999
\end{aligned}
$$

$y^{y}$ 与 $^{x}$ 的相关系数近似为 0.999 , 说明 ${ }^{y}$ 与 $^{x}$ 的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合 ${ }^{y}$ 与 $^{x}$ 的关系

(2)由(1)得

$$
\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{+}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^{+}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}=\frac{355}{5}=71 \quad \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} x=200-71 \times 2.5=22.5
$$

$y_{\text {关于 }}{ }^{x}$ 的回归方程 $\hat{y}=22.5+71 x$

将 2020 年对应的 $x=5$ 代入回归方程得 $\hat{y}=22.5+71 \times 5=377.5$

故预测 2020 年我国百货零售业的销售额为 377.5 亿元.

(3)从这 5 个数据中任取 2 个数据,结果有:(95,165),(95,230),(95,310),(95,377.5),(165,230),

(165,310),(165,377.5),(230,310),(230,377.5),(310,377.5),共 10 个.

所取 2 个数据之差的绝对值大于 200 亿元的结果有:(95,310),(95,377.5),(165,377.5), 共 3 个,

所以所求概率为 $P=\frac{3}{10}$.
题目（高三 · 计数）：某研究员为研究某两个变量的相关性, 随机抽取这两个变量样本数据如下表:

| $x_{\mathrm{i}}$ | 0.2 | 1 |  | 2.2 | 3.2 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $y_{\mathrm{i}}$ | 1.1 | 2.1 | 2.3 | 3.3 | 4.2 |

若依据表中数据画出散点图, 则样本点 $\left(x_{\mathrm{i}}, y_{\mathrm{i}}\right)(\mathrm{i}=1,2,3,4,5)$ 都在曲线 $y=x+1$ 附近波动.但由于某种原因表中一个 $x$ 值被污损, 将方程 $y=x+1$ 作为回归方程, 则根据回归方程和表中数据可求得被污损数据为
选项：
A.
答案：C
解析：答案: C

【解析】 由表中数据额可得, $\bar{y}=\frac{1}{5}(
题目（高三 · 计数）：在一组样本数据为 $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right), \mathrm{L},\left(x_{n}, y_{n}\right), n \geq 2, x_{1}, x_{2}, x_{3}, \mathrm{~L}, x_{n}$ 不全相等)的散点图中, 若
所有样本点都在直线 ${ }^{y=-\frac{1}{3} x+2}$ 上, 则这组样本数据的相关系数为( )
选项：
A. $-\frac{1}{3}$
B. ${ }^{\frac{1}{3}}$
C. 1
D. -1
答案：D
解析：由回归方程是 ${ }^{y=-rac{1}{3} x+2}$, 可得变量 $x, y$ 是负相关的, 所以这组样本数据的相关系数为负值, 又所有样本点都在该直线上, 则 $|r|=1$, 所以相关系数 $r=-1$. 故选 D.
题目（高三 · 计数）：下列命题错误的是
选项：
A. 两个随机变量的线性相关性越强, 相关系数的绝对值越接近于 1

B. 设 $\xi-N\left(0, \sigma^{2}\right)$, 且 $P(\xi<-1)=\frac{1}{4}$, 则 $P(0<\xi<1)=\frac{1}{2}$

C. 在残差图中, 残差点分布的带状区域的宽带越狭窄，其模型拟合的精度越高

D. 已知变量 $x$ 和 $y$ 满足关系 $y=1-
答案：B
解析：答案: B

【解析】 对于 A, 根据相关系数的意义知, A 正确对于 B, 由点 $\xi \sim N\left(0, \sigma^{2}\right)$, 知 $\mu=0$, 概
率密度函数的图象关于 $x=0$ 对称故

$P(\xi<-1)=\frac{1}{4}=P(\xi>1), P(-1<\xi<1)=1-2 \times P(0<\xi<1)=\frac{1}{2}$

所以 $P(0<\xi<1)=\frac{1}{2} \cdot P(-1<\xi<1)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$, 故 B 错误对于 $\mathrm{C}$, 根据残差图的意义, C 正确对于 D, 变量 $x$ 和 $y$ 满足关系 $y=1-
题目（高三 · 计数）：下列说法:

(1)将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后, 方差不变; (2)设有一个线性回归方程 $\hat{y}=3-5 x$ ，变量 $x$ 增加 1 个单位时, $y$ 平均增加 5 个单位;

(3)设具有相关关系的两个变量 $x, y$ 的相关系数为 $\mathrm{r}$, 则 $|r|$ 越接近于 $0, x$ 和 $y$ 之间的线性相关程度越强;

(4)在一个 $2 \times 2$ 列联表中, 由计算得 $K^{2}$ 的值, 则 $K^{2}$ 的值越大, 判断两个变量间有关联的把握就越大.

以上错误结论的个数为( )
选项：
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：C
解析：答案: C

【解析】 (1)根据方差公式, 将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后, 方差不变,故(1)正确; (2) 设一个线性回归方程 $\hat{y}=3-5 x$, 变量 $x$ 增加 1 个单位时, $y$ 平均减少 5 个单位,故(2)不正确; (3)设具有相关关系的两个变量 $x, y$ 的相关系数为 $r$, 则 $|r|$ 越接近于 $0, x$ 和 $y$之间的线性相关程度越弱, 故(3)不正确; (4)在一个 $2 \times 2$ 列联表中, 由计算得 $K^{2}$ 的值, 则 $K^{2}$的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大，故(4)正确.

$\therefore$ 其中错误的个数是 2 个.

故选 $C$.
题目（高三 · 计数）：在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中, 下列说法正确的是 ( )
选项：
A. 若 $K^{2}$ 的观测值为 $k=
答案：C
解析：答案: C

【解析】 若 $K^{2}$ 的观测值为 $k=
题目（高三 · 计数）：在一次独立性检验中，得出列联表如下:

|  | $A$ | $\bar{A}$ | 合计 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $B$ | 200 | 800 | 1000 |
| $\bar{B}$ | 180 | $a$ | $180+a$ |
| 合计 | 380 | $800+a$ | $1180+a$ |

且最后发现, 两个分类变量 $A$ 和 $B$ 没有任何关系, 则 $a$ 的可能值是( )
选项：
A. 200
B. 720
C. 100
D. 180
答案：B
解析：$.

Q $2.706<3.620<3.841, \therefore$ 有 $90 \%$ 的把握认为团体的人均消费高于 200 元与团体带儿童有关.

9.答案: (1)由统计数据得 $2 \times 2$ 列联表:

|  | 甲班 | 乙班 | 总计 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 成绩优良 | 9 | 16 | 25 |
| 成绩不优良 | 11 | 4 | 15 |
| 总计 | 20 | 20 | 40 |

根据 $2 \times 2$ 列联表中的数据, 得 $K^{2}$ 的观测值为 $k=\frac{409 \times 416 \times 112}{25 \times 15 \times 20 \times 20} \approx 5.227>5.024$,

所以能在犯错概率不超过 0.025 的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.

(2)由表可知在 8 人中成绩不优良的人数为 $\frac{15}{40} \times 8=3$, 则 $X$ 的可能取值为 $0,1,2,3$.

$P(X=0)=\frac{C_{11}^{3}}{C_{15}^{3}}=\frac{33}{91} ; \quad P(X=1)=\frac{C_{11}^{2} \cdot C_{4}^{1}}{C_{15}^{3}}=\frac{44}{91} ;$
$F(X=2)=\frac{C_{11}^{1} C_{4}^{2}}{C_{15}^{3}}=\frac{66}{455} ; P(X=3)=\frac{C_{4}^{3}}{C_{15}^{3}}=\frac{4}{455}$. 所以 $X$ 的分布列为:

| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $P$ | $\frac{33}{91}$ | $\frac{44}{91}$ | $\frac{66}{455}$ | $\frac{4}{455}$ |

所以 $E(X)=0 \times \frac{33}{91}+1 \times \frac{44}{91}+2 \times \frac{66}{455}+3 \times \frac{4}{455}=\frac{364}{455}$.
题目（高三 · 计数）：以下三个命题中真命题的个数为( )

(1)对于分类变量 $X$ 与 $Y$ 的随机变量 $K^{2}$ 的观测值 $k$ 来说, $k$ 越大, “ $X$ 与 $Y$ 有关系”的把握程度越大；

(2)回归直线 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$ 恒过样本点的中心 $(\bar{x}, \bar{y})$, 且有可能不过任何一个样本点;

(3)2, 1, 3, 2, 3, 3 这组数据的中位数是 $\frac{5}{2}$.
选项：
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：D
解析：答案: D

【解析】对于(1), 对于分类变量 $X$ 与 $Y$ 的随机变量 $K^{2}$ 的观测值 $k$ 来说, $k$ 越大, “ $X$ 与 $Y$ 有关系”的把握程度越大，故(1)正确;

对于(2), 回归直线 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$ 恒过样本点的中心 $(\bar{x}, \bar{y})$, 可以不过任何一个样本点, 故(2)正确;对于(3), 将这组数据按从小到大的顺序排列为 $1,2,2,3,3,3$, 则这组数据的中位数是 $\frac{1}{2} \times(2+3)=\frac{5}{2}$故(3)正确.故选 D.
题目（高三 · 计数）：在对某小学的学生进行性别与吃零食的调查中, 得到下表数据:

|  | 吃零食 | 不吃零食 | 合计 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 男学生 | 24 | 31 | 55 |
| 女学生 | 8 | 26 | 34 |
| 合计 | 32 | 57 | 89 |

根据上述数据分析可得出的结论是( )
选项：
A. 认为男女学生与吃零食与否有关系
B. 认为男女学生与吃零食与否没有关系
C.性别不同决定了吃零食与否
D. 以上都是错误的
答案：A
解析：答案: A

【解析】 $\because x^{x^{2}=\frac{89 \times(24 \times 26-31 \times 8)^{2}}{32 \times 57 \times 55 \times 34}}$

$=\frac{12582464}{3410880} \approx
题目（高三 · 计数）：2018 年,国际权威机构 IDC 发布的第二季度全球手机销售报告显示:华为突破 2 亿台出货量超越苹果的出货量,首次成为全球第二,华为无愧于中国最强的高科技企业.华为业务 CEO 余承东明确表示, 华为的目标, 就是在 2021 年前,成为全球最大的手机厂商.为了解华为手机和苹果手机使用的情况是否和消费者的性別有关,对 100 名华为手机使用者和苹果手机使用者进行统计,统计结果如下表:

| 手机品牌 | 华为 | 苹果 | 合计 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 男 | 30 | 15 | 45 |
| 女 | 45 | 10 | 55 |
| 合计 | 75 | 25 | 100 |

附:

| $P\left(K^{2} \geqslant h\right)$ | 0.10 | 0.05 | 0.010 | 0.001 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $k$ | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |

$K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$, 其中 $n=a+b+c+d$.

根据表格判断是否存 $95 \%$ 的把握认为使用哪种品牌手机与性别有关系, 则下列结论正确的是
选项：
A.没有 $95 \%$ 的把握认为使用哪款手机与性別有关

B. 有 $95 \%$ 的把握认为使用哪款手机与性别有关

C. 有 $95 \%$ 的把握认为使用哪款手机与性别无关

D. 以上都不对
答案：B
解析：$, 我们有 $99 \%$ 的把握认为吸烟与患肺病有关系, 而不是在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病, 故 A 不正确; 从独立性检验可知有 $99 \%$ 的把握认为吸烟与患肺病有关系时, 并不是吸烟的人就有 $99 \%$ 的可能患有肺病, 故 B 不正确; 若从统计量中求出有 $95 \%$ 的把握认为吸烟与患肺病有关系, 是指有 $5 \%$ 的可能性使得推断出现错误, C 正确.故选 C.

3.答案: B

【解析】 $A$ 和 $B$ 没有任何关系, 也就是说, 对应的比例 $\frac{a}{a+b}$ 和 $\frac{c}{c+d}$ 基本相等,根据列联表可得 $\frac{200}{1000}$ 和 $\frac{180}{180+a}$ 基本相等, 检验可知, $\mathrm{B}$ 满足条件.

故选 B.
题目（高三 · 计数）：执行如图流程图, 如果输入的 $\mathrm{n}$ 是 4 , 则输出的 $\mathrm{p}$ 是 ( )


选项：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：C
解析：解析: 解答: 由 $k=1, n=4$, 知 $1<4 \Rightarrow p=1=0+1 \Rightarrow s=1, t=1 \Rightarrow k=2 \Rightarrow 2<4 \Rightarrow p=1+1=2 \Rightarrow s$ $=1, \mathrm{t}=2 \Rightarrow \mathrm{k}=3 \Rightarrow 3<4 \Rightarrow \mathrm{p}=1+2=3 \Rightarrow \mathrm{s}=2, \mathrm{t}=3 \Rightarrow \mathrm{k}=4 \Rightarrow 4<4$ 否输出 $\mathrm{p}=3$. 选 $\mathrm{C}$

分析: 本题主要考查了程序框图的三种基本逻辑结构的应用, 解决问题的关键是根据所给程序框图的结果特征进行发现计算即可.
题目（高三 · 计数）：由如图的流程图输出的 $\mathrm{s}$ 为 ( )


选项：
A. 64
B. 512
C. 128
D. 256
答案：D
解析：解析: 解答: 执行流程图, 有

$s=2, i=1$

$\mathrm{s}=4, \mathrm{i}=2$

不满足条件 $i \geq 4, s=16, i=3$

不满足条件 $\mathrm{i} \geq 4, \mathrm{~s}=256, \mathrm{i}=4$

满足条件 $\mathrm{i} \geq 4$, 输出 $\mathrm{s}$ 的值为 256 .

故选: D.

分析: 本题主要考查了程序框图的三种基本逻辑结构的应用, 解决问题的关键是执行流程图,依次写出每次循环得到的 $s, i$ 的值, 当 $i=4$ 时, 满足条件 $i \geq 4$, 输出 $s$ 的值为 256 .
题目（高三 · 计数）：若随机变量 $\mathrm{X}$ 的分布列如下表, 则 $E(X)=（ ）$

| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $P$ | $2 x$ | $3 x$ | $7 x$ | $2 x$ | $3 x$ | $x$ |
选项：
A. $\frac{1}{18}$
B. $\overline{9}$
C. $\frac{9}{20}$
D. $\frac{20}{9}$
答案：A
解析：$,

$D(X)=(0-1.5)^{2} \times \frac{1}{2}+(1-1.5)^{2} \times \frac{1}{20}+(2-1.5)^{2} \times \frac{1}{10}+(3-1.5)^{2} \times \frac{3}{20}+(4-1.5)^{2} \times \frac{1}{5}=2.75$,

因为 $\eta=a X+b(a>0)$,

所以 $E(\eta)=a E(X)+b=1.5 a+b=1, D(\eta)=a^{2} D(X)=2.75 a^{2}=11$,

又因为 $a>0$, 解得 $a=2, b=-2$, 所以 $a+b=0$.

故答案为: A



13.答案: -62

解：因为 $X$ 服从二项分布 $B(100,
题目（高三 · 计数）：已知 $0<b<\frac{2}{3}$, 随机变量 $\mathrm{X}$ 的分布列如图:

| $\mathrm{X}$ | -1 | 0 | 1 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $\mathrm{P}$ | $\frac{1}{3}$ | $\mathrm{a}$ | $\mathrm{b}$ |

则当 $\mathrm{b}$ 在 $\left(0, \frac{2}{3}\right)_{\text {内增大时 }(\text { ） }}$
选项：
A. $D(X)_{\text {增大 }}$
B. $D(X)_{\text {减小 }}$
C. $D(X)_{\text {先增后减 }}$
D. $D(X)_{\text {先减后增 }}$
答案：C
解析：答案: A

【解析】 由已知, $a+b=\frac{2}{3}, E(X)=-\frac{1}{3}+b$,

所以 $D(x)=\left[-1-\left(-\frac{1}{3}+b\right)\right]^{2} \times \frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}+b\right)^{2} \times a+\left[1-\left(-\frac{1}{3}+b\right)\right]^{2} \times b$



故答案为: A

11.答案: C

【解析】 由题意, 设 $P(\xi=1)=p$, 则 $P(\xi=2)=1-\frac{1}{5}-p=\frac{4}{5}-p$,
又 $E(\xi)=0 \times \frac{1}{5}+1 \times p+2\left(\frac{4}{5}-p\right)=1$, 解得 $p=\frac{3}{5}$,

所以 $P(\xi=1)=\frac{3}{5}, P(\xi=2)=\frac{1}{5}$,

则 $D(\xi)=\frac{1}{5}(1-0)^{2}+\frac{3}{5}(1-1)^{2}+\frac{1}{5}(1-2)^{2}=\frac{2}{5}$,

所以 $D(2 \xi-3)=4 D(\xi)=\frac{8}{5}$.

故答案为: C.
题目（高三 · 计数）：已知随机变量 $\xi$ 的取值为 $i(i=0,1,2)$. 若 $P(\xi=0)=\frac{1}{5}, \quad E(\xi)=1$, 则 $D(2 \xi-3)=(\quad)$
选项：
A. $\frac{2}{5}$
B. $\frac{4}{5}$
C. $\frac{8}{5}$
D. $\frac{16}{5}$
答案：C
解析：由题意, 设 $P(\xi=1)=p$, 则 $P(\xi=2)=1-rac{1}{5}-p=rac{4}{5}-p$,又 $E(\xi)=0 	imes rac{1}{5}+1 	imes p+2\left(rac{4}{5}-pight)=1$, 解得 $p=rac{3}{5}$,所以 $P(\xi=1)=rac{3}{5}, P(\xi=2)=rac{1}{5}$,则 $D(\xi)=rac{1}{5}(1-0)^{2}+rac{3}{5}(1-1)^{2}+rac{1}{5}(1-2)^{2}=rac{2}{5}$,所以 $D(2 \xi-3)=4 D(\xi)=rac{8}{5}$.故答案为: C.