eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高二 · 度量几何学）：$\cos \left(45^{\circ}-\alpha\right) \cos \left(\alpha+15^{\circ}\right)-\sin \left(45^{\circ}-\alpha\right) \sin \left(\alpha+15^{\circ}\right)$ 等于
选项：
A. $\frac{1}{2}$
B. $-\frac{1}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
答案：A
解析：解析: 原式 $=\cos \left(\alpha-45^{\circ}\right) \cos \left(\alpha+15^{\circ}\right)+\sin \left(\alpha-45^{\circ}\right) \sin \left(\alpha+15^{\circ}\right)=\cos \left[\left(\alpha-45^{\circ}\right)-\left(\alpha+15^{\circ}\right)\right]=$ $\cos \left(-60^{\circ}\right)=\frac{1}{2}$.

答案: A
题目（高二 · 度量几何学）：计算 $\sin 44^{\circ} \cos 14^{\circ}-\cos 44^{\circ} \cos 76^{\circ}$ 的值为
选项：
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
答案：A
解析：解析: 原式 $=\sin \left(44^{\circ}-14^{\circ}\right)=\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}$.

答案: A
题目（高二 · 度量几何学）：设 $\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \beta \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$, 若 $\cos \beta=-\frac{1}{3}, \sin (\alpha+\beta)=\frac{7}{9}$, 则 $\sin \alpha$ 的值为( )
选项：
A. $\frac{1}{27}$
B. $\frac{5}{27}$
答案：C
解析：解析: 由 $\cos \beta=-\frac{1}{3} ， \sin (\alpha+\beta)=\frac{7}{9} ＼mathrm{~ ， 得 ~} \sin \beta=\frac{2 \sqrt{2}}{3} ， \cos (\alpha+\beta)=-\frac{4 \sqrt{2}}{9}$ ，所以 $\sin \alpha=\sin [(\alpha$ $+\beta)-\beta]=\frac{7}{9} \times\left(-\frac{1}{3}\right)-\left(-\frac{4 \sqrt{2}}{9}\right) \times \frac{2 \sqrt{2}}{3}=\frac{1}{3}$.

答案: C
题目（高二 · 度量几何学）：已知 $\alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right), \sin \alpha=\frac{4}{5}$, 则 $\tan \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=$
选项：
A. $\frac{1}{7}$
B. 7
C. $-\frac{1}{7}$
D. -7
答案：C
解析：解析: $\alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right), \sin \alpha=\frac{4}{5} ， \therefore \cos \alpha=-\frac{3}{5} ， \tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=-\frac{4}{3}$

$\therefore \tan \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tan \alpha+1}{1-\tan \alpha}=\frac{-\frac{4}{3}+1}{1+\frac{4}{3}}=-\frac{1}{7}$.

答案: C
题目（高二 · 度量几何学）：已知 $\tan \alpha=\frac{1}{4}, \tan (\alpha-\beta)=\frac{1}{3}$, 则 $\tan \beta$ 等于
选项：
A. $\frac{7}{11}$
B. $-\frac{11}{7}$
C. $-\frac{1}{13}$
D. $\frac{1}{13}$
答案：C
解析：解析 : $\tan \beta=\tan [\alpha-(\alpha-\beta)]=\frac{\tan \alpha-\tan (\alpha-\beta)}{1+\tan \alpha \cdot \tan (\alpha-\beta)}=-\frac{1}{13}$.

答案: C
题目（高二 · 度量几何学）：若 $\tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=4$, 则 $\sin 2 \theta=$
选项：
A. $\frac{1}{5}$ B. $ \frac{1}{4} $ C. $\frac{1}{3}$ D. $\frac{1}{2}$
答案：D
解析：解析: 法一: $\because \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=\frac{1+\tan ^{2} \theta}{\tan \theta}=4 ， \therefore 4 \tan \theta=1+\tan ^{2} \theta, \therefore \sin 2 \theta=2 \sin \theta \cos \theta=$ $\frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}=\frac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta}=\frac{2 \tan \theta}{4 \tan \theta}=\frac{1}{2}$.

法二: $\because \tan \theta+\frac{1}{\tan \theta}=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}+\frac{\cos \theta}{\sin \theta}=\frac{1}{\cos \theta \sin \theta}=\frac{2}{\sin 2 \theta}, \therefore 4=\frac{2}{\sin 2 \theta}, \quad \therefore \sin 2 \theta=\frac{1}{2}$.

答案: D
题目（高二 · 度量几何学）：已知 $a 、 b$ 分别对应数轴上的 $A 、 B$ 两点, 且 $A$ 在原点右侧, $B$ 在原点左侧，则下列不等式成立的是 ( )
选项：
A. $a-b \leqslant 0$
B. $a+b<0$
C. $|a|>|b|$
D. $a^{2}+b^{2} \geqslant-2 a b$
答案：D
解析：则 $a-b>0$, 而 $a+b$ 的符号不确定, $|a|$ 与 $|b|$ 的大小也不确定. 故排除 $\mathrm{ABC}$对于 $D, a^{2}+b^{2}+2 a b=(a+b)^{2} \geq 0$, 进而得到 $a^{2}+b^{2} \geq-2 a b$.
题目（高二 · 度量几何学）：若 $-1<\alpha<\beta<1$, 则下面各式中恒成立的是（）.
选项：
A. $-2<\alpha-\beta<0$
B. $-2<\alpha-\beta<-1$
C. $-1<\alpha-\beta<0$
D. $-1<\alpha-\beta<1$
答案：A
解析：$\because-1<\alpha<\beta<1, \therefore-1<\alpha<1,-1<-\beta<1, \alpha-\beta<0, \therefore-2<\alpha-\beta<0$. 选: A.
题目（高二 · 度量几何学）：在锐角 $\triangle A B C$ 中, $a, b, c$ 分别是角 $A, B, C$ 所对的边, $\triangle A B C$ 的面积 $S=2$, 且满足 $a \cos B=b(1+\cos A)$, 则 $(c+a-b)(c+b-a)$ 的取值范围是（）
选项：
A. $(8 \sqrt{2}-8,8)$
B. $(0,8)$
C. $\left(\frac{8 \sqrt{3}-8}{3}, 8 \sqrt{3}\right)$
D. $\left(\frac{8 \sqrt{3}-8}{3}, 8\right)$
答案：A
解析：由题意, 在锐角 $\triangle A B C$ 中, 满足 $a \cos B=b(1+\cos A)$, 由正弦定理可得

$\sin A \cos B=\sin B+\sin B \cos A$ ， 即 $\sin A \cos B-\sin B \cos A=\sin B ，$

可得 $\sin (A-B)=\sin B$, 所以 $A-B=B$, 即 $A=2 B<\frac{\pi}{2}$,

所以 $B \in\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$, 所以 $A+B=3 B \in\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}\right)$, 则 $C=\pi-3 B \in\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$,

所以 $\tan C=\frac{2 \tan \frac{C}{2}}{1-\tan ^{2} \frac{C}{2}}>1$, 可得 $1>\tan \frac{C}{2}>-1+\sqrt{2}$,

又由 $\triangle A B C$ 的面积 $S=\frac{1}{2} a b \sin C=2$, 所以 $a b=\frac{4}{\sin C}$,

则 $(c+a-b)(c+b-a)=c^{2}-a^{2}-b^{2}+2 a b=-2 a b \cos C+2 a b=2 a b(1-\cos C)$

$=\frac{8}{\sin C}(1-\cos C)=8 \times \frac{1-\left(1-2 \sin ^{2} \frac{C}{2}\right)}{2 \sin \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2}}=8 \tan \frac{C}{2} \in(8 \sqrt{2}-8,8)$
题目（高二 · 度量几何学）：在 $\triangle A B C$ 中, “ $A>60^{\circ}$ ” 是 “ $\sin A>\frac{\sqrt{3}}{2}$ ” 的（ )
选项：
A. 充分不必要条件
B.必要不充分条件
C. 充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案：B
解析：由 “ $A>60^{\circ}$ ” 不一定推出 “ $\sin A>\frac{\sqrt{3}}{2}$ ” ，如 $A=135^{\circ}>60^{\circ}, \sin 135^{\circ}$

$<\sin 120^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. 反之若 “ $\sin A>\frac{\sqrt{3}}{2}$ ”, 则有 “ $A>60^{\circ}$ ” . 故选 B.
题目（高二 · 度量几何学）：在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$. 若 $\triangle A B C$ 为锐角三角形,且满足 $\sin B(1+2 \cos C)=2 \sin A \cos C+\cos A \sin C$ ，则下列等式成立的是（）
选项：
A. $a=2 b$
    B. $b=2 a$
    C. $A=2 B$
    D. $B=2 A$
答案：A
解析：由 $\sin B(1+2 \cos C)=2 \sin A \cos C+\cos A \sin C$,
得 $\sin B+2 \sin B \cos C=\sin A \cos C+\sin B$,

即 $2 \sin B \cos C=\sin A \cos C$ ，所以 $2 \sin B=\sin A$ ，即 $2 b=a$​ ，选 A.
题目（高二 · 度量几何学）：在 $\triangle A B C$ 中, $a, b, c$ 分别为内角 $A, B, C$ 的对边, $\angle A C B=\frac{\pi}{3} . D 、 E$ 分别是边 $B C$ 和 $A B$ 的中点, $A D$ 与 $C E$ 交于 $G$ 点, $C G=2$, 则 $\triangle A B C$ 面积的最大值是 ( )
选项：
A. $3 \sqrt{3}$
    B. $2 \sqrt{3}$
    C. $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$
    D. $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$
答案：A
解析：依题意, $G$ 为 $\triangle A B C$ 的重心, 因为 $C G=2$, 所以 $G E=1, C E=3$. 设 $\angle A E C=\alpha$, 则 $\angle B E C=\pi-\alpha$. 在 $\triangle A E C$ 中, 有 $b^{2}=3^{2}+\left(\frac{c}{2}\right)^{2}-2 \times 3 \times \frac{c}{2} \cos \angle A E C$, 在 $\triangle B E C$ 中, 有 $a^{2}=3^{2}+\left(\frac{c}{2}\right)^{2}-2 \times 3 \times \frac{c}{2} \cos \angle B E C$, 两式相加, 则 $a^{2}+b^{2}=18+\frac{c^{2}}{2}$.

又 $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos \frac{\pi}{3}=a^{2}+b^{2}-a b$, 消去 $c^{2}$, 得 $a^{2}+b^{2}=36-a b$, 因为 $a^{2}+b^{2} \geq 2 a b$, 所以所以 $a b \leq 12$, 所以 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a b \sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{4} a b \leq \frac{\sqrt{3}}{4} \times 12=3 \sqrt{3}$.

当且仅当 $a=b=2 \sqrt{3}$ 时, $\triangle A B C$ 的面积取得最大值, 最大值为 $3 \sqrt{3}$. 故选 A.
题目（高二 · 算术）：设 $a=\sin 46^{\circ}, b=\cos 46^{\circ}, c=\tan 46^{\circ}$, 则
选项：
A. $c>a>b$
B. $a>b>c$
C. $b>c>a$
D. $c>b>a$
答案：A
解析：解析: 如图, 结合三角函数线知 $A T>M P>O M$, 所以有 $\tan 46^{\circ}>\sin 46^{\circ}>\cos 46^{\circ}$, 即 $c>a>b$,故选 A.

答案: A
题目（高二 · 算术）：$\sin 240^{\circ}$ 的值为
选项：
A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $-\frac{1}{2}$
D. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
答案：D
解析：解析：由诱导公式二得 $\sin 240^{\circ}=\sin \left(180^{\circ}+60^{\circ}\right)=-\sin 60^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, 故选 D.

答案: D
题目（高二 · 算术）：若 $\sin \alpha=\frac{1}{3}$, 则 $\cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=$
选项：
A. $\frac{1}{3}$
B. $-\frac{1}{3}$
C. $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$
D. $-\frac{2 \sqrt{2}}{3}$
答案：B
解析：解析: $\cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin \alpha=-\frac{1}{3}$.

答案: B
题目（高二 · 算术）：下列函数中, 周期为 $\frac{\pi}{2}$ 的是
选项：
A. $y=\cos 4 x$
B. $y=\sin 2 x$
C. $y=\cos \frac{x}{4}$
D. $y=\sin \frac{x}{2}$
答案：A
解析：解析: 对于 A, $\because \cos 4\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\cos (2 \pi+4 x)=\cos 4 x, \therefore T=\frac{\pi}{2}$; 对于 B, $\because \sin 2\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\sin (\pi$ $+2 x)=-\sin 2 x, \therefore T \neq \frac{\pi}{2}$. 同理可知 $\mathrm{C}, \mathrm{D}$ 的周期均不是 $\frac{\pi}{2}$.

答案: A
题目（高二 · 算术）：函数 $f(x)=2|\sin x|$ 的最小正周期为
选项：
A. $2 \pi$
B. $\frac{3 \pi}{2}$
C. $\pi$
D. $\frac{\pi}{2}$
答案：C
解析：解析: $\because \sin (x+\pi)=-\sin x,|\sin x|=|-\sin x|$,

$\therefore f(x+\pi)=f(x), \therefore$ 函数 $f(x)=2|\sin x|$ 的最小正周期为 $\pi$. 故选 C.

答案: C
题目（高二 · 算术）：若 $f(x)=\tan \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$, 则
选项：
A. $f(1)>f(0)>f(-1)$
B. $f(0)>f(1)>f(-1)$
C. $f(0)>f(-1)>f(1)$
D. $f(-1)>f(0)>f(1)$
答案：C
解析：解析: $f(0)=\tan \frac{\pi}{4}, f(-1)=\tan \left(\frac{\pi}{4}-1\right), f(1)=\tan \left(\frac{\pi}{4}+1\right)=\tan \left(\frac{\pi}{4}+1-\pi\right)=\tan \left(1-\frac{3}{4} \pi\right)$.

$\because-\frac{\pi}{2}<1-\frac{3}{4} \pi<\frac{\pi}{4}-1<\frac{\pi}{4}<\frac{\pi}{2}$

又 $y=\tan t$ 在 $t \in\left(-\frac{\pi}{2} ， \frac{\pi}{2}\right)$ 上是增函数，

$\therefore \tan \frac{\pi}{4}>\tan \left(\frac{\pi}{4}-1\right)>\tan \left(1-\frac{3}{4} \pi\right)$

$\therefore f(0)>f(-1)>f(1)$.

答案: C
题目（高二 · 算术）：$\sin \frac{13 \pi}{6}$ 的值是
选项：
A. $-\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
答案：B
题目（高二 · 算术）：已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+a_{3}=10, a_{2}+a_{4}=5$, 则 $a_{5}=(\quad)$
选项：
A. 1
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{4}$
D. 4
答案：B
解析：$ecause$ 等比数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 满足 $\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{3}=10, \mathrm{a}_{2}+\mathrm{a}_{4}=5, \therefore\left\{\begin{array}{c}a_{1}+a_{1} q^{2}=10\ \ a_{1} q+a_{1} q^{3}=5\end{array}\right.$,解得 $a_{1}=8, q=\frac{1}{2}, a_{5}=a_{1} q^{4}=8 \times \frac{1}{16}=\frac{1}{2}$. 故选 $B$.
题目（高二 · 算术）：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列, 若 $a_{3}=-3, a_{4}=6$, 则 $a_{6}=(\quad)$
选项：
A. -24
  B. 12
  C. 18
  D. 24
答案：D
解析：设等比数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的公比为 $\mathrm{q}, \because\ \mathrm{a}_{3}=-3, \mathrm{a}_{4}=6, \therefore \mathrm{q}=\frac{a_{4}}{a_{3}}=-2$,则 $\mathrm{a}_{6}=a_{4} \times q^{2}=6 \times(-2)^{2}=24$. 故选: D.
题目（高二 · 算术）：等比数列中 $\left\{a_{n}\right\}, a_{1}, a_{5}$ 为方程 $x^{2}-10 x+16=0$ 的两根, 则 $a_{3}=c$
选项：
A. 4
  B. 5
  C. $\pm 4$
  D. $\pm 5$
答案：A
解析：$ \because a_{1}, a_{5}$ 为方程 $x^{2}-10 x+16=0$ 的两根, $\therefore a_{1}+a_{5}=10, a_{1} a_{5}=16$, 则 $a_{1}, a_{5}$ 为正数, 在等比数列中 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{3}{ }^{2}=a_{1} a_{5}=16$, 则 $a_{3}= \pm 4, \because a_{1}, a_{5}$ 为正数, $\therefore a_{3}=4$, 故选: A.
题目（高二 · 算术）：正项等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{3}=2, a_{4} \cdot a_{6}=64$, 则 $a_{5}+a_{1}+a_{2}$ 的值是
选项：
A. 4
  B. 8
  C. 16
  D. 64
答案：C
解析：设正项等比数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的公比为 $\mathrm{q}, \because \mathrm{a}_{3}=2, \mathrm{a}_{4} \mathrm{a}_{6}=64$, $\therefore a_{1} q^{2}=2, a_{1}^{2} q^{8}=64$, $\therefore$ 解得 $\mathrm{q}^{2}=4, \therefore \frac{a_{5}+a_{6}}{a_{1}+a_{2}}=\frac{q^{4}\left(a_{1}+a_{2}\right)}{a_{1}+a_{2}}=q^{4}=16$. 故选 C
题目（高二 · 算术）：已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为递增数列, $S_{n}$ 是其前 $n$ 项和. 若 $a_{1}+a_{5}=\frac{17}{2}, a_{2} a_{4}=4$, 则 $S_{6}=$
选项：
A. $\frac{27}{16}$
  B. $\frac{27}{8}$
  C. $\frac{63}{4}$
  D. $\frac{63}{2}$
答案：D
解析：设递增的等比数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的公比为 $\mathrm{q}$,$\because \mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{5}=\frac{17}{2}, \mathrm{a}_{2} \mathrm{a}_{4}=4=\mathrm{a}_{1} \mathrm{a}_{5}, \therefore$ 解得 $\mathrm{a}_{1}=\frac{1}{2}, \mathrm{a}_{5}=8, \therefore \frac{a_{5}}{a_{1}}=q^{4}=16$, $\because$ 等比数列 $\{\mathrm{an}\}$ 为递增数列， $\therefore$ 解得 $\mathrm{q}=2, \therefore \mathrm{S}_{6}=\frac{\frac{1}{2}\left(2^{6}-1\right)}{2-1}=\frac{63}{2}$. 故选 D.
题目（高二 · 算术）：等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正数, 且 $a_{5} a_{6}+a_{4} a_{7}=18$, 则 $\log _{3} a_{1}+\log _{3} a_{2}+\cdots \log _{3} a_{10}=(\quad)$
选项：
A. 12
  B. 10
  C. 8
  D. $2+\log _{3} 5$
答案：B
解析：$\because a_{5} a_{6}=a_{4} a_{7}, \therefore a_{5} a_{6}+a_{4} a_{7}=2 a_{5} a_{6}=18, \therefore a_{5} a_{6}=9$$\therefore \log _{3} \mathrm{a}_{1}+\log _{3} \mathrm{a}_{2}+\ldots \log _{3} \mathrm{a}_{10}=\log _{3}\left(\mathrm{a}_{5} \mathrm{a}_{6}\right)^{5}=5 \log _{3} 9=10$, 故选 $\mathrm{B}$.
题目（高二 · 算术）：如果 -1, , , b, c, -9 成等比数列, 那么 ( )
选项：
A. $\mathrm{b}=3, \mathrm{ac}=9$
  B. $\mathrm{b}=-3, \mathrm{ac}=9$
  C. $\mathrm{b}=3, \mathrm{ac}=-9$
  D. $\mathrm{b}=-3, \mathrm{ac}=-9$
答案：B
解析：由等比数列的性质可得 $\mathrm{ac}=(-1) \times(-9)=9$,$\mathrm{b} \times \mathrm{b}=9$ 且 $\mathrm{b}$ 与奇数项的符号相同, $\therefore \mathrm{b}=-3$, 故选 $: \mathrm{B}$
题目（高二 · 算术）：人骑自行车的速度是 $v_{1}$, 风速为 $v_{2}$, 则逆风行驶的速度为
选项：
A. $v_{1}-v_{2}$
B. $v_{1}+v_{2}$
C. $\left|v_{1}\right|-\left|v_{2}\right|$
D. $\left|\frac{v_{1}}{v_{2}}\right|$
答案：B
解析：解析 : 由向量的加法法则可得逆风行驶的速度为 $v_{1}+v_{2}$. 注意速度是有方向和大小的，是一个向量.

答案: B
题目（高二 · 算术）：已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列, 若 $a_{1}+a_{5}+a_{9}=4 \pi$, 则 $\cos a_{5}$ 的值为 ( )
选项：
A. $-\frac{1}{2}$
B. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $\frac{1}{2}$
答案：A
解析：$: \because\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列, $a_{1}+a_{5}+a_{9}=4 \pi, \therefore 3 a_{5}=4 \pi$, 解得 $a_{5}=\frac{4 \pi}{3}$.

$\therefore \operatorname{cosa}_{5}=\cos \frac{4 \pi}{3}=-\frac{1}{2}$. 故选: A.
题目（高二 · 算术）：已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{7}+a_{9}=16, a_{4}=1$, 则 $a_{12}$ 的值是 ( )
选项：
A. 64
B. 31
C. 30
D. 15
答案：D
解析：设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d, \because a_{7}+a_{9}=16, a_{4}=1, \therefore\left\{\begin{array}{l}2 a_{1}+1 \mu u=16 \\ a_{1}+3 d=1\end{array}\right.$,解得 $\mathrm{a}_{1}=-\frac{17}{4}, \mathrm{~d}=\frac{7}{4}$ 则 $\mathrm{a}_{12}=-\frac{17}{4}+\frac{7}{4} \times 11=15$. 故选: D.
题目（高二 · 算术）：已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$, 且 $a_{10}=\frac{1}{2} a_{12}+6, a_{2}=4$, 则 $a_{5}=(\quad)$
选项：
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
答案：C
解析：根据题意, 设等差数列 $\left\{\mathrm{a}_{n}\right\}$ 的公差为 $\mathrm{d}$,

又由 $a_{10}=\frac{1}{2} a_{12}+6, a_{2}=4$, 则 $(4+8 \mathrm{~d})=\frac{1}{2}(4+10 \mathrm{~d})+6$,

解可得: $\mathrm{d}=\frac{4}{3}$, 则 $\mathrm{a}_{5}=\mathrm{a}_{2}+3 \mathrm{~d}=8$; 故选: $\mathrm{C}$.
题目（高二 · 算术）：在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{3}, a_{15}$ 是方程 $x^{2}-6 x+8=0$ 的两个根, 则 $a_{7}+a_{8}+a_{9}+a_{10}+a_{11}$为 $(\quad)$
选项：
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15
答案：D
解析：等差数列 $\left\{\mathrm{a}_{n}\right\}$ 中, $\mathrm{a}_{3}, \mathrm{a}_{15}$ 是方程 $\mathrm{x}^{2}-6 \mathrm{x}+8=0$ 的两个根,

$\therefore \mathrm{a}_{3}+\mathrm{a}_{15}=2 \mathrm{a}_{9}=6, \quad \therefore \mathrm{a}_{9}=3 ; \quad \therefore \mathrm{a}_{7}+\mathrm{a}_{8}+\mathrm{a}_{9}+\mathrm{a}_{10}+\mathrm{a}_{11}=\left(\mathrm{a}_{7}+\mathrm{a}_{11}\right)+\left(\mathrm{a}_{8}+\mathrm{a}_{10}\right)$

$+a_{9}=5 a_{9}=5 \times 3=15$.
题目（高二 · 算术）：等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{2}=12, a_{n}=-20$, 公差 $d=-2$, 则项数 $n=(\quad)$
选项：
A. 20
B. 19
C. 18
D. 17
答案：C
解析：等差数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 中, $\mathrm{a}_{2}=12, \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=-20$, 公差 $\mathrm{d}=-2$,

$\therefore \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{2}+(\mathrm{n}-2) \mathrm{d}, \therefore-20=12-2(\mathrm{n}-2)$, 解得 $\mathrm{n}=18$, 故选: $\mathrm{C}$.
题目（高二 · 算术）：设 $x>0, y>0$, 若 $x \lg 2, \lg \sqrt{2}, y \lg 2$ 成等差数列, 则 $\frac{1}{x}+\frac{9}{y}$ 的最小值为
选项：
A. 8
B. 9
C. 12
D. 16
答案：D
解析：$\mathrm{x}>0, \mathrm{y}>0$, 若 $x l g 2, l g \sqrt{2}, y l g 2$ 成等差数列,

可得 $2 \lg \sqrt{2}=x \lg 2+y \lg 2$, 即为 $x+y=1$,

则 $\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=(\mathrm{x}+\mathrm{y})\left(\frac{1}{x}+\frac{9}{y}\right)=10+\frac{y}{x}+\frac{9 x}{y} \geq 10+2 \sqrt{\frac{y}{x} \cdot \frac{9 x}{y}}=16$, 当且仅当 $\mathrm{y}=3 \mathrm{x}=\frac{3}{4}$ 时,上式取得等号, 则 $\frac{1}{x}+\frac{9}{y}$ 的最小值为 16 , 故选:D.
题目（高二 · 算术）：已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{101}=0$, 则有 $(\quad)$
选项：
A. $a_{1}+a_{101}>0$
B. $a_{2}+a_{100}<0$
C. $a_{3}+a_{99}=0$
D. $a_{51}=57$
答案：C
解析：数列列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等差数列,

则: 当 $m+n=p+q$ 时, 则: $a_{m}+a_{n}=a_{p}+a_{q}$,

由于等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{101}=0$,

则: $a_{1}+a_{101}=a_{2}+a_{100}=a_{3}+a_{99}=0$. 故选 C.
题目（高二 · 算术）：《九章算术》卷第六《均输》中, 提到如下问题: “今有竹九节, 下三节容量四升上四节容量三升. 问中间二节欲均容, 各多少? ”其中 “欲均容” 的意思是: 使容量变化均匀, 即每节的容量成等差数列. 在这个问题中的中间两节容量分别是（）
选项：
A. $\frac{67}{66}$ 升、 $\frac{41}{33}$ 升
B. 2 升、 3 升
C. $\frac{3}{22}$ 升、 $\frac{37}{33}$ 升
D. $\frac{67}{66}$ 升、 $\frac{37}{33}$ 升
答案：D
解析：由题意知九节竹的容量成等差数列, 至下而上各节的容量分别为 $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{9}$, 公差为 $d$,

即 $\left\{\begin{array}{c}a_{1}+a_{2}+a_{1}=4 \\ a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}=3\end{array}, \therefore\left\{\begin{array}{c}3 a_{1}+31=4 \\ 4 a_{1}+26 d=3\end{array}\right.\right.$, 解得 $\mathrm{a}_{1}=\frac{95}{66}, \mathrm{~d}=-\frac{7}{66}$,

$\therefore$ 中间两节的容量 $\mathrm{a}_{5}=\mathrm{a}_{1}+4 \mathrm{~d}=\frac{95}{66}-\frac{28}{66}=\frac{67}{66}, \mathrm{a}_{4}=\frac{37}{33}$, 故选 $: D$.
题目（高二 · 算术）：记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和. 若 $a_{4}+a_{5}=24, S_{6}=48$, 则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为
选项：
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
答案：C
解析：$\because \mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 为等差数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 $\mathrm{n}$ 项和, $\mathrm{a}_{4}+\mathrm{a}_{5}=24, \mathrm{~S}_{6}=48$,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}a_{1}+3 d+a_{1}+4 d=24 \\ 6 a_{1}+\frac{6 \times 5}{2} d=48\end{array}\right.$, 解得 $\mathrm{a}_{1}=-2, \mathrm{~d}=4, \therefore\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的公差为
题目（高二 · 算术）：在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=2, a_{3}+a_{5}=10$, 则 $a_{7}=(\quad)$​
选项：
A. 5
B. 8
C. 10
D. 14
答案：B
解析：$\because$ 在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中 $a_{1}=2, a_{3}+a_{5}=10, \therefore 2 a_{4}=a_{3}+a_{5}=10$, 解得 $a_{4}=5$,$\therefore$ 公差 $\mathrm{d}=\frac{a_{4}-a_{1}}{4-1}=1, \therefore \mathrm{a}_{7}=\mathrm{a}_{1}+6 \mathrm{~d}=2+6=8$, 故选 $\mathrm{B}$.
题目（高二 · 算术）：已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{5}+a_{7}=14$, 则 $S_{11}=(\quad)$
选项：
A. 140
B. 70
C. 154
D. 77
答案：D
解析：等差数列 $\left\{\mathrm{a}_{n}\right\}$ 的前 $\mathrm{n}$ 项和为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}$, 又 $\mathrm{a}_{5}+\mathrm{a}_{7}=14$,

$\therefore \mathrm{S}_{11}=\frac{11}{2}\left(\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{11}\right)=\frac{11}{2}\left(a_{5}+a_{7}\right)=\frac{11}{2} \times 14=77$. 故选 D.
题目（高二 · 算术）：在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, 若 $a_{5}, a_{7}$ 是方程 $x^{2}-2 x-6=0$ 的两根, 则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 11 项的和为
选项：
A. 22
B. -33
C. -11
D. 11
答案：D
解析：等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, 若 $a_{5}, a_{7}$ 是方程 $x^{2}-2 x-6=0$ 的两根, 则 $a_{5}+a_{7}=2, \therefore a_{6}=\frac{1}{2}\left(a_{5}+a_{7}\right)$ $=1, \therefore\left\{\mathrm{a}_{n}\right\}$ 的前 11 项的和为 $\mathrm{S}_{11}=\frac{11 \times\left(a_{1}+a_{11}\right)}{2}=11 \mathrm{a}_{6}=11 \times 1=11$. 故选 D
题目（高二 · 算术）：等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\},\left\{a_{n}\right\}$ 和 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 与 $T_{n}$, 对一切自然数 $n$, 都有 $\frac{\mathrm{S}_{n}}{T_{n}}=$ $\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{n}+1}$ ，则 $\mathrm{a}_{5} \mathrm{a}_{5}$ 等于 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{3}{4}$
B. $\frac{5}{6}$
C. $\frac{9}{10}$
D. $\frac{10}{11}$
答案：C
解析：$\because \mathrm{S}_{9}=\frac{9\left(a_{1}+a_{9}\right)}{2}=9 \mathrm{a}_{5}, \mathrm{~T}_{9}=\frac{9\left(b_{1}+b_{9}\right)}{2}=9 b_{5}, \therefore \mathrm{a}_{5}=\frac{1}{9} \mathrm{~S}_{9}, \mathrm{~b}_{5}=\frac{1}{9} \mathrm{~T}_{9}$, 又 $\because$ 当 $\mathrm{n}=9$ 时, $\frac{S_{9}}{T_{9}}$

$=\frac{9}{10}, \quad \therefore \frac{a_{5}}{b_{5}}=\frac{S_{9}}{T_{9}}=\frac{9}{10}$, 故选 C.
题目（高二 · 算术）：在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=2,2 a_{n+1}-2 a_{n}=1$, 则 $a_{101}$ 的值为
选项：
A. 52
B. 51
C. 50
D. 49
答案：A
解析：在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=2,2 a_{n+1}-2 a_{n}=1, \therefore a_{n+1}-a_{n}=\frac{1}{2}$, 故数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为首项为 2 公差为 $\frac{1}{2}$ 的等差数列, $\therefore \mathrm{a}_{101}=2+100 \times \frac{1}{2}=52$. 故选 A.
题目（高二 · 算术）：等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{7}+a_{9}=16, a_{4}=2$, 则 $a_{12}=(\quad)$
选项：
A. 10
B. 14
C. 15
D. 30
答案：B
解析：设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d, \because a_{7}+a_{9}=16, a_{4}=2, \therefore 2 a_{1}+14 d=16, a_{1}+3 d=2$. 解得 $\mathrm{a}_{1}=-\frac{5}{2}, \mathrm{~d}=\frac{3}{2}$. 则 $\mathrm{a}_{12}=-\frac{5}{2}+11 \times \frac{3}{2}=14$. 故选 $: \mathrm{B}$.
题目（高二 · 算术）：一已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, 其前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 若 $a_{3}+a_{4}+a_{5}=42$, 则 $S_{7}=(\quad)$
选项：
A. 98
B. 49
C. 14
D. 147
答案：A
解析：等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, 因为 $a_{3}+a_{4}+a_{5}=42$, 所以 $a_{4}=42$, 解得 $a_{4}=14$,

所以 $\mathrm{S}_{7}=\frac{7\left(a_{1}+a_{7}\right)}{2}=7 \mathrm{a}_{4}=7 \times 14=98$, 故选 A.
题目（高二 · 算术）：等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 若 $a_{1}=\frac{1}{2}, S_{4}=20$, 则 $S_{6}=(\quad)$
选项：
A. 16
B. 24
C. 36
D. 48
答案：D
解析：$\because a_{1}=\frac{1}{2}, \mathrm{~S}_{4}=20, \therefore \mathrm{S}_{4}=2+6 \mathrm{~d}=20, \quad \therefore \mathrm{d}=3, \therefore \mathrm{S}_{6}=3+15 \mathrm{~d}=48$. 故选: $\mathrm{D}$.
题目（高二 · 算术）：如果等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{3}+a_{4}+a_{5}=12$, 那么 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{7}=(\quad)$
选项：
A. 14
B. 21
C. 28
D. 35
答案：C
解析：$\mathrm{a}_{3}+\mathrm{a}_{4}+\mathrm{a}_{5}=3 \mathrm{a}_{4}=12, \mathrm{a}_{4}=4, \therefore \mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{2}+\ldots+\mathrm{a}_{7}=\frac{7\left(a_{1}+a_{7}\right)}{2}=7 \mathrm{a}_{4}=28$ ，故选 C
题目（高二 · 算术）：已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots a_{100}=0$, 则 ( )
选项：
A. $\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{101}>0$
B. $a_{2}+a_{100}<0$
C. $a_{3}+a_{98}=0$
D. $a_{5}=51$
答案：C
解析：等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots+a_{100}=50\left(a_{1}+a_{100}\right)=50\left(a_{3}+a_{98}\right)=0$. 故选:C.
题目（高二 · 算术）：在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=-2015$, 其前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 若 $\frac{S_{12}}{12}-\frac{S_{10}}{10}=2$, 则 $S_{2018}$ 的值等于 ( )
选项：
A. 4036
B. 2018
C. 2017
D. $-2 \quad 017$
答案：A
解析：设等差数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的公差为 $\mathrm{d}$, 由 $\frac{S_{12}}{12}-\frac{S_{10}}{10}=2$,

得 $\frac{\left(a_{1}+a_{12}\right) \times 12}{2}-\frac{\left(a_{1}+a_{12}\right) \times 10}{2}=2$, 即 $\frac{a_{1}+a_{12}}{2}-\frac{a_{1}+a_{10}}{2}=2, \therefore \mathrm{a}_{12}-\mathrm{a}_{10}=4$, 则 $2 \mathrm{~d}=4, \mathrm{~d}=2$.

$\therefore \mathrm{S}_{2018}=2018 \times(-2015)+\frac{2018 \times 2017}{2} \times 2=4036$. 故选 $: \mathrm{A}$.
题目（高二 · 算术）：若一个等差数列前 3 项的和为 34 , 最后 3 项的和为 146 , 且所有项的和为 390 , 则这个数列有
选项：
A. 13 项
B. 12 项
C. 11 项
D. 10 项
答案：A
解析：依题意 $a_{1}+a_{2}+a_{3}=34, a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}=146$

$\therefore a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}=34+146=180$, 又 $\because a_{1}+a_{n}=a_{2}+a_{n-1}=a_{3}+a_{n-2} \quad \therefore a_{1}+a_{n}=\frac{180}{3}=60, \quad \therefore S_{n}$ $=\frac{\left(a_{1}+a_{n}\right) n}{2}=\frac{60 n}{2}=390 \quad \therefore \mathrm{n}=13$, 故选 A
题目（高二 · 算术）：对任意等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$, 下列说法一定正确的是（）
选项：
A. $a_{1}, a_{3}, a_{9}$ 成等比数列
B. $a_{2}, a_{3}, a_{6}$ 成等比数列
C. $a_{2}, a_{4}, a_{8}$ 成等比数列
D. $a_{3}, a_{6}, a_{9}$ 成等比数列
答案：D
解析：A 项中 $\mathrm{a}_{3}=\mathrm{a}_{1} \cdot \mathrm{q}^{2}, \mathrm{a}_{1} \cdot \mathrm{a}_{9}=a_{1}^{2} \cdot \mathrm{q}^{8},\left(\mathrm{a}_{3}\right)^{2} \neq \mathrm{a}_{1} \cdot \mathrm{a}_{9}$, 故 A 项说法错误,

B 项中 $\left(\mathrm{a}_{3}\right)^{2}=\left(\mathrm{a}_{1} \cdot \mathrm{q}^{2}\right)^{2} \neq \mathrm{a}_{2} \cdot \mathrm{a}_{6}=a_{1}^{2} \cdot \mathrm{q}^{6}$, 故 B 项说法错误,

C 项中 $\left(\mathrm{a}_{4}\right)^{2}=\left(\mathrm{a}_{1} \cdot \mathrm{q}^{3}\right)^{2} \neq \mathrm{a}_{2} \cdot \mathrm{a}_{8}=a_{1}^{2} \cdot \mathrm{q}^{8}$, 故 C 项说法错误,

D 项中 $\left(\mathrm{a}_{6}\right)^{2}=\left(\mathrm{a}_{1} \cdot \mathrm{q}^{5}\right)^{2}=\mathrm{a}_{3} \cdot \mathrm{a}_{9}=a_{1}^{2} \cdot \mathrm{q}^{10}$, 故 D 项说法正确, 故选: D.
题目（高二 · 算术）：如果-1, $a, b, c,-9$ 成等比数列, 那么（）
选项：
A. $b=3, a c=9$
B. $b=-3, a c=9$
C. $b=3, a c=-9$
D. $b=-3, a c=-9$
答案：B
解析：由等比数列的性质可得 $a c=(-1) \times(-9)=9, b \times b=9$ 且 $b$ 与奇数项的符号相同, $\therefore \mathrm{b}=-3$, 故选: B.
题目（高二 · 算术）：等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=\frac{1}{8}, q=2$, 则 $a_{4}$ 与 $a_{8}$ 的等比中项是 ()
选项：
A. $\pm 4$
B. 4
C. $\pm \frac{1}{4}$
D. $\frac{1}{4}$
答案：A
解析：等比数列 $\left\{\mathrm{a}_{n}\right\}$ 中, $\mathrm{a}_{1}=\frac{1}{8}, \mathrm{q}=2, \quad \therefore a_{n}=a_{1} q^{n-1}=\frac{1}{8} \times 2^{n-1}=2^{n-4}$, $\therefore \mathrm{a}_{4}=1, \mathrm{a}_{8}=16,1,16$ 的等比中项有 $\pm 4$. 故选 A.
题目（高二 · 算术）：等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项均为正数, 且 $a_{5} a_{6}+a_{4} a_{7}=18$, 则 $\log _{3} a_{1}+\log _{3} a_{2}+\cdots \log _{3} a_{10}=(\quad)$
选项：
A. 12
B. 10
C. 8
D. $2+\log _{3} 5$
答案：B
解析：$\because \mathrm{a}_{5} \mathrm{a}_{6}=\mathrm{a}_{4} \mathrm{a}_{7}, \quad \therefore \mathrm{a}_{5} \mathrm{a}_{6}+\mathrm{a}_{4} \mathrm{a}_{7}=2 \mathrm{a}_{5} \mathrm{a}_{6}=18 \quad \therefore \mathrm{a}_{5} \mathrm{a}_{6}=9$

$\therefore \log _{3} \mathrm{a}_{1}+\log _{3} \mathrm{a}_{2}+\ldots \log _{3} \mathrm{a}_{10}=\log _{3}\left(\mathrm{a}_{5} \mathrm{a}_{6}\right)^{5}=5 \log _{3} 9=10 \quad$ 故选 B.