题目（九年级 · 立体几何学）：综合与实践: 制作无盖盒子

任务一：如图 1, 有一块矩形纸板, 长是宽的 2 倍, 要将其四角各剪去一个正方形, 折成高为 $4 \mathrm{~cm}$,容积为 $616 \mathrm{~cm}^{3}$ 的无盖长方体盒子(纸板厚度忽略不计).

(1)请在图 1 的矩形纸板中画出示意图, 用实线表示剪切线, 虚线表示折痕.

(2)请求出这块矩形纸板的长和宽.

任务二：图 2 是一个高为 $4 \mathrm{~cm}$ 的无盖的五棱柱盒子(直棱柱), 图 3 是其底面, 在五边形 $\mathrm{ABCDE}$ 中, $\mathrm{BC}=12 \mathrm{~cm}, \mathrm{AB}=\mathrm{DC}=6 \mathrm{~cm}, \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{BCD}=120^{\circ}, \angle \mathrm{EAB}=\angle \mathrm{EDC}=90^{\circ}$.

(1)试判断图 3 中 $\mathrm{AE}$ 与 $\mathrm{DE}$ 的数量关系, 并加以证明.

(2)图 2 中的五棱柱盒子可按图 4 所示的示意图, 将矩形纸板剪切折合而成, 那么这个矩形纸板的长和宽至少各为多少 $\mathrm{cm}$ ? 请直接写出结果(图中实线表示剪切线, 虚线表示折痕. 纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计).



图1



图2



图3



图4
选项：
答案：任务一:

(1) 作图见试题解析;

(2) 30,15 ; 任务二 (1) $A E=D E$;

(2) $18+4 \sqrt{3}, 4+8 \sqrt{3}$.

【解析】任务一：（1）如图 1 所示:

（2）设矩形纸板的宽为 $x \mathrm{~cm}$, 则长为 $2 x \mathrm{~cm}$, 由题意得: $4(x-2 \times 4)(2 x-2 \times 4)=616$, 解得: $x_{1}=15$, $x_{2}=-3($ 舍去),$\quad \therefore 2 x=2 \times 15=30$,

答: 矩形纸板的长为 $30 \mathrm{~cm}$, 宽为 $15 \mathrm{~cm}$;

任务二: (1) $A E=D E$, 证明如下: 延长 $E A, E D$ 分别交直线 $B C$ 于 $M, N, \because \angle A B C=\angle B C D=120^{\circ}$, $\therefore \angle A B M=\angle D C N=60^{\circ}, \because \angle E A B=\angle E D C=90^{\circ}, \therefore \angle M=\angle N=30^{\circ}, \therefore E M=E N$, 在 $\triangle M A B$ 与 $\triangle N D C$ 中, $\because \angle M=\angle N, \quad \angle A B M=\angle D C N, \quad A B=D C, \quad \therefore \triangle M A B \cong \triangle N D C, \quad \therefore A M=D N, \quad \therefore E M-A M=E N-D N$, $\therefore A E=D E$

(2) 如图 4, 由 (1) 得; $A E=D E, \angle E A D=\angle E D A=30^{\circ}$, 由已知得, $A G=D F=4$, 连接 $A D, G F$, 过 $B, C$ 分别作 $B M \perp A D$ 于 $M, C N \perp A D$ 于 $N$, 过 $E$ 作 $E P \perp A D$ 于 $P$, 则 $G F$ 即为矩形纸板的长, $M N=B C=12$, $A P=D P, \therefore \angle B A M=\angle C D N=60^{\circ}, \because A B=C D=6, \therefore A M=D N=3, B M=C N=3 \sqrt{3}, \therefore A P=\frac{1}{2} A D=\frac{1}{2}(3+3+12)$ $=9, \quad \therefore A E=6 \sqrt{3}, P E=3 \sqrt{3}, \because A D / / G F, \therefore \triangle E A D \sim \triangle E G F, \quad \therefore \frac{A E}{G E}=\frac{A D}{G F}, \therefore G F=18+4 \sqrt{3}, \quad \therefore$矩形纸板的长至少为 $18+4 \sqrt{3}$, 矩形纸板的宽至少为 $P E+B M+2 \sqrt{3}+4=3 \sqrt{3}+3 \sqrt{3}+2 \sqrt{3}+4=4+8 \sqrt{3}$.

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图1

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图4
解析：任务一:

(1) 作图见试题解析;

(2) 30,15 ; 任务二 (1) $A E=D E$;

(2) $18+4 \sqrt{3}, 4+8 \sqrt{3}$.

【解析】任务一：（1）如图 1 所示:

（2）设矩形纸板的宽为 $x \mathrm{~cm}$, 则长为 $2 x \mathrm{~cm}$, 由题意得: $4(x-2 \times 4)(2 x-2 \times 4)=616$, 解得: $x_{1}=15$, $x_{2}=-3($ 舍去),$\quad \therefore 2 x=2 \times 15=30$,

答: 矩形纸板的长为 $30 \mathrm{~cm}$, 宽为 $15 \mathrm{~cm}$;

任务二: (1) $A E=D E$, 证明如下: 延长 $E A, E D$ 分别交直线 $B C$ 于 $M, N, \because \angle A B C=\angle B C D=120^{\circ}$, $\therefore \angle A B M=\angle D C N=60^{\circ}, \because \angle E A B=\angle E D C=90^{\circ}, \therefore \angle M=\angle N=30^{\circ}, \therefore E M=E N$, 在 $\triangle M A B$ 与 $\triangle N D C$ 中, $\because \angle M=\angle N, \quad \angle A B M=\angle D C N, \quad A B=D C, \quad \therefore \triangle M A B \cong \triangle N D C, \quad \therefore A M=D N, \quad \therefore E M-A M=E N-D N$, $\therefore A E=D E$

(2) 如图 4, 由 (1) 得; $A E=D E, \angle E A D=\angle E D A=30^{\circ}$, 由已知得, $A G=D F=4$, 连接 $A D, G F$, 过 $B, C$ 分别作 $B M \perp A D$ 于 $M, C N \perp A D$ 于 $N$, 过 $E$ 作 $E P \perp A D$ 于 $P$, 则 $G F$ 即为矩形纸板的长, $M N=B C=12$, $A P=D P, \therefore \angle B A M=\angle C D N=60^{\circ}, \because A B=C D=6, \therefore A M=D N=3, B M=C N=3 \sqrt{3}, \therefore A P=\frac{1}{2} A D=\frac{1}{2}(3+3+12)$ $=9, \quad \therefore A E=6 \sqrt{3}, P E=3 \sqrt{3}, \because A D / / G F, \therefore \triangle E A D \sim \triangle E G F, \quad \therefore \frac{A E}{G E}=\frac{A D}{G F}, \therefore G F=18+4 \sqrt{3}, \quad \therefore$矩形纸板的长至少为 $18+4 \sqrt{3}$, 矩形纸板的宽至少为 $P E+B M+2 \sqrt{3}+4=3 \sqrt{3}+3 \sqrt{3}+2 \sqrt{3}+4=4+8 \sqrt{3}$.



图1



图4