eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（八年级 · 度量几何学）：在Rt$triangleABC$中,$angleBAC=90^{circ},E、F$分别是$BC、AC$的中点,延长$BA$到点$D$,使$AB=2AD$,连接$DE、DF、AE、EF,AF$与$DE$交于点$O$.$(1)$试说明$AF$与$DE$互相平分;(2)若$AB=8,BC=12$,求$DO$的长.
选项：
答案：(1)结合已知条件推知四边形$AEFD$是平行四边形,在该平行四边形的两条对角线互相平分;(2)根据勾股定理求得$AC$的长度,然后由平行四边形的性质和勾股定理来求$DO$的长度.【解析】解：(1)$becauseE、F$分别是$BC、AC$的中点,$thereforeEF$是$triangleABC$的中位线,$thereforeEF//AB$且$EF=frac{1}{2}AB$.又$AB=2AD$,即$AD=frac{1}{2}AB$,$thereforeAD//EF,AD=EF$,$therefore$四边形$AEFD$是平行四边形,$thereforeAF$与$DE$互相平分;(2)$because$在Rt$triangleABC$中,$angleBAC=90^{circ},AB=8,BC=12$,$therefore$由勾股定理得$AC=sqrt{BC^{2}-{AB}^{2}}=sqrt{12^{2}-8^{2}}=4sqrt{5}$又由(1)知,$OA=OF$,且$AF=CF$,$thereforeOA=frac{1}{4}AC=sqrt{5}$.$therefore$在$triangleAOD$中,$angleDAO=90^{circ},AD=frac{1}{2}AB=4,OA=sqrt{5}$,$therefore$由勾股定理得$DO=sqrt{DA^{2}+OA^{2}}=sqrt{4^{2}+(sqrt{5})^{2}}=sqrt{21}$.<ImageHere>【点睛】本题考查了三角形中位线定理,平行四边形的判定与性质.三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
解析：(1)结合已知条件推知四边形$AEFD$是平行四边形,在该平行四边形的两条对角线互相平分;(2)根据勾股定理求得$AC$的长度,然后由平行四边形的性质和勾股定理来求$DO$的长度.【解析】解：(1)$becauseE、F$分别是$BC、AC$的中点,$thereforeEF$是$triangleABC$的中位线,$thereforeEF//AB$且$EF=frac{1}{2}AB$.又$AB=2AD$,即$AD=frac{1}{2}AB$,$thereforeAD//EF,AD=EF$,$therefore$四边形$AEFD$是平行四边形,$thereforeAF$与$DE$互相平分;(2)$because$在Rt$triangleABC$中,$angleBAC=90^{circ},AB=8,BC=12$,$therefore$由勾股定理得$AC=sqrt{BC^{2}-{AB}^{2}}=sqrt{12^{2}-8^{2}}=4sqrt{5}$又由(1)知,$OA=OF$,且$AF=CF$,$thereforeOA=frac{1}{4}AC=sqrt{5}$.$therefore$在$triangleAOD$中,$angleDAO=90^{circ},AD=frac{1}{2}AB=4,OA=sqrt{5}$,$therefore$由勾股定理得$DO=sqrt{DA^{2}+OA^{2}}=sqrt{4^{2}+(sqrt{5})^{2}}=sqrt{21}$.【点睛】本题考查了三角形中位线定理,平行四边形的判定与性质.三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图,在四边形$ABCD$中,$AD//BC,AC$与$BD$交于点$E$,点$E$是$BD$的中点,延长$CD$到点$F$,使$DF=CD$,连接$AF$.(1)求证:$AE=CE$;(2)求证:四边形$ABDF$是平行四边形;(3)若$AB=4,AF=8,angleF=30^{circ}$，则四边形$ABCF$的面积为24.
选项：
答案：(1)由平行线的性质得$angleADE=angleCBE$,再由$ASA$证明$triangleADEcongtriangleCBE$,即可得出结论;(2)由平行四边形的性质得$AB//CD,AB=CD$,再证$DF=AB$,即可得出结论;(3)过$C$作$CHperpBD$于$H$,过$D$作$DQperpAF$于$Q$,求出高$DQ$和$CH$,再根据面积公式求出即可.【解析】(1)证明：$because$点$E$是$BD$的中点,$thereforeBE=DE$,$becauseAD//BC$$thereforeangleADE=angleCBE$,在$triangleADE$和$triangleCBE$中,<ImageHere>$thereforetriangleADEcongtriangleCBE(ASA)$,$thereforeAE=CE$(2)证明:$becauseAE=CE,BE=DE$,$therefore$四边形$ABCD$是平行四边形,$thereforeAB//CD,AB=CD$,$becauseDF=CD$,$thereforeDF=AB$,又$becauseDF//AB$,$therefore$四边形$ABDF$是平行四边形;(3)解:过$C$作$CHperpBD$于$H$,过$D$作$DQperpAF$于$Q$,如图所示:$because$四边形$ABCD$和四边形$ABDF$是平行四边形,$AB=4,AF=8,angleF=30^{circ}$,$thereforeDF=AB=4,CD=AB=4,BD=AF=8,BD//AF$,$thereforeangleBDC=angleF=30^{circ}$,$becauseCHperpBD,DQperpAF$,$thereforeangleCHD=angleDQF=90^{circ}$,$thereforeDQ=frac{1}{2}DF=2,CH=frac{1}{2}DC=2$,<ImageHere>故答案为:24.<ImageHere>【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、含$30^{circ}$角的直角三角形的性质、三角形的面积等知识点,熟练掌握平行四边形的判定与性质,证明$triangleADEcongtriangleCBE$是解此题的关键.
解析：(1)由平行线的性质得$angleADE=angleCBE$,再由$ASA$证明$triangleADEcongtriangleCBE$,即可得出结论;(2)由平行四边形的性质得$AB//CD,AB=CD$,再证$DF=AB$,即可得出结论;(3)过$C$作$CHperpBD$于$H$,过$D$作$DQperpAF$于$Q$,求出高$DQ$和$CH$,再根据面积公式求出即可.【解析】(1)证明：$because$点$E$是$BD$的中点,$thereforeBE=DE$,$becauseAD//BC$$thereforeangleADE=angleCBE$,在$triangleADE$和$triangleCBE$中,$thereforetriangleADEcongtriangleCBE(ASA)$,$thereforeAE=CE$(2)证明:$becauseAE=CE,BE=DE$,$therefore$四边形$ABCD$是平行四边形,$thereforeAB//CD,AB=CD$,$becauseDF=CD$,$thereforeDF=AB$,又$becauseDF//AB$,$therefore$四边形$ABDF$是平行四边形;(3)解:过$C$作$CHperpBD$于$H$,过$D$作$DQperpAF$于$Q$,如图所示:$because$四边形$ABCD$和四边形$ABDF$是平行四边形,$AB=4,AF=8,angleF=30^{circ}$,$thereforeDF=AB=4,CD=AB=4,BD=AF=8,BD//AF$,$thereforeangleBDC=angleF=30^{circ}$,$becauseCHperpBD,DQperpAF$,$thereforeangleCHD=angleDQF=90^{circ}$,$thereforeDQ=frac{1}{2}DF=2,CH=frac{1}{2}DC=2$,故答案为:24.【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、含$30^{circ}$角的直角三角形的性质、三角形的面积等知识点,熟练掌握平行四边形的判定与性质,证明$triangleADEcongtriangleCBE$是解此题的关键.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图,在平行四边形$ABCD$中,$angleBAD$的平分线与$BC$的延长线交于点$E$,与$DC$交于点$F$.(1)求证$CD=BE$;(2)若点$F$为$DC$的中点,$DGperpAE$于$G$,且$DG=3,AB=10$,求$AE$的长.
选项：
答案：(1)由平行四边形的性质和角平分线证出$angleBAE=angleE$.得出$AB=BE$,即可得出结论;(2)同(1)证出$DA=DF$,由$F$为$DC$中点,$AB=CD$,求出$AD$与$DF$的长,得出三角形$ADF$为等腰三角形,根据三线合一得到$G$为$AF$中点,在直角三角形$ADG$中,由$AD$与$DG$的长,利用勾股定理求出$AG$的长,进而求出$AF$的长,再由三角形$ADF$与三角形$ECF$全等,得出$AF=$$EF$,即可求出$AE$的长.【解析】(1)证明:$becauseAE$为$angleBAD$的平分线,$thereforeangleDAE=angleBAE$.$because$四边形$ABCD$是平行四边形,$thereforeAD//BC,CD=AB$.$thereforeangleDAE=angleE$.$thereforeangleBAE=angleE$.$thereforeAB=BE$.$thereforeCD=BE$.(2)解:$because$四边形$ABCD$是平行四边形,$thereforeCD//AB$,$thereforeangleBAF=angleDFA$.$thereforeangleDAF=angleDFA$.$thereforeDA=DF$.$becauseF$为$DC$的中点,$AB=10$,$thereforeDF=CF=DA=5$.$becauseDGperpAE,DG=3$,$thereforeAG=GF$.$thereforeAG=sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$.$thereforeAF=2AG=8$.在$triangleADF$和$triangleECF$中,$left{begin{array}{l}angle{DAF}=angle{E}angle{ADF}=angle{ECF},{DF}={CF}end{array}right.$$thereforetriangleADFcongtriangleECF(AAS)$.$thereforeAF=EF$,$thereforeAE=2AF=16$.【点睛】此题考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰三角形的判定与性质,熟练掌握平行四边形的判定与性质,证明三角形全等是解决问题(2)的关键.
解析：(1)由平行四边形的性质和角平分线证出$angleBAE=angleE$.得出$AB=BE$,即可得出结论;(2)同(1)证出$DA=DF$,由$F$为$DC$中点,$AB=CD$,求出$AD$与$DF$的长,得出三角形$ADF$为等腰三角形,根据三线合一得到$G$为$AF$中点,在直角三角形$ADG$中,由$AD$与$DG$的长,利用勾股定理求出$AG$的长,进而求出$AF$的长,再由三角形$ADF$与三角形$ECF$全等,得出$AF=$$EF$,即可求出$AE$的长.【解析】(1)证明:$becauseAE$为$angleBAD$的平分线,$thereforeangleDAE=angleBAE$.$because$四边形$ABCD$是平行四边形,$thereforeAD//BC,CD=AB$.$thereforeangleDAE=angleE$.$thereforeangleBAE=angleE$.$thereforeAB=BE$.$thereforeCD=BE$.(2)解:$because$四边形$ABCD$是平行四边形,$thereforeCD//AB$,$thereforeangleBAF=angleDFA$.$thereforeangleDAF=angleDFA$.$thereforeDA=DF$.$becauseF$为$DC$的中点,$AB=10$,$thereforeDF=CF=DA=5$.$becauseDGperpAE,DG=3$,$thereforeAG=GF$.$thereforeAG=sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$.$thereforeAF=2AG=8$.在$triangleADF$和$triangleECF$中,$left{begin{array}{l}angle{DAF}=angle{E}angle{ADF}=angle{ECF},{DF}={CF}end{array}right.$$thereforetriangleADFcongtriangleECF(AAS)$.$thereforeAF=EF$,$thereforeAE=2AF=16$.【点睛】此题考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰三角形的判定与性质,熟练掌握平行四边形的判定与性质,证明三角形全等是解决问题(2)的关键.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图,四边形$ABCD$中,对角线$AC、BD$相交于点$O,AO=OC,BO=OD$,且$angleAOB=2angleOAD$.(1)求证:四边形$ABCD$是矩形;(2)若$angleAOB:angleODC=4:3$,求$angleADO$的度数.
选项：
答案：（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形$ABCD$是平行四边形,根据三角形的外角的性质得到$angleAOB=angleDAO+angleADO=2angleOAD$,求得$angleDAO=angleADO$,推出$AC=BD$,于是得到四边形$ABCD$是矩形;（2）根据矩形的性质得到$AB//CD$,根据平行线的性质得到$angleABO=angleCDO$,根据三角形的内角得到$angleABO=54^{circ}$,于是得到结论.【解析】(1)证明:$becauseAO=OC,BO=OD$,$therefore$四边形$ABCD$是平行四边形,$becauseangleAOB=angleDAO+angleADO=2angleOAD$,$thereforeangleDAO=angleADO$,$thereforeAO=DO$,$thereforeAC=BD$,$therefore$四边形$ABCD$是矩形;(2)解：$because$四边形$ABCD$是矩形,$thereforeAB//CD$,$thereforeangleABO=angleCDO$,$becauseangleAOB:angleODC=4:3$,$thereforeangleAOB:angleABO=4:3$,$thereforeangleBAO:angleAOB:angleABO=3:4:3$,$thereforeangleABO=54^{circ}$,$becauseangleBAD=90^{circ}$,$thereforeangleADO=90^{circ}-54^{circ}=36^{circ}$.【点睛】本题考查了矩形的判定和性质,三角形的内角和,正确的理解题意是解题的关键.
解析：（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形$ABCD$是平行四边形,根据三角形的外角的性质得到$angleAOB=angleDAO+angleADO=2angleOAD$,求得$angleDAO=angleADO$,推出$AC=BD$,于是得到四边形$ABCD$是矩形;（2）根据矩形的性质得到$AB//CD$,根据平行线的性质得到$angleABO=angleCDO$,根据三角形的内角得到$angleABO=54^{circ}$,于是得到结论.【解析】(1)证明:$becauseAO=OC,BO=OD$,$therefore$四边形$ABCD$是平行四边形,$becauseangleAOB=angleDAO+angleADO=2angleOAD$,$thereforeangleDAO=angleADO$,$thereforeAO=DO$,$thereforeAC=BD$,$therefore$四边形$ABCD$是矩形;(2)解：$because$四边形$ABCD$是矩形,$thereforeAB//CD$,$thereforeangleABO=angleCDO$,$becauseangleAOB:angleODC=4:3$,$thereforeangleAOB:angleABO=4:3$,$thereforeangleBAO:angleAOB:angleABO=3:4:3$,$thereforeangleABO=54^{circ}$,$becauseangleBAD=90^{circ}$,$thereforeangleADO=90^{circ}-54^{circ}=36^{circ}$.【点睛】本题考查了矩形的判定和性质,三角形的内角和,正确的理解题意是解题的关键.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图,$squareABCD$的对角线$AC、BD$相交于点$O$,且$angleOBC=angleOCB$.(1)求证:四边形$ABCD$为矩形;(2)过$B$作$BEperpAO$于$E,angleCBE=3angleABE,BE=2$,求$AE$的长.
选项：
答案：(1)根据等角对等边得出$OB=OC$,根据平行四边形性质求出$OC=OA=frac{1}{2}AC,OB=$$OD=frac{1}{2}BD$,推出$AC=BD$,根据矩形的判定推出即可.(2)根据矩形的性质和$angleCBE=3angleABE$,得出$angleABE=22.5^{circ}$,在$EB$上取一点$H$,使得$EH=AE$,易证$AH=BH$,设$AE=EB=x$,则$AH=BH=sqrt{2}x$,构建方程即可解决问题.【解析】（1）证明：$becauseangleOBC=angleOCB$,$thereforeOB=OC$,$because$四边形$ABCD$是平行四边形,$thereforeOC=OA=frac{1}{2}AC,OB=OD=frac{1}{2}BD$,$thereforeAC=BD$,$because$四边形$ABCD$是平行四边形,$therefore$四边形$ABCD$是矩形;(2)$because$四边形$ABCD$是矩形,$thereforeangleABC=90^{circ}$,$becauseangleCBE=3angleABE$$thereforeangleABE=frac{1}{4}times90^{circ}=22.5^{circ}$,在$EB$上取一点$H$,使得$EH=AE$,易证$AH=BH$,设$AE=EB=x$,则$AH=BH=sqrt{2}x$,<ImageHere>$becauseBE=2$,$thereforex+sqrt{2}x=2$,$thereforex=2sqrt{2}-2$.【点睛】本题考查了平行四边形的性质,等腰三角形的判定,矩形的判定,注意：对角线相等的平行四边形是矩形,等角对等边,学会添加常用辅助线,构造特殊三角形解决问题.
解析：(1)根据等角对等边得出$OB=OC$,根据平行四边形性质求出$OC=OA=frac{1}{2}AC,OB=$$OD=frac{1}{2}BD$,推出$AC=BD$,根据矩形的判定推出即可.(2)根据矩形的性质和$angleCBE=3angleABE$,得出$angleABE=22.5^{circ}$,在$EB$上取一点$H$,使得$EH=AE$,易证$AH=BH$,设$AE=EB=x$,则$AH=BH=sqrt{2}x$,构建方程即可解决问题.【解析】（1）证明：$becauseangleOBC=angleOCB$,$thereforeOB=OC$,$because$四边形$ABCD$是平行四边形,$thereforeOC=OA=frac{1}{2}AC,OB=OD=frac{1}{2}BD$,$thereforeAC=BD$,$because$四边形$ABCD$是平行四边形,$therefore$四边形$ABCD$是矩形;(2)$because$四边形$ABCD$是矩形,$thereforeangleABC=90^{circ}$,$becauseangleCBE=3angleABE$$thereforeangleABE=frac{1}{4}times90^{circ}=22.5^{circ}$,在$EB$上取一点$H$,使得$EH=AE$,易证$AH=BH$,设$AE=EB=x$,则$AH=BH=sqrt{2}x$,$becauseBE=2$,$thereforex+sqrt{2}x=2$,$thereforex=2sqrt{2}-2$.【点睛】本题考查了平行四边形的性质,等腰三角形的判定,矩形的判定,注意：对角线相等的平行四边形是矩形,等角对等边,学会添加常用辅助线,构造特殊三角形解决问题.
题目（八年级 · 度量几何学）：【教材呈现】如图是华师版八年级下册数学教材第121页的部分内容.如图,在正方形$ABCD$中,$CEperpDF$.求证:$CE=DF$.结合图(1),写出证明过程.【结论应用】如图(2),设$CE,DF$相交于点$G$.若$AB=3$,图中阴影部分的面积和与正方形$ABCD$的面积之比为2:3,则$triangleDCG$的面积为$-frac{3}{2}$—,$CG+DG$的长为$_sqrt{15}_$.图(1)图(2)
选项：
答案：【教材呈现】根据$AAS$证$triangleCDFcongtriangleBCE$即可得证;【结论应用】设三角形$DCG$的面积为$x$,根据题意列出方程求解即可得出$triangleDCG$的面积,设$CG$$=a,DG=b$,根据数量关系推出$(a+b)$的值,即可得出$CG+DG$的长.【解析】【教材呈现】证明：设$DF、EC$交于点$G$,<ImageHere>图(1)$becauseDFperpCE$$thereforeangleFGC=90^{circ}$,$thereforeangleDFC+angleECB=90^{circ}$,$because$四边形$ABCD$是正方形,$thereforeBC=DC,angleB=angleFCD=90^{circ}$,$thereforeangleBEC+angleBCE=90^{circ}$$thereforeangleBEC=angleCFD$,在$triangleCDF$和$triangleBCE$中,$left{begin{array}{l}angle{BEC}=angle{CFD}angle{B}=angle{FCB},{BC}={CD}end{array}right.$$thereforetriangleCDFcongtriangleBCE(AAS)$,$thereforeCE=DF$【结论应用】由【教材呈现】知,$S_{triangleBEC}=S_{triangleCDF}$,$therefore$四边形$BEGF$的面积$+triangleFGC$的面积$=triangleFGC$的面积$+triangleDGC$的面积,即四边形$BEGF$的面积$=triangleDGC$的面积,设$triangleDCG$的面积为$x$,则阴影部分的面积为:$3times3-2x=9-2x$,即$frac{9-2x}{9}=frac{2}{3}$,解得$x=frac{3}{2}$,设$CG=a,DG=b$，$becauseDFperpEC$$thereforefrac{1}{2}ab=frac{3}{2},a^{2}+b^{2}=9$,$thereforea^{2}+b^{2}+2ab=9+6=15$,即$(a+b)^{2}=15$，$thereforeCG+DG=a+b=sqrt{15}$,故答案为:$frac{3}{2},sqrt{15}$.【点睛】本题主要考查正方形的性质,熟练掌握正方形的性质,全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键.
解析：【教材呈现】根据$AAS$证$triangleCDFcongtriangleBCE$即可得证;【结论应用】设三角形$DCG$的面积为$x$,根据题意列出方程求解即可得出$triangleDCG$的面积,设$CG$$=a,DG=b$,根据数量关系推出$(a+b)$的值,即可得出$CG+DG$的长.【解析】【教材呈现】证明：设$DF、EC$交于点$G$,图(1)$becauseDFperpCE$$thereforeangleFGC=90^{circ}$,$thereforeangleDFC+angleECB=90^{circ}$,$because$四边形$ABCD$是正方形,$thereforeBC=DC,angleB=angleFCD=90^{circ}$,$thereforeangleBEC+angleBCE=90^{circ}$$thereforeangleBEC=angleCFD$,在$triangleCDF$和$triangleBCE$中,$left{begin{array}{l}angle{BEC}=angle{CFD}angle{B}=angle{FCB},{BC}={CD}end{array}right.$$thereforetriangleCDFcongtriangleBCE(AAS)$,$thereforeCE=DF$【结论应用】由【教材呈现】知,$S_{triangleBEC}=S_{triangleCDF}$,$therefore$四边形$BEGF$的面积$+triangleFGC$的面积$=triangleFGC$的面积$+triangleDGC$的面积,即四边形$BEGF$的面积$=triangleDGC$的面积,设$triangleDCG$的面积为$x$,则阴影部分的面积为:$3times3-2x=9-2x$,即$frac{9-2x}{9}=frac{2}{3}$,解得$x=frac{3}{2}$,设$CG=a,DG=b$，$becauseDFperpEC$$thereforefrac{1}{2}ab=frac{3}{2},a^{2}+b^{2}=9$,$thereforea^{2}+b^{2}+2ab=9+6=15$,即$(a+b)^{2}=15$，$thereforeCG+DG=a+b=sqrt{15}$,故答案为:$frac{3}{2},sqrt{15}$.【点睛】本题主要考查正方形的性质,熟练掌握正方形的性质,全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A D \perp B C, A E$ 平分 $\angle B A C, \angle B=70^{\circ}, \angle C=30^{\circ}$.

(1) 则 $\angle \mathrm{BAE}=$

(2) 求 $\angle \mathrm{DAE}$ 的度数.


选项：
答案：解: (1) $\because \angle \mathrm{B}=70^{\circ}, \angle \mathrm{C}=30^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BAC}=180^{\circ}-\angle \mathrm{B}-\angle \mathrm{C}=80^{\circ}$

又 $\because \mathrm{AE}$ 平分 $\angle \mathrm{BAC}$,
$\therefore \angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{EAC}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC}=40^{\circ}$;

(2) $\because \mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}$

$\therefore \angle A D C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{DAC}=90^{\circ}-\angle \mathrm{C}=60^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{DAE}=\angle \mathrm{DAC}-\angle \mathrm{EAC}=20^{\circ}$
解析：解: (1) $\because \angle \mathrm{B}=70^{\circ}, \angle \mathrm{C}=30^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BAC}=180^{\circ}-\angle \mathrm{B}-\angle \mathrm{C}=80^{\circ}$

又 $\because \mathrm{AE}$ 平分 $\angle \mathrm{BAC}$,
$\therefore \angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{EAC}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC}=40^{\circ}$;

(2) $\because \mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}$

$\therefore \angle A D C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{DAC}=90^{\circ}-\angle \mathrm{C}=60^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{DAE}=\angle \mathrm{DAC}-\angle \mathrm{EAC}=20^{\circ}$
题目（八年级 · 度量几何学）：学过 《勾股定理》后, 某班兴趣小组来到操场上测量旗杆 $A B$ 的高度, 得到如下信息:



图1



图2

(1)测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长 1 米（如图 1）;

(2)当将绳子拉直时, 测得此时拉绳子的手到地面的距离 $C D$ 为 1 米,

到旗杆的距离 $C E$ 为 6 米（如图 2）。根据以上信息, 求旗杆 $A B$ 的高度.
选项：
答案：解: 设 $A B=x$

依题意可知: 在 Rt $\triangle A C E$ 中, $\angle A E C=90^{\circ}, A C=x+1, A E=x-1, C E=6$,

根据勾股定理得: $A C^{2}=A E^{2}+C E^{2}$, 即: $(x+1)^{2}=(x-1)^{2}+6^{2}$,

解得： $x=9$ 答：旗杆 $A B$ 的高度是 9 米.
解析：解: 设 $A B=x$

依题意可知: 在 Rt $\triangle A C E$ 中, $\angle A E C=90^{\circ}, A C=x+1, A E=x-1, C E=6$,

根据勾股定理得: $A C^{2}=A E^{2}+C E^{2}$, 即: $(x+1)^{2}=(x-1)^{2}+6^{2}$,

解得： $x=9$ 答：旗杆 $A B$ 的高度是 9 米.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 点 $A 、 F 、 C 、 D$ 在同一条直线上, 已知 $A F=D C, \angle A=\angle D, B C / / E F$, 求证: $A B=D E$.


选项：
答案：证明: $\because \mathrm{AF}=\mathrm{CD}$,

$\therefore \mathrm{AC}=\mathrm{DF}$,

$\because \mathrm{BC} / / \mathrm{EF}$,

$\therefore \angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{DFE}$,

在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 和 $\triangle \mathrm{DEF}$ 中,

$\angle A=\angle D$

$\{A C=D F$

$\angle A C B=\angle D F E$

$\therefore \triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{DEF}(\mathrm{ASA})$,

$\therefore \mathrm{AB}=\mathrm{DE}$.
解析：证明: $\because \mathrm{AF}=\mathrm{CD}$,

$\therefore \mathrm{AC}=\mathrm{DF}$,

$\because \mathrm{BC} / / \mathrm{EF}$,

$\therefore \angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{DFE}$,

在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 和 $\triangle \mathrm{DEF}$ 中,

$\angle A=\angle D$

$\{A C=D F$

$\angle A C B=\angle D F E$

$\therefore \triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{DEF}(\mathrm{ASA})$,

$\therefore \mathrm{AB}=\mathrm{DE}$.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}, \mathrm{AE}$ 平分 $\angle \mathrm{BAC}, \angle \mathrm{B}=70^{\circ}, \angle C=30^{\circ}$.



(1) 则 $\angle \mathrm{BAE}=$ \$ \qquad \$ ;

(2) 求 $\angle \mathrm{DAE}$ 的度数.
选项：
答案：解: (1) $\because \angle \mathrm{B}=70^{\circ}, \angle \mathrm{C}=30^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BAC}=180^{\circ}-\angle \mathrm{B}-\angle \mathrm{C}=80^{\circ}$,

又 $\because \mathrm{AE}$ 平分 $\angle \mathrm{BAC}$,

$\therefore \angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{EAC}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC}=40^{\circ} ;$

(2) $\because \mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}$,

$\therefore \angle A D C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{DAC}=90^{\circ}-\angle \mathrm{C}=60^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{DAE}=\angle \mathrm{DAC}-\angle \mathrm{EAC}=20^{\circ}$.
解析：解: (1) $\because \angle \mathrm{B}=70^{\circ}, \angle \mathrm{C}=30^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BAC}=180^{\circ}-\angle \mathrm{B}-\angle \mathrm{C}=80^{\circ}$,

又 $\because \mathrm{AE}$ 平分 $\angle \mathrm{BAC}$,

$\therefore \angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{EAC}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC}=40^{\circ} ;$

(2) $\because \mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}$,

$\therefore \angle A D C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{DAC}=90^{\circ}-\angle \mathrm{C}=60^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{DAE}=\angle \mathrm{DAC}-\angle \mathrm{EAC}=20^{\circ}$.
题目（八年级 · 解析几何）：( 5 分 ) 若两条直线 $a 、 b$ 相交则只有一个交点。
选项：
答案：解：假设直线 $a 、 b$ 不止有一个公共点, 则至少有两个公共点, 不妨设为 $A 、 B$, 即直线 $a$ 、 $b$ 同时过点 A、B, 也就是说过 A、B 两点可以作两条直线 $a$ 、 $b$, 这和公理“过两点能且只能作一条直线”相矛盾, 所以假设不成立, 两条直线相交只有一个交点。
解析：解：假设直线 $a 、 b$ 不止有一个公共点, 则至少有两个公共点, 不妨设为 $A 、 B$, 即直线 $a$ 、 $b$ 同时过点 A、B, 也就是说过 A、B 两点可以作两条直线 $a$ 、 $b$, 这和公理“过两点能且只能作一条直线”相矛盾, 所以假设不成立, 两条直线相交只有一个交点。
题目（八年级 · 解析几何）：( 10 分 ) 如图, 在四边形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{C}, \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ADC}$, 求证:



(1) $\mathrm{AD} / / \mathrm{BC}, \mathrm{AB} / / \mathrm{CD}$;

(2) $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}, \mathrm{AB}=\mathrm{CD}$.
选项：
答案： (1) 证明: 如图, $\because$ 在四边形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{C}, \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ADC}$,

$\therefore$ 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是平行四边形.

由“四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是平行四边形”得到: $\mathrm{AD} / / \mathrm{BC}, \mathrm{AB} / / \mathrm{CD}$

（2）证明：由“四边形 $A B C D$ 是平行四边形”得到： $A D=B C, A B=C D$
解析： (1) 证明: 如图, $\because$ 在四边形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{C}, \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{ADC}$,

$\therefore$ 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是平行四边形.

由“四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是平行四边形”得到: $\mathrm{AD} / / \mathrm{BC}, \mathrm{AB} / / \mathrm{CD}$

（2）证明：由“四边形 $A B C D$ 是平行四边形”得到： $A D=B C, A B=C D$
题目（八年级 · 解析几何）：( 7 分 ) $\triangle \mathrm{ABC}$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示.



(1) 作 $\triangle A B C$ 关于原点 $O$ 成中心对称的 $\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$.

(2) 请写出点 $B$ 关于 $y$ 轴对称的点 $B_{2}$ 的坐标 . 若将点 $\mathrm{B}_{2}$ 向下平移 $\mathrm{h}$ 单位, 使其落在 $\triangle \mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$内部 (不包括边界) , 直接写出 $\mathrm{h}$ 的值 (写出满足的一个即可).
选项：
答案： (1) 如图, $\triangle \mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 即为所求;

<ImageHere>

(2) 解: $(1,1) ; 2<\mathrm{h}<3.5$

解: $(2) \because \mathrm{B}(-1,1), \therefore \mathrm{B}_{2}(1,1) ; \because \mathrm{B}_{2}(1,-1), \mathrm{H}(-1,-2.5), \therefore 2<\mathrm{h}<3.5$. 故答案为: $(1,1), 2<\mathrm{h}<3.5$.
解析： (1) 如图, $\triangle \mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 即为所求;



(2) 解: $(1,1) ; 2<\mathrm{h}<3.5$

解: $(2) \because \mathrm{B}(-1,1), \therefore \mathrm{B}_{2}(1,1) ; \because \mathrm{B}_{2}(1,-1), \mathrm{H}(-1,-2.5), \therefore 2<\mathrm{h}<3.5$. 故答案为: $(1,1), 2<\mathrm{h}<3.5$.
题目（八年级 · 解析几何）：某社区在开展“美化社区,幸福家园”活动中,计划利用如图所示的直角墙角（阴影部分,两边足够长),用40米长的篦笆围成一个矩形花园$ABCD$(篦笆只围$AB,AD$两边),设$AB=x$米.(1)若花园的面积为300米${}^{2}$,求$x$的值;(2)若在直角墙角内点$P$处有一棵桂花树,且与墙$BC,CD$的距离分别是10米,24米,要将这棵树围在矩形花园内（含边界,不考虑树的粗细）,则花园的面积能否为400米${}^{2}$?若能,求出$x$的值;若不能,请说明理由.
选项：
答案：（1）由矩形面积公式得出方程，解方程即可;（2）根据题意可得方程$x(40-x)=400$,求出$x$的值,然后再根据$P$处这棵树是否被围在花园内进行分析即可.【解析】解:(1)$becauseAB=x$米,$thereforeBC=(40-x)$米,由题意得:$x(40-x)=300$,解得:$x_{1}=10,x_{2}=30$,即$x$的值为10或30;(2)花园的面积不能为400米$^{2}$,理由如下:由题意得:$x(40-x)=400$,解得:$x_{1}=x_{2}=20$,当$x=20$时,$26-x=26-6=20$,即当$AB=20$米,$BC=20$米$<24$米,这棵树没有被围在花园内,$therefore$将这棵树围在矩形花园内(含边界,不考虑树的粗细),则花园的面积不能为400米${}^{2}$.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
解析：（1）由矩形面积公式得出方程，解方程即可;（2）根据题意可得方程$x(40-x)=400$,求出$x$的值,然后再根据$P$处这棵树是否被围在花园内进行分析即可.【解析】解:(1)$becauseAB=x$米,$thereforeBC=(40-x)$米,由题意得:$x(40-x)=300$,解得:$x_{1}=10,x_{2}=30$,即$x$的值为10或30;(2)花园的面积不能为400米$^{2}$,理由如下:由题意得:$x(40-x)=400$,解得:$x_{1}=x_{2}=20$,当$x=20$时,$26-x=26-6=20$,即当$AB=20$米,$BC=20$米$<24$米,这棵树没有被围在花园内,$therefore$将这棵树围在矩形花园内(含边界,不考虑树的粗细),则花园的面积不能为400米${}^{2}$.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元二次方程是解题的关键.
题目（八年级 · 解析几何）：若一个$n$边形的内角和比它的外角和的3倍多$180^{circ}$,(1)求$n$的值;(2)在(1)条件下,求正$(n+1)$边形的一个内角度数及对角线条数.
选项：
答案：（1）一个多边形的内角和等于外角和的3倍多$180^{circ}$,而任何多边形的外角和是$360^{circ}$,因而多边形的内角和等于$1260^{circ}cdotn$边形的内角和可以表示成$(n-2)cdot180^{circ}$,设这个正多边形的边数是$n$,就得到方程,从而求出边数,即可求出答案.(2)从$n$边形的一个顶点引出对角线,可以引$(n-3)$条.【解析】解:（1）设这个多边形的边数为$n$,则内角和为$180^{circ}(n-2)$,依题意得:$180^{circ}(n-2)=360^{circ}times3+180^{circ}$,解得$n=9$,答:这个多边形是九边形;(2)从$n$边形的一个顶点引出对角线,可以引$(n-3)$条,则从十边形的一个顶点引出对角线,可以引7条.正十边形的一个内角为$(10-2)times180^{circ}div10=144^{circ}$【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点,此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系,构建方程求解即可.从$n$边形一个顶点可以引$(n-3)$条对角线.
解析：（1）一个多边形的内角和等于外角和的3倍多$180^{circ}$,而任何多边形的外角和是$360^{circ}$,因而多边形的内角和等于$1260^{circ}cdotn$边形的内角和可以表示成$(n-2)cdot180^{circ}$,设这个正多边形的边数是$n$,就得到方程,从而求出边数,即可求出答案.(2)从$n$边形的一个顶点引出对角线,可以引$(n-3)$条.【解析】解:（1）设这个多边形的边数为$n$,则内角和为$180^{circ}(n-2)$,依题意得:$180^{circ}(n-2)=360^{circ}times3+180^{circ}$,解得$n=9$,答:这个多边形是九边形;(2)从$n$边形的一个顶点引出对角线,可以引$(n-3)$条,则从十边形的一个顶点引出对角线,可以引7条.正十边形的一个内角为$(10-2)times180^{circ}div10=144^{circ}$【点睛】本题主要考查多边形内角与外角的知识点,此题要结合多边形的内角和公式寻求等量关系,构建方程求解即可.从$n$边形一个顶点可以引$(n-3)$条对角线.
题目（八年级 · 解析几何）：己知:如图,在$triangleABC$中,$D、E、F$分别是各边的中点,$AH$是高.求证:(1)四边形$ADEF$是平行四边形;(2)$angleDHF=angleDEF$.
选项：
答案：(1)由三角形中位线定理得$EF//AB$且$EF=frac{1}{2}AB$,再证$AD=frac{1}{2}AB$,则$EF//AD$且$EF$$=AD$,即可得出结论;(2)证$triangleFDHcongtriangleDFE$(SSS),即可证得$angleDHF=angleDEF$.【解析】证明:(1)$becauseE、F$分别为$BC、AC$的中点,$thereforeEF$是$triangleABC$的中位线,$thereforeEF//AB$且$EF=frac{1}{2}AB$,$because$点$D$是$AB$的中点,$thereforeAD=frac{1}{2}AB$,$thereforeEF//AD$且$EF=AD$,$therefore$四边形$ADEF$是平行四边形;(2)连接$DF$,如图所示:$becauseAHperpBC$于$H$,$thereforeangleAHB=angleAHC=90^{circ}$$because$点$D、F$分别是$AB、CA$的中点,$thereforeHD=frac{1}{2}AB,FH=frac{1}{2}AC$,$because$点$D、E、F$分别是$AB、BC、CA$的中点，$thereforeEF、DE$都是$triangleABC$的中位线，$thereforeEF=frac{1}{2}AB,DE=frac{1}{2}AC$,$thereforeHD=EF,FH=DE$,在$triangleFDH$和$triangleDFE$中,$left{begin{array}{l}{HD}={EF}{FH}={DE},{DF}={FD}end{array}right.$$thereforetriangleFDHcongtriangleDFE(SSS)$,$thereforeangleDHF=angleDEF$.<ImageHere>【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定,三角形的中位线定理,直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形全等的判定与性质等知识;熟练掌握平行四边形的判定与性质,证明$triangleFDHcong$$triangleDFE$是解题的关键.
解析：(1)由三角形中位线定理得$EF//AB$且$EF=frac{1}{2}AB$,再证$AD=frac{1}{2}AB$,则$EF//AD$且$EF$$=AD$,即可得出结论;(2)证$triangleFDHcongtriangleDFE$(SSS),即可证得$angleDHF=angleDEF$.【解析】证明:(1)$becauseE、F$分别为$BC、AC$的中点,$thereforeEF$是$triangleABC$的中位线,$thereforeEF//AB$且$EF=frac{1}{2}AB$,$because$点$D$是$AB$的中点,$thereforeAD=frac{1}{2}AB$,$thereforeEF//AD$且$EF=AD$,$therefore$四边形$ADEF$是平行四边形;(2)连接$DF$,如图所示:$becauseAHperpBC$于$H$,$thereforeangleAHB=angleAHC=90^{circ}$$because$点$D、F$分别是$AB、CA$的中点,$thereforeHD=frac{1}{2}AB,FH=frac{1}{2}AC$,$because$点$D、E、F$分别是$AB、BC、CA$的中点，$thereforeEF、DE$都是$triangleABC$的中位线，$thereforeEF=frac{1}{2}AB,DE=frac{1}{2}AC$,$thereforeHD=EF,FH=DE$,在$triangleFDH$和$triangleDFE$中,$left{begin{array}{l}{HD}={EF}{FH}={DE},{DF}={FD}end{array}right.$$thereforetriangleFDHcongtriangleDFE(SSS)$,$thereforeangleDHF=angleDEF$.【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定,三角形的中位线定理,直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形全等的判定与性质等知识;熟练掌握平行四边形的判定与性质,证明$triangleFDHcong$$triangleDFE$是解题的关键.