题目（九年级 · 解析几何）：在某张航海图上, 标明了三个观测点的坐标, 如图, O $(0,0) 、 B(6,0) 、 C(6,8)$,由三个观测点确定的圆形区域是海洋生物保护区.

(1) 求圆形区域的面积;

(2) 某时刻海面上出现 - 渔船 $A$, 在观测点 $O$ 测得 $A$ 位于北偏东 $45^{\circ}$, 同时在观测点 $B$ 测得 $A$ 位于北偏东 $30^{\circ}$, 求观测点 $B$ 到 $A$ 船的距离. $(\sqrt{3} \approx 1.7$, 保留三个有效数字 );

（3）当渔船 A 由（2）中位置向正西方向航行时, 是否会进入海洋生物保护区？通过计算回答.


选项：
答案：【分析】 (1) 连接 $\mathrm{CB}, \mathrm{CO}$, 则 $\mathrm{CB} / / \mathrm{y}$ 轴, 由圆周角定理、勾股定理得 $\mathrm{OC}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$, 则半径 $\mathrm{OO}{ }^{\prime}$ $=5, \mathrm{~S}_{\odot 0^{\prime}}=\pi \bullet 5^{2}=25 \pi$.

(2) 过点 $A$ 作 $A D \perp x$ 轴于点 $D$, 依题意, 得 $\angle B A D=30^{\circ}$, 在 Rt $\triangle A B D$ 中, 设 $B D=x$, 则 $A B=2 x$,由勾股定理 $A D=\sqrt{3} x$, 根据图形得到 $O D=O B+B D=6+x$, 故 $A B=2 x=6(\sqrt{3}+1) \approx 16.2$

(3) 过点 $A$ 作 $A G \perp y$ 轴于点 $G$. 过点 $O^{\prime}$ 作 $O^{\prime} E \perp O B$ 于点 $E$, 并延长 $E O^{\prime}$ 交 $A G$ 于点 $F$. 由垂径定理得, $O E=B E=3$. 在 $R t \triangle O O^{\prime} E$ 中, 由勾股定理得, $O^{\prime} E=4$. 所以

$O^{\prime} \quad F=9+3 \sqrt{3}-4=5+3 \sqrt{3}>5$

解: (1) 连接 $C B, C O$, 则 $C B / / y$ 轴,

$\therefore \angle \mathrm{CBO}=90^{\circ}$,

设 $O^{\prime}$ 为由 $O 、 B 、 C$ 三点所确定圆的圆心.

则 $O C$ 为 $\odot O^{\prime}$ 的直径.

由已知得 $\mathrm{OB}=6, \mathrm{CB}=8$, 由勾股定理得 $\mathrm{OC}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$

半径 $O O^{\prime}=5, S_{\odot O}=\pi \cdot 5^{2}=25 \pi$.

（2）过点 $A$ 作 $A D \perp x$ 轴于点 $D$, 依题意, 得 $\angle B A D=30^{\circ}$,在 Rt $\triangle A B D$ 中, 设 $B D=x$, 则 $A B=2 x$,由勾股定理得, $\mathrm{AD}=\sqrt{A B^{2}-B D^{2}}=\sqrt{3^{x}}$,

由题意知: $O D=O B+B D=6+x$, 在 Rt $\triangle A O D$ 中, $O D=A D, 6+x=\sqrt{3} x$

$\therefore \mathrm{x}=3\left(\sqrt{3}^{+1}\right)$
$\therefore A B=2 x=6(\sqrt{3}+1) \approx 16.2$

（注: 近似计算一定要到最后的结果才可以代入, 否则中间就代入, 误差会很大）;

(3) 过点 $A$ 作 $A G \perp y$ 轴于点 $G$.

过点 $O^{\prime}$ 作 $O^{\prime} E \perp O B$ 于点 $E$, 并延长 $E O^{\prime}$ 交 $A G$ 于点 $F$.

由 (1) 知, $\mathrm{OO}^{\prime}=5$, 由垂径定理得, $\mathrm{OE}=\mathrm{BE}=3$.

$\therefore$ 在 Rt $\triangle \mathrm{OO}^{\prime} \mathrm{E}$ 中, 由勾股定理得, $\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{E}=4$

$\because$ 四边形 FEDA 为矩形.

$\therefore E F=D A$, 而 $A D=\sqrt{3} \mathrm{x}=9+3 \sqrt{3}$

$\therefore O^{\prime} \quad \mathrm{F}=9+3 \sqrt{3}-4=5+3 \sqrt{3}>5$,

$\therefore$ 直线 $\mathrm{AG}$ 与 $\odot 0^{\prime}$ 相离, $\mathrm{A}$ 船不会进入海洋生物保护区.

<ImageHere>
解析：【分析】 (1) 连接 $\mathrm{CB}, \mathrm{CO}$, 则 $\mathrm{CB} / / \mathrm{y}$ 轴, 由圆周角定理、勾股定理得 $\mathrm{OC}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$, 则半径 $\mathrm{OO}{ }^{\prime}$ $=5, \mathrm{~S}_{\odot 0^{\prime}}=\pi \bullet 5^{2}=25 \pi$.

(2) 过点 $A$ 作 $A D \perp x$ 轴于点 $D$, 依题意, 得 $\angle B A D=30^{\circ}$, 在 Rt $\triangle A B D$ 中, 设 $B D=x$, 则 $A B=2 x$,由勾股定理 $A D=\sqrt{3} x$, 根据图形得到 $O D=O B+B D=6+x$, 故 $A B=2 x=6(\sqrt{3}+1) \approx 16.2$

(3) 过点 $A$ 作 $A G \perp y$ 轴于点 $G$. 过点 $O^{\prime}$ 作 $O^{\prime} E \perp O B$ 于点 $E$, 并延长 $E O^{\prime}$ 交 $A G$ 于点 $F$. 由垂径定理得, $O E=B E=3$. 在 $R t \triangle O O^{\prime} E$ 中, 由勾股定理得, $O^{\prime} E=4$. 所以

$O^{\prime} \quad F=9+3 \sqrt{3}-4=5+3 \sqrt{3}>5$

解: (1) 连接 $C B, C O$, 则 $C B / / y$ 轴,

$\therefore \angle \mathrm{CBO}=90^{\circ}$,

设 $O^{\prime}$ 为由 $O 、 B 、 C$ 三点所确定圆的圆心.

则 $O C$ 为 $\odot O^{\prime}$ 的直径.

由已知得 $\mathrm{OB}=6, \mathrm{CB}=8$, 由勾股定理得 $\mathrm{OC}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$

半径 $O O^{\prime}=5, S_{\odot O}=\pi \cdot 5^{2}=25 \pi$.

（2）过点 $A$ 作 $A D \perp x$ 轴于点 $D$, 依题意, 得 $\angle B A D=30^{\circ}$,在 Rt $\triangle A B D$ 中, 设 $B D=x$, 则 $A B=2 x$,由勾股定理得, $\mathrm{AD}=\sqrt{A B^{2}-B D^{2}}=\sqrt{3^{x}}$,

由题意知: $O D=O B+B D=6+x$, 在 Rt $\triangle A O D$ 中, $O D=A D, 6+x=\sqrt{3} x$

$\therefore \mathrm{x}=3\left(\sqrt{3}^{+1}\right)$
$\therefore A B=2 x=6(\sqrt{3}+1) \approx 16.2$

（注: 近似计算一定要到最后的结果才可以代入, 否则中间就代入, 误差会很大）;

(3) 过点 $A$ 作 $A G \perp y$ 轴于点 $G$.

过点 $O^{\prime}$ 作 $O^{\prime} E \perp O B$ 于点 $E$, 并延长 $E O^{\prime}$ 交 $A G$ 于点 $F$.

由 (1) 知, $\mathrm{OO}^{\prime}=5$, 由垂径定理得, $\mathrm{OE}=\mathrm{BE}=3$.

$\therefore$ 在 Rt $\triangle \mathrm{OO}^{\prime} \mathrm{E}$ 中, 由勾股定理得, $\mathrm{O}^{\prime} \mathrm{E}=4$

$\because$ 四边形 FEDA 为矩形.

$\therefore E F=D A$, 而 $A D=\sqrt{3} \mathrm{x}=9+3 \sqrt{3}$

$\therefore O^{\prime} \quad \mathrm{F}=9+3 \sqrt{3}-4=5+3 \sqrt{3}>5$,

$\therefore$ 直线 $\mathrm{AG}$ 与 $\odot 0^{\prime}$ 相离, $\mathrm{A}$ 船不会进入海洋生物保护区.