eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高三 · 解析几何）：如图, 已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆的左、右焦点, 点 $P$ 在粗圆上, 线段 $P F_{2}$ 与圆相切于点 $Q$, 且点 $Q$ 为线段 $P F_{2}$ 的中点, 则椭圆的离心率为 ( )
选项：
A. $\frac{\sqrt{5}}{3}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{5}$
C. $\frac{\sqrt{5}}{4}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{5}$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_c70ed9230755576ee53ag-
答案：A
解析：如图: 连接 $O Q, P F_{1}, ecause$ 点 $Q$ 为线段 $P F_{2}$ 的中点, $	herefore O Q \| P F_{1}$, $|O Q|=rac{1}{2}\left|P F_{1}ight|, 	herefore\left|P F_{1}ight|=2|O Q|=2 b$, 由椭圆定义, $\left|P F_{1}ight|+\left|P F_{2}ight|=2 a$, $	herefore\left|P F_{2}ight|=2 a-2 b, ecause$ 线段 $P F_{2}$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=b^{2}$ 相切于点 $Q, 	herefore O Q \perp P F_{2}$,$	herefore P F_{1} \perp P F_{2}$, 且 $\left|F_{1} F_{2}ight|=2 c, 	herefore(2 b)^{2}+(2 a-2 b)^{2}=(2 c)^{2}$, 即 $3 b=2 a, 5 a^{2}=9 c^{2}, 	herefore e=rac{c}{a}=rac{\sqrt{5}}{3}$.故选 $A$.
题目（高三 · 解析几何）：若粗圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的短轴长等于焦距, 则椭圆的离心率为 ( )
选项：
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{4}$
答案：C
解析：依题意可知 $2 c=2 b$, 即 $b=c$, 所以 $a=\sqrt{b^{2}+c^{2}}=\sqrt{2} c, 	herefore$ 粗圆的离心率 $e=rac{c}{a}=rac{\sqrt{2}}{2}$.
题目（高三 · 解析几何）：已知三个数 $1, a, 9$ 成等比数列, 则圆雉曲线 $\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{2}=1$ 的离心率为
选项：
A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
B. $\sqrt{5}$
C. $\sqrt{5}$ 或 $\frac{\sqrt{10}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $\frac{\sqrt{10}}{2}$
答案：D
解析：$:$ 三个数 $1, a, 9$ 成等比数列, $	herefore a^{2}=9$, 则 $a= \pm 3$. 当 $a=3$ 时, 曲线方程为 $rac{x^{2}}{3}+rac{y^{2}}{2}=1$,表示椭圆, 则长半轴长为 $\sqrt{3}$, 半焦距为 1 , 离心率为 $rac{\sqrt{3}}{3}$; 当 $a=-3$ 时, 曲线方程为 $rac{y^{2}}{2}-rac{x^{2}}{3}=1$,表示双曲线, 则实半轴长为 $\sqrt{2}$, 半焦距为 $\sqrt{5}$, 离心率为 $rac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}=rac{\sqrt{10}}{2}$.
题目（高三 · 解析几何）：设 $F_{1} 、 F_{2}$ 为粗圆的两个焦点, $M$ 为椭圆上一点, $M F_{1} \perp M F_{2}$, 且 $\left|M F_{2}\right|=|M O|$ (其中点 $O$ 为椭圆的中心），则该椭圆的离心率为
选项：
A. $\sqrt{3}-1$
B. $2-\sqrt{3}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
答案：A
解析：由题意可知: $M F_{1} \perp M F_{2}$, 则 $	riangle F_{1} M F_{2}$ 为直角三角形, 由 $\left|M F_{2}ight|=|M O|$, $O$ 为 $F_{1} F_{2}$ 中点, 则 $|O M|=\left|O F_{2}ight|, 	herefore 	riangle O M F_{2}$ 为等边三角形, $\angle O F_{2} M=60^{\circ}:\left|M F_{2}ight|=c, \quad 	herefore\left|M F_{1}ight|=\sqrt{3} c$, 由粗圆的定义可知: $\mid M F_{1}$$|+| M F_{2} \mid=2 a=\sqrt{3} c+c=(\sqrt{3}+1) c, a=rac{(\sqrt{3}+1)}{2}$, 则该椭圆的离心率 $e=rac{c}{a}=rac{c}{rac{\sqrt{3}+1}{2} c}=\sqrt{3}-1$,
题目（高三 · 解析几何）：直线 $l$ 经过粗圆的一个顶点和一个焦点, 若椭圆中心到 $l$ 的距离为其短轴长的 $\frac{1}{4}$, 则该椭圆的离心率为 ( )
选项：
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{3}{4}$
答案：B
解析：设椭圆的方程为: $rac{x^{2}}{a^{2}}+rac{y^{2}}{b^{2}}=1$, 直线 $l$ 经过椭圆的一个顶点和一个焦点, 设直线方程为: $rac{x}{c}+rac{y}{b}=1$, 粗圆中心到 $l$ 的距离为其短轴长的 $rac{1}{4}$, 可得: $rac{1}{\sqrt{rac{1}{c^{2}}+rac{1}{b^{2}}}}=rac{b}{2}$, $	herefore 4=b^{2}\left(rac{1}{c^{2}}+rac{1}{b^{2}}ight), 	herefore rac{b^{2}}{c^{2}}=3, 	herefore rac{a^{2}-c^{2}}{c^{2}}=3, 	herefore rac{a^{2}}{c^{2}}=4, 	herefore e=rac{c}{a}=rac{1}{2}$. 故选: $B$.
题目（高三 · 解析几何）：已知陏圆 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$, 且以线段 $A_{1} A_{2}$ 为直径的圆与直线 $\mathrm{bx}-\mathrm{ay}+2 \mathrm{ab}=0$ 相切, 则 $C$ 的离心率为 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{\sqrt{6}}{3}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$
D. $\frac{1}{3}$
答案：A
解析：以线段 $A_{1} A_{2}$ 为直径的圆与直线 $b x-a y+2 a b=0$ 相切, $	herefore$ 原点到直线的距离 $rac{2 a b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=a$, 化为: $a^{2}=3 b^{2} . 	herefore$ 椭圆 $C$ 的离心率 $e=rac{c}{a}=\sqrt{1-rac{b^{2}}{a^{2}}}=rac{\sqrt{6}}{3}$. 故选 $A$.
题目（高三 · 解析几何）：已知 $F_{1}, F_{2}$ 是粗圆 $C: \frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 的两个焦点, 在 $C$ 上满足 $\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=0$ 的点 $P$ 的个数为
选项：
A. 0
B. 2
C. 4
D. 无数个
答案：B
解析：由 $C: rac{x^{2}}{8}+rac{y^{2}}{4}=1$, 得 $a=2 \sqrt{2}, b=2, c=2, ecause b=c=2, 	herefore$ 以原点为圆心, $c$ 为半径的圆与椭圆有 2 个交点, $	herefore P F_{1} \perp P F_{2}$ 的点 $P$ 的个数为 2 , 即满足 $\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=0$ 的点 $P$ 的个数为 2 ,故选: $B$.
题目（高三 · 解析几何）：已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C$ 的两个焦点, $P$ 是 $C$ 上的一点, 若 $P F_{1} \perp P F_{2}$, 且 $\angle P F_{2} F_{1}=60^{\circ}$,则 $C$ 的离心率为 $(\quad)$
选项：
A. $1-\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $2-\sqrt{3}$
C. $\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
D. $\sqrt{3}-1$
答案：D
解析：不妨设 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆的左、右焦点, $ecause P F_{1} \perp P F_{2}, 	herefore \Delta P F_{1} F_{2}$ 是直角三角形, 在 $R t \Delta$ $P F_{1} F_{2}$ 中, $\angle P F_{2} F_{1}=60^{\circ},\left|F_{1} F_{2}ight|=2 c, 	herefore\left|P F_{1}ight|=\sqrt{3} c,\left|P F_{2}ight|=c$. 由椭圆的定义可知 $\left|P F_{1}ight|+\left|P F_{2}ight|=2 a$, 即 $\sqrt{3} c+c=2 a$, 则 $rac{c}{a}=rac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1$, 则 $C$ 的离心率为 $\sqrt{3}-1$. 故选 $D$.
题目（高三 · 代数）：若 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ 为实数, 且 $a<b<0$, 则下列命题正确的是
选项：
A. $a c^{2}<b c^{2}$
B. $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$
C. $\frac{b}{a}>\frac{a}{b}$
D. $a^{2}>a b>b^{2}$
答案：D
解析：解析: 解答: 因为 $a<b<0$, 所以 $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}, \frac{b}{a}<1, \frac{a}{b}>1$, 即 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}, \frac{b}{a}>\frac{a}{b}$ 均不成立; 当 $c^{2}=0$时, $a c^{2}<b c^{2}$ 不成立; 故选 $D$

分析: 本题主要考查了不等式与不等关系, 解决问题的关键是根据不等式的性质分析判断即可
题目（高三 · 代数）：设 $a>0, b>0$, 若 $\sqrt{3}$ 是 $3^{a}$ 与 $3^{b}$ 的等比中项, 则 $\frac{1}{a}+\frac{4}{b}$ 的最小值为
选项：
A. 8
B. 9
C. 4
D. $\frac{1}{4}$
答案：D
解析：解析: 解答: 由 $\sqrt{3}$ 是 $3^{a}$ 与 $3^{b}$ 的等比中项, 所以 $3^{a} \cdot 3^{b}=3$, 即 $3^{a+b}=3$, 所以 $\mathrm{a}+\mathrm{b}=1$.

又 $\mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0$, 则 $\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{4}{b}\right)=1+4+\frac{b}{a}+\frac{4 a}{b} \geq 5+2 \sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{4 a}{b}}=9$. 故选 D.

分析: 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用, 解决问题的关键是根据基本不等式分析计算即可
题目（高三 · 代数）：设 $0<a<b<1$, 则下列不等式成立的是 ( )
选项：
A. $a^{3}>b^{3}$
B. $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$
C. $a^{b}>1$
D. $\lg (b-a)<0$
答案：D
解析：解析: 解答: $\because 0<a<b<1, \therefore 0<b-a<1 \therefore \lg (b-a)<0$, 故选 $D$

分析: 本题主要考查了, 解决问题的关键是
题目（高三 · 代数）：若 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ 为实数, 且 $a<b<0$, 则下列命题正确的是 ( )
选项：
A. $a c^{2}<b c^{2}$
B. $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$
C. $\frac{b}{a}>\frac{a}{b}$
D. $a^{2}>a b>b^{2}$
答案：D
解析：解析: 解答: 因为 $a<b<0$, 所以 $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}, \frac{b}{a}<1, \frac{a}{b}>1$, 即 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}, \frac{b}{a}>\frac{a}{b}$ 均不成立; 当 $c^{2}=0$时, $a c^{2}<b c^{2}$ 不成立; 故选 $D$.

分析: 本题主要考查了不等关系与不等式, 解决问题的关键是根据不等式性质分析计算即可
题目（高三 · 代数）：若 $a<b<0$, 则下列结论中不恒成立的是 ( )
选项：
A. $|a|>|b|$
B. $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$
C. $a^{2}+b^{2}>2 a b$
D. $a+b>-2 \sqrt{a b}$
答案：D
解析：解析: 解答: 由不等式的基本性质可知 $\mathrm{A} . \mathrm{~B}$ 是正确的; 选项 C 是重要不等式 $a^{2}+b^{2} \geq 2 a b$,由于 $a<b$, 所以等号不成立, 因此 C 正确; $\mathrm{D}$ 选项中 $a+b<-2 \sqrt{a b}$ 恒成立, 答案选 $\mathrm{D}$.分析: 本题主要考查了基本不等式, 解决问题的关键是根据基本不等式分析即可
题目（高三 · 代数）：若 $m+n=1(m n>0)$, 则 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$ 的最小值为 ( )
选项：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：D
解析：解析: 解答: 由 $m+n=1(m n>0)$, 则 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\frac{m+n}{m n}=\frac{1}{m n} \geq \frac{1}{\left(\frac{m+n}{2}\right)^{2}}=4$.故选 D.

分析: 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用, 解决问题的关键是根据基本不等式分析计算即可
题目（高三 · 代数）：若 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处存在导数, 则 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(\mathrm{x}_{0}\right)}{h}$ ())
选项：
A. 与 $x_{0}, h$ 都有关

B. 仅与 $x_{0}$ 有关, 而与 $h$ 无关

C. 仅与 $h$ 有关, 而与 $x_{0}$ 无关

D. 以上答案都不对
答案：B
题目（高三 · 代数）：设函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 附近有定义, 且有 $f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)=a \Delta x+b(\Delta x)^{2}(a, b$ 为常数),则( )
选项：
A. $f^{\prime}(x)=a$
B. $f^{\prime}(x)=b$
C. $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=a$
D. $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=b$
答案：C
题目（高三 · 代数）：下列命题是真命题的为 ( )
选项：
A. 若 $\frac{1}{x}=\frac{1}{y}$ 则 $x=y$
B. 若 $x^{2}=1$, 则 $x=1$
C. 若 $x=y$, 则 $\sqrt{x}=\sqrt{y}$
D. 则 $x<y$, 则 $x^{2}<y^{2}$
答案：A
解析：A, 显然成立, 故是真命题; B, $x=-1$ 或 $x=1$, 故是假命题; C, 当 $x<0, y<0$时, 不成立, 故是假命题; $\mathrm{D}$, 如果 $\mathrm{x}=-3, \mathrm{y}=1$ 时, 不成立, 故是假命题.故选 A.
题目（高三 · 代数）：不等式 $|x-5|+|x+3| \geq 10$ 的解集为 ( ）
选项：
A. $[-5,7]$
B. $[-4,6]$
C. $(-\infty,-5] \cup[7,+\infty)$
D. $(-\infty,-4] \cup[6,+\infty)$
答案：D
解析：解析: 解答: 由不等式的几何意义, 不等式 $|x-5|+|x+3|$ 表示数轴上的点 $x$ 与点 5 的距离和数轴上的点 $x$ 与点 -3 的距离之和, 其距离之和的最小值为 8 , 结合数轴, 选项 $\mathrm{D}$ 正确。分析: 本题主要考查了绝对值不等, 解决问题的关键是根据不等式的几何意义进行分析计算即可
题目（高三 · 代数）：下列关于实数 $\mathrm{x}$ 的不等式关系中, 恒成立的是 ( )
选项：
A. $x+\frac{1}{x} \geq 2$
B. $x^{2}+1>2 x$
C. $\sqrt{x}+\sqrt{1-x} \leq 1$
D. $|x-1|-|x+2| \leq 3$
答案：D
解析：解析: 解答: 当 $x=-1$ 时, $x+\frac{1}{x}=-2<2$, 故 $\mathrm{A}$ 错;

当 $x=1$ 时, $x^{2}+1=2$, 故 B 错;

当 $x=\frac{1}{2}$ 时, $\sqrt{x}+\sqrt{1-x}=\sqrt{\frac{1}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}=\sqrt{2}>1$, 故 C 错;

由绝对值的几何意义知, $|x-1|-|x+2|$ 表示数轴上的点到 $A(1)$ 和 $B(-2)$ 的距离之差, 其最小值为 3 , 故 D 正确

分析: 本题主要考查了绝对值不等, 解决问题的关键是根据绝对值的几何意义分析判断即可
题目（高三 · 代数）：不等式 $\left|\frac{x-2}{x}\right|>\frac{x-2}{x}$ 的解集是 ( )
选项：
A. $(0,2)$
B. $(-\infty, 0)$
C. $(2,+\infty)$
D. $(-\infty, 0) \cup(0,+\infty)$
答案：A
解析：解析: 解答: 本题考查绝对值的含义,不等式的解法, 等价转化思想.

因为 $a \geq 0$ 时, $|a|=a ; a<0$ 时, $|a|=-a$, 则 $|a|>a \Leftrightarrow a<0$; 所以不等式 $\left|\frac{x-2}{x}\right|>\frac{x-2}{x}$ 可化为 $\frac{x-2}{x}<0$, 即 $x(x-2)<0$, 解得 $0<x<2$. 故选 A

分析: 本题主要考查了绝对值不等式的解法, 解决问题的关键是根据绝对值不等式的性质分析计算即可
题目（高三 · 代数）：设 $a, b$ 是满足 $a b<0$ 的实数,那么 ( )
选项：
A. $|a+b|>|a-b|$
B. $|a+b|<|a-b|$
C. $|a-b|<|| a|-| b||$
D. $|a-b|<|a|+|b|$
答案：B
解析：解析：解答：本题考查绝对值不等式的性质及推理能力. $\because a b<0, \therefore|a+b|^{2}-|a-b|^{2}=2 a b<0$

所以 $|a+b|^{2}<|a-b|^{2}$, 所以 $|a+b|<|a-b|$.

$|a-b|^{2}-\|a|-| b\|^{2}=-2 a b+2|a b|=-2 a b-2 a b>0$, 所以 $|a-b|>|| a|-| b \| ;$

$|a-b|^{2}-(|a|+|b|)^{2}=-2 a b-2|a b|=-2 a b+2 a b=0$, 所以 $|a-b|=|a|+|b|$;

故选 B

分析: 本题主要考查了绝对值不等, 解决问题的关键是根据绝对值的性质分析判断即可
题目（高三 · 代数）：若实数 $a, b, c$ 满足 $|a-c|<|b|$, 则下列不等式中成立的是( )
选项：
A. $|a|>|b|-|c|$
B. $|a|<|b|+|c|$
C. $a>c-b$
D. $a<b+c$
答案：B
解析：解析:

解答: 因为实数 $a, b, c$ 满足 $|a-c|<|b|$, 利用绝对值不等式的性质放缩可知 $|a|<|b|+|c|$ 成立,选 B

分析: 本题主要考查了绝对值不等式, 解决问题的关键是根据绝对值的性质分析判断即可
题目（高三 · 代数）：不等式 $\left|x^{2}-2\right|<2$ 的解集是( ).
选项：
A. $(-1,1)$
B. $(-2,2)$
C. $(-1,0) \cup(0,1)$
D. $(-2,0) \cup(0,2)$
答案：D
解析：解析: 解答: 由 $\left|x^{2}-2\right|<2 \Leftrightarrow-2<x^{2}-2<2, \therefore 0<x^{2}<4$, 则 $-2<x<2$ 且 $x \neq 0$.

分析: 本题主要考查了绝对值不等式的解法, 解决问题的关键是根据绝对值性质分析计算即可
题目（高三 · 代数）：对于实数 $X$, 若 $n \in Z, n \leq x<n+1$ 规定 $[x]=n$, 则不等式 $4[x]^{2}-60[x]+125<0$ 的解集是( )
选项：
A. $[3,13]$
B. $[4,12]$
C. $[3,13)$
D. $[4,12)$
答案：C
解析：解析: 解答: 正确理解“对于实数 $x$, 若 $n \in Z, n \leq x<n+1$, 规定 $[x]=n$ ”, 是本题的关键所在. 先解得 $\frac{5}{2}<[x]<\frac{25}{2}$, 因为 $n \in Z, n \leq x<n+1$ 时, $[x]=n$, 所以 $3 \leq x<13$, 即不等式 $4[x]^{2}-60[x]+125$ $<0$ 的解集是 $\{x \mid 3 \leq x<13\}$. 所以答案为 C.

分析: 本题主要考查了其他不等式的解法, 解决问题的关键是首先正确理解“对于实数 $\mathrm{x}$,若 $n \in Z, n \leq x<n+1$, 规定 $[x]=n$ ”, 是本题的关键所在. 即 $[x]$ 为取整函数. 然后由后边的不等式解除 $[x]$ 的取值范围, 然后把不等式的两边取整. 即得到答案.
题目（高三 · 代数）：$\left(x^{2}+\frac{2}{x}\right)^{3}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为( )
选项：
A. 10
B. 20
C. 40
D. 80

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答案：C
解析：答案: C

【解析】 由二项式定理得 $\left(x^{2}+\frac{2}{x}\right)^{3}$ 的展开式的通项为 ${ }^{T_{r+1}}=\mathrm{C}_{5}^{r}\left(x^{2}\right)^{j-r}\left(\frac{2}{x}\right)^{r}=2 \mathrm{C}_{5}^{r} x^{10-3 r}$, 由 $10-3 r=4$, 解得 $r=2, \therefore\left(x^{2}+\frac{2}{x}\right)^{3}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数为 $2^{2} C_{5}^{2}=40$, 故选 C.
题目（高三 · 代数）：$\left(x^{2}-\frac{2}{x^{3}}\right)^{3}$ 展开式中的常数项为( )
选项：
A. 15
B. 20
C. 40
D. 60
答案：C
解析：答案: C

【解析】 $\left(x^{2}-\frac{2}{x^{3}}\right)^{3}$ 展开式的通项为 ${ }^{T}+\mathbf{n + 1}=\mathrm{C}_{5}^{r} x^{2 / 3-r)}(-2)^{r} x^{-3 r}=\mathrm{C}_{5}^{r} \cdot(-2)^{r} x^{10-3 r}$.令 $10-5 r=0$, 得 $r=2$, 所以 ${ }^{T_{2+1}}=\mathrm{C}_{5}^{2}(-2)^{2}=40$. 故选 C.
题目（高三 · 代数）：对任意实数 $x, y$, 定义运算 $x * y=a x+b y+c x y$, 其中 $a, b, c$ 是常数, 等式右边的运算是通常的加法和乘法运算; 已知 $1 * 2=3,2 * 3=4$, 并且有一个非零常数 $m$, 使得对任意实数 $x$, 都有 $x * m=x$, 则 $m$ 的值是 ( )
选项：
A. -4
B. 4
C. -5
D. 6
答案：B
解析：解析: 解答: $\because x^{*} y=a x+b y+c x y$, 由 $1 * 2=3,2 * 3=4$, 得 $a+2 b+2 c=3,2 a+3 b+6 c=4 \therefore b=2+2 c$, $\mathrm{a}=-1-6 c$. 又由 $\mathrm{x}^{*} \mathrm{~m}=\mathrm{ax}+\mathrm{bm}+\mathrm{cmx}=\mathrm{x}$ 对于任意实数 $\mathrm{x}$ 恒成立, $\therefore \mathrm{a}+\mathrm{cm}=1, \quad \mathrm{bm}=0, \because \mathrm{m}$ 为非零实数, $\therefore \mathrm{b}=0=2+2 \mathrm{c}, \quad \therefore \mathrm{c}=-1 . \quad \therefore(-1-6 \mathrm{c})+\mathrm{cm}=1 . \quad \therefore-1+6-\mathrm{m}=1 . \quad \therefore \mathrm{m}=4$. 故选 B
分析: 本题主要考查了进行简单的合情推理, 解决问题的关键是根据所给新定义结合进行简单的合情推理的方法进行计分析计算即可.
题目（高三 · 代数）：当 $n=1,2,3,4,5,6$ 时, 比较 $2^{n}$ 和 $n^{2}$ 的大小并猜想, 则下列猜想中一定正确的是 ( )
选项：
A. $n \geq 1$ 时, $n^{2}>2^{n}$
B. $n \geq 3$ 时, $n^{2}>2^{n}$
C. $n \geq 4$ 时, $2^{n}>n^{2}$
D. $n \geq 5$ 时, $2^{n}>n^{2}$
答案：D
解析：解析: 解答: 当 $n=1$ 时, $2^{1}>1^{2}$, 即 $2^{n}>n^{2}$; 当 $n=2$ 时, $2^{2}=2^{2}$, 即 $2^{n}=n^{2}$; 当 $n=3$ 时,
$2^{3}<3^{2}$, 即 $2^{n}<n^{2}$; 当 $n=4$ 时, $2^{4}=4^{2}$, 即 $2^{n}=n^{2}$; 当 $n=5$ 时, $2^{5}>5^{2}$, 即 $2^{n}>n^{2}$;当 $\mathrm{n}=6$ 时, $2^{6}>6^{2}$; 猜测当 $\mathrm{n} \geq 5$ 时, $2^{n}>n^{2}$; 下面我们用数学归纳法证明猜测成立, (1)当 $\mathrm{n}=5$ 时, 由以上可知猜测成立, (2) 设 $n=k(k \geq 5)$ 时, 命题成立, 即 $2^{k}>k^{2}$, 当 $\mathrm{n}=\mathrm{k}+1$时, $2^{k+1}=2 \cdot 2^{k}>2 k^{2}=k^{2}+k^{2}>k^{2}+(2 k+1)=(k+1)^{2}$, 即 $\mathrm{n}=\mathrm{k}+1$ 时, 命题成立, 由 (1)和 (2) 可得 $n \geq 5$ 时, $2^{n}$ 与 $n^{2}$ 的大小关系为: $2^{n}>n^{2}$; 故选 D.

分析: 本题主要考查了归纳推理, 解决问题的关键是根据归纳方法进行发现计算即可.
题目（高三 · 代数）：设 $a, b>0, A=\sqrt{a}+\sqrt{b}, B=\sqrt{a+b}$, 则 $A, B$ 的大小关系是( )
选项：
A. $A=B$
B. $A<B$
C. $A>B$
D. 大小不确定
答案：C
解析：解析:【解答】用综合法:

$$
(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}=a+2 \sqrt{a b}+b
$$

所以 $A^{2}-B^{2}>0$. 所以 $A^{2}>B^{2}$.

又 $A>0, B>0$,

所以 $A>B$.

【分析】本题主要考查了分析法与综合法, 解决问题的关键是对所给关系式 $A, B$ 两边平方作差比较即可.
题目（高三 · 代数）：要证明 $\sqrt{a}+\sqrt{a+7}<\sqrt{a+3}+\sqrt{a+4}(a \geq 0)$ 可选择的方法有多种, 其中最合理的是
选项：
A. 综合法
B. 类比法
C.分析法
D.归纳法
答案：C
解析：解析:【解答】要证 $\sqrt{a}+\sqrt{a+7}<\sqrt{a+3}+\sqrt{a+4}$,

只需证

$2 a+7+2 \sqrt{a(a+7)}<2 a+7+2 \sqrt{(a+3)(a+4)}$

$2 a+7+2 \sqrt{a(a+7)}<2 a+7+2 \sqrt{(a+3)(a+4)}$, 只需证 $\sqrt{a(a+7)}<\sqrt{(a+3)(a+4)}$,

只需证 $a(a+7)<(a+3)(a+4)$,

只需证 $0<12$,

故选用分析法最合理.

【分析】本题主要考查了分析法与综合法, 解决问题的关键是根据分析法证明不等式的步骤分析计算即可.
题目（高三 · 代数）：分析法又叫执果索因法, 若使用分析法证明: 设 $a>b>c$, 且 $a+b+c=0$, 求证:

$\sqrt{b^{2}-a c}<\sqrt{3} a$ 索的因应是 $(\quad)$
选项：
A. $a-b>0$ B. $a-c>0$ C. $(a-b)(a-c)>0$ D. $(a-b)(a-c)<0$
答案：C
解析：解析:【解答】要证 $\sqrt{b^{2}-a c}<\sqrt{3} a$,

只需证 $b^{2}-a c<3 a^{2} b^{2}-a c<3 a^{2}$, 只需证 $b^{2}-a(-b-a)<3 a^{2}$,

只需证 $2 a^{2}-a b-b^{2}>0$, 只需证 $(2 a+b)(a-b)>0$, 只需证

$(a-c)(a-b)>0(a-c)(a-b)>0$, 故索的因应为 C.

【分析】本题主要考查了分析法与综合法, 解决问题的关键是根据分析法由结论解析逆推即可
题目（高三 · 代数）：若 $a, b, c$ 是常数, 则 “ $a>0$, 且 $b^{2}-4 a c<0$ ”是“对任意 $x \in \mathbf{R}$, 有 $a x^{2}+b x+c>0$ ”的( )
选项：
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
答案：A
解析：解析: 【解答】因为 $a>0$, 且 $b^{2}-4 a<0 \Rightarrow a x^{2}+b x+c>0$ 对任意 $x \in \mathbf{R}$ 恒成立.反之, $a x^{2}$ $+b x+c>0$ 对任意 $x \in \mathbf{R}$ 恒成立不能推出 $a>0$, 且 $b^{2}-4 a c<0$, 反例为: 当 $a=b=0$, 且 $c$ $>0$ 时也有 $a x^{2}+b x+c>0$ 对任意 $x \in \mathbf{R}$ 恒成立, 所以“ $a>0$, 且 $b^{2}-4 a c<0$ ”是“对任意 $x \in \mathbf{R}$,有 $a x^{2}+b x+c>0$ ”的充分不必要条件

【分析】本题主要考查了分析法与综合法, 解决问题的关键是根据所给不等式结合充分条件与必要条件成立的关系解析分析验证即可.
题目（高三 · 代数）：函数 $f(x)=(x-3) e^{x}$ 的单调递增区间是 $(\quad)$
选项：
A. $(-\infty, 2)$ B. $(0,3)$ C. $(1,4)$ D. $(2,+\infty)$
答案：D
解析：解析: 【解答 $f^{\prime}(x)=(x-3)^{\prime} \mathrm{e}^{x}+(x-3) \cdot\left(\mathrm{e}^{x}\right)^{\prime}=(x-2) \mathrm{e}^{x}$, 令 $f^{\prime}(x)>0$, 解得 $x>2$,故选 D.

【分析】本题主要考查了分析法与综合法, 解决问题的关键是根据所给函数求导, 利用导数
的性质分析求解即可得到函数的得到区间.
题目（高三 · 代数）：(1)已知 $p^{3}+q^{3}=2$, 求证: $p+q \leq 2$. 用反证法证明时, 可假设 $p+q \geq 2$;

(2) 若 $a 、 b \in R,|a|+|b|<1$, 求证: 方程 $x^{2}+a x+b=0$ 的两根的绝对值都小于 1 . 用反证法证明时可假设方程有一根 $x_{1}$ 的绝对值大于或等于 1 , 即假设 $\left|x_{1}\right| \geq 1$;

以下结论正确的是 ( )
选项：
A. (1)与(2)的假设都错误
B. (1)的假设正确; (2)的假设错误
C. (1)与(2)的假设都正确
D. (1)的假设错误; (2)的假设正确
答案：D
解析：解析：解答：(1)的结论的否定应该是 $p+q>2$, 故错; (2)的否定是方程的两根至少有一个大于等于 1 , 故(2)正确.

分析: 本题主要考查了反证法, 解决问题的关键是根据反证法的步骤特征进行具体分析即可.
题目（高三 · 代数）：不相等的三个正数 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b} 、 \mathrm{c}$ 成等差数列, 并且 $x$ 是 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b}$ 的等比中项, $\mathrm{y}$ 是 $\mathrm{b} 、 \mathrm{c}$ 的等比中项, 则 $x^{2} 、 \mathrm{~b}^{2} 、 \mathrm{y}^{2}$ 三数( )
选项：
A. 成等比数列而非等差数列

B. 成等差数列而非等比数列

C. 既成等差数列又成等比数列

D. 既非等差数列又非等比数列
答案：B
解析：解析：解答：由已知条件, 可得

$\left\{\begin{array}{l}a+c=2 b(1) \\ x^{2}=a b(2) \\ y^{2}=b c(3)\end{array}\right.$

由(2)(3)得 $\left\{\begin{array}{l}a=\frac{x^{2}}{b} \\ c=\frac{y^{2}}{b}\end{array}\right.$

代入(1), 得 $\frac{x^{2}}{b}+\frac{y^{2}}{b}=2 \mathrm{~b}$,

即 $x^{2}+\mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{~b}^{2}$.

故 $x^{2} 、 \mathrm{~b}^{2} 、 \mathrm{y}^{2}$ 成等差数列,

故选 B.

分析: 本题主要考查了综合法的思考过程、特点及应用, 解决问题的关键是根据所给条件进
行综合分析得到对应的结论即可得到正确选项.
题目（高三 · 代数）：设 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 是两个实数, 给出下列条件:

(1) $a+b>1$; (2) $a+b=2$; (3) $a+b>2$; (4) $a^{2}+b^{2}>2$; (5) $a b>1$.

其中能推出: “a, b 中至少有一个大于 1 ”的条件是( )
选项：
A. (2)(3)
B. (1)(2)(3)
C. (3)
D. (3)(4)(5)
答案：C
解析：解析: 解答: (1)中若 $\mathrm{a}=\frac{3}{4}, \mathrm{~b}=\frac{1}{2}$, 则 $\mathrm{a}+\mathrm{b}>1$, 故(1)不能; (2)中若 $\mathrm{a}=\mathrm{b}=1$, 则 $\mathrm{a}+\mathrm{b}=2$,故(2)不能; (3)能, (4)中若 $a=b=-2$, 则 $a^{2}+b^{2}>2$, 故(4)不能; (5)中若 $a=b=-2$, 则 $a b>1$,故(5)不能. $\therefore$ 只有(3)能, 选 C.

分析: 本题主要考查了分析法, 解决问题的关键是根据所给条件与结论运用分析法进行具体分析即可.
题目（高三 · 代数）：分析法又称执果索因法, 若用分析法证明: “设 $a>b>c$, 且 $a+b+c=0$, 求证 $\sqrt{b^{2}-a c}<\sqrt{3}$ a” 索的因应是( )
选项：
A. $\mathrm{a}-\mathrm{b}>0$
B. $a-c>0$
C. $(a-b)(a-c)>0$
D. $(a-b)(a-c)<0$
答案：C
解析：解析: 解答: $\sqrt{b^{2}-a c}<\sqrt{3}$ a

$\Leftrightarrow \mathrm{b}^{2}-\mathrm{ac}<3 \mathrm{a}^{2}$

$\Leftrightarrow(\mathrm{a}+\mathrm{c})^{2}-\mathrm{ac}<3 \mathrm{a}^{2}$

$\Leftrightarrow \mathrm{a}^{2}+2 \mathrm{ac}+\mathrm{c}^{2}-\mathrm{ac}-3 \mathrm{a}^{2}<0$

$\Leftrightarrow-2 \mathrm{a}^{2}+\mathrm{ac}+\mathrm{c}^{2}<0$

$\Leftrightarrow 2 \mathrm{a}^{2}-\mathrm{ac}-\mathrm{c}^{2}>0$

$\Leftrightarrow(a-c)(2 a+c)>0$

$\Leftrightarrow(\mathrm{a}-\mathrm{c})(\mathrm{a}-\mathrm{b})>0$.

分析: 本题主要考查了分析法的思考过程、特点及应用, 解决问题的关键是根据所给条件与所求结论运用分析法进行分析推理即可.
题目（高三 · 代数）：要证明 $\sqrt{3}+\sqrt{7}<2 \sqrt{5}$ 可选择的方法有以下几种, 其中最合理的是 ( )
选项：
A. 综合法
B. 分析法
C. 反证法
D. 归纳法
答案：B
解析：解析: 解答: 综合法由已知条件入手开始证明, 分析法从所求的结论入手寻找使其成立的条件, 反证法适合证明含有存在, 唯一等字眼的题目, 归纳法证明与正整数有关的题目; 结合以上特点, 本题的证明适合采用分析法

分析: 本题主要考查了分析法的思考过程、特点及应用; 综合法的思考过程、特点及应用,
解决问题的关键是根据所给选项结合对应的方法进行具体分析即可.
题目（高三 · 代数）：若 $a>0, b>0$, 那么必有 ( )
选项：
A. $a^{3}+b^{3} \geqslant a^{2} b+a b^{2}$
B. $a^{3}+b^{3}>a^{2} b+a b^{2}$
C. $a^{3}+b^{3} \leqslant a^{2} b+a b^{2}$
D. $a^{3}+b^{3}<a^{2} b+a b^{2}$
答案：A
解析：解析: 解答: 因为 $a^{3}+b^{3}-\left(a^{2} b+a b^{2}\right)=a^{3}-a^{2} b+b^{3}-a b^{2}=a^{2}(a-b)+b^{2}(b-a)$

$=(a-b)^{2}(a+b) \geq 0$, 所以选 A.

分析: 本题主要考查了综合法, 解决问题的关键是根据所给等式运用综合法进行计算证明即可.
题目（高三 · 代数）：已知 $a^{2}+b^{2}=1, b^{2}+c^{2}=2, c^{2}+a^{2}=2$, 则 $a b+b c+c a$ 的最小值为 ( )
选项：
A. $\sqrt{3}-\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{2}-\sqrt{3}$
C. $-\frac{1}{2}-\sqrt{3}$
D. $\frac{1}{2}+\sqrt{3}$
答案：B
解析：解析: 解答: 因为 $a^{2}+b^{2}=1$ (1) $b^{2}+c^{2}=2$ (2) $c^{2}+a^{2}=2$ (3)
三式加后再除 2 , 得 $a^{2}+b^{2}+c^{2}=\frac{5}{2}$ (4)

(4)减(1)得 $c^{2}=\frac{3}{2}$, (4)-(2) 得 $a^{2}=\frac{1}{2}$, (4)-(3)得 $b^{2}=\frac{1}{2}$, 所以 $c=-\frac{\sqrt{6}}{2}, a=b=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时

$\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca}$ 最小 $=\frac{1}{2}-\sqrt{3}$, 故选 B.

分析: 本题主要考查了综合法, 解决问题的关键是根据所给条件结合索要证明的条件进行综合分析计算即可得到结果.
题目（高三 · 代数）：若 $0<a<1,0<b<1$ 且 $a \neq b$, 则在 $a+b, 2 \sqrt{a b}, a^{2}+b^{2}$ 和 $2 a b$ 中最大的是 ( )
选项：
A. $a+b$
B. $2 \sqrt{a b}$
C. $a^{2}+b^{2}$
D. $2 a b$
答案：A
解析：解析: 解答: 因为 $0<a<1,0<b<1$ 且 $a \neq b$ 所以 $\mathrm{a}>a^{2}, \mathrm{~b}>b^{2}, \mathrm{a}+\mathrm{b}>a^{2}+b^{2}>2 a b$由均值定理 $\mathrm{a}+\mathrm{b}>2 \sqrt{a b}$, 即 $\mathrm{a}+\mathrm{b}$ 最大, 故选 A 分析: 本题主要考查了分析法和综合法, 解决问题的关键是根据分析法和综合法进行分析比较即可.
题目（高三 · 代数）：(1)已知 $p^{3}+q^{3}=2$, 求证 $p+q \leq 2$. 用反证法证明时, 可假设 $p+q \geq 2$. (2)已知 $a, b \in \mathbf{R},|a|$ $+|b|<1$, 求证方程 $x^{2}+a x+b=0$ 的两根的绝对值都小于 1 . 用反证法证明时可假设方程有一根 $x_{1}$ 的绝对值大于或等于 1 , 即假设 $\left|x_{1}\right| \geq 1$. 以下结论正确的是 ( )
选项：
A.(1)与(2)的假设都错误
B.(1)与(2)的假设都正确
C.(1)的假设正确; (2)的假设错误
D.(1)的假设错误; (2)的假设正确
答案：D
解析：解析：【解答】(1)的假设应为 $p+q>2$; (2)的假设正确

【分析】本题主要考查了反证法与放缩法, 解决问题的关键是根据反证法证明的步骤分析即可.
题目（高三 · 代数）：已知 $\odot \mathrm{O}$ 的弦 $\mathrm{AB}$ 过弦 $\mathrm{CD}$ 的三等分点 $\mathrm{M}, \mathrm{AM}$ 和 $\mathrm{BM}$ 是方程 $3 \mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{mx}+18=0$ 的两个根,则 $\mathrm{CD}$ 的长为 ( )
选项：
A. $\sqrt{3}$
B. $2 \sqrt{3}$
C. $3 \sqrt{3}$
D. $4 \sqrt{3}$
答案：C
解析：解析: 解答: $\because \mathrm{AM}$ 和 $\mathrm{BM}$ 是 $3 \mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{mx}+18=0$ 的两根, $\therefore \mathrm{AM} \cdot \mathrm{BM}=\frac{18}{3}=6$.

又 $\mathrm{AB}$ 和 $\mathrm{CD}$ 相交于点 $\mathrm{M}, \therefore \mathrm{CM} \cdot \mathrm{MD}=\mathrm{AM} \cdot \mathrm{BM}=6$.

$\therefore \frac{1}{3} \mathrm{CD} \cdot \frac{2}{3} \mathrm{CD}=6, \therefore \mathrm{CD}=3 \sqrt{3}$.

分析: 本题主要考查了与圆有关的比例线段, 解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段分析满足的性质计算即可
题目（高三 · 代数）：已知 $z_{1}=m^{2}-3 m+m^{2} \mathrm{i}, z_{2}=4+(5 m+6) \mathrm{i}$, 其中 $\mathrm{m}$ 为实数, $\mathrm{i}$ 为虚数单位, 若 $z_{1}-z_{2}=0$, 则 $\mathrm{m}$ 的值为 $(\quad)$
选项：
A. 4
B. -1
C. 6
D. 0
答案：B
解析：答案: B

解析：由题意可得 $\left\{\begin{array}{l}m^{2}-3 m=4, \\ m^{2}=5 m+6, \therefore m=-1 .\end{array}\right.$
题目（高三 · 代数）：已知对于 $x$ 的方程 $x^{2}+x+3 m-(2 x+1) i=0$ 有实根, 则实数 $m$ 满足 ( )
选项：
A. $m \leq-\frac{1}{4}$
B. $\geq-\frac{1}{4}$
C. $m=-\frac{1}{12}$
D. $m=\frac{1}{12}$
答案：D
解析：答案: D

解析: 由已知 $\left\{\begin{array}{c}x^{2}+x+3 m=0(1) \\ -2 x-1=0(2)\end{array} \quad x=-\frac{1}{2}\right.$ 由(2)解得 $\quad$ 代入(1)中, 解得 $m=\frac{1}{12}$. 故选 D.
题目（高三 · 代数）：设复数 $z=\frac{2 \mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}$, 则复数 $z$ 的共轭复数 $z$ 在复平面内对应的点在( )
选项：
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：D
解析：答案: D

解析: 因为 ${ }^{z=\frac{2 \mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}}=1+\mathrm{i}$, 所以 $\bar{z}=1-\mathrm{i}, \bar{z}$ 在复平面内对应的点为 ${ }^{(1,-1)}$, 在第四象限.故选 D.
题目（高三 · 代数）：已知复数 $z$ 满足 ${ }^{(1-i) z=-2-2 i}$, 则 $|z|=(\quad)$
选项：
A. 2
B. $\sqrt{2}$
C. 1
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
答案：A
解析：答案: A

解析：由题意得 $z=-2 \times \frac{1+\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}=-(1+\mathrm{i})^{2}=-2 \mathrm{i}$, 所以 $|z|=2$, 故选 A.
题目（高三 · 代数）：已知复数 $z=\frac{2}{1-i}$, 则 $|z|$ 等于（）
选项：
A. 1
B. $\sqrt{2}$
C. 2
D. $2 \sqrt{2}$
答案：B
解析：答案: B

解析: $\because$ 复数 $z=\frac{2}{1-i}=\frac{2(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2(1+i)}{1-i^{2}}=1+i$

$\therefore|z|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$

故选 B
题目（高三 · 代数）：若复数 $z$ 满足 $z(1-2 i)=3-i$ ( $i$ 为虚数单位), 则复数 $z$ 的共轭复数为 $(\quad)$
选项：
A. $1-\mathrm{i}$
B. $1+\mathrm{i}$
C. $-1-\mathrm{i}$
D. $-1+\mathrm{i}$
答案：A
解析：答案: A

解析: 因为 $z(1-2 \mathrm{i})=3-\mathrm{i}$, 所以 $z=\frac{3-\mathrm{i}}{1-2 \mathrm{i}}=\frac{(3-\mathrm{i})(1+2 \mathrm{i})}{(1-2 \mathrm{i})(1+2 \mathrm{i})}=1+\mathrm{i}$, 所以复数 $z$ 的共轭复数为 $1-\mathrm{i}$. 故选

A.
题目（高三 · 代数）：执行下面的程序框图,如果输入的 $a=4, b=6$, 那么输出的 $n=(\quad)$


选项：
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
答案：B
解析：答案: B

解析：程序运行如下：

开始 $a=4, b=6, n=0, s=0$.

第1次循环: $a=2, b=4, a=6, s=6, n=1$ ；

第2 次循环: $a=-2, b=6, a=4, s=10, n=2$;

第3 次循环: $a=2, b=4, a=6, s=16, n=3$;

第4 次循环: $a=-2, b=6, a=4, s=20, n=4$.

此时, 满足条件 $s>16$, 退出循环, 输出 $n=4$.
题目（高三 · 代数）：如图所示是数列一章的知识结构图,下列说法正确的是( )


选项：
A.“概念”与“分类”是从属关系

B. “等差数列”与“等比数列”是从属关系

C.“数列”与 “等差数列”是从属关系

D.“数列”与与“等差数列”是从属关系,但“数列”与“分类”不是从属关系
答案：C
解析：画某一章节的知识结构图时, 首先应对本章节的知识有全面的把握, 然后明确各知识点之间在逻辑上的先后顺序、概念上的从属关系.按从上到下、从左到右的顺序画图, 在 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B} 、 \mathrm{C} 、 \mathrm{D}$ 四个选项中只有 C 正确.
题目（高三 · 代数）：在下面的知识结构图中:



“求简单函数的导数”的“上位”要素有( )
选项：
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
答案：C
解析：由结构图可知, “求简单函数的导数”的 “上位”要素有“基本导数公式”“函数四则运算求导法则”“复合函数求导法则”这 3 个.
题目（高三 · 代数）：设复数 $z=\frac{2 i}{1+i}$, 则复数 $z$ 的共轭复数 $z$ 在复平面内对应的点在 $(\quad)$
选项：
A. 第一象限
B. 第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：D
解析：D
题目（高三 · 代数）：已知复数 ${ }^{z}$ 满足 ${ }^{z=\frac{2+\mathrm{i}}{\mathrm{i}}}$, 其中 ${ }^{\mathrm{i}}$ 是虚数单位, 则 ${ }^{z}$ 在复平面内对应的点位于 ( )
选项：
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
答案：D
解析：答案: D

解析: $z=\frac{2+\mathrm{i}}{\mathrm{i}}=\frac{(2+\mathrm{i}) \mathrm{i}}{\mathrm{i}^{2}}=1-2 \mathrm{i}$, 所以 ${ }^{z}$ 在复平面对应的点 $(1,-2)$ 位于第四象限, 故选 D
题目（高三 · 代数）：已知复数 $z$ 满足 $(1+i) z=2 i$, 则 $z$ 在复平面内对应的点位于 $(\quad)$
选项：
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：A
解析：答案: A

解析: 由题, $z=\frac{2 \mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\frac{2 \mathrm{i}(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}=\frac{2+2 \mathrm{i}}{2}=1+\mathrm{i}$, 所以 $z$ 在复平面内对应的点为 $(1,1)$,

故选:A
题目（高三 · 代数）：设复数 $z$ 满足 $z(1+i)=2$, 则 $z$ 在复平面内所对应的点位于 $(\quad)$
选项：
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
答案：D
解析：答案: D

解析: 由 ${ }^{z(1+i)=2}$, 得 ${ }^{z=\frac{2}{1+\mathrm{i}}=1-\mathrm{i}}, \therefore^{z}$ 在复平面内所对应的点坐标为 $(1,-1)$, 位于第四象限
题目（高三 · 代数）：下列各式中正确的是 ( )
选项：
A. $\left(\log _{a} x\right)^{\prime}=\frac{1}{x}$
B. $\left(\log _{2} x\right)^{\prime}=\frac{\ln 10}{x}$

C. D.
答案：D
解析：由 $\left(\log _{a} xight)^{\prime}=rac{1}{x \ln a}$, 可知 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 均错由, 可知 $\mathrm{D}$ 正确,故选 D.