eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 点 $A 、 D 、 C 、 F$ 在同一条直线上, $A D=C F, A B=D E, B C=E F$.

(1) 求证: $\triangle A B C \cong \triangle D E F ;$

(2) 若 $\angle A=60^{\circ}, \angle B=80^{\circ}$, 求 $\angle F$ 的度数.


选项：
答案：解: (1) $\because \mathrm{AD}=\mathrm{CF}$,

$\therefore A D+C D=C D+C F$ ，即 $A C=D F$ ，

<ImageHere>

（2）由（1）可得 $\triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{DEF}$,

$\therefore \angle \mathrm{F}=\angle \mathrm{ACB}$,

根据三角形内角和 $180^{\circ}, \angle A=60^{\circ}, \angle B=80^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{ACB}=180^{\circ}-60^{\circ}-80^{\circ}=40^{\circ}$,
$\therefore \angle \mathrm{F}=40^{\circ}$.
解析：解: (1) $\because \mathrm{AD}=\mathrm{CF}$,

$\therefore A D+C D=C D+C F$ ，即 $A C=D F$ ，



（2）由（1）可得 $\triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{DEF}$,

$\therefore \angle \mathrm{F}=\angle \mathrm{ACB}$,

根据三角形内角和 $180^{\circ}, \angle A=60^{\circ}, \angle B=80^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{ACB}=180^{\circ}-60^{\circ}-80^{\circ}=40^{\circ}$,
$\therefore \angle \mathrm{F}=40^{\circ}$.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 已知 $D$ 为 $\triangle A B C$ 边 $B C$ 延长线上一点, $D F \perp A B$ 于 $F$ 交 $A C$ 于 $E$, $\angle A=35^{\circ}, \angle D=42^{\circ}$, 求 $\angle A C D$ 的度数.


选项：
答案：解: $\because D F \perp A B$,

$\therefore \angle B F D=90^{\circ}$,

$\because \angle D=42^{\circ}$
$\therefore \angle B=90^{\circ}-\angle D=48^{\circ}$,

$\therefore \angle A C D=\angle B+\angle A=48^{\circ}+35^{\circ}=83^{\circ}$.

答: $\angle A C D=83^{\circ}$.
解析：解: $\because D F \perp A B$,

$\therefore \angle B F D=90^{\circ}$,

$\because \angle D=42^{\circ}$
$\therefore \angle B=90^{\circ}-\angle D=48^{\circ}$,

$\therefore \angle A C D=\angle B+\angle A=48^{\circ}+35^{\circ}=83^{\circ}$.

答: $\angle A C D=83^{\circ}$.
题目（八年级 · 度量几何学）：麒麟某数学兴趣小组的同学用数学知识测一池塘的长度, 他们所绘如图,

点 $B, F, C$ (点 $F, C$ 之间不能直接测量, 为池塘的长度), 点 $A, D$ 在 $l$ 的异侧,

且 $A B / / D E, \angle A=\angle D$, 测得 $A B=D E$.



(1) 求证: $\triangle A B C \cong \triangle D E F$;

(2) 若 $B E=100 \mathrm{~m}, B F=30 \mathrm{~m}$, 求池塘 $F C$ 的长.
选项：
答案：(1) 证明: $\because A B / / D E$,

$\therefore \angle A B C=\angle D E F$,

在 $\triangle A B C$ 与 $\triangle D E F$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}\angle A B C=\angle D E F \\ A B=D E \\ \angle A=\angle D\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B C \cong \triangle D E F(\mathrm{ASA}) ;$

(2) 解: $\because \triangle A B C \cong \triangle D E F$

$\therefore B C=E F$

$\therefore B F+F C=E C+F C$,

$\therefore B F=E C$,

$\because B E=100 \mathrm{~m}, B F=30 \mathrm{~m}$
$\therefore F C=100-30-30=40 \mathrm{~m}$.

答: $F C$ 的长是 $40 \mathrm{~m}$
解析：(1) 证明: $\because A B / / D E$,

$\therefore \angle A B C=\angle D E F$,

在 $\triangle A B C$ 与 $\triangle D E F$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}\angle A B C=\angle D E F \\ A B=D E \\ \angle A=\angle D\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B C \cong \triangle D E F(\mathrm{ASA}) ;$

(2) 解: $\because \triangle A B C \cong \triangle D E F$

$\therefore B C=E F$

$\therefore B F+F C=E C+F C$,

$\therefore B F=E C$,

$\because B E=100 \mathrm{~m}, B F=30 \mathrm{~m}$
$\therefore F C=100-30-30=40 \mathrm{~m}$.

答: $F C$ 的长是 $40 \mathrm{~m}$
题目（八年级 · 度量几何学）：已知, 如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A D, A E$ 分别是 $\triangle A B C$ 的高和角平分线,



(1) 若 $\angle \mathrm{B}=30^{\circ}, \angle \mathrm{C}=50^{\circ}$. 求 $\angle \mathrm{DAE}$ 的度数;

(2) 试写出 $\angle \mathrm{DAE}$ 与 $\angle \mathrm{C}, \angle \mathrm{B}$ 有何关系? 并证明你的结论.
选项：
答案：解：（1） $\because \angle \mathrm{B}=30^{\circ}, \angle \mathrm{C}=50^{\circ}$ ，

$\therefore \angle \mathrm{BAC}=180^{\circ}-\angle \mathrm{B}-\angle \mathrm{C}=100^{\circ}$

又 $\because \mathrm{AE}$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的角平分线,

$\therefore \angle \mathrm{BAE}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC}=50^{\circ}$,

$\because \mathrm{AD}$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的高,

$\therefore \angle \mathrm{BAD}=90^{\circ}-\angle \mathrm{B}=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$,

则 $\angle \mathrm{DAE}=\angle \mathrm{BAD}-\angle \mathrm{BAE}=10^{\circ}$;

(2) $\angle \mathrm{DAE}=\frac{1}{2}(\angle \mathrm{C}-\angle \mathrm{B})$,

理由如下: $\because \mathrm{AD}$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的高,

$\therefore \angle \mathrm{ADC}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{DAC}=180^{\circ}-\angle \mathrm{ADC}-\angle \mathrm{C}=90^{\circ}-\angle \mathrm{C}$,

$\because A E$ 是 $\triangle A B C$ 的角平分线,

$\therefore \angle \mathrm{EAC}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC}$,

$\because \angle \mathrm{BAC}=180^{\circ}-\angle \mathrm{B}-\angle \mathrm{C}$

$\therefore \angle \mathrm{DAE}=\angle \mathrm{EAC}-\angle \mathrm{DAC}$,
$=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC}-\left(90^{\circ}-\angle \mathrm{C}\right)$,

$=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle \mathrm{B}-\angle \mathrm{C}\right)-90^{\circ}+\angle \mathrm{C}$,

$=90^{\circ}-\frac{1}{2} \angle \mathrm{B}-\frac{1}{2} \angle \mathrm{C}-90^{\circ}+\angle \mathrm{C}$,

$=\frac{1}{2}(\angle C-\angle B)$.
解析：解: (1) $\because \angle \mathrm{B}=30^{\circ}, \angle \mathrm{C}=50^{\circ}$ ，

$\therefore \angle \mathrm{BAC}=180^{\circ}-\angle \mathrm{B}-\angle \mathrm{C}=100^{\circ}$,
又 $\because \mathrm{AE}$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的角平分线,

$\therefore \angle \mathrm{BAE}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC}=50^{\circ}$,

$\because \mathrm{AD}$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的高,

$\therefore \angle \mathrm{BAD}=90^{\circ}-\angle \mathrm{B}=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$,

则 $\angle \mathrm{DAE}=\angle \mathrm{BAD}-\angle \mathrm{BAE}=10^{\circ}$;

(2) $\angle \mathrm{DAE}=\frac{1}{2}(\angle \mathrm{C}-\angle \mathrm{B})$,

理由如下: $\because \mathrm{AD}$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的高,

$\therefore \angle \mathrm{ADC}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{DAC}=180^{\circ}-\angle \mathrm{ADC}-\angle \mathrm{C}=90^{\circ}-\angle \mathrm{C}$,

$\because \mathrm{AE}$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的角平分线,

$\therefore \angle \mathrm{EAC}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC}$,

$\because \angle \mathrm{BAC}=180^{\circ}-\angle \mathrm{B}-\angle \mathrm{C}$

$\therefore \angle \mathrm{DAE}=\angle \mathrm{EAC}-\angle \mathrm{DAC}$,

$=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC}-\left(90^{\circ}-\angle \mathrm{C}\right)$,

$=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle \mathrm{B}-\angle \mathrm{C}\right)-90^{\circ}+\angle \mathrm{C}$,

$=90^{\circ}-\frac{1}{2} \angle B-\frac{1}{2} \angle C-90^{\circ}+\angle C$,

$=\frac{1}{2}(\angle \mathrm{C}-\angle \mathrm{B})$.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 已知 $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, D E \perp A B$ 于 $E, A C=A E$. 求证: $C D=D E$.


选项：
答案：证明: $\because \mathrm{DE} \perp \mathrm{AB}$,

$\therefore \angle \mathrm{AED}=90^{\circ}$

$\because \angle \mathrm{C}=90^{\circ}$

在 Rt $\triangle \mathrm{ACD}$ 和 Rt $\triangle \mathrm{AED}$ 中, $\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{AED}=90^{\circ}$

$\left\{\begin{array}{l}A C=A E \\ A D=A D\end{array}\right.$

$\therefore \mathrm{Rt} \triangle \mathrm{ACD} \cong \mathrm{Rt} \triangle \mathrm{AED}(\mathrm{HL})$,

$\therefore \mathrm{CD}=\mathrm{DE} ;$
解析：证明: $\because \mathrm{DE} \perp \mathrm{AB}$,

$\therefore \angle \mathrm{AED}=90^{\circ}$

$\because \angle \mathrm{C}=90^{\circ}$

在 Rt $\triangle \mathrm{ACD}$ 和 Rt $\triangle \mathrm{AED}$ 中, $\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{AED}=90^{\circ}$

$\left\{\begin{array}{l}A C=A E \\ A D=A D\end{array}\right.$

$\therefore \mathrm{Rt} \triangle \mathrm{ACD} \cong \mathrm{Rt} \triangle \mathrm{AED}(\mathrm{HL})$,

$\therefore \mathrm{CD}=\mathrm{DE} ;$
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, C D$ 是高, $\angle A=60^{\circ}$, 线段 $A B$ 的长为 16 , 求线段 $A D$ 的长.


选项：
答案：解: $\because \angle A C B=90^{\circ}, \angle A=60^{\circ}$
$\therefore \angle B=30^{\circ}$

$\therefore A C=\frac{1}{2} A B$

$\because \angle A=60^{\circ}, C D$ 是高

$\therefore \angle A D C=90^{\circ}, \angle A C D=30^{\circ}$

$\therefore A D=\frac{1}{2} A C$

$\therefore A D=\frac{1}{4} A B$

$\because A B=16$

$\therefore A D=4$
解析：解: $\because \angle A C B=90^{\circ}, \angle A=60^{\circ}$
$\therefore \angle B=30^{\circ}$

$\therefore A C=\frac{1}{2} A B$

$\because \angle A=60^{\circ}, C D$ 是高

$\therefore \angle A D C=90^{\circ}, \angle A C D=30^{\circ}$

$\therefore A D=\frac{1}{2} A C$

$\therefore A D=\frac{1}{4} A B$

$\because A B=16$

$\therefore A D=4$
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A D$ 是 $\triangle A B C$ 的角平分线, $D E \perp A C$, 若 $\angle B=42^{\circ}, \angle C=58^{\circ}$.



(1) 求 $\angle B A D$ 的度数;

(2) 求 $\angle A D E$ 的度数.
选项：
答案：(1) 解: $\because \angle B=42^{\circ}, \angle C=58^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C=180^{\circ}-\angle B-\angle C=80^{\circ}$,

又 $\because A D$ 是 $\triangle A B C$ 的角平分线,

$\therefore \angle B A D=\frac{1}{2} \angle B A C=40^{\circ}$.

(2) 由 (1) 得: $\angle C A D=\frac{1}{2} \angle B A C=40^{\circ}$,

$\because D E \perp A C$,

$\therefore \angle A E D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A D E=90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$.
解析：(1) 解: $\because \angle B=42^{\circ}, \angle C=58^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C=180^{\circ}-\angle B-\angle C=80^{\circ}$,

又 $\because A D$ 是 $\triangle A B C$ 的角平分线,

$\therefore \angle B A D=\frac{1}{2} \angle B A C=40^{\circ}$.

(2) 由 (1) 得: $\angle C A D=\frac{1}{2} \angle B A C=40^{\circ}$,

$\because D E \perp A C$,

$\therefore \angle A E D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A D E=90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$.
题目（八年级 · 度量几何学）：一架梯子 $A C$ 长 25 米, 斜靠在一面墙上, 梯子底端 $C$ 离墙 7 米,



$(1)$ 这个梯子的顶端距地面有多高?

(2) 如果梯子的顶端下滑了 4 米到 $A^{\prime}$ ，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米?
选项：
答案：（1）解：由题意得： $A C=25$ 米, $B C=7$ 米,

$\therefore A B=\sqrt{25^{2}-7^{2}}=24$ 米,

答：梯子的顶端距地面 24 米;

(2) 解：由（1）得： $A B=24$ 米,

$\because$ 梯子的顶端下滑了 4 米到 $A^{\prime}$,
$\therefore B A^{\prime}=20$ 米,

$\because A C=25$ 米,

$\therefore B C^{\prime}=\sqrt{25^{2}-20^{2}}=15$ 米,

则 $C C^{\prime}=15-7=8$ 米,

答: 梯子的底端在水平方向滑动了 8 米;
解析：（1）解：由题意得： $A C=25$ 米, $B C=7$ 米,

$\therefore A B=\sqrt{25^{2}-7^{2}}=24$ 米,

答：梯子的顶端距地面 24 米;

(2) 解：由（1）得： $A B=24$ 米,

$\because$ 梯子的顶端下滑了 4 米到 $A^{\prime}$,
$\therefore B A^{\prime}=20$ 米,

$\because A C=25$ 米,

$\therefore B C^{\prime}=\sqrt{25^{2}-20^{2}}=15$ 米,

则 $C C^{\prime}=15-7=8$ 米,

答: 梯子的底端在水平方向滑动了 8 米;
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 已知在 $\triangle A B C$ 中, $\angle B=90^{\circ}, A B=8 \mathrm{~cm}, B C=6 \mathrm{~cm}$,

点 $P$ 开始从点 $A$ 开始沿 $\triangle A B C$ 的边做逆时针运动, 且速度为每秒 $1 \mathrm{~cm}$,

点 $Q$ 从点 $B$ 开始沿 $\triangle A B C$ 的边做逆时针运动, 且速度为每秒 $2 \mathrm{~cm}$,

他们同时出发，设运动时间我 $t$ 秒.

(1) 出发 2 秒后, 求 $P Q$ 的长;

(2) 在运动过程中, $\triangle P Q B$ 能形成等腰三角形吗?

若能, 则求出几秒后第一次形成等腰三角形; 若不能, 则说明理由;

(3) 从出发几秒后, 线段 $P Q$ 第一次把直角三角形周长分成相等的两部分?


选项：
答案：解: (1) $\because$ 出发 2 秒后 $A P=2 \mathrm{~cm}$,

$\therefore B P=8-2=6(\mathrm{~cm})$,

$B Q=2 \times 2=4(\mathrm{~cm})$,

在 $R t \triangle P Q B$ 中, 由勾股定理得: $P Q=\sqrt{P B^{2}+B Q^{2}}=\sqrt{6^{2}+4^{2}}=2 \sqrt{13}(\mathrm{~cm})$

即出发 2 秒后, 求 $P Q$ 的长为 $2 \sqrt{13} \mathrm{~cm}$.

(2) 在运动过程中, $\triangle P Q B$ 能形成等腰三角形,

$A P=t, B P=A B-A P=8-t ; B Q=2 t$

由 $P B=B Q$ 得: $8-t=2 t$

解得 $t=\frac{8}{3} （$ 秒 ），

即出发 $\frac{8}{3}$ 秒后第一次形成等腰三角形.

(3) Rt $\triangle A B C$ 中由勾股定理得: $A C=\sqrt{A B^{2}+B C^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$ (cm) ;

$\because A P=t, B P=A B-A P=8-t, B Q=2 t, Q C=6-2 t$,

又 $\because$ 线段 $P Q$ 第一次把直角三角形周长分成相等的两部分,

$\therefore$ 由分成的周长相等得: $A C+A P+Q C=P B+B Q$

$10+t+(6-2 t)=8-t+2 t$

解得 $t=4(s)$

即从出发 4 秒后, 线段 $P Q$ 第一次把直角三角形周长分成相等的两部分.
解析：解: (1) $\because$ 出发 2 秒后 $A P=2 \mathrm{~cm}$,

$\therefore B P=8-2=6(\mathrm{~cm})$,

$B Q=2 \times 2=4(\mathrm{~cm})$,

在 $R t \triangle P Q B$ 中, 由勾股定理得: $P Q=\sqrt{P B^{2}+B Q^{2}}=\sqrt{6^{2}+4^{2}}=2 \sqrt{13}(\mathrm{~cm})$

即出发 2 秒后, 求 $P Q$ 的长为 $2 \sqrt{13} \mathrm{~cm}$.

(2) 在运动过程中, $\triangle P Q B$ 能形成等腰三角形,

$A P=t, B P=A B-A P=8-t ; B Q=2 t$

由 $P B=B Q$ 得: $8-t=2 t$

解得 $t=\frac{8}{3} （$ 秒 ），

即出发 $\frac{8}{3}$ 秒后第一次形成等腰三角形.

(3) Rt $\triangle A B C$ 中由勾股定理得: $A C=\sqrt{A B^{2}+B C^{2}}=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=10$ (cm) ;

$\because A P=t, B P=A B-A P=8-t, B Q=2 t, Q C=6-2 t$,

又 $\because$ 线段 $P Q$ 第一次把直角三角形周长分成相等的两部分,

$\therefore$ 由分成的周长相等得: $A C+A P+Q C=P B+B Q$

$10+t+(6-2 t)=8-t+2 t$

解得 $t=4(s)$

即从出发 4 秒后, 线段 $P Q$ 第一次把直角三角形周长分成相等的两部分.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A D$ 是 $\triangle A B C$ 的高线, $A E$ 是 $\triangle A B C$ 的角平分线,

已知 $\angle B=64^{\circ}, \angle C=40^{\circ}$, 求 $\angle D A E$ 的度数.


选项：
答案：解: $\because \angle B=64^{\circ}, \angle C=40^{\circ}$

$\therefore \angle \mathrm{BAC}=180^{\circ}-\angle B-\angle C=76^{\circ}$

$\because \mathrm{AE}$ 是 $\triangle A B C$ 的角平分线

$\therefore \angle \mathrm{CAE}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC}=38^{\circ}$

$\because \angle \mathrm{AED}$ 是 $\triangle \mathrm{EAC}$ 的外角

$\therefore \angle \mathrm{AED}=\angle \mathrm{CAE}+\angle \mathrm{C}=78^{\circ}$

$\because \mathrm{AD}$ 是 $\triangle A B C$ 的高线
$\therefore \angle D A E=90^{\circ}-\angle A E D=12^{\circ}$
解析：解: $\because \angle B=64^{\circ}, \angle C=40^{\circ}$

$\therefore \angle \mathrm{BAC}=180^{\circ}-\angle B-\angle C=76^{\circ}$

$\because \mathrm{AE}$ 是 $\triangle A B C$ 的角平分线

$\therefore \angle \mathrm{CAE}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC}=38^{\circ}$

$\because \angle \mathrm{AED}$ 是 $\triangle \mathrm{EAC}$ 的外角

$\therefore \angle \mathrm{AED}=\angle \mathrm{CAE}+\angle \mathrm{C}=78^{\circ}$

$\because \mathrm{AD}$ 是 $\triangle A B C$ 的高线
$\therefore \angle D A E=90^{\circ}-\angle A E D=12^{\circ}$
题目（八年级 · 度量几何学）：麒麟某数学兴趣小组的同学用数学知识测一池塘的长度, 他们所绘如图,

点 $B, F, C$ (点 $F, C$ 之间不能直接测量, 为池塘的长度), 点 $A, D$ 在 $l$ 的异侧,

且. $A B / / D E, \angle A=\angle D$, 测得 $A B=D E$.



(1) 求证: $\triangle A B C \cong \triangle D E F$;

(2) 若 $B E=100 \mathrm{~m}, B F=30 \mathrm{~m}$, 求池塘 $F C$ 的长.
选项：
答案：解: (1) 证明: $\because A B / / D E$,

$\therefore \angle A B C=\angle D E F$

在 $\triangle A B C$ 与 $\triangle D E F$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}\angle A B C=\angle D E F \\ A B=D E \\ \angle A=\angle D\end{array}\right.$
$\therefore \triangle A B C \cong \triangle D E F(\mathrm{ASA})$

(2) 解: $\because \triangle A B C \cong \triangle D E F$

$\therefore B C=E F$

$\therefore B F+F C=E C+F C$

$\therefore B F=E C$,

$\because B E=100 \mathrm{~m}, B F=30 \mathrm{~m}$

$\therefore F C=100-30-30=40 \mathrm{~m}$.

答: $F C$ 的长是 $40 \mathrm{~m}$
解析：解: (1) 证明: $\because A B / / D E$,

$\therefore \angle A B C=\angle D E F$

在 $\triangle A B C$ 与 $\triangle D E F$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}\angle A B C=\angle D E F \\ A B=D E \\ \angle A=\angle D\end{array}\right.$
$\therefore \triangle A B C \cong \triangle D E F(\mathrm{ASA})$

(2) 解: $\because \triangle A B C \cong \triangle D E F$

$\therefore B C=E F$

$\therefore B F+F C=E C+F C$

$\therefore B F=E C$,

$\because B E=100 \mathrm{~m}, B F=30 \mathrm{~m}$

$\therefore F C=100-30-30=40 \mathrm{~m}$.

答: $F C$ 的长是 $40 \mathrm{~m}$
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, 边 $A B 、 A C$ 的垂直平分线分别交 $B C$ 于 $D 、 E$.



(1) 若 $B C=5$, 求 $\triangle A D E$ 的周长.

(2) 若 $\angle B A D+\angle C A E=60^{\circ}$, 求 $\angle B A C$ 的度数.
选项：
答案：解：（1） $\because$ 边 $A B 、 A C$ 的垂直平分线分别交 $B C$ 于 $D 、 E$,

$\therefore D A=D B, E A=E C$,

$\therefore \triangle A D E$ 的周长 $=A D+D E+A E=D B+D E+E C=B C=5$;

(2) $\because D A=D B, E A=E C$,

$\therefore \angle D A B=\angle B, \angle E A C=\angle C$,

$\therefore \angle B A D+\angle C A E=\angle B+\angle C=60^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C=180^{\circ}-(\angle B+\angle C)=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$.
解析：解：（1） $\because$ 边 $A B 、 A C$ 的垂直平分线分别交 $B C$ 于 $D 、 E$,

$\therefore D A=D B, E A=E C$,

$\therefore \triangle A D E$ 的周长 $=A D+D E+A E=D B+D E+E C=B C=5$;

(2) $\because D A=D B, E A=E C$,

$\therefore \angle D A B=\angle B, \angle E A C=\angle C$,

$\therefore \angle B A D+\angle C A E=\angle B+\angle C=60^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C=180^{\circ}-(\angle B+\angle C)=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, $A B=A C, A B$ 的垂直平分线交 $A C$ 于 $D$, 交 $A B$ 于 $E$.



(1) 若 $\angle A=40^{\circ}$, 求 $\angle D B C$ 的度数;

(2) 若 $A E=5, \triangle B C D$ 的周长 17 , 求 $\triangle A B C$ 的周长.
选项：
答案：解: (1) $\because \mathrm{AB}=\mathrm{AC}$,

$\therefore \triangle \mathrm{ABC}$ 是等腰三角形,

$\because \angle A=40^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{C}=\frac{1}{2} \times\left(180^{\circ}-40^{\circ}\right)=70^{\circ}$,

$\because \mathrm{DE}$ 所在的直线是 $\mathrm{AB}$ 的垂直平分线

$\therefore \triangle \mathrm{ABD}$ 是等腰三角形,

$\therefore \angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{A}=40^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{DBC}=\angle \mathrm{ABC}-\angle \mathrm{ABD}=70^{\circ}-40^{\circ}=30^{\circ} ;$

(2) $\because \triangle \mathrm{ABD}$ 是等腰三角形

$\therefore \mathrm{AD}=\mathrm{BD}$,

$\because \mathrm{C}_{\triangle \mathrm{CB}}=\mathrm{BC}+\mathrm{CD}+\mathrm{BD}=17$,

$\therefore \mathrm{BC}+\mathrm{CD}+\mathrm{AD}=\mathrm{BC}+\mathrm{AC}=17$,

$\because \mathrm{AE}=5$

$\therefore \mathrm{AB}=2 \mathrm{AE}=10$,

$\therefore \mathrm{C}_{\triangle A B C}=A B+B C+A C=10+17=27$.
解析：解: (1) $\because \mathrm{AB}=\mathrm{AC}$,

$\therefore \triangle \mathrm{ABC}$ 是等腰三角形,

$\because \angle A=40^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{ABC}=\angle \mathrm{C}=\frac{1}{2} \times\left(180^{\circ}-40^{\circ}\right)=70^{\circ}$,

$\because \mathrm{DE}$ 所在的直线是 $\mathrm{AB}$ 的垂直平分线

$\therefore \triangle \mathrm{ABD}$ 是等腰三角形,

$\therefore \angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{A}=40^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{DBC}=\angle \mathrm{ABC}-\angle \mathrm{ABD}=70^{\circ}-40^{\circ}=30^{\circ} ;$

(2) $\because \triangle \mathrm{ABD}$ 是等腰三角形

$\therefore \mathrm{AD}=\mathrm{BD}$,

$\because \mathrm{C}_{\triangle \mathrm{CB}}=\mathrm{BC}+\mathrm{CD}+\mathrm{BD}=17$,

$\therefore \mathrm{BC}+\mathrm{CD}+\mathrm{AD}=\mathrm{BC}+\mathrm{AC}=17$,

$\because \mathrm{AE}=5$

$\therefore \mathrm{AB}=2 \mathrm{AE}=10$,

$\therefore \mathrm{C}_{\triangle A B C}=A B+B C+A C=10+17=27$.
题目（八年级 · 度量几何学）：某单位有一块四边形的空地, $\angle B=90^{\circ}$, 量得各边的长度如图 (单位: 米),

现计划在空地内种草, 若每平方米草地造价 30 元, 这块地全部种草的费用是多少元?


选项：
答案：解: 连接 $A C$,

<ImageHere>

$\because \angle B=90^{\circ}$,
$\therefore$ 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $A C^{2}=A B^{2}+B C=3^{2}+4^{2}=5^{2}$,

在 $\triangle A C D$ 中, $C D^{2}=13^{2}, A D^{2}=12^{2}$,

$\because 5^{2}+12^{2}=13^{2}$,

$\therefore A C^{2}+A D^{2}=C D^{2}$,

$\therefore \angle D A C=90^{\circ}$,

$\therefore S_{\text {四这近死 }} A B C D=S_{\triangle} B A C+S_{\triangle} D A C=\frac{1}{2} A B \cdot B C+\frac{1}{2} A C \cdot A D=36 \mathrm{~cm}^{2}$,

$\because 36 \times 30=1080 （$ 元 $）$

$\therefore$ 这块地全部种草的费用是 1080 元.
解析：解: 连接 $A C$,



$\because \angle B=90^{\circ}$,
$\therefore$ 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $A C^{2}=A B^{2}+B C=3^{2}+4^{2}=5^{2}$,

在 $\triangle A C D$ 中, $C D^{2}=13^{2}, A D^{2}=12^{2}$,

$\because 5^{2}+12^{2}=13^{2}$,

$\therefore A C^{2}+A D^{2}=C D^{2}$,

$\therefore \angle D A C=90^{\circ}$,

$\therefore S_{\text {四这近死 }} A B C D=S_{\triangle} B A C+S_{\triangle} D A C=\frac{1}{2} A B \cdot B C+\frac{1}{2} A C \cdot A D=36 \mathrm{~cm}^{2}$,

$\because 36 \times 30=1080 （$ 元 $）$

$\therefore$ 这块地全部种草的费用是 1080 元.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, A D$ 平分 $\angle B A C$ 交 $B C$ 于点 $D$, 过点 $D$ 作 $D E \perp A B$ 于点 $E$.

(1) 求证: $\triangle A E D \cong \triangle A C D$;

(2) 当 $A C=6, B C=8$, 求 $C D$ 的长.


选项：
答案：解：(1) $\because A D$ 平分 $\angle B A C$,

$\therefore \angle B A D=\angle C A D$,

$\because D E \perp A B$,

$\therefore \angle A E D=90^{\circ}$ ，

$\because$ 在 $\triangle A E D$ 与 $\triangle A C D$ 中,

$$
\left\{\begin{array}{c}
\angle A E D=\angle C \\
\angle B A D=\angle C A D \\
A D=A D
\end{array}\right.
$$

$\therefore \triangle A E D \cong \triangle A C D(A A S)$

(2) 设 $C D=x$,

<ImageHere>

$\therefore A C=A E=6, \quad C D=D E=x, B D=B C-C D=8-x$,

$\because$ 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}$,

$\therefore A B 2=A C^{2}+B C 2=6^{2}+82=100$,

即 $A B=10$ 或 $A B=-10$ (舍)，

$\therefore B E=A B-A E=10-6=4$,

$\because$ 在 $\triangle B E D$ 中, $\angle B E D=90^{\circ}$, 根据勾股定理,

$B E 2+E D^{3}=B D 2$,

即 $4^{2}+x^{2}=(8-x)^{2}$,

解得 $x=3$,

即 $C D=3$ 。
解析：解：(1) $\because A D$ 平分 $\angle B A C$,

$\therefore \angle B A D=\angle C A D$,

$\because D E \perp A B$,

$\therefore \angle A E D=90^{\circ}$ ，

$\because$ 在 $\triangle A E D$ 与 $\triangle A C D$ 中,

$$
\left\{\begin{array}{c}
\angle A E D=\angle C \\
\angle B A D=\angle C A D \\
A D=A D
\end{array}\right.
$$

$\therefore \triangle A E D \cong \triangle A C D(A A S)$

(2) 设 $C D=x$,



$\therefore A C=A E=6, \quad C D=D E=x, B D=B C-C D=8-x$,

$\because$ 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}$,

$\therefore A B 2=A C^{2}+B C 2=6^{2}+82=100$,

即 $A B=10$ 或 $A B=-10$ (舍)，

$\therefore B E=A B-A E=10-6=4$,

$\because$ 在 $\triangle B E D$ 中, $\angle B E D=90^{\circ}$, 根据勾股定理,

$B E 2+E D^{3}=B D 2$,

即 $4^{2}+x^{2}=(8-x)^{2}$,

解得 $x=3$,

即 $C D=3$ 。
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle B=30^{\circ}, \angle C=70^{\circ}, A E, A D$ 分别是 $\triangle A B C$ 的角平分线和高线,求 $\angle D A E$ 的度数


选项：
答案：解: $\because \angle B=30^{\circ}, \angle C=70^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C=180^{\circ}-30^{\circ}-70^{\circ}=80^{\circ}$.

$\because A E$ 是 $\angle B A C$ 的平分线,

$\therefore \angle C A E=\frac{1}{2} \angle B A C=40^{\circ}$.

在 $\triangle A C D$ 中, $\angle A D C=90^{\circ}, \angle C=70^{\circ}$,

$\therefore \angle C A D=180^{\circ}-90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}$,

$\therefore \angle D A E=\angle C A E-\angle C A D=40^{\circ}-20^{\circ}=20^{\circ}$.
解析：解: $\because \angle B=30^{\circ}, \angle C=70^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C=180^{\circ}-30^{\circ}-70^{\circ}=80^{\circ}$.

$\because A E$ 是 $\angle B A C$ 的平分线,

$\therefore \angle C A E=\frac{1}{2} \angle B A C=40^{\circ}$.

在 $\triangle A C D$ 中, $\angle A D C=90^{\circ}, \angle C=70^{\circ}$,

$\therefore \angle C A D=180^{\circ}-90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}$,

$\therefore \angle D A E=\angle C A E-\angle C A D=40^{\circ}-20^{\circ}=20^{\circ}$.
题目（八年级 · 度量几何学）：小丽与爸妈在公园里荡秋千. 如图, 小丽坐在秋千的起始位置 $A$ 处, $O A$ 与地面垂直, 两脚在地
面上用力一蹬, 妈妈在距地面 $1.2 \mathrm{~m}$ 高的 $B$ 处接住她后用力一推, 爸爸在 $C$ 处接住她. 若妈妈与爸爸到 $O A$ 的水平距离 $B D 、 C E$ 分别为 $1.8 \mathrm{~m}$ 和 $2.4 \mathrm{~m}, \angle B O C=90^{\circ}$.


(1) $\triangle C E O$ 与 $\triangle O D B$ 全等吗？请说明理由.

(2) 爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的?

(3) 秋千的起始位置 $A$ 处与距地面的高是_m.
选项：
答案：解: (1) $\triangle C E O$ 与 $\triangle O D B$ 全等.

理由如下:

由题意可知 $\angle C E O=\angle B D O=90^{\circ}, O B=O C$,

$\because \angle B O C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle C O E+\angle B O D=\angle B O D+\angle O B D=90^{\circ}$.

$\therefore \angle C O E=\angle O B D$,

在 $\triangle C E O$ 和 $\triangle O D B$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}\angle C O E=\angle O B D \\ \angle C E O=\angle O D B, \\ O C=O B\end{array}\right.$

$\therefore \triangle C E O \underline{\cong} \triangle O D B($ AAS ) $;$

(2) $\because \triangle C E O \cong \triangle O D B$,

$\therefore C E=O D, \quad O E=B D$,

$\because B D 、 C E$ 分别为 $1.8 \mathrm{~m}$ 和 $2.4 \mathrm{~m}$,

$\therefore D E=O D-O E=C E-B D=2.4-1.8=0.6$ (m)，
由题意, 点 $B$ 距地面的高度是 $1.2 \mathrm{~m}$,

所以, 点 $D$ 距地面的高度是 $1.2 \mathrm{~m}$,

点 $E$ 距地面的高度是 $1.2+0.6=1.8(\mathrm{~m})$

所以, 点 $C$ 距地面的高度是 $1.8 \mathrm{~m}$.

答: 爸爸是在距离地面 $1.8 \mathrm{~m}$ 的地方接住小丽的.

(3) 在 Rt $\triangle B O D$ 中, $O B=\sqrt{O D^{2}+B D^{2}}=\sqrt{2.4^{2}+1.8^{2}}=3$ (m)),

$\therefore O A=3(\mathrm{~m})$,

$\therefore A D=O A-O D=3-2.4=0.6(\mathrm{~m})$

由 (2) 得, 点 $D$ 距地面的高度是 $1.2 \mathrm{~m}$,

$\therefore$ 秋千的起始位置 $A$ 处与距地面的高是 1.2-0.6=0.6（m）,

答: 秋千的起始位置 $A$ 处与距地面的高是 $0.6 \mathrm{~m}$.
解析：解: (1) $\triangle C E O$ 与 $\triangle O D B$ 全等.

理由如下:

由题意可知 $\angle C E O=\angle B D O=90^{\circ}, O B=O C$,

$\because \angle B O C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle C O E+\angle B O D=\angle B O D+\angle O B D=90^{\circ}$.

$\therefore \angle C O E=\angle O B D$,

在 $\triangle C E O$ 和 $\triangle O D B$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}\angle C O E=\angle O B D \\ \angle C E O=\angle O D B, \\ O C=O B\end{array}\right.$

$\therefore \triangle C E O \underline{\cong} \triangle O D B($ AAS ) $;$

(2) $\because \triangle C E O \cong \triangle O D B$,

$\therefore C E=O D, \quad O E=B D$,

$\because B D 、 C E$ 分别为 $1.8 \mathrm{~m}$ 和 $2.4 \mathrm{~m}$,

$\therefore D E=O D-O E=C E-B D=2.4-1.8=0.6$ (m)，
由题意, 点 $B$ 距地面的高度是 $1.2 \mathrm{~m}$,

所以, 点 $D$ 距地面的高度是 $1.2 \mathrm{~m}$,

点 $E$ 距地面的高度是 $1.2+0.6=1.8(\mathrm{~m})$

所以, 点 $C$ 距地面的高度是 $1.8 \mathrm{~m}$.

答: 爸爸是在距离地面 $1.8 \mathrm{~m}$ 的地方接住小丽的.

(3) 在 Rt $\triangle B O D$ 中, $O B=\sqrt{O D^{2}+B D^{2}}=\sqrt{2.4^{2}+1.8^{2}}=3$ (m)),

$\therefore O A=3(\mathrm{~m})$,

$\therefore A D=O A-O D=3-2.4=0.6(\mathrm{~m})$

由 (2) 得, 点 $D$ 距地面的高度是 $1.2 \mathrm{~m}$,

$\therefore$ 秋千的起始位置 $A$ 处与距地面的高是 1.2-0.6=0.6（m）,

答: 秋千的起始位置 $A$ 处与距地面的高是 $0.6 \mathrm{~m}$.