eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高二 · 解析几何）：海上有 $A 、 B$ 两个小岛相距 $10 \mathrm{n}$ mile, 从 $A$ 岛望 $C$ 岛和 $B$ 岛成 $60^{\circ}$ 的视角, 从 $B$ 岛望 $C$ 岛和 $A$ 岛成 $75^{\circ}$ 的视角，则 $B 、 C$ 间的距离是 $(\quad)$
选项：
A. $10 \sqrt{3} \mathrm{n}$ mile
B. $\frac{10 \sqrt{6}}{3}$ n mile
C. $5 \sqrt{2} \mathrm{n}$ mile
D. $5 \sqrt{6} \mathrm{n}$ mile
答案：D
解析：解析 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle C=180^{\circ}-60^{\circ}-75^{\circ}=45^{\circ}$.

由正弦定理得: $\frac{B C}{\sin A}=\frac{A B}{\sin B}$

$\therefore \frac{B C}{\sin 60^{\circ}}=\frac{10}{\sin 45^{\circ}}$

解得 $B C=5 \sqrt{6}$.
题目（高二 · 解析几何）：甲船在岛 $B$ 的正南 $A$ 处, $A B=10$ 千米, 甲船以每小时 4 千米的速度向正北航行,同时, 乙船自 $B$ 出发以每小时 6 千米的速度向北偏东 $60^{\circ}$ 的方向驶去. 当甲、乙两船相距最近时, 它们所航行的时间是( )
选项：
A. $\frac{150}{7}$ 分钟
B. $\frac{15}{7}$ 小时
C. 21,.5 分钟
D. 2,.15 分钟
答案：A
解析：解析 设行驶 $x$ 小时后甲到点 $C$, 乙到点 $D$, 两船相距 $y \mathrm{~km}$,则 $\angle D B C=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$.

$\therefore y^{2}=(10-4 x)^{2}+(6 x)^{2}-2(10-4 x) \cdot 6 x \cos 120^{\circ}$

$=28 x^{2}-20 x+100$

$=28\left(x^{2}-\frac{5}{7} x\right)+100=28\left(x-\frac{5}{14}\right)^{2}-\frac{25}{7}+100$

$\therefore$ 当 $x=\frac{5}{14}$ (小时) $=\frac{150}{7}$ (分钟)时,

$y^{2}$ 有最小值。 $\therefore y$​ 最小.
题目（高二 · 解析几何）：设甲、乙两楼相距 $20 \mathrm{~m}$, 从乙楼底望甲楼顶的仰角为 $60^{\circ}$, 从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 $30^{\circ}$ ，则甲、乙两楼的高分别是( )
选项：
A. $20 \sqrt{3} \mathrm{~m}, \frac{40}{3} \sqrt{3} \mathrm{~m}$
B. $10 \sqrt{3} \mathrm{~m}, 20 \sqrt{3} \mathrm{~m}$
C. $10(\sqrt{3}-\sqrt{2}) \mathrm{m}, 20 \sqrt{3} \mathrm{~m}$
D. $\frac{15}{2} \sqrt{3} \mathrm{~m}, \frac{20}{3} \sqrt{3} \mathrm{~m}$
答案：A
解析：解析 $h$ 甲 $=20 \tan 60^{\circ}=20 \sqrt{3}(\mathrm{~m})$.

$h_{\text {乙 }}=20 \tan 60^{\circ}-20 \tan 30^{\circ}=\frac{40}{3} \sqrt{3}(\mathrm{~m})$.
题目（高二 · 解析几何）：已知数列 $\left\{\mathbf{a}_{\mathbf{n}}\right\}$, 对任意的 $\mathbf{n} \in \mathbf{N}^{*}$, 点 $\mathbf{P}_{\mathbf{n}}\left(\mathbf{n}, \mathbf{a}_{\mathbf{n}}\right)$ 都在直线 $\mathbf{y}=\mathbf{2 x}+\mathbf{1}$ 上,则 $\left\{\mathbf{a}_{\mathbf{n}}\right\}$ 为 ( )
选项：
A. 公差为 2 的等差数列
B. 公差为 1 的等差数列
C. 公差为 $-\mathbf{2}$ 的等差数列
D. 非等差数列
答案：A
解析：对任意的 $n \in N^{*}$, 点 $P_{n}\left(n, a_{n}\right)$ 都在直线 $y=2 x+1$ 上,

$\therefore a_{n}=2 n+1, \therefore$ 当 $n \geqslant 2$ 时, $a_{n}-a_{n-1}=2 n+1-[2(n-1)+1]=2$,

$\therefore$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为 2 的等差数列. 故选 A.
题目（高二 · 解析几何）：已知点 $(3,2)$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 上, 则 ( )
选项：
A. 点 $(-3,-2)$ 不在椭圆上

B. 点 $(3,-2)$ 不在粗圆上

C. 点 $(-3,2)$ 在椭圆上

D. 无法判断点 $(-3,-2) 、(3,-2) 、(-3,2)$ 是否在粗圆上
答案：C
解析：解析：解答： $\because$ 点 $(3,2)$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 上, $\therefore$ 由椭圆的对称性知, 点 $(-3,2) 、(3,-$ 2)、 $(-3,-2)$ 都在椭圆上，故选 C.

分析: 本题考查了点与椭圆的位置关系, 由椭圆的对称性, 可得点 $(3,2)$ 和点 $(-3,2)$ 在椭圆上
题目（高二 · 解析几何）：若焦点在 $x$ 轴上的椭圆 $\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{m}=1$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$, 则 $m$ 的值为 ( )
选项：
A. $\sqrt{3}$
B. $\frac{3}{2}$
C. $\frac{8}{3}$
D. $\frac{2}{3}$
答案：B
解析：解析: 解答: . $\because$ 焦点在 $x$ 轴上, $\therefore a=\sqrt{2}, b=\sqrt{m}, c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$,

$\therefore c=\sqrt{2-m}, e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{2-m}{2}}=\frac{1}{2}, \therefore m=\frac{3}{2}$. 故选 B.

分析: 根据椭圆 $\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{m}=1$, 得出 $a$ 与 $c$, 求出离心率即可.
题目（高二 · 解析几何）：已知点 $P$ 是椭圆 $16 x^{2}+25 y^{2}=400$ 上一点, 且在 $x$ 轴上方, $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆的左、右焦点, 直线 $P F_{2}$ 的斜率为 $-4 \sqrt{3}$, 则 $\triangle P F_{1} F_{2}$ 的面积是 ( )
选项：
A. $24 \sqrt{3}$
B. $12 \sqrt{3}$
C. $6 \sqrt{3}$
D. $3 \sqrt{3}$
答案：B
解析：解析: 解答: . $\because$ 粗圆 $16 x^{2}+25 y^{2}=400$ 化成标准形式为 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$,

$\therefore a^{2}=25, b^{2}=16$, 可得 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=3$.

$\therefore$ 椭圆的焦点为 $F_{1}(-3,0), F_{2}(3,0)$.

设位于椭圆 $X$ 轴上方弧上的点为 $(m, n)$, 则 $\left\{\begin{array}{l}\frac{m^{2}}{25}+\frac{n^{2}}{16}=1, \\ \frac{n-0}{m-3}=-4 \sqrt{3},\end{array}\right.$解得 $\left\{\begin{array}{l}m=\frac{5}{2}, \\ n=2 \sqrt{3}\end{array}\right.$ (负值舍去).

$\therefore \triangle P F_{1} F_{2}$ 的面积 $S=\frac{1}{2} \times 6 \times 2 \sqrt{3}=6 \sqrt{3}$. 故选 B.

分析: 根据椭圆 $16 x^{2}+25 y^{2}=400$ 化成标准形式为 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$, 可得 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=3$.

设位于椭圆 $x$ 轴上方弧上的点为 $(m, n)$, 再求出 $\triangle P F_{1} F_{2}$ 的面积 $S=\frac{1}{2} \times 6 \times 2 \sqrt{3}=6 \sqrt{3}$.
题目（高二 · 解析几何）：粗圆 C: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$, 点 $\mathrm{P}$ 在 $\mathrm{C}$ 上且直线 $P A_{2}$ 斜率的取值范围是 $[-2,-1]$,那么直线 $P A_{1}$ 斜率的取值范围是 ( )
选项：
A. $\left[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right]$
B. $\left[\frac{3}{8}, \frac{3}{4}\right]$
C. $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$
D. $\left[\frac{3}{4}, 1\right]$
答案：B
解析：解析: 解答: 设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$, 则 $\frac{x_{0}^{2}}{4}+\frac{y_{0}^{2}}{3}=1, k_{P A_{2}}=\frac{y_{0}}{x_{0}-2}, k_{P A_{1}}=\frac{y_{0}}{x_{0}+2}$

$$
k_{P A_{1}} \cdot k_{P A_{2}}=\frac{y_{0}^{2}}{x_{0}^{2}-4}=\frac{3-\frac{3}{4} x_{0}^{2}}{x_{0}^{2}-4}=-\frac{3}{4} \text {, 故 } k_{P A_{1}}=-\frac{3}{4} \frac{1}{k_{P A_{2}}} \text {. }
$$

因为 $k_{P A_{2}} \in[-2,-1]$,所以 $k_{P A_{1}} \in\left[\frac{3}{8}, \frac{3}{4}\right]$.故选 B.

分析: 将 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 代入到 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 中, 得到 $x_{0}$ 与 $y_{0}$ 之间的关系,利用 $k_{P A_{1}} \cdot k_{P A_{2}}$ 为定值求解 $k_{P A_{2}}$ 的取值范围.
题目（高二 · 解析几何）：已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F$, 右顶点为 $A$, 点 $B$ 在粗圆上, 且 $B F \perp x$轴, 直线 $A B$ 交 $y$ 轴于点 $P$. 若 $\overrightarrow{A P}=2 \overrightarrow{P B}$, 则椭圆的离心率是 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{2}$
答案：B
解析：解析：解答：本小题主要考查椭圆及椭圆的几何性质.

由已知 $B$ 点横坐标为 $-c$, 取 $B\left(-c, \frac{b^{2}}{a}\right)$.

$\because \overrightarrow{A P}=2 \overrightarrow{P B} . \therefore \overrightarrow{A P}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}$

$\because A B$ 所在直线方程为 $y=-\frac{a-c}{a}(x-a), \therefore P$ 点纵坐标为 $a-c$.

由 $\triangle B F A \backsim \triangle P O A$ 得, $\frac{b^{2}}{a-c}=\frac{3}{2}, \therefore 2 c^{2}-3 a c+a^{2}=0$.

即 $2 e^{2}-3 e+1=0$ 解得 $e=\frac{1}{2}(e=1$ 舍去 $)$. 故选 D.

分析: 本小题主要考查椭圆及粗圆的几何性质, 注意结合直线的斜率求解即可.
题目（高二 · 解析几何）：椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 与直线 $x+y=1$ 交于 $P 、 Q$ 两点, 且 $O P \perp O Q$, 其中 $O$为坐标原点, 求 $\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}$ 的值 ( )
选项：
A. 1
B. 3
C. 2
D. $\frac{1}{2}$
答案：C
解析：解析: 解答: 设 $P\left(x_{1}, y_{1}\right), P\left(x_{2}, y_{2}\right)$, 由 $\mathrm{OP} \perp \mathrm{OQ} \Leftrightarrow x_{1} x_{2}+\mathrm{y}_{1} \mathrm{y}_{2}=0$

$$
\begin{aligned}
& \because y_{1}=1-x_{1}, y_{2}=1-x_{2}, \text { 代入上式得: } 2 x_{1} x_{2}-\left(x_{1}+x_{2}\right)+1=0 \quad \text { (1) 又将 } y=1-x \text { 代入 } \\
& \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \Rightarrow\left(a^{2}+b^{2}\right) x^{2}-2 a^{2} x+a^{2}\left(1-b^{2}\right)=0, \because \Delta>0, \therefore x_{1}+x_{2}=\frac{2 a^{2}}{a^{2}+b^{2}}, \\
& x_{1} x_{2}=\frac{a^{2}\left(1-b^{2}\right)}{a^{2}+b^{2}} \text { 代入(1)化简得 } \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}=2 . . \text { 故选 C. }
\end{aligned}
$$

分析: 本小题主要考查了粗圆与直线的结合, 联立直线消去 $\mathrm{y}$, 利用两根之和与两根之积,求解即可.
题目（高二 · 解析几何）：已知曲线 $C$ 上的动点 $M(x, y)$ 和向量 $\boldsymbol{a}=(x+2, y), \boldsymbol{b}=(x-2, y)$ 满足 $|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|=6$, 则曲线 $C$ 的离心率

是( )
选项：
A. $\frac{2}{3}$
B.
C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\frac{1}{3}$
答案：A
解析：解析: 解答: $|\boldsymbol{a}|+|\boldsymbol{b}|=6$ 表示动点 $M$ 到两定点 $(-2,0),(2,0)$ 的距离之和为 6 , 所以曲线 $C$ 是以 $(-2,0),(2,0)$ 为焦点, 以 6 为长轴长的椭圆,故离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{2}{3}$, 故选 A.

分析: 根据栯圆的定义, 求出 $a$ 与 $c$ 的值, 即可确定离心率.
题目（高二 · 解析几何）：设定点 $F_{1}(0,-3), F_{2}(0,3)$, 动点 $P(x, y)$ 满足条件 $\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=a(a>0)$, 则动点 $P$ 的轨迹是( )
选项：
A. 椭圆
B. 线段
C. 椭圆、线段或不存在
D. 不存在
答案：C
解析：解析: 解答: 当 $a>\left|F_{1} F_{2}\right|=6$ 时, 动点 $P$ 的轨迹为椭圆;

当 $a=\left|F_{1} F_{2}\right|=6$ 时, 动点 $P$ 的轨迹为线段;

当 $a<\left|F_{1} F_{2}\right|=6$ 时, 动点 $P$ 的轨迹不存在., 故选 C.

分析: 本题给出点 $\mathrm{P}$ 满足的条件, 求动点的轨迹, 注意应用粗圆的定义与形成粗圆的条件即可.
题目（高二 · 解析几何）：下列说法中正确的是( ).
选项：
已知 $F_{1}(-4,0), F_{2}(4,0)$, 到 $F_{1}, F_{2}$ 两点的距离之和等于 8 的点的轨迹是椭圆

B. 已知 $F_{1}(-4,0), F_{2}(4,0)$, 到 $F_{1}, F_{2}$ 两点的距离之和为 6 的点的轨迹是椭圆

C. 到 $F_{1}(-4,0), F_{2}(4,0)$ 两点的距离之和等于点 $M(5,3)$ 到 $F_{1}, F_{2}$ 的距离之和的点的轨迹是椭圆

D. 到 $F_{1}(-4,0), F_{2}(4,0)$ 两点距离相等的点的轨迹是椭圆
答案：C
解析：解析: 解答: $\mathrm{A}$ 中常数 $8=\left|F_{1} F_{2}\right|, \mathrm{B}$ 中常数 $6<\left|F_{1} F_{2}\right|$, 所以轨迹都不是粗圆; 可计算 $\mathrm{C}$ 中常数等于 $4 \sqrt{10}>\left|F_{1} F_{2}\right|$, 符合椭圆定义, 轨迹是椭圆; $\mathrm{D}$ 中点的轨迹应该是一条直线, 故选 C. 故选 C.

分析：本题给出焦点满足的条件, 求动点的轨迹, 注意应用粗圆的定义与形成陏圆的条件即可.
题目（高二 · 解析几何）：已知椭圆的焦点是 $F_{1} 、 F_{2}, P$ 是椭圆上的一个动点, 如果延长 $F_{1} P$ 到 $Q$, 使得 $|P Q|=$ $\left|P F_{2}\right|$, 那么动点 $Q$ 的轨迹是
选项：
A. 圆
B. 椭圆
C. 抛物线
D. 双曲线的一支
答案：A
解析：解析: 解答: $\because\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=2 a,|P Q|=\left|P F_{2}\right|$,

$\therefore\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=\left|P F_{1}\right|+|P Q|=2 a$.

即 $\left|F_{1} Q\right|=2 a$.

$\therefore$ 动点 $Q$ 到定点 $F_{1}$ 的距离等于定长 $2 a$, 故动点 $Q$ 的轨迹是圆. 故选 $\mathrm{A}$.

分析：本题给出椭圆的焦点是 $F_{1} 、 F_{2}$, 求动点的轨迹, 注意应用圆的定义与形成圆的条件即可
题目（高二 · 解析几何）：已知椭圆 $x^{2}+m y^{2}=1$ 的焦点在 $y$ 轴上, 长轴长是短轴长的两倍, 则 $m$ 的值为 ( )
选项：
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{2}$
C. 2
D. 4
答案：A
解析：解析: 解答: 粗圆方程可化为 $\frac{x^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{\frac{1}{m}}=1$,由焦点在轴上可得长半轴长为 $\sqrt{\frac{1}{m}}$,短半轴长为 1 , 所以 $\sqrt{\frac{1}{m}}$, 解得 $m=\frac{1}{4}$. 故选 A.

分析: 本题给出椭圆 $x^{2}+m y^{2}=1$ 的焦点在 $y$ 轴上, 化为标准方程再求其他量即可.
题目（高二 · 解析几何）：椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 的右焦点到直线 $y=\sqrt{3} x$ 的距离是 ( )
选项：
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. 1
D. $\sqrt{3}$
答案：B
解析：解析：解答：椭圆的右焦点为 $F(1,0)$, 根据点到直线的距离公式得

$$
\therefore d=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3+1}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \text { 故选 B. }
$$

分析: 根据椭圆标准的方程 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 求出右焦点, 再代入点到直线的距离的距离公式即可.
题目（高二 · 解析几何）：若一个粗圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列, 则该椭圆的离心率是( )
选项：
A. $\frac{4}{5}$
B. $\frac{3}{5}$
C. $\frac{2}{5}$
D. $\frac{1}{5}$
答案：B
解析：解析: 解答: 由题意知 $2 b=a+c$, 又 $b^{2}=a^{2}-c^{2}$,

$$
\begin{aligned}
& \therefore 4\left(a^{2}-c^{2}\right)=a^{2}+c^{2}+2 a c . \\
& \therefore 3 a^{2}-2 a c-5 c^{2}=0 . \therefore 5 c^{2}+2 a c-3 a^{2}=0 . \\
& \therefore 5 e^{2}+2 e-3=0 . \therefore e=\frac{3}{5} \text { 或 } e=-1 \text { (舍去). 故选 B. }
\end{aligned}
$$

分析: 根据长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列, 找出 $a$ 与 $c$ 的关系即可.
题目（高二 · 解析几何）：椭圆 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{8}=1$ 的离心率为( )
选项：
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
答案：B
解析：解析: 解答: $c^{2}=16-8=8, \therefore e=\sqrt{\frac{8}{16}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$. 故选 D.

分析: 根据椭圆 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{8}=1$, 得出 $a$ 与 $c$, 求出离心率即可.
题目（高二 · 解析几何）：已知 $M(-2,0), N(2,0),|P M|-|P N|=3$, 则动点 $P$ 的轨迹是( )
选项：
A.双曲线
B.双曲线左边一支
C.双曲线右边一支
D.一条射线
答案：C
解析：解析：解答： $\because|P M|-|P N|=3<4$, 由双曲线定义知, 其轨迹为双曲线的一支. 又 $\because|P M|>|P N|$, 故点 $P$ 的轨迹为双曲线的右支.故选 C.

分析：本题考查了双曲线的定义，根据 $|P M|-|P N|=3$ ，可得是双曲线的右支。
题目（高二 · 解析几何）：双曲线 $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$ 的顶点到渐进线的距离等于（）
选项：
A. $\frac{2}{5}$
B. $\frac{4}{5}$
C. $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
D. $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$
答案：C
解析：解析: 解答: 双曲线的右顶点为 $(2,0)$, 渐近线方程为 $x-2 y=0$, 则顶点到渐近线的距离为 $\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$. 故选 C

分析: 先求顶点, 后求渐近线方程, 再用距离公式求解.
题目（高二 · 解析几何）：已知双曲线 C: $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$, 则 $\mathrm{C}$ 的渐近线方程为 ( )
选项：
A. $y= \pm \frac{1}{4} x$
B. $y= \pm \frac{1}{3} x$
C. $y= \pm \frac{1}{2} x$
D. $y= \pm x$
答案：C
解析：解析: 解答: 因为 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}$, 所以 $\frac{c^{2}}{a^{2}}=\frac{5}{4}$, 又因为 $c^{2}=a^{2}+b^{2}$, 所以 $\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}}=\frac{5}{4}$,得 $\frac{b^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{4}$, 所以渐近线方程为 $y= \pm \frac{1}{2} x$. 故选 C

分析: 根据题目中给出离心率确定 $a$ 与 $c$ 之间的关系, 再利用 $c^{2}=a^{2}+b^{2}$ 确定 $a$ 与 $b$ 之间的关系, 即可求出渐近线方程.
题目（高二 · 解析几何）：已知双曲线 $\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 的左、右焦点分别为 $\mathrm{F}_{1}, \mathrm{~F}_{2}$, 其一条渐近线方程为 $y=x$, 点 $P\left(\sqrt{3}, y_{0}\right)$ 在该双曲线上, 则 $\overrightarrow{\mathrm{PF}_{1}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PF}_{2}}=(\quad)$
(A) -12
(B)-2
(C)0
(D) 4

答案: C

解析: 解答: 由题意: $\frac{b}{\sqrt{2}}=1, \therefore b=\sqrt{2}, \therefore$ 双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$

$\because$ 点 $\mathrm{P}\left(\sqrt{3}, \mathrm{y}_{0}\right)$ 在该双曲线上, $\therefore \frac{3}{2}-\frac{\mathrm{y}_{0}{ }^{2}}{2}=1, \therefore \mathrm{y}_{0}= \pm 1$,
$\therefore \mathrm{P}(\sqrt{3}, \pm 1)$, 又 $\mathrm{F}_{1}(-2,0), \mathrm{F}_{2}(2,0), \therefore \overrightarrow{\mathrm{PF}_{1}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PF}}_{2}=(-2-\sqrt{3},-1) \cdot(2-\sqrt{3},-1)=-1+1=0$,

或 $\overrightarrow{\mathrm{PF}_{1}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PF}_{2}}=(-2-\sqrt{3}, 1) \cdot(2-\sqrt{3}, 1)=-1+1=0 . \therefore \overrightarrow{\mathrm{PF}_{1}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{PF}_{2}}=0$. 故选 $\mathrm{C}$

分析: 根据双曲线的渐近线方程求出 $\mathrm{b}$ 的值, 然后把 $\mathrm{P}$ 点坐标求出来, 再利用数量积的运算律计算.

13. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线与抛物线 $\mathrm{y}^{2}=2 p x(p>0)$ 的准线分别交于 $A, B$ 两点, $O$ 为坐标原点. 若双曲线的离心率为 $2, \triangle A O B$ 的面积为 $\sqrt{3}$, 则 $p=(\quad)$
选项：
A. 1
B. $\frac{3}{2}$
C. 2
D. 3
答案：C
解析：解析：解答:

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题目（高二 · 解析几何）：设动点 $P$ 到 $A(-5,0)$ 的距离与它到 $B(5,0)$ 距离的差等于 6 , 则 $P$ 点的轨迹方程是 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$
B. $\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{16}=1$
C. $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1 \quad(x \leq-3)$
D. $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1(\mathrm{x} \geq 3)$
答案：D
解析：解析：解答：由题意知点 $P$ 的轨迹是双曲线靠近 $B$ 点的右支, 且 $\mathrm{c}=5, \mathrm{a}=3, \therefore b=4 . \therefore$ 点 $P$ 的轨迹方程是 $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1(\mathrm{x} \geq 3)$.

故点 $P$ 的轨迹为双曲线的右支.故选 D.

分析: 本题考查了双曲线的定义, 根据动点 $\mathrm{P}$ 到 $\mathrm{A}(-5,0)$ 的距离与它到 $\mathrm{B}(5,0)$ 距离的差等于

6 , 可得是双曲线的右支。
题目（高二 · 解析几何）：双曲线 $m x^{2}+y^{2}=1$ 的虚轴长是实轴长的 2 倍, 则 $m$ 的值为( ).
选项：
A. $-\frac{1}{4}$
B. -4
C. 4
D. $\frac{1}{4}$
答案：D
解析：解析: 解答: 由双曲线方程 $m x^{2}+y^{2}=1$, 知 $m<0$, 则双曲线方程可化为 $y^{2}-\frac{x^{2}}{-\frac{1}{m}}=1$, 则 $a^{2}$ $=1, a=1$, 又虚轴长是实轴长的 2 倍,

$\therefore b=2, \therefore-\frac{1}{m}=b^{2}=4, \therefore m=-\frac{1}{4}$, 故选 A.

分析: 本题考查了双曲线的定义, 双曲线 $m x^{2}+y^{2}=1$ 的虚轴长是实轴长的 2 倍, 可得 $b=2 a$,根据双曲线的标准方程, 可得 $a=1$ 即可。
题目（高二 · 解析几何）：双曲线 $8 k x^{2}-k y^{2}=8$ 的一个焦点是 $(0,3)$, 则 $\mathrm{k}$ 的值是 $(\quad)$
选项：
A.-1
B. 1
C. $-\frac{\sqrt{65}}{3}$
D. $\frac{\sqrt{65}}{3}$
答案：D
解析：解析：解答：由题知双曲线焦点在 $y$ 轴上, 且 $\mathrm{c}=3$, 双曲线方程可化为

$\frac{y^{2}}{-\frac{8}{k}}-\frac{x^{2}}{-\frac{1}{k}}=1, \therefore-\frac{8}{k}-\frac{1}{k}=9, \therefore \mathrm{k}=-1$. , 故选 A.

分析：因为双曲线 $8 k x^{2}-k y^{2}=8$ 的一个焦点是 $(0,3)$, 所以 $\mathrm{c}=3$, 将双曲线化为标准方程即可。
题目（高二 · 解析几何）：双曲线 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{k}=1$ 的离心率 $e \in(1,2)$, 则 $k$ 的取值范围是
选项：
A. $-12<k<-1$
B. $0<k<12$
C. $-12<k<0$
D. $k<-12$ 或 $0<k$
答案：C
解析：解析: 解答: 双曲线方程可变为 $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{-k}=1$, 则 $a^{2}=4, b^{2}=-k, c^{2}=4-k$,

$$
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{4-k}}{2} \text {, 又 } \because e \in(1,2) \text {, 则 } 1<\frac{\sqrt{4-k}}{2}<2 \text {, 解得 }-12<k<0 \text {. 故选 C. }
$$

分析: 因为双曲线 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{k}=1$ 的离心率 $e \in(1,2)$, 根据 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{4-k}}{2}$ 确定 $1<\frac{\sqrt{4-k}}{2}<2$, 解不等式即可。

$6 . \mathrm{k}>9$ 是方程 $\frac{x^{2}}{9-k}+\frac{y^{2}}{k-4}=1$ 表示双曲线的( )
(A) 充要条件
(B) 充分不必要条件
（C）必要不充分条件
(D) 既不充分又不必要条件

答案: C

解析: 解答: 当 $k>9$ 时, $9-k<0, k-4>0$, 方程表示双曲线.

当 $k<4$ 时, $9-k>0, k-4<0$, 方程也表示双曲线.

$\therefore \mathrm{k}>9$ 是方程 $\frac{x^{2}}{9-k}+\frac{y^{2}}{k-4}=1$ 表示双曲线的充分不必要条件. 故选 C.

分析: 因为. $\mathrm{k}>9$ 是方程 $\frac{x^{2}}{9-k}+\frac{y^{2}}{k-4}=1$ 可得焦点在 $y$ 轴上, 将双曲线化为标准方程即可
题目（高二 · 解析几何）：已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的 2 倍, 则其渐近线方程为
选项：
A. $2 x \pm y=0$
B. $x \pm 2 y=0$
C. $4 x \pm 3 y=0$
D. $3 x \pm 4 y=0$
答案：C
解析：解析: 解答: 双曲线的右焦点到左顶点的距离为 $a+c$, 右焦点到渐近线 $y= \pm \frac{b}{a} x$ 距离为 $b$,所以有: $a+c=2 b$, 由 $4 x \pm 3 y=0$ 得 $y= \pm \frac{4}{3} x$, 取 $\mathrm{a}=3, \mathrm{~b}=4$, 则 $\mathrm{c}=5$, 满足 $a+c=2 b$. 故选:

分析：本题旨在考查双曲线的几何性质，可用第选法.
题目（高二 · 解析几何）：与椭圆 $C: \frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{12}=1$ 共焦点且过点 $(1, \sqrt{3})$ 的双曲线的标准方程为 $(\quad)$
选项：
A. $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$
B. $y^{2}-2 x^{2}=1$
C. $\frac{y^{2}}{2}-\frac{x^{2}}{2}=1$
D. $\frac{y^{2}}{3}-x^{2}=1$
答案：C
解析：解析: 解答: 椭圆 $\frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{12}=1$ 的焦点坐标为 $(0,-2),(0,2)$, 设双曲线的标准方程为 $\frac{y^{2}}{m}-\frac{x^{2}}{n}=1(m>0, n>0)$, 则 $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{m}-\frac{1}{n}=1, \\ m+n=4,\end{array}\right.$ 解得 $m=n=2$, 故选 C.分析：根据椭圆 $C: \frac{y^{2}}{16}+\frac{x^{2}}{12}=1$, 可得 $a^{2}=16, b^{2}=12$, 可求出焦点坐标, 即可。
题目（高二 · 解析几何）：平面内有两个定点 $F_{1}(-5,0)$ 和 $F_{2}(5,0)$, 动点 $P$ 满足 $\left|P F_{1}\right|-\left|P F_{2}\right|=6$, 则动点 $P$ 的轨迹方程是( ).
选项：
A. $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1(x \leq-4)$
B. $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1 \quad(x \leq-3)$
C. $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1 \quad(x \geq 4)$
D. $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1 \quad(x \geq 3)$
答案：C
解析：解析: 解答: 根据两个定点 $F_{1}(-5,0)$ 和 $F_{2}(5,0)$, 动点 $P$ 满足 $\left|P F_{1}\right|-\left|P F_{2}\right|=6$,所以 $c=5, a=3$, 所以 $b=4$, 故选 D
分析：根据双曲线的定义可得.
题目（高二 · 解析几何）：设抛物线的顶点在原点, 其焦点 $F$ 在 $y$ 轴上, 又抛物线上的点 $(k,-2)$ 与 $F$ 点的距离为 4 , 则 $k$ 的值是 ( )
选项：
A. 4
B. 4 或 -4
C. -2
D. 2 或 -2
答案：B
解析：解析: 解答: 由题意, 设抛物线的标准方程为: $x^{2}=-2 p y$, 则: $\frac{p}{2}+2=4, \therefore p=4, x^{2}=$ $-8 y$. 又点 $(k,-2)$ 在抛物线上, $\therefore k^{2}=16, k= \pm 4$. . 故选 B.

分析: 根据抛物线的顶点在原点, 其焦点 $F$ 在 $y$ 轴上, 可设抛物线的标准方程为: $x^{2}=-$ $2 p y$; 求解即可。
题目（高二 · 解析几何）：设抛物线 $\mathrm{C}: y^{2}=2 p x(\mathrm{p}>0)$ 的焦点为 $\mathrm{F}$, 点 $\mathrm{M}$ 在 $\mathrm{C}$ 上, $|M F|=5$, 若以 $M F$ 为直径的圆过点 $(0,2)$, 则 $\mathrm{C}$ 的方程为



答案: C

解析: 解答: 由题意知: $F\left(\frac{p}{2}, 0\right)$, 准线方程为 $x=-\frac{p}{2}$, 则由抛物线的定义知, $X_{M}=5-\frac{p}{2}$, 设以 $\mathrm{MF}$ 为直径的圆的圆心为 $\left(\frac{5}{2}, \frac{y_{M}}{2}\right)$, 所以圆的方程为 $\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{y_{M}}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$, 又因为过点( 0,2 , , 所以 $y_{M}=4$, 又因为点 $\mathrm{M}$ 在 $\mathrm{C}$ 上, 所以 $16=2 \mathrm{p}\left(5-\frac{p}{2}\right)$, 解得 $p=2$ 或 $p=8$, 所以抛物线 $\mathrm{C}$ 的方程为 $y^{2}=4 x$ 或 $y^{2}=16 x$,故选 C.

分析：结合已知条件,设出圆心坐标,然后借助抛物线的定义,确定抛物线的方程.

11. 过抛物线焦点 $F$ 的直线与抛物线相交于 $A 、 B$ 两点, 若 $A 、 B$ 在抛物线准线上的射影是 $A_{1} 、 B_{1}$, 则 $\angle A_{1} F B_{1}$ 等于 $(\quad)$


选项：
A. $45^{\circ}$
B. $60^{\circ} \mathrm{C} \cdot 90^{\circ}$
D. $120^{\circ}$
答案：C
解析：解析: 解答: 由抛物线的定义得, $|A F|=\left|A A_{1}\right|,|B F|=\left|B B_{1}\right|, \therefore \angle 1=\angle 2$,

$$
\begin{aligned}
& \angle 3=\angle 4, \text { 又 } \angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4+\angle A_{1} A F+\angle B_{1} B F=360^{\circ}, \\
& \text { 且 } \angle A_{1} A F+\angle B_{1} B F=180^{\circ}, \therefore \angle 1+\angle 2+\angle 3+\angle 4=180^{\circ}, \\
& \therefore 2(\angle 2+\angle 4)=180^{\circ}, \text { 即 } \angle 2+\angle 4=90, \text { 故 } \angle A_{1} F B=90^{\circ} \text {. 故选 C. }
\end{aligned}
$$

分析: 结合已知条件, 因为 $A 、 B$ 在抛物线准线上的射影是 $A_{1} 、 B_{1},|O F| / /\left|A A_{1}\right|,|O F| / /\left|B B_{1}\right|$,抛物线的定义得, $|A F|=\left|A A_{1}\right|,|B F|=\left|B B_{1}\right|$, 可得 $\angle 3=\angle 4, \angle 1=\angle 2$, 求解即可。
题目（高二 · 解析几何）：已知动圆 $\mathrm{M}$ 与直线 $y=2$ 相切, 且与定圆 $\mathrm{C}: x^{2}+(y+3)^{2}=1$ 外切, 求动圆圆心 $\mathrm{M}$ 的
轨迹方程. (12 分)
选项：
A. $y^{2}=12 x$
B. $x^{2}=-12 y$
C. $x^{2}=12 y$
D. $y^{2}=-12 x$
答案：B
解析：解析：解答：设动圆圆心为 $\mathrm{M}(x, y)$, 半径为 $\mathrm{r}$, 则由题意可得 $\mathrm{M}$ 到 $\mathrm{C}(0,-3)$ 的距离与到直线 $y=3$ 的距离相等, 由抛物线的定义可知: 动圆圆心的轨迹是以 $C(0,-3)$ 为焦点, 以 $y=3$ 为准线的一条抛物线, 其方程为 $x^{2}=-12 y$.

.故选 B.

分析: 结合已知条件, 设动圆圆心为 $\mathrm{M}(x, y)$, 半径为 $\mathrm{r}$, 则由题意可得 $\mathrm{M}$ 到 $\mathrm{C}(0,-3)$的距离与到直线 $y=3$ 的距离相等, 求解即可。
题目（高二 · 解析几何）：已知抛物 $C: y^{2}=8 x$ 与点 $M(-2,2)$, 过C的焦点, 且斜率为 $k$ 的直线与 $C$ 交于

$A, B$ 两点, 若 $\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}=0$, 则 $k=(\quad)$
选项：
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\sqrt{2}$
D. 2
答案：D
解析：解析: 解答: 由题意知直线 $A B$ 的方程为 $y=k(x-2)$, 将其代入到 $y^{2}=8 x$ 得,

$k^{2} x^{2}-4\left(k^{2}+2\right) x+4 k^{2}=0$, 设 $A\left(x, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$,

则 $x_{1}+x_{2}=\frac{4\left(k^{2}+2\right)}{k^{2}}, x_{1} x_{2}=4$ (1)

又 $y_{1}+y_{2}=k\left(x_{1}+x_{2}\right)-4 k$, (2)

$y_{1} y_{2}=k^{2}\left[x_{1} x_{2}-2\left(x_{1}+x_{2}\right)+4\right](3)$

因为 $\overrightarrow{M A} \cdot \overrightarrow{M B}=0$, 所以 $\left(x_{1}+2, y_{1}-2\right) \cdot\left(x_{2}+2, y_{2}-2\right)=0$,

即 $x_{1} x_{2}+2\left(x_{1}+x_{2}\right)+y_{1} y_{2}-2\left(y_{1}+y_{2}\right)+8=0$.(4)

由(1)(2)(3)(4)得, $k=2$..故选 D

分析: 先求出抛物线的焦点, 列出过焦点的直线方程，与抛物线联立，化简成关于 $x$ 的一元

二次方程, 利用根与系数关系代入求解.
题目（高二 · 解析几何）：设抛物线 $y^{2}=8 x$ 的焦点为 $F$, 准线为 $l, P$ 为抛物线上一点, $P A \perp l, A$ 为垂足. 如果直线 $A F$ 的斜率为 $-\sqrt{3}$, 那么 $|P F|=(\quad)$
选项：
A. $4 \sqrt{3}$
B. 8
C. $8 \sqrt{3}$
D. 16
答案：B
解析：解析: 解答: 如图, $K_{A F}=-\sqrt{3}, \therefore \angle A F O=60^{\circ}, \because|B F|=4, \therefore|A B|=4 \sqrt{3}$,

即 $P$ 点的纵坐标为 $4 \sqrt{3}, \therefore(4 \sqrt{3})^{2}=8 x, \therefore x=6, \therefore|P A|=8=|P F|$, 故选 B.

分析: 结合已知条件, 设抛物线 $y^{2}=8 x$ 的焦点为 $F$, 准线为 $l, P$ 为抛物线上一点, $P A \perp l$, $A$ 为垂足, 结合图像, 求解即可。
题目（高二 · 解析几何）：抛物线 $y^{2}=8 x$ 的焦点到直线 $x-\sqrt{3} y=0$ 的距离是 ( )
选项：
A. $2 \sqrt{3}$
B. 2
C. $\sqrt{3}$
D. 1
答案：D
解析：解析: 解答: 抛物线 $y^{2}=8 x$ 的焦点 $(2,0)$ 到直线 $x-\sqrt{3} y=0$ 的距离, 根据点到直线的距离公式可得 $d=\frac{|2-0|}{2}=1$, 故选 D.

分析：本题考查的是抛物线的基本几何性质,在求解时首先求得抛物线的焦点坐标,然后利用点到直线的距离公式进行求解即可.
题目（高二 · 解析几何）：拖物线 $y=\frac{1}{m} x^{2}(m<0)$ 的焦点坐标是 $(\quad)$
选项：
A. $\left(0, \frac{m}{4}\right)$
B. $\left(0,-\frac{m}{4}\right)$
C. $\left(0, \frac{1}{4 m}\right)$
D. $\left(0,-\frac{1}{4 m}\right)$
答案：A
解析：解析: 解答: $\because x^{2}=m y(m<0), \therefore 2 p=-m, p=-\frac{m}{2}$,焦点坐标为 $\left(0,-\frac{p}{2}\right)$, 即 $\left(0, \frac{m}{4}\right)$, 故选 A.

分析: 本题考查的是抛物线的标准方程,在求解时首先求得抛物线的标准方程,然后求出焦点, 进行求解即可.
题目（高二 · 解析几何）：抛物线的顶点在原点, 对称轴是 $x$ 轴, 抛物线上的点 $(-5,2 \sqrt{5})$ 到焦点的距离是 6 , 则抛物线的方程为 ( )
选项：
A. $y^{2}=-2 x$
B. $y^{2}=-4 x$
C. $y^{2}=2 x$
D. $y^{2}=-4 x$ 或 $y^{2}=-36 x$
答案：B
解析：解析: 解答: 由题意, 设抛物线的标准方程为: $y^{2}=-2 p x(p>0)$, 由题意, 得 $\frac{p}{2}+5=6$, $\therefore p=2, \therefore$ 抛物线方程为 $y^{2}=-4 x$, 故选 B.

分析: 本题考查的是抛物线的标准方程,在求解时首先求得抛物线的标准方程的 $p$ 求解即可
题目（高二 · 解析几何）：已知抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 相交于 $A, B$ 两点, 且 $|A B|=2 \sqrt{3}$, 则 $p=(\quad)$
选项：
A. 3
B. $\frac{3}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{6}$
答案：B
解析：解析: 解答: $\because$ 抛物线 $y^{2}=2 p x$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 都关于 $x$ 轴对称, 则 $A, B$ 关于 $x$ 轴对称. 又 $\because|A B|=2 \sqrt{3}$, 不妨设 $A$ 在第一象限, 则 $A$ 的纵坐标为 $\sqrt{3}$, 代入圆 $x^{2}+y^{2}=4$, 得 $A$ 的横坐标为 1 . 再将 $x=1, y=\sqrt{3}$ 代入 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 中得 $p=\frac{3}{2}$. 故选 B.

分析: 本题考查的是抛物线的标准方程, 因为抛物线 $y^{2}=2 p x$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 都关于 $x$ 轴对称，则 $A, B$ 关于 $x$ 轴对称，假设 $\mathrm{A}$ 在第一象限，求解即可
题目（高二 · 解析几何）：经过抛物线 $y^{2}=2 x$ 的焦点且平行于直线 $3 x-2 y+5=0$ 的直线的方程是 ( )
选项：
A. $6 x-4 y-3=0$
B. $3 x-2 y-3=0$
C. $2 x+3 y-2=0$
D. $2 x+3 y-1=0$
答案：A
解析：解析: 解答: 据题意设所求平行直线方程为 $3 x-2 y+c=0$, 又直线过抛物线 $y^{2}=2 x$ 的焦点 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$, 代入求得 $c=-\frac{3}{2}$, 故直线方程为 $6 x-4 y-3=0$. 故选 A.

分析: 因为经过抛物线 $y^{2}=2 x$ 的焦点, 可得 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$, 与直线 $3 x-2 y+5=0$ 平行,可得斜率, 求解即可。
题目（高二 · 解析几何）：已知抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的准线与圆 $(x-3)^{2}+y^{2}=16$ 相切, 则 $p$ 的值为 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{1}{2}$
B. 1
C. 2
D. 4
答案：C
解析：解析: 解答: 因为抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的准线方程是 $x=-\frac{p}{2}$,

由题意知, $3+\frac{p}{2}=4, p=2$..故选 C.

分析：因为抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 的准线与圆 $(x-3)^{2}+y^{2}=16$ 相切,可得 $3+\frac{p}{2}=4$, 求解即可。
题目（高二 · 解析几何）：正三角形的一个顶点位于坐标原点, 另外两个顶点在抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$ 上, 求正三角形外接圆的方程 ( )
选项：
A. $x^{2}+\frac{y^{2}}{2}-8 p x=0$
B. $x^{2}-y^{2}-8 p x=0$
C. $x^{2}+y^{2}+8 p x=0$
D. $x^{2}+y^{2}-8 p x=0$
答案：D
解析：解析：解答：根据题意可得圆心在 $x$ 轴上, 且过原点,故可设圆的方程为: $x^{2}+y^{2}+D x=0$, 又 $\because$ 圆过点 $A(6 p, 2 \sqrt{3})$,
$\therefore$ 所求圆的方程为 $x^{2}+y^{2}-8 p x=0$, 故选 D.

分析: 因为正三角形的一个顶点位于坐标原点, 另外两个顶点在抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$上, 即可设圆的方程为: $x^{2}+y^{2}+D x=0$ 求解即可。
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 所对应的边分别为 $a, b, c$, 若角 $A, B, C$ 依次成等差数列, 且 $a=1, b=\sqrt{3}$, 则 $\mathrm{S}_{\triangle A B C}=(\quad)$
选项：
A. $\sqrt{2}$
B. $\sqrt{3}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. 2
答案：C
解析：$\because A 、 B 、 C$ 依次成等差数列, $\therefore B=60^{\circ} \therefore$ 由余弦定理得: $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B$, 得 $: c=2$ $\therefore$ 由三角形面积公式得: $\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{ABC}}=\frac{1}{2} a c \sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$, 故选 C.
题目（高二 · 解析几何）：若函数 $\mathrm{f}(x)=2 x^{2}-1$ 的图象上一点 $(1,1)$ 及邻近一点 $(1+\Delta x, 1+\Delta \mathrm{y})$, 则 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 等于 ( )
选项：
A. 4
B. $4 x$
C. $4+2 \Delta x$
D. $4+2 \triangle x^{2}$
答案：C
解析：解析：解答：明确 $\Delta \mathrm{y}$ 的意义, 根据函数的解析式求出 $\Delta \mathrm{y}$ 的表达式, 即可得到答案.

$\because \triangle \mathrm{y}=\left[2(1+\Delta x)^{2}-1\right]-1=2 \Delta x^{2}+4 \Delta x$,

$\therefore \frac{\Delta y}{\Delta x}=4+2 \Delta x$, 故选 C.

分析: 本题主要考查了导数的概念, 解决问题的关键是根据 $\Delta \mathrm{y}$ 的意义, 即函数在点 $(1,1)$的变化量, 先求 $\Delta \mathrm{y}$, 即可得到 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$, 属于基础题.