eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（八年级 · 度量几何学）：一个四边形的边长依次为 $A, B, C, d$, 且 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=2 a c+2 b d$, 则这个四边形是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：平行四边形
解析：$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=2 a c+2 b d$,

$\left(a^{2}-2 a c+c^{2}\right)+\left(b^{2}-2 b d+d^{2}\right)=0$,

$(a-c)^{2}+(b-d)^{2}=0$

$\therefore a-c=0, b-d=0$,

$\therefore a=c, b=d$,

$\therefore$ 四边形是平行四边形,

故答案为平行四边形.
题目（八年级 · 度量几何学）：在 $\square A B C D$ 中, $\angle A$ 的平分线把 $B C$ 边分成长度是 3 和 4 的两部分, 则 $\square A B C D$ 周长是 \$ \qquad \$
选项：
答案：20 或 22
解析：如图:



在平行四边形 $A B C D$ 中, $A D / / B C$, 则 $\angle D A E=\angle A E B$.

$\because A E$ 平分 $\angle B A D$,

$\therefore \angle B A E=\angle D A E$,

$\therefore \angle B A E=\angle B E A$,

$\therefore A B=B E, B C=B E+E C$,

(1) 当 $B E=3, E C=4$ 时,

平行四边形 $A B C D$ 的周长为: $2(A B+B C)=2 \times(3+3+4)=20$;

(2) 当 $B E=4, E C=3$ 时,

平行四边形 $A B C D$ 的周长为: $2(A B+B C)=2 \times(4+4+3)=22$.
故答案为 20 或 22 .
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 直线 $E F$ 经过 $\square A B C D$ 的对称中心 $O$, 且分别交 $A B 、 C D$ 于 $E 、 F$.若 $\Delta A B C D$ 的面积为 $8 \mathrm{~cm}^{2}$,则图中阴影部分的面积为 \$ \qquad \$ $\mathrm{cm}^{2}$.

2


选项：
答案：2
解析：$\because O$ 是平行四边形的对称中心，

$\therefore O B=O D, O E=O F$,

$\therefore \triangle A O B$ 的面积 $=\frac{1}{4}$ $~ A B C D$ 的面积 $=\frac{1}{4} \times 8=2$,

在 $\triangle B O E \cong \triangle D O F$ 中,

$$
\left\{\begin{array}{l}
O B=O D \\
\angle B O E=\angle D O F \\
O E=O F
\end{array}\right.
$$

$\therefore \triangle B O E \cong \triangle D O F(S A S)$,

$\therefore$ 图中阴影部分的面积 $=S_{\triangle A O E}+S_{\triangle D O F}=S_{\triangle A O E}+S_{\triangle B O E}=S_{\triangle A O B}=2$,

故答案为 2 .
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 平行四边形钢板上有一圆洞, 现需将该钢板(阴影部分)分成面积相等的两部分, 如果限定只能用一条直线，能否做到: \$ \qquad \$ (选填 “能” 或 “不能”).若填 “能”，请说明这条直线过哪两个点; 若填 “不能”，请简要说明理由: \$ \qquad \$ .


选项：
答案：能 对角线的交点和圆心
解析：作一条过圆心与平行四边形对角线交点的直线即把该图形平分, 如下图



故答案为: 能; 对角线的交点和圆心.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 正方形 $A B C D$ 中, 点 $E 、 F$ 分别是 $B C 、 A B$ 边上的点, 且 $A E \perp D F$, 垂足为点 $O, \triangle A O D$ 的面积为 $\sqrt{7}$, 则图中阴影部分的面积为 \$ \qquad \$ .


选项：
答案：$\sqrt{7}$
解析：$\because A E \perp D F$,

$\therefore \angle A O F=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B A E+\angle A F O=90^{\circ}$,

$\because$ 正方形 $A B C D$,

$\therefore A D=A B, \angle A B E=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B A E+\angle A E B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A F D=\angle A E B$,

在 $\triangle A B E$ 和 $\triangle A D F$ 中

$$
\left\{\begin{array}{l}
\angle B A D=\angle A B E=90^{\circ} \\
\angle A F D=\angle A B E \\
A D=A B
\end{array}\right.
$$

$\therefore \triangle A D F \cong \triangle A B E$,

$\therefore B E=A F$,

$\therefore S_{\triangle A F D}=S_{\triangle A B E}$,

$\therefore$ 阴影部分的面积为 $S_{\triangle A O D}=\sqrt{7}$.

故答案为 $\sqrt{7}$
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 正方形 $A B C D$ 的边长为 $2, M N / / B C$ 分别交 $A B 、 C D$ 于点 $M 、 N$, 在 $M N$ 上任取两点 $P 、 Q$,那么图中阴影部分的面积是 \$ \qquad \$ .


选项：
答案：2
解析：由图知, 阴影部分的面积等于正方形的面积减去 $\triangle A Q D$ 和 $\triangle B C P$ 的面积.

而点 $P$ 到 $B C$ 的距离与点 $Q$ 到 $A D$ 的距离的和等于正方形的边长,

即 $\triangle A Q D$ 和 $\triangle B C P$ 的面积的和等于正方形的面积的一半,

故阴影部分的面积 $=\frac{1}{2} \times 2^{2}=2$.

故答案为: 2 .
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 正方形 $A B C D$ 的边长为 1 , 点 $P$ 为边 $B C$ 上任意一点(可与 $B$ 点或 $C$ 点重合), 分别过 $B$ 、 $C 、 D$ 作射线 $A P$ 的垂线, 垂足分别是 $B^{\prime} 、 C^{\prime} 、 D^{\prime}$, 则 $B B^{\prime}+C C^{\prime}+D D^{\prime}$ 的最大值为 , 最小值为 \$ \qquad \$ .


选项：
答案：$2 ; \sqrt{2}$
解析：

连接 $A C 、 D P$,

$S_{\text {正方形 } A B C D}=1 \times 1=1$,

由勾股定理得： $A C=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$,

$\because A B=1$,

$\therefore 1 \leq A P \leq \sqrt{2}$,

$S_{\triangle D P C}=S_{\triangle A P C}=\frac{1}{2} A P \times C C^{\prime}$

$1=S_{\text {正方形 } A B C D}=S_{\triangle A B P}+S_{\triangle A D P}+S_{\triangle D P C}=\frac{1}{2} A P\left(B B^{\prime}+D D^{\prime}+C C^{\prime}\right)$,

$B B^{\prime}+D D^{\prime}+C C^{\prime}=\frac{2}{A P}$,

$\because 1 \leq A P \leq \sqrt{2}$,

$\sqrt{2} \leq B B^{\prime}+C C^{\prime}+D D^{\prime} \leq 2$,

故答案为: $2, \sqrt{2}$.
题目（八年级 · 解析几何）：如图,一次函数$y=x$与反比例函数$y=frac{1}{x}(x>0)$的图象交于点$A$,过点$A$作$ABperpOA$,交$x$轴于点$B;$作$BA_{1}//OA$,交反比例函数图象于点$A_{1}$;过点$A_{1}$作$A_{1}B_{1}perpA_{1}B$交$x$轴于点$B_{1}$;再作$B_{1}A_{2}$$//BA_{1}$,交反比例函数图象于点$A_{2}$,依次进行下去$cdots$,则点$A_{2023}$的横坐标为$_sqrt{2024}+sqrt{2023}_$.
选项：
答案：根据直$OA$的关系式为$y=x$,以及$OAperpAB$,可得到$triangleAOB$是等腰直角三角形,进而得到$triangleA_{2}B_{1}B_{2}、triangleA_{3}B_{2}B_{3}cdotscdots$都是等腰直角三角形,设$OC=a=AC$,则点$A(a,a)$,点$A$在反比例函数..的图象上,可求出$a=1$,进而得到点$A$的横坐标为1,同理$BC_{1}=b=A_{1}C_{1}$,则点$A_{1}(2+b$,$b)$,求出点$A_{1}$的横坐标为$sqrt{2}+1$,同理得出点$A_{2}$的横坐标为$sqrt{3}+sqrt{2}$;点$A_{3}$的横坐标为$sqrt{4}+sqrt{3}$;点$A_{4}$的横坐标为$sqrt{5}+sqrt{4}$;点的横坐标为$sqrt{6}+sqrt{5}$;根据规律可得答案.【解析】解:如图,过点$A、A_{1}、A_{2}、A_{3}cdots$分别作$ACperpx$轴,$A_{1}C_{1}perpx$轴,$A_{2}C_{2}perpx$轴,$A_{3}C_{3}perpx$轴$cdots$,垂足分别为$C、C_{1}、C_{2}、C_{3}cdotscdots$<ImageHere>$because$直线$OA$的关系式为$y=x,OAperpAB$,$thereforetriangleAOB$是等腰直角三角形,$thereforeOC=AC$,同理可得$triangleA_{1}BB_{1}、triangleA_{2}B_{1}B_{2}、triangleA_{3}B_{2}B_{3}cdotscdots$都是等腰直角三角形,设$OC=a=AC$,则点$A(a,a)$,点$A$在反比例函数的图象上,$thereforeatimesa=1$,解得:$a=1$(负值舍去),$therefore$点$A$的横坐标为1,设$A_{1}D=b$,则点$A_{1}(2+b,b)$,点$A_{1}$在反比例函数${y}=frac{1}{{x}}$的图象上,$therefore(2+b)timesb=1$,解得:$b=sqrt{2}-1$,$therefore$点$A_{1}$的横坐标为$2+sqrt{2}-1=sqrt{2}+1$;设$B_{1}C_{2}=c=A_{2}C_{2}$,则点${A}_{2}(2sqrt{2}+{c},c)$,点$A_{2}$在反比例函数${y}=frac{1}{{x}}$的图象上,$therefore(2sqrt{2}+c)timesc=1$,解得:$b=sqrt{3}-sqrt{2}$,$therefore$点$A_{2}$的横坐标为$sqrt{3}+sqrt{2};$同理可得:点$A_{3}$的横坐标为$sqrt{4}+sqrt{3}$;点$A_{4}$的横坐标为$sqrt{5}+sqrt{4};$点$A_{5}$的横坐标为$sqrt{6}+sqrt{5};$$cdotsldots$$therefore$点$A_{2023}$的横坐标为:$sqrt{2024}+sqrt{2023}$;故答案为:$sqrt{2024}+sqrt{2023}$.【点睛】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点,掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质是正确解答的关键.
解析：根据直$OA$的关系式为$y=x$,以及$OAperpAB$,可得到$triangleAOB$是等腰直角三角形,进而得到$triangleA_{2}B_{1}B_{2}、triangleA_{3}B_{2}B_{3}cdotscdots$都是等腰直角三角形,设$OC=a=AC$,则点$A(a,a)$,点$A$在反比例函数..的图象上,可求出$a=1$,进而得到点$A$的横坐标为1,同理$BC_{1}=b=A_{1}C_{1}$,则点$A_{1}(2+b$,$b)$,求出点$A_{1}$的横坐标为$sqrt{2}+1$,同理得出点$A_{2}$的横坐标为$sqrt{3}+sqrt{2}$;点$A_{3}$的横坐标为$sqrt{4}+sqrt{3}$;点$A_{4}$的横坐标为$sqrt{5}+sqrt{4}$;点的横坐标为$sqrt{6}+sqrt{5}$;根据规律可得答案.【解析】解:如图,过点$A、A_{1}、A_{2}、A_{3}cdots$分别作$ACperpx$轴,$A_{1}C_{1}perpx$轴,$A_{2}C_{2}perpx$轴,$A_{3}C_{3}perpx$轴$cdots$,垂足分别为$C、C_{1}、C_{2}、C_{3}cdotscdots$$because$直线$OA$的关系式为$y=x,OAperpAB$,$thereforetriangleAOB$是等腰直角三角形,$thereforeOC=AC$,同理可得$triangleA_{1}BB_{1}、triangleA_{2}B_{1}B_{2}、triangleA_{3}B_{2}B_{3}cdotscdots$都是等腰直角三角形,设$OC=a=AC$,则点$A(a,a)$,点$A$在反比例函数的图象上,$thereforeatimesa=1$,解得:$a=1$(负值舍去),$therefore$点$A$的横坐标为1,设$A_{1}D=b$,则点$A_{1}(2+b,b)$,点$A_{1}$在反比例函数${y}=frac{1}{{x}}$的图象上,$therefore(2+b)timesb=1$,解得:$b=sqrt{2}-1$,$therefore$点$A_{1}$的横坐标为$2+sqrt{2}-1=sqrt{2}+1$;设$B_{1}C_{2}=c=A_{2}C_{2}$,则点${A}_{2}(2sqrt{2}+{c},c)$,点$A_{2}$在反比例函数${y}=frac{1}{{x}}$的图象上,$therefore(2sqrt{2}+c)timesc=1$,解得:$b=sqrt{3}-sqrt{2}$,$therefore$点$A_{2}$的横坐标为$sqrt{3}+sqrt{2};$同理可得:点$A_{3}$的横坐标为$sqrt{4}+sqrt{3}$;点$A_{4}$的横坐标为$sqrt{5}+sqrt{4};$点$A_{5}$的横坐标为$sqrt{6}+sqrt{5};$$cdotsldots$$therefore$点$A_{2023}$的横坐标为:$sqrt{2024}+sqrt{2023}$;故答案为:$sqrt{2024}+sqrt{2023}$.【点睛】本题考查反比例函数与一次函数图象的交点,掌握一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质是正确解答的关键.
题目（八年级 · 解析几何）：某同学在数学活动课上做如下操作 (如图所示): 第一步: 作一个正方形 $A B C D$; 第二步：分别取 $A D, B C$ 的中点 $M, N$, 连接 $M N$; 第三步: 以点 $N$ 为圆心, $N D$ 长为半径画弧, 交 $B C$ 的延长线于 $E$; 第


四步: 过 $E$ 作 $E F \perp A D$, 交 $A D$ 的延长线于 $F$, 则 $\frac{C E}{C D}$ 的值是
选项：
答案：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
解析：在正方形 $A B C D$ 中, 取 $A B=2 a$,

$\because N$ 为 $B C$ 的中点,

$\therefore N C=\frac{1}{2} B C=a$.

在Rt $\triangle D N C$ 中, $N D=\sqrt{N C^{2}+C D^{2}}=\sqrt{5} a$.

又 $\because N E=N D$,

$\therefore C E=N E-N C=(\sqrt{5}-1) a$

$\therefore \frac{C E}{C D}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
题目（八年级 · 解析几何）：如图, 在等边 $\triangle A B C$ 中, $A B=4, D$ 是边 $B C$ 上一点, $\angle B A D=30^{\circ}$, 则 $C D$ 的长为


选项：
答案：2
题目（八年级 · 解析几何）：将直线 $y=2 x+1$ 向下平移 3 个单位长度后所得直线的表达式是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$\mathrm{y}=2 \mathrm{x}-2$
题目（八年级 · 解析几何）：函数 $y=-2 x$ 的图像经过 $A(-1, m), B(1, n)$, 那么 $m-n$ \$ \qquad \$ 0.(填 “>”，“<”或 “=”)
选项：
答案：>
题目（八年级 · 解析几何）：函数 $y=\frac{2}{3} x+4$ 的图像与 $x$ 轴交点坐标为 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$(-6,0)$
题目（八年级 · 解析几何）：如图, 直线 $l_{1}: y=2 x+1$ 与直线 $l_{2}: y=k x+b$ 相交于点 $P(2, a)$,则方程组 $\left\{\begin{array}{l}y=2 x+1 \\ y=k x+b\end{array}\right.$ 的解为 \$ \qquad \$ .


选项：
答案：$\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=5\end{array}\right.$
题目（八年级 · 解析几何）：小明从家步行到学校需走的路程为 1800 米. 图中的折线 $O A B$ 反映了小明从家步行到学校所走的路程 ( $s$ 米) 与时间 $t$ (分钟) 的函数关系, 根据图像提供的信息, 当小明从家出发去学校步行 8 分钟时, 到学校还需步行 \$ \qquad \$米.


选项：
答案：840
题目（八年级 · 解析几何）：如图是单位长度为 1 的正方形网格, 则 $\angle 1+\angle 2+\angle 3=$


选项：
答案：5
题目（八年级 · 解析几何）：与点 $A(1,0), B(4,1), C(2,3)$, 能围成平行四边形的点 $D$ 的坐标为  \$ \qquad \$
选项：
答案：$(-1,2)$ 或 $(5 ， 4 ）$ 或（3，-2）
解析：解：如图

若 $A B$ 为对角线, 则组成的平行四边形 $D$ 的坐标是 (3, -2) ;若 $A C$ 为对角线，则组成的平行四边形 $D$ 的坐标是 $(-1,2)$;若 $B C$ 为对角线，则组成的平行四边形 $D$ 的坐标是 $(5,4)$,综上可得点 $D$ 的坐标是 $(-1,2)$ 或（5，4）或（3,-2）
题目（八年级 · 解析几何）：如图, 在平面直角坐标中, 直线 $l: y=x-1$ 与 $x$ 轴交于点 $A_{1}$, 作 $A_{1} B_{1} \perp$ 直线 $l$ 交 $y$ 轴于点 $B_{1}, O C_{1} / /$ $A_{1} B_{1}$ 交 $A_{2} B_{1}$ 于点 $C_{1}$, 且 $C_{1} A_{2} / / x$ 轴; 作 $A_{2} B_{2} \perp$ 直线 $l$ 交 $y$ 轴于点 $B_{2}, B_{2} C_{2} / / x$ 轴交 $A_{1} B_{1}$ 于点 $C_{2}$,交直线 $l$ 于点 $A_{3} ; \cdots ;$ 按此作法继续下去，则 $C_{8}$ 的坐标是


选项：
答案：$(-128,255)$
解析：解: $\because: y=x-1$ 与 $x$ 轴交于点 $A_{1},: \therefore A_{1}$ 点坐标 $(1,0)$, $\because A_{1} B_{1} \perp$ 直线 $l, \therefore O A_{1} B_{1}$ 为等腰直角三角形, $\therefore B_{1}$ 坐标 $(0,1)$, $\because O C_{1} \| A_{1} B_{1}$, 且 $C_{1} A_{2} \| x$ 轴, $\therefore$ 四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} O$ 是平行四边形, $\therefore C_{1}$ 坐标 $(-1,1)$, $\because C_{1} A_{2} \| x$ 轴, $\therefore A_{2}$ 坐标 $(2,1)$,

$\because A_{2} B_{2} \perp$ 直线 $l, \therefore B_{1} A_{2} B_{2}$ 为等腰直角三角形, $\therefore B_{2}$ 坐标 $(0,3)$,

$\because B_{1} C_{2} \| A_{2} B_{2}$, 且 $C_{2} A_{3} \| x$ 轴, $\therefore$ 四边形 $A_{2} B_{2} C_{2} B_{1}$ 是平行四边形, $\therefore C_{2}$ 坐标 $(-2,3)$,

$\because C_{2} A_{3} \| x$ 轴, $\therefore A_{3}$ 坐标 $(4,3)$,

$\because A_{3} B_{3} \perp$ 直线 $l, \therefore B_{2} A_{3} B_{3}$ 为等腰直角三角开 $\because B_{2} C_{3} \| A_{3} B_{3}$, 且 $C_{3} A_{4} \| x$ 轴, $\therefore$ 四边形 $A_{3} B_{3}$ $\because C_{1}\left(-2^{0}, 2^{1}-1\right), C_{2}\left(-2^{1}, 2^{2}-1\right), C_{3}$ $\therefore C_{n}$ 坐标 $\left(-2^{n-1}, 2^{n}-1\right)$,



$\therefore C_{8}$ 坐标 $\left(-2^{7}, 2^{8}-1\right)$, 即 $C_{8}$ 坐标 $(-128,255)$
题目（八年级 · 解析几何）：, $\triangle A B C$ 是等边三角形, $A D \perp B C$ 于点 $D$, 点 $E$ 在 $A C$ 上, 且 $A E=A D$, 则 $\angle D E C$ 的度数为


选项：
答案：$105^{\circ}$
题目（八年级 · 解析几何）：于 $x$ 的不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x<a \\ x<2\end{array}\right.$ 的解集是 $x<2$, 则 $a$ 的取值范围是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$a \geq 2$
题目（八年级 · 解析几何）：, 在锐角 $\triangle A B C$ 中, $A B=\sqrt{2}, \angle B A C=45^{\circ}, \angle B A C$ 的平分线交 $B C$ 于点 $D, M 、 N$ 分别是 $A D$ 和 $A B$ 上的动点, 则 $B M+M N$ 的最小值是


选项：
答案：1
题目（八年级 · 解析几何）：如果将电影院里的 3 排 4 号记作 $(3,4)$ 。那么 4 排 3 号应记作
选项：
答案：$(4,3)$
题目（八年级 · 解析几何）：课间操时，小聪、小慧、小敏的位置如图所示，小㴔对小慧说，

如果我的位置用（1，1）表示，小敏的位置用（7，7）表示，那么你的位置可以表示成


选项：
答案：$(4,4)$
题目（八年级 · 解析几何）：在平面直角坐标系中, 点 $P(-1,-2)$ 关于 $x$ 轴的对称点的坐标是
选项：
答案：$-1,2$
题目（八年级 · 解析几何）：已知点 $M(2 a+1, a-2)$ 在 $x$ 轴上, 则 $a$ 的值为
选项：
答案：2
题目（八年级 · 解析几何）：若点 $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{n}, \mathbf{2})$ 与关 $B(-3, m)$ 于 ${ }_{x}$ 轴对称, 则 $\boldsymbol{n}-\boldsymbol{m}$ 等于
选项：
答案：1
题目（八年级 · 解析几何）：已知点 $A(-2,0), B(0,-5)$, 点 $C$ 在 $x$ 轴上, 三角形的面积为 10 , 则点 $C$ 的坐标是
选项：
答案：$(-6,0)$ 或 $(2,0)$
题目（八年级 · 解析几何）：在直角坐标系中, 点 $P(2 x-6, x-5)$ 在第四象限, 则 $x$ 的取值范围是
选项：
答案：$3<x<5$
题目（八年级 · 解析几何）：如图, 将正方形 $O A B C$ 放在平面直角坐标系中, $O$ 是原点, 点 $A$ 的坐标为 $(1, \sqrt{3})$,则点 $C$ 的坐标为


选项：
答案：-\sqrt{3}, 1)$
题目（八年级 · 解析几何）：(3 分 ) 我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点.反比例函数 $\mathrm{y}=-{ }^{\frac{3}{x}}$ 的图象
上有一些整点, 请写出其中一个整点的坐标 \$ \qquad \$


象上, $\mathrm{a}>\mathrm{b}>0, \mathrm{AB} / / \mathrm{CD} / / \mathrm{x}$ 轴, $\mathrm{AB}, \mathrm{CD}$ 在 $\mathrm{x}$ 轴的两侧, $\mathrm{AB}={ }^{\frac{3}{4}}, \mathrm{CD}={ }^{\frac{3}{2}}, \mathrm{AB}$ 与 $\mathrm{CD}$ 间的距离为 6 , 则 $\mathrm{a}-\mathrm{b}$ 的值是 \$ \qquad \$ .


选项：
答案：$(1,-3)$

【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
解析：【解答】解: 任意取一个整数值如 $x=1$, 将 $x=1$ 代入解析式得: $y=-{ }^{\frac{3}{1}}=-3$,得到点坐标为 $(1,-3)$, 则这个点坐标的横纵坐标都为整数, 是符合要求的答案, 本题可有多个答案.

故答案为: $(1,-3)$ (答案不唯一)。

【分析】开放性的命题, 答案不唯一, 根据反比例函数图象上的点的坐标特点, 及整点的定义, 即可直接得出答案。
题目（八年级 · 解析几何）：( 3 分 ) 如图, $B(3,-3), C(5,0)$, 以 $O C, C B$ 为边作平行四边形 $O A B C$, 则经过点 $A$ 的反比例函数的解析式为 \$ \qquad \$


选项：
答案：$y=\frac{6}{x}$

【考点】待定系数法求反比例函数解析式, 平移的性质
解析：【解答】设 $\mathrm{A}$ 坐标为 $(\mathrm{x}, \mathrm{y})$,

$\because B(3,-3), C(5,0)$, 以 $\mathrm{OC}, \mathrm{CB}$ 为边作平行四边形 $\mathrm{OABC}$,

$\therefore \mathrm{x}+5=0+3, \mathrm{y}+0=0-3$

解得: $x=-2, y=-3$, 即 $A(-2,-3)$,

设过点 A 的反比例解析式为 $\mathrm{y}=\frac{k}{x}$,

把 $A(-2,-3)$ 代入得: $k=6$,

则过点 A 的反比例解析式为 $\mathrm{y}={ }^{\frac{6}{x}}$,

故答案为: $\mathrm{y}={ }^{\frac{6}{x}}$.

【分析】设 $\mathrm{A}$ 坐标为 $(\mathrm{x}, \mathrm{y})$, 根据四边形 $\mathrm{OABC}$ 为平行四边形, 利用平移性质确定出 $\mathrm{A}$ 的坐标,利用待定系数法确定出解析式即可.
题目（八年级 · 解析几何）：( 3 分 ) 如图, 直线 $y=x+2$ 与双曲线 ${ }^{y=\frac{k}{x}}$ 相交于点 $A$, 点 $A$ 的纵坐标为 3 , 则 $k$ 的值为 \$ \qquad \$


选项：
答案：-2

【考点】待定系数法求反比例函数解析式
解析：【解答】 解: 由题意得, $-1=\frac{k}{2}, k=-2$ 【分析】将已知点的坐标代入函数解析式, 求出 $\mathrm{k}$ 的值。
题目（八年级 · 解析几何）：(3 分 ) 如图, 直线 $\mathrm{y}_{1}=\mathrm{kx}(\mathrm{k} \neq 0)$ 与双曲线 $\mathrm{y}_{2}={ }^{\frac{2}{x}}(\mathrm{x}>0)$ 交于点 $\mathrm{A}(1, \mathrm{a})$, 则 $\mathrm{y}_{1}>\mathrm{y}_{2}$ 的解集为


选项：
答案：$x>1$

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
解析：【解答】解: 观察图象可得: $\mathrm{y}_{1}>\mathrm{y}_{2}$ 的解集为 $\mathrm{x}>1$ 。

【分析】结合两个函数的图象直接写出结论即可。
题目（八年级 · 解析几何）：(3 分 ) 已知 $M 、 N$ 两点关于 $y$ 轴对称, 且点 $M$ 在双曲线 $y={ }^{\frac{1}{2 x}}$ 上, 点 $N$ 在直线 $y=x+3$ 上, 设点 $M$ 坐标为 $(a, b)$ ，则抛物线 $y=-a b x^{2}+(a+b) x$ 的顶点坐标为 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$\left(3, \frac{9}{2}\right)$

【考点】关于坐标轴对称的点的坐标特征, 一次函数的性质, 反比例函数图象上点的坐标特征, 二次函数 $\mathrm{y}=\mathrm{ax} \wedge 2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}$ 的性质
解析：【解答】解: $\because \mathrm{M} 、 \mathrm{~N}$ 关于 $\mathrm{y}$ 轴对称的点,

$\therefore$ 纵坐标相同, 横坐标互为相反数

$\therefore$ 点 $\mathrm{M}$ 坐标为 $(\mathrm{a}, \mathrm{b})$, 点 $\mathrm{N}$ 坐标为 $(-\mathrm{a}, \mathrm{b})$,

$\therefore b={ }^{\frac{1}{2 a}}, a b={ }^{\frac{1}{2}} ; b=-a+3, a+b=3$, 则抛物线 $y=-a b x^{2}+(a+b) x=-{ }^{\frac{1}{2}} x^{2}+3 x$ 的横坐标是 $x$

$$
={ }^{-\frac{a+b}{-2 a b}}={ }^{\frac{3}{1}}=3
$$

纵坐标是 $\frac{0-(a+b)^{2}}{-4 a b}=\frac{9}{2}$
顶点坐标为 $\left(3, \frac{9}{2}\right)$.

【分析】由关于 $\mathrm{y}$ 轴对称的点, 纵坐标相同, 横坐标互为相反数得出 $\mathrm{N}$ 坐标为 $(-\mathrm{a}, \mathrm{b})$, 根据反比例函数图象上的点及一次函数图象上的点的坐标特点得出 $a b=\frac{1}{\frac{1}{2}}, \quad a+b=3$, 从而整体代入即可得出抛物线的解析式, 根据抛物线的顶点坐标公式 $\left(-\frac{b}{2 a}, \frac{4 a c-b^{2}}{4 a}\right)$ 即可算出其顶点坐标。
题目（八年级 · 解析几何）：(3 分) 如图所示, $\triangle A B C$ 为等边三角形, 点 $\mathrm{A}$ 的坐标为 $(0,4)$, 点 $\mathrm{B}$ 在 $\mathrm{x}$ 轴上, 点 $\mathrm{C}$ 在反比例函数 $y=\frac{15 \sqrt{3}}{x}$ 的图象上, 则点 $\mathrm{B}$ 的坐标为 \$ \qquad \$ .


选项：
答案：$(2 \sqrt{3}, 0)$

【考点】等边三角形的性质, 相似三角形的判定与性质, 反比例函数图象上点的坐标特征
解析：【解答】如图, 过点 $\mathrm{C}$ 作 $\mathrm{CD} \perp \mathrm{AB}$ 于点 $\mathrm{D}, \mathrm{CG} \perp \mathrm{OB}$ 于 $\mathrm{G}$, 过 $\mathrm{D}$ 点作 $\mathrm{EF} / / \mathrm{OB}$, 交 $\mathrm{y}$ 轴于 $\mathrm{E}$,交 CG 于 F,



设点 $\mathrm{C}$ 的坐标为 $\left(x, \frac{15 \sqrt{3}}{x}\right)$, 点 $\mathrm{B}$ 的坐标为 $(\mathrm{a}, 0)$,

$\because \triangle \mathrm{ABC}$ 是等边三角形,

$\therefore \mathrm{D}$ 为 $\mathrm{AB}$ 的中点,

$\therefore \mathrm{CD} \perp \mathrm{AB}$,

$$
\begin{aligned}
& \because^{D\left(\frac{a}{2}, 2\right)} \\
& \because \mathrm{CD} \perp \mathrm{AB}
\end{aligned}
$$

$\therefore \angle \mathrm{ADE}+\angle \mathrm{CDF}=90^{\circ}$,

$\because \angle \mathrm{ADE}+\angle \mathrm{DAE}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{DAE}=\angle \mathrm{CDF}$,

$\because \angle \mathrm{AED}=\angle \mathrm{CFD}=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle \mathrm{AED} \sim \triangle \mathrm{DFC}$,

$\therefore \frac{A E}{D F}=\frac{E D}{C F}=\frac{A D}{C D}$


整理，可得

$$
\begin{aligned}
& x-\frac{1}{2} a=2 \sqrt{3}( \\
& \frac{3 a}{2}=\frac{45}{x}-2 \sqrt{3}(3
\end{aligned}
$$

由(1)(2), 解得 $x_{1}=3 \sqrt{3}, x_{2}=-\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ (舍去),$\quad a=2 \sqrt{3}$

$\therefore$ 当 $\triangle \mathrm{ABC}$ 是等边三角形时, 点 $\mathrm{B}$ 的坐标为: $(2 \sqrt{3}, 0)$.

故答案为: $(2 \sqrt{3}, 0)$

【分析】首先根据点 $\mathrm{C}$ 是反比例函数 $y=\frac{15 \sqrt{3}}{x} \quad(\mathrm{x}>0)$ 图象上一点, 设点 $\mathrm{C}$ 的坐标为 $\left(x, \frac{15 \sqrt{3}}{x}\right)$,设点 $\mathrm{B}$ 的坐标为 $(\mathrm{a}, 0)$, 则 $\mathrm{AB}$ 的中点 $\mathrm{D}$ 的坐标为 $\left(\frac{a}{2}, 1\right)$; 然后证明 $\triangle \mathrm{AED} \sim \triangle \mathrm{DFC}$, 根据 $\frac{A E}{D F}=\frac{E D}{C F}=\frac{A D}{C D}$ , 列出关于 $a 、 x$ 的方程组, 解方程组即可求出当 $\triangle A B C$ 是等边三角形时, 点 $B$ 的坐标为多少即可.
题目（八年级 · 解析几何）：(3 分 ) 如图, 一次函数 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+\mathrm{b}$ 的图象 1 与坐标轴分别交于点 $\mathrm{E}, \mathrm{F}$, 与双曲线 $\mathrm{y}=-^{\frac{9}{x}}(\mathrm{x}<0)$交于点 $P(-1, n$ ), 且 $F$ 是 $P E$ 的中点, 直线 $x=a$ 与 1 交于点 $A$, 与双曲线交于点 $B$ (不同于 $A$ ), $P A=P B$, 则 $a=$ \$ \qquad \$ .


选项：
答案：-2

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
解析：【解答】解： $\because$ 双曲线 $\mathrm{y}=--^{\frac{9}{x}}(\mathrm{x}<0)$ 经过点 $\mathrm{P}(-1, \mathrm{n})$,

$\therefore \mathrm{n}=-^{\frac{9}{-1}}=9$

$\therefore \mathrm{P}(-1,9)$,

$\because \mathrm{F}$ 是 $\mathrm{PE}$ 的中点,

$\therefore \mathrm{OF}={ }^{\frac{1}{2}} \times 9=4.5$,

$\therefore F(0,4.5)$,

设直线 $l$ 的解析式为 $y=k x+b$,

$\therefore\left\{\begin{array}{c}-k+b=9 \\ b=4.5\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{c}k=-4.5 \\ b=4.5\end{array}\right.$ ，

$\therefore$ 直线 1 的解析式为 $y=-4.5 x+4.5$;

过 $\mathrm{P}$ 作 $\mathrm{PD} \perp \mathrm{AB}$, 垂足为点 $\mathrm{D}$,



$\because \mathrm{PA}=\mathrm{PB}$,

$\therefore$ 点 $\mathrm{D}$ 为 $\mathrm{AB}$ 的中点,

又由题意知 $\mathrm{A}$ 点的纵坐标为 $-4.5 \mathrm{a}+4.5, \mathrm{~B}$ 点的纵坐标为 $-\frac{{ }^{\frac{9}{a}}}{}, \mathrm{D}$ 点的纵坐标为 9 ,

$\therefore$ 得方程 $-4.5 a+4.5-\frac{9}{a}=9 \times 2$,

解得 $a_{1}=-2, a_{2}=16$ （舍去）.

$\therefore$ 当 $\mathrm{PA}=\mathrm{PB}$ 时, $\mathrm{a}=-2$,

故答案为 -2 .
题目（八年级 · 解析几何）：所示的网格是正方形网格, 图形的各个顶点均为格点, 则 $\angle 1+\angle 2=$


选项：
答案：$45^{\circ}$
题目（八年级 · 解析几何）：, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A B C$ 和 $\angle A C B$ 的平分线交于点 $F, D E / / B C$ 交 $A B$ 于 $D$, 交 $A C$ 于 $E$,如果 $B D=5, C E=4$. 那么 $D E$ 等于


选项：
答案：9
题目（八年级 · 解析几何）：$B D$ 是 $\triangle A B C$ 的中线, $A B=5, B C=3, \triangle A B D$ 和 $\triangle B C D$ 的周长的差是


选项：
答案：2
题目（八年级 · 解析几何）：如图, 在数轴上点 $A$ 表示的实数是


选项：
答案：$-1+\sqrt{5}$
题目（八年级 · 解析几何）：$\triangle A B C$ 中, $\angle B$ 和 $\angle C$ 的平分线交于点 $F$, 过点 $F$ 作 $D F / / B C$, 交 $A B$ 于点 $D$, 交 $A C$ 于点 $E$,若 $\mathrm{BD}+\mathrm{CE}=9$, 则线段 $\mathrm{DE}$ 的长为 \$ \qquad \$ .


选项：
答案：9
题目（八年级 · 解析几何）：, 点 $D, E, F, B$ 在同一条直线上, $A B / / C D, A E / / C F$ 且 $A E=C F$,

若 $B D=10, B F=3.5$, 则 $E F=$


选项：
答案：3
题目（八年级 · 解析几何）：, 在 $\triangle A B C$ 中, $B C$ 的垂直平分线分别交 $A C, B C$ 于点 $D, E$,

若 $A B=4, A C=6$, 则 $\triangle A B D$ 的周长为


选项：
答案：10
题目（八年级 · 解析几何）：, 要测量小金河两岸相对的 $A 、 B$ 两点之间的距离,

可以在与 $A B$ 垂直的河岸 $B F$ 上取 $C 、 D$ 两点, 且使 $B C=C D$.

从点 $D$ 出发沿与河岸 $B F$ 垂直的方向移动到点 $E$, 使点 $A 、 C 、 E$ 在一条直线上.

若测量 $D E$ 的长为 28 米, 则 $A 、 B$ 两点之间的距离为 \$ \qquad \$米.


选项：
答案：28
题目（八年级 · 解析几何）：若 $m$ 适合关系式 $\sqrt{3 x+2 y-1-m}+\sqrt{2 x+3 y-m}=\sqrt{x-2013+y} \cdot \sqrt{2013-x-y}$, 则 $m=$
选项：
答案：5032
解析：根据题意得:

$\left\{\begin{array}{l}x-2013+y \geq 0 \\ 2013-x-y \geq 0\end{array}\right.$,

则 $x+y=2013$,

即 $\sqrt{3 x+2 y-1-m}+\sqrt{2 x+3 y-m}=0$,

则 $\begin{aligned} & x+y=2013 \\ & 3 x+2 y-1-m=0, \\ & 2 x+3 y-m=0\end{aligned}$,
解得

$\left\{\begin{array}{l}x=1007 \\ y=1006 \\ m=5032\end{array}\right.$

故 $m=5032$.

故答案为: 5032 .
题目（八年级 · 解析几何）：《九章算术》卷九 “勾股” 中记载: 今有立木, 系索其末, 委地三尺. 引索却行, 去本八尺而索尽. 问索长几何？译文: 今有一坚立着的木柱, 在木柱的上端系有绳索, 绳索从木柱上端顺木柱下垂后, 堆在地面的部分尚有 3 尺. 牵着绳索 (绳索头与地面接触)退行, 在距木柱根部 8 尺处时绳索用尽. 问绳索长是多少？设绳索长为 $x$ 尺, 可列方程为 \$ \qquad \$
选项：
答案：$(x-3)^{2}+64=x^{2}$
解析：设绳索长为 $x$,

根据题意可得: $(x-3)^{2}+64=x^{2}$.

故答案为 $(x-3)^{2}+64=x^{2}$.
题目（八年级 · 解析几何）：我们把 $a 、 b 、 c$ 三个数的中位数记作 $Z|a, b, c|$, 直线 $y=k x+2 k(k>0)$ 与函数 $y=Z \left\lvert\, \frac{1}{2} x+2\right.$, $x+1,-x+1$ | 的图象有且只有 1 个交点, 则 $k$ 的取值为 \$ \qquad \$
选项：
答案：$0<k \leq \frac{1}{2}$ 或 $k>\frac{3}{4}$
解析：如图:



利用函数图象法作出函数函数 $y=Z\left|\frac{1}{2} x+2, x+1,-x+1\right|$ 的图象, 注意中位数的定义，保留中位数的图象, 直线 $y=k x+2 k(k>0)$ 过一个定点 $(-2,0)$, 利用拐点的性质,
根据图象有且只有 1 个交点, 找出答案 $0<k \leq \frac{1}{2}$ 或 $k>\frac{3}{4}$.

故答案为: $0<k \leq \frac{1}{2}$ 或 $k>\frac{3}{4}$.
题目（八年级 · 解析几何）：我们把三个数的中位数记作 $Z\{a, b, c\}$. 例如 $Z\{1,3,2\}=2$. 函数 $y=|2 x+b|$ 的图象为 $C_{1}$, 函数 $y=$ $Z\{x+1,-x+1,3\}$ 的图象为 $C_{2}$. 图象 $C_{1}$ 在图象 $C_{2}$ 的下方点的横坐标 $x$ 满足 $-3<x<1$, 则 $b$ 的取值范围为
选项：
答案：$0 \leqslant b \leqslant 3$
解析：如图, 图象 $C_{1} 、 C_{2}$ 如图所示.



对于函数 $C_{2}$, 当 $x=-3$ 时, $P(-3,3)$, 当函数 $C_{1}$ 经过 $P(-3,3)$ 时, $b=3$,

对于函数 $C_{2}$, 当 $x=1$ 时, $P(1,2)$, 当函数 $C_{1}$ 经过 $P(1,2)$ 时, $b=0$,

观察图象可知, 当图象 $C_{1}$ 在图象 $C_{2}$ 的下方点的横坐标 $x$ 满足 $-3<x<1$, 则 $b$ 的取值范围为 $0 \leqslant b \leqslant 3$,故答案为 $0 \leqslant b \leqslant 3$.
题目（八年级 · 解析几何）：在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 平行四边形的三个顶点 $O(0,0), A(3,0), B(3,2)$, 则其第四个顶点 $C$的坐标是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$(0,2)$ 或 $(6,2)$ 或 $(0,-2)$
解析：$\because O(0,0) 、 A(3,0)$,

$\therefore O A=3$,

$\because$ 四边形 $O A B C$ 是平行四边形,

$\therefore B C / / O A, B C=O A=3$,

$\because B(3,2)$,

$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(3-3,2)$,

即 $C(0,2)$;

同理可得: $C(6,2)$ 或 $(0,-2)$;

故答案为: $(0,2)$ 或 $(6,2)$ 或 $(0,-2)$.
题目（八年级 · 解析几何）：已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中, $O(0,0), A(-6,8), B\left(m,-\frac{4}{3} m-4\right)$, 则平行四边形 $O A B D$ 的面积是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：24
解析：如图所示, 由 $A(-6,-8)$ 可得, $A O$ 的解析式为 $y=\frac{4}{3} x$,

又 $\because B\left(m, \frac{4}{3} m-4\right)$,

$\therefore$ 点 $B$ 在直线 $y=\frac{4}{3} x-4$ 上,

设直线 $y=\frac{4}{3} x-4$ 与 $y$ 轴交于点 $D$, 则 $A O / / B D, D(0,-4)$,

$\therefore S_{\triangle A B O}=S_{\triangle A D O}=\frac{1}{2} \times 4 \times 6=12$,

$\therefore S_{\text {平行四边形 } A B O C}=2 \times 12=24$,

故答案为 24 .
题目（八年级 · 解析几何）：已知平面直角坐标系内, $O(0,0), A(2,6), C(6,0)$, 若以 $O, A, C, B$ 为顶点的四边形是平行四边形，则点 $B$ 不可能在第象限.
选项：
答案：三
解析：连接 $A 、 O 、 C$ 三点如下图示, 得 $\triangle A O C$.

以任意两条边做平行四边形的两条边, 分别作平行线, 使其为平行四边形,

则得到的另一点就是点 $B$,

由此可得 $B$ 点不可能在第三象限.

故答案为: 三.
题目（八年级 · 解析几何）：已知点 $D 、 E$ 分别在 $\triangle A B C$ 的边 $B A 、 C A$ 的延长线上, 且 $D E / / B C$, 如果 $B C=3 D E, A C=6$, 那 $么 A E=$


选项：
答案： 2

略
解析： 2

略
题目（八年级 · 解析几何）：如图, 矩形 $A B C D$ 中, $A B=5, B C=12$, 对角线 $A C, B D$ 交于点 $O, E, F$ 分别为 $A B, A O$ 中点, 则 $E F$ 的是 $=$


选项：
答案：$\frac{13}{4}$
解析：:四边形 $A B C D$ 是矩形, $A B=5, B C=12$,

$\therefore$ 由勾股定理得, $A C=\sqrt{A B^{2}+B C^{2}}=13$,

$\therefore 20 A=20 D=A C$,

$\therefore O A=O B=13 \div 2=\frac{13}{2}$,

$\because$ 点 $E 、 F$ 分别是 $A O 、 A B$ 的中点,

$\therefore 2 E F=O B$,

$\therefore E F=\frac{13}{2} \div 2=\frac{13}{4}$,

故答案为 $\frac{13}{4}$.
题目（八年级 · 解析几何）：如图, 若菱形 $A B C D$ 的顶点 $A . B$ 的坐标分别为 $(6,0),(-4,0)$, 点 $D$ 在 $y$ 轴上，则点 $C$ 的坐标是


选项：
答案：$(-10,8)$
解析：: 菱形 $A B C D$ 的顶点 $A \cdot B$ 的坐标分别为 $(6,0),(-4,0)$,

$\therefore A B=A D=10, O A=6$

$$
\therefore O D=\sqrt{A D^{2}-O A^{2}}=8
$$

$\therefore$ 点 $D(0,8)$

$\because C D / / A B, C D=10$

$\therefore$ 点 $C(-10,8)$

故答案为: $(-10,8)$
题目（八年级 · 解析几何）：如图, 在矩形 $A B C D$ 中, $A B=4, B C=3$, 点 $P$ 是 $A B$ 上(不含端点 $A, B$ ) 任意一点, 把 $\triangle P B C$ 沿 $P C$ 折叠, 当点 $B^{\prime}$ 的对应点落在矩形 $A B C D$ 的对角线上时, $B P=$


选项：
答案： $\frac{3}{2}$ 或 $\frac{9}{4}$

解(1)点 $A$ 落在矩形对角线 $B D$ 上, 如图 1 所示.

<ImageHere>

图1

$\because$ 矩形 $A B C D$ 中, $A B=4, B C=3$

$\therefore \angle A B C=90^{\circ}, A C=B D$,

$\therefore A C=B D=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$.

根据折叠的性质得： $P C \perp B B^{\prime}$,

$\therefore \angle P B D=\angle B C P$,

$\therefore \triangle B C P \sim \triangle A B D$,

$\therefore \frac{B P}{A D}=\frac{B C}{A B}$,
即 $\frac{B P}{3}=\frac{4-B P}{5}=\frac{8-B P}{10}$,

解得: $B P=\frac{9}{4}$.

(2)点 $A$ 落在矩形对角线 $A C$ 上, 如图 2 所示.

<ImageHere>

图2

根据折叠的性质得: $B P=B^{\prime} P, \angle B=\angle P B^{\prime} C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A B^{\prime} A=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle A P B^{\prime} \sim \triangle A C B$,

$\therefore \frac{B \prime P}{B C}=\frac{A P}{A C}$,

即 $\frac{B P}{3}=\frac{4-B P}{5}$,

解得: $B P=\frac{3}{2}$.

故答案为: $\frac{3}{2}$ 或 $\frac{9}{4}$.
解析： $\frac{3}{2}$ 或 $\frac{9}{4}$

解(1)点 $A$ 落在矩形对角线 $B D$ 上, 如图 1 所示.



图1

$\because$ 矩形 $A B C D$ 中, $A B=4, B C=3$

$\therefore \angle A B C=90^{\circ}, A C=B D$,

$\therefore A C=B D=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$.

根据折叠的性质得： $P C \perp B B^{\prime}$,

$\therefore \angle P B D=\angle B C P$,

$\therefore \triangle B C P \sim \triangle A B D$,

$\therefore \frac{B P}{A D}=\frac{B C}{A B}$,
即 $\frac{B P}{3}=\frac{4-B P}{5}=\frac{8-B P}{10}$,

解得: $B P=\frac{9}{4}$.

(2)点 $A$ 落在矩形对角线 $A C$ 上, 如图 2 所示.



图2

根据折叠的性质得: $B P=B^{\prime} P, \angle B=\angle P B^{\prime} C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A B^{\prime} A=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle A P B^{\prime} \sim \triangle A C B$,

$\therefore \frac{B \prime P}{B C}=\frac{A P}{A C}$,

即 $\frac{B P}{3}=\frac{4-B P}{5}$,

解得: $B P=\frac{3}{2}$.

故答案为: $\frac{3}{2}$ 或 $\frac{9}{4}$.