eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高二 · 度量几何学）：已知 $\sin 2 \alpha=\frac{2}{3}$, 则 $\cos ^{2}\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=(\quad)$
选项：
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{2}{3}$
答案：A
解析：析]本题考查半角公式及诱导公式.

由倍角公式可得, $\cos ^{2}\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1+\cos \left(2 \alpha+\frac{\pi}{2}\right)}{2}=\frac{1-\sin 2 \alpha}{2}=\frac{1-\frac{2}{3}}{2}=\frac{1}{6}$, 故选 A.
题目（高二 · 度量几何学）：已知 $\alpha$ 是第二象限角, 且 $\cos \alpha=-\frac{12}{13}$, 则 $\tan \alpha$ 的值是 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{12}{13}$
B. $-\frac{12}{13}$
C. $\frac{5}{12}$
D. $-\frac{5}{12}$
答案：D
解析：$\because \alpha$ 为第二象限角, $\therefore \sin \alpha=\sqrt{1-\cos ^{2} \alpha}=\sqrt{1-\left(-\frac{12}{13}\right)^{2}}=\frac{5}{13}, \therefore \tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}}=-\frac{5}{12}$.

答案: D
题目（高二 · 度量几何学）：最大值为 $\frac{1}{2}$, 最小正周期为 $\frac{2 \pi}{3}$, 初相为 $\frac{\pi}{6}$ 的函数表达式是( )
选项：
A. $ y=\frac{1}{2} \sin \left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{6}\right)$

B $\cdot y=\frac{1}{2} \sin \left(\frac{x}{3}-\frac{\pi}{6}\right)$

C $\cdot y=\frac{1}{2} \sin \left(3 x-\frac{\pi}{6}\right)$

D $\cdot y=\frac{1}{2} \sin \left(3 x+\frac{\pi}{6}\right)$
答案：D
解析：解析: 由最小正周期为 $\frac{2 \pi}{3}$, 排除 A、B; 由初相为 $\frac{\pi}{6}$, 排除 C.

## 答案: D
题目（高二 · 度量几何学）：设 $\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 若 $\sin \alpha=\frac{3}{5}$, 则 $\sqrt{2} \cos \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)$ 等于（B )
选项：
A. $\frac{7}{5}$
B. $\frac{1}{5}$
C. $-\frac{7}{5}$
D. $-\frac{1}{5}$
答案：B
解析：[解析] $\sqrt{2} \cos \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(\cos \alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\sin \alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{4}{5}-\frac{3}{5}=\frac{1}{5}$.
题目（高二 · 度量几何学）：$\sqrt{3} \cos \frac{\pi}{12}-\sin \frac{\pi}{12}$ 的值是 (C)
选项：
A. 0
B. $\sqrt{2}$
C. $-\sqrt{2}$
D. 2
答案：C
解析：[解析] $\sqrt{3} \cos \frac{\pi}{12}-\sin \frac{\pi}{12}=2\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \frac{\pi}{12}-\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{12}\right)=2\left(\sin \frac{\pi}{3} \cos \frac{\pi}{12}-\cos \frac{\pi}{3} \sin \frac{\pi}{12}\right)=2 \sin \left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{12}\right)=2 \sin \frac{\pi}{4}=\sqrt{2}$.
题目（高二 · 度量几何学）：已知 $A_{1}, A_{2}, \cdots A_{n}$ 为凸多边形的内角, 且 $\lg \sin A_{1}+\lg \sin A_{2}+\cdots+\lg \sin A_{n}=0$, 则这个多边形是 $(\quad)$
选项：
A. 正六边形
B. 梯形
$\mathrm{C} \cdot$ 矩形
D. 含锐角菱形
答案：C
解析：解析：由题意，得 $\sin A_{1} \cdot \sin A_{2} \cdot \cdots \cdot \sin A_{n}=1$,

$\therefore \sin A_{1}=\sin A_{2}=\cdots=\sin A_{n}=1$,

$\therefore A_{1}=A_{2}=\cdots=A_{n}=90^{\circ}$.

根据多边形的内角和得 $n \times 90^{\circ}=(n-2) \times 180^{\circ}$,

解得 $n=4$.

答案: C
题目（高二 · 度量几何学）：$ \tan \frac{7 \pi}{6}=(\quad)$
选项：
A.$\frac{\sqrt{3}}{3}$B. $\frac{\sqrt{3}}{3} \\$
 C. $-\sqrt{3}$ D. $ \sqrt{3}$
答案：B
解析：解析: $\tan \frac{7 \pi}{6}=\tan \left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)=\tan \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

答案: B
题目（高二 · 度量几何学）：给出下列各函数值:

(1) $\sin \left(-1000^{\circ}\right)$; (2) $\cos \left(-2200^{\circ}\right)$; (3) $\tan (-10)$; (4) $\frac{\sin \frac{7 \pi}{10} \cos \pi}{\tan \frac{17 \pi}{9}}$. 其中符号为负的是( )
选项：
A.(1) B. (2)

C. (3) D. (4)
答案：C
解析：解析: $\sin \left(-1000^{\circ}\right)=\sin 80^{\circ}>0$;

$\cos \left(-2200^{\circ}\right)=\cos \left(-40^{\circ}\right)=\cos 40^{\circ}>0 ;$

$\tan (-10)=\tan (3 \pi-10)<0$;

$\frac{\sin \frac{7 \pi}{10} \cos \pi}{\tan \frac{17 \pi}{9}}=\frac{-\sin \frac{7 \pi}{10}}{\tan \frac{17 \pi}{9}}$

$\because \sin \frac{7 \pi}{10}>0, \tan \frac{17 \pi}{9}<0, \therefore$ 原式>
题目（高二 · 度量几何学）：化简 $\left(\sin \frac{\alpha}{2}+\cos \frac{\alpha}{2}\right)^{2}+2 \sin ^{2}\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right)$ 得( )
选项：
A.$ 2+\sin \alpha$
   B. $2+\sqrt{2} \sin \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)$
   $\mathrm{C} \cdot 2$
   D. $2+\sqrt{2} \sin \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)$
答案：C
解析：解析: 原式 $=1+2 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}+1-\cos \left[2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right)\right]=2+\sin \alpha-\cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=2+\sin \alpha-\sin \alpha=2$.

答案: C
题目（高二 · 度量几何学）：中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴, 一般情况下, 折扇可看作是由从一个圆面中剪下的扇形制作而

成, 设扇形的面积为 $S_{1}$, 圆面中剩余部分的面积为 $S_{2}$, 当 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的比值为 $\frac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0，.618$ (黄金分割比）时,

扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的度数约为（）
选项：
A. $127，.50^{\circ}$
B. $137，.50^{\circ}$
C. $147，.50^{\circ}$
D. $150，.50^{\circ}$
答案：B
解析： $\frac{x}{360-x}=0，.618, x=137，.50$
题目（高二 · 度量几何学）：(2011 天津) 如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $D$ 是边 $A C$ 上的点, 且 $A B=A D, 2 A B=\sqrt{3} B D, B C=2 B D$,则 $\sin C$ 的值为 ( )


选项：
A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{6}$
c. $\frac{\sqrt{6}}{3}$
D. $\frac{\sqrt{6}}{6}$
答案：D
解析：设 $A B=c$, 则 $A D=c, B D=\frac{2 c}{\sqrt{3}}, B C=\frac{4 c}{\sqrt{3}}$, 在 $\triangle A B D$ 中, 由余弦定理得 $\cos A=\frac{c^{2}+c^{2}-\frac{4}{3} c^{2}}{2 c^{2}}=\frac{1}{3}$, 则 $\sin A=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$, 在 $\triangle A B C$ 中,

由正弦定理得 $\frac{c}{\sin C}=\frac{B C}{\sin A}=\frac{\frac{4 c}{\sqrt{3}}}{\frac{2 \sqrt{2}}{3}}$, 解得 $\sin C=\frac{\sqrt{6}}{6}$.
题目（高二 · 度量几何学）：已知函数 $f(x)=2 \sin (\omega x+\varphi)(\omega>0,|\varphi|<\pi)$ 的部分图像如右图所示, 且 $A\left(\frac{\pi}{2}, 1\right), B(\pi,-1)$, 则 $\varphi$ 的值为 （）
选项：
A. $\frac{5 \pi}{6}$\nB. $\frac{\pi}{6}$\nC. $-\frac{5 \pi}{6}$\nD. $-\frac{\pi}{6}$
答案：C
解析：由已知得: $T=2 \pi, \omega=1$, 图像经过 $A\left(\frac{\pi}{2}, 1\right), B(\pi,-1) \varphi=-\frac{5 \pi}{6}$
题目（高二 · 度量几何学）：(2018 辽宁朝阳三模) 已知函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)(\omega>0), f\left(\frac{\pi}{6}\right)=f\left(\frac{\pi}{3}\right)$, 且 $f(x)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right)$ 上有最小值, 无最大值, 则 $\omega$ 的值为 ( )
选项：
A. $\frac{2}{3}$
B. $\frac{11}{3}$
C. $\frac{14}{3}$
D. $\frac{7}{3}$
答案：C
解析：因为 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right), f\left(\frac{\pi}{6}\right)=f\left(\frac{\pi}{3}\right)$, 又 $f(x)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right)$ 上有最小值, 无最大值,所以 $f(x)$ 在 $\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\pi}{4}$ 处取得最小值, 所以 $\omega \cdot \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}=2 k \pi-\frac{\pi}{2}$, 得 $\omega=8 k-\frac{10}{3}(k \in Z)$,当 $k=2$ 时, $\omega=\frac{28}{3}$, 此时函数 $f(x)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right)$ 内存在最大值, 当 $k=1$ 时, $\omega=\frac{14}{3}$ 符合题意.故选 C.
题目（高二 · 度量几何学）：下列说法中, 正确的是
选项：
A. 第二象限的角都是针角\n\nB. 第二象限角大于第一象限的角\n\nC. 若角 $\alpha$ 与角 $\beta$ 不相等, 则 $\alpha$ 与 $\beta$ 的终边不可能重合\n\nD. 若角 $\alpha$ 与角 $\beta$ 的终边在一条直线上, 则 $\alpha-\beta=k \cdot 180^{\circ}(k \in \mathbf{Z})$\n\n
答案：D
解析：D
题目（高二 · 度量几何学）：若 $\varphi$ 是第二象限角, 则 $\frac{\varphi}{2}$ 和 $90^{\circ}-\varphi$ 都不是
选项：
A. 第一象限角
    B. 第二象限角
    C. 第三象限角
    D. 第四象限角
答案：B
解析：解析: $\because \varphi$ 是第二象限角,

$\therefore k \cdot 360^{\circ}+90^{\circ}<\varphi<k \cdot 360^{\circ}+180^{\circ}, k \in \mathbf{Z}$,

$\therefore k \cdot 180^{\circ}+45^{\circ}<\frac{\varphi}{2}<k \cdot 180^{\circ}+90^{\circ}, \quad k \in \mathbf{Z}$,

即 $\frac{\varphi}{2}$ 是第一或第三象限角.

而一 $\varphi$ 显然是第三象限角,

$\therefore 90^{\circ}-\varphi$ 是第四象限角. 故选 B.

答案: B
题目（高二 · 度量几何学）：在(1) $160^{\circ}$; (2) $480^{\circ}$; (3) $-960^{\circ}$; (4) $1530^{\circ}$ 这四个角中, 属于第二象限角的是 ( )
选项：
A. (1)
B. (1)(2)
C. (1)(2)(3)
D. (1)(2)(3)(4)
答案：C
题目（高二 · 度量几何学）：下列各角中, 与 $60^{\circ}$ 角终边相同的角是
选项：
A. $-300^{\circ}$
B. $-60^{\circ}$
C. $600^{\circ}$
D. $1380^{\circ}$
答案：A
题目（高二 · 度量几何学）：已知 $A=\{$ 第一象限角 $\}, B=\{$ 锐角 $\}, C=\left\{\right.$ 小于 $90^{\circ}$ 的角 $\}$, 则 $A, B, C$ 关系正确的是
选项：
A. $B=A \cap C$
B. $B \cup C=C$
C. $A C$
D. $A=B=C$
答案：B
题目（高二 · 度量几何学）：设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对边分别为 $a, b, c$ 若 $a=3, b=\sqrt{3}, A=\frac{\pi}{3}$, 则 $B=(\quad)$
选项：
A. $\frac{\pi}{6}$

B. |  |
| :---: |
| $\frac{5 \pi}{6}$ |

C. $\frac{\pi}{6}$ 或 $\frac{5 \pi}{6}$
D. $\frac{2 \pi}{3}$
答案：A
解析：$: \mathrm{a}=3, \quad b=\sqrt{3}, A=\frac{\pi}{3}, \therefore$ 由正弦定理可得 $\sin \mathrm{B}=\frac{b \sin A}{a}=\frac{\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{3}=\frac{1}{2}$, $\because \mathrm{a}>\mathrm{b}, \therefore \mathrm{B}$ 为锐角, $\mathrm{B}=\frac{\pi}{6}$.
题目（高二 · 度量几何学）：在 $\triangle A B C$ 中, $a=2 \sqrt{3}, c=2 \sqrt{2}, A=60^{\circ}$, 则 $C=(\quad)$
选项：
A. $30^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $45^{\circ}$ 或 $135^{\circ}$
D. $60^{\circ}$
答案：B
解析：$: \because \mathrm{a}=2 \sqrt{3}, \mathrm{c}=2 \sqrt{2}, \mathrm{~A}=60^{\circ}$,

$\therefore$ 由正弦定理可得 $: \sin C=\frac{c \sin A}{a}=\frac{2 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{2 \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \because \mathrm{c}<\mathrm{a}$, 可得 $: 0<\mathrm{C}<60^{\circ}, \therefore \mathrm{C}=45^{\circ}$
题目（高二 · 度量几何学）：在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别是 $a 、 b 、 c$, 若 $a=\sqrt{6}, b=2, A=60^{\circ}$,则 $B=(\quad)$
选项：
A. $30^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $135^{\circ}$
D. $45^{\circ}$ 或 $135^{\circ}$
答案：B
解析：在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, 角 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B} 、 \mathrm{C}$ 所对的边分别是 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b} 、 \mathrm{c}$, 若 $a=\sqrt{6}, \mathrm{~b}=2, \mathrm{~A}=60^{\circ}$,可知 $a>b$, 可得 $A>B$,

由正弦定理考试 $\sin \mathrm{B}=\frac{b \sin A}{a}=\frac{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,

所以 $\mathrm{B}=45^{\circ}$.

$8 . A$
解析: 根据题意, $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, 有 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$, 则 $\mathrm{b}=\frac{a \cdot \sin B}{\sin A}$,

又由 $\mathrm{A}=45^{\circ}, \mathrm{B}=30^{\circ}, \mathrm{a}=10$,

则 $\mathrm{b}=\frac{a \cdot \sin B}{\sin A}=\frac{10 \times \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=5 \sqrt{2}$;
题目（高二 · 度量几何学）：某观察站 $C$ 与两灯塔 $A 、 B$ 的距离分别为 $x$ 米和 3 千米, 测得灯塔 $A$ 在观察站 $C$ 的正西方向, 灯塔 $B$ 在观察站 $C$ 西偏南 $30^{\circ}$, 若两灯塔 $A 、 B$ 之间的距离恰好为 $\sqrt{3}$ 千米,则 $x$ 的值为 ( )
选项：
A. 3
B. $\sqrt{3}$
C. $2 \sqrt{3}$
D. $\sqrt{3}$ 或 $2 \sqrt{3}$
答案：D
解析：如图所示,

在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, 由余弦定理可得：

$(\sqrt{3})^{2}=3^{2}+\mathrm{x}^{2}-2 \times 3 \times \mathrm{X} \times \cos 30^{\circ}$,



化为 $x^{2}-3 \sqrt{3} x+6=0$, 解得 $\mathrm{x}=\sqrt{3}$ 或 $2 \sqrt{3}$. 故选: $\mathrm{D}$.
题目（高二 · 度量几何学）：已知 $\triangle A B C$ 的面积为 $\frac{1}{4}\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)$, 则角 $C$ 的度数是 ( )
选项：
A. 45
B. 60
C. 120
D. 135
答案：A
解析：$\because \triangle \mathrm{ABC}$ 的面积为 $\frac{1}{4}\left(\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}-\mathrm{c}^{2}\right)=\frac{1}{2} \mathrm{ab} \cdot \sin \mathrm{C}$,

$\therefore \mathrm{c}^{2}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}-2 \mathrm{ab} \cdot \sin \mathrm{C}$. 又根据余弦定理得: $\mathrm{c}^{2}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}-2 \mathrm{ab} \cdot \cos \mathrm{C}$,

$\therefore-2 a b s i n C=-2 a b \cos C$, 即 $\sin C=\cos C, \therefore \tan C=1, \therefore C=45^{\circ}$, 故选: A.
题目（高二 · 度量几何学）：在 $\triangle A B C$ 中, 若 $\frac{\sin A}{a}=\frac{\cos B}{b}$, 则 $\angle B$ 等于（）
选项：
A. $30^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $90^{\circ}$
答案：B
解析：B
题目（高二 · 度量几何学）：在 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 若 $b^{2}-a^{2}$


$=(b-c) c, c=3, \triangle A B C$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$, 则 $b=(\quad)$
选项：
A. 1
B. 2
C. $\sqrt{2}$
D. 4
答案：B
解析：由 $b^{2}-a^{2}=(b-c) c$, 得 $b^{2}+c^{2}-a^{2}=b c$,

$\therefore \cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{b c}{2 b c}=\frac{1}{2}, \therefore \sin A=\sqrt{1-\cos ^{2} A}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,

$\therefore S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{1}{2} \times b \times 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$, 得 $\mathrm{b}=2$, 故选 $\mathrm{B}$.
题目（高二 · 度量几何学）：若点 $P$ 在点 $Q$ 的北偏西 $45^{\circ} 10^{\prime}$ 方向上, 则点 $Q$ 在点 $P$ 的( )
选项：
A. 南偏西 $45^{\circ} 10^{\prime}$
C. 南偏东 $45^{\circ} 10^{\prime}$
B. 南偏西 $44^{\circ} 50^{\prime}$
D. 南偏东 $44^{\circ} 50^{\prime}$
答案：C
题目（高二 · 度量几何学）：台风中心从 $A$ 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动, 离台风中心 30 千米内的地区为危险区，城市 $B$ 在 $A$ 的正东 40 千米处， $B$ 城市处于危险区内的持续时间为( )
选项：
A. 0.5 小时
    B. 1 小时
    C. 1.5 小时
    D. 2 小时
答案：B
解析：解析 设 $t$ 小时时, $B$ 市恰好处于危险区, 则由余弦定理得:

$(20 t)^{2}+40^{2}-2 \times 20 t \times 40 \cdot \cos 45^{\circ}=30^{2}$.

化简得: $4 t^{2}-8 \sqrt{2} t+7=0$,

$\therefore t_{1}+t_{2}=2 \sqrt{2}, t_{1} \cdot t_{2}=\frac{7}{4}$.

从而 $\left|t_{1}-t_{2}\right|=\sqrt{\left(t_{1}+t_{2}\right)^{2}-4 t_{1} t_{2}}=1$.
题目（高二 · 度量几何学）：如图所示, 设 $A 、 B$ 两点在河的两岸, 一测量者在 $A$ 的同侧, 在 $A$ 所在的河岸边选定一点 $C$, 测出 $A C$ 的距离为 $50 \mathrm{~m}, \angle A C B=45^{\circ}, \angle C A B=105^{\circ}$ 后, 就可以计算 $A 、 B$ 两点的距离为( )


选项：
A. $50 \sqrt{2} \mathrm{~m}$
B. $50 \sqrt{3} \mathrm{~m}$
C. $25 \sqrt{2} \mathrm{~m}$
D. $\frac{25 \sqrt{2}}{2} \mathrm{~m}$
答案：A
解析：解析 由题意知 $\angle A B C=30^{\circ}$, 由正弦定理 $\frac{A C}{\sin \angle A B C}=\frac{A B}{\sin \angle A C B}$,

$\therefore A B=\frac{A C \cdot \sin \angle A C B}{\sin \angle A B C}=\frac{50 \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=50 \sqrt{2}$ (m).
题目（高二 · 度量几何学）：如图, 一货轮航行到 $M$ 处, 测得灯塔 $S$ 在货轮的北偏东 $15^{\circ}$, 与灯塔 $S$ 相距 20 海里,随后货轮按北偏西 $30^{\circ}$ 的方向航行 30 分钟后到达 $N$ 处, 又测得灯塔在货轮的东北方向, 则货轮的速度为(
选项：
A. $20(\sqrt{6}+\sqrt{2})$ 海里/小时


B. $20(\sqrt{6}-\sqrt{2})$ 海里/小时
C. $20(\sqrt{6}+\sqrt{3})$ 海里/小时
D. $20(\sqrt{6}-\sqrt{3})$ 海里/小时
答案：B
解析：解析由题意,

$\angle S M N=45^{\circ}, \angle S N M=105^{\circ}, \angle N S M=30^{\circ}$.

由正弦定理得 $\frac{M N}{\sin 30^{\circ}}=\frac{M S}{\sin 105^{\circ}}$.

$\therefore M N=\frac{M S \sin 30^{\circ}}{\sin 105^{\circ}}=\frac{10}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=10(\sqrt{6}-\sqrt{2})$.

则 $v_{\text {化 }}=20(\sqrt{6}-\sqrt{2})$ 海里/小时.
题目（高二 · 度量几何学）：从 $A$ 处望 $B$ 处的仰角为 $\alpha$, 从 $B$ 处望 $A$ 处的俯角为 $\beta$, 则 $\alpha$ 与 $\beta$ 的关系为 (
选项：
A. $\alpha>\beta$
B. $\alpha=\beta$
C. $\alpha<\beta$
D. $\alpha+\beta=90^{\circ}$
答案：B
题目（高二 · 度量几何学）：如图, 为测一树的高度, 在地面上选取 $A 、 B$ 两点, 从 $A 、 B$ 两点分别测得望树尖的仰角为 $30^{\circ}, 45^{\circ}$, 且 $A 、 B$ 两点之间的距离为 $60 \mathrm{~m}$, 则树的高度为 $(\quad)$


选项：
A. $30+30 \sqrt{3} \mathrm{~m}$
B. $30+15 \sqrt{3} \mathrm{~m}$
C. $15+30 \sqrt{3} \mathrm{~m}$
D. $15+3 \sqrt{3} \mathrm{~m}$
答案：A
解析：解析 在 $\triangle P A B$ 中, 由正弦定理可得

$\frac{60}{\sin \left(45^{\circ}-30^{\circ}\right)}=\frac{P B}{\sin 30^{\circ}}$,

$P B=\frac{60 \times \frac{1}{2}}{\sin 15^{\circ}}=\frac{30}{\sin 15^{\circ}}$,

$h=P B \sin 45^{\circ}=(30+30 \sqrt{3}) \mathrm{m}$.
题目（高二 · 度量几何学）：从高出海平面 $h$ 米的小岛看正东方向有一只船俯角为 $30^{\circ}$, 看正南方向一只船俯角为 $45^{\circ}$, 则此时两船间的距离为( )
选项：
A. $2 h$ 米
B. $\sqrt{2} h$ 米
C. $\sqrt{3} h$ 米
D. $2 \sqrt{2} h$ 米


答案：A
解析：解析 如图所示,

$B C=\sqrt{3} h, A C=h$,

$\therefore A B=\sqrt{3 h^{2}+h^{2}}=2 h$.
题目（高二 · 度量几何学）：在某个位置测得某山峰仰角为 $\theta$, 对着山峰在平行地面上前进 $600 \mathrm{~m}$ 后测仰角为原来的 2 倍, 继续在平行地面上前进 $200 \sqrt{3} \mathrm{~m}$ 后, 测得山峰的仰角为原来的 4 倍, 则该山峰的高度是( )
选项：
A. $200 \mathrm{~m}$
B. $300 \mathrm{~m}$
C. $400 \mathrm{~m}$
D. $100 \sqrt{3} \mathrm{~m}$
答案：B
解析：解析 如图所示, $600 \cdot \sin 2 \theta=200 \sqrt{3} \cdot \sin 4 \theta$,



$\therefore \cos 2 \theta=\frac{\sqrt{3}}{2}, \therefore \theta=15^{\circ}$,

$\therefore h=200 \sqrt{3} \cdot \sin 4 \theta=300(\mathrm{~m})$.
题目（高二 · 度量几何学）：$\triangle A B C$ 中, 三内角 $A 、 B 、 C$ 成等差数列, 则角 $B$ 等于 $(\quad)$
选项：
A. $30^{\circ}$
B. $60^{\circ}$
C. $90^{\circ}$
D. $120^{\circ}$
答案：B
题目（高二 · 度量几何学）：已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列且 $a_{1}+a_{7}+a_{13}=4 \pi$, 则 $\tan \left(a_{2}+a_{12}\right)$ 的值为 $(\quad)$
选项：
A. $\sqrt{3}$
B. $\pm \sqrt{3}$
C. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. $-\sqrt{3}$
答案：D
解析：解析 由等差数列的性质得 $a_{1}+a_{7}+a_{13}=3 a_{7}=4 \pi$,

$\therefore a_{7}=\frac{4 \pi}{3}$.

$\therefore \tan \left(a_{2}+a_{12}\right)=\tan \left(2 a_{7}\right)=\tan \frac{8 \pi}{3}$

$=\tan \frac{2 \pi}{3}=-\sqrt{3}$.
题目（高二 · 度量几何学）：
是 9, 那么实数 $a$ 的值为 $(\quad)$
选项：
A. $3 \sqrt{2}+2$
B. $-3 \sqrt{2}+2$
C. -5
D. 1


答案：D
解析：解析 区域如图,

易求得 $A(-2,2), B(a, a+4)$,

$C(a,-a)$.

$S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2}|B C| \cdot|a+2|=(a+2)^{2}=9$, 由题意得 $a=1$.
题目（高二 · 度量几何学）：已知函数 $f(x)=A \sin \left(\frac{\pi}{3} x+\frac{\pi}{6}\right), x \in R, A>0, y=f(x)$ 的部分图象如图, $P, Q$ 分别为该图象的最高点和最低点,点 $P$ 的横坐标为 1 . 若点 $R$ 的坐标为 $(1,0), \angle P R Q=\frac{2 \pi}{3}$, 则 $A=(\quad)$


选项：
A. $\sqrt{3}$
B. 2
C. 1
D. $2 \sqrt{3}$
答案：A
解析：函数 $f(x)$ 的周期为 $T=\frac{2 \pi}{\frac{\pi}{3}}=6, \therefore Q(4,-A)$. 又 $\angle P R Q=\frac{2 \pi}{3}, \therefore$ 直线 $R Q$ 的倾斜角为 $\frac{5 \pi}{6}$, $\therefore \frac{A}{1-4}=-\frac{\sqrt{3}}{3}, A=\sqrt{3}$. 故选 A.
题目（高二 · 度量几何学）：函数 $y=\sqrt{2 \cos x+1}$ 的定义域是（）
选项：
A. $\left[2 k \pi-\frac{\pi}{3}, 2 k \pi+\frac{\pi}{3}\right](k \in Z)$
   B. $\left[2 k \pi+\frac{\pi}{3}, 2 k \pi+\frac{2 \pi}{3}\right](k \in Z)$
   C. $\left[2 k \pi-\frac{\pi}{6}, 2 k \pi+\frac{\pi}{6}\right](k \in Z)$
   D. $\left[2 k \pi-\frac{2 \pi}{3}, 2 k \pi+\frac{2 \pi}{3}\right](k \in Z)$
答案：D
解析：由 $2 \cos x+1 \geqslant 0$ 得 $\cos x \geqslant-\frac{1}{2}, \therefore 2 k \pi-\frac{2 \pi}{3} \leqslant x \leqslant 2 k \pi+\frac{2 \pi}{3}, \mathrm{k} \in \mathrm{Z}$.

故选 $\mathrm{D}$.
题目（高二 · 度量几何学）：半径为 2 , 弧长为 $\frac{\pi}{5}$ 的扇形的面积为 ( )

$\begin{array}{llll}\text {
选项：
A. } \frac{\pi}{5} & \text { B. } \frac{2 \pi}{5} & \text { C. } \frac{\pi^{2}}{5} & \text { D. } \frac{2 \pi^{2}}{5}\end{array}$
答案：A
解析：扇形的面积为 $\frac{1}{2} \times 2 \times \frac{\pi}{5}=\frac{\pi}{5}$, 故选 A.
题目（高二 · 度量几何学）：将函数 $f(x)=2 \sin (\omega x+\varphi)\left(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}\right)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度后得到的部分图象如图所示, 有下列四个结论: (1) $f(0)=1$; (2) $y=f(x)-\sqrt{3}$ 在

$[0, \pi]$ 上有两个零点; (3) $f(x)$ 的图象关于直线 $x=-\frac{\pi}{6}$ 对称; (4) $f(x)$ 在区间 $\left[\frac{2 \pi}{3}, \frac{8 \pi}{3}\right]$ 上单调递减, 其中所有正确结论的个数为 ( )


选项：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：C
解析：$f(x)=2 \sin (\omega x+\varphi)\left(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}\right)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度后得:

$g(x)=2 \sin \left[\omega\left(x+\frac{\pi}{2}\right)+\varphi\right]=2 \sin \left(\omega x+\frac{\omega \pi}{2}+\varphi\right)\left(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}\right)$,

由图象知 $g(x)$ 的周期 $T$ 满足 $\frac{T}{4}=\frac{7 \pi}{6}-\frac{\pi}{6}$,

$\therefore T=4 \pi, \quad \therefore \omega=\frac{2 \pi}{T}=\frac{1}{2}$,

又 $g\left(\frac{\pi}{6}\right)=2, \therefore \frac{1}{2} \times \frac{\pi}{6}+\frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2}+\varphi=2 k \pi+\frac{\pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$, 即 $\varphi=2 k \pi+\frac{\pi}{6}(k \in \mathbf{Z})$.

又 $|\varphi|<\frac{\pi}{2}, \therefore \varphi=\frac{\pi}{6}, \therefore f(x)=2 \sin \left(\frac{1}{2} x+\frac{\pi}{6}\right)$,

对于(1), $f(0)=2 \sin \frac{\pi}{6}=1$, 故(1)正确;

对于(2), 令 $f(x)-\sqrt{3}=0$, 则 $\sin \left(\frac{1}{2} x+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$,

又 $x \in[0, \pi]$, 所以 $\frac{1}{2} x+\frac{\pi}{6} \in\left[\frac{\pi}{6}, \frac{2 \pi}{3}\right]$, 则 $\frac{1}{2} x+\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}$ 或 $\frac{2 \pi}{3}$, 即 $x=\frac{\pi}{3}$ 或 $\pi$,

故 $y=f(x)-\sqrt{3}$ 在 $[0, \pi]$ 上有两个零点, 所以(2)正确;

对于(3), 令 $\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}=k \pi+\frac{\pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$, 解得 $x=2 k \pi+\frac{2 \pi}{3}(k \in \mathbf{Z})$,

$\therefore f(x)$ 的图象不关于直线 $x=-\frac{\pi}{6}$ 对称, 故(3)错误;

对于(4), 令 $2 k \pi+\frac{\pi}{2} \leq \frac{1}{2} x+\frac{\pi}{6} \leq 2 k \pi+\frac{3 \pi}{2}(k \in Z)$,

解得 $4 k \pi+\frac{2 \pi}{3} \leq x \leq 4 k \pi+\frac{8 \pi}{3}(k \in Z)$,即 $f(x)$ 的单调递减区间为 $\left[4 k \pi+\frac{2 \pi}{3}, 4 k \pi+\frac{8 \pi}{3}\right]$,

令 $k=0$, 得 $f(x)$ 在区间 $\left[\frac{2 \pi}{3}, \frac{8 \pi}{3}\right]$ 上单调递减,

综上所述, (1)(2)(4)正确, 故选 C.
题目（高二 · 度量几何学）：$675^{\circ}$ 用弧度制表示为 ( )
选项：
A. $\frac{11}{4} \pi$ B. $\frac{13}{4} \pi$ C. $\frac{15}{4} \pi$ D. $\frac{17}{4} \pi$
答案：C
解析：因为 $180^{\circ}=\pi$ 弧度, 所以 $675^{\circ}=675 \times \frac{\pi}{180}=\frac{15 \pi}{4}$, 故选 C.
题目（高二 · 度量几何学）：下列各角中, 与 $2021^{\circ}$ 终边相同的角为 ( )
选项：
A. $41^{\circ}$ B. $139^{\circ}$
C. $221^{\circ}$
D. $-41^{\circ}$
答案：C
解析：与 $2021^{\circ}$ 终边相同的角为 $\alpha=k \cdot 360^{\circ}+2021^{\circ}$,

当 $k=-5$ 时, $\alpha=221^{\circ}$, 故选 C.
题目（高二 · 度量几何学）：函数 $f(x)=\frac{1}{2} \tan \left(\frac{\pi}{2} x+\frac{\pi}{4}\right)+1$ 的单调递增区间为 ( )
选项：
A. $\left(2 k-\frac{3}{2}, 2 k+\frac{1}{2}\right), k \in \mathrm{Z} \quad$ B. $\left(2 k-\frac{1}{2}, 2 k+\frac{1}{2}\right), k \in \mathrm{Z}$

C. $\left(4 k-\frac{1}{2}, 4 k+\frac{1}{2}\right), k \in \mathrm{Z} \quad$ D. $\left(4 k-\frac{3}{2}, 4 k+\frac{1}{2}\right), k \in \mathrm{Z}$
答案：A
解析：由 $k \pi-\frac{\pi}{2}<\frac{\pi}{2} x+\frac{\pi}{4}<k \pi+\frac{\pi}{2}$, 得 $2 k-\frac{3}{2}<x<2 k+\frac{1}{2}, k \in \mathbf{Z}$,

增区间为 $\left(2 k-\frac{3}{2}, 2 k+\frac{1}{2}\right), k \in \mathbf{Z}$

故选 A.
题目（高二 · 度量几何学）：3 弧度的角终边在 ( )
选项：
A. 第一象限 

B. 第二象限

 C. 第三象限

 D. 第四象限
答案：B
解析：因为 $\frac{\pi}{2}<3<\pi$, 所以 3 弧度的角终边在第二象限, 故选 B.
题目（高二 · 度量几何学）：若角 $\alpha$ 与角 $\beta$ 的终边关于 $y$ 轴对称, 则必有 ( )
选项：
A. $\alpha+\beta=90^{\circ}$
B. $\alpha+\beta=k \cdot 360^{\circ}+90^{\circ}(k \in \mathbf{Z})$

C. $\alpha+\beta=k \cdot 360^{\circ}(k \in \mathbf{Z})$
D. $\alpha+\beta=(2 k+1) \cdot 180^{\circ}(k \in \mathrm{Z})$
答案：D
解析：角 $\alpha$ 与角 $\beta$ 的终边关于 $y$ 轴对称,

所以 $\alpha-\left(90 ? 360\right.$ 按 $\left.k_{1}\right)=90 ? 360$ 按 $k_{2}-\beta, k_{1}, k_{2} ? \mathrm{Z}$,

$\alpha+\beta=90 ? 360$ 按 $k_{2}+90 ? 360$ 按 $k_{1}=360 ?\left(k_{1} \quad k_{2}\right)+180 ?, k_{1}, k_{2} \in \mathrm{Z}$,

即 $\alpha+\beta=360$ 按 $k+180$ 轱 $(2 k+1) \times 180, k \hat{\mathrm{I}} \mathrm{Z}$,

故选 D.
题目（高二 · 度量几何学）：$\theta$ 是第二象限角, 则下列选项中一定为负值的是 ( )
选项：
A. $\sin \frac{\theta}{2}$
B. $\cos \frac{\theta}{2}$
C. $\sin 2 \theta$
D. $\cos 2 \theta$
答案：C
解析：因为 $\theta$ 是第二象限角,

所以 $2 k \pi+\frac{\pi}{2}<\theta<2 k \pi+\pi, k \in \mathrm{Z}$, 则 $4 k \pi+\pi<2 \theta<4 k \pi+2 \pi, k \in \mathrm{Z}$,

所以 $2 \theta$ 为第三或第四象限角或终边在 $y$ 轴负半轴上, 所以 $\sin 2 \theta<0$,

而 $k \pi+\frac{\pi}{4}<\frac{\theta}{2}<k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in \mathrm{Z}, \frac{\theta}{2}$ 是第一象限或第三象限角, 正弦余弦值不一定是负数,

故选 C.
题目（高二 · 度量几何学）：如果角 $\alpha$ 的终边过点 $P\left(2 \sin 30^{\circ},-2 \cos 30^{\circ}\right)$, 则 $\sin \alpha$ 的值等于（）
选项：
A. $B. -\frac{1}{2} \text { C. }-\frac{\sqrt{3}}{2}  \text { D. }-\frac{\sqrt{3}}{3}$
答案：C
解析：由题意得 $P(1,-\sqrt{3})$, 它与原点的距离 $r=\sqrt{1+(\sqrt{3})^{2}}=2$,

所以 $\sin \alpha=\frac{y}{r}=\frac{-\sqrt{3}}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, 故选 C.
题目（高二 · 度量几何学）：已知 $\alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right), \tan \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{7}$, 那么 $\sin \alpha+\cos \alpha$ 的值为（）.
选项：
A. $-\frac{1}{5}$
    B. $\frac{7}{5}$
    C. $-\frac{7}{5}$
    D. $\frac{3}{4}$
答案：A
解析：$\because \tan \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tan \alpha+1}{1-\tan \alpha}=\frac{1}{7}$,

$\therefore \tan \alpha=-\frac{3}{4}$,

又 $\because \alpha \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$,

$\therefore \cos \alpha=-\frac{4}{5}, \sin \alpha=\frac{3}{5}$,

$\therefore \sin \alpha+\cos \alpha=-\frac{1}{5}$.

故选 A.
题目（高二 · 度量几何学）：$\cos 585^{\circ}$ 的值为 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
   B. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
   C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
   D. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$
答案：D
解析：$\cos 585^{\circ}=\cos \left(360^{\circ}+225^{\circ}\right)=\cos 225^{\circ}=\cos \left(180^{\circ}+45^{\circ}\right)=-\cos 45^{\circ}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.
题目（高二 · 度量几何学）：已知角 $\alpha$ 的顶点在坐标原点, 始边与 $X$ 轴正半轴重合, 终边经过点 $P(-\sqrt{2}, 1)$, 则 $\cos 2 \alpha=(\quad)$
选项：
A. $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$
   B. $\frac{1}{3}$
   C. $-\frac{1}{3}$
   D. $-\frac{2 \sqrt{2}}{3}$
答案：B
解析：因为角 $\alpha$ 的顶点在坐标原点, 始边与 $X$ 轴正半轴重合, 终边经过点 $P(-\sqrt{2}, 1)$,

所以 $\cos \alpha=\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2+1}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$,

因此 $\cos 2 \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1=\frac{1}{3}$.
故选 B
题目（高二 · 度量几何学）：若锐角 $\alpha, \beta$ 满足 $\cos \alpha=\frac{4}{5}, \cos (\alpha+\beta)=\frac{3}{5}$, 则 $\sin \beta$ 的值是（）
选项：
A.  $\frac{17}{25} $ B. $\frac{3}{5}$   C.  $\frac{7}{25}$ D. $ \frac{1}{5}$
答案：C
解析：$\because \cos \alpha=\frac{4}{5}, \cos (\alpha+\beta)=\frac{3}{5}, \alpha, \beta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right), \therefore 0<\alpha+\beta<\frac{\pi}{2}$,

$\therefore \sin \alpha=\frac{3}{5}, \sin (\alpha+\beta)=\frac{4}{5}$,

$\therefore \sin \beta=\sin [(\alpha+\beta)-\alpha]=\sin (\alpha+\beta) \cos \alpha-\cos (\alpha+\beta) \sin \alpha=\frac{4}{5} \times \frac{4}{5}-\frac{3}{5} \times \frac{3}{5}$

$=\frac{7}{25}$,

故选 C.
题目（高二 · 度量几何学）：$\sin 245^{\circ} \sin 125^{\circ}+\sin 155^{\circ} \sin 35^{\circ}$ 的值是 ( )
选项：
A. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $-\frac{1}{2}$ C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
答案：B
解析：原式 $=-\sin 65^{\circ} \sin 55^{\circ}+\sin 25^{\circ} \sin 35^{\circ}=-\cos 25^{\circ} \cos 35^{\circ}+\sin 25^{\circ} \sin 35^{\circ}$

$=-\cos \left(35^{\circ}+25^{\circ}\right)=-\cos 60^{\circ}=-\frac{1}{2}$,

故选 B.
题目（高二 · 度量几何学）：若 $f(x)=\cos x-\sin x$ 在 $[0, a]$ 上是减函数, 则 $a$ 的最大值是 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{\pi}{4}$
   B. $\frac{\pi}{2}$
   C. $\frac{3}{4} \pi$
   D. $\pi$
答案：C
解析：由题意, $f(x)=\cos x-\sin x=-\sqrt{2} \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$,当 $x-\frac{\pi}{4} \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$, 即 $x \in\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$ 时, $y=\sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ 单调递增,则 $f(x)=-\sqrt{2} \sin \left(x-\frac{\pi}{4}\right)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$ 上单调递减,

$\therefore x \in\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]$ 是 $f(x)$ 在原点附近的单调递减区间,结合条件得 $[0, a] \subset\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right], \therefore a \leq \frac{3}{4} \pi$, 即 $a$ 的最大值为 $\frac{3}{4} \pi$.故选 C.