eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（七年级 · 算术）：(6 分) 计算:

(1) $4 \sin ^{2} 60^{\circ}-2 \tan 45^{\circ}+4 \cos ^{2} 30^{\circ}$

(2) $\frac{\sqrt{2} \cos 45^{\circ}}{\tan 60^{\circ}-\sin 60^{\circ}}$.
选项：
答案：分) 计算:

(1) $4 \sin ^{2} 60^{\circ}-2 \tan 45^{\circ}+4 \cos ^{2} 30^{\circ}$

(2) $\frac{\sqrt{2} \cos 45^{\circ}}{\tan 60^{\circ}-\sin 60^{\circ}}$.

考点: 特殊角的三角函数值.

分析: 将特殊角的三角函数值代入运算即可.

<ImageHere>

(2) 原式 $=\frac{\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$.
解析：分) 计算:

(1) $4 \sin ^{2} 60^{\circ}-2 \tan 45^{\circ}+4 \cos ^{2} 30^{\circ}$

(2) $\frac{\sqrt{2} \cos 45^{\circ}}{\tan 60^{\circ}-\sin 60^{\circ}}$.

考点: 特殊角的三角函数值.

分析: 将特殊角的三角函数值代入运算即可.



(2) 原式 $=\frac{\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$.
题目（七年级 · 算术）：计算:

(1) $\sqrt{25}+\sqrt[3]{-8}-\sqrt{6^{2}}$

(2) $\sqrt{(-3)^{2}}+\sqrt{6}+|\sqrt{6}-3|$
选项：
答案：(1) 解: $\sqrt{25}+\sqrt[3]{-8}-\sqrt{6^{2}}$

$$
\begin{gathered}
=5+(-2)-6 \\
=-3
\end{gathered}
$$

(2) 解: $\sqrt{(-3)^{2}}+\sqrt{6}+|\sqrt{6}-3|$

$$
\begin{gathered}
=3+\sqrt{6}+3-\sqrt{6} \\
=6
\end{gathered}
$$
解析：(1) 解: $\sqrt{25}+\sqrt[3]{-8}-\sqrt{6^{2}}$

$$
\begin{gathered}
=5+(-2)-6 \\
=-3
\end{gathered}
$$

(2) 解: $\sqrt{(-3)^{2}}+\sqrt{6}+|\sqrt{6}-3|$

$$
\begin{gathered}
=3+\sqrt{6}+3-\sqrt{6} \\
=6
\end{gathered}
$$
题目（七年级 · 算术）：已知 $x+1$ 的平方根是 $\pm 2,2 x+y-2$ 的立方根是 2 , 求 $x^{2}+y^{2}$ 的算术平方根.
选项：
答案：解: $\because x+1$ 的平方根是 $\pm 2$,

$\therefore \mathrm{x}+1=4$,

$\therefore \mathrm{x}=3$,
$\because 2 x+y-2$ 的立方根是 2 ,

$\therefore 2 \mathrm{x}+\mathrm{y}-2=8$,

把 $x$ 的值代入解得:

$\mathrm{y}=4$,

$\therefore \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=25$,

$\therefore \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}$ 的算术平方根为 5 .
解析：解: $\because x+1$ 的平方根是 $\pm 2$,

$\therefore \mathrm{x}+1=4$,

$\therefore \mathrm{x}=3$,
$\because 2 x+y-2$ 的立方根是 2 ,

$\therefore 2 \mathrm{x}+\mathrm{y}-2=8$,

把 $x$ 的值代入解得:

$\mathrm{y}=4$,

$\therefore \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=25$,

$\therefore \mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}$ 的算术平方根为 5 .
题目（七年级 · 算术）：计算:

(1) $\sqrt{25}-\sqrt[3]{64}-(-1)^{2021}$

(2) $|\sqrt{3}-2|-\sqrt{(-3)^{2}}-\sqrt[3]{-27}$.
选项：
答案：(1) 解: 原式 $=5-4+1$

$=2 ;$

(2) 解: 原式 $=2-\sqrt{3}-3-(-3)$

$=2-\sqrt{3}$.
解析：(1) 解: 原式 $=5-4+1$

$=2 ;$

(2) 解: 原式 $=2-\sqrt{3}-3-(-3)$

$=2-\sqrt{3}$.
题目（七年级 · 算术）：请把下列各数填入相应的集合中:

$-(+4),|-3.5|, 0, \frac{\pi}{3}, 10 \%, 2018,+(-5),-2.030030003 \ldots$ (每两个 3 之间逐次加一个 $0)$.

正分数集合：\{ $\ldots\}$

负有理数集合：\{ $\cdots\}$

非负整数集合: \{

无理数集合: \{
选项：
答案：解：正分数集合： $\{|-3.5|, 10 \%$

负有理数集合：\{ - ( +4$),+(-5) \quad \ldots\}$;

非负整数集合: $\{0,2018$

无理数集合: $\left\{\frac{\pi}{3},-2.030030003 \ldots\right.$
解析：解：正分数集合： $\{|-3.5|, 10 \%$

负有理数集合：\{ - ( +4$),+(-5) \quad \ldots\}$;

非负整数集合: $\{0,2018$

无理数集合: $\left\{\frac{\pi}{3},-2.030030003 \ldots\right.$
题目（七年级 · 算术）：观察下列一组算式的特征, 并探索规律:

(1) $\sqrt{1^{3}}=1=1$;

(2) $\sqrt{1^{3}+2^{3}}=1+2=3$;

(3) $\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}}=1+2+3=6$;

(4) $\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}}=1+2+3+4=10$.
根据以上算式的规律, 解答下列问题:

(1) $1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=($ \$ \qquad \$ )$^{2}=$ \$ \qquad \$ ;

(2) $\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+(n-1)^{3}+n^{3}}=$ \$ \qquad \$ ; (用含 $\mathrm{n}$ 的代数式表示)

（3）简便计算: $11^{3}+12^{3}+13^{3}+\ldots+19^{3}+20^{3}$.
选项：
答案：(1) $1+2+3+4+5$ (或 15 )；225

(2) $\frac{n(n+1)}{2}$

(3) 解: 由 (2) 得,

$11^{3}+12^{3}+13^{3}+\ldots+19^{3}+20^{3}$

$=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+19^{3}+20^{3}-\left(1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+9^{3}+10^{3}\right)$

$=\left(\frac{20 \times 21}{2}\right)^{2}-\left(\frac{10 \times 11}{2}\right)^{2}$

$=44100-3025$

$=41075$
解析：(1) $1+2+3+4+5$ (或 15 )；225

(2) $\frac{n(n+1)}{2}$

(3) 解: 由 (2) 得,

$11^{3}+12^{3}+13^{3}+\ldots+19^{3}+20^{3}$

$=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+19^{3}+20^{3}-\left(1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+9^{3}+10^{3}\right)$

$=\left(\frac{20 \times 21}{2}\right)^{2}-\left(\frac{10 \times 11}{2}\right)^{2}$

$=44100-3025$

$=41075$
题目（七年级 · 算术）：观察下列各式: $\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{2}-1 ; \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\sqrt{3}-\sqrt{2} ; \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}=\sqrt{4}-\sqrt{3}$.

（1）请根据以上规律，写出第 4 个式子: \$ \qquad \$
（2）请根据以上规律，写出第 $\mathrm{n}$ 个式子:

(3) 根据以上规律计算: $\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{2021}+\sqrt{2020}}$ 的值.
选项：
答案：(1) $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}=\sqrt{5}-\sqrt{4}$

(2) $\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \quad(n \geq 1$ 的整数)

(3) 解: 原式 $=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{2021}-\sqrt{2020}$ $=\sqrt{2021}-1$.
解析：) 第 4 个式子为: $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}=\sqrt{5}-\sqrt{4}$;

故答案为: $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}=\sqrt{5}-\sqrt{4}$;

(2) 第 $\mathrm{n}$ 个式子为: $\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ ( $\mathrm{n} \geq 1$ 的整数);

故答案为: $\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \quad(n \geq 1$ 的整数 $)$;
题目（七年级 · 算术）：某某种圆珠笔的售价是每支 2 元, 甲、乙两家文具店均有促销活动: 甲文具店全部九折; 乙文具店 20 支及以内不打折, 比 20 支多的部分打八折. 设小明需要购买的圆珠笔的数量为 $\mathrm{x}$, 根据题意回答下列问题:

(1) 若购买多于 20 支的圆珠笔, 则在甲文具店需要花费元, 在乙文具店需要花费元; (用含 $\mathrm{x}$ 的式子表示)

(2) 当 $x=25$ 时, 选择哪家文具店更优惠?
选项：
答案：(1) $1.8 \mathrm{x} ;(1.6 \mathrm{x}+8)$

(2) 解: 当 $x=25$ 时,

在甲文具店需要花费 $1.8 \times 25=45($ 元 $)$,

在乙文具店需要花费 $1.6 \times 25+8=48($ 元 $)$,

$\because 45<48$,

$\therefore$ 选择在甲文具店购买更优惠.
解析：(1) 解：若购买多于 20 支的圆珠笔,

在甲文具店需要花费 $2 \times 0.9 \mathrm{x}=1.8 \mathrm{x}($ 元 $)$,

在乙文具店需要花费 $2 \times 20+2 \times 0.8(x-20)=40+1.6 x-32=(1.6 x+8)$ 元,

故答案为: $1.8 x ;(1.6 x+8)$;
题目（七年级 · 算术）：秋风起, 桂花飘香, 也就进入了吃螃蟹的最好季节清代文人李渔把秋天称作“蟹秋”, 意为错过了螃蟹，便是错过了整个秋季，小贤去水产市场采购大闸蟹，极品母蟹每只 150 元，至尊公蟹每只 75 元. 商家在开展促销活动期间, 向客户提供以下两种优惠方案. 方案 (1)：极品母蟹和至尊公蟹都按定价的 $80 \%$ 付款; 方案(2): 买一只极品母蟹送一只至尊公蟹. 现小贤要购买极品母蟹 30 只, 至尊公蟹 $x(x>30)$ 只.

（1）按方案(1)购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款 \$ \qquad \$ (用含 $\mathrm{x}$ 的式子表示) 元;按方案(2)购买极品母蟹和至尊公蟹共需付款 \$ \qquad \$ （用含 $\mathrm{x}$ 的式子表示）元.

（2）当 $x=40$ 时, 通过计算说明此时按哪种方案购买较合算.

（3）若两种优惠方案可同时使用, 当 $x=40$ 时, 你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案, 并说明理由.
选项：
答案：(1) $(3600+60 x) ;(2250+75 x)$

(2) 当 $x=40$ 时，

方案(1)购买, 需付款: $3600+60 x=3600+60 \times 40=6000$ (元);

方案(2)购买. 需付款: $2250+75 x=2250+75 \times 40=5250$ (元);

按照方案 (2)购买较为合算.

（3）先按方案(2)购买 30 只极品母蟹, 再按方案(1)购买 10 只至尊公蟹, 需付款: $30 \times 150+75 \times 10 \times 80 \%=5100($ 元 $)$,

$\because 5100<5250<6000$

$\therefore$ 先按方案 (2)购买 30 只极品母蟹, 再按方案 (1)购买 10 只至尊公蟹较为合算.
解析：(1) 按方案 (1)购买, 需付款： $(150 \times 30+75 \mathrm{x}) \times 80 \%=3600+60 \mathrm{x}$ (元)

按方案(2)购买, 需付款: $150 \times 30+75(x-30)=2250+75 x$ (元);

故答案是: $(3600+60 x) ;(2250+75 x)$;
题目（七年级 · 算术）：已知方程 $3\left(x-\frac{1}{3}\right)=2 x+7$ 与关于 $\mathrm{x}$ 的方程 $3 \mathrm{a}-8=2$ ( $\left.\mathrm{x}+\mathrm{a}\right)-\mathrm{a}$ 的解相同.

(1) 求 $\mathrm{a}$ 的值;

(2) 若 $a 、 b$ 在数轴上对应的点在原点的两侧, 且到原点的距离相等, $c$ 是倒数等于本身的数,求 $(a+b-c)^{2022}$ 的值.
选项：
答案：(1) 解: $3\left(x-\frac{1}{3}\right)=2 x+7$,

去括号得: $3 x-1=2 x+7$,

移项合并得: $x=8$,

把 $x=8$ 代入 $3 a-8=2(x+a)-a$ 中得: $3 a-8=2(8+a)-a$,

$\mathrm{a}=12$;

(2) 解: 由题意得: $b=-12, c= \pm 1$,

$\therefore(a+b-c)^{2022}=(0 \pm 1)^{2022}=1$.
解析：(1) 解: $3\left(x-\frac{1}{3}\right)=2 x+7$,

去括号得: $3 x-1=2 x+7$,

移项合并得: $x=8$,

把 $x=8$ 代入 $3 a-8=2(x+a)-a$ 中得: $3 a-8=2(8+a)-a$,

$\mathrm{a}=12$;

(2) 解: 由题意得: $b=-12, c= \pm 1$,

$\therefore(a+b-c)^{2022}=(0 \pm 1)^{2022}=1$.
题目（七年级 · 算术）：我们规定, 若关于 $x$ 的一元一次方程 $\mathrm{ax}=\mathrm{b}$ 的解为 $\mathrm{x}=\mathrm{b}-\mathrm{a}$, 则称该方程为 “定值方程”,例如: $2 \mathrm{x}=4$的解为 $x=2=4-2$, 则该方程 $2 x=4$ 是“定值方程”. 请根据上述规定解答下列问题:

(1) 判断方程 $4 x=6$ (回答“是”或“不是”) “定值方程”;

（2）若 $\mathrm{a}=3$, 有符合要求的“定值方程”吗? 若有, 求 $\mathrm{b}$ 的值; 若没有, 请说明理由.

(3) 若关于 $x$ 的一元一次方程 $2 x=m n+m$ 和 $-2 x=m n+n$ 都是“定值方程”, 求代数式 $5-3 m+3 n$ 的值.
选项：
答案：(1) 不是

(2) 解: $\because a=3$,

$\therefore \mathrm{x}=\mathrm{b}-3$,

$\therefore \mathrm{b}-3=\frac{b}{3}$,

$\therefore \mathrm{b}=\frac{9}{2}$,

即 $\mathrm{b}=\frac{9}{2}$ 时有符合要求的“定值方程”;

(3) 解: 由题可知, $m n+m=4(1)$,

设 $-2 x=c$, 则 $x=-\frac{c}{2}=c+2$, 解得: $c=-\frac{4}{3}$,

$\therefore m n+n=-\frac{4}{3}(2)$,

(1)-(2)得: $m-n=\frac{16}{3}$,

$\therefore 5-3 \mathrm{~m}+3 \mathrm{n}=5-3(m-n)=5-3 \times \frac{16}{3}=-11$.
解析：(1) $\because 4 \mathrm{x}=6$,

$\therefore x=\frac{3}{2}$,

$\because 6-4=2, \quad 2 \neq \frac{3}{2}$,

$\therefore 4 \mathrm{x}=6$ 不是定值方程;

故答案为: 不是;
题目（七年级 · 算术）：前进服装厂生产一种夹克和 $T$ 恤，夹克每件定价 200 元， $T$ 恤每件定价 100 元. 厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案:

(1) 买一件夹克送一件 $T$ 恤;

(2)夹克和 $T$ 恤都按定价的 $80 \%$ 付款.

现某客户要到该服装厂购买夹克 30 件, $T$ 恤 $x$ 件 $(x>30)$.

(1) 若该客户按方案(1)购买, 夹克和 $T$ 恤共需付款元（用含 $x$ 的式子表示); 若该客户按方案(2)购买, 夹克和 $T$ 恤共需付款

(2) 若 $x=40$, 按方案(1)购买夹克和 $T$ 恤共需付款多少元? 按方案 (2)购买夹克和 $T$ 恤共需付款多少元, 哪一种方案合算?

（3）若两种优惠方案可同时使用, 当 $x=40$ 时, 你能给出一种更为省钱的购买方案吗? 试写出你的购买方案, 并说明理由.
选项：
答案：(1) $(100 x+3000) ;(80 x+4800)$

(2) 当 $x=40$ 时, 按方案 (1)购买所需费用: $100 x+3000=7000$ (元);

当 $x=40$ 时, 按方案 (2)购买所需费用: $80 x+4800=8000$ (元),

因为 $7000<8000$,

所以按方案 (1) 购买较为合算;

（3）先按方案(1)购买夹克 30 件, 再按方案(2)购买 $\mathrm{T}$ 恤 10 件更为省钱. 理由如下:先按方案①购买夹克 30 件所需费用 $=6000$ (元),

按方案(2)购买 T 恤 10 件的费用 $=100 \times 80 \% \times 10=800$ (元),

所以总费用为 $6000+800=6800$ (元), 小于 7000 元,

所以此种购买方案更为省钱.
解析：(1) 该客户按方案 (1)购买,

夹克需付款 $30 \times 200=6000($ 元 $)$,

$\mathrm{T}$ 恤需付款 $100(x-30)$ 元,

夹克和 T 恤共需付款 $(100 x+3000)$ 元;

若该客户按方案 购买,

夹克需付款 $30 \times 200 \times 80 \%=4800($ 元 $)$,

$\mathrm{T}$ 恤需付款 $100 \times 80 \% x=80 x$ (元),

夹克和 T 恤共需付款 $(80 x+4800)$ 元;

故答案为: $(100 x+3000) ;(80 x+4800)$;
题目（七年级 · 度量几何学）：已知如图, 在数轴上有 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点, 所表示的数分别为 $-10,-4$, 点 $\mathrm{A}$ 以每秒 5 个单位长度的速度向右运动, 同时点 $\mathrm{B}$ 以每秒 3 个单位长度的速度也向右运动, 如果设运动时间为 $\mathrm{t}$ 秒, 解答下列问题:



(1) 运动前线段 $\mathrm{AB}$ 的长为 \$ \qquad \$ ；运动 1 秒后线段 $\mathrm{AB}$ 的长为 \$ \qquad \$ ;

(2) 运动 $\mathrm{t}$ 秒后, 点 $\mathrm{A}$, 点 $\mathrm{B}$ 在数轴上表示的数分别为 \$ \qquad \$和 \$ \qquad \$ ; (用含 $\mathrm{t}$ 的代数式表示)

(3) 求 $t$ 为何值时, 点 $\mathrm{A}$ 与点 $\mathrm{B}$ 恰好重合;

(4) 在上述运动的过程中, 是否存在某一时刻 $t$, 使得线段 $A B$ 的长为 5 , 若存在, 求 $t$ 的值; 若不存在, 请说明理由.
选项：
答案：(1) $6 ; 4$

(2) $5 t-10 ; 3 t-4$

(3) 解: 根据题意得: $5 t-10=3 t-4$,

解得: $t=3$;

答: 当 $t=3$ 时, 点 $\mathrm{A}$ 与点 $\mathrm{B}$ 恰好重合.

(4) 解: 存在.

当 $\mathrm{A}$ 没追上 $\mathrm{B}$ 时, 可得由题意:

$(3 t-4)-(5 t-10)=5$

解得: $t=\frac{1}{2}$;

当 $A, B$ 错开后, 可得 $(5 t-10)-(3 t-4)=5$,

解得: $t=\frac{11}{2}$,

$\therefore \mathrm{t}$ 的值为 $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{11}{2}$ 秒时, 线段 $\mathrm{AB}$ 的长为 5 .
解析：(1) 解：运动前线段 $\mathrm{AB}$ 的长为 $(-4)-(-10)=6$; 运动 1 秒后线段 $\mathrm{AB}$ 的长为 $(-$ 1) - $(-5)=4$;

故答案为: $6 ; 4$.

(2)

解: 运动 $\mathrm{t}$ 秒后, 用 $\mathrm{t}$ 表示 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 分别为 $5 \mathrm{t}-10,3 \mathrm{t}-4$;

故答案为: $5 t-10,3 t-4$.
题目（七年级 · 度量几何学）：如图, 在数轴上有 $A 、 B 、 C$ 这三个点.



回答:
(1) $A$ 、
$B$ 、
$C$ 这三个点表示的数各是多少?

$A:$ \$ \qquad \$ ; $B$ : \$ \qquad \$ ; $\quad C$ : \$ \qquad \$ ;

(2) $A 、 B$ 两点间的距离是 \$ \qquad \$ , $A 、 C$ 两点间的距离是 \$ \qquad \$ ;

(3) 应怎样移动点 $B$ 的位置, 使点 $B$ 到点 $A$ 和点 $C$ 的距离相等?
选项：
答案：(1) $-6 ; 1 ; 4$

(2) $7 ; 10$

(3) 解: $\because A C=10$,

$\therefore$ 点 $B$ 到点 $\mathrm{A}$ 和点 $C$ 的距离都是 5,

此时将点 $B$ 向左移动 2 个单位即可.
解析：(1) 根据图示, 知 A、 $B 、 C$ 这三个点表示的数各是 $-6 、 1 、 4$,故答案为 $-6 、 1 、 4 ;$

(2) 根据图示知 $A B=|-6-1|=7 ; A C=|-6-4|=10$,故答案为: 7 ; 10 ;
题目（七年级 · 度量几何学）：数轴上两点 $A 、 B, A$ 在 $B$ 左边, 原点 $O$ 是线段 $A B$ 上的一点, 已知 $A B=4$, 且 $O B=3 O A$. $A$ 、 $B$ 对应的数分别是 $a 、 b$, 点 $P$ 为数轴上的一动点, 其对应的数为 $x$.



(1) $\mathrm{a}=$ \$ \qquad \$ , $b=$ \$ \qquad \$ , 并在数轴上面标出 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 两点;

(2) 若 $\mathrm{PA}=2 \mathrm{~PB}$, 求 $\mathrm{x}$ 的值;

(3) 若点 $\mathrm{P}$ 以每秒 2 个单位长度的速度从原点 $\mathrm{O}$ 向右运动, 同时点 $\mathrm{A}$ 以每秒 1 个单位长度的速度向左运动, 点 $\mathrm{B}$ 以每秒 3 个单位长度的速度向右运动, 设运动时间为 $\mathrm{t}$ 秒, 请问在运动过程中, 3PB-PA 的值是否随着时间 $\mathrm{t}$ 的变化而改变? 若变化, 请说明理由若不变, 请求其值.
选项：
答案：) $-1 ; 3$

$\because \mathrm{AB}=4$, 且 $\mathrm{OB}=3 \mathrm{OA}, \mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 对应的数分别是 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b}, \quad \therefore a=-1, b=3$故答案为: $-1,3$

<ImageHere>

(2) 解: (1) 当 $P$ 点在 $A$ 点左侧时, $P A$

(2)当 $P$ 点位于 $A 、 B$ 两点之间

$$
\begin{gathered}
\because P A=2 P B \\
\therefore x+1=2(3-x)
\end{gathered}
$$

解得 $x=\frac{5}{3}$

(3) 当 $P$ 点在 $B$ 点右侧时

$$
\begin{gathered}
\because P A=2 P B \\
\therefore x+1=2(x-3)
\end{gathered}
$$

解得 $x=7$

故 $\mathrm{x}$ 的值为解得 $\frac{5}{3}$ 或 7 .

(3) 解: $\mathrm{t}$ 秒后, $\mathrm{A}$ 点的值为 $(-1-t), \mathrm{P}$ 点的值为 $2 \mathrm{t}, \mathrm{B}$ 点的值为 $(3+3 t)$

$$
\begin{gathered}
\therefore 3(3+3 t-2 t)-[2 t-(-1-t)] \\
=9-3 t-(2 t+1+t) \\
=9+3 t-3 t-1 \\
=8
\end{gathered}
$$

所以 3PB-PA 的值为定值, 不随着时间 $\mathrm{t}$ 的变化而改变.
解析：) $-1 ; 3$

$\because \mathrm{AB}=4$, 且 $\mathrm{OB}=3 \mathrm{OA}, \mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 对应的数分别是 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b}, \quad \therefore a=-1, b=3$故答案为: $-1,3$



(2) 解: (1) 当 $P$ 点在 $A$ 点左侧时, $P A$

(2)当 $P$ 点位于 $A 、 B$ 两点之间

$$
\begin{gathered}
\because P A=2 P B \\
\therefore x+1=2(3-x)
\end{gathered}
$$

解得 $x=\frac{5}{3}$

(3) 当 $P$ 点在 $B$ 点右侧时

$$
\begin{gathered}
\because P A=2 P B \\
\therefore x+1=2(x-3)
\end{gathered}
$$

解得 $x=7$

故 $\mathrm{x}$ 的值为解得 $\frac{5}{3}$ 或 7 .

(3) 解: $\mathrm{t}$ 秒后, $\mathrm{A}$ 点的值为 $(-1-t), \mathrm{P}$ 点的值为 $2 \mathrm{t}, \mathrm{B}$ 点的值为 $(3+3 t)$

$$
\begin{gathered}
\therefore 3(3+3 t-2 t)-[2 t-(-1-t)] \\
=9-3 t-(2 t+1+t) \\
=9+3 t-3 t-1 \\
=8
\end{gathered}
$$

所以 3PB-PA 的值为定值, 不随着时间 $\mathrm{t}$ 的变化而改变.
题目（七年级 · 度量几何学）：(本题 6 分) 如图, $\triangle A B C$ 中, $\angle B C A=90^{\circ}, \angle A=30^{\circ}$, 以 $A B$ 为直径画 $\odot O$,延长 $A B$ 到 $D$, 使 $B D$ 等于 $\odot O$ 的半径. 求证: $C D$ 是 $\odot O$ 的切线.


选项：
答案：略
解析：略
题目（七年级 · 度量几何学）：(本题 8 分) 阅读材料: 如图 (1), $\triangle A B C$ 的周长为 $L$, 内切圆 $O$ 的半径为 $r$, 连结 $O A$, $O B, \triangle A B C$ 被划分为三个小三角形, 用 $\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{ABC}}$ 表示 $\triangle A B C$ 的面积.

$\because S_{\triangle A B C}=S_{\triangle O A B}+S_{\triangle O B C}+S_{\triangle O C A}$

$$
\text { 又 } \because S_{\triangle O A B}=\frac{1}{2} A B \cdot r, S_{\triangle O B C}=\frac{1}{2} B C \cdot r, S_{\triangle O C A}
$$

$=\frac{1}{2} A C \cdot \mathrm{r}$

$\therefore S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} A B \cdot r+\frac{1}{2} B C \cdot r+\frac{1}{2} C A \cdot r=\frac{1}{2} L \cdot r($ 可作为三角形内切圆半径公式 $)$

(1) 理解与应用: 利用公式计算边长分为 $5,12,13$ 的三角形内切圆半径;

（2）类比与推理：若四边形 $A B C D$ 存在内切圆（与各边都相切的圆，如图 (2) 且面积为 $S$, 各边长分别为 $a, b, c, d$, 试推导四边形的内切圆半径公式;

(3) 拓展与延伸: 若一个 $n$ 边形 $(n$ 为不小于 3 的整数) 存在内切圆, 且面积为 $S$,各边长分别为 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots a_{n}$, 合理猜想其内切圆半径公式 (不需说明理由).



(1)



$(2)$
选项：
答案：(1) 2(2) ~ s=\frac{1}{2} \mathrm{~L} \cdot \mathrm{r}(3) \mathrm{s}=\frac{1}{2} \mathrm{~L} \cdot \mathrm{r} \quad
解析：(1) 2(2) ~ s=\frac{1}{2} \mathrm{~L} \cdot \mathrm{r}(3) \mathrm{s}=\frac{1}{2} \mathrm{~L} \cdot \mathrm{r} \quad
题目（七年级 · 度量几何学）：对于数轴上的 $A, B, C$ 三点, 给出如下定义: 若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足 2 倍的数量关系, 则称该点是其它两个点的“联盟点”。

例如数轴上点 A,B,C 所表示的数分别为 $1,3,4$, 此时点 B 是点 $A, C$ 的“联盟点”.



(1) 若点 $\mathrm{A}$ 表示数 -2 ,点 $\mathrm{B}$ 表示的数 2 , 下列各数 $-\frac{2}{3}, 0,4,6$ 所对应的点分别 $\mathrm{C}_{1}, \mathrm{C}_{2}, \mathrm{C}_{3}, \mathrm{C}_{4}$,其中是点 $A, B$ 的“联盟点”的是

(2) 点 $A$ 表示数 -10, 点 $B$ 表示的数 $30, P$ 在为数轴上一个动点:

(1) 若点 $P$ 在点 $B$ 的左侧, 且点 $P$ 是点 $A, B$ 的“联盟点”, 求此时点 $P$ 表示的数;
选项：
答案：(1) $C_{1}, C_{4}$

(2) (1) 设点 $P$ 表示的数为 $x$,

<ImageHere>

如图, 当点 $P_{1}$ 在点 $\mathrm{A}$ 左侧时, $P_{1} B=2 P_{1} A$,

则 $30-x=2(-10-x)$,

解得 $x=-50$.

所以点 $P_{1}$ 表示的数为 -50 ;

如图, 当点 $P_{2}$ 在线段 $\mathrm{AB}$ 上且 $P_{2} B=2 P_{2} A$ 时,

<ImageHere>

则 $30-x=2(x+10)$,

解得 $x=\frac{10}{3}$.

所以点 $P_{2}$ 表示的数为 $\frac{10}{3} ;$

如图, 当点 $P_{3}$ 在线段 $\mathrm{AB}$ 上且 $P_{3} A=2 P_{3} B$ 时,

<ImageHere>

则 $\mathrm{x}+10=2(30-\mathrm{x})$,
解得 $x=\frac{50}{3}$.

所以点 $P_{3}$ 表示的数为 $\frac{50}{3}$.

综上所述, 当点 $\mathrm{P}$ 在点 $\mathrm{B}$ 的左侧时, 点 $\mathrm{P}$ 表示的数为 -50 或 $\frac{10}{3}$ 或 $\frac{50}{3}$.

(2)若点 $P$ 在点 $B$ 的右侧, 点 $P, A, B$ 中, 有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”, 写出此时点 $P$ 表示的数 \$ \qquad \$
50 或 70 或 110
解析：(1) $C_{1}, C_{4}$

(2) (1) 设点 $P$ 表示的数为 $x$,



如图, 当点 $P_{1}$ 在点 $\mathrm{A}$ 左侧时, $P_{1} B=2 P_{1} A$,

则 $30-x=2(-10-x)$,

解得 $x=-50$.

所以点 $P_{1}$ 表示的数为 -50 ;

如图, 当点 $P_{2}$ 在线段 $\mathrm{AB}$ 上且 $P_{2} B=2 P_{2} A$ 时,



则 $30-x=2(x+10)$,

解得 $x=\frac{10}{3}$.

所以点 $P_{2}$ 表示的数为 $\frac{10}{3} ;$

如图, 当点 $P_{3}$ 在线段 $\mathrm{AB}$ 上且 $P_{3} A=2 P_{3} B$ 时,



则 $\mathrm{x}+10=2(30-\mathrm{x})$,
解得 $x=\frac{50}{3}$.

所以点 $P_{3}$ 表示的数为 $\frac{50}{3}$.

综上所述, 当点 $\mathrm{P}$ 在点 $\mathrm{B}$ 的左侧时, 点 $\mathrm{P}$ 表示的数为 -50 或 $\frac{10}{3}$ 或 $\frac{50}{3}$.

(2)若点 $P$ 在点 $B$ 的右侧, 点 $P, A, B$ 中, 有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”, 写出此时点 $P$ 表示的数 \$ \qquad \$
50 或 70 或 110
题目（七年级 · 度量几何学）：如图, 已知 $A, B, C$ 是数轴上的三点, 点 $\mathrm{C}$ 表示的数是 $6, \quad B C=4, A B=12$.



(1) 写出数轴上点 $A$, 点 $B$ 表示的数;

(2) 点 $\mathrm{M}$ 为线段 $A B$ 的中点, $C N=3$, 求 $M N$ 的长;

(3) 动点 $P, Q$ 分别从 $A, C$ 同时出发, 点 $\mathrm{P}$ 以每秒 6 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动, 点 $\mathrm{Q}$以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动, 求 $\mathrm{t}$ 为何值时, 原点 $\mathrm{O}$ 恰好为线段 $P Q$ 的中点.
选项：
答案：) 解: $\because$ 点 $\mathrm{C}$ 表示的数是 $6, B C=4$

$\therefore$ 点 $\mathrm{B}$ 表示的数为 $6-4=2 \because A B=12 \therefore$ 点 $\mathrm{A}$ 表示的数为 $2-12=-10$

$\therefore \mathrm{A}$ 表示的数是-10, B 表示的数是 2 .

(2) 解: $\because A B=12, M$ 是 $A B$ 的中点.
$\because \mathrm{CN}=3$

当点 $N$ 在点 $C$ 的左侧时, $B N=B C-C N=1$, 此时 $M N=B M+B N=6+1=7$

当点 $N$ 在点 $C$ 的右侧时, $B N=B C+C N=7$, 此时 $M N=B M+B N=6+9=13$

综上所述, MN 的值为 7 或 13

(3) 解: $\because \mathrm{A}$ 表示的数是 -10 , 即 $\mathrm{OA}=10$

$\mathrm{C}$ 表示的数是 6, 即 $\mathrm{OC}=6$

又 $\because$ 点 $P 、$ 点 $Q$ 同时出发, 且运动的时间为 $t$

$\therefore \mathrm{AP}=6 \mathrm{t}, \mathrm{CQ}=3 \mathrm{t}$,

$\therefore \mathrm{OP}=\mathrm{OA}-\mathrm{AP}=10-6 \mathrm{t}, \mathrm{OQ}=\mathrm{OC}-\mathrm{CQ}=6-3 \mathrm{t}$

当原点 $O$ 为 $P Q$ 的中点时, $O P=O Q$

$\therefore 10-6 \mathrm{t}=6-3 \mathrm{t}$.

解得 $\mathrm{t}=\frac{4}{3}$

$\therefore$ 当 $\mathrm{t}=\frac{4}{3}$ 时, 原点 $\mathrm{O}$ 为 $\mathrm{PQ}$ 的中点.
解析：) 解: $\because$ 点 $\mathrm{C}$ 表示的数是 $6, B C=4$

$\therefore$ 点 $\mathrm{B}$ 表示的数为 $6-4=2 \because A B=12 \therefore$ 点 $\mathrm{A}$ 表示的数为 $2-12=-10$

$\therefore \mathrm{A}$ 表示的数是-10, B 表示的数是 2 .

(2) 解: $\because A B=12, M$ 是 $A B$ 的中点.
$\because \mathrm{CN}=3$

当点 $N$ 在点 $C$ 的左侧时, $B N=B C-C N=1$, 此时 $M N=B M+B N=6+1=7$

当点 $N$ 在点 $C$ 的右侧时, $B N=B C+C N=7$, 此时 $M N=B M+B N=6+9=13$

综上所述, MN 的值为 7 或 13

(3) 解: $\because \mathrm{A}$ 表示的数是 -10 , 即 $\mathrm{OA}=10$

$\mathrm{C}$ 表示的数是 6, 即 $\mathrm{OC}=6$

又 $\because$ 点 $P 、$ 点 $Q$ 同时出发, 且运动的时间为 $t$

$\therefore \mathrm{AP}=6 \mathrm{t}, \mathrm{CQ}=3 \mathrm{t}$,

$\therefore \mathrm{OP}=\mathrm{OA}-\mathrm{AP}=10-6 \mathrm{t}, \mathrm{OQ}=\mathrm{OC}-\mathrm{CQ}=6-3 \mathrm{t}$

当原点 $O$ 为 $P Q$ 的中点时, $O P=O Q$

$\therefore 10-6 \mathrm{t}=6-3 \mathrm{t}$.

解得 $\mathrm{t}=\frac{4}{3}$

$\therefore$ 当 $\mathrm{t}=\frac{4}{3}$ 时, 原点 $\mathrm{O}$ 为 $\mathrm{PQ}$ 的中点.
题目（七年级 · 度量几何学）：如图, 半径为 1 个单位的圆片上有一点 $A$ 与数轴上的原点重合, $A B$ 是圆片的直径. (注: 结果保留 $\pi)$



(1) 把圆片沿数轴向右滚动半周, 点 $B$ 到达数轴上点 $C$ 的位置, 点 $C$ 表示的数是数 (填“无理”或“有理”), 这个数是

（2）把圆片沿数轴滚动 2 周, 点 $A$ 到达数轴上点 $D$ 的位置, 点 $D$ 表示的数是

(3) 圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数, 圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数, 依次运动情况记录如下: $+2,-1,+3,-4,-3$.

(1) 第 \$ \qquad \$次滚动后, $A$ 点距离原点最近, 第 \$ \qquad \$次滚动后, $A$ 点距离原点最远.

(2) 当圆片结束运动时, $A$ 点运动的路程共有 \$ \qquad \$ , 此时点 $A$ 所表示的数是 . \$ \qquad \$
选项：
答案：(1) 无理； $\pi$

(2) $4 \pi$ 或 $-4 \pi$

(3) $4 ; 3 ; 26 \pi ;-6 \pi$
解析：(1) 把圆片沿数轴向左滚动半周, 点 $\mathrm{B}$ 到达数轴上点 $\mathrm{C}$ 的位置, 点 $\mathrm{C}$ 表示的数是无理数, 这个数是 $\pi$;

故答案为: 无理, $\pi$; (2) 把圆片沿数轴滚动 2 周, 点 A 到达数轴上点 D 的位置, 点 D 表示的数是 $4 \pi$ 或 $-4 \pi$

故答案为: $4 \pi$ 或 $-4 \pi$; (3) (1) $\because$ 圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数, 圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数, 依次运动情况记录如下: $+2,-1,+3,-4,-3$,

$\therefore$ 第 4 次滚动后, $\mathrm{A}$ 点距离原点最近, 第 3 次滚动后, $\mathrm{A}$ 点距离原点最远,故答案为: 4,3 ;

(2) $\because|+2|+|-1|+|+3|+|-4|+|-3|=13$,

$\therefore 13 \times 2 \pi \times 1=26 \pi$,

$\therefore \mathrm{A}$ 点运动的路程共有 $26 \pi ;$

$\because(+2)+(-1)+(+3)+(-4)+(-3)=-3$,

$(-3) \times 2 \pi=-6 \pi$,

$\therefore$ 此时点 A 所表示的数是: $-6 \pi$,

故答案为: $26 \pi,-6 \pi$.
题目（七年级 · 度量几何学）：阅读下面的文字, 解答问题

大家知道, $\sqrt{2}$ 是无理数, 而无理数是无限不循环小数, 因此 $\sqrt{2}$ 的小数部分我们不可能全部地写出来, 于是小明用 $\sqrt{2}-1$ 来表示 $\sqrt{2}$ 的小数部分, 你同意小明的表示方法吗?

事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 $\sqrt{2}$ 的整数部分是 1 , 将这个数减去其整数部分, 差就是小数部分.

又例如因为 $\sqrt{4}<\sqrt{7}<\sqrt{9}$, 即 $2<\sqrt{7}<3$, 所以行的整数部分为 2 , 小数部分为 $\sqrt{7}-2$.

请解答

(1) $\sqrt{83}$ 的整数部分为 \$ \qquad \$ ; 小数部分为 \$ \qquad \$ ;

(2) 有人说, 如果 $\sqrt{83}$ 的整数部分为 $x, \sqrt{97}$ 的小数部分记为 $\mathrm{y}$, 则 $\mathrm{x}+\mathrm{y}=\sqrt{97}$, 你认为对吗?为什么?

(3) 如果 $\sqrt{35}$ 的整数部分为 $a, \sqrt{35}$ 的小数部分为 $\mathrm{b}$, 求 $\mathrm{a}-2 \mathrm{~b}+2 \sqrt{35}$ 的值.
选项：
答案：(1) $9 ; \sqrt{83}-9$

(2) 解: 正确;

理由: $\because \sqrt{83}$ 的整数部分为 $\mathrm{x}, \sqrt{97}$ 的小数部分记为 $\mathrm{y}$,

$\therefore \mathrm{x}=9, \mathrm{y}=\sqrt{97}-9$,

则 $\mathrm{x}+\mathrm{y}=\sqrt{97}$

(3) 解: $\because \sqrt{35}$ 的整数部分为 $\mathrm{a}, \sqrt{35}$ 的小数部分为 $\mathrm{b}$,

$\therefore \mathrm{a}=5, \mathrm{~b}=\sqrt{35}-5$

$\therefore \mathrm{a}-2 \mathrm{~b}+2 \sqrt{35}=5-2(\sqrt{35}-5)+2 \sqrt{35}=15$.
解析：(1) $\because 9<\sqrt{83}<10$,

$\therefore \sqrt{83}$ 的整数部分为 9 ;

小数部分为: $\sqrt{83}-9$;

故答案为: $9 ; \sqrt{83}-9$
题目（七年级 · 度量几何学）：如果一个正方形 $\mathrm{ABCD}$ 的面积为 69 .

(1) 求正方形 $\mathrm{ABCD}$ 的边长 $\mathrm{a}$.

(2) 正方形 $\mathrm{ABCD}$ 的边长满足 $\mathrm{m}<\mathrm{a}<\mathrm{n}, \mathrm{m}, \mathrm{n}$ 表示两个连续正整数, 求 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 的值.

(3) $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 在满足(2)的条件下, 求 $\sqrt{3} \sqrt{-m}-\sqrt{n}$ 的值.
选项：
答案：(1) 解：由题意可知 $\mathrm{a}^{2}=69(a>0)$,解得 $a=\sqrt{69}$

(2) $\because \mathrm{a}^{2}=69$

$64<69<91$

$\sqrt{64}<\sqrt{69}<\sqrt{81}$
即 $8<\sqrt{69}<9$

$\mathrm{m}=8, \mathrm{n}=9$

(3)

$\sqrt[3]{-8}+\sqrt{9}$

$=-2-3$

$=-5$
解析：(1) 解：由题意可知 $\mathrm{a}^{2}=69(a>0)$,解得 $a=\sqrt{69}$

(2) $\because \mathrm{a}^{2}=69$

$64<69<91$

$\sqrt{64}<\sqrt{69}<\sqrt{81}$
即 $8<\sqrt{69}<9$

$\mathrm{m}=8, \mathrm{n}=9$

(3)

$\sqrt[3]{-8}+\sqrt{9}$

$=-2-3$

$=-5$
题目（七年级 · 度量几何学）：阅读下面文字，然后回答问题.

给出定义: 一个实数的整数部分是不大于这个数的最大数, 这个实数的小数部分为这个数与它的整数部分的差的绝对值. 例如: 2.4 的整数部分为 2 , 小数部分为 $2.4-2=0.4 ; \sqrt{2}$ 的整数部分为 1 , 小数部分可用 $\sqrt{2}-1$ 表示; 再如, -2.6 的整数部分为 -3 , 小数部分为 $|-2.6-(-3)|=0.4$. 由此我们得到一个真命题: 如果 $\sqrt{2}=x+y$, 其中 $x$ 是整数, 且 $0<y<1$, 那么 $x=1, y=\sqrt{2}-1$.

（1）如果 $\sqrt{7}=a+b$, 其中 $a$ 是整数, 且 $0<b<1$, 那么 $a=$ \$ \qquad \$ , $b=$ \$ \qquad \$ $;$

（2）如果 $-\sqrt{7}=c+d$ ，其中 $c$ 是整数，且 $0<d<1$ ，那么 $c=$ \$ \qquad \$ , $d=$

（3）已知 $3+\sqrt{7}=m+n$, 其中 $m$ 是整数, 且 $0<n<1$, 求 $|m-n|$ 的值;
选项：
答案：(1) $2 ; \sqrt{7}-2$

(2) $-3 ; 3-\sqrt{7}$

(3) 解: $\because 5<3+\sqrt{7}<6$,

$\therefore \mathrm{m}=5, \mathrm{n}=3+\sqrt{7}-5=\sqrt{7}-2$,

$\therefore|m-n|$

$=|5-(\sqrt{7}-2)|$

$=|7-\sqrt{7}|$

$=7-\sqrt{7}$.
解析：) $\because 2^{2}<7<3^{2}$,

$\therefore 2<\sqrt{7}<3$,

$\therefore \mathrm{a}=2, \mathrm{~b}=\sqrt{7}-2$,

故答案为: $2, \sqrt{7}-2$.

(2) $\because-3<-\sqrt{7}<-2$,

$\therefore-\sqrt{7}$ 的整数部分为 -3 , 小数部分为: $-\sqrt{7}-(-3)=3-\sqrt{7}$,

即 $\mathrm{c}=-3, \mathrm{~d}=3-\sqrt{7}$.

故答案为: $-3,3-\sqrt{7}$.