eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高三 · 计数）：（12 分）某电商平台联合手机厂家共同推出“分期购”服务，付款方式分为四个档次: 1 期、 2 期、 3 期和 4 期. 记随机变量 $x_{1} 、 x_{2}$ 分别表示顾客购买 $H$ 型手机和 $V$ 型手机的分期付款期数, 根据以往销售数据统计, $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 的分布列如下表所示:

| $x_{1}$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ |
选项：
答案：1) 0.04 ; (2) 见解析; (3) $D\left(x_{1}ight)<D\left(x_{2}ight)$.
解析：（1）某位顾客购买 $H$ 型和 $V$ 手机是独立事件,则这位顾客两种手机都选择分 4 期付款的概率为 $0.1 	imes 0.4=0.04$（2） $X$ 的可能取值为 $600,650,700,750,800,850,900$,$P(X=600)=0.4 	imes 0.4=0.16$,$P(X=650)=\mathrm{C}_{2}^{1} 	imes 0.4 	imes 0.1=0.08$,$P(X=700)=0.1 	imes 0.1+\mathrm{C}_{2}^{1} 	imes 0.1 	imes 0.4=0.09$,$P(X=750)=\mathrm{C}_{2}^{1} 	imes 0.4 	imes 0.4+\mathrm{C}_{2}^{1} 	imes 0.1 	imes 0.1=0.34$ $P(X=800)=0.1 	imes 0.1+\mathrm{C}_{2}^{1} 	imes 0.1 	imes 0.4=0.09$$P(X=850)=\mathrm{C}_{2}^{1} 	imes 0.1 	imes 0.4=0.08$,$P(X=900)=0.4 	imes 0.4=0.16$,则 $X$ 的分布列为| $X$ | 600 | 650 | 700 | 750 | 800 | 850 | 900 || :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- || $P$ | 0.16 | 0.08 | 0.09 | 0.34 | 0.09 | 0.08 | 0.16 || :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | (3) $D\left(x_{1}ight)<D\left(x_{2}ight)$.
题目（高三 · 计数）：11. 如何把一条长为 $m$ 的绳子截成 3 段, 各围成一个正方形, 使这 3 个正方形的面积和最小?
选项：
答案：答案:解:设这 3 段的长度分别为 $x, y, z$, 则 $x+y+z=m$, 且 3 个正方形的面积和

$S=\left(\frac{3}{4}\right)^{2}+\left(\frac{y}{4}\right)^{2}+\left(\frac{z}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)$.

因为 $\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)\left(1^{2}+1^{2}+1^{2}\right) \geq(x+y+z)^{2}=m^{2}$,

等号当且仅当 $x=y=z=\frac{m}{3}$ 时成立, 所以 $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ 有最小值 $\frac{m^{2}}{3}$, 从而 $S$ 有最小值 $\frac{m^{2}}{48}$.

把绳子三等分后, 这 3 段所围成的 3 个正方形的面积和最小.
解析：: 分析: 本题主要考查了二维形式的柯西不等式, 解决问题的关键是根据所给问题求得面积的表达式，如何根据二维形式的柯西不等式变换计算求得其最小值即可.
题目（高三 · 计数）：前几年随着网购的普及,线下零售遭遇挑战,但随着新零售模式的不断出现,零售行业近几年呈现增长趋势,下表为 2016 2019 年百货零售业的销售额(单位:亿元,数据经过处理, $1 \sim 4$ 分别对应 2016 2019 年)

| 年份代码 $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 销售额 $y$ | 95 | 165 | 230 | 310 |

(1)由上表数据可知,可用线性回归模型拟合 ${ }^{y}$ 与 $^{x}$ 的关系, 请用相关系数加以说明;

(2)建立 ${ }^{y}$ 关于 ${ }^{x}$ 的回归方程,并预测 2020 年我国百货零售业的销售额;

(3)从 2016 2019 年这 4 年的百货零售业销售额及 2020 年预测销售额这 5 个数据中
任取 2 个数据, 求这 2 个数据之差的绝对值大于 200 亿元的概率.

参考数据: $\sum_{i=1}^{+} y_{i}=800, \sum_{i=1}^{+} x_{i} y_{i}=2355, \sqrt{\sum_{i=1}^{+}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}} \approx
选项：
答案：(1)由表中的数据和参考数据得$$egin{aligned}& ar{x}=2.5, ar{y}=200, \sum_{i=1}^{1}\left(x_{i}-ar{x}ight)^{2}=5, \sqrt{\sum_{i=1}^{+}\left(y_{i}-ar{y}ight)^{2}} \approx 158.9 \& \sum_{i=1}^{+}\left(x_{i}-ar{x}ight)\left(y_{i}-ar{y}ight)=\sum_{i=1}^{+} x_{i} y_{i}-ar{x} \sum_{i=1}^{+} y_{i}=2355-2.5 	imes 800=355 \quad 	herefore \gamma \approx rac{355}{2.236 	imes 158.90} \approx 0.999\end{aligned}$$$y^{y}$ 与 $^{x}$ 的相关系数近似为 0.999 , 说明 ${ }^{y}$ 与 $^{x}$ 的线性相关程度相当高,从而可以用线性回归模型拟合 ${ }^{y}$ 与 $^{x}$ 的关系(2)由(1)得$$\hat{b}=rac{\sum_{i=1}^{+}\left(x_{i}-ar{x}ight)\left(y_{i}-ar{y}ight)}{\sum_{i=1}^{+}\left(x_{i}-ar{x}ight)^{2}}=rac{355}{5}=71 \quad \hat{a}=ar{y}-\hat{b} x=200-71 	imes 2.5=22.5$$$y_{	ext {关于 }}{ }^{x}$ 的回归方程 $\hat{y}=22.5+71 x$将 2020 年对应的 $x=5$ 代入回归方程得 $\hat{y}=22.5+71 	imes 5=377.5$故预测 2020 年我国百货零售业的销售额为 377.5 亿元.(3)从这 5 个数据中任取 2 个数据,结果有:(95,165),(95,230),(95,310),(95,377.5),(165,230),(165,310),(165,377.5),(230,310),(230,377.5),(310,377.5),共 10 个.所取 2 个数据之差的绝对值大于 200 亿元的结果有:(95,310),(95,377.5),(165,377.5), 共 3 个,所以所求概率为 $P=rac{3}{10}$.
题目（高三 · 计数）：为推行“新课堂”教学法, 某数学老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式, 在甲、乙两个平行班级进行教学实验, 为了比较教学效果. 期中考试后, 分别从两个班级中各随机抽取 20 名学生的成绩进行统计, 结果如下表: 记成绩不低于 70 分者为“成绩优良”.

| 分数 | $[50,59)$ | $[60,69)$ | $[70,79)$ | $[80,89)$ | $[90,100]$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 甲班频数 | 5 | 6 | 4 | 4 | 1 |
| 乙班频数 | 1 | 3 | 6 | 5 | 5 |

(1)由以上统计数据填写下面 $2 \times 2$ 列联表, 并判断能否在犯错误的概率不超过
选项：
答案：.Q $2.706<3.620<3.841, 	herefore$ 有 $90 \%$ 的把握认为团体的人均消费高于 200 元与团体带儿童有关.9.答案: (1)由统计数据得 $2 	imes 2$ 列联表:|  | 甲班 | 乙班 | 总计 || :--- | :--- | :--- | :--- || 成绩优良 | 9 | 16 | 25 || 成绩不优良 | 11 | 4 | 15 || 总计 | 20 | 20 | 40 |根据 $2 	imes 2$ 列联表中的数据, 得 $K^{2}$ 的观测值为 $k=rac{409 	imes 416 	imes 112}{25 	imes 15 	imes 20 	imes 20} \approx 5.227>5.024$,所以能在犯错概率不超过 0.025 的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”.(2)由表可知在 8 人中成绩不优良的人数为 $rac{15}{40} 	imes 8=3$, 则 $X$ 的可能取值为 $0,1,2,3$.$P(X=0)=rac{C_{11}^{3}}{C_{15}^{3}}=rac{33}{91} ; \quad P(X=1)=rac{C_{11}^{2} \cdot C_{4}^{1}}{C_{15}^{3}}=rac{44}{91} ;$$F(X=2)=rac{C_{11}^{1} C_{4}^{2}}{C_{15}^{3}}=rac{66}{455} ; P(X=3)=rac{C_{4}^{3}}{C_{15}^{3}}=rac{4}{455}$. 所以 $X$ 的分布列为:| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 || :--- | :--- | :--- | :--- | :--- || $P$ | $rac{33}{91}$ | $rac{44}{91}$ | $rac{66}{455}$ | $rac{4}{455}$ | 所以 $E(X)=0 	imes rac{33}{91}+1 	imes rac{44}{91}+2 	imes rac{66}{455}+3 	imes rac{4}{455}=rac{364}{455}$.
题目（高三 · 计数）：20. 下面是《数学 3》第二章 “统计” 的知识结构图, 请在相应的空格中填上合适的内容


选项：
答案：答案：由题表格如下：

<ImageHere>
解析：: 分析: 本题主要考查了绘制结构图, 解决问题的关键是根据统计分为收集数据, 和整理、分析数据, 估计和推断, 那么对于手机数据分为简单抽样和分层抽样以及系统抽样, 而整理数据中分为运用样本估计总体和变量之间的关系, 那么可知, 样本估计总体分为用样本的频率分布估计总体分布和用样本数字特征估计总体数字特征, 而对于变量间的相关关系,可以通过线性回归方程来得到分析.
题目（高三 · 计数）：一个袋中有 10 个大小相同的球, 其中标号为 1 的球有 3 个, 标号为 2 的球有 5 个, 标号 3 的球有 2 个.第一次从袋中任取一个球, 放回后第二次再任取一个球（假设取到每个球的可能性都相等）.记两次取到球的标号之和为 X.

(1) 求随机变量 $X$ 的分布列;

(2) 求随机变量 $\mathrm{X}$ 的数学期望.
选项：
答案： 由题意, 随机变量 $\mathrm{X}$ 的可能取值为 $2,3,4,5,6$,$P(X=2)=rac{3}{10} 	imes rac{3}{10}=rac{9}{100}$,$P(X=3)=rac{3}{10} 	imes rac{5}{10} 	imes 2=rac{30}{100}=rac{3}{10}$,$P(X=4)=rac{3}{10} 	imes rac{2}{10} 	imes 2+rac{5}{10} 	imes rac{5}{10}=rac{37}{100}$,$P(X=5)=rac{5}{10} 	imes rac{2}{10} 	imes 2=rac{20}{100}=rac{1}{5}$,$P(X=6)=rac{2}{10} 	imes rac{2}{10}=rac{4}{100}=rac{1}{25}$.则随机变量 $\mathrm{X}$ 的分布列为:| $\mathrm{X}$ | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 || :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- || $\mathrm{P}$ | $rac{9}{100}$ | $rac{3}{10}$ | $rac{37}{100}$ | $rac{1}{5}$ | $rac{1}{25}$ |(2) 【解析】 由 (1) 可知,随机变量 $mathrm{X}$ 的数学期望 $E(X)=2 	imes rac{9}{100}+3 	imes rac{3}{10}+4 	imes rac{37}{100}+5 	imes rac{1}{5}+6 	imes rac{1}{25}=rac{19}{5}$.
题目（高三 · 计数）：口袋里装有大小相同的小球 8 个, 其中红色球 3 个, 黄色球 3 个, 蓝色球 2 个。第一次从口袋里任意取球一个，记下颜色后放回口袋，第二次再任意取球一个，记下颜色后放回口袋，规定取到红色球记 1 分, 取到黄色球记 2 分, 取到蓝色球记 3 分. 第一次与第二次取到球的得分之和为 $\xi$ 。

（1）当 $\xi$ 为何值时, 其发生的概率最小? 请说明理由;

(2) 求随机变量 $\xi$ 的数学期望 $E$ ( $\xi$ ).
选项：
答案：（1）解：依题意, 随机变量 $\mathrm{E}$ 的可能取值是 $2,3,4,5,6$, 因为 $P(\xi=2)=rac{3^{2}}{8^{2}}=rac{9}{64}$,$P(\xi=3)=rac{2 	imes 3 	imes 3}{8^{2}}=rac{18}{64}=rac{9}{32}$,$P(\xi=4)=rac{3^{2}+2 	imes 3 	imes 2}{8^{2}}=rac{21}{64}$,$P(\xi=5)=rac{2 	imes 3 	imes 2}{8^{2}}=rac{12}{64}=rac{3}{16}$,$P(\xi=6)=rac{2 	imes 2}{8^{2}}=rac{4}{64}=rac{1}{16}$,所以当 $\xi=6$ 时, 其发生的概率最小, 最小值为 $rac{1}{16}$;
题目（高三 · 计数）：某新上市的电子产品举行为期一个星期 (7 天) 的促销活动, 规定购买该电子产品可免费赠送礼品一份, 随着促销活动的有效开展, 第五天工作人员对前五天中参加活动的人数进行统计, $\mathrm{y}$ 表示第 $\mathrm{x}$天参加该活动的人数，得到统计表格如下，经计算得 $\bar{y}=13$.

| $\mathrm{x}$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $\mathrm{y}$ | 4 | $\mathrm{~m}$ | 10 | 23 | 22 |

参考公式:

$b=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-n \cdot x^{-2}}, \quad \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}$

(1) 若 $\mathrm{y}$ 与 $\mathrm{x}$ 具有线性相关关系, 请根据上表提供的数据, 用最小二乘法求出 $\mathrm{y}$ 关于 $\mathrm{x}$ 的线性回归方程 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$;

(2) 预测该星期最后一天参加该活动的人数（按四舍五入取到整数）.
选项：
答案： 根据表中的数据, 可得 $ar{x}=rac{1}{5}(1+2+3+4+5)=3$$ar{y}=rac{1}{5}(4+m+10+23+22)=13$, 解得 $m=6$,$\hat{b}=rac{\sum_{i=1}^{5}\left(x_{i}-ar{x}ight)\left(y_{i}-ar{y}ight)}{\sum_{i=1}^{5}\left(x_{i}-ar{x}ight)^{2}}$,$$ =rac{(1-3)(4-13)+(2-3)(6-13)+(3-3)(10-13)+(4-3)(23-13)+(5-3)(22-13)}{(1-3)^{2}+(2-3)^{2}+(3-3)^{2}+(4-3)^{2}+(5-3)^{2}}=5.3 $$又由 $\hat{a}=13-5.3 	imes 3=-2.9$, 故所求回归直线方程为 $\hat{y}=5.3 x-2.9$;(2) 【解析】 将 $x=7$ 代入 $\hat{y}=5.3 x-2.9$ 中, 求得 $\hat{y}=5.3 	imes 7-2.9=34.2 \approx 34$,故预测最后一天参加该活动的人数 34 .
题目（高三 · 计数）：某种产品的广告费支出 $\mathrm{x}$ （单位：百万元）与销售额 $\mathrm{y}$ （单位：百万元）之间有如下的对应数据：

| $\mathrm{x}$ | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $\mathrm{y}$ | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |

参考公式用最小二乘法求线性回归方程系数公式:

$$
\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-n(\bar{x})^{2}}, \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}
$$

（1）画出散点图;

(2) 求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程.

（3）如果广告费支出为一千万元，预测销售额大约为多少百万元？
选项：
答案： 根据表格中的数据, 得到点 $(2,30),(4,40),(5,60),(6,50),(8,70)$,画在坐标系中, 得到散点图:<ImageHere>（2）【解析】 由表格中的数据, 可得 $ar{x}=rac{2+4+5+6+8}{5}=5, ar{y}=rac{30+40+60+50+70}{5}=50$, $\sum_{i=1}^{5} x_{i}^{2}=2^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+8^{2}=145, \sum_{i=1}^{5} x_{i} y_{i}=2 	imes 30+4 	imes 40+5 	imes 60+6 	imes 50+8 	imes 70=1380$,则 $\hat{b}=rac{\sum_{i=1}^{5} x_{i} y_{i}-5 x \cdot y}{\sum_{i=1}^{5} x_{i}-5(ar{x})^{2}}=rac{1380-5 	imes 5 	imes 50}{145-5 	imes 5^{2}}=6.5$ $\hat{a}=ar{y}-\hat{b} ar{x}=50-6.5 	imes 5=17.5$,于是所求的线性回归方程是 $\hat{y}=6.5 x+17.5$;3）【解析】 当 $x=10$ 时, $\hat{y}=6.5 	imes 10+17.5=82.5$ (百万元),即广告费支出为一千万元，预测销售额大约为 82.5 百万元.
题目（高三 · 计数）：一个调查学生记忆力的研究团队从某中学随机挑选 100 名学生进行记忆测试, 通过讲解 100 个陌生单词后，相隔十分钟进行听写测试，间隔时间 $t$ (分钟) 和答对人数 $y$ 的统计表格如下:

| 时间 $t$ (分钟) | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 | 70 | 80 | 90 | 100 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 答对人数 $y$ | 98 | 70 | 52 | 36 | 30 | 20 | 15 | 11 | 5 | 5 |
| $\lg y$ |
选项：
答案：答案: (1) 【解析】 由图象可知, $\lg y=c t+d$ 更适宜作为线性回归类型;(2) 【解析】 设 $\lg y=c t+d$, 根据最小二乘法得$$ c=rac{\sum_{i=1}^{10} t_{i} \lg y_{i}-10 ar{t} \overline{\lg y}}{\sum_{i=1}^{10} t_{i}^{2}-10 ar{t}^{2}}=rac{620.9-10 	imes 55 	imes 1.35}{38500-10 	imes 55^{2}} \approx-0.0147$$$$d=\overline{\lg y}-c ar{t} \approx 2.16$$所以 $\lg y=-0.0147 t+2.16$,因此 $y=10^{-0.014 / 1+2.16}$;(3) 【解析】 由题意知 $y=10^{-0.014 / 1+2.16} \geq 75$,即 $-0.0147 t+2.16 \geq 2+\lg 3-2 \lg 2 \approx 1.88$,解得 $t \leq 19.05$, 即至多 19.05 分钟, 就需要重新复习一遍.
题目（高三 · 计数）：江苏省新高考方案要求考生在物理、历史科目中选择一科, 我市在对某校高一年级学生的选科意愿调查中, 共调查了 100 名学生, 其中男、女生各 50 人, 男生中选历史 15 人, 女生中选物理 10 人.

附: $\quad x^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_ff3e626f3bf93f0a342dg-
选项：
答案：(1) 【解析】 由题意可得 $2 	imes 2$ 列联表如下表所示:|  | 选物理 | 选历史 | 合计 || :--- | :--- | :--- | :--- | | 男生 | 35 | 15 | 50  | 女生 | 10 | 40 | 50 || 合计 | 45 | 55 | 100 |2）解：根据列联表中的数据, 可以求得 $\chi^{2}=rac{100 	imes(35 	imes 40-15 	imes 10)^{2}}{50 	imes 50 	imes 45 	imes 55} \approx 25.253$.$P\left(\chi^{2} \geq 10.828ight)=0.001$,所以我们有 $99.9 \%$ 的把握认为, 学生选科与性别有关.
题目（高三 · 计数）：为了探究患慢性气管炎是否与吸烟有关, 调查了 339 名 50 岁以上的人, 调查结果如下表所示:

|  | 患病 | 不患病 | 合计 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 吸烟 | 43 | 162 | 205 |
| 不吸烟 | 13 | 121 | 134 |
| 合计 | 56 | 283 | 339 |

能否 99\%把握认为患慢性气管炎是否与吸烟有关?

| $\mathrm{P}\left(\mathrm{K}^{2} \geq \mathrm{k}\right)$ |
选项：
答案： $$ K^{2}=rac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}=rac{339 	imes(43 	imes 121-13 	imes 162)^{2}}{205 	imes 134 	imes 56 	imes 283} \approx 7.469$$因为 $7.469>6.635$, 所以有 $99 \%$ 的把握认为患慢性气管炎是否与吸烟有关.
题目（高三 · 计数）：在新冠肺炎流行期间, 为了指导不同人群科学合理选择和使用口罩, 现在对 N95 口罩的使用范围进行调查. 现随机抽取 40 人进行调查, 其中 45 岁以下的有 20 人. 在接受调查的 40 人中, 对于 $N 95$ 这种口罩了解的占 $50 \%$, 在了解的人中 45 岁以上 (含 45 岁) 的人数占 $\frac{1}{4}$.

参考公式: $\quad K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$, 其中 $n=a+b+c+d$.

参考数据:

| $P\left(K^{2} \geq k_{0}\right)$ |
选项：
答案：(1) 【解析】 由题意可得对于 $\mathrm{N} 95$ 这种口罩了解的人数为 $40 	imes 50 \%=20$,则 45 岁以上的人对 N95这种口罩了解的人数为 $20 	imes rac{1}{4}=5$.故列联表如下:|  | 了解 | 不了解 | 总计 || :--- | :--- | :--- | :--- || 45 岁以下 | 15 | 5 | 20 || 45 岁以上 (含 45 岁) | 5 | 15 | 20 || 总计 | 20 | 20 | 40 |(2) 【解析】 由题意可得, $K^{2}=rac{40(15 	imes 15-5 	imes 5)^{2}}{20 	imes 20 	imes 20 	imes 20}=10$,因为 $10>6.635$, 所以有 $99 \%$ 的把握认为对 N95 这种口罩的了解与否与年龄有关.
题目（高三 · 计数）：在一次飞机航程中, 调查男女晕机情况, 在 80 名男乘客中有 10 人晕机, 70 人不晕机.在 30 名女乘客中有 10 人晕机, 20 人不晕机

附: $\quad K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}, n=a+b+c+d$

| $P\left(K^{2} \geq K_{0}\right)$ |
选项：
答案：（1）解：根据在 80 名男乘客中有 10 人晕机， 70 人不晕机，在 30 名女乘客中有 10 人晕机, 20 人不晕机, 可得如下 $2 	imes 2$ 的列联表:|  | 晕机 | 不晕机 | 总计 || :--- | :--- | :--- | :--- || 男 | 10 | 70 | 80 || 女 | 10 | 20 | 30 || 总计 | 20 | 90 | 110 |2) 【解析】 由 (1) 中的 $2 	imes 2$ 的列联表中的数据,可得 $K^{2}=rac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}=rac{110(10 	imes 20-70 	imes 10)^{2}}{20 	imes 90 	imes 30 	imes 80} \approx 6.366>5.024$故有 $97.5 \%$ 的把握认为“是否晕机与性别有关”.
题目（高三 · 计数）：某媒体为调查喜爱娱乐节目 $\mathrm{A}$ 是否与观众性别有关, 随机抽取了 30 名男性和 30 名女性观众, 抽查结果用等高条形图表示如图:

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_ff3e626f3bf93f0a342dg-
选项：
答案：解：由题,喜欢节目 $A$ 的男性观众有 $30 	imes 0.8=24$ 人,不喜欢节目 $A$ 的男性观众有 $30 	imes 0.2=6$ 人.喜欢节目 $A$ 的女性观众有 $30 	imes 0.5=15$ 人，不喜欢节目 $A$ 的女性观众有 $30 	imes 0.5=15$ 人.补全如下表:|  | 喜欢节目 $\mathrm{A}$ | 不喜欢节目 $\mathrm{A}$ | 总计 || :--- | :--- | :--- | :--- || 男性观众 | 24 | 6 | 30 || 女性观众 | 15 | 15 | 30 || 总计 | 39 | 21 | 60 |故 $K^{2}=rac{60(24 	imes 15-15 	imes 6)^{2}}{39 	imes 21 	imes 30 	imes 30}=rac{540}{91} \approx 5.934>3.841$,故能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为喜欢娱乐节目 A 与观众性别有关.
题目（高三 · 计数）：年 1 月 22 日, 国新办发布消息: 新型冠状病毒在武汉一家海鲜市场非法销售的野生动物上发现.专家通过全基因组比对发现此病毒与 2003 年的非典冠状病毒以及此后的中东呼吸综合征冠状病毒, 分别达到 70\%和 40\%的序列相似性. 这种新型冠状病毒对人们的健康生命带来了严重威胁因此,某生物疫苗研究所加紧对新型冠状病毒疫苗进行实验, 并将某一型号疫苗用在动物小白鼠身上进行科研和临床实验, 得到统计数据如下:

|  | 未感染病毒 | 感染病毒 | 总计 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 未注射疫苗 | 20 | $\mathrm{x}$ | $\mathrm{A}$ |
| 注射疫苗 | 30 | $\mathrm{y}$ | $B$ |
| 总计 | 50 | 50 | 100 |

现从所有试验小白鼠中任取一只, 取到“注射疫苗”小白鼠的概率为 $\frac{2}{5}$.

附: $\quad K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)}, n=a+b+c+d$.

| $P\left(K^{2} \geqslant k_{0}\right)$ |
选项：
答案： 由已知条件可知: $B=0.4 	imes 100=40$, $A=100-B=60, \quad x=60-20=40, \quad y=40-30=10 ;$（2）【解析】 $ecause K^{2}=rac{100(20 	imes 10-30 	imes 40)^{2}}{50 	imes 50 	imes 60 	imes 40}=rac{100}{6}=rac{50}{3} \approx 16.667$,显然 $16.667>10.828$,所以有 $99.9 \%$ 把握认为注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有效.
题目（高三 · 计数）：(本小题 10 分)

江苏省新高考方案要求考生在物理、历史科目中选择一科, 我市在对某校高一年级学生的选科意愿调查中, 共调查了 100 名学生, 其中男、女生各 50 人, 男生中选历史 15 人, 女生中选物理 10 人.

附: $\quad x^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$.

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选项：
答案： 由题意可得 $2 	imes 2$ 列联表如下表所示: |  | 选物理 | 选历史 | 合计 | | :--- | :--- | :--- | :--- || 男生 | 35 | 15 | 50 || 女生 | 10 | 40 | 50 | 合计 | 45 | 55 | 100 |(2) 【解析】 根据列联表中的数据,可以求得 $\chi^{2}=rac{100 	imes(35 	imes 40-15 	imes 10)^{2}}{50 	imes 50 	imes 45 	imes 55} \approx 25.253, P\left(\chi^{2} \geq 10.828ight)=0.001$,所以我们有 $99.9 \%$ 的把握认为, 学生选科与性别有关.
题目（高三 · 计数）：(本小题 10 分)

某新上市的电子产品举行为期一个星期（7 天）的促销活动, 规定购买该电子产品可免费赠送礼品一份, 随着促销活动的有效开展, 第五天工作人员对前五天中参加活动的人数进行统计, $\mathrm{y}$ 表示第 $\mathrm{x}$ 天参加该活动的人数, 得到统计表格如下, 经计算得 $\bar{y}=13$.

| $\mathrm{x}$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $\mathrm{y}$ | 4 | $\mathrm{~m}$ | 10 | 23 | 22 |

参考公式:

$b=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-n \cdot x^{-2}}, \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}$

(1) 若 $\mathrm{y}$ 与 $\mathrm{x}$ 具有线性相关关系, 请根据上表提供的数据, 用最小二乘法求出 $\mathrm{y}$ 关于 $\mathrm{x}$ 的线性回归方程 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$;

（2）预测该星期最后一天参加该活动的人数（按四舍五入取到整数）.
选项：
答案：（1）解：根据表中的数据, 可得 $ar{x}=rac{1}{5}(1+2+3+4+5)=3$$ar{y}=rac{1}{5}(4+m+10+23+22)=13$, 解得 $m=6$,$\hat{b}=rac{\sum_{i=1}^{5}\left(x_{i}-ar{x}ight)\left(y_{i}-ar{y}ight)}{\sum_{i=1}^{5}\left(x_{i}-ar{x}ight)^{2}}$$$=rac{(1-3)(4-13)+(2-3)(6-13)+(3-3)(10-13)+(4-3)(23-13)+(5-3)(22-13)}{(1-3)^{2}+(2-3)^{2}+(3-3)^{2}+(4-3)^{2}+(5-3)^{2}}=5.3 $$又由 $\hat{a}=13-5.3 	imes 3=-2.9$, 故所求回归直线方程为 $\hat{y}=5.3 x-2.9$;（2）【解析】 将 $x=7$ 代入 $\hat{y}=5.3 x-2.9$ 中, 求得 $\hat{y}=5.3 	imes 7-2.9=34.2 \approx 34$,故预测最后一天参加该活动的人数 34 .
题目（高三 · 计数）：(本小题 12 分)

《中国诗词大会》是中央电视台于 2016 年推出的大型益智类节目, 中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各 5 个城市, 得到观看该节目的人数(单位: 千人)如茎叶图所示, 但其中一个数字被污损.

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选项：
答案：(1) 【解析】 设污损的数字为 $x$, 由北方观众平均人数超过南方观众平均人数得$$rac{78+79+82+81+80}{5}>rac{73+77+78+86+80+x}{5} $$$\Rightarrow x<6$, 即 $x=0,1,2,3,4,5$,$	herefore P=rac{6}{10}=rac{3}{5}$;(2) 【解析】$$ar{x}=rac{1}{4}(20+30+40+50)=35$$$ar{y}=rac{1}{4}(3+3.5+3.5+4)=3.5$,	herefore 4 \overline{x y}=490$,又 $\sum_{i=1}^{4} x_{i} y_{i}=20 	imes 3+30 	imes 3.5+40 	imes 3.5+50 	imes 4=505$, $\sum_{i=1}^{4} x_{i}^{2}=20^{2}+30^{2}+40^{2}+50^{2}=5400$$	herefore \hat{b}=rac{505-490}{5400-4 	imes 35^{2}}=0.03, 	herefore \hat{a}=3.5-0.03 	imes 35=2.45$,$	herefore \hat{y}=0.03 x+2.45, 	herefore x=60$ 时, $\hat{y}=4.25$.答: 年龄为 60 岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为 4.25 小时.
题目（高三 · 计数）：(本小题 12 分)

某种产品的广告费支出 $\mathrm{x}$ （单位：百万元）与销售额 $\mathrm{y}$ （单位：百万元）之间有如下的对应数据:

| $\mathrm{x}$ | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $\mathrm{y}$ | 30 | 40 | 60 | 50 | 70 |

参考公式用最小二乘法求线性回归方程系数公式:

$$
\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-n(\bar{x})^{2}}, \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}
$$

(1) 画出散点图;

(2) 求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程.

（3）如果广告费支出为一千万元，预测销售额大约为多少百万元？
选项：
答案：(1) 【解析】 根据表格中的数据, 得到点 $(2,30),(4,40),(5,60),(6,50),(8,70)$,画在坐标系中, 得到散点图:<ImageHere>（2）【解析】 由表格中的数据, 可得 $ar{x}=rac{2+4+5+6+8}{5}=5, ar{y}=rac{30+40+60+50+70}{5}=50$, $\sum_{i=1}^{5} x_{i}^{2}=2^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+8^{2}=145, \sum_{i=1}^{5} x_{i} y_{i}=2 	imes 30+4 	imes 40+5 	imes 60+6 	imes 50+8 	imes 70=1380$, $\hat{b}=rac{\sum_{i=1}^{5} x_{i} y_{i}-5 x ar{y}}{\sum_{i=1}^{5} x_{i}{ }^{2}-5(ar{x})^{2}}=rac{1380-5 	imes 5 	imes 50}{145-5 	imes 5^{2}}=6.5$ $\at{a}=ar{y}-\hat{b} ar{x}=50-6.5 	imes 5=17.5$于是所求的线性回归方程是 $\hat{y}=6.5 x+17.5$;(3) 【解析】 当 $x=10$ 时, $\hat{y}=6.5 	imes 10+17.5=82.5$ (百万元),即广告费支出为一千万元，预测销售额大约为 82.5 百万元.
题目（高三 · 计数）：一个袋中有 10 个大小相同的球, 其中标号为 1 的球有 3 个, 标号为 2 的球有 5 个, 标号 3 的球有 2 个.第一次从袋中任取一个球, 放回后第二次再任取一个球（假设取到每个球的可能性都相等）.记两次取到球的标号之和为 X.

(1) 求随机变量 $X$ 的分布列;

(2) 求随机变量 $X$ 的数学期望.
选项：
答案：答案:（1）解：由题意, 随机变量 $\mathrm{X}$ 的可能取值为 $2,3,4,5,6$.

$P(X=2)=\frac{3}{10} \times \frac{3}{10}=\frac{9}{100}$,

$P(X=3)=\frac{3}{10} \times \frac{5}{10} \times 2=\frac{30}{100}=\frac{3}{10}$,
$P(X=4)=\frac{3}{10} \times \frac{2}{10} \times 2+\frac{5}{10} \times \frac{5}{10}=\frac{37}{100}$,

$P(X=5)=\frac{5}{10} \times \frac{2}{10} \times 2=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}$,

$P(X=6)=\frac{2}{10} \times \frac{2}{10}=\frac{4}{100}=\frac{1}{25}$.

则随机变量 $\mathrm{X}$ 的分布列为:

| $X$ | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $P$ | $\frac{9}{100}$ | $\frac{3}{10}$ | $\frac{37}{100}$ | $\frac{1}{5}$ | $\frac{1}{25}$ |

（2）解：由（1）可知,

随机变量 $\mathrm{X}$ 的数学期望 $E(X)=2 \times \frac{9}{100}+3 \times \frac{3}{10}+4 \times \frac{37}{100}+5 \times \frac{1}{5}+6 \times \frac{1}{25}=\frac{19}{5}$.
解析：答案:（1）解：由题意, 随机变量 $\mathrm{X}$ 的可能取值为 $2,3,4,5,6$.

$P(X=2)=\frac{3}{10} \times \frac{3}{10}=\frac{9}{100}$,

$P(X=3)=\frac{3}{10} \times \frac{5}{10} \times 2=\frac{30}{100}=\frac{3}{10}$,
$P(X=4)=\frac{3}{10} \times \frac{2}{10} \times 2+\frac{5}{10} \times \frac{5}{10}=\frac{37}{100}$,

$P(X=5)=\frac{5}{10} \times \frac{2}{10} \times 2=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}$,

$P(X=6)=\frac{2}{10} \times \frac{2}{10}=\frac{4}{100}=\frac{1}{25}$.

则随机变量 $\mathrm{X}$ 的分布列为:

| $X$ | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $P$ | $\frac{9}{100}$ | $\frac{3}{10}$ | $\frac{37}{100}$ | $\frac{1}{5}$ | $\frac{1}{25}$ |

（2）解：由（1）可知,

随机变量 $\mathrm{X}$ 的数学期望 $E(X)=2 \times \frac{9}{100}+3 \times \frac{3}{10}+4 \times \frac{37}{100}+5 \times \frac{1}{5}+6 \times \frac{1}{25}=\frac{19}{5}$.
题目（高三 · 计数）：某商场举行优惠促销活动, 顾客仅可以从以下两种优惠方案中选择一种.

方案一: 每满 100 元减 20 元;

方案二: 满 100 元可抽奖一次.具体规则是从装有 2 个红球、 2 个白球的箱子随机取出 3 个球（逐个有放回地抽取）, 所得结果和享受的优惠如下表: （注：所有小球仅颜色有区别）

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选项：
答案：答案: (1) 【解析】 该顾客获得 7 折优惠的概率 $P_{1}=\left(\frac{2}{4}\right)^{3}=\frac{1}{8}$,该顾客获得 8 折优惠的概率 $P_{2}=C_{3}^{2} \times\left(\frac{2}{4}\right)^{2} \times \frac{2}{4}=\frac{3}{8}$,

故该顾客获得 7 折或 8 折优惠的概率 $P=P_{1}+P_{2}=\frac{1}{8}+\frac{3}{8}=\frac{1}{2}$;

(2) 【解析】 若选择方案一, 则付款金额为 $180-20=160$.

若选择方案二, 记付款金额为 $X$ 元, 则 $X$ 可取的值为 $126,144,162,180$.
$P(X=126)=\frac{1}{8}, P(X=144)=C_{3}^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{3}{8}$,

$P(X=162)=C_{3}^{1}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{3}{8}, P(X=180)=C_{3}^{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1}{8}$,

则 $E X=126 \times \frac{1}{8}+144 \times \frac{3}{8}+162 \times \frac{3}{8}+180 \times \frac{1}{8}=153$.

因为 $160>153$, 所以选择方案二更为划算.
解析：答案: (1) 【解析】 该顾客获得 7 折优惠的概率 $P_{1}=\left(\frac{2}{4}\right)^{3}=\frac{1}{8}$,该顾客获得 8 折优惠的概率 $P_{2}=C_{3}^{2} \times\left(\frac{2}{4}\right)^{2} \times \frac{2}{4}=\frac{3}{8}$,

故该顾客获得 7 折或 8 折优惠的概率 $P=P_{1}+P_{2}=\frac{1}{8}+\frac{3}{8}=\frac{1}{2}$;

(2) 【解析】 若选择方案一, 则付款金额为 $180-20=160$.

若选择方案二, 记付款金额为 $X$ 元, 则 $X$ 可取的值为 $126,144,162,180$.
$P(X=126)=\frac{1}{8}, P(X=144)=C_{3}^{2}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{3}{8}$,

$P(X=162)=C_{3}^{1}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{3}{8}, P(X=180)=C_{3}^{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=\frac{1}{8}$,

则 $E X=126 \times \frac{1}{8}+144 \times \frac{3}{8}+162 \times \frac{3}{8}+180 \times \frac{1}{8}=153$.

因为 $160>153$, 所以选择方案二更为划算.
题目（高三 · 计数）：某超市计划按月订购一种酸奶, 每天进货量相同, 进货成本每瓶 4 元, 售价每瓶 6 元, 未售出的酸奶降价处理, 以每瓶 2 元的价格当天全部处理完. 根据往年销售经验, 每天需求量与当天最高气温 (单位: ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ ) 有关. 如果最高气温不低于 25 , 需求量为 500 瓶; 如果最高气温位于区间[20, 25）,需求量为 300 瓶; 如果最高气温低于 20, 需求量为 200 瓶. 为了确定六月份的订购计划, 统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表:

| 最高气温 | $[10,15)$ | $[15,20)$ | $[20,25)$ | $[25,30)$ | $[30,35)$ | $[35,40)$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 天数 | 2 | 16 | 36 | 25 | 7 | 4 |

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.

(1) 求六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率;

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为 $Y$ (单位: 元），当六月份这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时, 写出 $\mathrm{Y}$ 的所有可能值, 并估计 $\mathrm{Y}$ 大于零的概率.
选项：
答案：答案:（1）【解析】由前三年六月份各天的最高气温数据,

得到最高气温位于区间 $[20,25)$ 和最高气温低于 20 的天数为 $2+16+36=54$,

根据往年销售经验, 每天需求量与当天最高气温（单位: ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ ) 有关,

如果最高气温不低于 25 , 需求量为 500 瓶,

如果最高气温位于区间[20,25）, 需求量为 300 瓶，

如果最高气温低于 20 , 需求量为 200 瓶,

$\therefore$ 六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率 $\mathrm{p}=\frac{54}{90}=\frac{3}{5}$;

（2）【解析】 当温度大于等于 $25^{\circ} \mathrm{C}$ 时, 需求量为 500 ,

$Y=450 \times 2=900$ 元，

当温度在 $[20,25)^{\circ} \mathrm{C}$ 时, 需求量为 300 ,

$Y=300 \times 2-(450-300) \times 2=300$ 元,

当温度低于 $20^{\circ} \mathrm{C}$ 时, 需求量为 200 ,

$Y=400-(450-200) \times 2=-100$ 元,

当温度大于等于 20 时, $Y>0$,

由前三年六月份各天的最高气温数据, 得当温度大于等于 $20^{\circ} \mathrm{C}$ 的天数有:

$90-(2+16)=72$,

$\therefore$ 估计 $\mathrm{Y}$ 大于零的概率 $\mathrm{P}=\frac{72}{90}=\frac{4}{5}$.
解析：答案:（1）【解析】由前三年六月份各天的最高气温数据,

得到最高气温位于区间 $[20,25)$ 和最高气温低于 20 的天数为 $2+16+36=54$,

根据往年销售经验, 每天需求量与当天最高气温（单位: ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ ) 有关,

如果最高气温不低于 25 , 需求量为 500 瓶,

如果最高气温位于区间[20,25）, 需求量为 300 瓶，

如果最高气温低于 20 , 需求量为 200 瓶,

$\therefore$ 六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率 $\mathrm{p}=\frac{54}{90}=\frac{3}{5}$;

（2）【解析】 当温度大于等于 $25^{\circ} \mathrm{C}$ 时, 需求量为 500 ,

$Y=450 \times 2=900$ 元，

当温度在 $[20,25)^{\circ} \mathrm{C}$ 时, 需求量为 300 ,

$Y=300 \times 2-(450-300) \times 2=300$ 元,

当温度低于 $20^{\circ} \mathrm{C}$ 时, 需求量为 200 ,

$Y=400-(450-200) \times 2=-100$ 元,

当温度大于等于 20 时, $Y>0$,

由前三年六月份各天的最高气温数据, 得当温度大于等于 $20^{\circ} \mathrm{C}$ 的天数有:

$90-(2+16)=72$,

$\therefore$ 估计 $\mathrm{Y}$ 大于零的概率 $\mathrm{P}=\frac{72}{90}=\frac{4}{5}$.
题目（高三 · 计数）：年 4 月, 受新型冠状病毒疫情的影响, 某校初三年级 500 名学生参加了市里组织的线上联考,这 500 名学生的数学成绩 (满分 120 分) 的频率分布直方图如图所示 (用样本的频率作为概率).

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选项：
答案：解析】 $\mu=ar{x}=65 	imes 0.005 	imes 10+75 	imes 0.010 	imes 10+85 	imes 0.020 	imes 10$ $+95 	imes 0.030 	imes 10+105 	imes 0.025 	imes 10+115 	imes 0.010 	imes 10=94$,$\sigma=\sqrt{28.2} \approx 5.31$,所以 $\mathrm{z} \sim N(94,5.31)$,所以 $P(88.69<z<99.31)=0.6827$,所以 $P(z \geq 99.31)=rac{1-0.6827}{2}=0.1587$, 所以 $500 	imes 0.1587=79.35 \approx 79$,所以该校 500 名学生的成绩不低于 99.31 分的人数约为 79 人;（2）【解析】由频率分布直方图可知学生成绩在 $[100,120]$ 内的频率为 $(0.025+0.010) 	imes 10=0.35$,所以 $X \sim B(20,0.35)$, 则 $P(X=k)=C_{20}^{k} \cdot 0.35^{k} \cdot 0.65^{20-k}, k=0,1,2, \cdots, 20$,故 $rac{P(X=k)}{P(X=k-1)}=rac{C_{20}^{k} \cdot 0.35^{k} \cdot 0.65^{20-k}}{C_{20}^{k-1} \cdot 0.35^{k-1} \cdot 0.65^{21-k}}=rac{7(21-k)}{13 k}$ ，令 $rac{7(21-k)}{13 k}>1$, 可得 $k<7.35$, 令 $rac{7(21-k)}{13 k}<1$, 可得 $k>7.35$,所以当 $k=7$ 时, $\mathrm{P}(\mathrm{X}=\mathrm{k})$ 取得最大值.