eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高一 · 代数）：设 $x, y, z$ 为正数, 且 $3^{x}=9^{y}=81^{z}$, 则 $\frac{x+z}{y}=$
选项：
答案：$\frac{5}{2}$
解析：由 $3^{x}=9^{y}=81^{z}$ 得 $3^{x}=3^{2 y}=3^{4 z}$, 所以 $x=2 y=4 z$, 所以 $\frac{x+z}{y}=\frac{5 z}{2 z}=\frac{5}{2}$.

故答案为: $\frac{5}{2}$

【点睛】

本题考查指数幂的运算, 是基础题.
题目（高一 · 代数）：化简: $\left(1+\frac{1}{2^{32}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{16}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{8}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{4}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)=$
选项：
答案：$2-\frac{1}{2^{63}}$
解析：【详解】

原式 $=\left(1+\frac{1}{2^{32}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{16}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{8}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{4}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \cdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{2}\right) \times 2$

$=\left(1+\frac{1}{2^{32}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{16}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{8}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{4}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right) \cdot\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right) \times 2$

$=\left(1+\frac{1}{2^{32}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{16}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{8}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{4}}\right)\left(1-\frac{1}{2^{4}}\right) \times 2$

$=\left(1+\frac{1}{2^{32}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{16}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{8}}\right)\left(1-\frac{1}{2^{8}}\right) \times 2$

$=\left(1+\frac{1}{2^{32}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{16}}\right)\left(1-\frac{1}{2^{16}}\right) \times 2$

$=\left(1+\frac{1}{2^{32}}\right)\left(1-\frac{1}{2^{32}}\right) \times 2$

$=\left(1-\frac{1}{2^{64}}\right) \times 2$

$=2-\frac{1}{2^{63}}$.

【点睛】

本题考查分数指数幂的运算, 关键技巧是乘上因式 $\left(1-\frac{1}{2}\right) \times 2$, 逆用平方差公式从后往前逐级化简. 属技巧性题目。
题目（高一 · 代数）：已知 $10^{x}=2,10^{y}=3$, 则 $10^{\frac{3 x-y}{2}}=$
选项：
答案：$\frac{2 \sqrt{6}}{3}$
解析：【详解】

$10^{\frac{3 x-y}{2}}=\left(10^{x}\right)^{\frac{3}{2}} \cdot\left(10^{y}\right)^{-\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{8} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{2 \sqrt{6}}{3}$.

故答案为: $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$

【点睛】

本题考查了指数的运算性质, 需熟记指数运算性质, 属于基础题.
题目（高一 · 代数）：若 $a>1, b<0$, 且 $a^{b}+a^{-b}=2 \sqrt{2}$, 则 $a^{b}-a^{-b}=$
选项：
答案：-2
解析：【详解】

$a^{b}+a^{-b}=2 \sqrt{2}$, 则 $\left(a^{b}+a^{-b}\right)^{2}=a^{2 b}+2+a^{-2 b}=8$, 故 $a^{2 b}+a^{-2 b}=6$,

$\left(a^{b}-a^{-b}\right)^{2}=a^{2 b}+a^{-2 b}-2=4, a>1, b<0$, 故 $a^{b}-a^{-b}<0$, 故 $a^{b}-a^{-b}=-2$.

故答案为: -2 .

【点睛】

本题考查了指数运算, 意在考查学生的计算能力和转化能力, 没有考虑符号是容易发生的错误.
题目（高一 · 代数）：若 $10^{x}=3,10^{y}=4$, 则 $10^{x-y}=$ \$ \qquad \$
选项：
答案：$\frac{3}{4}$
解析：

因为 $10^{x}=3,10^{y}=4$, 所以 $10^{x-y}=\frac{10^{x}}{10^{y}}=\frac{3}{4}$, 应填答案 $\frac{3}{4}$.
题目（高一 · 代数）：当 $x<2$ 时, $\sqrt[8]{(x-2)^{8}}+(\sqrt[3]{x-\sqrt{2}})^{3}=$
选项：
答案：$2-\sqrt{2}$
解析：根据指数运算公式: $\sqrt[n]{a^{n}}=|a|,(\sqrt[n]{a})^{n}=a$,

因为 $x<2$,

所以原式 $=|x-2|+x-\sqrt{2}=2-\sqrt{2}$.

故答案为: $2-\sqrt{2}$.

【点睛】

本题考查利用指数运算性质化简求值, 属基础题.
题目（高一 · 代数）：若 $a^{2}+a^{-2}=7$, 则 $a^{2}-a^{-2}=$
选项：
答案：$\pm 3 \sqrt{5}$
解析：【详解】

因为 $a^{2}+a^{-2}=7$,

所以 $\left(a^{2}-a^{-2}\right)^{2}=a^{4}+a^{-4}-2=\left(a^{2}+a^{-2}\right)^{2}-4=49-4=45$,

所以 $a^{2}-a^{-2}= \pm 3 \sqrt{5}$.

故答案为: $\pm 3 \sqrt{5}$.

【点睛】

本题主要考查指数式的运算, 属于基础题型.
题目（高一 · 代数）：已知 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数, 当 $x>0$ 时, $f(x)=x^{2}-4 x$, 则不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x<0 \\ f(x)>x\end{array}\right.$ 的解集用区间表示为
选项：
答案：$(-5,0)$
解析：

由 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数, 当 $x<0$ 时, $f(x)=-f(-x)=-x^{2}-4 x>x$ 解得 $-5<x<0$
题目（高一 · 代数）：函数 $f(x)=-x^{2}+2 x$ 的单调递增区间为
选项：
答案：$(-\infty, 1]$
解析：【详解】

因为 $f(x)=-x^{2}+2 x$ 是图像开口向下的二次函数, 其对称轴为 $x=1$, 所以 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty, 1]$. 故答案为 $(-\infty, 1]$.

【点睛】

本题主要考查二次函数的单调区间, 二次函数单调区间的求解主要关注其图像的开口方向和对称轴, 侧重考查直观想象的核心素养.
题目（高一 · 代数）：设集合 $A=\{x \mid-3 \leq x \leq 2\}, B=\{x \mid 2 k-1 \leq x \leq 2 k+1\}$, 且 $A \supseteq B$, 则实数 $k$ 的取值范围是
选项：
答案：$\left\{k \left\lvert\,-1 \leq k \leq \frac{1}{2}\right.\right\}$
解析：



考点: 集合的运算.
题目（高一 · 代数）：若函数 $f(x)=(m-1) x^{2}+(m-2) x+\left(m^{2}-7 m+12\right)$ 为偶函数, 则 $m$ 的值是
选项：
答案：2
解析：【详解】

$\because f(x)$ 为偶函数,

$\therefore$ 对于任意 $x \in \mathrm{R}$, 有 $f(-x)=f(x)$,

即 $(m-1)(-x)^{2}+(m-2)(-x)+\left(m^{2}-7 m+12\right)=(m-1) x^{2}+(m-2) x+\left(m^{2}-7 m+12\right)$,

$\therefore 2(m-2) x=0$ 对任意实数 $x$ 均成立, $\therefore m=2$.

故答案为: 2

【点睛】

本题考查根据函数奇偶性求参数, 掌握概念, 细心计算, 属基础题.
题目（高一 · 代数）：若方程 $\sqrt{1-x^{2}}=x+b$ 有两个不等的实根, 则 $\mathrm{b}$ 的取值范围是 \$ \qquad \$
选项：
答案：$[1, \sqrt{2})$
解析：



$y=\sqrt{1-x^{2}}$, 表示以圆的为圆心, 半径为 1 的圆的上半部分,

$y=x+b$ 表示斜率为 1 的一组平行线,
半圆 $y=\sqrt{1-x^{2}}$ 与直线 $y=x+b$ 有两个交点,

直线与半圆相切时 $b=\sqrt{2}$,

当这两个函数图象由两个交点时, 根据图象,

纵截距 $b$ 的取值范围是 $[1, \sqrt{2})$, 故答案为 $[1, \sqrt{2})$.
题目（高一 · 代数）：若关于 $x$ 的方程 $4^{x}-(a+3) 2^{x}+1=0$ 有实数解, 则实数 $a$ 的取值范围是
选项：
答案：$a \geq-1$
解析：因为 $4^{x}-(a+3) 2^{x}+1=0$ 可化为 $a+3=\frac{4^{x}+1}{2^{x}}=2^{x}+2^{-x}$,

又 $2^{x}+2^{-x} \geq 2 \sqrt{2^{x} \cdot 2^{-x}}=2$,

当且仅当 $2^{x}=2^{-x}$, 即 $x=0$ 时, 取等号;

又关于 $x$ 的方程 $4^{x}-(a+3) 2^{x}+1=0$ 有实数解,

所以只需 $a+3 \geq\left(2^{x}+2^{-x}\right)_{\text {min }}=2$,

解得: $a \geq-1$.

故答案为: $a \geq-1$
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=\left\{-\frac{1}{2} x+6, x>10\right.$ 若 $a, b, c$ 互不相等, 且 $f(a)=f(b)=f(c)$, 则 $a b c$ 的取值范围是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$(10,12)$
解析：

不妨设 $a<b<c$ ，

作出 $f(x)$ 的图象, 如图所示:

由图象可知 $0<a<1<b<10<c<12$,

由 $f(a)=f(b)$ 得 $|\lg a|=|\lg b|$, 即 $-\lg a=\lg b$,

$\therefore \lg a b=0$, 则 $a b=1$,

$\therefore a b c=c$,

$\therefore a b c$ 的取值范围是 $(10,12)$,
题目（高一 · 代数）：已知函数 $y=\left|a^{x}-3\right|(a>0$ 且 $a \neq 1)$ 与 $y=2 a$ 的图象有两个交点, 则实数 $a$ 的取值范围是 \$ \qquad \$
选项：
答案：$(0,1) \cup\left(1, \frac{3}{2}\right)$
解析：

根据题意, 分 2 种情况讨论:

(1) $a>1$ 时, 函数 $y=\left|a^{x}-3\right|$ 的草图如图:


若 $y=\left|a^{x}-3\right|(a\rangle 0$ 且 $\left.a \neq 1\right)$ 与 $y=2 a$ 的图象有两个交点,

必有 $0<2 a<3$, 即 $0<a<\frac{3}{2}$,

又由 $a>1$, 故 $1<a<\frac{3}{2}$;

(2) $0<a<1$ 时, 函数 $y=\left|a^{x}-3\right|$ 的草图如图:



若 $y=\left|a^{x}-3\right|(a) 0$ 且 $\left.a \neq 1\right)$ 与 $y=2 a$ 的图象有两个交点,必有 $0<2 a<3$, 分析可得 $0<a<1$,

综合可得: $a$ 的取值范围为 $(0,1) \cup\left(1, \frac{3}{2}\right)$.

故答案为: $(0,1) \cup\left(1, \frac{3}{2}\right)$
题目（高一 · 代数）：函数 $f(x)=x^{2}-2 x+b$ 的零点均是正数, 则实数 $b$ 的取值范围是 \$ \qquad \$
选项：
答案：$(0,1]$
解析：

【详解】

因为函数 $f(x)=x^{2}-2 x+b$ 的零点均是正数,

故方程 $x^{2}-2 x+b=0$ 的根都是正根,

故当 $\Delta=4-4 b>0$ 时, 需满足 $b>0$

解得 $0<b<1$.

当 $\Delta=4-4 b=0$ 时, 解得 $b=1$, 此时方程为 $(x-1)^{2}=0$,

方程的根 $x=1>0$ 满足题意.

综上所述: $b \in(0,1]$.

故答案为: $(0,1]$.
题目（高一 · 代数）：设 $x_{0}$ 是方程 $f(x)=\lg x+x-101$ 的零点, 且而 $x_{0} \in(k, k+1)(k \in \mathbf{N})$, 则 $k=$

$$
|\lg x|, 0<x \leq 10
$$
选项：
答案：99
解析：

易知函数 $f(x)=\lg x+x-101$ 单调递增

$\because f(99)=\lg 99+99-101=\lg 99-2<0, \quad f(100)=\lg 100+100-101=1>0, \quad x_{0} \in(99,100)$, 而

$x_{0} \in(k, k+1)(k \in \mathbf{N})$

$\therefore k=99$

故答案为: 99
题目（高一 · 代数）：函数 $f(x)=x^{2}+m x-6$ 的一个零点是 -6 , 则另一个零点是


零点个数为
选项：
答案：1
解析：依题意得: $f(-6)=0$, 则 $36-6 m-6=0$ 解得 $m=5$.

所以 $f(x)=x^{2}+5 x-6=0$ 的两根为 $1,-6$, 故 1 为函数的另一个零点.

故答案为: 1

【分析】由已知函数的零点 $f(-6)=0$ 列式, 解得 $m=5$, 得到函数的解析式, 即可求出函数的另一个零点.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathrm{R}$ 上的偶函数, 且当 $x \geq 0$ 时, $f(x)=x^{2}-2 x$. 若关于 $x$ 的方程 $f(x)-m=0$ 有四个不同的实数解, 则实数 $m$ 的取值范围是
选项：
答案：$(-1,0)$
解析：因为函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathrm{R}$ 上的偶函数且当 $x \geq 0$ 时, $f(x)=x^{2}-2 x$,





若方程 $f(x)-m=0$ 有四个不同的实数解,



由图象可知: $-1<m<0$ 时, 即有 4 个交点.

故 $m$ 的取值范围是 $(-1,0)$,

故答案为: $(-1,0)$


出函数 $f(x)$ 的图象, 由数形结合法分析即可得答案.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=\ln x-m_{\text {的零点位于区间 }}(1, \mathrm{e})$ 内, 则实数 $m$ 的取值范围是
选项：
答案：$(0,1)$
解析：由题意, 令 $f(x)=\ln x-m=0$, 得 $m=\ln x$,

因为 $x \in(1, \mathrm{e})$,所以 $\ln x \in(0,1)$, 故 $m \in(0,1)$.

故答案为: $(0,1)$.

【分析】结合零点的概念, 可得 $m=\ln x$, 然后由 $x \in(1, \mathrm{e})$, 可求得 $\ln x$ 的取值范围,进而可得到 $m$ 的取值范围.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}|\lg (-x)| x<0 \\ x^{2}-6 x+4, x \geq 0,\end{array}\right.$ 若关于 $x$ 的方程 $f^{2}(x)-b f(x)+1=0$ 有 8 个不同根, 则实数 $b$ 的取值范围是
选项：
答案：$\left(2, \frac{17}{4}\right]$
解析：函数 $f(x)$ 的图像如图所示,



因为 $x^{2}-6 x+4=(x-3)^{2}-5$,

所以关于 $x$ 的方程 $f^{2}(x)-b f(x)+1=0$ 在 $(0,4]$ 上有 2 个根.

令 $t=f(x)$, 则方程 $t^{2}-b t+1=0$ 在 $(0,4]$ 上有 2 个不同的正解,

所以 $\left\{\begin{array}{l}0<\frac{b}{2}<4 \\ \Delta=b^{2}-4>0 \\ f(4)=16-b+1 \geq 0 \\ f(0)=1>0\end{array}\right.$, 解得 $2<b \leq \frac{17}{4}$.

【分析】利用分段函数的图象结合换元法, 再利用一元二次方程中的判别式法和正解与在端点处的函数值的关系, 从而利用交集的运算法则结合数轴, 从而求出实数 $\mathrm{b}$ 的取值范围。

三、解答题
题目（高一 · 代数）：试探究下列三个函数, 当 $\mathrm{x}$ 足够大后, 其增长速度最快的是

(1) $y=10 x^{3}(2) y=100 \cdot \lg x(3) y=\frac{1}{100} \cdot 10^{x}$.
选项：
答案：(3)
解析：当 $\mathrm{x}$ 足够大时, 函数 $\mathrm{y}=10 \mathrm{x}^{3}$, 是幂函数, 其增长速度相比较不是最快的;

函数 $\mathrm{y}=100 \cdot \lg$, 是对数函数, 其增长速度相比较是最慢的;

函数 $\mathrm{y}=\frac{1}{100} \cdot 10^{x}$, 是指数函数, 且底数大于 1 , 其增长速度相比较是最快的.

故答案为: (3).

【分析】根据指数函数、对数函数与幂函数的图象与性质, 即可判断出正确的结果.
题目（高一 · 代数）：地区的一种特色水果上市时间仅能持续 5 个月, 预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌,

现有三种价格模拟函数:

(1) $f(x)=p^{\bullet} q^{x}$; (2) $f(x)=p^{2}+q x+1$; (3) $f(x)=x(x-q)^{2}+p$.

(以上三式中 $\mathrm{p} 、 \mathrm{q}$ 均为常数, 且 $\mathrm{q}>1, \mathrm{x}=0$ 表示 4 月 1 日, $\mathrm{x}=1$ 表示 5 月 1 日, 依此类推).

(1) 为准确研究其价格走势, 应选种价格模拟函数.

(2) 若 $\mathrm{f}(0)=4, \mathrm{f}(2)=6$, 预测该果品在月份内价格下跌。（5月、6月）
选项：
答案：(3); 5 月、 6 月
解析：（1）因为 $\mathrm{f}\left(\mathrm{x} ）=\mathrm{pq}^{\mathrm{x}}\right.$ 是单调函数, $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{px}^{2}+\mathrm{qx}+1$ ，只有两个单调区间,

不符合题设中的价格变化规律;

在 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=(\mathrm{x}-1) \quad(\mathrm{x}-\mathrm{q})^{2}+\mathrm{p}$ 中, $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=3 \mathrm{x}^{2}-4 \mathrm{qx}+\mathrm{q}^{2}$,

令 $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=0$, 得 $\mathrm{x}=\mathrm{q}, \mathrm{x}=\frac{q}{3}$, 即 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 有两个零点,

可以出现两个递增区间和一个递减区间, 符合题设中的价格变化规律,

所以应选 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}(\mathrm{x}-\mathrm{q})^{2}+\mathrm{p}$ 为其成绩模拟函数.

(2) (1)由 $\mathrm{f}(0)=4$, $\mathrm{f}(2)=6$, 得 $\left\{\begin{array}{c}p=4 \\ 2(2-q)^{2}+p=6 \\ q>1\end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{c}p=4 \\ q=3\end{array}\right.$

$f(x)=x^{3}-6 x^{2}+9 x+4(1 \leq x \leq 12$, 且 $x \in Z)$.

由 $f^{\prime}(x)=3 x^{2}-12 x+9 \leq 0$ 得: $1 \leq x \leq 3$,
由题意可预测该果品在 5、6 月份内价格下跌.

故答案为: (1) (3); （2）5月、6月.

【分析】(1) 欲找出能较准确反映数学成绩与考试序次关系的模拟函数, 主要依据是呈现前几次与后几次均连续上升, 中间几次连续下降的趋势, 故可从三个函数的单调上考虑, 前面两个函数没有出现两个递增区间和一个递减区间, 应选 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}(\mathrm{x}-\mathrm{q})^{2}+\mathrm{p}$ 为其成绩模拟函数.

（2）由题中条件: $f(0)=4, f(2)=6$, 得方程组, 求出 $p, q$ 即可, 从而得到 $f(x)$ 的解析式即可预测该果品在哪几个月份内价格下跌.

三、解答题
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2} & x \leq 0 \\ \lg x & x>0,\end{array}\right.$ 若 $f(a)=1$, 则 $a=$
选项：
答案：-1 或 10
解析：当 $a \leq 0$ 时, $a^{2}=1, \therefore a=-1$,

当 $a>0$ 时, $\lg a=1, \therefore a=10$,

综上: $a=-1$ 或 $a=10$.

故答案为: -1 或 10

【分析】首先根据分段函数的定义域, 设 $a \leq 0$ 和 $a>0$, 分别代入函数解方程.
题目（高一 · 代数）：衣柜里的樟脑丸随着时间推移会挥发而体积变小,若它的体积 $V$ 随时间 $t$ 的变化规律是 $V=V_{0} \mathrm{e}^{-\frac{1}{10} t}$ ( $\mathrm{e}$ 为自然对数的底), 其中 $V_{0}$ 为初始值. 若 $V=\frac{V_{0}}{3}$, 则 $t$ 的值约为 (运算结果保留整数, 参考数据: $\lg 3 \approx 0.4771, \operatorname{lge} \approx 0.4343$ )
选项：
答案：11
解析：由题意, 设一个现樟脑变为 $V=\frac{V_{0}}{3}$ 时, 需要经过的时间为 $t$,

则 $V_{0} e^{-\frac{1}{10} t}=\frac{V_{0}}{3}$, 即 $e^{-\frac{1}{10} t}=\frac{1}{3}=3^{-1}$,

所以 $-\frac{1}{10} t=\ln 3^{-1}=-\ln 3$,

所以 $t=10 \ln 3=10 \times \frac{\lg 3}{\operatorname{lge}}=10 \times \frac{0.4771}{0.4343} \approx 11$.

【分析】由已知樟脑丸的体积 $V$ 随时间 $t$ 的变化规律是 $V=V_{0} \mathrm{e}^{-\frac{1}{10} t}$, 把 $V=\frac{V_{0}}{3}$ 代入, 利用指数与对数的运算性质, 即可求出 $t$ 的值.
题目（高一 · 代数）：为了抗击新型冠状病毒肺炎, 某医药公司研究出一种消毒剂, 据实验表明, 该药物释放量 $y\left(m g / m^{3}\right)_{\text {与时间 }} t(h)_{\text {的函数关系为 }} y=\left\{\begin{array}{ll}k t, & 0<t<\frac{1}{2} \\ \frac{1}{k t}, & t \geq \frac{1}{2}\end{array}\right.$ (如图所示), 实验表明, 当药物释放量 $y<0.75\left(\mathrm{mg} / \mathrm{m}^{3}\right)$ 对人体无害. (1) $k=$ ;（2）为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过分钟人方可进入房间.


选项：
答案：$2 ; 40$
解析：(1)由图可知, 当 $t=\frac{1}{2}$ 时, $y=1$, 即 $\frac{1}{k \times \frac{1}{2}}=1 \Rightarrow k=2$

(2) 由题意可得 $\left\{\begin{array}{l}t \geq \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2 t}<0.75, \text { 解得 }\end{array}>\frac{2}{3}\right.$

则为了不使人身体受到药物伤害, 若使用该消毒剂对房间进行消毒,

则在消毒后至少经过 $\frac{2}{3} \times 60=40$ 分钟人方可进入房间.

故答案为: (1) 2;（2）40

【分析】(1) 由 ${ }^{t=\frac{1}{2}}$ 时, $y=1$, 即可得出 $k$ 的值; (2) 解不等式组 $\left\{\begin{array}{l}t \geq \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2 t}<0.75\end{array}\right.$, 即可得答案.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=\ln \frac{x+8}{2-x}$ 的定义城为 $D$, 对于任意 $x_{1}, x_{2} \in D$, 当 $\left|x_{1}-x_{2}\right|=2$ 时, $\left|f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right|$ 的最小值为
选项：
答案：$2 \ln \frac{3}{2}$
解析：因为 $(2-x)(x+8)>0$, 所以 $f(x)$ 的定义域为 $(-8,2)$,

不妨设 $x_{1}<x_{2}$, 因为 $\left|x_{1}-x_{2}\right|=2$, 所以 $x_{2}=x_{1}+2, x_{1} \in(-8,0)$,

$$
\begin{aligned}
& \left|f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right|=\left|f\left(x_{1}+2\right)-f\left(x_{1}\right)\right|=\ln \frac{x_{1}+2+8}{2-x_{1}-2}-\ln \frac{x_{1}+8}{2-x_{1}}|=| \ln \left(\frac{x_{1}+10}{-x_{1}} \cdot \frac{2-x_{1}}{x_{1}+8}\right) \\
& =\left|\ln \left(\frac{x_{1}^{2}+8 x_{1}-20}{x_{1}^{2}+8 x_{1}}\right)\right|=\left\lvert\, \ln \left(1-\frac{20}{x_{1}^{2}+8 x_{1}}\right)\right.,
\end{aligned}
$$

故当 $x_{1}^{2}+8 x_{1}$ 取得最小值时, 即 $x_{1}=-4$ 时, 此时 $\left|f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right|_{\text {取得最小值, }}$

即 $\left|f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right|_{\min }=\left|\ln \left(1-\frac{20}{(-4)^{2}+8 \cdot(-4)}\right)\right|=\ln \frac{9}{4}=2 \ln \frac{3}{2}$.

故答案为: $2 \ln \frac{3}{2}$

【分析】不妨设 $x_{1}<x_{2}$, 得 $x_{2}=x_{1}+2, x_{1} \in(-8,0)$, 化简 $\left|f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right|$, 根据对数函数单调性即可求解.

三、解答题
题目（高一 · 代数）：若函数 $f(x)=x^{2}+2(a-1) x+2$ 在区间 $(-\infty, 4)$ 上是单调减函数, 则实数 $a$ 的取值范围是
选项：
答案：$(-\infty,-3]$.
解析：【分析】

求得函数 $f(x)$ 的对称轴方程, 进而可得结果.

## 【详解】

显然, 函数 $f(x)$ 的对称轴方程为 $x=1-a$, 依题意可得 $1-a \geq 4$, 解得 $a \leq-3$.

故答案为: $(-\infty,-3]$.
题目（高一 · 代数）：已知 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数, 在区间 $(-\infty, 0]$ 上为增函数, 且 $f(2)=0$, 则不等式 $f(1+2 x) \leq 0$ 的解集为
选项：
答案：$\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right] \cup\left[\frac{1}{2},+\infty\right)$.
解析：【分析】

根据函数的奇偶性, 得出 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的单调性以及 $f(-2)=0$, 结合函数 $f(x)$ 的单调性可得答案.

## 【详解】

因为 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数, 且在 $(-\infty, 0]$ 上是增函数,

所以 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是减函数, 因为 $f(2)=0$, 所以 $f(-2)=0$,

所以不等式 $f(1+2 x) \leq 0$ 等价为 $\left\{\begin{array}{l}x>0 \\ f(1+2 x) \leq f(2)\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x \leq 0 \\ f(1+2 x) \leq f(-2)\end{array}\right.$,

即 $\left\{\begin{array}{l}x>0 \\ 1+2 x \geq 2\end{array}\right.$, 或 $\left\{\begin{array}{l}x \leq 0 \\ 1+2 x \leq-2\end{array}\right.$, 解得 $x \geq \frac{1}{2}$ 或 $x \leq-\frac{3}{2}$,

故答案为: $\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right] \cup\left[\frac{1}{2},+\infty\right)$.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=\left(x-\frac{1}{2}\right)^{3}+1$, 则 $f\left(\frac{1}{2021}\right)+f\left(\frac{2}{2021}\right)+\cdots \cdots+f\left(\frac{2020}{2021}\right)$ 的值为
选项：
答案：2020
解析：【分析】

计算 $f(x)+f(1-x)$, 然后配对求和可得.

## 【详解】

因为 $f(x)+f(1-x)=\left(x-\frac{1}{2}\right)^{3}+1+\left((1-x)-\frac{1}{2}\right)^{3}+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^{3}+1+\left(\frac{1}{2}-x\right)^{3}+1=2$,

$f\left(\frac{1}{2021}\right)+f\left(\frac{2}{2021}\right)+\cdots \cdots+f\left(\frac{2020}{2021}\right)$

$=f\left(\frac{1}{2021}\right)+f\left(\frac{2020}{2021}\right)+f\left(\frac{2}{2021}\right)+f\left(\frac{2019}{2021}\right)+\cdots \cdots+f\left(\frac{1010}{2021}\right)+f\left(\frac{1011}{2021}\right)$

$=1010 \times 2=2020$

故答案为: 2020 .
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathrm{R}$ 上的偶函数, 且当 $x \geq 0$ 时, $f(x)=x^{2}-2 x$. 若关于 $x$ 的方程 $f(x)-m=0$ 有四个不同的实数解, 则实数 $m$ 的取值范围是


选项：
答案：$(-1,0)$
解析：因为函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathrm{R}$ 上的偶函数且当 $x \geq 0$ 时, $f(x)=x^{2}-2 x$,所以函数 $f(x)$ 图象关于 $y$ 轴对称, 作出函数 $f(x)$ 的图象:



若方程 $f(x)-m=0$ 有四个不同的实数解,



由图象可知: $-1<m<0$ 时, 即有 4 个交点.

故 $\mathrm{m}$ 的取值范围是 $(-1,0)$,

故答案为: $(-1,0)$

【分析】若方程 $f(x)-m=0$ 有四个不同的实数解, 则函数 $y=f(x)$ 与直线 $y=m$ 有 4 个交点, 作出函数 $f(x)$ 的图象, 由数形结合法分析即可得答案.
题目（高一 · 代数）：为了抗击新型冠状病毒肺炎, 某医药公司研究出一种消毒剂, 据实验表明, 该药物释放量 $y\left(\mathrm{mg} / \mathrm{m}^{3}\right)_{\text {与时间 }} t(h)$ 的函数关系为 $\quad y=\left\{\begin{array}{ll}k t, & 0<t<\frac{1}{2} \\ \frac{1}{k t}, & t \geq \frac{1}{2}\end{array}\right.$ (如图所示), 实验表明, 当药物释放量 $y<0.75\left(\mathrm{mg} / \mathrm{m}^{3}\right)$ 对人体无害. (1) $k=$ \$ \qquad \$ ;（2）为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过 \$ \qquad \$分钟人方可进入房间.


选项：
答案：$2 ; 40$
解析：(1)由图可知, 当 $t=\frac{1}{2}$ 时, $y=1$, 即 $\frac{1}{k \times \frac{1}{2}}=1 \Rightarrow k=2$

(2) 由题意可得 $\left\{\begin{array}{l}t \geq \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2 t}<0.75\end{array}\right.$, 解得 $t>\frac{2}{3}$

则为了不使人身体受到药物伤害, 若使用该消毒剂对房间进行消毒, 则在消毒后至少经过 $\frac{2}{3} \times 60=40$ 分钟人方可进入房间.
故答案为:（1）2;（2）40

【分析】(1) 由 ${ }^{t=\frac{1}{2}}$ 时, $y=1$, 即可得出 $k$ 的值; (2) 解不等式组即可得出答案.

三、解答题
题目（高一 · 代数）：已知 $3^{m}=2^{n}=k$, 且 $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=2$, 则 $k$ 的值是
选项：
答案：$\sqrt{6}$.
解析：由 $3^{m}=2^{n}=k$ 得 $m=\log _{3} k, n=\log _{2} k$, 则 $2=\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\log _{k} 3+\log _{k} 2=\log _{k} 6$,所以 $k^{2}=6$, 又 $k>0$, 所以 $k=\sqrt{6}$. 故答案为: $\sqrt{6}$.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\log _{a}(x+2), x \geq 1 \\ 2^{x}, x<1\end{array}\right.$ 是 $R$ 上的增函数, 则 $a$ 的取值范围为
选项：
答案：$(1, \sqrt{3}]$
解析：根据题意, 函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\log _{a}(x+2), x \geq 1 \\ 2^{x}, x<1\end{array}\right.$ 是 $R$ 上的增函数,则必有 $\left\{\begin{array}{l}a>1 \\ \log _{a}(1+2) \geqslant 2^{2}\end{array}\right.$, 解可得 $1<a \leqslant \sqrt{3}$, 即 $a$ 的取值范围为 $(1, \sqrt{3}]$, 故答案为: $(1, \sqrt{3}]$.
题目（高一 · 代数）：若函数 $f(x)$ 同时满足: (1) 对于定义域上的任意 $x$, 恒有 $f(x)+f(-x)=0$ ；(2) 对于定义域上的任意 $x_{1}, x_{2}$, 当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时, 恒有 $\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}<0$, 则称函数 $f(x)$ 为 “理想函数”. 给出下列四个函数中: (1) $f(x)=\frac{1}{x}$; (2) $f(x)=x^{2}$; (3) $f(x)=x^{3}+5 x$; (4) $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-x^{2} & x \geq 0 \\ x^{2} & x<0\end{array}\right.$ ，能被称为“理想函数”的有 (填相应的序号).
选项：
答案：(4)
解析：若 $f(x)$ 满足: (1) 对于定义域上的任意 $x$, 恒有 $f(x)+f(-x)=0$; 可知 $f(x)$ 是奇函数;

若 $f(x)$ 满足: (2) 对于定义域上的任意 $x_{1}, x_{2}$, 当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时, 恒有 $\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}<0$, 可知 $f(x)$ 是减函数,所以即是奇函数又是减函数的函数就是“理想函数”.

对于(1): $f(x)=\frac{1}{x}$ 是奇函数, 在 $(-\infty, 0)$ 和 $(0,+\infty)$ 单调递减, 但在定义域内不是减函数, 不符合理想函数的定义, 故(1)不正确;

对于(2) $f(x)=x^{2}$ 是偶函数, 在 $(-\infty, 0)$ 单调递减, 在 $(0,+\infty)$ 单调递增, 不符合理想函数的定义, 故(2)不正确;对于(3): $f(x)=x^{3}+5 x$ 是奇函数, 因为 $y=x^{3}$ 和 $y=5 x$ 都是增函数, 所以 $f(x)=x^{3}+5 x$ 在 $\mathrm{R}$ 上单调递增,不符合理想函数的定义，故(3)不正确;

对于(4): 作出分段函数的图象如图所示: 由图知: $f(x)$ 图象关于原点对称是奇函数, 且在 $\mathrm{R}$ 上单调递减,符合理想函数的定义, 故(4)正确;



故答案为: (4).
题目（高一 · 代数）：阅读下列程序, 并回答问题

| INPUT $a, b$ |
| :--- |
| $c=a-b$ |
| $b=a+c-b$ |
| PRINT $a, b, c$ |
| END |


| INPUT $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ |
| :--- |
| $\mathrm{A}=\mathrm{A}+\mathrm{B}$ |
| $\mathrm{B}=\mathrm{B}-\mathrm{A}$ |
| $\mathrm{C}=\mathrm{C} / \mathrm{A} * \mathrm{~B}$ |
| $\mathrm{PRINT}^{\prime \prime} \mathrm{C}={ }^{\prime \prime} ; \mathrm{C}$ |
| END |

(1) 中若输入 1,2 , 则输出的结果为 \$ \qquad \$ ;

(2) 中若输入 $3,2,5$, 则输出的结果为 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：(1) $1,-2,-1$ (2) $\mathrm{C}=-3$
解析：(1) 阅读程序, 由语句 $\mathrm{c}=\mathrm{a}-\mathrm{b}$ 及 $\mathrm{a}=1, \mathrm{~b}=2$, 可得 $\mathrm{c}=-1$. 又根据语句 $\mathrm{b}=\mathrm{a}+\mathrm{c}-\mathrm{b}$,可得 $\mathrm{b}=-2$, 所以输出结果为 $1,-2,-1$.



(2) 阅读程序, 由语句 $A=A+B$ 及 $A=3, B=2, C=5$, 可得 $A=5$. 又根据语句 $B=B-A$, 可得 $B=-3$.又 $\mathrm{C}=\mathrm{C} / \mathrm{A} * \mathrm{~B}$, 所以输出结果为 $\mathrm{C}=-3$.

故答案为: (1) $1,-2,-1$ (2) $\mathrm{C}=-3$
题目（高一 · 代数）：阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 则输出 $\mathrm{S}$ 的值为


选项：
答案：4
解析：第一次循环: $\mathrm{S}-8, \mathrm{n}=2$; 第二次循环: $\mathrm{S}=2, \mathrm{H}=3$; 第三次循环: $\mathrm{S}=4 . \mathrm{n}=4$,此时结束循环, 则输出 $\mathrm{S}$ 的值为 4 .故答案为:4
题目（高一 · 代数）：运行如图 1.1.2-40 所示的程序, 则输出 $\mathrm{a}$ 的值是


选项：
答案：14
解析：7.14 第一次循环时, $a=2, i=3$; 第二次循环时, $a=5, i=5$; 第三次循环时,
$a=14, i=7$, 此时应退出循环, 故输出 $a=14$.故答案为:14
题目（高一 · 代数）：执行如图所示的程序框图, 若输入 $\mathrm{x}=1$, 则输出 $\mathrm{y}$ 的值是


选项：
答案：7
解析：$7 x=1, y=5-2 \times 1=3,|3-1|>5$ 不成立; $x=3, y=5-2 \times 3=-1,|-1-3|>5$ 不成立; $\mathrm{x}=-1, \mathrm{y}=5-2 \mathrm{x}(-1)=7,|7-(-1)|>5$ 成立, 终止循环, 输出 $\mathrm{y}=7$.故答案为:7
题目（高一 · 代数）：某程序框图如图所示, 若输入 $x$ 的值为 -4 , 则输出的结果为


选项：
答案：4
解析：此程序框图的功能是输出所给数的绝对值, 输入的 $\mathrm{x}$ 的值为 -4 . 易知输出的结果为 4 .故答案为:4
题目（高一 · 代数）：下列程序输出的结果是


选项：
答案：132.
解析：解析》先执行一次循环体, 当条件不符合时继续执行循环体, 当条件符合时退出循环.

第 1 次, $s=12, i=11$, 不符合条件;

第 2 次, $s=132, i=10$, 符合条件, 跳出循环.

故答案为: 132.
题目（高一 · 代数）：下列程序输出的结果是


选项：
答案：132
解析：解析》先执行一次循环体, 当条件不符合时继续执行循环体, 当条件符合时退出循环.

第 1 次, $s=12, i=11$, 不符合条件;

第 2 次, $s=132, i=10$, 符合条件, 跳出循环.

故答案为: 132.
题目（高一 · 代数）：执行如图所示的程序框图, 若输入 $1=2, m=3, n=5$, 则输出的 $y$ 的值是


选项：
答案：68 .
解析：当输入 $1=2, m=3, n=5$ 时, 不满足条件 $l^{2}+m^{2}+n^{2}=0$. 因此执行 $y=70 \times 2+21 \times 3+15 \times 5=278$. 由于 $278>105$, 所以执行 $y=y-105$, 执行后 $y$ 的值为 278-105173>105, 再执行一次 $\mathrm{y}=\mathrm{y}-105$ 后, $\mathrm{y}$ 的值为 $173-105=68$, 此时 68>105 不成立, 终止循环. 故答案为: 68 .
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}2, x \geq 0, \\ x+1, x<0,\end{array}\right.$ 则 $f(-1)=$ $f(1)=$
选项：
答案：$f(-1)=-1+1=0 ; f(1)=2$.
解析：因为函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{r}2, x \geq 0, \\ x+1, x<0,\end{array}\right.$ 则 $f(-1)=-1+1=0 ; f(1)=2$.
题目（高一 · 代数）：已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^{2}-1, & x \leq 1 \\ -x+1, & x>1\end{array}\right.$, 则 $f[f(-1)]=$ ; 若 $f(x)=-1$, 则 $x=$
选项：
答案：-1，0或2
解析：$f(-1)=(-1)^{2}-1=0$, 故 $f[f(-1)]=f(0)=-1$,

因为 $f(x)=-1$, 故 $\left\{\begin{array}{c}x \leq 1 \\ x^{2}-1=-1\end{array}\right.$ 或者 $\left\{\begin{array}{c}x>1 \\ -x+1=-1\end{array}\right.$, 解得 $x=0$ 或 $x=2$.

综上，填-1，0或2.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}x^{2}-1, x \leq 0 \\ -2 x, x>0\end{array}\right.$, 则 $f(2)=$ ; 若 $f\left(x_{0}\right)=8$, 则 $x_{0}=$
选项：
答案：(1) $f(2)=-2 \times 2=-4$ ；

（2）$x_{0}=3$.
解析：(1) $f(2)=-2 \times 2=-4$ ；

（2）当 $x_{0} \leq 0$ 时, $f\left(x_{0}\right)=x_{0}{ }^{2}-1=8 \Rightarrow x_{0}{ }^{2}=9 \Rightarrow x_{0}= \pm 3, \because x_{0} \leq 0, \therefore x_{0}=-3$;

当 $x_{0}>0$ 时, $f\left(x_{0}\right)=-2 x_{0}=8 \Rightarrow x_{0}=-4$; $\because x_{0}>0$, 则 $x_{0}=-4$ 舍去;

综上可知 $x_{0}=3$.
题目（高一 · 代数）：(已知函数 $f(x)=2 x+b$ 在区间 $(-1,2)$ 上的函数值恒为正, 则 $\mathrm{b}$ 的取值范围为
选项：
答案：$[2,+\infty)$
解析：$\because f(x)=2 x+b$ 为增函数,

$\therefore$ 若 $f(x)=2 x+b$ 在区间 $(-1,2)$ 上的函数值恒为正,

则只需要 $f(-1)=-2+b \geq 0$ 即可,

即 $b \geq 2$ ，

即实数 $b$ 的取值范围是 $[2,+\infty)$,

故答案为: $[2,+\infty)$
题目（高一 · 代数）：已知 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}-2|\mathrm{x}|+2$, 若 $\mathrm{a}<\mathrm{b}<\mathrm{c}<\mathrm{d}$, 满足 $\mathrm{f}(\mathrm{a})=\mathrm{f}(\mathrm{b})=\mathrm{f}(\mathrm{c})=\mathrm{f}(\mathrm{d})$, 则 $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}$ 的值等于
选项：
答案：: 0
解析：根据题意, $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}-2|\mathrm{x}|+2$, 则 $\mathrm{f}(-\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}-2|\mathrm{x}|+2=\mathrm{f}(\mathrm{x})$, 即函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 为偶函数,

$f(x)=x^{2}-2|x|+2=\left\{\begin{array}{l}x^{2}-2 x+2, x \geq 0 \\ x^{2}+2 x+2, x<0\end{array}\right.$,

若 $\mathrm{a}<\mathrm{b}<\mathrm{c}<\mathrm{d}$ ，满足 $\mathrm{f}(\mathrm{a})=\mathrm{f}(\mathrm{b})=\mathrm{f}(\mathrm{c})=\mathrm{f}(\mathrm{d})$, 分析可得 $\mathrm{a}+\mathrm{d}=\mathrm{b}+\mathrm{c}=0$, 故 $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}=0$;

故答案为: 0
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}-2 x, x<0 \\ x^{2}-2 x, x \geq 0\end{array}\right.$, 若 $f(4)>f(t)$, 则实数 $t$ 的取值范围为
选项：
答案：$(-4,4)$
解析：, $f(4)=8$, 所以不等式 $f(4)>f(t)$ 可化为 $8>f(t)$, 当 $t<0$ 时, 不等式等价于 $8>-2 t$,所以 $-4<t<0$, 当 $t \geq 0$ 时, 不等式等价于 $8>t^{2}-2 t$, 所以 $0 \leq t<4$, 综上所述, $t$ 的取值范围为 $(-4,4)$
题目（高一 · 代数）：函数 $f(x)=x^{2}-x-2, x \in[-5,5]$, 在定义域内任取一点 $x_{0}$, 使 $f\left(x_{0}\right) \leq 0$的概率是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$\frac{3}{10}$
解析：由 $f\left(x_{0}\right) \leq 0$, 得 $x_{0}{ }^{2}-x_{0}-2 \leq 0$, 解得 $-1 \leq x_{0} \leq 2$,

因此, 在定义域内任取一点 $x_{0}$, 使 $f\left(x_{0}\right) \leq 0$ 的概率是 $P=\frac{2-(-1)}{5-(-5)}=\frac{3}{10}$,

故答案为 $\frac{3}{10}$.
题目（高一 · 代数）：函数 $f(x)=3 x^{2}-m x+4$ 在 $[-5,+\infty)$ 上是增函数, 在 $(-\infty,-5]$ 上是减函数, 则 $f(-1)=$
选项：
答案：-23
解析：【详解】

函数 $f(x)=3 x^{2}-m x+4$ 在 $[-5,+\infty)$ 上是增函数, 在 $(-\infty,-5]$ 上是减函数,

所以 $\frac{m}{6}=-5, m=-30, f(x)=3 x^{2}+30 x+4$,

$f(-1)=3-30+4=-23$.

故答案为: -23

【点睛】

此题考查根据函数单调性求参数的取值，根据函数解析式求解函数值，属于简单题目.
题目（高一 · 代数）：若函数 $f(x)=x^{3}+x$, 对任意的 $m \in[-2,2], f(m x-2)+f(x)<0$ 恒成立, 则 $x$ 的取值范围是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$\left(-2, \frac{2}{3}\right)$
解析：

$f^{\prime}(x)=3 x^{2}+1>0, \therefore f(x)$ 在 $R$ 上为增函数. 又 $f(x)$ 为奇函数, 由 $f(m x-2)+f(x)<0$ 知, $f(m x-2)<f(-x) . \therefore m x$ $-2<-x$ ，即 $m x+x-2<0$,令 $g(m)=m x+x-2$, 由 $m \in[-2,2]$ 知 $g(m)<0$ 恒成立, 可得 $\left\{\begin{array}{l}g(-2)=-x-2<0 \\ g(2)=3 x-2<0\end{array}, \therefore-2<x<\frac{2}{3}\right.$.
题目（高一 · 代数）：若函数 $f(x)=x^{2}+2(a-1) x+2$ 的单调递减区间是 $(-\infty, 4]$, 则实数 $a$ 的值是
选项：
答案：-3
解析：【详解】

因为函数 $f(x)$ 的单调递减区间是 $(-\infty, 4]$,

而函数 $f(x)$ 的图象的对称轴为直线 $x=1-a$, 所以 $1-a=4$, 即 $a=-3$.

故答案为: -3 .

【点睛】

本题考查二次函数的单调性, 注意 “函数的单调减区间是 $(-\infty, 4]$ ” 与 “函数在区间 $(-\infty, 4]$ 上是单调减函数” 的区别, 本题属于基础题.