eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（九年级 · 解析几何）：已知抛物线 $y=a x^{2}+b x+c(a<0)$ 经过 $A\left(x_{1}, m\right), B\left(x_{2}-1, m\right), C\left(x_{2}, p\right), D\left(x_{1}-1, q\right)$,若 $x_{1}<x_{2}$ 时, 则 $m, p, q$ 的大小关系是（）

选项：
A. $m<p<q$
B. $m<p=q$
C. $p=q<m$
D. $p<q<m$

答案：C
解析：由 $A\left(x_{1}, m\right), B\left(x_{2}-1, m\right)$ 纵坐标相同可以看出 $A B$ 关于对称轴对称, 即对称轴为 $x=\frac{x_{1}+x_{2}-1}{2}$, 再结合 $C 、 D$ 坐标可得 $C 、 D$ 关于对称轴对称, 再根据 $x_{1}<x_{2}$, 比较 $m$ 和 $p$的大小即可.

【详解】 $\because A\left(x_{1}, m\right), \quad B\left(x_{2}-1, m\right)$

$\therefore$ 对称轴为 $x=\frac{x_{1}+x_{2}-1}{2}$

$\therefore C\left(x_{2}, p\right), D\left(x_{1}-1, q\right)$ 关于对称轴对称, 即 $p=q$

$\because x_{1}<x_{2}$

$\therefore \frac{x_{1}+x_{2}-1}{2}<\frac{x_{1}+x_{2}}{2}<\frac{2 x_{2}}{2}=x_{2}$

$\therefore C\left(x_{2}, p\right)$ 在对称轴右边

当 $A\left(x_{1}, m\right)$ 也在对称轴右边时此时由 $y=a x^{2}+b x+c(a<0) y$ 随 $x$ 的增大而减小,

$\because x_{1}<x_{2}, \quad \therefore p=q<m$

当 $B\left(x_{2}-1, m\right)$ 在对称轴右边时此时由 $y=a x^{2}+b x+c(a<0) y$ 随 $x$ 的增大而减小,

$\because x_{2}-1<x_{2}, \quad \therefore p=q<m$

$\therefore p=q<m$

故选: $C$

【点睛】本题考查二次函数的性质, 解题的关键是根据 $A B$ 纵坐标相同可以看出 $A, B$ 关于对称轴对称.
题目（九年级 · 解析几何）：抛物线 $y=-(x-2)^{2}-1$ 的顶点坐标是（）

选项：
A. $(-2,1)$
B. $(-2,-1)$
C. $(2,1)$
D. $(2,-1)$

答案：D
解析：由抛物线顶点式即可求解.

【详解】解： $\because$ 抛物线 $y=a(x-h)^{2}+k$ 的顶点坐标是 $(h, k)$,

$\therefore$ 拋物线 $y=-(x-2)^{2}-1$ 的顶点坐标是 $2,-1$,

故选: D.

【点睛】本题考查二次函数的性质, 解题关键是掌握拋物线 $y=a(x-h)^{2}+k$ 的顶点坐标是 $(h, k)$.
题目（九年级 · 解析几何）：二次函数 $\mathrm{y}=-(\mathrm{x}-1)^{2}+\mathrm{b}$ 图象有两个点 $\left(2, y_{1}\right) ，\left(3 ， y_{2}\right)$. 则下面选项正确的是 ( )

选项：
A. $\mathrm{y}_{1}>\mathrm{y}_{2}$
B. $y_{1}=y_{2}$
C. $\mathrm{y}_{1}<\mathrm{y}_{2}$
D. 无法判断

答案：A
解析：试题分析：根据二次函数图象上点的坐标特征, 将点 $\left(2 ， \mathrm{y}_{1}\right)$ 和 $\left(3, \mathrm{y}_{2}\right)$ 分别代入函数解析式，并求得 $\mathrm{y}_{1} 、 \mathrm{y}_{2}$ 的大小，然后再来比较一下它们的大小即可.

解: 根据题意, 得

$y_{1}=-(2-1)^{2}+b=-1+b, y_{2}=-(3-1)^{2}+b=-4+b$,

$\therefore \mathrm{y}_{1}-\mathrm{y}_{2}=3>0$,

$\therefore \mathrm{y}_{1}>\mathrm{y}_{2}$

故选 A.
点评: 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征. 解答该题也可以根据二次函数图象的性质作出判断.
题目（九年级 · 解析几何）：已知二次函数 $y=-x^{2}+2 m x$, 以下点可能成为二次函数顶点的是 ( ).

选项：
A. $(-2,4)$
B. $(1,2)$
C. $(-1,-1)$
D. $(2,-4)$

答案：A
解析：先根据配方法化为顶点式，表示出顶点坐标，然后即可判断出可能成为函数顶点.

【详解】 $y=-x^{2}+2 m x$,

$=-\left(x^{2}-2 m x\right)$,

$=-\left(x^{2}-2 m x+m^{2}\right)+m^{2}$,

$=-(x-m)+m^{2}$,

$\therefore$ 顶点坐标为 $\left(m, m^{2}\right)$,

$\therefore$ 可能成为函数顶点的是 $(-2,4)$,

故选 A.

【点睛】本题考查了二次函数 $y=a(x-h)^{2}+k$ 的性质, $y=a(x-h)^{2}+k$ 是抛物线的顶点式, 其顶点是 $(h, k)$, 对称轴是 $x=h$. 熟练掌握二次函数 $y=a(x-h)^{2}+k$ 的性质是解答本题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 是二次函数 $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ 的图象的一部分, 给出下列结论中正确的是 ( )



选项：
A. $b c>0$
B. $b>2 a$
C. $a \cdot b+c=0$
D. $a-2 b+c<0$


答案：D
解析：根据二次函数的图像与各系数的关系即可依次判断.

【详解】解: $\because$ 二次函数开口方向向上, 对称性为 $x=-1<0$

$\therefore a>0, \quad b>0,-\frac{b}{2 a}=-1$

$\therefore b=2 a, B$ 错误;

$\because$ 函数与 $x$ 轴交于负半轴

$\therefore c<0$,

$\therefore b c<0, A$ 错误;

$\because$ 图像过 $(1,0)$

$\therefore a+b+c=0$,

$\because b=2 a$,

$\therefore c=-a-b=-3 a$,

$\therefore a-2 b+c=-3 b$,

$\because b>0$,

$\therefore-3 b<0$, 所以 $D$ 正确.

$\because a \cdot b+c=2 a^{2}+c$, 大小无法判断, $C$ 错误

故选: $D$.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系: 二次函数 $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ 的图象为抛物线, 当 $a>0$, 抛物线开口向上; 对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2 a}$; 抛物线与 $y$ 轴的交点坐标为 $(0, c)$.
题目（九年级 · 解析几何）：已知抛物线 $y=a x^{2}+b x+c$ 满足条件: (1) 在 $x>-2$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而增大, 在 $x<-2$时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小; (2) 与 $x$ 轴有两个交点, 且两个交点间的距离小于 2 .以下四个结论: (1) $a<0$; (2) $c>0$; (3) $a-b+c>0$; (4) $\frac{c}{4}<a<\frac{c}{3}$, 说法正确的个数有 ( ) 个

选项：
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1

答案：B
解析：由在 $x>-2$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而增大, 在 $x<-2$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小, 可得 $\mathrm{a}>0$,对称轴为 $\mathrm{x}=-2$; 由与 $x$ 轴有两个交点, 且两个交点间的距离小于 2 , 可得抛物线的图象与 $\mathrm{x}$轴的两个交点的横坐标位于-3 与-1 之间, 据条件得图象:



观察图象可知, $c>0, a-b+c>0$ (当 $x=-1$ 时, $y=a-b+c>0$ ); 当 $x=-3$ 时, $y=9 a-3 b+c>0$, 由对称轴 $\mathrm{x}=-\frac{b}{2 a}=-2$ 可得 $4 \mathrm{a}=\mathrm{b}$, 所以 $9 \mathrm{a}-12 \mathrm{a}+\mathrm{c}>0$, 即 $a \prec \frac{c}{3}$; 又因抛物线与 $\mathrm{x}$ 轴有两个交点,可知 $b^{2}-4 a c \succ 0$, 所以 $16 a^{2}-4 a c \succ 0$, 即可得 $a \succ \frac{c}{4}$, 所以 $\frac{c}{4}<a<\frac{c}{3}$, 综上, 正确的结论有 (2)(3)(4), 故选 B.

点睛: 本题考查了二次函数各系数与函数图象的关系，解题的关键是注意数形结合思想的应用.
题目（九年级 · 解析几何）：顶点为 $(-5,0)$, 且开口方向、形状与函数 $y=-\frac{1}{3} x^{2}$ 的图象相同的拋物线是 $($ )

选项：
A. $y=\frac{1}{3}(x-5)^{2}$
B. $y=-\frac{1}{3} x^{2}-5$
C. $y=-\frac{1}{3}(x+5)^{2}$
D. $y=\frac{1}{3}(x+5)^{2}$

答案：C
解析：设拋物线的解析式为 $\mathrm{y}=\mathrm{a}(\mathrm{x}-\mathrm{h})^{2}+\mathrm{k}$, 由条件可以得出 $\mathrm{a}=-\frac{1}{3}$, 再将顶点坐标代入解析式就可以求出结论.

【详解】设拋物线的解析式为 $\mathrm{y}=\mathrm{a}(\mathrm{x}-\mathrm{h})^{2}+\mathrm{k}$,

$\because$ 该抛物线的形状与开口方向和抛物线 $\mathrm{y}=-\frac{1}{3} \mathrm{x}^{2}$ 相同,

$\therefore \mathrm{a}=-\frac{1}{3}$,

$\therefore y=-\frac{1}{3}(x-h)^{2}+k$,

$\because$ 拋物线的顶点为 $(-5,0)$,

$\therefore y=-\frac{1}{3}(x+5)^{2}$.

故选: C.

【点睛】本题考查了二次函数的性质, 用待定系数法求二次函数的解析式, 在解答时运用抛物线的性质求出 $a$ 的值是关键.
题目（九年级 · 解析几何）：函数 $y=a x^{2}+1$ 和 $y=a x+a$ ( $a$ 为常数, 且 $a \neq 0$ ), 在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是 ( $\quad$ )

选项：
A.


B.



C.



D.




答案：D
解析：先根据 $y=a x^{2}+1$ 的顶点坐标为 $(0,1)$, 判断 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 不符合题意, 再由 $\mathrm{C}, \mathrm{D}$ 中的二次函数的图象判断 $a<0$, 从而可得答案.

【详解】解: 由 $y=a x^{2}+1$ 的顶点坐标为 $(0,1)$,
故 A, B 不符合题意;

由 $\mathrm{C}, \mathrm{D}$ 中二次函数的图象可得: $a<0$,

$\therefore$ 函数 $y=a x+a$ 过一, 三, 四象限,

故 D 符合题意, $\mathrm{C}$ 不符合题意.

故选: D.

【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存的问题, 掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：把扰物线 $y=\frac{1}{2}(x-1)^{2}+3$ 向左平移 3 个单位长度, 再向下平移 4 个单位长度,得到的抛物线表达式为（）

选项：
A. $y=\frac{1}{2}(x-4)^{2}-1$
B. $y=\frac{1}{2}(x-4)^{2}+7$
C. $y=\frac{1}{2}(x+2)^{2}-1$
D. $y=\frac{1}{2}(x+2)^{2}+7$

答案：C
解析：利用平移的规律“左加右减, 上加下减”可得到答案.

【详解】解: 把抛物线 $y=\frac{1}{2}(x-1)^{2}+3$ 向左平移 3 个单位长度, 再向下平移 4 个单位长度, 得到的抛物线表达式为 $y=\frac{1}{2}(x-1+3)^{2}+3-4$, 即 $y=\frac{1}{2}(x+2)^{2}-1$.

故选: $C$.

【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移, 掌握平移的规律 “左加右减, 上加下减”是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：抛物线 $y=a x^{2}+b x+c$ 的对称轴是直线 $x=-2$. 抛物线与 $x$ 轴的一个交点在点 $(-4,0)$和点 (-3,0) 之间, 其部分图象如图所示. (1) $b-4 a=0$; (2) $a+b+c>0$ ；(3) $c<3 a$; (4) $b^{2}+2 b>4 a c$. 所述 4 个结论中正确的是 ( ).



选项：
A. (1)(2)
B. (1)(4)
C. (2)(3)
D. (1)(3)(4)


答案：B
解析：由对称轴为 $x=-\frac{b}{2 a}=-2$, 可判断(1); 由 $x=1$ 时, $y<0$, 可判断(2); 由 $x=-1$ 时, $y>0$,以及对称轴为 $x=-\frac{b}{2 a}=-2$, 变形可判断(3); 根据抛物线的顶点坐标为 $(-2,3)$, 可得 $\frac{4 a c-b^{2}}{4 a}=3$,再结合 $b<0$, 即可对(4)作出判断.

【详解】解: $\because$ 拋物线的对称轴为 $x=-\frac{b}{2 a}=-2$,

$\therefore b=4 a$,

$\therefore 4 a-b=0$,

故(1)正确;

由图象可知, 当 $x=1$ 时, $y<0$,

即 $a+b+c<0$.

故(2)不正确;

由图象可知, 当 $x=-1$ 时, $y>0$,

即 $a-b+c>0$,

$\because b=4 a$,

$\therefore-3 a+c>0$, 即 $c>3 a$.

故(3)不正确;

$\because$ 抛物线的顶点坐标为 $(-2,3)$,

$\therefore \frac{4 a c-b^{2}}{4 a}=3$,

$\therefore 4 a c-b^{2}=12 a$.

$\because b=4 a$,

$\therefore 4 a c-b^{2}=3 b$,
$\therefore b^{2}-4 a c+2 b=-b>0$,

$\therefore b^{2}+2 b>4 a c$.

故(4)正确.

故选: B.

【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象的开口方向与系数的关系、对称轴、顶点坐标公式以及二次函数与一元二次方程的关系是解答本题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：已知点 $A\left(-1, y_{1}\right), B\left(2, y_{2}\right), C\left(-3, y_{3}\right)$ 三点都在函数 $y=a x^{2}(a>0)$ 的图像上，则（）

选项：
A. $y_{2}<y_{1}<y_{3}$
B. $y_{1}<y_{2}<y_{3}$
C. $y_{1}<y_{3}<y_{2}$
D. $y_{3}<y_{2}<y_{1}$

答案：A
解析：由拋物线解析式可求得其开口方向及对称轴, 再由点离对称轴的远近可求得答案.

【详解】解: $\because y=a x^{2} \quad(a>0)$,

$\therefore$ 抛物线开口向上, 对称轴为 $y$ 轴,

$\therefore$ 点离对称轴越近则函数值越小，

$\because A\left(-1, y_{1}\right)$ 离对称轴 1 个单位长度, $B\left(2, y_{2}\right)$ 离对称轴 2 个单位长度, $C\left(-3, y_{3}\right)$离对称轴 3 个单位长度，

$\therefore y_{1}<y_{2}<y_{3}$,

故选: A.

【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征, 掌握利用点与对称轴远近比较函数值大小的方法是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：抛物线 $y=2(x-3)^{2}-1$ 的顶点坐标是（）

选项：
A. $(-3,1)$
B. $(3,1)$
C. $(3,-1)$
D. $(-3,-1)$

答案：C
解析：二次函数 $y=a(x-h)^{2}+k$ 的顶点坐标为 $(h, k)$.

【详解】解：拋物线 $y=2(x-3)^{2}-1$ 的顶点坐标是 $(3,-1)$,

故选: C.

【点睛】本题考查二次函数解析式的顶点, 是基础考点, 掌握相关知识是解题关键.
题目（九年级 · 解析几何）：已知函数 $y=a x^{2}+b x+c$, 当 $y>0$ 时, $-\frac{1}{3}<x<\frac{1}{2}$. 则函数 $y=c x^{2}-b x+a$ 的图像可能是图中的 ( )


A


B


C


D

选项：
A. A
B. B
C. C
D. $\mathrm{D}$


答案：D
解析： $\because$ 函数 $y=a x^{2}+b x+c$, 当 $y>0$ 时, $-\frac{1}{3}<x<\frac{1}{2}$.

$\therefore a<0, c>0$, 函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 与 $x$ 轴的交点为 $\left(-\frac{1}{3}, 0\right)$ 和 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$,

$\therefore-\frac{b}{a}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}, \frac{c}{a}=\frac{1}{2} \times\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{6}$

$\therefore a=-6 b, a=-6 c$,

$\therefore b=c$ ，不妨设 $c=1$

$\therefore$ 函数 $y=c x^{2}-b x+a$ 为函数 $y=x^{2}-x-6$

即 $y=(x+2)(x-3)$

$\therefore$ 与 $x$ 轴的交点坐标是 $(-2,0),(3,0)$.

故选 D.
题目（九年级 · 解析几何）：二次函数 $y=a x^{2}+x+a^{2}-1$ 的图象可能是 （）

选项：
A.


B.


C.


D.




答案：C
解析：依次假设函数图象正确, 得到 $\mathrm{a}$ 的取值, 再结合对称轴信息可排除错误的图象从而得解.

【详解】解: A. 假设函数图象正确,因图象过原点, 则 $\mathrm{a}^{2}-1=0, a= \pm 1$, 又开口向上, $a=1$, 但对称轴为直线 $x=-\frac{1}{2 a}=-\frac{1}{2}$ 与图象不符.

B. 假设函数图象正确, 则 $a<0$, 对称轴 $x=-\frac{1}{2 a}>0$. 与图象不符.

C. 假设函数图象正确, 则 $a= \pm 1$, 又开口向上, $a=1$, 对称轴 $x=-\frac{1}{2 a}<0$, 符合.

D. 该函数的对称轴 $x=-\frac{1}{2 a} \neq 0$. 不可能为 $y$ 轴, 故与图象不符.

故选 C.

【点睛】此题主要考查了二次函数的图象有关性质, 讨论 $\mathrm{a}$ 的取值, 再利用对称轴选择答案是解题关键.
题目（九年级 · 解析几何）：若点 $A\left(3, y_{1}\right) 、 B\left(0, y_{2}\right)$ 是抛物线 $y=(x-2)^{2}+3$ 上的两点, 则 $y_{1} 、 y_{2}$ 的大小关系是 ( )

选项：
A. $y_{1}>y_{2}$
B. $y_{1} \geq y_{2}$
C. $y_{1}<y_{2}$
D. $y_{1} \leq y_{2}$

答案：C
解析：将 $A 、 B$ 点的横坐标分别代入解析式, 求出 $y_{1} 、 y_{2}$, 比较即可.

【详解】解: $\because$ 点 $A\left(3, y_{1}\right) 、 B\left(0, y_{2}\right)$ 是抛物线 $y=(x-2)^{2}+3$ 上的两点,

$\therefore y_{1}=(3-2)^{2}+3=4, y_{2}=(0-2)^{2}+3=7$,

$\therefore y_{1}<y_{2}$,

故选: C.

【点睛】此题考查了已知自变量求函数值, 比较函数值的大小, 正确掌握函数上点的坐标特征是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：已知二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 的图象如图, 对称轴为直线 $x=1$, 则以下结论正确的是



选项：
A. $a c>0$
B. $c-5 b<0$
C. $2 a-b=0$

D. 当 $a=-1$ 时, 抛物线的顶点坐标为 $(1,5)$


答案：B
解析：根据图象可判断 $a$ 和 $c$ 的符号，即可判断 $\mathrm{A}$; 根据图象可知抛物线与 $x$ 轴的一个交

点为 $(3,0)$, 即可得出 $9 a+3 b+c=0$, 再根据抛物线对称轴为直线 $x=1$, 即 $-\frac{b}{2 a}=1$, 且可判断出 $b>0$, 通过整理可得出 $c-5 b=-\frac{7 b}{2}$, 即可判断 $\mathrm{B}$; 由 $-\frac{b}{2 a}=1$, 即可判断 $\mathrm{C}$; 由 $a=-1$,可求出 $b 、 c$ 的值, 即得出拋物线解析式, 再变为顶点式, 即可判断 D.

【详解】解: 根据图象可知, 该二次函数开口向下,

$\therefore a<0$,

该二次函数与 $y$ 轴交点在 $x$ 轴上方，

$\therefore c>0$,

$\therefore a c<0$, 故 A 选项错误, 不符合题意;

$\because$ 该抛物线与 $x$ 轴的一个交点为 $(3,0)$,

$\therefore 9 a+3 b+c=0$,

$\because$ 对称轴为直线 $x=1$, 即 $-\frac{b}{2 a}=1$,

$\therefore a=-\frac{b}{2}$,

$\therefore 9 \times\left(-\frac{b}{2}\right)+3 b+c=0$, 即 $c-\frac{3 b}{2}=0$

$\therefore c-5 b=-\frac{7 b}{2}$.

$\because a<0$,

$\therefore b>0$,

$\therefore-\frac{7 b}{2}<0$,

$\therefore c-5 b<0$, 故 B 选项正确, 符合题意;

$\because-\frac{b}{2 a}=1$,

$\therefore 2 a+b=0$, 故 C 选项错误, 不符合题意;

当 $a=-1$ 时, 即 $\left\{\begin{array}{c}-\frac{b}{2 \times(-1)}=1 \\ 9 \times(-1)+3 b+c=0\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{l}b=2 \\ c=3\end{array}\right.$,

$\therefore$ 该二次函数解析式为 $y=-x^{2}+2 x+3$, 改为顶点式为 $y=-(x-1)^{2}+4$,

$\therefore$ 拋物线顶点坐标为 $(1,4)$, 故 D 选项错误，不符合题意;

故选 B.

【点睛】本题考查二次函数的图象和性质, 二次函数图象与系数的关系. 熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：下列说法错误的是（）


选项：
A. 一次函数 $y=-2 x+3, y$ 随 $x$ 的增大而减小，

B. 反比例函数 $y=\frac{2}{x}$ 中, $y$ 随 $x$ 的增大而增大,

C. 抛物线 $y=x^{2}+1$ 与 $y=x^{2}-1$ 的形状相同, 只是位置不同,

D. 二次函数 $y=-2(x-2)^{2}+3$ 中, 当 $x>2$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小


答案：B
解析：根据一次函数、反比例函数及二次函数的性质可进行求解.

【详解】解: A、一次函数 $y=-2 x+3$ 中, $\because-2<0, \therefore y$ 随 $x$ 的增大而减小, 本选项正确; B、反比例函数 $y=-\frac{2}{x}$ 中, $-2<0$, 在每一个象限内, $y$ 随 $x$ 的增大而增大, 本选项错误;

C、拋物线 $y=x^{2}+1$ 与 $y=x^{2}-1$ 的形状相同, 只是位置不同, 本选项正确;

D、二次函数 $y=-2(x-2)^{2}+3$ 中, $\because-2<0$, 拋物线开口向下, $\therefore$ 当 $x>2$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小, 本选项正确.

故选 B.

【点睛】本题主要考查一次函数、反比例函数及二次函数的性质, 熟练掌握三种函数的性质是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：对于二次函数 $\mathrm{y}=(\mathrm{x}-1)^{2}+2$ 的图象，下列说法正确的是（）

选项：
A. 开口向下
B. 顶点坐标是 $(-1,2)$
C. 对称轴是 $\mathrm{x}=1$
D. 与 $\mathrm{x}$ 轴有两个交点

答案：C
解析：根据 $\mathrm{a}$ 的正负判断开口方向, 通过抛物线的 $\mathrm{y}=\mathrm{a}(\mathrm{x}-\mathrm{h})^{2}+\mathrm{k}$ 解析式判定对称轴、顶点坐标, 根据顶点坐标和开口方向即可判断抛物线与 $\mathrm{x}$ 轴交点个数.

【详解】试题解析: $\because \mathrm{y}=(\mathrm{x}-1)^{2}+2$,

$\therefore$ 抛物线开口向上, 顶点坐标为 $(1,2)$, 对称轴为 $\mathrm{x}=1$,

令 $y=0$ 可得 $(x-1)^{2}+2=0$, 该方程无实数根,

$\therefore$ 抛物线与 $\mathrm{x}$ 轴没有交点,

故选 C.

【点睛】二次函数的顶点式是解题的关键，即在 $\mathrm{y}=\mathrm{a}(\mathrm{x}-\mathrm{h})^{2}+\mathrm{k}$ 中，顶点坐标为 $(\mathrm{h}, \mathrm{k})$,对称轴为 $\mathrm{x}=\mathrm{h}$.
题目（九年级 · 解析几何）：已知二次函数 $y=a x^{2}+b x+c \quad(a \neq 0)$ 的图象如图所示, 则下列结论: (1) $a b c<0$; (2) $b^{2}$ $-4 a c<0$; (3) $2 a+b>0$; (4) $a-b+c<0$, 其中正确的个数（ ）



选项：
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个


答案：C
解析：根据题意可知(1)观察二次函数图象即可得出 $\mathrm{a}<0 、 \mathrm{~b}>0 、 \mathrm{c}>0$, 由此可得出 $\mathrm{abc}<$ 0 , 即(1)正确; (2)由抛物线与 $\mathrm{x}$ 轴有两个交点, 由此可得出 $\triangle=b^{2}-4 a c>0$, 即(2)错误; (3)由(1)可知 $0<b<-2 a$, 由此可得出 $2 a+b<0$, 即(3)错误; (4)观察函数图象可知当 $x=-1$ 时, $\mathrm{y}=\mathrm{a}-\mathrm{b}+\mathrm{c}<0$, 即(4)正确. 综上即可得出结论.

【详解】解：(1)观察二次函数图象可得出： $\mathrm{a}<0,0<-\frac{b}{2 a}<1, \mathrm{c}>0$,

$\therefore 0<\mathrm{b}<-2 \mathrm{a}$,

$\therefore a b c<0$, (1)正确;

(2) $\because$ 二次函数图象与 $\mathrm{x}$ 轴有两个交点,

$\therefore$ 方程 $a x^{2}+b x+c=0$ 有两个不相等的实数根,

$\therefore \triangle=\mathrm{b}^{2}-4 \mathrm{ac}>0$, (2)错误;

(3) $\because 0<\mathrm{b}<-2 \mathrm{a}$,

$\therefore \mathrm{b}-(-2 \mathrm{a})=2 \mathrm{a}+\mathrm{b}<0$, (3)错误;

(4)当 $x=-1$ 时, $y=a-b+c<0$, (4)正确.

综上所述：正确的结论为(1)(4).

故选: C.

【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系, 注意观察二次函数图象找出 $\mathrm{a}<0 、 0<\mathrm{b}<-2 \mathrm{a}$ 、 $\mathrm{c}>0$ 是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度 $y$ (米) 与水平距离 $x$ （米）之间的关系式为 $y=-\frac{1}{10} x^{2}+\frac{3}{5} x+\frac{8}{5}$, 由此可知小宇此次训练实心球落地时的水平距离为（）



选项：
A. 85 米
B. 8 米
C. 10 米
D. 2 米


答案：B
解析：小宇此次实心球训练的成绩就是拋物线 $y=-\frac{1}{10} x^{2}+\frac{3}{5} x+\frac{8}{5}$ 与 $x$ 轴交点的横坐标,即当 $y=0$ 时，求 $x$ 的值即可.

【详解】解: 当 $y=0$ 时, 即 $y=-\frac{1}{10} x^{2}+\frac{3}{5} x+\frac{8}{5}$,

解得: $x_{1}=-2$ (舍去), $x_{2}=8$,

所以小宇此次实心球训练的成绩为 8 米.

故选: B.

【点睛】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义, 需要结合题意,取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键.
题目（九年级 · 解析几何）：设 $A\left(-2, y_{1}\right), B\left(1, y_{2}\right), C\left(2, y_{3}\right)$ 是拋物线 $y=-(x+1)^{2}+k$ 上的三点, 则 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$的大小关系为 ( ）

选项：
A. $y_{1}>y_{2}>y_{3}$
B. $y_{1}>y_{3}>y_{2}$
C. $y_{2}>y_{3}>y_{1}$
D. $y_{3}>y_{1}>y_{2}$

答案：A
解析：根据二次函数的性质得到抛物线 $y=-(x+1)^{2}+k$ ( $k$ 为常数 $)$ 的开口向下, 对称轴为直线 $x=-1$, 然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小.

【详解】解: $\because$ 抛物线 $y=-(x+1)^{2}+k$ ( $k$ 为常数 $)$ 的开口向下, 对称轴为直线 $x=-1$, 而 $A\left(2, y_{1}\right)$ 离直线 $x=-1$ 的距离最远, $C\left(-2, y_{3}\right)$ 点离直线 $x=1$ 最近, $\therefore y_{1}>y_{2}>y_{3}$.故选 A.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征: 二次函数图象上点的坐标满足其解析式. 也考查了二次函数的性质.
题目（九年级 · 解析几何）：二次函数的 $y$ 与 $x$ 的部分对应值如表，则下列判断中正确的是（）

| $x$ | $\ldots$ | 0 | 1 | 3 | 4 | $\cdots$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $y$ | $\ldots$ | 2 | 4 | 2 | -2 | $\cdots$ |


选项：
A. 抛物线开口向上
B. $y$ 的最大值为 4
C. 当 $x>1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小
D. 当 $0<x<2$ 时, $2<y \leq \frac{17}{4}$


答案：D
解析：由表格数据根据待定系数法可解得二次函数解析式, 在坐标轴下描点, 可作出草图,再根据二次函数图像的性质进行解答.

【详解】解: 设 $y=a x^{2}+b x+c$, 将前三组数据代入解析式得: $\left\{\begin{array}{l}c=2 \\ a+b+c=4 \\ 9 a+3 b+c=2\end{array}\right.$,

解得 $a=-1, b=3, c=2$, 得解析式: $y=-x^{2}+3 x+2$

由表格可作出草图如图,

$A$ 项: 由图知抛物线开口向下, 故 $A$ 错误;

$B$ 项: 由图知在对称轴 $x=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}$ 处的函数值高于 $x=1$ 出的函数值 4 , 故 $B$ 错误;

$C$ 项：由图知当 $x>1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大先增大后减小, 故 $C$ 错误;

$D$ 项: 由图知当 $0<x<2$ 时, 最大值在对称轴 $x=\frac{3+0}{2}=\frac{3}{2}$ 处取得最大值, 计算得 $\frac{17}{4}$, 在 $x=0$处取得最小值 2 , 所以当 $0<x<2$ 时, $2<y \leq \frac{17}{4}$, 故 $D$ 项正确;

故选 $D$.



【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像的性质; 读懂表格数据的特点，数形结合，利用二次函数的性质得出结论是本题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：把抛物线 $y=x^{2}-3$ 向右平移 2 个单位, 然后向上平移 1 个单位, 则平移后得到的拋物线的解析式为 ( )

选项：
A. $y=(x-2)^{2}+2$
B. $y=(x-2)^{2}-2$
C. $y=(x+2)^{2}+2$
D. $y=(x+2)^{2}-2$
答案：B
解析：利用函数的平移规律：左加右减（括号内）, 上加下减, 即可求出平移后得到的抛物线的解析式.

【详解】解: 抛物线 $y=x^{2}-3$ 向右平移 2 个单位得到: $y=(x-2)^{2}-3$,再向上平移 1 个单位得到: $y=(x-2)^{2}-2$,

故选 $B$.

【点睛】此题考查的是函数的平移规律：左加右减（括号内）, 上加下减.
题目（九年级 · 解析几何）：如图是抛物线 $\mathrm{y}_{1}=\mathrm{ax}+\mathrm{bx}+\mathrm{c}(\mathrm{a} \neq 0)$ 的图象的一部分, 抛物线的顶点 $\mathrm{A}$ 的坐标为 $(-1$, 2), 与 $x$ 轴的一个交点 $B$ 的坐标为 $(-3,0)$, 直线 $y_{2}=m x+n$ 与拋物线交于 $A 、 B$ 两点. 下列结论: (1) $2 a-b=0$; (2) $a b c<0$; (3) $a+b+c=0$; (4)方程 $a x^{2}+b x+c=5$ 没有实数根; (5)当 $y_{1}<$ $y_{2}$ 时, $x>-1$. 其中正确的是（ ）



选项：
A. (1)(3)(4)
B. (1)(3)(4)(5)
C. (1)(3)(5)
D. (2)(3)(4)(5)


答案：B
解析：试题解析： $\because$ 顶点 $\mathrm{A}$ 的坐标为 $(-1,2)$,

$\therefore$ 对称轴 $\mathrm{x}=-\frac{b}{2 a}=-1$,

$\therefore \mathrm{b}=2 \mathrm{a}$,

$\therefore 2 \mathrm{a}-\mathrm{b}=0$, 故(1)正确;

$\because$ 抛物线开口向下， $\therefore \mathrm{a}<0$,

$\because$ 对称轴在 $\mathrm{y}$ 轴的左侧, $\therefore \mathrm{b}<0$,

$\because$ 交y 轴正半轴, $\therefore \mathrm{c}>0$,

$\therefore a b c>0$, 故(2)错误;

$\because$ 抛物线的顶点坐标 $\mathrm{A}(-1,2)$, 与 $\mathrm{x}$ 轴的一个交点 $\mathrm{B}$ 的坐标为 $(-3,0)$,

$\therefore$ 与 $\mathrm{x}$ 轴的另一个交点是 $(1,0)$,

$\therefore$ 当 $x=1$ 时, $y=0$,
$\therefore \mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=0$, 故(3)正确;

$\because$ 拋物线的最大值为 2 ,

$\therefore$ 抛物线 $\mathrm{y}=\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{c}$ 与直线 $\mathrm{y}=5$ 没有交点,

$\therefore$ 方程 $\mathrm{ax}{ }^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=5$ 没有实数根, 故(4)正确;

$\because$ 由图象可知, 当 $\mathrm{x}>-1$ 时, 有 $\mathrm{y}_{1}<\mathrm{y}_{2}$, 故(5)正确;

故选 B.

考点: 二次函数图象与系数的关系.
题目（九年级 · 解析几何）：把函数 $y=3 x^{2}$ 的图像向下平移 2 个单位长度，所得到的新函数的解析式是（）

选项：
A. $y=3(x-2)^{2}$
B. $y=3 x^{2}+2$
C. $y=3 x^{2}-2$
D. $y=3(x+2)^{2}$

答案：C
解析：根据二次函数图象的平移法则“左加右减，上加下减”得出正确选项.

【详解】解: 函数 $y=3 x^{2}$ 向下平移 2 个单位长度, 得到 $y=3 x^{2}-2$.

故选: C.

【点睛】本题考查二次函数图象的平移, 解题的关键是掌握二次函数图象平移的方法.
题目（九年级 · 解析几何）：抛物线 $y=(x+2)^{2}-3$ 的顶点坐标是 ( )

选项：
A. $(-2,-3)$
B. $(2,3)$
C. $(-2,3)$
D. $(-3,2)$

答案：A
解析：根据拋物线的顶点式 $y=a(x-h)^{2}+k$ 的顶点坐标为 $(h, k)$, 即可得出结论.

【详解】解: 抛物线 $y=(x+2)^{2}-3$ 的顶点坐标是 $(-2,-3)$, 故 A 正确.

故选: A.

【点睛】本题主要考查了二次函数的性质, 掌握二次函数的顶点式的特征是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：如图所示的是二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 的部分图象, 由图象可知不等式 $a x^{2}+b x+c<0$的解集是（）



选项：
A. $-1<x<5$
B. $x>5$
C. $x<-1$ 且 $x>5$
D. $x<-1$ 或 $x>5$


答案：D
解析：找到二次函数图象与 $x$ 轴的交点横坐标即可求解.

【详解】解: $\because$ 抛物线对称轴为直线 $x=2$, 且抛物线与 $x$ 轴交于 $(5,0)$,

$\therefore$ 抛物线与 $x$ 轴另一交点坐标为 $(-1,0)$,

$\therefore$ 不等式 $a x^{2}+b x+c<0$ 的解集是 $x<-1$ 或 $x>5$

故选: D.

【点睛】本题考查利用图象法求解一元二次不等式. “数形结合”是解题关键.
题目（九年级 · 解析几何）：二次函数 $y=x^{2}+1$ 的图象平移后经过点 $(2,0)$, 则下列平移方法正确的是（）
    
选项：
A. 向左平移 2 个单位, 向下平移 2 个单位
    B. 向左平移 1 个单位, 向上平移 2 个单位
    C. 向右平移 1 个单位, 向下平移 2 个单位
    D. 向右平移 2 个单位, 向上平移 1 个单位


答案：C
解析：求出平移后的抛物线的解析式, 利用待定系数法解决问题即可.

【详解】解: A、平移后的解析式为 $y=(x+2)^{2}+1-2=(x+2)^{2}-1$, 当 $x=2$ 时, $y=15$, 本选项不符合题意;

B、平移后的解析式为 $y=(x+1)^{2}+1+2=(x+1)^{2}+3$, 当 $x=2$ 时, $y=12$, 本选项不符合题意;

C、平移后的解析式为 $y=(x-1)^{2}+1-2=(x-1)^{2}-1$, 当 $x=2$ 时, $y=0$, 本选项符合题意;

D、平移后的解析式为 $y=(x-2)^{2}+1+1=(x-2)^{2}+2$, 当 $x=2$ 时, $y=2$, 本选项不符合题意;故选: C.

【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换, 二次函数图象上点的特征, 解题的关键是熟练掌握基本知识, 属于中考常考题型.
题目（九年级 · 解析几何）：若二次函数 $y=(m-2) x^{2}+4 x+2$ 的图象与 $x$ 轴有交点，则 $m$ 的取值范围是（）

选项：
A. $m \leq 4$
B. $m<4$
C. $m<4$ 且 $m \neq 2$
D. $m \leq 4$ 且 $m \neq 2$

答案：D
解析：利用二次函数的定义和判别式的意义得到 $m-2 \neq 0$ 且 $\Delta=4^{2}-4(m-2) \times 2 \geq 0$, 然后求出两个不等式的公共部分即可.

【详解】解：根据题意得 $m-2 \neq 0$ 且 $\Delta=4^{2}-4(m-2) \times 2 \geq 0$,

解得 $m \leq 4$ 且 $m \neq 2$.

故选: D.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系: 抛物线与 $x$ 轴交点个数由 $\triangle$ 决定: $\Delta=b^{2}-4 a c>0$ 时, 抛物线与 $x$ 轴有 2 个交点; $\Delta=b^{2}-4 a c=0$ 时, 抛物线与 $x$ 轴有 1 个交点; $\Delta=b^{2}-4 a c<0$ 时, 抛物线与 $x$ 轴没有交点.
题目（九年级 · 解析几何）：已知二次函数 $y=-2(x+1)^{2}+3$, 下列结论正确的是 ( )

选项：
A. 其图像的开口向上
B. 图像的对称轴为直线 $x=1$
C. 当 $x>-1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小
D. 函数有最小值 3

答案：C
解析：根据二次函数图像和性质即可求解.

【详解】解: 二次函数 $y=-2(x+1)^{2}+3$ 中, $a=-2<0$, 图像开口向下; 顶点坐标是 $(-1,3)$,对称轴为直线 $x=-1$, 当 $x<-1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而增大; 当 $x>-1, y$ 随 $x$ 的增大而减小,函数的最大值为 3 ,

$\therefore$ A、其图像的开口向下, 故 A 选项错误, 不符合题意;

$B$ 、图像的对称轴为直线 $x=-1$, 故 B 选项错误, 不符合题意;

C、当 $x>-1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小, 正确, 符合题意;

D 、函数有最大值 3，故 D 选项错误，不符合题意;

故选: C.

【点睛】本题主要考查二次函数图像和性质, 掌握二次函数的性质是解题的关键.

##
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 的图象与 $x$ 轴的一个交点为 $(3,0)$, 对称轴是直线 $x=1$,下列结论正确的是（）



选项：
A. $a b c<0$
B. $2 a+b=0$
C. $4 a c>b^{2}$
D. 点 $(-2,0)$ 在函数图象上


答案：B
解析：利用二次函数的图象与系数的关系可得出, $a 、 b 、 c$ 的正负, 进而得出 $a b c$ 的正负;利用对称轴为直线 $x=1$, 可得出 $2 a+b$ 与 0 的关系; 由抛物线与 $x$ 轴的交点情况, 可得出 $b^{2}$与 $4 a c$ 的大小关系; 由抛物线与 $x$ 轴的一个交点坐标为 $(3,0)$, 再结合对称轴为直线 $x=1$,可得出另一个交点坐标.

【详解】解： A、由二次函数的图形可知: $a>0, b<0, c<0$, 所以 $a b c>0$. 故本选项不符合题意;

B、因为二次函数的对称轴是直线 $x=1$, 则 $-\frac{b}{2 a}=1$, 即 $2 a+b=0$. 故本选项符合题意;

C、因为抛物线与 $x$ 轴有两个交点, 所以 $b^{2}-4 a c>0$, 即 $4 a c<b^{2}$. 故本选项不符合题意;

D、因为抛物线与 $x$ 轴的一个交点坐标为 $(3,0)$, 且对称轴为直线 $x=1$, 所以它与 $x$ 轴的另一
个交点的坐标为 $(-1,0)$. 故本选项不符合题意;

故选: B.

【点睛】本题考查二次函数图象与各项系数的关系, 正确求得 $a, b, c$ 的正负以及巧妙利用拋物线的对称轴是解决问题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：已知二次函数 $y_{1}=x^{2}-2 x-1$ 与一次函数 $y_{2}=2 x-1$ 的图象如图所示, 点 $P(m, n)$ 的纵坐标满足 $y_{1}<n<y_{2}$, 且 $m, n$ 都为整数, 则这样的点 $P$ 有 ( )



选项：
A. 4 个
B. 5 个
C. 6 个
D. 7 个


答案：D
解析：首先联立求出二次函数与一次函数的交点坐标, 然后根据点 $P(m, n)$ 的纵坐标满足 $y_{1}<n<y_{2}$, 且 $m, n$ 都为整数得到 $0<m<4$, 然后分别代入 $x=1, x=2, x=3$ 求解即可.

【详解】联立二次函数 $y_{1}=x^{2}-2 x-1$ 与一次函数 $y_{2}=2 x-1$

得, $\left\{\begin{array}{l}y_{1}=x^{2}-2 x-1 \\ y_{2}=2 x-1\end{array}\right.$

解得 $x_{1}=0, x_{2}=4$

$\because P(m, n)$ 的纵坐标满足 $y_{1}<n<y_{2}$, 且 $m, n$ 都为整数,

$\therefore 0<m<4$,

$\therefore$ 当 $x=1$ 时, $y_{1}=x^{2}-2 x-1=-2, y_{2}=2 x-1=1$

$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $1,-1$ 或 $(1,0)$;

$\therefore$ 当 $x=2$ 时, $y_{1}=x^{2}-2 x-1=-1, y_{2}=2 x-1=3$

$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(2,0)$ 或 $(2,1)$ 或 $(2,2)$;

$\therefore$ 当 $x=3$ 时, $y_{1}=x^{2}-2 x-1=2, y_{2}=2 x-1=5$

$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(3,3)$ 或 $(3,4)$.

综上所述, 这样的点 $P$ 可以为 $1,-1$ 或 $(1,0)$ 或 $(2,0)$ 或 $(2,1)$ 或 $(2,2)$ 或 $(3,3)$ 或 $(3,4)$, 共 7 个,故选: D.

【点睛】此题考查了二次函数与一次函数的交点问题, 解题的关键是求出二次函数与一次函数的交点坐标.
题目（九年级 · 解析几何）：将抛物线 $y=-2 x^{2}+1$ 先向右平移 3 个单位长度, 再向下平移 1 个单位长度, 所得到的抛物线解析式为 $($ )

选项：
A. $y=-2(x+3)^{2}+2$
B. $y=-2(x+3)^{2}$
C. $y=-2(x-3)^{2}+2$
D. $y=-2(x-3)^{2}$

答案：D
解析：根据函数图象平移规律，可得答案.

【详解】解：抛物线 $y=-2 x^{2}+1$ 先向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，所

得到的抛物线解析式为 $y=-2(x-3)^{2}+1-1$, 即 $y=-2(x-3)^{2}$,

故选: D.

【点睛】主要考查了二次函数图象与几何变换, 要求熟练掌握平移的规律: 左加右减, 上加下减. 并用规律求函数解析式.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 已知抛物线 $y=x^{2}-2 x$ 与直线 $y=-x+2$ 交于 $A, B$ 两点. 点 $M$ 是直线 $A B$ 上的一个动点, 将点 $M$ 向左平移 4 个单位长度得到点 $N$, 若线段 $M N$ 与抛物线只有一个公共点,则点 $M$ 的横坐标 $x_{M}$ 的取值范围是 ( )

选项：
A. $-2 \leq x_{M} \leq 2$
B. $-2 \leq x_{M} \leq 2$ 且 $x_{M} \leq-1$
C. $-1 \leq x_{M}<2$
D. $-1 \leq x_{M}<2$ 或 $x_{M}=3$

##
答案：D
解析：分三种情况: 当点 $M$ 在线段 $A B$ 上时; 当点 $M$ 在点 $\mathrm{A}$ 的左侧时; 当点 $M$ 在点 $B$ 的右侧时; 分类求解确定 $M N$ 的位置, 进而求解.

【详解】解: 联立 $\left\{\begin{array}{l}y=x^{2}-2 x \\ y=-x+2\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{l}x=-1 \\ y=3\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=0\end{array}\right.$,

$\therefore \mathrm{A}$ 的坐标为 $(-1,3)$, 点 $B$ 的坐标为 $(2,0)$,

如图, 当点 $M$ 在线段 $A B$ 上时, 线段 $M N$ 与抛物线只有一个公共点,



$\because M, N$ 的距离为 4 , 而 $\mathrm{A}, B$ 的水平距离是 $2-(-1)=2+1=3$, 此时线段 $M N$ 与抛物线只有

一个公共点, 即 $-1 \leq x_{M}<2$;

如图, 当点 $M$ 在点 $\mathrm{A}$ 的左侧时, 线段 $M N$ 与抛物线没有公共点,



如图, 当点 $M$ 在点 $B$ 的右侧时,



$\because y=x^{2}-2 x=(x-1)^{2}-1$,
$\therefore$ 当抛物线和 $M N$ 交于拋物线的顶点 $(1,-1)$ 时，线段 $M N$ 与抛物线只有一个公共点，此时

$y=-1, \quad-x_{M}+2=-1$,

解得: $x_{M}=3$,

综上所述, 线段 $M N$ 与抛物线只有一个公共点, 则点 $M$ 的横坐标 $x_{M}$ 的取值范围是

$-1 \leq x_{M}<2$ 或 $x_{M}=3$,

故选: D.

【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特征, 一次函数图象上点的坐标特征, 二次函数的图象和性质、坐标与图形变化一平移, 分类求解确定 $M N$ 的位置, 采用数形结合的思想解题, 是解此题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：如图所示, 已知二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 的图像与 $x$ 轴交于

$A 、 B$ 两点, 与 $y$ 轴交于点 $C, O A=O C$, 对称轴为直线 $x=1$,下列结论: (1) $a b c<0$; (2) $a c-b+1=0$; (3) $4 a+2 b+c=0$; (4) $2+c$是关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2}+b x+c=0$ 的一个根. 其中正确的有（）



选项：
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个


答案：C
解析：根据抛物线的开口方向、对称轴、与 $y$ 轴交点的位置可得 $a 、 b 、 c$ 的取值范围, 由此可判断(1); 由 $O A=O C$ 可得 $\mathrm{A}$ 的坐标, 代入解析式可判断(2); 结合对称轴以及 $C$ 点坐标可得当 $x=2$ 时的函数值, 即可判断(3); 由点 $\mathrm{A}$ 坐标结合对称轴可得点 $B$ 坐标, 据此可判断(4).

【详解】解: $\because$ 二次函数图像开口向下, 交 $y$ 轴于正半轴,

$\therefore a<0, c>0$,

$\because$ 二次函数对称轴为直线 $x=1$,

$\therefore x=-\frac{b}{2 a}=1$,

$\therefore b=-2 a>0$,

$\therefore a b c<0$, 故(1)正确;

$\because$ 当 $x=0$ 时, $y=c$,

$\therefore C(0, c)$,

又 $\because O A=O C$, 点 $\mathrm{A}$ 在 $x$ 轴负半轴上,

$\therefore A(-c, 0)$,

把 $A(-c, 0)$ 代入 $y=a x^{2}+b x+c$, 可得 $a c^{2}-b c+c=0$,

$\therefore a c-b+1=0$, 故(2)正确;

$\because$ 该抛物线对称轴为直线 $x=1, C(0, c)$,

则在该拋物线上点 $C$ 关于直线 $x=1$ 的对称点为 $(2, c)$,

将 $(2, c)$ 代入 $y=a x^{2}+b x+c$,

可得 $4 a+2 b+c=c$,

$\therefore 4 a+2 b=0$, 故(3)错误;

$\because A(-c, 0)$, 对称轴为直线 $x=1$,

$\therefore B(2+c, 0)$,

$\therefore 2+c$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2}+b x+c=0$ 的一个根, 故(4)正确.

综上所述, 正确的结论有(1)(2)(4), 共计 3 个.

故选: C.

【点睛】本题主要考查了抛物线与 $x$ 轴交点以及与二次函数图像与系数的关系, 掌握二次函数的性质是解题的关键.