题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 0 是 $\triangle A B C$ 的内心, $B 0$ 的延长线和 $\triangle A B C$ 的外接圆相交于点 $D$, 连接 $D C, D A, O A$, $O C$, 四边形 $O A D C$ 为平行四边形.

(1) 求证: $\triangle \mathrm{BOC} \cong \triangle \mathrm{CDA}$;

(2) 若 $A B=2$, 求阴影部分的面积.


选项：
答案：【分析】 (1) 根据内心性质得 $\angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$, 则 $A D=C D$, 于是可判断四边形 $0 A D C$为菱形, 则 $B D$ 垂直平分 $A C, \angle 4=\angle 5=\angle 6$, 易得 $O A=0 C, \angle 2=\angle 3$, 所以 $O B=0 C$, 可判断点 0 为 $\triangle A B C$ 的外心, 则可判断 $\triangle A B C$ 为等边三角形, 所以 $\angle A O B=\angle B O C=\angle A O C=120^{\circ}, B C=A C$, 再根据平行四边形的性质得 $\angle A D C=\angle A O C=120^{\circ}, A D=0 C, C D=0 A=O B$, 则根据 “ $S A S$ ” 证明 $\triangle B O C$ $\cong \triangle \mathrm{CDA} ;$

（2）作 $0 H \perp A B$ 于 $H$, 如图, 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到 $\angle B O H=30^{\circ}$,根据垂径定理得到 $B H=A H=\frac{1}{2} A B=1$, 再利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到 $\mathrm{BH}=\mathrm{AH}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}=1, \quad 0 \mathrm{H}=\frac{\sqrt{3}}{3} \mathrm{BH}=\frac{\sqrt{3}}{3}, 0 \mathrm{~B}=20 \mathrm{H}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$, 然后根据三角形面积公式和扇形面积公式,

<ImageHere>

(1) 证明: $\because 0$ 是 $\triangle A B C$ 的内心,

$\therefore \angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$,

$\therefore \mathrm{AD}=\mathrm{CD}$,

$\because$ 四边形 $O A D C$ 为平行四边形,

$\therefore$ 四边形 $O A D C$ 为菱形,

$\therefore \mathrm{BD}$ 垂直平分 $\mathrm{AC}, \angle 4=\angle 5=\angle 6$,

而 $\angle 1=\angle 5$,

$\therefore 0 \mathrm{~A}=0 \mathrm{C}, \quad \angle 2=\angle 3$,

$\therefore 0 \mathrm{~B}=0 \mathrm{OC}$,

$\therefore$ 点 0 为 $\triangle A B C$ 的外心,

$\therefore \triangle \mathrm{ABC}$ 为等边三角形,

$\therefore \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{AOC}=120^{\circ}, \mathrm{BC}=\mathrm{AC}$,

$\because$ 四边形 $O A D C$ 为平行四边形,

$\therefore \angle \mathrm{ADC}=\angle \mathrm{AOC}=120^{\circ}, \mathrm{AD}=\mathrm{OC}, \mathrm{CD}=0 \mathrm{~A}$,

$\therefore \mathrm{AD}=\mathrm{OB}$,

在 $\triangle B O C$ 和 $\triangle C D A$ 中

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{OB}=\mathrm{DC} \\ \angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{ADC}, \\ \mathrm{OC}=\mathrm{DA}\end{array}\right.$

$\therefore \triangle \mathrm{BOC} \cong \triangle \mathrm{CDA}$

(2) 作 $0 H \perp A B$ 于 $H$ ，如图，

$\because \angle A O B=120^{\circ}, 0 A=0 B$,

$\therefore \angle 0 \mathrm{BH}=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-120^{\circ}\right)=30^{\circ}$,

$\because 0 \mathrm{H} \perp \mathrm{AB}$,

$\therefore \mathrm{BH}=\mathrm{AH}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}=1$,

$\mathrm{OH}=\frac{\sqrt{3}}{3} \mathrm{BH}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,
$\mathrm{OB}=20 \mathrm{H}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$,

<ImageHere>

$=\frac{120 \cdot \pi \cdot\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3}\right)^{2}}{360}-\frac{1}{2} \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{3}$

$=\frac{4 \pi-3 \sqrt{3}}{9}$.

<ImageHere>
解析：【分析】 (1) 根据内心性质得 $\angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$, 则 $A D=C D$, 于是可判断四边形 $0 A D C$为菱形, 则 $B D$ 垂直平分 $A C, \angle 4=\angle 5=\angle 6$, 易得 $O A=0 C, \angle 2=\angle 3$, 所以 $O B=0 C$, 可判断点 0 为 $\triangle A B C$ 的外心, 则可判断 $\triangle A B C$ 为等边三角形, 所以 $\angle A O B=\angle B O C=\angle A O C=120^{\circ}, B C=A C$, 再根据平行四边形的性质得 $\angle A D C=\angle A O C=120^{\circ}, A D=0 C, C D=0 A=O B$, 则根据 “ $S A S$ ” 证明 $\triangle B O C$ $\cong \triangle \mathrm{CDA} ;$

（2）作 $0 H \perp A B$ 于 $H$, 如图, 根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到 $\angle B O H=30^{\circ}$,根据垂径定理得到 $B H=A H=\frac{1}{2} A B=1$, 再利用含 30 度的直角三角形三边的关系得到 $\mathrm{BH}=\mathrm{AH}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}=1, \quad 0 \mathrm{H}=\frac{\sqrt{3}}{3} \mathrm{BH}=\frac{\sqrt{3}}{3}, 0 \mathrm{~B}=20 \mathrm{H}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$, 然后根据三角形面积公式和扇形面积公式,



(1) 证明: $\because 0$ 是 $\triangle A B C$ 的内心,

$\therefore \angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$,

$\therefore \mathrm{AD}=\mathrm{CD}$,

$\because$ 四边形 $O A D C$ 为平行四边形,

$\therefore$ 四边形 $O A D C$ 为菱形,

$\therefore \mathrm{BD}$ 垂直平分 $\mathrm{AC}, \angle 4=\angle 5=\angle 6$,

而 $\angle 1=\angle 5$,

$\therefore 0 \mathrm{~A}=0 \mathrm{C}, \quad \angle 2=\angle 3$,

$\therefore 0 \mathrm{~B}=0 \mathrm{OC}$,

$\therefore$ 点 0 为 $\triangle A B C$ 的外心,

$\therefore \triangle \mathrm{ABC}$ 为等边三角形,

$\therefore \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{AOC}=120^{\circ}, \mathrm{BC}=\mathrm{AC}$,

$\because$ 四边形 $O A D C$ 为平行四边形,

$\therefore \angle \mathrm{ADC}=\angle \mathrm{AOC}=120^{\circ}, \mathrm{AD}=\mathrm{OC}, \mathrm{CD}=0 \mathrm{~A}$,

$\therefore \mathrm{AD}=\mathrm{OB}$,

在 $\triangle B O C$ 和 $\triangle C D A$ 中

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{OB}=\mathrm{DC} \\ \angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{ADC}, \\ \mathrm{OC}=\mathrm{DA}\end{array}\right.$

$\therefore \triangle \mathrm{BOC} \cong \triangle \mathrm{CDA}$

(2) 作 $0 H \perp A B$ 于 $H$ ，如图，

$\because \angle A O B=120^{\circ}, 0 A=0 B$,

$\therefore \angle 0 \mathrm{BH}=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-120^{\circ}\right)=30^{\circ}$,

$\because 0 \mathrm{H} \perp \mathrm{AB}$,

$\therefore \mathrm{BH}=\mathrm{AH}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}=1$,

$\mathrm{OH}=\frac{\sqrt{3}}{3} \mathrm{BH}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,
$\mathrm{OB}=20 \mathrm{H}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$,



$=\frac{120 \cdot \pi \cdot\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3}\right)^{2}}{360}-\frac{1}{2} \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{3}$

$=\frac{4 \pi-3 \sqrt{3}}{9}$.