题目（九年级 · 解析几何）：(10 分）如图 1, 在平面直角坐标系中, 点 $M$ 的坐标为 $(3,0)$, 以点 $M$ 为圆心, 5 为半径的圆与坐标轴分别交于点 $A 、 B 、 C 、 D$.



图1



图2



图3

(1) $\triangle A O D$ 与 $\triangle C O B$ 相似吗? 为什么?

(2)如图 2, 弦 $D E$ 交 $x$ 轴于点 $P$, 且 $B P: D P=3: 2$, 求 $\tan \angle E D A$;

(3)如图 3, 过点 $D$ 作 $\odot M$ 的切线, 交 $x$ 轴于点 $Q$. 点 $G$ 是 $\odot M$ 上的动点, 问比值 $G O$ 是否变化? 若不变, 请求出比值; 若变化, 请说明理由.
选项：
答案：解: (1) $\triangle A O D$ 与 $\triangle C O B$ 相似.

理由如下: 如图 1,

<ImageHere>

图1

$\because \angle A O D=\angle C O B, \angle A D O=\angle O B C$,

$\therefore \triangle A O D \sim \triangle C O B$

(2) 连结 $A E 、 B E 、 M D$, 如图 2,

<ImageHere>

图2

$\because$ 点 $M$ 的坐标为 $(3,0), M A=M B=M D=5$,

$\therefore O A=2$, 在 $R t \triangle O D M$ 中, $O D=\sqrt{M D^{2}-O M^{2}}=4$,
在Rt $\triangle O A D$ 中, $A D=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2 \sqrt{5}$,

$\because \angle P E B=\angle P A D, \angle P B E=\angle P D A$,

$\therefore \triangle P B E \sim \triangle P D A$,

$\therefore \frac{B E}{A D}=\frac{P B}{P D}=\frac{3}{2}$

$\therefore B E=\frac{3}{2} \times 2 \sqrt{5}=3 \sqrt{5}$,

在Rt $\triangle A B E$ 中, $A E=\sqrt{A B^{2}-B E^{2}}=\sqrt{10^{2}-(3 \sqrt{5})^{2}}=\sqrt{55}$,

$\therefore \tan \angle A B E=\frac{A E}{B E}=\frac{\sqrt{55}}{3 \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{11}}{3}$,

$\because \angle E D A=\angle A B E$,

$\therefore \tan \angle E D A=\frac{\sqrt{11}}{3}$

(3)如图 3，连结 $M D 、 M G ，$

<ImageHere>

图3

$\because D Q$ 为切线，

$\therefore M D \perp Q D$,

$\therefore \angle M D Q=90^{\circ}$,

$\because \angle O D M=\angle O Q D$,

$\therefore$ Rt $\triangle O D M \sim R t \triangle O Q D$,

$\therefore O D: O Q=O M: O D$, 即 4: $O Q=3: 4$,

$\therefore O Q=\frac{16}{3}$, 当 $G$ 点与 $A$ 点重合时, $\frac{O G}{Q G}=\frac{O A}{A Q}=\frac{2}{\frac{16}{3}-2}=\frac{3}{5}$;

当 $G$ 点与 $B$ 点重合时, $\frac{O G}{Q G}=\frac{O B}{Q B}=\frac{8}{\frac{16}{3}+8}=\frac{3}{5}$;

当 $G$ 点不与 $A 、 B$ 重合时,

$\because \angle O M D=\angle D M Q$,
$\therefore \triangle M O D \sim \triangle M D Q$,

$\therefore M O: M D=M D: M Q$,

即 $M D^{2}=M O \cdot M Q$ ，而 $M D=M G ，$

$\therefore M G^{2}=M O \cdot M Q$,

$\because \angle O M G=\angle G M Q$,

$\therefore \triangle M O G \backsim \triangle M G Q$

$\therefore \frac{O G}{Q G}=\frac{O M}{M G}=\frac{3}{5}$,

综上所述, $\frac{G O}{G Q}$ 的值不变, 比值为 $\frac{3}{5}$.
解析：解: (1) $\triangle A O D$ 与 $\triangle C O B$ 相似.

理由如下: 如图 1,



图1

$\because \angle A O D=\angle C O B, \angle A D O=\angle O B C$,

$\therefore \triangle A O D \sim \triangle C O B$

(2) 连结 $A E 、 B E 、 M D$, 如图 2,



图2

$\because$ 点 $M$ 的坐标为 $(3,0), M A=M B=M D=5$,

$\therefore O A=2$, 在 $R t \triangle O D M$ 中, $O D=\sqrt{M D^{2}-O M^{2}}=4$,
在Rt $\triangle O A D$ 中, $A D=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2 \sqrt{5}$,

$\because \angle P E B=\angle P A D, \angle P B E=\angle P D A$,

$\therefore \triangle P B E \sim \triangle P D A$,

$\therefore \frac{B E}{A D}=\frac{P B}{P D}=\frac{3}{2}$

$\therefore B E=\frac{3}{2} \times 2 \sqrt{5}=3 \sqrt{5}$,

在Rt $\triangle A B E$ 中, $A E=\sqrt{A B^{2}-B E^{2}}=\sqrt{10^{2}-(3 \sqrt{5})^{2}}=\sqrt{55}$,

$\therefore \tan \angle A B E=\frac{A E}{B E}=\frac{\sqrt{55}}{3 \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{11}}{3}$,

$\because \angle E D A=\angle A B E$,

$\therefore \tan \angle E D A=\frac{\sqrt{11}}{3}$

(3)如图 3，连结 $M D 、 M G ，$



图3

$\because D Q$ 为切线，

$\therefore M D \perp Q D$,

$\therefore \angle M D Q=90^{\circ}$,

$\because \angle O D M=\angle O Q D$,

$\therefore$ Rt $\triangle O D M \sim R t \triangle O Q D$,

$\therefore O D: O Q=O M: O D$, 即 4: $O Q=3: 4$,

$\therefore O Q=\frac{16}{3}$, 当 $G$ 点与 $A$ 点重合时, $\frac{O G}{Q G}=\frac{O A}{A Q}=\frac{2}{\frac{16}{3}-2}=\frac{3}{5}$;

当 $G$ 点与 $B$ 点重合时, $\frac{O G}{Q G}=\frac{O B}{Q B}=\frac{8}{\frac{16}{3}+8}=\frac{3}{5}$;

当 $G$ 点不与 $A 、 B$ 重合时,

$\because \angle O M D=\angle D M Q$,
$\therefore \triangle M O D \sim \triangle M D Q$,

$\therefore M O: M D=M D: M Q$,

即 $M D^{2}=M O \cdot M Q$ ，而 $M D=M G ，$

$\therefore M G^{2}=M O \cdot M Q$,

$\because \angle O M G=\angle G M Q$,

$\therefore \triangle M O G \backsim \triangle M G Q$

$\therefore \frac{O G}{Q G}=\frac{O M}{M G}=\frac{3}{5}$,

综上所述, $\frac{G O}{G Q}$ 的值不变, 比值为 $\frac{3}{5}$.