题目（高三 · 代数）：已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=1$, 对任意 $n \in N^{*}$, 都有 $a_{n+1}=n^{2}+\frac{2 a_{n}}{n}+1$ 成立.

(1) 求出 $a_{2} a_{3} a_{4}$ 的值.

(2) 推测出数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 通项公式并用数学归纳法证明.
选项：
答案：答案: (1) 解: 由 $a_{n+1}=n^{2}+\frac{2 a_{n}}{n}+1$, 且 $a_{1}=1$,

令 $n=1$, 可得: $a_{2}=4$,

令 $n=2$, 可得: $a_{3}=9$,

令 $n=3$, 可得: $a_{4}=16$;

（2）解: 由（1）, 归纳猜想: $a_{n}=n^{2}\left(n \in N_{+}\right)$, 下面应用数学归纳法进行证明:

(1)当 $n=1$ 时, $a_{1}=1^{2}=1$, 满足题意, 故成立;

(2)假设当 $n=k\left(k \geq 2, k \in N_{+}\right)$成立，即 $a_{k}=k^{2}$,

故当 $n=k+1$ 时:

$$
a_{k+1}=k^{2}+\frac{2 a_{k}}{k}+1=k^{2}+2 k+1=(k+1)^{2}
$$

故 $n=k+1$ 时, 等式成立,

由(1)2)可知, 对任意自然数等式都成立, 故 $a_{n}=n^{2}\left(n \in N_{+}\right)$.

【分析】(1) 根据 $a_{n+1}=n^{2}+\frac{2 a_{n}}{n}+1$, 且 $a_{1}=1$, 分别令 $n=1, n=2, n=3$ 求解即可.

（2）由（1）, 归纳猜想: $a_{n}=n^{2}\left(n \in N_{+}\right)$, 再用数学归纳法进行证明, 分当 $n=1$ 时和假设当

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20.答案: (1) 解: $\because a_{n} \geq 1$, 且 $4 S_{n}=\left(a_{n}+1\right)^{2}$,

$\therefore$ 当 $n=1$ 时, $\left(a_{1}-1\right)^{2}=1, \therefore a_{1}=1$,

当 $n=2$ 时, $4\left(1+a_{2}\right)=\left(a_{2}+1\right)^{2}, \therefore a_{2}=3$, 或 $a_{2}=-1$ (舍),

当 $n=3$ 时, $4\left(4+a_{3}\right)=\left(a_{3}+1\right)^{2}, \therefore a_{3}=5$, 或 $a_{3}=-3$ (舍),

$\therefore a_{1}=1, \quad a_{2}=3, \quad a_{3}=5 ;$

（2）解: 由（1）猜想 $a_{n}=2 n-1$, 下面用数学归纳法证明:

(1)当 $n=1$ 时, $a_{1}=1$, 显然成立,

(2)假设 $n=k$ 时, 结论成立, 即 $a_{k}=2 k-1$,

则当 $n=k+1$ 时, 由 $4 S_{k}=\left(a_{k}+1\right)^{2}$,
有 $4 a_{k+1}=4\left(S_{k+1}-S_{k}\right)=\left(a_{k+1}+1\right)^{2}-\left(a_{k}+1\right)^{2}$,

$\therefore a_{k+1}^{2}-2 a_{k+1}-4 k^{2}+1=\left(a_{k+1}-2 k-1\right)\left(a_{k+1}+2 k-1\right)=0$,

$\therefore a_{k+1}=2 k+1$, 或 $a_{k+1}=-2 k+1$ (舍)，

$\therefore n=k+1$ 时结论成立,

由(1)(2)知当 $n \in N^{s}, a_{n}=2 n-1$ 均成立.

【分析】(1) 利用 $4 S_{n}=\left(a_{n}+1\right)^{2}$ 代入计算, 可得结论; (2) 猜想 $a_{n}=2 n-1$, 然后利用归纳法进行证明, 检验 $n=1$ 时等式成立, 假设 $n=k$ 时命题成立, 证明当 $n=k+1$ 时命题也成立.
解析：答案: (1) 解: 由 $a_{n+1}=n^{2}+\frac{2 a_{n}}{n}+1$, 且 $a_{1}=1$,

令 $n=1$, 可得: $a_{2}=4$,

令 $n=2$, 可得: $a_{3}=9$,

令 $n=3$, 可得: $a_{4}=16$;

（2）解: 由（1）, 归纳猜想: $a_{n}=n^{2}\left(n \in N_{+}\right)$, 下面应用数学归纳法进行证明:

(1)当 $n=1$ 时, $a_{1}=1^{2}=1$, 满足题意, 故成立;

(2)假设当 $n=k\left(k \geq 2, k \in N_{+}\right)$成立，即 $a_{k}=k^{2}$,

故当 $n=k+1$ 时:

$$
a_{k+1}=k^{2}+\frac{2 a_{k}}{k}+1=k^{2}+2 k+1=(k+1)^{2}
$$

故 $n=k+1$ 时, 等式成立,

由(1)2)可知, 对任意自然数等式都成立, 故 $a_{n}=n^{2}\left(n \in N_{+}\right)$.

【分析】(1) 根据 $a_{n+1}=n^{2}+\frac{2 a_{n}}{n}+1$, 且 $a_{1}=1$, 分别令 $n=1, n=2, n=3$ 求解即可.

（2）由（1）, 归纳猜想: $a_{n}=n^{2}\left(n \in N_{+}\right)$, 再用数学归纳法进行证明, 分当 $n=1$ 时和假设当



20.答案: (1) 解: $\because a_{n} \geq 1$, 且 $4 S_{n}=\left(a_{n}+1\right)^{2}$,

$\therefore$ 当 $n=1$ 时, $\left(a_{1}-1\right)^{2}=1, \therefore a_{1}=1$,

当 $n=2$ 时, $4\left(1+a_{2}\right)=\left(a_{2}+1\right)^{2}, \therefore a_{2}=3$, 或 $a_{2}=-1$ (舍),

当 $n=3$ 时, $4\left(4+a_{3}\right)=\left(a_{3}+1\right)^{2}, \therefore a_{3}=5$, 或 $a_{3}=-3$ (舍),

$\therefore a_{1}=1, \quad a_{2}=3, \quad a_{3}=5 ;$

（2）解: 由（1）猜想 $a_{n}=2 n-1$, 下面用数学归纳法证明:

(1)当 $n=1$ 时, $a_{1}=1$, 显然成立,

(2)假设 $n=k$ 时, 结论成立, 即 $a_{k}=2 k-1$,

则当 $n=k+1$ 时, 由 $4 S_{k}=\left(a_{k}+1\right)^{2}$,
有 $4 a_{k+1}=4\left(S_{k+1}-S_{k}\right)=\left(a_{k+1}+1\right)^{2}-\left(a_{k}+1\right)^{2}$,

$\therefore a_{k+1}^{2}-2 a_{k+1}-4 k^{2}+1=\left(a_{k+1}-2 k-1\right)\left(a_{k+1}+2 k-1\right)=0$,

$\therefore a_{k+1}=2 k+1$, 或 $a_{k+1}=-2 k+1$ (舍)，

$\therefore n=k+1$ 时结论成立,

由(1)(2)知当 $n \in N^{s}, a_{n}=2 n-1$ 均成立.

【分析】(1) 利用 $4 S_{n}=\left(a_{n}+1\right)^{2}$ 代入计算, 可得结论; (2) 猜想 $a_{n}=2 n-1$, 然后利用归纳法进行证明, 检验 $n=1$ 时等式成立, 假设 $n=k$ 时命题成立, 证明当 $n=k+1$ 时命题也成立.