eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 在四边形 $A B C D$ 中, $\angle B=60^{\circ}, \angle D=30^{\circ}, A B=B C$.



(1)求 $\angle A+\angle C$ 的度数;

(2)连接 $B D$, 探究 $A D, B D, C D$ 三者之间的数量关系, 并说明理由.
选项：
答案：解：(1)在四边形 $A B C D$ 中,

$\because \angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ}, \angle B=60^{\circ}, \angle C=30^{\circ}$,

$\therefore \angle A+\angle C=360^{\circ}-60^{\circ}-30^{\circ}=270^{\circ}$,

故答案为: $270^{\circ}$;

(2)如图所示,

$A D 、 B D 、 C D$ 三者之间的等量关系为: $D B^{2}=D A^{2}+D C^{2}$.

理由如下:

连接 $B D$, 以 $B D$ 为边向下作等边三角形 $\triangle B D Q$,

则 $\angle D B Q=60^{\circ}, B D=B Q$,

$\because \angle A B C=\angle D B Q=60^{\circ}$,

$\therefore \angle A B D=\angle C B Q$,

在 $\triangle A B D$ 和 $\triangle C B Q$ 中, $\left\{\begin{array}{l}A B=C B \\ \angle A B D=\angle C B Q \\ B D=B Q\end{array}\right.$

<ImageHere>

$\therefore \triangle A B D \cong \triangle C B Q(S A S)$,

$\therefore A D=C Q, \angle A=\angle B C Q$,

$\because \angle A+\angle B C D=\angle B C Q+\angle B C D=270^{\circ}$,

$\therefore \angle D C Q=90^{\circ}$,

$\therefore C D^{2}+C Q^{2}=D Q^{2}$,

$\because C Q=A D, D Q=B D$,

$\therefore C D^{2}+A D^{2}=B D^{2}$.
解析：解：(1)在四边形 $A B C D$ 中,

$\because \angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ}, \angle B=60^{\circ}, \angle C=30^{\circ}$,

$\therefore \angle A+\angle C=360^{\circ}-60^{\circ}-30^{\circ}=270^{\circ}$,

故答案为: $270^{\circ}$;

(2)如图所示,

$A D 、 B D 、 C D$ 三者之间的等量关系为: $D B^{2}=D A^{2}+D C^{2}$.

理由如下:

连接 $B D$, 以 $B D$ 为边向下作等边三角形 $\triangle B D Q$,

则 $\angle D B Q=60^{\circ}, B D=B Q$,

$\because \angle A B C=\angle D B Q=60^{\circ}$,

$\therefore \angle A B D=\angle C B Q$,

在 $\triangle A B D$ 和 $\triangle C B Q$ 中, $\left\{\begin{array}{l}A B=C B \\ \angle A B D=\angle C B Q \\ B D=B Q\end{array}\right.$



$\therefore \triangle A B D \cong \triangle C B Q(S A S)$,

$\therefore A D=C Q, \angle A=\angle B C Q$,

$\because \angle A+\angle B C D=\angle B C Q+\angle B C D=270^{\circ}$,

$\therefore \angle D C Q=90^{\circ}$,

$\therefore C D^{2}+C Q^{2}=D Q^{2}$,

$\because C Q=A D, D Q=B D$,

$\therefore C D^{2}+A D^{2}=B D^{2}$.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 工人师傅制作了一个正方形窗架, 把窗架立在墙上之前, 在上面钉了两块等长的木条 $G F$ 与 $G E, E 、 F$ 分别是 $A D 、 B C$ 的中点.

$(1)$ 钉这两块木条的作用是什么?

(2) $G$ 点一定是 $A B$ 的中点吗？说明理由.


选项：
答案：解: (1)因为三角形具有稳定性, 钉上木条形成了两个三角形,
所以钉上木条是为了使床架稳定不变形;

(2) $G$ 点一定是 $A B$ 的中点, 理由如下:

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形,

$\therefore A D=B C, \angle A=\angle B=90^{\circ}$.

$\because E 、 F$ 分别是 $A D 、 B C$ 的中点,

$\therefore A E=\frac{1}{2} A D, B F=\frac{1}{2} B C$.

$\therefore A E=B F$.

在Rt $\triangle A G E$ 和Rt $\triangle B G F$ 中

$\left\{\begin{array}{l}G E=G F \\ A E=B F\end{array}\right.$,

$\therefore$ Rt $\triangle A G E \cong R t \triangle B G F(H L)$.

$\therefore A G=B G$.

$\therefore G$ 点一定是 $A B$ 的中点.
解析：解: (1)因为三角形具有稳定性, 钉上木条形成了两个三角形,
所以钉上木条是为了使床架稳定不变形;

(2) $G$ 点一定是 $A B$ 的中点, 理由如下:

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形,

$\therefore A D=B C, \angle A=\angle B=90^{\circ}$.

$\because E 、 F$ 分别是 $A D 、 B C$ 的中点,

$\therefore A E=\frac{1}{2} A D, B F=\frac{1}{2} B C$.

$\therefore A E=B F$.

在Rt $\triangle A G E$ 和Rt $\triangle B G F$ 中

$\left\{\begin{array}{l}G E=G F \\ A E=B F\end{array}\right.$,

$\therefore$ Rt $\triangle A G E \cong R t \triangle B G F(H L)$.

$\therefore A G=B G$.

$\therefore G$ 点一定是 $A B$ 的中点.
题目（八年级 · 度量几何学）：已知: 如图, $\angle A=\angle D=90^{\circ}, A C=B D$. 求证: $O B=O C$.


选项：
答案：证明: $\because \angle A=\angle D=90^{\circ}$,

$\therefore$ 在 Rt $\triangle A B C$ 和 Rt $\triangle D C B$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}B C=C B \\ A C=B D\end{array}\right.$

$\therefore$ Rt $\triangle A B C \cong$ Rt $\triangle D C B(\mathrm{HL})$,

$\therefore \angle A C B=\angle D B C$.

$\therefore O B=O C$.
解析：证明: $\because \angle A=\angle D=90^{\circ}$,

$\therefore$ 在 Rt $\triangle A B C$ 和 Rt $\triangle D C B$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}B C=C B \\ A C=B D\end{array}\right.$

$\therefore$ Rt $\triangle A B C \cong$ Rt $\triangle D C B(\mathrm{HL})$,

$\therefore \angle A C B=\angle D B C$.

$\therefore O B=O C$.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, $\triangle A B C$ 是等腰直角三角形, $\angle A C B=90^{\circ}, D$ 为 $A C$ 上一点, 延长 $B C$ 至点 $E$ 使 $C E=C D$,连接 $A E 、 B D$ 并延长 $B D$ 交 $A E$ 于点 $F$. 求证: $\triangle B E F$ 是直角三角形.


选项：
答案：证明: $\because \triangle A B C$ 是等腰直角三角形, $\angle A C B=90^{\circ}$.

$\therefore B C=A C, \angle A C B=\angle A C E=90^{\circ}$.

$\because C E=C D$,

$\therefore \triangle A C E \cong \triangle B D C(\mathrm{SAS})$

$\therefore \angle C A E=\angle C B D$.

$\because \angle A C E=90^{\circ}$,

$\therefore \angle C A E+\angle E=90^{\circ}$,

$\therefore \angle C B D+\angle E=90^{\circ}$.

$\therefore \angle B F E=90^{\circ}$.

$\therefore \triangle B E F$ 是直角三角形.
解析：证明: $\because \triangle A B C$ 是等腰直角三角形, $\angle A C B=90^{\circ}$.

$\therefore B C=A C, \angle A C B=\angle A C E=90^{\circ}$.

$\because C E=C D$,

$\therefore \triangle A C E \cong \triangle B D C(\mathrm{SAS})$

$\therefore \angle C A E=\angle C B D$.

$\because \angle A C E=90^{\circ}$,

$\therefore \angle C A E+\angle E=90^{\circ}$,

$\therefore \angle C B D+\angle E=90^{\circ}$.

$\therefore \angle B F E=90^{\circ}$.

$\therefore \triangle B E F$ 是直角三角形.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, E$ 是 $A B$ 上的点,

且 $A E=A C, D E \perp A B$ 交 $B C$ 于 $D, A C=6, B C=8, C D=3$.



(1)求 $D E$ 的长;

(2)求 $\triangle A D B$ 的面积.
选项：
答案：（1）解： $\because \angle C=90^{\circ}, D E \perp A B$,
$\therefore \angle C=\angle A E D=90^{\circ}$,

在 Rt $\triangle A C D$ 和 Rt $\triangle A E D$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}A C=A E \\ A D=A D\end{array}\right.$,

$\therefore R t \triangle A C D \cong R t \triangle A E D(H L)$,

$\therefore C D=D E=3$

(2) $\because \angle C=90^{\circ}, A C=6, \quad B C=8$,

$\therefore A B=\sqrt{A C^{2}+B C^{2}}=10$,

$\because D E=3$,

$\therefore \triangle A D B$ 的面积 $=\frac{1}{2} \times 10 \times 3=15$.
解析：（1）解： $\because \angle C=90^{\circ}, D E \perp A B$,
$\therefore \angle C=\angle A E D=90^{\circ}$,

在 Rt $\triangle A C D$ 和 Rt $\triangle A E D$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}A C=A E \\ A D=A D\end{array}\right.$,

$\therefore R t \triangle A C D \cong R t \triangle A E D(H L)$,

$\therefore C D=D E=3$

(2) $\because \angle C=90^{\circ}, A C=6, \quad B C=8$,

$\therefore A B=\sqrt{A C^{2}+B C^{2}}=10$,

$\because D E=3$,

$\therefore \triangle A D B$ 的面积 $=\frac{1}{2} \times 10 \times 3=15$.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C$, 直线 $D E$ 垂直平分 $A B$, 若 $\angle A=40^{\circ}$, 则

(1) 求 $\angle \mathrm{DBC}$ 的度数,

(2) 若 $A B=12, B C=7$, 求 $\triangle B C D$ 的周长


选项：
答案：解：(1) 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C, \angle A=40^{\circ}$,

$\therefore \angle A B C=\frac{180^{\circ}-40^{\circ}}{2}=70^{\circ}$.

又 $\because D E$ 垂直平分 $A B$,

$\therefore D A=D B$,

$\therefore \angle D B A=\angle A=40^{\circ}$,

$\therefore \angle D B C=\angle A B C-\angle D B A=70^{\circ}-40^{\circ}=30^{\circ}$.

(2) $\because D A=D B$, $\therefore B D+D C=A D+D C=A C=A B=12$,

$\therefore C_{\triangle B D C}=B D+D C+B C=A C+B C=12+7=19$.

答: $\triangle D B C$ 的周长为 19 .
解析：解：(1) 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C, \angle A=40^{\circ}$,

$\therefore \angle A B C=\frac{180^{\circ}-40^{\circ}}{2}=70^{\circ}$.

又 $\because D E$ 垂直平分 $A B$,

$\therefore D A=D B$,

$\therefore \angle D B A=\angle A=40^{\circ}$,

$\therefore \angle D B C=\angle A B C-\angle D B A=70^{\circ}-40^{\circ}=30^{\circ}$.

(2) $\because D A=D B$, $\therefore B D+D C=A D+D C=A C=A B=12$,

$\therefore C_{\triangle B D C}=B D+D C+B C=A C+B C=12+7=19$.

答: $\triangle D B C$ 的周长为 19 .
题目（八年级 · 度量几何学）：海滨公园是珠海市市民放风筝的最佳场所, 某校八年级（1）班的小华和小轩学习了“勾股定理”之后, 为了测得风筝的垂直高度 $C E$, 他们进行了如下操作: (1)测得水平距离 $B D$ 的长为 12 米; (2)根据手中剩余线的长度计算出风筝线 $B C$ 的长为 20 米; (3)牵线放风筝的小明的身高为 1.62 米.



(1)求风筝的垂直高度 $C E$;

(2)如果小明想风筝沿 $C D$ 方向下降 11 米，则他应该往回收线多少米?
选项：
答案：(1) 解: 在 $R t \triangle C D B$ 中,由勾股定理得, $C D^{2}=B C^{2}-B D^{2}=20^{2}-12^{2}=256$,

所以, $C D=16$ （负值舍去）,

所以, $C E=C D+D E=16+1.62=17.62$ (米),

答: 风筝的高度 $C E$ 为 17.62 米;

<ImageHere>

(2) 解: 由题意得, $C M=11$ 米,

$\therefore D M=5$ 米,

在 $R t \triangle \mathrm{BDM}$ 中, 由勾股定理得: $\mathrm{MB}^{2}=12^{2}+5^{2}=13^{2}$,

$\therefore \mathrm{BM}=13$

$\therefore B C-B M=20-13=7$ (米),
$\therefore$ 他应该往回收线 7 米.
解析：(1) 解: 在 $R t \triangle C D B$ 中,由勾股定理得, $C D^{2}=B C^{2}-B D^{2}=20^{2}-12^{2}=256$,

所以, $C D=16$ （负值舍去）,

所以, $C E=C D+D E=16+1.62=17.62$ (米),

答: 风筝的高度 $C E$ 为 17.62 米;



(2) 解: 由题意得, $C M=11$ 米,

$\therefore D M=5$ 米,

在 $R t \triangle \mathrm{BDM}$ 中, 由勾股定理得: $\mathrm{MB}^{2}=12^{2}+5^{2}=13^{2}$,

$\therefore \mathrm{BM}=13$

$\therefore B C-B M=20-13=7$ (米),
$\therefore$ 他应该往回收线 7 米.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, $C D$ 是 $\triangle A B C$ 的中线, 若 $A C=9, B C=12, A B=15$.



(1) 求 $\angle A C B$ 的度数.

(2) 求 $C D$ 的长.
选项：
答案：(1) 解: $\because A C=9, B C=12, A B=15$,

$\therefore A C^{2}+B C^{2}=9^{2}+12^{2}=81+144=225, \quad A B^{2}=15^{2}=225$,

$\therefore A C^{2}+B C^{2}=A B^{2}$,

$\therefore \triangle A B C$ 是直角三角形,

$\therefore \angle A C B=90^{\circ} ;$

(2) 解: $\because C D$ 是 $\triangle A B C$ 的中线, $\angle A C B=90^{\circ}, A B=15$,

$\therefore C D=\frac{1}{2} A B=\frac{15}{2}$
解析：(1) 解: $\because A C=9, B C=12, A B=15$,

$\therefore A C^{2}+B C^{2}=9^{2}+12^{2}=81+144=225, \quad A B^{2}=15^{2}=225$,

$\therefore A C^{2}+B C^{2}=A B^{2}$,

$\therefore \triangle A B C$ 是直角三角形,

$\therefore \angle A C B=90^{\circ} ;$

(2) 解: $\because C D$ 是 $\triangle A B C$ 的中线, $\angle A C B=90^{\circ}, A B=15$,

$\therefore C D=\frac{1}{2} A B=\frac{15}{2}$
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在实践活动课上, 小华打算测量学校旗杆的高度, 她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出 $1 \mathrm{~m}$,

当她把绳子斜拉直, 且使绳子的底端刚好接触地面时, 测得绳子底端距离旗杆底部 $5 \mathrm{~m}$,由此可计算出学校旗杆的高度


选项：
答案：解: 设旗杆的长度为 $x \mathrm{~m}$, 则绳子的长度为: $(x+1) \mathrm{m}$, 如图,

<ImageHere>

在 $R t \triangle A B C$ 中，由勾股定理得: $x^{2}+5^{2}=(x+1)^{2}$,

解得: $x=12$,
$\therefore$ 旗杆的高度为 $12 \mathrm{~m}$.
解析：解: 设旗杆的长度为 $x \mathrm{~m}$, 则绳子的长度为: $(x+1) \mathrm{m}$, 如图,



在 $R t \triangle A B C$ 中，由勾股定理得: $x^{2}+5^{2}=(x+1)^{2}$,

解得: $x=12$,
$\therefore$ 旗杆的高度为 $12 \mathrm{~m}$.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, $\triangle A B C$ 中, $\angle A=90^{\circ}, \angle B=60^{\circ}, B C$ 的垂直平分线交 $B C$ 于点 $D$, 交 $A C$ 于点 $E$.求证: (1) $A E=D E$; (2) 若 $A E=6$, 求 $C E$ 的长.


选项：
答案：(1) 证明: 连接 $B E$,

<ImageHere>

$\because \angle A=90^{\circ}, \angle B=60^{\circ}$,

$\therefore \angle C=30^{\circ}$.

$\because D E$ 垂直平分 $B C$,

$\therefore E B=E C$,

$\therefore \angle E B C=\angle C=30^{\circ}=\angle A B E$,

$\therefore A E=D E ;$

(2) 在 $\triangle C D E$ 中,

$\because \angle C D E=90^{\circ}, \angle C=30^{\circ}$,

$\therefore D E=\frac{1}{2} C E$,

$\therefore C E=2 D E=2 A E=12$
解析：(1) 证明: 连接 $B E$,



$\because \angle A=90^{\circ}, \angle B=60^{\circ}$,

$\therefore \angle C=30^{\circ}$.

$\because D E$ 垂直平分 $B C$,

$\therefore E B=E C$,

$\therefore \angle E B C=\angle C=30^{\circ}=\angle A B E$,

$\therefore A E=D E ;$

(2) 在 $\triangle C D E$ 中,

$\because \angle C D E=90^{\circ}, \angle C=30^{\circ}$,

$\therefore D E=\frac{1}{2} C E$,

$\therefore C E=2 D E=2 A E=12$
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, $B C / / E F$ 且 $B C=E F, A F=D C$, 线段 $A B$ 和线段 $D E$ 平行吗? 请说明理由.


选项：
答案：解: $A B / / D E$ 理由如下:

$\because B C / / E F \quad \therefore \angle A C B=\angle D F E$

$\because A F=D C$

$\therefore A F+C F=D C+C F$

即 $A C=D F$

又 $\because B C=E F$

$\therefore \triangle A B C \cong \triangle D E F$

$\therefore \angle A=\angle D$

$\therefore A B / / D E$
解析：解: $A B / / D E$ 理由如下:

$\because B C / / E F \quad \therefore \angle A C B=\angle D F E$

$\because A F=D C$

$\therefore A F+C F=D C+C F$

即 $A C=D F$

又 $\because B C=E F$

$\therefore \triangle A B C \cong \triangle D E F$

$\therefore \angle A=\angle D$

$\therefore A B / / D E$
题目（八年级 · 度量几何学）：(6 分) 如图, $\triangle A B C$ 中, $A B=4, A C=3, A D, A E$ 分别是其角平分线和中线, 过点 $C$ 作 $C G \perp A D$于 $F$, 交 $A B$ 于 $G$, 连接 $E F$, 求线段 $E F$ 的长.


选项：
答案：解: 在 $\triangle A G F$ 和 $\triangle A C F$ 中, $\left\{\begin{array}{c}\angle G A F=\angle C A F \\ A F=A F \\ \angle A F G=\angle A F C\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A G F \cong \triangle A C F(A S A)$,

$\therefore A G=A C=3, G F=C F$,

则 $B G=A B-A G=4-3=1$.

又 $\because B E=C E$,

$\therefore E F$ 是 $\triangle B C G$ 的中位线, $\therefore E F=\frac{1}{2} B G=\frac{1}{2}$.

【解析】本题考查了全等三角形的判定以及三角形的中位线定理, 正确证明 $G F=C F$ 是关键. 首先证明 $\triangle A G F \cong \triangle A C F$, 则 $A G=A C=3, G F=C F$, 证明 $E F$ 是 $\triangle B C G$ 的中位线, 利用三角形的中位线定理即可求解.
解析：解: 在 $\triangle A G F$ 和 $\triangle A C F$ 中, $\left\{\begin{array}{c}\angle G A F=\angle C A F \\ A F=A F \\ \angle A F G=\angle A F C\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A G F \cong \triangle A C F(A S A)$,

$\therefore A G=A C=3, G F=C F$,

则 $B G=A B-A G=4-3=1$.

又 $\because B E=C E$,

$\therefore E F$ 是 $\triangle B C G$ 的中位线, $\therefore E F=\frac{1}{2} B G=\frac{1}{2}$.

【解析】本题考查了全等三角形的判定以及三角形的中位线定理, 正确证明 $G F=C F$ 是关键. 首先证明 $\triangle A G F \cong \triangle A C F$, 则 $A G=A C=3, G F=C F$, 证明 $E F$ 是 $\triangle B C G$ 的中位线, 利用三角形的中位线定理即可求解.
题目（八年级 · 度量几何学）：(8 分) 如图, 在四边形 $A B C D$ 中, $A C 、 B D$ 相交于 $O, A B / / C D, O$为 $B D$ 的中心, 过点 $C$ 作 $C E \perp A D$ 交 $A D$ 的延长线于点 $E$.



(1)求证: 四边形 $A B C D$ 为平行四边形.

(2) 若 $\angle E A C=30^{\circ}, D E=C E, C D=3 \sqrt{2}$, 连接 $E O$, 求 $\triangle \mathrm{AOE}$ 的面积.
选项：
答案：解: (1) 证明: $\because A B \| C D$,

$\therefore \angle O A B=\angle O C D, \angle O B A=\angle O D C$

$\because O$ 为 $B D$ 的中点,

$\therefore O B=O D$,

在 $\triangle O A B$ 和 $\triangle O C D$ 中,

$\left\{\begin{array}{c}\angle O A B=\angle O C D \\ \angle O B A=\angle O D C \\ O B=O D\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle O A B \cong \triangle O C D(A A S)$,

$\therefore A B=C D$,

又 $\because A B \| C D$,

$\therefore$ 四边形 $A B C D$ 为平行四边形;

(2) 解: $\because C E \perp A D$,
$\because D E=C E, C D=3 \sqrt{2}$,

$\therefore C E=\frac{\sqrt{2}}{2} C D=\frac{\sqrt{2}}{2} \times 3 \sqrt{2}=3$,

$\because \angle E A C=30^{\circ}$,

$\therefore A C=2 C E=2 \times 3=6$,

由勾股定理得： $A E=\sqrt{A C^{2}-C E^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=3 \sqrt{3}$,

$\therefore S_{\triangle A C E}=\frac{1}{2} A E \cdot C E=\frac{1}{2} \times 3 \sqrt{3} \times 3=\frac{9 \sqrt{3}}{2}$,

<ImageHere>

由（1）得四边形 $A B C D$ 为平行四边形,

$\therefore O A=O C$,

$\therefore S_{\triangle A O E}=\frac{1}{2} S_{\triangle A C E}=\frac{1}{2} \times \frac{9}{2} \sqrt{3}=\frac{9}{4} \sqrt{3}$.

【解析】 (1) 由 $A A S$ 证得 $\triangle O A B \cong \triangle O C D$, 得出 $A B=C D$, 即可得出结论;

（2）由等腰直角三角形的性质得出 $C E=3$, 由含 $30^{\circ}$ 角直角三角形的性质得出 $A C=2 C E=6$, 由勾股定理得 $A E=3 \sqrt{3}$, 则 $S_{\triangle A C E}=\frac{1}{2} A E \cdot C E=\frac{1}{2} \times 3 \sqrt{3} \times 3=\frac{9 \sqrt{3}}{2}$, 由 (1) 得四边形 $A B C D$ 为平行四边形, 得出 $O A=O C$,则 $S_{\triangle A O E}=\frac{1}{2} S_{\triangle A C E}$, 即可得出结果.
解析：解: (1) 证明: $\because A B \| C D$,

$\therefore \angle O A B=\angle O C D, \angle O B A=\angle O D C$

$\because O$ 为 $B D$ 的中点,

$\therefore O B=O D$,

在 $\triangle O A B$ 和 $\triangle O C D$ 中,

$\left\{\begin{array}{c}\angle O A B=\angle O C D \\ \angle O B A=\angle O D C \\ O B=O D\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle O A B \cong \triangle O C D(A A S)$,

$\therefore A B=C D$,

又 $\because A B \| C D$,

$\therefore$ 四边形 $A B C D$ 为平行四边形;

(2) 解: $\because C E \perp A D$,
$\because D E=C E, C D=3 \sqrt{2}$,

$\therefore C E=\frac{\sqrt{2}}{2} C D=\frac{\sqrt{2}}{2} \times 3 \sqrt{2}=3$,

$\because \angle E A C=30^{\circ}$,

$\therefore A C=2 C E=2 \times 3=6$,

由勾股定理得： $A E=\sqrt{A C^{2}-C E^{2}}=\sqrt{6^{2}-3^{2}}=3 \sqrt{3}$,

$\therefore S_{\triangle A C E}=\frac{1}{2} A E \cdot C E=\frac{1}{2} \times 3 \sqrt{3} \times 3=\frac{9 \sqrt{3}}{2}$,



由（1）得四边形 $A B C D$ 为平行四边形,

$\therefore O A=O C$,

$\therefore S_{\triangle A O E}=\frac{1}{2} S_{\triangle A C E}=\frac{1}{2} \times \frac{9}{2} \sqrt{3}=\frac{9}{4} \sqrt{3}$.

【解析】 (1) 由 $A A S$ 证得 $\triangle O A B \cong \triangle O C D$, 得出 $A B=C D$, 即可得出结论;

（2）由等腰直角三角形的性质得出 $C E=3$, 由含 $30^{\circ}$ 角直角三角形的性质得出 $A C=2 C E=6$, 由勾股定理得 $A E=3 \sqrt{3}$, 则 $S_{\triangle A C E}=\frac{1}{2} A E \cdot C E=\frac{1}{2} \times 3 \sqrt{3} \times 3=\frac{9 \sqrt{3}}{2}$, 由 (1) 得四边形 $A B C D$ 为平行四边形, 得出 $O A=O C$,则 $S_{\triangle A O E}=\frac{1}{2} S_{\triangle A C E}$, 即可得出结果.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, 线段 $A B$ 的中垂线交 $A B$ 于点 $D$, 交 $A C$ 于点 $E, A C=14$,

$\triangle B C E$ 的周长是 24 , 求 $\mathrm{BC}$ 的长。


选项：
答案：解: $\because \mathrm{DE}$ 是线段 $\mathrm{AB}$ 的中垂线

$\therefore \mathrm{AE}=\mathrm{BE}$

$\because \mathrm{AC}=14$

$\therefore \mathrm{BE}+\mathrm{CE}=\mathrm{AE}+\mathrm{CE}=\mathrm{AC}=14$

$\because \triangle B C E$ 的周长是 24 ,

即 $\mathrm{BC}+\mathrm{BE}+\mathrm{CE}=24$

$\therefore \mathrm{BC}=24-(\mathrm{BE}+\mathrm{CE})=10$
解析：解: $\because \mathrm{DE}$ 是线段 $\mathrm{AB}$ 的中垂线

$\therefore \mathrm{AE}=\mathrm{BE}$

$\because \mathrm{AC}=14$

$\therefore \mathrm{BE}+\mathrm{CE}=\mathrm{AE}+\mathrm{CE}=\mathrm{AC}=14$

$\because \triangle B C E$ 的周长是 24 ,

即 $\mathrm{BC}+\mathrm{BE}+\mathrm{CE}=24$

$\therefore \mathrm{BC}=24-(\mathrm{BE}+\mathrm{CE})=10$
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, $\triangle A B C$ 中, $A D$ 是 $B C$ 边上的高, $A E$ 是 $\angle B A C$ 的平分线, $\angle E A D=5^{\circ}, \angle B=50^{\circ}$,求 $\angle C$ 的度数.


选项：
答案：解: $\because \mathrm{AD}$ 是 $\mathrm{BC}$ 边上的高, $\angle \mathrm{EAD}=5^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{AED}=85^{\circ}$,

$\because \angle \mathrm{B}=50^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{AED}-\angle \mathrm{B}=85^{\circ}-50^{\circ}=35^{\circ}$,

$\because \mathrm{AE}$ 是 $\angle \mathrm{BAC}$ 的角平分线,

$\therefore \angle \mathrm{BAC}=2 \angle \mathrm{BAE}=70^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{C}=180^{\circ}-\angle \mathrm{B}-\angle \mathrm{BAC}=180^{\circ}-50^{\circ}-70^{\circ}=60^{\circ}$.
解析：解: $\because \mathrm{AD}$ 是 $\mathrm{BC}$ 边上的高, $\angle \mathrm{EAD}=5^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{AED}=85^{\circ}$,

$\because \angle \mathrm{B}=50^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{AED}-\angle \mathrm{B}=85^{\circ}-50^{\circ}=35^{\circ}$,

$\because \mathrm{AE}$ 是 $\angle \mathrm{BAC}$ 的角平分线,

$\therefore \angle \mathrm{BAC}=2 \angle \mathrm{BAE}=70^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{C}=180^{\circ}-\angle \mathrm{B}-\angle \mathrm{BAC}=180^{\circ}-50^{\circ}-70^{\circ}=60^{\circ}$.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 已知 $\triangle A B C$ 中, $\angle B=90^{\circ}, A B=8 \mathrm{~cm}, B C=6 \mathrm{~cm}, P 、 Q$ 是 $\triangle A B C$ 边上的两个动点,其中点 $P$ 从点 $A$ 开始沿 $A \rightarrow B$ 方向运动, 且速度为每秒 $1 \mathrm{~cm}$, 点 $Q$ 从点 $B$ 开始沿 $B \rightarrow C$ 方向运动,且速度为每秒 $2 \mathrm{~cm}$, 它们同时出发, 设出发的时间为 $t$ 秒.



(1) 当 $t=2$ 秒时, 求 $P Q^{2}$ 的长;

(2) 求出发时间为几秒时, $\triangle P Q B$ 是等腰三角形?

(3) 若 $Q$ 沿 $B \rightarrow C \rightarrow A$ 方向运动, 则当点 $Q$ 在边 $C A$ 上运动时,求能使 $\triangle B C Q$ 成为等腰三角形的运动时间.
选项：
答案：（1）解: $B Q=2 \times 2=4 \mathrm{~cm}, B P=A B-A P=8-2 \times 1=6 \mathrm{~cm}$,

$\because \angle B=90^{\circ}$

$\therefore P Q^{2}=B Q^{2}+B P^{2}=52 \mathrm{~cm}^{2} ;$

(2) 解: 根据题意得: $B Q=B P$, 即 $2 t=8-t$, 解得: $t=\frac{8}{3}$,即出发时间为 $\frac{8}{3}$ 秒时, $\triangle P Q B$ 是等腰三角形;

(3) 解: 分三种情况:

(1)当 $C Q=B Q$ 时, 如图 1 ,

<ImageHere>

图1

则 $\angle C=\angle C B Q$,
$\because \angle A B C=90^{\circ}$

$\therefore \angle C B Q+\angle A B Q=90^{\circ}, \angle A+\angle C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A=\angle A B Q$

$\therefore A Q=B Q=C Q$,

$\because \angle B=90^{\circ}, A B=8 \mathrm{~cm}, B C=6 \mathrm{~cm}$,

$\therefore A C=10 \mathrm{~cm}$,

$\therefore C Q=A Q=\frac{1}{2} A C=5 \mathrm{~cm}$,

$\therefore B C+C Q=11 \mathrm{~cm}$,

$\therefore t=11 \div 2=5.5$ 秒;

(2)当 $C Q=B C$ 时，如图 2 ,

<ImageHere>

图2

则 $B C+C Q=12 \mathrm{~cm}$,

$\therefore t=12 \div 2=6$ 秒;

(3)当 $B C=B Q$ 时, 如图 3 , 过 $B$ 点作 $B E \perp A C$ 于点 $E$, 则 $C E=E Q$,

<ImageHere>

图3

则 $B E=\frac{A B \cdot B C}{A C}=4.8 \mathrm{~cm}$,

$\therefore C E^{2}=B C^{2}-B E^{2}$ ，即 $C E=3.6 \mathrm{~cm}$,

$\therefore C Q=2 C E=7.2 \mathrm{~cm}$,

$\therefore B C+C Q=13.2 \mathrm{~cm}$,

$\therefore t=13.2 \div 2=6.6$ 秒.

综上, 当 $t$ 为 5.5 秒或 6 秒或 6.6 秒时, $\triangle B C Q$ 为等腰三角形.
解析：（1）解: $B Q=2 \times 2=4 \mathrm{~cm}, B P=A B-A P=8-2 \times 1=6 \mathrm{~cm}$,

$\because \angle B=90^{\circ}$

$\therefore P Q^{2}=B Q^{2}+B P^{2}=52 \mathrm{~cm}^{2} ;$

(2) 解: 根据题意得: $B Q=B P$, 即 $2 t=8-t$, 解得: $t=\frac{8}{3}$,即出发时间为 $\frac{8}{3}$ 秒时, $\triangle P Q B$ 是等腰三角形;

(3) 解: 分三种情况:

(1)当 $C Q=B Q$ 时, 如图 1 ,



图1

则 $\angle C=\angle C B Q$,
$\because \angle A B C=90^{\circ}$

$\therefore \angle C B Q+\angle A B Q=90^{\circ}, \angle A+\angle C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A=\angle A B Q$

$\therefore A Q=B Q=C Q$,

$\because \angle B=90^{\circ}, A B=8 \mathrm{~cm}, B C=6 \mathrm{~cm}$,

$\therefore A C=10 \mathrm{~cm}$,

$\therefore C Q=A Q=\frac{1}{2} A C=5 \mathrm{~cm}$,

$\therefore B C+C Q=11 \mathrm{~cm}$,

$\therefore t=11 \div 2=5.5$ 秒;

(2)当 $C Q=B C$ 时，如图 2 ,



图2

则 $B C+C Q=12 \mathrm{~cm}$,

$\therefore t=12 \div 2=6$ 秒;

(3)当 $B C=B Q$ 时, 如图 3 , 过 $B$ 点作 $B E \perp A C$ 于点 $E$, 则 $C E=E Q$,



图3

则 $B E=\frac{A B \cdot B C}{A C}=4.8 \mathrm{~cm}$,

$\therefore C E^{2}=B C^{2}-B E^{2}$ ，即 $C E=3.6 \mathrm{~cm}$,

$\therefore C Q=2 C E=7.2 \mathrm{~cm}$,

$\therefore B C+C Q=13.2 \mathrm{~cm}$,

$\therefore t=13.2 \div 2=6.6$ 秒.

综上, 当 $t$ 为 5.5 秒或 6 秒或 6.6 秒时, $\triangle B C Q$ 为等腰三角形.
题目（八年级 · 度量几何学）：已知: 如图, $A B / / D E, A B=D E, A F=D C$. 求证: $\angle B=\angle E$.


选项：
答案：证明: $\because A B / / D E$,

$\therefore \angle A=\angle D$,

$\because A F=D C$,

$\therefore A F+C F=D C+C F$

即 $A C=D F$

在 $\triangle A B C$ 与 $\triangle D E F$ 中

$\left\{\begin{array}{l}A C=D F \\ \angle A=\angle D, \\ A B=D E\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B C \cong \triangle D E F(\mathrm{SAS})$,

$\therefore \angle B=\angle E$.
解析：证明: $\because A B / / D E$,

$\therefore \angle A=\angle D$,

$\because A F=D C$,

$\therefore A F+C F=D C+C F$

即 $A C=D F$

在 $\triangle A B C$ 与 $\triangle D E F$ 中

$\left\{\begin{array}{l}A C=D F \\ \angle A=\angle D, \\ A B=D E\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B C \cong \triangle D E F(\mathrm{SAS})$,

$\therefore \angle B=\angle E$.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 已知点 $B, E, C, F$ 在一条直线上, $B E=C F, A C / / D E, \angle A=\angle D$.



(1) $\triangle A B C$ 与 $\triangle D F E$ 全等吗? 请说明理由;

(2) 若 $B F=20, E C=8$, 求 $B C$ 的长.
选项：
答案：解: (1) $\triangle A B C \cong \triangle D F E$, 理由如下:

$\because A C / / D E$,

$\therefore \angle A C B=\angle D E F$,

$\because B E=C F$,

$\therefore B E+C E=C F+C E$, 即 $B C=F E$,

又 $\because \angle A=\angle D$,

$\therefore \triangle A B C \cong \triangle D F E(\mathrm{AAS})$

(2) 解: $\because B F=20, E C=8$,

$\therefore B E+C F=B F-C E=12$,

又 $\because B E=C F$,

$\therefore B E=C F=6$,

$\therefore B C=B E+C E=14$.
解析：解: (1) $\triangle A B C \cong \triangle D F E$, 理由如下:

$\because A C / / D E$,

$\therefore \angle A C B=\angle D E F$,

$\because B E=C F$,

$\therefore B E+C E=C F+C E$, 即 $B C=F E$,

又 $\because \angle A=\angle D$,

$\therefore \triangle A B C \cong \triangle D F E(\mathrm{AAS})$

(2) 解: $\because B F=20, E C=8$,

$\therefore B E+C F=B F-C E=12$,

又 $\because B E=C F$,

$\therefore B E=C F=6$,

$\therefore B C=B E+C E=14$.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, $A B=A E, A B / / D E, \angle D A B=66^{\circ}, \angle E=36^{\circ}$.



(1) 求 $\angle D A E$ 的度数;

(2) 若 $\angle B=30^{\circ}$, 求证: $A D=B C$.
选项：
答案：解： (1) $\because A B / / D E$,

$\therefore \angle E=\angle E A B=36^{\circ}$,

$\because \angle D A B=\angle D A E+\angle E A B=66^{\circ}$,

$\therefore \angle D A E=\angle D A B-\angle E A B=66^{\circ}-36^{\circ}=30^{\circ}$,

$\therefore \angle D A E$ 的度数为 $30^{\circ}$.

（2）证明：由（1）可知 $\angle D A E=30^{\circ}$,

$\because A B / / D E$

$\therefore \angle E=\angle E A B$,

在 $\triangle A B C, \triangle E A D$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}\angle D A E=\angle B=30^{\circ} \\ A E=B A \\ \angle E=\angle E A B\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B C \cong \triangle E A D(\mathrm{ASA})$,

$\therefore A D=B C$.
解析：解： (1) $\because A B / / D E$,

$\therefore \angle E=\angle E A B=36^{\circ}$,

$\because \angle D A B=\angle D A E+\angle E A B=66^{\circ}$,

$\therefore \angle D A E=\angle D A B-\angle E A B=66^{\circ}-36^{\circ}=30^{\circ}$,

$\therefore \angle D A E$ 的度数为 $30^{\circ}$.

（2）证明：由（1）可知 $\angle D A E=30^{\circ}$,

$\because A B / / D E$

$\therefore \angle E=\angle E A B$,

在 $\triangle A B C, \triangle E A D$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}\angle D A E=\angle B=30^{\circ} \\ A E=B A \\ \angle E=\angle E A B\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B C \cong \triangle E A D(\mathrm{ASA})$,

$\therefore A D=B C$.