题目（高三 · 计数）：(12 分) 某企业新研发了一种产品, 产品的成本由原料成本及非原料成本组成. 每批产品的非原料总成本 $y$ （元）与生产该产品的数量 $x$ （千件）有关, 经统计得到如下数据:| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 || :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: || $y$ | 6 | 11 | 21 | 34 | 66 | 101 | 196 |根据以上数据, 绘制如图所示的散点图.观察散点图, 两个变量不具有线性相关关系, 现考虑用对数函数模型 $y=a+b \ln x$和指数函数模型 $y=c \cdot d^{x}$ 分别对两个变量的关系进行拟合.(1) 根据散点图判断, $y=a+b \ln x$ 与 $y=c \cdot d^{x}$ ( $c, d$ 均为大于零的常数) 哪一个适宜作为非原料总成本 $y$ 关于生产该产品的数量 $x$ 的回归方程类型; (给出判断即可, 不必说明理由）(2) 根据（1）的判断结果及表 1 中的数据, 建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程;(3) 已知每件产品的原料成本为 10 元, 若该产品的总成本不得高于 123470 元,请估计最多能生产多少千件产品.参考数据:| $ar{y}$ | $ar{v}$ | $\sum_{i=1}^{7} x_{i} y_{i}$ | $\sum_{i=1}^{7} x_{i} v_{i}$ | $10^{0.54}$ || :---: | :---: | :---: | :---: | :---: || 62.14 | 154 | 2535 | 5012 | $3 A 7$ |其中 $v_{i}=\lg y_{i}, ar{v}=rac{1}{7} \sum_{i=1}^{n} v_{i}$.参考公式: 对于一组数据 $\left(u_{1}, v_{1}ight),\left(u_{2}, v_{2}ight), \ldots,\left(u_{n}, v_{n}ight)$, 其回归直线 $\hat{v}=\hat{a}+\hat{eta} u$的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{eta}=rac{\sum_{i=1}^{n} u_{i} v_{i}-n ar{u}}{\sum_{i=1}^{n} u_{i}^{2}-n ar{u}^{2}}, \hat{a}=ar{v}-\hat{eta} ar{u}$.
选项：
答案：(1) $y=c \cdot d^{x}$ 适宜; (2) $y=3.47 	imes 10^{025 x}$; (3) 12 千件产品.
解析：\times 10^{025 x}$; (3) 12 千件产品.

【解析】(1) 根据散点图判断, $y=c \cdot d^{x}$ 适宜作为非原料总成本 $y$ 关于生产该产品的数量 $x$ 的回归方程类型.

(2) 由 $y=c \cdot d^{x}$, 两边同时取常用对数得 $\lg y=\lg \left(c \cdot d^{x}\right)=\lg c+x \lg d$.

设 $\lg y=v, \therefore v=\lg c+x \lg d ，$

$\because \bar{x}=4, \bar{v}=1.54, \sum_{i=1}^{7} x_{i}^{2}=140$,

$\therefore \lg d=\frac{\sum_{i=1}^{7} x_{i} v_{i}-7 \overline{x v}}{\sum_{i=1}^{7} x_{i}^{2}-7 \bar{x}^{2}}=\frac{50.12-7 \times 4 \times 1.54}{140-7 \times 4^{2}}=\frac{7}{28}=0.25$.

把 $(4,1.54)$ 代入 $\bar{v}=\lg c+\bar{x} \lg d$, 得 $\lg c=0.54$ ，

$\therefore \hat{v}=0.54+0.25 x, \quad \therefore \lg \hat{y}=0.54+0.25 x$,

$\therefore \hat{y}=10^{054+0.25 x}=3.47 \times 10^{025 x}$,

即 $y$ 关于 $x$ 的回归方程为 $\hat{y}=3.47 \times 10^{025 x}$.

(3) 设生产了 $x$ 千件该产品. 则生产总成本为 $g(x)=3.47 \times 10^{0.25 x}+x \times 10 \times 1000$.

又 $g(x)=3.47 \times 10^{0.25 x}+10000 x$ 在其定义域内单调递增, 且 $g(12)=3.47 \times 10^{3}+120000=123470$,

故最多能生产 12 千件产品.

22. 答案:(1) 模型 $y=e^{\lambda x+t}$ 的拟合程度更好; (2) (i) $\hat{y}=e^{0.18 x+0.56}$; (ii) 27.56 .

【解析】(1) 设 $\left\{u_{i}\right\}$ 和 $\left\{y_{i}\right\}$ 的相关系数为 $r_{1},\left\{x_{i}\right\}$ 和 $\left\{v_{i}\right\}$ 的相关系数为 $r_{2}$,

由题意,

$r_{1}=\frac{\sum_{i=1}^{10}\left(u_{i}-\bar{u}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{10}\left(u_{i}-\bar{u}\right)^{2} \sum_{i=1}^{10}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}}=\frac{130}{\sqrt{11250 \times 2}}=\frac{13}{15} \approx 0.87$

$r_{2}=\frac{\sum_{i=1}^{10}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(v_{i}-\bar{v}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{10}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} \sum_{i=1}^{10}\left(\nu_{i}-\bar{v}\right)^{2}}}=\frac{12}{\sqrt{65 \times 2.6}}=\frac{12}{13} \approx 0.92$

则 $\left|r_{1}\right|<\left|r_{2}\right|$, 因此从相关系数的角度, 模型 $y=e^{\lambda x+t}$ 的拟合程度更好.

（2）（i）先建立 $v$ 关于 $x$ 的线性回归方程,

由 $y=e^{\lambda x+t}$, 得 $\ln y=t+\lambda x$, 即 $v=t+\lambda x$ ，

$\hat{\lambda}=\frac{\sum_{i=1}^{10}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(\nu_{i}-\bar{v}\right)}{\sum_{i=1}^{10}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}=\frac{12}{65}, \hat{t}=\bar{v}-\hat{\lambda} \bar{x}=5.36-\frac{12}{65} \times 26=0.56$,

所以 $v$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{v}=0.18 x+0.56$,
所以 $\ln \hat{y}=0.18 x+0.56$, 则 $\hat{y}=e^{0.18 x+0.56}$,

(ii) 2021 年盈利额 $y=250$ (亿元)，

所以 $250=e^{0.18 x+056}$, 则 $0.18 x+0.56=\ln 250$,

因为 $\ln 250=3 \ln 5+\ln 2 \approx 3 \times 1.609+0.693=5.52$,

所以 $x \approx \frac{5.52-0.56}{0.18} \approx 27.56$

所以 2021 年的研发资金投入量约为 27.56 亿元.