eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $D$ 是 $B C$ 边上的一点, $E$ 是 $A D$ 的中点, 过 $A$ 点作 $B C$ 的平行线交 $C E$ 的延长线于点 $F$, 且 $A F=B D$, 连接 $B F$.



(1)求证: $B D=C D$;

(2)如果 $A B=A C$, 试判断四边形 $A F B D$ 的形状, 并证明你的结论.
选项：
答案：(1)证明: $\because A F / / B C$,

$\therefore \angle A F E=\angle D C E$,

$\because E$ 是 $A D$ 的中点,

$\therefore A E=D E$,

在 $\triangle A E F$ 和 $\triangle D E C$ 中，

$\left\{\begin{array}{c}\angle A F E=\angle D C E \\ A E=D E \\ \angle A E F=\angle D E C\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A E F \cong \triangle D E C$,

$\therefore A F=D C$

$\because A F=B D$,

$\therefore B D=C D$

(2)解: 四边形 $A F B D$ 是矩形.

$\because A B=A C, D$ 是 $B C$ 的中点,

$\therefore A D \perp B C$

$$
\therefore \angle A D B=90^{\circ}
$$

$\because A F=B D$,

$\because$ 过 $A$ 点作 $B C$ 的平行线交 $C E$ 的延长线于点 $F$, 即 $A F / / B C$,

$\therefore$ 四边形 $A F B D$ 是平行四边形,

又 $\because \angle A D B=90^{\circ}$,

$\therefore$ 四边形 $A F B D$ 是矩形.
解析：(1)证明: $\because A F / / B C$,

$\therefore \angle A F E=\angle D C E$,

$\because E$ 是 $A D$ 的中点,

$\therefore A E=D E$,

在 $\triangle A E F$ 和 $\triangle D E C$ 中，

$\left\{\begin{array}{c}\angle A F E=\angle D C E \\ A E=D E \\ \angle A E F=\angle D E C\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A E F \cong \triangle D E C$,

$\therefore A F=D C$

$\because A F=B D$,

$\therefore B D=C D$

(2)解: 四边形 $A F B D$ 是矩形.

$\because A B=A C, D$ 是 $B C$ 的中点,

$\therefore A D \perp B C$

$$
\therefore \angle A D B=90^{\circ}
$$

$\because A F=B D$,

$\because$ 过 $A$ 点作 $B C$ 的平行线交 $C E$ 的延长线于点 $F$, 即 $A F / / B C$,

$\therefore$ 四边形 $A F B D$ 是平行四边形,

又 $\because \angle A D B=90^{\circ}$,

$\therefore$ 四边形 $A F B D$ 是矩形.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, $A D$ 是 $\angle B A C$ 的角平分线, $D E \perp A B, D F \perp A C$, 点 $E 、 F$ 为垂足, $D B=D C$.



(1)求证: $B E=C F$;

(2)若 $A D=10, A E=8$, 求四边形 $A C D B$ 的面积.
选项：
答案：(1) 证明: $\because A D$ 平分 $\angle B A C, D E \perp A B, D F \perp A C$,

$\therefore D E=D F, \angle D E B=\angle D F C=90^{\circ}$,

在 Rt $\triangle B E D$ 和 Rt $\triangle C F D$ 中

$\left\{\begin{array}{l}D B=D C \\ D E=D F\end{array}\right.$,

$\therefore \mathrm{Rt} \triangle B E D \xlongequal{\text { }} \mathrm{Rt} \triangle C F D(\mathrm{HL})$,

$\therefore B E=C F ;$

(2) 解：在 Rt $\triangle A D E$ 中,

$\because A D=10, A E=8$,

$\therefore \mathrm{DE}=6$

$\because A D=A D, D E=D F$,

$\therefore$ Rt $\triangle A D E \cong \mathrm{Rt} \triangle A D F(\mathrm{HL})$,

$\therefore S_{\triangle A D E}=S_{\triangle A D F}$,

$\because$ Rt $\triangle B E D \cong$ Rt $\triangle C F D$,

$\therefore S_{\triangle B E D}=S_{\triangle C F D}$,

$\therefore$ 四边形 $A C D B$ 的面积 $=S_{\text {四边形AFDE }}=2 S_{\triangle A D E}=2 \times \frac{1}{2} \times 6 \times 8=48$.

答: 四边形 $A C D B$ 的面积是 48 .
解析：(1) 证明: $\because A D$ 平分 $\angle B A C, D E \perp A B, D F \perp A C$,

$\therefore D E=D F, \angle D E B=\angle D F C=90^{\circ}$,

在 Rt $\triangle B E D$ 和 Rt $\triangle C F D$ 中

$\left\{\begin{array}{l}D B=D C \\ D E=D F\end{array}\right.$,

$\therefore \mathrm{Rt} \triangle B E D \xlongequal{\text { }} \mathrm{Rt} \triangle C F D(\mathrm{HL})$,

$\therefore B E=C F ;$

(2) 解：在 Rt $\triangle A D E$ 中,

$\because A D=10, A E=8$,

$\therefore \mathrm{DE}=6$

$\because A D=A D, D E=D F$,

$\therefore$ Rt $\triangle A D E \cong \mathrm{Rt} \triangle A D F(\mathrm{HL})$,

$\therefore S_{\triangle A D E}=S_{\triangle A D F}$,

$\because$ Rt $\triangle B E D \cong$ Rt $\triangle C F D$,

$\therefore S_{\triangle B E D}=S_{\triangle C F D}$,

$\therefore$ 四边形 $A C D B$ 的面积 $=S_{\text {四边形AFDE }}=2 S_{\triangle A D E}=2 \times \frac{1}{2} \times 6 \times 8=48$.

答: 四边形 $A C D B$ 的面积是 48 .
题目（八年级 · 组合几何学）：已知: 如图, $A B=A C, A D=A E, B D$ 和 $C E$ 相交于点 $F$.



求证 : (1) $\angle B=\angle C ; \quad$ (2) $B F=C F$.
选项：
答案：证明: (1) $\because A B=A C, \angle A=\angle A, A D=A E$,

$\therefore \triangle A B D \cong \triangle A C E(\mathrm{SAS})$

$\therefore \angle B=\angle C ;$

(2) $\because A B=A C, A D=A E$,

$\therefore A B-A E=A C-A D ，$ 即 $B E=C D ，$

又 $\because \angle B=\angle C, \angle B F E=\angle C F D$,

$\therefore \triangle B E F \cong \triangle C D F(\mathrm{AAS})$,

$\therefore B F=C F$.
解析：证明: (1) $\because A B=A C, \angle A=\angle A, A D=A E$,

$\therefore \triangle A B D \cong \triangle A C E(\mathrm{SAS})$

$\therefore \angle B=\angle C ;$

(2) $\because A B=A C, A D=A E$,

$\therefore A B-A E=A C-A D ，$ 即 $B E=C D ，$

又 $\because \angle B=\angle C, \angle B F E=\angle C F D$,

$\therefore \triangle B E F \cong \triangle C D F(\mathrm{AAS})$,

$\therefore B F=C F$.
题目（八年级 · 组合几何学）：



(1) 求证: $\triangle A B C \cong \triangle D E F$.

(2) 求证: $B C / / E F$.
选项：
答案：证明: (1) $\because A B / / D E, \therefore \angle A=\angle D$

$\because A F=D C$

$\therefore A C=D F$

又 $\because A B=D E$

$\therefore \triangle A B C \cong \triangle D E F(S A S) ;$

(2) $\because \triangle A B C \cong \triangle D E F$
$\therefore \angle B C A=\angle E F D$

$\therefore B C / / E F$.
解析：证明: (1) $\because A B / / D E, \therefore \angle A=\angle D$

$\because A F=D C$

$\therefore A C=D F$

又 $\because A B=D E$

$\therefore \triangle A B C \cong \triangle D E F(S A S) ;$

(2) $\because \triangle A B C \cong \triangle D E F$
$\therefore \angle B C A=\angle E F D$

$\therefore B C / / E F$.
题目（八年级 · 组合几何学）：已知: 如图, $A B / / C D, A B=C D, B F=C E$.

(1) 求证: $\triangle A B F \cong \triangle D C E$.

（2）已知 $\angle A F C=80^{\circ}$, 求 $\angle D E C$ 的度数.


选项：
答案：(1) 证明: $\because A B / / C D$,

$\therefore \angle B=\angle C$,

在 $\triangle A B F$ 与 $\triangle D C E$ 中, $\left\{\begin{array}{l}A B=D C \\ \angle B=\angle C \\ B F=C E\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A B F \cong \triangle D C E(S A S)$.

(2) 解: $\because \angle A F B+\angle A F C=180^{\circ}, \angle A F C=80^{\circ}$,

$\therefore \angle A F B=180^{\circ}-\angle A F C=100^{\circ}$,

由 (1) 知, $\triangle A B F \cong \triangle D C E$,

$\therefore \angle A F B=\angle D E C$

$\therefore \angle D E C=100^{\circ}$.
解析：(1) 证明: $\because A B / / C D$,

$\therefore \angle B=\angle C$,

在 $\triangle A B F$ 与 $\triangle D C E$ 中, $\left\{\begin{array}{l}A B=D C \\ \angle B=\angle C \\ B F=C E\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A B F \cong \triangle D C E(S A S)$.

(2) 解: $\because \angle A F B+\angle A F C=180^{\circ}, \angle A F C=80^{\circ}$,

$\therefore \angle A F B=180^{\circ}-\angle A F C=100^{\circ}$,

由 (1) 知, $\triangle A B F \cong \triangle D C E$,

$\therefore \angle A F B=\angle D E C$

$\therefore \angle D E C=100^{\circ}$.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, $\triangle A B C$ 与 $\triangle A D E$ 是以点 $\mathrm{A}$ 为公共顶点的两个三角形,

且 $A D=A E, A B=A C, \angle D A E=\angle C A B=90^{\circ}$, 且线段 $B D, C E$ 交于 $F$.

(1) 求证: $\triangle A E C \cong \triangle A D B$.

(2) 猜想 $C E$ 与 $D B$ 之间的关系, 并说明理由.


选项：
答案：解: (1) 证明: $\because \angle B A C=\angle D A E$,

$\therefore \angle B A C+\angle C A D=\angle D A E+\angle C A D$,

即 $\angle B A D=\angle C A E$,

在 $\triangle B A D$ 与 $\triangle C A E$ 中, $\left\{\begin{array}{l}A B=A C \\ \angle B A D=\angle C A E, \\ A D=A E\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle B A D \xlongequal{\triangle} \triangle A E(S A S) ;$

(2) 由 (1) 知, $\triangle B A D \cong \triangle C A E$,

$\therefore \angle A B D=\angle A C E, B D=C E$,

$\because \angle B A C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle C B F+\angle B C F=\angle A B C+\angle A C B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B F C=90^{\circ}$,

$\therefore C E \perp D B$.
解析：解: (1) 证明: $\because \angle B A C=\angle D A E$,

$\therefore \angle B A C+\angle C A D=\angle D A E+\angle C A D$,

即 $\angle B A D=\angle C A E$,

在 $\triangle B A D$ 与 $\triangle C A E$ 中, $\left\{\begin{array}{l}A B=A C \\ \angle B A D=\angle C A E, \\ A D=A E\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle B A D \xlongequal{\triangle} \triangle A E(S A S) ;$

(2) 由 (1) 知, $\triangle B A D \cong \triangle C A E$,

$\therefore \angle A B D=\angle A C E, B D=C E$,

$\because \angle B A C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle C B F+\angle B C F=\angle A B C+\angle A C B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B F C=90^{\circ}$,

$\therefore C E \perp D B$.
题目（八年级 · 组合几何学）：已知, 如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A D, A E$ 分别是 $\triangle A B C$ 的高和角平分线,



(1) 若 $\angle \mathrm{B}=30^{\circ}, \angle \mathrm{C}=50^{\circ}$. 求 $\angle \mathrm{DAE}$ 的度数;

(2) 试写出 $\angle \mathrm{DAE}$ 与 $\angle \mathrm{C}, \angle \mathrm{B}$ 有何关系? 并证明你的结论.
选项：
答案：解: (1) $\because \angle \mathrm{B}=30^{\circ}, \angle \mathrm{C}=50^{\circ}$ ，

$\therefore \angle \mathrm{BAC}=180^{\circ}-\angle \mathrm{B}-\angle \mathrm{C}=100^{\circ}$,
又 $\because \mathrm{AE}$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的角平分线,

$\therefore \angle \mathrm{BAE}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC}=50^{\circ}$,

$\because \mathrm{AD}$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的高,

$\therefore \angle \mathrm{BAD}=90^{\circ}-\angle \mathrm{B}=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$,

则 $\angle \mathrm{DAE}=\angle \mathrm{BAD}-\angle \mathrm{BAE}=10^{\circ}$;

(2) $\angle \mathrm{DAE}=\frac{1}{2}(\angle \mathrm{C}-\angle \mathrm{B})$,

理由如下: $\because \mathrm{AD}$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的高,

$\therefore \angle \mathrm{ADC}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{DAC}=180^{\circ}-\angle \mathrm{ADC}-\angle \mathrm{C}=90^{\circ}-\angle \mathrm{C}$,

$\because \mathrm{AE}$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的角平分线,

$\therefore \angle \mathrm{EAC}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC}$,

$\because \angle \mathrm{BAC}=180^{\circ}-\angle \mathrm{B}-\angle \mathrm{C}$

$\therefore \angle \mathrm{DAE}=\angle \mathrm{EAC}-\angle \mathrm{DAC}$,

$=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC}-\left(90^{\circ}-\angle \mathrm{C}\right)$,

$=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle \mathrm{B}-\angle \mathrm{C}\right)-90^{\circ}+\angle \mathrm{C}$,

$=90^{\circ}-\frac{1}{2} \angle B-\frac{1}{2} \angle C-90^{\circ}+\angle C$,

$=\frac{1}{2}(\angle \mathrm{C}-\angle \mathrm{B})$.
解析：解: (1) $\because \angle \mathrm{B}=30^{\circ}, \angle \mathrm{C}=50^{\circ}$ ，

$\therefore \angle \mathrm{BAC}=180^{\circ}-\angle \mathrm{B}-\angle \mathrm{C}=100^{\circ}$,
又 $\because \mathrm{AE}$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的角平分线,

$\therefore \angle \mathrm{BAE}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC}=50^{\circ}$,

$\because \mathrm{AD}$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的高,

$\therefore \angle \mathrm{BAD}=90^{\circ}-\angle \mathrm{B}=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$,

则 $\angle \mathrm{DAE}=\angle \mathrm{BAD}-\angle \mathrm{BAE}=10^{\circ}$;

(2) $\angle \mathrm{DAE}=\frac{1}{2}(\angle \mathrm{C}-\angle \mathrm{B})$,

理由如下: $\because \mathrm{AD}$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的高,

$\therefore \angle \mathrm{ADC}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{DAC}=180^{\circ}-\angle \mathrm{ADC}-\angle \mathrm{C}=90^{\circ}-\angle \mathrm{C}$,

$\because \mathrm{AE}$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的角平分线,

$\therefore \angle \mathrm{EAC}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC}$,

$\because \angle \mathrm{BAC}=180^{\circ}-\angle \mathrm{B}-\angle \mathrm{C}$

$\therefore \angle \mathrm{DAE}=\angle \mathrm{EAC}-\angle \mathrm{DAC}$,

$=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAC}-\left(90^{\circ}-\angle \mathrm{C}\right)$,

$=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle \mathrm{B}-\angle \mathrm{C}\right)-90^{\circ}+\angle \mathrm{C}$,

$=90^{\circ}-\frac{1}{2} \angle B-\frac{1}{2} \angle C-90^{\circ}+\angle C$,

$=\frac{1}{2}(\angle \mathrm{C}-\angle \mathrm{B})$.
题目（八年级 · 组合几何学）：(5 分) 已知: 如图, 在 $\square A B C D$ 中, 点 $E 、 F$ 分别在 $B C 、 A D$ 上, 且 $B E=D F$.求证: $A C 、 E F$ 互相平分.


选项：
答案：证明：连接 $A E 、 C F$, $\because$ 四边形 $A B C D$ 为平行四边形,
$\therefore A D \| B C, A D=B C$,

又 $\because D F=B E$,

$\therefore A F=C E$,

又 $\because A F \| C E$,

$\therefore$ 四边形 $A E C F$ 为平行四边形,

$\therefore A C 、 E F$ 互相平分.
解析：证明：连接 $A E 、 C F$, $\because$ 四边形 $A B C D$ 为平行四边形,
$\therefore A D \| B C, A D=B C$,

又 $\because D F=B E$,

$\therefore A F=C E$,

又 $\because A F \| C E$,

$\therefore$ 四边形 $A E C F$ 为平行四边形,

$\therefore A C 、 E F$ 互相平分.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 点 $E, F$ 在 $B C$ 上, $B E=C F, A B=D C, \angle B=\angle C$, 求证: $A F=D E$.


选项：
答案：证明: $\because B E=C F$,

$\therefore B E+E F=C F+E F$, 即 $B F=C E$,

在 $\triangle A B F$ 和 $\triangle D C E$ 中,
$\left\{\begin{array}{l}A B=D C \\ \angle B=\angle C, \\ B F=C E\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B F \cong \triangle D C E(\mathrm{SAS})$

$\therefore A F=D E$.
解析：证明: $\because B E=C F$,

$\therefore B E+E F=C F+E F$, 即 $B F=C E$,

在 $\triangle A B F$ 和 $\triangle D C E$ 中,
$\left\{\begin{array}{l}A B=D C \\ \angle B=\angle C, \\ B F=C E\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B F \cong \triangle D C E(\mathrm{SAS})$

$\therefore A F=D E$.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 已知 $A C \perp B C, B D \perp A D, A C$ 与 $B D$ 交于 $O, A C=B D$.

求证：（1） $B C=A D$;

(2) $\triangle O A B$ 是等腰三角形.


选项：
答案：证明: (1) $\because A C \perp B C, B D \perp A D$,

$\therefore \triangle A B C$ 与 $\triangle B A D$ 是直角三角形,

在 $\triangle A B C$ 和 $\triangle B A D$ 中, $\because A C=B D, A B=B A, \angle A C B=\angle B D A=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle A B C \cong \triangle B A D(H L)$
$\therefore B C=A D$.

(2) $\because \triangle A B C \cong \triangle B A D$

$\therefore \angle C A B=\angle D B A$

$\therefore O A=O B$.

$\therefore \triangle O A B$ 是等腰三角形.
解析：证明: (1) $\because A C \perp B C, B D \perp A D$,

$\therefore \triangle A B C$ 与 $\triangle B A D$ 是直角三角形,

在 $\triangle A B C$ 和 $\triangle B A D$ 中, $\because A C=B D, A B=B A, \angle A C B=\angle B D A=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle A B C \cong \triangle B A D(H L)$
$\therefore B C=A D$.

(2) $\because \triangle A B C \cong \triangle B A D$

$\therefore \angle C A B=\angle D B A$

$\therefore O A=O B$.

$\therefore \triangle O A B$ 是等腰三角形.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 已知点 $E 、 C$ 在线段 $B F$ 上, $\angle A C B=\angle F, B E=C F$, 且 $A B / / D E$.



求证: $\triangle A B C \cong \triangle D E F$.
选项：
答案：证明: $\because A B / / D E$,

$\therefore \angle A B C=\angle D E F$,

$\because B E=C F$,

$\therefore B E+E C=C F+E C$, 即 $B C=E F$,

在 $\triangle A B C$ 和 $\triangle D E F$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}\angle A C B=\angle F \\ B C=E F \\ \angle A B C=\angle D E F\end{array}\right.$,
$\therefore \triangle A B C \cong \triangle D E F(\mathrm{ASA})$.
解析：证明: $\because A B / / D E$,

$\therefore \angle A B C=\angle D E F$,

$\because B E=C F$,

$\therefore B E+E C=C F+E C$, 即 $B C=E F$,

在 $\triangle A B C$ 和 $\triangle D E F$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}\angle A C B=\angle F \\ B C=E F \\ \angle A B C=\angle D E F\end{array}\right.$,
$\therefore \triangle A B C \cong \triangle D E F(\mathrm{ASA})$.
题目（八年级 · 组合几何学）：已知: 如图, $A B / / D E, A B=D E, A F=D C$. 求证: $\angle B=\angle E$.


选项：
答案：证明: $\because A B / / D E$,

$\therefore \angle A=\angle D$,

$\because A F=D C$,

$\therefore A F+C F=D C+C F$

即 $A C=D F$

在 $\triangle A B C$ 与 $\triangle D E F$ 中

$\left\{\begin{array}{l}A C=D F \\ \angle A=\angle D, \\ A B=D E\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B C \cong \triangle D E F(\mathrm{SAS})$,

$\therefore \angle B=\angle E$.
解析：证明: $\because A B / / D E$,

$\therefore \angle A=\angle D$,

$\because A F=D C$,

$\therefore A F+C F=D C+C F$

即 $A C=D F$

在 $\triangle A B C$ 与 $\triangle D E F$ 中

$\left\{\begin{array}{l}A C=D F \\ \angle A=\angle D, \\ A B=D E\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B C \cong \triangle D E F(\mathrm{SAS})$,

$\therefore \angle B=\angle E$.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 点 $A 、 D 、 C 、 F$ 在同一条直线上, $A D=C F, A B=D E, B C=E F$.

(1) 求证: $\triangle A B C \cong \triangle D E F ;$

(2) 若 $\angle A=60^{\circ}, \angle B=80^{\circ}$, 求 $\angle F$ 的度数.


选项：
答案：解: (1) $\because \mathrm{AD}=\mathrm{CF}$,

$\therefore A D+C D=C D+C F$ ，即 $A C=D F$ ，

<ImageHere>

（2）由（1）可得 $\triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{DEF}$,

$\therefore \angle \mathrm{F}=\angle \mathrm{ACB}$,

根据三角形内角和 $180^{\circ}, \angle A=60^{\circ}, \angle B=80^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{ACB}=180^{\circ}-60^{\circ}-80^{\circ}=40^{\circ}$,
$\therefore \angle \mathrm{F}=40^{\circ}$.
解析：解: (1) $\because \mathrm{AD}=\mathrm{CF}$,

$\therefore A D+C D=C D+C F$ ，即 $A C=D F$ ，



（2）由（1）可得 $\triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{DEF}$,

$\therefore \angle \mathrm{F}=\angle \mathrm{ACB}$,

根据三角形内角和 $180^{\circ}, \angle A=60^{\circ}, \angle B=80^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{ACB}=180^{\circ}-60^{\circ}-80^{\circ}=40^{\circ}$,
$\therefore \angle \mathrm{F}=40^{\circ}$.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图 1, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C, A D$ 是 $\triangle A B C$ 的角平分线.



图1

(1) 写出图中全等的三角形 , 线段 $A D$ 与线段 $B C$ 的位置关系是

(2) 如图 2, 在 (1) 的条件下, 过点 $B$, 作 $B E \perp A C$, 垂足为 $E$, 交 $A D$ 于点 $F$, 且 $A E=B E$,请说明 $\triangle A E F \cong \triangle B E C$ 的理由.



图2
选项：
答案：解: (1) $\because A D$ 是 $\triangle A B C$ 的角平分线,

$\therefore \angle B A D=\angle C A D$

$\because A B=A C, \quad A D=A D$,

$\therefore \triangle A B D \cong \triangle A C D(\mathrm{SAS})$,

$\therefore \angle A D B=\angle A D C$,

$\because \angle A D B+\angle A D C=180^{\circ}$,

$\therefore \angle A D B=\angle A D C=90^{\circ} ，$ 即 $A D \perp B C ，$

故答案为: $\triangle A B D \cong \triangle A C D$; 垂直（或线段 $A D \perp B C$ )；

（2）由（1）得 $A D \perp B C$ ，

所以 $\angle A D C=90^{\circ}$.

所以 $\angle E A F+\angle C=90^{\circ}$.

因为 $B E \perp A C ，$

所以 $\angle A E F=\angle B E C=90^{\circ}$.

所以 $\angle C B E+\angle C=90^{\circ}$.
所以 $\angle E A F=\angle E B C$

又因为 $A E=B E, \angle A E F=\angle B E C=90^{\circ}$,

所以 $\triangle A E F \cong \triangle B E C(\mathrm{ASA})$.
解析：解: (1) $\because A D$ 是 $\triangle A B C$ 的角平分线,

$\therefore \angle B A D=\angle C A D$

$\because A B=A C, \quad A D=A D$,

$\therefore \triangle A B D \cong \triangle A C D(\mathrm{SAS})$,

$\therefore \angle A D B=\angle A D C$,

$\because \angle A D B+\angle A D C=180^{\circ}$,

$\therefore \angle A D B=\angle A D C=90^{\circ} ，$ 即 $A D \perp B C ，$

故答案为: $\triangle A B D \cong \triangle A C D$; 垂直（或线段 $A D \perp B C$ )；

（2）由（1）得 $A D \perp B C$ ，

所以 $\angle A D C=90^{\circ}$.

所以 $\angle E A F+\angle C=90^{\circ}$.

因为 $B E \perp A C ，$

所以 $\angle A E F=\angle B E C=90^{\circ}$.

所以 $\angle C B E+\angle C=90^{\circ}$.
所以 $\angle E A F=\angle E B C$

又因为 $A E=B E, \angle A E F=\angle B E C=90^{\circ}$,

所以 $\triangle A E F \cong \triangle B E C(\mathrm{ASA})$.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 点 $C$ 是 $A B$ 的中点, $A D=C E, C D=B E$. 求证: $\triangle A C D \cong_{\triangle} C B E$.


选项：
答案：证明: $\because$ 点 $C$ 是 $A B$ 的中点,

$\therefore A C=C B$.

在 $\triangle A C D$ 和 $\triangle C B E$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}A D=C E \\ C D=B E, \\ A C=C B\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A C D \cong \triangle C B E(\mathrm{SSS})$.
解析：证明: $\because$ 点 $C$ 是 $A B$ 的中点,

$\therefore A C=C B$.

在 $\triangle A C D$ 和 $\triangle C B E$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}A D=C E \\ C D=B E, \\ A C=C B\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A C D \cong \triangle C B E(\mathrm{SSS})$.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图所示, 在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\angle \mathrm{BAC}=90^{\circ}, \mathrm{AB}=\mathrm{AC}$,

$\mathrm{MN}$ 是经过点 A 的直线, $\mathrm{BD} \perp \mathrm{MN}, \mathrm{CE} \perp \mathrm{MN}$, 垂足分别为 D, E.

(1) 求证: (1) $\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{ACE}$; (2) $\mathrm{BD}=\mathrm{AE}$.

(2) 请写出 $\mathrm{BD}, \mathrm{CE}, \mathrm{DE}$ 三者间的数量关系式, 并证明.


选项：
答案：(1) 证明: (1) $\because \angle \mathrm{BAC}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BAD}+\angle \mathrm{CAE}=90^{\circ}$,

$\because \mathrm{CE} \perp \mathrm{MN}, \quad \therefore \angle \mathrm{ACE}+\angle \mathrm{CAE}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{ACE}$

(2) $\because \mathrm{BD} \perp \mathrm{MN}, \quad \mathrm{CE} \perp \mathrm{MN}$,

$\therefore \angle \mathrm{BDA}=\angle \mathrm{AEC}=90^{\circ}$,

在 $\triangle A B D$ 和 $\triangle C A E$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}\angle B D A=\angle A E C \\ \angle B A D=\angle A C E \\ A B=A C\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle \mathrm{ABD} \cong \triangle \mathrm{CAE}$,
$\therefore \mathrm{BD}=\mathrm{AE}$

(2) $\mathrm{BD}=\mathrm{CE}+\mathrm{DE}$. 证明如下:

$\because \triangle \mathrm{ABD} \cong \triangle \mathrm{CAE}$

$\therefore \mathrm{BD}=\mathrm{AE}, \mathrm{AD}=\mathrm{CE}$.

$\because \mathrm{AE}=\mathrm{AD}+\mathrm{DE}$,

$\therefore \mathrm{BD}=\mathrm{CE}+\mathrm{DE}$.
解析：(1) 证明: (1) $\because \angle \mathrm{BAC}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BAD}+\angle \mathrm{CAE}=90^{\circ}$,

$\because \mathrm{CE} \perp \mathrm{MN}, \quad \therefore \angle \mathrm{ACE}+\angle \mathrm{CAE}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{ACE}$

(2) $\because \mathrm{BD} \perp \mathrm{MN}, \quad \mathrm{CE} \perp \mathrm{MN}$,

$\therefore \angle \mathrm{BDA}=\angle \mathrm{AEC}=90^{\circ}$,

在 $\triangle A B D$ 和 $\triangle C A E$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}\angle B D A=\angle A E C \\ \angle B A D=\angle A C E \\ A B=A C\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle \mathrm{ABD} \cong \triangle \mathrm{CAE}$,
$\therefore \mathrm{BD}=\mathrm{AE}$

(2) $\mathrm{BD}=\mathrm{CE}+\mathrm{DE}$. 证明如下:

$\because \triangle \mathrm{ABD} \cong \triangle \mathrm{CAE}$

$\therefore \mathrm{BD}=\mathrm{AE}, \mathrm{AD}=\mathrm{CE}$.

$\because \mathrm{AE}=\mathrm{AD}+\mathrm{DE}$,

$\therefore \mathrm{BD}=\mathrm{CE}+\mathrm{DE}$.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, $\angle 1=\angle 2, A B=A E, A C=A D$. 求证: $B C=E D$.


选项：
答案：证明: $\because \angle 1=\angle 2$,

$\therefore \angle 1+\angle E A C=\angle 2+\angle E A C$,

即 $\angle B A C=\angle E A D$,

在 $\triangle A B C$ 和 $\triangle A E D$ 中,

$\left\{\begin{array}{c}A B=A E \\ \angle B A C=\angle E A D \\ A C=A D\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B C \cong \triangle A E D(\mathrm{SAS})$,

$\therefore B C=E D$.
解析：证明: $\because \angle 1=\angle 2$,

$\therefore \angle 1+\angle E A C=\angle 2+\angle E A C$,

即 $\angle B A C=\angle E A D$,

在 $\triangle A B C$ 和 $\triangle A E D$ 中,

$\left\{\begin{array}{c}A B=A E \\ \angle B A C=\angle E A D \\ A C=A D\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B C \cong \triangle A E D(\mathrm{SAS})$,

$\therefore B C=E D$.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C, B E$ 平分 $\angle A B C, D E / / B C$, 交 $A B$ 于点 $D$, 交 $A C$ 于点 $E$.

(1) 求证: $B D=D E$;

(2) 若 $\angle D E B=30^{\circ}$ 且 $D E=3$, 求 $A D$ 的长度.


选项：
答案：证明: (1) $\because B E$ 平分 $\angle A B C$,

$\therefore \angle A B E=\angle E B C$

$\because D E / / B C$

$\therefore \angle D E B=\angle E B C$,

$\therefore \angle D B E=\angle D E B$,
$\therefore B D=D E ;$

(2) 解: $\because \angle D E B=\angle D B E=30^{\circ}=\angle E B C$,

$\therefore \angle A B C=60^{\circ}$,

$\because A B=A C$,

$\therefore \triangle A B C$ 是等边三角形,

$\therefore \angle A B C=\angle A C B=\angle A=60^{\circ}$,

$\because D E / / B C$

$\therefore \angle A D E=\angle A B C=60^{\circ}, \angle A E D=\angle C=60^{\circ}$,

$\therefore \triangle A D E$ 是等边三角形,

$\therefore A D=D E=3$.
解析：证明: (1) $\because B E$ 平分 $\angle A B C$,

$\therefore \angle A B E=\angle E B C$

$\because D E / / B C$

$\therefore \angle D E B=\angle E B C$,

$\therefore \angle D B E=\angle D E B$,
$\therefore B D=D E ;$

(2) 解: $\because \angle D E B=\angle D B E=30^{\circ}=\angle E B C$,

$\therefore \angle A B C=60^{\circ}$,

$\because A B=A C$,

$\therefore \triangle A B C$ 是等边三角形,

$\therefore \angle A B C=\angle A C B=\angle A=60^{\circ}$,

$\because D E / / B C$

$\therefore \angle A D E=\angle A B C=60^{\circ}, \angle A E D=\angle C=60^{\circ}$,

$\therefore \triangle A D E$ 是等边三角形,

$\therefore A D=D E=3$.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 已知 $\triangle A B C$ 是等边三角形, $D E \perp A B$ 于点 $E, D F \perp A C$ 于点 $F, B E=C F$,



(1) 求证: $\triangle B D E \underline{\underline{\simeq}}_{\triangle} C D F$;

(2) 求证: $A D$ 是 $B C$ 的垂直平分线.
选项：
答案：(1) 证明: $\because \triangle A B C$ 是等边三角形
$\therefore \angle B=\angle C$

$\because D E \perp A B, D F \perp A C$,

$\therefore \angle B E D=\angle C F D=90^{\circ}$,

$\because B E=C F$,

$\therefore \triangle B D E \cong \triangle C D F(A S A)$.

(2) $\because \triangle B D E \cong{ }_{\triangle} C D F$,

$\therefore D B=D C$,

$\because \triangle A B C$ 是等边三角形,

$\therefore A D \perp B C$,

$\therefore A D$ 是 $B C$ 的垂直平分线.
解析：(1) 证明: $\because \triangle A B C$ 是等边三角形
$\therefore \angle B=\angle C$

$\because D E \perp A B, D F \perp A C$,

$\therefore \angle B E D=\angle C F D=90^{\circ}$,

$\because B E=C F$,

$\therefore \triangle B D E \cong \triangle C D F(A S A)$.

(2) $\because \triangle B D E \cong{ }_{\triangle} C D F$,

$\therefore D B=D C$,

$\because \triangle A B C$ 是等边三角形,

$\therefore A D \perp B C$,

$\therefore A D$ 是 $B C$ 的垂直平分线.