题目（八年级 · 画法几何学）：(1) 如图 (1), 己知: 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle B A C=90^{\circ}, A B=A C$,

直线 $m$ 经过点 $A, B D \perp$ 直线 $m, C E \perp$ 直线 $m$, 垂足分别为点 $D 、 E$. 证明：DE=BD+CE.

(2) 如图 (2)，将 (1) 中的条件改为: 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C, D 、 A 、 E$ 三点都在直线 $m$ 上,并且有 $\angle B D A=\angle A E C=\angle B A C=\alpha$ ，其中 $\alpha$ 为任意锐角或钝角.

请问结论 $D E=B D+C E$ 是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由.

(3) 拓展与应用: 如图 (3)，D、E 是 $D 、 A 、 E$ 三点所在直线 $m$ 上的两动点 ( $D 、 A 、 E$ 三点互不重合)，点 $F$ 为 $\angle B A C$ 平分线上的一点, 且 $\triangle A B F$ 和 $\triangle A C F$ 均为等边三角形, 连接 $B D 、 C E$, 若 $\angle B D A=\angle A E C=\angle$ $B A C$, 试判断 $\triangle D E F$ 的形状.



（图1）



(图2)



(图3)
选项：
答案：解: (1) 证明: $\because B D \perp$ 直线 $m, C E \perp$ 直线 $m$,

$\therefore \angle B D A=\angle C E A=90^{\circ}$.

$\because \angle B A C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B A D+\angle C A E=90^{\circ}$.

$\because \angle B A D+\angle A B D=90^{\circ}$

$\therefore \angle C A E=\angle A B D$.

又 $A B=A C$,

$\therefore \triangle A D B \cong \triangle C E A(A A S)$.

$\therefore A E=B D, A D=C E$.

$\therefore D E=A E+A D=B D+C E ;$

(2) 成立。证明如下:

$\because \angle B D A=\angle B A C=\alpha$

$\therefore \angle D B A+\angle B A D=\angle B A D+\angle C A E=180^{\circ}-\alpha$.

$\therefore \angle D B A=\angle C A E$.

$\because \angle B D A=\angle A E C=\alpha, A B=A C$,

$\therefore \triangle A D B \cong \triangle C E A(A A S)$.

$\therefore A E=B D, A D=C E$.

$\therefore D E=A E+A D=B D+C E$

(3) $\triangle D E F$ 为等边三角形. 理由如下:

由 (2) 知, $\triangle A D B \cong \triangle C E A, B D=A E, \angle D B A=\angle C A E$,

$\because \triangle A B F$ 和 $\triangle A C F$ 均为等边三角形,

$\therefore \angle A B F=\angle C A F=60^{\circ}$.

$\therefore \angle D B A+\angle A B F=\angle C A E+\angle C A F$.

$\therefore \angle D B F=\angle F A E$.

$\because B F=A F$

$\therefore \triangle D B F \cong \triangle E A F(\mathrm{SAS})$.

$\therefore D F=E F, \quad \angle B F D=\angle A F E$.

$\therefore \angle D F E=\angle D F A+\angle A F E=\angle D F A+\angle B F D=60^{\circ}$.

$\therefore \triangle D E F$ 为等边三角形.
解析：解: (1) 证明: $\because B D \perp$ 直线 $m, C E \perp$ 直线 $m$,

$\therefore \angle B D A=\angle C E A=90^{\circ}$.

$\because \angle B A C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B A D+\angle C A E=90^{\circ}$.

$\because \angle B A D+\angle A B D=90^{\circ}$

$\therefore \angle C A E=\angle A B D$.

又 $A B=A C$,

$\therefore \triangle A D B \cong \triangle C E A(A A S)$.

$\therefore A E=B D, A D=C E$.

$\therefore D E=A E+A D=B D+C E ;$

(2) 成立。证明如下:

$\because \angle B D A=\angle B A C=\alpha$

$\therefore \angle D B A+\angle B A D=\angle B A D+\angle C A E=180^{\circ}-\alpha$.

$\therefore \angle D B A=\angle C A E$.

$\because \angle B D A=\angle A E C=\alpha, A B=A C$,

$\therefore \triangle A D B \cong \triangle C E A(A A S)$.

$\therefore A E=B D, A D=C E$.

$\therefore D E=A E+A D=B D+C E$

(3) $\triangle D E F$ 为等边三角形. 理由如下:

由 (2) 知, $\triangle A D B \cong \triangle C E A, B D=A E, \angle D B A=\angle C A E$,

$\because \triangle A B F$ 和 $\triangle A C F$ 均为等边三角形,

$\therefore \angle A B F=\angle C A F=60^{\circ}$.

$\therefore \angle D B A+\angle A B F=\angle C A E+\angle C A F$.

$\therefore \angle D B F=\angle F A E$.

$\because B F=A F$

$\therefore \triangle D B F \cong \triangle E A F(\mathrm{SAS})$.

$\therefore D F=E F, \quad \angle B F D=\angle A F E$.

$\therefore \angle D F E=\angle D F A+\angle A F E=\angle D F A+\angle B F D=60^{\circ}$.

$\therefore \triangle D E F$ 为等边三角形.