eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高三 · 解析几何）：与参数方程为 $\left\{\begin{array}{c}x=\sqrt{t} \\ y=2 \sqrt{1-t}\end{array},(t\right.$ 是参数 $)$ 等价的普通方程为 ( )
选项：
A. $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$
B. $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1(0 \leq x \leq 1)$
C. $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1(0 \leq y \leq 2)$
D. $x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1(0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 2)$
答案：D
解析：解析: 解答: $x^{2}=t, \frac{y^{2}}{4}=1-t=1-x^{2}, x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$, 而由 $\left\{\begin{array}{l}t \geq 0, ? \\ 1-t \geq 0,\end{array} \quad 0 \leq t \leq 1\right.$, 从 $0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 2$.
分析: 本题主要考查了椭圆的参数方程, 解决问题的关键是根据椭圆的性质分析即可
题目（高三 · 解析几何）：参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\left|\cos \frac{\theta}{2}+\sin \frac{\theta}{2}\right|, \\ y=\frac{1}{2}(1+\sin \theta) ?\end{array} \quad(0 \leq \theta<2 \pi)\right.$ 表示 $(\quad)$
选项：
A. 双曲线的一支, 这支过点 $\left(1, \frac{1}{2}\right)$
B.抛物线的一部分，这部分过点 $\left(1, \frac{1}{2}\right)$
C.双曲线的一支，这支过点 $\left(1,-\frac{1}{2}\right)$
D.抛物线的一部分，这部分过点 $\left(1,-\frac{1}{2}\right)$
答案：B
解析：解析: 解答: 因 $x=\left|\sqrt{2} \sin \left(\frac{\theta}{2}+\frac{\pi}{4}\right)\right|, x \in[0, \sqrt{2}]$, $y=\frac{1}{2}(1+\sin \theta)$ ，故 $y \in[0,1]$.

因为 $x^{2}=1+\sin \theta$, 所以 $\sin \theta=x^{2}-1$, 代入 $y=\frac{1}{2}(1+\sin \theta)$ 中得 $y=\frac{1}{2} x^{2}$,

即 $x^{2}=2 y^{\prime}, \quad(0 \leq x \leq \sqrt{2}, 0 \leq y \leq 1)$ 表示抛物线的一部分，又 $2 \times \frac{1}{2}=1$, 故过点 $\left(1, \frac{1}{2}\right)$.

分析: 本题主要考查了抛物线的参数方程, 解决问题的关键是根据抛物线的参数方程化为普通方程分析即可
题目（高三 · 解析几何）：已知某条曲线的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right) \\ y=\frac{1}{2}\left(a-\frac{1}{a}\right)\end{array}\right.$ (其中 $a$ 是参数), 则该曲线是( )
选项：
A. 线段
B 圆
C.圆的一部分
D. 双曲线
答案：D
解析：解析: 解答: 本题主要考查参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\left(a+\frac{1}{a}\right) \\ y=\frac{1}{2}\left(a-\frac{1}{a}\right)\end{array}\right.$. 平方后相减得, $x^{2}-y^{2}=1$, 所以该曲线是双曲线，故选 D.

分析: 本题主要考查了双曲线的参数方程, 解决问题的关键是根据所给参数方程化为普通方程分析即可
题目（高三 · 解析几何）：已知圆的摆线的参数方程是 $\left\{\begin{array}{l}x=2(\varphi-\sin \varphi) \\ y=2(1-\cos \varphi)\end{array}\right.$ ( $\varphi$ 为参数), 则当 $\varphi=0,2 \pi$ 时对应两点间的距离是（）
选项：
A. 2
B. 4
C. $2 \pi$
D. $4 \pi$
答案：D
解析：解析: 解答: 当 $\varphi=0$ 时, $\left\{\begin{array}{l}x=0, \\ y=0,\end{array}\right.$ 当 $\varphi=2 \pi$ 时, $\left\{\begin{array}{c}x=4 \pi, \\ y=0,\end{array}\right.$ 此时两点间的距离是 $\sqrt{(4 \pi-0)^{2}+(0-0)^{2}}=4 \pi$

分析: 本题主要考查了其它摆线的生成过程, 解决问题的关键是根据摆线的参数方程计算即可
题目（高三 · 解析几何）：已知一个圆的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \cos \varphi, \\ y=3 \sin \varphi\end{array}\right.$ ( $\varphi$ 为参数)那么圆的摆线方程中参数取 $\frac{\pi}{2}$ 对应的点 $\mathrm{A}$ 与点 $B\left(\frac{3 \pi}{2}, 2\right)$ 之间的距离为( )
选项：
A. $\frac{\pi}{2}-1$
B. $\sqrt{2}$
C. $\sqrt{10}$
D. $\sqrt{\frac{3 \pi}{2}-1}$
答案：C
解析：解析：解答：根据圆的参数方程可知, 圆的半径为 3 , 那么它的摆线参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=3(\varphi-\sin \varphi), \\ y=3(1-\cos \varphi) .\end{array}(\right.$ 为参数 $)$ 把 $\varphi=\frac{\pi}{2}$ 代入参数方程中可得 $\left\{\begin{array}{c}x=3\left(\frac{\pi}{2}-1\right), \\ y=3\end{array}\right.$即 $A\left(3\left(\frac{\pi}{2}-1\right), 3\right) \therefore|A B|=\sqrt{\left[3\left(\frac{\pi}{2}-1\right)-\frac{3 \pi}{2}\right]^{2}+(3-2)^{2}}=\sqrt{10}$分析: 本题主要考查了其它摆线的生成过程, 解决问题的关键是根据摆线的参数方程分析计算即可.
题目（高三 · 解析几何）：$\left\{\begin{array}{c}r=5(\varphi-\sin \varphi), \\ y=5(1-\cos \varphi)\end{array}(\varphi\right.$ 为参数) $)$ 表示的是 $(\quad)$
选项：
A. 半径为 5 的圆的渐开线的参数方程
B.半径为 5 的圆的摆线的参数方程
C. 直径为 5 的圆的渐开线的参数方程
D. 直径为 5 的圆的摆线的参数方程
答案：B
解析：解析：解答：根据圆的渐开线与摆线的参数方程可知 B 正确

分析: 本题主要考查了其它摆线的生成过程, 解决问题的关键是根据圆的渐开线与摆线的参数方程分析即可
题目（高三 · 解析几何）：对于参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=1-t \cos 30^{\circ}, \\ y=2+t \sin 30^{\circ}\end{array}\right.$ 和 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t \cos 30^{\circ}, \\ y=2-t \sin 30^{\circ}\end{array}\right.$ 下列结论正确的是( )
选项：
A. 是倾斜角为 $30^{\circ}$ 的两平行直线
B. 是倾斜角为 $150^{\circ}$ 的两重合直线
C. 是两条垂直相交于点 $(1,2)$ 的直线
D. 是两条不垂直相交于点 $(1,2)$ 的直线
答案：B
解析：解析: 解答: 因为参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=1-t \cos 30^{\circ}, \\ y=2+t \sin 30^{\circ}\end{array}\right.$ 可化为标准形式 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t \cos 150^{\circ} \\ y=2+t \sin 150^{\circ}\end{array}\right.$, 所以其倾斜角为 $150^{\circ}$. 同理 , 参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t \cos 30^{\circ}, \\ y=2-t \sin 30^{\circ}\end{array}\right.$ 可化为标准形式 $\left\{\begin{array}{l}x=1+(-t) \cos 150^{\circ} \\ y=2+(-t) \sin 150^{\circ}\end{array}\right.$, 所以其倾斜角也为 $150^{\circ}$. 又因为两直线都过点 $(1,2)$, 故两直线重合.分析: 本题主要考查了渐开线的生成过程及其参数方程, 解决问题的关键是根据渐开线性质分析计算即可
题目（高三 · 解析几何）：关于渐开线和摆线的叙述, 正确的是 ( )
选项：
A. 只有圆才有渐开线

B. 渐开线和摆线的定义是一样的, 只是绘图的方法不一样, 所以才能得到不同的图形

C.正方形也可以有渐开线

D. 对于同一个圆, 如果建立的直角坐标系的位置不同, 画出的渐开线形状就不同
答案：C
解析：解析：解答：本题主要考查渐开线和摆线的基本概念.不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆.正方形也有渐开线,渐开线和摆线的定义虽然从字面上有相似之处,但它们的实质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同.对于同一个圆不论在什么地方建立直角坐标系,画出的图形的大小和形状都是一样的,只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.

分析: 本题主要考查了渐开线和摆线的基本概念, 解决问题的关键是渐开线和摆线的基本概念分析即可
题目（高三 · 解析几何）：已知一个圆的摆线过点 $(1,0)$, 则摆线的参数方程为 $(\quad)$
选项：
A. $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2 k \pi}(\varphi-\sin \varphi), \\ y=\frac{1}{2 k \pi}(1-\cos \varphi)\end{array}\right.$ B. $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{k \pi}(\varphi-\sin \varphi), \\ y=\frac{1}{k \pi}(1-\cos \varphi)\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2 k \pi}(\varphi-\sin \varphi), \\ y=\frac{1}{2 k \pi}(1+\cos \varphi)\end{array}\right.$ D. $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{k \pi}(\varphi-\sin \varphi), \\ y=\frac{1}{k \pi}(1-\cos \varphi)\end{array}\right.$
答案：A
解析：解析: 解答: 圆的摆线的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=r(\varphi-\sin \varphi), \\ y=r(1-\cos \varphi)\end{array}\right.$ 令 $r(1-\cos \varphi)=0$, 将 $\varphi=2 k \pi$代入 $x=r(\varphi-\sin \varphi)$, 得 $x=r(2 k \pi-\sin 2 k \pi)$. 又过 $(1,0), r(2 k \pi-\sin 2 k \pi)=1 ， \therefore$ $r=\frac{1}{2 k \pi}$, 又 $r>0, \therefore k \in \mathbf{N}_{+}$.

分析: 本题主要考查了其它摆线的生成过程, 解决问题的关键是根据其它摆线的生成过程分析计算即可
题目（高三 · 解析几何）：当 $\varphi=2 \pi$ 时, 圆的渐开线 $\left\{\begin{array}{l}x=6 \cos \varphi+\varphi \sin \varphi \\ y=6 \sin \varphi-\varphi \cos \varphi\end{array}\right.$ 上的点是( )
选项：
A. $(6,0)$
B. $(6,6 \pi)$
C. $(6,-12 \pi)$
D. $(-\pi, 12 \pi)$
答案：C
解析：解析：解答：当 $\varphi=2 \pi$ 时, 代入圆的渐开线方程. $\therefore x=6(\cos 2 \pi+2 \pi \cdot \sin 2 \pi)=6$,

$y=6(\sin 2 \pi-2 \pi \cdot \cos 2 \pi)=-12 \pi$.

分析: 本题主要考查了渐开线的生成过程及其参数方程, 解决问题的关键是圆的渐开线的生成过程及其参数方程分析计算即可
题目（高三 · 解析几何）：抛物线 $y^{2}=2 x$ 的准线方程是 ( )
选项：
A. $\mathrm{y}=-\frac{1}{2}$
B. $y=-1$
C. $\mathrm{x}=-\frac{1}{2}$
D. $x=-1$
答案：C
解析：由抛物线 $\mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{x}$, 可得准线方程 $\mathrm{x}=-rac{2}{4}$, 即 $\mathrm{x}=-rac{1}{2}$. 故选: C.
题目（高三 · 解析几何）：以双曲线 $\frac{x^{2}}{4} \frac{y^{2}}{9}=1$ 的右顶点为焦点的抛物线的标准方程是 ( )
选项：
A. $\mathrm{y}^{2}=4 \mathrm{x}$
B. $y^{2}=16 x$
C. $\mathrm{y}^{2}=8 \mathrm{x}$
D. $y^{2}=-8 x$
答案：C
解析：$ecause$ 双曲线的方程为 $rac{\mathrm{x}^{2}}{4}-rac{y^{2}}{9}=1, 	herefore \mathrm{a}^{2}=4$, 得 $\mathrm{a}=2, 	herefore$ 抛物线的焦点为 $\mathrm{F}(2,0)$,设抛物线方程为 $\mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{px}, \quad(\mathrm{p}>0)$, 则 $rac{\mathrm{p}}{2}=2$, 得 $2 \mathrm{p}=8 	herefore$ :抛物线方程是 $\mathrm{y}^{2}=8 \mathrm{x}$. 故选：C.
题目（高三 · 解析几何）：抛物线 $y^{2}=2 x$ 上的一点 $(2, y)$ 到其焦点的距离是 ( )
选项：
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{5}{2}$
C. 3
D. $\frac{1}{8}$
答案：B
解析：$ecause$ 点 $\left(2, \mathrm{y}_{0}ight)$ 在抛物线上 $\mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{x}, \quad 	herefore \mathrm{y}_{0}=2$, 又 $ecause$ 抛物线 $\mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{x}$ 的焦点为 $\left(rac{1}{2}, 0ight)$, $	herefore$ 点 $(2,2)$ 到抛物线焦点的距离为 $\mathrm{d}=\sqrt{\left(2-rac{1}{2}ight)^{2}+(2-0)^{2}}=rac{5}{2}$, 故选 B.
题目（高三 · 解析几何）：抛物线 $y=a x^{2}(a<0)$ 的准线方程是 ( $\quad$ )
选项：
A. $y=-\frac{1}{2 a}$
B. $y=-\frac{1}{4 \mathrm{a}}$
C. $y=\frac{1}{2 \mathrm{a}}$
D. $y=\frac{1}{4 \mathrm{a}}$
答案：B
解析：抛物线 $y=a x^{2}(a<0)$ 可化为 $x^{2}=rac{1}{a} y$, 准线方程为 $y=-rac{1}{4 a}$. 故选 B.
题目（高三 · 解析几何）：抛物线 $y=-\frac{1}{8} x^{2}$ 的焦点坐标是 ( )
选项：
A. $(0,-4)$
B. $(0,-2)$
C. $\left(-\frac{1}{2}, 0\right)$
D. $\left(-\frac{1}{32}, 0\right)$
答案：B
解析：由题意得, : 抛物线 $y=-rac{1}{8} x^{2}$ 方程化简为 $x^{2}=-8 y$, 抛物线 $y=-rac{1}{8} x^{2}$ 的焦点坐标是 $(0,-2)$,
题目（高三 · 解析几何）：抛物线 $y=4 x^{2}$ 的焦点坐标为
选项：
A. $\left(0, \frac{1}{4}\right)$
B. $\left(0, \frac{1}{16}\right)$
C. $\left(\frac{1}{4}, 0\right)$
D. $\left(\frac{1}{16}, 0\right)$
答案：B
解析：抛物线 $y=4 x^{2}$, 即 $x^{2}=rac{1}{4} y$, 则 $2 p=rac{1}{4}, rac{p}{2}=rac{1}{16}$, 故焦点坐标为 $\left(0, rac{1}{16}ight)$.故选 B.
题目（高三 · 解析几何）：已知点 $A(4, m)$ 在抛物线 $C: y^{2}=2 p x$ 上, 设抛物线 $C$ 的焦点为 $F$, 若 $|A F|=5$, 则 $p$ $=(\quad)$
选项：
A. 4
B. 2
C. 1
D. -2
答案：B
解析：抛物线 $C: y^{2}=2 p x$ 的焦点 $F\left(rac{p}{2}, 0ight)$, 准线方程为 $x=-rac{p}{2}$, 点 $A(4, m)$ 在抛物线 $C: y^{2}=2 p x$ 上,若 $|A F|=5$, 可得 $4+rac{p}{2}=5$, 解得 $p=2$, 故选: B.
题目（高三 · 解析几何）：抛物线 $\mathrm{y}=\frac{1}{8} \mathrm{x}^{2}$ 的焦点到准线的距离为
选项：
A. 2
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{4}$
D. 4
答案：D
解析：抛物线 $y=rac{1}{8} x^{2}$ 标准方程为 $\mathrm{x}^{2}=8 \mathrm{y}, 	herefore$ 焦点到准线的距离为 4.故选
题目（高三 · 解析几何）：抛物线 $y^{2}=2 \mathrm{px} \quad(\mathrm{p}>0)$ 上横坐标为 6 的点到焦点的距离是 10 , 则焦点到准线的距离是 ( )
选项：
A. 4
B. 8
C. 16
D. 32
答案：B
解析：$ecause$ 横坐标为 6 的点到焦点的距离是 $10, 	herefore$ 该点到准线的距离为 10 , 抛物线的准线方程为 $x=-rac{p}{2}$, $	herefore 6+rac{\mathrm{p}}{2}=10 \Rightarrow \mathrm{p}=8$. 故选 B.
题目（高三 · 解析几何）：若抛物线 $y^{2}=8 x$ 的焦点 $F$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{n}=1$ 的一个焦点重合, 则 $n$ 的值为
选项：
A. 2
B. -1
C. 1
D. 4
答案：C
解析：抛物线的方程为 $y^{2}=8 x$, 则其焦点 $F(2,0)$, 因为双曲线 $rac{x^{2}}{3}-rac{y^{2}}{n}=1$ 的一个焦点与 $F$ 重合, 即双曲线的一个焦点为 $(2,0)$, 所以 $\mathrm{c}=2$, 则有 $3+n=4$, 解得 $n=1$. 故选 $C$.
题目（高三 · 解析几何）：抛物线 $y=m x^{2}$ 的准线方程是 $y=3$, 则实数 $m$ 的值为
选项：
A. 6
B. -6
C. $\frac{1}{12}$
D. $-\frac{1}{12}$
答案：D
解析：抛物线 $y=m x^{2}$ 的标准方程是 $x^{2}=rac{1}{m} y$, 则其准线方程为 $y=-rac{1}{4 m}=3$, 所以 $m=-rac{1}{12}$.
题目（高三 · 解析几何）：抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点到双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$ 的渐近线的距离是 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. 1
D. $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
答案：D
解析：抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点 $(1,0)$, 双曲线 $x^{2}-rac{y^{2}}{4}=1$ 的渐近线 $y= \pm 2 x$, 抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点到双曲线 $x^{2}-rac{y^{2}}{4}=1$ 的渐近线的距离是: $d=rac{| \pm 2|}{\sqrt{1+( \pm 2)^{2}}}=rac{2 \sqrt{5}}{5}$. 故选 D.
题目（高三 · 解析几何）：经过点 $P(4,-2)$ 的抛物线的标准方程为 ( )
选项：
A. $y^{2}=-8 x$
B. $x^{2}=-8 y$
C. $y^{2}=x$ 或 $x^{2}=-8 y$
D. $y^{2}=x$ 或 $y^{2}=8 x$
答案：C
解析：于点 $\mathrm{P}(4,-2)$ 在第四象限, 故抛物线可能开口向右, 也可能开口向上. 故可设抛物线的标准方程为 $y^{2}=2 p x$, 或 $x^{2}=-2 m y$, 把点 $P(4,-2)$ 代入方程可得 $p=rac{1}{2}$, 或 $m=4$,故抛物线的标准方程 $y^{2}=x$ 或 $x^{2}=-8 y$,
题目（高三 · 解析几何）：抛物线 $y^{2}=2 x$ 的准线方程是 ( )
选项：
A. $x=\frac{1}{2}$
B. $\mathrm{y}=\frac{1}{2}$
C. $x=-\frac{1}{2}$
D. $y=-\frac{1}{2}$
答案：C
解析：由抛物线 $\mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{x}$, 可得准线方程 $\mathrm{x}=-rac{2}{4}$, 即 $\mathrm{x}=-rac{1}{2}$. 故选: C.
题目（高三 · 解析几何）：抛物线 $y=\frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点坐标为 ( )
选项：
A. $\left(\frac{1}{8}, 0\right)$
B. $\left(0, \frac{1}{16}\right)$
C. $\left(\frac{1}{16}, 0\right)$
D. $(0,1)$
答案：D
解析：把抛物线方程化为标准方程为: $\mathrm{x}^{2}=4 \mathrm{y}$, : 抛物线的焦点在 $\mathrm{y}$ 轴的正半轴, $\mathrm{p}=2$, 故 $rac{\mathrm{p}}{2}=1$, :.抛物线的焦点坐标为 $(0,1)$. 故选 D.
题目（高三 · 解析几何）：抛物线 $x=2 \mathrm{py}^{2}(\mathrm{p}>0)$ 的焦点坐标为
选项：
A. $\left(\frac{\mathrm{p}}{2}, 0\right)$
B. $\left(\frac{1}{8 \mathrm{p}}, 0\right)$
C. $\left(0, \frac{\mathrm{p}}{2}\right)$
D. $\left(0, \frac{1}{2 \mathrm{p}}\right)$
答案：B
解析：由题意得, $	herefore$ 化为标准方程得 $y^{2}=rac{1}{2 p} x$, 故焦点坐标为 $\left(rac{1}{8 p}, 0ight)$.
题目（高三 · 解析几何）：若抛物线的准线方程为 $\mathrm{x}=-7$, 则抛物线的标准方程为 ( )
选项：
A. $x^{2}=-28 y$
B. $x^{2}=28 y$
C. $\mathrm{y}^{2}=-28 \mathrm{x}$
D. $\mathrm{y}^{2}=28 \mathrm{x}$
答案：D
解析：准线方程为 $x=-7:-rac{\mathrm{p}}{2}=-7 \mathrm{p}=14:$ : 抛物线方程为 $\mathrm{y}^{2}=28 \mathrm{x}$ 故选 D.
题目（高三 · 解析几何）：过抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点作直线交抛物线于 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 两点, 若 $x_{1}+x_{2}=6$,则 $|A B|=(\quad)$
选项：
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
答案：D
解析：抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点坐标为 $(1,0)$, 准线方程为 $x=-1$. 因为直线 $A B$ 经过焦点, 所以 $|A B|=|A F|+$ $|\mathrm{BF}|=\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}+2=8$, 故选 D.
题目（高三 · 解析几何）：过抛物线 $\mathrm{y}^{2}=4 \mathrm{x}$ 的焦点 $\mathrm{F}$ 且倾斜角为 $45^{\circ}$ 的直线 $l$ 与抛物线在第一象限交于 $\mathrm{A}$ 点, 则 $|\mathrm{AF}|=(\quad)$
选项：
A. $4+2 \sqrt{2}$
B. $4-2 \sqrt{2}$
C. $2+\sqrt{2}$
D. $2-\sqrt{2}$
答案：A
解析：抛物线的焦点坐标 $F(1,0)$, 直线 $l$ 过 $F$ 且倾斜角 $45^{\circ}:: y=x-1$, 代入抛物线方程, 消去 $y$ 并整理得: $x^{2}-6 x+1=0$, 解得 : $x=3 \pm 2 \sqrt{2}$, 又 $ecause A$ 在第一象限, $	herefore$ 取 $x$ 的较大者, $x=3+$ $2 \sqrt{2}, 	herefore|A F|=\sqrt{2(2+2 \sqrt{2})^{2}}=4+2 \sqrt{2}$, 故选 A.
题目（高三 · 解析几何）：如图, $\mathrm{P}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 外一点, $\mathrm{PC}=4, \mathrm{PD}=2$, 则 $\mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB}$ 等于（）


选项：
A. 2
B. 4
C. 8
D. 不确定
答案：C
解析：解析: 解答: $\because \mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB}=\mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD}, \therefore \mathrm{PA} \cdot \mathrm{PB}=4 \times 2=8$.

分析: 本题主要考查了与圆有关的比例线段, 解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段的性质分析计算即可
题目（高三 · 解析几何）：圆内两弦相交, 其中一条弦长为 $8 \mathrm{~cm}$, 且被交点平分, 另一条被交点分为 $1: 4$ 的两部分, 则这条弦长为 ( )
选项：
A. $2 \mathrm{~cm}$
B. $8 \mathrm{~cm}$
C. $10 \mathrm{~cm}$
D. $16 \mathrm{~cm}$
答案：C
解析：解析: 解答: 设所求弦长为 $5 \mathrm{kcm}$, 则由相交弦定理得 $4^{2}=k \cdot 4 \mathrm{k}$, 则 $k=2, k=-2$ (舍去), 故所求弦长为 $5 \mathrm{k}=5 \times 2=10(\mathrm{~cm})$.

分析: 本题主要考查了与圆有关的比例线段, 解决问题的关键是根据与圆有关的比例线段的性质计算即可
题目（高三 · 解析几何）：若复数 $\cos \theta+i \sin \theta$ 和 $\sin \theta+i \cos \theta$ 相等, 则 $\theta$ 值为( )
选项：
A. $\frac{\pi}{4}$
B. $\frac{\pi}{4}$ 或 $\frac{5}{4} \pi$
C. $2 k \pi+\frac{\pi}{4}(k \in Z)$
D. $k \pi+\frac{\pi}{4}(k \in Z)$
答案：D
解析：答案: D

解析：由复数相等的定义得 $\left\{\begin{array}{l}\cos \theta=\sin \theta \\ \sin \theta=\cos \theta\end{array}\right.$,

$\therefore \tan \theta=1, \therefore \theta=k \pi+\frac{\pi}{4}(k \in Z)$.
题目（高三 · 解析几何）：复数 $z=\frac{2 \mathrm{i}-1}{\mathrm{i}}$

$\left({ }^{i}\right.$ 是虚数单位)在复平面内对应的点在 $(\quad)$
选项：
A. 第一象限
B.第二象限
C.第三项限
D.第四象限
答案：A
解析：答案: A

解析: $z=\frac{2 \mathrm{i}-1}{\mathrm{i}}=\frac{2 \mathrm{i}^{2}-\mathrm{i}}{\mathrm{i}^{2}}=\frac{-2-\mathrm{i}}{-1}=2+\mathrm{i}$, 对应点的坐标为 $(2,1)$, 位于第一象限. 故选 A.
题目（高三 · 解析几何）：若直线 $l$ 与曲线 $C$ 满足下列两个条件: (1) 直线 $l$ 在点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处与曲线 $C$相切; (2) 曲线 $C$ 在点 $P$ 附近位于直线 $l$ 的两侧, 则称直线 $l$ 在点 $P$ 处“切过”曲线 C. 给出下列四个命题:

(1)直线 $l: y=0_{\text {在点 }} P(0,0)$ 处“切过”曲线 $C: y=x^{3}$;

(2)直线 $l: y=x-1$ 在点 $P(1,0)$ 处“切过”曲线 $C: y=\ln x$;

(3)直线 $l: y=-x+\pi_{\text {在点 }} P(\pi, 0)$ 处“切过”曲线 $C: y=\sin x$;

(4)直线 $l: y=-x+1$ 在点 $P(0,1)$ 处“切过”曲线 $C: y=e^{x}$.

其中正确的命题个数是（ ）

$\begin{array}{llll}\text {
选项：
A. } 1 & \text { B. } 2 & \text { C. } 3 & \text { D. } 4\end{array}$
答案：B
解析：$y=x^{3}$ 的导数为 $y^{\prime}=3 x^{2}$, 可得切线方程为 $y=0$, 即 $x$ 轴,而 $x>0$ 时, $y=x^{3}>0 ; x<0$ 时, $y=x^{3}<0$,$	herefore$ 直线 $l: y=0_{	ext {在点 }} P(0,0)$ 处“切过”曲线 $C: y=x^{3}$, (1)正确;由 $^{\ln x}$ 的导数为 $rac{1}{x}$, 可得切线方程为 $y-0=x-1$,且 ${ }^{y=\ln x-(x-1)}$ 的导数为 $y^{\prime}=rac{1}{x}-1$,当 $x>1$ 时, 函数 $y$ 递减; $0<x<1$ 时, 函数 $y$ 递增可得 $x=1$ 处 $y=\ln x-x+1$ 的最大值为 0 , 则 $\ln x \leq x-1$,(2)直线 $l: y=x-1$ 在点 $P(1,0)$ 处“切过”曲线 $C: y=\ln x$, 故(2)不正确;$y=\sin x$ 的导数为 $y^{\prime}=\cos x$,可得在点 $P(\pi, 0)$ 处切线方程为 $y-x+\pi ，$由 $y=\sin x$ 和直线 $y=\pi-x$ 可得切线穿过曲线,直线 $l: y=-x+\pi_{	ext {在点 }} P(\pi, 0)$ 处“切过”曲线 $C: y=\sin x$, 故(3)正确;$y=e^{x}$ 的导数为 $y^{t}=e^{x}$, 可得在点 $P(0,1)$ 处切线为 $y=x+1$,令 $y=e^{x}-x-1$, 则 $y^{t}=e^{x}-1$,$x<0$ 时, $y^{\prime}<0 ; x>0$ 时, $y^{\prime}>0$,即 $y=e^{x}-x-1$ 在 $(-\infty, 0)$ 上递减, 在 $(0,+\infty)$ 上递增,$	herefore x=0$ 时, $y_{	ext {min }}=0$, 即 $y=e^{x}-x-1 \geq 0$,直线 $l: y=-x+1$ 在点 $P(0,1)$ 处“切过”曲线 $C: y=e^{x}$, 故(4)不正确,故选 B.
题目（高三 · 解析几何）：已知函数 $f(x)=x^{3}+a x^{2}-x(x \in \mathbf{R})$, 则下列结论错误的是 ( )
选项：
A. 函数 $f(x)$ 一定存在极大值和极小值

B. 若函数 $f(x)$ 在 $\left(-\infty, x_{1}\right) 、\left(x_{2},+\infty\right)$ 上是增函数, 则 $x_{2}-x_{1} \geq \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

C. 函数 $f(x)$ 的图象是中心对称图形

D. 函数 $f(x)$ 的图象在点 $\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)\left(x_{0} \in \mathbf{R}\right)$ 处的切线与 $f(x)$ 的图象必有两个不同的公共点
答案：D
解析：A 选项, $f^{\prime}(x)=3 x^{2}+2 a x-1=0$ 的 $\Delta=4 a^{2}+12>0$ 恒成立,故 $f^{\prime}(x)=0$ 必有两个不等实根, 不妨设为 $x_{1} 、 x_{2}$, 且 $x_{1}<x_{2}$,令 $f^{\prime}(x)>0$, 得 $x<x_{1}$ 或 $x>x_{2}$; 令 $f^{\prime}(x)<0$, 得 $x_{1}<x<x_{2}$,所以函数 $f(x)$ 在 $\left(x_{1}, x_{2}ight)$ 上单调递减, 在 $\left(-\infty, x_{1}ight)$ 和 $\left(x_{2},+\inftyight)$ 上单调递增,所以当 $x=x_{1}$ 时, 函数 $f(x)$ 取得极大值, 当 $x=x_{2}$ 时, 函数 $f(x)$ 取得极小值,A 选项正确;B 选项, 令 $f^{\prime}(x)=3 x^{2}+2 a x-1=0$, 则 $x_{1}+x_{2}=-rac{2 a}{3}, x_{1} \cdot x_{2}=-rac{1}{3}$, 易知 $x_{1}<x_{2}$, $	herefore x_{2}-x_{1}=\sqrt{\left(x_{1}+x_{2}ight)^{2}-4 x_{1} x_{2}}=\sqrt{rac{4 a^{2}}{9}+rac{4}{3}} \geq rac{2 \sqrt{3}}{3}$, B 选项正确;$\mathrm{C}$ 选项, 易知两极值点的中点坐标为 $\left(-rac{a}{3}, f\left(-rac{a}{3}ight)ight)$,又 $f\left(-rac{a}{3}+xight)=-\left(1+rac{a^{2}}{3}ight) x+x^{3}+f\left(-rac{a}{3}ight), 	herefore f\left(-rac{a}{3}+xight)+f\left(-rac{a}{3}-xight)=2 f\left(-rac{a}{3}ight)$,$	herefore$ 函数 $f(x)$ 的图象关于点 $\left(-rac{a}{3}, f\left(-rac{a}{3}ight)ight)$ 成中心对称, $\mathrm{C}$ 选项正确;  $\mathrm{D}$ 选项, 令 $a=c=0$, 得 $f(x)=x^{3}-x, f(x)$ 在 $(0,0)$ 处切线方程为 $y=-x$,且 $\left\{egin{array}{l}y=-x \ y=x^{3}-x\end{array}ight.$ 有唯一实数解, 即 $f(x)$ 在 $(0,0)$ 处切线与 $f(x)$ 图象有唯一公共点, $\mathrm{D}$ 选项错误,故选 D.
题目（高三 · 解析几何）：定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数 $f(x)$ 的导函数为 $f^{\prime}(x)$, 若 $\forall x \in \mathbf{R}$, 都有

$2 f(x)+x f^{\prime}(x)$

$<2$, 则使 $x^{2} f(x)-f(1)<x^{2}-1$ 成立的实数 $x$ 的取值范围是 ( )
选项：
A. $\{x \mid x \neq \pm 1\} \quad$ B. $(-1,0) \cup(0,1)$

C. $(-1,1)$
D. $(-\infty,-1) \cup(1,+\infty)$
答案：D
解析：当 $x>0$ 时, 由 $2 f(x)+x f^{	op}(x)-2<0$ 可知:两边同乘以 $x$ 得: $2 x f(x)+x^{2} f^{\prime}(x)-2 x<0$,设 $g(x)=x^{2} f(x)-x^{2}$, 则 $g^{\prime}(x)=2 x f(x)+x^{2} f^{\prime}(x)-2 x<0$ 恒成立,$g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递减,由 $x^{2} f(x)-f(1)<x^{2}-1, 	herefore x^{2} f(x)-x^{2}<f(1)-1$,即 $g(x)<g(1) ，$ 即 $x>1 ，$当 $x<0$ 时, 函数是偶函数, 同理得 $x<-1$,综上可知: 实数 ${ }^{x}$ 的取值范围为 $(-\infty,-1) \cup(1,+\infty)$, 故选 D.
题目（高三 · 解析几何）：已知点 $P(-1,1)$ 为曲线上的一点, $P Q$ 为曲线的割线, 当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时, 若 $k_{P g}$ 的极限为 -2 , 则在点 $P$ 处的切线方程为 $(\quad)$
选项：
A. $y=-2 x+1$
B. $y=-2 x-1$
C. $y=-2 x+3$
D. $y=-2 x-2$
答案：B
解析：根据导数的定义可得 $\lim _{\Delta x ightarrow 0} rac{f(-1+\Delta x)-f(-1)}{\Delta x}=f^{\prime}(-1)=-2$,即在点 $P$ 处切线的斜率为 -2 ，所以在点 $P$ 处的切线方程为 $y-1=-2(x+1)$, 整理可得 $y=-2 x-1$,故选 B.
题目（高三 · 解析几何）：函数 $f(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{x^{2}}$ 的图象大致为 ( )
选项：
A.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_28d10227961faf2becddg-
答案：B
解析：$ecause x 
eq 0, f(-x)=rac{e^{-x}-e^{x}}{x^{2}}=-f(x), 	herefore f(x)$ 为奇函数, 舍去 A;$ecause f(1)=e-e^{-1}>0, \quad 	herefore$ 舍去 $\mathrm{D}$$ecause f^{\prime}(x)=rac{\left(e^{x}+e^{-x}ight) x^{2}-\left(e^{x}-e^{-x}ight) 2 x}{x^{4}}=rac{(x-2) e^{x}+(x+2) e^{-x}}{x^{3}}$,$x>2, f^{\prime}(x)>0$, 所以舍去 $\mathrm{C}$因此选 B.
题目（高三 · 解析几何）：已知过点 $P$ 作曲线 $y=x^{3}$ 的切线有且仅有两条, 则点 $P$ 的坐标可能是 ( )
选项：
A. ${ }^{(0,1)}$
B. $(0,0)$
C. ${ }^{(1,1)} \mathrm{D}$
D. $(-2,-1)$
答案：C
解析：$y=x^{3}$ 的导数为 $y^{\prime}=3 x^{2}$,设切点为 $\left(m, m^{3}ight)$, 可得切线的斜率为 $3 m^{2}$ ，切线的方程为 $y-m^{3}=3 m^{2}(x-m) ，$若 $P(0,0)$ ，则 $-m^{3}=3 m^{2}(0-m)$ ，解得 $m=0$ ，只有一解;若 $P(0,1)$, 则 $1-m^{3}=3 m^{2}(0-m)$, 可得 $m^{3}=-rac{1}{2}$, 只有一解;若 $P(1,1)$, 则 $1-m^{3}=3 m^{2}(1-m)$, 可得 $2 m^{3}-3 m^{2}+1=0$,即为 $(m-1)^{2}(2 m+1)=0$, 解得 $m=1$ 或 $-rac{1}{2}$, 有两解;若 $P(-2,-1)$, 则 $-1-m^{3}=3 m^{2}(-2-m)$, 可得 $2 m^{3}+6 m^{2}-1=0$,由 $f(m)=2 m^{3}+6 m^{2}-1, f^{\prime}(m)=6 m^{2}+12 m$当 $-2<m<0$ 时, $f(m)$ 递减；当 $m>0$ 或 $m<-2$ 时, $f(m)$ 递增,可得 $f(0)=-1$ 为极小值, $f(-2)=7$ 为极大值,则 $2 m^{3}+6 m^{2}-1=0$ 有 3 个不等实数解,故选 C.
题目（高三 · 解析几何）：已知 $x+y=1$ ，那么 $2 x^{2}+3 y^{2}$ 的最小值是( )
选项：
A. $\frac{5}{6}$
B. $\frac{6}{5}$
C. $\frac{25}{36}$
D. $\frac{36}{25}$
答案：B
解析：解析:解答:

$$
2 x^{2}+3 y^{2}=\left[(\sqrt{2} x)^{2}+(\sqrt{3} y)^{2}\right]\left[(\sqrt{3})^{2}+(\sqrt{2})^{2}\right] \times \frac{1}{5}
$$

$\geq \frac{1}{5}(\sqrt{6} x+\sqrt{6} y)^{2}=\frac{6}{5}(x+y)^{2}=\frac{6}{5}$.
当且仅当 $2 x=3 y 2 x=3 y$, 即 $x=\frac{2}{5}, y=\frac{2}{5}$ 时等号成立.

分析: 本题主要考查了二维形式的柯西不等式, 解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式构造变换计算即可.
题目（高三 · 解析几何）：若 $x^{2}+y^{2}=8$, 则 $2 x+y$ 的最大值为 ( )
选项：
A. 8
B. 4
C. $2 \sqrt{10}$
D. 5
答案：C
解析：解析: 解答: $\left(x^{2}+y^{2}\right) \cdot(4+1) \geq(2 x+y)^{2}$.

$\therefore(2 x+y)^{2} \leq 8 \times 5=40(2 x+y)^{2} \leq 8 \times 5=40$,

当且仅当 $x=2 y$ 时等号成立,

即 $(2 x+y)_{\text {max }}=2 \sqrt{10}$.

分析: 本题主要考查了二维形式的柯西不等式, 解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.
题目（高三 · 解析几何）：已知 $2 x^{2}+y^{2}=1$, 则 $2 x+y$ 的最大值是 ( )
选项：
A. $\sqrt{2}$
B. 2
C. $\sqrt{3}$
D. 3
答案：C
解析：解析: 解答: $2 x+y=\sqrt{2} \times \sqrt{2 x}+1 \times y$

$\leq \sqrt{(\sqrt{2})^{2}+1^{2}} \times \sqrt{(\sqrt{2} x)^{2}+y^{2}}$

$=\sqrt{3} \times \sqrt{2 x^{2}+y^{2}}=\sqrt{3}$

当且仅当 $\sqrt{2} y=\sqrt{2} x$,

即 $x=y=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 时等号成立, 即 $2 x+y$ 取到最大值 $\sqrt{3}$.

分析: 本题主要考查了二维形式的柯西不等式, 解决问题的关键是根据二维形式的柯西不等式变换计算即可.
题目（高三 · 解析几何）：线段 $\mathrm{AB}, \mathrm{CD}$ 在同一平面内的正射影相等,则线段 $\mathrm{AB}, \mathrm{CD}$ 的长度关系为（）
选项：
A. $\mathrm{AB}>\mathrm{CD}$
B. $\mathrm{AB}<\mathrm{CD}$
$C . A B=C D$
D. 无法确定
答案：D
解析：解析：解答：由于线段 $\mathrm{AB}, \mathrm{CD}$ 与平面所成的角未定,虽然正射影相等,但线段 $\mathrm{AB}, \mathrm{CD}$ 的长度无法确定,故它们的长度关系也无法确定.故选 D.

分析: 本题主要考查了平行射影, 解决问题的关键是根据平行射影一个图形在一个平面上的正射影与图形和平面的位置有关
题目（高三 · 解析几何）：若复数 $z=3-i$, 则 $z$ 在复平面内对应的点位于 ( )
选项：
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
答案：D
解析：解析：解答：复数 $z=3-i$ 对应点为 $(3,-1)$, 在第四象限, 故选 D.

分析: 本题主要考查了复数的基本概念, 解决问题的关键是解决问题的关键是根据复数的几何意义进行分析即可.
题目（高三 · 解析几何）：若 $x$ 是实数, $y$ 是纯虚数, 且满足 $(2 x-1)+i=y-(3-y) i$, 则 $x+y i$ 等于 ( ).
选项：
A. 1
B. -2
C. $-\frac{2}{3}$
D. $-\frac{11}{2}$
答案：D
解析：解析: 解答: 设 $y=m i(m \in R, m \neq 0)$, 则 $(2 x-1)+i=-m+(m-3) i$,

$\therefore m-3=1$ 且 $2 x-1=-m$, 解得 $x=-\frac{3}{2}, m=4$, $\therefore x+y i=-\frac{3}{2}+4 i^{2}=-\frac{11}{2}$. 故选 D.

分析: 本题主要考查了复数相等的充要条件, 解决问题的关键是根据复数相等的条件求解 $\mathrm{x}, \mathrm{m}$ 然后得到所求式子的值即可.
题目（高三 · 解析几何）：设复数 $Z=\lg \left(m^{2}-1\right)+\sqrt{1-m} i, Z$ 在复平面内的对应点（）
选项：
A. 一定不在一、二象限
B. 一定不在二、三象限
C. 一定不在三、四象限
D. 一定不在二、三、四象限
答案：C
解析：解析: 解答: 复数对应点坐标为 $\left(\lg \left(m^{2}-1\right), \sqrt{1-m}\right) \because\left\{\begin{array}{l}m^{2}-1>0 \\ 1-m \geq 0\end{array} \therefore m<-1\right.$

$\therefore m^{2}-1>0 \therefore \lg \left(m^{2}-1\right) \in R, \sqrt{1-m}>0$, 所以点不能在三、四象限.

分析: 本题主要考查了复数的基本概念, 解决问题的关键是根据函数性质得到 $\mathrm{m}$ 的范围判定实部与虚部的范围进而得到函数不经过的象限即可.
题目（高三 · 解析几何）：若复数 $z=\left(\sin \theta-\frac{3}{5}\right)+\left(\cos \theta-\frac{4}{5}\right) i$ 是纯虚数, 则 $\tan \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)$ 的值为（）
选项：
A. -7
B. $-\frac{1}{7}$
C. 7
D. -7 或 $-\frac{1}{7}$
答案：A
解析：解析：解答：由题意可得因为复数 $\mathrm{z}$ 是纯虚数所以满足实部为零且虚部不为零.

即 $\left\{\begin{array}{l}\sin \theta=\frac{3}{5} \\ \cos \theta \neq \frac{4}{5}\end{array}\right.$. 因为 $\sin \theta=\frac{3}{5}$ 且 $\cos \theta \neq \frac{4}{5}$,

所以 $\cos \theta=-\frac{4}{5}$. 所以 $\tan \theta=-\frac{3}{4}$.

因为 $\tan \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tan \theta-1}{1+\tan \theta}=\frac{-\frac{3}{4}-1}{1-\frac{3}{4}}=-7$. 故选 A.

分析: 本题主要考查了虚数单位 $\mathrm{i}$ 及其性质, 解决问题的关键是根据所给复数满足条件结合三角函数性质计算即可.
题目（高三 · 解析几何）：在复平面内, 复数 $z=\sin 2+i \cos 2$ 对应的点位于
选项：
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
答案：D
解析：解析：解答：因 $\sin 2>0, \cos 2<0$, 所以 $z=\sin 2+i \cos 2$ 对应的点在第四象限.

分析: 本题主要考查了复数的基本概念, 解决问题的关键是根据所给条件判断实部与虚部与 0 的关系即可.
题目（高三 · 解析几何）：若 $a, b \in R$, 则复数 $\left(a^{2}-4 a+5\right)+\left(-b^{2}+2 b-6\right) i$ 表示的点在 ( )
选项：
A.在第一象限
B. 在第二象限
C.在第三象限
D. 在第四象限
答案：D
解析：解析: 解答: 由 $a^{2}-4 a+5=(a-2)^{2}+1>0,-b^{2}+2 b-6=-(b-1)^{2}-5<0$, 知在第四象限.

分析: 本题主要考查了复数的基本概念, 解决问题的关键是根据所给式子分析其范围得到所在象限即可.
题目（高三 · 解析几何）：复数 $z=\frac{1}{a}+a \mathrm{i}(a \in \mathbf{R}$ 且 $a \neq 0)$ 对应的点在复平面内位于（）
选项：
A. 第一、二象限
B. 第一、三象限
C. 第二、四象限
D. 第三、四象限
答案：B
解析：解析: 解答: 复数 $z=\frac{1}{a}+a \mathrm{i}(a \in \mathbf{R}$ 且 $a \neq 0)$ 对应的点为 $\left(\frac{1}{a}, a\right)$, 可以发现点在函数 $y=\frac{1}{x}$图象上, 故位于第一、三象限.

分析: 本题主要考查了复数的基本概念, 解决问题的关键是根据函数性质判定所在象限即可.
题目（高三 · 解析几何）：在复平面内, 复数 $z=\cos 3+i \sin 3$ ( $i$ 是虚数单位) 对应的点位于 ( )
A 第一象限
B 第二象限
C 第三象限
D 第四象限

答案: B

解析：解答：由题 $\cos 3<0, \sin 3>0$, 所以对应的点位于第二象限, 故选 B.

分析: 本题主要考查了复数的基本概念, 解决问题的关键是根据三角函数性质进行分析即可.

10. 已知 $0<a<2$, 复数 $z=a+i(i$ 是虚数单位 $)$, 则 $|z|$ 的取值范围是 ( )
选项：
A. $(1, \sqrt{2})$
B. $(1, \sqrt{5})$
C. $(1,3)$
D. $(1,5)$
答案：B
解析：解析: 解答: 由题 $: 0<a<2, \therefore 1<a^{2}+1<5, \therefore 1<|z|<\sqrt{5}$, 故选 B.

分析: 本题主要考查了复数的基本概念, 解决问题的关键是根据所给 $\mathrm{a}$ 的范围结合模的定义分析即可.
题目（高三 · 解析几何）：已知向量 $\vec{a}=(1,-3,2), \vec{b}=(-2,1,1)$, 则 $|2 \vec{a}+\vec{b}|=(\quad)$
选项：
A. 50
B. 14
C. $5 \sqrt{2}$
D. $\sqrt{14}$
答案：C
解析：ecause 2 \overrightarrow{\mathbf{a}}+\overrightarrow{\mathbf{b}}=2(1,-3,2)+(-2,1,1)=(0,-5,5) . 	herefore|2 \vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{0+5^{2} 	imes 2}=5 \sqrt{2}$. 故选 C.
题目（高三 · 解析几何）：设向量 $\vec{a}=(-1,1,2), \vec{b}=(2,1,3)$, 则向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角的余弦值为 $(\quad)$
选项：
A. $-\frac{2 \sqrt{21}}{21}$
B. $-\frac{5 \sqrt{21}}{42}$
C. $\frac{2 \sqrt{21}}{21}$
D. $\frac{5 \sqrt{21}}{42}$
答案：D
解析：ecause$ 向量 $\vec{a}=(-1,1,2), \vec{b}=(2,1,3), 	herefore \cos <\vec{a}, \vec{b}>=rac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot|\vec{b}|}=rac{-2+1+6}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{14}}=rac{5 \sqrt{21}}{42}$.