题目（八年级 · 解析几何）：如图 1, 在平面直角坐标系中, $A(-3,0) 、 B(0,7) 、 C(7,0), \angle A B C+\angle A D C=180$ แo $^{\circ}, B C \perp C D$.



图1



图2

(1)求证: $\angle A B O=\angle C A D$;

(2)求四边形 $A B C D$ 的面积;

(3)如图 2, $E$ 为 $\angle B C O$ 的邻补角的平分线上的一点, 且 $\angle B E O=45$ \%, $O E$ 交 $B C$ 于点 $F$, 求 $B F$的长.
选项：
答案：解: (1)在四边形 $A B C D$ 中,

$\because \angle A B C+\angle A D C=180^{\circ}$,

$\therefore \angle B A D+\angle B C D=180^{\circ}$,

$\because B C \perp C D$,

$\therefore \angle B C D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B A D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C+\angle C A D=90^{\circ}$,

$\because \angle B A C+\angle A B O=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A B O=\angle C A D$

(2)过点 $A$ 作 $A F \perp B C$ 于点 $F$, 作 $A E \perp C D$ 的延长线于点 $E$, 作 $D G \perp x$ 轴于点 $G$,

<ImageHere>

$\because B(0,7), \quad C(7,0)$,

$\therefore O B=O C$,

$\therefore \angle B C O=45^{\circ}$,

$\because B C \perp C D$,

$\therefore \angle B C O=\angle D C O=45^{\circ}$,
$\because A F \perp B C, A E \perp C D$,

$\therefore A F=A E, \angle F A E=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B A F=\angle D A E$,

在 $\triangle A B F$ 和 $\triangle A D E$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}\angle B A F=\angle D A E \\ A F=A E \\ \angle A F B=\angle A E D\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A B F \cong \triangle A D E(A S A)$,

$\therefore A B=A D$,

同理, $\triangle A B O \cong \triangle D A G$,

$\therefore D G=A O, B O=A G$,

$\because A(-3,0), B(0,7)$,

$\therefore D(4,-3)$,

$S_{\text {四边形 } A B C D}=\frac{1}{2} A C \cdot(B O+D G)=50$;

$E$ 作 $E H \perp B C$ 于点 $H$, 作 $E G \perp x$ 轴于点 $G$, $\angle B C O$ 的邻补角的平分线上,

$E G$,

$\angle B C O=\angle B E O=45^{\circ}$,

<ImageHere>

图2

$\angle E B C=\angle E O C$,

(3) 过点

$\because E$ 点在

$\therefore E H=$

$\because$

$\therefore$

在

$E B H$ 和 $\triangle E O G$ 中，

$\left\{\begin{array}{l}\angle E B H=\angle E O G \\ \angle E H B=\angle E G O, \\ E H=E G\end{array}\right.$

$\therefore \triangle E B H \cong \triangle E O G(A A S)$,

$\therefore E B=E O$,

$\because \angle B E O=45^{\circ}$,

$\therefore \angle E B O=\angle E O B=67.5^{\circ}$,

又 $\angle O B C=45^{\circ}$,

$\therefore \angle B O E=\angle B F O=67.5^{\circ}$,

$\therefore B F=B O=7$.
解析：解: (1)在四边形 $A B C D$ 中,

$\because \angle A B C+\angle A D C=180^{\circ}$,

$\therefore \angle B A D+\angle B C D=180^{\circ}$,

$\because B C \perp C D$,

$\therefore \angle B C D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B A D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C+\angle C A D=90^{\circ}$,

$\because \angle B A C+\angle A B O=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A B O=\angle C A D$

(2)过点 $A$ 作 $A F \perp B C$ 于点 $F$, 作 $A E \perp C D$ 的延长线于点 $E$, 作 $D G \perp x$ 轴于点 $G$,



$\because B(0,7), \quad C(7,0)$,

$\therefore O B=O C$,

$\therefore \angle B C O=45^{\circ}$,

$\because B C \perp C D$,

$\therefore \angle B C O=\angle D C O=45^{\circ}$,
$\because A F \perp B C, A E \perp C D$,

$\therefore A F=A E, \angle F A E=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B A F=\angle D A E$,

在 $\triangle A B F$ 和 $\triangle A D E$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}\angle B A F=\angle D A E \\ A F=A E \\ \angle A F B=\angle A E D\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A B F \cong \triangle A D E(A S A)$,

$\therefore A B=A D$,

同理, $\triangle A B O \cong \triangle D A G$,

$\therefore D G=A O, B O=A G$,

$\because A(-3,0), B(0,7)$,

$\therefore D(4,-3)$,

$S_{\text {四边形 } A B C D}=\frac{1}{2} A C \cdot(B O+D G)=50$;

$E$ 作 $E H \perp B C$ 于点 $H$, 作 $E G \perp x$ 轴于点 $G$, $\angle B C O$ 的邻补角的平分线上,

$E G$,

$\angle B C O=\angle B E O=45^{\circ}$,



图2

$\angle E B C=\angle E O C$,

(3) 过点

$\because E$ 点在

$\therefore E H=$

$\because$

$\therefore$

在

$E B H$ 和 $\triangle E O G$ 中，

$\left\{\begin{array}{l}\angle E B H=\angle E O G \\ \angle E H B=\angle E G O, \\ E H=E G\end{array}\right.$

$\therefore \triangle E B H \cong \triangle E O G(A A S)$,

$\therefore E B=E O$,

$\because \angle B E O=45^{\circ}$,

$\therefore \angle E B O=\angle E O B=67.5^{\circ}$,

又 $\angle O B C=45^{\circ}$,

$\therefore \angle B O E=\angle B F O=67.5^{\circ}$,

$\therefore B F=B O=7$.