eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高二 · 代数）：
(4) $a_{n}=\left|\sin \frac{n \pi}{2}\right|$, 其中能作为数列: $0,1,0,1,0,1,0,1, \cdots$ 的通项公式的是 ( )
选项：
A. (1)(2) (3)
B. (1)(2) (4)
C. (2)(3)(4)
D. (1)(3)(4)
答案：A
解析：(2) $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\frac{1+(-1)^{n}}{2}$, 满足条件; (3) $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\frac{1+\cos n \pi}{2}$, 满足条件;(4) $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\left|\sin \frac{n \pi}{2}\right|, \mathrm{n}=1$ 时, $\mathrm{a}_{1}=1 ; \mathrm{n}=2$ 时, $\mathrm{a}_{2}=0$, 以此类推, 不满足条件; 故选:A.
题目（高二 · 代数）：已知向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 是两个非零向量, 在下列四个条件中, 一定能使 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 共线的是

(1) $2 \boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b}=4 \boldsymbol{e}$ 且 $\boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}=-2 \boldsymbol{e}$;

(2)存在相异实数 $\lambda, \mu$, 使 $\lambda \boldsymbol{a}-\mu \boldsymbol{b}=0$;

(3) $x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}=0$ (其中实数 $x, y$ 满足 $x+y=0$ );

(4)已知梯形 $A B C D$, 其中 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{C D}=\boldsymbol{b}$.
选项：
A. (1)(2)
B. (1)(3)
C. (2)
D. (3)(4)
答案：A
解析：解析: 由 $2 \boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b}=-2(\boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b})$ 得 $\boldsymbol{b}=-4 \boldsymbol{a}$ ，故(1)正确; 由 $\lambda \boldsymbol{a}-\mu \boldsymbol{b}=0$ ，得 $\lambda \boldsymbol{a}=\mu \boldsymbol{b}$ ，故(2)正确; 若 $x=y=0 ， x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}=0$ ，但 $\boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 不一定共线，故(3)错误; 梯形 $A B C D$ 中，没有说明哪组对边平行，故(4)错误.

答案: A
题目（高二 · 代数）：已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足递推关系: $a_{n+1}=\frac{a_{n}}{a_{n}+1}, a_{1}=\frac{1}{2}$, 则 $a_{2017}=(\quad)$
选项：
A. $\frac{1}{2016}$
B. $\frac{1}{2017}$
C. $\frac{1}{2018}$
D. $\frac{1}{2019}$
答案：C
解析：$: a_{n+1}=\frac{a_{n}}{a_{n}+1}, \mathrm{a}_{1}=\frac{1}{2}, \therefore \frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_{n}}=1, \therefore$ 数列 $\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 是等差数列, 首项为 2 , 公差为 $1, \therefore$ $\frac{1}{a_{2017}}=2+2016=2018$, 则 $a_{2017}=\frac{1}{2018}$. 故选 C.
题目（高二 · 代数）：实数集 $R$, 设集合 $P=\left\{x \mid x^{2}-4 x+3 \leq 0\right\}, Q=\left\{x \mid x^{2}-4<0\right\}$, 则 $P \cup\left(C_{R} Q\right)=(\quad)$
选项：
A. $[2,3]$
B. $(1,3)$
C. $(2,3]$
D. $(-\infty,-2] \cup[1,+\infty)$
答案：D
解析：实数集 $R$, 集合 $P=\left\{x \mid x^{2}-4 x+3 \leq 0\right\}=\{x \mid 1 \leq x \leq 3\} ， Q=\left\{x \mid x^{2}-4<0\right\}=\{x \mid-2<x<2\}$, $\therefore \mathrm{C}_{\mathrm{R}} \mathrm{Q}=\{\mathrm{x} \mid \mathrm{x} \leq-2$ 或 $\mathrm{x} \geq 2\}, \therefore \mathrm{P} \cup\left(\mathrm{C}_{\mathrm{R}} \mathrm{Q}\right)=\{\mathrm{x} \mid \mathrm{x} \leq-2$ 或 $\mathrm{x} \geq 1\}=(-\infty,-2] \cup[1,+\infty)$. 故选 $\mathrm{D}$.
题目（高二 · 代数）：已知集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-2 x-3<0\right\}$, 集合 $B=\left\{x \mid 2^{x+1}>1\right\}$, 则 $C_{B} A=（ ）$
选项：
A. $[3,+\infty)$
B. $(3,+\infty)$
C. $(-\infty,-1] \cup[3,+\infty)$
D. $(-\infty,-1) \cup(3,+\infty)$
答案：A
解析：$A=\left\{x \mid x^{2}-2 x-3<0\right\}=\{x \mid-1<x<3\}, B=\left\{x \mid 2^{x+1}>1\right\}=\{x \mid x>-1\}$,

$\mathrm{C}_{\mathrm{B}} \mathrm{A}=[3,+\infty)$,故选 A.
题目（高二 · 代数）：函数 $f(x)=\log _{2}\left(x^{2}+2 x-3\right)$ 的定义域是 ( () $)$
选项：
A. $[-3,1]$
B. $(-3,1)$
C. $(-\infty,-3] \cup[1,+\infty)$
D. $(-\infty,-3) \cup(1,+\infty)$
答案：D
解析：由题意得: $x^{2}+2 x-3>0$, 即 $(x-1)(x+3)>0$

解得 $x>1$ 或 $x<-3$ 所以定义域为 $(-\infty,-3) \cup(1,+\infty)$ 故选:D.
题目（高二 · 代数）：不等式 $x^{2}-4 x+3<0$ 的解集为 ( )
选项：
A. $(1,3)$
B. $(-3,-1)$
C. $(-\infty,-3) \cup(-1,+\infty)$
D. $(-\infty, 1) \cup(3,+\infty)$
答案：A
解析：不等式 x^{2}-4 x+3<0$ 可化为 $(x-1)(x-3)<0$, 解得 $1<x<3$,

$\therefore$ 不等式的解集为 $(1,3)$. 故选 A.
题目（高二 · 代数）：不等式 $\left(\frac{1}{2}-x\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)>0$ 的解集为 ( )
选项：
A. $\left\{x \left\lvert\, \frac{1}{3}<x<\frac{1}{2}\right.\right\}$
B. $\left\{x \left\lvert\, x>\frac{1}{2}\right.\right\}$
C. $\left\{x \left\lvert\, x<\frac{1}{3}\right.\right\}$
D. $\left\{x \left\lvert\, x<\frac{1}{3}\right.\right.$ 或 $\left.x>\frac{1}{2}\right\}$
答案：A
解析：不等式 $\left(\frac{1}{2}-x\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)>0$ 可化为 $\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)<0$; 解得 $\frac{1}{3}<x<\frac{1}{2}$;

$\therefore$ 原不等式的解集为 $\left\{\mathrm{x} \left\lvert\, \frac{1}{3}<\mathrm{x}<\frac{1}{2}\right.\right\}$. 故选: A.
题目（高二 · 代数）：已知集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-x-2<0\right\}, B=\{y \mid y=3 x, x \leq 0\}$, 则 $A \cap B=$ ( )
选项：
A. $(-1,2)$
B. $(-2,1)$
C. $(-1,1]$
D. $(0,1]$
答案：D
解析：集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-x-2<0\right\}=\{x \mid-1<x<2\}=(-1,2)$,

$\mathrm{B}=\left\{\mathrm{y} \mid \mathrm{y}=3^{\mathrm{x}}, \mathrm{x} \leq 0\right\}=\{\mathrm{y} \mid 0<\mathrm{y} \leq 1\}=(0,1] ; \therefore \mathrm{A} \cap \mathrm{B}=(0,1]$. 故选 D.

10 . B 解析: 当 $a>1$ 时, $A=(-\infty, 1] \cup[a,+\infty), B=[a-1,+\infty)$, 若 $A \cup B=R$, 则 $a-1 \leq 1, \therefore 1<a \leq 2$;

当 $a=1$ 时, 易得 $A=R, A \cup B=R$; 当 $a<1$ 时, $A=(-\infty, a] \cup[1,+\infty), B=[a-1,+\infty)$,

若 $A \cup B=R$, 则 $a-1 \leq a$, 显然成立, $. a<1$; 综上, $a$ 的取值范围是 $(-\infty, 2]$. 故选 B.
题目（高二 · 代数）：某公司有 60 万元资金, 计划投资甲、乙两个项目, 按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的 $\frac{2}{3}$ 倍, 且对每个项目的投资不能低于 5 万元, 对项目甲每投资 1 万元可获得 0\.4 万元的利润，对项目乙每投资 1 万元可获得 0\.6 万元的利润，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润为( )
选项：
A. 36 万元
B. 31\.2 万元
C. 30\.4 万元
D. 24 万元
答案：B
解析：解析 设投资甲项目 $x$ 万元，投资乙项目 $y$ 万元，



可获得利润为 $z$ 万元, 则 $\left\{\begin{array}{l}x+y \leqslant 60, \\ x \geqslant \frac{2}{3} y, \\ x \geqslant 5, \\ y \geqslant 5,\end{array}\right.$

$z=0\.4 x+0\.6 y$.

由图象知,

目标函数 $z=0\.4 x+0\.6 y$ 在 $A$ 点取得最大值.

$\therefore y_{\max }=0\.4 \times 24+0\.6 \times 36=31\.2$ (万元).
题目（高二 · 代数）：某加工厂用某原料由甲车间加工出 $A$ 产品, 由乙车间加工出 $B$ 产品, 甲车间加工一箱原料需耗费工时 10 小时, 可加工出 7 千克 $A$ 产品, 每千克 $A$ 产品获利 40 元, 乙车间加工一箱原料耗费工时 6 小时, 可加工出 4 千克 $B$ 产品, 每千克 $B$ 产品获利 50 元. 甲、乙两车间每天共能完成至多 70 箱原料的加工, 每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过 480 小时, 甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( )
选项：
A. 甲车间加工原料 10 箱, 乙车间加工原料 60 箱

B. 甲车间加工原料 15 箱, 乙车间加工原料 55 箱

C. 甲车间加工原料 18 箱, 乙车间加工原料 50 箱

D. 甲车间加工原料 40 箱, 乙车间加工原料 30 箱


答案：B
解析：解析 设甲车间加工原料 $x$ 箱, 乙车间加工原料 $y$ 箱, 由题意可知



甲、乙两车间每天总获利为 $z=280 x+200 y$.

画出可行域如图所示.

点 $M(15,55)$ 为直线 $x+y=70$ 和直线 $10 x+6 y=480$ 的交点, 由图象知在点 $M(15,55)$ 处 $z$取得最大值.
题目（高二 · 代数）：如图所示, 目标函数 $z=k x-y$ 的可行域为四边形 $O A B C$, 点 $B(3,2)$ 是目标函数的最优解, 则 $k$ 的取值范围为 ( )
选项：
A. $\left(\frac{2}{3}, 2\right)$
B. $\left(1, \frac{5}{3}\right)$
C. $\left(-2,-\frac{2}{3}\right)$
D. $\left(-3,-\frac{4}{3}\right)$


答案：C
解析：解析 $y=k x-z$. 若 $k>0$, 则目标函数的最优解是点 $A(4,0)$ 或点 $C(0,4)$, 不符合题意.

$\therefore k<0, \because$ 点 $(3,2)$ 是目标函数的最优解.

$\therefore k_{A B} \leqslant k \leqslant k_{B C}$, 即 $-2 \leqslant k \leqslant-\frac{2}{3}$.
题目（高二 · 代数）：设 $a, b \in R$, 若 $a-|b|>0$, 则下列不等式正确的是 ( )
选项：
A. $\mathrm{b}-\mathrm{a}>0$
B. $a^{3}+b^{3}<0$
C. $a^{2}-b^{2}<0$
D. $\mathrm{b}+\mathrm{a}>0$
答案：D
解析：由a- $|b|>0$ 得 $a>|b| \therefore a>|b|>0 \therefore a> \pm b \therefore a+b>0$
题目（高二 · 代数）：设 $\frac{1}{3}<\left(\frac{1}{3}\right)^{\mathrm{b}}<\left(\frac{1}{3}\right)^{\mathrm{a}}<1$, 则 ( )
选项：
A. $\mathrm{a}^{\mathrm{a}}<\mathrm{a}^{\mathrm{b}}<\mathrm{b}^{\mathrm{a}}$
B. $\mathrm{a}^{\mathrm{a}}<\mathrm{b}^{\mathrm{a}}<\mathrm{a}^{\mathrm{b}}$
C. $\mathrm{a}^{\mathrm{b}}<\mathrm{a}^{\mathrm{a}}<\mathrm{b}^{\mathrm{a}}$
D. $\mathrm{a}^{\mathrm{b}}<\mathrm{b}^{\mathrm{a}}<\mathrm{a}^{\mathrm{a}}$
答案：C
解析：$\because \frac{1}{3}<\left(\frac{1}{3}\right)^{\mathrm{b}}<\left(\frac{1}{3}\right)^{\mathrm{a}}<1, \quad \therefore 0<\mathrm{a}<\mathrm{b}<1 . \therefore \mathrm{b}^{\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{b}}}{}}=\mathrm{a}^{\mathrm{a}-\mathrm{b}}>1 . \therefore \mathrm{a}^{\mathrm{b}}<\mathrm{a}^{\mathrm{a}}$.

$\because \mathrm{a}^{\mathrm{a}}=\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\right)^{\mathrm{a}}, \quad, \quad \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}<1, \mathrm{a}>0, \quad \therefore\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\right)^{\mathrm{a}}<1 . \therefore \mathrm{a}^{\mathrm{a}}<\mathrm{b}^{\mathrm{a}} . \therefore \mathrm{a}^{\mathrm{b}}<\mathrm{a}^{\mathrm{a}}<\mathrm{b}^{\mathrm{a}}$. 故答案为: $\quad \mathrm{C}$
题目（高二 · 代数）：已知 $\mathrm{x} \in \mathrm{R}$, 设 $\mathrm{M}=\mathrm{x}^{2}-\mathrm{x}, \mathrm{N}=\mathrm{x}-2$, 则 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ 的大小关系为 ( )
选项：
A. $\mathrm{M}>\mathrm{N}$
B. $\mathrm{M}<\mathrm{N}$
C. $\mathrm{M}=\mathrm{N}$
D. 无法确定
答案：A
解析：因为 $M-N=x^{2}-x-(x-2)=(x-1)^{2}+1 \geq 1>0$, 所以 $M>N$, 故选 $A$.
题目（高二 · 代数）：对于任意实数 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}, \mathrm{d}$, 给出下列叙述:

(1)若 $a>b, c \neq 0$, 则 $a c>b c$;(2)若 $a>b$, 则 $a c^{2}>b c^{2}$;(3)若 $a c^{2}>b c^{2}$, 则 $a>b$.
其中, 正确叙述的个数是 ( )
选项：
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：B
解析：对(1), $c<0 \Rightarrow a c>b c$, (1)不正确; 对(2), $c=0 \Rightarrow a c^{2}=b c^{2}$, (2)不正确;

若 $a c^{2}>b c^{2}$, 则 $c^{2}>0$, 不等式两边同乘以 $\frac{1}{2}$ 可得 $a>b$, (3)正确, 故选 B.
题目（高二 · 代数）：设 $x=\sqrt{2}, y=\sqrt{7}-\sqrt{3}, z=\sqrt{6}-\sqrt{2}$, 则 $x, y, z$ 的大小关系是 ( )
选项：
A. $x>y>z$
B. $\mathrm{z}>\mathrm{x}>\mathrm{y}$
C. $y>z>x$
D. $\mathrm{x}>\mathrm{z}>\mathrm{y}$
答案：D
解析：$\mathrm{y}=\sqrt{7}-\sqrt{3}=\frac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}, \quad \mathrm{z}=\sqrt{6}-\sqrt{2}=\frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}, \quad \because \sqrt{7}+\sqrt{3}>\sqrt{6}+\sqrt{2}>0, \quad \therefore \mathrm{z}>\mathrm{y}$.

$\because x-z=\sqrt{2}-\frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{2 \sqrt{3}+2-4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{2 \sqrt{3}-2}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}>0, \quad \therefore x>z . \therefore x>z>y$. 故答案为: $D$
题目（高二 · 代数）：若 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}<0$, 则下列结论不正确的是 ( )
选项：
A. $a^{2}<b^{2}$ B. $a b<b^{2}$ C. $a+b<0$ D. $|a|+|b|>|a+b|$
答案：D
解析：因为 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}<0$, 所以 $\left\{\begin{array}{l}a<0, \\ b<0, \text { 则 } a^{2}<a b<b^{2}, \text { 且 } a+b<0, \\ a>b,\end{array}\right.$ 故选项 A、B、C 正确, 而 $|a|+|b|=|a+b|$, 故 D 错误.
题目（高二 · 代数）：不等式 $\frac{3 x-1}{2-x} \geq 1$ 的解集是 ( )
选项：
A. $\left\{\left.x\right|_{4} ^{3} \leq x \leq 2\right\}$
B. $\left\{\left.x\right|_{4} ^{3} \leq x<2\right\}$
C. $\left\{x \mid x>2\right.$ 或 $\left.x \leq \frac{3}{4}\right\}$
D. $\left\{x \left\lvert\, x \geq \frac{3}{4}\right.\right\}$
答案：B
解析：不等式 $\frac{3 x-1}{2-x} \geq 1$, 移项得: $\frac{3 x-1}{2-x}-1 \geq 0$, 即 $\frac{x-\frac{3}{4}}{x-2} \leq 0$,

可化为 $\left\{\begin{array}{l}\left(x-\frac{3}{4}\right)(x-2) \leq 0 \\ x \neq 2\end{array}\right.$ 解得: $\frac{3}{4} \leq \mathrm{x}<2$, 则原不等式的解集为 $\left\{x \left\lvert\, \frac{3}{4} \leq x<2\right.\right\}$,
题目（高二 · 代数）：不等式 $\frac{x+2}{3-x}>2$ 的解集是 ( )
选项：
A. $\left\{\left.x\right|_{3} ^{4}<x<3\right\}$
B. $\left\{x \left\lvert\, x<\frac{4}{3}\right.\right.$ 或 $\left.x>3\right\}$
C. $\left\{x \left\lvert\, x>\frac{4}{3}\right.\right\}$
D. $\left\{x \left\lvert\, x<\frac{4}{3}\right.\right\}$
答案：A
解析：由于不等式 $\frac{x+2}{3-x}>2$, 转化为 $\frac{x+2}{3-x}-2>0$,

即 $\frac{x+2-2(3-x)}{3-x}=\frac{3 x-4}{3-x}>0$, 亦即 $(\mathrm{x}-3)(3 \mathrm{x}-4)<0$, 解得 $\frac{4}{3}<\mathrm{x}<3$.

故不等式的解集是 $\frac{4}{3}<x<3$.故选 A.
题目（高二 · 代数）：不等式 $x^{2}-a x-a \leq-3$ 的解集不是空集, 则实数 $a$ 的取值范围是 ( )
选项：
A. $[2,+\infty)$
B. $(-\infty,-6]$
C. $[-6,2]$
D. $(-\infty,-6] \cup[2,+\infty)$
答案：D
解析：由关于 $\mathrm{x}$ 的不等式 $\mathrm{x}^{2}-\mathrm{ax}-\mathrm{a} \leq-3$ 的解集不是空集,

得对应方程 $x^{2}-a x-a+3=0$ 有实数根, 即 $\Delta=a^{2}+4(a-3) \geq 0$,

解得 $a \geq 2$ 或 $a \leq-6$; 所以 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,-6] \cup[2,+\infty)$. 故选 D.
题目（高二 · 代数）：不等式 $\frac{1}{x}>1$ 的解集是 ( )
选项：
A. $\{x \mid x>1\}$
B. $\{x \mid x<1\}$
C. $\{x \mid 0<x<1\}$
D. $\{x \mid x>1$ 或 $x<-1\}$
答案：C
解析：不等式 $\frac{1}{x}>1$ 可知 $\mathrm{x}>0$,

不等式化为 $x<1$, 所以不等式的解集为: $\{x \mid 0<x<1\}$. 故选:C.
题目（高二 · 代数）：若集合 $A=\left\{x \left\lvert\, \frac{1}{3}<3^{x+1} \leq 9\right.\right\}, B=\left\{x \mid \log _{2} x \leq 1\right\}$, 则 $A \cup B$ 等于 ( )
选项：
A. $(-\infty, 2]$
B. $(-\infty, 2)$
C. $(-2,2)$
D. $(-2,2]$
答案：D
解析：$A=\left\{x \left\lvert\, \frac{1}{3}<3^{x+1} \leq 9\right.\right\}=\left\{\mathrm{x} \mid 3^{-1}<3^{\mathrm{x}+1} \leq 3^{2}\right\}=\{\mathrm{x} \mid-1<\mathrm{x}+1 \leq 2\}=\{\mathrm{x} \mid-2<\mathrm{x} \leq 1\}$

$B=\left\{x \mid \log _{2} x \leq 1\right\}=\{x \mid 0<x \leq 2\}$ 故 $A \cup B=\{x \mid-2<x \leq 2\}=(-2,2]$. 故选: $D$.
题目（高二 · 代数）：在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=2, a_{n+1}=a_{n}+\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$, 则 $a_{n}$ 等于 $(\quad)$
选项：
A. $2+\ln n$
    B. $2+(n-1) \ln n$
    C. $2+n \ln n$
    D. $1+n+\ln n$
答案：A
解析：$\because a_{n+1}=a_{n}+\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)$,

$\therefore a_{n+1}-a_{n}=\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)=\ln \frac{n+1}{n}=\ln (n+1)-\ln n$.

又 $a_{1}=2$,

$\therefore a_{n}=a_{1}+\left(a_{2}-a_{1}\right)+\left(a_{3}-a_{2}\right)+\left(a_{4}-a_{3}\right)+\cdots+\left(a_{n}-a_{n-1}\right)=2+[\ln 2-\ln 1+\ln 3-\ln 2+$ $\ln 4-\ln 3+\ldots+\ln n-\ln (n-1)]=2+\ln n-\ln 1=2+\ln n$.
题目（高二 · 代数）：设 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x \geq 0, \\ y \geq x, \\ 4 x+3 y \leq 12,\end{array}\right.$ 且 $z=\frac{x+2 y+3}{x+1}$, 则 $z$ 的取值范围是 ( )
选项：
A. $[1,5]$
B. $[2,6]$
C. $[2,10]$
D. $[3,11]$
答案：D
解析：作出不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x \geq 0, \\ y \geq x, \\ 4 x+3 y \leq 12\end{array}\right.$ 表示的平面区域, 如图阴影部分所示, 目标函数 $z=\frac{x+2 y+3}{x+1}=\frac{(x+1)+2(y+1)}{x+1}=1+2 \times \frac{y+1}{x+1}$, 表示可行域内的点与 $(-1,-1)$ 的连线的斜率的 2 倍与 1 的和, 其斜率的最小值为 $k_{\text {min }}=1$, 最大值为 $k_{\text {max }}=\frac{4-(-1)}{0-(-1)}=5$, 所以 $z$ 的取值范围是 $[3,11]$,故选 D.
题目（高二 · 代数）：设变量 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}2 x+y \geq 0, \\ x+2 y-2 \geq 0, \\ x \leq 0, \\ y \leq 3,\end{array}\right.$ 则目标函数 $z=x+y$ 的最大值为 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{2}{3}$
B. 1
C. $\frac{3}{2}$
D. 3
答案：D
解析：

目标函数为四边形 $\mathrm{ABCD}$ 及其内部, 其中 $A(0,1), B(0,3), C\left(-\frac{3}{2}, 3\right), D\left(-\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right)$, 所以直线 $z=x+y$ 过点 $\mathrm{B}$ 时取最大值 3 , 选 D.
题目（高二 · 代数）：设 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y \geq a \\ x-y \leq-1\end{array}\right.$, 且 $z=x+a y$ 的最小值为 7 , 则 $a=(\quad)$
选项：
A. -5
B. 3
C. -5 或 3
D. 5 或 -3
答案：B
解析：

根据题中约束条件 $\left\{\begin{array}{c}x+y \geq a \\ x-y \leq-1\end{array}\right.$ 可画出可行域如图所示,

两直线交点坐标为: $A\left(\frac{a-1}{2}, \frac{a+1}{2}\right)$,

当 $a=0$ 时, $z=x+a y$ 无最小值;

当 $a<0$ 时, $z=x+a y$ 在 $A\left(\frac{a-1}{2}, \frac{a+1}{2}\right)$ 处取最大值, 无最小值.

当 $a>0$ 时, $z=x+a y$ 在 $A\left(\frac{a-1}{2}, \frac{a+1}{2}\right)$ 处有最小值:

$z=\frac{a-1}{2}+a \times \frac{a+1}{2}=\frac{a^{2}+2 a-1}{2}$, 则 $\frac{a^{2}+2 a-1}{2}=7$, 解得 $a=3$, 故选 B.
题目（高二 · 代数）：已知 $x>0, y>0$, 且 $x+y=2 x y$, 则 $x+4 y$ 的最小值为
选项：
A. 4
B. $\frac{7}{2}$
C. $\frac{9}{2}$
D. 5
答案：C
解析：由 $x+y=2 x y$ 得 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2$, 由 $x>0, y>0$, $x+4 y=\frac{1}{2}(x+4 y)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{2}\left(5+\frac{4 y}{x}+\frac{x}{y}\right) \geq \frac{1}{2}(5+4)=\frac{9}{2}$,

当且仅当 $\frac{4 y}{x}=\frac{x}{y}$ 时, 等号成立, 即 $x+4 y$ 的最小值为 $\frac{9}{2}$, 故选 C.
题目（高二 · 代数）：设正实数 $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ 满足 $\mathrm{x}^{2}-3 \mathrm{xy}+4 \mathrm{y}^{2}-\mathrm{z}=0$, 则当 $\frac{z}{x y}$ 取得最小值时, $\mathrm{x}+2 \mathrm{y}-\mathrm{z}$ 的最大值为 ( )
选项：
A. 0
B. $\frac{9}{8}$
C. 2
D. $\frac{9}{4}$
答案：C
解析：由题得 $z=x^{2}+4 y^{2}-3 x y \geq 4 x y-3 x y=x y(x, y, z>0)$,

即 $\mathrm{z} \geq \mathrm{xy}, \frac{z}{x y} \geq 1$. 当且仅当 $\mathrm{x}=2 \mathrm{y}$ 时等号成立,

则 $x+2 y-z=2 y+2 y-\left(4 y^{2}-6 y^{2}+4 y^{2}\right)$

$=4 \mathrm{y}-2 \mathrm{y}^{2}=-2\left(\mathrm{y}^{2}-2 \mathrm{y}\right)$

$=-2\left[(\mathrm{y}-1)^{2}-1\right]=-2(\mathrm{y}-1)^{2}+2$.

当 $y=1$ 时, $x+2 y-z$ 有最大值 2故选 C.
题目（高二 · 代数）：若 $x>0, y>0$, 且 $\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1, x+2 y>m^{2}+7 m$ 恒成立, 则实数 $m$ 的取值范围是 ( )
选项：
A. $(-8,1)$
B. $(-\infty,-8) \cup(1,+\infty)$
C. $(-\infty,-1) \cup(8,+\infty)$
D. $(-1,8)$
答案：A
解析：由基本不等式得 $x+2 y=\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{y}\right)(x+2 y)=\frac{4 y}{x}+\frac{x}{y}+4 \geq 2 \sqrt{\frac{4 y}{x} \cdot \frac{x}{y}}+4=8$,
当且仅当 $\frac{4 y}{x}=\frac{x}{y}(x, y>0)$, 即当 $x=2 y$ 时, 等号成立, 所以, $x+2 y$ 的最小值为 8 .

由题意可得 $m^{2}+7 m<(x+2 y)_{\text {min }}=8$, 即 $m^{2}+7 m-8<0$, 解得 $-8<m<1$.

因此, 实数 $m$ 的取值范围是 $(-8,1)$, 故选 A.
题目（高二 · 代数）：若关于 $x$ 的不等式 $x^{2}-4 a x+3 a^{2}<0(a>0)$ 的解集为 $\left(x_{1}, x_{2}\right)$, 则 $x_{1}+x_{2}+\frac{a}{x_{1} x_{2}}$ 的最小值是( )
选项：
A. $\frac{\sqrt{6}}{3}$
B. $\frac{2}{3} \sqrt{3}$
C. $\frac{4}{3} \sqrt{3}$
D. $\frac{2}{3} \sqrt{6}$
答案：C
解析：不等式 $\left.x^{2}-4 a x+3 a^{2}<0 （ a>0\right)$ 的解集为 $\left(x_{1}, x_{2}\right)$,

$\therefore \mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}=4 \mathrm{a}$, 且 $\mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}=3 \mathrm{a}^{2}$;

$\therefore x_{1}+x_{2}+\frac{a}{x_{1} x_{2}}=4 \mathrm{a}+\frac{1}{3 a} \geq 2 \sqrt{4 a \times \frac{1}{3 a}}=\frac{4 \sqrt{3}}{3}$,

当且仅当 $4 \mathrm{a}=\frac{1}{3 a}$, 即 $\mathrm{a}=\frac{\sqrt{3}}{6}$ 时“=”成立;

故所求的最小值是 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$. 故选: C.
题目（高二 · 代数）：已知正实数 $a, b$ 满足 $a+2 b=1$, 则 $a^{2}+4 b^{2}+\frac{1}{a b}$ 最小值为 ( )
选项：
A. $\frac{7}{2}$
B. 4
C. $\frac{161}{36}$
D. $\frac{17}{2}$
答案：D
解析：因为已知正实数 $a, b$ 满足 $a+2 b=1$, 所以 $1=a+2 b \geq 2 \sqrt{2 a b}$, 当且仅当 $a=2 b$ 时,取等号, 解得 $a b \leq \frac{1}{8}$, 即 $a b \in\left(0, \frac{1}{8}\right)$, 再由 $a^{2}+4 b^{2}=1-4 a b$, 所以 $a^{2}+4 b^{2}+\frac{1}{a b}=1-4 a b+\frac{1}{a b}$,把 $a b$ 当做自变量, 则 $1-4 a b+\frac{1}{a b}$ 在 $\left(0, \frac{1}{8}\right)$ 上是减函数, 所以当 $a b=\frac{1}{8}$ 时, $1-4 a b+\frac{1}{a b}$ 取得最小值为 $1-\frac{1}{2}+8=\frac{17}{2}$, 故选 D.
题目（高二 · 代数）：若正实数 $a, b$ 满足 $a+b=1$, 则 ( )
选项：
A. $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 有最大值 4
B. $a b$ 有最小值 $\frac{1}{4}$
C. $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 有最大值 $\sqrt{2}$
D. $a^{2}+b^{2}$ 有最小值 $\frac{\sqrt{2}}{2}$
答案：C
解析：因为正实数 $a, b$ 满足 $a+b=1$, 所以 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{a}+\frac{a+b}{b}=2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b} \geq 2+2=4$,故 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 有最小值 4 , 故 A 不正确; 由基本不等式可得 $a+b=1 \geq 2 \sqrt{a b}, \therefore a b \leq \frac{1}{4}$, 故 $a b$ 有最大值 $\frac{1}{4}$, 故 B 不正确; 由于 $(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}=a+b+2 \sqrt{a b}=1+2 \sqrt{a b} \leq 2, \therefore \sqrt{a}+\sqrt{b} \leq \sqrt{2}$, 故 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$由最大值为 $\sqrt{2}$, 故 C 正确; $\because a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2 a b=1-2 a b \geq 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$, 故 $a^{2}+b^{2}$ 由最小值 $\frac{1}{2}$,故 D 不正确.
题目（高二 · 代数）：已知 $a>1, b>1$, 且 $\frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}=1$, 则 $a+4 b$ 的最小值为
选项：
A. 13
B. 14
C. 15
D. 16
答案：B
解析：$a+4 b=(a-1)+4(b-1)+5=[(a-1)+4(b-1)]\left(\frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}\right)+5=10+\frac{a-1}{b-1}+\frac{4(b-1)}{a-1}$

$\geq 10+2 \sqrt{4}=14$, 当且仅当 $\frac{a-1}{b-1}=\frac{4(b-1)}{a-1}$ 时等号成立, 取得最小值 14
题目（高二 · 代数）：已知 $2 x+3 y=3$. 若 $x, y$ 均为正数, 则 $\frac{3}{x}+\frac{2}{y}$ 的最小值是 ( )
选项：
A. $\frac{5}{3}$
B. $\frac{8}{3}$
C. 8
D. 24
答案：C
解析：$\because 2 x+3 y=3 . x, y$ 均为正数,

则 $\frac{3}{x}+\frac{2}{y}=\frac{1}{3}\left(\frac{3}{x}+\frac{2}{y}\right)(2 x+3 y)=\frac{1}{3}\left(12+\frac{9 y}{x}+\frac{4 x}{y}\right) \geq \frac{12+2 \sqrt{\frac{9 y}{x} \cdot \frac{4 x}{y}}}{3}=8$

当且仅当 $\frac{9 y}{x}=\frac{4 x}{y}$ 且 $2 x+3 y=3$ 即 $x=\frac{3}{4}, y=\frac{1}{2}$ 时取等号,
$\therefore \frac{3}{x}+\frac{2}{y}$ 的最小值是
题目（高二 · 计数）：下列函数中，周期为 $2 \pi$ 的偶函数是
选项：
A. $y=\sin \frac{x}{2}$
B. $y=\sin 2 x$
C. $y=\left|\sin \frac{x}{2}\right|$
D. $y=|\sin 2 x|$
答案：C
题目（高二 · 计数）：完成一项装修工程, 请木工共需付工资每人 500 元, 请瓦工共需付工资每人 400 元, 现有工人工资预算 20000 元, 设木工 $x$ 人, 瓦工 $y$ 人,则工人满足的关系式是 ( )
选项：
A. $5 x+4 y<200$
B. $5 x+4 y \geqslant 200$
C. $5 x+4 y=200$
D. $5 x+4 y \leqslant 200$
答案：D
解析：D  解析据题意知, $500 x+400 y \leq 20000$, 即 $5 x+4 y \leq 200$, 故选 D.
题目（高二 · 变换几何）：函数 $y=\tan \left(\frac{1}{2} x-\frac{\pi}{3}\right)$ 在一个周期内的大致图象是


选项：
A.



B



C



D
答案：A
解析：解析:由函数周期 $T=\frac{\pi}{\frac{1}{2}}=2 \pi$ ，排除选项 B、D.

将 $x=\frac{2}{3} \pi$ 代入函数解析式中，得

$y=\tan \left(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \pi-\frac{\pi}{3}\right)=\tan 0=0$,

故函数图象与 $x$ 轴的一个交点为 $\left(\frac{2}{3} \pi ， 0\right)$ ，排除 C，故选 A.

答案: A
题目（高二 · 变换几何）：要得到函数 $y=\sin \left(x-\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象, 只要把函数 $y=\sin x$ 的图象
选项：
A. 向上平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度

B. 向下平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度

C. 向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度

D. 向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度
答案：D
解析：解析: 由题意，只要把函数 $y=\sin x$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度即可.

答案: D
题目（高二 · 变换几何）：将函数 $y=\sin 2 x$ 的图象向左平移 $\varphi(\varphi>0)$ 个单位长度, 所得图象对应的函数为偶函数, 则 $\varphi$ 的最小值为
选项：
A. $\frac{\pi}{6}$
    B. $\frac{\pi}{3}$
    C. $\frac{\pi}{4}$
    D. $\frac{\pi}{12}$
答案：C
解析：解析 : 由题意得，将函数 $y=\sin 2 x$ 的图象向左平移 $\varphi(\varphi>0)$ 个单位长度，得函数 $y=\sin 2(x$ $+\varphi)=\sin (2 x+2 \varphi)$ 的图象. 因为它是偶函数，所以 $2 \varphi=\frac{\pi}{2}+k \pi ， k \in \mathbf{Z}$ ，即 $\varphi=\frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{2} ， k \in \mathbf{Z}$ ，所以 $\varphi$ 的最小值是 $\frac{\pi}{4}$ ，故选 C.

答案:
题目（高二 · 变换几何）：为了得到 $y=\cos \frac{x}{4}$ 的图象, 只需把 $y=\cos x$ 的图象上的所有点
选项：
A. 横坐标伸长到原来的 4 倍, 纵坐标不变

B. 横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{4}$, 纵坐标不变

C. 纵坐标伸长到原来的 4 倍, 横坐标不变

D. 纵坐标缩短到原来的 $\frac{1}{4}$, 横坐标不变
答案：A
解析：解析: 由图象的周期变换可知， A 正确.

答案: A
题目（高二 · 变换几何）：要得到函数 $y=\sin \left(4 x-\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象, 只需将函数 $y=\sin 4 x$ 的图象
选项：
A. 向左平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位长度

B. 向右平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位长度

C. 向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度

D. 向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度
答案：B
解析：解析: $y=\sin \left(4 x-\frac{\pi}{3}\right)=\sin \left[4\left(x-\frac{\pi}{12}\right)\right]$, 故只需将函数 $y=\sin 4 x$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{12}$ 个单位长

度. 故选 B.
答案: B
题目（高二 · 变换几何）：把函数 $y=\cos x$ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$, 纵坐标伸长到原来的 2 倍, 最后把图象向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度, 则所得图象表示的函数的解析式为
选项：
A. $y=2 \sin 2 x$
B. $y=-2 \sin 2 x$
C. $y=2 \cos \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$
D. $y=2 \cos \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right)$
答案：B
解析：解析: 把函数 $y=\cos x$ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，所得图象的函数解析式为 $y=\cos 2 x$ ，再把纵坐标伸长到原来的 2 倍，所得图象的函数解析式为 $y=2 \cos 2 x$ ，最后把图象向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度，所得图象的函数解析式为 $y=2 \cos \left[2\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right]=-2 \sin 2 x$.答案: B
题目（高二 · 变换几何）：把函数 $f(x)=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象向左平移 $\varphi(0<\varphi<\pi)$ 个单位长度可以得到函数 $g(x)$ 的图象. 若 $g(x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称, 则 $\varphi$ 的值为
选项：
A. $\frac{5 \pi}{12}$
B. $\frac{7 \pi}{12}$
C. $\frac{5 \pi}{6}$ 或 $\frac{\pi}{6}$
D. $\frac{5 \pi}{12}$ 或 $\frac{11 \pi}{12}$
答案：D
解析：解析: 由题意，得 $g(x)=\sin \left[2(x+\varphi)-\frac{\pi}{3}\right]=\sin \left(2 x+2 \varphi-\frac{\pi}{3}\right)$.

$\because g(x)$ 的图象关于 $y$ 轴对称， $\therefore g(x)$ 为偶函数，

$\therefore 2 \varphi-\frac{\pi}{3}=k \pi+\frac{\pi}{2}(k \in \mathbf{Z}), \quad \therefore \varphi=\frac{k \pi}{2}+\frac{5 \pi}{12}(k \in \mathbf{Z})$.

当 $k=0$ 时， $\varphi=\frac{5 \pi}{12}$ ；当 $k=1$ 时， $\varphi=\frac{11 \pi}{12}$ ，故选 D.

答案: D
题目（高二 · 图论）：已知函数 $f(x)=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$. 若存在 $a \in(0, \pi)$, 使得 $f(x+a)=f(x-a)$ 恒成立, 则 $a$ 的值是
选项：
A. $\frac{\pi}{6}$
    B. $\frac{\pi}{3}$
    C. $\frac{\pi}{4}$
    D. $\frac{\pi}{2}$
答案：D
解析：解析: 因为 $f(x+a)=f(x-a)$ ，所以函数 $f(x)=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$ 的周期为 $2 a$. 因为 $a \in(0 ， \pi)$ ，所以 $2 a=\frac{2 \pi}{2}$ ，即 $a=\frac{\pi}{2}$ ，故选 D.

答案: D
题目（高二 · 组合几何学）：如图, 设点 $A$ 是单位圆上的一定点, 动点 $P$ 从点 $A$ 出发在圆上按逆时针方向旋转一周, 点 $P$ 所旋转过的弧 $\widehat{A P}$ 的长为 $l$, 弦 $A P$ 的长为 $d$, 则函数 $d=f(l)$ 的图象大致是 $(\quad)$




选项：
A.



C



B



D
答案：C
解析：解析: 如图，过 $O$ 作 $O D \perp A P$ 于 $D$.由题意知， $\angle A O D=\frac{l}{2} ， O A=1 ， A D=\frac{d}{2} ， \therefore \sin \frac{l}{2}=\frac{d}{2}$ ，即 $d=2 \sin \frac{1}{2}$结合图象知选 C.



答案: C
题目（高二 · 组合几何学）：如图所示的是一半径为 $3 \mathrm{~m}$ 的圆形水轮, 水轮的中心 $O$ 距离水面 $2 \mathrm{~m}$, 已知水轮自点 $B$ 开始旋转, $15 \mathrm{~s}$ 旋转一圈, 水轮上的点 $P$ 到水面的距离 $y(\mathrm{~m})$ 与时间 $x(\mathrm{~s})$ 满足函数关系式 $y=$ $A \sin (\omega x+\varphi)+2$, 则有


选项：
A. $\omega=\frac{2 \pi}{15}, A=3$
B. $\omega=\frac{15}{2 \pi}, A=3$
C. $\omega=\frac{2 \pi}{15}, A=5$
D. $\omega=\frac{15}{2 \pi}, A=5$
答案：A
解析：解析: $\because T=15 ， \therefore \omega=\frac{2 \pi}{T}=\frac{2 \pi}{15}$.

显然 $y_{\max }-y_{\text {min }}=6 ，$

$\therefore A=\frac{y_{\text {max }}-y_{\text {min }}}{2}=\frac{6}{2}=3$,

答案: A
题目（高二 · 立体几何学）：已知三角形面积为 $\frac{1}{4}$, 外接圆面积为 $\pi$, 则这个三角形的三边之积为 $($ )
选项：
A. 1
B. 2
C. $\frac{1}{2}$
D. 4
答案：A
解析：解析 设三角形外接圆半径为 $R$, 则由 $\pi R^{2}=\pi$,

得 $R=1$, 由 $S_{\triangle}=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{a b c}{4 R}=\frac{a b c}{4}=\frac{1}{4}, \therefore a b c=1$​.
题目（高二 · 立体几何学）：扇形的周长为 $6 \mathrm{~cm}$, 面积是 $2 \mathrm{~cm}^{2}$, 则扇形的圆心角的弧度数是
选项：
A. 1
B. 4
C. 1 或 4
D. 2 或 4
答案：C
解析：解析:设扇形的圆心角为 $a \mathrm{rad}$, 半径为 $R \mathrm{~cm}$,
则 $\left\{\begin{array}{l}2 R+\alpha \cdot R=6, \\ \frac{1}{2} R^{2} \cdot \alpha=2,\end{array}\right.$ 解得 $\alpha=1$ 或 $\alpha=4$, 选 C.

答案: C
题目（高二 · 立体几何学）：若向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 满足 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$ 且 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{c}$, 则 $\boldsymbol{c} \cdot(\boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b})=$
选项：
A. 4
    B. 3
    C. 2
    D. 0
答案：D
解析：解析: $\because a / / b, \therefore b=\lambda a, \lambda \in \mathbf{R} . \therefore c \cdot(a+2 b)=c \cdot(a+2 \lambda a)=c \cdot a(1+2 \lambda) . \because a \perp c, \therefore a \cdot c=0 . \therefore c \cdot(a$ $+2 b)=0$.

答案: D
题目（高二 · 立体几何学）：已知 $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|=2, \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=2$, 则 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=$
选项：
A. 1 B. $\sqrt{3}$
C. 2 D. $\sqrt{3}$ 或 2
答案：C
解析：解析: $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt{|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|^{2}}=\sqrt{(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})^{2}}=\sqrt{\boldsymbol{a}^{2}-2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}}=\sqrt{2^{2}-2 \times 2+2^{2}}=\sqrt{4}=2$.

答案: C