题目（八年级 · 解析几何）：(15 分) 如图, 已知直线 $l_{1}: y=2 x+4$ 与 $y$ 轴交于 $A$ 点, 与 $x$ 轴交于点 $B$, 经过 $A$ 点的直线 $l_{2}$ 与直线 $\mathrm{l}_{1}$ 所夹的锐角为 $45^{\circ}$.



(1) 过点 $B$ 作 $C B \perp A B$, 交 $l_{2}$ 于 $C$, 求点 $C$ 的坐标.

(2) 求 $l_{2}$ 的函数解析式.

(3) 在直线 $l_{1}$ 上存在点 $M$, 直线 $l_{2}$ 上存在点 $N$, 使得点 $A 、 O 、 M 、 N$ 四点组成的四边形是平行四边形, 请直接写出点 $\mathrm{N}$ 的坐标.
选项：
答案： (1) 解: 过作 $\mathrm{CD} \perp \mathrm{x}$ 轴于点 $\mathrm{D}$,

<ImageHere>

$\because \mathrm{CB} \perp \mathrm{AB}$

$\therefore \angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}, \quad \therefore \angle \mathrm{CBD}+\angle \mathrm{ABO}=90^{\circ}$,

又 $\because \angle \mathrm{BAC}=45^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}-\angle \mathrm{BAC}=45^{\circ}=\angle \mathrm{BAC}$,

$\therefore \mathrm{BC}=\mathrm{BA}$,
$\because \angle \mathrm{AOB}=90^{\circ}, \quad \therefore \angle \mathrm{ABO}+\angle \mathrm{BAO}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{CBD}=\angle \mathrm{BAO}$,

又 $\because \angle \mathrm{BDC}=\angle \mathrm{AOB}=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle \mathrm{BDC} \cong \triangle \mathrm{AOB}$

$\therefore \mathrm{BD}=\mathrm{OA}, \mathrm{CD}=\mathrm{OB}$,

$\because$ 直线 $\mathrm{l}_{1}: \mathrm{y}=2 \mathrm{x}+4$,

$\therefore \mathrm{A}(0,4), \mathrm{B}(-2,0)$,

$\therefore \mathrm{BD}=\mathrm{OA}=4, \mathrm{CD}=\mathrm{OB}=2$,

$\therefore \mathrm{OD}=4+2=6$,

$\therefore \mathrm{C}(-6,2)$

(2) 解：设 $\mathrm{l}_{2}$ 的解析式为 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+\mathrm{b}(\mathrm{k} \neq 0)$

$\because$ A $(0,4), C(-6,2)$,

$\therefore \begin{gathered}b=4 \\ -6 k+b=3\end{gathered}$

$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{3} \\ b=4\end{array}\right.$

$\therefore y=\frac{1}{3} x+4$

（3）解：如图, $\mathrm{OA}$ 为平行四边形的边时,

<ImageHere>

当四边形 $A O M_{1} N_{1}$ 为平行四边形时, 有 $M_{1} N_{1}=A O=4$,

即 $\left(3^{\frac{1}{3} x+4}\right)-(2 x+4)=4$, 解得: $x==^{-\frac{12}{5}}$,
当 $x={ }^{-\frac{12}{5}}$ 时, $\quad y=\frac{1}{3} x+4=\frac{16}{5}$,

所以 $\mathrm{N}_{1}\left(-\frac{12}{5}, \frac{16}{5}\right)$;

当四边形 $\mathrm{AOM}_{2} \mathrm{~N}_{2}$ 为平行四边形时, 有 $\mathrm{M}_{2} \mathrm{~N}_{2}=\mathrm{AO}=4$,

即 $(2 x+4)-\left({ }^{\frac{1}{3} x+4}\right)=4$, 解得: $x={ }^{\frac{12}{5}}$,

当 $x={ }^{\frac{12}{5}}$ 时, $\quad y=\frac{1}{3} x+4={ }^{\frac{24}{5}}$,

所以 $\mathrm{N}_{2}\left(-\frac{12}{5}, \frac{16}{5}\right) ;$

$\mathrm{OA}$ 为平行四边形的对角线时, 由上可知 $\mathrm{AM}_{1} \mathrm{ON}_{2}$ 为平行四边形, 此时 $\mathrm{N}_{2}\left(-\frac{12}{5}, \frac{16}{5}\right)$;

综上可知 $\mathrm{N}$ 点坐标为 $\left(-\frac{12}{5}, \frac{16}{5}\right) \quad$ 或 $\left(\frac{12}{5}, \frac{24}{5}\right)$

故答案为: $\left(-\frac{12}{5}, \frac{16}{5}\right)$ 或 $\left(\frac{12}{5}, \frac{24}{5}\right)$ 。
解析： (1) 解: 过作 $\mathrm{CD} \perp \mathrm{x}$ 轴于点 $\mathrm{D}$,



$\because \mathrm{CB} \perp \mathrm{AB}$

$\therefore \angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}, \quad \therefore \angle \mathrm{CBD}+\angle \mathrm{ABO}=90^{\circ}$,

又 $\because \angle \mathrm{BAC}=45^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}-\angle \mathrm{BAC}=45^{\circ}=\angle \mathrm{BAC}$,

$\therefore \mathrm{BC}=\mathrm{BA}$,
$\because \angle \mathrm{AOB}=90^{\circ}, \quad \therefore \angle \mathrm{ABO}+\angle \mathrm{BAO}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{CBD}=\angle \mathrm{BAO}$,

又 $\because \angle \mathrm{BDC}=\angle \mathrm{AOB}=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle \mathrm{BDC} \cong \triangle \mathrm{AOB}$

$\therefore \mathrm{BD}=\mathrm{OA}, \mathrm{CD}=\mathrm{OB}$,

$\because$ 直线 $\mathrm{l}_{1}: \mathrm{y}=2 \mathrm{x}+4$,

$\therefore \mathrm{A}(0,4), \mathrm{B}(-2,0)$,

$\therefore \mathrm{BD}=\mathrm{OA}=4, \mathrm{CD}=\mathrm{OB}=2$,

$\therefore \mathrm{OD}=4+2=6$,

$\therefore \mathrm{C}(-6,2)$

(2) 解：设 $\mathrm{l}_{2}$ 的解析式为 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+\mathrm{b}(\mathrm{k} \neq 0)$

$\because$ A $(0,4), C(-6,2)$,

$\therefore \begin{gathered}b=4 \\ -6 k+b=3\end{gathered}$

$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{3} \\ b=4\end{array}\right.$

$\therefore y=\frac{1}{3} x+4$

（3）解：如图, $\mathrm{OA}$ 为平行四边形的边时,



当四边形 $A O M_{1} N_{1}$ 为平行四边形时, 有 $M_{1} N_{1}=A O=4$,

即 $\left(3^{\frac{1}{3} x+4}\right)-(2 x+4)=4$, 解得: $x==^{-\frac{12}{5}}$,
当 $x={ }^{-\frac{12}{5}}$ 时, $\quad y=\frac{1}{3} x+4=\frac{16}{5}$,

所以 $\mathrm{N}_{1}\left(-\frac{12}{5}, \frac{16}{5}\right)$;

当四边形 $\mathrm{AOM}_{2} \mathrm{~N}_{2}$ 为平行四边形时, 有 $\mathrm{M}_{2} \mathrm{~N}_{2}=\mathrm{AO}=4$,

即 $(2 x+4)-\left({ }^{\frac{1}{3} x+4}\right)=4$, 解得: $x={ }^{\frac{12}{5}}$,

当 $x={ }^{\frac{12}{5}}$ 时, $\quad y=\frac{1}{3} x+4={ }^{\frac{24}{5}}$,

所以 $\mathrm{N}_{2}\left(-\frac{12}{5}, \frac{16}{5}\right) ;$

$\mathrm{OA}$ 为平行四边形的对角线时, 由上可知 $\mathrm{AM}_{1} \mathrm{ON}_{2}$ 为平行四边形, 此时 $\mathrm{N}_{2}\left(-\frac{12}{5}, \frac{16}{5}\right)$;

综上可知 $\mathrm{N}$ 点坐标为 $\left(-\frac{12}{5}, \frac{16}{5}\right) \quad$ 或 $\left(\frac{12}{5}, \frac{24}{5}\right)$

故答案为: $\left(-\frac{12}{5}, \frac{16}{5}\right)$ 或 $\left(\frac{12}{5}, \frac{24}{5}\right)$ 。