eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高三 · 代数）：已知实数 $a, b, c, d$ 满足 $a+b+c+d=3, a^{2}+2 b^{2}+3 c^{2}+6 d^{2}=5$, 则 $a$ 的最大值是
选项：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：B
解析：解析: 【解答】由柯西不等式, 得 $\left(2 b^{2}+3 c^{2}+6 d^{2}\right)\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right) \geq(b+c+d)^{2}$, 即 $2 b^{2}+3 c^{2}+6 d^{2} \geq(b+c+d)^{2}$,当且仅当 $\frac{\sqrt{2 b} b}{\sqrt{\frac{1}{2}}}=\frac{\sqrt{3} c}{\sqrt{\frac{1}{3}}}=\frac{\sqrt{6} a}{\sqrt{\frac{1}{6}}}$ 等号成立.

又 $b+c+d=3-a, 2 b^{2}+3 c^{2}+6 d^{2}=5-a^{2}$,

故 $5-a^{2} \geq(3-a)^{2}$,

解得 $1 \leq a \leq 2$, 即 $a$ 的最大值是
题目（高三 · 代数）：复数 $\frac{i}{1+2 i}(i$ 是虚数单位 $)$ 的实部是 ( )
选项：
A. $-\frac{2}{5}$
B. $\frac{2}{5}$
C. $-\frac{1}{5}$
D. $\frac{1}{5}$
答案：B
解析：解析：解答：因为 $\frac{i}{1+2 i}=\frac{i(1-2 \mathrm{i})}{1^{2}+2^{2}}=\frac{2}{5}+\frac{1}{5} i$, 所以其实部为 $\frac{2}{5}$, 选 B.

分析: 本题主要考查了复数代数形式的乘除运算, 解决问题的关键是解根据复数复数代数形式的乘除运算进行化简判断即可.
题目（高三 · 代数）：$i$ 是虚数单位, 若 $z=(i+1) i$, 则 $|z|$ 等于 $(\quad)$
选项：
A. 2
B. $\sqrt{2}$
C. 1
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
答案：B
解析：解析: 解答: 由题可得 $z=(i+1) i=i^{2}+i=-1+i$, 根据复数模的计算公式可得 $|z|=\sqrt{(-1)^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$, 故选 B.

分析: 本题主要考查了复数代数形式的乘除运算、复数求模, 解决问题的关键是化简所给复
数, 根据复数模的定义计算即可.
题目（高三 · 代数）：若 $a+b i=(1+i)(2-i)$ ( $i$ 是虚数单位, $a, b$ 是实数), 则 $a+b$ 的值是 ( )
选项：
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
答案：C
解析：解析: 解答: $\because a+b i=2+2 i-i+1=3+i, \therefore a=3, b=1, a+b=4$, 故选 C.

分析: 本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义, 解决问题的关键是根据复数运算性质及复数相等进行计算即可.
题目（高三 · 代数）：已知复数 $\mathrm{z}$ 满足 $\mathrm{z}(1+\mathrm{i})=1$ (其中 $\mathrm{i}$ 为虚数单位), 则 $\mathrm{z}$ 的共轭复数 $\bar{z}$ 是 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{1}{2}+\frac{1}{2} i$
B. $\frac{1}{2}-\frac{1}{2} i$
C. $-\frac{1}{2}+\frac{1}{2} i$
D. $-\frac{1}{2}-\frac{1}{2} i$
答案：A
解析：解析: 解答: 因为 $\mathrm{z}(1+\mathrm{i})=1$, 所以, $z=\frac{1}{1+i}=\frac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2} i, \bar{z}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} i$

故选 A

分析: 本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的混合运算, 解决问题的关键是根据复数运算性质化简计算即可.
题目（高三 · 代数）：若复数 $z=1+i$, 则 $(1+z) \cdot z=(\quad)$.
选项：
A. $1+3 i$
B. $3+3 i$
C. $3-i$
D. 3
答案：A
解析：解析: 解答: $(1+z) \cdot z=(1+1+i) \cdot(1+i)=1+3 i$.故选 A.

分析: 本题主要考查了复数代数形式的乘除运算, 解决问题的关键是根据复数代数形式的乘除运算进行计算即可.
题目（高三 · 代数）：已知复数 $z_{1}=3-b i, z_{2}=1-2 i$, 若 $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ 是实数, 则实数 $b$ 的值为 ( )
选项：
A. 0
B. $-\frac{3}{2}$
C. 6
D. -6
答案：C
解析：解析: 解答: $\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{3-b i}{1-2 i}=\frac{(3-b i)(1+2 i)}{5}=\frac{(3+2 b)+(6-b) i}{5} \in R$, 所以 $6-b=0 \Rightarrow b=6$.

故 C 正确.

分析: 本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的乘除运算; 解决问题的关键是根据所给复数进行计算然后结合条件解方程即可.
题目（高三 · 代数）：设 $z=1+i(i$ 是虚数单位 $)$, 则 $\frac{2}{z}+z^{2}=$
选项：
A. $-1-i$
B. $-1+i$
C. $1+i$
D. $1-i$
答案：C
解析：解析: 解答: 将 $z$ 代入, $\frac{2}{1+i}+(1+i)^{2}=1-i+2 i=1+i$, 故选 C.

分析: 本题主要考查了复数代数形式的混合运算, 解决问题的关键是根据所给复数代入化简
即可.
题目（高三 · 代数）：已知复数 $z=(1-i)(1+2 i)$, 其中 $i$ 为虚数单位, 则 $z$ 的实部为 ( )
选项：
A. -3
B. 1
C. -1
D. 3
答案：D
解析：解析: 解答: $z=(1-i)(1+2 i)=3+i$, 所以 $\bar{z}=3-i$, 其实部为 3 , 选 $D$.

分析: 本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的乘除运算, 解决问题的关键是首先计算 $\mathrm{z}$ ，然后根据根据定义计算即可.
题目（高三 · 代数）：在复平面内, 复数 $\frac{2-i}{i}$ 对应的点位于 ( )
选项：
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案：C
解析：解析: 解答: 由题意 $\frac{2-i}{i}=\frac{(2-i) i}{i^{2}}=-1-2 i$, 其对应的点的坐标为 $(-1,-2)$. 则该点位于第三象限，故选 C.

分析: 本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的乘除运算, 解决问题的关键是根据复数运算性质进行化简, 然后根据复数表示法的几何意义判定即可.
题目（高三 · 代数）：. 已知复数 $\mathrm{z}$ 满足 $\left(1+2 i^{3}\right) z=1+2 i$, 则 $\mathrm{z}=(\quad)$
选项：
A. $\frac{3}{5}+\frac{4}{5} i$
B. $-\frac{3}{5}+\frac{4}{5} i$
C. $-\frac{3}{5}-\frac{4}{5} i$
D. $\frac{3}{5}-\frac{4}{5} i$
答案：B
解析：解析: 解答: 因为 $\left(1+2 i^{3}\right) z=1+2 i$,

所以 $z=\frac{1+2 i}{1+2 i^{3}}=\frac{1+2 i}{1-2 i}=\frac{(1+2 i)(1+2 i)}{(1-2 i)(1+2 i)}=\frac{1-4+4 i}{5}=-\frac{3}{5}+\frac{4}{5} i$, 故选 B.

分析: 本题主要考查了复数代数形式的混合运算, 解决问题的关键是根据复数代数形式的运算性质计算即可.
题目（高三 · 代数）：已知复数 $z_{1}$ 满足 $\left(z_{1}-2\right)(1+i)=1-i(i$ 为虚数单位 $)$, 复数 $z_{2}$ 的虚部为 2 , 且 $z_{1} \cdot z_{2}$ 是实数,则 $\mathrm{z}_{2}=(\quad)$
选项：
A. $4-2 \mathrm{i}$

B. $4+2 \mathrm{i}$

C. $2+4 i$

D. $2-4 \mathrm{i}$
答案：B
解析：解析: 解答: 设 $z_{1}=a_{1}+b_{1} i, z_{2}=a_{2}+2 i\left(a_{1}, b_{1}, a_{2}\right.$ 为实数 $)$

$\because\left(z_{1}-2\right)(1+i)=\left(a_{1}-2+b_{1} i\right)(1+i)=a_{1}-2-b_{1}+\left(a_{1}-2+b_{1}\right) i=1-i$

$\therefore \mathrm{a}_{1}-2-\mathrm{b}_{1}=1, \mathrm{a}_{1}-2+\mathrm{b}_{1}=-1$

$\therefore \mathrm{a}_{1}=2, \mathrm{~b}_{1}=-1$,即 $\mathrm{z}_{1}=2-\mathrm{i}$

$\because(2-i)\left(a_{2}+2 i\right)=2 a_{2}+2+\left(4-a_{2}\right) i$, 且 $z_{1} \cdot z_{2}$ 是实数,

$\therefore 4-\mathrm{a}_{2}=0$, 即 $\mathrm{a}_{2}=4$

$\therefore \mathrm{z}_{2}=4+2 \mathrm{i}$, 故选 B.

分析: 本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的混合运算, 解决问题的关键是所给条件设出复数 $z_{1}, z_{2}$ 代入化简根据 $\mathrm{z}_{1} \cdot \mathrm{z}_{2}$ 是实数解方程得到所求复数即可.
题目（高三 · 代数）：若复数 $\frac{a+i}{3+4 i}-1$ ( $a$ 为实数, $i$ 为虚数单位) 是纯虚数, 则 $a=(\quad)$
选项：
A. 7
B. -7
C. $\frac{4}{3}$
D. $-\frac{4}{3}$
答案：A
解析：解析: 解答: 由已知得, $\frac{a+i}{3+4 i}-1=\frac{(a+i)(3-4 i)}{(3+4 i)(3-4 i)}-1=\frac{(3 a+4)+(3-4 a) i}{25}-1$, 故 $\frac{3 a+4}{25}-1=0$, 解得 $a=7$. 故选 A.

分析: 本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的混合运算, 解决问题的关键是首先根据复数运算性质进行化简结合所求复数满足条件求解 $\mathrm{a}$ 值即可.
题目（高三 · 代数）：若 $A=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}, B=x_{1} x_{2}+x_{2} x_{2}+\cdots+x_{n-1} x_{n}+x_{n} x_{1}$, 其中 $x_{1}, x_{2}, \cdots x_{n}$,都是正数, 则 $A$ 与 $B$ 的大小关系为 ( )
选项：
A. $A>B$
B. $A<B$
C. $A \geq B$
D. $A \leq B$
答案：C
解析：解析: 解答: 依序列 $\left[x_{n}\right]\left[x_{n}\right\}$ 的各项都是正数, 不妨设 $0<x_{1} \leq x_{2} \leq \cdots \leq x_{n}$, 则 $x_{2}, x_{2}, \cdots, x_{n}, x_{1}$ 为序列 $\left[x_{n}\right]$ 的一个排列. 依排序不等式，得 $x_{1} x_{1}+x_{2} x_{2}+\cdots+x_{n} x_{n} \geq x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+\cdots+x_{n} x_{1}$

$x_{1} x_{1}+x_{2} x_{2}+\cdots+x_{n} x_{n} \geq x_{1} x_{2}+x_{2} x_{3}+\cdots+x_{n} x_{1}$, 即

$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2} \geq x_{1} x_{2}+x_{2} x_{2}+\cdots+x_{n} x_{1}$

分析:本题主要考查了排序不等式，解决问题的关键是根据排序不等式 $a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\cdots a_{n} b_{n} \geq a_{1} c_{1}+a_{2} c_{2}+\cdots+a_{n} c_{n} \geq a_{1} b_{n}+a_{2} b_{n-1}+\cdots a_{n} b_{1}$ 分析计算即可.
题目（高三 · 代数）：已知 $a, b, c>0$, 则 $a^{2}\left(a^{2}-b c\right)+b^{2}\left(b^{2}-a c\right)+c^{2}\left(c^{2}-a b\right)$ 的正负情况是 $(\quad)$
选项：
A. 大于零
B.大于或等于零
C.小于零
D.小于或等于
答案：B
解析：解析: 解答: 设 $a \geq b \geq c>0$, 所以 $a^{3} \geq b^{3} \geq c^{3}$,

根据排序不等式, 得 $a^{3} \times a+b^{3} \times b+c^{3} \times c \geq a^{3} b+b^{3} c+c^{3} a$.

又知 $a b \geq a c \geq b c, a^{2} \geq b^{2} \geq c^{2}$,

所以 $a^{3} b+b^{3} c+c^{3} a \geq a^{2} b c+b^{2} c a+c^{2} a b$.

所以 $a^{4}+b^{4}+c^{4} \geq a^{2} b c+b^{2} c a+c^{2} a b$,

即 $a^{2}\left(a^{2}-b c\right)+b^{2}\left(b^{2}-a c\right)+c^{2}\left(c^{2}-a b\right) \geq 0$.

分析: 本题主要考查了排序不等式, 解决问题的关键是根据排序不等式 $a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\cdots a_{n} b_{n} \geq a_{1} c_{1}+a_{2} c_{2}+\cdots+a_{n} c_{n} \geq a_{1} b_{n}+a_{2} b_{n-1}+\cdots a_{n} b_{1}$ 分析计算即可.
题目（高三 · 代数）：设 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 为正数, $E=\frac{a_{1} a_{2}}{a_{3}}+\frac{a_{2} a_{3}}{a_{1}}+\frac{a_{3} a_{1}}{a_{2}}, F=a_{1}+a_{2}+a_{3}$, 则 $E, F$ 的大小关系是
选项：
A. $E<F$
B. $E \geq F$
C. $E=F$
D. $E \leq F$
答案：B
解析：解析: 解答: 不妨设 $a_{1} \geq a_{2} \geq a_{3}>0 \quad a_{1} \geq a_{2} \geq a_{3}>0$, 于 是 $\frac{1}{a_{1}} \leq \frac{1}{a_{2}} \leq \frac{1}{a_{3}}$,

$a_{2} a_{3} \leq a_{3} a_{1} \leq a_{1} a_{2}$

$rac{a_{1} a_{2}}{a_{3}}+rac{a_{3} a_{1}}{a_{2}}+rac{a_{2} a_{3}}{a_{1}} \geq rac{1}{a^{2}} \cdot a_{2} a_{3}+rac{1}{a^{3}} \cdot a_{3} a_{1}+rac{1}{a^{4}} \cdot a_{1} a_{2}=a_{3}+a_{1}+a_{2}$,即 $rac{a_{1} a_{2}}{a_{3}}+rac{a_{2} a_{3}}{a_{1}}+rac{a_{3} a_{1}}{a_{2}} \geq a_{1}+a_{2}+a_{3} rac{a_{1} a_{2}}{a_{3}}+rac{a_{2} a_{3}}{a_{1}}+rac{a_{3} a_{1}}{a_{2}} \geq a_{1}+a_{2}+a_{2} 	herefore E \geq F$分析:本题主要考查了排序不等式, 解决问题的关键是, 不妨$a_{1} \geq a_{2} \geq a_{3}>0 a_{1} \geq a_{2} \geq a_{3}>0$, 于是 $rac{1}{a_{1}} \leq rac{1}{a_{2}} \leq rac{1}{a_{3}}, a_{2} a_{3} \leq a_{3} a_{1} \leq a_{1} a_{2}$ 根据排序不等式 $a_{1} b_{1}+a_{2} b_{2}+\cdots a_{n} b_{n} \geq a_{1} c_{1}+a_{2} c_{2}+\cdots+a_{n} c_{n} \geq a_{1} b_{n}+a_{2} b_{n-1}+\cdots a_{n} b_{1}$分析计算即可.
题目（高三 · 代数）：用数学归纳法证明“当 $\mathrm{n}$ 为正奇数时, $\mathrm{x}^{\mathrm{n}}+\mathrm{y}^{\mathrm{n}}$ 能被 $\mathrm{x}+\mathrm{y}$ 整除”, 第二步归纳假设应写成 ( )
选项：
A. 假设 $n=2 k+1\left(k \in N^{*}\right)$ 正确, 再推 $n=2 k+3$ 正确

B. 假设 $\mathrm{n}=2 \mathrm{k}-1\left(\mathrm{k} \in \mathrm{N}^{*}\right)$ 正确, 再推 $\mathrm{n}=2 \mathrm{k}+1$ 正确

C. 假设 $\mathrm{n}=\mathrm{k}\left(\mathrm{k} \in \mathrm{N}^{*}\right)$ 正确, 再推 $\mathrm{n}=\mathrm{k}+1$ 正确

D. 假设 $\mathrm{n}=\mathrm{k}(\mathrm{k} \geq 1$ ) 正确, 再推 $\mathrm{n}=\mathrm{k}+2$ 正确


答案：B
解析：解析: 解答: 根据数学归纳法的证明步骤, 注意 $\mathrm{n}$ 为奇数, 所以第二步归纳假设应写成: 假设 $\mathrm{n}=2 \mathrm{k}-1\left(\mathrm{k} \in \mathrm{N}^{*}\right)$ 正确, 再推 $\mathrm{n}=2 \mathrm{k}+1$ 正确; 故选 $\mathrm{B}$.

分析: 本题主要考查了数学归纳法, 解决问题的关键是注意 $\mathrm{n}$ 为正奇数, 观察第一步取到 1 ,即可推出第二步的假设.
题目（高三 · 代数）：用数学归纳法证明等式 $1+2+3+\cdots+(n+3)=\frac{(n+3)(n+4)}{2}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ 时, 第一步验证 $n=1$时, 左边应取的项是 ( )
选项：
A. 1
B. $1+2$
C. $1+2+3$
D. $1+2+3+4$
答案：D
解析：解析: 解答: 根据题意, 数学归纳法证明等式 $1+2+3+\cdots+(n+3)=\frac{(n+3)(n+4)}{2}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$ 时,第一步验证 $n=1$ 时, 坐标表示的为前 4 项的和, 因为最后一项为 4 , 且从 1 开始, 因此可知左边为 $1+2+3+4$, 选 D.

分析: 本题主要考查了数学归纳法, 解决问题的关键是根据数学归纳法分析即可
题目（高三 · 代数）：用数学归纳法证明 $1+2+3+\cdots+2^{n}=2^{n-1}+2^{2 n-1}\left(n \in N_{+}\right)$时, 假设 $\mathrm{n}=\mathrm{k}$ 时命题成立,则当 $\mathrm{n}=\mathrm{k}+1$ 时, 左端增加的项数是
选项：
A. 1 项
B. $k-1$ 项
C. $k$ 项
D. $2^{k}$ 项
答案：D
解析：解析: 解答: 运用数学归纳法证明

$1+2+3+\cdots+2^{\mathrm{n}}=2^{\mathrm{n}-1}+2^{2 \mathrm{n}-1}\left(\mathrm{n} \in \mathrm{N}_{+}\right)$

当 $n=k$ 时, 则有 $1+2+3+\cdots+2^{k}=2^{k-1}+2^{2 k-1}\left(k \in N_{+}\right)$

左边表示的为 $2^{k}$ 项的和

当 $n=k+1$ 时, 则

左边 $=1+2+3+\cdots+2^{k}+\left(2^{k}+1\right)+\ldots+2^{k+1}$, 表示的为 $2^{k+1}$ 项

的和, 因此, 增加了 $2^{k+1}-2^{k}=2^{k}$ 项

因此选择 D

分析: 本题主要考查了数学归纳法, 解决问题的关键是根据数学归纳法结合所给式子分析即可
题目（高三 · 代数）：用数学归纳法证明“ “ $n^{3}+(n+1)^{3}+(n+2)^{3}\left(n \in N^{*}\right)$ 能被 9 整除”, 要利用归纳假设证 $n=k$ +1 时的情况, 只需展开 ( )
选项：
A. $(\mathrm{k}+3)^{3}$
B. $(\mathrm{k}+2)^{3}$
C. $(\mathrm{k}+1)^{3}$
D. $(\mathrm{k}+1)^{3}+(\mathrm{k}+2)^{3}$
答案：A
解析：解析:解答:假设当 $\mathrm{n}=\mathrm{k}$ 时, 原式能被 9 整除,

即 $\mathrm{k}^{3}+(\mathrm{k}+1)^{3}+(\mathrm{k}+2)^{3}$ 能被 9 整除.

当 $\mathrm{n}=\mathrm{k}+1$ 时, $(\mathrm{k}+1)^{3}+(\mathrm{k}+2)^{3}+(\mathrm{k}+3)^{3}$ 为了能用上面的归纳假设, 只需将 $(\mathrm{k}+3)^{3}$ 展开,让其出现 $\mathrm{k}^{3}$ 即可.

分析: 本题主要考查了数学归纳法, 解决问题的关键是根据所学归纳法几何所给式子分析即可
题目（高三 · 代数）：已知 $n$ 为正偶数, 用数学归纳法证明 $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n-1}=2\left(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+4}+\cdots+\frac{1}{2 n}\right)$时, 若已假设 $n=k$ ( $k \geq 2$ 为偶数) 时命题为真, 则还需要用归纳假设再证 ( )
选项：
A. $n=k+1$ 时等式成立
B. $n=k+2$ 时等式成立
C. $n=2 k+2$ 时等式成立
D. $n=2(k+2)$ 时等式成立
答案：B
解析：解析: 解答: 因为此题是 $n$ 正偶数成立的命题, 若已假设 $n=k$ ( $k \geq 2$ 为偶数) 时命题为真,下一个正偶数时 $n=k+2$, 故选 B

分析: 本题主要考查了数学归纳法, 解决问题的关键是根据数学归纳法的证明步骤分析即可
题目（高三 · 代数）：用数学归纳法证明“ “ $n^{3}+(n+1)^{3}+(n+2)^{3},\left(n \in N_{+}\right)$能被 9 整除”, 要利用归纳法假设证 $n$ $=k+1$ 时的情况, 只需展开 ( ).
选项：
A. $(k+3)^{3}$
B. $(k+2)^{3}$
C. $(k+1)^{3}$
D. $(k+1)^{3}+(k+2)^{3}$


答案：A
解析：解析: 解答: 假设 $n=k$ 时, 原式 $k^{3}+(k+1)^{3}+(k+2)^{3}$ 能被 9 整除, 当 $n=k+1$ 时, $(k+1)^{3}$. $+(k+2)^{3}+(k+3)^{3}$ 为了能用上面的归纳假设, 只须将 $(k+3)^{3}$ 展开, 让其出现 $k^{3}$ 即可. 故应选 A.

分析: 本题主要考查了数学归纳法的证明步骤, 解决问题的关键是根据数学归纳法的证明步骤分析即可
题目（高三 · 代数）：用数学归纳法证明 $(n+1)(n+2)(n+3) \ldots(n+n)=2^{n} \cdot 1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot(2 n-1)\left(n \in \mathrm{N}^{*}\right)$ 时, 从 $n=k$ 到 $n$ $=k+1$, 左端需要增加的代数式为 $(\quad)$
选项：
A. $2 k+1$
B. $2(2 k+1)$
C. $\frac{2 k+1}{k+1}$
D. $\frac{2 k+3}{k+1}$
答案：B
解析：解析: 解答: 当 $n=k$ 到 $n=k+1$ 时, 左端式子为 $(k+1+1)(k+1+2) \ldots(k+1+k)(k+1+k+1)$, 所以需要增加的式子为 $\frac{(2 k+1)(2 k+2)}{k+1}=2(2 k+1)$, 应选 B.

分析: 本题主要考查了数学归纳法的证明步骤, 解决问题的关键是根据数学归纳法分析即可
题目（高三 · 代数）：用数学归纳法证明 “当 $n$ 为正奇数时, $x^{n}+y^{n}$ 能被 $x+y$ 整除”, 第二步归纳假设应该写成 ( )
选项：
A.假设当 $n=k\left(k \in N^{*}\right)$ 时, $x^{k}+y^{k}$ 能被 $x+y$ 整除

B. 假设当 $n=2 k\left(k \in N^{*}\right)$ 时, $x^{k}+y^{k}$ 能被 $x+y$ 整除

C.假设当 $n=2 k+1\left(k \in N^{*}\right)$ 时, $x^{k}+y^{k}$ 能被 $x+y$ 整除

D. 假设当 $n=2 k-1\left(k \in N^{*}\right)$ 时, $x^{2 k-1}+y^{2 k-1}$ 能被 $x+y$ 整除
答案：D
解析：解析: 解答: 根据数学归纳法的证明步骤, 注意 $\mathrm{n}$ 为奇数, 所以第二步归纳假设应写成: 假
设 $\mathrm{n}=2 \mathrm{k}-1\left(\mathrm{k} \in \mathrm{N}^{*}\right)$ 正确, 再推 $\mathrm{n}=2 \mathrm{k}+1$ 正确; 故选 D.

分析: 本题主要考查了数学归纳法的证明步骤, 解决问题的关键是注意 $\mathrm{n}$ 为正奇数, 观察第一步取到 1 , 即可推出第二步的假设.
题目（高三 · 代数）：用数学归纳法证明不等式: $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{2 n}>\frac{13}{24} \quad\left(n>1, n \in N^{*}\right)$, 在证明 $n=k+1$ 这一步时, 需要证明的不等式是（）
选项：
A. $\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\cdots+\frac{1}{2 k}>\frac{13}{24}$

B. $\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+3}+\cdots+\frac{1}{2 k}+\frac{1}{2 k+1}>\frac{13}{24}$

C. $\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\cdots+\frac{1}{2 k}+\frac{1}{2 k+1}>\frac{13}{24}$

D. $\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\cdots+\frac{1}{2 k}+\frac{1}{2 k+1}+\frac{1}{2 k+2}>\frac{13}{24}$
答案：D
解析：解析:解答:当 $n=k+1$ 时, 那不等式左边的式子中的 $n$ 都换成 $k+1$, 得到 $\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\cdots+\frac{1}{2 k}+\frac{1}{2 k+1}+\frac{1}{2 k+2}>\frac{13}{24}$.

分析: 本题主要考查了数学归纳法证明不等式, 解决问题的关键是根据
题目（高三 · 代数）：用数学归纳法证明 $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots \cdots+\frac{1}{2 n}>\frac{13}{24}$ 时, 由 $\mathrm{k}$ 到 $\mathrm{k}+1$, 不等式左端的变化是 ( )
选项：
A.增加 $\frac{1}{2(k+1)}$ 项
B.增加 $\frac{1}{2 k+1}$ 和 $\frac{1}{2 k+2}$ 两项

C.增加 $\frac{1}{2 k+1}$ 和 $\frac{1}{2 k+2}$ 两项且减少 $\frac{1}{k+1}$ 一项

D.以上结论均错
答案：C
解析：解析: 解答: $\mathrm{n}=\mathrm{k}$ 时, 左边 $=\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\ldots . .+\frac{1}{k+k}$,

$\mathrm{n}=\mathrm{k}$ 时, 左边 $=\frac{1}{(k+1)+1}+\frac{1}{(k+1)+2}+\ldots \ldots+\frac{1}{(k+1)+(k+1)}$

$=\left(\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\ldots . .+\frac{1}{k+k}\right)-\frac{1}{k+1}+\frac{1}{2 k+1}+\frac{1}{2 k+2}$

故选 C

分析: 本题主要考查了数学归纳法证明不等式, 解决问题的关键是根据观察不等式 “ $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots \cdots+\frac{1}{2 n}>\frac{13}{24}$ 左边的各项, 他们都是以 $\frac{1}{n+1}$ 开始, 以 $\frac{1}{2 n}$ 项结束, 共 $n$ 项, 当由 $n=k$ 到 $n=k+1$ 时, 项数也由 $k$ 变到 $k+1$ 时, 但前边少了一项, 后面多了两项, 分析四个答案, 即可求出结论.
题目（高三 · 代数）：用数学归纳法证明不等式 $1+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{3^{3}}+\cdots+\frac{1}{n^{3}}<2-\frac{1}{n} \quad\left(n \geq 2, n \in \mathbf{N}_{+}\right)$时, 第一步应验证不等式 ( )
选项：
A. $1+\frac{1}{2^{3}}<2-\frac{1}{2}$
B. $1+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{3^{3}}<2-\frac{1}{3}$
C. $1+\frac{1}{2^{3}}<2-\frac{1}{3}$
D. $1+\frac{1}{2^{3}}+\frac{1}{3^{3}}<2-\frac{1}{4}$
答案：A
解析：解析: 解答: $n_{0}=2$ 时,首项为 1 ,末项为 $\frac{1}{2^{3}}$

分析: 本题主要考查了数学归纳法证明不等式, 解决问题的关键是根据数学归纳法证明不等式的步骤分析即可
题目（高三 · 代数）：在用数学归纳法证明不等式“当 $n \geq 2$ 时 $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{3 n}>\frac{9}{10}$ ”时, 第 2 步由 $n=k(k \geq 2)$ 不等式成立, 推证 $n=k+1$ 时左边的表达式为 ( )
选项：
A. $\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\cdots+\frac{1}{3 k}$

B. $\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\cdots+\frac{1}{3 k+1}$

C. $\frac{1}{k+2}+\frac{1}{k+3}+\cdots+\frac{1}{3 k}+\frac{1}{3 k+1}+\frac{1}{3 k+2}+\frac{1}{3(k+1)}$

D. $\frac{1}{k+1}+\frac{1}{k+2}+\cdots+\frac{1}{3 k}+\frac{1}{3 k+1}+\frac{1}{3 k+2}+\frac{1}{3(k+1)}$
答案：C
解析：解析: 解答: 本题考查了数学归纳法的步骤的第二步(2)注意从 $k$ 到 $k+1$ 的变化. 显然 $\frac{1}{3 k}$ 不是第 $k$ 项, 应是第 $2 k$ 项, 数列各项分母是连续的自然数, 最后一项是以 $3 k$ 收尾故 $n=k+1$ 时最后一项应为 $\frac{1}{3(k+1)}$ 所以在 $3 k$ 后面还有 $3 k+1 . 3 k+2$. 最后才为 $3 k+3$ 即 $3(k+1)$ 应选择 C 分析: 本题主要考查了数学归纳法证明不等式, 解决问题的关键是根据观察不等式结合数学归纳法证明不等式的步骤分析即可
题目（高三 · 代数）：数系的结构图为下图所示, 其中 1, 2, 3, 4 四个方格中的内容分别为（）


选项：
A. 虚数, 整数, 无理数, 自然数

B. 虚数, 无理数, 自然数, 整数

C.虚数, 无理数, 整数, 自然数

D. 虚数, 自然数, 无理数, 整数
答案：C
解析： 内容分别为虚数, 无理数, 整数, 自然数故选 C
题目（高三 · 代数）：复数集是由实数集和虚数集构成的, 而实数集又可分为有理数集和无理数集两部分; 虚数集也可分为纯虚数集和非纯虚数集两部分, 则可选用（ ）来描述之.
选项：
A.流程图

B.结构图

C.流程图或结构图中的任意一个

D. 流程图和结构图同时用
答案：B
题目（高三 · 代数）：如图所示是《函数的应用》的知识结构图, 如果要加入 “用二分法求方程的近似解”, 则应该放在 ( )


选项：
A. “函数与方程”的上位

B. “函数与方程”的下位

C.“函数模型及其应用”的上位

D. “函数模型及其应用”的下位
答案：B
解析：解析: 解答: ““用二分法求方程的近似解”是“函数与方程”的一个子知识点, 故“用二分法求方程的近似解”应该放在“函数与方程”的下位, 故选: B 分析: 本题主要考查了结构图, 解决问题的关键是首先对所画结构的每一部分有一个深刻的理解, 从头到尾抓住主要脉络进行分解. 然后将每一部分进行归纳与提炼, 形成一个个知识点并逐一写在矩形框内, 最后按其内在的逻辑顺序将它们排列起来并用线段相连, “二分法”是函数与方程的一个子知识点, 从而可得结论.
题目（高三 · 代数）：如图是“集合”的知识结构图, 如果要加入“子集”, 则应该放在 ( )


选项：
A.“集合的概念”的下位
B.“集合的表示”的下位
C.“基本关系”的下位
D.“基本运算”的下位
答案：C
解析：解析：解答：子集是两个集合之间的包含关系, 属于集合的关系, 故在知识结构图中, 子集应该放在集合的关系后面，即它的下位，由此知应选 C

故选 C

分析: 本题主要考查了结构图, 解决问题的关键是知识结构图的作用是用图形直观地再现出知识之间的关联, 由于子集是集合关系中的一种, 由此易得出正确选项
题目（高三 · 代数）：已知函数 $f(x)=\sqrt{3} \sin 2 x-2 \cos ^{2} x+1$, 将 $f(x)$ 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$, 纵坐标保持不变; 再把所得图象向上平移 1 个单位长度, 得到函数 $y=g(x)$ 的图象, 若 $g\left(x_{1}\right) \cdot g\left(x_{2}\right)=9$, 则 $\left|x_{1}-x_{2}\right|$ 的值可能为 ( )
选项：
A. $\frac{5 \pi}{4}$
    B. $\frac{3 \pi}{4}$
    C. $\frac{\pi}{2}$
    D. $\frac{\pi}{3}$
答案：C
解析：答案:C

【解析】

函数 $f(x)=\sqrt{3} \sin 2 x-2 \cos ^{2} x+1=\sqrt{3} \sin 2 x-\cos 2 x=2 \sin \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$,
将函数 $y=f(x)$ 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍, 得 $y=2 \sin \left(4 x-\frac{\pi}{6}\right)$ 的图象;

再把所得图象向上平移 1 个单位, 得函数 $y=g(x)=2 \sin \left(4 x-\frac{\pi}{6}\right)+1$ 的图象, 易知函数 $y=g(x)$ 的值域为 $[-1,3]$.

若 $g\left(x_{1}\right) \cdot g\left(x_{2}\right)=9$, 则 $g\left(x_{1}\right)=3$ 且 $g\left(x_{2}\right)=3$, 均为函数 $y=g(x)$ 的最大值,

由 $4 x-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}+2 k \pi(k \in Z)$, 解得 $x=\frac{\pi}{6}+\frac{k \pi}{2}(k \in Z)$;

其中 $x_{1} 、 x_{2}$ 是三角函数 $y=g(x)$ 最高点的横坐标,

$\therefore\left|x_{1}-x_{2}\right|$ 的值为函数 $y=g(x)$ 的最小正周期 $T$ 的整数倍, 且 $T=\frac{2 \pi}{4}=\frac{\pi}{2}$. 故选 C.
题目（高三 · 代数）：已知函数 $y=\sin x+a \cos x, x \in\left[0, \frac{\pi}{3}\right]$, 的最小值为 $a$, 则实数 $a$ 的取值范围是
选项：
A. $[0, \sqrt{3}]$
   B. $[-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$
   C. $(-\infty, \sqrt{3}]$
   D. $\left(-\infty, \frac{\sqrt{3}}{3}\right]$
答案：C
解析：答案:C

【解析】

因为 $y=\sin x+a \cos x, x \in\left[0, \frac{\pi}{3}\right]$ 的最小值为 $a$ 且 $x=0$ 时 $y=a$,

故 $\sin x+a \cos x \geq a, x \in\left[0, \frac{\pi}{3}\right]$ 恒成立, 也就是 $a(1-\cos x) \leq \sin x$,

当 $x=0$ 时, 有 $a \in R$;

当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{3}\right]$ 时, 有 $a \leq \frac{\sin x}{1-\cos x}=\frac{1}{\tan \frac{x}{2}}$, 故 $a \leq \sqrt{3}$,

所以选 C.
题目（高三 · 代数）：$\left(2 x^{2}-n\right)\left(x-\frac{2}{x}\right)^{3}$ 的展开式的各项系数之和为 5 , 则该展开式中 $\mathrm{x}$ 项的系数为 ( )
选项：
A. -66
B. -18
C. 18
D. 66
答案：D
解析：答案: D

【解析】 令 $x=1$, 可得 $(2-n)(1-2)^{3}=5, \therefore n=7$.

又 $\left(x-\frac{2}{x}\right)^{3}$ 的通项公式为 $T_{r+1}=C_{3}^{r}(-2)^{r} x^{3-2 r}$,

在 $\left(2 x^{2}-7\right)\left(x-\frac{2}{x}\right)^{3}$ 的展开式中 $\mathrm{x}$ 的系数为 $2 \times C_{3}^{2} \times(-2)^{2}-7 \times C_{3}^{1} \times(-2)=66$.

故答案为: D.
题目（高三 · 代数）：若 $(1+a x)(1+x)^{3}$ 的展开式中 $x^{2}, x^{3}$ 的系数之和为 -10 , 则实数 $\mathrm{a}$ 的值为 $(\quad)$
选项：
A. -3
B. -2
C. -1
D. 1
答案：B
解析：答案: B

【解析】 由 $(1+a x)(1+x)^{2}=(1+x)^{2}+a x(1+x)^{2}$,

则展开式中 $x^{2}$ 的系数为 $C_{5}^{2}+a C_{5}{ }^{1}=10+5 a$,

展开式中 $x^{3}$ 的系数为 $C_{5}^{3}+a C_{5} 2=10+10 a$,

二者的系数之和为 $(10+5 a)+(10 a+10)=15 a+20=-10$, 得 $a=-2$.

故答案为: B.
题目（高三 · 代数）：设 $(2-x)^{2}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2} \cdots a_{5} x^{5}$, 那么 $\frac{a_{0}+a_{2}+a_{4}}{a_{1}+a_{3}+a_{5}}$ 的值为 $(\quad)$
选项：
A. $-\frac{244}{241}$
B. $-\frac{122}{121}$
C. $-\frac{61}{60}$
D. -1
答案：B
解析：答案: $\mathrm{B}$

【解析】 由 $(2-x)^{3}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2} \cdots a_{5} x^{5}$,

令 $x=1$ 得: $(2-1)^{3}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}$, (1)

令 $x=-1$ 得: $[2-(-1)]^{3}=a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+a_{4}-a_{5}$, (2)

联立(1)(2)得:

$a_{0}+a_{2}+a_{4}=\frac{1+243}{2}=122$,

$a_{1}+a_{3}+a_{5}=\frac{1-243}{2}=-121$,

即 $\frac{a_{0}+a_{2}+a_{4}}{a_{1}+a_{3}+a_{5}}=-\frac{122}{121}$,
故答案为: B.
题目（高三 · 代数）：下列说法错误的是 ( )
选项：
A. $y=a+b x$
B. $y=a+b x^{2}$
C. $y=a+b \mathrm{e}^{x}$
D. $y=a+b \ln x$
答案：B
解析：答案: $B$

解：回归直线一定经过样本点的中心 $(\bar{x}, \bar{y})$, 故 $A$ 对;

若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强, 则线性相关系数 $r$ 的值越接近于 1 或 $-1, B$ 错;在残差图中, 残差点分布的水平带状区域越窄, 说明模型的拟合精度越高, 故 $C$ 对;在线性回归模型中，相关指数 $R^{2}$ 越接近于 1 , 说明回归的效果越好, 故 $D$ 对,故答案为:
题目（高三 · 代数）：Logistic 模型是常用数学模型之一, 可应用于流行病学领城. 有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数 $\mathrm{I}(\mathrm{t})(\mathrm{t}$ 的单位: 天 $)$ 的 Logistic 模型: $\quad I(t)=\frac{K}{1+\mathrm{e}^{-0.23(t-53)}}$, 其中 $\mathrm{K}$ 为最大确诊病例数. 当 $\mathrm{I}\left(t^{3}\right)=0.95 \mathrm{~K}$ 时, 标志着已初步遏制疫情, 则 $t^{z}$ 约为 $(\quad)(\ln 19 \approx 3)$
选项：
A. 第 8 日将要启动洪水橙色预警
B. 第 10 日将要启动洪水红色预警
C. 第 11 日将要启动洪水红色预警
D. 第 12 日将要启动洪水红色预警
答案：C
解析：所以, $0.23\left(t^{*}-53ight)=\ln 19 \approx 3$, 解得 $t^{*} \approx rac{3}{0.23}+53 \approx 66$.
题目（高三 · 代数）：设 $(\sqrt{2}-x)^{10}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{10} x^{10}$, 那么 $\left(a_{0}+a_{2}+\cdots+a_{10}\right)^{2}-\left(a_{1}+a_{3}+\cdots+a_{9}\right)^{2}$的值为 ( )
选项：
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
答案：C
解析：因为 $(\sqrt{2}-x)^{10}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{10} x^{10}$令 $x=1$ 得 $(\sqrt{2}-1)^{10}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3} \cdots+a_{10}$,令 $x=-1$ 得 $(\sqrt{2}+1)^{10}=a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots+a_{10}$,所以 $\left(a_{0}+a_{2}+\cdots+a_{10}ight)^{2}-\left(a_{1}+a_{3}+\cdots+a_{9}ight)^{2}$ $=\left(a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3} \cdots+a_{10}ight)\left(a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots+a_{10}ight)$$=(\sqrt{2}-1)^{10} \cdot(\sqrt{2}+1)^{10}$$=[(\sqrt{2}-1) \cdot(\sqrt{2}+1)]^{10}$$=1^{10}=1$故答案为: C
题目（高三 · 代数）：$\left(x^{2}-x-a\right)^{3}$ 的展开式的各项系数和为 -32 , 则该展开式中含 $x^{9}$ 项的系数是 ( )
选项：
A. 3
B. 4
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{4}$
答案：ACD
解析：答案: B

【解析】 $\because\left(x^{2}-x-a\right)^{3}$ 的展开式的各项系数和为 -32

令 $x=1$, 可得 $\left(1^{2}-1-a\right)^{3}=32$,

故: $(-a)^{3}=-32$, 解得: $a=2$,

故: $\left(x^{2}-x-a\right)^{5}=\left(x^{2}-x-2\right)^{5}=(x-2)^{3}(x+1)^{3}$,

设 $(x-2)^{2}$ 展开通项公式为: $T_{i+1}=C_{5}^{i} x^{5-i}(-2)^{i}$,

设 $(x+1)^{\nu}$ 展开通项公式为: $M_{r+1}=C_{5}^{r} x^{5-r}(1)^{r}$,
则 $(x-2)^{3}(x+1)^{2}$ 展开通项公式为展开式中含 $x^{y}$,

即 $C_{5}^{i} \cdot x^{5-i} \cdot(-2)^{i} \cdot C_{5}^{r} \cdot x^{5-r} \cdot(1)^{r}=C_{5}^{i} \cdot C_{5}^{r} \cdot(-2)^{i} \cdot x^{5-r} \cdot x^{5-i}=C_{5}^{i} \cdot C_{5}^{r} \cdot(-2)^{i} \cdot x^{10-i-r}$ 中 $x$ 的幂是 9 ,故 $10-i-r=9$, 可得 $i+r=1$,

又 $\because 0 \leq i \leq 5,0 \leq r \leq 5$ 且 $i, r \in N$,

可得 $\left\{\begin{array}{l}i=0 \\ r=1 \text { 或 }\end{array}\left\{\begin{array}{l}i=1 \\ r=0\end{array}\right.\right.$,

当 $\left\{\begin{array}{l}i=0 \\ r=1, \text { 由 } C_{5}^{i} \cdot C_{5}^{r} \cdot(-2)^{i} \cdot x^{10-i-r}=C_{5}^{0} \cdot C_{5}^{1} \cdot(-2)^{0} \cdot x^{9}=5 x^{9},\end{array}\right.$



该展开式中含 $x^{9}$ 项的系数为 $-10+5=-5$.

故答案为: B



13.答案: A,C,D

【解析】 对于 A: 由二项式系数的性质知, $(a-b)^{11}$ 的二项式系数之和为 $2^{11}=2048$, 项 A 符合题意;因为 $(a-b)^{11}$ 的展开式共有 12 项, 中间两项的二项式系数最大,

即第 6 项和第 7 项的二项式系数最大, 选项 C 符合题意, $\mathrm{B}$ 不符合题意;

因为展开式中第 6 项的系数是负数, 且绝对值最大,

所以展开式中第 6 项的系数最小, 项 $\mathrm{D}$ 符合题意;

故答案为: ACD
题目（高三 · 代数）：关于 $(a-b)^{11}$ 的说法, 正确的是 ()
选项：
A. -15
B. -5
C. 5
D. 15
答案：ACD
解析：对于 A: 由二项式系数的性质知, $(a-b)^{11}$ 的二项式系数之和为 $2^{11}=2048$, 项 A 符合题意;因为 $(a-b)^{11}$ 的展开式共有 12 项, 中间两项的二项式系数最大,即第 6 项和第 7 项的二项式系数最大, 选项 C 符合题意, $\mathrm{B}$ 不符合题意;因为展开式中第 6 项的系数是负数, 且绝对值最大,所以展开式中第 6 项的系数最小, 项 $\mathrm{D}$ 符合题意;故答案为: ACD
题目（高三 · 代数）：$(a+1)^{3}$ 展开式中的第 2 项是 ( )
选项：
A. $5 a^{3}$
B. $10 a^{3}$
C. $5 a^{4}$
D. $10 a^{4}$
答案：C
解析：答案: $\mathrm{C}$

【解析】 $(a+1)^{3}$ 展开式中的第 2 项是 $T_{2}=C_{5}^{1} a^{5-1}=5 a^{4}$.

故答案为: C.
题目（高三 · 代数）：在 $(\sqrt{x}-2)^{5}$ 的展开式中, $x^{2}$ 的系数为 $(\quad)$.
选项：
A. -5
B. 5
C. -10
D. 10
答案：C
解析：答案: C

【解析】 $(\sqrt{x}-2)^{5}$ 展开式的通项公式为: $T_{r+1}=C_{5}^{r}(\sqrt{x})^{5-r}(-2)^{r}=(-2)^{r} C_{5}^{r} x^{\frac{5-r}{2}}$,

令 $\frac{5-r}{2}=2$ 可得: $r=1$, 则 $x^{2}$ 的系数为: $(-2)^{1} C_{5}^{1}=(-2) \times 5=-10$.

故答案为: C.
题目（高三 · 代数）：设 $(2-x)^{3}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2} \cdots a_{5} x^{5}$, 那么 $\frac{a_{0}+a_{2}+a_{4}}{a_{1}+a_{3}+a_{5}}$ 的值为 ( )
选项：
A. $-\frac{244}{241}$
B. $-\frac{122}{121}$
c. $-\frac{61}{60}$
D. -1

$5 .\left(x+\frac{y^{2}}{x}\right)(x+y)^{5}$ 的展开式中 $\mathrm{x}^{3} \mathrm{y}^{3}$ 的系数为 ( )
A. 5
B. 10
C. 15
D. 20
答案：B
解析：答案: B

【解析】 由 $(2-x)^{3}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2} \cdots a_{5} x^{5}$,

令 $x=1$ 得: $(2-1)^{3}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}$, (1)

令 $x=-1$ 得: $\quad[2-(-1)]^{3}=a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+a_{4}-a_{5}$, (2)

联立(1)(2)得:

$a_{0}+a_{2}+a_{4}=\frac{1+243}{2}=122$

$a_{1}+a_{3}+a_{5}=\frac{1-243}{2}=-121$,

即 $\frac{a_{0}+a_{2}+a_{4}}{a_{1}+a_{3}+a_{5}}=-\frac{122}{121}$,

故答案为: B
题目（高三 · 代数）：已知 $(1+\mathrm{ax}) \cdot(1+\mathrm{x})^{5}$ 的展开式中 $\mathrm{x}^{2}$ 的系数为 5 , 则 $\mathrm{a}=(\mathrm{C})$
选项：
A. -4
B. -3
C. -2
D. -1
答案：D
解析：答案:D

【解析】 由题意知: $C_{5}^{2}+a C_{5}^{1}=5$, 解得 $a=-1$,

故答案为:
D.
题目（高三 · 代数）：下列命题:

$$
\text { (1) 若 } z=a+b \mathrm{i} \text {, 则仅当 }
$$

$$
\text { 且 }{ }^{b \neq 0} \text { 时, } z \text { 为纯 }
$$

虚数;

(2) 若 $z_{1}^{2}+z_{2}=0$ ，则 $z_{1}=z_{2}=0$ ；

(3)若实数 $a$ 与 ${ }^{\alpha}$ 对应, 则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系.

其中正确命题的个数是 ( )
选项：
A. 0
B. 1
C. 2 D. 3
答案：A
解析：在(1)中 $a=0, b=i$ 时, $z$ 不为纯虚数, 故(1)错误;在(2)中 $z_{1}=\mathrm{i}, z_{2}=1$ 时, $z_{1}^{2}+z_{2}=0$ ，但 $z_{1} 
eq z_{2} 
eq 0$, 故(2)错误;在(3)中, $a=0$ 时, $0 	imes i=0$ 不是纯虚数, 故(3)也是错误的,故选 A.
题目（高三 · 代数）：已知 $1+\mathrm{i}$ 是关于 $x$ 的方程 $a x^{2}+b x+2=0(a, b \in \mathbf{R})$ 的一个根, 则 $a+b=$ ( )
选项：
A. -1
B. 1
C. -3 D. 3
答案：A
解析：实系数的一元二次方程虚根成对 (互为共轭复数),所以 $1 \pm \mathrm{i}$ 为方程两根, $1+\mathrm{i}+1-\mathrm{i}=-rac{b}{a},(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})=rac{2}{a}$,$a=1, b=-2, a+b=-1$, 选 A.