题目（八年级 · 代数）：已知关于 $x$ 的两个一元二次方程:

方程(1): $\left(1+\frac{k}{2}\right) x^{2}+(k+2) x-1=0$;

方程(2): $x^{2}+(2 k+1) x-2 k-3=0$.

(1)若方程(1)有两个相等的实数根, 求: $k$ 的值

(2)若方程(1)和(2)只有一个方程有实数根, 请说明此时哪个方程没有实数根.

(3)若方程(1)和(2)有一个公共根 $a$, 求代数式 $\left(a^{2}+4 a-2\right) k+3 a^{2}+5 a$ 的值.
选项：
答案：解:

(1) $\because$ 方程 11 有两个相等的实数根,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}1+\frac{k}{2} \neq 0 \\ \triangle_{1}=0\end{array}\right.$,

则 $k \neq-2, \Delta_{1}=b^{2}-4 a c=(k+2)^{2}-4\left(1+\frac{k}{2}\right) \times(-1)=k^{2}+4 k+4+4+2 k=k^{2}+6 k+8$,

则 $(k+2)(k+4)=0$,

$\therefore k=-2, k=-4$,

$\because k \neq-2$,

$\therefore k=-4$;

(2) $\because \Delta_{2}=(2 k+1)^{2}-4 \times 1 \times(-2 k-3)=4 k^{2}+4 k+1+8 k+12=4 k^{2}+12 k+13=(2 k+$ $3)^{2}+4>0$,

$\therefore$ 无论 $k$ 为何值时, 方程(2)总有实数根,

$\because$ 方程(1)、 )只有一个方程有实数根,

$\therefore$ 此时方程 $(1)$ 没有实数根.

(3)根据 $a$ 是方程(1)和(2)的公共根,

$\therefore\left(1+\frac{k}{2}\right) a^{2}+(k+2) a-1=0(3), a^{2}+(2 k+1) a-2 k-3=0(4)$,

$\therefore$ (3) $\times 2$ 得: $(2+k) a^{2}+(2 k+4) a-2=0(5)$,

(5) + (4)得: $(3+k) a^{2}+(4 k+5) a-2 k=5$,

代数式 $=\left(a^{2}+4 a-2\right) k+3 a^{2}+5 a=(3+k) a^{2}+(4 k+5) a-2 k=5$.

故代数式的值为 5.

<ImageHere>

$\because(1-2 m)^{2}-4 m(1-3 m)=1-4 m+4 m^{2}-4 m+12 m^{2}=16 m^{2}-8 m+1=(4 m-1)^{2}>0$,

$\therefore 4 m-1 \neq 0$

$\therefore m \neq \frac{1}{4}$. 即 $m$ 的取值范围为 $m \neq 0$ 且 $m \neq \frac{1}{4}$;

(2) 由题意, 得 $y=m x^{2}+x-2 m x+1-3 m=\left(x^{2}-2 x-3\right) m+x+1$, 令 $x^{2}-2 x-3=0$

, 得 $x_{1}=-1, x_{2}=3$. 当 $x=-1$ 时, $y=0$;

当 $x=3$ 时,$y=4$,

$\therefore$ 抛物线过定点 $(-1,0) 、(3,4)$

$\because(-1,0)$ 在 $x$ 轴上,

$\therefore$ 抛物线一定经过非坐标轴上的一点 $P$, 点 $P$ 的坐标为 $(3,4)$;

(3) 设 $A 、 B$ 的坐标为 $\left(x_{1}, 0\right) 、\left(x_{2}, 0\right)$,

则 $x_{1}+x_{2}=\frac{2 m-1}{m}, x_{1} \cdot x_{2}=\frac{1-3 m}{m}$ ，

$$
\begin{aligned}
|A B|=\left|x_{1}-x_{2}\right| & =\sqrt{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1}} \cdot x_{2}=\sqrt{\left(\frac{2 m-1}{m}\right)^{2}-4 \cdot \frac{1-3 m}{m}}=\sqrt{\frac{(2 m-1)^{2}-4 m(1-3 m)}{m^{2}}} \\
& =\sqrt{\frac{4 m^{2}-4 m+1-4 m+12 m^{2}}{m^{2}}}
\end{aligned}
$$

$=\sqrt{\frac{16 m^{2}-8 m+1}{m^{2}}}$

$=\sqrt{\frac{(4 m-1)^{2}}{m^{2}}}$.

$\because \frac{1}{4}<m \leq 8$

$\therefore|A B|=\frac{4 m-1}{m}$,

$\therefore S_{\triangle A B P}=2 \cdot \frac{4 m-1}{m}=2 \times\left(4-\frac{1}{m}\right)=8-\frac{2}{m}$,

$$
\because \frac{1}{4}<m \leq 8
$$

$\therefore \frac{1}{8} \leq \frac{1}{m}<4$,

$\therefore-8<-\frac{2}{m} \leq-\frac{1}{4}$,

$\therefore$ 当 $-\frac{2}{m}=-\frac{1}{4}$ 时, $S_{\triangle A B P}$ 有最大值, 最大值为 $8-\frac{1}{4}=\frac{31}{4}$.

此时, $m$ 的值为 8 .
解析：解:

(1) $\because$ 方程 11 有两个相等的实数根,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}1+\frac{k}{2} \neq 0 \\ \triangle_{1}=0\end{array}\right.$,

则 $k \neq-2, \Delta_{1}=b^{2}-4 a c=(k+2)^{2}-4\left(1+\frac{k}{2}\right) \times(-1)=k^{2}+4 k+4+4+2 k=k^{2}+6 k+8$,

则 $(k+2)(k+4)=0$,

$\therefore k=-2, k=-4$,

$\because k \neq-2$,

$\therefore k=-4$;

(2) $\because \Delta_{2}=(2 k+1)^{2}-4 \times 1 \times(-2 k-3)=4 k^{2}+4 k+1+8 k+12=4 k^{2}+12 k+13=(2 k+$ $3)^{2}+4>0$,

$\therefore$ 无论 $k$ 为何值时, 方程(2)总有实数根,

$\because$ 方程(1)、 )只有一个方程有实数根,

$\therefore$ 此时方程 $(1)$ 没有实数根.

(3)根据 $a$ 是方程(1)和(2)的公共根,

$\therefore\left(1+\frac{k}{2}\right) a^{2}+(k+2) a-1=0(3), a^{2}+(2 k+1) a-2 k-3=0(4)$,

$\therefore$ (3) $\times 2$ 得: $(2+k) a^{2}+(2 k+4) a-2=0(5)$,

(5) + (4)得: $(3+k) a^{2}+(4 k+5) a-2 k=5$,

代数式 $=\left(a^{2}+4 a-2\right) k+3 a^{2}+5 a=(3+k) a^{2}+(4 k+5) a-2 k=5$.

故代数式的值为 5.



$\because(1-2 m)^{2}-4 m(1-3 m)=1-4 m+4 m^{2}-4 m+12 m^{2}=16 m^{2}-8 m+1=(4 m-1)^{2}>0$,

$\therefore 4 m-1 \neq 0$

$\therefore m \neq \frac{1}{4}$. 即 $m$ 的取值范围为 $m \neq 0$ 且 $m \neq \frac{1}{4}$;

(2) 由题意, 得 $y=m x^{2}+x-2 m x+1-3 m=\left(x^{2}-2 x-3\right) m+x+1$, 令 $x^{2}-2 x-3=0$

, 得 $x_{1}=-1, x_{2}=3$. 当 $x=-1$ 时, $y=0$;

当 $x=3$ 时,$y=4$,

$\therefore$ 抛物线过定点 $(-1,0) 、(3,4)$

$\because(-1,0)$ 在 $x$ 轴上,

$\therefore$ 抛物线一定经过非坐标轴上的一点 $P$, 点 $P$ 的坐标为 $(3,4)$;

(3) 设 $A 、 B$ 的坐标为 $\left(x_{1}, 0\right) 、\left(x_{2}, 0\right)$,

则 $x_{1}+x_{2}=\frac{2 m-1}{m}, x_{1} \cdot x_{2}=\frac{1-3 m}{m}$ ，

$$
\begin{aligned}
|A B|=\left|x_{1}-x_{2}\right| & =\sqrt{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1}} \cdot x_{2}=\sqrt{\left(\frac{2 m-1}{m}\right)^{2}-4 \cdot \frac{1-3 m}{m}}=\sqrt{\frac{(2 m-1)^{2}-4 m(1-3 m)}{m^{2}}} \\
& =\sqrt{\frac{4 m^{2}-4 m+1-4 m+12 m^{2}}{m^{2}}}
\end{aligned}
$$

$=\sqrt{\frac{16 m^{2}-8 m+1}{m^{2}}}$

$=\sqrt{\frac{(4 m-1)^{2}}{m^{2}}}$.

$\because \frac{1}{4}<m \leq 8$

$\therefore|A B|=\frac{4 m-1}{m}$,

$\therefore S_{\triangle A B P}=2 \cdot \frac{4 m-1}{m}=2 \times\left(4-\frac{1}{m}\right)=8-\frac{2}{m}$,

$$
\because \frac{1}{4}<m \leq 8
$$

$\therefore \frac{1}{8} \leq \frac{1}{m}<4$,

$\therefore-8<-\frac{2}{m} \leq-\frac{1}{4}$,

$\therefore$ 当 $-\frac{2}{m}=-\frac{1}{4}$ 时, $S_{\triangle A B P}$ 有最大值, 最大值为 $8-\frac{1}{4}=\frac{31}{4}$.

此时, $m$ 的值为 8 .