eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（七年级 · 计数）：为了解某中学 300 名男生的身高情况, 随机抽取若干名男生进行身高测量, 将所得数据整理后,画出频数分布直方图 (如图)，估计该校男生的身高在 $169.5 \mathrm{~cm} \sim 174.5 \mathrm{~cm}$ 之间的人数有人.



##
选项：
答案： 72

解析： 根据图形，身高在 $169.5 \mathrm{~cm} \sim 174.5 \mathrm{~cm}$ 之间的人数的百分比为: $\frac{12}{6+10+16+12+6} \times 100 \%=24 \%$,则该校男生的身高在 $169.5 \mathrm{~cm} \sim 174.5 \mathrm{~cm}$ 之间的人数有 $300 \times 24 \%=72$ (人).

故答案为 72 .
题目（七年级 · 组合几何学）：如图, 已知 $P C / / A B, Q C / / A B$, 则点 $P, C, Q$ 在同一条直线上. 理由是 $\qquad$ .


选项：
答案：【答案】经过直线外一点, 有且只有一条直线与这条直线平行

【解析】略
解析：【答案】经过直线外一点, 有且只有一条直线与这条直线平行

【解析】略
题目（七年级 · 组合几何学）：如图, $\angle 1=\angle 2=25^{\circ}$, 再加一个条件使得 $D E / / B C$, 且 $E F / / B D$, 你添加的条件是 $\qquad$ .


选项：
答案：【答案】答案不唯一, 如 $\angle B D E=25^{\circ}$.

【解析】

【分析】

此题主要考查了平行线的判定, 正确掌握平行线的判定方法是解题关键. 直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案.

【解答】

解: $\because \angle 1=\angle 2=25^{\circ}$,

当 $\angle B D E=25^{\circ}$ 时,

$\therefore \angle 1=\angle B D E, \angle 2=\angle B D E$,

$\therefore E F / / B D, D E / / B C$,

故答案为: 答案不唯一, 如 $\angle B D E=25^{\circ}$.
解析：【答案】答案不唯一, 如 $\angle B D E=25^{\circ}$.

【解析】

【分析】

此题主要考查了平行线的判定, 正确掌握平行线的判定方法是解题关键. 直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案.

【解答】

解: $\because \angle 1=\angle 2=25^{\circ}$,

当 $\angle B D E=25^{\circ}$ 时,

$\therefore \angle 1=\angle B D E, \angle 2=\angle B D E$,

$\therefore E F / / B D, D E / / B C$,

故答案为: 答案不唯一, 如 $\angle B D E=25^{\circ}$.
题目（七年级 · 组合几何学）：2020 年 6 月 9 日, 我国全海深自主遥控潜水器 “海斗一号” 在马里亚纳海沟刷新了我国潜水器下潜深度的纪录, 最大下潜深度达10907米. 假设以马里亚纳海沟所在海域的海平面为基准, 记为 0 米, 高于马里亚纳海沟所在海域的海平面 100 米的某地的高度记为 +100 米, 根据题意, “海斗一号”下潜至最大深度10907米处, 该处的高度可记为米.
选项：
答案：0907
解析：析】

## 【分析】

本题考查了正数和负数. 解题关键是理解 “正” 和 “负” 的相对性, 确定一对具有相反意义的量.在一对具有相反意义的量中, 先规定其中一个为正, 则另一个就用负表示, 理解了 “正” 与 “负”的意义后再根据题意作答.

## 【解答】

解: $\because$ 规定以马里亚纳海沟所在海域的海平面记为 0 米, 高于海平面的高度记为正数,

$\therefore$ 低于海平面的高度记为负数,

$\because$ “海斗一号”下潜至最大深度 10907 米处,

$\therefore$ 该处的高度可记为 -10907 米.

故答案为 -10907 .
题目（七年级 · 组合几何学）：（2021秋 $\cdot$ 肇源县期末）如图, $D E / / B C, C D$ 平分 $\angle A C B, \angle A C B=58^{\circ}$, 则 $\angle E D C=$


选项：
答案：$29^{\circ}$.
解析：根据角平分线的定义可得 $\angle E C D=29^{\circ}$, 再由平行线的性质易求得 $\angle E D C$ 的度数.

【答案】解: $\because C D$ 平分 $\angle A C B, \angle A C B=58^{\circ}$,

$\therefore \angle E C D=\frac{1}{2} \angle A C B=29^{\circ}$,

$\because D E / / B C$

$\therefore \angle E D C=\angle E C D=29^{\circ}$.

故答案为: $29^{\circ}$.

【点睛】本题考查了平行线的性质, 解答本题的关键是掌握: 两直线平行, 内错角相等.
题目（七年级 · 组合几何学）：(2021 秋 - 龙凤区校级期末) 如图, $A E / / B C, \angle B D A=45^{\circ}, \angle C=30^{\circ}$, 则 $\angle C A D$ 的度数为


选项：
答案：$15^{\circ}$.
解析：利用平行线性质求出 $\angle D A E$ 和 $\angle C A E$ 的度数, 再利用角的和差即可求解.

【答案】解: $\because A E / / B C, \angle B D A=45^{\circ}, \angle C=30^{\circ}$,

$\therefore \angle D A E=\angle B D A=45^{\circ}, \angle C A E=\angle C=30^{\circ}$,

$\therefore \angle C A D=\angle D A E-\angle C A E=45^{\circ}-30^{\circ}=15^{\circ}$. 故答案为: $15^{\circ}$.

【点睛】本题主要考查了平行线的性质, 解题的关键是要熟练掌握平行线的性质: 两条平行线被第三条直
线所截, 内错角相等. 简单说成: 两直线平行, 内错角相等.
题目（七年级 · 组合几何学）：如图, 若过点 $P_{1}, P_{2}$ 作直线 $m$ 的平行线, 则 $\angle 1 、 \angle 2 、 \angle 3 、 \angle 4$ 间的数量关系是 \$ \qquad \$


选项：
答案：$\angle 2+\angle 4=\angle 1+\angle 3$
解析：解:分别过点 $P_{1} 、 P_{2}$ 作 $P_{1} C\left\|m, P_{2} D\right\| m$, $\because m \| n$

$\therefore P_{1} C\left\|P_{2} D\right\| m \| n$,

$\therefore \angle 1=\angle A P_{1} C, C P_{1} P_{2}=\angle P_{1} P_{2} D, \angle D P_{2} B=\angle 4$,

$\therefore \angle 1+\angle P_{1} P_{2} D+\angle D P_{2} B=\angle A P_{1} C+\angle C P_{1} P_{2}+\angle 4$, 即 $\angle 2+\angle 4=\angle 1+\angle 3$.



故答案为: $\angle 2+\angle 4=\angle 1+\angle 3$.

分别过点 $P 1 、 P 2$ 作 $P_{1} C\left\|m, P_{2} D\right\| m$, 由平行线的性质可知, $\angle 1=\angle A P_{1} C, C P_{1} P_{2}=\angle P_{1} P_{2} D, \angle D P_{2} B=\angle 4$,所以 $\angle 1+\angle P_{1} P_{2} D+\angle D P_{2} B=\angle A P_{1} C+\angle C P_{1} P_{2}+\angle 4$, 即 $\angle 2+\angle 4=\angle 1+\angle 3$.
题目（七年级 · 组合数学）：(3 分) 现有 A、B 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字 1、2、3、4、 $5 、 6)$. 用小明掷 $\mathrm{A}$ 立方体朝上的数字为 $\mathrm{x}$, 小明掷 $\mathrm{B}$ 立方体朝上的数字为 $\mathrm{y}$ 来确定点 $\mathrm{P}(\mathrm{x}$, $y)$, 则小明各掷一次所确定的点 $P$ 落在已知抛物线 $y=x^{2}-4 x+5$ 上的概率是 $-\frac{1}{9}$ -
选项：
答案：$\frac{1}{9}$
解析：列举出所有情况, 看所求的情况占总情况的多少即可.

解答: 解: 两个立方体上都有 6 个数字, 那么共有 $6 \times 6=36$ 种情况,

可在抛物线上的有 $(1,2),(2,1),(3,2),(4,5)$ 共 4 种情况，

那么点 $\mathrm{P}$ 落在已知抛物线 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}-4 \mathrm{x}+5$ 上的概率是 $\frac{1}{9}$.
题目（七年级 · 组合数学）：(3 分) 有四张正面分别标有数字 - $3,0,1,5$ 的不透明卡片, 它们除数字不同外其余全部相同. 现将它们背面朝上, 洗匀后从中任取一张, 将该卡片上的数学记为 $\mathrm{a}$, 则使关于 $\mathrm{x}$ 的分式方程 $\frac{1-a x}{x-2}+2=\frac{1}{2-x}$ 有正整数解的概率为 $-\frac{1}{4}-$.
选项：
答案：$\frac{1}{4}$.
解析：易得分式方程的解, 看所给 4 个数中, 能使分式方程有整数解的情况数占总情况数的多少即可.

解答: 解: 解分式方程得: $x=\frac{2}{2-a}$,

$\because \mathrm{x}$ 为正整数,

$\therefore \frac{2}{2-a}=1$ 或 $\frac{2}{2-a}=2$ (是增根, 舍去),

解得: $a=0$,

把 $\mathrm{a}$ 的值代入原方程解方程得到的方程的根为 1,

$\therefore$ 能使该分式方程有正整数解的有 1 个,

$\therefore$ 使关于 $\mathrm{x}$ 的分式方程 $\frac{1-\mathrm{ax}}{\mathrm{x}-2}+2=\frac{1}{2-\mathrm{x}}$ 有正整数解的概率为 $\frac{1}{4}$,
题目（七年级 · 组合数学）：过平面上 $A 、 B 、 C$ 三点中的任意两点作直线, 可作条.
选项：
答案：1 或 3
解析：如图, 过平面上 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B} 、 \mathrm{C}$ 三点中的任意两点作直线,

当三点共线时, 可作 1 条;


当三个点不在同一条直线上时, 可作 3 条.

故答案为: 1 或 3 .
题目（七年级 · 组合数学）：往返于 A、B 两地的客车, 中途停靠四个站, 共有 \$ \qquad \$种不同的票价，要准备 \$ \qquad \$种车票
选项：
答案：$15 ; 30$
解析：如图, 记中途四个车站分别为 $\mathrm{C} 、 \mathrm{D} 、 \mathrm{E} 、 \mathrm{~F}$ :


则共有 $\mathrm{AC}, \mathrm{AD}, \mathrm{AE}, \mathrm{AF}, \mathrm{AB}, \mathrm{CD}, \mathrm{CE}, \mathrm{CF}, \mathrm{CB}, \mathrm{DE}, \mathrm{DF}, \mathrm{DB}, \mathrm{EF}, \mathrm{EB}, \mathrm{FB}, 15$ 种不同的票价,

又题中是往返列车, 往返的车票都不相同,

所以共有 $15 \times 2=30$ 票,

故答案为: 15,30 .
题目（七年级 · 组合数学）：如图, 将 $-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5$ 分别填入九个空格内, 使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等, 现在 $a, b, c$ 分别表示其中的一个数, 则 $a-b+c$ 的值

为

| 4 | $a$ | 2 |
| :---: | :---: | :---: |
| -1 | 1 | 3 |
| $b$ | 5 | $c$ |
选项：
答案：-5
解析：析】题图中第 2 行中 $-1+1+3=(-1+1)+3=3$,

根据 “每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等” 知,

$4+a+2=3,2+3+c=3,4+(-1)+b=3$,

解得 $a=-3, b=0, c=-2$.

$\therefore a-b+c=-3-0+(-2)=-5$.
题目（七年级 · 组合数学）：用正三角形、正四边形和正六边形按如图所示的规律拼图案, 即从第 2 个图案开始, 每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的个数多 4 , 则第 $n$ 个图案中正三角形的个数为 (用含 $n$ 的代数式表示).



第1 个图案



第 2 个图案



第3个图案
选项：
答案：$4 n+2$
解析：解析 第 1 个图案中正三角形的个数为 $6=2+1 \times 4$;

第 2 个图案中正三角形的个数为 $2+4+4=2+2 \times 4$;

第 3 个图案中正三角形的个数为 $2+2 \times 4+4=2+3 \times 4$;

第 $n$ 个图案中正三角形的个数为 $2+(n-1) \times 4+4=4 n+2$.
题目（七年级 · 组合数学）：如图是一个某种规律排列的数阵:



根据数阵的规律, 第 $n(n$ 是整数, 且 $n \geq 3)$ 行从左到右数第 $(n-2)$ 个数是 (用含 $n$ 的代数式表示).
选项：
答案：$\sqrt{n^{2}-2}$
解析：解：前 $(n-1)$ 行的数据的个数为 $2+4+6+\cdots+2(n-1)=n(n-1)$,所以, 第 $n(n$ 是整数, 且 $n \geq 3)$ 行从左到右数第 $(n-2)$ 个数的被开方数是 $n(n-1)+n-2=n^{2}-2$,所以, 第 $n(n$ 是整数, 且 $n \geq 3)$ 行从左到右数第 $(n-2)$ 个数是 $\sqrt{n^{2}-2}$.

故答案为: $\sqrt{n^{2}-2}$.

观察不难发现, 被开方数是从1开始的连续自然数, 每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数,求出 $n-1$ 行的数据的个数, 再加上 $n-2$ 得到所求数的被开方数, 然后写出算术平方根即可.本题考查了数字的变化, 观察数据排列规律, 确定出前 $(n-1)$ 行的数据的个数是解题的关键.
题目（七年级 · 组合数学）：种消费券: $A$ 券, 满 60 元减 20 元, $B$ 券, 满 90 元减 30 元, 即一次购物大于等于 60 元、 90 元, 付款时分别减 20 元, 30 元. 小敏有一张 $A$ 券, 小聪有一张 $B$ 券, 他们都购了一件标价相同的商品, 各自付款, 若能用券时用券, 这样两人共付款 150 元, 则所购商品的标价是 \$ \qquad \$元.
选项：
答案：=-13$
解析：析】

## 【分析】

此题考查了解一元一次方程, 熟练掌握运算法则是解本题的关键.

根据错误的结果, 确定出 $a$ 的值, 进而求出正确的解即可.

## 【解答】

解：根据小明的错误解法得： $4 x-2=3 x+3 a-3$,

把 $x=2$ 代入得: $6=3 a+3$,

解得: $a=1$,

正确方程为: $\frac{2 x-1}{3}=\frac{x+1}{2}-3$,
去分母得: $4 x-2=3 x+3-18$,

解得: $x=-13$,
题目（七年级 · 组合数学）：若 $x$ 是有理数, 则 $|x-2|+|x-4|+|x-6|+|x-8|+\cdots+|x-2022|$ 的最小值是
选项：
答案：1060
解析：析】

## 【分析】

此题主要考查了绝对值的几何意义: $|x|$ 表示数轴上表示 $x$ 的点到原点之间的距离, 要熟练掌握,解答此题的关键是要明确: $|x-a|$ 表示数轴上表示 $x$ 的点到表示 $a$ 的点之间的距离.

首先判断出 $|x-2|+|x-4|+|x-6|+\cdots+|x-2022|$ 就是求数轴上某点到2、4、6、‥2 2022的距离和的最小值; 然后根据某点在 $a 、 b$ 两点之间时, 该点到 $a 、 b$ 的距离和最小, 当点 $x$ 在 2 与 2022 之间时, 到2和2022距离和最小; 当点在 4 与 2020 之间时, 到4和2020距离和最小; ... 所以当 $x=$ 1012时, 算式 $|x-2|+|x-4|+|x-6|+\cdots+|x-2022|$ 的值最小, 据此求出 $|x-2|+|x-4|+$ $|x-6|+\cdots+|x-2022|$ 的最小值是多少即可.

## 【解答】

解: 当 $x=1012$ 时, 算式 $|x-2|+|x-4|+|x-6|+\cdots+|x-2022|$ 的值最小,最小值是: $2|x-2|+2|x-4|+2|x-6|+\cdots+2|x-1012|$

$$
\begin{aligned}
& =2020+2016+2012+\cdots+0 \\
& =(2020+0) \times 506 \div 2 \\
& =2020 \times 506 \div 2
\end{aligned}
$$

$=511060$.

故答案为: 511060 .
题目（七年级 · 组合数学）：(2021・曲沃县期末 $)$ 正方形卡片 $A$ 类、 $B$ 类和长方形卡片 $C$ 类各若干张, 如果要拼一个长为 $(2 a+b)$,宽为 $(a+3 b)$ 的长方形, 则需要 $C$ 类卡片 \$ \qquad \$张.

选项：
答案：7 .
解析：根据长方形的面积等于长乘以宽列式, 再根据多项式的乘法法则计算, 然后结合卡片的面积即可作出判断.

【答案】解: 长为 $2 a+b$, 宽为 $a+3 b$ 的矩形面积为 $(2 a+b) \quad(a+3 b)=2 a^{2}+7 a b+3 b^{2}$,

$A$ 图形面积为 $a^{2}, B$ 图形面积为 $b^{2}, C$ 图形面积为 $a b$,
则可知需要 $A$ 类卡片 2 张, $B$ 类卡片 3 张, $C$ 类卡片 7 张. 故答案为: 7 .

【点睛】此题主要考查了多项式乘多项式, 掌握多项式乘以多项式的法则是本题的关键。注意不要漏项, 漏字母, 有同类项的合并同类项.
题目（七年级 · 组合数学）：南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律, 称之为 “杨辉三角” .这个三角形给出了 $(a+b)^{n}(n=1,2,3,4 \ldots)$ 的展开式的系数规律 (按 $n$ 的次数由大到小的顺序):请依据上述规律, 写出 $\left(x-\frac{2}{x}\right)^{2016}$ 展开式中含 $x^{2014}$ 项的系数是

$$
\begin{array}{ccl}
111 & (a+b)^{1}=a+b \\
1211 & (a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \\
1331 & (a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3} \\
146641 & (a+b)^{4}=a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4}
\end{array}
$$
选项：
答案：-4032
解析：$\left(x-\frac{2}{x}\right)^{2016}$ 展开式中含 $x^{2014}$ 项的系数,

根据杨辉三角, 就是展开式中第二项的系数, 即 $-2016 \times 2=-4032$.

故答案为 -4032 .
题目（七年级 · 解析几何）：(3 分) 如图, 已知 $\mathrm{AD}$ 是等腰 $\triangle \mathrm{ABC}$ 底边上的高, 且 $\tan \mathrm{B}=\frac{3}{4}$. $\mathrm{AC}$ 上有一点 $\mathrm{E}$, 满足 AE: $\mathrm{CE}=2: 3$. 那么 $\tan \angle \mathrm{ADE}$ 的值是 $-\frac{8}{9}$ —.


选项：
答案：$\frac{8}{9}$.

<ImageHere>
解析：作 $\mathrm{EF} \perp \mathrm{AD}$ 于 $\mathrm{F}$, 根据等腰三角形的性质得 $\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}$, 则 $\tan \mathrm{C}=\frac{3}{4}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DC}}$, 设 $\mathrm{AD}=3 \mathrm{t}$, $\mathrm{DC}=4 \mathrm{t}$, 利用勾股定理计算出 $\mathrm{AC}=5 \mathrm{t}$, 由 $\mathrm{AE}: \mathrm{CE}=2: 3$ 得 $\mathrm{AE}=2 \mathrm{t}$, 然后利用 $\mathrm{EF} / / \mathrm{CD}$得到 $\triangle A E F \sim \triangle A C D$, 根据相似比可得到 $A F=\frac{6}{5} t, E F=\frac{8}{5} \mathrm{t}$, 则 $F D=A D-A F=\frac{9}{5} t$, 在 Rt $\triangle \mathrm{DEF}$ 中, 根据正切的定义得到 $\tan \angle \mathrm{FDE}=\frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{FD}}=\frac{8}{9}$, 所以 $\tan \angle \mathrm{ADE}=\frac{8}{9}$.

解答: 解: 作 $\mathrm{EF} \perp \mathrm{AD}$ 于 $\mathrm{F}$, 如图,

$\because \triangle \mathrm{ABC}$ 为等腰三角形, $\mathrm{AD}$ 为高,

$\therefore \angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}$

$\therefore \tan C=\frac{3}{4}=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{DC}}$

设 $\mathrm{AD}=3 \mathrm{t}, \mathrm{DC}=4 \mathrm{t}$,

$\therefore \mathrm{AC}=\sqrt{\mathrm{AD}^{2}+C \mathrm{D}^{2}}=5 \mathrm{t}$,

而 $\mathrm{AE}: \mathrm{CE}=2: 3$,

$\therefore \mathrm{AE}=2 \mathrm{t}$,

$\because \mathrm{EF} / / \mathrm{CD}$

$\therefore \triangle \mathrm{AEF} \sim \triangle \mathrm{ACD}$,

$\therefore \frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{AD}}=\frac{\mathrm{AE}}{\mathrm{AC}}, \quad$ 即 $\frac{\mathrm{EF}}{4 \mathrm{t}}=\frac{\mathrm{AF}}{3 \mathrm{t}}=\frac{2 \mathrm{t}}{5 \mathrm{t}}$,
$\therefore A F=\frac{6}{5} t, \quad E F=\frac{8}{5} t$,

$\therefore F D=A D-A F=\frac{9}{5} t$,

在 Rt $\triangle \mathrm{DEF}$ 中, $\tan \angle \mathrm{FDE}=\frac{\mathrm{EF}}{\mathrm{FD}}=\frac{\frac{8}{5} \mathrm{t}}{\frac{9}{5} \mathrm{t}}=\frac{8}{9}$

$\therefore \tan \angle \mathrm{ADE}=\frac{8}{9}$.
题目（七年级 · 解析几何）：如图, 在正方形 $\mathrm{ABCD}$ 内, 将 2 张 (1) 号长方形纸片和 3 张 (2) 号长方形纸片按图 1 和图 2 两种方式放置（放置的纸片间没有重叠部分），正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周

长相等.



(1)!43



(2)!



降 1



眎 2

(1) 若(1)号长方形纸片的宽为 1 厘米, 则(2)号长方形纸片的宽为 \$ \qquad \$厘米;

(2) 若 (1)号长方形纸片的面积为 10 平方厘米，则(2)号长方形纸片的面积是 \$ \qquad \$平方厘
米.
选项：
答案：(1) 2

(2) $\frac{20}{3}$
解析：) 设 (2)号长方形的宽为 $\mathrm{xcm}$,

$\because$ 正方形中未被覆盖的部分（阴影部分）的周长相等,

$\therefore \mathrm{x}=2$,

$\therefore$ (2) 号长方形纸片的宽为 $2 \mathrm{~cm}$,

故答案为: 2 ;

(2) 设(2)号长方形的长 $\mathrm{ycm}$, (1)号长方形的长为 $\mathrm{acm}$, 宽为 $\mathrm{bcm}$, 则(2)号长方形的宽为 $2 \mathrm{bcm}$,根据题意得: $2 b+3 y=a+2 b$,

$\therefore \mathrm{a}=3 \mathrm{y}$,

$\because$ (1)号长方形纸片的面积为 10 平方厘米,

$\therefore \mathrm{ab}=3 \mathrm{yb}=10$,

$\therefore \mathrm{yb}=\frac{10}{3}$,

$\therefore$ (2) 号长方形纸片的面积为 $2 \mathrm{by}=\frac{20}{3}$ 平方厘米.
题目（七年级 · 解析几何）：线 $M N$ 上取 $A 、 B$ 两点, 使 $A B=10 \mathrm{~cm}$, 再在线段 $A B$ 上取一点 $C$, 使 $A C=2 \mathrm{~cm}, \mathrm{P} 、 Q$ 分别是 $A B 、 A C$ 的中点, 则 $P Q=$ $\mathrm{cm}$.
选项：
解析：如图,



$\because \mathrm{AB}=10, \mathrm{AC}=2 \mathrm{~cm}, \mathrm{P} 、 \mathrm{Q}$ 分别是 $\mathrm{AB} 、 \mathrm{AC}$ 的中点,

$\therefore \mathrm{AP}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}=5, \mathrm{AQ}=\frac{1}{2} \mathrm{AC}=1$,

$\therefore \mathrm{PQ}=\mathrm{AP}-\mathrm{AQ}$

$=5-1$

$=4$,

故答案为: 4 .
题目（七年级 · 解析几何）：若实数 $m, n, p$ 满足 $m<n<p(m p<0)$ 且 $|p|<|n|<|m|$, 则 $|x-m|+|x+n|+|x+p|$ 的最小值是 \$ \qquad \$
选项：
答案：$-m-n$
解析：$\because \mathrm{mp}<0$,

$\therefore \mathrm{m} 、 \mathrm{p}$ 异号,

$\because \mathrm{m}<\mathrm{p}$,

$\therefore \mathrm{p}>0, \mathrm{~m}<0$,

$\because \mathrm{m}<\mathrm{n}<\mathrm{p}$ 且 $|\mathrm{p}|<|\mathrm{n}|<|\mathrm{m}|$,

$\therefore \mathrm{n}<0$,

如图所示:

## $\longrightarrow \quad \vec{m} \quad \dot{n}-\dot{p} \dot{O} \dot{p}-\dot{h}$

$\therefore$ 当 $\mathrm{x}=-\mathrm{p}$ 时, $|\mathrm{x}-\mathrm{m}|+|\mathrm{x}+\mathrm{n}|+|\mathrm{x}+\mathrm{p}|$ 有最小值, 其最小值是: $|\mathrm{x}-\mathrm{m}|+|\mathrm{x}+\mathrm{n}|+|\mathrm{x}+\mathrm{p}|=|-\mathrm{p}-\mathrm{m}|+|-\mathrm{p}+\mathrm{n}|+\mid$ $-\mathrm{p}+\mathrm{p} \mid=-\mathrm{p}-\mathrm{m}-\mathrm{n}+\mathrm{p}=-\mathrm{m}-\mathrm{n}$,

则 $|x-m|+|x+n|+|x+p|$ 的最小值是 $-m-n$,

故答案为: $-\mathrm{m}-\mathrm{n}$.
题目（七年级 · 解析几何）：(2021-武汉七一华源中学七年级月考) 如图, $\angle A E M=\angle D F N=a, \angle E M N=\angle M N F=b, \angle P E M$ $=\frac{1}{2} \angle A E M, \angle M N P=\frac{1}{2} \angle F N P, \angle B E P, \angle N F D$ 的角平分线交于点 $I$, 若 $\angle I=\angle P$, 则 $a$ 和 $b$ 的数量关系为 (用含 $a$ 的式子表示 $b$ ).


选项：
答案：$b=135^{\circ}-\frac{9}{8} a$.
解析：分别过点 $\mathrm{P} 、 \mathrm{I}$ 作 $\mathrm{ME} / / \mathrm{PH}, \mathrm{AB} / / \mathrm{GI}$, 设 $\angle \mathrm{AME}=2 \mathrm{x}, \angle \mathrm{PNF}=2 \mathrm{y}$, 知 $\angle \mathrm{PEM}=\mathrm{x}, \angle \mathrm{MNP}=\mathrm{y}$,由 $\mathrm{PH} / / \mathrm{ME}$ 知 $\angle \mathrm{EPH}=\mathrm{x}$, 由 $\mathrm{EM} / / \mathrm{FN}$ 知 $\mathrm{PH} / / \mathrm{FN}$, 据此得 $\angle \mathrm{HPN}=2 \mathrm{y}, \angle \mathrm{EPN}=\mathrm{x}+2 \mathrm{y}$, 同理知 $\angle E I F=90^{\circ}-\frac{3}{2} x+x$, 根据 $\angle \mathrm{EPN}=\angle \mathrm{EIF}$ 可得答案.

【详解】分别过点 $P 、 I$ 作 $M E / / P H, A B / / G I$,



设 $\angle A E M=2 x, \angle P N F=2 y$, 则 $\angle P E M=x, \angle M N P=y, \therefore \angle D F N=2 x=a, \angle M N F=b=3 y$

$\because P H / / M E, \therefore \angle E P H=x, \because E M / / F N, \therefore P H / / F N, \therefore \angle H P N=2 y, \angle E P N=x+2 y$,

同理, $\angle E I F=90^{\circ}-\frac{3}{2} x+x, \because \angle E P N=\angle E I F, \therefore 90^{\circ}-\frac{3}{2} x+x=x+2 y$,

$\therefore \frac{3}{4} a=90^{\circ}-\frac{2}{3} b, \therefore b=135^{\circ}-\frac{9}{8} a$, 故答案为: $b=135^{\circ}-\frac{9}{8} a$.

【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质, 解题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质.

##
题目（七年级 · 解析几何）：下列语句正确的是: $\qquad$
(1)不相交的两条直线是平行线;

(2)在同一平面内, 不重合的两条直线位置关系有两种:相交或垂直;

(3)如果线段 $A B$ 和线段 $C D$ 不相交, 那么直线 $A B$ 和直线 $C D$ 平行;

(4)如过 $a\|b, b\| c$ ，那么 $a \| c$
选项：
答案：【答案】(4)

解: (1)在同一平面内, 不相交的两条直线是平行线, 故本项错误;

(2)在同一平面内, 不重合的两条直线位置关系有两种: 相交或平行, 故本项错误;

(3)在同一平面内，如果线段 $A B$ 和线段 $C D$ 不相交，那么直线 $A B$ 和直线 $C D$ 也可能是相交的, 故本选项错误;

(4)如果两条直线都与第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行, 故本选项正确.故答案为(4).
解析：【答案】(4)

解: (1)在同一平面内, 不相交的两条直线是平行线, 故本项错误;

(2)在同一平面内, 不重合的两条直线位置关系有两种: 相交或平行, 故本项错误;

(3)在同一平面内，如果线段 $A B$ 和线段 $C D$ 不相交，那么直线 $A B$ 和直线 $C D$ 也可能是相交的, 故本选项错误;

(4)如果两条直线都与第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行, 故本选项正确.故答案为(4).
题目（七年级 · 解析几何）：如图, 已知 $A B / / C D$, 点 $E, F$ 分别在直线 $A B, C D$ 上, 点 $P$ 在 $A B, C D$ 之间且在 $E F$ 的左侧. 若将射线 $E A$ 沿 $E P$ 折叠, 射线 $F C$ 沿 $F P$ 折叠, 折叠后的两条射线互相垂直, 则 $\angle E P F$ 的度数为 $\qquad$ .

选项：
答案：【答案】 $45^{\circ}$ 或 $135^{\circ}$

解: 如图1, 过 $M$ 作 $M N / / A B$,

<ImageHere>

图1

$\because A B / / C D$,

$\therefore A B / / C D / / N M$,

$\therefore \angle A E M=\angle E M N, \angle N M F=\angle M F C$,

$\because \angle E M F=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A E M+\angle C F M=90^{\circ}$,

同理可得 $\angle P=\angle A E P+\angle C F P$,

由折叠可得: $\angle A E P=\angle P E M=\frac{1}{2} \angle A E M, \angle P F C=\angle P F M=\frac{1}{2} \angle C F M$,

$\therefore \angle P=\frac{1}{2}(\angle A E M+\angle C F M)=45^{\circ}$;

如图2, 过 $M$ 作 $M N / / A B$,

<ImageHere>

图2

$\because A B / / C D$,
$\therefore A B / / C D / / N M$,

$\therefore \angle A E M+\angle E M N=180^{\circ}, \angle N M F+\angle M F C=180^{\circ}$,

$\therefore \angle A E M+\angle E M F+\angle C F M=360^{\circ}$,

$\because \angle E M F=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A E M+\angle C F M=360^{\circ}-90^{\circ}=270^{\circ}$,

由折叠可得: $\angle A E P=\angle P E M=\frac{1}{2} \angle A E M, \angle P F C=\angle P F M=\frac{1}{2} \angle C F M$,

$\therefore \angle P=270^{\circ} \times \frac{1}{2}=135^{\circ}$,

综上所述: $\angle E P F$ 的度数为 $45^{\circ}$ 或 $135^{\circ}$.

故答案为 $45^{\circ}$ 或 $135^{\circ}$.
解析：【答案】 $45^{\circ}$ 或 $135^{\circ}$

解: 如图1, 过 $M$ 作 $M N / / A B$,



图1

$\because A B / / C D$,

$\therefore A B / / C D / / N M$,

$\therefore \angle A E M=\angle E M N, \angle N M F=\angle M F C$,

$\because \angle E M F=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A E M+\angle C F M=90^{\circ}$,

同理可得 $\angle P=\angle A E P+\angle C F P$,

由折叠可得: $\angle A E P=\angle P E M=\frac{1}{2} \angle A E M, \angle P F C=\angle P F M=\frac{1}{2} \angle C F M$,

$\therefore \angle P=\frac{1}{2}(\angle A E M+\angle C F M)=45^{\circ}$;

如图2, 过 $M$ 作 $M N / / A B$,



图2

$\because A B / / C D$,
$\therefore A B / / C D / / N M$,

$\therefore \angle A E M+\angle E M N=180^{\circ}, \angle N M F+\angle M F C=180^{\circ}$,

$\therefore \angle A E M+\angle E M F+\angle C F M=360^{\circ}$,

$\because \angle E M F=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A E M+\angle C F M=360^{\circ}-90^{\circ}=270^{\circ}$,

由折叠可得: $\angle A E P=\angle P E M=\frac{1}{2} \angle A E M, \angle P F C=\angle P F M=\frac{1}{2} \angle C F M$,

$\therefore \angle P=270^{\circ} \times \frac{1}{2}=135^{\circ}$,

综上所述: $\angle E P F$ 的度数为 $45^{\circ}$ 或 $135^{\circ}$.

故答案为 $45^{\circ}$ 或 $135^{\circ}$.
题目（七年级 · 解析几何）：已知关于 $x 、 y$ 的方程组 $\left\{\begin{array}{l}x-y=2 a, \\ 3 x+y=3 a-15\end{array}\right.$ 的解互为相反数, 则常数 $a$ 的值为 $\qquad$ .
选项：
答案：【答案】15

【解析】

【分析】

此题考查了方程组的解, 解方程组, 方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值. 根据方程组的解互为相反数, 得到 $x=-y$, 即可结合原方程组求出 $a$ 的值.

【解答】

解: 根据题意可得 $y=-x$, 代入原方程组可得:

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=a \\
2 x=3 a-15
\end{array}\right.
$$

所以 $2 a=3 a-15$,

解得 $a=15$.

故答案为15.
解析：【答案】15

【解析】

【分析】

此题考查了方程组的解, 解方程组, 方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值. 根据方程组的解互为相反数, 得到 $x=-y$, 即可结合原方程组求出 $a$ 的值.

【解答】

解: 根据题意可得 $y=-x$, 代入原方程组可得:

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=a \\
2 x=3 a-15
\end{array}\right.
$$

所以 $2 a=3 a-15$,

解得 $a=15$.

故答案为15.
题目（七年级 · 解析几何）：已知 $a, b, c$ 是 $\triangle A B C$ 的三条边的长度, 且满足 $a^{4}-b^{4}=a^{2} c^{2}-b^{2} c^{2}$, 则 $\triangle A B C$ 的形状是 $\qquad$ .
选项：
答案：【答案】直角三角形或等腰三角形.

【解析】解: $\because a^{4}-b^{4}=a^{2} c^{2}-b^{2} c^{2}$,

$\therefore\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(a^{2}-b^{2}\right)=c^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)$,

$\therefore\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)\left(a^{2}-b^{2}\right)=0$,

$\therefore a^{2}+b^{2}-c^{2}=0$ 或 $a^{2}-b^{2}=0$,

$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}=0$ 或 $a=b$,

$\triangle A B C$ 为直角三角形或等腰三角形.

故答案为: 直角三角形或等腰三角形.

根据给出的关系式，解出三条边的相互关系，问题即可解决.

本题考查了因式分解的应用, 解题关键是正确对给出的等式进行因式分解，找出三边关

系.
解析：【答案】直角三角形或等腰三角形.

【解析】解: $\because a^{4}-b^{4}=a^{2} c^{2}-b^{2} c^{2}$,

$\therefore\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(a^{2}-b^{2}\right)=c^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)$,

$\therefore\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)\left(a^{2}-b^{2}\right)=0$,

$\therefore a^{2}+b^{2}-c^{2}=0$ 或 $a^{2}-b^{2}=0$,

$\therefore a^{2}+b^{2}=c^{2}=0$ 或 $a=b$,

$\triangle A B C$ 为直角三角形或等腰三角形.

故答案为: 直角三角形或等腰三角形.

根据给出的关系式，解出三条边的相互关系，问题即可解决.

本题考查了因式分解的应用, 解题关键是正确对给出的等式进行因式分解，找出三边关

系.
题目（七年级 · 解析几何）： 在同一平面内有 2018 条直线 $a_{1}, a_{2}, a_{3} \ldots, a_{2018}$, 如果 $a_{1} \perp a_{2}, a_{2} / / a_{3}, a_{3} \perp a_{4}$, $a_{4} / / a_{5} \ldots$, 那么直线 $a_{1}$ 与直线 $a_{2018}$ 的位置关系是 $\qquad$ .
选项：
答案：

【答案】 $a_{1} \perp a_{2018}$

【解析】解: 如图, $a_{1} \perp a_{2}, a_{2} / / a_{3}, a_{3} \perp a_{4}, a_{4} / / a_{5}$, $\ldots$,

<ImageHere>
$\therefore a_{1} \perp a_{2}, a_{1} \perp a_{3}, a_{1} / / a_{4}, a_{1} / / a_{5}$,

依此类推, $a_{1} \perp a_{6}, a_{1} \perp a_{7}, a_{1} / / a_{8}, a_{1} / / a_{9}$,

$\because 2018 \div 4=504 \ldots 2$,

$\therefore a_{1} \perp a_{2018}$.

故答案是: $a_{1} \perp a_{2018}$.

根据平行线的性质和规律得到: 4条直线的位置关系为一个循环.

本题考查了平行线的性质, 解题的关键是找到在同一平面内有2018条直线的位置关系的规律.
解析：

【答案】 $a_{1} \perp a_{2018}$

【解析】解: 如图, $a_{1} \perp a_{2}, a_{2} / / a_{3}, a_{3} \perp a_{4}, a_{4} / / a_{5}$, $\ldots$,


$\therefore a_{1} \perp a_{2}, a_{1} \perp a_{3}, a_{1} / / a_{4}, a_{1} / / a_{5}$,

依此类推, $a_{1} \perp a_{6}, a_{1} \perp a_{7}, a_{1} / / a_{8}, a_{1} / / a_{9}$,

$\because 2018 \div 4=504 \ldots 2$,

$\therefore a_{1} \perp a_{2018}$.

故答案是: $a_{1} \perp a_{2018}$.

根据平行线的性质和规律得到: 4条直线的位置关系为一个循环.

本题考查了平行线的性质, 解题的关键是找到在同一平面内有2018条直线的位置关系的规律.
题目（七年级 · 解析几何）：如图所示, 已知直线 $A B / / C D, \angle G E B$ 的平分线 $E F$ 交 $C D$ 于点 $F, \angle 1=42^{\circ}$, 则 $\angle 2=$ $\qquad$ .


选项：
答案：【答案】 $159^{\circ}$

【解析】

【分析】

本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等; 两直线平行, 同旁内角互补.

根据平行线的性质可得 $\angle G E B=\angle 1=42^{\circ}$, 然后根据 $E F$ 为 $\angle G E B$ 的平分线可得出 $\angle F E B$的度数, 根据两直线平行, 同旁内角互补即可得出 $\angle 2$ 的度数.

【解答】

解: $\because A B / / C D$,

$\therefore \angle G E B=\angle 1=42^{\circ}$,

$\because E F$ 为 $\angle G E B$ 的平分线,

$\therefore \angle F E B=\frac{1}{2} \angle G E B=21^{\circ}$,

$\therefore \angle 2=180^{\circ}-\angle F E B=159^{\circ}$.

故答案为 $159^{\circ}$.
解析：【答案】 $159^{\circ}$

【解析】

【分析】

本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等; 两直线平行, 同旁内角互补.

根据平行线的性质可得 $\angle G E B=\angle 1=42^{\circ}$, 然后根据 $E F$ 为 $\angle G E B$ 的平分线可得出 $\angle F E B$的度数, 根据两直线平行, 同旁内角互补即可得出 $\angle 2$ 的度数.

【解答】

解: $\because A B / / C D$,

$\therefore \angle G E B=\angle 1=42^{\circ}$,

$\because E F$ 为 $\angle G E B$ 的平分线,

$\therefore \angle F E B=\frac{1}{2} \angle G E B=21^{\circ}$,

$\therefore \angle 2=180^{\circ}-\angle F E B=159^{\circ}$.

故答案为 $159^{\circ}$.
题目（七年级 · 解析几何）：$A 、 B 、 C$ 三点在数轴上对应的数分别是 $2 、-4 、 c$, 若相邻两点的距离相等, 则 $c=$
选项：
答案：0 或 -1 或 8
解析：析】

## 【分析】

本题考查的是数轴, 熟知数轴上各点的特点是解答此题的关键.

先算出 2 与 -4 间的距离, 然后讨论 $c$ 在 -4 的左边, 在 -4 与 2 之间、在 2 的右边不同情况.

## 【解答】

解：数轴上 $-4 、 2$ 间距离是: $2-(-4)=6$,

当 $c$ 在 -4 左侧时, $-4-c=6$, 所以 $c=-10$,

当 $c$ 在 -4 与 2 中间时, $c=-4+3=-1$,
当 $c$ 在 2 的右边时, $c=2+6=8$.

故答案为: -10 或 -1 或 8 .
题目（七年级 · 解析几何）：如图, 某海域有三个小岛 $A, B, O$, 在小岛 $O$ 处观测到小岛 $A$ 在它北偏东 $60^{\circ}$ 的方向上, 观测到小岛 $B$ 在它南偏东 $38^{\circ}$ 的方向上, 则 $\angle A O B$ 的度数是 \$ \qquad \$


选项：
答案：$82^{\circ}$
解析：解: $\because O A$ 是表示北偏东 $60^{\circ}$ 方向的一条射线, $O B$ 是表示南偏东 $38^{\circ}$ 方向的一条射线,

$\therefore \angle A O B=180^{\circ}-60^{\circ}-38^{\circ}=82^{\circ}$,

故答案是: $82^{\circ}$.

根据已知条件可直接确定 $\angle A O B$ 的度数.

本题考查了方向角及角的计算. 解题的关键是明确方向角中角之间的关系, 以及角的和差计算.
题目（七年级 · 解析几何）：已知线段 $A B=a c m, A_{1}$ 平分 $A B, A_{2}$ 平分 $A A_{1}, A_{3}$ 平分 $A A_{2}, \ldots, A_{n}$ 平分 $A A_{n-1}$, 则 $A A_{n}=$ \$ \qquad \$ cm.
选项：
答案：$\left(\frac{1}{2}\right)^{n} a$
解析：析】 解: : 线段 $A B=a c m, A_{1}$ 平分 $A B, A_{2}$ 平分 $A A_{1}, A_{3}$ 平分 $A A_{2}$,

$\therefore A A_{1}=\frac{1}{2} a, \quad A A_{2}=\frac{1}{4} a, \quad A A_{n}=\left(\frac{1}{2},{ }^{n}\right.$.

故答案为 $\left(\frac{1}{2}\right)^{n} a$.

根据题意, 找出 $A A_{1}, A A_{2}, A A_{3}$ 与 $a$ 的关系, 再按照规律解答即可.本题主要考查两点间的距离, 熟练找出规律是解答本题的关键.
题目（七年级 · 解析几何）：, 在数轴上方作一个 $4 \times 4$ 的网格 (每个小方格的边长为 1 个单位长度), 依次连结四边中点 $A, B, C, D$ 得到一个正方形, 点 $A$ 落在数轴上, 用圆规在点 $A$ 左侧的数轴上取点 $E$, 使 $A E=A B$.若点 $A$ 在原点右侧且到原点的距离为 1 个单位长度, 则点 $E$ 表示的数是


选项：
答案：$1-2 \sqrt{2}$
解析：略
题目（七年级 · 解析几何）：在一条可以折叠的数轴上, 点 $A, B$ 表示的数分别是 $-10,3$, 如图, 以点 $C$ 为折点, 将此数轴向右对折, 若点 $A$ 在点 $B$ 的右边, 且 $A B=1$, 则点 $C$ 表示的数是

选项：
答案：-3
解析：略
题目（七年级 · 解析几何）：若不等式 $|x-2|+|x+3|+|x-1|+|x+1| \geq a$ 对一切数 $x$ 都成立, 则 $a$ 的取值范围是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$a \leq 7$
解析：

## 【分析】

本题考查绝对值, 解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题, 属于中考填空题中的压轴题.

## 【解答】

解: $|x-2|+|x+3|+|x-1|+|x+1|$ 表示数 $x$ 对应的点到 $-3,-1,1,2$ 这四个数对应的点的距离之和.

当 $x<-3$ 时, 原式 $=2-x-x-3+1-x-x-1=-4 x-1>11$,

当 $-3 \leq x<-1$ 时, 原式 $=2-x+x+3+1-x-x-1=-2 x+5,7<$ 原式 $\leq 11$,

当 $-1 \leq x<1$ 时, 原式 $=2-x+x+3+1-x+x+1=7$,

当 $1 \leq x<2$ 时, 原式 $=2-x+x+3+x-1+x+1=2 x+5,7 \leq$ 原式 $<9$,

当 $x \geq 2$ 时, 原式 $=x-2+x+3+x-1+x+1=4 x+1$, 原式 $\geq 9$,

综上所述: 原式 $\geq 7$, 所以: $a \leq 7$,

即 $|x-2|+|x+3|+|x-1|+|x+1| \geq 7$ 对一切实数 $x$ 恒成立, 则 $a$ 的取值范围为 $a \leq 7$.

故答案为: $a \leq 7$.
题目（七年级 · 解析几何）：如图, 在数轴上, $A_{1}, P$ 两点表示的数分别是 $1,2, A_{1}, A_{2}$ 到原点的距离相等, $A_{2}, A_{3}$ 到点 $P$ 的距离相等, $A_{3}, A_{4}$ 到原点距离相等, $A_{4}, A_{5}$ 到点 $P$ 的距离相等 $\cdots \cdots$ 依此规律, 若 $A_{1}, A_{2}$, $A_{3}, A_{4}, A_{5}, \cdots, A_{14}$ 都是不同的点, 则点 $A_{14}$ 表示的数是 \$ \qquad \$ .


选项：
答案：-25
解析：析】略