题目（八年级 · 变换几何）：如图, 有一张长方形纸条 $A B C D, A B=10 \mathrm{~cm}, B C=4 \mathrm{~cm}$, 点 $M, N$ 分别在边 $A B, C D$ 上, 现将四边形 $B C N M$ 沿 $M N$ 折叠, 使点 $B, C$ 分别落在点 $B^{\prime}, C^{\prime}$ 上, 边 $M B^{\prime}$ 与边 $C D$ 交于点 $E$.



图 1



图 2



3

(1)如图(1), 若折叠后, 点 $B$ 与点 $D$ 重合, 求此时 $D N$ 的长度;

(2)如图(2), 若 $C N=2 c m$, 当 $\triangle A M N$ 是等腰三角形时, 求此时四边形 $B C N M$ 的面积;

(3)如图(3), 若 $C N=3 \mathrm{~cm}$, 在点 $M$ 从点 $A$ 向点 $B$ 运动的过程中, 则点 $E$ 相应运动的路径长为 cm.
选项：
答案：解: (1)由折叠可知, $B C=D C^{\prime}=4 \mathrm{~cm}, N C=N C^{\prime}$,

设 $D N=x c m$, 则 $N C=N C^{\prime}=(10-x) c m$,

在 $R t \triangle D N C^{\prime}$ 中, $D N^{2}=D C^{\prime 2}+N C^{\prime 2}$,

即 $x^{2}=4^{2}+(10-x)^{2}$,

解得: $x=\frac{29}{5}$, 即 $D N=\frac{29}{5} \mathrm{~cm}$;

(2)当 $\triangle A M N$ 是等腰三角形时, 易知不存在 $N A=N M$,

如图, 当 $M A=M N$ 时，

<ImageHere>

设 $B M=a c m$ ，则 $(10-a)^{2}=4^{2}+(a-2)^{2}$ ，

解得: $a=5$,

则四边形 $B C N M$ 的面积 $S=\frac{(2+5) \times 4}{2}=14\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$;

当 $A M=A N$ 时, 如图,

<ImageHere>

设 $B M=b c m$, 则 $A M=A N=(10-b) c m$ ，

则 $(10-b)^{2}=4^{2}+(10-2)^{2}$, 解得 $b=10-4 \sqrt{5}$,

则四边形 $B C N M$ 的面积 $S=(24-8 \sqrt{5}) \mathrm{cm}^{2}$.
综上所述, 四边形 $B C N M$ 的面积为 $(24-8 \sqrt{5}) \mathrm{cm}^{2}$ 或 $14 \mathrm{~cm}^{2}$;

(3)解：如图, 当点 $M$ 与 $A$ 重合时, 易知 $A E=E N$, 设 $A E=E N=x \mathrm{~cm}$,

在Rt $\triangle A D E$ 中, 则有 $x^{2}=4^{2}+(10-x-3)^{2}$, 解得 $x=\frac{65}{14}$,

$\therefore D E=10-3-\frac{65}{14}=\frac{33}{14}(\mathrm{~cm})$

<ImageHere>

如图, 当点 $M$ 运动到 $M B^{\prime} \perp A B$ 时, $D E^{\prime}$ 的值最大, $D E^{\prime}=10-3-4=3(\mathrm{~cm})$,

<ImageHere>

如图 3 中, 当点 $M$ 运动到点 $B^{\prime}$ 落在 $C D$ 时,

$N B^{\prime}=\sqrt{C N^{2}+C B^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5(\mathrm{~cm})$,

$D B^{\prime}\left(\right.$ 即 $\left.D E^{\prime \prime}\right)=10-3-5=2(\mathrm{~cm})$;

<ImageHere>

$\therefore$ 点 $E$ 的运动轨迹 $E \rightarrow E^{\prime} \rightarrow E^{\prime \prime}$, 运动路径 $=E E^{\prime}+E^{\prime} B^{\prime}=3-\frac{33}{14}+3-2=\frac{23}{14}(\mathrm{~cm})$.

故答案为: $\frac{23}{14}$.
解析：解: (1)由折叠可知, $B C=D C^{\prime}=4 \mathrm{~cm}, N C=N C^{\prime}$,

设 $D N=x c m$, 则 $N C=N C^{\prime}=(10-x) c m$,

在 $R t \triangle D N C^{\prime}$ 中, $D N^{2}=D C^{\prime 2}+N C^{\prime 2}$,

即 $x^{2}=4^{2}+(10-x)^{2}$,

解得: $x=\frac{29}{5}$, 即 $D N=\frac{29}{5} \mathrm{~cm}$;

(2)当 $\triangle A M N$ 是等腰三角形时, 易知不存在 $N A=N M$,

如图, 当 $M A=M N$ 时，



设 $B M=a c m$ ，则 $(10-a)^{2}=4^{2}+(a-2)^{2}$ ，

解得: $a=5$,

则四边形 $B C N M$ 的面积 $S=\frac{(2+5) \times 4}{2}=14\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$;

当 $A M=A N$ 时, 如图,



设 $B M=b c m$, 则 $A M=A N=(10-b) c m$ ，

则 $(10-b)^{2}=4^{2}+(10-2)^{2}$, 解得 $b=10-4 \sqrt{5}$,

则四边形 $B C N M$ 的面积 $S=(24-8 \sqrt{5}) \mathrm{cm}^{2}$.
综上所述, 四边形 $B C N M$ 的面积为 $(24-8 \sqrt{5}) \mathrm{cm}^{2}$ 或 $14 \mathrm{~cm}^{2}$;

(3)解：如图, 当点 $M$ 与 $A$ 重合时, 易知 $A E=E N$, 设 $A E=E N=x \mathrm{~cm}$,

在Rt $\triangle A D E$ 中, 则有 $x^{2}=4^{2}+(10-x-3)^{2}$, 解得 $x=\frac{65}{14}$,

$\therefore D E=10-3-\frac{65}{14}=\frac{33}{14}(\mathrm{~cm})$



如图, 当点 $M$ 运动到 $M B^{\prime} \perp A B$ 时, $D E^{\prime}$ 的值最大, $D E^{\prime}=10-3-4=3(\mathrm{~cm})$,



如图 3 中, 当点 $M$ 运动到点 $B^{\prime}$ 落在 $C D$ 时,

$N B^{\prime}=\sqrt{C N^{2}+C B^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5(\mathrm{~cm})$,

$D B^{\prime}\left(\right.$ 即 $\left.D E^{\prime \prime}\right)=10-3-5=2(\mathrm{~cm})$;



$\therefore$ 点 $E$ 的运动轨迹 $E \rightarrow E^{\prime} \rightarrow E^{\prime \prime}$, 运动路径 $=E E^{\prime}+E^{\prime} B^{\prime}=3-\frac{33}{14}+3-2=\frac{23}{14}(\mathrm{~cm})$.

故答案为: $\frac{23}{14}$.