题目（八年级 · 解析几何）：( 20 分 ) 在平面直角坐标系中, 借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根, 比如对于方程 $x^{2}-5 x+2=0$, 操作步骤是:

第一步：根据方程系数特征，确定一对固定点 A $(0,1) ， \mathrm{~B}(5,2)$;

第二步： 在坐标平面中移动一个直角三角板, 使一条直角边恒过点 $\mathrm{A}$, 另一条直角边恒过点 $\mathrm{B}$;

第三步: 在移动过程中, 当三角板的直角顶点落在 $\mathrm{x}$ 轴上点 $\mathrm{C}$ 处时, 点 $\mathrm{C}$ 的横坐标 $\mathrm{m}$ 即为该方程的一个实数根（如图 1）

第四步：调整三角板直角顶点的位置, 当它落在 $\mathrm{x}$ 轴上另一点 $\mathrm{D}$ 处时, 点 $\mathrm{D}$ 的横坐标为 $\mathrm{n}$ 即为该方程的另一个实数根。



图 1



图2

（1）在图 2 中，按照“第四步“的操作方法作出点 $\mathrm{D}$ （请保留作出点 $\mathrm{D}$ 时直角三角板两条直角边的痕迹)

（2）结合图 1, 请证明“第三步”操作得到的 $\mathrm{m}$ 就是方程 $x^{2}-5 x+2=0$ 的一个实数根;

（3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置, 若要以此方法找到一元二次方程 $a x^{2}+b x+c=0\left(a \neq 0, b^{2}-4 a c \geq 0\right)$ 的实数根, 请你直接写出一对固定点的坐标;

（4）实际上, （3）中的固定点有无数对, 一般地,当 $m_{1}, n_{1}, m_{2}, n_{2}$ 与 a, b, c 之间满足怎样的关系时, 点 $\mathrm{P}\left(m_{1}, n_{1}\right), \mathrm{Q}\left(m_{2}, n_{2}\right)$ 就是符合要求的一对固定点?
选项：
答案： (1) 解：如图 2 所示:

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(2) 证明：在图 1 中, 过点 $\mathrm{B}$ 作 $\mathrm{BD} \perp \mathrm{x}$ 轴, 交 $\mathrm{x}$ 轴于点 $\mathrm{D}$.根据题意可证 $\triangle \mathrm{AOC} \sim \triangle \mathrm{CDB}$.

$\therefore \frac{A O}{C D}=\frac{O C}{B D}$

$\therefore \frac{1}{5-m}=\frac{m}{2}$

$\therefore \mathrm{m}(5-\mathrm{m})=2$.

$\therefore \mathrm{m}^{2}-5 \mathrm{~m}+2=0$.

$\therefore \mathrm{m}$ 是方程 $\mathrm{x}^{2}-5 \mathrm{x}+2=0$ 的实数根.

（3）解：方程 $a x^{2}+b x+c=0 （ a \neq 0 ）$ 可化为

$$
x^{2}+\frac{b}{a} x^{\frac{c}{a}}+{ }^{\frac{c}{a}}=0
$$

模仿研究小组作法可得: A $(0,1), \mathrm{B}\left(-^{\frac{b}{a}},{ }^{\frac{c}{a}}\right)$ 或 $\mathrm{A}\left(0,{ }^{\frac{1}{a}}\right), \mathrm{B}\left(-^{\frac{b}{a}}\right.$, c) 等.

（4）解：以图 3 为例: $P\left(m_{1}, \mathrm{n}_{1}\right) Q\left(m_{2}, \mathrm{n}_{2}\right)$,

设方程的根为 $\mathrm{x}$, 根据三角形相似可得. $\frac{m_{1}}{x-m_{1}}=\frac{m_{2}-x}{n_{2}}$.

上式可化为 $x^{2}-\left(m_{1}+m_{2}\right) x+m_{1} m_{2}+n_{1} n_{2}=0$.

又 $a x^{2}+b x+c=0$,
即 $\mathrm{x}^{2}+{ }^{\frac{b}{a}} \mathrm{x}^{\frac{c}{a}} \stackrel{\frac{c}{a}}{=}=0$.

比较系数可得: $\mathrm{m}_{1}+\mathrm{m}_{2}=-\frac{}{\frac{b}{a}}$.

$\mathrm{m}_{1} \mathrm{~m}_{2}+\mathrm{n}_{1} \mathrm{n}_{2}=\frac{\frac{c}{a}}{}$

<ImageHere>

五、作图题
解析： (1) 解：如图 2 所示:



(2) 证明：在图 1 中, 过点 $\mathrm{B}$ 作 $\mathrm{BD} \perp \mathrm{x}$ 轴, 交 $\mathrm{x}$ 轴于点 $\mathrm{D}$.根据题意可证 $\triangle \mathrm{AOC} \sim \triangle \mathrm{CDB}$.

$\therefore \frac{A O}{C D}=\frac{O C}{B D}$

$\therefore \frac{1}{5-m}=\frac{m}{2}$

$\therefore \mathrm{m}(5-\mathrm{m})=2$.

$\therefore \mathrm{m}^{2}-5 \mathrm{~m}+2=0$.

$\therefore \mathrm{m}$ 是方程 $\mathrm{x}^{2}-5 \mathrm{x}+2=0$ 的实数根.

（3）解：方程 $a x^{2}+b x+c=0 （ a \neq 0 ）$ 可化为

$$
x^{2}+\frac{b}{a} x^{\frac{c}{a}}+{ }^{\frac{c}{a}}=0
$$

模仿研究小组作法可得: A $(0,1), \mathrm{B}\left(-^{\frac{b}{a}},{ }^{\frac{c}{a}}\right)$ 或 $\mathrm{A}\left(0,{ }^{\frac{1}{a}}\right), \mathrm{B}\left(-^{\frac{b}{a}}\right.$, c) 等.

（4）解：以图 3 为例: $P\left(m_{1}, \mathrm{n}_{1}\right) Q\left(m_{2}, \mathrm{n}_{2}\right)$,

设方程的根为 $\mathrm{x}$, 根据三角形相似可得. $\frac{m_{1}}{x-m_{1}}=\frac{m_{2}-x}{n_{2}}$.

上式可化为 $x^{2}-\left(m_{1}+m_{2}\right) x+m_{1} m_{2}+n_{1} n_{2}=0$.

又 $a x^{2}+b x+c=0$,
即 $\mathrm{x}^{2}+{ }^{\frac{b}{a}} \mathrm{x}^{\frac{c}{a}} \stackrel{\frac{c}{a}}{=}=0$.

比较系数可得: $\mathrm{m}_{1}+\mathrm{m}_{2}=-\frac{}{\frac{b}{a}}$.

$\mathrm{m}_{1} \mathrm{~m}_{2}+\mathrm{n}_{1} \mathrm{n}_{2}=\frac{\frac{c}{a}}{}$



五、作图题