eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（二年级 · 度量几何学）：观察图形, 一共有多少个直角?一共有多少个钝角? 一共有多少个锐角?


选项：
答案：8 个直角, 8 个针角, 8 个锐角
解析：8 个直角, 8 个针角, 8 个锐角
题目（二年级 · 度量几何学）：下图中有四个角。( $\quad ）$


选项：
答案：$\times$
解析：$\times$
题目（二年级 · 度量几何学）：一支钢笔长约 8 米。( $\quad)$
选项：
答案：$\times$

【分析】一支钢笔一般长 10 厘米左右, 据此判断。

【详解】 8 米比成年人还长, 一支钢笔不会是 8 米长。原题说法错误。故答案为: $\times$

【点睛】此题考查根据情景选择合适的计量单位, 要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小, 灵活地选择。
解析：$\times$

【分析】一支钢笔一般长 10 厘米左右, 据此判断。

【详解】 8 米比成年人还长, 一支钢笔不会是 8 米长。原题说法错误。故答案为: $\times$

【点睛】此题考查根据情景选择合适的计量单位, 要注意联系生活实际、计量单位和数据的大小, 灵活地选择。
题目（二年级 · 度量几何学）：三角尺上的直角和课桌面上的直角一样大。( $)$
选项：
答案：$\sqrt{ }$

【分析】直角的两条边都是直边, 角的度数都是 90 度, 因此所有的直角大小一样大, 据此解答。

【详解】由分析可得:

三角板上的直角和课桌面上的直角一样大, 原题说法正确。

故答案为: $\sqrt{ }$

【点睛】本题考查三角形直角的初步认识。
解析：$\sqrt{ }$

【分析】直角的两条边都是直边, 角的度数都是 90 度, 因此所有的直角大小一样大, 据此解答。

【详解】由分析可得:

三角板上的直角和课桌面上的直角一样大, 原题说法正确。

故答案为: $\sqrt{ }$

【点睛】本题考查三角形直角的初步认识。
题目（二年级 · 度量几何学）：数一数下面的图形中各有几个直角。

选项：
答案：4 个; 4 个; 1 个

【分析】如图 , 和三角尺上这一角大小相等的角是直角, 由此解答即可。

【详解】由分析作图如下:
<ImageHere>

图 1 有 4 个直角; 图 2 有 4 个直角; 图 3 有 1 个直角。

【点睛】本题考查学生对直角的认识。
解析：4 个; 4 个; 1 个

【分析】如图 , 和三角尺上这一角大小相等的角是直角, 由此解答即可。

【详解】由分析作图如下:


图 1 有 4 个直角; 图 2 有 4 个直角; 图 3 有 1 个直角。

【点睛】本题考查学生对直角的认识。
题目（二年级 · 度量几何学）：一个角有一个顶点两条边。( $)$
选项：
答案：$\sqrt{ }$

【分析】根据角的含义：由一点引出的两条射线所组成的图形, 叫做角; 进行解答即可。

【详解】根据角的含义“由一点引出的两条射线所组成的图形, 叫做角”可知: 一个角有一个顶点两条边。原题说法正确。

故答案为: $\sqrt{ }$

【点睛】解答此题应根据角的概念进行解答。
解析：$\sqrt{ }$

【分析】根据角的含义：由一点引出的两条射线所组成的图形, 叫做角; 进行解答即可。

【详解】根据角的含义“由一点引出的两条射线所组成的图形, 叫做角”可知: 一个角有一个顶点两条边。原题说法正确。

故答案为: $\sqrt{ }$

【点睛】解答此题应根据角的概念进行解答。
题目（二年级 · 度量几何学）：数学书的封面的长约 25 米。( )
选项：
答案：$\times$
解析：$\times$
题目（二年级 · 度量几何学）：小军从家到学校的路线如图, 算一算小军从家到学校有多少米?


选项：
答案：$20+40=60$ (米)
解析：$20+40=60$ (米)
题目（二年级 · 度量几何学）：针角比直角大。( $\quad ）$
选项：
答案：$\sqrt{ }$
解析：$\sqrt{ }$
题目（二年级 · 度量几何学）：动动身高 140 米。( $\quad)$
选项：
答案：$\times$

【分析】根据生活经验, 以及对长度单位和数据大小的认识, 可知计量一个人的身高, 应用长度单位,结合数据可知: 应用“厘米”作单位; 据此解答。

【详解】动动身高 140 厘米, 所以原题的说法错误。

故答案为: $\times$
解析：$\times$

【分析】根据生活经验, 以及对长度单位和数据大小的认识, 可知计量一个人的身高, 应用长度单位,结合数据可知: 应用“厘米”作单位; 据此解答。

【详解】动动身高 140 厘米, 所以原题的说法错误。

故答案为: $\times$
题目（二年级 · 度量几何学）：小猫离地面大约多少厘米?


选项：
答案：80 厘米
解析：80 厘米
题目（二年级 · 度量几何学）：钟面上 3 时和 6 时整, 分针和时针形成的角是直角。( )
选项：
答案：$\times$

【分析】像长方形和正方形上的角一样的是直角, 据此得出结论即可。

【详解】钟面上 3 时整, 分针和时针形成的角和长方形上的角一样是直角。 6 时整, 分针和时针形成的角是平角。

故答案为: $\times$
解析：$\times$

【分析】像长方形和正方形上的角一样的是直角, 据此得出结论即可。

【详解】钟面上 3 时整, 分针和时针形成的角和长方形上的角一样是直角。 6 时整, 分针和时针形成的角是平角。

故答案为: $\times$
题目（二年级 · 度量几何学）：因为 1 时 $=60$ 分, 所以分针走一圈, 时针走一大格就是 1 时。( )
选项：
答案：$\sqrt{ }$

【分析】根据时针走 1 大格是 1 小时, 分针走 1 大格是 5 分钟即可解答。

【详解】因为 1 时 $=60$ 分, 所以分针走一圈刚好是 60 分, 此时时针走一大格就是 1 时; 原题说法正确。

故答案为: $\sqrt{ }$

【点睛】本题主要考查时针走 1 大格是 1 小时, 分针走 1 大格是 5 分钟。
解析：$\sqrt{ }$

【分析】根据时针走 1 大格是 1 小时, 分针走 1 大格是 5 分钟即可解答。

【详解】因为 1 时 $=60$ 分, 所以分针走一圈刚好是 60 分, 此时时针走一大格就是 1 时; 原题说法正确。

故答案为: $\sqrt{ }$

【点睛】本题主要考查时针走 1 大格是 1 小时, 分针走 1 大格是 5 分钟。
题目（二年级 · 度量几何学）：一个锐角、一个直角、一个钝角。




选项：
答案：<ImageHere>
题目（二年级 · 度量几何学）：横线上填上话当的单位名称。

爸爸每天工作 8 课间休息 10 $ \qquad $
彩笔长 10 妈妈身高 1 62 $ \qquad $ -
选项：
答案：（或小时）；分（或分钟）；厘米（或 $\mathrm{cm}$ ）；米（或 $\mathrm{m}$ ）；厘米（或 $\mathrm{cm}$ )
解析：（或小时）；分（或分钟）；厘米（或 $\mathrm{cm}$ ）；米（或 $\mathrm{m}$ ）；厘米（或 $\mathrm{cm}$ )
题目（二年级 · 度量几何学）：：20 时，时针和分针组成一个__角；__时时，时针和分针组成一个直角。
选项：
答案：锐；3 或 9
解析：锐；3 或 9
题目（二年级 · 度量几何学）：拃大约是 $ \qquad $厘米，拇指的宽度大约是厘米。
选项：
答案：10 ; 1$
解析：10 ; 1$
题目（二年级 · 度量几何学）：一估, 量一量, 填一填。

\section*{(1)}



估计长 $ \qquad $厘米, 实际长 $ \qquad $厘米。

(2)



估计长 $ \qquad $厘米, 实际长 $ \qquad $厘米。
选项：
答案：1) $5 ; 4$
(2) $6 ; 5$
解析：1) $5 ; 4$
(2) $6 ; 5$
题目（二年级 · 度量几何学）：图填空。



厘米毫米。
选项：
答案：2 ; 5$
解析：2 ; 5$
题目（二年级 · 度量几何学）：括号里写出所量物体的长度。



铅笔长 ( ) 厘米。



图钉长 ( ) 厘米。
选项：
答案：4 ; 2$
解析：4 ; 2$
题目（二年级 · 度量几何学）：一看, 填一填。
$ \qquad $厘米。
选项：
答案：3 ; 7$
解析：3 ; 7$
题目（二年级 · 度量几何学）：空。

(1)


厘米

(2)



厘米
选项：
答案：1) $4 \quad$ (2) 3
解析：1) $4 \quad$ (2) 3
题目（二年级 · 度量几何学）：一条比 5 厘米少 3 厘米的线段。
选项：
答案：下:

\section*{5厘米}

<ImageHere>
解析：下:

\section*{5厘米}
题目（二年级 · 度量几何学）：支铅笔原来长 9 厘米 5 毫米, 用去了 7 毫米。现在这支铅笔有多少长?
选项：
答案：厘米 5 毫米= 95 毫米; 95-7=88 毫米（或 8 厘米 8 毫米） 答：现在这支铅笔有 8 厘米 8 毫米长。
解析：厘米 5 毫米= 95 毫米; 95-7=88 毫米（或 8 厘米 8 毫米） 答：现在这支铅笔有 8 厘米 8 毫米长。
题目（二年级 · 度量几何学）：岳华山位于陕西省华阴市, 南峰海拔约 2155 米。标出 2155 的大致位置。


选项：
答案：图:

<ImageHere>

南峰
解析：图:



南峰
题目（二年级 · 度量几何学）：明身高 140 厘米, 教室的门高 2 米, 王明比门矮多少厘米?
选项：
答案：: 2 米 $=200$ 厘米

200 厘米 -140 厘米 $=60$ 厘米

答: 王明比门矮 60 厘米。
解析：: 2 米 $=200$ 厘米

200 厘米 -140 厘米 $=60$ 厘米

答: 王明比门矮 60 厘米。
题目（二年级 · 度量几何学）：面是用一副三角尺拼成的角, 说一说这些角各是什么角。

角


角

选项：
答案：; 钝; 锐
解析：; 钝; 锐
题目（二年级 · 度量几何学）：
个角，其中有个直角。
选项：
答案：9 ; 4$
解析：9 ; 4$
题目（二年级 · 度量几何学）：
个锐角,个直角。个直角,个锐角。
选项：
答案：4 ; 3$ $1 ; 2$
解析：4 ; 3$ $1 ; 2$
题目（二年级 · 度量几何学）：一数。


钝角, $ \qquad $锐角。
选项：
答案：1 ; 2$
解析：1 ; 2$
题目（二年级 · 度量几何学）：们已经认识了锐角、直角和钝角, 在角的大家族中, 是否还有其他的角呢? 它们又有哪些特征呢?
选项：
答案：角和周角, 平角 $=180^{\circ}$, 周角 $=360^{\circ}$ 。
解析：角和周角, 平角 $=180^{\circ}$, 周角 $=360^{\circ}$ 。
题目（二年级 · 度量几何学）：也是有大小的, 为了准确测量出角的大小, 就要使用统一的计量单位和度量工具.那么角的度量工具是什么? 计量单位又是如何规定的呢?
选项：
答案：角器: 把圆分成 360 等份, 每一份所对的角的大小是 1 度。“度” 是度量角的单位,用符号“吅表示。
解析：角器: 把圆分成 360 等份, 每一份所对的角的大小是 1 度。“度” 是度量角的单位,用符号“吅表示。
题目（二年级 · 画法几何学）：(6 分 ) 在下面的方格纸中分别画一个锐角、一个直角和一个钝角。


选项：
答案：<ImageHere>
题目（二年级 · 画法几何学）：面各图分别是谁看到的? 连一连。(8 分)





选项：
答案：面各图分别是谁看到的? 连一连。(8 分)
<ImageHere>
解析：面各图分别是谁看到的? 连一连。(8 分)
题目（二年级 · 画法几何学）：朋友看到的是什么图形？把正确的图形圈出来。(8 分)

(1)

(2)





(3)






$(4)$

选项：
答案：1)
<ImageHere>

(2)
<ImageHere>
(3)

<ImageHere>

<ImageHere>
<ImageHere>

(4)
解析：1)


(2)

(3)






(4)
题目（二年级 · 画法几何学）：先照样子折一折, 再画一画, 最后剪一剪。



折



画



剪

(1) 你剪出了什么图形?

（2）想一想，如何折能剪出多个连续的图形?
选项：
答案：(1) 一棵松树。

(2) 把一张纸连续对折, 再剪。
解析：(1) 一棵松树。

(2) 把一张纸连续对折, 再剪。
题目（二年级 · 画法几何学）：拿一张长纸条, 将它一反一正折叠起来, 并画上字母 $\mathrm{F}$ 。用小刀把画上的字母 $\mathrm{F}$ 挖去, 拉开就可以得到一条以字母 $\mathrm{F}$ 为图案的花边, 如图。



观察这条花边，它是轴对称的吗？说明你的理由。
选项：
答案：它是轴对称的。因为左右对折后, 折痕两侧的部分能够完全重合。

【详解】如下图。

<ImageHere>

沿着这条虚线对折, 折痕两侧的部分能够完全重合, 所以这条花边是轴对称的。
解析：它是轴对称的。因为左右对折后, 折痕两侧的部分能够完全重合。

【详解】如下图。



沿着这条虚线对折, 折痕两侧的部分能够完全重合, 所以这条花边是轴对称的。
题目（二年级 · 画法几何学）：将一张纸对折沿虚线剪下后的这个图形是正五边形。
选项：
答案：$\times$
解析：$\times$
题目（二年级 · 画法几何学）：在方格纸上画一个直角和一个钝角。


选项：
答案：<ImageHere>
题目（二年级 · 画法几何学）：钟表画上时针分针。（6 分）


选项：
答案：解:如图所示:
<ImageHere>
解析：解:如图所示:
题目（二年级 · 画法几何学）：出相应的时间，画出缺少的时针和分针。 (7 分)


选项：
答案：<ImageHere>
题目（二年级 · 画法几何学）：一画。

(1) 以 $\mathrm{A}$ 为顶点画一个直角, 并写出组成这个角各部分的名称.

（2）画一个自己喜欢的角.
选项：
答案：1) 解:

<ImageHere>

(2) 解:

<ImageHere>
解析：1) 解:



(2) 解:
题目（二年级 · 画法几何学）：距离 6 厘米处画一棵


10 厘米处画一朵 ब日.
选项：
答案：图:

<ImageHere>
解析：图:
题目（二年级 · 画法几何学）：方格图上画一个直角、一个锐角和一个钝角。


选项：
答案：图:

<ImageHere>
解析：图:
题目（二年级 · 画法几何学）：一数图中有几个直角?


选项：
答案：以按从左上角 $\rightarrow$ 左下角 $\rightarrow$ 右下角 $\rightarrow$ 右上角的顺序有规律地数, 一共是 12 个直角。
解析：以按从左上角 $\rightarrow$ 左下角 $\rightarrow$ 右下角 $\rightarrow$ 右上角的顺序有规律地数, 一共是 12 个直角。
题目（二年级 · 立体几何学）：猴看到的是 ( ), 大熊猫看到的是 ( ), 小狐狸看到的是 $(\quad) 。(3$ 分 $)$


(1) 5
(2) 2
(3) 4
选项：
答案：2)

(3)

(1)
解析：2)

(3)

(1)
题目（二年级 · 立体几何学）：面三张照片分别是从哪一面看到的？(填序号)（6 分）

选项：
答案：上 侧
解析：上 侧
题目（二年级 · 立体几何学）：朋友们分别是从哪个位置观察的？(填序号) (9 分）

(1)多多看到的是 ，是从 ( ) 号位置观察的。

(2) 欢欢看到的是 $\square$, 是从 ( ) 号位置观察的。

(3) 天天看到的是 $\square$ ，是从 ( ) 号位置观察的。
选项：
答案：3) (2) (1)
解析：3) (2) (1)
题目（二年级 · 立体几何学）：小朋友玩的摩天轮
选项：
答案：$\sqrt{}$
解析：$\sqrt{}$
题目（二年级 · 立体几何学）：梯形都是轴对称图形。
选项：
答案：$\times$
解析：$\times$
题目（二年级 · 立体几何学）：
这样一副三角板中有 \$ \qquad \$个直角，其余的角都是 \$ \qquad \$角。
选项：
答案：2 ; 锐
解析：2 ; 锐
题目（二年级 · 立体几何学）：面是一个长方体盒子, 数一数这个长方体的面上一共有多少个直角。


选项：
答案：共有 24 个直角。
解析：共有 24 个直角。
题目（二年级 · 立体几何学）：个正方体的六个面上分别写着数字 $1 \sim 6$, 下面是阳阳从三个方向看到的图形。


(1) 数字 1 对面的数字是 ( )。

(2) 数字 2 对面的数字是 ( )。

(3) 数字 3 对面的数字是 $(\quad)$ 。
选项：
答案：66  5  4

点拨：观察 3 个图形可知与 1 相邻的数有 $2,3,4,5$, 所以 1 的对面是 6 。 同理, 2 的对面是 5,3 的对面是 4 。
解析：66  5  4

点拨：观察 3 个图形可知与 1 相邻的数有 $2,3,4,5$, 所以 1 的对面是 6 。 同理, 2 的对面是 5,3 的对面是 4 。
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题目（二年级 · 组合几何学）：一堆小棒刚好摆了 4 个 , 这堆小棒可以摆 8 个。。(图形的边不能重合)( )
选项：
答案：$\sqrt{ }$

【详解】略
解析：$\sqrt{ }$

【详解】略
题目（二年级 · 组合几何学）：用七巧板拼守株待兔的故事。


(1) 从图中找到哪些数学问题?

(2) 可以用哪句口诀来计算?
选项：
答案：（1）共用了多少块七巧板？（答案不唯一）

(2) 四七二十八

【分析】（1）根据题意可知, 每个图形由 7 块七巧板组成, 可提出, 共用了多少块七巧板?

(2) 求共用了多少块七巧板, 即 4 个 7 的和是多少, 用四七二十八来解答。

【详解】（1）共用了多少块七巧板？（答案不唯一）

（2）根据乘法口诀四七二十八，列式为:

$4 \times 7=28$ (块)

答: 共用了 28 块七巧板。

【点睛】本题考查了 7 的乘法口诀的应用。
解析：（1）共用了多少块七巧板？（答案不唯一）

(2) 四七二十八

【分析】（1）根据题意可知, 每个图形由 7 块七巧板组成, 可提出, 共用了多少块七巧板?

(2) 求共用了多少块七巧板, 即 4 个 7 的和是多少, 用四七二十八来解答。

【详解】（1）共用了多少块七巧板？（答案不唯一）

（2）根据乘法口诀四七二十八，列式为:

$4 \times 7=28$ (块)

答: 共用了 28 块七巧板。

【点睛】本题考查了 7 的乘法口诀的应用。
题目（二年级 · 组合几何学）：据下图, 填序号。


(1)


(2)


(3)

小狗看到的是图 $ \qquad $
小猴看到的是图 $ \qquad $
小羊看到的是图 $ \qquad $
选项：
答案：1) ; (2) ; (3)
解析：1) ; (2) ; (3)
题目（二年级 · 组合几何学）：些文字有许多直角, 如: 干 有多少个直角, 这样的字你还能写出几个? 数一数, 它有几个直角?
选项：
答案：8 个; 如: “目” 有 12 个直角。
解析：8 个; 如: “目” 有 12 个直角。
题目（二年级 · 图论）：面这些图分别是谁看到的？(填序号) (6 分)


(1)
(2)

$(\quad)$

$(\quad)$
选项：
答案：<ImageHere>

( (3) )

<ImageHere>

( (2) )

( (1) )
<ImageHere>
解析：

( (3) )



( (2) )

( (1) )
题目（二年级 · 逻辑题）：小明拿筷子用的不是左手, 那就是用右手拿筷子。
选项：
答案：$\sqrt{}$
解析：$\sqrt{}$
题目（二年级 · 逻辑题）：小红比小白小 2 岁, 小白比小黑小 2 岁, 小红比小黑大 4 岁。
选项：
答案：$\times$
解析：$\times$
题目（二年级 · 逻辑题）：甲、乙、丙三个同学, 丙不是最高的, 乙是最矮的, 那甲是最高的。
选项：
答案：$\sqrt{ }$
解析：$\sqrt{ }$
题目（二年级 · 逻辑题）：文文说: “我从未去过北京”, 由此可以推断文文一定是上海人。
选项：
答案：$\times$
解析：$\times$
题目（二年级 · 逻辑题）：仔细观察，他们各喜爱哪一项运动?



(1) 图 1, 图 2, 图 4 里都有淘气喜爱的体育用品, 淘气喜爱的运动是 ( )。

（2）图 2，图 3，图 4 里都有小刚喜爱的体育用品，小刚喜爱的运动是（）。
选项：
答案：(1) 打篮球

(2) 打羽毛球
解析：(1) 打篮球

(2) 打羽毛球
题目（二年级 · 逻辑题）：有甲、乙、丙三人, 一个是美术老师, 一个是数学老师, 一个是体育老师。甲和乙经常去找体育老师学打羽毛球或篮球, 乙带学生去找数学老师辅导数学。甲、乙、丙分别是什么老师?
选项：
答案：甲和乙经常去找体育老师学打羽毛球或篮球, 说明丙是体育老师; 乙带学生去找数学老师辅导数学, 说明乙不是数学老师, 所以乙是美术老师, 剩下的甲是数学老师。

答: 甲是数学老师, 乙是美术老师, 丙是体育老师。
解析：甲和乙经常去找体育老师学打羽毛球或篮球, 说明丙是体育老师; 乙带学生去找数学老师辅导数学, 说明乙不是数学老师, 所以乙是美术老师, 剩下的甲是数学老师。

答: 甲是数学老师, 乙是美术老师, 丙是体育老师。
题目（二年级 · 逻辑题）：投票竞选班长时, 票数最少的人当选班长。
选项：
答案：\times$
解析：\times$
题目（二年级 · 逻辑题）：你能正确读出钟面上的时间吗?

选项：
答案：$7: 45 ; 9: 15 ; 10: 50$

【分析】首先认真观察, 弄清分针和时针所指的位置, 根据分针和时针所指的时刻, 写出即可。第一个钟表的分针指向 9 , 时针指向“ 7 ”和“ 8 ”之间, 是 $7: 45$; 第二个钟表的分针指向 3 , 时针指向“ 9 ”和“ 10 ”之间, 是 9: 15; 第三个钟表的分针指向 10, 时针指向“10”和“11”之间, 是 10: 50 , 据此解答即可。

【详解】由分析可得:

<ImageHere>

$(7: 45)$

<ImageHere>

$(9: 15)$

<ImageHere>

$(10: 50)$

【点睛】熟练掌握认识时间是解决此题的关键。
解析：$7: 45 ; 9: 15 ; 10: 50$

【分析】首先认真观察, 弄清分针和时针所指的位置, 根据分针和时针所指的时刻, 写出即可。第一个钟表的分针指向 9 , 时针指向“ 7 ”和“ 8 ”之间, 是 $7: 45$; 第二个钟表的分针指向 3 , 时针指向“ 9 ”和“ 10 ”之间, 是 9: 15; 第三个钟表的分针指向 10, 时针指向“10”和“11”之间, 是 10: 50 , 据此解答即可。

【详解】由分析可得:



$(7: 45)$



$(9: 15)$



$(10: 50)$

【点睛】熟练掌握认识时间是解决此题的关键。
题目（二年级 · 逻辑题）：下面是小明去游乐场玩要的整个行程记录表, 但是由于时间仓促, 有的记录不完整, 你能帮他整理一下吗?


选项：
答案：见详解
【分析】根据钟面上时针和分针的指向可知:

图 1: 时针指向 2 和 3 之间, 分针指向 6 , 是 2 时 30 分, 即 2: 30 ;

图 2: 时针指向 2 和 3 之间, 分针指向 10 , 是 2 时 50 分, 即 $2: 50$;

图 3: 时针指向 4 , 分针指向 2, 是 4 时 10 分, 即 4: 10 ;

图 4: 时针指向 4 和 5 之间, 分针指向 8 , 是 4 时 40 分, 即 4: 40 ;

图 1 到图 2 经过的时间为 2 时 50 分 -2 时 30 分 $=20$ (分);

图 2 到图 3 经过的时间是 4 时 10 分 -2 时 50 分 $=1$ 时 20 分 $=80$ (分);

图 3 到图 4 经过的时间为 4 时 40 分 -4 时 10 分 $=30$ (分)。

【详解】根据分析填写如下:

<ImageHere>

【点睛】本题主要考查学生对钟面时间的认识及经过时间的计算。
解析：见详解
【分析】根据钟面上时针和分针的指向可知:

图 1: 时针指向 2 和 3 之间, 分针指向 6 , 是 2 时 30 分, 即 2: 30 ;

图 2: 时针指向 2 和 3 之间, 分针指向 10 , 是 2 时 50 分, 即 $2: 50$;

图 3: 时针指向 4 , 分针指向 2, 是 4 时 10 分, 即 4: 10 ;

图 4: 时针指向 4 和 5 之间, 分针指向 8 , 是 4 时 40 分, 即 4: 40 ;

图 1 到图 2 经过的时间为 2 时 50 分 -2 时 30 分 $=20$ (分);

图 2 到图 3 经过的时间是 4 时 10 分 -2 时 50 分 $=1$ 时 20 分 $=80$ (分);

图 3 到图 4 经过的时间为 4 时 40 分 -4 时 10 分 $=30$ (分)。

【详解】根据分析填写如下:



【点睛】本题主要考查学生对钟面时间的认识及经过时间的计算。
题目（二年级 · 逻辑题）：小春、小夏、小秋、小东四人画鸡, 每人画 1 只, 有黄公鸡、黄母鸡、白公鸡、白母鸡, 已知:小春和小秋画的鸡都是黄色的, 小夏和小秋画的都是母鸡。问 : 白公鸡是谁画的？其他三人画了什么?
选项：
答案：因为小春和小秋画的鸡都是黄色的, 所以小夏和小冬画的鸡都是白色的; 因为小夏和小秋画的都是母鸡, 所以小春和小冬画的都是公鸡。



答: 白公鸡是小冬画的, 小春画的是黑公鸡，小夏画的是白母鸡，小秋画的是黑母鸡。
解析：因为小春和小秋画的鸡都是黄色的, 所以小夏和小冬画的鸡都是白色的; 因为小夏和小秋画的都是母鸡, 所以小春和小冬画的都是公鸡。



答: 白公鸡是小冬画的, 小春画的是黑公鸡，小夏画的是白母鸡，小秋画的是黑母鸡。
题目（二年级 · 变换几何）：电风扇转动是平移。( )
选项：
答案：$\times$

【分析】(1) 在平面内, 把一个图形围绕某一固定点按顺时针或逆时针方向转动一定的角度的过程,称为旋转。这个点为旋转中心, 旋转的角度叫旋转角。

（2）在平面内, 把一个图形整体沿某条直线方向平行移动一定的距离的过程, 称为平移。

【详解】根据分析可知,

电风扇转动是旋转, 不是平移; 故原题干错误。

故答案为: $\times$

【点睛】正确理解平移和旋转的意义, 是解答此题的关键。
解析：$\times$

【分析】(1) 在平面内, 把一个图形围绕某一固定点按顺时针或逆时针方向转动一定的角度的过程,称为旋转。这个点为旋转中心, 旋转的角度叫旋转角。

（2）在平面内, 把一个图形整体沿某条直线方向平行移动一定的距离的过程, 称为平移。

【详解】根据分析可知,

电风扇转动是旋转, 不是平移; 故原题干错误。

故答案为: $\times$

【点睛】正确理解平移和旋转的意义, 是解答此题的关键。
题目（二年级 · 变换几何）：请填一填, 并画出平移后的图形。


选项：
答案：<ImageHere>

【详解】略
解析：

【详解】略
题目（二年级 · 变换几何）：\$\$ 从镜子中看到的样子是 $\$$ !
选项：
答案：$\sqrt{ }$
解析：$\sqrt{ }$
题目（二年级 · 变换几何）：所有的门的运动都可以看成平移现象。。
选项：
答案：$\sqrt{}$
解析：$\sqrt{}$
题目（二年级 · 变换几何）：连一连, 下面这些现象哪些是 “平移” 现象, 哪些是 “旋转” 现象。


选项：
答案：<ImageHere>
题目（二年级 · 变换几何）：从镜子中看左边图形, 看到的是右边图形中的哪一个? 画 “ل”。



$\geqslant \mid \in \mathbb{Q} \otimes \mathbb{N}$
选项：
答案：(\quad)(\sqrt{ })(\quad)(\quad)$

$(\quad)(\quad)(\quad)(\sqrt{ })$

$(\sqrt{ })(\quad)(\quad)(\quad)$
解析：(\quad)(\sqrt{ })(\quad)(\quad)$

$(\quad)(\quad)(\quad)(\sqrt{ })$

$(\sqrt{ })(\quad)(\quad)(\quad)$
题目（二年级 · 变换几何）：下面的图形中再给 1 个格子涂上颜色, 使涂色部分成为一个轴对称图形。

$(1)$


选项：
答案：(1)

<ImageHere>

(2)

<ImageHere>

(3)

<ImageHere>
解析：(1)



(2)



(3)
题目（二年级 · 变换几何）：平移必须向左或向右方向移动。
选项：
答案：$\times$
解析：$\times$
题目（二年级 · 变换几何）：镜子外的人举起右手, 镜子里的人像也一定举起右手。
选项：
答案：$\times$
解析：$\times$
题目（二年级 · 变换几何）：一个圆形不管经过几次平移或旋转都不会改变形状。
选项：
答案：$\sqrt{ }$
解析：$\sqrt{ }$
题目（二年级 · 变换几何）：周末姐姐在家转呼啦圈, 呼啦圈转动的过程是旋转。
选项：
答案：$\checkmark$
解析：$\checkmark$
题目（二年级 · 解析几何）：看图列式计算。


选项：
答案：$9 \times 3=27$ (个)

【分析】图中每组有 9 个棒棒糖, 共 3 组, 求一共有多少个棒棒糖, 用乘法计算。

【详解】 $9 \times 3=27$ (个)

一共有 27 个棒棒糖。
解析：$4 \times 8=32$

$32 \div 4=8$

$32 \div 8=4$

【详解】略
题目（二年级 · 解析几何）：边钟面上，现在的时刻是。过一刻钟后时针和分针组成角。
选项：
答案：4: 55 ；钝
解析：4: 55 ；钝
题目（高三 · 逻辑题）：13. 用反证法证明: 已知 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 均为有理数, 且 $\sqrt{a}$ 和 $\sqrt{b}$ 都是无理数, 求证: $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 是无理数.
选项：
答案：:答案：证明：证法一: 假设 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 为有理数, 令 $\sqrt{a}+\sqrt{b}=t$,则 $\sqrt{b}=t-\sqrt{a}$, 两边平方, 得 $b=t^{2}-2 t \sqrt{a}+a b=t^{2}-2 t \sqrt{a}+a$, $\therefore \sqrt{a}=\frac{t^{2}+a-b}{2 t}$.
$\because a, b, t$ 均为有理数, $\therefore \frac{t^{2}+a-b}{2 t} \frac{t^{2}+a-b}{2 t}$ 也是有理数.

即 $\sqrt{a}$ 为有理数, 这与已知 $\sqrt{a}$ 为无理数矛盾.

$\therefore \sqrt{a}+\sqrt{b} \sqrt{a}+\sqrt{b}$ 一定是无理数.

证法二：假设 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 为有理数,

则 $(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})=a-b$.

由 $a>0, b>0$, 得 $\sqrt{a}+\sqrt{b}>0$.

$\therefore \sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$.

$\because a, b$ 为有理数, 且 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 为有理数,

$\therefore \frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}} \frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ 为有理数, 即 $\sqrt{a}-\sqrt{b}$ 为有理数.

$\therefore(\sqrt{a}+\sqrt{b})+(\sqrt{a}-\sqrt{b})$ 为有理数, 即 $2 \sqrt{a}$ 为有理数.

从而 $\sqrt{a}$ 也应为有理数, 这与已知 $\sqrt{a}$ 为无理数矛盾,

$\therefore \sqrt{a}+\sqrt{b}$ 一定是无理数.
解析：:【分析】本题主要考查了反证法与放缩法, 解决问题的关键是按反证法的步骤, 即先否定结论, 把假设和已知结合起来, 推出矛盾, 即假设不成立; 结论为肯定形式或者否定形式的命题的证明常用反证法, 通过反设将肯定命题转化为否定命题或将否定命题转化为肯定命题, 然后用转化后的命题作为条件进行推理, 很一般推出矛盾, 从而达到证题的目的.
题目（高三 · 逻辑题）：15. 用反证法证明: 已知 $x, y \in \mathbf{R}$, 且 $x+y>2$, 则 $x, y$ 中至少有一个大于 1 .
选项：
答案：: 证明: 用反证法证明如下:

假设 $x, y$ 均不大于 1 , 即 $x \leq 1$ 且 $y \leq 1$, 则 $x+y \leq 2$, 这与已知条件 $x+y>2$ 矛盾, 所以 $x, y$中至少有一个大于 1 , 即原命题得证.

解析:【分析】本题主要考查了反证法与放缩法, 解决问题的关键是合理解析反设设 $x, y$ 均不大于 1 , 则 $x \leq 1$ 且 $y \leq 1$, 得到 $x+y \leq 2$, 矛盾, 从而证明问题.
解析：: 证明: 用反证法证明如下:

假设 $x, y$ 均不大于 1 , 即 $x \leq 1$ 且 $y \leq 1$, 则 $x+y \leq 2$, 这与已知条件 $x+y>2$ 矛盾, 所以 $x, y$中至少有一个大于 1 , 即原命题得证.

解析:【分析】本题主要考查了反证法与放缩法, 解决问题的关键是合理解析反设设 $x, y$ 均不大于 1 , 则 $x \leq 1$ 且 $y \leq 1$, 得到 $x+y \leq 2$, 矛盾, 从而证明问题.
题目（高三 · 逻辑题）：18. 已知函数 $f(x)=a^{x}+\frac{x-2}{x+1}(a>1)$. 用反证法证明方程 $f(x)=0$ 没有负数根.
选项：
答案：答案: 证明: 证法一: 假设存在 $x_{0}<0\left(x_{0} \neq-1\right)$ 满足 $f\left(x_{0}\right)=0$,

则 $a^{x_{0}}=-\frac{x_{0}-2}{x_{0}+1} ，$ 且 $0<a^{x_{0}}<1 ，$

$\therefore 0<-\frac{x_{0}-2}{x_{0}+1}<1$, 即 $\frac{1}{2}<x_{0}<2$.

与假设 $x_{0}<0$ 矛盾, 故方程 $f(x)=0$ 没有负数根.

证法二: 假设存在 $x_{0}<0\left(x_{0} \neq-1\right)$ 满足 $f\left(x_{0}\right)=0$.

(1)若 $-1<x_{0}<0$, 则 $\frac{x_{0}-2}{x_{0}+1}<-2,0<a^{x_{0}}<1$,

$\therefore f\left(x_{0}<-1\right.$, 与 $f\left(x_{0}\right)=0$ 矛盾;

(2) 若 $x_{0}<-1$, 则 $\frac{\mathbb{x}_{0}-2}{x_{0}+1}>0,0<a^{\square_{0}}<1$,

$\therefore f\left(x_{0}\right)>0$, 与 $f\left(x_{0}\right)=0$ 矛盾.
故方程 $f(x)=0$ 没有负数根.
解析：:【分析】本题主要考查了反证法与放缩法, 解决问题的关键是假设存在 $x_{0}<0\left(x_{0} \neq-1\right)$满足 $f\left(x_{0}\right)=0$, 如何得到与已知的矛盾即可.
题目（高三 · 逻辑题）：现有爬行、哺乳、飞行三类动物, 其中蛇,地龟属于爬行动物, 狼、狗属于哺乳动物, 鹰、长尾雀属于飞行动物, 请你把下列结构图补充完整:(1)为 (2)为 (3)为


选项：
答案：地龟;哺乳动物;长尾雀
解析：根据题意,现有的动物可分成三大类:爬行动物、哺乳动物和飞行动物, 故可知(2)处填哺乳动物.然后细分每一类包括的动物.可知(1)处填地龟,(3)处填长尾雀.
题目（高三 · 逻辑题）：用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不小于 $60^{\circ}$ ”时,正确的假设为 \$ \qquad \$
选项：
答案：假设三个内角都小于 $60^{\circ}$
解析：命题的否命题
题目（高三 · 逻辑题）：19. 现有爬行、哺乳、飞行三类动物, 其中蛇、地龟属于爬行动物; 狼、狗属于 哺乳动物;鹰、长尾雀属于飞行动物, 请你把下列结构图补充完整.


选项：
答案：答案: 解答: 爬行、哺乳、飞行三类动物的组织结构图为:

<ImageHere>
解析：：分析：本题主要考查了绘制结构图, 解决问题的关键是设计的这个结构图从整体上要反映数的结构, 从左向右要反映的是要素之间的从属关系. 在画结构图时, 应根据具体需要确定复杂程度. 简洁的结构图有时能更好地反映主体要素之间的关系和系统的整体特点. 同时, 要注意结构图, 通常按照从上到下、从左到右的方向顺序表示, 各要素间的从属关系较多时，常用方向箭头示意
题目（高三 · 逻辑题）：（12 分）设计一个结构图, 来表示“推理与证明”这一章的知识结构.
选项：
解析：“推理与证明”的知识结构图如图所示:
题目（高三 · 逻辑题）：(12 分) 某大学远程教育学院网上学习流程如下:

(1) 学生凭录取通知书到当地远程教育中心报到, 交费注册, 领取网上学习注册码;

（2）网上选课, 课程学习, 完成网上平时作业, 获得平时作业成绩;

（3）预约考试，参加期末考试获得期末考试成绩，获得综合成绩，成绩合格获得
选项：
解析：见解析.【解析】某大学远程教育学院网上学习流程图如图所示:
题目（高三 · 逻辑题）：已知 $\neg p: \exists x \in \mathbf{R}, \sin x+\cos x \leq m$ 为真命题, $q: \forall x \in \mathbf{R}, x^{2}+m x+1>0$ 为真命题,求实数 $m$ 的取值范围.
选项：
答案：$\sin \mathrm{x}+\cos \mathrm{x}=\sqrt{2} \sin \left(x+rac{\pi}{4}ight) \in[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ecause 
eg \mathrm{p}$ 为真, 则 $\mathrm{p}$ 为假,$	herefore x^{2}+\mathrm{mx}+1>0$ 恒成立$	herefore-2<\mathrm{m}<2$
题目（高三 · 逻辑题）：已知命题 $p$ : 实数 $x$ 满足 $x^{2}-2 x-8 \leq 0$; 命题 $q$ : 实数 $x$ 满足 $|x-2| \leq m(m>0)$.

(1) 当 $m=3$ 时, 若 “ $p \wedge q$ ” 为真, 求实数 $x$ 的取值范围;

(2) 若 “ $\neg p$ ” 是 “ $\neg q$ ” 的必要不充分条件, 求实数 $m$ 的取值范围.
选项：
答案：1)若 $\mathrm{p}$ 真: $-2 \leq \mathrm{x} \leq 4$当 $\mathrm{m}=3$ 时, 若 $\mathrm{q}$ 真, $-1 \leq \mathrm{x} \leq 5 	herefore \mathrm{x} \in[-1,4]$(2)由题知 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件若 $q$ 真, $2-m \leq x \leq 2+m$$	herefore 2-\mathrm{m} \leq-2$$4 \leq 2+m$ 且等号不能同时取得$	herefore \mathrm{m} \geq 4$
题目（高三 · 逻辑题）：设 $p$ : 实数 $x$ 满足 $a<x<3 a$, 其中 $a>0 ; q$ : 实数 $x$ 满足 $2<x<3$.

(1) 若 $a=1$, 且 $p \wedge q$ 为真, 求实数 $x$ 的取值范围;

(2) 若 $q$ 是 $p$ 的充分不必要条件, 求实数 $a$ 的取值范围.
选项：
答案：(1)当 $\mathrm{a}=1$ 时, $ecause \mathrm{P}, \mathrm{q}$ 为真命题, $	herefore 2<\mathrm{x}<3$ 且 $1<x<3 \quad 	herefore 2<x<3$(2) $ecause q$ 是 $p$ 的充分不必要条件$	herefore 3 a>=3$ 且 $a<=2$$	herefore 1=<\mathrm{a}<=2$
题目（高三 · 逻辑题）：已知命题 $p$ : 方程 $x^{2}+m x+1=0$ 有两个不等的负根, 命题 $q$ : 方程 $4 x^{2}+4(m-2) x+1=0$无实根, 若 $p \vee q$ 为真, $p \wedge q$ 为假, 求实数 $m$ 的取值范围.
选项：
答案：$ecause p:$ 方程 $x^{2}+m x+1=0$ 有两个不等的负根, 则解得 $m>2$, 即命题 $p: m>2$.若方程 $4 x^{2}+4(m-2) x+1=0$ 无实根,则 $\Delta=16(m-2) 2-16=16(m 2-4 m+3)<0$,解得 $1<\mathrm{m}<3$, 即 $\mathrm{q}: 1<\mathrm{m}<3$.因 “ $\mathrm{p} \vee \mathrm{q}$ ” 为真, 所以 $\mathrm{p}, \mathrm{q}$ 至少有一个为真, 又 “ $\mathrm{p} \wedge \mathrm{q}$ ” 为假, 所以命题 $\mathrm{p}, \mathrm{q}$ 至少有一个为假,因此, 命题 $\mathrm{p}, \mathrm{q}$ 应一真一假, 即命题 $\mathrm{p}$ 为真、命题 $\mathrm{q}$ 为假或命题 $\mathrm{p}$ 为假、命题 $\mathrm{q}$ 为真. $	herefore$ 或解得： $\mathrm{m} \geqslant 3$ 或 $1<\mathrm{m} \leqslant 2$,即实数 $\mathrm{m}$ 的取值范围为 $[3,+\infty) \cup(1,2]$.
题目（高三 · 逻辑题）：已知命题 $p: x^{2}-4 x+a=0$ 在 $x \in[1,4]$ 上有解, 命题 $q:$ 函数 $f(x)=\lg \left(x^{2}-a x+4\right)$的定义域为 $\mathbf{R}$.

(1) 若 $p$ 是真命题, 求实数 $a$ 的取值范围;

（2）若 $p \vee q$ 是假命题, 求实数 $a$ 的取值范围.
选项：
答案：(1) 设 $\mathrm{g}(\mathrm{x})=$ 错误!未找到引用源。, 对称轴为 $\mathrm{x}=2$,若存在一个 $\mathrm{x} \in[1,4]$ 满足条件, 则 $\mathrm{g}(1)<0, \mathrm{~g}(4)$ 错误!未找到引用源。 0 ,解得错误!未找到引用源。若存在两个 $\mathrm{x} \in[1,4]$ ]满足条件, 则 $\mathrm{g}(1)$ 错误!未找到引用源。 $0, \mathrm{~g}(2)$ 错误!未找到引用源。 0 ,解得错误!未找到引用源。综上，错误!未找到引用源。（2）若 $\mathrm{p}$ 为假命题，则 $\mathrm{a}<0$ 或 $\mathrm{a}>4$若 q 为假命题, 则由错误!未找到引用源。,则错误!未找到引用源。$	herefore(-\infty,-4] \cup(4,+\infty)$
题目（高三 · 解析几何）：21. 圆 $\mathrm{O}_{1}$ 和圆 $\mathrm{O}_{2}$ 的极坐标方程分别为 $\rho=4 \cos \theta, \rho=-4 \sin \theta$.

(1)把圆 $\mathrm{O}_{1}$ 和圆 $\mathrm{O}_{2}$ 的极坐标方程化为直角坐标方程;
选项：
答案：答案: 解答: 以极点为原点.极轴为 $\mathrm{x}$ 轴正半轴建立平面直角坐标系, 两坐标系中取相同的长度单位.

$x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$, 由 $\rho=4 \cos \theta$ 得 $\rho^{2}=4 \rho \cos \theta$,

所以 $x^{2}+y^{2}=4 x$. 即圆 $O_{1}$ 的直角坐标方程为 $x^{2}+y^{2}-4 x=0$,

同理圆 $\mathrm{O}_{2}$ 的直角坐标方程为 $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}+4 \mathrm{y}=0$.

(2)求经过圆 $\mathrm{O}_{1} .$ 圆 $\mathrm{O}_{2}$ 交点的直线的直角坐标方程.

答案: 解: 以极点为原点.极轴为 $\mathrm{x}$ 轴正半轴建立平面直角坐标系, 两坐标系中取相同的长度单位.

由 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}-4 x=0, \\ x^{2}+y^{2}+4 y=0,\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}=0, \\ y_{1}=0,\end{array}\right.$ 或者 $\left\{\begin{array}{l}x_{2}=2, \\ y_{2}=-2,\end{array}\right.$

即圆 $\mathrm{O}_{1} .$ .圆 $\mathrm{O}_{2}$ 交于点 $(0,0)$ 和 $(2,-2)$, 故过交点的直线的直角坐标方程为 $\mathrm{y}=-\mathrm{x}$.
解析：: 分析: 本题主要考查了圆的极坐标方程, 解决问题的关键是将所给极坐标方程转化为
普通方程分析计算即可
题目（高三 · 解析几何）：22. 已知 $\odot \mathrm{O}_{1}$ 和 $\odot \mathrm{O}_{2}$ 的极坐标方程分别是 $\rho=2 \cos \theta$ 和 $\rho=2 \operatorname{asin} \theta(\mathrm{a}$ 是非零常数).

(1)将两圆的极坐标方程化为直角坐标方程.
选项：
答案：答案: 解答: 由 $\rho=2 \cos \theta$, 得 $\rho^{2}=2 \rho \cos \theta$,所以 $\odot \mathrm{O}_{1}$ 的直角坐标方程为 $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{x}$,即 $(x-1)^{2}+y^{2}=1$.由 $\rho=2 \operatorname{asin} \theta$, 得 $\rho^{2}=2 a p \sin \theta$.所以 $\odot \mathrm{O}_{2}$ 的直角坐标方程为 $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{ay}$,即 $x^{2}+(y-a)^{2}=a^{2}$.

(2)若两圆的圆心距为 $\sqrt{5}$, 求 $\mathrm{a}$ 的值.

答案: 解: $\odot \mathrm{O}_{1}$ 与 $\odot \mathrm{O}_{2}$ 的圆心之间的距离为 $\sqrt{5}$, 解得 $\mathrm{a}= \pm 2$.
解析：: 分析: 本题主要考查了圆的极坐标方程, 解决问题的关键是转化为普通方程分析计算即可
题目（高三 · 解析几何）：23. 已知圆的极坐标方程为: $\rho^{2}-4 \sqrt{2} \rho \cos \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)+6=0$.

(1) 将极坐标方程化为普通方程;

答案: 解: $x^{2}+y^{2}-4 x-4 y+6=0$;

(2) 若点 $P(x, y)$ 在该圆上, 求 $x+y$ 的最大值和最小值.
选项：
答案：答案: 解: 圆的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2+\sqrt{2} \cos \alpha, \\ y=2+\sqrt{2} \sin \alpha,\end{array}\right.$所以 $x+y=4+2 \sin \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)$, 那么 $\mathrm{x}+\mathrm{y}$ 最大值为 6 , 最小值为 2 .
解析：: 分析: 本题主要考查了圆的极坐标方程, 解决问题的关键是应用参数方程, 将求二元函数的最值问题, 转化成了三角函数问题, 也很好体现了“换元思想”
题目（高三 · 解析几何）：24. 选修 4 -4: 坐标系与参数方程

在直角坐标系 $\mathrm{xOy}$ 中, 圆 $\mathrm{C}$ 的参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=1+\cos \varphi \\ y=\sin \varphi\end{array}\right.$ ( $\varphi$ 为参数). 以 $\mathrm{O}$ 为极点, $\mathrm{x}$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1) 求圆 C 的极坐标方程;
选项：
答案：答案: 解: 圆 $C$ 的普通方程为 $(x-1)^{2}+y^{2}=1$, 又 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$, 所以圆 $C$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \cos \theta$;

(2) 直线 $l$ 的极坐标方程是 $2 \rho \sin \left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)=3 \sqrt{3}$, 射线 $O M: \theta=\frac{\pi}{3}$ 与圆 C 的交点为 $\mathrm{O} . \mathrm{P}$,
与直线 $l$ 的交点为 $\mathrm{Q}$, 求线段 $\mathrm{PQ}$ 的长.

答案: 解: 设 $\left(\rho_{1}, \theta_{1}\right)$ 为点 $P$ 的极坐标, 则有 $\left\{\begin{array}{c}\rho_{1}=2 \cos \theta_{1} \\ \theta_{1}=\frac{\pi}{3}\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{c}\rho_{1}=1 \\ \theta_{1}=\frac{\pi}{3}\end{array}\right.$, 设 $\left(\rho_{2}, \theta_{2}\right)$ 为点 $Q$ 的极坐标, $\left\{\begin{array}{c}2 \rho_{2} \sin \left(\theta_{2}+\frac{\pi}{3}\right)=3 \sqrt{3} \\ \theta_{2}=\frac{\pi}{3}\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}\rho_{2}=3 \\ \theta_{2}=\frac{\pi}{3}\end{array}\right.$, 由于 $\theta_{1}=\theta_{2}$, 所以 $|P Q|=\left|\rho_{1}-\rho_{2}\right|=2$, 所以线段 $P Q$ 的长为 2 .
解析：: 分析: 本题主要考查了圆的极坐标方程, 解决问题的关键是 (1) 由圆 C 的参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=1+\cos \varphi \\ y=\sin \varphi\end{array}\left(\varphi\right.\right.$ 为参数), 化为普通方程为 $(x-1)^{2}+y^{2}=1$, 利用 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$, 即得圆 $\mathrm{C}$ 的极坐标方程; (2) 求线段 $P Q$ 的长, 由于 $O, P, Q$ 三点共线, 故 $|P Q|=|| O P|-| O Q \|$, 可设 $P\left(\rho_{1}, \theta_{1}\right), Q\left(\rho_{2}, \theta_{2}\right)$, 则 $|P Q|=\left|\rho_{1}-\rho_{2}\right|$, 关键是求出 $\rho_{1}, \rho_{2}$ 的值, 由 $\left\{\begin{array}{c}\rho_{1}=2 \cos \theta_{1} \\ \theta_{1}=\frac{\pi}{3}\end{array}\right.$ 可求得 $\rho_{1}$ 的值, 由 $\left\{\begin{array}{c}2 \rho_{2} \sin \left(\theta_{2}+\frac{\pi}{3}\right)=3 \sqrt{3} \\ \theta_{2}=\frac{\pi}{3}\end{array}\right.$ 可求得 $\rho_{2}$的值, 从而可解.
题目（高三 · 解析几何）：25. 设过原点 $O$ 的直线与圆 $C:(x-1)^{2}+y^{2}=1$ 的一个交点为 $P$, 点 $M$ 为线段 $O P$ 的中点。

(1) 求圆 $C$ 的极坐标方程;
选项：
答案：答案：解：圆 $(x-1)^{2}+y^{2}=1$ 的极坐标方程为 $\rho=2 \cos \theta$

(2) 求点 $M$ 轨迹的极坐标方程, 并说明它是什么曲线.

答案: 解: 设点 $P$ 的极坐标为 $\left(\rho_{1}, \theta_{1}\right)$, 点 $M$ 的极坐标为 $(\rho, \theta)$,

$\because$ 点 $M$ 为线段 $O P$ 的中点, $\therefore \rho_{1}=2 \rho, \theta_{1}=\theta$将 $\rho_{1}=2 \rho, \theta_{1}=\theta$ 代入圆的极坐标方程, 得 $\rho=\cos \theta$ $\therefore$ 点 $M$ 轨迹的极坐标方程为 $\rho=\cos \theta$, 它表示圆心在点 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$, 半径为 $\frac{1}{2}$ 的圆.
解析：: 分析: 本题主要考查了圆的极坐标方程, 解决问题的关键是(1)根据极坐标和直角坐标的互化公式 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 可将极坐标方程化为直角坐标方程。(2)因为点 $P$ 在圆 $\rho=2 \cos \theta$ 上则可设 $P$ 的极坐标为 $P$ 的极坐标为 $\left(\rho_{1}, \theta_{1}\right)$, 点 $M$ 的极坐标为 $(\rho, \theta)$ 则 $\rho_{1}=2 \rho, \theta_{1}=\theta$ 并代入 $\rho=2 \cos \theta$ 可得点 $M$ 的极坐标方程