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题目（八年级 · 组合几何学）：( 10 分 ) 如图, $\mathrm{E}, \mathrm{F}$ 是四边形 $\mathrm{ABCD}$ 的对角线 $\mathrm{AC}$ 上两点, $\mathrm{AF}=\mathrm{CE}, \mathrm{DF}=\mathrm{BE}, \mathrm{DF} / / \mathrm{BE}$.求证:



(1) $\triangle \mathrm{AFD} \cong \triangle \mathrm{CEB}$;

(2) 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是平行四边形.
选项：
答案： (1) 解: $\because \mathrm{DF} / / \mathrm{BE}$,

$\therefore \angle \mathrm{DFE}=\angle \mathrm{BEF}$.

$\because \angle \mathrm{AFD}+\angle \mathrm{DFE}=180^{\circ}, \angle \mathrm{CEB}+\angle \mathrm{BEF}=180^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{AFD}=\angle \mathrm{CEB}$.

又 $\because \mathrm{AF}=\mathrm{CE}, \mathrm{DF}=\mathrm{BE}$,
$\therefore \triangle \mathrm{AFD} \cong \triangle \mathrm{CEB}(\mathrm{SAS})$

(2) 解: 由 (1) 知 $\triangle \mathrm{AFD} \cong \triangle \mathrm{CEB}$,

$\therefore \angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{BCA}, \mathrm{AD}=\mathrm{BC}$

$\therefore \mathrm{AD} / / \mathrm{BC}$.

$\therefore$ 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
解析： (1) 解: $\because \mathrm{DF} / / \mathrm{BE}$,

$\therefore \angle \mathrm{DFE}=\angle \mathrm{BEF}$.

$\because \angle \mathrm{AFD}+\angle \mathrm{DFE}=180^{\circ}, \angle \mathrm{CEB}+\angle \mathrm{BEF}=180^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{AFD}=\angle \mathrm{CEB}$.

又 $\because \mathrm{AF}=\mathrm{CE}, \mathrm{DF}=\mathrm{BE}$,
$\therefore \triangle \mathrm{AFD} \cong \triangle \mathrm{CEB}(\mathrm{SAS})$

(2) 解: 由 (1) 知 $\triangle \mathrm{AFD} \cong \triangle \mathrm{CEB}$,

$\therefore \angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{BCA}, \mathrm{AD}=\mathrm{BC}$

$\therefore \mathrm{AD} / / \mathrm{BC}$.

$\therefore$ 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是平行四边形 (一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)
题目（八年级 · 组合几何学）：( 5 分 ) 已知, 如图, 在 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\mathrm{E} 、 \mathrm{~F}$ 是对角线 $\mathrm{BD}$ 上的两点, 且 $\mathrm{BF}=\mathrm{DE}$. 求证: $\mathrm{AE}=\mathrm{CF}$.


选项：
答案：解: 连接 $\mathrm{AC}$ 交 $\mathrm{BD}$ 于点 $\mathrm{O}$, 连接 $\mathrm{AF} 、 \mathrm{CE}$

<ImageHere>
$\because$ 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是平行四边形

$\therefore \mathrm{OA}=\mathrm{OC}, \mathrm{OB}=\mathrm{OD}$

$\because \mathrm{OF}=\mathrm{BF}-\mathrm{OB}, \quad \mathrm{OE}=\mathrm{DE}-\mathrm{OD}, \quad \mathrm{BF}=\mathrm{DE}$

$\therefore \mathrm{OE}=\mathrm{OF}$

$\because \mathrm{OA}=\mathrm{OC}, \quad \mathrm{OE}=\mathrm{OF}$

$\therefore$ 四边形 $\mathrm{AECF}$ 是平行四边形

$\therefore \mathrm{AE}=\mathrm{CF}$
解析：解: 连接 $\mathrm{AC}$ 交 $\mathrm{BD}$ 于点 $\mathrm{O}$, 连接 $\mathrm{AF} 、 \mathrm{CE}$


$\because$ 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是平行四边形

$\therefore \mathrm{OA}=\mathrm{OC}, \mathrm{OB}=\mathrm{OD}$

$\because \mathrm{OF}=\mathrm{BF}-\mathrm{OB}, \quad \mathrm{OE}=\mathrm{DE}-\mathrm{OD}, \quad \mathrm{BF}=\mathrm{DE}$

$\therefore \mathrm{OE}=\mathrm{OF}$

$\because \mathrm{OA}=\mathrm{OC}, \quad \mathrm{OE}=\mathrm{OF}$

$\therefore$ 四边形 $\mathrm{AECF}$ 是平行四边形

$\therefore \mathrm{AE}=\mathrm{CF}$
题目（八年级 · 组合几何学）：如图,正方形$ABCD$的面积为8,正方形$ECFG$的面积为32.(1)求正方形$ABCD$和正方形$ECFG$的边长;(2)求阴影部分的面积.
选项：
答案：(1)根据正方形的面积公式求得边长;(2)先求出直角三角形$BFG、ABD$的面积,然后用两个正方形的面积减去两个直角三角形的面积，这就是阴影部分的面积.【解析】解:(1)正方形$ABCD$的边长为:$BC=sqrt{8}=2sqrt{2}$,正方形$ECFG$的边长为:$CF=sqrt{32}=4sqrt{2}$;(2)$becauseBF=BC+CF,BC=2sqrt{2},CF=4sqrt{2}$,$thereforeBF=6sqrt{2}$;$thereforeS_{triangleBFG}=frac{1}{2}GFcdotBF=24;$又$S_{triangleABD}=frac{1}{2}ABcdotAD=4$,<ImageHere>$=8+32-24-4$,$=12$.【点睛】本题主要考查了二次根式的应用,正方形的性质,三角形的面积.第(2)题关键是把阴影部分面积转化为正方形与三角形的面积进行计算.
解析：(1)根据正方形的面积公式求得边长;(2)先求出直角三角形$BFG、ABD$的面积,然后用两个正方形的面积减去两个直角三角形的面积，这就是阴影部分的面积.【解析】解:(1)正方形$ABCD$的边长为:$BC=sqrt{8}=2sqrt{2}$,正方形$ECFG$的边长为:$CF=sqrt{32}=4sqrt{2}$;(2)$becauseBF=BC+CF,BC=2sqrt{2},CF=4sqrt{2}$,$thereforeBF=6sqrt{2}$;$thereforeS_{triangleBFG}=frac{1}{2}GFcdotBF=24;$又$S_{triangleABD}=frac{1}{2}ABcdotAD=4$,$=8+32-24-4$,$=12$.【点睛】本题主要考查了二次根式的应用,正方形的性质,三角形的面积.第(2)题关键是把阴影部分面积转化为正方形与三角形的面积进行计算.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图,已知平行四边形$ABDC$中,$E、F$是对角线$BC$上两点,且满足$BF=DE$.求证:$AF//CE$.
选项：
答案：可由题中条件判断出$triangleABFcongtriangleCDE$,得出$angleCED=angleAFB$,即$angleDEC=angleBFA$,进而可求证$AF//CE$.【解析】证明:$because$四边形$ABDC$是平行四边形,$thereforeAB=CD,AB//CD$,$thereforeangleABF=angleCDE$,在$triangleABF$与$triangleCDE$中,$left{begin{array}{l}{AB}={CD}angle{ABF}=angle{CDE},{BF}={DE}end{array}right.$$thereforeCDEcongtriangleABF(SAS)$,$thereforeangleCED=angleAFB$,$thereforeangleDEB=angleCFA$,$thereforeAF//DE$.【点睛】本题考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件.
解析：可由题中条件判断出$triangleABFcongtriangleCDE$,得出$angleCED=angleAFB$,即$angleDEC=angleBFA$,进而可求证$AF//CE$.【解析】证明:$because$四边形$ABDC$是平行四边形,$thereforeAB=CD,AB//CD$,$thereforeangleABF=angleCDE$,在$triangleABF$与$triangleCDE$中,$left{begin{array}{l}{AB}={CD}angle{ABF}=angle{CDE},{BF}={DE}end{array}right.$$thereforeCDEcongtriangleABF(SAS)$,$thereforeangleCED=angleAFB$,$thereforeangleDEB=angleCFA$,$thereforeAF//DE$.【点睛】本题考查了平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质,全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件.
题目（八年级 · 组合几何学）：以下提供了将凸多边形分割成若干个三角形的一种方法:(1)试根据所给的方法,将图(4)中的七边形分割成6个三角形;（2）按这种方法,凸$n$边形可以分割成$(n-1)_$个三角形;（3）请根据上述方法,以三角形的内角和定理为依据,推导凸$n$边形的内角和公式:凸$n$边形的内角和$=(n-2)times180^{circ};$(4)利用（3）中的公式解答下面的问题:凸$n$边形的内角和再加上某个外角等于$1350^{circ}$,求这个多边形的边数以及这个外角的度数.(1)(2)(3)(4)
选项：
答案：(1)根据图(1)(2)(3)进行推导.(2)根据特殊到一般的数学思想解决本题.（3）由$(n-1)$个三角形的内角的和为$180^{circ}(n-1)$,得凸$n$边形的内角和为$180^{circ}(n-1)$$-180^{circ}=(n-2)times180^{circ}$.（4）设加上的某个外角的度数为$xleft(0<x<180^{circ}right)$,由题意得$(n-2)times180^{circ}+x=1350^{circ}$,从而解决此题.【解析】解:(1)图(1)是四边形,分割成3个三角形;图(2)是五边形，分割成4个三角形;图(3)是六边形,分割成5个三角形;图(4)是七边形，分割成6个三角形;...以此类推,凸$n$边形可以分割成$(n-1)$个三角形.故答案为:6.(2)由(1)可得:凸$n$边形可以分割成$(n-1)$个三角形.故答案为:$(n-1)$.(3)由(2)得:凸$n$边形可以分割成$(n-1)$个三角形.$therefore(n-1)$个三角形的内角的和为$180^{circ}(n-1)$.$therefore$凸$n$边形的内角和为$180^{circ}(n-1)-180^{circ}=(n-2)times180^{circ}$.（4）设加上的某个外角的度数为$xleft(0<x<180^{circ}right)$.由题意得:$(n-2)times180^{circ}+x=1350^{circ}$.$thereforex=1350^{circ}-(n-2)times180^{circ}$.$because0<x<180^{circ}$,$therefore6.5<n-2<7.5$.$thereforen=9$.$thereforex=90^{circ}$.$therefore$这个多边形的边数为9,这个外角的度数为$90^{circ}$.【点睛】本题主要考查多边形的内角和、三角形内角和定理、多边形的对角线,熟练掌握特殊到一般的数学思想是解决本题的关键.
解析：(1)根据图(1)(2)(3)进行推导.(2)根据特殊到一般的数学思想解决本题.（3）由$(n-1)$个三角形的内角的和为$180^{circ}(n-1)$,得凸$n$边形的内角和为$180^{circ}(n-1)$$-180^{circ}=(n-2)times180^{circ}$.（4）设加上的某个外角的度数为$xleft(0<x<180^{circ}right)$,由题意得$(n-2)times180^{circ}+x=1350^{circ}$,从而解决此题.【解析】解:(1)图(1)是四边形,分割成3个三角形;图(2)是五边形，分割成4个三角形;图(3)是六边形,分割成5个三角形;图(4)是七边形，分割成6个三角形;...以此类推,凸$n$边形可以分割成$(n-1)$个三角形.故答案为:6.(2)由(1)可得:凸$n$边形可以分割成$(n-1)$个三角形.故答案为:$(n-1)$.(3)由(2)得:凸$n$边形可以分割成$(n-1)$个三角形.$therefore(n-1)$个三角形的内角的和为$180^{circ}(n-1)$.$therefore$凸$n$边形的内角和为$180^{circ}(n-1)-180^{circ}=(n-2)times180^{circ}$.（4）设加上的某个外角的度数为$xleft(0<x<180^{circ}right)$.由题意得:$(n-2)times180^{circ}+x=1350^{circ}$.$thereforex=1350^{circ}-(n-2)times180^{circ}$.$because0<x<180^{circ}$,$therefore6.5<n-2<7.5$.$thereforen=9$.$thereforex=90^{circ}$.$therefore$这个多边形的边数为9,这个外角的度数为$90^{circ}$.【点睛】本题主要考查多边形的内角和、三角形内角和定理、多边形的对角线,熟练掌握特殊到一般的数学思想是解决本题的关键.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图,矩形$AEBO$的对角线$AB,OE$交于点$F$,延长$AO$到点$C$,使$OC=OA$,延长$BO$到点$D$,使$OD=OB$,连接$AD,DC,BC$.(1)求证:四边形$ABCD$是菱形;(2)若$OE=10,angleBCD=60^{circ}$,求菱形$ABCD$的面积.
选项：
答案：(1)先由对角线互相平分的四边形$ABCD$是平行四边形,再由矩形的性质得出$BDperpAC$,即可得出结论;（2）由矩形的性质得出$AB=OE=10$,由菱形的性质得出$OB=OD,angleAOB=90^{circ},OC、OB$的长,然后由菱形的面积公式即可得出结果.【解析】(1)证明:$becauseCO=AO,DO=BO$,$therefore$四边形$ABCD$是平行四边形,$because$四边形$AEBO$是矩形,$thereforeangleAOB=90^{circ}$,$thereforeBDperpAC$,$therefore$四边形$ABCD$是菱形;(2)解:$because$四边形$AEBO$是矩形,$thereforeAB=BC=OE=10$,$because$四边形$ABCD$是菱形,$angleBCD=60^{circ}$,$thereforeangleBCO=30^{circ},angleAOB=90^{circ}$$thereforeOB=frac{1}{2}BC=frac{1}{2}times10=5$,在Rt$triangleBOC$中,由勾股定理得:$OC=sqrt{BC^{2}-OB^{2}}=sqrt{10^{2}-5^{2}}=5sqrt{3}$,$thereforeBD=2OB=2times5=10,AC=2OC=2times5sqrt{3}=10sqrt{3}$,$thereforeS_{text{麦形}ABCD}=frac{1}{2}ACcdotBD=frac{1}{2}times10times10sqrt{3}=50sqrt{3}$.【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识;熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.
解析：(1)先由对角线互相平分的四边形$ABCD$是平行四边形,再由矩形的性质得出$BDperpAC$,即可得出结论;（2）由矩形的性质得出$AB=OE=10$,由菱形的性质得出$OB=OD,angleAOB=90^{circ},OC、OB$的长,然后由菱形的面积公式即可得出结果.【解析】(1)证明:$becauseCO=AO,DO=BO$,$therefore$四边形$ABCD$是平行四边形,$because$四边形$AEBO$是矩形,$thereforeangleAOB=90^{circ}$,$thereforeBDperpAC$,$therefore$四边形$ABCD$是菱形;(2)解:$because$四边形$AEBO$是矩形,$thereforeAB=BC=OE=10$,$because$四边形$ABCD$是菱形,$angleBCD=60^{circ}$,$thereforeangleBCO=30^{circ},angleAOB=90^{circ}$$thereforeOB=frac{1}{2}BC=frac{1}{2}times10=5$,在Rt$triangleBOC$中,由勾股定理得:$OC=sqrt{BC^{2}-OB^{2}}=sqrt{10^{2}-5^{2}}=5sqrt{3}$,$thereforeBD=2OB=2times5=10,AC=2OC=2times5sqrt{3}=10sqrt{3}$,$thereforeS_{text{麦形}ABCD}=frac{1}{2}ACcdotBD=frac{1}{2}times10times10sqrt{3}=50sqrt{3}$.【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识;熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 已知点 $E 、 C$ 在线段 $B F$ 上, $B E=C F, A B=D E, A C=D F$.

求证: $\angle A=\angle D$


选项：
答案：证明: $\because B E=C F$,

$\therefore B E+E C=C F+E C$ 即 $B C=E F$,

在 $\triangle A B C$ 和 $\triangle D E F$ 中

$\left\{\begin{array}{l}A B=D E \\ B C=E F \\ A C=D F\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B C \xlongequal{\cong} \triangle D E F$

$\therefore \angle A=\angle D$
解析：证明: $\because B E=C F$,

$\therefore B E+E C=C F+E C$ 即 $B C=E F$,

在 $\triangle A B C$ 和 $\triangle D E F$ 中

$\left\{\begin{array}{l}A B=D E \\ B C=E F \\ A C=D F\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B C \xlongequal{\cong} \triangle D E F$

$\therefore \angle A=\angle D$
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A F$ 平分 $\angle B A C, A C$ 的垂直平分线交 $B C$ 于点 $E, \angle B=72^{\circ}, \angle F A E=18^{\circ}$,求 $\angle C$ 的度数.


选项：
答案：解: $\because D E$ 垂直平分 $A C$,

$\therefore E A=E C$,

$\therefore \angle C=\angle E A C$,

设 $\angle C=x^{\circ}$, 则 $\angle E A C=X^{\circ}, \angle F A C=(x+18)^{\circ}$,

$\because A F$ 平分 $\angle B A C$,

$\therefore \angle B A C=2 \angle F A C=(2 x+36)^{\circ}$,

$\therefore 72+2 x+36+x=180$,

解得: $x=24$,

$\therefore \angle C=24^{\circ}$.
解析：解: $\because D E$ 垂直平分 $A C$,

$\therefore E A=E C$,

$\therefore \angle C=\angle E A C$,

设 $\angle C=x^{\circ}$, 则 $\angle E A C=X^{\circ}, \angle F A C=(x+18)^{\circ}$,

$\because A F$ 平分 $\angle B A C$,

$\therefore \angle B A C=2 \angle F A C=(2 x+36)^{\circ}$,

$\therefore 72+2 x+36+x=180$,

解得: $x=24$,

$\therefore \angle C=24^{\circ}$.
题目（八年级 · 组合几何学）：已知: 如图, $A D=B C, A C=B D, A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$, 求证: $\angle A=\angle B, O D=O$.


选项：
答案：证明：连接 $C D$,

<ImageHere>

在 $\triangle A D C$ 和 $\triangle B C D$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}A D=B C \\ D C=C D, \\ A C=B D\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A D C \xlongequal{\triangle} \triangle B C D(\mathrm{SSS})$,

$\therefore \angle A=\angle B, \angle A C D=\angle B D C$

$\therefore O D=O C$.
解析：证明：连接 $C D$,



在 $\triangle A D C$ 和 $\triangle B C D$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}A D=B C \\ D C=C D, \\ A C=B D\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A D C \xlongequal{\triangle} \triangle B C D(\mathrm{SSS})$,

$\therefore \angle A=\angle B, \angle A C D=\angle B D C$

$\therefore O D=O C$.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A E, C D$ 分别是 $\angle B A C, \angle A C B$ 的平分线, 且 $A E, C D$ 相交于点 $F$.



(1) 若 $\angle B A C=80^{\circ}, \angle A C B=40^{\circ}$, 求 $\angle A F C$ 的度数;

(2) 若 $\angle B=80^{\circ}$, 求 $\angle A F C$ 的度数;

(3) 若 $\angle B=x^{\circ}$ ，用含 $x$ 的代数式表示 $\angle A F C$ 的度数.
选项：
答案：(1) 解: $\because \angle B A C=80^{\circ}, \angle A C B=40^{\circ}, A E, C D$ 分别是 $\angle B A C, \angle A C B$ 的平分线,

$\therefore \angle F A C=40^{\circ}, \angle F C A=20^{\circ}$,

$\therefore \angle A F C=180^{\circ}-\angle F A C^{-} \angle F C A=120^{\circ}$.

（2）解: $\because \angle B=80^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C^{+} \angle B C A=100^{\circ}$,

$\because A E, C D$ 分别是 $\angle B A C, \angle A C B$ 的平分线,

$\therefore \angle F A C+\angle F C A=50^{\circ}$,

$\therefore \angle A F C=130^{\circ}$.

（3）解： $\because \angle B=x^{\circ}$ ，

$\therefore \angle B A C+\angle B C A=180^{\circ}-x^{\circ}$,

$\because A E, C D$ 分别是 $\angle B A C, \angle A C B$ 的平分线,

$\therefore \angle F A C+\angle F C A=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-x^{\circ}\right)$,
$\therefore \angle A F C=180^{\circ}-(\angle F A C+\angle F C A)=180^{\circ}-\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-x^{\circ}\right)=90^{\circ}+\frac{1}{2} x^{\circ}$.
解析：(1) 解: $\because \angle B A C=80^{\circ}, \angle A C B=40^{\circ}, A E, C D$ 分别是 $\angle B A C, \angle A C B$ 的平分线,

$\therefore \angle F A C=40^{\circ}, \angle F C A=20^{\circ}$,

$\therefore \angle A F C=180^{\circ}-\angle F A C^{-} \angle F C A=120^{\circ}$.

（2）解: $\because \angle B=80^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C^{+} \angle B C A=100^{\circ}$,

$\because A E, C D$ 分别是 $\angle B A C, \angle A C B$ 的平分线,

$\therefore \angle F A C+\angle F C A=50^{\circ}$,

$\therefore \angle A F C=130^{\circ}$.

（3）解： $\because \angle B=x^{\circ}$ ，

$\therefore \angle B A C+\angle B C A=180^{\circ}-x^{\circ}$,

$\because A E, C D$ 分别是 $\angle B A C, \angle A C B$ 的平分线,

$\therefore \angle F A C+\angle F C A=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-x^{\circ}\right)$,
$\therefore \angle A F C=180^{\circ}-(\angle F A C+\angle F C A)=180^{\circ}-\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-x^{\circ}\right)=90^{\circ}+\frac{1}{2} x^{\circ}$.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 点 $C, E, F, B$ 在同一条直线上, $C E=B F, A B=D C, \angle B=\angle C$, 证明: $A E=D F$.


选项：
答案：证明: $\because C=B F$

$\therefore C E+E F=B F+E F$

$\therefore C F=B E$

在 $\triangle A B E$ 和 $\triangle C D F$ 中 $\left\{\begin{array}{l}C F=B E \\ \angle B=\angle C \\ A B=D C\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B E \cong \triangle C D F$

$\therefore A E=D F$
解析：证明: $\because C=B F$

$\therefore C E+E F=B F+E F$

$\therefore C F=B E$

在 $\triangle A B E$ 和 $\triangle C D F$ 中 $\left\{\begin{array}{l}C F=B E \\ \angle B=\angle C \\ A B=D C\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B E \cong \triangle C D F$

$\therefore A E=D F$
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 已知 $A C \perp B C, B D \perp A D, A C$ 与 $B D$ 交于 $O, A C=B D$.

求证: (1) $B C=A D$;

(2) $\triangle O A B$ 是等腰三角形.


选项：
答案：证明: (1) $\because A C \perp B C, B D \perp A D$,

$\therefore \triangle A B C$ 与 $\triangle B A D$ 是直角三角形,

在 $\triangle A B C$ 和 $\triangle B A D$ 中, $\because A C=B D, A B=B A, \angle A C B=\angle B D A=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle A B C \cong \triangle B A D(H L)$

$\therefore B C=A D$.

(2) $\because \triangle A B C \cong \triangle B A D$
$\therefore \angle C A B=\angle D B A$

$\therefore O A=O B$.

$\therefore \triangle O A B$ 是等腰三角形.
解析：证明: (1) $\because A C \perp B C, B D \perp A D$,

$\therefore \triangle A B C$ 与 $\triangle B A D$ 是直角三角形,

在 $\triangle A B C$ 和 $\triangle B A D$ 中, $\because A C=B D, A B=B A, \angle A C B=\angle B D A=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle A B C \cong \triangle B A D(H L)$

$\therefore B C=A D$.

(2) $\because \triangle A B C \cong \triangle B A D$
$\therefore \angle C A B=\angle D B A$

$\therefore O A=O B$.

$\therefore \triangle O A B$ 是等腰三角形.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, $\angle A=\angle B, A E=B E$, 点 $D$ 在 $A C$ 边上, $\angle 1=\angle 2, A E$ 和 $B D$ 相交于点 $O$.



(1) 求证: $\triangle A E C \cong \triangle B E D$;

(2) 若 $\angle 1=42^{\circ}$, 求 $\angle B D E$ 的度数.
选项：
答案：解: (1) $\because A E$ 和 $B D$ 相交于点 $O$,

$\therefore \angle A O D=\angle B O E$.

在 $\triangle A O D$ 和 $\triangle B O E$ 中,

$\because \angle A=\angle B$,

$\therefore \angle B E O=\angle 2$.

又 $\because \angle 1=\angle 2$,

$\therefore \angle 1=\angle B E O$,

$\therefore \angle A E C=\angle B E D$.

在 $\triangle A E C$ 和 $\triangle B E D$ 中,

$\because\left\{\begin{array}{l}\angle A=\angle B \\ A E=B E \\ \angle A E C=\angle B E D\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A E C \xlongequal{\cong} \triangle B E D(A S A)$.

(2) $\because \triangle A E C \cong \triangle B E D$,

(3) $\therefore E C=E D, \angle C=\angle B D E$.

在 $\triangle E D C$ 中, $\because E C=E D, \angle 1=42^{\circ}$ ，

$\therefore \angle C=\angle E D C=\left(180^{\circ}-42^{\circ}\right) \div 2=69^{\circ}$,

$\therefore \angle B D E=\angle C=69^{\circ}$.
解析：解: (1) $\because A E$ 和 $B D$ 相交于点 $O$,

$\therefore \angle A O D=\angle B O E$.

在 $\triangle A O D$ 和 $\triangle B O E$ 中,

$\because \angle A=\angle B$,

$\therefore \angle B E O=\angle 2$.

又 $\because \angle 1=\angle 2$,

$\therefore \angle 1=\angle B E O$,

$\therefore \angle A E C=\angle B E D$.

在 $\triangle A E C$ 和 $\triangle B E D$ 中,

$\because\left\{\begin{array}{l}\angle A=\angle B \\ A E=B E \\ \angle A E C=\angle B E D\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A E C \xlongequal{\cong} \triangle B E D(A S A)$.

(2) $\because \triangle A E C \cong \triangle B E D$,

(3) $\therefore E C=E D, \angle C=\angle B D E$.

在 $\triangle E D C$ 中, $\because E C=E D, \angle 1=42^{\circ}$ ，

$\therefore \angle C=\angle E D C=\left(180^{\circ}-42^{\circ}\right) \div 2=69^{\circ}$,

$\therefore \angle B D E=\angle C=69^{\circ}$.
题目（八年级 · 度量几何学）：(5 分) 已知正三角形的边长为 $4 \sqrt{3}$, 求它的一条边上的高.
选项：
答案：解: 如图, 等边三角形 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的边长为 $4 \sqrt{3}, \mathrm{AD}$ 为高, $\because \triangle \mathrm{ABC}$ 为等边三角形,

$\therefore \angle \mathrm{B}=60^{\circ}$,

在 Rt $\triangle \mathrm{ABD}$ 中, $\mathrm{AB}=4 \sqrt{3}$,

$\because \sin \mathrm{B}=\frac{A D}{A B}$

<ImageHere>

即它的一条边上的高为 6 .

<ImageHere>
解析：解: 如图, 等边三角形 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的边长为 $4 \sqrt{3}, \mathrm{AD}$ 为高, $\because \triangle \mathrm{ABC}$ 为等边三角形,

$\therefore \angle \mathrm{B}=60^{\circ}$,

在 Rt $\triangle \mathrm{ABD}$ 中, $\mathrm{AB}=4 \sqrt{3}$,

$\because \sin \mathrm{B}=\frac{A D}{A B}$



即它的一条边上的高为 6 .
题目（八年级 · 度量几何学）：( 5 分 ) 有理数 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b} 、 \mathrm{c}$ 在数轴上的位置如图所示, 化简 $\sqrt{(a-b)^{2}}-|b+c|-\sqrt{(b-c)^{2}}$


选项：
答案：解: $\sqrt{(a-b)^{2}}-|b+c|-\sqrt{(b-c)^{2}}$

$=|a-b|-|b+c|-|b-c|$

$=b-a+b+c-b+c$

$=b-a+2 c$
解析：解: $\sqrt{(a-b)^{2}}-|b+c|-\sqrt{(b-c)^{2}}$

$=|a-b|-|b+c|-|b-c|$

$=b-a+b+c-b+c$

$=b-a+2 c$
题目（八年级 · 度量几何学）：(5 分) 方老师想设计一个长方形纸片, 已知长方形的长是 $\sqrt{140 \pi} \mathrm{cm}$, 宽是 $\sqrt{35 \pi} \mathrm{cm}$, 他又想设计一个面积与其相等的圆, 请你帮助方老师求出圆的半径.
选项：
答案：因为长方形面积为 $\sqrt{140 \pi} \times \sqrt{35 \pi}=\sqrt{2^{2} \times 35^{2} \times \pi^{2}}=70 \pi$, 圆的面积等于长方形面积, 不妨设圆的半径为 $\mathrm{r}$, 于是 $\pi^{2}=70 \pi$, 所以 $r=\sqrt{70}_{\mathrm{cm}}$.
解析：因为长方形面积为 $\sqrt{140 \pi} \times \sqrt{35 \pi}=\sqrt{2^{2} \times 35^{2} \times \pi^{2}}=70 \pi$, 圆的面积等于长方形面积, 不妨设圆的半径为 $\mathrm{r}$, 于是 $\pi^{2}=70 \pi$, 所以 $r=\sqrt{70}_{\mathrm{cm}}$.
题目（八年级 · 度量几何学）：( 8 分 ) 如图, 在平行四边形 $A B C D$ 中, 对角线 $A C, B D$ 相交于点 $O, M N$ 是过 $O$ 点的直线, 交 $B C$ 于 $M$, 交 $A D$ 于 $N, B M=2, A N=2.8$, 求 $B C$ 和 $A D$ 的长.


选项：
答案：解：在平行四边新 $\mathrm{ABCD}$ 中,
$\because$ 对角线 $\mathrm{AC}, \mathrm{BD}$ 相交于点 $\mathrm{O}, \mathrm{MN}$ 是过 $\mathrm{O}$ 点的直线,

$\therefore \mathrm{AN}=\mathrm{MC} \mathrm{DN}=\mathrm{BM}$

$\because \mathrm{BC}=\mathrm{BM}+\mathrm{MC}$

$\therefore \mathrm{BC}=\mathrm{BM}+\mathrm{AN}=2+2.8=4.8$

$\because \mathrm{AD}=\mathrm{BC}$

$\therefore \mathrm{AD}=4.8$
解析：解：在平行四边新 $\mathrm{ABCD}$ 中,
$\because$ 对角线 $\mathrm{AC}, \mathrm{BD}$ 相交于点 $\mathrm{O}, \mathrm{MN}$ 是过 $\mathrm{O}$ 点的直线,

$\therefore \mathrm{AN}=\mathrm{MC} \mathrm{DN}=\mathrm{BM}$

$\because \mathrm{BC}=\mathrm{BM}+\mathrm{MC}$

$\therefore \mathrm{BC}=\mathrm{BM}+\mathrm{AN}=2+2.8=4.8$

$\because \mathrm{AD}=\mathrm{BC}$

$\therefore \mathrm{AD}=4.8$
题目（八年级 · 度量几何学）：( 5 分 ) 已知:如图, 在平行四边形 $A B C D$ 中, $E 、 F$ 分别是 $A D 、 B C$ 的中点, 求证: $B E=D F$.


选项：
答案：证明: $\because$ 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是平行四边形

$\therefore \mathrm{AD}=\mathrm{BC}, \quad \mathrm{AD} / / \mathrm{BC}$

$\because E 、 F$ 分别是 $A D 、 B C$ 的中点

$\therefore \mathrm{DE}={ }^{\frac{1}{2}} \mathrm{AD}, \mathrm{BF}={ }^{\frac{1}{2}} \mathrm{BC}$

$\therefore \mathrm{DE}=\mathrm{BF}$

$\therefore$ 四边形 $\mathrm{BFDE}$ 是平行四边形

$\therefore \mathrm{BE}=\mathrm{DF}$
解析：证明: $\because$ 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是平行四边形

$\therefore \mathrm{AD}=\mathrm{BC}, \quad \mathrm{AD} / / \mathrm{BC}$

$\because E 、 F$ 分别是 $A D 、 B C$ 的中点

$\therefore \mathrm{DE}={ }^{\frac{1}{2}} \mathrm{AD}, \mathrm{BF}={ }^{\frac{1}{2}} \mathrm{BC}$

$\therefore \mathrm{DE}=\mathrm{BF}$

$\therefore$ 四边形 $\mathrm{BFDE}$ 是平行四边形

$\therefore \mathrm{BE}=\mathrm{DF}$
题目（八年级 · 度量几何学）：(10 分 $)$ 按要求完成下列各小题.

(1) 若一个多边形的内角和是外角和的 5 倍, 求这个多边形的边数;

(2) 若一个正多边形的周长是 100 , 且内角和为 $1440^{\circ}$, 求该正多边形的边长.
选项：
答案： (1) 解：设多边形的边数为 $n$,

由题意得, $(n-2) \cdot 180^{\circ}=5 \times 360^{\circ}$,

解得 $n=12$,

所以, 这个多边形是十二边形;

(2) 解: 根据题意, 得:

$(n-2) \cdot 180=1440^{\circ}$,

解得 $\mathrm{n}=10$.

所以它的边长是 $100 \div 10=10$.

故答案为: 10 。
解析： (1) 解：设多边形的边数为 $n$,

由题意得, $(n-2) \cdot 180^{\circ}=5 \times 360^{\circ}$,

解得 $n=12$,

所以, 这个多边形是十二边形;

(2) 解: 根据题意, 得:

$(n-2) \cdot 180=1440^{\circ}$,

解得 $\mathrm{n}=10$.

所以它的边长是 $100 \div 10=10$.

故答案为: 10 。
题目（八年级 · 度量几何学）：如图在四边形$ABCD$中$AB=BC=sqrt{2},CD=sqrt{3},AD=1$且$ABperpCB$,试求四边形$ABCD$的面积(提示:连接$AC$).
选项：
答案：直接利用勾股定理进而得出$AC$的长,再结合勾股定理逆定理得出$triangleACD$为直角三角形,分别得出$S_{triangleABC},S_{triangleACD}$,即可得出答案.【解析】解：连结$AC$$becauseABperpCB$,$thereforeAC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$,$thereforeAC=sqrt{{AB}^{2}+{BC}^{2}}=sqrt{(sqrt{2})^{2}+(sqrt{2})^{2}}=2$,又$becauseCD=sqrt{3},AD=1$,$thereforeAD^{2}+CD^{2}=1^{2}+(sqrt{3})^{2}=4=2^{2}=AC^{2}$,$thereforetriangleACD$为直角三角形,$thereforeS_{triangleABC}=frac{ABtimesBC}{2}=frac{sqrt{2}timessqrt{2}}{2}=1$,$S_{triangleACD}=frac{{AD}times{CD}}{2}=frac{1timessqrt{3}}{2}=frac{sqrt{3}}{2}$,$thereforeS_{text{四边形}ABCD}=S_{triangleABC}+S_{triangleACD}=1+frac{sqrt{3}}{2}$.<ImageHere>【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理,正确得出$S_{triangleABC},S_{triangleACD}$是解题关键.
解析：直接利用勾股定理进而得出$AC$的长,再结合勾股定理逆定理得出$triangleACD$为直角三角形,分别得出$S_{triangleABC},S_{triangleACD}$,即可得出答案.【解析】解：连结$AC$$becauseABperpCB$,$thereforeAC^{2}=AB^{2}+BC^{2}$,$thereforeAC=sqrt{{AB}^{2}+{BC}^{2}}=sqrt{(sqrt{2})^{2}+(sqrt{2})^{2}}=2$,又$becauseCD=sqrt{3},AD=1$,$thereforeAD^{2}+CD^{2}=1^{2}+(sqrt{3})^{2}=4=2^{2}=AC^{2}$,$thereforetriangleACD$为直角三角形,$thereforeS_{triangleABC}=frac{ABtimesBC}{2}=frac{sqrt{2}timessqrt{2}}{2}=1$,$S_{triangleACD}=frac{{AD}times{CD}}{2}=frac{1timessqrt{3}}{2}=frac{sqrt{3}}{2}$,$thereforeS_{text{四边形}ABCD}=S_{triangleABC}+S_{triangleACD}=1+frac{sqrt{3}}{2}$.【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理,正确得出$S_{triangleABC},S_{triangleACD}$是解题关键.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图,在四边形$ABCD$中,$AD//BC$,对角线$AC、BD$交于点$O$,且$AO=OC$.(1)求证:(1)$triangleAOEcongtriangleCOF;$(2)四边形$ABCD$为平行四边形;(2)过点$O$作$EFperpBD$,交$AD$于点$E$,交$BC$于点$F$,连接$BE$,若$angleBAD=100^{circ},angleDBF=32^{circ}$,求$angleABE$的度数.
选项：
答案：(1)(1)由平行线的性质得出$angleOAD=angleOCB$,可证明$triangleAOEcongtriangleCOF$($ASA$);(2)证得$AD=CB$,再由$AD//BC$,即可得出结论;(2)由全等三角形的性质得出$OE=OF$,证出$BE=BF$,由等腰三角形的性质得出$angleOBF=angleOBE$$=32^{circ}$,求出$angleABC=116^{circ}$,则可得出答案.【解析】(1)(1)证明:$becauseAD//BC$,$thereforeangleOAD=angleOCB$,在$triangleAOE$和$triangleCOF$中,$left{begin{array}{l}angle{OAE}=angle{OCF}{AO}={OC}angle{AOE}=angle{COF}end{array}right.$,$thereforetriangleAOEcongtriangleCOF(ASA);$(2)同理可证$triangleAODcongtriangleCOB$,$thereforeAD=CB$,又$becauseAD//BC$,$therefore$四边形$ABCD$为平行四边形;(2)解:$becausetriangleAOEcongtriangleCOF$,$thereforeOE=OF$,$becauseEFperpBD$,$thereforeBE=BF$,$thereforeangleOBF=angleOBE=32^{circ}$,$thereforeangleEBF=64^{circ}$,$becauseAD//BC$$thereforeangleABC=180^{circ}-angleBAD=180^{circ}-100^{circ}=80^{circ}$,$thereforeangleABE=angleABC-angleEBF=80^{circ}-64^{circ}=16^{circ}$.【点睛】本题考查了平行四边形的判定,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,平行线的性质,证明$triangleAOEcongtriangleCOF$是解题的关键.
解析：(1)(1)由平行线的性质得出$angleOAD=angleOCB$,可证明$triangleAOEcongtriangleCOF$($ASA$);(2)证得$AD=CB$,再由$AD//BC$,即可得出结论;(2)由全等三角形的性质得出$OE=OF$,证出$BE=BF$,由等腰三角形的性质得出$angleOBF=angleOBE$$=32^{circ}$,求出$angleABC=116^{circ}$,则可得出答案.【解析】(1)(1)证明:$becauseAD//BC$,$thereforeangleOAD=angleOCB$,在$triangleAOE$和$triangleCOF$中,$left{begin{array}{l}angle{OAE}=angle{OCF}{AO}={OC}angle{AOE}=angle{COF}end{array}right.$,$thereforetriangleAOEcongtriangleCOF(ASA);$(2)同理可证$triangleAODcongtriangleCOB$,$thereforeAD=CB$,又$becauseAD//BC$,$therefore$四边形$ABCD$为平行四边形;(2)解:$becausetriangleAOEcongtriangleCOF$,$thereforeOE=OF$,$becauseEFperpBD$,$thereforeBE=BF$,$thereforeangleOBF=angleOBE=32^{circ}$,$thereforeangleEBF=64^{circ}$,$becauseAD//BC$$thereforeangleABC=180^{circ}-angleBAD=180^{circ}-100^{circ}=80^{circ}$,$thereforeangleABE=angleABC-angleEBF=80^{circ}-64^{circ}=16^{circ}$.【点睛】本题考查了平行四边形的判定,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,平行线的性质,证明$triangleAOEcongtriangleCOF$是解题的关键.