eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高三 · 计数）：下列关于回归分析与独立性检验的说法正确的是 ( )(1)回归分析和独立性检验没有什么区别;(2)回归分析是对两个变量准确关系的分析, 而独立性检验是分析两个变量之间的不确定性关系;(3)回归分析研究两个变量之间的相关关系, 独立性检验是对两个变量是否具有某种关系的一种检验;(4)独立性检验可以 $100 \%$ 确定两个变量之间是否具有某种关系.A. (1) (2) B. (3)C. (3)(4) $\mathrm{D}$.D. 全选
选项：
答案：B
解析：答案：B

【解析】回归分析是对两个变量之间的相关关系的一种分析, 而相关关系是一种不确定关系, 通过回归分析可能两个变量之间具有的相关关系.

而独立性检验是对两个变量之间是否具有某种关系的分析, 并且可以分析这两个变量在多大程度上具有这种关系, 但不能 $100 \%$ 肯定这种关系,

故(1)(2)(4)错误，(3)正确，故选 B

2. 答案：C

【解析】本题考查“性别”对判断“人机大战是人类的胜利”这两个变量是否有关系, 符合独立性检验的基本思想，因此，该题所选择的统计方法是独立性检验，故选 C.

3. 答案：A

【解析】根据表中数据, 可得 $\bar{x}=\frac{1}{5} \times(10+20+30+40+50)=30$,

代入线性回归方程 $\hat{y}=0.67 x+54.9$ 中, 求得 $\bar{y}=0.67 \times 30+54.9=75$,

则表中模糊不清的数据是 $75 \times 5-62-75-81-89=68$, 故选 A.

4. 答案：D

【解析】由题意得, $a+7=c=25,6+b=d=25, a+6=e, 7+b=f, e+f=50$,

所以 $a=18, b=19, c+d=50, e=24, f=26$, 则 $e-f=-2$,

故选 D.

5. 答案：B

【解析】由给出的四组数据的散点图可以看出,

图 1 和图 3 是正相关，相关系数大于 0, 则 $r_{1}>0, r_{3}>0 ，$

图 2 和图 4 是负相关, 相关系数小于 0, 则 $r_{2}<0, r_{4}<0$,

图 3 和图 4 的点相对更加集中, 所以相关性较强, 所以 $r_{3}$ 接近于 $1, r_{4}$ 接近于 -1 ,

图 1 和图 2 的点相对分散一些, 所以相关性较弱, 所以 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ 比较接近 0 ,

由此可得 $r_{4}<r_{2}<0<r_{1}<r_{3}$, 故选 B.

6. 答案：B

【解析】A. 根据相关关系的定义, 即可判断自变量取值一定时, 因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系, 正确;

B. 线性回归分析中, 相关关系系数 $r$ 的绝对值越接近 1, 两个变量的线性相关性越强, 错误;

C. 残差图中，对于一组数据拟合程度的好坏评价，是残差点分别的带状区域宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高, 正确;

D. 回归分析中, 用相关系数 $R^{2}$ 刻画回归效果时, $R^{2}$ 的值越大, 说明模型的拟合效果越好, $R^{2}$ 为 0.98 的模型比 $R^{2}$ 为 0.80 的模型拟合的效果好, 正确,

故选 B.

7. 答案：A

【解析】由散点图分布图可知, 变量 $x$ 和 $y$ 成正相关，所以 $0<r_{1}<1,0<r_{2}<1$,

在剔除点 $(10,32)$ 之后, 且可看出回归直线 $\hat{y}=b_{2} x+a_{2}$ 的线性相关程度更强, $r_{2}$ 更接近 1.

所以 $0<r_{1}<r_{2}<1$, 故选 A.

8. 答案：A

【解析】因为 $y$ 与 $x$ 的线性回归方程为 $\tilde{y}=6.5 x+17.5$,

所以当 $x=5$ 时, $\hat{y}=6.5 \times 5+17.5=50$,

由表格当广告支出 5 万元时, 销售额为 60 万元, 所以随机误差的效应 (残差) 为 $60-50=10$, 故选 A.

9. 答案:D

【解析】由表格得 $(\bar{x}, \bar{y})$ 为 $(10,38)$,

因为 $(\bar{x}, \bar{y})$ 在回归方程 $\$=\$ x+$ 上且 $\$=-2$,

$38=10 \times(-2)+a$, 解得 $a=58$,

$\therefore \hat{y}=-2 x+58$

当 $x=6$ 时, $\hat{y}=-2 \times 6+58=46$, 故选 D
题目（高三 · 计数）：(10 分) 在一次模拟考试中, 某校共有 100 名文科学生参加考试, 其中语文考试成绩低于 130 的占 $95 \%$, 如果成绩不低于 130 的为特别优秀, 数学成绩的频率分布直方图如图.



(1) 求数学成绩特别优秀的人数及数学成绩的平均分;

(2) 如果语文和数学两科都特别优秀的共有 3 人. 根据以上数据, 完成 $2 \times 2$ 列联

表, 并分析是否有 $99 \%$ 的把握认为语文特别优秀的同学, 数学也特别优秀.

|  | 语文特别优秀 | 语文不特别优秀 | 合计 |
| :---: | :--- | :--- | :--- |
| 数学特别优秀 |  |  |  |
| 数学不特别优秀 |  |  |  |
| 合计 |  |  |  |

参考数据: (1) $K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$;

(2)

| $P\left(K^{2} \geq k_{0}\right)$ |
选项：
答案：（1） 4 人，平均分为 90 ；（2）列联表见解析，有 $99 \%$ 的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀.
解析：(1) 数学成绩特别优秀的概率为 $P_{2}=0.002 	imes 20=0.04$数学特别优秀的同学有 $100 	imes 0.04=4$ 人.$ar{x}=0.14 	imes 60+0.36 	imes 80+0.4 	imes 100+0.06 	imes 120+0.04 	imes 140=90$ 分.（2）共有100 名文科学生参加考试，其中语文考试成绩低于 130 的占 $95 \%$,语文成绩特别优秀的概率为 $P_{1}=1-0.95=0.05$ ，语文特别优秀的同学有 $100 	imes 0.05=5$ 人，$2 	imes 2$ 列联表:|  | 语文特别优秀 | 语文不特别优秀 | 合计 || :---: | :---: | :---: | :---: || 数学特别优秀 | 3 | 1 | 4 || 数学不特别优秀 | 2 | 94 | 96 || 合计 | 5 | 95 | 100 |所以 $K^{2}=rac{100(3 	imes 94-1 	imes 2)^{2}}{4 	imes 96 	imes 5 	imes 95} \approx 42.982>6.635$,所以有 $99 \%$ 的把握认为语文特别优秀的同学, 数学也特别优秀.
题目（高三 · 计数）：(12 分) 为激活国内消费市场, 挽回疫情造成的损失, 国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策, 某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力, 界定 3 至 8 月份购买商品在 5000 元以上人群属“购买力强人群”, 购买商品在 5000 元以下人群属“购买力弱人群”. 现从电商平台消费人群中随机选出 200 人, 发现这 200 人中属购买力强的人数占 $80 \%$, 并将这 200 人按年龄分组, 记第 1 组 $[15,25)$, 第 2 组 $[25,35)$, 第 3 组 $[35,45)$, 第 4 组 $[45,55)$, 第 5 组 $[55,65)$,得到频率分布直方图, 如图.



(1) 求出频率分布直方图中的 $a$ 值和这 200 人的平均年龄;

(2) 从第 1,2 组中用分层抽样的方法抽取 5 人, 并再从这 5 人中随机抽取 2 人进行电话回访, 求这两人恰好属于不同组别的概率;

(3) 把年龄在第 $1,2,3$ 组的居民称为青少年组, 年龄在第 4,5 组的居民称为中老年组, 若选出的 200 人中“购买力弱人群”的中老年人有 20 人, 问是否有 $99 \%$ 的把握认为是否属“购买力强人群”与年龄有关?

附:

| $P\left(K^{2} \geq k_{0}\right)$ |
选项：
答案：(1) $a=0.035,41.5$; (2) $rac{3}{5}$ ；（3）没有.
解析：(1) 由题意得 $(2 	imes 0.01+0.015+0.03+a) 	imes 10=1$, 所以 $a=0.035$,200 人的平均年龄为 $20 	imes 0.1+30 	imes 0.15+40 	imes 0.35+50 	imes 0.3+60 	imes 0.1=41.5$.(2) 由题意得: 利用分层抽样的方法从第一组抽取 2 人, 从第二组抽取 3 人,记从第一组抽取的 2 人为 $A, B$; 从第二组抽取的 3 人为 $a, b, c$,则从这 5 人中随机抽取 2 人的基本事件有 $4+3+2+1=10$ ，即 10 种,其中两人恰好属于不同组别的基本事件有 $2 	imes 3$ 种，即 6 种，故所求的概率 $P=rac{6}{10}=rac{3}{5}$.(3) 由题意可得 $2 	imes 2$ 列联表为|  | 购买力强人群 | 购买力弱人群 | 合计 || :---: | :---: | :---: | :---: || 青少年组 | 100 | 20 | 120 || 中老年组 | 60 | 20 | 80 || 合计 | 160 | 40 | 200 |故 $K^{2}$ 的观测值 $k=rac{200(100 	imes 20-60 	imes 20)^{2}}{120 	imes 80 	imes 160 	imes 40}=rac{25}{12} \approx 2.083<6.635$,故没有 $99 \%$ 的把握认为是否属“购买力强人群”与年龄有关.
题目（高三 · 计数）：为了研究某种细菌在特定环境下, 随时间变化繁殖情况, 得如下实验数据, 计算得回归方程为 $\hat{y}=0.85 x-0.25$. 由以上信息, 得到下表中 $c$ 的值为| 天数 $t$ (天) | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 || :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: || 繁殖个数 $y$ (千个) | 25 | 3 | 4 | 45 | $c$ |
选项：
答案：9
解析：+3+4+4.5+c)=\frac{14+c}{5}$,

所以这组数据的样本中心点是 $\left(5, \frac{14+c}{5}\right)$,

把样本中心点代入回归方程 $\hat{y}=0.85 x-0.25$

所以 $\frac{14+c}{5}=0.85 \times 5-0.25$, 所以 $c=6$, 故答案为 6 .

16. 答案:9

【解析】由题意知: $K^{2} \geq
题目（高三 · 计数）：(12 分) 我国探月工程嫦娥五号探测器于 2020 年 12 月 1 日 23 时 11 分降落在月球表面预选着陆区, 在顺利完成月面自动采样之后, 成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道, 这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞, 对我国航天
事业具有重大而深远的影响, 为进一步培养中学生对航空航天的兴趣爱好, 某学校航空航天社团在本校高一年级进行了纳新工作, 前五天的报名情况为: 第 1 天 3 人第 2 天 6 人，第 3 天 10 人，第 4 天 13 人，第 5 天 18 人，通过数据分析已知，报名人数与报名时间具有线性相关关系.

(1) 已知第 $x$ 天的报名人数为 $y$, 求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程, 并预测第 7 天的报名人数 (结果四舍五入取整数);

(2) 该社团为了解中学生对航空航天的兴趣爱好和性别是否有关系, 随机调查了 100 名学生, 并得到如下 $2 \times 2$ 列联表:

|  | 有兴趣 | 无兴趣 | 合计 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 男生 | 45 | 5 | 50 |
| 女生 | 30 | 20 | 50 |
| 合计 | 75 | 25 | 100 |

请根据上面的列联表判断能否在犯错误的概率不超过
选项：
答案：(1) $\hat{y}=3.7 x-1.1,25$; (2) 能在犯错误的概率不超过 0.001 的条件下认为“中学生对航空航天的兴趣爱好和性别有关系”.
解析：(1) 时间的平均数为 $ar{x}=rac{1+2+3+4+5}{5}=3$,报名人数的平均数为 $ar{y}=rac{3+6+10+13+18}{5}=10$,所以 $\hat{b}=rac{\sum_{i=1}^{7} x_{i} y_{i}-n ar{x} \cdot ar{y}}{\sum_{i=1}^{7} x_{i}^{2}-n ar{x}^{2}}=rac{187-5 	imes 3 	imes 10}{55-5 	imes 9}=rac{37}{10}=3.7$,$\hat{a}=ar{y}-\hat{b} ar{x}=10-3.7 	imes 3=-1.1$,所以线性回归方程为 $\hat{y}=3.7 x-1.1$,把 $x=7$ 代入得 $\hat{y}=24.8 \approx 25$, 所以第 7 天的报名人数约为 25 .(2) 由列联表数据可得 $K^{2}=rac{100(45 	imes 20-5 	imes 30)^{2}}{75 	imes 25 	imes 50 	imes 50}=12$,因为 $12>10.828$,所以，在犯错误的概率不超过 0.001 的条件下认为“中学生对航空航天的兴趣爱好和性别有关系”.
题目（高三 · 统计数学）：甲、乙两名工人加工同一种零件, 两人每天加工的零件数相同, 所得次品数分别为 $X, Y$,且 $X$ 和 $Y$ 的分布列如下表:

| $X$ | 0 | 1 | 2 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\frac{3}{5}$ | $\frac{1}{10}$ | $\frac{3}{10}$ |


| $Y$ | 0 | 1 | 2 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{3}{10}$ | $\frac{1}{5}$ |

试对这两名工人的技术水平进行比较.
选项：
答案：答案: 工人甲生产出次品数 $X$ 的均值和方差分别为

$E(X)=0 \times \frac{3}{5}+1 \times \frac{1}{10}+2 \times \frac{3}{10}=0.7$,

$D(X)=(0-0.7)^{2} \times \frac{3}{5}+(1-0.7)^{2} \times \frac{1}{10}+(2-0.7)^{2} \times \frac{3}{10}=0.81$

工人乙生产出次品数 $Y$ 的均值和方差分别为

$E(Y)=0 \times \frac{1}{2}+1 \times \frac{3}{10}+2 \times \frac{1}{5}=0.7$,

$D(Y)=(0-0.7)^{2} \times \frac{1}{2}+(1-0.7)^{2} \times \frac{3}{10}+(2-0.7)^{2} \times \frac{1}{5}=0.61$

由 $E(X)=E(Y)$ 知, 两人生产出次品的平均数相同, 技术水平相当, 但 $D(X)>D(Y)$, 可见乙的技术更稳定.
解析：答案: 工人甲生产出次品数 $X$ 的均值和方差分别为

$E(X)=0 \times \frac{3}{5}+1 \times \frac{1}{10}+2 \times \frac{3}{10}=0.7$,

$D(X)=(0-0.7)^{2} \times \frac{3}{5}+(1-0.7)^{2} \times \frac{1}{10}+(2-0.7)^{2} \times \frac{3}{10}=0.81$

工人乙生产出次品数 $Y$ 的均值和方差分别为

$E(Y)=0 \times \frac{1}{2}+1 \times \frac{3}{10}+2 \times \frac{1}{5}=0.7$,

$D(Y)=(0-0.7)^{2} \times \frac{1}{2}+(1-0.7)^{2} \times \frac{3}{10}+(2-0.7)^{2} \times \frac{1}{5}=0.61$

由 $E(X)=E(Y)$ 知, 两人生产出次品的平均数相同, 技术水平相当, 但 $D(X)>D(Y)$, 可见乙的技术更稳定.
题目（高三 · 图论）：24. 试说明图中的算法流程图的设计是求什么?


选项：
答案：答案: 解: 此程序框图输出的 $y=\left\{\begin{array}{c}\sqrt{a}, a \geq 0 \\ \text { 不存在, } \mathrm{a}<0\end{array}\right.$, 所以是求非负数 $\mathrm{a}$ 的算术平方根.
解析：: 分析: 本题主要考查了流程图的作用, 解决问题的关键是根据所给程序框图进行分析即可, 难度不大.
题目（高一 · 解析几何）：用列举法表示下列集合:

(1) 方程组 $\left\{\begin{array}{l}x+y=3 \\ x-y=1 \text { 的解集; }\end{array}\right.$

（2）不大于 10 的非负奇数集;

(3) $A=\left\{x \mid x \in \mathbf{Z}, \frac{6}{4-x} \in \mathbf{N}\right\}$.
选项：
答案：(1) $\{(2,1)\}$（2）$A=\{3,2,1,-2\}$。
解析：(1) 解: 由 $\left\{\begin{array}{l}x+y=3 \\ x-y=1\end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=1\end{array}\right.$ 故方程组 $\left\{\begin{array}{l}x+y=3 \\ x-y=1\end{array}\right.$ 的解集为 $\{(2,1)\}$

（2）解: 不大于 10 即为小于或等于 10 , 非负是大于或等于 0 ,

故不大于 10 的非负奇数集为 $\{1,3,5,7,9\}$;

(3) 解: $\because x \in \mathbf{Z}, \quad \frac{6}{4-x} \in \mathbf{N}, \therefore 4-x=12,3,6$.

此时 $x=3,2,1,-2$, 即 $A=\{3,2,1,-2\}$

(1)解方程组,求出解,再表示为集合;

(2)找到不大于 10 的非负奇数,用列举法写出集合;

(3)分析当 $x$ 取哪些值时满足条件,得到集合.
题目（高一 · 解析几何）：设全集 $A=\{(x, y) \mid 2 x-y=0\}, B=\{(x, y) \mid 3 x+y=0\}, C=\{(x, y) \mid 2 x-y=3\}$.

(1) 求 $A \cap B$;

(2) 求 $(A \cap B) \cup(B \cap C)$.
选项：
答案：(1)$A \cap B=\{(0,0)\}$

(2)  $(A \cap B) \cup(B \cap C)=\{(0,0)\} \cup\left\{\left(\frac{3}{5},-\frac{9}{5}\right)\right\}=\left\{(0,0),\left(\frac{3}{5},-\frac{9}{5}\right)\right\}$
解析：(1) 解: 联立 $\left\{\begin{array}{l}2 x-y=0 \\ 3 x+y=0\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=0 \\ y=0\end{array}\right.\right.$,

可得直线 $2 x-y=0$ 与直线 $3 x+y=0$ 的交点为 $(0,0)$.

所以 $A \cap B=\{(0,0)\}$.

(2) 解: 联立

$$
\left\{\begin{array} { l } 
{ 3 x + y = 0 } \\
{ 2 x - y = 3 }
\end{array} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}
x=\frac{3}{5} \\
y=-\frac{9}{5}
\end{array}\right.\right.
$$

可得直线 $3 x+y=0$ 与直线 $2 x-y=3$ 的交点为 $\left(\frac{3}{5},-\frac{9}{5}\right)$.

所以 $B \cap C=\left\{\left(\frac{3}{5},-\frac{9}{5}\right)\right\}$,

即 $(A \cap B) \cup(B \cap C)=\{(0,0)\} \cup\left\{\left(\frac{3}{5},-\frac{9}{5}\right)\right\}=\left\{(0,0),\left(\frac{3}{5},-\frac{9}{5}\right)\right\}$

【分析】(1) 求 $A \cap B$ 即是求 $A$ 和 $B$ 集合所表示的两条直线的交点的集合; (2) 求 $B \cap C$ 即是求 $B$ 和 $C$ 集合所表示的两条直线的交点的集合,再与 (1) 中所得集合求并集即可.
题目（高一 · 解析几何）：如图所示, 函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图象是折线段 $\mathrm{ABC}$, 其中 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的坐标分别为 $(0,4),(2,0)$, $(6,4)$.



(1) 求 $\mathrm{f}[\mathrm{f}(0)]$ 的值;

(2) 求函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的解析式.
选项：
答案：(1) 解: $\mathrm{f}(0)=4$, f (4) $=2$;

（2）解：当 $0 \leq x \leq 2$ 时，设 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=k \mathrm{kx}+\mathrm{b}$,

代入 $(0,4)$

$(2,0)\left\{\begin{array}{c}b=4 \\ 2 k+b=0\end{array}\right.$

(k $k=-2$

$\therefore\{b=4$, 即 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=-2 \mathrm{x}+4$

当 $2 \leq x \leq 6$ 时, 代入（2，0）（6，4）,

<ImageHere>

即 $f(x)=x-2$,

综上, $f(x)=\left\{\begin{array}{c}-2 x+40, \leq x \leq 2 \\ x-2,2<x \leq 6\end{array}\right.$
解析：（1）根据所给的函数图像求得 $\mathrm{f}[\mathrm{f}(0)]$ 的值; （2）根据函数图像可知函数是线段 $\mathrm{AB}$ 与线段 $\mathrm{BC}$ 组成的分段函数.
题目（高一 · 解析几何）：求下列函数的解析式:

(1) 已知 $f(x)$ 是二次函数, 且 $f(0)=2, f(x+1)-f(x)=x-1$, 求 $f(x)$;

（2）已知 $3 f(x)+2 f(-x)=x+3$, 求 $f(x)$.
选项：
答案：(1) 解: 设 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{c}(\mathrm{a} \neq 0)$,

由 $f(0)=2$, 得 $c=2$. 由 $f(x+1)-f(x)=x-1$,

得恒等式 $2 a x+a+b=x-1$, 得 $a=\frac{1}{2}, b=-\frac{3}{2}$.

故所求函数的解析式为 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{1}{2} \mathrm{x}^{2}-\frac{3}{2} \mathrm{x}+2$.

(2) 解: 由 $3 f(x)+2 f(-x)=x+3$, (1)

$x$ 用 $-x$ 代换得 $3 f(-x)+2 f(x)=-x+3$ ，(2)
解(1)(2)得 $f(x)=x+\frac{3}{5}$.
解析：（1）设二次函数为 $f(x)=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$, 将 $f(0)=2$ 与 $f(x+1)-f(x)=x-1$ 代入化简, 可求得 $a, b, c$ 的值. (2) 将 $-x$ 代入原方程得到一个新的方程, 和原方程组成方程组, 解方程组来求得 $f(x)$ 的值.
题目（高一 · 解析几何）：已知 $f(x)=a x^{2}+b x+c(a, b, c \in R)$.

（1）当 $f(1)=-1$, 且 $f(x)<0$ 的解集为 $(0,2)$, 求函数 $f(x)$ 的解析式;

(2) 若关于 $\mathrm{x}$ 的不等式 $2^{f(x)}-\frac{1}{4}>0$ 对一切实数恒成立, 求实数 $a$ 的取值范围.
选项：
答案：(1) 解: 由 $f(x)<0$ 的解集为 $(0,2)$,

可知 $a>0$ 且 $f(x)=a x(x-2)$.
则 $f(1)=-1 \Rightarrow a=1 \Rightarrow f(x)=x^{2}-2 x$

(2) 解: $2^{f(x)}-\frac{1}{4}>0 \Leftrightarrow 2^{a x(x-2)}>2^{-2}$

$\Leftrightarrow a x^{2}-2 a x+2>0$ 的解集为 R., 当 $a=0$ 时, 满足题意;

当 $a \neq 0$ 时, 由 $\left\{\begin{array}{c}a>0 \\ \Delta=4 a^{2}-8 a<0\end{array} \Rightarrow 0<a<2\right.$.

综上, $a \in[0,2)$
解析：（1）根据不等式的解集与方程根的关系, 即可求出实数 $\mathrm{a}$ 的值;

(2) 根据指数函数的单调性, 解不等式, 将不等式恒成立问题转化, 即可求出实数 $\mathrm{a}$ 的取值范围.
题目（高一 · 解析几何）：020 秋・湖北期中）（1）一条光线从点 $P(6,4 ）$ 射出, 与 $x$ 轴相交于点 $Q(2,0)$, 经 $x$ 轴反射后与 $y$ 轴交于点 $H$, 求反射光线 $Q H$ 所在直线的方程.

（2）已知甲罐中有四个相同的小球, 标号为 $1,2,3,4$; 乙罐中有五个相同的小球, 标号为 1 , $2,3,5,6$, 现从甲罐、乙罐中分别随机抽取 1 个小球, 记事件 $A=$ “抽取的两个小球标号之和大于 5 ”，事件 $B=$ “抽取的两个小球标号之积大于 8 ”，求事件 “ $A \cup B$ ”发生的概率.
选项：
答案：解：（1）点 $P(6,4)$ 关于轴的对称点的坐标 $P_{1}(6,-4)$,

则反射光线所在的直线过点 $P_{1}$ 和 $Q$, 所以 $k{ }_{P_{1} Q}=\frac{-4-0}{6-2}=-1$,所以反射光线 $Q H$ 的方程为 $y=-(x-2)$, 即 $y=-x+2$.

（2）由题意，从甲罐、乙罐中分别随机抽取 1 个小球，共包含 20 个基本事件;

“抽取的两个小球标号之和大于 5 ” 包含的基本事件有：（1，5），（1，6），（2，5），（2，6）, $(3,3),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6)$, 共 11 个基本事件; “抽取的两个小球标号之积大于 8 ” 包含的基本事件有：（2，5），(2，6），（3，3），（3, 5）, （3，6）, (4, 3）, （4,5）, （4,6）, 共 8 个基本事件;

即事件 $B$ 是事件 $A$ 的子事件; 所以事件 $A \cup B$ 包含的基本事件个数为 11 个,
所以事件 $A \cup B$ 发生的概率为 $\frac{11}{20}$.
解析：解：（1）点 $P(6,4)$ 关于轴的对称点的坐标 $P_{1}(6,-4)$,

则反射光线所在的直线过点 $P_{1}$ 和 $Q$, 所以 $k{ }_{P_{1} Q}=\frac{-4-0}{6-2}=-1$,所以反射光线 $Q H$ 的方程为 $y=-(x-2)$, 即 $y=-x+2$.

（2）由题意，从甲罐、乙罐中分别随机抽取 1 个小球，共包含 20 个基本事件;

“抽取的两个小球标号之和大于 5 ” 包含的基本事件有：（1，5），（1，6），（2，5），（2，6）, $(3,3),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6)$, 共 11 个基本事件; “抽取的两个小球标号之积大于 8 ” 包含的基本事件有：（2，5），(2，6），（3，3），（3, 5）, （3，6）, (4, 3）, （4,5）, （4,6）, 共 8 个基本事件;

即事件 $B$ 是事件 $A$ 的子事件; 所以事件 $A \cup B$ 包含的基本事件个数为 11 个,
所以事件 $A \cup B$ 发生的概率为 $\frac{11}{20}$.
题目（高一 · 解析几何）：（2020 秋・湖北期中）（1）一条光线从点 $P(6,4)$ 射出, 与 $x$ 轴相交于点 $Q(2,0)$, 经 $x$ 轴反射后与 $y$ 轴交于点 $H$, 求反射光线 $Q H$ 所在直线的方程.

（2）已知甲罐中有四个相同的小球, 标号为 $1,2,3,4$; 乙罐中有五个相同的小球, 标号为 1 , 2, 3, 5, 6, 现从甲罐、乙罐中分别随机抽取 1 个小球, 记事件 $A=$ “抽取的两个小球标号之和大于 5 ”，事件 $B=$ “抽取的两个小球标号之积大于 8 ”，求事件 “ $A \cup B$ ”发生的概率.
选项：
答案：解：（1）点 $P(6,4)$ 关于轴的对称点的坐标 $P_{1}(6,-4)$,

则反射光线所在的直线过点 $P_{1}$ 和 $Q$, 所以 $k{ }_{P_{1} Q}=\frac{-4-0}{6-2}=-1$,

所以反射光线 $Q H$ 的方程为 $y=-(x-2)$, 即 $y=-x+2$.

（2）由题意，从甲罐、乙罐中分别随机抽取 1 个小球，共包含 20 个基本事件;

“抽取的两个小球标号之和大于 5 ” 包含的基本事件有：（1，5），（1，6），（2，5），（2，6）, $(3,3),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6)$, 共 11 个基本事件; “抽取的两个小球标号之积大于 8 ” 包含的基本事件有：（2，5），（2，6），（3，3），（3，5）, $(3,6),(4,3),(4,5),(4,6)$, 共 8 个基本事件;即事件 $B$ 是事件 $A$ 的子事件；所以事件 $A \cup B$ 包含的基本事件个数为 11 个,所以事件 $A \cup B$ 发生的概率为 $\frac{11}{20}$.
解析：解：（1）点 $P(6,4)$ 关于轴的对称点的坐标 $P_{1}(6,-4)$,

则反射光线所在的直线过点 $P_{1}$ 和 $Q$, 所以 $k{ }_{P_{1} Q}=\frac{-4-0}{6-2}=-1$,

所以反射光线 $Q H$ 的方程为 $y=-(x-2)$, 即 $y=-x+2$.

（2）由题意，从甲罐、乙罐中分别随机抽取 1 个小球，共包含 20 个基本事件;

“抽取的两个小球标号之和大于 5 ” 包含的基本事件有：（1，5），（1，6），（2，5），（2，6）, $(3,3),(3,5),(3,6),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6)$, 共 11 个基本事件; “抽取的两个小球标号之积大于 8 ” 包含的基本事件有：（2，5），（2，6），（3，3），（3，5）, $(3,6),(4,3),(4,5),(4,6)$, 共 8 个基本事件;即事件 $B$ 是事件 $A$ 的子事件；所以事件 $A \cup B$ 包含的基本事件个数为 11 个,所以事件 $A \cup B$ 发生的概率为 $\frac{11}{20}$.
题目（高一 · 解析几何）：求下列函数的值域:

(1) $y=2^{1-x}$;

(2) $y=\left(\frac{1}{3}\right)^{2 x-1}, x \in[-1,+\infty)$.
选项：
答案：(1) $(0,+\infty)$;
(2) $(0,27]$
解析：【详解】

(1) 指数函数 $f(x)=2^{x}$ 在 $R$ 上单调递增,

$1-x \in \mathrm{R}, \therefore$ 函数 $y=2^{1-x}$ 的值域 $(0,+\infty)$

（2）指数函数 $f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}$ 在 $R$ 上单调递减,

$\because x \in[-1,+\infty), \quad \therefore 2 x-1 \in[-3,+\infty)$,

$\therefore$ 函数 $y=\left(\frac{1}{3}\right)^{2 x-1}$ 当 $x \in[-1,+\infty)$ 时, 值域 $(0,27]$.

【点睛】

本小题主要考查指数型函数的值域的求法, 属于基础题.
题目（高一 · 解析几何）：已知函数 $f(x)=a^{x} \quad(a>0$ 且 $a \neq 1)$ 的图像经过点 $(2,16)$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的解析式;

(2) 若 $f(2 m+5)<f(3 m+3)$, 求实数 $m$ 的取值范围.
选项：
答案：(1) $f(x)=4^{x}$;
(2) $(2,+\infty)$
解析：【详解】

(1) $f(x)=a^{x}(a>0$ 且 $a \neq 1)$ 的图像经过点 $(2,16)$, 即 $a^{2}=16$, 故 $a=4$, 故 $f(x)=4^{x}$.

(2) $f(x)=4^{x}$ 函数单调递增, $f(2 m+5)<f(3 m+3)$,

故 $2 m+5<3 m+3$, 故 $m \in(2,+\infty)$

【点睛】

本题考查了函数的解析式, 根据函数单调性解不等式, 意在考查学生对于函数知识的综合应用.
题目（高一 · 解析几何）：已知 $f(x)$ 为定义在 $[-1,1]$ 上的奇函数, 当 $x \in[-1,0]$ 时, 函数解析式 $f(x)=\frac{1}{4^{x}}-\frac{a}{2^{x}}(a \in R)$.

(1) 写出 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的解析式;

(2) 求 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值.
选项：
答案：(1) $f(x)=2^{x}-4^{x}$;
(2) 0 .
解析：【详解】

(1) $\because f(x)$ 为定义在 $[-1,1]$ 上的奇函数,

且 $f(x)$ 在 $x=0$ 处有意义, $\therefore f(0)=0$,

即 $f(0)=\frac{1}{4^{0}}-\frac{a}{2^{0}}=1-a=0 . \therefore a=1$.
设 $x \in[0,1]$, 则 $-x \in[-1,0], \therefore f(-x)=\frac{1}{4^{-x}}-\frac{1}{2^{-x}}=4^{x}-2^{x}$;

又 $\because f(-x)=-f(x), \therefore-f(x)=4^{x}-2^{x}$; 所以 $f(x)=2^{x}-4^{x}$.

（2）当 $x \in[0,1]$ 时, $f(x)=2^{x}-4^{x}=2^{x}-\left(2^{x}\right)^{2}$,

$\therefore$ 设 $t=2^{x}(t>0)$, 则 $f(t)=t-t^{2}$.

$\because x \in[0,1], \therefore t \in[1,2]$. 当 $t=1$ 时, 取最大值, 最大值为 $1-1=0$.

考点: 1、函数表达式的求法; 2、函数的奇偶性; 3、函数的最值.
题目（高一 · 解析几何）：中国第一高摩天轮“南昌之星摩天轮”高度为 $160 \mathrm{~m}$, 其中心 $O$ 距地面 $O B=\frac{167}{2} \mathrm{~m}$, 半径为 $O C=\frac{153}{2} \mathrm{~m}$, 若某人从最低点 $D$ 处登上摩天轮, 摩天轮匀速旋转, 那么此人与地面的距离将随时间 $t$ 变化, $t=15 \mathrm{~min}$ 后达到最高点, 从登上摩天轮时开始计时.



(1) 求出人与地面距离 $\mathrm{y}$ 与时间 $\mathrm{t}$ 的函数解析式;

(2) 从登上摩天轮到旋转一周过程中, 有多长时间人与地面距离大于 $\frac{181}{4} \mathrm{~m}$.
选项：
答案：（1）解：根据题意摩天轮从最低点开始, $15 \mathrm{~min}$ 后达到最高点,

则 $30 \mathrm{~min}$ 转一圈, 所以摩天轮的角速度为 $\omega=\frac{2 \pi}{30}=\frac{\pi}{15}$.

则 $t \min$ 时, 人在点 $C$ 处, 则此时转过的角度为 $\theta=\frac{\pi}{15} t$.

所以 $y=\frac{167}{2}-\frac{153}{2} \cos \frac{\pi}{15} t(t \geq 0)$.

(2) 解: 登上摩天轮到旋转一周,

则 $0 \leq t \leq 30$, 人与地面距离大于 $\frac{181}{4} \mathrm{~m}$,

即 $y=\frac{167}{2}-\frac{153}{2} \cos \frac{\pi}{15} t>\frac{181}{4}$, 所以 $\cos \frac{\pi}{15} t<\frac{1}{2}$,

由 $0 \leq t \leq 30$, 解得 $5<t<25$,

<ImageHere>
故有 20 分钟人与地面距离大于 $\frac{181}{4} \mathrm{~m}$.
解析：(1) 计算 $\omega=\frac{2 \pi}{30}=\frac{\pi}{15}$, 得到 $t \min$ 时, 转过的角度为 $\theta=\frac{\pi}{15} t$, 得到解析式. (2) 解不等式 $y=\frac{167}{2}-\frac{153}{2} \cos \frac{\pi}{15} t>\frac{181}{4}$ 得到答案.
题目（高一 · 代数）：已知集合 $A=\left\{3,4, a^{2}-3 a-1\right\}, B=\{2 a,-3\}, A \cap B=\{-3\}$, 求实数 $a$ 的值.
选项：
答案：$a=1$
解析：解: 由题意得 $a^{2}-3 a-1=-3$, 解得 $a=1$ 或 $a=2$,

当 $a=1$ 时, $A=\{3,4,-3\}, B=\{2,-3\}$, 满足要求;
当 $a=2$ 时, $A=\{3,4,-3\}, B=\{4,-3\}$, 不满足要求,

综上得: $a=1$。

由 $-3 \in A$, 得 $\mathrm{a}^{2}-3 \mathrm{a}-1=-3$, 解出 $\mathrm{a}$ 的值, 检验得出答案。
题目（高一 · 代数）：设 $A$ 为实数集, 且满足条件: 若 $a \in A$, 则 $\frac{1}{1-a} \in A(a \neq 1)$.

求证:

(1) 若 $2 \in A$ ，则 A 中必还有另外两个元素;

(2) 集合 $A$ 不可能是单元素集.
选项：
答案：(1) 解: 若 $\mathrm{a} \in \mathrm{A}$, 则 $\frac{1}{1-\mathrm{a}} \in \mathrm{A}$.

又 $\because 2 \in \mathrm{A}, \therefore \frac{1}{1-2}=-1 \in \mathrm{A}$.

$\because-1 \in A, \therefore \frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2} \in \mathrm{A}$.

$\because \frac{1}{2} \in \mathrm{A}, \quad \therefore \frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2 \in \mathrm{A}$.

$\therefore \mathrm{A}$ 中另外两个元素为 $-1, \frac{1}{2}$.

(2) 解: 若 $A$ 为单元素集, 则 $a=\frac{1}{1-a}$,

即 $a^{2}-a+1=0$, 方程无解.

$\therefore a \neq \frac{1}{1-a}, \therefore$ 集合 $\mathrm{A}$ 不可能是单元素集
解析：（1）根据集合 $\mathrm{A}$ 满足的条件, 将 2 代入逐一求解, 即可求出 $\mathrm{A}$ 中另外两个元素;

（2）采用反证法, 假设 $\mathrm{A}$ 为单元素集, 得出矛盾, 即可证明集合 $\mathrm{A}$ 不可能是单元素集.
题目（高一 · 代数）：设 $\mathrm{S}=\{\mathrm{x} \mid \mathrm{x}=\mathrm{m}+\mathrm{n} \sqrt{2}, \mathrm{~m} 、 \mathrm{n} \in \mathrm{Z}\}$.

(1) 若 $a \in Z$, 则 $a$ 是否是集合 $S$ 中的元素?

（2）对 $S$ 中的任意两个 $x_{1} 、 x_{2} ，$ 则 $x_{1}+x_{2} 、 x_{1} \cdot x_{2}$ 是否属于 $S$ ?
选项：
答案：(1) $a$ 是集合 $S$ 的元素,(2) $\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2} 、 \mathrm{x}_{1} \cdot \mathrm{x}_{2}$ 都属于 $\mathrm{S}$
解析：(1) 解: $a$ 是集合 $S$ 的元素, 因为 $a=a+0 \times \sqrt{2} \in S$;

(2) 解: 不妨设 $x_{1}=m+n \sqrt{2}, x_{2}=p+q \sqrt{2}, m 、 n 、 p 、 q \in Z$.

则 $x_{1}+x_{2}=(m+n \sqrt{2})+(p+q \sqrt{2})=(m+n)+(p+q) \sqrt{2}$,

$\because \mathrm{m} 、 \mathrm{n}, \mathrm{p} 、 \mathrm{q} \in \mathrm{Z} . \therefore \mathrm{p}+\mathrm{q} \in \mathrm{Z}, \mathrm{m}+\mathrm{n} \in \mathrm{Z} . \quad \therefore \mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2} \in \mathrm{S}$,

$\mathrm{x}_{1} \cdot \mathrm{x}_{2}=(\mathrm{m}+\mathrm{n} \sqrt{2}) \cdot(\mathrm{p}+\mathrm{q} \sqrt{2})=(\mathrm{mp}+2 \mathrm{nq})+(\mathrm{mq}+\mathrm{np}) \sqrt{2}, \mathrm{~m} 、 \mathrm{n} 、 \mathrm{p} 、 \mathrm{q} \in \mathrm{z}$.

故 $\mathrm{mp}+2 \mathrm{nq} \in \mathrm{Z}, \mathrm{mq}+\mathrm{np} \in \mathrm{Z}$.

$\therefore \mathrm{x}_{1} \cdot \mathrm{x}_{2} \in \mathrm{S}$.

综上, $\mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2} 、 \mathrm{x}_{1} \cdot \mathrm{x}_{2}$ 都属于 $\mathrm{S}$.

由于整数 $a$ 能表示为 $a=a+0 \times 2$ 故 $a \in S$;

(2)先设 $x_{1}=m+n 2, x_{2}=p+q 2 ， m 、 n 、 p 、 q \in Z$. 再运算 $x_{1}+x_{2}$, 与 $x_{1} \cdot x_{2}$ 能不能表示为集合 $S$ 的元素的形式.得到证明.
题目（高一 · 代数）：已知集合 $A=\left\{x \left\lvert\, \frac{3-2 x}{x+2}>-1\right.\right\}$,

(I) 若 $B \subseteq A, B=\{x \mid m+1<x<2 m-1\}$, 求实数 $m$ 的取值范围;

(II) 若 $A \subseteq B, B=\{x \mid m-6<x<2 m-1\}$, 求实数 $m$ 的取值范围.
选项：
答案：(I)  $m \leq 2$，（II）$3 \leq m \leq 4$
解析：解不等式 $\frac{3-2 x}{x+2}>1$, 得 $-2<x<5$, 即 $A=(-2,5)$.

(I) $B \subseteq A$

(1)当 $B=\varnothing$ 时, 则 $2 m-1 \leq m+1$, 即 $m \leq 2$, 符合题意;

(2)当 $B \neq \varnothing$ 时, 则有

$\left\{\begin{array}{l}m>2 \\ m+1 \geq 2 \\ 2 m-1 \leq 5 \text { 解得: } 2<m \leq 3 \text {. }\end{array}\right.$

综上: $m \in(-\infty, 3]$.

（II）要使 $A \subseteq B$, 则 $B \neq \varnothing$, 所以有

$\left\{\begin{array}{c}2 m-1>m-6 \\ m-6 \leq-2 \\ 2 m-1 \geq 5\end{array}\right.$ 解得:

$3 \leq m \leq 4$.(1) 求出集合 $\mathrm{A}$, 利用子集关系, 通过 $\mathrm{B}$ 是否为空集, 列出不等式组求解即可. (2) $\mathrm{A} \subseteq \mathrm{B}$, $B=\{x \mid m-6<x<2 m-1\} ，$ 列出不等式组求解即可.
题目（高一 · 代数）：已知 $\mathrm{A}=\{\mathrm{x} \mid(\mathrm{x}-\mathrm{a})(\mathrm{x}+\mathrm{a}-2)<0\}, \mathrm{B}=\{\mathrm{x} \mid 0<\mathrm{x}<4\}$.

(1) 若 $a=3$, 求 $A \cap B$;

(2) 若 $A \cup B=A$, 求实数 $a$ 的取值范围.
选项：
答案：（1） $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=\{x \mid 0<x<3\}$(2) $a \in(-\infty,-2] \cup[4,+\infty)$
解析：（1）解: 若 $\mathrm{a}=3$, 则 $A=\{x \mid(x-3)(x+1)<0\}=\{x \mid-1<x<3\}$,

所以 $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=\{x \mid 0<x<3\}$,

（2）解：因为 $\mathrm{A} \cup \mathrm{B}=\mathrm{A}$,所以 $B \subseteq A$,

(1)若 $a<2-a$ 即 $a<1$ 时, $A=\{x \mid a<x<2-a\}$,

$\left\{\begin{array}{l}a<1 \\ a \leq 0 \\ 2-a \geq 4, \text { 解得 } a \leq-2 .\end{array}\right.$

(2)若 $a=2-a$ 即 $a=1$ 时, $A=\varnothing$ 不满足题意;

(3)若 $a>2-a$ 即 $a>1$ 时, $A=\{x \mid 2-a<x<a\}$, $\left\{\begin{array}{l}a>1 \\ 2-a \leq 0 \\ a \geq 4\end{array}\right.$,解得 $a \geq 4$,

综上所述, $a \in(-\infty,-2] \cup[4,+\infty)$

(1)当 $\mathrm{a}=3$ 时,求出集合 $A$,由集合的交集运算即可得解;(2)由 $\mathrm{A} \cup \mathrm{B}=\mathrm{A}$ 知 $B \subseteq A$,对 $a, 2-a$的关系进行讨论并利用并集的性质列出不等式组,求出 $\mathrm{a}$ 的取值范围.
题目（高一 · 代数）：集合 $A=\left\{x \mid x^{2}-a x+a^{2}-19=0\right\}, \quad B=\left\{x \mid x^{2}-5 x+6=0\right\}, \quad C=\left\{x \mid x^{2}+2 x-8=0\right\}$.

(1) 若 $A \cap B=A \cup B$, 求 $a$ 的值;

(2) 若 $A \cap B \neq \varnothing, A \cap C=\varnothing$, 求 $a$ 的值.


选项：
答案：(1) $a=5$（2）$a=-2$,(1) 解: 由 $B=\left\{x \mid x^{2}-5 x+6=0\right\}$ 得 $B=\{2,3\}$,

因为 $A \cap B=A \cup B$, 所以 $A=B$,

所以 $\left\{\begin{array}{l}2+3=a \\ 2 \times 3=a^{2}-19, \text { 解得 } a=5\end{array}\right.$

（2）解: 由 $C=\left\{x \mid x^{2}+2 x-8=0\right\}$ 得 $C=\{2,-4\}$,

因为 $A \cap B \neq \phi, A \cap C=\phi$, 所以 $3 \in A$,

所以 $3^{2}-3 a+a^{2}-19=0$,

即 $a^{2}-3 a-10=0$, 解得 $a=5$ 或 $a=-2$,

当 $a=5$ 时, $A=\{2,3\}$ 与 $A \cap C=\varnothing$ 矛盾,

当 $a=-2$ 时, $A=\{-5,3\}$, 满足题意,

$\therefore a=-2$,

故得解.
解析：（1）先求出 $\mathrm{B}$ 集合，由 $A \cap B=A \cup B$ 得出 $A=B$, 再由韦达定理求得 $\mathrm{a}$; （2）求出集合 C, 由 $A \cap B \neq \phi, A \cap C=\phi$ 得出 $3 \in A$, 从而求得 $\mathrm{a}$ 的值, 再代入集合 $\mathrm{A}$ 中验证是否满足题意,得解.
题目（高一 · 代数）：全集 $U=R$, 若集合 $A=\{x \mid 3 \leq x<10\}, B=\{x(x-2)(x-7) \leq 0\}$.

(1) $A \cup B,\left(C_{U} A\right) \cap\left(C_{U} B\right)$;

(2) 若集合 $C=\{x \mid x>a\}, A \subseteq C$, 求 $a$ 的取值范围.
选项：
答案：(1) $\left(C_{U^{A}} A\right) \cap\left(C_{U} B\right)=\{x \mid x<2$ 或 $x \geq 10\}$.

(2)$a$ 的取值范围是 $a<3$.
解析：(1) 解: 由 $(x-2)(x-7) \leq 0$ 解得 $B=\lfloor 2,7\rfloor$.

故 $A \cup B=\{x \mid 2 \leq x<10\}, C_{U} A=\{x \mid x<3$ 或 $x \geq 10\}, C_{U} B=\{x \mid x<2$ 或 $x>7\}$ ，所以 $\left(C_{U^{A}} A\right) \cap\left(C_{U} B\right)=\{x \mid x<2$ 或 $x \geq 10\}$.

(2) 解: 由于 $A \subseteq C$, 所以 $a<3$, 故 $a$ 的取值范围是 $a<3$.

【分析】(1) 解一元二次不等式求得集合 $B$, 根据并集、交集和补集的概念和运算，求得所求（2）根据子集的概念列不等式, 解不等式求得 $a$ 的取值范围.
题目（高一 · 代数）：已知集合 $A=\{y \mid y=3 x-1,0 \leq x \leq 1\}, B=\{x(x-a)((x-(a+3))\rfloor<0\}$.

(1) 若 $a=1$, 求 $A \cup B$;

(2) 若 $A \cap B=\phi$, 求实数 $a$ 的取值范围.
选项：
答案：(1) $A \cup B=\lfloor-1,4)$

(2) $a \leq-4$ 或 $a \geq 2$.
解析：(1) 解: $\because$ 集合 $A$ 是函数 $y=3 x-1(0 \leq x \leq 1)$ 的值域

$\therefore A=\lfloor-1,2\rfloor$, 易知 $B=(a, a+3)$

若 $a=1$, 则 $B=(1,4)$, 结合数轴知 $A \cup B=\lfloor-1,4)$

(2) 解: 若 $A \cap B=\varnothing$, 得 $a \geq 2$ 或 $a+3 \leq-1$, 即 $a \leq-4$ 或 $a \geq 2$.

【分析】（1） 当 $a=1$ 时, 分别求出集合 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$, 即可求出它们的交集;

(2) 结合数轴可得, 若 $A \cap B=\phi$ 实数 $a$ 的取值范围.
题目（高一 · 代数）：求下列函数定义域

(1) $y=\sqrt{4-x^{2}}+\frac{1}{|x|-1}$

(2) $y=\frac{1}{\sqrt{x-1}}+(x-2)^{0}$
选项：
答案：(1) 解: 由题: ||$x \mid-1 \neq 0$,

解得: $-2 \leq x<-1$ 或 $-1<x<1$ 或 $1<x \leq 2$,

所以其定义域为: $[-2,-1) \cup(-1,1) \cup(1,2]$;

(2) 解: 由题: $\left\{\begin{array}{l}x-1>0 \\ x-2 \neq 0,\end{array}\right.$ 解得: $x>1$ 且 $x \neq 2$,

所以其定义域为: $(1,2) \cup(2,+\infty)$.
解析：（1）根据题意解不等式组 $\left\{\left.\begin{array}{l}4-x^{2} \geq 0\end{array} \right\rvert\,-1 \neq 0\right.$, 求出解集即可; （2）根据题意解不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x-1>0 \\ x-2 \neq 0,\end{array}\right.$求出解集即可.