eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高三 · 组合数学）：如果一个三位数, 各位数字之和等于 10 , 但各位上数字允许重复, 则称此三位数为“十全九美三位数”（如 235, 505 等）, 则这种“十全九美三位数”的个数是（ ）
选项：
A. 54
B. 50
C. 60
D. 58
答案：A
解析：答案: A

【解析】 利用分类计数原理, 分成有重复数字和无重复数字的情况:

(1)无重复数字: $109,190,901,910,127,172,271,217,721$,

712, 136, 163, 316, 361, 613, 631, 145, 154, 451, 415, 514,

$541,208,280,802,820,235,253,352,325,523,532,307$,

$370,703,730,406,460,604,640$, 共 40 个,

(2)有重复数字: $118,181,811,226,262,622,334,343$,

433, 442, 424, 244, 550, 505, 共 14 个.

故选: A.
题目（高三 · 组合数学）：如图为我国数学家赵爽 (约 3 世纪初) 在为 《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图, 现在提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色, 规定每个区域只涂一种颜色, 相邻区域颜色不相同, 则不同的涂色方案共有 ( )


选项：
A. 360 种
B. 720 种
C. 480 种
D. 420 种
答案：D
解析：答案: D

【解析】 根据题意, 如图,



设 5 个区域依次为 $A 、 B 、 C 、 D 、 E$ ，分 4 步进行分析:

(1)对于区域 $A$, 有 5 种颜色可选;

(2)对于区域 $B$ ，与 $A$ 区域相邻，有 4 种颜色可选;

(3)对于区域 $C$ ，与 $A 、 B$ 区域相邻，有 3 种颜色可选；

(4)对于区域 $D 、 E$, 若 $D$ 与 $B$ 颜色相同, $E$ 区域有 3 种颜色可选, 若 $D$ 与 $B$ 颜色不相同, $D$ 区域有 2 种颜色可选, $E$ 区域有 2 种颜色可选, 则区域 $D 、 E$ 有 $3+2 \times 2=7$ 种选择,则不同的涂色方案有 $5 \times 4 \times 3 \times 7=420$ 种;

故选: D.

12.答案: D

解：分两种情况：（1） A、C 不同色（注意： B、D 可同色、也可不同色, $\mathrm{D}$ 只要不与 $\mathrm{A} 、 \mathrm{C}$ 同色，所以 $\mathrm{D}$ 可以从剩余的 2 中颜色中任意取一色）: 有 $4 \times 3 \times 2 \times 2=48$ 种;

(2) $\mathrm{A} 、 \mathrm{C}$ 同色 （注意: $\mathrm{B} 、 \mathrm{D}$ 可同色、也可不同色, $\mathrm{D}$ 只要不与 $\mathrm{A} 、 \mathrm{C}$ 同色，所以 $\mathrm{D}$ 可以从剩余的 3 中颜色中任意取一色）: 有 $4 \times 3 \times 1 \times 3=36$ 种.

共有 84 种, 故答案为: D.
题目（高三 · 组合数学）：如图所示的五个区域中, 中心区 $E$ 域是一幅图画, 现要求在其余四个区域中涂色, 有四种颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同, 则不同的涂色方法种数为（ ）


选项：
A. 56
B. 72
C. 64
D. 84
答案：D
解析：（1） A、C 不同色（注意： B、D 可同色、也可不同色, $\mathrm{D}$ 只要不与 $\mathrm{A} 、 \mathrm{C}$ 同色，所以 $\mathrm{D}$ 可以从剩余的 2 中颜色中任意取一色）: 有 $4 	imes 3 	imes 2 	imes 2=48$ 种;(2) $\mathrm{A} 、 \mathrm{C}$ 同色 （注意: $\mathrm{B} 、 \mathrm{D}$ 可同色、也可不同色, $\mathrm{D}$ 只要不与 $\mathrm{A} 、 \mathrm{C}$ 同色，所以 $\mathrm{D}$ 可以从剩余的 3 中颜色中任意取一色）: 有 $4 	imes 3 	imes 1 	imes 3=36$ 种.共有 84 种, 故答案为: D.
题目（高三 · 组合数学）：汽车上有 8 名乘客, 沿途有 4 个车站, 每名乘客可任选 1 个车站下车, 则乘客不同的下车方法数为
选项：
A. $4^{8}$
B. $8^{4}$
C. $A_{8}^{4}$
D. $C_{8}^{4}$
答案：A
解析：答案: A

【解析】 根据题意, 汽车上有 8 名乘客, 沿途有 4 个车站, 每名乘客可以在任意一个车站下车, 即每名乘客都有 4 种下车方式, 则 8 名乘客有 $4^{8}$ 种可能的下车方式.

故答案为: A.
题目（高三 · 组合数学）：东莞近三年连续被评为“新一线城市”, “东莞制造”也在加速转型升级步伐, 现有 4 个项目由东莞市政府安排到 2 个地区进行建设, 每个地区至少有一个项目, 其中项目 A 和 B 不能安排在同一个地区,则不同的安排方式有 ( )
选项：
A. 4 种
B. 8 种
C. 12 种
D. 16 种
答案：B
解析：答案: B

【解析】 先把 $A, B$ 两个项目安排到两个地区, 剩下的两个项目再选择地区共有安排方式 $A_{2}^{2} \times 2^{2}=8$ 种.故答案为: B.
题目（高三 · 组合数学）：A、 $B 、 C 、 D$ 四名学生报名参加学校的甲、乙、丙、丁四个社团, 若学生 $A$ 不参加甲社团, $B$不参加乙社团, 且四名学生每人报一个社团, 每个社团也只有一人报名, 则不同的报名方法数有（）
选项：
A. 14
B. 18
C. 12
D. 4
答案：A
解析：答案: A

解：分以下两种情况讨论:

(1)若学生 $A$ 参加乙社团, 则其他三人的选择无限制, 此时不同的报名方法种数为 $A_{3}^{3}=6$;

(2)若学生 $A$ 不参加乙社团, 则学生 $A$ 有两种选择, 则学生 $B$ 也有两种选择, 其他两人的选择无限制,此时不同的报名方法数为 $2 \times 2 \times A_{2}^{2}=8$.

综上所述，不同的报名方法种数为 $6+8=14$.

故答案为: A.
题目（高三 · 组合数学）：若 4 名学生报名参加数学、物理、化学兴趣小组, 每人选报 1 项, 则不同的报名方式有 ( )
选项：
A. $3^{4}$ 种
B. $4^{3}$ 种
C. $\mathrm{A}_{3}^{3}$ 种
D. $A_{4}^{3}$ 种
答案：A
解析：答案: A

【解析】 4 名学生, 每人有三种可选方案, 根据分步计数原理, 4 人共有 $3^{4}$ 种方法.

故答案为: A.
题目（高三 · 组合数学）：4 名同学分别报名参加学校的手工、绘画、机器人设计三个校本课程, 每人限报其中一个课程, 不同报法的种数是 ( )
选项：
A. 81
B. 64
C. 24
D. 16
答案：A
解析：答案: A

【解析】 $\because$ 每名同学都有 3 种报名方案, $\therefore$ 四名同学共有 $3 \times 3 \times 3 \times 3=81$ 种报名方案.

故答案为: A
题目（高三 · 组合数学）：某高一学生将来准备报考医学专业. 该同学已有两所心仪大学 A, B, 其中 A 大学报考医学专业时要求同时选考物理和化学, $\mathrm{B}$ 大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门. 若该同学将来想报考这两所大学中的其中一所那么该同学“七选三”选考科目的选择方案有（）
选项：
A. 21 种
B. 23 种
C. 25 种
D. 27 种
答案：C
解析：答案: C

【解析】 A 大学报考医学专业时要求同时选考物理和化学,
故报考 A 大学的选择方案有 $C_{5}^{1}$ 种;

B 大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门,

故报考 B 大学的选择方案有 $2 C_{5}^{2}$ 种;

该同学将来想报考这两所大学中的其中一所,

那么该同学“七选三”选考科目的选择方案有 $C_{5}^{1}+2 C_{5}^{2}=25^{2}$ 种.

故答案为: C.
题目（高三 · 组合数学）：在“弘扬中华文化”的演讲比赛中，参赛者甲、乙、丙、丁、戊进入了前 5 名的决赛（获奖名次不重复）。甲、乙、丙三人一起去询问成绩, 回答者说: “第一名和第五名恰好都在你们三人之中, 甲的成绩比丙好”, 从这个回答分析, 5 人的名次排列的所有可能情况有
选项：
A. 18 种
B. 24 种
C. 36 种
D. 48 种
答案：A
解析：答案: A

解：（1）当甲排第 1 名时, 则第 5 名从乙、丙两个选一个, 其它三名任意排列,

$\therefore N_{1}=2 A_{3}^{3}=12$;

（2）当甲排第 2，3，4名时，

则第 5 名必排丙，第 1 名排乙，其它三名任意排列,

$\therefore N_{2}=A_{3}^{3}=6$;

$\therefore N=12+6=18$,

故答案为: A.
题目（高三 · 组合数学）：“岂曰无衣，与子同袍”，“山川异域，风月同天”。自新冠肺炎疫情爆发以来，全国各省争相施援湖北. 截至 3 月初, 山西省共派出 13 批抗疫医疗队前往湖北, 支援抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情. 某医院组建的由 7 位专家组成的医疗队，按照 3 人、 2 人、 2 人分成了三个小组，负责三个不同病房的医疗工作，则不同的安排方案共有（）
选项：
A. 105 种
B. 210 种
C. 630 种
D. 1260 种
答案：C
解析：答案: C

【解析】 7 人分成三个小组并安排到不同病房工作,

有 $\frac{C_{7}^{3} \cdot C_{4}^{2} \cdot C_{2}^{2}}{A_{2}^{2}} \times A_{3}^{3}=630$ 种方法.

故答案为: C.
题目（高三 · 组合数学）：有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三条长裤, 如果一条长裤与一件上衣配成一套, 则不同的配法种数( )
选项：
A. 7
B. 64
С. 12
D. 81

$2 .\left(\frac{1}{x}-x\right)^{10}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数是 ( )
A. -210
B. -120
C. 120
D. 210
答案：C
解析：答案: C

【解析】 根据题意, 由于四件不同款式的上衣与三件不同颜色的长裤, 那么先选择裤子有 3 种, 那么在选上衣有 4 种, 根据分步乘法计数原理, 得到结论为 $3 \times 4=12$,

故答案为: C.
题目（高三 · 组合数学）：二项式 $\left(x-\frac{2}{x}\right)^{n}$ 的展开式中, 第 3 项的二项式系数比第 2 项的二项式系数大 9 , 则该展开式中的常数项为 ( )
选项：
A. -160
B. -80
C. 80
D. 160
答案：A
解析：答案: A

【解析】 由题第 3 项的二项式系数比第 2 项的二项式系数大 9 ,

即 $C_{n}^{2}-C_{n}^{1}=9, n \in N^{*}, n \geq 2, \frac{n(n-1)}{2}-n=9, n^{2}-6 n-18=0$

解得: $n=6$,

二项式 $\left(x-\frac{2}{x}\right)^{6}$ 的展开式中, 通项 $T_{r+1}=C_{6}^{r} x^{6-r}\left(-\frac{2}{x}\right)^{r}$,

当 $\mathrm{r}=3$ 时, 取得常数项, $T_{3+1}=C_{6}^{3} x^{3}\left(-\frac{2}{x}\right)^{3}=-160$.

故答案为: A
题目（高三 · 组合数学）：已知 $(1+2 x)^{n}=a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{n} x^{n}$, 其中 $a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{n}=243$, 则 $a_{1}+2 a_{2}+3 a_{3}+4 a_{4}+5 a_{5=}(\quad)$
选项：
A. 405
B. 810
C. 324
D. 648
答案：B
解析：答案: B

【解析】 令 $x=1$ 可得 $(1+2)^{n}=a_{0}+a_{1}+\cdots+a_{n}$,

由题意可得 $(1+2)^{n}=243$, 解得 $n=5$,

所以 $(1+2 x)^{2}=a_{0}+a_{1} x+\cdots+a_{5} x^{5}$,

两边同时求导得 $10 \cdot(1+2 x)^{4}=a_{1}+2 a_{2} x+\cdots+5 a_{5} x^{4}$,

令 $x=1$ 可得 $10 \cdot(1+2)^{4}=a_{1}+2 a_{2}+\cdots+5 a_{5}$,
所以 $a_{1}+2 a_{2}+\cdots+5 a_{5}=10 \times 3^{4}=810$.

故答案为: B
题目（高三 · 组合数学）：在 100 件产品中, 有 98 件合格品, 2 件不合格品, 从这 100 件产品中任意抽出 3 件, 则下列结论正确的有 ( )
选项：
A. 抽出的 3 件产品中恰好有 1 件是不合格品的抽法有 $C_{2}^{1} C_{98}^{2}$ 种

B. 抽出的 3 件产品中恰好有 1 件是不合格品的抽法有 $C_{2}^{1} C_{99}^{2}$ 种

C. 抽出的 3 件中至少有 1 件是不合格品的抽法有 $C_{2}^{1} C_{97}^{2}+C_{2}^{2} C_{98}^{1}$ 种

D. 抽出的 3 件中至少有 1 件是不合格品的抽法有 $C_{100}^{3}-C_{98}^{3}$ 种
答案：ACD
解析：答案: $A, C, D$

【解析】 根据题意, 若抽出的 3 件产品中恰好有 1 件是不合格品,

即抽出的 3 件产品中有 2 件合格品, 1 件不合格品,

则合格品的取法有 $C_{98}^{2}$ 种, 不合格品的取法有 $C_{98}^{2}$ 种,

则恰好有 1 件是不合格品的取法有 $C_{2}^{1} C_{98}^{2}$ 种取法; 则 $A$ 正确, $B$ 错误;

若抽出的 3 件中至少有 1 件是不合格品, 有 2 种情况,

(1)抽出的 3 件产品中有 2 件合格品, 1 件不合格品, 有 $C_{2}^{1} C_{98}^{2}$ 种取法,

(2)抽出的 3 件产品中有 1 件合格品, 2 件不合格品, 有 $C_{2}^{2} C_{98}^{1}$ 种取法,

则抽出的 3 件中至少有 1 件是不合格品的抽法有 $C_{2}^{1} C_{98}^{2}+C_{2}^{2} C_{98}^{1}$ 种, $C_{\text {正确; }}$;

也可以使用间接法: 在 100 件产品中任选 3 件, 有 $C_{100}^{3}$ 种取法,

其中全部为合格品的取法有 $C_{98}^{3}$ 种,

则抽出的 3 件中至少有 1 件是不合格品的抽法有 $C_{100}^{3}-C_{98}^{3}$ 种取法, $D$ 正确;

故答案为: ACD.
题目（高三 · 组合数学）：为弘扬我国古代的“六艺文化”, 某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则（）
选项：
A. 某学生从中选 3 门, 共有 30 种选法

B. 课程“射”“御”排在不相邻两周, 共有 240 种排法

C. 课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有 144 种排法

D. 课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有 504 种排法
答案：CD
解析：答案: C,D

【解析】 6 门中选 3 门共有 $C_{6}^{3}=20$ 种, $\mathrm{A}$ 不符合题意;

课程“射”“御”排在不相邻两周, 共有 $A_{4}^{4} A_{5}^{2}=480$ 种排法, B 不符合题意;

课程“礼”“书”“数”排在相邻三周, 共有 $A_{3}^{3} A_{4}^{4}=144^{2}$ 种排法, C 符合题意;

课程“乐”不排在第一周, 课程“御”不排在最后一周, 共有 $A_{5}^{3}+C_{4}^{1} C_{4}^{1} A_{4}^{4}=504$ 种排法, D 符合题意.

故答案为: $\mathrm{CD}$
题目（高三 · 组合数学）：若 $(1-2 x)^{2009}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+\cdots+a_{2009} x^{2009}(x \in R)$, 则（）
选项：
A. $a_{0}=1$
B. ${ }^{a_{1}+a_{3}+a_{5}+\cdots+a_{2009}=\frac{3^{2009}+1}{2}}$
C. $a_{0}+a_{2}+a_{4}+\cdots+a_{2008}=\frac{3^{2009}-1}{2}$
D. $\frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{2^{2}}+\frac{a_{3}}{2^{3}}+\cdots+\frac{a_{2009}}{2^{2009}}=-1$
答案：ACD
解析：答案: $A, C, D$

【解析】 由题意, 当 $x=0$ 时, $a_{0}=1^{2009}=1$,

当 $x=1$ 时, $a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{2009}=(-1)^{2009}=-1$,
当 $x=-1$ 时, $a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots-a_{2009}=3^{2009}$,

所以 $a_{1}+a_{3}+a_{5}+\cdots+a_{2009}=-\frac{3^{2009}+1}{2}, a_{0}+a_{2}+a_{4}+\cdots+a_{2008}=\frac{3^{2009}-1}{2}$,

$\frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{2^{2}}+\cdots+\frac{a_{2009}}{2^{2009}}=a_{1} \times \frac{1}{2}+a_{2} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\cdots+a_{2009} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2009}$,

当 $x=\frac{1}{2}$ 时, $0=a_{0}+a_{1} \times \frac{1}{2}+a_{2} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\cdots+a_{2009} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2009}$,

所以 $a_{1} \times \frac{1}{2}+a_{2} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\cdots+a_{2009} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2009}=-a_{0}=-1$.

故答案为: ACD.
题目（高三 · 组合数学）：若 $(1+m x)^{8}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{8} x^{8}$ 且 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{8}=255$, 则实数 $\mathrm{m}$ 的值可以为
选项：
A. -3
B. -1
C. 0
D. 1
答案：AD
解析：答案: A,D

【解析】 因为 $(1+m x)^{8}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\cdots+a_{8} x^{8}$,

令 $x=1$ 得: $(1+m)^{8}=a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{8}$,

令 $x=0$ 得: $\quad a_{0}=1$,

因为 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{8}=255$,

所以 $(1+m)^{8}-1=255$,

所以 $(1+m)^{8}=256=2^{8}$,

所以 $1+m=2$ 或 $1+m=-2$,

解得: $m=-1$ 或 $m=-3$.

故答案为: $\mathrm{AD}$
题目（高三 · 组合数学）：6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者, 每名同学只去 1 个场馆, 甲场馆安排 1 名, 乙场馆安排 2 名，丙场馆安排 3 名, 则不同的安排方法共有（）
选项：
A. 120 种
B. 90 种
C. 60 种
D. 30 种
答案：C
解析：首先从 6 名同学中选 1 名去甲场馆, 方法数有 $C_{6}^{1}$;然后从其余 5 名同学中选 2 名去乙场馆, 方法数有 $C_{5}^{2}$;最后剩下的 3 名同学去丙场馆. 故不同的安排方法共有 $C_{6}^{1} \cdot C_{5}^{2}=6 	imes 10=60$ 种.故答案为:
题目（高三 · 组合数学）：袋中有 100 个球，其中红球 10 个，从中任取 5 个球，则至少有一个红球的取法种数是（）
选项：
A. $C_{10}^{1} C_{90}^{4}$
B. $C_{10}^{1} C_{90}^{4}+C_{10}^{2} C_{90}^{3}+C_{10}^{3} C_{90}^{2}+C_{10}^{4} C_{90}^{1}$
C. $C_{100}^{\mathrm{\supset}}-C_{90}^{\mathrm{J}}$
D. $C_{100}^{\mathrm{J}}-C_{10}^{\mathrm{J}}$
答案：C
解析：答案: C

解：由题意, 袋中有 100 个球, 其中红球 10 个, 从中任取 5 个球,至少有一个红球的取法有:

(1)直接法: $C_{10}^{1} C_{90}^{4}+C_{10}^{2} C_{90}^{3}+C_{10}^{3} C_{90}^{2}+C_{10}^{4} C_{90}^{1}+C_{10}^{3}$ 种不同的取法;

(2)间接法: $C_{100}^{J}-C_{90}^{J}$.

故答案为: C.
题目（高三 · 组合数学）：$\left(x+\frac{y^{2}}{x}\right)(x+y)^{5}$ 的展开式中 $\mathrm{x}^{3} \mathrm{y}^{3}$ 的系数为 ( )
选项：
A. 5
B. 10
C. 15
D. 20
答案：C
解析：答案: C

【解析】 $(x+y)^{3}$ 展开式的通项公式为 $T_{r+1}=C_{5}^{r} x^{5-r} y^{r} \quad(r \in N$ 且 $r \leq 5)$,

所以 $\left(x+\frac{y^{2}}{x}\right)_{\text {与 }}(x+y)^{2}$ 展开式的乘积可表示为:

$x T_{r+1}=x C_{5}^{r} x^{5-r} y^{r}=C_{5}^{r} x^{6-r} y^{r}$ 或 $\frac{y^{2}}{x} T_{r+1}=\frac{y^{2}}{x} C_{5}^{r} x^{5-r} y^{r}=C_{5}^{r} x^{4-r} y^{r+2}$,

在 $x T_{r+1}=C_{5}^{r} x^{6-r} y^{r}$ 中, 令 $r=3$, 可得: $x T_{4}=C_{5}^{3} x^{3} y^{3}$, 该项中 $x^{3} y^{3}$ 的系数为 10 ,

在 $\frac{y^{2}}{x} T_{r+1}=C_{5}^{r} x^{4-r} y^{r+2}$ 中, 令 $r=1$, 可得: $\frac{y^{2}}{x} T_{2}=C_{5}^{1} x^{3} y^{3}$, 该项中 $x^{3} y^{3}$ 的系数为 5 ,所以 $x^{3} y^{3}$ 的系数为 $10+5=15$.

故答案为: C
题目（高三 · 组合数学）：某高一学生将来准备报考医学专业.该同学已有两所心仪大学 A, B, 其中 A 大学报考医学专业时要求同时选考物理和化学, $\mathrm{B}$ 大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门. 若该同学将来想报考这两所大学中的其中一所那么该同学“七选三”选考科目的选择方案有 ( )
选项：
A. 21 种
B. 23 种
C. 25 种
D. 27 种
答案：C
解析：答案: C

【解析】 A 大学报考医学专业时要求同时选考物理和化学,

故报考 $\mathrm{A}$ 大学的选择方案有 $C_{5}^{1}$ 种;

B 大学报考医学专业时要求化学和生物至少选一门,

故报考 B 大学的选择方案有 $2 C_{5}^{2}$ 种;

该同学将来想报考这两所大学中的其中一所,

那么该同学“七选三”选考科目的选择方案有 $C_{5}^{1}+2 C_{5}^{2}=25$ 种.

故答案为: C.
题目（高三 · 组合数学）：由 $0,1,2,3, \cdots, 9$ 这十个数字组成的无重复数字的四位数中, 个位数字与百位数字之差的绝对值等于 8 的个数为
选项：
A. 180
B. 196
C. 210
D. 224
答案：C
解析：答案: C

【解析】 分两种情况:

(1)个位与百位填入 0 与 8 , 则有 $A_{2}^{2} A_{8}^{2}$ 个;

(2)个位与百位填入 1 与 9 , 则有 $A_{2}^{2} A_{7}^{1} A_{7}^{1}$ 个.

则共有 $A_{2}^{2} A_{8}^{2}+A_{2}^{2} A_{7}^{1} A_{7}^{1}=210$ 个.

故答案为: C
题目（高三 · 组合数学）：从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中不放回地依次取 2 个数, 事件 $\mathrm{A}$ 为“第一次取到的是奇数”, B 为“第二次取到的是 3 的整数倍”, 则 $P(B \mid A)=(\quad)$
选项：
A. $\frac{3}{8}$
B. $\frac{13}{40}$
.C. $\frac{13}{45}$
D. $\frac{3}{4}$
答案：B
解析：答案: B

【解析】 由题意 $P(A)=\frac{5}{9}$

事件 $A \cap B$ 为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是 3 的整数倍”:

若第一次取到的为 3 或 9 , 第二次有 2 种情况;

若第一次取到的为 $1,5,7$, 第二次有 3 种情况,

故共有 $2 \times 2+3 \times 3=13$ 个事件, $P(A \cap B)=\frac{13}{9 \times 8}=\frac{13}{72}$

由条件概率的定义:

$$
P(B A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=\frac{13}{40}
$$

故答案为: B
题目（高三 · 组合数学）：夏日炎炎, 雪糕成为很多人的解暑甜品, 一个盒子里装有 10 个雪糕, 其中草莓味 2 个, 巧克力味 3 个, 芒果味 5 个, 假设三种口味的雪糕外观完全相同, 现从中任意取 3 个, 则恰好有一个是芒果味的概率为 ( )
选项：
A. $\frac{5}{12}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{12}$
D. $\frac{1}{2}$
答案：A
解析：答案: A

【解析】 根据题意:

$$
p=\frac{C_{5}^{1} \cdot C_{5}^{2}}{C_{10}^{5}}=\frac{50}{120}=\frac{5}{12}
$$

故答案为: A.
题目（高三 · 组合数学）：甲、乙等 7 人排成一排，甲在最中间，且与乙不相邻，那么不同的排法种数是（ ）
选项：
A. 96
B. 120
C. 360
D. 480
答案：D
解析：答案: D

【解析】 甲的位置在中间已经固定, 甲与乙不相邻, 因此甲的左右相邻两个位置应从除甲乙之外的 5 人中选 2 人进行排列, 剩下的人在其余位置上全排列, 故有 $A_{5}^{2} A_{4}^{4}=480$ 种,故答案为: D
题目（高三 · 组合数学）：已知字母 $\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}$ 各有两个, 现将这 6 个字母排成一排, 若有且仅有一组字母相邻 (如 $x x y z y z$ ),则不同的排法共有 ( ) 种
选项：
A. 36
B. 30
C. 24
D. 16
答案：A
解析：答案: A

【解析】 有且仅有一组字母相邻, 这组字母有三种情况: $x x, y y, z z$.
当相邻的这组字母为 $x x$ 时, 将 6 个位置编成 1-6 号,

若 $x x$ 在 1 号和 2 号, 则 3 号和 5 号字母相同, 4 号和 6 号字母相同, 有 2 种排法;

若 $x x$ 在 2 号和 3 号, 则 1 号和 5 号字母相同, 4 号和 6 号字母相同, 有 2 种排法;

若 $x x$ 在 3 号和 4 号, 则 1 号和 2 号字母不相同, 5 号和 6 号字母不相同, 有 $2 \times 2=4$ 种排法;

若 $x x$ 在 4 号和 5 号, 则 2 号和 6 号字母相同, 1 号和 3 号字母相同, 有 2 种排法;

若 $x x$ 在 5 号和 6 号, 则 1 号和 3 号字母相同, 2 号和 4 号字母相同, 有 2 种排法,

即相邻的字母为 $x x$ 时, 共有 $2+2+4+2+2=12$ 种排法.

同理，相邻的字母为 $y y, z z$ 时，也都有 12 种排法，故共有 $12 \times 3=36$ 种排法.

故答案为: A.
题目（高三 · 组合数学）：由 $0,1,2,3, \cdots, 9$ 这十个数字组成的无重复数字的四位数中, 个位数字与百位数字之差的绝对值等于 8 的个数为 ( )
选项：
A. 180
B. 196
C. 210
D. 224
答案：C
解析：答案: C

【解析】 分两种情况:

(1)个位与百位填入 0 与 8 , 则有 $A_{2}^{2} A_{8}^{2}$ 个;

(2)个位与百位填入 1 与 9 , 则有 $A_{2}^{2} A_{7}^{1} A_{7}^{1}$ 个.

则共有 $A_{2}^{2} A_{8}^{2}+A_{2}^{2} A_{7}^{1} A_{7}^{1}=210$ 个.

故答案为: C
题目（高三 · 组合数学）：为弘扬我国古代的“六艺文化”, 某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.则（ ）
选项：
A. 某学生从中选 3 门, 共有 30 种选法

B. 课程“射”“御”排在不相邻两周, 共有 240 种排法

C. 课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有 144 种排法

D. 课程“乐”不排在第一周, 课程“御”不排在最后一周, 共有 504 种排法
答案：CD
解析：答案: C,D

【解析】 6 门中选 3 门共有 $C_{6}^{3}=20$ 种, $\mathrm{A}$ 不符合题意;

课程“射”“御”排在不相邻两周, 共有 $A_{4}^{4} A_{5}^{2}=480$ 种排法, B 不符合题意;

课程“礼”“书”“数”排在相邻三周, 共有 $A_{3}^{3} A_{4}^{4}=144$ 种排法, C 符合题意;

课程“乐”不排在第一周, 课程“御”不排在最后一周, 共有 $A_{5}^{3}+C_{4}^{1} C_{4}^{1} A_{4}^{4}=504$ 种排法, D 符合题意.

故答案为: $\mathrm{CD}$

三、填空题
题目（高三 · 组合数学）：6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者, 每名同学只去 1 个场馆, 甲场馆安排 1 名, 乙场馆安排 2 名, 丙场馆安排 3 名, 则不同的安排方法共有（）
选项：
A. 120 种
B. 90 种
C. 60 种
D. 30 种
答案：C
解析：答案: C

【解析】 首先从 6 名同学中选 1 名去甲场馆, 方法数有 $C_{6}^{1}$;

然后从其余 5 名同学中选 2 名去乙场馆, 方法数有 $C_{5}^{2}$;

最后剩下的 3 名同学去丙场馆.

故不同的安排方法共有 $C_{6}^{1} \cdot C_{5}^{2}=6 \times 10=60$ 种.

故答案为: C
题目（高三 · 组合数学）：袋中有 100 个球, 其中红球 10 个, 从中任取 5 个球, 则至少有一个红球的取法种数是（）
选项：
A. $C_{10}^{1} C_{90}^{4}$
B. $C_{10}^{1} C_{90}^{4}+C_{10}^{2} C_{90}^{3}+C_{10}^{3} C_{90}^{2}+C_{10}^{4} C_{90}^{1}$
C. $C_{100}^{\mathrm{J}}-C_{90}^{\mathrm{J}}$
D. $C_{100}^{\supset}-C_{10}^{\supset}$
答案：A
解析：答案: C

解：由题意，袋中有 100 个球，其中红球 10 个, 从中任取 5 个球,

至少有一个红球的取法有:



(2)间接法: $C_{100}^{\mathrm{J}}-C_{90}^{\mathrm{J}}$.

故答案为: C.

4.答案: A

【解析】 根据题意可知必有二名志愿者去同一小区开展工作, 因此有 $C_{4}^{2}=\frac{4 \times 3}{2}=6$ 种方式,所以四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者共有 $C_{4}^{2} \cdot A_{3}^{3}=6 \times 3 \times 2 \times 1=36$ 种方式.

故答案为: A
题目（高三 · 组合数学）：为做好社区新冠疫情防控工作, 需将四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作, 每个小区至少分配一名志愿者, 则不同的分配方案共有 ( ) 种
选项：
A. 36
B. 48
C. 60
D. 16
答案：A
解析：根据题意可知必有二名志愿者去同一小区开展工作, 因此有 $C_{4}^{2}=rac{4 	imes 3}{2}=6$ 种方式,所以四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者共有 $C_{4}^{2} \cdot A_{3}^{3}=6 	imes 3 	imes 2 	imes 1=36$ 种方式.
题目（高三 · 组合数学）：某台小型晚会由 6 个节目组成, 演出顺序有如下要求: 节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）
选项：
A. 12 种
B. 18 种
C. 36 种
D. 54 种
答案：B
解析：答案: B

解：由于节目甲必须排在第四位、节目乙不能排在第一位, 节目丙必须排在最后一位,则节目乙可放在第二、三、五个位置中的任何一个位置，其他节目任意排列，
由分步计数原理可知, 该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 $C_{3}^{1} A_{3}^{3}=18$ 种,

故答案为: B
题目（高三 · 组合数学）：元宵节灯展后, 悬挂有 8 盛不同的花灯需要取下, 如图所示, 每次取 1 血, 则不同的取法共有 ( ).


选项：
A. 32 种
B. 70 种
C. 90 种
D. 280 种
答案：B
解析：答案: B

【解析】 因为取灯时每次只能取一盛, 所以每串灯必须先取下面的灯,

即每串灯取下的顺序确定, 取下的方法有 $\frac{A_{8}^{8}}{A_{4}^{4} A_{4}^{4}}=70$ 种.

故答案为: B
题目（高三 · 组合数学）：2019 年 10 月 1 日，中华人民共和国成立 70 周年，举国同庆.将 2，0，1，9，10 这 5 个数字按照任意次序排成一行, 拼成一个 6 位数, 则产生的不同的 6 位数的个数为 ( )
选项：
A. 72
B. 84
C. 96
D. 120
答案：B
解析：答案: B

【解析】 先选择一个非 0 数排在首位, 剩余数全排列,

$$
\text { 共有 } C_{4}^{1} \cdot A_{4}^{4}=96_{\text {种, }}
$$

其中 1 和 0 排在一起形成 10 和原来的 10 有重复,

考虑 1 和 0 相邻时, 且 1 在 0 的左边, 和剩余数字共有 $4 !=24$ 种排法,

其中一半是重复的，故此时有 12 种重复.

故共有 $96-12=84$ 种.

故答案为: B.
题目（高三 · 组合数学）：为抗战新冠病毒, 社会各界积极捐赠医疗物资,爱心人士向某市捐赠了 6 箱相同规格的医用外科口罩，现需将这 6 箱口罩分配给 4 家医院，每家医院至少 1 箱，则不同的分法共有（ )
选项：
A. 10 种
B. 40 种
C. 80 种
D. 240 种
答案：A
解析：答案: A

【解析】 由题意, 因为 6 箱医用外科口罩的规格相同,

故四家医院分配到的口罩箱数有 $1,1,2,2$ 与 $1,1,1,3$ 两种情况,

则分配的方法有: (1)1,1,2,2: 从 4 家医院中选择两家,分别分配 1 箱,共 $C_{4}^{2}=6$ 种.

(2)1,1,1,3: 从 4 家医院选出 1 家,分配给 3 箱,共 $C_{4}^{1}=4$ 种.

共 $6+4=10$ 种.

故答案为: A
题目（高三 · 组合数学）：$\left(\frac{1}{x}-x\right)^{10}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数是 ( ).
选项：
A. -210
B. -120
C. 120
D. 210
答案：B
解析：答案: $B$

【解析】 由二项式定理求出 $\left(\frac{1}{x}-x\right)^{10}$ 的展开式的通项公式为 $C_{10}^{r}\left(\frac{1}{x}\right)^{10-r} \times(-x)^{r}$, 所以 $x^{4}$ 对应的项的 $\mathrm{r}=7$,所以系数 $x^{4}$ 的系数是 $(-1)^{\prime} C_{10}^{\prime}$, 所以 $x^{4}$ 的系数是 -120 .

故答案为: B
题目（高三 · 组合数学）：在 $(x+2)^{6}$ 展开式中, 二项式系数的最大值为 $\mathrm{m}$, 含 $x^{4}$ 的系数为 $\mathrm{n}$, 则 $\frac{n}{m}=(\quad)$
选项：
A. 0
B. -1
C. 1
D. $(\sqrt{2}-1)^{10}$
答案：A
解析：答案: A

【解析】 因为 $n=6$, 所以二项展开式中共有 7 项, 所以第四项的二项式系数最大,

所以 $m=C_{6}^{3}=20$,

根据二项展开式的通项公式可得 $n=C_{6}^{2} \cdot 2^{2}=60$,

所以 $\frac{n}{m}=\frac{60}{20}=3$.

故答案为: A.
题目（高三 · 组合数学）：若 $(1-2 x)^{2009}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+\cdots+a_{2009} x^{2009}(x \in R)$, 则 ( )
选项：
A. 展开式中的二项式系数之和为 2048
B. 展开式中只有第 6 项的二项式系数最大
C. 展开式中第 6 项和第 7 项的二项式系数最大
D. 展开式中第 6 项的系数最小
答案：ACD
解析：答案: $A, C, D$

【解析】 由题意, 当 $x=0$ 时, $a_{0}=1^{2009}=1$,

当 $x=1$ 时, $a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{2009}=(-1)^{2009}=-1$,

当 $x=-1$ 时, $a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+\cdots-a_{2009}=3^{2009}$,

所以 $a_{1}+a_{3}+a_{5}+\cdots+a_{2009}=-\frac{3^{2009}+1}{2}, a_{0}+a_{2}+a_{4}+\cdots+a_{2008}=\frac{3^{2009}-1}{2}$,

$\frac{a_{1}}{2}+\frac{a_{2}}{2^{2}}+\cdots+\frac{a_{2009}}{2^{2009}}=a_{1} \times \frac{1}{2}+a_{2} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\cdots+a_{2009} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2009}$,

当 $x=\frac{1}{2}$ 时, $0=a_{0}+a_{1} \times \frac{1}{2}+a_{2} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\cdots+a_{2009} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2009}$,
所以 $a_{1} \times \frac{1}{2}+a_{2} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\cdots+a_{2009} \times\left(\frac{1}{2}\right)^{2009}=-a_{0}=-1$.

故答案为: ACD.
题目（高三 · 组合数学）：二项式 $\left(x^{2}-\frac{1}{2 x}\right)^{6}$ 的展开式中 $x^{3}$ 的系数为 ( )
选项：
A. $-\frac{5}{2}$
B. $\frac{5}{2}$
C. $\frac{15}{16}$
D. $-\frac{3}{16}$
答案：A
解析：答案: A

【解析】 通项为 $T_{r+1}=C_{6}^{r}\left(x^{2}\right)^{6-r}\left(-\frac{1}{2 x}\right)^{r}=(-1)^{r}\left(\frac{1}{2}\right)^{r} C_{6}^{r} x^{12-3 r^{r}}$

令 $12-3 r=3$, 则 $r=3, T_{4}=(-1)^{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{3} C_{6}^{3} x^{3}=-\frac{5}{2} x^{3}$.

故答案为: A
题目（高三 · 组合数学）：二项式 $\left(x-\frac{2}{x}\right)^{n}$ 的展开式中, 第 3 项的二项式系数比第 2 项的二项式系数大 9 , 则该展开式中的常数项为
选项：
A. -160
B. -80
C. 80
D. 160

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_ff3e626f3bf93f0a342dg-
答案：A
解析：答案: A

【解析】 由题第 3 项的二项式系数比第 2 项的二项式系数大 9 ,

即 $C_{n}^{2}-C_{n}^{1}=9, n \in N^{*}, n \geq 2, \frac{n(n-1)}{2}-n=9, n^{2}-6 n-18=0$,

解得: $n=6$,

二项式 $\left(x-\frac{2}{x}\right)^{6}$ 的展开式中, 通项 $T_{r+1}=C_{6}^{r} x^{6-r}\left(-\frac{2}{x}\right)^{r}$,

当 $\mathrm{r}=3$ 时, 取得常数项, $T_{3+1}=C_{6}^{3} x^{3}\left(-\frac{2}{x}\right)^{3}=-160$.

故答案为: A
题目（高三 · 组合数学）：某电子管正品率为 $\frac{3}{4}$, 次品率为 $\frac{1}{4}$, 现对该批电子管进行测试, 设第 $\xi$ 次首次测到正品,则 $\mathrm{P}(\xi=3)=(\quad)$
选项：
A. ${ }^{2} \frac{2}{3}\left(\frac{1}{4}\right)^{2} \times \frac{3}{4}$
B. $C^{2}\left(\frac{3}{4}\right)^{2} \times \frac{1}{4}$
C. $\left(\frac{1}{4}\right)^{2} \times \frac{3}{4}$
D. $\left(\frac{3}{4}\right)^{2} \times \frac{1}{4}$
答案：C
解析：答案: C

【解析】 $\xi=3$ 表示第 3 次首次测到正品, 而前两次都没有测到正品,

故其概率是 $\left(\frac{1}{4}\right)^{2} \times \frac{3}{4}$,

故答案为: C.
题目（高三 · 组合数学）：已知一只口袋内装有大小相同的 4 只球，其中 2 只白球， 2 只黑球，从中一次摸出 2 只球，则摸出的 2 只球中至少有 1 只是白球的概率是（）
选项：
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{5}{6}$
答案：D
解析：答案: D

【解析】 依题意, 摸出的 2 只球中至少有 1 只是白球的概率是

$$
1-\frac{C_{2}^{2}}{C_{4}^{2}}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}
$$

故答案为: D
题目（高三 · 组合数学）：已知下列问题:

(1) 从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组

(2)从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动

(3) 从 $a, b, c, d$ 四个字母中取出 2 个字母

(4) 从 1，2，3，4 四个数字中取出 2 个数字组成一个两位数

其中是排列问题的有 ( )
选项：
A. 1 个B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
答案：B
解析：答案:B

【解析】(1)中，因为两名同学参加的学习小组与顺序有关，所以是排列问题;

(2)中, 因为两名同学参加的活动与顺序无关, 不是排列问题;

(3)中, 因为取出的两个字母与顺序无关, 不是排列问题;

(4)中, 因为取出的两个数字还需要按顺序排列, 是排列问题,

故选 B.
题目（高三 · 组合数学）：$C_{2 n-3}^{n-1}+C_{n+1}^{2 n-3}$ 的所有可能的值是 ( )
选项：
A. 7
B. 4 或 7

C. 7 或 11
D. 4 或 7 或 11
答案：D
解析：答案:D

【解析】由组合数的条件可知 $\left\{\begin{array}{l}n-1 \leq 2 n-3 \\ 2 n-3 \leq n+1 \\ 2 n-3 \in \mathrm{N}_{+} \\ n-1 \in \mathrm{N}_{+}\end{array}\right.$, 即 $\left\{\begin{array}{l}2 \leq n \leq 4 \\ n \in \mathrm{N}_{+}\end{array}\right.$, 故 $n=2,3,4$.
当 $n=2$ 时, $C_{2 n-3}^{n-1}+C_{n+1}^{2 n-3}=C_{1}^{1}+C_{3}^{1}=4$;

当 $n=3$ 时, $C_{2 n-3}^{n-1}+C_{n+1}^{2 n-3}=C_{3}^{2}+C_{4}^{3}=7$;

当 $n=4$ 时, $C_{2 n-3}^{n-1}+C_{n+1}^{2 n-3}=C_{5}^{3}+C_{5}^{5}=11$,

故选 D.
题目（高三 · 组合数学）：如图, 用四种不同的颜色给图中的 $A, B, C, D, E, F, G$ 七个点涂色, 要求每个点涂一种颜色, 且图中每条线段的两个端点涂不同颜色, 则不同的涂色方法有

( )


选项：
A. 192 种
B. 336 种
C. 600 种
D. 624 种
答案：C
解析：答案:C

【解析】由题意, 点 $E, F, G$ 分别有 $4,3,2$ 种涂法,

(1) 当 $A$ 与 $F$ 相同时, $A$ 有 1 种涂色方法, 此时 $B$ 有 2 种涂色方法,

(1)若 $C$ 与 $F$ 相同, 则 $C$ 有 1 种涂色方法, 此时 $D$ 有 3 种涂色方法;

(2)若 $C$ 与 $F$ 不同, 则 $D$ 有 2 种涂色方法.

故此时共有 $4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 2 \times(1 \times 3+1 \times 2)=240$ 种涂色方法;

(2) 当 $A$ 与 $G$ 相同时, $A$ 有 1 种涂色方法,

(1)若 $C$ 与 $F$ 相同, 则 $C$ 有 1 种涂色方法, 此时 $B$ 有 2 种涂色方法, $D$ 有 2 种涂色方法:

(2)若 $C$ 与 $F$ 不同, 则 $C$ 有 2 种涂色方法, 此时 $B$ 有 2 种涂色方法, $D$ 有 1 种涂色方法.

故此时共有 $4 \times 3 \times 2 \times 1 \times(1 \times 2 \times 2+2 \times 2 \times 1)=192$ 种涂色方法;

(3) 当 $A$ 既不同于 $F$ 又不同于 $G$ 时, $A$ 有 1 种涂色方法.

(1)若 $B$ 与 $F$ 相同, 则 $C$ 与 $A$ 相同时, $D$ 有 2 种涂色方法, $C$ 与 $A$ 不同时, $C$ 和 $D$ 均只有 1 种涂色方法; (2)若 $B$ 与 $F$ 不同，则 $B$ 有 1 种涂色方法，

（i）若 $C$ 与 $F$ 相同，则 $C$ 有 1 种涂色方法，此时 $D$ 有 2 种涂色方法;

(ii) 若 $C$ 与 $F$ 不同, 则必与 $A$ 相同, $C$ 有 1 种涂色方法, 此时 $D$ 有 2 种涂色方法,

故此时共有 $4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 1 \times[(1 \times 2+1 \times 1)+1 \times(1 \times 2+1 \times 2)]=168$ 种涂色方法,

综上, 共有 $240+192+168=600$ 种涂色方法, 故选 C.
题目（高三 · 组合数学）：2020 年 12 月 1 日, 大连市开始实行生活垃圾分类管理. 某单位有四个垃圾桶,分别是一个可回收物垃圾桶、一个有害垃圾桶、一个厨余垃圾桶、一个其它垃圾桶. 因为场地限制, 要将这四个垃圾桶摆放在三个固定角落, 每个角落至少摆放一

个, 则不同的摆放方法共有(如果某两个垃圾桶摆放在同一角落, 它们的前后左右位置关系不作考虑)（）
选项：
A. 18 种
B. 24 种
C. 36 种
D. 72 种
答案：C
解析：答案:C

【解析】根据题意，有四个垃圾桶放到三个固定角落，其中有一个角落放两个垃圾桶，

先选出两个垃圾桶, 有 $C_{4}^{2}=6$ 种选法,

之后与另两个垃圾桶分别放在三个不同的地方有 $\mathbf{A}_{3}^{3}$ 种放法，

所以不同的摆放方法共有 $\mathrm{C}_{4}^{2} \cdot \mathrm{A}_{3}^{3}=6 \times 6=36$ 种, 故选 C.
题目（高三 · 组合数学）：在 $(a+b)^{n}$ 的展开式中, 第 2 项与第 6 项的二项式系数相等, 则 $n=(\quad)$

$\begin{array}{llll}\text {
选项：
A. } 6 & \text { B. } 7 & \text { C. } 8 & \text { D. } 9\end{array}$
答案：A
解析：答案:A

【解析】由已知得 $\mathrm{C}_{n}^{1}=\mathrm{C}_{n}^{5}$, 可知 $n=1+5=6$, 故选 $\mathrm{A}$.
题目（高三 · 组合数学）：某海军舰长要求队员们依次完成六项任务, 并对任务的顺序提出了如下要求:重点任务 $A$ 必须排在前三位, 且任务 $E 、 F$ 必须排在一起, 则这六项任务的不同安排方案共有 ( )
选项：
A. 240 种
B. 188 种
C. 156 种
D. 120 种
答案：D
解析：答案:D【解析】当 $E, F$ 排在前三位时, 有 $\left(A_{2}^{2} A_{2}^{2}\right) A_{3}^{3}=24$ 种安排方案;

当 $E, F$ 排在后三位时, 有 $\left(C_{3}^{1} A_{3}^{2}\right)\left(A_{2}^{2} A_{2}^{2}\right)=72$ 种安排方案:

当 $E, F$ 排中间两位时, 有 $\left(C_{2}^{1} A_{3}^{1}\right) A_{2}^{2} A_{2}^{2}=24$ 种安排方案,

综上, 不同的安排方案共有 $24+72+24=120$ (种), 故选 D.
题目（高三 · 组合数学）：第十一届全国少数民族传统体育运动会在河南郑州举行, 某项目比赛期间需要安排 3 名志愿者完成 5 项工作，每人至少完成一项，每项工作由一人完成，则不同的安排方式共有（）种

$\begin{array}{llll}\text {
选项：
A. } 60 & \text { B. } 90 & \text { C. } 120 & \text { D. } 150\end{array}$
答案：D
解析：答案:D

【解析】根据题意，分 2 步进行分析，

(1)、将 5 项工作分成 3 组,

若分成 1、1、3 的三组, 有 $\frac{C_{5}^{3} C_{2}^{1} C_{1}^{1}}{A_{2}^{2}}=10$ 种分组方法,

若分成 1、2、2 的三组, 有 $\frac{C_{5}^{2} C_{3}^{2} C_{1}^{1}}{A_{2}^{2}}=15$ 种分组方法,

则将 5 项工作分成 3 组, 有 $10+15=25$ 种分组方法;

(2)、将分好的三组全排列, 对应 3 名志愿者, 有 ${ }^{A_{3}^{3}}=6$ 种情况,

则有 $25 \times 6=150$ 种不同的分组方法, 故选 D.
题目（高三 · 组合数学）：牡丹江一中 2019 年将实行新课程改革, 即除语、数、外三科为必考科目外, 还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目. 已知某生的高考志愿为北京大学环境科学专业, 按照 17 年北大高考招生选考科目要求物、化必选, 为该生安排课表（上午四节、下午四节，上午第四节和下午第一节不算相邻），现该生某天最后两节为自习课, 且数学不排下午第一节, 语文、外语不相邻, 则该生该天课表有（）种。
选项：
A. 444 B. 1776 C. 1440 D. 1560
答案：B
解析：答案:B

【解析】首先理、化、生、史、地、政六选三, 且物、化必选,

所以只需在生、史、地、政四选一有 $\mathrm{C}_{4}^{1}=4$ 种;

然后对语文、外语排课进行分类，

第 1 类: 语文外语有一科在下午第一节, 则另一科可以安排在上午四节课任意一节, 剩下的四科可全排

列, 共 $\mathrm{C}_{2}^{1} \mathrm{C}_{4}^{1} \mathrm{~A}_{4}^{4}=192$ 种;

第 2 类: 语文外语都不在下午第一节, 则下午第一节可在除语数外三科的另三科中选择 $C_{3}^{1}$, 语文和外

语可都安排在上午, 可以是上午第一、三, 上午一、四、上午二、四节 3 种, 也可一科在上午任一节一科在下午第二节 $C_{4}^{1}=4$, 其他三科可以全排列, 共 $C_{3}^{1}(3+4) A_{2}^{2} A_{3}^{3}=252$,

所以总共有 $4(192+252)=1776$ 种.