题目（九年级 · 解析几何）：(12 分) 正方形 $A B C D$ 中, $P$ 在对角线 $B D$ 上, $E$ 在线段 $C B$ 的延长线上(如图), 且 $P E=P C$, 过点 $P$ 作 $P F \perp A E$ 于 $F$, 直线 $P F$ 分别交线段 $A B 、 C D$ 于 $G 、 H, M$ 在线段 $D C$ 上, $D M=B E$, 连结 $A M$ 交对角线 $B D$ 于 $Q$.



(1)求证: $D H=A G+B E$;

(2) 设 $B E=x$, 若 $\tan \angle B A E=\frac{1}{3}, P E=y$, 求出 $y$ 与 $x$ 的关系式;

(3) 点 $E$ 在线段 $C B$ 的左侧, 且 $\triangle P B E$ 为等腰三角形时, 若 $A B \cdot A G=8+4 \sqrt{2}$, 求 $B E$ 的长.
选项：
答案：(1)证明: $\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形,

$\therefore A D=A B, \angle D A B=\angle A D M=\angle A B C=\angle A B E=90^{\circ}$,

$$
\because D M=B E
$$

$\therefore \triangle A D M \cong \triangle A B E$

$\therefore \angle D A M=\angle B A E$,

$\therefore \angle M A E=\angle D A B=90^{\circ}$,

$\because H F \perp A E$,

$\therefore \angle E F H=\angle E A M$

$\therefore A M / / F H$,

$\because A B / / M H$,

$\therefore$ 四边形 $A G H M$ 是平行四边形,

$\therefore A G=M H$,

$\therefore D H=D M+H M=A G+E B$.

$(2)$ 连接 $P A$.

$\because \angle P B A=\angle P B C, A B=B C, P B=P B$,

$\therefore \triangle P B A \cong \triangle P B C$

$\therefore P A=P C=P E, \angle P A B=\angle P C B$,

$\because P E=P C$

$\therefore \angle P E C=\angle P C E=\angle P A B$,

$\therefore \angle A B E=\angle A P E=90^{\circ}$,

$\therefore P F \perp A E$,

$\therefore A F=E F, P F=F A=F E$,

$\therefore P E=\sqrt{2} E F$,

$\because E B=x, \tan \angle E A B=\frac{1}{3}=\frac{E B}{A B}$,

$\therefore A B=3 x$,

<ImageHere>
$\therefore A E=\sqrt{A B^{2}+B E^{2}}=\sqrt{10} x$,

$\therefore y=\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{10} x=\sqrt{5} x$.

(3)作 $P H \perp B C$ 于 $H$.

$\because \angle G A F=\angle E A B, \angle A F G=\angle A B E=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle A F G \backsim \triangle A B E$,

$\therefore A F \cdot A E=A G \cdot A B=8+4 \sqrt{2}$,

$\therefore 2 E F^{2}=8+4 \sqrt{2}$,

$\therefore P E^{2}=2 E F^{2}=8+4 \sqrt{2}$,

$\because B E=P B$, 设 $B E=P B=a$, 则 $B H=P H=\frac{\sqrt{2}}{2} a$,

在Rt $\triangle P E H$ 中, $\because P E^{2}=P H^{2}+E H^{2}$,

$\therefore 8+4 \sqrt{2}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2} a\right)^{2}+\left(a+\frac{\sqrt{2}}{2} a\right)^{2}$,

解得 $a=2$,

$\therefore E B=2$.
解析：(1)证明: $\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形,

$\therefore A D=A B, \angle D A B=\angle A D M=\angle A B C=\angle A B E=90^{\circ}$,

$$
\because D M=B E
$$

$\therefore \triangle A D M \cong \triangle A B E$

$\therefore \angle D A M=\angle B A E$,

$\therefore \angle M A E=\angle D A B=90^{\circ}$,

$\because H F \perp A E$,

$\therefore \angle E F H=\angle E A M$

$\therefore A M / / F H$,

$\because A B / / M H$,

$\therefore$ 四边形 $A G H M$ 是平行四边形,

$\therefore A G=M H$,

$\therefore D H=D M+H M=A G+E B$.

$(2)$ 连接 $P A$.

$\because \angle P B A=\angle P B C, A B=B C, P B=P B$,

$\therefore \triangle P B A \cong \triangle P B C$

$\therefore P A=P C=P E, \angle P A B=\angle P C B$,

$\because P E=P C$

$\therefore \angle P E C=\angle P C E=\angle P A B$,

$\therefore \angle A B E=\angle A P E=90^{\circ}$,

$\therefore P F \perp A E$,

$\therefore A F=E F, P F=F A=F E$,

$\therefore P E=\sqrt{2} E F$,

$\because E B=x, \tan \angle E A B=\frac{1}{3}=\frac{E B}{A B}$,

$\therefore A B=3 x$,


$\therefore A E=\sqrt{A B^{2}+B E^{2}}=\sqrt{10} x$,

$\therefore y=\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{10} x=\sqrt{5} x$.

(3)作 $P H \perp B C$ 于 $H$.

$\because \angle G A F=\angle E A B, \angle A F G=\angle A B E=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle A F G \backsim \triangle A B E$,

$\therefore A F \cdot A E=A G \cdot A B=8+4 \sqrt{2}$,

$\therefore 2 E F^{2}=8+4 \sqrt{2}$,

$\therefore P E^{2}=2 E F^{2}=8+4 \sqrt{2}$,

$\because B E=P B$, 设 $B E=P B=a$, 则 $B H=P H=\frac{\sqrt{2}}{2} a$,

在Rt $\triangle P E H$ 中, $\because P E^{2}=P H^{2}+E H^{2}$,

$\therefore 8+4 \sqrt{2}=\left(\frac{\sqrt{2}}{2} a\right)^{2}+\left(a+\frac{\sqrt{2}}{2} a\right)^{2}$,

解得 $a=2$,

$\therefore E B=2$.