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题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 已知 $\triangle A B C$ 和 $\triangle C D E$ 均为等边三角形, 且点 $B 、 C 、 D$ 在同一条直线上,连接 $A D 、 B E$, 交 $C E$ 和 $A C$ 分别于 $G 、 H$ 点, 连接 $G H$.

(1) 求证: $A D=B E$;

(2) 求证: $\triangle B C H \cong \triangle A C G$;

（3）试猜想： $\triangle C G H$ 是什么特殊的三角形, 并加以说明.


选项：
答案：解: (1) $\because \triangle A B C$ 和 $\triangle C D E$ 均为等边三角形,

$\therefore A C=B C, E C=D C$,

$\angle A C B=\angle E C D=60^{\circ}$,

$\therefore \angle A C D=\angle E C B$,

$\therefore \triangle A C D \cong \triangle B C E(S A S)$,

$\therefore A D=B E$

(2) $\because \triangle A C D \cong \triangle B C E$,

$\therefore \angle C B H=\angle C A G$,
$\because \angle A C B=\angle E C D=60^{\circ}$ ，点 $B 、 C 、 D$ 在同一条直线上,

$\therefore \angle A C G=60^{\circ}=\angle A C B$

又 $\because A C=B C$,

$\therefore \triangle A C G \xlongequal{\triangle} \triangle B C H(A S A)$

(3) $\triangle C G H$ 是等边三角形, 理由如下:

$\because \triangle A C G \cong \triangle B C H$

$\therefore C G=C H($ 全等三角形的对应边相等 $)$,

又 $\because \angle A C G=60^{\circ} ，$

$\therefore \triangle C G H$ 是等边三角形（有一内角为 60 度的等腰三角形为等边三角形）.
解析：解: (1) $\because \triangle A B C$ 和 $\triangle C D E$ 均为等边三角形,

$\therefore A C=B C, E C=D C$,

$\angle A C B=\angle E C D=60^{\circ}$,

$\therefore \angle A C D=\angle E C B$,

$\therefore \triangle A C D \cong \triangle B C E(S A S)$,

$\therefore A D=B E$

(2) $\because \triangle A C D \cong \triangle B C E$,

$\therefore \angle C B H=\angle C A G$,
$\because \angle A C B=\angle E C D=60^{\circ}$ ，点 $B 、 C 、 D$ 在同一条直线上,

$\therefore \angle A C G=60^{\circ}=\angle A C B$

又 $\because A C=B C$,

$\therefore \triangle A C G \xlongequal{\triangle} \triangle B C H(A S A)$

(3) $\triangle C G H$ 是等边三角形, 理由如下:

$\because \triangle A C G \cong \triangle B C H$

$\therefore C G=C H($ 全等三角形的对应边相等 $)$,

又 $\because \angle A C G=60^{\circ} ，$

$\therefore \triangle C G H$ 是等边三角形（有一内角为 60 度的等腰三角形为等边三角形）.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 与 $\triangle D C B$ 中, $A B=C D, \angle A B C=\angle D C B$. 求证: $A C=D B$.


选项：
答案：证明: 在 $\triangle A B C$ 和 $\triangle D C B$ 中, $\left\{\begin{array}{l}A B=C D \\ \angle A B C=\angle D C B, \\ B C=C B\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B C \cong \triangle D C B(\mathrm{SAS})$,

$\therefore A C=D B$
解析：证明: 在 $\triangle A B C$ 和 $\triangle D C B$ 中, $\left\{\begin{array}{l}A B=C D \\ \angle A B C=\angle D C B, \\ B C=C B\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B C \cong \triangle D C B(\mathrm{SAS})$,

$\therefore A C=D B$
题目（八年级 · 组合几何学）：已知: 如图, $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}, \mathrm{AC}=\mathrm{BD}$.



(1) 求证: $\triangle \mathrm{ACD} \cong \triangle \mathrm{BDC}$;

(2) 求证: $\mathrm{OD}=\mathrm{OC}$.
选项：
答案：解: (1) 证明: $\because A D=B C, A C=B D, C D=C D$,

$\therefore \triangle \mathrm{ACD} \cong \triangle \mathrm{BDC}(\mathrm{SSS})$

(2) 证明: $\because \triangle \mathrm{ACD} \cong \triangle \mathrm{BDC}$

$\therefore \angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{BDC}$,

$\therefore \mathrm{OD}=\mathrm{OC}$. （等角对等边）
解析：解: (1) 证明: $\because A D=B C, A C=B D, C D=C D$,

$\therefore \triangle \mathrm{ACD} \cong \triangle \mathrm{BDC}(\mathrm{SSS})$

(2) 证明: $\because \triangle \mathrm{ACD} \cong \triangle \mathrm{BDC}$

$\therefore \angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{BDC}$,

$\therefore \mathrm{OD}=\mathrm{OC}$. （等角对等边）
题目（八年级 · 组合几何学）：已知: 如图, $\mathrm{D}$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的 $\mathrm{BC}$ 边的中点, $D E \perp A B, D F \perp A C$ 且 $\mathrm{DE}=\mathrm{DF}$.求证: $\triangle \mathrm{ABC}$ 是等腰三角形.


选项：
答案：证明: $\because \mathrm{D}$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的 $\mathrm{BC}$ 边的中点

$\therefore \mathrm{BD}=\mathrm{CD}$

$\because D E \perp A B, D F \perp A C$

$\therefore \triangle \mathrm{BDE}$ 和 $\triangle \mathrm{CDF}$ 是直角三角形

在 Rt $\triangle \mathrm{BDE}$ 和 Rt $\triangle \mathrm{CDF}$ 中

$\left\{\begin{array}{l}B D=C D \\ D E=D F\end{array}\right.$

$\therefore \mathrm{Rt} \triangle \mathrm{BDE} \cong \mathrm{Rt} \triangle \mathrm{CDF}(\mathrm{HL})$

$\therefore \angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}$,

$\therefore \mathrm{AB}=\mathrm{AC}$,

$\therefore \triangle \mathrm{ABC}$ 是等腰三角形.
解析：证明: $\because \mathrm{D}$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的 $\mathrm{BC}$ 边的中点

$\therefore \mathrm{BD}=\mathrm{CD}$

$\because D E \perp A B, D F \perp A C$

$\therefore \triangle \mathrm{BDE}$ 和 $\triangle \mathrm{CDF}$ 是直角三角形

在 Rt $\triangle \mathrm{BDE}$ 和 Rt $\triangle \mathrm{CDF}$ 中

$\left\{\begin{array}{l}B D=C D \\ D E=D F\end{array}\right.$

$\therefore \mathrm{Rt} \triangle \mathrm{BDE} \cong \mathrm{Rt} \triangle \mathrm{CDF}(\mathrm{HL})$

$\therefore \angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C}$,

$\therefore \mathrm{AB}=\mathrm{AC}$,

$\therefore \triangle \mathrm{ABC}$ 是等腰三角形.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, $\triangle A B C$ 中, $A D$ 是 $B C$ 边上的中线, $E, F$ 为直线 $A D$ 上的点, 连接 $B E, C F$, 且 $B E / / C F$.



(1) 求证: $\triangle B D E \cong \triangle C D F$;

(2) 若 $A E=13, A F=7$, 试求 $D E$ 的长.
选项：
答案：(1) 证明: $\because A D$ 是 $B C$ 边上的中线,

$\therefore B D=C D$,

$\because B E / / C F$,

$\therefore \angle D B E=\angle D C F$,

在 $\triangle B D E$ 和 $\triangle C D F$ 中,

$\left\{\begin{array}{c}\angle D B E=\angle D C F \\ B D=C D, \\ \angle B D E=\angle C D F\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle B D E \cong \triangle C D F(\mathrm{ASA}) ;$

(2) 解: $\because A E=13, A F=7$,

$\therefore E F=A E-A F=13-7=6$,

$\because \triangle B D E \cong \triangle C D F$

$\therefore D E=D F$,

$\because D E+D F=E F=6$,

$\therefore D E=3$.
解析：(1) 证明: $\because A D$ 是 $B C$ 边上的中线,

$\therefore B D=C D$,

$\because B E / / C F$,

$\therefore \angle D B E=\angle D C F$,

在 $\triangle B D E$ 和 $\triangle C D F$ 中,

$\left\{\begin{array}{c}\angle D B E=\angle D C F \\ B D=C D, \\ \angle B D E=\angle C D F\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle B D E \cong \triangle C D F(\mathrm{ASA}) ;$

(2) 解: $\because A E=13, A F=7$,

$\therefore E F=A E-A F=13-7=6$,

$\because \triangle B D E \cong \triangle C D F$

$\therefore D E=D F$,

$\because D E+D F=E F=6$,

$\therefore D E=3$.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图 1, 在长方形 $A B C D$ 中, $A B=C D=6 \mathrm{~cm}, B C=10 \mathrm{~cm}$, 点 $P$ 从点 $B$ 出发,

以 $2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速度沿 $B C$ 向点 $C$ 运动 (点 $P$ 运动到点 $C$ 处时停止运动), 设点 $P$ 的运动时间为 $t \mathrm{~s}$ ，

(1) $P C=$ $\mathrm{cm}$. （用含 $t$ 的式子表示）

（2）当 $t$ 为何值时， $\triangle A B P \cong_{\triangle} D C P$ ?

(3) 如图 2, 当点 $P$ 从点 $B$ 开始运动, 同时, 点 $Q$ 从点 $C$ 出发,以 $v \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速度沿 $C D$ 向点 $D$ 运动（点 $Q$ 运动到点 $D$ 处时停止运动, $P, Q$ 两点中有一点停止运动后另一点也停止运动), 是否存在这样的 $\nu$ 值使得 $\triangle A B P$ 与 $\triangle P Q C$ 全等?若存在, 请求出 $v$ 的值; 若不存在, 请说明理由.



图1



图2
选项：
答案：解: (1) 由题意得, $B P=2 t$,

$\therefore P C=B C-B P=10-2 t$,

故答案为: $10-2 t$;

(2) 若 $\triangle A B P \cong_{\triangle D C P}$

则 $B P=P C$

$\therefore 2 t=10-2 t$

即 $4 t=10$

$\therefore t=2.5$

$\therefore$ 当 $t=2.5$ 时,$\triangle A B P \cong \triangle D C P$;

(3) 存在, 理由如下:

当 $B P=C Q, A B=P C$ 时, $\triangle A B P \cong \triangle P C Q$

$\because A B=6$

$\therefore P C=6$

$\therefore B P=10-6=4$

$\therefore 2 t=4$

$\therefore t=2$

$\because C Q=B P=4$

$2 v=4$

$\therefore v=2 ;$
当 $B A=C Q, P B=P C$ 时, $\triangle A B P \cong \triangle Q C P$

$\because P B=P C$

$\therefore B P=P C=\frac{1}{2} B C=5$

$\therefore 2 t=5$

$\therefore t=2.5$

$\because C Q=B P=6$

$\therefore 2.5 v=6$

$\therefore v=2.4$

综上所述, 当 $v=2.4$ 或 2 时, $\triangle A B P$ 与 $\triangle P Q C$ 全等.
解析：解: (1) 由题意得, $B P=2 t$,

$\therefore P C=B C-B P=10-2 t$,

故答案为: $10-2 t$;

(2) 若 $\triangle A B P \cong_{\triangle D C P}$

则 $B P=P C$

$\therefore 2 t=10-2 t$

即 $4 t=10$

$\therefore t=2.5$

$\therefore$ 当 $t=2.5$ 时,$\triangle A B P \cong \triangle D C P$;

(3) 存在, 理由如下:

当 $B P=C Q, A B=P C$ 时, $\triangle A B P \cong \triangle P C Q$

$\because A B=6$

$\therefore P C=6$

$\therefore B P=10-6=4$

$\therefore 2 t=4$

$\therefore t=2$

$\because C Q=B P=4$

$2 v=4$

$\therefore v=2 ;$
当 $B A=C Q, P B=P C$ 时, $\triangle A B P \cong \triangle Q C P$

$\because P B=P C$

$\therefore B P=P C=\frac{1}{2} B C=5$

$\therefore 2 t=5$

$\therefore t=2.5$

$\because C Q=B P=6$

$\therefore 2.5 v=6$

$\therefore v=2.4$

综上所述, 当 $v=2.4$ 或 2 时, $\triangle A B P$ 与 $\triangle P Q C$ 全等.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, $\angle A=\angle B, A E=B E$, 点 $D$ 在 $A C$ 边上, $\angle 1=\angle 2, A E$ 和 $B D$ 相交于点 $O$.



(1) 求证: $\triangle A E C \xlongequal{\triangle} \triangle B E D$;

（2）若 $\angle 1=42^{\circ}$, 求 $\angle B D E$ 的度数.
选项：
答案：解： (1) $\because A E$ 和 $B D$ 相交于点 $O$,

$\therefore \angle A O D=\angle B O E$.

在 $\triangle A O D$ 和 $\triangle B O E$ 中,

$\because \angle A=\angle B$,

$\therefore \angle B E O=\angle 2$.

又 $\because \angle 1=\angle 2$,

$\therefore \angle 1=\angle B E O$

$\therefore \angle A E C=\angle B E D$.

在 $\triangle A E C$ 和 $\triangle B E D$ 中,

$\because\left\{\begin{array}{l}\angle A=\angle B \\ A E=B E \\ \angle A E C=\angle B E D\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A E C \cong \triangle B E D(A S A)$.

<ImageHere>

$\therefore E C=E D, \quad \angle C=\angle B D E$.

在 $\triangle E D C$ 中, $\because E C=E D, \angle 1=42^{\circ}$,

$\therefore \angle C=\angle E D C=\left(180^{\circ}-42^{\circ}\right) \div 2=69^{\circ}$

$\therefore \angle B D E=\angle C=69^{\circ}$.
解析：解： (1) $\because A E$ 和 $B D$ 相交于点 $O$,

$\therefore \angle A O D=\angle B O E$.

在 $\triangle A O D$ 和 $\triangle B O E$ 中,

$\because \angle A=\angle B$,

$\therefore \angle B E O=\angle 2$.

又 $\because \angle 1=\angle 2$,

$\therefore \angle 1=\angle B E O$

$\therefore \angle A E C=\angle B E D$.

在 $\triangle A E C$ 和 $\triangle B E D$ 中,

$\because\left\{\begin{array}{l}\angle A=\angle B \\ A E=B E \\ \angle A E C=\angle B E D\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A E C \cong \triangle B E D(A S A)$.



$\therefore E C=E D, \quad \angle C=\angle B D E$.

在 $\triangle E D C$ 中, $\because E C=E D, \angle 1=42^{\circ}$,

$\therefore \angle C=\angle E D C=\left(180^{\circ}-42^{\circ}\right) \div 2=69^{\circ}$

$\therefore \angle B D E=\angle C=69^{\circ}$.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, $A E=D F, A C=D B$, 点 $E, B, C, F$ 在一条直线上, 且 $E B=F C$. 求证: $A E / / D F$.


选项：
答案：解: 证明: $\because B E=F C$,

$\therefore B E+B C=B C+F C$,
即 $E C=F B ，$

在 $\triangle A C E$ 与 $\triangle D B F$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}A E=D F \\ C E=B F, \\ A C=D B\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A C E \cong \triangle D B F(\mathrm{SSS})$,

$\therefore \angle E=\angle F$,

$\therefore A E / / D F$.
解析：解: 证明: $\because B E=F C$,

$\therefore B E+B C=B C+F C$,
即 $E C=F B ，$

在 $\triangle A C E$ 与 $\triangle D B F$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}A E=D F \\ C E=B F, \\ A C=D B\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A C E \cong \triangle D B F(\mathrm{SSS})$,

$\therefore \angle E=\angle F$,

$\therefore A E / / D F$.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图为一风筝骨架: 已知 $A B=A D, B C=D C$, 求证: $\angle B=\angle D$.



证明: 连接 $A C$.


选项：
答案：在 $\triangle A C B$ 和 $\triangle A C D$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}A B=A D \\ A C=A C, \\ B C=D C\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A C B \cong \triangle A C D(\mathrm{SSS})$,

$\therefore \angle B=\angle D$
解析：在 $\triangle A C B$ 和 $\triangle A C D$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}A B=A D \\ A C=A C, \\ B C=D C\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A C B \cong \triangle A C D(\mathrm{SSS})$,

$\therefore \angle B=\angle D$
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle B=30^{\circ}, \angle A C B=110^{\circ}$,

$A D$ 是 $B C$ 边上的高线, $A E$ 平分 $\angle B A C$, 求 $\angle D A E$ 的度数.


选项：
答案：解: $\because \angle A C B=110^{\circ}, \angle B=30^{\circ}$
$\therefore \angle \mathrm{BAC}=180^{\circ}-\angle \mathrm{ACB}-\angle \mathrm{B}=180^{\circ}-110^{\circ}-30^{\circ}=40^{\circ}$

$\because A E$ 平分 $\angle B A C$

$\therefore \angle \mathrm{CAE}=20^{\circ}$

$\because A D$ 是 $B C$ 边上的高线, $\angle A C B=110^{\circ}$

$\therefore \angle \mathrm{ADB}=90^{\circ}, \angle \mathrm{ACD}=70^{\circ}$

$\therefore \angle \mathrm{DAC}=180^{\circ}-\angle \mathrm{ADB}-\angle \mathrm{ACD}=180^{\circ}-90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}$

$\because \angle \mathrm{DAE}=\angle \mathrm{CAE}+\angle \mathrm{DAC}$

$\therefore \angle \mathrm{DAE}=20^{\circ}+20^{\circ}=40^{\circ}$
解析：解: $\because \angle A C B=110^{\circ}, \angle B=30^{\circ}$
$\therefore \angle \mathrm{BAC}=180^{\circ}-\angle \mathrm{ACB}-\angle \mathrm{B}=180^{\circ}-110^{\circ}-30^{\circ}=40^{\circ}$

$\because A E$ 平分 $\angle B A C$

$\therefore \angle \mathrm{CAE}=20^{\circ}$

$\because A D$ 是 $B C$ 边上的高线, $\angle A C B=110^{\circ}$

$\therefore \angle \mathrm{ADB}=90^{\circ}, \angle \mathrm{ACD}=70^{\circ}$

$\therefore \angle \mathrm{DAC}=180^{\circ}-\angle \mathrm{ADB}-\angle \mathrm{ACD}=180^{\circ}-90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}$

$\because \angle \mathrm{DAE}=\angle \mathrm{CAE}+\angle \mathrm{DAC}$

$\therefore \angle \mathrm{DAE}=20^{\circ}+20^{\circ}=40^{\circ}$
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 已知 $A E \perp A B, A F \perp A C, A E=A B, A F=A C, B F$ 与 $C E$ 相交于点 $M$.



(1) 求证: $E C=B F$;

(2) 求证: $E C \perp B F$.
选项：
答案：(1) 证明: $\because A E \perp A B, \quad A F \perp A C$,

$\therefore \angle B A E=\angle C A F=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B A E+\angle B A C=\angle C A F+\angle B A C$, 即 $\angle E A C=\angle B A F$,

在 $\triangle A B F$ 和 $\triangle A E C$ 中,

$\left\{\begin{aligned} A B & =A E \\ \angle E A C & =\angle B A F \\ A C & =A F\end{aligned}\right.$

$\therefore \triangle A B F \cong \triangle A E C(\mathrm{SAS})$,
$\therefore E C=B F ;$

(2) 证明：设 $A B$ 与 $C E$ 交于点 $D$,

$\because \triangle A B F \cong \triangle A E C$

$\therefore \angle A E C=\angle A B F$

$\because A E \perp A B$,

$\therefore \angle B A E=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A E C+\angle A D E=90^{\circ}$,

$\because \angle A D E=\angle B D M （$ 对顶角相等 ），

$\therefore \angle A B F+\angle B D M=90^{\circ}$,

在 $\triangle B D M$ 中, $\angle B M D=180^{\circ}-\angle A B F-\angle B D M=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$,

$\therefore E C \perp B F$.
解析：(1) 证明: $\because A E \perp A B, \quad A F \perp A C$,

$\therefore \angle B A E=\angle C A F=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B A E+\angle B A C=\angle C A F+\angle B A C$, 即 $\angle E A C=\angle B A F$,

在 $\triangle A B F$ 和 $\triangle A E C$ 中,

$\left\{\begin{aligned} A B & =A E \\ \angle E A C & =\angle B A F \\ A C & =A F\end{aligned}\right.$

$\therefore \triangle A B F \cong \triangle A E C(\mathrm{SAS})$,
$\therefore E C=B F ;$

(2) 证明：设 $A B$ 与 $C E$ 交于点 $D$,

$\because \triangle A B F \cong \triangle A E C$

$\therefore \angle A E C=\angle A B F$

$\because A E \perp A B$,

$\therefore \angle B A E=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A E C+\angle A D E=90^{\circ}$,

$\because \angle A D E=\angle B D M （$ 对顶角相等 ），

$\therefore \angle A B F+\angle B D M=90^{\circ}$,

在 $\triangle B D M$ 中, $\angle B M D=180^{\circ}-\angle A B F-\angle B D M=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$,

$\therefore E C \perp B F$.
题目（八年级 · 组合几何学）：阅读: 若一个三角形的三边长分别为 $a, b, c$, 设 $p=\frac{1}{2}(a+b+c)$, 则这个三角形的面积为 $s=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$.



图1



图2

(1) 如图 1, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=6, A C=5, B C=4$, 求 $\triangle A B C$ 面积;

(2) 如图 2, 在 (1) 的条件下, $A D, B E$ 分别为 $\triangle A B C$ 的角平分线, 它们的交点为 $I$, 求点 $I$ 到 $A B$ 的距离.
选项：
答案：解: (1) 由题意, 得: $a=4, b=5, c=6$;

$\therefore p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{15}{2}$

$\therefore S=\sqrt{\frac{15}{2} \times\left(\frac{15}{2}-4\right) \times\left(\frac{15}{2}-5\right) \times\left(\frac{15}{2}-6\right)}=\sqrt{\frac{15}{2} \times \frac{7}{2} \times \frac{5}{2} \times \frac{3}{2}}=\frac{15 \sqrt{7}}{4}$,

故 $\triangle A B C$ 的面积是 $\frac{15 \sqrt{7}}{4}$;

(2) 如图, 过点 $I$ 作 $I F \perp A B 、 I G \perp A C 、 I H \perp B C$, 垂足分别为点 $F 、 G 、 H$, $\because A D 、 B E$ 分别为 $\triangle A B C$ 的角平分线,

$\therefore I F=I H=I G$,

<ImageHere>

$\because S_{\triangle A B C}=S_{\triangle A B I}+S_{\triangle A C I}+S_{\triangle B C I}$,

即 $\frac{15 \sqrt{7}}{4}=\frac{1}{2} \times 6 \cdot I F+\frac{1}{2} \times 5 \cdot I G+\frac{1}{2} \times 4 \cdot I H$,
$\therefore 3 \cdot I F+\frac{5}{2} \cdot I F+2 \cdot I F=\frac{15 \sqrt{7}}{4}$,

解得 $I F=\frac{\sqrt{7}}{2}$,

故 $I$ 到 $A B$ 的距离为 $\frac{\sqrt{7}}{2}$.

【解析】本题主要考查三角形面积的计算和角平分线的性质, 熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.

(1) 先根据三边长度求出 $p$ 的值, 再代入公式计算可得;

(2)过点 $I$ 作 $I F \perp A B 、 I G \perp A C 、 I H \perp B C$, 由角平分线性质可得 $I F=I H=I G$, 再根据 $S_{\triangle A B C}=S_{\triangle A B I}+S_{\triangle A C I}+S_{\triangle B C I}$即可求得 $I F$ 的长.
解析：解: (1) 由题意, 得: $a=4, b=5, c=6$;

$\therefore p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{15}{2}$

$\therefore S=\sqrt{\frac{15}{2} \times\left(\frac{15}{2}-4\right) \times\left(\frac{15}{2}-5\right) \times\left(\frac{15}{2}-6\right)}=\sqrt{\frac{15}{2} \times \frac{7}{2} \times \frac{5}{2} \times \frac{3}{2}}=\frac{15 \sqrt{7}}{4}$,

故 $\triangle A B C$ 的面积是 $\frac{15 \sqrt{7}}{4}$;

(2) 如图, 过点 $I$ 作 $I F \perp A B 、 I G \perp A C 、 I H \perp B C$, 垂足分别为点 $F 、 G 、 H$, $\because A D 、 B E$ 分别为 $\triangle A B C$ 的角平分线,

$\therefore I F=I H=I G$,



$\because S_{\triangle A B C}=S_{\triangle A B I}+S_{\triangle A C I}+S_{\triangle B C I}$,

即 $\frac{15 \sqrt{7}}{4}=\frac{1}{2} \times 6 \cdot I F+\frac{1}{2} \times 5 \cdot I G+\frac{1}{2} \times 4 \cdot I H$,
$\therefore 3 \cdot I F+\frac{5}{2} \cdot I F+2 \cdot I F=\frac{15 \sqrt{7}}{4}$,

解得 $I F=\frac{\sqrt{7}}{2}$,

故 $I$ 到 $A B$ 的距离为 $\frac{\sqrt{7}}{2}$.

【解析】本题主要考查三角形面积的计算和角平分线的性质, 熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.

(1) 先根据三边长度求出 $p$ 的值, 再代入公式计算可得;

(2)过点 $I$ 作 $I F \perp A B 、 I G \perp A C 、 I H \perp B C$, 由角平分线性质可得 $I F=I H=I G$, 再根据 $S_{\triangle A B C}=S_{\triangle A B I}+S_{\triangle A C I}+S_{\triangle B C I}$即可求得 $I F$ 的长.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}, \mathrm{DE} \perp \mathrm{AC}, \mathrm{BF} \perp \mathrm{AC}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ 是垂足, $\mathrm{AE}=\mathrm{CF}$, 求证: $\mathrm{AB} / / \mathrm{CD}$.


选项：
答案：证明: $\because A E=C F$,
$\therefore A E+E F=C F+E F$, 即 $A F=E C$.

又 $\because B F \perp A C, D E \perp A C$,

$\therefore \angle A F B=\angle C E D=90^{\circ}$.

在 Rt $\triangle A B F$ 与 Rt $\triangle C D E$ 中,

$\because\left\{\begin{array}{l}A F=C E \\ A B=C D\end{array}\right.$,

$\therefore \mathrm{Rt} \triangle A B F \xlongequal{ } \mathrm{Rt} \triangle C D E(\mathrm{HL})$,

$\therefore \angle C=\angle A$,

$\therefore A B / / C D$
解析：证明: $\because A E=C F$,
$\therefore A E+E F=C F+E F$, 即 $A F=E C$.

又 $\because B F \perp A C, D E \perp A C$,

$\therefore \angle A F B=\angle C E D=90^{\circ}$.

在 Rt $\triangle A B F$ 与 Rt $\triangle C D E$ 中,

$\because\left\{\begin{array}{l}A F=C E \\ A B=C D\end{array}\right.$,

$\therefore \mathrm{Rt} \triangle A B F \xlongequal{ } \mathrm{Rt} \triangle C D E(\mathrm{HL})$,

$\therefore \angle C=\angle A$,

$\therefore A B / / C D$
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 在 $\Delta A B C D$ 中, 对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$, 点 $E, F$ 分别在 $B D$ 和 $D B$ 的延长线上, 且 $D E=B F$, 连接 $A E, C F$.

(1)求证: $\triangle A D E \cong \triangle C B F$;

(2)连接 $A F, C E$. 当 $B D$ 平分 $\angle A B C$ 时, 四边形 $A F C E$ 是什么特殊四边形?


请说明理由.
选项：
答案：(1)证明: $\because$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形,

$\therefore A D=C B, \angle A D C=\angle C B A$,

$\therefore \angle A D E=\angle C B F$,

在 $\triangle A D E$ 和 $\triangle C B F$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}A D=C B \\ \angle A D E=\angle C B F, \\ D E=B F\end{array}\right.$

$\therefore \Delta$

$A D E \cong \triangle C B F(S A S)$

平分 $\angle A B C$ 时, 四边形 $A F C E$ 是菱形,

$B D$ 平分 $\angle A B C$,

$\angle A B D=\angle C B D$,

<ImageHere>

(2)当 $B D$理由: $\because$

$\therefore$

$\because$ 四边形
$A B C D$ 是平行四边形,

$\therefore O A=O C, O B=O D, A D / / B C$,

$\therefore \angle A D B=\angle C B D$,

$\therefore \angle A B D=\angle A D B$,

$\therefore A B=A D$,

$\therefore$ 平行四边形 $A B C D$ 是菱形,

$\therefore A C \perp B D$,

$\therefore A C \perp E F$

$\because D E=B F$,

$\therefore O E=O F$,

又 $\because O A=O C$,

$\therefore$ 四边形 $A F C E$ 是平行四边形,

$\because A C \perp E F$

$\therefore$ 四边形 $A F C E$ 是菱形.
解析：(1)证明: $\because$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形,

$\therefore A D=C B, \angle A D C=\angle C B A$,

$\therefore \angle A D E=\angle C B F$,

在 $\triangle A D E$ 和 $\triangle C B F$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}A D=C B \\ \angle A D E=\angle C B F, \\ D E=B F\end{array}\right.$

$\therefore \Delta$

$A D E \cong \triangle C B F(S A S)$

平分 $\angle A B C$ 时, 四边形 $A F C E$ 是菱形,

$B D$ 平分 $\angle A B C$,

$\angle A B D=\angle C B D$,



(2)当 $B D$理由: $\because$

$\therefore$

$\because$ 四边形
$A B C D$ 是平行四边形,

$\therefore O A=O C, O B=O D, A D / / B C$,

$\therefore \angle A D B=\angle C B D$,

$\therefore \angle A B D=\angle A D B$,

$\therefore A B=A D$,

$\therefore$ 平行四边形 $A B C D$ 是菱形,

$\therefore A C \perp B D$,

$\therefore A C \perp E F$

$\because D E=B F$,

$\therefore O E=O F$,

又 $\because O A=O C$,

$\therefore$ 四边形 $A F C E$ 是平行四边形,

$\because A C \perp E F$

$\therefore$ 四边形 $A F C E$ 是菱形.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle B A C=90^{\circ}, \angle A C B=30^{\circ}, B C=8$, 以 $B C$ 为边, 在 $\triangle A B C$ 外作等边 $\triangle B C D$,点 $E$ 为 $B C$ 中点, 连接 $A E$ 并延长交 $C D$ 于点 $F$.


(1)求证: 四边形 $A B D F$ 是平行四边形;

(2)如图 2, 将图 1 中的 $A B C D$ 折叠, 使点 $D$ 和点 $A$ 重合, 折痕为 $G H$, 求 $C G$ 的长.
选项：
答案：(1)证明: $\because \angle B A C=90^{\circ}$, 点 $E$ 为 $B C$ 中点,

$\therefore A E=\frac{1}{2} B C=B E$,

$\because \angle A C B=30^{\circ}$,
$\therefore \angle A B C=60^{\circ}$,

$\therefore \triangle A B E$ 是等边三角形,

$\therefore \angle A E B=60^{\circ}$,

$\because \triangle B C D$ 是等边三角形,

$\therefore \angle D B C=\angle B C D=60^{\circ}$,

$\therefore \angle A C D=\angle A C B+\angle B C D=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}$,

$\because \angle D B C=\angle A E B=60^{\circ}, \angle B A C=\angle A C D=90^{\circ}$,

$\therefore A B / / C D, B D / / A F$,

$\therefore$ 四边形 $A B D F$ 是平行四边形;

(2)解: $\because \angle B A C=90^{\circ}, \angle A C B=30^{\circ}, B C=8$,

$\therefore A B=4, A C=\sqrt{B C^{2}-A B^{2}}=\sqrt{8^{2}-4^{2}}=4 \sqrt{3}$,

$\because \triangle B C D$ 是等边三角形,

$\therefore C D=B C=8$,

设 $C G=x ，$ 则 $D G=8-x$,

在Rt $\triangle A C G$ 中, $A G^{2}=A C^{2}+C G^{2}$,

即: $(8-x)^{2}=x^{2}+(4 \sqrt{3})^{2}$,

解得: $x=1$,

$\therefore C G=1$.
解析：(1)证明: $\because \angle B A C=90^{\circ}$, 点 $E$ 为 $B C$ 中点,

$\therefore A E=\frac{1}{2} B C=B E$,

$\because \angle A C B=30^{\circ}$,
$\therefore \angle A B C=60^{\circ}$,

$\therefore \triangle A B E$ 是等边三角形,

$\therefore \angle A E B=60^{\circ}$,

$\because \triangle B C D$ 是等边三角形,

$\therefore \angle D B C=\angle B C D=60^{\circ}$,

$\therefore \angle A C D=\angle A C B+\angle B C D=30^{\circ}+60^{\circ}=90^{\circ}$,

$\because \angle D B C=\angle A E B=60^{\circ}, \angle B A C=\angle A C D=90^{\circ}$,

$\therefore A B / / C D, B D / / A F$,

$\therefore$ 四边形 $A B D F$ 是平行四边形;

(2)解: $\because \angle B A C=90^{\circ}, \angle A C B=30^{\circ}, B C=8$,

$\therefore A B=4, A C=\sqrt{B C^{2}-A B^{2}}=\sqrt{8^{2}-4^{2}}=4 \sqrt{3}$,

$\because \triangle B C D$ 是等边三角形,

$\therefore C D=B C=8$,

设 $C G=x ，$ 则 $D G=8-x$,

在Rt $\triangle A C G$ 中, $A G^{2}=A C^{2}+C G^{2}$,

即: $(8-x)^{2}=x^{2}+(4 \sqrt{3})^{2}$,

解得: $x=1$,

$\therefore C G=1$.