eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高三 · 逻辑题）：已知命题 $p: \forall x \in \mathbf{R}, x^{2}-1>0$; 命题 $q: \exists x \in \mathbf{R}, \sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)=1$, 则下列判断正确的是
选项：
A. $\neg p$ 是假命题
B. $q$ 是假命题
C. $p \vee(\neg q)$ 是真命题
D. $(\neg p) \vee(\neg q)$ 是真命题
答案：D
题目（高三 · 逻辑题）：下列命题中, 是真命题且是全称命题的是
选项：
A. 对任意的 $a 、 b \in \mathbf{R}$, 都有 $a^{2}+b^{2}-2 a-2 b+2<0$
B. 菱形的两条对角线相等
C. $\exists x \in \mathbf{R}, \sqrt{x^{2}}=x$
D. 对数函数在定义域上是单调函数
答案：D
题目（高三 · 逻辑题）：命题 “有些实数的绝对值是正数” 的否定是 ( )
选项：
A. $\forall x \in \mathbf{R},|x|>0$
B. $\exists x_{0} \in \mathbf{R},\left|x_{0}\right|>0$
C. $\forall x \in \mathbf{R},|x| \leq 0$
D. $\exists x_{0} \in \mathbf{R},\left|x_{0}\right| \leq 0$
答案：C
题目（高三 · 逻辑题）：已知命题 “ $\forall a 、 b \in \mathbf{R}$, 如果 $a b>0$, 则 $a>0$ ”, 则它的否命题是 ()
选项：
A. $\forall a 、 b \in \mathbf{R}$, 如果 $a b<0$, 则 $a<0$
B. $\forall a 、 b \in \mathbf{R}$, 如果 $a b \leq 0$, 则 $a \leq 0$
C. $\exists a 、 b \in \mathbf{R}$, 如果 $a b<0$, 则 $a<0$
D. $\exists a 、 b \in \mathbf{R}$, 如果 $a b \leq 0$, 则 $a \leq 0$
答案：B
题目（高三 · 逻辑题）：命题 “对任意 $x \in \mathbf{R}$, 都有 $x^{2} \geq 0$ ” 的否定为 ( )
选项：
A. 对任意 $x \in \mathbf{R}$, 都有 $x^{2}<0$
B. 不存在 $x \in \mathbf{R}$, 使得 $x^{2}<0$
C. 存在 $x_{0} \in \mathbf{R}$, 使得 $x_{0}^{2} \geq 0$
D. 存在 $x_{0} \in \mathbf{R}$, 使得 $x_{0}^{2}<0$
答案：D
题目（高三 · 逻辑题）：命题 “ $\forall x \in \mathbf{R},|x|+x^{2} \geq 0$ ” 的否定是 ( )
选项：
A. $\forall x \in \mathbf{R},|x|+x^{2}<0$
B. $\forall x \in \mathbf{R},|x|+x^{2} \leq 0$
C. $\exists x_{0} \in \mathbf{R},\left|x_{0}\right|+x_{0}^{2}<0$
D. $\exists x_{0} \in \mathbf{R},\left|x_{0}\right|+x_{0}^{2} \geq 0$
答案：C
题目（高三 · 逻辑题）：设命题 $p: \forall x \in \mathbf{R}, x^{2}+1>0$, 则 $\neg p$ 为 ( )
选项：
A. $\exists x_{0} \in \mathbf{R}, x_{0}^{2}+1>0$
B. $\exists x_{0} \in \mathbf{R}, x_{0}^{2}+1 \leq 0$
C. $\exists x_{0} \in \mathbf{R}, x_{0}^{2}+1<0$
D. $\forall x \in \mathbf{R}, x^{2}+1 \leq 0$
答案：B
题目（高三 · 逻辑题）：下列命题中, 既是真命题又是特称命题的是 ( )
选项：
A. 存在一个 $\alpha$, 使 $\tan \left(90^{\circ}-\alpha\right)=\tan \alpha$
B. 存在实数 $x_{0}$, 使 $\sin x_{0}=\sqrt{2}$
C. 对一切 $\alpha, \sin \left(180^{\circ}-\alpha\right)=\sin \alpha$
D. $\sin (\alpha-\beta)=\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta$
答案：A
题目（高三 · 逻辑题）：已知 $a, b, c \in \mathrm{R}$, 命题 “若 $a+b+c=3$, 则 $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 3$ ” 的否命题是( )
选项：
A. 若 $a+b+c \neq 3$, 则 $a^{2}+b^{2}+c^{2}<3$
B . 若 $a+b+c=3$, 则 $a^{2}+b^{2}+c^{2}<3$
C. 若 $a+b+c \neq 3$, 则 $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 3$
D. 若 $a^{2}+b^{2}+c^{2} \geq 3$, 则 $a+b+c=3$
答案：A
题目（高三 · 逻辑题）：设 $\vec{a}, \vec{b}$ 是向量, 命题“若 $\vec{a}=-\vec{b}$, 则 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ ”的逆命题是( )
选项：
A.若 $\vec{a} \neq-\vec{b}$, 则 $|\vec{a}| \neq|\vec{b}|$
B. 若 $\vec{a}=-\vec{b}$, 则 $|\vec{a}| \neq|\vec{b}|$
C. 若 $|\vec{a}| \neq|\vec{b}|$, 则 $\vec{a} \neq-\vec{b}$
D. 若 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$, 则 $\quad \vec{a}=-\vec{b}$
答案：D
题目（高三 · 逻辑题）：有下列四个命题:

(1) “若 $x+y=0$, 则 $x, y$ 互为相反数”的逆命题; (2)“全等三角形的面积相等”的否命题;

(3)“若 $q \leq 1$, 则 $x^{2}+2 x+q=0$ 有实根”的逆否命题; (4)“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题. 其中真命题为（）
选项：
A. (1)(2)
B. (2)(3)
C. (1)(3)
D. (3)(4)
答案：B
题目（高三 · 逻辑题）：给出命题: “若 $x^{2}+y^{2}=0$, 则 $x, y$ 都等于 0 ”, 在它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是 ( )
选项：
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：D
题目（高三 · 逻辑题）：给出命题: 已知 $a, b$ 为实数, 若 $a+b=1$, 则 $a b \leq \frac{1}{4}$. 在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，假命题的个数是（）
选项：
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
答案：C
题目（高三 · 逻辑题）：命题 “若 $x=2$, 则 $x^{2}-3 x+2=0$ ” 的逆否命题是
选项：
A. 若 $x \neq 2$, 则 $x^{2}-3 x+2 \neq 0$
B. 若 $x^{2}-3 x+2=0$, 则 $x=2$
C. 若 $x^{2}-3 x+2 \neq 0$, 则 $x \neq 2$
D. 若 $x \neq 2$, 则 $x^{2}-3 x+2=0$
答案：C
题目（高三 · 逻辑题）：命题 “若 $x \geq a^{2}+b^{2}$, 则 $x \geq 2 a b$ ”的逆命题是（）
选项：
A. 若 $x<a^{2}+b^{2}$, 则 $x<2 a b$
B. 若 $x \geq a^{2}+b^{2}$, 则 $x<2 a b$
C. 若 $x<2 a b$, 则 $x<a^{2}+b^{2}$
D. 若 $x \geq 2 a b$, 则 $x \geq a^{2}+b^{2}$
答案：D
题目（高三 · 逻辑题）：给定原命题: “若 $a^{2}+b^{2}=0$, 则 $a, b$ 全为 0 ” , 那么下列命题形式正确的是 ( )
选项：
A. 逆命题: 若 $a, b$ 全为 0 ，则 $a^{2}+b^{2}=0$

B. 否命题: 若 $a^{2}+b^{2} \neq 0$ ，则 $a, b$ 全不为 0

C. 逆否命题: 若 $a, b$ 全不为 0 , 则 $a^{2}+b^{2} \neq 0$

D. 否定：若 $a^{2}+b^{2}=0$ ，则 $a, b$ 全不为 0
答案：A
题目（高三 · 逻辑题）：命题“若 $\alpha=\frac{\pi}{4}$, 则 $\tan \alpha=1$ ”的逆否命题是 ( )
选项：
A. 若 $\alpha \neq \frac{\pi}{4}$, 则 $\tan \alpha \neq 1$
B. 若 $\alpha=\frac{\pi}{4}$, 则 $\tan \alpha \neq 1$
C. 若 $\tan \alpha \neq 1$, 则 $\alpha \neq \frac{\pi}{4}$
D. 若 $\tan \alpha \neq 1 ， \quad$ 则 $\alpha=\frac{\pi}{4}$
答案：C
题目（高三 · 逻辑题）：“ $x y \neq 0$ ” 是指 ( )
选项：
A. $x \neq 0$ 且 $y \neq 0$
B. $x \neq 0$ 或 $y \neq 0$
C. $x, y$ 至少一个不为 0
D. 不都是 0
答案：A
题目（高三 · 逻辑题）：已知命题 $p, q, “ \neg p$ 为假” 是 “ $p \vee q$ 为真” 的 ( )
选项：
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案：A
题目（高三 · 逻辑题）：在一次抛硬币实验中, 甲、乙两人各抛一次硬币一次, 设命题 $p$ : “甲抛的硬币正面向上”,$q$ : “乙抛的硬币正面向上”, 则命题 “至少有一人抛的硬币是正面向下” 可表示为 ( )
选项：
A. $(\neg p) \wedge(\neg q)$
B. $p \vee(\neg q)$
C. $(\neg p) \vee(\neg q)$
D. $(\neg p) \vee q$
答案：C
题目（高三 · 逻辑题）：已知下列命题:

(1)2017 年 10 月 19 日既是李明的生日, 又是林林的生日;
(2) 10 的倍数一定是 5 的倍数;
(3)梯形不是矩形.

其中使用逻辑联结词的命题有（ ）
选项：
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
答案：B
题目（高三 · 逻辑题）：若 $p 、 q$ 是两个简单命题, “ $p$ 或 $q$ ” 的否定是真命题, 则必有 ( )
选项：
A. $p$ 真 $q$ 真
B. $p$ 假 $q$ 假
C. $p$ 真 $q$ 假
D. $p$ 假 $q$ 真
答案：B
题目（高三 · 逻辑题）：已知命题 $p: 1 \in\{x \mid(x+2)(x-3)<0\}$, 命题 $q: \varnothing=\{0\}$, 则下列判断正确的是 ( )
选项：
A. $p$ 假 $q$ 假
B. “ $p$ 或 $q$ ”为真
C. $" p$ 且 $q$ ” 为真
D. $p$ 假 $q$ 真
答案：B
题目（高三 · 逻辑题）：命题 $p: a^{2}+b^{2}<0(a, b \in \mathbf{R})$; 命题 $q:(a-2)^{2}+|b-3| \geq 0(a, b \in \mathbf{R})$, 下列结论正确的
选项：
A. $p \vee q$ 为真
B. $p \wedge q$ 为真
C. $\neg p$ 为假
D. $\neg q$ 为真
答案：A
题目（高三 · 逻辑题）：已知命题 $p:\left|x^{2}-x\right| \geq 6, q: x \in \mathbf{Z}$. 若 “ $p \wedge q$ ” 与 “ $\neg q$ ” 同时为假命题, 则 $x$ 的值为
选项：
A. -1
B. 0
C. 1,2
D. $-1,0,1,2$
答案：D
题目（高三 · 逻辑题）：对于命题 $p$ 和 $q$, 若 $p$ 且 $q$ 为真命题, 则下列四个命题:

(1) $p$ 或 $q q$ 是真命题; (2) $p$ 且 $\neg q$ 是真命题; (3) $\neg p$ 且 $\neg q$ 是假命题; (4) $\neg p$ 或 $q$ 是假命题.其中为真命题的是 ( )
选项：
A. (1)(2)
B. (3)(4)
C. (1)(3)
D. (2)(4)
答案：C
题目（高三 · 逻辑题）：下列命题中既是 $p \wedge q$ 形式的命题, 又是真命题的是 ( )
选项：
A. 10 或 15 是 5 的倍数

B. 方程 $x^{2}-3 x-4=0$ 的两根是 -4 和 1

C. 方程 $x^{2}+1=0$ 没有实数根

D. 有两个角为 $45^{\circ}$ 的三角形是等腰直角三角形
答案：D
题目（高三 · 逻辑题）：命题 $p$ : 若 $a b=0$, 则 $a=0$; 命题 $q: 3 \geq 3$, 则 ( )
选项：
A. “ $p$ 或 $q$ ” 为假
B. $" p$ 且 $q$ ” 为真
C. $p$ 真 $q$ 假
D. $p$ 假 $q$ 真
答案：D
题目（高三 · 逻辑题）：设 $x \in \mathbf{R}$, 则 “ $2-x \geq 0$ ” 是 “ $|x-1| \leq 1$ ” 的 ( )
选项：
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案：B
题目（高三 · 逻辑题）：设 $a \in \mathbf{R}$, 则 “ $a>1$ ” 是 “ $a^{2}>1$ ” 的 ( )
选项：
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
答案：A
题目（高三 · 逻辑题）：“ $a+c>b+d$ ” 是 “ $a>b, c>d$ ” 成立的 ( )
选项：
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案：B
题目（高三 · 解析几何）：设 $F_{1}(-4,0) 、 F_{2}(4,0)$ 为定点, 动点 $M$ 满足 $\left|M F_{1}\right|+\left|M F_{2}\right|=8$, 则动点 $M$ 的轨迹是 (
选项：
A. 椭圆
B. 直线
C. 圆
D. 线段
答案：D
解析：若点 $M$ 与 $F_{1}, F_{2}$ 可以构成一个三角形, 则 $\left|M F_{1}ight|+\left|M F_{2}ight|>\left|F_{1} F_{2}ight|, ecause\left|F_{1} F_{2}ight|=8$, 动点 $M$满足 $\left|M F_{1}ight|+\left|M F_{2}ight|=8, 	herefore$ 点 $M$ 在线段 $F_{1} F_{2}$ 上. 故选 $D$.
题目（高三 · 解析几何）：已知动圆 $M$ 与圆 $C_{1}:(x+1)^{2}+y^{2}=1$ 外切, 与圆 $C_{2}:(x-1)^{2}+y^{2}=25$ 内切, 则动圆圆心 $M$ 的轨迹方程是 ( )
选项：
A. $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{8}=1$
B. $\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{9}=1$
C. $\frac{x^{2}}{9}+y^{2}=1$
D. $x^{2}+\frac{y^{2}}{9}=1$
答案：A
解析：设动圆 $M$ 的半径为 $r,:$ 动圆 $M$ 与圆 $C_{1}:(x+1)^{2}+y^{2}=1$ 外切, 与圆 $C_{2}:(x-1)^{2}+y^{2}$ $=25$ 内切, $	herefore\left|M C_{1}ight|=1+r,\left|M C_{2}ight|=5-r$, 此时 $\left|M C_{1}ight|+\left|M C_{2}ight|=1+r+5-r=6>$ $\left|C_{1} C_{2}ight|$, 故动圆 $M$ 的圆心轨迹是以 $C_{1}, C_{2}$ 为焦点的圆心, 则 $a=3, c=1, b^{2}=a^{2}-c^{2}=8$,故动圆圆心 $M$ 的轨迹方程为 $rac{x^{2}}{9}+rac{y^{2}}{8}=1$, 故选 $A$.
题目（高三 · 解析几何）：已知椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$, 过左焦点 $F_{1}$ 的直线交椭圆于 $A, B$ 两点, 则 $\triangle A B F_{2}$ 的周长为 ( )
选项：
A. 12
B. 9
C. 6
D. 4
答案：A
解析：椭圆方程为 $rac{x^{2}}{9}+rac{y^{2}}{4}=1$ 焦点在 $x$ 轴上, $a=3, b=2, c=\sqrt{5}$, 由椭圆的定义可知: $\left|A F_{1}ight|+\left|A F_{2}ight|=2 a=6,\left|B F_{1}ight|+\left|B F_{2}ight|=2 a=6$, 则 $	riangle A B F_{2}$的周长 $\left(\left|A F_{1}ight|+\left|A F_{2}ight|ight)+\left(\left|B F_{1}ight|+\left|B F_{2}ight|ight)=2 a+2 a=4 a=12, \quad 	herefore 	riangle A B F_{2}$ 的周长 12 , 故选 $A$.
题目（高三 · 解析几何）：设 $P$ 为粗圆 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 上的一点, $F_{1} 、 F_{2}$ 是该粗圆的两个焦点, 若 $\left|P F_{1}\right|:\left|P F_{2}\right|=2: 1$ 则 $\triangle P F_{1} F_{2}$ 的面积为 ( $)$
选项：
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
答案：C
解析：$ecause\left|P F_{1}ight|:\left|P F_{2}ight|=2: 1, 	herefore$ 可设 $\left|P F_{1}ight|=2 k,\left|P F_{2}ight|=k$, 由题意可知 $2 k+k=6, 	herefore k=2, 	herefore\left|P F_{1}ight|=4$, $\left|P F_{2}ight|=2, ecause\left|F_{1} F_{2}ight|=2 \sqrt{5}, 	herefore 	riangle P F_{1} F_{2}$ 是直角三角形, 其面积 $=rac{1}{2} 	imes\left|P F_{1}ight| 	imes\left|P F_{2}ight|=rac{1}{2} 	imes 4 	imes 2=4$. 故选 $C$.
题目（高三 · 解析几何）：方程 $\sqrt{x^{2}+(y-2)^{2}}+\sqrt{x^{2}+(y+2)^{2}}=10$ 化简的结果是
选项：
A. $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1$
B. $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{21}=1$
C. $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{4}=1$
D. $\frac{y^{2}}{25}+\frac{x^{2}}{21}=1$
答案：D
解析：$ecause$ 方程 $\sqrt{x^{2}+(y-2)^{2}}+\sqrt{x^{2}+(y+2)^{2}}=10$, 表示平面内到定点 $F_{1}(0,-2) 、 F_{2}$ $(0,2)$ 的距离的和是常数 $10(10>4)$ 的点的轨迹, $	herefore$ 它的轨迹是以 $F_{1} 、 F_{2}$ 为焦点, 长轴 $2 a=10$, 焦距 $2 c=4$ 的椭圆; $	herefore a=5, c=2, b=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}$; $	herefore$ 椭圆的方程是 $rac{y^{2}}{25}+rac{x^{2}}{21}=1$,即为化简的结果. 故选 $D$.
题目（高三 · 解析几何）：$\triangle A B C$ 中, $B(-4,0), C(4,0),|A B|+|A C|=10$, 则顶点 $A$ 的轨迹方程是 ( )
选项：
A. $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1(x \neq \pm 3)$
B. $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1(x \neq \pm 5)$
C. $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1(x \neq \pm 3)$
D. $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}=1(x \neq \pm 5)$
答案：B
解析：$ecause 	riangle A B C$ 中, $B(-4,0), C(4,0),|A B|+|A C|=10, 	herefore|B C|=8 ecause|A B|+|A C|=10>8=|B C| 	herefore$点 $A$ 的轨迹是以 $B, C$ 为焦点的椭圆, $a=5, c=4$, 则 $b=3$, 所求椭圆方程为: $rac{x^{2}}{25}+rac{y^{2}}{9}=1$, $x 
eq \pm 5$. 故选 $B$.
题目（高三 · 解析几何）：如果方程 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a+6}=1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆, 则实数 $a$ 的取值范围是 ( )
选项：
A. $a>3$
B. $a<-2$
C. $a>3$ 或 $a<-2$
D. $a>3$ 或 $-6<a<-2$
答案：D
解析：$ecause$ 方程 $rac{x^{2}}{a^{2}}+rac{y^{2}}{a+6}=1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆, $	herefore a^{2}>a+6>0$, 解得 $a>3$ 或 $-6<a<-2$, $	herefore$ 实数 $a$ 的取值范围是 $a>3$ 或 $-6<a<-2$, 故选 $D$.
题目（高三 · 解析几何）：若曲线 $\frac{x^{2}}{1-k}+\frac{y^{2}}{1+k}=1$ 表示粗圆,则 $k$ 的取值范围是 ( )
选项：
A. $k>1$
B. $k \leq 1$
C. $-1<\mathrm{k}<1$
D. $-1<\mathrm{k}<0$ 或 $0<k<1$
答案：D
解析：$ecause$ “ $m>n>0$ ” 可以推出 “方程 $m x^{2}+n y^{2}=1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆”, “方程 $m x^{2}+n y^{2}=1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆” 可以推出 “ $n>m>0$ ” , $	herefore ~ m>n>0$ ” 是 “方程 $m x^{2}+n y^{2}=1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆” 的既不充分也不必要条件. 故选 $D$.
题目（高三 · 解析几何）：“ $m>n>0$ ” 是 “曲线 $m x^{2}+n y^{2}=1$ 为焦点在 $x$ 轴上的陏圆” 的
选项：
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案：D
解析：$ecause$ “ $m>n>0$ ” 可以推出 “方程 $m x^{2}+n y^{2}=1$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆”, “方程 $m x^{2}+n y^{2}=1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆” 可以推出 “ $n>m>0$ ” , $	herefore ~ m>n>0$ ” 是 “方程 $m x^{2}+n y^{2}=1$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆” 的既不充分也不必要条件. 故选 $D$.
题目（高三 · 解析几何）：若粗圆 $\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{8}=1$ 的焦距为 2 , 则 $m$ 的值为 ( )
选项：
A. 9
B. 9 或 16
C. 7
D. 9 或 7
答案：D
解析：椭圆 $rac{x^{2}}{m}+rac{y^{2}}{8}=1$ 的焦距为 2 , 可得 $c=1$. (1) 当椭圆的焦点在 $x$ 轴上时, $a^{2}=m, b^{2}=8$,$c^{2}=m-8, m-8=1$, 解得 $m=9$, (2) 当椭圆的焦点在 $y$ 轴上时, $a^{2}=8, b^{2}=m, c^{2}=8-m$, $8-m=1$, 解得 $m=7$, 则 $m$ 的值是 9 或 7 . 故选 $D$.
题目（高三 · 解析几何）：已知圆 $C_{1}:(x+2)^{2}+y^{2}=\frac{25}{4}, C_{2}:(x-2)^{2}+y^{2}=\frac{1}{4}$,动圆 $P$ 与圆 $C_{1}, C_{2}$ 都外切, 则动圆圆心 $P$ 的轨迹方程为
选项：
A. $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1(x>0)$
B. $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1(x<0)$
C. $x^{2}-\frac{y^{2}}{5}=1(x>0)$
D. $x^{2}-\frac{y^{2}}{5}=1(x<0)$
答案：A
解析：设动圆 $P$ 的半径为 $r$, 由题意可知 $\left|P C_{1}ight|=r+rac{5}{2},\left|P C_{2}ight|=r+rac{1}{2}$, 则 $\left|P C_{1}ight|-\left|P C_{2}ight|=2<\left|C_{1} C_{2}ight|=4$, 所以 $P$点的轨迹是以 $C_{1}, C_{2}$ 为焦点的双曲线的右支, 且 $a=1, c=2$, 则 $b^{2}=3$, 则动点 $P$ 的轨迹方程为 $x^{2}-rac{y^{2}}{3}=$ $1(x>0)$.
题目（高三 · 解析几何）：设 $F_{1} 、 F_{2}$ 分别是双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$ 的左、右焦点, 点 $P$ 在双曲线上, 且 $\mid P F_{1 \mid}=5$, 则 $\left|P F_{2}\right|=(\quad)$
选项：
A. 1
B. 3
C. 3 或 7
D. 1 或 9
答案：C
解析：双曲线 $x^{2}-rac{y^{2}}{4}=1$, 可得 $a=1, b=2,: c c=\sqrt{5}, F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $x^{2}-rac{y^{2}}{4}=1$ 的左, 右焦点, 点 $P$ 在双曲线上, 且 $\left|P F_{1}ight|=5, ecause c+a=\sqrt{5}+1<5, 	herefore P$ 既有可能在双曲线的左支上, 也有可能在右支上. 当 $P$ 在双曲线的左支时, 则 $\left|P F_{2}ight|=2 a+\left|P F_{1}ight|=2+5=7$, 当 $P$ 在双曲线的右支时, 则 $\left|P F_{2}ight|=-2 a+\left|P F_{1}ight|=-2+5=3$,综上, $\left|P F_{2}ight|=3$ 或 $\left|P F_{2}ight|=7 .$.
题目（高三 · 解析几何）：与椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 共焦点且过点 $P(2,1)$ 的双曲线方程是 ( )
选项：
A. $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$
B. $\frac{x^{2}}{3}-y^{2}=1$
C. $\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$
D. $x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$
答案：C
解析：由椭圆 $rac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 可得焦点为 $( \pm \sqrt{3}, 0)$, 设要求的双曲线的标准方程为: $rac{x^{2}}{a^{2}} rac{y^{2}}{b^{2}}=1(a, b>0)$,则 $a^{2}+b^{2}=3, rac{4}{a^{2}-} rac{1}{b^{2}}=1$, 解得 $a^{2}=2, b^{2}=1$, :要求的双曲线的标准方程为: $rac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$, 故选 $C$.
题目（高三 · 解析几何）：双曲线 $y^{2}-\frac{x^{2}}{3}=1$ 的焦点坐标是 ( )
选项：
A. $(0, \sqrt{2}),(0,-\sqrt{2})$
B. $(\sqrt{2}, 0),(-\sqrt{2}, 0)$
C. $(0,2),(0,-2)$
D. $(2,0),(-2,0)$
答案：C
解析：根据题意, 双曲线的方程为 $y^{2}-rac{x^{2}}{3}=1$, 其焦点在 $y$ 轴上, 且 $a=1, b=\sqrt{3}$, 则 $c=\sqrt{1+3}=2$, 则其焦点坐标为 $(0,2) 、(0,-2)$;
题目（高三 · 解析几何）：若双曲线 $x^{2}-k y^{2}=1$ 的一个焦点是 $(3,0)$, 则实数 $k=$
选项：
A. $\frac{1}{16}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{8}$
D. $\frac{1}{2}$
答案：C
解析：由双曲线 $x^{2}-k y^{2}=1$, 得 $x^{2}-rac{y^{2}}{rac{1}{k}}=1, ecause(3,0)$ 是双曲线的一个焦点, 可知双曲线为焦点在 $x$轴上的双曲线, 则 $a^{2}=1, b^{2}=rac{1}{k}, 	herefore c^{2}=a^{2}+b^{2}=1+rac{1}{k}=rac{k+1}{k}=9$, 解得: $k=rac{1}{8}$.
题目（高三 · 解析几何）：已知 $M(-2,0), N(2,0),|P M|-|P N|=4$, 则动点 $P$ 的轨迹是 ( )
选项：
A. 一条射线
B. 双曲线
C. 双曲线左支
D. 双曲线右支
答案：A
解析：如果是双曲线, 那么 $|P M|-|P N|=4=2 a a=2$ 而两个定点 $M(-2,0), N(2,0)$ 为双曲线的焦点 $c=2$ 而在双曲线中 $c>a$ 所以把后三个关于双曲线的答案全部排除, 故选: $A$.
题目（高三 · 解析几何）：方程 $\frac{x^{2}}{2+m}+\frac{y^{2}}{m+1}=1$ 表示双曲线, 则 $m$ 的取值范围是 ( )
选项：
A. $(-2,-1)$
B. $(-2,+\infty)$
C. $(-\infty,-1)$
D. $(-\infty,-2) \cup(-1,+\infty)$
答案：A
解析：$ecause$ 方程 $rac{x^{2}}{2+m}+rac{y^{2}}{m+1}=1$ 表示双曲线, $	herefore(2+m)(m+1)<0, 	herefore-2<m<-1$.
题目（高三 · 解析几何）：双曲线 $\frac{x^{2}}{m^{2}+12}-\frac{y^{2}}{4-m^{2}}=1$ 的焦距是
选项：
A. 4
B. 6
C. 8
D. 与 $m$ 有关
答案：C
解析：双曲线 $rac{x^{2}}{m^{2}+12}-rac{y^{2}}{4-m^{2}}=1$ 焦点在 $x$ 轴上, 即有 $4-m^{2}>0$, 则 $a^{2}=m^{2}+12, b^{2}=4-m^{2}, c^{2}=a^{2}+b^{2}=16$, 则 $c=4$, 焦距 $2 c=8$.
题目（高三 · 解析几何）：在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 已知点 $F_{1}(-5,0), F_{2}(5,0)$, 动点 $P$ 满足 $\left|P F_{1}\right|-\left|P F_{2}\right|=8$, 则点 $P$的轨迹是
选项：
A. 椭圆
B. 双曲线
C. 双曲线的左支
D. 双曲线的右支
答案：D
解析：由于两点间的距离 $\left|F_{1} F_{2}ight|=10$, 动点 $P$ 满足 $\left|P F_{1}ight|-\left|P F_{2}ight|=8<10$, 所以满足条件 $\left|P F_{1}ight|-\left|P F_{2}ight|=8$ 的点 $P$ 的轨迹是双曲线中离 $F_{2}$ 较近的一支.
题目（高三 · 解析几何）：已知双曲线 $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$ 上有一点 $P$ 到一个焦点距离为 12 , 则到另一个焦点的距离为 ( )
选项：
A. 4
B. 20
C. 4 或 20
D. 6 或 18
答案：C
解析：设双曲线 $rac{x^{2}}{16}-rac{y^{2}}{9}=1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$, 则 $a=4, b=3, c=5$, 不妨令 $\left|P F_{1}ight|=12(12>a+c=9), 	herefore$点 $P$ 可能在左支, 也可能在右支, 由 $\left|P F_{1}ight|-\left|P F_{2}ight|=2 a=8$ 得: $|12-| P F_{2}|=8, \quad|. P F_{2} \mid=20$ 或 $4 . 	herefore$ 点 $P$ 到另一个焦点的距离是 20 或 4 .
题目（高三 · 解析几何）：双曲线 $15 y^{2}-x^{2}=15$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 的（）
选项：
A. 焦点相同
B. 焦距相同
C. 离心率相等
D. 形状相同
答案：B
解析：双曲线 $15 y^{2}-x^{2}=15$ 化为标准方程是 $y^{2}-rac{x^{2}}{15}=1$, 它的焦点坐标是 $(0, \pm 4)$, 焦距是 $2 c=8$, 离心率是 $e=4$; 椭圆的标准方程是 $rac{x^{2}}{25}+rac{y^{2}}{9}=1$, 它的焦点坐标为 $( \pm 4,0)$, 焦距是 $2 c=8$, 离心率是 $e=rac{4}{5}$. 所以, 它们的焦距相同.
题目（高三 · 解析几何）：$F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $C: \frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{7}=1$ 的左、右焦点, $P$ 为双曲线 $C$ 右支上一点, 且 $\left|P F_{1}\right|=8$, 则 $\Delta P F_{1} F_{2}$的周长为
选项：
A. 15
B. 16
C. 17
D. 18
答案：D
解析：由双曲线的方程可得: $a=3, c=4$, 所以 $\left|P F_{2}ight|=\left|P F_{1}ight|-2 a=8-6=2,\left|F_{1} F_{2}ight|=2 c=8$, 所以三角形 $P F_{1} F_{2}$ 的周长为 $2+8+8=18$.
题目（高三 · 解析几何）：已知点 $M$ 为双曲线 $C: x^{2}-\frac{y^{2}}{8}=1$ 的左支上一点, $F_{1}, F_{2}$ 分别为 $C$ 的左、右焦点, 则 $\left|M F_{1}\right|+\left|F_{1} F_{2}\right|-\left|M F_{2}\right|=$
选项：
A. 1
B. 4
C. 6
D. 8
答案：B
解析：双曲线 $C: x^{2}-rac{y^{2}}{8}=1$, 可得 $a=1, b=2 \sqrt{2}, c=3$, 则点 $M$ 为双曲线 $C: x^{2}-rac{y^{2}}{8}=1$ 的左支上一点, $F_{1}, F_{2}$ 分别为 $C$ 的左、右焦点, 则 $\left|M F_{1}ight|+\left|F_{1} F_{2}ight|-\left|M F_{2}ight|=-2 a+2 c=4$.
题目（高三 · 解析几何）：已知定点 $F_{1}(-2,0), F_{2}(2,0), N$ 是圆 $0: x^{2}+y^{2}=1$ 上任意一点, 点 $F_{1}$ 关于点 $N$ 的对称点为 $M$,线段 $\mathbf{F}_{1} \mathbf{M}$ 的中垂线与直线 $\mathbf{F}_{2} \mathbf{M}$ 相交于点 $\mathbf{P}$, 则点 $\mathbf{P}$ 的轨迹是 (
选项：
A. 直线
B. 圆
C. 椭圆
D. 双曲线
答案：D
解析： 连接 $O N$, 由题意可得 $O N=1$, 且 $N$ 为 $M F_{1}$ 的中点, 所以 $M F_{2}=2$, 因为点 $F_{1}$ 关于点 $N$ 对称点为 $M$, 线段 $F_{1} M$ 的中垂线与直线 $M F_{2}$ 相交于点 $P$, 由垂直平分线的性质可得 $P M=P F_{1}$, 所以 $\left|P F_{2}-P F_{1}ight|=$ $\left|P F_{2}-P Might|=M F_{2}=2<F_{1} F_{2}$, 由双曲线的定义可得点 $P$ 得轨迹是以 $F_{1}, F_{2}$ 为焦点的双曲线,
题目（高三 · 解析几何）：已知方程 $\frac{x^{2}}{2-k}+\frac{y^{2}}{k-1}=1$ 的图像是双曲线, 那么 $k$ 的取值范围是
选项：
A. $\mathrm{k}<1$
B. $k>2$
C. $k<1$ 或 $k>2$
D. $1<k<2$
答案：C
解析：方程 $rac{x^{2}}{2-k}+rac{y^{2}}{k-1}=1$ 表示双曲线, 可得 $(2-k) \quad(k-1)<0$, 所以 $k<1$ 或 $k>2$.
题目（高三 · 解析几何）：已知双曲线 $\frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{64}=1$ 上一点 $P$ 到双曲线的一个焦点距离为 15 , 则点 $P$ 到另外一个焦点的距离为
选项：
A. 3 或 27
B. 3
C. 27
D. 5
答案：C
解析：双曲线 $rac{x^{2}}{36}-rac{y^{2}}{64}=1$ 的 $a=6, b=8, c=10$, 设左右焦点为 $F_{1}, F_{2}$. 则有双曲线的定义, 得 ||$P F_{1}|-| P F_{2} \mid=2 a=12$, 可设 $\left|P F_{1}ight|=15$, 则有 $\left|P F_{2}ight|=3$ 或 27 , 若 $P$ 在右支上, 则有 $\left|P F_{2}ight| \geq c-a=4$, 若 $P$ 在左支上, 则 $\left|P F_{2}ight| \geq c+a=16$, 故 $\left|P F_{2}ight|=3$ 舍去.
题目（高三 · 解析几何）：已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $x^{2}-y^{2}=1$ 的左, 右焦点, 点 $P$ 在双曲线上. 若 $\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$, 则 $\triangle P F_{1} F_{2}$的面积为 ( )
选项：
A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\sqrt{3}$
C. $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$
D. $2 \sqrt{3}$
答案：B
解析：由题意可得双曲线 $x^{2}-y^{2}=1$ 的, 即 $a=1, b=1, c=\sqrt{2}$, 则 $F_{2}(\sqrt{2}, 0), F_{1}(-\sqrt{2}, 0)$,又 $\left|F_{1} F_{2}ight|^{2}=8,|| P F_{1}|-| P F_{2}||=2 a=2$,由余弦定理可得: $\left|F_{1} F_{2}ight|^{2}=\left|P F_{1}ight|^{2}+\left|P F_{2}ight|^{2}-2\left|P F_{1}ight| \cdot\left|P F_{2}ight| \cos 60^{\circ}=\left(\left|P F_{1}ight|-\left|P F_{2}ight|ight)$ ${ }^{2}+\left|P F_{1}ight| \cdot\left|P F_{2}ight|=24+\left|P F_{1}ight| \cdot\left|P F_{2}ight|, 	herefore\left|P F_{1}ight| \cdot\left|P F_{2}ight|=4, 	riangle F_{1} P F_{2}$ 的面积 $S, \left.S=rac{1}{2} ightvert\, P F_{1}$ $|\cdot| P F_{2} \left\lvert\, \sin 60^{\circ}=rac{1}{2} 	imes 4 	imes rac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}ight.$,
题目（高三 · 解析几何）：以椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 的焦点为顶点, 顶点为焦点的双曲线方程为 ( )
选项：
A. $\frac{y^{2}}{3}-x^{2}=1$
B. $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$
C. $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$
D. $\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{4}=1$
答案：B
解析：设要求的双曲线为 $rac{x^{2}}{a^{2}}-rac{y^{2}}{b^{2}}=1$, 由椭圆 $rac{x^{2}}{4}+rac{y^{2}}{3}=1$ 得焦点为 $( \pm 1,0)$, 顶点为 $( \pm 2,0) \ldots$双曲线的顶点为 $( \pm 1,0)$ 焦点为 $( \pm 2,0) . 	herefore a=1, c=2, 	herefore b^{2}=c^{2}-a^{2}=3 . 	herefore$ 双曲线为 $x^{2}-rac{y^{2}}{3}=1$
题目（高三 · 解析几何）：方程 $\sqrt{(x-3)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}=4$ 化简的结果是
选项：
A. $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$
B. $\frac{y^{2}}{5}-\frac{x^{2}}{4}=1$
C. $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1(x \leq-2)$
D. $\frac{y^{2}}{5}-\frac{x^{2}}{4}=1(y \leq-\sqrt{5})$
答案：C
解析：根据题意, 根式 $\sqrt{(x-3)^{2}+y^{2}}$ 表示点 $(x, y)$ 与点 $(3,0)$ 之间的距离, 根式 $\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}$ 表示点 $(x, y)$ 与点 $(-3,0)$ 之间的距离, 设 $P(x, y), F_{1}(-3,0), F_{2}(3,0)$, 则 $\left|F_{1} F_{2}ight|=6=2 c$,则方程 $\sqrt{(x-3)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}=4$ 表示 $\left|P F_{2}ight|-\left|P F_{1}ight|=4$ 的点的轨迹, 则 $P$ 的轨迹是以 $F_{1}(-3$, $0), F_{2}(3,0)$ 为焦点, 且 $2 a=4$ 的双曲线的左支, 其中 $b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{5}$, 则其方程为: $rac{x^{2}}{4} rac{y^{2}}{5}=1(x \leq-2)$;即方程 $\sqrt{(x-3)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x+3)^{2}+y^{2}}=4$ 化简的结果为 $\left.rac{x^{2}}{4}-rac{y^{2}}{5}=1 （ x \leq-2ight) ；$
题目（高三 · 解析几何）：双曲线 $\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{4}=1$ 的离心率为 ( )
选项：
A. 4
B. $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{\sqrt{5}}{2}$
D. $\frac{3}{2}$
答案：B
解析：因为双曲线 $rac{x^{2}}{5}-rac{y^{2}}{4}=1$, 所以 $a=\sqrt{5}, b=2$, 所以 $c=3$, 所以双曲线的离心率为: $e=rac{c}{a}=rac{3 \sqrt{5}}{5}$.
题目（高三 · 解析几何）：已知双曲线 $M$ 的实轴长为 2 , 且它的一条渐近线方程为 $y=2 x$, 则双曲线 $M$ 的标准方程可能是 ( )
选项：
A. $x^{2}-4 y^{2}=1 B$
1B. $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{64}=1$
C. $\frac{y^{2}}{4}-x^{2}=1$ D. $y^{2}-4 x^{2}=1$
答案：D
解析：双曲线 $M$ 的实轴长为 2 , 可知 $a=1$, 它的一条渐近线方程为 $y=2 x$, 双曲线的焦点坐标在 $x$ 轴时可得 $b=2$, 双曲线的焦点坐标在 $y$ 轴时 $b=rac{1}{2}$. 所求双曲线方程为: $x^{2}-rac{1}{4} y^{2}=1$ 或 $y^{2}-4 x^{2}=1$.
题目（高三 · 解析几何）：已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 2 , 则该双曲线的渐近线方程为 ( )
选项：
A. $x_{ \pm} y_{=} 0$
B. $x_{ \pm} \sqrt{3} y_{=} 0$
C. $\sqrt{3} x_{ \pm} y=0$
D. $2 x_{ \pm} y_{=} 0$
答案：C
解析：$ecause$ 双曲线的方程是 $rac{x^{2}}{a^{2}}-rac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0), 	herefore$ 双曲线渐近线为 $y= \pm rac{b}{a} X$, 又 $:$ 离心率为 $e=rac{c}{a}=2$, $	herefore c=2 a, 	herefore b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{3} a$, 由此可得双曲线渐近线为 $y= \pm rac{\sqrt{3} a}{a} x= \pm \sqrt{3} x$, 即: $\sqrt{3} x \pm y=0$.
题目（高三 · 解析几何）：渐近线方程为 $y= \pm \frac{4}{3} x$ 的双曲线方程是 ( )
选项：
A. $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$
B. $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$
C. $\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{4}=1$
D. $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{3}=1$
答案：B
解析：选项 $A$ 的渐近线方程为: $y= \pm rac{3}{4} x$, 选项 $B$ 的渐近线方程为: $y= \pm rac{4}{3} x$, 正确; 选项 $C$ 的渐近线方程: $y= \pm rac{2 \sqrt{3}}{3} x$; 选项 $D$ 的渐近线方程为: $y= \pm rac{\sqrt{3}}{2} x$;
题目（高三 · 解析几何）：已知双曲线 $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{m}=1$ 的一个焦点在直线 $x+y=5$ 上, 则双曲线的渐近线方程为 ( )
选项：
A. $y= \pm \frac{3}{4} x$
B. $y= \pm \frac{4}{3} x$
C. $y= \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3} x$ D.
D. $y= \pm \frac{3 \sqrt{2}}{4} x$
答案：B
解析：根据题意, 双曲线的方程为 $rac{x^{2}}{9} rac{y^{2}}{m}=1$, 则其焦点在 $x$ 轴上, 直线 $x+y=5$ 与 $x$ 轴交点的坐标为 (5, $0)$, 则双曲线的焦点坐标为 $(5,0)$, 则有 $9+m=25$, 解可得, $m=16$, 则双曲线的方程为: $rac{x^{2}}{9}-rac{y^{2}}{16}=1$,其渐近线方程为: $y= \pm rac{4}{3} x$,
题目（高三 · 解析几何）：双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{4}=1$ 的右焦点到该双曲线渐近线的距离等于(
选项：
A. 4
B. 3
C. $2 \sqrt{2}$
D. 2
答案：D
解析：由题意可知, 双曲线的渐近线方程 $y= \pm rac{2}{a} x$, 即 $a y \pm 2 x=0$, 右焦点坐标为 $(c, 0), c^{2}=a^{2}+4$,则右焦点到该双曲线渐近线的距离 $d=rac{|a \cdot 0 \pm 2 \cdot c|}{\sqrt{a^{2}+4}}=rac{2 c}{\sqrt{a^{2}+4}}=2$,
题目（高三 · 解析几何）：若 $a>1$, 则双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1$ 的离心率的取值范围是
选项：
A. $(\sqrt{2},+\infty)$
B. $(\sqrt{2}, 2)$
C. $(1, \sqrt{2})$
D. $(1,2)$
答案：C
解析：$a>1$, 双曲线 $rac{x^{2}}{a^{2}}-y^{2}=1$ 的离心率为 $rac{c}{a}=rac{\sqrt{1+a^{2}}}{a}=\sqrt{1+rac{1}{a^{2}}} \in(1, \sqrt{2})$.
题目（高三 · 解析几何）：以椭圆 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 的顶点为顶点, 离心率 $e=2$ 的双曲线方程是 ( )
选项：
A. $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{48}=1$
B. $\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{27}=1$
C. $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{48}=1$ 或 $\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{27}=1$
D. 以上都不对
答案：C
解析：根题意, 椭圆 $rac{x^{2}}{16}+rac{y^{2}}{9}=1$ 的顶点 $(4,0) 、(-4,0) 、(0,3) 、(0,-3)$; 故分两种情况讨论, (1)双曲线顶点为 $(4,0) 、(-4,0)$, 焦点在 $x$ 轴上, $a=4$, 由 $e=2$, 可得 $c=8$, $b^{2}=64-16=48$, 故双曲线的方程为 $rac{x^{2}}{16}-rac{y^{2}}{48}=1$; (2)双曲线的顶点为 $(0,3) 、(0,-3)$, 焦点在 $y$ 轴上; 即 $a=3$, 由 $e=2$, 可得 $c=6$,$b^{2}=36-9=27$, 所以方程为 $rac{y^{2}}{9}-rac{x^{2}}{27}=1$; 综上可得, 双曲线的方程为 $rac{x^{2}}{16}-rac{y^{2}}{48}=1$ 或 $rac{y^{2}}{9}-rac{x^{2}}{27}=1$, $
题目（高三 · 解析几何）：已知双曲线一条渐近线的斜率为 $\sqrt{3}$, 焦点是 $(-4,0) 、(4,0)$, 则双曲线方程为
选项：
A. $\frac{x^{2}}{12}-\frac{y^{2}}{4}=1$
B. $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$
C. $\frac{x^{2}}{10}-\frac{y^{2}}{6}=1 \mathrm{D} \cdot \frac{x^{2}}{6}-\frac{y^{2}}{10}=11$
答案：B
解析：$ecause$ 双曲线一条渐近线的斜率为 $\sqrt{3}$, 焦点是 $(-4,0) 、(4,0), 	herefore: rac{b}{a}=\sqrt{3}, c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=4, 	herefore a^{2}=4$, $b^{2}=12, 	herefore$ 双曲线方程为 $rac{x^{2}}{4}-rac{y^{2}}{12}=1$,
题目（高三 · 解析几何）：设双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的虚轴长为 4 , 一条渐近线为 $y=\frac{1}{2} x$, 则双曲线 $C$ 的方程为
选项：
A. $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{4}=1$
B. $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{16}=1$
C. $\frac{x^{2}}{64}-\frac{y^{2}}{16}=1$ D. $x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$
答案：A
解析：双曲线 $C$ : $rac{x^{2}}{a^{2}}-rac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 是焦点在 $x$ 轴上的双曲线, 其渐近线方程为 $y= \pm rac{b}{a} x$, 由其一条渐近线为 $y=rac{1}{2} x$, 可得 $rac{b}{a}=rac{1}{2}, ecause 2 b=4, 	herefore b=2$, 则 $a=4 . 	herefore$ 双曲线 $C$ 的方程为 $rac{x^{2}}{16}-rac{y^{2}}{4}=1$.
题目（高三 · 解析几何）：已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{3}=1(a>0)$ 的离心率为 2, 则实数 $a=(\quad)$
选项：
A. 2
B. $\frac{\sqrt{6}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{5}}{2}$
D. 1
答案：D
解析：由题意, $e=rac{c}{a}=rac{\sqrt{a^{2}+3}}{a}=2$, 解得, $a=1$.