题目（七年级 · 解析几何）：（2020 秋・金牛区校级月考）如图 1, $A B / / C D$, 点 $E, F$ 分别在直线 $C D, A B$ 上, $\angle B E C=2 \angle$ $B E F$, 过点 $A$ 作 $A G \perp B E$ 的延长线交于点 $G$, 交 $C D$ 于点 $N, A K$ 平分 $\angle B A G$, 交 $E F$ 于点 $H$, 交 $B E$于点 $M$.



图1



图2

(1) 直接写出 $\angle A H E, \angle F A H, \angle K E H$ 之间的关系: \$ \qquad \$ . (2) 若 $\angle B E F=\frac{1}{2} \angle B A K$,求 $\angle A H E$. (3) 如图 2, 在 (2) 的条件下, 将 $\triangle K H E$ 绕着点 $E$ 以每秒 $5^{\circ}$ 的速度逆时针旋转, 旋转时间为 $t$, 当 $K E$ 边与射线 $E D$ 重合时停止, 则在旋转过程中, 当 $\triangle K H E$ 的其中一边与 $\triangle E N G$ 的某一边平行时, 直接写出此时 $t$ 的值.
选项：
答案：(1) $\because A B / / C D, \therefore \angle K E H=\angle A F H$,

$\because \angle A H E$ 是 $\triangle A H F$ 的外角, $\therefore \angle A H E=\angle A F H+\angle F A H$,

$\therefore \angle A H E=\angle F A H+\angle K E H$. 故答案为: $\angle A H E=\angle F A H+\angle K E H$;

(2) $\because A B / / C D, \quad \therefore \angle B A K=\angle M K E, \angle A B E=\angle B E C$,
$\because \angle \mathrm{BEF}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{BAK}, \quad \therefore \angle B A K=2 \angle B E F, \because \angle B E C=2 \angle B E F, \quad \therefore \angle B A K=\angle B E C$,

$\therefore \angle B A K=\angle A B E, \quad \therefore A K$ 平分 $\angle B A G, \quad \therefore \angle B A K=\angle G A K=\angle A B E$,

$\because A G \perp B E, \quad \therefore \angle A G B=90^{\circ}, \quad \therefore 3 \angle B A K=90^{\circ}, \quad \therefore \angle B A K=\angle A B E=\angle G A K=30^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BEF}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{ABE}=15^{\circ}, \therefore \angle C E F=45^{\circ}, \therefore \angle C E F=\angle A F E=45^{\circ}$,

$\therefore \angle A H E=\angle A F E+\angle B A K=75^{\circ}$.

(3) (1)当 $K H / / N G$ 时, 延长 $K E$ 交 $G N$ 边于 $P$,

<ImageHere>

$\because \angle E K H=\angle E P G=30^{\circ}, \therefore \angle P E G=90^{\circ}-\angle E P G=60^{\circ}$

$\because \angle G E N=90^{\circ}-E N G=30^{\circ}, \quad \therefore \angle P E N=\angle P E G-\angle G E N=30^{\circ}$,

$\therefore \angle C E K=\angle P E N=30^{\circ}, \therefore$ 当 $\triangle K H E$ 绕 $E$ 点旋转 $30^{\circ}$ 时, $E K / / G N, \therefore \mathrm{t}=\frac{30^{\circ}}{5^{\circ}}=6$ 秒,

(2)当 $K H / / E G$ 时，

<ImageHere>

$\therefore \angle E K H=\angle K E G=30^{\circ}, \therefore \angle N E K=\angle N E G+\angle K E G=60^{\circ}, \therefore \angle N E K=60^{\circ}$,

$\therefore \angle C E K=120^{\circ}, \therefore$ 当 $\triangle K H E$ 绕点 $E$ 旋转 $120^{\circ}$ 时, $H K / / E G, \therefore \mathrm{t}=\frac{120^{\circ}}{5^{\circ}}=24$ 秒,

(3)当 $K H / / E N$ 时, 即 $E K$ 与 $E G$ 在同一直线上时,

<ImageHere>

$\therefore \angle C E K=150^{\circ}, \therefore$ 当 $\triangle K H E$ 绕点 $E$ 旋转 $150^{\circ}$ 时, $K H / / E N, \therefore \mathrm{t}=\frac{150^{\circ}}{5^{\circ}}=30^{\prime}$ 秒,

$\therefore$ 当 $\triangle K E H$ 的其中一边与 $\triangle E N G$ 的某一边平行时 $t$ 的值为 6 秒或 24 秒或 30 秒.

(4)当 $K E / / N G$ 时,

<ImageHere>

$\because \angle G E N=30^{\circ}, \quad \therefore \angle C E K=90^{\circ}-\angle G E K=60^{\circ}$.

$\therefore$ 当 $\triangle K H E$ 旋转 $60^{\circ}$ 时, $K E / / N G . \therefore \mathrm{t}=\frac{60}{5}=12$ (秒).

(5)当 $H E / / N G$ 时,

<ImageHere>

$\because \angle G E K=30^{\circ}, \angle K E H=45^{\circ}, \therefore \angle C E K=\angle C E H+\angle H E K=90^{\circ}-\angle G E K+\angle H E K=105^{\circ}$.

$\therefore$ 当 $\triangle K H E$ 旋转 $105^{\circ}$ 时, $H E / / N G . \therefore \mathrm{t}=\frac{105}{5}=21$ (秒).

当 $\triangle K E H$ 的其中一边与 $\triangle E N G$ 的某一边平行时 $t$ 的值为 6 秒或 24 秒或 30 秒或 12 秒或 21 秒.

【分析】（1）根据平行线的性质和三角形的外角性质可得答案;

(2) 根据 $\angle B E F=\frac{1}{2} \angle B A K$, 分别表示出 $\angle B A K 、 \angle B E C 、 \angle B A K 、 \angle K A G 、 \angle A M E$ 和 $\angle A H E$, 再由 $A G \perp B E$, 可得 $\angle B E F$ 的度数, 则问题可解; （3）结合（2），分以下几种情况求解：(1)当 $K H / / N G$时, 延长 $K E$ 交 $G N$ 边于 $P$, (2)当 $K H / / E G$ 时, (3)当 $K H / / E N$ 时, 即 $E K$ 与 $E G$ 在同一直线上时, (4)当 $K E / / N G$ 时, (5)当 $H E / / N G$ 时.

【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形外角的性质、三角形的内角和及一元一次方程在几何问题中的应用, 理清题中的数量关系并分类讨论是解题的关键.
解析：）根据平行线的性质和三角形的外角性质可得答案;

(2) 根据 $\angle B E F=\frac{1}{2} \angle B A K$, 分别表示出 $\angle B A K 、 \angle B E C 、 \angle B A K 、 \angle K A G 、 \angle A M E$ 和 $\angle A H E$, 再由 $A G \perp B E$, 可得 $\angle B E F$ 的度数, 则问题可解; （3）结合（2），分以下几种情况求解：(1)当 $K H / / N G$时, 延长 $K E$ 交 $G N$ 边于 $P$, (2)当 $K H / / E G$ 时, (3)当 $K H / / E N$ 时, 即 $E K$ 与 $E G$ 在同一直线上时, (4)当 $K E / / N G$ 时, (5)当 $H E / / N G$ 时.

【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线的性质、三角形外角的性质、三角形的内角和及一元一次方程在几何问题中的应用, 理清题中的数量关系并分类讨论是解题的关键.