题目（七年级 · 画法几何学）：(2021・汾阳市期末) 如图 1, 直线 $A B / / C D$, 直线 $E F$ 交 $A B$ 于点 $E$, 交 $C D$ 于点 $F$, 点 $G$ 和点 $H$ 分别是直线 $A B$ 和 $C D$ 上的动点, 作直线 $G H, E I$ 平分 $\angle A E F, H I$ 平分 $\angle C H G, E I$ 与 $H I$ 交于点 $I$.



图 1



图 2



图 3

(1) 如图 1, 点 $G$ 在点 $E$ 的左侧, 点 $H$ 在点 $F$ 的右侧, 若 $\angle A E F=70^{\circ}, \angle C H G=60^{\circ}$, 求 $\angle E I H$ 的度数. (2) 如图 2, 点 $G$ 在点 $E$ 的右侧, 点 $H$ 也在点 $F$ 的右侧, 若 $\angle A E F=\alpha, \angle C H G=\beta$, 其他条件不变,求 $\angle E I H$ 的度数. (3) 如图 3, 点 $G$ 在点 $E$ 的右侧, 点 $H$ 也在点 $F$ 的右侧, $\angle G H C$ 的平分线 $H J$ 交 $\angle K E G$的平分线 $E J$ 于点 $J$. 其他条件不变, 若 $\angle A E F=\alpha, \angle C H G=\beta$, 求 $\angle E J H$ 的度数.
选项：
答案：(1) 解: 如图 1 , 过点 $I$ 作 $I M / / A B$,

<ImageHere>

图 1

$\because E I$ 平分 $\angle A E F, H I$ 平分 $\angle C H G, \angle A E F=70^{\circ}, \angle C H G=60^{\circ}$,

$\therefore \angle A E I=35^{\circ}, \angle C H I=30^{\circ}$,

$\because I M / / A B, \quad \therefore \angle M I E=\angle A E I=35^{\circ}$,

$\because A B / / C D, I M / / A B, \quad \therefore I M / / C D, \quad \therefore \angle M I H=\angle C H I=30^{\circ}$,

$\therefore \angle E I H=\angle M I E+\angle M I H=35^{\circ}+30^{\circ}=65^{\circ} ;$

(2) 解：如图 2, 过点 $I$ 作 $I M / / A B$,

$\because E I$ 平分 $\angle A E F, H I$ 平分 $\angle C H G, \angle A E F=\alpha, \angle C H G=\beta$,

<ImageHere>

图 2

$\therefore \angle A E I=\frac{1}{2} \alpha, \angle C H I=\frac{1}{2} \beta$,

$\because I M / / A B, \quad \therefore \angle M I E=\angle A E I=\frac{1}{2} \alpha$,

$\because A B / / C D, \quad I M / / A B, \quad \therefore I M / / C D$

$\therefore \angle M I H=\angle C H I=\frac{1}{2} \beta, \therefore \angle E I H=\angle M I E+\angle M I H=\frac{1}{2} \alpha+\frac{1}{2} \beta$;

（3）解：如图 3, 过点 $J$ 作 $M N / / A B, \because \angle A E F=\alpha, \therefore \angle K E B=\alpha$,

$\because E J$ 平分 $\angle K E B, H J$ 平分 $\angle C H G, \angle K E B=\alpha, \angle C H G=\beta$,

<ImageHere>

图 3

$\therefore \angle J E G=\frac{1}{2} \alpha, \angle J H F=\frac{1}{2} \beta$,

$\because M N / / A B, \therefore \angle M J E=\angle J E G=\frac{1}{2} \alpha$,

$\because A B / / C D, M N / / A B, \therefore M N / / C D, \therefore \angle N J H=\angle C H J=\frac{1}{2} \beta$,

$\therefore \angle E J H=180^{\circ}-\angle M J E-\angle N J H=180^{\circ}-\frac{1}{2} \alpha-\frac{1}{2} \beta$.
解析：) 过点 $I$ 作 $I M / / A B$, 依据平行线的性质以及角平分线的定义, 即可得到 $\angle E I H$ 的度数.

(2) 过点 $I$ 作 $I M / / A B$, 依据平行线的性质以及角平分线的定义, 即可得到 $\angle E I H$ 的度数.

(3) 过点 $J$ 作 $M N / / A B$, 依据平行线的性质、对顶角相等以及角平分线的定义, 即可得到 $\angle E J H$ 的度数.

【答案】 (1) 解: 如图 1 , 过点 $I$ 作 $I M / / A B$,



图 1

$\because E I$ 平分 $\angle A E F, H I$ 平分 $\angle C H G, \angle A E F=70^{\circ}, \angle C H G=60^{\circ}$,

$\therefore \angle A E I=35^{\circ}, \angle C H I=30^{\circ}$,

$\because I M / / A B, \quad \therefore \angle M I E=\angle A E I=35^{\circ}$,

$\because A B / / C D, I M / / A B, \quad \therefore I M / / C D, \quad \therefore \angle M I H=\angle C H I=30^{\circ}$,

$\therefore \angle E I H=\angle M I E+\angle M I H=35^{\circ}+30^{\circ}=65^{\circ} ;$

(2) 解：如图 2, 过点 $I$ 作 $I M / / A B$,

$\because E I$ 平分 $\angle A E F, H I$ 平分 $\angle C H G, \angle A E F=\alpha, \angle C H G=\beta$,



图 2

$\therefore \angle A E I=\frac{1}{2} \alpha, \angle C H I=\frac{1}{2} \beta$,

$\because I M / / A B, \quad \therefore \angle M I E=\angle A E I=\frac{1}{2} \alpha$,

$\because A B / / C D, \quad I M / / A B, \quad \therefore I M / / C D$

$\therefore \angle M I H=\angle C H I=\frac{1}{2} \beta, \therefore \angle E I H=\angle M I E+\angle M I H=\frac{1}{2} \alpha+\frac{1}{2} \beta$;

（3）解：如图 3, 过点 $J$ 作 $M N / / A B, \because \angle A E F=\alpha, \therefore \angle K E B=\alpha$,

$\because E J$ 平分 $\angle K E B, H J$ 平分 $\angle C H G, \angle K E B=\alpha, \angle C H G=\beta$,



图 3

$\therefore \angle J E G=\frac{1}{2} \alpha, \angle J H F=\frac{1}{2} \beta$,

$\because M N / / A B, \therefore \angle M J E=\angle J E G=\frac{1}{2} \alpha$,

$\because A B / / C D, M N / / A B, \therefore M N / / C D, \therefore \angle N J H=\angle C H J=\frac{1}{2} \beta$,

$\therefore \angle E J H=180^{\circ}-\angle M J E-\angle N J H=180^{\circ}-\frac{1}{2} \alpha-\frac{1}{2} \beta$.

【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质的综合运用, 用到的知识点为: 两直线平行, 内错角相等.