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题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $A B 、 A C 、 B C$ 所组成的图形叫做勒洛三角形 $A B C$. 它是以等边三角形 $A B C$的每个顶点为圆心，以其边长为半径，在另外两个顶点间做一段弧，由三段弧所围成的曲边三角形. 若 $A B=2$, 顶点 $\mathrm{A}$ 与数轴上表示 -1 的点重合, 将勒洛三角形 $A B C$ 向右沿数轴滚动一周, 则点 $\mathrm{A}$ 对应的数是（ ）



选项：
A. $4 \pi-1$
B. 5
C. $2 \pi$
D. $2 \pi-1$


答案：D
解析：根据等边三角形的性质, 圆的基础知识, 弧长的计算方法可得 $A B+A C+B C=\frac{2}{3} \pi+\frac{2}{3} \pi+\frac{2}{3} \pi=2 \pi$, 由此即可求解.

【详解】解: $\because \triangle A B C$ 是等边三角形,

$\therefore \angle A=\angle B=\angle C=60^{\circ}, \quad A B=A C=B C=2$,

$\because$ 分别以点 $A, B, C$ 为圆心, 以边长为半径画弧,

$\therefore A B=A C=B C=\frac{60^{\circ}}{360^{\circ}} \times 2 \pi \times 2=\frac{2}{3} \pi$,

$\therefore A B+A C+B C=\frac{2}{3} \pi+\frac{2}{3} \pi+\frac{2}{3} \pi=2 \pi$,

$\because$ 顶点 $\mathrm{A}$ 与数轴上表示 -1 的点重合, 将勒洛三角形 $A B C$ 向右沿数轴滚动一周,

$\therefore$ 点 A 对应的数是 $2 \pi-1$,

故选: D.

【点睛】本题主要考查扇形弧长的计算方法, 数轴与无理数的对应关系, 掌握弧长的计算方法, 数轴与无理数的对应关系是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：陕西饮食文化源远流长, “老碗面”是陕西地方特色美食之一. 图(2)是从正面看到的一个“老碗” ( 图(1) 的形状示意图. $A B$ 是 $\odot O$ 的一部分, $D$ 是 $A B$ 的中点, 连接 $O D$,与弦 $A B$ 交于点 $C$, 连接 $O A, O B$. 已知 $A B=24 \mathrm{~cm}$, 碗深 $C D=8 \mathrm{~cm}$, 则 $\odot O$ 的半径 $O A$为 $($ ）



图 (1)



图 (2)

选项：
A. $13 \mathrm{~cm}$
B. $16 \mathrm{~cm}$
C. $17 \mathrm{~cm}$
D. $26 \mathrm{~cm}$


答案：A
解析：首先利用垂径定理的推论得出 $O D \perp A B, A C=B C=\frac{1}{2} A B=12 \mathrm{~cm}$, 再设 $\odot O$ 的半径 $O A$ 为 $R \mathrm{~cm}$, 则 $O C=(R-8) \mathrm{cm}$. 在 Rt $\triangle O A C$ 中根据勾股定理列出方程 $R^{2}=12^{2}+(R-8)^{2}$,求出 $R$ 即可.

【详解】解: $\because A B$ 是 $\odot O$ 的一部分, $D$ 是 $A B$ 的中点, $A B=24 \mathrm{~cm}$,

$\therefore O D \perp A B, \quad A C=B C=\frac{1}{2} A B=12 \mathrm{~cm}$.

设 $\odot O$ 的半径 $O A$ 为 $R \mathrm{~cm}$, 则 $O C=O D-C D=(R-8) \mathrm{cm}$.

在 Rt $\triangle O A C$ 中, $\because \angle O C A=90^{\circ}$,

$\therefore O A^{2}=A C^{2}+O C^{2}$,

$\therefore R^{2}=12^{2}+(R-8)^{2}$,

$\therefore R=13$,

即 $\odot O$ 的半径 $O A$ 为 $13 \mathrm{~cm}$.

故选: A.

【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用, 设 $\odot O$ 的半径 $O A$ 为 $R \mathrm{~cm}$, 列出关于 $R$ 的方程是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $C D$ 为 $\odot O$ 的直径, 弦 $A B$ 交 $C D$ 于 $E, A B \perp C D, O E=12, A B=10$, 那么直径 $C D$ 的长为 $(\quad)$



选项：
A. 12.5
B. 13
C. 25
D. 26


答案：D
解析：连接 $O A$, 由垂径定理可得, $A E=\frac{1}{2} A B=5$, 利用勾股定理求得 $O A$, 即可求解.

【详解】解: 连接 $O A$, 如下图:



$\because C D$ 为直径, $A B \perp C D$

$\therefore A E=\frac{1}{2} A B=5$

由勾股定理可得： $O A=\sqrt{O E^{2}+A E^{2}}=13$

$\therefore C D=2 O A=26$

故选: D

【点睛】此题考查了垂径定理, 勾股定理, 解题的关键是熟练掌握相关基础知识, 作辅助线,构造出直角三角形.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 点 $A 、 B 、 C$ 都在 $\odot O$ 上, 且点 $C$ 在弦 $A B$ 所对的优弧上, 如果 $\angle A O B=64^{\circ}$,那么 $\angle A C B$ 的度数是 ( )



选项：
A. $26^{\circ}$
B. $30^{\circ}$
C. $32^{\circ}$
D. $64^{\circ}$


答案：C
解析：直接根据圆周角定理求解即可.

【详解】解: $\because \angle A O B=64^{\circ}, A B=A B$,
$\therefore \angle A C B=\frac{1}{2} \angle A O B=32^{\circ}$,

故选: C.

【点睛】本题考查圆周角定理, 熟知同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半是解答的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：在 Rt $\triangle A B C$ 中, $A B=6, B C=8$, 那么这个三角形的外接圆直径是 $($ )

选项：
A. 5
B. 10
C. 5 或 4
D. 10 或 8

答案：D
解析：略
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $\odot O$ 的直径 $C D=20, A B$ 是 $\odot O$ 的弦, $A B \perp C D$, 垂足为 $M, O M: O C=3: 5$, 则 $A B$ 的长为( )




选项：
A. 8

B. 12

C. 16

D. $2 \sqrt{91}$


答案：C
解析：【分析】

本题考查的是垂径定理, 根据题意作出辅助线, 构造出直角三角形是解答此题的关键.

连接 $O A$, 先根据 $\odot O$ 的直径 $C D=20, O M: O C=3: 5$ 求出 $O C$ 及 $O M$ 的长, 再根据勾股定理可求出 $A M$的长, 最后根据垂径定理即可得出结论.

## 【解答】

解: 连接 $O A$,



$\because \odot O$ 的直径 $C D=20, O M: O C=3: 5$,

$\therefore O C=10, O M=6$,

$\because A B \perp C D$,

$\therefore A M=\sqrt{O A^{2}-O M^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$,

$\therefore A B=2 A M=16$.

故选: $C$.

##
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A D$ 是 $B C$ 边上的高, $\odot P$ 是 $\triangle A B C$ 的外接圆, 连接 $P A$. 若 $A D=3, B D=1, B C=5$, 则 $P A$ 的长 $(\quad)$.

   


选项：
A. 2.5

B. $\frac{5 \sqrt{10}}{6}$

C. $\frac{5 \sqrt{10}}{3}$

D. 2.8


答案：B
解析：解: 连接 $P C$, 过点 $P$ 作 $P F \perp B C$ 于 $F$,



$\because B D=1, B C=5$,

$\therefore C D=4$,

$\because A D=3$,
$\therefore A C=\sqrt{A D^{2}+D C^{2}}=5, A B=\sqrt{A D^{2}+B D^{2}}=\sqrt{10}$,

$\because P F \perp B C$,

$\therefore \angle A F P=\angle A D B=90^{\circ}, A F=\frac{1}{2} A C=2.5, \angle A P F=\frac{1}{2} \angle A P C$,

$\because \angle A B C=\frac{1}{2} \angle A P C$

$\therefore \angle A B C=\angle A P F$,

$\therefore \triangle A B D \backsim \triangle A P F$,

$\therefore \frac{A B}{A P}=\frac{A D}{A F}$ 即 $\frac{\sqrt{10}}{A P}=\frac{3}{2.5}$,

解得: $A P=\frac{5 \sqrt{10}}{6}$,

故选: $B$.

连接 $P C$, 过点 $P$ 作 $P F \perp B C$ 于 $F$, 根据勾股定理得出 $A C=5, A B=\sqrt{10}$, 再由圆周角定理及垂径定理得出 $A F=\frac{1}{2} A C=2.5, \angle A B C=\angle A P F$, 利用相似三角形的判定和性质求解即可.

题目主要考查圆周角定理及垂径定理, 勾股定理解三角形及相似三角形的判定和性质, 理解题意, 作出辅助线, 综合运用这些知识点是解题关键.

##
题目（九年级 · 度量几何学）：平面内有两点 $P, O, \odot O$ 的半径为 5 , 若 $P O=4$, 则点 $P$ 与 $\odot O$ 的位置关系是 ( )

选项：
A. 点 $P$ 在 $\odot O$ 外
B. 点 $P$ 在 $\odot O$ 上
C. 点 $P$ 在 $\odot O$ 内
D. 无法判断

答案：C
解析：解: $\because \odot O$ 的半径为 5 , 若 $P O=4$,

$\therefore 4<5$,

$\therefore$ 点 $P$ 与 $\odot O$ 的位置关系是点 $P$ 在 $\odot O$ 内,

故选: $C$.

已知圆 $O$ 的半径为 $r$, 点 $P$ 到圆心 $O$ 的距离是 $d$, (1)当 $r>d$ 时, 点 $P$ 在 $\odot O$ 内, (2)当 $r=d$ 时, 点 $P$ 在 $\odot O$上, (3)当 $r<d$ 时, 点 $P$ 在 $\odot O$ 外, 根据以上内容判断即可.

本题考查了点与圆的位置关系的应用, 注意: 已知圆 $O$ 的半径为 $r$, 点 $P$ 到圆心 $O$ 的距离是 $d$, (1)当 $r>d$时, 点 $P$ 在 $\odot O$ 内, (2)当 $r=d$ 时, 点 $P$ 在 $\odot O$ 上, (3)当 $r<d$ 时, 点 $P$ 在 $\odot O$ 外.

##
题目（九年级 · 度量几何学）：一张直径为 $10 \mathrm{~cm}$ 的半圆形卡纸, 过直径的两端点剪掉一个三角形, 以下四种裁剪图中, 所标数据(单位: $\mathrm{cm})$ 长度不合理的是 $($ )

选项：
A.


B.


C.


D.




答案：D
解析：解: $A 、 B 、 C$ 图形中的三角形, 满足三角形三边关系定理, 且三角形三边长度合理, 故 $A 、 B 、 C$ 不符合题意;

$D$ 、如图, 过 $A$ 作 $A H \perp B C$ 于 $H$,



$\because A B=A C$,

$\therefore B H=\frac{1}{2} B C=\frac{1}{2} \times 10=5(\mathrm{~cm})$,

$\therefore A H=\sqrt{A B^{2}-B H^{2}}=\sqrt{39}$,
$\therefore A H>5$,

$\therefore A$ 在圆外,

$\therefore$ 三角形三边长度不合理,

故 $D$ 不符合题意.

故选: D.

由三角形三边关系定理, 点和圆的位置关系即可判断.

本题考查三角形三边关系，等腰三角形的性质，勾股定理，点和圆的位置关系，关键是由等腰三角形的性质，勾股定理求出 $A H$ 的长.
题目（九年级 · 度量几何学）：已知点 $P$ 在半径为 $5 \mathrm{~cm}$ 的圆内, 则点 $P$ 到圆心的距离可以是 $($ )

选项：
A. $4 \mathrm{~cm}$
B. $5 \mathrm{~cm}$
C. $6 \mathrm{~cm}$
D. $7 \mathrm{~cm}$

答案：A
解析：解: $\because$ 点 $P$ 在半径为 $5 \mathrm{~cm}$ 的圆内,

$\therefore$ 点 $P$ 到圆心的距离小于 $5 \mathrm{~cm}$,

所以只有选项 $A$ 符合, 选项 $B 、 C 、 D$ 都不符合;

故选: A.

直接根据点与圆的位置关系进行判断.

本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.

##
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $4 \times 4$ 的网格中, $A, B, C$ 是三个格点, 其中每个小正方形的边长均为 1 , 则 $\triangle A B C$ 的外心可能是 ( )

   


选项：
A. 点 $M$

B. 点 $N$

C. 点 $P$

D. 点 $Q$




答案：B
解析：解：由图可知, $\triangle A B C$ 是直角三角形,

$\therefore \triangle A B C$ 的外心只能在斜边中点,

由此可知: $\triangle A B C$ 的外心是点 $N$.

故选: $B$.

由图可知, $\triangle A B C$ 是直角三角形, 于是得到 $\triangle A B C$ 的外心在斜边中点, 进而可以解决问题.本题考查了三角形的外接圆与外心, 勾股定理, 熟练掌握三角形的外心的性质是解题的关键.

##
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, \overparen{D E}$ 的度数为 $\alpha$, 以点 $C$ 为圆心, $B C$ 长为半径的圆交 $A B$ 于点 $D$, 交 $A C$于点 $E$, 则 $\angle A$ 的度数为

( )



选项：
A. $45^{\circ}-\frac{1}{2} \alpha$
B. $\frac{1}{2} \alpha$
C. $45^{\circ}+\frac{1}{2} \alpha$
D. $25^{\circ}+\frac{1}{2} \alpha$

第 II 卷（非选择题）

##
答案：A
解析：【分析】

本题主要考查了弦, 弧, 圆心角的关系和等腰三角形的性质, 解答此题的关键是知道圆的半径相等得到 $\triangle B C D$ 为等腰三角形, 解答此题可先由弧 $D E$ 的度数得到它所对的圆心角 $\angle D C E$ 的度数, 然后可得 $\angle B C D$ 的度数, 再由等腰三角形得到 $\angle B$ 的度数, 最后根据内角和为 $180^{\circ}$ 可得 $\angle A$ 的度数.

## 【解答】

解: 如图, 连结 $C D$,



$\because \overparen{D E}$ 的度数为 $\alpha$ ，

$\therefore \angle D C E$ 的度数为 $\alpha$,

又 $\because \angle A C B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B C D=\angle A C B-\angle D C E=90^{\circ}-\alpha$,

又 $\because C B=C D$,

$\therefore \angle B=\angle B D C=\frac{180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\alpha\right)}{2}=45^{\circ}+\frac{\alpha}{2}$,

$\therefore \angle A=180^{\circ}-\angle A C B-\angle B=180^{\circ}-90^{\circ}-\left(45^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)=45^{\circ}-\frac{\alpha}{2}$.

故选 $A$.
题目（九年级 · 度量几何学）：下列命题中, 正确的是 ( )

(1)顶点在圆心的角是圆心角; (2)相等的圆心角, 所对的弧也相等; (3)两条弦相等, 它们所对的弧也相等; (4)在等圆中, 圆心角不等, 所对的弦也不等.

选项：
A. (1) 和(2)
B. (1) 和 (3)
C. (1) 和(4)
D. (1)、(2)、(3)、(4)


答案：C
解析：【分析】

根据所学定理和推论可知(1)(4)正确, (2)(3)错误.

本题考查了与圆有关的定理和推论, 对于圆中的一些易混易错定理和推论应重点记忆和掌握.

## 【解答】

解: (1)根据圆心角的定义知, 顶点在圆心的角是圆心角; 故(1)正确.

(2缺少条件, 必须是在同圆或等圆中, 相等的圆心角所对的弧才相等; 故错误.

(3)在圆中, 一条弦对着两条弧, 所以两条弦相等, 它们所对的弧不一定相等; 故错误.

(4)根据圆心角、弦、弧之间的关系定理, 在等圆中, 若圆心角相等, 则弦相等, 所以圆心角不等,弦也不等; 故(4)正确.

故选: $C$.
题目（九年级 · 度量几何学）：下列语句中, 错误的是( )

选项：
A. 直径是弦
B. 相等的圆心角所对的弧相等
C. 弦的垂直平分线一定经过圆心
D. 平分弧的半径垂直于弧所对的弦

答案：B
解析：略
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $\angle A O B=\angle C O D$, 下列结论中不一定成立的是 ( )



选项：
A. $A B=C D$
B. $\overparen{A B}=\overparen{C D}$
C. $\triangle A O B \cong \triangle C O D$
D. $\triangle A O B, \triangle C O D$ 都是等边三角形


答案：D
解析：略
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 点 $A, B, C, D$ 是 $\odot O$ 上的四个点, 且 $A B=C D, O E \perp A B, O F \perp C D$, 则下列结论中错误的是( )



选项：
A. $\overparen{A B}=\overparen{C D}$
B. $O E=O F$
C. $\angle A O B=\angle C O D$
D. $\overparen{A C}=\overparen{B C}$


答案：D
解析：略
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, 点 $D, C$ 在 $\odot O$ 上, $\angle D O C=90^{\circ}, A C=2, B D=2 \sqrt{2}$, 则 $\odot O$ 的半径为 ( )




选项：
A. $\sqrt{3}$

B. $\sqrt{5}$

C. $\sqrt{2}+1$

D. $\sqrt{10}$


答案：D
解析：【分析】

本题考查了圆心角、弧、弦的关系: 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等, 那么它们所对应的其余各组量都分别相等.

作半径 $O E \perp A B$, 连接 $D E$, 作 $B F \perp D E$ 于 $F$, 如图, 利用等角的余角相等得到 $\angle D O E=\angle A O C$, 则 $D E=$ $A C=2$, 利用三角形内角和可计算出 $\angle B D E=135^{\circ}$, 所以 $\angle B D F=45^{\circ}$, 从而可计算出 $D F=B F=2$,利用勾股定理计算出 $B E=2 \sqrt{5}$, 然后根据 $\triangle B O E$ 为等腰直角三角形可得到 $O B$ 的长.

## 【解答】

解: 作半径 $O E \perp A B$, 连接 $D E$, 作 $B F \perp D E$ 于 $F$, 连接 $B E$, 如图,



$\because \angle D O C=90^{\circ}, \angle A O E=90^{\circ}$,

$\therefore \angle D O E=\angle A O C$,

$\therefore D E=A C=2$,

$\because \angle B D E=180^{\circ}-\frac{1}{2} \times 90^{\circ}=135^{\circ}$,

$\therefore \angle B D F=45^{\circ}$,

$\therefore D F=B F=\frac{\sqrt{2}}{2} B D=\frac{\sqrt{2}}{2} \times 2 \sqrt{2}=2$,

$\therefore E F=D E+D F=4$,

在Rt $\triangle B E F$ 中, $B E=\sqrt{B F^{2}+E F^{2}}=2 \sqrt{5}$,

$\because \triangle B O E$ 为等腰直角三角形,

$\therefore O B=\frac{\sqrt{2}}{2} \times 2 \sqrt{5}=\sqrt{10}$.

故选: D.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $A D$ 是 $\odot O$ 的直径, 以 $A$ 为圆心, 弦 $A B$ 为半径画弧交 $\odot O$ 于点 $C$, 连接 $B C$ 交 $A D$ 于点 $E$, 若 $D E=3$, $B C=8$, 则 $\odot O$ 的半径为

( )



选项：
A. $\frac{25}{6}$
B. 5
C. $\frac{16}{3}$
D. $\frac{25}{3}$


答案：A
解析：【分析】

本题考查了圆心角、弧、弦的关系, 垂径定理, 勾股定理知识点, 掌握垂径定理是解题关键.连接 $A C 、 O C$, 由 $A B=A C$, 得 $O E \perp B C, C E=B E$, 再由勾股定理解答即可.

## 【解答】

解: 连接 $A C 、 O C$,



由题意可知 $A B=A C$,

$\therefore \overparen{A B}=\overparen{A C}$,

$\therefore O E \perp B C, \quad C E=B E$,

$\because B C=8, \therefore C E=4$,

设 $O C=R$ ，

$\because D E=3, \quad \therefore O E=R-3$,

在Rt $\triangle O C E$ 中, 由勾股定理, 得 $R^{2}=(R-3)^{2}+4^{2}$,

解得 $R=\frac{25}{6}$,

故选 $A$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\odot O$ 中, $A B, C D$ 是两条弦, $O M \perp C D, O N \perp A B$, 如果 $A B=C D$, 则下列结论不正确的是( )



选项：
A. $\angle A O N=\angle D O M$
B. $A N=D M$
C. $O M=D M$
D. $O M=O N$


答案：C
解析：【分析】

本题考查圆的认识, 垂径定理、全等三角形的判定和性质等知识, 解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.

根据垂径定理和已知条件, 利用全等三角形的性质证明即可;

## 【解答】

解: $\because O M \perp C D, O N \perp A B, A B=C D$,

$\therefore D M=C M=\frac{1}{2} C D, A N=N B=\frac{1}{2} A B$,

$\therefore A N=D M$, 故 $B$ 正确,

$\because O A=O D$,

$\therefore$ Rt $\triangle A O N \cong R t \triangle D O M(H L)$,

$\therefore \angle A O N=\angle D O M, O N=O M$, 故 $A 、 D$ 正确,

当 $\angle D O C=90^{\circ}$ 时, $O M=D M$, 根据题意不能判断, 故 $C$ 错误,

故选: $C$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 两灯塔 $A, B$ 之间的距离恰好为暗礁区所在的圆的半径, 要使船 $S$ 不驶入暗礁区, 则航行中应保持 $\angle A S B(\quad)$



选项：
A. 大于 $60^{\circ}$
B. 大于 $30^{\circ}$
C. 小于 $60^{\circ}$
D. 小于 $30^{\circ}$


答案：D
解析：略
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 已知在四边形 $A B C D$ 中, $\angle B C D=90^{\circ}, B D$ 平分 $\angle A B C, A B=6, B C=9, C D=4$, 则四边形 $A B C D$ 的面积是

( )



选项：
A. 24
B. 30
C. 36
D. 42


答案：B
解析：【分析】

本题考查了角平分线的性质, 三角形的面积的计算, 正确的作出辅助线是解题的关键.

过 $D$ 作 $D H \perp A B$ 交 $B A$ 的延长线于 $H$, 根据角平分线的性质得到 $D H=C D=4$, 根据三角形的面积公式即可得到结论.

## 【解答】

解: 过 $D$ 作 $D H \perp A B$ 交 $B A$ 的延长线于 $H$,



$\because B D$ 平分 $\angle A B C, \angle B C D=90^{\circ}$,

$\therefore D H=C D=4$,

$\therefore$ 四边形 $A B C D$ 的面积 $=S_{\triangle A B D}+S_{\triangle B C D}=\frac{1}{2} A B \cdot D H+\frac{1}{2} B C \cdot C D=\frac{1}{2} \times 6 \times 4+\frac{1}{2} \times 9 \times 4=30$,

故选: $B$.
题目（九年级 · 度量几何学）：计算机处理任务时, 经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比. 下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图:
$20 \% \lambda_{N}^{M}$
$30 \%)_{N}^{M}$


当任务完成的百分比为 $x$ 时，线段 $M N$ 的长度记为 $d(x)$. 下列描述正确的是 ( )

选项：
A. 当 $x_{1}>x_{2}$ 时,$d\left(x_{1}\right)>d\left(x_{2}\right)$
B. 当 $d\left(x_{1}\right)>d\left(x_{2}\right)$ 时, $x_{1}>x_{2}$
C. 当 $x_{1}+x_{2}=1$ 时,$d\left(x_{1}\right)=d\left(x_{2}\right)$
D. 当 $x_{1}=2 x_{2}$ 时, $d\left(x_{1}\right)=2 d\left(x_{2}\right)$


答案：C
解析：【分析】

本题考查了圆的弧, 弦, 圆心角的关系, 根据圆心角、弧、弦之间的关系, 列出具体数据, 解题即可.

## 【解答】

解: $A$. 当 $x_{1}=75 \%, x_{2}=50 \%$ 时, $d(75 \%)=\sqrt{2}, d(50 \%)=2$, 故 $A$ 错;

B. 当 $d(75 \%)=\sqrt{2}, d(50 \%)=2$ 时, $x_{1}=75 \%, x_{2}=50 \%$, 故 B错;

C. 当 $x_{1}+x_{2}=1$ 时, 即两弧所对的弦相等, 所以 $d\left(x_{1}\right)=d\left(x_{2}\right)$, 故 $C$ 正确;

D. 当 $x_{1}=2 x_{2}$ 时, $d\left(x_{1}\right)$ 与 $2 d\left(x_{2}\right)$ 即两弧所对的弦不一定相等, 故 $D$ 错误.

故选 $C$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $\odot O$ 的半径为 4 , 点 $A$ 为 $\odot O$ 上的一点, $O D \perp$ 弦 $B C$ 于点 $D, O D=2$,则 $\angle B A C$ 的度数是 $(\quad)$


选项：
A. $55^{\circ}$

B. $60^{\circ}$

C. $65^{\circ}$

D. $70^{\circ}$


答案：B
解析：解: 如图, 连接 $O B$.



$\because O D \perp B C$,

$\therefore \angle O D C=90^{\circ}$,

$\because O C=4, O D=2$,

$\therefore O C=2 O D$,

$\therefore \angle O C D=30^{\circ}$,

$\because O B=O C$,

$\therefore \angle O B C=\angle O C B=30^{\circ}$,

$\therefore \angle B O C=180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=120^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C=\frac{1}{2} \angle B O C=60^{\circ}$,

故选: B.

连接 $O B$, 解直角三角形求出 $\angle O C D$, 可得 $\angle B O C=120^{\circ}$, 可得结论.

本题考查圆周角定理, 解直角三角形, 等腰三角形的性质等知识, 解题的关键是灵活运用所学知识解

决问题，属于中考常考题型.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在矩形 $A B C D$ 中, $\frac{A B}{B C}=\frac{3}{4}, E$ 是边 $C D$ 上的一动点, 以 $A E$ 为直径的 $\odot O$经过 $B C$ 边上的一点 $F$. 若使 $\angle D A E$ 最小, 则 $\frac{C E}{D E}$ 的值为 ( )


选项：
A. 1

B. $\frac{4}{5}$

C. $\frac{3}{4}$

D. $\frac{2}{3}$


答案：B
解析：解: 由题意知: 当 $\angle D A E$ 最小时, 以 $A E$ 为直径的 $\odot O$ 与 $B C$ 相切与点 $F$, 如图,



设 $\odot O$ 与 $A B$ 交于点 $G$, 连接 $E G, O F, E G$ 与 $O F$ 交于点 $H$,

$\because$ 四边形 $A B C D$ 为矩形,

$\therefore \angle B=\angle C=90^{\circ}, A D=B C, A B=C D$.

$\because A E$ 为直径,

$\therefore \angle A G E=90^{\circ}$,
$\therefore \angle B G E=90^{\circ}$,

$\therefore$ 四边形 $B C E G$ 为矩形,

$\therefore B G=E C$.

$\because B C$ 为 $\odot O$ 的切线,

$\therefore O F \perp B C$,

$\therefore O F / / A B / / C D$,

$\therefore O F$ 为梯形 $A B C E$ 的中位线,

$\therefore O F=\frac{1}{2}(A B+C E)$.

$\because \frac{A B}{B C}=\frac{3}{4}$,

$\therefore$ 设 $A B=3 k$, 则 $B C=4 k$, 设 $B G=E C=x$, 则 $D E=3 k-x, O F=\frac{1}{2}(3 k+x)$,

$\therefore A E=2 O F=3 k+x$.

在Rt $\triangle A D E$ 中,

$\because A D^{2}+D E^{2}=A E^{2}$,

$\therefore(4 k)^{2}+(3 k-x)^{2}=(3 k+x)^{2}$,

解得: $x=\frac{4}{3} k$.

$\therefore E C=\frac{4}{3} k$

$\therefore D E=C D-C E=\frac{5}{3} k$,

$\therefore \frac{C E}{D E}=\frac{\frac{4}{3} k}{\frac{5}{3} k}=\frac{4}{5}$.

故选: B.

由题意知: 当 $\angle D A E$ 最小时, 以 $A E$ 为直径的 $\odot O$ 与 $B C$ 相切与点 $F$, 设 $\odot O$ 与 $A B$ 交于点 $G$, 连接 $E G, O F$, $E G$ 与 $O F$ 交于点 $H$, 设 $A B=3 k$, 则 $B C=4 k$, 设 $B G=E C=x$, 则 $D E=3 k-x, O F=\frac{1}{2}(3 k+x)$, $A E=2 O F=3 k+x$; 利用矩形的性质, 圆的切线的性质, 圆周角定理和勾股定理求得 $x$ 值, 则结论

可得.

本题主要考查了矩形的性质，圆的有关性质，圆周角定理，切线的性质定理，梯形的中位线定理，勾股定理, 利用已知条件确定出符合条件的图形是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 四边形 $A B C D$ 的外接圆为 $\odot O, B C=C D, \angle D A C=35^{\circ}, \angle A C D=45^{\circ}$,则 $\angle A D B$ 的度数为 $( )


选项：
A. $55^{\circ}$

B. $60^{\circ}$

C. $65^{\circ}$

D. $70^{\circ}$


答案：C
解析：解: $\because B C=C D$,

$\therefore \overparen{D C}=\overparen{B C}$,
$\therefore \angle B A C=\angle D A C=35^{\circ}$,

$\because \angle A B D=\angle A C D=45^{\circ}$,

$\therefore \angle A D B=180^{\circ}-\angle B A D-\angle A B D=180^{\circ}-70^{\circ}-45^{\circ}=65^{\circ}$.

故选: $C$.

利用圆心角、弧、弦的关系得到 $\overparen{D C}=\overparen{B C}$, 再利用圆周角定理得到 $\angle B A C=\angle D A C=35^{\circ}, \angle A B D=$ $\angle A C D=45^{\circ}$, 然后根据三角形内角和计算 $\angle A D B$ 的度数.

本题考查了圆心角、弧、弦的关系:在同圆和等圆中,相等的圆心角所对的弧相等, 所对的弦也相等.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 一块直角三角板的 $30^{\circ}$ 角的顶点 $P$ 落在 $\odot O$ 上, 两边分别交




选项：
A. $30^{\circ}$

B. $60^{\circ}$

C. $80^{\circ}$

D. $90^{\circ}$


答案：B
解析：解: $\because \angle P=30^{\circ}$,

又 $\because \angle A O B=2 \angle P$,

$\therefore \angle A O B=60^{\circ}$,

故选: $B$.

利用圆周角定理解决问题即可.

本题考查圆周角定理, 解题的关键是掌握圆周角定理, 属于中考常考题型.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\odot O$ 中, 弦 $A B=2 \sqrt{2}$ 、点 $C$ 是圆上一点且 $\angle A C B=45^{\circ}$, 则 $\odot O$ 的直径为( )


选项：
A. 2

B. $3 \sqrt{2}$

C. $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

D. 4


答案：D
解析：解: $\because \angle A C B=45^{\circ}$,

$\therefore \angle A O B=2 \angle A C B=2 \times 45^{\circ}=90^{\circ}$,

在Rt $\triangle A O B$ 中,

$\because O A=O B, A B=2 \sqrt{2}$,

$\therefore$ 由勾股定理得: $O A=2$.

则 $\odot O$ 的直径为 $2 O A=2 \times 2=4$.

故选: $D$.

根据圆周角定理可得 $\angle A O B=90^{\circ}$, 在等腰直角三角形 $A O B$ 中, 应用勾股定理进行计算即可得出 $O A$ 的长度, 从而得出答案.

本题主要考查了圆周角定理, 等腰直角三角形, 熟练掌握圆周角定理进行求解是解决本题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在圆内接四边形 $A B C D$ 中, $\angle A, \angle B, \angle C$ 的度数之比为 $4: 3: 5$, 则 $\angle D$ 的度数为 ( )



选项：
A. $80^{\circ}$
B. $120^{\circ}$
C. $135^{\circ}$
D. $140^{\circ}$


答案：B
解析：【分析】

本题考查的是圆内接四边形的性质, 熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键.

设 $\angle A=4 x, \angle B=3 x, \angle C=5 x$, 根据圆内接四边形的性质求出 $x$ 的值, 进而可得出结论.

## 【解答】

解: $\because \angle A, \angle B, \angle C$ 的度数之比为 $4: 3: 5$,

$\therefore$ 设 $\angle A=4 x$, 则 $\angle B=3 x, \angle C=5 x$.

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是圆内接四边形,

$\therefore \angle A+\angle C=180^{\circ}$, 即 $4 x+5 x=180^{\circ}$, 解得 $x=20^{\circ}$,

$\therefore \angle B=3 x=60^{\circ}$,

$\therefore \angle D=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$.

故选 $B$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O$, 且 $\angle A=90^{\circ}, \overparen{B C}=\overparen{C D}$. 若 $A B=8, A D=6$,则 $B C$ 的长为 $($ )


选项：
A. $5 \sqrt{2}$

B. 5



C. $\frac{5}{2}$

D. 10

## 第 II 卷（非选择题）

##
答案：A
解析：解: 如图所示, 连接 $B D$,



$\because \angle A=90^{\circ}, A B=8, A D=6$,

$\therefore B D=\sqrt{A B^{2}+A D^{2}}=10$,

$\because$ 四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O, \angle A=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B C D=90^{\circ}$,

$\because \overparen{B C}=\overparen{C D}$.

$\therefore B C=C D=\frac{\sqrt{2}}{2} B D=5 \sqrt{2}$,

故选: $A$.

根据勾股定理求得 $B D=10$, 根据圆内接四边对角互补, 得出 $\angle B C D=90^{\circ}$, 继而根据勾股定理即可求解.

本题考查了圆内接四边形对角互补, 勾股定理, 同弧所对弦相等, 熟练掌握以上知识是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O$, 连结 $B D$. 若 $\overparen{A C}=\overparen{B C}, \angle B D C=50^{\circ}$, 则 $\angle A D C$ 的度数是 ( )



选项：
A. $125^{\circ}$
B. $130^{\circ}$
C. $135^{\circ}$
D. $140^{\circ}$


答案：B
解析：略
题目（九年级 · 度量几何学）：有下列命题:

(1)顶点在圆周上的角是圆周角

(2)圆周角的度数等于圆心角度数的一半

(3) 90 度的圆周角所对的弦是直径

(4)直径所对的角是直角

(5)若圆周角相等, 则它们所对的弧也相等

(6)同弧或等弧所对的圆周角相等

其中真命题有 $($ )

选项：
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个


答案：B
解析：【分析】

本题考查了命题与定理: 判断一件事情的语句, 叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项, 结论是由已知事项推出的事项, 一个命题可以写成 “如果......那么.....” 形式.有些命题的正确性是用推理证实的, 这样的真命题叫做定理. 根据圆周角的定义对(1)进行判断; 根据圆周角定理对(2)(3)(4)(5)(6)进行判断.

## 【解答】

解: 顶点在圆周上, 且两边与圆相交的角是圆周角, 所以(1)错误;

同弧或等弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半, 所以(2)错误;

90 度的圆周角所对的弦是直径, 所以(3)正确;

直径所对的圆周角是直角, 所以(4)错误;

在同圆或等圆中，圆周角相等，则它们所对的弧也相等，所以(5)错误;

同弧或等弧所对的圆周角相等, 所以(6)正确.

故选 $B$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\odot O$ 中, 点 $A 、 B 、 C$ 在 $\odot O$ 上, 且 $\angle A C B=110^{\circ}$, 则 $\angle \alpha=(\quad)$



选项：
A. $70^{\circ}$
B. $110^{\circ}$
C. $120^{\circ}$
D. $140^{\circ}$


答案：D
解析：【分析】

本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理.在同圆或等圆中, 同弧或等弧所对的圆周角相等, 都等于这条弧所对的圆心角的一半. 作 $\overparen{A B}$ 所对的圆周角 $\angle A D B$, 如图, 利用圆内接四边形的性质得 $\angle A D B=70^{\circ}$, 然后根据圆周角定理求解.

## 【解答】

解: 作 $\overparen{A B}$ 所对的圆周角 $\angle A D B$, 如图,



$\because \angle A C B+\angle A D B=180^{\circ}$,

$\therefore \angle A D B=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$,

$\therefore \angle A O B=2 \angle A D B=140^{\circ}$.

故选D.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O$, 连接 $A C, B D$, 且 $A C=B C, \angle A D C=130^{\circ}$, 则 $\angle A D B$ 的度数为

( )



选项：
A. $50^{\circ}$
B. $60^{\circ}$
C. $70^{\circ}$
D. $80^{\circ}$


答案：D
解析：【分析】

本题考查了圆内接四边形的性质, 圆周角定理, 圆心角、弧、弦之间的关系, 等腰三角形的性质等知识点, 能熟记圆内接四边形的对角互补是解此题的关键. 根据圆内接四边形的性质得出 $\angle A B C+$ $\angle A D C=180^{\circ}$, 求出 $\angle A B C=50^{\circ}$, 根据等腰三角形的性质得出 $\angle B A C=\angle A B C=50^{\circ}$, 求出 $\angle A C B=$ $180^{\circ}-\angle A B C-\angle B A C=80^{\circ}$, 根据圆周角定理得出 $\angle A D B=\angle A C B$, 再求出答案即可.

## 【解答】

解: $\because$ 四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O$,

$\therefore \angle A B C+\angle A D C=180^{\circ}$,

$\because \angle A D C=130^{\circ}$,

$\therefore \angle A B C=50^{\circ}$,

$\because A C=B C$,

$\therefore \angle B A C=\angle A B C=50^{\circ}$,

$\therefore \angle A C B=180^{\circ}-\angle A B C-\angle B A C=80^{\circ}$,

$\therefore \angle A D B=\angle A C B=80^{\circ}$.

故选 $D$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 四边形 $A B C D$ 为 $\odot O$ 的内接四边形, 若四边形 $O B C D$ 为菱形, 则 $\angle B A D$ 的度数为 ( )




选项：
A. $45^{\circ}$

B. $60^{\circ}$

C. $72^{\circ}$

D. $36^{\circ}$


答案：B
解析：【分析】

本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、菱形的性质, 掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.

根据圆内接四边形的性质得到 $\angle B A D+\angle B C D=180^{\circ}$, 根据圆周角定理得到 $\angle B O D=2 \angle B A D$, 根据菱形的性质得到 $\angle B O D=\angle B C D$, 计算即可.

## 【解答】

解: $\because$ 四边形 $A B C D$ 为 $\odot O$ 的内接四边形,

$\therefore \angle B A D+\angle B C D=180^{\circ}$,

由圆周角定理得: $\angle B O D=2 \angle B A D$,

$\because$ 四边形 $O B C D$ 为菱形,

$\therefore \angle B O D=\angle B C D$,

$\therefore \angle B A D+2 \angle B A D=180^{\circ}$,

解得: $\angle B A D=60^{\circ}$,

故选: $B$.
题目（九年级 · 度量几何学）：我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的. 正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固. 如图, 某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形 $A B C D E F$, 若 $\odot O$ 的内接正六边形为正六边形 $A B C D E F$, 则 $B F$ 的长为

( )


选项：
A. 12
B. $6 \sqrt{2}$
C. $6 \sqrt{3}$
D. $12 \sqrt{3}$

第 II 卷（非选择题）

##
答案：C
解析：【分析】根据题意可得 $A B=A F$, 则 $\overline{A B}=\widehat{A F}$, 再根据平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦可得 $\angle O M B=90^{\circ}, B M=F M=\frac{1}{2} B F$, 再根据 $O A=O B, \angle A O B=60^{\circ}$ 可得 $\triangle O A B$ 是等边三角形, 则 $O B=A B=6$, 最后结合三角函数即可求解.

【详解】解: 连接 $O A$, 交 $B F$ 于点 $M$, 连接 $O B$,



$\because$ 六边形 $A B C D E F$ 是 $\odot O$ 的内接正六边形,

$\therefore A B=A F, \quad \angle A O B=\frac{1}{6} \times 360^{\circ}=60^{\circ}$,

$\therefore \widehat{A B}=\widehat{A F}$,

$\because O A$ 经过圆心 $O$,

$\therefore O A=B F, \quad B M=F M=\frac{1}{2} B F$,

$\therefore \angle O M B=90^{\circ}$,

$\because O A=O B, \angle A O B=60^{\circ}$,

$\therefore \triangle O A B$ 是等边三角形,

$\therefore O B=A B=6$,

$\because$ 在 Rt $\triangle O B M$ 中, $\angle O M B=90^{\circ}, \angle A O B=60^{\circ}, \sin \angle A O B=\frac{B M}{O B}$,

$\therefore B M=O B \bullet \sin 60^{\circ}=6 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=3 \sqrt{3}$,

$\therefore B F=2 B M=2 \times 3 \sqrt{3}=6 \sqrt{3}$,

故选 $C$.

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、三角函数综合和圆周角定理, 灵活运用所学知识求解是解决本题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 取两根等宽的纸条折叠穿插, 拉紧, 可得边长为 2 的正六边形. 则原来的纸带宽为

( )


选项：
A. 1
B. $\sqrt{2}$
C. $\sqrt{3}$
D. 2


答案：C
解析：解: 边长为 2 的正六边形由 6 个边长为 2 的等边三角形组成, 其中等边三角形的高为原来的纸
带宽度, 六边形的边和纸带的宽构成含 $60^{\circ}$ 角的直角三角形,

所以原来的纸带宽度 $=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$.

故选: $C$.

根据正六边的性质, 正六边形由 6 个边长为 2 的等边三角形组成, 其中等边三角形的高为原来的纸带宽度, 然后求出等边三角形的高即可.

本题考查正六边形的性质和等边三角形的性质.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 已知 $\odot O$ 的内接正六边形 $A B C D E F$ 的边心距 $O M=1$, 则该圆的内接正三角形 $A C E$ 的面积为 $($ )


选项：
A. 2

B. 4

C. $2 \sqrt{3}$

D. $\sqrt{3}$




答案：A
解析：解: 如图所示, 连接 $O E 、 O F$, 过 $O$ 作 $O N \perp C E$ 于 $N$,



$\because$ 多边形 $A B C D E F$ 是正六边形,

$\therefore \angle E O F=60^{\circ}$,

$\because O E=O F$,

$\therefore \triangle E O F$ 是等边三角形,

$\therefore \angle O E M=60^{\circ}$,

$\therefore O M=O E \cdot \sin \angle O E M$,

$\therefore O E=\frac{O M}{\sin 60^{\circ}}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$,

$\because \angle O E N=30^{\circ}$,

$\therefore O N=\frac{1}{2} O E=\frac{\sqrt{3}}{3}, E N=1$.

$\therefore C E=2 E N=2$.

故选: A.

连接 $O E 、 O F$, 过 $O$ 作 $O N \perp C E$ 于 $N$, 证出 $\triangle E O F$ 是等边三角形, 根据锐角三角函数的定义求解即可.本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数; 熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键.