eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（九年级 · 解析几何）：已知弦 $A B$ 把圆周分成 $1: 3$ 两部分, 则弦 $A B$ 所对圆周角的度数为 ( )

选项：
A. $45^{\circ}$
B. $135^{\circ}$
C. $90^{\circ}$ 或 $270^{\circ}$
D. $45^{\circ}$ 或 $135^{\circ}$

答案：D
解析：分优弧, 劣弧两种情况, 求解即可.

【详解】解： $\because$ 弦 $A B$ 把圆周分成 $1: 3$ 两部分,

$\therefore$ 劣弧 $A B$ 的度数为: $360^{\circ} \times \frac{1}{4}=90^{\circ}$, 即: 劣弧所对的圆周角的度数为 $90^{\circ} \times \frac{1}{2}=45^{\circ}$,

优弧 $A B$ 的度数为: $360^{\circ} \times \frac{3}{4}=270^{\circ}$, 即: 优弧所对的圆周角的度数为 $270^{\circ} \times \frac{1}{2}=135^{\circ}$,

$\therefore$ 弦 $A B$ 所对圆周角的度数为 $45^{\circ}$ 或 $135^{\circ}$;

故选: D.

【点睛】本题考查弦, 弧, 角之间的关系, 解题的关键是注意弦分弧为优弧和劣弧两种情况.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 点 $D$ 在 $\triangle A B C$ 边 $A B$ 上, $\angle A C D=\angle B$, 点 $F$ 是 $\triangle A B C$ 的角平分线 $A E$ 与 $C D$的交点, 且 $A F=2 E F$, 则下列选项中不正确的是 ( )

  

  (第 6 题)

  
选项：
A. $\frac{A D}{A C}=\frac{2}{3}$
  B. $\frac{C F}{B E}=\frac{2}{3}$
  C. $\frac{D C}{B C}=\frac{2}{3}$
  D. $\frac{A D}{D B}=\frac{2}{3}$


答案：D
解析：证明 $\triangle A C D \sim \triangle A B C$, 得出 $\frac{A D}{A C}=\frac{D C}{B C}=\frac{A C}{A B}=\frac{A F}{A E}$, 利用 $A F=2 E F$ 判断选项 $\mathrm{A} 、 \mathrm{C}$,证明 $\triangle A C F \sim \triangle A B E$ 得出 $\frac{C F}{B E}=\frac{A C}{A B}=\frac{2}{3}$ 判断选项 $\mathrm{B}$, 分别用 $A B$ 表示出 $A D$ 和 $B D$, 判断选项 $\mathrm{D}$, 即可得出结论.

【详解】 $\because \angle A C D=\angle B, \angle C A B=\angle C A B$,

$\therefore \triangle A C D \sim \triangle A B C$,

$\therefore \frac{A D}{A C}=\frac{D C}{B C}=\frac{A C}{A B}=\frac{A F}{A E}$,

$\because A F+E F=A E$ 且 $A F=2 E F$,

$\therefore \frac{3}{2} A F=A E$,

$\therefore \frac{A F}{A E}=\frac{2}{3}$,

$\therefore \frac{A D}{A C}=\frac{D C}{B C}=\frac{A C}{A B}=\frac{A F}{A E}=\frac{2}{3}$, 故选项 A、C 正确;

$\therefore A C=\frac{2}{3} A B, \quad A D=\frac{2}{3} A C$,

$\therefore A D=\frac{4}{9} A B$,

$\because A D+B D=A B$,

$\therefore B D=A B-A D=A B-\frac{4}{9} A B=\frac{5}{9} A B$,

$\therefore \frac{A D}{B D}=\frac{\frac{4}{9} A B}{\frac{5}{9} A B}=\frac{4}{5}$, 故选项 D 错误;

$\because A E$ 平分 $\angle B A C$,

$\therefore \angle B A E=C A E$,

$\because \angle A C D=\angle B$,
$\therefore \triangle A C F \sim \triangle A B E$,

$\therefore \frac{C F}{B E}=\frac{A C}{A B}=\frac{2}{3}$, 故选项 B 正确;

故选: D.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质, 熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 点 $F$ 在平行四边形 $A B C D$ 的边上, 延长 $B F$ 交 $C D$ 的延长线于点 $E$, 交 $A C$ 于点 $O$, 若 $\frac{S_{\triangle A O B}}{S_{\triangle C O E}}=\frac{4}{9}$, 则 $\frac{A F}{D F}$ 的值为 ( )

  

  （第 7 题）

  
选项：
A. 0.8
  B. 1.25
  C. 2
  D. 0.5


答案：B
解析：先根据勾股定理算出已知三角形的边长, 再将各选项三角形边长算出, 判断与选项中三角形各边是否与已知三角形三边形成比例, 得出答案.

【详解】解：根据勾股定理得, 题目中三角形三边长分别为:

$\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$

$\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2 \sqrt{2}$,

$\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$,

选项 A 中, 三角形三边长分别是 $2, \sqrt{10}, 3 \sqrt{2}$, 与已知三角形三边不成比例, 故 A 选项不正确.

选项 B 中, 三角形三边长分别是 $2,4, \sqrt{20}$, 与已知三角形成比例, 比例为 $\sqrt{2}$, 根据三边成比例的两个三角形相似, 故 B 选项正确.

选项 C 中, 三角形三边长分别是 $2,3, \sqrt{13}$, 与已知三角形三边不成比例, 故 $\mathrm{C}$ 选项不正确.

选项 D 中, 三角形三边长分别是 $\sqrt{5}, \sqrt{13}, 4$, 与已知三角形三边不成比例, 故 D 选项不正确.

故答案选: B.

【点睛】本题考查了勾股定理, 相似三角形的判定等内容, 其中三边成比例的两个三角形相似是解决问题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：抛物线 $y=(a-2) x^{2}$ 的开口向上, 则 $a$ 的取值范围是

选项：
A. $a \neq 2$
B. $a>2$
C. $a>0$
D. $a \neq 0$

答案：B
解析：由抛物线开口向上可得 $a-2>0$, 进而求解.

【详解】解: $\because$ 抛物线 $y=(a-2) x^{2}$ 的开口向上,

$\therefore a-2>0$,

$\therefore a>2$,

故选: B.

【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, $A B$ 为直径, 点 $C, D, E$ 都在半圆 $O$ 上, 设 $A E=D E=x, C B=C D=\sqrt{2} x$, $A B=2 y$ ，则 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系为 ( ).



选项：
A. $y=\frac{\sqrt{10}}{2} x$
B. $y=\frac{3}{2} x$
C. $y=\frac{3 \sqrt{2}}{2} x$
D. $y=\sqrt{3} x$

##
答案：A
解析：先构造 Rt $\triangle D M C$, 再求出 $\angle E D C=135^{\circ}$, 即可得到 $\angle M D C=45^{\circ}$, 即可求出 $M C=M D=x$, 在 $R t \triangle E M C$ 中, 求出 $E C=\sqrt{M C^{2}+E M^{2}}=\sqrt{x^{2}+(2 x)^{2}}=\sqrt{5} x$, 再在 Rt $\triangle E O C$中, 求出 $E C=\sqrt{2} O C=\sqrt{2} y$, 即可得 $\sqrt{2} y=\sqrt{5} x$, 即可得到答案.

【详解】解: 如图, 延长 $D E$, 作 $C M \perp E D$, 交 $D E$ 延长线于点 $M$, 连接 $M C$, 连接 $E C, O E, O C$,



$$
\because A B=2 y
$$

$\therefore O E=O C=y$

$\because A E=D E=x, \quad C B=C D=\sqrt{2} x, \quad A B=2 y$

$\therefore \angle E O C=90^{\circ}$
$\therefore \angle E D C=180^{\circ}-\frac{1}{2} \angle E O C=135^{\circ}$

$\therefore \angle M D C=180-\angle E D C=180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}$

$\because C M \perp E D, \quad C D=\sqrt{2} x$

$\therefore M C=M D=x$

$\therefore M E=2 x$

$\therefore$ 在 Rt $\triangle E M C$ 中, $E C=\sqrt{M C^{2}+E M^{2}}=\sqrt{x^{2}+(2 x)^{2}}=\sqrt{5} x$

$\because \angle E O C=90^{\circ}$

$\therefore$ 在 Rt $\triangle E O C$ 中, $E C=\sqrt{2} O C=\sqrt{2} y$,

$\therefore \sqrt{2} y=\sqrt{5} x$,

$\therefore y=\frac{\sqrt{10}}{2} x$, 故 A 正确.

故选: A.

【点睛】本题主要考查了圆的知识与勾股定理、一次函数的结合, 通过圆的知识与勾股定理得到线段之间的关系是解答此题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：已知抛物线 $y=x^{2}+x-1$ 经过点 $P(m, 5)$, 则代数式 $m^{2}+m+2006$ 的值为 ( )

选项：
A. 2012
B. 2013
C. 2014
D. 2015

答案：A
解析：根据抛物线过点, 代值求出 $m^{2}+m=6$, 整体代入 $m^{2}+m+2006$ 即可得出结论.

【详解】解: $\because$ 抛物线 $y=x^{2}+x-1$ 经过点 $P(m, 5)$,

$\therefore 5=m^{2}+m-1$, 即 $m^{2}+m=6$,

$\therefore$ 将 $m^{2}+m=6$ 整体代入 $m^{2}+m+2006=6+2006=2012$,

故选 A.

【点睛】本题考查代数式求值, 理解抛物线过点对应的代数式, 利用整体代入思想求解是解决问题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：已知抛物线 $y=\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)-1\left(x_{1}<x_{2}\right)$, 且拋物线与 $x$ 轴交于 $(m, 0)$ 和 $(n, 0)$ 两点 $(m<n)$, 则 $m 、 n 、 x_{1} 、 x_{2}$ 的大小关系是 $(\quad)$

选项：
A. $x_{1}<m<n<x_{2}$
B. $m<x_{1}<x_{2}<n$
C. $m<x_{1}<n<x_{2}$
D. $x_{1}<n<x_{2}<m$

答案：A
解析：设 $y^{\prime}=\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)$, 而 $y=\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)+1=y^{\prime}+1$, 即函数 $y^{\prime}$ 向上平移 1 个单位得到函数 $y$, 通过画出函数大致图象即可求解.

【详解】解: 设 $y^{\prime}=\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)$, 则 $x_{1} 、 x_{2}$ 是函数 $y^{\prime}$ 和 $x$ 轴的交点的横坐标,

而 $y=\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)+1=y^{\prime}+1$,

即函数 $y^{\prime}$ 向上平移 1 个单位得到函数 $y$,

则两个函数的图象如图所示 (省略了 $y$ 轴),



从图象看, $x_{1}<m<n<x_{2}$,

故选: A.

【点睛】本题考查的是拋物线与 $x$ 轴的交点, 主要考查函数图象上点的坐标特征, 正确理解图象的平移是本题解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：坐标平面上有一水平线 $L$ 与二次函数 $y=a(x+7)^{2}-10$ 的图形, 其中 $a$ 为一正数, 且 $L$ 与二次函数图象相交于 $\mathrm{A}$ 、 $C$ 两点, 其位置如图所示. 若 $A B: B C=5: 1$, 则 $A C$ 的长度为 $(\quad)$



选项：
A. 17
B. 19
C. 21
D. 24

##
答案：C
解析：根据对称轴 $x=-7$, 结合 $A B: B C=5: 1$ 即可求解.

【详解】解：设对称轴与 $A C$ 交于点 $D$.



$\therefore A D=D C$,

$\because y=a(x+7)^{2}-10$.

$\therefore$ 对称轴 $x=-7, B D=7 . A D=C D$,

$\because A B: B C=5: 1$.

$\therefore A D: D B: B C=3: 2: 1$

$\therefore A C=3 B D=21$.

故选: C.

【点睛】本题考查了二次函数关于对称轴对称, 结合图形, 找到线段的长度是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：抛物线 $y=2(x-1)^{2}$ 的图像经过点 $A\left(-3, y_{1}\right), B\left(1, y_{2}\right), C\left(4, y_{3}\right)$, 则 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 大小关系是（）

选项：
A. $y_{1}<y_{2}<y_{3}$
B. $y_{1}<y_{3}<y_{2}$
C. $y_{2}<y_{1}<y_{3}$
D. $y_{2}<y_{3}<y_{1}$

答案：D
解析：根据二次函数的对称性，再利用二次函数的增减性可判断 $y$ 值的大小.

【详解】解: $\because$ 函数的解析式是 $y=2(x-1)^{2}$,

$\therefore$ 对称轴是直线 $x=1$,

$\therefore$ 点 $A\left(-3, y_{1}\right)$ 的对称点为 $\left(5, y_{1}\right)$,

$\because$ 对称轴左边 $y$ 随 $x$ 的增大而减小，对称轴右边 $y$ 随 $x$ 的增大而增大，

又 $\because 1<4<5$,

$\therefore y_{2}<y_{3}<y_{1}$,

故选: D.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征, 解题的关键是熟记二次函数的增减性及对称性.
题目（九年级 · 解析几何）：下列二次函数中，其图象的对称轴为直线 $x=2$ 的是 ( )

选项：
A. $y=x^{2}-2$
B. $y=-x^{2}+2$
C. $y=-(x-2)^{2}$
D. $y=(x+2)^{2}$

答案：C
解析：根据抛物线 $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ 对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2 a}$ 和抛物线 $y=a(x-h)^{2}+h(a \neq 0)$ 对称轴为直线 $x=h$ 求解.

【详解】解: 拋物线 $y=x^{2}-2$ 的对称轴为直线 $x=-\frac{0}{2 \times 1}=0$, 选项 $\mathrm{A}$ 不符合题意.

抛物线 $y=-x^{2}+2$ 的对称轴为直线 $x=-\frac{0}{2 \times(-1)}=0$, 选项 $\mathrm{B}$ 不符合题意.

抛物线 $y=-(x-2)^{2}$ 的对称轴为直线 $x=2$, 选项 C 符合题意.

抛物线 $y=(x+2)^{2}$ 的对称轴为直线 $x=-2$, 选项 $\mathrm{D}$ 不符合题意.

故选: C.

【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系.
题目（九年级 · 解析几何）：抛物线 $y=(x+3)^{2}$ 与 $y$ 轴的交点坐标为 ( )

选项：
A. $(0,-3)$
B. $(0,9)$
C. $(-3,0)$
D. $(0,6)$

答案：B
解析：将 $x=0$ 代入抛物线解析式, 求出相应的 $y$ 的值, 即可得到抛物线 $y=(x+3)^{2}$ 与 $y$
轴的交点坐标.

【详解】解: $\because$ 抛物线 $y=(x+3)^{2}$,

$\therefore$ 当 $x=0$ 时, $y=9$,

即抛物线 $y=(x+3)^{2}$ 与 $y$ 轴的交点坐标是 $(0,9)$,

故选: B.

【点睛】本题考查了二次函数与 $y$ 轴的交点, 解答本题的关键是明确拋物线与 $y$ 轴的交点就是 $x=0$ 时 $y$ 的值.
题目（九年级 · 解析几何）：如图是抛物线 $y=a x^{2}+b x+c$ 的示意图，则 $a$ 的值可以是（）



选项：
A. 2
B. 0
C. -1
D. -2


答案：A
解析：由图象可知抛物线的开口向上, 得出二次项系数大于 0 , 即可得出答案.

【详解】解: $\because$ 抛物线的靠口向上,

$\therefore$ 二次项系数大于 0 ,

$\therefore$ 只有 $\mathrm{A}$ 选项符合题意,

故选: A.

【点睛】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系, 关键是要牢记二次项系数与图象开口的关系.
题目（九年级 · 解析几何）：二次函数 $y=x^{2}-3 x+4$ 与 $x$ 轴的交点情况是（）

选项：
A. 有一个交点
B. 没有交点
C. 有两个交点
D. 无法确定

答案：B
解析：先计算对应方程判别式的值, 然后根据判别式的意义进行判断.

【详解】解: 令 $y=0$, 则 $x^{2}-3 x+4=0$,

因为 $\Delta=(-3)^{2}-4 \times 1 \times 4=-7<0$,

所以拋物线与 $x$ 轴没有交点.

故选: B.

【点睛】本题考查了抛物线与 $x$ 轴的交点: 对于二次函数 $y=a x^{2}+b x+c(a, b, c$ 是常数, $a \neq 0), b^{2}-4 a c$ 决定抛物线与 $x$ 轴的交点个数: $b^{2}-4 a c>0$ 时, 拋物线与 $x$ 轴有 2 个交点; $b^{2}-4 a c=0$ 时, 抛物线与 $x$ 轴有 1 个交点; $b^{2}-4 a c<0$ 时, 拋物线与 $x$ 轴没有交点.
题目（九年级 · 解析几何）：李叔叔为了充分利用现有资源,计划用一块矩形空地种植两种蔬菜,如图, 矩形 $A B C D$的一面靠墙（墙的长度为 $12 \mathrm{~m}$ ). 另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏 $E F$ 把它分成两个矩形, 已知栅栏的总长度为 $27 \mathrm{~m}$, 若 $E F=x \mathrm{~m}$, 矩形 $A B C D$ 的面积为 $y \mathrm{~m}^{2}$, 则 $y$ 关于 $x$的函数表达式及 $x$ 的取值范围正确的是（）



选项：
A. $y=-3 x^{2}+27 x(0<x<9)$
B. $y=-3 x^{2}+27 x(5 \leq x<9)$
C. $y=-2 x^{2}+27 x(0<x<9)$
D. $y=-x^{2}+27 x(5 \leq x<9)$


答案：B
解析：根据题意, $B C=27-3 x$, 靠墙处墙的长度为 $12 \mathrm{~m}$, 可求出 $B C$ 的取值范围, 再根据矩形的性质可得, $A B=E F=C D=x$, 可求出 $E F$ 的取值范围, 根据矩形的面积的计算方法即可求解.

【详解】解: 已知栅栏的总长度为 $27 \mathrm{~m}$, 若 $E F=x \mathrm{~m}$,

$\therefore B C=27-3 x$,

$\because$ 靠墙处墙的长度为 $12 \mathrm{~m}$,
$\therefore B C \leq 12$, 即 $27-3 x<12$, 解得, $x \geqslant 5$,

$\because$ 中间再用栅栏 $E F$ 把它分成两个矩形,

$\therefore A B=E F=C D=x$

$\because A B+E F+C D<27$,

$\therefore 3 x<27$, 解得, $x<9$,

$\therefore x$ 的取值范围为 $5 \leq x<9$,

$\therefore$ 矩形 $A B C D$ 的面积 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y=B C \cdot E F=(27-3 x) x=-3 x^{2}+27$,

故选: B.

【点睛】本题主要考查用函数解实际问题, 理解图示, 掌握几何图形面积的计算方法, 运用函数解实际问题的方法是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：已知 $\odot O$ 与点 $P$ 在同一平面内, 如果 $\odot O$ 的直径为 6 , 线段 $O P$ 的长为 4 , 则下列说法正确的是 $($ )

选项：
A. 点 $P$ 在 $\odot O$ 上
B. 点 $P$ 在 $\odot O$ 内
C. 点 $P$ 在 $\odot O$ 外
D. 无法判断点 $P$ 与 $\odot O$ 的位置关系

## 第 II 卷（非选择题）

##
答案：C
解析：【分析】

直接根据点与圆的位置关系进行判断.

本题考查了点与圆的位置关系: 设 $\odot O$ 的半径为 $r$, 点 $P$ 到圆心的距离 $O P=d$, 则有: 点 $P$ 在圆外 $\Leftrightarrow d>$ $r$; 点 $P$ 在圆上 $\Leftrightarrow d=r$; 点 $P$ 在圆内 $\Leftrightarrow d<r$.

## 【解答】

解: $\because \odot O$ 的半径是 3 , 线段 $O P$ 的长为 4 ,

即点 $P$ 到圆心的距离大于圆的半径,

$\therefore$ 点 $P$ 在 $\odot O$ 外.

故选: $C$.

##
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, A B=5, B C=4$. 以点 $A$ 为圆心, $r$ 为半径作圆, 当点 $C$ 在 $\odot A$ 内且点 $B$ 在 $\odot A$ 外时, $r$ 的值可能是

( )



选项：
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5


答案：C
解析：解：在 $R t \triangle A B C$ 中, 由勾股定理得 $A C=\sqrt{A B^{2}-B C^{2}}=4$,

$\because$ 点 $C$ 在 $\odot A$ 内且点 $B$ 在 $\odot A$ 外,

$\therefore 3<r<5$,

故选 $C$.

由勾股定理求出 $A C$ 的长度, 再由点 $C$ 在 $\odot A$ 内且点 $B$ 在 $\odot A$ 外求解.

本题考查点与圆的位置关系, 解题关键是掌握勾股定理.

##
题目（九年级 · 解析几何）：如图所示, 小华从一个圆形场地的 $A$ 点出发,沿着与半径 $O A$ 夹角为 $\alpha$ 的方向行走, 走到场地边缘 $B$ 后，再沿着与半径 $O B$ 夹角为 $\alpha$ 的方向折向行走.按照这种方式, 小华第五次走到场地边缘时处于弧 $A B$ 上,此时 $\angle A O E=56^{\circ}$, 则 $\alpha$ 的度数是 $($ )



选项：
A. $52^{\circ}$
B. $60^{\circ}$
C. $72^{\circ}$
D. $76^{\circ}$


答案：A
解析：【分析】

本题考查的是圆的认识和等腰三角形的性质, 连接 $O C, O D$, 利用圆的半径相等构造等腰三角形, 利用等腰三角形的底角相等进而推出 $\angle A O B=\angle B O C=\angle C O D=\angle D O E$, 再利用 $4 \angle A O B+\angle A O E=360^{\circ}$,可得 $\angle A O B$ 的度数，即可得到 $\alpha$ 的度数.

## 【解答】

解: 连接 $O C, O D$, 如图所示,



由题意知 $\angle B A O=\angle C B O=\angle D C O=\angle E D O=\alpha$,

$\because O A=O B=O C=O D=O E$,

$\therefore \angle A B O=\angle B C O=\angle C D O=\angle O E D=\alpha$,

$\therefore \angle A O B=\angle B O C=\angle C O D=\angle D O E$,

$\therefore 4 \angle A O B+\angle A O E=360^{\circ}$,

$\because \angle A O E=56^{\circ}$,

$\therefore \angle A O B=76^{\circ}$,

$\therefore$ 在等腰三角形 $A O B$ 中,

$\alpha=\angle A B O=\frac{180^{\circ}-\angle A O B}{2}=\frac{180^{\circ}-76^{\circ}}{2}=52^{\circ}$.

故选 $A$.

##
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 平面直角坐标系 $x O y$ 中, 点 $A$ 的坐标是 $(-3,4)$, 点 $B$ 是 $\odot A$上一点, $\odot A$ 的半径为 2 , 将 $O B$ 绕 $O$ 点顺时针方向旋转 $90^{\circ}$ 得 $O C$,连接 $A C$, 则线段 $A C$ 的最小值为 $($ )

   


选项：
A. $5 \sqrt{2}-2$

B. $3 \sqrt{2}-1$

C. 5

D. 6


答案：A
解析：解: 如图, 将 $O A$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 得到 $O A^{\prime}$, 则 $A^{\prime}(4,3)$,

则 $O A=O A^{\prime}, \angle A O A^{\prime}=90^{\circ}$,



$\because$ 将 $O B$ 绕 $O$ 点顺时针方向旋转 $90^{\circ}$ 得 $O C$,

$\therefore O B=O C, \angle B O C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B O C-\angle A O C=\angle A O A^{\prime}-\angle A O C$,

即 $\angle A O B=\angle A^{\prime} O C$,

$\therefore \triangle A O B \cong \triangle A^{\prime} O C(S A S)$,

$\therefore A B=A^{\prime} C=2$, 即点 $C$ 在以 $A^{\prime}$ 为圆心, 2 为半径作 $\odot A^{\prime}$ 上,

以 $A^{\prime}$ 为圆心, 2 为半径作 $\odot A^{\prime}$, 连接 $A A^{\prime}$,

当且仅当点 $C$ 在线段 $A A^{\prime}$ 上时, $A C=A A^{\prime}-A^{\prime} C$ 为最小值,

$\because A(-3,4)$,

$\therefore O A=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$,

由旋转得: $O A^{\prime}=O A=5, \angle A O A^{\prime}=90^{\circ}$,

$\therefore A A^{\prime}=5 \sqrt{2}$,

$\therefore A C=5 \sqrt{2}-2$,

故选: A.

将 $O A$ 绕点 $O$ 顺时针旋转 $90^{\circ}$ 得到 $O A^{\prime}$, 则 $A^{\prime}(4,3)$, 以 $A^{\prime}$ 为圆心, 2 为半径作 $\odot A^{\prime}$, 连接 $A A^{\prime}$ 交 $\odot A^{\prime}$ 于点 $C$,此时 $A C=A A^{\prime}-A^{\prime} C$ 为最小值, 利用旋转的性质和勾股定理即可求得答案.

本题考查了旋转变换的性质, 全等三角形的判定和性质, 点到圆上各点的距离最小值等, 添加辅助线构造全等三角形是解题关键.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 等边三角形 $A B C$ 的边长是 $2, M$ 是高 $C H$ 所在直线上的一个动点, 连接 $M B$, 将线段 $B M$ 绕点 $B$ 逆时针旋转 $60^{\circ}$ 得到 $B N$, 连接 $M N$, 则在点 $M$ 运动过程中, 线段 $M N$ 长度的最小值是

( )



选项：
A. $\frac{1}{2}$
B. 1
C. $\sqrt{3}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$


答案：B
解析：【分析】

本题考查了旋转的特性、垂线段最短理论以及等边三角形的判定与性质，解题的关键是：由旋转的特性以及 $\angle M B N=60^{\circ}$, 可知 $\triangle B M N$ 是等边三角形, 从而得出 $M N=B N$, 再结合点到直线的所有线段中, 垂线段最短, 即可得出结论.

由旋转的特性以及 $\angle M B N=60^{\circ}$, 可知 $\triangle B M N$ 是等边三角形, 从而得出 $M N=B N$, 再由点到直线的所有线段中, 垂线段最短可得出结论.

## 【解答】

解: 由旋转的特性可知, $B M=B N$,

又 $\because \angle M B N=60^{\circ}$,

$\therefore \triangle B M N$ 为等边三角形.

$\therefore M N=B M$,

$\because$ 点 $M$ 是高 $C H$ 所在直线上的一个动点,

$\therefore$ 当 $B M \perp C H$ 时, $M N$ 最短(到直线的所有线段中, 垂线段最短).

又 $\because \triangle A B C$ 为等边三角形, 且 $A B=B C=C A=2$,

$\therefore$ 当点 $M$ 和点 $H$ 重合时, $M N$ 最短, 且有 $M N=B M=B H=\frac{1}{2} A B=1$.

故选: $B$.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, $A B$ 是 $\overparen{A B}$ 所对的弦, $A B$ 的中垂线 $C D$ 交 $\overparen{A B}$ 于点 $C$, 交 $A B$ 于点 $D ; A D$ 的中垂线 $E F$ 交 $\overparen{A B}$ 于点 $E$,交 $A B$ 于点 $F ; D B$ 的中垂线 $G H$ 交 $\overparen{A B}$ 于点 $G$, 交 $A B$ 于点 $H$. 则下列结论中, 不正确的是 $(\quad)$



选项：
A. $\overparen{A C}=\overparen{C B}$
B. $\overparen{E C}=\overparen{C G}$
C. $\overparen{A E}=\overparen{E C}$
D. $E F=G H$


答案：C
解析：略
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O$, 若 $\angle C=130^{\circ}$, 则 $\angle B O D$ 的度数为 ( )


选项：
A. $50^{\circ}$

B. $100^{\circ}$

C. $130^{\circ}$

D. $150^{\circ}$




答案：B
解析：【分析】

此题主要考查了圆内接四边形的性质和圆周角定理的综合应用, 熟练掌握相关知识点是解决问题的关键.

由于四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O$, 根据圆内接四边形的对角互补即可求得 $\angle A$ 的度数, 而 $\angle A 、 \angle B O D$ 是同弧所对的圆周角和圆心角, 根据圆周角定理即可得到 $\angle B O D$ 的度数.

## 【解答】

解: $\because$ 四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O$,

$\therefore \angle A+\angle C=180^{\circ}$, 而 $\angle C=130^{\circ}$,

$\therefore \angle A=180^{\circ}-\angle C=50^{\circ}$,

$\therefore \angle B O D=2 \angle A=100^{\circ}$.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 点 $A, B, C$ 在 $\odot O$ 上, $\angle A O C=90^{\circ}, A B=\sqrt{2}, B C=1$, 则 $\odot O$ 的半径为

( )



选项：
A. $\sqrt{3}$
B. $\frac{\sqrt{5}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{10}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{2}+1}{2}$


答案：C
解析：【分析】

本题考查的是勾股定理, 圆周角定理, 圆内接四边形的性质有关知识, 在圆周上取一点 $D$, 连接 $A D$,
$C D, A C$, 延长 $A B$, 过点 $C$ 作 $C E \perp A B$ 于 $E$, 先求出 $\angle A D C=45^{\circ}$, 然后求出 $\angle A B C=135^{\circ}$, 然后再利用勾股定理解答即可.

## 【解答】

解: 在圆周上取一点 $D$, 连接 $A D, C D, A C$, 延长 $A B$, 过点 $C$ 作 $C E \perp A B$ 于 $E$



$\because \angle A O C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A D C=45^{\circ}$,

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是圆内接四边形,

$\therefore \angle A B C=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ}$,

$\therefore \angle E B C=45^{\circ}$,

$\because \angle B E C=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle B E C$ 是等腰直角三角形,

$\therefore B E=E C$,

在Rt $\triangle B E C$ 中

$B E^{2}+E C^{2}=B C^{2}, \quad B C=1$,

$\therefore B E=\frac{\sqrt{2}}{2}$,

在 Rt $\triangle A E C$ 中,

$A E^{2}+E C^{2}=A C^{2}$

$\therefore A C^{2}=(B E+A B)^{2}+E C^{2}=\left(\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=5$,

在Rt $\triangle A O C$ 中, $O A^{2}+O C^{2}=A C^{2}$,

$\therefore O A^{2}=\frac{5}{2}$,

$\therefore O A=\frac{\sqrt{10}}{2}$,

则 $\odot O$ 的半径为 $\frac{\sqrt{10}}{2}$.

故选 $C$.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O, \angle A O C=102^{\circ}$, 则 $\angle D$ 的度数为 ( )


选项：
A. $78^{\circ}$

B. $51^{\circ}$

C. $129^{\circ}$

D. $102^{\circ}$




答案：C
解析：解: $\because \angle A O C=102^{\circ}$,

$\therefore \angle A B C=\frac{1}{2} \angle A O C=51^{\circ}$,

$\because$ 四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O$,

$\therefore \angle D=180^{\circ}-\angle A B C=129^{\circ}$,

故选: $C$.

先由圆周角定理得到 $\angle A B C=51^{\circ}$, 再由圆内接四边形对角互补可得 $\angle D=180^{\circ}-\angle A B C=129^{\circ}$.本题主要考查了圆周角定理, 圆内接四边形的性质, 熟知同弧所对的圆周角度数是圆心角的一半是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 正五边形 $A B C D E$ 内接于 $\odot O$, 则 $\angle C B D$ 的度数是 $($ )


选项：
A. $30^{\circ}$

B. $36^{\circ}$

C. $60^{\circ}$

D. $72^{\circ}$




答案：B
解析：解: $\because$ 正五边形 $A B C D E$ 内接于 $\odot O$,

$\therefore C D=B C$, 且 $\angle D C B=\frac{(5-2) \times 180^{\circ}}{5}=108^{\circ}$,

$\therefore \angle C B D=\angle C D B=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-108^{\circ}\right)=36^{\circ}$,

故选 B.

利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可.

本题考查正多边形与圆, 等腰三角形的性质, 三角形内角和定理, 以及圆周角定理.
题目（九年级 · 解析几何）：已知圆的半径是 $2 \sqrt{3}$, 则该圆的内接正六边形的面积是 $($ )



选项：
A. $3 \sqrt{3}$
B. $9 \sqrt{3}$
C. $18 \sqrt{3}$
D. $36 \sqrt{3}$


答案：C
解析：【分析】

本题考查了正多边形和圆,解题的关键要记住正六边形的特点, 它被半径分成六个全等的等边三角形.根据正六边形被它的半径分成六个全等的等边三角形, 再根据等边三角形的边长, 求出等边三角形的高, 再根据面积公式即可得出答案.

## 【解答】

解: 连接 $O A 、 O B$, 作 $O G \perp A B$ 于 $G$,



则 $O A=O B=2 \sqrt{3}, \angle A O B=60^{\circ}$,

$\therefore \triangle O A B$ 为等边三角形,

$\therefore \angle A O G=30^{\circ}$,

$\therefore A G=\sqrt{3}, O G=\sqrt{3} A G=3$,

$\therefore A B=2 A G=2 \sqrt{3}$,

$\therefore S_{\triangle A O B}=\frac{1}{2} A B \cdot O G=3 \sqrt{3}$,

$\therefore$ 正六边形的面积是: $18 \sqrt{3}$,

故选 $C$.
题目（九年级 · 解析几何）：在2022年北京冬奥会开幕式和闭幕式中，一片 “雪花” 的故事展现了 “世界大同、天下一家”的主题, 让世界观众感受了中国人的浪漫. 如图, 将 “雪花” 图案(边长为 4 的正六边形 $A B C D E F$ )放在平面直角坐标系中, 若 $A B$ 与 $x$ 轴垂直, 顶点 $A$ 的坐标为 $(2,-3)$, 则顶点 $C$ 的坐标为 $(\quad)$


选项：
A. $(2-2 \sqrt{3}, 3)$

B. $(0,1+2 \sqrt{3})$



C. $(2-\sqrt{3}, 3)$

D. $(2-2 \sqrt{3}, 2+\sqrt{3})$


答案：A
解析：解: 如图, 连接 $B D$ 交 $C F$ 于点 $M$, 则点 $B(2,1)$,

在Rt $\triangle B C M$ 中, $B C=4, \angle B C M=\frac{1}{2} \times 120^{\circ}=60^{\circ}$,

$\therefore C M=\frac{1}{2} B C=2, B M=\frac{\sqrt{3}}{2} B C=2 \sqrt{3}$,

$\therefore$ 点 $C$ 的横坐标为 $-(2 \sqrt{3}-2)=2-2 \sqrt{3}$, 纵坐标为 $1+2=3$,

$\therefore$ 点 $C$ 的坐标为 $(2-2 \sqrt{3}, 3)$,



故选: $A$.

根据正六边形的性质以及坐标与图形的性质进行计算即可.

本题考查正多边形与圆，勾股定理，掌握正六边形的性质以及勾股定理是正确计算的前提，理解坐标与图形的性质是解决问题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：在比例尺为 $1: 1000000$ 的地图上量得 $A, B$ 两地的距离是 $20 \mathrm{~cm}$, 那么 $A 、 B$ 两地的实际距离是

( )

选项：
A. $2000000 \mathrm{~cm}$
B. $2000 \mathrm{~m}$
C. $200 \mathrm{~km}$
D. $2000 \mathrm{~km}$


答案：C
解析：【分析】

本题考查了比例线段, 能够根据比例尺正确进行计算, 注意单位的换算. 比例尺 $=$ 图上距离: 实际距离, 根据比例尺关系可直接得出 $A 、 B$ 两地的实际距离.

## 【解答】

解: 根据比例尺=图上距离: 实际距离,

得 $A 、 B$ 两地的实际距离为 $20 \times 1000000=20000000(\mathrm{~cm})$,

$20000000 \mathrm{~cm}=200 \mathrm{~km}$.

故 $A 、 B$ 两地的实际距离是 $200 \mathrm{~km}$.

故选 $C$.
题目（九年级 · 解析几何）：已知点 $P$ 是线段 $A B$ 的黄金分割点, 且 $A P>P B$. 下列命题正确的是 $($ )

(1) $A B^{2}=A P \cdot P B$;

(2) $A P^{2}=A B \cdot P B$;

(3) $B P^{2}=A B \cdot A B$;

(4) $A P: A B=P B: A P$.

选项：
A. (1) (2)
B. (2) 4
C. (3) 4
D. (2)(3)(4)


答案：B
解析：解: $\because$ 点 $P$ 是线段 $A B$ 的黄金分割点, 且 $A P>P B$,

$\therefore$ 根据线段黄金分割的定义得: $A P^{2}=P B \cdot A B, A P: A B=P B: A P$,

$\therefore$ 只有(2)(4)正确.

故选: $B$.

把一条线段分成两部分, 使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项, 这样的线段分割叫做黄金分割, 他们的比值 $\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)$ 叫做黄金比.
本题主要考查了理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键. 本题同时考查了乘积形式和比例形式的转化, 难度适中.
题目（九年级 · 解析几何）：已知 $A B=6$, 点 $P$ 为线段 $A B$ 的黄金分割点 $(A P>B P)$, 则 $A P$ 的长为 ( )

选项：
A. $3 \sqrt{5}-3$
B. $3 \sqrt{5}+3$
C. $9-3 \sqrt{5}$
D. $9+3 \sqrt{5}$

答案：A
解析：解：由于 $P$ 为线段 $A B=6$ 的黄金分割点，

且 $A P$ 是较长线段;

则 $A P=6 \times \frac{\sqrt{5}-1}{2}=3 \sqrt{5}-3$,

故选: A.

根据黄金分割点的定义，代入数据即可得出 $A P$ 的长.

本题考查了黄金分割的概念: 把一条线段分成两部分, 使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项, 这样的线段分割叫做黄金分割.
题目（九年级 · 解析几何）：已知 $D, E$ 分别在 $\triangle A B C$ 的 $B A, C A$ 的延长线上, 下列给出的条件中能判定 $E D / / B C$ 的是 ( )

选项：
A. $\frac{A E}{A D}=\frac{A B}{A C}$
B. $\frac{A B}{B D}=\frac{A C}{C E}$
C. $\frac{D E}{B C}=\frac{A D}{A B}$
D. $\frac{D E}{B C}=\frac{B D}{C E}$

答案：B
解析：解: $\because \frac{A E}{A D}=\frac{A B}{A C}$ 不能判定 $D E / / B C$,

$\therefore$ 选项 $A$ 错误, 不符合题意;

$\because \frac{A B}{B D}=\frac{A C}{C E}$,

$\therefore D E / / B C$,

$\therefore$ 选项 $B$ 正确, 符合题意;

$\because \frac{D E}{B C}=\frac{A D}{A B}$ 不能判定 $D E / / B C$,

$\therefore$ 选项 $C$ 错误, 不符合题意;

$\because \frac{D E}{B C}=\frac{B D}{C E}$ 不能判定 $D E / / B C$,

$\therefore$ 选项 $D$ 错误, 不符合题意.

故选: $B$.

由平行线分线段成比例定理的逆定理得出 $A 、 C 、 D$ 错误, $B$ 正确, 即可得出结论.

本题考查了平行线分线段成比例定理的逆定理; 熟记平行线分线段成比例定理的逆定理是解决问题的

关键.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $D E / / B C, D E$ 分别与 $A B 、 A C$ 相交于点 $D 、 E$, 若 $A E=4$, $E C=2$, 则 $\frac{B D}{A B}$ 的值为 $($ )


选项：
A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{5}{2}$



C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{1}{4}$


答案：A
解析：解: $\because A E=4, E C=2$,

$$
\therefore \frac{C E}{A C}=\frac{2}{2+4}=\frac{1}{3}
$$

$\because D E / / B C$,

$\therefore \frac{B D}{A B}=\frac{C E}{A C}=\frac{1}{3}$.

故选: $A$.

先求解 $\frac{C E}{A C}=\frac{2}{2+4}=\frac{1}{3}$, 再根据平行线分线段成比例定理, 可得 $\frac{B D}{A B}=\frac{C E}{A C}=\frac{1}{3}$.

本题主要考查了平行线分线段成比例, 掌握平行于三角形一边的直线截其他两边, 所得的对应线段成比例, 用此定理写出比例线段是解题关键.
题目（九年级 · 解析几何）：已知 $\triangle A B C \backsim \triangle A_{1} B_{1} C_{1}$, 且 $\angle A=55^{\circ}, \angle B_{1}=95^{\circ}$, 则 $\angle C$ 等于

( )

选项：
A. $30^{\circ}$
B. $55^{\circ}$
C. $95^{\circ}$
D. $40^{\circ}$


答案：A
解析：【分析】

此题主要考查了相似三角形的性质, 熟练掌握 “相似三角形的对应角相等” 是解题关键. 根据相似三角形的性质得出对应角相等, 再根据三角形内角和定理即可求出结果.

## 【解答】

解: $\because \triangle A B C \backsim \triangle A_{1} B_{1} C_{1}$,

$\therefore \angle A_{1}=\angle A=55^{\circ}, \angle B_{1}=\angle B=95^{\circ}$,

则 $\angle C=180^{\circ}-\angle A-\angle B=180^{\circ}-55^{\circ}-95^{\circ}=30^{\circ}$.

故选 $A$.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 点 $C$ 为线段 $A B$ 的中点, 在 $A C$ 上取点 $D$, 分别以 $A D, C D, B C, B D$ 为边向上作正方形 $A D G H$, $C D K L, B C I J, D B E F$. 当 $A B=2$ 时, 若 $A, K, J$ 共线, 则图中阴影部分的面积为 $($ )



选项：
A. $\frac{10}{9}$
B. $\frac{11}{10}$
C. $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
D. $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$


答案：A
解析：【分析】

本题考查了相似三角形的判定与性质, 正方形的性质, 解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质.

根据正方形的性质证明 $\triangle A D K \sim \triangle A B J$, 设 $C D=x$, 则 $A D=1-x, K D=C D=x$, 所以 $\frac{x}{1}=\frac{1-x}{2}$, 解得 $x=\frac{1}{3}$, 求出 $A D 、 B D$, 再根据图形可得 $S_{\text {阴影部分 }}=S_{\text {正方形 }} A D G H+S_{\text {正方死 } D B E F}-S_{\text {正方形 } C D K L}-S_{\text {正方形 } B C I}$, 进而可得结果.

## 【解答】

解: 根据题意可知: $D K / / B J$,

$\therefore \triangle A D K \sim \triangle A B J$,

$\therefore \frac{D K}{B J}=\frac{A D}{A B}$,

$\because$ 点 $C$ 为线段 $A B$ 的中点, $A B=2$,

$\therefore A C=B C=B J=1$,

设 $C D=x$,

则 $A D=1-x, K D=C D=x$,

$\therefore \frac{x}{1}=\frac{1-x}{2}$,

解得 $x=\frac{1}{3}$,

$\therefore A D=1-x=\frac{2}{3}, B D=1+x=\frac{4}{3}$,

$\because S_{\text {阴影部分 }}=S_{\text {正方开 }} A D G H+S_{\text {正方形 } D B E F}-S_{\text {正方死 } C D K L}-S_{\text {正方质 } B C I J}$

$$
=\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}+\frac{4}{3} \times \frac{4}{3}-1 \times 1-\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}
$$

$=\frac{10}{9}$.
题目（九年级 · 解析几何）：在平面直角坐标系中, 直线 $y=-\frac{1}{2} x+2$ 和 $x, y$ 轴交于 $A, B$ 两点, 在第二象限内找一点 $P$, 使 $\triangle P A O$和 $\triangle A O B$ 相似的三角形个数为

( )



选项：
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5


答案：C
解析：【分析】

本题考查相似三角形的判定、平行线的性质等知识, 解题的关键是灵活掌握相似三角形的判定方法,属于中考常考题型.

根据相似三角形的相似条件, 画出图形即可解决问题.

## 【解答】

解: 如图,



(1)分别过点 $O$ 、点 $A$ 作 $A B 、 O B$ 的平行线交于点 $P_{1}$, 则 $\triangle O A P_{1}$ 与 $\triangle A O B$ 相似(全等),

(2) 作 $A P_{2} \perp O P_{1}$, 垂足为 $P_{2}$ 则 $\triangle A O P_{2}$ 与 $\triangle A O B$ 相似.

(3)作 $\angle A O P_{3}=\angle A B O$ 交 $A P_{1}$ 于 $P_{3}$, 则 $\triangle A O P_{3}$ 与 $\triangle A O B$ 相似.

(4) 作 $A P_{4} \perp O P_{3}$ 垂足为 $P_{4}$, 则 $\triangle A O P_{4}$ 与 $\triangle A O B$ 相似.

故选 $C$.