eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $\angle A=90^{\circ}, A B=A C, B C=20$, 四边形 $E F G H$ 是 $\triangle A B C$ 的内接矩形, 如果 $E F$ 的长为 $x$, 矩形 $E F G H$ 的面积为 $y$, 则 $y$ 与 $x$ 的函数关系式为 . $\qquad$

    

    （第 18 题）

##
选项：
答案： $y=-\frac{1}{2} x^{2}+10 x$


解析：根据题意可得 $\triangle B E H, \triangle C F G$ 是等腰直角三角形, 得出 $B H=E H=C G=G F$, 进而根据矩形的面积即可求解.

【详解】 $\because \angle A=90^{\circ}, A B=A C$,

$\therefore \angle B=\angle C=45^{\circ}$.

$\because$ 四边形 $E F G H$ 是 $\triangle A B C$ 的内接矩形,

$\therefore \angle E H B=\angle F G C=90^{\circ}, \quad E H=F G, \quad E F=H G$,

$\therefore \angle B E H=\angle C F G=45^{\circ}$,

$\therefore B H=E H=C G=G F$.

$\because B C=20, E F=x$,

$\therefore B C-H G=B C-E F=20-x$,

$\therefore B H=E H=C G=G F=\frac{1}{2}(B C-H G)=10-\frac{1}{2} x$,

$\therefore y=x\left(10-\frac{1}{2} x\right)=-\frac{1}{2} x^{2}+10 x$.
故答案为: $y=-\frac{1}{2} x^{2}+10 x$.

【点晴】本题考查了列二次函数关系式, 熟练掌握矩形的性质是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：一个圆的直径是 $30 \mathrm{~cm}$, 点 $P$ 在圆上, 那么 $P$ 点到该圆圆心的距离为 $\qquad$ cm.

选项：
答案： 15


解析：圆上点到圆心的距离等于圆的半径, 由此即可求解.

【详解】解: 根据题意, 点 $P$ 在圆上, 圆的半径是 $15 \mathrm{~cm}$,

$\therefore P$ 点到该圆圆心的距离为 $15 \mathrm{~cm}$,

故答案为: 15 .

【点睛】本题主要考查的点与圆的位置关系, 当点在圆外, 点到圆心的距离大于半径; 当点在圆上, 点到圆心的距离等于半径; 当点在圆内, 点到圆心的距离小于半径, 解题的关键是看点到圆心的距离与圆半径的关系.
题目（九年级 · 度量几何学）：已知如图, $\triangle A B C$ 是等边三角形, 分别以点 $A 、 B 、 C$ 为圆心, $A B$ 长为半径作圆,得到弧 $A B 、 B C 、 A C, A E \perp B C, D$ 为 $A C$ 上任一点, 连接 $B D$, 则 $\frac{A E}{B D}=$ $\qquad$ .

    

    (第 15 题)


选项：
答案： $\frac{\sqrt{3}}{2}$


解析：根据等边三角形的三线合一得出 $B E=C E=\frac{1}{2} B C$, 设 $B C=x$, 则 $A B=B C=A C=x$, $B E=C E=\frac{1}{2} x$, 根据勾股定理得出 $A E=\frac{\sqrt{3}}{2} x$, 然后根据圆的定义可知 $B D=x$, 从而得出答案.

【详解】解: $\because \triangle A B C$ 是等边三角形, $A E \perp B C$,

$\therefore A B=B C=A C, \quad B E=C E=\frac{1}{2} B C$

设 $B C=x$

则 $A B=B C=A C=x, B E=C E=\frac{1}{2} x$

在 Rt $\triangle A E B$ 中, $A B^{2}=A E^{2}+B E^{2}$

$\therefore A E=\sqrt{A B^{2}-B E^{2}}=\sqrt{x^{2}-\left(\frac{1}{2} x\right)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2} x$

$\because$ 点 $A 、 D 、 C$ 都在弧 $A C$ 上, 且弧 $A C$ 是以 $B$ 为圆心, $A B$ 长为半径作的圆,

$\therefore B D=B C=A B=x$

$\therefore \frac{A E}{B D}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} x}{x}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

故答案为: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

【点睛】本题考查了圆的概念, 等边三角形的性质以及勾股定理, 熟练掌握性质和概念是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 点 $A$ 在半圆 $O$ 上, 且 $B C$ 是直径. 若 $A B=2, \angle A=45^{\circ}$, 则 $B C$ 的长为 . $\qquad$



（第 11 题）


选项：
答案： $2 \sqrt{2}$


解析：连接 $O A$, 由圆心角, 弦, 弧的关系可得 $O A \perp B C$, 结合等腰直角三角形的性质可求解 $O B$ 的长, 进而可求解 $B C$ 的长.

【详解】解：连接 $O A$,



$\because A B=B C, B C$ 是直径,

$\therefore O A \perp B C$,

$\because O A=O B, \quad A B=2$,

$\therefore O A=O B=\frac{\sqrt{2}}{2} A B=\frac{\sqrt{2}}{2} \times 2=\sqrt{2}$,

$\therefore B C=2 O A=2 \sqrt{2}$.

故答案为: $2 \sqrt{2}$.

【点睛】本题主要考查圆周角, 弦, 弧的关系, 等腰直角三角形的性质, 求解 $O A, O B$ 的长是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 已知 $B D$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的直径, 点 $\mathrm{A}, C$ 在 $\odot O$ 上, $\angle A O B=58^{\circ}, B$ 是 $A C$ 的中点,则 $\angle B D C$ 的度数为 $\qquad$

    

    (第 13 题)


选项：
答案： $29^{\circ}$


解析：先由 $B$ 是弧 $A C$ 的中点, 可得 $A B=B C$, 再根据圆周角定理可得结果.

【详解】解：连接 $\mathrm{OC}$,



$\because B$ 是弧 $A C$ 的中点,

$\therefore A B=B C$.

$\therefore \angle \mathrm{BOC}=\angle \mathrm{AOB}=58^{\circ}$

$\therefore \angle \mathrm{BDC}=\frac{1}{2} \times 58^{\circ}=29^{\circ}$.

故答案为 $29^{\circ}$.

【点睛】本题考查了圆周角定理, 掌握圆周角定理是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 已知 $\triangle A B C$ 内接于 $\odot O, A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $C D$ 平分 $\angle A C B$, 交 $\odot \mathrm{O}$ 于点 $D$,若 $A B=6$, 则 $B D$ 的长为 $\qquad$

    

    （第 14 题）


选项：
答案： $3 \sqrt{2}$


解析：先由 $A B$ 是 $\odot O$ 的直径得出 $\angle A C B=90^{\circ}$, 再根据勾股定理求出 $A B$ 的长, 连接 $A D$,则 $\angle A D B=90^{\circ}$, 再由 $C D$ 平分 $\angle A C B$ 可知 $\angle A C D=\angle B C D$, 推出 $\triangle \triangle A B D$ 是等腰直角三角形, 由勾股定理即可求出 $B D$ 的长.

【详解】解：连接 $A D$, 如图:



$\because A B$ 是 $\odot O$ 的直径,

$\therefore \angle A C B=90^{\circ}, \angle A D B=90^{\circ}$,

$\because C D$ 平分 $\angle A C B$,
$\therefore \angle A C D=\angle B C D$,

$\therefore A D=B D$,

$\therefore A D=B D$,

$\therefore \triangle A D B$ 是等腰直角三角形,

$\therefore 2 B D^{2}=A B^{2}$, 即 $2 B D^{2}=36$,

解得 $B D=3 \sqrt{2}$,

故答案为: $3 \sqrt{2}$.

【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心, 圆周角定理及等腰直角三角形的判定与性质,根据题意作出辅助线, 构造出直角三角形是解答此题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $B, C, D, E$ 为 $\odot A$ 上的点, $D E=5, \angle B A C+\angle D A E=180^{\circ}$, 则圆心 $A$ 到弦 $B C$ 的距离为 . $\qquad$

    

    （第 17 题）


选项：
答案： $\frac{5}{2}$.


解析：延长 $\mathrm{CA}$ 交 $\odot \mathrm{A}$ 于 $\mathrm{F}$, 连接 $\mathrm{BF}$, 作 $\mathrm{AH} \perp \mathrm{BC}$ 于 $\mathrm{H}$, 根据圆心角、弧、弦之间的关系定理求出 $\mathrm{BF}$, 根据垂径定理得到 $\mathrm{CH}=\mathrm{HB}$, 根据三角形中位线定理计算即可.

【详解】解：延长 $C A$ 交 $\odot A$ 于 $F$, 连接 $B F$, 作 $A H \perp B C$ 于 $H$,

$\because \angle B A C+\angle D A E=180^{\circ}, \angle B A C+\angle B A F=180^{\circ}$,

$\therefore \angle B A F=\angle D A E$,

$\therefore$ 弧 $\mathrm{BF}=$ 弧 $\mathrm{DE}$,
$\therefore B F=D E=5$,

$\because A H \perp B C$,

$\therefore C H=H B$, 又 $C A=A F$,

$\therefore A H=\frac{1}{2} B F=\frac{5}{2}$,

故答案为: $\frac{5}{2}$.



【点睛】本题考查的是垂径定理、三角形中位线定理、圆心角、弧、弦之间的关系, 掌握垂径定理、三角形中位线定理是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：圆内接四边形 $A B C D$ 中, $\angle A: \angle B: \angle C=1: 2: 3$, 则 $\angle C$ 的度数等于 $\qquad$

选项：
答案： $135^{\circ} / 135$ 度


解析：根据圆内接四边形的性质, 即可求解.

【详解】 $\because$ 圆内接四边形 $A B C D$ 中, $\angle A: \angle B: \angle C=1: 2: 3$,

$\therefore$ 可设 $\angle A=x, \angle B=2 x, \angle C=3 x$,

$\because$ 圆内接四边形对角互补,

$\therefore \angle A+\angle C=x+3 x=180^{\circ}$,

解得 $: x=45^{\circ}$,

$\therefore \angle C=3 x=135^{\circ}$.

故答案为: $135^{\circ}$.

【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质, 熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图,螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形, 这个正六边形 $A B C D E F$ 的半径是 $2 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$,则这个正六边形的周长是 $\qquad$ .

    

    （第 13 题）


选项：
答案： $12 \sqrt{3}$


解析：确定正六边形的中心 $\mathrm{O}$, 连接 EO、FO, 易证正六变形的边长等于其半径, 可得正六边形的周长.

【详解】解: 如图, 确定正六边形的中心 $\mathrm{O}$, 连接 EO、FO.



由正六边形可得 $O E=O F=2 \sqrt{3}, \angle E O F=360^{\circ} \div 6=60^{\circ}$

$\therefore \triangle O E F$ 是等边三角形
$\therefore E F=O E=O F=2 \sqrt{3}$

所以正六边形的周长为 $2 \sqrt{3} \times 6=12 \sqrt{3}$

故答案为: $12 \sqrt{3}$

【点睛】本题考查了正多边形与圆, 灵活利用正多边形的性质是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 五边形 $A B C D E$ 是 $\odot O$ 的内接正五边形, 则 $\angle C O D$ 的度数是 $\qquad$

    

    （第 14 题）


选项：
答案： $72^{\circ}$


解析：根据正多边形的中心角的计算公式: $\frac{360^{\circ}}{n}$ 计算即可.

【详解】解: $\because$ 五边形 $A B C D E$ 是 $\odot O$ 的内接正五边形,

$\therefore$ 五边形 $A B C D E$ 的中心角 $\angle C O D$ 的度数为 $\frac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}$,

故答案为: $72^{\circ}$.

【点睛】本题考查的是正多边形和圆, 掌握正多边形的中心角的计算公式: $\frac{360^{\circ}}{n}$ 是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图是一把折扇, 它完全打开时是一个扇形, 张角 $\angle A O B$, 若 $O A=20 \mathrm{~cm}$, 则此时扇形的弧长为 $\qquad$ $\mathrm{cm}$ (结果保留 $\pi$ ).

    

    (第 16 题)


选项：
答案： $\frac{40}{3} \pi$


解析：利用弧长公式计算即可.
【详解】解：这把扇子打开到最大时的扇形的弧长 $=\frac{120 \cdot \pi \cdot 20}{180}=\frac{40}{3} \pi(\mathrm{cm})$.

故答案为: $\frac{40}{3} \pi$.

【点睛】本题考查弧长公式, 解题的关键是理解题意, 灵活运用所学知识解决问题.
题目（九年级 · 度量几何学）：蛋形九巧板源于 1983 年上市的“哥伦布蛋形拼图”（如图 1），是七巧板的变形和延伸. 如图 $2, A B, C D$ 是 $\odot O$ 两条互相垂直的直径, 分别以点 $A, B$ 为圆心， $A B$ 的长为半径画圆弧, 交 $A C, B C$ 的延长线于点 $E, F$, 再以点 $C$ 为圆心, $C E$ 的长为半径画 $E F$, 形成蛋形九巧板轮廓. 若 $A B=2$, 则蛋形九巧板外围周长为 $\qquad$ .


选项：
答案： $3 \pi-\frac{\sqrt{2}}{2} \pi$


解析：分别求出 $A B 、 A F$ 和 $E F$ 的长即可求出结果.

【详解】解: 根据题意知, $\triangle A O C$ 和 $\triangle B O C$ 都是等腰直角三角形,

$\therefore \angle A=\angle B=45^{\circ}$,

$\because A B=2$,

$\therefore O A=O C=O B=1$,

$\therefore A C=B C=\sqrt{2}$

$\therefore C F=C E=A E-A C=2-\sqrt{2}$,

$\therefore A B$ 的长 $=\frac{1}{2} \times 2 \pi \times \frac{2}{2}=\pi$,

$A F$ 的长 $=B E$ 的长 $=\frac{45 \times \pi \times 2}{180}=\frac{\pi}{2}$,

$E F$ 的长 $=\frac{90 \times \pi \times(2-\sqrt{2})}{180}=\frac{(2-\sqrt{2}) \pi}{2}$,

所以, 蛋形九巧板外围周长 $=\pi+2 \times \frac{\pi}{2}+\frac{(2-\sqrt{2}) \pi}{2}$

$=\frac{(6-\sqrt{2}) \pi}{2}$

$=3 \pi-\frac{\sqrt{2}}{2} \pi$.

【点睛】本题主要考查了弧长的计算, 解答此题应注意复杂的不规则的图形需要把图形分解看成几个规则图形的组合
题目（九年级 · 度量几何学）：如图(1), $A, B$ 表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢. 图(2)是其示意图, 点 $O$ 是圆心，半径 $r$ 为 $15 \mathrm{~m}$, 点 $A, B$ 是圆上的两点, 圆心角 $\angle A O B=120^{\circ}$, 则 $A B$ 的长为 $\qquad$ m. (结果保留 $\pi$ )

    

    图(1)

    

    图(2) (第 15 题)


选项：
答案： $10 \pi$


解析：利用弧长公式 $l=\frac{n \pi r}{180}$ 直接计算即可.

【详解】 $\because$ 半径 $O A=15 \mathrm{~m}$, 圆心角 $\angle A O B=120^{\circ}$,

$\therefore l_{A B}=\frac{120 \times \pi \times 15}{180}=10 \pi$,

故答案为: $10 \pi$.

【点睛】本题考查了弧长计算, 熟练掌握弧长公式 $l=\frac{n \pi r}{180}$, 并规范计算是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 把 $\angle A P B$ 放在量角器上, 读得射线 $P A 、 P B$ 分别经过刻度 117 和 153 , 把 $\angle A P B$绕点 $P$ 逆时针方向旋转到 $\angle A^{\prime} P B^{\prime}$, 当 $\angle A P B^{\prime}=\frac{1}{2} \angle A P A^{\prime}$ 时, 射线 $P A^{\prime}$ 经过刻度 . $\qquad$



（第 16 题）


选项：
答案： 45


解析：根据量角器可知, $\angle A P B=36^{\circ}$, 再根据旋转的性质可知, $\angle A^{\prime} P B^{\prime}=36^{\circ}$, 然后结合已知条件求出 $\angle A P A^{\prime}=72^{\circ}$, 即可得到射线 $P A^{\prime}$ 经过刻度.

【详解】解: $\because$ 射线 $P A 、 P B$ 分别经过刻度 117 和 153,

$\therefore \angle A P B=153^{\circ}-117^{\circ}=36^{\circ}$,

$\because \angle A^{\prime} P B^{\prime}$ 由 $\angle A P B$ 绕点 $P$ 逆时针方向旋转得到,

$\therefore \angle A^{\prime} P B^{\prime}=\angle A P B=36^{\circ}$,

$\because \angle A P A^{\prime}=\angle A P B^{\prime}+\angle A^{\prime} P B^{\prime}$, 且 $\angle A P B^{\prime}=\frac{1}{2} \angle A P A^{\prime}$,

$\therefore \angle A P A^{\prime}=\frac{1}{2} \angle A P A^{\prime}+36^{\circ}$,

$\therefore \angle A P A^{\prime}=72^{\circ}$,

$\therefore$ 射线 $P A^{\prime}$ 经过刻度 $117-72=45$,

故答案为: 45 .

【点睛】本题考查了读角、旋转的性质, 角的计算, 找出图形中角度之间的数量关系是解题关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作, 其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”, 如图. $A B$ 是以 $O$ 为圆心, $O A$ 为半径的圆弧, $C$ 是弦 $A B$ 的中点, $D$ 在 $A B$ 上, $C D \perp A B$. “会圆术”给出 $A B$ 长 $l$ 的近似值 $s$ 计算公式: $s=A B+\frac{C D^{2}}{O A}$, 当 $O A=2$, $\angle A O B=90^{\circ}$ 时, $|l-s|=$ $\qquad$ . （结果保留一位小数）

    

    (第 18 题)

##
选项：
答案： 0.1


解析：由已知求得 $A B$ 与 $C D$ 的值, 代入 $s=A B+\frac{C D^{2}}{O A}$ 得弧长的近似值, 利用弧长公式可求弧长的值, 进而即可得解.

【详解】 $\because O A=O B=2, \angle A O B=90^{\circ}$,

$\therefore A B=2 \sqrt{2}$,

$\because C$ 是弦 $A B$ 的中点, $D$ 在 $A B$ 上, $C D \perp A B$,

$\therefore$ 延长 $D C$ 可得 $O$ 在 $D C$ 上, $O C=\frac{1}{2} A B=\sqrt{2}$



$\therefore C D=O D-O C=2-\sqrt{2}$,

$\therefore s=A B+\frac{C D^{2}}{O A}=2 \sqrt{2}+\frac{(2-\sqrt{2})^{2}}{2}=3$,
$l=\frac{90 \times 2 \times 2 \pi}{360}=\pi$

$\therefore|l-s|=|\pi-3| \approx 0.1$.

故答案为: 0.1 .

【点睛】本题考查扇形的弧长, 掌握垂径定理。弧长公式是关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：已知 $a 、 b 、 c$ 三条线段, 其中 $a=2, c=8$, 若线段 $b$ 是线段 $a 、 c$ 的比例中项, 则 $b$ $=$ $\qquad$ .


选项：
答案： 4

【详解】 $\because$ 线段 $\mathrm{b}$ 是 $\mathrm{a} 、 \mathrm{c}$ 的比例中项,

$\therefore \mathrm{b}^{2}=\mathrm{ac}=16$,

解得 $\mathrm{b}= \pm 4$,

又 $\because$ 线段是正数,

$\therefore \mathrm{b}=4$.

解析：
【详解】 $\because$ 线段 $\mathrm{b}$ 是 $\mathrm{a} 、 \mathrm{c}$ 的比例中项,

$\therefore \mathrm{b}^{2}=\mathrm{ac}=16$,

解得 $\mathrm{b}= \pm 4$,

又 $\because$ 线段是正数,

$\therefore \mathrm{b}=4$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $D, E$ 分别是 $A B, A C$ 边上的点, $D E / / B C$, 若 $A D=2, B D=1$, $D E=4$, 则 $B C$ 等于 $\qquad$

    

    (第 12 题)


选项：
答案： 6


解析：根据 $D E / / B C$ 可得 $\frac{A D}{A B}=\frac{D E}{B C}$, 即可求解答案.

【详解】 $\because D E / / B C$,

$\therefore \frac{A D}{A B}=\frac{D E}{B C}$,

$\because A D=2, \quad B D=1, \quad D E=4$,

$\therefore A B=1+2=3$,

$\therefore \frac{A D}{A B}=\frac{2}{3}=\frac{D E}{B C}=\frac{4}{B C}$,

则有 $B C=6$,

即答案为: 6 .

【点睛】本题考差了平行线分线段成比例的知识, 利用 $D E / / B C$ 得到 $\frac{A D}{A B}=\frac{D E}{B C}$ 是解答本题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, 点 $D$ 在 $A B$ 上, 请再添一个适当的条件, 使 $\triangle A D C \sim \triangle A C B$,那么可添加的条件是 $\qquad$



(第 14 题)




选项：
答案： $\angle A C D=\angle A B C$ （答案不唯一, 也可以增加条件: $\angle A D C=\angle A C B$ 或 $A C^{2}=A D \cdot A B$ ).


解析：题目中相似的两个三角形已经有一个公共角, 可以再增加一对相等的角, 用两组角
相等判定两三角形相似, 也可以增加两组对应边成比例, 利用两组边对应成比例及夹角相等判定两三角形相似.

【详解】若增加条件: $\angle A C D=\angle A B C$,

$\because \angle A C D=\angle A B C$, 且 $\angle A=\angle A$,

$\therefore \triangle A D C \sim \triangle A C B$.

【点睛】本题考查相似三角形的判定, 比较简单, 熟练掌握相似三角形的三种判定方法是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 黄金分割比是让无数科学家、数学家、艺术家为之着迷的数字. 黄金矩形的长宽之比为黄金分割比, 即矩形的短边为长边的倍. 用黄金矩形 $A B C D$ 框住整个蜗牛壳, 之后作正方形 $A B F E$, 得到黄金矩形 $C D E F$, 再作正方形 $D E G H$, 得到黄金矩形 $C F G H$ ・・, 这样作下去, 我们以每个小正方形边长为半径画弧线, 然后连接起来,
    就是黄金螺旋. 已知 $A B=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$ ，则阴影部分的面积为 $\qquad$ .

    

    (第 16 题)


选项：
答案： $1-\frac{\pi}{4}$


解析：根据黄金矩形的定义可得 $A D$ 的长, 从而得到 $D E$ 的长, 再由阴影部分的面积 $=S_{\text {正方形DEGF }}-S_{\text {扇形EGF }}$, 即可求解.

【详解】解: $\because$ 四边形 $A B C D$ 是黄金矩形, $A B=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$,

$\therefore A D=\frac{\sqrt{5}+1}{2} \div \frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{3+\sqrt{5}}{2}$,

$\because$ 四边形 $A B F E$ 是正方形,

$\therefore A E=A B=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$,

$\therefore D E=A D-A E=1$,

$\therefore$ 阴影部分的面积 $=S_{\text {正方形DEGF }}-S_{\text {扇形EGF }}=1^{2}-\frac{90 \pi \times 1^{2}}{360}=1-\frac{\pi}{4}$.

故答案为: $1-\frac{\pi}{4}$

【点睛】本题主要考查了求扇形面积, 理解黄金矩形的定义是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：已知 $\triangle A B C \backsim \triangle D E F, A B=3 D E, \triangle A B C$ 的周长是 12 , 则 $\triangle D E F$ 的周长为 $\qquad$ .

选项：
答案： 4


解析：根据相似三角形的性质即可解答.

【详解】解: $\because \triangle A B C \sim \triangle D E F$,

$\because A B=3 D E$,

$\therefore \triangle A B C$ 与 $\triangle D E F$ 的周长之比为 $3: 1$,

$\because \triangle A B C$ 的周长是 12 ,

$\therefore \triangle D E F$ 的周长为 4 .

故答案为: 4 .

【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质, 熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, 点 $D, E$ 分别在边 $A B, B C$ 上, $D E / / A C$, 若 $D B=4, D A=2$, $D E=3$, 则 $A C=$ $\qquad$ .

    

    （第 13 题）


选项：
答案： 4.5


解析：根据 $D E / / A C$, 得到 $\triangle A B C \sim \triangle D B E$, 再根据相似比即可得到答案.

【详解】解: $\because D E / / A C$,

$\therefore \triangle A B C \sim \triangle D B E$,
$\therefore \frac{B D}{A B}=\frac{D E}{A C}$,

$\therefore \frac{B D}{B D+D A}=\frac{D E}{A C}$,

$\therefore \frac{4}{4+2}=\frac{3}{A C}$,

$\therefore B C=\frac{9}{2}=4.5$,

故答案为: 4.5 .

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质, 熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $D, E, F$ 分别是 $A B, A C, B C$ 上的点, 且 $D E / / B C, E F / / A B$, $A D: D B=3: 5, B C=40 \mathrm{~cm}$, 则 $B F=$ $\qquad$ $\mathrm{cm}$.

    

    （第 14 题）


选项：
答案： 15
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $B C$ 的垂直平分线 $M N$ 交 $A B$ 于点 $D, C D$ 平分 $\angle A C B$. 若 $A D=2$, $B D=3$, 则 $A C$ 的长为 $\qquad$ .

    

    （第 15 题）


选项：
答案： $\sqrt{10}$


解析：根据题意, 由垂直平分线的性质得到 $\angle B=\angle D C B, A B=5$, 再由角平分线得到 $\angle A C D=\angle D C B=\angle B$, 结合 $\angle A=\angle A$, 证得 $\triangle A C D \sim \triangle A B C$, 进而根据对应边成比例求解即可.

【详解】 $\because B C$ 的垂直平分线 $M N$ 交 $A B$ 于点 $D, B D=3$,

$\therefore C D=B D=3$,

$\therefore \angle B=\angle D C B$,

$\because A D=2$,

$\therefore A B=A D+B D=5$,

$\because C D$ 平分 $\angle A C B$,

$\therefore \angle A C D=\angle D C B=\angle B$,

$\because \angle A=\angle A$,

$\therefore \triangle A C D \sim \triangle A B C$,

$\therefore \frac{A C}{A B}=\frac{A D}{A C}$, 即 $\frac{A C}{5}=\frac{2}{A C}$,

解得, $A C=\sqrt{10}$,

故答案为: $\sqrt{10}$.

【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质及三角形相似的判定及性质, 熟练掌握相关几何知识是解决本题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $\triangle D E F$ 与 $\triangle A B C$ 位似, 点 $O$ 为位似中心, 已知 $O F: O C=2: 5$, 则 $\triangle D E F$与 $\triangle A B C$ 的面积之比是 $\qquad$ .

    

    （第 16 题）


选项：
答案： $4: 25$


解析：直接利用位似图形的性质可得答案.

【详解】解: $\because \triangle D E F$ 与 $\triangle A B C$ 位似, 点 $O$ 为位似中心, $O F: F C=2: 3$

$\therefore O F: O C=2: 5$,

$\therefore \triangle D E F$ 与 $\triangle A B C$ 的面积之比是 $4: 25$.

故答案为: $4: 25$.

【点睛】此题主要考查了位似图形的性质, 正确掌握位似图形的性质是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：边长分别为 $10,6,4$ 的三个正方形拼接在一起, 它们的底边在同一直线上 (如图),
    则图中阴影部分的面积为 $\qquad$

    

    （第 17 题）


选项：
答案： 15


解析：根据正方形的性质及相似三角形的性质可进行求解.

【详解】解：如图，



由题意可知 $A D=D C=10, C G=C E=G F=6, \angle C E F=\angle E F G=90^{\circ}, G H=4$,

$\therefore C H=10=A D$,

$\because \angle D=\angle D C H=90^{\circ}, \angle A J D=\angle H J C$,

$\therefore \triangle A D J \cong \triangle H C J(\mathrm{AAS})$,

$\therefore C J=D J=5$,

$\therefore E J=1$,

$\because G I / / C J$,

$\therefore \triangle H G I \sim \triangle H C J$,

$\therefore \frac{G I}{C J}=\frac{G H}{C H}=\frac{2}{5}$,

$\therefore G I=2$,

$\therefore F I=4$,

$\therefore S_{\text {梯形 } E J F}=\frac{1}{2}(E J+F I) \cdot E F=15$;

故答案为 15 .

【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定, 熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C, \angle \mathrm{A}<90^{\circ}$, 点 $D 、 E 、 F$ 分别在边 $A B, B C 、 C A$ 上,连接 $D E 、 E F 、 F D$, 已知点 $B$ 和点 $F$ 关于直线 $D E$ 对称. 设 $B C: A B=k$, 若 $A D=D F$,则 $C F: F A=$ $\qquad$ (结果用含 $\mathrm{k}$ 的代数式表示).

    

    （第 18 题）

##
选项：
答案： $\frac{k^{2}}{2-k^{2}}$


解析：先根据轴对称的性质和已知条件证明 $D E / / A C$, 再证 $\triangle B D E \sim \triangle B A C$, 推出 $E C=\frac{1}{2} k \cdot A B$, 通过证明 $\triangle A B C \sim \triangle E C F$, 推出 $C F=\frac{1}{2} k^{2} \cdot A B$, 即可求出 $\frac{C F}{F A}$ 的值.

【详解】解: $\because$ 点 $B$ 和点 $F$ 关于直线 $D E$ 对称，

$\therefore D B=D F$,

$\because A D=D F$,

$\therefore A D=D B$.

$\because A D=D F$,

$\therefore \angle A=\angle D F A$,

$\because$ 点 $B$ 和点 $F$ 关于直线 $D E$ 对称，

$\therefore \angle B D E=\angle F D E$,

又 $\because \angle B D E+\angle F D E=\angle B D F=\angle A+\angle D F A$,

$\therefore \angle F D E=\angle D F A$,

$\therefore D E / / A C$,

$\therefore \angle C=\angle D E B, \angle D E F=\angle E F C$,

$\because$ 点 $B$ 和点 $F$ 关于直线 $D E$ 对称，

$\therefore \angle D E B=\angle D E F$,
$\therefore \angle C=\angle E F C$,

$\because A B=A C$,

$\therefore \angle C=\angle B$,

在 $\triangle A B C$ 和 $\triangle E C F$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}\angle B=\angle C \\ \angle A C B=\angle E F C\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B C \sim \triangle E C F$.

$\because$ 在 $\triangle A B C$ 中, $D E / / A C$,

$\therefore \angle B D E=\angle A, \angle B E D=\angle C$,

$\therefore \triangle B D E \sim \triangle B A C$,

$\therefore \frac{B E}{B C}=\frac{B D}{B A}=\frac{1}{2}$,

$\therefore E C=\frac{1}{2} B C$,

$\because \frac{B C}{A B}=k$,

$\therefore B C=k \cdot A B, \quad E C=\frac{1}{2} k \cdot A B$,

$\because \triangle A B C \sim \triangle E C F$.

$\therefore \frac{A B}{E C}=\frac{B C}{C F}$,

$\therefore \frac{A B}{\frac{1}{2} k \cdot A B}=\frac{k \cdot A B}{C F}$,

解得 $C F=\frac{1}{2} k^{2} \cdot A B$,

$\therefore \frac{C F}{F A}=\frac{C F}{A C-C F}=\frac{C F}{A B-C F}=\frac{\frac{1}{2} k^{2} \cdot A B}{A B-\frac{1}{2} k^{2} \cdot A B}=\frac{k^{2}}{2-k^{2}}$.

故答案为: $\frac{k^{2}}{2-k^{2}}$.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质, 轴对称的性质, 平行线的判定与性质, 等腰三角形的性质, 三角形外角的定义和性质等, 有一定难度, 解题的关键是证明 $\triangle A B C \sim \triangle E C F$.
题目（九年级 · 度量几何学）：在 $\triangle A B C$ 中, $A B=3 \mathrm{~cm}, B C=4 \mathrm{~cm}, C A=5 \mathrm{~cm}$. 以点 $A$ 为圆心, 以 $3 \mathrm{~cm}$ 长为半径画圆, 点 $B$ 与 $\odot A$ 的位置关系是 $\qquad$ .

选项：
答案： 点 $B$ 在 $\odot A$ 上


解析：根据点到圆心的距离等于半径, 则点在圆上, 进行判断即可解答.

【详解】解: $\because A B=3 \mathrm{~cm}$,

$\therefore$ 以点 $A$ 为圆心, 以 $3 \mathrm{~cm}$ 长为半径画圆, 点 $B$ 与 $\odot A$ 的位置关系是: 点 $B$ 在 $\odot A$ 上,故答案为：点 $B$ 在 $\odot A$ 上.



【点睛】此题主要是考查了点与圆的位置关系, 能够熟记点到圆心的距离等于半径, 则点在圆上是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\odot O$ 中, $A B=A C, \angle A=45^{\circ}$, 则 $\angle B$ 的度数为 $\qquad$



（第 13 题）


选项：
答案： $67.5^{\circ}$


解析：由题意易得 $A B=A C$, 然后根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求解.

【详解】解: $\because A B=A C$,

$\therefore A B=A C$,

$\therefore \angle B=\angle C$,

$\because \angle A=45^{\circ}$,

$\therefore \angle B=\frac{180^{\circ}-45^{\circ}}{2}=67.5^{\circ}$;

故答案为: $67.5^{\circ}$.
【点睛】本题主要考查圆的基本性质, 熟练掌握圆的基本性质是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $\triangle A B C$ 内接于 $\odot O, A B$ 是 $\odot O$ 的直径, 点 $D$ 是 $\odot O$ 上一点, $\angle C D B=55^{\circ}$,则 $\angle A B C=$ $\qquad$ $\circ$.



(第 16 题)


选项：
答案： 35


解析：由同弧所对的圆周角相等, 得 $\angle A=\angle C D B=55^{\circ}$, 再根据直径所对的圆周角为直角,得 $\angle A C B=90^{\circ}$, 然后由直角三角形的性质即可得出结果.

【详解】解: $\because \angle A, \angle C D B$ 是 $B C$ 所对的圆周角,

$\therefore \angle A=\angle C D B=55^{\circ}$,

$\because A B$ 是 $\odot O$ 的直径,

$\because \angle A C B=90^{\circ}$,

在 Rt $\triangle A C B$ 中, $\angle A B C=90^{\circ}-\angle A=90^{\circ}-55^{\circ}=35^{\circ}$,

故答案为: 35 .

【点睛】本题考查了圆周角定理, 以及直角三角形的性质, 利用了转化的思想, 熟练掌握圆周角定理是解本题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 已知 $\odot O$ 的直径 $A B, D$ 为 $\odot O$ 上一点 (不与 $A 、 B$ 重合), 连接 $A D 、 B D$. 弦 $D C$ 平分 $\angle A D B$, 交 $A B$ 于点 $E$, 过点 $\mathrm{A}$ 作 $A F \perp C D$ 于点 $F$, 交 $\odot O$ 于点 $G$, 连接 $D G$,若 $D G=A E$, 则 $\angle G$ 的度数为 $\qquad$ $\circ$.

    

    (第 18 题)

##
选项：
答案： 67.5


解析： $D G$ 交 $A B$ 于 $H$, 如图, 根据圆周角定理得到 $\angle A D B=90^{\circ}$, 则 $\angle A D C=45^{\circ}$, 再证明 $\angle D A F=45^{\circ}, A F=D F$, 则可判断 Rt $\triangle A E F \cong \mathrm{Rt} \triangle D G F$, 所以 $\angle E A F=\angle G D F$, 接着证明 $\angle D H E=\angle A F E=90^{\circ}$, 则根据垂径定理得到 $B D=B G$, 然后根据圆周角定理得到 $\angle B A G=\angle B A D=22.5^{\circ}$, 最后利用互余可计算出 $\angle G$ 的度数.

【详解】解： $D G$ 交 $A B$ 于 $H$, 如图,



$\because \odot O$ 的直径 $A B$,

$\therefore \angle A D B=90^{\circ}$,

$\because$ 弦 $D C$ 平分 $\angle A D B$,

$\therefore \angle A D C=45^{\circ}$,

$\because A F \perp C D$,
$\therefore \angle A F D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle D A F=45^{\circ}, \quad A F=D F$,

在 Rt $\triangle A E F$ 和 Rt $\triangle D G F$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}A E=D G \\ A F=D F\end{array}\right.$,

$\therefore \mathrm{Rt} \triangle A E F \cong \mathrm{Rt} \triangle D G F(\mathrm{HL})$,

$\therefore \angle E A F=\angle G D F$,

$\because \angle A E F=\angle D E H$,

$\therefore \angle D H E=\angle A F E=90^{\circ}$,

$\therefore A B \perp D G$,

$\therefore B D=B G$

$\therefore \angle B A G=\angle B A D=\frac{1}{2} \angle D A G=22.5^{\circ}$,

$\therefore \angle G=90^{\circ}-\angle G A H=67.5^{\circ}$.

故答案为: 67.5 .

【点睛】本题考查了圆周角定理: 在同圆或等圆中, 同弧或等弧所对的圆周角相等, 都等于这条弧所对的圆心角的一半; 半圆（或直径）所对的圆周角是直角, $90^{\circ}$ 的圆周角所对的弦是直径. 也考查了垂径定理.
题目（九年级 · 度量几何学）：为了测量直立在水平地面上的旗杆 $A B$ 的高度,把标杆 $D E$ 直立在同一水平地面上 (如图). 同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别 $B C=8.72 \mathrm{~m}, E F=2.18 \mathrm{~m}$. 已知 $B, C, E, F$ 在同一直线上, $A B \perp B C, D E \perp E F, D E=2.47 \mathrm{~m}$, 则 $A B=$ $\qquad$ $\mathrm{m}$.

    

    （第 13 题）


选项：
答案： 9.88


解析：根据平行投影得 $A C / / D E$, 可得 $\angle A C B=\angle D F E$, 证明 Rt $\triangle A B C \sim \triangle R t \triangle D E F$, 然后利用相似三角形的性质即可求解.

【详解】解： $\because$ 同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是 $B C=8.72 \mathrm{~m}, E F=2.18 \mathrm{~m}$.

$\therefore A C / / D F$,

$\therefore \angle A C B=\angle D F E$,

$\because A B \perp B C, D E \perp E F$,

$\therefore \angle A B C=\angle D E F=90^{\circ}$,

$\therefore$ Rt $\triangle A B C \sim R t \triangle D E F$,

$\therefore \frac{A B}{D E}=\frac{B C}{E F}$, 即 $\frac{A B}{2.47}=\frac{8.72}{2.18}$,

解得 $A B=9.88$,

$\therefore$ 旗杆的高度为 $9.88 \mathrm{~m}$.

故答案为: 9.88 .

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影. 证明 Rt $\triangle A B C \sim \triangle R t \triangle D E F$ 是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在边长为 6 的等边 $\triangle A B C$ 中, 点 $E 、 D 、 F$ 分别在边 $A B 、 B C 、 A C$ 上, $\angle E D F=60^{\circ}$. 若 $B D=1, C F=3$ 时, 则 $B E$ 的长 $\qquad$ .



(第 18 题)

##
选项：
答案： $5 / 3$
解析： / 3$
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $\odot O$ 是 $\triangle A B C$ 的外接圆, 若 $\angle A O C=70^{\circ}$, 则 $\angle A B C$ 的度数为 $\qquad$ .




选项：
答案： $35^{\circ} / 35$ 度


解析：直接根据圆周角定理即可得出结论.

【详解】解: $\because \angle A O C$ 与 $\angle A B C$ 是同弧所对的圆心角与圆周角,

$\therefore \angle A B C=\frac{1}{2} \angle A O C=35^{\circ}$.

故答案为: $35^{\circ}$.

【点睛】本题考查的是圆周角定理, 熟知在同圆或等圆中, 同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：若圆的内接正六边形的边长为 3 , 则该圆的半径为

选项：
答案： 3


解析：证 $\triangle B G C$ 是等边三角形, 利用等边三角形的性质即可解决.

【详解】解: 如图, 在正六边形 $A B C D E F$ 内, $G$ 为中心,



$\therefore \angle B G C=360^{\circ} \div 6=60^{\circ}$,

$\therefore \triangle B G C$ 是等边三角形,

$\therefore B G=B C=3$,

故答案为: 3 .

【点睛】本题考查了等边三角形的证明和性质的应用, 圆内接正多边形, 解题的关键是结合题意证明等边三角形.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $A . D$ 是 $\odot O$ 上的两个点, $B C$ 是直径, 若 $\angle D=36^{\circ}$, 则 $\angle C O A$ 的度数是 $\qquad$ .




选项：
答案： $72^{\circ}$


解析：在同圆和等圆中, 同弧所对的圆心角是圆周角的 2 倍, 再求解即可.

【详解】解： $\because \angle D=36^{\circ}$

$\therefore \angle C O A=2 \angle D=72^{\circ}$.

故答案是 $72^{\circ}$.

【点睛】本题考查了圆周角定理, 解题的关键是掌握圆周角定理.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 正五边形 $A B C D E$ 内接于圆 $O, P$ 为弧 $D E$ 上的一点 (点 $P$ 不与点 $D 、 E$ 重合),则 $\angle C P D$ 的度数为 $\qquad$ .




选项：
答案： $36^{\circ}$


解析：连接 $O C 、 O D$, 根据正五边形的性质求出 $\angle C O D$, 再根据同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可求解 $\angle C P D$.

【详解】解: 如图, 连接 $O C 、 O D$,

$\because$ 正五边形 $A B C D E$ 内接于圆 $O$,

$\therefore \angle C O D=\frac{360^{\circ}}{5}=72^{\circ}$,

$\therefore \angle C P D=\frac{1}{2} \angle C O D=\frac{1}{2} \times 72^{\circ}=36^{\circ}$ (同弧所对圆周角等于圆心角的一半),

故答案为: $36^{\circ}$.



【点睛】本题考查正五边形的性质, 同弧所对圆周角等于圆心角的一半, 掌握相关性质是关键.