eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（八年级 · 算术）：阅读下面的材料, 再解答问题.

例: 解不等式 $\frac{x}{2 x-1}>1$.

解：把不等式 $\frac{x}{2 x-1}>1$ 进行整理,

得 $\frac{x}{2 x-1}-1>0$, 即 $\frac{1-x}{2 x-1}>0$.

则有 $(1)\left\{\begin{array}{l}1-x>0 \\ 2 x-1>0\end{array}\right.$ 或(2) $\left\{\begin{array}{l}1-x<0 \\ 2 x-1<0\end{array}\right.$

解不等式组 11 , 得 $\frac{1}{2}<x<1$,

解不等式组(2)知其无解,
所以原不等式的解为 $\frac{1}{2}<x<1$.

请根据以上思想方法解不等式 $\frac{3 x+2}{x-2}<2$.
选项：
答案：解: 把不等式 $\frac{3 x+2}{x-2}<2$ 进行整理, 得, $\frac{3 \mathrm{x}+2}{\mathrm{x}-2}-2<0$, 即 $\frac{x+6}{x-2}<0$,则有(1) $\left\{\begin{array}{l}x+6>0 \\ x-2<0\end{array}\right.$ 或(2) $\left\{\begin{array}{l}x+6<0 \\ x-2>0\end{array}\right.$,

解不等式组(1), 得 $-6<x<2$, 解不等式组(2)无解,

所以原不等式的解为 $-6<x<2$.

24 ・某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子.

己知购进甲种粽子的金额是 1200 元，购进乙种粽子的金额是 800 元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少 50 个,甲种粽子的单价是乙种粽子单价的 2 倍.

(1) 求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元?

（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共 200 个,若总金额不超过 1150 元，问最多购进多少个甲种粽子?

【解】解: (1) 设乙种粽子的单价为 $x$ 元，则甲种粽子的单价为 $2 x$ 元，依题意得: $\frac{800}{x}-\frac{1200}{2 x}=50$, 解得: $x=4$,经检验, $x=4$ 是原方程的解, 则 $2 x=8$,

## 答: 甲种粽子的单价为 8 元, 乙种粽子的单价为 4 元.

（2）设购进甲种粽子 $m$ 个，则购进乙种粽子 $(200-m)$ 个，依题意得: $8 m+4(200-m) \leqslant 1150, \quad$ 解得： $m \leqslant 87.5$,答: 最多购进 87 个甲种粽子.
解析：解: 把不等式 $\frac{3 x+2}{x-2}<2$ 进行整理, 得, $\frac{3 \mathrm{x}+2}{\mathrm{x}-2}-2<0$, 即 $\frac{x+6}{x-2}<0$,则有(1) $\left\{\begin{array}{l}x+6>0 \\ x-2<0\end{array}\right.$ 或(2) $\left\{\begin{array}{l}x+6<0 \\ x-2>0\end{array}\right.$,

解不等式组(1), 得 $-6<x<2$, 解不等式组(2)无解,

所以原不等式的解为 $-6<x<2$.

24 ・某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子.

己知购进甲种粽子的金额是 1200 元，购进乙种粽子的金额是 800 元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少 50 个,甲种粽子的单价是乙种粽子单价的 2 倍.

(1) 求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元?

（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共 200 个,若总金额不超过 1150 元，问最多购进多少个甲种粽子?

【解】解: (1) 设乙种粽子的单价为 $x$ 元，则甲种粽子的单价为 $2 x$ 元，依题意得: $\frac{800}{x}-\frac{1200}{2 x}=50$, 解得: $x=4$,经检验, $x=4$ 是原方程的解, 则 $2 x=8$,

## 答: 甲种粽子的单价为 8 元, 乙种粽子的单价为 4 元.

（2）设购进甲种粽子 $m$ 个，则购进乙种粽子 $(200-m)$ 个，依题意得: $8 m+4(200-m) \leqslant 1150, \quad$ 解得： $m \leqslant 87.5$,答: 最多购进 87 个甲种粽子.
题目（八年级 · 代数）：阅读下列解题过程:例:若代数式$sqrt{(2-{a})^{2}}+sqrt{({a}-4)^{2}}=2$,求$a$的取值.解:原式$=|a-2|+|a-4|$,当$a<2$时,原式$=(2-a)+(4-a)=6-2a=2$,解得$a=2$（舍去）;当$2leqslanta<4$时,原式$=(a-2)+(4-a)=2$,等式恒成立;当$ageqslant4$时,原式$=(a-2)+(a-4)=2a-6=2$,解得$a=4$;所以,$a$的取值范围是$2leqslantaleqslant4$.上述解题过程主要运用了分类讨论的方法,请你根据上述理解,解答下列问题:(1)当$3leqslantaleqslant7$时,化简:$sqrt{(3-a)^{2}}+sqrt{(a-7)^{2}}$;(2)若$sqrt{(a+1)^{2}}+sqrt{(a-3)^{2}}=6$,求$a$的取值;(3)请直接写出满足$sqrt{(a-1)^{2}}+sqrt{(a-6)^{2}}=5$的$a$的取值范围$quad1leqslantaleqslant6$.
选项：
答案：(1)根据已知可得$3-aleqslant0,a-7leqslant0$,然后利用二次根式的性质,进行计算即可解答;（2）按照例题的思路,分类讨论进行计算即可解答;（3）按照例题的思路,分类讨论进行计算即可解答.【解析】解:(1)$because3leqslantaleqslant7$,$therefore3-aleqslant0,a-7leqslant0$,$thereforesqrt{(3-a)^{2}}+sqrt{(a-7)^{2}}$$=|3-a|+|a-7|$$=a-3+7-a$$=4$;(2)原式$=|a+1|+|a-3|$,当$a<-1$时,原式$=-a-1+3-a=-2a+2=6$,解得$a=-2$;当$-1leqslanta<3$时,原式$=a+1+3-a=4$,等式不成立;当$ageqslant3$时,原式$=a+1+a-3=2a-2=6$,解得$a=4$;所以,$a$的值为-2或4;(3)原式$=|a-1|+|a-6|$,当$a<1$时,原式$=1-a+6-a=7-2a=5$,解得$a=1$(舍去);当$1leqslanta<6$时,原式$=a-1+6-a=5$,等式恒成立;当$ageqslant6$时,原式$=a-1+a-6=2a-7=5$,解得$a=6$;$thereforea$的取值范围:$1leqslantaleqslant6$,故答案为:$1leqslantaleqslant6$.【点睛】本题考查了整式的加减,二次根式的性质与化简,理解例题的解题思路是解题的关键.
解析：(1)根据已知可得$3-aleqslant0,a-7leqslant0$,然后利用二次根式的性质,进行计算即可解答;（2）按照例题的思路,分类讨论进行计算即可解答;（3）按照例题的思路,分类讨论进行计算即可解答.【解析】解:(1)$because3leqslantaleqslant7$,$therefore3-aleqslant0,a-7leqslant0$,$thereforesqrt{(3-a)^{2}}+sqrt{(a-7)^{2}}$$=|3-a|+|a-7|$$=a-3+7-a$$=4$;(2)原式$=|a+1|+|a-3|$,当$a<-1$时,原式$=-a-1+3-a=-2a+2=6$,解得$a=-2$;当$-1leqslanta<3$时,原式$=a+1+3-a=4$,等式不成立;当$ageqslant3$时,原式$=a+1+a-3=2a-2=6$,解得$a=4$;所以,$a$的值为-2或4;(3)原式$=|a-1|+|a-6|$,当$a<1$时,原式$=1-a+6-a=7-2a=5$,解得$a=1$(舍去);当$1leqslanta<6$时,原式$=a-1+6-a=5$,等式恒成立;当$ageqslant6$时,原式$=a-1+a-6=2a-7=5$,解得$a=6$;$thereforea$的取值范围:$1leqslantaleqslant6$,故答案为:$1leqslantaleqslant6$.【点睛】本题考查了整式的加减,二次根式的性质与化简,理解例题的解题思路是解题的关键.
题目（八年级 · 代数）：二次根式$sqrt{a}$的双重非负性是指被开方数$ageqslant0$,其化简的结果$sqrt{a}geqslant0$,利用$sqrt{a}$的双重非负性解决以下问题:(1)已知$sqrt{{a}-1}+sqrt{3+{b}}=0$,则$a+b$的值为$-2$(2)若$x,y$为实数,且$x^{2}=sqrt{y^{-5}}+sqrt{5-y}+9$,求$x+y$的值;（3）已知实数$m,n(nneq0)$满足$|2m-4|+|n+2|+sqrt{(m-3)n^{2}}+4=2m$,求$m+n$的值.
选项：
答案：（1）利用非负数的性质,可求$a,b$的值,从而求得$a+b$的值为-2;(2)利用二次根式有意义的条件,可得$y$值,进而求$x$值,最终得$x+y$的值;（3）是上两个题目的综合运用，利用（1）（2）可出得$m+n$的值.【解析】解:(1)$becausesqrt{{a}-1}+sqrt{3+{b}}=0$,且$sqrt{a-1}geqslant0,sqrt{3+b}geqslant0$,$thereforea-1=0$,且$3+b=0$,$thereforea=1,b=-3$,$thereforea+b=-2$.(2)$becausex^{2}=sqrt{y^{-5}}+sqrt{5-y}+9$,$thereforey-5geqslant0$且$5-ygeqslant0$,$thereforeygeqslant5$且$yleqslant5$,$thereforey=5$,$thereforex^{2}=9$,$thereforex=pm3$,当$x=3$时,$x+y=3+5=8$;当$x=-3$时,$x+y=-3+5=2$.(3)$because|2m-4|+|n+2|+sqrt{(m-3)n^{2}}+4=2m$,$therefore(m-3)n^{2}geqslant0$$thereforemgeqslant3$,$therefore2m-4>0$,$therefore|2m-4|+|n+2|+sqrt{(m-3){n}^{2}}+4=2m$$2m-4+|n+2|+sqrt{(m-3)n^{2}}+4=2m$$therefore|n+2|+sqrt{(m-3)n^{2}}=0$,$because|n+2|geqslant0,sqrt{(m-3)n^{2}}geqslant0$,$thereforen+2=0,quad(m-3)n^{2}=0$,$thereforen=-2,m=3$,$thereforem+n=3-2=1$.【点睛】本题考查的非负数的性质,二次根式取值条件,关键就是要了解性质的含义,在中考中经常出现.
解析：（1）利用非负数的性质,可求$a,b$的值,从而求得$a+b$的值为-2;(2)利用二次根式有意义的条件,可得$y$值,进而求$x$值,最终得$x+y$的值;（3）是上两个题目的综合运用，利用（1）（2）可出得$m+n$的值.【解析】解:(1)$becausesqrt{{a}-1}+sqrt{3+{b}}=0$,且$sqrt{a-1}geqslant0,sqrt{3+b}geqslant0$,$thereforea-1=0$,且$3+b=0$,$thereforea=1,b=-3$,$thereforea+b=-2$.(2)$becausex^{2}=sqrt{y^{-5}}+sqrt{5-y}+9$,$thereforey-5geqslant0$且$5-ygeqslant0$,$thereforeygeqslant5$且$yleqslant5$,$thereforey=5$,$thereforex^{2}=9$,$thereforex=pm3$,当$x=3$时,$x+y=3+5=8$;当$x=-3$时,$x+y=-3+5=2$.(3)$because|2m-4|+|n+2|+sqrt{(m-3)n^{2}}+4=2m$,$therefore(m-3)n^{2}geqslant0$$thereforemgeqslant3$,$therefore2m-4>0$,$therefore|2m-4|+|n+2|+sqrt{(m-3){n}^{2}}+4=2m$$2m-4+|n+2|+sqrt{(m-3)n^{2}}+4=2m$$therefore|n+2|+sqrt{(m-3)n^{2}}=0$,$because|n+2|geqslant0,sqrt{(m-3)n^{2}}geqslant0$,$thereforen+2=0,quad(m-3)n^{2}=0$,$thereforen=-2,m=3$,$thereforem+n=3-2=1$.【点睛】本题考查的非负数的性质,二次根式取值条件,关键就是要了解性质的含义,在中考中经常出现.
题目（八年级 · 代数）：(6分)解下列方程:(1)$3x^{2}-5x+1=0$(配方法);(2)$(x+3)(x-1)=5$(公式法).
选项：
答案：(1)根据配方法即可求出答案;(2)利用公式法求解即可.【解析】解：（1）$3x^{2}-5x+1=0$,方程整理得:$x^{2}-frac{5}{3}x=-frac{1}{3}$,配方得:$x^{2}-frac{5}{3}x+frac{25}{36}=-frac{1}{3}+frac{25}{36}$,即$left(x-frac{5}{6}right)^{2}=frac{13}{36}$,开方得:$x-frac{5}{6}=pmfrac{sqrt{13}}{6}$,$thereforex_{1}=frac{5+sqrt{13}}{6},x_{2}=frac{5-sqrt{13}}{6}$(2)$(x+3)(x-1)=5$,方程整理得:$x^{2}+2x-8=0$,$thereforea=1,b=2,c=-8$,则$triangle=2^{2}-4times1times(-8)=36>0$,$thereforex=frac{-2pmsqrt{36}}{2}$,$thereforex_{1}=-4,x_{2}=2$.【点睛】本题考查了解一元二次方程中的公式法和配方法,熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.
解析：(1)根据配方法即可求出答案;(2)利用公式法求解即可.【解析】解：（1）$3x^{2}-5x+1=0$,方程整理得:$x^{2}-frac{5}{3}x=-frac{1}{3}$,配方得:$x^{2}-frac{5}{3}x+frac{25}{36}=-frac{1}{3}+frac{25}{36}$,即$left(x-frac{5}{6}right)^{2}=frac{13}{36}$,开方得:$x-frac{5}{6}=pmfrac{sqrt{13}}{6}$,$thereforex_{1}=frac{5+sqrt{13}}{6},x_{2}=frac{5-sqrt{13}}{6}$(2)$(x+3)(x-1)=5$,方程整理得:$x^{2}+2x-8=0$,$thereforea=1,b=2,c=-8$,则$triangle=2^{2}-4times1times(-8)=36>0$,$thereforex=frac{-2pmsqrt{36}}{2}$,$thereforex_{1}=-4,x_{2}=2$.【点睛】本题考查了解一元二次方程中的公式法和配方法,熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键.
题目（八年级 · 代数）：(12分)解方程:(1)$(x+6)^{2}=9$;(2)$2x^{2}-7x+3=0$;(3)$(x-1)^{2}-5(x-1)+4=0$;(4)$9(x+2)^{2}=4(2x-3)^{2}$.
选项：
答案：(1)利用解一元二次方程-直接开平方法,进行计算即可解答;(2)利用解一元二次方程-因式分解法,进行计算即可解答;(3)利用解一元二次方程-因式分解法,进行计算即可解答;（4）利用解一元二次方程-因式分解法,进行计算即可解答.【解析】解:(1)$(x+6)^{2}=9$,$x+6=pm3$$x+6=3$或$x+6=-3$,$x_{1}=-3,x_{2}=-9$(2)$2x^{2}-7x+3=0$,$(x-3)(2x-1)=0$,$x-3=0$或$2x-1=0$,$x_{1}=3,x_{2}=frac{1}{2}$(3)$(x-1)^{2}-5(x-1)+4=0$,$(x-1-1)(x-1-4)=0$,$(x-2)(x-5)=0$,$x-2=0$或$x-5=0$,$x_{1}=2,x_{2}=5$(4)$9(x+2)^{2}=4(2x-3)^{2}$,$9(x+2)^{2}-4(2x-3)^{2}=0$$[3(x+2)+2(2x-3)][3(x+2)-2(2x-3)]=0$,$(3x+6+4x-6)(3x+6-4x+6)=0$,$7x(12-x)=0$,$x(12-x)=0$,$x=0$或$12-x=0$,$x_{1}=0,x_{2}=12$.【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法,直接开平方法,熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.
解析：(1)利用解一元二次方程-直接开平方法,进行计算即可解答;(2)利用解一元二次方程-因式分解法,进行计算即可解答;(3)利用解一元二次方程-因式分解法,进行计算即可解答;（4）利用解一元二次方程-因式分解法,进行计算即可解答.【解析】解:(1)$(x+6)^{2}=9$,$x+6=pm3$$x+6=3$或$x+6=-3$,$x_{1}=-3,x_{2}=-9$(2)$2x^{2}-7x+3=0$,$(x-3)(2x-1)=0$,$x-3=0$或$2x-1=0$,$x_{1}=3,x_{2}=frac{1}{2}$(3)$(x-1)^{2}-5(x-1)+4=0$,$(x-1-1)(x-1-4)=0$,$(x-2)(x-5)=0$,$x-2=0$或$x-5=0$,$x_{1}=2,x_{2}=5$(4)$9(x+2)^{2}=4(2x-3)^{2}$,$9(x+2)^{2}-4(2x-3)^{2}=0$$[3(x+2)+2(2x-3)][3(x+2)-2(2x-3)]=0$,$(3x+6+4x-6)(3x+6-4x+6)=0$,$7x(12-x)=0$,$x(12-x)=0$,$x=0$或$12-x=0$,$x_{1}=0,x_{2}=12$.【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法,直接开平方法,熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.
题目（八年级 · 代数）：（8分）下面是小颖同学解一元二次方程的过程,请认真阅读并完成相应任务.解方程:$2x^{2}-3x-5=0$.解:$x^{2}-frac{3}{2}x=frac{5}{2}$,第一步$x^{2}-frac{3}{2}x+left(frac{3}{4}right)^{2}=frac{5}{2}+left(frac{3}{4}right)^{2}，$第二步$left(x-frac{3}{4}right)^{2}=frac{49}{16}，$第三步$x-frac{3}{4}=pmfrac{7}{4}$,第四步$x-frac{3}{4}=-frac{7}{4}$或$x-frac{3}{4}=frac{7}{4}$,第五步$x_{1}=-1,x_{2}=frac{5}{2}$.第六步任务一:(1)小颖解方程的方法是$qquad$(填字母)A直接开平方法B.因式分解法C.配方法D.公式法(2)解方程过程中,第二步变形的依据是等式的基本性质1.任务二：请你用“公式法”解该方程.
选项：
答案：任务一:根据解答过程和等式的基本性质求解即可;任务二:根据公式法解一元二次方程的步骤求解即可.【解析】解：任务一:(1)由题意知,小颖解方程的方法是配方法,故选:$C$;(2)解方程过程中第二步变形的依据是等式的基本性质1,故答案为:等式的基本性质1;任务二:$becausea=2,b=-3,c=-5$,$thereforeDelta=(-3)^{2}-4times2times(-5)=49>0$,$thereforex=frac{-{b}pmsqrt{{b}^{2}-4{ac}}}{2{a}}=frac{3pm7}{4}$,$thereforex_{1}=frac{5}{2},x_{2}=-1$.【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.
解析：任务一:根据解答过程和等式的基本性质求解即可;任务二:根据公式法解一元二次方程的步骤求解即可.【解析】解：任务一:(1)由题意知,小颖解方程的方法是配方法,故选:$C$;(2)解方程过程中第二步变形的依据是等式的基本性质1,故答案为:等式的基本性质1;任务二:$becausea=2,b=-3,c=-5$,$thereforeDelta=(-3)^{2}-4times2times(-5)=49>0$,$thereforex=frac{-{b}pmsqrt{{b}^{2}-4{ac}}}{2{a}}=frac{3pm7}{4}$,$thereforex_{1}=frac{5}{2},x_{2}=-1$.【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.
题目（八年级 · 代数）：(10分)已知关于$x$的一元二次方程$(m-1)x^{2}-2x+1=0$.(1)若$x=-1$是该方程的一个根,求$m$的值及另一个根;(2)若该方程有两个不相等的实数根,求$m$的取值范围.
选项：
答案：(1)先根据方程的解的定义把$x=-1$代入原方程求出$m$的值,则可确定原方程变为$3x^{2}-2x+1=0$,然后解方程得到方程的另一根;(2)根据判别式的意义得到$m-1neq0$且$Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4times(m-1)times1>0$,,然后解不等式即可.【解析】解:(1)将$x=-1$代入一元二次方程$(m-1)x^{2}-2x+1=0$,得$(m-1)+2+1=0$,解得$m=-2$.当$m=-2$时,代入原方程,得$-3x^{2}-2x+1=0$,$therefore{x}_{1}cdot{x}_{2}=frac{{c}}{{a}}=-frac{1}{3}$,$becausex_{1}=-1$,$therefore{x}_{2}=frac{1}{3}$.(2)$because$一元二次方程$(m-1)x^{2}-2x+1=0$有两个不相等的实数根,$thereforem-1neq0$且$Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4times(m-1)times1>0$,解得$m<2$且$mneq1$,即$m$的取值范围是$m<2$且$mneq1$.【点睛】本题主要考查方程根与系数的关系及根的判别式,由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键.
解析：(1)先根据方程的解的定义把$x=-1$代入原方程求出$m$的值,则可确定原方程变为$3x^{2}-2x+1=0$,然后解方程得到方程的另一根;(2)根据判别式的意义得到$m-1neq0$且$Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4times(m-1)times1>0$,,然后解不等式即可.【解析】解:(1)将$x=-1$代入一元二次方程$(m-1)x^{2}-2x+1=0$,得$(m-1)+2+1=0$,解得$m=-2$.当$m=-2$时,代入原方程,得$-3x^{2}-2x+1=0$,$therefore{x}_{1}cdot{x}_{2}=frac{{c}}{{a}}=-frac{1}{3}$,$becausex_{1}=-1$,$therefore{x}_{2}=frac{1}{3}$.(2)$because$一元二次方程$(m-1)x^{2}-2x+1=0$有两个不相等的实数根,$thereforem-1neq0$且$Delta=b^{2}-4ac=(-2)^{2}-4times(m-1)times1>0$,解得$m<2$且$mneq1$,即$m$的取值范围是$m<2$且$mneq1$.【点睛】本题主要考查方程根与系数的关系及根的判别式,由方程根的情况得到判别式的符号是解题的关键.
题目（八年级 · 代数）：(10分)阅读材料,解答问题.材料:为解方程$left(x^{2}-1right)^{2}-3left(x^{2}-1right)=0$,我们可以将$x^{2}-1$视为一个整体,然后设$x^{2}-1=y$,则$left(x^{2}-1right)^{2}=y^{2}$.原方程化为$y^{2}-3y=0$,(1)解得$y_{1}=0,y_{2}=3$.当$y=0$时,$x^{2}-1=0$,所以$x^{2}=1,x=pm1$;当$y=3$时,$x^{2}-1=3$,所以$x^{2}=4,x=pm2$.所以原方程的解为$x_{1}=1,x_{2}=-1,x_{3}=2,x_{4}=-2$.解答问题:(1)填空:在由原方程得到方程(1)的过程中,利用换元法达到了降葛的目的,体现了转化的数学思想;(2)解方程:$left(x^{2}+3right)^{2}-4left(x^{2}+3right)=0$.
选项：
答案：(1)根据已知条件得出答案即可;(2)$x^{2}+3=a$,则原方程化为$a^{2}-4a=0$,求出$a$的值,再求出$x$即可.【解析】解:(1)在由原方程得到方程(1)的过程中,利用换元法达到了降幂的目的,体现了转化的数学思想,故答案为:换元,转化;(2)$left(x^{2}+3right)^{2}-4left(x^{2}+3right)=0$,设$x^{2}+3=a$,则原方程化为:$a^{2}-4a=0$,解得:$a_{1}=0,a_{2}=4$,当$a=0$时,$x^{2}+3=0$,此方程无解;当$a=4$时,$x^{2}+3=4$,解得:$x=pm1$,所以原方程的解是$x_{1}=1,x_{2}=-1$.【点睛】本题考查了解一元二次方程,能性质适当的方法解方程是解此题的关键,注意:解一元二次方程的方法有:直接开平方法,公式法,配方法,因式分解法,换元法等.
解析：(1)根据已知条件得出答案即可;(2)$x^{2}+3=a$,则原方程化为$a^{2}-4a=0$,求出$a$的值,再求出$x$即可.【解析】解:(1)在由原方程得到方程(1)的过程中,利用换元法达到了降幂的目的,体现了转化的数学思想,故答案为:换元,转化;(2)$left(x^{2}+3right)^{2}-4left(x^{2}+3right)=0$,设$x^{2}+3=a$,则原方程化为:$a^{2}-4a=0$,解得:$a_{1}=0,a_{2}=4$,当$a=0$时,$x^{2}+3=0$,此方程无解;当$a=4$时,$x^{2}+3=4$,解得:$x=pm1$,所以原方程的解是$x_{1}=1,x_{2}=-1$.【点睛】本题考查了解一元二次方程,能性质适当的方法解方程是解此题的关键,注意:解一元二次方程的方法有:直接开平方法,公式法,配方法,因式分解法,换元法等.
题目（八年级 · 代数）：用适当的方法解方程:(1)$(3x-1)^{2}-4=0$;(2)$x^{2}+2x-3=0$;(3)$3x^{2}+5(2x+1)=0$;(4)$3(x-2)^{2}=x^{2}-4$.
选项：
答案：（1）先把方程变形为$(3x-1)^{2}=4$,然后利用直接开平方法解方程;(2)利用因式分解法把方程转化为$x+3=0$或$x-1=0$,然后解两个一次方程即可;（3）先把方程化为一般式,再计算出根的判别式的值,然后利用求根公式得到方程的解;（4））先把方程变形为$3(x-2)^{2}-(x+2)(x-2)=0$,然后利用因式分解法解方程.【解析】解:$(1)(3x-1)^{2}-4=0$,$(3x-1)^{2}=4$,$3x-1=pm2$,所以$x_{1}=1,x_{2}=-frac{1}{3}$;(2)$x^{2}+2x-3=0$,$(x+3)(x-1)=0$,$x+3=0$或$x-1=0$,所以$x_{1}=-3,x_{2}=1$;(3)$3x^{2}+5(2x+1)=0$,$3x^{2}+10x+5=0$$a=3,b=10,c=5$,$Delta=10^{2}-4times3times5=40>0$,$x=frac{-{b}pmsqrt{{b}^{2}-4{ac}}}{2{a}}=frac{-10pm2sqrt{10}}{2times3}=frac{-5pmsqrt{10}}{3}$,所以$x_{1}=frac{-5-sqrt{10}}{3},x_{2}=frac{-5+sqrt{10}}{3};$(4)$3(x-2)^{2}=x^{2}-4$,$3(x-2)^{2}-(x+2)(x-2)=0$,$(x-2)(3x-6-x-2)=0$,$x-2=0$或$3x-6-x-2=0$,所以$x_{1}=2,x_{2}=4$.【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法:因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法.也考查了公式法.
解析：（1）先把方程变形为$(3x-1)^{2}=4$,然后利用直接开平方法解方程;(2)利用因式分解法把方程转化为$x+3=0$或$x-1=0$,然后解两个一次方程即可;（3）先把方程化为一般式,再计算出根的判别式的值,然后利用求根公式得到方程的解;（4））先把方程变形为$3(x-2)^{2}-(x+2)(x-2)=0$,然后利用因式分解法解方程.【解析】解:$(1)(3x-1)^{2}-4=0$,$(3x-1)^{2}=4$,$3x-1=pm2$,所以$x_{1}=1,x_{2}=-frac{1}{3}$;(2)$x^{2}+2x-3=0$,$(x+3)(x-1)=0$,$x+3=0$或$x-1=0$,所以$x_{1}=-3,x_{2}=1$;(3)$3x^{2}+5(2x+1)=0$,$3x^{2}+10x+5=0$$a=3,b=10,c=5$,$Delta=10^{2}-4times3times5=40>0$,$x=frac{-{b}pmsqrt{{b}^{2}-4{ac}}}{2{a}}=frac{-10pm2sqrt{10}}{2times3}=frac{-5pmsqrt{10}}{3}$,所以$x_{1}=frac{-5-sqrt{10}}{3},x_{2}=frac{-5+sqrt{10}}{3};$(4)$3(x-2)^{2}=x^{2}-4$,$3(x-2)^{2}-(x+2)(x-2)=0$,$(x-2)(3x-6-x-2)=0$,$x-2=0$或$3x-6-x-2=0$,所以$x_{1}=2,x_{2}=4$.【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法:因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法,这种方法简便易用,是解一元二次方程最常用的方法.也考查了公式法.
题目（八年级 · 代数）：已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}-4x+m-1=0$有$x_{1},x_{2}$两个不相等的实数根.(1)求$m$的取值范围;（2）是否存在实数$m$,满足$mleft(x_{1}-2right)left(x_{2}-2right)=-4$?若存在,求出实数$m$的值;若不存在,请说明理由.
选项：
答案：（1）由方程根的情况,根据判别式可得到关于$m$的不等式,则可求得$m$的取值范围;（2）利用根与系数的关系得$x_{1}+x_{2}=4,x_{1}x_{2}=m-1$,则利用$mleft(x_{1}-2right)left(x_{2}-2right)=-4$求出$m$的值.【解析】解：(1)$because$方程有实数根，$thereforeDelta=16-4(m-1)geqslant0$.解得$mleqslant5$.(2)$becausemleft(x_{1}-2right)left(x_{2}-2right)=-4$,$thereforemleft[x_{1}x_{2}-2left(x_{1}+x_{2}right)+4right]=-4$$thereforem(m-1-8+4)=-4$,$thereforem^{2}-5m+4=0$$thereforem_{1}=1,m_{2}=4$【点睛】本题考查了根与系数的关系:若$x_{1},x2$是一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0（aneq0）$的两根,则$x_{1}+x_{2}=-frac{{b}}{{a}},x_{1}cdotx_{2}=frac{{c}}{mathbf{a}}$.
解析：（1）由方程根的情况,根据判别式可得到关于$m$的不等式,则可求得$m$的取值范围;（2）利用根与系数的关系得$x_{1}+x_{2}=4,x_{1}x_{2}=m-1$,则利用$mleft(x_{1}-2right)left(x_{2}-2right)=-4$求出$m$的值.【解析】解：(1)$because$方程有实数根，$thereforeDelta=16-4(m-1)geqslant0$.解得$mleqslant5$.(2)$becausemleft(x_{1}-2right)left(x_{2}-2right)=-4$,$thereforemleft[x_{1}x_{2}-2left(x_{1}+x_{2}right)+4right]=-4$$thereforem(m-1-8+4)=-4$,$thereforem^{2}-5m+4=0$$thereforem_{1}=1,m_{2}=4$【点睛】本题考查了根与系数的关系:若$x_{1},x2$是一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0（aneq0）$的两根,则$x_{1}+x_{2}=-frac{{b}}{{a}},x_{1}cdotx_{2}=frac{{c}}{mathbf{a}}$.
题目（八年级 · 代数）：已知关于$x$的一元二次方程$x^{2}+2(a-1)x+a^{2}-a=0$,其中$a<0$.(1)求证:此方程有两个不相等的实数根;(2)若等腰$triangleABC$的一腰$AB$长为6,另两边$AC,BC$的长分别是这个方程的两个不相等的实数根,求等腰$triangleABC$的周长.
选项：
答案：(1)证明根的判别式$Delta>0$即可;(2)要分$1-a+sqrt{1-mathbf{a}}=6$或$1-a-sqrt{1-mathbf{a}}=6$两种情况,利用三角形三边关系进行解答.【解析】(1)证明:$becauseDelta=[2(a-1)]^{2}-4left(a^{2}-aright)=-4a+4$,$becausea<0$,$thereforeDelta>0$,$therefore$方程有两个不相等的实数根.(2)解:解方程$x^{2}+2(a-1)x+a^{2}-a=0$,可得$x_{1}=1-a+sqrt{1-{a}},x_{2}=1-a-sqrt{1-{a}}$.$because$等腰$triangleABC$的一腰$AB$长为6,另两边$AC,BC$的长分别是这个方程的两个不相等的实数根,$therefore$当$1-a+sqrt{1-a}=6$时,解得$a=-3$,则$1-a-sqrt{1-{a}}=2$.$because6+2>6,6-2<6$,$therefore$能构成三角形,此时等腰$triangleABC$的周长为:$6+6+2=14$;当$1-a-sqrt{1-{a}}=6$时,解得$a=-8$,则$1-a+sqrt{1-{a}}=12$,$because6+6=12$,$therefore$此时$triangleABC$不存在.综上所述,等腰$triangleABC$的周长为14.【点睛】本题考查根与系数的关系,三角形的三边关系,等腰三角形的性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.
解析：(1)证明根的判别式$Delta>0$即可;(2)要分$1-a+sqrt{1-mathbf{a}}=6$或$1-a-sqrt{1-mathbf{a}}=6$两种情况,利用三角形三边关系进行解答.【解析】(1)证明:$becauseDelta=[2(a-1)]^{2}-4left(a^{2}-aright)=-4a+4$,$becausea<0$,$thereforeDelta>0$,$therefore$方程有两个不相等的实数根.(2)解:解方程$x^{2}+2(a-1)x+a^{2}-a=0$,可得$x_{1}=1-a+sqrt{1-{a}},x_{2}=1-a-sqrt{1-{a}}$.$because$等腰$triangleABC$的一腰$AB$长为6,另两边$AC,BC$的长分别是这个方程的两个不相等的实数根,$therefore$当$1-a+sqrt{1-a}=6$时,解得$a=-3$,则$1-a-sqrt{1-{a}}=2$.$because6+2>6,6-2<6$,$therefore$能构成三角形,此时等腰$triangleABC$的周长为:$6+6+2=14$;当$1-a-sqrt{1-{a}}=6$时,解得$a=-8$,则$1-a+sqrt{1-{a}}=12$,$because6+6=12$,$therefore$此时$triangleABC$不存在.综上所述,等腰$triangleABC$的周长为14.【点睛】本题考查根与系数的关系,三角形的三边关系,等腰三角形的性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考常考题型.
题目（八年级 · 代数）：阅读材料,解答问题:为解方程$x^{4}-3x^{2}+2=0$,我们将$x^{2}$视为一个整体,解:设$x^{2}=y$,则$x^{4}=y^{2}$,原方程可化为$y^{2}-3y+2=0$,解得$y_{1}=2,y_{2}=1$,当$x^{2}=2$时,${x}=pmsqrt{2}$,当$x^{2}=1$时,$x=pm1$,$therefore$原方程的解为${x}=pmsqrt{2}$或$x=pm1$.（1）上面的解题方法,利用换元法达到了降幂的目的.(2)依据此方法解方程:$left(x^{2}-1right)^{2}-5left(x^{2}-1right)+6=0$.
选项：
答案：（1）根据换元法解一元二次方程;(2)根据换元法解一元二次方程即可求解.【解析】解：（1）上面的解题方法,利用换元达到了降幂的目的,故答案为:换元;(2)解:$left(x^{2}-1right)^{2}-5left(x^{2}-1right)+6=0$,设$x^{2}-1=y$,原方程可化为$y^{2}-5y+6=0$,解得$y_{1}=2,y_{2}=3$,当$x^{2}-1=2$时,$mathbf{x}=pmsqrt{3}$,当$x^{2}-1=3$时,$x=pm2$,$therefore$原方程的解为${x}=pmsqrt{3}$或$x=pm2$.【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程,掌握换元法是解题的关键.
解析：（1）根据换元法解一元二次方程;(2)根据换元法解一元二次方程即可求解.【解析】解：（1）上面的解题方法,利用换元达到了降幂的目的,故答案为:换元;(2)解:$left(x^{2}-1right)^{2}-5left(x^{2}-1right)+6=0$,设$x^{2}-1=y$,原方程可化为$y^{2}-5y+6=0$,解得$y_{1}=2,y_{2}=3$,当$x^{2}-1=2$时,$mathbf{x}=pmsqrt{3}$,当$x^{2}-1=3$时,$x=pm2$,$therefore$原方程的解为${x}=pmsqrt{3}$或$x=pm2$.【点睛】本题考查了换元法解一元二次方程,掌握换元法是解题的关键.
题目（八年级 · 代数）：若关于$x$的方程$x^{2}+bx+c=0$有两个实数根,且其中一个根比另一个根大2,那么称这样的方程为“隔根方程”.例如,方程$x^{2}+2x=0$的两个根是$x_{1}=0,x_{2}=2$.则方程$x^{2}+2x=0$是“隔根方程”.(1)方程$x^{2}-x-20=0$是“隔根方程”吗?判断并说明理由;（2）若关于$x$的方程$x^{2}+(m-1)x-m=0$是“隔根方程”,求$m$的值.
选项：
答案：（1）利用因式分解法解方程得到$x_{1}=5,x_{2}=-4$,然后根据“隔根方程”的定义计算判断;（2）利用因式分解法解方程得到$x_{1}=-m,x_{2}=1$,则根据“隔根方程”的定义得到$-m=1+2$或$-m+2=1$,然后解关于$m$的方程即可.【解析】解:(1)方程$x^{2}-x-20=0$不是“隔根方程”;理由如下；$(x-5)(x+4)=0$,$x-5=0$或$x+4=0$,解得$x_{1}=5,x_{2}=-4$,$because5-(-4)=9neq2$$therefore$方程$x^{2}-x-20=0$不是“隔根方程”;(2)$x^{2}+(m-1)x-m=0$,$(x+m)(x-1)=0$,$x+m=0$或$x-1=0$,解得$x_{1}=-m,x_{2}=1$,当$-m=1+2$时,解得$m=-3$;当$-m+2=1$时,解得$m=1$综上所述,$m$的值为-3或1.【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法:因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.
解析：（1）利用因式分解法解方程得到$x_{1}=5,x_{2}=-4$,然后根据“隔根方程”的定义计算判断;（2）利用因式分解法解方程得到$x_{1}=-m,x_{2}=1$,则根据“隔根方程”的定义得到$-m=1+2$或$-m+2=1$,然后解关于$m$的方程即可.【解析】解:(1)方程$x^{2}-x-20=0$不是“隔根方程”;理由如下；$(x-5)(x+4)=0$,$x-5=0$或$x+4=0$,解得$x_{1}=5,x_{2}=-4$,$because5-(-4)=9neq2$$therefore$方程$x^{2}-x-20=0$不是“隔根方程”;(2)$x^{2}+(m-1)x-m=0$,$(x+m)(x-1)=0$,$x+m=0$或$x-1=0$,解得$x_{1}=-m,x_{2}=1$,当$-m=1+2$时,解得$m=-3$;当$-m+2=1$时,解得$m=1$综上所述,$m$的值为-3或1.【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法:因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法.
题目（八年级 · 代数）：阅读材料,解答问题.材料一:已知实数$a,b(aneqb)$满足$a^{2}+5a-1=0,b^{2}+5b-1=0$,则可将$a,b$看作一元二次方程$x^{2}+5x-1=0$的两个不等实数根.材料二:已知$x^{2}+5x-2=0$,求$x-frac{2}{{x}}$的值.某同学解答思路如下:由$x^{2}+5x-2=0$可得$x+5-frac{2}{x}=0$所以$x-frac{2}{x}=-5$.(1)直接应用:已知实数$a,b(aneqb)$满足$a^{2}-7a-2=0,b^{2}-7b-2=0$,求$a+b-ab$的值;(2)间接运用:已知实数$m,n$满足$3m^{2}-7m-2=0,2n^{2}+7n-3=0$,且$mnneq1$,求$frac{mn+1}{mn+m+1}$的值.
选项：
答案：(1)由实数$a,b(aneqb)$满足$a^{2}-7a-2=0,b^{2}-7b-2=0$,可将$a,b$看作一元二次方程$x^{2}-7x-2=0$的两个不等实数根,利用根与系数的关系可得出$a+b=7,ab=-2$,将其代入$thereforea+b-ab$中,即可求出结论;(2)在方程$2n^{2}+7n-3=0$的两边同时除以$-n^{2}$得$3left(frac{1}{n}right)^{2}-7frac{1}{n}-2=0$,结合实数$m$满足$3m^{2}$$-7m-2=0$,且$mnneq1$,可将$m,frac{1}{n}$看作一元二次方程$3x^{2}-7x-2=0$的两个不等实数根,利用根与系数的关系可得出$m+frac{1}{n}=frac{7}{3},frac{m}{n}=-frac{2}{3}$,再将其代入$frac{mn+1}{mn+m+1}=frac{m+frac{1}{n}}{m+frac{1}{n}+frac{m}{n}}$中,即可求出结论.【解析】解:(1)$because$实数$a,b(aneqb)$满足$a^{2}-7a-2=0,b^{2}-7b-2=0$,$therefore$可将$a,b$看作一元二次方程$x^{2}-7x-2=0$的两个不等实数根,$thereforea+b=7,ab=-2$,$thereforea+b-ab=7-(-2)=9$(2)在方程$2n^{2}+7n-3=0$的两边同时除以$-n^{2}$得$3left(frac{1}{n}right)^{2}-7frac{1}{n}-2=0$,又$because$实数$m$满足$3m^{2}-7m-2=0$,且$mnneq1$,$therefore$可将$m,frac{1}{{n}}$看作一元二次方程$3x^{2}-7x-2=0$的两个不等实数根,$thereforem+frac{1}{{n}}=frac{7}{3},frac{{m}}{{n}}=-frac{2}{3}$$thereforefrac{mn+1}{mn+m+1}=frac{m+frac{1}{n}}{m+frac{1}{n}+frac{m}{n}}=frac{frac{7}{3}}{frac{7}{3}-frac{2}{3}}=frac{7}{5}$.【点睛】本题考查了根与系数的关系以及分式的化简求值,牢记“一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a$$neq0）$的两根之和等于$-frac{b}{a}$,两根之积等于$frac{c}{a}$”是解题的关键.
解析：(1)由实数$a,b(aneqb)$满足$a^{2}-7a-2=0,b^{2}-7b-2=0$,可将$a,b$看作一元二次方程$x^{2}-7x-2=0$的两个不等实数根,利用根与系数的关系可得出$a+b=7,ab=-2$,将其代入$thereforea+b-ab$中,即可求出结论;(2)在方程$2n^{2}+7n-3=0$的两边同时除以$-n^{2}$得$3left(frac{1}{n}right)^{2}-7frac{1}{n}-2=0$,结合实数$m$满足$3m^{2}$$-7m-2=0$,且$mnneq1$,可将$m,frac{1}{n}$看作一元二次方程$3x^{2}-7x-2=0$的两个不等实数根,利用根与系数的关系可得出$m+frac{1}{n}=frac{7}{3},frac{m}{n}=-frac{2}{3}$,再将其代入$frac{mn+1}{mn+m+1}=frac{m+frac{1}{n}}{m+frac{1}{n}+frac{m}{n}}$中,即可求出结论.【解析】解:(1)$because$实数$a,b(aneqb)$满足$a^{2}-7a-2=0,b^{2}-7b-2=0$,$therefore$可将$a,b$看作一元二次方程$x^{2}-7x-2=0$的两个不等实数根,$thereforea+b=7,ab=-2$,$thereforea+b-ab=7-(-2)=9$(2)在方程$2n^{2}+7n-3=0$的两边同时除以$-n^{2}$得$3left(frac{1}{n}right)^{2}-7frac{1}{n}-2=0$,又$because$实数$m$满足$3m^{2}-7m-2=0$,且$mnneq1$,$therefore$可将$m,frac{1}{{n}}$看作一元二次方程$3x^{2}-7x-2=0$的两个不等实数根,$thereforem+frac{1}{{n}}=frac{7}{3},frac{{m}}{{n}}=-frac{2}{3}$$thereforefrac{mn+1}{mn+m+1}=frac{m+frac{1}{n}}{m+frac{1}{n}+frac{m}{n}}=frac{frac{7}{3}}{frac{7}{3}-frac{2}{3}}=frac{7}{5}$.【点睛】本题考查了根与系数的关系以及分式的化简求值,牢记“一元二次方程$ax^{2}+bx+c=0(a$$neq0）$的两根之和等于$-frac{b}{a}$,两根之积等于$frac{c}{a}$”是解题的关键.
题目（八年级 · 代数）：商场将单价不同的甲、乙两种糖果混合成什锦糖售卖.若该商场采用以下两种不同方式混合:方式1：将质量相等都为$x$千克的甲、乙糖果进行混合;方式2:将总价相等都为$y$元的甲、乙糖果进行混合.（1）甲、乙糖果的单价分别为$a$元/千克、$b$元/千克$(aneqb)$，用含$a、b$的代数式分别表示两种混合方式的什锦糖的单价;（2）哪种混合方式的什锦糖的单价更低?请说明理由.
选项：
答案：(1)根据加权平均数的计算公式和两种糖果的单价和克数,列出算式进行计算即可;(2)利用作差法比较大小,可得答案.【解析】解：（1）设按方式1混合后单价为$m$元/千克,按方式2混合后单价为$n$元/千克,则$m=frac{ax+bx}{2x}=frac{a+b}{2}$(元/千克),$n=frac{2y}{frac{y}{a}+frac{y}{b}}=frac{2ab}{a+b}$(元/千克)，答:两种混合方式的什锦糖的单价分别为$frac{a+b}{2}$元/千克,$frac{2ab}{a+b}$元/千克;(2)方式2什锦糖的单价更低,理由为:$m-n=frac{a+b}{2}-frac{2ab}{a+b}=frac{(a+b)^{2}-4ab}{2(a+b)}=frac{(a-b)^{2}}{2(a+b)}$,$becauseaneqb$,$therefore(a-b)^{2}>0$,又$because2(a+b)>0$,$thereforefrac{({a}-{b})^{2}}{2({a}+{b})}>0$,即$m-n>0$,$thereforem>n$,$therefore$方式2什锦糖的单价更低.【点睛】本题主要考查了加权平均数和列代数式的知识,解题的关键是掌握加权平均数的公式,此题难度不大.
解析：(1)根据加权平均数的计算公式和两种糖果的单价和克数,列出算式进行计算即可;(2)利用作差法比较大小,可得答案.【解析】解：（1）设按方式1混合后单价为$m$元/千克,按方式2混合后单价为$n$元/千克,则$m=frac{ax+bx}{2x}=frac{a+b}{2}$(元/千克),$n=frac{2y}{frac{y}{a}+frac{y}{b}}=frac{2ab}{a+b}$(元/千克)，答:两种混合方式的什锦糖的单价分别为$frac{a+b}{2}$元/千克,$frac{2ab}{a+b}$元/千克;(2)方式2什锦糖的单价更低,理由为:$m-n=frac{a+b}{2}-frac{2ab}{a+b}=frac{(a+b)^{2}-4ab}{2(a+b)}=frac{(a-b)^{2}}{2(a+b)}$,$becauseaneqb$,$therefore(a-b)^{2}>0$,又$because2(a+b)>0$,$thereforefrac{({a}-{b})^{2}}{2({a}+{b})}>0$,即$m-n>0$,$thereforem>n$,$therefore$方式2什锦糖的单价更低.【点睛】本题主要考查了加权平均数和列代数式的知识,解题的关键是掌握加权平均数的公式,此题难度不大.
题目（八年级 · 代数）：已知$y=y_{1}+y_{2},y_{1}$与$x$成正比例,$y_{2}$与$x$成反比例,且当$x=-1$时,$y=-4$;当$x=3$时,$y=4$.(1)求$y$关于$x$的函数解析式;(2)当$x=-2$时,求$y$的值.
选项：
答案：(1)根据正比例函数和反比例函数的定义设$y_{1}=mx,y_{2}=frac{{n}}{{x}}$,则$y=mx+frac{{n}}{{x}}$,再把两组对应值代入得到关于$m、n$的方程组,然后解方程组求出$m、n$即可.(2)把$x=-2$代入(1)中求得的解析式即可求得.【解析】解：(1)设$y_{1}=mx,y_{2}=frac{{n}}{{x}}$,则$y=mx+frac{{n}}{{x}}$,根据题意得$left{begin{array}{l}-m-n=-43m+frac{n}{3}=4end{array}right.$,解得$left{begin{array}{l}m=1n=3end{array}right.$所以$y$与$x$的函数表达式为$y=x+frac{3}{x}$.(2)把$x=-2$代入得,$y=-2+frac{3}{-2}=-frac{7}{2}$.【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数和反比例函数的解析式,函数图象上点的坐标特征,图象上点的坐标适合解析式是解题的关键.
解析：(1)根据正比例函数和反比例函数的定义设$y_{1}=mx,y_{2}=frac{{n}}{{x}}$,则$y=mx+frac{{n}}{{x}}$,再把两组对应值代入得到关于$m、n$的方程组,然后解方程组求出$m、n$即可.(2)把$x=-2$代入(1)中求得的解析式即可求得.【解析】解：(1)设$y_{1}=mx,y_{2}=frac{{n}}{{x}}$,则$y=mx+frac{{n}}{{x}}$,根据题意得$left{begin{array}{l}-m-n=-43m+frac{n}{3}=4end{array}right.$,解得$left{begin{array}{l}m=1n=3end{array}right.$所以$y$与$x$的函数表达式为$y=x+frac{3}{x}$.(2)把$x=-2$代入得,$y=-2+frac{3}{-2}=-frac{7}{2}$.【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数和反比例函数的解析式,函数图象上点的坐标特征,图象上点的坐标适合解析式是解题的关键.
题目（八年级 · 代数）：已知反比例函数$y=frac{{k}}{{x}}(kneq0)$的图象经过点$A(2,-3)$.(1)求函数表达式;(2)当$x=-4$时,求函数$y$的值;(3)当$xleqslant1$且$xneq0$时,直接写出$y$的取值范围.
选项：
答案：(1)利用待定系数法确定函数关系式;(2)把$x=-4$代入函数解析式求得相应的$y$值即可;（3）根据反比例函数图象的性质作答.【解析】解:(1)$because$反比例函数$y=frac{{k}}{{x}}(kneq0)$的图象经过点$A(2,-3)$,$thereforek=2times(-3)=-6$,$therefore$反比例函数为$y=-frac{6}{x}$;(2)当$x=-4$时,$y=-frac{6}{x}=-frac{6}{-4}=frac{3}{2}$;(3)$becausek=-6<0$,$therefore$双曲线在二、四象限,把$x=1$代入$y=-frac{6}{{x}}$,求得$y=-6$,$therefore$当$xleqslant1$且$xneq0$时,$y>0$或$yleqslant-6$.<ImageHere>【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式,反比例函数图象和性质,反比例函数图象上点的坐标特征,熟练掌握待定系数法是解题的关键.
解析：(1)利用待定系数法确定函数关系式;(2)把$x=-4$代入函数解析式求得相应的$y$值即可;（3）根据反比例函数图象的性质作答.【解析】解:(1)$because$反比例函数$y=frac{{k}}{{x}}(kneq0)$的图象经过点$A(2,-3)$,$thereforek=2times(-3)=-6$,$therefore$反比例函数为$y=-frac{6}{x}$;(2)当$x=-4$时,$y=-frac{6}{x}=-frac{6}{-4}=frac{3}{2}$;(3)$becausek=-6<0$,$therefore$双曲线在二、四象限,把$x=1$代入$y=-frac{6}{{x}}$,求得$y=-6$,$therefore$当$xleqslant1$且$xneq0$时,$y>0$或$yleqslant-6$.【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式,反比例函数图象和性质,反比例函数图象上点的坐标特征,熟练掌握待定系数法是解题的关键.