题目（九年级 · 解析几何）：已知: 如图, $\triangle A B C$ 是边长为 $3 \mathrm{~cm}$ 的等边三角形, 动点 $P 、 Q$ 同时从 $A 、 B$ 两点出发, 分别沿 $A B 、 B C$ 方向匀速移动, 它们的速度都是 $1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$, 当点 $\mathrm{P}$ 到达点 $\mathrm{B}$ 时, $\mathrm{P} 、 \mathrm{Q}$ 两点停止运动, 设点 $\mathrm{P}$的运动时间 $\mathrm{t}(\mathrm{s})$, 解答下列各问题:

(1) 经过 $\frac{2}{5}$ 秒时, 求 $\triangle \mathrm{PBQ}$ 的面积;

(2) 当 $\mathrm{t}$ 为何值时, $\triangle \mathrm{PBQ}$ 是直角三角形?

(3) 是否存在某一时刻 $t$, 使四边形 $\mathrm{APQC}$ 的面积是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 面积的三分之二? 如果存在, 求出 $\mathrm{t}$ 的值; 不存在请说明理由.


选项：
答案：（1） $\frac{13 \sqrt{3}}{50}$ ；（2） $\mathrm{t}=1$ 秒或 $\mathrm{t}=2$ 秒时, $\triangle \mathrm{PBQ}$ 是直角三角形. （3）无论 $\mathrm{t}$ 取何值, 四边形 APQC 的面积都不可能是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 面积的 $\frac{2}{3}$.

【解析】 (1) 经过 $\frac{2}{5}$ 秒时, $\mathrm{AP}=\frac{2}{5} \mathrm{~cm}, \mathrm{BQ}=\frac{2}{5} \mathrm{~cm}$,

$\because \triangle \mathrm{ABC}$ 是边长为 $3 \mathrm{~cm}$ 的等边三角形,

$\therefore \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=3 \mathrm{~cm}, \quad \angle \mathrm{B}=60^{\circ}, \quad \therefore \mathrm{BP}=3-\frac{2}{5}=\frac{13}{5} \mathrm{~cm}$,

$\therefore \triangle \mathrm{PBQ}$ 的面积 $=\frac{1}{2} \mathrm{BP} \cdot \mathrm{BQ} \cdot \sin \angle \mathrm{B}=\frac{1}{2} \times \frac{13}{5} \times \frac{2}{5} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{13 \sqrt{3}}{50}$;

(2) 设经过 $\mathrm{t}$ 秒 $\triangle \mathrm{PBQ}$ 是直角三角形,

则 $\mathrm{AP}=\mathrm{tcm}, \mathrm{BQ}=\mathrm{tcm}$,

$\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=3 \mathrm{~cm}, \angle \mathrm{B}=60^{\circ}, \therefore \mathrm{BP}=(3-\mathrm{t}) \mathrm{cm}$,

$\triangle \mathrm{PBQ}$ 中, $\mathrm{BP}=(3-\mathrm{t}) \mathrm{cm}, \mathrm{BQ}=\mathrm{tcm}$, 若 $\triangle \mathrm{PBQ}$ 是直角三角形, 则 $\angle \mathrm{BQP}=90^{\circ}$ 或 $\angle \mathrm{BPQ}=90^{\circ}$,

当 $\angle B Q P=90^{\circ}$ 时, $B Q=\frac{1}{2} B P$, 即 $t=\frac{1}{2} （ 3-\mathrm{t} ）, \mathrm{t}=1$ （秒 $）$,

当 $\angle B P Q=90^{\circ}$ 时, $B P=\frac{1}{2} B Q, 3-t=\frac{1}{2} \mathrm{t}, \mathrm{t}=2 （$ 秒 $）$,

答: 当 $\mathrm{t}=1$ 秒或 $\mathrm{t}=2$ 秒时, $\triangle \mathrm{PBQ}$ 是直角三角形.

(3) 过 $\mathrm{P}$ 作 $\mathrm{PM} \perp \mathrm{BC}$ 于 $\mathrm{M}$,

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$\triangle \mathrm{BPM}$ 中, $\sin \angle \mathrm{B}=\frac{P M}{P B}, \therefore \mathrm{PM}=\mathrm{PB} \cdot \sin \angle \mathrm{B}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (3-t) ,

$\therefore \mathrm{S}_{\triangle \mathrm{PBQ}}=\frac{1}{2} \mathrm{BQ} \cdot \mathrm{PM}=\frac{1}{2} \cdot \mathrm{t} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}(3-\mathrm{t}), \quad \therefore \mathrm{y}=\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{ABC}}-\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{PBQ}}=\frac{1}{2} \times 3^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2} \times \mathrm{t} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$=\frac{\sqrt{3}}{4} \mathrm{t}^{2}-\frac{3 \sqrt{3}}{4} \mathrm{t}+\frac{9 \sqrt{3}}{4}, \therefore \mathrm{y}$ 与 $\mathrm{t}$ 的关系式为 $\mathrm{y}=\frac{\sqrt{3}}{4} \mathrm{t}^{2}-\frac{3 \sqrt{3}}{4} \mathrm{t}+\frac{9 \sqrt{3}}{4}$,

假设存在某一时刻 $\mathrm{t}$, 使得四边形 $\mathrm{APQC}$ 的面积是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 面积的 $\frac{2}{3}$,

则 $\mathrm{S}_{\text {四边展 } A A^{\prime}} \mathrm{APCO}^{2}=\frac{2}{3} \mathrm{~S}_{\triangle A B C}, \therefore \frac{\sqrt{3}}{4} \mathrm{t}^{2}-\frac{3 \sqrt{3}}{4} \mathrm{t}+\frac{9 \sqrt{3}}{4}=\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times 3^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}, \therefore \mathrm{t}^{2}-3 \mathrm{t}+3=0$,

$\because(-3)^{2}-4 \times 1 \times 3<0, \therefore$ 方程无解, $\therefore$ 无论 $\mathrm{t}$ 取何值, 四边形 $\mathrm{APQC}$ 的面积都不可能是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 面积的 $\frac{2}{3}$.
解析：（1） $\frac{13 \sqrt{3}}{50}$ ；（2） $\mathrm{t}=1$ 秒或 $\mathrm{t}=2$ 秒时, $\triangle \mathrm{PBQ}$ 是直角三角形. （3）无论 $\mathrm{t}$ 取何值, 四边形 APQC 的面积都不可能是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 面积的 $\frac{2}{3}$.

【解析】 (1) 经过 $\frac{2}{5}$ 秒时, $\mathrm{AP}=\frac{2}{5} \mathrm{~cm}, \mathrm{BQ}=\frac{2}{5} \mathrm{~cm}$,

$\because \triangle \mathrm{ABC}$ 是边长为 $3 \mathrm{~cm}$ 的等边三角形,

$\therefore \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=3 \mathrm{~cm}, \quad \angle \mathrm{B}=60^{\circ}, \quad \therefore \mathrm{BP}=3-\frac{2}{5}=\frac{13}{5} \mathrm{~cm}$,

$\therefore \triangle \mathrm{PBQ}$ 的面积 $=\frac{1}{2} \mathrm{BP} \cdot \mathrm{BQ} \cdot \sin \angle \mathrm{B}=\frac{1}{2} \times \frac{13}{5} \times \frac{2}{5} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{13 \sqrt{3}}{50}$;

(2) 设经过 $\mathrm{t}$ 秒 $\triangle \mathrm{PBQ}$ 是直角三角形,

则 $\mathrm{AP}=\mathrm{tcm}, \mathrm{BQ}=\mathrm{tcm}$,

$\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=3 \mathrm{~cm}, \angle \mathrm{B}=60^{\circ}, \therefore \mathrm{BP}=(3-\mathrm{t}) \mathrm{cm}$,

$\triangle \mathrm{PBQ}$ 中, $\mathrm{BP}=(3-\mathrm{t}) \mathrm{cm}, \mathrm{BQ}=\mathrm{tcm}$, 若 $\triangle \mathrm{PBQ}$ 是直角三角形, 则 $\angle \mathrm{BQP}=90^{\circ}$ 或 $\angle \mathrm{BPQ}=90^{\circ}$,

当 $\angle B Q P=90^{\circ}$ 时, $B Q=\frac{1}{2} B P$, 即 $t=\frac{1}{2} （ 3-\mathrm{t} ）, \mathrm{t}=1$ （秒 $）$,

当 $\angle B P Q=90^{\circ}$ 时, $B P=\frac{1}{2} B Q, 3-t=\frac{1}{2} \mathrm{t}, \mathrm{t}=2 （$ 秒 $）$,

答: 当 $\mathrm{t}=1$ 秒或 $\mathrm{t}=2$ 秒时, $\triangle \mathrm{PBQ}$ 是直角三角形.

(3) 过 $\mathrm{P}$ 作 $\mathrm{PM} \perp \mathrm{BC}$ 于 $\mathrm{M}$,


$\triangle \mathrm{BPM}$ 中, $\sin \angle \mathrm{B}=\frac{P M}{P B}, \therefore \mathrm{PM}=\mathrm{PB} \cdot \sin \angle \mathrm{B}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (3-t) ,

$\therefore \mathrm{S}_{\triangle \mathrm{PBQ}}=\frac{1}{2} \mathrm{BQ} \cdot \mathrm{PM}=\frac{1}{2} \cdot \mathrm{t} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}(3-\mathrm{t}), \quad \therefore \mathrm{y}=\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{ABC}}-\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{PBQ}}=\frac{1}{2} \times 3^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2} \times \mathrm{t} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$

$=\frac{\sqrt{3}}{4} \mathrm{t}^{2}-\frac{3 \sqrt{3}}{4} \mathrm{t}+\frac{9 \sqrt{3}}{4}, \therefore \mathrm{y}$ 与 $\mathrm{t}$ 的关系式为 $\mathrm{y}=\frac{\sqrt{3}}{4} \mathrm{t}^{2}-\frac{3 \sqrt{3}}{4} \mathrm{t}+\frac{9 \sqrt{3}}{4}$,

假设存在某一时刻 $\mathrm{t}$, 使得四边形 $\mathrm{APQC}$ 的面积是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 面积的 $\frac{2}{3}$,

则 $\mathrm{S}_{\text {四边展 } A A^{\prime}} \mathrm{APCO}^{2}=\frac{2}{3} \mathrm{~S}_{\triangle A B C}, \therefore \frac{\sqrt{3}}{4} \mathrm{t}^{2}-\frac{3 \sqrt{3}}{4} \mathrm{t}+\frac{9 \sqrt{3}}{4}=\frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times 3^{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}, \therefore \mathrm{t}^{2}-3 \mathrm{t}+3=0$,

$\because(-3)^{2}-4 \times 1 \times 3<0, \therefore$ 方程无解, $\therefore$ 无论 $\mathrm{t}$ 取何值, 四边形 $\mathrm{APQC}$ 的面积都不可能是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 面积的 $\frac{2}{3}$.