eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高一 · 代数）：阅读如图的伪代码: 若输入的值是 5 , 则最后输出 $a, b$ 的值分别是多少?


选项：
答案：解：模拟程序语言的运行过程, 如下:

$a=5$,

$b=8$,

$a=7$,
$b=15$,

输出 $a$ 的值为 $7, b$ 的值为 15 .
解析：解：模拟程序语言的运行过程, 如下:

$a=5$,

$b=8$,

$a=7$,
$b=15$,

输出 $a$ 的值为 $7, b$ 的值为 15 .
题目（高一 · 代数）：阅读如图的伪代码: 如果输入的三个数是 $-2,-13,7$, 那么输出的结果是什么? 说明该算法的功能.


选项：
答案：解：该伪代码的功能是比较输入的三个数并输出最小的数;

当输入的三个数是 $-2,-13,7$ 时,

输出的结果是 -13.
解析：解：该伪代码的功能是比较输入的三个数并输出最小的数;

当输入的三个数是 $-2,-13,7$ 时,

输出的结果是 -13.
题目（高一 · 代数）：017 秋・湛江月考）某市对排污水进行综合治理，征收污水处理费，系统对各厂一个月内排出的污水量 $x$ 吨收取的污水处理费 $y$ 元，运行程序如图所示:

(I) 写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系;

(II) 求排放污水 150 吨的污水处理费用.


选项：
答案：解: (I) 根据题意, 写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系为:

$$
y=\left\{\begin{array}{l}
13 x, x \leq 50 \\
50+15(x-50), 50<x \leq 100 ; \quad \cdots 8 \text { 分 } \\
150+25(x-100), \quad x>100
\end{array}\right.
$$

(II) 因为 $x=150>100$,

所以 $y=150+25 \times(150-100)=1400$,

故该厂应缴纳污水处理费 1400 元. …12 分.
解析：解: (I) 根据题意, 写出 $y$ 与 $x$ 的函数关系为:

$$
y=\left\{\begin{array}{l}
13 x, x \leq 50 \\
50+15(x-50), 50<x \leq 100 ; \quad \cdots 8 \text { 分 } \\
150+25(x-100), \quad x>100
\end{array}\right.
$$

(II) 因为 $x=150>100$,

所以 $y=150+25 \times(150-100)=1400$,

故该厂应缴纳污水处理费 1400 元. …12 分.
题目（高一 · 组合数学）：已知全集 $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}, A=\left\{x \mid x^{2}-3 x+2=0\right\}, B=\{x \mid 1 \leq x \leq 5, x \in Z\}, C=\{x \mid 2<x<9, x \in Z\}$. 求

(1) $\mathrm{A} \cup(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})$;

(2) $\left(\complement_{U B}\right) \cup\left(\complement_{U C}\right)$.
选项：
答案：(1) $\mathrm{A} \cup(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\{1,2\} \cup\{3,4,5\}=\{1,2,3,4,5\}$

(2)$\left(\complement_{\cup} B\right) \cup\left(\complement_{U} C\right)=\{6,7,8\} \cup\{1,2\}=\{1,2,6,7,8\}$
解析：(1) 解: 依题意有: $A=\{1,2\}, B=\{1,2,3,4,5\}, C=\{3,4,5,6,7,8\}, \therefore B \cap C=\{3,4,5\}$,

故有 $\mathrm{A} \cup(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\{1,2\} \cup\{3,4,5\}=\{1,2,3,4,5\}$

(2) 解: 由 $\mathrm{CuB}=\{6,7,8\}, \complement_{\mathrm{uC}}=\{1,2\}$;

故有 $\left(\complement_{\cup} B\right) \cup\left(\complement_{U} C\right)=\{6,7,8\} \cup\{1,2\}=\{1,2,6,7,8\}$.

【分析】(1) 先求集合 $A, B, C$; 再求 $\mathrm{B} \cap \mathrm{C}$, 最后求 $\mathrm{A} \cup(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})$ (2) 先求 $C_{\mathrm{U}} \mathrm{B}, \Gamma_{\mathrm{U}} \mathrm{C}$; 再求 $\left(C_{\mathrm{U}} \mathrm{B}\right) \cup\left(\mathrm{C}_{\mathrm{U} C \mathrm{C}}\right)$.
题目（高一 · 组合数学）：为了解决教育资源的分配不均匀问题, 北京市决定对优质教师资源进行选调，从 20 名报名者中首先选取 10 人作为试用人员, 请分别用抽签法和随机数表法设计抽样方案.
选项：
答案：方法一 (抽签法)

第一步，对 20 名报名者进行编号，从 1 到 20.

第二步, 将 20 名报名者的编号写在形状、大小相同的号签上.

第三步, 将号签放到一个不透明的盒子中傥拌均匀, 然后从盒子中逐个不放回抽取 10 个号签.

第四步，与号签上的编号对应的报名者就是要找的试用人员.

方法二 (随机数表法)

第一步，对 20 名报名者进行编号，号码为 $01,02,03,20$.

第二步, 在随机数表中随机选取一个数作为开始.

第三步, 从已选的这个数开始, 向右读, 每次读取两位数, 不在 01-20 中的数或已经读过的数跳过，依次可得 10 个号码.
第四步，找出与以上号码对应的报名者, 就是要找的试用人员.
解析：方法一 (抽签法)

第一步，对 20 名报名者进行编号，从 1 到 20.

第二步, 将 20 名报名者的编号写在形状、大小相同的号签上.

第三步, 将号签放到一个不透明的盒子中傥拌均匀, 然后从盒子中逐个不放回抽取 10 个号签.

第四步，与号签上的编号对应的报名者就是要找的试用人员.

方法二 (随机数表法)

第一步，对 20 名报名者进行编号，号码为 $01,02,03,20$.

第二步, 在随机数表中随机选取一个数作为开始.

第三步, 从已选的这个数开始, 向右读, 每次读取两位数, 不在 01-20 中的数或已经读过的数跳过，依次可得 10 个号码.
第四步，找出与以上号码对应的报名者, 就是要找的试用人员.
题目（高一 · 组合数学）：现有一批编号为 $10,11, ., 9,100,,, 000$ 节能灯, 准备从中抽取一个容量为 6 的样本进行质量检验, 如何用随机数表法设计抽样方案?
选项：
答案：方法一第一步, 将节能灯的号调为 $0,1, .0,10,, \ldots 00$, 第二步, 在随机数表中任选一个数作为开始, 任选一个方向作为读数方向, 比如, 选第 6 行第 7 列的数 9 开始向右读.

第三步, 从数 9 开始向右读, 每次读取三位, 凡不在 $010^{\sim} 600$ 中的数跳过去不读, 前面已经读过的数也跳过去不读，依次可得到 $544 ， 354 ，$

378, 520, 384, 263.

第四步，以上这 6 个号码所对应的 6 个产品就是要抽取的对象.

方法二 第一步，将每个产品的编号加 100, 重新编号为 110,

111，19，120，，000 第二步, 在随机数表中任选一个数作为开始, 任选一个方向作为读数方向, 比如, 选第 8 行第 1 列数 6 开始向右读.

第三步, 从数 6 开始向右读, 每次读取三位, 凡不在 $110^{\sim} 700$ 中的数跳过去不读, 前面已经读过的数也跳过去不读, 依次可得到 630,163 ,

567, 199, 507, 175 .

第四步, 这 6 个号码分别对应原来的 $530,63,467,99,407,75$, 这些号码对应的6个产品就是要抽取的对象.
解析：方法一第一步, 将节能灯的号调为 $0,1, .0,10,, \ldots 00$, 第二步, 在随机数表中任选一个数作为开始, 任选一个方向作为读数方向, 比如, 选第 6 行第 7 列的数 9 开始向右读.

第三步, 从数 9 开始向右读, 每次读取三位, 凡不在 $010^{\sim} 600$ 中的数跳过去不读, 前面已经读过的数也跳过去不读，依次可得到 $544 ， 354 ，$

378, 520, 384, 263.

第四步，以上这 6 个号码所对应的 6 个产品就是要抽取的对象.

方法二 第一步，将每个产品的编号加 100, 重新编号为 110,

111，19，120，，000 第二步, 在随机数表中任选一个数作为开始, 任选一个方向作为读数方向, 比如, 选第 8 行第 1 列数 6 开始向右读.

第三步, 从数 6 开始向右读, 每次读取三位, 凡不在 $110^{\sim} 700$ 中的数跳过去不读, 前面已经读过的数也跳过去不读, 依次可得到 630,163 ,

567, 199, 507, 175 .

第四步, 这 6 个号码分别对应原来的 $530,63,467,99,407,75$, 这些号码对应的6个产品就是要抽取的对象.
题目（高一 · 组合数学）：为了考察某校的教学水平, 将抽查这个学校高三年级的部分学生本学年的考试成绩.为了全面地反映实际情况, 采取以下三种方式进行抽查 (已知该校高三年级共有 20 个班,并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号, 假定该校每班学生人数都相等) :

I. 从全年级 20 个班中任意抽取一个班, 再从该班中任意抽取 20 人, 考察他们的学习成绩;

II . 每个班都抽取 1 人，共计 20 人，考察这 20 名学生的成绩;

III. 把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别, 从其中共抽取 100 名学生进行考察 (已知若按成绩分, 该校高三学生中优秀生共 150 人, 良好生共 600 人, 普通生共 250 人).根据上面的叙述，试回答上面的三种抽取方式中，各自采用何种抽样方法？
选项：
答案：上面的三种抽取方式中, 第一种采用了简单随机抽样法; 第二种采用了系统抽样法和简单随机抽样法; 第三种采用了分层抽样法和简单随机抽样法.
解析：上面的三种抽取方式中, 第一种采用了简单随机抽样法; 第二种采用了系统抽样法和简单随机抽样法; 第三种采用了分层抽样法和简单随机抽样法.
题目（高一 · 组合数学）：王妈妈开了一家小型餐馆, 为了节约服务生收费时间, 她购进红、黄、蓝、绿四种颜色的盘子,用这几种颜色的盘子分别盛 5 元、 8 元、 10 元和 12 元的食品, 这样结账的时候, 只要数一下盘子就可以，请利用赋值语句描述用餐记费的算法.
选项：
答案：解：程序如下：

$$
\begin{aligned}
& \text { INPUT “ } a=” ; a \\
& \text { INPUT “ } b=” ; b \\
& \text { INPUT “ } c=” ; c \\
& \text { INPUT “ } d=” ; d \\
& \quad p=5 * a+8 * b+10 * c+12 * d \\
& \text { PRINT “结账金额为” ; } p \\
& \text { END }
\end{aligned}
$$
解析：解：程序如下：

$$
\begin{aligned}
& \text { INPUT “ } a=” ; a \\
& \text { INPUT “ } b=” ; b \\
& \text { INPUT “ } c=” ; c \\
& \text { INPUT “ } d=” ; d \\
& \quad p=5 * a+8 * b+10 * c+12 * d \\
& \text { PRINT “结账金额为” ; } p \\
& \text { END }
\end{aligned}
$$
题目（高一 · 组合数学）：（2020 秋 -沧州期中）某超市举办购物抽奖的促销活动，规定每位顾客购物满 100 元，可参与一次抽奖. 抽奖规则满足抽奖要求的顾客从有编号为 $1 、 2 、 3 、 4$ 的四个小球 (除数字不同外, 其他完全相同）的抽奖箱中取球, 每次取出一个小球记下球上的数字后放回, 连续取两次. 若取出的两个小球的数字之和为 8 , 则中特等奖; 取出的两个小球的数字之和为 7 , 则中一等奖; 取出的两个球的数字之和为 6 , 则中二等奖; 取出的两个小球的数字之和为 5 , 则中三等奖, 其他情况不中奖.

（1）求某顾客抽奖一次，中二等奖的概率;

（2）求某顾客抽奖一次，中奖的概率.
选项：
答案：解：（1）由题意可得从四个小球中有放回地抽取两个小球的基本事件有 16 种:
$(1,1)$
$(1,2)$
$(1,3),(1,4)$,
$(2,1)$,
$(2,2),(2,3)$
$(2,4)$,
$(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)$.

取出的两个小球的数字之和为 6 的基本事件有（2，4），（3，3），（4，2），共 3 种则某顾客抽奖一次, 中二等奖的概率 $P=\frac{3}{16}$.

（2）设 “某顾客抽奖一次，不中奖” 为事件 $A$.

则事件 $A$ 包含的基本事件有:
$(1,1)$
$(1,2)$
$(1,3)$
$(2,1)$
$(2,2)$
$(3,1)$ ，共 6 个

从而 $P(A)=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$,

故某顾客抽奖一次, 中奖的概率 $P=1-P(A)=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$.
解析：解：（1）由题意可得从四个小球中有放回地抽取两个小球的基本事件有 16 种:
$(1,1)$
$(1,2)$
$(1,3),(1,4)$,
$(2,1)$,
$(2,2),(2,3)$
$(2,4)$,
$(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)$.

取出的两个小球的数字之和为 6 的基本事件有（2，4），（3，3），（4，2），共 3 种则某顾客抽奖一次, 中二等奖的概率 $P=\frac{3}{16}$.

（2）设 “某顾客抽奖一次，不中奖” 为事件 $A$.

则事件 $A$ 包含的基本事件有:
$(1,1)$
$(1,2)$
$(1,3)$
$(2,1)$
$(2,2)$
$(3,1)$ ，共 6 个

从而 $P(A)=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}$,

故某顾客抽奖一次, 中奖的概率 $P=1-P(A)=1-\frac{3}{8}=\frac{5}{8}$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $E$ 是 $A B$ 的中点, $F$ 是 $A_{1} A$ 的中点, 求证:



(1)E, $C, D_{1}, F$ 四点共面;

(2)直线 $C E, D_{1} F, D A$ 三线共点.

证明 (1)如图，连接 $E F, D_{1} C, A_{1} B$.



$\because E$ 为 $A B$ 的中点， $F$ 为 $A A_{1}$ 的中点，

$\therefore E F / / A_{1} B$, 且 $E F=\frac{1}{2} A_{1} B$,

又 $\because A_{1} B / / D_{1} C$ ，且 $A_{1} B=D_{1} C$ ，

$\therefore E F / / D_{1} C$ ，且 $E F=\frac{1}{2} D_{1} C$ ，

$\therefore E, F, D_{1}, C$ 四点共面.

(2) $\because E F / / C D_{1}, E F<C D_{1}$,

$\therefore C E$ 与 $D_{1} F$ 必相交，设交点为 $P$ ，

则由 $P \in$ 直线 $C E, C E \subset$ 平面 $A B C D$ ，

得 $P \in$ 平面 $A B C D$.

同理， $P \in$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$.

又平面 $A B C D \cap$ 平面 $A D D_{1} A_{1}=D A$ ，

$\therefore P \in$ 直线 $D A$.

$\therefore C E, D_{1} F, D A$ 三线共点.

#
选项：
答案：在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $E$ 是 $A B$ 的中点, $F$ 是 $A_{1} A$ 的中点, 求证:

<ImageHere>

(1)E, $C, D_{1}, F$ 四点共面;

(2)直线 $C E, D_{1} F, D A$ 三线共点.

证明 (1)如图，连接 $E F, D_{1} C, A_{1} B$.

<ImageHere>

$\because E$ 为 $A B$ 的中点， $F$ 为 $A A_{1}$ 的中点，

$\therefore E F / / A_{1} B$, 且 $E F=\frac{1}{2} A_{1} B$,

又 $\because A_{1} B / / D_{1} C$ ，且 $A_{1} B=D_{1} C$ ，

$\therefore E F / / D_{1} C$ ，且 $E F=\frac{1}{2} D_{1} C$ ，

$\therefore E, F, D_{1}, C$ 四点共面.

(2) $\because E F / / C D_{1}, E F<C D_{1}$,

$\therefore C E$ 与 $D_{1} F$ 必相交，设交点为 $P$ ，

则由 $P \in$ 直线 $C E, C E \subset$ 平面 $A B C D$ ，

得 $P \in$ 平面 $A B C D$.

同理， $P \in$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$.

又平面 $A B C D \cap$ 平面 $A D D_{1} A_{1}=D A$ ，

$\therefore P \in$ 直线 $D A$.

$\therefore C E, D_{1} F, D A$ 三线共点.
解析：在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $E$ 是 $A B$ 的中点, $F$ 是 $A_{1} A$ 的中点, 求证:



(1)E, $C, D_{1}, F$ 四点共面;

(2)直线 $C E, D_{1} F, D A$ 三线共点.

证明 (1)如图，连接 $E F, D_{1} C, A_{1} B$.



$\because E$ 为 $A B$ 的中点， $F$ 为 $A A_{1}$ 的中点，

$\therefore E F / / A_{1} B$, 且 $E F=\frac{1}{2} A_{1} B$,

又 $\because A_{1} B / / D_{1} C$ ，且 $A_{1} B=D_{1} C$ ，

$\therefore E F / / D_{1} C$ ，且 $E F=\frac{1}{2} D_{1} C$ ，

$\therefore E, F, D_{1}, C$ 四点共面.

(2) $\because E F / / C D_{1}, E F<C D_{1}$,

$\therefore C E$ 与 $D_{1} F$ 必相交，设交点为 $P$ ，

则由 $P \in$ 直线 $C E, C E \subset$ 平面 $A B C D$ ，

得 $P \in$ 平面 $A B C D$.

同理， $P \in$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$.

又平面 $A B C D \cap$ 平面 $A D D_{1} A_{1}=D A$ ，

$\therefore P \in$ 直线 $D A$.

$\therefore C E, D_{1} F, D A$ 三线共点.
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示, $E, F$ 分别是长方体 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}-A B C D$ 的棱 $A_{1} A, C_{1} C$ 的中点. 求证: 四边形 $B_{1} E D F$ 是平行四边形.


选项：
答案：设 $Q$ 是 $D D_{1}$ 的中点，连接 $E Q ， Q C_{1}$.

<ImageHere>

$\because E$ 是 $A A_{1}$ 的中点，

$\therefore E Q / / A_{1} D_{1}$ 且 $E Q=A_{1} D_{1}$.

又在矩形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，

$A_{1} D_{1} / / B_{1} C_{1}$ 且 $A_{1} D_{1}=B_{1} C_{1}$,

$\therefore E Q / / B_{1} C_{1}$ 且 $E Q=B_{1} C_{1}$.

$\therefore$ 四边形 $E Q C_{1} B_{1}$ 为平行四边形，

$\therefore B_{1} E / / C_{1} Q$ 且 $B_{1} E=C_{1} Q$.

又 $\because Q, F$ 是 $D D_{1}, C_{1} C$ 两边的中点，

$\therefore Q D / / C_{1} F$ 且 $Q D=C_{1} F$ ，

$\therefore$ 四边形 $Q D F C_{1}$ 为平行四边形.

$\therefore C_{1} Q / / D F$ 且 $C_{1} Q=D F$ ，

$\therefore B_{1} E / / D F$ 且 $B_{1} E=D F$ ，

$\therefore$ 四边形 $B_{1} E D F$ 为平行四边形.
解析：设 $Q$ 是 $D D_{1}$ 的中点，连接 $E Q ， Q C_{1}$.



$\because E$ 是 $A A_{1}$ 的中点，

$\therefore E Q / / A_{1} D_{1}$ 且 $E Q=A_{1} D_{1}$.

又在矩形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，

$A_{1} D_{1} / / B_{1} C_{1}$ 且 $A_{1} D_{1}=B_{1} C_{1}$,

$\therefore E Q / / B_{1} C_{1}$ 且 $E Q=B_{1} C_{1}$.

$\therefore$ 四边形 $E Q C_{1} B_{1}$ 为平行四边形，

$\therefore B_{1} E / / C_{1} Q$ 且 $B_{1} E=C_{1} Q$.

又 $\because Q, F$ 是 $D D_{1}, C_{1} C$ 两边的中点，

$\therefore Q D / / C_{1} F$ 且 $Q D=C_{1} F$ ，

$\therefore$ 四边形 $Q D F C_{1}$ 为平行四边形.

$\therefore C_{1} Q / / D F$ 且 $C_{1} Q=D F$ ，

$\therefore B_{1} E / / D F$ 且 $B_{1} E=D F$ ，

$\therefore$ 四边形 $B_{1} E D F$ 为平行四边形.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 平面 $S A B$ 为圆雉的轴截面, $O$ 为底面圆的圆心, $M$ 为母线 $S B$ 的中点, $N$ 为底面圆周上的一点, $A B=4, S O=6$.



(1)求该圆雉的侧面积;

(2)若直线 $S O$ 与 $M N$ 所成的角为 $30^{\circ}$, 求 $M N$ 的长.
选项：
答案：)由题意知 $S O \perp$ 底面 $A B N$ ，

<ImageHere>

在 Rt $\triangle S O B$ 中， $O B=\frac{1}{2} A B=2 ， S O=6$ ，

所以 $S B=\sqrt{2^{2}+6^{2}}=2 \sqrt{10}$.

所以该圆锥的侧面积 $S=\pi \cdot O B \cdot S B=4 \sqrt{10} \pi$.

(2)取 $O B$ 的中点 $C$ ，连接 $M C ， N C$ ，

因为 $M$ 为 $S B$ 的中点，

所以 $M C$ 为 $\triangle S O B$ 的中位线，

所以 $M C / / S O$ ，

$M C=\frac{1}{2} S O=3$.

又因为 $S O \perp$ 底面 $A B N$ ，

所以 $M C \perp$ 底面 $A B N ，$

因为 $N C \subset$ 底面 $A B N$ ，所以 $M C \perp N C$ 。

因为直线 $S O$ 与 $M N$ 所成的角为 $30^{\circ}$ ，
所以 $\angle N M C=30^{\circ}$ ，

在 Rt $\triangle M C N$ 中， $\frac{M C}{M N}=\cos 30^{\circ}$ ，

所以 $M N=\frac{M C}{\cos 30^{\circ}}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2 \sqrt{3}$.
解析：)由题意知 $S O \perp$ 底面 $A B N$ ，



在 Rt $\triangle S O B$ 中， $O B=\frac{1}{2} A B=2 ， S O=6$ ，

所以 $S B=\sqrt{2^{2}+6^{2}}=2 \sqrt{10}$.

所以该圆锥的侧面积 $S=\pi \cdot O B \cdot S B=4 \sqrt{10} \pi$.

(2)取 $O B$ 的中点 $C$ ，连接 $M C ， N C$ ，

因为 $M$ 为 $S B$ 的中点，

所以 $M C$ 为 $\triangle S O B$ 的中位线，

所以 $M C / / S O$ ，

$M C=\frac{1}{2} S O=3$.

又因为 $S O \perp$ 底面 $A B N$ ，

所以 $M C \perp$ 底面 $A B N ，$

因为 $N C \subset$ 底面 $A B N$ ，所以 $M C \perp N C$ 。

因为直线 $S O$ 与 $M N$ 所成的角为 $30^{\circ}$ ，
所以 $\angle N M C=30^{\circ}$ ，

在 Rt $\triangle M C N$ 中， $\frac{M C}{M N}=\cos 30^{\circ}$ ，

所以 $M N=\frac{M C}{\cos 30^{\circ}}=\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=2 \sqrt{3}$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, $O$ 是圆雉底面圆的圆心, 圆雉的轴截面 $P A B$ 为等腰直角三角形, $C$ 为底面圆周
上一点.

(1)若弧 $B C$ 的中点为 $D$. 求证: $A C / /$ 平面 $P O D$;

(2)如果 $\triangle P A B$ 的面积是 9 , 求此圆雉的表面积.


选项：
答案：(1)证明 设 $B C \cap O D=E$ ，

$\because D$ 是弧 $B C$ 的中点，

$\therefore E$ 是 $B C$ 的中点，

又 $\because O$ 是 $A B$ 的中点，

$\therefore A C / / O E$,

又 $\because A C$ 平面 $P O D ， O E \subset$ 平面 $P O D ，$

$\therefore A C / /$ 平面 $P O D$.

解 (2) 设圆雉底面半径为 $r$ ，高为 $h$ ，母线长为 $l$ ，

$\because$ 圆锥的轴截面 $P A B$ 为等腰直角三角形，

$\therefore h=r, l=\sqrt{2} r$,

$\because S_{\triangle P A B}=\frac{1}{2} \times 2 r \times h=r^{2}=9$,

$\therefore r=3$

$\therefore S_{\text {表 }}=\pi r l+\pi r^{2}=\pi r \times \sqrt{2} r+\pi r^{2}=9(1+\sqrt{2}) \pi$.
解析：(1)证明 设 $B C \cap O D=E$ ，

$\because D$ 是弧 $B C$ 的中点，

$\therefore E$ 是 $B C$ 的中点，

又 $\because O$ 是 $A B$ 的中点，

$\therefore A C / / O E$,

又 $\because A C$ 平面 $P O D ， O E \subset$ 平面 $P O D ，$

$\therefore A C / /$ 平面 $P O D$.

解 (2) 设圆雉底面半径为 $r$ ，高为 $h$ ，母线长为 $l$ ，

$\because$ 圆锥的轴截面 $P A B$ 为等腰直角三角形，

$\therefore h=r, l=\sqrt{2} r$,

$\because S_{\triangle P A B}=\frac{1}{2} \times 2 r \times h=r^{2}=9$,

$\therefore r=3$

$\therefore S_{\text {表 }}=\pi r l+\pi r^{2}=\pi r \times \sqrt{2} r+\pi r^{2}=9(1+\sqrt{2}) \pi$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 在三棱台 $D E F-A B C$ 中, $A B=2 D E, G, H$ 分别为 $A C, B C$ 的中点.



求证: $B D / /$ 平面 $F G H$.
选项：
答案：如图，连接 $D G ， C D$ ，设 $C D \cap G F=O$ ，连接 $O H$.

<ImageHere>

在三棱台 $D E F-A B C$ 中， $A B=2 D E ， G$ 为 $A C$ 的中点，可得 $D F / / G C$ 且 $D F=G C$ ，

所以四边形 $D F C G$ 为平行四边形，则 $O$ 为 $C D$ 的中点，

又 $H$ 为 $B C$ 的中点，所以 $O H / / B D$.

又 $\mathrm{OH} \subset$ 平面 $F G H, B D$ 平面 $F G H$ ，

所以 $B D / /$ 平面 $F G H$.
解析：如图，连接 $D G ， C D$ ，设 $C D \cap G F=O$ ，连接 $O H$.



在三棱台 $D E F-A B C$ 中， $A B=2 D E ， G$ 为 $A C$ 的中点，可得 $D F / / G C$ 且 $D F=G C$ ，

所以四边形 $D F C G$ 为平行四边形，则 $O$ 为 $C D$ 的中点，

又 $H$ 为 $B C$ 的中点，所以 $O H / / B D$.

又 $\mathrm{OH} \subset$ 平面 $F G H, B D$ 平面 $F G H$ ，

所以 $B D / /$ 平面 $F G H$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 已知在四棱雉 $P-A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 为平行四边形, 点 $M, N, Q$ 分别在 $P A$, $B D, P D$ 上, 且 $P M: M A=B N: N D=P Q: Q D$.求证: 平面 $M N Q / /$ 平面 $P B C$.


选项：
答案：$\because P M: M A=B N: N D=P Q: Q D$ ，

$\therefore M Q / / A D, N Q / / B P$ ，

而 $B P \subset$ 平面 $P B C ， N Q \Phi$ 平面 $P B C ，$
$\therefore N Q / /$ 平面 $P B C$.

又 $\because$ 四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $\therefore B C / / A D ，$

$\therefore M Q / / B C$ ，而 $B C \subset$ 平面 $P B C ， M Q q$ 平面 $P B C ， \therefore M Q / /$ 平面 $P B C$.

又 $M Q \cap N Q=Q, M Q, N Q \subset$ 平面 $M N Q$ ，

$\therefore$ 平面 $M N Q / /$ 平面 $P B C$.
解析：$\because P M: M A=B N: N D=P Q: Q D$ ，

$\therefore M Q / / A D, N Q / / B P$ ，

而 $B P \subset$ 平面 $P B C ， N Q \Phi$ 平面 $P B C ，$
$\therefore N Q / /$ 平面 $P B C$.

又 $\because$ 四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $\therefore B C / / A D ，$

$\therefore M Q / / B C$ ，而 $B C \subset$ 平面 $P B C ， M Q q$ 平面 $P B C ， \therefore M Q / /$ 平面 $P B C$.

又 $M Q \cap N Q=Q, M Q, N Q \subset$ 平面 $M N Q$ ，

$\therefore$ 平面 $M N Q / /$ 平面 $P B C$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 在四棱雉 $C-A B E D$ 中, 四边形 $A B E D$ 是正方形, 点 $G, F$ 分别是线段 $E C, B D$的中点.



(1)求证: $G F / /$ 平面 $A B C$;

(2)若点 $P$ 为线段 $C D$ 的中点, 平面 $G F P$ 与平面 $A B C$ 有怎样的位置关系? 并证明.
选项：
答案：(1) 证明 如图，连接 $A E$ ，由 $F$ 是线段 $B D$ 的中点，四边形 $A B E D$ 为正方形得 $F$ 为 $A E$ 的中点，

<ImageHere>

$\therefore G F$ 为 $\triangle A E C$ 的中位线，

$\therefore G F / / A C$.

又 $\because A C \subset$ 平面 $A B C ， G F \subset$ 平面 $A B C$ ，

$\therefore G F / /$ 平面 $A B C$.

(2)解 平面 $G F P / /$ 平面 $A B C$ ，

证明如下：

连接 $F P, G P$.

$\because$ 点 $F, P$ 分别为 $B D, C D$ 的中点，

$\therefore F P$ 为 $\triangle B C D$ 的中位线， $\therefore F P / / B C$.

又 $\because B C \subset$ 平面 $A B C ， F P \nmid$ 平面 $A B C ， \therefore F P / /$ 平面 $A B C$ ，
又 $G F / /$ 平面 $A B C ， F P \cap G F=F, F P \subset$ 平面 $G F P$ ，

$G F \subset$ 平面 $G F P ，$

$\therefore$ 平面 $G F P / /$ 平面 $A B C$.
解析：(1) 证明 如图，连接 $A E$ ，由 $F$ 是线段 $B D$ 的中点，四边形 $A B E D$ 为正方形得 $F$ 为 $A E$ 的中点，



$\therefore G F$ 为 $\triangle A E C$ 的中位线，

$\therefore G F / / A C$.

又 $\because A C \subset$ 平面 $A B C ， G F \subset$ 平面 $A B C$ ，

$\therefore G F / /$ 平面 $A B C$.

(2)解 平面 $G F P / /$ 平面 $A B C$ ，

证明如下：

连接 $F P, G P$.

$\because$ 点 $F, P$ 分别为 $B D, C D$ 的中点，

$\therefore F P$ 为 $\triangle B C D$ 的中位线， $\therefore F P / / B C$.

又 $\because B C \subset$ 平面 $A B C ， F P \nmid$ 平面 $A B C ， \therefore F P / /$ 平面 $A B C$ ，
又 $G F / /$ 平面 $A B C ， F P \cap G F=F, F P \subset$ 平面 $G F P$ ，

$G F \subset$ 平面 $G F P ，$

$\therefore$ 平面 $G F P / /$ 平面 $A B C$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 四边形 $A B C D$ 是矩形, $P \notin$ 平面 $A B C D$, 过 $B C$ 作平面 $B C F E$ 交 $A P$ 于点 $E$, 交 $D P$于点 $F$, 求证: 四边形 $B C F E$ 是梯形.


选项：
答案：$\because$ 四边形 $A B C D$ 为矩形，

$\therefore B C / / A D$.

$\because A D \subset$ 平面 $P A D ， B C \subset$ 平面 $P A D$ ，

$\therefore B C / /$ 平面 $P A D$.

$\because$ 平面 $B C F E \cap$ 平面 $P A D=E F$ ，

$\therefore B C / / E F$.

$\because A D=B C, A D \neq E F$
$\therefore B C \neq E F$,

$\therefore$ 四边形 $B C E F$ 是梯形.

13.如图, 已知 $E, F$ 分别是菱形 $A B C D$ 中边 $B C, C D$ 的中点, $E F$ 与 $A C$ 交于点 $O$, 点 $P$ 在平面 $A B C D$ 之外, $M$ 是线段 $P A$ 上一动点, 若 $P C / /$ 平面 $M E F$, 试求 $P M: M A$ 的值.

<ImageHere>

解 如图，连接 $B D$ 交 $A C$ 于点 $O_{1}$ ，连接 $O M$.

<ImageHere>

因为 $P C / /$ 平面 $M E F$ ，平面 $P A C \cap$ 平面 $M E F=O M ， P C \subset$ 平面 $P A C$ ，

所以 $P C / / O M$ ，所以 $\frac{P M}{P A}=\frac{O C}{A C}$.

在菱形 $A B C D$ 中，

因为 $E, F$ 分别是边 $B C, C D$ 的中点，所以 $\frac{O C}{O_{1} C}=\frac{1}{2}$.

又 $A O_{1}=C O_{1}$, 所以 $\frac{P M}{P A}=\frac{O C}{A C}=\frac{1}{4}$,

故 $P M: M A=1: 3$.
解析：$\because$ 四边形 $A B C D$ 为矩形，

$\therefore B C / / A D$.

$\because A D \subset$ 平面 $P A D ， B C \subset$ 平面 $P A D$ ，

$\therefore B C / /$ 平面 $P A D$.

$\because$ 平面 $B C F E \cap$ 平面 $P A D=E F$ ，

$\therefore B C / / E F$.

$\because A D=B C, A D \neq E F$
$\therefore B C \neq E F$,

$\therefore$ 四边形 $B C E F$ 是梯形.

13.如图, 已知 $E, F$ 分别是菱形 $A B C D$ 中边 $B C, C D$ 的中点, $E F$ 与 $A C$ 交于点 $O$, 点 $P$ 在平面 $A B C D$ 之外, $M$ 是线段 $P A$ 上一动点, 若 $P C / /$ 平面 $M E F$, 试求 $P M: M A$ 的值.



解 如图，连接 $B D$ 交 $A C$ 于点 $O_{1}$ ，连接 $O M$.



因为 $P C / /$ 平面 $M E F$ ，平面 $P A C \cap$ 平面 $M E F=O M ， P C \subset$ 平面 $P A C$ ，

所以 $P C / / O M$ ，所以 $\frac{P M}{P A}=\frac{O C}{A C}$.

在菱形 $A B C D$ 中，

因为 $E, F$ 分别是边 $B C, C D$ 的中点，所以 $\frac{O C}{O_{1} C}=\frac{1}{2}$.

又 $A O_{1}=C O_{1}$, 所以 $\frac{P M}{P A}=\frac{O C}{A C}=\frac{1}{4}$,

故 $P M: M A=1: 3$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 在四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 底面 $A B C D$ 为梯形, $A D / / B C$, 平面 $A_{1} D C E$ 与 $B_{1} B$ 交于点 $E$.求证: $E C / / A_{1} D$.


选项：
答案：因为 $B E / / A A_{1}$ ，

$A A_{1} \subset$ 平面 $A A_{1} D ， B E$ 平面 $A A_{1} D ，$

所以 $B E / /$ 平面 $A A_{1} D$.

因为 $B C / / A D, A D \subset$ 平面 $A A_{1} D$ ，

$B C 4$ 平面 $A A_{1} D$ ，所以 $B C / /$ 平面 $A A_{1} D$.

又 $B E \cap B C=B, B E \subset$ 平面 $B C E, B C \subset$ 平面 $B C E$ ，
所以平面 $B C E / /$ 平面 $A A_{1} D$.

又平面 $A_{1} D C E \cap$ 平面 $B C E=E C$ ，

平面 $A_{1} D C E \cap$ 平面 $A A_{1} D=A_{1} D$ ，

所以 $E C / / A_{1} D$.
解析：因为 $B E / / A A_{1}$ ，

$A A_{1} \subset$ 平面 $A A_{1} D ， B E$ 平面 $A A_{1} D ，$

所以 $B E / /$ 平面 $A A_{1} D$.

因为 $B C / / A D, A D \subset$ 平面 $A A_{1} D$ ，

$B C 4$ 平面 $A A_{1} D$ ，所以 $B C / /$ 平面 $A A_{1} D$.

又 $B E \cap B C=B, B E \subset$ 平面 $B C E, B C \subset$ 平面 $B C E$ ，
所以平面 $B C E / /$ 平面 $A A_{1} D$.

又平面 $A_{1} D C E \cap$ 平面 $B C E=E C$ ，

平面 $A_{1} D C E \cap$ 平面 $A A_{1} D=A_{1} D$ ，

所以 $E C / / A_{1} D$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示, 在四棱雉 $P-A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 是矩形. 已知 $A D=2, P A=2, P D=2 \sqrt{2}$,求证: $A D \perp$ 平面 $P A B$.


选项：
答案：在 $\triangle P A D$ 中，由 $P A=2, A D=2, P D=2 \sqrt{2}$ ，

可得 $P A^{2}+A D^{2}=P D^{2}$ ，即 $A D \perp P A$.

又 $A D \perp A B, P A \cap A B=A, P A, A B \subset$ 平面 $P A B$ ，

所以 $A D \perp$ 平面 $P A B$.
解析：在 $\triangle P A D$ 中，由 $P A=2, A D=2, P D=2 \sqrt{2}$ ，

可得 $P A^{2}+A D^{2}=P D^{2}$ ，即 $A D \perp P A$.

又 $A D \perp A B, P A \cap A B=A, P A, A B \subset$ 平面 $P A B$ ，

所以 $A D \perp$ 平面 $P A B$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 2 .



(1)求证: $A C \perp B_{1} D$;

(2)求三棱雉 $C-B D B_{1}$ 的体积.
选项：
答案：)证明 $\because A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 为正方体，

$\therefore B B_{1} \perp$ 平面 $A B C D$.

$\because$ 又 $A C \subset$ 平面 $A B C D ， \therefore B B_{1} \perp A C$.

又 $\because$ 底面 $A B C D$ 为正方形，

$\therefore A C \perp B D$.

$\because B B_{1} \cap B D=B, B B_{1}, B D \subset$ 平面 $B B_{1} D ，$

$\therefore A C \perp$ 平面 $B B_{1} D$.

$\because B_{1} D \subset$ 平面 $B D B_{1} ， \therefore A C \perp B_{1} D$.

(2)解 $V_{C-B D B_{1}}=V_{B_{1}-B D C}$.

$\because B_{1} B \perp$ 平面 $A B C D ，$

$\therefore B_{1} B$ 是三棱雉 $B_{1}-B D C$ 的高.

$\because V_{B_{1}-B D C}=\frac{1}{3} S_{\triangle B D C} \cdot B B_{1}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times 2=\frac{4}{3} ，$

$\therefore$ 三棱雉 $C-B D B_{1}$ 的体积为 $\frac{4}{3}$.
解析：)证明 $\because A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 为正方体，

$\therefore B B_{1} \perp$ 平面 $A B C D$.

$\because$ 又 $A C \subset$ 平面 $A B C D ， \therefore B B_{1} \perp A C$.

又 $\because$ 底面 $A B C D$ 为正方形，

$\therefore A C \perp B D$.

$\because B B_{1} \cap B D=B, B B_{1}, B D \subset$ 平面 $B B_{1} D ，$

$\therefore A C \perp$ 平面 $B B_{1} D$.

$\because B_{1} D \subset$ 平面 $B D B_{1} ， \therefore A C \perp B_{1} D$.

(2)解 $V_{C-B D B_{1}}=V_{B_{1}-B D C}$.

$\because B_{1} B \perp$ 平面 $A B C D ，$

$\therefore B_{1} B$ 是三棱雉 $B_{1}-B D C$ 的高.

$\because V_{B_{1}-B D C}=\frac{1}{3} S_{\triangle B D C} \cdot B B_{1}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 2 \times 2 \times 2=\frac{4}{3} ，$

$\therefore$ 三棱雉 $C-B D B_{1}$ 的体积为 $\frac{4}{3}$.
题目（高一 · 立体几何学）：在直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, $A B \perp B C, D$ 为棱 $C C_{1}$ 上任一点.

(1)求证：直线 $A_{1} B_{1} / /$ 平面 $A B D$;

(2)求证: 平面 $A B D \perp$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$.


选项：
答案：(1)由直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ ， 得 $A_{1} B_{1} / / A B$.

因为 $A_{1} B_{1} 4$ 平面 $A B D ， A B \subset$ 平面 $A B D$ ，

所以直线 $A_{1} B_{1} / /$ 平面 $A B D$.

(2)因为三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 为直三棱柱，所以 $A B \perp B B_{1}$.

又因为 $A B \perp B C ， B B_{1} \subset$ 平面 $B C C_{1} B_{1}, B C \subset$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ，且 $B B_{1} \cap B C=B$ ，所以 $A B \perp$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$.

又因为 $A B \subset$ 平面 $A B D$ ，所以平面 $A B D \perp$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$.
解析：(1)由直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ ， 得 $A_{1} B_{1} / / A B$.

因为 $A_{1} B_{1} 4$ 平面 $A B D ， A B \subset$ 平面 $A B D$ ，

所以直线 $A_{1} B_{1} / /$ 平面 $A B D$.

(2)因为三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 为直三棱柱，所以 $A B \perp B B_{1}$.

又因为 $A B \perp B C ， B B_{1} \subset$ 平面 $B C C_{1} B_{1}, B C \subset$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ，且 $B B_{1} \cap B C=B$ ，所以 $A B \perp$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$.

又因为 $A B \subset$ 平面 $A B D$ ，所以平面 $A B D \perp$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 四棱雉 $P-A B C D$ 的底面 $A B C D$ 为正方形, $P A \perp$ 底面 $A B C D, A C, B D$ 交于点 $E$, $F$ 是 $P B$ 的中点. 求证:



(1)EF// 平面 $P C D$;

(2)平面 $P B D \perp$ 平面 $P A C$.
选项：
答案：(1) $\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形，

$\therefore E$ 是 $B D$ 的中点.

又 $F$ 是 $P B$ 的中点，

$\therefore E F / / P D$.

又 $\because E F \Phi$ 平面 $P C D ， P D \subset$ 平面 $P C D ，$

$\therefore E F / /$ 平面 $P C D$.

(2) $\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形， $\therefore B D \perp A C$.

$\because P A \perp$ 平面 $A B C ， B D \subset$ 平面 $A B C ，$

$\therefore P A \perp B D$.

又 $P A \cap A C=A, P A, A C \subset$ 平面 $P A C$ ，

$\therefore B D \perp$ 平面 $P A C$.

又 $B D \subset$ 平面 $P B D ，$

$\therefore$ 平面 $P B D \perp$ 平面 $P A C$.
解析：(1) $\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形，

$\therefore E$ 是 $B D$ 的中点.

又 $F$ 是 $P B$ 的中点，

$\therefore E F / / P D$.

又 $\because E F \Phi$ 平面 $P C D ， P D \subset$ 平面 $P C D ，$

$\therefore E F / /$ 平面 $P C D$.

(2) $\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形， $\therefore B D \perp A C$.

$\because P A \perp$ 平面 $A B C ， B D \subset$ 平面 $A B C ，$

$\therefore P A \perp B D$.

又 $P A \cap A C=A, P A, A C \subset$ 平面 $P A C$ ，

$\therefore B D \perp$ 平面 $P A C$.

又 $B D \subset$ 平面 $P B D ，$

$\therefore$ 平面 $P B D \perp$ 平面 $P A C$.