题目（七年级 · 代数）：0 分）我们定义: 如果两个分式 $A$ 与 $B$ 的差为常数, 且这个常数为正数, 则称 $A$ 是 $B$ 的 “雅
中式”, 这个常数称为 $A$ 关于 $B$ 的 “雅中值”.

如分式 $A=\frac{2 x}{x+1}, B=\frac{-2}{x+1}, A-B=\frac{2 x}{x+1}-\left(\frac{-2}{x+1}\right)=\frac{2 x+2}{x+1}=\frac{2(x+1)}{x+1}=2$, 则 $A$ 是 $B$ 的 “雅中式”, $A$关于 $B$ 的 “雅中值” 为 2 .

(1) 已知分式 $C=\frac{1}{x+2}, D=\frac{x^{2}+5 x+6}{x^{2}+4 x+4}$, 判断 $C$ 是否为 $D$ 的 “雅中式”, 若不是, 请说明理由, 若是, 请证明并求出 $C$ 关于 $D$ 的 “雅中值” ;

(2)已知分式 $P=\frac{E}{9-x^{2}}, Q=\frac{2 x}{3-x}, P$ 是 $Q$ 的 “雅中式”, 且 $P$ 关于 $Q$ 的 “雅中值” 是 $2, x$ 为整数,且 “雅中式” $P$ 的值也为整数, 求 $E$ 所代表的代数式及所有符合条件的 $x$ 的值之和;

(3) 已知分式 $M=\frac{(x-b)(x-c)}{x}, N=\frac{(x-a)(x-5)}{x}(a, b, c$ 为整数), $M$ 是 $N$ 的 “雅中式” ，且 $M$ 关于 $N$ 的 “雅中值” 是 1 , 求 $a-b+c$ 的值.
选项：
答案：(1) $C$ 不是 $D$ 的 “雅中式”, 理由如下,

$C-D=\frac{1}{x+2}-\frac{x^{2}+5 x+6}{x^{2}+4 x+4}$

$=\frac{x+2-\left(x^{2}+5 x+6\right)}{x^{2}+4 x+4}$

$=-\frac{x^{2}+4 x+4}{x^{2}+4 x+4}=-1$.

即: $C$ 不是 $D$ 的 “雅中式”.

(2) $P-Q=\frac{E}{9-x^{2}}-\frac{2 x}{3-x}=\frac{E-2 x(3+x)}{9-x^{2}}=\frac{E-2 x^{2}-6 x}{9-x^{2}}$.

$\because P$ 是 $Q$ 的雅中式.

又 $\because P$ 关于 $Q$ 的雅中值为 2 .

$\therefore E-2 x^{2}-6 x=2\left(9-x^{2}\right)$.

$\therefore E=6 x+18$.
$\therefore P=\frac{E}{9-x^{2}}=\frac{6 x+18}{9-x^{2}}=\frac{6}{3-x}$.

$\because P$ 的值也为整数, 且分式有意义.

故 $3-x= \pm 1$, 或 $3-x= \pm 2$, 或者 $3-x= \pm 3$, 或 $3-x= \pm 6$,

$\therefore x$ 的值为: $-3,0,1,2,4,5,6,9$.

$\because x \neq \pm 3$.

$\therefore x$ 的值为: $0,1,2,4,5,6,9$.

符合条件的 $x$ 的值之和为: $0+1+2+4+5+6+9=27$.

（3） $\because M$ 是 $N$ 的 “雅中式”，且 $M$ 关于 $N$ 的 “雅中值” 是 1 .

$M-N=\frac{(x-b)(x-c)-(x-a)(x-5)}{x}=1$.

整理得: $(-b-c+a+4) x+b c-5 a=0$.

由上式子恒成立, 则: $\left\{\begin{array}{c}(-b-c+a+4)=0 \\ b c-5 a=0\end{array}\right.$.

消去 $a$ 得: $b c-5 b-5 c+20=0$.

$\therefore b(c-5)-5(c-5)=5$.

$\therefore(b-5) \quad(c-5)=5$.

$\because a 、 a 、 c$ 的整数.

$\therefore b-5 、 c-5$ 也是整数.

当 $b-5=1 、 c-5=5$ 时 $, b=5, c=10$, 此时 $a=12$.

$\therefore a-b+c=16$.

当 $b-5=5 、 c-5=1$ 时, $b=10, c=6$, 此时 $a=12$.

$\therefore a-b+c=8$.

当 $b-5=-1 、 c-5=-5$ 时, $b=4, c=0$, 此时 $a=0$.

$\therefore a-b+c=-4$.

当 $b-5=-5 、 c-5=-1$ 时, $b=0, c=4$, 此时 $a=0$.

$\therefore a-b+c=4$.

综上: $a-b+c$ 的值为: 16 或 8 或 -4 或 4.

【解析】(1) 根据定义即判断.

(2) 根据定义, 计算出 $E$ 的代数式, 然后分析 $P$, 即可找到所有的 $x$ 的值, 即可求值.

（3）根据题意建立等式后, 然后化简, 再进行分类讨论即可找到 $a 、 b 、 c$ 的值, 即可求解了
解析：答案】 (1) $C$ 不是 $D$ 的 “雅中式”, 理由如下,

$C-D=\frac{1}{x+2}-\frac{x^{2}+5 x+6}{x^{2}+4 x+4}$

$=\frac{x+2-\left(x^{2}+5 x+6\right)}{x^{2}+4 x+4}$

$=-\frac{x^{2}+4 x+4}{x^{2}+4 x+4}=-1$.

即: $C$ 不是 $D$ 的 “雅中式”.

(2) $P-Q=\frac{E}{9-x^{2}}-\frac{2 x}{3-x}=\frac{E-2 x(3+x)}{9-x^{2}}=\frac{E-2 x^{2}-6 x}{9-x^{2}}$.

$\because P$ 是 $Q$ 的雅中式.

又 $\because P$ 关于 $Q$ 的雅中值为 2 .

$\therefore E-2 x^{2}-6 x=2\left(9-x^{2}\right)$.

$\therefore E=6 x+18$.
$\therefore P=\frac{E}{9-x^{2}}=\frac{6 x+18}{9-x^{2}}=\frac{6}{3-x}$.

$\because P$ 的值也为整数, 且分式有意义.

故 $3-x= \pm 1$, 或 $3-x= \pm 2$, 或者 $3-x= \pm 3$, 或 $3-x= \pm 6$,

$\therefore x$ 的值为: $-3,0,1,2,4,5,6,9$.

$\because x \neq \pm 3$.

$\therefore x$ 的值为: $0,1,2,4,5,6,9$.

符合条件的 $x$ 的值之和为: $0+1+2+4+5+6+9=27$.

（3） $\because M$ 是 $N$ 的 “雅中式”，且 $M$ 关于 $N$ 的 “雅中值” 是 1 .

$M-N=\frac{(x-b)(x-c)-(x-a)(x-5)}{x}=1$.

整理得: $(-b-c+a+4) x+b c-5 a=0$.

由上式子恒成立, 则: $\left\{\begin{array}{c}(-b-c+a+4)=0 \\ b c-5 a=0\end{array}\right.$.

消去 $a$ 得: $b c-5 b-5 c+20=0$.

$\therefore b(c-5)-5(c-5)=5$.

$\therefore(b-5) \quad(c-5)=5$.

$\because a 、 a 、 c$ 的整数.

$\therefore b-5 、 c-5$ 也是整数.

当 $b-5=1 、 c-5=5$ 时 $, b=5, c=10$, 此时 $a=12$.

$\therefore a-b+c=16$.

当 $b-5=5 、 c-5=1$ 时, $b=10, c=6$, 此时 $a=12$.

$\therefore a-b+c=8$.

当 $b-5=-1 、 c-5=-5$ 时, $b=4, c=0$, 此时 $a=0$.

$\therefore a-b+c=-4$.

当 $b-5=-5 、 c-5=-1$ 时, $b=0, c=4$, 此时 $a=0$.

$\therefore a-b+c=4$.

综上: $a-b+c$ 的值为: 16 或 8 或 -4 或 4.

【解析】(1) 根据定义即判断.

(2) 根据定义, 计算出 $E$ 的代数式, 然后分析 $P$, 即可找到所有的 $x$ 的值, 即可求值.

（3）根据题意建立等式后, 然后化简, 再进行分类讨论即可找到 $a 、 b 、 c$ 的值, 即可求解了.