eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $B C=4$, 以点 $A$ 为圆心, 2 为半径的 $\odot A$ 与 $B C$ 相切于点 $D$, 交 $A B$ 于点 $E$, 交 $A C$ 于点 $F$, 点 $P$ 是 $\odot A$ 上一点, 且 $\angle E P F=40^{\circ}$, 则图中阴影部分的面积是 $(\quad)$


选项：
A. $4-\frac{8 \pi}{9}$
B. $4-\frac{\pi}{9}$
C. $8-\frac{4 \pi}{9}$
D. $8-\frac{8 \pi}{9}$
答案：A
解析：【分析】

本题考查了扇形的面积公式这个知识点, 连接 $A D$, 根据切线的性质得 $A D \perp B C$, 即 $A D=2$ 为 $B C$ 边上的高; 再根据圆周角定理得 $\angle E A F=2 \angle E P F=80^{\circ}$, 而 $S_{\text {阴 }}=S_{\triangle A B C}-S_{\text {扇 } A F}$, 然后利用扇形的面积公式: $S=\frac{n \pi R^{2}}{360}$ 和三角形的面积公式即可计算出图中阴影部分的面积.

【解答】

解: 连接 $A D$, 如图,



$\because \odot A$ 与 $B C$ 相切于点 $D$,

$\therefore A D \perp B C$, 且 $A D=2$,

又 $\because \angle E A F=2 \angle E P F=80^{\circ}$, 而 $B C=4$,
$\therefore S_{\text {阴 }}=S_{\triangle A B C}-S_{\text {扇 } A F}=\frac{1}{2} B C \times A D-\frac{80 \pi \times 2^{2}}{360}=4-\frac{8}{9} \pi$,

故选 $A$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $R t \triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, C D$ 是斜边 $A B$ 上的高, 下列线段的比值不等于 $\cos A$ 的值的是 ( $)$


选项：
A. $\frac{A D}{A C}$
B. $\frac{A C}{A B}$
C. $\frac{B D}{B C}$
D. $\frac{C D}{B C}$
答案：C
解析：【分析】

本题考查了锐角三角函数的定义, 在直角三角形中, 锐角的正弦为对边比斜边, 余弦为邻边比斜边, 正切为对边比邻边. 根据余角的性质, 可得 $\angle A=\angle B C D$, 根据余弦等于邻边比斜边, 可得答案.

【解答】

解: $A$ 、在 $R t \triangle A C D$ 中, $\cos A=\frac{A D}{A C}$, 故 $A$ 选项不符合题意;

B、在Rt $\triangle A B C$ 中, $\cos A=\frac{A C}{A B}$, 故 $B$ 选项不符合题意;

C、 由 $\angle A+\angle A C D=\angle B C D+\angle A C D=90^{\circ}$ 可得 $\angle A=\angle B C D$, 因此, 在 $R t \triangle B C D$ 中, $\cos A=$ $\cos \angle B C D=\frac{C D}{B C}$, 故 $C$ 选项符合题意;

$D$ 、在 $R t \triangle B C D$ 中, $\cos A=\cos \angle B C D=\frac{C D}{B C}$, 故 $D$ 选项不符合题意;故选: $C$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在半径为 4 的扇形 $O A B$ 中, $\angle A O B=90^{\circ}$, 点 $C$ 是 $A B$ 上一动点, 点 $D$ 是 $O C$ 的中点,连结 $A D$ 并延长交 $O B$ 于点 $E$, 则图中阴影部分面积的最小值为 $(\quad)$


选项：
A. $4 \pi-4$
B. $4 \pi-\frac{8 \sqrt{3}}{3}$
C. $2 \pi-4$
D. $2 \pi-\frac{8 \sqrt{3}}{3}$
答案：B
解析：【分析】

本题考查扇形面积的计算、解直角三角形, 解答本题的关键是分析出何时阴影部分面积最小. 根据题意和图形, 可以画出相应的辅助线, $O A=4, \angle A O E=90^{\circ}$, 则当 $O E$ 取得最大值时, 阴影部分的面积取得最小值, 则当 $A E$ 和半径为 2 的小圆 $O$ 相切时, $O E$ 最大, 然后计算即可.

【解答】

解: $\because$ 点 $D$ 是 $O C$ 的中点, $O C=4$,

$\therefore O D=2, O A=4$,

$\therefore$ 点 $D$ 在以点 $O$ 为圆心 2 为半径的圆弧上, 如图,



$\therefore$ 当 $A E^{\prime}$ 与小圆 $O$ 相切时, $O E^{\prime}$ 最大, 此时 $O C^{\prime}$ 与小圆 $O$ 交于点 $D^{\prime}$,

$\because O A=4, \angle A O E=90^{\circ}$,

$\therefore$ 当 $O E$ 最大时, 阴影部分取得最小值,

$\because \angle A D^{\prime} O=90^{\circ}, O D^{\prime}=2, O A=4$,

$\therefore O A=2 O D^{\prime}$,

$\therefore \angle O A D^{\prime}=30^{\circ}$,

$\therefore \tan \angle O A E^{\prime}=\frac{O E^{\prime}}{O A}=\frac{O E^{\prime}}{4}$,

即解 $30^{\circ}=\frac{O E^{\prime}}{4} ，$

解得 $O E^{\prime}=\frac{4 \sqrt{3}}{3}$,

$\therefore$ 图中阴影部分面积的最小值为: $\frac{90 \pi \times 4^{2}}{360}-\frac{\frac{4 \sqrt{3}}{3} \times 4}{2}=4 \pi-\frac{8 \sqrt{3}}{3}$,

故选: $B$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 矩形 $A B C D$ 中, $M$ 为 $C B$ 延长线上一点, 连接 $A M 、 D M$, 若 $M D$ 平分 $\angle A M C$, 若 $C D=6$, $\tan \angle D M C=\frac{1}{3}$, 则 $\triangle A D M$ 的面积为 $($ )


选项：
A. 28
B. 30
C. 32
D. 36
答案：B
解析：解: 在矩形 $A B C D$ 中, $\angle A B C=\angle C=90^{\circ}, A B=C D=6, A D=B C, A D / / B C$,

$\therefore \angle A D M=\angle D M C$

$\because M D$ 平分 $\angle A M C$,

$\therefore \angle D M C=\angle A M D$,

$\therefore \angle A D M=\angle A M D$,
$\therefore A D=A M$,

$\because C D=6, \tan \angle D M C=\frac{C D}{M C}=\frac{1}{3}$,

$\therefore M C=18$,

$\therefore B M=M C-B C=18-A D$,

在Rt $\triangle A B M$ 中，根据勾股定理得，

$A M^{2}=B M^{2}+A B^{2}$,

$\therefore A D^{2}=(18-A D)^{2}+6^{2}$,

$\therefore A D=10$,

$\therefore \triangle A D M$ 的面积 $=\frac{1}{2} \times A D \cdot A B=\frac{1}{2} \times 10 \times 6=30$.

故选：B.

根据矩形性质和三角函数求出 $M C=18$, 然后利用勾股定理求出 $A D=10$, 进而可以求出 $\triangle A D M$ 的面积.

本题考查了矩形的性质, 角平分线定义, 解直角三角形, 解决本题的关键是掌握矩形的性质.
题目（九年级 · 度量几何学）：长方形的周长为 $14 \mathrm{~cm}$, 其中一边为 $x(0<x<7) \mathrm{cm}$, 面积为 $y \mathrm{~cm}^{2}$. 那么 $y$ 与 $x$ 的关系是 ( )

选项：
A. $y=(14-x)^{2}$
B. $y=(7-x)^{2}$
C. $y=x(14-x)$
D. $y=x(7-x)$

答案：D
解析：根据题意, 先根据周长, 将长方形的另一边表示出来, 再根据长方形的面积=长 $\times$宽, 即可进行解答.

【详解】解: 根据题意可得:

$\because$ 长方形的周长为 $14 \mathrm{~cm}$, 其中一边为 $x(0<x<7) \mathrm{cm}$,
$\therefore$ 长方形的另一边长为 $(7-x) \mathrm{cm}$,

$\therefore y=x(7-x)$,

故选: D.

【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用, 解题的关键是掌握长方形的面积计算方法.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle B=90^{\circ}, A B=6 \mathrm{~cm}, B C=8 \mathrm{~cm}$. 动点 $P$ 从点 $\mathrm{A}$ 开始沿边 $A B$向点 $B$ 以 $1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速度移动, 动点 $Q$ 从点 $B$ 开始沿边 $B C$ 向点 $C$ 以 $2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速度移动. 若 $P, Q$ 两点分别从 $\mathrm{A}, B$ 两点同时出发, 在运动过程中, $\triangle P B Q$ 的最大面积是 ( )



选项：
A. $18 \mathrm{~cm}^{2}$
B. $12 \mathrm{~cm}^{2}$
C. $9 \mathrm{~cm}^{2}$
D. $3 \mathrm{~cm}^{2}$


答案：C
解析：设 $P, Q$ 同时出发后经过 $t \mathrm{~s}, \triangle P B Q$ 的面积为 $S \mathrm{~cm}^{2}$, 则 $A P=t \mathrm{~cm}, B Q=2 t \mathrm{~cm}$, $B P=A B-A P=(6-t) \mathrm{cm}$, 进而得到 $\mathrm{S}$ 的表达式; 由于 $\mathrm{S}$ 的表达式为二次函数的形式, 将其化为顶点式, 再结合 $t$ 的取值范围就能得出 $\triangle P B Q$ 面积的最大值.

【详解】设 $P, Q$ 同时出发后经过 $t \mathrm{~s}, \triangle P B Q$ 的面积为 $S \mathrm{~cm}^{2}$

则 $A P=t \mathrm{~cm}, B Q=2 t \mathrm{~cm}, B P=A B-A P=(6-t) \mathrm{cm}$

则 $S=\frac{1}{2} B P \cdot B Q=-t^{2}+6 t=-(t-3)^{2}+9$

$\because A B=6 \mathrm{~cm}, B C=8 \mathrm{~cm}$, 点 $P$ 的速度为 $1 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$, 点 $Q$ 的速度为 $2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$

$\therefore 0<t \leq 4$

$\therefore S=-(t-3)^{2}+9(0<t \leq 4)$

$\therefore t=3$ 时, $S$ 有最大值, 最大值为 9 , 即 $\triangle P B Q$ 的最大面积为 $9 \mathrm{~cm}^{2}$

故选: C.

【点睛】本题考查的是二次函数的应用, 根据题意列出二次函数是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：半径为 3 的正六边形的周长为 ( )

选项：
A. 18
B. $18 \sqrt{3}$
C. $\frac{9 \sqrt{3}}{4}$
D. $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$

答案：A
解析：根据正六边形的半径等于边长进行解答即可.

【详解】解: $\because$ 正六边形的半径等于边长,

$\therefore$ 正六边形的边长 $\mathrm{a}=3$,

正六边形的周长 $=6 \mathrm{a}=18$.

故选: A.

【点睛】本题考查了正六边形的性质, 解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, A C=B C, A B=2 \sqrt{2}$, 点 $O$ 为 $A B$ 的中点, 以点 $O$ 为圆心作半圆与边 AC 相切于点 D. 则图中阴影部分的面积为 ( )



选项：
A. $1-\frac{1}{4} \pi$
B. $1-\frac{1}{8} \pi$
C. $2-\frac{3}{4} \pi$
D. $2-\frac{1}{4} \pi$


答案：A
解析：连接 $O D$, 则 $O D \perp A C, \triangle A O D$ 为等腰直角三角形, 根据等腰直角三角形性质得到 $\mathrm{OA}=\sqrt{2} ; \mathrm{OD}=1$, 根据 $\triangle \mathrm{AOD}$ 中的阴影面积 $=\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{AOD}}-\mathrm{S}$ 扇形; 进而可求阴影总面积.

【详解】连接 $\mathrm{OD}$, 则 $\mathrm{OD} \perp \mathrm{AC}, \triangle \mathrm{AOD}$ 为等腰直角三角形,



$\because A B=4, O$ 是 $A B$ 的中点,

$\therefore \mathrm{OA}=\sqrt{2} ; \mathrm{OD}=1$,

$\therefore \triangle \mathrm{AOD}$ 中的阴影面积 $=\frac{1}{2} \times 1 \times 1-\frac{45 \pi \times 1}{360}=\frac{1}{2}-\frac{\pi}{8}$;

则图中阴影部分的面积是 $1-\frac{\pi}{4}$.

故选 A

【点睛】本题考核知识点：扇形面积，等腰直角三角形. 解题关键点：掌握等腰直角三角形性质和扇形面积公式.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 以点 $O$ 为圆心的两个同心圆把以 $O A$ 为半径的大圆 $O$ 的面积三等分, 这两个圆的半径分别为 $O B, O C$. 则 $O A: O B: O C$ 的值是 ( )



选项：
A. $3: 2: 1$
B. $9: 4: 1$
C. $\sqrt{3}: \sqrt{2}: 1$
D. $3: \sqrt{6}: \sqrt{2}$


答案：C
解析：根据圆的面积公式得出方程, 根据算术平方根求出 $O A 、 O B 、 O C$ 的值, 再代入即可得出答案

【详解】解: 以 $O A$ 半径的圆的面积是 $\pi r^{2}$, 则以 $O B$ 半径的圆的面积是 $\frac{2}{3} \pi r^{2}$, 则以 $O C$ 半径
的圆的面积是 $\frac{1}{3} \pi r^{2}$

$\therefore \pi O B^{2}=\frac{2}{3} \pi r^{2}, \quad \pi O C^{2}=\frac{1}{3} \pi r^{2}$,

$\therefore O B=\frac{\sqrt{6}}{3} r, O C=\frac{\sqrt{3}}{3} r$.

$\therefore O A: O B: O C=r: \frac{\sqrt{6}}{3} r: \frac{\sqrt{3}}{3} r=\sqrt{3}: \sqrt{2}: 1$,

故选: C.

【点睛】本题考查了正多边形与圆, 算术平方根, 圆的面积的应用, 解此题的关键是能根据题意得出关于 $O A 、 O B 、 O C$ 的方程, 难度不是很大.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\odot \mathrm{O}$ 中, 直径 $\mathrm{CD}$ 与弦 $\mathrm{AB}$ 相交于点 $\mathrm{E}$, 若 $\mathrm{BE}=3, \mathrm{AE}=4, \mathrm{DE}=2$, 则 $\odot \mathrm{O}$的半径是( )



选项：
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8


答案：B
解析：利用相交弦定理, 可以求出 $\mathrm{CE}$ 的长, 从而知道 $\mathrm{CD}$ 的长, 就可求出 $\odot \mathrm{O}$ 的半径.

【详解】解: 根据相交弦定理, $\mathrm{AE} \cdot \mathrm{BE}=\mathrm{CE} \cdot \mathrm{DE}$,

又 $\because \mathrm{BE}=3, \mathrm{AE}=4, \mathrm{DE}=2$,

$\therefore \mathrm{CE}=6$

$\therefore \mathrm{CD}=\mathrm{CE}+\mathrm{DE}=8$

那么圆的半径等于 4 .

故选 B.

【点晴】此题考查了相交弦定理, 先求出直径, 再得出半径.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $\mathrm{CD}$ 垂直平分半径 $\mathrm{OB}$, 垂足为 $\mathrm{P}$ 点, $\mathrm{CD}=12$, 则 $\mathrm{OB}=($ )



选项：
A. $2 \sqrt{3}$
B. $4 \sqrt{3}$
C. $4 \sqrt{5}$
D. $8 \sqrt{3}$


答案：B
解析：试题分析: 连接 $\mathrm{OD}$, 先根据垂径定理求出 $\mathrm{DE}$ 的长, 再设 $\mathrm{AB}=4 \mathrm{x}$, 则 $\mathrm{OE}=\mathrm{x}, \mathrm{OD}=2 \mathrm{x}$,根据勾股定理求出 $\mathrm{x}$ 的值即可.

解: 连接 $\mathrm{OD}$,

$\because$ 弦 $\mathrm{CD}$ 垂直平分半径 $\mathrm{OB}$, 垂足为 $\mathrm{P}, \mathrm{CD}=12$,

$\therefore \mathrm{DP}=\frac{1}{2} \mathrm{CD}=6$,

设 $\mathrm{OP}=\mathrm{x}, \mathrm{OD}=2 \mathrm{x}$,

$\therefore \mathrm{OP}^{2}+\mathrm{DP}^{2}=\mathrm{OD}^{2}$, 即 $\mathrm{x}^{2}+6^{2}=(2 \mathrm{x})^{2}$, 解得 $\mathrm{x}=2 \sqrt{3}$,

$\therefore \mathrm{OB}=\mathrm{OD}=4 \sqrt{3}$.

故选 B.

考点: 垂径定理；勾股定理.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 圆内接正六边形的边长为 4 , 以其各边为直径作半圆, 则图中阴影部分的面积为 ( )



选项：
A. $24 \sqrt{3}-4 \pi$
B. $12 \sqrt{3}+4 \pi$
C. $24 \sqrt{3}+8 \pi$
D. $24 \sqrt{3}+4 \pi$


答案：A
解析：正六边形的面积加上六个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果.

【详解】解：正六边形的面积为： $\frac{1}{2} \times 4 \times 2 \sqrt{3} \times 6=24 \sqrt{3}$,

六个小半圆的面积为: $\pi \cdot 2^{2} \times 3=12 \pi$, 中间大圆的面积为: $\pi \cdot 4^{2}=16 \pi$,

所以阴影部分的面积为: $24 \sqrt{3}+12 \pi-16 \pi=24 \sqrt{3}-4 \pi$,

故选: A.

【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正六边形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：四边形 $A B C D$ 的内角 $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$ 度数之比如下, 则四边形是圆内接四边形的是 ( )

选项：
A. $4: 2: 2: 5$
B. $3: 1: 2: 5$
C. $4: 1: 1: 5$
D. $3: 1: 2: 4$

答案：D
解析：根据圆的内接四边形对角互补,则两对角的和应该相等,比值所占份数也相同解答.

【详解】解： $\because$ 圆的内接四边形对角互补,

$\therefore \angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ}$,

$\therefore \angle A: \angle B: \angle C: \angle D$ 的可能的值是 3: 1: 2: 4 .

故选: D.

【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆的内接四边形对角互补是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 点 $A, B, C$ 在 $\odot O$ 上, $\angle A O B=62^{\circ}$, 则 $\angle A C B$ 的度数为 ( )



选项：
A. $28^{\circ}$
B. $31^{\circ}$
C. $62^{\circ}$
D. $124^{\circ}$


答案：B
解析：根据圆周角定理直接即可求解.

【详解】解: $\because A B=A B$,

$\therefore \angle A C B=\frac{1}{2} \angle A O B=62^{\circ}=31^{\circ}$,

故选: B.

【点睛】本题考查了圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图,一条公路的拐弯处是一段圆弧 $A B$, 点 $O$ 是这段弧所在的圆的圆心, $A B=20 \mathrm{~cm}$,点 $C$ 是 $A B$ 的中点, 点 $D$ 是 $A B$ 的中点, 且 $C D=5 \mathrm{~cm}$, 则这段弯路所在圆的半径为 ( )



选项：
A. $10 \mathrm{~cm}$
B. $12.5 \mathrm{~cm}$
C. $15 \mathrm{~cm}$
D. $17 \mathrm{~cm}$


答案：B
解析：根据题意, 可以推出 $A D=B D=10$, 若设半径为 $r$, 则 $O D=r-5, O A=r$, 结合勾股定理可推出半径 $r$ 的值.

【详解】解: $\because O C \perp A B, A B=20$,

$\therefore A D=D B=10$,

在 Rt $\triangle A O D$ 中, $O A^{2}=O D^{2}+A D^{2}$,

设半径为 $r$ 得: $r^{2}=(r-5)^{2}+10^{2}$,

解得: $r=12.5$,

$\therefore$ 这段弯路的半径为 12.5 ,

故选: $B$.

【点睛】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用, 关键在于设出半径为 $r$ 后, 用 $r$表示出 $O D 、 O A$ 的长度.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在平面直角坐标系中, $\mathrm{A}(0,2 \sqrt{3}), \mathrm{B}(6,0)$, 点 $\mathrm{P}$ 为线段 $\mathrm{AB}$ 的中点,将线段 $\mathrm{AB}$ 绕点 $\mathrm{O}$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 后点 $\mathrm{P}$ 的对应点 $\mathrm{P}^{\prime}$ 的坐标是 ( )



选项：
A. $(-3, \sqrt{3})$
B. $(-\sqrt{3}, 3)$
C. $(\sqrt{3},-3)$
D. $(-1, \sqrt{3})$


答案：B
解析：根据旋转的性质可得到 $\mathrm{A}^{\prime}$ 和 $\mathrm{B}^{\prime}$ 的坐标, 再根据 $\mathrm{A}^{\prime}$ 和 $\mathrm{B}^{\prime}$ 的坐标求得其中点 $\mathrm{P}^{\prime}$ 的坐标即可.

【详解】解：将线段 $\mathrm{AB}$ 旋转之后得到的线段为 $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$,

由旋转的性质可得 $A^{\prime}(-2 \sqrt{3}, 0) \quad B^{\prime}(0,6)$

此时 $\mathrm{P}$ '是线段为 $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}$ '的中点,

$\therefore$ 点 $\mathrm{P}^{\prime}$ 的坐标为 $\left(\frac{-2 \sqrt{3}+0}{2}, \frac{0+6}{2}\right)$ 即 $(-\sqrt{3}, 3)$.

故选: B.

【点睛】本题考查了坐标与图形变化——旋转：旋转不改变图形的形状和大小, 根据旋转角度求出旋转之后的坐标即可.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $A B$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的直径, 点 $C$ 、 $D$ 在 $\odot \mathrm{O}$ 上, $\angle B D C=20^{\circ}$, 则 $\angle A O C$ 的大小为



选项：
A. $40^{\circ}$
B. $140^{\circ}$
C. $160^{\circ}$
D. $170^{\circ}$


答案：B
解析：根据同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍得到 $\angle \mathrm{BOC}=2 \angle \mathrm{BDC}=40^{\circ}$, 即可求出答案.

【详解】 $\because \angle B D C=20^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BOC}=2 \angle \mathrm{BDC}=40^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{AOC}=180^{\circ}-\angle \mathrm{BOC}=140^{\circ}$,

故选: B.

【点睛】此题考查了圆周角定理：同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍, 邻补角的定义.
题目（九年级 · 度量几何学）：设计一个商标图案: 先作矩形 $\mathrm{ABCD}$, 使 $\mathrm{AB}=2 \mathrm{BC}, \mathrm{AB}=8$, 再以点 $\mathrm{A}$ 为圆心、 $\mathrm{AD}$ 的长为半径作半圆, 交 $\mathrm{BA}$ 的延长线于 $\mathrm{F}$, 连 $\mathrm{FC}$. 图中阴影部分就是商标图案, 该商标图案的面积等于 ( )



选项：
A. $4 \pi+8$
B. $4 \pi+16$
C. $3 \pi+8$
D. $3 \pi+16$


答案：A
解析：根据矩形的性质得到 $A D=B C=4, \angle F A D=90^{\circ}$, 根据图形得到 $S_{\text {阴 }}=S_{\text {矩 }} A B C D+S_{\text {扇 }}$ $A D F-S_{\triangle} F B C$.

【详解】解: $\because$ 矩形 $A B C D$ 中, $A B=2 B C$, 且 $A B=8 \mathrm{~cm}$,

$\therefore A D=B C=4$,

$\therefore S_{\text {阴 }}=S_{\text {矩 }} A B C D+S_{\text {扇 }} A D F-S_{\triangle} F B C$,

$\because S_{\text {矩 }} A B C D=A B \cdot B C=8 \times 4=32$,

$S_{\text {扇 }} A D F=\frac{90 \pi \times 4^{2}}{360}=4 \pi$

$S_{\triangle} F B C=\frac{1}{2} B C \cdot F B=\frac{1}{2} \times 4 \times(8+4)=24$,

$\therefore S_{\text {阴 }}=32+4 \pi-24=(8+4 \pi) \mathrm{cm}^{2}$.

所以商标图案的面积为 $(8+4 \pi) \mathrm{cm}^{2}$.

故选 $A$.

【点睛】本题考查了扇形的面积公式: $S=\frac{n \pi r^{2}}{360}$ (其中 $n$ 为扇形的圆心角的度数, $r$ 为半径). 也考查了矩形的性质.
题目（九年级 · 度量几何学）：$\odot O$ 的半径等于 3 , 则 $\odot O$ 的内接正方形的边长等于 ( )

选项：
A. 3
B. $2 \sqrt{2}$
C. $3 \sqrt{2}$
D. 6

答案：C
解析：试题解析：如图所示：



$\odot O$ 的半径为 3 ,

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形, $\angle B=90^{\circ}$,

$\therefore A C$ 是 $\odot O$ 的直径,

$\therefore A C=2 \times 3=6$,

$\because \mathrm{AB}^{2}+\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AC}^{2} A B^{2}+B C^{2}=A C^{2}, A B=B C$,

$\therefore A B^{2}+B C^{2}=36$,

解得: $A B=3 \sqrt{2}$,

即 $\odot O$ 的内接正方形的边长等于 $3 \sqrt{2}$,

故选 C.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 点 $O$ 为线段 $A B$ 的中点, 点 $A, C, D$ 到点 $O$ 的距离相等, 若 $\angle A B C=50^{\circ}$, 则 $\angle A D C$ 的度数是 ( )



选项：
A. $100^{\circ}$
B. 130
C. 140
D. $150^{\circ}$


答案：B
解析：根据题意得到四点 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B} 、 \mathrm{C} 、 \mathrm{D}$ 共圆, 利用圆内接四边形对角互补即可求出所求角的度数.

【详解】解：由题意得到 $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=\mathrm{OD}$, 作出圆 $\mathrm{O}$, 如图所示,

$\therefore$ 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 为圆 $\mathrm{O}$ 的内接四边形,

$\therefore \angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{ADC}=180^{\circ}$,

$\because \angle \mathrm{ABC}=50^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{ADC}=130^{\circ}$,

故答案为: B.



【点睛】此题考查了圆内接四边形的性质, 熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：已知扇形的弧长为 $3 \pi \mathrm{cm}$, 半径为 $6 \mathrm{~cm}$, 则此扇形的圆心角为 ( )

选项：
A. $30^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $90^{\circ}$

答案：D
解析：根据弧长公式 $\mathrm{l}=\frac{n \pi r}{180}$, 再代入 $1, \mathrm{r}$ 的值计算即可.

【详解】 $\because 1=\frac{n \pi r}{180}, \quad \mathrm{l}=3 \pi \mathrm{cm}, \mathrm{r}=6 \mathrm{~cm}$,

$\therefore 3 \pi=\frac{n \pi \times 6}{180}$,

解得 $\mathrm{n}=90^{\circ}$.

故选 D.

【点睛】考查了弧长的计算, 熟记弧长公式 $\mathrm{l}=\frac{n \pi r}{180}$ 是解此题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：粮仓的顶部是圆雉形, 这个圆雉的底面直径是 $4 \mathrm{~m}$, 母线长为 $3 \mathrm{~m}$, 为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡, 那么这块油毡的面积至少为( )

选项：
A. $6 \mathrm{~m}^{2}$
B. $6 \pi \mathrm{m}^{2}$
C. $12 \mathrm{~m}^{2}$
D. $12 \pi \mathrm{m}^{2}$

答案：B
解析：试题解析：这个圆雉的底面直径是 $4 \mathrm{~m} . r=2 \mathrm{~m}$.

圆雉侧面展开扇形的面积： $S=\pi r l=\pi \times 2 \times 3=6 \pi$.

故选 B.

点睛：圆雉侧面展开扇形的面积： $S=\pi r l$.
题目（九年级 · 度量几何学）：$\odot O$ 的半径为 5 , 同一个平面内有一点 $P$, 且 $O P=7$, 则 $P$ 与 $\odot O$ 的位置关系是 ( )

选项：
A. $P$ 在圆内
B. $P$ 在圆上
C. $P$ 在圆外
D. 无法确定

答案：C
解析：根据点与圆的位置关系即可得出结果.

【详解】解：因为 $O P=7>5$, 所以点 $P$ 与圆 $O$ 的位置关系是点在圆外,

故选: C

【点睛】本题主要考查的是点与圆的位置关系, 掌握点与圆的位置关系是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $\triangle A B C$ 内接于 $\odot O, A$ 为劣弧 $B C$ 的中点, $\angle B A C=120^{\circ}$, 过点 $B$ 作 $\odot O$ 的直径 $B D$, 连接 $A D$, 若 $A D=6$, 则 $A C$ 的长为（）



选项：
A. $2 \sqrt{3}$
B. $\sqrt{3}$
C. 2
D. $4 \sqrt{3}$


答案：A
解析：先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出 $\angle C=30^{\circ}$, 再根据圆周角定理得到 $\angle D=\angle C=30^{\circ}, \angle B A D=90^{\circ}$, 然后利用含 30 度的三角形三边的关系求解.

【详解】解： $\because A$ 为劣弧 $B C$ 的中点, $\therefore A B=A C$,

又 $\because \angle B A C=120^{\circ}, \quad \therefore \angle C=\angle A B C=30^{\circ}$,

$\therefore \angle D=\angle C=30^{\circ}$,

$\because A$ 为劣弧 $B C$ 的中点,

$\therefore \angle B A D=90^{\circ}$,

在 Rt $\triangle A B D$ 中, $B D=2 A B, \therefore A D=\sqrt{3} A B$

$\therefore A B=\frac{\sqrt{3}}{3} A D=2 \sqrt{3}$,

$\therefore A C=A B=2 \sqrt{3}$,

故选 $A$.
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中, 同弧或等弧所对的圆周角相等, 都等于这条弧所对的圆心角的一半. 推论: 半圆（或直径）所对的圆周角是直角, $90^{\circ}$ 的圆周角所对的弦是直径. 也考查了含 30 度的直角三角形三边的关系.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\odot O$ 中, 直径 $A B \perp C D, \angle D=38^{\circ}$, 则 $\angle A$ 的度数是（）



选项：
A. $52^{\circ}$
B. $38^{\circ}$
C. $19^{\circ}$
D. $26^{\circ}$


答案：D
解析：连接 $O C$, 如图, 先根据圆周角定理得到 $\angle B O C=2 \angle A$, 再利用互余计算出 $\angle D O B=\angle C O B=52^{\circ}$, 从而可计算 $\angle A$ 的度数.

【详解】解: 连接 $O C$, 设 $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $E$,



$\because$ 直径 $A B \perp C D$,

$\therefore \angle O E D=90^{\circ}, \quad B D=C B$,

$\therefore \angle B O D=\angle C O B$,

$\because \angle D=38^{\circ}$,

$\therefore \angle D O B=90^{\circ}-\angle D=52^{\circ}$,

$\therefore \angle C O B=\angle D O B=52^{\circ}$,

$\therefore \angle A=\frac{1}{2} \angle C O B=26^{\circ}$,

故选: D.

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中, 同弧或等弧所对的圆周角相等, 都等于这条弧所对的圆心角的一半.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $A B$ 为 $\odot O$ 的直径, 点 $C, D$ 都在 $\odot O$ 上, 若 $B D=B C, \angle A B C=65^{\circ}$, 则 $\angle B O D=$



选项：
A. $65^{\circ}$
B. $60^{\circ}$
C. $50^{\circ}$
D. $25^{\circ}$


答案：C
解析：连接 $A D$, 由 $A B$ 为 $\odot O$ 的直径, 可得 $\angle C=90^{\circ}$, 即可得 $\angle B A C=180^{\circ}-\angle A B C-\angle C=25^{\circ}$,由 $B D=B C$, 可得 $\angle B A D=\angle B A C=25^{\circ}$, 则 $\angle B O D=2 \angle B A D=50^{\circ}$, 问题得解.

【详解】连接 $A D$, 如图,



$\because A B$ 为 $\odot O$ 的直径,

$\therefore \angle C=90^{\circ}$,

$\because \angle A B C=65^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C=180^{\circ}-\angle A B C-\angle C=25^{\circ}$,

$\because B D=B C$

$\therefore B D=B C$,

$\therefore \angle B A D=\angle B A C=25^{\circ}$,

$\therefore \angle B O D=2 \angle B A D=50^{\circ}$,

故选: C.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理及其推论, 掌握圆周角定理是解答本题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 点 $A, B, C$ 在 $\odot O$ 上, 若 $\angle C=55^{\circ}$, 则 $\angle A O B$ 的度数为（）



选项：
A. $95^{\circ}$
B. $100^{\circ}$
C. $105^{\circ}$
D. $110^{\circ}$


答案：D
解析：直接根据圆周角定理即可得.

【详解】解: $\because \angle C=55^{\circ}$,

$\therefore$ 由圆周角定理得: $\angle A O B=2 \angle C=110^{\circ}$,

故选: D.

【点睛】本题考查了圆周角定理, 熟练掌握圆周角定理是解题关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：下列语句中正确的有( )

(1)相等的圆心角所对的弧相等; (2)平分弦的直径垂直于弦; (3)圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴: (4)三点确定一个圆.

选项：
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个


答案：A
解析：根据圆心角定理、垂径定理、圆的性质逐个判断即可.

【详解】(1)同圆或等圆中, 相等的圆心角所对的弧相等, 说法错误

(2)平分弦（非直径）的直径垂直于弦，说法错误

(3)圆是轴对称图形, 任何一条直径所在直线都是它的对称轴, 说法正确

(4)不在同一条直线上的三点确定一个圆, 说法错误

综上, 正确的个数为 1 个

故选: A.

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【点睛】本题考查了圆心角定理、垂径定理、圆的性质, 熟记各定理与性质是解题关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 四边形 $A B C D$ 是菱形, 点 $B, C$ 在扇形 $A E F$ 的弧 $E F$ 上, 若扇形 $A B C$ 的面积为 $\frac{3}{8} \pi$, 则菱形 $A B C D$ 的边长为 ( )



选项：
A. 1
B. 1.5
C. $\sqrt{3}$
D. 2


答案：B
解析：根据菱形的各边相等和同圆的半径相等发现等边 $\triangle \mathrm{ABC}$, 可得 $\angle \mathrm{CAB}=60^{\circ}$, 从而根据扇形的面积公式求得扇形所在圆的半径, 即为菱形的边长.

【详解】解： $\because$ 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是菱形,

$\therefore \mathrm{AB}=\mathrm{BC}$.

又 $\because \mathrm{AB}=\mathrm{AC}$,

$\therefore \triangle \mathrm{ABC}$ 是等边三角形.

$\therefore \angle \mathrm{CAB}=60^{\circ}$.

设扇形的半径是 R.

$\therefore \frac{60 \pi R^{2}}{360}=\frac{3}{8} \pi$,

$\mathrm{R}=1$. 5

故选 B.

【点睛】此题综合考查了菱形的性质和扇形的面积公式有关知识, 证明 $\triangle \mathrm{ABC}$ 是等边三角形是解答本题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 点 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B} 、 \mathrm{C}$ 都在 $\odot \mathrm{O}$ 上, $\angle \mathrm{ACB}=40^{\circ}$, 则 $\angle \mathrm{AOB}$ 等于（）



选项：
A. $40^{\circ}$
B. $80^{\circ}$
C. $90^{\circ}$
D. $100^{\circ}$


答案：B
解析：由 $\angle \mathrm{ACB}=40^{\circ}$, 根据在同圆或等圆中, 同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半, 即可求得 $\angle \mathrm{AOB}$ 的度数.

【详解】 $\because \angle \mathrm{ACB}=40^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{AOB}=2 \angle \mathrm{ACB}=80^{\circ}$.

故选: B.

【点睛】此题考查圆周角定理, 解题的关键是掌握在同圆或等圆中, 同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用.
题目（九年级 · 度量几何学）：已知矩形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\mathrm{AB}=3 \mathrm{~cm}, \mathrm{AD}=4 \mathrm{~cm}$, 以 $\mathrm{A}$ 为圆心, $4 \mathrm{~cm}$ 为半径作 $\odot \mathrm{A}$, 则 ( )


选项：
A. B 在 $\odot \mathrm{A}$ 内, $\mathrm{C}$ 在 $\odot \mathrm{A}$ 外
B. $\mathrm{D}$ 在 $\odot \mathrm{A}$ 内, $\mathrm{C}$ 在 $\odot \mathrm{A}$ 外
C. $\mathrm{B}$ 在 $\odot \mathrm{A}$ 内, $\mathrm{D}$ 在 $\odot \mathrm{A}$ 外

D. B 在 $\odot \mathrm{A}$ 上, $\mathrm{C}$ 在 $\odot \mathrm{A}$ 外


答案：A
解析：试题分析：根据勾股定理, 可得 $\mathrm{AC}$ 的长, 根据点与圆心的距离 $\mathrm{d}$, 则 $\mathrm{d}>\mathrm{r}$ 时, 点在圆外; 当 $\mathrm{d}=\mathrm{r}$ 时, 点在圆上; 当 $\mathrm{d}<\mathrm{r}$ 时, 点在圆内.

解: 由勾股定理, 得 $\mathrm{AC}=5$, .

$\mathrm{AB}<4<\mathrm{AC}$

$\mathrm{B}$ 在 $\odot \mathrm{A}$ 内, $\mathrm{C}$ 在 $\odot \mathrm{A}$ 外,

故选 A.

考点: 点与圆的位置关系.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 以 $A D$ 为直径的半圆经过点 $\mathrm{E} 、 \mathrm{~B}$, 点 $\mathrm{E} 、 \mathrm{~B}$ 是半圆的三等分点, 弧 $\mathrm{BE}$ 的长为 $\frac{2}{3} \pi$, 则图中阴影部分的面积为 ( ）



选项：
A. $\frac{2}{3} \pi$
B. $\frac{4}{3} \pi$
C. $\frac{2}{3} \pi-\sqrt{3}$
D. $\frac{4}{3} \pi-\sqrt{3}$


答案：D
解析：分析：如图, 连接 $\mathrm{OB}$, 过 $\mathrm{O}$ 作 $\mathrm{OF} \perp \mathrm{BD}$ 于点 $\mathrm{F}$, 由于 $\mathrm{B} 、 \mathrm{E}$ 是半圆的三等分点,得 $\angle \mathrm{AOB}=60^{\circ}$, 由弧 $\mathrm{BE}$ 的长为 $\frac{2}{3} \pi$ 可得半圆的半径, 故可得扇形的面积, 进而求得 $\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{BOD}}$,根据 $\mathrm{S}_{\text {阴 }}=\mathrm{S}$ 半国 $-\mathrm{S}_{\text {扇形 } \mathrm{AOB}}-\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{BOD}}$ 即可得解.

详解: 如图, 连接 $\mathrm{OB}$, 过 $\mathrm{O}$ 作 $\mathrm{OF} \perp \mathrm{BD}$ 于点 $\mathrm{F}$,



$\because$ 点 $\mathrm{E} 、 \mathrm{~B}$ 是半圆的三等分点, 弧 $\mathrm{BE}$ 的长为 $\frac{2}{3} \pi$,

$\therefore \frac{60 \pi \times O A}{180}=\frac{2}{3} \pi$

$\therefore \mathrm{OA}=2$

$\therefore S_{\text {扇形AOB }}=\frac{60 \pi \times 2^{2}}{360}=\frac{2}{3} \pi$

在 $\triangle \mathrm{BOD}$ 中, $\angle \mathrm{BOD}=120^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BOF}=60^{\circ}$

$\therefore \frac{O F}{B O}=\cos \angle B O F$,

即: $\mathrm{OF}=\mathrm{BO} \cos \angle \mathrm{BOF}=2 \times \frac{1}{2}=1$

$\therefore B F=\sqrt{3}$

$\therefore \mathrm{BD}=2 \sqrt{3}$

$\therefore S_{\triangle B O D}=\frac{1}{2} \times B D \times O F=\frac{1}{2} \times 2 \sqrt{3} \times 1=\sqrt{3}$



故选 D.

点睛: 本题主要考查了不规则图形面积的计算.利用 $\mathrm{S}_{\text {朋 }}=\mathrm{S}$ 米 $-\mathrm{S}$ 溷形 $\mathrm{AOB}-\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{BOD}}$ 求解是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $R \mathrm{t} \triangle A C B$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, A C=3, B C=4$, 若以 $A C$ 为直径的 $\odot O$ 交 $A B$于点 $D$, 则 $C D$ 的长为 ( )



选项：
A. $\frac{24}{5}$
B. $\frac{13}{5}$
C. $\frac{12}{5}$
D. 5


答案：C
解析：由直径所对的圆周角为直角得到 $C D \perp A B$, 利用勾股定理先求得 $A B$ 的长, 再利用
面积法求得 $C D$ 的长即可.

【详解】解: $\because A C$ 为直径的 $\odot O$ 交 $A B$ 于点 $D$,

$\therefore \angle A D C=90^{\circ}$, 即 $C D \perp A B$

Rt $\triangle A C B$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, A C=3, B C=4$

$\therefore A B=\sqrt{A C^{2}+B C^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$

$\therefore \frac{1}{2} A C \cdot B C=\frac{1}{2} A B \cdot C D$

$\therefore \frac{1}{2} \times 3 \times 4=\frac{1}{2} \times 5 \times C D$

$\therefore C D=\frac{12}{5}$

故选: C.

【点睛】本题考查圆周角定理的推论和勾股定理, 利用面积法求直角三角形斜边的高是解题关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $\triangle A B C$ 内接于 $\odot O, O D \perp A B$ 于 $D, O E \perp A C$ 于 $E$, 连结 $D E$. 且 $D E=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$,则弦 $B C$ 的长为 $(\quad)$



选项：
A. $\sqrt{2}$
B. $2 \sqrt{2}$
C. $3 \sqrt{2}$
D. $\sqrt{6}$


答案：C
解析：由垂径定理可得 $\mathrm{AD}=\mathrm{BD}, \mathrm{AE}=\mathrm{CE}$, 由三角形中位线定理可求解.

【详解】解: $\because O D \perp A B, O E \perp A C$,

$\therefore A D=B D, A E=C E$,

$\therefore B C=2 D E=2 \times \frac{3 \sqrt{2}}{2}=3 \sqrt{2}$

故选: C.

【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心, 三角形的中位线定理, 垂径定理等知识, 灵活运用这些性质进行推理是本题的关键.