eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高一 · 计数）：（2020 春-芝眾区校级期末）将一颗骰子先后抛郑 2 次, 观察向上的点数, 事件 $A$ : “两数之和为 8 ”, 事件 $B$ : “两数之和是 3 的倍数”, 事件 $C$ : “两个数均为偶数”.

（I ）写出该试验的基本事件空间 $\Omega$ ，并求事件 $A$ 发生的概率;

( II ) 求事件 $B$ 发生的概率;

（III）事件 $A$ 与事件 $C$ 至少有一个发生的概率.
选项：
答案：解: (I) 将一颗悬子先后抛郑 2 次, 观察向上的点数,

$$
\begin{aligned}
& \Omega=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), \\
& (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), \\
& (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), \\
& (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), \\
& (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), \\
& (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\} \text {, 共有 } 36 \text { 个基本事件, }
\end{aligned}
$$

事件 $A$ ：“两数之和为 8 ”, 事件 $A$ 包含的基本事件有:
$(2,6)$, (3,
$(3,5)$
$(4,4),(5,3)$,
（6，2），共 5 个基本事件,

$\therefore$ 事件 $A$ 发生的概率为 $P(A)=\frac{5}{36}$.

(II) 事件 B: “两数之和是 3 的倍数”,

事件 $B$ 包含的基本事件有 12 个，分别为:
$(1,2),(1,5)$,
$(2,1)$,
$(2,4)$
$(3,3)$
$(3,6)$
$(4,2)$
$(4,5)$,
$(5$,

1), $(5,4),(6,3),(6,6)$,

$\therefore$ 事件 $B$ 发生的概率 $P(B)=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$.

（III）事件 $A$ 与事件 $C$ 至少有一个发生包含的基本事件有 11 个，分别为:
$(2,2)$
$(2,4)$
$(2,6)$,
$(3,5)$
$(4,2)$
$(4,4)$
$(4,6)$
$(5,3)$
(6,
2), $(6,4),(6,6)$,

$\therefore$ 事件 $A$ 与事件 $C$ 至少有一个发生的概率为 $P(A \cup C)=\frac{11}{36}$.
解析：解: (I) 将一颗悬子先后抛郑 2 次, 观察向上的点数,

$$
\begin{aligned}
& \Omega=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), \\
& (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), \\
& (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), \\
& (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), \\
& (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), \\
& (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\} \text {, 共有 } 36 \text { 个基本事件, }
\end{aligned}
$$

事件 $A$ ：“两数之和为 8 ”, 事件 $A$ 包含的基本事件有:
$(2,6)$, (3,
$(3,5)$
$(4,4),(5,3)$,
（6，2），共 5 个基本事件,

$\therefore$ 事件 $A$ 发生的概率为 $P(A)=\frac{5}{36}$.

(II) 事件 B: “两数之和是 3 的倍数”,

事件 $B$ 包含的基本事件有 12 个，分别为:
$(1,2),(1,5)$,
$(2,1)$,
$(2,4)$
$(3,3)$
$(3,6)$
$(4,2)$
$(4,5)$,
$(5$,

1), $(5,4),(6,3),(6,6)$,

$\therefore$ 事件 $B$ 发生的概率 $P(B)=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$.

（III）事件 $A$ 与事件 $C$ 至少有一个发生包含的基本事件有 11 个，分别为:
$(2,2)$
$(2,4)$
$(2,6)$,
$(3,5)$
$(4,2)$
$(4,4)$
$(4,6)$
$(5,3)$
(6,
2), $(6,4),(6,6)$,

$\therefore$ 事件 $A$ 与事件 $C$ 至少有一个发生的概率为 $P(A \cup C)=\frac{11}{36}$.
题目（高一 · 计数）：（2020$\cdot$北京模拟）为贯彻十九大报告中 “要提供更多优质生态产品以满足人民日益增长的优美生态环境需要 “的要求, 某生物小组通过抽样检测植物高度的方法来监测培育的某种植物的生长情况. 现分别从 $A, B, C$ 三块试验田中各随机抽取 7 株植物测量高度, 数据如表（单位：厘米）:

| $A$ 组 |  10  |  11  |  12  |  13  |  14  |  15  |  16  |
| :----: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: |
| $B$ 组 |  12  |  13  |  14  |  15  |  16  |  17  |  18  |
| $C$ 组 |  13  |  14  |  15  |  16  |  17  |  18  |  19  |

假设所有植株的生长情况相互独立. 从 $A, B, C$ 三组各随机选 1 株, $A$ 组选出的植株记为甲, $B$组选出的植株记为乙, $C$ 组选出的植株记为丙.

( I ) 求丙的高度小于 15 厘米的概率;

(II) 求甲的高度大于乙的高度的概率;

(III) 表格中所有数据的平均数记为 $\mu_{0}$. 从 $A, B, C$ 三块试验田中分别再随机抽取 1 株该种植物,它们的高度依次是 $14,16,15$ (单位: 厘米). 这 3 个新数据与表格中的所有数据构成的新样本的平均数记为 $\mu_{1}$, 试比较 $\mu_{0}$ 和 $\mu_{1}$ 的大小. (结论不要求证明)
选项：
答案：解：（I ）设事件 $A_{i}$ 为 “甲是 $A$ 组的第 $i$ 株植物”,

事件 $B_{i}$ 为 “乙是 $B$ 组第 $i$ 株植物”,

事件 $C_{\mathrm{i}}$ 为 “丙是 $C$ 组第 $i$ 株植物” $, i=1,2,3,4, \cdots, 7$,

由题意得 $P\left(A_{i}\right)=P\left(B_{i}\right)=P\left(\complement_{i}\right)=\frac{1}{7}, i=1,2,3,4, \cdots, 7$,

设事件 $D$ 为 “丙的高度小于 15 厘米”, 由题意 $D=C_{1} \cup C_{2}$, 且 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 互斥,
$\therefore$ 丙的高度小于 15 厘米的概率为:

$P(D)=P\left(C_{1} \cup C_{2}\right)=\frac{1}{7}+\frac{1}{7}=\frac{2}{7}$.

(II) 设事件 $E$ 为 “甲的高度大于乙的高度”，

$\therefore$ 甲的高度大于乙的高度的概率为:

$P(E)=P\left(A_{4} B_{1}\right)+P\left(A_{5} B_{1}\right)+P\left(A_{6} B_{1}\right)+P\left(A_{7} B_{1}\right)+P\left(A_{5} B_{2}\right)+P\left(A_{6} B_{2}\right)+P\left(A_{7} B_{2}\right)+P\left(A_{6} B_{3}\right)$ $+P\left(A_{7} B_{3}\right)+P\left(A_{7} B_{4}\right)$

$=10 P\left(A_{4} B_{1}\right)=10 \times \frac{1}{7} \times \frac{1}{7}=\frac{10}{49}$.

(III) 所有数据的平均数 $\mu_{0}=\frac{1}{21}$ $(10+11+12+13+14+15+16+12+13+14+15+16+17+18+13+14+15+16+17+18+19) \approx 14.67$, $\mu_{1}=\frac{1}{24}(10+11+12+13+14+15+16+12+13+14+15+16+17+18+13+14+15+16+17+18+19+14+16+15)$ $\approx 14.71$.

$\therefore \mu_{0}<\mu_{1}$.
解析：解：（I ）设事件 $A_{i}$ 为 “甲是 $A$ 组的第 $i$ 株植物”,

事件 $B_{i}$ 为 “乙是 $B$ 组第 $i$ 株植物”,

事件 $C_{\mathrm{i}}$ 为 “丙是 $C$ 组第 $i$ 株植物” $, i=1,2,3,4, \cdots, 7$,

由题意得 $P\left(A_{i}\right)=P\left(B_{i}\right)=P\left(\complement_{i}\right)=\frac{1}{7}, i=1,2,3,4, \cdots, 7$,

设事件 $D$ 为 “丙的高度小于 15 厘米”, 由题意 $D=C_{1} \cup C_{2}$, 且 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 互斥,
$\therefore$ 丙的高度小于 15 厘米的概率为:

$P(D)=P\left(C_{1} \cup C_{2}\right)=\frac{1}{7}+\frac{1}{7}=\frac{2}{7}$.

(II) 设事件 $E$ 为 “甲的高度大于乙的高度”，

$\therefore$ 甲的高度大于乙的高度的概率为:

$P(E)=P\left(A_{4} B_{1}\right)+P\left(A_{5} B_{1}\right)+P\left(A_{6} B_{1}\right)+P\left(A_{7} B_{1}\right)+P\left(A_{5} B_{2}\right)+P\left(A_{6} B_{2}\right)+P\left(A_{7} B_{2}\right)+P\left(A_{6} B_{3}\right)$ $+P\left(A_{7} B_{3}\right)+P\left(A_{7} B_{4}\right)$

$=10 P\left(A_{4} B_{1}\right)=10 \times \frac{1}{7} \times \frac{1}{7}=\frac{10}{49}$.

(III) 所有数据的平均数 $\mu_{0}=\frac{1}{21}$ $(10+11+12+13+14+15+16+12+13+14+15+16+17+18+13+14+15+16+17+18+19) \approx 14.67$, $\mu_{1}=\frac{1}{24}(10+11+12+13+14+15+16+12+13+14+15+16+17+18+13+14+15+16+17+18+19+14+16+15)$ $\approx 14.71$.

$\therefore \mu_{0}<\mu_{1}$.
题目（高一 · 计数）：（2020 春・松江区期末）为了促进消费回补和潜力释放，上海市政府举办 “2020 五五购物节” 活动, 某商家提供 1000 台吸尘器参加此项活动, 其中豪华型吸尘器 400 台, 普通型吸尘器 600 台.

(1) 豪华型吸尘器前 6 天的销量分别为: 9、12.$x 、 y 、 10 、 10$ (单位: 台)，把这 6 个数据看作一个总体, 其均值为 10 , 方差为 3 , 求 $|x-y|$ 的值;

(2) 若用分层抽样的方法在这批吸尘器中抽取一个容量为 25 的样本, 将该样本看成一个总体,从中任取 2 台吸尘器, 求至少有 1 台豪华型吸尘器的概率 (用最简分数表示).
选项：
答案：解: (1) 依题意得: $\frac{1}{6}(9+12+x+y+10+10)=10$, 可得 $x+y=19$, $\frac{1}{6}\left(9^{2}+12^{2}+x^{2}+y^{2}+10^{2}-10^{2}-6 \times 10^{2}\right)=3$, 可得 $x^{2}+y^{2}=193$,

由 $(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2 x y$, 可得 $2 x y=168$,

则 $|x-y|=\sqrt{x^{2}+y^{2}-2 x y}=5$,

(2) 设所抽样本中有 $P$ 台豪华型吸尘器, 则 $\frac{400}{1000}=\frac{p}{25}$, 解得 $P=10$,

抽取 10 台豪华型吸尘器, 15 台普通型吸尘器,

$\therefore$ 至少有 1 台豪华型吸尘器的概率 $1-\frac{C_{15}^{2}}{C_{25}^{2}}=\frac{13}{20}$.
解析：解: (1) 依题意得: $\frac{1}{6}(9+12+x+y+10+10)=10$, 可得 $x+y=19$, $\frac{1}{6}\left(9^{2}+12^{2}+x^{2}+y^{2}+10^{2}-10^{2}-6 \times 10^{2}\right)=3$, 可得 $x^{2}+y^{2}=193$,

由 $(x+y)^{2}=x^{2}+y^{2}+2 x y$, 可得 $2 x y=168$,

则 $|x-y|=\sqrt{x^{2}+y^{2}-2 x y}=5$,

(2) 设所抽样本中有 $P$ 台豪华型吸尘器, 则 $\frac{400}{1000}=\frac{p}{25}$, 解得 $P=10$,

抽取 10 台豪华型吸尘器, 15 台普通型吸尘器,

$\therefore$ 至少有 1 台豪华型吸尘器的概率 $1-\frac{C_{15}^{2}}{C_{25}^{2}}=\frac{13}{20}$.
题目（高一 · 计数）：（2020$\cdot$房山区一模）随着移动互联网的发展, 越来越多的人习惯用手机应用程序（简称 app）获取新闻资讯. 为了解用户对某款新闻类 $a p p$ 的满意度, 随机调查了 300 名用户, 调研结果如表: (单位: 人)

|        | 青年人 | 中年人 | 老年人 |
| :----: | :----: | :----: | :----: |
|  满意  |   60   |   70   |  $x$   |
|  一般  |   55   |   25   |  $y$   |
| 不满意 |   25   |   5    |   10   |

( I ) 从所有参与调研的人中随机选取 1 人，估计此人 “不满意” 的概率;

（II）从参与调研的青年人和中年人中各随机选取 1 人, 估计恰有 1 人 “满意” 的概率;

（III）现需从参与调研的老年人中选择 6 人作进一步访谈, 若在 “满意”、“一般”、“不满意”的老年人中各取 2 人，这种抽样是否合理？说明理由.
选项：
答案：解: ( I ) 从所有参与调研的人共有 300 人, 不满意的人数是 $25+5+10=40$

记事件 $D$ 为 “从所有参与调研的人中随机选取 1 人此人不满意”, 则所求概率为 $P(D)=\frac{40}{300}=\frac{2}{15}$.

（II）记事件 $M$ 为 “从参与调研的青年人中随机选取 1 人, 此人满意”, 则 $P(M)=\frac{60}{140}=\frac{3}{7}$;记事件 $N$ 为 “从参与调研的中年人中随机选取 1 人, 此人满意” , 则 $P(N)=\frac{70}{100}=\frac{7}{10}$;则 “从参与调研的青年人和中年人各随机选取 1 人, 恰有 1 人满意” 的概率为 $P(M \bar{N}+\bar{M} N)=P(M) \cdot P(\bar{N})+P(\bar{M}) \cdot P(N)=\frac{3}{7} \times\left(1-\frac{7}{10}\right)+\left(1-\frac{3}{7}\right) \times \frac{7}{10}=\frac{37}{70}$

(III) 这种抽样不合理.

理由: 参与调研的 60 名老年人中不满意的人数为 20 , 满意和一般的总人数为 $x+y=50$, 说明满意度之间存在较大差异, 所以从三种态度的老年中各取 2 人不合理. 合理的抽样方法是采用分层抽样, 根据 $x, y, 10$ 的具体数值来确定抽样数值.
解析：解: ( I ) 从所有参与调研的人共有 300 人, 不满意的人数是 $25+5+10=40$

记事件 $D$ 为 “从所有参与调研的人中随机选取 1 人此人不满意”, 则所求概率为 $P(D)=\frac{40}{300}=\frac{2}{15}$.

（II）记事件 $M$ 为 “从参与调研的青年人中随机选取 1 人, 此人满意”, 则 $P(M)=\frac{60}{140}=\frac{3}{7}$;记事件 $N$ 为 “从参与调研的中年人中随机选取 1 人, 此人满意” , 则 $P(N)=\frac{70}{100}=\frac{7}{10}$;则 “从参与调研的青年人和中年人各随机选取 1 人, 恰有 1 人满意” 的概率为 $P(M \bar{N}+\bar{M} N)=P(M) \cdot P(\bar{N})+P(\bar{M}) \cdot P(N)=\frac{3}{7} \times\left(1-\frac{7}{10}\right)+\left(1-\frac{3}{7}\right) \times \frac{7}{10}=\frac{37}{70}$

(III) 这种抽样不合理.

理由: 参与调研的 60 名老年人中不满意的人数为 20 , 满意和一般的总人数为 $x+y=50$, 说明满意度之间存在较大差异, 所以从三种态度的老年中各取 2 人不合理. 合理的抽样方法是采用分层抽样, 根据 $x, y, 10$ 的具体数值来确定抽样数值.
题目（高一 · 计数）：（2020 春$\cdot$海珠区校级月考）自 2016 年底, 共享单车日渐火爆起来, 逐渐融入大家的日常生活中, 某市针对 18 岁到 80 岁之间的不同年龄段的城市市民使用共享单车情况进行了抽样调查, 结果如表所示.

| 性别 <br> 年龄 | 男性 | 女性 | 合计 |
| :------------: | :--: | :--: | :--: |
|   $[18,25)$    | 180  |  40  | 220  |
|   $[25,35)$    | 360  | 240  | 600  |
|   $[35,50)$    |  40  | 100  | 140  |
|   $[50,80)$    |  20  |  20  |  40  |
|      合计      | 600  | 400  | 1000 |

（1）采用分层抽样的方式从年龄在 $[25,35 ）$ 内的人中抽取 10 人, 求其中男性、女性的使用人数各为多少？

（2）在（1）中选出 10 人中随机抽取 4 人，求其中恰有 2 人是女性的概率;

（3）在（1）中选出 10 人中随机抽取 4 人，求至少有 1 人是女性的概率.
选项：
答案：解：（1）因为年龄在 $\left[25,35 ）\right.$ 人中男性, 女性使用人数占总体的比例分别为 $\frac{360}{600}=\frac{3}{5}$, $\frac{240}{600}=\frac{2}{5}$

所以抽取的 10 人中男性, 女性人数分别为 $\frac{3}{5} \times 10=6, \frac{2}{5} \times 10=4$;

(2) 由题意知, 在（1）中选出的 10 人中, 女性使用者人数为 4 ,

所以 4 人中恰有 2 女性使用者的概率为 $\frac{C_{6}^{2} C_{4}^{2}}{C_{10}^{4}}=\frac{3}{7}$,

(3) 由题意知, 在 (1) 中选出的 10 人中, 女性使用者人数为 4 ,所以至少有 1 人是女性的概率 $1-\frac{C_{6}^{4}}{C_{10}^{4}}=\frac{13}{14}$.
解析：解：（1）因为年龄在 $\left[25,35 ）\right.$ 人中男性, 女性使用人数占总体的比例分别为 $\frac{360}{600}=\frac{3}{5}$, $\frac{240}{600}=\frac{2}{5}$

所以抽取的 10 人中男性, 女性人数分别为 $\frac{3}{5} \times 10=6, \frac{2}{5} \times 10=4$;

(2) 由题意知, 在（1）中选出的 10 人中, 女性使用者人数为 4 ,

所以 4 人中恰有 2 女性使用者的概率为 $\frac{C_{6}^{2} C_{4}^{2}}{C_{10}^{4}}=\frac{3}{7}$,

(3) 由题意知, 在 (1) 中选出的 10 人中, 女性使用者人数为 4 ,所以至少有 1 人是女性的概率 $1-\frac{C_{6}^{4}}{C_{10}^{4}}=\frac{13}{14}$.
题目（高一 · 计数）：（2020 秋・广陵区校级月考）某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中, 随机抽取了 100 名电视观众, 相关的数据如表所示, 现准备用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名.

（1）应该抽取 20 至 40 岁以及大于 40 岁的观众各几名?

（2）如果在抽取出的 5 名观众中任取 2 名, 求恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁的概率.

|             | 文艺节目 | 新闻节目 | 总计 |
| :---------: | :------: | :------: | :--: |
| 20 至 40 岁 |    40    |    18    |  58  |
| 大于 40 岁  |    15    |    27    |  42  |
|    总计     |    55    |    45    | 100  |
选项：
答案：解：（1）由分层抽样的性质得：

用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名,

则在 20 至 40 岁观众中抽取: $5 \times \frac{18}{18+27}=2$ 名,

在大于 40 岁的观众中抽取: $5 \times \frac{27}{18+27}=3$ 名.

（2）在抽取出的 5 名观众中任取 2 名,

基本事件总数 $n=C_{5}^{2}=10$,

恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁包含的基本事件个数 $m=C_{3}^{1} C_{2}^{1}=6$,

$\therefore$ 恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁的概率 $p=\frac{m}{n}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.
解析：解：（1）由分层抽样的性质得：

用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取 5 名,

则在 20 至 40 岁观众中抽取: $5 \times \frac{18}{18+27}=2$ 名,

在大于 40 岁的观众中抽取: $5 \times \frac{27}{18+27}=3$ 名.

（2）在抽取出的 5 名观众中任取 2 名,

基本事件总数 $n=C_{5}^{2}=10$,

恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁包含的基本事件个数 $m=C_{3}^{1} C_{2}^{1}=6$,

$\therefore$ 恰有 1 名观众的年龄为 20 至 40 岁的概率 $p=\frac{m}{n}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.
题目（高一 · 计数）：(2020 秋・南昌月考) 疫苗是全球最终战胜新冠肺炎疫情的关键, 某生物技术公司研制出一种新冠疫苗，为测试该疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于 $90 \%$, 则认为测试没有通过），公司选定 2000 个流感样本分成三组, 测试结果如表:

|          | $A$ 组 | $B$ 组 | $C$ 组 |
| :------- | :----: | :----: | :----: |
| 疫苗有效 |  673   |  660   |  $y$   |
| 疫苗无效 |   77   |   90   |  $z$   |

(1) 现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取 360 个, 问应在 $C$ 组中抽取多少个?

(2) 已知 $y \geqslant 465, z \geqslant 25$, 求该疫苗不能通过测试的概率.
选项：
答案：解: (1) $C$ 组样本个数为 $y+z=2000-(673+77+660+90)=500$,

现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取 360 个,

则应在 $C$ 组中抽取个数为 $\frac{360}{2000} \times 500=90$ 个;

（2）设事件 “疫苗不能通过测试” 为事件 $M$,

由 (1) 知 $y+z=500$, 且 $y, z \in \mathbf{N}$, 所以 $C$ 组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有: (465, $35),(466,34),(467,33) \cdots \cdots . \cdot,(475,25)$ 共 11 个,

由于疫苗有效的概率小于 $90 \%$ 时认为测试没有通过，所以疫苗不能通过测试时，必须有 $\frac{673+660+y}{2000}<0.9$,

即 $673+660+y<1800$, 解得 $y<467$,

所以事件 $M$ 包含的基本事件有：（465，35），（466，34）共 2 个,

所以 $P(M)=\frac{2}{11}$,

故该疫苗不能通过测试的概率为 $\frac{2}{11}$.
解析：解: (1) $C$ 组样本个数为 $y+z=2000-(673+77+660+90)=500$,

现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取 360 个,

则应在 $C$ 组中抽取个数为 $\frac{360}{2000} \times 500=90$ 个;

（2）设事件 “疫苗不能通过测试” 为事件 $M$,

由 (1) 知 $y+z=500$, 且 $y, z \in \mathbf{N}$, 所以 $C$ 组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的情况有: (465, $35),(466,34),(467,33) \cdots \cdots . \cdot,(475,25)$ 共 11 个,

由于疫苗有效的概率小于 $90 \%$ 时认为测试没有通过，所以疫苗不能通过测试时，必须有 $\frac{673+660+y}{2000}<0.9$,

即 $673+660+y<1800$, 解得 $y<467$,

所以事件 $M$ 包含的基本事件有：（465，35），（466，34）共 2 个,

所以 $P(M)=\frac{2}{11}$,

故该疫苗不能通过测试的概率为 $\frac{2}{11}$.
题目（高一 · 计数）：020 春・湖南月考）疫情爆发以来，相关疫苗企业发挥专业优势与技术优势争分夺秒开展疫苗研发. 为测试疫苗的有效性（若疫苗有效的概率小于 $90 \%$, 则认为测试没有通过），选定 2000 个样本分成三组, 测试结果如表:

|          | $A$ 组 | $B$ 组 | $C$ 组 |
| :------: | :----: | :----: | :----: |
| 疫苗有效 |  673   |  $x$   |  $y$   |
| 疫苗无效 |   77   |   90   |  $z$   |

已知在全体样本中随机抽取 1 个, 抽到 $B$ 组疫苗有效的概率是 0.33 .

(1) 求 $x, y+z$ 的值;

(2) 现用分层抽样的方法在全体样本中抽取 360 个测试结果, 求 $C$ 组应抽取多少个?

(3) 已知 $y \geqslant 465, z \geqslant 30$, 求疫苗能通过测试的概率.
选项：
答案：解：（1） $\because$ 在全体样本中随机抽取 1 个, 抽到 $B$ 组疫苗有效的概率是 0.33 .

$\therefore \frac{x}{2000}=0.33, \therefore x=660$, 故 $y+z=2000-(673+77+660+90)=500$.

(2) 应在 $C$ 组抽取的个数为 $500 \times \frac{360}{2000}=90$.

（3）由题意疫苗有效需满足 $77+90+z \leqslant 2000 \times 10 \% ，$ 即 $z \leqslant 33$,

$C$ 组疫苗有效与无效的可能情况有 $(465,35 ）(466,34 ）(467,33 ）(468,32)$

(469, 31) (470, 30), 共 6 种结果,

有效的可能情况有（467，33）（468，32）（469，31）（470，30）, 共 4 种结果,

$\therefore$ 度苗能通过测试的概率 $P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.
解析：解：（1） $\because$ 在全体样本中随机抽取 1 个, 抽到 $B$ 组疫苗有效的概率是 0.33 .

$\therefore \frac{x}{2000}=0.33, \therefore x=660$, 故 $y+z=2000-(673+77+660+90)=500$.

(2) 应在 $C$ 组抽取的个数为 $500 \times \frac{360}{2000}=90$.

（3）由题意疫苗有效需满足 $77+90+z \leqslant 2000 \times 10 \% ，$ 即 $z \leqslant 33$,

$C$ 组疫苗有效与无效的可能情况有 $(465,35 ）(466,34 ）(467,33 ）(468,32)$

(469, 31) (470, 30), 共 6 种结果,

有效的可能情况有（467，33）（468，32）（469，31）（470，30）, 共 4 种结果,

$\therefore$ 度苗能通过测试的概率 $P=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.
题目（高一 · 计数）：（2020 春・香坊区校级期中）《中国诗词大会》是中央电视台于 2016 年推出的大型益智类节目,中央电视台为了解该节目的收视情况, 抽查北方与南方各 5 个城市, 得到观看该节目的人数（单位: 千人）如茎叶图所示，但其中一个数字被污损.

(1) 若将被污损的数字视为 $0 \sim 9$ 中 10 个数字中的一个, 求北方观众平均人数不超过南方观众平均人数的概率;

（2）该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情, 现在随机统计了 4 位观众每周学习诗词的平均时间 $y$ （单位：小时）与年龄 $x$ (单位: 岁），并制作了对照表（如表所示）:

|          年龄 $x$          |  20  |  30  |  40  |  50  |
| :------------------------: | :--: | :--: | :--: | :--: |
| 每周学习诗词的平均时间 $y$ |  3   | 3.5  | 3.5  |  4   |

由表中数据分析, $x$ 与 $y$ 呈线性相关关系, 试求线性回归方程, 并预测年龄为 70 岁的观众每周学习诗词的平均时间. 参考公式: $\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}{ }^{2}-n(\bar{x})^{2}}, \hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$.

| 北方 |      |      |      | 南方 |      |      |
| :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: |
|      |  8   |  9   |  7   |  3   |  7   |  8   |
|  2   |  1   |  0   |  8   |      |  6   |      |
选项：
答案：解：（1）设污损的数字为 $x$, 由北方观众平均人数不超过南方观众平均人数得

$\frac{78+79+82+81+80}{5} \leq \frac{73+77+78+86+80+x}{5}$, 解得: $x \geqslant 6$, 即 $x=6,7,8,9$,

$\therefore$ 北方观众平均人数不超过南方观众平均人数的概率为: $\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$.

（2）设线性回归方程为:

$$
\bar{x}=\frac{20+30+40+50}{4}=35, \bar{y}=\frac{3+3.5+3.5+4}{4}=3.5
$$

$\therefore \sum_{i=1}^{4} x_{i} y_{i}=20 \times 3+30 \times 3.5+40 \times 3.5+50 \times 4=505, \quad \sum_{i=1}^{4} x_{i}^{2}=400+900+1600+2500=5400$,

$\hat{b}=\frac{505-4 \times 35 \times 3.5}{5400-4 \times 35^{2}}=0.03, \hat{a}=3.5-0.03 \times 35=2.45$,

$\therefore \hat{y}=0.03 x+2.45$,

当 $x=70$ 时, $\hat{y}=0.03 \times 70+2.45=4.55$.

答: 年龄为 70 岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为 4.55 小时.
解析：解：（1）设污损的数字为 $x$, 由北方观众平均人数不超过南方观众平均人数得

$\frac{78+79+82+81+80}{5} \leq \frac{73+77+78+86+80+x}{5}$, 解得: $x \geqslant 6$, 即 $x=6,7,8,9$,

$\therefore$ 北方观众平均人数不超过南方观众平均人数的概率为: $\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$.

（2）设线性回归方程为:

$$
\bar{x}=\frac{20+30+40+50}{4}=35, \bar{y}=\frac{3+3.5+3.5+4}{4}=3.5
$$

$\therefore \sum_{i=1}^{4} x_{i} y_{i}=20 \times 3+30 \times 3.5+40 \times 3.5+50 \times 4=505, \quad \sum_{i=1}^{4} x_{i}^{2}=400+900+1600+2500=5400$,

$\hat{b}=\frac{505-4 \times 35 \times 3.5}{5400-4 \times 35^{2}}=0.03, \hat{a}=3.5-0.03 \times 35=2.45$,

$\therefore \hat{y}=0.03 x+2.45$,

当 $x=70$ 时, $\hat{y}=0.03 \times 70+2.45=4.55$.

答: 年龄为 70 岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为 4.55 小时.
题目（高一 · 计数）：(2020・道里区校级三模) 某中学某社团为研究高三学生课下钻研数学时间与数学考试中的解答题得分的关系, 随机调查了某中学高三某班 6 名学生每周课下钻研数学时间 $x$ (单位: 小时) 与高三下学期期中考试数学解答题得分 $y$, 数据如表:

| $x$  |  2   |  4   |  6   |  8   |  10  |  12  |
| :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: |
| $y$  |  30  |  38  |  44  |  48  |  50  |  54  |

(1) 根据上述数据, 求出数学考试中的解答题得分 $y$ 与该学生课下钻研数学时间 $x$ 的线性回归方程, 并预测某学生每周课下钻研数学时间为 7 小时其数学考试中的解答题得分;

(2) 从这 6 人中任选 2 人, 求这 2 人中至少有 1 人课下钻研数学时间不低于 8 小时的概率.

参考公式: $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$, 其中 $\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n \overline{x y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}{ }^{2}-n \bar{x}^{2}}, \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}$.

参考数据: $\sum_{i=1}^{6} x_{i} y_{i}=2008, \sum_{i=1}^{6} x_{i}{ }^{2}=364, \bar{y}=444$.
选项：
答案：解: (1) $\bar{x}=\frac{2+4+6+8+10+12}{6}=7$, 由 $\sum_{i=1}^{6} x_{i} y_{i}=2008, \sum_{i=1}^{6} x_{i}{ }^{2}=364, \bar{y}=444$.可得 $\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n \overline{x y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}{ }^{2}-n \bar{x}^{2}}=\frac{16}{7}$, $\hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}=28, \quad \therefore \hat{y}=\frac{16}{7} x+28$,

当 $x=7$ 时, $\hat{y}=44$.

（2）设 “这 2 人中至少有一个人刻下钻研数学时间不低于 8 小时为事件 $A$ ”,所有基本事件如下:

$$
\begin{aligned}
& (2,4),(2,6),(2,8),(2,10),(2,12),(4,6),(4,8),(4,10), \\
& (4,12),(6,8),(6,10),(6,12),(8,10),(8,12),(10,12)
\end{aligned}
$$

共 15 个基本事件.

事件 $A$ 包含 $(2,8),(2,10),(2,12),(4,8),(4,10),(4,12),(6,8)$,

$(6,10),(6,12),(8,10 ）,(8,12 ）,(10,12 ）$ 共 12 个基本事件,

所以 $P(A)=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$.
解析：解: (1) $\bar{x}=\frac{2+4+6+8+10+12}{6}=7$, 由 $\sum_{i=1}^{6} x_{i} y_{i}=2008, \sum_{i=1}^{6} x_{i}{ }^{2}=364, \bar{y}=444$.可得 $\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n \overline{x y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}{ }^{2}-n \bar{x}^{2}}=\frac{16}{7}$, $\hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}=28, \quad \therefore \hat{y}=\frac{16}{7} x+28$,

当 $x=7$ 时, $\hat{y}=44$.

（2）设 “这 2 人中至少有一个人刻下钻研数学时间不低于 8 小时为事件 $A$ ”,所有基本事件如下:

$$
\begin{aligned}
& (2,4),(2,6),(2,8),(2,10),(2,12),(4,6),(4,8),(4,10), \\
& (4,12),(6,8),(6,10),(6,12),(8,10),(8,12),(10,12)
\end{aligned}
$$

共 15 个基本事件.

事件 $A$ 包含 $(2,8),(2,10),(2,12),(4,8),(4,10),(4,12),(6,8)$,

$(6,10),(6,12),(8,10 ）,(8,12 ）,(10,12 ）$ 共 12 个基本事件,

所以 $P(A)=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$.
题目（高一 · 计数）：（2020$\cdot$安阳二模）某手机专卖店的营业天数 $x$ 与销售总额 $y$ 的数据统计如表所示:

|    营业天数 $x$     |  10  |  20  |  30  |  40  |  50  |
| :-----------------: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: |
| 销售总额 $y$ (万元) |  62  |  68  |  75  |  81  |  89  |

(1) 求 $y$ 关于 $x$ 的回归方程 $y=b x+a$;

(2) 判定 $y$ 与 $x$ 之间是正相关还是负相关, 用所求回归方程预测该店营业 100 天的销售总额.

参考公式: 回归方程 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$ 中, $\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-n \bar{x}^{2}}, \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}$.

参考数据: $\sum_{i=1}^{5} x_{i} y_{i}=11920$.
选项：
答案：解：（1）由已知 $n=5$,

则 $\bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}=30, \bar{y}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{i}=75$,
$\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i} y_{i}\right)=11920$,

$n \overline{x y}=5 \times 30 \times 75=11250$

$\sum_{i=1}^{n} x_{i}{ }^{2}=5500$

$n \bar{x}^{2}=4500$,

所以 $\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{5}\left(x_{i} y_{i}\right)-5 \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i=1}^{5} x_{i}{ }^{2}-5 \bar{x}^{2}}=0.67, \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}=75-0.67 \times 30=54.9$.

所以回归直线方程为 $\hat{y}=0.67 x+54.9$.

(2) 因为 $b=0.67>0$, 所以 $y$ 与 $x$ 之间是正相关.

将 $x=100$ 代入回归方程可预测该店营业 100 天的销售总额为 $y=0.67 \times 100+54.9=121.9$ 万元.
解析：解：（1）由已知 $n=5$,

则 $\bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}=30, \bar{y}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{i}=75$,
$\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i} y_{i}\right)=11920$,

$n \overline{x y}=5 \times 30 \times 75=11250$

$\sum_{i=1}^{n} x_{i}{ }^{2}=5500$

$n \bar{x}^{2}=4500$,

所以 $\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{5}\left(x_{i} y_{i}\right)-5 \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i=1}^{5} x_{i}{ }^{2}-5 \bar{x}^{2}}=0.67, \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}=75-0.67 \times 30=54.9$.

所以回归直线方程为 $\hat{y}=0.67 x+54.9$.

(2) 因为 $b=0.67>0$, 所以 $y$ 与 $x$ 之间是正相关.

将 $x=100$ 代入回归方程可预测该店营业 100 天的销售总额为 $y=0.67 \times 100+54.9=121.9$ 万元.
题目（高一 · 计数）：（2020 秋-朝阳区校级期末）自湖北武汉爆发新型冠状病毒肺炎疫情以来，在以习近平总书记为核心的党中央的正确领导和指挥下，全国各地纷纷驰援，湖北的疫情形势很快得到了控制，但是国际疫情越来越严重, 医用口罩等物资存在很大缺口. 某口罩生产厂家复工复产后, 抢时生产口罩, 以驰援国际社会, 已知该企业前 10 天生产的口罩量如表所示:

|         第 $x$ 天          |  1   |  2   |  3   |   4   |   5   |   6   |   7   |   8   |   9   |  10   |
| :------------------------: | :--: | :--: | :--: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 产量 $y$ (单位: <br> 万个) | 76.0 | 88.0 | 96.0 | 104.0 | 111.0 | 117.0 | 124.0 | 130.0 | 135.0 | 140.0 |

对上表的数据作初步处理, 得到一些统计量的值:

| $\bar{x}$ | $\bar{y}$ | $\sum_{i=1}^{10} y_{i}$ | $\sum_{i=1}^{10}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}$ | $\sum_{i=1}^{10}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}$ | $\sum_{i=1}^{10}\left(x_{i}-\bar{x}\right) \quad\left(y_{i}-\bar{y}\right)$ |
| :-------: | :-------: | :---------------------: | :---------------------------------------------: | :---------------------------------------------: | :----------------------------------------------------------: |
|    $m$    |    $n$    |         1121.0          |                      82.5                       |                     3998.9                      |                            570.5                             |

(1) 求表中 $m, n$ 的值, 并根据最小二乘法求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$ （回归方程系数精确到 0.1 );

(2) 某同学认为 $y=p x^{2}+q x+r$ 更适宜作为 $y$ 关于 $x$ 的回归方程模型, 并以此模型求得回归方程为 $y=-\frac{3}{11} x^{2}+10 x+68$. 经调查, 该企业第 11 天的产量为 145.3 万个, 与 (1) 中的线性回归方程比较,哪个回归方程的拟合效果更好？并说明理由.
附: $\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}{ }^{2}-n \bar{x}^{2}}, \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}$.
选项：
答案：解: (1) 样本平均数 $\bar{x}=5.5, \bar{y}=112.1$,

$\therefore$ 由最小二乘法公式求得 $\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\Sigma_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}=\frac{570.5}{82.5} \approx 6.9, \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}=112.1-6.9 \times 5.5=$ 74.2,

即所求回归方程为: $\hat{y}=6.9 x+74.2$.

(2) 由（1）可知, 用线性回归方程模型求得该企业第 11 天的产量为 $y=6.9 \times 11+74.2=150.1$ (万个)

用题中的二次函数模型求得回归方程为 $y=-\frac{3}{11} x^{2}+10 x+68$. 经调查, 该企业第 11 天的产量为 145.3 万个，

与第 11 天的实际数据进行比较发现|150.1 - 145.3|>|145-145.3|;

所以用这个二次函数模型的回归方程来拟合效果会更好.
解析：解: (1) 样本平均数 $\bar{x}=5.5, \bar{y}=112.1$,

$\therefore$ 由最小二乘法公式求得 $\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\Sigma_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}=\frac{570.5}{82.5} \approx 6.9, \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}=112.1-6.9 \times 5.5=$ 74.2,

即所求回归方程为: $\hat{y}=6.9 x+74.2$.

(2) 由（1）可知, 用线性回归方程模型求得该企业第 11 天的产量为 $y=6.9 \times 11+74.2=150.1$ (万个)

用题中的二次函数模型求得回归方程为 $y=-\frac{3}{11} x^{2}+10 x+68$. 经调查, 该企业第 11 天的产量为 145.3 万个，

与第 11 天的实际数据进行比较发现|150.1 - 145.3|>|145-145.3|;

所以用这个二次函数模型的回归方程来拟合效果会更好.
题目（高一 · 计数）：（2020 秋・长安区校级期末） 2020 年 8 月 11 日新华社北京电, 国家主席习近平对制止餐饮浪费行为作出重要指示. 他指出, 餐饮浪费现象, 触目惊心、令人痛心! “谁知盘中餐, 粒粒皆辛苦. ”尽管我国粮食生产连年丰收，对粮食安全还是始终要有危机意识，今年全球新冠肺炎疫情所带来的影响更是给我们敲响了警钟. 粮食问题是关乎民生的大问题. 某地近几年来粮食产量逐步上升,如表是部分统计数据:

|       年份        | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 |
| :---------------: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: |
|   年份代码 $x$    |  1   |  2   |  3   |  4   |  5   |
| 需求量 $y /$ 万吨 | 136  | 146  | 157  | 176  | 186  |

(1) 利用所给数据求粮食年需求量 $y$ 与年份代码 $x$ 之间的回归直线方程 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$;

(2) 预测 2020 年的粮食需求量.

参考公式: $\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}{ }^{2}-n \bar{x}^{2}}, \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}$.
选项：
答案：解: (1) 计算样本平均数: $\bar{x}=3, \bar{y}=160.2$,

$\sum_{i=1}^{5} x_{i} y_{i}=1 \times 136+2 \times 146+3 \times 157+4 \times 176+5 \times 186=2533$,

$\sum_{i=1}^{5} x_{i}^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=55$,

则 $b=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}{ }^{2}-n \bar{x}^{2}}=\frac{2533-5 \times 3 \times 160.2}{55-5 \times 3 \times 3}=13$,

$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}=160.2-13 \times 3=121.2$.

故 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $y=13 x+121.2$,

（2）将 2020 年的年份代码 $x=6$ 代入回归直线方程 $y=13 x+121.2$,
可预测 2020 年的粮食需求量为: $\hat{y}=13 \times 6+121.2=199.2$.

故预测 2020 年的粮食需求量 199.2 万吨.
解析：解: (1) 计算样本平均数: $\bar{x}=3, \bar{y}=160.2$,

$\sum_{i=1}^{5} x_{i} y_{i}=1 \times 136+2 \times 146+3 \times 157+4 \times 176+5 \times 186=2533$,

$\sum_{i=1}^{5} x_{i}^{2}=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}=55$,

则 $b=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}{ }^{2}-n \bar{x}^{2}}=\frac{2533-5 \times 3 \times 160.2}{55-5 \times 3 \times 3}=13$,

$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}=160.2-13 \times 3=121.2$.

故 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $y=13 x+121.2$,

（2）将 2020 年的年份代码 $x=6$ 代入回归直线方程 $y=13 x+121.2$,
可预测 2020 年的粮食需求量为: $\hat{y}=13 \times 6+121.2=199.2$.

故预测 2020 年的粮食需求量 199.2 万吨.