题目（七年级 · 代数）：（2021 秋・长沙县期末）方法探究:

己知二次多项式 $x^{2}-4 x-21$, 我们把 $x=-3$ 代入多项式, 发现 $x^{2}-4 x-21=0$, 由此可以推断多项式中有因式 $(x+3)$. 设另一个因式为 $(x+k)$, 多项式可以表示成 $x^{2}-4 x-21=(x+3)(x+k)$, 则有 $x^{2}-4 x-21=x^{2}+(k+3) x+3 k$, 因为对应项的系数是对应相等的, 即 $k+3=-4$, 解得 $k=-7$, 因此多项式分解因式得: $x^{2}-4 x-21=(x+3)(x-7)$. 我们把以上分解因式的方法叫 “试根法” .问题解决: (1) 对于二次多项式 $x^{2}-4$, 我们把 $x=$ \$ \qquad \$代入该式, 会发现 $x^{2}-4=0$ 成立;

(2) 对于三次多项式 $x^{3}-x^{2}-3 x+3$, 我们把 $x=1$ 代入多项式, 发现 $x^{3}-x^{2}-3 x+3=0$, 由此可以推断多项式中有因式 $(x-1)$, 设另一个因式为 $\left(x^{2}+a x+b\right)$, 多项式可以表示成 $x^{3}-x^{2}-3 x+3=(x-$ 1） $\left(x^{2}+a x+b\right)$, 试求出题目中 $a, b$ 的值; (3) 对于多项式 $x^{3}+4 x^{2}-3 x-18$, 用 “试根法” 分解因式.

【思路点拨】(1) 将 $x= \pm 2$ 代入即可; （2）由题意得 $x^{3}-x^{2}-3 x+3=x^{3}-(1-a) x^{2}-(a-b) x$ $-b$, 再由系数关系求 $a 、 b$ 即可; (3) 多项式有因式 $(x-2)$, 设另一个因式为 $\left(x^{2}+a x+b\right)$, 则 $x^{3}+4 x^{2}$ $-3 x-18=x^{3}+(a-2) x^{2}-(2 a-b) x-2 b$, 再由系数关系求 $a 、 b$ 即可.

【答案】解: (1) 当 $x= \pm 2$ 时, $x^{2}-4=0$, 故答案为: $\pm 2$;

(2) 由题意可知 $x^{3}-x^{2}-3 x+3=(x-1)\left(x^{2}+a x+b\right)$,

$\therefore x^{3}-x^{2}-3 x+3=x^{3}-(1-a) x^{2}-(a-b) x-b$,

$\therefore 1-a=1, b=-3, \quad \therefore a=0, b=-3$;

（3）当 $x=2$ 时, $x^{3}+4 x^{2}-3 x-18=8+16-6-18=0, \therefore$ 多项式有因式 $(x-2)$,设另一个因式为 $\left(x^{2}+a x+b\right) ， \therefore x^{3}+4 x^{2}-3 x-18=(x-2)\left(x^{2}+a x+b\right)$,

$\therefore x^{3}+4 x^{2}-3 x-18=x^{3}+(a-2) x^{2}-(2 a-b) x-2 b$,

$\therefore a-2=4,2 b=18, \therefore a=6, b=9, \quad \therefore x^{3}+4 x^{2}-3 x-18=(x-2)\left(x^{2}+6 x+9\right)=(x-2)(x+3)^{2}$.

【点睛】本题考查因式分解的意义, 理解 “试根法” 的本质, 多项式乘多项式的正确展开是解题的关键
选项：
答案：解: (1) 当 $x= \pm 2$ 时, $x^{2}-4=0$, 故答案为: $\pm 2$;

(2) 由题意可知 $x^{3}-x^{2}-3 x+3=(x-1)\left(x^{2}+a x+b\right)$,

$\therefore x^{3}-x^{2}-3 x+3=x^{3}-(1-a) x^{2}-(a-b) x-b$,

$\therefore 1-a=1, b=-3, \quad \therefore a=0, b=-3$;

（3）当 $x=2$ 时, $x^{3}+4 x^{2}-3 x-18=8+16-6-18=0, \therefore$ 多项式有因式 $(x-2)$,设另一个因式为 $\left(x^{2}+a x+b\right) ， \therefore x^{3}+4 x^{2}-3 x-18=(x-2)\left(x^{2}+a x+b\right)$,

$\therefore x^{3}+4 x^{2}-3 x-18=x^{3}+(a-2) x^{2}-(2 a-b) x-2 b$,

$\therefore a-2=4,2 b=18, \therefore a=6, b=9, \quad \therefore x^{3}+4 x^{2}-3 x-18=(x-2)\left(x^{2}+6 x+9\right)=(x-2)(x+3)^{2}$.
解析：秋・长沙县期末）方法探究:

己知二次多项式 $x^{2}-4 x-21$, 我们把 $x=-3$ 代入多项式, 发现 $x^{2}-4 x-21=0$, 由此可以推断多项式中有因式 $(x+3)$. 设另一个因式为 $(x+k)$, 多项式可以表示成 $x^{2}-4 x-21=(x+3)(x+k)$, 则有 $x^{2}-4 x-21=x^{2}+(k+3) x+3 k$, 因为对应项的系数是对应相等的, 即 $k+3=-4$, 解得 $k=-7$, 因此多项式分解因式得: $x^{2}-4 x-21=(x+3)(x-7)$. 我们把以上分解因式的方法叫 “试根法” .问题解决: (1) 对于二次多项式 $x^{2}-4$, 我们把 $x=$ \$ \qquad \$代入该式, 会发现 $x^{2}-4=0$ 成立;

(2) 对于三次多项式 $x^{3}-x^{2}-3 x+3$, 我们把 $x=1$ 代入多项式, 发现 $x^{3}-x^{2}-3 x+3=0$, 由此可以推断多项式中有因式 $(x-1)$, 设另一个因式为 $\left(x^{2}+a x+b\right)$, 多项式可以表示成 $x^{3}-x^{2}-3 x+3=(x-$ 1） $\left(x^{2}+a x+b\right)$, 试求出题目中 $a, b$ 的值; (3) 对于多项式 $x^{3}+4 x^{2}-3 x-18$, 用 “试根法” 分解因式.

【思路点拨】(1) 将 $x= \pm 2$ 代入即可; （2）由题意得 $x^{3}-x^{2}-3 x+3=x^{3}-(1-a) x^{2}-(a-b) x$ $-b$, 再由系数关系求 $a 、 b$ 即可; (3) 多项式有因式 $(x-2)$, 设另一个因式为 $\left(x^{2}+a x+b\right)$, 则 $x^{3}+4 x^{2}$ $-3 x-18=x^{3}+(a-2) x^{2}-(2 a-b) x-2 b$, 再由系数关系求 $a 、 b$ 即可.

【答案】解: (1) 当 $x= \pm 2$ 时, $x^{2}-4=0$, 故答案为: $\pm 2$;

(2) 由题意可知 $x^{3}-x^{2}-3 x+3=(x-1)\left(x^{2}+a x+b\right)$,

$\therefore x^{3}-x^{2}-3 x+3=x^{3}-(1-a) x^{2}-(a-b) x-b$,

$\therefore 1-a=1, b=-3, \quad \therefore a=0, b=-3$;

（3）当 $x=2$ 时, $x^{3}+4 x^{2}-3 x-18=8+16-6-18=0, \therefore$ 多项式有因式 $(x-2)$,设另一个因式为 $\left(x^{2}+a x+b\right) ， \therefore x^{3}+4 x^{2}-3 x-18=(x-2)\left(x^{2}+a x+b\right)$,

$\therefore x^{3}+4 x^{2}-3 x-18=x^{3}+(a-2) x^{2}-(2 a-b) x-2 b$,

$\therefore a-2=4,2 b=18, \therefore a=6, b=9, \quad \therefore x^{3}+4 x^{2}-3 x-18=(x-2)\left(x^{2}+6 x+9\right)=(x-2)(x+3)^{2}$.

【点睛】本题考查因式分解的意义, 理解 “试根法” 的本质, 多项式乘多项式的正确展开是解题的关键。