eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（九年级 · 解析几何）：已知 $y=a x^{2}+6 a x+4(a \neq 0)$ 是关于 $x$ 的二次函数, 当自变量 $x$ 的取值范围为 $-4 \leq x \leq 1$ 时,函数 $y$ 有最大值，最大值为 13 ，则下列结论不正确的是（）

选项：
A. 抛物线与 $x$ 轴有两个交点
B. 当抛物线开口向下时, $a=-1$
C. 对称轴在 $y$ 轴的左侧
D. 当抛物线开口向上时, $a=\frac{13}{7}$

答案：D
解析：先把抛物线的解析式化成顶点式，再根据二次函数的性质逐个判断即可.

【详解】解：由题意得, $y=a x^{2}+6 a x+3$ 有最大值是 13

$\because y=a x^{2}+6 a x+3=a(x+3)^{2}+2-9 a$,

$\therefore 4-2 a=13$, 解得 $a=-1$,

$\therefore$ B 选项正确.

拋物线解析式为: $y=-(x+3)^{2}+13$, 即对称轴是: 直线 $x=-3$,

$\therefore$ C 选项正确,

又当 $y=0$ 时, $-(x+3)^{2}+13=0$,
$\Delta=(-7)^{2}-4 \times(-4) \times 4>0$

$\therefore-(x+7)^{2}+13=0$ 有两个不等的实数根,

$\therefore \mathrm{A}$ 选项正确,

$\because y=a x^{7}+6 a x+4=a(x+2)^{2}+4-2 a$,

$\therefore$ 当抛物线开口向上时, 由 $-4 \leq x \leq 1$ 时, 得当 $x=6$ 时,

则 $a+6 a+4=13$,

解得 $a=\frac{5}{7}$,

$\therefore \mathrm{D}$ 选项错误.

故选: D.

【点睛】本题考查了二次函数的图象、二次函数的性质和二次函数的最值, 能熟记二次函数的性质是解此题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：已知二次函数 $y=a x^{2}-2 a x-8 a$ ( $a$ 为常数) 经过点 $C(0,2)$,图象与 $x$ 轴交于点 $A 、 B(A$ 在 $B$ 的左边 $)$, 连接 $B C$, 点 $P$ 是抛物线图象在第一象限内的一点, 过点 $P$ 作 $P Q \perp B C$ 交于点 $Q$, 若 $P Q$ 取得最大值, 则此时点 $P$ 的横坐标为 ( )

选项：
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
C. 1




答案：D
解析：作 $P H \perp x$ 于点 $H$, 交 $B A$ 于 $D$, 可推证 $\angle P D Q=\angle B D H=\angle B C O$, 说明 $\angle P D Q$ 的函数值一定, $P D$ 最大时, $P Q$ 满足最大; 待定系数法确定直线 $B C$ 解析式 $y=-\frac{1}{2} x+2$,设点 $P$ 坐标, 表示出 $P D$, 运用二次函数最值, 确定点坐标即可.

【详解】解: $\because$ 图象经过点 $C(0,2)$,

$\therefore-8 a=2$,

$\therefore a=-\frac{1}{4}$,

将 $a$ 代入关系式得, $y=-\frac{1}{4} x^{2}+\frac{1}{2} x+2$,

令 $y=0$, 即 $-\frac{1}{4} x^{2}+\frac{1}{2} x+2=0$,

解得, $x_{1}=-2, x_{2}=4$,

$\therefore A(-2,0), \quad B(4,0)$,

$\therefore O C=2, \quad O B=4, \quad B C=\sqrt{2^{2}+4^{2}}=2 \sqrt{5}$,

设 $B C$ 解析式 $y=k x+h(k \neq 0)$, 得

$\left\{\begin{array}{l}h=2 \\ 4 k+2=0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{1}{2} \\ h=2\end{array}\right.$

$\therefore y=-\frac{1}{2} x+2$,

作 $P H \perp x$ 于点 $H$, 交 $B A$ 于 $D$, 则 $\angle P H B=\angle C O B=90^{\circ}$

$\therefore P H / / C O$



$\therefore \angle P D Q=\angle B D H=\angle B C O$,

$\therefore \sin \angle P D Q=\sin \angle B C O=\frac{4}{2 \sqrt{5}}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$,

$\therefore P D$ 最大时, $P Q$ 满足最大,

设点 $P\left(m,-\frac{1}{4} m^{2}+\frac{1}{2} m+2\right)$, 则点 $D\left(m,-\frac{1}{2} m+2\right)$,

$\therefore P D=-\frac{1}{4} m^{2}+\frac{1}{2} m+2-\left(-\frac{1}{2} m+2\right)=-\frac{1}{4} m^{2}+m=-\frac{1}{4}(m-2)^{2}+1$

$\therefore$ 当 $m=2$ 时, $P Q$ 有最大值.

故选: D.

【点睛】本题考查了二次函数的性质的应用, 锐角三角函数, 平行线的性质, 待定系数法确定函数解析式，由三角函数确定线段间的数量关系是解题关键.
题目（九年级 · 解析几何）：抛物线 $y=m x^{2}-2 m x+m-1(m>0)$ 与直线 $y=x$ 交于 $\mathrm{A}, B$

两点, 抛物线在 $\mathrm{A}, B$ 两点之间的部分以及线段 $A B$ 所围域内 (包括边界) 恰有 4 个整点 (横、纵坐标都是整数的点叫做整点), 则 $m$ 的取值范围是 ( )

选项：
A. $2<m \leq 3$
B. $2 \leq m \leq 3$
C. $2 \leq m<3$
D. $2<m<3$


答案：A
解析：先根据拋物线解析式, 确定顶点坐标, 进而得到点 $1,-1,(1,0) 、(1,1)$ 必在所要求区域内, 再扩充一个整点 $(2,2)$, 将 $x=2$ 代入拋物线解析式, 得到 $y=m-1$, 然后根据点 $(2, m-1)$ 的纵坐标在 1 和 2 之间（不包括 1 , 但包括 2 ), 据此即可得到答案.

【详解】解: $\because y=m x^{2}-2 m x+m-1=m(x-1)^{2}-1$,

$\therefore$ 拋物线的顶点坐标为 $1,-1$,

$\because$ 直线 $y=x$ 经过点 $(1,1)$,

$\therefore$ 点 $1,-1,(1,0) 、(1,1)$ 必在抛物线在 $A, B$ 两点之间的部分以及线段 $A B$ 所围域内（包括边界)，

$\because$ 此区域恰有 4 个整点,

$\therefore$ 第 4 个整点必为 $(2,2)$,

将 $x=2$ 代入 $y=m(x-1)^{2}-1$, 得: $y=m-1$,

$\therefore 1<m-1 \leq 2$,

解得: $2<m \leq 3$,
故选 A.



【点睛】本题考查了二次函数图象和系数的关系, 函数图象上点的坐标特征, 利用数形结合的思想解决问题是解题关键.
题目（九年级 · 解析几何）：为了让甲、乙两名运动员在自由式滑雪大跳台比赛中取得优异成绩, 需要研究他们从起跳至落在雪坡过程中的运动状态, 如图, 以起跳点 $O$ 为原点, 水平方向为 $x$ 轴建立平面直角坐标系. 我们研究发现甲运动员跳跃时, 空中飞行的高度 $y$ （米）与水平距离 $x$ （米）具有二次函数关系, 记点 $\mathrm{A}$ 为该二次函数图象与 $x$ 轴的交点, 点 $B$ 为该运动员的落地点, $B C \perp x$ 轴于点 $C$. 测得相关数据如下: $O A=12$ 米, $O C=18$ 米, 拋物线最高点到 $x$ 轴距离为 4


米. 若乙运动员跳跃时高度 $y$ (米) 与水平距离 $x$ (米) 满足 $y=-\frac{1}{8} x^{2}+\frac{3}{2} x$, 则他们跳跃时起跳点与落地点的水平距离 ( )

选项：
A. 甲>乙
B. 甲 $<$ 乙
C. 甲 $=乙$
D. 无法确定


答案：A
解析：先根据已知求出甲运动员跳跃时的抛物线解析式, 再把 $x=18$ 代入解析式, 求出落地点 $B$ 的坐标 $(18,-12)$, 再把 $y=-12$ 代入 $y=-\frac{1}{8} x^{2}+\frac{3}{2} x$ 求出 $x$, 再与 18 比较即可.

【详解】解：由题意, 设该二次函数的解析式为 $y=a x^{2}+b x(a \neq 0)$,

$\because O A=12$, 拋物线最高点到 $x$ 轴距离为 4 米,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}122 a+12 b=0 \\ \frac{-b^{2}}{4 a}=4\end{array}\right.$

解得 $\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{9} \\ b=\frac{4}{3}\end{array}\right.$,

$\therefore$ 该二次函数的解析式为 $y=-\frac{1}{9} x^{2}+\frac{4}{3} x(x \geq 0)$,

$\because O C=18$ 米,

$\therefore$ 当 $x=18$ 时, $y=-\frac{1}{9} \times 18^{2}+\frac{4}{3} \times 18=-12$,

$\therefore B(18,-12)$;

对于函数 $y=-\frac{1}{8} x^{2}+\frac{3}{2} x$,

当 $y=-12$ 时,$-12=-\frac{1}{8} x^{2}+\frac{3}{2} x$,

解得, $x=6+2 \sqrt{33}$ 或 $x=6-2 \sqrt{33}$ (舍去),

$\therefore$ 乙起跳点与落地点的水平距离 $(6+2 \sqrt{33})$ 米,

$\because 18-(6+2 \sqrt{33})=12-2 \sqrt{33}=\sqrt{144}-\sqrt{132}>0$,
$\therefore$ 甲起跳点与落地点的水平距离大于乙起跳点与落地点的水平距离.

故选: A.

【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用等知识点, 熟练掌握二次函数的性质是解题关键.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 抛物线 $y=x^{2}-2 x-3$ 交 $x$ 轴于点 $A, C$, 交 $y$ 轴于点 $B$, 点 $P$ 在 $x$ 轴负半轴上, 将线段 $P B$ 绕点 $P$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 得到线段 $P D$. 若点 $D$ 在恰好在抛物线上, 则点 $P$ 的坐标为 ( )

选项：
A. $(5,0)$
B. $(-6,0)$
C. $(-3,0)$
D. $(-5,0)$

答案：D
解析：先求出 $O B=3$, 然后设点 $P$ 的坐标为 $(x, 0)$, 过点 $D$ 作 $D E \perp P O$ 于点 $E$, 证得 $\triangle P B O \cong \triangle D P E$, 即可得点 $D$ 的坐标为 $(x+3,-x)$, 代入二次函数解析式即可就出答案.

【详解】令 $x=0$, 则 $y=-3$,

$\therefore O B=3$,

设点 $P$ 的坐标为 $(x, 0)$, 过点 $D$ 作 $D E \perp P O$ 于点 $E$,



由旋转可得: $P D=P B, \angle B P D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle D E P=\angle B O P=\angle B P D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle P B O+\angle B P O=\angle D P O+\angle B P O=90^{\circ}$

$\therefore \angle P B O=\angle D P O$,

$\therefore \triangle P B O \cong \triangle D P E$

$\therefore O B=P E=3, D E=O P=-x$,

$\therefore$ 点 $D$ 的坐标为 $(x+3,-x)$,

把 $(x+3,-x)$ 代入 $y=x^{2}-2 x-3$ 解得 $x_{1}=-5, x_{2}=0$ (舍去),

$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(-5,0)$,

故选 D.

【点睛】本题考查二次函数的图像, 旋转的性质, 全等三角形的判定和性质, 能作辅助线构造全等三角形是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：已知二次函数 $y=m x^{2}-2 m x+2(m \neq 0)$ 在 $-2 \leq x<2$ 时有


最小值 -2 , 则 $m=(\quad)$

选项：
A. -4 或 $-\frac{1}{2}$
B. 4 或 $-\frac{1}{2}$
C. -4 或 $\frac{1}{2}$
D. 4 或 $\frac{1}{2}$


答案：B
解析：先求出二次函数对称轴为直线 $x=1$, 再分 $m>0$ 和 $m<0$ 两种情况, 利用二次函数的性质进行求解即可.

【详解】解: $\because$ 二次函数 $y=m x^{2}-2 m x+2=m(x-1)^{2}-m+2$,

$\therefore$ 对称轴为直线 $x=1$,

(1)当 $m>0$, 抛物线开口向上, $x=1$ 时, 有最小值 $y=-m+2=-2$, 解得: $m=4$;

(2)当 $m<0$, 抛物线开口向下, $\because$ 对称轴为直线 $x=1$, 在 $-2 \leq x<2$ 时有最小值 -2 ,
$\therefore x=-2$ 时, 有最小值 $y=9 m-m+2=-2$, 解得: $m=-\frac{1}{2}$.

故选: B.

【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质, 掌握分类讨论的思想是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：某市公园欲修建一个圆型喷泉池, 在水池中垂直于地面安装一个柱子 $O P$, 安置在柱子顶端 $P$ 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过 $O P$ 的任一平面上, 建立平面直角坐标系 (如图所示), 水平距离 $x(\mathrm{~m})$ 与水流喷出的高度 $y(\mathrm{~m})$ 之间的关系式为 $y=-\frac{2}{9} x^{2}+\frac{4}{3} x+2$, 则水流喷出的最大高度是 ( )
  
选项：
A. $5.5 \mathrm{~m}$
  B. $5 \mathrm{~m}$
  C. $4.5 \mathrm{~m}$
  D. $4 \mathrm{~m}$

  

  （第 4 题）


答案：D
解析：将 $y=-\frac{2}{9} x^{2}+\frac{4}{3} x+2$ 配方成顶点式求解即可.

【详解】 $y=-\frac{2}{9} x^{2}+\frac{4}{3} x+2=-\frac{2}{9}(x-3)^{2}+4$

$\therefore$ 当 $x=3$ 时, $y$ 取得最大值 4 ,

$\therefore$ 水流喷出的最大高度是 $4 \mathrm{~m}$.

故选: D.

【点睛】本题考查二次函数的应用, 解答本题的关键是明确题意, 利用二次函数的性质和数
形结合的思想解答.
题目（九年级 · 解析几何）：一座拱桥的轮廓是抛物线型 (如图所示), 桥高为 8 米,拱高 6 米, 跨度 20 米. 相邻两支柱间的距离均为 5 米, 则支柱 $M N$ 的高度为（）米.



选项：
A. 2.5 米
B. 3 米
C. 3.5 米
D. 4 米


答案：C
解析：设拱桥两端分别为点 $A 、 B$, 拱桥顶端为点 $C$, 以 $A B$ 所在的直线为 $x$ 轴, 以 $A B$ 的中点 $O$ 为坐标原点, $O C$ 所在的直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系, 则点

$A(-10,0), B(10,0), C(0,6)$, 点 $M, N$ 的横坐标为 5 , 再求出抛物线的解析式, 即可求解.

【详解】解: 如图, 设拱桥两端分别为点 $A 、 B$, 拱桥顶端为点 $C$, 以 $A B$ 所在的直线为 $x$轴, 以 $A B$ 的中点 $O$ 为坐标原点, $O C$ 所在的直线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系, 则点 $A(-10,0), B(10,0), C(0,6)$, 点 $M, N$ 的横坐标为 5 ,

设抛物线的解析式为 $y=a x^{2}+c$,

把点 $A(-10,0), C(0,6)$ 代入得:

$\left\{\begin{array}{l}100 a+c=0 \\ c=6\end{array}\right.$, 解得: $\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{3}{50} \\ c=6\end{array}\right.$,

$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=-\frac{3}{50} x^{2}+6$,
当 $x=5$ 时, $y=-\frac{3}{50} \times 5^{2}+6=4.5$,

$\therefore$ 支柱 $M N$ 的高度为 $8-4.5=3.5$ 米.

故选: C

【点睛】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 一个滑道由滑坡（ $A B$ 段）和缓冲带（ $B C$ 段）组成, 如图所示, 滑雪者在滑坡上滑行的距离 $y_{1}$ (单位: m) 和滑行的时间 $t_{1}$ （单位： $s$ ）满足二次函数关系，并测得相关数据：滑雪者在缓冲带上滑行的距离 $y_{2}$ (单位: m), 和在缓冲带上滑行时间 $t_{2}$ (单位: s) 满足: $y_{2}=56 t_{2}-2 t_{2}{ }^{2}$, 滑雪者从 $A$ 出发在缓冲带 $B C$ 上停止, 一共用了 $24 \mathrm{~s}$, 则滑坡 $A B$ 的长度为 $(\quad)$

| 滑行时间 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 滑行距离 | 0 | 4.5 | 14 | 28.5 | 48 |


选项：
A. 275 米
B. 384 米




答案：D
解析：由滑行时间为 0 时, 滑行距离为 0 可得 $c=0$, 故设 $y_{1}=a t_{1}^{2}+b t_{1}$, 取两组数据代入,求出解析式, 滑雪者在 $B C$ 段对应的二次函数取得最大值时即为滑雪者停下时, 由此求出滑雪者在 $B C$ 段的滑行时间, 即可得出在 $A B$ 段的滑行时间, 最后代入函数解析式求出 $A B$ 段的长度即可.

【详解】解：由滑行时间为 0 时, 滑行距离为 0 可得 $c=0$,

$\therefore$ 设 $y_{1}=a t_{1}^{2}+b t_{1}$ ，

取两组数据代入可得: $\left\{\begin{array}{l}4.5=a+b \\ 14=4 a+2 b\end{array}\right.$ ，

解得: $\left\{\begin{array}{l}a=2.5 \\ b=2\end{array}\right.$,

$\therefore y_{1}=2.5 t_{1}^{2}+2 t_{1}$

滑雪者在缓冲带 $B C$ 上滑行时间为: $t_{2}=-\frac{b}{2 a}=14 \mathrm{~s}$,

$\therefore$ 滑雪者在滑坡 $A B$ 上滑行时间为: $24-14=10 \mathrm{~s}$,

令 $t_{1}=10, y_{1}=2.5 \times 10^{2}+2 \times 10=270$,

$\therefore$ 滑坡 $A B$ 的长度为 270 米.

故选: D.

【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用, 滑雪者在 $B C$ 段对应的二次函数取得最大值时即为滑雪者停下时, 由此求出滑雪者在 $B C$ 段的滑行时间是解题关键.
题目（九年级 · 解析几何）：二次函数 $y=-2 x^{2}$ 的图象开口方向是 ( )
  
选项：
A. 向上
  B. 向下
  C. 向左
  D. 向右


答案：B
解析：根据 $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ 的性质, $a>0$ 时, 开口向上; $a<0$ 时, 开口向下, 即可.

【详解】 $\because$ 二次函数 $y=-x^{2}+1$ 中, $a=-1<0$,

$\therefore$ 二次函数图象开口向下,

故选: B.

【点睛】本题考查二次函数的知识, 解题的关键是掌握二次函数 $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ 的图象与性质.
题目（九年级 · 解析几何）：抛物线 $y=(x-1)^{2}+2$ 的对称轴是 ( )
  
选项：
A. 直线 $x=2$
  B. 直线 $x=-2$
  C. 直线 $x=-1$
  D. 直线 $x=1$


答案：D
解析：用对称轴公式, 直接求出对称轴.

【详解】解: $\because y=-x^{2}+1$,

$\therefore$ 对称轴是直线 $x=-\frac{0}{2 \times(-1)}=0$.

故选: D.

【点睛】本题主要考查二次函数对称轴的求法, 掌握二次函数的性质是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：抛物线 $y=2(x+2)^{2}-3$ 的顶点坐标是 ( )
  
选项：
A. $(2,-3)$
  B. $(-2,-3)$
  C. $(-2,3)$
  D. $(2,3)$


答案：B
解析：根据二次函数的顶点式 $y=a(x-h)^{2}+k$ 可得顶点坐标为 $(h, k)$ 即可得到结果;

【详解】 $\because$ 二次函数解析式为 $y=2(x+2)^{2}-3$,

$\therefore$ 顶点坐标为 $(-2,-3)$;

故答案选 B.

【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：已知点 $A(1,-2)$ 与点 $B$ 关于抛物线 $y=x^{2}-3$ 的对称轴对称, 则点 $B$ 的坐标是 ( )
  
选项：
A. $(2,1)$
  B. $(-2,-1)$
  C. $(1,2)$
  D. $(-1,-2)$


答案：D
解析：先根据扰物线解析式求得对称轴为 $y$ 轴, 然后根据关于 $y$ 轴对称的点的纵坐标不变,横坐标互为相反数即可求解.

【详解】解: $\because$ 拋物线 $y=x^{2}-3$, 对称轴为直线 $x=0$, 即 $y$ 轴,

$\therefore$ 点 $A(1,-2)$ 与点 $B$ 关于该拋物线的对称轴对称, 则点 $B$ 的坐标是 $(-1,-2)$

故选: D.

【点睛】本题考查了二次函数的性质, 关于坐标轴对称的点的坐标特征, 得出抛物线的对称轴是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：已知二次函数的图象如图所示, 则这个二次函数的表达式为 ( )

  

  （第 8 题）

  
选项：
A. $y=x^{2}-2 x+3$
  B. $y=x^{2}-2 x-3$
  C. $y=x^{2}+2 x-3$
  D. $y=x^{2}+2 x+3$


答案：B
解析：根据题意, 把抛物线经过的三点代入函数的表达式, 列出方程组, 解出各系数则可.

【详解】根据题意, 图象与 $\mathrm{y}$ 轴交于负半轴, 故 $\mathrm{c}$ 为负数, 又四个选项中, $\mathrm{B} 、 \mathrm{C}$ 的 $\mathrm{c}$ 为 -3 ,符合题意, 故设二次函数的表达式为 $\mathrm{y}=\mathrm{ax}+\mathrm{2}+b x+c$,

拋物线过 $(-1,0),(0,-3),(3,0)$,

$$
a-b+c=0
$$

所以 $\{c=-3$

$9 a+3 b+c=0$

解得 $a=1, b=-2, c=-3$,

这个二次函数的表达式为 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{x}-3$.

故选 B.

【点睛】本题考查了用待定系数法求函数表达式的方法, 同时还考查了方程组的解法等知识,是比较常见的题目.
题目（九年级 · 解析几何）：二次函数 $y=(x+m)^{2}+n$ 的图像如图所示, 则点 $(m, n)$ 所在的象限是 ( )

  

  (第 9 题)

  
选项：
A. 第一象限
  B. 第二象限
  C. 第三象限
  D. 第四象限


答案：C
解析：根据函数解析式得出顶点为 $(-m, n)$, 根据图像可得 $-m>0, n<0$, 即可得出 $m<0$,则点 $(m, n)$ 所在的象限即可判定.

【详解】解： $\because$ 二次函数 $y=(x+m)^{2}+n$,

$\therefore$ 顶点为 $(-m, n)$,
由函数图像可知, 抛物线的顶点在第四象限,

$\therefore-m>0, n<0$,

$\therefore m<0$,

$\therefore$ 点 $(m, n)$ 在第三象限.

故选: C.

【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的性质，先分析信息，再进行判断是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：抛物线 $y=x^{2}-3 x+2$ 与 $y$ 轴交点的坐标是 ( ).
    
选项：
A. $(0,2)$
    B. $(1,0)$
    C. $(0,-3)$
    D. $(0,0)$


答案：A
解析：mathrm{A}$

【详解】试题解析：令 $\mathrm{x}=0, \mathrm{y}=2$, 则拋物线 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}-3 \mathrm{x}+2$ 与 $\mathrm{y}$ 轴的交点坐标是 $(0,2)$.故选 A.
题目（九年级 · 解析几何）：已知二次函数的图象 $(0 \leq x \leq 3.4)$ 如图. 关于该函数在所给自变量的取值范围内,下列说法正确的是（）

    

    （第 10 题）

    
选项：
A. 有最大值 2, 无最小值
    B. 有最大值 2, 有最小值 1.5
    C. 有最大值 2, 有最小值 -2
    D. 有最大值 1.5 , 有最小值 -2

    

##
答案：C
解析：直接根据函数的图象顶点坐标及最低点求出该函数在所给自变量的取值范围内的最大及最小值即可.

【详解】解: 由函数图象可知, 此函数的顶点坐标为 $(1,2)$,

$\because$ 此抛物线开口向下,

$\therefore$ 此函数有最大值, 最大值为 2 ;

$\because 0 \leq x \leq 3.4$,

$\therefore$ 当 $\mathrm{x}=3.4$ 时, 函数最小值为 -2 .

故选: C.

【点睛】本题考查的是二次函数的最值及二次函数的图象, 解答此题时要注意应用数形结合的思想求解.
题目（九年级 · 解析几何）：已知抛物线 $y=x^{2}+b x+c$ 经过点 $(1,0)$ 和点 $(-3,0)$, 则该抛物线的对称轴为 ( )
    
选项：
A. $y$ 轴
    B. 直线 $x=-1$
    C. 直线 $x=-2$
    D. 直线 $x=2$

  


答案：B
解析：根据 $A 、 B$ 两点的纵坐标相同可知 $A 、 B$ 两点关于对称轴对称, 据此即可求出答案.

【详解】解: $\because$ 拋物线 $y=x^{2}+b x+c$ 经过点 $(1,0)$ 和点 $(-3,0)$,

$\therefore$ 抛物线对称轴为直线 $x=\frac{-3+1}{2}=-1$,

故选 B.

【点睛】本题主要考查二次函数的对称性, 熟练掌握利用二次函数的对称性求解函数的对称轴是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：对于二次函数 $y=-(x-1)^{2}$ 的图象, 下列说法正确的是 ( )
    
选项：
A. 开口向上
    B. 对称轴是直线 $x=1$
    C. 与 $y$ 轴交点的坐标是 $(0,1)$
    D. 顶点在第一象限.


答案：C
解析：mathrm{C}$

【详解】试题分析: $\because y=x^{2}+2 x=(x+1)^{2}-1, \therefore$ 图象开口向上, 顶点 $(-1,-1)$ 在第三象限，符合条件的只有 C，故选 C.

考点: 二次函数的图象.
题目（九年级 · 解析几何）：抛物线 $y=a(x+1)^{2}+2$ 的一部分如图所示, 该抛物线在 $y$ 轴右侧部分与 $x$ 轴交点的坐标是 ( )
    
    （第 4 题）
    
选项：
A. $(1,0)$
    B. $(0.5,0)$
    C. $(2,0)$
    D. $(3,0)$


答案：B
题目（九年级 · 解析几何）：一个球从地面坚直向上弹起时的速度为 10 米/秒, 经过 $t$ (秒) 时球距离地面的高度 $h$ (米) 适用公式 $h=10 t-5 t^{2}$, 则球弹起后又回到地面所花的时间 $t$ （秒）是 ( )
    
选项：
A. 5
    B. 10
    C. 1
    D. 2


答案：D
解析：根据球弹起后又回到地面时 $h=0$, 得到 $0=10 t-5 t^{2}$, 解方程即可得到答案.

【详解】解：球弹起后又回到地面时 $h=0$, 即 $0=10 t-5 t^{2}$,

解得 $t_{1}=0$ (不合题意, 舍去), $t_{2}=2$,

$\therefore$ 球弹起后又回到地面所花的时间 $t$ （秒）是 2 ,

故选: D

【点睛】此题考查了求二次函数自变量的值, 读懂题意, 得到方程是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：若点 $P_{1}\left(-1, y_{1}\right) ， P_{2}\left(-2, y_{2}\right) ， P_{3}\left(1, y_{3}\right)$, 都在函数 $y=x^{2}-2 x+3$ 的图象上, 则 ( )
    
选项：
A. $y_{2}<y_{1}<y_{3}$
    B. $y_{1}<y_{2}<y_{3}$
    C. $y_{2}>y_{1}>y_{3}$
    D. $y_{1}>y_{2}>y_{3}$


答案：C
解析：由函数解析式可知其对称轴及单调性, 据此即可判断.

【详解】解：由题可知函数单调性为，当 $\mathrm{x} \leq 1$ 时，函数值随 $\mathrm{x}$ 的增大而减小; 当 $\mathrm{x}>1$ 时,函数值随 $\mathrm{x}$ 的增大而增大.

$\because-2<-1<1$,

$\therefore y_{2}>y_{1}>y_{3}$,

故选择 C.

【点睛】本题考查了二次函数的增减性.
题目（九年级 · 解析几何）：已知二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 的图象如图所示, 则 $a 、 b 、 c$ 满足 ( )

      

      （第 8 题）

    
选项：
A. $a<0, b<0, c<0$
    B. $a>0, b<0, c<0$
    C. $a<0, b>0, c>0$
    D. $a>0, b<0, c>0$




答案：D
解析：根据开口方向可得 $a$ 的符号, 根据对称轴在 $y$ 轴的哪侧可得 $b$ 的符号, 根据拋物线与 $y$ 轴的交点可得 $c$ 的符号.
【详解】解: $\because$ 抛物线开口向上, $\therefore a>0$,

$\because$ 抛物线的对称轴在 $y$ 轴的右侧,

$\therefore b<0$,

$\because$ 抛物线与 $y$ 轴交于负半轴,

$\therefore c>0$.

故选: D.

【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系; 用到的知识点为: 抛物线的开口向上, $a>0$;对称轴在 $y$ 轴右侧, $a, b$ 异号; 拋物线与 $y$ 轴的交点即为 $c$ 的值.
题目（九年级 · 解析几何）：抛物线 $y=(x-3)^{2}+2$ 的对称轴是 ( )

选项：
A. 直线 $x=-3$
B. 直线 $x=3$
C. 直线 $x=-2$
D. 直线 $x=2$

答案：B
解析：根据题干中抛物线的顶点式，可以直接写出它的对称轴.

【详解】 $\because$ 拋物线 $y=(x-3)^{2}+2$

$\therefore$ 对称轴是直线 $x=3$,

故选: B

【点睛】本题考查二次函数的性质, 解答本题的关键是明确题意, 利用二次函数的性质进行分析解答.
题目（九年级 · 解析几何）：抛物线 $y=(x-1)(x-3)$ 向左平移 $m$ 个单位后其图象恰好经过坐标原点, 则 $m$ 的值为 $(\quad$ )

选项：
A. 2
B. 1
C. 3
D. 1 或 3

答案：D
解析：把函数解析式整理成顶点式形式，再根据向左平移横坐标减表示出平移后的拋物线解析式，再把原点的坐标代入计算即可得解.

【详解】解: $\because y=x^{2}-6 x+9=(x-3)^{2}$,

$\therefore$ 向左平移 $m$ 个单位后的函数解析式为 $y=(x-3+m)^{2}$,

$\because$ 函数图象经过坐标原点，

$\therefore(0-3+m)^{2}=0$,

解得 $m=3$.

故选: D.

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换, 利用顶点的变化确定函数解析式的变化求解更加简便, 要求熟练掌握平移的规律: 左加右减, 上加下减.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 抛物线 $y=a x^{2}+b x+c$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1,0) 、 B(3,0)$ 两点, 与 $y$ 轴交于点 $C$,下列结论不正确的是 ( )

选项：
A. $3 a+c>0$
B. $2 a+b=0$
C. $a b c>0$
D. $4 a+2 b+c<0$



(第 5 题)



(第 6 题)



(第 8 题)


答案：A
解析：由抛物线的对称轴的位置判断 $a b$ 的符号，由拋物线与 $y$ 轴的交点判断 $c$ 的符号，然后根据对称轴及抛物线与 $x$ 轴交点情况进行推理, 进而对所得结论进行判断.

【详解】解：由图像可得， $a>0, c<0,-\frac{b}{2 a}>0$,
$\therefore b<0$,

$\therefore a b c>0$, 故选项 A 正确, 不合题意;

$\because$ 抛物线 $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1,0) 、 B(3,0)$ 两点,

$\therefore-\frac{b}{2 a}=\frac{-1+3}{2}=1$, 得 $b=-2 a$,

$\therefore 2 a+b=0$, 故选项 B 正确, 不合题意;

当 $x=-1$ 时, $y=a-b+c=a+2 a+c=3 a+c=0$, 故选项 C 不正确, 符合题意;

当 $x=2$ 时, $y=4 a+2 b+c<0$, 故选项 D 正确, 不合题意;

故选: A.

【点睛】本题主要考查了图像与二次函数系数之间的关系，解题的关键是熟知二次函数的图像及其性质。
题目（九年级 · 解析几何）：坚直向上发射的小球的高度 $h(m)$ 关于运动时间 $t(s)$ 的函数表达式为 $h=a t^{2}+b t$,其图象如图所示, 若小球发射后第 2 秒与第 6 秒时的高度相等, 则下列时刻中小球的高度最高的是 ( )

选项：
A. 第 3 秒
B. 第 3.5 秒
C. 第 4 秒
D. 第 6 秒

答案：C
解析：根据题中已知条件求出函数 $h=a t^{2}+b t$ 的对称轴 $t=4$, 在 $t=4 \mathrm{~s}$ 时, 小球的高度最高.

【详解】解：由题意可知：小球发射后第 2 秒与第 6 秒时的高度相等,

即 $4 a+2 b=36 a+6 b$,

解得 $b=-8 a$,

函数 $h=a t^{2}+b t$ 的对称轴 $t=-\frac{b}{2 a}=4$,

故在 $t=4 \mathrm{~s}$ 时, 小球的高度最高,

故选: C.

【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用, 求出抛物线对称轴是解题关键.
题目（九年级 · 解析几何）：二次函数 $y=x^{2}+(a+2) x+a$ 的图象与 $x$ 轴交点的情况是 ( )

选项：
A. 没有公共点
B. 有两个公共点
C. 有一个公共点
D. 与 $a$ 的值有关

答案：B
解析：根据二次函数与一元二次方程的关系，只要计算出一元二次方程的根的判别式，根据判别式的符号即可判断.

【详解】 $\because \Delta=(a+2)^{2}-4 \times 1 \times a=a^{2}+4>0$

$\therefore$ 二次函数 $y=x^{2}+(a+2) x+a$ 的图象与 $x$ 轴有两个不同的公共点

故选: B

【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系, 要从数与形两个方面来理解这种关系. 一般地：当 $\Delta>0$ 时，二次函数与 $x$ 轴有两个不同的交点; 当 $\Delta=0$ 时，二次函数与 $x$ 轴有一个交点; 当 $\Delta<0$ 时, 二次函数与 $x$ 轴没有交点; 掌握这个知识是关键.
题目（九年级 · 解析几何）：二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 的图象如图所示, 若 $M=4 a+2 b, N=a-b$. 则 $M 、 N$ 的大小关系为 ( $\quad$ )

选项：
A. $M<N$
B. $M=N$
C. $M>N$
D. 无法确定

答案：A
解析：由图像可知, 当 $x=-1$ 时, $y=a-b+c>0$, 当 $x=2$ 时, $y=4 a+2 b+c<0$, 然后用作差法比较即可.

【详解】解：当 $x=-1$ 时, $y=a-b+c>0$,

当 $x=2$ 时, $y=4 a+2 b+c<0$,

$M-N=4 a+2 b-(a-b)$

$=4 a+2 b+c-(a-b+c)<0$,

即 $M<N$ ，

故选: A.

【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征, 作差法比较代数式的大小, 熟练掌握二次函数图像上点的坐标满足二次函数解析式是解答本题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 在正方形 $A B C D$ 中, $A B=4$, 动点 $M, N$ 分别从点 $A, B$同时出发, 沿射线 $A B$, 射线 $B C$ 的方向匀速运动, 且速度的大小相等,连接 $D M, M N, N D$. 设点 $M$ 运动的路程为 $x(0 \leq x \leq 4)$, $\triangle D M N$ 的


面积为 $s$, 下列图像中能反映 $s$ 与 $x$ 之间函数关系的是（）

（第 9 题）

选项：
A.


B.


C.


D.




答案：C
解析：先根据 $S=S_{\text {正方形 } A B C D}-S_{\triangle A D M}-S_{\triangle D C N}-S_{\triangle B M N}$, 求出 $\mathrm{S}$ 与 $x$ 之间函数关系式, 再判断即可得出结论.

【详解】解: $S=S_{\text {正方形 } A B C D}-S_{\triangle A D M}-S_{\triangle D C N}-S_{\triangle B M N}$, $=4 \times 4-\frac{1}{2} \times 4 x-\frac{1}{2} \times 4(4-x)-\frac{1}{2} x(4-x)$,

$=\frac{1}{2} x^{2}-2 x+8$,

$=\frac{1}{2}(x-2)^{2}+6$,

故 $\mathrm{S}$ 与 $x$ 之间函数关系为二次函数, 图像开口向上, $x=2$ 时, 函数有最小值 6 ,

故选: C.

【点睛】本题考查了正方形的性质, 二次函数的图像与性质, 本题的关键是求出 $\mathrm{S}$ 与 $x$ 之间函数关系式，再判断 $\mathrm{S}$ 与 $x$ 之间函数类型.
题目（九年级 · 解析几何）：已知 $\odot O$ 的半径为 $5 \mathrm{~cm}$, 若 $O P=3 \mathrm{~cm}$, 那么点 $P$ 与 $\odot O$ 的位置关系是 ( )

选项：
A. 点 $P$ 在圆内
B. 点 $P$ 在圆上
C. 点 $P$ 在圆外
D. 都有可能

答案：A
解析：根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断.

【详解】解: $\because O P=3<5$,

$\therefore$ 点 $P$ 在 $\odot O$ 内.

故选: A.

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系: 点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系,反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系.
题目（九年级 · 解析几何）：已知点 $A, B$, 且 $A B<4$, 画经过 $A, B$ 两点且半径为 2 的圆有 ( )

选项：
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 无数个


答案：C
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 点 $A 、 B$ 是 $\odot O$ 上两点, $A B=10$, 点 $P$ 是 $\odot O$ 上的动点 ( $P$ 与 $A 、 B$ 不重合),连接 $A P 、 P B$, 过点 $O$ 分别作 $O E \perp A P$ 交 $A P$ 于点 $E, O F \perp P B$ 交 $P B$ 于点 $F$, 则 $E F$等于 ( )

       
       
       （第 8 题）

     
选项：
A. 2
       B. 3
       C. 5
       D. 6




答案：C
解析：先根据垂径定理得出 $A E=P E, P F=B F$, 故可得出 $E F$ 是 $\triangle A P B$ 的中位线, 再根据中位线定理即可得出结论.

【详解】解: $\because O E \perp A P$ 于 $E, O F \perp P B$ 于 $F, A B=10$,

$\therefore A E=P E, P F=B F$,

$\therefore E F$ 是 $\triangle A P B$ 的中位线,

$\therefore E F=\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} \times 10=5$.

故选: C.

【点睛】本题考查的是垂径定理, 中位线定理, 熟知垂直于弦的直径平分弦是解答此题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：若一个圆内接正多边形的中心角是 $60^{\circ}$, 则这个多边形是 ( )
  
选项：
A. 正九边形
  B. 正八边形
  C. 正七边形
  D. 正六边形


答案：D
解析：根据正多边形的中心角的计算公式计算即可.

【详解】解：设这个多边形的边数是 $n$,

由题意得, $\frac{360^{\circ}}{n}=60^{\circ}$,

解得, $n=6$,

故选: D.

【点睛】本题考查的是正多边形和圆的有关知识, 掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 正五边形 $A B C D E$ 内接于 $\odot O$, 点 $F$ 是 $D E$ 上的动点, 则 $\angle A F C$ 的度数为 ( )

  

  （第 8 题）

  
选项：
A. $72^{\circ}$
  B. $60^{\circ}$
  C. $144^{\circ}$
  D. 随着点 $F$ 的变化而变化




答案：A
解析：求出正五边形每条边所对的圆心角的度数, 再根据圆心角和圆周角的数量关系式即可求得.

【详解】连接 $A O 、 O C$,

$\because \angle A O C=360^{\circ} \div 5 \times 2=144^{\circ}$,

$\therefore \angle A F C=\frac{1}{2} \angle A O C=72^{\circ}$,

故选: A.



【点睛】此题考查了正多边形和圆, 解题的关键是熟悉正多边形和圆的性质.
题目（九年级 · 解析几何）：已知点 $A$ 的坐标为 $A(3,4), \odot A$ 的半径为 5 , 则原点 $O$ 与 $\odot A$ 的位置关系是 ( )
    
选项：
A. 点 $O$ 在 $\odot A$ 内
    B. 点 $O$ 在 $\odot A$ 外
    C. 点 $O$ 在 $\odot A$ 上
    D. 不能确定


答案：C
解析：
【详解】试题分析: 本题可先由勾股定理等性质算出点与圆心的距离 $\mathrm{d}$, 再根据点与圆心的距离与半径的大小关系, 即当 $\mathrm{d}>\mathrm{r}$ 时, 点在圆外; 当 $\mathrm{d}=\mathrm{r}$ 时, 点在圆上; 点在圆外; 当 $\mathrm{d}$ $<\mathrm{r}$ 时, 点在圆内; 来确定点与圆的位置关系.

解: $\because$ 点 A 的坐标为 $\mathrm{A}(3,4)$,

$\therefore \mathrm{OA}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$,

$\therefore$ 根据点到圆心的距离等于半径, 则知点在圆上.

故选 C.

点评: 本题考查了点与圆的位置关系及坐标与图形性质, 能够根据勾股定理求得点到圆心的距离, 根据数量关系判断点和圆的位置关系.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k>0)$ 的图象与矩形 $A O B C$ 的边 $A C, B C$ 分别相交于点 $E$, $F$, 点 $C$ 的坐标为 $(4,3)$ 将 $\triangle C E F$ 沿 $E F$ 翻折, $C$ 点恰好落在 $O B$ 上的点 $D$ 处, 则 $k$的值为 ( )

    

    (第 10 题)

    
选项：
A. $\frac{21}{4}$
    B. 6
    C. 3
    D. $\frac{21}{8}$

##
答案：D
解析：过点 $E$ 作 $E G \perp O B$ 于点 $G$, 根据折叠的性质得 $\angle E D F=\angle A C B=90^{\circ}, E C=E D$, $C F=D F$, 易证 $\triangle G E D \sim \triangle B D F$; 再根据 $E G: D B=E D: D F=4: 3$, 即可求出 $B D$, 然后在 Rt $\triangle D B F$ 中利用勾股定理得到关于 $k$ 的方程, 解方程求出 $k$ 的值即可.

【详解】如图, 过点 $E$ 作 $E G \perp O B$ 于点 $G$,

$\because$ 将 $\triangle C E F$ 沿 $E F$ 对折后, $C$ 点恰好落在 $O B$ 上的 $D$ 点处,

$\therefore \angle E D F=\angle A C B=90^{\circ}, E C=E D, C F=D F$,

$\therefore \angle G D E+\angle F D B=90^{\circ}$, 而 $E G \perp O B$,

$\therefore \angle G D E+\angle G E D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle G E D=\angle F D B$,

$\therefore \triangle G E D \sim \triangle B D F$;

又 $\because E C=A C-A E=4-\frac{k}{3}, C F=B C-B F=3-\frac{k}{4}$,

$\therefore E D=4-\frac{k}{3}, D F=3-\frac{k}{4}$,

$\therefore \frac{\mathrm{ED}}{\mathrm{DF}}=\frac{4-\frac{\mathrm{k}}{3}}{3-\frac{\mathrm{k}}{4}}=\frac{4}{3}$

$\therefore E G: D B=E D: \quad D F=4: 3$, 而 $E G=3$,

$\therefore D B=\frac{9}{4}$,

在 Rt $\triangle D B F$ 中, $D F^{2}=D B^{2}+B F^{2}$,

即 $\left(3-\frac{k}{4}\right)^{2}=\left(\frac{9}{4}\right)^{2}+\left(\frac{k}{4}\right)^{2}$

解得 $k=\frac{21}{8}$,

故选 $D$.



【点睛】本题考查的是折叠问题、反比例函数的性质、反比例函数图象上点的坐标特点、勾
股定理以及三角形相似的判定与性质等知识, 折叠是一种对称变换, 它属于轴对称, 折叠前后图形的形状和大小不变, 位置变化, 对应边和对应角相等.
题目（九年级 · 解析几何）：已知点 $\mathrm{P}$ 是线段 $A B$ 的黄金分割点 $(A P>P B$ ), 若线段 $A B=1$, 则线段 $A P$ 的长是
    
选项：
A. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
    B. $3-\sqrt{5}$
    C. $\sqrt{5}-1$
    D. $2-\sqrt{5}$


答案：A
解析：根据黄金分割点的定义, $A P>P B$; 则 $A P=\frac{\sqrt{5}-1}{2} A B$, 代入数据即可得出 $A P$ 的长度.

【详解】解：由于 $P$ 为线段 $A B=1$ 的黄金分割点，

且 $A P$ 是较长线段;

则 $A P=1 \times \frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

故选: A.

【点睛】本题考查了黄金分割点的概念，解题的关键是熟记黄金比的值进行计算.
题目（九年级 · 解析几何）：已知: $M N / / P Q, c \neq x$, 则满足关系式 $x=\frac{b c}{a}$ 的图形是（）


选项：
A.



B.



C.



D.




答案：C
解析：根据平行线分线段成比例定理进行求解即可
【详解】解: $x=\frac{b c}{a}$, 即 $a x=b c$

A, $\because M N / / P Q$,

$\therefore \frac{a}{b}=\frac{x}{c}$, 即 $a c=b x$, 故此选项不符合题意;

B、 $\because M N / / P Q$,

$\therefore \frac{c}{b}=\frac{x}{a}$, 即 $a c=b x$, 故此选项不符合题意;

C、 $\because M N / / P Q$,

$\therefore \frac{b}{a}=\frac{x}{c}$, 即 $a x=b c$, 故此选项符合题意;

D、 $\because M N / / P Q$,

$\therefore \frac{a}{x}=\frac{c}{b}$, 即 $a b=c x$, 故此选项不符合题意;

故选 C.

【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理, 熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：如图所示, $A B=4$, 射线 $B M$ 和线段 $A B$ 互相垂直, $D$ 是线段 $A B$ 上的一个动点, 点 $E$在射线 $B M$ 上, $2 B E=D B$, 作 $E F \perp D E$, 并截取 $E F=D E$, 连结 $A F$ 并延长交射线 $B M$于点 $C$. 设 $B E=x, B C=y$, 则 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $(\quad$ ）
    
选项：
A. $y=-\frac{12 x}{x-4}$
    B. $y=-\frac{2 x}{x-1}$
    C. $y=-\frac{3 x}{x-1}$
    D. $y=-\frac{8 x}{x-4}$

##
答案：A
题目（九年级 · 解析几何）：矩形相邻的两边长分别为 25 和 $x(x<25)$, 把它按如图所示的方式分割成五个全等的小矩形, 每一个小矩形均与原矩形相似, 则 $x$ 的值为（）

  

  （第 7 题）

  
选项：
A. 5
  B. $5 \sqrt{5}$
  C. $5 \sqrt{10}$
  D. 10


答案：B
解析：将矩形分割成五个全等的小矩形, 则每个小矩形的相邻两边的长为 5 和 $x$, 每一个小矩形均与原矩形相似，根据线段成比例的性质即可求解.

【详解】解：矩形分割成五个全等的小矩形, 则每个小矩形的相邻两边的长为 5 和 $x$, 每一个小矩形均与原矩形相似,

$\therefore$ 大矩形的长比宽等于小矩形的长比宽,

$\therefore \frac{25}{x}=\frac{x}{5}$, 解方程得, $x_{1}=5 \sqrt{5}, x_{2}=-5 \sqrt{5}$ (舍弃),

故选: B.

【点睛】本题主要考查线段成比例问题, 掌握相似图形, 对应比成比例是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：若一个圆内接正多边形的中心角是 $40^{\circ}$, 则这个正多边形的边数是 ( )
  
选项：
A. 10
  B. 9
  C. 8
  D. 6


答案：B
解析：根据正多边形的中心角的计算公式计算即可.

【详解】解: 设这个多边形的边数是 $n$,

由题意得, $\frac{360^{\circ}}{n}=40^{\circ}$,

解得, $n=9$,

$\therefore$ 这个正多边形的边数是 9 ,

故选: B.

【点睛】本题考查的是正多边形和圆的有关知识, 掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键.