eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高一 · 解析几何）：函数 $f(x)=\frac{a x+b}{1+x^{2}}$ 是定义在 $(-1,1)$ 上的奇函数, 且 $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{5}$.

(1)求函数 $f(x)$ 的解析式;

(2)证明函数 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上是单调增函数;

(3)解不等式 $f(m-1)+f(m)<0$.
选项：
答案：(1) $\because f(x)=\frac{a x+b}{1+x^{2}}$ 是定义在 $(-1,1)$ 上的奇函数,

$\therefore f(x)$ 在 $x=0$ 处有意义, 且 $f(0)=0$.

$\therefore \frac{a \times 0+b}{1+0^{2}}=0$, 即 $b=0$.

又 $\because f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{5}, \therefore \frac{\frac{1}{2} a+0}{1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{2}{5}$,

$\therefore a=1$. 故 $f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}$.

(2)任取 $x_{1}, x_{2} \in(-1,1)$, 且 $x_{1}<x_{2}$, 则 $x_{1}-x_{2}<0, x_{1} x_{2}<1$.

$\therefore f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=\frac{x_{1}}{1+x_{1}^{2}}-\frac{x_{2}}{1+x_{2}^{2}}=\frac{\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(1-x_{1} x_{2}\right)}{\left(1+x_{1}^{2}\right) \cdot\left(1+x_{2}^{2}\right)}<0$,

即 $f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)$.

由单调函数的定义可知, 函数 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上是单调增函数.

(3)由 $f(m-1)+f(m)<0$ 得, $f(m-1)<-f(m)$.

$\because$ 函数 $f(x)$ 是奇函数, $\therefore f(-m)=-f(m)$,

$\therefore f(m-1)<f(-m)$.

$\because f(x)$ 是 $(-1,1)$ 上的单调增函数,

$$
\therefore\left\{\begin{array}{l}
-1<m-1<1 \\
-1<m<1 \\
m-1<-m
\end{array}\right.
$$

解得 $0<m<\frac{1}{2}$.
解析：(1) $\because f(x)=\frac{a x+b}{1+x^{2}}$ 是定义在 $(-1,1)$ 上的奇函数,

$\therefore f(x)$ 在 $x=0$ 处有意义, 且 $f(0)=0$.

$\therefore \frac{a \times 0+b}{1+0^{2}}=0$, 即 $b=0$.

又 $\because f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{5}, \therefore \frac{\frac{1}{2} a+0}{1+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{2}{5}$,

$\therefore a=1$. 故 $f(x)=\frac{x}{1+x^{2}}$.

(2)任取 $x_{1}, x_{2} \in(-1,1)$, 且 $x_{1}<x_{2}$, 则 $x_{1}-x_{2}<0, x_{1} x_{2}<1$.

$\therefore f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=\frac{x_{1}}{1+x_{1}^{2}}-\frac{x_{2}}{1+x_{2}^{2}}=\frac{\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(1-x_{1} x_{2}\right)}{\left(1+x_{1}^{2}\right) \cdot\left(1+x_{2}^{2}\right)}<0$,

即 $f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)$.

由单调函数的定义可知, 函数 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上是单调增函数.

(3)由 $f(m-1)+f(m)<0$ 得, $f(m-1)<-f(m)$.

$\because$ 函数 $f(x)$ 是奇函数, $\therefore f(-m)=-f(m)$,

$\therefore f(m-1)<f(-m)$.

$\because f(x)$ 是 $(-1,1)$ 上的单调增函数,

$$
\therefore\left\{\begin{array}{l}
-1<m-1<1 \\
-1<m<1 \\
m-1<-m
\end{array}\right.
$$

解得 $0<m<\frac{1}{2}$.
题目（高一 · 解析几何）：过点 $(3,5)$ 作直线 $4 x+3 y-2=0$ 的垂线, 求垂足坐标.

解 设与 $4 x+3 y-2=0$ 垂直的直线方程为 $3 x-4 y+C=0$,

又 $\because$ 直线过点 $(3,5), \therefore 3 \times 3-4 \times 5+C=0, \quad \therefore C=11$,

$\therefore$ 过点 $(3,5)$ 与 $4 x+3 y-2=0$ 垂直的直线方程为 $3 x-4 y+11=0$.

解方程组 $\left\{\begin{array}{l}4 x+3 y-2=0, \\ 3 x-4 y+11=0,\end{array}\right.$ 得垂足坐标为 $(-1,2)$.

#
选项：
答案：$(3,5)$ 作直线 $4 x+3 y-2=0$ 的垂线, 求垂足坐标.

解 设与 $4 x+3 y-2=0$ 垂直的直线方程为 $3 x-4 y+C=0$,

又 $\because$ 直线过点 $(3,5), \therefore 3 \times 3-4 \times 5+C=0, \quad \therefore C=11$,

$\therefore$ 过点 $(3,5)$ 与 $4 x+3 y-2=0$ 垂直的直线方程为 $3 x-4 y+11=0$.

解方程组 $\left\{\begin{array}{l}4 x+3 y-2=0, \\ 3 x-4 y+11=0,\end{array}\right.$ 得垂足坐标为 $(-1,2)$.
解析：$(3,5)$ 作直线 $4 x+3 y-2=0$ 的垂线, 求垂足坐标.

解 设与 $4 x+3 y-2=0$ 垂直的直线方程为 $3 x-4 y+C=0$,

又 $\because$ 直线过点 $(3,5), \therefore 3 \times 3-4 \times 5+C=0, \quad \therefore C=11$,

$\therefore$ 过点 $(3,5)$ 与 $4 x+3 y-2=0$ 垂直的直线方程为 $3 x-4 y+11=0$.

解方程组 $\left\{\begin{array}{l}4 x+3 y-2=0, \\ 3 x-4 y+11=0,\end{array}\right.$ 得垂足坐标为 $(-1,2)$.
题目（高一 · 解析几何）：已知圆 $O_{1}: x^{2}+(y+1)^{2}=4$, 圆 $O_{2}$ 的圆心 $O_{2}(2,1)$.

(1) 若圆 $O_{2}$ 与圆 $O_{1}$ 外切, 求圆 $O_{2}$ 的方程;

(2) 若圆 $O_{2}$ 与圆 $O_{1}$ 交于 $A, B$ 两点, 且 $|A B|=2 \sqrt{2}$, 求圆 $O_{2}$ 的方程.
选项：
答案：)设圆 $O_{2}$ 半径为 $r_{2}$,

因为两圆外切，所以 $\left|\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2}\right|=r_{2}+2$.

又 $\left|\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2}\right|=\sqrt{2^{2}+\left[1-(-1)^{2}\right]}=2 \sqrt{2}$,

所以 $r_{2}=\left|O_{1} O_{2}\right|-2=2(\sqrt{2}-1)$,

故圆 $O_{2}$ 的方程为 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=12-8 \sqrt{2}$.

(2) 设圆 $O_{2}$ 的方程为 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=r_{2}{ }^{2}$,

因为圆 $O_{1}$ 的方程为 $x^{2}+(y+1)^{2}=4$,

将两圆的方程相减, 即得两圆公共弦 $A B$ 所在的直线方程为 $4 x+4 y+r_{2}^{2}-8=0$,
作 $O_{1} H \perp A B, H$ 为垂足,

则 $|A H|=\frac{1}{2}|A B|=\sqrt{2}$,

所以 $\left|O_{1} H\right|=\sqrt{r_{1}^{2}-|A H|^{2}}=\sqrt{4-2}=\sqrt{2}$.

由圆心 $O_{1}(0,-1)$ 到直线 $4 x+4 y+r_{2}^{2}-8=0$ 的距离为 $\frac{\left|r_{2}^{2}-12\right|}{4 \sqrt{2}}=\sqrt{2}$,

得 $r_{2}^{2}=4$ 或 $r_{2}^{2}=20$,

故圆 $\mathrm{O}_{2}$ 的方程为

$(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=4$ 或 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=20$.
解析：)设圆 $O_{2}$ 半径为 $r_{2}$,

因为两圆外切，所以 $\left|\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2}\right|=r_{2}+2$.

又 $\left|\mathrm{O}_{1} \mathrm{O}_{2}\right|=\sqrt{2^{2}+\left[1-(-1)^{2}\right]}=2 \sqrt{2}$,

所以 $r_{2}=\left|O_{1} O_{2}\right|-2=2(\sqrt{2}-1)$,

故圆 $O_{2}$ 的方程为 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=12-8 \sqrt{2}$.

(2) 设圆 $O_{2}$ 的方程为 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=r_{2}{ }^{2}$,

因为圆 $O_{1}$ 的方程为 $x^{2}+(y+1)^{2}=4$,

将两圆的方程相减, 即得两圆公共弦 $A B$ 所在的直线方程为 $4 x+4 y+r_{2}^{2}-8=0$,
作 $O_{1} H \perp A B, H$ 为垂足,

则 $|A H|=\frac{1}{2}|A B|=\sqrt{2}$,

所以 $\left|O_{1} H\right|=\sqrt{r_{1}^{2}-|A H|^{2}}=\sqrt{4-2}=\sqrt{2}$.

由圆心 $O_{1}(0,-1)$ 到直线 $4 x+4 y+r_{2}^{2}-8=0$ 的距离为 $\frac{\left|r_{2}^{2}-12\right|}{4 \sqrt{2}}=\sqrt{2}$,

得 $r_{2}^{2}=4$ 或 $r_{2}^{2}=20$,

故圆 $\mathrm{O}_{2}$ 的方程为

$(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=4$ 或 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=20$.
题目（高一 · 解析几何）：求经过点 $P(-5,-4)$ 且与两坐标轴围成的面积为 5 的直线方程.

解 设所求直线方程为 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$.

$\because$ 直线过点 $P(-5,-4)$,

$\therefore \frac{-5}{a}+\frac{-4}{b}=1$,

于是得 $4 a+5 b=-a b$,
又由已知, 得 $\frac{1}{2}|a| \cdot|b|=5$, 即 $|a b|=10$.

由(1)(2), 得 $\left\{\begin{array}{l}4 a+5 b=-a b, \\ |a b|=10,\end{array}\right.$

解得 $\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{5}{2}, \\ b=4\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}a=5, \\ b=-2 .\end{array}\right.$

故所求直线方程为 $\frac{x}{-\frac{5}{2}}+\frac{y}{4}=1$ 或 $\frac{x}{5}+\frac{y}{-2}=1$.

即 $8 x-5 y+20=0$ 或 $2 x-5 y-10=0$
选项：
答案：求经过点 $P(-5,-4)$ 且与两坐标轴围成的面积为 5 的直线方程.

解 设所求直线方程为 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$.

$\because$ 直线过点 $P(-5,-4)$,

$\therefore \frac{-5}{a}+\frac{-4}{b}=1$,

于是得 $4 a+5 b=-a b$,
又由已知, 得 $\frac{1}{2}|a| \cdot|b|=5$, 即 $|a b|=10$.

由(1)(2), 得 $\left\{\begin{array}{l}4 a+5 b=-a b, \\ |a b|=10,\end{array}\right.$

解得 $\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{5}{2}, \\ b=4\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}a=5, \\ b=-2 .\end{array}\right.$

故所求直线方程为 $\frac{x}{-\frac{5}{2}}+\frac{y}{4}=1$ 或 $\frac{x}{5}+\frac{y}{-2}=1$.

即 $8 x-5 y+20=0$ 或 $2 x-5 y-10=0$.
解析：求经过点 $P(-5,-4)$ 且与两坐标轴围成的面积为 5 的直线方程.

解 设所求直线方程为 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$.

$\because$ 直线过点 $P(-5,-4)$,

$\therefore \frac{-5}{a}+\frac{-4}{b}=1$,

于是得 $4 a+5 b=-a b$,
又由已知, 得 $\frac{1}{2}|a| \cdot|b|=5$, 即 $|a b|=10$.

由(1)(2), 得 $\left\{\begin{array}{l}4 a+5 b=-a b, \\ |a b|=10,\end{array}\right.$

解得 $\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{5}{2}, \\ b=4\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}a=5, \\ b=-2 .\end{array}\right.$

故所求直线方程为 $\frac{x}{-\frac{5}{2}}+\frac{y}{4}=1$ 或 $\frac{x}{5}+\frac{y}{-2}=1$.

即 $8 x-5 y+20=0$ 或 $2 x-5 y-10=0$.
题目（高一 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $A(5,-2), B(7,3)$, 且 $A C$ 边的中点 $M$ 在 $y$ 轴上, $B C$ 边的中点 $N$ 在 $x$ 轴上, 求:

(1)顶点 $C$ 的坐标; (2)直线 $M N$ 的方程.

解 (1)设 $C\left(x_{0}, y_{0}\right)$,

则 $A C$ 边的中点为 $M\left(\frac{x_{0}+5}{2}, \frac{y_{0}-2}{2}\right)$,

$B C$ 边的中点为 $N\left(\frac{x_{0}+7}{2}, \frac{y_{0}+3}{2}\right)$,

因为 $M$ 在 $y$ 轴上, 所以 $\frac{x_{0}+5}{2}=0$, 得 $x_{0}=-5$.

又因为 $N$ 在 $x$ 轴上, 所以 $\frac{y_{0}+3}{2}=0$,

所以 $y_{0}=-3$. 即 $C(-5,-3)$.

(2)由(1)可得 $M\left(0,-\frac{5}{2}\right), N(1,0)$,

所以直线 $M N$ 的方程为 $\frac{x}{1}+\frac{y}{-\frac{5}{2}}=1$,

即 $5 x-2 y-5=0$.

#
选项：
答案：$\triangle A B C$ 中, 已知 $A(5,-2), B(7,3)$, 且 $A C$ 边的中点 $M$ 在 $y$ 轴上, $B C$ 边的中点 $N$ 在 $x$ 轴上, 求:

(1)顶点 $C$ 的坐标; (2)直线 $M N$ 的方程.

解 (1)设 $C\left(x_{0}, y_{0}\right)$,

则 $A C$ 边的中点为 $M\left(\frac{x_{0}+5}{2}, \frac{y_{0}-2}{2}\right)$,

$B C$ 边的中点为 $N\left(\frac{x_{0}+7}{2}, \frac{y_{0}+3}{2}\right)$,

因为 $M$ 在 $y$ 轴上, 所以 $\frac{x_{0}+5}{2}=0$, 得 $x_{0}=-5$.

又因为 $N$ 在 $x$ 轴上, 所以 $\frac{y_{0}+3}{2}=0$,

所以 $y_{0}=-3$. 即 $C(-5,-3)$.

(2)由(1)可得 $M\left(0,-\frac{5}{2}\right), N(1,0)$,

所以直线 $M N$ 的方程为 $\frac{x}{1}+\frac{y}{-\frac{5}{2}}=1$,

即 $5 x-2 y-5=0$.
解析：$\triangle A B C$ 中, 已知 $A(5,-2), B(7,3)$, 且 $A C$ 边的中点 $M$ 在 $y$ 轴上, $B C$ 边的中点 $N$ 在 $x$ 轴上, 求:

(1)顶点 $C$ 的坐标; (2)直线 $M N$ 的方程.

解 (1)设 $C\left(x_{0}, y_{0}\right)$,

则 $A C$ 边的中点为 $M\left(\frac{x_{0}+5}{2}, \frac{y_{0}-2}{2}\right)$,

$B C$ 边的中点为 $N\left(\frac{x_{0}+7}{2}, \frac{y_{0}+3}{2}\right)$,

因为 $M$ 在 $y$ 轴上, 所以 $\frac{x_{0}+5}{2}=0$, 得 $x_{0}=-5$.

又因为 $N$ 在 $x$ 轴上, 所以 $\frac{y_{0}+3}{2}=0$,

所以 $y_{0}=-3$. 即 $C(-5,-3)$.

(2)由(1)可得 $M\left(0,-\frac{5}{2}\right), N(1,0)$,

所以直线 $M N$ 的方程为 $\frac{x}{1}+\frac{y}{-\frac{5}{2}}=1$,

即 $5 x-2 y-5=0$.
题目（高一 · 代数）：（2020 春・海珠区校级月考）设关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-a x+b^{2}=0 （ a, b \in \mathbf{R} ）$.

(1) 若 $a$ 是从 $0,1,2,3,4$ 五个数中任取的一个数, $b$ 是从 $0,1,2$ 三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率;

(2) 若 $a$ 是从区间 $[0,4]$ 上任取的一个数, $b$ 是从区间 $[0,2]$ 上任取的一个数, 求上述方程有实根的概率.
选项：
答案：解：（1）设事件 $A$ 为 “方程有实根”,

则所有基本事件为: $(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1)$ （1,2)，(2,0),
$(2,1),(2,2)$
$(3,0)$,
$(3,1)$
$(3,2)$
$(4,0),(4,1)$,
$(4,2)$ ，共 15

个,

其中第一个数字表示 $a$ 的值, 第二个数字表示 $b$ 的值,

$\because$ 方程有实根, $\therefore \triangle=a^{2}-4 b^{2} \geqslant 0$,

$\therefore a \geqslant 2 b$,

$\therefore$ 事件 $A$ 包含 9 个基本事件：（0，0）（1,0）（2，0），（2，1），（3，0）（3,1）, $(4,0),(4,1),(4,2)$,

$\therefore$ 事件 $A$ 发生的概率为 $P(A)=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$.

（2）由题意可知, 试验的全部结果所构成的区域为 $\left\{\begin{array}{l}0 \leq a \leq 4 \\ 0 \leq b \leq 2\end{array}\right.$,

满足方程有实根的条件构成区域为 $\left\{\begin{array}{l}0 \leq a \leq 4 \\ 0 \leq b \leq 2, \\ a \geq 2 b\end{array}\right.$,

画出图形, 如图所示

<ImageHere>
则正方形 $A B C D$ 的面积为 $8, \triangle A O B$ 的面积为 $\frac{1}{2} \times 4 \times 2=4$,

$\therefore$ 所求的概率 $P=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$.
解析：解：（1）设事件 $A$ 为 “方程有实根”,

则所有基本事件为: $(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1)$ （1,2)，(2,0),
$(2,1),(2,2)$
$(3,0)$,
$(3,1)$
$(3,2)$
$(4,0),(4,1)$,
$(4,2)$ ，共 15

个,

其中第一个数字表示 $a$ 的值, 第二个数字表示 $b$ 的值,

$\because$ 方程有实根, $\therefore \triangle=a^{2}-4 b^{2} \geqslant 0$,

$\therefore a \geqslant 2 b$,

$\therefore$ 事件 $A$ 包含 9 个基本事件：（0，0）（1,0）（2，0），（2，1），（3，0）（3,1）, $(4,0),(4,1),(4,2)$,

$\therefore$ 事件 $A$ 发生的概率为 $P(A)=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$.

（2）由题意可知, 试验的全部结果所构成的区域为 $\left\{\begin{array}{l}0 \leq a \leq 4 \\ 0 \leq b \leq 2\end{array}\right.$,

满足方程有实根的条件构成区域为 $\left\{\begin{array}{l}0 \leq a \leq 4 \\ 0 \leq b \leq 2, \\ a \geq 2 b\end{array}\right.$,

画出图形, 如图所示


则正方形 $A B C D$ 的面积为 $8, \triangle A O B$ 的面积为 $\frac{1}{2} \times 4 \times 2=4$,

$\therefore$ 所求的概率 $P=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$.
题目（高一 · 代数）：020 秋・丰城市校级期中）已知函数 $f(x)=x^{2}+4 x+\frac{p}{2}+2$, 正数 $p$ 在集合 $M$ 上随机取值.

（1）设 $M=\{x \in \mathbf{Z} \mid 0<x \leqslant 5\}$, 求方程 $f(x)=0$ 有实数根的概率;

（2）设 $M=\{x \in \mathbf{R} \mid 0<x \leqslant 5\}$ ，求 $f(x) \geqslant-1$ 恒成立的概率.
选项：
答案：解: (1) $p$ 的全部取值为 $1,2,3,4,5$, 即有 5 个基本事件,

记事件 $A=\{$ 方程 $f(x)=0$ 有实数根 $\}$, 则 $\Delta=16-4\left(\frac{p}{2}+2\right) \geq 0 \Rightarrow 0<p \leq 4$,

满足方程 $f(x)=0$ 有实数根的 $p$ 为 $1,2,3,4$.

因此事件 $A$ 含有 4 个基本事件, 所以 $P(A)=\frac{4}{5}$,

(2) 由 $f(x)=(x+2)^{2}+\frac{p}{2}-2 \geq-1$ 恒成立, 知 $\frac{p}{2}-2 \geq-1 \Rightarrow p \geq 2$,

正数 $p$ 的所有可能取值构成集合 $M=\{x \in \mathbf{R} \mid 0<x \leqslant 5\}$,

满足 $f(x) \geqslant-1$ 恒成立的正数 $p$ 构成集合 $\{x \mid 2 \leqslant x \leqslant 5\}$,

记 $B=\{f(x) \geqslant-1$ 恒成立 $\}, P(B)=\frac{5-2}{5-0}=\frac{3}{5}$.

<ImageHere>
解析：解: (1) $p$ 的全部取值为 $1,2,3,4,5$, 即有 5 个基本事件,

记事件 $A=\{$ 方程 $f(x)=0$ 有实数根 $\}$, 则 $\Delta=16-4\left(\frac{p}{2}+2\right) \geq 0 \Rightarrow 0<p \leq 4$,

满足方程 $f(x)=0$ 有实数根的 $p$ 为 $1,2,3,4$.

因此事件 $A$ 含有 4 个基本事件, 所以 $P(A)=\frac{4}{5}$,

(2) 由 $f(x)=(x+2)^{2}+\frac{p}{2}-2 \geq-1$ 恒成立, 知 $\frac{p}{2}-2 \geq-1 \Rightarrow p \geq 2$,

正数 $p$ 的所有可能取值构成集合 $M=\{x \in \mathbf{R} \mid 0<x \leqslant 5\}$,

满足 $f(x) \geqslant-1$ 恒成立的正数 $p$ 构成集合 $\{x \mid 2 \leqslant x \leqslant 5\}$,

记 $B=\{f(x) \geqslant-1$ 恒成立 $\}, P(B)=\frac{5-2}{5-0}=\frac{3}{5}$.
题目（高一 · 代数）：（2017 秋 -云岩区校级月考）用秦九韶算法求函数 $f(x)=x^{5}+x^{3}+x^{2}+x+1$, 当 $x=3$ 时的函数值.
选项：
答案：解: 函数 $f(x)=x^{5}+x^{3}+x^{2}+x+1=((((x+0) x+1) x+1) x+1$,

当 $x=3$ 时, 分别算出 $v_{0}=1$,

$v_{1}=3 \times 3=9$,

$v_{2}=30$,

$v_{3}=93$,

$v_{4}=282+1=283$.

即当 $x=3$ 时的函数值

则 $f(3)=283$.
解析：解: 函数 $f(x)=x^{5}+x^{3}+x^{2}+x+1=((((x+0) x+1) x+1) x+1$,

当 $x=3$ 时, 分别算出 $v_{0}=1$,

$v_{1}=3 \times 3=9$,

$v_{2}=30$,

$v_{3}=93$,

$v_{4}=282+1=283$.

即当 $x=3$ 时的函数值

则 $f(3)=283$.
题目（高一 · 代数）：017 秋・梁子湖区校级月考）用秦九韶算法求多项式 $f(x)=7 x^{7}+6 x^{6}+5 x^{5}+4 x^{4}+3 x^{3}+2 x^{2}+x$, 当 $x$ $=2$ 时的值.
选项：
答案：解: $f(x)=7 x^{7}+6 x^{6}+5 x^{5}+4 x^{4}+3 x^{3}+2 x^{2}+x=(((((7 x+6) x+5) x+4) x+3) x+2)$ $x+1) x$,

当 $x=2$ 时, $v_{0}=7, v_{1}=7 \times 2+6=20, v_{2}=20 \times 2+5=45, v_{3}=45 \times 2+4=94, v_{4}=94 \times 2+3=191$, $v_{5}=191 \times 2+2=384, v_{6}=384 \times 2+1=769, v_{7}=769 \times 2=1538=f(2)$.wwwwwwwwwwwwww
解析：解: $f(x)=7 x^{7}+6 x^{6}+5 x^{5}+4 x^{4}+3 x^{3}+2 x^{2}+x=(((((7 x+6) x+5) x+4) x+3) x+2)$ $x+1) x$,

当 $x=2$ 时, $v_{0}=7, v_{1}=7 \times 2+6=20, v_{2}=20 \times 2+5=45, v_{3}=45 \times 2+4=94, v_{4}=94 \times 2+3=191$, $v_{5}=191 \times 2+2=384, v_{6}=384 \times 2+1=769, v_{7}=769 \times 2=1538=f(2)$.wwwwwwwwwwwwww
题目（高一 · 代数）：（2015 春・唐山校级月考）函数 $y=f(x)$ 的解析式由下列程序确定



根据左侧程序求下列各式的值 (直接写出结果即可)

(1) $f\left(\frac{\pi}{6}\right)=$ \$ \qquad \$ ;

(2) $f(0)=$ \$ \qquad \$ ;

(3) $f\left(-\frac{1}{2}\right)=$ \$ \qquad \$
(4) $\left.\operatorname{flf}\left(\frac{2 \pi}{3}\right)\right]=$ \$ \qquad \$
(5) 函数 $f(x)$ 的解析式为: \$ \qquad \$ .
选项：
答案：解: $\because$ 模拟执行程序, 可得程序的功能是求分段函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+4 \cos 2 x & x>0 \\ 0 & x=0 \\ 2^{x}+\sqrt{2} & x<0\end{array}\right.$ 的值,
$\therefore$ (1) 3 (2) 0
(3) $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$
(4) $\frac{1}{4}+\sqrt{2}$
(5) $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+4 \cos 2 x & x>0 \\ 0 & x=0 \\ 2^{x}+\sqrt{2} & x<0\end{array}\right.$.

故答案为: $3,0, \frac{3 \sqrt{2}}{2}, \frac{1}{4}+\sqrt{2}, f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+4 \cos 2 x & x>0 \\ 0 & x=0 \\ 2^{x}+\sqrt{2} & x<0\end{array}\right.$.
解析：解: $\because$ 模拟执行程序, 可得程序的功能是求分段函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+4 \cos 2 x & x>0 \\ 0 & x=0 \\ 2^{x}+\sqrt{2} & x<0\end{array}\right.$ 的值,
$\therefore$ (1) 3 (2) 0
(3) $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$
(4) $\frac{1}{4}+\sqrt{2}$
(5) $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+4 \cos 2 x & x>0 \\ 0 & x=0 \\ 2^{x}+\sqrt{2} & x<0\end{array}\right.$.

故答案为: $3,0, \frac{3 \sqrt{2}}{2}, \frac{1}{4}+\sqrt{2}, f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right)+4 \cos 2 x & x>0 \\ 0 & x=0 \\ 2^{x}+\sqrt{2} & x<0\end{array}\right.$.
题目（高一 · 代数）：（2014 春$\cdot$洛阳期中）图 1 给出一个用 “当型” 循环语句编写的程序:

（1）该程序的算法功能是求式子 \$ \qquad \$的值.

（2）用 “直到型” 循环语句的形式写出该程序，请完成图 2 程序.



图 1

图 2
选项：
答案：解：（1）由已知中程序语句可得：该程序的功能是进行累加运算，

由累加器的初值为 0 , 循环变量的初值为 1 , 终值为 9 , 步长为 1 , 每次累加项为 $k^{2}$, 可得:

该程序的算法功能是求式子 $1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+7^{2}+8^{2}+9^{2}$ 的值,

故答案为: $1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+7^{2}+8^{2}+9^{2}$

(2) 将程序改写成直到型循环后:

(1)DO

(2) $S=S+k^{\wedge} 2$

(3) $k=k+1$

(4)LOOPUNTILk> $=10$
解析：解：（1）由已知中程序语句可得：该程序的功能是进行累加运算，

由累加器的初值为 0 , 循环变量的初值为 1 , 终值为 9 , 步长为 1 , 每次累加项为 $k^{2}$, 可得:

该程序的算法功能是求式子 $1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+7^{2}+8^{2}+9^{2}$ 的值,

故答案为: $1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}+7^{2}+8^{2}+9^{2}$

(2) 将程序改写成直到型循环后:

(1)DO

(2) $S=S+k^{\wedge} 2$

(3) $k=k+1$

(4)LOOPUNTILk> $=10$
题目（高一 · 代数）：（2014 秋・浠水县校级期中）如图是某种算法的程序, 回答下面的问题:

(1) 写出输出值 $y$ 关于输入值 $x$ 的函数关系式 $f(x)$;

(2) 当输出的 $y$ 值小于 $\frac{2}{3}$ 时, 求输入的 $x$ 的取值范围.


选项：
答案：解：（1）分析程序中各变量、各语句的作用,

再根据图所示的顺序，可知:

该程序的作用是计算分段函数 $y=f(x)=\left\{\begin{array}{l}1-3^{x}, x \leq 0 \\ \sqrt{x}, x>0\end{array}\right.$ 的函数值,

$\therefore$ 输出值 $y$ 关于输入值 $x$ 的函数关系式 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}1-3^{x}, x \leq 0 \\ \sqrt{x}, x>0\end{array}\right.$;

(2) (1)当 $x \leqslant 0$ 时,

$y=1-3^{x}<\frac{2}{3}$,

$\therefore x>-1$

此时 $-1<x \leqslant 0$,

(2)当 $x>0$ 时,

$y=\sqrt{x}<\frac{2}{3}$,

$\therefore x<\frac{4}{9}$,

此时 $0<x<\frac{4}{9}$,

故综上可知输入的 $x$ 的取值范围为 $\left(-1, \frac{4}{9}\right)$.
解析：解：（1）分析程序中各变量、各语句的作用,

再根据图所示的顺序，可知:

该程序的作用是计算分段函数 $y=f(x)=\left\{\begin{array}{l}1-3^{x}, x \leq 0 \\ \sqrt{x}, x>0\end{array}\right.$ 的函数值,

$\therefore$ 输出值 $y$ 关于输入值 $x$ 的函数关系式 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}1-3^{x}, x \leq 0 \\ \sqrt{x}, x>0\end{array}\right.$;

(2) (1)当 $x \leqslant 0$ 时,

$y=1-3^{x}<\frac{2}{3}$,

$\therefore x>-1$

此时 $-1<x \leqslant 0$,

(2)当 $x>0$ 时,

$y=\sqrt{x}<\frac{2}{3}$,

$\therefore x<\frac{4}{9}$,

此时 $0<x<\frac{4}{9}$,

故综上可知输入的 $x$ 的取值范围为 $\left(-1, \frac{4}{9}\right)$.
题目（高一 · 代数）：015 春-九江期末) 如图所示的一个算法, 其作用是输入 $x$ 的值, 输出相应 $y$ 的值, 若要使输出的 $y$ 的值为正数, 求输入的 $x$ 值的取值范围.


选项：
答案：解：根据程序算法语言, 得分段函数

$y=f(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln (-x), x<0 \\ \sin x, 0 \leq x \leq 2 \pi ; \\ 0, x>2 \pi\end{array}\right.$

当 $x<0$ 时, 由 $\ln (-x)>0$, 得 $x<-1$;

当 $0 \leqslant x \leqslant 2 \pi$ 时, 由 $y=\sin x>0$, 解得 $0<x<\pi$;

当 $x>2 \pi$ 时, $y=0$, 不符合题意;

所以, 输入的 $x$ 的取值范围是 $(-\infty,-1) \cup(0, \pi)$.
解析：解：根据程序算法语言, 得分段函数

$y=f(x)=\left\{\begin{array}{l}\ln (-x), x<0 \\ \sin x, 0 \leq x \leq 2 \pi ; \\ 0, x>2 \pi\end{array}\right.$

当 $x<0$ 时, 由 $\ln (-x)>0$, 得 $x<-1$;

当 $0 \leqslant x \leqslant 2 \pi$ 时, 由 $y=\sin x>0$, 解得 $0<x<\pi$;

当 $x>2 \pi$ 时, $y=0$, 不符合题意;

所以, 输入的 $x$ 的取值范围是 $(-\infty,-1) \cup(0, \pi)$.
题目（高一 · 代数）：（2020 秋 - 丰城市校级期中）已知函数 $f(x)=x^{2}+4 x+\frac{p}{2}+2$, 正数 $p$ 在集合 $M$ 上随机取值.

（1）设 $M=\{x \in \mathbf{Z} \mid 0<x \leqslant 5\}$, 求方程 $f(x)=0$ 有实数根的概率;

（2）设 $M=\{x \in \mathbf{R} \mid 0<x \leqslant 5\}$, 求 $f(x) \geqslant-1$ 恒成立的概率.
选项：
答案：解：（1） $p$ 的全部取值为 $1,2,3,4,5$, 即有 5 个基本事件,记事件 $A=\{$ 方程 $f(x)=0$ 有实数根 $\}$, 则 $\Delta=16-4\left(\frac{p}{2}+2\right) \geq 0 \Rightarrow 0<p \leq 4$,满足方程 $f(x)=0$ 有实数根的 $p$ 为 $1,2,3,4$.

因此事件 $A$ 含有 4 个基本事件, 所以 $P(A)=\frac{4}{5}$,

(2) 由 $f(x)=(x+2)^{2}+\frac{p}{2}-2 \geq-1$ 恒成立, 知 $\frac{p}{2}-2 \geq-1 \Rightarrow p \geq 2$,

正数 $p$ 的所有可能取值构成集合 $M=\{x \in \mathbf{R} \mid 0<x \leqslant 5\}$,

满足 $f(x) \geqslant-1$ 恒成立的正数 $p$ 构成集合 $\{x \mid 2 \leqslant x \leqslant 5\}$,

记 $B=\{f(x) \geqslant-1$ 恒成立 $\}, P(B)=\frac{5-2}{5-0}=\frac{3}{5}$.

<ImageHere>
解析：解：（1） $p$ 的全部取值为 $1,2,3,4,5$, 即有 5 个基本事件,记事件 $A=\{$ 方程 $f(x)=0$ 有实数根 $\}$, 则 $\Delta=16-4\left(\frac{p}{2}+2\right) \geq 0 \Rightarrow 0<p \leq 4$,满足方程 $f(x)=0$ 有实数根的 $p$ 为 $1,2,3,4$.

因此事件 $A$ 含有 4 个基本事件, 所以 $P(A)=\frac{4}{5}$,

(2) 由 $f(x)=(x+2)^{2}+\frac{p}{2}-2 \geq-1$ 恒成立, 知 $\frac{p}{2}-2 \geq-1 \Rightarrow p \geq 2$,

正数 $p$ 的所有可能取值构成集合 $M=\{x \in \mathbf{R} \mid 0<x \leqslant 5\}$,

满足 $f(x) \geqslant-1$ 恒成立的正数 $p$ 构成集合 $\{x \mid 2 \leqslant x \leqslant 5\}$,

记 $B=\{f(x) \geqslant-1$ 恒成立 $\}, P(B)=\frac{5-2}{5-0}=\frac{3}{5}$.
题目（高一 · 代数）：（2019 春-北海期中）在如图所示的程序框图中, 有这样一个执行框 $x_{i}=f\left(x_{i-1}\right)$, 其中的函数关系式为 $f(x)=\frac{4 x-2}{x+1}$, 程序框图中的 $D$ 为函数 $f(x)$ 的定义域.

(1) 若输入 $x_{0}=\frac{49}{65}$, 请写出输出的所有 $x$ 的值;

(2) 若输出的所有 $x_{i}$ 都相等, 试求输入的初始值 $x_{0}$.


选项：
答案：解: (1) 当 $x_{0}=\frac{49}{65}$ 时, $x_{1}=\frac{4 x_{0}-2}{x_{0}+1}=\frac{33}{57}=\frac{11}{19}$

而 $x_{1} \in D, x_{2}=\frac{4 x_{1}-2}{x_{1}+1}=\frac{1}{5}$

而 $x_{2}=\frac{1}{5} \in D, \quad x_{3}=\frac{4 x_{2}-2}{x_{2}+1}=-1$

而 $-1 \notin D$, 退出循环,

故 $x_{i}$ 的所有项为 $\frac{11}{19}$ 或 $\frac{1}{5}$;

（2）数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 是一个常数列, 则有 $x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}=x_{0}$ 即 $x_{0}=f\left(x_{0}\right)=\frac{4 x_{0}-2}{x_{0}+1}$, 解得: $x_{0}=1$ 或 $x_{0}=2$,

所以输入的初始值 $x_{0}$ 为 1 或 2 时输出的所有 $x_{i}$ 都相等.
解析：解: (1) 当 $x_{0}=\frac{49}{65}$ 时, $x_{1}=\frac{4 x_{0}-2}{x_{0}+1}=\frac{33}{57}=\frac{11}{19}$

而 $x_{1} \in D, x_{2}=\frac{4 x_{1}-2}{x_{1}+1}=\frac{1}{5}$

而 $x_{2}=\frac{1}{5} \in D, \quad x_{3}=\frac{4 x_{2}-2}{x_{2}+1}=-1$

而 $-1 \notin D$, 退出循环,

故 $x_{i}$ 的所有项为 $\frac{11}{19}$ 或 $\frac{1}{5}$;

（2）数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 是一个常数列, 则有 $x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}=x_{0}$ 即 $x_{0}=f\left(x_{0}\right)=\frac{4 x_{0}-2}{x_{0}+1}$, 解得: $x_{0}=1$ 或 $x_{0}=2$,

所以输入的初始值 $x_{0}$ 为 1 或 2 时输出的所有 $x_{i}$ 都相等.
题目（高一 · 代数）：016 春-鼓楼区期中）如图, 给出了一个程序框图, 其作用是输入 $x$ 的值, 输出相应的 $y$ 的值,

（I）请指出该程序框图所使用的逻辑结构;

(II) 若视 $x$ 为自变量, $y$ 为函数值, 试写出函数 $y=f(x)$ 的解析式;

(III) 若要使输入的 $x$ 的值与输出的 $y$ 的值相等, 则输入 $x$ 的值的集合为多少?


选项：
答案：解: (I) 程序框图所使用的逻辑结构是条件结构和顺序结构; （2 分）

(II) 解析式为: $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}(x \leq 2) \\ 2 x-3(2<x \leq 5) \ldots(7 \text { 分 }) \\ \frac{1}{x}(x>5)\end{array}\right.$

（III）依题意得 $\left\{\begin{array}{l}x \leq 2 \\ x^{2}=x\end{array}\right.$, 或 $\left\{\begin{array}{l}2<x \leq 5 \\ 2 x-3=x\end{array}\right.$, 或 $\left\{\begin{array}{l}x>5 \\ \frac{1}{x}=x\end{array}\right.$, 解得 $x=0$, 或 $x=1$, 或 $x=3$

故所求的集合为 $\{0,1,3\}$. “ (13 分)
解析：解: (I) 程序框图所使用的逻辑结构是条件结构和顺序结构; （2 分）

(II) 解析式为: $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}(x \leq 2) \\ 2 x-3(2<x \leq 5) \ldots(7 \text { 分 }) \\ \frac{1}{x}(x>5)\end{array}\right.$

（III）依题意得 $\left\{\begin{array}{l}x \leq 2 \\ x^{2}=x\end{array}\right.$, 或 $\left\{\begin{array}{l}2<x \leq 5 \\ 2 x-3=x\end{array}\right.$, 或 $\left\{\begin{array}{l}x>5 \\ \frac{1}{x}=x\end{array}\right.$, 解得 $x=0$, 或 $x=1$, 或 $x=3$

故所求的集合为 $\{0,1,3\}$. “ (13 分)
题目（高一 · 代数）：食品安全问题越来越引起人们的重视, 农药、化肥的监用对人民群众的健康带来一定的危害, 为了给消费者带来放心的蔬菜, 某农村合作社每年投入 200 万元, 搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚, 每个大棚至少要投入 20 万元, 其中甲大棚种西红柿, 乙大棚种黄瓜, 根据以往的种菜经验, 发现种西红柿的年收益 $\mathrm{P}$ 、种黄瓜的年收益 $\mathrm{Q}$ 与投入 $\mathrm{a}$ (单位: 万元) 满足 $\mathrm{P}=80+4 \sqrt{2 a}, \mathrm{Q}=\frac{1}{4} \mathrm{a}+120$. 设甲大棚的投入为 $\mathrm{x}$ (单位: 万元)，每年两个大棚的总收益为 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ (单位: 万元).

(1) 求 $\mathrm{f}(50)$ 的值;

(2) 试问如何安排甲、乙两个大棚的投入, 才能使总收益 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 最大?
选项：
答案：(1) 277.5 ; (2) 甲大棚 128 万元, 乙大棚 72 万元时, 总收益最大, 且最大收益为 282 万元.
解析：

试题分析：（1）当甲大棚投入 50 万元, 则乙大棚投入 150 万元, 此时直接计算 $f(50)=80+4 \sqrt{2 \times 50}+\frac{1}{4} \times 150+120=277.5$ 即可; (2) 列出总收益的函数式得 $f(x)=-\frac{1}{4} x+4 \sqrt{2 x}+250$, 令 $t=\sqrt{x} \in[2 \sqrt{5}, 6 \sqrt{5}]$, 换元将函数转换为关于 $t$ 的二次函数, 由二次函数知识可求其最大值及相应的 $X$ 值.

试题解析：（1） $\because$ 甲大棚投入 50 万元，则乙大棚投入 150 万元，
$\therefore f(50)=80+4 \sqrt{2 \times 50}+\frac{1}{4} \times 150+120=277.5$

(2) $f(x)=80+4 \sqrt{2 x}+\frac{1}{4} \times(200-x)+120=-\frac{1}{4} x+4 \sqrt{2 x}+250$,依题得 $\left\{\begin{array}{l}x \geq 20 \\ 200-x \geq 20\end{array}\right.$, 即 $20 \leq x \leq 180$,故 $f(x)=-\frac{1}{4} x+4 \sqrt{2 x}+250(20 \leq x \leq 180)$.

令 $t=\sqrt{x} \in[2 \sqrt{5}, 6 \sqrt{5}]$, 则 $f(x)=-\frac{1}{4} t^{2}+4 \sqrt{2} t+250=-\frac{1}{4}(t-8 \sqrt{2})^{2}+282$,

当 $t=8 \sqrt{2}$ 时, 即 $x=128$ 时, $f(x)_{\max }=282$,

$\therefore$ 甲大棚投入 128 万元, 乙大棚投入 72 万元时, 总收益最大, 且最大收益为 282 万元.
题目（高一 · 代数）：某市由甲、乙两家乒乓球俱乐部, 两家设备和服务都很好, 但收费方式不同, 甲家每张球台每小时 5 元; 乙家按月计费, 一个月中 30 小时以内（含 30 小时）每张球台 90 元, 超过 30 小时的部分每张球台每小时 2 元. 某公司准备下个月从两家中的一家租一张球台开展活动, 活动时间不少于 15 小时, 也不超过 40
小时, 设在甲家租一张球台开展活动 $X$ 小时的收费为 $f(x)$ 元, 在乙家租一张球台开展活动 $X$ 小时的收费为 $g(x)$ 元.

(1) 写出 $f(x)$ 与 $g(x)$ 的解析式;

（2）选择哪家比较合算？请说明理由.
选项：
答案：(1) $f(x)=5 x(15 \leq x \leq 40), g(x)=\left\{\begin{array}{l}90,15 \leq x \leq 30 \\ 30+2 x, 30<x \leq 40\end{array}\right.$; (2) 见解析.
解析：

(1) 由题设有 $f(x)=5 x(15 \leq x \leq 40), g(x)=\left\{\begin{array}{l}90,15 \leq x \leq 30 \\ 30+2 x, 30<x \leq 40\end{array}\right.$.

(2) 令 $5 x=90$ 时, 解得 $x=18 \in[15,30]$;

令 $5 x=30+2 x$, 解得 $x=10 \notin(30,40]$,

所以: 当 $15 \leq x<18$ 时, $f(x)<g(x)$, 选甲家比较合算;

当 $x=18$ 时, $f(x)=g(x)$, 两家一样合算;

当 $18<x \leq 40$ 时, $f(x)>g(x)$, 选乙家比较合.
题目（高一 · 代数）：已知幂函数 $y=x^{3 m-9}\left(m \in N^{*}\right)$ 的图象关于 $y$ 轴对称且在 $(0,+\infty)$ 上单调递减, 求满足 $(a+1)^{-\frac{m}{3}}<(3-2 a)^{-\frac{m}{3}}$ 的 $a$ 的取值范围.
选项：
答案：$a<-1$ 或 $\frac{2}{3}<a<\frac{3}{2}$.
解析：

因为函数 $y=x^{3 m-9}\left(m \in N^{*}\right)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减, 所以 $3 m-9<0$,解得 $m<3$.

又因为 $m \in N^{*}$, 所以 $m=1,2$ ；
因为函数的图象关于 $y$ 轴对称,

所以 $3 m-9$ 为偶数, 故 $m=1$.

则原不等式可化为 $(a+1)^{-\frac{1}{3}}<(3-2 a)^{-\frac{1}{3}}$,

因为 $y=x^{-\frac{1}{3}}$ 在 $(-\infty, 0),(0,+\infty)$ 上单调递减,

所以 $a+1>3-2 a>0$ 或 $3-2 a<a+1<0$ 或 $a+1<0<3-2 a$,

解得 $\frac{2}{3}<a<\frac{3}{2}$ 或 $a<-1$.

故 $a$ 的取值范围是 $a<-1$ 或 $\frac{2}{3}<a<\frac{3}{2}$.

【点睛】

本题主要考查由幂函数的性质解不等式, 属于常考题型.
题目（高一 · 代数）：已知点 $(\sqrt{2}, 2)$ 在幂函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的图象上, 点 $\left(-2, \frac{1}{4}\right)$ 在幂函数 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 的图象上,问当 $\mathrm{x}$ 为何值时, (1) $\mathrm{f}(\mathrm{x})>\mathrm{g}(\mathrm{x})$; (2) $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{g}(\mathrm{x})$; (3) $\mathrm{f}(\mathrm{x})<\mathrm{g}(\mathrm{x})$.
选项：
答案：答案见解析
解析：

设 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{\alpha}$, 由题意得 $2=(\sqrt{2})^{\alpha} \Rightarrow \alpha=2, \therefore \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}$.

同理可求出 $g(x)=x^{-2}$, 在同一坐标系内作出 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 与 $\mathrm{y}=\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 的图象, 如图所示.



由图象可知: (1)当 $x>1$ 或 $x<-1$ 时, $f(x)>g(x)$.

(2) 当 $x= \pm 1$ 时, $f(x)=g(x)$.

(3)当 $-1<x<0$ 或 $0<x<1$ 时, $f(x)<g(x)$.

考点: 幂函数的图象.