eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示, 设 $E, F, E_{1}, F_{1}$ 分别是长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱 $A B, C D, A_{1} B_{1}, C_{1} D_{1}$的中点, 则平面 $E F D_{1} A_{1}$ 与平面 $B C F_{1} E_{1}$ 的位置关系是( )


选项：
A. 平行
B. 相交
C. 异面
D. 不确定
答案：A
解析：$\because A_{1} E / / B E_{1} ， A_{1} E$ 平面 $B C F_{1} E_{1} ， B E_{1} \subset$ 平面 $B C F_{1} E_{1}$ ，

$\therefore A_{1} E / /$ 平面 $B C F_{1} E_{1}$.

同理， $A_{1} D_{1} / /$ 平面 $B C F_{1} E_{1}$.

又 $A_{1} E \cap A_{1} D_{1}=A_{1}, A_{1} E, A_{1} D_{1} \subset$ 平面 $E F D_{1} A_{1}$ ，

$\therefore$ 平面 $E F D_{1} A_{1} / /$ 平面 $B C F_{1} E_{1}$.
题目（高一 · 立体几何学）：六棱柱 $A B C D E F-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1}$ 的底面是正六边形, 则此六棱柱的面中互相平行的有 ( )
选项：
1 对
B. 2 对
C. 3 对
D. 4 对
答案：D
解析：由图知平面 $A B B_{1} A_{1} / /$ 平面 $E D D_{1} E_{1}$ ， 平面 $B C C_{1} B_{1} / /$ 平面 $F E E_{1} F_{1}$ ，平面 $A F F_{1} A_{1} / /$ 平面 $C D D_{1} C_{1}$ ，平面 $A B C D E F / /$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1} F_{1} ，$

$\therefore$ 此六棱柱的面中互相平行的有 4 对.
题目（高一 · 立体几何学）：在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $M$ 为棱 $A_{1} D_{1}$ 的动点, $O$ 为底面 $A B C D$ 的中心, 点 $E, F$分别是 $A_{1} B_{1}, C_{1} D_{1}$ 的中点, 下列平面中与 $O M$ 扫过的平面平行的是 $(\quad)$
选项：
平面 $A B B_{1} A_{1}$
B. 平面 $B C C_{1} B_{1}$
C. 平面 $B C F E$
D. 平面 $D C C_{1} D_{1}$
答案：C
解析：取 $A B ， D C$ 的中点分别为点 $E_{1}$ 和点 $F_{1}$ ，连接 $E_{1} F_{1}$ ，则 $E_{1} F_{1}$ 过点 $O ， O M$ 扫过的平面即为平面 $A_{1} E_{1} F_{1} D_{1}$ (如图)，



故平面 $A_{1} E_{1} F_{1} D_{1} / /$ 平面 $B C F E$.
题目（高一 · 立体几何学）：经过平面 $\alpha$ 外两点, 作与 $\alpha$ 平行的平面, 则这样的平面可以作 $($ )
选项：
A. 1 个或 2 个
B. 0 个或 1 个
C. 1 个
D. 0 个
答案：B
解析：(1)当经过两点的直线与平面 $\alpha$ 平行时，可作出一个平面 $\beta$ 使 $\beta / / \alpha$.

(2)当经过两点的直线与平面 $\alpha$ 相交时，由于作出的平面与平面 $\alpha$ 至少有一个公共点，故经过两点的平面都与平面 $\alpha$ 相交，不能作出与平面 $\alpha$ 平行的平面. 故满足条件的平面有 0 个或 1 个.
题目（高一 · 立体几何学）：已知立方体 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$, 点 $E, F, G, H$ 分别是棱 $A D, B B^{\prime}, B^{\prime} C^{\prime}, D D^{\prime}$的中点, 从中任取两点确定的直线中, 与平面 $A B^{\prime} D^{\prime}$ 平行的条数是 ( )


选项：
0
B. 2
C. 4
D. 6
答案：D
解析：连接 $E G, E H, E F, F G, G H$ ，

$\because E H / / F G$ 且 $E H=F G ，$

$\therefore$ 四边形 $E F G H$ 为平行四边形，

$\therefore E, F, G, H$ 四点共面.

由 $E G / / A B^{\prime}, E H / / A D^{\prime}, E G \cap E H=E, A B^{\prime} \cap A D^{\prime}=A, E G, E H \subset$ 平面 $E F G H, A B^{\prime}$ ， $A D^{\prime} \subset$ 平面 $A B^{\prime} D^{\prime} ，$

可得平面 $E F G H / /$ 平面 $A B^{\prime} D^{\prime}$.

故平面 $E F G H$ 内的每条直线都符合条件.

故选 D.
题目（高一 · 立体几何学）：在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 点 $E, F, G$ 分别是棱 $A_{1} B_{1}, B_{1} C_{1}, B B_{1}$ 的中点, 给出下列四个推断:



(1) $F G / /$ 平面 $A A_{1} D_{1} D$; (2) $E F / /$ 平面 $B C_{1} D_{1}$; (3) $F G / /$ 平面 $B C_{1} D_{1}$; (4) 平面 $E F G / /$ 平面 $B C_{1} D_{1}$.其中推断正确的序号是( )
选项：
A. (1)(3)
B. (1)(4)
C. (2)(3)
D. (2)(4)
答案：A
解析：$\because$ 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E ， F ， G$ 分别是棱 $A_{1} B_{1} ， B_{1} C_{1} ， B B_{1}$ 的中点，

$\therefore F G / / B C_{1}$.

$\because B C_{1} / / A D_{1}, \therefore F G / / A D_{1}$,

又 $\because F G \Phi$ 平面 $A A_{1} D_{1} D, A D_{1} \subset$ 平面 $A A_{1} D_{1} D$ ，

$\therefore F G / /$ 平面 $A A_{1} D_{1} D$ ，故(1)正确;

$\because E F / / A_{1} C_{1}, A_{1} C_{1}$ 与平面 $B C_{1} D_{1}$ 相交，

$\therefore E F$ 与平面 $B C_{1} D_{1}$ 相交，故(2)错误；

$\because F G / / B C_{1}, F G$ 平面 $B C_{1} D_{1}, B C_{1} \subset$ 平面 $B C_{1} D_{1}$ ，
$\therefore F G / /$ 平面 $B C_{1} D_{1}$ ，故(3)正确；

$\because E F$ 与平面 $B C_{1} D_{1}$ 相交， $\therefore$ 平面 $E F G$ 与平面 $B C_{1} D_{1}$ 相交，故(4)错误. 故选 A.
题目（高一 · 立体几何学）：如图是四棱雉的平面展开图, 其中四边形 $A B C D$ 为正方形, 点 $E, F, G, H$ 分别为 $P A$, $P D, P C, P B$ 的中点, 在此几何体中, 给出下面四个结论:



(1)平面 $E F G H / /$ 平面 $A B C D$;

(2) $B C / /$ 平面 $P A D$;

(3) $A B / /$ 平面 $P C D$;

(4)平面 $P A D / /$ 平面 $P A B$.

其中正确的有( )
选项：
A. (1)(3)
B. (1)(4)
C. (1)(2)(3)
D. (2)(3)
答案：C
解析：面展开图还原为四棱雉如图所示，则 $E H / / A B$ ，又 $E H \Phi$ 平面 $A B C D ， A B \subset$ 平面 $A B C D$ ，所以 $E H / /$ 平面 $A B C D$. 同理可证 $E F / /$ 平面 $A B C D$ ，又 $E F \cap E H=E ， E F ， E H \subset$ 平面 $E F G H$ ，所以平面 $E F G H / /$ 平面 $A B C D$ ； 平面 $P A D ＼mathrm{~ 平 面 ~} P B C$ ，平面 $P A B ＼mathrm{~ 平 面 ~} P D C$ 均是四棱锥的四个侧面，则它们两两相交.



$\because A B / / C D ， A B \varangle$ 平面 $P C D, C D \subset$ 平面 $P C D ，$

$\therefore A B / /$ 平面 $P C D$.

同理 $B C / /$ 平面 $P A D$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 已知 $S$ 为四边形 $A B C D$ 外一点, 点 $G, H$ 分别为 $S B, B D$ 上的点, 若 $G H / /$ 平面 $S C D$, 则 ( )


选项：
$G H / / S A$

B. $G H / / S D$

C. $G H / / S C$

D. 以上均有可能
答案：B
解析：因为 $G H / /$ 平面 $S C D ， G H \subset$ 平面 $S B D$ ，平面 $S B D \cap$ 平面 $S C D=S D$ ，所以 $G H / / S D ＼mathrm{~ ， ~}$显然 $G H$ 与 $S A, S C$ 均不平行，故选 B.
题目（高一 · 立体几何学）：直线 $a / /$ 平面 $\alpha, P \in \alpha$, 过点 $P$ 平行于 $a$ 的直线( )
选项：
只有一条, 不在平面 $\alpha$ 内

B. 有无数条, 不一定在 $\alpha$ 内

C. 只有一条, 且在平面 $\alpha$ 内

D. 有无数条, 一定在 $\alpha$ 内
答案：C
解析：由线面平行性质定理知过点 $P$ 平行于 $a$ 的直线只有一条，且在平面 $\alpha$ 内，故选 C.
题目（高一 · 立体几何学）：对于直线 $m, n$ 和平面 $\alpha$, 下列命题中正确的是 ( )
选项：
A. 如果 $m \subset \alpha, n \nmid \alpha, m, n$ 是异面直线, 那么 $n / / \alpha$

B. 如果 $m \subset \alpha, n \Varangle \alpha, m, n$ 是异面直线, 那么 $n$ 与 $\alpha$ 相交

C. 如果 $m \subset \alpha, n / / \alpha, m, n$ 共面, 那么 $m / / n$

D. 如果 $m / / \alpha, n / / \alpha, m, n$ 共面, 那么 $m / / n$
答案：C
解析：由线面平行的性质定理知 C 正确.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 点 $E, F$ 分别是棱 $A A_{1}$ 和 $B B_{1}$ 的中点, 过 $E F$ 的平面 $E F G H$ 分别交 $B C$ 和 $A D$ 于点 $G, H$, 则 $G H$ 与 $A B$ 的位置关系是( )


选项：
A. 平行
B. 相交
C. 异面
D. 平行或异面
答案：A
解析：由长方体性质知： $E F / /$ 平面 $A B C D ， \because E F \subset$ 平面 $E F G H$ ，平面 $E F G H \cap$ 平面 $A B C D$ $=G H, \therefore E F / / G H$.

又 $\because E F / / A B, \therefore G H / / A B$.
题目（高一 · 立体几何学）：在空间四边形 $A B C D$ 中, $E, F, G, H$ 分别是 $A B, B C, C D, D A$ 上的点, 当 $B D / /$ 平面 $E F G H$ 时, 下面结论正确的是( )
选项：
$E, F, G, H$ 一定是各边的中点

B. $G, H$ 一定是 $C D, D A$ 的中点

C. $B E: E A=B F: F C$, 且 $D H: H A=D G: G C$

D. $A E: E B=A H: H D$, 且 $B F: F C=D G: G C$
答案：D
解析：由于 $B D / /$ 平面 $E F G H$, 所以有 $B D / / E H, B D / / F G$, 则 $A E: E B=A H: H D$, 且 $B F: F C$ $=D G: G C$.
题目（高一 · 立体几何学）：已知正方体 $A C_{1}$ 的棱长为 1 , 点 $P$ 是面 $A A_{1} D_{1} D$ 的中心, 点 $Q$ 是面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的对角线 $B_{1} D_{1}$ 上一点, 且 $P Q / /$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$, 则线段 $P Q$ 的长为 $(\quad)$


选项：
$\frac{\sqrt{2}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. 1
D. $\sqrt{2}$
答案：A
解析：如图，连接 $A D_{1}, A B_{1}$ ，



$\because P Q / /$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$,

平面 $A B_{1} D_{1} \cap$ 平面 $A A_{1} B_{1} B=A B_{1}$ ，

$P Q \subset$ 平面 $A B_{1} D_{1}, \therefore P Q / / A B_{1}$ ，

$\therefore P Q=\frac{1}{2} A B_{1}=\frac{1}{2} \sqrt{1^{2}+1^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 四棱雉 $S-A B C D$ 的所有的棱长都等于 2 , 点 $E$ 是 $S A$ 的中点, 过 $C, D, E$ 三点的平面与 $S B$ 交于点 $F$, 则四边形 $D E F C$ 的周长为 $(\quad)$


选项：
$2+\sqrt{3}$
B. $3+\sqrt{3}$
C. $3+2 \sqrt{3}$
D. $2+2 \sqrt{3}$
答案：C
解析：because C D / / A B, C D \Phi$ 平面 $S A B, A B \subset$ 平面 $S A B$ ，

$\therefore C D / /$ 平面 $S A B$.

又平面 $C D E F \cap$ 平面 $S A B=E F ， \therefore C D / / E F$ ，
又 $C D / / A B, \therefore A B / / E F$.

$\because S E=E A, \therefore E F$ 为 $\triangle A B S$ 的中位线，

$\therefore E F=\frac{1}{2} A B=1$, 又 $D E=C F=\sqrt{3}$,

$\therefore$ 四边形 $D E F C$ 的周长为 $3+2 \sqrt{3}$.
题目（高一 · 立体几何学）：两个平行平面与另两个平行平面相交所得四条直线的位置关系是 ( )
选项：
两两相互平行

B. 两两相交于同一点

C. 两两相交但不一定交于同一点

D. 两两相互平行或交于同一点
答案：A
解析：可以想象四棱柱. 由面面平行的性质定理可得.
题目（高一 · 立体几何学）：下列命题:

(1)一条直线与两个平行平面中的一个平面相交, 必与另外一个平面相交;

(2)如果一个平面平行于两个平行平面中的一个平面, 必平行于另一个平面;

(3)夹在两个平行平面间的平行线段相等.

其中正确的命题的个数为 ( )
选项：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 0
答案：C
解析：根据面面平行的性质知(1)(2)(3)正确，故选 C.
题目（高一 · 立体几何学）：平面 $\alpha / /$ 平面 $\beta$, 点 $A, C \in \alpha, B, D \in \beta$, 则直线 $A C / /$ 直线 $B D$ 的充要条件是 $(\quad)$
选项：
$A B / / C D$
B. $A D / / C B$
C. $A B$ 与 $C D$ 相交
D. $A, B, C, D$ 四点共面
答案：D
解析：充分性: $A, B, C, D$ 四点共面，由平面与平面平行的性质知 $A C / / B D$. 必要性显然成立.
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示, $P$ 是三角形 $A B C$ 所在平面外一点, 平面 $\alpha / /$ 平面 $A B C, \alpha$ 分别交线段 $P A, P B$, $P C$ 于 $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$, 若 $P A^{\prime}: A A^{\prime}=2: 3$, 则 $S_{\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}: S_{\triangle A B C}$ 等于( )


选项：
A. $2: 25$
B. $4: 25$
C. $2: 5$
D. $4: 5$
答案：B
解析：$\because$ 平面 $\alpha / /$ 平面 $A B C$ ，平面 $P A B$ 与它们的交线分别为 $A^{\prime} B^{\prime} ， A B ， \therefore A B / / A^{\prime} B^{\prime}$ ，同理 $B^{\prime} C^{\prime} / / B C$ ，易得 $\triangle A B C \sim \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ ，

$S_{\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}: S_{\triangle A B C}=\left(\frac{A^{\prime} B^{\prime}}{A B}\right)^{2}=\left(\frac{P A^{\prime}}{P A}\right)^{2}=\frac{4}{25}$.
题目（高一 · 立体几何学）：$\alpha, \beta, \gamma$ 为三个不重合的平面, $a, b, c$ 为三条不同的直线, 则下列命题中不正确的是 ( )

(1) $\left.\begin{array}{c}a / / c \\ b / / c\end{array}\right\} \Rightarrow a / / b$;

(2) $\left.\begin{array}{c}a / / \gamma \\ b / / \gamma\end{array}\right\} \Rightarrow a / / b$;

(3) $\left.\begin{array}{l}\alpha / / c \\ \beta / / c\end{array}\right\} \Rightarrow \alpha / / \beta$;

(4) $\left.\begin{array}{l}\alpha / / \gamma \\ \beta / / \gamma\end{array}\right\} \Rightarrow \alpha / / \beta$;

(5) $\left.\begin{array}{c}\alpha / / c \\ a / / c\end{array}\right\} \Rightarrow \alpha / / a$;

(6) $\left.\begin{array}{c}\alpha / / \gamma \\ a / / \gamma\end{array}\right\} \Rightarrow a / / \alpha$.
选项：
A. (4)(6)
B. (2)(3)(6)
C. (2)(3)(5)(6)
D. (2)(3)
答案：C
解析：由公理 4 及平行平面的传递性知(1)(4)正确. 举反例知(2)(3)(5)(6)不正确. (2)中 $a, b$ 可以相交，还可以异面；(3)中 $\alpha, \beta$ 可以相交；(5)中 $a$ 可以在 $\alpha$ 内；(6)中 $a$ 可以在 $\alpha$ 内.
题目（高一 · 立体几何学）：在棱长为 2 的正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $M$ 是棱 $A_{1} D_{1}$ 的中点, 过 $C_{1}, B, M$ 作正方体的截面, 则这个截面的面积为( )
选项：
A. $\frac{3 \sqrt{5}}{2}$
B. $\frac{9}{2}$
C. $\frac{9}{8}$
D. $\frac{3 \sqrt{5}}{8}$
答案：B
解析：取 $A A_{1}$ 的中点 $N$ ，连接 $M N ， N B ， M C_{1} ， B C_{1}$ ，



由于截面被平行平面所截，所以截面为梯形，

且 $M N=\frac{1}{2} B C_{1}=\sqrt{2}, M C_{1}=B N=\sqrt{5}$,
$\therefore$ 梯形的高为 $\frac{3}{\sqrt{2}}$ ，

$\therefore$ 梯形的面积为 $\frac{1}{2}(\sqrt{2}+2 \sqrt{2}) \times \frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{9}{2}$.
题目（高一 · 立体几何学）：设 $\alpha / / \beta, A \in \alpha, B \in \beta, C$ 是 $A B$ 的中点, 当 $A, B$ 分别在平面 $\alpha, \beta$ 内运动时, 得到无数个 $A B$ 的中点 $C$, 那么所有的动点 $C(\quad)$
选项：
A. 不共面

B. 当且仅当 $A, B$ 分别在两条直线上移动时才共面

C. 当且仅当 $A, B$ 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面

D. 不论 $A, B$ 如何移动, 都共面
答案：D
解析：如图所示， $A^{\prime} ， B^{\prime}$ 分别是 $A, B$ 两点在 $\alpha, \beta$ 上运动后的两点，此时 $A B$ 的中点 $C$变成 $A^{\prime} B^{\prime}$ 的中点 $C^{\prime}$ ，连接 $A^{\prime} B$ ，取 $A^{\prime} B$ 的中点 $E$. 连接 $C E ， C^{\prime} E ， A A^{\prime} ， B B^{\prime}$ ， $C C^{\prime}$ ，则 $C E / / A A^{\prime}$ ，



又 $C E \Varangle \alpha, A A^{\prime} \subset \alpha, \therefore C E / / \alpha$.

又 $C^{\prime} E / / B B^{\prime} ， C^{\prime} E \not \beta, B B^{\prime} \subset \beta, \therefore C^{\prime} E / / \beta$.

又 $\because \alpha / / \beta, C^{\prime} E \Varangle \alpha, \therefore C^{\prime} E / / \alpha$.

$\because C^{\prime} E \cap C E=E, C^{\prime} E, C E \subset$ 平面 $C C^{\prime} E$ ，

$\therefore$ 平面 $C C^{\prime} E / /$ 平面 $\alpha$,

$\therefore C C^{\prime} / /$ 平面 $\alpha$.

$\therefore$ 不论 $A ， B$ 如何移动，所有的动点 $C$ 都在过 $C$ 点且与 $\alpha, \beta$ 平行的平面上.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $E, F$ 分别为棱 $A B, C C_{1}$ 的中点, 在平面 $A D D_{1} A_{1}$内且与平面 $D_{1} E F$ 平行的直线( )


选项：
A. 不存在
B. 有 1 条
C. 有 2 条
D. 有无数条
答案：D
解析：平面 $D_{1} E F$ 与平面 $A D D_{1} A_{1}$ 相交，则在平面 $A D D_{1} A_{1}$ 内与这两个平面的交线平行且不重合的直线有无数条，这些直线都与平面 $D_{1} E F$ 平行.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 在正方形 $A B C D$ 中, $E, F$ 分别是 $B C, C D$ 的中点, $G$ 是 $E F$ 的中点, 现在沿 $A E$, $A F$ 及 $E F$ 把这个正方形折成一个空间图形, 使 $B, C, D$ 三点重合, 重合后的点记为 $H$, 那么, 在这个空间图形中必有( )

选项：
$A G \perp \triangle E F H$ 所在平面

B. $A H \perp \triangle E F H$ 所在平面

C. $H F \perp \triangle A E F$ 所在平面

D. $H G \perp \triangle A E F$ 所在平面
答案：B
解析：根据折叠前、后 $A H \perp H E ， A H \perp H F$ 不变，

$\therefore A H \perp$ 平面 $E F H$ ， B 正确;
题目（高一 · 立体几何学）：正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中与 $A D_{1}$ 垂直的平面是( )
选项：
平面 $D D_{1} C_{1} C$
B. 平面 $A_{1} D B$
C. 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$
D. 平面 $A_{1} D B_{1}$


答案：D
解析：$\because A D_{1} \perp A_{1} D ， A D_{1} \perp A_{1} B_{1} ， A_{1} D \cap A_{1} B_{1}=A_{1}$ ，

$\therefore A D_{1} \perp$ 平面 $A_{1} D B_{1}$.

故选 D.
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示, 如果 $M C \perp$ 菱形 $A B C D$ 所在平面, 那么 $M A$ 与 $B D$ 的位置关系是 (


选项：
平行
B. 垂直相交
C. 垂直但不相交
D. 相交但不垂直
答案：C
解析：连接 $A C$. 因为 $A B C D$ 是菱形，所以 $B D \perp A C$. 又 $M C \perp$ 平面 $A B C D$ ，则 $B D \perp M C$. 因为 $A C \cap M C=C$ ，所以 $B D \perp$ 平面 $A M C$. 又 $M A \subset$ 平面 $A M C ，$ 所以 $M A \perp B D$. 显然直线 $M A$ 与直线 $B D$ 不共面，因此直线 $M A$ 与 $B D$ 的位置关系是垂直但不相交.
题目（高一 · 立体几何学）：在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 下面结论错误的是( )
选项：
$B D / /$ 平面 $C B_{1} D_{1}$

B. $A C_{1} \perp B D$

C. $A C_{1} \perp$ 平面 $C B_{1} D$

D. 异面直线 $A D$ 与 $C B_{1}$ 所成的角为 $45^{\circ}$
答案：C
解析：由正方体的性质得 $B D / / B_{1} D_{1}$ ，且 $B D q$ 平面 $C B_{1} D_{1}$ ，所以 $B D / /$ 平面 $C B_{1} D_{1}$ ，故 $A$ 正确；因为 $B D \perp$ 平面 $A C C_{1} A_{1}$ ，所以 $A C_{1} \perp B D$ ，故 $\mathrm{B}$ 正确；异面直线 $A D$ 与 $C B_{1}$ 所成的角即为 $A D$ 与 $D A_{1}$ 所成的角，故为 $45^{\circ}$ ，所以 $\mathrm{D}$ 正确.
题目（高一 · 立体几何学）：下列说法中, 正确的有 ( )

(1)如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线和这个平面垂直;

(2)过直线 $l$ 外一点 $P$, 有且仅有一个平面与 $l$ 垂直;

(3)如果三条共点直线两两垂直, 那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面;

(4)垂直于角的两边的直线必垂直角所在的平面;

(5)过点 $A$ 垂直于直线 $a$ 的所有直线都在过点 $A$ 垂直于 $a$ 的平面内.
选项：
A. 2 个
B. 3 个
C. 4 个
D. 5 个
答案：B
解析：(1)(4)不正确，其他三项均正确.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 在三棱雉 $P-A B C$ 中, $P A \perp$ 平面 $A B C, A B \perp B C, P A=A B, D$ 为 $P B$ 的中点, 则下列结论正确的有( )



(1) $B C \perp$ 平面 $P A B$;

(2) $A D \perp P C$;

(3) $A D \perp$ 平面 $P B C$;

(4) $P B \perp$ 平面 $A D C$.
选项：
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
答案：D
解析：$\because P A \perp$ 平面 $A B C$ ，

$\therefore P A \perp B C$,

又 $B C \perp A B ， P A \cap A B=A$ ，

$\therefore B C \perp$ 平面 $P A B$ ，

故(1)确;

由 $B C \perp$ 平面 $P A B$ ，

得 $B C \perp A D$ ，

又 $P A=A B, D$ 是 $P B$ 的中点，

$\therefore A D \perp P B$ ，又 $P B \cap B C=B ， P B ， B C \subset$ 平面 $P B C$ ，

$\therefore A D \perp$ 平面 $P B C$ ，

$\therefore A D \perp P C$ ，故(2)正确;

由 $A D \perp$ 平面 $P B C$ ，

$\therefore$ (3)正确. 故选 D.
题目（高一 · 立体几何学）：把正方形 $A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折起, 当以 $A, B, C, D$ 四点为顶点棱雉体积最大时, 直线 $B D$ 和平面 $A B C$ 所成的角的大小为 $(\quad)$
选项：
A. $90^{\circ}$
B. $60^{\circ}$
C. $45^{\circ}$
D. $30^{\circ}$
答案：C
解析：，当 $D O \perp$ 平面 $A B C$ 时，三棱锥 $D-A B C$ 的体积最大.



$\therefore \angle D B O$ 为直线 $B D$ 和平面 $A B C$ 所成的角，

$\because$ 在 Rt $\triangle D O B$ 中， $O D=O B ，$
$\therefore$ 直线 $B D$ 和平面 $A B C$ 所成的角大小为 $45^{\circ}$.
题目（高一 · 立体几何学）：已知直线 $m, n$ 与平面 $\alpha, \beta$, 给出下列三个结论:

(1)若 $m / / \alpha, n / / \alpha$, 则 $m / / n$; (2)若 $m / / \alpha, n \perp \alpha$, 则 $m \perp n$; (3)若 $m \perp \alpha, m / / \beta$, 则 $\alpha \perp \beta$.其中正确结论的个数是( )
选项：
0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：C
解析：(1)若 $m / / \alpha ， n / / \alpha$ ，则 $m$ 与 $n$ 可能平行、相交或异面，故(1)错误；易知(2)(3)正确. 所以正确结论的个数是 2 .
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示, 在四面体 $D-A B C$ 中, 若 $A B=B C, A D=C D, E$ 是 $A C$ 的中点, 则下列命题中正确的是( )


选项：
平面 $A B C \perp$ 平面 $A B D$

B. 平面 $A B D \perp$ 平面 $B D C$

C. 平面 $A B C \perp$ 平面 $B D E$, 且平面 $A D C \perp$ 平面 $B D E$

D. 平面 $A B C \perp$ 平面 $A D C$, 且平面 $A D C \perp$ 平面 $B D E$
答案：C
解析：因为 $A B=B C$ ，且 $E$ 是 $A C$ 的中点，所以 $B E \perp A C$. 同理， $D E \perp A C$. 又 $B E \cap D E=E$ ，所以 $A C \perp$ 平面 $B D E$.

因为 $A C \subset$ 平面 $A B C$ ，所以平面 $A B C \perp$ 平面 $B D E$.

因为 $A C \subset$ 平面 $A C D ，$ 所以平面 $A C D \perp$ 平面 $B D E$.
题目（高一 · 立体几何学）：过两点与一个已知平面垂直的平面( )
选项：
有且只有一个
B. 有无数个
C. 有且只有一个或无数个
D. 可能不存在
答案：C
解析：若过两点的直线与已知平面垂直时，此时过这两点有无数个平面与已知平面垂直，若过两点的直线与已知平面不垂直时，则有且只有一个过这两点的平面与已知平面垂直.
题目（高一 · 立体几何学）：在四面体 $A-B C D$ 中, $A B=B C=C D=A D, \angle B A D=\angle B C D=90^{\circ}, A-B D-C$ 为直二面角, $E$ 是 $C D$ 的中点, 则 $\angle A E D$ 等于( )
选项：
A. $90^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $30^{\circ}$
答案：A
解析：如图，设 $A B=B C=C D=A D=a$ ，取 $B D$ 中点 $F$ ，连接 $A F ， C F$.



由题意可得 $A F=C F=\frac{\sqrt{2}}{2} a, \angle A F C=90^{\circ}$.

在 Rt $\triangle A F C$ 中，可得 $A C=a ，$

$\therefore \triangle A C D$ 为正三角形.

$\because E$ 是 $C D$ 的中点，

$\therefore A E \perp C D$,

$\therefore \angle A E D=90^{\circ}$ ，故选 $\mathrm{A}$.
题目（高一 · 立体几何学）：在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 截面 $A_{1} B D$ 与底面 $A B C D$ 所成二面角 $A_{1}-B D-A$ 的正切值为( )
选项：
A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\sqrt{2}$
D. $\sqrt{3}$
答案：C
解析：如图所示，连接 $A C$ 交 $B D$ 于点 $O$ ，连接 $A_{1} O ， O$ 为 $B D$ 中点，



$\because A_{1} D=A_{1} B$,

$\therefore$ 在 $\triangle A_{1} B D$ 中, $A_{1} O \perp B D$.
又 $\because$ 在正方形 $A B C D$ 中， $A C \perp B D$.

$\therefore \angle A_{1} O A$ 为二面角 $A_{1}-B D-A$ 的平面角.

设 $A A_{1}=1$ ，则 $A O=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\therefore \tan \angle A_{1} O A=\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 在梯形 $A B C D$ 中, $A D / / B C, \angle A B C=90^{\circ}, A D: B C: A B=2: 3: 4, E, F$ 分别是 $A B, C D$ 的中点, 将四边形 $A D F E$ 沿直线 $E F$ 进行翻折. 给出四个结论:



(1) $D F \perp B C$; (2) $B D \perp F C$; (3)平面 $D B F \perp$ 平面 $B F C$; (4)平面 $D C F \perp$ 平面 $B F C$.

在翻折的过程中, 可能成立的结论是( )
选项：
A. (1)(3)
B. (2)(3)
C. (2)(4)
D. (3)(4)
答案：B
解析：对于(1)，因为 $B C / / A D ， A D$ 与 $D F$ 相交不垂直，所以 $B C$ 与 $D F$ 不垂直，故(1)不可能成立；对于(2)，如图，设点 $D$ 在平面 $B C F$ 上的射影为点 $P$ ，当 $B P \perp C F$ 时，有 $B D \perp F C$ ，而 $A D: B C: A B=2: 3: 4$ 可使条件满足，故(2)可能成立; 对于(3)，当点 $P$ 落在 $B F$ 上时， $D P$ $\subset$ 平面 $B D F$ ，从而平面 $B D F \perp$ 平面 $B C F$ ，故(3)可能成立；对于(4)，因为点 $D$ 的射影不可能在 $F C$ 上，故(4)不可能成立，故选 B.
题目（高一 · 立体几何学）：在正四面体 $P-A B C$ 中, $D, E, F$ 分别是 $A B, B C, C A$ 的中点, 下面四个结论中不成立的是( )
选项：
$B C / /$ 平面 $P D F$

B. $D F \perp$ 平面 $P A E$

C. 平面 $P D F \perp$ 平面 $A B C$

D. 平面 $P A E \perp$ 平面 $A B C$
答案：C
解析：所示， $\because B C / / D F ， B C 4$ 平面 $P D F ， D F \subset$ 平面 $P D F$ ，



$\therefore B C / /$ 平面 $P D F ， \therefore \mathrm{A}$ 正确.

由 $B C \perp P E ， B C \perp A E ， P E \cap A E=E$ ，

得 $B C \perp$ 平面 $P A E$ ，

$\therefore D F \perp$ 平面 $P A E ， \therefore B$ 正确.

$\therefore$ 平面 $A B C \perp$ 平面 $P A E(B C \perp$ 平面 $P A E)$,

$\therefore \mathrm{D}$ 正确.
题目（高一 · 立体几何学）：设平面 $\alpha \perp$ 平面 $\beta$, 若平面 $\alpha$ 内的一条直线 $a$ 垂直于平面 $\beta$ 内的一条直线 $b$, 则 ()
选项：
直线 $a$ 必垂直于平面 $\beta$

B. 直线 $b$ 必垂直于平面 $\alpha$

C. 直线 $a$ 不一定垂直于平面 $\beta$

D. 过 $a$ 的平面与过 $b$ 的平面垂直
答案：C
解析：当两个平面垂直时，在一个平面内只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面.
题目（高一 · 立体几何学）：已知 $m, n$ 为两条不同直线, $\alpha, \beta$ 为两个不同平面, 给出下列命题:

(1) $\left\{\begin{array}{l}m \perp \alpha \\ m \perp n\end{array} \Rightarrow n / / \alpha \quad\right.$ (2) $\left\{\begin{array}{l}m \perp \beta \\ n \perp \beta\end{array} \Rightarrow m / / n \quad\right.$ (3) $\left\{\begin{array}{l}m \perp \alpha \\ m \perp \beta\end{array} \Rightarrow \alpha / / \beta \quad\right.$ (4) $\begin{cases}m \subset \alpha \\ n \subset \beta & \Rightarrow m / / n \\ \alpha / / \beta & \end{cases}$

其中正确命题的序号是( )
选项：
A. (2)(3)
B. (3)(4)
C. (1)(2)
D. (1)(2)(3)(4)
答案：A
解析：(1)中 $n ， \alpha$ 可能平行或 $n$ 在平面 $\alpha$ 内; (2)(3)正确; (4)两直线 $m, n$ 平行或异面，故选 A.
题目（高一 · 立体几何学）：已知 $l \perp$ 平面 $\alpha$, 直线 $m \subset$ 平面 $\beta$. 有下面四个命题:

(1) $\alpha / / \beta \Rightarrow l \perp m$; (2) $\alpha \perp \beta \Rightarrow I / / m$; (3) $I / / m \Rightarrow \alpha \perp \beta$; (4) $l \perp m \Rightarrow \alpha / / \beta$.

其中正确的两个命题是 (
选项：
A. (1)(2)
B. (3)(4)
C. (2)(4)
D. (1)(3)
答案：D
解析：$\because l \perp \alpha ， \alpha / / \beta ＼therefore l \perp \beta, \because m \subset \beta, \therefore l \perp m$ ，故(1)正确; $\because l / / m, l \perp \alpha ， \therefore m \perp \alpha$ ，又 $\because m$ $\subset \beta ， \therefore \alpha \perp \beta$ ，故(3)正确.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 设平面 $\alpha \cap$ 平面 $\beta=P Q, E G \perp$ 平面 $\alpha, F H \perp$ 平面 $\alpha$, 垂足分别为 $G, H$. 为使 $P Q \perp G H$,则需增加的一个条件是( )


选项：
$E F \perp$ 平面 $\alpha$

B. $E F \perp$ 平面 $\beta$

C. $P Q \perp G E$

D. $P Q \perp F H$
答案：B
解析：因为 $E G \perp$ 平面 $\alpha, P Q \subset$ 平面 $\alpha$ ，所以 $E G \perp P Q$. 若 $E F \perp$ 平面 $\beta$ ，则由 $P Q \subset$ 平面 $\beta$ ，得 $E F \perp P Q$. 又 $E G$ 与 $E F$ 为相交直线，所以 $P Q \perp$ 平面 $E F H G$ ，所以 $P Q \perp G H$ ，故选 B.
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示, 三棱雉 $P A B C$ 中, 平面 $A B C \perp$ 平面 $P A B, P A=P B, A D=D B$, 则( )


选项：
$P D \subset$ 平面 $A B C$

B. $P D \perp$ 平面 $A B C$

C. $P D$ 与平面 $A B C$ 相交但不垂直

D. $P D / /$ 平面 $A B C$
答案：B
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示, 在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $A A_{1}=2 A B, A B=B C$, 则下列结论中正确的是 ( )


选项：
$B D_{1} / / B_{1} C$

B. $A_{1} D_{1} / /$ 平面 $A B_{1} C$

C. $B D_{1} \perp A C$

D. $B D_{1} \perp$ 平面 $A B_{1} C$
答案：C
解析：连接 $B D$.在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B=B C$ ，

$\therefore A C \perp B D$.又 $A C \perp D D_{1} ， B D \cap D D_{1}=D$ ，

$\therefore A C \perp$ 平面 $B D D_{1}$.

$\because B D_{1} \subset$ 平面 $B D D_{1}$ ，

$\therefore A C \perp B D_{1}$.故选 $\mathrm{C}$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示, 平面 $\alpha \perp$ 平面 $\beta, A \in \alpha, B \in \beta, A B$ 与两平面 $\alpha, \beta$ 所成的角分别为 $45^{\circ}$ 和 $30^{\circ}$.过 $A, B$ 分别作两平面交线的垂线, 垂足分别为 $A^{\prime}, B^{\prime}$, 则 $A B: A^{\prime} B^{\prime}$ 等于( )


选项：
A. $2: 1$
B. $3: 1$
C. $3: 2$
D. $4: 3$
答案：A
解析：如图: 由已知得 $A A^{\prime} \perp$ 平面 $\beta$ ，



$\angle A B A^{\prime}=30^{\circ}, B B^{\prime} \perp$ 平面 $\alpha, \angle B A B^{\prime}=45^{\circ}$.

设 $A B=a$ ，则 $B A^{\prime}=\frac{\sqrt{3}}{2} a Ｂ B^{\prime}=\frac{\sqrt{2}}{2} a$ ，
在 Rt $\triangle B A^{\prime} \quad B^{\prime}$ 中， $A^{\prime} \quad B^{\prime}=\frac{1}{2} a ， \therefore \frac{A B}{A^{\prime} \quad B^{\prime}}=2$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 四边形 $A B C D$ 中, $A D / / B C, A D=A B, \angle B C D=45^{\circ}, \angle B A D=90^{\circ}$, 将 $\triangle A B D$ 沿 $B D$ 折起, 使平面 $A B D \perp$ 平面 $B C D$, 构成四面体 $A-B C D$, 则在四面体 $A-B C D$ 中, 下列结论正确的是( )


选项：
平面 $A B D \perp$ 平面 $A B C$

B. 平面 $A D C \perp$ 平面 $B D C$

C. 平面 $A B C \perp$ 平面 $B D C$

D. 平面 $A D C \perp$ 平面 $A B C$
答案：D
解析：意得， $B D \perp C D$ ，

又平面 $A B D \perp$ 平面 $B C D ，$

且平面 $A B D \cap$ 平面 $B C D=B D, C D \subset$ 平面 $B C D ，$

$\therefore C D \perp$ 平面 $A B D$ ，

则 $C D \perp A B$ ，又 $A D \perp A B ， A D \cap C D=D ， A D ， C D \subset$ 平面 $A C D$ ，

$\therefore A B \perp$ 平面 $A D C$ ，

$\therefore$ 平面 $A B C \perp$ 平面 $A D C$.
题目（高一 · 立体几何学）：(2020 春 - 海珠区校级月考) 已知棱长为 2 的正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$, 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$内随机取一点 $P$, 则点 $P$ 与点 $A$ 距离大于 1 的概率为 ( )
选项：
A. $1-\frac{\pi}{24}$
   B. $1-\frac{\pi}{48}$
   C. $\frac{\pi}{6}$
   D. $\frac{\pi}{12}$
答案：B
解析：解：根据题意, 分析可得,

在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 与点 $A$ 距离小于等于 1 的点在以 $A$ 为球心, 半径为 1 的八分之一个球内,

其体积为 $V_{1}=\frac{1}{8} \times \frac{4 \pi}{3} \times 1^{3}=\frac{\pi}{6}$;

正方体的体积为 $2^{3}=8$,

则点 $P$ 到点 $A$ 的距离小于等于 1 的概率为: $\frac{\frac{\pi}{6}}{8}=\frac{\pi}{48}$,

故点 $P$ 到点 $A$ 的距离大于 1 的概率为 $1-\frac{\pi}{48}$,

故选: B.
题目（高一 · 立体几何学）：(2020・临川区校级模拟) 某同学自制了一套数学实验模型, 该模型三视图如图所示. 模型内置一个与其各个面都相切的球, 该模型及其内球在同一方向有开口装置. 实验的时候, 随机往模型中投掷大小相等, 形状相同的玻璃球, 通过计算落在球内的玻璃球数量, 来估算圆周率的近似值. 已知某次实验中, 某同学一次投郑了 1000 个玻璃球, 请你估算落在球内的玻璃球数量 $($ 其中 $\pi \approx 3$ )


选项：
A. 286
B. 289
C. 298
D. 302
答案：D
解析：解: 由三视图得该模型是一个棱长为 $a=50 \sqrt{2}$ 的四面体及其内切球,

正四面体体积 $V_{1}=\frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^{2} \times \sqrt{a^{2}-\left(\frac{\sqrt{3}}{3} a\right)^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}$,

过球心及正四面体顶点作截图，如图所示，

由题意得 $\triangle B O D \backsim \triangle B E C, \therefore \frac{r}{E C}=\frac{B D}{B E}$, 即 $\frac{r}{\frac{a}{2}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{6} a}{\frac{\sqrt{2}}{2} a}$,
解得 $r=\frac{\sqrt{6}}{12} a$,

$\therefore$ 内切球体积为 $V_{2}=\frac{4 \pi}{3} \times\left(\frac{\sqrt{6}}{12} a\right)^{3}$,

设落在球内的玻璃球数量为 $x$,

则 $\frac{x}{1000}=\frac{V_{2}}{V_{1}}$, 即 $\frac{x}{1000}=\frac{\sqrt{3}}{18} \pi$,

解得 $x \approx 302$.

故选: $D$.
题目（高一 · 立体几何学）：高为 $H$ 、满缸水量为 $V$ 的鱼缸的轴截面如图所示, 现底部有一个小洞, 满缸水从洞中流出, 若鱼缸水深为 $h$ 时水的体积为 $v$, 则函数 $v=f(h)$ 的大致图像是 ( )


选项：
A.


B.


C.


D.


答案：B
解析：

根据题意知, 函数的自变量为水深 $h$, 函数值为鱼缸中水的体积, 所以当 $h=0$ 时, 体积 $v=0$, 所以函数图像过原点, 故排除 $\mathrm{A} 、 \mathrm{C}$;

再根据鱼缸的形状, 下边较细, 中间较粗, 上边较细, 所以随着水深的增加, 体积的变化速度是先慢后快再慢的, 故选 B.
题目（高一 · 立体几何学）：下列叙述中正确的是 ( )
选项：
圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体

B. 棱柱中两个相互平行的平面一定是棱柱的底面

C. 过圆锥侧面上的一点有无数条母线

D. 球面上四个不同的点有可能在同一平面内
答案：D
解析：【分析】

利用圆柱的定义判断 $A$; 利用棱柱的定义判断 $B$; 利用圆雉母线的定义判断 $C$; 利用球体的性质判断 $D$.

## 【详解】

在 $A$ 中, 将矩形以矩形的一条对角线为轴, 旋转所得的就不是圆柱, 故 $A$ 错;

在 $B$ 中，长方体中两个相互平行的平面不一定是棱柱的底面，故 $B$ 错误;

在 $C$ 中, 两点确定一条直线, 圆锥过圆锥侧面上的一点只有一条母线, 故 $C$ 错误;

在 $D$ 中，球面上四个不同的点有可能在同一平面内，故 $D$ 正确，故选 D.

## 【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查圆柱、棱柱、圆雉、球等基础知识，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，考查了空间想象能力，属于中档题.
题目（高一 · 变换几何）：为了得到函数 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x-3}-1$ 的图象, 只需把函数 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ 的图像上所有的点 ( )
选项：
A. 向左平移 3 个单位长度, 再向上平移 1 个单位长度

B. 向右平移 3 个单位长度, 再向上平移 1 个单位长度

C. 向左平移 3 个单位长度, 再向下平移 1 个单位长度

D. 向右平移 3 个单位长度, 再向下平移 1 个单位长度
答案：D
解析：首先 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ 向右平移 3 个单位得到 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x-3}$,

再由 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x-3}$ 向下平移 1 个单位得到 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x-3}-1$.

故答案为: D

【分析】根据平移规律“左十右一, 上十下一”, 得到变换过程.