题目（七年级 · 度量几何学）：(12 分) 如图所示, $A 、 B$ 为两个村庄, $A B 、 B C 、 C D$ 为公路, $B D$ 为田地, $A D$ 为河宽,且 $C D$ 与 $A D$ 互相垂直. 现在要从 $\mathrm{E}$ 处开始铺设通往村庄 $\mathrm{A}$ 、村庄 B 的一条电缆, 共有如下两种铺设方案:

方案一: $E \Rightarrow D \Rightarrow A \Rightarrow B ;$

方案二: $E \Rightarrow C \Rightarrow B \Rightarrow A$.

经测量得 $\mathrm{AB}=4 \sqrt{3}$ 千米, $\mathrm{BC}=10$ 千米, $\mathrm{CE}=6$ 千米, $\angle \mathrm{BDC}=45^{\circ}, \angle \mathrm{ABD}=15$ 度. 已知: 地下电缆的修建费为 2 万元/千米, 水下电缆的修建费为 4 万元/千米.

(1) 求出河宽 AD (结果保留根号);

(2) 求出公路 $\mathrm{CD}$ 的长;

（3）哪种方案铺设电缆的费用低? 请说明你的理由.


选项：
答案：解: (1) 过点 $\mathrm{B}$ 作 $\mathrm{BF} \perp \mathrm{AD}$, 交 $\mathrm{DA}$ 的延长线于点 $\mathrm{F}$.

由题意得: $\angle \mathrm{BAF}=\angle \mathrm{ABD}+\angle \mathrm{ADB}=15^{\circ}+45^{\circ}=60^{\circ}$,在 Rt $\triangle \mathrm{BFA}$ 中, $\mathrm{BF}=\mathrm{AB} \sin 60^{\circ}=4 \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=6$ (千米),

$\mathrm{AF}=\mathrm{AB} \cos 60^{\circ}=4 \sqrt{3} \times \frac{1}{2}=2 \sqrt{3}$ (千米).

$\because \mathrm{CD} \perp \mathrm{AD}, \angle \mathrm{BDC}=45^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BDF}=45^{\circ}$,

在 Rt $\triangle \mathrm{BFD}$ 中, $\because \angle \mathrm{BDF}=45^{\circ}$,

$\therefore \mathrm{DF}=\mathrm{BF}=6$ 千米.

$\therefore \mathrm{AD}=\mathrm{DF}-\mathrm{AF}=6-2 \sqrt{3}$ (千米).
即河宽 $\mathrm{AD}$ 为 $(6-2 \sqrt{3})$ 千米;

(2) 过点 $B$ 作 $B G \perp C D$ 于 $G$, 易证四边形 $B F D G$ 是正方形,

$\therefore \mathrm{BG}=\mathrm{BF}=6$ 千米.

在 Rt $\triangle \mathrm{BGC}$ 中, $\mathrm{CG}=\sqrt{\mathrm{BC}^{2}-\mathrm{BG}^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$ (千米),

$\therefore \mathrm{CD}=\mathrm{CG}+\mathrm{GD}=14$ 千米.

即公路 CD 的长为 14 千米;

(3) 方案一的铺设电缆费用低.

由 (2) 得 $\mathrm{DE}=\mathrm{CD}-\mathrm{CE}=8$ 千米.

$\therefore$ 方案一的铺设费用为: $2(\mathrm{DE}+\mathrm{AB})+4 \mathrm{AD}=40$ 万元,

方案二的铺设费用为: $2(\mathrm{CE}+\mathrm{BC}+\mathrm{AB})=(32+8 \sqrt{3})$ 万元.

$\because 40<32+8 \sqrt{3}$

$\therefore$ 方案一的铺设电缆费用低.

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解析：解: (1) 过点 $\mathrm{B}$ 作 $\mathrm{BF} \perp \mathrm{AD}$, 交 $\mathrm{DA}$ 的延长线于点 $\mathrm{F}$.

由题意得: $\angle \mathrm{BAF}=\angle \mathrm{ABD}+\angle \mathrm{ADB}=15^{\circ}+45^{\circ}=60^{\circ}$,在 Rt $\triangle \mathrm{BFA}$ 中, $\mathrm{BF}=\mathrm{AB} \sin 60^{\circ}=4 \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=6$ (千米),

$\mathrm{AF}=\mathrm{AB} \cos 60^{\circ}=4 \sqrt{3} \times \frac{1}{2}=2 \sqrt{3}$ (千米).

$\because \mathrm{CD} \perp \mathrm{AD}, \angle \mathrm{BDC}=45^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BDF}=45^{\circ}$,

在 Rt $\triangle \mathrm{BFD}$ 中, $\because \angle \mathrm{BDF}=45^{\circ}$,

$\therefore \mathrm{DF}=\mathrm{BF}=6$ 千米.

$\therefore \mathrm{AD}=\mathrm{DF}-\mathrm{AF}=6-2 \sqrt{3}$ (千米).
即河宽 $\mathrm{AD}$ 为 $(6-2 \sqrt{3})$ 千米;

(2) 过点 $B$ 作 $B G \perp C D$ 于 $G$, 易证四边形 $B F D G$ 是正方形,

$\therefore \mathrm{BG}=\mathrm{BF}=6$ 千米.

在 Rt $\triangle \mathrm{BGC}$ 中, $\mathrm{CG}=\sqrt{\mathrm{BC}^{2}-\mathrm{BG}^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$ (千米),

$\therefore \mathrm{CD}=\mathrm{CG}+\mathrm{GD}=14$ 千米.

即公路 CD 的长为 14 千米;

(3) 方案一的铺设电缆费用低.

由 (2) 得 $\mathrm{DE}=\mathrm{CD}-\mathrm{CE}=8$ 千米.

$\therefore$ 方案一的铺设费用为: $2(\mathrm{DE}+\mathrm{AB})+4 \mathrm{AD}=40$ 万元,

方案二的铺设费用为: $2(\mathrm{CE}+\mathrm{BC}+\mathrm{AB})=(32+8 \sqrt{3})$ 万元.

$\because 40<32+8 \sqrt{3}$

$\therefore$ 方案一的铺设电缆费用低.