题目（高二 · 解析几何）：24. 已知椭圆 $C$ 的中心在坐标原点, 焦点在 $X$ 轴上, 椭圆 $C$ 上的点到焦点距离的最大值为 3 ,最小值为 1 .

(1) 求椭圆 $C$ 的标准方程;

答案: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$

(2) 若直线 $l: y=k x+m$ 与粗圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点 ( $A, B$ 不是左右顶点), 且以 $A B$为直径的图过粗圆 $C$ 的右顶点. 求证: 直线 $l$ 过定点, 并求出该定点的坐标.

答案: 定点坐标为 $\left(\frac{2}{7}, 0\right)$
选项：
答案：: 解答: (1) 由题意设椭圆的标准方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$,

由已知得: $a+c=3, a-c=1, \begin{aligned} & a=2, c=1, \\ & \therefore b^{2}=a^{2}-c^{2}=3\end{aligned}$

$\therefore$ 栯圆的标准方程为 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$. (2) 设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$. 联立 $\left\{\begin{array}{l}y=k x+m, \\ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1 \text {. }\end{array}\right.$

得 $\left(3+4 k^{2}\right) x^{2}+8 m k x+4\left(m^{2}-3\right)=0$, 则

$\left\{\begin{array}{l}\Delta=64 m^{2} k^{2}-16\left(3+4 k^{2}\right)\left(m^{2}-3\right)>0, \text { 即 } 3+4 k^{2}-m^{2}>0, \\ x_{1}+x_{2}=-\frac{8 m k}{3+4 k^{2}}, \\ x_{1} x_{2}=\frac{4\left(m^{2}-3\right)}{3+4 k^{2}} .\end{array}\right.$

又 $y_{1} y_{2}=\left(k x_{1}+m\right)\left(k x_{2}+m\right)=k^{2} x_{1} x_{2}+m k\left(x_{1}+x_{2}\right)+m^{2}=\frac{3\left(m^{2}-4 k^{2}\right)}{3+4 k^{2}}$.
因为以 $A B$ 为直径的圆过粗圆的右顶点 $D(2,0)$,

$\therefore k_{A D} k_{B D}=-1$, 即 $\frac{y_{1}}{x_{1}-2} \cdot \frac{y_{2}}{x_{2}-2}=-1 . \therefore y_{1} y_{2}+x_{1} x_{2}-2\left(x_{1}+x_{2}\right)+4=0$.

$\therefore \frac{3\left(m^{2}-4 k^{2}\right)}{3+4 k^{2}}+\frac{4\left(m^{2}-3\right)}{3+4 k^{2}}+\frac{15 m k}{3+4 k^{2}}+4=0 . \quad \therefore 7 m^{2}+16 m k+4 k^{2}=0$.

解得: $m_{1}=-2 k, m_{2}=-\frac{2 k}{7}$, 且均满足 $3+4 k^{2}-m^{2}>0$.

当 $m_{1}=-2 k$ 时, $l$ 的方程 $y=k(x-2)$, 直线过点 $(2,0)$, 与已知矛盾;

当 $m_{2}=-\frac{2 k}{7}$ 时, $l$ 的方程为 $y=k\left(x-\frac{2}{7}\right)$, 直线过定点 $\left(\frac{2}{7}, 0\right)$.

所以, 直线 $l$ 过定点, 定点坐标为 $\left(\frac{2}{7}, 0\right)$.

分析: (1) 椭圆 $C$ 的中心在坐标原点, 焦点在 $X$ 轴上, 椭圆 $C$ 上的点到焦点距离的最大值为 3 , 最小值为 1 ; 可得 $a+c=3, a-c=1$; 进而求出椭圆的标准方程. (2) 中由直线交椭圆于不同两点得不等式 $\Delta>0$, 由中点横坐标得一方程, 两者联立即可求得范围, 称为“方程不等式法”, 解题中注意应用.
解析：: 解答: (1) 由题意设椭圆的标准方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$,

由已知得: $a+c=3, a-c=1, \begin{aligned} & a=2, c=1, \\ & \therefore b^{2}=a^{2}-c^{2}=3\end{aligned}$

$\therefore$ 栯圆的标准方程为 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$. (2) 设 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$. 联立 $\left\{\begin{array}{l}y=k x+m, \\ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1 \text {. }\end{array}\right.$

得 $\left(3+4 k^{2}\right) x^{2}+8 m k x+4\left(m^{2}-3\right)=0$, 则

$\left\{\begin{array}{l}\Delta=64 m^{2} k^{2}-16\left(3+4 k^{2}\right)\left(m^{2}-3\right)>0, \text { 即 } 3+4 k^{2}-m^{2}>0, \\ x_{1}+x_{2}=-\frac{8 m k}{3+4 k^{2}}, \\ x_{1} x_{2}=\frac{4\left(m^{2}-3\right)}{3+4 k^{2}} .\end{array}\right.$

又 $y_{1} y_{2}=\left(k x_{1}+m\right)\left(k x_{2}+m\right)=k^{2} x_{1} x_{2}+m k\left(x_{1}+x_{2}\right)+m^{2}=\frac{3\left(m^{2}-4 k^{2}\right)}{3+4 k^{2}}$.
因为以 $A B$ 为直径的圆过粗圆的右顶点 $D(2,0)$,

$\therefore k_{A D} k_{B D}=-1$, 即 $\frac{y_{1}}{x_{1}-2} \cdot \frac{y_{2}}{x_{2}-2}=-1 . \therefore y_{1} y_{2}+x_{1} x_{2}-2\left(x_{1}+x_{2}\right)+4=0$.

$\therefore \frac{3\left(m^{2}-4 k^{2}\right)}{3+4 k^{2}}+\frac{4\left(m^{2}-3\right)}{3+4 k^{2}}+\frac{15 m k}{3+4 k^{2}}+4=0 . \quad \therefore 7 m^{2}+16 m k+4 k^{2}=0$.

解得: $m_{1}=-2 k, m_{2}=-\frac{2 k}{7}$, 且均满足 $3+4 k^{2}-m^{2}>0$.

当 $m_{1}=-2 k$ 时, $l$ 的方程 $y=k(x-2)$, 直线过点 $(2,0)$, 与已知矛盾;

当 $m_{2}=-\frac{2 k}{7}$ 时, $l$ 的方程为 $y=k\left(x-\frac{2}{7}\right)$, 直线过定点 $\left(\frac{2}{7}, 0\right)$.

所以, 直线 $l$ 过定点, 定点坐标为 $\left(\frac{2}{7}, 0\right)$.

分析: (1) 椭圆 $C$ 的中心在坐标原点, 焦点在 $X$ 轴上, 椭圆 $C$ 上的点到焦点距离的最大值为 3 , 最小值为 1 ; 可得 $a+c=3, a-c=1$; 进而求出椭圆的标准方程. (2) 中由直线交椭圆于不同两点得不等式 $\Delta>0$, 由中点横坐标得一方程, 两者联立即可求得范围, 称为“方程不等式法”, 解题中注意应用.