eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高二 · 度量几何学）：若 $\cos (\alpha-\beta)=\frac{\sqrt{5}}{5}, \cos 2 \alpha=\frac{\sqrt{10}}{10}$, 且 $\alpha 、 \beta$ 均为锐角, $\alpha<\beta$, 则 $\alpha+\beta$ 的值为 ( C )
选项：
A. $\frac{\pi}{6}$
B. $\frac{\pi}{4}$
C. $\frac{3 \pi}{4}$
D. $\frac{5 \pi}{6}$
答案：C
解析：析] $\because 0<\alpha<\frac{\pi}{2}, 0<\beta<\frac{\pi}{2}, \quad \alpha<\beta$,

$\therefore-\frac{\pi}{2}<\alpha-\beta<0$.

又 $\cos (\alpha-\beta)=\frac{\sqrt{5}}{5}$,

$\therefore \sin (\alpha-\beta)=-\sqrt{1-\cos ^{2}(\alpha-\beta)}=-\frac{2 \sqrt{5}}{5}$.
又 $\because 0<2 \alpha<\pi, \cos 2 \alpha=\frac{\sqrt{10}}{10}$,

$\therefore \sin 2 \alpha=\sqrt{1-\cos ^{2} 2 \alpha}=\frac{3 \sqrt{10}}{10}$.

$\therefore \cos (\alpha+\beta)=\cos [2 \alpha-(\alpha-\beta)]=\cos 2 \alpha \cos (\alpha-\beta)+\sin 2 \alpha \sin (\alpha-\beta)=\frac{\sqrt{10}}{10} \times \frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{3 \sqrt{10}}{10} \times\left(-\frac{2 \sqrt{5}}{5}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

又 $0<\alpha+\beta<\pi$, 故 $\alpha+\beta=\frac{3 \pi}{4}$.
题目（高二 · 度量几何学）：若角 $\alpha$ 的终边经过点 $M(0,-3)$, 则角 $\alpha(\quad)$
选项：
A.是第三象限角

B $\cdot$ 是第四象限角

$\mathrm{C}$ $\cdot$ 既是第三象限角又是第四象限角

$\mathrm{D}$ $\cdot$ 不属于任何一个象限
答案：D
解析：解析: $\because$ 点 $M(0,-3)$ 在 $y$ 轴负半轴上, $\therefore$ 角 $\alpha$ 不属于任何一个象限.

答案: D
题目（高二 · 度量几何学）：11.若角 $\alpha$ 与 $65^{\circ}$ 角的终边相同, 角 $\beta$ 与 $-115^{\circ}$ 角的终边相同, 那么 $\alpha$ 与 $\beta$ 之间的关系是 $(\quad)$
选项：
$\mathrm{A} \cdot \alpha+\beta=-50^{\circ}$

$\mathrm{B} \cdot \alpha-\beta=180^{\circ}$

$\mathrm{C} \cdot \alpha+\beta=k \cdot 360^{\circ}+180^{\circ}(k \in \mathbf{Z})$

$\mathrm{D} \cdot \alpha-\beta=k \cdot 360^{\circ}+180^{\circ}(k \in \mathbf{Z})$
答案：D
解析：由题意可知, $\alpha=k_{1} \cdot 360^{\circ}+65^{\circ}\left(k_{1} \in \mathbf{Z}\right), \beta=k_{2} \cdot 360^{\circ}-115^{\circ}\left(k_{2} \in \mathbf{Z}\right)$, 所以 $\alpha-\beta=\left(k_{1}-k_{2}\right) \cdot 360^{\circ}+180^{\circ}$,记 $k=k_{1}-k_{2} \in \mathbf{Z}$, 故 $\alpha-\beta=k \cdot 360^{\circ}+180^{\circ}(k \in \mathbf{Z})$.
题目（高二 · 度量几何学）：把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转 $240^{\circ}$ 所形成的角是 ( )
选项：
A.  120^{\circ}
B. $-120^{\circ}$
C $\cdot 240^{\circ}$
D. $-240^{\circ}$
答案：D
解析：解析: 一条射线绕着端点按顺时针方向旋转 $240^{\circ}$ 所形成的角是 $-240^{\circ}$, 故选 D.

答案: D
题目（高二 · 度量几何学）：若角的顶点在原点, 角的始边与 $x$ 轴的非负半轴重合, 给出下列四个命题:

(1) $0^{\circ}$ 角是第一象限角; (2)相等的角的终边一定相同; (3)终边相同的角有无限多个; (4)与 $-30^{\circ}$ 角终边相同的角都是第四象限角.

其中正确的有( )
选项：
A.$ 1$ 个
B. 2 个
$\mathrm{C} \cdot 3$ 个
D. 4 个
答案：C
解析：解析: $0^{\circ}$ 角是轴线角而不是象限角, (1)不正确; (2)显然正确; 终边相同的角有无限多个, 并且相差 $360^{\circ}$的整数倍, 所以(3)正确; $-30^{\circ}$ 角是第四象限角, 故(4)正确.

答案: C
题目（高二 · 度量几何学）：若 $\alpha$ 为锐角, 则下列各角中一定为第四象限角的是( )
选项：
A. $90^{\circ}-\alpha$
   B. $90^{\circ}+\alpha$
   $\mathrm{C} \cdot 360^{\circ}-\alpha$
   D. $180^{\circ}+\alpha$
答案：C
解析：解析: $\because 0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}, \therefore 270^{\circ}<360^{\circ}-\alpha<360^{\circ}$, 故选 C.

答案: C
题目（高二 · 度量几何学）：若角 $\alpha$ 与角 $\beta$ 的终边关于 $y$ 轴对称, 则必有 ( )
选项：
A.$ \alpha+\beta=90^{\circ}$

B $\cdot \alpha+\beta=k \cdot 360^{\circ}+90^{\circ}(k \in \mathbf{Z})$

C $\cdot \alpha+\beta=k \cdot 360^{\circ}(k \in \mathbf{Z})$
$\mathrm{D} \cdot \alpha+\beta=(2 k+1) 180^{\circ}(k \in \mathbf{Z})$
答案：D
解析：解析: $\alpha$ 与 $\beta$ 的终边关于 $y$ 轴对称, 则 $\alpha$ 与 $180^{\circ}-\beta$ 终边相同, 故 $\alpha=180^{\circ}-\beta+360^{\circ} \cdot k$, 即 $\alpha+\beta=(2 k$ $+1) \cdot 180^{\circ}, k \in \mathbf{Z}$.

答案: D
题目（高二 · 度量几何学）：$-\frac{25 \pi}{6}$ 的角是 ( )
选项：
A. 第一象限的角
   B. 第二象限的角
   C. 第三象限的角
   D. 第四象限的角
答案：D
解析：因为 $-\frac{25 \pi}{6}=-\frac{\pi}{6}-4 \pi$,所以 $-\frac{25 \pi}{6}$ 与 $-\frac{\pi}{6}$ 的终边相同, 为第四象限的角.

【答案】D
题目（高二 · 度量几何学）：时钟的分针在 1 点到 3 点 20 分这段时间里转过的弧度数为( )
选项：
A. $\frac{14}{3} \pi$
   B. $-\frac{14}{3} \pi$
   C. $\frac{7}{18} \pi$
   D. $-\frac{7}{18} \pi$
答案：B
解析：分针在 1 点到 3 点 20 分这段时间里, 顺时针转过了两周又一周的 $\frac{1}{3}$, 用弧度制表示就是: $-4 \pi-\frac{1}{3} \times 2 \pi=-\frac{14}{3} \pi$.

## 【答案】 B
题目（高二 · 度量几何学）：圆的半径是 $6 \mathrm{~cm}$, 则 $15^{\circ}$ 的圆心角与圆弧围成的扇形面积是( )
选项：
A. $\frac{\pi}{2} \mathrm{~cm}^{2}$
   B. $\frac{3 \pi}{2} \mathrm{~cm}^{2}$
   C. $\pi \mathrm{cm}^{2}$
   D. $3 \pi \mathrm{cm}^{2}$
答案：B
解析：$15^{\circ}=\frac{\pi}{12}$, 则 $S=\frac{1}{2}|\alpha| r^{2}=\frac{1}{2} \times \frac{\pi}{12} \times 6^{2}=\frac{3 \pi}{2}\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$.

【答案】 B
题目（高二 · 度量几何学）：下列说法不正确的是 ( )
选项：
A. “度” 与 “弧度” 是度量角的两种不同的度量单位
B. $1^{\circ}$ 的角是周角的 $\frac{1}{360}, 1$ 弧度的角是周角的 $\frac{1}{2 \pi}$
C. $1 \mathrm{rad}$ 的角比 $1^{\circ}$ 的角要大

D. 用角度制和弧度制度量角, 都与圆的半径有关
答案：D
解析：用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关。

## 【答案】D
题目（高二 · 度量几何学）：集合 $\left\{\alpha \left\lvert\, k \pi+\frac{\pi}{4} \leqslant \alpha \leqslant k \pi+\frac{\pi}{2}\right., k \in \mathbf{Z}\right\}$ 中角所表示的范围(阴影部分)是( )
选项：
A.



B.



C.



D.
答案：C
解析：$k$ 为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线 $y=x$ 左上部分(包含边界), $k$ 为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线 $y=x$ 的右下部分(包含边界)。故选 C.
题目（高二 · 度量几何学）：$1920^{\circ}$ 的角化为弧度数为 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{16}{3}$
B. $\frac{32}{3}$
C. $\frac{16}{3} \pi$
D. $\frac{32}{3} \pi$
答案：D
解析：解析: $\because 1^{\circ}=\frac{\pi}{180} \mathrm{rad}$,

$\therefore 1920^{\circ}=1920 \times \frac{\pi}{180} \mathrm{rad}=\frac{32}{3} \pi \mathrm{rad}$.

答案: D
题目（高二 · 度量几何学）：角 $\alpha$ 的终边落在区间 $\left(-3 \pi,-\frac{5 \pi}{2}\right)$ 内, 则角 $\alpha$ 所在的象限是 $(\quad)$
选项：
A.第一象限
B. 第二象限
$\mathrm{C}$ $\cdot$第三象限
D. 第四象限
答案：C
解析：解析: $-3 \pi$ 的终边在 $x$ 轴的非正半轴上, $-\frac{5}{2} \pi$ 的终边在 $y$ 轴的非正半轴上, 故角 $\alpha$ 为第三象限角.

答案: C
题目（高二 · 度量几何学）：下列与 $\frac{9 \pi}{4}$ 的终边相同的角的表达式中, 正确的是( )
选项：
A.$ 2 k \pi+45^{\circ}(k \in \mathbf{Z})$

B $\cdot k \cdot 360^{\circ}+\frac{9 \pi}{4}(k \in \mathbf{Z})$

$\mathrm{C} \cdot k \cdot 360^{\circ}-315^{\circ}(k \in \mathbf{Z})$

D $\cdot k \pi+\frac{5 \pi}{4}(k \in \mathbf{Z})$
答案：C
解析：解析: A, B 中弧度与角度混用, 不正确.
$\frac{9}{4} \pi=2 \pi+\frac{\pi}{4}$, 所以 $\frac{9}{4} \pi$ 与 $\frac{\pi}{4}$ 终边相同.

$-315^{\circ}=-360^{\circ}+45^{\circ}$, 所以 $-315^{\circ}$ 也与 $45^{\circ}$ 终边相同. 故选 C.

答案: C
题目（高二 · 度量几何学）：$圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长, 则该圆弧所对圆心角的弧度数为 $(\quad)
选项：
A. $\frac{\pi}{3} \quad$ B. $\frac{2 \pi}{3}$
C. $\sqrt{3}$ D. 2
答案：C
解析：解析: 如右图, 设圆的半径为 $R$, 则圆的内接正三角形的边长为 $\sqrt{3} R$, 所以圆弧长度为 $\sqrt{3} R$ 的圆心角的弧度数 $\alpha=\frac{\sqrt{3} R}{R}=\sqrt{3}$.



答案: C
题目（高二 · 度量几何学）：若 $\sin \left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)=\frac{1}{3}$, 则 $\cos \left(\frac{2 \pi}{3}+2 \alpha\right)=(\quad)$
选项：
A. $-\frac{1}{3}$
   B. $-\frac{7}{9}$
   C. $\frac{7}{9}$
   D. $\frac{1}{3}$
答案：B
解析：析] $\cos \left(\frac{2 \pi}{3}+2 \alpha\right)=2 \cos ^{2}\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)-1=2 \cos ^{2}\left[\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)\right]-1=2 \sin ^{2}\left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)-1=\frac{2}{9}-1=-\frac{7}{9}$.
题目（高二 · 度量几何学）：若 $\tan \alpha=3$, 则 $2 \sin \alpha \cos \alpha=(\quad)$
选项：
A. $\\pm \\frac{3}{5}$
B. $-\\frac{3}{5}$
C. $\\frac{3}{5}$
D. $\\frac{4}{5}$
答案：C
解析：$2 \sin \alpha \cos \alpha=\frac{2 \sin \alpha \cos \alpha}{\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha}=\frac{2 \tan \alpha}{\tan ^{2} \alpha+1}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.
题目（高二 · 度量几何学）：若 $\alpha \in[0,2 \pi)$, 且有 $\sqrt{1-\cos ^{2} \alpha}+\sqrt{1-\sin ^{2} \alpha}=\sin \alpha-\cos \alpha$, 则角 $\alpha$ 的取值范围为 ( )
选项：
A. $\left[0, \frac{\pi}{2}\right)$
   B. $\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$
   C. $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$
   D. $\left[\pi, \frac{3}{2} \pi\right]$
答案：B
解析：因为 $\sqrt{1-\cos ^{2} \alpha}+\sqrt{1-\sin ^{2} \alpha}=\sin \alpha-\cos \alpha$, 所以 $\left\{\begin{array}{l}\sin \alpha \geqslant 0, \\ \cos \alpha \leqslant 0,\end{array}\right.$ 又 $\alpha \in[0,2 \pi)$,所以 $\alpha \in\left[\frac{\pi}{2}, \pi\right]$, 故选 B.

## 【答案】 B
题目（高二 · 度量几何学）：若 $\alpha 、 \beta$ 均为锐角, $\sin \alpha=\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \sin (\alpha+\beta)=\frac{3}{5}$, 则 $\cos \beta$ 等于导学号 14434996 ( B )
选项：
A. $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
   B. $\frac{2 \sqrt{5}}{25}$
   C. $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 或 $\frac{2 \sqrt{5}}{25}$
   D. $-\frac{2 \sqrt{5}}{25}$
答案：B
解析：[解析] $\because \alpha$ 与 $\beta$ 均为锐角, 且 $\sin \alpha=\frac{2 \sqrt{5}}{5}>\sin (\alpha+\beta)=\frac{3}{5}, \therefore \alpha+\beta$ 为钝角,

又由 $\sin (\alpha+\beta)=\frac{3}{5}$ 得, $\cos (\alpha+\beta)=-\frac{4}{5}$,

由 $\sin \alpha=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 得, $\cos \alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}$,

$\therefore \cos \beta=\cos [(\alpha+\beta)-\alpha]=\cos (\alpha+\beta) \cos \alpha+\sin (\alpha+\beta) \sin \alpha=-\frac{4}{5} \times \frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{3}{5} \times \frac{2 \sqrt{5}}{5}=\frac{2 \sqrt{5}}{25}$, 故选 B.
题目（高二 · 度量几何学）：已知角 $\alpha$ 终边上异于原点的一点 $P$ 且 $|P O|=r$, 则点 $P$ 的坐标为 $(\quad)$
选项：
A. $P(\sin \alpha, \cos \alpha)$
   B. $P(\cos \alpha, \sin \alpha)$
   C. $P(r \sin \alpha, r \cos \alpha)$
   D. $P(r \cos \alpha, r \sin \alpha)$
答案：D
解析：设 $P(x, y)$, 则 $\sin \alpha=\frac{y}{r}, \therefore y=r \sin \alpha$, 又 $\cos \alpha=\frac{x}{r}, x=r \cos \alpha, \therefore P(r \cos \alpha, r \sin \alpha)$, 故选 D.

【答案】 $\mathrm{D}$
题目（高二 · 度量几何学）：在 $[0,2 \pi]$ 内, 不等式 $\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的解集是( )
选项：
A. $(0, \pi)$
   B. $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{4 \pi}{3}\right)$
   C. $\left(\frac{4 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right)$
   D. $\left(\frac{5 \pi}{3}, 2 \pi\right)$
答案：C
解析：画出 $y=\sin x, x \in[0,2 \pi]$ 的草图如下:

因为 $\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,

所以 $\sin \left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$,

$\sin \left(2 \pi-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

即在 $[0,2 \pi]$ 内, 满足 $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的是 $x=\frac{4 \pi}{3}$ 或 $x=\frac{5 \pi}{3}$. 可知不等式 $\sin x<-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的解集是 $\left(\frac{4 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}\right)$.

## 【答案】C
题目（高二 · 度量几何学）：10.关于函数 $f(x)=4 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$

$(x \in \mathbf{R})$, 有下列命题:

(1)函数 $y=f(x)$ 的表达式可改写为 $y=4 \cos \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$;

(2)函数 $y=f(x)$ 是以 $2 \pi$ 为最小正周期的周期函数;

(3)函数 $y=f(x)$ 的图象关于点 $\left(-\frac{\pi}{6}, 0\right)$ 对称;

(4)函数 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=-\frac{\pi}{6}$ 对称.

其中正确的是( )
选项：
A. (2)(3)
B. (1)(3)
C. (1)(4)
D. (2)(4)
答案：B
解析：$f(x)=4 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)=4 \cos \left[\frac{\pi}{2}-\left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)\right]$

$=4 \cos \left(\frac{\pi}{6}-2 x\right)=4 \cos \left(2 x-\frac{\pi}{6}\right)$,

故(1)正确;

函数 $f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$, 故(2)错误;

由 $f\left(-\frac{\pi}{6}\right)=4 \sin \left[2 \times\left(-\frac{\pi}{6}\right)+\frac{\pi}{3}\right]=0$,

知函数 $y=f(x)$ 的图象关于点 $\left(-\frac{\pi}{6}, 0\right)$ 对称,

不关于直线 $x=-\frac{\pi}{6}$ 对称，

故(3)正确, (4)错误。

## 【答案】 B
题目（高二 · 度量几何学）：下列关系式中正确的是( )
选项：
A. $\sin 11^{\circ}<\cos 10^{\circ}<\sin 168^{\circ}$
   B. $\sin 168^{\circ}<\sin 11^{\circ}<\cos 10^{\circ}$
   C. $\sin 11^{\circ}<\sin 168^{\circ}<\cos 10^{\circ}$
   D. $\sin 168^{\circ}<\cos 10^{\circ}<\sin 11^{\circ}$
答案：C
解析：由诱导公式, 得 $\cos 10^{\circ}=\sin 80^{\circ}, \sin 168^{\circ}=\sin \left(180^{\circ}-12^{\circ}\right)=\sin 12^{\circ}$, 由正弦函数 $y=\sin x$在 $\left[0^{\circ}, 90^{\circ}\right]$ 上是单调递增的, 所以 $\sin 11^{\circ}<\sin 12^{\circ}<\sin 80^{\circ}$, 即 $\sin 11^{\circ}<\sin 168^{\circ}<\cos 10^{\circ}$. 故选 C.

【答案】 C
题目（高二 · 度量几何学）：如图 1-6-9 所示, 有一广告气球, 直径为 $6 \mathrm{~m}$, 放在公司大楼上空, 当行人仰望气球中心的仰角 $\angle B A C$ $=30^{\circ}$ 时, 测得气球的视角为 $2^{\circ}$ (若 $\beta$ 很小时, 可取 $\left.\sin \beta \approx \beta\right)$, 试估算该气球的高 $B C$ 的值约为 (图 1-6-9
选项：
A. $70 \mathrm{~m}$B. $86 \mathrm{~m}$C. $102 \mathrm{~m}$D. $118 \mathrm{~m}$
答案：B
解析：假设气球到人的距离 $A C$ 为 $s$,$\therefore 6=s \times \sin 2^{\circ}=s \times 2 \times \frac{2 \pi}{360}$,$\therefore s \approx 171.887 \mathrm{~m}$,$\therefore h=B C=s \times \sin 30^{\circ}=85.94 \mathrm{~m} \approx 86 \mathrm{~m}$.
题目（高二 · 度量几何学）：已知 $\cos \left(60^{\circ}+\alpha\right)=\frac{1}{3}$, 且 $-180^{\circ}<\alpha<-90^{\circ}$,则 $\cos \left(30^{\circ}-\alpha\right)$ 的值为 $(\quad)$\n
选项：
A. $-\frac{2 \sqrt{2}}{3}$
B. $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$
C. $-\frac{\sqrt{2}}{3}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{3}$
答案：A
解析：由 $-180^{\circ}<\alpha<-90^{\circ}$, 得 $-120^{\circ}<60^{\circ}+\alpha<-30^{\circ}$. 又 $\cos \left(60^{\circ}+\alpha\right)=\frac{1}{3}>0$, 所以 $-90^{\circ}<60^{\circ}+\alpha<-30^{\circ}$,即 $-150^{\circ}<\alpha<-90^{\circ}$, 所以 $120^{\circ}<30^{\circ}-\alpha<180^{\circ}, \cos \left(30^{\circ}-\alpha\right)<0$, 所以 $\cos \left(30^{\circ}-\alpha\right)=\sin \left(60^{\circ}+\alpha\right)=-$ $\sqrt{1-\cos ^{2}\left(60^{\circ}+\alpha\right)}=-\sqrt{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{2}}=-\frac{2 \sqrt{2}}{3}$.\n\n答案: A\n\n
题目（高二 · 度量几何学）：如果 $\cos (\pi+A)=-\frac{1}{2}$, 那么 $\sin \left(\frac{\pi}{2}+A\right)$ 等于 $(\quad)$
选项：
A. $-\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $-\frac{\sqrt{3}}{2} \quad$ D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
答案：B
解析：解析: $\cos (\pi+A)=-\cos A=-\frac{1}{2}$,

$\therefore \cos A=\frac{1}{2}$,

$\therefore \sin \left(\frac{\pi}{2}+A\right)=\cos A=\frac{1}{2}$.

答案: B
题目（高二 · 度量几何学）：若 $\sin (\pi+\alpha)+\cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-m$, 则 $\cos \left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right)+2 \sin (6 \pi-\alpha)$ 的值为 ( )
选项：
A. $-\frac{2}{3} m$
   B. $-\frac{3}{2} m$
   C. $\frac{2}{3} m$
   D. $\frac{3}{2} m$
答案：B
解析：解析: $\because \sin (\pi+\alpha)+\cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-m$,

即 $-\sin \alpha-\sin \alpha=-2 \sin \alpha=-m$ ，从而 $\sin \alpha=\frac{m}{2}$,

$\therefore \cos \left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right)+2 \sin (6 \pi-\alpha)=-\sin \alpha-2 \sin \alpha=-3 \sin \alpha=-\frac{3}{2} m$.

答案: B
题目（高二 · 度量几何学）：若 $\alpha, \beta$ 均为锐角, $\sin \alpha=\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \sin (\alpha+\beta)=\frac{3}{5}$, 则 $\cos \beta=$
选项：
A. $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
   B. $\frac{2 \sqrt{5}}{25}$
   C. $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ 或 $\frac{2 \sqrt{5}}{25}$
   D. $-\frac{2 \sqrt{5}}{25}$
答案：B
解析：$\because \alpha$ 为锐角, $\sin \alpha=\frac{2 \sqrt{5}}{5}>\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{~s}, \therefore \alpha>45^{\circ}$ 且 $\cos \alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}$,
   $\because \sin (\alpha+\beta)=\frac{3}{5}$, 且 $\frac{1}{2}<\frac{3}{5}<\frac{\sqrt{2}}{2}, \therefore \frac{\pi}{2}<\alpha+\beta<\pi$,

$\therefore \cos (\alpha+\beta)=-\frac{4}{5}$, 则 $\cos \beta=\cos [(\alpha+\beta)-\alpha]=\cos (\alpha+\beta) \cos \alpha+\sin (\alpha+\beta)$

$\sin \alpha=-\frac{4}{5} \times \frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{3}{5} \times \frac{2 \sqrt{5}}{5}=\frac{2 \sqrt{5}}{25}$. 故选 B.
题目（高二 · 度量几何学）：(2014$\cdot$福建) 设 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 分别为圆 $\mathrm{x}^{2}+(\mathrm{y}-6)^{2}=2$ 和粗圆 ${ }^{\frac{x^{2}}{10}}+\mathrm{y}^{2}=1$ 上的点, 则 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 两点间的最大距离是 ( )
选项：
A. $5 \sqrt{2}$
B. $\sqrt{4 \epsilon_{+}}+\sqrt{2}$
C. $7+\sqrt{2}$
D. $6 \quad \sqrt{2}$
答案：D
解析：答案:D

【解析】【解答】解：设椭圆上的点为 $(\mathrm{x}, \mathrm{y})$ ，则

$\because$ 圆 $x^{2}+(y-6)^{2}=2$ 的圆心为 $(0,6)$, 半径为 $\sqrt{2}$,

$\therefore$ 椭圆上的点 $(x, y)$ 到圆心 $(0,6)$ 的距离为 $\sqrt{x^{2}+(y-6)^{2}}=\sqrt{10\left(1-y^{2}\right)+(y-6)^{2}}=$
$\sqrt{-9\left(y+\frac{2}{3}\right)^{2}+50} \leq 5 \sqrt{2}$,

$\therefore \mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 两点间的最大距离是 $5 \sqrt{2}+\mathrm{v}=6 \sqrt{2}$.

故选: D.

【分析】求出粗圆上的点与圆心的最大距离, 加上半径, 即可得出 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 两点间的最大距离.二、填空题
题目（高二 · 度量几何学）： $=90^{\circ}, 	riangle F_{1} P F_{2}$ 面积是 9, 则 $a+b=(\quad)$
选项：
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
答案：D
解析：答案：D

【解析】由双曲线焦点三角形面积公式得 $b^{2} \cot \frac{90^{\circ}}{2}=9 \therefore b^{2}=9 \therefore c^{2}-a^{2}=9$,

$\because e=\frac{c}{a}=\frac{5}{4} \therefore c=5, a=4, a+b=7$

12. 答案:D

【解析】 $2 b=8: \therefore b=4, A(-3,0), F(5,0)$, 因为 $F$ 到双曲线的渐近线距离为 $b$, 所以 $\odot F$ ： $(x-5)^{2}+y^{2}=16$, 设 $\mathrm{MN}$ 交 $x$ 轴于 $\mathrm{E}$, 则

$F E=\frac{4^{2}}{3+5}=2 \therefore A E=8-2=6, M E^{2}=A E \times E F=12 \therefore M N=2 M E=4 \sqrt{3}$

故答案为: D.

分析 先由虚轴长为 8 得到 $\mathrm{b}$ 的值,由焦点 $\mathrm{F}$ 到双曲线的渐近线距离为 $\mathrm{b}$, 得到圆的方程, 由直线与圆相交的性质求出 FE 和 $\mathrm{AE}$ 的长, 再求 MN.
题目（高二 · 算术）：若 $M=a^{2}+3 a b, \quad N=5 a b-b^{2}$, 则 $M, N$ 的大小关系是 ( )
选项：
A. $M>N$
B. $M \geq N$
C. $M<N$
D. $M \leq N$
答案：B
解析：答案: B

解析: $\because M-N=a^{2}+3 a b-\left(5 a b-b^{2}\right)=a^{2}-2 a b+b^{2}=(a-b)^{2} \geq 0$,

$\therefore M \geq N$, 故选 B.
题目（高二 · 算术）：如果 $a<0, b>0$, 那么, 下列不等式中正确的是 ( )
选项：
A. $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$
B. $\sqrt{-a}<\sqrt{b}$
C. $a^{2}<b^{2}$
D. $|a|>|b|$
答案：A
解析：答案: A
题目（高二 · 算术）：不等式 $x(x-2)<0$ 的解集是 ( )
选项：
A. $(0,2)$
B. $(-\infty, 0) \cup(2,+\infty)$
C. $(-\infty, 0)$
D. $(2,+\infty)$
答案：A
解析：不等式 $x(x-2)<0$ 对应方程的两个实数根是 0 和 $2, \therefore$ 不等式的解集是 $(0,2)$. 故选 A
题目（高二 · 算术）：已知 $a, b>0$, 且 $a b=1$, 则 ( )
选项：
A. $a+b>2$
B. $a+b \geq 2$
C. $a+b<-2$
D. $a+b \leq-2$
答案：B
解析：A. 因为 $a, b>0$, 且 $a b=1$, 则取 $a=b=1$ 可排除 A; $C D$ 取 $a=2, b=\frac{1}{2}$, 可排除 C、D;

B. $a+b=a+\frac{1}{a} \geq 2$, 当且仅当 $a=b=1$ 时取等号.故选: B.
题目（高二 · 算术）：已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式是 $a_{n}=\frac{2 n}{3 n-1}$, 那么这个数列是( )
选项：
A.递增数列
B.递减数列
C.摆动数列
D. 常数列
答案：A
解析：解析: $\because a_{n+1}-a_{n}=\frac{2 n+2}{3 n+4}-\frac{2 n}{3 n-1}=\frac{2}{(3 n+4)(3 n-1)}>0$,

$\therefore a_{n+1}>a_{n}$, 即数列为递增数列. 故选 A.
题目（高二 · 算术）：数列 $\sqrt{2}, \sqrt{5}, 2 \sqrt{2}, \sqrt{11} \cdots$, 的一个通项公式是( )
选项：
A. $a_{n}=\sqrt{3 n-3}$
B. $a_{n}=\sqrt{3 n-1}$
C. $a_{n}=\sqrt{3 n+1}$
D. $a_{n}=\sqrt{3 n+3}$
答案：B
解析：答案: B
题目（高二 · 算术）：数列 $1,1,2,3, x, 8,13,21, \ldots$ 中的 $x$ 的值是 ( )
选项：
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
答案：B
解析：答案: B

解析: 采用归纳猜想寻找规律, $1+1=2,1+2=3, \ldots, 8+13=21$, 所以 $2+3=x$, 所以 $x=5$. 故选 B
题目（高二 · 算术）：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=1$, 以后各项由公式 $a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot \ldots \cdot a_{n}=n^{2}$ 给出, 则 $a_{3}+a_{5}$ 等于 ( )
选项：
A. $\frac{25}{9}$
B. $\frac{25}{16}$
C. $\frac{61}{16}$
D. $\frac{31}{15}$
答案：C
解析：答案: C

解析: $\because a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdots a_{n}=n^{2}$

$\therefore a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3}=32=9$,

$a_{1} \cdot a_{2}=2^{2}=4$,

$\therefore a_{3}=\frac{9}{4}$.

$\therefore a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} a_{4}=4^{2}=16$,

$a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot a_{4} \cdot a_{5}=5^{2}=25$,

$\therefore a_{5}=\frac{25}{16}$,

$\therefore a_{3}+a_{5}=\frac{9}{4}+\frac{25}{16}=\frac{61}{16}$.

故选 C.
题目（高二 · 算术）：数列 $3,5,9,17,33, \cdots$ 的通项公式 $a_{n}$ 等于 ( )
选项：
A. $2^{n}$
B. $2^{n}+1$
C. $2^{n}-1$
D. $2^{n+1}$
答案：B
解析：答案: B
题目（高二 · 算术）：已知数列 $-3,7,-11,15 \ldots$, 则下列选项能表示数列的一个通项公式的是 ( )
选项：
A. $a_{n}=4 n-7$
B. $a_{n}=(-1)^{n}(4 n+1)$
C. $a_{n}=(-1)^{n} \cdot(4 n-1)$
D. $a_{n}=(-1)^{n+1} \cdot(4 n-1)$
答案：C
解析：答案: C

解析:

设此数列为 $\left\{a_{n}\right\}$. 则第 $n$ 项的符号为 $(-1)^{n}$, 其绝对值为: $3,7,11,15, \ldots$, 为等差数列,
$\left|a_{n}\right|=3+4(n-1)=4 n-1$.

$\therefore a_{n}=(-1)^{n} \cdot(4 n-1)$.

故选: C.
题目（高二 · 算术）：设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是任意等差数列, 它的前 $n$ 项和、前 $2 n$ 项和与前 $4 n$ 项和分别为 $X 、 Y 、 Z$, 则下列等式中恒成立的是
选项：
A. $2 X+Z=3 Y$
B. $4 X+Z=4 Y$
C. $2 X+3 Z=7 Y$
D. $8 X+Z=6 Y$
答案：D
解析：设等差数列的前 $3 n$ 项的和为 $R$, 则由等差数列的性质, 可得 $X, Y-X, R-Y, Z-R$成等差数列, 所以 $2(Y-X)=X+(R-Y)$, 解得 $R=3 Y-3 X$, 又因为 $2(R-Y)=$ $(Y-X)+(Z-R)$, 把 $R=3 Y-3 X$ 代入, 得 $8 X+Z=6 Y$, 故选 D.
题目（高二 · 算术）：已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}=2$, 公差 $d \neq 0$, 且 $a_{1}, a_{2}, a_{5}$ 成等比数列, 则 $d=(\quad)$
选项：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：D
解析： $a_{2}=2+d, a_{5}=2+4 d$, 因为 $a_{1}, a_{2}, a_{5}$ 成等比数列, 所以 $(2+d)^{2}=2(2+4 d)$, 解得 $d=4$ 。
题目（高二 · 算术）：设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比 $q=3$, 前 $n$ 和为 $S_{n}$, 则 $\frac{S_{4}}{a_{2}}$ 的值为 （）
选项：
A. $\frac{40}{3}$
B. $\frac{40}{9}$
C. $\frac{13}{3}$
D. 9
答案：A
解析： $\frac{S_{4}}{a_{2}}=\frac{a_{1}\left(1-q^{4}\right)}{1-q} \div a_{1} q=\frac{1-3^{4}}{1-3} \div 3=\frac{40}{3}$, 故选 A.
题目（高二 · 算术）：等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $1, a_{1}, a_{2}, a_{5}$ 成等比数列, 则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 10 项和为
选项：
A. 50
B. -50
C. 45
D. -45
答案：A
解析：依题意, $a_{2}^{2}=a_{1} a_{5},\left(a_{1}+1\right)^{2}=a_{1}\left(a_{1}+4\right)$, 解得 $a_{1}=\frac{1}{2}$, 所以 $S_{10}=10 \times \frac{1}{2}$ $+\frac{10 \times 9}{2} \times 1=50$. 故选 A.
题目（高二 · 算术）：已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 若 $S_{5}=7, S_{10}=21$, 则 $S_{15}=(\quad)$
选项：
A. 35
B. 42
C. 49
D. 63
答案：B
解析：设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d$, 则 $S_{5}=5 a_{1}+10 d=7, S_{10}=10 a_{1}+45 d=21$,解得 $a_{1}=\frac{21}{25}, d=\frac{7}{25}$, 所以 $S_{15}=15 \times \frac{21}{25}+\frac{15 \times 14}{2} \times \frac{7}{25}=42$. 故选 B.
题目（高二 · 算术）：《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》, 是中国古代数学名著, 程大位著. 书中有如下问题: “今有五人均银四十两, 甲得十两四钱, 戊得五两六钱.问：次第均之，乙丙丁各该若干? ”意思是：有 5 人分 40 两银子, 甲分 10 两 4 钱, 戊分 5 两 6 钱, 且相邻两项差相等, 则乙丙丁各分几两几钱?（注: 1 两等于 10 钱）（）
选项：
乙分 8 两, 丙分 8 两, 丁分 8 两
B. 乙分 8 两 2 钱, 丙分 8 两, 丁分 7 两 8 钱
C. 乙分 9 两 2 钱, 丙分 8 两, 丁分 6 两 8 钱D.
D. 乙分 9 两, 丙分 8 两, 丁分 7 两
答案：C
解析：由题意可得甲、乙、丙、丁、戊所得钱数成等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$,

则 $a_{1}=
题目（高二 · 算术）：如果 $b<a<0$, 那么下列不等式成立的是（）
选项：
A. $\log _{2}|b|<\log _{2}|a|$
B. $\left(\frac{1}{2}\right)^{b}<\left(\frac{1}{2}\right)^{a}$
C. $b^{3}>a^{3}$
D. $a b<b^{2}$
答案：D
解析：$\because b<a<0, \therefore \log _{2}|b|>\log _{2}|a|,\left(\frac{1}{2}\right)^{b}>\left(\frac{1}{2}\right)^{a}, \quad b^{3}<a^{3}, a b<b^{2}$, 故选 D。
题目（高二 · 算术）：已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 公差为 -2 , 且 $a_{7}$ 是 $a_{3}$与 $a_{9}$ 的等比中项, 则 $S_{10}$ 的值为 ( )
选项：
A. -110
B. -90
C. 90
D. 110
答案：D
解析： $\because a_{7}$ 是 $a_{3}$ 与 $a_{9}$ 的等比中项, $\therefore a_{7}^{2}=a_{3} a_{9}$,

又数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $-2, \therefore\left(a_{1}-12\right)^{2}=\left(a_{1}-4\right)\left(a_{1}-16\right)$, 解得 $a_{1}=20$,

$\therefore a_{n}=20+(n-1) \times(-2)=22-2 n$,

$\therefore S_{10}=\frac{10\left(a_{1}+a_{10}\right)}{2}=5 \times(20+2)=110$, 故选 D。
题目（高二 · 算术）：在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{3}, a_{9}$ 是方程 $x^{2}+24 x+12=0$ 的两根, 则数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 11 项和等于 ( )
选项：
A. 66
B. 132
C. -66
D. -32
答案：D
解析：因为 $a_{3}, a_{9}$ 是方程 $x^{2}+24 x+12=0$ 的两根, 所以 $a_{3}+a_{9}=-24$,

又 $a_{3}+a_{9}=-24=2 a_{6}$, 所以 $a_{6}=-12, S_{11}=\frac{11 \times\left(a_{1}+a_{11}\right)}{2}=\frac{11 \times 2 a_{6}}{2}=-132$, 故选 D.
题目（高二 · 算术）：在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣, “放牧人粗心大意, 三畜偷偷吃苗青, 苗主扣住牛马羊, 要求赔偿五斗粮, 三畜户主愿赔偿, 牛马羊吃得异样. 马吃了牛的一半, 羊吃了马的一半. ”请问各畜赔多少? 它的大意是放牧人放牧时粗心大意, 牛、马、羊偷吃青苗, 青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食 ( 1 斗 $=10$ 升), 三畜的主人同意赔偿, 但牛、马、羊吃的青苗量各不相同. 马吃的青苗是牛的一半, 羊吃的青苗是马的一半. 问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食?
选项：
A. $\frac{25}{7}, \frac{50}{7}, \frac{100}{7}$
B. $\frac{25}{14}, \frac{25}{7}, \frac{50}{7}$
C. $\frac{100}{7}, \frac{200}{7}, \frac{400}{7}$
D. $\frac{50}{7}, \frac{100}{7}, \frac{200}{7}$
答案：D
解析：设羊户赔粮 $a_{1}$ 升,马户赔粮 $a_{2}$ 升,牛户赔粮 $a_{3}$ 升,则 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 成等比数列,且公比 $q=2, a_{1}+a_{2}+a_{3}=50$, 则 $a_{1}\left(1+q+q^{2}\right)=50$, 故 $a_{1}=\frac{50}{1+2+2^{2}}=\frac{50}{7}, a_{2}=2 a_{1}=\frac{100}{7}, a_{3}=2^{2} a_{1}=\frac{200}{7}$, 故选 D
题目（高二 · 算术）：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和记为 $S_{n}, a_{n+1}=a_{n}-a_{n-1}\left(n \in \mathbf{N}^{*}, n \geq 2\right), a_{1}=2018, a_{2}=2017$, 则 $S_{100}=$
选项：
A. 2016
B. 2017
C. 2018
D. 2019
答案：A
解析：因为 $a_{1}=2018, a_{2}=2017, a_{n+1}=a_{n}-a_{n-1}\left(n \in \mathrm{N}^{*}, n \geq 2\right)$, 所以 $a_{3}=-1, a_{4}=-2018$, $a_{5}=-2017, a_{6}=1, a_{7}=2018, \cdots$, 所以数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是周期数列, 周期为 6 , 因为 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{5}+a_{6}=0$, 所以 $S_{100}=16\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{5}+a_{6}\right)+$ $a_{97}+a_{98}+a_{99}+a_{100}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=2016$. 故选 $\mathrm{A}$.
题目（高二 · 算术）：已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=1, a_{4}=\frac{1}{8}$, 且 $a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\cdots+a_{n} a_{n+1}<k$, 则 $k$ 的取值范围是
选项：
A. $\left[\frac{1}{2}, \frac{2}{3}\right]$
B. $\left[\frac{1}{2},+\infty\right)$
C. $\left[\frac{1}{2}, \frac{2}{3}\right)$
D. $\left[\frac{2}{3},+\infty\right)$
答案：D
解析：设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$, 则 $q^{3}=\frac{a_{4}}{a_{1}}=\frac{1}{8}$, 解得 $q=\frac{1}{2}$, 所以 $a_{n}=\frac{1}{2^{n-1}}$,

所以 $a_{n} a_{n+1}=\frac{1}{2^{n-1}} \times \frac{1}{2^{n}}=\frac{1}{2^{2 n-1}}$, 所以数列 $\left\{a_{n} a_{n+1}\right\}$ 是首项为 $\frac{1}{2}$, 公比为 $\frac{1}{4}$ 的等比数列,

所以 $a_{1} a_{2}+a_{2} a_{3}+\cdots+a_{n} a_{n+1}=\frac{\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{4^{n}}\right)}{1-\frac{1}{4}}=\frac{2}{3}\left(1-\frac{1}{4^{n}}\right)<\frac{2}{3}$, 所以 $k \geq \frac{2}{3}$. 故 $k$ 的取值范围是 $\left[\frac{2}{3},+\infty\right)$. 故选 D.
题目（高二 · 算术）：【2019 年高考全国 I 卷理数】记 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和. 已知 $S_{4}=0, a_{5}=5$, 则 ( )
选项：
A. $a_{n}=2 n-5$
B. $a_{n}=3 n-10$
C. $S_{n}=2 n^{2}-8 n$
D. $S_{n}=\frac{1}{2} n^{2}-2 n$
答案：A
解析：由题知, $\left\{\begin{array}{l}S_{4}=4 a_{1}+\frac{d}{2} \times 4 \times 3=0 \\ a_{5}=a_{1}+4 d=5\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}=-3 \\ d=2\end{array}, \therefore a_{n}=2 n-5, S_{n}=n^{2}-4 n\right.$, 故选 A.
题目（高二 · 算术）：【2019 年高考全国 III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 4 项和为 15 , 且

$$
a_{5}=3 a_{3}+4 a_{1}
$$

则 $a_{3}=(\quad)$
选项：
A. 16
B. 8
C. 4
D. 2
答案：C
解析：设正数的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$, 则 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}+a_{1} q+a_{1} q^{2}+a_{1} q^{3}=15 \\ a_{1} q^{4}=3 a_{1} q^{2}+4 a_{1}\end{array}\right.$,解得 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}=1, \\ q=2\end{array}, \therefore a_{3}=a_{1} q^{2}=4\right.$, 故选 C.
题目（高二 · 算术）：若 $a>b$, 则（）
选项：
A. $\ln (a-b)>0$
B. $3^{a}<3^{b}$
C. $a^{3}-b^{3}>0$
D. $|a|>|b|$
答案：C
解析：取 $a=2, b=1$, 满足 $a>b, \ln (a-b)=0$, 知 $\mathrm{A}$ 错, 排除 $\mathrm{A}$; 因为 $9=3^{a}>3^{b}=3$, 知 $\mathrm{B}$错, 排除 $\mathrm{B}$; 取 $a=1, b=-2$, 满足 $a>b, 1=|a|<|b|=2$, 知 $\mathrm{D}$ 错, 排除 $\mathrm{D}$, 因为幂函数 $y=x^{3}$ 是增函数, $a>b$, 所以 $a^{3}>b^{3}$, 故选 C.