eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（七年级 · 解析几何）：(2021 秋 -道里区期末) 如图, $\angle A O B$ 内有一点 $P$, 过点 $P$ 画 $P C / / O B, P D / / O A, \angle A O B=60^{\circ}$, 则 $\angle C P D$ 的度数为 \$ \qquad \$度.


选项：
答案：60 或 120 .
解析：根据题意补全图形再根据平行线的性质求角的度数即可.

【答案】 解：根据题意作图如下:



由图知, 当 $C$ 点和 $D$ 点在 $P$ 点同侧时 $\angle C P D=\angle A O B=60^{\circ}$,

当 $C$ 点和 $D$ 点分别在 $P$ 点两侧时 $\angle C P D=180^{\circ}-\angle A O B=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$, 故答案为: 60 或 120 .

【点睛】本题主要考查平行线的性质, 熟练掌握平行线的性质是解题的关键.
题目（七年级 · 解析几何）：把一块含有 $45^{\circ}$ 角的直角三角板与两条长边平行的直尺如图放置（直角顶点在直尺的一条长边上). 若 $\angle 1=23^{\circ}$, 则 $\angle 2=$


选项：
答案：68
解析：解: $\because \triangle A B C$ 是含有 $45^{\circ}$ 角的直角三角板,

$\therefore \angle A=\angle C=45^{\circ}$,

$\therefore \angle A G B=\angle C+\angle 1=68^{\circ}$,

$\therefore \angle 2=\angle A G B=68^{\circ} ;$

$\because \angle 1=23^{\circ}$,

$\because E F \| B D$,

故答案为: 68 .
题目（七年级 · 解析几何）：: 如图放置的长方形 $A B C D$ 和等腰直角三角形 $E F G$ 中, $\angle F=90^{\circ}, F E=F G=4 \mathrm{~cm}, A B=2 \mathrm{~cm}$, $A D=4 \mathrm{~cm}$, 且点 $F 、 G 、 D 、 C$ 在同一直线上, 点 $G$ 和点 $D$ 重合, 现将 $\triangle E F G$ 沿射线 $F C$ 向右平移, 当点 $F$ 和点 $D$ 重合时停止移动, 若 $\triangle E F G$ 与长方形重叠部分的面积是 $4 \mathrm{~cm}^{2}$, 则 $\triangle E F G$ 向右平移了 \$ \qquad \$ cm.


选项：
答案：3
解析：解:如图 1 ,



图1
$\because \triangle E F G$ 是等腰直角三角形,

$\therefore \triangle H D G$ 是等腰直角三角形,重合部分为 $\triangle H D G$,

则重合面积 $={ }_{2}^{1} D G^{2}=4$,

解得: $D G^{2}=8$, 而 $D C^{2}=4<D G^{2}$,

故这种情况不成立;

如图 2,



图2

$\because \triangle E F G$ 是等腰直角三角形,

$\therefore \triangle H D G, \triangle C G I$ 是等腰直角三角形, 重合部分为梯形 $H D C I$,

则重合面积 $=S_{\triangle H D G-} S_{\triangle C G I}=\frac{1}{2} D G^{2}-\frac{1}{2} C G^{2}=4$,

即: $: \frac{1}{2} D G^{2}-\frac{1}{2}(D G-2)^{2}=4$,

解得: $D G=3$,

故答案为 3 .

分情况讨论点 $G$ 在 $C$ 点左侧和右侧两种情况, 利用等腰直角三角形面积公式列出等式, 然后求出平移的距离.
题目（七年级 · 解析几何）：已知直线 $A B$ 和一点 $P$, 过点 $P$ 画直线与直线 $A B$ 平行, 可画条.
选项：
答案：0 或 1
解析：$P$ 在直线 $A B$ 上, 则过点 $P$ 与直线 $A B$ 平行的直线有 0 条;

若点 $P$ 在直线 $A B$ 外, 则过点 $P$ 与直线 $A B$ 平行的直线有 1 条.
题目（七年级 · 解析几何）：已知直线 $a / / b, b / / c, a$ 与 $b$ 的距离为 $6 c m, b$ 与 $c$ 的距离为 $2 c m$, 则 $a$ 与 $c$ 的距离为


选项：
答案：$8 \mathrm{~cm}$ 或 $4 \mathrm{~cm}$
解析：如图, (1)直线 $c$ 在 $a 、 b$ 外时,

$\because a$ 与 $b$ 的距离为 $6 \mathrm{~cm}, b$ 与 $c$ 的距离为 $2 \mathrm{~cm}$,

$\therefore a$ 与 $c$ 的距离为 $6+2=8(\mathrm{~cm})$,

(2)直线 $c$ 在直线 $a 、 b$ 之间时，

$\because a$ 与 $b$ 的距离为 $6 \mathrm{~cm}, b$ 与 $c$ 的距离为 $2 \mathrm{~cm}$,

$\therefore a$ 与 $c$ 的距离为 $6-2=4(\mathrm{~cm})$,

综上所述, $a$ 与 $c$ 的距离为 $8 \mathrm{~cm}$ 或 $4 \mathrm{~cm}$.

故答案为: $8 \mathrm{~cm}$ 或 $4 \mathrm{~cm}$.
题目（七年级 · 解析几何）：如图, 直线 $A B, C D$ 被直线 $E F$ 所截, 如果 $\angle 2=100^{\circ}$ ，那么 $\angle 1$ 的同位角等于度.


选项：
答案：80
解析：because \angle 2=100^{\circ}$,

$\therefore \angle 3=180^{\circ}-100^{\circ}=80^{\circ}$,

$\therefore \angle 1$ 的同位角 $\angle 3$ 为 $80^{\circ}$,

故答案为: 80 .
题目（七年级 · 画法几何学）：如图所示, 已知长方形 $\mathrm{ABCD}$ 的长 $\mathrm{AD}=8$, 内有边长相等的小正方形 AIGJ 和小正方形 $\mathrm{ELCK}$,其重叠部分为长方形 $\mathrm{EFGH}$. 设小正方形边长为 $\mathrm{a}$, 则 $\mathrm{EH}$ 的长为 \$ \qquad \$ (用 $\mathrm{a}$ 的代数式表示). 若长方形 $\mathrm{ABCD}$ 的宽 $\mathrm{AB}=6$, 长方形 $\mathrm{EFGH}$ 的周长为 8 , 则图中阴影部分周长和为 . \$ \qquad \$


选项：
答案：$2 \mathrm{a}-8 ; 20$
解析：$\because \mathrm{JD}=\mathrm{AD}-\mathrm{AJ}=8-\mathrm{a}$,

$\therefore E H=E K-H K=E K-J D=a-(8-a)=2 a-8$,

$\therefore$ 阴影部分周长和 $=$ 长方形 $\mathrm{ABCD}$ 的周长-长方形 $\mathrm{EFGH}$ 的周长
$==2(\mathrm{AD}+\mathrm{AB})-8$

$=28-8$

$=20$.

故答案为: $2 \mathrm{a}-8,20$.
题目（七年级 · 画法几何学）：如图, 用数字表示的角中, 同位角有 $a$ 对, 内错角有 $b$ 对,


同旁内角有 $c$ 对, 则 $a b-c=$ $\qquad$ .
选项：
答案：【答案】 9

【解析】解: 同位角有 $\angle 2$ 与 $\angle 5, \angle 3$ 与 $\angle 7, \angle 4$ 与 $\angle 8, \angle 1$ 与 $\angle 6$, 共 4 对, 故 $a=4$,

内错角有 $\angle 8$ 与 $\angle 6, \angle 3$ 与 $\angle 5, \angle 1$ 与 $\angle 4, \angle 2$ 与 $\angle 7$, 共 4 对, 故 $b=4$,
同旁内角有 $\angle 3$ 与 $\angle 8, \angle 1$ 与 $\angle 8, \angle 7$ 与 $\angle 8, \angle 1$ 与 $\angle 7, \angle 2$ 与 $\angle 3, \angle 2$ 与 $\angle 4, \angle 3$ 与 $\angle 4$, 共 7 对,故 $c=7$,

所以 $a b-c=4 \times 4-7=9$, 故答案为 9
解析：【答案】 9

【解析】解: 同位角有 $\angle 2$ 与 $\angle 5, \angle 3$ 与 $\angle 7, \angle 4$ 与 $\angle 8, \angle 1$ 与 $\angle 6$, 共 4 对, 故 $a=4$,

内错角有 $\angle 8$ 与 $\angle 6, \angle 3$ 与 $\angle 5, \angle 1$ 与 $\angle 4, \angle 2$ 与 $\angle 7$, 共 4 对, 故 $b=4$,
同旁内角有 $\angle 3$ 与 $\angle 8, \angle 1$ 与 $\angle 8, \angle 7$ 与 $\angle 8, \angle 1$ 与 $\angle 7, \angle 2$ 与 $\angle 3, \angle 2$ 与 $\angle 4, \angle 3$ 与 $\angle 4$, 共 7 对,故 $c=7$,

所以 $a b-c=4 \times 4-7=9$, 故答案为 9
题目（七年级 · 画法几何学）：如图, 将长方形 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠, 点 $D$ 落在 $A B$ 边上的 $H$ 点处, 点 $C$ 落在点 $G$ 处, 若 $\angle A E H=30^{\circ}$, 则 $\angle E F C$ 等于 $\qquad$ $\therefore$.


选项：
答案：【答案】 105

【解析】解: $\because$ 将长方形 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠, 点 $D$ 落在 $A B$ 边上的 $H$ 点处, 点 $C$ 落在点 $G$ 处,

$\therefore \angle D E F=\angle H E F$,

$\because \angle A E H=30^{\circ}$,

$\therefore \angle D E F=\angle H E F=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle A E H\right)=75^{\circ}$,

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是长方形,

$\therefore A D / / B C$,

$\therefore \angle D E F+\angle E F C=180^{\circ}$,

$\therefore \angle E F C=180^{\circ}-75^{\circ}=105^{\circ}$,

故答案为: 105 .

根据折叠得出 $\angle D E F=\angle H E F$, 求出 $\angle D E F$ 的度数, 根据平行线的性质得出 $\angle D E F+$

$\angle E F C=180^{\circ}$, 代入求出即可.

本题考查了矩形的性质, 平行线的性质, 折叠的性质等知识点, 能求出 $\angle D E F=\angle H E F$ 和 $\angle D E F+\angle E F C=180^{\circ}$ 是解此题的关键.
解析：【答案】 105

【解析】解: $\because$ 将长方形 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠, 点 $D$ 落在 $A B$ 边上的 $H$ 点处, 点 $C$ 落在点 $G$ 处,

$\therefore \angle D E F=\angle H E F$,

$\because \angle A E H=30^{\circ}$,

$\therefore \angle D E F=\angle H E F=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle A E H\right)=75^{\circ}$,

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是长方形,

$\therefore A D / / B C$,

$\therefore \angle D E F+\angle E F C=180^{\circ}$,

$\therefore \angle E F C=180^{\circ}-75^{\circ}=105^{\circ}$,

故答案为: 105 .

根据折叠得出 $\angle D E F=\angle H E F$, 求出 $\angle D E F$ 的度数, 根据平行线的性质得出 $\angle D E F+$

$\angle E F C=180^{\circ}$, 代入求出即可.

本题考查了矩形的性质, 平行线的性质, 折叠的性质等知识点, 能求出 $\angle D E F=\angle H E F$ 和 $\angle D E F+\angle E F C=180^{\circ}$ 是解此题的关键.
题目（七年级 · 画法几何学）：将一副三角板按如图所示放置, 有下列结论:

(1) $\angle 1=\angle 3$;

(2)如果 $\angle 2=30^{\circ}$, 则有 $A C / / D E$;

(3)如果 $\angle 2=30^{\circ}$, 则有 $B C / / A D$;

(4)如果 $\angle 2=30^{\circ}$, 必有 $\angle 4=\angle C$.

其中正确的有 $\qquad$ . (填序号)


选项：
答案：【答案】(1)(2)

【解析】

【分析】

此题主要考查学生对平行线判定与性质、余角和补角的理解和掌握, 解答此题时要明确两种三角板各角的度数. 根据两种三角板的各角的度数, 利用平行线的判定与性质结合已知条件对各个结论逐一验证, 即可得出答案.

【解答】

解: (1) $\because \angle C A B=\angle E A D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle 1=\angle C A B-\angle 2, \angle 3=\angle E A D-\angle 2$,

$\therefore \angle 1=\angle 3$.

$\therefore$ (1)正确.

(2) $\because \angle 2=30^{\circ}$,

$\therefore \angle 1=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$,

$\because \angle E=60^{\circ}$,

$\therefore \angle 1=\angle E$,

$\therefore A C / / D E$.

$\therefore$ (2)正确.

(3) $\because \angle 2=30^{\circ}$,

$\therefore \angle 3=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$,

$\because \angle B=45^{\circ}$,

$\therefore B C$ 不平行于 $A D$.

$\therefore$ (3)错误.

(4)由(2)得 $A C / / D E$.

$\therefore \angle 4=\angle C$.

$\therefore$ (4)正确.

故答案为(1)(2).
解析：【答案】(1)(2)

【解析】

【分析】

此题主要考查学生对平行线判定与性质、余角和补角的理解和掌握, 解答此题时要明确两种三角板各角的度数. 根据两种三角板的各角的度数, 利用平行线的判定与性质结合已知条件对各个结论逐一验证, 即可得出答案.

【解答】

解: (1) $\because \angle C A B=\angle E A D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle 1=\angle C A B-\angle 2, \angle 3=\angle E A D-\angle 2$,

$\therefore \angle 1=\angle 3$.

$\therefore$ (1)正确.

(2) $\because \angle 2=30^{\circ}$,

$\therefore \angle 1=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$,

$\because \angle E=60^{\circ}$,

$\therefore \angle 1=\angle E$,

$\therefore A C / / D E$.

$\therefore$ (2)正确.

(3) $\because \angle 2=30^{\circ}$,

$\therefore \angle 3=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$,

$\because \angle B=45^{\circ}$,

$\therefore B C$ 不平行于 $A D$.

$\therefore$ (3)错误.

(4)由(2)得 $A C / / D E$.

$\therefore \angle 4=\angle C$.

$\therefore$ (4)正确.

故答案为(1)(2).
题目（七年级 · 画法几何学）：（2021 春・奉化区校级期末）如图, 点 $E$ 在 $A D$ 的延长线上, 下列四个条件: (1) $\angle 1=\angle 2$; (2) $\angle C+\angle$ $A B C=180^{\circ}$; (3) $\angle C=\angle C D E ;$ (4) $\angle 3=\angle 4$, 能判断 $A B / / C D$ 的是 \$ \qquad \$ （填序号）.


选项：
答案：1 春・奉化区校级期末）如图, 点 $E$ 在 $A D$ 的延长线上, 下列四个条件: (1) $\angle 1=\angle 2$; (2) $\angle C+\angle$ $A B C=180^{\circ}$; (3) $\angle C=\angle C D E ;$ (4) $\angle 3=\angle 4$, 能判断 $A B / / C D$ 的是 \$ \qquad \$ （填序号）.

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【思路点拨】根据平行线的判定方法一一判断即可.

【答案】解: (1) $\angle 1=\angle 2$, 可以判定 $A B / / C D$.

(2) 由 $\angle C+\angle A B C=180^{\circ}$, 可以判定 $A B / / C D$. (3) 由 $\angle C=\angle C D E$, 可以判定 $B C / / A D$.

(4)由 $\angle 3=\angle 4$, 可以判定 $B C / / A D$. 故答案为(1)(2).
解析：根据平行线的判定方法一一判断即可.

【答案】解: (1) $\angle 1=\angle 2$, 可以判定 $A B / / C D$.

(2) 由 $\angle C+\angle A B C=180^{\circ}$, 可以判定 $A B / / C D$. (3) 由 $\angle C=\angle C D E$, 可以判定 $B C / / A D$.

(4)由 $\angle 3=\angle 4$, 可以判定 $B C / / A D$. 故答案为(1)(2).

【点睛】本题考查平行线的判定, 解题的关键是熟练掌握基本知识, 属于中考常考题型.
题目（七年级 · 画法几何学）：(2021・青羊区期末) 如图, 将长方形 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠, 点 $D$ 落在 $A B$ 边上的 $H$ 点处, 点 $C$ 落在点 $G$处, 若 $\angle A E H=30^{\circ}$, 则 $\angle E F C$ 等于


选项：
答案：105 .
解析：根据折叠得出 $\angle D E F=\angle H E F$, 求出 $\angle D E F$ 的度数, 根据平行线的性质得出 $\angle D E F+\angle E F C=$ $180^{\circ}$, 代入求出即可.

【答案】解: $\because$ 将长方形 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠, 点 $D$ 落在 $A B$ 边上的 $H$ 点处, 点 $C$ 落在点 $G$ 处, $\therefore \angle D E F=\angle H E F, \because \angle A E H=30^{\circ}, \therefore \angle D E F=\angle H E F=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle A E H\right)=75^{\circ}$,

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是长方形, $\therefore A D / / B C, \therefore \angle D E F+\angle E F C=180^{\circ}$,

$\therefore \angle E F C=180^{\circ}-75^{\circ}=105^{\circ}$, 故答案为: 105 .

【点睛】本题考查了矩形的性质, 平行线的性质, 折叠的性质等知识点, 能求出 $\angle D E F=\angle H E F$ 和 $\angle D E F+$ $\angle E F C=180^{\circ}$ 是解此题的关键.
题目（七年级 · 画法几何学）：如图, 将一条两边平行的纸带折叠, 当 $\angle 2=80^{\circ}$, 则 $\angle 1=$


选项：
答案：$70^{\circ}$
解析：如图，

$\therefore \angle 3=\angle 2=80^{\circ}$,

下两边互相平行的纸带折叠



$\therefore \angle 4=\angle 3=80^{\circ}$,

$\therefore \angle 5=360^{\circ}-90^{\circ}-80^{\circ} \times 2=110^{\circ}$,

$\therefore \angle 1=180^{\circ}-110^{\circ}=70^{\circ}$.

故答案为: $70^{\circ}$.

利用平行线的性质以及翻折不变性解决问题即可.
题目（七年级 · 画法几何学）：如图, 点 $I$ 为 $\triangle A B C$ 角平分线交点, $A B=8, A C=6, B C=4$, 将 $\angle A C B$ 平移使其顶点 $C$ 与 $I$ 重合,


则图中阴影部分的周长为
选项：
答案：8
解析：解:如图, 连接 $A I, B I$,

$\triangle A B C$ 角平分线交点,

别平分 $\angle C A B$ 和 $\angle C B A$,

$\therefore \angle C A I=\angle D A I, \angle C B I=\angle E B I$,



平移, 使其顶点与点 $I$ 重合,

$\therefore D I\|A C, E I\| B C$,

$\therefore \angle C A I=\angle D I A, \angle C B I=\angle E I B$,

$\therefore \angle D A I=\angle D I A, \angle E B I=\angle E I B$,

$\therefore D A=D I, E B=E I$,

$\therefore D E+D I+E I=D E+D A+E B=A B=8$.

即图中阴影部分的周长为 8.
题目（七年级 · 画法几何学）：边长为 3 的等边 $\triangle A B C$ 与等边 $\triangle D E F$ 互相重合, 将 $\triangle A B C$ 沿直线 $l$ 向左平移 $m$ 个单位长度, 将 $\triangle D E F$向右也平移 $m$ 个单位长度, 如图, 当 $C, E$ 是线段 $B F$ 的三等分点时, $m$ 的值为


选项：
答案：3 或 $\frac{3}{4}$
解析：本题考查了平移的性质, 根据对应点 $C 、 F$ 间的距离列出方程是解题的关键, 难点在于要分情况讨论. 分点 $E$ 在 $B C$ 上和点 $E$ 在 $B C$ 外两种情况, 根据点 $C 、 F$ 之间的距离列出方程求解即可.
解: (1)如图 1, 点 $E$ 在 $B C$ 上时, $\because \triangle A B C$ 沿直线 $L$ 向左平移 $m$ 个单位长度, 将 $\triangle D E F$ 向右也平移 $m$ 个单位长度,

$\therefore$ 点 $C 、 F$ 之间的距离等于 $1.5 m$,

段 $B F$ 的三等分点，

解得 $m=\frac{3}{4}$,

$E$ 在 $B C$ 外时,



图1 $\because C 、 E$ 是线 $\therefore 2 m=\frac{3}{2}$,

(2)如图 2 , 点 $\because \triangle A B C$ 沿直

线 $L$ 向左平移 $m$ 个单位长度, 将 $\triangle D E F$ 向右也平移 $m$ 个单位长度,

$\therefore$ 点 $C 、 F$ 之间的距离等于 $6 m$,

$\because C 、 E$ 是线段 $B F$ 的三等分点，

$\therefore 2 m=6$,

解得 $m=3$,

述, $m$ 的值为 3 或 $\frac{3}{4}$.

为: 3 或 $\frac{3}{4}$.



综上所故答案
题目（七年级 · 画法几何学）：如图, 将一张长方形纸片 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠, 使顶点 $C, D$ 分别落在点 $C^{\prime}, D^{\prime}$ 处, $C^{\prime} E$ 交 $A F$ 于点
$G ，$ 若 $\angle B E C^{\prime}=45^{\circ} ，$ 则 $\angle G F E=$ \$ \qquad \$


选项：
答案：$67.5^{\circ}$
解析：由折叠可知: $\angle C E F=\angle C^{\prime} E F$,

$\because \angle B E C^{\prime}=45^{\circ}$,

$\therefore \angle C E F=\angle C^{\prime} E F=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-45^{\circ}\right)=67.5^{\circ}$,
$\because$ 长方形纸片 $A B C D$,

$\therefore A D / / B C$,

$\therefore \angle G F E=\angle C E F=67.5^{\circ}$.

故答案为: $67.5^{\circ}$.
题目（七年级 · 画法几何学）：如图, 某宾馆在重新装修后, 准备在大厅的楼梯上铺上某种规格红色地毯, 其侧面如图所示, 则至少需要购买地毯 \$ \qquad \$米.


选项：
答案：8.4
解析：如图, 利用平移线段, 把楼梯的横坚向上向左平移, 构成一个矩形,

长宽分别为 5.8 米, 2.6 米,

$\therefore$ :地毯的长度为 $2.6+5.8=8.4$ 米.



故答案为: 8.4
题目（七年级 · 画法几何学）：工人师傅做一个如图所示的零件, 形状近似 “ $V$ ” 形, 他先把材料弯成了一个 $45^{\circ}$ 的锐角, 然后准备在 $A$ 处第二次加工拐弯, 请你帮他计算一下, 他应该弯度，才能保证弯过来的部分与 $B C$ 保持平行.


选项：
答案：135 或 45
解析：如图 1 , 作 $A E / / B C$,



图1

则 $\angle C B A=\angle E A B=45^{\circ}$;

如图 2, 作 $A E / / B C$,



图2

则 $\angle C B A+\angle E A B=180^{\circ}$,

$\because \angle C B A=45^{\circ}$,

$\therefore \angle E A B=135^{\circ}$,

故答案为 45 或 135 .
题目（七年级 · 变换几何）：如图, $A B C D$ 为一长条形纸带, $A B / / C D$, 将 $A B C D$ 沿 $E F$

折叠, $A 、 D$ 两点分别与 $A^{\prime} 、 D^{\prime}$ 对应若 $\angle 1=50^{\circ}$, 则 $\angle 2=$ $\qquad$ .


选项：
答案：【答案】 $65^{\circ}$

解: $\because \angle 1=50^{\circ}$,

$\therefore \angle A E A^{\prime}=130^{\circ}$,

由折叠可得: $\angle A E F=65^{\circ}$,

又 $\because A B / / C D$,

$\therefore \angle 2=\angle A E F=65^{\circ}$,

故答案为 $65^{\circ}$.
解析：【答案】 $65^{\circ}$

解: $\because \angle 1=50^{\circ}$,

$\therefore \angle A E A^{\prime}=130^{\circ}$,

由折叠可得: $\angle A E F=65^{\circ}$,

又 $\because A B / / C D$,

$\therefore \angle 2=\angle A E F=65^{\circ}$,

故答案为 $65^{\circ}$.
题目（七年级 · 变换几何）：（2021-四川宜宾市$\cdot$七年级期末）把三角板 $A B C$ 按如图所示的位置放置, 已知 $\angle C A B=30^{\circ}$, $\angle C=90^{\circ}$, 过三角板的顶点 $A 、 B$ 分别作直线 $A D 、 B E$, 且 $A D / / B E, \angle D A E=120^{\circ}$. 给出以下结论: (1) $\angle 1+\angle 2=90^{\circ}$; (2) $\angle 2=\angle E A B$; (3) $C A$ 平分 $\angle D A B$. 其中正确结论有 (填序号)


选项：
答案：（1） (2).
解析：(1) (2)

【分析】根据 $A D / / B E$ 和 $\angle B A C+\angle A B C=90^{\circ}$ 易证 $\angle 1+\angle 2=90^{\circ}$, 故（1）正确. 再由角的等量
关系可知 $\angle B A E=90^{\circ}-\angle 1$, 即证明出 $\angle B A E=\angle 2$. 故 (2) 正确. 根据 $\angle 1$ 的大小随 $\angle B A E$ 的大小变化而变化, 而 $\angle C A B=30^{\circ}$ 固定, 所以 $\mathrm{CA}$ 不一定平分 $\angle D A B$. 故 (3) 错误. 即可选出结果.

【详解】 $\because A D / / B E, \quad \therefore(\angle 1+\angle B A C)+(\angle 2+\angle A B C)=180^{\circ}$.

$\because \angle B A C+\angle A B C=90^{\circ} . \therefore \angle 1+\angle 2=90^{\circ}$, 故（1）正确.

$\because \angle B A E=\angle D A E-\angle C A B-\angle 1=120^{\circ}-30^{\circ}-\angle 1=90^{\circ}-\angle 1$,

$\because \angle 1+\angle 2=90^{\circ}, \therefore \angle B A E=90^{\circ}-\left(90^{\circ}-\angle 2\right)=\angle 2$. 故（2）正确.

$\because \angle 1=\angle D A E-\angle C A B-\angle B A E=120^{\circ}-30^{\circ}-\angle B A E=90^{\circ}-\angle B A E$,

$\therefore \angle 1$ 的大小随 $\angle B A E$ 的大小变化而变化,

$\because \angle C A B=30^{\circ}$ 固定, $\therefore \mathrm{CA}$ 不一定平分 $\angle D A B$ ，故（3）错误．综上，故答案为:（1） (2).

【点睛】本题考查平行线的性质、余角以及判断角平分线. 根据平行线的性质与余角得出角之间的数量关系是解答本题的关键.
题目（七年级 · 变换几何）：（2021 春・龙湖区期末）如图, 将长为 $5 \mathrm{~cm}$, 宽为 $3 \mathrm{~cm}$ 的长方形 $A B C D$ 先向右平移 $2 \mathrm{~cm}$, 再向下平移 $1 \mathrm{~cm}$, 得到长方形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$, 则阴影部分的面积为 \$ \qquad \$ $\mathrm{cm}^{2}$.


选项：
答案：1 春・龙湖区期末）如图, 将长为 $5 \mathrm{~cm}$, 宽为 $3 \mathrm{~cm}$ 的长方形 $A B C D$ 先向右平移 $2 \mathrm{~cm}$, 再向下平移 $1 \mathrm{~cm}$, 得到长方形 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$, 则阴影部分的面积为 \$ \qquad \$ $\mathrm{cm}^{2}$.

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【思路点拨】利用平移的性质求出阴影部分矩形的长, 宽即可解决问题.

【答案】解: 由题意, 阴影部分是矩形, 长为 $5-2=3(\mathrm{~cm})$ ，宽为 $3-1=2(\mathrm{~cm})$,

$\therefore$ 阴影部分的面积 $=2 \times 3=6\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$, 故答案为 6 .
解析：利用平移的性质求出阴影部分矩形的长, 宽即可解决问题.

【答案】解: 由题意, 阴影部分是矩形, 长为 $5-2=3(\mathrm{~cm})$ ，宽为 $3-1=2(\mathrm{~cm})$,

$\therefore$ 阴影部分的面积 $=2 \times 3=6\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$, 故答案为 6 .

【点睛】本题考查平移的性质, 矩形的性质等知识, 解题的关键是理解题意, 灵活运用所学知识解决问题.
题目（七年级 · 变换几何）：在一个扇形统计图中, 表示种植苹果树面积的扇形的圆心角为 $108^{\circ}$, 那么苹果树面积占总种植面积的 \$ \qquad \$ .

选项：
答案： $30 \%$


解析： $\because 108 \div 360=0.3$,

$\therefore$ :苹果树面积占总种植面积的 $30 \%$.

故答案为: $30 \%$
题目（九年级 · 度量几何学）：(本题3分)(2021$cdot$浙江$cdot$九年级期末)如图1,是某隧道的入口,它的截面如图2所示,是由$APB$和$RtangleACB$围成,且点$C$也在$APB$所在的圆上,已知$AC=4m$,隧道的最高点$P$离路面$BC$的距离$DP=7m$,则该道路的路面宽$BC=$$m;$在$APB$上,离地面相同高度的两点$E,F$装有两排照明灯,若$E$是$AP$的中点,则这两排照明灯离地面的高度是$m$$qquad$(图1)(图2)
选项：
答案：$2sqrt{21}quadfrac{sqrt{70}}{2}+2$
解析：【分析】先求得圆心的位置,根据垂径定理得到$AM=CM=2$,即可求得半径为5,根据勾股定理即可求得$CD$,进而求得$BC$,根据勾股定理求得$PA$,从而以及垂径定理求得$PN$,利用勾股定理求得$ON$,通过证得$triangleEOKcongtriangleOPN$求得$EK=ON$,进一步即可求得$EQ$.【详解】解:作$AC$的垂直平分线$OM$,交$PD$于$O$,交$AC$于$M$,则$O$是圆心,连接$OC$,$thereforeOD=MC=frac{1}{2}AC=2{~cm}$,$becausePD=7{~cm}$,$therefore$圆的半径为$7-2=5({~cm})$,$thereforeCD=sqrt{OC^{2}-OD^{2}}=sqrt{5^{2}-2^{2}}=sqrt{21}({~cm})$,$thereforeBC=2CD=2sqrt{21}{~cm}$,连接$PA、OE$交于$N$,作$AHperpPD$于$H,EQperpBC$于$Q$,$becausePD=7{~cm},DH=AC=4{~cm}$,$thereforePH=7-4=3({~cm})$,$becauseAH=CD=sqrt{21}{~cm}$,$thereforePA=sqrt{AH^{2}+PH^{2}}=sqrt{30}({~cm})$,$becauseE$是$AP$的中点,$thereforeOE$垂直平分$PA$,$thereforePN=frac{sqrt{30}}{2}{~cm}$,$thereforeON=sqrt{OP^{2}-PN^{2}}=sqrt{5^{2}-left(frac{sqrt{30}}{2}right)^{2}}=frac{sqrt{70}}{2}$,$becauseEQ//PD$,$thereforeangleOEK=angleEOP$在$triangleEOK$和$triangleOPN$中,$left{begin{array}{l}angleOEK=anglePONangleEKO=angleONP=90^{circ},EO=POend{array}right.$$thereforetriangleEOKcongtriangleOPN(AAS)$$thereforeEK=ON=frac{sqrt{70}}{2}$,$thereforeEQ=EK+KQ=left(frac{sqrt{70}}{2}+2right)({cm})$,故答案为$2sqrt{21},left(frac{sqrt{70}}{2}+2right)$.【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，三角形求得(图2)的判定和性质,作出辅助线构建直角三角形是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：(本题3分)(2022$cdot$浙江杭州$cdot$九年级期末)$triangle{ABC}$的三边长分别为$6,8,10$,则$triangle{ABC}$的外接圆的半径为
选项：
答案：5
解析：【分析】利用勾股定理的逆定理可判断出$Delta{ABC}$是直角三角形,再根据直角三角形的外心是直角三角形斜边的中点即可求出半径.【详解】解:$because6^{2}+8^{2}=10^{2}$$thereforetriangle{ABC}$是直角三角形,$thereforetriangle{ABC}$的外接圆的半径$=frac{1}{2}$斜边$=5$故答案为5,【点睛】此题考查的是直角三角形的外接圆的半径,掌握勾股定理的逆定理、直角三角形的外心位置和半径等于斜边的一半是解决此题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：(本题3分)(2022浙江丽水$cdot$九年级期末)如图,$AB$是半圆$O$的直径,点$C,D$在半圆上,若$angleD=120^{circ}$,则$angleB$的度数是$qquad$
选项：
答案：$60^{circ}$
解析：【分析】根据圆内接四边形的性质,对角之和等于$180^{circ}$即可求解.【详解】解：根据圆内接四边形的性质，对角之和等于$180^{circ}$,$thereforeangleD+angleB=180^{circ}$,$thereforeangleB=180^{circ}-120^{circ}=60^{circ}$,故答案为:$60^{circ}$。【点睛】本题考查了圆周角定理,解题的关键是掌握圆周角定理.
题目（九年级 · 度量几何学）：(本题3分)（2021$cdot$浙江$cdot$温州外国语学校二模）已知一扇形的半径长是2.圆心角为$150^{circ}$,则这个扇形某工厂4月份生产的某种产品检测的弧长为$qquad$.
选项：
答案：$frac{5}{3}pifrac{5pi}{3}$
解析：【分析】利用弧长公式进行计算即可.【详解】解:由题意得,弧长为$frac{150}{180}times2timespi=frac{5}{3}pi$,故答案为:$frac{5}{3}pi$.【点睛】本题主要考查的是利用圆心角及半径求弧长,掌握弧长公式是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：(本题3分)(2021$cdot$浙江杭州$cdot$九年级阶段练习)如图所示,$AB$是$odotO$的直径,$BC=CD=DE,angleCOD=34^{circ}$,则$angleAEO$的度数为
选项：
答案：$51^{circ}51$度
解析：【分析】由$BC=CD=DE$,可求得$angleBOC=angleEOD=angleCOD=34^{circ}$,继而可求得$angleAOE$的度数;然后再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理来求$angleAEO$的度数.【详解】解：如图,$becauseBC=CD=DE,angleCOD=34^{circ}$,$thereforeangleBOC=angleEOD=angleCOD=34^{circ}$,$thereforeangleAOE=180^{circ}-angleEOD-angleCOD-angleBOC=78^{circ}$.又$becauseOA=OE$,$thereforeangleAEO=angleOAE$$thereforeangleAEO=frac{1}{2}timesleft(180^{circ}-78^{circ}right)=51^{circ}$.故答案为:$51^{circ}$.【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系.此题比较简单,注意掌握数形结合思想的应用.
题目（九年级 · 度量几何学）：(本题3分)(2021:浙江$cdot$温州市第二中学二模)如图,以点$O$为位似中心,将$triangleOAB$放大后得到$triangleOCD,OA=2,OC=5$,则$frac{AB}{CD}=$
选项：
答案：$frac{2}{5}$
解析：【分析】根据位似的性质:位似图形的对应线段的比等于相似比求解即可.【详解】解:$because$以点$O$为位似中心,$triangleOAB$放大后得到$triangleOCD$,$thereforefrac{AB}{CD}=frac{OA}{OC}=frac{2}{5}$.故答案为:$frac{2}{5}$.【点睛】本题考查了位似图形,解题的关键在于能够熟练掌握位似图形的性质.
题目（九年级 · 度量几何学）：(本题3分)(2021:浙江杭州一模)线段$AB=2{~cm}$,点$P$为线段$AB$的黄金分割点
选项：
答案：$(sqrt{5}-1)$$(-1+sqrt{5})$
解析：【分析】根据黄金分割的定义得到$AP=frac{sqrt{5}-1}{2}AB$,把$AB=2cm$代入计算即可.【详解】解:$because$线段$AB=2{~cm}$,点$P$是线段$AB$的黄金分割点$(AP>BP)$,$thereforeAP=frac{sqrt{5}-1}{2}AB$$=frac{sqrt{5}-1}{2}times2{~cm}$$=(sqrt{5}-1){cm}$,故答案为:$(sqrt{5}-1)$.【点睛】本题考查了黄金分割点,熟练掌握黄金分割的黄金比值是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：(本题3分)(2022$cdot$浙江$cdot$瑞安市安阳镇滨江中学三模)如图,已知$triangleABCD$的面积为24,以$B$为位似中心,作$triangleABCD$的位似图形$triangleEBFG$,位似图形与原图形的位似比为$frac{2}{3}$,连接$AG、DG$.则$triangleADG$的面积为$qquad$.
选项：
答案：4
解析：【分析】延长$EG$交$CD$于点$H$,由题意可得四边形$AEHD$是平行四边形,则可得此平行四边形的面积为8,从而可得$triangleADG$的面积.【详解】延长$EG$交$CD$于点$H$,如图,$because$四边形$ABCD$是平行四边形,四边形$EBFG$是平行四边形,$thereforeAB//CD,AD//BC;BF//EG$,$thereforeAD//EG$,$therefore$四边形$AEHD$是平行四边形,$thereforeS_{triangleADG}=frac{1}{2}S_{squareAEHD}$$because$位似图形与原图形的位似比为$frac{2}{3}$,$thereforeBE=frac{2}{3}AB$,即$AE=frac{1}{3}AB$,$thereforeS_{squareAEHD}=frac{1}{3}S_{squareABCD}=8$,故答案为:4.【点睛】本题考查了位似图形的性质,平行四边形的性质与判定,掌握这些性质是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：(本题3分)（2021$cdot$浙江$cdot$衢州市衢江区横路初级中学九年级阶段练习）将2020个边长为1的正方形按如图所示的方式排列,点$A,A_{1},A_{2},A_{3}ldotsA_{2020}$和点$M,M_{1}$,$M_{2}ldotsM_{2019}$是正方形的顶点,连接$AM_{1},AM_{2},AM_{3}ldotsAM_{2019}$分别交正方形的边$A_{1}M$,$A_{2}M_{1},A_{3}M_{2}ldotsA_{2019}M_{2018}$于点$N_{1},N_{2},N_{3}ldotsN_{2019}$,四边形$M_{l}N_{1}A_{1}A_{2}$的面积是$S_{1}$,四边形$M_{2}N_{2}A_{2}A_{3}$的面积是$S_{2},ldots$,则$S_{2019}$为$qquad$
选项：
答案：$frac{4039}{4040}$
解析：【分析】设左边第一个正方形左上角的顶点为$O$,先判定$triangleM_{l}MN_{l}backsimtriangleM_{l}OA$,利用相似三角形的性质求出$MN_{l}$的长,进而得出$S_{l}$,同理得出$S_{2}$,按照规律得出$Sn$,最后$n$取2019,计算即可得出答案.【详解】解：如图所示,设左边第一个正方形左上角的顶点为$O$$because$将2019个边长为1的正方形按如图所示的方式排列$thereforeOA//MA_{l}//M_{l}A_{2}//M_{2}A_{3}//ldots//M_{2018}A_{2019}$$thereforetriangleM_{l}MN_{l}backsimtriangleM_{l}OA$$thereforefrac{MM_{1}}{OM_{1}}=frac{MN_{1}}{OA}=frac{1}{2}$$thereforeMN_{l}=frac{1}{2}$,$therefore$四边形$M_{l}N_{l}A_{l}A_{2}$的面积是$S_{l}=1-frac{1}{2}times1timesfrac{1}{2}=frac{3}{4}$;同理可得：$frac{M_{1}M_{2}}{OM_{2}}=frac{M_{1}N_{2}}{OA}=frac{1}{3}$$therefore$四边形$M_{2}N_{2}A_{2}A_{3}$的面积$S_{2}=1-frac{1}{2}times1timesfrac{1}{3}=frac{5}{6}$;$therefore$四边形$MnNnAnAn+1$的面积$Sn=1-frac{1}{2(n+1)}=frac{2n+1}{2n+2}$$thereforeS_{2019}=frac{4039}{4040}$故答案为:$frac{4039}{4040}$.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质在规律型问题中的应用,数形结合并善于发现规律是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：(本题3分)(2022-浙江杭州-二模)如图,点$E$为矩形$ABCD$的边$AB$的中点,连接$CE,BD$,交于点$F$,若$angleDFC=2angleFDC,BD=12$,则$AD=$
选项：
答案：$2sqrt{15}$
解析：【分析】如图所示,过点$E$作$EHperpCD$于$H$,交$BD$于$G$,过点$C$作$CPperpFG$于$P$,连接$CG$,先证明$triangleBEFsimtriangleDCF$,从而推出$BF=4,DF=8$,再证$triangleBEGsimtriangleDHG$,得到$BG=DG=frac{1}{2}BD=6$,从而求出$CG=BG=DG=frac{1}{2}BD,GF=2$,则$angleCGB=2angleGDC$,再证明$angleCFG=angleCGF$,得到$FP=GP=1$,则$BP=5$,再利用勾股定理求解即可.【详解】解:如图所示,过点$E$作$EHperpCD$于$H$,交$BD$于$G$,过点$C$作$CPperpFG$于$P$,连接$CG$,$because$四边形$ABCD$是矩形,$thereforeangleABC=angleBCD=90^{circ},AB//CD,AD=BC,CD=AB$,$therefore$四边形$BCHE$是矩形,$thereforeEH=BC=AD,BE=CH$,$becauseE$是$AB$的中点,$thereforeAB=CD=2BE$,$thereforeBE=DH=CH$,$becauseAB//CD$$thereforetriangleBEFsimtriangleDCF$,$thereforefrac{DF}{BF}=frac{CD}{BE}=2$,$thereforeDF=2BF$,又$becauseBD=12$,$thereforeBF=4,DF=8$,同理可知$triangleBEGbacksimtriangleDHG$,$thereforefrac{BE}{DH}=frac{EG}{GH}=frac{BG}{DG}=1$$thereforeBG=DG=frac{1}{2}BD=6$,$thereforeCG=BG=DG=frac{1}{2}BD,GF=2$,$thereforeangleGCD=angleGDC$,$thereforeangleCGB=2angleGDC$,又$becauseangleCFD=2angleFDC$,$thereforeangleCFG=angleCGF$,$thereforeFP=GP=1$$thereforeBP=5$,在$Rt$三角形$CGP$中,$CP=sqrt{CG^{2}-GP^{2}}=sqrt{35}$,$therefore$在Rt$triangleCPB$中,$BC=sqrt{CP^{2}+BP^{2}}=2sqrt{15}$,$thereforeAD=BC=2sqrt{15}$,故答案为:$2sqrt{15}$.【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、勾股定理、直角三角形斜边上的中线,正确作出辅助线,构造相似三角形是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：(本题3分)(2022-浙江$cdot$九年级专题练习)在比例尺为$1:5000$的地图上,甲、乙两地相距$20{~cm}$,则它们的实际距离为$qquad$
选项：
答案：$1000{~m}$
解析：【分析】根据比例尺$=$图上距离:实际距离,列比例式即可求得甲乙两地的实际距离.要注意统一单位.【详解】解：设甲乙两地的实际距离为$x{~cm}$，则$1:5000=20:x$,解得$x=100000$,$100000{~cm}=1000{~m}$.即它们的实际距离为$1000{~m}$.故答案为:$1000{~m}$.【点睛】本题考查了比例线段,熟练运用比例尺进行计算是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：(本题3分)(2022:浙江$cdot$九年级专题练习)已知线段$AB=2$,点$P$为线段$AB$的黄金分割点$(AP>BP)，$则$AP-BP=$
选项：
答案：$2sqrt{5}-4-4+2sqrt{5}$
解析：【分析】根据黄金分割的概念、黄金比值计算即可.【详解】解:$because$点$P$是线段$AB$的黄金分割点,$AP>BP$,$thereforeAP=frac{sqrt{5}-1}{2}cdotAB=sqrt{5}-1$,则$BP=2-AP=3-sqrt{5}$,$thereforeAP-BP=(sqrt{5}-1)-(3-sqrt{5})=2sqrt{5}-4$,故答案为:$2sqrt{5}-4$.【点睛】本题考查的是黄金分割的概念和性质,把线段$AB$分成两条线段$AC$和$BC(AC$$>BC$),且使$AC$是$AB$和$BC$的比例中项,叫做把线段$AB$黄金分割.