题目（高三 · 计数）：（12 分）甲口袋中装有 2 个黑球和 1 个白球，乙口袋中装有 3 个白球. 现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋, 重复 $n$ 次这样的操作, 记甲口袋中黑球个数为 ${ }^{X_{n}}$, 恰有 2 个黑球的概率为 ${ }^{p_{n}}$, 恰有 1 个黑球的概率为 ${ }^{q_{n}}$.

(1) 求 $p_{1}, q_{1}$ 和 $^{p_{2}}, q_{2}$;

(2) 求 ${ }^{2 p_{n}+q_{n}}$ 与 $2 p_{n-1}+q_{n-1}$ 的递推关系式和 ${ }_{n}$ 的数学期望 $E\left(X_{n}\right)$ (用 ${ }^{n}$ 表示).
选项：
答案：答案:(1) $p_{1}=\frac{1}{3}, q_{1}=\frac{2}{3}, p_{2}=\frac{7}{27}, q_{2}=\frac{16}{27}$; (2) $2 p_{n}+q_{n}=\frac{1}{3}\left(2 p_{n-1}+q_{n-1}\right)+\frac{2}{3}$,

$E\left(X_{n}\right)=1+\frac{1}{3^{n}}$.

【解析】(1) $p_{1}=\frac{1 \times 3}{3 \times 3}=\frac{1}{3}, q_{1}=\frac{2 \times 3}{3 \times 3}=\frac{2}{3}$,

$p_{2}=p_{1} \times \frac{1 \times 3}{3 \times 3}+q_{1} \times \frac{1 \times 2}{3 \times 3}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}+\frac{2}{3} \times \frac{2}{9}=\frac{7}{27}$,

$q_{2}=p_{1} \times \frac{2 \times 3}{3 \times 3}+q_{1} \times \frac{1 \times 1+2 \times 2}{3 \times 3}+0=\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}+\frac{2}{3} \times \frac{5}{9}=\frac{16}{27}$.

(2) $p_{n}=p_{n-1} \times \frac{1 \times 3}{3 \times 3}+q_{n-1} \times \frac{1 \times 2}{3 \times 3}=\frac{1}{3} p_{n-1}+\frac{2}{9} q_{n-1}$,

$q_{n}=p_{n-1} \times \frac{2 \times 3}{3 \times 3}+q_{n-1} \times \frac{1 \times 1+2 \times 2}{3 \times 3}+\left(1-p_{n-1}-q_{n-1}\right) \times \frac{3 \times 2}{3 \times 3}=-\frac{1}{9} q_{n-1}+\frac{2}{3}$,

因此 $2 p_{n}+q_{n}=\frac{2}{3} p_{n-1}+\frac{1}{3} q_{n-1}+\frac{2}{3}$,

从而 $2 p_{n}+q_{n}=\frac{1}{3}\left(2 p_{n-1}+q_{n-1}\right)+\frac{2}{3}, \therefore 2 p_{n}+q_{n}-1=\frac{1}{3}\left(2 p_{n-1}+q_{n-1}-1\right)$,

即 $2 p_{n}+q_{n}-1=\left(2 p_{1}+q_{1}-1\right) \frac{1}{3^{n-1}}, \therefore 2 p_{n}+q_{n}=1+\frac{1}{3^{n}}$.

又 $X_{n}$ 的分布列为

| $X_{n}$ | 0 | 1 | 2 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $1-p_{n}-q_{n}$ | $q_{n}$ | $p_{n}$ |

故 $E\left(X_{n}\right)=2 p_{n}+q_{n}=1+\frac{1}{3^{n}}$.
解析：答案:(1) $p_{1}=\frac{1}{3}, q_{1}=\frac{2}{3}, p_{2}=\frac{7}{27}, q_{2}=\frac{16}{27}$; (2) $2 p_{n}+q_{n}=\frac{1}{3}\left(2 p_{n-1}+q_{n-1}\right)+\frac{2}{3}$,

$E\left(X_{n}\right)=1+\frac{1}{3^{n}}$.

【解析】(1) $p_{1}=\frac{1 \times 3}{3 \times 3}=\frac{1}{3}, q_{1}=\frac{2 \times 3}{3 \times 3}=\frac{2}{3}$,

$p_{2}=p_{1} \times \frac{1 \times 3}{3 \times 3}+q_{1} \times \frac{1 \times 2}{3 \times 3}=\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}+\frac{2}{3} \times \frac{2}{9}=\frac{7}{27}$,

$q_{2}=p_{1} \times \frac{2 \times 3}{3 \times 3}+q_{1} \times \frac{1 \times 1+2 \times 2}{3 \times 3}+0=\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}+\frac{2}{3} \times \frac{5}{9}=\frac{16}{27}$.

(2) $p_{n}=p_{n-1} \times \frac{1 \times 3}{3 \times 3}+q_{n-1} \times \frac{1 \times 2}{3 \times 3}=\frac{1}{3} p_{n-1}+\frac{2}{9} q_{n-1}$,

$q_{n}=p_{n-1} \times \frac{2 \times 3}{3 \times 3}+q_{n-1} \times \frac{1 \times 1+2 \times 2}{3 \times 3}+\left(1-p_{n-1}-q_{n-1}\right) \times \frac{3 \times 2}{3 \times 3}=-\frac{1}{9} q_{n-1}+\frac{2}{3}$,

因此 $2 p_{n}+q_{n}=\frac{2}{3} p_{n-1}+\frac{1}{3} q_{n-1}+\frac{2}{3}$,

从而 $2 p_{n}+q_{n}=\frac{1}{3}\left(2 p_{n-1}+q_{n-1}\right)+\frac{2}{3}, \therefore 2 p_{n}+q_{n}-1=\frac{1}{3}\left(2 p_{n-1}+q_{n-1}-1\right)$,

即 $2 p_{n}+q_{n}-1=\left(2 p_{1}+q_{1}-1\right) \frac{1}{3^{n-1}}, \therefore 2 p_{n}+q_{n}=1+\frac{1}{3^{n}}$.

又 $X_{n}$ 的分布列为

| $X_{n}$ | 0 | 1 | 2 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $1-p_{n}-q_{n}$ | $q_{n}$ | $p_{n}$ |

故 $E\left(X_{n}\right)=2 p_{n}+q_{n}=1+\frac{1}{3^{n}}$.