题目（九年级 · 组合几何学）：(本小题8.0分)

如图, 已知矩形 $A B C D$ 中, $A B=8, A D=6$, 点 $E$ 是边 $C D$ 上一个动点, 连接 $A E$, 将 $\triangle A E D$ 沿直线 $A E$ 翻折得 $\triangle A E F$.


(1) 当点 $C$ 落在射线 $A F$ 上时, 求 $D E$ 的长;

(2)以 $F$ 为圆心, $F B$ 长为半径作圆 $F$, 当 $A D$ 与圆 $F$ 相切时, 求 $\cos \angle F A B$ 的值;

(3) 若 $P$ 为 $A B$ 边上一点, 当边 $C D$ 上有且仅有一点 $Q$ 满 $\angle B Q P=45^{\circ}$, 直接写出线段 $B P$ 长的取值范围.
选项：
答案：解: (1)如图1中, 设 $D E=x$, 则 $E F=D E=x, C E=8-x$.

<ImageHere>

图1

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形,

$\therefore \angle D=90^{\circ}$,

$\because A D=B C=6, A B=C D=8$,

$$
\therefore A C=\sqrt{A D^{2}+C D^{2}}=10
$$

$\because A D=A F=6, \angle A F E=\angle D=\angle E F C=90^{\circ}$

$\therefore C F=A C-A F=4$,

在Rt $\triangle E F C$ 中, 则有: $x^{2}+4^{2}=(8-x)^{2}$,

解得 $x=3$,

$\therefore D E=3$.

(2)如图2中, 设 $\odot F$ 与 $A D$ 相切的切点为 $M$, 连接 $F M$, 作 $F N \perp A B$ 于 $N$, 则四边形 $A M F N$ 是矩形.

<ImageHere>

图2

设 $A M=F N=x, A N=F M=F B=y$,

则有, $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=36 \\ x^{2}+(8-y)^{2}=y^{2}\end{array}\right.$

解得 $y=-8+2 \sqrt{41}$, (负的已经舍弃),

$\therefore A N=-8+2 \sqrt{41}$,

$$
\therefore \cos \angle F A B=\frac{A N}{A F}=\frac{-4+\sqrt{41}}{3}
$$

(3)以 $P B$ 为斜边构造等腰直角三角形 $O P B$, 以 $O$ 为圆心, $O P$ 为半径作 $\odot O$.

如图3 - 1中, 当 $\odot O$ 与 $C D$ 相切于点 $Q$ 时, 满足条件 $\angle P A B=\frac{1}{2} \angle P O B=45^{\circ}$.

连接 $Q O$, 延长 $Q O$ 交 $A B$ 于 $H$. 设 $O H=P H=B H=m$,

则 $O P=O Q=\sqrt{2} m$

<ImageHere>

图3-1

$\because Q H=A Q=6$,

$$
\therefore m+\sqrt{2} m=6
$$

$\therefore m=6(\sqrt{2}-1)$,

$$
\therefore B P=2 m=12 \sqrt{2}-12
$$

如图3 -2 中, 当 $\odot O$ 经过点 $C$ 时, $P B=B C=6$.

<ImageHere>

图3-2

如图3 - 3 中, 当 $\odot O$ 经过点 $D$ 时, 作 $O H \perp A B$ 于 $H$, 交 $C D$ 于 $N$.

设 $O H=P H=B H=n$, 则 $O D=O P=\sqrt{2} n, O N=6-n, D N=8-n$,

<ImageHere>

图3-3

在Rt $\triangle D O N$ 中, 则 $(\sqrt{2} n)^{2}=(6-n)^{2}+(8-n)^{2}$

解得 $n=\frac{25}{7}$

$$
\therefore B P=2 n=\frac{50}{7}
$$

观察图象可知, 满足条件的 $B P$ 的值为 $B P=12 \sqrt{2}-12$ 或 $6<B P \leq \frac{50}{7}$.

【解析】本题属于圆综合题, 考查了矩形的性质, 直线与圆的位置关系, 解直角三角形, 圆周角定理等知识, 解题的关键是学会利用参数构建方程或方程组解决问题, 学会用分类讨论的思想思考问题, 属于中考压轴题.

(1)如图1中, 当点 $C$ 落在射线 $A F$ 上时, 设 $D E=x$, 则 $E F=D E=x, C E=8-x$, 根据勾股定理,列出方程，即可求解;

(2)如图2中, 设 $\odot F$ 与 $A D$ 相切的切点为 $M$, 连接 $F M$, 作 $F N \perp A B$ 于 $N$, 则四边形 $A M F N$ 是矩形,设 $A M=F N=x, A N=F M=F B=y$, 构建方程组只要求出 $y$ 即可解决问题.

(3)以 $P B$ 为底边作等腰直角三角形 $\triangle P M B$, 以点 $M$ 为圆心, $M P$ 为半径作圆 $M$, 分三类: (1)当圆 $M$与 $C D$ 相切时, 求出 $B P$ 的值; (2)当圆 $M$ 过点 $C$ 时, 求出 $B P$ 的值; (3)当圆 $M$ 过点 $D$ 时, 求出 $B P$ 的值,进而, 可求出 $B P$ 的范围.
解析：解: (1)如图1中, 设 $D E=x$, 则 $E F=D E=x, C E=8-x$.



图1

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形,

$\therefore \angle D=90^{\circ}$,

$\because A D=B C=6, A B=C D=8$,

$$
\therefore A C=\sqrt{A D^{2}+C D^{2}}=10
$$

$\because A D=A F=6, \angle A F E=\angle D=\angle E F C=90^{\circ}$

$\therefore C F=A C-A F=4$,

在Rt $\triangle E F C$ 中, 则有: $x^{2}+4^{2}=(8-x)^{2}$,

解得 $x=3$,

$\therefore D E=3$.

(2)如图2中, 设 $\odot F$ 与 $A D$ 相切的切点为 $M$, 连接 $F M$, 作 $F N \perp A B$ 于 $N$, 则四边形 $A M F N$ 是矩形.



图2

设 $A M=F N=x, A N=F M=F B=y$,

则有, $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=36 \\ x^{2}+(8-y)^{2}=y^{2}\end{array}\right.$

解得 $y=-8+2 \sqrt{41}$, (负的已经舍弃),

$\therefore A N=-8+2 \sqrt{41}$,

$$
\therefore \cos \angle F A B=\frac{A N}{A F}=\frac{-4+\sqrt{41}}{3}
$$

(3)以 $P B$ 为斜边构造等腰直角三角形 $O P B$, 以 $O$ 为圆心, $O P$ 为半径作 $\odot O$.

如图3 - 1中, 当 $\odot O$ 与 $C D$ 相切于点 $Q$ 时, 满足条件 $\angle P A B=\frac{1}{2} \angle P O B=45^{\circ}$.

连接 $Q O$, 延长 $Q O$ 交 $A B$ 于 $H$. 设 $O H=P H=B H=m$,

则 $O P=O Q=\sqrt{2} m$



图3-1

$\because Q H=A Q=6$,

$$
\therefore m+\sqrt{2} m=6
$$

$\therefore m=6(\sqrt{2}-1)$,

$$
\therefore B P=2 m=12 \sqrt{2}-12
$$

如图3 -2 中, 当 $\odot O$ 经过点 $C$ 时, $P B=B C=6$.



图3-2

如图3 - 3 中, 当 $\odot O$ 经过点 $D$ 时, 作 $O H \perp A B$ 于 $H$, 交 $C D$ 于 $N$.

设 $O H=P H=B H=n$, 则 $O D=O P=\sqrt{2} n, O N=6-n, D N=8-n$,



图3-3

在Rt $\triangle D O N$ 中, 则 $(\sqrt{2} n)^{2}=(6-n)^{2}+(8-n)^{2}$

解得 $n=\frac{25}{7}$

$$
\therefore B P=2 n=\frac{50}{7}
$$

观察图象可知, 满足条件的 $B P$ 的值为 $B P=12 \sqrt{2}-12$ 或 $6<B P \leq \frac{50}{7}$.

【解析】本题属于圆综合题, 考查了矩形的性质, 直线与圆的位置关系, 解直角三角形, 圆周角定理等知识, 解题的关键是学会利用参数构建方程或方程组解决问题, 学会用分类讨论的思想思考问题, 属于中考压轴题.

(1)如图1中, 当点 $C$ 落在射线 $A F$ 上时, 设 $D E=x$, 则 $E F=D E=x, C E=8-x$, 根据勾股定理,列出方程，即可求解;

(2)如图2中, 设 $\odot F$ 与 $A D$ 相切的切点为 $M$, 连接 $F M$, 作 $F N \perp A B$ 于 $N$, 则四边形 $A M F N$ 是矩形,设 $A M=F N=x, A N=F M=F B=y$, 构建方程组只要求出 $y$ 即可解决问题.

(3)以 $P B$ 为底边作等腰直角三角形 $\triangle P M B$, 以点 $M$ 为圆心, $M P$ 为半径作圆 $M$, 分三类: (1)当圆 $M$与 $C D$ 相切时, 求出 $B P$ 的值; (2)当圆 $M$ 过点 $C$ 时, 求出 $B P$ 的值; (3)当圆 $M$ 过点 $D$ 时, 求出 $B P$ 的值,进而, 可求出 $B P$ 的范围.