eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（九年级 · 解析几何）：点 $\mathrm{B}$ 是线段 $\mathrm{AC}$ 的黄金分割点, 且 $\mathrm{AB}<\mathrm{BC}$. 若 $\mathrm{AC}=4$, 则 $\mathrm{BC}$ 的长为 ( )

选项：
A. $2 \sqrt{5}+2$
B. $2 \sqrt{5}-2$
C. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D. $\sqrt{5}-1$

答案：B
解析：根据黄金分割的定义可得出较长的线段 $\mathrm{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \mathrm{AC}$, 将 $\mathrm{AC}=4$ 代入即可得出 $\mathrm{BC}$的长度.

【详解】解： $\because$ 点 $\mathrm{B}$ 是线段 $\mathrm{AC}$ 的黄金分割点, 且 $\mathrm{AB}<\mathrm{BC}$,

$\therefore \mathrm{BC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \mathrm{AC}$,

$\because \mathrm{AC}=4$,

$\therefore B C=2 \sqrt{5}-2$.

故选: B.

【点睛】本题考查了黄金分割的定义：把线段 $\mathrm{AB}$ 分成两条线段 $\mathrm{AC}$ 和 $\mathrm{BC}(\mathrm{AC}>\mathrm{BC})$,且使 $\mathrm{AC}$ 是 $\mathrm{AB}$ 和 $\mathrm{BC}$ 的比例中项（即 $\mathrm{AB}: \mathrm{AC}=\mathrm{AC}: \mathrm{BC}$ ，叫做把线段 $\mathrm{AB}$ 黄金分割, 点 $\mathrm{C}$
叫做线段 $\mathrm{AB}$ 的黄金分割点. 其中 $\mathrm{AC}=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \mathrm{AB} \approx 0.618 \mathrm{AB}$, 并且线段 $\mathrm{AB}$ 的黄金分割点有两个.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 在 $\square A B C D$ 中, 点 $E$ 在 $B C$ 上, $A E$ 与 $B D$ 相交于点 $F$. 若 $B E: E C=4: 5$,则 $B F: F D=(\quad)$



选项：
A. $4: 5$
B. $4: 10$
C. $5: 9$
D. $4: 9$


答案：D
解析：先由平行四边形的性质得 $A D / / B E, A D=B C$, 从而 $\angle A D F=\angle E B F$, 结合对顶角相等, 可证 $\triangle A D F \sim \triangle E B F$, 再利用相似三角形的性质得比例式, 然后结合已知比例式求得答案.

【详解】解： $\because$ 四边形 $A B C D$ 为平行四边形,

$\therefore A D / / B E, \quad A D=B C$,

$\therefore \angle A D F=\angle E B F$,

又 $\because \angle A F D=\angle E F B$,

$\therefore \triangle A D F \sim \triangle E B F$,

$\therefore \frac{B F}{F D}=\frac{B E}{A D}$,

$\because B E: E C=4: 5$,

$\therefore B E: B C=4: 9$,

$\therefore B F: F D=4: 9$, 故 D 正确.

故选: D.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质, 解题的关键是熟练掌握相关性质及定理.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, $\triangle A B C$ 中, 点 $D 、 E 、 F$ 分别是 $A B 、 A C 、 B C$ 上的点, $D E / / B C, E F / / A B$,那么下列各式正确的是（）



选项：
A. $\frac{A E}{E C}=\frac{A D}{B F}$
B. $\frac{A B}{A C}=\frac{E F}{F C}$
C. $\frac{A D}{D B}=\frac{B F}{E C}$
D. $\frac{A D}{D B}=\frac{B F}{F C}$


答案：D
解析：根据平行线截线段成比例, 相似三角形的判定和性质判断即可.

【详解】解: $\because D E / / B C$,

$\therefore \frac{A E}{E C}=\frac{A D}{B D} \neq \frac{A D}{B F}$, 故选项 $\mathrm{A}$ 不正确;

$\because E F / / A B$,

$\therefore \triangle F E C \sim \triangle B A C$,

$\therefore \frac{E F}{A B}=\frac{F C}{B C}$,

$\therefore \frac{E F}{F C}=\frac{A B}{B C} \neq \frac{A B}{A C}$, 故选项 B 不正确;

$\because D E / / B C, E F / / A B$,

$\therefore \angle D A E=\angle F E C, \angle A E D=\angle C$, 四边形 $D E F B$ 为平行四边形,

$\therefore \triangle A D E \sim \triangle E F C, D E=B F, B D=E F$,

$\therefore \frac{A D}{E F}=\frac{B F}{F C} \neq \frac{B F}{E C}$, 故选项 $\mathrm{C}$ 不正确, 选项 D 正确.

故选: D.

【点睛】此题考查了平行线截线段成比例, 相似三角形的判定和性质. 解题的关键是掌握平行线截线段成比例，相似三角形的判定和性质. 利用数形结合思想求解.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, 点 $P$ 是 $B C$ 边上任意一点 (点 $P$ 与点 $B, C$ 不重合), 平行四边形 $A F P E$ 的顶点 $F, E$ 分别在边 $A B, A C$ 上. 已知 $B C=1, S_{\triangle A B C}=2$, 设 $B P=x$, 平行四边形 $A F P E$ 的面积为 $y$, 则下列关于 $y$ 与 $x$ 的函数关系式正确的是 ( )



选项：
A. $y=-\frac{1}{2} x^{2}+x$
B. $y=\frac{1}{2} x^{2}-x$
C. $y=-4 x^{2}+4 x$
D. $y=4 x^{2}-4 x$


答案：C
解析：由平行四边形的性质得出 $P F / / A C$, 证明 $\triangle B P F \sim \triangle B C A$, 得出 $\frac{S_{\triangle B P F}}{S_{\triangle B C A}}=\left(\frac{B P}{B C}\right)^{2}$, 得出 $S_{\triangle} B P F=2 x^{2}$, 同理得出 $S_{\triangle} P E C=2(1-x)^{2}$, 进而得出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式, 即可得出答案.

【详解】解： $\because$ 四边形 $A F P E$ 是平行四边形,

$\therefore P F / / A C$,

$\therefore \angle B P F=\angle C, \angle B F P=\angle A$,

$\therefore \triangle B P F \sim \triangle B C A$,

$\therefore \frac{S_{\triangle B P F}}{S_{\triangle B C A}}=\left(\frac{B P}{B C}\right)^{2}$,

$\because B C=1, \quad S_{\triangle A B C=2,} \quad B P=x$,

$\therefore \frac{S_{\triangle B P F}}{2}=\left(\frac{x}{1}\right)^{2}$,

$\therefore S_{\triangle B P F}=2 \times 2$,

同理: $S_{\triangle} P E C=2(1-x)^{2}$,

$\because$ 平行四边形 $A F P E$ 的面积为 $y$,

$\therefore y=2-2 x^{2}-2(1-x)^{2}=-4 x^{2}+4 x$,

故选: C.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质, 列二次函数关系式, 平行四边形的性质, 掌握平行四边形的性质, 相似三角形的判定与性质是解决问题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, $A 、 B 、 C 、 D$ 为 $\odot O$ 上的点, 直线 $B A$ 与 $D C$ 相交于点 $P, P A=2, P C=C D$ $=3$, 则 $P B=(\quad)$



选项：
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9


答案：D
解析：试题分析： $\because P B, P D$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的割线, $\therefore P A P B=P C P D, \because P A=2, P C=C D=3$, $\therefore 2 \mathrm{~PB}=3 \times 6$, 解得: $\mathrm{PB}=9$. 故选 D.

考点：切割线定理.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 三条直线 $a / / b / / c$, 若 $\frac{A D}{D F}=\frac{2}{3}$, 则 $\frac{B C}{C E}=(\quad)$



选项：
A. $\frac{2}{3}$
B. $\frac{3}{2}$
C. $\frac{2}{5}$
D. $\frac{3}{5}$


答案：A
解析：根据平行线分线段成比例的性质, 即可求解.

【详解】解: $\because a / / b / / c, \frac{A D}{D F}=\frac{2}{3}$,

$\therefore \frac{B C}{C E}=\frac{A D}{D F}=\frac{2}{3}$.

故选 A.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的性质, 熟练掌握相关性质是解题的关键. 平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线 (不少于 3 条) 所截, 截得的对应线段的长度成比例.
题目（九年级 · 解析几何）：关于二次函数 $y=(x+1)^{2}-2$ 的图象, 下列说法正确的是（ ）

选项：
A. 对称轴是 $x=1$
B. 开口向下
C. 顶点坐标是 $(1,-2)$
D. 与 $x$ 轴有两个交点

答案：D
解析：由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、顶点坐标, 然后对各选项进行判断即可.

【详解】 $\because y=(x+1)^{2}-2$

$\because a=1>0$

$\therefore$ 抛物线开口向上, 顶点坐标为 $(-1,-2)$, 对称轴为 $x=-1$,

$\therefore \mathrm{A} 、 \mathrm{~B} 、 \mathrm{C}$ 不正确,

$\because$ 抛物线开口向上, 顶点坐标为 $(-1,-2)$,

$\therefore$ 抛物线与 $\mathrm{x}$ 轴有两个交点,

$\therefore$ D 正确,

故选: D.

【点睛】本题主要考查二次函数的性质, 掌握二次函数的顶点式是解题的关键, 即在 $y=a(x-h)$ ${ }^{2}+k$ 中, 顶点坐标为 $(h, k)$, 对称轴为 $x=h$
题目（九年级 · 解析几何）：小明在学习了利用图象法来求一元二次方程的近似根的知识后进行了尝试: 在直角坐标系中作出二次函数 $y=x^{2}+2 x-10$ 的图象, 由图象可知, 方程 $x^{2}+2 x-10=0$ 有两个根, 一个在 -5 和 -4 之间, 另一个在 2 和 3 之间. 利用计算器进行探索: 由下表知, 方程的一个近似根是 ( )

| $x$ | -4.1 | -4.2 | -4.3 | -4.4 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $y$ | -1.39 | -0.76 | -0.11 | 0.56 |


选项：
A. -4.1
B. -4.2
C. -4.3
D. -4.4


答案：C
解析：当 $y$ 等于 0 时, $x$ 的值即为方程 $x^{2}+2 x-10=0$ 的一个根, 分析题干中的表格, 方程的解应为 $\mathrm{y}$ 最接近 0 时 $\mathrm{x}$ 的值.

解: 当 $\mathrm{x}$ 由 - 4.1 向 4.3 变换过程中 $\mathrm{y}$ 值一直在增大, 并越来越接近 0 , 当 $\mathrm{x}=-4.4$ 时, $\mathrm{y}$ 值大于 0 , 则方程的一个根在 -4.3 和 - 4.4 之间, $x=-4.3$ 时的 $\mathrm{y}$ 值比 $\mathrm{x}=-4.4$ 时更接近 0 , 所以方程的一个近似根为: -4.3 .
故选 C.
题目（九年级 · 解析几何）：二次函数 $y=-x^{2}+a x+b$ 的图象如图所示, 对称轴为直线 $x=2$, 下列结论不正确的是 ( )



选项：
A. $a=4$
B. 当 $\mathrm{x}>2.5$ 时, $\mathrm{y}$ 随 $\mathrm{x}$ 的增大而减小
C. 当 $x=-1$ 时, $b>5$
D. 当 $b=8$ 时，函数最大值为 10


答案：D
解析：根据二次函数的图象和性质依次对各选项进行判断即可.

【详解】解： $\because$ 二次函数 $y=-x^{2}+a x+b$

$\therefore$ 对称轴为直线 $x=-\frac{a}{2 \times(-1)}=2$

$\therefore a=4$, 故结论 $A$ 正确;

$\because$ 对称轴为直线 $x=2$ 且图象开口向下,

$\therefore$ 当 $x>2.5$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小, 故结论 $B$ 正确;

当 $x=-1$ 时, 由图象知此时 $y>0$

即 $-1-4+b>0$

$\therefore b>5$, 故结论 $C$ 正确;

当 $b=8$ 时, $y=-x^{2}+4 x+8=-(x-2)^{2}+12$

$\therefore$ 函数有最大值 12 , 故结论 $D$ 不正确;

故选: $D$.

【点睛】此题考查二次函数图形和性质, 解题的关键是熟练运用二次函数的图像与系数之间的关系.
题目（九年级 · 解析几何）：已知一个二次函数图象经过 $P_{1}\left(-4, y_{1}\right), P_{2}\left(-1, y_{2}\right), P_{3}\left(1, y_{3}\right), P_{4}\left(4, y_{4}\right)$ 四点, 若 $y_{3}<y_{2}<y_{4}$, 则 $y_{1}, y_{2}, y_{3}, y_{4}$ 的最值情况是 ( )

选项：
A. $y_{1}$ 最小, $y_{4}$ 最大
B. $y_{3}$ 最小, $y_{1}$ 最大
C. $y_{1}$ 最小, $y_{4}$ 最大

D. 无法确定


答案：B
解析：根据题意判断拋物线开口向上, 对称轴在直线 $\mathrm{x}=0$ 与直线 $\mathrm{x}=1.5$ 之间, 然后根据点到对称轴的距离的大小即可判断.

【详解】解: $\because y_{3}<y_{2}<y_{4}$,

$\therefore$ 拋物线的开口向上，且对称轴在直线 $\mathrm{x}=0$ 与直线 $\mathrm{x}=1.5$ 之间,

$\therefore P_{1}\left(-4, y_{1}\right)$ 离对称轴的距离最大, $P_{3}\left(1, y_{3}\right)$ 离对称轴的距离最小,

$\therefore y_{3}$ 最小, $y_{1}$ 最大，

故答案为: B.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征, 二次函数的性质, 判断开口方向及对称轴的位置是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：求二次函数 $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ 的图象如图所示, 其对称轴为直线 $x=-1$, 与 $x$ 轴的交点为 $\left(x_{1}, 0\right) 、\left(x_{2}, 0\right)$, 其中 $0<x_{1}<1$, 有下列结论: (1) $a b c>0$; (2) $-3<x_{2}<-2$; $4 a-2 b+c<-1$; (4) $a-b>a m^{2}+b m(m \neq-1)$; (5) $a>\frac{1}{3}$; 其中, 正确的结论有（ )



选项：
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2


答案：C
解析：由抛物线开口方向得 $\mathrm{a}>0$, 由抛物线的对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2 a}=-1$ 得 $b=2 a>0$,由拋物线与 $\mathrm{y}$ 轴的交点位置得 $\mathrm{c}<0$, 则 $\mathrm{abc}<0$; 由于拋物线与 $\mathrm{x}$ 轴一个交点在点 $(0,0)$与点 $(1,0)$ 之间, 根据抛物线的对称轴性得到抛物线与 $\mathrm{x}$ 轴另一个交点在点 $(-3,0)$ 与点（-2, 0）之间, 即有 $-3<x_{2}<-2$; 拋物线的对称轴为直线 $x=-1$, 且 $\mathrm{c}<-1, x=-2$ 时, $4 a-2 b+c<-1$; 抛物线开口向上, 对称轴为直线 $x=-1$, 当 $x=-1$ 时, $y_{\text {最小值 }}=a-b+c$,当 $x=m$ 得: $y=a m^{2}+b m+c$, 且 $m \neq-1, \therefore y_{\text {最小值 }}=a-b+c<$, 即 $a-b<a m^{2}+b m$; 对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2 a}=-1$ 得 $b=2 a$, 由于 $x=1$ 时, $y>0$, 则 $a+b+c>0$, 所以 $a+2 a+c>0$, 解得 $a>-\frac{1}{3} c$, 然后利用 $c<-1$ 得到 $a>-\frac{1}{3}$.

【详解】 $\because$ 拋物线开口向上, $\therefore \mathrm{a}>0$,

$\because$ 抛物线的对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2 a}=-1, \quad \therefore \mathrm{b}=2 \mathrm{a}>0$,

$\because$ 抛物线与 $\mathrm{y}$ 轴的交点在 $\mathrm{x}$ 轴下方, $\therefore \mathrm{c}<0, \therefore \mathrm{abc}<0$,

所以(1)错误;

$\because$ 抛物线 $y=a x^{2}+b x+c$ 与 $\mathrm{x}$ 轴一个交点在点 $(0,0)$ 与点 $(1,0)$ 之间, 而对称轴为 $x=-1$,由于抛物线与 $\mathrm{x}$ 轴一个交点在点 $(0,0)$ 与点 $(1,0)$ 之间, 根据抛物线的对称轴性, $\therefore$ 抛物线与 $\mathrm{x}$ 轴另一个交点在点 $(-3,0)$ 与点 $(-2,0)$ 之间, 即有 $-3<x_{2}<-2$, 所以(2)正确; $\because$ 抛物线的对称轴为直线 $x=-1$, 且 $\mathrm{c}<-1, \therefore$ 当 $x=-2$ 时, $4 a-2 b+c<-1$, 所以(3)正确; $\because$ 抛物线开口向上, 对称轴为直线 $x=-1, \therefore$ 当 $x=-1$ 时, $y_{\text {最小值 }}=a-b+c$,

当 $x=m$ 代入 $y=a x^{2}+b x+c$ 得: $y=a m^{2}+b m+c$,

$\because m \neq-1, \therefore y_{\text {最小值 }}=a-b+c<$, 即 $a-b<a m^{2}+b m$, 所以(4)错误;

$\because$ 对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2 a}=-1, \therefore b=2 a$,

$\because$ 由于 $x=1$ 时, $y>0, \therefore a+b+c>0$, 所以 $a+2 a+c>0$, 解得 $a>-\frac{1}{3} c$,

根据图象得 $c<-1, \therefore a>-\frac{1}{3}$, 所以(5)正确.

所以(2)(3)(5)正确, 故选 C.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，以及拋物线与 $\mathrm{x}$ 轴、 $\mathrm{y}$ 轴的交点，二次函数 $\mathrm{y}=\mathrm{ax}{ }^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{c}(\mathrm{a} \neq 0), \mathrm{a}$ 决定拋物线开口方向; $\mathrm{c}$ 的符号由抛物线与 $\mathrm{y}$ 轴的交点的位置确定; $\mathrm{b}$ 的符号由 $\mathrm{a}$ 及对称轴的位置确定; 当 $\mathrm{x}=1$ 时, $\mathrm{y}=a+b+c$; 当 $x=-1$ 时, $y=a-b+c$.
题目（九年级 · 解析几何）：二次函数 $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ 的部分图象如图, 图象过点 $(-1,0)$, 对称轴为直线 $x=2$, 下列结论：(1) $4 a+b=0$ ；(2) $a-b+c>0$; (3)当 $y<0$ 时, $x$ 的取值范围是 $x$ $<-1$ 或 $x>5$; (4) $5 a+c=0$; (5)当 $x>-1$ 时, $y$ 的值随 $x$ 值的增大而增大. 其中正确的结论有（）



选项：
A. (1)(2)(3)
B. (2)(3)(4)
C. (1)(2)(4)
D. (1)(3)(4)


答案：D
解析：根据拋物线的对称轴即可判断(1); 图象经过（-1，0）即可判断(2); 由抛物线的对称轴为直线 $x=2$, 与 $x$ 轴的一个交点为 $(-1,0)$, 得出拋物线与 $x$ 轴的另外一个交点为 $(5$, $0)$, 再根据抛物线开口向下得出当函数值 $y<0$ 时，自变量 $x$ 的取值范围是 $x<-1$ 或 $x>5$即可判断(3); 根据对称轴得到 $b=-2 a$, 且 $a-b+c=0$ 即可判断(4); 由于对称轴为直线 $x$ $=2$, 根据二次函数的性质得到当 $-1<x<2$ 时， $y$ 的值随 $x$ 值的增大而增大，当 $x>2$ 时，y 随 $x$ 的增大而减小，即可判断(5).

【详解】解: (1) $\because$ 拋物线的对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2 a}=2$,

$\therefore b=-4 a$, 即 $4 a+b=0$, 故本结论正确;

(2) $\because$ 图象过点 $(-1,0)$,

$\therefore a-b+c=0$, 故本结论错误;

(3) $\because$ 抛物线与 $x$ 轴的一个交点为 $(-1,0)$, 对称轴为直线 $x=2$,

$\therefore$ 拋物线与 $x$ 轴的另一个交点为 $(5,0)$,

$\because$ 抛物线开口向下,

$\therefore$ 当 $y<0$ 时, $x$ 的取值范围是 $x<-1$ 或 $x>5$, 故本结论正确;

(4) $\because$ 对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2 a}=2$,

$\therefore b=-4 a$,

$\because a-b+c=0$,
$\therefore 5 a+c=0$, 故本结论正确;

(5) $\because$ 对称轴为直线 $x=2$,

$\therefore$ 当 $-1<x<2$ 时, $y$ 的值随 $x$ 值的增大而增大,

当 $x>2$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小，故本结论错误.

故选: $D$.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系: 二次函数 $y=a x^{2}+b x+c \quad(a \neq 0)$, 二次项系数 $a$ 决定拋物线的开口方向和大小，当 $a>0$ 时，抛物线向上开口; 当 $a<0$ 时, 抛物线向下开口；一次项系数 $b$ 和二次项系数 $a$ 共同决定对称轴的位置，当 $a$ 与 $b$ 同号时（即 $a b>0$ ),对称轴在 $y$ 轴左; 当 $a$ 与 $b$ 异号时（即 $a b<0$ ), 对称轴在 $y$ 轴右; 常数项 $c$ 决定拋物线与 $y$ 轴交点. 抛物线与 $y$ 轴交于 $(0, c)$; 抛物线与 $x$ 轴交点个数由 $\triangle$ 决定, $\triangle=b^{2}-4 a c>0$ 时,抛物线与 $x$ 轴有 2 个交点; $\triangle=b^{2}-4 a c=0$ 时, 拋物线与 $x$ 轴有 1 个交点; $\triangle=b^{2}-4 a c<0$ 时, 抛物线与 $x$ 轴没有交点.
题目（九年级 · 解析几何）：将拋物线 $y=x^{2}$ 向上平移 3 个单位，所得拋物线的解析式是（）

选项：
A. $y=x^{2}+3$
B. $y=x^{2}-3$
C. $y=(x+3)^{2}$
D. $y=(x-3)^{2}$

答案：A
解析：根据二次函数变化规律即可解答.

【详解】解: $\because$ 抛物线 $y=x^{2}$ 向上平移 3 个单位,

$\therefore$ 平移后的解析式为: $y=x^{2}+3$.

故选: A.

【点睛】本题主要考查了二次函数图像的平移, 掌握平移规律“左加右减, 上加下减”是解题关键.
题目（九年级 · 解析几何）：函数 $y=-2 x^{2}-8 x+m$ 的图象上有两点 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$, 若 $-2<x_{1}<x_{2}$,则下列结论正确的是（ ）

选项：
A. $y_{1}<y_{2}$
B. $y_{1}>y_{2}$
C. $y_{1}=y_{2}$
D. $y_{1} 、 y_{2}$ 的大小不确定

答案：B
解析：试题分析：根据配方法对式子配方： $y=-2 x^{2}-8 x+m=-2(x+2)^{2}+m+8$, 然后确定对称轴是 $\mathrm{x}=-2$, 开口向下, 距离对称轴越近, 函数值越大, 因此可由 $-2<x_{1}<x_{2}$, 得 $\mathrm{y}_{1}>\mathrm{y}_{2}$.故选 B.

考点: 1.配方法, 2.二次函数的图像与性质
题目（九年级 · 解析几何）：二次函数 $y=a x^{2}+b x+c(a, b, c$ 是常数, $a \neq 0)$ 的自变量 $x$ 与函数值 $y$ 的部分对应值如下表:

| $x$ | $\cdots$ | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | $\cdots$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $y=a x^{2}+b x+c$ | $\cdots$ | $m$ | 2 | 1 | 2 | $n$ | $t$ | $\cdots$ |

下列说法错误的是 ( )

选项：
A. $a b c>0$
B. -4 和 2 是方程 $a x^{2}+b x+c=t$ 的两个根
C. $0<m+n<4$
D. 二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 的图象与 $x$ 轴

无交点


答案：C
解析：由表格可知, 二次函数以直线 $x=-1$ 为对称轴, 有最小值, 顶点坐标为 $(-1,1)$, 设该二次函数的解析式为 $y=a(x+1)^{2}+1$, 将 $(0,2)$ 代入求得 $a=1$, 可得解析式, 进而可知 $b=2$, $c=3$, 则 $a b c>0$, 可判断 $\mathrm{A}$ 的正误; 根据 $\Delta=b^{2}-4 a c=4-6=-2<0$, 可判断 $\mathrm{D}$ 的正误;
根据 $(2, t),(-4, t)$ 均在 $y=a x^{2}+b x+c$ 的图象上, 可判断 B 的正误; 根据当 $x<-1$ 时, $y$ 随着 $x$ 的增大而减小, $(-3, m)$ 与 $(1, n)$ 关于对称轴对称，可判断 $\mathrm{C}$ 的正误.

【详解】解: 由表格可知, 二次函数以直线 $x=-1$ 为对称轴, 有最小值, 顶点坐标为 $(-1,1)$,设该二次函数的解析式为 $y=a(x+1)^{2}+1$,

将 $(0,2)$ 代入得, $a+1=2$,

解得 $a=1$,

$\therefore$ 该二次函数的解析式为 $y=x^{2}+2 x+3$,

$\therefore b=2, \quad c=3$,

$\therefore a b c>0$, 故 A 正确, 不符合题意;

$\because \Delta=b^{2}-4 a c=4-6=-2<0$,

$\therefore$ 二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 的图象与 $x$ 轴无交点, 故 D 正确, 不符合题意;

$\because(2, t)$ 关于对称轴的对称点坐标为 $(-4, t)$,

$\therefore(2, t),(-4, t)$ 均在 $y=a x^{2}+b x+c$ 的图象上,

$\therefore 2^{2} a+2 b+c=t, \quad(-4)^{2} a+(-4) b+c=t$,

$\therefore-4$ 和 2 是方程 $a x^{2}+b x+c=t$ 的两个根, 故 B 正确, 不符合题意;

$\because a=1>0$,

$\therefore$ 当 $x<-1$ 时, $y$ 随着 $x$ 的增大而减小;

$\because-3<-2$,

$\therefore m>2$,

$\because(-3, m)$ 与 $(1, n)$ 关于对称轴对称,

$\therefore m=n$,

$\therefore m+n=2 m>4$, 故 C 错误, 不符合题意;

故选: C.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质, 二次函数与 $x$ 轴的交点, 二次函数与一元二次方程的联系等知识. 解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.
题目（九年级 · 解析几何）：若二次函数 $y=x^{2}-4 x+c$ 的图像经过点 $(0,3)$, 则函数的最小值是 ( )

选项：
A. -1
B. 3
C. 5
D. 7

答案：A
解析：把点 $(0,3)$ 代入二次函数 $y=x^{2}-4 x+c$ 求出 $c$ 的值, 根据二次函数解析式变为顶点式, 由此即可求出最小值.

【详解】解: 二次函数 $y=x^{2}-4 x+c$ 的图像经过点 $(0,3)$,

$\therefore c=3$, 则二次函数解析式为 $y=x^{2}-4 x+3$,

$\therefore$ 二次函数的顶点式为 $y=(x-2)^{2}-1$,

$\therefore$ 顶点为 $(2,-1)$, 最小值为 -1 ,

故选: A.

【点睛】本题主要考查二次函数的最值问题, 掌握二次函数顶点式是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：若在同一平面直角坐标系中, 作 $y=3 x^{2}, y=x^{2}-2, y=-2 x^{2}+1$ 的图象, 则它们( )

选项：
A. 开口方向相同
B. 互相可以通过平移得到
C. 都经过原点
D. 都关于 $y$ 轴对称

答案：D
解析：写出题目中各个函数图象的开口方向、对称轴和当 $x=0$ 时对应的 $y$ 的值, 即可判断哪个选项是符合题意的.

【详解】解: 函数 $y=3 x^{2}$ 的图象开口向上, 对称轴是 $y$ 轴, 过点 $(0,0)$,函数 $y=x^{2}-2$ 的图象开口向上, 对称轴是 $y$ 轴, 过点 $(0,-2)$,函数 $y=-2 x^{2}+1$ 的图象开口向下, 对称轴是 $y$ 轴, 过点 $(0,1)$,它们的二次项系数不同, 故它们开口大小不同, 不能通过互相平移得到,故 D 符合题意, 选项 A、B、C 不符合题意;

故选: D.

【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征, 解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.
题目（九年级 · 解析几何）：当 $\mathrm{a}<0$ 时, 方程 $a x^{2}+b x+c=0$ 无实数根, 则二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 的图像一定在 ( )

选项：
A. $\mathrm{x}$ 轴上方
B. $x$ 轴下方
C. $\mathrm{y}$ 轴右侧
D. $\mathrm{y}$ 轴左侧

答案：B
解析：先根据判别式的意义得到 $\Delta=\mathrm{b}^{2}-4 \mathrm{ac}<0$, 再根据抛物线与 $\mathrm{x}$ 轴的交点问题可判断二次函数 $\mathrm{y}=\mathrm{ax}+\mathrm{2}+\mathrm{x}+\mathrm{c}$ 的图象与 $\mathrm{x}$ 轴没有交点, 然后利用抛物线开口向下可判断抛物线在 $\mathrm{x}$ 轴下方.

【详解】 $\because$ 方程 $\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0$ 无实数根,

$\therefore \mathrm{b}^{2}+4 \mathrm{ac}<0$, 即函数图形与 $\mathrm{x}$ 轴没有交点

又 $\because \mathrm{a}<0$,

$\therefore$ 二次函数 $\mathrm{y}=\mathrm{ax}+{ }^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{c}$ 的图像一定在 $\mathrm{x}$ 轴下方

故选 B.
题目（九年级 · 解析几何）：二次函数 $y=a(x-1)^{2}+b(a \neq 0)$ 的图像经过点 $(0,2)$, 则 $\mathrm{a}+\mathrm{b}$ 的值是 ( )

选项：
A. -3
B. -1
C. 2
D. 3

答案：C
解析：根据二次函数图象上点的坐标特征，把点 $(0,2)$ 直接代入解析式即可得到答案.

【详解】 $\because$ 二次函数 $y=a(x-1)^{2}+b(a \neq 0)$ 的图象经过点 $(0,2)$,

$\therefore 2=a \cdot(0-1)^{2}+b$,

$\therefore a+b=2$.

故选: C.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征: 二次函数图象上点的坐标满足其解析式.
题目（九年级 · 解析几何）：如果一个矩形的周长与面积的差是定值 $m(2<m<4)$, 我们称这个矩形为“定差值矩形”.如图, 在矩形 $A B C D$ 中, $A B=x, A D=y, 2(x+y)-x y=\frac{7}{2}$, 那么这个“定差值矩形”的对角线 $A C$ 的长的最小值为 ( )



选项：
A. $\frac{\sqrt{7}}{2}$
B. $\sqrt{5}$
C. $\sqrt{3}$
D. $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$


答案：C
解析：根据矩形的性质，由勾股定理可得 $A C^{2}=x^{2}+y^{2}=(x+y-2)^{2}+3$, 由二次函数的性质可求解.

【详解】解: $\because$ 在矩形 $A B C D$ 中, $\angle B=90^{\circ}, B C=A D=y, A B=x$,

$\therefore A C^{2}=A B^{2}+B C^{2}$,

$\therefore A C^{2}=x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2 x y$,

$\because 2(x+y)-x y=\frac{7}{2}$,

$\therefore x y=2(x+y)-\frac{7}{2}$,

$\therefore A C^{2}=x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2 x y=(x+y)^{2}-4(x+y)+7=(x+y-2)^{2}+3$,

$\therefore$ 当 $x+y=2$ 时, $A C^{2}=3$,

$\therefore A C$ 有最小值为 $\sqrt{3}$ (取正值),

故选: C.

【点睛】本题考查了矩形的性质, 勾股定理, 二次函数的性质, 掌握相关性质是本题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：如图是二次函数 $\mathrm{y}=a x^{2}+b x+c$ 图象的一部分, 图象过点 $A(-3,0)$, 对称轴为直线 $\mathrm{x}=-1$,给出四个结论: (1) $\mathrm{c}>0$; (2) $4 \mathrm{a}-2 \mathrm{~b}+\mathrm{c}>0$. (3) $2 \mathrm{a}-\mathrm{b}=0$; (4)若点 $\mathrm{B}\left(-1.5, \mathrm{y}_{1}\right) 、 \mathrm{C}\left(-2.5, \mathrm{y}_{2}\right)$为函数图象上的两点, 则 $\mathrm{y}_{1}>\mathrm{y}_{2}$; 其中正确结论的个数是（）



选项：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4


答案：D
解析：根据二次函数的性质，结合图中信息，一一判断即可解决问题.

【详解】解：由图象可知, 图象交于 y 轴正半轴,

$\therefore \mathrm{c}>0$,

故(1)正确.

当 $x=-2$ 时, $y=4 a-2 b+c>0$,

故(2)正确.

$\because$ 抛物线对称轴为 $\mathrm{x}=-1$,

$\therefore-\frac{\mathrm{b}}{2 \mathrm{a}}=-1$,

$\therefore 2 \mathrm{a}-\mathrm{b}=0$,

故(3)正确.

$\because \mathrm{B}\left(-1.5, \mathrm{y}_{1}\right) 、 \mathrm{C}\left(-2.5, \mathrm{y}_{2}\right)$ 为函数图象上的两点,

又点 $\mathrm{B}$ 离对称轴近,

$\therefore \mathrm{y}_{1}>\mathrm{y}_{2}$,

故(4)正确,

故选 D.

【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题，属于中考常考题型.
题目（九年级 · 解析几何）：若抛物线 $y=x^{2}+2 x-3$ 不动, 将平面直角坐标系先沿水平方向向左平移 2 个单位长度, 再沿铅垂方向向下平移 3 个单位长度, 则原拋物线的解析式应变为（ ）

选项：
A. $y=(x-2)^{2}+3$ B. $y=(x-1)^{2}-1$
C. $y=(x+3)^{2}-7$
D. $y=x^{2}+4$

答案：B
解析：判定出抛物线的平移规律, 根据左加右减, 上加下减的规律即可解决问题.

【详解】解: 将平面直角坐标系 $x O y$ 先沿水平方向向左平移 2 个单位长度, 再沿铅垂方向向下平移 3 个单位长度, 这个相当于把抛物线向右平移 2 个单位长度,再向上平移 3 个单位长度，

$\because y=x^{2}+2 x-3=(x+1)^{2}-4$,

$\therefore$ 原拋物线图象的解析式应变为 $y=(x+1-2)^{2}-4+3=(x-1)^{2}-1$.

故选: B.

【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 二次函数 $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ 的图象过点 $(-2,0)$, 对称轴为直线 $x=1$. 有以下结论: (1) $a b c>0$; (2) $8 a+c>0$; (3)若 $A\left(x_{1}, m\right), B\left(x_{2}, m\right)$ 是抛物线上的两点, 当 $x$ $=x_{1}+x_{2}$ 时, $y=c$; (4)点 $M, N$ 是拋物线与 $x$ 轴的两个交点, 若在 $x$ 轴下方的拋物线上存在一点 $P$, 使得 $P M \perp P N$, 则 $a$ 的取值范围为 $a \geq \frac{1}{3}$; (5)若方程 $a(x+2)(4-x)=-2$的两根为 $x_{1}, x_{2}$, 且 $x_{1}<x_{2}$, 则 $-2 \leq x_{1}<x_{2}<4$. 其中正确结论的序号是 ( )



选项：
A. (1)(2)(4)
B. (1)(3)(4)
C. (1)(3)(5)
D. (1)(2)(3)(5)


答案：B
解析：根据二次函数的图象与性质即可求出答案.

【详解】解：(1)由图象可知： $a>0, c<0$, $-\frac{b}{2 a}>0$,

$\therefore b<0$

$\therefore a b c>0$,

故(1)正确;

(2) $\because$ 抛物线的对称轴为直线 $x=1$, 抛物线的对称轴为直线 $x=1$,

$\therefore-\frac{b}{2 a}=1$,

$\therefore b=-2 a$,

当 $x=-2$ 时, $y=4 a-2 b+c=0$,

$\therefore 4 a+4 a+c=0$,

$\therefore 8 a+c=0$,

故(2)错误;

(3) $\because A\left(x_{1}, m\right), B\left(x_{2}, m\right)$ 是抛物线上的两点,

由拋物线的对称性可知: $x_{1}+x_{2}=1 \times 2=2$,

$\therefore$ 当 $x=2$ 时, $y=4 a+2 b+c=4 a-4 a+c=c$,

故(3)正确;

(4)由题意可知: $M, N$ 到对称轴的距离为 3 ,

当抛物线的顶点到 $x$ 轴的距离不小于 3 时,

在 $x$ 轴下方的抛物线上存在点 $P$, 使得 $P M \perp P N$,

即 $\frac{4 a c-b^{2}}{4 a} \leq-3$,

$\because 8 a+c=0$,

$\therefore c=-8 a$,

$\because b=-2 a$,

$\therefore \frac{4 a \cdot(-8 a)-(-2 a)^{2}}{4 a} \leq-3$,

解得: $a \geq \frac{1}{3}$,

故(4)正确;

(5)易知抛物线与 $x$ 轴的另外一个交点坐标为 $(4,0)$,

$\therefore y=a x^{2}+b x+c=a(x+2)(x-4)$

若方程 $a(x+2)(4-x)=-2$,

即方程 $a(x+2)(x-4)=2$ 的两根为 $x_{1}, x_{2}$,

则 $x_{1} 、 x_{2}$ 为抛物线与直线 $y=2$ 的两个交点的横坐标,

$\because x_{1}<x_{2}$

$\therefore x_{1}<-2<4<x_{2}$,
故(5)错误;

故选: B.

【点睛】本题考查二次函数, 解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质.
题目（九年级 · 解析几何）：抛物线 $y=-2(x-3)^{2}-4$ 的顶点坐标是（）

选项：
A. $(-3,4)$
B. $(-3,-4)$
C. $(3,-4)$
D. $(3,4)$

答案：C
解析：根据二次函数的顶点式的特点即可得出答案.

【详解】解：由抛物线的顶点式 $y=-2(x-3)^{2}-4$ 可得:

该拋物线的顶点坐标为 $(3,-4)$,

故选: C.

【点睛】本题主要考查抛物线的顶点式, 掌握二次函数的顶点式是解题的关键, 即在 $y=a(x-h)$ ${ }^{2}+k$ 中, 顶点坐标为 $(h, k)$, 对称轴为 $x=h$.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 一小球从斜坡 $O$ 点处拋出, 球的拋出路线可以用二次函数 $y=-\frac{1}{2} x^{2}+4 x$ 刻画，斜坡可以用一次函数 $y=\frac{1}{2} x$ 刻画. 则下列结论错误的是（）




选项：
A. 当小球达到最高处时, 它离斜坡的坚直距离是 $6 \mathrm{~m}$

B. 当小球落在斜坡上时, 它离 $O$ 点的水平距离是 $7 \mathrm{~m}$

C. 小球在运行过程中，它离斜坡的最大坚直距离是 $6 \mathrm{~m}$

D. 该斜坡的坡度是 $1: 2$


答案：C
解析：根据二次函数的性质求出顶点坐标判断 A ; 列方程组求出二次函数与一次函数的交点坐标判断 B; 根据二次函数的性质判断 $\mathrm{C}$, 根据坡度的定义判断 D.

【详解】解: $\because y=-\frac{1}{2} x^{2}+4 x=-\frac{1}{2}(x-4)^{2}+8$,

$\therefore$ 顶点坐标为 $(4,8)$,

把 $x=4$ 代入 $y=\frac{1}{2} x$ 得, $y=2$,

当小球达到最高处时, 它离斜坡的坚直距离 $=8-2=6(\mathrm{~m})$, 故 A 正确, 不符合题意;

$\left\{\begin{array}{c}y=-\frac{1}{2} x^{2}+4 x \\ y=\frac{1}{2} x\end{array}\right.$

解得, $\left\{\begin{array}{l}x_{1}=0 \\ y_{1}=0\end{array},\left\{\begin{array}{l}x_{2}=7 \\ y_{2}=\frac{7}{2},\end{array}\right.\right.$

$\therefore$ 当小球落在斜坡上时, 它离 $O$ 点的水平距离是 $7 m$, 故 B 正确, 不符合题意;

小球在运行过程中, 它离斜坡的坚直距离 $=-\frac{1}{2} x^{2}+4 x-\frac{1}{2} x=-\frac{1}{2}\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}+\frac{49}{8}$,

则小球在运行过程中, 它离斜坡的最大坚直距离为 $\frac{49}{8}>6, \mathrm{C}$ 错误, 符合题意;

$\because$ 斜坡可以用一次函数 $y=\frac{1}{2} x$ 刻画,

$\therefore$ 该斜坡的坡度是1: 2, D 正确, 不符合题意;

故选: C.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用一坡度坡角问题、二次函数与一次函数的交点坐标, 掌握坡度的概念、正确求出二次函数与一次函数的交点坐标是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：抛物线 $y=2 x^{2}-1$ 具有的性质是（）

选项：
A. 开口向下
B. 对称轴是 $x$ 轴
C. 有最高点
D. 对称轴是 $y$ 轴

答案：D
解析：根据题目中的抛物线的解析式可以判断各个选项中的说法是否正确.

【详解】解: 抛物线 $y=2 x^{2}-1$, 开口向上, 对称轴是 $x=-\frac{b}{2 a}=-\frac{0}{4}=0$, 是 $y$ 轴, 有最低点,故选: D.

【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值, 解答本题的关键是明确题意, 利用二次函数的性质解答.
题目（九年级 · 解析几何）：已知抛物线 $y=(x-1)^{2}+2$, 下列结论中正确的是（）

选项：
A. 拋物线的开口向上
B. 抛物线的对称轴为直线 $x=-1$
C. 抛物线的顶点坐标为 $(-1,2)$
D. 当 $x>1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小

答案：A
解析：根据二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标以及增减性对各选项分析判断即可得解.

【详解】解: 拋物线 $y=(x-1)^{2}+2$ 中, $a>0$, 拋物线开口向上, 因此 $\mathrm{A}$ 选项正确, 符合题意;

由解析式得, 对称轴为直线 $x=1$, 因此 B 选项不正确, 不符合题意;

由解析式得, 当 $x=1$ 时, $y$ 取最小值, 最小值为 2 , 所以抛物线的顶点坐标为 $(1,2)$, 因此 $\mathrm{C}$选项不正确, 不符合题意;

因为抛物线开口向上, 对称轴为直线 $x=1$, 因此当 $x>1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而增大, 因此 $\mathrm{D}$ 选项错误，不符合题意;

故选 A.

【点睛】本题主要考查二次函数的性质, 掌握二次函数的顶点式是解题的关键, 即在 $y=a(x-h)^{2}+k$ 中, 对称轴为 $x=h$, 顶点坐标为 $(h, k)$.
题目（九年级 · 解析几何）：对于抛物线 $y=-2(x+1)^{2}+3$, 下列结论：(1)抛物线的开口向下; (2)对称轴为直线 $x=1$; (3)顶点坐标为 $(-1,3)$; (4) $x>-1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小，其中正确结论的个数为 ( )

选项：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案：C
解析：直接根据二次函数 $y=a(x-h)^{2}+k$ 的性质进行解答即可.

【详解】解: (1) $\because a=-\frac{1}{2}<0$,

$\therefore$ 抛物线的开口向下, 正确;

(2)对称轴为直线 $x=-1$, 故本小题错误;

(3)顶点坐标为 $(-1,3)$, 正确;

(4) $\because x>-1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小;

综上所述, 结论正确的个数是(1)(3)(4)共 3 个.

故选: C.

【点睛】本题考查了二次函数顶点式的性质, 熟练掌握二次函数的几种形式的基本性质是解本题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：小张同学说出了二次函数的两个条件:

(1)当 $x<1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而增大;

(2)函数图象经过点 $(-2,4)$.

则符合条件的二次函数表达式可以是(）

选项：
A. $y=-(x-1)^{2}-5$
B. $y=2(x-1)^{2}-14$
C. $y=-(x+1)^{2}+5$
D. $y=-(x-2)^{2}+20$


答案：D
解析：分析】可可求得答案.分别求出各选项的对称轴, 判断拋物线开口方向, 结合图象,

判断函数值的增减; 把点 $(-2,4)$ 代入解析式可得答案.

【详解】A. 对称轴是 $\mathrm{x}=1$, 开口向下, 当 $\mathrm{x}<1$ 时, $\mathrm{y}$ 随 $\mathrm{x}$ 的增大而增大，当 $\mathrm{x}=-2$ 时， $\mathrm{y} \neq 4$, 不符合条件;

B. 对称轴是 $\mathrm{x}=1$, 开口向上，当 $\mathrm{x}<1$ 时, $\mathrm{y}$ 随 $\mathrm{x}$ 的增大而减小, ,不符合条件;

C. 对称轴是 $\mathrm{x}=-1$, 开口向下, 当 $-1<x<1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小, 不符合条件;

D. 对称轴是 $x=2$, 开口向下, 当 $x<1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而增大，当 $x=-2$ 时, $y=4$, 故符号条件;故选 D.

【点睛】本题考核知识点：二次函数的性质.解题的关键在于求出函数的对称轴，结合开口方向，判断函数值的变化情况.
题目（九年级 · 解析几何）：在下列抛物线中，其顶点是（ $-2,1$ ) 的是（）

选项：
A. $y=(x+2)^{2}-1$
B. $y=(x-2)^{2}+1$
C. $y=(x+2)^{2}+1$
D. $y=(x-2)^{2}-1$

答案：C
解析：根据二次函数 $y=a(x-h)^{2}+k(a \neq 0)$ 的顶点坐标为 $(h, k)$, 即可求解.

【详解】解: $A 、 y=(x+2)^{2}-1$ 的顶点为 $(-2,-1)$, 故本选项不符合题意;

$B 、 y=(x-2)^{2}+1$ 的顶点为 $(2,1)$, 故本选项不符合题意;

$C 、 y=(x+2)^{2}+1$ 的顶点为 $(-2,1)$ ，故本选项符合题意;

$D 、 y=(x-2)^{2}-1$ 的顶点为 $2,-1$, 故本选项不符合题意;

故选: C

【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点坐标, 熟练掌握二次函数 $y=a(x-h)^{2}+k(a \neq 0)$ 的顶点坐标为 $(h, k)$ 是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 在平面直角坐标系中, 菱形 $O A B C$ 的顶点 $\mathrm{A}$ 在 $x$ 轴的正半轴上, 顶点 $C$ 的坐标为 $(4,3), D$ 是抛物线 $y=-x^{2}+6 x$ 上一点, 且在 $x$ 轴上方, 则 $\triangle B C D$ 面积的最大值为



选项：
A. 12
B. 9
C. 15
D. 16


答案：C
解析：求出 $B C=O C=5$, 设点 $D\left(x,-x^{2}+6 x\right)$, 然后根据 $\triangle B C D$ 的面积 $=\frac{1}{2} \times B C \times\left(y_{D}-y_{C}\right)$列式，再利用二次函数求最值的方法解答即可.

【详解】解: $\because$ 菱形顶点 $C$ 的坐标为 $(4,3)$,

$\therefore O C=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5$,

$\therefore B C=O C=5$,

设点 $D\left(x,-x^{2}+6 x\right)$,
则 $\triangle B C D$ 的面积 $=\frac{1}{2} B C \times\left(y_{D}-y_{C}\right)=\frac{1}{2} \times 5 \times\left(-x^{2}+6 x-3\right)=-\frac{5}{2}(x-3)^{2}+15$,

$\because-\frac{5}{2}<0$,

$\therefore$ 当 $x=3$ 时, $\triangle B C D$ 面积有最大值 15 ,

故选: C.

【点睛】本题考查的是二次函数的最值问题, 菱形的性质, 勾股定理的应用, 通过点 $C$ 的坐标确定菱形的边长是解答本题的关键.