eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高三 · 计数）：为研究某地区中学生的性别与阅读量的关系, 运用 $2 \times 2$ 列联表进行独立性检验, 经计算 $K^{2}=6.705$, 则所得的结论是: 有把握认为“该地区中学生的性别与阅读量有关系”（ ）附表:

| $P\left(K^{2} \geq k_{0}\right)$ | 0.10 | 0.025 | 0.01 | 0.001 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $k_{0}$ | 2.706 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
选项：
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
答案：C
解析：$$

又由 $\hat{a}=13-5.3 \times 3=-2.9$, 故所求回归直线方程为 $\hat{y}=5.3 x-2.9$;

（2）【解析】 将 $x=7$ 代入 $\hat{y}=5.3 x-2.9$ 中, 求得 $\hat{y}=5.3 \times 7-2.9=34.2 \approx 34$,故预测最后一天参加该活动的人数 34 .

21.答案:（1）解：根据表中的数据:

$y=a+b x$ 适宜作为确诊病例数量 $y$ 关于日期 $x$ 的回归方程类型;

(2) 【解析】 由已知数据得: $\bar{x}=4, \bar{y}=\frac{
题目（高三 · 计数）：某种产品的广告费支出 $\mathrm{x}$ 与销售额 $\mathrm{y}$ (单位: 百万元）之间有如下对应数据:



根据表提供的数据, 求得 $\mathrm{y}$ 关于 $\mathrm{x}$ 的线性回归方程为 $\hat{y}=6.5 x+15.5$, 由于表中有一个数据模糊看不清, 请你推断出该数据的值为 ( )
选项：
A. $
答案：ABD
解析：>3.841$,

因此有 $95 \%$ 的把握认为“成绩与班级有关系”, C 符合题意.

故答案为: C



13.答案: $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{D}$

【解析】 若所有样本点都在直线 $y=-2 x+1$ 上, 且直线斜率为负数, 则 $r=-1, \mathrm{~A} 、 \mathrm{~B}$ 选项均错误;若 $\mid y$ 越大, 则变量 $x$ 与 $y$ 的线性相关性越强, $\mathrm{C}$ 选项正确, D 选项错误.

故答案为: ABD.
题目（高三 · 计数）：某地两防指挥部在汛期对当地一条河流连续进行监测, 下表是最近几日该河流某段的水位情况.河流水位表 (1)

| 第 $x$ 日 | 第 1 日第 2 日 | 第 3 日 | 第 4 日第 5 日第 6 日第 7 日 |  |  |  |  |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 水位 $y$ (米) | 3.5 | 3.7 | 3.8 | 3.9 | 4.3 | 4.4 | 4.8 |

而根据河流的堤防情况规定：水位超过一定高度将分别启动相应预警措施（见下表），当水位达到保证水位时, 防汛进入紧急状态, 防汛部门要按照紧急防汛期的权限, 采取各种必要措施, 确保堤防等工程的安全, 并根据“有限保证、无限负责”的精神, 对于可能出现超过保证水位的工程抢护和人员安全做好积极准备.

水位预警分级表（2）

| 水位 | $\geq 4.7$ | $\geq 5.1$ | $\geq 5.6$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 水位分类 | 设防水位 | 警戒水位 | 保证水位 |
| 预警颜色 | 黄色 | 橙色 | 红色 |

现已根据上表得到水位 $y$ 的回归直线方程为 $\hat{y}=0.21 x+3.217$, 据上表估计（）.
选项：
A. 45
B. 55
C. 50
D. 60
答案：D
解析：因为水位 $y$ 的回归直线方程为 $\hat{y}=0.21 x+3.217$,A. 第 8 日的水位是 $\hat{y}=0.21 	imes 8+3.217=4.897 \in(4.7,5.1)$, 将启动黄色预警, A 不符合题意; B.第 10 日的水位是 $\hat{y}=0.21 	imes 10+3.217=5.317 \in(5.1,5.6)$, 将启动橙色预警, B 不符合题意;C.第 11 日的水位是 $\hat{y}=0.21 	imes 11+3.217=5.527 \in(5.1,5.6)$, 将启动橙色预警, C 不符合题意;D. 第 12 日的水位是 $\hat{y}=0.21 	imes 12+3.217=5.737>5.6$, 将启动红色预警, $\mathrm{D}$ 符合题意; 故答案为: D.
题目（高三 · 计数）：调查某市出租车使用年限 $x$ 和该年支出维修费用 $y$ (万元), 得到数据如下:

| 使用年限 $x$ | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 维修费用 $y$ | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |

则线性回归方程是（）
选项：
A. 60
B. 63
C. 66
D. 69
答案：B
解析：+10+10.5+11}{5}=10, \bar{y}=\frac{11+10+8+6+5}{5}=8$, 则样本中心点为 $(10,8)$,因为回归直线方程为 $\hat{y}=\hat{b} x+40$, 所以有 $8=10 \hat{b}+40$, 解之得 $\hat{b}=-3.2$,

所以 $\hat{y}=-3.2 x+40$, 当 $x=11$ 时, $\hat{y}=4.8$, 则相对应于点 $(11,5)$ 的残差为 $5-4.8=0.2$.

故答案为: D.

3.答案: B

解：独立性检验独立性检验是检验两个分类变量是否相关的一种统计方法,

只是在一定的可信度下进行判断, 不一定正确,

会因为样本不同导致结论可能不同, 带有反证法思想.

故答案为: B
题目（高三 · 计数）：已知随机变量 $X$ 的分布列如下, 则 $p=$


选项：
A. $\frac{1}{12}$
B. $\frac{1}{6}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{5}{12}$
答案：D
解析：答案: D

【解析】 由题意可得 $\frac{1}{12}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+p=1$, 则 $p=\frac{5}{12}$.

故答案为: D
题目（高三 · 计数）：已知 $c>a$ ，随机变量 $\xi, \eta$ 的分布列如下表所示, 则（）

| $\xi$ | 1 | 2 | 3 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $P$ | $a$ | $b$ | $c$ |


| $\eta$ | 3 | 2 | 1 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $P$ | $a$ | $b$ | $c$ |
选项：
A. $E(\xi)>E(\eta), \quad D(\xi)<D(\eta)$
B. $E(\xi)>E(\eta), \quad D(\xi)=D(\eta)$
C. $E(\xi)>E(\eta), \quad D(\xi)>D(\eta)$
D. $E(\xi)<E(\eta), \quad D(\xi)=D(\eta)$
答案：B
解析：答案: B

【解析】 【解析】 $E(\xi)=a+2 b+3 c, E(\eta)=3 a+2 b+c, E(\xi)-E(\eta)=2 c-2 a>0, E(\xi)>E(\eta)$,

令 $a=b=0, c=1$, 则 $E(\xi)=3, E(\eta)=1, D(\xi)=0, D(\eta)=0$;

故答案为: B
题目（高三 · 计数）：中国剪纸是我国广大劳动人民在生产与生活实践中创造出来的一种平面剪刻艺术. 民间剪纸艺术是我国优秀的非物质文化遗产之一, 在千百年的发展过程中, 积淀了丰厚的文化历史, 取得了卓越的艺术成就. 2020 年 3 月发行的邮票《中国剪纸（二）》共 4 枚, 第一枚邮票《三娘教子》（如图 1)出自“孟母教子”的故事, 讲述了母亲通过断织等行为教育孩子努力上进, 懂得感恩. 图 2 是某剪纸艺术家根据第一枚邮票用一张半径为 4 个单位的圆形纸片裁剪而成的《三娘教子》剪纸. 为了测算图 2 中有关部分的面积, 在圆形区域内随机投郑 400 个点, 其中落入图案上的点有 225 个, 据此可估计剪去部分纸片的面积为（ ）



图 1


选项：
A. $12 \pi$
B. $9 \pi$
C. $7 \pi$
D. $6 \pi$
答案：C
解析：答案: C

【解析】 $\because$ 剪去部分纸片上共有 $400-225=175$ 个点,
$\therefore$ 剪去部分纸片的面积为 $\frac{175}{400} \times 16 \pi=7 \pi$.

故答案为: C.
题目（高三 · 计数）：已知在某市的一次学情检测中, 学生的数学成绩 $X$ 服从正态分布 $\mathrm{N}(100,100)$, 其中 90 分为及格线, 120 分为优秀线. 下列说法正确的是 ( )

附: 随机变量 $\bar{\xi}$ 服从正态分布 $N\left(u, \sigma^{2}\right)$, 则 $P(\mu-\sigma<\xi<u+\sigma)=0.6826$, $P(\mu-2 \sigma<\xi<\mu+2 \sigma)=0.9544, \quad P(u-3 \sigma<\xi<\mu+3 \sigma)=0.9974$.
选项：
A. 该市学生数学成绩的期望为 100

B. 该市学生数学成绩的标准差为 100

C. 该市学生数学成绩及格率超过
答案：AC
解析：数学成绩 $X$ 服从正态分布 $\mathrm{N}(100,100)$, 则数学成绩的期望为 100 , 数学成绩的标准差为 10 , $\mathrm{A}$ 符合题意 $\mathrm{B}$ 不符合题意;及格率为 $p_{1}=1-rac{1-P(100-10<\zeta<100+10)}{2}=0.8413$, C 符合题意; 不及格概率为 $p_{2}=0.1587$, 优秀概率 $p_{3}=rac{1-P(100-20<\xi<100+20)}{2}=0.0228$, $\mathrm{D}$ 不符合题意.故答案为: AC.
题目（高三 · 计数）：已知随机变量 $\xi$ 服从二项分布 $\xi \sim B\left(4, \frac{1}{3}\right)$, 则 $P(\xi=3)=(\quad)$.
选项：
A. $\frac{32}{81}$
B. $\frac{16}{81}$
C. $\frac{24}{81}$
D. $\frac{8}{81}$
答案：D
解析：答案: D



则 $P(\xi=3)=C_{4}^{3} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{3} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{1}=4 \times \frac{2}{81}=\frac{8}{81}$,

故答案为: D.

3.答案: C

【解析】 因为 $\mu=7$, 所以根据正态曲线的对称性知,

$P(X \geq 11)=P(X \leq 3)=1-P(X>3)=1-
题目（高三 · 计数）：新型冠状病毒肺炎的潜伏期 X(单位: 日)近似服从正态分布: $X \sim N\left(7, \sigma^{2}\right)$, 若 $P(X>3)=0.872$,则可以估计潜优期大于等于 11 天的概率为（ ）
选项：
A.
答案：C
解析：因为 $\mu=7$, 所以根据正态曲线的对称性知,P(X \geq 11)=P(X \leq 3)=1-P(X>3)=1-0.872=0.128$.故答案为: C
题目（高三 · 计数）：若随机变量 $X$ 的分布列如下:



则当 $P(X<m)=0.5$ 时, $m$ 的取值范围是 ( $)$
选项：
A. $m \leqslant 2$
B. $0<m \leq 1$
C. $0<m \leq 2$
D. $1<m<2$
答案：B
解析：由题意可得 $P(X<-2)=0.1, P(X<0)=0.3, P(X<1)=0.5$, 则 $m \in(0,1]$.
题目（高三 · 计数）：袋子中装有若干个均匀的红球和白球，从中摸出一个红球的概率是 $\frac{1}{3}$, 依次从中有放回地摸球, 每次摸出一个, 累计 2 次摸到红球即停止. 记 3 次之内（含 3 次）摸到红球的次数为 $\xi$, 则随机变量 $\xi$ 的数学期望 $E \xi(\quad)$
选项：
A. $\frac{26}{27}$
B. $\frac{28}{27}$
C. $\frac{8}{9}$
D. $\frac{2}{3}$
答案：A
解析：答案: A
解：由题意可得 $\xi$ 的取值为 $0,1,2$,

$P(\xi=0)=\left(1-\frac{1}{3}\right)^{3}=\frac{8}{27}, \quad P(\xi=1)=C_{3}^{1} \times \frac{1}{3} \times\left(1-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$,

$P(\xi=2)=C_{2}^{1} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3}+\frac{1}{3} \times \frac{1}{3}=\frac{7}{27}$,

所以数学期望 $E \xi=0 \times \frac{8}{27}+1 \times \frac{4}{9}+2 \times \frac{7}{27}=\frac{26}{27}$.

故答案为: A
题目（高三 · 计数）：在新冠肺炎疫情防控期间, 某超市开通网上销售业务, 每天能完成 1200 份订单的配货, 由于订单量大幅增加, 导致订单积压. 为解决困难, 许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压 500 份订单未配货, 预计第二天的新订单超过 1600 份的概率为 0.05 , 志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货, 为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95 , 则至少需要志愿者 ( )
选项：
A. 10 名
B. 18 名
C. 24 名
D. 32 名
答案：B
解析：答案: B

【解析】 由题意, 第二天新增订单数为 $500+1600-1200=900$,

故需要志愿者 $\frac{900}{50}=18$ 名.

故答案为: B
题目（高三 · 计数）：已知随机变量 $\xi$ 的取值为 $i(i=0,1,2)$. 若 $P(\xi=0)=\frac{1}{5}, E(\xi)=1$, 则 $D(2 \xi-3)=(\quad)$
选项：
A. $\frac{2}{5}$
B. $\frac{4}{5}$
C. $\frac{8}{5}$
D. $\frac{16}{5}$
答案：C
解析：答案: C

【解析】 由题意, 设 $P(\xi=1)=p$, 则 $P(\xi=2)=1-\frac{1}{5}-p=\frac{4}{5}-p$,

又 $E(\xi)=0 \times \frac{1}{5}+1 \times p+2\left(\frac{4}{5}-p\right)=1$, 解得 $p=\frac{3}{5}$,

所以 $P(\xi=1)=\frac{3}{5}, P(\xi=2)=\frac{1}{5}$,

则 $D(\xi)=\frac{1}{5}(1-0)^{2}+\frac{3}{5}(1-1)^{2}+\frac{1}{5}(1-2)^{2}=\frac{2}{5}$,

所以 $D(2 \xi-3)=4 D(\xi)=\frac{8}{5}$.

故答案为: C.
题目（高三 · 计数）：一个长方形塑料箱子中装有 20 个大小相同的乒乓球, 其中标有数字 0 的有 10 个, 标有数字 $n$ 的有 $n$ 个 ( $n=1,2,3,4)$. 现从该长方形塑料箱子中任取一球, 其中 $X$ 表示所取球的标号. 若 $\eta=a X+b(a>0), E(\eta)=1, D(\eta)=11$, 则 $a+b=(\quad)$
选项：
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：A
解析：答案: A

【解析】 $X$ 的可能取值为: $0,1,2,3,4$,

则 $p(X=0)=\frac{1}{2}, p(X=1)=\frac{1}{20}$,

$p(X=2)=\frac{1}{10}, p(X=3)=\frac{3}{20}, p(X=4)=\frac{1}{5}$,

所以 $\mathrm{X}$ 的分布列为

| $\mathrm{X}$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $\mathrm{P}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{20}$ | $\frac{1}{10}$ | $\frac{3}{20}$ | $\frac{1}{5}$ |

所以 $E(X)=0 \times \frac{1}{2}+1 \times \frac{1}{20}+2 \times \frac{1}{10}+3 \times \frac{3}{20}+4 \times \frac{1}{5}=
题目（高三 · 计数）：设随机变量 $\xi$ 的分布列为 $P\left(\xi=\frac{k}{5}\right)=a k(k=1,2,3,4,5)$, 则（）
选项：
A. $15 a=1$
B. $P(
答案：ABC
解析：$ecause$ 随机变量 $\xi$ 的分布列为 $P\left(\xi=rac{k}{5}ight)=a k(k=1,2,3,4,5)$ $	herefore P\left(\xi=rac{1}{5}ight)+P\left(\xi=rac{2}{5}ight)+P\left(\xi=rac{3}{5}ight)+P\left(\xi=rac{4}{5}ight)+P(\xi=1)$ $=a+2 a+3 a+4 a+5 a=15 a=1, \quad$ 解得 $a=rac{1}{15}$, A 符合题意;$	herefore P(0.5<\xi<0.8)=P\left(\xi=rac{3}{5}ight)=3 	imes rac{1}{15}=0.2$, B 符合题意;$	herefore P(0.1<\xi<0.5)=P\left(\xi=rac{1}{5}ight)+P\left(\xi=rac{2}{5}ight)=rac{1}{15}+2 	imes rac{1}{15}=0.2$, C 符合题意;$	herefore P(\xi=1)=5 	imes rac{1}{15}=rac{1}{3} 
eq 0.3$, D 不符合题意.故答案为: $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B} 、 \mathrm{C}$.
题目（高三 · 计数）：若随机变量 $X$ 的分布列如下:



则当 $P(X<m)=0.5$ 时, $m$ 的取值范围是 ( )
选项：
A. $m \leqslant 2$
B. $0<m \leq 1$
C. $0<m \leq 2$
D. $1<m<2$
答案：B
解析：答案: B

【解析】 由题意可得 $P(X<-2)=
题目（高三 · 计数）：一个袋中装有大小相同的 5 个白球和 3 个红球，现在不放回的取 2 次球，每次取出一个球，记“第 1 次拿出的是白球”为事件 A, “第 2 次拿出的是白球”为事件 B, 则事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率是 ( )
选项：
A. $\frac{4}{7}$
B. $\frac{5}{16}$
C. $\frac{5}{8}$
D. $\frac{5}{14}$
答案：A
解析：由题意可理解为条件概率, 则可由条件概率公式得; $P(B / A)=rac{n(A \cdot B)}{n(A)}=rac{5 	imes 4}{5 	imes 7}=rac{4}{7}$
题目（高三 · 计数）：若随机变量 $\mathrm{X}$ 的分布列如下表, 则 $E(X)=$ ( )


选项：
A. $\frac{1}{18}$
B. $\frac{1}{9}$
C. $\frac{9}{20}$
D. $\frac{20}{9}$
答案：D
解析：答案: D

【解析】 $\because 2 x+3 x+7 x+2 x+3 x+x=1, \therefore x=\frac{1}{18}, E(X)=3 x+14 x+6 x+12 x+5 x=40 x=\frac{20}{9}$,

故答案为: D
题目（高三 · 计数）：随机变量 $\mathrm{X}$ 的取值范围为 $0,1,2$, 若 $P(X=0)=\frac{1}{4}, E(X)=1$, 则 $\mathrm{D}(\mathrm{X})=(\quad)$
选项：
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{3}{4}$
答案：C
解析：答案: C

【解析】 设 $P(X=1)=p, P(X=2)=q$,

由题意, $E(X)=0 \times \frac{1}{4}+p+2 q=1$, 且 $\frac{1}{4}+p+q=1$,

解得 $p=\frac{1}{2}, q=\frac{1}{4}$,

$\therefore D(X)=\frac{1}{4}(0-1)^{2}+\frac{1}{2}(1-1)^{2}+\frac{1}{4}(2-1)^{2}=\frac{1}{2}$,

故答案为: C.
题目（高三 · 计数）：随机变量 $X$ 的分布列如下表所示, 则 $E(2 X-1)=$

| $X$ | -2 | -1 | 1 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $P$ | $\frac{1}{6}$ | $a$ | $\frac{1}{3}$ |
选项：
A. 0
B. $-\frac{1}{2}$
C. -1
D. -2
答案：D
解析：答案: D

【解析】 由随机变量的分布列的性质, 可得 $\frac{1}{6}+a+\frac{1}{3}=1$, 解得 $a=\frac{1}{2}$,

则 $E(X)=-2 \times \frac{1}{6}+(-1) \times \frac{1}{2}+1 \times \frac{1}{3}=-\frac{1}{2}$,

所以 $E(2 X-1)=2 E(X)-1=2 \times\left(-\frac{1}{2}\right)-1=-2$.

故答案为: D.
题目（高三 · 计数）：若样本数据 $x_{1}, x_{2} \cdots, x_{10}$ 的标准差为 8 , 则数据 $2 x_{1}-1,2 x_{2}-1, \cdots, 2 x_{10}-1$ 的标准差为 ( )
选项：
A. 8
B. 15
C. 16
D. 32
答案：C
解析：答案: C

【解析】 样本数据 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{10}$ 的标准差为 8 , 所以方差为 64 ,

由 $D(2 X-1)=4 D(x)$ 可得数据 $2 x_{1}-1,2 x_{2}-1, \cdots, 2 x_{10}-1$ 的方差为 $4 \times 64$, 所以标

准差为 $\sqrt{4 \times 64}=16$.

故答案为: C
题目（高三 · 计数）：在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成 1200 份订单的配货，由于订单量大幅增加, 导致订单积压.为解决困难, 许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压 500 份订单未配货, 预计第二天的新订单超过 1600 份的概率为 0.05 , 志愿者每人每天能完成 50 份订单的配货, 为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于 0.95 , 则至少需要志愿者 ( )
选项：
A. 10 名
B. 18 名
C. 24 名
D. 32 名
答案：B
解析：答案: B
【解析】 由题意, 第二天新增订单数为 $500+1600-1200=900$,

故需要志愿者 $\frac{900}{50}=18$ 名.

故答案为: B
题目（高三 · 计数）：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 $p$, 各成员的支付方式相互独立, 设 $X$ 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数, $D X=2.4, P(\zeta=2)=\frac{C_{4}^{1}}{C_{5}^{2}} \times \frac{C_{5}^{1} C_{2}^{1}}{C_{10}^{2}}+\frac{C_{4}^{2}}{C_{5}^{2}} \times \frac{C_{2}^{2}}{C_{10}^{2}}=\frac{4}{10} \times \frac{16}{45}+\frac{6}{10} \times \frac{1}{45}=\frac{35}{225}$,则 $p=($ )
选项：
A.
答案：C
解析：答案: $\mathrm{B}$

【解析】 $\because \mathrm{D}(\mathrm{X})=\mathrm{np}(1-\mathrm{p})$

$\therefore \mathrm{p}=
题目（高三 · 计数）：一袋中有 5 个白球, 3 个红球, 现从袋中往外取球, 每次任取一个记下颜色后放回, 直到红球出现 10 次时停止, 设停止时共取了 $\zeta$ 次球, 则 $P(\zeta=12)$ 等于 ( )
选项：
A. $C_{12}^{10}\left(\frac{3}{8}\right)^{10}\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$
B. $C_{11}^{9}\left(\frac{3}{8}\right)^{10}\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$
B. C. $C_{11}^{9}\left(\frac{5}{8}\right)^{9}\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$
D. $C_{11}^{9}\left(\frac{3}{8}\right)^{9}\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$
答案：B
解析：答案: B

【解析】 根据题意, 由于一袋中有 5 个白球, 3 个红球, 现从袋中往外取球, 每次任取一个记下颜色后放回, 直到红球出现 10 次时停止, 当取出 12 次球就停止了, 说民最后一次取出的为红球, 前 11 次有 9 次红球, 则利用可放回的抽样可知, 每次试验中抽到红球的概率为 $\frac{3}{8}$, 取到白球的概率为 $\frac{5}{8}$, 则可知 $P(\xi=12)=C_{11}^{9}\left(\frac{3}{8}\right)^{10}\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$, 故答案为 $\mathrm{B}$ 。
题目（高三 · 计数）：某学生参加一次选拔考试, 有 5 道题, 每题 10 分. 已知他解题的正确率为 $\frac{3}{5}$, 若 40 分为最低分数线, 则该生被选中的概率是( )
选项：
A. $C_{5}^{4} \times\left(\frac{3}{5}\right)^{4} \times \frac{2}{5}$
B. $C^{5}\left(\frac{3}{5}\right)^{3}$
C. $C_{5}^{4}\left(\frac{3}{5}\right)^{4} \times \frac{2}{5}+C_{5}^{5}\left(\frac{3}{5}\right)^{5}$
D. ${ }^{1-C_{5}^{3}\left(\frac{3}{5}\right)^{3} \times\left(\frac{2}{5}\right)^{2}}$
答案：C
解析：答案:

【解析】 依题意可知, 学生做题正确题目数列满足二项分布,

学生必须答对 4 个题或者 5 个题才能够被选上,

答对 4 个题的概率为 $C_{5}^{4}\left(\frac{3}{5}\right)^{4} \times \frac{2}{5}$, 答对 5 个题的概率为 $C^{5}\left(\frac{3}{5}\right)^{3}$,

故该生被选中的概率是 $C_{5}^{4}\left(\frac{3}{5}\right)^{4} \times \frac{2}{5}+C_{5}^{5}\left(\frac{3}{5}\right)^{5}$.

故答案为: C.
题目（高三 · 计数）：从装有除颜色外完全相同的 3 个白球和 $\mathrm{m}$ 个黑球的布袋中随机摸取一球, 有放回的摸取 5 次, 设摸得白球数为 $\mathrm{X}$, 已知 $E(X)=3$, 则 $D(X)=($ )
选项：
A. $\frac{8}{5}$
B. $\frac{6}{5}$
.C. $\frac{4}{5}$
D. $\frac{2}{5}$
答案：B
解析：答案: $B$

【解析】 由题意知, $X \sim B\left(5, \frac{3}{m+3}\right)$,

$\therefore E X=5 \times \frac{3}{m+3}=3$, 解得 $m=2$,

$\therefore X \sim B\left(5, \frac{3}{5}\right)$,

$\therefore D(X)=5 \times \frac{3}{5} \times\left(1-\frac{3}{5}\right)=\frac{6}{5}$.

故答案为: $\mathrm{B}$
B.
题目（高三 · 计数）：设 $X \sim B(4, p)$, 其中 $\frac{1}{2}<p<1$, 且 $P(X=2)=\frac{8}{27}$, 则 $P(X=3)=（ ）$
选项：
A. $\frac{8}{81}$
B. $\frac{16}{81}$
C. $\frac{8}{27}$
D. $\frac{32}{81}$
答案：D
解析：答案: D

【解析】 $\because X \sim B(4, p) \therefore P(X=2)=C_{4}^{2} p^{2}(1-p)^{2}=\frac{8}{27} \therefore p^{2}(1-p)^{2}=\frac{4}{81}$

$\because \frac{1}{2}<p<1 \therefore p(1-p)=\frac{2}{9} \therefore p=\frac{2}{3}$

$P(X=3)=C_{4}^{3} p^{3}(1-p)^{1}=4 \times\left(\frac{2}{3}\right)^{3} \times \frac{1}{3}=\frac{32}{81}$

故答案为: D
题目（高三 · 计数）：在某项测试中, 测量结果 $\xi$ 服从正态分布 $N\left(0, \sigma^{2}\right)(\sigma>0)$, 若 $P(0<\xi<1)=0.4$, 则 $P(-1<\xi<0)=(\quad)$
选项：
A.
答案：C
解析：答案: C

【解析】 因为 $\xi$ 服从正态分布 $N\left(0, \sigma^{2}\right)(\sigma>0)$, 所以 $P(-1<\xi<0)=P(0<\xi<1)=
题目（高三 · 计数）：某年高考中, 某省 10 万考生在满分为 150 分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布 $N(110,100)$ ，则分数位于区间 $(130,150]$ 分的考生人数近似为（）

(已知若 $X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$, 则 $P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)=0.6826, P(\mu-2 \sigma<X<\mu+2 \sigma)=0.9544$, $P(\mu-3 \sigma<X<\mu+3 \sigma)=0.9974)$
选项：
A. 1140
B. 1075
C. 2280
D. 2150
答案：C
解析：由题意得 $\mu=110, \sigma=10 	herefore P(110-20<X<110+20)=0.9544$,因此 $P(110<X<130)=rac{1}{2} 	imes 0.9544=0.4772$,所以 $P(130<X<150)=0.5-0.4772=0.0228$,即分数位于区间 $\left(130,150ight.$ 分的考生人数近似为 $0.0228 	imes 10 	imes 10^{4}=2280$,故答案为: C.
题目（高三 · 计数）：某小区有 1000 户居民, 各户每月的用电量近似服从正态分布 $N(300,100)$, 则用电量在 320 度以上的居民户数估计约为 ( )

（参考数据：若随机变量 $\xi$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$, 则 $P(\mu-\sigma<\xi \leq \mu+\sigma) \approx 0.6827$, $P(\mu-2 \sigma<\xi \leq \mu+2 \sigma) \approx 0.9545, \quad P(\mu-3 \sigma<\xi \leq \mu+3 \sigma) \approx 0.9973$. $)$
选项：
A. 17
B. 23
C. 34
D. 46
答案：B
解析：由题得 $\mu=300, \sigma=10$ ，所以 $P(300-20 \leq \xi \leq 300+20)=P(280 \leq \xi \leq 320)=0.9545$,所以 $P(x>320)=rac{1-0.9545}{2} \approx 0.023$,所以求用电量在 320 度以上的居民户数为 $1000 	imes 0.023=23$. 故答案为 B.
题目（高三 · 计数）：设随机变量 $\eta_{\text {服从正态分布 }} N\left(1, \sigma^{2}\right)$, 若 $P(\eta<-1)=0.2$, 则函数 $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+x^{2}+\eta^{2} x_{\text {没有 }}$极值点的概率是 ( )
选项：
A.
答案：C
解析：$f^{\prime}(x)=x^{2}+2 x+\eta^{2}$, 因为函数 $f(x)=$ 没有极值点,所以 $\Delta=4-4 \eta^{2} \leq 0$, 解得 $\eta \geq 1$ 或 $\eta \leq-1$.因为 $\eta_{	ext {服从正态分布 }} N\left(1, \sigma^{2}ight)$ ，所以 $\eta$ 的分布关于 $x=1$ 对称，所以 $P(\eta \geq 1)=0.5$.故函数 $f(x)=$ 没有极值点的概率为 $P=P(\eta \geq 1)+P(\eta \leq-1)=0.5+0.2=0.7$.故答案为: C
题目（高三 · 计数）：已知在某市的一次学情检测中, 学生的数学成绩 $X$ 服从正态分布 $\mathrm{N}(100,100)$, 其中 90 分为及格线, 120 分为优秀线. 下列说法正确的是 ( )

附: 随机变量 $\xi$ 服从正态分布 $N\left(u, \sigma^{2}\right)$, 则 $P(\mu-\sigma<\xi<u+\sigma)=0.6826$, $P(\mu-2 \sigma<\xi<\mu+2 \sigma)=0.9544, \quad P(u-3 \sigma<\xi<\mu+3 \sigma)=0.9974$
选项：
A. 该市学生数学成绩的期望为 100
B. 该市学生数学成绩的标准差为 100
C. 该市学生数学成绩及格率超过
答案：AC
解析：数学成绩 $X$ 服从正态分布 $\mathrm{N}(100,100)$, 则数学成绩的期望为 100 , 数学成绩的标准差为 10 , $A$ 符合题意 $B$ 不符合题意及格率为 $p_{1}=1-rac{1-P(100-10<\zeta<100+10)}{2}=0.8413$, C 符合题意;不及格概率为 $p_{2}=0.1587$, 优秀概率 $p_{3}=rac{1-P(100-20<\xi<100+20)}{2}=0.0228$, $\mathrm{D}$ 不符合题意故答案为: AC.
题目（高三 · 计数）：设随机变量 $\mathrm{X}$ 服从正态分布 $N\left(1, \sigma^{2}\right)(\sigma>0)$, 若 $P(X<0)=0.15$, 则 $P(0 \leq X \leq 2)=（ ）$
选项：
A.
答案：C
解析：随机变量 $\mathrm{X}$ 服从正态分布 $N\left(1, \sigma^{2}ight)(\sigma>0)$,因为 $P(X<0)=0.15$, 所以 $P(X<0)=P(X>2)=0.15$,所以 $P(0 \leq X \leq 2)=1-2 	imes 0.15=0.7$,故答案为: C.
题目（高三 · 计数）：已知随机变量 $\mathrm{Z} \sim N(0,1)$, 且 $P(Z<2)=a$, 则 $P(-2<Z<2)=(\quad)$
选项：
A. 2a
B. $2 a-1$
C. $1-2 \mathrm{a}$
D. $2(1-$ a)
答案：B
解析：$ecause$ 随机变量 $Z \sim N(0,1)$, 且 $P(Z<2)=a, 	herefore P(Z \geq 2$ 或 $Z \leq-2)=2-2 a$,$	herefore \mathrm{P}(-2<\mathrm{Z}<2)=1-(2-2 \mathrm{a})=2 \mathrm{a}-1$, 故答案为: B
题目（高三 · 计数）：新型冠状病毒肺炎的潜优期 $\mathrm{X}$ (单位: 日)近似服从正态分布: $X \sim N\left(7, \sigma^{2}\right)$, 若 $P(X>3)=0.872$,则可以估计潜优期大于等于 11 天的概率为（）
选项：
A.
答案：C
解析：答案: C

【解析】 因为 $\mu=7$, 所以根据正态曲线的对称性知,

$P(X \geq 11)=P(X \leq 3)=1-P(X>3)=1-
题目（高三 · 计数）：已知随机变量 $\xi$ 服从正态分布 $N\left(0, \sigma^{2}\right)$, 若 $P(\xi>2)=0.023$, 则 $P(-2 \leq \xi \leq 2)$ 等于（）
选项：
A.
答案：C
解析：由于随机变量 $\xi$ 服从正态分布 $N\left(0, \sigma^{2}ight)$则 $P(-2 \leq \xi \leq 2)=1-2 P(\xi>2)=1-2 	imes 0.023=0.954$,故答案为: C.
题目（高三 · 计数）：已知 $\xi \sim N\left(0, \sigma^{2}\right)$, 且 $P(-2 \leq \xi \leq 0)=0.4$, 则 $P(\xi>2)$ 等于 ( )
选项：
A.
答案：A
解析：由 $\xi \sim N\left(0, \sigma^{2}ight)$ 可知, 正态曲线关于 $x=0$ 对称, 由 $P(-2 \leq \xi \leq 0)=0.4$, 可知 $P(0<\xi \leq 2)=0.4$, 则 $P(\xi>2)=0.5-P(0<\xi \leq 2)=0.1$,
题目（高三 · 计数）：已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left(3, \sigma^{2}\right)$, 且 $P(X \leq 4)=0.8$, 则 $P(2<X<4)=(\quad)$
选项：
A.
答案：B
解析：由题可知, $P(X>4)=1-P(X \leq 4)=1-0.8=0.2$,由于 $X \sim N\left(3, \sigma^{2}ight)$, 所以, $P(X<2)=P(X>4)=0.2$,因此, $P(2<X<4)=1-P(X<2)-P(X>4)=1-0.2-0.2=0.6$,故答案为: B
题目（高三 · 计数）：在某次联考数学测试中, 学生成绩 $\xi$ 服从正态分布 $\left(100, \sigma^{2}\right)(\sigma>0)$, 若 $\xi$ 在 $(80,120)$ 内的概率为 0.8 , 则任意选取一名学生, 该生成绩不高于 80 的概率为 ( )
选项：
A.
答案：B
解析：$P(X \leq 80)=P(X \geq 120)=rac{1-P(80<X<120)}{2}=0.1$,故答案为: B
题目（高三 · 计数）：某班有 60 名学生, 一次考试后数学成绩 $X \sim N\left(110,10^{2}\right)$, 若 $P(100 \leq X \leq 110)=0.35$, 则估计该班学生数学成绩在 120 分以上的人数为 ( )
选项：
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
答案：A
解析：因为数学成绩 $X \sim N\left(110,10^{2}ight)$,所以由 $P(100 \leq X \leq 110)=0.35$ 可得: $P(110 \leq X \leq 120)=0.35$,所以该班学生数学成绩在 120 分以上的概率为: $P(X>120)=1-0.5-0.35=0.15$,所以估计该班学生数学成绩在 120 分以上的人数为: $0.15 	imes 60=9$ (人)故答案为: A
题目（高三 · 计数）：某工厂加工某种零件的工序流程图如下图所示, 按照这个工序流程图, 一件成品至少要经过（）道加工和检验程序。


选项：
A. 3

D. 6
答案：B
解析：由题意得, 至少要经过粗加工、检验、精加工、最后检验 4 道工序,
题目（高三 · 计数）：散点图在回归分析过程中的作用是 ( )
选项：
A. 查找个体数 B. 比较个体数据大小关系

C. 探究个体分类 D. 粗略判断变量是否具有相关关系
答案：D
解析：由题意可得, 当选用函数 $f(x)=a x^{2}+b x+c$ 时, $\left\{\begin{array}{l}a+b+c=1 \\ 4 a+2 b+c=1.2 \\ 9 a+3 b+c=1.3\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}a=-0.05 \\ b=0.35 \\ c=0.7\end{array}\right.$,

$\therefore f(x)=-0.05 x^{2}+035 x+0.7, f(4)=0.3 ;$

当选用函数 $g(x)=a b^{x}+c$ 时, $\left\{\begin{array}{l}a b+c=1 \\ a b^{2}+c=1.2 \\ a b^{3}+c=1.3\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}a=-0.8 \\ b=0.5 \\ c=1.4\end{array}\right.$,

$\therefore g(x)=-0.8 \times 0.5^{x}+1.4, g(4)=1.35$,

$\because g(4)$ 更接近于 1.37 , 选用函数 $g(x)=a b^{x}+c$ 拟合效果较好,

$\therefore g(5)=1.375,5$ 月份的销售量为 1.375 , 故答案为 1.375 .


17.答案:(1) 表格见解析, 有 $95 \%$ 的把握认为; (2) 分布列见解析, $\frac{9}{10}$.

【解析】(1)

|  | 关注 | 没关注 | 合计 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 男 | 30 | 30 | 60 |
| 女 | 12 | 28 | 40 |
| 合计 | 42 | 58 | 100 |

$K^{2}=\frac{100(30 \times 28-12 \times 30)^{2}}{42 \times 58 \times 40 \times 60}=\frac{800}{203} \approx
题目（高三 · 计数）：如图所示, 5 组数据 $(x, y)$ 中去掉 $D(3,10)$ 后, 下列说法错误的是 ( )


选项：
A. 残差平方和变大

B. 相关系数 $r$ 变大

C. 相关指数 $R^{2}$ 变大

D. 解释变量 $x$ 与预报变量 $y$ 的相关性变强
答案：A
解析：答案:A

【解析】由散点图知，去掉 $D(3,10)$ 后， $y$ 与 $x$ 的线性相关加强，且为正相关,

所以 $r$ 变大, $R^{2}$ 变大, 残差平方和变小, 故选 $\mathrm{A}$.
题目（高三 · 计数）：下列说法:

(1)将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后, 方差恒不变;

(2)设有一个回归方程 $\hat{y}=3-5 x$, 变量 $x$ 增加一个单位时, $y$ 平均增加 5 个单位; (3)线性回归直线 $\$=\$ x+$ 必过 $(\bar{x}, \bar{y})$;

(4)曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系;

(5)在一个 $2 \times 2$ 列联表中, 由计算得 $K^{2}=13.079$. 则其两个变量间有关系的可能性是 $90 \%$.

其中错误的个数是（）
选项：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：C
解析：答案:C

【解析】对于(1), 方差反映一组数据的波动大小, 将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变，故正确;

对于(2), 一个回归方程 $\hat{y}=3-5 x$, 变量 $x$ 增加一个单位时, $y$ 平均减小 5 个单位, 故不正确;

对于(3), 线性回归直线 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$ 必过样本中心点 $(\bar{x}, \bar{y})$, 故正确;

对于(4), 曲线上的点与该点的坐标之间具有一一对应关系, 故不正确;

对于(5), 有一个 $2 \times 2$ 列联表中, 由计算得 $K^{2}=
题目（高三 · 计数）：在一项中学生近视情况的调查中, 某校男生 150 名中有 80 名近视, 女生 140 名中有 70 名近视, 在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力 ( )
选项：
A. 平均数与方差 B. 回归分析 C. 独立性检验
D. 概率
答案：C
解析：答案:C

【解析】判断两个分类变量是否有关的最有效方法是进行独立性检验, 故选 C.
题目（高三 · 计数）：设两个变量 $x$ 和 $y$ 之间具有线性相关关系，它们的相关系数是 $r, y$ 关于 $x$ 的回归直线的斜率是 $b$ ，纵轴上的截距是 $a$ ，那么必有（
选项：
A. $b$ 与 $r$ 的符号相同
B. $a$ 与 $r$ 的符号相同
C. $b$ 与 $r$ 的符号相反
D. $a$ 与 $r$ 的符号相反
答案：A
解析：>3.841$

所以有 $95 \%$ 的把握认为“对“嫦娥五号”关注与性别有关”.

(2) 因为随机选一高三女生, 对此事关注的概率 $P=\frac{12}{40}=\frac{3}{10}$,

又因为 $X \sim B\left(3, \frac{3}{10}\right)$, 所以随机变量 $X$ 的分布列为:

| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\frac{343}{1000}$ | $\frac{441}{1000}$ | $\frac{189}{1000}$ | $\frac{27}{1000}$ |

显然, $E(X)=n p=\frac{9}{10}$.

18.答案:(1) $\$=
题目（高三 · 计数）：下面是一个 $2 \times 2$ 列联表, 则表中 $a, b$ 的值分别为 ( )

| $x_{1}$ | $a$ | 21 | 73 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $x_{2}$ | 2 | 25 | 27 |
| 合计 | $b$ | 46 | 100 |
选项：
A. 94,96
B. 52,50
C. 52,54
D. 54,52
答案：B
解析：, \bar{y}=\frac{2.5+m+4+4.5}{4}=\frac{11+m}{4}$,

所以这组数据的样本中心点在线性回归直线上,

所以 $\frac{11+m}{4}=0.7 \times 4.5+0.35$, 所以 $m=3$, 故选 A.

7.答案:B

【解析】散点图里变量的对应点分布在一条直线附近，且比较密集

故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系,

且直线斜率小于 1 ，故选 B
题目（高三 · 计数）：利用独立性检验来考查两个分类变量 $X$ 和 $Y$ 是否有关系时, 通过查阅下表来确定“ $X$ 和 $Y$ 有关系”的可信度. 如果 $k>5.024$ ，那么就有把握认为“ $X$ 和 $Y$ 有关系”的百分比为 $(\quad)$

| $P\left(K^{2} \geq k_{0}\right)$ | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $k_{0}$ | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
选项：
A. $25 \%$
B. $75 \%$
C. $
答案：D
解析：$, 而在观测值表中对应于 5.024 的是 0.025 ,

$1-0.025=97.5 \%$ ，所以有 $97.5 \%$ 的把握认为“ $X$ 和 $Y$ 有关系”，故选 D．

6.答案:A

【解析】根据所给的表格可以求得 $\bar{x}=\frac{3+4+5+6}{4}=
题目（高三 · 计数）：如表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 $x$ （吨）与相应的生产能耗 $y$ (吨标准煤) 的几组对应数据, 根据表中提供的数据, 求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y}=0.7 x+0.35$, 则表中 $m$ 的值为 ( )

| $x$ | 3 | 4 | 5 | 6 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $y$ | 2.5 | $m$ | 4 | 4.5 |
选项：
A. 3
B.
答案：A
解析：根据所给的表格可以求得 $ar{x}=rac{3+4+5+6}{4}=4.5, ar{y}=rac{2.5+m+4+4.5}{4}=rac{11+m}{4}$,所以这组数据的样本中心点在线性回归直线上,所以 $rac{11+m}{4}=0.7 	imes 4.5+0.35$, 所以 $m=3$, 故选 A.
题目（高三 · 计数）：为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系, 统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同), 用回归直线 $\$=\$_{x}+\$$ 近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是（）


选项：
A. 线性相关关系较强, $b$ 的值为 $
答案：B
解析：散点图里变量的对应点分布在一条直线附近，且比较密集故可判断语文成绩和英语成绩之间具有较强的线性相关关系,且直线斜率小于 1 ，故选 B
题目（高三 · 计数）：某同学用收集到的 6 组数据对 $\left(x_{i}, y_{i}\right)(i=1,2,3,4,5,6)$ 制作成如图所示的散点图(点旁的数据为该点坐标), 并由最小二乘法计算得到回归直线 $l$ 的方程为 $\hat{y}=b x+a$ ，相关系数为 $r$. 现给出以下 3 个结论:



(1) $r>0 ;$

(2)直线 $l$ 恰好过点 $D$;

(3) $\hat{b}>1$.

其中正确结论是（ ）
选项：
A. (1)(2) B. (1)(3) C. (2)(3) D. (1)(2)(3)
答案：A
解析：答案:A

【解析】对于(1), 结合图像知, 从左到右各点是上升排列的，是正相关， $r>0$, 故(1)正确，

对于(2), $\because \bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i}, \bar{y}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} y_{i}$, $\bar{x}=\frac{1}{6} \times(0+1+2+3+5+7)=3, \quad \bar{y}=\frac{1}{6} \times(
题目（高三 · 计数）：某同学根据一组 $x, y$ 的样本数据, 求出线性回归方程 $\$=\$ x+\$$ 和相关系数 $r$,

下列说法正确的是 ( )
选项：
A. $y$ 与 $x$ 是函数关系
B. $\hat{y}$ 与 $x$ 是函数关系

C. $r$ 只能大于 0

D. $|r|_{\text {越接近 1, 两个变量相关关系越弱 }}$
答案：B
解析：由两变量 $x, y$ 具有线性相关关系, 可知 $y$ 与 $x$ 不是函数关系, 故 A 错误;求出线性回归方程 $\$=\$ x+rac{1}{}{ }^{2}$, 其中 $\hat{y}$ 与 $x$ 是函数关系, 故 B 正确;相关系数可能大于 0 ，也可能小于 0 ，故 C 错误;$|r|_{	ext {越接近 1, 两个变量相关关系越强, 故 D 错误, }}$