题目（九年级 · 组合几何学）：如图, 四边形 $A B C D$ 是正方形, $A B=8, E$ 是 $B C$ 中点, 连接 $D E, D E$ 的垂直平分线分别交 $A B 、 D E 、 C D$ 于 $M 、 O 、 N$, 连接 $E N$, 过 $E$ 作 $E F \perp E N$ 交 $A B$ 于 $F$, 下列结论中, 正确结论是: (1) $\triangle B E F \sim \triangle C N E$; (2) $M N=D E$; (3) $\sin \angle N E C=\frac{3}{5}$; (4) $\triangle B E F$ 的周长是 12 ;


选项：
答案：(1)(2) (3)
解析：【分析】

本题是四边形综合题, 考查了正方形的性质, 线段垂直平分线的性质, 勾股定理的应用, 相似三角形的判定和性质, 三角函数值的求法, 解答本题的关键是掌握利用勾股定理和相似三角形的性质求线段长的思路与方法.

根据 “同角的余角相等” 证明 $\angle B F E=\angle C E N$, 再根据 $\angle B=\angle C$ 即可证得 $\triangle B E F \sim \triangle C N E$, 即可判断结论(1)正确; 过点 $M$ 作 $M G \perp C D$ 于 $G$, 首先证明四边形 $A D G M$ 是矩形, 得出 $A D=M G$, 然后证明 $\triangle M G N \cong \triangle D C E(A A S)$, 得出 $M N=D E$, 即可判断结论(2)正确; 根据四边形 $A B C D$ 是正方形, $A B=8$, 得出 $B C=D C=A B=8$, 根据 $E$ 是 $B C$ 的中点, 得出 $C E=\frac{1}{2} B C=\frac{1}{2} \times 8=4$, 根据 $M N$ 垂直平分线段 $D E$, 得出 $D N=E N$, 设 $D N=E N=x$, 则 $C N=D C-D N=8-x$, 在 $R t \triangle C E N$ 中, $\angle C=90^{\circ}$, 利用勾股定理得出 $C E^{2}+C N^{2}=E N^{2}$, 即 $4^{2}+(8-x)^{2}=x^{2}$, 解得 $x=5$, 求出 $E N=5$, $C N=8-5=3$, 进而得出 $\sin \angle N E C=\frac{C N}{E N}=\frac{3}{5}$, 即可判断结论(3)正确; 根据 $E$ 是 $B C$ 的中点, 得出 $C E=B E=\frac{1}{2} B C=\frac{1}{2} \times 8=4$, 根据 $\triangle B E F \sim \triangle C N E$, 得出 $\frac{B F}{C E}=\frac{F E}{E N}=\frac{B E}{C N}$, 即 $\frac{B F}{4}=\frac{F E}{5}=\frac{4}{3}, B F=\frac{16}{3}$, $F E=\frac{20}{3}$, 进而得出 $B E+B F+F E=4+\frac{16}{3}+\frac{20}{3}=16, \triangle B E F$ 的周长为 16 , 即可判断结论(4)错误;综合上述情况进行解答, 即可求解.

【解答】

解: $\because E F \perp E N$,

$\therefore \angle F E N=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B E F+\angle C E N=90^{\circ}$,

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形,

$\therefore \angle B=\angle C=90^{\circ}$,

$\because \angle B E F+\angle B F E=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B F E=\angle C E N$,

又 $\because \angle B=\angle C$,

$\therefore \triangle B E F \sim \triangle C N E$, 故结论 (1) 正确;
过点 $M$ 作 $M G \perp C D$ 于 $G$, 如图:



则 $\angle M G D=\angle M G N=90^{\circ}$,

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形,

$\therefore \angle A=\angle A D G=\angle C=90^{\circ}, A D=D C$,

$\therefore \angle A=\angle A D G=\angle M G D=90^{\circ}$,

$\therefore$ 四边形 $A D G M$ 是矩形,

$\therefore A D=M G$,

$\because M N \perp D E$ 于 $O$,

$\therefore \angle D O N=90^{\circ}$,

$\therefore \angle O D N+\angle O N D=90^{\circ}$,

$\because \angle C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle C D E+\angle C E D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle C E D=\angle O N D$, 即 $\angle G N M=\angle C E D$,

在 $\triangle M G N$ 和 $\triangle D C E$ 中,

$$
\left\{\begin{array}{l}
\angle M G N=\angle D C E=90^{\circ} \\
\angle G N M=\angle C E D \\
M G=D C
\end{array},\right.
$$

$\therefore \triangle M G N \cong \triangle D C E(A A S)$,

$\therefore M N=D E$, 故结论(2)正确;

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形, $A B=8$,

$\therefore B C=D C=A B=8$,

$\because E$ 是 $B C$ 的中点,

$\therefore C E=\frac{1}{2} B C=\frac{1}{2} \times 8=4$,

$\because M N$ 垂直平分线段 $D E$,

$\therefore D N=E N$,
设 $D N=E N=x$, 则 $C N=D C-D N=8-x$,

在Rt $\triangle C E N$ 中, $\angle C=90^{\circ}$,

$\therefore C E^{2}+C N^{2}=E N^{2}$, 即 $4^{2}+(8-x)^{2}=x^{2}$,

解得 $x=5$,

$\therefore E N=5, C N=8-5=3$,

$\therefore \sin \angle N E C=\frac{C N}{E N}=\frac{3}{5}$, 故结论(3)正确;

$\because E$ 是 $B C$ 的中点,

$\therefore C E=B E=\frac{1}{2} B C=\frac{1}{2} \times 8=4$,

$\because \triangle B E F \sim \triangle C N E$,

$\therefore \frac{B F}{C E}=\frac{F E}{E N}=\frac{B E}{C N}, \quad$ 即 $\frac{B F}{4}=\frac{F E}{5}=\frac{4}{3}$,

$\therefore B F=\frac{16}{3}, F E=\frac{20}{3}$,

$\therefore B E+B F+F E=4+\frac{16}{3}+\frac{20}{3}=16$,

$\therefore \triangle B E F$ 的周长为 16 , 故结论(4)错误;

综上所述，正确结论是(1)(2)(3).

故答案为: (1)(2).