题目（九年级 · 组合几何学）：(10 分) 如图, 在 $\triangle A C B$ 中, $\angle C=90^{\circ}, A C=6, B C=8$. $D$ 是 $B C$ 上一点, 以 $A D$为直径的 $\odot O$ 交 $A B$ 于点 $E, C$ 关于圆心 $O$ 的对称点为 $F$, 连接 $E F$.



(1)当 $D$ 为 $B C$ 中点时, 求 $A E$ 的长.

(2)若 $C D, D E, E F$ 中有两条弧相等时, 求 $B D$ 的长.

(3)作点 $O$ 关于 $A B$ 的对称点 $O^{\prime}$, 当 $O^{\prime}$ 落在 $\angle A E F$ 内部 (不含边界) 时, 请直接写出 $C D$的取值范围.


选项：
答案： (1) $\frac{34}{5}$

(2) 5 或 $\frac{25}{4}$ 或 $\frac{7}{2}$

(3) $3<C D<8$


解析：(1) 由勾股定理可得 $A B=10$, 连接 $D E$, 则 $\angle A E D=90^{\circ}$, 由 $D$ 为 $B C$ 中点可得 $C D=4$, $A D=2 \sqrt{13}$, 设 $D E=x$, 根据 $S_{\triangle A B C}=S_{\triangle A C D}+S_{\triangle A B D}$ 可得 $24=12+5 x$, 求出 $x$ 的值可得 $D E=\frac{12}{5}$,最后由勾股定理进行计算即可得到答案;

（2）分三种情况: 当 $C D=D E$ 时; 当 $E F=D E$ 时; 当 $E F=C D$ 时, 分别进行求解即可得到答案;

（3）当点 $B$ 、点 $D$ 重合时, 此时 $O$ 和 $O^{\prime}$ 也重合, $C D$ 最大为 8 , 当 $O^{\prime}$ 在 $E F$ 上时, 此时 $C D$最小, 连接 $D E, O E$, 由圆周角定理及等腰三角形的性质可得 $\angle C A D=\angle E A D$, 证明

Rt $\triangle A C D \cong$ Rt $\triangle A E D(\mathrm{HL})$ 得到 $A E=A C=6$, 则 $B E=4$, 设 $C E=D E=x$, 则 $B D=8-x$,

由勾股定理得 $x^{2}+4^{2}=(8-x)^{2}$, 求出 $x$ 的值即可得出 $C D$ 的长, 再根据 $O^{\prime}$ 落在 $\angle A E F$ 内部(不含边界）即可得到答案.

【详解】(1) 解: $\because A C=6, B C=8, \angle C=90^{\circ}$,

$\therefore A B=\sqrt{A C^{2}+B C^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$,

如图, 连接 $D E$,



$\because A D$ 是直径,

$\therefore \angle A E D=90^{\circ}$,

$\because D$ 为 $B C$ 的中点,

$\therefore C D=B D=\frac{1}{2} B C=4$,

$\therefore A D=\sqrt{A C^{2}+C D^{2}}=\sqrt{6^{2}+4^{2}}=2 \sqrt{13}$,

设 $D E=x$ ，

$\because S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} A C \cdot B C=\frac{1}{2} \times 6 \times 8=24, \quad S_{\triangle A C D}=\frac{1}{2} A C \cdot C D=\frac{1}{2} \times 6 \times 4=12$,

$S_{\triangle A B D}=\frac{1}{2} A B \cdot D E=\frac{1}{2} \times 10 \times D E=5 x, \quad S_{\triangle A B C}=S_{\triangle A C D}+S_{\triangle A B D}$,

$\therefore 24=12+5 x$,

解得: $x=\frac{12}{5}$,
$\therefore D E=\frac{12}{5}$,

$\therefore A E=\sqrt{A D^{2}-D E^{2}}=\sqrt{(2 \sqrt{13})^{2}-\left(\frac{12}{5}\right)^{2}}=\frac{34}{5} ;$

(2) 解: (1)当 $C D=D E$ 时, 则 $\angle C A D=\angle B A D, D E=C D$,

设 $D E=C D=x$, 则 $S_{\triangle A C D}=\frac{1}{2} A C \cdot C D=\frac{1}{2} \times 6 \times x=3 x, \quad S_{\triangle A B D}=\frac{1}{2} A B \cdot D E=\frac{1}{2} \times 10 \times D E=5 x$,

$\because S_{\triangle A B C}=S_{\triangle A C D}+S_{\triangle A B D}$,

$\therefore 3 x+5 x=24$,

解得: $x=3$,

$\therefore C D=3$,

$\therefore B D=B C-C D=8-3=5$;

(2) 当 $E F=D E$ 时, $\angle D A E=\angle F A E, D E=E F$,

如图, 连接 $A F, C F$,



$\because C, F$ 关于圆心 $O$ 对称,

$\therefore C 、 O 、 F$ 在一条直线上,

$\therefore C F$ 为直径,

$\therefore \angle C A F=90^{\circ}$,

$\therefore \angle F A E+\angle B A D+\angle C A D=90^{\circ}$,

$\because \angle C A D+\angle D A B+\angle B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B=\angle F A E=\angle D A E$,

$\therefore A D=B D$,

设 $B D=x$, 则 $C D=8-x, A D=B D=x$,

$\therefore 6^{2}+(8-x)^{2}=x^{2}$,

解得: $x=\frac{25}{4}$,

$\therefore B D=\frac{25}{4}$;

(3)当 $E F=C D$ 时, 则 $\angle F A E=\angle C A D, C D=E F$,

如图, 设 $C F$ 交 $A B$ 于点 $G$,



$\because O A=O C$,

$\therefore \angle O A C=\angle O C A$,

$\because \angle C A O+\angle O A G+\angle F A G=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A C O+\angle O A G+\angle C A D=90^{\circ}$, 即 $\angle A C G+\angle C A G=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A G C=180^{\circ}-\angle A C G-\angle C A G=90^{\circ}$,

$\because S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} A C \cdot B C=\frac{1}{2} \times 6 \times 8=24, \quad S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} A B \cdot C G=\frac{1}{2} \times 10 \times C G=5 C G$,

$\therefore 5 C G=24$,

$\therefore C G=\frac{24}{5}$,

$\therefore A G=\sqrt{A C^{2}-C G^{2}}=\frac{18}{5}$,

设半径为 $r$, 则 $O G=C G-r=\frac{24}{5}-r$,

$\because A G^{2}+O G^{2}=A O^{2}$,

$\therefore r^{2}=\left(\frac{24}{5}-r\right)^{2}+\left(\frac{18}{5}\right)^{2}$,

解得: $r=\frac{15}{4}$,

$\therefore A D=\frac{15}{2}$,

$\therefore C D=\frac{9}{2}$,

$\therefore B D=8-\frac{9}{2}=\frac{7}{2}$,

综上所述: $B D$ 的长为 5 或 $\frac{25}{4}$ 或 $\frac{7}{2}$;

（3）解：如图, 当点 $B$ 、点 $D$ 重合时, 此时 $O$ 和 $O^{\prime}$ 也重合, $C D$ 最大为 8 ,



如图, 当 $O^{\prime}$ 在 $E F$ 上时, 此时 $C D$ 最小, 连接 $D E, O E$,


则 $\angle O E A=\angle F E A$,

$\therefore \angle A C F=\angle F E A$,

$\because O A=O C=O E$,

$\therefore \angle C A O=\angle A C O, \angle O A E=\angle O E A$,

$\therefore \angle C A O=\angle E A O$, 即 $\angle C A D=\angle E A D$,

$\therefore C D=D E$,

$\because A D$ 为直径,

$\therefore \angle A C D=\angle A E D=90^{\circ}$,

$\because A D=A D$,

$\therefore \mathrm{Rt} \triangle A C D \xlongequal{\mathrm{Rt}} \triangle A E D(\mathrm{HL})$,

$\therefore A E=A C=6$,

$\therefore B E=A B-A E=10-6=4$,

设 $C D=D E=x$, 则 $B D=B C-C D=8-x$,

$\because D E^{2}+B E^{2}=B D^{2}$,

$\therefore x^{2}+4^{2}=(8-x)^{2}$,

解得: $x=3$,

$\therefore C D=3$,

$\because O^{\prime}$ 落在 $\angle A E F$ 内部（不含边界),

$\therefore 3<C D<8$.

【点睛】本题考查了圆周角定理、三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算、等腰三角形的判定与性质等知识点, 熟练掌握以上知识点, 添加适当的辅助线, 采用分类讨论的思想解题, 是解此题的关键.