eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（七年级 · 代数）：在对多项式 $x^{2}+a x+b$ 进行因式分解时, 小芳看错了 $b$ 的值, 分解的结果为 $(x+$ 2) $(x+4)$; 小王看错了 $a$ 的值, 分解的结果为 $(x-1)(x-9)$, 求 $a, b$ 的值.
选项：
答案：【答案】解: 由小芳的结果可得 $(x+2)(x+4)=x^{2}+6 x+8$, 所以 $a=6$;

由小王的结果可得 $(x-1)(x-9)=x^{2}-10 x+9$, 所以 $b=9$.
解析：【答案】解: 由小芳的结果可得 $(x+2)(x+4)=x^{2}+6 x+8$, 所以 $a=6$;

由小王的结果可得 $(x-1)(x-9)=x^{2}-10 x+9$, 所以 $b=9$.
题目（七年级 · 代数）：已知 $(19 x-31)(13 x-17)-(17-13 x)(11 x-23)$ 可因式分解成 $(a x+b)(30 x+$ $c$ ), 其中 $a 、 b 、 c$ 均为整数, 求 $a+b+c$ 的值.
选项：
答案：【答案】解：由题意得
$$
\begin{aligned}
& (19 x-31)(13 x-17)-(17-13 x)(11 x-23) \\
& =(19 x-31)(13 x-17)+(13 x-17)(11 x-23) \\
& =(13 x-17)(30 x-54)
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& =(a x+b)(30 x+c), \\
& \therefore a=13, b=-17, c=-54, \\
& \therefore a+b+c=-58 .
\end{aligned}
$$
解析：【答案】解：由题意得
$$
\begin{aligned}
& (19 x-31)(13 x-17)-(17-13 x)(11 x-23) \\
& =(19 x-31)(13 x-17)+(13 x-17)(11 x-23) \\
& =(13 x-17)(30 x-54)
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& =(a x+b)(30 x+c), \\
& \therefore a=13, b=-17, c=-54, \\
& \therefore a+b+c=-58 .
\end{aligned}
$$
题目（七年级 · 代数）：如图, 由一个边长为 $m$ 的正方形与长、宽分别为 $m 、 n$ 的两个小长方形拼接成一个大长方形 $A B C D$, 这个图形可表达一些


有关多项式分解因式的等式.请你写出两个这样的等式.
选项：
答案：【答案】略
解析：【答案】略
题目（七年级 · 代数）：如图, 在一块边长为 $a(\mathrm{~cm})$ 的正方形纸板的四角, 各剪去一个边长为 $b(\mathrm{~cm})\left(b<\frac{a}{2}\right)$的正方形, 利用因式分解计算当 $a=13.2, b=3.4$ 时的剩余部分的面积.


选项：
答案：【答案】解: 剩余部分的面积为 $a^{2}-4 b^{2}=(a+2 b)(a-2 b)$,当 $a=13.2, b=3.4$ 时,
$$
a^{2}-4 b^{2}=(a+2 b)(a-2 b)
$$

$$
\begin{aligned}
& =(13.2+2 \times 3.4)(13.2-2 \times 3.4) \\
& =20 \times 6.4
\end{aligned}
$$

$=128$,

答: 当 $a=13.2, b=3.4$ 时的剩余部分的面积为 $128 \mathrm{~cm}^{2}$.

【解析】本题主要考查了列代数式, 代数式求值, 因式分解的应用, 解答本题的关键是掌握利用因式分解进行简便运算的思路与方法; 首先结合图形列出代数式, 然后对代数式进行因式分解，再把 $a 、 b$ 的值代入计算即可.
解析：【答案】解: 剩余部分的面积为 $a^{2}-4 b^{2}=(a+2 b)(a-2 b)$,当 $a=13.2, b=3.4$ 时,
$$
a^{2}-4 b^{2}=(a+2 b)(a-2 b)
$$

$$
\begin{aligned}
& =(13.2+2 \times 3.4)(13.2-2 \times 3.4) \\
& =20 \times 6.4
\end{aligned}
$$

$=128$,

答: 当 $a=13.2, b=3.4$ 时的剩余部分的面积为 $128 \mathrm{~cm}^{2}$.

【解析】本题主要考查了列代数式, 代数式求值, 因式分解的应用, 解答本题的关键是掌握利用因式分解进行简便运算的思路与方法; 首先结合图形列出代数式, 然后对代数式进行因式分解，再把 $a 、 b$ 的值代入计算即可.
题目（七年级 · 代数）：如图, 用一张如图甲的正方形纸片、三张如图乙的长方形纸片、两张如图丙的正方形纸片拼成一个长方形(如图丁).


甲


乙


丙



(1)用一个多项式表示图丁的面积.

(2)用两个整式的积表示图丁的面积.

(3)根据(1)(2)所得的结果, 写一个表示因式分解的等式.
选项：
答案：【答案】(1) $x^{2}+3 x y+2 y^{2}$
$$
\begin{aligned}
& (2)(x+y)(x+2 y) \\
& \text { (3) } x^{2}+3 x y+2 y^{2}=(x+y)(x+2 y)
\end{aligned}
$$
解析：【答案】(1) $x^{2}+3 x y+2 y^{2}$
$$
\begin{aligned}
& (2)(x+y)(x+2 y) \\
& \text { (3) } x^{2}+3 x y+2 y^{2}=(x+y)(x+2 y)
\end{aligned}
$$
题目（七年级 · 代数）：如图所示的练习本上书写的是一个正确的因式分解，但其中部分一次式被墨水污染看不清了.

$$
\begin{aligned}
& 2 x^{2}+3 x-6+ \\
& =(x-2)(2 x+5)
\end{aligned}
$$

（1）求被墨水污染的一次式;

(2)若被墨水污染的一次式的值等于 2 , 求 $x$ 的值.
选项：
答案：【答案】解：（1）被墨水污染的一次式是 $(x-2)(2 x+5)-\left(2 x^{2}+3 x-6\right)$

$=2 x^{2}+5 x-4 x-10-2 x^{2}-3 x+6$

$=-2 x-4$

(2)根据题意得: $-2 x-4=2$,

解得: $x=-3$.

【解析】(1)根据题意得出被墨水污染的一次式是 $(x-2)(2 x+5)-\left(2 x^{2}+3 x-6\right)$, 去括号，合并同类项即可;

(2)根据题意得出方程 $-2 x-4=2$, 解方程求出即可.

本题考查了因式分解的定义和整式的运算, 解一元一次方程等知识点, 能够求出被墨水污染的一次式是解此题的关键.
解析：【答案】解：（1）被墨水污染的一次式是 $(x-2)(2 x+5)-\left(2 x^{2}+3 x-6\right)$

$=2 x^{2}+5 x-4 x-10-2 x^{2}-3 x+6$

$=-2 x-4$

(2)根据题意得: $-2 x-4=2$,

解得: $x=-3$.

【解析】(1)根据题意得出被墨水污染的一次式是 $(x-2)(2 x+5)-\left(2 x^{2}+3 x-6\right)$, 去括号，合并同类项即可;

(2)根据题意得出方程 $-2 x-4=2$, 解方程求出即可.

本题考查了因式分解的定义和整式的运算, 解一元一次方程等知识点, 能够求出被墨水污染的一次式是解此题的关键.
题目（七年级 · 代数）：如图, 把左、右两边相等的代数式用线连起来:


选项：
答案：【答案】解: 连线如下:

<ImageHere>

【解析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解, 一般来说, 如果可以先提取公因式的要先提取公因式, 再考虑运用公式法分解.

利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式进行分解因式.
解析：【答案】解: 连线如下:



【解析】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解, 一般来说, 如果可以先提取公因式的要先提取公因式, 再考虑运用公式法分解.

利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式进行分解因式.
题目（七年级 · 代数）：把 $12 x y^{2}(x+y)-18 x^{2} y(x+y)$ 因式分解.
选项：
答案：【答案】解: $12 x y^{2}(x+y)-18 x^{2} y(x+y)$

$=6 x y(x+y)(2 y-3 x)$

【解析】见答案.
解析：【答案】解: $12 x y^{2}(x+y)-18 x^{2} y(x+y)$

$=6 x y(x+y)(2 y-3 x)$

【解析】见答案.
题目（七年级 · 代数）：在三个整式 $a^{2}-2 a b, b^{2}-2 a b, a b$ 中, 请你任意选出两个进行加(或减)运算, 使所得的整式可以因式分解, 并进行因式分解.
选项：
答案：【答案】解：我选择的是第一个和第三个整式,

$a^{2}-2 a b-a b$

$=a^{2}-3 a b$

$=a(a-3 b)$.

【解析】选择第一个和第三个整式相减, 合并同类项, 然后提公因式即可.

本题考查了提公因式法, 能够确定出公因式是解题的关键.
解析：【答案】解：我选择的是第一个和第三个整式,

$a^{2}-2 a b-a b$

$=a^{2}-3 a b$

$=a(a-3 b)$.

【解析】选择第一个和第三个整式相减, 合并同类项, 然后提公因式即可.

本题考查了提公因式法, 能够确定出公因式是解题的关键.
题目（七年级 · 代数）：如图, 边长为 $a, b$ 的长方形, 它的周长为 14 , 面积为 10 ,求下列各式的值:
(1) $a^{2} b+a b^{2}$;
(2) $a^{2}+b^{2}+a b$


选项：
答案：【答案】解: $\because$ 边长为 $a, b$ 的长方形, 它的周长为 14 , 面积为 10

$\therefore a+b=\frac{14}{2}=7, a b=10$

(1) $a^{2} b+a b^{2}=a b(a+b)=70$;

(2) $\because a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2 a b=7^{2}-2 \times 10=29$,

$\therefore a^{2}+b^{2}+a b=29+10=39$.

【解析】本题考查代数式求值, 因式分解的运用, 根据已知条件, 得出 $a+b$ 及 $a b$ 的值,

(1)利用提取公因式法分解因式得出答案;

(2)利用完全平方公式得出 $a^{2}+b^{2}$, 进而求 $a^{2}+b^{2}+a b$ 即可.
解析：【答案】解: $\because$ 边长为 $a, b$ 的长方形, 它的周长为 14 , 面积为 10

$\therefore a+b=\frac{14}{2}=7, a b=10$

(1) $a^{2} b+a b^{2}=a b(a+b)=70$;

(2) $\because a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2 a b=7^{2}-2 \times 10=29$,

$\therefore a^{2}+b^{2}+a b=29+10=39$.

【解析】本题考查代数式求值, 因式分解的运用, 根据已知条件, 得出 $a+b$ 及 $a b$ 的值,

(1)利用提取公因式法分解因式得出答案;

(2)利用完全平方公式得出 $a^{2}+b^{2}$, 进而求 $a^{2}+b^{2}+a b$ 即可.
题目（七年级 · 代数）：知关于 $x$ 的多项式 $6 x^{2}-7 x+m$ 分解因式后有一个因式是 $2 x-1$, 求 $m$ 的值, 并把该多项式分解因式.
选项：
答案：【答案】解: 设另一个因式为 $3 x+a$, 则 $6 x^{2}-7 x+m=(2 x-1)(3 x+a)$, 即 $6 x^{2}-$ $7 x+m=6 x^{2}+(2 a-3) x-a$,

<ImageHere>

所以原多项式是 $6 x^{2}-7 x+2$, 它可以分解因式为 $(2 x-1)(3 x-2)$.

【解析】略
解析：【答案】解: 设另一个因式为 $3 x+a$, 则 $6 x^{2}-7 x+m=(2 x-1)(3 x+a)$, 即 $6 x^{2}-$ $7 x+m=6 x^{2}+(2 a-3) x-a$,



所以原多项式是 $6 x^{2}-7 x+2$, 它可以分解因式为 $(2 x-1)(3 x-2)$.

【解析】略
题目（七年级 · 代数）：细阅读下面例题, 解答问题:

例题: 已知二次三项式 $x^{2}-4 x+m$ 有一个因式是 $x+3$, 求另一个因式以及 $m$ 的值.

解: 设另一个因式为 $x+n$, 则 $x^{2}-4 x+m=(x+3)(x+n)$,

即 $x^{2}-4 x+m=x^{2}+(n+3) x+3 n$,



故另一个因式为 $x-7, m$ 的值为 -21 .

仿照上面的方法解答下面问题:

已知二次三项式 $2 x^{2}+3 x-k$ 有一个因式是 $2 x-5$, 求另一个因式以及 $k$ 的值.
选项：
答案：【答案】解: 设另一个因式为 $x+a$, 则 $2 x^{2}+3 x-k=(2 x-5)(x+a)$,即 $2 x^{2}+3 x-k=2 x^{2}+(2 a-5) x-5 a$,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}2 a-5=3, \\ -5 a=-k,\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}a=4, \\ k=20 .\end{array}\right.$

故另一个因式为 $x+4, k$ 的值为 20 .

【解析】见答案
解析：【答案】解: 设另一个因式为 $x+a$, 则 $2 x^{2}+3 x-k=(2 x-5)(x+a)$,即 $2 x^{2}+3 x-k=2 x^{2}+(2 a-5) x-5 a$,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}2 a-5=3, \\ -5 a=-k,\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}a=4, \\ k=20 .\end{array}\right.$

故另一个因式为 $x+4, k$ 的值为 20 .

【解析】见答案
题目（七年级 · 代数）：知关于 $x$ 的多项式 $3 x^{2}+x+m$ 因式分解后有一个因式是 $3 x-2$.

(1)求 $m$ 的值;

(2)将该多项式因式分解.
选项：
答案：【答案】解：(1) $\because x$ 的多项式 $3 x^{2}+x+m$ 分解因式后有一个因式是 $3 x-2$,当 $x=\frac{2}{3}$ 时多项式的值为 0 ,

即 $3 \times \frac{4}{9}+\frac{2}{3}+m=0 ，$

$\therefore 2+m=0$,

$\therefore m=-2$;

(2) $3 x^{2}+x+m=3 x^{2}+x-2=(x+1)(3 x-2)$;

故答案为: $m=-2,(x+1)(3 x-2)$.

【解析】(1)由于 $x$ 的多项式 $3 x^{2}+x+m$ 分解因式后有一个因式是 $3 x-2$, 所以当 $x=\frac{2}{3}$ 时多项式的值为 0 , 由此得到关于 $m$ 的方程, 解方程即可求出 $m$ 的值;

(2)把 $m$ 的值代入 $3 x^{2}+x+m$, 再利用十字相乘法进行因式分解, 即可求出答案.

本题主要考查因式分解的意义和方法, 关键是根据关于 $x$ 的多项式 $3 x^{2}+x+m$ 因式分解后有一个因式是 $3 x-2$ 得出当 $x=\frac{2}{3}$ 时多项式的值为 0 .
解析：【答案】解：(1) $\because x$ 的多项式 $3 x^{2}+x+m$ 分解因式后有一个因式是 $3 x-2$,当 $x=\frac{2}{3}$ 时多项式的值为 0 ,

即 $3 \times \frac{4}{9}+\frac{2}{3}+m=0 ，$

$\therefore 2+m=0$,

$\therefore m=-2$;

(2) $3 x^{2}+x+m=3 x^{2}+x-2=(x+1)(3 x-2)$;

故答案为: $m=-2,(x+1)(3 x-2)$.

【解析】(1)由于 $x$ 的多项式 $3 x^{2}+x+m$ 分解因式后有一个因式是 $3 x-2$, 所以当 $x=\frac{2}{3}$ 时多项式的值为 0 , 由此得到关于 $m$ 的方程, 解方程即可求出 $m$ 的值;

(2)把 $m$ 的值代入 $3 x^{2}+x+m$, 再利用十字相乘法进行因式分解, 即可求出答案.

本题主要考查因式分解的意义和方法, 关键是根据关于 $x$ 的多项式 $3 x^{2}+x+m$ 因式分解后有一个因式是 $3 x-2$ 得出当 $x=\frac{2}{3}$ 时多项式的值为 0 .
题目（七年级 · 代数）：图, 由一个边长为 $m$ 的正方形与长、宽分别为 $m 、 n$ 的两个小长方形拼接成一个大长方形 $A B C D$, 这个图形可表达一些


有关多项式分解因式的等式.请你写出两个这样的等式.
选项：
答案：【答案】略

【解析】略
解析：【答案】略

【解析】略
题目（七年级 · 代数）：知: $x 、 y$ 满足: $(x+y)^{2}=5,(x-y)^{2}=41$; 求 $x^{3} y+x y^{3}$ 的值.
选项：
答案：【答案】解: $\because(x+y)^{2}=5,(x-y)^{2}=41$,

$\therefore(x+y)^{2}+(x-y)^{2}=46$,

则 $x^{2}+2 x y+y^{2}+x^{2}-2 x y+y^{2}=46$,

$2\left(x^{2}+y^{2}\right)=46$

故 $x^{2}+y^{2}=23$,

$(x+y)^{2}-(x-y)^{2}=-36$,

则 $x^{2}+2 x y+y^{2}-x^{2}+2 x y-y^{2}=-36$,

故 $4 x y=-36$,

则 $x y=-9$,

$x^{3} y+x y^{3}=x y\left(x^{2}+y^{2}\right)$

$=-9 \times 23$

$=-207$.

【解析】直接利用已知将原式变形得出 $x^{2}+y^{2}=23, x y=-9$, 进而求出答案.

此题主要考查了完全平方公式的应用, 正确将已知变形是解题关键.
解析：【答案】解: $\because(x+y)^{2}=5,(x-y)^{2}=41$,

$\therefore(x+y)^{2}+(x-y)^{2}=46$,

则 $x^{2}+2 x y+y^{2}+x^{2}-2 x y+y^{2}=46$,

$2\left(x^{2}+y^{2}\right)=46$

故 $x^{2}+y^{2}=23$,

$(x+y)^{2}-(x-y)^{2}=-36$,

则 $x^{2}+2 x y+y^{2}-x^{2}+2 x y-y^{2}=-36$,

故 $4 x y=-36$,

则 $x y=-9$,

$x^{3} y+x y^{3}=x y\left(x^{2}+y^{2}\right)$

$=-9 \times 23$

$=-207$.

【解析】直接利用已知将原式变形得出 $x^{2}+y^{2}=23, x y=-9$, 进而求出答案.

此题主要考查了完全平方公式的应用, 正确将已知变形是解题关键.
题目（七年级 · 代数）：1) 已知多项式 $2 x^{3}-x^{2}+m$ 有一个因式是 $2 x+1$, 求 $m$ 的值 ( $m$ 是常数).

(2) 已知 $a 、 b 、 c$ 是 $\triangle A B C$ 的三条边, 且满足 $a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-a c=0$, 试判断 $\triangle A B C$ 的形状.
选项：
答案：【答案】解: (1) $\because$ 多项式 $2 x^{3}-x^{2}+m$ 有一个因式是 $2 x+1$,

$\therefore 2 x^{3}-x^{2}+m=(2 x+1) A$,

当 $x=-\frac{1}{2}$ 时,

$-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+m=0$

解得 $m=\frac{1}{2}$.

(2) $\because a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-a c=0$,

$\therefore 2 a^{2}+2 b^{2}+2 c^{2}-2 a b-2 b c-2 a c=0$,

$a^{2}+b^{2}-2 a b+b^{2}+c^{2}-2 b c+a^{2}+c^{2}-2 a c=0$,

$\therefore(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=0$,

$\therefore a-b=0, b-c=0, c-a=0$,

$\therefore a=b=c$,

$\therefore \triangle A B C$ 为等边三角形.

【解析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、等边三角形的判断; 以及灵活利用因式分解建立与方程之间的关系来解决问题.

(1) 令 $2 x^{3}-x^{2}+m=(2 x+1) A$ 的形式, 当 $x=-\frac{1}{2}$ 时, 可以转化为关于 $m$ 的一元一次方

程, 解方程即可求出 $m$ 的值;

(2)将已知等式利用配方法进行变形, 再利用非负数的性质求出 $a-b=0, b-c=0$, $c-a=0$, 即可判断出 $\triangle A B C$ 的形状.
解析：【答案】解: (1) $\because$ 多项式 $2 x^{3}-x^{2}+m$ 有一个因式是 $2 x+1$,

$\therefore 2 x^{3}-x^{2}+m=(2 x+1) A$,

当 $x=-\frac{1}{2}$ 时,

$-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}+m=0$

解得 $m=\frac{1}{2}$.

(2) $\because a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-a c=0$,

$\therefore 2 a^{2}+2 b^{2}+2 c^{2}-2 a b-2 b c-2 a c=0$,

$a^{2}+b^{2}-2 a b+b^{2}+c^{2}-2 b c+a^{2}+c^{2}-2 a c=0$,

$\therefore(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}=0$,

$\therefore a-b=0, b-c=0, c-a=0$,

$\therefore a=b=c$,

$\therefore \triangle A B C$ 为等边三角形.

【解析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、等边三角形的判断; 以及灵活利用因式分解建立与方程之间的关系来解决问题.

(1) 令 $2 x^{3}-x^{2}+m=(2 x+1) A$ 的形式, 当 $x=-\frac{1}{2}$ 时, 可以转化为关于 $m$ 的一元一次方

程, 解方程即可求出 $m$ 的值;

(2)将已知等式利用配方法进行变形, 再利用非负数的性质求出 $a-b=0, b-c=0$, $c-a=0$, 即可判断出 $\triangle A B C$ 的形状.
题目（七年级 · 代数）：1)将一个多项式分组后, 可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法.

例如: $a m+a n+b m+b n=(a m+a n)+(b m+b n)=a(m+n)+b(m+n)=$ $(a+b)(m+n)$.

(1) 分解因式: $a b-a-b+1$;

(2) 若 $a, b(a>b)$ 都是正整数且满足 $a b-a-b-4=0$, 求 $a+b$ 的值;

(2) 若 $a, b$ 为实数且满足 $a b-a-b-4=0, s=a^{2}+3 a b+b^{2}+3 a-\frac{5}{2} b$, 求 $s$ 的最小值。
选项：
答案：【答案】解: (1)(1) $a b-a-b+1$
$$
\begin{aligned}
& =(a b-a)-(b-1) \\
& =a(b-1)-(b-1)
\end{aligned}
$$

$=(a-1)(b-1)$.

(2)由题得 $a b-a-b+1=5$, 即 $(a-1)(b-1)=5$.

$\because a, b$ 为正整数且 $a>b$,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}a-1=5 \\ b-1=1\end{array}\right.$, 即 $\left\{\begin{array}{l}a=6 \\ b=2\end{array}\right.$.

$\therefore a+b=8$.

(2) 由题得 $a b=a+b+4$.

$$
\begin{aligned}
& \therefore s=a^{2}+3 a b+b^{2}+3 a-\frac{5}{2} b \\
& =a^{2}+3(a+b+4)+b^{2}+3 a-\frac{5}{2} b \\
& =a^{2}+6 a+b^{2}+\frac{1}{2} b+12
\end{aligned}
$$

$=(a+3)^{2}+\left(b+\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{47}{16}$.

$\because(a+3)^{2} \geq 0,\left(b+\frac{1}{4}\right)^{2} \geq 0$,

$\therefore s \geq \frac{47}{16}$ (当且仅当 $a=-3, b=-\frac{1}{4}$ 时取等号).

经验证: $a=-3, b=-\frac{1}{4}$ 满足 $a b-a-b-4=0$,

综上, $s$ 的最小值为 $\frac{47}{16}$.

【解析】本题主要考查分组分解法进行因式分解，熟练掌握运用提公因式法以及公式法进行因式分解是解决本题的关键.

(1)先分组, 再运用提公因式法进行因式分解.

(2)现将 $a b-a-b-4=0$ 变形为 $a b-a-b+1=5$, 即 $(a-1)(b-1)=5$, 然后再解决本题.

(2)先将 $a b-a-b-4=0$ 变形为 $a b=a+b+4$, 再代入 $S$, 然后进行变形, 得到 $S=$ $(a+3)^{2}+\left(b+\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{47}{16}$. 最后, 探究 $S$ 的最小值.
解析：【答案】解: (1)(1) $a b-a-b+1$
$$
\begin{aligned}
& =(a b-a)-(b-1) \\
& =a(b-1)-(b-1)
\end{aligned}
$$

$=(a-1)(b-1)$.

(2)由题得 $a b-a-b+1=5$, 即 $(a-1)(b-1)=5$.

$\because a, b$ 为正整数且 $a>b$,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}a-1=5 \\ b-1=1\end{array}\right.$, 即 $\left\{\begin{array}{l}a=6 \\ b=2\end{array}\right.$.

$\therefore a+b=8$.

(2) 由题得 $a b=a+b+4$.

$$
\begin{aligned}
& \therefore s=a^{2}+3 a b+b^{2}+3 a-\frac{5}{2} b \\
& =a^{2}+3(a+b+4)+b^{2}+3 a-\frac{5}{2} b \\
& =a^{2}+6 a+b^{2}+\frac{1}{2} b+12
\end{aligned}
$$

$=(a+3)^{2}+\left(b+\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{47}{16}$.

$\because(a+3)^{2} \geq 0,\left(b+\frac{1}{4}\right)^{2} \geq 0$,

$\therefore s \geq \frac{47}{16}$ (当且仅当 $a=-3, b=-\frac{1}{4}$ 时取等号).

经验证: $a=-3, b=-\frac{1}{4}$ 满足 $a b-a-b-4=0$,

综上, $s$ 的最小值为 $\frac{47}{16}$.

【解析】本题主要考查分组分解法进行因式分解，熟练掌握运用提公因式法以及公式法进行因式分解是解决本题的关键.

(1)先分组, 再运用提公因式法进行因式分解.

(2)现将 $a b-a-b-4=0$ 变形为 $a b-a-b+1=5$, 即 $(a-1)(b-1)=5$, 然后再解决本题.

(2)先将 $a b-a-b-4=0$ 变形为 $a b=a+b+4$, 再代入 $S$, 然后进行变形, 得到 $S=$ $(a+3)^{2}+\left(b+\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{47}{16}$. 最后, 探究 $S$ 的最小值.
题目（七年级 · 代数）：已知 $4 x-5 y=0$, 求分式 $\frac{4 x y+y^{2}}{x^{2}-2 x y}$ 的值.
选项：
答案：【答案】解: $\because 4 x-5 y=0$
$$
\begin{aligned}
& \therefore x=\frac{5 y}{4} \\
& \therefore \frac{4 x y+y^{2}}{x^{2}-2 x y}=\frac{4 \times \frac{5 y}{4} \times y+y^{2}}{\left(\frac{5 y}{4}\right)^{2}-2 \times \frac{5 y}{4} \times y} \\
& =\frac{5 y^{2}+y^{2}}{\frac{25 y^{2}}{16}-\frac{5 y^{2}}{2}} \\
& =\frac{6}{-\frac{15}{16}} \\
& =-\frac{32}{5}
\end{aligned}
$$

$\therefore$ 分式 $\frac{4 x y+y^{2}}{x^{2}-2 x y}$ 的值为 $-\frac{32}{5}$.
【解析】先将 $4 x-5 y=0$ 变形, 用含 $y$ 的式子表示出 $x$, 再代入分式 $\frac{4 x y+y^{2}}{x^{2}-2 x y}$ 化简即可.本题考查了分式的值, 熟练掌握相关运算法则是解题的关键.
解析：【答案】解: $\because 4 x-5 y=0$
$$
\begin{aligned}
& \therefore x=\frac{5 y}{4} \\
& \therefore \frac{4 x y+y^{2}}{x^{2}-2 x y}=\frac{4 \times \frac{5 y}{4} \times y+y^{2}}{\left(\frac{5 y}{4}\right)^{2}-2 \times \frac{5 y}{4} \times y} \\
& =\frac{5 y^{2}+y^{2}}{\frac{25 y^{2}}{16}-\frac{5 y^{2}}{2}} \\
& =\frac{6}{-\frac{15}{16}} \\
& =-\frac{32}{5}
\end{aligned}
$$

$\therefore$ 分式 $\frac{4 x y+y^{2}}{x^{2}-2 x y}$ 的值为 $-\frac{32}{5}$.
【解析】先将 $4 x-5 y=0$ 变形, 用含 $y$ 的式子表示出 $x$, 再代入分式 $\frac{4 x y+y^{2}}{x^{2}-2 x y}$ 化简即可.本题考查了分式的值, 熟练掌握相关运算法则是解题的关键.
题目（七年级 · 代数）：不改变分式的值, 把下列各式的分子、分母中各项的系数化为整数.
(1) $\frac{a+\frac{1}{3} b}{\frac{2}{5} a-2 b}$;
(2) $\frac{0.03 a-0.2 b}{0.08 a+0.5 b}$.
选项：
答案：【答案】解: (1)原式 $=\frac{15\left(a+\frac{1}{3} b\right)}{15\left(\frac{2}{5} a-2 b\right)}=\frac{15 a+5 b}{6 a-30 b}$;

(2)原式 $=\frac{100(0.03 a-0.2 b)}{100(0.08 a+0.5 b)}$

$=\frac{3 a-20 b}{8 a+50 b}$

【解析】根据分式的基本性质即可求出答案.

本题考查分式的基本性质, 解题的关键是正确理解分式的基本性质, 本题属于基础题型.
解析：【答案】解: (1)原式 $=\frac{15\left(a+\frac{1}{3} b\right)}{15\left(\frac{2}{5} a-2 b\right)}=\frac{15 a+5 b}{6 a-30 b}$;

(2)原式 $=\frac{100(0.03 a-0.2 b)}{100(0.08 a+0.5 b)}$

$=\frac{3 a-20 b}{8 a+50 b}$

【解析】根据分式的基本性质即可求出答案.

本题考查分式的基本性质, 解题的关键是正确理解分式的基本性质, 本题属于基础题型.
题目（七年级 · 代数）：化简: $\frac{x+1}{x} \div\left(x-\frac{1}{x}\right)$.
选项：
答案：【答案】解: 原式 $=\frac{x+1}{x} \div\left(\frac{x^{2}}{x}-\frac{1}{x}\right)$

$=\frac{x+1}{x} \div \frac{x^{2}-1}{x}$

$=\frac{x+1}{x} \cdot \frac{x}{(x+1)(x-1)}$

$=\frac{1}{x-1}$.

【解析】利用分式的减法法则和除法法则进行计算, 即可得出结果.

本题考查了分式的乘除法, 熟练掌握分式的减法法则和除法法则是解题的关键.
解析：【答案】解: 原式 $=\frac{x+1}{x} \div\left(\frac{x^{2}}{x}-\frac{1}{x}\right)$

$=\frac{x+1}{x} \div \frac{x^{2}-1}{x}$

$=\frac{x+1}{x} \cdot \frac{x}{(x+1)(x-1)}$

$=\frac{1}{x-1}$.

【解析】利用分式的减法法则和除法法则进行计算, 即可得出结果.

本题考查了分式的乘除法, 熟练掌握分式的减法法则和除法法则是解题的关键.
题目（七年级 · 代数）：先化简, 再求值: $\frac{x^{2}}{x-1}+\frac{1}{1-x}$, 其中 $x=-\frac{3}{2}$.
选项：
答案：【答案】解: 原式 $=\frac{x^{2}}{x-1}-\frac{1}{x-1}$
$$
\begin{aligned}
& =\frac{x^{2}-1}{x-1} \\
& =\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}
\end{aligned}
$$

$=x+1$,

当 $x=-\frac{3}{2}$ 时,

原式 $=-\frac{3}{2}+1=-\frac{1}{2}$.
【解析】先根据分式的加减运算法则化简原式, 再将 $x$ 的值代入计算可得.

本题主要考查分式的化简求值, 解题的关键是掌握分式的加减运算法则.
解析：【答案】解: 原式 $=\frac{x^{2}}{x-1}-\frac{1}{x-1}$
$$
\begin{aligned}
& =\frac{x^{2}-1}{x-1} \\
& =\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}
\end{aligned}
$$

$=x+1$,

当 $x=-\frac{3}{2}$ 时,

原式 $=-\frac{3}{2}+1=-\frac{1}{2}$.
【解析】先根据分式的加减运算法则化简原式, 再将 $x$ 的值代入计算可得.

本题主要考查分式的化简求值, 解题的关键是掌握分式的加减运算法则.
题目（七年级 · 代数）：若商品的买入价为 $a$, 售出价为 $b$, 则毛利率 $p=\frac{b-a}{a}(b>a)$. 把这个公式变形成已知 $p, b$, 求 $a$ 的公式.
选项：
答案：【答案】解: $\because p=\frac{b-a}{a}$,

$\therefore a p=b-a$,

$\therefore a p+a=b$,

即 $(p+1) a=b$,

$\therefore a=\frac{b}{p+1}$.

【解析】利用等式的性质通过变形, 用 $p$ 和 $b$ 表示 $a$.

本题考查了分式的混合运算: 分式的混合运算, 要注意运算顺序, 式与数有相同的混合运算顺序; 先乘方, 再乘除, 然后加减, 有括号的先算括号里面的.
解析：【答案】解: $\because p=\frac{b-a}{a}$,

$\therefore a p=b-a$,

$\therefore a p+a=b$,

即 $(p+1) a=b$,

$\therefore a=\frac{b}{p+1}$.

【解析】利用等式的性质通过变形, 用 $p$ 和 $b$ 表示 $a$.

本题考查了分式的混合运算: 分式的混合运算, 要注意运算顺序, 式与数有相同的混合运算顺序; 先乘方, 再乘除, 然后加减, 有括号的先算括号里面的.
题目（七年级 · 代数）：若 $a b c \neq 0$, 试求代数式 $\frac{|a|}{a}+\frac{b}{|b|}+\frac{|c|}{c}+\frac{a b c}{|a b c|}$ 所有可能的值.
选项：
答案：【答案】解：因为 $a b c \neq 0$, 所以 $a 、 b 、 c$ 都不为 0 , 因此分四种情况讨论:

(1)当 $a 、 b 、 c$ 全正时, 即 $a>0, b>0, c>0$,

原式 $=\frac{a}{a}+\frac{b}{b}+\frac{c}{c}+\frac{a b c}{a b c}=1+1+1+1=4$;

(2)当 $a 、 b 、 c$ 中两正一负时, 设 $a>0, b>0, c<0$,

原式 $=\frac{a}{a}+\frac{b}{b}-\frac{c}{c}-\frac{a b c}{a b c}=1+1-1-1=0$;

(3)当 $a 、 b 、 c$ 中两负一正时, 设 $a<0, b<0, c>0$,

原式 $=-\frac{a}{a}-\frac{b}{b}+\frac{c}{c}+\frac{a b c}{a b c}=-1-1+1+1=0$;

(4) 当 $a 、 b 、 c$ 全负时, 即 $a<0, b<0, c<0$,

原式 $=-\frac{a}{a}-\frac{b}{b}-\frac{c}{c}-\frac{a b c}{a b c}=-1-1-1-1=-4$;

综上所述, 所求代数式的值为 $4,0,-4$.

【解析】本题主要考查绝对值的性质以及有理数的乘除运算, 分类讨论是解题的关键;结合已知易得 $a 、 b 、 c$ 都不为 0 , 再分 $a 、 b 、 c$ 同正、两正一负、两负一正、同负四种情况求解; 接下来利用正数的绝对值等于它本身, 负数的绝对值等于它的相反数进行求解
即可.
解析：【答案】解：因为 $a b c \neq 0$, 所以 $a 、 b 、 c$ 都不为 0 , 因此分四种情况讨论:

(1)当 $a 、 b 、 c$ 全正时, 即 $a>0, b>0, c>0$,

原式 $=\frac{a}{a}+\frac{b}{b}+\frac{c}{c}+\frac{a b c}{a b c}=1+1+1+1=4$;

(2)当 $a 、 b 、 c$ 中两正一负时, 设 $a>0, b>0, c<0$,

原式 $=\frac{a}{a}+\frac{b}{b}-\frac{c}{c}-\frac{a b c}{a b c}=1+1-1-1=0$;

(3)当 $a 、 b 、 c$ 中两负一正时, 设 $a<0, b<0, c>0$,

原式 $=-\frac{a}{a}-\frac{b}{b}+\frac{c}{c}+\frac{a b c}{a b c}=-1-1+1+1=0$;

(4) 当 $a 、 b 、 c$ 全负时, 即 $a<0, b<0, c<0$,

原式 $=-\frac{a}{a}-\frac{b}{b}-\frac{c}{c}-\frac{a b c}{a b c}=-1-1-1-1=-4$;

综上所述, 所求代数式的值为 $4,0,-4$.

【解析】本题主要考查绝对值的性质以及有理数的乘除运算, 分类讨论是解题的关键;结合已知易得 $a 、 b 、 c$ 都不为 0 , 再分 $a 、 b 、 c$ 同正、两正一负、两负一正、同负四种情况求解; 接下来利用正数的绝对值等于它本身, 负数的绝对值等于它的相反数进行求解
即可.
题目（七年级 · 代数）：给出下面一列分式: $\frac{x^{3}}{y},-\frac{x^{5}}{y^{2}}, \frac{x^{7}}{y^{3}},-\frac{x^{9}}{y^{4}}, \cdots($ 其中 $x \neq 0)$.

(1)从这列分式的第 2 个分式开始, 把任意一个分式除以它前一个分式, 你发现了什么规律?

(2)根据你发现的规律, 试写出这列分式中的第2021个分式.
选项：
答案：【答案】解：(1)第二个分式除以第一个分式得 $-\frac{x^{2}}{y}$,

第三个分式除以第二个分式得 $-\frac{x^{2}}{y}$,

第四个分式除以第三个分式也是 $-\frac{x^{2}}{y}$,

故规律是任意一个分式除以它前一个分式恒等于 $-\frac{x^{2}}{y}$.

(2)由(1)可知第2021个分式应该是 $\frac{x^{3}}{y} \cdot\left(-\frac{x^{2}}{y}\right)^{2020}=\frac{x^{3}}{y} \cdot \frac{x^{4040}}{y^{2020}}=\frac{x^{4043}}{y^{2021}}$.

【解析】见答案
解析：【答案】解：(1)第二个分式除以第一个分式得 $-\frac{x^{2}}{y}$,

第三个分式除以第二个分式得 $-\frac{x^{2}}{y}$,

第四个分式除以第三个分式也是 $-\frac{x^{2}}{y}$,

故规律是任意一个分式除以它前一个分式恒等于 $-\frac{x^{2}}{y}$.

(2)由(1)可知第2021个分式应该是 $\frac{x^{3}}{y} \cdot\left(-\frac{x^{2}}{y}\right)^{2020}=\frac{x^{3}}{y} \cdot \frac{x^{4040}}{y^{2020}}=\frac{x^{4043}}{y^{2021}}$.

【解析】见答案
题目（七年级 · 代数）：通常情况下, $a+b$ 不一定等于 $a b$, 观察: $2+2=2 \times 2,3+\frac{3}{2}=3 \times \frac{3}{2}, 4+\frac{4}{3}=4 \times \frac{4}{3}$, $\cdots$, 我们把符合 $a+b=a b$ 的两个数 $a, b$ 叫做 “和积数对”. 已知 $m, n$ 是一对 “和积数对”.

(1)当 $m=-10$ 时, 求 $n$ 的值;

(2)求 $\frac{-2(m+n)^{2}+3 m^{2} n^{2}}{(2 m+2 n)^{2}}$ 的值.
选项：
答案：【答案】解: (1) 当 $m=-10$ 时, $-10+n=-10 n$, 解得 $n=\frac{10}{11}$.

(2) $\because m+n=m n$,

$$
\therefore \frac{-2(m+n)^{2}+3 m^{2} n^{2}}{(2 m+2 n)^{2}}=
$$

$\frac{-2(m n)^{2}+3 m^{2} n^{2}}{(2 m n)^{2}}=\frac{m^{2} n^{2}}{4 m^{2} n^{2}}=\frac{1}{4}$.

【解析】略
解析：【答案】解: (1) 当 $m=-10$ 时, $-10+n=-10 n$, 解得 $n=\frac{10}{11}$.

(2) $\because m+n=m n$,

$$
\therefore \frac{-2(m+n)^{2}+3 m^{2} n^{2}}{(2 m+2 n)^{2}}=
$$

$\frac{-2(m n)^{2}+3 m^{2} n^{2}}{(2 m n)^{2}}=\frac{m^{2} n^{2}}{4 m^{2} n^{2}}=\frac{1}{4}$.

【解析】略
题目（七年级 · 代数）：已知 $(x+a)(x+b)=x^{2}+m x+n$.

(1)若 $a=-5, b=4$, 则 $m=$ $\qquad$ , $n=$

(2)若 $m=-3, n=\frac{1}{3}$, 求 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 的值;

(3)若 $n=-1$, 求 $\frac{a^{4}+1}{a^{2}}+\frac{b^{4}+1}{b^{2}}$ 的最小值.
选项：
答案：【答案】 $-1-20$

【解析】解: (1) $\because(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b) x+a b=x^{2}+m x+n$,

$\therefore m=a+b, n=a b$,

若 $a=-5, \quad b=4$,

则 $m=-5+4=-1, n=4 \times(-5)=-20$,

故答案为: $-1,-20$.

(2) $\because m=-3, \quad n=\frac{1}{3}$,
$\therefore m=a+b=-3, \quad n=a b=\frac{1}{3}$,

$\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{a b}=\frac{-3}{\frac{1}{3}}=-9$,

(3) $\because n=-1$,

$\therefore n=a b=-1$,

$\therefore \frac{a^{4}+1}{a^{2}}+\frac{b^{4}+1}{b^{2}}$

$=\frac{a^{4} b^{2}+b^{2}+a^{2} b^{4}+a^{2}}{a^{2} b^{2}}$

$=a^{2}+b^{2}+b^{2}+a^{2}$

$=2(a+b)^{2}-4 a b$

$=2 m^{2}-4 n$,

$=2 m^{2}+4$

$\because 2 m^{2} \geq 0$,

$\therefore \frac{a^{4}+1}{a^{2}}+\frac{b^{4}+1}{b^{2}} \geq 4$

$\therefore \frac{a^{4}+1}{a^{2}}+\frac{b^{4}+1}{b^{2}}$ 的最小值为 4 .

(1)利用多项式的乘法公式展开, 得出 $m=a+b, n=a b$, 将 $a$ 与 $b$ 的值代入求解;

(2)将 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 化简为 $\frac{a+b}{a b}$, 然后代入 $m, n$ 求值;

(3)通过把 $\frac{a^{4}+1}{a^{2}}+\frac{b^{4}+1}{b^{2}}$ 变形转换为 $2 m^{2}+4$ 利用非负数的性质求解即可.

本题考查分式与整式乘法的综合应用, 解题关键是熟练掌握分式的基本性质及整式的运算法则及因式分解的方法.
解析：【答案】 $-1-20$

【解析】解: (1) $\because(x+a)(x+b)=x^{2}+(a+b) x+a b=x^{2}+m x+n$,

$\therefore m=a+b, n=a b$,

若 $a=-5, \quad b=4$,

则 $m=-5+4=-1, n=4 \times(-5)=-20$,

故答案为: $-1,-20$.

(2) $\because m=-3, \quad n=\frac{1}{3}$,
$\therefore m=a+b=-3, \quad n=a b=\frac{1}{3}$,

$\therefore \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{a b}=\frac{-3}{\frac{1}{3}}=-9$,

(3) $\because n=-1$,

$\therefore n=a b=-1$,

$\therefore \frac{a^{4}+1}{a^{2}}+\frac{b^{4}+1}{b^{2}}$

$=\frac{a^{4} b^{2}+b^{2}+a^{2} b^{4}+a^{2}}{a^{2} b^{2}}$

$=a^{2}+b^{2}+b^{2}+a^{2}$

$=2(a+b)^{2}-4 a b$

$=2 m^{2}-4 n$,

$=2 m^{2}+4$

$\because 2 m^{2} \geq 0$,

$\therefore \frac{a^{4}+1}{a^{2}}+\frac{b^{4}+1}{b^{2}} \geq 4$

$\therefore \frac{a^{4}+1}{a^{2}}+\frac{b^{4}+1}{b^{2}}$ 的最小值为 4 .

(1)利用多项式的乘法公式展开, 得出 $m=a+b, n=a b$, 将 $a$ 与 $b$ 的值代入求解;

(2)将 $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 化简为 $\frac{a+b}{a b}$, 然后代入 $m, n$ 求值;

(3)通过把 $\frac{a^{4}+1}{a^{2}}+\frac{b^{4}+1}{b^{2}}$ 变形转换为 $2 m^{2}+4$ 利用非负数的性质求解即可.

本题考查分式与整式乘法的综合应用, 解题关键是熟练掌握分式的基本性质及整式的运算法则及因式分解的方法.
题目（七年级 · 代数）：阅读下面的解题过程:

已知: $\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{3}$, 求 $\frac{x^{2}}{x^{4}+1}$ 的值. 解: $\frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{3}$ 知 $x \neq 0$, 所以 $\frac{x^{2}+1}{x}=3$, 即 $x+\frac{1}{x}=3$. 所以 $\frac{x^{4}+1}{x^{2}}=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-2=3^{2}-2=7$. 故 $\frac{x^{2}}{x^{4}+1}$ 的值为 $\frac{1}{7}$.

该题的解法叫做 “倒数法” , 请你利用 “倒数法” 解决下面的题目:
已知: $\frac{x}{x^{2}-3 x+1}=\frac{1}{5}$, 求 $\frac{x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}$ 的值.
选项：
答案：【答案】解: $\because \frac{x}{x^{2}-3 x+1}=\frac{1}{5}$,

$\therefore \frac{x^{2}-3 x+1}{x}=5$,

$\therefore x+\frac{1}{x}=8$,

$\because \frac{x^{4}+x^{2}+1}{x^{2}}=x^{2}+1+\frac{1}{x^{2}}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-2+1=8^{2}-1=63$,

$\therefore \frac{x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}=\frac{1}{63}$.
【解析】此题主要考查了分式的混合运算, 关键是理解例题的解法, 掌握解题方法后,再根据例题方法解答, 首先根据解答例题可得 $\frac{x^{2}-3 x+1}{x}=5$, 得出 $x+\frac{1}{x}=8$, 再求 $\frac{x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}$的倒数的值, 进而可得答案.
解析：【答案】解: $\because \frac{x}{x^{2}-3 x+1}=\frac{1}{5}$,

$\therefore \frac{x^{2}-3 x+1}{x}=5$,

$\therefore x+\frac{1}{x}=8$,

$\because \frac{x^{4}+x^{2}+1}{x^{2}}=x^{2}+1+\frac{1}{x^{2}}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-2+1=8^{2}-1=63$,

$\therefore \frac{x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}=\frac{1}{63}$.
【解析】此题主要考查了分式的混合运算, 关键是理解例题的解法, 掌握解题方法后,再根据例题方法解答, 首先根据解答例题可得 $\frac{x^{2}-3 x+1}{x}=5$, 得出 $x+\frac{1}{x}=8$, 再求 $\frac{x^{2}}{x^{4}+x^{2}+1}$的倒数的值, 进而可得答案.
题目（七年级 · 代数）：给出 4 个整式: $2, x+2, x-2,2 x+1$.

(1)从上面的 4 个整式中选择 2 个整式, 写出一个分式;

(2)从上面的 4 个整式中选择 2 个整式进行运算, 使运算结果为二次三项式. 请你列出一个算式，并写出运算过程.
选项：
答案：【答案】解: (1)从 从个整式: $2, x+2, x-2,2 x+1$ 中选择 2 个整式, 写出的分式有: $\frac{2}{x+2}, \frac{2 x+1}{x-2}$ 等, 答案不唯一;

(2)从 从个整式: $2, x+2, x-2,2 x+1$ 中选择 2 个整式进行运算, 使运算结果为二次三项式的有:

$(x+2)(2 x+1)=2 x^{2}+x+4 x+2=2 x^{2}+5 x+2$, 答案不唯一.

【解析】本题是开放性试题, 答案不唯一.主要考查了分式的定义及多项式的乘法法则.

(1)根据分式的定义即可写出, 答案不唯一;

(2)由于 4 个整式中 2 是常数, 次数为 0 , 另外三个都是含同一个字母 $x$ 的一次二项式, 根据多项式的乘法法则, 从这三个一次二项式中选择两个相乘(不能同时选择 $x+2$ 与 $x-$ 2), 即可得出一个二次三项式, 答案不唯一.
解析：【答案】解: (1)从 从个整式: $2, x+2, x-2,2 x+1$ 中选择 2 个整式, 写出的分式有: $\frac{2}{x+2}, \frac{2 x+1}{x-2}$ 等, 答案不唯一;

(2)从 从个整式: $2, x+2, x-2,2 x+1$ 中选择 2 个整式进行运算, 使运算结果为二次三项式的有:

$(x+2)(2 x+1)=2 x^{2}+x+4 x+2=2 x^{2}+5 x+2$, 答案不唯一.

【解析】本题是开放性试题, 答案不唯一.主要考查了分式的定义及多项式的乘法法则.

(1)根据分式的定义即可写出, 答案不唯一;

(2)由于 4 个整式中 2 是常数, 次数为 0 , 另外三个都是含同一个字母 $x$ 的一次二项式, 根据多项式的乘法法则, 从这三个一次二项式中选择两个相乘(不能同时选择 $x+2$ 与 $x-$ 2), 即可得出一个二次三项式, 答案不唯一.