题目（高三 · 计数）：（12 分）某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额(单位: 元),如图所示:



（1）现从去年的消费金额超过 3200 元的消费者中随机抽取 2 人, 求至少有 1 位消费者去年的消费金额在 $(3200 ， 4000]$ 内的概率;

（2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如下表:

| 会员等级 | 消费金额 |
| :---: | :---: |
| 普通会员 | 2000 |
| 银卡会员 | 2700 |
| 金卡会员 | 3200 |

预计去年消费金额在 $(0,1600]$ 内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在 $(1600 ， 3200]$ 内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在 $(3200 ， 4800]$内的消费者都将会申请办理金卡会员, 消费者在申请办理会员时, 需一次性缴清相应等级的消费金额, 该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动, 现有如下两种预设方案:

方案 1: 按分层抽样从普通会员, 银卡会员, 金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖励: 普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元; 银卡会员中的“幸运之星”每人奖励 600 元; 金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元.

方案 2: 每位会员均可参加摸奖游戏, 游戏规则如下: 从一个装有 3 个白球、 2 个红球(球只有颜色不同)的箱子中, 有放回地摸三次球, 每次只能摸一个球, 若摸到红球的总数为 2 , 则可获得 200 元奖励金; 若摸到红球的总数为 3 , 则可获得 300 元奖励金; 其他情况不给予奖励. 规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏; 每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏; 每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏(每次摸奖的结果相互独立). 请你预测哪一种返利活动方案该健身机构的投资较少? 并说明理由.
选项：
答案：答案:(1) $\frac{10}{11}$; (2) 方案 2 投资较少, 理由见解析.

【解析】（1）去年的消费金额超过 3200 元的消费者有 12 人, 随机抽取 2 人, 消费金额在 $(3200,4000]$的范围内的人数为 $X$, 可能取值为 $0,1,2, P(X \geq 1)=1-P(X=0)=1-\frac{\mathrm{C}_{4}^{2}}{\mathrm{C}_{12}^{2}}=\frac{10}{11}$,

所以至少有 1 位消费者去年的消费金额在 $(3200,4000]$ 的范围内的概率为 $\frac{10}{11}$.

（2）方案 1: 按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”, 则“幸运之星”中的普通会员, 银卡会员, 金卡会员的人数分别为 $\frac{28}{100} \times 25=7, \frac{60}{100} \times 25=15, \frac{12}{100} \times 25=3$.按照方案 1 奖励的总金额 $\xi_{1}=7 \times 500+15 \times 600+3 \times 800=14900 （$ 元）.

方案 2：设 $\eta$ 表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则 $\eta$ 的可能取值为 $0,200,300$.

摸到红球的概率 $P=\frac{\mathrm{C}_{2}^{1}}{\mathrm{C}_{5}^{1}}=\frac{2}{5}$,

所以 $P(\eta=0)=\mathrm{C}_{3}^{0} \cdot\left(\frac{2}{5}\right)^{0} \cdot\left(\frac{3}{5}\right)^{3}+\mathrm{C}_{3}^{1} \cdot \frac{2}{5} \cdot\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{81}{125}$,

$P(\eta=200)=\mathrm{C}_{3}^{2} \cdot\left(\frac{2}{5}\right)^{2} \cdot \frac{3}{5}=\frac{36}{125}$,

$P(\eta=300)=\mathrm{C}_{3}^{3} \cdot\left(\frac{2}{5}\right)^{3} \cdot\left(\frac{3}{5}\right)^{0}=\frac{8}{125}$.

$\eta$ 的分布列为

| $\eta$ | 0 | 200 | 300 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\frac{81}{125}$ | $\frac{36}{125}$ | $\frac{8}{125}$ |

数学期望 $E(\eta)=0 \times \frac{81}{125}+200 \times \frac{36}{125}+300 \times \frac{8}{125}=76.8$ (元),

按照方案 2 奖励的总金额 $\xi_{2}=(28+2 \times 60+3 \times 12) \times 76.8=14131.2$ （元）,

由 $\xi_{1}>\xi_{2}$ 知，方案 2 投资较少.

22.答案:(1) $0 \cdot 9772$; (2) $A$ 型车 5 辆, $B$ 型车 12 辆.

【解析】（1）由于随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left(800,50^{2}\right)$,

故有 $\mu=800, \sigma=50, P(700<X \leq 900)=0.9544$

由正态分布的对称性，可得

$p_{0}=P(X \leq 900)=P(X \leq 800)+P(800<X \leq 900)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} P(700<X \leq 900)$

$=0.9772$.

(2) 设 $A$ 型、 $B$ 型车辆的数量分别为 $x, y$ 辆, 则相应的营运成本为 $1600 x+2400 y$.依题意, $x, y$ 还需满足 $x+y \leq 21, y \leq x+7$,

$P(X \leq 36 x+60 y) \geq p_{0}$

由 (1) 知, $p_{0}=P(X \leq 900)$, 故 $P(X \leq 36 x+60 y) \geq p_{0}$ 等价于 $36 x+60 y \geq 900$.

于是原问题等价于求满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y \leq 21 \\ y \leq x+7 \\ 36 x+60 y \geq 900 \\ x, y \geq 0, x, y \in \mathbf{N}\end{array}\right.$,

且使目标函数 $z=1600 x+2400 y$ 达到最小的 $x, y$.

作可行域如图所示, 可行域的三个顶点坐标分别为 $P(5,12), Q(7,14), R(15,6)$.

<ImageHere>

由图可知, 当直线 $z=1600 x+2400 y$ 经过可行域的点 $P$ 时, 直线 $z=1600 x+2400 y$ 在 $y$ 轴上截距

$\frac{z}{2400}$ 最小, 即 $z$ 取得最小值.

故应配备 $A$ 型车 5 辆、 $B$ 型车 12 辆.

<ImageHere>
解析：答案:(1) $\frac{10}{11}$; (2) 方案 2 投资较少, 理由见解析.

【解析】（1）去年的消费金额超过 3200 元的消费者有 12 人, 随机抽取 2 人, 消费金额在 $(3200,4000]$的范围内的人数为 $X$, 可能取值为 $0,1,2, P(X \geq 1)=1-P(X=0)=1-\frac{\mathrm{C}_{4}^{2}}{\mathrm{C}_{12}^{2}}=\frac{10}{11}$,

所以至少有 1 位消费者去年的消费金额在 $(3200,4000]$ 的范围内的概率为 $\frac{10}{11}$.

（2）方案 1: 按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”, 则“幸运之星”中的普通会员, 银卡会员, 金卡会员的人数分别为 $\frac{28}{100} \times 25=7, \frac{60}{100} \times 25=15, \frac{12}{100} \times 25=3$.按照方案 1 奖励的总金额 $\xi_{1}=7 \times 500+15 \times 600+3 \times 800=14900 （$ 元）.

方案 2：设 $\eta$ 表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则 $\eta$ 的可能取值为 $0,200,300$.

摸到红球的概率 $P=\frac{\mathrm{C}_{2}^{1}}{\mathrm{C}_{5}^{1}}=\frac{2}{5}$,

所以 $P(\eta=0)=\mathrm{C}_{3}^{0} \cdot\left(\frac{2}{5}\right)^{0} \cdot\left(\frac{3}{5}\right)^{3}+\mathrm{C}_{3}^{1} \cdot \frac{2}{5} \cdot\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{81}{125}$,

$P(\eta=200)=\mathrm{C}_{3}^{2} \cdot\left(\frac{2}{5}\right)^{2} \cdot \frac{3}{5}=\frac{36}{125}$,

$P(\eta=300)=\mathrm{C}_{3}^{3} \cdot\left(\frac{2}{5}\right)^{3} \cdot\left(\frac{3}{5}\right)^{0}=\frac{8}{125}$.

$\eta$ 的分布列为

| $\eta$ | 0 | 200 | 300 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\frac{81}{125}$ | $\frac{36}{125}$ | $\frac{8}{125}$ |

数学期望 $E(\eta)=0 \times \frac{81}{125}+200 \times \frac{36}{125}+300 \times \frac{8}{125}=76.8$ (元),

按照方案 2 奖励的总金额 $\xi_{2}=(28+2 \times 60+3 \times 12) \times 76.8=14131.2$ （元）,

由 $\xi_{1}>\xi_{2}$ 知，方案 2 投资较少.

22.答案:(1) $0 \cdot 9772$; (2) $A$ 型车 5 辆, $B$ 型车 12 辆.

【解析】（1）由于随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left(800,50^{2}\right)$,

故有 $\mu=800, \sigma=50, P(700<X \leq 900)=0.9544$

由正态分布的对称性，可得

$p_{0}=P(X \leq 900)=P(X \leq 800)+P(800<X \leq 900)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} P(700<X \leq 900)$

$=0.9772$.

(2) 设 $A$ 型、 $B$ 型车辆的数量分别为 $x, y$ 辆, 则相应的营运成本为 $1600 x+2400 y$.依题意, $x, y$ 还需满足 $x+y \leq 21, y \leq x+7$,

$P(X \leq 36 x+60 y) \geq p_{0}$

由 (1) 知, $p_{0}=P(X \leq 900)$, 故 $P(X \leq 36 x+60 y) \geq p_{0}$ 等价于 $36 x+60 y \geq 900$.

于是原问题等价于求满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y \leq 21 \\ y \leq x+7 \\ 36 x+60 y \geq 900 \\ x, y \geq 0, x, y \in \mathbf{N}\end{array}\right.$,

且使目标函数 $z=1600 x+2400 y$ 达到最小的 $x, y$.

作可行域如图所示, 可行域的三个顶点坐标分别为 $P(5,12), Q(7,14), R(15,6)$.



由图可知, 当直线 $z=1600 x+2400 y$ 经过可行域的点 $P$ 时, 直线 $z=1600 x+2400 y$ 在 $y$ 轴上截距

$\frac{z}{2400}$ 最小, 即 $z$ 取得最小值.

故应配备 $A$ 型车 5 辆、 $B$ 型车 12 辆.