题目（七年级 · 度量几何学）：如图 (1), 直线 $\mathrm{AB}$ 与直线 $\mathrm{CD}$ 相交于点 $\mathrm{O}, \angle C O E=90^{\circ}$, 过点 $\mathrm{O}$ 作射线 $O F$.



图(1)



图(2)

(1) 若射线 $O F$ 平分 $\angle A O C$ 且 $\angle B O F=130^{\circ}$, 求 $\angle B O E$ 的度数;

(2) 若将图 (1)中的直线 $C D$ 绕点 $\mathrm{O}$ 逆时针旋转至图 (2), $\angle C O E=90^{\circ}$ 当射线 $O E$ 平分 $\angle B O F$ 时,
射线 $O C$ 是否平分 $\angle A O F$, 请说明理由;

(3) 若 $\angle B O E=20^{\circ}, \angle B O F=130^{\circ}$, 将图(1)中的直线 $C D$ 绕点 $O$ 按每秒 $5^{\circ}$ 的速度逆时针旋转 $\alpha$ 度 $\left(0^{\circ}<\alpha<180^{\circ}\right), \angle C O E$ 始终保持为 $90^{\circ}$, 设旋转的时间为 $\mathrm{t}$ 秒, 当 $\angle A O C+\angle E O F=90^{\circ}$ 时, 求 $\mathrm{t}$ 的值.
选项：
答案：(1) 解: $\because \angle B O F=130^{\circ}, \quad \therefore \angle A O F=50^{\circ}$

$\because$ 射线 $O F$ 平分 $\angle A O C, \quad \therefore \angle A O F=\angle F O C=50^{\circ}, \quad \therefore \angle C O B=80^{\circ}$

$\because \angle C O E=\angle C O B+\angle B O E=90^{\circ}, \quad \therefore \angle B O E=90^{\circ}-80^{\circ}=10^{\circ}$

(2) 解：射线 $O C$ 平分 $\angle A O F$, 理由如下:

$\because \angle C O E=\angle C O F+\angle F O E=90^{\circ}, \quad \therefore \angle A O C+\angle E O B=90^{\circ}$

$$
\therefore \angle C O F+\angle F O E=\angle A O C+\angle E O B
$$

$\because \mathrm{OE}$ 平分 $\angle F O B, \quad \therefore \angle F O E=\angle E O B$

$$
\therefore \angle A O C=\angle C O F
$$

即射线 $\mathrm{OC}$ 平分 $\angle A O F$.

(3) 解: $\because \angle B O E=20^{\circ}$ 且 $\angle B O F=130^{\circ}, \therefore \angle E O F=150^{\circ}$

又 $\because \angle C O E=90^{\circ}, \therefore \angle B O C=70^{\circ}, \quad \therefore \angle A O C=110^{\circ}$

(1) 当 $0<t \leq 22 \mathrm{~s}$ 时

$\because$ 直线 $C D$ 绕点 $\mathrm{O}$ 按每秒 $5^{\circ}$ 的速度逆时针旋转

$$
\begin{gathered}
\therefore \angle A O C=110^{\circ}-5 t, \angle E O F=150^{\circ}-5 t \\
\because \angle A O C+\angle E O F=90^{\circ} \\
\therefore 110-5 t+150-5 t=90
\end{gathered}
$$

解得 $t=17$

(2) 当 $22<t \leq 30 \mathrm{~s}$ 时

$\because$ 直线 $C D$ 绕点 $\mathrm{O}$ 按每秒 $5^{\circ}$ 的速度逆时针旋转

$$
\begin{gathered}
\therefore \angle A O C=5 t-110^{\circ}, \angle E O F=150^{\circ}-5 t \\
\because \angle A O C+\angle E O F=90^{\circ} \\
\therefore 5 t-110+150-5 t=90
\end{gathered}
$$

$40=90$ 此时无解

(3)当 $30<t<36 \mathrm{~s}$ 时

$\because$ 直线 $C D$ 绕点 $\mathrm{O}$ 按每秒 $5^{\circ}$ 的速度逆时针旋转

$$
\therefore \angle A O C=5 t-110^{\circ}, \angle E O F=5 t-150^{\circ}
$$

$$
\begin{gathered}
\because \angle A O C+\angle E O F=90^{\circ} \\
\therefore 5 t-110+5 t-150=90
\end{gathered}
$$

解得 $t=35$

综上所述, 当 $\angle A O C+\angle E O F=90^{\circ}$ 时, $t=17$ 秒或 $t=35$ 秒.
解析：(1) 解: $\because \angle B O F=130^{\circ}, \quad \therefore \angle A O F=50^{\circ}$

$\because$ 射线 $O F$ 平分 $\angle A O C, \quad \therefore \angle A O F=\angle F O C=50^{\circ}, \quad \therefore \angle C O B=80^{\circ}$

$\because \angle C O E=\angle C O B+\angle B O E=90^{\circ}, \quad \therefore \angle B O E=90^{\circ}-80^{\circ}=10^{\circ}$

(2) 解：射线 $O C$ 平分 $\angle A O F$, 理由如下:

$\because \angle C O E=\angle C O F+\angle F O E=90^{\circ}, \quad \therefore \angle A O C+\angle E O B=90^{\circ}$

$$
\therefore \angle C O F+\angle F O E=\angle A O C+\angle E O B
$$

$\because \mathrm{OE}$ 平分 $\angle F O B, \quad \therefore \angle F O E=\angle E O B$

$$
\therefore \angle A O C=\angle C O F
$$

即射线 $\mathrm{OC}$ 平分 $\angle A O F$.

(3) 解: $\because \angle B O E=20^{\circ}$ 且 $\angle B O F=130^{\circ}, \therefore \angle E O F=150^{\circ}$

又 $\because \angle C O E=90^{\circ}, \therefore \angle B O C=70^{\circ}, \quad \therefore \angle A O C=110^{\circ}$

(1) 当 $0<t \leq 22 \mathrm{~s}$ 时

$\because$ 直线 $C D$ 绕点 $\mathrm{O}$ 按每秒 $5^{\circ}$ 的速度逆时针旋转

$$
\begin{gathered}
\therefore \angle A O C=110^{\circ}-5 t, \angle E O F=150^{\circ}-5 t \\
\because \angle A O C+\angle E O F=90^{\circ} \\
\therefore 110-5 t+150-5 t=90
\end{gathered}
$$

解得 $t=17$

(2) 当 $22<t \leq 30 \mathrm{~s}$ 时

$\because$ 直线 $C D$ 绕点 $\mathrm{O}$ 按每秒 $5^{\circ}$ 的速度逆时针旋转

$$
\begin{gathered}
\therefore \angle A O C=5 t-110^{\circ}, \angle E O F=150^{\circ}-5 t \\
\because \angle A O C+\angle E O F=90^{\circ} \\
\therefore 5 t-110+150-5 t=90
\end{gathered}
$$

$40=90$ 此时无解

(3)当 $30<t<36 \mathrm{~s}$ 时

$\because$ 直线 $C D$ 绕点 $\mathrm{O}$ 按每秒 $5^{\circ}$ 的速度逆时针旋转

$$
\therefore \angle A O C=5 t-110^{\circ}, \angle E O F=5 t-150^{\circ}
$$

$$
\begin{gathered}
\because \angle A O C+\angle E O F=90^{\circ} \\
\therefore 5 t-110+5 t-150=90
\end{gathered}
$$

解得 $t=35$

综上所述, 当 $\angle A O C+\angle E O F=90^{\circ}$ 时, $t=17$ 秒或 $t=35$ 秒.