题目（高一 · 计数）：（2021$\cdot$十七模拟）中国茶文化博大精深，已知茶水的口感与茶叶类型以及水温有关. 经验表明，某种绿茶用 $85^{\circ} \mathrm{C}$ 的水泡制, 再等到茶水温度降至 $60^{\circ} \mathrm{C}$ 时饮用, 可以产生最佳口感. 某学习研究小组通过测量, 得到了下面表格中的数据（室温是 $20^{\circ} \mathrm{C}$ ）.

|       泡制时间 $x / \min$        |  0   |  1   |  2   |  3   |  4   |
| :------------------------------: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: |
| 水温 $y /{ }^{\circ} \mathrm{C}$ |  85  |  79  |  74  |  71  |  65  |

（1）小组成员根据上面表格中的数据绘制散点图，并根据散点图分布情况，考虑到茶水温度降到室温（即 $\left.20^{\circ} \mathrm{C}\right)$ 就不能再降的事实, 决定选择函数模型 $y=k c^{x}+20(x \geqslant 0)$ 来刻画.

(1) 令 $z=\ln (y-20)$, 求出 $z$ 关于 $x$ 的线性回归方程;

(2)利用(1)的结论, 求出 $y=k c^{x}+20(x \geqslant 0, c>0)$ 中的 $k$ 与 $c$.

（2）你认为该品种绿茶用 $85^{\circ} \mathrm{C}$ 的水大约泡制多久后饮用，可以产生最佳口感?

参考数据: $\ln 65 \approx 4.2, \ln 59 \approx 4.1, \ln 54 \approx 4.0, \ln 51 \approx 3.9, \ln 45 \approx 3.8, \log _{0.9} 0.6 \approx 4.8, e^{-0.1 \approx 0.9}, e^{4.2}$ $\approx 66.7, \frac{400}{667} \approx 0.6$.

参考公式: $\hat{z}=\hat{b} x+\hat{a}, \hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(z_{i}-\bar{z}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}, \hat{a}=\bar{z}-\hat{b} \bar{x}$.
选项：
答案：解：（1）(1)由已知得出 $x$ 与 $z$ 的关系，如下表：

| 泡 制 时 间 | 0    | 1    | 2    | 3    | 4    |
| :---------- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |


| $x / \min$ |      |      |      |      |      |
| :--------- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $z$        | 4.2  | 4.1  | 4.0  | 3.9  | 3.8  |

设线性回归方程 $\hat{z}=\hat{b x}+\hat{a}$,

由题意, 得 $\bar{x}=2, \bar{z}=4$,

$\therefore \sum_{i=1}^{5}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(z_{i}-\bar{z}\right)=(-2) \times 0.2+(-1) \times 0.1+1 \times(-0.1)+2 \times(-0.2)=-1$,

$\sum_{i=1}^{5}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=(-2)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}+2^{2}=10$,

则 $\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{5}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(z_{i}-\bar{z}\right)}{\sum_{i=1}^{5}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}=\frac{-1}{10}=-0.1$,

$\hat{a}=\bar{z}-\hat{b} \bar{x} 4+0.1 \times 2=4.2$,

则 $z$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $z=-0.1 x+4.2$;

(2)由 $y=k c^{x}+20(x \geqslant 0)$, 得 $y-20=k c^{x}(x \geqslant 0)$,

两边取对数得, $\ln (y-20)=\operatorname{lnk}+x \ln c$,

利用(1)的结论得: $\ln c=-0.1, \ln k=4.2$,

$\therefore c=e^{-0.1 \approx 0.9, \quad k=e^{4.2} \approx 66.7 ;}$

(2) 由 (1) 得, $y=66.7 \times 0.9^{x}+20(x \geqslant 0)$,

令 $y=60$, 得 $x \approx \log _{0.90 .6} \approx 4.8$.

$\therefore$ 该品种绿茶用 $85^{\circ} \mathrm{C}$ 的水泡制 $4.8 \min$ 后饮用, 口感最佳.
解析：解：（1）(1)由已知得出 $x$ 与 $z$ 的关系，如下表：

| 泡 制 时 间 | 0    | 1    | 2    | 3    | 4    |
| :---------- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |


| $x / \min$ |      |      |      |      |      |
| :--------- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $z$        | 4.2  | 4.1  | 4.0  | 3.9  | 3.8  |

设线性回归方程 $\hat{z}=\hat{b x}+\hat{a}$,

由题意, 得 $\bar{x}=2, \bar{z}=4$,

$\therefore \sum_{i=1}^{5}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(z_{i}-\bar{z}\right)=(-2) \times 0.2+(-1) \times 0.1+1 \times(-0.1)+2 \times(-0.2)=-1$,

$\sum_{i=1}^{5}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=(-2)^{2}+(-1)^{2}+1^{2}+2^{2}=10$,

则 $\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{5}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(z_{i}-\bar{z}\right)}{\sum_{i=1}^{5}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}=\frac{-1}{10}=-0.1$,

$\hat{a}=\bar{z}-\hat{b} \bar{x} 4+0.1 \times 2=4.2$,

则 $z$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $z=-0.1 x+4.2$;

(2)由 $y=k c^{x}+20(x \geqslant 0)$, 得 $y-20=k c^{x}(x \geqslant 0)$,

两边取对数得, $\ln (y-20)=\operatorname{lnk}+x \ln c$,

利用(1)的结论得: $\ln c=-0.1, \ln k=4.2$,

$\therefore c=e^{-0.1 \approx 0.9, \quad k=e^{4.2} \approx 66.7 ;}$

(2) 由 (1) 得, $y=66.7 \times 0.9^{x}+20(x \geqslant 0)$,

令 $y=60$, 得 $x \approx \log _{0.90 .6} \approx 4.8$.

$\therefore$ 该品种绿茶用 $85^{\circ} \mathrm{C}$ 的水泡制 $4.8 \min$ 后饮用, 口感最佳.