eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高二 · 解析几何）：(2018-北京高考模拟 (文) ) 已知 $a, b, c$ 分别为三角形 $\mathrm{ABC}$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边, 且 $(a+b)(\sin A-\sin B)=(c-b) \sin C$,则三角形 $\mathrm{ABC}$ 中 $\angle A$ 为
选项：
A. $\frac{\pi}{6}$
   B. $\frac{2 \pi}{3}$
   C. $\frac{\pi}{3}$
   D. $\frac{5 \pi}{6}$
答案：C
解析：因为 $(a+b)(\sin A-\sin B)=(c-b) \sin C$, 所以 $(a+b)(a-b)=(c-b) c$, 即 $b^{2}+c^{2}-a^{2}=b c$,

$\therefore \cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{b c}{2 b c}=\frac{1}{2} * A \in(0, \pi) \approx A=\frac{\pi}{3}$

选 C.
题目（高二 · 解析几何）：函数 $f(x)=\cos (\omega x+\varphi)$ 的部分图象如图所示, 则 $f(x)$ 的单调递减区间为 $(\quad)$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_f934fd3200dbf4af6dd7g-084,.jpg?height=391&width=523&top_left_y=244&top_left_x=798)
选项：
A. $\left(k \pi-\frac{1}{4}, k \pi+\frac{3}{4}\right), k \in \mathbf{Z}$
B. $\left(2 k \pi-\frac{1}{4}, 2 k \pi+\frac{3}{4}\right), \quad k \in \mathbf{Z}$
C. $\left(k-\frac{1}{4}, k+\frac{3}{4}\right), k \in \mathbf{Z}$
D. $\left(2 k-\frac{1}{4}, 2 k+\frac{3}{4}\right), \quad k \in \mathbf{Z}$
答案：D
解析：解析: 由题图知，函数 $f(x)$ 的最小正周期 $T=\left(\frac{5}{4}-\frac{1}{4}\right) \times 2=2$ ，所以 $\omega=\pi$ ，又 $\left(\frac{1}{4} ， 0\right)$ 可以看作是余弦函数与平衡位置的第一个交点，所以 $\cos \left(\frac{\pi}{4}+\varphi\right)=0 ， \frac{\pi}{4}+\varphi=\frac{\pi}{2}$ ，解得 $\varphi=\frac{\pi}{4}$ ，所以 $f(x)=\cos \left(\pi x+\frac{\pi}{4}\right)$ ，所以由 $2 k \pi<\pi x+\frac{\pi}{4}<2 k \pi+\pi ， k \in \mathbf{Z}$ ，解得 $2 k-\frac{1}{4}<x<2 k+\frac{3}{4} ， k \in \mathbf{Z}$ ，所以函数 $f(x)$ 的单调递减区间为 $\left(2 k-\frac{1}{4} ， 2 k+\frac{3}{4}\right) ， k \in \mathbf{Z}$ ，故选 D.

答案: D
题目（高二 · 解析几何）：设 $\omega$ 是正实数, 函数 $f(x)=2 \cos \omega x$ 在 $x \in\left[0, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上是减函数, 那么 $\omega$ 的值可以是
选项：
A. $\frac{1}{2}$
B. 2
C. 3
D. 4
答案：A
解析：解析: 因为函数 $f(x)=2 \cos \omega x$ 在 $\left[0 ， \frac{T}{2}\right]$ 上单调递减，所以要使函数 $f(x)=2 \cos \omega x(\omega>0)$ 在区间 $\left[0 ， \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上单调递减，则有 $\frac{2 \pi}{3} \leqslant \frac{T}{2}$ ，即 $T \geqslant \frac{4 \pi}{3}$ ，所以 $T=\frac{2 \pi}{\omega} \geqslant \frac{4 \pi}{3}$ ，解得 $\omega \leqslant \frac{3}{2}$. 所以 $\omega$ 的值可以是 $\frac{1}{2}$ ，故选 A.

答案: A
题目（高二 · 解析几何）：将函数 $f(x)=\sin 2 x$ 的图象向右平移 $\varphi\left(0<\varphi<\frac{\pi}{2}\right)$ 个单位长度后得到函数 $g(x)$ 的图象. 若对满足 $\left|f\left(x_{1}\right)-g\left(x_{2}\right)\right|=2$ 的 $x_{1}, x_{2}$, 有 $\left|x_{1}-x_{2}\right|$ min $=\frac{\pi}{3}$, 则 $\varphi=(\quad)$
$\begin{array}{llll}\text {
选项：
A. } \cdot \frac{5 \pi}{12} & \text { B. } \cdot \frac{\pi}{3} & \text { C } \cdot \frac{\pi}{4} & \text { D } \cdot \frac{\pi}{6}\end{array}$
答案：D
解析：解析: 由已知得 $g(x)=\sin (2 x-2 \varphi)$ ，满足 $\left|f\left(x_{1}\right)-g\left(x_{2}\right)\right|=2$ ，不妨设此时 $y=f(x)$ 和 $y=g(x)$ 分别取得最大值与最小值, 又 $\left|x_{1}-x_{2}\right| \min =\frac{\pi}{3}$ ，令 $2 x_{1}=\frac{\pi}{2} ， 2 x_{2}-2 \varphi=-\frac{\pi}{2}$, 此时 $\left|x_{1}-x_{2}\right|=\left|\frac{\pi}{2}-\varphi\right|$ $=\frac{\pi}{3}$ ，又 $0<\varphi<\frac{\pi}{2}$ ，故 $\varphi=\frac{\pi}{6}$ ，选 $\mathrm{D}$.

答案: D
题目（高二 · 解析几何）：在平面直角坐标系中, 若角 $\alpha$ 的终边经过点 $P\left(\sin \frac{5 \pi}{3}, \cos \frac{5 \pi}{3}\right)$, 则 $\sin (\pi+\alpha)=(\quad)$
选项：
A. $-\frac{1}{2}$
B. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
答案：A
解析：解析: 因为 $\left(\sin \frac{5 \pi}{3}, \cos \frac{5 \pi}{3}\right)=\left(-\sin \frac{\pi}{3} ， \cos \frac{\pi}{3}\right)=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2}\right)$ ，所以角 $\alpha$ 的终边经过第二象限，根据任意角的三角函数的定义可得 $\sin \alpha=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}}=\frac{1}{2}$, 所以 $\sin (\pi+\alpha)=-\sin \alpha$ $=-\frac{1}{2}$, 故选 $\mathrm{A}$.

答案: A
题目（高二 · 解析几何）：已知角 $\alpha$ 是第二象限角, 且满足 $\sin \left(\frac{5 \pi}{2}+\alpha\right)+3 \cos (\alpha-\pi)=1$, 则 $\tan (\pi-\alpha)=$
选项：
A. $\sqrt{3}$
B. $-\sqrt{3}$
C. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. -1
答案：B
解析：解析: 法一: 由 $\sin \left(\frac{5 \pi}{2}+\alpha\right)+3 \cos (\alpha-\pi)=1$ ，

得 $\cos \alpha-3 \cos \alpha=1 ， \therefore \cos \alpha=-\frac{1}{2} ， \because$ 角 $\alpha$ 是第二象限角，

$\therefore \sin \alpha=\frac{\sqrt{3}}{2} ， \therefore \tan (\pi+\alpha)=\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=-\sqrt{3}$ ，故选 B.

法二: 由 $\sin \left(\frac{5 \pi}{2}+\alpha\right)+3 \cos (\alpha-\pi)=1$ ，得 $\cos \alpha-3 \cos \alpha=1 ， \therefore \cos \alpha=-\frac{1}{2} ， \because$ 角 $\alpha$ 是第二象限角， $\therefore$ 可取 $\alpha=\frac{2 \pi}{3} ， \therefore \tan (\pi+\alpha)=\tan \frac{2 \pi}{3}=-\sqrt{3}$ ，故选 B.

答案: B
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\frac{\sin \alpha+3 \cos \alpha}{3 \cos \alpha-\sin \alpha}=5$, 则 $\sin ^{2} \alpha-\sin \alpha \cos \alpha$ 的值是
选项：
A. $\frac{2}{5}$
B. $-\frac{2}{5}$
C. -2
D. 2
答案：A
解析：解析:由 $\frac{\sin \alpha+3 \cos \alpha}{3 \cos \alpha-\sin \alpha}=5$ ，得 $12 \cos \alpha=6 \sin \alpha$ ，

即 $\tan \alpha=2$ ， 所以 $\sin ^{2} \alpha-\sin \alpha \cos \alpha=\frac{\sin ^{2} \alpha-\sin \alpha \cos \alpha}{\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha}=\frac{\tan ^{2} \alpha-\tan \alpha}{\tan ^{2} \alpha+1}=\frac{2}{5}$ ，故选 A.

答案: A
题目（高二 · 解析几何）：若直线 $x=a \pi(0<a<1)$ 与函数 $y=\tan x$ 的图象无公共点, 则不等式 $\tan x \geqslant 2 a$ 的解集为
选项：
A. $\left\{x \left\lvert\, k \pi+\frac{\pi}{6} \leqslant x<k \pi+\frac{\pi}{2}\right., \quad k \in \mathbf{Z}\right\}$
B. $\left\{x \left\lvert\, k \pi+\frac{\pi}{4} \leqslant x<k \pi+\frac{\pi}{2}\right., \quad k \in \mathbf{Z}\right\}$
C. $\left\{x \left\lvert\, k \pi+\frac{\pi}{3} \leqslant x<k \pi+\frac{\pi}{2}\right., \quad k \in \mathbf{Z}\right\}$
D. $\left\{x \left\lvert\, k \pi-\frac{\pi}{4} \leqslant x \leqslant k \pi+\frac{\pi}{4}\right., \quad k \in \mathbf{Z}\right\}$
答案：B
解析：解析:由正切函数的图象知，当直线 $x=a \pi(0<a<1)$ 与函数 $y=\tan x$ 的图象没有公共点时， $a=\frac{1}{2}$ ， 所以 $\tan x \geqslant 2 a$ ，即 $\tan x \geqslant 1$ ，其解集是 $\left\{x \left\lvert\, k \pi+\frac{\pi}{4} \leqslant x<k \pi+\frac{\pi}{2} ， k \in \mathbf{Z}\right.\right\}$ ，故选 B.

答案: B
题目（高二 · 解析几何）：若 $3 \cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)+\cos (\pi+\theta)=0$, 则 $\cos ^{2} \theta+\frac{1}{2} \sin 2 \theta$ 的值是
选项：
A. $-\frac{6}{5}$
B. $-\frac{4}{5}$
C. $\frac{6}{5}$
D. $\frac{4}{5}$
答案：C
解析：解析: $\because 3 \cos \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)+\cos (\pi+\theta)=0$ ，
由诱导公式可得 $3 \sin \theta-\cos \theta=0$ ， 即 $\tan \theta=\frac{1}{3}$ ，

$\therefore \cos ^{2} \theta+\frac{1}{2} \sin 2 \theta=\frac{\cos ^{2} \theta+\sin \theta \cos \theta}{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}=\frac{1+\tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta}=\frac{1+\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{9}}=\frac{6}{5}$.

答案: C
题目（高二 · 解析几何）：当 $y=2 \cos x-3 \sin x$ 取得最大值时, $\tan x$ 的值是
选项：
A. $\frac{3}{2}$
B. $-\frac{3}{2}$
C. $\sqrt{13}$
D. 4
答案：B
解析：解析: $y=2 \cos x-3 \sin x=\sqrt{13}\left(\frac{2}{\sqrt{13}} \cos x-\frac{3}{\sqrt{13}} \sin x\right)=$

$\sqrt{13}(\sin \varphi \cos x-\cos \varphi \sin x)=\sqrt{13} \sin (\varphi-x)$.

当 $\sin (\varphi-x)=1$ ，即 $\varphi-x=2 k \pi+\frac{\pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$ 时，

$y$ 取到最大值.

$\therefore \varphi=2 k \pi+\frac{\pi}{2}+x(k \in \mathbf{Z}), \quad \therefore \sin \varphi=\cos x$,

$\cos \varphi=-\sin x$,

$\therefore \cos x=\sin \varphi=\frac{2}{\sqrt{13}}, \sin x=-\cos \varphi=-\frac{3}{\sqrt{13}}$.

$\therefore \tan x=-\frac{3}{2}$.

答案: B
题目（高二 · 解析几何）：$y=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right)+\cos \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right) \sin \left(\frac{\pi}{6}-x\right)$ 的图象的一条对称轴方程是
选项：
A. $x=\frac{\pi}{4}$
B. $x=\frac{\pi}{2}$
C. $x=\pi$
D. $x=\frac{3 \pi}{2}$
答案：C
解析：解析: $y=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right) \cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right)+\cos \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right) \cdot \sin \left(\frac{\pi}{6}-x\right)=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}-x\right)=\sin \left(\frac{\pi}{2}+x\right)=\cos$

$x$ ，故选 C.

答案: C
题目（高二 · 解析几何）：$4 \sin 80^{\circ}-\frac{\cos 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ}}=$
选项：
A. $\sqrt{3}$
B. $-\sqrt{3}$
C. $\sqrt{2}$
D. $2 \sqrt{2}-3$
答案：B
解析：解析: 因为 $4 \sin 80^{\circ}-\frac{\cos 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ}}=\frac{4 \sin 80^{\circ} \sin 10^{\circ}-\cos 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ}}=$

$\frac{2 \sin 20^{\circ}-\cos 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ}}=\frac{2 \sin \left(30^{\circ}-10^{\circ}\right)-\cos 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ}}=-\sqrt{3}$,

故选 B.

答案: B
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\theta$ 为第二象限角, 且 $\cos \frac{\theta}{2}=-\frac{1}{2}$, 则 $\frac{\sqrt{1-\sin \theta}}{\cos \frac{\theta}{2}-\sin \frac{\theta}{2}}$ 的值是
选项：
A. -1
B. $\frac{1}{2}$
C. 1
D. 2
答案：C
解析：解析: $\because \theta$ 为第二象限角， $\therefore \frac{\theta}{2}$ 为第一或第三象限角.

$\because \cos \frac{\theta}{2}=-\frac{1}{2} ， \therefore \frac{\theta}{2}$ 为第三象限角且 $\sin \frac{\theta}{2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，

$\therefore \frac{\sqrt{1-\sin \theta}}{\cos \frac{\theta}{2}-\sin \frac{\theta}{2}}=\frac{\left|\cos \frac{\theta}{2}-\sin \frac{\theta}{2}\right|}{\cos \frac{\theta}{2}-\sin \frac{\theta}{2}}=1$.故选 C.

答案: C
题目（高二 · 解析几何）：$y=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)-\sin 2 x$ 的一个单调递增区间是
选项：
А. $\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$
B. $\left[\frac{\pi}{12}, \frac{7 \pi}{12}\right]$
C. $\left[\frac{5 \pi}{12}, \frac{13 \pi}{12}\right]$
D. $\left[\frac{\pi}{3}, \frac{5 \pi}{6}\right]$
答案：B
解析：解析:$y=\sin \left(2 x-\frac{\pi}{3}\right)-\sin 2 x=\sin 2 x \cos \frac{\pi}{3}-\cos 2 x \sin \frac{\pi}{3}-\sin 2 x=-\frac{1}{2} \sin 2 x-\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 2 x=-$ $\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$.

$\therefore y=-\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的单调递增区间是 $y=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的单调递减区间.

由 $\frac{\pi}{2}+2 k \pi \leqslant 2 x+\frac{\pi}{3} \leqslant \frac{3 \pi}{2}+2 k \pi, k \in \mathbf{Z}$ ，得 $\frac{\pi}{12}+k \pi \leqslant x \leqslant \frac{7 \pi}{12}+k \pi ， k \in \mathbf{Z}$. 令 $k=0$ ，得 $x \in\left[\frac{\pi}{12}, \frac{7 \pi}{12}\right]$.

故选 B.

答案: B
题目（高二 · 解析几何）：化简 $\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B C}$ 等于
选项：
A. $2 \overrightarrow{B C}$\nB. 0\nC. $-2 \overrightarrow{B C}$\nD. $2 \overrightarrow{A C}$\n\n
答案：C
解析：C
题目（高二 · 解析几何）：设四边形 $A B C D$ 为平行四边形, $|\overrightarrow{A B}|=6,|\overrightarrow{A D}|=4$. 若点 $M, N$ 满足 $\overrightarrow{B M}=3 \overrightarrow{M C}, \overrightarrow{D N}=2 \overrightarrow{N C}$,则 $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{N M}=$
选项：
A. 20
B. 15
C. 9
D. 6
答案：C
解析：解析:首先用向量 $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A D}$ 分别表示向量 $\overrightarrow{A M}, \overrightarrow{N M}$ ，然后求数量积 $\overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{N M}$. 如图所示，由题设知:



$\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B M}=\overrightarrow{A B}+\frac{3}{4} \overrightarrow{A D}$
$\overrightarrow{N M}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}-\frac{1}{4} \overrightarrow{A D}$,

$\therefore \overrightarrow{A M} \cdot \overrightarrow{N M}=\left(\overrightarrow{A B}+\frac{3}{4} \overrightarrow{A D}\right) \cdot\left(\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}-\frac{1}{4} \overrightarrow{A D}\right)$

$=\frac{1}{3}|\overrightarrow{A B}|^{2}-\frac{3}{16}|\overrightarrow{A D}|^{2}+\frac{1}{4} \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}-\frac{1}{4} \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}$

$=\frac{1}{3} \times 36-\frac{3}{16} \times 16=9$.

答案: C
题目（高二 · 解析几何）：已知向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足 $|\boldsymbol{a}|=1, \boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$, 若对一切实数 $x,|x \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}| \geqslant|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$ 恒成立,则 $|\boldsymbol{b}|$ 的取值范围是
选项：
A. $\left[\frac{1}{2},+\infty\right)$
B. $\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$
C. $[1,+\infty)$
D. $(1,+\infty)$
答案：C
解析：解析: 因为 $|\boldsymbol{a}|=1 ， \boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$ ，所以 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{b}| \cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}|\boldsymbol{b}|$ 把原式 $|x \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}| \geqslant|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|$ 平方整理可得： $x^{2}+2|\boldsymbol{b}| x+3|\boldsymbol{b}|^{2}-|\boldsymbol{b}|-1 \geqslant 0$ 恒成立，所以 $\Delta=4|\boldsymbol{b}|^{2}-4\left(3|\boldsymbol{b}|^{2}-|\boldsymbol{b}|-1\right) \leqslant 0$ ，即 $(|\boldsymbol{b}|$ -1) $(2|\boldsymbol{b}|+1) \geqslant 0$ ，即 $|\boldsymbol{b}| \geqslant 1$ ，故选 C.

答案: C
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 是平面内两个互相垂直的单位向量, 若向量 $\boldsymbol{c}$ 满足 $(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}) \cdot(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})=0$, 则 $\boldsymbol{c} \mid$ 的最大值是
选项：
A. -1
B. 2
C. $\sqrt{2}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
答案：C
解析：解析: 以 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 所在的直线为 $x$ 轴、 $y$ 轴建立平面直角坐标系，由 $(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}) \cdot(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})=0$ ，得 $(\boldsymbol{a}-$ $\boldsymbol{c}) \perp(\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c})$ ，故将 $\boldsymbol{c}$ 的起点放在坐标原点，则终点在以 $\left(\frac{1}{2} ， \frac{1}{2}\right)$ 为圆心，以 $\sqrt{2}$ 为直径的圆上，如图所示，所以 $|c|$ 的最大值为 $\sqrt{2}$.



答案: C
题目（高二 · 解析几何）：若向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足 $|\boldsymbol{a}|=1,|\boldsymbol{b}|=2, \boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$, 则 $\boldsymbol{a} \cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$ 等于( )
选项：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：B
解析：解析: $\boldsymbol{a} \cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=1+1 \times 2 \times \cos 60^{\circ}=2$.

答案: B
题目（高二 · 解析几何）：设点 $M$ 是线段 $B C$ 的中点, 点 $A$ 在直线 $B C$ 外, $|\overrightarrow{B C}|=4,|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}|=|\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}|$, 则 $|\overrightarrow{A M}|=($
选项：
A. 8
B. 6
C. 2
D. 1
答案：C
解析：解析: 由 $|\overrightarrow{B C}|=4 ， \because|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}|=|\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}|=|\overrightarrow{B C}|$ ，而 $|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}|=2|\overrightarrow{A M}| ， \therefore|\overrightarrow{A M}|=2$ ，故选 C.

答案: C
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, $(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B A}) \cdot \overrightarrow{A C}=|\overrightarrow{A C}|^{2}$, 则 $\triangle A B C$ 的形状一定是
选项：
A. 等边三角形
B. 等腰三角形
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形
答案：C
解析：解析: 由 $(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B A}) \cdot \overrightarrow{A C}=|\overrightarrow{A C}|^{2}$ ，得 $\overrightarrow{A C} \cdot(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B A}-\overrightarrow{A C})=0$ ，即 $\overrightarrow{A C} \cdot(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{C A})=0$ ，
$\therefore 2 \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B A}=0 ， \therefore \overrightarrow{A C} \perp \overrightarrow{B A} ， \therefore \angle A=90^{\circ}$. 又根据已知条件不能得到 $|\overrightarrow{A B}|=|\overrightarrow{A C}|$ ，故 $\triangle A B C-$

定是直角三角形.

答案: C
题目（高二 · 解析几何）：已知向量 $\overrightarrow{B A}=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \overrightarrow{B C}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$, 则 $\angle A B C=$
选项：
A. $30^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $120^{\circ}$
答案：A
解析：解析:根据向量的夹角公式求解.

$\because \overrightarrow{B A}=\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right), \overrightarrow{B C}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)$,

$\therefore|\overrightarrow{B A}|=1,|\overrightarrow{B C}|=1, \overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}=\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2} ，$

$\therefore \cos \angle A B C=\cos \langle\overrightarrow{B A}, \overrightarrow{B C}\rangle=\frac{\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}}{|\overrightarrow{B A}| \cdot|\overrightarrow{B C}|}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\because\langle\overrightarrow{B A}, \overrightarrow{B C}\rangle \in\left[0^{\circ}, 180^{\circ}\right], \therefore \angle A B C=\langle\overrightarrow{B A}, \overrightarrow{B C}\rangle=30^{\circ}$.

答案: A
题目（高二 · 解析几何）：已知平面向量 $\boldsymbol{a}=\left(x_{1}, y_{1}\right), \boldsymbol{b}=\left(x_{2}, y_{2}\right)$, 若 $|\boldsymbol{a}|=2,|\boldsymbol{b}|=3, \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=-6$, 则 $\frac{x_{1}+y_{1}}{x_{2}+y_{2}}$ 的值为
选项：
A. -2
B. 2
C. $-\frac{2}{3}$
D. $\frac{2}{3}$
答案：C
解析：解析: 设 $\boldsymbol{a} ， \boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\theta$ ，则 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos \theta=-6 \Rightarrow \cos \theta=-1 ， \therefore \theta=\pi$ ，即 $\boldsymbol{a} ， \boldsymbol{b}$ 共线且反向， $\therefore \boldsymbol{a}=-\frac{2}{3} \boldsymbol{b}, \therefore \boldsymbol{x}_{1}=-\frac{2}{3} x_{2}, y_{1}=-\frac{2}{3} y_{2}, \therefore \frac{x_{1}+y_{1}}{x_{2}+y_{2}}=-\frac{2}{3}$.

答案: C
题目（高二 · 解析几何）：$\triangle A B C$ 的三内角 $A 、 B 、 C$ 的对边边长分别为 $a 、 b 、 c$. 若 $a=\frac{\sqrt{5}}{2} b, A=2 B$, 则 $\cos B$等于 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{\sqrt{5}}{3}$
B. $\frac{\sqrt{5}}{4}$
C. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
D. $\frac{\sqrt{5}}{6}$
答案：B
解析：解析 由正弦定理得 $\frac{a}{b}=\frac{\sin A}{\sin B}$,

$\therefore a=\frac{\sqrt{5}}{2} b$ 可化为 $\frac{\sin A}{\sin B}=\frac{\sqrt{5}}{2}$.

又 $A=2 B, \therefore \frac{\sin 2 B}{\sin B}=\frac{\sqrt{5}}{2}, \therefore \cos B=\frac{\sqrt{5}}{4}$.
题目（高二 · 解析几何）：若 $\frac{\sin A}{a}=\frac{\cos B}{b}=\frac{\cos C}{c}$, 则 $\triangle A B C$ 是( )
选项：
A. 等边三角形

B. 有一内角是 $30^{\circ}$ 的直角三角形

C. 等腰直角三角形

D. 有一内角是 $30^{\circ}$ 的等腰三角形
答案：C
解析：解析 $\because \frac{\sin A}{a}=\frac{\cos B}{b}, \therefore a \cos B=b \sin A$,

$\therefore 2 R \sin A \cos B=2 R \sin B \sin A, 2 R \sin A \neq 0$.

$\therefore \cos B=\sin B, \therefore B=45^{\circ}$. 同理 $C=45^{\circ}$, 故 $A=90^{\circ}$.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$, 若 $\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right) \tan B=\sqrt{3} a c$, 则角 $B$ 的值为 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{\pi}{6}$
B. $\frac{\pi}{3}$
C. $\frac{\pi}{6}$ 或 $\frac{5 \pi}{6}$
D. $\frac{\pi}{3}$ 或 $\frac{2 \pi}{3}$
答案：D
解析：解析 $\because\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right) \tan B=\sqrt{3} a c$,

$\therefore \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c} \cdot \tan B=\frac{\sqrt{3}}{2}$,

即 $\cos B \cdot \tan B=\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\because 0<B<\pi, \therefore$ 角 $B$ 的值为 $\frac{\pi}{3}$ 或 $\frac{2 \pi}{3}$.
题目（高二 · 解析几何）：$\triangle A B C$ 中, $A=\frac{\pi}{3}, B C=3$, 则 $\triangle A B C$ 的周长为 ( )
选项：
A. $4 \sqrt{3} \sin \left(B+\frac{\pi}{3}\right)+3$
B. $4 \sqrt{3} \sin \left(B+\frac{\pi}{6}\right)+3$
C. $6 \sin \left(B+\frac{\pi}{3}\right)+3$
D. $6 \sin \left(B+\frac{\pi}{6}\right)+3$
答案：D
解析：解析 $A=\frac{\pi}{3}, B C=3$, 设周长为 $x$, 由正弦定理知 $\frac{B C}{\sin A}=\frac{A C}{\sin B}=\frac{A B}{\sin C}=2 R$,

由合分比定理知 $\frac{B C}{\sin A}=\frac{A B+B C+A C}{\sin A+\sin B+\sin C}$,

即 $\frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}+\sin B+\sin C}$.

$\therefore 2 \sqrt{3}\left[\frac{\sqrt{3}}{2}+\sin B+\sin (A+B)\right]=x$,

即 $x=3+2 \sqrt{3}\left[\sin B+\sin \left(B+\frac{\pi}{3}\right)\right]$

$=3+2 \sqrt{3}\left(\sin B+\sin B \cos \frac{\pi}{3}+\cos B \sin \frac{\pi}{3}\right)$

$=3+2 \sqrt{3}\left(\sin B+\frac{1}{2} \sin B+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos B\right)$

$=3+2 \sqrt{3}\left(\frac{3}{2} \sin B+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos B\right)$

$=3+6\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin B+\frac{1}{2} \cos B\right)$

$=3+6 \sin \left(B+\frac{\pi}{6}\right)$.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\mathrm{AB}=3, \mathrm{AC}=2, \mathrm{BC}=\sqrt{10}$, 则 $\overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{A C}$ 等于 $(\quad)$
选项：
A. $-\frac{3}{2}$
B. $-\frac{2}{3}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{3}{2}$
答案：A
解析：解析 由余弦定理得

$\cos A=\frac{A B^{2}+A C^{2}-B C^{2}}{2 A B \cdot A C}=\frac{9+4-10}{12}=\frac{1}{4}$.
$\therefore \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=|\overrightarrow{A B}| \cdot|\overrightarrow{A C}| \cdot \cos A=3 \times 2 \times \frac{1}{4}=\frac{3}{2}$.

$\therefore \overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{A C}=-\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=-\frac{3}{2}$.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $a=\sqrt{5}, b=\sqrt{15}, A=30^{\circ}$, 则 $c$ 等于( )
选项：
A. $2 \sqrt{5}$
B. $\sqrt{5}$
C. $2 \sqrt{5}$ 或 $\sqrt{5}$
D. 以上都不对
答案：C
解析：解析 $\because a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$,

$\therefore 5=15+c^{2}-2 \sqrt{15} \times c \times \frac{\sqrt{3}}{2}$.

化简得: $c^{2}-3 \sqrt{5} c+10=0$, 即 $(c-2 \sqrt{5})(c-\sqrt{5})=0$,

$\therefore c=2 \sqrt{5}$ 或 $c=\sqrt{5}$.
题目（高二 · 解析几何）：根据下列情况, 判断三角形解的情况, 其中正确的是 ( )
选项：
A. $a=8, b=16, A=30^{\circ}$, 有两解
B. $b=18, c=20, B=60^{\circ}$, 有一解
C. $a=5, c=2, A=90^{\circ}$, 无解
D. $a=30, b=25, A=150^{\circ}$, 有一解
答案：D
解析：解析 $\mathrm{A}$ 中, 因 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$,

所以 $\sin B=\frac{16 \times \sin 30^{\circ}}{8}=1, \therefore B=90^{\circ}$, 即只有一解;

B 中, $\sin C=\frac{20 \sin 60^{\circ}}{18}=\frac{5 \sqrt{3}}{9}$,

且 $c>b, \therefore C>B$, 故有两解; $C$ 中,

$\because A=90^{\circ}, a=5, \quad c=2$,

$\therefore b=\sqrt{a^{2}-c^{2}}=\sqrt{25-4}=\sqrt{21}$,

即有解, 故 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B} 、 \mathrm{C}$ 都不正确.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, $\cos ^{2} \frac{A}{2}=\frac{b+c}{2 c}(a 、 b 、 c$ 分别为角 $A 、 B 、 C$ 的对边 $)$, 则 $\triangle A B C$ 的形状为( )
选项：
A. 直角三角形

B. 等腰三角形或直角三角形

C. 等腰直角三角形

D. 正三角形
答案：A
解析：解析 由 $\cos \frac{A}{2}=\frac{b+c}{2 c} \Rightarrow \cos A=\frac{b}{c}$,

又 $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}$,

$\therefore b^{2}+c^{2}-a^{2}=2 b^{2} \Rightarrow a^{2}+b^{2}=c^{2}$, 故选 A.
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\triangle A B C$ 中, $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$. 若 $a=c=\sqrt{6}+\sqrt{2}$, 且 $A=75^{\circ}$, 则 $b$ 等于( )
选项：
A. 2
B. $\sqrt{6}-\sqrt{2}$
C. $4-2 \sqrt{3}$
D. $4+2 \sqrt{3}$
答案：A
解析：解析 $\sin A=\sin 75^{\circ}=\sin \left(30^{\circ}+45^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$,

由 $a=c$ 知, $C=75^{\circ}, B=30^{\circ} . \sin B=\frac{1}{2}$.

由正弦定理: $\frac{b}{\sin B}=\frac{a}{\sin A}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=4$.

$\therefore b=4 \sin B=2$.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $b^{2}-b c-2 c^{2}=0, a=\sqrt{6}, \cos A=\frac{7}{8}$, 则 $\triangle A B C$ 的面积 $S$ 为 ( )
选项：
A. $\frac{\sqrt{15}}{2}$
B. $\sqrt{15}$
C. $\frac{8 \sqrt{15}}{5}$
D. $6 \sqrt{3}$
答案：A
解析：解析 由 $b^{2}-b c-2 c^{2}=0$ 可得 $(b+c)(b-2 c)=0$.

$\therefore b=2 c$, 在 $\triangle A B C$ 中, $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$,

即 $6=4 c^{2}+c^{2}-4 c^{2} \cdot \frac{7}{8}$.

$\therefore c=2$, 从而 $b=4 . \therefore S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{1}{2} \times 2 \times 4 \times \sqrt{1-\left(\frac{7}{8}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{15}}{2}$.
题目（高二 · 解析几何）：若 $\triangle A B C$ 中, $a=4, A=45^{\circ}, B=60^{\circ}$, 则边 $b$ 的值为 ( )
选项：
A. $\sqrt{3}+1$
B. $2 \sqrt{3}+1$
C. $2 \sqrt{6}$
D. $2+2 \sqrt{3}$
答案：C
解析：解析 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$,

得 $\frac{4}{\sin 45^{\circ}}=\frac{b}{\sin 60^{\circ}}, \therefore b=2 \sqrt{6}$.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, $\sin ^{2} A=\sin ^{2} B+\sin ^{2} C$, 则 $\triangle A B C$ 为( )
选项：
A. 直角三角形
C. 等边三角形
B. 等腰直角三角形
D. 等腰三角形
答案：A
解析：解析 $\sin ^{2} A=\sin ^{2} B+\sin ^{2} C \Leftrightarrow(2 R)^{2} \sin ^{2} A=(2 R)^{2} \sin ^{2} B+(2 R)^{2} \sin ^{2} C$, 即 $a^{2}=b^{2}+c^{2}$, 由勾股定理的逆定理得 $\triangle A B C$ 为直角三角形.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 若 $\sin A>\sin B$, 则角 $A$ 与角 $B$ 的大小关系为 ( )
选项：
A. $A>B$
B. $A<B$
C. $A \geqslant B$
D. $A, B$ 的大小关系不能确定
答案：A
解析：解析 由 $\sin A>\sin B \Leftrightarrow 2 R \sin A>2 R \sin B \Leftrightarrow a>b \Leftrightarrow A>B$.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, $A=60^{\circ}, a=\sqrt{3}, b=\sqrt{2}$, 则 $B$ 等于 ( )
选项：
A. $45^{\circ}$ 或 $135^{\circ}$
B. $60^{\circ}$
C. $45^{\circ}$
D. $135^{\circ}$
答案：C
解析：解析 由 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 得 $\sin B=\frac{b \sin A}{a}$

$=\frac{\sqrt{2} \sin 60^{\circ}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\because a>b, \quad \therefore A>B, B<60^{\circ}$

$\therefore B=45^{\circ}$.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 如果 $c=\sqrt{3} a, B=30^{\circ}$, 那么角 $C$ 等于 ( )
选项：
A. $120^{\circ}$
B. $105^{\circ}$
C. $90^{\circ}$
D. $75^{\circ}$
答案：A
解析：$\because c=\sqrt{3} a, \therefore \sin C=\sqrt{3} \sin A=\sqrt{3} \sin \left(180^{\circ}-30^{\circ}-C\right)$

$=\sqrt{3} \sin \left(30^{\circ}+C\right)=\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \sin C+\frac{1}{2} \cos C\right)$,

即 $\sin C=-\sqrt{3} \cos C$.

$\therefore \tan C=-\sqrt{3}$.

又 $C \in\left(0^{\circ}, 180^{\circ}\right), \therefore C=120^{\circ}$.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, C$. 若 $\triangle A B C$ 为锐角三角形, 且满足 $\sin B(1+2 \cos C)=2 \sin A \cos C+\cos A \sin C$ ，则下列等式成立的是（）
选项：
A. $a=2 b$
B. $b=2 a$
C. $A=2 B$
D. $B=2 A$
答案：A
解析：由 $\sin B(1+2 \cos C)=2 \sin A \cos C+\cos A \sin C$,

得 $\sin B+2 \sin B \cos C=\sin A \cos C+\sin B$,

即 $2 \sin B \cos C=\sin A \cos C$ ，所以 $2 \sin B=\sin A$ ，即 $2 b=a$ ，选 A.