题目（七年级 · 变换几何）：如图1.将线段 $A B$ 平移至 $C D$, 使 $A$ 与 $D$ 对应, $B$ 与 $C$ 对应, 连 $A D 、 B C$.



图1



图2

(1)填空: $A B$ 与 $C D$ 的关系为 $\qquad$ $\angle B$ 与 $\angle D$ 的大小关系为 $\qquad$
(2)如图2, 若 $\angle B=60^{\circ}, F 、 E$ 为 $B C$ 的延长线上的点, $\angle E F D=\angle E D F, D G$ 平分 $\angle C D E$交 $B E$ 于 $G$, 求 $\angle F D G$.

(3)在(2)中, 若 $\angle F D G=\alpha$, 其它条件不变, 则 $\angle B=$ $\qquad$
选项：
答案：【答案】 $A B / / C D$, 且 $A B=C D$ 相等 $2 \alpha$

【解析】解: (1) $A B / / C D$, 且 $A B=C D, \angle B$ 与 $\angle D$ 相等;

(2) $\because A B / / C D$,

$\therefore \angle D C E=\angle B$,

由三角形的外角性质得, $\angle C D F=\angle D F E-\angle D C E$,

$\therefore \angle C D G=\angle C D F+\angle F D G=\angle D F E-\angle D C E+\angle F D G$,

在 $\triangle D E F$ 中, $\angle D E F=180^{\circ}-2 \angle D F E$,

在 $\triangle D F G$ 中, $\angle D G F=180^{\circ}-\angle F D G-\angle D F E$,

$\therefore \angle E D G=\angle D G F-\angle D E F=180^{\circ}-\angle F D G-\angle D F E-\left(180^{\circ}-2 \angle D F E\right)=2 \angle D F E-$

$\angle F D G-\angle D F E$,

$\because D G$ 平分 $\angle C D E$,

$\therefore \angle C D G=\angle E D G$,

$\therefore \angle D F E-\angle D C E+\angle F D G=2 \angle D F E-\angle F D G-\angle D F E$,

$\therefore \angle F D G=\frac{1}{2} \angle D C E$,

即 $\angle F D G=\frac{1}{2} \angle B$,

$\because \angle B=60^{\circ}$,

$\therefore \angle F D G=\frac{1}{2} \times 60^{\circ}=30^{\circ}$;

(3)思路同(2),

$\because \angle F D G=\alpha$,

$\therefore \angle B=2 \alpha$,

故答案为: (1) $A B / / C D$, 且 $A B=C D$, 相等; (3) $2 \alpha$.

(1)根据平移的性质解答;

(2)根据两直线平行, 同位角相等可得 $\angle D C E=\angle B$, 然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出 $\angle C D G 、 \angle E D G$, 然后根据 $D G$ 平分 $\angle C D E$ 列出方程求解即可得到 $\angle F D G=\frac{1}{2} \angle B$, 再代入数据计算即可得解;

(3)根据(2)的思路解答.

本题考查了平移的性质, 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质, 三角形的内角和定理, 角平分线的定义, 难点在于 (2)表示出 $\angle C D G$ 和 $\angle E D G$ 并根据角平分线的定义列出方程求出 $\angle F D G=\frac{1}{2} \angle B$.
解析：【答案】 $A B / / C D$, 且 $A B=C D$ 相等 $2 \alpha$

【解析】解: (1) $A B / / C D$, 且 $A B=C D, \angle B$ 与 $\angle D$ 相等;

(2) $\because A B / / C D$,

$\therefore \angle D C E=\angle B$,

由三角形的外角性质得, $\angle C D F=\angle D F E-\angle D C E$,

$\therefore \angle C D G=\angle C D F+\angle F D G=\angle D F E-\angle D C E+\angle F D G$,

在 $\triangle D E F$ 中, $\angle D E F=180^{\circ}-2 \angle D F E$,

在 $\triangle D F G$ 中, $\angle D G F=180^{\circ}-\angle F D G-\angle D F E$,

$\therefore \angle E D G=\angle D G F-\angle D E F=180^{\circ}-\angle F D G-\angle D F E-\left(180^{\circ}-2 \angle D F E\right)=2 \angle D F E-$

$\angle F D G-\angle D F E$,

$\because D G$ 平分 $\angle C D E$,

$\therefore \angle C D G=\angle E D G$,

$\therefore \angle D F E-\angle D C E+\angle F D G=2 \angle D F E-\angle F D G-\angle D F E$,

$\therefore \angle F D G=\frac{1}{2} \angle D C E$,

即 $\angle F D G=\frac{1}{2} \angle B$,

$\because \angle B=60^{\circ}$,

$\therefore \angle F D G=\frac{1}{2} \times 60^{\circ}=30^{\circ}$;

(3)思路同(2),

$\because \angle F D G=\alpha$,

$\therefore \angle B=2 \alpha$,

故答案为: (1) $A B / / C D$, 且 $A B=C D$, 相等; (3) $2 \alpha$.

(1)根据平移的性质解答;

(2)根据两直线平行, 同位角相等可得 $\angle D C E=\angle B$, 然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出 $\angle C D G 、 \angle E D G$, 然后根据 $D G$ 平分 $\angle C D E$ 列出方程求解即可得到 $\angle F D G=\frac{1}{2} \angle B$, 再代入数据计算即可得解;

(3)根据(2)的思路解答.

本题考查了平移的性质, 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质, 三角形的内角和定理, 角平分线的定义, 难点在于 (2)表示出 $\angle C D G$ 和 $\angle E D G$ 并根据角平分线的定义列出方程求出 $\angle F D G=\frac{1}{2} \angle B$.