eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（七年级 · 代数）：已知方程 $2021 x+m=184 x+n$ 的解为 $x=a$, 则方程 $2.021 x+m=0.184 x+n$ 的解为 （用含 $\mathrm{a}$ 的式子表示）.
选项：
答案：$x=1000 \mathrm{a}$
解析：$\because$ 方程 $2021 \mathrm{x}+\mathrm{m}=184 \mathrm{x}+\mathrm{n}$ 的解为 $\mathrm{x}=\mathrm{a}$,

$\therefore 2021 \mathrm{a}+\mathrm{m}=184 \mathrm{a}+\mathrm{n}$

所以 $n-m=1837 a$,

而 $2.021 \mathrm{x}+\mathrm{m}=0.184 \mathrm{x}+\mathrm{n}$ 的解为 $\mathrm{x}=\frac{n-m}{1.837}$,

把 $\mathrm{n}-\mathrm{m}=1837 \mathrm{a}$ 代入 $\mathrm{x}=\frac{n-m}{1.837}$ 得: $\mathrm{x}=\frac{1837 a}{1.837}=1000 a$,

$\therefore 2.021 \mathrm{x}+\mathrm{m}=0.184 \mathrm{x}+\mathrm{n}$ 的解为 $\mathrm{x}=1000 \mathrm{a}$,

故答案为: $x=1000 a$.
题目（七年级 · 代数）：甲地到乙地, 长途汽车原需行驶 7 个小时, 开通高速公路后, 路程缩短了 30 千米, 车速平均每小时增加了 30 千米, 结果只需 4 小时即可到达, ”三位同学根据愿意, 分别获得如下数量关系: (1) 设汽车原来的速度为 $x$ 千米/小时, 则 $7 x-30=4(x+30)$; (2)设甲、乙两地之间的高速公路的路程为 $y$ 千米, 则 $\frac{y}{4}-30=\frac{y+30}{7}$; (3)设甲、乙两地之间的普通公路的路程为 $s$ 千米, 则 $\frac{s}{7}=\frac{s-30}{4}-30$. 你认为其中正确的数量关系序号为 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：(1)(2) (3)
解析：)等量关系: 长途汽车原来行驶路程 - 缩短的路程=甲地到乙地的高速路程, 长途汽车高速公路上行驶的速度 $\times$ 行驶的时间 $=$ 甲地到乙地的高速路程, 所以(1)正确;

(2)等量关系: 长途汽车高速公路上行驶的速度 - 增加的速度 $=$ 长途汽车原来的行驶速度, 长途汽车原来行驶路程 $\div$ 行驶时间 $=$ 长途汽车原来的行驶速度, 所以(2)正确;

(3)等量关系: 长途汽车原来行驶路程 + 行驶时间 $=$ 长途汽车原来的行驶速度, 长途汽车高速公路上行驶的速度 - 增加的速度 $=$ 长途汽车原来的行驶速度, 所以③正确.

故答案为: (1) (2).
题目（七年级 · 代数）：某商品的进价是 2000 元, 标价为 2800 元, 该商品打多少折才能获得 $12 \%$ 的利润率? 设该商品需打 $\mathrm{x}$ 折才能使利润率为 $12 \%$ ，根据题意列出方程: \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$2800 \times \frac{x}{10}-2000=2000 \times 12 \%$
解析：由题意列出方程为 $2800 \times \frac{x}{10}-2000=2000 \times 12 \%$,

故答案为: $2800 \times \frac{x}{10}-2000=2000 \times 12 \%$.
题目（七年级 · 代数）：两位数, 个位上的数与十位上的数之和是 12 , 若交换个位与十位的位置则得到的两位数为原来数字的 $\frac{4}{7}$, 则原来的两位数是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：84
解析：设原两位数十位上的数字为 $\mathrm{x}$, 那么个位数字为: $12-\mathrm{x}$,由题意得, $\frac{4}{7}[10 x+(12-x)]=10(12-x)+x$,解得 $x=8$, $12-x=4$,所以原来的两位数是 84,故答案为: 84 .
题目（七年级 · 代数）：小明做作业时, 不小心将方程 $\frac{x-2}{2}-1=\frac{4 x}{3}+$ 中的一个常数污染了看不清楚, 小芳告诉他该方程的解是负数, 并且这个常数是负整数, 该方程的解是
选项：
答案：$x=-\frac{6}{5}$
解析：个常数为 $m, \frac{x-2}{2}-1=\frac{4 x}{3}+m$,

$$
3(x-2)-6=8 x+6 m
$$

解得 $x=-\frac{6 m+12}{5}$,

解是负数, $m$ 是负整数,

所以 $6 m+12>0, m>-2$,

$m$ 的值只有 -1 ,

解 $\frac{x-2}{2}-1=\frac{4 x}{3}-1$ 得 $x=-\frac{6}{5}$,

故答案为: $x=-\frac{6}{5}$.
题目（七年级 · 代数）：已知 $\mathrm{n}$ 是关于 $\mathrm{x}$ 的方程 $\frac{1}{2}(1-4 x)=-m$ 的解, 则 $2022-4 m+8 n$ 的值为
选项：
答案：2024
解析：把 $\mathrm{x}=\mathrm{n}$ 代入方程得: $\frac{1}{2}(1-4 n)=-m$,

变形得: $m-2 n=-\frac{1}{2}$,

$\therefore 2022-4 m+8 n$

$=2022-4(m-2 n)$

$=2022-4 \times\left(-\frac{1}{2}\right)$

$=2024$

故答案为: 2024 .
题目（七年级 · 代数）：一项工程甲单独做 9 天完成，乙单独做 12 天完成．现甲、乙合作一段时间后乙休假，结果共用了 6 天完成这项工程. 设乙休假 x 天，可列方程为
选项：
答案：$\frac{6}{9}+\frac{6-x}{12}=1$
解析：若乙休假 $\mathrm{x}$ 天, 乙工作的天数为 $(6-x)$ 天, 根据题意得:

$\frac{6}{9}+\frac{6-x}{12}=1$,

故答案为: $\frac{6}{9}+\frac{6-x}{12}=1$.
题目（七年级 · 计数）：今年的“十・一”黄金周是 7 天的长假, 青城山风景区在 7 天假期中每天旅游人数变化如表（正号表示人数比前一天多, 负号表示比前一天少)

| 日期 | 1 日 | 2 日 | 3 日 | 4 日 | 5 日 | 6 日 | 7 日 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 人数变化 <br> 单位 $:$ 万人 | +1.1 | -0.6 | +0.2 | -0.4 | -0.2 | +0.4 | -0.5 |
选项：
答案：1.1
解析：10 月 1 日有游客： $0.1+1.1=1.2$ (万),

10 月 2 日有游客: $1.2-0.6=0.6$ (万),

10 月 3 日有游客: $0.6+0.2=0.8$ (万),

10 月 4 日有游客： $0.8-0.4=0.4$ （万）,

10 月 5 日有游客： $0.4-0.2=0.2 \quad($ 万),

10 月 6 日有游客： $0.2+0.4=0.6$ (万),

10 月 7 日有游客: $0.6-0.5=0.1 \quad($ 万 $)$;

7 天中旅客最多的是 1 日为 1.2 万人，最少的是 7 日为 0.1 万人，

则七天中旅客人数最多的一天比最少的一天多 1.2-0.1=1.1 (万人);

故答案为: 1.1 .
题目（七年级 · 计数）：(3 分) 有一箱规格相同的红、黄两种颜色的小塑料球共 1000 个. 为了估计这两种颜色的球各有多少个, 小明将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色, 再把它放回箱子中, 多次重复上述过程后. 发现摸到红球的频率约为 0.6 , 据此可以估计红球的个数约为 600 个
选项：
答案：600 个.
解析：因为多次重复上述过程后, 发现摸到红球的频率约为 0.6 , 所以红球所占的百分比也就是 $60 \\%$, 根据总数可求出红球个数.\n\n解答: 解: $\\because$ 摸到红球的频率约为 0.6 ,\n\n$\\therefore$ 红球所占的百分比是 $60 \\%$.\n\n$\\therefore 1000 \\times 60 \\%=600($ 个) .
题目（七年级 · 计数）：(3 分) 如图所示, 圆盘被分成 8 个全等的小扇形, 分别写上数字 $1,2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6,7$, 8 , 自由转动圆盘, 指针指向的数字 $<3$ 的概率是 $-\frac{1}{4}$ -


选项：
答案：$\frac{1}{4}$.
解析：根据题意分析可得: 指针指向的数字共 8 种情况, 其中有 2 种情况可使指针指向的数字 $<3$, 故其概率是 $\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$.

解答: 解: $\mathrm{P}($ 数字 $<3)=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$.
题目（七年级 · 计数）：(3 分) 已知三角形的两边长分别为 $5 \mathrm{~cm}, 6 \mathrm{~cm}$, 从下列四条长分别为 $1 \mathrm{~cm}, 2 \mathrm{~cm}, 6 \mathrm{~cm}$, $11 \mathrm{~cm}$ 线段中任意抽出一条能与已知线段围成三角形的概率是 $-\frac{1}{2}$.
选项：
答案：$\frac{1}{2}$.
解析：此题首先根据三角形的三边关系, 找到能够组成三角形的数值, 再根据概率公式进行求解.

解答: 解: 根据三角形的三边关系, 得

第三边的取值范围是大于 1 而小于 11,显然四个数中, 有两个数符合是 2,6 .
题目（七年级 · 计数）：某型号彩电每台标价为 5250 元, 按标价的八折销售, 此时每台彩电的利润率是 $5 \%$, 则该型号彩电的进价为每台元.
选项：
答案：4000
解析：设该型号彩电的进价为每台 $\mathrm{x}$ 元, 由题意得 $5250 \times 0.8=(1+5 \%) x$,解得 $x=4000$,

故答案为: 4000 .
题目（七年级 · 计数）：（2022$\cdot$北大附属嘉兴实验学校七年级月考) “Lost time is never found again”(岁月既往, 一去不回),在这句谚语的所有英文字母中, 字母“e”出现的频率是
选项：
答案：0.12
解析：找出字母“e”出现的次数, 及总的字母数, 再由频率=频数总数, 即可得出答案.

【详解】由题意得, 总共有 25 个, 字母“e”出现的次数为: 3 次,

故字母“伍”出现的频率是 $\frac{3}{25}=0.12$. 故答案为: 0.12 .

【点睛】此题考查了频数和频率的知识, 掌握频率=频数二总数是解答本题的关键, 注意在数字母频数的时候要细心.
题目（七年级 · 计数）：一家快餐店销售 $A 、 B 、 C$ 三种套餐，其中 $A$ 套餐包含一荤两素， $B$ 套餐包含两荤一素, $C$ 套餐包含两荤两素, 每份套餐中一荤的成本相同, 一素的成本也相同, 已知一份 $C$ 套餐的售价是一份 $A$ 套餐和一份 $B$ 套餐售价之和的 $\frac{2}{3}$, 一天下来, 店长发现 $A$ 套餐和 $B$ 套餐的销量相同, 且 $A 、 B$ 套餐的利润和是 $C$ 套餐利润的两倍, 当天的总利润率是60\%.第二天店内搞活动, $C$ 套餐的售价打五折, $A 、 B$ 套餐的售价均不变, 当 $A$ 、 $B 、 C$ 三种套餐的销量相同时, 总利润率为 $\qquad$ .
选项：
答案：【答案】 $28 \%$

【解析】

【分析】

本题主要考查分式的化简求值; 设设荤菜的成本为 $m$ 元, 素菜的成本 $n$ 元, 荤菜的利润率为 $x$, 素菜的利润率为 $y, A$ 套餐和 $B$ 套餐的数量为 $a$ 份, $C$ 套餐的数量为 $b$ 份, 根据 $A$, $B$ 套餐的利润和是 $C$ 套餐利润的两倍, 得出 $b=\frac{3}{4} a$, 根据当天的总利润率是 $60 \%$, 得出 $m x+n y=0.6(m+n)$, 根据 $C$ 套餐的售价打五折, $A, B$ 套餐的售价均不变, $A 、 B 、 C$ 三种套餐的销量相同, 列出分式, 再化简即可得出答案.

【解答】

解: 设荤菜的成本为 $m$ 元, 素菜的成本 $n$ 元, 荤菜的利润率为 $x$, 素菜的利润率为 $y, A$ 套
餐和 $B$ 套餐的数量为 $a$ 份, $C$ 套餐的数量为 $b$ 份.

$\because A, B$ 套餐的利润和是 $C$ 套餐利润的两倍,

$\therefore 3(m x+n y) \times a=2 \times 2(m x+n y) \times b$,

整理得 $b=\frac{3}{4} a$,

$\because$ 当天的总利润率是 $60 \%$,

$\therefore 3(m x+n y) \times a+2(m x+n y) \times b=60 \%[3(m+n) \times a+2(m+n) \times b]$,

整理得 $m x+n y=0.6(m+n)$,

第二天店内搞活动, $C$ 套餐的售价打五折, $A, B$ 套餐的售价均不变, $A 、 B 、 C$ 三种套餐的销量相同, 设均为 $c$ 份,

则总利润率为:

$$
\begin{aligned}
& \frac{3 c \times[m(1+x)+n(1+y)]+2 c \times[m(1+x)+n(1+y)] \times 50 \%}{3 c(m+n)+2 c \times(m+n)}-1 \\
& =\frac{(3 c+c) \times[m(1+x)+n(1+y)]}{(3 c+2 c) \times(m+n)}-1 \\
& =\frac{4 c \times(m+n+m x+n y)}{5 c(m+n)}-1 \\
& =\frac{4 \times[(m+n)+0.6(m+n)]}{5(m+n)}-1 \\
& =\frac{4}{5} \times 1.6-1 \\
& =0.28
\end{aligned}
$$

$=28 \%$.

故答案为: $28 \%$.
解析：【答案】 $28 \%$

【解析】

【分析】

本题主要考查分式的化简求值; 设设荤菜的成本为 $m$ 元, 素菜的成本 $n$ 元, 荤菜的利润率为 $x$, 素菜的利润率为 $y, A$ 套餐和 $B$ 套餐的数量为 $a$ 份, $C$ 套餐的数量为 $b$ 份, 根据 $A$, $B$ 套餐的利润和是 $C$ 套餐利润的两倍, 得出 $b=\frac{3}{4} a$, 根据当天的总利润率是 $60 \%$, 得出 $m x+n y=0.6(m+n)$, 根据 $C$ 套餐的售价打五折, $A, B$ 套餐的售价均不变, $A 、 B 、 C$ 三种套餐的销量相同, 列出分式, 再化简即可得出答案.

【解答】

解: 设荤菜的成本为 $m$ 元, 素菜的成本 $n$ 元, 荤菜的利润率为 $x$, 素菜的利润率为 $y, A$ 套
餐和 $B$ 套餐的数量为 $a$ 份, $C$ 套餐的数量为 $b$ 份.

$\because A, B$ 套餐的利润和是 $C$ 套餐利润的两倍,

$\therefore 3(m x+n y) \times a=2 \times 2(m x+n y) \times b$,

整理得 $b=\frac{3}{4} a$,

$\because$ 当天的总利润率是 $60 \%$,

$\therefore 3(m x+n y) \times a+2(m x+n y) \times b=60 \%[3(m+n) \times a+2(m+n) \times b]$,

整理得 $m x+n y=0.6(m+n)$,

第二天店内搞活动, $C$ 套餐的售价打五折, $A, B$ 套餐的售价均不变, $A 、 B 、 C$ 三种套餐的销量相同, 设均为 $c$ 份,

则总利润率为:

$$
\begin{aligned}
& \frac{3 c \times[m(1+x)+n(1+y)]+2 c \times[m(1+x)+n(1+y)] \times 50 \%}{3 c(m+n)+2 c \times(m+n)}-1 \\
& =\frac{(3 c+c) \times[m(1+x)+n(1+y)]}{(3 c+2 c) \times(m+n)}-1 \\
& =\frac{4 c \times(m+n+m x+n y)}{5 c(m+n)}-1 \\
& =\frac{4 \times[(m+n)+0.6(m+n)]}{5(m+n)}-1 \\
& =\frac{4}{5} \times 1.6-1 \\
& =0.28
\end{aligned}
$$

$=28 \%$.

故答案为: $28 \%$.
题目（七年级 · 计数）：李老师对班上某次数学模拟考试成绩进行统计, 绘制了如图所示的统计图, 根据图中给出的信息，这次考试成绩达到 $A$ 等级的人数占总人数的 $\qquad$ $\%$.


选项：
答案：【答案】 20

【解析】

【分析】

本题考查了条形统计图, 掌握求所占的百分比的正确的计算方法是解题的关键.
根据统计图数据, 用 $A$ 等级的人数除以总人数, 计算即可得解.

【解答】

解: 达到 $A$ 等级的人数占总人数的百分比为:

$\frac{10}{10+15+12+10+3} \times 100 \%=\frac{10}{50} \times 100 \%=20 \%$.

故答案为 20 .
解析：【答案】 20

【解析】

【分析】

本题考查了条形统计图, 掌握求所占的百分比的正确的计算方法是解题的关键.
根据统计图数据, 用 $A$ 等级的人数除以总人数, 计算即可得解.

【解答】

解: 达到 $A$ 等级的人数占总人数的百分比为:

$\frac{10}{10+15+12+10+3} \times 100 \%=\frac{10}{50} \times 100 \%=20 \%$.

故答案为 20 .
题目（七年级 · 组合几何学）：以下是利用图形计算正整数乘法的方法, 请根据图 1 图 4 所示的规律, 预测出图 5 所表达的算式为



图 1



图 2



$21 \times 12=252$

图 3



$31 \times 12=372$

图 4



图 5
选项：
答案：$321 \times 123=39483$
解析：形知: 图 1 中标的数字从个位开始, 从右向左排列正是结果, 为 121 , 左下方的两组交点个数逆时针排列为 11 , 右下方的两组交点个数逆时针排列为 11 , 它们为两个因数, 即 $11 \times 11=121$;

图 2 中标的数字从个位开始, 从右向左排列正是结果, 为 231 , 左下方的两组交点个数逆时针排列为 21 , 右下方的两组交点个数逆时针排列为 11 , 它们为两个因数, 即 $21 \times 11=231$;

图 3 中标的数字从个位开始, 从右向左排列正是结果, 为 252 , 左下方的两组交点个数逆时针排列为 21 , 右下方的两组交点个数逆时针排列为 12 , 它们为两个因数, 即 $21 \times 12=252$;

图 4 中标的数字从个位开始, 从右向左排列正是结果, 为 372 , 左下方的两组交点个数逆时针排列为 31 , 右下方的两组交点个数逆时针排列为 12 , 它们为两个因数, 即 $31 \times 12=372$;

由此得出图 5 中标的数字从个位开始, 从右向左排列正是结果（超过 10 个点向上一位进 1 ), 为 39483 , 左下方的三组交点个数逆时针排列为 321 , 右下方的三组交点个数逆时针排列为 123 , 它们为两个因数，即 $321 \times 123=39483$;

故答案为: $321 \times 123=39483$.
题目（七年级 · 组合几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中 $\angle A=90^{\circ}, A B=A C=2 \mathrm{~cm}, \odot A$ 与 $B C$ 相切于点 $D$, 则 $\odot A$ 的半径为 $\mathrm{cm}$.

第 11 题
选项：
答案：$\sqrt{2}$
解析：$\sqrt{2}$
题目（七年级 · 组合数学）：(3 分) 利用计算器产生 $1 \sim 6$ 个随机数, 连续两次随机相同的概率是 $-\frac{1}{6}$ -
选项：
答案：$\frac{1}{6}$.
解析：第一个数随机产生, 第二个数与第一个数相同的情况有一种, 而第二个数可能出现的情况有 6 种, 利用概率公式进行求解.

解答: 解: $\because$ 第一个数随机产生, 第二个数与第一个数相同的情况有一种, 而第二个数可能出现的情况有 6 种

$\therefore$ 连续两次随机相同的概率是 $\frac{1}{6}$.
题目（七年级 · 组合数学）：(3 分) 在 $-1,1,2$ 这三个数中任选 2 个数分别作为 $P$ 点的横坐标和纵坐标, 过 $P$ 点画双曲线 $y=\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}}$, 该双曲线位于第一、三象限的概率是 $-\frac{1}{3}$.
选项：
答案：$\frac{1}{3}$.
解析：根据概率求法直接列举出所有符合要求点的坐标, 再根据只有 $(1,2),(2,1)$ 符合 $x y=k>0$, 得出答案即可.

解答: 解: $\because$ 在 $-1,1,2$ 这三个数中任选 2 个数分别作为 $\mathrm{P}$ 点的横坐标和纵坐标,

$\therefore$ 符合要求的点有 $(-1,1),(-1,2),(1,2),(1,-1),(2,1),(2,-1)$,

$\therefore$ 该双曲线位于第一、三象限时, $x y=k>0$,

只有 $(1,2),(2,1)$ 符合 $x y=k>0$,

$\therefore$ 该双曲线位于第一、三象限的概率是: $2 \div 6=\frac{1}{3}$,
题目（七年级 · 组合数学）：(3 分) 如图, 随机闭合开关 $\mathrm{S}_{1}, \mathrm{~S}_{2}, \mathrm{~S}_{3}$ 中的两个, 能够让灯泡发光的概率为 $-\frac{2}{3}$.


选项：
答案：$\frac{2}{3}$.
解析：根据题意可得：随机闭合开关 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ 中的两个，有 3 种方法，其中有两种能够让
灯泡发光, 故其概率为 $\frac{2}{3}$.

解答: 解: $\mathrm{P}$ (灯泡发光) $=\frac{2}{3}$.
题目（七年级 · 统计数学）：(3 分) 一枚均匀的正方体骰子, 六个面分别标有数字 $1,2 ， 3 ， 4 ， 5,6$, 连续抛掷两次, 朝上的数字分别是 $m$, $n$. 若把 $m, n$ 作为点 $\mathrm{A}$ 的横、纵坐标, 那么点 $\mathrm{A}(\mathrm{m}, \mathrm{n})$ 在函数 $\mathrm{y}=\frac{6}{\mathrm{x}}$ 的图象上的概率是 $-\frac{1}{9}$.
选项：
答案：$\frac{1}{9}$.
解析：列举出所有情况, 看所求的情况占总情况的多少即可.

解答: 解：每次都有 6 种可能, 那么共有 $6 \times 6=36$ 种可能, 其中 $(1,6)(2,3),(3,2),(6,1)在函数图象上, $\therefore$ 点 $\mathrm{A}(\mathrm{m}, \mathrm{n})$ 在函数 $\mathrm{y}=\frac{6}{\mathrm{x}}$ 的图象上的概率是 $\frac{1}{9}$.
题目（七年级 · 解析几何）：(3 分) 对于平面内任意一个凸四边形 $\mathrm{ABCD}$, 现从以下四个关系式(1) $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}$; (2) $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$; (3) $\mathrm{AB} / / \mathrm{CD}$; (4) $\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{C}$ 中任取两个作为条件, 能够得出这个四边形 $\mathrm{ABCD}$是平行四边形的概率是 $-\frac{1}{2}$.
选项：
答案：$\frac{3}{6}-\frac{1}{2}$.
解析：本题是一道列举法求概率的问题, 属于基础题, 可以直接应用求概率的公式.

解答: 解：从四个条件中选两个共有六种可能: (1)(2)、(1)(3)、(1)(4)、(2)(3)、(2)(4)、

(3) (4),

其中只有(1)(2)、 (1)(3)和(3) (4)可以判断 $\mathrm{ABCD}$ 是平行四边形, 所以其概率为 $\frac{3}{6}-\frac{1}{2}$.
题目（七年级 · 解析几何）：两圆内切, 其中一个圆的半径为 5 , 两圆的圆心距为 2 , 则另一个圆的半径为 \$ \qquad \$
选项：
答案：$ 或 3
解析：$ 或 3
题目（七年级 · 解析几何）：(1) $O C$ 是 $\odot O$ 的半径; (2) $A B \perp O C$; (3)直线 $A B$ 切 $\odot O$ 于点 $C$. 请以其中两个语句为条件,一个语句为结论, 写出一个真命题 \$ \qquad \$ . (写标号，用推出符号表示)
选项：
答案：(1)(3) $\Rightarrow$ (2)或(2)(3) $\Rightarrow$ (1) $
解析：(1)(3) $\Rightarrow$ (2)或(2)(3) $\Rightarrow$ (1) $
题目（七年级 · 解析几何）：如图, $\odot 0_{1}, \odot 0_{2}$ 相互外切且都内切于半圆 0 , 且 $\odot 0_{1}, \odot 0_{2}$ 切半圆 0 的直径 $A B$ 于点 0 和 $C$, 则 $\cos \angle o O_{1} O_{2}$ 的值为 \$ \qquad \$ .


(第 $\mathrm{O} 16$ 题)
选项：
答案：\frac{1}{3}
解析：\frac{1}{3}
题目（七年级 · 解析几何）：(3 分) 在 $\mathrm{Rt} \triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\angle C=90^{\circ}$, 直角边 $\mathrm{AC}$ 是 $\mathrm{BC}$ 的 2 倍, 则 $\cos \mathrm{A}$ 的值是 $\_\frac{2 \sqrt{5}}{5}$.
选项：
答案：$\frac{2 \sqrt{5}}{5}$.
解析：设 $\mathrm{BC}=\mathrm{x}$, 则 $\mathrm{AC}=2 \mathrm{x}$, 利用勾股定理即可求得 $\mathrm{AB}$ 的长, 然后利用余弦函数的定义即可求解.

解答: 解: 设 $\mathrm{BC}=\mathrm{x}$, 则 $\mathrm{AC}=2 \mathrm{x}$,

则 $A B=\sqrt{A C^{2}+B C^{2}}=\sqrt{5} x$,

则 $\cos A=\frac{A C}{A B}=\frac{2 x}{\sqrt{5} x}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$.
题目（七年级 · 解析几何）：(3 分) 若 $\alpha$ 为锐角, 且 $\sin \alpha=\frac{m-1}{2}$, 则 $m$ 的取值范围是 $1<m<3$.
选项：
答案：$1<\mathrm{m}<3$.
解析：根据锐角三角函数的范围即可得到一个关于 $m$ 的不等式，解不等式即可求解.

解答: 解: $\because 0<\sin \alpha<1$,

$\therefore 0<\frac{m-1}{2}<1$,

解得: $1<\mathrm{m}<3$.
题目（七年级 · 画法几何学）：在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, \angle A=60^{\circ}, B C=4 \mathrm{~cm}$, 以点 $C$ 为圆心, 以 $\mathrm{rcm}$ 长为半径作圆,若 $\odot \mathrm{C}$ 与线段 $\mathrm{AB}$ 只有一个交点, 则 $\mathrm{r}$ 的取值范围是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$\mathrm{R}=2$ 或 $\frac{4}{3} \sqrt{3}<v \leq 4 /
解析：$\mathrm{R}=2$ 或 $\frac{4}{3} \sqrt{3}<v \leq 4 /
题目（七年级 · 画法几何学）：如图 1, 在一块长方形区域中布置了图中阴影部分所示的展区, 其中的展台有三种不同的形状,其规格如图 2 所示.



图 1



图 2

(1) 该长方形区域的长可以用式子表示为

（2）根据图中信息，用等式表示 $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ 满足的关系为
选项：
答案：(1) $a+3 b$

(2) $a+b+c=2 b+2$
解析：解：（1）由图可知：

长方形区域的长 $=$ 小长方形的长+小长方形的宽＋小长方形的长+小长方形的长一小长方形的宽 +正方形的边长,

即: $b+c+b+b-c+a=a+3 b$;

故答案为: $a+3 b$;

(2) 长方形区域左边宽度 $=b+2+b=2 b+2$, 右边宽度 $=a+b+c$,
$\therefore a+b+c=2 b+2$

故答案为: $a+b+c=2 b+2$.
题目（七年级 · 变换几何）：如图, $\angle 3=40^{\circ}$, 直线 $b$ 平移后得到直线 $a$, 则 $\angle 1+$ $\angle 2=$ $\qquad$ $\circ$.


选项：
答案：解【答案】 220

【解析】解: 如图,

$\because$ 直线 $b$ 平移后得到直线 $a$,

$\therefore a / / b$,

$\therefore \angle 1+\angle 4=180^{\circ}$, 即 $\angle 4=180^{\circ}-\angle 1$,

$\because \angle 5=\angle 3=40^{\circ}$,

<ImageHere>

$\therefore \angle 2=\angle 4+\angle 5=180^{\circ}-\angle 1+40^{\circ}$,

$\therefore \angle 1+\angle 2=220^{\circ}$.

故答案为 220 .

如图, 利用平移的性质得 $a / / b$, 再根据平行线的性质得 $\angle 4=180^{\circ}-\angle 1$, 加上对顶角相等得 $\angle 5=\angle 3=40^{\circ}$, 则根据三角形外角性质得 $\angle 2=\angle 4+\angle 5=180^{\circ}-\angle 1+40^{\circ}$, 从而可计算出 $\angle 1+\angle 2$ 的度数.

本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动, 会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同.
解析：解【答案】 220

【解析】解: 如图,

$\because$ 直线 $b$ 平移后得到直线 $a$,

$\therefore a / / b$,

$\therefore \angle 1+\angle 4=180^{\circ}$, 即 $\angle 4=180^{\circ}-\angle 1$,

$\because \angle 5=\angle 3=40^{\circ}$,



$\therefore \angle 2=\angle 4+\angle 5=180^{\circ}-\angle 1+40^{\circ}$,

$\therefore \angle 1+\angle 2=220^{\circ}$.

故答案为 220 .

如图, 利用平移的性质得 $a / / b$, 再根据平行线的性质得 $\angle 4=180^{\circ}-\angle 1$, 加上对顶角相等得 $\angle 5=\angle 3=40^{\circ}$, 则根据三角形外角性质得 $\angle 2=\angle 4+\angle 5=180^{\circ}-\angle 1+40^{\circ}$, 从而可计算出 $\angle 1+\angle 2$ 的度数.

本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动, 会得到一个新的图形,新图形与原图形的形状和大小完全相同.
题目（七年级 · 逻辑题）：（2021- 浙江七年级期末）三位先生 A、B、C 带着他们的妻子 a、b、c 到超市购物, 至于谁是谁的妻子现在只能从下列条件来推测: 他们 6 人, 每人花在买商品的钱数 (单位: 元) 正好等于商品数量的平方, 而且每位先生都比自己的妻子多花 48 元钱, 又知先生 A 比 b 多买 9 件商品, 先生 B 比 a 多买 7 件商品. 则先生 A 的妻子是 \$ \qquad \$
选项：
答案：c.
解析： $c$

【分析】设一对夫妻, 丈夫买了 $\mathrm{x}$ 件商品, 妻子买了 $\mathrm{y}$ 件商品, 列出关于 $\mathrm{x} 、 \mathrm{y}$ 的二元二次方程, 再根据 $\mathrm{x} 、 \mathrm{y}$ 都是正整数, 且 $x+y$ 与 $x-y$ 有相同的奇偶性, 即可得出关于 $\mathrm{x} 、 \mathrm{y}$ 的二元一次方程组,求出 $\mathrm{x} 、 \mathrm{y}$ 的值, 再找出符合 $x-y=9$ 和 $x-y=7$ 的情况即可进行解答.

【详解】设一对夫妻, 丈夫买了 $x$ 件商品, 则钱数为 $x^{2}$, 妻子买了 $y$ 件商品, 则钱数为 $y^{2}$,依题意有 $x^{2}-y^{2}=48$, 即 $(x+y)(x-y)=48$,

$\because \mathrm{x} 、 \mathrm{y}$ 都是正整数, 且 $x+y$ 与 $x-y$ 有相同的奇偶性,

又 $\because x+y>x-y, 48=24 \times 2=12 \times 4=8 \times 6$, $\therefore\left\{\begin{array}{c}x+y=24 \\ x-y=2\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{c}x+y=12 \\ x-y=4\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{c}x+y=8 \\ x-y=6\end{array}\right.$, 解得 $x=13, y=11$ 或 $x=8, y=4$ 或 $x=7, y=1$,符合 $x-y=9$ 的只有一种, 可见 $\mathrm{A}$ 买了 13 件商品, $\mathrm{b}$ 买了 4 件,同时符合 $x-y=7$ 的也只有一种, 可知 $\mathrm{B}$ 买了 8 件, $\mathrm{a}$ 买了 1 件, $\therefore \mathrm{C}$ 买了 7 件, $\mathrm{c}$ 买了 11 件.由此可知三对夫妻的组合是: A、c; B、b; C、a. 故答案为: c.

【点睛】本题考查了不定方程组的解及数的奇偶性, 根据题意列出关于 $x 、 y$ 的不定方程是解答此题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 已知射线 $B P \perp B A$, 点 $O$ 从 $B$ 点出发, 以每秒 1 个单位长度沿射线 $B A$ 向右运动; 同时射线 $B P$ 绕点 $B$ 顺时针旋转一周, 当射线 $B P$停止运动时, 点 $O$ 随之停止运动. 以 $O$ 为圆心, 1 个单位长度为半径画圆, 若运动两秒后, 射线 $B P$ 与 $\odot O$ 恰好有且只有一个公共点, 则射线


$B P$ 旋转的速度为每秒度.
选项：
答案：30 或 60
解析：设射线 $B P$ 旋转的速度为每秒 $a$ 度, 则两秒后, 射线 $B P$ 旋转 $2 a$ 度, 点 $O$ 运动到了距离 $B 2$ 个单位长度处,

根据题意可得: 有两种情况使得射线 $B P$ 与 $\odot O$ 恰好有且只有一个公共点, 即 $B P_{1} 、 B P_{2}$ 与圆相切, 如图,



当 $B P$ 旋转到 $B P_{1}$ 时, $O^{\prime} C=1, B O^{\prime}=2, O^{\prime} C \perp B C$, 即 $\angle C B O^{\prime}=30^{\circ}$,

$\therefore \angle P B C=60^{\circ}$,

即 $2 a=60$,

$a=30$,

当 $B P$ 旋转到 $B P_{2}$ 时, $O^{\prime} D=1, B O^{\prime}=2, O^{\prime} D \perp B D$, 即 $\angle D B O^{\prime}=30^{\circ}$,

$\therefore \angle P B D=120^{\circ}$,

即 $2 a=120 ，$

$a=60$,

$\therefore$ 射线 $B P$ 旋转的速度为每秒 30 或 60 度,

故答案为 30 或 60 .
题目（九年级 · 度量几何学）：张明同学想利用树影测量校园内树的高度, 他在某一时刻测得某小树的高为 $1.5 \mathrm{~m}$, 其影长为 $1.2 \mathrm{~m}$. 同一时刻, 当他测量教学楼旁的一棵大树的影长时, 因大树靠近教学楼, 有一部分影子落
在墙上. 经测量, 大树地面部分的影长为 $6.4 \mathrm{~m}$, 墙上的影长为 $1.4 \mathrm{~m}$, 则这棵大树高 $m$.
选项：
答案：9.4
解析：设这棵大树高为 $x m$,

根据平行投影特点: 在同一时刻, 不同物体的物高和影长成比例可得:

树高比影长为 1.5 . $=1.25$,

则有 $\frac{6.4}{x-1.4}=\frac{1}{1.25}=0.8$,

解得： $x=9.4$ 米.

故答案为 9.4 .
题目（九年级 · 度量几何学）：在 $\triangle A B C$ 中, $a=12, A=60^{\circ}$, 三角形有两解, 则边 $b$ 的取值范围为 \$ \qquad \$


选项：
答案：$(12,8 \sqrt{3})$
解析：由题意得, $\triangle A B C$ 有两解时需要: $b \sin A<a<b$,

则 $b \sin 60^{\circ}<12<b$,

解得 $12<x<8 \sqrt{3} \sqrt{3}$,

所以 $x$ 的取值范围是 $(12,8 \sqrt{3})$,

故答案为 $(12,8 \sqrt{3})$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 边长为 3 的正方形 $A B C D$, 以点 $A$ 为圆心作半径为 1 的圆, 点 $M$ 为 $B D$ 上一动点, 过点 $M$ 作 $\odot A$ 的切线, 切点为点 $N$, 则线段 $M N$ 的最小值为 \$ \qquad \$
三、解答题（本大题共 6 小题, 共 66 分）


选项：
答案：$\frac{\sqrt{14}}{2}$
解析：连接 $A M 、 A N$,

$\because M N$ 为 $\odot A$ 的切线, 切点为点 $N$

$$
\therefore A N \perp M N \therefore M N=\sqrt{A M^{2}-A N^{2}} \because A N=1
$$

所以当 $A M$ 最小时, $M N$ 取最小值,

$\because$ 点 $M$ 为 $B D$ 上一动点,
$\therefore$ 当 $A M \perp B D$ 时, $A M$ 最小, $B D=\sqrt{2} A B=3 \sqrt{2}$

所以此时 $A M=\frac{1}{2} B D=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$

$\therefore M N$ 的最小值为 $M N=\sqrt{A M^{2}-A N^{2}}=\sqrt{\left(\frac{3 \sqrt{2}}{2}\right)^{2}-1}=\frac{\sqrt{14}}{2}$.

故答案为 $\frac{\sqrt{14}}{2}$.
题目（九年级 · 度量几何学）：$\cos 30^{\circ} \cdot \tan 60^{\circ}$ 的值等于 \$ \qquad \$
选项：
答案：$\frac{3}{2}$
解析：原式 $=\frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3}$

$=\frac{3}{2}$.

故答案为 $\frac{3}{2}$.
题目（九年级 · 度量几何学）：等腰三角形的一边长为 10 , 面积为 40 , 则底角的正切值为 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：2 或 $\frac{8}{5}$
解析：在三角形 $A B C$ 中, $A B=A C, \angle B=\angle C=\alpha$

(1)当 $A B=10$ 时, 过 $A$ 作 $C D \perp A B$ 于 $D$,

$\because S \triangle A B C=\frac{1}{2} A B \cdot C D=40$,

$\therefore \frac{1}{2} \times 10 \cdot C D=40$,

$\therefore C D=8$.

在直角三角形 $A C D$ 中, 有勾股定理得

$A D=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=6$,
$B D=10-6=4$,

$\therefore$ 底角 $\tan \alpha=\frac{C D}{B D}=2$;

(2)当 $B C=10$ 时, 过 $A$ 作 $A D \perp B C$ 于 $D$, 则 $B D=5$,

$\because S \triangle A B C=\frac{1}{2} B C \cdot A D=40$,

$\therefore \frac{1}{2} \times 10 \cdot A D=40$,

$\therefore A D=8$,

$\therefore$ 底角 $\tan \alpha=\frac{A D}{B D}=\frac{8}{5}$,

綜上可知底角的正切值为 2 或 $\frac{8}{5}$.

故答案为 2 或 $\frac{8}{5}$.
题目（九年级 · 度量几何学）：在 $R t \triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, \sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}, B C=3$, 则斜边上的中线长为 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$\sqrt{3}$
解析：如图, $C D$ 是 $A B$ 边上的中线,



$\because, \angle C=90^{\circ}, \sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}, B C=3$,

又 $\because \sin A=\frac{B C}{A B}$,

$\therefore \frac{3}{A B}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,

$\therefore A B=2 \sqrt{3}$,

$\because C D$ 是 $A B$ 边上的中线，

$\therefore C D=\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} \times 2 \sqrt{3}=\sqrt{3}$.

故答案为 $\sqrt{3}$.
题目（九年级 · 度量几何学）：平面直角坐标系 $x O y$ 中, 若 $P\left(m, \frac{4}{m}\right), Q(3 m,-6 n+2)$ 是两个动点 $(m, n$ 是实数且 $m \neq 0)$, 则 $P Q$长度的最小值为 \$ \qquad \$ .
选项：
解析：$\because P\left(m, \frac{4}{m}\right), Q(3 n,-6 n+2)$,

$\therefore$ 点 $P$ 在双曲线 $y=\frac{4}{x}$ 上, 点 $Q$ 在直线 $y=-2 x+2$ 上,
平移直线 $y=-2 x+2$ 使它与双曲线 $y=\frac{4}{x}$ 只有一个交点,

设平移后的直线为 $y=-2 x+2+b$,

联立得方程 $-2 x+2+b=\frac{4}{x}$,

整理得 $2 x^{2}-(2+b) x+4=0$ ，

$\Delta=(2+b)^{2}-4 \times 2 \times 4=0$,

解得 $b=-2+4 \sqrt{2}$ 或 $-2-4 \sqrt{2}$,

即向上平移 $-2+4 \sqrt{2}$ 或向下平移 $2+4 \sqrt{2}$ 个单位,

当向上平移 $-2+4 \sqrt{2}$ 个单位即 $A B=-2+4 \sqrt{2}$ 时, 平移前后两条直线之间的距离最小,

$\because \tan \angle B A C=\tan \angle O A D=\frac{1}{2}$,

$\therefore \frac{B C}{A C}=\frac{1}{2}, \frac{B C}{A B}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$,

解得 $B C=\frac{\sqrt{5}}{5} A B=\frac{4 \sqrt{10}-2 \sqrt{5}}{5}$,

即 $P Q$ 长度的最小值为 $\frac{4 \sqrt{10}-2 \sqrt{5}}{5}$.
题目（九年级 · 度量几何学）：将直角边长为 3 的等腰直角 $\triangle A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $15^{\circ}$ 后得到 $\triangle A B^{\prime} C^{\prime}$, 则图中阴影部分的面积是 \$ \qquad \$


选项：
答案：$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$
解析：: 等腰直角 $\triangle A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $15^{\circ}$ 后得到 $\triangle A B^{\prime} C^{\prime}$,

$\because \angle C A C^{\prime}=15^{\circ}$,

$\therefore \angle C^{\prime} A B=\angle C A B-\angle C A C^{\prime}=45^{\circ}-15^{\circ}=30^{\circ}, A C^{\prime}=A C=3$,

$\therefore$ 阴影部分的面积 $=\frac{1}{2} \times 3 \times \tan 30^{\circ} \times 3=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$.

故答案为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$.
题目（九年级 · 度量几何学）：直角三角形的两条直角边分别为 5 和 12 , 则其外接圆半径与内切圆半径之差为
选项：
答案：4.5
解析：$\because$ 直角边长分别为 5 和 12 ,

$\therefore$ 斜边 $=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13$,

$\therefore$ :这个直角三角形的外接圆的半径为 6.5 .

$\because$ 直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半,

$\therefore$ 其内切圆的半径是 $\frac{12+5-13}{2}=2$,

$\therefore 6.5-2=4.5$

故答案为: 4.5 .
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 半径为 $\sqrt{3} \mathrm{~cm}$ 的 $\odot O$ 从斜坡上的 $A$ 点处沿斜坡滚动到平地上的 $C$ 点处, 已知 $\angle A B C=120^{\circ}$, $A B=10 \mathrm{~cm}, B C=20 \mathrm{~cm}$, 那么圆心 $O$ 运动所经过的路径长度为


选项：
答案：$28 \mathrm{~cm}$
解析：如图： 当 $\odot O$ 运动到 $\odot D$ 位置时, 与 $A B, B C$ 都相切, 连接 $O A, O^{\prime} C, D E, D F$,



则 $O A \perp A B, D E \perp A B, D F \perp B C, O^{\prime} C \perp B C$,

$\therefore$ 四边形 $O A E D$ 与四边形 $D F C O^{\prime}$ 是矩形,

$\therefore O D=A E, O^{\prime} D=C F$,

$\because \angle A B C=120^{\circ}$,

$\therefore \angle D B F=\frac{1}{2} \angle A B C=60^{\circ}$,

$\because D F=\sqrt{3} \mathrm{~cm}, \quad \therefore B F=\frac{D F}{\tan 60^{\circ}}=1 \mathrm{~cm}$,
同理: $B E=1 \mathrm{~cm}$,

$\therefore A E=A B-B E=9 \mathrm{~cm}, C F=B C-B F=19 \mathrm{~cm}$,

$\therefore O D=9 \mathrm{~cm}, O^{\prime} D=19 \mathrm{~cm}$

$\therefore$ 圆心 $O$ 运动所经过的路径长度为: $O D+O^{\prime} D=28 \mathrm{~cm}$.

故答案为 $28 \mathrm{~cm}$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 有一张矩形纸片 $A B C D$, 其中 $A D=4 \mathrm{~cm}$, 以 $A D$ 为直径的半圆, 正好与对边 $B C$ 相切, 将它沿 $D E$ 折叠, 使点 $A$ 落在 $B C$ 上, 这时, 半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积是 \$ \qquad \$


选项：
答案：$\frac{4}{3} \pi-\sqrt{3}$
解析：设半圆的圆心是 $O$, 半圆与 $A D$ 交点是 $F$, 连接 $O F$, 作 $F G \perp A^{\prime} D$ 于 $G$.在Rt $\triangle A C D$ 中, $\because A D=4, C D \perp B C$,

$\therefore C D=\frac{1}{2} A D=2$,



(甲)



(乙)

$\therefore \angle C A D=30^{\circ}$,

$\therefore \angle O D F=30^{\circ}$,

$\therefore \angle F O D=120^{\circ}$.

$\therefore$ 扇形 $O D F$ 的面积 $=\frac{120 \pi \times 4}{360}=\frac{4}{3} \pi$.

在Rt $\triangle O F G$ 中, $O F=2, \angle F O G=60^{\circ}$,

$\therefore F G=\sqrt{3}$.

$\therefore \triangle O F D$ 的面积 $=\sqrt{3}$.
$\therefore$. 阴影部分的面积 $=\frac{4}{3} \pi-\sqrt{3}$.

故答案为: $\frac{4}{3} \pi-\sqrt{3}$.
题目（九年级 · 度量几何学）：小王同学想利用树影测量校园内的树高.他在某一时刻测得小树高为 1.5 米时, 其影长为 1.2 米, 当他测量教学楼旁的一棵大树的影长时, 因大树靠近教学楼, 有一部分影子在墙上.经测量, 地面部分影长为 6.4 米, 墙上影长为 1.4 米, 那么这棵大树高约为米.
选项：
答案：9.4
解析：设这棵大树高为 $x$,

根据平行投影特点: 在同一时刻, 不同物体的物高和影长成比例.

可得树高比影长为 $\frac{1.5}{1.2}=1.25$,

则有 $\frac{6.4}{x-1.4}=\frac{1}{1.25}=0.8$,

解可得: $x=9.4$ 米.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 小明在 $A$ 时测得某树的影长为 $2 m, B$ 时又测得该树的影长为 $8 m$. 若两次日照的光线互相垂直, 则此树的高度为 $m$.


选项：
答案：4
解析：将实际问题转化为如图所示的模型.


由题意, 得 $\angle E C F=90^{\circ}, \angle E D C=\angle C D F=90^{\circ}$,

所以 $\angle E+\angle E C D=\angle E C D+\angle D C F=90^{\circ}$.

所以 $\angle E=\angle D C F$.

所以Rt $\triangle E D C \sim R t \triangle C D F$,

所以 $\frac{E D}{C D}=\frac{D C}{D F}$, 即 $\frac{2}{C D}=\frac{C D}{8}$, 解得 $D C=4 m$.

则此树的高度为 $4 m$ 。
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 圆桌面正上方的灯泡发出的光线照射桌面后, 在地面上形成阴影(圆形).已知灯泡距离地面 $2.4 m$, 桌面距离地面 $0.8 m$ (桌面厚度不计算), 若桌面的面积是 $1.2 m^{2}$, 则地面上的阴影面积是 \$ \qquad \$ $m^{2}$.


选项：
答案：2.7
解析：如图设 $C, D$ 分别是桌面和其地面影子的圆心, $C B / / A D$,



$\therefore \triangle O B C \sim \triangle O A D$

$\therefore \frac{S_{\text {案面 }}}{S_{\text {地而 }}}=\left(\frac{O C}{O D}\right)^{2}$, 而 $O D=2.4(\mathrm{~m}), C D=0.8(\mathrm{~m})$,

$\therefore O C=O D-C D=1.6(m)$

$\therefore S_{\text {地西 }}=2.7\left(m^{2}\right)$,

这样地面上阴影部分的面积为 $2.7 \mathrm{~m}^{2}$.
故答案为 2.7 .