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题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $A D$ 是 $\odot O$ 的直径, $\triangle A B C$ 是 $\odot O$ 的内接三角形. 若 $\angle D A C=\angle A B C, A C=4$,则 $\odot O$ 的直径 $A D=$ $\qquad$




选项：
答案： $4 \sqrt{2}$


解析：连接 $C D, O C$, 根据圆周角定理, 弦, 弧, 角之间的关系, 得到 $\triangle A C D$ 为等腰直角三角形, 即可得解.

【详解】解: 如图, 连接 $C D, O C$.

$\because \angle D A C=\angle A B C$,

$\therefore A C=D C$,

$\therefore A C=C D$,

$\because A D$ 是 $\odot O$ 的直径,

$\therefore \angle A C D=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle A C D$ 是等腰直角三角形,

$\therefore A C=C D=4$,

$\therefore A D=\sqrt{2} A C=4 \sqrt{2}$.

故答案为: $4 \sqrt{2}$.



【点睛】本题考查圆周角定理, 等腰三角形的判定和性质, 熟练掌握相关知识点, 并灵活应用, 是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 延长正五边形 $F G H J K$ 各边, 使得 $G A=H B=J C=K D=F E$, 若 $A B=A F$,则 $\angle B C H$ 的度数为 $\qquad$ .




选项：
答案： $36^{\circ} / 36$ 度


解析：根据正五边形的性质以及全等三角形的判定和性质, 可求出正五边形 $F G H J K$ 的每个内角度数, 再根据等腰三角形的性质得出 $\triangle A B G$ 是等腰三角形, 并求出各个内角度数, 由全等三角形的性质可求出答案.

【详解】解: $\because$ 五边形 $F G H J K$ 是正五边形,

$\therefore F G=G H=H J=J K=K F, \angle F G H=\angle K F G=108^{\circ}$,又 $\because G A=H B=J C=K D=F E$,

$\therefore A F=B G=C H=D J=E K$,

$\because A B=A F$,

$\therefore A F=B G$,
$\because E F=A G, \quad \angle A F E=\angle B G A=180^{\circ}-108^{\circ}=72^{\circ}$,

$\therefore \triangle A B G \cong \triangle E A F(\mathrm{SAS})$,

$\therefore A B=A E$,

同理可得 $A B=B C=C D=D E=A E$, 即五边形 $A B C D E$ 是正五边形,

在 $\triangle B C H$ 中, $B C=C H, \angle C B H=\angle C H B=180^{\circ}-108^{\circ}=72^{\circ}$,

$\therefore \angle B C H=180^{\circ}-72^{\circ}-72^{\circ}=36^{\circ}$,

故答案为: $36^{\circ}$.

【点睛】本题考查了正多边形的圆, 等腰三角形的判定和性质, 全等三角形的判定和性质以及三角形内角和定理, 掌握正五边形的性质, 三角形内角和定理以及全等三角形的判定和性质是解决问题的前提.
题目（九年级 · 度量几何学）：“斐波那契螺旋线”（也称“黄金螺旋”）是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，人
类耳朵的形状也符合这种螺旋形状, 这种形状的构造帮助人类可以更好地接收声波, 从而增强听觉. 现依次取边长为 $1,1,2,3,5 \ldots .$. 的正方形按如图所示方式拼接, 分别以每个正方形的一个顶点为圆心, 边长为半径作圆弧, 连接形成的螺旋曲线即为“斐波那契螺旋线”。那么前五个正方形内形成的曲线 $A B C D E F$ 的长度是 $\qquad$ .



##
选项：
答案： $6 \pi$


解析：观察图形可知, 螺旋曲线的每一段都是以正方形的边长为半径的 $\frac{1}{4}$ 圆弧构成, 计算出每个正方形的边长, 再根据圆的周长公式即可求解.

【详解】解：由图可知, 正方形的边长依次为: $1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 5 \ldots \ldots$, 螺旋曲线的每一段都是以正方形的边长为半径的 $\frac{1}{4}$ 圆弧构成,

故前五个正方形内形成的曲线 $A B C D E F$ 的长度是: $\frac{1}{4} \cdot 2 \pi(1+1+2+3+5)=6 \pi$,

故答案为: $6 \pi$.

【点睛】本题考查弧长的计算, 解题的关键是观察图形得出每一段圆弧对应的正方形的边长.
题目（九年级 · 度量几何学）：若 $\odot O$ 的半径为 3 , 则 $\odot O$ 的弦 $A B$ 的长度的取值范围是 $\qquad$ .

选项：
答案： $0<A B \leq 6$


解析：利用直径是圆内最长的弦即可求解.

【详解】解: $\because \odot O$ 的半径为 3 ,

$\therefore \odot O$ 的弦 $A B$ 的长度的取值范围为: $0<A B \leq 2 \times 3=6$,

故答案为: $0<A B \leq 6$.

【点睛】本题考查了圆的相关知识, 明确圆中最长的弦是直径是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 点 $A$

$B$,

$C, D$ 在 $\odot O$ 上

$\angle A O C=130^{\circ}$, 则 $\angle A B C=$ $\qquad$ $\circ$.




选项：
答案： 115


解析：先作出弧 $A C$ 所对的圆周角 $\angle D$, 如图, 根据圆周角定理得到 $\angle D=\frac{1}{2} \angle A O C=65^{\circ}$,然后根据圆内接四边形的性质求 $\angle A B C$ 的度数.

【详解】解: $\because \angle D$ 为弧 $A C$ 所对的圆周角,

$\therefore \angle D=\frac{1}{2} \angle A O C=\frac{130^{\circ}}{2}=65^{\circ}$,

$\because \angle D+\angle A B C=180^{\circ}$,
$\therefore \angle A B C=180^{\circ}-65^{\circ}=115^{\circ}$.

故答案为: 115 .

【点睛】本题考查了圆周角定理: 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半. 也考查了圆内接四边形的性质.
题目（九年级 · 度量几何学）：《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作, 其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积 $=\frac{1}{2}$ （弦 $\times$ 矢 + 矢 ${ }^{2}$ ). 弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分)，公式中“弦”指圆弧所对弦长, “矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径 $O C \perp$ 弦 $A B$ 时, $O C$ 平分 $A B$ ) 可以求解, 现已知弦 $A B=6$ 米,半径等于 5 米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为 __平方米.

选项：
答案： $\frac{7}{2}$


解析：根据垂径定理得到 $A D=3$, 由勾股定理得到 $O D=\sqrt{O A^{2}-A D^{2}}=4$, 求得 $O A-O D=1$,根据弧田面积 $=\frac{1}{2}\left(\right.$ 弦 $\times$ 矢 + 矢 $\left.{ }^{2}\right)$ 即可得到结论.

【详解】解: $\because$ 弦 $A B=6$ 米, 半径 $O C \perp$ 弦 $A B$,

$\therefore A D=\frac{1}{2} A B=3$ 米,

$\therefore O D=\sqrt{O A^{2}-A D^{2}}=4$ 米,

$\therefore O A-O D=5-4=1$ (米),

$\therefore$ 弧田面积 $=\frac{1}{2}\left(\right.$ 弦 $\times$ 矢 + 矢 $\left.{ }^{2}\right)=\frac{1}{2} \times\left(6 \times 1+1^{2}\right)=\frac{7}{2}$ (平方米).

故答案为: $\frac{7}{2}$.

【点睛】此题考查垂径定理的应用, 勾股定理及扇形的面积, 关键是根据垂径定理和扇形面积解答.
题目（九年级 · 度量几何学）：在如图所示的图案中, 黑白两色的直角三角形都全等. 甲、乙两人将它作为一个游戏盘, 游戏规
则是: 按一定距离向盘中投镖一次, 扎在黑色区域为甲胜, 扎在白色区域为乙胜. 这个游戏公平吗?请填上你的正确判断: $\qquad$




选项：
答案：公平


解析：【详解】如图, $\because S_{\text {黑色区域 }}=S_{\text {白色区域 }}=\frac{1}{2} S_{\text {圆, }}$,

$\therefore P($ 甲胜 $)=P($ 乙胜 $)=\frac{1}{2}$,

$\therefore$ 这个游戏公平.

故答案为公平.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, B C=3, A C=4$, 以 $A$ 为圆心, 2 为半径作 $\odot A, M$ 是 $\odot A$ 上一动点, 取线段 $B M$ 的中点 $N$, 连结 $C N$, 则 $C N$ 的最大长度为 $\qquad$ .




选项：
答案： 3.5


解析：略

##
题目（九年级 · 度量几何学）：等腰三角形 $A B C$ 的底边 $A C$ 长为 6 , 其外接圆的半径长为 5 , 则三角形 $A B C$ 的面积是 $\qquad$ .

选项：
答案：3或27

## 
解析：【分析】

本题主要考查了三角形的外接圆和外心, 等腰三角形的性质, 勾股定理, 三角形的面积等知识点, 解此题的关键是求出高 $B D$ 的长度, 此题用的数学思想是分类讨论思想.

如图(1)和(2), 由等腰三角形的外心在三角形的底边的高上, 根据勾股定理求出 $O D$ 的长, 进一步求出 $B D$ 的长, 根据三角形的面积公式即可求出答案.

## 【解答】

解: 连接 $O B$ (或连接并延长 $B O$ ) 交 $A C$ 于 $D$, 连接 $O C$,

$\because$ 圆 $O$ 是等腰三角形的外接圆, $O$ 是外心, 且 $A B=B C$,

$\therefore B D \perp A C, A D=D C=3$,

有两种情况:

(1)如图(1):



图 (1)

$O C=5$, 由勾股定理得: $O D=\sqrt{O C^{2}-C D^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$,

即: $B D=4+5=9$,

$\therefore S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} A C \cdot B D=\frac{1}{2} \times 6 \times 9=27$;

(2)如图(2):



图（2）

同法可求 $O D=4, B D=5-4=1$,

$\therefore S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} A C \cdot B D=\frac{1}{2} \times 6 \times 1=3$.

故答案为3或27.

##
题目（九年级 · 度量几何学）：等腰三角形 $A B C$ 的底边 $A C$ 长为 6 , 其外接圆的半径长为 5 , 则三角形 $A B C$ 的面积是 $\qquad$
选项：
答案：3或27

## 
解析：【分析】

本题主要考查了三角形的外接圆和外心, 等腰三角形的性质, 勾股定理, 三角形的面积等知识点, 解此题的关键是求出高 $B D$ 的长度, 此题用的数学思想是分类讨论思想.

如图(1)和(2), 由等腰三角形的外心在三角形的底边的高上, 根据勾股定理求出 $O D$ 的长, 进一步求出 $B D$ 的长, 根据三角形的面积公式即可求出答案.

## 【解答】

解: 连接 $O B$ (或连接并延长 $B O)$ 交 $A C$ 于 $D$, 连接 $O C$,

$\because$ 圆 $O$ 是等腰三角形的外接圆, $O$ 是外心, 且 $A B=B C$,

$\therefore B D \perp A C, A D=D C=3$,

有两种情况:

(1)如图(1):



图 (1)

$O C=5$, 由勾股定理得: $O D=\sqrt{O C^{2}-C D^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$,

即: $B D=4+5=9$,

$\therefore S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} A C \cdot B D=\frac{1}{2} \times 6 \times 9=27$;

(2)如图(2):



图（2）

同法可求 $O D=4, B D=5-4=1$,

$\therefore S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} A C \cdot B D=\frac{1}{2} \times 6 \times 1=3$.

故答案为3或27.
题目（九年级 · 度量几何学）：有一块三角板 $A B C, \angle C$ 为直角, $\angle A B C=30^{\circ}$, 将它放置在 $\odot O$ 中, 如图,点 $A 、 B$ 在圆上, 边 $B C$ 经过圆心 $O$, 劣弧 $\overparen{A B}$ 的度数等于 $\qquad$ $\circ$




选项：
答案： 120


解析：解：如图, 延长 $B C$ 交 $\odot O$ 于点 $D$, 连接 $A D, O A$.



$\because B D$ 是直径,

$\therefore \angle D A B=90^{\circ}$,

$\because \angle B=30^{\circ}$,
$\therefore \angle D=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$,

$\because O A=O D$,

$\therefore \angle D=\angle O A D=60^{\circ}$,

$\therefore \angle A O B=\angle D=\angle O A D=120^{\circ}$,

$\therefore$ 劣弧 $\overparen{A B}$ 的度数等于 $120^{\circ}$,

故答案为 $120^{\circ}$.

如图, 延长 $B C$ 交 $\odot O$ 于点 $D$, 连接 $A D, O A$. 求出 $\angle A O B$ 即可解决问题.

本题考查圆心角, 弧, 弦之间的关系等知识, 解题的关键是学会添加常用辅助线, 属于中考常考题型.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $A B$ 为 $\odot O$ 的直径, 点 $D$ 是弧 $A C$ 的中点, 过点 $D$ 作 $D E \perp A B$ 于点 $E$, 延长 $D E$ 交 $\odot O$ 于点 $F$, 若 $A C=12, A E=3$, 则 $\odot O$ 的直径长为 $\qquad$ .




选项：
答案：15

## 
解析：【分析】

连接 $O F$, 首先证明 $A C=D F=12$, 设 $O A=O F=x$, 在 $R t \triangle O E F$ 中, 利用勾股定理构建方程即可解决问题.

本题考查勾股定理, 垂径定理, 圆心角, 弧, 弦之间的关系等知识, 解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

## 【解答】

解: 如图, 连接 $O F$.



$\because D E \perp A B$,

$\therefore D E=E F, \overparen{A D}=\overparen{A F}$

$\because$ 点 $D$ 是弧 $A C$ 的中点,

$\therefore \overparen{A D}=\overparen{C D}$,

$\therefore \overparen{A C}=\overparen{D F}$,

$\therefore A C=D F=12$,

$\therefore E F=\frac{1}{2} D F=6$, 设 $O A=O F=x$,
在 $R t \triangle O E F$ 中, 则有 $x^{2}=6^{2}+(x-3)^{2}$, 解得 $x=\frac{15}{2}$,

$\therefore A B=2 x=15$,

故答案是: 15 .
题目（九年级 · 度量几何学）：点 $A 、 B 、 C$ 是 $\odot O$ 上不同的三点, 已知 $\angle A O B+\angle A C B=210^{\circ}$, 则 $\angle A O B=$ $\qquad$度.

选项：
答案：140或60


解析：解：分两种情况:

当点 $C$ 在优弧 $\overparen{A C B}$ 上时, 如图:



$\because \angle A C B=\frac{1}{2} \angle A O B, \angle A O B+\angle A C B=210^{\circ}$,

$\therefore \frac{3}{2} \angle A O B=210^{\circ}$,

$\therefore \angle A O B=140^{\circ}$;

当点 $C$ 在劣弧 $\overparen{A B}$ 上时, 如图:



$\because \angle 1=2 \angle A C B, \angle 1+\angle A O B=360^{\circ}$,

$\therefore 2 \angle A C B+\angle A O B=360^{\circ}$,

$\because \angle A O B+\angle A C B=210^{\circ}$,

$\therefore \angle A C B=150^{\circ}$,

$\therefore \angle A O B=210^{\circ}-\angle A C B=60^{\circ}$;
综上所述: $\angle A O B$ 的度数为 $140^{\circ}$ 或 $60^{\circ}$,

故答案为: 140 或 60 .

分两种情况: 当点 $C$ 在优弧 $\overparen{A C B}$ 上时, 当点 $C$ 在劣弧 $\overparen{A B}$ 上时, 然后分别进行计算即可解答.

本题考查了圆周角定理，分两种情况讨论是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $\triangle A B C$ 是 $\odot O$ 的内接三角形. 若 $\angle A B C=45^{\circ}, A C=\sqrt{2}$, 则 $\odot O$ 的半径是 $\qquad$ .



##
选项：
答案： 1

## 
解析：【分析】

本题考查了三角形的外接圆与外心, 圆周角定理, 根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

连接 $A O$ 并延长交 $\odot O$ 于点 $D$, 连接 $C D$, 根据直径所对的圆周角是直角可得 $\angle A C D=90^{\circ}$, 再利用同弧所对的圆周角相等可得 $\angle A D C=45^{\circ}$, 然后在 $R t \triangle A C D$ 中, 利用勾股定理求出 $A D$ 的长, 从而求出 $\odot O$
的半径, 即可解答.

## 【解答】

解: 连接 $A O$ 并延长交 $\odot O$ 于点 $D$, 连接 $C D$,



$\because A D$ 是 $\odot O$ 的直径,

$\therefore \angle A C D=90^{\circ}$,

$\because \angle A B C=45^{\circ}$,

$\therefore \angle A D C=\angle A B C=45^{\circ}$,

即 $\angle C A D=\angle A D C=45^{\circ}$

$\therefore A D=2$,

$\therefore \odot O$ 的半径是1,

故答案为: 1 .
题目（九年级 · 度量几何学）：若四边形 $A B C D$ 是圆内接四边形, 若它的内角 $\angle A: \angle C=2: 3$, 则 $\angle A=$ $\qquad$ .

选项：
答案： $72^{\circ}$


解析：解: $\because$ 四边形 $A B C D$ 是圆内接四边形,

$\therefore \angle A+\angle C=180^{\circ}$,

$\because \angle A: \angle C=2: 3$,

$\therefore \angle C=\frac{3}{2} \angle A$,

$\therefore \angle A+\frac{3}{2} \angle A=180^{\circ}$,

解得: $\angle A=72^{\circ}$.

故答案为: $72^{\circ}$

根据圆内接四边形的性质可得 $\angle A+\angle C=180^{\circ}$, 再由 $\angle A: \angle C=2: 3$, 即可求解.

本题考查了圆内接四边形的性质, 解题的关键是根据圆内接四边形对角互补的性质列方程.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 四边形 $A B C D$ 是 $\odot O$ 的内接四边形, 连结 $O B, O D$, 若 $\angle B O D=108^{\circ}$, 则 $\angle B C D=$ $\qquad$度.


选项：
答案： 126


解析：解: $\because \angle B O D=108^{\circ}$,

$\therefore \angle A=54^{\circ}$.

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是圆内接四边形,

$\therefore \angle B C D=180^{\circ}-54^{\circ}=126^{\circ}$.

故答案为: 126 .

先根据圆周角定理求出 $\angle A$ 的度数, 再由圆内接四边形的性质即可得出结论.

本题考查的是圆内接四边形的性质, 熟知圆内接四边形对角互补是解答此题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在正六边形 $A B C D E F$ 中, $A C=2 \sqrt{3}$, 则它的边长是 $\qquad$




选项：
答案：2


解析：解: 如图, 过点 $B$ 作 $B G \perp A C$ 于点 $G$.



正六边形 $A B C D E F$ 中, 每个内角为 $(6-2) \times 180^{\circ} \div 6=120^{\circ}$,

$\therefore \angle A B C=120^{\circ}, \angle B A C=\angle B C A=30^{\circ}$,

$\therefore A G=\frac{1}{2} A C=\sqrt{3}$,

$\therefore G B=1, A B=2$,

即边长为 2 .

故答案为 2 .

过点 $B$ 作 $B G \perp A C$ 于点 $G$., 正六边形 $A B C D E F$ 中, 每个内角为 $(6-2) \times 180^{\circ} \div 6=120^{\circ}$, 即 $\angle A B C=$ $120^{\circ}, \angle B A C=\angle B C A=30^{\circ}$, 于是 $A G=\frac{1}{2} A C=\sqrt{3}, A B=2$,

本题考查了正多边形, 熟练运用正多边形的内角和公式是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在正五边形 $A B C D E$ 中, $D M$ 是边 $C D$ 的延长线, 连接 $B D$, 则 $\angle B D M$的度数是 $\qquad$




选项：
答案： $144^{\circ}$

解析：解: 因为五边形 $A B C D E$ 是正五边形,

所以 $\angle C=\frac{(5-2) \cdot 180^{\circ}}{5}=108^{\circ}, B C=D C$,

所以 $\angle B D C=\frac{180^{\circ}-108^{\circ}}{2}=36^{\circ}$,

所以 $\angle B D M=180^{\circ}-36^{\circ}=144^{\circ}$,

故答案为: $144^{\circ}$.

根据正五边形的性质和内角和为 $540^{\circ}$, 求得每个内角的度数为 $108^{\circ}$, 再结合等腰三角形和邻补角的定义即可解答.

本题考查了正五边形. 解题的关键是掌握正五边形的性质: 各边相等, 各角相等, 内角和为 $540^{\circ}$. 熟记定义是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 正方形 $A B C D$ 内接于 $\odot O$, 线段 $M N$ 在对角线 $B D$ 上运动, 若 $\odot O$ 的周长为 $2 \pi, M N=1$, 则 $\triangle A M N$ 周长的最小值是 $\qquad$ .


选项：
答案： $\sqrt{5}+1$


解析：解： $\because \odot O$ 的周长为 $2 \pi$, 则圆的半径为 1 , 则 $B D=2=A C$,

由正方形的性质, 知点 $C$ 是点 $A$ 关于 $B D$ 的对称点,

过点 $C$ 作 $C A^{\prime} / / B D$, 且使 $C A^{\prime}=1$,

连接 $A A^{\prime}$ 交 $B D$ 于点 $M$, 取 $N M=1$, 连接 $A N 、 C N$, 则点 $M 、 N$ 为所求点,

理由: $\because A^{\prime} C / / M N$, 且 $A^{\prime} C=M N$,

$\therefore$ 四边形 $N C A^{\prime} M$ 为平行四边形,

$\therefore A^{\prime} M=C N=A N$,

$\therefore \triangle A M N$ 的周长 $=A M+A N+M N=A A^{\prime}+1$ 为最小,

$\because A^{\prime} A=\sqrt{1+2^{2}}=\sqrt{5}$,



$\therefore \triangle A M N$ 的周长的最小值为 $\sqrt{5}+1$,

故答案为: $\sqrt{5}+1$.

由正方形的性质, 知点 $C$ 是点 $A$ 关于 $B D$ 的对称点, 过点 $C$ 作 $C A^{\prime} / / B D$, 且使 $C A^{\prime}=1$, 连接 $A A^{\prime}$ 交 $B D$ 于点 $M$, 取 $N M=1$, 连接 $A N 、 C N$, 则点 $M 、 N$ 为所求点, 进而求解.

本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点 $M 、 N$ 的位置是本题解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $A B C D$ 是围墙, $A B / / C D, \angle A B C=120^{\circ}$, 有一根 $6 m$ 长的绳子, 一端拴在围墙一角的柱子 $B$处, 另一端 $E$ 处拴着一只羊, 这只羊活动区域的最大面积为




选项：
答案： $\frac{38 \pi}{3} m^{2}$


解析：如图, 扇形 $F B G$ 和扇形 $G C H$ 为羊活动的区域. $S_{\text {扈形 } F B G}=\frac{120 \pi \times 6^{2}}{360}=12 \pi\left(\mathrm{m}^{2}\right)$, $S_{\text {屚形 } G C H}=\frac{60 \pi \times 2^{2}}{360}=\frac{2}{3} \pi\left(\mathrm{m}^{2}\right), \therefore$ 这只羊活动区域的最大面积为 $12 \pi+\frac{2}{3} \pi=\frac{38 \pi}{3}\left(\mathrm{~m}^{2}\right)$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 将线段 $A B$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $30^{\circ}$, 得到线段 $A C$. 若 $A B=12$, 则点 $B$ 经过的路径 $\overparen{B C}$ 长度为 $\qquad$ . (结果保留 $\pi$ )




选项：
答案： $2 \pi$

## 
解析：【分析】

利用弧长公式计算即可.

本题考查弧长公式, 旋转变换等知识, 解题的关键是记住弧长 $l=\frac{n \pi r}{180}$.

## 【解答】

解: $\overparen{B C}$ 长度 $=\frac{30 \pi \cdot 12}{180}=2 \pi$,

故答案为: $2 \pi$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 正六边形 $A B C D E F$ 的边长为 2 , 以顶点 $A$ 为圆心, $A B$ 的长为半径画圆, 则图中阴影部分的面积为 $\qquad$ .




选项：
答案： $\frac{4 \pi}{3}$


解析：解：由题意, $\angle F A B=120^{\circ}, A F=A B=2$,

$\therefore S_{\text {阴 }}=\frac{120 \pi \cdot 2^{2}}{360}=\frac{4 \pi}{3}$,

故答案为: $\frac{4 \pi}{3}$.

利用扇形的面积公式求解即可.

本题考查正多边形与圆, 扇形的面积等知识, 解题的关键是记住扇形的面积 $S=\frac{n \pi r^{2}}{360}$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 边长为 12 的正方形 $A B C D$ 的对角线交于点 $O$, 以 $O C$ 为半径的扇形的圆心角 $\angle F O H=90^{\circ}$, 则图中阴影部分面积是 $\qquad$ .



##
选项：
答案： $18 \pi-4$


解析：解: 如图, $\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形,

$\therefore A C \perp B D, O A=O C=O B=O D, \angle O B E=\angle O C G=45^{\circ}, S_{\triangle O B C}=\frac{1}{4} S_{\text {四边形 } A B C D}=\frac{1}{4} \times 12 \times 12=36$,
$\because \angle B O C=\angle E O G=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B O E=\angle C O G$,

在 $\triangle B O E$ 和 $\triangle C O G$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}\angle B O E=\angle C O G \\ O B=O C \\ \angle O B E=\angle O C G\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle O B E \cong \triangle O C G(S A S)$,

$\therefore S_{\triangle O B E}=S_{\triangle O C G}$,

$\therefore S_{\text {四边形 } O E C G}=S_{\triangle O B C}=36$,

$\because \triangle O B C$ 是等腰直角三角形, $B C=12$,

$\therefore O B=O C=6 \sqrt{2}$,

$$
\begin{aligned}
& \therefore S_{\text {阴 }}=S_{\text {扇形 } O F H}-S_{\text {四边形 } O E C G} \\
& =\frac{90 \pi \cdot(6 \sqrt{2})^{2}}{360}-4
\end{aligned}
$$

$=18 \pi-4$,

故答案为: $18 \pi-4$.

证明 $\triangle O B E \cong \triangle O C G(S A S)$, 推出 $S_{\triangle O B E}=S_{\triangle O C G}$, 推出 $S_{\text {四边形 } O E C G}=S_{\triangle O B C}=4$, 再根据 $S_{\text {阴 }}=$

$S_{\text {扇形 } O F H}-S_{\text {四边形 } O E C G}$, 求解即可.

本题考查扇形的面积, 全等三角形的判定和性质, 正方形的性质等知识, 解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题, 属于中考常考题型.
题目（九年级 · 度量几何学）：若 $a, b, c, d$ 是成比例线段, 其中 $a=3 \mathrm{~cm}, c=6 \mathrm{~cm}, d=4 \mathrm{~cm}$, 则 $b$ 等于 $\qquad$ $\mathrm{cm}$.

选项：
答案： 2


解析：解：因为 $a, b, c, d$ 是成比例线段,

可得: $b=\frac{a d}{c}=\frac{3 \times 4}{6}=2 \mathrm{~cm}$,

故答案为: 2 .

由 $a 、 b 、 c 、 d$ 四条线段是成比例的线段, 根据成比例线段的定义计算即可.

此题考查了成比例线段的定义. 此题比较简单, 解题的关键是注意掌握比例线段的定义.
题目（九年级 · 度量几何学）：已知线段 $a=4$ 厘米, $b=3$ 厘米, 那么线段 $a$ 与 $b$ 的比例中项 $c=$ $\qquad$厘米.

选项：
答案： $2 \sqrt{3}$


解析：解: $\because$ 线段 $a$ 和 $b$ 的比例中项为 $c$,

$\therefore a: c=c: b$,

即4: $c=c: 3$,

$\therefore c=2 \sqrt{3}$ 或 $c=-2 \sqrt{3}$ (舍).

故答案为: $2 \sqrt{3}$.

根据比例中项的定义得到 $a: c=c: b$, 然后利用比例性质计算即可.

本题考查了比例线段: 对于四条线段 $a 、 b 、 c 、 d$, 如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等, 如 $a: b=c: d$ (即 $a d=b c$ ), 我们就说这四条线段是成比例线段, 简称比例线段. 判定四条线段是否成比例, 只要把四条线段按大小顺序排列好, 判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 若 $\triangle A D E \sim \triangle A C B$, 且 $\frac{A D}{A C}=\frac{2}{3}, D E=10$, 则 $B C=$ $\qquad$




选项：
答案：15

## 
解析：【分析】

本题考查相似三角形的性质, 解题的关键是熟练掌握基本知识, 属于中考基础题.

根据相似三角形的性质, 列出比例式即可解决问题.

## 【解答】

解: $\because \triangle A D E \backsim \triangle A C B$,

$\therefore \frac{D E}{B C}=\frac{A D}{A C}=\frac{2}{3}, \quad D E=10$,

$\therefore \frac{10}{B C}=\frac{2}{3}$,

$\therefore B C=15$,

故答案为 15 .
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $\triangle A B C$ 中, $A B=6, A C=4, \angle A=90^{\circ}, D$ 是 $A B$ 边的中点, 点 $E$在直线 $A C$ 上, 且 $\triangle A D E$ 与 $\triangle A B C$ 相似, 则 $C E=$ $\qquad$ .




选项：
答案：2或 0.5 或6或 8.5


解析：解: $\because A B=6, D$ 为 $A B$ 的中点,

$\therefore A D=3$,

有两种情况: (1)点 $E$ 在射线 $A C$ 上时,

有两种情况: 第一种情况: 如图1,



图1

此时 $\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}$,

所以 $\frac{3}{6}=\frac{A E}{4}$,

解得: $A E=2$,

所以 $C E=A C-A E=4-2=2$;

第二种情况: 如图2,



图2

此时 $\frac{A D}{A C}=\frac{A E}{A B}$,

所以 $\frac{3}{4}=\frac{A E}{6}$,

解得: $A E=4.5$,

所以 $C E=A E-A C=4.5-4=0.5$;

(2)当 $E$ 在 $A C$ 的反向延长线时,

有两种情况:

第一种情况: 如图3,



图3

此时 $A E=2$;

所以 $C E=A C+A E=4+2=6$;
第二种情况: 如图 4,



此时 $A E=4.5$,

所以 $C E=A+A E=4+4.5=8.5$;

故答案为: 2或0.5或6或8.5.

求出 $A D$ 的长, 先画出符合题意的四种图形, 根据相似三角形的性质得出比例式, 求出 $A E$ 的值, 再求出 $C E$ 即可.

本题考查了相似三角形的性质, 能求出符合的所有情况是解此题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 四边形EFGH是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 内接正方形, $B C=16 \mathrm{~cm}$, 高 $A D=8 \mathrm{~cm}$, 则内接正方形边长 $E F=$ $\qquad$ $\mathrm{cm}$.




选项：
答案： $\frac{16}{3}$

## 
解析：【分析】

此题考查了相似三角形的判定与性质, 正方形的性质, 设正方形 $E F G H$ 的边长为 $x$, 根据已知条件可证得 $\triangle A H G \sim \triangle A B C$, 由相似三角形的性质可得到 $\frac{G H}{B C}=\frac{A I}{A D}$, 从而得到关于 $x$ 的方程, 解方程求出 $x$ 的值即可.

## 【解答】

解: 设正方形的边长等于 $x \mathrm{~cm}$,

$\because$ 四边形 $E F G H$ 是正方形,

$\therefore G H / / B C$,

$\therefore \triangle A G H \sim \triangle A C B$,

$\therefore \frac{G H}{B C}=\frac{A I}{A D}$,

$\therefore \frac{x}{16}=\frac{8-x}{8}$,

解得: $x=\frac{16}{3}$.

即 $E F=\frac{16}{3} \mathrm{~cm}$.

故答案为 $\frac{16}{3}$.
题目（九年级 · 度量几何学）：已知: 如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=15 m, A C=12 m, A D$ 是 $\angle B A C$ 的外角平分线, $D E / / A B$ 交 $A C$ 的延长线于点 $E$, 那么 $C E=$ $\qquad$ $m$.




选项：
答案： 48


解析：解： $\because D E / / A B$

$\therefore \angle B A C=\angle E, \angle B=\angle E D C$

$\therefore \triangle A B C \backsim \triangle E D C$

$\therefore A B: D E=A C: C E$

$\because A D$ 是 $\angle B A C$ 的外角平分线, $D E / / A B$

$$
\begin{aligned}
& \therefore \angle E D A=\angle E A D \\
& \therefore D E=A E=A C+C E
\end{aligned}
$$

$\therefore A B:(A C+C E)=A C: C E$

即15: $(12+C E)=12: C E$

$\therefore C E=48 \mathrm{~m}$.

故答案为: 48 .

根据平行线的性质可推得 $\triangle A B C \sim \triangle E D C$, 再根据相似三角形的对应边成比例可得出一关系式 $A B$ : $D E=A C: C E$, 由外角平分线可推出 $D E=A E$, 则可求解.

本题考查了平行线的性质及相似三角形的判定及性质, 注意相似三角形中对应边成比例.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 小明同学用自制的直角三角形纸板 $D E F$ 测量树的高度 $A B$, 他调整自己的位置, 设法使斜边 $D F$ 保持水平, 并且边 $D E$ 与点 $B$ 在同一直线上, 已知纸板的两条直角边 $D E=60 \mathrm{~cm}, E F=30 \mathrm{~cm}$, 测得边 $D F$ 离地面的高度 $A C=1.5 \mathrm{~m}, C D=10 \mathrm{~m}$, 则树高 $A B$ 为 $\qquad$ m.




选项：
答案： 6.5

## 
解析：【分析】

本题考查了相似三角形的应用, 解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形的模型.

利用直角三角形 $D E F$ 和直角三角形 $D C B$ 相似求得 $B C$ 的长后加上 $A C$ 的长即可求得树高 $A B$.

## 【解答】

解: $\because \angle D E F=\angle B C D=90^{\circ}, \angle B D C=\angle E D F$

$\therefore \triangle D E F \sim \triangle D C B$

$$
\therefore \frac{B C}{E F}=\frac{D C}{D E}
$$

$\because D E=60 \mathrm{~cm}=0.6 \mathrm{~m}, E F=30 \mathrm{~cm}=0.3 \mathrm{~m}, C D=10 \mathrm{~m}$,

$$
\therefore \frac{B C}{0.3}=\frac{10}{0.6}
$$

$\therefore B C=5$ 米,

$\because A C=1.5 m$,

$\therefore A B=A C+B C=1.5+5=6.5$ 米

$\therefore$ 树高为 6.5 米.
题目（九年级 · 度量几何学）：《九章算术》中记载着这样的一个问题: “今有邑方, 不知大小,各中开门. 出北门二十步有木, 出南门一十四步, 折而西行一千七百七十五步见木, 问邑方几何? ”大意如下: 如图, $M 、 N$ 为正方形 $A B C D$ 一组对边的中点, $\triangle G E F$ 中, $G 、 M 、 N 、 E$ 四点共线, $\angle E=90^{\circ}$,


$F 、 A 、 G$ 三点共线, 且 $A D \perp G E, G M=20, N E=14, E F=1775$,
设正方形 $A B C D$ 的边长为 $x$, 请根据题意列方程, 并将方程整理成一元二次方程的一般形式: $\qquad$ .


选项：
答案： $x^{2}+34 x-71000=0$


解析：解：设正方形 $A B C D$ 的边长为 $x$,

$\because M 、 N$ 为正方形 $A B C D$ 一组对边的中点,

$\therefore A M=\frac{1}{2} x$,

$\because G M=20, N E=14$,

$\therefore G E=x+34$,

$\because A D \perp G E$,

$\therefore A M / / E F$,

$\therefore R t \triangle G A M \sim R t \triangle G F E$,

$\therefore \frac{A M}{F E}=\frac{G M}{G E}$,

即 $\frac{1}{2} x$ 1775 $=\frac{20}{x+34}$,

整理得 $x^{2}+34 x-71000=0$.

故答案为: $x^{2}+34 x-71000=0$.

根据题意, 可知 $R t \triangle G A M \sim R t \triangle G F E$, 根据相似三角形的对应边成比例即可得到结论.
本题主要考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比, 列出方程.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 利用标杆 $B E$ 测量建筑物 $C D$ 的高度. 已知标杆 $B E$ 高1.2m, 测得 $A B=1.6 m, B C=8.4 m$, 点 $A, E, D$ 在同一直线上, 则建筑物 $C D$ 的高度是 $\qquad$米.



##
选项：
答案： 7.5


解析：解: $\because E B / / C D$,

$\therefore \triangle A B E \backsim \triangle A C D$,

$\therefore \frac{A B}{A C}=\frac{B E}{C D}$, 即 $\frac{1.6}{1.6+8.4}=\frac{1.2}{C D}$,

$\therefore C D=7.5 m$,

故答案为: 7.5 .

先证明 $\triangle A B E \sim \triangle A C D$, 则利用相似三角形的性质得 $\frac{1.6}{1.6+8.4}=\frac{1.2}{C D}$, 然后利用比例性质求出 $C D$ 即可.

本题考查了相似三角形的应用: 借助标杆或直尺测量物体的高度. 利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高(长)作为三角形的边, 利用视点和盲区的知识构建相似三角形, 用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度.
题目（九年级 · 度量几何学）：两个相似多边形的周长比是3: 4 , 其中较小的多边形的面积为 $36 \mathrm{~cm}^{2}$, 则较大的多边形的面积为 $\qquad$ .

选项：
答案： $64 \mathrm{~cm}^{2}$


解析：解: $\because$ 两个相似多边形的周长比是3: 4,

$\therefore$ 两个相似多边形的相似比是 3: 4 ,

$\therefore$ 两个相似多边形的面积比是 $9: 16$,

$\because$ 较小多边形的面积为 $36 \mathrm{~cm}^{2}$,

$\therefore$ 较大多边形的面积为 $64 \mathrm{~cm}^{2}$,

故答案为: $64 \mathrm{~cm}^{2}$.

根据相似多边形周长之比等于相似比, 面积之比等于相似比的平方求出面积比, 计算即可.

本题考查相似多边形的性质. 相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比, 而面积之比等于相似比的平方.

##
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在矩形 $A B C D$ 中, $A B=12, B C=9$, 点 $E, G$ 分别为边 $A B, A D$ 上的点, 若矩形 $A E F G$ 与矩形 $A B C D$ 相似, 且相似比为 $\frac{2}{3}$, 连接 $C F$, 则 $C F=$ $\qquad$




选项：
答案：5或 $\sqrt{37}$


解析：解: 延长 $G F$ 交 $B C$ 于 $M$,

$\because$ 四边形 $A E F G$ 和 $A B C D$ 是矩形,

$\therefore G F / / A E$,


$\because A B \perp B C$,

$\therefore G M \perp B C$,

分两种情况:

(1)当 $A D$ 与 $A G$ 对应时,

$\because$ 相似比为 $\frac{2}{3}$,

$\therefore \frac{A G}{A D}=\frac{A E}{A B}=\frac{2}{3}$,

$\because A B=12, A D=B C=9$,

$\therefore E F=A G=B M=6, G F=A E=8$,

$\therefore F M=12-8=4, C M=9-6=3$,



图2

在 $R t \triangle C M F$ 中, 由勾股定理得: $C F=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$,

(2)当 $A D$ 与 $A E$ 对应时,

$\because$ 相似比为 $\frac{2}{3}$,

$\therefore \frac{A G}{A B}=\frac{A E}{A D}=\frac{2}{3}$,

$\therefore \frac{A G}{12}=\frac{A E}{9}=\frac{2}{3}$,

$\therefore A G=8, A E=6$,

$\therefore F M=12-6=6, C M=9-8=1$,

在Rt $\triangle C M F$ 中, 由勾股定理得: $C F=\sqrt{6^{2}+1^{2}}=\sqrt{37}$,

故答案为: 5 或 $\sqrt{37}$.

若矩形 $A E F G$ 与矩形 $A B C D$ 相似, 没确定哪两条边相似, 所以分两种情况:

(1)当 $A D$ 与 $A G$ 对应时, 先根据相似比求 $A G$ 和 $A E$ 的长, 利用线段的差求 $F M$ 和 $C M$ 的长, 根据勾股定理求 $C F$ 的长;

(2)当 $A D$ 与 $A E$ 对应时, 同理可得 $C F$ 的长.

本题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边, 以及正确解方程是解决本题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $E, F$ 分别为矩形 $A B C D$ 的边 $A D, B C$ 的中点, 且矩形 $A B C D$ 与矩形 $E A B F$ 相似, $A B=1$, 则 $B C$的长为 $\qquad$ .


选项：
答案： $\sqrt{2}$

## 
解析：【分析】

本题考查的是相似多边形的性质, 掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键.

根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可.

## 【解答】

解: : 矩形 $A B C D$ 与矩形 $E A B F$ 相似,

$\therefore \frac{A E}{A B}=\frac{A B}{A D}$, 即 $\frac{\frac{1}{2} A D}{1}=\frac{1}{A D}$,

解得, $A D=\sqrt{2}$,

$\therefore B C=A D=\sqrt{2}$,

故答案为: $\sqrt{2}$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图所示, $\triangle A O B$ 三个顶点的坐标分别为 $A(5,0), O(0,0), B(3,6)$, 以点 $O$ 为位似中心, 相似比为 $\frac{2}{3}$, 将 $\triangle A O B$ 缩小, 则点 $B$ 的对应点 $B^{\prime}$ 的坐标是 $\qquad$




选项：
答案： $(2,4)$ 或 $(-2,-4)$


解析：略
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $\triangle A O B$ 三个顶点的坐标分别为 $A(5,0), O(0,0), B(3,6)$, 以点 $O$ 为位似中心, 将 $\triangle A O B$ 缩小为原来的 $\frac{2}{3}$, 则点 $B$ 的对应点 $B^{\prime}$ 的坐标是 $\qquad$




选项：
答案： $(2,4)$ 或 $(-2,-4)$


解析：解: $\because \triangle O A B \sim \triangle O A^{\prime} B^{\prime}$, 相似比为 $3: 2, B(3,6)$,

$\therefore B^{\prime}(2,4)$, 根据对称性可知, $\triangle O A^{\prime \prime} B^{\prime \prime}$ 在第三象限时, $B^{\prime \prime}(-2,-4)$,

$\therefore$ 满足条件的点 $B^{\prime}$ 的坐标为 $(2,4)$ 或 $(-2,-4)$.

故答案为: $(2,4)$ 或 $(-2,-4)$.

利用相似三角形的性质求解即可.

本题考查位似变换,相似三角形的性质等知识, 解题的关键是理解题意, 灵活运用所学知识解决问题,

注意一题多解.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\odot O$ 中, 弦 $A B=1$, 点 $C$ 在 $A B$ 上移动, 连接 $O C$, 过点 $C$ 作 $C D \perp O C$ 交 $\odot O$ 于点 $D$, 则 $C D$ 的最大值为 $\qquad$




选项：
答案： $\frac{1}{2}$

## 
解析：【分析】

本题考查了垂线段最短, 勾股定理和垂径定理等知识点, 能求出点 $C$ 的位置是解此题的关键.

连接 $O D$, 如图, 利用勾股定理得到 $C D$, 利用垂线段最短得到当 $O C \perp A B$ 时, $O C$ 最小, 根据勾股定理求出 $O C$, 代入求出即可.

## 【解答】

解: 连接 $O D$, 如图,



$\because C D \perp O C$,

$\therefore \angle D C O=90^{\circ}$,

$\therefore C D=\sqrt{O D^{2}-O C^{2}}=\sqrt{r^{2}-O C^{2}}$,

当 $O C$ 的值最小时, $C D$ 的值最大,

而 $O C \perp A B$ 时, $O C$ 最小, 此时 $O C=\sqrt{r^{2}-\left(\frac{1}{2} A B\right)^{2}}$,

$\therefore C D$ 的最大值为 $\sqrt{r^{2}-\left(r^{2}-\frac{1}{4} A B^{2}\right)}=\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} \times l=\frac{1}{2}$,

故答案为: $\frac{1}{2}$.

##