题目（九年级 · 度量几何学）：在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}$, 经过点 $\mathrm{B}$ 的直线 1 ( 1 不与直线 $A B$ 重合) 与直线 $B C$ 的夹角等于 $\angle A B C$, 分别过点 $\mathrm{C} 、 \mathrm{~A}$ 作直线 $\mathrm{l}$ 的垂线, 垂足分别为点 $\mathrm{D} 、 \mathrm{E}$.

(1) 问题发现:

(1)若 $\angle A B C=30^{\circ}$, 如图(1), 则 $\frac{C D}{A E}=$ $\qquad$ ; (2)若 $\angle A B C=45^{\circ}$, 如图(2), 则 $\frac{C D}{A E}=$ $\qquad$ ;

（2）探究: 当 $0^{\circ}<\angle A B C<90^{\circ}$ 时， $\frac{C D}{A E}$ 的值有无变化？请仅就图(3)的情形给出证明;

（3）问题: 若直线 $C E 、 A B$ 交于点 $\mathrm{F}, \frac{C F}{E F}=\frac{5}{6}, C D=4$, 请直接写出线段 $B D$ 的长.



(1)



图(2)



图(3)

##
选项：
答案： (1) (1) $\frac{1}{2}$, (2) $\frac{1}{2}$; (2) 没有变化, 见解析; (3) 2 或 8

【详解】解: (1) (1) $\frac{1}{2}$; (2) $\frac{1}{2}$;

<ImageHere>

图(1)

【解法提示】(1)如解图(1), 延长 $A C$ 与直线 $I$ 交于点 $\mathrm{G}$.

依题意, 可得 $\angle 1=\angle 2=30^{\circ}$,

$\because \angle A C B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A G B=\angle B A G=60^{\circ}$,

$\therefore B A=B G . \quad \therefore C A=C G$.

$\because A E \perp l, C D \perp l$,

$\therefore C D / / A E$.

$\therefore \triangle G C D \sim \triangle G A E$,

$\therefore \frac{C D}{A E}=\frac{G C}{G A}=\frac{1}{2}$;

(2) 当 $\angle A B C=45^{\circ}$ 时, 则 $\angle C B D=45^{\circ}$,

设 $C D=x$, 则 $C E=\sqrt{2} x$,

在等腰直角 $\triangle A C E$ 中, $A E=2 x$,

$\therefore \frac{C D}{A E}=\frac{x}{2 x}=\frac{1}{2}$.

(2) 没有变化, $\frac{C D}{A E}=\frac{1}{2}$.

证明如下: 如解图(2), 延长 $A C$ 与直线 $l$ 交于点 $\mathrm{G}$.

<ImageHere>

图(2)

依题意, 可得 $\angle A B C=\angle C B G$.

$\because \angle A C B=90^{\circ}$,
$\therefore \angle A G B=\angle B A G$.

$\therefore B A=B G . \quad \therefore C A=C G$.

$\because A E \perp l, C D \perp l$,

$\therefore C D / / A E$.

$\therefore \triangle G C D \sim \triangle G A E$,

$\therefore \frac{C D}{A E}=\frac{G C}{G A}=\frac{1}{2}$.

(3) $B D$ 的长为 2 或 8 .

<ImageHere>

图(3)

【解法提示】当点 $\mathrm{F}$ 在线段 $A B$ 上时, 如解图(3),过点 $\mathrm{C}$ 作 $C G / / /$ 交 $A E$ 于点 $\mathrm{H}$, 交 $A B$ 于点 $\mathrm{G}$.

$\therefore \angle 1=\angle H C B$,

$\because \angle 1=\angle 2, \quad \therefore \angle 2=\angle H C B, \quad \therefore C G=B G$,

$\because \angle A C B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle 4+\angle 2=\angle H C B+\angle 3=90^{\circ}$,

$\therefore \angle 3=\angle 4$.

$\therefore C G=A G=B G$.

$\because C G / / l$,

$\therefore \triangle C F G \sim \triangle E F B$,

$\therefore \frac{C F}{E F}=\frac{C G}{B E}=\frac{5}{6}$,

设 $C G=5 x, B E=6 x$, 则 $A B=10 x$,

$\therefore$ 在 $\triangle A E B$ 中, $\angle A E B=90^{\circ}, A E=8 x$,

由 (2) 得, $A E=2 C D$,

$\because C D=4, \quad \therefore A E=8, \quad \therefore x=1, \quad \therefore A B=10, \quad B E=6, C G=5$.

$\because G H / / l, \quad \therefore \triangle A G H \sim \triangle A B E . \therefore \frac{H G}{B E}=\frac{A H}{A E}=\frac{1}{2}$,

$\therefore H G=3 . \quad \therefore C H=C G+H G=8$,

$\because C G / / /, C D / / A E, \therefore$ 四边形 $C D E H$ 为平行四边形,

$\therefore D E=C H=8$,

<ImageHere>

图(4)

第 22 题解图(4)

$\therefore B D=D E-B E=2$;

当点 $\mathrm{F}$ 在线段 $B A$ 的延长线上时, 如解图(4), 过点 $\mathrm{C}$ 作 $C G / / 1$ 交 $A E$ 于点 $\mathrm{H}$, 交 $A B$ 于点 $\mathrm{G}$,

同理可得 $C G=5, B E=6, H G=3$,

$\therefore D E=C H=C G-H G=2$,

$\therefore B D=D E+B E=8$, 综上可得 $B D=2$ 或 8

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解析：) (1) $\frac{1}{2}$, (2) $\frac{1}{2}$; (2) 没有变化, 见解析; (3) 2 或 8

【详解】解: (1) (1) $\frac{1}{2}$; (2) $\frac{1}{2}$;



图(1)

【解法提示】(1)如解图(1), 延长 $A C$ 与直线 $I$ 交于点 $\mathrm{G}$.

依题意, 可得 $\angle 1=\angle 2=30^{\circ}$,

$\because \angle A C B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A G B=\angle B A G=60^{\circ}$,

$\therefore B A=B G . \quad \therefore C A=C G$.

$\because A E \perp l, C D \perp l$,

$\therefore C D / / A E$.

$\therefore \triangle G C D \sim \triangle G A E$,

$\therefore \frac{C D}{A E}=\frac{G C}{G A}=\frac{1}{2}$;

(2) 当 $\angle A B C=45^{\circ}$ 时, 则 $\angle C B D=45^{\circ}$,

设 $C D=x$, 则 $C E=\sqrt{2} x$,

在等腰直角 $\triangle A C E$ 中, $A E=2 x$,

$\therefore \frac{C D}{A E}=\frac{x}{2 x}=\frac{1}{2}$.

(2) 没有变化, $\frac{C D}{A E}=\frac{1}{2}$.

证明如下: 如解图(2), 延长 $A C$ 与直线 $l$ 交于点 $\mathrm{G}$.



图(2)

依题意, 可得 $\angle A B C=\angle C B G$.

$\because \angle A C B=90^{\circ}$,
$\therefore \angle A G B=\angle B A G$.

$\therefore B A=B G . \quad \therefore C A=C G$.

$\because A E \perp l, C D \perp l$,

$\therefore C D / / A E$.

$\therefore \triangle G C D \sim \triangle G A E$,

$\therefore \frac{C D}{A E}=\frac{G C}{G A}=\frac{1}{2}$.

(3) $B D$ 的长为 2 或 8 .



图(3)

【解法提示】当点 $\mathrm{F}$ 在线段 $A B$ 上时, 如解图(3),过点 $\mathrm{C}$ 作 $C G / / /$ 交 $A E$ 于点 $\mathrm{H}$, 交 $A B$ 于点 $\mathrm{G}$.

$\therefore \angle 1=\angle H C B$,

$\because \angle 1=\angle 2, \quad \therefore \angle 2=\angle H C B, \quad \therefore C G=B G$,

$\because \angle A C B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle 4+\angle 2=\angle H C B+\angle 3=90^{\circ}$,

$\therefore \angle 3=\angle 4$.

$\therefore C G=A G=B G$.

$\because C G / / l$,

$\therefore \triangle C F G \sim \triangle E F B$,

$\therefore \frac{C F}{E F}=\frac{C G}{B E}=\frac{5}{6}$,

设 $C G=5 x, B E=6 x$, 则 $A B=10 x$,

$\therefore$ 在 $\triangle A E B$ 中, $\angle A E B=90^{\circ}, A E=8 x$,

由 (2) 得, $A E=2 C D$,

$\because C D=4, \quad \therefore A E=8, \quad \therefore x=1, \quad \therefore A B=10, \quad B E=6, C G=5$.

$\because G H / / l, \quad \therefore \triangle A G H \sim \triangle A B E . \therefore \frac{H G}{B E}=\frac{A H}{A E}=\frac{1}{2}$,

$\therefore H G=3 . \quad \therefore C H=C G+H G=8$,

$\because C G / / /, C D / / A E, \therefore$ 四边形 $C D E H$ 为平行四边形,

$\therefore D E=C H=8$,



图(4)

第 22 题解图(4)

$\therefore B D=D E-B E=2$;

当点 $\mathrm{F}$ 在线段 $B A$ 的延长线上时, 如解图(4), 过点 $\mathrm{C}$ 作 $C G / / 1$ 交 $A E$ 于点 $\mathrm{H}$, 交 $A B$ 于点 $\mathrm{G}$,

同理可得 $C G=5, B E=6, H G=3$,

$\therefore D E=C H=C G-H G=2$,

$\therefore B D=D E+B E=8$, 综上可得 $B D=2$ 或 8

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