eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高二 · 解析几何）：$O$ 是平面上一定点, $A, B, C$ 是平面上不共线的三个点, 动点 $P$ 满足

$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+\mu\left(\frac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|}+\frac{\overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}|}\right), \mu \in[0,+\infty)$, 则 $P$ 点的轨迹一定经过 $\triangle A B C$ 的

$(\quad)$
选项：
A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心
答案：B
解析：$\because \frac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|} 、 \frac{\overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}|}$ 分别表示向量 $\overrightarrow{A B} 、 \overrightarrow{A C}$ 方向上的单位向量,

$: \frac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|}+\frac{\overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}|}$ 的方向与 $\angle B A C$ 的角平分线一致,

又 $\because \overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+\mu\left(\frac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|}+\frac{\overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}|}\right), \therefore \overrightarrow{O P}-\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{A P}=\mu\left(\frac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|}+\frac{\overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}|}\right)$,

向量 $\overrightarrow{A P}$ 的方向与 $\angle B A C$ 的角平分线一致,

$\therefore P$ 点的轨迹一定经过 $\triangle A B C$ 的内心, 故选 $\mathrm{B}$.
题目（高二 · 解析几何）：设向量 $\boldsymbol{a}=(1,4), \boldsymbol{b}=(2, x), \boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$. 若 $\boldsymbol{a} / \boldsymbol{c}$, 则实数 $x$ 的值是 ( )
选项：
A. -4 B. 2
C. 4
D. 8
答案：D
解析：因为 $\boldsymbol{a}=(1,4), \boldsymbol{b}=(2, x)$ ，所以 $\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(3,4+x)$,

因为 $\boldsymbol{a} / \boldsymbol{c}$, 所以 $4+x=12$, 得 $x=8$, 故选 D.
题目（高二 · 解析几何）：已知 $M, P, Q$ 三点不共线, 且点 $O$ 满足 $8 \overrightarrow{O M}-3 \overrightarrow{O P}-4 \overrightarrow{O Q}=0$, 则下列结论正确的是 ( )
选项：
A. $\overrightarrow{O M}=-\overrightarrow{M P}-\overrightarrow{M Q}$
B. $\overrightarrow{O M}=-3 \overrightarrow{M P}-\overrightarrow{M Q}$
C. $\overrightarrow{O M}=-\overrightarrow{M P}-4 \overrightarrow{M Q}$
D. $\overrightarrow{O M}=3 \overrightarrow{M P}+4 \overrightarrow{M Q}$
答案：D
解析：由 $8 \overrightarrow{O M}-3 \overrightarrow{O P}-4 \overrightarrow{O Q}=0$ ，

得 $\overrightarrow{O M}+3(\overrightarrow{O M}-\overrightarrow{O P})+4(\overrightarrow{O M}-\overrightarrow{O Q})=0$, 则 $\overrightarrow{O M}+3 \overrightarrow{P M}+4 \overrightarrow{Q M}=0$,

即 $\overrightarrow{O M}=3 \overrightarrow{M P}+4 \overrightarrow{M Q}$, 故选 $\mathrm{D}$.
题目（高二 · 解析几何）：已知平面向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$, 满足 $\boldsymbol{a}=(1, \sqrt{3}),|\boldsymbol{b}|=3, \boldsymbol{a} \perp(\boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b})$, 则 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=(\quad)$
选项：
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
答案：B
解析：由题意 $\boldsymbol{a}=(1, \sqrt{3})$ ，则 $|\boldsymbol{a}|=\sqrt{1+3}=2$,

又 $\boldsymbol{a} \perp(\boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b}) \Rightarrow \boldsymbol{a} \cdot(\boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b})=0$ ，即 $\boldsymbol{a}^{2}-2 \boldsymbol{a} \boldsymbol{b}=0 \Rightarrow \boldsymbol{a} \boldsymbol{b}=2$ ，

由向量模的定义, $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt{\boldsymbol{a}^{2}-2 \boldsymbol{a} \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}}=\sqrt{4-2 \times 2+9}=3$, 故选 B.
题目（高二 · 解析几何）：在直角三角形 $A B C$ 中, 角 $C$ 为直角, 且 $A C=B C=1$, 点 $P$ 是斜边上的一个

三等分点, 则 $\overrightarrow{C P} \cdot \overrightarrow{C B}+\overrightarrow{C P} \cdot \overrightarrow{C A}=(\quad)$
选项：
A. 0
B. 1
C. $\frac{9}{4}$
D. $-\frac{9}{4}$
答案：B
解析：建立直角坐标系, 设 $C(0,0), A(1,0), B(0,1), P\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)$,

则 $\overrightarrow{C P} \cdot \overrightarrow{C B}+\overrightarrow{C P} \cdot \overrightarrow{C A}=\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1$, 故选 $\mathrm{B}$.
题目（高二 · 解析几何）：设 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 是两个非零向量 ( )
选项：
A. 若 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}|$, 则 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$

B. 若 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$, 则 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}|$

C. 若 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}|$, 则存在实数 $\lambda$ ，使得 $\boldsymbol{b}=\hat{\boldsymbol{a}} \boldsymbol{a}$

D. 若存在实数 $\lambda$ ，使得 $\boldsymbol{b}=\lambda \boldsymbol{a} \boldsymbol{a}$ ，则 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}|$
答案：C
解析：若 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}|$, 则 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 共线, 即存在实数 $\lambda$, 使得 $\boldsymbol{b}=\hat{\lambda} \boldsymbol{a}$,故 C 正确;

选项 A: 当 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}|$ 时, $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 可为反向的共线向量, 故 A 错误;

选项 B: 若 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$, 由矩形得 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}|$ 不成立，故 B 错误;

选项 D: 若存在实数 $\lambda$, 使得 $\boldsymbol{b}=\hat{\lambda} \boldsymbol{a}, \boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 可为同向的共线向量,

此时显然 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}|-|\boldsymbol{b}|$ 不成立, 故 D 错误,

故选 C.
题目（高二 · 解析几何）：已知 $|\boldsymbol{a}|=2|\boldsymbol{b}| \neq 0$, 且关于 $x$ 的方程 $x^{2}+|\boldsymbol{a}| x+\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0$ 有实根, 则 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角的取值范围是 ( )
选项：
A. $\left[0, \frac{\pi}{6}\right] \quad$ B. $\left[\frac{\pi}{3}, \pi\right] \quad$ C. $\left[\frac{\pi}{3}, \frac{2}{3} \pi\right] \quad$ D. $\left[\frac{\pi}{6}, \pi\right]$
答案：B
解析：$\because$ 关于 $x$ 的方程 $x^{2}+|\boldsymbol{a}| x+\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0$ 有实根, $\therefore \Delta=|\boldsymbol{a}|^{2}-4 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} \geq 0$,

设 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\theta$, 则 $|\boldsymbol{a}|^{2}-4|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos \theta \geq 0$,

又 $|\boldsymbol{a}|=2|\boldsymbol{b}| \neq 0, \therefore 2|\boldsymbol{b}|-4|\boldsymbol{b}| \cos \theta \geq 0, \quad \therefore \cos \theta \leq \frac{1}{2}$ ，

又 $\theta \in[0, \pi], \therefore \theta \in\left[\frac{\pi}{3}, \pi\right]$, 本题正确选项 B.
题目（高二 · 解析几何）：下列关于向量的结论:

（1）若 $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|$ ，则 $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$ 或 $\boldsymbol{a}=-\boldsymbol{b}$;

（2）向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 平行，则 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的方向相同或相反;

(3) 起点不同, 但方向相同且模相等的向量是相等向量;

（4）若向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 同向，且 $|\boldsymbol{a}|>|\boldsymbol{b}|$, 则 $\boldsymbol{a}>\boldsymbol{b}$.

其中正确的序号为 ( )
选项：
A. (1) (2) B. (2) (3) C. (4) D. (3)
答案：D
解析：（1）若 $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|$, 由于 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 的方向不清楚, 故不能得出 $\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b}$ 或 $\boldsymbol{a}=-\boldsymbol{b}$, 故（1）不正确;

（2）由零向量与任何向量平行, 当向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 平行时, 不能得出 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的方向相同或相反, 故（2）不正确;

（3）由向量的相等的定义, 起点不同, 但方向相同且模相等的向量是相等向量, 故 (3) 正确;

(4) 向量不能比较大小, 故 (4) 不正确,

故选 D.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, $A B=3, A C=2, \angle B A C=60^{\circ}$, 点 $P$ 是 $\triangle A B C$ 内一点

(含边界), 若 $\overrightarrow{A P}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\lambda \overrightarrow{A C}$, 则 $|\overrightarrow{A P}|$ 的最大值为（）
选项：
A. $\frac{2 \sqrt{7}}{3}$
B. $\frac{8}{3}$
C. $\frac{2 \sqrt{19}}{3}$
D. $\frac{2 \sqrt{13}}{3}$
答案：D
解析：以 $A$ 为原点, 以 $A B$ 所在的直线为 $x$ 轴, 建立如图所示的坐标系,



$\because A B=3, A C=2, \angle B A C=60^{\circ}, \therefore A(0,0), B(3,0), C(1, \sqrt{3})$,

设点 $P$ 为 $(x, y), 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq \sqrt{3}$,

$\because \overrightarrow{A P}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\lambda \overrightarrow{A C}, \therefore(x, y)=\frac{2}{3}(3,0)+\lambda(1, \sqrt{3})=(2+\lambda, \sqrt{3} \lambda)$,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}x=2+\lambda \\ y=\sqrt{3} \lambda\end{array}, \therefore y=\sqrt{3}(x-2),(1)\right.$

直线 $B C$ 的方程为 $y=-\frac{\sqrt{3}}{2}(x-3),(2$,

联立(1)(2), 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{7}{3} \\ y=\frac{\sqrt{3}}{3}\end{array}\right.$,

此时 $|\overrightarrow{A P}|$ 最大, $\therefore|A P|=\sqrt{\frac{49}{9}+\frac{1}{3}}=\frac{2 \sqrt{13}}{3}$, 故选 D.
题目（高二 · 解析几何）：在三角形 $A B C$ 中, $E, F$ 分别为 $A C 、 A B$ 上的点, $B E$ 与 $C F$ 交于点 $Q$ 且 $\overrightarrow{A E}=2 \overrightarrow{E C}$, $A F=3 F B, A Q$ 交 $B C$ 于点 $D, \overrightarrow{A Q}=\lambda \overrightarrow{Q D}$, 则 $\lambda$ 的值为 ( )
选项：
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
答案：C
解析：因为 $B, Q, E$ 三点共线,

所以 $\overrightarrow{A Q}=x \overrightarrow{A B}+(1-x) \overrightarrow{A E}=x \overrightarrow{A B}+\frac{2}{3}(1-x) \overrightarrow{A C}$,

因为 $C, Q, F$ 三点共线, 所以 $\overrightarrow{A Q}=y \overrightarrow{A C}+(1-y) \overrightarrow{A F}=y \overrightarrow{A C}+\frac{3}{4}(1-y) \overrightarrow{A B}$,

所以 $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{3}{4}(1-y) \\ y=\frac{2}{3}(1-x)\end{array}, \therefore x=\frac{1}{2}, y=\frac{1}{3}\right.$,

所以 $\overrightarrow{A Q}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}=\frac{\lambda}{1+\lambda} \overrightarrow{A D}$, 所以 $\overrightarrow{A D}=\frac{1+\lambda}{2 \lambda} \overrightarrow{A B}+\frac{1+\lambda}{3 \lambda} \overrightarrow{A C}$,

因为 $B, D, C$ 共线, 所以 $\frac{1+\lambda}{2 \lambda}+\frac{1+\lambda}{3 \lambda}=1, \therefore \lambda=5$, 故选 C.
题目（高二 · 解析几何）：已知向量 $\boldsymbol{a}=(1, \sqrt{3}), \boldsymbol{b}=(\cos \theta, \sin \theta)$, 若 $\boldsymbol{a} / \boldsymbol{b}$, 则 $\tan \theta=(\quad)$ $\begin{array}{lll}\text {
选项：
A. } \frac{\sqrt{3}}{3} \text { B. } \sqrt{3} & \text { C. }-\frac{\sqrt{3}}{3} & \text { D. }-\sqrt{3}\end{array}$
答案：B
解析：$\because \boldsymbol{a}=(1, \sqrt{3}), \boldsymbol{b}=(\cos \theta, \sin \theta)$, 且 $\boldsymbol{a} / \boldsymbol{b}$,

$\therefore \sin \theta-\sqrt{3} \cos \theta=0, \quad \therefore \sin \theta=\sqrt{3} \cos \theta, \quad \therefore \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\frac{\sqrt{3} \cos \theta}{\cos \theta}=\sqrt{3}$,

故选 B.
题目（高二 · 解析几何）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A D \perp A B,|\overrightarrow{A D}|=2, \overrightarrow{D C}=3 \overrightarrow{B D}$, 则 $\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{A D}$ 的值为 ( )


选项：
A. 3
B. 8
C. 12
D. 16
答案：D
解析：$\because \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D C}=\overrightarrow{A D}+3 \overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A D}+3(\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A B})=4 \overrightarrow{A D}-3 \overrightarrow{A B}$,

$\because A D \perp A B$, 则 $\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{A B}=0$,

所以,, 故选 D.
题目（高二 · 解析几何）：若两个非零向量 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b}$ 满足 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=2|\boldsymbol{a}|$, 则向量 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$ 的夹角是 ( )
选项：
A. } \frac{\pi}{2} & \text { B. } \frac{5 \pi}{6} & \text { C. } \frac{\pi}{3} & \text { D. } \frac{2 \pi}{3}\end{array}
答案：D
解析：在等式 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|$ 两边同时平方可得 $\boldsymbol{a}^{2}+2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}=\boldsymbol{a}^{2}-2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}, \therefore \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0$,

在等式 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=2|\boldsymbol{a}|$ 两边同时平方可得 $\boldsymbol{a}^{2}+2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}=4 \boldsymbol{a}^{2}, \therefore|\boldsymbol{b}|=\sqrt{3}|\boldsymbol{a}|$, $(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=\boldsymbol{a}^{2}-\boldsymbol{b}^{2}=-2 \boldsymbol{a}^{2}=-2|\boldsymbol{a}|^{2}$,

所以, $\cos \langle\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}, \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\rangle=\frac{(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})}{|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| \cdot|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|}=\frac{-2|\boldsymbol{a}|^{2}}{2|\boldsymbol{a}| \times 2|\boldsymbol{a}|}=-\frac{1}{2}$,

$\because 0 \leq\langle\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}, \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\rangle \leq \pi$, 所以, $\langle\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}, \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\rangle=\frac{2 \pi}{3}$, 故选 D.
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\triangle A B C$ 中, 点 $M$ 为线段 $A C$ 上靠近 $C$ 的三等分点, 点 $N$ 是线段 $B C$ 的中点, 点 $P$ 是直线 $A N$ 与 $B M$ 的交点, 则 $\overrightarrow{A P}=(\quad)$
选项：
A. $\frac{3}{5} \overrightarrow{A B}+\frac{3}{5} \overrightarrow{A C}$
B. $\frac{2}{5} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{5} \overrightarrow{A C}$

C. $\frac{1}{3} A B+\frac{1}{3} \stackrel{\ln A C}{A C}$
D. $\frac{2}{5} \overrightarrow{A B}+\frac{3}{5} \overrightarrow{A C}$
答案：B
解析：设 $\overrightarrow{A P}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C}=t \overrightarrow{A N}$ ，

因为点 $N$ 是线段 $B C$ 的中点, 所以 $\overrightarrow{A N}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}$,

所以 $\overrightarrow{A P}=x \overrightarrow{A B}+y \overrightarrow{A C}=t\left(\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}\right)$, 所以 $x=\frac{t}{2}, y=\frac{t}{2}$, 即 $x=y$ (1)

因为点 $M$ 为线段 $A C$ 上靠近 $C$ 的三等分点,

所以 $\overrightarrow{A C}=\frac{3}{2} \overrightarrow{A M}$, 所以 $\overrightarrow{A P}=x \overrightarrow{A B}+\frac{3 y}{2} \overrightarrow{A M}$,

因为 $B, P, M$ 三点共线, 所以 $x+\frac{3 y}{2}=1(2$

由(1)(2)可解得 $x=y=\frac{2}{5}$, 故选 B.
题目（高二 · 解析几何）：已知点 $O$ 是 $\triangle A B C$ 所在平面上的一点, $\triangle A B C$ 的三边为 $a, b, c$, 若 $a \overrightarrow{O A}+b \overrightarrow{O B}+c \overrightarrow{O C}=\mathbf{0}$, 则点 $O$ 是 $\triangle A B C$ 的 ( )
选项：
A. 外心 B. 内心 $\mathrm{C}$. 重心 D. 垂心
答案：B
解析：在 $A B, A C$ 上分别取点 $D, E$, 使得 $\overrightarrow{A D}=\frac{\overrightarrow{A B}}{c}, \overrightarrow{A E}=\frac{\overrightarrow{A C}}{b}$,

则 $|\overrightarrow{A D}|=|\overrightarrow{A E}|=1$.

以 $A D, A E$ 为邻边作平行四边形 $A D F E$, 如图,



则四边形 $A D F E$ 是菱形, 且 $\overrightarrow{A F}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A E}=\frac{\overrightarrow{A B}}{c}+\frac{\overrightarrow{A C}}{b}$.

$\therefore A F$ 为 $\angle B A C$ 的平分线.

$\because a \overrightarrow{O A}+b \overrightarrow{O B}+c \overrightarrow{O C}=\mathbf{0}, \quad \therefore a \cdot \overrightarrow{O A}+b \cdot(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A B})+c \cdot(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A C})=\mathbf{0}$,

即 $(a+b+c) \overrightarrow{O A}+b \overrightarrow{A B}+c \overrightarrow{A C}=\mathbf{0}$,

$\therefore \overrightarrow{A O}=\frac{b}{a+b+c} \overrightarrow{A B}+\frac{c}{a+b+c} \overrightarrow{A C}=\frac{b c}{a+b+c}\left(\frac{\overrightarrow{A B}}{c}+\frac{\overrightarrow{A C}}{b}\right)=\frac{b c}{a+b+c} \overrightarrow{A F}$,

$A, O, F$ 三点共线, 即 $O$ 在 $\angle B A C$ 的平分线上.

同理可得 $O$ 在其他两角的平分线上，

$O$ 是 $\triangle A B C$ 的内心, 故选 $\mathrm{B}$.
题目（高二 · 解析几何）：已知角 $a$ 的终边经过点 $P(-4 m, 3 m)(m \neq 0)$, 则 $2 \sin a+\cos a$ 的值是 $(\quad)$
选项：
A. 1 或 -1
   B. $\frac{2}{5}$ 或 $-\frac{2}{5}$
   C. 1 或 $-\frac{2}{5}$
   D. -1 或 $\frac{2}{5}$
答案：B
解析：由题意得点 $P$ 与原点间的距离 $r=\sqrt{(-4 m)^{2}+(3 m)^{2}}=5|m|$.

(1)当 $m>0$ 时, $r=5 m$,

$\therefore \sin a=\frac{3 m}{5 m}=\frac{3}{5}, \cos a=\frac{-4 m}{5 m}=-\frac{4}{5}$,

$\therefore 2 \sin a+\cos a=2 \times \frac{3}{5}-\frac{4}{5}=\frac{2}{5}$.

(2) 当 $m<0$ 时, $r=-5 m$,

$\therefore \sin a=\frac{3 m}{-5 m}=-\frac{3}{5}, \cos a=\frac{-4 m}{-5 m}=\frac{4}{5}$,

$\therefore 2 \sin a+\cos a=2 \times\left(-\frac{3}{5}\right)+\frac{4}{5}=-\frac{2}{5}$.

综上可得 $2 \sin a+\cos a$ 的值是 $\frac{2}{5}$ 或 $-\frac{2}{5}$. 故选 B.
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\frac{\cos \alpha}{1+\sin \alpha}=\sqrt{3}$, 则 $\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha-1}$ 的值为 ( )
选项：
A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
B. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
c. $\sqrt{3}$
D. $-\sqrt{3}$
答案：B
解析：由题意得, $\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1$,那么 $\frac{\cos \alpha}{1+\sin \alpha}=\frac{1-\sin \alpha}{\cos \alpha}=\sqrt{3}, \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha-1}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, 故答案选 B.
题目（高二 · 解析几何）：已知点 $P\left(\sin \frac{5 \pi}{3}, \cos \frac{5 \pi}{3}\right)$ 落在角 $\theta$ 的终边上, 且 $\theta \in[0,2 \pi)$, 则 $\theta$ 的值为 ( )
选项：
A. $\frac{2 \pi}{3}$
B. $\frac{5 \pi}{3}$
C. $\frac{5 \pi}{6}$
D. $\frac{11 \pi}{6}$
答案：C
解析：由任意角三角函数的定义, 得 $\tan \theta=\frac{y}{x}=\frac{\cos \frac{5 \pi}{3}}{\sin \frac{5 \pi}{3}}=\frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

$\because \sin \frac{5 \pi}{3}<0, \cos \frac{5 \pi}{3}>0, \therefore$ 点 $P$ 在第二象限. $\therefore \theta=\frac{5 \pi}{6}$. 故选 C.
题目（高二 · 解析几何）：点 $A(x, y)$ 是 $315^{\circ}$ 角终边上异于原点的一点, 则 $\frac{y}{x}$ 的值为 ( )
选项：
A. 1
B. -1
C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
答案：B
解析：结合三角函数线可知, $315^{\circ}$ 角终边落在第四象限角平分线上, 所以 $\frac{y}{x}=-1$.故选B.
题目（高二 · 解析几何）：依据三角函数线, 作出如下四个判断:
(1) $\sin \frac{\pi}{5}=\sin \frac{6 \pi}{5} ;$
(2) $\cos \frac{\pi}{4}=\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)$
(3) $\tan \frac{\pi}{8}>\tan \frac{3 \pi}{8}$
(4) $\sin \frac{3 \pi}{5}>\sin \frac{4 \pi}{5}$.

其中判断正确的有( )
选项：
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
答案：B
解析：在平面直角坐标系中作单位圆, 依次作相关角的三角函数线, $\sin \frac{\pi}{5} \neq \sin \frac{6 \pi}{5}, \quad \cos \frac{\pi}{4}=\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right), \tan \frac{\pi}{8}<\tan \frac{3 \pi}{8}, \sin \frac{3 \pi}{5}>\sin \frac{4 \pi}{5}$,

$\therefore$​ (2)(4)判断正确, 故选 B.
题目（高二 · 解析几何）：已知 ${\sin (\theta+\pi)<0, \cos (\theta-\pi)>0}$, 则 ${\theta}$是第 ( ) 象限角.
选项：
A. 一
B. 二
C. 三
D. 四
答案：B
解析：由 $\sin (\theta+\pi)=-\sin \theta<0 \Rightarrow \sin \theta>0, \cos (\theta-\pi)=-\cos \theta>0 \Rightarrow \cos \theta<0$, 由 $\left\{\begin{array}{l}\sin \theta>0 \\ \cos \theta<0\end{array}\right.$ 可知 是第二象限角, 故选 B.
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\sin x+\cos x=\frac{\sqrt{3}-1}{2}, x \in(0, \pi)$, 则 $\tan x=(\quad)$
选项：
A. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
c. $\sqrt{3}$
D. $-\sqrt{3}$
答案：D
解析：$\sin x+\cos x=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$, 且 $x \in(0, \pi), \therefore 1+2 \sin x \cos x=1-\frac{\sqrt{3}}{2}, \therefore 2 \sin x \cos x=-\frac{\sqrt{3}}{2}<0, \therefore x$为钝角, $\therefore \sin x-\cos x=\sqrt{(\sin x-\cos x)^{2}}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}, \therefore \sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}, \cos x=-\frac{1}{2}, \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=-\sqrt{3}$故选 D.
题目（高二 · 解析几何）：若 $\sin x \cdot \cos x=\frac{1}{8}$ 且 $\frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{2}$, 则 $\cos \mathrm{x}-\sin \mathrm{x}$ 的值是( )
选项：
A. $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $\pm \frac{1}{2}$
答案：C
解析：$\because \frac{\pi}{4}<x<\frac{\pi}{2}, \therefore \cos x-\sin x<0$,

$\therefore(\cos x-\sin x)^{2}=1-2 \sin x \cos x=1-2 \times \frac{1}{8}=\frac{3}{4}$,
$\therefore \cos x-\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. 故选 C.
题目（高二 · 解析几何）：若 $\theta$ 是第二象限角, 那么 $\frac{\theta}{2}$ 和 $\frac{\pi}{2}-\theta$ 都不是 ( )
选项：
A. 第一象限
   B. 第二象限
   C. 第三象限
   D. 第四象限
答案：B
解析：设 $\frac{\pi}{2}+2 k \pi<\theta<\pi+2 k \pi, k \in Z$, 此时 $\frac{\pi}{4}+k \pi<\frac{\theta}{2}<\frac{\pi}{2}+k \pi$, 故 $\frac{\theta}{2}$ 为第一、三象限的角.又 $-\frac{\pi}{2}-2 k \pi<\frac{\pi}{2}-\theta<-2 k \pi$, 故 $\frac{\pi}{2}-\theta$ 为第四象限角. 所以 $\frac{\theta}{2}$ 和 $\frac{\pi}{2}-\theta$ 都不是第二象限.故选: B.
题目（高二 · 解析几何）：若 $\alpha$ 是第二象限角, 其终边上一点 $P(x, \sqrt{5})$, 且 $\cos \alpha=\frac{\sqrt{2}}{4} x$, 则 $\sin \alpha$ 的值是 ( )
选项：
A. $\frac{\sqrt{2}}{4}$
B. $\frac{\sqrt{6}}{4}$
C. $\frac{\sqrt{10}}{4}$
D. $-\frac{\sqrt{10}}{4}$
答案：C
解析：由三角函数的定义得 $\cos \alpha=\frac{x}{r}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+5}}=\frac{\sqrt{2}}{4} x$,

解得 $x=0$ 或 $x=\sqrt{3}$ 或 $x=-\sqrt{3}$.

$\because \alpha$ 是第二象限角即 $x<0$, 可得 $x=-\sqrt{3}$

所以 $\sin \alpha=\frac{y}{r}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{8}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$;

故选: C.
题目（高二 · 解析几何）：已知函数 $f(x)=\sin \left(\omega x-\frac{\pi}{4}\right)(\omega>0)$ 的图象在区间 $(1,2)$ 上不单调, 则 $\omega$ 的取值范围为
选项：
A. $\left(\frac{3 \pi}{8},+\infty\right)$
        B. $\left(\frac{3 \pi}{8}, \frac{3 \pi}{4}\right) \cup\left(\frac{7 \pi}{8},+\infty\right)$
        C. $\left(\frac{3 \pi}{8}, \frac{7 \pi}{8}\right) \cup\left(\frac{7 \pi}{4},+\infty\right)$
        D. $\left(\frac{3 \pi}{4},+\infty\right)$
答案：B
解析：因为函数 $f(x)$ 在区间 $(1,2)$ 上不单调, 所以 $f(x)$ 在区间 $(1,2)$ 上存在极值点.

    (1)当 $\frac{T}{2}<1$, 即 $\frac{\pi}{\omega}<1, \omega>\pi$ 时, $f(x)$ 在区间 $(1,2)$ 上不单调, 满足题意; (2) $\frac{T}{2} \geq 1$, 即 $0<\omega \leq \pi$时, 因为 $x \in(1,2)$, 所以 $\omega x-\frac{\pi}{4} \in\left(\omega-\frac{\pi}{4}, 2 \omega-\frac{\pi}{4}\right)$, 所以 $\omega-\frac{\pi}{4}<k \pi+\frac{\pi}{2}$ $<2 \omega-\frac{\pi}{4}(k \in Z)$, 解得 $\frac{k \pi}{2}+\frac{3 \pi}{8}<\omega<k \pi+\frac{3 \pi}{4} \quad(k \in Z)$, 且考虑到 $0<\omega \leq \pi$, 可得 $\frac{3 \pi}{8}<\omega<\frac{3 \pi}{4}$ 或 $\frac{7 \pi}{8}<\omega \leq \pi$.由(1)(2)知 $\omega \in\left(\frac{3 \pi}{8}, \frac{3 \pi}{4}\right) \cup\left(\frac{7 \pi}{8},+\infty\right)$​. 故选 B
题目（高二 · 解析几何）：若 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}y \leq 2 x \\ x+2 y-2 \leq 0 \\ y \geq-1\end{array}\right.$, 则 $z=x-y$ 的最大值为
选项：
A. $-\frac{3}{5}$
B. $\frac{1}{2}$
C. 5
D. 6
答案：C
解析：变量 $x, y$ 满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示:

目标函数 $Z=x-y$ 是斜率等于 1 、纵截距为 $-z$ 的直线,

当直线经过可行域的 $A$ 点时, 纵截距 $-Z$ 取得最小值,

则此时目标函数 $\mathrm{z}$ 取得最大值, 由 $\left\{\begin{array}{l}y=-1 \\ x+2 y-2=0\end{array}\right.$ 可得 $A(4,-1)$,

目标函数 $z=x-y$ 的最大值为: 5

故选: C.
题目（高二 · 解析几何）：已知点 $P(m, n)$ 在不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2} \leq 50 \\ 2 x-y \leq-5\end{array}\right.$ 表示的平面区域内, 则实数 $m$ 的取值范围是
选项：
A. $[-5 \sqrt{2}, 5 \sqrt{2}]$
       B. $[-5 \sqrt{2},-5]$
       C. $[-5 \sqrt{2}, 1]$
       D. $[-5,1]$

    ![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_8a964f9ccd87371be6e0g-138\.jpg?height=385&width=368&top_left_y=1946&top_left_x=1575)
答案：C
解析：不等式组表示的是图中的阴影部分, 由图可知, $m$ 的范围在 $B$ 点和 $A$ 点的横坐标之间, 易知 $B$ 点横坐标为 $-5 \sqrt{2}$, 解方程组 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=50 \\ 2 x-y=-5\end{array}\right.$ 得 $A$ 点横坐标为 1 , 所以 $-5 \sqrt{2} \leq m \leq 1$. 故选 C.
题目（高二 · 解析几何）：设 $a, b \in \mathbf{R}, a^{2}+2 b^{2}=6$, 则 $a+\sqrt{2} b$ 的最小值为 ( )
选项：
A. $-2 \sqrt{3}$
       B. $-\frac{5}{3} \sqrt{3}$
       C. $-3 \sqrt{3}$
       D. $-\frac{7}{2} \sqrt{3}$
答案：A
解析：由基本不等式得 $a^{2}+2 b^{2} \geq 2 \sqrt{2} a b$ ，则 $2\left(a^{2}+2 b^{2}\right) \geq a^{2}+2 b^{2}+2 \sqrt{2} a b$ $=(a+\sqrt{2} b)^{2}$. 又因为 $a^{2}+2 b^{2}=6$, 则有 $2 \times 6 \geq(a+\sqrt{2} b)^{2}$, 即 $-2 \sqrt{3} \leq a+\sqrt{2} b \leq 2 \sqrt{3}$,所以 $a+\sqrt{2} b$ 的最小值为 $-2 \sqrt{3}$. 故选 A.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 若 $b=2, A=120^{\circ}$, 三角形的面积 $S=\sqrt{3}$, 则三角形外接圆的半径为 ( )
选项：
A. $\sqrt{3}$
B. 2
C. $2 \sqrt{3}$
D. 4
答案：B
解析：将 $S=\sqrt{3}, b=2, A=120^{\circ}$ 代入 $S=\frac{1}{2} \cdot b c \cdot \sin A$ 得 $c=2$, 由余弦定理得:

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A=2^{2}+2^{2}-2 \times 2 \times 2 \cos 120^{\circ}=12$,

故 $a=2 \sqrt{3}$, 设三角形外接圆半径为 $R$,

则由正弦定理, 得 $2 R=\frac{a}{\sin A}=\frac{2 \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$, 解得 $R=2$, 故答案选 $\mathrm{B}$.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, $a, b, c$ 分别是 $A, B, C$ 的对边, 则 $a \cos B+b \cos A$ 等于( )。
选项：
A. $a$
B. $b$
C. $c$
D. 以上均不对
答案：C
解析：由余弦定理,得 $a \cos B+b \cos A=a \cdot \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}+b \cdot \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=c$ 。
题目（高二 · 解析几何）：在三角形 $A B C$ 中, $B=45^{\circ}, C=60^{\circ}, c=1$, 则最短边的边长是 ( )
选项：
A. $\frac{\sqrt{6}}{3}$
B. $\frac{\sqrt{6}}{2}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
答案：A
解析：$\because B$ 角最小, $\therefore$ 最短边是 $b$, 由 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$, 得 $b=\frac{c \sin B}{\sin C}=\frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 60^{\circ}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 若 $a=2 c, \cos C=\frac{\sqrt{40}}{7}$, 则 $\sin A=(\quad)$
选项：
A. $\frac{2}{7}$
B. $\frac{4}{7}$
C. $\frac{5}{7}$
D. $\frac{6}{7}$
答案：D
解析：因为 $\angle C$ 是三角形的内角,所以 $C \in(0, \pi)$,

由 $\cos C=\frac{\sqrt{40}}{7}$, 可得: $\sin C=\sqrt{1-\cos ^{2} C}=\sqrt{1-\frac{40}{49}}=\frac{3}{7}$,

由正弦定理可知: $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}$, 因为 $a=2 c, \sin C=\frac{3}{7}$,

所以 $\sin A=2 \sin C=\frac{6}{7}$.

故选: D
题目（高二 · 解析几何）：设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c$, 已知 $2 c \cos B+b \cos A=-a \cos B$, 则 $\angle B=$
选项：
A. $\frac{\pi}{6}$
B. $\frac{\pi}{3}$
C. $\frac{5 \pi}{6}$
D. $\frac{2 \pi}{3}$
答案：D
解析：答案: D
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 若 $\frac{\sin A}{a}=\frac{\cos B}{b}$, 则角 $B$ 为 ( )
选项：
A. $\frac{\pi}{6}$
B. $\frac{\pi}{4}$
C. $\frac{\pi}{3}$
D. $\frac{\pi}{2}$
答案：B
解析：答案: B
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$. 根据下列条件解三角形, 其中有两个解的龙( )
选项：
A. $a=8, b=10, A=45^{\circ}$
B. $a=60, b=81, B=60^{\circ}$
C. $a=7, b=5, A=80^{\circ}$
D. $a=14, b=20, A=45^{\circ}$
答案：A
解析：在 $A$ 中, $\because a=8, b=10, A=45^{\circ}, a<b$,

$a=8>b \sin A=10 \sin 45^{\circ}=5 \sqrt{2}$,

$\therefore B$ 可能为针角, 也可能为锐角,

故 $A$ 中条件解三角形, 有两个解, 故 $A$ 正确;

在 $B$ 中, $\because a=60, b=81, B=60^{\circ}$,

$a=60<b \sin A=81 \sin 60^{\circ}=\frac{81 \sqrt{3}}{2}$,

$\therefore$ 无解, 故按 $B$ 中条件解三角形, 无解, 故 $B$ 错误;
在 $C$ 中, $\because a=7, b=5, A=80^{\circ}, b<a$,

$\therefore B$ 只能是锐角,

故按 $C$ 中条件解三角形, 只有一个解, 故 $C$ 错误;

在 $D$ 中, $\because a=14, b=20, A=45^{\circ}$,

$a=14<b \sin A=20 \sin 45^{\circ}=10 \sqrt{2}$,

按 $D$ 中条件解三角形, 无解, 故 $D$ 错误。

故选: A.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, $a, b, c$ 分别为内角 $A, B, C$ 的对边, 若 $\sqrt{3} \sin C=\sin A+\sin B, \cos C=\frac{3}{5}$, 且 $S_{\triangle A B C}=4$,则 $c=(\quad)$
选项：
A. $\frac{4 \sqrt{6}}{3}$
B. 4
C. $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$
D. 5
答案：B
解析：答案: B