题目（高三 · 解析几何）：方程 $\frac{x^{2}}{m-2}+\frac{y^{2}}{m+3}=1$ 表示双曲线的一个充分不必要条件是（）
选项：
A. $-3<m<0$
B. $-3<m<2$
C. $-3<m<4$
D. $-1<m<3$
答案：A
解析：答案:A 【解析】 根据题意, 方程 $\frac{x^{2}}{m-2}+\frac{y^{2}}{m+3}=1$ 表示双曲线, 则有 $(m-2)(m+3)<0$, 解得 $-3<m<2$, 要求方程 $\frac{x^{2}}{m-2}+\frac{y^{2}}{m+3}=1$ 表示双曲线的一个充分不必要条件, 则所给集合必须是 $\{m \mid-3<m<2\}$ 的非空真子集,依次分析选项，只有 $A$ 符合条件,

2. 答案：$C$ 【解析】 双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$, 可得 $a=1, b=2,: c c=\sqrt{5}, F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$ 的左, 右焦点, 点 $P$ 在双曲线上, 且 $\left|P F_{1}\right|=5, \because c+a=\sqrt{5}+1<5, \therefore P$ 既有可能在双曲线的左支上, 也有可能在右支上. 当 $P$ 在双曲线的左支时, 则 $\left|P F_{2}\right|=2 a+\left|P F_{1}\right|=2+5=7$, 当 $P$ 在双曲线的右支时, 则 $\left|P F_{2}\right|=-2 a+\left|P F_{1}\right|=-2+5=3$,综上, $\left|P F_{2}\right|=3$ 或 $\left|P F_{2}\right|=7 .$.

3.答案：C 【解析】 由椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 可得焦点为 $( \pm \sqrt{3}, 0)$, 设要求的双曲线的标准方程为: $\frac{x^{2}}{a^{2}} \frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a, b>0)$,则 $a^{2}+b^{2}=3, \frac{4}{a^{2}-} \frac{1}{b^{2}}=1$, 解得 $a^{2}=2, b^{2}=1$, :要求的双曲线的标准方程为: $\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$, 故选 $C$.

4.答案：C 【解析】 根据题意, 双曲线的方程为 $y^{2}-\frac{x^{2}}{3}=1$, 其焦点在 $y$ 轴上, 且 $a=1, b=\sqrt{3}$, 则 $c=\sqrt{1+3}=2$, 则其焦点坐标为 $(0,2) 、(0,-2)$;

5.答案：C 【解析】 由双曲线 $x^{2}-k y^{2}=1$, 得 $x^{2}-\frac{y^{2}}{\frac{1}{k}}=1, \because(3,0)$ 是双曲线的一个焦点, 可知双曲线为焦点在 $x$轴上的双曲线, 则 $a^{2}=1, b^{2}=\frac{1}{k}, \therefore c^{2}=a^{2}+b^{2}=1+\frac{1}{k}=\frac{k+1}{k}=9$, 解得: $k=\frac{1}{8}$.

6. 答案：$A$ 【解析】 如果是双曲线, 那么 $|P M|-|P N|=4=2 a a=2$ 而两个定点 $M(-2,0), N(2,0)$ 为双曲线的焦点 $c=2$ 而在双曲线中 $c>a$ 所以把后三个关于双曲线的答案全部排除, 故选: $A$.
7. $A$ 【解析】 $\because$ 方程 $\frac{x^{2}}{2+m}+\frac{y^{2}}{m+1}=1$ 表示双曲线, $\therefore(2+m)(m+1)<0, \therefore-2<m<-1$.

8.答案：C 【解析】 双曲线 $\frac{x^{2}}{m^{2}+12}-\frac{y^{2}}{4-m^{2}}=1$ 焦点在 $x$ 轴上, 即有 $4-m^{2}>0$, 则 $a^{2}=m^{2}+12, b^{2}=4-m^{2}, c^{2}=a^{2}+b^{2}=16$, 则 $c=4$, 焦距 $2 c=8$.

9.答案：D 【解析】 由于两点间的距离 $\left|F_{1} F_{2}\right|=10$, 动点 $P$ 满足 $\left|P F_{1}\right|-\left|P F_{2}\right|=8<10$, 所以满足条件 $\left|P F_{1}\right|-\left|P F_{2}\right|=8$ 的点 $P$ 的轨迹是双曲线中离 $F_{2}$ 较近的一支.

10.答案：A 【解析】 设动圆 $P$ 的半径为 $r$, 由题意可知 $\left|P C_{1}\right|=r+\frac{5}{2},\left|P C_{2}\right|=r+\frac{1}{2}$, 则 $\left|P C_{1}\right|-\left|P C_{2}\right|=2<\left|C_{1} C_{2}\right|=4$, 所以 $P$点的轨迹是以 $C_{1}, C_{2}$ 为焦点的双曲线的右支, 且 $a=1, c=2$, 则 $b^{2}=3$, 则动点 $P$ 的轨迹方程为 $x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=$ $1(x>0)$.

11.答案：28 【解析】 由题意知: $a=4, b=3$, 故 $c=5$. 由双曲线的定义知 $\left|A F_{2}\right|-\left|A F_{1}\right|=8(1),\left|B F_{2}\right|-\left|B F_{1}\right|=8(2)$, (1)+(2)得: $\left|A F_{2}\right|+\left|B F_{2}\right|-|A B|=16$, 所以 $\left|A F_{2}\right|+\left|B F_{2}\right|=22$, 所以 $\triangle A B F_{2}$ 的周长是 $\left|A F_{2}\right|+\left|B F_{2}\right|+|A B|=28$

12. 答案：$\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$ 【解析】 由粗圆方程可知所求双曲线的焦点为 $(-2,0),(2,0)$, 顶点为 $(-\sqrt{2}, 0),(\sqrt{2}, 0)$.则设双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$, 所以 $a=\sqrt{2}, c=2$, 则 $b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{2}$. 所以所求双曲线方程为 $\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$.
13. 【解析】 粗圆 $\frac{y^{2}}{36}+\frac{x^{2}}{27}=1$ 的焦点为 $(0, \pm 3), c=3$, 设双曲线方程为 $\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{9-a^{2}}=1, \because$ 过点 $(\sqrt{15}, 4)$,则 $\frac{16}{a^{2}}-\frac{15}{9-a^{2}}=1$, 得 $a^{2}=4$ 或 36 , 而 $a^{2}<9, \therefore a^{2}=4$, 双曲线方程为 $\frac{y^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{5}=1$.