题目（九年级 · 度量几何学）：(本小题 8.0 分)

(1)如图1, 在 $\triangle A B C$ 中, 点 $D$ 在线段 $B C$ 上, $\angle B A D=75^{\circ}, \angle C A D=, A D=2, B D=2 D C$,求 $A C$ 的长.



图 1

(2)如图2, 在四边形 $A B C D$ 中, $\angle B A C=90^{\circ}, \angle C A D=30^{\circ}, \angle A D C=75^{\circ}, A C$ 与 $B D$ 交于点 $E$, $A E=2, B E=2 E D$, 求 $B C$ 的长.



图 2
选项：
答案：解: (1)过点 $C$ 作 $C E / / A B$ 交 $A D$ 的延长线于点 $E$

$$
\begin{aligned}
& \because C E / / A B \\
& \therefore \triangle A B D \sim \triangle E C D \\
& \therefore \frac{B D}{D C}=\frac{A D}{D E} \\
& \because B D=2 D C \\
& \therefore \frac{2 D C}{D C}=\frac{2}{D E} \\
& \therefore D E=1 \\
& \because C E / / A B \\
& \therefore \angle E=\angle B A D=75^{\circ}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& \because \angle C A D=30^{\circ} \\
& \therefore \angle A C E=75^{\circ} \\
& \therefore \angle E=\angle A C E \\
& \therefore A C=A E=A D+D E=2+1=3
\end{aligned}
$$

<ImageHere>

(2)如图, 过点 $D$ 作 $D F \perp A C$ 于点 $F$

<ImageHere>

$$
\begin{aligned}
& \because \angle B A C=90^{\circ}=\angle D F A \\
& \therefore A B / / D F
\end{aligned}
$$

$\therefore \triangle A B E \sim \triangle F D E$

$$
\therefore \frac{A B}{D F}=\frac{A E}{E F}=\frac{B E}{D E}=2
$$

$\therefore E F=1, A B=2 D F$

在 $\triangle A C D$ 中, $\angle C A D=30^{\circ}$

$$
\angle A D C=75^{\circ}
$$

$\therefore \angle A C D=75^{\circ}, A C=A D$

$$
\begin{aligned}
& \because D F \perp A C \\
& \therefore \angle A F D=90^{\circ}
\end{aligned}
$$

在 $\triangle A F D$ 中, $A F=A E+E F=2+1=3$

$$
\angle F A D=30^{\circ}
$$

$\therefore D F=A F \tan 30^{\circ}=3 \times \frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}, A D=2 D F=2 \sqrt{3}$

$\therefore A C=A D=2 \sqrt{3}, A B=2 D F=2 \sqrt{3}$

$\therefore B C=\sqrt{A B^{2}+A C^{2}}=\sqrt{(2 \sqrt{3})^{2}+(2 \sqrt{3})^{2}}=2 \sqrt{6}$.
【解析】本题主要考查相似三角形的判定与性质, 锐角三角函数解直角三角形, 掌握相似三角形的判定与性质是解题关键.

(1)过点 $C$ 作 $C E / / A B$ 交 $A D$ 的延长线于点 $E$, 根据相似三角形的判定与性质及平行线的性质求解;

(2)如图, 过点 $D$ 作 $D F \perp A C$ 于点 $F$, 根据相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义求解.
解析：解: (1)过点 $C$ 作 $C E / / A B$ 交 $A D$ 的延长线于点 $E$

$$
\begin{aligned}
& \because C E / / A B \\
& \therefore \triangle A B D \sim \triangle E C D \\
& \therefore \frac{B D}{D C}=\frac{A D}{D E} \\
& \because B D=2 D C \\
& \therefore \frac{2 D C}{D C}=\frac{2}{D E} \\
& \therefore D E=1 \\
& \because C E / / A B \\
& \therefore \angle E=\angle B A D=75^{\circ}
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& \because \angle C A D=30^{\circ} \\
& \therefore \angle A C E=75^{\circ} \\
& \therefore \angle E=\angle A C E \\
& \therefore A C=A E=A D+D E=2+1=3
\end{aligned}
$$



(2)如图, 过点 $D$ 作 $D F \perp A C$ 于点 $F$



$$
\begin{aligned}
& \because \angle B A C=90^{\circ}=\angle D F A \\
& \therefore A B / / D F
\end{aligned}
$$

$\therefore \triangle A B E \sim \triangle F D E$

$$
\therefore \frac{A B}{D F}=\frac{A E}{E F}=\frac{B E}{D E}=2
$$

$\therefore E F=1, A B=2 D F$

在 $\triangle A C D$ 中, $\angle C A D=30^{\circ}$

$$
\angle A D C=75^{\circ}
$$

$\therefore \angle A C D=75^{\circ}, A C=A D$

$$
\begin{aligned}
& \because D F \perp A C \\
& \therefore \angle A F D=90^{\circ}
\end{aligned}
$$

在 $\triangle A F D$ 中, $A F=A E+E F=2+1=3$

$$
\angle F A D=30^{\circ}
$$

$\therefore D F=A F \tan 30^{\circ}=3 \times \frac{1}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}, A D=2 D F=2 \sqrt{3}$

$\therefore A C=A D=2 \sqrt{3}, A B=2 D F=2 \sqrt{3}$

$\therefore B C=\sqrt{A B^{2}+A C^{2}}=\sqrt{(2 \sqrt{3})^{2}+(2 \sqrt{3})^{2}}=2 \sqrt{6}$.
【解析】本题主要考查相似三角形的判定与性质, 锐角三角函数解直角三角形, 掌握相似三角形的判定与性质是解题关键.

(1)过点 $C$ 作 $C E / / A B$ 交 $A D$ 的延长线于点 $E$, 根据相似三角形的判定与性质及平行线的性质求解;

(2)如图, 过点 $D$ 作 $D F \perp A C$ 于点 $F$, 根据相似三角形的判定与性质及锐角三角函数的定义求解.