eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高一 · 代数）：函数 $f(x)$ 在其定义域 $M$ 上是增函数, 且 $f(x)>0$, 那么在 $M$ 上为减函数的是( ).
选项：
A. $y=4+3 f(x)$
B. $y=[f(x)]^{2}$
C. $y=3+\frac{1}{f(x)}$
D. $y=2-\frac{1}{f(x)}$
答案：C
解析：(特例法)取 $f(x)=x(x>0)$, 很容易可以判断 $y=3+\frac{1}{f(x)}$ 在定义域内为减函数.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $y=a x$ 和 $y=-\frac{b}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上都是减函数, 则函数 $f(x)=b x+a$ 在 $\mathbf{R}$ 上是 $(\quad)$.
选项：
A. 减函数且 $f(0)>0$
B. 增函数且 $f(0)>0$
C. 减函数且 $f(0)<0$
D. 增函数且 $f(0)<0$
答案：C
解析：C 点拨: 由题意, 知 $a<0, b<0$.

$\therefore f(x)=b x+a$ 在 $\mathbf{R}$ 上是减函数, 且 $f(0)=a<0$.
题目（高一 · 代数）：函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+1, x \geq 0, \\ -x^{2}, x<0\end{array}\right.$ 的单调性为( ).
选项：
A. 在 $(0,+\infty)$ 上为减函数

B. 在 $(-\infty, 0)$ 上为增函数, 在 $(0,+\infty)$ 上为减函数

C. 不能判断单调性

D. 在 $(-\infty,+\infty)$ 上是增函数
答案：D
解析：D 点拨: 画出分段函数 $f(x)$ 的图像可知, $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上是增函数.
题目（高一 · 代数）：设函数 $f(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上的减函数, 又若 $a \in \mathbf{R}$, 则 $(\quad)$.
选项：
A. $f(a)>f(2 a)$
B. $f\left(a^{2}\right)<f(a)$
C. $f\left(a^{2}+a\right)<f(a)$
D. $f\left(a^{2}+1\right)<f(a)$
答案：D
解析：当 $a \in \mathbf{R}$ 时, $a$ 与 $2 a, a^{2}$ 与 $a, a^{2}+a$ 与 $a$ 的大小关系不确定, 所以不能由函数的单调性比较相应的两个函数值的大小, 而 $a^{2}+1-a=\left(a-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{3}{4}>0, \therefore a^{2}+1>a$.

$\because f(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上的减函数,

$\therefore f\left(a^{2}+1\right)<f(a)$.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上是增函数, 若 $a, b \in \mathbf{R}$ 且 $a+b>0$, 则有 $(\quad)$.
选项：
A. $f(a)+f(b)>-f(a)-f(b)$
B. $f(a)+f(b)<-f(a)-f(b)$
C. $f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b)$
D. $f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)$
答案：C
解析：点拨: $\because a+b>0, \therefore a>-b, b>-a$. 由函数的单调性可知, $f(a)>f(-b), f(b)>f(-a)$,两式相加得选项 C 正确.
题目（高一 · 代数）：如图 1-3-1 是定义在区间 $[-5,5]$ 上的函数 $y=f(x)$ 的图象, 则下列关于函数 $f(x)$ 的说法错误的是 ( )



图 1-3-1
选项：
A. 函数在区间 $[-5,-3]$ 上单调递增

B. 函数在区间 $[1,4]$ 上单调递增

C. 函数在区间 $[-3,1] \cup[4,5]$ 上单调递减

D. 函数在区间 $[-5,5]$ 上没有单调性
答案：C
解析：若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“ $\cup$ ”连接。如 $0<5$ ，但 $f(0)>f(5)$ ，故选 C.
题目（高一 · 代数）：下列函数中, 在区间 $(0,2)$ 上为增函数的是 $(\quad)$
选项：
A. $y=3-x$
B. $y=x^{2}+1$
C. $y=\frac{1}{x}$
D. $y=-|x|$
答案：B
解析： A. $y=3-x=-x+3$, 是减函数, 故 $A$ 错误;
B. $\because y=x^{2}+1, y$ 为偶函数, 图象开口向上, 关于 $y$ 轴对称, 当 $x>0$ 时, $y$ 为增函数, 故 B 正确;
C. $\because y=\frac{1}{x}$, 当 $x>0$ 时, $y$ 为减函数, 故 C 错误;

D. 当 $x>0$ 时, $y=-|x|=-x$, 为减函数, 故 D 错误. 故选 B.
题目（高一 · 代数）：若函数 $y=x^{2}+(2 a-1) x+1$ 在区间 $(-\infty, 2]$ 上是减函数, 则实数 $a$ 的取值范围是 ( )
选项：
A. $\left(-\frac{3}{2},+\infty\right)$
B. $\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right]$
C. $(3,+\infty)$
D. $(-\infty,-3]$
答案：B
解析： $\because$ 函数 $y=x^{2}+(2 a-1) x+1$ 的图象是开口方向朝上, 以直线 $x=\frac{2 a-1}{-2}$ 为对称轴的扡物线,又 $\because$ 函数在区间 $(-\infty, 2]$ 上是减函数, 故 $2 \leq \frac{2 a-1}{-2}$, 解得 $a \leq-\frac{3}{2}$, 故选 B.
题目（高一 · 代数）：$f(x)$ 是定义在 $(0,+\infty)$ 上的增函数, 则不等式 $f(x)>f(8(x-2))$ 的解集是 $(\quad)$
选项：
A. $(0,+\infty)$
B. $(0,2)$
C. $(2,+\infty)$
D. $\left(2, \frac{16}{7}\right)$

!
答案：D
题目（高一 · 代数）：函数 $f(x)=\left|\log _{2} \frac{1}{2} x\right|$ 的单调递增区间是 $(\quad)$
选项：
A. $\left(0, \frac{1}{2}\right]$
B. $(0,1]$
C. $(0,+\infty)$
D. $[1,+\infty)$
答案：D
解析： $f(x)$ 的图象如图所示, 由图象可知单调递增区间为 $[1,+\infty)$.
题目（高一 · 代数）：已知 $\log _{a} \frac{1}{3}>\log _{b} \frac{1}{3}>0$, 则下列关系正确的是( )
选项：
A. $0<b<a<1$
B. $0<a<b<1$
C. $1<b<a$
D. $1<a<b$
答案：A
解析：由 $\log _{a} \frac{1}{3}>0, \log _{b} \frac{1}{3}>0$, 可知 $a, b \in(0,1)$, 又 $\log _{a} \frac{1}{3}>\log _{b} \frac{1}{3}$, 作出图象如图所示, 结合图象易知 $a>b, \quad \therefore 0<b<a<1$.
题目（高一 · 代数）：若函数 $f(x)=a^{x}+\log _{a}(x+1)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值和最小值之和为 $a$, 则 $a$ 的值为 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{2}$
C. 2
D. 4
答案：B
解析：当 $a>1$ 时, $a+\log _{a} 2+1=a, \log _{a} 2=-1, a=\frac{1}{2}$ (舍去).

当 $0<a<1$ 时, $1+a+\log _{a} 2=a$,

$\therefore \log _{a} 2=-1, \quad a=\frac{1}{2}$.
题目（高一 · 代数）：若 $\log _{a} \frac{3}{4}<1(a>0$ 且 $a \neq 1)$, 则实数 $a$ 的取值范围是( )
选项：
A. $\left(0, \frac{3}{4}\right)$
B. $\left(0, \frac{3}{4}\right) \cup(1,+\infty)$
C. $(1,+\infty)$
D. $(0,1)$
答案：B
解析：当 $a>1$ 时, $\log _{\frac{a}{4}}<0<1$, 成立。

当 $0<a<1$ 时, $y=\log _{a} x$ 为减函数. 21 世纪教育网

由 $\log _{a} \frac{3}{4}<1=\log _{a} a$, 得 $0<a<\frac{3}{4}$.综上所述, $0<a<\frac{3}{4}$ 或 $a>1$.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=2 \log \frac{1}{3} x$ 的值域为 $[-1,1]$, 则函数 $f(x)$ 的定义域是 $(\quad)$
选项：
A. $[-1,1]$
B. $\left[\frac{\sqrt{3}}{3}, \sqrt{3}\right]$
C. $\left[\frac{\sqrt{3}}{3}, 3\right]$
D. $[-3, \sqrt{3}]$
答案：B
解析：$-1 \leqslant 2 \log x \leqslant 1$, 得 $-\frac{1}{2} \leqslant$

$\log x \leqslant \frac{1}{2}$,

即 $\log \left(\frac{1}{3}\right)^{-\frac{1}{2}} \leqslant \log x \leqslant \log \left(\frac{1}{3}\right)^{\frac{1}{2}} ，$
解得 $\frac{\sqrt{3}}{3} \leqslant x \leqslant \sqrt{3}$.
题目（高一 · 代数）：函数 $f(x)=\left|\log _{\frac{1}{2}} x\right|$ 的单调递增区间是 $(\quad)$
选项：
A. $\left(0, \frac{1}{2}\right]$
B. $(0,1]$
C. $(0,+\infty)$
D. $[1,+\infty)$
答案：D
解析：$f(x)$ 的图象如图所示, 由图象可知单调递增区间为 $[1,+\infty)$.
题目（高一 · 代数）：已知 $y=\log _{a}(2-a x)$ 在 $[0,1]$ 上为 $x$ 的减函数, 则 $a$ 的取值范围为 $(\quad)$
选项：
A. $(0,1)$
B. $(1,2)$
C. $(0,2)$
D. $[2,+\infty)$
答案：B
解析：中隐含条件 $a>0$,

当 $a>0$ 时, $2-a x$ 为减函数,

故要使 $y=\log _{a}(2-a x)$ 在 $[0,1]$ 上是减函数,

则 $a>1$, 且 $2-a x$ 在 $x \in[0,1]$ 时恒为正数,

即 $2-a>0$, 故可得 $1<a<2$.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x(x+4), x<0, \\ x(x-4), x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 则该函数的零点的个数为 $(\quad)$
选项：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：C
解析：当 $x<0$ 时，令 $x(x+4)=0$ ，解得 $x=-4$ ；当 $x \geqslant 0$ 时，令 $x(x-4)=0$ ，解得 $x$ $=0$ 或 4. 综上，该函数的零点有 3 个.
题目（高一 · 代数）：设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+b x+c, x \leqslant 0, \\ 2, x>0,\end{array}\right.$ 若 $f(-4)=f(0), f(-2)=-2$, 则关于 $x$ 的方程 $f(x)$ $=x$ 的解的个数是 ( )
选项：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：C
解析：$[$ 因为 $f(-4)=f(0), f(-2)=-2$ ，

所以 $\left\{\begin{array}{l}16-4 b+c=c ｝ \\{4-2 b+c=-2 ｝ \end{array} \text { 解得 }\left\{\begin{array}{l}b=4 \text { ， } \\ c=2 .\end{array}\right.\end{array}\right.$

所以 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+4 x+2, x \leqslant 0, \\ 2, x>0 .\end{array}\right.$

当 $x>0$ 时，方程为 $x=2$ ，此时方程 $f(x)=x$ 只有 1 个解；

当 $x \leqslant 0$ 时，方程为 $x^{2}+4 x+2=x$ ，解得 $x=-1$ 或 $x=-2$ ，此时方程 $f(x)=x$ 有 2 个解. 所以方程 $f(x)=x$ 共有 3 个解.
题目（高一 · 代数）：函数 $f(x)=\ln (x+1)-\frac{2}{x}$ 的零点所在的大致区间是 $(\quad)$
选项：
A. $(1,2)$
B. $(0,1)$
C. $(2$, e)
D. $(3,4)$
答案：A
解析：$\left[f(1)=\ln 2-2=\ln \frac{2}{\mathrm{e}^{2}}<\ln 1=0\right.$ ，

$f(2)=\ln 3-1=\ln \frac{3}{\mathrm{e}}>\ln 1=0$,

所以函数 $f(x)=\ln (x+1)-\frac{2}{x}$ 的零点所在的大致区间是 $(1,2)$.
题目（高一 · 代数）：函数 $f(x)=x^{\frac{1}{2}}-\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ 的零点个数为 $(\quad)$
选项：
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：B
解析：令 $f(x)=0$, 可得 $x^{\frac{1}{2}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$, 在同一平面直角坐标系中分别画出幕函数 $y=x^{\frac{1}{2}}$ 和指数函数 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ 的图象，如图所示，可得交点只有一个，所以函数 $f(x)$ 的零点只有一个.]
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}2^{x}, x \geq a \\ -x, x<a\end{array}\right.$ 若函数 $f(x)$ 存在零点, 则实数 $\mathrm{a}$ 的取值范围是 ( )
选项：
A. $(-\infty, 0)$
B. $(0,+\infty)$
C. $(-\infty, 1)$
D. $(1,+\infty)$
答案：B
解析：指数函数 $y=2^{x}>0$, 没有零点, $y=-x$ 有唯一的零点 $x=0$,

所以若函数 $f(x)$ 存在零点,

须 $f(x)=-x(x<a)$ 有零点, 即 $0 \in(-\infty, a)$,

则 $a>0$,
题目（高一 · 代数）：函数 $f(x)=|x|+k$ 有两个零点, 则 $(\quad)$
选项：
A. $k=0$
B. $k>0$
C. $0 \leqslant k<1$
D. $k<0$
答案：D
解析：[在同一平面直角坐标系中画出 $y_{1}=|x|$ 和 $y_{2}=-k$ 的图象，如图所示. 若 $f(x)$有两个零点，则必有 $-k>0$ ，即 $k<0$.
题目（高一 · 代数）：已知 $f(x)=(x-a)(x-b)-2$, 并且 $\alpha, \beta$ 是函数 $f(x)$ 的两个零点, 则实数 $a, b, \alpha, \beta$ 的大小关系可能是 $(\quad)$
选项：
A. $a<\alpha<b<\beta$
B. $a<\alpha<\beta<b$
C. $\alpha<a<b<\beta$
D. $\alpha<a<\beta<b$
答案：C
解析：$[\because \alpha, \beta$ 是函数 $f(x)$ 的两个零点，

$\therefore f(\alpha)=f(\beta)=0$.

又 $f(a)=f(b)=-2<0$ ，结合二次函数的图象(如图所示)



可知 $a, b$ 必在 $\alpha, \beta$ 之间. 故选 C.]
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=\left(\frac{1}{3}\right)^{x}-\log _{2} x$, 若实数 $x_{0}$ 是函数 $f(x)$ 的零点, 且 $0<x_{1}<x_{0}$, 则 $f\left(x_{1}\right)$ 的值为 $(\quad)$
选项：
A. 恒为正值
B. 等于 0
C. 恒为负值
D. 不大于 0
答案：A
解析：$\left[\because\right.$ 函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上为减函数，且 $f\left(x_{0}\right)=0 ， \therefore$ 当 $x \in\left(0 ， x_{0}\right)$ 时，均有 $f(x)>0$ ，而 $0<x_{1}<x_{0}, \therefore f\left(x_{1}\right)>0$.]
题目（高一 · 代数）：函数 $y=x^{2}-3 x+2$ 的零点是 ( )
选项：
A. 1,2
B. $-1,-2$
C. $(1,0)$ 、 $(2,0)$
D. $(-1,0)$ 、 $(-2,0)$
答案：A
解析：由题意, 令 $x^{2}-3 x+2=0$, 解得 $x=1$ 或 $x=2$, 即函数 $y=x^{2}-3 x+2$ 的零点是 1,2 .

故答案为: A.

【分析】令 $x^{2}-3 x+2=0$, 求解即可.
题目（高一 · 代数）：若函数 $f(x)=\log _{3} x+x-3$ 的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下:

| $f(2)=-0.3691$ | $f(2.5)=0.3340$ |
| :--- | :--- |
| $f(2.25)=-0.0119$ | $f(2.375)=0.1624$ |
| $f(2.3125)=0.0756$ | $f(2.28125)=0.0319$ |

那么方程 $\log _{3} x+x-3=0$ 的一个近似根（精确度 $0.1 ＼mathrm{~) ~ 为 （ ） ~}$
选项：
A. 2.1
B. 2.2
c. 2.3
D. 2.4


A. $\left(0, \frac{1}{2}\right)$
B. $\left(\frac{1}{2}, 1\right]$
C. $(0,1]$
D. $(0,1)$
答案：C
解析：由函数 $f(x)=\log _{3 x+x-3}$ 为增函数,

由参考数据可得 $f(2.25) \cdot f(2.3125)<0$, 且 $|2.3125-2.25|=0.0625<0.1$,



也即方程 $\log _{3} x+x-3=0$ 根的近似值.

故答案为: C.

【分析】先研究函数 $f(x)=\log _{3} x+x-3$, 再利用函数的单调性, 结合二分法求函数零点, 由参考

数据可得 $f(2.25) \cdot f(2.3125)<0$, 且 $|2.3125-2.25|=0.0625<0.1$, 可得解.
题目（高一 · 代数）：某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 $10.4 \%$, 要增长到原来的 $x$ 倍, 需经过 $y$ 年, 则函数 $y=f(x)$的图象大致为( )
选项：
答案：D
解析：设该林区的森林原有蓄积量为 $a$, 由题意可得 $a x=a(1+0.104)^{y}$, 故 $y=\log _{1.104 x}(x \geqslant 1)$, 所以函数 $y=f(x)$ 的图象大致为 D 中图象, 故选 D.
题目（高一 · 代数）：下面对函数 $f(x)=\log x 、 g(x)=\left(\frac{1}{2}\right) x$, 与 $h(x)=x-\frac{1}{2}$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上的衰减情况说法正确的是 $(\quad)$
选项：
A. $f(x)$ 衰减速度越来越慢, $g(x)$ )衰减速度越来越快, $h(x)$ 衰减速度越来越慢
B. $f(x)$ 衰减速度越来越快, $g(x)$ 衰减速度越来越慢, $h(x)$ 衰减速度越来越快
C. $f(x)$ 衰减速度越来越慢, $g(x)$ 衰减速度越来越慢, $h(x)$ 衰减速度越来越慢
D. $f(x)$ 衰减速度越来越快, $g(x)$ )衰减速度越来越快, $h(x)$ 衰减速度越来越快
答案：C
解析：观察函数 $f(x)=\log x 、 g(x)=\left(\frac{1}{2}\right)$ 与 $h(x)=x^{-\frac{1}{2}}$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上的图象如图可知:



函数 $f(x)$ 的图象在区间 $(0,1)$ 上递减较快, 但递减速度逐渐变慢; 在区间 $(1,+\infty)$ 上, 递减较慢, 且越来越慢; 同样, 函数 $g(x)$ 的图象在区间 $(0,+\infty)$ 上, 递减较慢, 且递减速度越来越慢; 函数 $h(x)$ 的图象在区间 $(0,1)$ 上递减较快, 但递减速度变慢; 在区间 $(1,+\infty)$ 上, 递减较慢, 且越来越慢。故选 C.
题目（高一 · 代数）：$y_{1}=2^{x}, y_{2}=x^{2}, y_{3}=\log _{2} x$, 当 $2<x<4$ 时, 有 $(\quad)$
选项：
A. $y_{1}>y_{2}>y_{3}$
B. $y_{2}>y_{1}>y_{3}$
C. $y_{1}>y_{3}>y_{2}$
D. $y_{2}>y_{3}>y_{1}$
答案：B
解析：在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略), 在区间 $(2,4)$ 内, 从上到下图象依次对应的函数为 $y_{2}=x^{2}, y_{1}=2^{x}, y_{3}=\log _{2} x$, 故 $y_{2}>y_{1}>y_{3}$.
题目（高一 · 代数）：已知 $f(x)=3^{x^{-} b}(2 \leqslant x \leqslant 4, b$ 为常数)的图象经过点 $(2,1)$, 则 $f(x)$ 的值域是 $(\quad)$
选项：
A. $[9,81]$
B. $[3,9]$
C. $[1,9]$
D. $[1,+\infty)$
答案：C
解析：由题意可知 $f(2)=1$, 即 $3^{2-b}=1$, 解得 $b=2, \therefore f(x)=3^{x^{-}}$, 又 $2 \leqslant x \leqslant 4$, 故 $0 \leqslant x-2 \leqslant 2$, $\therefore f(x) \in[1,9]$, 故 $f(x)$ 的值域为 $[1,9]$.
题目（高一 · 代数）：函数 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{1-x}$ 的单调递增区间为( )
选项：
A. $(-\infty,+\infty)$
B. $(0,+\infty)$
C. $(1,+\infty)$
D. $(0,1)$
答案：A
解析： $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{1-x}=2^{x^{-1}}$, 因为 $y=x-1$ 在 $\boldsymbol{R}$ 上是递增的, 所以函数 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{1-x}$ 的单调递增区间为 $(-\infty,+\infty)$.
题目（高一 · 代数）：若函数 $f(x)=\frac{1}{2^{x}+1}$, 则该函数在 $(-\infty,+\infty)$ 上 $(\quad)$
选项：
A. 单调递减且无最小值

B. 单调递减且有最小值

C. 单调递增且无最大值

D. 单调递增且有最大值
答案：A
解析：函数 $f(x)=\frac{1}{2^{x}+1}$ 为减函数, $2^{x}+1>1$, 故 $f(x)=\frac{1}{2^{x}+1} \in(0,1)$, 无最值.
题目（高一 · 代数）：某食品的保鲜时间 $y$ (单位: 小时)与储藏温度 $x$ (单位: $\left.{ }^{\circ} \mathrm{C}\right)$ 满足函数关系 $y=\mathrm{e}^{k x+b}(\mathrm{e}=2.718 \cdots$ 为自然对数的底数, $k, b$ 为常数). 若该食品在 $0{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 的保鲜时间是 192 小时, 在 $22{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 的保鲜时间是 48 小时, 则该食品在 $33{ }^{\circ} \mathrm{C}$ 的保鲜时间是( )
选项：
A. 16 小时
B. 20 小时
C. 24 小时
D. 21 小时
答案：C
解析：由题意, $\left\{\begin{array}{l}192=\mathrm{e}^{b} \\ 48=\mathrm{e}^{22 k+b},\end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{l}192=\mathrm{e}^{b} \\ \frac{1}{2}=\mathrm{e}^{11 k},\end{array}\right.$ 于是当 $x=33$ 时, $y=\mathrm{e}^{33 k+b}=\left(\mathrm{e}^{11 k}\right)^{3} \cdot \mathrm{e}^{b}=\left(\frac{1}{2}\right)^{3} \times 192$ $=24$ (小时).
题目（高一 · 代数）：函数 $y=2^{x^{+}}$的图象是 ( )
选项：

A


B


C


$\mathrm{D}$
答案：A
解析：函数 $y=2^{x}$ 的图象是经过定点 $(0,1)$ 、在 $x$ 轴上方且呈上升趋势的曲线, 依据函数图象的画法可得函数 $y=2^{x+1}$ 的图象过点 $(0,2)$ 、在 $x$ 轴上方且呈上升趋势。
题目（高一 · 代数）：若函数 $f(x)=3^{x}+3^{-x}$ 与 $g(x)=3^{x}-3^{-x}$ 的定义域均为 $\mathbf{R}$, 则( )
选项：
A. $f(x)$ 与 $g(x)$ 均为偶函数
B. $f(x)$ 为偶函数, $g(x)$ 为奇函数
C. $f(x)$ 与 $g(x)$ 均为奇函数
D. $f(x)$ 为奇函数, $g(x)$ 为偶函数
答案：B
解析：因为 $f(x), g(x)$ 的定义域均为 $\mathbf{R}$, 且 $f(-x)=3^{-x}+3^{x}=f(x), g(-x)=3^{-x}-3^{x}=-g(x)$, 所以 $f(x)$ 为偶函数, $g(x)$ 为奇函数, 故选 $B$.
题目（高一 · 代数）：若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}a^{x}, x>1, \\ \left(4-\frac{a}{2}\right) x+2, x \leqslant 1\end{array}\right.$ 是 $\mathbf{R}$ 上的增函数, 则实数 $a$ 的取值范围为 $(\quad)$
选项：
A. $(1,+\infty)$
B. $(1,8)$
C. $(4,8)$
D. $[4,8)$
答案：D
解析：由题意得 $\left\{\begin{array}{l}a>1, \\ 4-\frac{a}{2}>0, \\ a \geqslant\left(4-\frac{a}{2}\right) \cdot 1+2,\end{array}\right.$

解得 $4 \leqslant a<8$.
题目（高一 · 代数）：若定义运算 $a \odot b=\left\{\begin{array}{ll}a, & a<b, \\ b, & a \geqslant b,\end{array}\right.$ 则函数 $f(x)=3^{x} \odot 3^{-x}$ 的值域是 $(\quad)$
选项：
A. $(0,1]$
B. $[1,+\infty)$
C. $(0,+\infty)$
D. $(-\infty,+\infty)$
答案：A
解析：解析: 法一: 选 A 当 $x>0$ 时, $3^{x}>3^{-x}, f(x)=3^{-x}$,

$f(x) \in(0,1)$; 当 $x=0$ 时, $f(x)=3^{x}=3^{-x}=1$;

当 $x<0$ 时, $3^{x}<3^{-x}, f(x)=3^{x}, f(x) \in(0,1)$.

综上, $f(x)$ 的值域是 $(0,1]$.

法二: 作出 $f(x)=3^{x} \odot 3^{-x}$ 的图象, 如图.

可知值域为 $(0,1]$.
题目（高一 · 代数）：已知实数 $a 、 b$ 满足等于 $\left(\frac{1}{2}\right) a=\left(\frac{1}{3}\right) b$, 给出下列五个关系式: (1) $0<b<a$; (2) $a<b<0$; (3) $0<a<b$; (4) $b$ $<a<0$; (5) $a=b$. 其中, 不可能成立的有( )
选项：
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
答案：B
解析：解析：选 $\mathrm{B}$ 作 $y=\left(\frac{1}{2}\right) \times$ 与 $y=\left(\frac{1}{3}\right) \times$ 的图象. 当 $a=b=0$ 时, $\left(\frac{1}{2}\right) a=\left(\frac{1}{3}\right) b=1$; 当 $a<b<0$ 时, 可以使 $\left(\frac{1}{2}\right) a$ $=\left(\frac{1}{3}\right)^{b}$; 当 $a>b>0$ 时, 也可以使 $\left(\frac{1}{2}\right)^{a}=\left(\frac{1}{3}\right)^{b}$. 故(1)(2)(5)都可能成立, 不可能成立的关系式是(3)(4).
题目（高一 · 代数）：设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, 集合 $A=\{1,2,3,5\}, B=\{2,4,6\}$, 则图 1-1-3 中的阴影部分表示的集合为( )



图 1-1-3
选项：
A. $\{2\}$
B. $\{4,6\}$
C. $\{1,3,5\}$
D. $\{4,6,7,8\}$
答案：B
解析：全集 $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$, 集合 $A=\{1,2,3,5\}, B=\{2,4,6\}$, 由 Venn 图可知阴影部分表示的集合为 $\left(\complement_{U} A\right) \cap B$,

$\because \complement_{U} A=\{4,6,7,8\}$.

$\therefore\left(\complement_{U} A\right) \cap B=\{4,6\}$. 故选 B.
题目（高一 · 代数）：设函数 $f(x), g(x)$ 的定义域都为 $\mathbf{R}$, 且 $f(x)$ 是奇函数, $g(x)$ 是偶函数, 则下列结论中正确的是 $(\quad)$
选项：
A. $f(x) g(x)$ 是偶函数
B. $|f(x)| g(x)$ 是奇函数
C. $f(x)|g(x)|$ 是奇函数
D. $|f(x) g(x)|$ 是奇函数
答案：C
解析： $\because f(x)$ 是奇函数, $g(x)$ 是偶函数, $\therefore|f(x)|$ 为偶函数, $|g(x)|$ 为偶函数.

再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数, 可得 $f(x)|g(x)|$ 为奇函数, 故选 C.
题目（高一 · 代数）：已知 $f(x)$ 是偶函数, 且在区间 $(0,+\infty)$ 上是增函数, 则 $f(-0.5), f(-1), f(0)$ 的大小关系是 $(\quad)$
选项：
A. $f(-0.5)<f(0)<f(1)$
B. $f(-1)<f(-0.5)<f(0)$
C. $f(0)<f(-0.5)<f(-1)$
D. $f(-1)<f(0)<f(-0.5)$
答案：C
解析： $\because$ 函数 $f(x)$ 为偶函数, $\therefore f(-0.5)=f(0.5), f(-1)=f(1)$. 又 $\because f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上是增函数, $\therefore f(0)<f(0.5)<f(1)$, 即 $f(0)<f(-0.5)<f(-1)$, 故选 C.
题目（高一 · 代数）：一个偶函数定义在区间 $[-7,7]$ 上, 它在 $[0,7]$ 上的图象如图 1-3-6, 下列说法正确的是( )



图 1-3-6
选项：
A. 这个函数仅有一个单调增区间

B. 这个函数有两个单调减区间

C. 这个函数在其定义域内有最大值是 7

D. 这个函数在其定义域内有最小值是 -7
答案：C
解析：根据偶函数在 $[0,7]$ 上的图象及其对称性, 作出在 $[-7,7]$ 上的图象, 如图所示, 可知这个函数有三个单调增区间; 有三个单调减区间; 在其定义域内有最大值是 7 ; 在其定义域内最小值不是 -7.

故选 C.
题目（高一 · 代数）：设 $f(x)$ 是 $(-\infty,+\infty)$ 上的奇函数, 且 $f(x+2)=-f(x)$, 当 $0 \leqslant x \leqslant 1$ 时, $f(x)=x$, 则 $f(7.5)$ 等于 $(\quad)$
选项：
A. 0.5
B. -0.5
C. 1.5
D. -1.5
答案：B
解析：由 $f(x+2)=-f(x)$, 则 $f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=-f(1.5)$ $=-f(-0.5+2)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5$.
题目（高一 · 代数）：下列函数中, 既是偶函数, 又是在区间 $(0,+\infty)$ 上单调递减的函数为 $(\quad)$
选项：
A. $y=\frac{1}{x^{2}}$
B. $y=\frac{1}{x}$
C. $y=x^{2}$
D. $y=x \frac{1}{3}$
答案：A
解析：易判断 $\mathrm{A}, \mathrm{C}$ 为偶函数, B, D 为奇函数, 但函数 $y=x^{2}$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增, 所以选 A.
题目（高一 · 代数）：已知 $f(x)=x^{5}+a x^{3}+b x-8$, 且 $f(-2)=10$, 则 $f(2)$ 等于 $(\quad)$
选项：
A. -26
B. -18
C. -10
D. 10
答案：A
解析：令 $g(x)=x^{5}+a x^{3}+b x$,

则 $g(-x)=-g(x), \therefore g(x)$ 为奇函数.

又 $f(x)=g(x)-8$,

$\therefore f(-2)=g(-2)-8=10 \Rightarrow g(-2)=18$.

$\therefore g(2)=-18$.

$\therefore f(2)=g(2)-8=-18-8=-26$.
题目（高一 · 代数）：设 $f(x)$ 为定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数. 当 $x \geqslant 0$ 时, $f(x)=2^{x}+2 x+b(b$ 为常数), 则 $f(-1)=(\quad)$
选项：
A. 3
B. 1
C. -1
D. -3
答案：D
解析：$f(x)$ 为定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数, 所以有 $f(0)=2^{0}+2 \times 0+b=0$, 解得 $b=-1$, 所以当 $x \geqslant 0$ 时, $f(x)=2^{x}+2 x-1$, 所以 $f(-1)=-f(1)=-\left(2^{1}+2 \times 1-1\right)=-3$.
题目（高一 · 代数）：函数 $f(x)=\log _{a}|x|+1(0<a<1)$ 的图象大致是（）
选项：
A.



C.



B.



D.


答案：A
解析：由题意, 函数 $f(x)=\log _{a}|x|+1(0<a<1)$ 是偶函数, 图象关于 $y$ 轴对称,

当 $x>0$ 时, $f(x)=\log _{a} x+1$ 为单调递减函数,

$x<0$ 时, $f(x)=\log _{a}(-x)+1$ 为单调递增函数,

再由函数 $f(x)$ 的图象过点 $(1,1),(-1,1)$, 应选 A 选项,

故选 A.
题目（高一 · 代数）：已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}(3 a-2) x+4 a, x<1 \\ \log _{a} x, x \geq 1\end{array}\right.$, 对任意 $x_{1}, x_{2} \in(-\infty,+\infty), x_{1} \neq x_{2}$, 都有 $\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}<0$,那么实数 $a$ 的取值范围是 （）
选项：
A. $(0,1)$
B. $\left(0, \frac{2}{3}\right)$
C. $\left[\frac{1}{7} \frac{1}{3}\right)$,
D. $\left[\frac{2}{7}, \frac{2}{3}\right)$
答案：D
解析：因为任意 $x_{1}, x_{2} \in(-\infty,+\infty), x_{1} \neq x_{2}$, 都有 $\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}<0$,
所以对任意的 $x_{1}<x_{2}$, 总有 $f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right)$ 即 $f(x)$ 为 $R$ 上的减函数,

所以 $\left\{\begin{array}{l}0<a<1 \\ 3 a-2<0 \\ 7 a-2 \geq 0\end{array}\right.$, 故 $\frac{2}{7} \leq a<\frac{2}{3}$, 故选 D.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=\log _{2}\left(x^{2}-2 x+a\right)$ 的最小值为 2 , 则 $a=(\quad)$
选项：
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
答案：B
解析：内层函数为 $u=x^{2}-2 x+a$, 外层函数为 $y=\log _{2} u$,

由于内层函数 $u=x^{2}-2 x+a$ 的减区间为 $(-\infty, 1)$, 增区间为 $(1,+\infty)$, 且外层函数为增函数,

所以，函数 $f(x)=\log _{2}\left(x^{2}-2 x+a\right)$ 的单调递减区间为 $(-\infty, 1)$, 单调递增区间为 $(1,+\infty)$,

所以, 函数 $y=f(x)$ 在 $x=1$ 处取得最小值, 即 $f(x)_{\text {min }}=f(1)=\log _{2}(a-1)=2$,

解得 $a=5$, 故选: B.
题目（高一 · 代数）：函数 $f(x)=\frac{3 x^{2}}{\sqrt{1-x}}+\sqrt{\lg (3 x+1)}$ 的定义域是 ( )
选项：
A. $\left(-\frac{1}{3},+\infty\right)$
B. $\left(-\frac{1}{3}, 1\right)$
C. $\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)$
D. $[0,1)$
答案：D
解析：由题意可得 $\left\{\begin{array}{l}1-x>0 \\ \lg (3 x+1) \geq 0=\lg 1 \\ 3 x+1>0\end{array}\right.$, 即 $\left\{\begin{array}{l}1-x>0 \\ 3 x+1 \geq 1\end{array}\right.$, 解得 $0 \leq x<1$,
因此, 函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $[0,1)$, 故选: D.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$, 则不等式 $f\left(a^{2}-4\right)>f(3 a)$ 的解集为 ( )
选项：
A. $(-4,1)$
B. $(-1,4)$
C. $(1,4)$
D. $(0,4)$
答案：B
解析：可知函数 $f(x)$ 为减函数, 由 $f\left(a^{2}-4\right)>f(3 a)$, 可得 $a^{2}-4<3 a$,

整理得 $a^{2}-3 a-4<0$, 解得 $-1<a<4$, 所以不等式的解集为 $(-1,4)$.

故选B.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)$ 是定义在 $\mathrm{R}$ 上的奇函数, 且当 $x \geq 0$ 时, $\mathrm{f}(x)=\log _{2}(x+2)-1$, 则 $f(-6)=(\quad)$
选项：
A. 2
B. 4
C. -2
D. -4
答案：C
解析：由题意可得 $f(6)=\log _{2}(6+2)-1=2$,

由于函数 $y=f(x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数, 所以, $f(-6)=-f(6)=-2$, 故选: C.
题目（高一 · 代数）：已知奇函数 $f(x)$ 是 $[0,+\infty)$ 上的减函数, $a=-f\left(\log _{2} 3\right), b=f\left(\log _{2} 3\right), c=f\left(\log _{3} 2\right)$, 则 $(\quad)$
选项：
A. $a<b<c$
B. $a<c<b$
C. $c<b<a$
D. $b<c<a$
答案：D
解析：由题意得 $a=-f\left(\log _{2} 3\right)=f\left(-\log _{2} 3\right)=f\left(\log _{2} \frac{1}{3}\right)$

$\because \log _{2} \frac{1}{3}<\log _{2} 1=0$

$\log _{2} 3>\log _{2} 2=1,0=\log _{3} 1<\log _{3} 2<\log _{2} 3=1$

$\therefore \log _{2} \frac{1}{3}<\log _{3} 2<\log _{2} 3$

$\because$ 奇函数 $f(x)$ 是 $[0,+\infty)$ 上为减函数

$\therefore f(x)$ 在 $R$ 上为减函数.

$\therefore a>c>b$
题目（高一 · 代数）：已知 $\log _{a} \frac{1}{4}<0,\left|\log _{b} a\right|=-\log _{b} a$, 则 $a, b$ 满足的关系式是 ( )
选项：
A. $a>1$, 且 $b>1$
B. $a>1$, 且 $0<b<1$
C. $b>1$, 且 $0<a<1$
D. $0<a<1$, 且 $0<b<1$
答案：B
解析： $\because \log _{a} \frac{1}{4}<0, \therefore a>1$,

$\because\left|\log _{b} a\right|=-\log _{b} a, \quad \therefore \log _{b} a<0$, 又 $_{a>1}, \quad \therefore 0<b<1$,

故选B.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x+2)=x^{2}$, 则 $f(x)$ 等于
选项：
A. $x^{2}+2$
B. $x^{2}-4 x+4$
C. $x^{2}-2$
D. $x^{2}+4 x+4$
答案：B
解析：

令 $x+2=t \therefore x=t-2 \therefore f(t)=(t-2)^{2} \therefore f(x)=(x-2)^{2}=x^{2}-4 x+4$, 选 B.
题目（高一 · 代数）：函数 $f(x)=x \ln |x|$ 的图象大致是（）
选项：
A.


B.


C.


D.


答案：D
解析：

函数 $f(x)=x \ln |x|$

则 $f(-x)=-x \ln |-x|=-x \ln |x|=-f(x)$, 即 $f(x)$ 为奇函数, 所以结合图像可排除 B.

当 $x \rightarrow+\infty$ 时, $f(x) \rightarrow+\infty$,结合图像可排除 C.

当 $x=0.01$ 时, $f(0.01)=0.01 \times \ln |0.01|<0$, 结合图像可排除 $\mathrm{A}$.

综上可知, $\mathrm{D}$ 为正确选项

故选:D
题目（高一 · 代数）：已知 $b>0, \log _{5} b=a, \lg b=c, 5^{d}=10$, 则下列等式一定成立的是 ( )
选项：
A. $d=a c$
B. $a=c d$
C. $c=a d$
D. $d=a+c$
答案：B
解析：

试题分析: $\log _{5} b=a, \lg b=c$ 相除得 $\frac{\log _{5} b}{\lg b}=\frac{a}{c}, \log _{5} 10=\frac{a}{c}$, 又 $5^{d}=10, \therefore \log _{5} 10=d$, 所以 $d=\frac{a}{c} \Rightarrow c d=a$. . 选 $\mathrm{B}$.
题目（高一 · 代数）：若函数 $y=\log _{a} x(a>0$, 且 $a \neq 1)$ 的图象如图所示, 则下列函数与其图象相符的是 ( )


选项：
A.


B.


C.


D.


答案：B
解析：

由函数 $y=\log _{a} x(a>0$, 且 $a \neq 1)$ 的图象可知, 函数 $a=3$, 则下图中对于选项 A, $y=3^{-x}$ 是减函数, 所以 $\mathrm{A}$ 错误; 对于选项 B, $y=x^{3}$ 的图象是正确的; 对 C, $y=(-x)^{a}=-x^{3}$ 是减函数, 故 C 错; 对 D, 函数 $y=\log _{3}(-x)$ 是减函数, 故 D 错误。

故选 B
题目（高一 · 代数）：函数 $f(x)=\log _{2}\left(3^{x}+1\right)$ 的值域为 $(\quad)$
选项：
A. $(0,+\infty)$
B. $[0,+\infty)$
C. $(1,+\infty)$
D. $[1,+\infty)$
答案：A
解析：

$\because 3^{x}>0, \therefore 3^{x}+1>1, \therefore \log _{2}\left(3^{x}+1\right)>0, \therefore$ 函数 $f(x)$ 的值域为 $(0,+\infty)$.

故选: A
题目（高一 · 代数）：设集合 $A=\left\{y \mid y=2^{x}, x \in R\right\}, B=\left\{x \mid x^{2}-1<0\right\}$, 则 $A \cup B=(\quad)$
选项：
A. $(-1,1)$
B. $(0,1)$
C. $(-1,+\infty)$
D. $(0,+\infty)$
答案：C
解析：

$A=\left\{y \mid y=2^{x}, x \in R\right\}=\{y|y\rangle 0\}$.

$B=\left\{x \mid x^{2}-1\langle 0\}=\{x \mid-1\langle x<1\}, \therefore A \cup B=\{x|x\rangle 0\} \cup\{x \mid-1\langle x<1\}=\{x|x\rangle-1\}\right.$, 故选 C.
题目（高一 · 代数）：函数 $f(x)=\log _{\frac{1}{2}}\left(x^{2}-4\right)$ 的单调递增区间为 $(\quad)$
选项：
A. $(0,+\infty)$ !
B. $(-\infty, 0)$
C. $(2,+\infty)$
D. $(-\infty,-2)$
答案：D
解析：

由 x^2-4>0 可得 x<-2 或 x>2,

therefore 函数 f(x) 的定义域为 (-infty,-2) cup(2,+infty).

设 t(x)=x^2-4, 则 t(x) 在 (-infty,-2) 上单调递减,

又函数 y=log _frac12 t 为减函数,

therefore 函数 f(x)=log _frac12left(x^2-4right) 在 (-infty,-2) 上单调递增,

therefore 函数 f(x) 的单调递增区间为 (-infty,-2).

故选 D.
题目（高一 · 代数）：定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数 $f(x)$, 对 $\forall x_{1}, x_{2} \in(-\infty, 0)$, 且 $x_{1} \neq x_{2}$, 有 $\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}>0$ 成立, 已知 $a=f(\ln \pi), b=f\left(e^{-\frac{1}{2}}\right), c=f\left(\log _{2} \frac{1}{6}\right)$, 则 $a, b, c$ 的大小关系为 ( )
选项：
A. $b>a>c$
B. $b>c>a$
C. $c>b>a$
D. $c>a>b$
答案：A
解析：对 $\forall x_{1}, x_{2} \in(-\infty, 0)$, 且 $x_{1} \neq x_{2}$, 有 $\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)}{x_{2}-x_{1}}>0$

$f(x)$ 在 $x \in(-\infty, 0)$ 上递增
因为定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数 $f(x)$

所以 $f(x)$ 在 $x \in(0,+\infty)$ 上递减

又因为 $\left|\log _{2} \frac{1}{6}\right|=\log _{2} 6>2, \quad 1<\ln \pi<2, \quad 0<e^{-\frac{1}{2}}<1$

所以 $b>a>c$

故选: A
题目（高一 · 代数）：设 $f(x)$ 是定义在实数集 $R$ 上的函数, 满足条件 $f(x-1)=f(-x-1)$, 且当 $x \leq-1$ 时, $f(x)=e^{-x}+m(m \in R)$, 则 $a=f\left(-\log _{2} 7\right), b=f\left(-3^{-\frac{2}{3}}\right), c=f\left(-3^{-1.3}\right)$ 的大小关系是 ( )
选项：
A. $a>b>c$
B. $a>c>b$
C. $b>a>c$
D. $c>b>a$
答案：B
解析：$\because f(x-1)=f(-x-1), \therefore$ 函数 $f(x)$ 的图象关于 $x=-1$ 对称,

又 $\because$ 当 $x \leq-1$ 时, $f(x)=e^{-x}+m(m \in R)$, 函数在 $(-\infty,-1)$ 时单调递减,

$\therefore$ 函数 $f(x)$ 在 $(-1,+\infty)$ 上单调递增,

$\therefore a=f\left(-\log _{2} 7\right)=f\left(-2+\log _{2} 7\right)=f\left(\log _{2} \frac{7}{4}\right)$,

又 $\because 0<\log _{2} \frac{7}{4}<1, \quad 0<3^{-1.5}<3^{-\frac{2}{3}}<3^{0}=1$

即 $-1<-3^{-\frac{2}{3}}<-3^{-1.5}<0$,

$\therefore f\left(\log _{2} \frac{7}{4}\right)>f\left(-3^{-1.5}\right)>f\left(-3^{-\frac{2}{3}}\right)$, 即 $a>c>b$,

故答案为: B.
【分析】由 $f(x-1)=f(-x-1)$ 得图象关于 $x=-1$ 对称, 由题意易得 $x \in(-1,+\infty)$ 时, 函数单调递增, 将 $a=f\left(-\log _{2} 7\right)_{\text {转化到区间 }}(-1,+\infty)$ 上, 借助函数的单调性判断大小即可.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=(m-1)^{2} x^{2}-4 m+2$ 是在 $(0,+\infty)$ 上单调递增的幂函数, 则 $m=$
选项：
A. 0 或 4
B. 0 或 2
C. 0
D. 2
答案：C
解析：$\because f(x)$ 是幂函数,

$\therefore(m-1)^{2}=1$, 得 $m=0$, 或 $m=2$,

$\because f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增,

$\therefore m^{2}-4 m+2>0$,

则当 $m=0$ 时, $2>0$ 成立,

当 $m=2$ 时, $4-8+2=-2$, 不成立,

故选 C.

【分析】根据幂函数的定义求出 $m$ 的值，结合幂函数的单调性进行求解即可.
题目（高一 · 代数）：函数 $y=\log _{a}(2 x-1)+3(a>0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象必过点 $(\quad)$
选项：
A. $\left(\frac{1}{2}, 4\right)$
B. $(1,3)$
C. $f^{\prime}(x)=0$
D. $(1,4)$
答案：B
解析：当 $x=1$ 时, $2 x-1=1$, 则 $y=\log _{a} 1+3=0+3=3$,

$\therefore$ 函数 $y=\log _{a}(2 x-1)+3$ 的图像必过点 $(1,3)$.

故答案为: $\mathrm{B}$