eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 三棱雉 $P-A B C$ 中, 已知 $\triangle A B C$ 是等腰直角三角形, $\angle A B C=90^{\circ}, \triangle P A C$ 是直角三角形, $\angle P A C=90^{\circ}, \angle A C P=30^{\circ}$, 平面 $P A C \perp$ 平面 $A B C$,



求证: 平面 $P A B \perp$ 平面 $P B C$.
选项：
答案：$\because$ 平面 $P A C \perp$ 平面 $A B C$ ，平面 $P A C \cap$ 平面 $A B C=A C ， P A \perp A C ， P A C$ 平面 $P A C$ ，

$\therefore P A \perp$ 平面 $A B C$.

又 $B C \subset$ 平面 $A B C$ ，

$\therefore P A \perp B C$.

又 $\because A B \perp B C ， A B \cap P A=A, A B \subset$ 平面 $P A B$ ，

$P A \subset$ 平面 $P A B$,

$\therefore B C \perp$ 平面 $P A B$.
又 $B C \subset$ 平面 $P B C$ ，

$\therefore$ 平面 $P A B \perp$ 平面 $P B C$.
解析：$\because$ 平面 $P A C \perp$ 平面 $A B C$ ，平面 $P A C \cap$ 平面 $A B C=A C ， P A \perp A C ， P A C$ 平面 $P A C$ ，

$\therefore P A \perp$ 平面 $A B C$.

又 $B C \subset$ 平面 $A B C$ ，

$\therefore P A \perp B C$.

又 $\because A B \perp B C ， A B \cap P A=A, A B \subset$ 平面 $P A B$ ，

$P A \subset$ 平面 $P A B$,

$\therefore B C \perp$ 平面 $P A B$.
又 $B C \subset$ 平面 $P B C$ ，

$\therefore$ 平面 $P A B \perp$ 平面 $P B C$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 在四棱雉 $P-A B C D$ 中, $A B / / C D, A B \perp A D, C D=2 A B$, 平面 $P A D \perp$ 底面 $A B C D$, $P A \perp A D, E$ 和 $F$ 分别是 $C D$ 和 $P C$ 的中点.



求证:

(1)PA $\perp$ 底面 $A B C D$;

(2) $B E / /$ 平面 $P A D$;

(3)平面 $B E F \perp$ 平面 $P C D$.
选项：
答案：(1) $\because$ 平面 $P A D \perp$ 底面 $A B C D ，$ 平面 $P A D \cap$ 底面 $A B C D=A D ， P A \subset$ 平面 $P A D ， P A \perp A D ，$

$\therefore P A \perp$ 底面 $A B C D$.

(2) $\because A B / / C D, C D=2 A B, E$ 是 $C D$ 的中点，

$\therefore A B / / D E$ ，且 $A B=D E$ ，

$\therefore$ 四边形 $A B E D$ 为平行四边形. $\therefore B E / / A D$.

又 $\because B E$ 平面 $P A D, A D \subset$ 平面 $P A D, \therefore B E / /$ 平面 $P A D$.

(3) $\because A B \perp A D$ ，四边形 $A B E D$ 为矩形，

$\therefore B E \perp C D, A D \perp C D$.

由(1)知 $P A \perp$ 底面 $A B C D ， \therefore P A \perp C D$.

$\because P A \cap A D=A, P A, A D \subset$ 平面 $P A D ，$

$\therefore C D \perp$ 平面 $P A D ， \therefore C D \perp P D$.

$\because E$ 和 $F$ 分别是 $C D$ 和 $P C$ 的中点，

$\therefore P D / / E F, \therefore C D \perp E F$.

$\because C D \perp B E, E F \cap B E=E, E F, B E \subset$ 平面 $B E F, \therefore C D \perp$ 平面 $B E F$.

$\because C D \subset$ 平面 $P C D ， \therefore$ 平面 $B E F \perp$ 平面 $P C D$.
解析：(1) $\because$ 平面 $P A D \perp$ 底面 $A B C D ，$ 平面 $P A D \cap$ 底面 $A B C D=A D ， P A \subset$ 平面 $P A D ， P A \perp A D ，$

$\therefore P A \perp$ 底面 $A B C D$.

(2) $\because A B / / C D, C D=2 A B, E$ 是 $C D$ 的中点，

$\therefore A B / / D E$ ，且 $A B=D E$ ，

$\therefore$ 四边形 $A B E D$ 为平行四边形. $\therefore B E / / A D$.

又 $\because B E$ 平面 $P A D, A D \subset$ 平面 $P A D, \therefore B E / /$ 平面 $P A D$.

(3) $\because A B \perp A D$ ，四边形 $A B E D$ 为矩形，

$\therefore B E \perp C D, A D \perp C D$.

由(1)知 $P A \perp$ 底面 $A B C D ， \therefore P A \perp C D$.

$\because P A \cap A D=A, P A, A D \subset$ 平面 $P A D ，$

$\therefore C D \perp$ 平面 $P A D ， \therefore C D \perp P D$.

$\because E$ 和 $F$ 分别是 $C D$ 和 $P C$ 的中点，

$\therefore P D / / E F, \therefore C D \perp E F$.

$\because C D \perp B E, E F \cap B E=E, E F, B E \subset$ 平面 $B E F, \therefore C D \perp$ 平面 $B E F$.

$\because C D \subset$ 平面 $P C D ， \therefore$ 平面 $B E F \perp$ 平面 $P C D$.
题目（高一 · 立体几何学）：(2020 秋 - 河南期中）已知在边长为 2 的正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 、中, 点 $E, F, G$ 分别为 $A A_{1}$, $A_{1} B_{1}, A_{1} D_{1}$ 的中点.

( I ) 从 $A, B_{1}, D_{1}, E, F, G$ 这六个点中任取四点, 求这四点共面的概率;

(II ) 点 $P$ 为正方形 $A B C D$ 内的任意一点, 求点 $P$ 在以 $A_{1}$ 为球心, $\sqrt{6}$ 为半径的球内的概率.
选项：
答案：解: (I) 从这 6 个点中随机选取 4 个点的所有可能结果

与从这 6 个点中随机选取 2 个点的所有可能结果相同,

即 $A B_{1}, A D_{1}, A E, A F, A G, B_{1} D_{1} B_{1} E, B_{1} F, B_{1} G, D_{1} E, D_{1} F, D_{1} G$,

$E F, E G, F G$ ，共 15 种,

根据题意可知, 四点共面的情况只有 $A E G D_{1}, B_{1} F G D, A E F B_{1}$, 共 3 种,

故四点共面的概率为 $\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$;

(II) 根据题意可知, 点 $P$ 为正方形 $A B C D$ 内的任意以点,

故点 $P$ 的轨迹面积为 4 ,

$\because$ 满足条件的点 $P$ 在以 $A_{1}$ 为球心, $\sqrt{6}$ 为半径的球内,

故 $A_{1} P \leq \sqrt{6}$, 即 $\sqrt{A A_{1}{ }^{2}+A P^{2}} \leq \sqrt{6}$, 故 $A P \leq \sqrt{2}$,

故满足条件的点 $P$ 的轨迹面积为 $\frac{1}{4} \pi \times(\sqrt{2})^{2}=\frac{\pi}{2}$,

故所求的概率为 $\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8}$.
解析：解: (I) 从这 6 个点中随机选取 4 个点的所有可能结果

与从这 6 个点中随机选取 2 个点的所有可能结果相同,

即 $A B_{1}, A D_{1}, A E, A F, A G, B_{1} D_{1} B_{1} E, B_{1} F, B_{1} G, D_{1} E, D_{1} F, D_{1} G$,

$E F, E G, F G$ ，共 15 种,

根据题意可知, 四点共面的情况只有 $A E G D_{1}, B_{1} F G D, A E F B_{1}$, 共 3 种,

故四点共面的概率为 $\frac{3}{15}=\frac{1}{5}$;

(II) 根据题意可知, 点 $P$ 为正方形 $A B C D$ 内的任意以点,

故点 $P$ 的轨迹面积为 4 ,

$\because$ 满足条件的点 $P$ 在以 $A_{1}$ 为球心, $\sqrt{6}$ 为半径的球内,

故 $A_{1} P \leq \sqrt{6}$, 即 $\sqrt{A A_{1}{ }^{2}+A P^{2}} \leq \sqrt{6}$, 故 $A P \leq \sqrt{2}$,

故满足条件的点 $P$ 的轨迹面积为 $\frac{1}{4} \pi \times(\sqrt{2})^{2}=\frac{\pi}{2}$,

故所求的概率为 $\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{8}$.
题目（高一 · 立体几何学）：已知正三棱柱 (底面为正三角形的直三棱柱) 的高为 $\mathrm{h}$, 底面边长为 $\mathrm{a}$, 编写程序求正三棱柱的体积和表面积。
选项：
答案：PUT "a, $\mathrm{h}=$ " $; \mathrm{a}, \mathrm{h}$
$\mathrm{V}=\mathrm{SQR}(3) * \mathrm{a}^{\wedge} 2 * \mathrm{~h} / 4$
$\mathrm{~S}=\mathrm{SQR}(3) * \mathrm{a}^{\wedge} 2 / 2+3 * \mathrm{a} * \mathrm{~h}$
PRINT V, S
END
解析：PUT "a, $\mathrm{h}=$ " $; \mathrm{a}, \mathrm{h}$
$\mathrm{V}=\mathrm{SQR}(3) * \mathrm{a}^{\wedge} 2 * \mathrm{~h} / 4$
$\mathrm{~S}=\mathrm{SQR}(3) * \mathrm{a}^{\wedge} 2 / 2+3 * \mathrm{a} * \mathrm{~h}$
PRINT V, S
END
题目（高一 · 立体几何学）：已知一个圆柱的底面半径为 $\mathrm{R}$, 高为 $\mathrm{h}$, 求圆柱的体积. 设计一个解决该问题的算法,并画出相应的程序框图.
选项：
答案：第一步, $S=0$.

第二步, $i=2$.

第三步, $S=S+i$

第四步, $i=i+2$.
第五步, 如果 $i>100$ 成立, 则输出 $S$; 否则, 返回第三步。

相应的程序框图如图所示

<ImageHere>
解析：第一步, $S=0$.

第二步, $i=2$.

第三步, $S=S+i$

第四步, $i=i+2$.
第五步, 如果 $i>100$ 成立, 则输出 $S$; 否则, 返回第三步。

相应的程序框图如图所示
题目（高一 · 立体几何学）：已知正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $\mathrm{a}$, 在正方体内随机取一点 $\mathrm{M}$.

(1) 求点 $M$ 落在三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 内的概率 $P_{1}$;

(2) 求点 $M$ 落在三棱雉 $B-A_{1} B_{1} C_{1}$ 内的概率 $P_{2}$;

(3) 求点 $\mathrm{M}$ 到面 $\mathrm{ABCD}$ 的距离大于号的概率 $P_{3}$;

(4) 求点 $M$ 到面 $\mathrm{ABCD}$ 及面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的距离都大于 $\frac{a}{3}$ 的概率 $P_{4}$
选项：
答案：) $\because V_{\text {三蓺椎 } A B C-A_{1} B_{1} C_{1}}=\frac{1}{2} a^{2} \cdot a=\frac{1}{2} a^{3}$, 所求概率 $P_{1}=\frac{\frac{1}{2} a^{3}}{a^{3}}=\frac{1}{2}$

(2) $\because V_{\text {三棱柱 } B-A_{1} B_{1} C_{1}}=\frac{1}{3} \cdot S_{\triangle A_{1} B_{1} C_{1}} \cdot B B_{1}=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} a^{2} \cdot a=\frac{1}{6} a^{3}$, 所求概率 $P_{2}=\frac{1}{6}$

(3) 所求概率 $P_{3}=\frac{a-\frac{a}{3}}{a}=\frac{2}{3}$

(4) 所求概率 $P_{4}=\frac{a-\frac{a}{3}-\frac{a}{3}}{a}=\frac{1}{3}$
解析：) $\because V_{\text {三蓺椎 } A B C-A_{1} B_{1} C_{1}}=\frac{1}{2} a^{2} \cdot a=\frac{1}{2} a^{3}$, 所求概率 $P_{1}=\frac{\frac{1}{2} a^{3}}{a^{3}}=\frac{1}{2}$

(2) $\because V_{\text {三棱柱 } B-A_{1} B_{1} C_{1}}=\frac{1}{3} \cdot S_{\triangle A_{1} B_{1} C_{1}} \cdot B B_{1}=\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} a^{2} \cdot a=\frac{1}{6} a^{3}$, 所求概率 $P_{2}=\frac{1}{6}$

(3) 所求概率 $P_{3}=\frac{a-\frac{a}{3}}{a}=\frac{2}{3}$

(4) 所求概率 $P_{4}=\frac{a-\frac{a}{3}-\frac{a}{3}}{a}=\frac{1}{3}$
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示的几何体中, 四边形 $A A_{1} B_{1} B$ 是边长为 3 的正方形, $C C_{1}=2, C C_{1} / / A A_{1}$, 这个几何体是棱柱吗? 若是, 指出是几棱柱; 若不是, 请你试用一个平面截去一部分, 使剩余部分是一个侧棱长为 2 的三棱柱, 并指出截去的几何体的特征, 在立体图形中画出截面.


选项：
答案：体不是棱柱;截去的部分是一个四棱雉;作图见解析
解析：【分析】

判断一个几何体是不是棱柱, 要从棱柱的结构特征出发进行推理和判断.

## 【详解】

这个几何体不是棱柱.因为没有平行的两个平面.



在四边形 $A A_{1} B_{1} B$ 中, 在 $A A_{1}$ 上取点 $E$, 使 $A E=2$, 在 $B B_{1}$ 上取点 $F$, 使 $B F=2$, 连接 $C_{1} E, E F, F C_{1}$,
则过点 $C_{1}, E, F$ 的截面将几何体分成两部分, 其中一部分是三棱柱 $A B C-E F C_{1}$, 其侧棱长为 2.截去的部分是一个四棱雉 $C_{1}-E A_{1} B_{1} F$, 如图所示.

## 【点睛】

本题主要考查棱柱的结构特征, 棱柱是有两个面平行, 其余相邻面的交线平行这两个典型特征, 侧重考查概念辨析能力.
题目（高一 · 立体几何学）：已知 $O A$ 为球 $O$ 的半径, 过 $O A$ 的中点 $M$ 且垂直于 $O A$ 的平面截球面得到圆 $M$.

(1) 若 $O A=1$, 求圆 $M$ 的面积;

(2) 若圆 $M$ 的面积为 $3 \pi$, 求 $O A$.
选项：
答案：) $\frac{3}{4} \pi$; (2) 2
解析：【分析】

（1）根据球的性质, 截面的圆心为中点 $M$, 由已知, 赇出圆 $M$ 半径, 即可求解;

（2）由 $M$ 的面积, 求出圆 $M$ 半径, 利用勾股定理, 即可求出结论.

## 【详解】

(1) 若 $O A=1$, 则 $O M=\frac{1}{2}$

故圆 $M$ 的半径 $r=\sqrt{O A^{2}-O M^{2}}=\sqrt{1^{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

所以圆 $M$ 的面积 $S=\pi r^{2}=\frac{3}{4} \pi$

(2) 因为圆 $M$ 的面积为 $3 \pi$,

所以圆 $M$ 的半径 $r=\sqrt{3}$,

则 $O A^{2}=\left(\frac{O A}{2}\right)^{2}+3$

所以 $\frac{3}{4} O A^{2}=3$, 所以 $O A^{2}=4$,

所以 $O A=2$

## 【点睛】

本题考查球的性质, 注意截面圆半径、球心与截面圆圆心连线以及球半径关系, 属于基础题.
题目（高一 · 立体几何学）：圆雉底面半径为 $1 \mathrm{~cm}$, 高为 $\sqrt{2} \mathrm{~cm}$, 其中有一个内接正方体, 求这个内接正方体的棱长.
选项：
答案：frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{~cm}$.
解析：试题分析：画出图形，设出棱长，根据三角形相似，列出比例关系, 求出棱长即可.

试题解析：过圆雉的顶点 $S$ 和正方体底面的一条对角线 $C D$ 作圆雉的截面, 得圆锥的轴截面 $S E F$,正方体对角面 $C D D_{1} C_{1}$, 如图所示.

设正方体棱长为 $x$, 恻 $C C_{1}=x, C_{1} D_{1}=\sqrt{2} x$,

作 $S O \perp E F$ 于 $O$, 则 $S O=\sqrt{2}, O E=1$,

$\because \Delta E C C_{1} \sim \Delta E O S, \therefore \frac{C C_{1}}{S O}=\frac{E C_{1}}{E O}$, 即 $\frac{x}{\sqrt{2}}=\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2} x}{1}$,

$\therefore x=\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{~cm}$, 即内接正方体棱长为 $\frac{\sqrt{2}}{2} \mathrm{~cm}$.



考点: 简单组合体的结构特征.
题目（高一 · 立体几何学）：小明设计了一款正四棱雉形状的包装盒, 如图所示, $A B C D$ 是边长为 $40 \mathrm{~cm}$ 的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形, 再沿虚线折起, 使得 $A B C D$ 四个点重合于图中的点 $P$,正好形成一个正四棱雉形状的包装盒, 设正四棱雉底面正方形的边长为 $x \mathrm{~cm}$.


（1）试用 $X$ 表示该四棱雉的高度 $h$, 并指出 $X$ 的取值范围;

（2）若要求侧面积不小于 $600 \mathrm{~cm}^{2}$, 求该四棱雉的高度的最大值, 并指出此时该包装盒的容积.
选项：
答案：) $h=\sqrt{800-20 \sqrt{2} x}, x \in(0,20 \sqrt{2})$; (2) $h_{\text {max }}=20, \frac{4000}{3}$.
解析：【分析】

(1) 设正四棱雉侧面等腰三角形高为 $h^{\prime}$, 由正方形 $A B C D$, 可得 $x+2 h^{\prime}=40 \sqrt{2}$, 再由 $\frac{x}{2}, h, h^{\prime}$ 组成直角三角形, 即可得到 $X, h$ 关系, 进而求出 $X$ 的范围;

(2) 利用 (1) 中 $x, h^{\prime}$ 关系, 求出侧面积关于 $x$ 的函数, 进一步求出满足条件的 $X$ 范围, 可求出 $h$ 的最大值，即可求出结论.

## 【详解】

(1) 设正四棱雉侧面等腰三角形高为 $h^{\prime}$, 在正方形 $A B C D$ 中, $x+2 h^{\prime}=40 \sqrt{2}, \therefore h^{\prime}=20 \sqrt{2}-\frac{x}{2}$,在四棱雉中, $h^{\prime 2}=\left(\frac{x}{2}\right)^{2}+h^{2}, \therefore\left(20 \sqrt{2}-\frac{x}{2}\right)^{2}=\frac{x^{2}}{4}+h^{2}$,

$$
\begin{gathered}
h^{2}=800-20 \sqrt{2} x, \therefore h=\sqrt{800-20 \sqrt{2} x} \\
\because h^{2}=800-20 \sqrt{2} x>0, \therefore 0<x<20 \sqrt{2} \\
\therefore h=\sqrt{800-20 \sqrt{2} x}, x \in(0,20 \sqrt{2})
\end{gathered}
$$

(2) 四棱雉的侧面积 $S=4 \times \frac{1}{2} x h^{\prime}=2 x\left(20 \sqrt{2}-\frac{x}{2}\right)=-x^{2}+40 \sqrt{2} x \geq 600$,
$x^{2}-40 \sqrt{2} x+600 \leq 0$, 解得 $10 \sqrt{2} \leq x \leq 30 \sqrt{2}, \because 0<x<20 \sqrt{2}$,

$\therefore 10 \sqrt{2} \leq x<20 \sqrt{2}$, 当 $x=10 \sqrt{2}$ 时,

$h_{\max }=\sqrt{800-20 \sqrt{2} \times 10 \sqrt{2}}=20$,

此时包装盒的容积为 $V=\frac{1}{3} x^{2} h=\frac{1}{3} \times(10 \sqrt{2})^{2} \times 20=\frac{4000}{3}$,

所以满足条件的四棱雉的高度的最大值为 20 ,

此时该包装盒的容积为 $\frac{4000}{3}$.

## 【点睛】

本题考查函数的应用问题、正方形和正四棱雉的性质、一元二次不等式、一次函数最值, 意在考查直观想象、数学建模、数学计算能力, 属于中档题,
题目（高一 · 立体几何学）：三棱台 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, 已知 $A B=10$, 棱台一个侧面梯形的面积为 $\frac{20 \sqrt{3}}{3}, O_{1}, O$ 分别为上、下底面正三角形的中心, 连接 $A_{1} O_{1}, A O$ 并延长, 分别交 $B_{1} C_{1}, B C$ 于点 $D_{1}, D$, $\angle D_{1} D A=60^{\circ}$, 求上底面的边长.


选项：
答案：\sqrt{15}$
解析：【分析】

由题意, 可设上底面边长为 $x$, 利用题中所给侧面梯形面积列方程, 求 $x$ 值即可.

## 【详解】

$\because A B=10, \therefore A D=\frac{\sqrt{3}}{2} A B=5 \sqrt{3}, O D=\frac{1}{3} A D=\frac{5 \sqrt{3}}{3}$.

: 设上底面的边长为 $x(x>0)$, 则 $O_{1} D_{1}=\frac{\sqrt{3}}{6} x$.

如图所示, 连接 $O_{1} O$, 过 $D_{1}$ 作 $D_{1} H \perp A D$ 于点 $H$, 则四边形 $O H D_{1} O_{1}$ 为矩形, 且 $O H=O_{1} D_{1}=\frac{\sqrt{3}}{6} x$.



$\therefore D H=O D-O H=\frac{5 \sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{6} x$,

在 Rt $\triangle D_{1} D H$ 中, $D_{1} D=\frac{D H}{\cos 60^{\circ}}=2\left(\frac{5 \sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{6} x\right)$.

四边形 $B_{1} C_{1} C B$ 的面积为 $\frac{1}{2}\left(B_{1} C_{1}+B C\right) \cdot D_{1} D$ ，

$\therefore \frac{20 \sqrt{3}}{3}=\frac{1}{2}(x+10) \times 2\left(\frac{5 \sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{3}}{6} x\right)$,

即 $40=(x+10)(10-x)$,

$\therefore x=2 \sqrt{15}$, 故上底面的边长为 $2 \sqrt{15}$.

## 【点睛】

本题考查正棱台几何性质, 空间想象能力, 计算能力, 属于中等题型.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 说出图中两个几何体的结构特征.

(1)



(2)


选项：
答案：) 由圆雉和圆台组合而成的简单组合体. (2) 由四棱柱和四棱雉组合而成的简单组合体.
解析：【分析】

逐一分析组合体是由哪些柱体、雉体或台体构成的.

## 【详解】

(1) 由圆雉和圆台组合而成的简单组合体

(2) 由四棱柱和四棱雉组合.而成的简单组合体:

【点睛】

本题考查组合体的构成情况, 考查组合体结构特征, 属于基础题.
题目（高一 · 立体几何学）：试指出图中组成各几何体的基本元素.



(1)



(2)
选项：
答案：) 几何体由 6 个顶点、 12 条棱和 8 个面组成 (2) 几何体由 6 个顶点、 10 条棱和 6 个面组成
解析：【分析】

由组成空间几何体的基本元素为点、线、面可作答.

## 【详解】

(1) 是由两个四棱雉组成的，有 6 个顶点、 12 条棱和 8 个面组成.

(2)是由两个锥体组合而成, 有 6 个顶点、 10 条棱和 6 个面组成.

## 【点睛】

本题考查对空间几何体的基本元素的认识，属于基础题.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 四边形 $A B C D$ 为直角梯形, 试作出绕其各条边所在的直线旋转所得到的几何体.


选项：
答案：析
解析：【分析】

确定旋转直线, 根据其余各边与旋转直线的关系, 结合圆柱、圆雉、圆台定义, 即可求出结论.

## 【详解】

以边 $A D$ 所在直线为轴旋转, 形成的几何体是一个圆台,

如图 (1) 所示.

以边 $A B$ 所在直线为轴旋转, 形成的几何体可以看作是由一个圆雉和一个圆柱拼接而成的组合体, 如图 (2) 所示.以边 $C D$ 所在直线为轴旋转, 形成的几何体可以看作是由一个圆柱挖去一个同底圆雉而成的组合体，如图（3）所示.以边 $B C$ 所在直线为轴旋转, 形成的几何体可以看作是由一个圆台挖去一个同底（上底面）圆锥后再和一个同底（下底面）圆雉拼接而成的组合体，如图（4）所示.



(1)



(2)



(3)



(4)

## 【点睛】

本题考查旋转组合体, 要掌握常见简单旋转体的结构特征, 并能与组合体的结构特征进行恰当联系,实现“化未知为已知”
题目（高一 · 立体几何学）：一个三棱柱可以分制成几个以三棱柱的顶点为顶点的三棱雉? 试在如图所示的三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中设计出分割方案. (请用尽可能多的方法)


选项：
答案：析.
解析：【分析】

根据三棱柱的结构特征, 一个三棱柱可以分割成 3 个三棱雉, 即可求解, 得到答案.

## 【详解】

一个三棱柱可以分割成 3 个三棱雉, 可以有以下六种方案供选择.


## 【点睛】

本题主要考查了三棱柱和三棱雉的结构特征, 其中解答中正确把握三棱柱和三棱雉的结构特征是解答的关键, 着重考查了空间想象能力, 属于基础题.
题目（高一 · 计数）：下面的抽样方法是简单随机抽样吗? 为什么?

(1) 从无数个个体中抽取 50 个个体作为样本;

(2) 质量监督部门从 180 种儿童玩具中选出 18 种玩具进行质量检验, 在抽样过程中,从中任取一种玩具检验后再放回;

（3）国家跳水队挑出最优秀的 10 名跳水队员，备战 2016 年里约热内卢奥运会;

（4）一彩民选号，从装有 36 个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地逐个抽出 7 个号签.
选项：
答案：(1) 不是简单随机抽样, 因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的.

（2）不是简单随机抽样，因为简单随机抽样要求逐个不放回地抽取.

（3）不是简单随机抽样, 因为这 10 名跳水队员是挑选出来的（最优秀的）, 每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中 “等可能性” 的要求。

（4）是简单随机抽样, 因为总体中的个体数是有限的, 并且是从总体中逐个进行抽取的,是不放回、等可能的抽样。
解析：(1) 不是简单随机抽样, 因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的.

（2）不是简单随机抽样，因为简单随机抽样要求逐个不放回地抽取.

（3）不是简单随机抽样, 因为这 10 名跳水队员是挑选出来的（最优秀的）, 每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中 “等可能性” 的要求。

（4）是简单随机抽样, 因为总体中的个体数是有限的, 并且是从总体中逐个进行抽取的,是不放回、等可能的抽样。
题目（高一 · 计数）：有一批机器, 编号为 $1,2,3, ., 112$. 用随机数表法抽取 10 台人样, 写出抽取过程.
选项：
答案：解析第一步, 将原来的编号调整为 $001,002, .,, 112$.

第二步, 在随机数表（见教材第 103 页）中任选一个数字作为开始数字, 任选一个方向作为读数方向. 比如, 选第 9 行第 7 列的数 3 作为开始

第三步, 从 3 开始, 向右读, 每次读取三位数字, 凡不在 001-112 中的数跳过去不读,前面已经读过的数也跳过去不读，依次可得到 074，100，094，052，080，003，105， 10, 083, 092 .

第四步, 抽取对应原来编号为 $74,100,94,52,80,3,105,107,83,92$ 的机器.
解析：解析第一步, 将原来的编号调整为 $001,002, .,, 112$.

第二步, 在随机数表（见教材第 103 页）中任选一个数字作为开始数字, 任选一个方向作为读数方向. 比如, 选第 9 行第 7 列的数 3 作为开始

第三步, 从 3 开始, 向右读, 每次读取三位数字, 凡不在 001-112 中的数跳过去不读,前面已经读过的数也跳过去不读，依次可得到 074，100，094，052，080，003，105， 10, 083, 092 .

第四步, 抽取对应原来编号为 $74,100,94,52,80,3,105,107,83,92$ 的机器.
题目（高一 · 计数）：某单位有老年职工 30 人，中年职工 50 人，青年职工 40 人，若分别从老年职工、中年职工、青年职工中随机抽取 3 人、 5 人、 4 人举行会议, 请选用合适的方法进行抽样,并写出抽样过程.
选项：
答案：用随机数表法, 步骤如下:

第一步, 先对职工编号, 老年职工的编号为 $001,002,, 0303$; 中年职工的编号为 031 , $032, \ldots, 080$; 青年职工的编号为 $081, \ldots, 120$.

第二步, 在随机数表中任选一个数作为开始, 任选一个方向作为读数方向, 例如选第 15 行第 6 列的数 4 开始向右读.

第三步, 从选定的数 4 开始向右读, 每次读取三位, 凡不在 001-120 中的数跳过去不读,前面已经读过的也跳过去不读, 从 $001 \sim 030$ 中选 3 个号码, 从 031 080 中选 5 个号码,从 081-120 中选 4 个号码, 依得到 038, 119, 033, 099, 004，047,094, 116, 044, 068, 013, 030 .

第四步, 对应 004, 013,030 找出老年职工代表; 对应 033,038,044,047,068 找出中年职工代表；对应 094，099，116，119 找出青年职工代表.
解析：用随机数表法, 步骤如下:

第一步, 先对职工编号, 老年职工的编号为 $001,002,, 0303$; 中年职工的编号为 031 , $032, \ldots, 080$; 青年职工的编号为 $081, \ldots, 120$.

第二步, 在随机数表中任选一个数作为开始, 任选一个方向作为读数方向, 例如选第 15 行第 6 列的数 4 开始向右读.

第三步, 从选定的数 4 开始向右读, 每次读取三位, 凡不在 001-120 中的数跳过去不读,前面已经读过的也跳过去不读, 从 $001 \sim 030$ 中选 3 个号码, 从 031 080 中选 5 个号码,从 081-120 中选 4 个号码, 依得到 038, 119, 033, 099, 004，047,094, 116, 044, 068, 013, 030 .

第四步, 对应 004, 013,030 找出老年职工代表; 对应 033,038,044,047,068 找出中年职工代表；对应 094，099，116，119 找出青年职工代表.
题目（高一 · 计数）：某电视机厂每天生产 1000 台电视机, 要求质检员每天抽取 30 台, 检查其质量状况,请你设计一个调查方案
选项：
答案：我们可采用系统抽样, 方案如下:

第一步, 由于 $1000=33 \times 30+10$, 所以先用简单随机抽样的方法从总体中抽取 10 台电视机, 不进行检验。

第二步, 将剩下的电视机进行编号, 编号分别为 $0,1,2 . \cdots, 989$, 并将其按编号的先后顺序分为 30 组, 每组 33 台电视机.

第三步, 从第 1 组（编号为 $0,1,2,3 \cdots, 32$ ）的电视机中按照简单随机抽样的方法抽取 1 台电视机, 记其编号为 $\mathrm{k}$ 第四步, 按顺序抽取编号分别为 $\mathrm{k}+33, \mathrm{k}+66, \mathrm{k}+99 . \cdots \mathrm{k}+29$ $\times 33$ 的电视机, 这样总共抽取了 30 台电视机, 对这 30 台电视机进行检验.
解析：我们可采用系统抽样, 方案如下:

第一步, 由于 $1000=33 \times 30+10$, 所以先用简单随机抽样的方法从总体中抽取 10 台电视机, 不进行检验。

第二步, 将剩下的电视机进行编号, 编号分别为 $0,1,2 . \cdots, 989$, 并将其按编号的先后顺序分为 30 组, 每组 33 台电视机.

第三步, 从第 1 组（编号为 $0,1,2,3 \cdots, 32$ ）的电视机中按照简单随机抽样的方法抽取 1 台电视机, 记其编号为 $\mathrm{k}$ 第四步, 按顺序抽取编号分别为 $\mathrm{k}+33, \mathrm{k}+66, \mathrm{k}+99 . \cdots \mathrm{k}+29$ $\times 33$ 的电视机, 这样总共抽取了 30 台电视机, 对这 30 台电视机进行检验.
题目（高一 · 计数）：从 2003 名学生中抽取一个容量为 40 的样本, 应如何抽取?
选项：
答案：先将 2003 名学生按 0001 到 2003 编号, 利用随机数表法从中剔除 3 名学生,再对剩余的 2000 名学生重新从 0001 到 2000 编号, 按编号顺序分成 40 组, 每组 50 人,先在第一组中用抽签法抽出某一号, 如 0006, 依次在其他组抽取 0056, 0106 “, 1956,这样就得到了一个容量为 40 的样本。
解析：先将 2003 名学生按 0001 到 2003 编号, 利用随机数表法从中剔除 3 名学生,再对剩余的 2000 名学生重新从 0001 到 2000 编号, 按编号顺序分成 40 组, 每组 50 人,先在第一组中用抽签法抽出某一号, 如 0006, 依次在其他组抽取 0056, 0106 “, 1956,这样就得到了一个容量为 40 的样本。
题目（高一 · 计数）：为了了解参加某种知识竞赛的 1003 名学生的成绩, 抽取一个容量为 50 的样本, 选用什么抽样方法比较恰当？简述抽样过程.
选项：
答案：适宜选用系统抽样，抽样过程如下:

(1) 随机地将这 1003 个个体编号为 1，2，3\%， 1003.

（2）利用简单随机抽样，先从总体中随机剔除 3 个个体，剩下的个体数 1000 能被样本容量 50 整除, 然后将 1000 个个体重新编号为 $1,2,3 \cdots, 1000$.

（3）将总体按编号顺序均分成 50 部分，每部分包含 20 个个体,

(4) 在编号为 $1,2,3 \cdots, 20$ 的第一部分个体中, 利用简单随机抽样抽取一个号码, 比如抽取的号码是 18.

(5) 以 18 为起始号码, 这样得到一个容量为 50 的样本: 18,38 , 58. $\cdots, 978,998$.
解析：适宜选用系统抽样，抽样过程如下:

(1) 随机地将这 1003 个个体编号为 1，2，3\%， 1003.

（2）利用简单随机抽样，先从总体中随机剔除 3 个个体，剩下的个体数 1000 能被样本容量 50 整除, 然后将 1000 个个体重新编号为 $1,2,3 \cdots, 1000$.

（3）将总体按编号顺序均分成 50 部分，每部分包含 20 个个体,

(4) 在编号为 $1,2,3 \cdots, 20$ 的第一部分个体中, 利用简单随机抽样抽取一个号码, 比如抽取的号码是 18.

(5) 以 18 为起始号码, 这样得到一个容量为 50 的样本: 18,38 , 58. $\cdots, 978,998$.
题目（高一 · 计数）：某班共分 5 个组, 每个组都有 8 名学生, 学生的座次是按照个子高矮进行排列的. 为调查此班学生的身高情况, 李立是这样做的: 分段间隔是 8 , 按照每个小组的座次顺序进行编号. 你觉得这样抽取的样本具有代表性吗?
选项：
答案：假设这个班的学生是这样编号（这个编号也代表他们的身高）的:
第一组 $a_{1}<a_{2}<a_{3}<a_{4}<a_{5}<a_{6}<a_{7}<a_{8}$;

第二组 $b_{1}<b_{2}<b_{3}<b_{4}<b_{5}<b_{6}<b_{7}<b_{8}$;

第三组 $c_{1}<c_{2}<c_{3}<c_{4}<c_{5}<c_{6}<c_{7}<c_{8}$;

第四组 $d_{1}<d_{2}<d_{3}<d_{4}<d_{5}<d_{6}<d_{7}<d_{8}$;

第五组 $e_{1}<e_{2}<e_{3}<e_{4}<e_{5}<e_{6}<e_{7}<e_{8}$.

如果按照李立的抽样方法, 比如在第一组抽取了 8 号, 也就是 ag, 那么所抽取的样本为 $a_{8}, b_{8}, c_{8}, d_{8}, e_{8}$ 所对应的学生的身高.

显然, 这样的样本不具有代表性, 他们代表的身高偏高.
解析：假设这个班的学生是这样编号（这个编号也代表他们的身高）的:
第一组 $a_{1}<a_{2}<a_{3}<a_{4}<a_{5}<a_{6}<a_{7}<a_{8}$;

第二组 $b_{1}<b_{2}<b_{3}<b_{4}<b_{5}<b_{6}<b_{7}<b_{8}$;

第三组 $c_{1}<c_{2}<c_{3}<c_{4}<c_{5}<c_{6}<c_{7}<c_{8}$;

第四组 $d_{1}<d_{2}<d_{3}<d_{4}<d_{5}<d_{6}<d_{7}<d_{8}$;

第五组 $e_{1}<e_{2}<e_{3}<e_{4}<e_{5}<e_{6}<e_{7}<e_{8}$.

如果按照李立的抽样方法, 比如在第一组抽取了 8 号, 也就是 ag, 那么所抽取的样本为 $a_{8}, b_{8}, c_{8}, d_{8}, e_{8}$ 所对应的学生的身高.

显然, 这样的样本不具有代表性, 他们代表的身高偏高.
题目（高一 · 计数）：某中学举行了为期 3 天的新世纪教职工体育运动会, 同时进行全校精神文明擂台赛.为了解这次活动在全校教职工中产生的影响, 对全校 500 名教职工进行了问卷调查. 如果要在所有答卷中抽出 10 份用于评估, 应该如何抽样？请详细叙述抽样过程.
选项：
答案：一: 采用随机数表法, 步骤如下:

(1) 先将 500 份答卷编号, 可以编号为 $000,001,002 \cdots, 499$.

（2）在随机数表中随机选取一个起始位置.

(3) 规定向右连续读取数字, 以 3 个数为一组, 如果读取的三位数大于 499 , 则跳过去不读, 如果遇到前面已经读过的, 也跳过去不读, 这样一直到取满 10 个号码为止.方法二: 系统抽样法, 步骤如下:

(1) 将 500 份答卷编号: $1,2,3 \cdots, 500$.

(2) 按 $1^{\sim} 50,51^{\sim} 100,101^{\sim} 150, \cdots, 451^{\sim} 500$ 分成 10 组, 每组 50 个编号.

（3）在第一组中运用抽签法随机选择一个编号（步骤略）, 比如所选号码为 17 , 则其他各组应取出的号码分别为 $67,117,167,217,267,317,367,417,467$. (4) 将上述 10 个号码代表的答卷取出作为样本即可
解析：一: 采用随机数表法, 步骤如下:

(1) 先将 500 份答卷编号, 可以编号为 $000,001,002 \cdots, 499$.

（2）在随机数表中随机选取一个起始位置.

(3) 规定向右连续读取数字, 以 3 个数为一组, 如果读取的三位数大于 499 , 则跳过去不读, 如果遇到前面已经读过的, 也跳过去不读, 这样一直到取满 10 个号码为止.方法二: 系统抽样法, 步骤如下:

(1) 将 500 份答卷编号: $1,2,3 \cdots, 500$.

(2) 按 $1^{\sim} 50,51^{\sim} 100,101^{\sim} 150, \cdots, 451^{\sim} 500$ 分成 10 组, 每组 50 个编号.

（3）在第一组中运用抽签法随机选择一个编号（步骤略）, 比如所选号码为 17 , 则其他各组应取出的号码分别为 $67,117,167,217,267,317,367,417,467$. (4) 将上述 10 个号码代表的答卷取出作为样本即可
题目（高一 · 计数）：某电视台在因特网上就观众对某一节目的喜爱程度进行调查, 参加调查的总人数为 12000 人，其中持各种态度的人数如下表所示:

| 很喜爱 | 喜爱 | 一般 | 不喜爱 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 2435 | 4567 | 3926 | 1072 |

电视台为了进一步了解观众的具体想法和意见, 打算从中再抽取 60 人进行更为详细的调查, 应怎样进行抽样?
选项：
答案：采用分层抽样的方法, 抽样比为 $\frac{60}{12000}=\frac{1}{200}$

“很喜爱” 的有 2435 人, 应抽取 $2435 \times \frac{1}{200} \approx 12$ (人)；

“喜爱” 的有 4567 人，应抽取 $4567 \times \frac{1}{200} \approx 23$ (人)；
解析：采用分层抽样的方法, 抽样比为 $\frac{60}{12000}=\frac{1}{200}$

“很喜爱” 的有 2435 人, 应抽取 $2435 \times \frac{1}{200} \approx 12$ (人)；

“喜爱” 的有 4567 人，应抽取 $4567 \times \frac{1}{200} \approx 23$ (人)；
题目（高一 · 计数）：某地质量监督部门对本地某奶粉厂的所有种类的库存奶粉进行抽样检测, 已查明该厂库存奶粉 10000 袋, 其中婴儿奶粉 4000 袋、普通奶粉 5000 袋、老年奶粉 1000 袋.

（1）如果质量监督部门打算抽取 500 袋奶粉作为样本进行检测, 那么应该如何抽样?

（2）试分别选择不同的方法对 4000 袋婴儿奶粉和 1000 袋老年奶粉完成第（1）问中的抽取计划, 写出抽样过程.
选项：
答案：（1）总体上分三个层次进行抽样：婴儿奶粉、普通奶粉、老年奶粉按 4: 5 : 1 的比例抽取，其中婴几奶粉抽取 200 袋，普通奶粉抽取 250 袋，老年奶粉抽取 50 袋。

(2) 对 4000 袋婴儿奶粉采用系统抽样法抽样:

第一步，将 4000 袋婴儿奶粉编号为 $0001,0002,003, \cdots, 4000$;

第二步, 按编号平均分成 200 段: 0001, 0002, “, 0020; 0021,0022 $\cdots, 0040 \cdots ; 3981 \cdots$, 4000 ;

第三步, 在第一段 001,0002 , 0020 这 20 个编号中用简单随机抽样法抽出一个（如 0013) 作为起始号码;

第四步, 将编号为 $0013,0033,0053 \cdots, 3993$ 的个体抽出, 完成对 4000 袋婴儿奶粉的抽样。

对 1000 袋老年奶粉采用随机数表法抽样;

第一步，将 1000 袋老年奶粉编号为 $000 ， 001 ， 002 \cdots ， 999$;

第二步, 在随机数表中任选一数作为开始, 任选一方向作为读数方向。比如, 选第 3 行第 1 列数 1 ，向右读（见教材第 103 页随机数表）;

第三步, 从数 1 开始, 向右读, 每次读取三位, 凡不在 $000^{\sim} 999$ 中的数跳过去不读, 前面已经读过的也跳过去不读, 依次得到 50 个号码：167，662，276，656，502，671\%;第四步, 以上号码对应的 50 袋老年奶粉就是要抽取的样本。
解析：（1）总体上分三个层次进行抽样：婴儿奶粉、普通奶粉、老年奶粉按 4: 5 : 1 的比例抽取，其中婴几奶粉抽取 200 袋，普通奶粉抽取 250 袋，老年奶粉抽取 50 袋。

(2) 对 4000 袋婴儿奶粉采用系统抽样法抽样:

第一步，将 4000 袋婴儿奶粉编号为 $0001,0002,003, \cdots, 4000$;

第二步, 按编号平均分成 200 段: 0001, 0002, “, 0020; 0021,0022 $\cdots, 0040 \cdots ; 3981 \cdots$, 4000 ;

第三步, 在第一段 001,0002 , 0020 这 20 个编号中用简单随机抽样法抽出一个（如 0013) 作为起始号码;

第四步, 将编号为 $0013,0033,0053 \cdots, 3993$ 的个体抽出, 完成对 4000 袋婴儿奶粉的抽样。

对 1000 袋老年奶粉采用随机数表法抽样;

第一步，将 1000 袋老年奶粉编号为 $000 ， 001 ， 002 \cdots ， 999$;

第二步, 在随机数表中任选一数作为开始, 任选一方向作为读数方向。比如, 选第 3 行第 1 列数 1 ，向右读（见教材第 103 页随机数表）;

第三步, 从数 1 开始, 向右读, 每次读取三位, 凡不在 $000^{\sim} 999$ 中的数跳过去不读, 前面已经读过的也跳过去不读, 依次得到 50 个号码：167，662，276，656，502，671\%;第四步, 以上号码对应的 50 袋老年奶粉就是要抽取的样本。
题目（高一 · 计数）：某批零件共 160 个, 其中, 一级品 48 个, 二级品 64 个, 三级品 32 个, 等外品 16 个,从中抽取一个容量为 20 的样本, 请说明分别用简单随机抽样、系统抽样和分层抽样抽取时总体中的每个个体被抽到的概率均相等。
选项：
答案：(1) 简单随机抽样法: 可采取抽签法, 将 160 个零件按 $1^{2} 160$ 编号, 相应地制作 $1^{\sim} 160$ 号的 160 个签, 从中随机抽取 20 个, 显然每个个体被抽到的概率为 $\frac{20}{160}=\frac{1}{8}$ 。

(2) 系统抽样法: 将 160 个零件从 1 至 160 随机编号, 按编号顺序分成 20 组, 每组 8 个. 先在第 1 组用抽签法抽得 $k$ 号 $(1 \leqslant k \leqslant 8)$, 则在其余组中分别抽取 $k+8 n （ n=1,2$, $3 \cdots, 19 ）$ 号, 此时每个个体被抽到的概率为 $\frac{1}{8}$

（3）分层抽样法：按比例 $\frac{20}{160}=\frac{1}{8}$, 分别在一级品、二级品、三级品、等外品中抽取 $48 \times \frac{1}{8}=6\left(\right.$ 个), $64 \times \frac{1}{8}=8\left(\right.$ 个), $32 \times \frac{1}{8}=4$ (个)， $16 \times \frac{1}{8}=2 （$ 个），每个个体被抽到的概率分别为 $\frac{6}{48}, \frac{8}{64}, \frac{4}{32}, \frac{2}{16}$ 都是 $\frac{1}{8}$

总之, 无论采取哪种抽样, 总体中的每个个体被抽到的概率都是 $\frac{1}{8}$
解析：(1) 简单随机抽样法: 可采取抽签法, 将 160 个零件按 $1^{2} 160$ 编号, 相应地制作 $1^{\sim} 160$ 号的 160 个签, 从中随机抽取 20 个, 显然每个个体被抽到的概率为 $\frac{20}{160}=\frac{1}{8}$ 。

(2) 系统抽样法: 将 160 个零件从 1 至 160 随机编号, 按编号顺序分成 20 组, 每组 8 个. 先在第 1 组用抽签法抽得 $k$ 号 $(1 \leqslant k \leqslant 8)$, 则在其余组中分别抽取 $k+8 n （ n=1,2$, $3 \cdots, 19 ）$ 号, 此时每个个体被抽到的概率为 $\frac{1}{8}$

（3）分层抽样法：按比例 $\frac{20}{160}=\frac{1}{8}$, 分别在一级品、二级品、三级品、等外品中抽取 $48 \times \frac{1}{8}=6\left(\right.$ 个), $64 \times \frac{1}{8}=8\left(\right.$ 个), $32 \times \frac{1}{8}=4$ (个)， $16 \times \frac{1}{8}=2 （$ 个），每个个体被抽到的概率分别为 $\frac{6}{48}, \frac{8}{64}, \frac{4}{32}, \frac{2}{16}$ 都是 $\frac{1}{8}$

总之, 无论采取哪种抽样, 总体中的每个个体被抽到的概率都是 $\frac{1}{8}$
题目（高一 · 计数）：有以下三个案例: 案例一：从同一批次同类型号的 10 袋牛奶中抽取 3 袋检测其三聚氰胺含量; 案例二: 某公司有员工 800 人, 其中有高级职称的共 160 人, 有中级职称的共 320 人, 有初级职称的共 200 人, 其余人员 120 人. 从中抽取容量为 40 的样本。了解该公司职工的收入情况; 案例三: 从某校 1000 名学生中抽取 10 人参加主题为 “学雷锋,树新风” 的志愿者活动。

(1) 你认为这些案例应采用怎样的抽样方式较为合适?

(2) 在你使用的分层抽样案例中写出抽样过程;

(3) 在你使用的系统抽样案例中按以下规定取得样本编号, 如果在起始组中随机抽取的号码为 L（编号从 0 开始）。

那么第 $K$ 组（组号 $K$ 从 0 开始 $K=0,1,2 \cdots, 9$ ) 抽取的号码百位数为组号. 后两位数为 $\mathrm{L}+31 \mathrm{~K}$ 的后两位数. 若 $\mathrm{L}=18$, 试求出 $\mathrm{K}=3$ 及 $\mathrm{K}=8$ 时所抽取的样本编号。
选项：
答案：（1）案例一用简单随机抽样, 案例二用分层抽样, 案例三用系统抽样.

(2) 分层抽样的具体步骤如下:

(1)分层，将总体分为高级职称、中级职称、初级职称及其余人员四层;

(2)确定抽样比例 $q=\frac{40}{800}=\frac{1}{20}$;

(3)按上述比例确定各层样本数分别为 8 人、 16 人、 10 人、 6 人;

(4)按简单随机抽样的方法在各层确定相应的样本;

(5)汇总构成一个容量为 40 的样本。

(3) $\mathrm{K}=3$ 时, $\mathrm{L}+31 \mathrm{~K}=18+31 \times 3=111$, 故第 3 组所抽取的样本编号为 311 $K=8$ 时, $L+31 K=18+31 \times 8=266$, 故第 8 组所抽取的样本编号为 866 .
解析：（1）案例一用简单随机抽样, 案例二用分层抽样, 案例三用系统抽样.

(2) 分层抽样的具体步骤如下:

(1)分层，将总体分为高级职称、中级职称、初级职称及其余人员四层;

(2)确定抽样比例 $q=\frac{40}{800}=\frac{1}{20}$;

(3)按上述比例确定各层样本数分别为 8 人、 16 人、 10 人、 6 人;

(4)按简单随机抽样的方法在各层确定相应的样本;

(5)汇总构成一个容量为 40 的样本。

(3) $\mathrm{K}=3$ 时, $\mathrm{L}+31 \mathrm{~K}=18+31 \times 3=111$, 故第 3 组所抽取的样本编号为 311 $K=8$ 时, $L+31 K=18+31 \times 8=266$, 故第 8 组所抽取的样本编号为 866 .