eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高二 · 算术）：8. 化简: $\left(1+\tan ^{2} \alpha\right)\left(1-\sin ^{2} \alpha\right)=$
选项：
答案：1
解析：解析 : $\left(1+\tan ^{2} \alpha\right)\left(1-\sin ^{2} \alpha\right)=\left(1+\frac{\sin ^{2} \alpha}{\cos ^{2} \alpha}\right) \cdot \cos ^{2} \alpha=\frac{\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha}{\cos ^{2} \alpha} \cdot \cos ^{2} \alpha=1$.
题目（高二 · 算术）：14. 已知 $a=\tan \left(-\frac{7 \pi}{6}\right), b=\cos \frac{23 \pi}{4}, c=\sin \left(-\frac{33 \pi}{4}\right)$, 则 $a, b, c$ 的大小关系是
选项：
答案：$b>a>c$
解析：$b>a>c$
题目（高二 · 算术）：14. $\sin ^{2} 1^{\circ}+\sin ^{2} 2^{\circ}+\sin ^{2} 3^{\circ}+\cdots+\sin ^{2} 88^{\circ}+\sin ^{2} 89^{\circ}+\sin ^{2} 90^{\circ}$ 的值为
选项：
答案：$\frac{91}{2}$
解析：解析 : $\because \sin ^{2} 1^{\circ}+\sin ^{2} 89^{\circ}=\sin ^{2} 1^{\circ}+\cos ^{2} 1^{\circ}=1$,

$\sin ^{2} 2^{\circ}+\sin ^{2} 88^{\circ}=\sin ^{2} 2^{\circ}+\cos ^{2} 2^{\circ}=1$,

$\sin ^{2} x^{\circ}+\sin ^{2}\left(90^{\circ}-x^{\circ}\right)=\sin ^{2} x^{\circ}+\cos ^{2} x^{\circ}=1(1 \leqslant x \leqslant 44, x \in \mathbf{N})$,

$\therefore$ 原式 $=\left(\sin ^{2} 1^{\circ}+\sin ^{2} 89^{\circ}\right)+\left(\sin ^{2} 2^{\circ}+\sin ^{2} 88^{\circ}\right)+\cdots+\left(\sin ^{2} 44^{\circ}+\sin ^{2} 46^{\circ}\right)+\sin ^{2} 90^{\circ}+\sin ^{2} 45^{\circ}=$

$45+\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2}=\frac{91}{2}$.
题目（高二 · 算术）：7. 函数 $y=\tan \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right), x \in\left(0, \frac{\pi}{6}\right)$ 的值域是
选项：
答案：$(1, \sqrt{3})$
解析：$\because x \in\left(0 ， \frac{\pi}{6}\right) ： \therefore \frac{x}{2}+\frac{\pi}{4} \in\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right)$ ，

$\therefore \tan \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}\right) \in(1, \sqrt{3})$.

答案: $(1, \sqrt{3})$
题目（高二 · 算术）：6. $\sin 750^{\circ}=$
选项：
答案：$\frac{1}{2}$
解析：$\frac{1}{2}$
题目（高二 · 算术）：已知实数 $\mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0, \sqrt{2}$ 是 $8^{\mathrm{a}}$ 与 $2^{\mathrm{b}}$ 的等比中项, 则 $\frac{1}{\mathrm{a}}+\frac{2}{\mathrm{~b}}$ 的最小值是
选项：
答案：$5+2 \sqrt{6}$
解析：实数 $\mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0, \sqrt{2}$ 是 $8^{\mathrm{a}}$ 与 $2^{\mathrm{b}}$ 的等比中项, $\therefore 8^{a} \cdot 2^{b}=2, \therefore 2^{3 \mathrm{a}+\mathrm{b}}=2$, 解得 $3 \mathrm{a}+\mathrm{b}=1$. 则 $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}=(3 a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{2}{b}\right)=5+\frac{b}{a}+\frac{6 a}{b} \geq 5+2 \sqrt{\frac{b}{a} \cdot \frac{6 a}{b}}=5+2 \sqrt{6}$, 当且仅当 $b=\sqrt{6}, a=\sqrt{6}-2$ 时取等号. 故答案为 $5+2 \sqrt{6}$.
题目（高二 · 算术）：数列 $\frac{2}{3}, \frac{4}{5}, \frac{8}{7}, \frac{16}{9}, \cdots$ 的一个通项公式是
选项：
答案：$\frac{2^{n}}{2 n+1}$
解析：分母是以 3 开头的奇数列, 分子是以 2 为首项, 以 2 为公比的等比数列,$\therefore \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\frac{2^{n}}{2 n+1}$, 故答案为: $\frac{2^{n}}{2 n+1}$
题目（高二 · 算术）：设数列为公差不为零的等差数列, $2 a_{7}-a_{8}=0$, 则 $\frac{a_{2}}{a_{1}}=$ \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$\frac{4}{5}$
解析：由数列为公差不为零的等差数列, $2 a_{7}-a_{8}=0, \therefore 2\left(a_{1}+6 d\right)=a_{1}+7 d$, $\therefore \mathrm{a}_{1}=-5 \mathrm{~d}, \therefore \frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{a_{1}+d}{a_{1}}=\frac{-5 d+d}{-5 d}=\frac{4}{5}$. 故答案为: $\frac{4}{5}$.
题目（高二 · 算术）：设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列, 且 $a_{1}=3, a_{2}+a_{5}=36$, 则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为
选项：
答案：$a_{n}=6 n-3$
解析：$\because\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列, 且 $a_{1}=3, a_{2}+a_{5}=36$,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}a_{1}=3 \\ a_{1}+d+a_{1}+4 d=36\end{array}\right.$, 解得 $\mathrm{a}_{1}=3, \mathrm{~d}=6, \therefore \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\mathrm{a}_{1}+(\mathrm{n}-1) \mathrm{d}=3+(\mathrm{n}-1) \times 6=6 \mathrm{n}-3$.

$\therefore\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的通项公式为 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=6 \mathrm{n}-3$. 故答案为: $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=6 \mathrm{n}-3$.
题目（高二 · 算术）：已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列, 其公差 $d<0$, 其前 $n$ 项和记为 $S_{n}$, 且 $S_{16}>0, S_{17}<0$, 则当 $S_{n}$取最大值时的 $n=$ \$ \qquad \$ .
选项：
答案：8
解析：$: \because \mathrm{S}_{16}>0, \mathrm{~S}_{17}<0, \therefore 16 a_{1}+\frac{16 \times 15}{2} d>0,17 \mathrm{a}_{1}+\frac{17 \times 16}{2} d<0$,
化为 $2 a_{1}+15 d>0, a_{1}+8 d<0$, 即 $a_{8}+a_{9}>0, a_{9}<0, \therefore a_{8}>0, a_{9}<0$, 又公差 $d<0$,

$\therefore$ 数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是单调递减数列, $\therefore$ 当 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ 取最大值时的 $\mathrm{n}=8$. 故答案为 8 .
题目（高二 · 算术）：设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列, 若 $a_{4}+a_{5}+a_{6}=21$, 则 $S_{9}=$
选项：
答案：63
解析：$\because\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列, $a_{4}+a_{5}+a_{6}=21, \therefore a_{4}+a_{5}+a_{6}=3 a_{5}=21$, 解得 $a_{5}=7$,

$\therefore S_{9}=\frac{9}{2}\left(a_{1}+a_{9}\right)=9 a_{5}=63$. 故答案为 $: 63$.
题目（高二 · 算术）：在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, 已知 $a_{2}+a_{3}=13, a_{1}=2$, 则 $a_{4}+a_{5}+a_{6}=$ \$ \qquad \$ .
选项：
答案：42
解析：在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, 已知 $a_{1}=2, a_{2}+a_{3}=13$,

$\therefore 2+\mathrm{d}+2+2 \mathrm{~d}=13$, 解得 $\mathrm{d}=3$,

$\therefore a_{4}+a_{5}+a_{6}=a_{1}=a_{1}+3 d+a_{1}+4 d+a_{1}+5 d=3 a_{1}+12 d=3 \times 2+12 \times 3=42$, 故答案为 42 .
题目（高二 · 算术）：在正项等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, 有 $a_{1} a_{3}+2 a_{2} a_{4}+a_{3} a_{5}=16$, 则 $a_{2}+a_{4}=$
选项：
答案：4
解析：$:\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列, 且 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}>0 \quad \therefore \mathrm{a}_{1} \mathrm{a}_{3}=\mathrm{a}_{2}{ }^{2}, \mathrm{a}_{3} \mathrm{a}_{5}=\mathrm{a}_{4}{ }^{2}$

$\because a_{1} a_{3}+2 a_{2} a_{4}+a_{3} a_{5}=16 \quad \therefore a_{1} a_{3}+2 a_{2} a_{4}+a_{3} a_{5}=\left(a_{2}+a_{4}\right)^{2}=16$
$\because$ 正项等比数列 $\left\{\mathrm{a}_{n}\right\}, \quad \therefore \mathrm{a}_{2}+\mathrm{a}_{4}=4$ 故答案为 4 .
题目（高二 · 算术）：在等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, 已知 $a_{2}=\frac{1}{2}, a_{5}=4$, 则此数列的公比为
选项：
答案：2
解析：解析 $\because a_{2}=\frac{1}{2}, a_{5}=4, \therefore \mathrm{a}_{5}=\mathrm{a}_{2} \mathrm{q}^{3}, \therefore \mathrm{q}^{3}=8, \therefore \mathrm{q}=2$, 故答案为 2
题目（高二 · 算术）：6. 计算 $\cos 45^{\circ} \cdot \cos 15^{\circ}+\sin 45^{\circ} \sin 15^{\circ}=$

.
选项：
答案：$\frac{\sqrt{3}}{2}$
解析：解析 : $\cos 45^{\circ} \cos 15^{\circ}+\sin 45^{\circ} \sin 15^{\circ}=\cos \left(45^{\circ}-15^{\circ}\right)=\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
题目（高二 · 算术）：9. 化简: $\sin (\alpha+\beta) \cos \alpha-\frac{1}{2}[\sin (2 \alpha+\beta)-\sin \beta]$.
选项：
答案：原式 $=\sin (\alpha+\beta) \cos \alpha-\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\alpha+\beta)-\sin (\alpha+\beta-\alpha)]=\sin (\alpha+\beta) \cos \alpha-\frac{1}{2}[\sin \alpha \cos (\alpha$

$+\beta)+\cos \alpha \sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha+\beta) \cos \alpha+\cos (\alpha+\beta) \sin \alpha]$

$=\sin (\alpha+\beta) \cos \alpha-\frac{1}{2} \times 2 \sin \alpha \cos (\alpha+\beta)$

$=\sin (\alpha+\beta) \cos \alpha-\cos (\alpha+\beta) \sin \alpha=\sin (\alpha+\beta-\alpha)=\sin \beta$.
解析：原式 $=\sin (\alpha+\beta) \cos \alpha-\frac{1}{2}[\sin (\alpha+\alpha+\beta)-\sin (\alpha+\beta-\alpha)]=\sin (\alpha+\beta) \cos \alpha-\frac{1}{2}[\sin \alpha \cos (\alpha$

$+\beta)+\cos \alpha \sin (\alpha+\beta)-\sin (\alpha+\beta) \cos \alpha+\cos (\alpha+\beta) \sin \alpha]$

$=\sin (\alpha+\beta) \cos \alpha-\frac{1}{2} \times 2 \sin \alpha \cos (\alpha+\beta)$

$=\sin (\alpha+\beta) \cos \alpha-\cos (\alpha+\beta) \sin \alpha=\sin (\alpha+\beta-\alpha)=\sin \beta$.
题目（高二 · 算术）：13.已知 $\tan \alpha=-2, \tan (\alpha+\beta)=\frac{1}{7}$, 则 $\tan (\alpha-\beta)=$
选项：
答案：1
解析：$\tan \beta=\tan [(\alpha+\beta)-\alpha]$

$=\frac{\tan (\alpha+\beta)-\tan \alpha}{1+\tan (\alpha+\beta) \tan \alpha}$

$=\frac{\frac{1}{7}-(-2)}{1+\frac{1}{7} \times(-2)}$

$=3$,

$\therefore \tan (\alpha-\beta)=\frac{\tan \alpha-\tan \beta}{1+\tan \alpha \tan \beta}=\frac{-2-3}{1-2 \times 3}=1$.

答案: 1
题目（高二 · 算术）：6. 若 $\tan \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{6}$, 则 $\tan \alpha=$
选项：
答案：$\frac{7}{5}$
解析：解析 : $\because \tan \left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tan \alpha-\tan \frac{\pi}{4}}{1+\tan \alpha \tan \frac{\pi}{4}}=\frac{\tan \alpha-1}{1+\tan \alpha}=\frac{1}{6} ， \therefore \tan \alpha=\frac{7}{5}$.
题目（高二 · 算术）：6. 已知 $\sin \theta=-\frac{3}{5}, 3 \pi<\theta<\frac{7 \pi}{2}$, 则 $\tan \frac{\theta}{2}=$
选项：
答案：-3
解析：由 $\sin \theta=-\frac{3}{5} ， 3 \pi<\theta<\frac{7 \pi}{2}$ ，得 $\cos \theta=-\frac{4}{5}$ ，

从而 $\tan \frac{\theta}{2}=\frac{\sin \theta}{1+\cos \theta}=\frac{-\frac{3}{5}}{1-\frac{4}{5}}=-3$.

答案: -3
题目（高二 · 算术）：7. 已知 $\sin \frac{\theta}{2}+\cos \frac{\theta}{2}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$, 则 $\cos 2 \theta=$
选项：
答案：$\frac{7}{9}$
解析：因为 $\sin \frac{\theta}{2}+\cos \frac{\theta}{2}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，所以 $1+\sin \theta=\frac{4}{3}$ ，

即 $\sin \theta=\frac{1}{3}$ ， 所以 $\cos 2 \theta=1-2 \sin ^{2} \theta=1-\frac{2}{9}=\frac{7}{9}$.

答案: $\frac{7}{9}$
题目（高二 · 算术）：用不等号填空:

(1) 若 $a>b$, 则 $a c^{2}$ $b c^{2}$.

(2)若 $a+b>0, b<0$, 则 $b$ $a$.

(3)若 $a>b, c<d$, 则 $a-c$ \$ \qquad \$ $b-d$.
选项：
答案：$\geqslant\langle>$
解析：(1)因为何数的平方一定大于或等于 $0, \quad \therefore c^{2} \geq 0, \quad c^{2}>0$ 时, $a c^{2}>b c^{2}$

$c^{2}=0$ 时, 则 $a c^{2}=b c^{2}$, 若 $a>b$, 则 $a c^{2} \geq b c^{2}$

(2)因为 $a+b>0, b<0$, 则 $a>0$, 所以 $b<a$

(3) $\because c<d, \quad \therefore-c>-d, \quad \because a>b$, 则 $a-c>b-d$
题目（高二 · 算术）：$b \mathrm{~g}$ 糖水中有 $a \mathrm{~g}$ 糖 $(b>a>0)$, 若再添上 $m \mathrm{~g}$ 糖 $(m>0)$, 则糖水变甜了,根据这个事实提炼的一个不等式为
选项：
答案：$\frac{a+m}{b+m}>\frac{a}{b}$ 加糖之前糖水的浓度为 $\frac{a}{b}$, 加糖之后糖水的浓度为 $\frac{a+m}{b+m}$, 故 $\frac{a+m}{b+m}>\frac{a}{b}$.
解析：$\frac{a+m}{b+m}>\frac{a}{b}$ 加糖之前糖水的浓度为 $\frac{a}{b}$, 加糖之后糖水的浓度为 $\frac{a+m}{b+m}$, 故 $\frac{a+m}{b+m}>\frac{a}{b}$.
题目（高二 · 算术）：7. 已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=n^{2}+n+1$, 则 $a_{6}+a_{7}+\cdots+a_{10}$ 的值为
选项：
答案：80
解析：$a_{6}+a_{7}+\cdots+a_{10}=S_{10}-S_{5}=111-31=80$.
题目（高二 · 算术）：8. 设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 若 $S_{p}=S_{q}\left(p, q \in \mathbf{N}^{*}\right.$ 且 $\left.p \neq q\right)$, 则 $S_{p+q}=$
选项：
答案：0
解析：设 $S_{n}=a n^{2}+b n$, 由 $S_{p}=S_{q}$.

知 $a p^{2}+b p=a q^{2}+b q, \therefore p+q=-\frac{b}{a}$.

$\therefore S_{p+q}=a(p+q)^{2}+b(p+q)$

$=a\left(-\frac{b}{a}\right)^{2}+b\left(-\frac{b}{a}\right)$

$=\frac{b^{2}}{a}-\frac{b^{2}}{a}=0$.
题目（高二 · 算术）：9. 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $\left|a_{3}\right|=\left|a_{9}\right|$, 公差 $d<0$, 则使前 $n$ 项和 $S_{n}$ 取得最大值的自然数 $n$ 是
选项：
答案：5 或 6
解析：$d<0,\left|a_{3}\right|=\left|a_{9}\right|, \therefore a_{3}>0, a_{9}<0$ 且 $a_{3}+a_{9}=0$,

$\therefore a_{6}=0, \quad \therefore a_{1}>a_{2}>\cdots>a_{5}>0, \quad a_{6}=0,0>a_{7}>a_{8}>\cdots$.

$\therefore$ 当 $n=5$ 或 6 时, $S_{n}$ 取到最大值.
题目（高二 · 算术）：10. 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $S_{n}$ 是其前 $n$ 项和, 若 $a_{1}=1, a_{n+1}=\frac{1}{3} S_{n}(n \geqslant 1)$, 则 $a_{n}=$
选项：
答案：$\left\{\begin{array}{l}1, \\ \frac{1}{3} \cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{n-2}, \quad n \geqslant 2\end{array}\right.$
解析：_{n+1}=\frac{1}{3} S_{n}, a_{n+2}=\frac{1}{3} S_{n+1}$,

$\therefore a_{n+2}-a_{n+1}=\frac{1}{3}\left(S_{n+1}-S_{n}\right)=\frac{1}{3} a_{n+1}$,

$\therefore a_{n+2}=\frac{4}{3} a_{n+1}(n \geqslant 1)$.

$\because a_{2}=\frac{1}{3} S_{1}=\frac{1}{3}, \quad \therefore a_{n}= \begin{cases}1, & n=1 \\ \frac{1}{3} \cdot\left(\frac{4}{3}\right)^{n-2}, \quad n \geqslant 2\end{cases}$
题目（高二 · 算术）：7. 一个数列 $\left\{a_{n}\right\}$, 其中 $a_{1}=3, a_{2}=6, a_{n+2}=a_{n+1}-a_{n}$, 那么这个数列的第 5 项是
选项：
答案：-6
解析：-6
题目（高二 · 算术）：$a, b \in R, a<b$ 和 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$ 同时成立的条件是 \$ \qquad \$
选项：
答案：$a<0<b$
解析：若 $a b<0$, 由 $a<b$, 两边同除以 $a b$, 得 $\frac{1}{b}>\frac{1}{a}$, 即 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$;

若 $a b>0$, 则 $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$, 所以 $a<b$ 和 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$ 同时成立的条件是 $a<0<b$
题目（高二 · 算术）：不等式 $\frac{1}{x} \leq 1$ 的解集为 \$ \qquad \$
选项：
答案：$\quad(-\infty, 0) \cup[1,+\infty)$
解析：答案: $\quad(-\infty, 0) \cup[1,+\infty)$
题目（高二 · 算术）：已知正项数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前项和为 $S_{n}$, 且对于任意, $q \in \mathrm{N}^{*}$, 有 $a_{p} a_{q}=a_{p+q}$, 若 $a_{2}=4$, 则
$a_{1}=$ \$ \qquad \$ , $S_{6}=$ \$ \qquad \$ .
选项：
答案：2,126
解析：答案: $2 ; 126$
题目（高二 · 算术）：已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=-2 n^{2}+3 n$, 则数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式为 \$ \qquad \$
选项：
答案：$a_{n}=5-4 n$
解析：解析: $\because S_{n}=-2 n^{2}+3 n, \therefore a_{1}=S_{1}=-2+3=1$,

$a_{n}=S_{n}-S_{n-1}=\left(-2 n^{2}+3 n\right)-\left[-2(n-1)^{2}+3(n-1)\right]=5-4 n$.

当 $n=1$ 时, $5-4 n=1=a_{1}, \therefore a_{n}=5-4 n$,

故答案为: $a_{n}=5-4 n$.
题目（高二 · 代数）：8. 函数 $y=\sqrt{\sin x}+\lg \cos x$ 的定义域是
选项：
答案：$\left[2 k \pi, 2 k \pi+\frac{\pi}{2}\right)(k \in \mathbf{Z})$
解析：要使函数有意义, $x$ 需满足 $\left\{\begin{array}{l}\sin x \geqslant 0, \\ \cos x>0,\end{array}\right.$ 即 $2 k \pi \leqslant x<2 k \pi+\frac{\pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$.

故函数 $y=\sqrt{\sin x}+\lg \cos x$ 的定义域为 $\left[2 k \pi, 2 k \pi+\frac{\pi}{2}\right)(k \in \mathbf{Z})$.

答案: $\left[2 k \pi, 2 k \pi+\frac{\pi}{2}\right)(k \in \mathbf{Z})$
题目（高二 · 代数）：8. 已知 $\sin (3 \pi-\alpha)=-2 \sin \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)$, 则 $\sin \alpha \cos \alpha$ 等于
选项：
答案：$-\frac{2}{5}$
解析：因为 $\sin (3 \pi-\alpha)=\sin (\pi-\alpha)=-2 \sin \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)$, 所以 $\sin \alpha=-2 \cos \alpha$, 所以 $\tan \alpha=-2$,所以 $\sin \alpha \cos \alpha=\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha}=\frac{\tan \alpha}{\tan ^{2} \alpha+1}=-\frac{2}{5}$.
题目（高二 · 代数）：13. 关于 $x$ 的函数 $f(x)=\sin (x+\varphi)$ 有以下命题:

(1)对任意的 $\varphi, f(x)$ 都是非奇非偶函数;

(2)不存在 $\varphi$, 使 $f(x)$ 既是奇函数, 又是偶函数;

(3) 存在 $\varphi$, 使 $f(x)$ 是奇函数;

(4)对任意的 $\varphi, f(x)$ 都不是偶函数.

其中的假命题是 \$ \qquad \$ . (写出所有假命题的序号)
选项：
答案：(1)(4)
解析：易知(2)(3)成立, 令 $\varphi=\frac{\pi}{2}, f(x)=\cos x$ 是偶函数, (1)(4)都不成立.

答案: (1)(4)
题目（高二 · 代数）：10. 已知函数 $f(x)=2 a \sin x+b$ 的定义域为 $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right]$, 函数的最大值为 1 , 最小值为 -5 , 求 $a$和 $b$ 的值.
选项：
答案：$\because-\frac{\pi}{3} \leqslant x \leqslant \frac{2 \pi}{3}$,
$\therefore-\frac{\sqrt{3}}{2} \leqslant \sin x \leqslant 1$.

当 $a=0$, 不满足题意.

若 $a>0$, 则 $\left\{\begin{array}{l}2 a+b=1, \\ -\sqrt{3} a+b=-5,\end{array}\right.$

解得 $\left\{\begin{array}{l}a=12-6 \sqrt{3}, \\ b=-23+12 \sqrt{3} .\end{array}\right.$

若 $a<0$, 则 $\left\{\begin{array}{l}2 a+b=-5, \\ -\sqrt{3} a+b=1,\end{array}\right.$

解得 $\left\{\begin{array}{l}a=-12+6 \sqrt{3}, \\ b=19-12 \sqrt{3} .\end{array}\right.$

故 $a=12-6 \sqrt{3}, b=-23+12 \sqrt{3}$ 或 $a=-12+6 \sqrt{3}, b=19-12 \sqrt{3}$.
解析：$\because-\frac{\pi}{3} \leqslant x \leqslant \frac{2 \pi}{3}$,
$\therefore-\frac{\sqrt{3}}{2} \leqslant \sin x \leqslant 1$.

当 $a=0$, 不满足题意.

若 $a>0$, 则 $\left\{\begin{array}{l}2 a+b=1, \\ -\sqrt{3} a+b=-5,\end{array}\right.$

解得 $\left\{\begin{array}{l}a=12-6 \sqrt{3}, \\ b=-23+12 \sqrt{3} .\end{array}\right.$

若 $a<0$, 则 $\left\{\begin{array}{l}2 a+b=-5, \\ -\sqrt{3} a+b=1,\end{array}\right.$

解得 $\left\{\begin{array}{l}a=-12+6 \sqrt{3}, \\ b=19-12 \sqrt{3} .\end{array}\right.$

故 $a=12-6 \sqrt{3}, b=-23+12 \sqrt{3}$ 或 $a=-12+6 \sqrt{3}, b=19-12 \sqrt{3}$.
题目（高二 · 代数）：8. 关于函数 $y=\tan \frac{X}{2}$ 的说法正确的是 \$ \qquad \$ . (填所有正确答案的序号)
(1) 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 上单调递增;
(2) 为奇函数;
(3) 以 $\pi$ 为最小正周期;
(4) 定义域为
$\left\{x \left\lvert\, x \neq \frac{\pi}{4}+\frac{k \pi}{2}\right., \quad k \in \mathbf{Z}\right\}$.
选项：
答案：(1)(2)
解析：令 $x \in\left(0 ， \frac{\pi}{2}\right)$ ，则 $\frac{X}{2} \in\left(0 ， \frac{\pi}{4}\right)$ ，所以 $y=\tan \frac{\underline{x}}{2}$ 在 $\left(0 ， \frac{\pi}{2}\right)$ 上单调递增，(1)正确; $\tan \left(-\frac{x}{2}\right)$

$=-\tan \frac{X}{2}$ ，故 $y=\tan \frac{X}{2}$ 为奇函数，(2)正确; $T=\frac{\pi}{\omega}=2 \pi$ ，所以(3)不正确； 由 $\frac{X}{2} \neq \frac{\pi}{2}+k \pi ， k \in \mathbf{Z}$ ，

得 $x \neq \pi+2 k \pi ， k \in \mathbf{Z}$ ，即函数 $y=\tan \frac{\underline{X}}{2}$ 的定义域为 $\{x \mid x \neq \pi+2 k \pi ， k \in \mathbf{Z}\}$ ，所以(4)不正确.

答案: (1)(2)
题目（高二 · 代数）：13. 已知 $\omega>0$, 函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{4}\right)$ 在 $\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$ 上单调递减, 则正整数 $\omega$ 的值是
选项：
答案：1
解析：因为函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{4}\right)$ 单调递减时， $\omega x+\frac{\pi}{4} \in\left[2 k \pi+\frac{\pi}{2}, 2 k \pi+\frac{3 \pi}{2}\right], k \in \mathbf{Z}$ ，又因为 $\omega>0$ ，当 $k=0$ 时， $x \in\left[\frac{\pi}{4 \omega}, \frac{5 \pi}{4 \omega}\right]$. 又已知 $x \in\left(\frac{\pi}{2} ， \pi\right)$ 时，函数 $f(x)$ 单调递减, 所以 $\left\{\begin{array}{l}\frac{\pi}{4 \omega} \leqslant \frac{\pi}{2}, \\ \frac{5 \pi}{4 \omega} \geqslant \pi ，\end{array}\right.$解得 $\frac{1}{2} \leqslant \omega \leqslant \frac{5}{4}$. 又因为 $\omega$ 为正整数，所以 $\omega=1$. 而当 $k \neq 0$ 时， $\omega$ 无解. 综上， $\omega=1$.

答案: 1
题目（高二 · 代数）：6. 已知某种交流电电流 $i(A)$ 随时间 $t(s)$ 的变化规律可以用函数 $i=5 \sqrt{2} \sin \left(100 \pi t-\frac{\pi}{2}\right), t \in[0$, $+\infty)$ 表示，则这种交流电电流在 $0,.5 \mathrm{~s}$ 内往复运行 \$ \qquad \$次.
选项：
答案：25
解析：解析 : $\because$ 周期 $T=\frac{2 \pi}{100 \pi}=\frac{1}{50}(\mathrm{~s}) ， \therefore$ 频率为每秒 50 次，

$\therefore 0,.5$ 秒往复运行 25 次.
题目（高二 · 代数）：7. 据市场调查, 某种商品每件的售价按月份 $x$ 呈 $f(x)=A \sin (\omega x+\varphi)+B$ 的模型波动, 已知 3 月份达到最高价 8 千元, 7 月份价格最低为 4 千元, 则 $f(x)=$ \$ \qquad \$ , $x=1,2, \cdots, 12$
选项：
答案：$2 \sin \left(\frac{\pi}{4} x-\frac{\pi}{4}\right)+6$
解析：解析 : 由题意得 $\left\{\begin{array}{l}A+B=8 ， \\ -A+B=4 ，\end{array}\right.$ 解得 $\left\{\begin{array}{l}A=2 ， \\ B=6 \end{array}\right.$ 周期 $T=2 \times(7-3)=8$ ，

$\therefore \omega=\frac{2 \pi}{T}=\frac{\pi}{4}, \quad \therefore f(x)=2 \sin \left(\frac{\pi}{4} x+\varphi\right)+6$

又 $\because$ 当 $x=3$ 时， $y=8, \therefore 8=2 \sin \left(\frac{3 \pi}{4}+\varphi\right)+6$

$\therefore \sin \left(\frac{3 \pi}{4}+\varphi\right)=1 . \because|\varphi|<\frac{\pi}{2}, \quad \therefore \varphi=-\frac{\pi}{4}$.

$\therefore f(x)=2 \sin \left(\frac{\pi}{4} x-\frac{\pi}{4}\right)+6$
题目（高二 · 代数）：8. 一物体相对于某一固定位置的位移 $y(\mathrm{~cm})$ 和时间 $t(\mathrm{~s})$ 之间的一组对应值如下表所示, 则可近似地描述该物体的位移 $y(\mathrm{~cm})$ 和时间 $t(\mathrm{~s})$ 之间的关系的一个三角函数关系式为 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$y=-4 \cos \frac{5 \pi}{2} t, t \geqslant 0$
解析：设 $y=A \sin (\omega t+\varphi)$ ，则从表中可以得到 $A=4 ， T=0,.8 ， \therefore \omega=\frac{2 \pi}{T}=\frac{2 \pi}{0,.8}=\frac{5 \pi}{2} ， \therefore y=$ $4 \sin \left(\frac{5 \pi}{2} t+\varphi\right)$.

又由 $4 \sin \varphi=-4,.0$ ，得 $\sin \varphi=-1$ ，取 $\varphi=-\frac{\pi}{2}$ ，

故 $y=4 \sin \left(\frac{5 \pi}{2} t-\frac{\pi}{2}\right)=-4 \cos \frac{5 \pi}{2} t, t \geqslant 0$.

答案: $y=-4 \cos \frac{5 \pi}{2} t, t \geqslant 0$
题目（高二 · 代数）：13. 函数 $y=\frac{|\sin x|}{\sin x}+\frac{|\cos x|}{\cos x}-\frac{2|\sin x \cos x|}{\sin x \cos x}$ 的值域是
选项：
答案：$\{-4,0,2\}$
解析：解析：当 $x$ 在第一象限时, $\sin x>0, \cos x>0, y=0$;当 $x$ 在第二象限时, $\sin x>0, \cos x<0, y=2$;当 $x$ 在第三象限时, $\sin x<0, \cos x<0, y=-4$;当 $x$ 在第四象限时, $\sin x<0, \cos x>0, y=2$.
题目（高二 · 代数）：5. 设向量 $m=2 a-3 b, n=4 a-2 b, p=3 a+2 b$, 试用 $\boldsymbol{m}, \boldsymbol{n}$ 表示 $\boldsymbol{p}, \boldsymbol{p}=$
选项：
答案：$-\frac{7}{4} \boldsymbol{m}+\frac{13}{8} \boldsymbol{n}$
解析：设 $\boldsymbol{p}=x \boldsymbol{m}+y \boldsymbol{n}$ ，则 $3 \boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}=x(2 \boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b})+y(4 \boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b})=(2 x+4 y) \boldsymbol{a}+(-3 x-2 y) \boldsymbol{b}$ ，得



答案: $-\frac{7}{4} \boldsymbol{m}+\frac{13}{8} \boldsymbol{n}$
题目（高二 · 代数）：6. 已知向量 $\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}$ 不共线, 实数 $x, y$ 满足 $(3 x-4 y) \boldsymbol{e}_{1}+(2 x-3 y) \boldsymbol{e}_{2}=6 \boldsymbol{e}_{1}+3 \boldsymbol{e}_{2}$, 则 $x-y=$​
选项：
答案：3
解析：

答案: 3
题目（高二 · 代数）：7. 若向量 $\boldsymbol{a}=\left(x+3, x^{2}-3 x-4\right)$ 与 $\overrightarrow{A B}$ 相等, 其中 $A(1,2), B(3,2)$, 则 $x=$ \$ \qquad \$
选项：
答案：-1
解析：$\because A(1,2) Ｂ(3,2), \therefore \overrightarrow{A B}=(2,0)$.

又 $\because \boldsymbol{a}=\overrightarrow{A B}$ ，即 $\left(x+3 ， x^{2}-3 x-4\right)=(2 ， 0)$ ，

$\therefore\left\{\begin{array}{l}x+3=2, \\ x^{2}-3 x-4=0,\end{array}\right.$ 解得 $x=-1$.

答案: -1
题目（高二 · 代数）：8. 已知 $\boldsymbol{a}=(2,1), \boldsymbol{b}=(-1,3), \boldsymbol{c}=(1,2)$, 求 $\boldsymbol{p}=2 \boldsymbol{a}+3 \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$, 并用基底 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 表示 $\boldsymbol{p}$.
选项：
答案：$\boldsymbol{p}=2 \boldsymbol{a}+3 \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$
$=2(2,1)+3(-1,3)+(1,2)$

$=(4,2)+(-3,9)+(1,2)=(2,13)$.

设 $\boldsymbol{p}=x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}=x(2,1)+y(-1,3)$

$=(2 x-y, x+3 y)$,

$\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不共线，

<ImageHere>

$\therefore p=\frac{19}{7} a+\frac{24}{7} b$.
解析：$\boldsymbol{p}=2 \boldsymbol{a}+3 \boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}$
$=2(2,1)+3(-1,3)+(1,2)$

$=(4,2)+(-3,9)+(1,2)=(2,13)$.

设 $\boldsymbol{p}=x \boldsymbol{a}+y \boldsymbol{b}=x(2,1)+y(-1,3)$

$=(2 x-y, x+3 y)$,

$\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不共线，



$\therefore p=\frac{19}{7} a+\frac{24}{7} b$.
题目（高二 · 代数）：4. 已知向量 $\boldsymbol{a}=(2,6), \boldsymbol{b}=(-1, \lambda)$. 若 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$, 则 $\lambda=$
选项：
答案：-3
解析：$\because \boldsymbol{a}=(2,6), \boldsymbol{b}=(-1, \lambda), \boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$,

$\therefore 2 \lambda-6 \times(-1)=0, \quad \therefore \lambda=-3$.

答案: -3
题目（高二 · 代数）：已知在等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{5}-a_{1}=15, a_{4}-a_{2}=6$, 则公比 $q$ 的所有可能的值为
选项：
答案：$\frac{1}{2}$ 或 2
解析：设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$,由 $\mathrm{a}_{5}-\mathrm{a}_{1}=15, \mathrm{a}_{4}-\mathrm{a}_{2}=6$, 得: $\left\{\begin{array}{l}a_{1} q^{4}-a_{1}=15(1) \ a_{1} q^{3}-a_{1} q=6(2)\end{array},(1) \div(2)\right.$ 得: $\frac{q^{2}+1}{q}=\frac{5}{2}$,即 $2 q^{2}-5 q+2=0$. 解得: $q=\frac{1}{2}$ 或 $q=2$. 故答案为: $\frac{1}{2}$ 或 2 .
题目（高二 · 代数）：已知数列 $\sqrt{3}, 3, \sqrt{15}, \cdots, \sqrt{3(2 n-1)}$, 那么 9 是数列的第项.
选项：
答案：14
解析：由 $\sqrt{3(2 n-1)}=9$. 解之得 $\mathrm{n}=14$由此可知 9 是此数列的第 14 项. 故答案为: 14
题目（高二 · 代数）：5. 化简 $\frac{2}{5}(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})-\frac{1}{3}(2 \boldsymbol{a}+4 \boldsymbol{b})+\frac{2}{15}(2 \boldsymbol{a}+13 \boldsymbol{b})=$ \$ \qquad \$
选项：
答案：0
解析：$\frac{2}{5}(a-b)-\frac{1}{3}(2 a+4 b)+\frac{2}{15}(2 a+13 b)=\frac{2}{5} a-\frac{2}{5} b-\frac{2}{3} a-\frac{4}{3} b+\frac{4}{15} a+\frac{26}{15} b=\left(\frac{2}{5}-\frac{2}{3}+\frac{4}{15}\right) a+$ $\left(-\frac{2}{5}-\frac{4}{3}+\frac{26}{15}\right) \boldsymbol{b}=0 \boldsymbol{a}+0 \boldsymbol{b}=0+0=0$.

答案: 0
题目（高二 · 代数）：8.如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle B A C=60^{\circ}, \angle B A C$ 的平分线交 $B C$ 于点 $D$. 若 $A B=4$, 且 $\overrightarrow{A D}=\frac{1}{4} \overrightarrow{A C}+\lambda \overrightarrow{A B}$ $(\lambda \in \mathbf{R})$, 求 $|\overrightarrow{A D}|$.


选项：
答案：3
解析：因为 $B ， D ， C$ 三点共线，所以 $\frac{1}{4}+\lambda=1$ ，解得 $\lambda=\frac{3}{4}$ 如图，过点 $D$ 分别作 $A C ， A B$
的平行线交 $A B, A C$ 于点 $M, N$, 则 $\overrightarrow{A N}=\frac{1}{4} \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A M}=\frac{3}{4} \overrightarrow{A B}$. 经计算得 $A N=A M=3, A D=3 \sqrt{3}$,即 $|\overrightarrow{A D}|=3 \sqrt{3}$.
题目（高二 · 代数）：若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{11}=\frac{1}{52}, \frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_{n}}=5\left(n \in N^{*}\right)$, 则 $a_{1}=$ \$ \qquad \$
选项：
答案：$\frac{1}{2}$
解析：$\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_{n}}=5, \therefore\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 是以 5 为公差的等差数列,

$\therefore \frac{1}{a_{n}}=\frac{1}{a_{1}}+5(\mathrm{n}-1), \quad \because \mathrm{a}_{11}=\frac{1}{52}, \quad \therefore \frac{1}{a_{11}}=\frac{1}{a_{1}}+5(11-1)=52$, 即 $\frac{1}{a_{1}}=2$,

$\therefore \mathrm{a}_{1}=\frac{1}{2}$. 故答案为: $\frac{1}{2}$.
题目（高二 · 代数）：7.$\frac{\sin 110^{\circ} \sin 20^{\circ}}{\cos ^{2} 155^{\circ}-\sin ^{2} 155^{\circ}}=$
选项：
答案：$\frac{1}{2}$
解析：解析 : $\frac{\sin 110^{\circ} \sin 20^{\circ}}{\cos ^{2} 155^{\circ}-\sin ^{2} 155^{\circ}}=\frac{\sin 70^{\circ} \sin 20^{\circ}}{\cos 310^{\circ}}=\frac{\cos 20^{\circ} \sin 20^{\circ}}{\cos 50^{\circ}}=$

$\frac{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}}{\sin 40^{\circ}}=\frac{1}{2}$
题目（高二 · 代数）：6. 某公司租赁甲、乙两种设备生产 $A, B$ 两类产品, 甲种设备每天能生产 $A$ 类产品 5 件和 $B$ 类产品 10 件, 乙种设备每天能生产 $A$ 类产品 6 件和 $B$ 类产品 20 件. 已知设备甲每天的租赁费为 200 元, 设备乙每天的租赁费为 300 元, 现该公司至少要生产 $A$ 类产品 50 件, $B$ 类产品 140 件, 所需租赁费最少为 \$ \qquad \$元.
选项：
答案：2300
解析：设需租低甲种设备 $x$ 台, 乙种设备 $y$ 台, 则 $\left\{\begin{array}{l}5 x+6 y \geqslant 50, \\ 10 x+20 y \geqslant 140, \\ x \in \mathbf{N}^{*}, \\ y \in \mathbf{N}^{*} .\end{array}\right.$

目标函数为 $z=200 x+300 y$.

作出其可行域, 易知当 $x=4, y=5$ 时, $z=200 x+300 y$ 有最小值 2300 元.
题目（高二 · 代数）：7. 某公司招收男职员 $x$ 名, 女职员 $y$ 名, $x$ 和 $y$ 需满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}5 x-11 y \geqslant-22, \\ 2 x+3 y \geqslant 9, \\ 2 x \leqslant 11,\end{array}\right.$ 则 $z=10 x+10 y$ 的最大值是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：90
解析：

该不等式组表示平面区域如图阴影所示, 由于 $x, y \in \mathbf{N}^{*}$, 计算区域内与点 $\left(\frac{11}{2}, \frac{9}{2}\right)$ 最近的整点为 $(5,4)$, 当 $x=5, y=4$ 时, $z$ 取得最大值为 90
题目（高二 · 代数）：8. 某工厂有甲、乙两种产品, 按计划每天各生产不少于 15 吨, 已知生产甲产品 1 吨需煤 9 吨, 电力 4 千瓦, 劳动力 3 个(按工作日计算); 生产乙产品 1 吨需煤 4 吨, 电力 5 千瓦,劳动力 10 个; 甲产品每吨价 7 万元, 乙产品每吨价 12 万元; 但每天用煤量不得超过 300 吨, 电力不得超过 200 千瓦, 劳动力只有 300 个, 当每天生产甲产品 \$ \qquad \$吨,乙产品吨时, 既能保证完成生产任务, 又能使工厂每天的利润最大.
选项：
答案：$20 \quad 24$
解析：

设每天生产甲产品 $x$ 吨, 乙产品 $y$ 吨, 总利润为 $S$ 万元,依题意约束条件为:

$$
\left\{\begin{array}{l}
9 x+4 y \leqslant 300 \\
4 x+5 y \leqslant 200 \\
3 x+10 y \leqslant 300 \\
x \geqslant 15 \\
y \geqslant 15
\end{array}\right.
$$

目标函数为 $S=7 x+12 y$.

从图中可以看出, 当直线 $S=7 x+12 y$ 经过点 $A$ 时, 直线的纵截距最大, 所以 $S$ 也取最大值.

解方程组 $\left\{\begin{array}{l}4 x+5 y-200=0, \\ 3 x+10 y-300=0,\end{array}\right.$

得 $A(20,24)$, 故当 $x=20, y=24$ 时,

$S_{\text {max }}=7 \times 20+12 \times 24=428$ (万元).