题目（八年级 · 度量几何学）：如图 1, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B$ 为锐角, 点 $D$ 为射线 $B C$ 上一动点,

连接 $A D$, 在 $A D$ 的左侧作 $\triangle A D F$, 其中 $A D=A F, \angle D A F=90^{\circ}$, 连接 $C F$.



图1



图2



图3

(1) 若 $A B=A C, \angle B A C=90^{\circ}$.

(1) 当点 $D$ 在线段 $B C$ 上时 (与点 $B$ 不重合),试探讨 $C F$ 与 $B D$ 的数量关系和位置关系; 并说明理由

(2) 当点 $D$ 在线段 $B C$ 的延长线上时,

(2) 如图 3, 若 $A B \neq A C, \angle B A C \neq 90^{\circ}$, 点 $D$ 在线段 $B C$ 上运动, 试探究:

当 $\triangle A B C$ 满足一个什么条件时, $C F \perp B D$ ? (请直接写出你探究的结果)
选项：
答案：(1) 解: (1) $C F=B D, C F \perp B D$, 理由如下:

$\because A B=A C, \angle B A C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A B D=\angle A C B=45^{\circ}, \angle B A D+\angle C A D=90^{\circ}$,

$\because \triangle A D F$ 是等腰直角三角形, $A D$ 为直角边,

$\therefore \angle C A F+\angle C A D=90^{\circ}, \quad A F=A D$,

$\therefore \angle C A F=\angle B A D$,

在 $\triangle A C F$ 和 $\triangle A B D$ 中,

$\left\{\begin{aligned} A C & =A B \\ \angle C A F & =\angle B A D, \\ A F & =A D\end{aligned}\right.$

$\therefore \triangle A C F \cong \triangle A B D(\mathrm{SAS})$,

$\therefore C F=B D, \angle A C F=\angle A B D=45^{\circ}$,

$\because \angle A C B=45^{\circ}$,

$\therefore \angle F C B=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}$,

$\therefore C F \perp B D$

(2)仍然成立, 理由如下: 如图(2)所示:

<ImageHere>

图(2)

$\because \angle C A B=\angle D A F=90^{\circ}$,

$\therefore \angle C A B+\angle C A D=\angle D A F+\angle C A D$,

即 $\angle C A F=\angle B A D$ ，

在 $\triangle A C F$ 和 $\triangle A B D$ 中,

$\left\{\begin{array}{c}A B=A C \\ \angle C A F=\angle B A D, \\ A D=A F\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A C F \cong \triangle A B D(\mathrm{SAS})$,

$\therefore C F=B D, \quad \angle A C F=\angle B$,
$\because A B=A C, \quad \angle B A C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B=\angle A C B=45^{\circ}$,

$\therefore \angle B C F=\angle A C F+\angle A C B=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}$,

$\therefore C F \perp B D$;

(2) 当 $\angle B C A=45^{\circ}$ 时, $C F \perp B D$.

<ImageHere>

图(3)

过点 $A$ 作 $A E \perp A C$ 交 $B C$ 于 $E$, 如图(3)所示:

$\because \angle B C A=45^{\circ}$,

$\therefore \triangle A C E$ 是等腰直角三角形,

$\therefore A C=A E, \quad \angle A E D=45^{\circ}$,

$\because \angle C A F+\angle C A D=90^{\circ}, \angle E A D+\angle C A D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle C A F=\angle E A D$,

在 $\triangle A C F$ 和 $\triangle A E D$ 中,

$\left\{\begin{array}{c}A C=A E \\ \angle C A F=\angle E A D, \\ A D=A F\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A C F \cong{ }_{\triangle} A E D(\mathrm{SAS})$,

$\therefore \angle A C F=\angle A E D=45^{\circ}$,

$\therefore \angle B C F=\angle A C F+\angle B C A=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}$,

$\therefore C F \perp B D$.
解析：(1) 解: (1) $C F=B D, C F \perp B D$, 理由如下:

$\because A B=A C, \angle B A C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A B D=\angle A C B=45^{\circ}, \angle B A D+\angle C A D=90^{\circ}$,

$\because \triangle A D F$ 是等腰直角三角形, $A D$ 为直角边,

$\therefore \angle C A F+\angle C A D=90^{\circ}, \quad A F=A D$,

$\therefore \angle C A F=\angle B A D$,

在 $\triangle A C F$ 和 $\triangle A B D$ 中,

$\left\{\begin{aligned} A C & =A B \\ \angle C A F & =\angle B A D, \\ A F & =A D\end{aligned}\right.$

$\therefore \triangle A C F \cong \triangle A B D(\mathrm{SAS})$,

$\therefore C F=B D, \angle A C F=\angle A B D=45^{\circ}$,

$\because \angle A C B=45^{\circ}$,

$\therefore \angle F C B=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}$,

$\therefore C F \perp B D$

(2)仍然成立, 理由如下: 如图(2)所示:



图(2)

$\because \angle C A B=\angle D A F=90^{\circ}$,

$\therefore \angle C A B+\angle C A D=\angle D A F+\angle C A D$,

即 $\angle C A F=\angle B A D$ ，

在 $\triangle A C F$ 和 $\triangle A B D$ 中,

$\left\{\begin{array}{c}A B=A C \\ \angle C A F=\angle B A D, \\ A D=A F\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A C F \cong \triangle A B D(\mathrm{SAS})$,

$\therefore C F=B D, \quad \angle A C F=\angle B$,
$\because A B=A C, \quad \angle B A C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B=\angle A C B=45^{\circ}$,

$\therefore \angle B C F=\angle A C F+\angle A C B=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}$,

$\therefore C F \perp B D$;

(2) 当 $\angle B C A=45^{\circ}$ 时, $C F \perp B D$.



图(3)

过点 $A$ 作 $A E \perp A C$ 交 $B C$ 于 $E$, 如图(3)所示:

$\because \angle B C A=45^{\circ}$,

$\therefore \triangle A C E$ 是等腰直角三角形,

$\therefore A C=A E, \quad \angle A E D=45^{\circ}$,

$\because \angle C A F+\angle C A D=90^{\circ}, \angle E A D+\angle C A D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle C A F=\angle E A D$,

在 $\triangle A C F$ 和 $\triangle A E D$ 中,

$\left\{\begin{array}{c}A C=A E \\ \angle C A F=\angle E A D, \\ A D=A F\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A C F \cong{ }_{\triangle} A E D(\mathrm{SAS})$,

$\therefore \angle A C F=\angle A E D=45^{\circ}$,

$\therefore \angle B C F=\angle A C F+\angle B C A=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}$,

$\therefore C F \perp B D$.