eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（九年级 · 计数）：“宫商角徵羽” 是中国古乐的五个基本音阶(相当于西乐的1，2，3，5，6),是采用 “三分损益法” 通过数学方法获得. 现有一款 “一起听古音” 的音乐玩具,音乐小球从 $A$ 处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音, 且小球进入每个小洞的可能性大小相同. 现有一个音乐小球从 $A$ 处先后两次进入小洞, 先发出 “商” 音,


再发出 “羽” 音的概率是( )

选项：
A. $\frac{1}{25}$
B. $\frac{1}{10}$
C. $\frac{1}{5}$
D. $\frac{2}{5}$


答案：A
解析：解：根据题意画图如下:



共有25种等可能的情况数，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的有1种,则先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是 $\frac{1}{25}$.

故选: A.
画树状图，共有25种等可能的结果，其中先发出 “商”音, 再发出 “羽” 音的结果有1种, 再由概率公式求解即可.

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率. 列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果, 列表法适合于两步完成的事件, 树状图法适合两步或两步以上完成的事件. 用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.

##
题目（九年级 · 计数）：如图(1)所示, 一张纸片上有一个不规则的图案(图中画图部分), 小雅想了解该图案的面积是多少,她采取了以下的办法: 用一个长为 $5 m$, 宽为 $3 m$ 的长方形, 将不规则图案围起来, 然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球, 并记录小球在不规则图案上的次数(球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果), 她将若干次有效试验的结果绘制成了图(2)所示的折线统计图, 由此她估计此不规则图案的面积大约为

( )



图(1)



选项：
A. $6 m^{2}$
B. $5 m^{2}$
C. $4 m^{2}$
D. $3 m^{2}$


答案：A
解析：假设不规则图案面积为 $x m^{2}$,

由已知得: 长方形面积为 $15 m^{2}$, 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为: $\frac{x}{15} m^{2}$,

当事件 $A$ 试验次数足够多, 即样本足够大时, 其频率可作为事件 $A$ 发生的概率估计值, 故由折线图可知, 小球落在不规则图案的概率大约为 0.4 ,

综上有: $\frac{x}{15}=0.4$,

解得 $x=6$.
题目（九年级 · 计数）：某学习小组做 “用频率估计概率” 的试验时, 统计了某一结果出现的频率, 绘制了如图所示折线统计图, 则符合这一结果的试验最有可能的是( )




选项：
A. 不透明袋中装有大小和质地都相同的 1 个红球和 2 个黄球，从中随机取一个，取到红球

B. 任意写一个整数, 它能被2整除

C. 掷一枚正六面体的骰子，出现1点朝上

D. 先后两次掷一枚质地均匀的硬币, 两次都出现反面

## 第 II 卷（非选择题）

##
答案：A
解析：解： $A$ 、不透明袋中装有大小和质地都相同的 1 个红球和 2 个黄球, 从中随机取一个, 取到红球的概率 $\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3} \approx 0.33$, 符合题意;

B、任意写一个整数, 它能 2 被整除的概率为 $\frac{1}{2}$, 不符合题意;

C、掷一个质地均匀的正六面体骰子, 出现 1 点朝上的概率为 $\frac{1}{6} \approx 0.17$, 不符合题意;

D、先后两次掷一枚质地均匀的硬币, 两次都出现反面的概率是 $\frac{1}{4}$, 不符合题意;

故选: $A$.

根据统计图可知, 试验结果在 0.33 附近波动, 即其概率 $P \approx 0.33$, 计算四个选项的概率, 约为 0.33 者即为正确答案.

此题考查了利用频率估计概率, 大量反复试验下频率稳定值即概率. 用到的知识点为: 频率=所求情况数与总情况数之比.
题目（九年级 · 计数）：从生产的一批螺钉中抽取1000个进行质量检查, 结果发现有 5 个是次品, 那么从中任取 1 个是次品概率约为 ( )

选项：
A. $\frac{1}{1000}$
B. $\frac{1}{200}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{5}$

答案：B
解析：【分析】

此题考查了概率公式的应用. 注意: 概率=所求情况数与总情况数之比.

从生产的一批蝶钉中抽取 1000 个进行质量检查, 结果发现有 5 个是次品, 直接利用概率公式求解即可求得答案.

## 【解答】

解: $\because$ 从生产的一批螺钉中抽取 1000 个进行质量检查, 结果发现有 5 个是次品,

$\therefore$ 从中任取 1 个是次品概率约为: $\frac{5}{1000}=\frac{1}{200}$.

故选 $B$.

##
题目（九年级 · 计数）：某林业局将一种树苗移植成活的情况绘制成如统计图, 由此可估计这种树苗移植成活的概率约为

( )



选项：
A. 0.95
B. $\mathbf{0 . 9 0}$
C. 0.85
D. $\mathbf{0 . 8 0}$


答案：B
解析：解：这种树苗成活的频率稳定在 0.90 , 则成活的概率估计值约是 0.90 .

故选: $B$.

本题考查了利用频率估计概率. 由图可知, 成活频率在 0.90 上下波动, 故可估计这种树苗成活的频率稳定在 0.90 , 成活的概率估计值为 0.90 .

##
题目（九年级 · 计数）：某小组在 “用频率估计概率” 的实验中, 统计了某种结果出现的频率, 绘制了如图所示的折线统计图, 那么符合这一结果的实验最有可能的是( )




选项：
A. 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是 “正面向上”

B. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是6

C. 在 “石头、剪刀、布” 的游戏中，小明随机出的是 “石头”

D. 袋子中有 1 个白球和 2 个黄球, 只有颜色上的区别, 从中随机取出一个球是黄球


答案：B
解析：解： $A$ 、掷一枚质地均匀的硬币, 落地时结果是 “正面向上” 的概率为 $\frac{1}{2}$, 不符合题意;

B、掷一个质地均匀的正六面体骰子, 落地时面朝上的点数是 6 的概率为 $\frac{1}{6}$, 符合题意;

C、在 “石头、剪刀、布” 的游戏中, 小小明随机出的是 “石头” 的概率为 $\frac{1}{3}$, 不符合题意;
$D$ 、袋子中有 1 个白球和 2 个黄球, 只有颜色上的区别, 从中随机取出一个球是黄球的概率 $\frac{2}{3}$, 不符合题意;

故选: $B$.

分别计算出每个事件的概率, 其值约为 0.16 的即符合题意;

本题主要考查概率的计算和频率估计概率思想, 注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的,不能单纯的依靠几次决定.

##
题目（九年级 · 计数）：某水果超市为了吸引顾客来店购物, 设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘, 开展有奖购物活动, 顾客购买商品满 200 元就能获得一次转动转盘的机会, 当转盘停止时, 指针落在 “一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果; 指针落在 “一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子. 若转动转盘2000次,指针落在 “一袋橘子” 区域的次数有600次，则某位顾客转动转盘一次，获得一袋橘子的概率大约是

## ( )



选项：
A. 0.3
B. 0.7
C. 0.4
D. 0.2


答案：A
解析：【分析】

本题考查频率估计概率以及频率的计算方法, 用样本中某种事件发生的频率估计该事件发生的概率是统计中常用的方法.

用频率估计概率, 转动转盘 2000 次, 指针落在 “一袋橘子” 区域的次数有 600 次, 频率为 $600 \div 2000=$ 0.3 , 因此估计总体的概率为 0.3 , 即转动转盘一次, 获得一袋橘子的概率为 0.3 .

## 【解答】

解: $\frac{600}{2000}=0.3$,

故选: $A$.

##
题目（九年级 · 计数）：一个不透明的盒子里有 $n$ 个除颜色外其它完全相同的小球, 其中有 8 个黄球, 每次摸球前先将盒子里的球摇匀, 任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量的重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在 0.4 , 那么估计盒子中小球的个数 $n$ 为 ( )

选项：
A. 32
B. 20
C. 15
D. 25

答案：B
解析：解：：通过大量重复摸球试验后发现, 摸到黄球的频率稳定在 0.4 , $\therefore$ 估计摸到黄球的概率为 0.4 ,

$\therefore n=8 \div 0.4=20$ (个),

故选: $B$.

利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率, 然后用盒子中黄球的个数除以摸到黄球频率的稳定值即可.

本题考查了利用频率估计概率: 大量重复实验时, 事件发生的频率在某个固定位置左右摆动, 并且摆动的幅度越来越小, 根据这个频率稳定性定理, 可以用频率的集中趋势来估计概率, 这个固定的近似值就是这个事件的概率. 当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多, 或各种可能结果发生的可能性不相等时, 一般通过统计频率来估计概率.

##
题目（九年级 · 计数）：某小组做 “用频率估计概率” 的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图.该事件最优可能的是( ）




选项：
A. 暗箱中有1个红球和 2 个黄球, 这些球除了颜色外无其他差别, 从中任取一球是红球

B. 掷一枚硬币, 正面朝上

C. 郑一个质地均匀的正六面股子, 向上一面的点数是 2

D. 从一副扑克牌中任意抽取1张, 这张牌是 “红心”


答案：A
解析：解： $A$ 、暗箱中有 1 个红球和 2 个黄球, 这些球除了颜色外无其他差别, 从中任取一球是红球的概率是 $\frac{1}{3}$, 符合题意;

B、中掷一枚硬币, 正面朝上的概率为 $\frac{1}{2}$, 不符合题意;

C、掷一个质地均匀的正六面骰子，向上一面的点数是 2 的概率为 $\frac{1}{6}$, 不符合题意;

$D$ 、从一副扑克牌中任意抽取1张，这张牌是 “红心”的概率是 $\frac{13}{54}$, 不符合题意;

故答案为: $A$.

根据统计图可知, 试验结果在 0.33 附近波动, 即其概率 $P \approx \frac{1}{3}$, 计算三个选项的概率, 约为 $\frac{1}{3}$ 者即为正确答案.

本题考查了利用频率估计概率, 大量反复试验下频率稳定值即概率. 用到的知识点为: 频率=所求情况数与总情况数之比. 同时此题在解答中要用到概率公式.

##
题目（九年级 · 计数）：如图(1)所示, 平整的地面上有一个不规则图案(图中阴影部分), 小明想了解该图案的面积是多少,他采取了以下办法: 用一个面积为 $20 \mathrm{~cm}^{2}$ 的长方形, 将不规则图案围起来, 然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球, 并记录小球落在不规则图案上的次数(球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果), 他将若干次有效试验的结果绘制成了 (2)所示的折线统计图, 由此他估计不规则图案的面积大约为 ( )



图(1)

## 小球落在不规则图案内的概率



图(2)

选项：
A. $6 \mathrm{~cm}^{2}$
B. $7 \mathrm{~cm}^{2}$
C. $8 \mathrm{~cm}^{2}$
D. $9 \mathrm{~cm}^{2}$


答案：B
解析：【分析】

本题分两部分求解, 首先设不规则图案的面积为 $x \mathrm{~cm}^{2}$, 根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小，继而根据折线图用频率估算概率，综合以上列方程求解即可.

本题考查几何概率以及用频率估计概率, 并在此基础上进行题目创新, 解题的关键在于理解题意, 能从复杂的题目背景中找到考点化繁为简.

【解答】解：假设不规则图案的面积为 $x \mathrm{~cm}^{2}$,

由已知得: 长方形面积为 $20 \mathrm{~cm}^{2}$,

根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为: $\frac{x}{20}$,

当事件 $A$ 试验次数足够多, 即样本足够大时, 其频率可作为事件 $A$ 发生的概率估计值, 故由折线图可知, 小球落在不规则图案的概率大约为 0.35 ,

综上: $\frac{x}{20}=0.35$

解得: $x=7$,

$\therefore$ 不规则图案的面积大约为 $7 \mathrm{~cm}^{2}$,

故选: B.

##
题目（九年级 · 计数）：茶叶产业是陕西南部地区的优势特色产业之一，因其得天独厚的生长条件, 具有早采、富硒、有机的天然品质, 具备发展优质茶产业的先天地理优势. 该地某茶叶种植合作社脱贫攻坚期间种植茶树 15000 棵, 其中成活 13500 棵, 请估计这个合作社茶树种植成活的概率为( )

选项：
A. 0.5
B. 0.85
C. 0.8
D. 0.9

答案：D
解析：解: $\because \frac{13500}{15000}=0.9$,

$\therefore$ 估计这个合作社茶树种植成活的概率为: 0.9 ,

故选: D.

用成活的棵数除以种植的棵数即可估计这个合作社茶树种植成活的概率.
本题考查用频率估计概率, 掌握频率估计概率的方法是解题的关键.

##
题目（九年级 · 计数）：下列事件不是随机事件的是 ( )
  
选项：
A. 十字路口遇到红灯
  B. 掷一枚硬币正面朝上
  C. 打开电视, 正在播放新闻节目
  D. 在只装有红球的袋中摸出 1 个球, 是红球


答案：D
解析：根据随机事件的定义: 在一定条件下, 可能发生也可能不发生的事件, 称为随机事件, 逐项判断即可.

【详解】解: A、该选项是随机事件, 故不符合题意;

B、该选项是随机事件，故不符合题意;

C、该选项是随机事件，故不符合题意;

D、该选项是必然事件，故符合题意;

故选: D.

【点睛】本题考查了随机事件和必然事件的定义, 熟练掌握随机事件和必然事件的定义是解题的关键.
题目（九年级 · 计数）：将一枚均匀的硬币连续拋掷两次, 抛郑两次结果如下图所示, 则两次都是正面朝上的概率等于 ( )

|  | 正 | 反 |
| :--- | :--- | :--- |
| 正 | (正, 正) | (正, 反) |
| 反 | (反, 正) | (反，反) |


选项：
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{3}{4}$
D. 1


答案：B
解析：列表得到所有 4 种等可能的结果数, 再找出两次都是反面朝上的结果数, 然后根据概率公式求解.

【详解】共 4 种等可能情况，正面都朝上的情况数有 1 种，所以概率是 $\frac{1}{4}$,

故选 B.

【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 $n$,再从中选出符合事件 $A$ 或 $B$ 的结果数目 $m$, 然后利用概率公式计算事件 $A$ 或事件 $B$ 的概率.
题目（九年级 · 计数）：据省统计局公布的数据, 合肥市 2021 年第一季度 $G D P$ 总值约为 2.4 千亿元人民币,若我市第三季度 $G D P$ 总值为 $y$ 千亿元人民币, 平均每个季度 $G D P$ 增长的百分率为 $x$,则 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式是（）

选项：
A. $y=2.4(1+2 x)$
B. $y=2.4(1-x)^{2}$
C. $y=2.4(1+x)^{2}$
D. $y=2.4+2.4(1+x)+2.4(1+x)^{2}$

答案：C
解析：根据平均每个季度 $G D P$ 增长的百分率为 $x$, 第二季度季度 $G D P$ 总值约为 $2.4(1+x)$元, 第三季度 $G D P$ 总值为 $2.4(1+x)^{2}$ 元, 则函数解析式即可求得.

【详解】解: 设平均每个季度 $G D P$ 增长的百分率为 $x$,则 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式是: $y=2.4(1+x)^{2}$.

故选: C.

【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式, 正确理解增长率问题是解题关键.
题目（九年级 · 计数）：一个布袋里装有 4 个只有颜色不同的球，其中 3 个红球， 1 个白球. 从布袋里摸出 1 个球, 记下颜色后放回, 搅匀, 再摸出 1 个球, 则两次摸到的球都是红球的概率是 ( )
选项：
A. $\frac{1}{16}$   B. $\frac{1}{2}$   C. $\frac{3}{8}$   D. $\frac{9}{16}$
答案：D
解析：D【解析】解：画树状图得：because共有16种等可能的结果，两次摸出红球的有9种情况,therefore两次摸出红球的概率为frac916;故选:D.
题目（九年级 · 计数）：抛一枚硬币, 正面朝上的可能性是 0.5. 现在已经抛了三次, 都是正面朝上. 若抛第四次,则正面朝上的可能性 $(\quad)$
选项：
A. 大于 0.5   B. 等于 0.5   C. 小于 0.5   D. 无法判断
答案：B
解析：B
题目（九年级 · 计数）：从 $-5,-\frac{10}{3},-\sqrt{6},-1,0,2, \pi$ 这七个数中随机抽取一个数, 恰好为负整数的概率为 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{2}{7}$   B. $\frac{3}{7}$   C. $\frac{4}{7}$   D. $\frac{5}{7}$
答案：A
解析：A【解析】负整数为-5和-1,therefore恰好为负整数的概率为frac27.故选A.
题目（九年级 · 计数）：一个两位数, 它的十位数字是 3, 个位数字是抛郑一枚质地均匀的骰子（六个面分别有   数字 1 6）朝上一面的数字. 任意抛掷这枚骰子一次, 得到的两位数是 3 的倍数的概率为 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{1}{6}$   B. $\frac{1}{3}$   C. $\frac{1}{2}$   D. $\frac{2}{3}$
答案：B
解析：B【解析】共有6种等可能:31,32,33,34,35,36,为3的倍数的有2种可能:33,36,即得到的两位数是3的倍数的概率为frac13.
题目（九年级 · 计数）：甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的实验中统计了某一结果出现的频率, 绘出的统计图如图所示, 则符合这一结果的实验可能是 $(\quad)$
选项：
A. 掷一枚正六面体的㳇子, 出现 1 点的概率B. 从一个装有 2 个白球和 1 个红球的袋子中任取一球, 取到红球的概率C. 抛一枚硬币，出现正面的概率D. 任意写一个整数, 它能被 2 整除的概率
答案：B
解析：B【解析】A中的概率为frac16approx17%,B中的概率为frac13approx33%,C中的概率为frac12=50%,D中的概率为frac12=50%。
题目（九年级 · 计数）：小华外出, 带了白色、蓝色、棕色上衣各 1 件, 白色、棕色裤子各 1 条, 他任意拿了 1 件上衣和 1 条裤子，正好是相同颜色的概率是（）
选项：
A. $\frac{1}{6}$   B. $\frac{1}{3}$   C. $\frac{1}{2}$   D. $\frac{2}{5}$
答案：B
解析：B【解析】所有机会均等的情况共有6种,其中相同颜色的2种,thereforeP_text(相同弱他=frac26=frac13.
题目（九年级 · 计数）：有一个正方体, 6 个面上分别标有 $1 \sim 6$ 这 6 个整数, 投掷这个正方体一次, 则出现向上一面的数字是奇数的概率为（）

选项：
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{6}$

答案：A
解析：投掷这个正方体会出现 1 到 6 共 6 个数字, 每个数字出现的机会相同, 即有 6 个可能结果, 而这 6 个数中有 $1,3,5$ 三个奇数, 则有 3 种可能, 根据概率公式即可得出答案.



【详解】解: $\because$ 在 $1 \sim 6$ 这 6 个整数中有 $1,3,5$ 三个奇数,

$\therefore$ 当投掷这个正方体一次, 则出现向上一面的数字为奇数的概率是: $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

故选 A.

【点睛】此题考查概率的求法: 如果一个事件有 $\mathrm{n}$ 种可能, 而且这些事件的可能性相同, 其中事件 $\mathrm{A}$ 出现 $\mathrm{m}$ 种结果, 那么事件 $\mathrm{A}$ 的概率 $\mathrm{P}(\mathrm{A})=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}$.
题目（九年级 · 逻辑题）：下列事件中，属于必然事件的是（）

选项：
A. 买一张彩票中大奖
B. 云层又黑又低时会下雨
C. 软木塞浮在水面上
D. 有人把石头粰成了小鸡

答案：C
解析：根据必然事件的意义，结合具体的问题情境逐项进行判断即可.

【详解】解：A、买一张彩票中大奖是随机事件，故本选项不符合题意;

B、云层又黑又低时会下雨是随机事件，故本选项不符合题意;

C、软木塞浮在水面上是必然事件，故本选项符合题意；

D、有人把石头粰成了小鸡是不可能事件，故本选项不符合题意;

故选: C.

【点睛】此题考查随机事件、必然事件, 理解必然事件的意义是正确判断的前提, 结合问题情境判断事件发生的可能性是正确解答的关键.
题目（九年级 · 逻辑题）：下列说法正确的是 ( )


选项：
A. 明天广安市城区会下雨是必然事件

B. 调查广安综合频道《聚焦广安》的收视率, 应采用全面调查的方式

C. 甲、乙两名射击运动员 10 次射击成绩（单位：环）的平均数相等，方差分别为 $s_{\text {甲 }}^{2}=0.8, s_{乙}^{2}=1$, 则乙的成绩比甲的稳定

D. 将一次函数 $y=-2 x+1$ 的图像向上平移 3 个单位长度, 得到的图像的函数解析式为 $y=-2 x+4$


答案：D
解析：根据随机事件、全面调查与抽样调查、方差的意义、一次函数图像的平移逐项判定即可解答.

【详解】解： A. 明天广安市城区会下雨是随机事件，故 A 选项不符合题意;

B. 调查广安综合频道《聚焦广安》的收视率, 应采用抽样调查的方式, 故 B 选项不符合题意;

C. 甲、乙两名射击运动员 10 次射击成绩 (单位: 环) 的平均数相等, 方差分别为 $s_{\text {甲 }}^{2}=0.8$, $s_{乙}^{2}=1$, 则甲的成绩比乙的稳定, 故 C 选项不符合题意;

D. 将一次函数 $y=-2 x+1$ 的图像向上平移 3 个单位长度, 得到的图像的函数解析式为 $y=-2 x+4$, 故 D 选项符合题意.

故选: D.

【点睛】本题主要考查了随机事件、全面调查与抽样调查、方差的意义、一次函数图像的平移等知识点, 灵活利用相关知识成为解答本题的关键.
题目（九年级 · 逻辑题）：下列描述的事件为必然事件的是（）


选项：
A. 汽车累积行驶 $10000 \mathrm{~km}$, 从未出现故障

B. 购买 1 张彩票, 中奖

C. 任意画一个三角形, 其内角和是 $180^{\circ}$

D. 明天一定会下雪


答案：C
解析：根据必然事件与随机事件的定义分别对四个选项进行判断, 即可得出结论.

【详解】解: A. 汽车累积行驶 $10000 \mathrm{~km}$, 从未出现故障. 是随机事件, 故此选项不符合题意;

B. 购买 1 张彩票, 中奖. 是随机事件, 故此选项不符合题意;

C. 任意画一个三角形, 其内角和是 $180^{\circ}$. 是必然事件, 故此选项符合题意;

D. 明天一定会下雪. 是随机事件, 故此选项不符合题意.

故选: C.

【点睛】本题考查了必然事件, 解题的关键是正确理解相关概念, 并能根据事件发生的可能性准确判断事件类型.
题目（九年级 · 逻辑题）：下列事件中为必然事件的是 ( )

选项：
A. 如果 $\mathrm{a}^{2}=\mathrm{b}^{2}$, 那么 $\mathrm{a}=\mathrm{b}$
B. 两边及其一角对应相等的两个三角形全等

C. 射击运动员射击一次, 命中 10 环

D. 长度分别是 $4,6,9$ 的三条线段能围成一个三角形


答案：D
解析：根据事件发生的可能性大小，判断相应事件的类型即可.

【详解】解： A、如果 $\mathrm{a}^{2}=\mathrm{b}^{2}$, 那么 $\mathrm{a}=\mathrm{b}$, 是随机事件, 不符合题意;

B、两边及其一角对应相等的两个三角形全等, 是随机事件, 不符合题意;

C、射击运动员射击一次，命中 10 环，是随机事件，不符合题意;

D、长度分别是 $4,6,9$ 的三条线段能围成一个三角形, 是必然事件, 符合题意,

故选: D.

【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念. 必然事件指在一定条件下,一定发生的事件. 不可能事件是指在一定条件下, 一定不发生的事件, 不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.
题目（九年级 · 逻辑题）：下列事件是不确定事件的是（）

选项：
A. 守株待兔
B. 水中捞月
C. 风吹草动
D. 瓮中捉鳖

答案：A
解析：不确定事件就是一定条件下可能发生也可能不发生的事件. 依据定义即可解决.

【详解】A、守株待兔, 是不确定事件, 正确;

B、水中捞月, 是不可能事件, 故本选项错误;

C、风吹草动, 是必然事件, 故本选项错误;

D、瓮中捉鳖, 是必然事件, 故本选项错误.

故选 A.

【点睛】此题主要考查了随机事件, 要熟练掌握, 事件分为确定事件和不确定事件（随机事件), 确定事件又分为必然事件和不可能事件.
题目（九年级 · 逻辑题）：从数学的观点看, 对以下成语及诗句中的事件判断正确的是 ( )


选项：
A. 成语“守株待兔”是随机事件

B. 成语“水中捞月”是随机事件

C. 诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件

D. 诗句“离离原上草, 一岁一枯荣”是不可能事件


答案：A
解析：在一定条件下, 可能发生也可能不发生的事件, 称为随机事件; 在一定条件下, 肯定它一定不会发生的事件, 称为不可能事件; 在一定条件下, 肯定它一定会发生的事件, 称为必然事件; 根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义进行分析即可.

【详解】解: A: “守株待兔”可能发生也可能不发生, 故是随机时间, 符合题意;

B: “水中捞月”是肯定会失败的, 是不可能事件, 故不符合题意;

C: “清明时节雨纷纷” 可能发生也可能不发生，是随机时间，故不符合题意;

D: “离离原上草, 一岁一枯荣”是肯定会发生的事件, 是必然事件, 故不符合题意;

故选: A.

【点睛】本题考查事件类型的判断, 解题的关键是掌握事件的分类知识.
题目（九年级 · 逻辑题）：下列命题: (1)各边相等的多边形是正多边形; (2)正多边形是中心对称图形; (3)正六边形的外接圆半径与边长相等; (4)正 $n$ 边形共有 $n$ 条对称轴. 其中真命题的个数是
  
选项：
A. 4
  B. 3
  C. 2
  D. 1


答案：C
解析：根据正多边形的性质以及正多边形与圆的关系逐一进行判断即可.

【详解】解: 各边相等各角相等的多边形是正多边形, 只有各边相等的多边形不一定是正多边形，如菱形，故(1)是假命题;

正三角形和正五边形就不是中心对称图形, 故(2)为假命题;

正六边形中由外接圆半径与边长可构成等边三角形, 所以外接圆半径与边长相等, 故(3)为真命题;

根据轴对称图形的定义和正多边形的特点, 可知正 $n$ 边形共有 $n$ 条对称轴, 故(4)为真命题.故选: C.

【点睛】本题考查的是正多边形的概念以及正多边形与圆的关系, 属于基础题型.
题目（九年级 · 逻辑题）：下列成语所描述的事件是必然事件的是 ( )
选项：
A. 瓮中捉鳖   B. 拔苗助长   C. 守株待兔   D. 水中捞月
答案：A
解析：A
题目（九年级 · 组合数学）：第 24 届冬奥会期间, 小牛收集到 4 张卡片, 正面图案如图所示, 它们除此之外完全相同, 把这 4 张卡片背面朝上洗匀后摸出 1 张, 放回洗匀再摸出一张, 则这两张卡片正面图案恰好是两张滑雪的概率是（）



单板滑雪



花样滑冰



双板滑雪



冰球

选项：
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{1}{8}$
C. $\frac{1}{12}$
D. $\frac{1}{4}$


答案：D
解析：根据题意, 可以画出相应的树状图, 从而可以求得这两张卡片正面图案恰好是“两张滑雪的概率.

【详解】解：设单板滑雪用 $A$ 表示, 花样滑冰用 $B$ 表示, 双板滑雪用 $C$ 表示, 冰球用 $D$ 表示,

树状图如下:



由上可得, 一共有 16 种可能性, 其中这两张卡片正面图案恰好是两张滑雪的可能有 4 种,故这两张卡片正面图案恰好是两张滑雪的概率是 $\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$.

故选: D.

【点晴】本题考查列表法与树状图法, 解答本题的关键是明确题意, 画出相应的树状图.
题目（九年级 · 组合数学）：掷一枚质地均匀的标有 $1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6$ 六个数字的立方体骰子，骰子停止后，出现的情况属于不可能事件的是（）

选项：
A. 点数为 3
B. 点数大于 2 小于 6
C. 点数为偶数
D. 点数为 7

答案：D
解析：根据事件的分类可进行求解.

【详解】解：A、出现点数为 3 属于随机事件; 故不符合题意;

B、出现点数大于 2 小于 6 是属于随机事件, 故不符合题意;

C、出现点数为偶数是属于随机事件, 故不符合题意;

D、出现点数为 7 是属于不可能事件, 故符合题意;

故选 D.

【点睛】本题主要考查随机事件, 熟练掌握随机事件的相关概念是解题的关键.
题目（九年级 · 组合数学）：嘉嘉用大小和形状都完全一样的正方形按照一定规律排放了一组图案 (如图所示),每个图案中他只在最下面的正方形上写“城”字, 寓意“众志成城, 抗击疫情”. 其中第 (1)个图案中有 1 个正方形, 第（2）个图案中有 3 个正方形, 第（3）个图案中有 6 个正方形，...按照此规律，从第（10）个图案中随机抽取一个正方形，抽到带“城”字正方形的概率是（）


选项：
A. $\frac{2}{11}$
B. $\frac{1}{11}$
C. $\frac{1}{5}$
D. $\frac{2}{9}$

答案：A
解析：先根据已知图形得出第 10 个图形中, 正方体一共有 $1+2+3+\ldots . .+9+10=55$个, 再用带“城”字的正方体个数除以总个数即可得.

【详解】解: $\because$ 第 1 个图形中正方体的个数为 1 ,

第 2 个图形中正方体的个数 $3=1+2$,
第 3 个图形中正方体的个数 $6=1+2+3$,

$\therefore$ 第 10 个图形中, 正方体一共有 $1+2+3+\ldots . .+10=55$ (个), 其中写有“城”字的正方体有 10 个,

$\therefore$ 抽到带“城”字正方体的概率是 $\frac{10}{55}=\frac{2}{11}$.

故选: A.

【点睛】本题主要考查概率公式及图形的变化规律, 解题的关键是得出第 10 个图形中正方体个数和概率公式.
题目（九年级 · 组合数学）：在某中学的迎国庆联欢会上有一个小嘉宾抽奖的环节，主持人把分别写有“我”、“爱”、 “祖”、“国”四个字的四张卡片分别装入四个外形相同的小盒子并密封起来, 由主持人随机地弄乱这四个盒子的顺序，然后请出抽奖的小嘉宾，让他在四个小盒子的外边也分别写上“我”、“爱”、“祖”、“国”四个字，最后由主持人打开小盒子取出卡片，如果每一个盒子上面写的字和里面小卡片上面写的字都不相同就算失败, 其余的情况就算中奖, 那么小嘉宾中奖的概率为（）

选项：
A. $\frac{2}{3}$
B. $\frac{5}{8}$
C. $\frac{3}{4}$
D. $\frac{9}{16}$

答案：B
解析：得出总的情况数和失败的情况数, 根据概率公式计算出失败率, 从而得出中奖率.

【详解】解：设“我”、“爱”、“祖”、“国“四个字对应的字母为 a、b、c、d, 则所有的可能性为: $(\mathrm{abcd}) 、(\mathrm{abdc}) 、(\mathrm{acbd}) 、(\mathrm{acdb}) 、(\mathrm{adbc}) 、(\mathrm{adcb}) 、(\mathrm{badc}) 、($ bacd )、(bcad)、(bcda)、 (bdac)、(bdca)、(cabd)、(cadb)、(cbad)、(cbda)、(cdab)、(cdba)、(dabc)、(dacb)、 (dbac)、(dbca)、(dcab)、(dcba), 则都不相同的可能有: (badc)、(bcda)、(bdac)、(cadb)、 (cdab)、(cdba)、(dabc)、(dcab)、(dcba), 故小嘉宾中奖的概率为: $\frac{15}{24}=\frac{5}{8}$.

故选: B.

【点睛】本题考查了利用概率公式求概率. 正确得出失败情况的总数是解答本题的关键. 用到的知识点为: 概率=所求情况数与总情况数之比.
题目（九年级 · 组合数学）：一个口袋中有四个完全相同的小球, 把它们分别标号为 $1 、 2 、 3 、 4$, 随机地摸出一个小球, 然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和等于 4 的概率是（）

选项：
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{3}{8}$
D. $\frac{3}{16}$

答案：D
解析：如图,


$\begin{array}{llll}2 & 3 & 4 & 5\end{array}$

$\begin{array}{llll}3 & 4 & 5 & 6\end{array}$

$\begin{array}{llll}4 & 5 & 6 & 7\end{array}$



随机地摸出一个小球, 然后放回, 再随机地摸出一个小球, 共有 16 种等可能的结果数, 其中两次摸出的小球标号的和等于 4 的占 3 种, 所有两次摸出的小球标号的和等于 4 的概率= $\frac{3}{16}$. 故选 D.
题目（九年级 · 组合数学）：校运动会上甲、乙、丙、丁四名选手参加 100 米决赛, 赛场有 1 号、 2 号、 3 号、 4
号 4 条跑道. 如果选手以随机抽签的方式决定各自的跑道, 则甲抽到 1 号跑道, 乙抽到 2 号跑道的概率是（）

选项：
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{6}$
C. $\frac{1}{12}$
D. $\frac{1}{24}$

答案：C
解析：试题分析：如图所示:



一共有 24 种可能, 甲抽到 1 号跑道, 乙抽到 2 号跑道的可能有 2 种, 则甲抽到 1 号跑道,乙抽到 2 号跑道的概率是 $\frac{2}{24}=\frac{1}{12}$. 故选 C.

考点: 列表法与树状图法求概率.
题目（九年级 · 组合数学）：以下说法合理的是（）


选项：
A. 小明做了 3 次掷图钉的实验, 发现 2 次钉尖朝上, 由此他说钉尖朝上的概率是 $\frac{2}{3}$

B. 某彩票的中奖概率是 $5 \%$, 那么买 100 张彩票一定有 5 张中奖

C. 某射击运动员射击一次只有两种可能的结果：中靶与不中靶, 所以他击中靶的概率是 $\frac{1}{2}$

D. 小明做了 3 次掷均匀硬币的实验, 其中有一次正面朝上， 2 次正面朝下，他认为再掷一次, 正面朝上的概率还是 $\frac{1}{2}$


答案：D
解析：根据各个选项中的说法可以判断是否正确, 从而可以解答本题.

【详解】解：小明做了 3 次掷图钉的实验, 发现 2 次钉尖朝上, 由此他说钉尖朝上的概率是 $\frac{2}{3}$ 是错误的, 3 次试验不能总结出概率, 故选项 $A$ 错误,

某彩票的中奖概率是 $5 \%$, 那么买 100 张彩票可能有 5 张中奖, 但不一定有 5 张中奖, 故选项 $B$ 错误,

某射击运动员射击一次只有两种可能的结果: 中靶与不中靶, 所以他击中靶的概率是 $\frac{1}{2}$ 不正确, 中靶与不中靶不是等可能事件, 一般情况下, 脱靶的概率大于中靶的概率, 故选项 $C$错误，

小明做了 3 次掷均匀硬币的实验, 其中有一次正面朝上, 2 次正面朝下, 他认为再掷一次,正面朝上的可能性是 $\frac{1}{2}$, 故选项 $D$ 正确,

故选 $D$.

【点睛】本题考查利用频率估计概率, 解答本题的关键是明确题意, 可以判断各个选项中的说法是否正确.
题目（九年级 · 组合数学）：某同学连续抛掷硬币 2 次, 都是正面朝上,则抛掷第 3 次出现正面朝上的概率为 ( )

选项：
A. 1
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{8}$
D. $\frac{1}{6}$

答案：B
解析：根据概率的意义分析即可.

【详解】解： $\because$ 每一次拋掷一枚质地均匀的硬币是一件随机事件, 且正面朝上的概率是 $\frac{1}{2}$, $\therefore$ 拋掷第 3 次正面朝上的概率也是 $\frac{1}{2}$, 与前两次的结果无关,

故选: B.

【点睛】本题主要考查概率的意义, 熟练掌握随机事件、必然事件、不可能事件等的概率的意义是解题的关键.
题目（九年级 · 组合数学）：下列事件为确定事件的有（）

（1）打开电视正在播动画片

（2）长、宽为 $m, n$ 的矩形面积是 $m n$

（3）掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上

(4) $\pi$ 是无理数

选项：
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个


答案：B
解析：直接利用随机事件以及确定事件的定义分析得出答案.

【详解】(1)打开电视正在播动画片, 是随机事件, 不合题意;

(2)长、宽为 $m, n$ 的矩形面积是 $m n$, 是确定事件, 符合题意;

（3）掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不合题意;

(4) $\pi$ 是无理数, 是确定事件, 符合题意;

故选: B.

【点睛】此题主要考查了随机事件以及确定事件, 正确掌握相关定义是解题关键.
题目（九年级 · 组合数学）：一个密码锁有五位数字组成, 每一位数字都是 $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ 之中的一个, 小明只记得其中的三个数字, 则他一次就能打开锁的概率为 ( )
    
选项：
A. $\frac{1}{5}$
    B. $\frac{1}{2}$
    C. $\frac{1}{20}$
    D. $\frac{1}{100}$


答案：D
解析：
【详解】分析：分析所有可能的结果, 用他一次就打开锁的情况除以所有可能的结果即可.详解: 密码锁有五位数字组成, 每一位数字都是 $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ 之中的一个, 密码共有 100000 种情况, 小明只记得其中的三个数字, 则有 2 个数字不确定, 共有 1000 种情况, 则他一次就能打开锁的概率为 $P=\frac{1000}{100000}=\frac{1}{100}$.

故选 D.

点睛: 考查概率的计算, 根据概率公式进行计算即可.
题目（九年级 · 组合数学）：笼子里关着一只小松鼠 (如图), 笼子的主人决定把小松鼠放归大自然, 将笼子所有的门都打开, 松鼠要先经过第一道门 $(A, B$, 或 $C)$, 再经过第二道门 ( $D$ 或 $E)$ 才能出去. 问松鼠走出笼子的路线（经过的两道门）有（）种不同的可能?

       
       
       
       
       (第 8 题)

     
选项：
A. 12
       B. 6
       C. 5
       D. 2


答案：B
解析：解决本题的关键是分析两道门各自的可能性情况, 然后再进行组合得到打开两道门的方法, 这类题要读懂题意, 从中找出组合的规律进行求解, 本题不同的是首先分析每道门的情况数, 然后整体进行组合即可得解.

【详解】解: 因为第一道门有 $A 、 B 、 C$ 三个出口, 所以出第一道门有三种选择; 又因第二道门有两个出口, 故出第二道门有 $D 、 E$ 两种选择, 因此小松鼠走出笼子的路线有 6 种选择,
分别为 $A D 、 A E 、 B D 、 B E 、 C D 、 C E$.

故选: B.

【点睛】本题考查了概率、所有可能性统计，通过列举法可以举出所有可能性的路径.
题目（九年级 · 组合数学）：如图, 动点 $P$ 从点 $\mathrm{A}$ 出发, 沿正五边形 $A B C D E$ 的边, 每次随机顺时针或逆时针跳动 1 步或 2 步 (每步长度与 $A B$ 长相等), 则点 $P$ 跳跃两次后, 恰好落在点 $C$ 处的概率为 $($ )



选项：
A. $\frac{3}{16}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{5}$
D. $\frac{4}{15}$


答案：A
解析：画出树状图, 找出符合结果的个数, 用公式 $P=\frac{m}{n}$ 即可求解.

【详解】解：画树状图得



共有 16 种等可能结果, 点 $P$ 跳跃两次后，恰好落在点 $C$ 处有 3 种结果，

$\therefore P=\frac{3}{16}$;

故选: A.

【点睛】本题考查了用画树状图求概率，掌握解法是解题的关键.
题目（九年级 · 组合数学）：甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，如果两者之积为偶数，甲得 1 分; 如果两者之积为奇数，乙得1分, 此游戏( )

选项：
A. 对甲有利
B. 对乙有利
C. 是公平的
D. 以上都有不对

答案：A
解析：【分析】

本题考查的是游戏公平性的判断. 判断游戏公平性就要计算每个事件的概率, 概率相等就公平, 否则就不公平. 用到的知识点为: 概率=所求情况数与总情况数之比.

把所有可能出现的情况列出来，分别求出它们的概率即可解答.

## 【解答】

解: 甲、乙两人各自郑一个普通的正方体股子, 可出现两者之积为偶数和奇数的情况如下表:

| BA | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 | 18 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 24 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
| 6 | 6 | 12 | 18 | 24 | 30 | 36 |

出现奇数为 9 次, 概率为 $=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$;

出现偶数为 27 次, 概率为 $=\frac{27}{36}=\frac{3}{4}$;

故此游戏对甲有利.

故选 $A$.
题目（九年级 · 组合数学）：某口袋中有 10 个球，其中白球 $x$ 个，绿球 $2 x$ 个，其余为黑球。甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜, 甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则 $x$ 应该是( )

选项：
A. 3
B. 4
C. 1
D. 2

答案：D
解析：解：由题意甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则获胜; 甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球, 若为黑球则获胜可知,

绿球与黑球的个数应相等, 也为 $2 x$ 个,

列方程可得 $x+2 x+2 x=10$,

解得 $x=2$,

故选: $D$.

游戏是否公平, 关键要看游戏双方获胜的机会是否相等, 即判断双方取胜的概率是否相等, 或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等，据此列方程解答即可.

本题考查的是游戏公平性的判断. 判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平. 用到的知识点为: 概率=所求情况数与总情况数之比.
题目（九年级 · 组合数学）：小明和小刚各自掷一枚质地均匀的正方体骰子, 若两人的点数之和是奇数, 则小明积 1 分, 若两人的点数之和是偶数, 则小刚积1分, 此游戏 ( )

选项：
A. 对小明有利
B. 对小刚有利
C. 是公平的
D. 无法判断

答案：C
解析：解: 根据题意列表如下:

|  | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |  |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 10 | 11 | 12 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 9 | 10 |  |

由表知，甲、乙两人各自掷一个普通的正方体骰子，共有36种结果，其中两者之和为偶数有18种，两者之和为奇数有 18 种,

$\therefore$ 两者之和为偶数的概率为 $\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$,

则两者之和为奇数的概率为 $\frac{1}{2}$,

$\therefore$ 此游戏是公平的,

故选: $C$.

把所有可能出现的情况列出来, 分别求出它们的概率即可解答.

本题考查的是游戏公平性的判断. 判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平. 用到的知识点为: 概率=所求情况数与总情况数之比.
题目（九年级 · 组合数学）：小明与小刚一起玩抛掷两枚硬币的游戏, 游戏规则:

抛出两个正面一一小明贏1分; 抛出其他结果一一小刚赢1分; 谁先得到10分, 谁就获胜.

这是个不公平的游戏, 要使该游戏公平, 下列做法中错误的是

( )


选项：
A. 把 “抛出两个正面” 改为 “拖出两个同面”

B. 把 “抛出其他结果” 改为 “抛出两个反面”

C. 把 “小明赢 1 分” 改为 “小明赢 3 分”

D. 把 “小刚赢 1 分” 改为 “小刚赢 3 分”


答案：D
解析：【分析】

本题考查的是游戏公平性的判断. 判断游戏公平性就要计算每个事件的概率, 概率相等就公平, 否则就不公平.

画树状图, 表示出所有的结果. 求两个正面发生的概率, 判断公平性; 修改规则的依据是使两个事件发生的概率相等即可.

## 【解答】

解: 画树状图如下:



因为 $P($ 正, 正 $)=\frac{1}{4}$, 所以出现其他结果的概率为 $\frac{3}{4}$.

$A$ 项, $\because$ 拋出两个同面的概率为 $\frac{1}{2}$,

$\therefore$ :把 “拋出两个正面”改为 “抛出两个同面” 可使游戏公平,

故此选项做法正确, 不符合题意;

B项, 把 “抛出其他结果” 改为 “抛出两个反面” 时, 两人获胜概率都为 $\frac{1}{4}$,

故此时游戏公平, 故此选项做法正确, 不符合题意;

$C$ 项, $\because$ 小明获胜概率为 $\frac{1}{4}$, 小刚获胜概率为 $\frac{3}{4}$,

$\therefore$ 把 “小明赢 1 分”改为 “小明赢 3 分” 可使游戏公平,

故此选项做法正确, 不符合题意;

$D$ 项，把 “小刚赢 1 分”改为 “小刚赢 3 分”, 此时游戏不公平,

故此选项做法错误, 符合题意.

故选 $D$.
题目（九年级 · 组合数学）：甲、乙、丙3位同学选修课程, 从4门课程中, 甲选修2门, 乙、丙各选修3门, 则不同的选修方案共有( )

选项：
A. 36 种
B. 48 种
C. 96 种
D. 192 种

第 II 卷（非选择题）

##
答案：C
解析：解：设4门课程分别为 $1,2,3,4$, 甲选修2门, 可有 1,$2 ; 1 ， 3 ; 1,4 ; 2,3 ; 2 ， 4 ; 3$, 4共6种情况，同理乙，丙均可有 $1 ， 2 ， 3 ； 1 ， 2 ， 4 ； 2 ， 3 ， 4 ； 1 ， 3 ， 4$ 共 4 种情况, $\therefore$ 不同的选修方案共有 $6 \times 4 \times 4=96$ 种, 故选 $C$.

分别得到三个人有几种选择, 相乘即可.

本题需注意方案不分次序, 即 $a, b$ 和 $b, a$ 是同一种方案，用列举法找到相应的组合即可.
题目（九年级 · 组合数学）：如图是一个沿 $3 \times 3$ 正方形方格纸的对角线 $A B$ 剪下的图形, 一质点 $P$ 由点 $A$ 出发, 沿格点线每次向右
或向上运动1个单位长度, 则点 $P$ 由点 $A$ 运动到点 $B$ 的不同路径共有 $(\quad)$



选项：
A. 4 条
B. 5 条
C. 6 条
D. 7条


答案：B
解析：【分析】

本题主要考查列表法与树状图有关知识, 将各格点分别记为 $1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7$, 利用树状图可得所有路径.

## 【解答】

解: 如图, 将各格点分别记为 $1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7$,



画树状图如下:







由树状图可知点 $P$ 由 $A$ 点运动到 $B$ 点的不同路径共有5种,

故选 $B$.

##
题目（九年级 · 组合数学）：2022年卡塔尔世界杯于北京时间11月21日零时正式打响, 本届世界杯吉祥物是 “拉伊卜” .如图,现共有3张世界杯会徽和吉祥物的不透明卡片, 卡片除正面图案不同外, 其余均相同, 其中两张正面印有会徽图案, 一张正面印有 “拉伊卜” 的图案, 将三张卡片正面向下洗匀, 小明同学从中随机抽取一张卡片, 记下图案后正面向下放回, 洗匀后再从中随机抽取一张卡片, 则抽出的两张卡片图案一张是会徽、一张是 “拉伊卜” 的概率是( )



选项：
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{4}{9}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{2}{3}$

第 II 卷（非选择题）
答案：B
解析：【分析】画出树状图, 共有9个等可能的结果, 抽出的两张卡片图案一张是会徽、一张是拉伊卜的结果有 4 个, 再由概率公式求解即可.

【详解】解：把2张 “会徽 “卡片分别记为 $A 、 B, 1$ 张 “拉伊卜 “卡片记为 $C$,画树状图如下:



共有9种等可能的结果, 其中抽出的两张卡片图案一张是会徽、一张是 “拉伊卜” 的结果有 4 个,则抽出的两张卡片图案一张是会徽、一张是 “拉伊卜” 的概率是 $\frac{4}{9}$;

故选: $B$.

【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率. 列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,适合于两步完成的事件; 树状图法适合两步或两步以上完成的事件. 用到的知识点为: 概率 $=$ 所求情况数与总情况数之比.

##
题目（九年级 · 组合数学）：如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为 “平稳数” .用1，2， 3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数, 恰好是 “平稳数” 的概率为

( )

选项：
A. $\frac{5}{9}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{2}{9}$


答案：C
解析：【分析】

用 $1,2,3$ 这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数, 可以组成 6 个三位数, 根据平稳数的定义,只有123, 321两个数符合, 再利用概率公式计算即可.

本题考查的是用列举法求概率的知识.注意概率=所求情况数与总情况数之比.

## 【解答】

解: 用1, 2, 3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数有: $123,132,213,231,312,321$,共6个，

根据平稳数的定义, 只有 123,321 两个数符合.

所以用 $1,2,3$ 这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数, 恰好是 “平稳数” 的概率为 $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.故选 $C$.

##
题目（九年级 · 组合数学）：某居委会组织两个检查组，分别对 “居民居家安全” 和 “居民出行安全” 的情况进行抽查，若这两个检查组在辖区内的某三个小区中各自随机抽取一个小区进行检查, 则他们恰好抽到同一个小区的概率是( )

选项：
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{4}{9}$
C. $\frac{1}{9}$
D. $\frac{2}{3}$

答案：A
解析：【分析】

此题主要考查了列表法求概率, 概率公式, 列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果, 适合于
两步完成的事件; 树状图法适用于两步或两步以上完成的事件; 解题时还要注意是放回试验还是不放回试验. 用到的知识点为: 概率=所求情况数与总情况数之比. 将三个小区分别记为 $A 、 B 、 C$, 列举出所有等情况数和他们恰好抽到同一个小区的情况数, 然后根据概率公式即可得出答案.

## 【解答】

解: 将三个小区分别记为 $A 、 B 、 C$, 根据题意列表如下:

|  | $A$ | $B$ | $C$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $A$ | $(A, A)$ | $(B, A)$ | $(C, A)$ |
| $B$ | $(A, B)$ | $(B, B)$ | $(C, B)$ |
| $C$ | $(A, C)$ | $(B, C)$ | $(C, C)$ |

由表可知, 共有 9 种等可能结果, 其中他们恰好抽到同一个小区的有 3 种情况,

所以他们恰好抽到同一个小区的概率为 $\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$.

故选 $A$.

##
题目（九年级 · 组合数学）：如图, 自由转动转盘, 转盘上的指针(转盘被分成六等份)停在红色区域中的概率是( )



选项：
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. 1


答案：B
解析：【分析】确定红色区域在转盘中所占的比例, 这个比例即为停在红色区域中的概率.

【详解】解: 红色区域在转盘中占 2 份, 即 $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$,

$\therefore$ 停在红色区域的概率为 $\frac{1}{3}$.

故选: $B$.

【点睛】本题考查用图形面积表示概率, 掌握相应的面积与总面积之比是所求事件的概率是解题关键.
题目（九年级 · 组合数学）：三张外观相同的卡片分别标有数字 1, 2, 3, 从中随机一次性抽出两张, 则这两张卡片上的数字恰好都小于 3 的概率是（）

选项：
A. $\frac{2}{9}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{6}$
D. $\frac{2}{3}$

答案：B
解析：首先根据题意画出树状图, 然后由树状图求得所有等可能的结果与两张卡片上的数字恰好都小于 3 的情况, 再利用概率公式即可求得答案.

## 【详解】解：画树状图得：



$\because$ 共有 6 种等可能的结果，而两张卡片上的数字恰好都小于 3 有 2 种情况，

$\therefore$ 两张卡片上的数字恰好都小于 3 概率是 $\frac{1}{3}$;

故选: $B$.

【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率. 解题的关键是要注意是放回实验还是不放回实验. 用到的知识点为: 概率 $=$ 所求情况数与总情况数之比.