eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（七年级 · 代数）：有一个数值转换器. 原理如图.



(1) 当输入的 $x$ 为 16 时. 输出的 $y$ 是多少?

(2) 是否存在输入有效的 $x$ 值后, 始终输不出 $y$ 值? 如果存在. 请写出所有满足要求的 $x$ 的值;如果不存在, 请说明理由;

（3）小明输入数据, 在转换器运行程序时, 屏幕显示“该操作无法运行”, 请你推算输入的数据可能是什么情况?

（4）若输出的 $y$ 是 $\sqrt{3}$, 试判断输入的 $x$ 值是否唯一? 若不唯一, 请写出其中的两个.
选项：
答案：(1) 解：当 $\mathrm{x}=16$ 时, $\sqrt{16}=4, \sqrt{4}=2$, 则 $\mathrm{y}=\sqrt{2}$

（2）解：当 $\mathrm{x}=0,1$ 时, 始终输不出 $\mathrm{y}$ 值. 因为 0,1 的算术平方根是 0,1 , 一定是有理数

(3) 解: $\mathrm{x}<0$

(4) 解: $x$ 的值不唯一. $x=3$ 或 $x=9$
解析：(1) 解：当 $\mathrm{x}=16$ 时, $\sqrt{16}=4, \sqrt{4}=2$, 则 $\mathrm{y}=\sqrt{2}$

（2）解：当 $\mathrm{x}=0,1$ 时, 始终输不出 $\mathrm{y}$ 值. 因为 0,1 的算术平方根是 0,1 , 一定是有理数

(3) 解: $\mathrm{x}<0$

(4) 解: $x$ 的值不唯一. $x=3$ 或 $x=9$
题目（七年级 · 代数）：（1）化简: $-2\left(x^{2}+2 x y-1\right)-\left(x^{2}+4 x y\right)$

（2）先化简, 再求值: $3\left(a^{2}+a b^{2}\right)-\left(a b+3 a b^{2}\right)$, 其中 $a=2, b=-\frac{1}{2}$


选项：
答案：(1) 原式 $=-2 x^{2}-4 x y+2-x^{2}-4 x y=-3 x^{2}-8 x y+2$;

(2) 原式 $=3 a^{2}+3 a b^{2}-a b-3 a b^{2}=3 a^{2}-a b$,

当 $a=2, b=-\quad \frac{1}{2}$ 时,

原式 $=3 \times 2^{2}-2 \times\left(-\frac{1}{2}\right)=13$.
解析：(1) 原式 $=-2 x^{2}-4 x y+2-x^{2}-4 x y=-3 x^{2}-8 x y+2$;

(2) 原式 $=3 a^{2}+3 a b^{2}-a b-3 a b^{2}=3 a^{2}-a b$,

当 $a=2, b=-\quad \frac{1}{2}$ 时,

原式 $=3 \times 2^{2}-2 \times\left(-\frac{1}{2}\right)=13$.
题目（七年级 · 代数）：已知 $A=a^{2}+a b+2 b-2, B=2 a^{2}+2 a b+a-4$.

(1) 求 $2 A-B$.

(2) 当 $a=1, b=2$ 时, 求 $2 A-B$ 的值.


选项：
答案：(1) 解: $2 A-B$

$$
\begin{gathered}
=2\left(a^{2}+a b+2 b-2\right)-\left(2 a^{2}+2 a b+a-4\right) \\
=2 a^{2}+2 a b+4 b-4-2 a^{2}-2 a b-a+4
\end{gathered}
$$

$=-a+4 b$

（2）解：当 $a=1, b=2$ 时， $2 A-B=-a+4 b=-1+4 \times 2=7$.
解析：(1) 解: $2 A-B$

$$
\begin{gathered}
=2\left(a^{2}+a b+2 b-2\right)-\left(2 a^{2}+2 a b+a-4\right) \\
=2 a^{2}+2 a b+4 b-4-2 a^{2}-2 a b-a+4
\end{gathered}
$$

$=-a+4 b$

（2）解：当 $a=1, b=2$ 时， $2 A-B=-a+4 b=-1+4 \times 2=7$.
题目（七年级 · 代数）：七年级学习代数式求值时, 遇到这样一类题“代数式 $a x-y+6+3 x-5 y-1$ 的值与 $x$ 的取值无关, 求 $a$ 的值”, 通常的解题方法是: 把 $\mathrm{x} 、 \mathrm{y}$ 看作字母, $\mathrm{a}$ 看作系数合并同类项, 因为代数式的值与 $\mathrm{x}$ 的取值无关, 所以含 $x$ 项的系数为 0 ,

即原式 $=(a+3) x-6 y+5$, 所以 $a+3=0$, 则 $a=-3$.



图1



(1) 若关于 $x$ 的多项式 $(2 x-3) m+2 m^{2}-3 x$ 的值与 $x$ 的取值无关, 求 $m$ 值;

(2) 已知 $\mathrm{A}=2 x^{2}+3 x y-2 x-1, \mathrm{~B}=-x^{2}+x y-1$; 且 $3 \mathrm{~A}+6 \mathrm{~B}$ 的值与 $x$ 无关, 求 $y$ 的值;

(3) 7 张如图 1 的小长方形, 长为 $\mathrm{a}$, 宽为 $\mathrm{b}$, 按照图 2 方式不重叠地放在大长方形 $\mathrm{ABCD}$ 内,大长方形中未被覆盖的两个部分 (图中阴影部分), 设右上角的面积为 $S_{1}$, 左下角的面积为 $S_{2}$, 当 $\mathrm{AB}$ 的长变化时, $S_{1}-S_{2}$ 的值始终保持不变, 求 $a$ 与 $b$ 的等量关系.


选项：
答案：(1) 解: $(2 x-3) m+2 m^{2}-3 x=2 m x-3 m+2 m^{2}-3 x$

$=(2 m-3) x-3 m+2 m^{2}$,

$\because$ 关于 $x$ 的多项式 $(2 x-3) m+2 m^{2}-3 x$ 的值与 $x$ 的取值无关,

$\therefore 2 m-3=0$,

解得 $m=\frac{3}{2}$.

(2) 解: $\because A=2 x^{2}+3 x y-2 x-1, B=-x^{2}+x y-1$,

$$
\begin{gathered}
\therefore 3 A+6 B=3\left(2 x^{2}+3 x y-2 x-1\right)+6\left(-x^{2}+x y-1\right) \\
=6 x^{2}+9 x y-6 x-3-6 x^{2}+6 x y-6 \\
=15 x y-6 x-9
\end{gathered}
$$

$=(15 y-6) x-9$,

$\because 3 A+6 B$ 的值与 $x$ 无关,

$\therefore 15 y-6=0$,

解得 $y=\frac{2}{5}$.

(3) 解：设 $A B=x$,

由图可知, $S_{1}=a(x-3 b)=a x-3 a b, S_{2}=2 b(x-2 a)=2 b x-4 a b$,

则 $S_{1}-S_{2}=a x-3 a b-(2 b x-4 a b)$

$$
=a x-3 a b-2 b x+4 a b
$$

$=(a-2 b) x+a b$,
$\because$ 当 $A B$ 的长变化时, $S_{1}-S_{2}$ 的值始终保持不变,

$\therefore S_{1}-S_{2}$ 的值与 $x$ 的值无关,

$\therefore a-2 b=0$,

$\therefore a=2 b$.
解析：(1) 解: $(2 x-3) m+2 m^{2}-3 x=2 m x-3 m+2 m^{2}-3 x$

$=(2 m-3) x-3 m+2 m^{2}$,

$\because$ 关于 $x$ 的多项式 $(2 x-3) m+2 m^{2}-3 x$ 的值与 $x$ 的取值无关,

$\therefore 2 m-3=0$,

解得 $m=\frac{3}{2}$.

(2) 解: $\because A=2 x^{2}+3 x y-2 x-1, B=-x^{2}+x y-1$,

$$
\begin{gathered}
\therefore 3 A+6 B=3\left(2 x^{2}+3 x y-2 x-1\right)+6\left(-x^{2}+x y-1\right) \\
=6 x^{2}+9 x y-6 x-3-6 x^{2}+6 x y-6 \\
=15 x y-6 x-9
\end{gathered}
$$

$=(15 y-6) x-9$,

$\because 3 A+6 B$ 的值与 $x$ 无关,

$\therefore 15 y-6=0$,

解得 $y=\frac{2}{5}$.

(3) 解：设 $A B=x$,

由图可知, $S_{1}=a(x-3 b)=a x-3 a b, S_{2}=2 b(x-2 a)=2 b x-4 a b$,

则 $S_{1}-S_{2}=a x-3 a b-(2 b x-4 a b)$

$$
=a x-3 a b-2 b x+4 a b
$$

$=(a-2 b) x+a b$,
$\because$ 当 $A B$ 的长变化时, $S_{1}-S_{2}$ 的值始终保持不变,

$\therefore S_{1}-S_{2}$ 的值与 $x$ 的值无关,

$\therefore a-2 b=0$,

$\therefore a=2 b$.
题目（七年级 · 代数）：(本小题 8.0 分)

己知一个正数 $m$ 的两个不相等的平方根是 $a+6$ 与 $2 a-9$.

(1)求 $a$ 的值;

(2)求这个正数 $m$;

(3)求关于 $x$ 的方程 $a x^{2}-16=0$ 的解.
选项：
答案：解: (1) 由题意得, $a+6+2 a-9=0$,

解得, $a=1$ ；

(2) 当 $a=1$ 时, $a+6=1+6=7$,

$\therefore m=7^{2}=49$;

$(3) x^{2}-16=0$,

$x^{2}=16$,

$x= \pm 4$.
解析：(1)根据一个正数有两个平方根, 这两个平方根互为相反数解答;

(2) 将 $a=1$ 代入 $m=(a+6) 2$ 中, 可得 $m$ 的值;

(3)根据平方根的定义解方程即可.

本题考查的是平方根的概念, 掌握一个正数有两个平方根, 这两个平方根互为相反数是解题的关键,
题目（七年级 · 代数）：(本小题8.0分)

我们知道, 任意一个有理数与无理数的和为无理数, 任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数, 而零与无理数的积为零. 由此可得: 如果 $m x+n=0$, 其中 $m 、 n$ 为有理数, $x$ 为无理数，那么 $m=0$ 且 $n=0$.

(1)如果 $(a-2) \sqrt{2}+b+3=0$, 其中 $a 、 b$ 为有理数，那么 $a=$ , $b=$

(2)如果 $(2+\sqrt{2}) a-(1-\sqrt{2}) b=9$, 其中 $a 、 b$ 为有理数, 求 $a-2 b$ 的平方根.
选项：
答案：$2-3$
解析：解: $(1)$ 由题意得:

$a-2=0, b+3=0$,

$\therefore a=2, b=-3$,

故答案为: $2 ;-3$;

(2) $\because(2+\sqrt{2}) a-(1-\sqrt{2}) b=9$,

$\therefore 2 a+\sqrt{2} a-b+\sqrt{2} b-9=0$,

$\therefore 2 a-b-9+\sqrt{2}(a+b)=0$,

$\therefore 2 a-b-9=0, a+b=0$,

$\therefore a=3, b=-3$,

$\therefore a-2 b=3-2 \times(-3)=3+6=9$,

$\therefore a-2 b$ 的平方根是 $\pm 3$.

(1) 由题意得: $a-2=0, b+3=0$, 然后进行计算即可解答;

(2)根据已知可得 $2 a-b-9+\sqrt{2}(a+b)=0$, 从而可得 $2 a-b-9=0, a+b=0$, 然后进行计算求出 $a, b$ 的值, 再代入式子中进行计算即可解答.

本题考查了实数的运算, 平方根, 准确熟练地进行计算是解题的关键.
题目（七年级 · 代数）：(本小题 8.0 分)

若含根号的式子 $a+b \sqrt{x}$ 可以写成式子 $m+n \sqrt{x}$ 的平方(其中 $a, b, m, n$ 都是整数, $x$ 是正整数), 即 $a+b \sqrt{x}=(m+n \sqrt{x})^{2}$, 则称 $a+b \sqrt{x}$ 为完美根式, $m+n \sqrt{x}$ 为 $a+b \sqrt{x}$ 的完美平方根. 例如: 因为 $19+6 \sqrt{2}=(1+3 \sqrt{2})^{2}$, 所以 $1+3 \sqrt{2}$ 是 $19+6 \sqrt{2}$ 的完美平方根.

(1) 已知 $3+2 \sqrt{3}$ 是 $a+12 \sqrt{3}$ 的完美平方根, 求 $a$ 的值;

(2)若 $m+n \sqrt{5}$ 是 $a+b \sqrt{5}$ 的完美平方根, 用含 $m, n$ 的式子分别表示 $a, b$;

(3)已知 $17-12 \sqrt{2}$ 是完美根式, 直接写出它的一个完美平方根.
选项：
答案：解: (1) $\because 3+2 \sqrt{3}$ 是 $a+12 \sqrt{3}$ 的完美平方根,

$\therefore(3+2 \sqrt{3})^{2}=a+12 \sqrt{3}$,

即 $9+12 \sqrt{3}+12=a+12 \sqrt{3}$,

$\therefore a=9+12=21$;

(2) $\because m+n \sqrt{5}$ 是 $a+b \sqrt{5}$ 的完美平方根,

$\therefore(m+n \sqrt{5})^{2}=a+b \sqrt{5}$,

$\therefore m^{2}+5 n^{2}+2 m n \cdot \sqrt{5}=a+b \sqrt{5}$,

$\therefore a=m^{2}+5 n^{2}, b=2 m n$

(3) $\because 17-12 \sqrt{2}=17-2 \sqrt{72}=(\sqrt{9}-\sqrt{8})^{2}=(3-2 \sqrt{2})^{2}=(2 \sqrt{2}-3)^{2}$,

$\therefore 3-2 \sqrt{2}$ 或 $2 \sqrt{2}-3$ 是 $17-12 \sqrt{2}$ 的完美平方根.
解析：本题考查了平方根: 如果一个数的平方等于 $a$, 这个数就叫做 $a$ 的平方根, 也叫做 $a$ 的二次方根. 也考查了完全平方公式.

(1)利用完美平方根的定义得到 $(3+2 \sqrt{3})^{2}=a+12 \sqrt{3}$, 然后把等式左边展开得到 $a$ 的值;

(2)利用完美平方根的定义得到 $(m+n \sqrt{5})^{2}=a+b \sqrt{5}$, 然后利用有理数与无理数的定义可用 $m$ 、 $n$ 表示 $a$ 和 $b ;$

(3) 先利用完全平方公式得到 $17-12 \sqrt{2}=(3-2 \sqrt{2})^{2}=(2 \sqrt{2}-3)^{2}$, 然后根据完美平方根的定义求解.

本题考查了平方根: 如果一个数的平方等于 $a$, 这个数就叫做 $a$ 的平方根, 也叫做 $a$ 的二次方根. 也考查了完全平方公式.
题目（七年级 · 代数）：(本小题 8.0 分)

已知 $2 a+1$ 的平方根是 $\pm 3,3 a+2 b-4$ 的立方根是 -2 , 求 $4 a-5 b+8$ 的立方根.
选项：
答案：解: $\because 2 a+1$ 的平方根是 $\pm 3,3 a+2 b-4$ 的立方根是 -2 ,

$\therefore 2 a+1=9,3 a+2 b-4=-8$,

解得 $a=4, b=-8$,

$\therefore 4 a-5 b+8=4 \times 4-5 \times(-8)+8=64$,

$\therefore 4 a-5 b+8$ 的立方根是 4 .
解析：先根据平方根, 立方根的定义列出关于 $a 、 b$ 的二元一次方程组, 再代入进行计算求出 $4 a-$ $5 b+8$ 的值, 然后根据立方根的定义求解.

本题考查了平方根, 立方根的定义, 列式求出 $a 、 b$ 的值是解题的关键.
题目（七年级 · 代数）：(本小题 8.0 分)

已知: $a x^{3}=b y^{3}=c z^{3}$, 且 $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1$.计算: $\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}-\sqrt[3]{a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}}$.
选项：
答案：解: 设 $a x^{3}=b y^{3}=c z^{3}=k$,

则 $a x^{2}=\frac{k}{x}, a y^{2}=\frac{k}{y}, a z^{2}=\frac{k}{z}, \sqrt[3]{a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}}=\sqrt[3]{k\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}=\sqrt[3]{k}$.

$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}-\sqrt[3]{a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}}$.

$$
\begin{aligned}
& =\left(\sqrt[3]{\frac{k}{x^{3}}}+\sqrt[3]{\frac{k}{y^{3}}}+\sqrt[3]{\frac{k}{z^{3}}}\right)-\sqrt[3]{k} \\
& =\sqrt[3]{k}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)-\sqrt[3]{k}
\end{aligned}
$$

$=0$
解析：本题考查实数运算是知识.

设 $a x^{3}=b y^{3}=c z^{3}=k$, 得出 $a x^{2}=\frac{k}{x}, a y^{2}=\frac{k}{y}, a z^{2}=\frac{k}{z}, \sqrt[3]{a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}}=\sqrt[3]{k\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)}=$ $\sqrt[3]{k}$, 再代入计算, 即可.
题目（七年级 · 代数）：(本小题8.0分)

给出定义如下: 若一对实数 $(a, b)$ 满足 $a-b=a b+4$, 则称它们为一对 “相关数” , 如: $7-\frac{3}{8}=$ $7 \times \frac{3}{8}+4$, 故 $\left(7, \frac{3}{8}\right)$ 是一对 “相关数”.

(1) 数对 $(1,1),(-2,-6),(0,-4)$ 中是 “相关数” 的是 \$ \qquad \$ $;$

(2) 若数对 $(x,-3)$ 是 “相关数” , 求 $x$ 的值;

(3)是否存在有理数 $m, n$, 使数对 $(m, n)$ 和 $(n, m)$, 都是 “相关数” , 若存在, 求出一对 $m, n$的值;若不存在, 说明理由.
选项：
答案：解:

(1) $\because 1-1 \neq 1 \times 1+4$,

$\therefore$ :数对 $(1,1)$ 不是 “相关数” ,

$\because-2-(-6) \neq(-2) \times(-6)+4$,

$\therefore$ 数对 $(-2,-6)$ 不是 “相关数” ,

$\because 0-(-4)=0 \times(-4)+4$,

$\therefore$ :数对 $(0,-4)$ 是 “相关数” .

(2) 由 “相关数” 的定义得 $x-(-3)=-3 x+4$, 解得 $x=\frac{1}{4}$.

(3)不存在.

若 $(m, n)$ 是 “相关数”，则 $m-n=m n+4$,

若 $(n, m)$ 是 “相关数” , 则 $n-m=n m+4$,

若 $(m, n)$ 和 $(n, m)$ 都是 “相关数” , 则 $m=n$, 而 $m=n$ 时, $m-n=0 \neq m n+4$, 因此不存在.
解析：略
题目（七年级 · 代数）：小题8.0分)
先阅读第(1)题的解法, 再解答第(2)题:

(1)已知 $a 、 b$ 是有理数, 并且满足等式 $5-\sqrt{3} a=2 b+\frac{2}{3} \sqrt{3}-a$, 求 $a 、 b$ 的值.

解: $\because 5-\sqrt{3} a=2 b+\frac{2}{3} \sqrt{3}-a \quad \therefore 5-\sqrt{3} a=(2 b-a)+\frac{2}{3} \sqrt{3} \quad \therefore\left\{\begin{array}{l}2 b-a=5 \\ -a=\frac{2}{3}\end{array}\right.$, 解得

$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{2}{3} \\ b=\frac{13}{6}\end{array}\right.$

(2)已知 $x 、 y$ 是有理数, 并且满足等式 $x^{2}-2 y-\sqrt{2} y=17-4 \sqrt{2}$, 求 $x+y$ 的值.
选项：
答案：解：因为 $x^{2}-2 y-\sqrt{2} y=17-4 \sqrt{2}$,

所以 $\left(x^{2}-2 y\right)-\sqrt{2} y=17-4 \sqrt{2}$,

所以 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}-2 y=17 \\ y=4\end{array}\right.$,

解得 $\left\{\begin{array}{l}x=5 \\ y=4\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=-5, \\ y=4\end{array}\right.$,

所以 $x+y=9$ 或 $x+y=-1$.
解析：利用等式左右两边的有理数相等和二次根式相同, 建立方程组, 然后解方程即可.此题是一个阅读题目, 主要考查了实数的运算, 其中关键是理解解方程组的思路就是消元. 对于阅读理解题要读懂阅读部分，然后依照同样的方法和思路解题.
题目（七年级 · 代数）：（2022$\cdot$浙江宁波市$\cdot$七年级期末）（1）计算: $\left(3 x^{2}\right)^{3} \cdot\left(-2 x^{4}\right) \div\left(-9 x^{7}\right)$;

(2) 因式分解: $-2 m^{3}+24 m^{2}-72 m$.
选项：
答案：$(1) 6 x^{3 i} ;(2)-2 m(m-6)^{2}$

【分析】（1）根据幂的运算性质进行计算便可；（2）先提取公因式，再按照完全平方公式分解.

【详解】解: （1）原式 $=27 x^{6} \cdot\left(-2 x^{4}\right) \div\left(-9 x^{7}\right)=-54 x^{10} \div\left(-9 x^{7}\right)=6 x^{3}$;

(2) 原式 $=-2 m\left(m^{2}-12 m+36\right)=-2 m(m-6)^{2}$.

【点睛】本题主要考查了幂的运算法则, 分解因式的方法, 关键是熟记幂的运算法则和提取公因式的方法和运用完全平方公式分解因式的方法.
解析：（1）根据幂的运算性质进行计算便可；（2）先提取公因式，再按照完全平方公式分解.

【详解】解: （1）原式 $=27 x^{6} \cdot\left(-2 x^{4}\right) \div\left(-9 x^{7}\right)=-54 x^{10} \div\left(-9 x^{7}\right)=6 x^{3}$;

(2) 原式 $=-2 m\left(m^{2}-12 m+36\right)=-2 m(m-6)^{2}$.

【点睛】本题主要考查了幂的运算法则, 分解因式的方法, 关键是熟记幂的运算法则和提取公因式的方法和运用完全平方公式分解因式的方法.
题目（七年级 · 代数）：(2021- 浙江-七年级期中) 先化简: $\frac{x^{2}}{x-1} \div\left(1+\frac{1}{x^{2}-1}\right)$, 然后从 $-2,-1,0,1$ 中选一个你喜欢的 $x$ 的值, 代入求代数式的值.
选项：
答案：$x+1$; 当 $x=-2$ 时, 原式 $=-1$.

【分析】利用分式的运算法则化简, 再代入合适的值即可求解.

【详解】 $\frac{x^{2}}{x-1} \div\left(1+\frac{1}{x^{2}-1}\right)=\frac{x^{2}}{x-1} \div\left(\frac{x^{2}-1}{x^{2}-1}+\frac{1}{x^{2}-1}\right)=\frac{x^{2}}{x-1} \cdot \frac{(x+1)(x-1)}{x^{2}}=x+1$

$\because$ 当 $x=-1,0,1$ 时, 分母为零, 无意义, 所以 $x$ 只能取 -2 , 故当 $x=-2$ 时, 原式 $=-1$.

【点睛】此题主要考查分式的化简求值, 解题的关键是熟知分式的运算法则及分母不为零的情况.
解析：利用分式的运算法则化简, 再代入合适的值即可求解.

【详解】 $\frac{x^{2}}{x-1} \div\left(1+\frac{1}{x^{2}-1}\right)=\frac{x^{2}}{x-1} \div\left(\frac{x^{2}-1}{x^{2}-1}+\frac{1}{x^{2}-1}\right)=\frac{x^{2}}{x-1} \cdot \frac{(x+1)(x-1)}{x^{2}}=x+1$

$\because$ 当 $x=-1,0,1$ 时, 分母为零, 无意义, 所以 $x$ 只能取 -2 , 故当 $x=-2$ 时, 原式 $=-1$.

【点睛】此题主要考查分式的化简求值, 解题的关键是熟知分式的运算法则及分母不为零的情况.
题目（七年级 · 代数）：（2022$\cdot$江苏海安$\cdot$初一期中）解下列方程组:
(1) $\left\{\begin{array}{l}3 x-2 y=8 \\ 2 x+y=3\end{array}\right.$ (用代入法);
(2) $\left\{\begin{array}{l}3 x+4 y=16 \\ 5 x-6 y=33\end{array}\right.$
(3) $\left\{\begin{array}{l}3 x-y+z=4 \\ 2 x+3 y-z=12 \\ x+y+z=6\end{array}\right.$
选项：
答案：(1) $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=-1\end{array} ;\right.$ (2) $\left\{\begin{array}{l}x=6 \\ y=-\frac{1}{2}\end{array} ; \quad\right.$ (3) $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=3 \\ z=1\end{array}\right.$

【分析】（1）方程组利用代入消元法求出解即可; （2）方程组利用加减消元法求出解即可;

（3）方程组利用加减消元法求出解即可.

【解析】(1) $\left\{\begin{array}{l}3 x-2 y=8(1) \\ 2 x+y=3(2)\end{array}\right.$, 由(2)得: $y=-2 x+3(3)$,

把(3)代入(1)得： $3 x-2(-2 x+3)=8$, 解得： $x=2$,

把 $x=2$ 代入 (2)得: $y=-1$, 则方程组的解为 $\left\{\begin{array}{c}x=2 \\ y=-1\end{array}\right.$;

(2) $\left\{\begin{array}{l}3 x+4 y=16(1) \\ 5 x-6 y=33(2)\end{array},(1) \times 3+(2) \times 2\right.$ 得: $19 x=114$, 解得: $x=6$,

把 $x=6$ 代入 (1)得: $y=-\frac{1}{2}$, 则方程组的解为 $\left\{\begin{array}{c}x=6 \\ y=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$;

(3) $\left\{\begin{array}{l}3 x-y+z=4(1 \\ 2 x+3 y-z=12(2),(1)+(2) \text { 得: } 5 x+2 y=16(4), \text { (2)+(3)得: } 3 x+4 y=18(5), \\ x+y+z=6(3)\end{array}\right.$

(4) $\times 2$ - (5)得: $7 x=14$, 解得: $x=2$, 把 $x=2$ 代入(4)得： $y=3$, 把 $x=2, y=3$ 代入 (3)得: $z=1$,

则方程组的解为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=3 \\ z=1\end{array}\right.$

【点睛】本题考查了解二元一次方程组和三元一次方程组, 利用了消元的思想, 消元的方法有: 代入消元法与加减消元法.
解析：（1）方程组利用代入消元法求出解即可; （2）方程组利用加减消元法求出解即可;

（3）方程组利用加减消元法求出解即可.

【解析】(1) $\left\{\begin{array}{l}3 x-2 y=8(1) \\ 2 x+y=3(2)\end{array}\right.$, 由(2)得: $y=-2 x+3(3)$,

把(3)代入(1)得： $3 x-2(-2 x+3)=8$, 解得： $x=2$,

把 $x=2$ 代入 (2)得: $y=-1$, 则方程组的解为 $\left\{\begin{array}{c}x=2 \\ y=-1\end{array}\right.$;

(2) $\left\{\begin{array}{l}3 x+4 y=16(1) \\ 5 x-6 y=33(2)\end{array},(1) \times 3+(2) \times 2\right.$ 得: $19 x=114$, 解得: $x=6$,

把 $x=6$ 代入 (1)得: $y=-\frac{1}{2}$, 则方程组的解为 $\left\{\begin{array}{c}x=6 \\ y=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$;

(3) $\left\{\begin{array}{l}3 x-y+z=4(1 \\ 2 x+3 y-z=12(2),(1)+(2) \text { 得: } 5 x+2 y=16(4), \text { (2)+(3)得: } 3 x+4 y=18(5), \\ x+y+z=6(3)\end{array}\right.$

(4) $\times 2$ - (5)得: $7 x=14$, 解得: $x=2$, 把 $x=2$ 代入(4)得： $y=3$, 把 $x=2, y=3$ 代入 (3)得: $z=1$,

则方程组的解为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=3 \\ z=1\end{array}\right.$

【点睛】本题考查了解二元一次方程组和三元一次方程组, 利用了消元的思想, 消元的方法有: 代入消元法与加减消元法.
题目（七年级 · 代数）：(2022$\cdot$山西初二月考) 清明时节, 张老师和王老师组织八年级1班学生步行到距学校10.8千米的烈士陵园扫墓. 出发时, 王老师带领学生先出发, 30 分钟后, 张老师骑自行车出发, 张老师骑自行车的速度是学生步行速度的 2 倍, 当学生到达烈士陵园时, 张老师已经到达 1 个小时, 并为大家买好了扫墓门票. (1) 求学生的步行速度和张老师骑自行车的速度各是多少; (2) 当张老师追上学生时，距离烈士陵园还有多远?
选项：
答案：(1) 学生的步行速度为 3.6 千米/时, 张老师骑自行车的速度为 7.2 千米/时; (2) 当张老师追上学生时, 距离烈士陵园还有 7.2 千米

【分析】(1) 设学生的步行速度为 $x$ 千米/时, 则张老师骑自行车的速度为 $2 x$ 千米坿, 根据学生到达烈士陵园所花时间 $=$ 张老师骑自行车到达烈士陵园所花时间 +1.5 小时, 列出分式方程进行求解; (2)设张老师追上学生时, 学生步行了 $t$ 小时, 则张老师骑行了 $(t-0.5)$ 小时, 根据他们所行驶的路程相等列出一元一次方程进行求解.

【解析】解：（1）设学生的步行速度为 $x$ 千米/时, 则张老师骑自行车的速度为 $2 x$ 千米/时,
由题意得: $\frac{10.8}{x}=\frac{10.8}{2 x}+1.5$, 解得， $x=3.6$, 经检验: $x=3.6$ 是原方程的解，则 $2 x=7.2$ (千米 /时), 答: 学生的步行速度为 3.6 千米时, 张老师骑自行车的速度为 7.2 千米/时;

(2) 设张老师追上学生时, 学生步行了 $t$ 小时, 则张老师骑行了 $(t-0.5)$ 小时,

由题意得, $3.6 t=7.2(t-0.5)$, 解得: $t=1,10.8-3.6 \times 1=7.2$ (千米),

答: 当张老师追上学生时, 距离烈士陵园还有 7.2 千米

【点睛】本题考查分式方程与一元一次方程的综合应用, 正确理解题意, 找出题中蕴含的等量关系列出方程是解题的关键.
解析：(1) 设学生的步行速度为 $x$ 千米/时, 则张老师骑自行车的速度为 $2 x$ 千米坿, 根据学生到达烈士陵园所花时间 $=$ 张老师骑自行车到达烈士陵园所花时间 +1.5 小时, 列出分式方程进行求解; (2)设张老师追上学生时, 学生步行了 $t$ 小时, 则张老师骑行了 $(t-0.5)$ 小时, 根据他们所行驶的路程相等列出一元一次方程进行求解.

【解析】解：（1）设学生的步行速度为 $x$ 千米/时, 则张老师骑自行车的速度为 $2 x$ 千米/时,
由题意得: $\frac{10.8}{x}=\frac{10.8}{2 x}+1.5$, 解得， $x=3.6$, 经检验: $x=3.6$ 是原方程的解，则 $2 x=7.2$ (千米 /时), 答: 学生的步行速度为 3.6 千米时, 张老师骑自行车的速度为 7.2 千米/时;

(2) 设张老师追上学生时, 学生步行了 $t$ 小时, 则张老师骑行了 $(t-0.5)$ 小时,

由题意得, $3.6 t=7.2(t-0.5)$, 解得: $t=1,10.8-3.6 \times 1=7.2$ (千米),

答: 当张老师追上学生时, 距离烈士陵园还有 7.2 千米

【点睛】本题考查分式方程与一元一次方程的综合应用, 正确理解题意, 找出题中蕴含的等量关系列出方程是解题的关键.
题目（七年级 · 代数）：(2022-辽宁七年级期末) 解方程组 (1) $\left\{\begin{array}{l}x=y+1 \\ 4 x-3 y=5\end{array} ;\right.$ (2) $\left\{\begin{array}{l}3 x-2 y=7 \\ 3 x+2 y=11\end{array} ;(3)\right.$ \{ $\left\{\begin{array}{l}2 x+3 y+z=11 \\ x+y+z=6 \\ 3 x+y-z=2\end{array}\right.$


选项：
答案：(1) $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=1\end{array} ;\right.$ (2) $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=1\end{array} ;\right.$ (3) $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=2 \\ z=3\end{array}\right.$

【分析】（1）通过代入消元法, 即可完成求解; （2）通过加减消元法, 即可完成求解;

(3) 通过加减消元法, 将三元一次函数转化为二元一次方程组并求解, 再将二元一次方程组的解代入三元一次方程, 即可完成求解.

【详解】(1) $\left\{\begin{array}{c}x=y+1(1) \\ 4 x-3 y=5(2)\end{array}\right.$ 把(1)代入(2)得: $4(y+1)-3 y=5$ 解得 $y=1$把 $\mathrm{y}=1$ 代入 (1)得: $\mathrm{x}=2 \quad \therefore$ 方程组的解为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=1\end{array}\right.$;

(2) $\left\{\begin{array}{l}3 x-2 y=7(1) \\ 3 x+2 y=11(2)\end{array}\right.$ (1)+(2)得: $6 x=18$ 解得: $x=3$

(2)-(1)得: $4 y=4$ 解得: $y=1 \quad \therefore$ 方程组的解为 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=1\end{array}\right.$;

(3) $\left\{\begin{array}{l}2 x+3 y+z=11(1) \\ x+y+z=6(2) \\ 3 x+y-z=2(3)\end{array}\right.$ (1)-(2得: $x+2 y=5$ (4) (2)+(3)得: $4 x+2 y=8(5)$ (5)-(4)得: $3 x=3$ 解得: $x=1$把 $x=1$ 代入(4)得: $y=2 \quad$ 把 $x=1, y=2$ 代入(2)得: $z=3$

故方程组的解为: $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=2 \\ z=3\end{array}\right.$.

【点睛】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的知识; 解题的关键是熟练掌握代入消元法和加减消元法, 从而完成对二元一次方程组和三元一次方程组的求解.
解析：（1）通过代入消元法, 即可完成求解; （2）通过加减消元法, 即可完成求解;

(3) 通过加减消元法, 将三元一次函数转化为二元一次方程组并求解, 再将二元一次方程组的解代入三元一次方程, 即可完成求解.

【详解】(1) $\left\{\begin{array}{c}x=y+1(1) \\ 4 x-3 y=5(2)\end{array}\right.$ 把(1)代入(2)得: $4(y+1)-3 y=5$ 解得 $y=1$把 $\mathrm{y}=1$ 代入 (1)得: $\mathrm{x}=2 \quad \therefore$ 方程组的解为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=1\end{array}\right.$;

(2) $\left\{\begin{array}{l}3 x-2 y=7(1) \\ 3 x+2 y=11(2)\end{array}\right.$ (1)+(2)得: $6 x=18$ 解得: $x=3$

(2)-(1)得: $4 y=4$ 解得: $y=1 \quad \therefore$ 方程组的解为 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=1\end{array}\right.$;

(3) $\left\{\begin{array}{l}2 x+3 y+z=11(1) \\ x+y+z=6(2) \\ 3 x+y-z=2(3)\end{array}\right.$ (1)-(2得: $x+2 y=5$ (4) (2)+(3)得: $4 x+2 y=8(5)$ (5)-(4)得: $3 x=3$ 解得: $x=1$把 $x=1$ 代入(4)得: $y=2 \quad$ 把 $x=1, y=2$ 代入(2)得: $z=3$

故方程组的解为: $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=2 \\ z=3\end{array}\right.$.

【点睛】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的知识; 解题的关键是熟练掌握代入消元法和加减消元法, 从而完成对二元一次方程组和三元一次方程组的求解.
题目（七年级 · 代数）：(2020 浙江杭州市$\cdot$七年级期末) (1) 先化简, 再求值: $(x-2)\left(3 x^{2}-1\right)-12 x\left(\frac{1}{4} x^{2}-\frac{1}{2} x-3\right)$,其中 $x=-\frac{1}{7}$. (2) 若 $2 x^{2}-3 x-1=0$, 求代数式 $(3 x-2)^{2}-(x-y)(x+y)-y^{2}$ 的值.


选项：
答案：(1) $35 x+2,-3 ;$ (2) 8

【分析】(1) 原式利用多项式乘以多项式, 以及单项式乘以多项式法则计算得到最简结果, 把 $x$ 的值代入计算即可求出值; （2）原式利用完全平方公式、平方差公式展开, 合并同类项, 再将已知条
件变形后代入即可求得答案.

【详解】解: (1) 原式 $=3 x^{3}-x-6 x^{2}+2-3 x^{3}+6 x^{2}+36 x=35 x+2$, 当 $x=-\frac{1}{7}$ 时, 原式 $=-5+2=-3$;

(2) $(3 x-2)^{2}-(x-y)(x+y)-y^{2}=9 x^{2}-12 x+4-x^{2}+y^{2}-y^{2}=8 x^{2}-12 x+4=4\left(2 x^{2}-3 x\right)+4$

$\because 2 x^{2}-3 x-1=0, \quad \therefore 2 x^{2}-3 x=1, \quad \therefore$ 原式 $=4 \times 1+4=8$.

【点睛】此题考查了代数式求值, 整式的混合运算-化简求值, 熟练掌握运算法则是解本题的关键.
解析：(1) 原式利用多项式乘以多项式, 以及单项式乘以多项式法则计算得到最简结果, 把 $x$ 的值代入计算即可求出值; （2）原式利用完全平方公式、平方差公式展开, 合并同类项, 再将已知条
件变形后代入即可求得答案.

【详解】解: (1) 原式 $=3 x^{3}-x-6 x^{2}+2-3 x^{3}+6 x^{2}+36 x=35 x+2$, 当 $x=-\frac{1}{7}$ 时, 原式 $=-5+2=-3$;

(2) $(3 x-2)^{2}-(x-y)(x+y)-y^{2}=9 x^{2}-12 x+4-x^{2}+y^{2}-y^{2}=8 x^{2}-12 x+4=4\left(2 x^{2}-3 x\right)+4$

$\because 2 x^{2}-3 x-1=0, \quad \therefore 2 x^{2}-3 x=1, \quad \therefore$ 原式 $=4 \times 1+4=8$.

【点睛】此题考查了代数式求值, 整式的混合运算-化简求值, 熟练掌握运算法则是解本题的关键.
题目（七年级 · 代数）：(2022$\cdot$河南郑州外国语中学初二期中) 阅读理解: 对于一些次数较高或者是比较复杂的式子进行因式分解时, 换元法是一种常用的方法, 下面是某同学用换元法对多项式
$\left(a^{2}-2 a-1\right)\left(a^{2}-2 a+3\right)+4$ 进行因式分解的过程.

解：设 $a^{2}-2 a=A$

原式 $=(A-1)(A+3)+4($ 第一步 $)$

$=A^{2}+2 A+1($ 第二步 $)$

$=(A+1)^{2}($ 第三步 $)$

$=\left(a^{2}-2 a+1\right)^{2}($ 第四步 $)$

回答下列问题: (1) 该同学第二步到第三步运用了因式分解的

(填代号).
A 提取公因式
B 平方差公式
C 两数和的完全平方公式
D 两数差的完全平方公式

（2）按照“因式分解，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止”的要求，该多项式分解因式的最后结果为

(3) 请你模仿以上方法对多项式 $\left(x^{2}-4 x-3\right)\left(x^{2}-4 x+11\right)+49$ 进行因式分解.

选项：
答案：(1) $C$;
(2) $(a-1)^{4}$;
(3) $(x-2)^{4}$

【分析】(1) 从解题步骤可以看出该同学第二步到第三步运用了两数和的完全平方公式; (2) 对第四步的结果括号里的部分用完全平方公式分解, 再用幂的乘方计算即可. (3)模仿例题设 $x^{2}-4 x=A$,对其进行换元后去括号, 整理成多项式, 再进行分解, 分解后将 $\mathrm{A}$ 换回 $x^{2}-4 x$, 再分解彻底即可,

【解析】 (1) 该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式, 故选: C

(2) 原式 $=\left(a^{2}-2 a+1\right)^{2}=\left[(a-1)^{2}\right]^{2}=(a-1)^{4}$ 故答案为: $(a-1)^{4}$

(3) 设 $x^{2}-4 x=A$.

$\left(x^{2}-4 x-3\right)\left(x^{2}-4 x+11\right)+49=(A-3)(A+11)+49=(A-3)(A+11)+49$

$=A^{2}+8 A+16=(A+4)^{2}=\left(x^{2}-4 x+4\right)^{2}=(x-2)^{4}$

【点睛】本题考查的是因式分解, 解题关键是要能理解例题的分解方法并能进行模仿, 要注意分解要彻底.
解析：(1) 从解题步骤可以看出该同学第二步到第三步运用了两数和的完全平方公式; (2) 对第四步的结果括号里的部分用完全平方公式分解, 再用幂的乘方计算即可. (3)模仿例题设 $x^{2}-4 x=A$,对其进行换元后去括号, 整理成多项式, 再进行分解, 分解后将 $\mathrm{A}$ 换回 $x^{2}-4 x$, 再分解彻底即可,

【解析】 (1) 该同学第二步到第三步运用了因式分解的两数和的完全平方公式, 故选: C

(2) 原式 $=\left(a^{2}-2 a+1\right)^{2}=\left[(a-1)^{2}\right]^{2}=(a-1)^{4}$ 故答案为: $(a-1)^{4}$

(3) 设 $x^{2}-4 x=A$.

$\left(x^{2}-4 x-3\right)\left(x^{2}-4 x+11\right)+49=(A-3)(A+11)+49=(A-3)(A+11)+49$

$=A^{2}+8 A+16=(A+4)^{2}=\left(x^{2}-4 x+4\right)^{2}=(x-2)^{4}$

【点睛】本题考查的是因式分解, 解题关键是要能理解例题的分解方法并能进行模仿, 要注意分解要彻底.
题目（七年级 · 代数）：（2022$\cdot$江苏镇江市$\cdot$八年级期末）请仔细阅读下面材料, 然后解决问题:

在分式中, 对于只含有一个字母的分式, 当分子的次数大于或等于分母的次数时, 我们称之为“假分式”. 例如: “ $\frac{x}{x+1}, \frac{x^{2}}{x+1}$ ， ; 当分子的次数小于分母的次数时, 我们称之为“真分式”, 例如: $\frac{1}{x+1}, \frac{x}{x^{2}+1},$. 我们知道, 假分数可化为带分数, 例 $\frac{13}{4}=\frac{12+1}{4}=3+\frac{1}{4}=3 \frac{1}{4}$ 类似的, 假分式也可以化为“带分式” (整式与真分式和的形式)，例如: $\frac{x-1}{x+1}=\frac{x+1-2}{x+1}=1-\frac{2}{x+1}$

（1）将分式 $\frac{3 x-1}{x-1}$ 化为带分式; （2）当 $x$ 取哪些整数值时, 分式 $\frac{3 x-1}{x-1}$ 的值也是整数?

（3）当 $x=\square$ ，分式 $\frac{3 x^{2}+5}{x^{2}+1}$ 的最大值是


选项：
答案：(1) $3+\frac{2}{x-1} ;$ (2) $x=-1,0,2,3$; (3) 0,5

【分析】（1）仿照阅读材料中的方法加你个原式变形即可; （2）原式变形后, 根据结果为整数确定出整数 $x$ 的值即可; （3）原式变形后, 确定出分式的最大值即可.

【详解】解： (1) 原式 $=\frac{3 x-3+2}{x-1}=\frac{3(x-1)+2}{x-1}=3+\frac{2}{x-1}$

(2) $\because \frac{3 x-1}{x-1}$ 是整数 $\therefore \frac{2}{x-1}$ 是整数 $\therefore x-1= \pm 1, \pm 2 \therefore x=-1,0,2,3$

(3) $\frac{3 x^{2}+5}{x^{2}+1}=\frac{3 x^{2}+3+2}{x^{2}+1}=3+\frac{2}{x^{2}+1}$

$\because x^{2}+1 \geq 1$ (当且仅当 $\mathrm{x}=0$ 时, 等号成立) $\therefore \frac{2}{x^{2}+1} \leq 2 \therefore 3+\frac{2}{x^{2}+1} \leq 5$即当 $x=0$, 分式 $\frac{3 x^{2}+5}{x^{2}+1}$ 的最大值为是 5 , 故答案为: $0 ; 5$.

【点睛】此题考查了分式的混合运算，弄清阅读材料中的方法，适当转化分子、分母是解本题的关键.
解析：（1）仿照阅读材料中的方法加你个原式变形即可; （2）原式变形后, 根据结果为整数确定出整数 $x$ 的值即可; （3）原式变形后, 确定出分式的最大值即可.

【详解】解： (1) 原式 $=\frac{3 x-3+2}{x-1}=\frac{3(x-1)+2}{x-1}=3+\frac{2}{x-1}$

(2) $\because \frac{3 x-1}{x-1}$ 是整数 $\therefore \frac{2}{x-1}$ 是整数 $\therefore x-1= \pm 1, \pm 2 \therefore x=-1,0,2,3$

(3) $\frac{3 x^{2}+5}{x^{2}+1}=\frac{3 x^{2}+3+2}{x^{2}+1}=3+\frac{2}{x^{2}+1}$

$\because x^{2}+1 \geq 1$ (当且仅当 $\mathrm{x}=0$ 时, 等号成立) $\therefore \frac{2}{x^{2}+1} \leq 2 \therefore 3+\frac{2}{x^{2}+1} \leq 5$即当 $x=0$, 分式 $\frac{3 x^{2}+5}{x^{2}+1}$ 的最大值为是 5 , 故答案为: $0 ; 5$.

【点睛】此题考查了分式的混合运算，弄清阅读材料中的方法，适当转化分子、分母是解本题的关键.
题目（七年级 · 代数）：(本小题 8.0 分)

已知 $\frac{\sqrt{2 x+y}+\left|x^{2}-9\right|}{\sqrt{3-x}}=0$, 求 $3 x+6 y$ 的立方根.
选项：
答案：解: $\because \frac{\sqrt{2 x+y}+\left|x^{2}-9\right|}{\sqrt{3-x}}=0$,

$$
\therefore \sqrt{2 x+y}=0,\left|x^{2}-9\right|=0, \sqrt{3-x} \neq 0
$$

$\therefore x=-3, y=6$,

$3 x+6 y=27$,

$\therefore \sqrt[3]{27}=3$
解析：略
题目（七年级 · 代数）：小题8.0分)

阅读材料: 如果一个数的平方等于 -1 , 记为记 $i^{2}=-1$, 这个数 $i$ 叫做虚数单位, 那么形如 $a+$ $b i(a, b$ 为实数 $)$ 的数就叫做复数, $a$ 叫这个复数的实部, $b$ 叫做这个复数的虚部.它有如下特点:

(1) 它的加, 减, 乘法运算与整式的加, 减, 乘法运算类似例如计算:

$(2+i)+(3-4 i)=(2+3)+(1-4) i=5-3 i:(3+i) i=3 i+i^{2}=3 i-1$.

(2)若他们的实部和虚部分别相等, 则称这两个复数相等; 若它们的实部相等, 虚部互为相反数, 则称这两个复数共轭, 如 $1+2 i$ 的共轭复数为 $1-2 i$.

(1)填空: $i^{3}=$ \$ \qquad \$ $i^{4}=$ \$ \qquad \$ $;$

(2)求 $(2+i)^{2}$ 的共轭复数;

(3)已知 $(a+i)(b+i)=1+3 i$, 求 $a^{2}+b^{2}\left(i^{2}+i^{3}+i^{4} \ldots+i^{2018}\right)$ 的值.
选项：
答案：1)-i, 1$;

$(2)(2+i)^{2}=i^{2}+4 i+4=-1+4 i+4=3+4 i$,

故 $(2+i)^{2}$ 的共轭复数是 $3-4 i$;

(3) $\because(a+i)(b+i)=a b-1+(a+b) i=1+3 i$,

$\therefore a b-1=1, a+b=3$,

解得 $a=1, b=2$ 或 $a=2, b=1$,

当 $a=1, b=2$ 时, $a^{2}+b^{2}\left(i^{2}+i^{3}+i^{4} \ldots+i^{2018}\right)=1+4(-1-i+1+i \ldots+1+i-1)=-3$;

当 $a=2, b=1$ 时, $a^{2}+b^{2}\left(i^{2}+i^{3}+i^{4} \ldots+i^{2018}\right)=4+1(-1-i+1+i \ldots+1+i-1)=3$.

故 $a^{2}+b^{2}\left(i^{2}+i^{3}+i^{4} \ldots+i^{2018}\right)$ 的值为 -3 或 3 .
解析：

解: (1) $\because i^{2}=-1$,

$\therefore i^{3}=i^{2} \cdot i=-1 \cdot i=-i$,

$i^{4}=i^{2} \cdot i^{2}=-1 \cdot(-1)=1$

(2) 见答案.

## 【分析】

(1)根据 $i^{2}=-1$, 则 $i^{3}=i^{2} \cdot i, i^{4}=i^{2} \cdot i^{2}$, 然后计算;

(2)根据完全平方公式计算, 出现 $i^{2}$, 化简为 -1 计算, 再根据共轭复数的定义即可求解;

(3)把原式化简后, 根据实部对应实部, 虚部对应虚部列出方程, 求得 $a, b$ 的值, 再代入计算即可求解.

本题考查了实数的运算、完全平方公式, 是信息给予题, 解题步骤为: (1)阅读理解, 发现信息;

(2)提炼信息，发现规律； (3)运用规律，联想迁移.
题目（七年级 · 代数）：(本小题 8.0 分)

下列表述中, 字母各表示什么?

(1)圆的周长是 $2 \pi r$.

(2) 小明骑车上学, 速度是 $10 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, 到学校共骑了 $10 t \mathrm{~km}$.

(3)底为 $10 \mathrm{~cm}$ 的三角形面积为 $10 \mathrm{hcm}^{2}$.

(4) 买 2 支钢笔和 3 本笔记本共花去 $(2 x+3 y)$ 元.
选项：
答案：题1】略

## 【小题2】略

【小题 3 】 略

## 【小题4】略