eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高一 · 度量几何学）：(2020 秋・二道区校级期末) 已知边长为 2 的正方形 $A B C D$, 在正方形 $A B C D$ 内随机取一点, 则取到的点到正方形四个顶点 $A, B, C, D$ 的距离都大于 1 的概率为 ( )
选项：
A. $\frac{\pi}{16}$
   B. $\frac{\pi}{4}$
   C. $\frac{3-2 \sqrt{2}}{4} \pi$
   D. $1-\frac{\pi}{4}$
答案：D
解析：解: 在正方形 $A B C D$ 内随机取一点 $P$, 点 $P$ 到点 $A$ 的距离大于 1 的部分是以 $A$ 为圆心, 1 为半径的 $\frac{1}{4}$ 圆的外部,

同理: 到其余 3 个顶点的距离大于 1 的部分为以 1 为半径的 $\frac{1}{4}$ 圆的外部,

符合条件的面积之和为 $2^{2}-\pi \times 1^{2}=4-\pi$,

$\because$ 正方形的面积为 $2 \times 2=4$,

$\therefore$ 点 $P$ 到正方形各顶点的距离大于 1 的概率为 $\frac{4-\pi}{4}=1-\frac{\pi}{4}$.

故选: D.
题目（高一 · 计数）：汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1 升汽油行驶的里程, 下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（）


选项：
A. 消耗 1 升汽油, 乙车最多可行驶 5 千米

B. 以相同速度行驶相同路程, 三辆车中, 甲车消耗汽油最多

C. 甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时, 消耗 10 升汽油

D. 某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条件下, 在该市用丙车比用乙车更省油
答案：D
解析：对于 A, 由图象可知当速度大于 $40 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 时, 乙车的燃油效率大于 $5 \mathrm{~km} / \mathrm{L}$,

$\therefore$ 当速度大于 $40 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 时, 消耗 1 升汽油, 乙车的行驶距离大于 $5 \mathrm{~km}, \mathrm{~A}$ 不符合题意;

对于 B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，

即当速度相同时, 消耗 1 升汽油, 甲车的行驶路程最远，

$\therefore$ 以相同速度行驶相同路程, 三辆车中, 甲车消耗汽油最少, $\mathrm{B}$ 不符合题意;

对于 C, 由图象可知当速度为 $80 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 时, 甲车的燃油效率为 $10 \mathrm{~km} / \mathrm{L}$,

即甲车行驶 $10 \mathrm{~km}$ 时, 耗油 1 升, 故行驶 1 小时, 路程为 $80 \mathrm{~km}$, 燃油为 8 升, C 不符合题意;

对于 D, 由图象可知当速度小于 $80 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 时, 丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,

$\therefore$ 用丙车比用乙车更省油, $\mathrm{D}$ 符合题意

故答案为: D.

【分析】根据函数图像的几何意义对每个选项逐一分析即可得出正确答案即可.

二、填空题
题目（高一 · 计数）：从 50 份高三学生期中考试试卷中随机抽出 15 份进行教研分析, 则下列说法正确的是
选项：
A. 15 名样本
B. 50 名学生是总体
C. 样本容量是 15
D. 样本容量是 50
答案：C
解析：样本是抽取的 15 份试卷, 总体是 50 份试卷, 总体容量是 50 , 样本容量是 15 .答案: C
题目（高一 · 计数）：抽签法中确保样本代表性的关键是（）
选项：
A. 制签

B. 拌均匀

C. 逐一抽取

D. 抽取不放回
答案：B
解析：逐一抽取、抽取不放回是简单随机抽样的特点, 但不是确保代表性的关键,要使样本具有代表性, 则应保证总体中每个个体被抽到的机会均等，而 “搅拌均匀” 是每个个体被抽到的机会均等的关键.

答案: B
题目（高一 · 计数）：下列抽样方法是简单随机抽样的是 ()
选项：
A. 从 100 个学生家长中一次性随机抽取 10 人做家访

B. 从 38 本教辅参考资料中有放回地随机抽取 3 本作为教学参考

C. 从偶数集中一次性抽取 20 个进行奇偶性分析

D. 某参会人员从最后一排 20 个座位中随机选择一个坐下
答案：D
解析：A 选项错在 “一次性” 抽取; B 选项错在 “有放回” 抽取; C 选项错在 “一次性” “总体容量无限”. 故正确选项为 D.

答案: D
题目（高一 · 计数）：下列抽样中，适合用抽签法的是（）
选项：
A. 从某厂生产的 3000 件产品中抽取 600 件进行质量检验

B. 从某厂生产的两箱 (每箱 15 件) 产品中抽取 6 件进行质量检验

C. 从甲、乙两厂生产的两箱（每箱 15 件）产品中抽取 6 件进行质量检验

D. 从某厂生产的 3000 件产品中抽取 10 件进行质量检验
答案：B
解析：A、D 中个体的总数较大, 不适合用抽签法; C 中甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大, 不适合用抽签法; B 中个体的总数和样本容量均较小, 且是同厂生产的两箱产品, 质量差别不大，适合用抽签法.答案:B
题目（高一 · 计数）：下列调查方式中, 不合适的是 ( )
选项：
A. 浙江卫视 “奔跑吧兄弟” 综艺节目的收视率，采用抽查的方式

B. 了解某渔场中青鱼的平均质量, 采用抽查的方式

C. 了解 iPhone6s 手机的使用寿命, 采用普查的方式

D. 了解一批汽车的刹车性能, 采用普查的方式
答案：C
解析：对于 A, 收视率采用抽查方式. 例如央视-索福瑞媒介研究有限公司 (CSM）目前采用的收视率数据采集方法有两种, 即日记法和人员测量仪法. 日记法是指通过由样本户中所有 4 岁及以上家庭成员填空日记卡来收集收视信息的方法. 人员测量仪法是指利用 “人员测量仪” 来收集电视收视信息的方法. 以北京为例，2000 多万人口中抽取 500 个样本家庭用户, 调查约 1600 个观众的收视行为. 按照国际惯例, 央视-索福瑞的测量仪网样本户每年更换比例不低于 $25 \%$, 最多四年即更换一轮; 日记卡网则一年更换一轮.对于 B, 没有必要采用普查的方式, 因此采用抽查合适对于 C, 了解手机的寿命的过程会有破坏性，因此没有必要对所有 iphone6s 手机进行调查，因此采用普查的方式不合适.对于 D, 了解汽车刹车性能, 因为涉及人身安全, 且对汽车没有破坏性, 因此, 应采用普查的方式.

答案: C
题目（高一 · 计数）：利用随机数表法对一个容量为 500 编号为 0001,002, , 999 品进行抽样检验, 抽取一个容量为 10 的样本, 若选定从第 12 行第 4 列的数开始向右读数（下面摘取了随机数表中的第 11 行至第 15 行 $)$, 则根据下面的随机数表，读出的第 3 个数是（）
$\begin{array}{lllllllllllllllllllllll}18 & 18 & 07 & 92 & 45 & 44 & 17 & 16 & 58 & 09 & 79 & 83 & 86 & 19 & 62 & 06 & 76 & 5003 & 10 & 55 & 23 & 64 & 05\end{array}$




$\begin{array}{llllllllllllllllllllll}52 & 36 & 28 & 19 & 95 & 50 & 92 & 26 & 11 & 97 & 00 & 56 & 76 & 31 & 38 & 80 & 22 & 0253 & 53 & 86 & 60 & 42 \\ 04 & 53\end{array}$


选项：
A. 584
B. 114
C. 311
D. 146
答案：C
解析：从第 12 行第 4 列的数开始向右读数可得: $238,160,311,463,224$, . 所以读出的第 3 个数是 311 . 选 C.

答案: C
题目（高一 · 计数）：某报告厅有 50 排座位, 每排有 60 个座号, 一次报告会坐满了听众, 会后留下座位号为 $18,78,138,198 \cdots$ 的 50 位听众进行座谈, 这种抽取样本的方法是 ( )
选项：
A. 抽签法
B. 随机数表法
C. 系统抽样
D. 有放回抽样
答案：C
解析：总体容量 (3000) 较大, 抽取间隔相等, 符合系统抽样的特点, 是系统抽样。答案: C
题目（高一 · 计数）：采用系统抽样的方法从 2005 个个体中抽取一个容量为 50 的样本, 则抽样间隔和随机剔除的个体数分别为 ( )
选项：
A. 40,5
B. 50,5
C. 5,40
D. 5,50
答案：A
解析：因为 $2005 \div 50=40$ 余 5 , 所以用系统抽样的方法从 2005 个个体中抽取一个容量为 50 的样本, 抽样间隔是 40 , 且应随机剔除的个体数为 5 .

答案: A
题目（高一 · 计数）：某校高二年级共有 600 名学生, 编号为 $001^{\sim} 600$. 为了分析该年级学生上学期期末的数学考试情况, 用系统抽样的方法抽取了一个样本容量为 60 的样本. 如果编号 006, 016, 026 在样本中，那么下列编号在样本中的是 (
选项：
A. 010
B. 020
C. 036
D. 042
答案：C
解析：样本容量为 60 , 抽样间隔为 $10,16-6=26-16=36-26=10$, 故选 C.

答案: C
题目（高一 · 计数）：从 72 名志愿者中抽取 10 名志愿者进行专业兴趣调查, 若采用系统抽样, 则每名志愿者被抽到的可能性是 ( )
选项：
A. $\frac{1}{72}$
B. $\frac{1}{7}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{5}{36}$
答案：D
解析：由于 72 不能被 10 整除, 则需先剔除 2 名志愿者, 确定分段间隔 $k=10$, 但是每名志愿者被剔除的可能性一样, 所以虽然剔除了 2 名志愿者, 但这 72 名志愿者中每名志愿者被抽到的可能性是一样的, 都是 $\frac{10}{72}=\frac{5}{36}$, 故选 D.

答案: D
题目（高一 · 计数）：下列有关系统抽样的说法正确的是 ( )

(1)从某厂生产的 2000 个电子元件中随机抽取 50 个入样，适宜用系统抽样法;

(2)人们打桥牌时, 从洗好的扑克牌（52 张）中随机确定一张作为起始牌, 这时, 开始按次序发牌, 对任何一家来说, 都是从 52 张总体中抽取一个容量为 13 的样本, 这里运用的抽样方法是系统抽样;

(3)有 1252 名学生的成绩, 采用系统抽样的方法抽取一个容量为 50 的样本, 则总体中随机剔除的个体数目是 2 , 但对于被剔除的 2 名学生来说, 这样做是不公平的.
选项：
A. (1)(2)
B. (1)(3)
C. (2)(3)
D. (1)(2)(3)
答案：A
解析：(1)正确, 因为总体容量较大, 适宜用系统抽样法; (2)正确, 简单随机抽样的实质是逐个地从总体中随机抽取样本, 而这里只是随机确定了起始张, 这时其他各张显然是逐张地被抽取, 其实各张在谁手里已确定, 所以, 根据其等距起牌的特点, 应将其定位为系统抽样; (3)错误, 整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性仍然相等, 因为每个个体被抽到的机会相等, 所以每个个体被剔除的机会也相等. 故选 A.

答案: A
题目（高一 · 计数）：将参加夏令营的 600 名学生编号为: $001,002, \cdots, 600$. 采用系统抽样方法抽取一个容量为 50 的样本, 且随机抽得的号码为 003. 这 600 名学生分住在三个营区, 从 001 到 300 在第 I 营区, 从 301 到 495 在第 II 营区, 从 496 到 600 在第III营区, 三个营区被抽中的人数依次为
选项：
A. $26,16,8$
B. $25,17,8$
C. $25,16,9$
D. $24,17,9$
答案：B
解析：依题意及系统抽样的意义可知, 将这 600 名学生按编号依次分成 50 组, 每一组有 12 名学生, 第 $k\left(k \in \mathbf{N}_{+}\right)$组抽中的号码是 $3+12(k-1)$. 令 $3+12(k-1) \leqslant 300$, 得 $k \leqslant \frac{103}{4}$,因此第 I 营区被抽中的人数是 25 ; 令 $300<3+12(k-1) \leqslant 495$, 得 $\frac{103}{4}<k \leqslant 42$, 因此第 II 营区被抽中的人数是 $42-25=17$.

第III营区被抽中的人数是 $50-25-17=8$.

答案: B
题目（高一 · 计数）：为了解某地区的中小学生的视力情况, 拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查, 事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异, 且男女生视力情况差异不大。在下面的抽样方法中, 最合理的抽样方法是 ( )
选项：
A. 简单随机抽样

B. 按性别分层抽样

C. 按学段分层抽样

D. 系统抽样
答案：C
解析：依据题意, 了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异, 且男女生视力情况差异不大, 故要了解该地区学生的视力情况, 应按学段分层抽样。

答案: C
题目（高一 · 计数）：对一个容量为 $\mathrm{N}$ 的总体抽取容量为 $\mathrm{n}$ 的样本, 当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时, 总体中每个个体被抽中的概率分别为 $p_{1}, p_{2}, p_{3}$, 则 ( )
选项：
A. $p_{1}=p_{2}<p_{3}$
B. $p_{2}=p_{3}<p_{1}$
C. $p_{1}=p_{3}<p_{2}$
D. $p_{1}=p_{2}=p_{3}$
答案：D
解析：不管是简单随机抽样、系统抽样还是分层抽样, 它们都是等可能抽样, 每个个体被抽中的概率均为 $\frac{n}{N}$

答案: D
题目（高一 · 计数）：在 120 个零件中, 有一级品 24 个, 二级品 36 个, 三级品 60 个, 用分层抽样的方法从中抽取一个容量为 20 的样本，则每个个体被抽取的可能性是（）
选项：
A. $\frac{1}{24}$
B. $\frac{1}{36}$
C. $\frac{1}{60}$
D. $\frac{1}{6}$
答案：D
解析：在分层抽样中, 每个个体被抽取的可能性都相等, 且为 $\frac{\text { 样本容量, 所容量, }}{}$, 所每个个体被取的概率为 $\frac{20}{120}=\frac{1}{6}$

答案: D
题目（高一 · 计数）：某校老年、中年和青年教师的人数见下表, 采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中，青年教师有 320 人，则该样本中的老年教师人（）

| 类别 | 人数 |
| :---: | :---: |
| 老年教师 | 900 |
| 中年教师 | 1800 |
| 青年教师 | 1600 |
| 合计 | 4300 |
选项：
A. 90
B. 100
C. 180
D. 300
答案：C
解析：设样本中的老年教师人数为 $\mathrm{x}$, 则 $\frac{320}{1600}=\frac{x}{900}$, 解得 $\mathrm{x}=180$.

答案: C
题目（高一 · 计数）：某学校有职工 140 人, 其中教师 91 人, 教辅行政人员 28 人, 总务后勤人员 21 人. 为了了解职工的某种情况, 要从中抽取一个容量为 20 的样本, 以下抽样方法中按简单随机抽样、系统抽样、分层抽样顺序排列的是（）
方法 1: 将 140 人按 $1^{\sim} 140$ 编号, 制作出有编号 $1^{\sim} 140$ 的形状、大小相同的号签, 将号签放入同一个不透明的箱子里进行均匀搅拌, 然后从中抽取 20 个号签, 编号与号签相同的 20 个人被选出.

方法 2: 将 140 人分成 20 组, 每组 7 人, 并将每组 7 人按 $1 \sim 7$ 编号, 在第一组采用抽签法抽出 $\mathrm{k}(1 \leqslant \mathrm{k} \leqslant 7)$ 号, 其余各组 $\mathrm{k}$ 号也被抽到, 20 个人被选出.

方法 3: 按 20: 140=1: 7 的比例, 从教师中抽出 13 人, 从教辅行政人员中抽出 4 人,从总务后勤人员中抽出 3 人, 从各类人员中抽取所需人员时, 均采用随机数表法, 可抽到 20 人.
选项：
A. 方法 2、方法 1、方法 3
B. 方法 2、方法 3、方法 1
C. 方法 1、方法 2、方法 3
D. 方法 3、方法 1、方法 2
答案：C
解析：方法 1 是简单随机抽样中的抽签法, 方法 2 是系统抽样, 方法 3 是分层抽样.答案: C
题目（高一 · 计数）：下列说法中正确的个数为 ( )

(1)数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定;

(2)数据的平均数越小, 样本数据分布越集中、稳定; (3)数据的标准差越小, 样本数据分布越集中、稳定;

(4)数据的方差越小, 样本数据分布越集中、稳定.
选项：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：C
解析：由数据的极差、标准差、方差的定义可知, 它们都可以影响样本数据的分布和稳定性, 而数据的平均数则与之无关, 故(2)不正确, (1)(3)(4)正确。

答案: C
题目（高一 · 计数）：将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分, 去掉 1 个最低分, 7 个剩余分数的平均分为 91 .现场作的 9 个分数的茎叶图后来有 1 个数据模糊, 无法辨认, 在图中以 $\mathrm{x}$ 表示:


则 7 个剩余分数的方差为
选项：
A. $\frac{116}{9}$
B. $\frac{36}{7}$
C. 36
D. $\frac{6 \sqrt{7}}{7}$
答案：B
解析：由题中茎叶图可知, 去掉的两个数是 87,99 , 所以 $87+90 \times 2+91 \times 2+94+90+x=91$

$\times 7$, 解得 $x=4$. 故

$s^{2}=\frac{1}{7} \times\left[(87-91)^{2}+(90-91)^{2} \times 2+(91-91)^{2} \times 2+(94-91)^{2} \times 2\right]=\frac{36}{7}$

答案: B
题目（高一 · 计数）：某班级有 50 名学生, 其中有 30 名男生和 20 名女生. 随机询问了该班 5 名男生和 5 名女生在某次数学测验中的成绩, 5 名男生的成绩分别为 $86,94,88,92,90,5$ 名女生的成绩分别为 $88,93,93,88,93$. 下列说法一定正确的是 ( )
选项：
A. 这种抽样方法是分层抽样

B. 这种抽样方法是系统抽样

C. 这 5 名男生成绩的方差大于这 5 名女生成绩的方差

D. 该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
答案：C
解析：若抽样方法是分层抽样, 男生、女生应分别捆取 6 人、 4 人, 所以 $\mathrm{A}$ 错; 由题目看不出是系统抽样, 所以 $\mathrm{B}$ 错; 这 5 名男生成绩的平均数

$\bar{x}_{1}=\frac{86+94+88+92+90}{5}=90$, 这 5 名女生成绩的平均数 $\bar{x}_{2}=\frac{88+93+93+88+93}{5}=91$,

故这 5 名男生成绩的方差为

$\frac{1}{5} \times\left[(86-90)^{2}+(94-90)^{2}+(88-90)^{2}+(92-90)^{2}+(90-90)^{2}\right]=8 \div x$, 这 5 名女生成绩的方差为号 $\frac{1}{5} \times\left[(88-91)^{2} \times 2+(93-91)^{2} \times 3\right]=6$, 所以这 5 名男生成绩的方差大于这 5 名女生成绩的方差, 但该班男生成绩的平均数不一定小于女生成绩的平均数, 所以 C 正确, D 错.

答案: C
题目（高一 · 计数）：图是我市甲、乙两地五月上旬日平均气温的统计图, 则甲、乙两地这十天的日平均气温 $\bar{x}_{\text {甲 }}, \bar{x}_{\text {乙 }}$ 和日平均气温的标准差 $s_{\text {甲 }}, s_{\text {乙 }}$ 的大小关系应为 ( )


选项：
A. $\bar{x}_{\text {甲 }}=\bar{x}_{\text {乙 }}, s_{\text {甲 }}<s_{\text {乙 }}$
B. $\bar{x}_{\text {甲 }}=\bar{x}_{\text {乙 }}, s_{\text {甲 }}>s_{\text {乙 }}$
C. $\bar{x}_{\text {甲 }}>\bar{x}_{\text {乙 }}, s_{\text {甲 }}<s_{\text {乙 }}$
D. $\bar{x}_{\text {甲 }}>\bar{x}_{\text {乙 }}, s_{\text {甲 }}>s_{\text {乙 }}$
答案：B
解析：由题中折线统计图可得甲、乙两地五月上旬日平均气温的值, 由标准差的统计意义可得乙的标准差比较小, 则只需计算十天的日平均气温 $\bar{x}_{\text {甲 }}$ 和 $\bar{x}_{\text {乙 }}$ 即可.

$\bar{x}_{\text {甲 }}=\frac{24+30+28+24+22+26+27+26+29+24}{10}=26$

$\bar{x}_{\text {乙 }}=\frac{24+26+25+26+24+27+28+26+28+26}{10}=26$, 故选 B.

答案: B
题目（高一 · 计数）：为比较甲、乙两地某月 14 时的气温状况，随机选取该月中的 5 天，将这 5 天中 14 时的气温数据（单位: ${ }^{\circ} \mathrm{C}$ ) 制成如图所示的茎叶图. 考虑以下结论:

(1)甲地该月 14 时的平均气温低于乙地该月 14 时的平均气温;

(2)甲地该月 14 时的平均气温高于乙地该月 14 时的平均气温;

(3)甲地该月 14 时的气温的标准差小于乙地该月 14 时的气温的标准差;

(4)甲地该月 14 时的气温的标准差大于乙地该月 14 时的气温的标准差。其中根据茎叶图能得到的统计结论的编号为


选项：
A. (1)(3)
B. (1)(4)
C. (2)(3)
D. (2)(4)
答案：B
解析：由题中茎叶图, 知 $\bar{x}_{\mathrm{F}}=\frac{26+28+29+31+31}{5}=29$

$S_{\varphi}=\sqrt{\frac{1}{5} \times\left[(26-29)^{2}+(28-29)^{2}+(29-29)^{2}+(31-29)^{2}+(31-29)^{2}\right]}=\frac{3 \sqrt{10}}{5}$

$\bar{x}_{c}=\frac{28+29+30+31+32}{5}=30$
$s_{z}=\sqrt{\frac{1}{5} \times\left[(8-30)^{2}+(29-30)^{2}+(30-30)^{2}+(31-30)^{2}+(32-30)^{2}\right]}=\sqrt{2}$

所以 $\bar{x}_{\text {甲 }}<\bar{x}_{\text {乙 }}, s_{\text {甲 }}>s_{\text {乙 }}$

答案: $B$
题目（高一 · 计数）：（2020 秋 -秦安县校级期末）若用秦九韶算法求多项式 $f(x)=4 x^{5}-x^{2}+2$ 当 $x=3$ 时的值, 则需要做乘法运算和加减法运算的次数分别为 ( )
选项：
A. 4,2
   B. 5,3
   C. 5,2
   D. 6,2
答案：C
解析：解: $\because f(x)=(((4 x) x) x-1) x) x+2$,

$\therefore$ 乘法要运算 5 次, 加减法要运算 2 次.

故选: $C$.
题目（高一 · 计数）：(2021$\cdot$十八模拟)连续抛郑一枚硬币 4 次, 落地后第 2 次和第 4 次恰好都是正面向上的概率是 ( )
选项：
$\frac{1}{4}$
   B. $\frac{3}{4}$
   C. $\frac{3}{5}$
   D. $\frac{2}{5}$
答案：A
解析：抛郑一枚硬币，落地后可能出现正面和反面两种情况，

连续抛郑一枚硬币 4 次的所有结果为:

(正, 正, 正, 正）（正, 正, 正, 反）

(正, 正, 反, 正) (正, 正, 反, 反)

(正, 反, 正, 正) (正, 反, 正, 反)

(正, 反, 反, 正) (正, 反, 反, 反)

(反, 正, 正, 正) (反, 正, 正, 反)

(反, 正, 反, 正) (反, 正, 反, 反)

(反, 反, 正, 正) (反, 反, 正, 反)

(反, 反, 反, 正) (反, 反, 反, 反)

共 16 种情况，

落地后第 2 次和第 4 次恰好都是正面向上的结果为:

(正, 正, 正, 正) (正, 正, 反, 正)

(反, 正, 正, 正) (反, 正, 反, 正)

共 4 种情况，

故所求事件的概率 $P=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$,

故选: A.
题目（高一 · 计数）：（2020 秋 - 永昌县校级期末）在区间 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上随机取一个数 $x$, 则 $\cos x$ 的值介于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 到 1 的概率为 ( )
选项：
A. $\frac{1}{3}$
   B. $\frac{1}{2}$
   C. $\frac{2}{3}$
   D. $\frac{3}{4}$
答案：C
解析：解：根据题意, 区间 $\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right]$ 上, 若 $\frac{\sqrt{3}}{2}<\cos x<1$, 则有 $-\frac{\pi}{6}<x<\frac{\pi}{6}$,则 $\cos x$ 的值介于 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 到 1 的概率 $P=\frac{\frac{\pi}{6}-\left(-\frac{\pi}{6}\right)}{\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{\pi}{4}\right)}=\frac{2}{3}$,

故选: $C$.
题目（高一 · 计数）：（2020 春・南阳期中）下列叙述正确的是
选项：
互斥事件定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件

B. 若事件 $A$ 发生的概率为 $P(A)$ ，则 $0 \leqslant P(A) \leqslant 1$

C. 频率是稳定的, 概率是随机的
D. 5 张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小
答案：B
解析：互斥事件可能是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故 $A$ 错误;若随机事件 $A$ 发生的概率为 $P(A)$, 则 $0 \leqslant P(A) \leqslant 1$, 故 $B$ 正确;频率是随机的, 概率是稳定的, 故 $C$ 错误;

5 张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，两个人抽到有奖奖券的可能性相等，故 $D$ 错误;故选: $B$.
题目（高一 · 计数）：(2020 秋・长安区校级期末) 电影《我和我的家乡》于 2020 年 10 月 11 日在中国内地上映, 到 2020 年 10 月 14 日已累计票房 22.33 亿，创造了多个票房记录，某新闻机构想了解全国人民对《我和我的家乡》的评价, 决定从某市 3 个区按人口数用分层抽样的方法抽取一个样本. 若 3 个区人口数之比为 2: 3: 5, 且人口最多的一个区抽出 100 人, 则这个样本的容量等于
选项：
A. 100
   B. 160
   C. 200
   D. 240
答案：C
解析：解：由题意得 3 个区人口数之比为 $2: 3: 5$,

所以第三个区所抽取的人数最多, 即所占比例为 $\frac{1}{2}$.

又因为此区抽取的人数为 100 ,

所以三个区所抽总人数为 200 .

所以这个样本的容量等于 200。

故选: $C$.
题目（高一 · 计数）：（2020 秋・辽阳期末）如表为随机数表的一部分:

| 08015 | 17727 | 45318 | 22374 | 21115 | 78253 |
| :---- | :---- | :---- | :---- | :---- | :---- |
| 77214 | 77402 | 43236 | 00210 | 45521 | 64237 |

已知甲班有 60 位同学, 编号为 $00 \sim 59$ 号, 规定: 利用上面的随机数表, 从第 1 行第 4 列的数开始, 从左向右依次读取 2 个数, 则抽到的第 8 位同学的编号是 ( )
选项：
A. 11
B. 15
C. 25
D. 37
答案：A
解析：解：选取方法是从随机数表从第 1 行第 4 列的数开始,

从左向右依次读取 2 个数中小于 60 的编号依次为 $15,17,53,18,22,37,42,11$,则抽到的第 8 位同学的编号是 11。

故选: A.
题目（高一 · 计数）：(2020 秋・沈阳期末）某单位共有 500 名职工, 其中不到 35 岁的有 125 人, $35-49$ 岁的有 $a$ 人, 50 岁及以上的有 $b$ 人, 现用分层抽样的方法, 从中抽出 100 名职工了解他们的健康情况. 如果已知 $35-49$ 岁的职工抽取了 56 人, 则 50 岁及以上的职工抽取的人数为 ( )
选项：
A. 19
   B. 95
   C. 220
   D. 280
答案：A
解析：解: 计算抽样比例为 $\frac{100}{500}$,

所以不到 35 岁的应抽取 $125 \times \frac{1}{5}=25$ （人），

所以 50 岁及以上的应抽取 $100-25-56=19$ (人).

故选: A.
题目（高一 · 计数）：(2021$\cdot$十六模拟) 某工厂具有初级、中级、高级职称的工人分别有 550 人、 150 人、 50 人. 为了解工人的职称与年龄之间的关系, 用分层抽样的方法从这个工厂具有职称的工人中抽取 30 人进行调查，则应从初级职称的工人中抽取的人数为 ( )
选项：
A. 20
   B. 22
   C. 24
   D. 28
答案：B
解析：解: 根据分层抽样的知识可知, 应从初级职称的工人中抽取的人数为 $\frac{550}{550+150+50} \times 30$ $=22$,

故选: $B$.
题目（高一 · 计数）：(2020 秋 -重庆期末) 将参加数学竞赛决赛的 500 名同学编号为: 001, 002, , , 500, 采用系统抽样的方法抽取一个容量为 50 的样本, 且随机抽的号码为 003 , 这 500 名学生分别在三个考点考试, 从 001 到 200 在第一考点, 从 201 到 352 在第二考点, 从 353 到 500 在第三考点, 则第二考点被抽中的人数为 ( )
选项：
A. 14
   B. 15
   C. 16
   D. 17
答案：B
解析：解：系统抽样的分段间隔为 $\frac{500}{50}=10$,

在随机抽样中，首次抽到 003 号, 以后每隔 10 个号抽到一个人,则被抽中的人数构成以 3 为首项, 10 为公差的等差数列,故可分别求出在 001 到 200 中有 20 人，在 201 至 352 号中共有 15 人.故选: B.
题目（高一 · 计数）：（2021$\cdot$二十模拟）某饮料厂商搞促销活动, 在十万瓶饮料（编号为 $0 \sim 99999$ ）中, 采用系统抽
   样的方法抽出 5\%的饮料, 并在抽出的饮料瓶盖内侧写上 “中奖” 字样, 若抽出的饮料的最大编号是 99996，则抽出的饮料的最小编号是
选项：
A. 13
   B. 14
   C. 15
   D. 16
答案：D
解析：解: 在十万瓶饮料（编号为 $0 \sim 99999$ ）中, 采用系统抽样的方法抽出 $5 \%$ 的饮料,并在抽出的饮料瓶盖内侧写上 “中奖” 字样, 若抽出的饮料的最大编号是 99996,则抽出的饮料瓶数为 $100000 \times 5 \%=5000$, 抽样的间隔为 $100000 \div 5000=20$,则抽出的饮料编号从大到小排列构成以 99996 为首项, 以 -20 为公差的等差数列,的最小编号为 $99996+(5000-1) \times(-20)=16$,
故选: D.
题目（高一 · 画法几何学）：下列四个选项中的图形表示两个相交平面, 其中画法正确的是( )
选项：
A.



B.



C.



D.


答案：D
解析：画两个相交平面时，被遮住的部分用虚线表示.
题目（高一 · 画法几何学）：用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图是如图所示的一个正方形, 则原来的图形是


选项：

B.


C.


D. $\xrightarrow[O]{\underbrace{y_{\uparrow}}_{\uparrow}}$
答案：A
解析：试题分析：由斜二测画法的规则知与 $x^{\prime}$ 轴平行或重合的线段与与 $x^{\prime}$ 轴平行或重合, 其长度不变, 与 $y$轴平行或重合的线段与 $x^{\prime}$ 轴平行或重合, 其长度变成原来的一半, 正方形的对角线在 $y^{\prime}$ 轴上, 可求得其长度为 $\sqrt{2}$, 故在平面图中其在 $\mathrm{y}$ 轴上, 且其长度变为原来的 2 倍, 长度为 $2 \sqrt{2}$, 观察四个选项, A 选项符合题意. 故应选 A.

考点: 斜二测画法.

点评: 注意斜二测画法中线段长度的变化.
题目（高一 · 画法几何学）：如图, 正方形 $O^{\prime} A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的边长为 $1 \mathrm{~cm}$, 它是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图, 则原图形的周长是 ( )


选项：
$8 \mathrm{~cm}$
B. $6 \mathrm{~cm}$
C. $2(1+\sqrt{3}) \mathrm{cm}$
D. $2(1+\sqrt{2}) \mathrm{cm}$
答案：A
解析：【分析】

将直观图还原为平面图形是平行四边形，然后计算.

## 【详解】

解: 将直观图还原为平面图形，如图所示.

$$
O B=2 O^{\prime} B^{\prime}=2 \sqrt{2}, O A=O^{\prime} A^{\prime}=1 \text {, 所以 } A B=\sqrt{1^{2}+(2 \sqrt{2})^{2}}=3 \text {, }
$$



所以原图形的周长为 $8 \mathrm{~cm}$,

故选: A.

【点睛】

本题考查斜二测画法, 掌握斜二测画法的定义是解题关键. 根据斜二测画法的定义才能根据直观图中直线的位置关系确定原图形中直线的位置关系, 从而解决原图形中的问题.
题目（高一 · 立体几何学）：下列说法中正确的是( )
选项：
A. 三点确定一个平面

B. 四边形一定是平面图形

C. 梯形一定是平面图形

D. 两个不同平面 $\alpha$ 和 $\beta$ 有不在同一条直线上的三个公共点
答案：C
解析：不共线的三点确定一个平面，故 A 不正确; 四边形有时指空间四边形，故 B 不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故 C 正确；两个平面如果相交，一定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故 D 不正确. 故选 C.
题目（高一 · 立体几何学）：如果空间四点 $A, B, C, D$ 不共面, 那么下列判断中正确的是( )
选项：
A. $A, B, C, D$ 四点中必有三点共线

B. $A, B, C, D$ 四点中不存在三点共线

C. 直线 $A B$ 与 $C D$ 相交

D. 直线 $A B$ 与 $C D$ 平行
答案：B
解析：两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面.
题目（高一 · 立体几何学）：如果直线 $a \subset$ 平面 $\alpha$, 直线 $b \subset$ 平面 $\alpha, M \in a, N \in b, M \in l, N \in l$, 则 ()
选项：
A. $l \subset \alpha$
B. $14 \alpha$
C. $l \cap \alpha=M$
D. $l \cap \alpha=N$
答案：A
解析：$\because M \in a ， a \subset \alpha$ ，
$\therefore M \in \alpha$ ，同理， $N \in \alpha ，$

又 $M \in l, N \in l$ ，故 $l \subset \alpha$.
题目（高一 · 立体几何学）：已知 $\alpha, \beta$ 为平面, $A, B, M, N$ 为点, $a$ 为直线, 下列推理错误的是 ( )
选项：
A. $A \in a, A \in \beta, B \in a, B \in \beta \Rightarrow a \subset \beta$

B. $M \in \alpha, M \in \beta, N \in \alpha, N \in \beta \Rightarrow \alpha \cap \beta=M N$

C. $A \in \alpha, A \in \beta \Rightarrow \alpha \cap \beta=A$

D. $A, B, M \in \alpha, A, B, M \in \beta$, 且 $A, B, M$ 不共线 $\Rightarrow \alpha, \beta$ 重合
答案：C
解析：$\because A \in \alpha ， A \in \beta ， \therefore A \in(\alpha \cap \beta)$.

由公理可知 $\alpha \cap \beta$ 为经过 $A$ 的一条直线而不是点 $A$.

故 $\alpha \cap \beta=A$ 的写法错误.
题目（高一 · 立体几何学）：一条直线和直线外的三点所确定的平面有( )
选项：
A. 1 个或 3 个

B. 1 个或 4 个

C. 1 个, 3 个或 4 个

D. 1 个, 2 个或 4 个
答案：C
解析：若三点在同一直线上，且与已知直线平行或相交，或该直线在由该三点确定的平面内，则均确定 1 个平面；若三点有两点连线和已知直线平行时可确定 3 个平面；若三点不共线，且该直线在由该三点确定的平面外，则可确定 4 个平面.
题目（高一 · 立体几何学）：空间中有五个点, 其中有四个点在同一平面内, 但没有任何三点共线, 这样的五个点确定平面的个数最多可以是( )
选项：
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
答案：D
解析：想象四棱锥的 5 个顶点，它们总共确定 7 个平面.
题目（高一 · 立体几何学）：若空间三条直线 $a, b, c$ 满足 $a \perp b, b / / c$, 则直线 $a$ 与 $c(\quad)$
选项：
A. 一定平行
B. 一定垂直
C. 一定是异面直线
D. 一定相交
答案：B
解析：$\because a \perp b, b / / c ， \therefore a \perp c$.
题目（高一 · 立体几何学）：分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
选项：
A. 一定平行
B. 一定相交
C. 一定异面
D. 相交或异面
答案：D
解析：可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾).
题目（高一 · 立体几何学）：两等角的一组对应边平行, 则( )
选项：
另一组对应边平行

B. 另一组对应边不平行

C. 另一组对应边不可能垂直

D. 以上都不对
答案：D
解析：另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直. 注意和等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别.
题目（高一 · 立体几何学）：在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $E, F$ 分别是侧面 $A A_{1} D_{1} D$, 侧面 $C C_{1} D_{1} D$ 的中心, $G, H$分别是线段 $A B, B C$ 的中点, 则直线 $E F$ 与直线 $G H$ 的位置关系是 ( )
选项：
A. 相交
B. 异面
C. 平行
D. 垂直
答案：C
解析：如图，连接 $A D_{1} ， C D_{1} ， A C$ ，则 $E ， F$ 分别为 $A D_{1} ， C D_{1}$ 的中点. 由三角形的中位线定理，知 $E F / / A C ， G H / / A C$ ，所以 $E F / / G H$ ，故选 C.
题目（高一 · 立体几何学）：长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 ( )
选项：
A. 2 对
B. 3 对
C. 6 对
D. 12 对
答案：C
解析：如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线 $A C_{1}$ 异面的棱所在的直线，只要去掉与 $A C_{1}$ 相交的六条棱，其余的都与体对角线异面， $\therefore$ 与 $A C_{1}$ 异面的棱有 $B B_{1} ， A_{1} D_{1} ， A_{1} B_{1} ， B C ， C D ， D D_{1} ， \therefore$ 长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 6 对，故选 C.
题目（高一 · 立体几何学）：已知直线 $a, b, c$, 下列三个命题:

(1)若 $a$ 与 $b$ 异面, $b$ 与 $c$ 异面, 则 $a$ 与 $c$ 异面;

(2)若 $a / / b, a$ 和 $c$ 相交, 则 $b$ 和 $c$ 也相交;

(3)若 $a \perp b, a \perp c$, 则 $b / / c$.

其中, 正确命题的个数是 ( )
选项：
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：A
解析：(1)不正确，如图; (2)不正确，有可能相交，也有可能异面；(3)不正确，可能平行，可能相交，也可能异面.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 点 $P, Q$ 分别是正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的面对角线 $A D_{1}, B D$ 的中点, 则异面直线 $P Q$ 和 $B C_{1}$ 所成的角为 $(\quad)$
选项：
A. $30^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $90^{\circ}$
答案：C
解析：$A C, D_{1} C$.



由 $P, Q$ 分别为 $A D_{1}, B D$ 的中点，

得 $P Q / / C D_{1}$.

又 $B C_{1} / / A D_{1}$,

$\therefore \angle A D_{1} C$ 为异面直线 $P Q$ 和 $B C_{1}$ 所成的角.

$\because \triangle A C D_{1}$ 为等边三角形，

$\therefore \angle A D_{1} C=60^{\circ}$.

即异面直线 $P Q$ 和 $B C_{1}$ 所成的角为 $60^{\circ}$.
题目（高一 · 立体几何学）：直线在平面外是指( )
选项：
A. 直线与平面没有公共点
B. 直线与平面相交
C. 直线与平面平行
D. 直线与平面最多只有一个公共点
答案：D
解析：直线与平面的位置关系为：平行、相交、在平面内，其中平行和相交通称为直线在平面外，所以直线与平面最多只有一个公共点.
题目（高一 · 立体几何学）：三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是( )
选项：
A. 相交
B. 平行
C. 直线在平面内
D. 平行或直线在平面内
答案：A
解析：延长各侧棱可恢复成棱锥的形状，所以三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.
题目（高一 · 立体几何学）：下列说法正确的是( )
选项：
A. 如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行, 则这条直线与这个平面平行

B. 两个平面相交于唯一的公共点

C. 如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点, 则它们必有无数个公共点

D. 平面外的一条直线必与该平面内无数条直线平行
答案：C
解析：在 A 中，如果一条直线与一个平面内的无数条直线平行，则这条直线与这个平面平行或这条直线在这个平面内，故 A 错误; 在 B 中，两个平面相交于一条直线，故 B 错误；在 C
中，如果一条直线与一个平面有两个不同的公共点，则这条直线在平面内，它们必有无数个公共点，故 C 正确；在 D中，当平面外的一条直线与平面相交时，则平面外的这条直线必与该平面内的直线不平行，故 D 错误. 故选 C.
题目（高一 · 立体几何学）：若平面 $\alpha / /$ 平面 $\beta, l \subset \alpha$, 则 $l$ 与 $\beta$ 的位置关系是( )
选项：
A. $l$ 与 $\beta$ 相交
B. $l$ 与 $\beta$ 平行
C. $l$ 在 $\beta$ 内
D. 无法判定
答案：B
解析：$\because \alpha / / \beta, \therefore \alpha$ 与 $\beta$ 无公共点.

$\because l \subset \alpha, \therefore l$ 与 $\beta$ 无公共点, $\therefore l / / \beta$.
题目（高一 · 立体几何学）：若平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 的公共点多于两个, 则( )
选项：
$\alpha, \beta$ 可能只有三个公共点

B. $\alpha, \beta$ 可能有无数个公共点, 但这无数个公共点不在一条直线上

C. $\alpha, \beta$ 一定有无数个公共点

D. 以上均不正确
答案：C
解析：若平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 的公共点多于两个，则平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 相交或重合，故选 C.
题目（高一 · 立体几何学）：若直线 $a \perp b$, 且直线 $a / /$ 平面 $\alpha$, 则直线 $b$ 与平面 $\alpha$ 的位置关系是 ( )
选项：
A. $b \subset \alpha$

B. $b / / \alpha$

C. $b \subset \alpha$ 或 $b / / \alpha$

D. $b$ 与 $\alpha$ 相交或 $b \subset \alpha$ 或 $b / / \alpha$
答案：D
解析：通过观察正方体，可知 $b$ 与 $\alpha$ 相交或 $b \subset \alpha$ 或 $b / / \alpha$.故选 D.
题目（高一 · 立体几何学）：下列命题中, 正确的有 ( )

(1)平行于同一直线的两条直线平行;

(2)平行于同一个平面的两条直线平行;

(3)平行于同一条直线的两个平面平行;

(4)平行于同一个平面的两个平面平行.
选项：
1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
答案：B
解析：(2)中，也有可能是相交或异面，故(2)错误；(3)中，存在平行于两个相交平面的交线，
且不在两个平面内的直线，故(3)错误.
题目（高一 · 立体几何学）：下列说法中正确的个数是 ( )

(1)平面 $\alpha$ 与平面 $\beta, \gamma$ 都相交, 则这三个平面有 2 条或 3 条交线;

(2)两个平面平行, 各任取两平面的一条直线, 它们不相交;

(3)直线 $a$ 不平行于平面 $\alpha$ ，则 $a$ 不平行于 $\alpha$ 内任何一条直线;

(4)如果 $\alpha / / \beta, a / / \alpha$, 那么 $a / / \beta$.
选项：
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：B
解析：)错误，平面 $\alpha$ 与平面 $\beta ， \gamma$ 都相交，则这三个平面有可能有 2 条或 3 条交线，还有可能只有 1 条交线.

(2)正确，两平行平面无公共点，任取的直线也无公共点，即不相交.

(3)错误，直线 $a$ 不平行于平面 $\alpha$ ，则 $a$ 有可能在平面 $\alpha$ 内，此时可以与平面内无数条直线平行.

(4)错误，如果 $\alpha / / \beta ， a / / \alpha$ ，那么 $a / / \beta$ 或 $a \subset \beta$.
题目（高一 · 立体几何学）：下列条件中能得出直线 $m$ 与平面 $\alpha$ 平行的是 ( )
选项：
直线 $m$ 与平面 $\alpha$ 内所有直线平行

B. 直线 $m$ 与平面 $\alpha$ 内无数条直线平行

C. 直线 $m$ 与平面 $\alpha$ 没有公共点

D. 直线 $m$ 与平面 $\alpha$ 内的一条直线平行
答案：C
解析：A，本身说法错误；B，当直线 $m$ 在平面 $\alpha$ 内时， $m$ 与 $\alpha$ 不平行；C，能推出 $m$ 与 $\alpha$平行；D，当直线 $m$ 在平面 $\alpha$ 内时， $m$ 与 $\alpha$ 不平行. 故选 C.
题目（高一 · 立体几何学）：若直线 $l$ 不平行于平面 $\alpha$, 且 $l 4 \alpha$, 则 ( )
选项：
A. $\alpha$ 内的所有直线与 $l$ 异面

B. $\alpha$ 内不存在与 $l$ 平行的直线

C. $\alpha$ 内存在唯一的直线与 $l$ 平行

D. $\alpha$ 内的直线与 $l$ 都相交
答案：B
解析：若在平面 $\alpha$ 内存在与直线 $l$ 平行的直线，因 $l \Varangle \alpha$ ，故 $l / / \alpha$ ，这与题意矛盾.
题目（高一 · 立体几何学）：过直线 $l$ 外两点, 作与 $l$ 平行的平面, 则这样的平面 ( )
选项：
不可能作出
B. 只能作出一个
C. 能作出无数个
D. 上述三种情况都存在
答案：D
解析：设直线外两点为 $A ， B$ ，若直线 $A B / / l$ ，则过 $A ， B$ 可作无数个平面与 $l$ 平行; 若直线 $A B$ 与 $l$ 异面，则只能作一个平面与 $l$ 平行; 若直线 $A B$ 与 $l$ 相交，则过 $A ， B$ 没有平面与 $l$ 平行.
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示, $P$ 为矩形 $A B C D$ 所在平面外一点, 矩形对角线交点为 $O, M$ 为 $P B$ 的中点, 给出五个结论:



(1) $O M / / P D$;

(2) $O M / /$ 平面 $P C D$;

(3) $O M / /$ 平面 $P D A$;

(4) $O M / /$ 平面 $P B A$;

(5) $O M / /$ 平面 $P B C$.

其中正确的个数为 ( )
选项：
1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：C
解析：由题意知， $O M$ 是 $\triangle B P D$ 的中位线， $\therefore O M / / P D$ ，故(1)正确; $P D \subset$ 平面 $P C D ， O M \nsubseteq$平面 $P C D ， \therefore O M / /$ 平面 $P C D$ ，故(2)正确；同理可得： $O M / /$ 平面 $P D A ，$ 故(3)正确； $O M$ 与平面 $P B A$ 和平面 $P B C$ 都相交，故(4)，(5)不正确. 故共有 3 个结论正确.
题目（高一 · 立体几何学）：直线 $a, b$ 为异面直线, 过直线 $a$ 与直线 $b$ 平行的平面 ( )
选项：
A. 有且只有一个

B. 有无数多个

C. 有且只有一个或不存在

D. 不存在
答案：A
解析：在 $a$ 上任取一点 $A$ ，则过 $A$ 与 $b$ 平行的直线有且只有一条，设为 $b^{\prime} ， 又 ~ \because a \cap b^{\prime}=$ $A ， \therefore a$ 与 $b^{\prime}$ 确定一个平面 $\alpha$ ，即为过 $a$ 与 $b$ 平行的平面，可知它是唯一的.
题目（高一 · 立体几何学）：下列四个正方体图形中, $A, B$ 为正方体的两个顶点, $M, N, P$ 分别为其所在棱的中点,能得出 $A B / /$ 平面 $M N P$ 的图形的是( )



(1)



(2)



(3)



(4)
选项：
A. (1)(3)
B. (1)(4)
C. (2)(3)
D. (2)(4)
答案：B
解析：对于 (1)，如图，连接 $B C$ 交 $P N$ 于点 $D$ ，连接 $M D$.



由 $M D / / A B, A B 千$ 平面 $M N P ， M D \subset$ 平面 $M N P$ ，得 $A B / /$ 平面 $M N P$.

对于(4)，由 $A B / / N P ， A B \varangle$ 平面 $M N P ， N P \subset$ 平面 $M N P$ ，可得 $A B / /$ 平面 $M N P$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示, 四边形 $E F G H$ 为四面体 $A B C D$ 的一个截面, 若 $\frac{A E}{C E}=\frac{B F}{F C}=\frac{B G}{G D}$, 则与平面 $E F G H$平行的直线有 $(\quad)$


选项：
0 条
B. 1 条
C. 2 条
D. 3 条
答案：C
解析：$\because \frac{A E}{C E}=\frac{B F}{F C} ， \therefore E F / / A B$.

又 $E F \subset$ 平面 $E F G H ， A B \nmid$ 平面 $E F G H$ ，

$\therefore A B / /$ 平面 $E F G H$.

同理，由 $\frac{B F}{F C}=\frac{B G}{G D}$ ，

可证 $C D / /$ 平面 $E F G H$.

$\therefore$ 与平面 $E F G H$ 平行的直线有 2 条.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 已知三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, $E$ 是 $B C$ 的中点, $D$ 是 $A A_{1}$ 上的动点, 且 $\frac{A D}{D A_{1}}=m$,若 $A E / /$ 平面 $D B_{1} C$, 则 $m$ 的值为 $($ )


选项：
$\frac{1}{2}$
B. $1 \mathrm{C} \cdot \frac{3}{2}$
D. 2
答案：B
解析：，取 $C B_{1}$ 的中点 $G$ ，连接 $G E ， D G$ ，当 $m=1$ 时， $A D=G E=\frac{1}{2} B B_{1}$ 且 $A D / / G E$ ，

$\therefore$ 四边形 $A D G E$ 为平行四边形, 则 $A E / / D G$ ，又 $A E \subset$ 平面 $D B_{1} C, D G \subset$ 平面 $D B_{1} C$ ，可得 $A E / /$平面 $D B_{1} C$.