eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（八年级 · 算术）：(15 分 ) 今年，我国政府为减轻农民负担，决定在 5 年内免去农业税. 某乡今年人均上缴农业税 25 元, 若两年后人均上缴农业税为 16 元, 假设这两年降低的百分率相同.

(1) 求降低的百分率;

（2）若小红家有 4 人，明年小红家减少多少农业税?

（3）小红所在的乡约有 16000 农民，问该乡农民明年减少多少农业税?
选项：
答案：（1）解：设降低的百分率为 $x$, 依题意有, $25(1-x)^{2}=16$,解得, $x_{1}=0.2=20 \%, x_{2}=1.8$ (舍去) ;

（2） 解: 小红全家少上缴税 $25 \times 20 \% \times 4=20$ （元）;

（3）解：全乡少上缴税 $16000 \times 25 \times 20 \%=80000$ （元）.

答: 降低的增长率是 $20 \%$, 明年小红家减少的农业税是 20 元, 该乡农民明年减少的农业税是 80000 元.
解析：（1）解：设降低的百分率为 $x$, 依题意有, $25(1-x)^{2}=16$,解得, $x_{1}=0.2=20 \%, x_{2}=1.8$ (舍去) ;

（2） 解: 小红全家少上缴税 $25 \times 20 \% \times 4=20$ （元）;

（3）解：全乡少上缴税 $16000 \times 25 \times 20 \%=80000$ （元）.

答: 降低的增长率是 $20 \%$, 明年小红家减少的农业税是 20 元, 该乡农民明年减少的农业税是 80000 元.
题目（八年级 · 算术）：(10 分) 计算:

(1)

$\sqrt{48} \div \sqrt{3}-\sqrt{\frac{1}{2}} \times \sqrt{12}+\sqrt{24}$

(2) 已知 $x=\sqrt{3}+1, y=\sqrt{3}-1$, 求 $x^{2}+y^{2}$ 的值.
选项：
答案： (1) 解: 原式 $=4 \sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{12}+2 \sqrt{6}$

$=4-\sqrt{6}+2 \sqrt{6}$

$=4+\sqrt{6} ;$

(2) 解: 原式 $=(\sqrt{3}+1)^{2}+(\sqrt{3}-1)^{2}$

$=3+1+2 \sqrt{3}+3+1-2 \sqrt{3}$

$=8$
解析： (1) 解: 原式 $=4 \sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{2}} \times \sqrt{12}+2 \sqrt{6}$

$=4-\sqrt{6}+2 \sqrt{6}$

$=4+\sqrt{6} ;$

(2) 解: 原式 $=(\sqrt{3}+1)^{2}+(\sqrt{3}-1)^{2}$

$=3+1+2 \sqrt{3}+3+1-2 \sqrt{3}$

$=8$
题目（八年级 · 算术）：(6 分) 阅读下列解题过程: $\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}=\frac{1 \times(\sqrt{5}-\sqrt{4})}{(\sqrt{5}+\sqrt{4})(\sqrt{5}-\sqrt{4})}=\sqrt{5}-\sqrt{4}$, $\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}=\frac{1 \times(\sqrt{6}-\sqrt{5}}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})}=\sqrt{6}-\sqrt{5}$, 请回答下列回题:

(1) 观察上面的解答过程, 请写出 ${ }^{\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}=$ \$ \qquad \$
(2) 利用上面的解法, 请化简:

$$
\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{99+\sqrt{100}}}
$$
选项：
答案：

(1) $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$

(2) 解: $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$

$=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{99}-\sqrt{98}+\sqrt{100}-\sqrt{99}$

$=-1+\sqrt{100}$

$=-1+10$

$=9$.

解: (1) $\because^{\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}=\frac{1 \times(\sqrt{5}-\sqrt{4})}{(\sqrt{5}+\sqrt{4})(\sqrt{5}-\sqrt{4})}=\sqrt{5}-\sqrt{4}}$;

$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}=\frac{1 \times(\sqrt{6}-\sqrt{5})}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})}=\sqrt{6}-\sqrt{5}$

归纳总结得: $\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \quad(\mathrm{n} \geq 1)$
故答案为 $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$;
解析：

(1) $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$

(2) 解: $\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{98}+\sqrt{99}}+\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}$

$=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\cdots+\sqrt{99}-\sqrt{98}+\sqrt{100}-\sqrt{99}$

$=-1+\sqrt{100}$

$=-1+10$

$=9$.

解: (1) $\because^{\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}=\frac{1 \times(\sqrt{5}-\sqrt{4})}{(\sqrt{5}+\sqrt{4})(\sqrt{5}-\sqrt{4})}=\sqrt{5}-\sqrt{4}}$;

$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}=\frac{1 \times(\sqrt{6}-\sqrt{5})}{(\sqrt{6}+\sqrt{5})(\sqrt{6}-\sqrt{5})}=\sqrt{6}-\sqrt{5}$

归纳总结得: $\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} \quad(\mathrm{n} \geq 1)$
故答案为 $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$;
题目（八年级 · 算术）：( 9 分 ) 阅读下列解题过程:

$\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{4}}{(\sqrt{5})^{2}-\left(\sqrt{4)^{2}}\right.}=\sqrt{5}-\sqrt{4}=\sqrt{5}-2$

$\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{5}}{(\sqrt{6})^{2}-(\sqrt{5})^{2}}=\sqrt{6}-\sqrt{5}$

请回答下列问题:

（1）观察上面的解题过程, 请直接写出结果。 $\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=$ \$ \qquad \$ .

(2) 利用上面提供的信息请化简: $\frac{1}{\sqrt{2}+1}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}+\ldots \ldots+{ }^{\frac{1}{\sqrt{2016}+\sqrt{2015}}}$ 的值。
选项：
答案： (1) $\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$

(2) 解: 原式 $=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\ldots+\sqrt{2016}-\sqrt{2015}=\sqrt{2016}-1=12 \sqrt{14}-1$.

解: (1) $\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}{(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$

故答案为: $\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$.
解析： (1) $\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$

(2) 解: 原式 $=\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\ldots+\sqrt{2016}-\sqrt{2015}=\sqrt{2016}-1=12 \sqrt{14}-1$.

解: (1) $\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}{(\sqrt{n}+\sqrt{n-1})(\sqrt{n}-\sqrt{n-1})}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$

故答案为: $\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$.
题目（八年级 · 算术）：$(5 \text { 分 })^{\sqrt[3]{27}}-\frac{\sqrt{2} \times \sqrt{6}}{\sqrt{3}}$.
选项：
答案：解: 原式 $=3-{ }^{\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}}=3-\sqrt{4}=3-2=1$

解: 用二次根式的乘除法法则以及加减法则计算即可求解。即原式 $=3-\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=3-\sqrt{4}=3-2=1$,
解析：解: 原式 $=3-{ }^{\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}}=3-\sqrt{4}=3-2=1$

解: 用二次根式的乘除法法则以及加减法则计算即可求解。即原式 $=3-\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=3-\sqrt{4}=3-2=1$,
题目（八年级 · 算术）：(10 分) 计算或解方程

(1) 计算:

$$
\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}-(\sqrt{3} \pi)^{0}-\frac{\sqrt{20}-\sqrt{15}}{\sqrt{5}}-\sqrt{12}
$$

(2) 解方程: $9 x^{2}-6 x+1=0$
选项：
答案： (1) 原式 $=4-1-2+\sqrt{3}-2 \sqrt{3}$

$=-\sqrt{3}+1$

(2) $9 x^{2}-6 x+1=0$.

$(3 x-1)^{2}=0$,

$3 \mathrm{x}-1=0$,

解: $x_{1}=x_{2}=\frac{1}{3}$
解析： (1) 原式 $=4-1-2+\sqrt{3}-2 \sqrt{3}$

$=-\sqrt{3}+1$

(2) $9 x^{2}-6 x+1=0$.

$(3 x-1)^{2}=0$,

$3 \mathrm{x}-1=0$,

解: $x_{1}=x_{2}=\frac{1}{3}$
题目（八年级 · 算术）：计算.(1)$sqrt{20}-4sqrt{frac{1}{5}}+sqrt{5}$;$(2)(sqrt{2}+sqrt{6})^{2}-(sqrt{5}-sqrt{3})(sqrt{5}+sqrt{3})$.(3)$3left(sqrt{18}+frac{1}{5}sqrt{50}-4sqrt{frac{1}{2}}right)divsqrt{32}$.(4)$sqrt{24}divsqrt{frac{1}{2}}-(sqrt{6}+sqrt{2})^{2}+(pi-3)$0
选项：
答案：（1）直接化简二次根式，进而合并得出答案；(2)直接利用乘法公式化简,进而计算得出答案;（3）直接化简二次根式,再合并,进而结合二次根式的除法运算法则计算得出答案;（4）直接利用二次根式的除法运算法则、完全平方公式、零指数幂的性质分别化简,进而得出答案.【解析】解：（1）原式$=2sqrt{5}-4timesfrac{sqrt{5}}{5}+sqrt{5}$$=2sqrt{5}-frac{4sqrt{5}}{5}+sqrt{5}$$=frac{11sqrt{5}}{5}$(2)原式$=2+6+4sqrt{3}-(5-3)$$=2+6+4sqrt{3}-2$$=6+4sqrt{3}$(3)原式$=3left(3sqrt{2}+frac{1}{5}times5sqrt{2}-4timesfrac{sqrt{2}}{2}right)div4sqrt{2}$$=3(3sqrt{2}+sqrt{2}-2sqrt{2})div4sqrt{2}$$=6sqrt{2}div4sqrt{2}$$=frac{3}{2}$(4)原式$=sqrt{48}-(6+2+4sqrt{3})+1$$=4sqrt{3}-8-4sqrt{3}+1$$=-7$【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算,正确掌握相关运算法则化简二次根式是解题关键.
解析：（1）直接化简二次根式，进而合并得出答案；(2)直接利用乘法公式化简,进而计算得出答案;（3）直接化简二次根式,再合并,进而结合二次根式的除法运算法则计算得出答案;（4）直接利用二次根式的除法运算法则、完全平方公式、零指数幂的性质分别化简,进而得出答案.【解析】解：（1）原式$=2sqrt{5}-4timesfrac{sqrt{5}}{5}+sqrt{5}$$=2sqrt{5}-frac{4sqrt{5}}{5}+sqrt{5}$$=frac{11sqrt{5}}{5}$(2)原式$=2+6+4sqrt{3}-(5-3)$$=2+6+4sqrt{3}-2$$=6+4sqrt{3}$(3)原式$=3left(3sqrt{2}+frac{1}{5}times5sqrt{2}-4timesfrac{sqrt{2}}{2}right)div4sqrt{2}$$=3(3sqrt{2}+sqrt{2}-2sqrt{2})div4sqrt{2}$$=6sqrt{2}div4sqrt{2}$$=frac{3}{2}$(4)原式$=sqrt{48}-(6+2+4sqrt{3})+1$$=4sqrt{3}-8-4sqrt{3}+1$$=-7$【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算,正确掌握相关运算法则化简二次根式是解题关键.
题目（八年级 · 代数）：( 10 分 $)$ 解答题

(1) 解方程: $x^{2}-6 x+4=0$;

(2) 解不等式组

$$
\left\{\begin{array}{c}
3 x+1<2(x+2) \\
-\frac{x}{3} \leq \frac{5 x}{3}+2
\end{array}\right.
$$
选项：
答案： (1) $x=3 \pm \sqrt{5}$

(2) $x<3$

$x \geq-1$

$\therefore-1 \leq x<3$

【解析】 (1) 解： $\because \mathrm{b}^{2}-4 \mathrm{ac}=36-16=20$

$\therefore \mathrm{x}=\frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

$x=3 \pm \sqrt{5}$

故答案为: $x=3 \pm \sqrt{5}$
解析： (1) $x=3 \pm \sqrt{5}$

(2) $x<3$

$x \geq-1$

$\therefore-1 \leq x<3$

【解析】 (1) 解： $\because \mathrm{b}^{2}-4 \mathrm{ac}=36-16=20$

$\therefore \mathrm{x}=\frac{6 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

$x=3 \pm \sqrt{5}$

故答案为: $x=3 \pm \sqrt{5}$
题目（八年级 · 代数）：(5 分) 已知 $x=1$ 是关于 $\mathrm{x}$ 的方程 $x^{2}-m x-2 m^{2}=0$ 的一个根, 求 $m(2 m+1)$ 的值.
选项：
答案：解: $\because x=1$ 是关于 $\mathrm{x}$ 的方程 $x^{2}-m x-2 m^{2}=0$ 的一个根,

$\therefore 1-m-2 m^{2}=0$

$\therefore 2 m^{2}+m=1$.

$\therefore m(2 m+1)=2 m^{2}+m=1$
解析：解: $\because x=1$ 是关于 $\mathrm{x}$ 的方程 $x^{2}-m x-2 m^{2}=0$ 的一个根,

$\therefore 1-m-2 m^{2}=0$

$\therefore 2 m^{2}+m=1$.

$\therefore m(2 m+1)=2 m^{2}+m=1$
题目（八年级 · 代数）：(5 分 ) 关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+(2 k+1) x+k^{2}+1=0$ 有两个不等实根 $x_{1}, x_{2}$. 求实数 $k$ 的
取值范围.
选项：
答案：解答: $\because$ 原方程有两个不相等的实数根,

$\therefore \Delta=(2 \mathrm{k}+1)^{2}-4\left(\mathrm{k}^{2}+1\right)=4 \mathrm{k}^{2}+4 \mathrm{k}+1-4 \mathrm{k}^{2}-4=4 \mathrm{k}-3>0$,

解得: $k>\frac{3}{4}$
解析：解答: $\because$ 原方程有两个不相等的实数根,

$\therefore \Delta=(2 \mathrm{k}+1)^{2}-4\left(\mathrm{k}^{2}+1\right)=4 \mathrm{k}^{2}+4 \mathrm{k}+1-4 \mathrm{k}^{2}-4=4 \mathrm{k}-3>0$,

解得: $k>\frac{3}{4}$
题目（八年级 · 代数）：(10 分) 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+(k-1) x+k-2=0$.

(1) 求证: 方程总有两个实数根;

（2）任意写出一个 $k$ 值代入方程, 并求出此时方程的解.
选项：
答案： (1) 解: $\Delta=(k-1)^{2}-4(\mathrm{k}-2)$

$=k^{2}-6 k+9$

$=(k-3)^{2} \geq 0$

$\because \pm 0$,

$\therefore$ 方程总有两个实数根.

(2) 解: 当 $k=2$

$\therefore x^{2}+x=0$

解得 $x_{1}=0, x_{2}=-1$
解析： (1) 解: $\Delta=(k-1)^{2}-4(\mathrm{k}-2)$

$=k^{2}-6 k+9$

$=(k-3)^{2} \geq 0$

$\because \pm 0$,

$\therefore$ 方程总有两个实数根.

(2) 解: 当 $k=2$

$\therefore x^{2}+x=0$

解得 $x_{1}=0, x_{2}=-1$
题目（八年级 · 代数）：(5 分) 计算: $-3^{2}+6 \cos 45^{\circ}-\sqrt{2}(2-\sqrt{2})+|\sqrt{2}-3|$.
选项：
答案：解: $-3^{2}+6 \cos 45^{\circ}-\sqrt{2}(2-\sqrt{2})+|\sqrt{2}-3|=-9+6 \times \frac{\sqrt{2}}{2}-2 \sqrt{2}-2+3-\sqrt{2}$ $=-9+3 \sqrt{2}-2 \sqrt{2}+1-\sqrt{2}$

$=-8$
解析：解: $-3^{2}+6 \cos 45^{\circ}-\sqrt{2}(2-\sqrt{2})+|\sqrt{2}-3|=-9+6 \times \frac{\sqrt{2}}{2}-2 \sqrt{2}-2+3-\sqrt{2}$ $=-9+3 \sqrt{2}-2 \sqrt{2}+1-\sqrt{2}$

$=-8$
题目（八年级 · 代数）：(5 分) 已知 $m=\sqrt{3}-\sqrt{2}, n=\sqrt{3}+\sqrt{2}$, 求代数式 $m^{2}+m n+n^{2}$ 的值.
选项：
答案：解: 当 $m=\sqrt{3}-\sqrt{2}, n=\sqrt{3}+\sqrt{2}$ 时,

$$
\begin{aligned}
& m^{2}+m n+n^{2} \\
& =(m+n)^{2}-m n \\
& =(\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{3}-\sqrt{2}) \times(\sqrt{3}+\sqrt{2}) \\
& =(2 \sqrt{3})^{2}-\left[(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}\right] \\
& =12-(3-2) \\
& =12-1 \\
& =11
\end{aligned}
$$
解析：解: 当 $m=\sqrt{3}-\sqrt{2}, n=\sqrt{3}+\sqrt{2}$ 时,

$$
\begin{aligned}
& m^{2}+m n+n^{2} \\
& =(m+n)^{2}-m n \\
& =(\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{2})^{2}-(\sqrt{3}-\sqrt{2}) \times(\sqrt{3}+\sqrt{2}) \\
& =(2 \sqrt{3})^{2}-\left[(\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{2})^{2}\right] \\
& =12-(3-2) \\
& =12-1 \\
& =11
\end{aligned}
$$
题目（八年级 · 代数）：( 5 分 ) 先阅读下面材料, 然后再根据要求解答提出的问题:

设 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b}$ 是有理数, 且满足 $a+\sqrt{2} b=3-2 \sqrt{2}$, 求 $b^{a}$ 的值?

解: 由题意得: $(a-3)+(b+2) \sqrt{2}=0$ ，

因为 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b}$ 都是有理数,

所以 $a-3 、 b+2$ 也是有理数,

由于 $\sqrt{2}$ 是无理数,

所以 $\mathrm{a}-3=0 、 \mathrm{~b}+2=0$,

所以 $a=3 、 b=-2$,

所以 $b^{a}=(-2)^{3}=-8$,

问题: 设 $\mathrm{x} 、 \mathrm{y}$ 都是有理数, 且满足 $x^{2}-2 y+\sqrt{5} y=8+4 \sqrt{5}$, 求 $\mathrm{x}+\mathrm{y}$ 的值,
选项：
答案：解: $\because x^{2}-2 y+\sqrt{5} y=8+4 \sqrt{5}$

$\therefore\left(x^{2}-2 y-8\right)+(y-4) \sqrt{5}=0$

$\therefore x^{2}-2 y-8=0, y-4=0$

$\therefore x= \pm 4, y=4$

当 $x=4, y=4$ 时, $x+y=8$

当 $x=-4, y=4, x=-4, y=4$

即 $x+y$ 的值是 8 或 0 .
解析：解: $\because x^{2}-2 y+\sqrt{5} y=8+4 \sqrt{5}$

$\therefore\left(x^{2}-2 y-8\right)+(y-4) \sqrt{5}=0$

$\therefore x^{2}-2 y-8=0, y-4=0$

$\therefore x= \pm 4, y=4$

当 $x=4, y=4$ 时, $x+y=8$

当 $x=-4, y=4, x=-4, y=4$

即 $x+y$ 的值是 8 或 0 .
题目（八年级 · 代数）：(10 分) 用适当的方法解下列方程:

(1) $x^{2}+3 x-2=0$

(2) $(x-3)^{2}=2 x-6$
选项：
答案： (1) 解: $x^{2}+3 x-2=0$

$\because a=1, b=3, c=-2$,

$\therefore \Delta=3^{2}-4 \times 1 \times(-2)=17>0$

$\therefore x=\frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$

即: $x_{1}=\frac{-3+\sqrt{17}}{2} ， x_{2}=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$

(2) 解: $C(0,16)$

$(x-3)^{2}-(2 x-6)=0$

$(x-3)^{2}-2(x-3)=0$

$(x-3-2)(x-3)=0$
$(x-5)(x-3)=0$

$\therefore$ 解得: $x_{1}=3 ， x_{2}=5$

解: (1) 利用公式法求解可得;

(2) 移项后, 提取公因式 $x-3$, 再进一步求解可得;
解析： (1) 解: $x^{2}+3 x-2=0$

$\because a=1, b=3, c=-2$,

$\therefore \Delta=3^{2}-4 \times 1 \times(-2)=17>0$

$\therefore x=\frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$

即: $x_{1}=\frac{-3+\sqrt{17}}{2} ， x_{2}=\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$

(2) 解: $C(0,16)$

$(x-3)^{2}-(2 x-6)=0$

$(x-3)^{2}-2(x-3)=0$

$(x-3-2)(x-3)=0$
$(x-5)(x-3)=0$

$\therefore$ 解得: $x_{1}=3 ， x_{2}=5$

解: (1) 利用公式法求解可得;

(2) 移项后, 提取公因式 $x-3$, 再进一步求解可得;
题目（八年级 · 代数）：( 5 分 ) 计算:

$$
\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}+\cdots+\sqrt{1+\frac{1}{207^{2}}+\frac{1}{2018^{2}}}
$$
选项：
答案：解: $\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}+\cdots+\sqrt{1+\frac{1}{2017^{2}}+\frac{1}{208^{2}}}$

$$
\begin{aligned}
& =\frac{3}{2}+\frac{7}{6}+\frac{13}{12}+\cdots+1+\frac{1}{2017 \times 2018} \\
& =1+\frac{1}{2}+1+\frac{1}{6}+1+\frac{1}{12}+\cdots+1+\frac{1}{2017 \times 2018} \\
& =2017+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2017 \times 2018} \\
& =2017+1-\frac{1}{2018} \\
& =2017 \frac{2017}{2018}
\end{aligned}
$$
解析：解: $\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{3^{2}}+\frac{1}{4^{2}}}+\cdots+\sqrt{1+\frac{1}{2017^{2}}+\frac{1}{208^{2}}}$

$$
\begin{aligned}
& =\frac{3}{2}+\frac{7}{6}+\frac{13}{12}+\cdots+1+\frac{1}{2017 \times 2018} \\
& =1+\frac{1}{2}+1+\frac{1}{6}+1+\frac{1}{12}+\cdots+1+\frac{1}{2017 \times 2018} \\
& =2017+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2017 \times 2018} \\
& =2017+1-\frac{1}{2018} \\
& =2017 \frac{2017}{2018}
\end{aligned}
$$
题目（八年级 · 代数）：已知$x=sqrt{3}+1,y=sqrt{3}-1$,求下列各式的值:(1)$x^{2}+y^{2}$;(2)$2x^{2}+5xy+2y^{2}$.
选项：
答案：（1）利用完全平方公式,结合二次根式的加减法和乘除法运算法则计算$x+y,xy$的值,从而代入求值;（2）利用完全平方公式,结合二次根式的加减法和乘除法运算法则计算$x+y,xy$的值,从而代入求值.【解析】解:(1)原式$=(x+y)^{2}-2xy$,$becausex=sqrt{3}+1,quady=sqrt{3}-1$,$thereforex+y=sqrt{3}+1+sqrt{3}-1=2sqrt{3}$,$xy=(sqrt{3}+1)(sqrt{3}-1)=3-1=2$,$therefore$原式$=(2sqrt{3})^{2}-2times2$$=12-4$$=8$;(2)原式$=2left(x^{2}+2xy+y^{2}right)+xy$$=2(x+y)^{2}+xy$,$becausex=sqrt{3}+1,y=sqrt{3}-1$,$thereforex+y=sqrt{3}+1+sqrt{3}-1=2sqrt{3}$,$xy=(sqrt{3}+1)quad(sqrt{3}-1)=3-1=2$,$therefore$原式$=2times(2sqrt{3})^{2}+2$$=2times12+2$$=24+2$$=26$.【点睛】本题考查二次根式的混合运算,理解二次根式的性质,掌握完全平方公式$(a+b)^{2}=$$a^{2}+2ab+b^{2}$和平方差公式$(a+b)quad(a-b)=a^{2}-b^{2}$是解题关键.
解析：（1）利用完全平方公式,结合二次根式的加减法和乘除法运算法则计算$x+y,xy$的值,从而代入求值;（2）利用完全平方公式,结合二次根式的加减法和乘除法运算法则计算$x+y,xy$的值,从而代入求值.【解析】解:(1)原式$=(x+y)^{2}-2xy$,$becausex=sqrt{3}+1,quady=sqrt{3}-1$,$thereforex+y=sqrt{3}+1+sqrt{3}-1=2sqrt{3}$,$xy=(sqrt{3}+1)(sqrt{3}-1)=3-1=2$,$therefore$原式$=(2sqrt{3})^{2}-2times2$$=12-4$$=8$;(2)原式$=2left(x^{2}+2xy+y^{2}right)+xy$$=2(x+y)^{2}+xy$,$becausex=sqrt{3}+1,y=sqrt{3}-1$,$thereforex+y=sqrt{3}+1+sqrt{3}-1=2sqrt{3}$,$xy=(sqrt{3}+1)quad(sqrt{3}-1)=3-1=2$,$therefore$原式$=2times(2sqrt{3})^{2}+2$$=2times12+2$$=24+2$$=26$.【点睛】本题考查二次根式的混合运算,理解二次根式的性质,掌握完全平方公式$(a+b)^{2}=$$a^{2}+2ab+b^{2}$和平方差公式$(a+b)quad(a-b)=a^{2}-b^{2}$是解题关键.
题目（八年级 · 代数）：(1)在Rt$triangleABC$中,$angleC=Rtangle,AC=2sqrt{2},AB=3sqrt{2}$.求Rt$triangleABC$的周长和面积.(2)已知$a=sqrt{3}+sqrt{2},b=sqrt{3}-sqrt{2}$,求$a^{2}-ab+b^{2}$的值.
选项：
答案：（1）根据勾股定理和三角形的面积公式解答即可.(2)原式利用完全平方公式变形后,把$a$与$b$的值代入计算即可求出值.【解析】解:(1)在Rt$triangleABC$中,$angleC=Rtangle,AC=2sqrt{2},AB=3sqrt{2}$,$thereforeBC=sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=sqrt{10}$,$therefore$Rt$triangleABC$的周长$=2sqrt{2}+3sqrt{2}+sqrt{10}=5sqrt{2}+sqrt{10}$,Rt$triangleABC$的面积$=frac{1}{2}times2sqrt{2}timessqrt{10}=2sqrt{5}$.(2)$becausea=sqrt{3}+sqrt{2},quadb=sqrt{3}-sqrt{2}$,$thereforea+b=2sqrt{3},ab=1$,则原式$=(a+b)^{2}-3ab=12-3=9$.【点睛】此题考查了二次根式的化简求值,以及勾股定理的应用,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
解析：（1）根据勾股定理和三角形的面积公式解答即可.(2)原式利用完全平方公式变形后,把$a$与$b$的值代入计算即可求出值.【解析】解:(1)在Rt$triangleABC$中,$angleC=Rtangle,AC=2sqrt{2},AB=3sqrt{2}$,$thereforeBC=sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=sqrt{10}$,$therefore$Rt$triangleABC$的周长$=2sqrt{2}+3sqrt{2}+sqrt{10}=5sqrt{2}+sqrt{10}$,Rt$triangleABC$的面积$=frac{1}{2}times2sqrt{2}timessqrt{10}=2sqrt{5}$.(2)$becausea=sqrt{3}+sqrt{2},quadb=sqrt{3}-sqrt{2}$,$thereforea+b=2sqrt{3},ab=1$,则原式$=(a+b)^{2}-3ab=12-3=9$.【点睛】此题考查了二次根式的化简求值,以及勾股定理的应用,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
题目（八年级 · 代数）：已知$x,y$满足$y<sqrt{x-3}-sqrt{3-x}+5$,试化简$|y-5|-sqrt{y^{2}-12y+36}$.
选项：
答案：根据二次根式有意义的条件求出$x$,进而求出$y$,根据绝对值的性质、二次根式的性质计算,得到答案.【解析】解：由题意得,$x-3geqslant0,3-xgeqslant0$,解得:$x=3$,$thereforey<5$,则原式$=|y-5|-sqrt{(y-6)^{2}}=5-y-(6-y)=5-y-6+y=-1$.【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、绝对值的性质以及二次根式的性质,掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.
解析：根据二次根式有意义的条件求出$x$,进而求出$y$,根据绝对值的性质、二次根式的性质计算,得到答案.【解析】解：由题意得,$x-3geqslant0,3-xgeqslant0$,解得:$x=3$,$thereforey<5$,则原式$=|y-5|-sqrt{(y-6)^{2}}=5-y-(6-y)=5-y-6+y=-1$.【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件、绝对值的性质以及二次根式的性质,掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.
题目（八年级 · 代数）：观察与思考:(1)$2sqrt{frac{2}{3}}=sqrt{2+frac{2}{3}}$;(2)$3sqrt{frac{3}{8}}=sqrt{3+frac{3}{8}}$;(3)$4sqrt{frac{4}{15}}=sqrt{4+frac{4}{15}}$.式(1)验证:$2sqrt{frac{2}{3}}=sqrt{frac{2^{3}}{3}}=sqrt{frac{left(2^{3}-2right)+2}{2^{2}-1}}=sqrt{frac{2left(2^{2}-1right)+2}{2^{2}-1}}=sqrt{2+frac{2}{3}}$;式(2)验证:$sqrt[3]{frac{3}{8}}=sqrt{frac{3^{3}}{8}}=sqrt{frac{left(3^{3}-3right)+3}{3^{2}-1}}=sqrt{frac{3left(3^{2}-1right)+3}{3^{2}-1}}=sqrt{3+frac{3}{8}}$.（1）仿照上述式(1)、式(2)的验证过程,请写出式(3)的验证过程;(2)猜想$5sqrt{frac{5}{24}}=-sqrt{5+frac{5}{24}}-;$（3）试用含$n（n$为自然数,且$ngeqslant2）$的等式表示这一规律,并加以验证.
选项：
答案：(1)根据已知算式和二次根式的性质进行变形即可;(2)根据已知算式得出规律,再根据得出的规律得出答案即可;（3）根据已知规律得出算式,再根据二次根式的性质进行计算即可.【解析】解:(1)$4sqrt{frac{4}{15}}=sqrt{frac{4^{3}}{15}}=sqrt{frac{left(4^{3}-4right)+4}{4^{2}-1}}=sqrt{frac{4left(4^{2}-1right)+4}{4^{2}-1}}=sqrt{4+frac{4}{15}}$;(2)$sqrt[5]{frac{5}{24}}=sqrt{5+frac{5}{24}}$故答案为:$sqrt{5+frac{5}{24}}$;(3)$sqrt[n]{frac{n}{n^{2}-1}}=sqrt{n+frac{n}{n^{2}-1}}$证明:$sqrt[n]{frac{n}{n^{2}-1}}=sqrt{frac{n^{3}}{n^{2}-1}}=sqrt{frac{left(n^{3}-nright)+n}{n^{2}-1}}=sqrt{frac{nleft(n^{2}-1right)+n}{n^{2}-1}}=sqrt{n+frac{n}{n^{2}-1}}$.【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简,能根据已知算式得出规律是解此题的关键.
解析：(1)根据已知算式和二次根式的性质进行变形即可;(2)根据已知算式得出规律,再根据得出的规律得出答案即可;（3）根据已知规律得出算式,再根据二次根式的性质进行计算即可.【解析】解:(1)$4sqrt{frac{4}{15}}=sqrt{frac{4^{3}}{15}}=sqrt{frac{left(4^{3}-4right)+4}{4^{2}-1}}=sqrt{frac{4left(4^{2}-1right)+4}{4^{2}-1}}=sqrt{4+frac{4}{15}}$;(2)$sqrt[5]{frac{5}{24}}=sqrt{5+frac{5}{24}}$故答案为:$sqrt{5+frac{5}{24}}$;(3)$sqrt[n]{frac{n}{n^{2}-1}}=sqrt{n+frac{n}{n^{2}-1}}$证明:$sqrt[n]{frac{n}{n^{2}-1}}=sqrt{frac{n^{3}}{n^{2}-1}}=sqrt{frac{left(n^{3}-nright)+n}{n^{2}-1}}=sqrt{frac{nleft(n^{2}-1right)+n}{n^{2}-1}}=sqrt{n+frac{n}{n^{2}-1}}$.【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简,能根据已知算式得出规律是解此题的关键.
题目（八年级 · 代数）：阅读材料:小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方.如$3+2sqrt{2}=(1+sqrt{2})$2.善于思考的小明进行了以下探索：设$a+bsqrt{2}=(m+nsqrt{2})^{2}$(其中$a,b,m,n$均为整数),则有$a+bsqrt{2}=m^{2}+2n^{2}+2mnsqrt{2}$.故$a=m^{2}+2n^{2},b=2mn$,这样小明就找到了一种把类似$a+bsqrt{2}$的式子化为平方式的方法.请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:(1)当$a,b,m,n$均为正整数时,若$a+bsqrt{3}=(m+nsqrt{3})^{2}$,用含$m,n$的式子分别表示$a,b$,得$a=m^{2}+3n^{2},b=2mn$;(2)利用所探索的结论,找一组正整数$a,b,m,n$填空:$28+16quadsqrt{3}=(underline{4}+underline{2}$$sqrt{3})^{2};$(3)若$a+4sqrt{3}=(m+nsqrt{3})^{2}$,且$a,m,n$均为正整数,求$a$的值.
选项：
答案：(1)先根据完全平方公式展开,再得出$a、b$的值即可;(2)设$a+sqrt{3}=(m+sqrt{3})^{2}$,根据完全平方公式求出$(m+sqrt{3})^{2}=m^{2}+3+2msqrt{3}$,得出$2m=1$,$a=m^{2}+3$,再求出答案即可;（3）根据完全平方公式求出$(m+nsqrt{3})^{2}=m^{2}+3n^{2}+2mnsqrt{3}$,求出$2mn=4,a=m^{2}+3n^{2}$,求出$mn$$=2$,根据$m、n$为正整数得出$m=2,n=1$或$m=1,n=2$,再求出$a$即可.【解析】解:(1)$because(m+nsqrt{3})^{2}=m^{2}+3n^{2}+2mnsqrt{3}$,又$becausea+bsqrt{3}=(m+nsqrt{3})^{2}$,$thereforea=m^{2}+3n^{2},b=2mn$,故答案为:$m^{2}+3n^{2},2mn$;(2)设$a+bsqrt{3}=(m+nsqrt{3})^{2}$,$because(m+msqrt{3})^{2}=m^{2}+3n^{2}+2mmsqrt{3}$,$therefore2mn=b,a=m^{2}+3n^{2}$,取$n=2,m=4$,则$b=16,a=16+12=28$,故答案为:$28,16,4,2$;(3)$(m+nsqrt{3})^{2}=m^{2}+3n^{2}+2mnsqrt{3}$,$becausea+4sqrt{3}=(m+nsqrt{3})^{2}$,$therefore2mn=4,a=m^{2}+3n^{2}$,$thereforemn=2$,$becausem、n$都为正整数,$thereforem=2,n=1$或$m=1,n=2$,当$m=2,n=1$时,$a=2^{2}+3times1^{2}=4+3=7$;当$m=1,n=2$时,$a=1^{2}+3times2^{2}=1+12=13$,所以$a$的值是7或13.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和完全平方公式,能根据完全平方公式展开是解此题的关键，
解析：(1)先根据完全平方公式展开,再得出$a、b$的值即可;(2)设$a+sqrt{3}=(m+sqrt{3})^{2}$,根据完全平方公式求出$(m+sqrt{3})^{2}=m^{2}+3+2msqrt{3}$,得出$2m=1$,$a=m^{2}+3$,再求出答案即可;（3）根据完全平方公式求出$(m+nsqrt{3})^{2}=m^{2}+3n^{2}+2mnsqrt{3}$,求出$2mn=4,a=m^{2}+3n^{2}$,求出$mn$$=2$,根据$m、n$为正整数得出$m=2,n=1$或$m=1,n=2$,再求出$a$即可.【解析】解:(1)$because(m+nsqrt{3})^{2}=m^{2}+3n^{2}+2mnsqrt{3}$,又$becausea+bsqrt{3}=(m+nsqrt{3})^{2}$,$thereforea=m^{2}+3n^{2},b=2mn$,故答案为:$m^{2}+3n^{2},2mn$;(2)设$a+bsqrt{3}=(m+nsqrt{3})^{2}$,$because(m+msqrt{3})^{2}=m^{2}+3n^{2}+2mmsqrt{3}$,$therefore2mn=b,a=m^{2}+3n^{2}$,取$n=2,m=4$,则$b=16,a=16+12=28$,故答案为:$28,16,4,2$;(3)$(m+nsqrt{3})^{2}=m^{2}+3n^{2}+2mnsqrt{3}$,$becausea+4sqrt{3}=(m+nsqrt{3})^{2}$,$therefore2mn=4,a=m^{2}+3n^{2}$,$thereforemn=2$,$becausem、n$都为正整数,$thereforem=2,n=1$或$m=1,n=2$,当$m=2,n=1$时,$a=2^{2}+3times1^{2}=4+3=7$;当$m=1,n=2$时,$a=1^{2}+3times2^{2}=1+12=13$,所以$a$的值是7或13.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和完全平方公式,能根据完全平方公式展开是解此题的关键，
题目（八年级 · 代数）：己知:${x}=frac{1}{sqrt{3}+sqrt{2}},{y}=frac{1}{sqrt{3}-sqrt{2}}$,求下列代数式的值.(1)$x^{2}+y^{2}$;(2)$frac{y}{x}+frac{x}{y}$.
选项：
答案：(1)先求出$x=sqrt{3}-sqrt{2},y=sqrt{3}+sqrt{2}$,代入$x^{2}+y^{2}$求值;（2）先通分,再将$x+y=2sqrt{3},xy=1$,代入求值.【解析】解:$because{x}=sqrt{3}-sqrt{2},{y}=sqrt{3}+sqrt{2}$,$therefore{x}+{y}=2sqrt{3},quad{xy}=1$,(1)$x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy$$=(2sqrt{3})^{2}-2times1$$=10$;(2)$frac{y}{x}+frac{x}{y}=frac{x^{2}+y^{2}}{xy}$$=frac{10}{1}$$=10$.【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值,能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键.
解析：(1)先求出$x=sqrt{3}-sqrt{2},y=sqrt{3}+sqrt{2}$,代入$x^{2}+y^{2}$求值;（2）先通分,再将$x+y=2sqrt{3},xy=1$,代入求值.【解析】解:$because{x}=sqrt{3}-sqrt{2},{y}=sqrt{3}+sqrt{2}$,$therefore{x}+{y}=2sqrt{3},quad{xy}=1$,(1)$x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy$$=(2sqrt{3})^{2}-2times1$$=10$;(2)$frac{y}{x}+frac{x}{y}=frac{x^{2}+y^{2}}{xy}$$=frac{10}{1}$$=10$.【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值,能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键.
题目（八年级 · 代数）：观察下列各式:$2sqrt{frac{2}{3}}=sqrt{2+frac{2}{3}};3sqrt{frac{3}{8}}=sqrt{3+frac{3}{8}}$;$4sqrt{frac{4}{15}}=sqrt{4+frac{4}{15}}$（1）按上述两个等式的特征，请猜想$5sqrt{frac{5}{24}}=-sqrt{5+frac{5}{24}}$;（2）针对上述各式反映的规律,写出用$n(n$为自然数且$ngeqslant2)$表示的式子;(3)证明你在(2)中写的结论成立.
选项：
答案：(1)观察题干中式子可知$5sqrt{frac{5}{24}}=sqrt{5+frac{5}{24}}$,(2)由$sqrt{frac{2}{3}}=sqrt{2+frac{2}{3}}=sqrt{2+frac{2}{2^{2}-1}},3sqrt{frac{3}{8}}=sqrt{3+frac{3}{8}}=sqrt{3+frac{3}{3^{2}-1}},4sqrt{frac{4}{15}}=sqrt{4+frac{4}{15}}$$=sqrt{4+frac{4}{4^{2}-1}}$,故根据上述规律可知$nsqrt{frac{n}{n^{2}-1}}=sqrt{n+frac{n}{n^{2}-1}}$,（3）把二次根式外面的因式移到根号里面,变形即可.【解析】解:(1)总结规律可知$5sqrt{frac{5}{24}}=sqrt{5+frac{5}{24}}$,(2)由$2sqrt{frac{2}{3}}=sqrt{2+frac{2}{3}}=sqrt{2+frac{2}{2^{2}-1}},3sqrt{frac{3}{8}}=sqrt{3+frac{3}{8}}=sqrt{3+frac{3}{3^{2}-1}},4sqrt{frac{4}{15}}=sqrt{4+frac{4}{15}}$$=sqrt{4+frac{4}{4^{2}-1}}$,故根据上述规律可知$nsqrt{frac{{n}}{{n}^{2}-1}}=sqrt{{n}+frac{{n}}{{n}^{2}-1}}$,(3)理由:$sqrt[n]{frac{n}{n^{2}-1}}=sqrt{frac{n^{3}}{n^{2}-1}}=sqrt{frac{n^{3}-n+n}{n^{2}-1}}=sqrt{frac{nleft(n^{2}-1right)+n}{n^{2}-1}}=sqrt{n+frac{n}{n^{2}-1}}$,故结论成立.【点睛】本题主要考查二次根式的化简的知识点,找出等式规律很重要.
解析：(1)观察题干中式子可知$5sqrt{frac{5}{24}}=sqrt{5+frac{5}{24}}$,(2)由$sqrt{frac{2}{3}}=sqrt{2+frac{2}{3}}=sqrt{2+frac{2}{2^{2}-1}},3sqrt{frac{3}{8}}=sqrt{3+frac{3}{8}}=sqrt{3+frac{3}{3^{2}-1}},4sqrt{frac{4}{15}}=sqrt{4+frac{4}{15}}$$=sqrt{4+frac{4}{4^{2}-1}}$,故根据上述规律可知$nsqrt{frac{n}{n^{2}-1}}=sqrt{n+frac{n}{n^{2}-1}}$,（3）把二次根式外面的因式移到根号里面,变形即可.【解析】解:(1)总结规律可知$5sqrt{frac{5}{24}}=sqrt{5+frac{5}{24}}$,(2)由$2sqrt{frac{2}{3}}=sqrt{2+frac{2}{3}}=sqrt{2+frac{2}{2^{2}-1}},3sqrt{frac{3}{8}}=sqrt{3+frac{3}{8}}=sqrt{3+frac{3}{3^{2}-1}},4sqrt{frac{4}{15}}=sqrt{4+frac{4}{15}}$$=sqrt{4+frac{4}{4^{2}-1}}$,故根据上述规律可知$nsqrt{frac{{n}}{{n}^{2}-1}}=sqrt{{n}+frac{{n}}{{n}^{2}-1}}$,(3)理由:$sqrt[n]{frac{n}{n^{2}-1}}=sqrt{frac{n^{3}}{n^{2}-1}}=sqrt{frac{n^{3}-n+n}{n^{2}-1}}=sqrt{frac{nleft(n^{2}-1right)+n}{n^{2}-1}}=sqrt{n+frac{n}{n^{2}-1}}$,故结论成立.【点睛】本题主要考查二次根式的化简的知识点,找出等式规律很重要.