题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C=2, \angle B=40^{\circ}$, 点 $D$ 在线段 $B C$ 上运动

（ $D$ 不与 $B 、 C$ 重合）, 连接 $A D$, 作 $\angle A D E=40^{\circ}, D E$ 与 $A C$ 交于 $E$.

(1) 当 $\angle B D A=115^{\circ}$ 时, $\angle B A D=$ \$ \qquad \$ $\circ, \angle D E C=$ \$ \qquad \$ ;

当点 $D$ 从 $B$ 向 $C$ 运动时, $\angle B D A$ 逐渐变 \$ \qquad \$ (填”大”或”小”)；

（2）当 $D C=A B=2$ 时, $\triangle A B D$ 与 $\triangle D C E$ 是否全等？请说明理由:

(3) 在点 $D$ 的运动过程中, $\triangle A D E$ 的形状可以是等腰三角形吗?

若可以, 请直接写出 $\angle B D A$ 的度数; 若不可以, 请说明理由.


选项：
答案：解: (1) $\because \angle B=40^{\circ}, \angle A D B=115^{\circ}, A B=A C$,

$\therefore \angle B A D=180^{\circ}-40^{\circ}-115^{\circ}=25^{\circ}, \angle C=\angle B=40^{\circ}$;

$\because \angle A D E=40^{\circ}, \angle A D B=115^{\circ}$

$\therefore \angle E D C=180^{\circ}-\angle A D B-\angle A D E=180^{\circ}-115^{\circ}-40^{\circ}=25^{\circ}$.

$\therefore \angle D E C=180^{\circ}-40^{\circ}-25^{\circ}=115^{\circ}$,

当点 $D$ 从 $B$ 向 $C$ 运动时, $\angle B D A$ 逐渐变小,

故答案为: 25,115 , 小;

(2) 当 $D C=2$ 时, $\triangle A B D \cong \triangle D C E$, 理由如下:

理由: $\because \angle C=40^{\circ}$,

$\therefore \angle D E C+\angle E D C=140^{\circ}$,

又 $\because \angle A D E=40^{\circ} ，$
$\therefore \angle A D B+\angle E D C=140^{\circ}$,

$\therefore \angle A D B=\angle D E C$,

又 $\because A B=D C=2$,

$\therefore$ 在 $\triangle A B D$ 和 $\triangle D C E$ 中, $\left\{\begin{array}{l}\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{DEC} \\ \angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C} \\ \mathrm{AB}=\mathrm{DC}\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A B D \xlongequal{\triangle} \triangle D C E(\mathrm{AAS}) ;$

(3) 当 $\angle B D A$ 的度数为 $110^{\circ}$ 或 $80^{\circ}$ 时, $\triangle A D E$ 的形状是等腰三角形, 理由如下:

$\because$ 当 $\angle B D A=110^{\circ}$ 时,

$\therefore \angle A D C=70^{\circ}$,

$\because \angle C=40^{\circ}$

$\therefore \angle D A C=70^{\circ}$,

$\therefore \angle A E D=180^{\circ}-70^{\circ}-40^{\circ}=70^{\circ}$

$\therefore \angle A E D=\angle D A C$

$\therefore A D=D E$,

$\therefore \triangle A D E$ 是等腰三角形;

$\because$ 当 $\angle B D A$ 的度数为 $80^{\circ}$ 时,

$\therefore \angle A D C=100^{\circ}$,

$\because \angle C=40^{\circ}$,

$\therefore \angle D A C=40^{\circ}$,

$\therefore \angle D A C=\angle A D E$

$\therefore A E=D E$,

$\therefore \triangle A D E$ 是等腰三角形.

综上所述, 当 $\angle B D A$ 的度数为 $110^{\circ}$ 或 $80^{\circ}$ 时, $\triangle A D E$ 是等腰三角形.
解析：解: (1) $\because \angle B=40^{\circ}, \angle A D B=115^{\circ}, A B=A C$,

$\therefore \angle B A D=180^{\circ}-40^{\circ}-115^{\circ}=25^{\circ}, \angle C=\angle B=40^{\circ}$;

$\because \angle A D E=40^{\circ}, \angle A D B=115^{\circ}$

$\therefore \angle E D C=180^{\circ}-\angle A D B-\angle A D E=180^{\circ}-115^{\circ}-40^{\circ}=25^{\circ}$.

$\therefore \angle D E C=180^{\circ}-40^{\circ}-25^{\circ}=115^{\circ}$,

当点 $D$ 从 $B$ 向 $C$ 运动时, $\angle B D A$ 逐渐变小,

故答案为: 25,115 , 小;

(2) 当 $D C=2$ 时, $\triangle A B D \cong \triangle D C E$, 理由如下:

理由: $\because \angle C=40^{\circ}$,

$\therefore \angle D E C+\angle E D C=140^{\circ}$,

又 $\because \angle A D E=40^{\circ} ，$
$\therefore \angle A D B+\angle E D C=140^{\circ}$,

$\therefore \angle A D B=\angle D E C$,

又 $\because A B=D C=2$,

$\therefore$ 在 $\triangle A B D$ 和 $\triangle D C E$ 中, $\left\{\begin{array}{l}\angle \mathrm{ADB}=\angle \mathrm{DEC} \\ \angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{C} \\ \mathrm{AB}=\mathrm{DC}\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A B D \xlongequal{\triangle} \triangle D C E(\mathrm{AAS}) ;$

(3) 当 $\angle B D A$ 的度数为 $110^{\circ}$ 或 $80^{\circ}$ 时, $\triangle A D E$ 的形状是等腰三角形, 理由如下:

$\because$ 当 $\angle B D A=110^{\circ}$ 时,

$\therefore \angle A D C=70^{\circ}$,

$\because \angle C=40^{\circ}$

$\therefore \angle D A C=70^{\circ}$,

$\therefore \angle A E D=180^{\circ}-70^{\circ}-40^{\circ}=70^{\circ}$

$\therefore \angle A E D=\angle D A C$

$\therefore A D=D E$,

$\therefore \triangle A D E$ 是等腰三角形;

$\because$ 当 $\angle B D A$ 的度数为 $80^{\circ}$ 时,

$\therefore \angle A D C=100^{\circ}$,

$\because \angle C=40^{\circ}$,

$\therefore \angle D A C=40^{\circ}$,

$\therefore \angle D A C=\angle A D E$

$\therefore A E=D E$,

$\therefore \triangle A D E$ 是等腰三角形.

综上所述, 当 $\angle B D A$ 的度数为 $110^{\circ}$ 或 $80^{\circ}$ 时, $\triangle A D E$ 是等腰三角形.