题目（高二 · 解析几何）：已知椭圆的中心在原点, 焦点为 $(0,2 \sqrt{2})$, 且离心率为 $e=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$.

(1) 求椭圆的方程;

(2) 直线 (与坐标轴 不平行) 与椭圆交于不同的两点, 且线段中点的横坐标为 ${ }^{-\frac{1}{2}}$, 求直线倾斜角的取值范围.
选项：
答案：答案: <ImageHere>
$2 \sqrt{2}$, 所以 $\mathrm{b}=1$. 故所求椭圆方程为 $\frac{y^{2}}{9}+x^{2}=1$

(2)【解答】设直线的方程为 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+\mathrm{b}$, 代入椭圆方程 $\frac{y^{2}}{9}+x^{2}=1$ 整理得 $\left(k^{2}+9\right) \mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{~kb}+\mathrm{b}^{2}-9=0$, 设 $\mathrm{A}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right) \mathrm{B}\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right)$, 且线段 $\mathrm{AB}$ 中点的横坐标为 ${ }^{-\frac{1}{2}}$, 由题意得 $\left\{\begin{array}{c}\Delta=(2 k b)^{2}-4\left(k^{2}+9\right)\left(b^{2}-9\right)>0 \\ x_{1}+x_{2}=-\frac{2 k b}{k^{2}+9}=-1\end{array}\right.$解得 $k<-\sqrt{3}$ 或 $k>\sqrt{3}$.

又直线与坐标轴不平行, 故直线倾斜角的取值范围是 $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right) \cup\left(\frac{\pi}{2}, \frac{2 \pi}{3}\right)$

【解析】本题考查直线与圆雉曲线的位置关系、椭圆方程的求解, 考查学生分析解决问题的能力, (II ) 中由直线交椭圆于不同两点得不等式 $\triangle>0$, 由中点横坐标得一方程, 两者联立即可求得范围, 称为“方程不等式法”, 解题中注意应用.

22. 答案:(1) 解: 由题意可知: $F_{1}(-c, 0), B(-3 c, 0), M$ 的圆心坐标为 $F_{1}(-c, 0)$,

半径为 $2 \mathrm{c}$, 由直线 $x-\sqrt{3} y-3=0$ 与圆 $\mathrm{M}$ 相切, $\frac{|-c-3|}{\sqrt{1+(\sqrt{3})^{2}}}=2 c$, 解得: $c=1$,由 $A B \perp A F_{2}, \quad A O \perp B F_{1} ，$

由射影定理可知: $b^{2}=B O^{2}=B O \cdot O F_{2}=2 c \cdot c=3$, 即 $b^{2}=3$,

$\therefore \mathrm{a}^{2}=\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}=4$,

椭圆的方程 C: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$

（2）解：假设存在满足条件的点 $N\left(x_{0}, 0\right)$, 由题意可知: 直线 $l$ 的方程为 $y=k(x+1)(k \neq 0)$,设 $P\left(x_{1}, y_{1}\right), Q\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，
由 $\left\{\begin{array}{l}y=k(x+1) \\ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\end{array}\right.$,

$\therefore 3 \mathrm{x}^{2}+4 \mathrm{k}^{2}(\mathrm{x}+1)^{2}=12$,

$\therefore\left(3+4 k^{2}\right) x^{2}+8 k^{2} x+4 k^{2}-12=0$,

$\therefore \mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}=-\frac{8 k^{2}}{3+4 k^{2}}, \mathrm{x}_{1} \cdot \mathrm{x}_{2}=\frac{4 k^{2}-12}{3+4 k^{2}}$,

$\because N F_{1}$ 恰为 $\triangle P N Q$ 的内角平分线,

$$
\therefore \mathrm{k}_{\mathrm{NP}}=-\mathrm{k}_{\mathrm{MQ}} \quad, \quad \frac{y_{1}}{x_{1}-x_{0}}=-\frac{y_{2}}{x_{2}-x_{0}}
$$

$$
\therefore \frac{k\left(x_{1}+1\right)}{x_{1}-x_{0}}=-\frac{k\left(x_{2}+1\right)}{x_{2}-x_{1}}
$$

$\therefore\left(\mathrm{x}_{1}+1\right)\left(\mathrm{x}_{1}-\mathrm{x}_{0}\right)=-\left(\mathrm{x}_{2}+1\right)\left(\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{0}\right)$,

$$
\therefore x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}+2 x_{1} x_{2}}{x_{1}+x_{2}+2}=\frac{-\frac{8 k^{2}}{3+4 k^{2}}+\frac{8 k^{2}-24}{3+4 k^{2}}}{2-\frac{8 k^{2}}{3+4 k^{2}}}=-4
$$

$\therefore$ 存在点 $\mathrm{N}$ 的坐标为 $(-4,0)$

【解析】(1) 由题意可知: $F_{1}(-c, 0), M$ 的圆心坐标为 $F_{1}(-c, 0)$, 半径为 $2 c$, 根据点到直线的距离公式 $\frac{1-c-3 \mid}{\sqrt{1+(\sqrt{3})^{2}}}=2 c$, 即可求得 $c$ 的值, 由射影定理可知: $b^{2}=B O^{2}=B O \cdot O F_{2}=2 c \cdot c=3$,即可求得 $b^{2}=3$, 根据椭圆的性质即可求得 $a$ 的值, 求得椭圆方程; (2) 由题意可知设直线 $I$ 的方程

<ImageHere>
$\mathrm{NF}_{1}$ 恰为 $\triangle \mathrm{PNQ}$ 的内角平分线, 可知 $\mathrm{K}_{\mathrm{P} P}=-\mathrm{K}_{\mathrm{MQ}},{ }^{\frac{y_{1}}{x_{1}-x_{\mathrm{G}}}}=-\frac{y_{2}}{x_{2}-x_{0}}$, 整理求得 $\mathrm{x}_{0}={ }^{\frac{x_{1}+x_{2}+2 x_{1} x_{2}}{x_{1}+x_{2}+2}}=$ $\frac{-\frac{8 k^{2}}{2} \frac{8 k^{2}-24}{3+4 k^{2}} \frac{3+2 k^{2}}{3-4 k^{2}}}{2-\frac{8 k^{2}}{3+4 k^{2}}}=-4$, 即可求得点 $\mathrm{N}$ 的坐标
解析：答案: 
$2 \sqrt{2}$, 所以 $\mathrm{b}=1$. 故所求椭圆方程为 $\frac{y^{2}}{9}+x^{2}=1$

(2)【解答】设直线的方程为 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+\mathrm{b}$, 代入椭圆方程 $\frac{y^{2}}{9}+x^{2}=1$ 整理得 $\left(k^{2}+9\right) \mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{~kb}+\mathrm{b}^{2}-9=0$, 设 $\mathrm{A}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right) \mathrm{B}\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right)$, 且线段 $\mathrm{AB}$ 中点的横坐标为 ${ }^{-\frac{1}{2}}$, 由题意得 $\left\{\begin{array}{c}\Delta=(2 k b)^{2}-4\left(k^{2}+9\right)\left(b^{2}-9\right)>0 \\ x_{1}+x_{2}=-\frac{2 k b}{k^{2}+9}=-1\end{array}\right.$解得 $k<-\sqrt{3}$ 或 $k>\sqrt{3}$.

又直线与坐标轴不平行, 故直线倾斜角的取值范围是 $\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right) \cup\left(\frac{\pi}{2}, \frac{2 \pi}{3}\right)$

【解析】本题考查直线与圆雉曲线的位置关系、椭圆方程的求解, 考查学生分析解决问题的能力, (II ) 中由直线交椭圆于不同两点得不等式 $\triangle>0$, 由中点横坐标得一方程, 两者联立即可求得范围, 称为“方程不等式法”, 解题中注意应用.

22. 答案:(1) 解: 由题意可知: $F_{1}(-c, 0), B(-3 c, 0), M$ 的圆心坐标为 $F_{1}(-c, 0)$,

半径为 $2 \mathrm{c}$, 由直线 $x-\sqrt{3} y-3=0$ 与圆 $\mathrm{M}$ 相切, $\frac{|-c-3|}{\sqrt{1+(\sqrt{3})^{2}}}=2 c$, 解得: $c=1$,由 $A B \perp A F_{2}, \quad A O \perp B F_{1} ，$

由射影定理可知: $b^{2}=B O^{2}=B O \cdot O F_{2}=2 c \cdot c=3$, 即 $b^{2}=3$,

$\therefore \mathrm{a}^{2}=\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}=4$,

椭圆的方程 C: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$

（2）解：假设存在满足条件的点 $N\left(x_{0}, 0\right)$, 由题意可知: 直线 $l$ 的方程为 $y=k(x+1)(k \neq 0)$,设 $P\left(x_{1}, y_{1}\right), Q\left(x_{2}, y_{2}\right)$ ，
由 $\left\{\begin{array}{l}y=k(x+1) \\ \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1\end{array}\right.$,

$\therefore 3 \mathrm{x}^{2}+4 \mathrm{k}^{2}(\mathrm{x}+1)^{2}=12$,

$\therefore\left(3+4 k^{2}\right) x^{2}+8 k^{2} x+4 k^{2}-12=0$,

$\therefore \mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}=-\frac{8 k^{2}}{3+4 k^{2}}, \mathrm{x}_{1} \cdot \mathrm{x}_{2}=\frac{4 k^{2}-12}{3+4 k^{2}}$,

$\because N F_{1}$ 恰为 $\triangle P N Q$ 的内角平分线,

$$
\therefore \mathrm{k}_{\mathrm{NP}}=-\mathrm{k}_{\mathrm{MQ}} \quad, \quad \frac{y_{1}}{x_{1}-x_{0}}=-\frac{y_{2}}{x_{2}-x_{0}}
$$

$$
\therefore \frac{k\left(x_{1}+1\right)}{x_{1}-x_{0}}=-\frac{k\left(x_{2}+1\right)}{x_{2}-x_{1}}
$$

$\therefore\left(\mathrm{x}_{1}+1\right)\left(\mathrm{x}_{1}-\mathrm{x}_{0}\right)=-\left(\mathrm{x}_{2}+1\right)\left(\mathrm{x}_{2}-\mathrm{x}_{0}\right)$,

$$
\therefore x_{0}=\frac{x_{1}+x_{2}+2 x_{1} x_{2}}{x_{1}+x_{2}+2}=\frac{-\frac{8 k^{2}}{3+4 k^{2}}+\frac{8 k^{2}-24}{3+4 k^{2}}}{2-\frac{8 k^{2}}{3+4 k^{2}}}=-4
$$

$\therefore$ 存在点 $\mathrm{N}$ 的坐标为 $(-4,0)$

【解析】(1) 由题意可知: $F_{1}(-c, 0), M$ 的圆心坐标为 $F_{1}(-c, 0)$, 半径为 $2 c$, 根据点到直线的距离公式 $\frac{1-c-3 \mid}{\sqrt{1+(\sqrt{3})^{2}}}=2 c$, 即可求得 $c$ 的值, 由射影定理可知: $b^{2}=B O^{2}=B O \cdot O F_{2}=2 c \cdot c=3$,即可求得 $b^{2}=3$, 根据椭圆的性质即可求得 $a$ 的值, 求得椭圆方程; (2) 由题意可知设直线 $I$ 的方程


$\mathrm{NF}_{1}$ 恰为 $\triangle \mathrm{PNQ}$ 的内角平分线, 可知 $\mathrm{K}_{\mathrm{P} P}=-\mathrm{K}_{\mathrm{MQ}},{ }^{\frac{y_{1}}{x_{1}-x_{\mathrm{G}}}}=-\frac{y_{2}}{x_{2}-x_{0}}$, 整理求得 $\mathrm{x}_{0}={ }^{\frac{x_{1}+x_{2}+2 x_{1} x_{2}}{x_{1}+x_{2}+2}}=$ $\frac{-\frac{8 k^{2}}{2} \frac{8 k^{2}-24}{3+4 k^{2}} \frac{3+2 k^{2}}{3-4 k^{2}}}{2-\frac{8 k^{2}}{3+4 k^{2}}}=-4$, 即可求得点 $\mathrm{N}$ 的坐标