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题目（七年级 · 画法几何学）：将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠, $E F$ 为折痕, 点 $B$ 落在点 $G$ 处, $F H$ 平分 $\angle E F C$.

(1)如图1, 若点 $G$ 恰好落在 $F H$ 上, 求 $\angle B F E$ 的度数;

(2)如图 2 , 若 $\angle E F G=34^{\circ}$, 求 $\angle G F H$ 的度数.



图1



图2
选项：
答案：【答案】解：(1)由折叠可知 $\angle B F E=\angle E F G$,

$\because F H$ 平分 $\angle E F C$,

$\therefore \angle E F H=\angle H F C$.

$\therefore \angle B F E=\angle E F H=\angle H F C$,

$\because \angle B F E+\angle E F H+\angle H F C=180^{\circ}$,

$\therefore \angle B F E=60^{\circ}$.

(2)由折叠可知 $\angle B F E=\angle E F G$,

$\because \angle E F G=34^{\circ}$,

$\therefore \angle B F E=34^{\circ}, \angle E F C=180^{\circ}-34^{\circ}=146^{\circ}$,

$\because F H$ 平分 $\angle E F C$,

$\therefore \angle E F H=\frac{1}{2} \angle E F C=73^{\circ}$.

$\therefore \angle G F H=\angle E F H-\angle E F G=73^{\circ}-34^{\circ}=39^{\circ}$.
【解析】(1)根据折叠的性质可得 $\angle B F E=\angle E F G$, 再根据角平分线的性质以及平角的定义解答即可.

(2)根据折叠的性质可得 $\angle B F E=34^{\circ}$, 再根据角平分线的性质以及角的和差解答即可.本题主要考查了翻折变换及其应用, 灵活运用翻折变换的性质是解题的关键.
解析：【答案】解：(1)由折叠可知 $\angle B F E=\angle E F G$,

$\because F H$ 平分 $\angle E F C$,

$\therefore \angle E F H=\angle H F C$.

$\therefore \angle B F E=\angle E F H=\angle H F C$,

$\because \angle B F E+\angle E F H+\angle H F C=180^{\circ}$,

$\therefore \angle B F E=60^{\circ}$.

(2)由折叠可知 $\angle B F E=\angle E F G$,

$\because \angle E F G=34^{\circ}$,

$\therefore \angle B F E=34^{\circ}, \angle E F C=180^{\circ}-34^{\circ}=146^{\circ}$,

$\because F H$ 平分 $\angle E F C$,

$\therefore \angle E F H=\frac{1}{2} \angle E F C=73^{\circ}$.

$\therefore \angle G F H=\angle E F H-\angle E F G=73^{\circ}-34^{\circ}=39^{\circ}$.
【解析】(1)根据折叠的性质可得 $\angle B F E=\angle E F G$, 再根据角平分线的性质以及平角的定义解答即可.

(2)根据折叠的性质可得 $\angle B F E=34^{\circ}$, 再根据角平分线的性质以及角的和差解答即可.本题主要考查了翻折变换及其应用, 灵活运用翻折变换的性质是解题的关键.
题目（七年级 · 画法几何学）：在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, B D$ 是 $\triangle A B C$ 的角平分线, $P$ 是射线 $A C$ 上任意一点(不与

$A 、 D 、 C$ 三点重合), 过点 $P$ 作 $P Q \perp A B$, 垂足为 $Q$, 交直线 $B D$ 于 $E$.

(1)如图(1), 当点 $P$ 在线段 $A C$ 上时, 说明 $\angle P D E=\angle P E D$.

(2)作 $\angle C P Q$ 的角平分线交直线 $A B$ 于点 $F$, 则 $P F$ 与 $B D$ 有怎样的位置关系? 画出图形并说明理由.



图(1)



备用图
选项：
答案：解【答案】解: (1) $\because P Q \perp A B$,

$\therefore \angle E Q B=\angle C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B E Q+\angle E B Q=90^{\circ}, \angle C B D+\angle P D E=90^{\circ}$,

$\because B D$ 为 $\angle A B C$ 的平分线,

$\therefore \angle C B D=\angle E B Q$,

$\because \angle P E D=\angle B E Q$,

$\therefore \angle P D E=\angle P E D$;

(2)当 $P$ 在线段 $A C$ 上时, 如图1所示, 此时 $P F / / B D$,
<ImageHere>

理由为: $\because \angle P D E=\angle P E D$,

$\therefore P D=P E$,

$\because P F$ 为 $\angle C P Q$ 的平分线, $\angle C P Q$ 为 $\triangle P D E$ 的外角,
$\therefore \angle C P F=\angle Q P F=\angle P D E=\angle P E D$,

$\therefore P F / / B D$;

当 $P$ 在线段 $A C$ 延长线上时, 如图2所示, $P F \perp B D$,

理由为: $\because \angle P D E=\angle P E D$,

$\therefore P D=P E$,

$\because P M$ 为 $\angle C P Q$ 的平分线,

$\therefore P F \perp B D$.

【解析】(1)由 $P Q$ 与 $A B$ 垂直, 得到一对直角相等, 理由直角三角形的两锐角互余得到两对角互余, 再 $B D$ 为角平分线, 利用角平分线定义得到一对角相等, 再由对顶角相等,利用等量代换即可得证;

(2)分两种情况, 当 $P$ 在线段 $A C$ 上时, 如图1所示, 可得出 $P F$ 与 $B D$ 平行, 由第一问的结论利用等角对等边得到 $P D=P E$, 利用角平分线定义及外角性质得到一对内错角相等,利用内错角相等两直线平行即可得证; 当 $P$ 在 $A C$ 延长线时, $P F$ 垂直于 $B D$, 由 $P D=P E$,利用三线合一即可得证.

此题考查了平行线的判定, 以及直角三角形的性质, 熟练掌握平行线的判定是解本题的关键.
解析：解【答案】解: (1) $\because P Q \perp A B$,

$\therefore \angle E Q B=\angle C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B E Q+\angle E B Q=90^{\circ}, \angle C B D+\angle P D E=90^{\circ}$,

$\because B D$ 为 $\angle A B C$ 的平分线,

$\therefore \angle C B D=\angle E B Q$,

$\because \angle P E D=\angle B E Q$,

$\therefore \angle P D E=\angle P E D$;

(2)当 $P$ 在线段 $A C$ 上时, 如图1所示, 此时 $P F / / B D$,


理由为: $\because \angle P D E=\angle P E D$,

$\therefore P D=P E$,

$\because P F$ 为 $\angle C P Q$ 的平分线, $\angle C P Q$ 为 $\triangle P D E$ 的外角,
$\therefore \angle C P F=\angle Q P F=\angle P D E=\angle P E D$,

$\therefore P F / / B D$;

当 $P$ 在线段 $A C$ 延长线上时, 如图2所示, $P F \perp B D$,

理由为: $\because \angle P D E=\angle P E D$,

$\therefore P D=P E$,

$\because P M$ 为 $\angle C P Q$ 的平分线,

$\therefore P F \perp B D$.

【解析】(1)由 $P Q$ 与 $A B$ 垂直, 得到一对直角相等, 理由直角三角形的两锐角互余得到两对角互余, 再 $B D$ 为角平分线, 利用角平分线定义得到一对角相等, 再由对顶角相等,利用等量代换即可得证;

(2)分两种情况, 当 $P$ 在线段 $A C$ 上时, 如图1所示, 可得出 $P F$ 与 $B D$ 平行, 由第一问的结论利用等角对等边得到 $P D=P E$, 利用角平分线定义及外角性质得到一对内错角相等,利用内错角相等两直线平行即可得证; 当 $P$ 在 $A C$ 延长线时, $P F$ 垂直于 $B D$, 由 $P D=P E$,利用三线合一即可得证.

此题考查了平行线的判定, 以及直角三角形的性质, 熟练掌握平行线的判定是解本题的关键.
题目（七年级 · 画法几何学）：如图, 把一张长方形纸片 $A B C D$ 沿 $A F$ 折叠, 使 $B$ 点落在 $B^{\prime}$ 处, 若 $\angle A D B=20^{\circ}$, 那么 $\angle B A F$ 应为多少度时才能使 $A B^{\prime} / / B D ?$


选项：
答案：【答案】解: $\because$ 长方形纸片 $A B C D$ 沿 $A F$ 折叠, 使 $B$ 点落在 $B^{\prime}$ 处,

$\therefore \angle B^{\prime} A F=\angle B A F$,

$\because A B^{\prime} / / B D$,

$\therefore \angle B^{\prime} A D=\angle A D B=20^{\circ}$,

$\therefore \angle B^{\prime} A B=20^{\circ}+90^{\circ}=110^{\circ}$,

$\therefore \angle B A F=110^{\circ} \div 2=55^{\circ}$.

$\therefore \angle B A F$ 应为 55 度时才能使 $A B^{\prime} / / B D$ 。

【解析】根据折叠的性质得到 $\angle B^{\prime} A F=\angle B A F$, 要 $A B^{\prime} / / B D$, 则要有 $\angle B^{\prime} A D=\angle A D B=$ $20^{\circ}$, 从而得到 $\angle B^{\prime} A B=20^{\circ}+90^{\circ}=110^{\circ}$, 即可求出 $\angle B A F$.

本题考查了折叠的性质: 折叠前后两图形全等, 即对应角相等, 对应线段相等. 也考查了直线平行的判定.
解析：【答案】解: $\because$ 长方形纸片 $A B C D$ 沿 $A F$ 折叠, 使 $B$ 点落在 $B^{\prime}$ 处,

$\therefore \angle B^{\prime} A F=\angle B A F$,

$\because A B^{\prime} / / B D$,

$\therefore \angle B^{\prime} A D=\angle A D B=20^{\circ}$,

$\therefore \angle B^{\prime} A B=20^{\circ}+90^{\circ}=110^{\circ}$,

$\therefore \angle B A F=110^{\circ} \div 2=55^{\circ}$.

$\therefore \angle B A F$ 应为 55 度时才能使 $A B^{\prime} / / B D$ 。

【解析】根据折叠的性质得到 $\angle B^{\prime} A F=\angle B A F$, 要 $A B^{\prime} / / B D$, 则要有 $\angle B^{\prime} A D=\angle A D B=$ $20^{\circ}$, 从而得到 $\angle B^{\prime} A B=20^{\circ}+90^{\circ}=110^{\circ}$, 即可求出 $\angle B A F$.

本题考查了折叠的性质: 折叠前后两图形全等, 即对应角相等, 对应线段相等. 也考查了直线平行的判定.
题目（七年级 · 画法几何学）：已知: 如图, $A B / / C D, \angle 1=\angle 2$, 试判断 $\angle E$ 与 $\angle F$ 的大小关系, 并说明你的理由.


选项：
答案：【答案】解: $\angle E=\angle F$. 理由:

连接 $B C$,

$\because A B / / C D$,

<ImageHere>

$\therefore \angle A B C=\angle D C B$,

又 $\because \angle 1=\angle 2$,

$\therefore \angle E B C=\angle F C B$,

$\therefore B E / / C F$,
$\therefore \angle E=\angle F$.

【解析】连接 $B C$, 依据 $A B / / C D$, 可得 $\angle A B C=\angle D C B$, 进而得出 $\angle E B C=\angle F C B$, 即可得到 $B E / / C F$, 进而得到 $\angle E=\angle F$.

本题考查的是平行线的判定与性质, 利用两直线平行, 内错角相等是解答此题的关键.
解析：【答案】解: $\angle E=\angle F$. 理由:

连接 $B C$,

$\because A B / / C D$,



$\therefore \angle A B C=\angle D C B$,

又 $\because \angle 1=\angle 2$,

$\therefore \angle E B C=\angle F C B$,

$\therefore B E / / C F$,
$\therefore \angle E=\angle F$.

【解析】连接 $B C$, 依据 $A B / / C D$, 可得 $\angle A B C=\angle D C B$, 进而得出 $\angle E B C=\angle F C B$, 即可得到 $B E / / C F$, 进而得到 $\angle E=\angle F$.

本题考查的是平行线的判定与性质, 利用两直线平行, 内错角相等是解答此题的关键.
题目（七年级 · 组合几何学）：如图, 已知 $\angle 1=\angle 2, \angle 3=\angle 4$, 可以判定哪两条直线平行?


选项：
答案：解【答案】解: $\because \angle 1=\angle 2$,

$\therefore A B / / C D$,

$\because \angle 3=\angle 4$,

$\therefore A D / / B C$,

故可以判定 $A B / / C D, A D / / B C$.

【解析】根据内错角相等, 两直线平行解答.

本题考查了平行线的判定, 准确判断出形成角的截线与被截线是解题的关键.
解析：解【答案】解: $\because \angle 1=\angle 2$,

$\therefore A B / / C D$,

$\because \angle 3=\angle 4$,

$\therefore A D / / B C$,

故可以判定 $A B / / C D, A D / / B C$.

【解析】根据内错角相等, 两直线平行解答.

本题考查了平行线的判定, 准确判断出形成角的截线与被截线是解题的关键.
题目（七年级 · 组合几何学）：在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, B D$ 是 $\triangle A B C$ 的角平分线, $P$ 是射线 $A C$ 上任意一点(不与 $A 、 D 、 C$ 三点重合), 过点 $P$ 作 $P Q \perp A B$, 垂足为 $Q$, 交直线 $B D$ 于 $E$.

(1)如图(1), 当点 $P$ 在线段 $A C$ 上时, 说明 $\angle P D E=\angle P E D$.

(2)作 $\angle C P Q$ 的角平分线交直线 $A B$ 于点 $F$, 则 $P F$ 与 $B D$ 有怎样的位置关系？画出图形并说明理由.



图(1)


选项：
答案：【答案】解: (1) $\because P Q \perp A B$,

$\therefore \angle E Q B=\angle C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B E Q+\angle E B Q=90^{\circ}, \angle C B D+\angle P D E=90^{\circ}$,

$\because B D$ 为 $\angle A B C$ 的平分线,

$\therefore \angle C B D=\angle E B Q$,

$\because \angle P E D=\angle B E Q$,

$\therefore \angle P D E=\angle P E D$;

(2)当 $P$ 在线段 $A C$ 上时, 如图1所示, 此时 $P F / / B D$,
<ImageHere>

理由为: $\because \angle P D E=\angle P E D$,

$\therefore P D=P E$,

$\because P F$ 为 $\angle C P Q$ 的平分线, $\angle C P Q$ 为 $\triangle P D E$ 的外角,

$\therefore \angle C P F=\angle Q P F=\angle P D E=\angle P E D$,

$\therefore P F / / B D$;

当 $P$ 在线段 $A C$ 延长线上时, 如图2所示, $P F \perp B D$,

理由为: $\because \angle P D E=\angle P E D$,

$\therefore P D=P E$,

$\because P M$ 为 $\angle C P Q$ 的平分线,

$\therefore P F \perp B D$.

【解析】(1)由 $P Q$ 与 $A B$ 垂直, 得到一对直角相等, 理由直角三角形的两锐角互余得到两对角互余, 再 $B D$ 为角平分线, 利用角平分线定义得到一对角相等, 再由对顶角相等,利用等量代换即可得证;

(2)分两种情况, 当 $P$ 在线段 $A C$ 上时, 如图1所示, 可得出 $P F$ 与 $B D$ 平行, 由第一问的结论利用等角对等边得到 $P D=P E$, 利用角平分线定义及外角性质得到一对内错角相等,利用内错角相等两直线平行即可得证; 当 $P$ 在 $A C$ 延长线时, $P F$ 垂直于 $B D$, 由 $P D=P E$,利用三线合一即可得证.

此题考查了平行线的判定, 以及直角三角形的性质, 熟练掌握平行线的判定是解本题的关键.
解析：【答案】解: (1) $\because P Q \perp A B$,

$\therefore \angle E Q B=\angle C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B E Q+\angle E B Q=90^{\circ}, \angle C B D+\angle P D E=90^{\circ}$,

$\because B D$ 为 $\angle A B C$ 的平分线,

$\therefore \angle C B D=\angle E B Q$,

$\because \angle P E D=\angle B E Q$,

$\therefore \angle P D E=\angle P E D$;

(2)当 $P$ 在线段 $A C$ 上时, 如图1所示, 此时 $P F / / B D$,


理由为: $\because \angle P D E=\angle P E D$,

$\therefore P D=P E$,

$\because P F$ 为 $\angle C P Q$ 的平分线, $\angle C P Q$ 为 $\triangle P D E$ 的外角,

$\therefore \angle C P F=\angle Q P F=\angle P D E=\angle P E D$,

$\therefore P F / / B D$;

当 $P$ 在线段 $A C$ 延长线上时, 如图2所示, $P F \perp B D$,

理由为: $\because \angle P D E=\angle P E D$,

$\therefore P D=P E$,

$\because P M$ 为 $\angle C P Q$ 的平分线,

$\therefore P F \perp B D$.

【解析】(1)由 $P Q$ 与 $A B$ 垂直, 得到一对直角相等, 理由直角三角形的两锐角互余得到两对角互余, 再 $B D$ 为角平分线, 利用角平分线定义得到一对角相等, 再由对顶角相等,利用等量代换即可得证;

(2)分两种情况, 当 $P$ 在线段 $A C$ 上时, 如图1所示, 可得出 $P F$ 与 $B D$ 平行, 由第一问的结论利用等角对等边得到 $P D=P E$, 利用角平分线定义及外角性质得到一对内错角相等,利用内错角相等两直线平行即可得证; 当 $P$ 在 $A C$ 延长线时, $P F$ 垂直于 $B D$, 由 $P D=P E$,利用三线合一即可得证.

此题考查了平行线的判定, 以及直角三角形的性质, 熟练掌握平行线的判定是解本题的关键.
题目（七年级 · 组合几何学）：装饰公司为小明家设计电视背景墙时需要 $A 、 B$ 型板材若干块, $A$ 型板材规格是 $a \times b$, $B$ 型板材规格是 $b \times b$. 现只能购得规格是 $150 \times b$ 的标准板材. (单位: $\mathrm{cm}$ )

(1)若设 $a=60 \mathrm{~cm}, b=30 \mathrm{~cm}$.一张标准板材尽可能多的裁出 $A$ 型、 $B$ 型板材, 共有如表三种裁法，如图1是裁法一的裁剪示意图.

|  | 裁法一 | 裁法二 | 裁法三 |
| :--- | :---: | :--- | :--- |
| $A$ 型板材块数 | 1 | 2 | 0 |
| $B$ 型板材块数 | 3 | $m$ | $n$ |

则表中, $m=$ $\qquad$ , $n=$ ; $\qquad$
(2)为了装修的需要, 小明家又购买了若干 $C$ 型板材, 其规格是 $a \times a$, 并做成如图 2 的背景墙. 请写出图中所表示的等式: $\qquad$ ;

(3)若给定一个二次三项式 $2 a^{2}+5 a b+3 b^{2}$, 试用拼图的方式将其因式分解. (请仿照(2)在几何图形中标上有关数量)



图1



图2
选项：
答案：【答案】 $15(a+2 b)^{2}=a^{2}+4 a b+4 b^{2}$

【解析】解：(1)根据题意得, $2 \times 60 \times 30+30^{2} \mathrm{~m}=150 \times 30,30^{2} n=150 \times 30$解得, $m=1, n=5$,

故答案为: 1 ; 5 ;

(2) $\because$ 正方形的边长为 $(a+2 b)$,

$\therefore$ 正方形的面积为 $(a+2 b)^{2}$;

$\because$ 正方形的面积等于各部分面积和 $=a^{2}+4 a b+4 b^{2}$;

$\therefore(a+2 b)^{2}=a^{2}+4 a b+4 b^{2}$,

故答案为: $(a+2 b)^{2}=a^{2}+4 a b+4 b^{2}$;

(3)画出矩形, 其长为 $2 a+3 b$, 宽为 $a+b$, 如图,

<ImageHere>

由图形可知, $2 a^{2}+5 a b+3 b^{2}=(2 a+3 b)(a+b)$.

(1)根据矩形的面积列出 $m$ 或 $n$ 的方程, 再解答便可;

(2)用正方形的面积公式表示出图形的面积, 用各部分面积和表示出图形的面积, 进而用等式表示出相等关系便可;

(3)仿样例画出长方形, 其长为 $2 a+3 b$, 宽为 $a+b$, 结合图形便可得出结果.

本题考查了因式分解的应用：利用图形验证乘法公式，关键是读懂题意，正确画出图形和列出方程.
解析：【答案】 $15(a+2 b)^{2}=a^{2}+4 a b+4 b^{2}$

【解析】解：(1)根据题意得, $2 \times 60 \times 30+30^{2} \mathrm{~m}=150 \times 30,30^{2} n=150 \times 30$解得, $m=1, n=5$,

故答案为: 1 ; 5 ;

(2) $\because$ 正方形的边长为 $(a+2 b)$,

$\therefore$ 正方形的面积为 $(a+2 b)^{2}$;

$\because$ 正方形的面积等于各部分面积和 $=a^{2}+4 a b+4 b^{2}$;

$\therefore(a+2 b)^{2}=a^{2}+4 a b+4 b^{2}$,

故答案为: $(a+2 b)^{2}=a^{2}+4 a b+4 b^{2}$;

(3)画出矩形, 其长为 $2 a+3 b$, 宽为 $a+b$, 如图,



由图形可知, $2 a^{2}+5 a b+3 b^{2}=(2 a+3 b)(a+b)$.

(1)根据矩形的面积列出 $m$ 或 $n$ 的方程, 再解答便可;

(2)用正方形的面积公式表示出图形的面积, 用各部分面积和表示出图形的面积, 进而用等式表示出相等关系便可;

(3)仿样例画出长方形, 其长为 $2 a+3 b$, 宽为 $a+b$, 结合图形便可得出结果.

本题考查了因式分解的应用：利用图形验证乘法公式，关键是读懂题意，正确画出图形和列出方程.
题目（七年级 · 组合几何学）：如图, 在三角形 $A B C$ 中, $D, E, F$ 分别是三边上的点, 且 $D E$ 平分 $\angle A D F, D E / / B C$. 若 $\angle B=50^{\circ}$, 求 $\angle B D F$ 的度数.


选项：
答案：【答案】解: $\because D E / / B C, \angle B=50^{\circ}$,

$\therefore \angle A D E=\angle B=50^{\circ}$,

$\because D E$ 平分 $\angle A D F$,

$\therefore \angle A D F=2 \angle A D E=100^{\circ}$,

$\therefore \angle B D F=180^{\circ}-\angle A D F=80^{\circ}$.

【解析】由 $D E / / B C$ 得出 $\angle A D E=\angle B=50^{\circ}$, 再利用角平分线的定义得出 $\angle A D F$ 度数,最后利用邻补角概念可得答案.

本题主要考查平行线的性质, 解题的关键是掌握两直线平行同位角相等的性质.
解析：【答案】解: $\because D E / / B C, \angle B=50^{\circ}$,

$\therefore \angle A D E=\angle B=50^{\circ}$,

$\because D E$ 平分 $\angle A D F$,

$\therefore \angle A D F=2 \angle A D E=100^{\circ}$,

$\therefore \angle B D F=180^{\circ}-\angle A D F=80^{\circ}$.

【解析】由 $D E / / B C$ 得出 $\angle A D E=\angle B=50^{\circ}$, 再利用角平分线的定义得出 $\angle A D F$ 度数,最后利用邻补角概念可得答案.

本题主要考查平行线的性质, 解题的关键是掌握两直线平行同位角相等的性质.
题目（七年级 · 度量几何学）：如图所示, 已知 $A B / / C D, F H$ 平分 $\angle E F D, F G \perp F H$, $\angle A E F=62^{\circ}$, 求 $\angle G F C$ 的度数.


选项：
答案：【答案】解: $\because A B / / C D, \angle A E F=62^{\circ}$,

$\therefore \angle E F D=\angle A E F=62^{\circ}, \angle C F E=180^{\circ}-\angle A E F=180^{\circ}-62^{\circ}=118^{\circ}$;

$\because F H$ 平分 $\angle E F D$,

$\therefore \angle E F H=\frac{1}{2} \angle E F D=\frac{1}{2} \times 62^{\circ}=31^{\circ}$;

又 $\because F G \perp F H$,

$\therefore \angle G F E=90^{\circ}-\angle E F H=90^{\circ}-31^{\circ}=59^{\circ}$,

$\therefore \angle G F C=\angle C F E-\angle G F E=118^{\circ}-59^{\circ}=59^{\circ}$.

【解析】根据平行线的性质, 结合角平分线的定义和垂线的定义求解.

此题考查的是平行线的性质，即两直线平行内错角相等，同旁内角互补.
解析：【答案】解: $\because A B / / C D, \angle A E F=62^{\circ}$,

$\therefore \angle E F D=\angle A E F=62^{\circ}, \angle C F E=180^{\circ}-\angle A E F=180^{\circ}-62^{\circ}=118^{\circ}$;

$\because F H$ 平分 $\angle E F D$,

$\therefore \angle E F H=\frac{1}{2} \angle E F D=\frac{1}{2} \times 62^{\circ}=31^{\circ}$;

又 $\because F G \perp F H$,

$\therefore \angle G F E=90^{\circ}-\angle E F H=90^{\circ}-31^{\circ}=59^{\circ}$,

$\therefore \angle G F C=\angle C F E-\angle G F E=118^{\circ}-59^{\circ}=59^{\circ}$.

【解析】根据平行线的性质, 结合角平分线的定义和垂线的定义求解.

此题考查的是平行线的性质，即两直线平行内错角相等，同旁内角互补.
题目（七年级 · 度量几何学）：如图, 一条铁路修到一个村子边时, 需拐弯绕道而过,如果第一次拐的角 $\angle A$ 是 105 度, 第二次拐的角 $\angle B$ 是 135 度, 第三次拐的角是 $\angle C$, 这时的道路恰好和第一次拐弯


之前的道路平行, 那么 $\angle C$ 应为多少度?
选项：
答案：【答案】解: 过点 $B$ 作直线 $B E / / C D$.

$\because C D / / A F$,

$\therefore B E / / C D / / A F$.

$\therefore \angle A=\angle A B E=105^{\circ}$.

$\therefore \angle C B E=\angle A B C-\angle A B E=30^{\circ}$.
又 $\because B E / / C D$,

$\therefore \angle C B E+\angle C=180^{\circ}$.

$\therefore \angle C=150^{\circ}$.

【解析】过点 $B$ 作直线 $B E / / C D$, 用 “两直线平行内错角相等” 和 “两直线平行同旁内角互补”解答.

此题是一道生活实际问题, 根据题目信息, 转化为关于平行线性质的数学问题.
解析：【答案】解: 过点 $B$ 作直线 $B E / / C D$.

$\because C D / / A F$,

$\therefore B E / / C D / / A F$.

$\therefore \angle A=\angle A B E=105^{\circ}$.

$\therefore \angle C B E=\angle A B C-\angle A B E=30^{\circ}$.
又 $\because B E / / C D$,

$\therefore \angle C B E+\angle C=180^{\circ}$.

$\therefore \angle C=150^{\circ}$.

【解析】过点 $B$ 作直线 $B E / / C D$, 用 “两直线平行内错角相等” 和 “两直线平行同旁内角互补”解答.

此题是一道生活实际问题, 根据题目信息, 转化为关于平行线性质的数学问题.
题目（七年级 · 度量几何学）：一个长方形的长、宽分别为 $a(\mathrm{~cm}), b(\mathrm{~cm})$, 如果将长方形的长和宽各增加 $2 \mathrm{~cm}$.

(1)问: 新长方形的面积比原长方形的面积增加了多少?

(2)如果新长方形的面积是原长方形面积的 2 倍, 求 $(a-2)(b-2)$ 的值.
选项：
答案：【答案】解：(1)原长方形面积 $=a b$,

新长方形面积 $=(a+2)(b+2)$,

$=a b+2 a+2 b+4$,

$\therefore$ 新长方形的面积比原长方形的面积增加:

$(a+2)(b+2)-a b$

$=a b+2 a+2 b+4-a b$,

$=2 a+2 b+4$

(2) $\because$ 新长方形的面积是原长方形面积的 2 倍,

$\therefore(a+2)(b+2)=2 a b$,

整理得: $2 a+2 b+4=a b$,

$\therefore(a-2)(b-2)$,

$=a b-2 a-2 b+4$,

$=2 a+2 b+4-2 a-2 b+4$,

$=8$.
【解析】本题考查了整式的混合运算, 弄清题意是解本题的关键.

(1)根据题意可得新长方形的长为 $(a+2) \mathrm{cm}$, 宽为 $(b+2) \mathrm{cm}$, 再根据长方形的面积公式列出代数式, 再根据整式混合运算法则进行化简即可;

(2)根据 “新长方形的面积是原长方形面积的2倍” 可得 $(a+2)(b+2)=2 a b$, 可得 $a+2 b+4=a b$, 再根据多项式乘多项式运算法则把 $(a-2)(b-2)$ 化简, 再把 $a+2 b+$ $4=a b$ 代入计算即可.
解析：【答案】解：(1)原长方形面积 $=a b$,

新长方形面积 $=(a+2)(b+2)$,

$=a b+2 a+2 b+4$,

$\therefore$ 新长方形的面积比原长方形的面积增加:

$(a+2)(b+2)-a b$

$=a b+2 a+2 b+4-a b$,

$=2 a+2 b+4$

(2) $\because$ 新长方形的面积是原长方形面积的 2 倍,

$\therefore(a+2)(b+2)=2 a b$,

整理得: $2 a+2 b+4=a b$,

$\therefore(a-2)(b-2)$,

$=a b-2 a-2 b+4$,

$=2 a+2 b+4-2 a-2 b+4$,

$=8$.
【解析】本题考查了整式的混合运算, 弄清题意是解本题的关键.

(1)根据题意可得新长方形的长为 $(a+2) \mathrm{cm}$, 宽为 $(b+2) \mathrm{cm}$, 再根据长方形的面积公式列出代数式, 再根据整式混合运算法则进行化简即可;

(2)根据 “新长方形的面积是原长方形面积的2倍” 可得 $(a+2)(b+2)=2 a b$, 可得 $a+2 b+4=a b$, 再根据多项式乘多项式运算法则把 $(a-2)(b-2)$ 化简, 再把 $a+2 b+$ $4=a b$ 代入计算即可.
题目（七年级 · 度量几何学）：如图, 某市有一块长为 $(3 a+b)$ 米, 宽为 $(2 a+b)$ 米的长方形地块, 规划部门计划将阴影部分进行绿化, 中间将修建一座雕像, 则绿化的面积是多少平方米? 并求出当 $a=6, b=4$ 时的绿化面积.


选项：
答案：解【答案】解: $S{\text {阴影 }}=(3 a+b)(2 a+b)-(a+b)^{2}$

$$
=6 a^{2}+3 a b+2 a b+b^{2}-a^{2}-2 a b-b^{2}
$$

$=5 a^{2}+3 a b($ 平方米 $)$,

当 $a=6, b=4$ 时,

$5 a^{2}+3 a b=5 \times 36+3 \times 6 \times 4=180+72=252$ (平方米).

【解析】本题考查了列代数式、代数式求值、整式的混合运算, 准确列出阴影部分面积的表达式是解题的关键.

长方形的面积 $=(3 a+b)(2 a+b)$, 中间部分面积 $(a+b)(a+b)$, 阴影部分面积等于长方形面积-中间部分面积，化简出结果后，把 $a 、 b$ 的值代入计算.
解析：解【答案】解: $S{\text {阴影 }}=(3 a+b)(2 a+b)-(a+b)^{2}$

$$
=6 a^{2}+3 a b+2 a b+b^{2}-a^{2}-2 a b-b^{2}
$$

$=5 a^{2}+3 a b($ 平方米 $)$,

当 $a=6, b=4$ 时,

$5 a^{2}+3 a b=5 \times 36+3 \times 6 \times 4=180+72=252$ (平方米).

【解析】本题考查了列代数式、代数式求值、整式的混合运算, 准确列出阴影部分面积的表达式是解题的关键.

长方形的面积 $=(3 a+b)(2 a+b)$, 中间部分面积 $(a+b)(a+b)$, 阴影部分面积等于长方形面积-中间部分面积，化简出结果后，把 $a 、 b$ 的值代入计算.
题目（七年级 · 度量几何学）：如图, $D E \perp E B$ 于点 $E, \angle 1=\angle C, \angle 2$ 与 $\angle C$ 互为余角, 判断 $D E$ 与 $B C$ 是否平行, 并说明理由.


选项：
答案：【答案】解: $D E / / B C$,

$\because \angle 2$ 与 $\angle C$ 互为余角,

$\therefore \angle 2+\angle C=90^{\circ}$,

$\because \angle 1=\angle C$,

$\therefore \angle 2+\angle 1=90^{\circ}$,

$\because D E \perp E B$,

$\therefore \angle E=90^{\circ}$,

$\therefore \angle E+\angle 1+\angle 2=180^{\circ}$,

即 $\angle E+\angle E B C=180^{\circ}$,

$\therefore D E / / B C$.

【解析】由 $\angle 1=\angle C, \angle 2$ 与 $\angle C$ 互为余角, 利用互余的定义和等量代换可得 $\angle 1+\angle 2=90^{\circ}$,由垂直的定义得可得 $\angle E=90^{\circ}, \angle E+\angle 1+\angle 2=\angle E+\angle E B C=180^{\circ}$, 利用平行线的判定定理可得结论.

本题主要考查了互余的定义, 垂直的定义和平行线的判定, 利用平行线的判定定理 “同旁内角互补, 两直线平行” 是解答此题的关键.
解析：【答案】解: $D E / / B C$,

$\because \angle 2$ 与 $\angle C$ 互为余角,

$\therefore \angle 2+\angle C=90^{\circ}$,

$\because \angle 1=\angle C$,

$\therefore \angle 2+\angle 1=90^{\circ}$,

$\because D E \perp E B$,

$\therefore \angle E=90^{\circ}$,

$\therefore \angle E+\angle 1+\angle 2=180^{\circ}$,

即 $\angle E+\angle E B C=180^{\circ}$,

$\therefore D E / / B C$.

【解析】由 $\angle 1=\angle C, \angle 2$ 与 $\angle C$ 互为余角, 利用互余的定义和等量代换可得 $\angle 1+\angle 2=90^{\circ}$,由垂直的定义得可得 $\angle E=90^{\circ}, \angle E+\angle 1+\angle 2=\angle E+\angle E B C=180^{\circ}$, 利用平行线的判定定理可得结论.

本题主要考查了互余的定义, 垂直的定义和平行线的判定, 利用平行线的判定定理 “同旁内角互补, 两直线平行” 是解答此题的关键.
题目（七年级 · 度量几何学）： 如图, 在大长方形 $A B C D$ 中, 放入六个相同的小长方形, $B C=11, D E=7$.



(1)设每个小长方形的长为 $x$, 宽为 $y$, 求 $x, y$ 的值.

(2)求图中阴影部分的面积.
选项：
答案：【答案】解: (1)设每个小长方形的长为 $x$, 宽为 $y$,

根据题意得: $\left\{\begin{array}{l}x+y-2 y=7 \\ x+3 y=11\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{l}x=8 \\ y=1\end{array}\right.$;

(2) $S_{\text {阴影 }}=11 \times(8+1)-6 \times 1 \times 8=51$;

答: 图中阴影部分面积是 51 .

【解析】本题考查了二元一次方程组的应用.

(1)设每个小长方形的较长的一边为 $x$, 较短的一边为 $y$, 观察图形即可列出关于 $x, y$ 的二元一次方程组, 解之即可得出 $x, y$ 的值;

(2)根据阴影部分的面积 $=$ 大长方形的面积 -6 个小长方形的面积, 即可求出结论.
解析：【答案】解: (1)设每个小长方形的长为 $x$, 宽为 $y$,

根据题意得: $\left\{\begin{array}{l}x+y-2 y=7 \\ x+3 y=11\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{l}x=8 \\ y=1\end{array}\right.$;

(2) $S_{\text {阴影 }}=11 \times(8+1)-6 \times 1 \times 8=51$;

答: 图中阴影部分面积是 51 .

【解析】本题考查了二元一次方程组的应用.

(1)设每个小长方形的较长的一边为 $x$, 较短的一边为 $y$, 观察图形即可列出关于 $x, y$ 的二元一次方程组, 解之即可得出 $x, y$ 的值;

(2)根据阴影部分的面积 $=$ 大长方形的面积 -6 个小长方形的面积, 即可求出结论.
题目（七年级 · 度量几何学）：如图, $\angle B=\angle 2, \angle F=\angle 3$, 点 $B, E, C, F$ 在同一

条直线上. 设 $\angle A=(2 x+15) \cdots \circ$

$3 x) \ldots$, 求 $\angle 1$ 的度数.


选项：
答案：【答案】由已知, 得 $\angle A=\angle D=\angle 1$. 由 $2 x+15=65-3 x$, 解得 $x=10$, 所以 $\angle 1=35^{\circ}$

【解析】略
解析：【答案】由已知, 得 $\angle A=\angle D=\angle 1$. 由 $2 x+15=65-3 x$, 解得 $x=10$, 所以 $\angle 1=35^{\circ}$

【解析】略
题目（七年级 · 度量几何学）：如图, $A B \perp C D$ 于点 $B, A E$ 与 $B F$ 相交于点 $G$, 且 $\angle F G E=60^{\circ}, \angle A B G=30^{\circ}$. 判断 $A E$ 与 $C D$ 是否平行,并说明理由.


选项：
答案：【答案】解: $A E / / C D$;

理由如下:

$\because A B \perp C D$,

$\therefore \angle A B D=90^{\circ}$,

$\because \angle A B G=30^{\circ}$,

$\therefore \angle D B G=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}=\angle F G E$,

$\therefore A E / / C D$.
【解析】本题考查了平行线的判定、垂线的定义; 熟练掌握平行线的判定方法, 证出 $\angle D B G=\angle F G E$ 是解决问题的关键. 由垂线的定义得出 $\angle A B D=90^{\circ}$, 由已知条件得出 $\angle D B G=\angle F G E$, 即可证出 $A E / / C D$.
解析：【答案】解: $A E / / C D$;

理由如下:

$\because A B \perp C D$,

$\therefore \angle A B D=90^{\circ}$,

$\because \angle A B G=30^{\circ}$,

$\therefore \angle D B G=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}=\angle F G E$,

$\therefore A E / / C D$.
【解析】本题考查了平行线的判定、垂线的定义; 熟练掌握平行线的判定方法, 证出 $\angle D B G=\angle F G E$ 是解决问题的关键. 由垂线的定义得出 $\angle A B D=90^{\circ}$, 由已知条件得出 $\angle D B G=\angle F G E$, 即可证出 $A E / / C D$.
题目（七年级 · 度量几何学）：如图, 将一个边长为 $a+b$ 的正方形图形分割成四部分 (两个正方形和两个长方形), 请认真观察图形.解答下列问题:

(1)根据图中条件.请用两种方法表示该图形的总面积, 可得如下公式: $\qquad$ $=$ $\qquad$ ;

(2)如果图中的 $a, b(a>b>0)$ 满足 $a^{2}+b^{2}=57$,


$a b=12$. 则 $a+b=$ $\qquad$ ;

(3) 已知 $(5+x)^{2}+(x+3)^{2}=60$, 求 $(5+x)(x+3)$ 的值.
选项：
答案：【答案】 $(a+b)^{2} ; a^{2}+2 a b+b^{2}$; 9

【解析】解: (1) $S_{\text {四边形 }}=(a+b)(a+b)=(a+b)^{2}$, $S_{\text {四边形 }}=a b+a^{2}+b^{2}+a b=a^{2}+$ $2 a b+b^{2}$,

则 $(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$,

故答案为: $(a+b)^{2} ; a^{2}+2 a b+b^{2}$;

(2) $\because a^{2}+b^{2}=57, a b=12$,

$\therefore(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2 a b=57+2 \times 12=81$,

$\therefore a+b=9$,

故答案为: 9 ;

$$
\begin{aligned}
& (3) \because(5+x)^{2}+(x+3)^{2}=60 \\
& \therefore(5+x)^{2}-2(5+x)(x+3)+(x+3)^{2}+2(5+x)(x+3)=60 \\
& {[(5+x)-(x+3)]^{2}+2(5+x)(x+3)=60} \\
& (5+x-x-3)^{2}+2(5+x)(x+3)=60 \\
& 2^{2}+2(5+x)(x+3)=60 \\
& 2(5+x)(x+3)=56
\end{aligned}
$$

$(5+x)(x+3)=28$

答: $(5+x)(x+3)$ 的值为 28 .

(1)第一种表示方法: 利用正方形的面积公式, 可得: $(a+b)(a+b)=(a+b)^{2}$; 第二种方法: 可看作四个图形的面积之和, 可得: $a b+a^{2}+b^{2}+a b=a^{2}+2 a b+b^{2}$, 从而可得结果;

(2)完全平方公式: $(a \pm b)^{2}=a^{2} \pm 2 a b+b^{2}$, 利用已知条件, 结合完全平方公式即可求解;

(3)利用 $(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}$, 把已知的条件构造出有所求的式子的形式, 从而可以求得结果.

本题主要考查完全平方公式的几何背景.
解析：【答案】 $(a+b)^{2} ; a^{2}+2 a b+b^{2}$; 9

【解析】解: (1) $S_{\text {四边形 }}=(a+b)(a+b)=(a+b)^{2}$, $S_{\text {四边形 }}=a b+a^{2}+b^{2}+a b=a^{2}+$ $2 a b+b^{2}$,

则 $(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$,

故答案为: $(a+b)^{2} ; a^{2}+2 a b+b^{2}$;

(2) $\because a^{2}+b^{2}=57, a b=12$,

$\therefore(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2 a b=57+2 \times 12=81$,

$\therefore a+b=9$,

故答案为: 9 ;

$$
\begin{aligned}
& (3) \because(5+x)^{2}+(x+3)^{2}=60 \\
& \therefore(5+x)^{2}-2(5+x)(x+3)+(x+3)^{2}+2(5+x)(x+3)=60 \\
& {[(5+x)-(x+3)]^{2}+2(5+x)(x+3)=60} \\
& (5+x-x-3)^{2}+2(5+x)(x+3)=60 \\
& 2^{2}+2(5+x)(x+3)=60 \\
& 2(5+x)(x+3)=56
\end{aligned}
$$

$(5+x)(x+3)=28$

答: $(5+x)(x+3)$ 的值为 28 .

(1)第一种表示方法: 利用正方形的面积公式, 可得: $(a+b)(a+b)=(a+b)^{2}$; 第二种方法: 可看作四个图形的面积之和, 可得: $a b+a^{2}+b^{2}+a b=a^{2}+2 a b+b^{2}$, 从而可得结果;

(2)完全平方公式: $(a \pm b)^{2}=a^{2} \pm 2 a b+b^{2}$, 利用已知条件, 结合完全平方公式即可求解;

(3)利用 $(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}$, 把已知的条件构造出有所求的式子的形式, 从而可以求得结果.

本题主要考查完全平方公式的几何背景.
题目（七年级 · 度量几何学）： 如图, 已知直线 $l_{1}, l_{2}$ 被直线 $l_{3}$ 所截, $\angle 1+\angle 2=180^{\circ}$. 请说明 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 平行的理由.


选项：
答案：【答案】解: $\because \angle 2=\angle 3, \angle 1+\angle 2=180^{\circ}$,

$\therefore \angle 1+\angle 3=180^{\circ}$,

$\therefore l_{1} / / l_{2}$ (同旁内角互补, 两直线平行).

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【解析】直接利用对顶角的性质结合两直线平行的判定方法分析得出答案.

此题主要考查了平行线的判定, 正确掌握平行线的判定方法是解题关键.
解析：【答案】解: $\because \angle 2=\angle 3, \angle 1+\angle 2=180^{\circ}$,

$\therefore \angle 1+\angle 3=180^{\circ}$,

$\therefore l_{1} / / l_{2}$ (同旁内角互补, 两直线平行).


【解析】直接利用对顶角的性质结合两直线平行的判定方法分析得出答案.

此题主要考查了平行线的判定, 正确掌握平行线的判定方法是解题关键.