题目（九年级 · 解析几何）：(本小题8.0分)

如图, 在矩形 $A B C D$ 中, 点 $O$ 在对角线 $B D$ 上, 以 $O B$ 的长为半径的 $\odot O$ 与 $A B, B D$ 分别交于点 $E, F$, 连接 $D E$, 且 $\angle A D E=\angle B D C$.



(1)判断直线 $D E$ 与 $\odot O$ 的位置关系, 并证明你的结论;

(2) 若 $B C=6, C D=8, A E=4.5$, 求 $\odot O$ 的半径.
选项：
答案： (1)直线 $D E$ 与 $\odot O$ 相切.

证明: 连接 $O E$,

<ImageHere>

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形,

$\therefore A B / / C D$,

$\therefore \angle E B D=\angle B D C$.

$\because O B=O E$,

$\therefore \angle E B O=\angle B E O$.

$\because \angle A D E=\angle B D C$,

$\therefore \angle B E O=\angle E B D=\angle B D C=\angle A D E$.

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形,

$\therefore \angle A=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A E D+\angle A D E=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A E D+\angle B E O=\angle A E D+\angle A D E=90^{\circ}$,

$\therefore \angle O E D=180^{\circ}-(\angle A E D+\angle B E O)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$,

即 $O E \perp E D$.

$\because O E$ 为半径,

$\therefore$ 直线 $D E$ 与 $\odot O$ 相切.

(2) $\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形,

$\therefore \angle A=\angle C=90^{\circ}$.

在Rt $\triangle D C B$ 中, $\angle C=90^{\circ}$,
$\therefore B D=\sqrt{B C^{2}+C D^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$.

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形,

$\therefore A D=B C=6$.

在Rt $\triangle A D E$ 中, $\angle A=90^{\circ}$,

$\therefore E D=\sqrt{A E^{2}+A D^{2}}=\sqrt{4.5^{2}+6^{2}}=\frac{15}{2}$.

设 $\odot O$ 的半径为 $R$,

在Rt $\triangle D O E$ 中, $D O^{2}=D E^{2}+O E^{2}$, 即 $(10-R)^{2}=\left(\frac{15}{2}\right)^{2}+R^{2}$,

解得 $R=\frac{35}{16}$, 即 $\odot O$ 的半径是 $\frac{35}{16}$.

【解析】

【分析】

本题主要考查切线的判定和性质, 勾股定理以及矩形的性质, 掌握切线的判定方法是解题的关键.

(1)连接 $O E$, 利用等腰三角形的性质, 平行线的性质推出 $\angle B E O=\angle E B D=\angle B D C=\angle A D E$., 再根据直角三角形两锐角互余, 得出 $\angle O E D=90^{\circ}$, 即可得出结论;

(2)先利用勾股定理求出 $B D, D E$ 的长度, 设 $\odot O$ 的半径为 $R$, 在 $R t \triangle D O E$ 中, 利用勾股定理列式,计算求出 $R$ 即可.
解析： (1)直线 $D E$ 与 $\odot O$ 相切.

证明: 连接 $O E$,



$\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形,

$\therefore A B / / C D$,

$\therefore \angle E B D=\angle B D C$.

$\because O B=O E$,

$\therefore \angle E B O=\angle B E O$.

$\because \angle A D E=\angle B D C$,

$\therefore \angle B E O=\angle E B D=\angle B D C=\angle A D E$.

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形,

$\therefore \angle A=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A E D+\angle A D E=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A E D+\angle B E O=\angle A E D+\angle A D E=90^{\circ}$,

$\therefore \angle O E D=180^{\circ}-(\angle A E D+\angle B E O)=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$,

即 $O E \perp E D$.

$\because O E$ 为半径,

$\therefore$ 直线 $D E$ 与 $\odot O$ 相切.

(2) $\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形,

$\therefore \angle A=\angle C=90^{\circ}$.

在Rt $\triangle D C B$ 中, $\angle C=90^{\circ}$,
$\therefore B D=\sqrt{B C^{2}+C D^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$.

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形,

$\therefore A D=B C=6$.

在Rt $\triangle A D E$ 中, $\angle A=90^{\circ}$,

$\therefore E D=\sqrt{A E^{2}+A D^{2}}=\sqrt{4.5^{2}+6^{2}}=\frac{15}{2}$.

设 $\odot O$ 的半径为 $R$,

在Rt $\triangle D O E$ 中, $D O^{2}=D E^{2}+O E^{2}$, 即 $(10-R)^{2}=\left(\frac{15}{2}\right)^{2}+R^{2}$,

解得 $R=\frac{35}{16}$, 即 $\odot O$ 的半径是 $\frac{35}{16}$.

【解析】

【分析】

本题主要考查切线的判定和性质, 勾股定理以及矩形的性质, 掌握切线的判定方法是解题的关键.

(1)连接 $O E$, 利用等腰三角形的性质, 平行线的性质推出 $\angle B E O=\angle E B D=\angle B D C=\angle A D E$., 再根据直角三角形两锐角互余, 得出 $\angle O E D=90^{\circ}$, 即可得出结论;

(2)先利用勾股定理求出 $B D, D E$ 的长度, 设 $\odot O$ 的半径为 $R$, 在 $R t \triangle D O E$ 中, 利用勾股定理列式,计算求出 $R$ 即可.