eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高一 · 代数）：定义集合 $A, B$ 的一种运算“*”, $A * B=\{p \mid p=x+y, x \in A, y \in B\}$. 若 $A=\{1,2,3\}, B=\{1,2\}$, 则集合 $A * B$ 中所有元素的和
选项：
答案：14
解析：$\because A * B=\{p \mid p=x+y, x \in A, y \in B\}, A=\{1,2,3\}, B=\{1,2\}$,

$\therefore A * B=\{2,3,4,5\}, 2+3+4+5=14$.

故答案为: 14 .

【分析】由 $\mathrm{A} * \mathrm{~B}=\{\mathrm{p} \mid \mathrm{p}=\mathrm{x}+\mathrm{y}, \mathrm{x} \in \mathrm{A}, \mathrm{y} \in \mathrm{B}\}, \mathrm{A}=\{1,2,3\}, \mathrm{B}=\{1,2\}$, 知 $\mathrm{A} * \mathrm{~B}=\{2,3,4,5\}$, 由此能求出集合 $\mathrm{A} * \mathrm{~B}$ 中所有元素的和.
题目（高一 · 代数）：已知集合 $A=\left\{x \mid a x^{2}-3 x+2=0\right\}$ 至多有一个元素, 则 $a$ 的取值范围
选项：
答案：$a \geq \frac{9}{8}$ 或 $a=0$ 。
解析：$\because$ 集合 $A$ 中至多有一个元素, $\therefore$ 当 $a=0$ 时, $A=\left\{x \mid a x^{2}-3 x+2=0\right\}=\left\{\frac{2}{3}\right\}$, 合题意;

当 $a \neq 0$ 时, $\triangle=9-8 a \leq 0$ 解得 $a \geq \frac{9}{8}$, 总之 $\left\{d a \geq \frac{9}{8}\right.$ 或 $\left.a=0\right\}$,

故答案为 $\left\{d a \geq \frac{9}{8}\right.$ 或 $\left.a=0\right\}$ 。

【分析】由已知分两种情况讨论 $\mathrm{a}$, 当 $a=0$ 时, $A=\left\{\frac{2}{3}\right\}$, 符合题意, 当 $a \neq 0$ 时, 由 $\triangle=9-8 a \leq 0$,

可得 $a \geq \frac{9}{8}$, 即可求出 $a$ 的取值范围.
题目（高一 · 代数）：设集合 $A=\{x|x-a|<1, x \in R\}, B=\{x \mid 1<x<5, x \in R\}$, 若 $\stackrel{A \subset B}{\mp}$, 则 $a$ 的取值范围为
选项：
答案：$2 \leq a \leq 4$
解析：由 $|x-a|<1$ 得 $-1<x-a<1, \therefore a-1<x<a+1$,



又当 $a=2$ 时, $\mathrm{A}=\{x \mid 1<x<3\}$ 满足 $A \subset B$,

$a=4$ 时, $A=\{x \mid 3<x<5\}_{\text {也满足 }} \stackrel{A \subset B}{\mp}, \therefore 2 \leq a \leq 4$.

故答案为 $2 \leq a \leq 4$
【分析】先化简集合 $\mathrm{A}$,再根据 $A \subset B$ 得到关于 $\mathrm{a}$ 的不等式求出 $\mathrm{a}$ 的取值范围.
题目（高一 · 代数）：11. 设集合 $M=\{x \mid 2 \leq x<5\}, N=\left\{x l x^{2}-4 x<0\right\}$, 则集合 $M \cap N=$
选项：
答案：$M \cap N=[2,4)$
解析：解: $N=\left(x x^{2}-4 x<0\right\}=\{x \mid 0<x<4\}$, 又 $M=\{x \mid 2 \leq x<5\}$, 所以 $M \cap N=[2,4)$ 。

【分析】利用一元二次不等式求解集的方法求出集合 $N$, 再利用交集的运算法则求出集合 $M$ 和集合 $\mathrm{N}$ 的交集。
题目（高一 · 代数）：已知 $f\left(\frac{1}{2} x-1\right)=2 x+3$, 且 $f(m)=6$, 则 $\mathrm{m}$ 等于
选项：
答案：$-\frac{1}{4}$
解析：设 $\frac{1}{2} x-1=t$, 则 $x=2 t+2$,

所以 $y=f(t)=2(2 t+2)+3=4 t+7$,

所以 $f(m)=4 m+7=6 \Rightarrow m=-\frac{1}{4}$ 。

【分析】利用换元法求出函数解析式, 再利用已知的函数值, 从而求出 $\mathrm{m}$ 的值。
题目（高一 · 代数）：函数 $f(x)=\sqrt{x}(\sqrt{x}-4)+x-1_{\text {的值域为 }}$
选项：
答案：$\lfloor 3,+\infty)$
解析：函数的定义域为 $\lfloor 0,+\infty)$

$f(x)=\sqrt{x}(\sqrt{x}-4)+x-1=2 x-4 \sqrt{x}-1$

$f(x)=2(\sqrt{x}-1)^{2}-3 \geq-3$

所以函数的值域为 $\lfloor 3,+\infty)$

故答案为: $\lfloor 3,+\infty)$

【分析】利用配方法化简式子, 可得 $f(x)=2(\sqrt{x}-1)^{2}-3$, 然后根据观察法, 可得结果.
题目（高一 · 代数）：设函数 $f(x)=-3 x^{2}+6 x$ 在区间 $[a, b]$ 上的值域是 $[-9,3]$, 则 $b-a$ 的取值范围是
选项：
答案：$[2,4]$
解析：$f(x)=-3 x^{2}+6 x=-3(x-1)^{2}+3$, 顶点为 $(1,3)$

因为函数的值域是 $[-9,3]$,

令 $-3 x^{2}+6 x=-9$, 可得 $x=-1$ 或 $x=3$.

又因为函数 $f(x)=-3 x^{2}+6 x$ 图象的对称轴为 $x=1$,
且 $f(1)=3$, 所以 $b-a$ 的取值范围为 $[2,4]$.

故答案为: $[2,4]$.



【分析】 $f(x)=-3 x^{2}+6 x$ 配方求出顶点, 作出图像, 求出 $f(x)=-9$ 对应的自变量, 结合函数图像, 即可求解.
题目（高一 · 代数）：设函数 $f(x)$ 的定义域为 $[0,1]$, 则函数 $f(\sqrt{x}-2)$ 的定义域为
选项：
答案：$[4,9]$
解析：解: 因为函数 $f(x)$ 的定义域为 $[0,1]$,

由 $0 \leqslant \sqrt{x}-2 \leqslant 1$, 得: $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x}-2 \geqslant 0(1) \\ \sqrt{x}-2 \leqslant 1(2)\end{array}\right.$

解(1)得: $x \geqslant 4$, 解(2)得: $x \leqslant 9$.

所以, 函数 $f(\sqrt{x}-2)$ 的定义域为 $\lfloor 4,9\rfloor$.

故答案为: $\lfloor 4,9\rfloor$.

【分析】根据函数 $f(x)$ 的定义域为 $[0,1]$, 由 $\sqrt{x}-2 \in[0,1]$, 求出 $x$ 的取值集合即可得函数 $f(\sqrt{x}-2)$ 的定义域.
题目（高一 · 代数）：若函数 $y=\sqrt{a x^{2}+a x+1}$ 的定义域为 $R$, 则 $a$ 的取值范围为
选项：
答案：$\lfloor 0,4\rfloor$
解析：由题意得 $a x^{2}+a x+1 \geq 0$ 在 $R$ 上恒成立.

(1)当 $a=0$ 时, 则 $1 \geq 0$ 恒成立,

$\therefore a=0$ 符合题意;

(2)当 $a \neq 0$ 时,

则 $\left\{\begin{array}{l}a>0 \\ a^{2}-4 a \leq 0,\end{array}\right.$ 解得 $0<a \leq 4$.

综上可得 $0 \leq a \leq 4 ，$

$\therefore$ 实数 $a$ 的取值范围为 $[0,4]$.

故答案为: $[0,4]$

【分析】不等式 $a x^{2}+b x+c>0$ 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 $a=0$ 时, $b=0, c>0$; 当

$a \neq 0$ 时, $\left\{\begin{array}{l}a>0 \\ -<0 ;\end{array}\right.$ 不等式 $a x^{2}+b x+c<0$ 的解是全体实数(或恒成立)的条件是当 $a=0$ 时, $b=0, c<0$; 当 $a \neq 0$ 时, $\left\{\begin{array}{l}a<0 \\ \Delta<0\end{array}\right.$.
题目（高一 · 代数）：已知 $f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$, 则 $f(x)=$
选项：
答案：$$
f(x)=x^{2}-2, x \in(-\infty,-2] \cup[2,+\infty)
$$
解析：(配凑法) (1) $f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}-2$,

又 $x+\frac{1}{x} \in(-\infty,-2] \cup[2,+\infty)$,

$\therefore f(x)=x^{2}-2, x \in(-\infty,-2] \cup[2,+\infty)$.

故答案为: $f(x)=x^{2}-2, x \in(-\infty,-2] \cup[2,+\infty)$

【分析】利用配凑法求出函数的解析式即可.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)$ 满足 $2 f(x)+f(-x)=3 x \quad, \quad$ 则 $f(x)=$
选项：
答案：$3 x$
解析：因为 $2 f(x)+f(-x)=3 x$,

所以将 $x$ 用 $-x$ 替换，得 $2 f(-x)+f(x)=-3 x$ ，

解由(1)(2)组成的方程组得 $f(x)=3 x$.

故答案为: $3 x$

【分析】由 $2 \mathrm{f}(\mathrm{x})+\mathrm{f}(-\mathrm{x})=3 \mathrm{x}$, 用 $-\mathrm{x}$ 代入可得 $2 \mathrm{f}(-\mathrm{x})+\mathrm{f}(\mathrm{x})=-3 \mathrm{x}$, 由两式联立解方程组消去 $\mathrm{f}(-\mathrm{x})$即可求解出 $f(x)=3 x$ 。
题目（高一 · 代数）：已知一次函数 $f(x)$ 满足条件 $f(x+1)+f(x)=2 x$, 则函数 $f(x)$ 的解析式为 $f(x)=$
选项：
答案：$f(x)=x-\frac{1}{2}$
解析：设 $f(x)=k x+b, k \neq 0$,

$\because f(x+1)+f(x)=2 x$,

$\therefore k(x+1)+b+k x+b=2 x$,

即 $2 k x+k+2 b=2 x$ ，

$\{2 k=2$

$\therefore k+2 b=0$,

解可得, $k=1, \quad b=-\frac{1}{2}$,

$\therefore f(x)=x-\frac{1}{2}$

故答案为: $f(x)=x-\frac{1}{2}$

【分析】先设 $f(x)=k x+b, k \neq 0$, 然后根据 $f(x+1)+f(x)=2 x$, 代入后根据对应系数相等可求 $k, b$, 即可求解.

三、解答题
题目（高一 · 代数）：函数 $y=(k+2) x+1$ 在实数集上是减函数, 则 $\mathrm{k}$ 的范围是
选项：
答案：$k<-2$
解析：$\because$ 函数 $y=(k+2) x+1$ 在实数集上是减函数,

当 $k+2=0$ 时, $y=1$ 是常函数, 不满足题意,

$\therefore k+2<0, \quad \therefore k<-2$

故答案为: $(-\infty,-2)$

【分析】先验证当 $k+2=0$ 时函数 $y=(k+2) x+1=1$ 为常函数不满足条件, 然后根据一次函数是减函数时斜率必为小于 0 的数从而可求出 $k$ 的值, 确定答案.
题目（高一 · 代数）：函数 $f(x)=x^{2}+x-1$ 的最小值是
选项：
答案：$-\frac{5}{4}$
解析：$\because f(x)=x^{2}+x-1=\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}-\frac{5}{4}$,

因此, 函数 $f(x)=x^{2}+x-1$ 的最小值是 $-\frac{5}{4}$.
故答案为: $-\frac{5}{4}$.

【分析】将二次函数 $y=f(x)$ 的解析式进行配方, 可得出该函数的最小值.
题目（高一 · 代数）：函数 $f(x)=9 x^{2}+\sqrt{x-1}$ 的最小值为
选项：
答案：9
解析：$\because f(x)$ 的定义域为 $\lfloor 1,+\infty)$, 且 $f(x)$ 在定义域上单调递增,

$\therefore f(x)_{\min }=f(1)=9$.

故答案为: 9

【分析】结合 $f(x)$ 的定义域, 判断出 $f(x)$ 的单调性, 由此求得 $f(x)$ 的最小值.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=\sqrt{a x^{2}-2 x-5 a+5}$ 在 $\lfloor 2,+\infty)$ 是增函数, 则实数 $a$ 的取值范围是
选项：
答案：$\left[\frac{1}{2}, 1\right]$
解析：当 $a=0$ 时, $f(x)=\sqrt{-2 x+5}$, 显然在 $\lfloor 2,+\infty)$ 不是增函数, 所以舍去;

当 $a \neq 0$ 时, 由题得 $\left\{\begin{array}{l}a>0 \\ -\frac{-2}{2 a} \leq 2 \\ a \cdot 2^{2}-4-5 a+5 \geq 0, \text { 所以 } \frac{1}{2} \leq a \leq 1\end{array}\right.$.

所以实数 $\mathrm{a}$ 的取值范围为 $\left[\frac{1}{2}, 1\right]$.

故答案为:

$\left[\frac{1}{2}, 1\right]$

【分析】对 $a$ 分 $a=0$ 和 $a \neq 0$ 两种情况结合复合函数的单调性讨论得解.
题目（高一 · 代数）：已知 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是定义在 $(-2,2)$ 上的减函数, 并且 $\mathrm{f}(\mathrm{m}-1)-\mathrm{f}(1-2 \mathrm{~m})>0$, 则实数 $m$ 的取值范围是
选项：
答案：$\left(-\frac{1}{2}, \frac{2}{3}\right)$
解析：由 $f(m-1)-f(1-2 m)>0$ 得 $f(m-1)>f(1-2 m)$,

由于函数 $f(x)$ 在 $(-2,2)$ 上递减,
故 $\left\{\begin{array}{l}-2<m-1<2 \\ -2<1-2 m<2 \\ m-1<1-2 m\end{array}\right.$, 解得 $-\frac{1}{2}<m<\frac{2}{3}$.

故填: $\left(-\frac{1}{2}, \frac{2}{3}\right)$.

【分析】利用转化法由 $f(m-1)-f(1-2 m)>0$ 得 $f(m-1)>f(1-2 m)$, 再利用函数的单调性结合函数的定义域求出 $\mathrm{m}$ 的取值范围。

三、解答题
题目（高一 · 代数）：已知一个奇函数的定义域为 $[\mathrm{a}+1, \mathrm{~b}-2]$, 则 $\frac{a+b}{2}=$
选项：
答案：$\frac{1}{2}$
解析：根据题意, 函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是奇函数, 且其定义域为 $[\mathrm{a}+1, \mathrm{~b}-2]$,

则有 $a+1+b-2=0$, 解得: $a+b=1$,

即 $\frac{a+b}{2}=\frac{1}{2}$,

故答案为: $\frac{1}{2}$.

【分析】根据题意, 由函数奇偶性的定义可得 $\mathrm{a}+1+\mathrm{b}-2=0$, 即可得答案.
题目（高一 · 代数）：若函数 $y=(x+1)(x-a)$ 为偶函数, 则 $a=$
选项：
答案：1
解析：函数 $y=(x+1)(x-a)=x^{2}+(1-a) x-a$

$\because$ 函数 $y=(x+1)(x-a)$ 为偶函数,

$\therefore(-x)^{2}+(1-a)(-x)-a=x^{2}+(1-a) x-a$

$\therefore 1-a=0, \quad \therefore a=1$

【分析】根据偶函数的定义, 可得一次项系数为 0 , 从而可得结论.
题目（高一 · 代数）：设函数 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数, 记 $g(x)=f(x)-x^{2}$, 且函数 $g(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上是增函数, 则不等式 $f(x+2)-f(2)>x^{2}+4 x$ 的解集为
选项：
答案：$(-\infty,-4) \cup(0,+\infty)$
解析：根据题意 $g(x)$, 且 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数,

则 $g(-x)=f(-x)-(-x)^{2}=f(x)-x^{2}=g(x)$, 则函数 $g(x)$ 为偶函数,

$f(x+2)-f(2)>x^{2}+4 x \Rightarrow f(x+2)-(x+2)^{2}>f(2)-4 \Rightarrow g(x+2)>g(2)$,

又由 $g(x)$ 为增函数且在区间 $[0,+\infty)$ 上是增函数,

则 $|x+2|>2$, 解得: $x<-4$ 或 $x>0$,

即 $x$ 的取值范围为 $(-\infty,-4) \cup(0,+\infty)$,

故答案为 $(-\infty,-4) \cup(0,+\infty)$;

【分析】根据题意, 分析可得 $g(x)$ 为偶函数, 进而分析可得原不等式转化为 $g(x+2)>g(2)$, 结合函数的奇偶性与单调性分析可得 $|x+2|>2$, 解可得 $x$ 的取值范围.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)$ 满足 $f(x)+f(-x)=0$, 对任 意的 $x_{1}, x_{2} \in(0,+\infty)$ 都 有 $\frac{x_{2} f\left(x_{2}\right)-x_{1} f\left(x_{1}\right)}{x_{1}-x_{2}}<0$ 恒成立, 且 $f(1)=0$, 则关于 $x$ 的不等式 $f(x)<0$ 的解集为
选项：
答案：$(-1,0) \cup(1,+\infty)$
解析：由题意, 设函数 $g(x)=x f(x)$,

因为函数 $f(x)$ 满足 $f(x)+f(-x)=0$, 即 $f(-x)=-f(x)$,

则 $g(-x)=(-x) f(-x)=x f(x)=g(x)$, 所以函数 $g(x)$ 为 $R$ 上的偶函数,

又由 $f(1)=0$, 则 $g(-1)=g(1)=1 \times f(1)=0$,

因为对任意的 $x_{1}, x_{2} \in(0,+\infty)$ 都有 $\frac{x_{2} f\left(x_{2}\right)-x_{1} f\left(x_{1}\right)}{x_{1}-x_{2}}<0$ 恒成立,

则函数 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 为单调递增函数,

所以当 $x \in(-1,0)$ 时, $g(x)=x f(x)<0$, 此时 $f(x)>0$,

当 $x \in(1,+\infty)$ 时, $g(x)=x f(x)>0$, 此时 $f(x)>0$,
所以 $f(x)>0$ 的解集为 $(-1,0) \cup(1,+\infty)$.

故答案为: $(-1,0) \cup(1,+\infty)$.

【分析】构造新函数 $g(x)=x f(x)$, 求得函数 $g(x)$ 为 $R$ 上的偶函数, 得出 $g(-1)=g(1)=0$, 在


单调递增函数, 结合函数 $g(x)$ 的取值, 即可求解.

三、解答题
题目（高一 · 代数）：已知 $a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}=3$, 求值 $\mathrm{a}^{2}+\mathrm{a}^{-2}=$
选项：
答案：47
解析：因为 $a+a^{-1}=\left(a_{2}^{\frac{1}{2}}+a^{\frac{1}{2}}\right)^{2}-2=7$,

所以 $a^{2}+a^{-2}=\left(a+a^{-1}\right)^{2}-2=49-2=47$.

【分析】考虑 $a^{\frac{1}{2}}+a^{-\frac{1}{2}}$ 和 $a+a^{-1} 、 a^{2}+a^{-2}$ 之间的关系.
题目（高一 · 代数）：$\sqrt{5+2 \sqrt{6}}-\sqrt{6-4 \sqrt{2}}+\sqrt{7-4 \sqrt{3}}=$
选项：
答案：$2 \sqrt{2}$
解析：$$
\sqrt{5+2 \sqrt{6}}=\sqrt{\frac{10+4 \sqrt{6}}{2}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{6}+2)^{2}}{2}}=\frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{2}}=\frac{2 \sqrt{3}+2 \sqrt{2}}{2}=\sqrt{3}+\sqrt{2}
$$

$\sqrt{6-4 \sqrt{2}}=\sqrt{(2-\sqrt{2})^{2}}=2-\sqrt{2}, \quad \sqrt{7-4 \sqrt{3}}=\sqrt{(2-\sqrt{3})^{2}}=2-\sqrt{3}$

$\therefore \sqrt{5+2 \sqrt{6}}-\sqrt{6-4 \sqrt{2}}+\sqrt{7-4 \sqrt{3}}=\sqrt{3}+\sqrt{2}-2+\sqrt{2}+2-\sqrt{3}=2 \sqrt{2}$

故答案为: $2 \sqrt{2}$

【分析】将每个被开方数化为完全平方式的形式, 从而开方整理得到结果.

三、解答题
题目（高一 · 代数）：不等式 $0.5^{2 x}>0.5^{x-1}$ 的解集为 （用区间表示）.
选项：
答案：$(-\infty,-1)$
解析：根据函数单调性可有: $2 x<x-1$, 所以 $x \in(-\infty,-1)$

【分析】由已知利用指数函数的单调性, 得到 $2 x<x-1$, 即可求出解集.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)$ 是指数函数, 如果 $f(3)=9 f(1)$, 那么 $f(8)$ $f(4)$

（请在横线上填写“ >”, “ =”或“ < ”)
选项：
答案：>
解析：因为函数 $f(x)$ 是指数函数,

设 $f(x)=a^{x}$,

则 $f(3)=a^{3}=9 a^{1}=9 f(1)$,

解得 $a=3$ 或 $a=-3$ (舍去)

所以 $f(x)=3^{x}$ 是增函数, 所以 $f(8)>f(4)$,

故答案为:

【分析】由题意设 $f(x)=a^{x}$, 根据 $f(3)=9 f(1)$ 求出解析式, 即可比较 $f(8), f(4)$ 的大小.
题目（高一 · 代数）：已知实数 $a, b$ 满足等式 $2019^{a}=2020^{b}$, 下列五个关系式:
(1) $0<b<a$;
(2) $a<b<0$;
(3) $0<a<b$;
(4) $b<a<0$;
(5) $a=b$.

其中可能成立的关系式有
选项：
答案：(1)(2)
解析：分别画出函数 $y=2019^{x}, y=2020^{x}$ 的图象,


根据实数 $a, b$ 满足等式 $2019^{a}=2020^{b}$, 结合图象可知,
下列五个关系式:
(1) $0<b<a$;
(2) $a<b<0$;
(3) $0<a<b$;
(4) $b<a<0$;
(5) $a=b$,

其中可能成立的关系式有(1)(2)(5),

故答案为: (1)(2)(5)

【分析】分别画出函数 $y=2019^{x}, y=2020^{x}$ 的图象, 根据实数 $a, b$ 满足等式 $2019^{a}=2020^{b}$,即可判断出下列五个关系式中正确的结论.
题目（高一 · 代数）：若函数 $f(x)=a^{x}(a>0$ 且 $a \neq 1)$ 在定义域 $[m, n]$ 上的值域是 $\left[m^{2}, n^{2}\right](1<m<n)$, 则 $a$ 的取值范围是
选项：
答案：$\left(1, e^{\frac{2}{6}}\right)$
解析：由题意知: $f(x)=a^{x}$ 与 $y=x^{2}$ 的图像在 $(1,+\infty)$ 上恰有两个交点

考查临界情形: $y=a_{0}^{x}$ 与 $y=x^{2}$ 切于 $x_{0}$,

$\left\{\begin{array}{l}a_{0}^{x_{0}}=x_{0}^{2} \\ a_{0}^{x_{0}} \ln a=2 x_{0}\end{array} \Rightarrow a_{0}=e^{\frac{2}{\varepsilon}} \Rightarrow a \in\left(1, e^{\frac{2}{\varepsilon}}\right)\right.$.

故答案为: $\left(1, e^{\frac{2}{6}}\right)$.

【分析】 $f(x)=a^{x}$ 在定义域 $[m, n]$ 上的值域是 $\left[m^{2}, n^{2}\right]$, 等价转化为 $f(x)=a^{x}$ 与 $y=x^{2}$ 的图像在 $(1,+\infty)$ 上恰有两个交点, 考虑相切状态可求 $a$ 的取值范围.
题目（高一 · 代数）：函数 $y=\left(\frac{1}{3}\right)^{-x 2+2 x}$ 的值域是 ，单调递增区间是
选项：
答案：$\left[\frac{1}{3},+\infty\right) ;[1,+\infty)$
解析：因为 $-x^{2}+2 x=-(x-1)^{2}+1 \leq 1$,

所以 $\left(\frac{1}{3}\right)^{-x^{2}+2 x} \geq \frac{1}{3}$,

即函数 $y=\left(\frac{1}{3}\right)^{-x 2+2 x}$ 的值域是 $\left[\frac{1}{3},+\infty\right)$,

因为 $y=\left(\frac{1}{3}\right)^{t}$ 单调递减, $\mathrm{t}=-x^{2}+2 x$ 在 $(1,+\infty)$ 上单调递减,

因此函数 $y=\left(\frac{1}{3}\right)^{-x 2+2 x}$ 的单调递增区间是 $(1,+\infty)$.

【分析】本题利用复合函数求值域的方法求出值域, 再利用求复合函数单调性的方法求出单调区间,注意复合函数单调性判断的法则, 即同单调性为增函数, 不同单调性为减函数。

四、解答题
题目（高一 · 代数）：已知 $\lg a+\lg b=2$, 则 $\lg a^{2}+\lg b^{2}=$
选项：
答案：4
解析：依题意, $\lg a^{2}+\lg b^{2}=2(\lg a+\lg b)=2 \times 2=4$.

故填: 4.

【分析】利用对数运算公式, 化简所求表达式, 求得表达式的值.
题目（高一 · 代数）：已知 $3^{a}=12, b=2 \log _{3} 2$, 现有下列四个结论:
(1) $a=2 b$;
(2) $a-b=1$;
(3) $a<2 b$;
(4) $a+b<3$.

其中所有正确结论的编号是
选项：
答案：(2)(3)
解析：$3^{a}=12, b=2 \log _{3} 2$, 得 $a=\log _{3} 12, \quad b=\log _{3} 4, \quad 2 b=\log _{3} 16$,

则 $a-b=\log _{3} 3=1, a<2 b, a+b=\log _{3} 48>\log _{3} 27=3$.

故所有正确结论的编号是(2)(3).

故答案为: (2)(3)

【分析】将指数式转化为对数式, 再根据对数的运算性质验证.
题目（高一 · 代数）：\text{如果函数 }y=\log_ax_\text{的图象过点}\left(\frac19,2\right),\text{则 }a=
选项：
答案：$\frac{1}{3}$
解析：

$\because a>0$ 且 $a \neq 1$, 因此, $a=\frac{1}{3}$.

故答案为: $\frac{1}{3}$.将点的坐标代入对数函数解析式, 利用对数式化指数式可求出实数 $a$ 的值.
题目（高一 · 代数）：设函数 $f(x)=\log _{a}(x-1)+1(a>0$ 且 $a \neq 1)$ 恒过点 $(m, n)$, 则 $m-n=$
选项：
答案：1
解析：

故答案为: 1根据函数过定点得到 $m=2, n=1$, 计算得到答案.
题目（高一 · 代数）：已知幂函数 $f(x)$ 的图象过点 $\left(8, \frac{1}{2}\right)$, 则此幂函数的解析式是 $f(x)=$
选项：
答案：$x^{-\frac{1}{3}}$
解析：设 $f(x)=x^{\alpha}$, 因为 $y=f(x)$ 的图象过点 $\left(8, \frac{1}{2}\right)$,

所以 $8^{\alpha}=\frac{1}{2}$, 即 $2^{3 \alpha}=2^{-1}$,

$\therefore 3 \alpha=-1$, 解得 $\alpha=-\frac{1}{3}$, 因此 $f(x)=x^{-\frac{1}{3}}$.

故答案为 $x^{-\frac{1}{3}}$.

【分析】设函数 $f(x)=x^{\alpha}$, 将点 $\left(8, \frac{1}{2}\right)$ 的坐标代入函数 $y=f(x)$ 的解析式, 求出 $\alpha$ 的值, 即可得
题目（高一 · 代数）：已知关于 $x$ 的函数 $y=\left(m^{2}-3\right) x^{2 m}$ 是幂函数, 则 $m=$
选项：
答案：$\pm 2$
解析：关于 $x$ 的函数 $y=\left(m^{2}-3\right) x^{2 m}$ 是幂函数, 则 $m^{2}-3=1 \Rightarrow m= \pm 2$.

【分析】由已知利用幂函数的概念, 得到 $m^{2}-3=1$, 即可求出 $\mathrm{m}$ 的值.
题目（高一 · 代数）：设 $\alpha \in\left\{\frac{1}{3}, \frac{1}{2},-1,-2,3\right\}$, 若 $f(x)=x^{\alpha}$ 为偶函数, 则 $\alpha=$
选项：
答案：-2
解析：由题可知, $\alpha=-2$ 时, $f(x)=x^{-2}$, 满足 $\mathrm{f}(-\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})$, 所以是偶函数;

当 $\alpha=\frac{1}{3}, \frac{1}{2},-13$ 时, 不满足 $\mathrm{f}(-\mathrm{x})=\mathrm{f}(\mathrm{x})$,

$\therefore \alpha=-2$.

故答案为: -2 .

【分析】将不同的 $\alpha$ 值代入，逐一验证即可.
题目（高一 · 代数）：幕函数 $y=\left(m^{2}-m-1\right) x^{-5 m-3}$ 在 $x \in(0,+\infty)$ 时为减函数, 则 $\mathrm{m}=$
选项：
答案：2
解析：因为 $y=\left(m^{2}-m-1\right) x^{-2 m-3}$ 是幕函数,

所以 $m^{2}-m-1=1$, 故 $\mathrm{m}=2$ 或 $\mathrm{m}=-1$,

又幂函数 $y=\left(m^{2}-m-1\right) x^{-5 m-3}$ 在 $x \in(0,+\infty)$ 时为减函数,

所以 $-5 \mathrm{~m}-3<0$, 所以 $\mathrm{m}=2$.

【分析】由已知函数 $y=\left(m^{2}-m-1\right) x^{-2 m-3}$ 是幂函数列式, 得到 $\mathrm{m}=2$ 或 $\mathrm{m}=-1$, 结合函数的单调性,即可判断 $\mathrm{m}$ 的值.

三、解答题
题目（高一 · 代数）：(2020 - 吴江区模拟) 如图是一个算法的程序框图, 当输入的值 $x$ 为 8 时, 则其输出的结果是


选项：
答案：2
解析：解: $x=8>0$, 执行循环体, $x=x-3=5-3=2>0$, 继续执行循环体,

$x=x-3=2-3=-1<0$, 满足条件, 退出循环体, 故输出 $y=0.5^{-1}=\left(\frac{1}{2}\right)-1=2$.

故答案为: 2
题目（高一 · 代数）：（2019$\cdot$苏州模拟）如图所示是一个算法的伪代码，输出结果是


选项：
答案：14 .
解析：解：由程序语句得程序的流程为:

$$
\begin{aligned}
& a=2, \quad S=0+2=2 \\
& a=2 \times 2=4, \quad S=2+4=6 \\
& a=2 \times 4=8, \quad S=8+6=14
\end{aligned}
$$

故输出 $S=14$.

故答案为: 14 .
题目（高一 · 代数）：（2019 春・鄂州期末）运行如图所示的程序, 其输出的结果为


选项：
答案：1 .
解析：解: 由程序语句知, 第一次运行 $s=0+5, n=5-1=4$;
第二次运行 $s=0+5+4=9, n=4-1=3$;

第三次运行 $s=9+3=12, n=3-1=2$;

第四次运行 $s=12+2=14, n=2-1=1$, 不满足条件 $s<14$, 输出 $n=1$.

故答案为: 1 .
题目（高一 · 代数）：（2019 秋 -内江期末）秦九韶是我国南宋时期的数学家, 普州（现四川省安岳县）人, 他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法, 至今仍是比较先进的算法. 已知一个 5 次多项式为 $f(x)=4 x^{5}-3 x^{3}-2 x^{2}-5 x+1$, 用秦九韶算法求这个多项式当 $x=3$ 时的值为 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：859.
解析：解: $f(x)=4 x^{5}-3 x^{3}-2 x^{2}-5 x+1=((((4 x) x-3) x-2) x-5) x+1$,

则 $f(3)=((((4 \times 3) \times 3-3) \times 3-2) \times 3-5) \times 3+1=859$,

故答案为: 859.
题目（高一 · 代数）：（2020 秋・广西期中）已知 $f(x)=x^{5}-2 x^{3}+3 x^{2}-x+1$, 应用秦九韶算法计算 $x=3$ 时的值时, $v_{3}$的值为 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：24 .
解析：解: 由秦九韶算法可得 $f(x)=x^{5}-2 x^{3}+3 x^{2}-x+1=((((x+0) x-2) x+3) x-1)$

$$
\begin{aligned}
& x+1 \\
& \therefore v_{0}=1 \\
& v_{1}=1 \times 3+0=3 \\
& v_{2}=3 \times 3-2=7
\end{aligned}
$$

$v_{3}=7 \times 3+3=24$.

故答案为: 24 .
题目（高一 · 代数）：(2020 春・黄山期末) 已知函数 $f(x)=x^{5}+2 x^{4}+x^{3}-x^{2}+3 x-5$, 用秦九韶算法计算 $f(5)=$ \$ \qquad \$
选项：
答案：4485 .
解析：解: $f(x)=x^{5}+2 x^{4}+x^{3}-x^{2}+3 x-5=((((x+2) x+1) x-1) x+3) x-5$

则 $f(5)=((((5+2) 5+1) 5-1) 5+3) 5-5$

$=4485$.

故答案为: 4485 .
题目（高一 · 代数）：（2019 春・息县期中）用秦九韶算法求多项式 $f(x)=4 x^{5}+2 x^{4}+3.5 x^{3}-2.6 x^{2}+1.7 x-0.8$ 当 $x=3$ 时的值为 \$ \qquad \$ ;
选项：
答案：1209.4 .
解析：解: $\because v_{0}=4, v_{1}=4 \times 3+2=14, v_{2}=14 \times 3+3.5=45.5, v_{3}=45.5 \times 3-2.6=133.9, v_{4}=$ $133.9 \times 3+1.7=403.4, \quad v_{5}=403.4 \times 3-0.8=1209.4$.

故答案为: 1209.4 .
题目（高一 · 代数）：（2020$\cdot$江苏模拟）如图是某算法的伪代码, 输出的结果 $S$ 的值为


选项：
答案：18 .
解析：解：模拟算法的运行过程, 如下;

$$
i=1, \quad S=2
$$

$S=2+1=3, \quad i=3$,

$S=3+3=6, \quad i=5$,

$S=6+5=11, \quad i=7$,

$S=11+7=18, \quad i=9 ;$

终止循环, 输出 $S=18$.

故答案为: 18 .
题目（高一 · 代数）：020$\cdot$ 陵区校级模拟) 根据如图所示的伪代码, 当输出 $y$ 的值为 $\frac{1}{2}$ 时, 则输入的 $x$ 的值为 \$ \qquad \$ .


选项：
答案：sqrt{e}$.
解析：根据如图所示的伪代码知, 程序的功能是输出函数 $y=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+1, x \leq 0 \\ \ln x, x>0\end{array}\right.$;

当输出 $y$ 的值为 $\frac{1}{2}$ 时, 若 $x \leqslant 0$, 则 $x^{2}+1=\frac{1}{2}$, 此时方程无解;

若 $x>0$, 则 $\ln x=\frac{1}{2}$, 解得 $x=\sqrt{e}$;

所以输入 $x$ 的值为 $\sqrt{e}$.

故答案为: $\sqrt{e}$.
题目（高一 · 代数）：（2020 春・商丘期末）如图所示的程序执行后输出的结果为


选项：
答案：32 .
解析：解：模拟程序的运行过程知,

$i=1$ 时, 满足条件 $S<25$, 得 $S=0+2 \times 1=2, i=3$;

$i=3$ 时, 满足条件 $S<25$, 得 $S=2+2 \times 3=8, i=5$;

$i=5$ 时, 满足条件 $S<25$, 得 $S=8+2 \times 5=18, i=7$;

$i=7$ 时, 满足条件 $S<25$, 得 $S=18+2 \times 7=32, i=9$;

$i=9$ 时, 不满足条件 $S<25$, 退出循环, 输出 $S=32$.

故答案为: 32 .
题目（高一 · 代数）：(2020$\cdot$鼓楼区校级模拟) 一个算法的伪代码如图所示, 执行此算法, 最后输出的 $S$ 的值为


选项：
答案：16 .
解析：解：模拟程序的运行过程，如下;

$k=1, S=1$,

进入循环;

$k=3, S=1+3=4$,

$k=5, \quad S=4+5=9$,

$k=7, \quad S=9+7=16$,

终止循环, 输出 $S=16$.

故答案为: 16 .
题目（高一 · 代数）：（2020 春 - 金牛区校级月考）在区间 $[0,1]$ 上任取两个数 $a 、 b$, 则函数 $f(x)=x^{2}+a x+b^{2}$ 无零点的概率为 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$\frac{3}{4}$.

<ImageHere>
解析：解: 若 $f(x)=x^{2}+a x+b^{2}$ 无零点, 则 $\triangle=a^{2}-4 b^{2}<0$,

又 $a, b \in[0,1]$, 故 $a<2 b$,
在平面直角坐标系 $a O b$ 中作出正方形 $O A B C$,

设直线 $a=2 b$ 与 $A B$ 交点为 $D$, 则 $D$ 为 $A B$ 的中点,

故当点（ $a, b ）$ 在梯形 $D B C O$ （不含边界 $O D ）$ 时, 函数 $f(x)$ 无零点.

故所求概率 $P=\frac{S_{\text {梯柇 } B C O D}}{S_{\text {正方形 } O A B C}}=\frac{3}{4}$.

故答案为: $\frac{3}{4}$.
题目（高一 · 逻辑题）：已知实数集合 $\{1,2,3, x\}$ 的最大元素等于该集合的所有元素之和, 则 $x=$
选项：
答案：-3
解析：因为实数集合 $\{1,2,3, x\}$ 的最大元素等于该集合的所有元素之和,

所以 $1+2+3+x=x$ (无解) 或者 $1+2+3+x=3$, 解得: $x=-3$.

故答案为: -3 .

【分析】根据题意求元素的关系.
题目（高一 · 逻辑题）：若集合 $A=\{x \mid x \leq m\}, B=\{x \mid x \geq-1\}$, 且 $A \cap B=\{m\}$, 则实数 $\mathrm{m}$ 的值为
选项：
答案：-1
解析：解: $\because A=\{x \mid x \leq m\}, B=\{x \mid x \geq-1\}$, 且 $A \cap B=\{m\}$,

$\therefore m=-1$,

故答案为: -1 .

【分析】直接根据交集运算的定义求解即可.
题目（高一 · 逻辑题）：如果规定: $x=y, y=z$, 则 $x=z$, 叫作 $x, y, z$ 关于相等关系具有传递性, 那么空间三个平面 $\alpha, \beta, \gamma$ 关于相交、垂直、平行这三种关系中具有传递性的是
选项：
答案：平行
解析：由平面与平面的位置关系及两个平面平行、垂直的定义、判定定理，知平面平行具有传递性，相交、垂直都不具有传递性.
题目（高一 · 逻辑题）：（2017 秋・云岩区校级月考）下面程序执行后输出的结果是 \$ \qquad \$ , 若要求画出对应的猜想框

图, 则选择程序框有 \$ \qquad \$ .


选项：
答案：52,1 处.
解析：解：模拟执行程序语言，如下;

$T=1, \quad S=0$,

第 1 次循环, $S=0+1=1, T=1+1=2$;

第 2 次循环, $S=1+1=2, T=2+1=3$;

第 3 次循环, $S=2+1=3, T=3+1=4$;

$\cdots ;$

第 51 次循环, $S=50+1=51, T=51+1+52$;

此时不满足条件 $S \leqslant 50$, 终止循环, 输出 $T=52$.

若要求画出对应的猜想框图, 则选择程序框有 1 处.

故答案为: 52,1 处.
题目（高一 · 组合数学）：已知集合 $P=\{1,2,3,4,5\}$, 若 $A, B$ 是 $P$ 的两个非空子集, 则所有满足 $A$ 中的最大数小于 $B$ 中的最小数的集合对 $(A, B)$ 的个数为
选项：
答案：49
解析：当 $A$ 中的最大数为 1 , 即 $A=\{1\}$ 时, $B=\{2\},\{3\},\{4\},\{5\},\{2,3\},\{2,4\},\{2,5\}$, $\{3,4\},\{3,5\},\{4,5\},\{2,3,4\},\{2,3,5\},\{2,4,5\},\{3,4,5\},\{2,3,4,5\} ;$

所以满足题意的集合对 $(A, B)$ 的个数为 15 个;

当 $A$ 中的最大数为 2 , 即 $A=\{2\},\{1,2\}$ 时, $B=\{3\},\{4\},\{5\},\{3,4\},\{3,5\},\{4,5\},\{3,4,5\}$;即满足题意的集合对 $(A, B)$ 的个数为 $2 \times 7=14$ 个;

当 $A$ 中的最大数为 3 , 即 $A=\{3\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}$ 时, $B=\{4\},\{5\},\{4,5\}$, 即满足题意的集合对 $(A, B)$ 的个数 $4 \times 3=12$ 个;

当 $A$ 中的最大数为 4 , 即 $A=\{4\},\{1,4\},\{2,4\},\{3,4\},\{1,2,4\},\{1,3,4\},\{2,3,4\},\{1,2,3,4\}$ 时, $B=\{5\}$, 即满足题意的集合对 $(A, B)$ 的个数为 8 个;

所以总共个数为 49 个.

【分析】分 $A$ 中的最大数为 $1, A$ 中的最大数为 $2, A$ 中的最大数为 $3, A$ 中的最大数为 4 , 四种情况, 根据题意列举出满足条件的集合 $A, B$, 即可得出结果.
题目（高一 · 组合数学）：已知集合 $A=\{1,2,3\}, B=\{2,3,4\}$, 则集合 $A \cup B$ 中元素的个数为
选项：
答案：4
解析：解: 因为集合 $A=\{1,2,3\}, B=\{2,3,4\}$,

所以 $A \cup B=\{1,2,3,4\}$.

所以集合 $A \cup B$ 中元素的个数为 4 ,

故答案为 4 。

【分析】本题首先可以通过题意得出集合 $\mathrm{A}$ 以及集合 $\mathrm{B}$ 所包含的元素，然后利用并集定义写出 $A \cup B$, 即可得出结果。
题目（高一 · 组合数学）：设 $A, B$ 是非空集合, 定义 $A \times B=\{x \mid x \in A \cup B$ 且 $x \notin A \cap B\}$, 已知 $A=\{x \mid 0 \leq x \leq 3\}, B=\{x \mid x>1\}$, 则 $A \times B=$
选项：
答案：$\{x \mid 0 \leq x \leq 1$, 或 $x>3\}$
解析：解：根据题意可知 $A \times B$ 表示的图像如下图阴影部分所示，


而 $A=\{x \mid 0 \leq x \leq 3\}, B=\{x \mid x>1\}, \quad A \cap B=\{x \mid 1<x \leq 3\}, \quad A \cup B=\{x \mid x \geq 0\}$,

故 $A \times B=\{x \mid 0 \leq x \leq 1$, 或 $x>3\}$.

故填: $\{x \mid 0 \leq x \leq 1$, 或 $x>3\}$.

【分析】由已知给出的定义, 得到 $A \times B$ 所表示的韦恩图, 利用交集，并集的运算即可求出 $A \times B$.
题目（高一 · 组合数学）：福利彩票的中奖号码是从 1-36 的号码中, 依次选出 7 个号码来确定的, 这种从 36 个号码中选 7 个号码的抽样方法是
选项：
答案：抽签法
解析：抽签法，故答案为:抽签法
题目（高一 · 组合数学）：在平时的生活中, 对于抽签, 有人认为先抽白人会占便宜, 这种想法 （填“正确”或 “不正确”)
选项：
答案：不正确
解析：不正确 抽签时每个个体被抽到的机会是相等的, 与先后顺序无关.故答案为:不正确
题目（高一 · 组合数学）：一个布袋中有 10 个同样质地的小球，从中不放回地依次抽取 3 个小球，则某一特定小球被抽到的可能性是 \$ \qquad \$ , 第三次抽取时, 剩余每个小球被抽到的可能性是
选项：
答案：1
解析：因为简单随机抽样过程中每个个体被抽到的可能性均为, 所以第一个空填因
本题中的抽样是不放回抽样, 所以第一次抽取时, 每个小球被抽到的可能性为 1 , 第二次抽取时, 剩余 9 个小球，每个小球被抽到的可能性为 2 , 第三次抽取时, 剩余 8 个小球，每个小球被抽到的可能性为 1 .故答案为:1
题目（高一 · 组合数学）：(2019 秋・南充期末) 把十进制数 10 化为二进制数为 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：1010 (2).
解析：解: $10 \div 2=5 \cdots 0$

$5 \div 2=2 \cdots 1$

$2 \div 2=1 \cdots 0$

$1 \div 2=0 \cdots 1$

故 $10{ }_{(10)}=1010(2)$

故答案为: 1010 (2).
题目（高一 · 组合数学）：（2020 秋・天津期末）从 11 至 14 世纪涌现出一批著名的数学家和其创作的数学著作, 如秦九韶的《数书九章》, 李冶的《测圆海镜》, 杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》. 某学校团委为拓展学生课外学习兴趣, 现从上述五部著作中任意选择两部作为学生课外拓展学习的参考书目，则所选的两部中至少有一部不是杨辉著作的概率为
选项：
答案：$\frac{7}{10}$.
解析：解: 秦九韶的《数书九章》, 李冶的《测圆海镜》, 杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》.

某学校团委为拓展学生课外学习兴趣, 现从上述五部著作中任意选择两部作为学生课外拓展学习的参考书目，

基本事件总数 $n=C_{5}^{2}=10$,

所选的两部中至少有一部不是杨辉著作包含的基本事件个数 $m=C_{2}^{2}+C_{3}^{1} C_{2}^{1}=7$,

则所选的两部中至少有一部不是杨辉著作的概率 $P=\frac{m}{n}=\frac{7}{10}$.

故答案为: $\frac{7}{10}$.
题目（高一 · 组合数学）：（2020 秋 - 沙依巴克区校级期末）一个袋中装有大小相同的 5 个球, 现将这 5 个球分别编号为 1 、 $2 、 3 、 4 、 5$, 从袋中取出两个球, 每次只取出一个, 并且取出的球不放回, 求取出的两个球上编号之积为奇数的概率为
选项：
答案：$\frac{3}{10}$.
解析：解: 一个袋中装有大小相同的 5 个球, 现将这 5 个球分别编号为 $1 、 2 、 3 、 4 、 5$,从袋中取出两个球, 每次只取出一个, 并且取出的球不放回,基本事件总数 $n=5 \times 4=20$,取出的两个球上编号之积为奇数包含的基本事件个数 $m=3 \times 2=6$.

$\therefore$ 取出的两个球上编号之积为奇数的概率 $P=\frac{m}{n}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$.

故答案为: $\frac{3}{10}$.
题目（高一 · 解析几何）：若 $f(x)=\frac{2 x-5}{x+3}, x \in[1,4)$, 则 $f(x)$ 的值域是 (请用区间表示)
选项：
答案：$\left[-\frac{3}{4}, \frac{3}{7}\right)$
解析：$f(x)=\frac{2 x-5}{x+3}=\frac{2 x+6-11}{x+3}=2-\frac{11}{x+3}$,

函数 $f(x)$ 在 $[1,4)$ 上为增函数,

而 $f(1)=-\frac{3}{4}, \quad f(4)=\frac{3}{7}$,

则函数 $f(x)$ 的值域为 $\left[-\frac{3}{4}, \frac{3}{7}\right)$.

【分析】由已知得到 $f(x)=2-\frac{11}{x+3}$, 判断函数 $f(x)$ 在 $[1,4)$ 上为增函数, 计算 $f(1)=-\frac{3}{4}$, $f(4)=\frac{3}{7}$, 即可求出函数 $f(x)$ 的值域.
题目（高一 · 解析几何）：已知 $f(\sqrt{x}-1)=x-2 \sqrt{x}$, 则 $f(1)=$
选项：
答案：0
解析：令 $t=\sqrt{x}-1 \geq-1$, 得 $x=(t+1)^{2}$,

$\therefore f(t)=(t+1)^{2}-2(t+1)=t^{2}-1$,
$\therefore f(x)=x^{2}-1(x \geq-1)$, 因此, $f(1)=1^{2}-1=0$.

故答案为: 0 .

【分析】先利用换元法求出函数 $y=f(x)$ 的解析式, 然后可计算出 $f(1)$ 的值
题目（高一 · 解析几何）：函数 $y=\sqrt{x^{2}+2 x-3}$ 的单调递减区间是
选项：
答案：$(-\infty,-3]$
解析：因为函数 $y=\sqrt{x^{2}+2 x-3}$ 有意义,

则满足 $x^{2}+2 x-3 \geq 0 \Leftrightarrow(x+3)(x-1) \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1, x \leq-3$,

而二次函数 $y=x^{2}+2 x-3$ 开口向上, 对称轴为 $x=1$,

那么根据复合函数的单调性, 可知当 $x \leq-3$ 时, 函数是递减的,

因此答案为 $(-\infty,-3]$.

【分析】首先求出函数的定义域，结合二次函数的图像求出其单调区间，再利用符合函数的单调性：单调性一致为增不一致为减, 即可求出结果。
题目（高一 · 解析几何）：已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a}^{\mathrm{x}-2}-4(\mathrm{a}>0, \mathrm{a} \neq 1)$ 的图象恒过定点 $\mathrm{A}$, 则 $\mathrm{A}$ 的坐标为
选项：
答案：$(2,-3)$
解析：$\because$ 函数 $f(x)=a^{x-2}-4$, 其中 $a>0, a \neq 1$,

令 $x-2=0$ 可得 $x=2, \quad a^{x-2}=1$,

$\therefore f(x)=1-4=-3$,

$\therefore$ 点 $A$ 的坐标为 $(2,-3)$,

故答案为: $(2,-3)$.

【分析】根据指数函数的图像恒过点 $(0,1)$, 令 $x-2=0$ 可得 $x=2, \quad a^{x-2}=1$, 可得 $f(x)=1-4=-3$, 从而得恒过点的坐标.
题目（高一 · 解析几何）：设幂函数 $f(x)=k x^{a}$ 的图像经过点 $(4,2)$, 则 $k+\alpha=$
选项：
答案：$\frac{3}{2}$
解析：由题意得 $k=1,2=4^{\alpha} \Rightarrow \alpha=\frac{1}{2} \therefore k+\alpha=\frac{3}{2}$

【分析】利用已知条件幂函数的图象经过点 $(4,2)$, 借助代入法和幂函数的定义求出 $\mathrm{k}$ 和 $\mathrm{a}$ 的值, 从而求出 $\mathrm{k}+\mathrm{a}$ 的值。