eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高一 · 计数）：指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件:

（1）某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军;

（2）某人给其朋友打电话, 却忘记他朋友的电话号码的最后一个数字, 就随意在键盘上按了一个数字, 恰巧是他朋友的电话号码;

(3) 同时郑两枚骰子, 向上一面的两个点数之和为 13 ;

（4）同时掷两枚股子, 向上一面的两个点数之和不小于 2 .
选项：
答案：（1）（2）可能发生也可能不发生, 是随机事件; 同时郑两枚戳子，向上一
面的两个点数之和最大为 12 , 因此 “向上一面的两个点数之和为 13 ” 不可能发生, 因此

（3）是不可能事件; “向上一面的两个点数之和不小于 2 ”一定发生, 因此（4）是必然事件。
解析：（1）（2）可能发生也可能不发生, 是随机事件; 同时郑两枚戳子，向上一
面的两个点数之和最大为 12 , 因此 “向上一面的两个点数之和为 13 ” 不可能发生, 因此

（3）是不可能事件; “向上一面的两个点数之和不小于 2 ”一定发生, 因此（4）是必然事件。
题目（高一 · 计数）：有甲，乙两家健身中心，两家设备和服务都相当，但收费方式不同．甲中心每小时 5 元; 乙中心按月计算, 一个月中 30 小时以内(含 30 小时) 90 元, 超过 30 小时的部分每小时 2 元. 某人准备下个月从这两家中选择一家进行健身活动，其活动时间不少于 15 小时，也不超过 40 小时.

(1) 设在甲中心健身活动 $x(15 \leqslant x \leqslant 40)$ 小时的收费为 $f(x)$ 元, 在乙中心健身活动 $x$ 小时的收费为 $g(x)$ 元,试求 $f(x)$ 和 $g(x)$;

(2)问: 选择哪家比较合算? 为什么?
选项：
答案：【解】(1)f(x)=5x,15 $\leqslant x \leqslant 40$, $g(x)=\left\{\begin{array}{l}90,15 \leqslant x \leqslant 30 \\ 30+2 x, 30<x \leqslant 40 .\end{array}\right.$

(2)当 $5 x=90$ 时, $x=18$,

即当 $15 \leqslant x<18$ 时, $f(x)<g(x)$;

当 $x=18$ 时, $f(x)=g(x)$,

当 $18<x \leqslant 40$ 时, $f(x)>g(x)$.

所以当 $15 \leqslant x<18$ 时, 选甲比较合算; 当 $x=18$ 时, 两家一样合算; 当 $18<x \leqslant 40$ 时, 选乙比较合算.
解析：【解】(1)f(x)=5x,15 $\leqslant x \leqslant 40$, $g(x)=\left\{\begin{array}{l}90,15 \leqslant x \leqslant 30 \\ 30+2 x, 30<x \leqslant 40 .\end{array}\right.$

(2)当 $5 x=90$ 时, $x=18$,

即当 $15 \leqslant x<18$ 时, $f(x)<g(x)$;

当 $x=18$ 时, $f(x)=g(x)$,

当 $18<x \leqslant 40$ 时, $f(x)>g(x)$.

所以当 $15 \leqslant x<18$ 时, 选甲比较合算; 当 $x=18$ 时, 两家一样合算; 当 $18<x \leqslant 40$ 时, 选乙比较合算.
题目（高一 · 计数）：某人对东北一种松树的生长进行了研究, 收集了其高度 $h$ (米)与生长时间 $t$ (年)的相关数据, 选择 $h=m t$ $+b$ 与 $h=\log _{a}(t+1)$ 来刻画 $h$ 与 $t$ 的关系, 你认为哪个符合 $?$ 并预测第 8 年的松树高度.

| $t$ (年) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $h($ 米 $)$ | 0.6 | 1 | 1.3 | 1.5 | 1.6 | 1.7 |
选项：
答案：【解】据表中数据作出散点图如图:

<ImageHere>

由图可以看出用一次函数模型不吻合, 选用对数型函数比较合理.

将 $(2,1)$ 代入到 $h=\log _{a}(t+1)$ 中, 得 $1=\log _{a} 3$, 解得 $a=3$. 即 $h=\log _{3}(t+1)$.

当 $t=8$ 时, $h=\log _{3}(8+1)=2$,

故可预测第 8 年松树的高度为 2 米。
解析：【解】据表中数据作出散点图如图:



由图可以看出用一次函数模型不吻合, 选用对数型函数比较合理.

将 $(2,1)$ 代入到 $h=\log _{a}(t+1)$ 中, 得 $1=\log _{a} 3$, 解得 $a=3$. 即 $h=\log _{3}(t+1)$.

当 $t=8$ 时, $h=\log _{3}(8+1)=2$,

故可预测第 8 年松树的高度为 2 米。
题目（高一 · 计数）：某工厂今年 1 月、 2 月、 3 月生产某种产品分别为 1 万件、 1.2 万件、 1.3 万件. 为了估计以后每个月的产量, 以这 3 个月的产品数量为依据, 用一个函数来模拟该产品的月产量 $y$ 与月份 $x$ 的关系. 模拟函数可以选用二次函数或函数 $y=a \cdot b^{x}+c(a, b, c$ 为常数). 已知 4 月份该产品的产量为 1.37 万件, 试问用以上哪个函数作为模拟函数较好. 并说明理由.
选项：
答案：设两个函数：

$y_{1}=f(x)=p x^{2}+q x+r(p \neq 0)$,

$y_{2}=g(x)=a \cdot b^{x}+c$.

依题意,

$\left\{\begin{array}{l}f(1)=p+q+r=1, \\ f(2)=4 p+2 q+r=1.2, \\ f(3)=9 p+3 q+r=1.3,\end{array}\right.$

解得 $\left\{\begin{array}{l}p=-0.05, \\ q=0.35, \\ r=0.7 .\end{array}\right.$

$\therefore y_{1}=f(x)=-0.05 x^{2}+0.35 x+0.7$,

$\therefore f(4)=1.3$ (万件).

依题意, $\left\{\begin{array}{l}g(1)=a b+c=1, \\ g(2)=a b^{2}+c=1.2, \\ g(3)=a b^{3}+c=1.3,\end{array}\right.$

解得 $\left\{\begin{array}{l}a=-0.8, \\ b=0.5, \\ c=1.4 .\end{array}\right.$

$\therefore y_{2}=g(x)=-0.8 \times 0.5^{x}+1.4$.

$\therefore g(4)=-0.8 \times 0.5^{4}+1.4=1.35$ (万件).

经比较, $g(4)=1.35$ 万件比 $f(4)=1.3$ 万件更接近于 4 月份的产量 1.37 万件.
解析：设两个函数：

$y_{1}=f(x)=p x^{2}+q x+r(p \neq 0)$,

$y_{2}=g(x)=a \cdot b^{x}+c$.

依题意,

$\left\{\begin{array}{l}f(1)=p+q+r=1, \\ f(2)=4 p+2 q+r=1.2, \\ f(3)=9 p+3 q+r=1.3,\end{array}\right.$

解得 $\left\{\begin{array}{l}p=-0.05, \\ q=0.35, \\ r=0.7 .\end{array}\right.$

$\therefore y_{1}=f(x)=-0.05 x^{2}+0.35 x+0.7$,

$\therefore f(4)=1.3$ (万件).

依题意, $\left\{\begin{array}{l}g(1)=a b+c=1, \\ g(2)=a b^{2}+c=1.2, \\ g(3)=a b^{3}+c=1.3,\end{array}\right.$

解得 $\left\{\begin{array}{l}a=-0.8, \\ b=0.5, \\ c=1.4 .\end{array}\right.$

$\therefore y_{2}=g(x)=-0.8 \times 0.5^{x}+1.4$.

$\therefore g(4)=-0.8 \times 0.5^{4}+1.4=1.35$ (万件).

经比较, $g(4)=1.35$ 万件比 $f(4)=1.3$ 万件更接近于 4 月份的产量 1.37 万件.
题目（高一 · 计数）：（2020 秋・双塔区校级期末）某学校为了调查该校学生在一周零食方面的支出情况, 抽出了一个容量为 $n$ 的样本，分成四组 $[20 ， 30 ）,[30 ， 40 ）,[40 ， 50 ）,[50 ， 60]$, 其频率分布直方图如图所示, 其中支出在 $[50,60]$ 元的学生有 180 人.

(1) 请求出 $n$ 的值;

(2) 请以样本估计全校学生的平均支出为多少元（同一组的数据用该区间的中点值作代表）;

（3）如果采用分层抽样的方法从 $[30 ， 40 ）,[40,50 ）$ 共抽取 5 人，然后从中选取 2 人参加学校进一步的座谈会，求在[30，40），[40，50）中正好各抽取一人的概率为多少.


选项：
答案：解: (1) 支出在 $[50,60]$ 元的学生的频率为: 1 - $(0.01+0.024+0.036) \times 10=0.3$,所以, $n=\frac{180}{0.3}=600$;

（2）由频率分布直方图可知，平均支出为: $25 \times 0.01 \times 10+35 \times 0.024 \times 10+45 \times 0.036 \times 10+55 \times 0.03$ $\times 10=43.6 ;$

（3）由题意可知 $[30,40 ）,[40,50 ）$ 分别有 $600 \times 0.024 \times 10=144,600 \times 0.036 \times 10=216$, 故在 $[30,40 ）$ 中抽取 2 人, 在 $[40,50 ）$ 中抽取 3 人,

设事件 $A$ 为: 在 $[30,40),\left[40,50 ）\right.$ 中正好各抽取一人, 则 $P(A)=\frac{C_{2}^{1} C_{3}^{1}}{C_{5}^{2}}=\frac{3}{5}$.
解析：解: (1) 支出在 $[50,60]$ 元的学生的频率为: 1 - $(0.01+0.024+0.036) \times 10=0.3$,所以, $n=\frac{180}{0.3}=600$;

（2）由频率分布直方图可知，平均支出为: $25 \times 0.01 \times 10+35 \times 0.024 \times 10+45 \times 0.036 \times 10+55 \times 0.03$ $\times 10=43.6 ;$

（3）由题意可知 $[30,40 ）,[40,50 ）$ 分别有 $600 \times 0.024 \times 10=144,600 \times 0.036 \times 10=216$, 故在 $[30,40 ）$ 中抽取 2 人, 在 $[40,50 ）$ 中抽取 3 人,

设事件 $A$ 为: 在 $[30,40),\left[40,50 ）\right.$ 中正好各抽取一人, 则 $P(A)=\frac{C_{2}^{1} C_{3}^{1}}{C_{5}^{2}}=\frac{3}{5}$.
题目（高一 · 计数）：（2021・一模拟）从某小区抽取 100 户居民进行月用电量调查, 发现其用电量都在 50 至 350 度之间，频率分布直方图如图所示.

(I) 求直方图中 $x$ 的值;

（II）（i ）求在这些用户中，用电量在区间[100，250）内的居民数;

(ii)如果按分层抽样方法, 在这些用户中按 $1: 10$ 的比例抽取用户进一步调查, 那么用电量在[150, 200）内的居民数应抽取多少?


选项：
答案：解：（I）由频率分布直方图得：

$(0.0012+0.0024 \times 2+0.0036+\chi+0.0060) \times 50=1$,

解得直方图中 $x=0.0044$.

( II ) (i ) 用电量在 $[100,250$ ) 内的频率为:

$(0.0036+0.0060+0.0044) \times 50=0.7$,

$\therefore$ 在这些用户中，用电量在区间 $[100 ， 250 ）$ 内的居民数为 $100 \times 0.7=70$ 户.

(ii) 用电量在 $[150,200 ）$ 内的户数为 $0.0060 \times 50 \times 100=30$ (户),

按分层抽样方法, 在这些用户中按 1: 10 的比例抽取用户进一步调查,

用电量在 $\left[150 ， 200 ）\right.$ 内的居民数应该抽取： $30 \times \frac{1}{10}=3$ (户).
解析：解：（I）由频率分布直方图得：

$(0.0012+0.0024 \times 2+0.0036+\chi+0.0060) \times 50=1$,

解得直方图中 $x=0.0044$.

( II ) (i ) 用电量在 $[100,250$ ) 内的频率为:

$(0.0036+0.0060+0.0044) \times 50=0.7$,

$\therefore$ 在这些用户中，用电量在区间 $[100 ， 250 ）$ 内的居民数为 $100 \times 0.7=70$ 户.

(ii) 用电量在 $[150,200 ）$ 内的户数为 $0.0060 \times 50 \times 100=30$ (户),

按分层抽样方法, 在这些用户中按 1: 10 的比例抽取用户进一步调查,

用电量在 $\left[150 ， 200 ）\right.$ 内的居民数应该抽取： $30 \times \frac{1}{10}=3$ (户).
题目（高一 · 计数）：（2020 秋-番禺区校级期中）今年年初, 一场突如其来的新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着亿万人民的心, 疫情发生后, 党中央、国务院高度重视, 习近平总书记强调, 生命重于素山, 疫情就是命令, 防控就是责任, 把人民群众生命安全和身体健康放在第一位, 把疫情防控作为当前最重要的工作来抓．某市为增强市民的防疫保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者, 现从符合条件的志愿者中随机抽取 100 名按年龄分组: 第 1 组 $[20,25 ）$, 第 2 组 $[25,30 ）$, 第 3 组 $[30,35 ）$,第 4 组[35，40），第 5 组 $[40 ， 45 ）$ ，得到的频率分布直方图如图所示.

(1) 若从第 $3,4,5$ 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参与广场的宣传活动, 应从第 3,4 , 5 组各抽取多少名志愿者?

（2）在（1）的条件下，该市决定在该 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验, 求第 4 组志愿者有人被抽中的概率.


选项：
答案：解: (1) 从第 3, 4, 5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参与广场的宣传活动,应从第 3 组抽取: $6 \times \frac{0.06}{0.06+0.04+0.02}=3$ 名志愿者,

从第 4 组抽取: $6 \times \frac{0.04}{0.06+0.04+0.02}=2$ 名志愿者,

从第 5 组抽取: $6 \times \frac{0.02}{0.06+0.04+0.02}=1$ 名志愿者.

（2）在（1）的条件下，该市决定在该 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验,基本事件总数 $n=C_{6}^{2}=15$,

第 4 组志愿者有人被抽中包含的基本事件个数 $m=C_{2}^{2}+C_{2}^{1} C_{4}^{1}=9$,

$\therefore$ 第 4 组志愿者有人被抽中的概率 $P=\frac{m}{n}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$.
解析：解: (1) 从第 3, 4, 5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参与广场的宣传活动,应从第 3 组抽取: $6 \times \frac{0.06}{0.06+0.04+0.02}=3$ 名志愿者,

从第 4 组抽取: $6 \times \frac{0.04}{0.06+0.04+0.02}=2$ 名志愿者,

从第 5 组抽取: $6 \times \frac{0.02}{0.06+0.04+0.02}=1$ 名志愿者.

（2）在（1）的条件下，该市决定在该 6 名志愿者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验,基本事件总数 $n=C_{6}^{2}=15$,

第 4 组志愿者有人被抽中包含的基本事件个数 $m=C_{2}^{2}+C_{2}^{1} C_{4}^{1}=9$,

$\therefore$ 第 4 组志愿者有人被抽中的概率 $P=\frac{m}{n}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$.
题目（高一 · 计数）：（2020 春・海珠区校级月考）新冠肺炎疫情在我国爆发以来，我国举国上下众志成城、团结一致抗击新冠肺炎疫情，经过两个月的努力，我国的疫情已经得到有效控制，武汉也在逐渐恢复往日的活力. 为了解大众对新冠肺炎相关知识的掌握情况, 某网站发布了调查问卷, 问卷满分 100 分,并搜集到 50 份问卷反馈表. 根据这 50 份问卷得分情况，绘制了频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为 $[40 ， 50 ）,[50,60 ）, \cdots,[80,90 ）,[90,100 ）$.

(1) 求频率分布直方图中 $a$ 的值;

（2）由频率分布直方图估计评分的中位数（保留两位小数）与平均数;

（3）从评分在 $[40,60 ）$ 的观影者中随机抽取 2 人, 求至少有一人评分在 $[40,50 ）$ 的概率.


选项：
答案：解：（1）由频率分布直方图得：

$(0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018) \times 10=1$,

解得 $a=0.006$.

（2）由频率分布直方图得:

$[40,70)$ 的频率为: $(0.004+0.006+0.022) \times 10=0.32$,

$[70,80)$ 的频率为: $0.028 \times 10=0.28$,

$\therefore$ 估计评分的中位数为:

$70+\frac{0.5-0.32}{0.28} \times 10 \approx 70.64$.
平均数为: $45 \times 0.004 \times 10+55 \times 0.006 \times 10+65 \times 0.022 \times 10+75 \times 0.028 \times 10+85 \times 0.022 \times 10+95 \times$ $0.018 \times 10=76.2$.

（3）评分在 $[40,50 ）$ 的观影者有： $0.004 \times 10 \times 50=2$ 人, 评分在 $[50 ， 60 ）$ 的观影者有 $0.006 \times 10$ $\times 50=3$ 人,

从评分在 $\left[40,60\right.$ ) 的观影者中随机抽取 2 人, 基本事件总数 $n=C_{5}^{2}=10$,

至少有一人评分在 $\left[40,50\right.$ ）包含的基本事件个数 $m=C_{2}^{1} C_{3}^{1}+C_{2}^{2}=7$,

$\therefore$ 至少有一人评分在 $[40,50)$ 的概率 $P=\frac{m}{n}=\frac{7}{10}$.
解析：解：（1）由频率分布直方图得：

$(0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018) \times 10=1$,

解得 $a=0.006$.

（2）由频率分布直方图得:

$[40,70)$ 的频率为: $(0.004+0.006+0.022) \times 10=0.32$,

$[70,80)$ 的频率为: $0.028 \times 10=0.28$,

$\therefore$ 估计评分的中位数为:

$70+\frac{0.5-0.32}{0.28} \times 10 \approx 70.64$.
平均数为: $45 \times 0.004 \times 10+55 \times 0.006 \times 10+65 \times 0.022 \times 10+75 \times 0.028 \times 10+85 \times 0.022 \times 10+95 \times$ $0.018 \times 10=76.2$.

（3）评分在 $[40,50 ）$ 的观影者有： $0.004 \times 10 \times 50=2$ 人, 评分在 $[50 ， 60 ）$ 的观影者有 $0.006 \times 10$ $\times 50=3$ 人,

从评分在 $\left[40,60\right.$ ) 的观影者中随机抽取 2 人, 基本事件总数 $n=C_{5}^{2}=10$,

至少有一人评分在 $\left[40,50\right.$ ）包含的基本事件个数 $m=C_{2}^{1} C_{3}^{1}+C_{2}^{2}=7$,

$\therefore$ 至少有一人评分在 $[40,50)$ 的概率 $P=\frac{m}{n}=\frac{7}{10}$.
题目（高一 · 计数）：(2020 秋-锦州期末) 某中学高一年级举行了一次数学竞赛, 从中随机抽取了一批学生的成绩,经统计, 这批学生的成绩全部介于 50 至 100 之间, 将数据按照 $[50,60),[60,70),[70,80 ）$, $[80,90),[90,100]$ 的分组作出频率分布直方图如图所示.

(1) 求频率分布直方图中 $a$ 的值;

（2）若从高一学生中随机抽取一人，估计这名学生数学竞赛成绩不低于 80 分的概率;

（3）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替, 估计高一年级学生本次数学竞赛的平均分.


选项：
答案：解: (1) 由题意可知 $(0.005+0.030+0.035+a+0.010) \times 10=1$,解得 $a=0.020$.

(2) 抽取的样本中,成绩不低于 80 分的学生所占的比例是 $(a+0.010) \times 10=(0.020+0.010) \times 10=0.3$,所以若从高一学生中随机抽取一人,

估计这名学生数学竞赛成绩不低于 80 分的概率为 0.3 .

（3）因为（ $55 \times 0.005+65 \times 0.030+75 \times 0.035+85 \times 0.020+95 \times 0.010 ） \times 10=75$,因此估计高一年级学生本次数学竟赛的平均分为 75 .
解析：解: (1) 由题意可知 $(0.005+0.030+0.035+a+0.010) \times 10=1$,解得 $a=0.020$.

(2) 抽取的样本中,成绩不低于 80 分的学生所占的比例是 $(a+0.010) \times 10=(0.020+0.010) \times 10=0.3$,所以若从高一学生中随机抽取一人,

估计这名学生数学竞赛成绩不低于 80 分的概率为 0.3 .

（3）因为（ $55 \times 0.005+65 \times 0.030+75 \times 0.035+85 \times 0.020+95 \times 0.010 ） \times 10=75$,因此估计高一年级学生本次数学竟赛的平均分为 75 .
题目（高一 · 计数）：（2020 秋・大连期末）我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水进行了调查, 通过抽样, 获得了某年 100 个家庭的月均用水量 (单位: $t$ ), 将数据按照 $[0$, 1)，[1，2），[2，3），[3，4），[4，5]分成 5 组，制成了如图所示的频率分布直方图.

(I) 求图中 $a$ 的值;

（II）假设同组中的每个数据都用该组区间的中值点代替, 估计全市家庭月均用水量的平均数.


选项：
答案：解: ( I ) 由频率和为 1 , 得 $a=1-0.12-0.22-0.36-0.12=0.18$.

（II）计算平均数为 $\bar{x}=0.5 \times 0.12+1.5 \times 0.22+2.5 \times 0.36+3.5 \times 0.18+4.5 \times 0.12=2.46(t)$,估计全市家庭月均用水量的平均数为 $2.46 t$.
解析：解: ( I ) 由频率和为 1 , 得 $a=1-0.12-0.22-0.36-0.12=0.18$.

（II）计算平均数为 $\bar{x}=0.5 \times 0.12+1.5 \times 0.22+2.5 \times 0.36+3.5 \times 0.18+4.5 \times 0.12=2.46(t)$,估计全市家庭月均用水量的平均数为 $2.46 t$.
题目（高一 · 计数）：（2020 秋・辽宁期末）某班 50 名学生在一次百米测试中, 成绩全部介于 13 秒与 19 秒之间, 将测试结果按如下方式分成六组: 每一组, 成绩大于等于 13 秒且小于 14 秒; 第二组, 成绩大于等于 14 秒且小于 15 秒; …第六组, 成绩大于等于 18 秒且小于等于 19 秒. 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

（1）估计此次百米测试成绩的中位数（精确到 001）;

(2) 为了尽快提高学生的体育成绩, 对此次百米测试成绩不小于 17 秒的两组同学进行特训, 特训一段时间后有两位同学成绩符合要求, 求这两位同学来自同一组的概率.


选项：
答案：解: (1) 前两组的概率和为 $0.02+0.18=0.2$, 前三组的概率和为 $0.02+0.18+036=0.56$,所以 $0.5-0.2=0.3$,故中位数为 $15+\frac{0.3}{0.36} \approx 15.83$;

（2）由已知记第五组的频数为 $50 \times 0.06 \times 1=3$, 同理第六组的频数为 2 ,记第五组的学生为 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$, 第六组的学生为 $b_{1}, b_{2}$,因为不小于 17 秒的两组同学进行特训, 特训一段时间后有两位同学成绩符合要求,则样本空间中所有基本事件为 $\Omega=\left\{\left(a_{1}, a_{2}\right),\left(a_{1}, a_{3}\right),\left(a_{1}, b_{1}\right),\left(a_{1}, b_{2}\right),\left(a_{2}, a_{3}\right)\right.$, $\left.\left(a_{2}, b_{1}\right),\left(a_{2}, b_{2}\right),\left(a_{3}, b_{1}\right),\left(a_{3}, b_{2}\right),\left(b_{1}, b_{2}\right)\right\}$

共 10 个样本点,

记事件 $A$ : 两位同学来自同一组, 则

$A=\left\{\left(a_{1}, a_{2}\right),\left(a_{1}, a_{3}\right),\left(a_{2}, a_{3}\right),\left(b_{1}, b_{2}\right)\right\}$ 共 4 个基本事件样本点;
故 $P(A)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$.

故这两位同学来自同一组的概率为 $\frac{2}{5}$.
解析：解: (1) 前两组的概率和为 $0.02+0.18=0.2$, 前三组的概率和为 $0.02+0.18+036=0.56$,所以 $0.5-0.2=0.3$,故中位数为 $15+\frac{0.3}{0.36} \approx 15.83$;

（2）由已知记第五组的频数为 $50 \times 0.06 \times 1=3$, 同理第六组的频数为 2 ,记第五组的学生为 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$, 第六组的学生为 $b_{1}, b_{2}$,因为不小于 17 秒的两组同学进行特训, 特训一段时间后有两位同学成绩符合要求,则样本空间中所有基本事件为 $\Omega=\left\{\left(a_{1}, a_{2}\right),\left(a_{1}, a_{3}\right),\left(a_{1}, b_{1}\right),\left(a_{1}, b_{2}\right),\left(a_{2}, a_{3}\right)\right.$, $\left.\left(a_{2}, b_{1}\right),\left(a_{2}, b_{2}\right),\left(a_{3}, b_{1}\right),\left(a_{3}, b_{2}\right),\left(b_{1}, b_{2}\right)\right\}$

共 10 个样本点,

记事件 $A$ : 两位同学来自同一组, 则

$A=\left\{\left(a_{1}, a_{2}\right),\left(a_{1}, a_{3}\right),\left(a_{2}, a_{3}\right),\left(b_{1}, b_{2}\right)\right\}$ 共 4 个基本事件样本点;
故 $P(A)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$.

故这两位同学来自同一组的概率为 $\frac{2}{5}$.
题目（高一 · 计数）：020 秋-秦安县校级期末）某单位对三个车间的人数统计情况如表: 用分层抽样的方法从三个车间抽取 30 人，其中三车间有 12 人.

|  | 一车间 | 二车间 | 三车间 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 男职工 | 200 | 100 | 250 |
| 女职工 | 600 | $k$ | 550 |

(1) 求 $k$ 的值.

(2) 为了考察职工加班情况, 从编号 000 199 中的一车间男职工中, 用系统抽样法先后抽取 5 人的全年加班天数分别为 $75,79,82,73,81$. 已知 73 对应的编号为 145 , 则 75 对应的编号是多少？并求这五个人加班天数的方差.
选项：
答案：解: (1) 由题意得 $\frac{12}{30}=\frac{800}{k+1700}$, 解得 $k=300$;

（2）由题意得，抽取间距 $d=\frac{200}{5}=40$,

设 75 对应的编号是 $m$, 则 $145=m+(4-1) \times 40, m=25$,

所以 75 对应的编号是 25 ,

故 $\bar{x}=\frac{1}{5}(75+79+82+73+81)=78$,

$s^{2}=\frac{1}{5}\left[(75-78)^{2+}(79-78)^{2}+(82-78)^{2}+(73-78)^{2}+(81-78)^{2}\right]=12$.
解析：解: (1) 由题意得 $\frac{12}{30}=\frac{800}{k+1700}$, 解得 $k=300$;

（2）由题意得，抽取间距 $d=\frac{200}{5}=40$,

设 75 对应的编号是 $m$, 则 $145=m+(4-1) \times 40, m=25$,

所以 75 对应的编号是 25 ,

故 $\bar{x}=\frac{1}{5}(75+79+82+73+81)=78$,

$s^{2}=\frac{1}{5}\left[(75-78)^{2+}(79-78)^{2}+(82-78)^{2}+(73-78)^{2}+(81-78)^{2}\right]=12$.
题目（高一 · 计数）：(12 分) 给出以下 10 个数: $5,9,80,43,95,73,28,17,60,36$. 要求把大于 40 的数找出并输出, 试画出该问题的算法程序框图.
选项：
答案：见解析.
解析：程序框图如下：

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_03ea579800d3c478dd9eg-
题目（高一 · 计数）：（12 分）下面程序的功能是输出 1 100 之间的所有偶数. 程序: $\mathrm{i}=1$

DO

$\mathrm{m}=\mathrm{iMOD} 2$

IF(1)THEN

PRINTi

ENDIF
选项：
答案：(1) $y=100(1
解析：】(1) $y=100(1+
题目（高一 · 计数）：（10 分）某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图(每组数据包括右端点但不包括左端点), 请你根据统计图解答下列问题:用户用水量频数直方图

用户用水量扇形统计图



（1）此次抽样调查的样本容量是

（2）补全频数分布直方图，求扇形图中“15 吨 20 吨”部分的圆心角的度数;

（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户 25 吨, 那么该地区 6 万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格.
选项：
答案：(1) 100 ；(2) 见解析, $792^{\circ}$; (3) $4 \sqrt{58}$ 万户.
解析：(1) $10 \div 10 \%=100$

（2）用水 $15 \sim 20$ 吨的户数为 $100-10-36-24-8=22$ (户),

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_03ea579800d3c478dd9eg-
题目（高一 · 计数）：(12 分) 某校为了了解甲、乙两班的数学学习情况, 从两班各抽出 10 名学生进行数学水平测试, 成绩如下(单位: 分):甲班: $828485897980 \quad 91897974$乙班: $90 \quad 768681848786828583$

(1) 求两个样本的平均数;

(2) 求两个样本的方差和标准差;

（3）试分析比较两个班的学习情况.
选项：
答案：(1) $\overline{x_{\varphi}}
解析：】(1) $\overline{x_{\varphi}}=
题目（高一 · 计数）：(12 分) 某公司计划购买 1 台机器, 该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件, 在购进机器时, 可以额外购买这种零件作为备件, 每个 200 元. 在机器使用期间, 如果备件不足再购买, 则每个 500 元. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件, 为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数, 得下面柱状图:



记 $x$ 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数, $y$ 表示 1 台机器在购买易损零件上所需的费用 (单位: 元), $n$ 表示购机的同时购买的易损零件数.

(1) 若 $n=19$, 求 $y$ 与 $x$ 的函数解析式;

（2）若要求“需更换的易损零件数不大于 $n$ ”的频率不小于 0.5 , 求 $n$ 的最小值;

（3）假设这 100 台机器在购机的同时每台都购买 19 个易损零件, 或每台都购买 20 个易损零件, 分别计算这 100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数, 以此作为决策依据, 购买 1 台机器的同时应购买 19 个还是 20 个易损零件?
选项：
答案：(1) $y=\left\{\begin{array}{ll}3800, & x \leq 19 \\ 500 x-5700, & x>19\end{array}(x \in \mathbb{N})\right.$; (2) 19 ; (3) 购买 1 台机器的同时应购买 19 个易损零件.
解析：(1) 当 $x \leq 19$ 时, $y=3800$;

当 $x>19$ 时, $y=3800+500(x-19)=500 x-5700$,

所以 $y$ 与 $x$ 的函数解析式为 $y=\left\{\begin{array}{ll}3800, & x \leq 19 \\ 500 x-5700, & x>19\end{array}(x \in \mathbb{N})\right.$.

(2) 由柱状图知, 需更换的零件数不大于 18 的频率为
题目（高一 · 计数）：(12 分）某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创文”的满意程度, 组织居民给活动打分 (分数为整数, 满分为 100 分). 从中随机抽取一个容量为 120 的样本. 发现所有数据均在 $[40,100]$ 内. 现将这些分数分成以下 6 组并画出了样本的频率分布直方图, 但不小心污损了部分图形, 如图所示. 观察图形, 回答下列问题:



(1) 算出第三组 $[60,70)$ 的频数, 并补全频率分布直方图;

(2) 请根据频率分布直方图, 估计样本的众数、中位数和平均数. (每组数据以区
附加: (1) 回归方程 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$ 中, $\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{1} y_{i}-n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-n \bar{x}^{2}}, \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}$.

(2) $\sum_{i=1}^{10} x_{i}{ }^{2}-10 x^{-2}=254.0, \sum_{i=1}^{9} x_{i} y_{i}=12875.0, \sum_{i=1}^{9} y_{i}{ }^{2}=340.0$.
选项：
答案：(1) 18 人, 见解析; (2) 众数为 75 分, 中位数为 75 分, 平均数为
解析：】(1) 18 人, 见解析; (2) 众数为 75 分, 中位数为 75 分, 平均数为
题目（高一 · 计数）：（12 分）有人收集了某 10 年中某城市居民年收入（即该城市所有居民在一年内收入的总和）与某种商品的销售额的相关数据:

|       第 $n$ 年       |  1   |  2   |  3   |  4   |  5   |  6   |  7   |  8   |  9   |    10    |
| :-------------------: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :------: |
|   年收人 亿元 $(x)$   | 32.0 | 31.0 | 33.0 | 36.0 | 37.0 | 38.0 | 39.0 | 43.0 | 45.0 | $x_{10}$ |
| 商品销售額/万元 $(y)$ | 25.0 | 30.0 | 34.0 | 37.0 | 39.0 | 41.0 | 42.0 | 44.0 | 48.0 | $y_{10}$ |

且已知 $\sum_{i=1}^{10} x_{i}=380.0$.

(1) 求第 10 年的年收入 $x_{10}$;

(2) 收入 $x$ 与该种商品的销售额 $y$ 之间满足线性回归方程 $\hat{y}=\frac{363}{254} x+\hat{a}$.

(i) 10 年的销售额 $y_{10}$;

（ii）居民收入达到40.0亿元，估计这种商品的销售额是多少？（精确到0.01）
选项：
答案：(1) 46 ; (2) (i) $y_{10}=51$, (ii) $\tilde{y}
解析：】(1) 46 ; (2) (i) $y_{10}=51$, (ii) $\tilde{y}=
题目（高一 · 计数）：(12 分) 从集市上买回来的蔬菜仍存有残留农药, 食用时需要清洗数次, 统计表中的 $x$ 表示清洗的次数, $y$ 表示清洗 $x$ 次后 1 千克该蔬菜残留的农药量（单位:微克).

（1）在如图的坐标系中，描出散点图，并根据散点图判断， $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$ 与

$\hat{y}=\hat{m} e^{-x}+\hat{n}$ 哪一个适宜作为清洗 $x$ 次后 1 千克该蔬菜残留的农药量的回归方程类

型：（给出判断即可不必说明理由）



(2) 根据判断及下面表格中的数据, 建立 $y$ 关于 $x$ 的回归方程:

|    $x$    |     1     |       2        |                      3                       |                           4                            |                                                              |                              5                               |      |
| :-------: | :-------: | :------------: | :------------------------------------------: | :----------------------------------------------------: | :----------------------------------------------------------: | :----------------------------------------------------------: | :--: |
|    $y$    |    4.5    |      2.2       |                     1.4                      |                          1.3                           |                                                              |                             0.6                              |      |
| $\bar{x}$ | $\bar{y}$ | $\bar{\omega}$ | $\sum_{i}^{5}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}$ | $\sum_{i}^{5}\left(\omega_{i}-\bar{\omega}\right)^{2}$ | $\sum_{i=1}^{5}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)$ | $\sum_{i=1}^{5}\left(\omega_{i}-\bar{\omega}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)$ |      |
|     3     |     2     |      0.12      |                      10                      |                          0.09                          |                             -8.7                             |                             0.9                              |      |

表中 $\omega_{i}=e^{-x_{1}}, \bar{\omega}=\frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} \omega_{i}$.附: (1)线性回归方程 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$ 中系数计算公式分别为 $b=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}$,

$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x} ;$
选项：
答案：(1) 散点图见解析, $\hat{y}=\hat{m} e^{-x}+\hat{n}$; (2) $\hat{y}=10 \times e^{-x}
解析：】(1) 散点图见解析, $\hat{y}=\hat{m} e^{-x}+\hat{n}$; (2) $\hat{y}=10 \times e^{-x}+
题目（高一 · 算术）：（2018 春・嘉峪关校级期中）根据下列程序画出框图.

$i=100$

WHILE $\quad i<=300$

IF $\quad$ IMOD $6=0 \quad$ THEN

PRINT $\quad i$

END IF

$$
i=i+1
$$

WEND

END
选项：
答案：解: 满足程序功能的程序框图如下图所示:

<ImageHere>
解析：解: 满足程序功能的程序框图如下图所示:
题目（高一 · 算术）：（2016 春-南宁校级月考）用秦九韶算法求函数 $f(x)=x^{5}+x^{3}+x^{2}+x+1$, 当 $x=3$ 时的函数值.
选项：
答案：解: $f(x)=x^{5}+x^{3}+x^{2}+x+1=((((x+0) x+1) x+1) x+1) x+1$,

当 $x=3$ 时, $v_{0}=1$,

$v_{1}=v_{0} \times 3+0=3 ;$

$v_{2}=v_{1} \times 3+1=10 ;$

$v_{3}=v_{2} \times 3+1=31 ;$

$v_{4}=v_{3} \times 3+1=94 ;$

$v_{5}=v_{4} \times 3+1=283$,

即 $x=3$ 时的函数值这 283 .
解析：解: $f(x)=x^{5}+x^{3}+x^{2}+x+1=((((x+0) x+1) x+1) x+1) x+1$,

当 $x=3$ 时, $v_{0}=1$,

$v_{1}=v_{0} \times 3+0=3 ;$

$v_{2}=v_{1} \times 3+1=10 ;$

$v_{3}=v_{2} \times 3+1=31 ;$

$v_{4}=v_{3} \times 3+1=94 ;$

$v_{5}=v_{4} \times 3+1=283$,

即 $x=3$ 时的函数值这 283 .
题目（高一 · 算术）：(2016 春-娄底期中）若二进制数 $100 y 011$ 和八进制数 $x 03$ 相等, 求 $x+y$ 的值.
选项：
答案：解: $100 y 011=1 \times 2^{6}+y \times 2^{3}+1 \times 2+1=67+8 y$,

$x 03=x \times 8^{2}+3=64 x+3$,

$\therefore 67+8 y=64 x+3$,

$\because y=0$ 或 $1, x$ 可以取 $1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7$,

$y=0$ 时, $x=1 ; y=1$ 时, $64 x=72$, 无解;

$\therefore x+y=1$.
解析：解: $100 y 011=1 \times 2^{6}+y \times 2^{3}+1 \times 2+1=67+8 y$,

$x 03=x \times 8^{2}+3=64 x+3$,

$\therefore 67+8 y=64 x+3$,

$\because y=0$ 或 $1, x$ 可以取 $1 、 2 、 3 、 4 、 5 、 6 、 7$,

$y=0$ 时, $x=1 ; y=1$ 时, $64 x=72$, 无解;

$\therefore x+y=1$.
题目（高一 · 算术）：（2015 秋・武昌区校级期末）(1)用辗转相除法或更相减损术求 228 与 1995 的最大公约数 (2)将 104 转化为三进制数.
选项：
答案：解: (1)辗转相除法: $\because 1995 \div 228=8 \cdots 171$

$228 \div 171=1 \cdots 57$

$171 \div 57=3$

$\therefore 228$ 与 1995 的最大公约数是 57 .

(2) $104 \div 3=34 \cdots 2$

$34 \div 3=11 \cdots 1$

$11 \div 3=3 \cdots 2$

$3 \div 3=1 \cdots 0$

$1 \div 3=0 \cdots 1$

故 $102_{(10)}=10212_{(3)}$.
解析：解: (1)辗转相除法: $\because 1995 \div 228=8 \cdots 171$

$228 \div 171=1 \cdots 57$

$171 \div 57=3$

$\therefore 228$ 与 1995 的最大公约数是 57 .

(2) $104 \div 3=34 \cdots 2$

$34 \div 3=11 \cdots 1$

$11 \div 3=3 \cdots 2$

$3 \div 3=1 \cdots 0$

$1 \div 3=0 \cdots 1$

故 $102_{(10)}=10212_{(3)}$.
题目（高一 · 算术）：（2015 秋$\cdot$孝感期末）（1）用辗转相除法求 228 与 1995 的最大公约数.

（2）用秦九韶算法求多项式 $f(x)=3 x^{5}+2 x^{3}-8 x+5$ 在 $x=2$ 时的值.
选项：
答案：（1）解: $1995=228 \times 8+171$,

$228=171 \times 1+57$,

$171=57 \times 3$

因此 57 是 1995 与 228 的最大公约数.

(5 分)

（2）解: $f(x)=3 x^{5}+2 x^{3}-8 x+5=((((3 x+0) x+2) x+0) x-8) x+5-\cdots$ （1 分 $)$

当 $x=2$ 时,

$v_{0}=3$,

$v_{1}=3 \times 2=6$,

$v_{2}=6 \times 2+2=14$,

$v_{3}=14 \times 2=28$,

$v_{4}=28 \times 2-8=48$,

$v_{5}=48 \times 2+5=101$ (4 分)

所以，当 $x=2$ 时, 多项式的值是 101 .
解析：（1）解: $1995=228 \times 8+171$,

$228=171 \times 1+57$,

$171=57 \times 3$

因此 57 是 1995 与 228 的最大公约数.

(5 分)

（2）解: $f(x)=3 x^{5}+2 x^{3}-8 x+5=((((3 x+0) x+2) x+0) x-8) x+5-\cdots$ （1 分 $)$

当 $x=2$ 时,

$v_{0}=3$,

$v_{1}=3 \times 2=6$,

$v_{2}=6 \times 2+2=14$,

$v_{3}=14 \times 2=28$,

$v_{4}=28 \times 2-8=48$,

$v_{5}=48 \times 2+5=101$ (4 分)

所以，当 $x=2$ 时, 多项式的值是 101 .