eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 等腰 Rt $\triangle A B C$ 内接于圆 $O$, 直径 $A B=2 \sqrt{2}, D$ 是圆上一动点, 连接 $A D, C D$, $B D$, 且 $C D$ 交 $A B$ 于点 $G$. 下列结论: (1) $D C$ 平分 $\angle A D B$; (2) $\angle D A C=\angle A G C$; (3)当 $A D=C D$, 四边形 $A D B C$ 的面积为 $8 \sqrt{3}$; (4)当 $B D=2$ 时, 四边形 $A D B C$ 的周长最大, 正确的有（）



选项：
A. (1)(2)
B. (2)(3)
C. (1)(2)(4)
D. (1)(3)(4)
答案：C
解析：证明 $A C=A B, A C=A B$, 由圆周角定理以及三角形的外角性质即可证明(1)(2)正确;作 $M C \perp C D$, 交 $D A$ 延长线于 $M$, 证明 $B D=(\sqrt{2}-1) A D$, 利用勾股定理以及三角形面积公式即可证明(3)错误; 当 $A D=B D$ 时, 四边形 $A D B C$ 的周长最大, 据此求解即可.
【详解】解: $\because$ 等腰 Rt $\triangle A B C$ 内接于圆 $O$, 且 $A B$ 为直径,

$\therefore A C=A B, A C=A B$,

$\therefore \angle A D C=\angle B D C$, 即 $D C$ 平分 $\angle A D B$; 故(1)正确;

$\because A C=A B$,

$\therefore \angle A D C=\angle C A B$,

$\because \angle D A C=\angle C A B+\angle D A B, \angle A G C=\angle A D C+\angle D A B$,

$\therefore \angle D A C=\angle A G C$; 故(2)正确;

作 $M C \perp C D$, 交 $D A$ 延长线于 $M$,



$\because \angle 1+\angle 3=90^{\circ}=\angle 1+\angle 2$,

$\therefore \angle 2=\angle 3$,

$\because A 、 C 、 B 、 D$ 四点共圆,

$\therefore \angle 4+\angle C A D=180^{\circ}, \angle C A D+\angle C B D=180^{\circ}$,

$\therefore \angle 4=\angle C B D$,

$\therefore \triangle C B D \cong \triangle C A M(\mathrm{ASA})$,

$\therefore A M=B D, C M=C D$,

$\because \angle M C D=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle M C D$ 是等腰直角三角形,

由勾股定理得: $D M=\sqrt{2} C D$,

$\because D M=D A+A M=D A+B D$,

$\therefore B D+A D=\sqrt{2} C D$;

$\because A D=C D$,

$\therefore B D=(\sqrt{2}-1) A D$;

$\because$ 直径 $A B=2 \sqrt{2}, A D^{2}+B D^{2}=A B^{2}, A C^{2}+B C^{2}=A B^{2}$,
$\therefore A D^{2}+[(\sqrt{2}-1) A D]^{2}=(2 \sqrt{2})^{2}, \quad A C=B C=2$,

$\therefore A D^{2}=\frac{4}{2-\sqrt{2}}=2(2+\sqrt{2})$,

四边形 $A D B C$ 的面积为 $\frac{1}{2} \times A C \times B C+\frac{1}{2} \times A D \times B D$

$=2+\frac{1}{2} \times A D \times(\sqrt{2}-1) A D$

$=2+\frac{1}{2} \times 2(2+\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)$

$=2+\sqrt{2}$, 故(3)错误;

$\because A C=B C=2$, 要使四边形 $A D B C$ 的周长最大, $A D+B D$ 要最大,

$\therefore$ 当 $A D=B D$ 时, 四边形 $A D B C$ 的周长最大,

此时, $A D=B D=2$, 故(4)正确;

综上, (1)(2)(4)正确;

故选: C

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质, 全等三角形的性质和判定, 勾股定理, 圆周角定理, 等腰直角三角形的性质等知识点的综合运用, 综合性比较强, 难度偏大.
题目（九年级 · 度量几何学）：下列命题正确的是 ( )


选项：
A. 相等的圆周角对的弧相等

B. 等弧所对的弦相等

C. 三点确定一个圆

D. 平分弦的直径垂直于弦


答案：B
解析：试题分析: A、在同圆或等圆中, 相等的圆周角所对的弧相等; B、正确; C、不在同一条直线上的三点确定一个圆；D、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦.

考点: 圆的性质
题目（九年级 · 度量几何学）：下列说法正确的是 (


选项：
A. 在一个圆中任意画 3 条半径, 只能分成 3 条弧 B. 弧没有端点
C. 一个圆只能分割为 360 个扇形
D. 一个圆可分割为无数个扇形


答案：D
解析： A 区分弧与扇形的概念即可判断 A 的正误;

$B$ 弧是有长度的, 则不可以无限延伸, 从而得知它有端点;

$\mathrm{C}$ 任意在圆中画半径, 可将一个圆分割成若干部分, 从而不难判断 C 的正误,同理 D 可判断正误;

【详解】对于 $\mathrm{A}$,在一个圆中任意画 3 条半径, 可把圆分成 3 个扇形,则 $\mathrm{A}$ 错误;

对于 $\mathrm{B}$, 弧有端点,则 B 错误;

对于 C,一个圆可分割成无数个扇形,则 C 错误;

一个圆可分割为无数个扇形, 故 D 正确.

故选 D.

【点睛】此题考查扇形与弧的定义, 解题关键在于根据弧与扇形的概念及圆的特点进行判断.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在圆内接四边形 $A B C D$ 中, $\angle C=110^{\circ}$, 则 $\angle B O D$ 的度数为 ( )



选项：
A. $140^{\circ}$
B. $70^{\circ}$
C. $80^{\circ}$
D. $60^{\circ}$


答案：A
解析：根据圆内接四边形的对角互补求出 $\angle A$ 的度数, 根据圆周角定理得到答案.

【详解】 $\because$ 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是圆内接四边形

$\therefore \angle A+\angle C=180^{\circ}$,

$\because \angle C=110^{\circ}$,

$\therefore \angle A=180^{\circ}-\angle C=70^{\circ}$,

由圆周角定理得, $\angle B O D=2 \angle A=140^{\circ}$,

故选: $A$.

【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理, 掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：若 $\triangle A B C \sim \triangle D E F$, 顶点 $A 、 B 、 C$ 分别与 $D 、 E 、 F$ 对应, 且 $A B: D E=1: 4$, 则这两个三角形的面积比为（）

选项：
A. $1: 2$
B. $1: 4$
C. $1: 8$
D. $1: 16$

答案：D
解析：根据题意得出相似三角形的相似比, 再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行解答即可.

【详解】 $\because \triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{DEF}$, 顶点 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B} 、 \mathrm{C}$ 分别与 $\mathrm{D} 、 \mathrm{E} 、 \mathrm{~F}$ 对应, 且 $\mathrm{AB}: \mathrm{DE}=1: 4$, $\therefore \frac{S_{\triangle A B C}}{S_{\triangle D E F}}=\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{1}{16}$.
故选:D.

【点睛】考查的是相似三角形的性质, 即相似三角形的面积的比等于相似比的平方.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在正方形 $A B C D$ 和直角 $\triangle C E F$ 中, $B 、 C 、 F$ 三点共线, $\angle E C F=90^{\circ}, E C=3$, $F C=4$, 连接 $A E, A F$, 若 $\angle E A F=45^{\circ}$, 则 $A B=(\quad$



选项：
A. 3
B. $\sqrt{6}$
C. $3 \sqrt{2}$
D. $2 \sqrt{3}$


答案：B
解析：连接 $A C$, 根据正方形的性质可得 $A C=\sqrt{2} A B, \angle A C B=\angle A C D=45^{\circ}, \angle B C D=90^{\circ}$,从而可得 $\angle C A F+\angle A F C=45^{\circ}, \angle C A E+\angle A E C=45^{\circ}$, 进而可得 $\angle A E C=\angle C A F, \angle A F C=\angle C A E$,即可证明 $\triangle A E C \sim \triangle F A C$, 然后利用相似三角形的性质, 进行计算即可求出 $A C$, 从而求出 $A B$ 的长.

【详解】解：连接 $A C$,



$\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形,

$\therefore A C=\sqrt{2} A B, \angle A C B=\angle A C D=45^{\circ}, \angle B C D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle C A F+\angle A F C=45^{\circ}, \angle C A E+\angle A E C=45^{\circ}$,

$\because \angle E C F=90^{\circ}, B 、 C 、 F$ 三点共线,

$\therefore \angle B C E=180^{\circ}-\angle E C F=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B C E+\angle B C D=180^{\circ}$,

$\therefore D 、 C 、 E$ 三点共线,
$\because \angle E A F=45^{\circ}$,

$\therefore \angle C A E+\angle C A F=45^{\circ}$,

$\therefore \angle A E C=\angle C A F, \angle A F C=\angle C A E$,

$\therefore \triangle A E C \sim \triangle F A C$,

$\therefore \frac{A C}{F C}=\frac{E C}{A C}$,

$\therefore A C^{2}=E C \cdot F C=3 \times 4=12$,

$\therefore A C=2 \sqrt{3}$,

$\therefore A B=\frac{A C}{\sqrt{2}}=\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\sqrt{6}$,

故选: B.

【点睛】本题考查了正方形的性质, 相似三角形的判定与性质, 根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：要制作两个形状相同的三角形框架, 其中一个三角形的三边长分别为 $6 \mathrm{~cm}, 8 \mathrm{~cm}$ 和 $10 \mathrm{~cm}$, 另一个三角形的最长边长为 $5 \mathrm{~cm}$, 则它的最短边为 ( )

选项：
A. $5 \mathrm{~cm}$
B. $4 \mathrm{~cm}$
C. $3 \mathrm{~cm}$
D. $2 \mathrm{~cm}$

答案：C
解析：根据相似三角形的对应边成比例求解即可.

【详解】解：设另一个三角形的最短边长为 $x \mathrm{~cm}$,

根据题意得: $\frac{x}{6}=\frac{5}{10}$,

解得: $x=3$,

$\therefore$ 另一个三角形的最短边长为 $3 \mathrm{~cm}$,

故选 C.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质. 解题的关键在于熟练掌握相似三角形的性质.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, \angle B=30^{\circ}$, 点 $P$ 是 $A C$ 的中点, 过点 $P$ 的直线 $l$ 截下的三角形与 $\triangle A B C$ 相似，这样的直线 $l$ 的条数是（）



选项：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4


答案：D
解析：由于 $\triangle A B C$ 是直角三角形, 所以必须保证直线 $l$ 与三角形的任意一边能够形成直角三角形，进而再判定其是否相似.

【详解】解： $\because \triangle A B C$ 是直角三角形，

$\therefore$ 只有创造出一个直角时, 才有可能满足题中相似的条件

(1)当 $l / / A B$ 时，可得三角形相似;

(2)当 $l / / B C$ 时, 可得三角形相似;

(3)当 $l \perp A B$ 时, 可得三角形相似,

(4)当 $\angle 1=\angle A$ 时, 可得三角形相似;
故满足题中的直线 $l$ 共有 4 条.

故选: $D$.



【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定, 熟练掌握相似三角形的判定方法是解决问题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $D 、 E$ 分别是 $A B 、 A C$ 边上的点, 点 $F$ 在 $B C$ 的延长线上, $D E / / B C$,若 $\angle A=48^{\circ}, \angle 1=54^{\circ}$, 则下列正确的是（）



选项：
A. $\angle 2=48^{\circ}$
B. $\angle 2=54^{\circ}$
C. $\frac{D E}{B C}=\frac{A D}{A B}$
D. $\frac{D E}{B C}=\frac{1}{2}$


答案：C
解析：先根据三角形的外角性质求出 $\angle \mathrm{DEC}$ 的度数, 再根据平行线的性质得出结论, 然后判断 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$, 根据 $\mathrm{DE} / / \mathrm{BC}$ 可证 $\triangle \mathrm{ADE} \sim \triangle \mathrm{ABC}$, 然后判断 $\mathrm{C} 、 \mathrm{D}$.

【详解】解: $\because \angle \mathrm{DEC}$ 是 $\triangle \mathrm{ADE}$ 的外角, $\angle \mathrm{A}=48^{\circ}, \angle 1=54^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{DEC}=\angle \mathrm{A}+\angle 1=48^{\circ}+54^{\circ}=102^{\circ}$,

$\because \mathrm{DE} / / \mathrm{BC}$,

$\therefore \angle 2=\angle \mathrm{DEC}=102^{\circ}$, 故 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 选项错误;

$\because \mathrm{DE} / / \mathrm{BC}$,

$\therefore \triangle \mathrm{ADE} \sim \triangle \mathrm{ABC}$,

$\therefore \frac{D E}{B C}=\frac{A D}{A B}$, 故 C 正确;

只有当 $\mathrm{D} 、 \mathrm{E}$ 分别是 $\mathrm{AB} 、 \mathrm{AC}$ 的中点时, $\frac{D E}{B C}=\frac{1}{2}$, 故 $\mathrm{D}$ 错误,

故选 C.

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质, 平行线的性质及三角形的外角性质, 用到的知识点为: 两直线平行, 内错角相等.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 矩形 $A B C D$ 中, $D E \perp A C, E$ 为垂足, 图中相似三角形共有（全等三角形除外）（）



选项：
A. 3 对
B. 4 对
C. 5 对
D. 6 对


答案：C
解析：分析:

由已知条件易得 $\angle \mathrm{AED}=\angle \mathrm{DEC}=\angle \mathrm{ADC}=\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}, \angle \mathrm{ADE}=\angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{CAB}$, 这样结合 “有两个角对应相等的两个三角形相似”即可作出判断了.

详解:

$\because$ 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是矩形, $\mathrm{DE} \perp \mathrm{AC}$,

$\therefore \angle \mathrm{AED}=\angle \mathrm{DEC}=\angle \mathrm{ADC}=\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{CAB}+\angle \mathrm{CAD}=\angle \mathrm{CAD}+\angle \mathrm{ADE}=\angle \mathrm{ADE}+\angle \mathrm{CDE}=\angle \mathrm{CDE}+\angle \mathrm{ACD}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{ADE}=\angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{CAB}$,

$\therefore \triangle \mathrm{ADE} \sim \triangle \mathrm{DCE}, \triangle \mathrm{ADE} \sim \triangle \mathrm{CAB}, \triangle \mathrm{DCE} \sim \triangle \mathrm{CAB}, \triangle \mathrm{ADE} \sim \triangle \mathrm{ACD}, \triangle \mathrm{DCE} \sim \triangle \mathrm{ACD}$,

$\therefore$ 图中共有 5 对相似三角形.

故选 C.

点睛: 本题的解题要点是: 能由已知条件得到: $\angle \mathrm{AED}=\angle \mathrm{DEC}=\angle \mathrm{ADC}=\angle \mathrm{ABC}=90^{\circ}$,

$\angle \mathrm{ADE}=\angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{CAB}$, 且熟知“有两个角对应相等的两个三角形相似”.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, 点 $D$ 在 $A B$ 边上, 点 $G$ 在 $B C$ 边上, 连接 $A G$, 过点 $D$ 作 $D E / / B C$,分别交 $A C 、 A G$ 于点 $E 、 H$, 过点 $E$ 作 $E F / / A G$ 交 $B C$ 于点 $F$. 则下列式子中一定正确的是 ( )



选项：
A. $\frac{A E}{E C}=\frac{E F}{A G}$
B. $\frac{D E}{B F}=\frac{A D}{A B}$
C. $\frac{A H}{A G}=\frac{G F}{G C}$
D. $\frac{D B}{A B}=\frac{G H}{A C}$


答案：C
解析：根据相似三角形的判定与性质逐一进行判断即可.

【详解】解: $A . \because E F / / A G$

$\therefore \triangle C E F \sim \triangle C A G$

$\therefore \frac{C E}{C A}=\frac{E F}{A G}$, 故选项 $A$ 错误;

B. $\because D E / / B C$

$\therefore \triangle A D E \sim \triangle A B C$

$\therefore \frac{D E}{B C}=\frac{A D}{A B}$, 故选项 $B$ 错误;

C. $\because D E / / B C$

$\therefore \triangle A D H \sim \triangle A B G$

$\therefore \frac{A H}{A G}=\frac{A D}{A B}$,

$\because D E / / B C$

$\therefore \triangle A H E \sim \triangle A G C$

$\therefore \frac{A H}{A G}=\frac{A E}{A C}$,
$\because E F / / A G$

$\therefore \frac{A E}{E C}=\frac{G F}{F C}$

$\therefore \frac{A E}{A C}=\frac{G F}{G C}$

$\therefore \frac{A H}{A G}=\frac{G F}{G C}$, 故选项 $C$ 正确;

D. $\because D E / / B C$

$\therefore \frac{D B}{A D}=\frac{H G}{A H}$

$\therefore \frac{D B}{A B}=\frac{G H}{A G}$, 故选项 $D$ 错误,

故先 $C$.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质, 熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答此题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：据《墨经》记载, 两千多年前, 我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验, 阐释了光的直线传播原理. 小孔成像的示意图如图所示, 光线经过小孔 $O$, 物体 $A B$ 在幕布上形成倒立的实像 $C D$. 若物体 $A B$ 的高为 $15 \mathrm{~cm}$, 小孔 $O$ 到物体和实像的水平距离 $B E$, $C E$ 分别为 $10 \mathrm{~cm}, 6 \mathrm{~cm}$, 则实像 $C D$ 的高度为 ( )



选项：
A. $4 \mathrm{~cm}$
B. $6 \mathrm{~cm}$
C. $9 \mathrm{~cm}$
D. $10 \mathrm{~cm}$


答案：C
解析：先证明 $\triangle A B C \sim \triangle O E C$, 利用相似三角形的性质可得 $\frac{A B}{O E}=\frac{B C}{C E}$, 从而解得 $O E$, 再证明 $\triangle D B C \sim \triangle O B E$, 利用相似三角形的性质可得 $\frac{C D}{O E}=\frac{B C}{B E}$, 从而解得 $C D$, 即为所求.

【详解】解: 由题意可知,

$B E=10 \mathrm{~cm}, C E=6 \mathrm{~cm}$

$\therefore B C=B E+C E=10+6=16 \mathrm{~cm}$

$\because A B \| O E$,

$\therefore \triangle A B C \sim \triangle O E C$,

$\therefore \frac{A B}{O E}=\frac{B C}{C E}$

$\therefore \frac{15}{O E}=\frac{16}{6}$

$\therefore O E=\frac{45}{8} \mathrm{~cm}$

$\because O E / / C D$

$\therefore \triangle D B C \sim \triangle O B E$

$\therefore \frac{C D}{O E}=\frac{B C}{B E}$

$\therefore \frac{C D}{\frac{45}{5}}=\frac{16}{10}$

$\therefore C D=9 \mathrm{~cm}$

故选: C

【点睛】本题考查的是相似三角形的性质与判定; 掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图,矩形纸片 $A B C D$, 点 $E$ 在边 $A D$ 上, 连接 $B E$, 点 $F$ 在线段 $B E$ 上, 且 $E F=\frac{1}{2} B F$,折叠矩形纸片使点 $C$ 恰好落在点 $F$ 处, 折痕为 $D G$, 若 $A B=3 \sqrt{2}$, 则折痕 $D G$ 的长为 ( )



选项：
A. $\sqrt{3}$
B. $2 \sqrt{3}$
C. $3 \sqrt{3}$
D. $4 \sqrt{3}$


答案：C
解析：过点 $F$ 作 $F M \perp A D$, 垂足为点 $M, M F$ 延长线交 $B C$ 于点 $N$, 由矩形的性质得 $A D / / B C, \angle C=90^{\circ}$, 由平行线分线段成比例定理可得 $\frac{F E}{B F}=\frac{F M}{F N}=\frac{1}{2}$, 得出 $F M, F N$ 的值, 折叠的性质得 $\angle D F G=\angle C=90^{\circ}, D C=A B=D F=3 \sqrt{2}, C G=G F$, 在 Rt $\triangle D M F$ 中, 由勾股定理求得 $D M$ 的值, 由相似三角形的判定得出 $\triangle F M D \sim \triangle G N F$, 相似三角形的性质得出 $G F$ 的值, 在 Rt $\triangle D C G$ 中, 由勾股定理求得 $D G$ 的值.

【详解】解: 如解图, 过点 $F$ 作 $F M \perp A D$, 垂足为点 $M, M F$ 延长线交 $B C$ 于点 $N$,

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形,

$\therefore A D / / B C, \angle A=\angle B=\angle C=90^{\circ}$,

$\therefore$ 四边形 $A M N B$ 为矩形,

$\because E F=\frac{1}{2} B F$,

$\therefore \frac{F E}{B F}=\frac{F M}{F N}=\frac{1}{2}$,

$\because A B=3 \sqrt{2}$

$\therefore M N=A B=3 \sqrt{2}$,

$\therefore F M=\sqrt{2}, F N=2 \sqrt{2}$.

由折叠性质可得 $\angle D F G=\angle C=90^{\circ}, D C=A B=D F=3 \sqrt{2}$,

$C G=G F, D M=\sqrt{D F^{2}-F M^{2}}=4$.

$\because M N \perp A D, \therefore M N \perp B C$,

$\therefore \angle F M D=\angle G N F=90^{\circ}, \angle M D F=\angle N F G$

$\therefore \triangle F M D \sim \triangle G N F$,

$\therefore \frac{M D}{N F}=\frac{D F}{F G}$, 即 $\frac{4}{2 \sqrt{2}}=\frac{3 \sqrt{2}}{F G}$,

$\therefore G F=3$,

$\therefore D G=\sqrt{C D^{2}+C G^{2}}=\sqrt{(3 \sqrt{2})^{2}+3^{2}}=3 \sqrt{3}$.

故选: C.



【点睛】本题考查了矩形的性质, 折叠的性质, 相似三角形的性质和判定定理, 勾股定理,平行线分线段成比例定理, 熟练掌握各性质定理是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O, \frac{O A}{O B}=\frac{O D}{O C}$, 由此推得的正确结论是（）



选项：
A. $\frac{O A}{O D}=\frac{A B}{C D}$
B. $\frac{O A}{O C}=\frac{A D}{B C}$
C. $\frac{O B}{O D}=\frac{A B}{C D}$
D. $\frac{A B}{C D}=\frac{A D}{B C}$


答案：A
解析：根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.

【详解】解: $\because \angle \mathrm{AOB}$ 与 $\angle \mathrm{DOC}$ 是对顶角

$\therefore \angle \mathrm{AOB}=\angle \mathrm{DOC}$

又 $\because \frac{O A}{O B}=\frac{O D}{O C}$,

$\therefore \triangle \mathrm{AOB} \sim \triangle \mathrm{DOC}$,

$\therefore \frac{O A}{O D}=\frac{A B}{C D}$.

故选: A

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质, 熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：下列说法正确的是（）

选项：
A. 所有的矩形都是相似形
B. 有一个角等于 $100^{\circ}$ 的两个等腰三角形相似
C. 对应角相等的两个多边形相似
D. 对应边成比例的两个多边形相似

答案：B
解析：利用相似图形的判定方法分别判断得出即可.

【详解】解:A、对应边的比值不一定相等,故此选项错误;

B、有一个角等于 $100^{\circ}$ 的两个等腰三角形相似, 此角度一定是顶角, 即可得出两三角形相似, 故此选项正确;

C、对应边的比值不一定相等,故此选项错误;

D、对应角不一定相等,故此选项错误;

所以 B 选项是正确的.

【点睛】此题主要考查了相似图形的判定,熟练应用判定方法是解题关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：小明和小强晚上相约一起测量放学路上路灯的高度. 小明将一个长为 1 米的木棒平行于地面放置在路灯下，小强测出此时木棒在路灯下影长为 1.75 米，且木棒距离地面的距离为 1.5 米, 则路灯的高度为（）

选项：
A. 3.75
B. 3.5
C. 3
D. 2

答案：B
解析：画出图形, 根据平行证明 $\triangle O A B \sim \triangle O C D$, 得到 $\frac{A B}{C D}=\frac{O F}{O M}$, 等量代换得到 $\frac{1}{1.75}=\frac{O F}{O F+A E}$, 解之求出 $O F$, 即可得到路灯的高度.

【详解】解：如图, 由题意可得: $A B=1, C D=1.75, A E=1.5$,

$\because A B / / C D$,

$\therefore \triangle O A B \sim \triangle O C D$,

$\therefore \frac{A B}{C D}=\frac{O F}{O M}$, 即 $\frac{1}{1.75}=\frac{O F}{O F+F M}$, 即 $\frac{1}{1.75}=\frac{O F}{O F+A E}$,

$\therefore \frac{1}{1.75}=\frac{O F}{O F+1.5}$,

解得: $O F=2$,

$\therefore O M=O F+F M=O F+A E=3.5$,
故选 B.



【点睛】本题考查了相似三角形的实际应用, 解题的关键是画出图形, 结合图形得到相似三角形.
题目（九年级 · 度量几何学）：已知 $a, b, c, d$ 是成比例线段, 且 $a=2, b=8, c=5$, 那么 $d$ 为（）

选项：
A. 10
B. 20
C. 16
D. 18

答案：B
解析：根据成比例线段的概念, 可得 $\mathrm{a}: \mathrm{b}=\mathrm{c}$ : $\mathrm{d}$, 再根据比例的基本性质, 即可求得 $\mathrm{d}$ 的值.

【详解】 $\because a, b, c, d$ 是成比例线段,

$\therefore \mathrm{a}: \mathrm{b}=\mathrm{c}: \mathrm{d}$,

$\therefore \mathrm{ad}=\mathrm{bc}$,

$\because a=2, \quad b=8, \quad c=5$,

$\therefore 2 \mathrm{~d}=8 \times 5$,

$\therefore \mathrm{d}=20$.

故选 B.

【点睛】本题考查了成比例线段, 解题时一定要严格按照顺序写出比例式子, 再根据比例的基本性质进行求解.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图，不能说明 $\triangle A B C \sim \triangle A C D$ 的一组条件是（～）



选项：
A. $\angle B=\angle A C D$
B. $\angle A D C=\angle A C B$
C. $A C^{2}=A D \cdot A B$
D. $\frac{A D}{A C}=\frac{D C}{B C}$


答案：D
解析：根据相似三角形的判定逐一进行判断即可.

【详解】解: $\because \angle B=\angle A C D, \angle A=\angle A$,

$\therefore \triangle A B C \sim \triangle A C D$, 故选项 $\mathrm{A}$ 不符合题意;

$\because \angle A D C=\angle A C B, \angle A=\angle A$,
$\therefore \triangle A B C \sim \triangle A C D$, 故选项 B 不符合题意;

$\because A C^{2}=A D \cdot A B$

$\therefore \frac{A C}{A D}=\frac{A B}{A C}$,

$\because \angle A=\angle A$,

$\therefore \triangle A B C \sim \triangle A C D$, 故选项 $C$ 不符合题意;

$\angle A$ 不是已知的比例线段的夹角, 故不能判定 $\triangle A B C \sim \triangle A C D$, 故选项 D 符合题意.

故选: D.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定, 熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：小明一家人在国庆间自驾汽车从家里出发到某著名旅游景点游玩．他在 1：500000 的地图上测得家所在的城市与旅游景点所在城市的图上距离为 $40 \mathrm{~cm}$, 则这两城市的实际距离为 ( )

选项：
A. $100 \mathrm{~km}$
B. $200 \mathrm{~km}$
C. $1000 \mathrm{~km}$
D. $2000 \mathrm{~km}$

答案：B
解析：试题分析： $40 \mathrm{~cm}=40 \times 10^{-5} \mathrm{~km}, 1: 500000=40 \times 10^{-5}: \mathrm{x}$, 可得 $\mathrm{x}=200 \mathrm{~km}$. 故选 B.

考点: 1.比例线段；2.应用题.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 校园里一片小小的树叶, $P$ 为 $A B$ 的黄金分割点 $(A P>P B)$, 如果 $A B$ 的长度为 $10 \mathrm{~cm}$, 那么 $B P$ 的长度为 ( ) $\mathrm{cm}$



选项：
A. $5 \sqrt{5}-5$
B. $5+5 \sqrt{5}$
C. $15-5 \sqrt{5}$
D. $15+5 \sqrt{5}$


答案：C
解析：利用黄金分割的比值关系进行运算即可.

【详解】解：由黄金分割可得：

$\frac{A P}{A B}=\frac{B P}{A P}$

$\therefore \frac{10-B P}{10}=\frac{B P}{10-B P}$

整理得: $(10-B P)^{2}=10 B P$

解得: $B P=15-5 \sqrt{5}$ 或 $15+5 \sqrt{5}$ (舍去)

故答案为: C.

【点睛】本题主要考查了黄金分割的比值关系, 熟悉掌握比值关系建立式子是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：下列各组线段中, 能成比例的是（）

选项：
A. $3 \mathrm{~cm} 、 6 \mathrm{~cm} 、 8 \mathrm{~cm} 、 9 \mathrm{~cm}$
B. $3 \mathrm{~cm}, 5 \mathrm{~cm} 、 6 \mathrm{~cm} 、 9 \mathrm{~cm}$
C. $3 \mathrm{~cm}, 6 \mathrm{~cm}, 7 \mathrm{~cm}, 9 \mathrm{~cm}$
D. $3 \mathrm{~cm} 、 6 \mathrm{~cm} 、 9 \mathrm{~cm} 、 18 \mathrm{~cm}$

答案：D
解析：根据比例线段的定义逐项判断即得答案.

【详解】解: A、 $\because 3: 6 \neq 8: 9, \therefore 3 \mathrm{~cm} 、 6 \mathrm{~cm} 、 8 \mathrm{~cm} 、 9 \mathrm{~cm}$ 的四条线段不成比例, 故本选项不符合题意;

B、 $\because 3: 5 \neq 6: 9, \therefore 3 \mathrm{~cm} 、 5 \mathrm{~cm} 、 6 \mathrm{~cm} 、 9 \mathrm{~cm}$ 的四条线段不成比例, 故本选项不符合题意;

C、 $\because 3: 6 \neq 7: 9, \therefore 3 \mathrm{~cm} 、 6 \mathrm{~cm} 、 7 \mathrm{~cm} 、 9 \mathrm{~cm}$ 的四条线段不成比例, 故本选项不符合题意;

D、 $\because 3: 6=9: 18=1: 2, \therefore 3 \mathrm{~cm} 、 6 \mathrm{~cm} 、 9 \mathrm{~cm} 、 18 \mathrm{~cm}$ 的四条线段成比例, 故本选项符合题意.

故选: D.

【点睛】本题考查了比例线段的定义, 属于基础题目, 掌握解答的方法是解题关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如果两个相似三角形对应边的比是 $3: 4$, 那么它们的对应面积的比是 ( )

选项：
A. $3: 4$
B. $\sqrt{3}: 2$
C. $9: 16$
D. $3: 7$

答案：C
解析：根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可解答.

【详解】解： $\because$ 两个相似三角形对应边的比是 $3: 4$,

$\therefore$ 它们的相似比为 $3: 4$,

$\therefore$ 它们的对应面积的比是 $9: 16$.

故选: C.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质, 掌握面积的比等于相似比的平方这一性质是关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：图 1 是装满了液体的高脚杯（数据如图), 用去部分液体后, 放在水平的桌面上如图 2 所示, 此时液面 $A B=(\quad)$



图1



图2

选项：
A. $4 \mathrm{~cm}$
B. $3 \mathrm{~cm}$
C. $2 \mathrm{~cm}$
D. $1 \mathrm{~cm}$


答案：B
解析：高脚杯前后的两个三角形相似, 根据相似三角形的判定和性质即可得出结果.

【详解】解：如图:



图1



图2

$\because C D / / A B$,

$\therefore \triangle C D O \sim A B O$,

$\therefore \frac{C D}{A B}=\frac{O C}{O A}$,
$\because O C=8 \mathrm{~cm}, \quad O A=4 \mathrm{~cm}, \quad C D=6 \mathrm{~cm}$,

$\therefore \frac{6}{A B}=\frac{8}{4}$,

$\therefore A B=3(\mathrm{~cm})$,

故选: $B$.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质, 熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：已知 $\triangle A B C \sim \triangle A_{1} B_{I} C_{1}$, 且 $\frac{A B}{A_{1} B_{1}}=\frac{2}{3}$. 若 $\triangle A B C$ 的面积为 4 , 则 $\triangle A_{1} B_{I} C_{1}$ 的面积是

选项：
A. $\frac{8}{3}$
B. 6
C. 9
D. 18

答案：C
解析：根据相似三角形的性质可直接得出结论.

【详解】解: $\because \triangle A B C \sim \triangle A_{l} B_{l} C_{l}$, 且 $\frac{A B}{A_{1} B_{1}}=\frac{2}{3}$.

$\therefore \frac{S_{\triangle A B C}}{S_{\triangle A_{1} B_{1} C_{1}}}=\left(\frac{A B}{A_{1} B_{1}}\right)^{2}=\frac{4}{9}$

$\because \triangle A B C$ 的面积为 4 ,

$\therefore \triangle A_{l} B_{I} C_{I}$ 的面积为 9 ,

故选: C.

【点睛】本题考查的是相似三角形的性质, 熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $E$ 是线段 $A C$ 上一点, $A E: C E=1: 2$, 过点 $C$ 作 $C D / / A B$, 交 $B E$ 的延长线于点 D. 若 $\triangle E C D$ 的面积等于 16 , 则 $\triangle A B C$ 的面积等于（）



选项：
A. 8
B. 10
C. 12
D. 16


答案：C
解析：先证明 $\triangle A B E \sim \triangle C D E$, 再根据相似比求出 $S_{\triangle A B E}=4$, 再根据 $\triangle A B E 、 \triangle C B E$ 等高求出 $\triangle C B E$ 的面积, 最后求 $\triangle A B C$ 的面积即可.

【详解】 $\because C D / / A B$

$\therefore \angle B A E=\angle D C E, \quad \angle A B E=\angle C D E$

$\therefore \triangle A B E \sim \triangle C D E$

$\therefore \frac{S_{\triangle A B E}}{S_{\triangle C D E}}=\left(\frac{A E}{C E}\right)^{2}$

即 $\frac{S_{\triangle A B E}}{16}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$

$\therefore S_{\triangle A B E}=4$

由于 $\triangle A B E$ 中 $A E$ 边上的高和 $\triangle C B E$ 中 $C E$ 边上的高相等,

故 $\frac{S_{\triangle A B E}}{S_{\triangle C B E}}=\frac{A E}{C E}=\frac{1}{2}$

$\therefore S_{\triangle C B E}=8$

$\therefore S_{\triangle A B C}=S_{\triangle A B E}+S_{\triangle C B E}=4+8=12$
故选 C.

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、三角形面积的计算, 解决本题的关键是证明三角形相似, 熟悉相似比与面积的关系.
题目（九年级 · 度量几何学）：我国古代数学著作《九章算法比类大全》有题如下: “方种芝麻斜种黍, 勾股之田十亩无零数. 九十股差方为界, 勾差十步分明许. 借问贤家如何取, 多少黍田多少芝麻亩．算的二田无误处，智能才华算中举. "大意是：正方形田种芝麻，斜形（三角形）种黍, 有一块直角三角形 $A B C$ 是 10 亩整. 股差 $A D=90$ 步, 勾差 $B F=10$ 步. 请问黍田、芝麻各多少亩？（1 亩 $=240$ 平方步）答：（）



选项：
A. 艺麻田 3.75 亩，黍田 6.25 亩
B. 芝麻田 3.25 亩, 黍田 6.75 亩
C. 芝麻田 3.70 亩, 黍田 6.30 亩
D. 芝麻田 3.30 亩, 黍田 6.70 亩


答案：A
解析：首先判定 $\triangle A E D \sim \triangle E B F$, 然后利用该相似三角形的对应边成比例和 $D E=E F$ 求得 $D E=30$ ；然后利用三角形和正方形的面积公式解答.

【详解】解: 根据题意知, $\triangle A E D \sim \triangle E B F$, 则 $\frac{A D}{D E}=\frac{E F}{F B}$.

又 $\because D E=E F$,

$\therefore D E=\sqrt{A D \cdot F B}=\sqrt{90 \times 10}=30$.

所以, 芝麻田的面积为: $S_{\text {䓅㻕 }}=30 \times 30 \div 240=3.75$ (亩).

黍田的面积为: $S_{\text {秀 }}=\frac{1}{2} A C \cdot C B \div 240-S_{\text {共䖧 }}$

$=\frac{1}{2}(A D+D C)(C F+F B) \div 240-S_{\text {并棶 }}$

$=\frac{1}{2} \times(90+30)(30+10) \div 240-3.75$

$=6.25$ （亩）.

综上所述, 芝麻田 3.75 亩, 黍田 6.25 亩.

故选: A.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用, 解决此问题的关键是在正确理解题意的基础上建立数学模型, 把实际问题转化为数学问题.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C=9, B P=\frac{1}{3} B C=2, D$ 在 $A C$ 上, 且 $\angle A P D=\angle B$,则 $C D$ 的长是（）



选项：
A. 2
B. $\frac{9}{8}$
C. $\frac{4}{3}$
D. $\frac{8}{9}$


答案：D
解析：根据已知易得 $B C=6$, 从而可得 $C P=4$, 再利用等腰三角形的性质可得 $\angle B=\angle C$,从而利用三角形内角和定理可得 $\angle B A P+\angle A P B=180^{\circ}-\angle B$, 然后利用平角定义可得 $\angle A P B+\angle D P C=180^{\circ}-\angle B$, 从而可得 $\angle D P C=\angle B A P$, 进而可得 $\triangle A B P \sim \triangle P C D$, 最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答.

【详解】解: $\because B P=\frac{1}{3} B C=2$,

$\therefore B C=3 B P=6$,

$\therefore C P=B C-B P=6-2=4$,

$\because A B=A C=9$,

$\therefore \angle B=\angle C$,

$\therefore \angle B A P+\angle A P B=180^{\circ}-\angle B$,

$\because \angle A P D=\angle B$,

$\therefore \angle A P B+\angle D P C=180^{\circ}-\angle A P D=180^{\circ}-\angle B$,

$\therefore \angle D P C=\angle B A P$,

$\therefore \triangle A B P \sim \triangle P C D$,
$\therefore \frac{A B}{P C}=\frac{B P}{C D}$,

$\therefore \frac{9}{4}=\frac{2}{C D}$,

$\therefore C D=\frac{8}{9}$,

故选 D.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质, 等腰三角形的性质, 熟练掌握一线三等角构造相似模型是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, 点 $D$, 点 $E$ 分别在边 $A B, A C$ 上 (不与端点重合), 连接 $D E$,若 $D E / / B C$, 则 $\frac{D E}{B C}=(\quad)$



选项：
A. $\frac{A D}{D B}$
B. $\frac{E C}{A E}$
C. $\frac{A D}{A B}$
D. $\frac{E C}{A C}$


答案：C
解析：首先根据 $D E / / B C$ 得到 $\triangle A D E \sim \triangle A B C$, 然后得到三角形对应边的比即可得到结果.

【详解】解: $\because D E / / B C$,

$\therefore \triangle A D E \sim \triangle A B C$,

$\therefore \frac{D E}{B C}=\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}$,

故选: C.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质, 利用平行证明相似, 再准确的得到对应边的比是解本题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 正方形 $A B C D$ 内的图形来自中国古代的太极图, 现随机向正方形内掷一枚小针, 则针尖落在黑色区域内的概率为（）



选项：
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{\pi}{4}$
C. $\frac{\pi}{8}$
D. $\frac{1}{3}$


答案：C
解析：由图可知, 黑色区域是圆面积的一半, 设正方形 $A B C D$ 的边长为 $2 a$, 用黑色区域的面积除以正方形的面积即可.

【详解】解: 设正方形 $A B C D$ 的边长为 $2 a$,

针尖落在黑色区域内的概率 $=\frac{\frac{1}{2} \times \pi \times a^{2}}{4 a^{2}}=\frac{\pi}{8}$.

故选 C.

【点睛】本题主要考查了几何概率的求法, 根据题意将代数关系用面积表示出来, 一般用阴影区域表示所求事件 $(A)$; 然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例, 这个比例即事件 ( $A$ ) 发生的概率.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 有长为 $24 \mathrm{~m}$ 的篱笆, 现一面完全利用墙（墙的最大可用长度 $a$ 为 $10 \mathrm{~m}$ ）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃, 围成的花圃的面积最大时 $A B$ 的长是（）米.



选项：
A. 4
B. 5
C. 3
D. $\frac{14}{3}$

##
答案：D
解析：设 $A B=x$, 根据矩形的面积公式得到矩形 $A B C D$ 的面积与 $x$ 的函数关系, 再根据自变量的取值范围即可求解.

【详解】解: 设 $A B=x$, 则 $B C=24-3 x$,

$\because 0<B C \leq 10$, 即 $0<24-3 x \leq 10$,

$\therefore \frac{14}{3} \leq x<8$,

$\therefore S_{\text {矩形 } A B C D}=A B \cdot B C=x(24-3 x)=-3 x^{2}+24 x=-3(x-4)^{2}+48$,
$\because$ 二次函数对称轴为 $x=4$, 开口向下,

$\therefore$ 当 $x \geq 4$ 时, $S_{\text {矩形 } A B C D}$ 随 $x$ 的增大而减小,

$\because \frac{14}{3} \leq x<8$,

$\therefore$ 当 $x=\frac{14}{3}$ 时, $S_{\text {矩形 } A B C D}$ 有最大值,

故选: D.

【点睛】本题考查了二次函数的应用, 解题的关键是抓住题干条件写出二次函数解析式并结合自变量的取值范围求出最值.