题目（九年级 · 立体几何学）：如图放置的两个正方形, 大正方形 $A B C D$ 边长为 $a$, 小正方形 $C E F G$ 边长为 $b(a>b)$, $M$ 在 $B C$ 边上, 且 $B M=b$, 连接 $A M, M F, M F$ 交 $C G$ 于点 $P$, 将 $\triangle A B M$ 绕点 $A$ 旋转至 $\triangle A D N$, 将 $\triangle M E F$ 绕点 $F$ 旋转至 $\triangle N G F$, 给出以下五个结论: (1) $\angle M A D=\angle A N D$; (2) $C P=b-\frac{b^{2}}{a}$; (3) $\triangle A B M \cong \triangle N G F$; (4) $S_{A M F N}=a^{2}+b^{2}$; (5) $A, M, P, D$ 四点共圆, 其中正确的个数是（ ）



选项：
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5


答案：D
解析：(1)根据正方形的性质得到 $\angle B A D=\angle A D C=\angle B=90^{\circ}$, 根据旋转的性质得到 $\angle N A D=\angle B A M, \angle A N D=\angle A M B$, 根据余角的性质得到

$\angle D A M+\angle N A D=\angle N A D+\angle A N D=\angle A N D+\angle N A D=90^{\circ}$, 等量代换得到 $\angle D A M=\angle A N D$,故(1)正确;

(2)根据正方形的性质得到 $P C / / E F$, 根据相似三角形的性质得到 $C P=b-\frac{b^{2}}{a}$; 故(2)正确;

(3)根据旋转的性质得到 $G N=M E$, 等量代换得到 $A B=M E=N G$, 根据全等三角形的判定定理得到 $\triangle A B M \cong \triangle N G F$; 故(3)正确;

(4)由旋转的性质得到 $A M=A N, N F=M F$, 根据全等三角形的性质得到 $A M=N F$, 推出四边形 $A M F N$ 是矩形, 根据余角性质得出 $\angle N A M=90^{\circ}$, 推出四边形 $A M F N$ 是正方形, 于是得到 $S_{\text {四边形AMFN }}=A M^{2}=a^{2}+b^{2}$; 故(4)正确;

(5)根据正方形的性质得到 $\angle A M P=90^{\circ}, \angle A D P=90^{\circ}$, 得到 $\angle A M P+\angle A D P=180^{\circ}$, 于是推出 $A, M, P, D$ 四点共圆, 故(5)正确;



【详解】解: (1) $\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形,

$\therefore \angle B A D=\angle A D C=\angle B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B A M+\angle D A M=90^{\circ}$,

$\because$ 将 $\triangle A B M$ 绕点 $A$ 旋转至 $\triangle A D N$,

$\therefore \angle N A D=\angle B A M, \angle A N D=\angle A M B$,

$\therefore \angle D A M+\angle N A D=\angle N A D+\angle A N D=\angle A N D+\angle N A D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle D A M=\angle A N D$, 故(1)正确;

(2) $\because$ 四边形 $C E F G$ 是正方形,

$\therefore P C / / E F$,

$\therefore \triangle M P C \sim \triangle E M F$,

$\therefore \frac{P C}{E F}=\frac{C M}{M E}$,

$\because$ 大正方形 $A B C D$ 边长为 $a$, 小正方形 $C E F G$ 边长为 $b(a>b), B M=b$,

$\therefore E F=b, \quad C M=a-b, \quad M E=(a-b)+b=a$,

$\therefore \frac{P C}{b}=\frac{a-b}{a}$,

$\therefore C P=b-\frac{b^{2}}{a}$; 故(2)正确;

(3) $\because$ 将 $\triangle M E F$ 绕点 $F$ 旋转至 $\triangle N G F$,

$\therefore G N=M E$,

$\because A B=a, \quad M E=a$,

$\therefore A B=M E=N G$,

在 $\triangle A B M$ 与 $\triangle N G F$ 中,

$\because A B=N G=a, \angle B=\angle N G F=90^{\circ}, \quad G F=B M=b$,

$\therefore \triangle A B M \cong \triangle N G F$ ；故(3)正确;

(4) $\because$ 将 $\triangle A B M$ 绕点 $A$ 旋转至 $\triangle A D N$,

$\therefore A M=A N$

$\because$ 将 $\triangle M E F$ 绕点 $F$ 旋转至 $\triangle N G F$,

$\therefore N F=M F$,

$\because \triangle A B M \cong \triangle N G F$,

$\therefore A M=N F$,

$\therefore$ 四边形 $A M F N$ 是矩形,

$\because \angle B A M=\angle N A D$,

$\therefore \angle B A M+D A M=\angle N A D+\angle D A N=90^{\circ}$,

$\therefore \angle N A M=90^{\circ}$,

$\therefore$ 四边形 $A M F N$ 是正方形,

$\because$ 在 Rt $\triangle A B M$ 中, $a^{2}+b^{2}=A M^{2}$,

$\therefore S_{\text {四边形 } A M F N}=A M^{2}=a^{2}+b^{2}$; 故(4) 正确;

(5) $\because$ 四边形 $A M F N$ 是正方形,

$\therefore \angle A M P=90^{\circ}$,

$\because \angle A D P=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A M P+\angle A D P=180^{\circ}$,

$\therefore A, M, P, D$ 四点共圆, 故(5)正确.

故选:D.

【点睛】本题考查了四点共圆, 全等三角形的判定和性质相似三角形的判定和性质, 正方形的性质旋转的性质，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键.