eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（九年级 · 画法几何学）：某班数学活动小组的同学用纸板制作长方体包装盒, 其平面展开图和相关尺寸如图所示, 其中阴影部分为内部粘贴角料. (单位: 毫米)

(1)此长方体包装盒的体积为 \$ \qquad \$立方毫米； (用含 $x 、 y$ 的式子表示)

(2)此长方体的表面积(不含内部粘贴角料)为 \$ \qquad \$平方毫米； (用含 $x 、 y$ 的式子表示)

(3)若内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的 $\frac{1}{5}$, 求当 $x=40$ 毫米, $y=70$ 毫米时, 制作这



样一个长方体共需要纸板多少平方毫米.
选项：
答案： $65 x y 2(x y+65 y+65 x)$

解: (1) 由题意, 知该长方体的长为 $y$ 毫米, 宽为 $x$ 毫米, 高为 65 毫米,

则长方体包装盒的体积为: $65 x y$ 立方毫米.

故答案为 $65 x y$;

(2)长方体的表面积(不含内部粘贴角料)为: $2(x y+65 y+65 x)$ 立方毫米;

故答案为: $2(x y+65 y+65 x)$;

(3) $\because$ 长方体的长为 $y$ 毫米, 宽为 $x$ 毫米, 高为 65 毫米,

$\therefore$ 长方体的表面积 $=2(x y+65 y+65 x)$ 平方毫米,

又 $\because$ 内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的 $\frac{1}{5}$,

$\therefore$ 制作这样一个长方体共需要纸板的面积 $=\left(1+\frac{1}{5}\right) \times 2(x y+65 y+65 x)=\frac{12}{5}(x y+65 y+65 x)=$ $\frac{12}{5} x y+156 y+156 x$ (平方毫米)

$\because x=40, y=70$

$\therefore$ :制作这样一个长方体共需要纸板 $\frac{12}{5} \times 40 \times 70+156 \times 70+156 \times 40=23880$ 平方毫米.
解析： $65 x y 2(x y+65 y+65 x)$

解: (1) 由题意, 知该长方体的长为 $y$ 毫米, 宽为 $x$ 毫米, 高为 65 毫米,

则长方体包装盒的体积为: $65 x y$ 立方毫米.

故答案为 $65 x y$;

(2)长方体的表面积(不含内部粘贴角料)为: $2(x y+65 y+65 x)$ 立方毫米;

故答案为: $2(x y+65 y+65 x)$;

(3) $\because$ 长方体的长为 $y$ 毫米, 宽为 $x$ 毫米, 高为 65 毫米,

$\therefore$ 长方体的表面积 $=2(x y+65 y+65 x)$ 平方毫米,

又 $\because$ 内部粘贴角料的面积占长方体表面纸板面积的 $\frac{1}{5}$,

$\therefore$ 制作这样一个长方体共需要纸板的面积 $=\left(1+\frac{1}{5}\right) \times 2(x y+65 y+65 x)=\frac{12}{5}(x y+65 y+65 x)=$ $\frac{12}{5} x y+156 y+156 x$ (平方毫米)

$\because x=40, y=70$

$\therefore$ :制作这样一个长方体共需要纸板 $\frac{12}{5} \times 40 \times 70+156 \times 70+156 \times 40=23880$ 平方毫米.
题目（九年级 · 画法几何学）：把边长为 1 的 10 个相同正方体摆成如图的形式.

(1)画出该几何体的主视图、左视图、俯视图;

(2)试求出其表面积(包括向下的面);

(3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体, 并保持这个几何体的左视图和俯视图不变,



那么最多可以再添加 \$ \qquad \$个小正方体.



左视图





俯视图





主视图
选项：
答案： 4

【解析】解: (1)这个几何体三个视图如图所示:
<ImageHere>

主视图

<ImageHere>

左视图

<ImageHere>

俯视图

$(2)(6+6+6) \times 2+2=38$,

(3)这个几何体的左视图和俯视图不变, 在俯视图上, 标上该位置放小立方体的个数, $(+$ 后面的数是可以增加的数 $)$

<ImageHere>

俯视图

因此最多可以增加 4 个,

故答案为: 4 .
解析： 4

【解析】解: (1)这个几何体三个视图如图所示:


主视图



左视图



俯视图

$(2)(6+6+6) \times 2+2=38$,

(3)这个几何体的左视图和俯视图不变, 在俯视图上, 标上该位置放小立方体的个数, $(+$ 后面的数是可以增加的数 $)$



俯视图

因此最多可以增加 4 个,

故答案为: 4 .
题目（九年级 · 画法几何学）：如图, 在阳光下, 某一时刻, 旗杆 $A B$ 的影子一部分在地面上, 另一部分在建筑物的墙面上. 小明测得旗杆 $A B$ 在地面上的影长 $B C$ 为 $20 m$ ，在墙面上的影长 $C D$ 为 $4 m$ ，同一时刻，小明又测得坚立于地面长 $1 m$ 的标杆的影长为 $0.8 m$, 求旗杆 $A B$ 的高度


选项：
答案：解: 作 $D E \perp A B$ 于 $E$,

<ImageHere>

$\because D C \perp B C$ 于 $C, A B \perp B C$ 于 $B$,

$\therefore$ 四边形 $B C D E$ 为矩形,

$\therefore D E=B C=20 m, B E=D C=4 m$,

$\because$ 同一时刻物高与影长所组成的三角形相似,

$\therefore \frac{1}{0.8}=\frac{A E}{20}$,

解得 $A E=25 m$,

$\therefore A B=25+4=29 \mathrm{~m}$.

答: 旗杆的高度为 $29 \mathrm{~m}$.
解析：解: 作 $D E \perp A B$ 于 $E$,



$\because D C \perp B C$ 于 $C, A B \perp B C$ 于 $B$,

$\therefore$ 四边形 $B C D E$ 为矩形,

$\therefore D E=B C=20 m, B E=D C=4 m$,

$\because$ 同一时刻物高与影长所组成的三角形相似,

$\therefore \frac{1}{0.8}=\frac{A E}{20}$,

解得 $A E=25 m$,

$\therefore A B=25+4=29 \mathrm{~m}$.

答: 旗杆的高度为 $29 \mathrm{~m}$.
题目（九年级 · 画法几何学）：张红武和几位同学做手的影子游戏时, 发现对于同一物体, 影子的大小与光源到物体的距离有关. 因此, 他们认为: 可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置. 于是, 他们做了以下尝试, 如图 1, 垂直于地面放置的正方形框架 $A B C D$, 在其正上方有一灯泡, 在灯泡的照射下, 当边长 $A B$ 为 $30 \mathrm{~cm}$, 正方形框架的横向影子 $A^{\prime} B, D^{\prime} C$ 的长度和为 $6 \mathrm{~cm}$. 根据以上信息, 他们计算出灯泡离地面的高度为 $180 \mathrm{~cm}$.



图 1



图 2



图 3

(1)不改变图 1 中灯泡的高度, 将两个边长为 $30 \mathrm{~cm}$ 的正方形框架按图 2 摆放, 请求出此时横向影子 $A^{\prime} B, D^{\prime} C$ 的长度和为多少?

(2)有 $n$ 个边长为 $a$ 的正方形按图 3 摆放, 测得横向影子 $A^{\prime} B, D^{\prime} C$ 的长度和为 $b$, 求灯泡离地面的高度. (结果用含 $a, b, n$ 的代数式表示)
选项：
答案：解: 设灯泡的位置为点 $P$, 横向影子 $A^{\prime} B, D^{\prime} C$ 的长度和为 $x c m$,

$\because A D / / A^{\prime} D^{\prime}$,

$\therefore \angle P A D=\angle P A^{\prime} D^{\prime}, \angle P D A=\angle P D^{\prime} A^{\prime}$.
$\therefore \triangle P A D \sim \triangle P A^{\prime} D^{\prime}$

$\therefore \frac{60}{60+x}=\frac{150}{180}$,

解得 $x=12 \mathrm{~cm}$ ，即横向影子 $A^{\prime} B, D^{\prime} C$ 的长度和为 $12 \mathrm{~cm}$;

(2)记灯泡为点 $P$, 如图:

$\because A D / / A^{\prime} D^{\prime}$,

$\therefore \angle P A D=\angle P A^{\prime} D^{\prime}, \angle P D A=\angle P D^{\prime} A^{\prime}$.

$\therefore \triangle P A D \sim \triangle P A^{\prime} D^{\prime}$.

<ImageHere>

根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质, 可得 $\frac{A D}{A^{\prime} D^{\prime}}=\frac{P N}{P M}$,

设灯泡离地面距离为 $x$, 由题意, 得 $P M=x, P N=x-a, A D=n a, A^{\prime} D^{\prime}=n a+b$,

$\therefore \frac{n a}{n a+b}=\frac{x-a}{x}=1-\frac{a}{x}$,

$\therefore \frac{a}{x}=1-\frac{n a}{n a+b}$.

$\therefore x=\frac{n a^{2}+a b}{b}$.
解析：解: 设灯泡的位置为点 $P$, 横向影子 $A^{\prime} B, D^{\prime} C$ 的长度和为 $x c m$,

$\because A D / / A^{\prime} D^{\prime}$,

$\therefore \angle P A D=\angle P A^{\prime} D^{\prime}, \angle P D A=\angle P D^{\prime} A^{\prime}$.
$\therefore \triangle P A D \sim \triangle P A^{\prime} D^{\prime}$

$\therefore \frac{60}{60+x}=\frac{150}{180}$,

解得 $x=12 \mathrm{~cm}$ ，即横向影子 $A^{\prime} B, D^{\prime} C$ 的长度和为 $12 \mathrm{~cm}$;

(2)记灯泡为点 $P$, 如图:

$\because A D / / A^{\prime} D^{\prime}$,

$\therefore \angle P A D=\angle P A^{\prime} D^{\prime}, \angle P D A=\angle P D^{\prime} A^{\prime}$.

$\therefore \triangle P A D \sim \triangle P A^{\prime} D^{\prime}$.



根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质, 可得 $\frac{A D}{A^{\prime} D^{\prime}}=\frac{P N}{P M}$,

设灯泡离地面距离为 $x$, 由题意, 得 $P M=x, P N=x-a, A D=n a, A^{\prime} D^{\prime}=n a+b$,

$\therefore \frac{n a}{n a+b}=\frac{x-a}{x}=1-\frac{a}{x}$,

$\therefore \frac{a}{x}=1-\frac{n a}{n a+b}$.

$\therefore x=\frac{n a^{2}+a b}{b}$.
题目（九年级 · 画法几何学）：如图, 是由 8 个大小相同的小正方体组合成的简单几何体.

（1）该几何体的主视图如图所示, 请在下面方格纸中分别画出它的左视图和俯视图;



（2）如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的俯视图和主视图不变,
那么请画出添加小正方体后所得几何体可能的左视图.
选项：
答案：（1）作图见解析；（2）作图见解析.

【解析】解: (1) 如图所示:

<ImageHere>

左视图

<ImageHere>

俯视图

(2) 添加后可得如图所示的几何体:
<ImageHere>

左视图分别是:

<ImageHere>
解析：（1）作图见解析；（2）作图见解析.

【解析】解: (1) 如图所示:



左视图



俯视图

(2) 添加后可得如图所示的几何体:


左视图分别是:
题目（九年级 · 画法几何学）：画出如图所示图形从正面、从左面和从上面看到的形状图.


选项：
答案：如图所示见解析.

【解析】如图所示:

<ImageHere>

从正面看

<ImageHere>

从左面看

<ImageHere>

从上面看
解析：如图所示见解析.

【解析】如图所示:



从正面看



从左面看



从上面看
题目（九年级 · 画法几何学）：画出下面几何体的三视图:


选项：
答案：主视图为:

<ImageHere>
俯视图为:

<ImageHere>
解析：主视图为:


俯视图为:
题目（九年级 · 画法几何学）：如图, 粗线表示嵌在玻璃正方体内的一根铁丝，请画出该正方体的三视图.


选项：
答案：见解析.

【解析】如图所示.

<ImageHere>

主视图

<ImageHere>

左视图

<ImageHere>

俯视图
解析：见解析.

【解析】如图所示.



主视图



左视图



俯视图
题目（九年级 · 画法几何学）：如图, $\mathrm{AB}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的直径, $\mathrm{CD}$ 切 $\odot \mathrm{O}$ 于 $\mathrm{E}, \mathrm{AC} \perp \mathrm{CD}$ 于 $C, \mathrm{BD} \perp \mathrm{CD}$ 于 $\mathrm{D}$, 交 $\odot \mathrm{O}$ 于 $\mathrm{F}$,连接 $\mathrm{AE} 、 \mathrm{EF}$.

(1)求证: $\mathrm{AE}$ 是 $\angle \mathrm{BAC}$ 的平分线;

(2)若 $\angle \mathrm{ABD}=60^{\circ}$, 则 $\mathrm{AB}$ 与 $\mathrm{EF}$ 是否平行？请说明理由.


选项：
答案：(1) 见解析; (2) $A B / / E F$. 理由解析.

【解析】 (1) 证明：连接 $B E$;

$\because A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $\therefore \angle A E B=90^{\circ}$.

$\because C D$ 切圆于 $E, \therefore \angle A E C=\angle A B E$, 又 $A C \perp C D$.

$\therefore \angle C A E=\angle B A E$. 即 $A E$ 是 $\angle B A C$ 的平分线.

<ImageHere>

(2) 解: $A B / / E F$. 理由如下:

$\because A C \perp C D$ 于 $C, B D \perp C D$ 于 $D, \therefore A C / / B D$.

$\therefore \angle B A C=180^{\circ}-\angle B=120^{\circ} . \because A E$ 是 $\angle B A C$ 的平分线,

$\therefore \angle B A E=60^{\circ} . \therefore \angle D F E=\angle B A E=60^{\circ}$ (圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角),

$\therefore \angle D F E=\angle A B F . \therefore A B / / E F$.
解析：(1) 见解析; (2) $A B / / E F$. 理由解析.

【解析】 (1) 证明：连接 $B E$;

$\because A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $\therefore \angle A E B=90^{\circ}$.

$\because C D$ 切圆于 $E, \therefore \angle A E C=\angle A B E$, 又 $A C \perp C D$.

$\therefore \angle C A E=\angle B A E$. 即 $A E$ 是 $\angle B A C$ 的平分线.



(2) 解: $A B / / E F$. 理由如下:

$\because A C \perp C D$ 于 $C, B D \perp C D$ 于 $D, \therefore A C / / B D$.

$\therefore \angle B A C=180^{\circ}-\angle B=120^{\circ} . \because A E$ 是 $\angle B A C$ 的平分线,

$\therefore \angle B A E=60^{\circ} . \therefore \angle D F E=\angle B A E=60^{\circ}$ (圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角),

$\therefore \angle D F E=\angle A B F . \therefore A B / / E F$.
题目（九年级 · 画法几何学）：如图, $\mathrm{AB}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的直径, $\mathrm{PA}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的切线, 点 $\mathrm{C}$ 在 $\odot \mathrm{O}$ 上, $\mathrm{CB} / / \mathrm{PO}$.

(1) 判断 PC 与 $\odot \mathrm{O}$ 的位置关系, 并说明理由;

(2) 若 $\mathrm{AB}=6, \mathrm{CB}=4$, 求 $\mathrm{PC}$ 的长.


选项：
答案：(1) $\mathrm{PC}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的切线, 理由见解析; (2) $\frac{3}{2} \sqrt{5}$

【解析】 (1) 结论: PC 是 $\odot \mathrm{O}$ 的切线.
证明：连接 $\mathrm{OC}$

$\because \mathrm{CB} / / \mathrm{PO} \therefore \angle \mathrm{POA}=\angle \mathrm{B}, \quad \angle \mathrm{POC}=\angle \mathrm{OCB}$

$\because \mathrm{OC}=\mathrm{OB} \therefore \angle \mathrm{OCB}=\angle \mathrm{B}$

$\therefore \angle \mathrm{POA}=\angle \mathrm{POC}$ 又 $\because \mathrm{OA}=\mathrm{OC}, \mathrm{OP}=\mathrm{OP}$

$\therefore \triangle \mathrm{APO} \cong \triangle \mathrm{CPO} \therefore \angle \mathrm{OAP}=\angle \mathrm{OCP}$

$\because \mathrm{PA}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的切线 $\therefore \angle \mathrm{OAP}=90^{\circ}$

$\therefore \angle \mathrm{OCP}=90^{\circ} \therefore \mathrm{PC}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的切线.

<ImageHere>

(2) 连接 $A C$

$\because \mathrm{AB}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的直径 $\therefore \angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}$ (6 分)

由（1）知 $\angle \mathrm{PCO}=90^{\circ}, \angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{OCB}=\angle \mathrm{POC} \because \angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{PCO}$

$\therefore \triangle \mathrm{ACB} \sim \triangle \mathrm{PCO} \therefore \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{OC}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PC}}$

$\therefore \mathrm{PC}=\frac{\mathrm{OC} \cdot \mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}=\frac{3 \sqrt{A B^{2}-B C^{2}}}{4}=\frac{3 \sqrt{6^{2}-4^{2}}}{4}=\frac{3 \sqrt{5}}{2}$.
解析：(1) $\mathrm{PC}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的切线, 理由见解析; (2) $\frac{3}{2} \sqrt{5}$

【解析】 (1) 结论: PC 是 $\odot \mathrm{O}$ 的切线.
证明：连接 $\mathrm{OC}$

$\because \mathrm{CB} / / \mathrm{PO} \therefore \angle \mathrm{POA}=\angle \mathrm{B}, \quad \angle \mathrm{POC}=\angle \mathrm{OCB}$

$\because \mathrm{OC}=\mathrm{OB} \therefore \angle \mathrm{OCB}=\angle \mathrm{B}$

$\therefore \angle \mathrm{POA}=\angle \mathrm{POC}$ 又 $\because \mathrm{OA}=\mathrm{OC}, \mathrm{OP}=\mathrm{OP}$

$\therefore \triangle \mathrm{APO} \cong \triangle \mathrm{CPO} \therefore \angle \mathrm{OAP}=\angle \mathrm{OCP}$

$\because \mathrm{PA}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的切线 $\therefore \angle \mathrm{OAP}=90^{\circ}$

$\therefore \angle \mathrm{OCP}=90^{\circ} \therefore \mathrm{PC}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的切线.



(2) 连接 $A C$

$\because \mathrm{AB}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的直径 $\therefore \angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}$ (6 分)

由（1）知 $\angle \mathrm{PCO}=90^{\circ}, \angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{OCB}=\angle \mathrm{POC} \because \angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{PCO}$

$\therefore \triangle \mathrm{ACB} \sim \triangle \mathrm{PCO} \therefore \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{OC}}=\frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{PC}}$

$\therefore \mathrm{PC}=\frac{\mathrm{OC} \cdot \mathrm{AC}}{\mathrm{BC}}=\frac{3 \sqrt{A B^{2}-B C^{2}}}{4}=\frac{3 \sqrt{6^{2}-4^{2}}}{4}=\frac{3 \sqrt{5}}{2}$.
题目（九年级 · 画法几何学）：热气球的探测器显示, 从热气球底部 $A$ 处看一柇高楼顶部的俯角为 $30^{\circ}$, 看这标楼底部的俯角为 $60^{\circ}$, 热气球 $A$ 处于地面距离为 420 米, 求这标楼的高度.


选项：
答案：280.【解析】过 $\mathrm{A}$ 作 $\mathrm{AE} \perp \mathrm{BC}$, 交 $\mathrm{CB}$ 的延长线于点 $\mathrm{E}$, 在 Rt $\triangle \mathrm{ACD}$ 中, $\because \angle \mathrm{CAD}=30^{\circ}, \mathrm{AD}=420$米, $\therefore \mathrm{CD}=\mathrm{AD} \cdot \tan 30^{\circ}=420 \times \frac{\sqrt{3}}{3}=140 \sqrt{3}$ (米), $\therefore \mathrm{AE}=\mathrm{CD}=140 \sqrt{3} 140 \sqrt{3}$ 米. 在 Rt $\triangle \mathrm{ABE}$ 中,

$\because \angle \mathrm{BAE}=30^{\circ}, \mathrm{AE}=140 \sqrt{3}$ 米, $\therefore \mathrm{BE}=\mathrm{AE} \cdot \tan 30^{\circ}=140 \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{3}=140$ (米), $\therefore \mathrm{BC}=\mathrm{AD}-\mathrm{BE}=420-140=280$ (米).

答: 这栋楼的高度为 280 米.

<ImageHere>
解析：280.【解析】过 $\mathrm{A}$ 作 $\mathrm{AE} \perp \mathrm{BC}$, 交 $\mathrm{CB}$ 的延长线于点 $\mathrm{E}$, 在 Rt $\triangle \mathrm{ACD}$ 中, $\because \angle \mathrm{CAD}=30^{\circ}, \mathrm{AD}=420$米, $\therefore \mathrm{CD}=\mathrm{AD} \cdot \tan 30^{\circ}=420 \times \frac{\sqrt{3}}{3}=140 \sqrt{3}$ (米), $\therefore \mathrm{AE}=\mathrm{CD}=140 \sqrt{3} 140 \sqrt{3}$ 米. 在 Rt $\triangle \mathrm{ABE}$ 中,

$\because \angle \mathrm{BAE}=30^{\circ}, \mathrm{AE}=140 \sqrt{3}$ 米, $\therefore \mathrm{BE}=\mathrm{AE} \cdot \tan 30^{\circ}=140 \sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{3}=140$ (米), $\therefore \mathrm{BC}=\mathrm{AD}-\mathrm{BE}=420-140=280$ (米).

答: 这栋楼的高度为 280 米.
题目（九年级 · 画法几何学）：(本小题 8.0 分)

从正面、左面、上面三个方向看该立体图形，分别画出看到的平面图形.



从正面看
选项：
答案：解：该图形的三个视图为:

<ImageHere>

从正面看

<ImageHere>

从左面看

<ImageHere>

从.上面看

【解析】根据三个方向看到的图形画出即可解答此题.
解析：解：该图形的三个视图为:



从正面看



从左面看



从.上面看

【解析】根据三个方向看到的图形画出即可解答此题.
题目（九年级 · 画法几何学）：(本小题 8.0 分)

为了测量 “望月阁” 的高度, 方法如下: 如图, 小芳在小亮和 “望月阁” 之间的直线 $B M$ 上平放一平面镜, 在镜面上做了一个标记, 这个标记在直线 $B M$ 上的对应位置为点 $C$, 镜子不动,小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点 $D$ 时，看到 “望月阁” 顶端点 $A$ 在镜面中的像与镜面上的标记重合, 这时, 测得小亮眼睛与地面的高度 $E D=1.5$ 米, $C D=2$ 米, 然后, 在阳光下, 他们用测影长的方法进行了第二次测量, 方法如下: 如图, 小亮从 $D$ 点沿 $D M$ 方向走了 16米, 到达 “望月阁” 影子的末端 $F$ 点处, 此时, 测得小亮身高 $F G$ 的影长 $F H=2.5$ 米, $F G=$ 1.65米. 如图, 已知 $A B \perp B M, E D \perp B M, G F \perp B M$, 其中, 测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出 “望月阁” 的高 $A B$ 的长度．


选项：
答案：解: 由题意可得: $\angle A B C=\angle E D C=\angle G F H=90^{\circ}$,

$\angle A C B=\angle E C D, \angle A F B=\angle G H F$,

故 $\triangle A B C \sim \triangle E D C, \triangle A B F \sim \triangle G F H$,

则 $\frac{A B}{E D}=\frac{B C}{D C}, \frac{A B}{G F}=\frac{B F}{F H}$,

即 $A B: 1.5=B C: 2, A B: 1.65=(B C+18): 2.5$,

解得: $A B=99$,

答: “望月阁” 的高 $A B$ 的长度为 $99 \mathrm{~m}$.

【解析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质, 正确利用已知得出相似三角形是解题关键. 根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出 $\triangle A B C \sim \triangle E D C, \triangle A B F \sim \triangle G F H$, 进而利用相似三角形的性质得出 $A B$ 的长.
解析：解: 由题意可得: $\angle A B C=\angle E D C=\angle G F H=90^{\circ}$,

$\angle A C B=\angle E C D, \angle A F B=\angle G H F$,

故 $\triangle A B C \sim \triangle E D C, \triangle A B F \sim \triangle G F H$,

则 $\frac{A B}{E D}=\frac{B C}{D C}, \frac{A B}{G F}=\frac{B F}{F H}$,

即 $A B: 1.5=B C: 2, A B: 1.65=(B C+18): 2.5$,

解得: $A B=99$,

答: “望月阁” 的高 $A B$ 的长度为 $99 \mathrm{~m}$.

【解析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质, 正确利用已知得出相似三角形是解题关键. 根据镜面反射原理结合相似三角形的判定方法得出 $\triangle A B C \sim \triangle E D C, \triangle A B F \sim \triangle G F H$, 进而利用相似三角形的性质得出 $A B$ 的长.
题目（九年级 · 画法几何学）：(本小题 8.0 分)

根据要求完成下列题目:

(1) 如图中有块小正方体;

(2)请在下面方格纸中分别画出它的左视图和俯视图(画出的图都用铅笔涂上阴影);



正面



左视图



俯视图

(3)用小正方形体搭一个几何体, 使得它的俯视图和左视图与你在上图方格中所画的图一致,则这样的几何体最少要 \$ \qquad \$个小正方体，最多要 \$ \qquad \$个小正方形.
选项：
答案：(1)8

(2)如下图所示:

<ImageHere>

正面

<ImageHere>

左视图

<ImageHere>

俯视图

(3) 813
【解析】解: (1)根据该组合体知最下面一层有 5 个正方体, 第 2 层有 2 个正方体、最上面一层有 1 个正方体，

据此知共有 8 个正方体,

故答案为: 8 ;

(2)见答案

(3)这样的几何体所需正方体最少分布情况如下图所示:

<ImageHere>

佇枧图

共需要 8 个正方体;

这样的几何体所需正方体最多分布情况如下图所示:

<ImageHere>

俯视图

共需要正方体 13 个,

故答案为: 813 .

(1)最下面一层有 5 个正方体，第 2 层有 2 个正方体、最上面一层有 1 个正方体, 据此可得;

(2)根据左视图和俯视图的定义作图即可得;

（3)由题意知最少情况是: 后面一排某一列有 3 个正方体、其余位置有 1 个正方体，前面一排某一列有 2 个正方体、另一列有 1 个正方体; 最多的情况是：后面一排 3 列都有 3 个正方体，前面一排2列都有 2 个正方体, 据此可得.

此题主要考查了由实物画三视图, 以及利用主视图和俯视图判断几何体的形状, 主要培养同学们的空间想象能力, 想象不出来可以亲手实验.
解析：(1)8

(2)如下图所示:



正面



左视图



俯视图

(3) 813
【解析】解: (1)根据该组合体知最下面一层有 5 个正方体, 第 2 层有 2 个正方体、最上面一层有 1 个正方体，

据此知共有 8 个正方体,

故答案为: 8 ;

(2)见答案

(3)这样的几何体所需正方体最少分布情况如下图所示:



佇枧图

共需要 8 个正方体;

这样的几何体所需正方体最多分布情况如下图所示:



俯视图

共需要正方体 13 个,

故答案为: 813 .

(1)最下面一层有 5 个正方体，第 2 层有 2 个正方体、最上面一层有 1 个正方体, 据此可得;

(2)根据左视图和俯视图的定义作图即可得;

（3)由题意知最少情况是: 后面一排某一列有 3 个正方体、其余位置有 1 个正方体，前面一排某一列有 2 个正方体、另一列有 1 个正方体; 最多的情况是：后面一排 3 列都有 3 个正方体，前面一排2列都有 2 个正方体, 据此可得.

此题主要考查了由实物画三视图, 以及利用主视图和俯视图判断几何体的形状, 主要培养同学们的空间想象能力, 想象不出来可以亲手实验.
题目（九年级 · 画法几何学）：(本小题 8.0 分)

画出图中几何体(上半部为正三棱柱, 下半部为圆柱)的三视图.


选项：
答案：解: 如图所示:

<ImageHere>

【解析】从正面看得到的图形是上面中间有坚线的长方形下面长方形, 从左面看得到的图形是上面小长方形下面大长方形, 从上面看得到的图形是中间有内接三角形的圆形.

考查了作图-三视图, 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看, 所得到的图形; 在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来, 看得见的轮廓线都画成实线.
解析：解: 如图所示:



【解析】从正面看得到的图形是上面中间有坚线的长方形下面长方形, 从左面看得到的图形是上面小长方形下面大长方形, 从上面看得到的图形是中间有内接三角形的圆形.

考查了作图-三视图, 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看, 所得到的图形; 在画图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来, 看得见的轮廓线都画成实线.
题目（九年级 · 画法几何学）：( 本小题 8.0 分)

画图题

如图, 这是一个由小立方块搭成的几何体的从上面看的形状图, 小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数. 请你画出从正面看和从左面看的形状图.


选项：
答案：解: 如图所示:

<ImageHere>

从正面看

<ImageHere>

从左面看

【解析】从正面看有 3 列, 小正方形个数分别为: $3,1,1$, 从左面看有 3 列小正方形个数分别为:

$2,3,1$.
此题主要考查了作三视图, 正确把握观察角度是解题关键.
解析：解: 如图所示:



从正面看



从左面看

【解析】从正面看有 3 列, 小正方形个数分别为: $3,1,1$, 从左面看有 3 列小正方形个数分别为:

$2,3,1$.
此题主要考查了作三视图, 正确把握观察角度是解题关键.
题目（九年级 · 画法几何学）：(本小题8.0分)

(1)下面四个图分别由六个相同的正方形拼接而成，其中不能折成正方体(从 $A 、 B 、 C 、 D$ 选择 ) 的是



A



B



$\mathrm{C}$



D



图1

(2)用斜二测画法补画图1的图形, 使之成为长方体的直观图(虚线表示被遮住的线段; 只要在已有图形基础上画出长方体, 不必写画法步骤).

(3)在这一长方体中, 从同一个顶点出发的三个面的面积之比是 $5: 7: 2$, 其中最大的比最小的面积大 $60 \mathrm{~cm}^{2}$, 求这个长方体的表面积.
选项：
答案： $D$

【解析】解：(1)正方体的展开图 $1-4-1$ 型, 只有 $D$ 不是这种情况, 所以 $D$ 不能折成长方形,故答案为: $D$;

$(2)$

<ImageHere>

图1

(3)设这三个面的面积分别为 $5 x \mathrm{~cm}^{2} 、 7 \mathrm{xcm}^{2} 、 2 \mathrm{cc}^{2}$,

$7 x-2 x=60$

$x=12$

$2 \times(5 \times 12+7 \times 12+2 \times 12)=336\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$.

答: 这个长方体的表面积是336平方厘米.

(1)根据正方体的展开图分析;

(2)画长方体, 在原来答题的地方点一下鼠标, 现有截图复制保存图片, 去菁优编辑器里按插入图片，完成后点击画板下面的完成图片;

(3)设三个面的面积分别为 $5 x \mathrm{~cm}^{2} 、 7 x \mathrm{~cm}^{2} 、 2 x \mathrm{~cm}^{2}$ 根据等量关系列方程解答.

此题考查正方体得出展开图和长方体的表面积, 重点是理解正方体展开图的种类, 求表面积的方法和画图的方法.
解析： $D$

【解析】解：(1)正方体的展开图 $1-4-1$ 型, 只有 $D$ 不是这种情况, 所以 $D$ 不能折成长方形,故答案为: $D$;

$(2)$



图1

(3)设这三个面的面积分别为 $5 x \mathrm{~cm}^{2} 、 7 \mathrm{xcm}^{2} 、 2 \mathrm{cc}^{2}$,

$7 x-2 x=60$

$x=12$

$2 \times(5 \times 12+7 \times 12+2 \times 12)=336\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$.

答: 这个长方体的表面积是336平方厘米.

(1)根据正方体的展开图分析;

(2)画长方体, 在原来答题的地方点一下鼠标, 现有截图复制保存图片, 去菁优编辑器里按插入图片，完成后点击画板下面的完成图片;

(3)设三个面的面积分别为 $5 x \mathrm{~cm}^{2} 、 7 x \mathrm{~cm}^{2} 、 2 x \mathrm{~cm}^{2}$ 根据等量关系列方程解答.

此题考查正方体得出展开图和长方体的表面积, 重点是理解正方体展开图的种类, 求表面积的方法和画图的方法.
题目（九年级 · 度量几何学）：(10 分) 如图, 在楼房 $M N$ 前有两棵树与楼房在同一直线上, 且垂直于地面, 为了测量树 $A B 、$ $C D$ 的高度, 小明爬到楼房顶部 $M$ 处, 光线恰好可以经过树 $C D$ 的顶站 $C$ 点到达树 $A B$ 的底部 $B$点, 俯角为 $37^{\circ}$, 此时小亮测得太阳光线恰好经过树 $C D$ 的顶部 $C$ 点到达楼房的底部 $N$ 点, 与地面的夹角为 $30^{\circ}$, 树 $C D$ 的影长 $D N$ 为 15 米, 请求出树 $A B$ 和楼房 $M N$ 的高度. $\left(\sqrt{3} \approx 1.73, \sin 37^{\circ} \approx\right.$ $0.60, \cos 37^{\circ} \approx 0.800, \tan 37^{\circ} \approx 0.75$, 结果精确到 $\left.0.1 \mathrm{~m}\right)$


选项：
答案：解: 在 $R t \triangle C D N$ 中,

$\because \tan 30^{\circ}=\frac{C D}{D N}$,

$\therefore C D=\tan 30^{\circ} \cdot D N=5 \sqrt{3}$,

$\because \angle C B D=\angle E M B=37^{\circ}$,

$\therefore B D=C D \div \tan 37^{\circ}=\frac{20}{3} \sqrt{3}$,

<ImageHere>

$$
\therefore B N=D N+B D=15+\frac{20}{3} \sqrt{3}
$$

在Rt $\triangle A B N$ 中, $\tan 30^{\circ}=\frac{A B}{B N}$,

$\therefore A B=\tan 30^{\circ} \cdot B N \approx 15.3$,
在Rt $\triangle M N B$ 中, $M N=B N \cdot \tan 37^{\circ}=0.75\left(15+\frac{20}{3} \sqrt{3}\right) \approx 19.9$

$\therefore$ 树高 $A B$ 是15.3米, 楼房 $M N$ 的高度是19.9米.
解析：解: 在 $R t \triangle C D N$ 中,

$\because \tan 30^{\circ}=\frac{C D}{D N}$,

$\therefore C D=\tan 30^{\circ} \cdot D N=5 \sqrt{3}$,

$\because \angle C B D=\angle E M B=37^{\circ}$,

$\therefore B D=C D \div \tan 37^{\circ}=\frac{20}{3} \sqrt{3}$,



$$
\therefore B N=D N+B D=15+\frac{20}{3} \sqrt{3}
$$

在Rt $\triangle A B N$ 中, $\tan 30^{\circ}=\frac{A B}{B N}$,

$\therefore A B=\tan 30^{\circ} \cdot B N \approx 15.3$,
在Rt $\triangle M N B$ 中, $M N=B N \cdot \tan 37^{\circ}=0.75\left(15+\frac{20}{3} \sqrt{3}\right) \approx 19.9$

$\therefore$ 树高 $A B$ 是15.3米, 楼房 $M N$ 的高度是19.9米.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $\triangle A B C$ 中, $B C=5, \sin A=\frac{3}{5}$

(1)求 $\triangle A B C$ 的外接圆的直径;

(2)如果 $A B=B C$, 求 $\triangle A B C$ 内切圆的半径.


选项：
答案：解: (1)作直径 $B D$, 连接 $C D$,

由圆周角定理得, $\angle D=\angle A, \angle B C D=90^{\circ}$,

$\therefore B D=\frac{B C}{\sin D}=\frac{25}{3}$, 即 $\triangle A B C$ 的外接圆的直径为 $\frac{25}{3}$;

(2) $\because A B=B C$,

<ImageHere>

图1

$\therefore B E \perp A C$,

$\therefore B E=A B \times \sin A=3$,

$\therefore A E=\sqrt{A B^{2}-B E^{2}}=4$,

$\therefore A C=8$,

设 $\triangle A B C$ 内切圆的半径为 $r$,

则 $\frac{1}{2} \times 5 \times r+\frac{1}{2} \times 5 \times r+\frac{1}{2} \times 8 \times r=\frac{1}{2} \times 8 \times 3$,

解得, $r=\frac{4}{3}$,

则 $\triangle A B C$ 内切圆的半径为 $\frac{4}{3}$.
解析：解: (1)作直径 $B D$, 连接 $C D$,

由圆周角定理得, $\angle D=\angle A, \angle B C D=90^{\circ}$,

$\therefore B D=\frac{B C}{\sin D}=\frac{25}{3}$, 即 $\triangle A B C$ 的外接圆的直径为 $\frac{25}{3}$;

(2) $\because A B=B C$,



图1

$\therefore B E \perp A C$,

$\therefore B E=A B \times \sin A=3$,

$\therefore A E=\sqrt{A B^{2}-B E^{2}}=4$,

$\therefore A C=8$,

设 $\triangle A B C$ 内切圆的半径为 $r$,

则 $\frac{1}{2} \times 5 \times r+\frac{1}{2} \times 5 \times r+\frac{1}{2} \times 8 \times r=\frac{1}{2} \times 8 \times 3$,

解得, $r=\frac{4}{3}$,

则 $\triangle A B C$ 内切圆的半径为 $\frac{4}{3}$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 已知: $A B$ 为 $\odot O$ 的直径, $\angle B A D=\angle B=90^{\circ}, D C$ 与 $\odot O$ 相切于点 $E, \odot O$ 的直径为 $2 \sqrt{5}$, $A D=2$.

(1) 求 $B C$ 的长;

(2)连接 $A E$ 并延长交 $B C$ 的延长线于点 $G$, 求 $E G$ 的长.


选项：
答案：解： (1)过点 $D$ 作 $D F \perp B C$ 于点 $F$,

<ImageHere>

图1

<ImageHere>

图2

$\because A B$ 为 $\odot O$ 的直径, $\angle A=\angle B=90^{\circ}$,

$\therefore$ 四边形 $A B F D$ 是矩形, $A D$ 与 $B C$ 是 $\odot O$ 的切线,

$\therefore D F=A B=2 \sqrt{5}, B F=A D=2$,

$\because D E$ 与 $\odot O$ 相切,

$\therefore D E=A D=2, C E=B C$,

设 $B C=x$ ，

则 $C F=B C-B F=x-2, D C=D E+C E=2+x$,

在Rt $\triangle D C F$ 中, $D C^{2}=C F^{2}+D F^{2}$,
即 $(2+x)^{2}=(x-2)^{2}+(2 \sqrt{5})^{2} ，$

解得: $x=2.5$,

即 $B C=2.5$;

(2) $\because A B$ 为 $\odot O$ 的直径, $\angle A=\angle B=90^{\circ}$,

$\therefore A D / / B C$,

$\therefore \triangle A D E \sim \triangle G C E$,

$\therefore A D: C G=D E: C E, A E: E G=A D: C G$,

$\because A D=D E=2$,

$\therefore C G=C E=B C=2.5$,

$\therefore B G=B C+C G=5$,

$\therefore A E: E G=4: 5$,

在Rt $\triangle A B G$ 中, $A G=\sqrt{A B^{2}+B G^{2}}=3 \sqrt{5}$,

$\therefore E G=\frac{5}{9} A G=\frac{5 \sqrt{5}}{3}$.
解析：解： (1)过点 $D$ 作 $D F \perp B C$ 于点 $F$,



图1



图2

$\because A B$ 为 $\odot O$ 的直径, $\angle A=\angle B=90^{\circ}$,

$\therefore$ 四边形 $A B F D$ 是矩形, $A D$ 与 $B C$ 是 $\odot O$ 的切线,

$\therefore D F=A B=2 \sqrt{5}, B F=A D=2$,

$\because D E$ 与 $\odot O$ 相切,

$\therefore D E=A D=2, C E=B C$,

设 $B C=x$ ，

则 $C F=B C-B F=x-2, D C=D E+C E=2+x$,

在Rt $\triangle D C F$ 中, $D C^{2}=C F^{2}+D F^{2}$,
即 $(2+x)^{2}=(x-2)^{2}+(2 \sqrt{5})^{2} ，$

解得: $x=2.5$,

即 $B C=2.5$;

(2) $\because A B$ 为 $\odot O$ 的直径, $\angle A=\angle B=90^{\circ}$,

$\therefore A D / / B C$,

$\therefore \triangle A D E \sim \triangle G C E$,

$\therefore A D: C G=D E: C E, A E: E G=A D: C G$,

$\because A D=D E=2$,

$\therefore C G=C E=B C=2.5$,

$\therefore B G=B C+C G=5$,

$\therefore A E: E G=4: 5$,

在Rt $\triangle A B G$ 中, $A G=\sqrt{A B^{2}+B G^{2}}=3 \sqrt{5}$,

$\therefore E G=\frac{5}{9} A G=\frac{5 \sqrt{5}}{3}$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图所示, 花丛中有一路灯杆 $A B$, 在灯光下, 大华在点 $D$ 处的影长 $D E=3 m$, 沿 $B D$ 方向行走到达点 $G, D G=5 \mathrm{~m}$, 这时大华的影长 $G H=5 \mathrm{~m}$. 如果大华的身高为 $2 \mathrm{~m}$, 求路灯杆 $A B$ 的高度.


选项：
答案：解: $\because C D / / A B$,

$\therefore \triangle E A B \sim \triangle E C D$,

$\therefore \frac{C D}{A B}=\frac{D E}{B E}$,

即 $\frac{2}{A B}=\frac{3}{3+B D}(1)$

$\because F G / / A B$,
$\therefore \triangle H F G \sim \triangle H A B$,

$\therefore \frac{F G}{A B}=\frac{H G}{H B}$

即 $\frac{2}{A B}=\frac{5}{B D+5+5}(2)$,

由(1) (2)得 $\frac{3}{3+B D}=\frac{5}{B D+5+5}$,

解得: $B D=7.5 m$,

$\therefore \frac{2}{A B}=\frac{3}{7.5}$,

解得: $A B=7 \mathrm{~m}$.

答: 路灯杆 $A B$ 的高度为 $7 m$.
解析：解: $\because C D / / A B$,

$\therefore \triangle E A B \sim \triangle E C D$,

$\therefore \frac{C D}{A B}=\frac{D E}{B E}$,

即 $\frac{2}{A B}=\frac{3}{3+B D}(1)$

$\because F G / / A B$,
$\therefore \triangle H F G \sim \triangle H A B$,

$\therefore \frac{F G}{A B}=\frac{H G}{H B}$

即 $\frac{2}{A B}=\frac{5}{B D+5+5}(2)$,

由(1) (2)得 $\frac{3}{3+B D}=\frac{5}{B D+5+5}$,

解得: $B D=7.5 m$,

$\therefore \frac{2}{A B}=\frac{3}{7.5}$,

解得: $A B=7 \mathrm{~m}$.

答: 路灯杆 $A B$ 的高度为 $7 m$.