eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（七年级 · 代数）：（2021 秋 -思明区校级期中）所谓完全平方式, 就是对一个整式 $M$, 如果存在另一个整式 $N$, 使 $M=N^{2}$, 则称 $M$ 是完全平方式, 如 $x^{4}=\left(x^{2}\right)^{2} 、 x^{2}+2 x y+y^{2}=(x+y)^{2}$, 则称 $x^{4} 、 x^{2}+2 x y+y^{2}$ 是完全平方式. （1）下列各式中是完全平方式的有 \$ \qquad \$ . $\quad($ 填写编号 $)$

(1) $a^{2}+4 a+4 b^{2}$; (2) $4 x^{2}$; (3) $x^{2}-x y+y^{2}$; (4) $y^{2}-10 y-25$; (5) $x^{2}+12 x+36$; (6) $\frac{1}{49} a^{2}-2 a+49$.

(2) 证明: 多项式 $x(x+4)^{2}(x+8)+64$ 是一个完全平方式.

（3）已知 $a 、 b 、 c$ 是 $\triangle A B C$ 的三边长, 满足 $a^{2}+b^{2}+2 c^{2}=2 c(a+b)$, 判定 $\triangle A B C$ 的形状.
选项：
答案：解: (1) (1) $a^{2}+4 a+4 b^{2}$, 不是我去苹果是, 不符合题意。(2) $4 x^{2}=(2 x)^{2}$, 符合题意.

$(3) x^{2}-x y+y^{2}=(x-y)^{2}+x y$, 不符合题意. (4) $y^{2}-10 y-25=(y-5)^{2}+50$, 不符合题意.

(5) $x^{2}+12 x+36=(x+6)^{2}$, 符合题意. (6) $\frac{1}{49} a^{2}-2 a+49=\left(\frac{1}{7} a^{-7}\right)^{2}$, 符合题意. 故答案为: (2)(5)(6).

(2) $\because x(x+4)^{2}(x+8)+64=\left(x^{2}+8 x\right)\left(x^{2}+8 x+16\right)+64$

$=\left(x^{2}+8 x\right)^{2}+16\left(x^{2}+8 x\right)+64=\left(x^{2}+8 x+8\right)^{2}$,

$\therefore$ 多项式 $x(x+4)^{2}(x+8)+64$ 是一个完全平方式.

(3) $\because a^{2}+b^{2}+2 c^{2}=2 c(a+b)=2 a c+2 b c, \quad \therefore a^{2}-2 a c+c^{2}+b^{2}-2 b c+c^{2}=0$,

$\therefore(a-c)^{2}+(b-c)^{2}=0, \therefore a-c=0, b-c=0, \therefore a=b=c, \therefore \triangle A B C$ 是等边三角形.

【分析】  (1) 通过题干定义, 通过完全平方式 $(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$ 分别判断求解.

(2) 先将 $x(x+4)^{2}(x+8)+64$ 整理为 $\left(x^{2}+8 x\right)\left(x^{2}+8 x+16\right)+64$, 然后将 $\left(x^{2}+8 x\right)$ 作为整体求解.

(3) 将 $a^{2}+b^{2}+2 c^{2}=2 c(a+b)$ 整理为 $(a-c)^{2}+(b-c)^{2}=0$ 求解.

【点睛】本题考查因式分解的应用, 解题关键是掌握完全平方式, 通过整体思想求解.
解析：(1) 通过题干定义, 通过完全平方式 $(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$ 分别判断求解.

(2) 先将 $x(x+4)^{2}(x+8)+64$ 整理为 $\left(x^{2}+8 x\right)\left(x^{2}+8 x+16\right)+64$, 然后将 $\left(x^{2}+8 x\right)$ 作为整体求解.

(3) 将 $a^{2}+b^{2}+2 c^{2}=2 c(a+b)$ 整理为 $(a-c)^{2}+(b-c)^{2}=0$ 求解.

【点睛】本题考查因式分解的应用, 解题关键是掌握完全平方式, 通过整体思想求解.
题目（七年级 · 代数）：（2021・下城区期末) 关于 $x, y$ 的二元一次方程 $a x+b y=c$ ( $a, b, c$ 是常数) $, b=a+1, c=b+1$. (1)当 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=1\end{array}\right.$ 时, 求 $c$ 的值. （2）当 $a=\frac{1}{2}$ 时, 求满足 $|x|<5,|y|<5$ 的方程的整数解.

(3) 若 $a$ 是正整数, 求证: 仅当 $a=1$ 时, 该方程有正整数解.
选项：
答案：解: (1) $\because b=a+1, c=b+1 . \therefore c=a+2$,

由题意, 得 $3 a+a+1=a+2$, 解得 $a=\frac{1}{3}, \therefore c=a+2=\frac{7}{3}$;

（2）当 $a=\frac{1}{2}$ 时, $\frac{1}{2} x^{+} \frac{3}{2} y=\frac{5}{2}$, 化简得， $x+3 y=5$,

$\therefore$ 符合题意的整数解是: $\left\{\begin{array}{l}x=-4 \\ y=3\end{array},\left\{\begin{array}{l}x=-1 \\ y=2\end{array},\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=1\end{array}\right.\right.\right.$;

（3）由题意, 得 $a x+(a+1) y=a+2$,

整理得, $a(x+y-1)=2-y(1)$,

$\because x 、 y$ 均为正整数, $\therefore x+y-1$ 是正整数,

$\because a$ 是正整数, $\quad \therefore 2-y$ 是正整数, $\quad \therefore y=1$,

把 $y=1$ 代入(1)得, $a x=1, \quad \therefore a=1$,

此时, $a=1, b=2, c=3$, 方程的正整数解是 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=1\end{array}\right.$.
解析：）由题意, 得 $3 a+a+1=a+2$, 解得 $a=\frac{1}{3}$, 即可求得 $c=\frac{7}{3}$;

(2) 当 $a=\frac{1}{2}$ 时, 方程为 $\frac{1}{2} x^{+} \frac{3}{2} y=\frac{5}{2}$, 即 $x+3 y=5$, 根据方程即可求得;

（3）由题意, 得 $a(x+y-1)=2-y$ (1) $x 、 y$ 均为正整数, 则 $x+y-1$ 是正整数, $a$ 是正整数, 则 2 $-y$ 是正整数, 从而求得 $y=1$, 把 $y=1$ 代入(1)得, $a x=1$, 即可求得 $a=1$, 此时方程的正整数解是 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=1\end{array}\right.$.

【答案】解: (1) $\because b=a+1, c=b+1 . \therefore c=a+2$,

由题意, 得 $3 a+a+1=a+2$, 解得 $a=\frac{1}{3}, \therefore c=a+2=\frac{7}{3}$;

（2）当 $a=\frac{1}{2}$ 时, $\frac{1}{2} x^{+} \frac{3}{2} y=\frac{5}{2}$, 化简得， $x+3 y=5$,

$\therefore$ 符合题意的整数解是: $\left\{\begin{array}{l}x=-4 \\ y=3\end{array},\left\{\begin{array}{l}x=-1 \\ y=2\end{array},\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=1\end{array}\right.\right.\right.$;

（3）由题意, 得 $a x+(a+1) y=a+2$,

整理得, $a(x+y-1)=2-y(1)$,

$\because x 、 y$ 均为正整数, $\therefore x+y-1$ 是正整数,

$\because a$ 是正整数, $\quad \therefore 2-y$ 是正整数, $\quad \therefore y=1$,

把 $y=1$ 代入(1)得, $a x=1, \quad \therefore a=1$,

此时, $a=1, b=2, c=3$, 方程的正整数解是 $\left\{\begin{array}{l}x=1 \\ y=1\end{array}\right.$.

【点睛】本题考查了二元一次方程的解, 绝对值的性质, 熟知一般地, 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值, 叫做二元一次方程的解是解答此题的关键.
题目（七年级 · 代数）：解下列方程组:
    $(1)\left\{\begin{array}{l}x+3 y=8 \\ 5 x-3 y=4\end{array}\right.$
    $(2)\left\{\begin{array}{c}\frac{x}{3}+1=y \\ 2(x+1)-y=6\end{array}\right.$
选项：
答案：(1) $\left\{\begin{array}{l}x+3 y=8(1) \\ 5 x-3 y=4(2)\end{array}\right.$,

(1)+(2), 得 $6 x=12$,

解得 $x=2$,

将 $x=2$ 代入(1)中, 得 $2+3 y=8$,

解得 $y=2$,

$\therefore$ 方程组的解为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=2 \text {; }\end{array}\right.$

(2) 原方程组可化为 $\left\{\begin{array}{l}x=3 y-3(1) \\ 2 x-y=4(2)\end{array}\right.$,

将(1)代入(2)中, 得 $2(3 y-3)-y=4$,

解得 $y=2$,

将 $y=2$ 代入(1)中, 得 $x=3$,

$\therefore$ 方程组的解为 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=2\end{array}\right.$
解析：(1) $\left\{\begin{array}{l}x+3 y=8(1) \\ 5 x-3 y=4(2)\end{array}\right.$,

(1)+(2), 得 $6 x=12$,

解得 $x=2$,

将 $x=2$ 代入(1)中, 得 $2+3 y=8$,

解得 $y=2$,

$\therefore$ 方程组的解为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=2 \text {; }\end{array}\right.$

(2) 原方程组可化为 $\left\{\begin{array}{l}x=3 y-3(1) \\ 2 x-y=4(2)\end{array}\right.$,

将(1)代入(2)中, 得 $2(3 y-3)-y=4$,

解得 $y=2$,

将 $y=2$ 代入(1)中, 得 $x=3$,

$\therefore$ 方程组的解为 $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=2\end{array}\right.$
题目（七年级 · 代数）：解方程组 $\left\{\begin{array}{l}a x+y=8 \\ x-b y=7\end{array}\right.$ 时, 由于粗心, 小天看错了方程组中的 $a$, 得到解为 $\left\{\begin{array}{c}x=-3 \\ y=5\end{array}\right.$, 小轩看错了方程组中的 $b$, 得到解为 $\left\{\begin{array}{l}x=-1 \\ y=10\end{array}\right.$, 求方程组正确的解.
选项：
答案：由题意可得: $\left\{\begin{array}{l}-3-5 b=7 \\ -a+10=8\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{c}a=2 \\ b=-2\end{array}\right.$,

$\therefore$ 原方程组为: $\left\{\begin{array}{l}2 x+y=8 \\ x+2 y=7\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=2\end{array}\right.$.

【解析】把 $\left\{\begin{array}{c}x=-3 \\ y=5\end{array}\right.$ 代入第二个方程, 把 $\left\{\begin{array}{c}x=-1 \\ y=10\end{array}\right.$ 代入第一个方程, 可求 $a, b$ 的值, 解方程组可求解.本题考查了二元一次方程组的解, 方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值.
解析：由题意可得: $\left\{\begin{array}{l}-3-5 b=7 \\ -a+10=8\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{c}a=2 \\ b=-2\end{array}\right.$,

$\therefore$ 原方程组为: $\left\{\begin{array}{l}2 x+y=8 \\ x+2 y=7\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{l}x=3 \\ y=2\end{array}\right.$.

【解析】把 $\left\{\begin{array}{c}x=-3 \\ y=5\end{array}\right.$ 代入第二个方程, 把 $\left\{\begin{array}{c}x=-1 \\ y=10\end{array}\right.$ 代入第一个方程, 可求 $a, b$ 的值, 解方程组可求解.本题考查了二元一次方程组的解, 方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值.
题目（七年级 · 代数）：数轴上的点 $A$, 给出如下定义: 点 $A$ 在数轴上移动, 沿负方向移动 $r$ 个单位长度 ( $r$ 是正数)后所在位置点表示的数是 $x$, 沿正方向移动 $r$ 个单位长度 ( $r$ 是正数) 后所在位置点表示的数 $y, x$与 $y$ 这两个数叫做 “点 $A$ 的 $r$ 对称数”, 记作 $D(A, r)=\{x, y\}$, 其中 $x<y$. 例如: 原点 $O$ 表示 0 , 原点 $O$ 的 1 对称数是 $D(0,1)=\{-1,+1\}$

(1) 若点 $A$ 表示 $-2, r=3$, 直接写出点 $A$ 的 3 对称数.

(2) 若 $D(A, r)=\{-1,9\}$, 求点 $A$ 表示的数和 $r$ 的值.

(3) 若点 $A$ 表示 $-3, D(A, r)=\{-5, y\}$, 求 $y$ 的值.

(4) 已知 $D(A, 3)=\{x, y\}, D(B, 2)=\{m, n\}$, 若点 $A$ 、点 $B$ 从原点同时同向出发, 且点 $A$ 的速度是点 $B$速度的 2 倍, 当 $|y-n|=2|x-m|$ 时, 直接写出点 $A$ 表示的数.
选项：
答案：解：（1） (1) $\because-2-3=-5,-2+3=+1$,

$\therefore D(A, 3)=\{-5,+1\}$

(2) 设点 $A$ 表示的数为 $a$,

$\because D(A, r)=\{-1,9\}$,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}a-r=-1 \\ a+r=9\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}a=4 \\ r=5\end{array}\right.$,

$\therefore$ 点 $A$ 表示的数是 $4, r$ 的值是 5 ;

(3) 由题可得: $\left\{\begin{array}{l}-3-r=-5 \\ -3+r=y\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{c}r=2 \\ y=-1\end{array}\right.$,

$\therefore y$ 的值是 -1 ;

(4) 设点 $A$ 表示的数为 $a$,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}a-3=x \\ a+3=y\end{array},\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{2}-2=m \\ \frac{a}{2}+2=n\end{array}\right.\right.$,
$\therefore|y-n|=\left|a+3-\left(\frac{a}{2}+2\right)\right|=\left|\frac{a}{2}+1\right|,|x-m|=\left|a-3-\left(\frac{a}{2}-2\right)\right|=\left|\frac{a}{2}-1\right|$,

$\because|y-n|=2|x-m|$,

$\therefore\left|\frac{a}{2}+1\right|=2\left|\frac{a}{2}-1\right|$,

解得 $a=6$ 或

【解析】本题主要考查了新定义问题的解题方法, 数轴的概念, 有理数的加、减法, 二元一次方程组的解法.解答本题的关键是理解新定义问题的运算法则.

(1) 根据新定义问题中求 $x 、 y$ 的方法进行解答，即可求解;

(2) 设点 $A$ 表示的数为 $a$, 根据新定义问题的运算法则列出关于 $a 、 r$ 的方程组, 解这个方程组, 即可求解;

（3） 根据新定义问题的运算法则列出关于 $y 、 r$ 的方程组, 解这个方程组, 即可求解;

(4) 设点 $A$ 表示的数为 $a$, 则点 $B$ 表示的数为 $\frac{a}{2}$, 然后根据新定义问题的运算法则分别求出 $x 、 y 、 m$ 、 $n$ 的值, 再根据 $|y-n|=2|x-m|$ 得到关于 $a$ 的方程, 解这个方程, 即可求解
解析：答案】解：（1） (1) $\because-2-3=-5,-2+3=+1$,

$\therefore D(A, 3)=\{-5,+1\}$

(2) 设点 $A$ 表示的数为 $a$,

$\because D(A, r)=\{-1,9\}$,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}a-r=-1 \\ a+r=9\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}a=4 \\ r=5\end{array}\right.$,

$\therefore$ 点 $A$ 表示的数是 $4, r$ 的值是 5 ;

(3) 由题可得: $\left\{\begin{array}{l}-3-r=-5 \\ -3+r=y\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{c}r=2 \\ y=-1\end{array}\right.$,

$\therefore y$ 的值是 -1 ;

(4) 设点 $A$ 表示的数为 $a$,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}a-3=x \\ a+3=y\end{array},\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{2}-2=m \\ \frac{a}{2}+2=n\end{array}\right.\right.$,
$\therefore|y-n|=\left|a+3-\left(\frac{a}{2}+2\right)\right|=\left|\frac{a}{2}+1\right|,|x-m|=\left|a-3-\left(\frac{a}{2}-2\right)\right|=\left|\frac{a}{2}-1\right|$,

$\because|y-n|=2|x-m|$,

$\therefore\left|\frac{a}{2}+1\right|=2\left|\frac{a}{2}-1\right|$,

解得 $a=6$ 或

【解析】本题主要考查了新定义问题的解题方法, 数轴的概念, 有理数的加、减法, 二元一次方程组的解法.解答本题的关键是理解新定义问题的运算法则.

(1) 根据新定义问题中求 $x 、 y$ 的方法进行解答，即可求解;

(2) 设点 $A$ 表示的数为 $a$, 根据新定义问题的运算法则列出关于 $a 、 r$ 的方程组, 解这个方程组, 即可求解;

（3） 根据新定义问题的运算法则列出关于 $y 、 r$ 的方程组, 解这个方程组, 即可求解;

(4) 设点 $A$ 表示的数为 $a$, 则点 $B$ 表示的数为 $\frac{a}{2}$, 然后根据新定义问题的运算法则分别求出 $x 、 y 、 m$ 、 $n$ 的值, 再根据 $|y-n|=2|x-m|$ 得到关于 $a$ 的方程, 解这个方程, 即可求解.
题目（七年级 · 代数）：解方程组:

(1) $\left\{\begin{array}{l}m-n=2 \\ 2 m+3 n=14\end{array}\right.$

$$
(2)\left\{\begin{array}{l}
4(x-1)=3(1-y)-2 \\
\frac{x}{2}+\frac{y}{3}=1
\end{array}\right.
$$
选项：
答案：(1) $\left\{\begin{array}{l}m-n=2 \text { (1 } \\ 2 m+3 n=14 \text { (2) }\end{array}\right.$,

(1) $\times 3+$ (2)得: $m=4$,

把 $m=4$ 代入 1 得: $n=2$,

所以方程组的解为 $\left\{\begin{array}{l}m=4 \\ n=2\end{array}\right.$;

(2)方程整理得: $\left\{\begin{array}{l}4 x+3 y=5(1) \\ 3 x+2 y=6(2)\end{array}\right.$,

(2) $\times 3$ - (1) $\times 2$ 得: $x=8$,

把 $x=8$ 代入(2)得: $y=-9$,

所以方程组的解为: $\left\{\begin{array}{l}x=8 \\ y=-9\end{array}\right.$
解析：(1) $\left\{\begin{array}{l}m-n=2 \text { (1 } \\ 2 m+3 n=14 \text { (2) }\end{array}\right.$,

(1) $\times 3+$ (2)得: $m=4$,

把 $m=4$ 代入 1 得: $n=2$,

所以方程组的解为 $\left\{\begin{array}{l}m=4 \\ n=2\end{array}\right.$;

(2)方程整理得: $\left\{\begin{array}{l}4 x+3 y=5(1) \\ 3 x+2 y=6(2)\end{array}\right.$,

(2) $\times 3$ - (1) $\times 2$ 得: $x=8$,

把 $x=8$ 代入(2)得: $y=-9$,

所以方程组的解为: $\left\{\begin{array}{l}x=8 \\ y=-9\end{array}\right.$
题目（七年级 · 代数）：$k$ 为何值时, 方程组 $\left\{\begin{array}{l}3 x-5 y=2 k \\ 2 x+7 y=k-18\end{array}\right.$ 中 $x$ 与 $y$ 互为相反数, 并求出方程组的解.
选项：
答案：将 $y=-x$ 代入方程得: $\left\{\begin{array}{l}3 x+5 x=2 k(1 \\ 2 x-7 x=k-18(2)\end{array}\right.$ ，

消去 $x$ 得: $-\frac{5 k}{4}=k-18$,

解得: $k=8$,

将 $k=8$ 代入(1)得: $8 x=16$, 即 $x=2$,

将 $x=2$ 代入 $y=-x$ 中得: $y=-2$,
则 $k=8$, 方程组的解为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=-2\end{array}\right.$.
解析：将 $y=-x$ 代入方程得: $\left\{\begin{array}{l}3 x+5 x=2 k(1 \\ 2 x-7 x=k-18(2)\end{array}\right.$ ，

消去 $x$ 得: $-\frac{5 k}{4}=k-18$,

解得: $k=8$,

将 $k=8$ 代入(1)得: $8 x=16$, 即 $x=2$,

将 $x=2$ 代入 $y=-x$ 中得: $y=-2$,
则 $k=8$, 方程组的解为 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=-2\end{array}\right.$.
题目（七年级 · 代数）：已知关于 $x, y$ 的二元一次方程组 $\left\{\begin{array}{l}x+2 y=3 \\ 3 x+5 y=m+2\end{array}\right.$ 的解满足 $x$ 与 $y$ 互为相反数, 求 $m$ 的值.
选项：
答案：:该方程组的两解互为相反数,

$\therefore x+y=0$,

$\therefore y=-x$,

把 $y=-x$ 代入方程组中可得 $\left\{\begin{array}{l}-2 x+x=3 \\ 3 x-5 x=m+2\end{array}\right.$ ，

解得: $x=-3$,

$m+2=6$,

解得 $m=4$.
解析：:该方程组的两解互为相反数,

$\therefore x+y=0$,

$\therefore y=-x$,

把 $y=-x$ 代入方程组中可得 $\left\{\begin{array}{l}-2 x+x=3 \\ 3 x-5 x=m+2\end{array}\right.$ ，

解得: $x=-3$,

$m+2=6$,

解得 $m=4$.
题目（七年级 · 代数）：和乙车从 $A 、 B$ 两地同时出发, 沿同一线路相向匀速行驶, 出发后 $1.5 h$ 两车在 $C$ 地相遇, 相遇时甲车比乙车少走 $30 \mathrm{~km}$. 相遇后 $1.2 \mathrm{~h}$ 乙车到达 $A$ 地.

(1)两车的行驶速度分别是多少?

(2)相遇后, 若甲车想在乙车到达 $A$ 地的同时到达 $B$ 地, 那么甲车的行驶速度要比原来增加多少 $\mathrm{km} / \mathrm{h}$ ?

(3)探索: 若从 $C$ 地到 $B$ 地的路段中, 有一部分限速 $120 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, 其余部分限速 $140 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$, 甲车从 $C$ 地到 $B$ 地时, 在相应路段均以限速行驶(不超速也不低于限速), 则恰好能在乙车到达 $A$ 地的同时到达 $B$ 地, 求 $C$ 地到 $B$ 地间限速 $120 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 和限速 $140 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 的路程各是多少？
选项：
答案：(1) 设甲、乙两车行驶的速度分别是每小时 $x$ 千米、 $y$ 千米, 由题意得 $\left\{\begin{array}{l}1.5 x=1.5 y-30 \\ 1.5 x=1.2 y\end{array}\right.$,解得 $\left\{\begin{array}{l}x=80 \\ y=100\end{array}\right.$.

答: 甲、乙两车行驶的速度分别是每小时 80 千米、 100 千米;

(2) $100 \times 1.5 \div 1.2-80$
$=125-80$

$=45$ (千米/小时).

答: 甲车的行驶速度要比原来增加 $45 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$.

(3)设 $C$ 地到 $B$ 地间限速 $120 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 的路程为 $a$ 千米, 由题意得

$\frac{a}{120}+\frac{150-a}{140}=1.2$,

解得: $a=108$,

则 $150-a=42$ 千米.

答: $C$ 地到 $B$ 地间限速 $120 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 的路程为 108 千米, 则限速 $140 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 的路程为 42 千米.
解析：(1) 设甲、乙两车行驶的速度分别是每小时 $x$ 千米、 $y$ 千米, 由题意得 $\left\{\begin{array}{l}1.5 x=1.5 y-30 \\ 1.5 x=1.2 y\end{array}\right.$,解得 $\left\{\begin{array}{l}x=80 \\ y=100\end{array}\right.$.

答: 甲、乙两车行驶的速度分别是每小时 80 千米、 100 千米;

(2) $100 \times 1.5 \div 1.2-80$
$=125-80$

$=45$ (千米/小时).

答: 甲车的行驶速度要比原来增加 $45 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$.

(3)设 $C$ 地到 $B$ 地间限速 $120 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 的路程为 $a$ 千米, 由题意得

$\frac{a}{120}+\frac{150-a}{140}=1.2$,

解得: $a=108$,

则 $150-a=42$ 千米.

答: $C$ 地到 $B$ 地间限速 $120 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 的路程为 108 千米, 则限速 $140 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 的路程为 42 千米.
题目（七年级 · 代数）：（2021 秋 - 通榆县期末）下面是小颖化简整式的过程, 仔细阅读后解答所提出的问题.

解: $x(x+2 y)-(x+1)^{2}+2 x$

$=\left(x^{2}+2 x y\right)-\left(x^{2}+2 x+1\right)+2 x$ 第一步

$=x^{2}+2 x y-x^{2}+2 x+1+2 x$ 第二步

$=2 x y+4 x+1$ 第三步

(1) 小颖的化简过程从第 \$ \qquad \$步开始出现错误, 错误的原因是 \$ \qquad \$ .

(2) 写出此题正确的化简过程.
选项：
答案：解：（1）小颖的化简过程从第二步开始出现错误，原因是 - $\left(x^{2}+2 x+1\right)$ 去括号时第二、三项没变号；故答案为：二； $-\left(x^{2}+2 x+1\right)$ 去括号时第二、三项没变号;

(2) $x(x+2 y)-(x+1)^{2}+2 x=x^{2}+2 x y-x^{2}-2 x-1+2 x=2 x y-1$.
解析：（1）根据去括号法则进行检查和计算;

(2) 根据单项式乘多项式、完全平方公式、合并同类项即可解答本题.

【答案】解：（1）小颖的化简过程从第二步开始出现错误，原因是 - $\left(x^{2}+2 x+1\right)$ 去括号时第二、三项没变号；故答案为：二； $-\left(x^{2}+2 x+1\right)$ 去括号时第二、三项没变号;

(2) $x(x+2 y)-(x+1)^{2}+2 x=x^{2}+2 x y-x^{2}-2 x-1+2 x=2 x y-1$.

【点睛】本题考查完全平方公式, 整式的加减以及单项式乘多项式, 解答本题的关键是明确整式的混合运算的计算方法.
题目（七年级 · 代数）：（2021・青岛期末）计算
(1) $\left(-x^{2} y\right)^{4} \div\left(-\frac{1}{2} x y^{2}\right)$
(2) $(2 x-1)^{2}(2 x+1)^{2}$
(3) $(1+a)(a-1)\left(a^{2}+1\right)\left(a^{4}+1\right)$
(4) $\left[(x+2 y)^{2}-(x+y)(3 x-y)-5 y^{2}\right] \div\left(-\frac{1}{2} x\right)$, 其中 $x=-2, y=\frac{1}{2}$.
选项：
答案：解：（1）原式 $=x^{8} y^{4} \div\left(-\frac{1}{2} x y^{2}\right)=-2 x^{7} y^{2}$;

(2) 原式 $=[(2 x-1)(2 x+1)]^{2}=\left(4 x^{2}-1\right)^{2}=16 x^{4}-8 x^{2}+1$;

(3) 原式 $=\left(a^{2}-1\right)\left(a^{2}+1\right)\left(a^{4}+1\right)=\left(a^{4}-1\right) \quad\left(a^{4}+1\right)=a^{8}-1$;

(4) 原式 $=\left(x^{2}+4 x y+4 y^{2}-3 x^{2}-2 x y+y^{2}-5 y^{2}\right) \div\left(-\frac{1}{2} x\right)=\left(-2 x^{2}+2 x y\right) \div\left(-\frac{1}{2} x\right)=4 x-4 y$,当 $x=-2, y=\frac{1}{2}$ 时, 原式 $=-8-2=-10$.
解析：（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算, 再利用单项式除以单项式法则计算即可求出值;

(2) 原式利用积的乘方运算法则变形, 再利用平方差公式及完全平方公式计算即可求出值;

(3) 原式利用平方差公式计算即可求出值;

（4）原式中括号中利用完全平方公式，多项式乘以多项式法则计算，去括号合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果, 把 $x$ 与 $y$ 的值代入计算即可求出值.

【答案】解：（1）原式 $=x^{8} y^{4} \div\left(-\frac{1}{2} x y^{2}\right)=-2 x^{7} y^{2}$;

(2) 原式 $=[(2 x-1)(2 x+1)]^{2}=\left(4 x^{2}-1\right)^{2}=16 x^{4}-8 x^{2}+1$;

(3) 原式 $=\left(a^{2}-1\right)\left(a^{2}+1\right)\left(a^{4}+1\right)=\left(a^{4}-1\right) \quad\left(a^{4}+1\right)=a^{8}-1$;

(4) 原式 $=\left(x^{2}+4 x y+4 y^{2}-3 x^{2}-2 x y+y^{2}-5 y^{2}\right) \div\left(-\frac{1}{2} x\right)=\left(-2 x^{2}+2 x y\right) \div\left(-\frac{1}{2} x\right)=4 x-4 y$,当 $x=-2, y=\frac{1}{2}$ 时, 原式 $=-8-2=-10$.

【点睛】此题考查了整式的混合运算 - 化简求值, 熟练掌握运算法则是解本题的关键.
题目（七年级 · 代数）：(2021 秋・仁寿县期末) 阅读下列文字, 寻找规律, 解答下列各小题.

已知 $x \neq 1$, 计算:

$$
\begin{array}{ll}
(1-x) & (1+x)=1-x^{2} \\
(1-x) & \left(1+x+x^{2}\right)=1-x^{3} \\
(1-x) & \left(1+x+x^{2}+x^{3}\right)=1-x^{4} \\
(1-x) & \left(1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}\right)=1-x^{5}
\end{array}
$$

(1) 观察上式计算: $(1-x)\left(1+x+x^{2}+\cdots+x^{m}\right)=$ \$ \qquad \$
(2) 计算: (1) (1 - 2) $\left(1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{2022}\right)$; (2) $2+2^{2}+2^{3}+2^{4}+\cdots+2^{m}$.
选项：
答案：解: (1) 观察上面的式子得到原式 $=1-x^{m+1}$, 故答案为: $1-x^{m+1}$;

(2) (1) 当 $x=2$ 时, 原式 $=1-2^{2023}$; (2) 当 $x=2$ 时, $(1-2)\left(1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{m}\right)=1-2^{m+1}$,

$\therefore 1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{m}=2^{m+1}-1, \quad \therefore$ 原式 $=2^{m+1}-2$.
解析：（1）观察上面的式子得出规律，即可得出答案；（2）(1)当 $x=2$ 时即可得出答案；(2)当 $x=2$ 时, $(1-2)\left(1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{m}\right)=1-2^{m+1}$, 等式两边都除以 -1 , 再减去 1 即可得出答案.
【答案】解: (1) 观察上面的式子得到原式 $=1-x^{m+1}$, 故答案为: $1-x^{m+1}$;

(2) (1) 当 $x=2$ 时, 原式 $=1-2^{2023}$; (2) 当 $x=2$ 时, $(1-2)\left(1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{m}\right)=1-2^{m+1}$,

$\therefore 1+2+2^{2}+2^{3}+\cdots+2^{m}=2^{m+1}-1, \quad \therefore$ 原式 $=2^{m+1}-2$.

【点睛】本题考查了探索规律, 多项式乘多项式, 用数字代替字母, 由一般到特殊是解题的关键
题目（七年级 · 代数）：对于任意有理数 $a 、 b 、 c 、 d$, 我们规定符号 $(a, b) \otimes(c, d)=a d-b c$,

例如: $(1,3) \otimes(2,4)=1 \times 4-2 \times 3=-2$.

(1) 求 $(-2,3) \otimes(4,5)$ 的值;

(2) 求 $(3 a+1, a-2) \otimes(a+2, a-3)$ 的值, 其中 $a^{2}-4 a+1=0$.
选项：
答案：(1) $(-2,3) \otimes(4,5)=-2 \times 5-3 \times 4=-10-12=-22$;

(2) $(3 a+1, a-2) \otimes(a+2, a-3)$

$=(3 a+1)(a-3)-(a-2)(a+2)$

$=3 a^{2}-9 a+a-3-\left(a^{2}-4\right)$

$=3 a^{2}-9 a+a-3-a^{2}+4$

$=2 a^{2}-8 a+1$,

$\because a^{2}-4 a+1=0$,

$\therefore a^{2}=4 a-1$,

$\therefore(3 a+1, a-2) \otimes(a+2, a-3)$

$=2(4 a-1)-8 a+1$

$=-1$.

【解析】 (1) 利用新定义得到 $(-2,3) \otimes(4,5)=-2 \times 5-3 \times 4$, 然后进行有理数的混合运算即可;

（2）利用新定义得到原式=（3a+1）（a-3）-（a-2）（a+2），然后去括号后合并，最后利用整体代入的方法计算.
解析：(1) $(-2,3) \otimes(4,5)=-2 \times 5-3 \times 4=-10-12=-22$;

(2) $(3 a+1, a-2) \otimes(a+2, a-3)$

$=(3 a+1)(a-3)-(a-2)(a+2)$

$=3 a^{2}-9 a+a-3-\left(a^{2}-4\right)$

$=3 a^{2}-9 a+a-3-a^{2}+4$

$=2 a^{2}-8 a+1$,

$\because a^{2}-4 a+1=0$,

$\therefore a^{2}=4 a-1$,

$\therefore(3 a+1, a-2) \otimes(a+2, a-3)$

$=2(4 a-1)-8 a+1$

$=-1$.

【解析】 (1) 利用新定义得到 $(-2,3) \otimes(4,5)=-2 \times 5-3 \times 4$, 然后进行有理数的混合运算即可;

（2）利用新定义得到原式=（3a+1）（a-3）-（a-2）（a+2），然后去括号后合并，最后利用整体代入的方法计算.
题目（七年级 · 代数）：甲、乙二人共同计算 $2(x+a)(x+b)$, 由于甲把第一个多项式中 $a$ 前面的符号抄成了 “-”，得
到的结果为 $2 x^{2}+4 x-30$; 由于乙漏抄了 2 , 得到的结果为 $x^{2}+8 x+15$.

(1) 求 $a, b$ 的值;

(2) 求出正确的结果.
选项：
答案：(1) 甲把第一个多项式中 $a$ 前面的符号抄成了 “-”, 得到的结果为 $2 x^{2}+4 x-30$,

$\therefore 2(x-a)(x+b)$

$=2 x^{2}+2 b x-2 a x-2 a b$

$=2 x^{2}+(2 b-2 a) x-2 a b$

$=2 x^{2}+4 x-30$,
$\therefore 2 b-2 a=4$,

$\because$ 乙漏抄了 2 , 得到的结果为 $x^{2}+8 x+15$,

$\therefore(x+a)(x+b)$

$=x^{2}+b x+a x+a b$

$=x^{2}+(a+b) x+a b$

$=x^{2}+8 x+15$,

$\therefore a+b=8$,

解方程组 $\left\{\begin{array}{c}2 b-2 a=4 \\ a+b=8\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}a=3 \\ b=5\end{array}\right.$,

即 $a=3, b=5$;

(2) $2(x+3)(x+5)$

$=2 x^{2}+10 x+6 x+30$

$=2 x^{2}+16 x+30$.

【解析】 (1) 根据已知得出算式 $2(x-a)(x+b)$ 和 $(x+a)(x+b)$, 根据整式的运算法则进行化简,再根据已知得出关于 $a 、 b$ 的方程组, 求出方程组的解即可;

(2) 根据整式的运算法则求出即可.
解析：(1) 甲把第一个多项式中 $a$ 前面的符号抄成了 “-”, 得到的结果为 $2 x^{2}+4 x-30$,

$\therefore 2(x-a)(x+b)$

$=2 x^{2}+2 b x-2 a x-2 a b$

$=2 x^{2}+(2 b-2 a) x-2 a b$

$=2 x^{2}+4 x-30$,
$\therefore 2 b-2 a=4$,

$\because$ 乙漏抄了 2 , 得到的结果为 $x^{2}+8 x+15$,

$\therefore(x+a)(x+b)$

$=x^{2}+b x+a x+a b$

$=x^{2}+(a+b) x+a b$

$=x^{2}+8 x+15$,

$\therefore a+b=8$,

解方程组 $\left\{\begin{array}{c}2 b-2 a=4 \\ a+b=8\end{array}\right.$ 得: $\left\{\begin{array}{l}a=3 \\ b=5\end{array}\right.$,

即 $a=3, b=5$;

(2) $2(x+3)(x+5)$

$=2 x^{2}+10 x+6 x+30$

$=2 x^{2}+16 x+30$.

【解析】 (1) 根据已知得出算式 $2(x-a)(x+b)$ 和 $(x+a)(x+b)$, 根据整式的运算法则进行化简,再根据已知得出关于 $a 、 b$ 的方程组, 求出方程组的解即可;

(2) 根据整式的运算法则求出即可.
题目（七年级 · 代数）：已知 $a^{3 m}=3, b^{3 n}=2$. 求 $\left(a^{3 m}\right)^{3}+\left(b^{n}\right)^{3}-a^{2 m} \cdot b^{n} \cdot a^{4 m} \cdot b^{2 n}$ 的值.
选项：
答案：$\because a^{3 m}=3, b^{3 n}=2$,

$\therefore\left(a^{3 m}\right)^{3}+\left(b^{n}\right)^{3}-a^{2 m} \cdot b^{n} \cdot a^{4 m} \cdot b^{2 n}$

$=\left(a^{3 m}\right)^{3}+b^{3 n}-a^{6 m} \cdot b^{3 n}$

$=3^{3}+2-3^{2} \times 2$

$=11$.
解析：$\because a^{3 m}=3, b^{3 n}=2$,

$\therefore\left(a^{3 m}\right)^{3}+\left(b^{n}\right)^{3}-a^{2 m} \cdot b^{n} \cdot a^{4 m} \cdot b^{2 n}$

$=\left(a^{3 m}\right)^{3}+b^{3 n}-a^{6 m} \cdot b^{3 n}$

$=3^{3}+2-3^{2} \times 2$

$=11$.
题目（七年级 · 代数）：若 $x+y=3$, 且 $(x+2)(y+2)=12$.

(1)求 $x y$ 的值;

(2)求 $x^{2}+3 x y+y^{2}$ 的值.
选项：
答案：(1) $\because(x+2)(y+2)=12$,
$\therefore x y+2(x+y)+4=12$,

$\because x+y=3$,

$\therefore x y+2 \times 3+4=12$,

$\therefore x y=2$.

(2) $x^{2}+3 x y+y^{2}=(x+y)^{2}+x y$,

把 $x+y=3, x y=2$, 代入得:

原式 $=3^{2}+2=11$.
解析：(1) $\because(x+2)(y+2)=12$,
$\therefore x y+2(x+y)+4=12$,

$\because x+y=3$,

$\therefore x y+2 \times 3+4=12$,

$\therefore x y=2$.

(2) $x^{2}+3 x y+y^{2}=(x+y)^{2}+x y$,

把 $x+y=3, x y=2$, 代入得:

原式 $=3^{2}+2=11$.
题目（七年级 · 代数）：阅读下列文字, 并解决问题.
已知 $x^{2} y=3$, 求 $2 x y\left(x^{5} y^{2}-3 x^{3} y-4 x\right.$ ) 的值. (分析: 考虑到满足 $x^{2} y=3$ 的 $x, y$ 的可能值较多,则不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将 $x^{2} y=3$ 整体代入．)

解: $2 x y\left(x^{5} y^{2}-3 x^{3} y-4 x\right)$

$$
\begin{aligned}
& =2 x^{6} y^{3}-6 x^{4} y^{2}-8 x^{2} y \\
= & 2\left(x^{2} y\right)^{3}-6\left(x^{2} y\right)^{2}-8 x^{2} y \\
& =2 \times 3^{3}-6 \times 3^{2}-8 \times 3
\end{aligned}
$$

$=-24$.

请你用上述方法解决问题: 已知 $a b=3$, 求 $\left(2 a^{3} b^{2}-3 a^{2} b+4 a\right) \cdot(-2 b)$ 的值.
选项：
答案：$\left(2 a^{3} b^{2}-3 a^{2} b+4 a\right) \cdot(-2 b)$,

$=-4 a^{3} b^{3}+6 a^{2} b^{2}-8 a b$,

$=-4 \times(a b)^{3}+6(a b)^{2}-8 a b$,

$=-4 \times 3^{3}+6 \times 3^{2}-8 \times 3$,

$=-108+54-24$,

$=-78$.
解析：$\left(2 a^{3} b^{2}-3 a^{2} b+4 a\right) \cdot(-2 b)$,

$=-4 a^{3} b^{3}+6 a^{2} b^{2}-8 a b$,

$=-4 \times(a b)^{3}+6(a b)^{2}-8 a b$,

$=-4 \times 3^{3}+6 \times 3^{2}-8 \times 3$,

$=-108+54-24$,

$=-78$.
题目（七年级 · 代数）：已知代数式 $\left(m x^{2}+2 m x-1\right)\left(x^{m}+3 n x+2\right)$ 化简以后是一个四次多项式, 并且不含二次项, 请分别求出 $m, n$ 的值, 并求出一次项系数.
选项：
答案：$\left(m x^{2}+2 m x-1\right)\left(x^{m}+3 n x+2\right)=m x^{m+2}+3 m n x^{3}+2 m x^{2}+2 m x^{m+1}+6 m n x^{2}+$ $4 m x-x^{m}-3 n x-2$,

$\because$ 该多项式是四次多项式,

$\therefore m+2=4$, 解得: $m=2$,

$\therefore$ 原式 $=2 x^{4}+(6 n+4) x^{3}+(3+12 n) x^{2}+(8-3 n) x-2$,

$\because$ 多项式不含二次项,

$\therefore 3+12 n=0$, 解得: $n=-\frac{1}{4}$,
$\therefore$ 一次项系数 $8-3 n=8-3 \times\left(-\frac{1}{4}\right)=8.75$.
解析：$\left(m x^{2}+2 m x-1\right)\left(x^{m}+3 n x+2\right)=m x^{m+2}+3 m n x^{3}+2 m x^{2}+2 m x^{m+1}+6 m n x^{2}+$ $4 m x-x^{m}-3 n x-2$,

$\because$ 该多项式是四次多项式,

$\therefore m+2=4$, 解得: $m=2$,

$\therefore$ 原式 $=2 x^{4}+(6 n+4) x^{3}+(3+12 n) x^{2}+(8-3 n) x-2$,

$\because$ 多项式不含二次项,

$\therefore 3+12 n=0$, 解得: $n=-\frac{1}{4}$,
$\therefore$ 一次项系数 $8-3 n=8-3 \times\left(-\frac{1}{4}\right)=8.75$.
题目（七年级 · 代数）：如图 1 的长方形铁皮, 四个角都剪去边长为 30 厘米的正方形, 再四周折起, 做成一个有底无盖的铁盒如图 2, 铁盒底面长方形的长是 $4 a(\mathrm{~cm})$, 宽是 $3 a(\mathrm{~cm})$, 这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积.

(1)请用 $a$ 的代数式表示图 1 中原长方形铁皮的面积;

(2)若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆, 每元钱可漆的面积为 $\frac{a}{50}\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$, 则油漆这个铁盒需要多少钱(用 $a$ 的代数式表示)?

(3)铁盒的底面积是全面积的几分之几(用 $a$ 的代数式表示)? 若铁盒的底面积是全面积的 $\frac{3}{4}$, 求 $a$的值;

(4)是否存在一个正整数 $a$, 使得铁盒的全面积是底面积的正整数倍? 若存在, 请求出这个 $a$, 若不存在, 请说明理由.



图1



图2
选项：
答案：(1)原铁皮的面积是 $(4 a+60)(3 a+60)=12 a^{2}+420 a+3600$;

(2)油漆这个铁盒的表面积是： $12 a^{2}+2 \times 30 \times 4 a+2 \times 30 \times 3 a=12 a^{2}+420 a$,

则油漆这个铁盒需要的钱数是: $\left(12 a^{2}+420 a\right) \div \frac{a}{50}=\left(12 a^{2}+420 a\right) \times \frac{50}{a}=600 a+21000$ (元);

(3)铁盒的底面积是全面积的 $\frac{12 a^{2}}{12 a^{2}+420 a}=\frac{a}{a+35}$;

根据题意得: $\frac{a}{a+35}=\frac{3}{4}$,

解得 $a=105$;

(4)铁盒的全面积是 $4 a \times 3 a+4 a \times 30 \times 2+3 a \times 30 \times 2=12 a^{2}+420 a$,

底面积是 $12 a^{2}$,

假设存在正整数 $n$, 使 $12 a^{2}+420 a=n\left(12 a^{2}\right)$

则 $(n-1) a=35$ ，

则 $a=35, n=2$ 或 $a=7, n=6$ 或 $a=5, n=8$ 或 $a=1, n=36$

所以存在铁盒的全面积是底面积的正整数倍, 这时 $a=35$ 或 7 或 5 或 1 .
解析：(1)原铁皮的面积是 $(4 a+60)(3 a+60)=12 a^{2}+420 a+3600$;

(2)油漆这个铁盒的表面积是： $12 a^{2}+2 \times 30 \times 4 a+2 \times 30 \times 3 a=12 a^{2}+420 a$,

则油漆这个铁盒需要的钱数是: $\left(12 a^{2}+420 a\right) \div \frac{a}{50}=\left(12 a^{2}+420 a\right) \times \frac{50}{a}=600 a+21000$ (元);

(3)铁盒的底面积是全面积的 $\frac{12 a^{2}}{12 a^{2}+420 a}=\frac{a}{a+35}$;

根据题意得: $\frac{a}{a+35}=\frac{3}{4}$,

解得 $a=105$;

(4)铁盒的全面积是 $4 a \times 3 a+4 a \times 30 \times 2+3 a \times 30 \times 2=12 a^{2}+420 a$,

底面积是 $12 a^{2}$,

假设存在正整数 $n$, 使 $12 a^{2}+420 a=n\left(12 a^{2}\right)$

则 $(n-1) a=35$ ，

则 $a=35, n=2$ 或 $a=7, n=6$ 或 $a=5, n=8$ 或 $a=1, n=36$

所以存在铁盒的全面积是底面积的正整数倍, 这时 $a=35$ 或 7 或 5 或 1 .