题目（高三 · 代数）：设函数 $f(x)=2 x^{3}+3 a x^{2}+3 b x+8 c$ 在 $x=1$ 及 $x=2$ 时取得极值.

(1) 求 $a, b$ 的值;

（2）若对于任意的 $x \in[0,3]$, 都有 $f(x)<c^{2}$ 成立, 求 $c$ 的取值范围.
选项：
答案：答案:

(1) 【解析】 $f^{\prime}(x)=6 x^{2}+6 a x+3 b$,

因为函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 及 $x=2$ 取得极值, 则有 $f^{\prime}(1)=0, f^{\prime}(2)=0$.

即 $\left\{\begin{array}{c}6+6 a+3 b=0 ， \\ 24+12 a+3 b=0\end{array}\right.$. 解得 $a=-3, b=4$;

(2) 【解析】 由 (I) 可知, $f(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+12 x+8 c$,

$f^{\prime}(x)=6 x^{2}-18 x+12=6(x-1)(x-2)$.

当 $x \in(0,1)$ 时, $f^{\prime}(x)>0$; 当 $x \in(1,2)$ 时, $f^{\prime}(x)<0$; 当 $x \in(2,3)$ 时, $f^{\prime}(x)>0$.

<ImageHere>

又 $f(0)=8 c, f(3)=9+8 c$.

则当 $x \in[0,3]$ 时, $f(x)$ 的最大值为 $f(3)=9+8 c$.

因为对于任意的 $x \in\lfloor 0,3\rfloor$, 有 $f(x)<c^{2}$ 恒成立,

所以 $9+8 c<c^{2}$, 解得 $c<-1$ 或 $c>9$,

因此 $c$ 的取值范围为 $(-\infty,-1) \cup(9,+\infty)$.
【分析】(I) 求出 $f^{\prime}(x)$, 利用 $f^{\prime}(1)=0, f^{\prime}(2)=0$ 列方程即可得结果; (II）由（I）可知, $f(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+12 x+8 c$, 利用导数研究函数的单调性, 求得函数的极值, 与区间端点函数值比较大小可得 $f(x)$ 的最大值为 $f(3)=9+8 c$, 由 $9+8 c<c^{2}$ 解不等式即可得结果.

26. 答案: (1) 【解析】 当 $a=1$ 时, $f(x)=e^{x}+x^{2}-x, f^{\prime}(x)=e^{x}+2 x-1$,由于 $f^{\prime \prime}(x)=e^{x}+2>0$, 故 $f^{\prime}(x)$ 单调递增, 注意到 $f^{\prime}(0)=0$,

故: 当 $x \in(-\infty, 0)_{\text {时, }} f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减,

当 $x \in(0,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增;

(2) 【解析】 由 $f(x) \geq \frac{1}{2} x^{3}+1$ 得, $e^{x}+a x^{2}-x \geqslant \frac{1}{2} x^{3}+1$, 其中 $x \geq 0$,

(1).当 $\mathrm{x}=0$ 时，不等式为: $1 \geq 1$ ，显然成立，符合题意;

(2).当 $x>0$ 时，分离参数 $\mathrm{a}$ 得， $a \geqslant-\frac{e^{x-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}}{x^{2}}$,

记 $g(x)=-\frac{e^{x-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}}{x^{2}}, g^{\prime}(x)=-\frac{(x-2)\left(e^{\left.x-\frac{1}{2} x^{2}-x-1\right)}\right.}{x^{3}}$,

令 $h(x)=e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1(x \geq 0)$,

则 $h(x)=e^{x}-x-1, \quad h^{\prime \prime}(x)=e^{x}-1 \geq 0$,

故 $h(x)$ 单调递增, $h(x) \geq h(0)=0$,

故函数 $h(x)$ 单调递增, $h(x) \geq h(0)=0$,

由 $h(x) \geq 0$ 可得: $e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1 \geqslant 0$ 恒成立,

故当 $x \in(0,2)$ 时, $g^{\prime \prime}(x)>0, g(x)$ 单调递增;

当 $x \in(2,+\infty)$ 时, $g^{\prime}(x)<0, g(x)$ 单调递减;

因此, $[g(x)]_{\max }=g(2)=\frac{7-e^{2}}{4}$,

综上可得, 实数 $\mathrm{a}$ 的取值范围是 $\left[\frac{7-e^{2}}{4},+\infty\right)$.

【分析】(1)由题意首先对函数二次求导, 然后确定导函数的符号, 最后确定原函数的单调性即可.(2)首先讨论 $\mathrm{x}=0$ 的情况, 然后分离参数, 构造新函数, 结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数 $\mathrm{a}$ 的取值范围.
解析：答案:

(1) 【解析】 $f^{\prime}(x)=6 x^{2}+6 a x+3 b$,

因为函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 及 $x=2$ 取得极值, 则有 $f^{\prime}(1)=0, f^{\prime}(2)=0$.

即 $\left\{\begin{array}{c}6+6 a+3 b=0 ， \\ 24+12 a+3 b=0\end{array}\right.$. 解得 $a=-3, b=4$;

(2) 【解析】 由 (I) 可知, $f(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+12 x+8 c$,

$f^{\prime}(x)=6 x^{2}-18 x+12=6(x-1)(x-2)$.

当 $x \in(0,1)$ 时, $f^{\prime}(x)>0$; 当 $x \in(1,2)$ 时, $f^{\prime}(x)<0$; 当 $x \in(2,3)$ 时, $f^{\prime}(x)>0$.



又 $f(0)=8 c, f(3)=9+8 c$.

则当 $x \in[0,3]$ 时, $f(x)$ 的最大值为 $f(3)=9+8 c$.

因为对于任意的 $x \in\lfloor 0,3\rfloor$, 有 $f(x)<c^{2}$ 恒成立,

所以 $9+8 c<c^{2}$, 解得 $c<-1$ 或 $c>9$,

因此 $c$ 的取值范围为 $(-\infty,-1) \cup(9,+\infty)$.
【分析】(I) 求出 $f^{\prime}(x)$, 利用 $f^{\prime}(1)=0, f^{\prime}(2)=0$ 列方程即可得结果; (II）由（I）可知, $f(x)=2 x^{3}-9 x^{2}+12 x+8 c$, 利用导数研究函数的单调性, 求得函数的极值, 与区间端点函数值比较大小可得 $f(x)$ 的最大值为 $f(3)=9+8 c$, 由 $9+8 c<c^{2}$ 解不等式即可得结果.

26. 答案: (1) 【解析】 当 $a=1$ 时, $f(x)=e^{x}+x^{2}-x, f^{\prime}(x)=e^{x}+2 x-1$,由于 $f^{\prime \prime}(x)=e^{x}+2>0$, 故 $f^{\prime}(x)$ 单调递增, 注意到 $f^{\prime}(0)=0$,

故: 当 $x \in(-\infty, 0)_{\text {时, }} f^{\prime}(x)<0, f(x)$ 单调递减,

当 $x \in(0,+\infty)$ 时, $f^{\prime}(x)>0, f(x)$ 单调递增;

(2) 【解析】 由 $f(x) \geq \frac{1}{2} x^{3}+1$ 得, $e^{x}+a x^{2}-x \geqslant \frac{1}{2} x^{3}+1$, 其中 $x \geq 0$,

(1).当 $\mathrm{x}=0$ 时，不等式为: $1 \geq 1$ ，显然成立，符合题意;

(2).当 $x>0$ 时，分离参数 $\mathrm{a}$ 得， $a \geqslant-\frac{e^{x-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}}{x^{2}}$,

记 $g(x)=-\frac{e^{x-\frac{1}{2} x^{3}-x-1}}{x^{2}}, g^{\prime}(x)=-\frac{(x-2)\left(e^{\left.x-\frac{1}{2} x^{2}-x-1\right)}\right.}{x^{3}}$,

令 $h(x)=e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1(x \geq 0)$,

则 $h(x)=e^{x}-x-1, \quad h^{\prime \prime}(x)=e^{x}-1 \geq 0$,

故 $h(x)$ 单调递增, $h(x) \geq h(0)=0$,

故函数 $h(x)$ 单调递增, $h(x) \geq h(0)=0$,

由 $h(x) \geq 0$ 可得: $e^{x}-\frac{1}{2} x^{2}-x-1 \geqslant 0$ 恒成立,

故当 $x \in(0,2)$ 时, $g^{\prime \prime}(x)>0, g(x)$ 单调递增;

当 $x \in(2,+\infty)$ 时, $g^{\prime}(x)<0, g(x)$ 单调递减;

因此, $[g(x)]_{\max }=g(2)=\frac{7-e^{2}}{4}$,

综上可得, 实数 $\mathrm{a}$ 的取值范围是 $\left[\frac{7-e^{2}}{4},+\infty\right)$.

【分析】(1)由题意首先对函数二次求导, 然后确定导函数的符号, 最后确定原函数的单调性即可.(2)首先讨论 $\mathrm{x}=0$ 的情况, 然后分离参数, 构造新函数, 结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数 $\mathrm{a}$ 的取值范围.