eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高一 · 代数）：(10 分) 设全集 $U=\mathbf{R}$, 集合 $A=\{x \mid 1 \leq x<4\}, B=\{x \mid 2 a \leq x<3-a\}$.

(1) 若 $a=-2$, 求 $B \cap A$;

(2) 若 $A \cup B=A$, 求实数 $a$ 的取值范围.
选项：
答案：(1) $\{x \mid 1 \leq x<4\}$; (2) $\left[\frac{1}{2},+\infty\right)$.
解析：【分析】

(1)利用集合间的交集运算求解;

(2)由 $A \cup B=A$ 得 $B \subseteq A$, 再分 $B=\phi$ 和 $B \neq \phi$ 讨论.

## 【详解】

(1) 若 $a=-2$, 则 $B=\{x \mid-4 \leq x<5\}$, 又 $A=\{x \mid 1 \leq x<4\}$, 所以 $B \cap A=\{x \mid 1 \leq x<4\}$.

(2) 若 $A \cup B=A$ ，则 $B \subseteq A$.

当 $B=\phi$ 时, $2 a \geq 3-a, a \geq 1$;

当 $B \neq \phi$ 时,

由 $\left\{\begin{array}{l}a<1, \\ 2 a \geq 1, \\ 3-a \leq 4\end{array}\right.$, 解得 $\frac{1}{2} \leq a<1$.

综上可知, 实数 $\boldsymbol{a}$ 的取值范围 $\left[\frac{1}{2},+\infty\right)$.
题目（高一 · 代数）：(12 分) 已知函数 $f(x)=x+\frac{1}{x}$.

(1) 证明函数 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上是增函数;

(2) 求 $f(x)$ 在 $[2,4]$ 上的最值.
选项：
答案：(1) 证明见解析; (2) 最大值 $\frac{17}{4}$, 最小值 $\frac{5}{2}$.
解析：【分析】

(1) 用定义法证明函数在某区间上的单调性.(2) 利用函数在某区间上为增函数求最值.

## 【详解】

(1) 证明: 任取 $x_{1}, x_{2} \in(1,+\infty)$, 且 $x_{1}<x_{2}$,

$$
f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=\left(x_{1}+\frac{1}{x_{1}}\right)-\left(x_{2}+\frac{1}{x_{2}}\right)=\frac{\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{1} x_{2}-1\right)}{x_{1} x_{2}}
$$

因为 $1<x_{1}<x_{2}$, 所以

$x_{1}-x_{2}<0, \quad x_{1} x_{2}-1>0, \quad x_{1} x_{2}>0$,
所以 $f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)<0, f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)$.

所以函数 $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上是增函数.

(2) 由(1)知, $f(x)$ 在 $(1,+\infty)$ 上是增函数,

又 $[2,4] \subseteq(1,+\infty)$, 所以 $f(x)$ 在 $[2,4]$ 上是增函数,

$f(x)$ 的最大值为 $f(4)=\frac{17}{4}$, 最小值为 $f(2)=\frac{5}{2}$.
题目（高一 · 代数）：(12 分) 已知 $f(x)=x^{2}-2 x+1, g(x)$ 是一次函数, 且 $f[g(x)]=4 x^{2}$.

(1) 求 $g(x)$ 的解析式;

(2) 若函数 $f(x)$ 的定义域为 $[0,3]$, 求函数 $h(x)=f(x)+\sqrt{4-f(x)}$ 的值域.
选项：
答案：(1) $g(x)=2 x+1$ 或 $g(x)=-2 x+1$ ；（2） $\left[2, \frac{17}{4}\right]$
解析：【分析】

(1) 设 $g(x)=k x+b$, 根据已知代入即可求出;

（2）令 $t=\sqrt{4-f(x)}$, 将函数化为关于 $t$ 的函数, 由二次函数的性质可求出.

## 【详解】

(1) 设 $g(x)=k x+b$ ，

则 $f[g(x)]=f(k x+b)=(k x+b)^{2}-2(k x+b)+1=4 x^{2}$, 即 $k^{2} x^{2}+(2 k b-2 k) x+b^{2}-2 b+1=4 x^{2}$,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}k^{2}=4 \\ 2 k b-2 k=0 \\ b^{2}-2 b+1=0\end{array}\right.$, 解得 $k= \pm 2, b=1$,

$\therefore g(x)=2 x+1$ 或 $g(x)=-2 x+1$;

(2) $f(x)=x^{2}-2 x+1=(x-1)^{2}$,

当 $x=1$ 时, $f(x)$ 取得最小值为 0 , 当 $x=3$ 时, $f(x)$ 取得最大值为 4 ,

$\therefore f(x)$ 在 $[0,3]$ 的值域为 $[0,4]$,

令 $t=\sqrt{4-f(x)}$, 则 $t \in[0,2], f(x)=4-t^{2}$,

则 $h(x)=f(x)+\sqrt{4-f(x)}$ 等价于 $y=-t^{2}+t+4=-\left(t-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{17}{4}, t \in[0,2]$,

当 $t=\frac{1}{2}$ 时, $y_{\text {max }}=\frac{17}{4}$, 当 $t=2$ 时, $y_{\text {min }}=2$,

所以 $h(x)$ 的值域为 $\left[2, \frac{17}{4}\right]$.
题目（高一 · 代数）：(12 分) 若函数 $f(x)$ 为偶函数, 当 $x \geq 0$ 时, $f(x)=2 x^{2}-4 x$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的表达式, 画出函数 $f(x)$ 的图象;

(2) 若函数 $f(x)$ 在区间 $[a-3,1]$ 上单调递减, 求实数 $a$ 的取值范围.
选项：
答案：(1) $f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x^{2}-4 x, x \geq 0 \\ 2 x^{2}+4 x, x<0\end{array}\right.$; 作图见解析; (2) [3,4).
解析：【分析】

（1）根据题意, 利用函数的奇偶性求出函数的解析式，作出函数的图象即可,

(2) 结合函数的图象可得关于 $a$ 的不等式，解可得 $a$ 的取值范围，即可得答案.

## 【详解】

解: (1) 当 $x<0$ 时, $-x>0, f(-x)=2 x^{2}+4 x$. 由 $f(x)$ 是偶函数, 得 $f(x)=f(-x)=2 x^{2}+4 x$.

所以 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x^{2}-4 x, x \geq 0 \\ 2 x^{2}+4 x, x<0\end{array}\right.$. 函数 $f(x)$ 的图象, 如图.



(2) 由图象可知, 函数 $f(x)$ 的单调递减区间是 $(-\infty,-1]$ 和 $[0,1]$.

要使 $f(x)$ 在 $[a-3,1]$ 上单调递减,

则 $0 \leq a-3<1$ ，解得 $3 \leq a<4 ，$

所以实数 $a$ 的取值范围是 $[3,4)$.
题目（高一 · 代数）：(12 分) 定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 满足: (1) $f(0) \neq 0$; (2)当 $x>0$ 时, $f(x)>1$; (3)对任意实数 $x, y$ 都有 $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$.

(1) 证明: 当 $x<0$ 时, $0<f(x)<1$;

(2) 判断 $f(x)$ 在 $R$ 上的单调性;

(3) 解不等式 $f(x) \cdot f\left(2 x-x^{2}\right)>1$.
选项：
答案：(1) 证明见解析; (2) $f(x)$ 在 $R$ 上是增函数; (3) $(0,3)$.
解析：【分析】

（1）赋值法可直接求出结果;

（2）利用单调性得定义即可判断;

（3）根据题意原不等式等价于 $f\left(3 x-x^{2}\right)>f(0)$, 然后利用函数得单调性解不等式即可.

## 【详解】

（1）令 $x=y=0$, 则 $f(0)=[f(0)]^{2}$, 又 $f(0) \neq 0$, 所以 $f(0)=1$.

当 $x<0$ 时, $-x>0$, 在 $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ 中, 令 $y=-x$,

则 $f(0)=f(x) \cdot f(-x)$, 所以 $f(-x)=\frac{1}{f(x)}>1$, 又因为 $x>0$ 时, $f(x)>1$, 故 $0<f(x)<1$.

(2) 设 $x_{1}, x_{2} \in R$, 且 $x_{1}<x_{2}$, 则 $x_{2}-x_{1}>0$, 所以 $f\left(x_{2}-x_{1}\right)>1$ 且 $f\left(x_{1}\right)>0$.

于是 $f\left(x_{2}\right)=f\left(x_{2}-x_{1}+x_{1}\right)=f\left(x_{2}-x_{1}\right) \cdot f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{1}\right)$, 故 $f(x)$ 在 $R$ 上是增函数.

(3) 由题意知 $f(x) \cdot f\left(2 x-x^{2}\right)=f\left(3 x-x^{2}\right)$, 所以原不等式等价于 $f\left(3 x-x^{2}\right)>f(0)$.

由 (2), $f(x)$ 在 $R$ 上是增函数得到, $3 x-x^{2}>0,0<x<3$, 故此不等式的解集是 $(0,3)$.
题目（高一 · 代数）：(12 分) 给定函数 $f(x)=x^{2}+x+a^{2}+a, g(x)=x^{2}-x+a^{2}-a, a \in R$. 且 $\forall x \in R$, 用 $M(x)$ 表示 $f(x), g(x)$ 的较大者, 记为 $M(x)=\max \{f(x), g(x)\}$.

(1) 若 $a=1$, 试写出 $M(x)$ 的解析式, 并求 $M(x)$ 的最小值;

(2) 若函数 $M(x)$ 的最小值为 3 , 试求实数 $\boldsymbol{a}$ 的值.
选项：
答案：(1) $M(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+x+2, x \geq-1 \\ x^{2}-x, x<-1\end{array}, M(x)_{\text {min }}=\frac{7}{4}\right.$;（2） $a=\frac{1-\sqrt{14}}{2}$ 或 $a=\frac{\sqrt{14}-1}{2}$.
解析：【分析】

由 $M(x)$ 的定义可得 $M(x)=\left\{\begin{array}{l}f(x), x \geq-a \\ g(x), x<-a\end{array}\right.$, (1) 将 $a=1$ 代入, 写出解析式, 结合分段区间, 求 $f(x), g(x)$的最小值并比较大小, 即可得 $M(x)$ 的最小值; (2) 结合 $M(x)$ 的解析式及 $f(x), g(x)$ 对称轴, 讨论 $a \geq \frac{1}{2}$ 、 $-\frac{1}{2} \leqslant a<\frac{1}{2} 、 a<-\frac{1}{2}$ 分别求得对应 $M(x)$ 最小值关于 $a$ 的表达式, 结合已知求 $a$ 值.

## 【详解】

由题意,

当 $f(x) \geq g(x)$ 时, $f(x)-g(x)=x^{2}+x+a^{2}+a-\left(x^{2}-x+a^{2}-a\right)=2 x+2 a \geq 0$,

当 $f(x)<g(x)$ 时, $f(x)-g(x)=x^{2}+x+a^{2}+a-\left(x^{2}-x+a^{2}-a\right)=2 x+2 a<0$,

$\therefore M(x)=\max \{f(x), g(x)\}=\left\{\begin{array}{l}f(x), x \geq-a \\ g(x), x<-a\end{array}\right.$

(1) 当 $a=1$ 时, $M(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+x+2, x \geq-1 \\ x^{2}-x, x<-1\end{array}\right.$,



$\therefore$ 当 $x \geq-1$ 时, $M(x)=f(x)=x^{2}+x+2$, 此时 $f(x)_{\text {min }}=f\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{7}{4}$,

当 $x \leq-1$ 时, $M(x)=g(x)=x^{2}-x$, 此时 $g(x)_{\text {min }}=g(-1)=2$,

$\therefore M(x)_{\min }=f(x)_{\min }=f\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{7}{4}$.

(2) $M(x)=\left\{\begin{array}{l}f(x), x \geq-a \\ g(x), x<-a\end{array}\right.$, 且 $f(x), g(x)$ 对称轴分别为 $x=-\frac{1}{2}, x=\frac{1}{2}$,

(1)当 $-a \leq-\frac{1}{2}$ 时, 即 $a \geq \frac{1}{2}$ 时, $M(x)$ 在 $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right)$ 单调递减, $\left(-\frac{1}{2},+\infty\right)$ 单调递增;



$\therefore M(x)_{\text {min }}=f(x)_{\min }=f\left(-\frac{1}{2}\right)=3$, 即 $a^{2}+a-\frac{13}{4}=0, a=\frac{\sqrt{14}-1}{2} \quad\left(a=-\frac{1+\sqrt{14}}{2}\right.$ 舍去 $)$,

(2)当 $-\frac{1}{2}<-a \leq \frac{1}{2}$, 即 $-\frac{1}{2} \leqslant a<\frac{1}{2}$ 时, $M(x)$ 在 $(-\infty,-a)$ 单调递减, $(-a,+\infty)$ 单调递增;



$\therefore M(x)_{\text {min }}=f(-a)=2 a^{2}=3$, 有 $a= \pm \frac{\sqrt{6}}{2} \notin\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$, 故此时 $a$ 无解.

(3)当 $-a>\frac{1}{2}$, 即 $a<-\frac{1}{2}$ 时, $M(x)$ 在 $\left(-\infty, \frac{1}{2}\right)$ 单调递减, $\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$ 单调递增;



$\therefore M(x)_{\min }=g(x)_{\min }=g\left(\frac{1}{2}\right)=3$, 即 $a^{2}-a-\frac{13}{4}=0, a=\frac{1-\sqrt{14}}{2} \quad\left(a=\frac{1+\sqrt{14}}{2}\right.$ 舍去 $)$

综上, 得: $a=\frac{1-\sqrt{14}}{2}$ 或 $a=\frac{\sqrt{14}-1}{2}$.

## 【点睛】

关键点点睛: 写出 $M(x)$ 的解析式, 第二问需结合各分段上的函数性质-对称轴, 讨论参数范围求最小值关于参数的表达式, 进而求参数值.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=-\mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{x}, \mathrm{g}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{c}x+\frac{1}{4 x}, x>0 \\ x+1, x \leq 0\end{array}\right.$

(1) 求 $\mathrm{g}[\mathrm{f}(1)]$ 的值;

(2) 若方程 $g[f(x)]-a=0$ 有 4 个实数根, 求实数 $a$ 的取值范围.
选项：
答案：（1）解：利用解析式直接求解得 $g[f(1)]=g(-3)=-3+1=-2$.

(2) 解: 令 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{t}$, 则原方程化为 $\mathrm{g}(\mathrm{t})=\mathrm{a}$,

易知方程 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{t}$ 在 $\mathrm{t} \in(-\infty, 1)$ 内有 2 个不同的解,则原方程有 4 个解等价于函数 $\mathrm{y}=\mathrm{g}(\mathrm{t})(\mathrm{t}<1)$ 与 $\mathrm{y}=\mathrm{a}$ 的图象有 2 个不同的交点,作出函数 $\mathrm{y}=\mathrm{g}(\mathrm{t})(\mathrm{t}<1)$ 的图象,

由图象可知, 当 $1 \leq \mathrm{a}<\frac{5}{4}$ 时, 函数 $\mathrm{y}=\mathrm{g}(\mathrm{t})(\mathrm{t}<1)$ 与 $\mathrm{y}=\mathrm{a}$ 有 2 个不同的交点,

即所求 $\mathrm{a}$ 的取值范围是 $\left[1, \frac{5}{4}\right)$.
解析：由题意可得函数 $\mathrm{y}=\mathrm{g}[\mathrm{f}(\mathrm{x})]$ 与函数 $\mathrm{y}=\mathrm{a}$ 有 4 个交点, 结合图象可得实数 $\mathrm{a}$ 的取值范围. 根的存在问题相对来说是零点里头最重要的一个点, 也是比较常考的点, 一般都是以中档题的形式在选择题里出现, 在解这种题的时候, 做出函数图象是首要选择, 然后根据图形去寻找答案.
题目（高一 · 代数）：（1） $m$ 为何值时, $f(x)=x^{2}+2 m x+3 m+4$.(1)有且仅有一个零点; (2)有两个零点且均比 -1 大;


选项：
答案：(1) 解: (1) $f(x)=x^{2}+2 m x+3 m+4$ 有且仅有一个零点,

$\Leftrightarrow$ 方程 $f(x)=0$ 有两个相等实根 $\Leftrightarrow \Delta=0$,

即 $4 m^{2}-4(3 m+4)=0$, 即 $m^{2}-3 m-4=0, \therefore m=4$ 或 $m=-1$.

(2) 设 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的两个零点分别为 $x_{1}, x_{2}$,

则 $x_{1}+x_{2}=-2 \mathrm{~m}, x_{1} x_{2}=3 \mathrm{~m}+4$.

由题意, 知 $\left\{\begin{array}{c}\Delta=4 m^{2}-4(3 m+4)>0 \\ \left(x_{1}+1\right)\left(x_{2}+1\right)>0 \\ \left(x_{1}+1\right)\left(x_{2}+1\right)>0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}m^{2}-3 m-4>0 \\ 3 m+4-3 m+1>0 \\ -2 m+2>0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{c}m>4 \text { 或 } m<-1 \\ m>-5 \\ m<1\end{array}\right.\right.\right.$

$\therefore-5<\mathrm{m}<-1$. 故 $\mathrm{m}$ 的取值范围为 $(-5,-1)$.

(2) 解: 令 $f(x)=0$, 得 $\left|4 x-x^{2}\right|+a=0$,

则 $\left|4 x-x^{2}\right|=-a$. 令 $g(x)=\left|4 x-x^{2}\right|, h(x)=-a$.

作出 $\mathrm{g}(\mathrm{x}), \mathrm{h}(\mathrm{x})$ 的图象.

<ImageHere>
由图象可知, 当 $0<-\mathrm{a}<4$,

即 $-4<a<0$ 时, $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 与 $\mathrm{h}(\mathrm{x})$ 的图象有 4 个交点.
解析：(1) (1) $f(x)=x^{2}+2 m x+3 m+4$ 有且仅有一个零点 $\Leftrightarrow$ 方程 $f(x)=0$ 有两个相等实根 $\Leftrightarrow \Delta=$ 0 ; (2) 设 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的两个零点分别为 $x_{1}, x_{2}$, 则 $x_{1}+x_{2}=-2 \mathrm{~m}, x_{1} x_{2}=3 \mathrm{~m}+4$. 由题意列不等式组, 即可得结果; (2) 数形结合, 作出 $g(x)=\left|4 x-x^{2}\right|$ 和 $h(x)=-a$ 的图象即可.
题目（高一 · 代数）：某机构通过对某企业今年的生产经营情况的调查, 得到每月利润 $y$ (单位: 万元) 与相应月份数 $x$ 的部分数据如表:



(1) 根据如表数据, 请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述 $y$ 与 $x$ 的变化关系, 并说明理由, $y=a x^{3}+b, \quad y=-x^{2}+a x+b, \quad y=a \cdot b^{x} ;$

（2）利用（1）中选择的函数, 估计月利润最大的是第几个月, 并求出该月的利润.
选项：
答案：（1）解：由题目中的数据知,

描述每月利润 $y$ (单位: 万元) 与相应月份数 $x$ 的变化关系函数不可能是常数函数,也不是单调函数; 所以应选取二次函数 $y=-x^{2}+a x+b_{\text {进行描述; }}$

(2) 解: 将 $(1,229),(4,244)$ 代入 $y=-x^{2}+a x+b$, 解得 $a=10, b=220$,

$\therefore y=-x^{2}+10 x+220, \quad 1 \leq x \leq 12, \quad x \in N_{+}$,

$y=-(x-5)^{2}+245, \therefore x=5, \quad y_{\max }=245_{\text {万元 }}$.
解析：(1) 根据题中数据, 即可直接判断出结果; (2) 将题中 $(1,229),(4,244)$ 代入 $y=-x^{2}+a x+b$, 求出参数, 根据二次函数的性质, 以及自变量的范围, 即可得出结果.
题目（高一 · 代数）：近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视, 某企业在现有设备下每日生产总成本 $y$ (单位:万元) 与日产量 $x$ (单位: 吨) 之间的函数关系式为 $y=2 x^{2}+(15-4 k) x+120 k+8$, 现为了配合环境卫生综合整治, 该企业引进了除尘设备, 每吨产品除尘费用为 $k$ 万元, 除尘后当日产量 $x=1$ 时,总成本 $y=142$.

(1) 求 $k$ 的值;

(2) 若每吨产品出厂价为 48 万元, 试求除尘后日产量为多少时, 每吨产品的利润最大, 最大利润为多少?
选项：
答案：（1）解：由题意, 除尘后总成本为:

$y=2 x^{2}+(15-4 k) x+120 k+8+k x=2 x^{2}+(15-3 k) x+120 k+8$,

$\because$ 当日产量 $x=1$ 时, 总成本 $y=142$, 代入计算得 $k=1$;

(2) 解: 由 (1) $y=2 x^{2}+12 x+128$,

总利润 $L=48 x-\left(2 x^{2}+12 x+128\right)=36 x-2 x^{2}-128,(x>0)$

每吨产品的利润 $=\frac{L}{x}=36-2\left(x+\frac{64}{x}\right) \leq 36-4 \sqrt{x \cdot \frac{64}{x}}=4$,

当且仅当 $x=\frac{64}{x}$, 即 $x=8$ 时取等号,

$\therefore$ 除尘后日产量为 8 吨时, 每吨产品的利润最大, 最大利润为 4 万元.
解析：（1）利用实际问题的已知条件结合所给的函数模型求出 $\mathrm{k}$ 的值。

(2) 利用实际问题的已知条件结合所给的函数模型, 用均值不等式求最值的方法求出除尘后日产量为 8 吨时, 每吨产品的利润最大, 最大利润为 4 万元。
题目（高一 · 代数）：某企业常年生产一种出口产品, 根据预测可知, 进入 21 世纪以来, 该产品的产量平稳增长. 记 2009 年为第 1 年, 且前 4 年中, 第 $\mathrm{x}$ 年与年产量 $f(x)$ (万件) 之间的关系如表所示:

| $\mathrm{X}$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $f(x)$ | 4.00 | 5.58 | 7.00 | 8.4 |

若 $f(x)$ 近似符合以下三种函数模型之一:

$$
f(x)=a x+b, f(x)=2^{x}+a, f(x)=\log _{\frac{1}{2}} x+a
$$

(1) 找出你认为最适合的函数模型, 并说明理由, 然后求出相应的解析式 (所求 $\mathrm{a}$ 或 $\mathrm{b}$ 值保留 1 位小数);

（2）因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2015 年的年产量比预计减少 30\%, 试根据所建立的函数模型, 确定 2015 年的年产量.
选项：
答案：（1）解：符合条件的是 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{ax}+\mathrm{b}$.

若模型为 $f(x)=2^{x}+a$, 则由 $f(1)=2^{1}+a=4$, 得 $a=2$, 即 $f(x)=2^{x}+2$,

此时 $f(2)=6, f(3)=10, f(4)=18$, 与已知相差太大, 不符合.
若模型为 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\log \frac{1}{2} \mathrm{x}+\mathrm{a}$, 则 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 是减函数, 与已知不符合.

由已知得 $\left\{\begin{array}{l}a+b=4 \\ 3 a+b=7 \text { 解得 }\end{array}\left\{\begin{array}{l}a=\frac{3}{2} \\ b=\frac{5}{2}\end{array}\right.\right.$

所以 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\frac{3}{2} \mathrm{x}+\frac{5}{2}, \mathrm{x} \in \mathrm{N}$.

(2) 解: 2015 年预计年产量为 $f(7)=\frac{3}{2} \times 7+\frac{5}{2}=13$,

则 2015 年实际年产量为 $13 \times(1-30 \%)=9.1$,

答: 最适合的模型解析式为 $f(x)=\frac{3}{2} x+\frac{5}{2}, x \in N .2015$ 年的实际产量为 9.1 万件
解析：（1）由题中数据可以判断最适合的函数模型是 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{ax}+\mathrm{b}$;

(2) 由 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{ax}+\mathrm{b}$, 先求出 $\mathrm{x}=7$ 时的函数值, 再减少 $30 \%$, 可确定 2015 年的年产量.
题目（高一 · 代数）：(12 分) 已知函数 $f(x)=\left(1+\log _{2} x\right)\left(2+\log _{2} x\right)$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的最小值;

(2) 求 $f(x)=2$ 时 $x$ 的值.
选项：
答案：(1) $\because f(x)=\left(1+\log _{2} x\right)\left(2+\log _{2} x\right)$令 $t=\log _{2} x$, 则 $y=t^{2}+3 t+2$,根据二次函数的性质可知, 当 $t=-\frac{3}{2}$ 即 $x=2^{-\frac{3}{2}}$ 时, 函数取得最小值 $-\frac{1}{4}$

(2) $\because f(x)=\left(1+\log _{2} x\right)\left(2+\log _{2} x\right)=2$, 即 $\log _{2} x\left(3+\log _{2} x\right)=0$,

$\therefore \log _{2} x=0$ 或 $\log _{2} x=-3$

$\therefore x=1$ 或 $x=\frac{1}{8}$
解析：(1) $\because f(x)=\left(1+\log _{2} x\right)\left(2+\log _{2} x\right)$令 $t=\log _{2} x$, 则 $y=t^{2}+3 t+2$,根据二次函数的性质可知, 当 $t=-\frac{3}{2}$ 即 $x=2^{-\frac{3}{2}}$ 时, 函数取得最小值 $-\frac{1}{4}$

(2) $\because f(x)=\left(1+\log _{2} x\right)\left(2+\log _{2} x\right)=2$, 即 $\log _{2} x\left(3+\log _{2} x\right)=0$,

$\therefore \log _{2} x=0$ 或 $\log _{2} x=-3$

$\therefore x=1$ 或 $x=\frac{1}{8}$
题目（高一 · 代数）：(12 分) 已知幂函数 $f(x)=\left(k^{2}-4 k+5\right) x^{-m^{2}+4 m}(m \in Z)$ 的图象关于 $y$ 轴对称, 且在 $(0,+\infty)$ 上单调递增.

(1) 求 $m$ 和 $k$ 的值;

(2) 求满足不等式 $(2 a-1)^{-3}<(a+2)^{-\frac{3 m}{2}}$ 的 $a$ 的取值范围.
选项：
答案：(1) $\because$ 幂函数 $f(x)=\left(k^{2}-4 k+5\right) x^{-m^{2}+4 m}, \therefore k^{2}-4 k+5=1$, 解得 $k=2$.

又 $\because$ 幂函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增,

$\therefore-m^{2}+4 m>0$, 解得 $0<m<4$,

$\because m \in Z, \therefore m=1$ 或 $m=2$ 或 $m=3$,

当 $m=1$ 或 $m=3$ 时, $f(x)=x^{3}$, 图象关于原点对称, 不合题意;

当 $m=2$ 时, $f(x)=x^{4}$, 图象关于 $y$ 轴对称, 符合题意.
综上, $m=2, k=2$.

(2) 由（1）可得 $m=2$,

$\therefore(2 a-1)^{-3}<(a+2)^{-3}$, 而函数 $y=x^{-3}$ 在 $(-\infty, 0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上均单调递减,

且当 $x>0$ 时, $y=x^{-3}>0$, 当 $x<0, y=x^{-3}<0$,

$\therefore$ 满足不等式的条件为 $0<a+2<2 a-1$ 或 $a+2<2 a-1<0$ 或 $2 a-1<0<a+2$,解得 $-2<a<\frac{1}{2}$ 或 $a>3$,

故满足不等式 $(2 a-1)^{-3}<(a+2)^{\frac{-3 m}{2}}$ 的 $a$ 的取值范围为 $\left(-2, \frac{1}{2}\right) \cup(3,+\infty)$.
解析：(1) $\because$ 幂函数 $f(x)=\left(k^{2}-4 k+5\right) x^{-m^{2}+4 m}, \therefore k^{2}-4 k+5=1$, 解得 $k=2$.

又 $\because$ 幂函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增,

$\therefore-m^{2}+4 m>0$, 解得 $0<m<4$,

$\because m \in Z, \therefore m=1$ 或 $m=2$ 或 $m=3$,

当 $m=1$ 或 $m=3$ 时, $f(x)=x^{3}$, 图象关于原点对称, 不合题意;

当 $m=2$ 时, $f(x)=x^{4}$, 图象关于 $y$ 轴对称, 符合题意.
综上, $m=2, k=2$.

(2) 由（1）可得 $m=2$,

$\therefore(2 a-1)^{-3}<(a+2)^{-3}$, 而函数 $y=x^{-3}$ 在 $(-\infty, 0)$ 和 $(0,+\infty)$ 上均单调递减,

且当 $x>0$ 时, $y=x^{-3}>0$, 当 $x<0, y=x^{-3}<0$,

$\therefore$ 满足不等式的条件为 $0<a+2<2 a-1$ 或 $a+2<2 a-1<0$ 或 $2 a-1<0<a+2$,解得 $-2<a<\frac{1}{2}$ 或 $a>3$,

故满足不等式 $(2 a-1)^{-3}<(a+2)^{\frac{-3 m}{2}}$ 的 $a$ 的取值范围为 $\left(-2, \frac{1}{2}\right) \cup(3,+\infty)$.
题目（高一 · 代数）：(12 分) 已知函数 $f(x)=\log _{3}(x+a)(a>0)$, 若点 $M(x, y)$ 在函数 $y=g(x)$ 图象上运动时, 对应的点 $M^{\prime}\left(\frac{1}{3} x, \frac{y}{2}\right)$ 在函数 $y=f(x)$ 图象上运动, 则称函数 $y=g(x)$ 是函 $y=f(x)$ 的相关函数.

(1) 当 $a=1$ 时，解关于 $x$ 的不等式 $f(x)<1$ ；

(2) 对任意的 $x \in[0,1], f(x)$ 的图象总在其相关函数图象的上方, 求实数 $a$ 的取值范围.
选项：
答案：(1) 依题意, $\left\{\begin{array}{l}x+1>0 \\ \log _{3}(x+1)<1\end{array}\right.$, 则 $\left\{\begin{array}{l}x>-1 \\ x+1<3\end{array}\right.$, 解得 $-1<x<2$,

所以所求不等式的解集为 $(-1,2)$;

(2) 因为 $M^{\prime}\left(\frac{1}{3} x, \frac{y}{2}\right)$ 在函数 $y=f(x)$ 上, 所以 $\frac{y}{2}=\log _{3}\left(\frac{x}{3}+a\right)$, 即 $y=2 \log _{3}\left(\frac{x}{3}+a\right)$, 所以 $f(x)$ 的相关函数为 $g(x)=2 \log _{3}\left(\frac{x}{3}+a\right)$,

$\because$ 对任意的 $x \in[0,1], f(x)$ 的图象总在其相关函数图象的上方,

$\therefore$ 当 $x \in[0,1]$ 时, $f(x)-g(x)=\log _{3}(x+a)-2 \log _{3}\left(\frac{x}{3}+a\right)>0$ 恒成立,

即 $\log _{3}(x+a)>2 \log _{3}\left(\frac{x}{3}+a\right)$ 恒成立,

由 $x+a>0, \frac{x}{3}+a>0, a>0$, 得 $x>-a$,

$\therefore$ 在此条件下, 即 $x \in[0,1]$ 时, $\log _{3}(x+a)>2 \log _{3}\left(\frac{x}{3}+a\right)$ 恒成立, 即 $x+a>\left(\frac{x}{3}+a\right)^{2}$ 恒成立, 即 $\frac{1}{9} x^{2}+\left(\frac{2 a}{3}-1\right) x+a^{2}-a<0$ 恒成立,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}a^{2}-a<0 \\ \frac{1}{9}+\frac{2}{3} a-1+a^{2}-a<0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}0<a<1 \\ \frac{1-\sqrt{33}}{6}<a<\frac{1+\sqrt{33}}{6}\end{array}\right.$, 故实数 $a$ 的取值范围为 $(0,1)$.
解析：(1) 依题意, $\left\{\begin{array}{l}x+1>0 \\ \log _{3}(x+1)<1\end{array}\right.$, 则 $\left\{\begin{array}{l}x>-1 \\ x+1<3\end{array}\right.$, 解得 $-1<x<2$,

所以所求不等式的解集为 $(-1,2)$;

(2) 因为 $M^{\prime}\left(\frac{1}{3} x, \frac{y}{2}\right)$ 在函数 $y=f(x)$ 上, 所以 $\frac{y}{2}=\log _{3}\left(\frac{x}{3}+a\right)$, 即 $y=2 \log _{3}\left(\frac{x}{3}+a\right)$, 所以 $f(x)$ 的相关函数为 $g(x)=2 \log _{3}\left(\frac{x}{3}+a\right)$,

$\because$ 对任意的 $x \in[0,1], f(x)$ 的图象总在其相关函数图象的上方,

$\therefore$ 当 $x \in[0,1]$ 时, $f(x)-g(x)=\log _{3}(x+a)-2 \log _{3}\left(\frac{x}{3}+a\right)>0$ 恒成立,

即 $\log _{3}(x+a)>2 \log _{3}\left(\frac{x}{3}+a\right)$ 恒成立,

由 $x+a>0, \frac{x}{3}+a>0, a>0$, 得 $x>-a$,

$\therefore$ 在此条件下, 即 $x \in[0,1]$ 时, $\log _{3}(x+a)>2 \log _{3}\left(\frac{x}{3}+a\right)$ 恒成立, 即 $x+a>\left(\frac{x}{3}+a\right)^{2}$ 恒成立, 即 $\frac{1}{9} x^{2}+\left(\frac{2 a}{3}-1\right) x+a^{2}-a<0$ 恒成立,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}a^{2}-a<0 \\ \frac{1}{9}+\frac{2}{3} a-1+a^{2}-a<0\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}0<a<1 \\ \frac{1-\sqrt{33}}{6}<a<\frac{1+\sqrt{33}}{6}\end{array}\right.$, 故实数 $a$ 的取值范围为 $(0,1)$.
题目（高一 · 代数）：设计程序交换两个变量 $\mathrm{A}$ 和 $\mathrm{B}$ 的值, 并输出交换前后的值.
选项：
答案：<ImageHere>
题目（高一 · 代数）：已知 $f(x)=x^{3}-3 x^{2}+2 x+1$, 写出求任意一个 $\mathrm{x}$ 的值对应的函数值 $f(x)$ 的程序;

（2）已知函数 $f(x)=x^{2}-2 x+1, y_{1}=f(3)$, 编写一个程序计算 $\mathrm{f}$ (i) 的值;

(3) 已知函数 $f(x)=3 x-1$, 设计一个程序求 $f(f(2))$ 的值.
选项：
答案：)

INPUT “请输入自变量 $\mathrm{x}$ 的值”; $\mathrm{x}$

$A=x^{\wedge} 3$

$\mathrm{B}=3 * x^{\wedge} 2$

$\mathrm{C}=2 * \mathrm{x}$

$\mathrm{D}=\mathrm{A}-\mathrm{B}+\mathrm{C}+1$

PRINT " $\mathrm{f}(\mathrm{x})={ }^{\prime \prime}$; $\mathrm{D}$

END

(2)

$$
\begin{aligned}
& x=3 \\
& y=x^{\wedge} 2-2 * x+1 \\
& y=y^{\wedge} 2-2 * y+1 \\
& \text { PRINT } y
\end{aligned}
$$

END

(3)

$$
\begin{aligned}
& x=2 \\
& y=3^{*} x-1 \\
& x=y \\
& y=3^{*} x-1 \\
& \text { PRINT } y \\
& \text { END }
\end{aligned}
$$
解析：)

INPUT “请输入自变量 $\mathrm{x}$ 的值”; $\mathrm{x}$

$A=x^{\wedge} 3$

$\mathrm{B}=3 * x^{\wedge} 2$

$\mathrm{C}=2 * \mathrm{x}$

$\mathrm{D}=\mathrm{A}-\mathrm{B}+\mathrm{C}+1$

PRINT " $\mathrm{f}(\mathrm{x})={ }^{\prime \prime}$; $\mathrm{D}$

END

(2)

$$
\begin{aligned}
& x=3 \\
& y=x^{\wedge} 2-2 * x+1 \\
& y=y^{\wedge} 2-2 * y+1 \\
& \text { PRINT } y
\end{aligned}
$$

END

(3)

$$
\begin{aligned}
& x=2 \\
& y=3^{*} x-1 \\
& x=y \\
& y=3^{*} x-1 \\
& \text { PRINT } y \\
& \text { END }
\end{aligned}
$$
题目（高一 · 代数）：写出解方程 $x^{2}-2 x-3=0$ 的一个算法。
选项：
答案：算法一 (配方法) 第一步, 移项得 $x^{2}-2 x=3$ (1).

第二步, (1)式两边同时加 1 , 并配方得 $(x-1)^{2}=4$ (2).

第三步, (2)式两边开方, 得 $x-1= \pm 2$ (3).

第四步, 解(3)式得 $x_{1}=3, x_{2}=-1$.

算法二 (公式法) 第一步, 计算出一元二次方程的根的判别式的值, 并判断其符号。

显然 $\Delta=(-2)^{2}-4 \times 1 \times(-3)=16>0$

第二步, 将 $\mathrm{a}=1, \mathrm{~b}=-2, \mathrm{c}=-3$ 代入求根公式 $x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$, 得 $x_{1}=3, x_{2}=-1$

算法三（因式分解法）第一步, 将方程左边因式分解, 得 $(x-3)(x+1)=0$ (1).

第二步, 由(1)得 $x-3=0$ 或 $x+1=0$ (2).

第三步, 解(2)得 $x_{1}=3, x_{2}=-1$
解析：算法一 (配方法) 第一步, 移项得 $x^{2}-2 x=3$ (1).

第二步, (1)式两边同时加 1 , 并配方得 $(x-1)^{2}=4$ (2).

第三步, (2)式两边开方, 得 $x-1= \pm 2$ (3).

第四步, 解(3)式得 $x_{1}=3, x_{2}=-1$.

算法二 (公式法) 第一步, 计算出一元二次方程的根的判别式的值, 并判断其符号。

显然 $\Delta=(-2)^{2}-4 \times 1 \times(-3)=16>0$

第二步, 将 $\mathrm{a}=1, \mathrm{~b}=-2, \mathrm{c}=-3$ 代入求根公式 $x_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$, 得 $x_{1}=3, x_{2}=-1$

算法三（因式分解法）第一步, 将方程左边因式分解, 得 $(x-3)(x+1)=0$ (1).

第二步, 由(1)得 $x-3=0$ 或 $x+1=0$ (2).

第三步, 解(2)得 $x_{1}=3, x_{2}=-1$
题目（高一 · 代数）：已知函数 $y=\left\{\begin{array}{l}-x^{2}-1(x \leq-1) \\ x^{3}(x>-1)\end{array}\right.$, 试设计一个算法输入 $\mathrm{x}$ 的值, 求对应的函数值.
选项：
答案：算法如下:

第一步, 输入 $\mathrm{x}$ 的值.

第二步, 当 $x \leqslant-1$ 时, 计算 $y=-x^{2}-1$; 否则计算 $y=x^{3}$

第三步, 输出 $\mathrm{y}$.
解析：算法如下:

第一步, 输入 $\mathrm{x}$ 的值.

第二步, 当 $x \leqslant-1$ 时, 计算 $y=-x^{2}-1$; 否则计算 $y=x^{3}$

第三步, 输出 $\mathrm{y}$.
题目（高一 · 代数）：用二分法设计一个求方程 $2^{x}+3 x=7$ 在区间 (1,2) 内的近似解（精确度 0.01 ）的算法.
选项：
答案：算法如下:

第一步, 令 $f(x)=2^{x}+3 x-7$. 因为 $f(1)<0, f(2)>0$, 所以设 $\mathrm{a}=1, \mathrm{~b}=2$.

第二步, 令 $m=\frac{a+b}{2}$, 判断 $f(m)$ 是否为 0 , 若是, 则输出 $\mathrm{m}$ 是方程的解, 否则执行第三步。

第三步, 若 $f(a) \cdot f(m)>0$, 则令 $a=m$, 否则令 $\mathrm{b}=\mathrm{m}$.

第四步, 判断 $\left\{|a-b|<0,01\right.$ 是否成立, 若是, 则输出 $\frac{a+b}{2}$ 是方程的近似解; 否则返回第二步
解析：算法如下:

第一步, 令 $f(x)=2^{x}+3 x-7$. 因为 $f(1)<0, f(2)>0$, 所以设 $\mathrm{a}=1, \mathrm{~b}=2$.

第二步, 令 $m=\frac{a+b}{2}$, 判断 $f(m)$ 是否为 0 , 若是, 则输出 $\mathrm{m}$ 是方程的解, 否则执行第三步。

第三步, 若 $f(a) \cdot f(m)>0$, 则令 $a=m$, 否则令 $\mathrm{b}=\mathrm{m}$.

第四步, 判断 $\left\{|a-b|<0,01\right.$ 是否成立, 若是, 则输出 $\frac{a+b}{2}$ 是方程的近似解; 否则返回第二步
题目（高一 · 代数）：如图所示的程序框图, 回答下面的问题:



(1) 程序框(1)中 $\mathrm{x}=4$ 的含义是什么?

(2) 程序框(2)中 $y_{1}=x^{3}+2 x+3$ 的含义是什么?

(3) 程序框(4)中 $y_{2}=x^{3}+2 x+3$ 的含义是什么?
选项：
答案：(1) 程序框(1)的含义是初始化变量, 令 $\mathrm{x}=4$.

(2) 程序框(2)中 $y_{1}=x^{3}+2 x+3$ 的含义: 该程序框是在执行(1)的前提下, 即当 $\mathrm{x}=4$ 时,计算 $x^{3}+2 x+3$ 的值, 并令 $y_{1}$ 等于这个值.

(3) 程序框(4)中 $x^{3}+2 x+3$ 的含义: 该程序框是在执行(3)的前提下, 即当 $\mathrm{x}=-2$ 时, 计算 $x^{3}+2 x+3$ 值, 并令 $y_{2}$ 等于这个值
解析：(1) 程序框(1)的含义是初始化变量, 令 $\mathrm{x}=4$.

(2) 程序框(2)中 $y_{1}=x^{3}+2 x+3$ 的含义: 该程序框是在执行(1)的前提下, 即当 $\mathrm{x}=4$ 时,计算 $x^{3}+2 x+3$ 的值, 并令 $y_{1}$ 等于这个值.

(3) 程序框(4)中 $x^{3}+2 x+3$ 的含义: 该程序框是在执行(3)的前提下, 即当 $\mathrm{x}=-2$ 时, 计算 $x^{3}+2 x+3$ 值, 并令 $y_{2}$ 等于这个值
题目（高一 · 代数）：高等数学中经常用到符号函数 SGN (x) , 其定义为 $y= \begin{cases}1 & (x>0) \\ 0 & (x=0) \\ -1 & (x<0)\end{cases}$试画出程序框图表示根据输入的 $\mathrm{x}$ 的值, 输出对应的 $\mathrm{y}$ 的值, 并编写相应程序
选项：
答案：<ImageHere>
题目（高一 · 代数）：某地电信部门规定: 拨打市内电话时, 如果通话时间不超过 $3 \mathrm{~min}$, 则收取通话费 0.22
元; 如果通话时间超过 $3 \mathrm{~min}$, 则超过部分按每分钟 0.1 元收取通话费, 不足 $1 \mathrm{~min}$ 按 $1 \mathrm{~min}$计. 设通话时间为（min）, 通话费用为 $\mathrm{y} （$ 元）, 编写一个计算通话费用的程序, 并画出程序框图.
选项：
答案：$\mathrm{y}$ 是关于 $\mathrm{t}$ 的分段函数, 关系式为

$y=\left\{\begin{array}{l}0.22,0<t \leqslant 3 \\ 0.22+0.1(t-3), t>3 \quad \text { A } t \in \mathbf{Z} \\ 0.22+0.1([t-3]+1), t>3 \mathrm{AA} \notin \mathbf{Z}\end{array}\right.$

INPUT“请输入通话时间（min）: "; t IF $\mathrm{t}<=3$ AND $\mathrm{t}>0$ THEN

$y=0.22$

ELSE

IF INT（ $t)=t$ THEN

$$
\mathrm{y}=0.22+0.1 *(\mathrm{t}-3)
$$

ELSE

$$
\mathrm{y}=0.22+0.1 *(\mathrm{INT}(\mathrm{t}-3)+1)
$$

END IF

END IF

PRINT“通话费用为（元）"; y

END

<ImageHere>
解析：$\mathrm{y}$ 是关于 $\mathrm{t}$ 的分段函数, 关系式为

$y=\left\{\begin{array}{l}0.22,0<t \leqslant 3 \\ 0.22+0.1(t-3), t>3 \quad \text { A } t \in \mathbf{Z} \\ 0.22+0.1([t-3]+1), t>3 \mathrm{AA} \notin \mathbf{Z}\end{array}\right.$

INPUT“请输入通话时间（min）: "; t IF $\mathrm{t}<=3$ AND $\mathrm{t}>0$ THEN

$y=0.22$

ELSE

IF INT（ $t)=t$ THEN

$$
\mathrm{y}=0.22+0.1 *(\mathrm{t}-3)
$$

ELSE

$$
\mathrm{y}=0.22+0.1 *(\mathrm{INT}(\mathrm{t}-3)+1)
$$

END IF

END IF

PRINT“通话费用为（元）"; y

END
题目（高一 · 代数）：读下面的程序, 并回答问题,



(1) 画出该程序对应的程序框图;

(2) 若要使输入的 $x$ 值与输出的 $y$ 值相等, 则这样的 值有几个?
选项：
答案：序可知这是一个求 $y=\left\{\begin{array}{l}x^{2}, x \leqslant 2 \\ 2 x-3,2<x \leqslant 5 \\ \frac{1}{x}, x>5\end{array}\right.$, 的函数值的程序.

(1) 程序框图如图所示.

<ImageHere>

（2）若 $x=x^{2}$, 则 $\mathrm{x}=0$ 或 $\mathrm{x}=1$, 此时均满足 $x \leq 2$; 若 $2 \mathrm{x}-3=\mathrm{x}$, 则 $\mathrm{x}=3$, 满足 $2<x \leq 5$;若 $\frac{1}{x}=x$, 则 $\mathrm{x}= \pm 1$, 不满足 $\mathrm{x}>5$.
解析：序可知这是一个求 $y=\left\{\begin{array}{l}x^{2}, x \leqslant 2 \\ 2 x-3,2<x \leqslant 5 \\ \frac{1}{x}, x>5\end{array}\right.$, 的函数值的程序.

(1) 程序框图如图所示.



（2）若 $x=x^{2}$, 则 $\mathrm{x}=0$ 或 $\mathrm{x}=1$, 此时均满足 $x \leq 2$; 若 $2 \mathrm{x}-3=\mathrm{x}$, 则 $\mathrm{x}=3$, 满足 $2<x \leq 5$;若 $\frac{1}{x}=x$, 则 $\mathrm{x}= \pm 1$, 不满足 $\mathrm{x}>5$.