eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示的正方体的棱长为 $4, E, F$ 分别为 $A_{1} D_{1}, A A_{1}$ 的中点, 过 $C_{1}, E, F$ 的截面的周长为


选项：
答案：$4 \sqrt{5}+6 \sqrt{2}$
解析：$E F / /$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ 可知平面 $B C C_{1} B_{1}$ 与平面 $E F C_{1}$ 的交线为 $B C_{1}$, 平面 $E F C_{1}$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 的交线为 $B F$, 所以截面周长为 $E F+F B+B C_{1}+C_{1} E=4 \sqrt{5}+6 \sqrt{2}$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示, $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是棱长为 $a$ 的正方体, $M 、 N$ 分别是下底面的棱 $A_{1} B_{1} 、 B_{1} C_{1}$ 的中点, $P$ 是上底面的棱 $A D$ 上的一点, $A P=\frac{a}{3}$, 过 $P, M, N$ 的平面交上底面于 $P Q, Q$ 在 $C D$ 上, 则 $P Q=$


选项：
答案：$\frac{2 \sqrt{2}}{3} a$
解析：$\because M N / /$ 平面 $A C$, 平面 $P M N \cap$ 平面 $A C=P Q$,

$\therefore M N / / P Q$, 易知 $D P=D Q=\frac{2 a}{3}$,

故 $P Q=\sqrt{P D^{2}+D Q^{2}}=\sqrt{2} D P=\frac{2 \sqrt{2} a}{3}$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示, 在空间四边形 $A B C D$ 中, $E 、 F 、 G 、 H$ 分别是四边上的点, 它们共面, 并且 $A C / /$ 平面 $E F G H$, $B D / /$ 平面 $E F G H, A C=m, B D=n$, 当四边形 $E F G H$ 是菱形时, $A E: E B=$


选项：
答案：$m: n$
解析：$\because A C / /$ 平面 $E F G H$,

$\therefore E F / / A C, G H / / A C$,

$\therefore E F=H G=m \cdot \frac{B E}{B A}$,

同理 $E H=F G=n \cdot \frac{A E}{A B}$.

$\because$ 四边形 $E F G H$ 是菱形,
$\therefore m \cdot \frac{B E}{B A}=n \cdot \frac{A E}{A B}$,

$\therefore A E: E B=m: n$.
题目（高一 · 立体几何学）：考查下列两个命题, 在 “ \$ \qquad \$ ”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题(其中 $a 、 b$为不同的直线， $\alpha 、 \beta$ 为不重合的平面), 则此条件为 \$ \qquad \$
(1)


(2) $\left.\quad \begin{array}{l}a / / b \\ \end{array}\right\} \Rightarrow a / / \alpha$.
选项：
答案：$a \nmid \alpha \quad a \Varangle \alpha$
解析：根据线面平行的判定定理知, (1)处横线上应填 $a \nmid \alpha$; (2)处横线上应填 $a \Varangle \alpha$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示, 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $E$ 为 $D D_{1}$ 的中点, 则 $B D_{1}$ 与过点 $A, E, C$ 的平面的位置关系是 \$ \qquad \$


选项：
答案：平行
解析：, 连接 $B D$, 与 $A C$ 交于点 $O$, 连接 $O E$.

$\because O E$ 为 $\triangle B D D_{1}$ 的中位线, $\therefore B D_{1} / / O E$.

又 $B D_{1} \varangle$ 平面 $A E C, O E \subset$ 平面 $A E C$ ，

$\therefore B D_{1} / /$ 平面 $A E C$.
题目（高一 · 立体几何学）：过平面外一点, 与该平面平行的直线有条，如果直线 $m$ 平行于平面，那么在平面内有

条直线与直线 $m$ 平行.
选项：
答案：无数
解析：无数
题目（高一 · 立体几何学）：有一个长为 5 , 宽为 4 的矩形, 则其直观图的面积为

【答案】 $5 \sqrt{2}$ [由于该矩形的面积为 $S=5 \times 4=20$, 所以由公式 $S^{\prime}=\frac{\sqrt{2}}{4} S$, 得其直观图的面积为 $S^{\prime}$ $=\frac{\sqrt{2}}{4} S=5 \sqrt{2}$.]

#
选项：
答案：\sqrt{2}$ [由于该矩形的面积为 $S=5 \times 4=20$, 所以由公式 $S^{\prime}=\frac{\sqrt{2}}{4} S$, 得其直观图的面积为 $S^{\prime}$ $=\frac{\sqrt{2}}{4} S=5 \sqrt{2}$.]
解析：长为 5 , 宽为 4 的矩形, 则其直观图的面积为
题目（高一 · 计数）：(2021$\cdot$十三模拟) 从编号为 $1,2, \cdots, 88$ 的 88 个网站中采用系统抽样的方法抽取容量为 8 的样本, 所抽样本中有编号为 53 的网站, 则样本中网站的最小编号为 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：9 .
解析：解: 抽样间隔为 $\frac{88}{8}=11$, 则样本中比 53 小的网站编号有 $42,31,20$, 9, 故样本中网站最小编号为 9,

故答案为: 9 .
题目（高一 · 计数）：（2020 秋 - 永昌县校级期末）总体由编号为 $01,02,03, \cdots, 49,50$ 的 50 个个体组成, 利用随机数表（以下摘取了随机数表中第 31 行和第 32 行）选取 5 个个体, 选取方法是从随机数表第 31 行的第 9 列和第 10 列数字开始由左向右读取, 则选出的第 4 个个体的编号为 $\begin{array}{lllllllllllllllllllll}66 & 67 & 40 & 67 & 14 & 64 & 05 & 71 & 95 & 86 & 11 & 05 & 65 & 09 & 68 & 76 & 83 & 20 & 37 & 90 & 57\end{array}$ $\begin{array}{llllllllllllllllllll}16 & 0011 & 66 & 14 & 90 & 84 & 45 & 11 & 75 & 73 & 88 & 05 & 90 & 52 & 27 & 41 & 14 & 86 & 22 & 98\end{array}$ $\begin{array}{lllllll}12 & 22 & 08 & 0752 & 74 & 95 & 80\end{array}$
选项：
答案：09 .
解析：解: 选取方法是从随机数表第 31 行的第 9 列和第 10 列数字开始由左向右读取,

依次是: 14, 05, 11, 09,

则第四个数字为 09 .

故答案为: 09 .
题目（高一 · 计数）：（2020 秋・二道区校级期末）用系统抽样方法从 400 名学生中抽取容量为 20 的样本, 将 400 名学生随机地编号为 $1 \sim 400$, 按编号顺序平均分为 20 个组. 若第 1 组中用抽签的方法确定抽出的号码为 11 , 则第 17 组抽取的号码为 \$ \qquad \$。
选项：
答案：331 .
解析：解: 根据系统抽样, 抽出的号码构成以 11 为首项, 以 20 为公差的等差数列,故第 17 组抽取的号码为 $11+(17-1) \times 20=331$,

故答案为: 331 .
题目（高一 · 计数）：020 秋・涪城区校级期中）某个年级有男生 390 人，女生 210 人，现在用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为 20 的样本, 则此样本中女生人数为 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：7 .
解析：解：此样本中女生人数为 $20 \times \frac{210}{390+210}=7$ 人,

故答案为: 7 .
题目（高一 · 计数）：(2020 秋・海淀区期末) 在 “互联网 + ” 时代，国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合, 实现线上、线下融合式教学模式变革. 某校高一、高二和高三学生人数如图所示. 采用分层抽样的方法调查融合式教学模式的实施情况, 在抽取样本中, 高一学生有 16 人, 则该样本中的高三学生人数为


选项：
答案：12 .
解析：解: 根据直方图知, 抽样比例为 $\frac{16}{800}=\frac{1}{50}$,

所以应该抽取高三人数为 $600 \times \frac{1}{50}=12$ (人).

故答案为: 12 .
题目（高一 · 计数）：（2020$\cdot$广州二模）如表是某厂 2020 年 $1 \sim 4$ 月份用水量（单位: 百吨）的一组数据

|  月份 $x$  |  1   |  2   |  3   |  4   |
| :--------: | :--: | :--: | :--: | :--: |
| 用水量 $y$ | 2.5  |  3   |  4   | 4.5  |

由散点图可知, 用水量 $y$ 与月份 $x$ 之间有较明显的线性相关关系, 其线性回归方程是 $\hat{y}=b x+1.75$,预测 2020 年 6 月份该厂的用水量为百吨.
选项：
答案：5.95 .
解析：解: 由题意可知 $\bar{x}=\frac{1+2+3+4}{4}=2.5$,

$\bar{y}=\frac{2.5+3+4+4.5}{4}=3.5$; 线性回归方程是 $\hat{y}=\hat{b} x+1.75$, 经过样本中心, 所以 $3.5=2.5 \hat{b}+1.75$,

解得: $b=0.7$,

所以 $\hat{y}=0.7 x+1.75$,

$x=6$ 时, $\hat{y}=0.7 \times 6+1.75=5.95$ (百吨).

预测 2020 年 6 月份该厂的用水量为 5.95 百吨.

故答案为: 5.95 .
题目（高一 · 计数）：（2020 春・天河区期末）在一次考试中, 5 名学生的数学和物理成绩如表: 若学生的数学和物理成绩具有线性相关关系, 且其线性回归方程为 $\hat{y}=0.36 x+\hat{a}$, 则根据此线性回归方程估计数学得 100 分的同学的物理成绩为

| 学生的编号 $i$ |  1   |  2   |  3   |  4   |  5   |
| :------------- | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: |
| 数学成绩 $x$   |  80  |  75  |  70  |  65  |  60  |
| 物理成绩 $y$   |  70  |  66  |  68  |  64  |  62  |
选项：
答案：解: 由题意, $\bar{x}=70, \bar{y}=66$,

$\because y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y}=0.36 x+\hat{a}$,

根据线性回归方程必过样本的中心，

$\therefore 66=0.36 \times 70+\hat{a}, \quad \therefore \hat{a}=40.8$.

$\therefore$ 其线性回归方程为 $\hat{y}=0.36 x+40.8$,

当 $x=100$ 时, $y=76.8$.

故选: $B$.
解析：解: 由题意, $\bar{x}=70, \bar{y}=66$,

$\because y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y}=0.36 x+\hat{a}$,

根据线性回归方程必过样本的中心，

$\therefore 66=0.36 \times 70+\hat{a}, \quad \therefore \hat{a}=40.8$.

$\therefore$ 其线性回归方程为 $\hat{y}=0.36 x+40.8$,

当 $x=100$ 时, $y=76.8$.

故选: $B$.
题目（高一 · 计数）：（2020 秋・平城区校级期中）已知 $x$ 与 $y$ 之间的一组数据:

| $x$  |   1   |  3   |  5   |   7   |
| :--: | :---: | :--: | :--: | :---: |
| $y$  | $3 a$ |  7   |  9   | $5 a$ |

已求得关于 $y$ 与 $x$ 的线性回归方程 $y=1.2 x+3.2$, 则 $a$ 的值为
选项：
答案：2 .
解析：解: 由题意可得 $\bar{x}=\frac{1}{4}(1+3+5+7)=4$, 因为回归直线, 经过样本中心, 所以 $\bar{y}=1.2$ $\times 4+3.2=8$,
所以 $3 a+7+9+5 a=4 \times 8$, 解得 $a=2$,

故答案为: 2 .
题目（高一 · 计数）：（2021$\cdot$十二模拟）中国中医科学院首席科学家、2015 年诺贝尔生理学或医学奖获得者屠呦呦发
    现的青蒿素挽救了全球特别是发展中国家的数百万人的生命. 2019 年 10 月 22 日, 屠呦呦获得 2019 年度联合国教科文组织 - 赤道几内亚国际生命科学研究奖. 某科研机构为了了解某种药品的指标数据 $y$ 与百分比浓度 $p$ 之间的关系, 随机统计了某 5 次实验的相关数据, 并制作了如表:

| 百分比浓度 $p$ |  6   |  10  |  14  |  18  |  22  |
| :------------: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: |
|  指标数据 $y$  |  62  | $m$  |  44  |  28  |  14  |

由表中数据求得回归直线方程为 $\hat{y}=-3 p+82.2$, 则 $m=$ \$ \qquad \$ .
选项：
答案：53 .
解析：解: 由题意 $\bar{p}=\frac{22+18+14+10+6}{5}=14$,

$\bar{y}=\frac{14+28+44+m+62}{5}=\frac{148+m}{5}$, 所以样本中心为 $\left(14, \frac{148+m}{5}\right)$,

因为回归直线经过样本中心, 所以 $\frac{148+m}{5}=-3 \times 14+82.2$, 解得 $m=53$.

故答案为: 53 .
题目（高一 · 计数）：（2020 秋・南京期中）已知某品牌的新能源汽车的使用年限 $x$ （年）与维护费用 $y$ （千元）之间有如表数据:

|  使用年限 $x$ (年)  |  2   |  4   |  5   |  6   |  8   |
| :-----------------: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: |
| 维护费用 $y$ (千元) |  3   | 4.5  | 6.5  | 7.5  |  9   |

$x$ 与 $y$ 之间具有线性相关关系，且 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $y=1.05 x+a$ ( $a$ 为常数 $).$

据此估计，使用年限为 7 年时，维护费用约为 \$ \qquad \$千元.

(参考公式: 线性回归方程 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$ 中的系数 $\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}, \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}$ )
选项：
答案：8.2.
解析：解: $\bar{x}=\frac{2+4+5+6+8}{5}=5, \bar{y}=\frac{3+4.5+6.5+7.5+9}{5}=6.1$,

则样本点的中心的坐标为 $(5,6.1)$, 代入 $\hat{y}=1.05 x+a$,

得 $\hat{a}=6.1-1.05 \times 5=0.85$,

$\hat{\text { 则 }} \hat{y}=1.05 x+0.85$.

取 $x=7$, 可得 $\hat{y}=1.05 \times 7+0.85=8.2$.

$\therefore$ 使用年限为 7 年时, 维护费用约为 8.2 千元.

故答案为: 8.2.
题目（高一 · 计数）：（2020 春・天河区校级期中）两个线性相关变量 $x$ 与 $y$ 的统计数据如表:

| $x$  |  9   | 9.5  |  10  | 10.5 |  11  |
| :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: |
| $y$  |  11  |  10  |  8   |  6   |  5   |

其回归直线方程是 $y=b x+40$, 则相应于点 $(9,11)$ 的残差为 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：-0.2 .
解析：解: 由题意, $\bar{x}=\frac{9+8.5+10+10.5+11}{5}=10, \bar{y}=\frac{11+10+8+6+5}{5}=8$,

$\because$ 回归直线方程是 $\hat{y}=b x+40$,

$\therefore 8=10 b+40$,

$\therefore b=-3.2$,

$\therefore \hat{y}=-3.2 x+40$,

$x=9$ 时, $\hat{y}=11.2$,

$\therefore$ 相应于点 $(9,11)$ 的残差为 $11-11.2=-0.2$,

故答案为: -0.2 .
题目（高一 · 计数）：020$\cdot$天河区二模）已知 $x$ 与 $y$ 之间的一组数据:

| $x$  | 0    | 2    | 4    | 6     |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :---- |
| $y$  | $a$  | 3    | 5    | $3 a$ |

已求得关于 $y$ 与 $x$ 的线性回归方程 $y=1.2 x+0.55$, 则 $a$ 的值为 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：15 .
解析：$\bar{x}=3, \bar{y}=a+2$,

将 $(3, a+2)$ 带入方程得:

$a+2=3.6+0.55$, 解得: $a=2.15$,

故答案为: 2.15 .
题目（高一 · 计数）：（2019 秋・平谷区期末）某市准备引进优秀企业进行城市建设. 城市分别对甲地、乙地 5 个企业

（共 10 个企业）进行综合评估, 得分情况如茎叶图所示. 根据茎叶图, 可知甲地、乙地企业评估得分的平均值分别是 \$ \qquad \$ \$ \qquad \$ ；试比较甲地、乙地企业得分方差大小 \$ \qquad \$ .

| 甲地企业 |      |      |      | 地企业 |
| :------: | :--: | :--: | :--: | :----: |
|    5     |  3   |  9   |      |   9    |
|    9     |  6   |  8   |  4   |   8    |
|          |  7   |  7   |  1   |        |
选项：
答案：$88 、 88 ; s_{\text {甲 }}{ }^{2}<s_{z} z^{2}$.
解析：解: 由茎叶图知, 计算甲地企业评估得分的平均值为 $\overline{x_{\text {甲 }}}=\frac{1}{5} \times(77+86+89+93+95)=88$,乙地企业评估得分的平均值为 $\overline{x_{\text {乙 }}}=\frac{1}{5} \times(71+84+88+98+99)=88$;

甲地企业得分的方差为 $s_{\text {甲 }}{ }^{2}=\frac{1}{5} \times\left[(-11)^{2}+(-2)^{2}+1^{2}+5^{2}+10^{2}\right]=\frac{251}{5}$,

乙地企业得分的方差为 $z_{z}{ }^{2}=\frac{1}{5} \times\left[(-17)^{2}+(-4)^{2}+0^{2}+10^{2}+11^{2}\right]=\frac{514}{5}$,所以 $s_{\text {甲 }}{ }^{2}<s_{z}{ }^{2}$.

故答案为: $88 、 88 ; s_{\text {甲 }}{ }^{2}<s_{z} z^{2}$.
题目（高一 · 计数）：（2020 春・闵行区校级月考）假设一个随机数发生器一次只能从 1, 2, 3， , , 9 这九个数学中等可能地选一个数, 则该随机数发生器完成了 $n(n>1)$ 次选择后, 选出的 $n$ 个数的乘积能被 10 整除的概率为 \$ \qquad \$ (用含 $n$ 的代数式示).
选项：
答案：$1-\frac{8^{n}+5^{n}-4^{n}}{9^{n}}$.
解析：解：要便 $n$ 个数之积平衡车 10 整除, 必须有一个数是 5 , 有一个数是偶数, $n$ 次选择的方法总共有 $9^{n}$ 种, 其中:

$A$ 、每一次均不取 5 的取法, 有 $8^{n}$ 种,

$B 、$ 每一次均不取偶数的取法, 有 $5^{n}$ 种,

C、每一次均在 $\{1,3,7,9\}$ 中取数的方法有 $4^{n}$ 种,

由题意中 $C$ 中的取法既包含于 $A$ ，也包含于 $B$,

$\therefore$ 该随机数发生器完成了 $n(n>1)$ 次选择后, 选出的 $n$ 个数的乘积能被 10 整除的概率为:

$P=1-\frac{8^{n}+5^{n}-4^{n}}{9^{n}}$.

故答案为: $1-\frac{8^{n}+5^{n}-4^{n}}{9^{n}}$.
题目（高一 · 计数）：(2020 春・海珠区校级月考) 我校交通车分别在 6: 50, 7: 30 分两个班次从老校区发车到新校区,某老师在 6: 30 至 7: 30 之间到达老校区乘坐校车到新校区, 且到老校区的时刻是随机的, 则他等车时间不超过 15 分钟的概率是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$\frac{1}{2}$.
解析：解: 某老师在 6: 30 至 7: 30 之间到达发车站乘坐班车, 总时长为 60 分钟,设该老师到达时间为 $y$,

当 $y$ 在 6: 35 至 $6: 50$, 或 $7: 15$ 至 7: 30 时,

等车时间不超过 15 分钟的时长为 30 分钟,
由几何概型的公式得 $P=\frac{30}{60}=\frac{1}{2}$.

故答案为: $\frac{1}{2}$.
题目（高一 · 计数）：（2019 春・准安期末）若三个原件 $A, B, C$ 按照如图的方式连接成一个系统, 每个原件是否正常工作不受其他元件的影响, 当原件 $A$ 正常工作且 $B, C$ 中至少有一个正常工作时, 系统就正常工作，若原件 $A, B, C$ 正常工作的概率依次为 $0.7,0.8,0.9$, 则这个系统正常工作的概率为


选项：
答案：0.686 ;
解析：解：系统正常工作的情况分成两个步骤, $A$ 正常工作且 $B, C$ 至少有一个正常工作的情况,

$A$ 正常工作的概率为: 0.7 ;

$B, C$ 至少有一个正常工作的情况的概率为 1 减去 $B, C$ 都不正常工作的情况的概率,

即: $B, C$ 至少有一个正常工作的概率为: $1-(1-0.8)(1-0.9)=0.98$,

所以: 这个系统正常工作的概率为: $0.7 \times 0.98=0.686$;

故答案为: 0.686 ;
题目（高一 · 计数）：（2018 春・梅河口市校级期末）甲罐中有 5 个红球， 2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球， 3 个白球和 3 个黑球, 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐, 分别以 $A_{1}, A_{2}$ 和 $A_{3}$ 表示由甲罐取出的球是红球, 白球和黑球的事件; 再从乙罐中随机取出一球, 以 $B$ 表示由乙罐取出的球是红球的事件. 则下列结论中正确的是 \$ \qquad \$ (写出所有正确结论的编号).

(1) $P(B)=\frac{2}{5}$;

(2) $P\left(B \mid A_{1}\right)=\frac{5}{11}$;

(3)事件 $B$ 与事件 $A_{1}$ 相互独立;

(4) $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 是两两互斥的事件;

(5) $P(B)$ 的值不能确定, 因为它与 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 中究竟哪一个发生有关.
选项：
答案：(2)(4)
解析：解: 由题意 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 是两两互斥的事件, $P\left(A_{1}\right)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}, P\left(A_{2}\right)=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}, P$ $\left(A_{3}\right)=\frac{3}{10} ;$

$P\left(B \mid A_{1}\right)=\frac{P\left(A_{1}\right)}{P\left(A_{1}\right)}=\frac{\frac{1}{2} \times \frac{5}{11}}{\frac{1}{2}}=\frac{5}{11}$, 由此知, (2)正确;

$P\left(B \mid A_{2}\right)=\frac{4}{11}, P\left(B \mid A_{3}\right)=\frac{4}{11} ;$

而 $P(B)=P\left(A_{1} B\right)+P\left(A_{2} B\right)+P\left(A_{3} B\right)=P\left(A_{1}\right) P\left(B \mid A_{1}\right)+P\left(A_{2}\right) P\left(B \mid A_{2}\right)+P\left(A_{3}\right) P\left(B \mid A_{3}\right)$ $=\frac{1}{2} \times \frac{5}{11}+\frac{1}{5} \times \frac{4}{11}+\frac{3}{10} \times \frac{4}{11}=\frac{9}{22}$.

由此知(1)(3)(5)不正确;

$A_{1}, A_{2}, A_{3}$ 是两两互斥的事件, 由此知(4)正确;

对照四个命题知(2)(4)正确;

故正确的结论为: (2)(4)

故答案为: (2)(4)
题目（高一 · 计数）：（2017 秋・鹏江区校级期中）根据统计资料, 甲射击一次中靶的概率是 0.45 , 那么甲射击一次不中靶的概率为 \$ \qquad \$
选项：
答案：0.55 .
解析：解: $\because$ 甲射击一次中靶的概率是 0.45 ,

$\therefore$ 甲射击一次不中靶的概率为 $p=1-0.45=0.55$.

故答案为: 0.55 .
题目（高一 · 计数）：（2017 秋・兴庆区校级期中）为了了解参加运动会的 2000 名运动员的年龄情况, 从中抽取 100 名运动员; 就这个问题, 下列说法中正确的有 \$ \qquad \$ .

(1)每个运动员被抽到的概率不一定相等

(2)每个运动员是个体;

(3)抽取的 100 名运动员是一个样本;

(4)样本容量为 100 .
选项：
答案：(4).
解析：解: $\because 2000$ 名运动员的年龄情况是总体;

每个运动员的年龄情况是个体，

所抽取的 100 名运动员的年龄情况是一个样本，

样本容量为 100 ,

这个抽样方法可采用按年龄进行分层抽样，每个运动员被抽到的概率相等.

故答案为: (4).
题目（高一 · 计数）：017 秋・淄川区校级月考）从一堆产品（其中正品与次品都多于 2 件）中任取 2 件, 观察正品件数和次品件数. 则下列说法: (1)恰好有 1 件次品和恰好有 2 件次品是互斥事件; (2)至少有 1 件次品和全是次品是对立事件; (3)至少有 1 件正品和至少有 1 件次品是互斥事件但不是对立事件; (4)至少有 1 件次品和全是正品是互斥事件也是对立事件．其中正确的有 （写出所有正确说法的序号）.
选项：
答案：) (4)
解析：依据互斥事件的定义, 即事件 $A$ 与事件 $B$ 在一定试验中不会同时发生知:

(1)恰好有 1 件次品和恰好有 2 件次品不可能同时发生,

因此它们是互斥事件, 又因为它们的和并不是必然事件,
$\therefore$ 它们不是对立事件,

(2) $\because$ 至少有 1 件次品和全是次品都包含 2 件次品这一种结果,

$\therefore 2$ 个事件不是互斥事件, 也不是对立事件

(3)至少有 1 件正品和至少有 1 件次品,

$\because$ 前者表示一正一次和两正品, 后者包含一正一次和两个次品,

$\therefore 2$ 个事件不是互斥事件也不是对立事件.

(4)至少有 1 件次品和全是正品不可能同时发生而且至少有有一个发生, 且必有一个发生,所以是互斥事件也是对立事件.

故答案为: (1) (4)
题目（高一 · 计数）：（2018 秋・怀仁市校级期末）口袋里装有 1 红, 2 白, 3 黄共 6 个形状相同的小球, 从中取出 2 球,事件 $A=$ “取出的两球同色” , $B=$ “取出的 2 球中至少有一个黄球”,$C=$ “取出的 2 球至少有一个白球”,$D=$ “取出的两球不同色”, $E=$ “取出的 2 球中至多有一个白球” . 下列判断中正确的序号为 \$ \qquad \$ .

(1) $A$ 与 $D$ 为对立事件; (2) $B$ 与 $C$ 是互斥事件; (3) $C$ 与 $E$ 是对立事件: (4) $P(C \cup E)=1$; (5) $P$ (B) $=P(C)$.
选项：
答案：(1)(4).
解析：解: 口袋里装有 1 红, 2 白, 3 黄共 6 个形状相同的小球, 从中取出 2 球,事件 $A=$ “取出的两球同色” , $B=$ “取出的 2 球中至少有一个黄球” , $C=$ “取出的 2 球至少有一个白球” , $D=$ “取出的两球不同色” , $E=$ “取出的 2 球中至多有一个白球”。

在(1)中, $A$ 与 $D$ 为对立事件, 故(1)正确;

在(2)中, $B$ 与 $C$ 能同时发生, 不是互斥事件, 故(2)错误;

在(3)中, $C$ 与 $E$ 能同时发生, 不是对立事件, 故(3)错误:

在(4)中, $\because C \cup E=\Omega, \therefore P(C \cup E)=1$, 故(4)正确;
在(5)中, $P(B)=\frac{C_{3}^{1} C_{3}^{1}+C_{3}^{2}}{C_{6}^{2}}=\frac{4}{5}, P(C)=\frac{C_{2}^{1} C_{4}^{1}+C_{2}^{2}}{C_{6}^{2}}=\frac{3}{5}$. 故(5)错误.

故答案为: (1)(4).
题目（高一 · 计数）：（2020 秋-太和县校级月考）随着我国对新冠肺炎疫情的控制, 全国消费市场逐渐回暖, 某商场统计的人流量 $x$ (单位: 百人) 与销售额 $y$ （单位：万元）的数据表有部分污损，如表所示.

| $x$  |  2   |  3   |  4   |  5   |  6   |
| :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: |
| $y$  | 2.2  | 3.8  |      | 6.5  | 7.0  |

已知 $x$ 与 $y$ 具有线性相关关系, 且线性回归方程 $y=1.23 x+0.08$, 则表中污损数据应为
选项：
答案：5.5 .
解析：解：设表中污损数据为 $a$,

$\because \bar{x}=\frac{2+3+4+5+6}{5}=4$,

$\bar{y}=\frac{2.2+3.8+a+6.5+7.0}{5}=\frac{19.5+a}{5}$,

$\therefore$ 这组数据的样本中心点是 $\left(4, \frac{19.5+a}{5}\right)$,

$\because$ 回归方程 $y=1.23 x+0.08$,

把样本中心点代入得, $\frac{19.5+a}{5}=1.23 \times 4+0.08$,

可得 $a=5.5$.

故答案为: 5.5 .
题目（高一 · 计数）：（2020 秋・潍坊月考）为了解某社区居民的 2019 年家庭年收入与年支出的关系, 随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计数据表:

| 收入 $x($ 万元 $)$ | 8.2  | 8.6  | 10.0 | 11.3 | 11.9 |
| :----------------- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 支出 $y($ 万元 $)$ | 6.2  | 7.5  | 8.0  | $t$  | 9.8  |

根据上表可得回归直线方程 $y=0.76 x+0.4$, 则 $t=$
选项：
答案：8.5 .
解析：解: $\bar{x}=\frac{8.2+8.6+10+11.3+11.9}{5}=10 . \bar{y}=\frac{6.2+7.5+t+8.0+9.8}{5}=\frac{31.5+t}{5}$.

$\therefore$ 样本点的中心的坐标为 $\left(10, \frac{31.5+t}{5}\right)$.

代入 $y=0.76 x+0.4$, 得 $\frac{31.5+t}{5}=0.76 \times 10+0.4$

解得: $t=8.5$.
故答案为: 8.5 .
题目（高一 · 计数）：（2020 秋・鼓楼区校级月考）随着新冠肺炎疫情得到控制, 消费市场逐渐回暖, 某商场统计的客流量 $x$ (单位: 百人) 与销售额 $y$ (单位: 万元）的数据如表, 已知 $x$ 与 $y$ 具有线性相关关系, 且线性回归方程为 $\hat{y}=1.23 x+0.08$, 则表中的 $m$ 是

| $x$  |  2   |  3   |  4   |  5   |  6   |
| :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: |
| $y$  | 2.2  | 3.8  | $m$  | 6.5  | 7.0  |
选项：
答案：5.5 .
解析：解: 由题意, $\bar{x}=\frac{2+3+4+5+6}{5}=4, \bar{y}=\frac{2.2+3.8+m+6.5+7.0}{5}=\frac{19.5+m}{5}$,

$\because$ 线性回归方程为 $\hat{y}=1.23 x+0.08$,

根据线性回归方程必过样本的中心，

$\therefore \frac{19.5+m}{5}=1.23 \times 4+0.08$,

$\therefore m=5.5$.

故答案为: 5.5 .
题目（高一 · 计数）：（2018 秋・黄冈期末）一个车间为了规定工作原理, 需要确定加工零件所花费的时间, 为此进行了 5 次试验, 收集数据如下:

|     零件数 $x$ (个)      |  15  |  20  |  30  |  40  |  50  |
| :----------------------: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: |
| 加工时间 $y$ <br> (分钟) |  65  |  70  |  75  |  80  |  90  |

由表中数据, 求得线性回归方程 $y=0.66 x+a$, 则估计加工 70 个零件时间为分钟（精确到 $0.1)$.
选项：
答案：101.7 .
解析：解: $\bar{x}=\frac{15+20+30+40+50}{5}=31, \bar{y}=\frac{65+70+75+80+90}{5}=76$,

$\therefore 76=0.66 \times 31+\hat{a}$, 解得 $\hat{a}=55.54$,

$\therefore \hat{y}=0.66 x+55.54$,

$\therefore x=70$ 时, $y=101.7$,

故答案为: 101.7 .
题目（高一 · 计数）：（2018 秋-太原期末）如表记录了某公司投入广告费 $x$ 与销售额 $y$ 的统计结果，由表可得线性回归方程为 $y=b x+\hat{a}$, 据此方程预报当 $x=6$ 时, $y=$

| $x$  | 4    | 2    | 3    | 5    |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $y$  | 49   | 26   | 39   | 54   |

附: 参考公式: $\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n \overline{x y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-n \bar{x}^{2}}, \hat{a}=\bar{x}-\hat{b} \bar{x}$
选项：
答案：$65.5 \cdots$ (12 分)
解析：解: 根据表中数据, 计算 $\bar{x}=\frac{1}{4} \times(4+2+3+5)=3.5, \bar{y}=\frac{1}{4} \times(49+26+39+54)=42 ; \cdots$ (2 分)

$\sum_{i=1}^{4}\left(x_{i}-\bar{x}\right) \quad\left(y_{i}-\bar{y}\right)=(4-3.5)(49-42)+(2-3.5)(26-42)+(3-3.5)(39-42)+$

$(5-3.5)(54-42)=47$;

$\sum_{i=1}^{4}\left(x_{i}-\bar{x}\right) 2=(4-3.5)^{2}+(2-3.5)^{2}+(3-3.5)^{2}+(5-3.5)^{2}=5 ; \cdots$ (4 分)

$\therefore \hat{b}=\frac{47}{5}=9.4, \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}=42-9.4 \times 3.5=9.1 ; \cdots$ (6 分)

所以 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $y=9.4 x+9.1 ; \cdots$ (8 分)

当 $x=6$ 时, $y=9.4 \times 6+9.1=65.5$ 万元;

由此预测广告费用为 7 万元时销售额为 65.5 万元,

故答案为: $65.5 \cdots$ (12 分)
题目（高一 · 计数）：（2019$\cdot$乐山模拟）为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系, 随机调查了该社区 5 户家庭, 得到如下统计数据表:

| 收入 $x($ 万元 $)$ | 8.1  | 8.7  | 10.1 | 11.2 | 11.9 |
| :----------------- | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: |
| 支出 $y($ 万元 $)$ | 6.1  | 7.6  | 8.0  | 8.4  | 9.9  |

根据上表可得回归直线方程 $\hat{y}=0.76 x+\hat{a}, \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}$, 据此估计, 该社区一户收入为 20 万元家庭年支出为万元.
选项：
答案：15.6 .
解析：解: 由已知得 $\bar{x}=\frac{8.1+8.7+10.1+11.2+11.9}{5}=10, \bar{y}=\frac{6.1+7.6+8.0+8.4+9.9}{5}=8$,

故 $\hat{a}=8-0.76 \times 10=0.4$, 所以回归直线方程为: $\hat{y}=0.76 x+0.4$,

令 $x=20$, 解得 $y=0.76 \times 20+0.4=15.6$.
故答案为: 15.6 .
题目（高一 · 计数）：018 秋・哈尔滨期末) 已知 $x$ 与 $y$ 之间的一组数据如下, 且它们之间存在较好的线性关系.

| $x$  |  0   |    2    |   4   |   6   |
| :--: | :--: | :-----: | :---: | :---: |
| $y$  |  1   | $2 m+1$ | $2-m$ | $3-m$ |

则 $y$ 与 $x$ 的回归直线方程 $\hat{y}=b x+a$ 必过定点 \$ \qquad \$
选项：
答案：left(3, \frac{7}{4}\right)$.
解析：根据题意得, 回归直线过样本中心点

$\because \bar{x}=\frac{0+2+4+6}{4}=3, \bar{y}=\frac{1+2 m+1+2-m+3-m}{4}=\frac{7}{4}$

$\therefore y$ 与 $x$ 的回归直线方程 $y=b x+a$ 必过定点 $\left(3, \frac{7}{4}\right)$

故答案为: $\left(3, \frac{7}{4}\right)$.
题目（高一 · 计数）：（2020 秋・龙岩期中）具有线性相关关系的变量 $x 、 y$ 的一组数据如表所示, $y$ 与 $x$ 的回归直线方程为 $\hat{y}=\hat{b} x-1.5$, 则 $b^{\wedge}$ 的值为

| $x$  |  0   |  1   |
| :--: | :--: | :--: |
| $y$  |  -1  |  1   |
选项：
答案：3 .
解析：解: $\bar{x}=\frac{0+1+2+3}{4}=1.5, \bar{y}=\frac{-1+1+4+8}{4}=3$,

$\therefore$ 样本点的中心为 $(1.5,3)$,

代入 $\hat{y}=\hat{b} x-1.5$, 得 $3=\hat{b} \times 1.5-1.5$, 解得 $\hat{b}=3$.

故答案为: 3 .
题目（高一 · 计数）：（2020 秋 - 湖北期中）某电子商务公司对 200 名网络购物者 2020 年上半年的消费情况进行统计,发现消费金额（单位: 万元）都在区间[0.3, 0.9] , 其频率分布直方图如图所示．在这些购物者中，消费金额在区间 $[0.5,0.9]$ 内的购物者的人数为人.


选项：
答案：120 .
解析：解：由频率分布直方图得消费金额在区间[0.5, 0.9] 内的频率为:

1 - $(1.5+2.5) \times 0.1=0.6$.

$\therefore$ 消费金额在区间 $[0.5,0.9]$ 内的购物者的人数为:

$200 \times 0.6=120$ 人.

故答案为: 120 .
题目（高一 · 计数）：（2020 秋 -龙凤区校级月考）如下一组数据： $10,12,25,10,30,10,13$; 则该组数据的中位数与众数的差为
选项：
答案：2
解析：解：该组数据：排序为: $10,10,10,12,13,25,30$,

故中位数为 12 , 众数为 10 ,

所以该组数据的中位数与众数的差为 2 .

故答案为: 2
题目（高一 · 计数）：（2020 春-驻马店期末）水痘是一种传染性很强的病毒性疾病, 易在春天爆发. 市疾控中心为了调查某校高年级学生注射水症疫苗的人数, 在高一年级随机抽取 4 个班级, 每个班抽取的人数互不相同, 若把每个班级抽取的人数作为样本数据. 已知样本平均数为 6 , 样本方差为 5 , 则样本数据中的最小值是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：3
解析：解: 根据题意, 设样本数据从小到大依次为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$,

若样本数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 的平均数为 6 , 方差为 5 ,
则有 $\bar{x}=\frac{1}{4}\left(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\right)=6$, 即 $x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=24$, 又由每个班抽取的人数互不相同, 则有 $x_{1} \leqslant 4$ $s^{2}=\frac{1}{4}\left[\left(x_{1}-6\right)^{2}+\left(x_{2}-6\right)^{2}+\left(x_{3}-6\right)^{2}+\left(x_{4}-6\right)^{2}\right]=5$, 则有 $\left(x_{1}-6\right)^{2}+\left(x_{2}-6\right)^{2}+\left(x_{3}-6\right)$ ${ }^{2}+\left(x_{4}-6\right)^{2}=20$,

又由每个班抽取的人数互不相同, 则有 $\left(x_{1}-6\right)^{2} \leqslant 18$, 则有 $2 \leqslant x_{1}<6$则有 $2 \leqslant x_{1} \leqslant 4$,

若 $x_{1}=2$, 此时 $\left(x_{1}-6\right)^{2}=16$, 则有 $\left(x_{2}-6\right)^{2}+\left(x_{3}-6\right)^{2}+\left(x_{4}-6\right)^{2}=4$, 必有 $x_{2}=4, x_{3}=6$, $x_{4}=8$, 此时样本的平均数 $\bar{x}=\frac{2+4+6+8}{4}=5$, 不符合题意;

若 $x_{1}=4$, 此时 $x_{2}=5, x_{3}=6, x_{4}=7$, 此时样本的方差 $s^{2}=\frac{1}{4}\left[(5-6)^{2}+(6-6)^{2}+(7-6)^{2}+(8\right.$ - 6) $\left.{ }^{2}\right]=\frac{9}{4}$, 不符合题意;

若 $x_{1}=3$, 则有 $x_{2}+x_{3}+x_{4}=21,\left(x_{2}-6\right)^{2}+\left(x_{3}-6\right)^{2}+\left(x_{4}-6\right)^{2}=11$, 此时样本数据为 $3,5,7$, 9 , 符合题意;

故样本数据中的最小值是 3 ;

故答案为: 3
题目（高一 · 计数）：（2020 春 - 安徽期末）已知样本数据 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 的均值 $\bar{x}=3$, 则样本数据 $2 x_{1}+1,2 x_{2}+1, \cdots$,
    $2 x_{n}+1$ 的均值为
选项：
答案：7 .
解析：解: $\because$ 数据 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 的平均数为均值 $\bar{x}=3$,

则样本数据 $2 x_{1}+1,2 x_{2}+1, \cdots, 2 x_{n}+1$ 的均值为: $2 \bar{x}+1=3 \times 2+1=7$;

故答案为: 7 .
题目（高一 · 计数）：（2019 秋・大同期末）某次歌手大赛中, 有 10 名评委. 茎叶图（如图所示）是 10 名评委给甲、乙两位选手评定的成绩，则选手甲成绩的众数是 \$ \qquad \$ , 选手乙的中位数是 \$ \qquad \$

|   甲 |      | 乙    |
| ---: | :--- | :---- |
|   68 | 6    | 7     |
| 5465 | 7    | 8     |
|  754 | 8    | 12356 |
|    1 | 9    | 532   |
选项：
答案：75,84 .
解析：解: 由茎叶图可知, 甲的成绩中 75 出现两次, 为次数最多的数据,故甲的成绩的众数为 75 .

乙的成绩从上到下，按照从小到大的顺序得知中间两数据分别为 83,85 .

故乙的成绩的中位数为 $(83+85) \div 2=84$.

故答案为: 75,84 .
题目（高一 · 计数）：（2019 秋・武邑县校级月考）对某同学的 6 次物理测试成绩（满分 100 分）进行统计, 作出的茎叶图如图所示，给出关于该同学物理成绩的以下说法:

(1)中位数为 84 ;

(2)众数为 85 ;

(3)平均数为 85 ;

(4)极差为 12;

其中，正确说法的序号是 \$ \qquad \$

|      |      |      |      |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 7    | 8    |      |      |
| 8    | 3    | 3    | 5    |
| 9    | 1    | 0    |      |
选项：
答案：(1)(3).
解析：解: 6 个数分别为: $78,83,83,85,91,90$

可得中位数为 $\frac{83+85}{2}=84$, 故(1)正确;

(2)众数为 83 , 故错误;

(3)平均数为 85 , 正确;

(4)极差为 $91-78=13$, 故错误;

故答案为: (1)(3).
题目（高一 · 计数）：（2017 秋-翠屏区校级月考）检测 600 个某产品的质量（单位： $g$ ）, 得到的频率分布直方图中,前三组的长方形的高度成等差数列, 后三组对应的长方形的高度成公比为 0.5 的等比数列, 已知检测的质量在 100.5 - 105.5 之间的产品数为 150, 则质量在 115.5 - 120.5 的长方形高度为 \$ \qquad \$ .


选项：
答案：$\frac{1}{60}$

<ImageHere>
解析：解：因为检测的质量在 $100.5-105.5$ 之间的产品数为 150 , 所以第二组长方形的面积为
$\frac{150}{600}=0.25$, 高度为 $\frac{0.25}{5}=0.05$,

设前三组长方形的高度的公差为 $d$, 则第一组高度为 $0.05-d$, 第三组高度为 $0.05+d$, 第四组高度为 $0.5(0.05+d)$, 第五组高度为 $0.25(0.05+d)$,

因此 $[0.05-d+0.05+0.05+d+0.5(0.05+d)+0.25(0.05+d)] \times 5=1$, 解得 $d=\frac{1}{60}$,

故质量在 $115.5-120.5$ 的长方形高度为 $0.25\left(0.05+\frac{1}{60}\right)=\frac{1}{60}$

故答案为: $\frac{1}{60}$
题目（高一 · 计数）：018・山东模拟）在一批棉花中随机抽测了 500 根棉花纤维的长度（精确到 $1 \mathrm{~mm}$ ）作为样本,并绘制了如图所示的频率分布直方图, 由图可知, 样本中棉花红维的长度大于 $225 \mathrm{~mm}$ 的频数是 \$ \qquad \$


选项：
答案：5 .
解析：由频率分布直方图, 得:

样本中棉花红维的长度大于 $225 \mathrm{~mm}$ 的频率 $p=(0.0044+0.0050) \times 50=0.47$,

$\therefore$ 样本中棉花红维的长度大于 $225 \mathrm{~mm}$ 的频数是: $0.47 \times 500=235$.

故答案为: 235 .
题目（高一 · 计数）：（2018 春・沙坪坝区校级期末）某城市缺水问题比较突出, 为了制定节水管理办法, 对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查, 其中 4 位居民的月均用水量分别为 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$. 根据图 3 所示的程序框图, 若知 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ 分别为 $1,2,1.5,0.5$, 则输出的结果 $S$ 为
   
选项：
答案：$\frac{5}{4}$
解析：解：程序运行过程中，各变量值变化情况如下表：1, $2,1.5,0.5$

第一 $(i=1)$ 步: $s_{1}=s_{1}+x_{i}=0+1=1$

第二 $(i=2)$ 步: $s_{1}=s_{1}+x_{i}=1+2=3$

第三 $(i=3)$ 步: $s_{1}=s_{1}+X_{i}=3+1.5=4.5$

第四 $\left(i=4 ）\right.$ 步 $: s_{1}=s_{1}+x_{i}=4.5+0.5=5, s=\frac{1}{4} \times 5=\frac{5}{4}$

第五 $(i=5)$ 步: $i=5>4$, 输出 $s=\frac{5}{4}$

故答案为: $\frac{5}{4}$