题目（八年级 · 解析几何）：(15 分 ) 如图, 一次函数 $\mathrm{y}=-\mathrm{x}+\mathrm{b}$ 与反比例函数 $\mathrm{y}={ }^{\frac{k}{x}}(\mathrm{k} \neq 0)$ 的图象相交于 $\mathrm{A}(-1,4) 、 \mathrm{~B}(4$, $-1)$ 两点, 直线 $1 \perp \mathrm{x}$ 轴于点 $\mathrm{E}(-4,0)$, 与反比例函数和一次函数的图象分别相交于点 $\mathrm{C} 、 \mathrm{D}$,连接 $A C 、 B C$



(1) 求出 $\mathrm{b}$ 和 $\mathrm{k}$;

(2) 求证: $\triangle \mathrm{ACD}$ 是等腰直角三角形;

(3) 在 $\mathrm{y}$ 轴上是否存在点 $\mathrm{P}$, 使 $S_{\triangle P B C}=S_{\triangle A B C}$ ? 若存在, 请求出 $P$ 的坐标; 若不存在, 请说明理由.
选项：
答案： (1) 解: $\because$ 一次函数 $\mathrm{y}=-\mathrm{x}+\mathrm{b}$ 的图象经过点 $\mathrm{A}(-1,4)$

$\therefore-(-1)+b=4$,

即 $\mathrm{b}=3$ ，

又 $\because$ 反比例函数 $\mathrm{y}={ }^{\frac{k}{x}}(\mathrm{k} \neq 0)$ 的图象经过点 $\mathrm{A}(-1,4)$

$\therefore \mathrm{k}=\mathrm{xy}=(-1) \times 4=-4$

(2) 证明: $\because$ 直线 $1 \perp \mathrm{x}$ 轴于点 $\mathrm{E}(-4,0)$ 则直线 1 解析式为 $\mathrm{x}=-4$,

$\therefore$ 直线 $\mathrm{x}=-4$ 与一次函数 $\mathrm{y}=-\mathrm{x}+3$ 交于点 $\mathrm{D}$, 则 $\mathrm{D}(-4,7)$

直线 $\mathrm{x}=-4$ 与反比例函数 $\mathrm{y}=-^{\frac{4}{x}}$ 交于点 $\mathrm{C}$,

则 C $(-4,1)$

过点 $\mathrm{A}$ 作 $\mathrm{AF} \perp$ 直线 $\mathrm{l}$ 于点 $\mathrm{F}$,

$\because \mathrm{A}(-1,4), \mathrm{C}(-4,1), \mathrm{D}(-4,7)$

$\therefore \mathrm{CD}=6, \mathrm{AF}=3, \mathrm{DF}=3, \mathrm{FC}=3$

又 $\because \angle \mathrm{AFD}=\angle \mathrm{AFC}=90^{\circ}$,

由勾股定理得: $A C=A D=3 \sqrt{2}$

又 $\because \mathrm{AD}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=(3 \sqrt{2})^{2}+(3 \sqrt{2})^{2}=36$

$\mathrm{CD}^{2}=6^{2}=36$

$\therefore \mathrm{AD}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{CD}^{2}$

$\therefore$ 由勾股定理逆定理得： $\triangle A C D$ 是直角三角形,

又 $\because A D=A C$

$\therefore \triangle \mathrm{ACD}$ 是等腰直角三角形;

(3) 解：过点 $\mathrm{A}$ 作 $\mathrm{AP}_{1} / / \mathrm{BC}$, 交 $\mathrm{y}$ 轴于 $\mathrm{P}_{1}$,

<ImageHere>

则 $\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{PBC}}=\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{ABC}}$

$\because$ B $(4,-1)$, C $(-4,1)$

$\therefore$ 直线 $\mathrm{BC}$ 的解析式为 $\mathrm{y}=-^{\frac{1}{4}} \mathrm{x}$
$\because$ 设直线 $\mathrm{AP}_{1}$ 的解析式为 $\mathrm{y}=-^{\frac{1}{4}} \mathrm{x}+\mathrm{b}_{1}$, 把 $\mathrm{A}(-1,4)$ 代入可求 $\mathrm{b}_{1}={ }^{\frac{15}{4}}$,

<ImageHere>

$\therefore$ 作 $\mathrm{P}_{1}$ 关于 $\mathrm{x}$ 轴的对称点 $\mathrm{P}_{2}, \quad S_{\triangle P_{1} B C}=S_{\triangle P_{2} B C}=\mathrm{S}_{\triangle A B C}$,

故 $\mathrm{P}_{2}\left(0,-{ }^{\frac{15}{4}}\right)$;

<ImageHere>

【考点】待定系数法求一次函数解析式, 待定系数法求反比例函数解析式, 勾股定理, 等腰直角三角形

【解析】【分析】 (1) 利用待定系数法即可求解。

(2) 根据已知及点 $\mathrm{E}$ 的坐标易求出点 $\mathrm{C} 、 \mathrm{D}$ 的坐标, 因此可求出 $\mathrm{DC}$ 的长, 过点 $\mathrm{A}$ 作 $\mathrm{AF} \perp$ 直线 1 于点 $\mathrm{F}$, 即可求出 $\mathrm{AF}, \mathrm{DF}, \mathrm{FC}$ 的长, 根据垂直平分线的性质得出 $\mathrm{AC}=\mathrm{AD}$, 然后再证明 $\triangle \mathrm{ACD}$ 是直角三角形, 即可得出结论。

(3) 先求出直线 $\mathrm{BC}$ 的函数解析式, 再求出直线 $\mathrm{AP}_{1}$ 的解析式, 就可求出点 $\mathrm{P}_{1}$ 的坐标。作 $\mathrm{P}_{1}$ 关于 $\mathrm{x}$轴的对称点 $P_{2}$, 则 $S \triangle_{P 1 B C}=S \triangle_{P 2 B C}=S_{\triangle A B C}$, , 就可求出点 $P_{2}$ 的坐标。

<ImageHere>

(2) 解: 由观察图象可知, 当 $x>0$ 时, 不等式 ${ }^{\frac{3}{4}} x+b>{ }^{\frac{k}{x}}$ 的解集为: $x>1$;

(3) 解: 将点 $\mathrm{A}$ 的坐标代入 $\mathrm{y}_{2}={ }^{\frac{3}{4}} \mathrm{x}+\mathrm{b}$ 得, $3={ }^{\frac{3}{4}}+\mathrm{b}$, 解得: $\mathrm{b}={ }^{\frac{9}{4}}$,

$\mathrm{y}_{2}={ }^{\frac{3}{4}} \mathrm{x}^{+}{ }^{\frac{9}{4}}$, 令 $\mathrm{y}_{2}=0$, 则 $\mathrm{x}=-3$, 即点 C $(-3,0)$,

$y_{1}=-x+4$, 令 $y_{1}=0$, 则 $x=4$, 即点 $B(4,0)$, 则 $B C=7$,

所以 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的面积 $={ }^{\frac{21}{2}}$.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题

【解析】【分析】 (1) 将点 $\mathrm{A}$ 的坐标代入 $\mathrm{y}={ }^{\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}}}$, 即可求解;

(2) 观察图象, 找出一次函数 $\mathrm{y}_{2}={ }^{\frac{3}{4}} \mathrm{x}+\mathrm{b}$ 的图象在反比例函数的图象的上边部分相应的自变量的
取值范围即可;

(3) 将点 $\mathrm{A}$ 的坐标代入 $\mathrm{y}_{2}={ }^{\frac{3}{4}} \mathrm{x}+\mathrm{b}$ 得, 求出 $\mathrm{b}$ 的值, 即求出解析式 $\mathrm{y}_{2}$ 的解析式, 进而根据一次函数的图象与坐标轴交点的坐标特点即可求出点 $B$ 、点 $C$ 的坐标, 从而求出 $\triangle A B C$ 的面积.
解析： (1) 解: $\because$ 一次函数 $\mathrm{y}=-\mathrm{x}+\mathrm{b}$ 的图象经过点 $\mathrm{A}(-1,4)$

$\therefore-(-1)+b=4$,

即 $\mathrm{b}=3$ ，

又 $\because$ 反比例函数 $\mathrm{y}={ }^{\frac{k}{x}}(\mathrm{k} \neq 0)$ 的图象经过点 $\mathrm{A}(-1,4)$

$\therefore \mathrm{k}=\mathrm{xy}=(-1) \times 4=-4$

(2) 证明: $\because$ 直线 $1 \perp \mathrm{x}$ 轴于点 $\mathrm{E}(-4,0)$ 则直线 1 解析式为 $\mathrm{x}=-4$,

$\therefore$ 直线 $\mathrm{x}=-4$ 与一次函数 $\mathrm{y}=-\mathrm{x}+3$ 交于点 $\mathrm{D}$, 则 $\mathrm{D}(-4,7)$

直线 $\mathrm{x}=-4$ 与反比例函数 $\mathrm{y}=-^{\frac{4}{x}}$ 交于点 $\mathrm{C}$,

则 C $(-4,1)$

过点 $\mathrm{A}$ 作 $\mathrm{AF} \perp$ 直线 $\mathrm{l}$ 于点 $\mathrm{F}$,

$\because \mathrm{A}(-1,4), \mathrm{C}(-4,1), \mathrm{D}(-4,7)$

$\therefore \mathrm{CD}=6, \mathrm{AF}=3, \mathrm{DF}=3, \mathrm{FC}=3$

又 $\because \angle \mathrm{AFD}=\angle \mathrm{AFC}=90^{\circ}$,

由勾股定理得: $A C=A D=3 \sqrt{2}$

又 $\because \mathrm{AD}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=(3 \sqrt{2})^{2}+(3 \sqrt{2})^{2}=36$

$\mathrm{CD}^{2}=6^{2}=36$

$\therefore \mathrm{AD}^{2}+\mathrm{AC}^{2}=\mathrm{CD}^{2}$

$\therefore$ 由勾股定理逆定理得： $\triangle A C D$ 是直角三角形,

又 $\because A D=A C$

$\therefore \triangle \mathrm{ACD}$ 是等腰直角三角形;

(3) 解：过点 $\mathrm{A}$ 作 $\mathrm{AP}_{1} / / \mathrm{BC}$, 交 $\mathrm{y}$ 轴于 $\mathrm{P}_{1}$,



则 $\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{PBC}}=\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{ABC}}$

$\because$ B $(4,-1)$, C $(-4,1)$

$\therefore$ 直线 $\mathrm{BC}$ 的解析式为 $\mathrm{y}=-^{\frac{1}{4}} \mathrm{x}$
$\because$ 设直线 $\mathrm{AP}_{1}$ 的解析式为 $\mathrm{y}=-^{\frac{1}{4}} \mathrm{x}+\mathrm{b}_{1}$, 把 $\mathrm{A}(-1,4)$ 代入可求 $\mathrm{b}_{1}={ }^{\frac{15}{4}}$,



$\therefore$ 作 $\mathrm{P}_{1}$ 关于 $\mathrm{x}$ 轴的对称点 $\mathrm{P}_{2}, \quad S_{\triangle P_{1} B C}=S_{\triangle P_{2} B C}=\mathrm{S}_{\triangle A B C}$,

故 $\mathrm{P}_{2}\left(0,-{ }^{\frac{15}{4}}\right)$;



【考点】待定系数法求一次函数解析式, 待定系数法求反比例函数解析式, 勾股定理, 等腰直角三角形

【解析】【分析】 (1) 利用待定系数法即可求解。

(2) 根据已知及点 $\mathrm{E}$ 的坐标易求出点 $\mathrm{C} 、 \mathrm{D}$ 的坐标, 因此可求出 $\mathrm{DC}$ 的长, 过点 $\mathrm{A}$ 作 $\mathrm{AF} \perp$ 直线 1 于点 $\mathrm{F}$, 即可求出 $\mathrm{AF}, \mathrm{DF}, \mathrm{FC}$ 的长, 根据垂直平分线的性质得出 $\mathrm{AC}=\mathrm{AD}$, 然后再证明 $\triangle \mathrm{ACD}$ 是直角三角形, 即可得出结论。

(3) 先求出直线 $\mathrm{BC}$ 的函数解析式, 再求出直线 $\mathrm{AP}_{1}$ 的解析式, 就可求出点 $\mathrm{P}_{1}$ 的坐标。作 $\mathrm{P}_{1}$ 关于 $\mathrm{x}$轴的对称点 $P_{2}$, 则 $S \triangle_{P 1 B C}=S \triangle_{P 2 B C}=S_{\triangle A B C}$, , 就可求出点 $P_{2}$ 的坐标。



(2) 解: 由观察图象可知, 当 $x>0$ 时, 不等式 ${ }^{\frac{3}{4}} x+b>{ }^{\frac{k}{x}}$ 的解集为: $x>1$;

(3) 解: 将点 $\mathrm{A}$ 的坐标代入 $\mathrm{y}_{2}={ }^{\frac{3}{4}} \mathrm{x}+\mathrm{b}$ 得, $3={ }^{\frac{3}{4}}+\mathrm{b}$, 解得: $\mathrm{b}={ }^{\frac{9}{4}}$,

$\mathrm{y}_{2}={ }^{\frac{3}{4}} \mathrm{x}^{+}{ }^{\frac{9}{4}}$, 令 $\mathrm{y}_{2}=0$, 则 $\mathrm{x}=-3$, 即点 C $(-3,0)$,

$y_{1}=-x+4$, 令 $y_{1}=0$, 则 $x=4$, 即点 $B(4,0)$, 则 $B C=7$,

所以 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的面积 $={ }^{\frac{21}{2}}$.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题

【解析】【分析】 (1) 将点 $\mathrm{A}$ 的坐标代入 $\mathrm{y}={ }^{\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}}}$, 即可求解;

(2) 观察图象, 找出一次函数 $\mathrm{y}_{2}={ }^{\frac{3}{4}} \mathrm{x}+\mathrm{b}$ 的图象在反比例函数的图象的上边部分相应的自变量的
取值范围即可;

(3) 将点 $\mathrm{A}$ 的坐标代入 $\mathrm{y}_{2}={ }^{\frac{3}{4}} \mathrm{x}+\mathrm{b}$ 得, 求出 $\mathrm{b}$ 的值, 即求出解析式 $\mathrm{y}_{2}$ 的解析式, 进而根据一次函数的图象与坐标轴交点的坐标特点即可求出点 $B$ 、点 $C$ 的坐标, 从而求出 $\triangle A B C$ 的面积.