题目（七年级 · 度量几何学）：, 已知 $A M \| B N, \angle A=60^{\circ}$. 点 $P$ 是射线 $A M$ 上一动点 (与点 $A$ 不重合), $B C 、 B D$ 分别平分 $\angle A B P$ 和 $\angle P B N$, 分别交射线 $A M$ 于点 $C, D$.



(1) 求 $\angle C B D$ 的度数;

(2) 当点 $P$ 运动时, $\angle A P B$ 与 $\angle A D B$ 之间的数量关系是否随之发生变化? 若不变化, 请写出它们之间的关系, 并说明理由; 若变化, 请写出变化规律.

(3) 当点 $P$ 运动到使 $\angle A C B=\angle A B D$ 时, $\angle A B C$ 的度数是多少度? 请说明理由.
选项：
答案：(1) $\because A M \| B N$,

$\therefore \angle A+\angle A B N=180^{\circ}$,

$\because \angle A=60^{\circ}$,

$\therefore \angle A B N=120^{\circ}$,

$\because B C 、 B D$ 分别平分 $\angle A B P$ 和 $\angle P B N$,

$\therefore \angle C B P=\frac{1}{2} \angle A B P, \angle D B P=\frac{1}{2} \angle N B P$,

$\therefore \angle C B D=\frac{1}{2} \angle A B N=60^{\circ}$;

（2）不变化, $\angle A P B=2 \angle A D B$,
证明: : $A M \| B N$,

$\therefore \angle A P B=\angle P B N$,

$\angle A D B=\angle D B N$,

又 $\because B D$ 平分 $\angle P B N$,

$\therefore \angle P B N=2 \angle D B N$,

$\therefore \angle A P B=2 \angle A D B$

(3) $\because A D \| B N, \therefore \angle A C B=\angle C B N$,

又 $\because \angle A C B=\angle A B D$,

$\therefore \angle C B N=\angle A B D$,

$\therefore \angle A B C=\angle D B N$,

由 (1) 可得, $\angle C B D=60^{\circ}, \angle A B N=120^{\circ}$,

$\therefore \angle A B C=\frac{1}{2}\left(120^{\circ}-60^{\circ}\right)=30^{\circ}$.

【解析】本题主要考查了平行线的性质, 角平分线的性质的运用, 解决问题的关键是掌握: 两直线平行, 内错角相等.

(1) 先根据平行线的性质, 得出 $\angle A B N=120^{\circ}$, 再根据 $B C 、 B D$ 分别平分 $\angle A B P$ 和 $\angle P B N$, 即可得出 $\angle C B D$的度数;

（2）根据平行线的性质得出 $\angle A P B=\angle P B N, \angle A D B=\angle D B N$, 再根据 $B D$ 平分 $\angle P B N$, 即可得到 $\angle P B N=2 \angle D B N$ 进而得出 $\angle A P B=2 \angle A D B$;

(3) 根据 $\angle A C B=\angle C B N, \angle A C B=\angle A B D$, 得出 $\angle C B N=\angle A B D$, 进而得到 $\angle A B C=\angle D B N$, 根据 $\angle C B D=60^{\circ}$, $\angle A B N=120^{\circ}$, 可求得 $\angle A B C$ 的度数.
解析：(1) $\because A M \| B N$,

$\therefore \angle A+\angle A B N=180^{\circ}$,

$\because \angle A=60^{\circ}$,

$\therefore \angle A B N=120^{\circ}$,

$\because B C 、 B D$ 分别平分 $\angle A B P$ 和 $\angle P B N$,

$\therefore \angle C B P=\frac{1}{2} \angle A B P, \angle D B P=\frac{1}{2} \angle N B P$,

$\therefore \angle C B D=\frac{1}{2} \angle A B N=60^{\circ}$;

（2）不变化, $\angle A P B=2 \angle A D B$,
证明: : $A M \| B N$,

$\therefore \angle A P B=\angle P B N$,

$\angle A D B=\angle D B N$,

又 $\because B D$ 平分 $\angle P B N$,

$\therefore \angle P B N=2 \angle D B N$,

$\therefore \angle A P B=2 \angle A D B$

(3) $\because A D \| B N, \therefore \angle A C B=\angle C B N$,

又 $\because \angle A C B=\angle A B D$,

$\therefore \angle C B N=\angle A B D$,

$\therefore \angle A B C=\angle D B N$,

由 (1) 可得, $\angle C B D=60^{\circ}, \angle A B N=120^{\circ}$,

$\therefore \angle A B C=\frac{1}{2}\left(120^{\circ}-60^{\circ}\right)=30^{\circ}$.

【解析】本题主要考查了平行线的性质, 角平分线的性质的运用, 解决问题的关键是掌握: 两直线平行, 内错角相等.

(1) 先根据平行线的性质, 得出 $\angle A B N=120^{\circ}$, 再根据 $B C 、 B D$ 分别平分 $\angle A B P$ 和 $\angle P B N$, 即可得出 $\angle C B D$的度数;

（2）根据平行线的性质得出 $\angle A P B=\angle P B N, \angle A D B=\angle D B N$, 再根据 $B D$ 平分 $\angle P B N$, 即可得到 $\angle P B N=2 \angle D B N$ 进而得出 $\angle A P B=2 \angle A D B$;

(3) 根据 $\angle A C B=\angle C B N, \angle A C B=\angle A B D$, 得出 $\angle C B N=\angle A B D$, 进而得到 $\angle A B C=\angle D B N$, 根据 $\angle C B D=60^{\circ}$, $\angle A B N=120^{\circ}$, 可求得 $\angle A B C$ 的度数.