题目（八年级 · 解析几何）：如图, $\triangle A B C$ 是等边三角形, 点 $D$ 是边 $B C$ 上的一点, 以 $A D$ 为边作等边 $\triangle A D E$, 过点 $C$ 作 $C F / / D E$交 $A B$ 于点 $F$.



图(1)



图(2)

(1) 若点 $D$ 是 $B C$ 边的中点(如图 (1)), 求证: $E F=C D$;

(2)在(1)的条件下直接写出 $\triangle A E F$ 和 $\triangle A B C$ 的面积比;

(3)若点 $D$ 是 $B C$ 边上的任意一点(除 $B 、 C$ 外如图(2)), 那么(1)中的结论是否仍然成立? 若成立,请给出证明; 若不成立, 请说明理由.
选项：
答案：(1)证明: $\because \triangle A B C$ 是等边三角形, 点 $D$ 是 $B C$ 边的中点,
$\therefore B A=B C=C A, C D=\frac{1}{2} B C, \angle D A B=\angle D A C=30^{\circ}$,

$\because \triangle A D E$ 是等边三角形,

$\therefore \angle D A E=\angle A D E=60^{\circ}$,

$\therefore \angle E A B=\angle D A B=30^{\circ}$,

$\therefore \angle A N D=90^{\circ}$,

$\because C F / / D E$

$\therefore \angle C F B=\angle B N D=90^{\circ}$,

$\because C A=C B, \angle C F B=90^{\circ}$,

$\therefore B F=\frac{1}{2} A B, \angle B C F=30^{\circ}$,

$\therefore B F=C D$,

在 $\triangle A D C$ 和 $\triangle C F B$ 中,

$$
\left\{\begin{array}{l}
\angle D A C=\angle F C B \\
\angle A D C=\angle C F B \\
C D=B F
\end{array}\right.
$$

$\therefore \triangle A D C \cong \triangle C F B(A A S)$,

$\therefore A D=C F$,

$\therefore E D=C F$,

$\therefore$ 四边形 $E D C F$ 是平行四边形,

$\therefore E F=C D$

<ImageHere>

(2) 解：连接 $D F$,

易证 $A B$ 垂直平分 $E D$,

$\therefore E F=D F$,

在 $\triangle A F E$ 和 $\triangle A F D$ 中, $\left\{\begin{array}{l}A E=A D \\ E F=D F, \\ A F=A F\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A F E \cong \triangle A F D(S S S)$,
$\because$ 点 $D$ 是 $B C$ 边的中点,

$\therefore \triangle A D B$ 和 $\triangle A B C$ 的面积比 $1: 2$,

$\because$ 点 $F$ 是 $A B$ 边的中点,

$\therefore \triangle A D F$ 和 $\triangle A B D$ 的面积比 $1: 2$,

$\therefore \triangle A D F$ 和 $\triangle A B C$ 的面积比 $1: 4$,

$\therefore \triangle A E F$ 和 $\triangle A B C$ 的面积比 1：4;

(3)解: (1)中的结论仍然成立,

理由如下: $\because \triangle A D E$ 是等边三角形,

$\therefore \angle A D E=60^{\circ}$,

$\because \triangle A B C$ 是等边三角形,

$\therefore \angle B=\angle A C B=\angle B A C=60^{\circ}$,

$\therefore \angle E D B=180^{\circ}-\angle B-\angle A D E-\angle B A D=60^{\circ}-\angle B A D$,

$\because \angle B A C=60^{\circ}$,

$\therefore \angle D A C=60^{\circ}-\angle B A D$

$\therefore \angle E D B=\angle D A C$,

$\because C F / / D E$

$\therefore \angle F C B=\angle E D B$,

$\therefore \angle F C B=\angle D A C$,

在 $\triangle A D C$ 和 $\triangle C F B$ 中,

$$
\left\{\begin{array}{l}
\angle D A C=\angle F C B \\
A C=C B \\
\angle A C D=\angle B
\end{array}\right.
$$

$\therefore \triangle A D C \cong \triangle C F B(A S A)$,

$\therefore A D=C F$,

$\therefore E D=C F$,

$\therefore$ 四边形 $E D C F$ 是平行四边形,

$\therefore E F=C D$.
解析：(1)证明: $\because \triangle A B C$ 是等边三角形, 点 $D$ 是 $B C$ 边的中点,
$\therefore B A=B C=C A, C D=\frac{1}{2} B C, \angle D A B=\angle D A C=30^{\circ}$,

$\because \triangle A D E$ 是等边三角形,

$\therefore \angle D A E=\angle A D E=60^{\circ}$,

$\therefore \angle E A B=\angle D A B=30^{\circ}$,

$\therefore \angle A N D=90^{\circ}$,

$\because C F / / D E$

$\therefore \angle C F B=\angle B N D=90^{\circ}$,

$\because C A=C B, \angle C F B=90^{\circ}$,

$\therefore B F=\frac{1}{2} A B, \angle B C F=30^{\circ}$,

$\therefore B F=C D$,

在 $\triangle A D C$ 和 $\triangle C F B$ 中,

$$
\left\{\begin{array}{l}
\angle D A C=\angle F C B \\
\angle A D C=\angle C F B \\
C D=B F
\end{array}\right.
$$

$\therefore \triangle A D C \cong \triangle C F B(A A S)$,

$\therefore A D=C F$,

$\therefore E D=C F$,

$\therefore$ 四边形 $E D C F$ 是平行四边形,

$\therefore E F=C D$



(2) 解：连接 $D F$,

易证 $A B$ 垂直平分 $E D$,

$\therefore E F=D F$,

在 $\triangle A F E$ 和 $\triangle A F D$ 中, $\left\{\begin{array}{l}A E=A D \\ E F=D F, \\ A F=A F\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A F E \cong \triangle A F D(S S S)$,
$\because$ 点 $D$ 是 $B C$ 边的中点,

$\therefore \triangle A D B$ 和 $\triangle A B C$ 的面积比 $1: 2$,

$\because$ 点 $F$ 是 $A B$ 边的中点,

$\therefore \triangle A D F$ 和 $\triangle A B D$ 的面积比 $1: 2$,

$\therefore \triangle A D F$ 和 $\triangle A B C$ 的面积比 $1: 4$,

$\therefore \triangle A E F$ 和 $\triangle A B C$ 的面积比 1：4;

(3)解: (1)中的结论仍然成立,

理由如下: $\because \triangle A D E$ 是等边三角形,

$\therefore \angle A D E=60^{\circ}$,

$\because \triangle A B C$ 是等边三角形,

$\therefore \angle B=\angle A C B=\angle B A C=60^{\circ}$,

$\therefore \angle E D B=180^{\circ}-\angle B-\angle A D E-\angle B A D=60^{\circ}-\angle B A D$,

$\because \angle B A C=60^{\circ}$,

$\therefore \angle D A C=60^{\circ}-\angle B A D$

$\therefore \angle E D B=\angle D A C$,

$\because C F / / D E$

$\therefore \angle F C B=\angle E D B$,

$\therefore \angle F C B=\angle D A C$,

在 $\triangle A D C$ 和 $\triangle C F B$ 中,

$$
\left\{\begin{array}{l}
\angle D A C=\angle F C B \\
A C=C B \\
\angle A C D=\angle B
\end{array}\right.
$$

$\therefore \triangle A D C \cong \triangle C F B(A S A)$,

$\therefore A D=C F$,

$\therefore E D=C F$,

$\therefore$ 四边形 $E D C F$ 是平行四边形,

$\therefore E F=C D$.