题目（七年级 · 度量几何学）：如图, $A C / / B D, B C$ 平分 $\angle A B D$, 设 $\angle A C B$ 为 $\alpha$, 点 $E$ 是射线 $B C$ 上的一个动点.

(1)若 $\alpha=30^{\circ}$ 时, 且 $\angle B A E=\angle C A E$, 求 $\angle C A E$ 的度数;

(2)若点 $E$ 运动到 $l_{1}$ 上方, 且满足 $\angle B A E=100^{\circ}, \angle B A E: \angle C A E=5: 1$, 求 $a$ 的值;

(3)若 $\angle B A E: \angle C A E=n(n>1)$, 求 $\angle C A E$ 的度数(用含 $n$ 和 $\alpha$ 的代数式表示).


选项：
答案：解【答案】解: (1) $\because \alpha=30^{\circ}, A C / / B D$,

$\therefore \angle C B D=30^{\circ}$,

$\because B C$ 平分 $\angle A B D$,
$\therefore \angle A B E=\angle C B D=30^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C=180^{\circ}-\angle A B E-\alpha=180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=120^{\circ}$,

又 $\because \angle B A E=\angle C A E$,

$\therefore \angle C A E=\frac{1}{2} \angle B A C=\frac{1}{2} \times 120^{\circ}=60^{\circ}$;

（2)根据题意画图，如图1所示，

$\because \angle B A E=100^{\circ}, \angle B A E: \angle C A E=5: 1$,

$\therefore \angle C A E=20^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C=\angle B A E-\angle C A E=100^{\circ}-20^{\circ}=80^{\circ}$,

$\because A C / / B D$,

$\therefore \angle A B D=180^{\circ}-\angle B A C=100^{\circ}$,

又 $\because B C$ 平分 $\angle A B D$,

$\therefore \angle C B D=\frac{1}{2} \angle A B D=\frac{1}{2} \times 100^{\circ}=50^{\circ}$,

$\therefore \alpha=\angle C B D=50^{\circ}$;

(3)11如图2所示，

$\because A C / / B D$

$\therefore \angle C B D=\angle A C B=\alpha$,

$\because B C$ 平分 $\angle A B D$,

<ImageHere>

图 2

$\therefore \angle A B D=2 \angle C B D=2 \alpha$,

$\therefore \angle B A C=180^{\circ}-\angle A B D=180^{\circ}-2 \alpha$,

又 $\because \angle B A E: \angle C A E=n$,

$\therefore(\angle B A C+\angle C A E): \angle C A E=n$,

$\left(180^{\circ}-2 \alpha+\angle C A E\right): \angle C A E=n$,

解得 $\angle C A E=\frac{180^{\circ}-2 \alpha}{n-1}$;

(2)如图3所示,

$\because A C / / B D$,

$\therefore \angle C B D=\angle A C B=\alpha$,

$\because B C$ 平分 $\angle A B D$,

<ImageHere>

图 3

$\therefore \angle A B D=2 \angle C B D=2 \alpha$,

$\therefore \angle B A C=180^{\circ}-\angle A B D=180^{\circ}-2 \alpha$,

又 $\because \angle B A E: \angle C A E=n$,
$\therefore(\angle B A C-\angle C A E): \angle C A E=n$,

$\left(180^{\circ}-2 \alpha-\angle C A E\right): \angle C A E=n$,

解得 $\angle C A E=\frac{180^{\circ}-2 \alpha}{n+1}$.

综上 $\angle C A E$ 的度数为 $\frac{180^{\circ}-2 \alpha}{n-1}$ 或 $\frac{180^{\circ}-2 \alpha}{n+1}$.

【解析】(1)根据平行线的性质可得 $\angle C B D$ 的度数, 再根据角平分线的性质可得 $A B E$ 的度数, 应用三角形内角和计算 $\angle B A C$ 的度数, 由已知条件 $\angle B A E=\angle C A E$, 可计算出 $\angle C A E$ 的度数;

(2)根据题意画出图形, 先根据 $\angle B A E: \angle C A E=5: 1$ 可计算出 $\angle C A E$ 的度数, 由 $\angle B A E=$ $100^{\circ}$ 可计算出 $\angle B A C$ 的度数, 再根据平行线的性质和角平分线的性质, 计算出 $\angle C B D$ 的度数，即可得出结论;

(3)根据题意可分两种情况，

(1)若点 $E$ 运动到 $l_{1}$ 上方, 根据平行线的性质由 $\alpha$ 可计算出 $\angle C B D$ 的度数, 再根据角平分线的性质和平行线的性质, 计算出 $\angle B A C$ 的度数, 再 $\angle B A E: \angle C A E=n, \angle B A E=\angle B A C+$ $\angle C A E$, 列出等量关系求解即可等处结论;

(2)若点 $E$ 运动到 $l_{1}$ 下方, 根据平行线的性质由 $\alpha$ 可计算出 $\angle C B D$ 的度数, 再根据角平分线的性质和平行线的性质, 计算出 $\angle B A C$ 的度数, 再 $\angle B A E: \angle C A E=n, \angle B A E=\angle B A C-$ $\angle C A E$ 列出等量关系求解即可等处结论.

本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质, 两直线平行, 同位角相等.两直线平行,同旁内角互补. 两直线平行，内错角相等. 合理应用平行线的性质是解决本题的关键.
解析：解【答案】解: (1) $\because \alpha=30^{\circ}, A C / / B D$,

$\therefore \angle C B D=30^{\circ}$,

$\because B C$ 平分 $\angle A B D$,
$\therefore \angle A B E=\angle C B D=30^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C=180^{\circ}-\angle A B E-\alpha=180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=120^{\circ}$,

又 $\because \angle B A E=\angle C A E$,

$\therefore \angle C A E=\frac{1}{2} \angle B A C=\frac{1}{2} \times 120^{\circ}=60^{\circ}$;

（2)根据题意画图，如图1所示，

$\because \angle B A E=100^{\circ}, \angle B A E: \angle C A E=5: 1$,

$\therefore \angle C A E=20^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C=\angle B A E-\angle C A E=100^{\circ}-20^{\circ}=80^{\circ}$,

$\because A C / / B D$,

$\therefore \angle A B D=180^{\circ}-\angle B A C=100^{\circ}$,

又 $\because B C$ 平分 $\angle A B D$,

$\therefore \angle C B D=\frac{1}{2} \angle A B D=\frac{1}{2} \times 100^{\circ}=50^{\circ}$,

$\therefore \alpha=\angle C B D=50^{\circ}$;

(3)11如图2所示，

$\because A C / / B D$

$\therefore \angle C B D=\angle A C B=\alpha$,

$\because B C$ 平分 $\angle A B D$,



图 2

$\therefore \angle A B D=2 \angle C B D=2 \alpha$,

$\therefore \angle B A C=180^{\circ}-\angle A B D=180^{\circ}-2 \alpha$,

又 $\because \angle B A E: \angle C A E=n$,

$\therefore(\angle B A C+\angle C A E): \angle C A E=n$,

$\left(180^{\circ}-2 \alpha+\angle C A E\right): \angle C A E=n$,

解得 $\angle C A E=\frac{180^{\circ}-2 \alpha}{n-1}$;

(2)如图3所示,

$\because A C / / B D$,

$\therefore \angle C B D=\angle A C B=\alpha$,

$\because B C$ 平分 $\angle A B D$,



图 3

$\therefore \angle A B D=2 \angle C B D=2 \alpha$,

$\therefore \angle B A C=180^{\circ}-\angle A B D=180^{\circ}-2 \alpha$,

又 $\because \angle B A E: \angle C A E=n$,
$\therefore(\angle B A C-\angle C A E): \angle C A E=n$,

$\left(180^{\circ}-2 \alpha-\angle C A E\right): \angle C A E=n$,

解得 $\angle C A E=\frac{180^{\circ}-2 \alpha}{n+1}$.

综上 $\angle C A E$ 的度数为 $\frac{180^{\circ}-2 \alpha}{n-1}$ 或 $\frac{180^{\circ}-2 \alpha}{n+1}$.

【解析】(1)根据平行线的性质可得 $\angle C B D$ 的度数, 再根据角平分线的性质可得 $A B E$ 的度数, 应用三角形内角和计算 $\angle B A C$ 的度数, 由已知条件 $\angle B A E=\angle C A E$, 可计算出 $\angle C A E$ 的度数;

(2)根据题意画出图形, 先根据 $\angle B A E: \angle C A E=5: 1$ 可计算出 $\angle C A E$ 的度数, 由 $\angle B A E=$ $100^{\circ}$ 可计算出 $\angle B A C$ 的度数, 再根据平行线的性质和角平分线的性质, 计算出 $\angle C B D$ 的度数，即可得出结论;

(3)根据题意可分两种情况，

(1)若点 $E$ 运动到 $l_{1}$ 上方, 根据平行线的性质由 $\alpha$ 可计算出 $\angle C B D$ 的度数, 再根据角平分线的性质和平行线的性质, 计算出 $\angle B A C$ 的度数, 再 $\angle B A E: \angle C A E=n, \angle B A E=\angle B A C+$ $\angle C A E$, 列出等量关系求解即可等处结论;

(2)若点 $E$ 运动到 $l_{1}$ 下方, 根据平行线的性质由 $\alpha$ 可计算出 $\angle C B D$ 的度数, 再根据角平分线的性质和平行线的性质, 计算出 $\angle B A C$ 的度数, 再 $\angle B A E: \angle C A E=n, \angle B A E=\angle B A C-$ $\angle C A E$ 列出等量关系求解即可等处结论.

本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质, 两直线平行, 同位角相等.两直线平行,同旁内角互补. 两直线平行，内错角相等. 合理应用平行线的性质是解决本题的关键.