eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高三 · 算术）：25. 已知 $a_{n}=\frac{1}{n(n+1)}$, 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项的和记为 $S_{n}$.

（1）求 $S_{1}, S_{2}, S_{3}$ 的值，猜想 $S_{n}$ 的表达式;

答案: 解: $\because a_{n}=\frac{1}{n(n+1)}$

$\therefore S_{1}=a_{1}=\frac{1}{2}, \quad S_{2}=a_{1}+a_{2}=\frac{2}{3}, \quad S_{3}=a_{1}+a_{2}+a_{3}=\frac{3}{4}$

$\therefore$ 猜想 $S_{n}=\frac{n}{n+1}$.

（2）请用数学归纳法证明你的猜想.
选项：
答案：答案: 证明: (1) 当 $n=1$ 时, $S_{1}=a_{1}=\frac{1}{2}$, 猜想成立

(2) 假设当 $n=k$ 时, 猜想成立, 即: $S_{k}=\frac{k}{k+1}$.

当 $n=k+1$ 时, $S_{k+1}=S_{k}+a_{k+1}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}$

$=\frac{(k+1)^{2}}{(k+1)(k+2)}=\frac{k+1}{k+2}$.

$\therefore n=k+1$ 时猜想成立.

$\therefore$ 由 (1).(2)得 $S_{n}=\frac{n}{n+1}$ 得证.
解析：: 分析: 本题主要考查了数学归纳法, 解决问题的关键是 (1) 因为 $a_{n}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$, 所以可分别求出 $\mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \mathrm{a}_{3}$, 进而可求出 $\mathrm{S}_{1}, \mathrm{~S}_{2}, \mathrm{~S}_{3}$.(2) 根据 (1) 可猜想出 $S_{n}=\frac{n}{n+1}$, 然后利用数学归纳法证明时要分两个步骤: 一先验证: 当 $\mathrm{n}=1$ 时, 等式成立;二先假设 $n=k$ 时, 等式成立; 再证明当 $n=k+1$ 时, 等式也成立.在证明 $n=k+1$ 时, 一定要用上 $n=k$ 时的归纳假设, 否则证明无效.
题目（高三 · 算术）：23. 设计一个计算 $1 \times 3 \times 5 \times 7 \times \ldots \times 99$ 的算法, 并画出它的程序流程图.
选项：
答案：答案: 解: 算法:

第一步: $S=1$;

第二步: $\mathrm{i}=3$;

第三步: $S=S \times i$;

第四步: $i=\mathrm{i}+2$;

第五步：如果 $i \leq 99$, 那么转到第三步;

第六步: 输出 S.

算法流程图:（如图所示）

<ImageHere>
解析：: 分析: 本题主要考查了设计程序框图解决实际问题, 解决问题的关键是所给问题设计算法步骤, 然后根据算法步骤设计程序框图即可.
题目（高三 · 算术）：25. 利用两种循环写出 $1+2+3+\cdots+100$ 的算法, 并画出各自的流程图
选项：
答案：答案: 解: 直到型循环算法:

第一步: $\mathrm{S} \leftarrow 0$;

第二步: $\mathrm{I} \leftarrow 1$;

第三步: $\mathrm{S} \leftarrow \mathrm{S}+\mathrm{I}$;

第四步: $\mathrm{I} \leftarrow \mathrm{I}+1$;

第五步: 如果 I 不大于 100 , 转第三步; 否则, 输出 S.

相应的流程图如图甲所示.

<ImageHere>

当型循环算法如下:

S1 令 $\mathrm{i} \leftarrow 1, \mathrm{~S} \leftarrow 0$

$S 2$ 若 $\mathrm{i} \leqslant 100$ 成立，则执行 $\mathrm{S} 3$; 否则，输出 $\mathrm{S}$ ，结束算法

S3 $\mathrm{S} \leftarrow \mathrm{S}+\mathrm{i}$

S4 $\mathrm{i} \leftarrow \mathrm{i}+1$, 返回 S2

相应的流程图如图乙所示.
解析：: 分析: 本题主要考查了设计程序框图解决实际问题, 解决问题的关键是由已知中程序的功能为用循环结构计算 $1+2+3+\ldots+100$ 的值, 为累加运算, 且要反复累加 100 次, 可令循环变量的初值为 1 , 终值为 100 , 步长为 1 , 由此利用直到型循环算法和当型循环算法, 确定循环前和循环体中各语句, 得到相应的程序框图.
题目（高三 · 算术）：20. 已知 $f(n)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$. 经计算得 $f(4)>2, f(8)>\frac{5}{2}, f(16)>3, f(32)>\frac{7}{2}$.

（1）由上面数据, 试猜想出一个一般性结论;
选项：
答案：答案: 解: 由题意知, $f\left(2^{2}\right)>2=\frac{2+2}{2}, f\left(2^{3}\right)>\frac{5}{2}=\frac{3+2}{2} \ldots 1$ 分 $f\left(2^{4}\right)>3=\frac{4+2}{2}, f\left(2^{5}\right)>\frac{7}{2}=\frac{5+2}{2}$.

由此得到一般性结论: $f\left(2^{n+1}\right)>\frac{n+3}{2}$ (或者猜测 $f\left(2^{n}\right)>\frac{n+2}{2}(n \geq 2, n \in N)$ 也行)

（2）用数学归纳法证明你的猜想.

答案: 证明: (1) 当 $n=1$ 时, $f\left(2^{2}\right)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{25}{12}>\frac{4}{2}=\frac{1+3}{2}$, 所以结论成立

(2)假设 $n=k(k \geq 1, k \in N)$ 时, 结论成立, 即 $f\left(2^{k+1}\right)>\frac{k+3}{2}$

那么, $n=k+1$ 时, $f\left(2^{k+2}\right)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^{k+1}}+\frac{1}{2^{k+1}+1}+\frac{1}{2^{k+1}+2}+\cdots+\frac{1}{2^{k+2}}$

$>\frac{k+3}{2}+\frac{1}{2^{k+1}+1}+\frac{1}{2^{k+1}+2}+\cdots+\frac{1}{2^{k+2}}$

$>\frac{k+3}{2}+\frac{1}{2^{k+2}}+\frac{1}{2^{k+2}}+\cdots+\frac{1}{2^{k+2}}=\frac{k+3}{2}+\frac{2^{k+1}}{2^{k+2}}=\frac{k+1+3}{2}$

所以当 $n=k+1$ 时, 结论也成立.

综上所述，上述结论对 $n \geq 1, n \in N$ 都成立，所以猜想成立.
解析：: 分析: 本题主要考查了数学归纳法证明不等式, 解决问题的关键是根据 (1) 由归纳推理进行猜想; (2) 利用数学归纳法的步骤进行证明
题目（高三 · 算术）：25. 已知 $a_{i}>0(i=1,2, \cdots, n)$, 考查

(1) $a_{1} \cdot \frac{1}{a_{1}} \geq 1$;

(2) $\left(a_{1}+a_{2}\right)\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}\right) \geq 4$;

(3) $\left(a_{1}+a_{2}+a_{3}\right)\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{3}}\right) \geq 9$.

归纳出对 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}$ 都成立的类似不等式, 并用数学归纳法加以证明.
选项：
答案：答案: 解答: 归纳: $\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}\right)\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{n}}\right) \geq n^{2}$,

证明: (1)当 $n=1$ 时, 显然成立;

(2)假设当 $n=k$ 时, 不等式成立,

即 $\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}\right)\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{k}}\right) \geq k^{2}$,

则 $n=k+1$ 时,

$$
\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}+a_{k+1}\right)\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{k}}+\frac{1}{a_{k+1}}\right)
$$

$=\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}\right)\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{k}}\right)$

$+a_{k+1}\left(\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\cdots+\frac{1}{a_{k}}\right)+\frac{1}{a_{k+1}}\left(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{k}\right)+1$

$\geq k^{2}+\left(a_{k+1} \frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{k+1}} a_{1}\right)+\left(a_{k+1} \frac{1}{a_{2}}+\frac{1}{a_{k+1}} a_{2}\right)+\cdots+\left(a_{k+1} \frac{1}{a_{k}}+\frac{1}{a_{k+1}} a_{k}\right)+1$

$\geq k^{2}+2 k+1=(k+1)^{2}$

由(1)(2), 不等式对任意正整数 $n$ 成立.
解析：:分析:本题主要考查了数学归纳法证明不等式, 解决问题的关键是根据(1)用数学归纳法证明问题时首先要验证 $n=n_{0}$ 时成立, 注意 $n_{0}$ 不一定为 1;(2)在第二步中, 关键是要正确合理地运用归纳假设,尤其要弄清由 $\mathrm{k}$ 到 $\mathrm{k}+1$ 时命题的变化
题目（高三 · 算术）：\%$, 试解答下列问题,

(1) 写出该城市经过 $x$ 年后的人口总数关于 $x$ 的函数关系式;

(2) 用程序流程图表示计算 10 年以后该城市人口总数的算法;

（3）用程序流程图表示如下算法: 计算大约多少年以后该城市人口将达到 120 万人.
选项：
答案：A
解析：结构图如下:



故选 A.

2. 答案：C

【解析】流程线的作用就是连结程序框图, 实现一个算法的步骤到另一个算法的步骤的连接.

$\therefore$ 一个算法的步骤到另一个算法的步骤的连接用流程线连接, 故选 C.

3. 答案：B

【解析】由结构图的特征可知，“环”形结构具有表达逻辑先后关系的功能，故选 B.

4. 答案：B

【解析】根据题意, 观察流程图,

可知报销办公用品的经费, 流程走右边的分支,

需要采购整理票据并签字、后勤部门审核签字、财务总监审核签字、总经理审核签字共四道签字过程，

所以需要签字的次数为 4 次, 故选 B.

5. 答案：B

【解析】根据结构图得：“古典概型”的“上位”要素为“随机事件”，本题选 B.

6. 答案：D

【解析】方案 A. 立项一派出调研人员先后赴广州、北京、上海调研, 待调研人员回来后决定生产数量;方案 B. 立项一派出调研人员先齐头并进赴广州、北京调研, 结束再赴上海调研, 待调研人员回来后决定生产数量;

方案 C. 立项 $\rightarrow$ 派出调研人员先赴上海调研, 结束后再齐头并进赴广州、北京调研, 待调研人员回来后决定生产数量;

方案 D．立项 $\rightarrow$ 派出调研人员齐头并进赴三地搞调研，以便提早结束调研，尽早投产，通过四种方案的比较, 方案 D 更为可取, 故选 D

7. 答案：A

【解析】组装工序可以通过三个方案分别完成：

$$
\begin{aligned}
& A \rightarrow B \rightarrow E \rightarrow F \rightarrow G, \text { 需要 } 2+4+4+2=12 \text { (小时); } \\
& A \rightarrow E \rightarrow F \rightarrow G, \text { 需要 } 5+4+2=11 \text { (小时); } \\
& A \rightarrow C \rightarrow D \rightarrow F \rightarrow G, \text { 需要 } 3+4+4+2=13 \text { (小时), }
\end{aligned}
$$

因此组装该产品所需要的最短时间是 11 小时, 故选 A.

8. 答案：A

【解析】 $A_{1}=76, i=1, i \leq 16$ 成立, $A_{1} \geq 90$ 不成立, $i=1+1=2$; $A_{2}=79, i=2, i \leq 16$ 成立, $A_{2} \geq 90$ 不成立, $i=2+1=3$;

L;

$A_{7}=92, i=7, i \leq 16$ 成立, $A_{7} \geq 90$ 成立, $n=0+1=1, i=7+1=8$

L ,

依此类推, 上述程序框图是统计成绩不低于 90 分的学生人数, 从茎叶图中可知, 不低于90 分的学生数为 10 , 故选 A.

9. 答案：A

【解析】根据学校教职成员、教师、后勤人员、理科教师、文科教师的包含关系确定结构图为 A. 选 A.

10. 答案：A

【解析】复数可分为实数与虚数, 实数可分为有理数与无理数,

故(1)(2)中分别填无理数、虚数, 故选 A.

11. 答案：D

【解析】根据题意知, 工程设计分为土建设计与设备采购两个部分;

拆迁和土建设计进行完才能进行厂房建设，

厂房建设和设备采购进行完才能进行设备安装,

进行设备调试, 最后才能进行试生产;

所以，上述过程的工序流程图是设备采购 $\rightarrow$ 土建设计 $\rightarrow$ 厂房建设 $\rightarrow$ 设备安装 $\rightarrow$ 设备调试 $\rightarrow$ 试生产.

正确的工序流程图如图所示，故选 D.



12. 答案：C

【解析】第一次循环： $S=1$, 不满足条件, $i=2$ ；

第二次循环： $S=3$ ，不满足条件， $i=3$ ；

第三次循环： $S=6$ ，不满足条件， $i=4$ ，

第四次循环： $S=10$ ，不满足条件， $i=5$ ；

第五次循环： $S=15$, 不满足条件, $i=6$ ，

第六次循环： $S=21$, 不满足条件, $i=7$

第七次循环： $S=28$ ，满足条件，输出的值为 7,

所以判断框中的条件可填写“ $S \geq 28$ ”，故选 C.



13. 答案：(3)

【解析】选项(1)中所示的图为频率分布直方图，选项(2)中所示的图为路径图，选项(3)中所示的图为流程

图，选项(4)中所示的图为结构图.

故答案为(3)

14. 答案：3

【解析】影响“计划”的要素是它的 3 个“上位要素”: 政府行为、策划部、社会需求, 故“计划”受影响的主要要素有 3 个.

故答案为 3 .

15. 答案:流程图

【解析】该图表述的是动态过程，应填“流程图”。
题目（高三 · 算术）：(10 分) 按照下面的流程图操作, 将得到怎样的数集?


选项：
答案：答案: $\{1,4,9,16,25,36,49,64,81,100\}
解析：答案: $\{1,4,9,16,25,36,49,64,81,100\}$.

【解析】按照流程图操作, 可以得到下面的 10 个数

$1+3=4$

$4+(3+2)=4+5=9$

$9+(5+2)=9+7=16$,

$16+(7+2)=16+9=25$

$25+(9+2)=25+11=36$

$36+(11+2)=36+13=49$,

$49+(13+2)=49+15=64$,

$64+(15+2)=64+17=81$,

$81+(17+2)=81+19=100$

这样, 可以得到数集 $\{1,4,9,16,25,36,49,64,81,100\}$.18. 答案:见解析。

【解析】该工会的组织结构图如图所示:



19. 答案：见解析.

【解析】由题意得账单共包括四个部分的内容，即客户基本信息、费用、积分和缴费记录，再结合每个部分包含的内容刻画出账单结构图如下图所示:



20. 答案：(1) 程序框图见解析；（2）7.

【解析】(1) 画出满足条件的程序框图如下,



(2) 根据程序框图计算 $1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6=720<10000$,

$1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7=5040<10000$

$1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8=40320 \geq 10000$

所以不等式成立的最大正整数 $n=7$.

21. 答案：见解析.


第一步: 输入物品重量 $\boldsymbol{\omega}$

第二步：如果 $\omega \leq 50$ ，那么 $f=0.53 \omega ，$

否则, $f=50 \times 0.53+(\omega-50) \times 0.85$

第三步: 输出物品重量 $\omega$ 和托运费 $f$.

程序框图如下:



22. 答案：(1) $y=100(1+1.2 \%)^{x}(x \in \mathbb{N})$; (2) 见解析; (3) 见解析.

【解析】(1)一年后, 该城市的人口数为 $100 \times(1+1.2 \%)$;

二年后，该城市的人口数为 $100 \times(1+1.2 \%)^{2}$;

$\cdots$

$x$ 年后，该城市的人口数为 $100 \times(1+1.2 \%)^{n}$

因此，该城市经过 $x$ 年后的人口总数关于 $x$ 的函数关系式为 $y=100(1+1.2 \%)^{x}(x \in \mathbf{N})$.

（2）程序框图如下图所示:



(3) 程序框图如下图所示:
题目（高三 · 算术）：（12 分）某快递公司规定甲、乙两地之间物品的托运费用根据下列方法计算，

$f=\left\{\begin{array}{l}
选项：
答案：见解析.
解析：第一步: 输入物品重量 $oldsymbol{\omega}$第二步：如果 $\omega \leq 50$ ，那么 $f=0.53 \omega ，$否则, $f=50 	imes 0.53+(\omega-50) 	imes 0.85$第三步: 输出物品重量 $\omega$ 和托运费 $f$.程序框图如下:
题目（高三 · 算术）：(12 分）某城市现有人口总数为 100 万人, 如果年自然增长率为 $
选项：
答案：$y=100(1+1.2 \%)^{x}(x \in \mathbb{N})$; (2) 见解析; (3) 见解析.
解析：(1)一年后, 该城市的人口数为 $100 	imes(1+1.2 \%)$;二年后，该城市的人口数为 $100 	imes(1+1.2 \%)^{2}$;$\cdots$$x$ 年后，该城市的人口数为 $100 	imes(1+1.2 \%)^{n}$因此，该城市经过 $x$ 年后的人口总数关于 $x$ 的函数关系式为 $y=100(1+1.2 \%)^{x}(x \in \mathbf{N})$.（2）程序框图如下图所示:(3) 程序框图如下图所示:
题目（高三 · 算术）：求 $\int_{-2}^{2}\left(x^{2} \sin x+e^{x}\right) d x$ 的值.
选项：
答案： $ecause y=x^{2} \sin x$ 为奇函数,$	herefore \int_{-2}^{2}\left(x^{2} \sin xight) d x=0$$	herefore \int_{-2}^{2}\left(x^{2} \sin x+e^{x}ight) d x=\int_{-2}^{2} e^{x} d x=\left.e^{x}ight|_{-2} ^{2}=e^{2}-rac{1}{e^{2}}$分析】根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性，结合定积分的几何意义及微积分基本定理，即可求出定积分的值.
题目（高三 · 算术）：已知函数 $f(x)=\ln x \mid(x \neq 0)$, 函数 $g(x)=\frac{1}{f^{\prime}(x)}+a f^{\prime}(x)(x \neq 0)$,

(1) 当 $x \neq 0$ 时, 求函数 $y=g(x)$ 的表达式;

(2) 若 $a>0$ 时, 函数 $y=g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的最小值是 2 , 求 $\mathrm{a}$ 的值;

(3) 在 (2) 的条件下, 求直线 $y=\frac{2}{3} x+\frac{6}{7}$ 与函数 $y=g(x)$ 的图象所围成图形的面积。
选项：
答案：(1) 【解析】 $ecause f(x)=\ln |x|$,$	herefore$ 当 $x>0$ 时, $f(x)=\ln x$; 当 $x<0$ 时, $f(x)=\ln (-x)$$	herefore$ 当 $x>0$ 时, $f^{\prime}(x)=rac{1}{x}$; 当 $x<0$ 时, $f^{\prime}(x)=rac{1}{-x} \cdot(-1)=rac{1}{x}$.$	herefore$ 当 $x 
eq 0$ 时,函数 $y=g(x)=x+rac{a}{x}$;(2) 【解析】 $ecause$ 由(1)知当 $x>0$ 时, $g(x)=x+rac{a}{x}$,$	herefore$ 当 $a>0, x>0$ 时, $g(x) \geq 2 \sqrt{a}$ 当且仅当 $x=\sqrt{a}$ 时取等号.$	herefore$ 函数 $y=g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的最小值是 $2 \sqrt{a}, 	herefore$ 依题意得 $2 \sqrt{a}=2 	herefore a=1$(3) 【解析】由 $\left\{egin{array}{l}y=rac{2}{3} x+rac{7}{6} \ y=x+rac{1}{x}\end{array}ight.$ 解得 $\left\{egin{array}{l}x_{1}=rac{3}{2} \ y_{1}=rac{13}{6}\end{array},\left\{egin{array}{l}x_{2}=2 \ y_{2}=rac{5}{2}\end{array}ight.ight.$$	herefore$ 直线 $y=rac{2}{3} x+rac{7}{6}$ 与函数 $y=g(x)$ 的图象所围成图形的面积,$S=\int rac{2}{2}\left[\left(rac{2}{3} x+rac{7}{6}ight)-\left(x+rac{1}{x}ight)ight] d x=rac{7}{24}-{ }_{\ln } rac{3}{4}$.【分析】(1) 对 $\mathrm{x}$ 进行分类讨论, 得出分段函数 $f(x)$, 再对分段函数 $f(x)$ 求导代入 $\mathrm{y}=\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 的表达式中, 从而求出当 $\mathrm{x} 
eq 0$ 时, 函数 $\mathrm{y}=\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 的表达式。(2) 利用均值不等式求出函数 $y=g(x)$ 当 $a>0$ 时, 在 $(0,+\infty)$ 上的最小值, 再根据 $a>0$ 时,函数 $y=g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上的最小值是 2 , 求出 $a$ 的值。(3) 利用 (2) 问求出的 $\mathrm{a}$ 的值代入函数 $y=g(x)$ 中, 得出函数 $y=g(x)$ 解析式, 在联立直线 $y=rac{2}{3} x+rac{6}{7}$ 和曲线 $\mathrm{y}=\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 方程得出二者的两个交点的坐标, 再根据两个交点的横坐标 $x_{1}, x_{2}$ 确定所求的定积分区间, 再利用定积分求面积公式 $S=\int_{a}^{b}(h(x)-g(x)) \mathrm{d} x$, 求出直线 $y=rac{2}{3} x+rac{6}{7}$ 与函数 $\mathrm{y}=\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 的图象所围成图形的面积.
题目（高三 · 算术）：在复平面上,一个正方形的三个顶点对应的复数分别为 $\frac{3+i}{1-i},-2+i, 0$, 则第四个顶点对应的复数为
选项：
答案：答案: $-1+3 \mathrm{i}$
解析：答案: $-1+3 \mathrm{i}$

解析: $\frac{3+i}{1-i}=\frac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+4 i}{2}=1+2 i$, 设复数 $z_{1}=1+2 i, z_{2}=-2+i, z_{3}=0$, 它们在复平面上的对应点

分别是 $A, B, C$, 所以 $A(1,2), B(-2,1), C(0,0)$, 设正方形的第四个顶点对应的坐标是 $D(x, y)$, 所以

$\stackrel{\text { 'MA }}{A D}=\stackrel{\text { “a }}{C D}$, 所以 $(x-1, y-2)=(-2,1)$, 所以 $x-1=-2, y-2=1$, 所以 $x=-1, y=3$ 。8. 答案: (1)若表示纯虚数,

则 $\left\{\begin{array}{c}2 m^{2}-3 m-2=0 \\ m^{2}-2 m \neq 0\end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{l}m=2 \text { 或 } m=-\frac{1}{2} \\ m \neq 0 \text { 且 } m \neq 2\end{array}\right.$, 得 $m=-\frac{1}{2}$

(2)若表示的点位于第三象限。

则 $\left\{\begin{array}{c}2 m^{2}-3 m-2<0 \\ m^{2}-2 m<0\end{array}\right.$, 得 $\left\{\begin{array}{c}-\frac{1}{2}<m<2 \\ 0<m<2\end{array} \therefore 0<m<2\right.$.
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题目（高三 · 立体几何学）：19. 已知空间点 $P$ 的直角坐标为 $(4 \sqrt{3}, 4,3)$ 求它的柱坐标.
选项：
答案：答案: 解: 由公式 $\left\{\begin{array}{c}x=\rho \cos \theta, \\ y=\rho \sin \theta, \\ z=z,\end{array}\right.$, 得 $\rho^{2}=x^{2}+y^{2}, z=3$.

$\therefore \rho^{2}=(4 \sqrt{3})^{2}+(4)^{2}=48+16=64$,

$\therefore \rho=8$.

$\tan \theta=\frac{y}{x}=\frac{4 \sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}$,

又 $x>0, y>0$, 点在第一象限.

$\therefore \theta=\frac{\pi}{3}$

$\therefore$ 点 $P$ 的柱坐标为 $\left(8, \frac{\pi}{3}, 3\right)$.
解析：: 分析: 本题主要考查柱坐标刻画点的位置,解答此题需要明确各坐标的意义, 然后将其代入相应公式即可解决. 已知点的直角坐标, 确定它的柱坐标的关键是确定 $\rho$ 和 $\theta$, 尤其是 $\theta$,要注意求出 $\tan \theta$ 还要根据点 $P$ 所在的象限确定 $\theta$ 的值 $(\theta$ 的范围是 $[0,2 \pi)$ ).
题目（高三 · 立体几何学）：20. 给定一个底面半径为 2 , 高为 2 的圆柱, 建立柱坐标系, 利用柱坐标系描述圆柱侧面以及底面上点的坐标.
选项：
答案：答案: 解: 以圆柱底面圆的圆心为原点, 取两条互相垂直的直线为 $x$ 轴 $y$ 轴, 以向上的中轴线为 $z$ 轴正方向建立柱坐标系.

<ImageHere>

下底面上的点的柱坐标满足 $\left(\rho_{1}, \theta_{1}, 0\right)$, 其中 $0 \leq \rho_{1} \leq 2,0 \leq \theta_{1}<2 \pi$.

上底面上的点的柱坐标满足 $\left(\rho_{2}, \theta_{2}, 2\right)$, 其中 $0 \leq \rho_{2} \leq 2,0 \leq \theta_{2}<2 \pi$.

侧面上的点的柱坐标满足 $\left(2, \theta_{3}, z\right)$, 其中 $0 \leq \theta_{3}<2 \pi, 0 \leq z \leq 2$.
解析：：分析：本题考查柱坐标系的建法以及柱坐标的确定方法.解答本题需要建立恰当的柱坐标系,然后根据柱坐标的定义解决相关问题.
题目（高三 · 立体几何学）：9. 用两平行面去截球, 如图, 在两个截面圆上有两个点, 它们的球坐标分别为 $A\left(8, \frac{\pi}{4}, \theta_{A}\right)$, $B\left(8, \frac{3}{4} \pi, \theta_{E}\right)$, 求出这两个截面间的距离.


选项：
答案：答案: 解: 由已知, $O A=O B=8, \angle A O O_{1}=\frac{\pi}{4}, \angle B O O_{1}=\frac{3 \pi}{4}$,

$\therefore$ 在 $\triangle A O O_{1}$ 中, $O O_{1}=4 \sqrt{2}$.

在 $\triangle B O O O_{2}$ 中, $\angle B O O_{2}=\frac{\pi}{4}, O B=8$,

$\therefore O O_{2}=4 \sqrt{2}$, 则 $O_{1} O_{2}=O O_{1}+O O_{2}=8 \sqrt{2}$.

即两个截面间的距离 $O_{1} O_{2}$ 为 $8 \sqrt{2}$.
解析：: 分析: 本题主要考查了球坐标刻画点的位置, 解决问题的关键是根据球坐标刻画点的位置分析计算即可
题目（高三 · 立体几何学）：19. 如图, 正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 点 $M$ 是 $A_{1} D_{1}$ 的中点, 点 $N$ 是 $C D$ 的中点, 用反证法证明直线 $B M$ 与直线 $A_{1} N$ 是两条异面直线.


选项：
答案：答案：证明：假设直线 $B M$ 与 $A_{1} N$ 共面.

则 $A_{1} D_{1} \subset$ 平面 $A_{1} B D_{1}$, 且平面 $A_{1} B D_{1} \cap$ 平面 $A B C D=B N$,

由正方体特征知 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{D}_{1} / /$ 平面 $\mathrm{ABCD}$, 故 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{D}_{1} / / \mathrm{BN}$,

又 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{D}_{1} / / \mathrm{BC}$,所以 $\mathrm{BN} / / \mathrm{BC}$.

这与 $\mathrm{BN} \cap \mathrm{BC}=\mathrm{B}$ 矛盾,故假设不成立.

所以直线 $B M$ 与直线 $A_{1} N$ 是两条异面直线.
解析：：【分析】本题主要考查了反证法与放缩法, 解决问题的关键是灵活运用线面平行与线线平行的转化,推导出一个显而易见的矛盾,这是反证法最基本的要求.
题目（高三 · 立体几何学）：(12 分) 如图所示, 在 $\triangle A B C$ 中, $a=b \cdot \cos C+c \cdot \cos B$, 其中 $a, b, c$ 分别为角 $A, B, C$ 的对边, 在四面体 $P A B C$ 中, $S_{1}, S_{2}, S_{3}, S$ 分别表示 $\triangle P A B$, $\triangle P B C, \mathrm{~V} P C A, \triangle A B C$ 的面积, $\alpha, \beta, \gamma$ 依次表示面 $P A B$, 面 $P B C$,面 $P C A$ 与底面 $A B C$ 所成二面角的大小. 写出对四面体性质的猜想, 并证明你的结论.

选项：
答案：在四面体中的结论为 $S=S_{1} \cdot \cos \alpha+S_{2} \cdot \cos eta+S_{3} \cdot \cos \gamma$, 证明见解析.【解析】类比三角形中的结论, 猜想在四面体中的结论为 $S=S_{1} \cdot \cos \alpha+S_{2} \cdot \cos eta+S_{3} \cdot \cos \gamma$.证明: 如图, 设 $P$ 点在底面的射影为 $O$ 点, 过 $O$ 点作 $O H \perp A B$, 交 $A B$ 于 $H$,
解析：连接 $P H, O A, O B$$\angle P H O$ 就是平面 $P A B$ 与底面 $A B C$ 所成的二面角, 则 $\angle P H O=\alpha$$S_{	riangle A O B}=rac{1}{2} 	imes A B 	imes O H, \quad S_{	riangle P A B}=rac{1}{2} 	imes A B 	imes P H, \quad \cos \alpha=\cos \angle P H O=rac{O H}{P H}=rac{S_{	riangle A O B}}{S_{1}}$, $	herefore S_{	riangle A O B}=S_{1} \cos \alpha$, 同理 $S_{	riangle C O B}=S_{2} \cos eta, S_{\mathrm{VAOC}}=S_{3} \cos \gamma$,又 $S=S_{	riangle A O B}+S_{	riangle C O B}+S_{	riangle A O C}$,$	herefore S=S_{1} \cdot \cos \alpha+S_{2} \cdot \cos eta+S_{3} \cdot \cos \gamma$.
题目（高三 · 立体几何学）：24. 如图, 已知 $\mathrm{DA} \perp$ 平面 $\mathrm{ABC}, \triangle \mathrm{ABC}$ 是斜三角形, 点 $\mathrm{A}^{\prime}$ 是点 $\mathrm{A}$ 在平面 $\mathrm{BCD}$ 上的正射影, 求证:点 $\mathrm{A}^{\prime}$ '不可能是 $\triangle \mathrm{BCD}$ 的垂心.


选项：
答案：答案：解：假设点 $A^{\prime}$ 是 $\triangle B C D$ 的垂心,则 $A^{\prime} B \perp C D$.

$\because \mathrm{AA}^{\prime} \perp$ 平面 $\mathrm{BCD}$ 于点 $\mathrm{A}^{\prime}$, 则 $\mathrm{AB} \perp \mathrm{CD}$.

又 $\because D A \perp$ 平面 $A B C$,则 $A B \perp A D$,

$\therefore \mathrm{AB} \perp$ 平面 $\mathrm{ADC}$,

$\therefore \mathrm{AB} \perp \mathrm{AC}$,

这与条件 $\triangle \mathrm{ABC}$ 是斜三角形矛盾, 故点 $\mathrm{A}^{\prime}$ 不可能是 $\triangle \mathrm{BCD}$ 的垂心
解析：: 分析: 本题主要考查了平行射影, 解决问题的关键是根据平行射影结合直接证明有困难,利用反证法证明
题目（高三 · 立体几何学）：25. 如图, $\triangle \mathrm{ABC}$ 是边长为 2 的正三角形, $\mathrm{BC} / /$ 平面 $\alpha$, 点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 在 $\alpha$ 的同侧, 它们在 $\alpha$ 内的射影分别为点 $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$. 若 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 为直角三角形, $B C$ 与 $\alpha$ 间的距离为 5 , 求点 $A$ 到 $\alpha$ 的距离.


选项：
答案：答案: 解答: 由条件可知, $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}=\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}, \therefore \angle \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}=90^{\circ}$.

设 $A A^{\prime}=x$, 在直角梯形 $A A^{\prime} C^{\prime} C$ 中, $A^{\prime} C^{\prime 2}=4-(5-x)^{2}$.

由 $A^{\prime} B^{12}+A^{\prime} C^{2}=B^{\prime} C^{2}$, 得 $2 \times\left[4-(5-x)^{2}\right]=4$,

解得 $x=5 \pm \sqrt{2}$
解析：: 分析: 本题主要考查了平行射影, 解决问题的关键是根据平行射影结合所给选项分析即可。
题目（高三 · 立体几何学）：已知空间三点 $A(-2,0,2), B(-1,1,2), C(-3,0,4)$, 设 $\vec{a}=\overrightarrow{A B}, \vec{b}=\overrightarrow{A C}$.

(I) 求 $\overrightarrow{\mathrm{a}} \overrightarrow{\mathrm{a}} \overrightarrow{\mathrm{b}}$ 的夹角 $\theta$ 的余弦值;

(II) 若向量 $k \vec{a}+\vec{b}$ 与 $k \vec{a}-2 \vec{b}$ 互相垂直, 求实数 $k$ 的值;

(III) 若向量 $\lambda \vec{a}-\vec{b}$ 与 $\vec{a}-\lambda \vec{b}$ 共线, 求实数 $\lambda$ 的值.
选项：
解析：$\overrightarrow{\mathrm{a}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(1,1,0), \overrightarrow{\mathrm{b}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}=(-1,0,2)$.( I ) $\cos 	heta=rac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot|\vec{b}|}=rac{-1+0+0}{\sqrt{2} 	imes \sqrt{5}}=-rac{\sqrt{10}}{10}$,$	herefore \overrightarrow{\mathrm{a}}$ 和 $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 的夹角 $	heta$ 的余弦值为 $-rac{\sqrt{10}}{10}$.(II) $\mathrm{k} \overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}=(\mathrm{k}-1, \mathrm{k}, 2), \mathrm{k} \overrightarrow{\mathrm{a}}-2 \overrightarrow{\mathrm{b}}=(\mathrm{k}+2, \mathrm{k},-4)$$ecause$ 向量 $k \vec{a}+\vec{b}$ 与 $k \vec{a}-2 \vec{b}$ 互相垂直,$	herefore(k \vec{a}+\vec{b}) \cdot(k \vec{a}-2 \vec{b})=(k-1, k, 2) \cdot(k+2, k,-4)$$=(\mathrm{k}-1)(\mathrm{k}+2)+\mathrm{k} 2-8=2 \mathrm{k} 2+\mathrm{k}-10=0 \quad 	herefore \mathrm{k}=-rac{5}{2}$, 或 $\mathrm{k}=2$.(III) $\lambda \vec{a}-\vec{b}=(\lambda+1, \lambda,-2), \vec{a}-\lambda \vec{b}=(1+\lambda, 1,-2 \lambda)$$ecause$ 向量 $\lambda \vec{a}-\vec{b}$ 与 $\vec{a}-\lambda \vec{b}$ 共线, $\quad 	herefore$ 存在实数 $\mu$, 使得 $\lambda \vec{a}-\vec{b}=\mu(\vec{a}-\lambda \vec{b})$即 $(\lambda+1, \lambda,-2)=\mu(1+\lambda, 1,-2 \lambda)$$	herefore\left\{egin{array}{c}\lambda+1=\mu(\lambda+1) \ \lambda=\mu \ -2=-2 \mu \lambda\end{array} \quad 	herefore \lambda=1ight.$, 或 $\lambda=-1$.
题目（高三 · 立体几何学）：如图, 四棱雉 $P-A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 是矩形, $P A \perp$ 平面 $A B C D,, A D=1, P A=A B=$ $\sqrt{2}$, 点 $E$ 是棱 $P B$ 的中点. 求异面直线 $E C$ 与 $P D$ 所成角的余弦值;


选项：
解析：因 $P A \perp$ 底面 $A B C D$, 且底面 $A B C D$ 为矩形, 所以 $A B 、 A D 、 A P$ 两两垂直, 以 $A$ 为原点, $A B$ 、 $A D 、 A P$ 分别为 $x, y, z$ 轴建立空间直角坐标系,又因 $P A=A B=\sqrt{2}, A D=1$,所以 $\mathrm{A}(0,0,0), \mathrm{B}(\sqrt{2}, 0,0), \mathrm{C}(\sqrt{2}, 1,0), \mathrm{D}(0,1,0), P(0,0, \sqrt{2})$,因 $E$ 棱 $P B$ 的中点, 所以 $E\left(rac{\sqrt{2}}{2}, 0, rac{\sqrt{2}}{2}ight)$.所以 $\overrightarrow{E C}=\left(rac{\sqrt{2}}{2}, 1,-rac{\sqrt{2}}{2}ight), \overrightarrow{P D}=(0,1,-\sqrt{2})$,所以 $\cos \langle\overrightarrow{E C}, \overrightarrow{P D}angle=rac{1+1}{\sqrt{rac{1}{2}+1+rac{1}{2}} \cdot \sqrt{1+2}}=rac{\sqrt{6}}{3}$,所以异面直线 $E C$ 与 $P D$ 所成角的余弦值为 $rac{\sqrt{6}}{3}$.
题目（高三 · 立体几何学）：在棱长为 2 的正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $E, F$ 分别为 $A_{1} B_{1}, C D$ 的中点.

(1)求 $|\overrightarrow{C E}|$

(2)求直线 $E C$ 与 $A F$ 所成角的余弦值;


选项：
解析：(1)在棱长为 2 的正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 建立如图所示的空间直角坐标系. 则 $\mathrm{A}(2,0,0), \mathrm{F}(0,1,0), \mathrm{C}(0,2,0), \mathrm{E}(2,1,2), \overrightarrow{\mathrm{CE}}=(2,-1,2)$,$	herefore|\overrightarrow{\mathrm{CE}}|=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}=3$,(2) $ecause \overrightarrow{\mathrm{CE}}=(2,-1,2), \overrightarrow{\mathrm{AF}}=(-2,1,0), 	herefore \cos <\overrightarrow{A F}, \overrightarrow{C E}>=rac{-4-1}{\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}} \cdot \sqrt{2^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}}=-rac{\sqrt{5}}{3}$, $	herefore$ 直线 $\mathrm{EC}$ 与 $\mathrm{AF}$ 所成角的余弦值为 $rac{\sqrt{5}}{3}$;
题目（高三 · 立体几何学）：22. 如图, 已知球 $\mathrm{O}_{1}, \mathrm{O}_{2}$ 分别切平面 $\beta$ 于点 $\mathrm{F}_{1}, \mathrm{~F}_{2}, \mathrm{P}_{1} \mathrm{P}_{2}$ 为 $\odot \mathrm{O}_{1}$ 的一条直径, 点 $\mathrm{Q}_{1}, \mathrm{Q}_{2}$ 分别为点 $\mathrm{P}_{1}, \mathrm{P}_{2}$ 在平面 $\beta$ 内的平行射影, $\mathrm{G}_{1} \mathrm{G}_{2}=2 \mathrm{a}, \mathrm{Q}_{1} \mathrm{Q}_{2}=2 \mathrm{~b}, \mathrm{G}_{1} \mathrm{G}_{2}$ 与 $\mathrm{Q}_{1} \mathrm{Q}_{2}$ 互相垂直平分, 求证: $\mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2}=2 \sqrt{\mathrm{a}^{2}-\mathrm{b}^{2}}$.


选项：
答案：答案：证明：如图, 过点 $\mathrm{G}_{1}$ 作 $\mathrm{G}_{1} \mathrm{H} \perp \mathrm{BG}_{2}, \mathrm{H}$ 为垂足,

<ImageHere>

则四边形 $\mathrm{ABHG}_{1}$ 是矩形. $\therefore \mathrm{G}_{1} \mathrm{H}=\mathrm{AB}$.

$\because$ 点 $\mathrm{Q}_{1}, \mathrm{Q}_{2}$ 分别是点 $\mathrm{P}_{1}, \mathrm{P}_{2}$ 的平行射影,

$\therefore \mathrm{P}_{1} \mathrm{Q}_{1} \square \mathrm{P}_{2} \mathrm{Q}_{2} \therefore$ 四边形 $\mathrm{P}_{1} \mathrm{Q}_{1} \mathrm{Q}_{2} \mathrm{P}_{2}$ 是平行四边形.

$\therefore \mathrm{Q}_{1} \mathrm{Q}_{2}=\mathrm{P}_{1} \mathrm{P}_{2}$, 即 $\mathrm{Q}_{1} \mathrm{Q}_{2}$ 等于底面直径.

$\therefore \mathrm{G}_{1} \mathrm{H}=\mathrm{AB}=\mathrm{Q}_{1} \mathrm{Q}_{2}=2 \mathrm{~b}$.

又由切线长定理,知 $\mathrm{G}_{1} \mathrm{~A}=\mathrm{G}_{1} \mathrm{~F}_{1}=\mathrm{G}_{2} \mathrm{~F}_{2}, \mathrm{G}_{2} \mathrm{~F}_{1}=\mathrm{G}_{2} \mathrm{~B}$,

$\therefore \mathrm{G}_{2} \mathrm{~F}_{1}-\mathrm{G}_{2} \mathrm{~F}_{2}=\mathrm{G}_{2} \mathrm{~B}-\mathrm{G}_{1} \mathrm{~A}$.

又 $\mathrm{G}_{1} \mathrm{~A}=\mathrm{BH}, \therefore \mathrm{G}_{2} \mathrm{~F}_{1}-\mathrm{G}_{2} \mathrm{~F}_{2}=\mathrm{G}_{2} \mathrm{~B}-\mathrm{BH}$.

$\therefore \mathrm{F}_{1} \mathrm{~F}_{2}=\mathrm{G}_{2} \mathrm{H}$.

在 Rt $\triangle G_{1} G_{2} H$ 中, $G_{2} H=\sqrt{G_{1} G_{2}^{2}-G_{1} H^{2}}=\sqrt{(2 a)^{2}-(2 b)^{2}}=2 \sqrt{a^{2}-b^{2}}$, 故 $F_{1} F_{2}=2 \sqrt{a^{2}-b^{2}}$.
解析：: 分析: 本题主要考查了平面与圆柱面的截线, 解决问题的关键是根据平面与圆柱面的截线的性质结合平行四边形有关性质及切线长定理以及平行射影的原理分析计算即可
题目（高三 · 立体几何学）：18. 顶角为 $60^{\circ}$ 的圆雉面中有一个半径为 2 的内切球, 以该球为焦球作一截面,使截线为抛物线,求该抛物线的顶点到焦点的距离 $\frac{\mathrm{P}}{2}$ 和截面与轴的交点到圆雉顶点的距离.
选项：
答案：答案: 解答: 如图是圆雉的截面,其中点 $P$ 为抛物线的顶点,点 $Q$ 为抛物线的焦点,点 $M$ 为截面与轴的交点,连接 $O A, O Q$. 设 $A, B$ 为球与圆锥的母线的切点.

<ImageHere>

由 $\angle \mathrm{ASB}=60^{\circ}, \therefore \angle \mathrm{ASO}=30^{\circ}$. 又 $\mathrm{OA}=2, \mathrm{OA} \perp \mathrm{SA}, \therefore \mathrm{OS}=4$, 易知 $\mathrm{OP} \perp \mathrm{OS}$,

$\therefore \mathrm{OP}=\mathrm{OStan} 30^{\circ}=\frac{4 \sqrt{3}}{3}$,

$\therefore \frac{\mathrm{p}}{2}=\mathrm{PQ}=\sqrt{\mathrm{OP}^{2}-\mathrm{OQ}^{2}}=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

又 $\mathrm{PM} / / \mathrm{SB}, \therefore \angle \mathrm{PMS}=\angle \mathrm{OSB}=\angle \mathrm{OSA}$,

$\therefore \mathrm{SM}=2 \mathrm{OS}=8$.
解析：: 分析: 本题主要考查了平面与圆锥面的截线, 解决问题的关键是根据平面与圆雉面的截线满足的性质结合所给圆与圆雉曲线位置关系计算即可
题目（高三 · 立体几何学）：22. 如图,已知圆雉的母线与轴线的夹角为 $\alpha$, 圆雉嵌入半径为 $R$ 的 Dandelin 球,平面 $\pi$ 与圆雉面的交线为抛物线,求抛物线的焦点到准线的距离.


选项：
答案：答案: 解答: 设 $\mathrm{F}$ 为抛物线的焦点, $\mathrm{A}$ 为顶点, $\mathrm{FA}$ 的延长线交准线 $\mathrm{m}$ 于点 $\mathrm{B}, \mathrm{AF}$ 的延长线与 $\mathrm{PO}$ 交于点 C.连接 $\mathrm{OF}, \mathrm{OA}$, 如图,

<ImageHere>

$\because$ 平面 $\pi$ 与圆雉轴线和圆雉母线与轴线的夹角相等,

$\therefore \angle \mathrm{APC}=\angle \mathrm{ACP}=\alpha$.

由切线长定理知, $\mathrm{OA}$ 平分 $\angle \mathrm{PAC}$,

$\therefore \mathrm{OA} \perp \mathrm{PC}$.

$\therefore \angle \mathrm{OCA}+\angle \mathrm{OAC}=90^{\circ}, \angle \mathrm{AOF}+\angle \mathrm{OAC}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{OCA}=\angle \mathrm{AOF}=\alpha$.

在 Rt $\triangle \mathrm{OAF}$ 中, $\mathrm{AF}=\mathrm{OF} \cdot \tan \angle \mathrm{AOF}=\mathrm{R} \tan \alpha$.

又由抛物线结构特点,

$\therefore \mathrm{AF}=\mathrm{AB}$.

$\therefore \mathrm{FB}=2 \mathrm{R} \tan \alpha$,即抛物线的焦点到准线的距离为 $2 \mathrm{R} \tan \alpha$.
解析：: 分析: 本题主要考查了平面与圆锥面的截线, 解决问题的关键是根据平面与圆锥面的截线满足的有关条件转化到相应的平面中求解,注意切线长定理的使用