题目（九年级 · 解析几何）：在直角坐标系中, 过原点 $O$ 及点 $A(8,0), C(0,6)$ 作矩形 $O A B C$ 、连结 $O B$, 点 $D$ 为 $O B$的中点, 点 $E$ 是线段 $A B$ 上的动点, 连结 $D E$, 作 $D F \perp D E$, 交 $O A$ 于点 $F$, 连结 $E F$. 已知点 $E$ 从 $A$点出发, 以每秒 1 个单位长度的速度在线段 $A B$ 上移动, 设移动时间为 $t$ 秒.



图1



图2

(1) 如图 1 , 当 $t=3$ 时, 求 $D F$ 的长.

（2）如图 2, 当点 $E$ 在线段 $A B$ 上移动的过程中, $\angle D E F$ 的大小是否发生变化? 如果变化, 请说明理由; 如果不变, 请求出 $\tan \angle D E F$ 的值.

(3) 连结 $A D$, 当 $A D$ 将 $\triangle D E F$ 分成的两部分的面积之比为 1: 2 时, 求相应的 $t$ 的值.
选项：
答案：(1) 3; （2） $\angle \mathrm{DEF}$ 的大小不变, $\tan \angle \mathrm{DEF}=\frac{3}{4}$; (3) $\frac{75}{41}$ 或 $\frac{75}{17}$.

【解析】(1) 当 $\mathrm{t}=3$ 时, 点 $\mathrm{E}$ 为 $\mathrm{AB}$ 的中点,

$\because \mathrm{A}(8,0), \mathrm{C}(0,6), \therefore \mathrm{OA}=8, \mathrm{OC}=6, \because$ 点 $\mathrm{D}$ 为 $\mathrm{OB}$ 的中点,

$\therefore \mathrm{DE} / / \mathrm{OA}, \mathrm{DE}=\frac{1}{2} \mathrm{OA}=4, \because$ 四边形 $\mathrm{OABC}$ 是矩形,

$\therefore \mathrm{OA} \perp \mathrm{AB}, \quad \therefore \mathrm{DE} \perp \mathrm{AB}, \quad \therefore \angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{DEA}=90^{\circ}$, 又 $\because \mathrm{DF} \perp \mathrm{DE}$,

$\therefore \angle \mathrm{EDF}=90^{\circ}, \therefore$ 四边形 $\mathrm{DFAE}$ 是矩形, $\quad \therefore \mathrm{DF}=\mathrm{AE}=3$;

(2) $\angle \mathrm{DEF}$ 的大小不变; 理由如下:

作 $\mathrm{DM} \perp \mathrm{OA}$ 于 $\mathrm{M}, \mathrm{DN} \perp \mathrm{AB}$ 于 $\mathrm{N}$, 如图 2 所示:

<ImageHere>

图2

$\because$ 四边形 $\mathrm{OABC}$ 是矩形, $\therefore \mathrm{OA} \perp \mathrm{AB}$,
$\therefore$ 四边形 DMAN 是矩形, $\therefore \angle \mathrm{MDN}=90^{\circ}, \mathrm{DM} / / \mathrm{AB}, \mathrm{DN} / / \mathrm{OA}$,

$\therefore \frac{B D}{D O}=\frac{B N}{N A}, \frac{B D}{D O}=\frac{A M}{O M}, \because$ 点 $\mathrm{D}$ 为 $\mathrm{OB}$ 的中点, $\therefore \mathrm{M} 、 \mathrm{~N}$ 分别是 $\mathrm{OA} 、 \mathrm{AB}$ 的中点,

$\therefore \mathrm{DM}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}=3, \mathrm{DN}=\frac{1}{2} \mathrm{OA}=4, \because \angle \mathrm{EDF}=90^{\circ}, \therefore \angle \mathrm{FDM}=\angle \mathrm{EDN}$,

又 $\because \angle \mathrm{DMF}=\angle \mathrm{DNE}=90^{\circ}, \therefore \triangle \mathrm{DMF} \sim \triangle \mathrm{DNE}, \quad \therefore \frac{D F}{D E}=\frac{D M}{D N}=\frac{3}{4}$,

$\because \angle \mathrm{EDF}=90^{\circ}, \quad \therefore \tan \angle \mathrm{DEF}=\frac{D F}{D E}=\frac{3}{4}$

(3) 作 $\mathrm{DM} \perp \mathrm{OA}$ 于 $\mathrm{M}, \mathrm{DN} \perp \mathrm{AB}$ 于 $\mathrm{N}$,

若 $A D$ 将 $\triangle D E F$ 的面积分成 $1: 2$ 的两部分,

设 $A D$ 交 $E F$ 于点 $G$, 则点 $G$ 为 $E F$ 的三等分点;

(1)当点 $E$ 到达中点之前时, 如图 3 所示, $N E=3-t$,

<ImageHere>

图3

由 $\triangle D M F \sim \triangle D N E$ 得: $M F=\frac{3}{4}(3-t), \therefore A F=4+M F=-\frac{3}{4} t+\frac{25}{4}$,

$\because$ 点 $\mathrm{G}$ 为 $\mathrm{EF}$ 的三等分点, $\therefore \mathrm{G}\left(\frac{3 t+71}{12}, \frac{2}{3} t\right)$,

设直线 $A D$ 的解析式为 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+\mathrm{b}$,

把 A $(8,0), \mathrm{D}(4,3)$ 代入得: $\left\{\begin{array}{l}8 k+b=0 \\ 4 k+b=3\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{3}{4} \\ b=6\end{array}, \therefore\right.$ 直线 $\mathrm{AD}$ 的解析式为 $\mathrm{y}=-\frac{3}{4} \mathrm{x}+6$, 把 $\mathrm{G}\left(\frac{3 t+71}{12}, \frac{2}{3} t\right)$ 代入得: $\mathrm{t}=\frac{75}{41}$;

(2)当点 $\mathrm{E}$ 越过中点之后, 如图 4 所示, $N E=t-3$,

<ImageHere>

图4

由 $\triangle \mathrm{DMF} \sim \triangle \mathrm{DNE}$ 得: $M F=\frac{3}{4}(\mathrm{t}-3), \therefore \mathrm{AF}=4-\mathrm{MF}=-\frac{3}{4} \mathrm{t}+\frac{25}{4}$,

$\because$ 点 $\mathrm{G}$ 为 $\mathrm{EF}$ 的三等分点, $\therefore \mathrm{G}\left(\frac{3 t+23}{6}, \frac{1}{3} t\right)$, 代入直线 $\mathrm{AD}$ 的解析式 $\mathrm{y}=-\frac{3}{4} \mathrm{x}+6$ 得: $\mathrm{t}=\frac{75}{17}$;

综上所述, 当 $\mathrm{AD}$ 将 $\triangle \mathrm{DEF}$ 分成的两部分的面积之比为 $1: 2$ 时, $t$ 的值为 $\frac{75}{41}$ 或 $\frac{75}{17}$.
解析：(1) 3; （2） $\angle \mathrm{DEF}$ 的大小不变, $\tan \angle \mathrm{DEF}=\frac{3}{4}$; (3) $\frac{75}{41}$ 或 $\frac{75}{17}$.

【解析】(1) 当 $\mathrm{t}=3$ 时, 点 $\mathrm{E}$ 为 $\mathrm{AB}$ 的中点,

$\because \mathrm{A}(8,0), \mathrm{C}(0,6), \therefore \mathrm{OA}=8, \mathrm{OC}=6, \because$ 点 $\mathrm{D}$ 为 $\mathrm{OB}$ 的中点,

$\therefore \mathrm{DE} / / \mathrm{OA}, \mathrm{DE}=\frac{1}{2} \mathrm{OA}=4, \because$ 四边形 $\mathrm{OABC}$ 是矩形,

$\therefore \mathrm{OA} \perp \mathrm{AB}, \quad \therefore \mathrm{DE} \perp \mathrm{AB}, \quad \therefore \angle \mathrm{OAB}=\angle \mathrm{DEA}=90^{\circ}$, 又 $\because \mathrm{DF} \perp \mathrm{DE}$,

$\therefore \angle \mathrm{EDF}=90^{\circ}, \therefore$ 四边形 $\mathrm{DFAE}$ 是矩形, $\quad \therefore \mathrm{DF}=\mathrm{AE}=3$;

(2) $\angle \mathrm{DEF}$ 的大小不变; 理由如下:

作 $\mathrm{DM} \perp \mathrm{OA}$ 于 $\mathrm{M}, \mathrm{DN} \perp \mathrm{AB}$ 于 $\mathrm{N}$, 如图 2 所示:



图2

$\because$ 四边形 $\mathrm{OABC}$ 是矩形, $\therefore \mathrm{OA} \perp \mathrm{AB}$,
$\therefore$ 四边形 DMAN 是矩形, $\therefore \angle \mathrm{MDN}=90^{\circ}, \mathrm{DM} / / \mathrm{AB}, \mathrm{DN} / / \mathrm{OA}$,

$\therefore \frac{B D}{D O}=\frac{B N}{N A}, \frac{B D}{D O}=\frac{A M}{O M}, \because$ 点 $\mathrm{D}$ 为 $\mathrm{OB}$ 的中点, $\therefore \mathrm{M} 、 \mathrm{~N}$ 分别是 $\mathrm{OA} 、 \mathrm{AB}$ 的中点,

$\therefore \mathrm{DM}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}=3, \mathrm{DN}=\frac{1}{2} \mathrm{OA}=4, \because \angle \mathrm{EDF}=90^{\circ}, \therefore \angle \mathrm{FDM}=\angle \mathrm{EDN}$,

又 $\because \angle \mathrm{DMF}=\angle \mathrm{DNE}=90^{\circ}, \therefore \triangle \mathrm{DMF} \sim \triangle \mathrm{DNE}, \quad \therefore \frac{D F}{D E}=\frac{D M}{D N}=\frac{3}{4}$,

$\because \angle \mathrm{EDF}=90^{\circ}, \quad \therefore \tan \angle \mathrm{DEF}=\frac{D F}{D E}=\frac{3}{4}$

(3) 作 $\mathrm{DM} \perp \mathrm{OA}$ 于 $\mathrm{M}, \mathrm{DN} \perp \mathrm{AB}$ 于 $\mathrm{N}$,

若 $A D$ 将 $\triangle D E F$ 的面积分成 $1: 2$ 的两部分,

设 $A D$ 交 $E F$ 于点 $G$, 则点 $G$ 为 $E F$ 的三等分点;

(1)当点 $E$ 到达中点之前时, 如图 3 所示, $N E=3-t$,



图3

由 $\triangle D M F \sim \triangle D N E$ 得: $M F=\frac{3}{4}(3-t), \therefore A F=4+M F=-\frac{3}{4} t+\frac{25}{4}$,

$\because$ 点 $\mathrm{G}$ 为 $\mathrm{EF}$ 的三等分点, $\therefore \mathrm{G}\left(\frac{3 t+71}{12}, \frac{2}{3} t\right)$,

设直线 $A D$ 的解析式为 $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+\mathrm{b}$,

把 A $(8,0), \mathrm{D}(4,3)$ 代入得: $\left\{\begin{array}{l}8 k+b=0 \\ 4 k+b=3\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{3}{4} \\ b=6\end{array}, \therefore\right.$ 直线 $\mathrm{AD}$ 的解析式为 $\mathrm{y}=-\frac{3}{4} \mathrm{x}+6$, 把 $\mathrm{G}\left(\frac{3 t+71}{12}, \frac{2}{3} t\right)$ 代入得: $\mathrm{t}=\frac{75}{41}$;

(2)当点 $\mathrm{E}$ 越过中点之后, 如图 4 所示, $N E=t-3$,



图4

由 $\triangle \mathrm{DMF} \sim \triangle \mathrm{DNE}$ 得: $M F=\frac{3}{4}(\mathrm{t}-3), \therefore \mathrm{AF}=4-\mathrm{MF}=-\frac{3}{4} \mathrm{t}+\frac{25}{4}$,

$\because$ 点 $\mathrm{G}$ 为 $\mathrm{EF}$ 的三等分点, $\therefore \mathrm{G}\left(\frac{3 t+23}{6}, \frac{1}{3} t\right)$, 代入直线 $\mathrm{AD}$ 的解析式 $\mathrm{y}=-\frac{3}{4} \mathrm{x}+6$ 得: $\mathrm{t}=\frac{75}{17}$;

综上所述, 当 $\mathrm{AD}$ 将 $\triangle \mathrm{DEF}$ 分成的两部分的面积之比为 $1: 2$ 时, $t$ 的值为 $\frac{75}{41}$ 或 $\frac{75}{17}$.