题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $C D$ 是 $\odot O$ 的弦, $\mathrm{AB}$ 是直径, $A B$ 与 $C D$ 交于点 $P$.

（1）如图 1，当 $C D \perp A B$ 于 $P$ 时

(1)若 $P$ 为 $O B$ 中点, 求 $\angle A$ 的度数;

(2) 若 $A B=10, P D=4$, 求 $B P$ 的长;

(2) 如图 2, 分别过点 $A 、 B$ 作 $C D$ 的垂线, 垂足分别为 $E, F$, 若 $A B=10, C D=8$,求 $A E-B F$ 的值.



图1



图 2

##
选项：
答案： (1) (1)如图 1, 连接 OC,

$\because \mathrm{P}$ 为 $\mathrm{OB}$ 中点

$\therefore \mathrm{PO}=\frac{1}{2} \mathrm{OB}$,

$\therefore \mathrm{PO}=\frac{1}{2} \mathrm{OC}$,

$\because C D \perp A B$

$\therefore \angle \mathrm{OCP}=30^{\circ}$
$\therefore \angle \mathrm{POC}=60^{\circ}$

$\therefore \angle \mathrm{A}=30^{\circ}$

(2)如图 1, 连接 $\mathrm{OC}$

$\because C D \perp A B$

$\therefore \mathrm{CP}=\mathrm{PD}=4$

$\therefore \mathrm{OP}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$

$\therefore \mathrm{PB}=\mathrm{OB}-\mathrm{OP}=2$;

<ImageHere>

冬 1

(2) 如图 2, 连接 $\mathrm{FO}$ 并延长交 $\mathrm{AE}$ 于 $\mathrm{M}$ 点, 过点 $\mathrm{O}$ 作 $\mathrm{OH} \perp \mathrm{CD}$ 于 $\mathrm{H}$ 点, 连接 $\mathrm{OD}$

<ImageHere>

图2

$\because \mathrm{BF} \perp \mathrm{CD}, \quad \mathrm{AE} \perp \mathrm{CD}$

$\therefore \mathrm{BF} / / \mathrm{AE}$

$\therefore \angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B}$

在 $\triangle \mathrm{OBF}$ 和 $\triangle \mathrm{OAM}$ 中 $\left\{\begin{array}{l}\angle B O F=\angle A O M \\ O B=O A \\ \angle B=\angle A\end{array}\right.$

$\therefore \triangle \mathrm{OBF} \cong \triangle \mathrm{OAM}$

$\therefore \mathrm{BF}=\mathrm{AM}, \quad \mathrm{OF}=\mathrm{OM}$

$\because C D=8, \quad O H \perp C D$

$\therefore \mathrm{CH}=4$
$\therefore \mathrm{OH}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$

$\because \mathrm{OH} \perp \mathrm{CD}$

$\therefore \mathrm{OH} / / \mathrm{AE}$

$\because \mathrm{OF}=\mathrm{OM}$

$\therefore \mathrm{FH}=\mathrm{EH}$

$\therefore \mathrm{EM}=2 \mathrm{OH}=6$

$\because M E=A E-A M=A E-B F$

$\therefore \mathrm{AE}-\mathrm{BF}=6$
解析：) (1)如图 1, 连接 OC,

$\because \mathrm{P}$ 为 $\mathrm{OB}$ 中点

$\therefore \mathrm{PO}=\frac{1}{2} \mathrm{OB}$,

$\therefore \mathrm{PO}=\frac{1}{2} \mathrm{OC}$,

$\because C D \perp A B$

$\therefore \angle \mathrm{OCP}=30^{\circ}$
$\therefore \angle \mathrm{POC}=60^{\circ}$

$\therefore \angle \mathrm{A}=30^{\circ}$

(2)如图 1, 连接 $\mathrm{OC}$

$\because C D \perp A B$

$\therefore \mathrm{CP}=\mathrm{PD}=4$

$\therefore \mathrm{OP}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$

$\therefore \mathrm{PB}=\mathrm{OB}-\mathrm{OP}=2$;



冬 1

(2) 如图 2, 连接 $\mathrm{FO}$ 并延长交 $\mathrm{AE}$ 于 $\mathrm{M}$ 点, 过点 $\mathrm{O}$ 作 $\mathrm{OH} \perp \mathrm{CD}$ 于 $\mathrm{H}$ 点, 连接 $\mathrm{OD}$



图2

$\because \mathrm{BF} \perp \mathrm{CD}, \quad \mathrm{AE} \perp \mathrm{CD}$

$\therefore \mathrm{BF} / / \mathrm{AE}$

$\therefore \angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{B}$

在 $\triangle \mathrm{OBF}$ 和 $\triangle \mathrm{OAM}$ 中 $\left\{\begin{array}{l}\angle B O F=\angle A O M \\ O B=O A \\ \angle B=\angle A\end{array}\right.$

$\therefore \triangle \mathrm{OBF} \cong \triangle \mathrm{OAM}$

$\therefore \mathrm{BF}=\mathrm{AM}, \quad \mathrm{OF}=\mathrm{OM}$

$\because C D=8, \quad O H \perp C D$

$\therefore \mathrm{CH}=4$
$\therefore \mathrm{OH}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$

$\because \mathrm{OH} \perp \mathrm{CD}$

$\therefore \mathrm{OH} / / \mathrm{AE}$

$\because \mathrm{OF}=\mathrm{OM}$

$\therefore \mathrm{FH}=\mathrm{EH}$

$\therefore \mathrm{EM}=2 \mathrm{OH}=6$

$\because M E=A E-A M=A E-B F$

$\therefore \mathrm{AE}-\mathrm{BF}=6$.