题目（九年级 · 解析几何）：(8 分) 如图, 矩形 $A B C D$ 中, $A B=3, B C=4$, 点 $E$ 在 $A D$ 上, $B E$ 与 $A C$ 交于点 $F$.

（1）若 $A C \perp B E$, 求 $A E$ 的长 ;

（2）设 $\triangle D E F$ 和 $\triangle D C F$ 的面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$, 当 $A E=m$ 时, 求 $\mathrm{S}_{1}: \mathrm{S}_{2}$;

（3）当 $A E$ 的长是多少时， $\triangle D C F$ 是等腰三角形?





备用图1



备用图2


选项：
答案： (1) $\because$ 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是矩形;

$\therefore \triangle \mathrm{ABE}$ 是直角三角形;

又 $\because A C \perp B E$,

$\therefore \angle \mathrm{AFB}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{ABE}+\angle \mathrm{AEB}=\angle \mathrm{ABE}+\angle \mathrm{BAC}=90^{\circ}$.

$\therefore \angle \mathrm{AEB}=\angle \mathrm{BAC}$

$\therefore \triangle A B C \sim \triangle E A B$,

$\therefore \frac{A B}{E A}=\frac{B C}{A B}$;

$\therefore \frac{3}{E A}=\frac{4}{3}, E A=\frac{9}{4}$.

(2)

<ImageHere>

过 $\mathrm{F}$ 作 BC,AD 的垂线, 长度分别为 $\mathrm{h} 1$ 和 $\mathrm{h} 2$,

$\because \triangle \mathrm{AEF} \sim \triangle \mathrm{CBF}$,

$\therefore \frac{h 1}{h 2}=\frac{m}{4}$,

$\because h 1+h 2=3$,

$\therefore h 1=\frac{12}{m+4}, h 2=\frac{3 m}{m+4}$.

又 $\because \triangle \mathrm{AGF} \sim \triangle \mathrm{CBA}$,

$\therefore \frac{A G}{B C}=\frac{h 1}{A B}$

$\therefore A G=\frac{16}{m+4}$.

$\therefore D G=4-\frac{16}{m+4}$,

$\therefore \mathrm{S}_{1}: \mathrm{S}_{2}=\frac{4-m}{m+4} \times 12 \times \frac{1}{2}:\left(9-\frac{16}{m+4}\right) \times 3 \times \frac{1}{2}=\frac{6(4-m)}{m+4}: \frac{6 m}{m+4}$,
$\therefore \mathrm{S}_{1}: \mathrm{S}_{2}=\mathrm{m}(4-\mathrm{m}): 16$

(3) 本题分三种情况: (1) 当 $\mathrm{CD}=\mathrm{CF}=3$ 时, $\mathrm{AF}=2$, 由 (1) 得 $\mathrm{AE}: \mathrm{BC}=\mathrm{AF}: \mathrm{FC}, \therefore \mathrm{AE}=\frac{8}{3}$;

(2) 当 $\mathrm{DF}=\mathrm{CF}$ 时, $\mathrm{F}$ 为 $\mathrm{AC}$ 的中点, 此时 $\mathrm{E} 、 \mathrm{D}$ 重合, $\therefore \mathrm{AE}=4$;

(3)当 $\mathrm{DF}=\mathrm{CD}=3$ 时, 作 $\mathrm{DM} \perp \mathrm{AC}$ 于 $\mathrm{G}$, 则 $\mathrm{CM}=\mathrm{FM}=\frac{9}{5}, \mathrm{AF}=\frac{7}{5}$,

由 (1) 得 $\mathrm{AE}: \mathrm{BC}=\mathrm{AF}: \mathrm{FC}, \therefore \mathrm{AE}=\frac{14}{9}$

综上, $\mathrm{AE}=\frac{8}{3} 、 4 、 \frac{14}{9}$

<ImageHere>

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质定理, 添加合适的辅助线是解题的关键.

解析：) $\because$ 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是矩形;

$\therefore \triangle \mathrm{ABE}$ 是直角三角形;

又 $\because A C \perp B E$,

$\therefore \angle \mathrm{AFB}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{ABE}+\angle \mathrm{AEB}=\angle \mathrm{ABE}+\angle \mathrm{BAC}=90^{\circ}$.

$\therefore \angle \mathrm{AEB}=\angle \mathrm{BAC}$

$\therefore \triangle A B C \sim \triangle E A B$,

$\therefore \frac{A B}{E A}=\frac{B C}{A B}$;

$\therefore \frac{3}{E A}=\frac{4}{3}, E A=\frac{9}{4}$.

(2)



过 $\mathrm{F}$ 作 BC,AD 的垂线, 长度分别为 $\mathrm{h} 1$ 和 $\mathrm{h} 2$,

$\because \triangle \mathrm{AEF} \sim \triangle \mathrm{CBF}$,

$\therefore \frac{h 1}{h 2}=\frac{m}{4}$,

$\because h 1+h 2=3$,

$\therefore h 1=\frac{12}{m+4}, h 2=\frac{3 m}{m+4}$.

又 $\because \triangle \mathrm{AGF} \sim \triangle \mathrm{CBA}$,

$\therefore \frac{A G}{B C}=\frac{h 1}{A B}$

$\therefore A G=\frac{16}{m+4}$.

$\therefore D G=4-\frac{16}{m+4}$,

$\therefore \mathrm{S}_{1}: \mathrm{S}_{2}=\frac{4-m}{m+4} \times 12 \times \frac{1}{2}:\left(9-\frac{16}{m+4}\right) \times 3 \times \frac{1}{2}=\frac{6(4-m)}{m+4}: \frac{6 m}{m+4}$,
$\therefore \mathrm{S}_{1}: \mathrm{S}_{2}=\mathrm{m}(4-\mathrm{m}): 16$

(3) 本题分三种情况: (1) 当 $\mathrm{CD}=\mathrm{CF}=3$ 时, $\mathrm{AF}=2$, 由 (1) 得 $\mathrm{AE}: \mathrm{BC}=\mathrm{AF}: \mathrm{FC}, \therefore \mathrm{AE}=\frac{8}{3}$;

(2) 当 $\mathrm{DF}=\mathrm{CF}$ 时, $\mathrm{F}$ 为 $\mathrm{AC}$ 的中点, 此时 $\mathrm{E} 、 \mathrm{D}$ 重合, $\therefore \mathrm{AE}=4$;

(3)当 $\mathrm{DF}=\mathrm{CD}=3$ 时, 作 $\mathrm{DM} \perp \mathrm{AC}$ 于 $\mathrm{G}$, 则 $\mathrm{CM}=\mathrm{FM}=\frac{9}{5}, \mathrm{AF}=\frac{7}{5}$,

由 (1) 得 $\mathrm{AE}: \mathrm{BC}=\mathrm{AF}: \mathrm{FC}, \therefore \mathrm{AE}=\frac{14}{9}$

综上, $\mathrm{AE}=\frac{8}{3} 、 4 、 \frac{14}{9}$



【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质定理, 添加合适的辅助线是解题的关键.