eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高一 · 算术）：（2018 春・福州期中）（1）用辗转相除法或者更相减损术求 459 和 357 的最大公约数. （写出求解过程)

（2）用秦九韶算法写出当 $x=3$ 时 $f(x)=2 x^{5}-4 x^{3}+3 x^{2}-5 x+1$ 的值. (写出步骤过程)
选项：
答案：解: (1) 解:

$$
\begin{array}{cc}
459=357 \times 1+102 & \text { \#/DEL/\# } \\
357=102 \times 3+51 & \text { \#/DEL/\# } \\
102=51 \times 2 & \text { \#/DEL/\# }
\end{array}
$$

所以 459 和 357 的最大公约数是 51 .

或者

$$
\begin{aligned}
& 459-357=102 \quad \# / \mathrm{DEL} / \# \\
& 357-102=255 \quad \# / \mathrm{DEL} / \# \\
& 255-102=153 \quad \# / \mathrm{DEL} / \# \\
& 153-102=51 \quad \# / \mathrm{DEL} / \# \\
& 102-51=51 \quad \# / \mathrm{DEL} / \# \\
& 51-51=0 \quad \# / \text { DEL/\# }
\end{aligned}
$$

所以 459 和 357 的最大公约数是 51 .

(2) 解: 函数 $f(x)=2 x^{5}-4 x^{3}+3 x^{2}-5 x+1$

$=((((2 x+0) x-4) x+3) x-5) x+1$, 当 $x=3$ 时, 分别算出

$$
\begin{array}{cl}
v_{0}=2 & \text { \#/DEL/\# } \\
v_{1}=2 \times 3+0=6 & \text { \#/DEL/\# } \\
v_{2}=6 \times 3-4=14 & \text { \#/DEL/\# } \\
v_{3}=14 \times 3+3=45 & \text { \#/DEL/\# } \\
v_{4}=45 \times 3-5=130 & \text { \#/DEL/\# } \\
v_{5}=130 \times 3+1=391 & \text { \#/DEL/\# }
\end{array}
$$

所以 $f(3)=391$.
解析：解: (1) 解:

$$
\begin{array}{cc}
459=357 \times 1+102 & \text { \#/DEL/\# } \\
357=102 \times 3+51 & \text { \#/DEL/\# } \\
102=51 \times 2 & \text { \#/DEL/\# }
\end{array}
$$

所以 459 和 357 的最大公约数是 51 .

或者

$$
\begin{aligned}
& 459-357=102 \quad \# / \mathrm{DEL} / \# \\
& 357-102=255 \quad \# / \mathrm{DEL} / \# \\
& 255-102=153 \quad \# / \mathrm{DEL} / \# \\
& 153-102=51 \quad \# / \mathrm{DEL} / \# \\
& 102-51=51 \quad \# / \mathrm{DEL} / \# \\
& 51-51=0 \quad \# / \text { DEL/\# }
\end{aligned}
$$

所以 459 和 357 的最大公约数是 51 .

(2) 解: 函数 $f(x)=2 x^{5}-4 x^{3}+3 x^{2}-5 x+1$

$=((((2 x+0) x-4) x+3) x-5) x+1$, 当 $x=3$ 时, 分别算出

$$
\begin{array}{cl}
v_{0}=2 & \text { \#/DEL/\# } \\
v_{1}=2 \times 3+0=6 & \text { \#/DEL/\# } \\
v_{2}=6 \times 3-4=14 & \text { \#/DEL/\# } \\
v_{3}=14 \times 3+3=45 & \text { \#/DEL/\# } \\
v_{4}=45 \times 3-5=130 & \text { \#/DEL/\# } \\
v_{5}=130 \times 3+1=391 & \text { \#/DEL/\# }
\end{array}
$$

所以 $f(3)=391$.
题目（高一 · 算术）：（2018 春・福建期中）（1）已知一个 5 次多项式为 $f(x)=4 x^{5}-3 x^{3}+2 x^{2}+5 x+1$, 用秦九韶算法求这个多项式当 $x=-3$ 时 $v_{4}$ 的值.

(2) 将五进制数 $443($ (5) 转化为二进制数.
选项：
答案：解 (1) 由于函数 $\left.f(x)=f(x)=4 x^{5}-3 x^{3}+2 x^{2}+5 x+1=(((4 x+0) x-3) x+2) x+5\right)$ $x+1$,

当 $x=-3$ 时, 可得 $v_{1}=(-3 \times 4+0)=-12$

$\therefore v_{2}=-12 \times(-3)-3=33$
$\therefore v_{3}=-3 \times 33+2=-97$

$\therefore v_{4}=-97 \times(-3)+5=296$

故得 $v_{4}$ 的值为 296 .

(2) 由五进制数 $443\left(\right.$ (5) 转化为十进制数, 可得 $4 \times 5^{2}+4 \times 5^{1}+3 \times 5^{0}=123$

那么 123 转化为二进制数:

可得 $123=61 \times 2+1$. $\cdots \cdots \cdot 1$

$61=30 \times 2$. $\cdots \cdots \cdot 1$

$30=15 \times 2$. $\cdots \cdots \cdot 0$

$15=7 \times 2$. $\cdots \cdots 1$

$7=3 \times 2$. $\cdots \cdots 1$

$3=1 \times 2$. $\cdots \cdots 1$

$1=0 \times 2$. $\cdots \cdots \cdot 1$

二进制数为: 1111011

五进制数 443 ( (5) 转化为二进制数为: 1111011 .
解析：解 (1) 由于函数 $\left.f(x)=f(x)=4 x^{5}-3 x^{3}+2 x^{2}+5 x+1=(((4 x+0) x-3) x+2) x+5\right)$ $x+1$,

当 $x=-3$ 时, 可得 $v_{1}=(-3 \times 4+0)=-12$

$\therefore v_{2}=-12 \times(-3)-3=33$
$\therefore v_{3}=-3 \times 33+2=-97$

$\therefore v_{4}=-97 \times(-3)+5=296$

故得 $v_{4}$ 的值为 296 .

(2) 由五进制数 $443\left(\right.$ (5) 转化为十进制数, 可得 $4 \times 5^{2}+4 \times 5^{1}+3 \times 5^{0}=123$

那么 123 转化为二进制数:

可得 $123=61 \times 2+1$. $\cdots \cdots \cdot 1$

$61=30 \times 2$. $\cdots \cdots \cdot 1$

$30=15 \times 2$. $\cdots \cdots \cdot 0$

$15=7 \times 2$. $\cdots \cdots 1$

$7=3 \times 2$. $\cdots \cdots 1$

$3=1 \times 2$. $\cdots \cdots 1$

$1=0 \times 2$. $\cdots \cdots \cdot 1$

二进制数为: 1111011

五进制数 443 ( (5) 转化为二进制数为: 1111011 .
题目（高一 · 算术）：（2017 秋・临川区校级期中）给出 30 个数: $1,2,4,7, \cdots$, 其规律是: 第 1 个数是 1 , 第 2 个数比第 1 个数大 1 ,

第 3 个数比第 2 个数大 2 , 第 4 个数比第 3 个数大 3 , 依此类推. 要计算这 30 个数的和, 现已给出了该问题算法的程序框图（如图所示）：

（1）图中(1)处和(2)处应填上什么语句, 使之能完成该题算法功能;

(2) 根据程序框图写出程序.


选项：
答案：解：（1）(1)处应填 $i \leqslant 30$. ; （2 分）

(2)处应填 $p=p+i ;$ （2 分）

(2) 程序如下所示 (10 分)

$i=1$

$p=1$

$S=0$

WHILE $i<=30$

$S=S+p$

$p=p+i$
$i=i+1$

WEND

PRINT S
解析：解：（1）(1)处应填 $i \leqslant 30$. ; （2 分）

(2)处应填 $p=p+i ;$ （2 分）

(2) 程序如下所示 (10 分)

$i=1$

$p=1$

$S=0$

WHILE $i<=30$

$S=S+p$

$p=p+i$
$i=i+1$

WEND

PRINT S
题目（高一 · 算术）：（2016 春・甘谷县校级期中）分别求出下列两个程序的运行结果:

(1)

| $S=0$                  |
| :--------------------- |
| $i=0$                  |
| DO                     |
| $\quad S=S+i$          |
| $\quad i=i+1$          |
| LOOPUNTIL $\quad S>20$ |
| PRINT $i$              |
| END                    |

(2)

$S=0$
$i=0$
DO
$\quad i=i+1$
$\quad S=S+i$
LOOPUNTIL $S>20$
PRINT $i$
END
选项：
答案：解：根据题意, (1) (2) 的分别为求 $s>20$ 时 $i$ 的值,

区别为（1）先求和再 $i$ 自加;（2）先自加再求和

对于（1）：

$s=1+2+3+4+5+6=21>20$,

然后 $i=6+1=7$,

输出 7 ;

对于（2）:

$i=6$,

$s=1+2+3+4+5+6=21>20$,

输出 6.
解析：解：根据题意, (1) (2) 的分别为求 $s>20$ 时 $i$ 的值,

区别为（1）先求和再 $i$ 自加;（2）先自加再求和

对于（1）：

$s=1+2+3+4+5+6=21>20$,

然后 $i=6+1=7$,

输出 7 ;

对于（2）:

$i=6$,

$s=1+2+3+4+5+6=21>20$,

输出 6.
题目（高一 · 算术）：（2013 秋・清流县校级月考）在某音乐唱片超市里，每张唱片售价 12 元，顾客如果购买 5 张以上（含 5 张）唱片，则按照九折收费; 如果购买 10 张以上（含 10 张）唱片，则按照八折收费. 请将下面计费的程序框图补充完整.


选项：
答案：解: 根据题意, 第(1)判断框内条件成立时, 按 12 元每张收费,

不成立时, 进入第(2)判断框再判断, 故第(1)判断框内应该填上： $x<5$ ? ;再看第(2)判断框, 当条件成立时按照九折收费, 不成立时按照八折收费,因此第(2)判断框内应该填上 $x<10 ，$

且应该在(3)内填上 $y=0.9 \times 12 x$, 即 $y=10.8 x$, 在(4)内填上 $y=0.8 \times 12 x$, 即 $y=9.6 x$

故答案为: (1) $x<5$ ?, (2) $x<10$ ?, (3) $10.8 x$, (4) $9.6 x$
解析：解: 根据题意, 第(1)判断框内条件成立时, 按 12 元每张收费,

不成立时, 进入第(2)判断框再判断, 故第(1)判断框内应该填上： $x<5$ ? ;再看第(2)判断框, 当条件成立时按照九折收费, 不成立时按照八折收费,因此第(2)判断框内应该填上 $x<10 ，$

且应该在(3)内填上 $y=0.9 \times 12 x$, 即 $y=10.8 x$, 在(4)内填上 $y=0.8 \times 12 x$, 即 $y=9.6 x$

故答案为: (1) $x<5$ ?, (2) $x<10$ ?, (3) $10.8 x$, (4) $9.6 x$
题目（高一 · 算术）：（2012 秋・泰宁县校级月考）（1）辗转相除法求 840 与 1764 的最大公约数;

(2) 更相减损术求 153 与 119 的最大公约数.
选项：
答案：解：(1) 用辗转相除法求 840 与 1764 的最大公约数.

$1764=840 \times 2+84,840=84 \times 10+0$
$\therefore 840$ 与 1764 的最大公约数是 84 .

(2) $153-119=34$

$119-34=85$

$85-34=51$

$51-34=17$

$34-17=17$

所以 153 与 119 的最大公约数就是 17.
解析：解：(1) 用辗转相除法求 840 与 1764 的最大公约数.

$1764=840 \times 2+84,840=84 \times 10+0$
$\therefore 840$ 与 1764 的最大公约数是 84 .

(2) $153-119=34$

$119-34=85$

$85-34=51$

$51-34=17$

$34-17=17$

所以 153 与 119 的最大公约数就是 17.
题目（高一 · 算术）：某公司拟投资 100 万元，有两种投资方案可供选择：一种是年利率为 $10 \%$ ，按单利计算， 5 年后收回本金和利息; 另一种是年利率为 $9 \%$, 按每年复利一次计算, 5 年后收回本金和利息. 哪一种投资更有利?这种投资比另一种投资 5 年可多得利息多少元？(结果精确到 0.01 万元)
选项：
答案：按年利率为 $9 \%$ 每年复利一次计算的投资方式要比按年利率为 $10 \%$ 单利计算的更有利, 5 年后多得利息 3.86 万元.
解析：

试题分析：最优方案问题, 方案一的函数模型为 $y=100(1+10 \% \times 5)$, 方案二的函数模型为 $y=100(1+9 \%)^{5}$, 通过计算, 得到方案二获利更多, 解得答案.

试题解析:

本金 100 万元, 年利率为 $10 \%$, 按单利计算, 5 年后的本息和是 $100 \times(1+10 \% \times 5)=150$ (万元).

本金 100 万元, 年利率为 $9 \%$, 按每年复利一次计算, 5 年后的本息和是 $100 \times(1+9 \%)^{5} \approx 153.86$ (万元).
由此可见, 按年利率为 $9 \%$ 每年复利一次计算的投资方式要比按年利率为 $10 \%$ 单利计算的更有利, 5 年后多得利息 3.86 万元.
题目（高一 · 算术）：计算下列各式:

(1) $\left(2 \frac{3}{5}\right)^{0}+2^{-2} \times\left(2 \frac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}-(0.01)^{0.5}$.

(2) $\left(2 \frac{7}{9}\right)^{0.5}+0.1^{-2}+\left(2 \frac{10}{27}\right)^{-\frac{2}{3}}-3 \pi^{0}+\frac{37}{48}$.

(3) $(0.064)^{-\frac{1}{3}}-\left(-\frac{7}{8}\right)^{0}+\left[(-2)^{3}\right]^{-\frac{4}{3}}+16^{-0.75}+|-0.01|^{\frac{1}{2}}$.
选项：
答案：(1) $\frac{16}{15}$;
(2) 100 ;
(3) $\frac{143}{80}$
解析：【详解】

(1) 原式 $=1+\frac{1}{4} \times\left(\frac{4}{9}\right)^{\frac{1}{2}}-\left(\frac{1}{100}\right)^{\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{6}-\frac{1}{10}=\frac{16}{15}$.

(2) 原式 $=\left(\frac{25}{9}\right)^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{0.1^{2}}+\left(\frac{64}{27}\right)^{-\frac{2}{3}}-3+\frac{37}{48}$

$=\frac{5}{3}+100+\frac{9}{16}-3+\frac{37}{48}=100$.

(3) 原式 $=0.4^{-1}-1+(-2)^{-4}+2^{-3}+0.1$

$=\frac{10}{4}-1+\frac{1}{16}+\frac{1}{8}+\frac{1}{10}=\frac{143}{80}$.

【点睛】

本题考查了指数的运算性质, 需熟记指数的运算性质, 属于基础题.
题目（高一 · 算术）：计算:

(1) $0.064^{-\frac{1}{3}}-\left(-\frac{7}{8}\right)^{0}+\left[(2-\pi)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}+16^{-0.75}$;

(2) $\sqrt[3]{a^{\frac{9}{2}} \cdot \sqrt{a^{-3}}} \div \sqrt{\sqrt[3]{a^{-7}} \cdot \sqrt[3]{a^{13}}}$.
选项：
答案：(1) $\pi-\frac{3}{8}$. (2) 1
解析：【详解】

(1) 原式 $=\left(\frac{64}{1000}\right)^{-\frac{1}{3}}-1+(\pi-2)+\left(2^{4}\right)^{-\frac{3}{4}}=\left[\left(\frac{4}{10}\right)^{3}\right]^{-\frac{1}{3}}+\pi-3+2^{-3}=\frac{5}{2}+\pi-3+\frac{1}{8}=\pi-\frac{3}{8}$

(2) 原式 $=\frac{\left(a^{\frac{9}{2}} \cdot a^{-\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}}{\left(a^{-\frac{7}{3}} \cdot a^{\frac{13}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}}=\frac{\left(a^{\frac{6}{2}}\right)^{\frac{1}{3}}}{\left(a^{\frac{6}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}}=\frac{a}{a}=1$

【点睛】

本题考查指数式的综合运算，属于简单题.
题目（高一 · 算术）：判断下列函数是否存在零点, 如果存在, 请求出.

(1) $f(x)=\frac{x+1}{x}$;

(2) $f(x)=x^{2}+2 x+2$;

(3) $f(x)=2^{x}-2$;

(4) $f(x)=1-\log _{3} x$.
选项：
答案：(1) 解: 令 $\frac{x+1}{x}=0$, 解得 $x=-1$, 所以函数 $f(x)=\frac{x+1}{x}$ 的零点是 -1 ;

(2) 解: 令 $x^{2}+2 x+2=0$, 由于 $\Delta=2^{2}-4 \times 1 \times 2=-4<0$,

所以方程 $x^{2}+2 x+2=0$ 无实数根, 所以函数 $f(x)=x^{2}+2 x+2$ 不存在零点;

（3）解: 令 $2^{x}-2=0$, 解得 $x=\log _{2} 2=1$, 所以函数 $f(x)=2^{x}-2$ 的零点是 1 ;

（4）解: 令 $1-\log _{3} x=0$, 解得 $x=3$, 所以函数 $f(x)=1-\log _{3} x$ 的零点是 3 .
解析：(1)根据题意利用零点的定义即可得出结论。(2)结合二次函数的性质可求出判别式小于零所以方程 $x^{2}+2 x+2=0$ 无实数根, 所以函数 $f(x)=x^{2}+2 x+2$ 不存在零点.(3)根据题意利用零点的定义即可求出结果。(4)根据题意利用零点的定义即可得出结果。
题目（高一 · 算术）：已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^{3}-\mathrm{x}^{2}-3 \mathrm{x}+1$.

(1) 求证: $f(x)$ 在区间 (1, 2) 上存在零点;

（2）若 $f(x)$ 的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示, 请用二分法计算 $f(x)=0$ 的一个近似解（精确到 0.1 ).

| $f(1)=-1$ | $f(1.5)=1$ | $f(1.25)=-0.40625$ |
| :--- | :--- | :--- |
| $f(1.375)=0.18359$ | $f(1.3125)=-0.13818$ | $f(1.34375)=0.01581$ |
选项：
答案：解: (1) 证明: $\because f(x)=2 x^{3}-x^{2}-3 x+1$,

$\therefore \mathrm{f}(1)=-1<0, \mathrm{f}(2)=7>0$,
$\therefore f(1) \cdot f(2)=-7<0$

且 $f(x)=2 x^{3}-x^{2}-3 x+1$ 在 $(1,2)$ 内连续,

所以 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在区间 $(1,2)$ 上存在零点;

(2) 由（1）知, $f(x)=2 x^{3}-x^{2}-3 x+1$ 在 $(1,2)$ 内存在零点,

由表知, $\mathrm{f}(1)=-1, \mathrm{f}(1.5)=1$,

$\therefore \mathrm{f}(1) \cdot \mathrm{f}(1.5)<0, \therefore \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的零点在 $(1,1.5)$ 上,

$\because f(1.25)=-0.40625, \therefore f(1.25)$ $\cdot$ $(1.5)<0, \therefore f(x)$ 的零点在 $(1.25,1.5)$ 上,

$\because f(1.375)=0.18359, \therefore f(1.25)$ $\cdot$f $(1.375)<0, \therefore f(x)$ 的零点在 $(1.25,1.375)$ 上,

$\because f(1.3125)=-0.13818, \therefore f(1.3125) \cdot f(1.375)<0, \therefore f(x)$ 的零点在 $(1.3125,1.375)$ 上,

$\because f(1.34375)=0.01581, \therefore f(1.3125) \cdot f(1.34375)<0, \therefore f(x)$ 的零点在 $(1.3125,1.34375)$ 上,

由于 $|1.34375-1.3125|=0.03125<0.1$, 且 $1.3125 \approx 1.3,1.34375 \approx 1.3$,

所以 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=0$ 的一个精确到 0.1 的近似解是 1.3 .
解析：（1）根据函数零点存在定理即可判断（2）由二分法的定义进行判断, 根据其原理 - - 零点存在的区间逐步缩小，区间端点与零点的值越越接近的特征选择正确答案.
题目（高一 · 算术）：李庄村某社区电费收取有以下两种方案供农户选择:

方案一: 每户每月收管理费 2 元, 月用电不超过 30 度, 每度 0.4 元, 超过 30 度时, 超过部分按每度 0.5 元.

方案二: 不收管理费, 每度 0.48 元.

(1) 求方案一收费 $L(x)$ 元与用电量 $x$ (度) 间的函数关系;

(2) 小李家九月份按方案一交费 34 元, 问小李家该月用电多少度?

（3）小李家月用电量在什么范围时, 选择方案一比选择方案二更好?
选项：
答案：(1) 解: 当 $0 \leq x \leq 30$ 时, $L(x)=2+0.4 x$;

当 $x>30$ 时, $L(x)=2+30 \times 0.4+(x-30) \times 0.5=0.5 x-1$,
$\therefore L(x)=\left\{\begin{array}{c}2+0.4 x, 0 \leq x \leq 30 \\ 0.5 x-1, x>30\end{array}\right.$

（2）解: 当 $0 \leq x \leq 30$ 时, 由 $L(x)=2+0.4 x=34$, 解得 $x=80$, 舍去;

当 $x>30$ 时, 由 $L(x)=0.5 x-1=34$, 解得 $x=70$,

$\therefore$ 李刚家该月用电 70 度;

（3）解：设按第二方案收费为 $F(x)_{\text {元, 则 }} F(x)=0.48 x$,

当 $0 \leq x \leq 30$ 时, 由 $L(x)<F(x)$,

解得: $2+0.4 x<0.48 x$, 解得: $x>25$,

$\therefore 25<x \leq 30$;

当 $x>30$ 时, 由 $L(x)<F(x)$,

得: $0.5 x-1<0.48 x$, 解得: $x<50$,

$\therefore 30<x<50$;

综上, $25<x<50$.

故李刚家月用电量在 25 度到 50 度范围内（不含 25 度、 50 度）时,

选择方案一比方案二更好.
解析：(1)分 $0 \leq x \leq 30, x>30$ 两种情况讨论即可; (2)通过分别令当 $0 \leq x \leq 30$ 时， $x>30$ 时，

计算 $L(x)=34$ 即可得到答案; (3)通过分别令当 $0 \leq x \leq 30$ 时, $x>30$ 时, 由 $L(x)<F(x)$, 计算即可得到结论
题目（高一 · 算术）：(10 分）（1）化简： $\left(a^{4} b^{-4}\right)^{\frac{1}{4}} \times a^{0}-\left(a^{\frac{1}{3}} b^{\frac{1}{2}}\right)^{6} \div\left(a b^{4}\right)+\sqrt{(-a)^{2}}(a>0, b>0)$;

(2) 计算: $\log _{2}\left(\log _{4} 16\right)+(\lg 2)^{2}+\lg 5 \times \lg 20+\mathrm{e}^{\ln 3}$
选项：
答案：(1) 原式 $=\left(a^{4}\right)^{\frac{1}{4}}\left(b^{-4}\right)^{\frac{1}{4}} \times a^{0}-\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^{6}\left(b^{\frac{1}{2}}\right)^{6} \div\left(a b^{4}\right)+a$ $=\left(a^{4}\right)^{\frac{1}{4}}\left(b^{-4}\right)^{\frac{1}{4}}-\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^{6}\left(b^{\frac{1}{2}}\right)^{6} \div\left(a b^{4}\right)+a$

$$
\begin{aligned}
& =a b^{-1}-a^{2} b^{3} \div\left(a b^{4}\right)+a \\
& =a b^{-1}-a b^{-1}+a=a
\end{aligned}
$$

(2) 原式 $=\log _{2} 2+(\lg 2)^{2}+\lg 5 \times(1+\lg 2)+3$

$=1+(\lg 2)(\lg 2+\lg 5)+\lg 5+3$

$=4+(\lg 2+\lg 5)=5$
解析：(1) 原式 $=\left(a^{4}\right)^{\frac{1}{4}}\left(b^{-4}\right)^{\frac{1}{4}} \times a^{0}-\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^{6}\left(b^{\frac{1}{2}}\right)^{6} \div\left(a b^{4}\right)+a$ $=\left(a^{4}\right)^{\frac{1}{4}}\left(b^{-4}\right)^{\frac{1}{4}}-\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^{6}\left(b^{\frac{1}{2}}\right)^{6} \div\left(a b^{4}\right)+a$

$$
\begin{aligned}
& =a b^{-1}-a^{2} b^{3} \div\left(a b^{4}\right)+a \\
& =a b^{-1}-a b^{-1}+a=a
\end{aligned}
$$

(2) 原式 $=\log _{2} 2+(\lg 2)^{2}+\lg 5 \times(1+\lg 2)+3$

$=1+(\lg 2)(\lg 2+\lg 5)+\lg 5+3$

$=4+(\lg 2+\lg 5)=5$
题目（高一 · 算术）：编写一个程序, 要求输入两个正数 $\mathrm{a}$ 和 $\mathrm{b}$ 的值, 并输出 $a^{b}, b^{a}$ 的值.
选项：
答案：INPUT “正数 $\mathrm{a}, \mathrm{b}=$ ” ; $\mathrm{a}, \mathrm{b}$
$\mathrm{A}=a^{\wedge} b$
$\mathrm{~B}=b^{\wedge} a$
PRINT “ $a^{\wedge} b==^{\prime \prime} ; \mathrm{A}$
PRINT “ $b^{\wedge} a==^{\prime \prime} ; \mathrm{B}$
END
解析：INPUT “正数 $\mathrm{a}, \mathrm{b}=$ ” ; $\mathrm{a}, \mathrm{b}$
$\mathrm{A}=a^{\wedge} b$
$\mathrm{~B}=b^{\wedge} a$
PRINT “ $a^{\wedge} b==^{\prime \prime} ; \mathrm{A}$
PRINT “ $b^{\wedge} a==^{\prime \prime} ; \mathrm{B}$
END
题目（高一 · 算术）：写出计算 $2+4+6+\cdots+100$ 的算法, 并画出相应的程序框图.
选项：
答案：如下:

第一步, 输入 R. h.

第二步, 计算 $V=\pi R^{2} h$.

第三步, 输出 $\mathrm{V}$

程序框图如图所示

<ImageHere>
解析：如下:

第一步, 输入 R. h.

第二步, 计算 $V=\pi R^{2} h$.

第三步, 输出 $\mathrm{V}$

程序框图如图所示
题目（高一 · 算术）：设计程序框图, 求 $\frac{1}{2} \times\left(-\frac{2}{3}\right) \times \frac{3}{4} \times\left(-\frac{4}{5}\right) \times \cdots \times \frac{99}{100}$ 的值.
选项：
答案：<ImageHere>
题目（高一 · 算术）：分别用直到型循环结构和当型循环结构设计求 $\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2}}}}}$ 的值的程序框图.
选项：
答案：一当型循环结构的程序框图如图（1）所示.方法二直到型循环结构的程序框图如图 (2) 所示。

<ImageHere>
解析：一当型循环结构的程序框图如图（1）所示.方法二直到型循环结构的程序框图如图 (2) 所示。
题目（高一 · 算术）：设计一个程序, 输入学生的成绩 $S$, 根据该成绩的不同值进行以下输出: 若 $S<60$,则输出 “不及格”; 若 $60 \leqslant S \leqslant 90$, 则输出 “及格” ; 若 $S>90$, 则输出 “优秀”.
选项：
答案：INPUT"S="; S

IF $S<60$ THEN

PRINT “不及格”

END IF

IF $S>=60 \quad$ AND $\quad S<=90$ THEN

PRINT “及格”

END IF
IF $\mathrm{S}>90$ THEN
PRINT “优秀”
END IF
END
解析：INPUT"S="; S

IF $S<60$ THEN

PRINT “不及格”

END IF

IF $S>=60 \quad$ AND $\quad S<=90$ THEN

PRINT “及格”

END IF
IF $\mathrm{S}>90$ THEN
PRINT “优秀”
END IF
END
题目（高一 · 算术）：写出计算 $1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots+99^{2}$ 的程序
选项：
答案：用 WHILE 语句编写程序如下:

| $S=0$ |  |
| :---: | :---: |
| $i=1$ |  |
| WHILE | $\mathrm{i}<=99$ |
|  | $S=S+i^{\wedge} 2$ |
|  | $i=i+2$ |
| WEND |  |
| PRINT | S |
| END |  |

用 UNTIL 语句编写程序如下:

| $S=0$ |  |
| :---: | :---: |
| $\mathrm{i}=1$ |  |
| D0 |  |
| $S=S+i$ |  |
| $i=i+$ |  |
| LOOP UNTIL | i>99 |
| PRINT $\quad S$ |  |
| END |  |
解析：用 WHILE 语句编写程序如下:

| $S=0$ |  |
| :---: | :---: |
| $i=1$ |  |
| WHILE | $\mathrm{i}<=99$ |
|  | $S=S+i^{\wedge} 2$ |
|  | $i=i+2$ |
| WEND |  |
| PRINT | S |
| END |  |

用 UNTIL 语句编写程序如下:

| $S=0$ |  |
| :---: | :---: |
| $\mathrm{i}=1$ |  |
| D0 |  |
| $S=S+i$ |  |
| $i=i+$ |  |
| LOOP UNTIL | i>99 |
| PRINT $\quad S$ |  |
| END |  |
题目（高一 · 算术）：编写一个程序, 求满足 $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n}>10$ 的 $n$ 的最小值.
选项：
答案：用 WHILE 语句编写程序如下:

<ImageHere>

| DO |  |
| :---: | :---: |
|  | $n=n+1$ |
|  | $\mathrm{S}=\mathrm{S}+1 / \mathrm{n}$ |
| LOOP I | UNTIL $\mathrm{S}>10$ |
| PRINT | $\Gamma \mathrm{n}$ |
| END |  |
解析：用 WHILE 语句编写程序如下:



| DO |  |
| :---: | :---: |
|  | $n=n+1$ |
|  | $\mathrm{S}=\mathrm{S}+1 / \mathrm{n}$ |
| LOOP I | UNTIL $\mathrm{S}>10$ |
| PRINT | $\Gamma \mathrm{n}$ |
| END |  |
题目（高一 · 算术）：若六进制数 $13 \mathrm{~m} 5020$ ) 化为十进制数等于 12710 , 求数字 $\mathrm{m}$ 的值.
选项：
答案：因为 $13 m 502_{(6)}=1 \times 6^{5}+3 \times 6^{4}+m \times 6^{3}+5 \times 6^{2}+0 \times 6^{1}+2 \times 6^{0}=216 m+11846$令 $216 \mathrm{~m}+11846=12710$, 所以 $\mathrm{m}=4$.
解析：因为 $13 m 502_{(6)}=1 \times 6^{5}+3 \times 6^{4}+m \times 6^{3}+5 \times 6^{2}+0 \times 6^{1}+2 \times 6^{0}=216 m+11846$令 $216 \mathrm{~m}+11846=12710$, 所以 $\mathrm{m}=4$.
题目（高一 · 算术）：求 319 与 261 的最大公约数
选项：
答案：方法一 (更相减损术) $319-261=58,261-58=203,203-58=145,145-58$ $=87,87-58=29,58-29=29$. 所以 319 与 261 的最大公约数为 29 .

方法二 (转相除法) $319=1 \times 261+58,261=4 * 58+29,58=2 * 29$. 所以 319 与 261 的最大公约数为 29 .
解析：方法一 (更相减损术) $319-261=58,261-58=203,203-58=145,145-58$ $=87,87-58=29,58-29=29$. 所以 319 与 261 的最大公约数为 29 .

方法二 (转相除法) $319=1 \times 261+58,261=4 * 58+29,58=2 * 29$. 所以 319 与 261 的最大公约数为 29 .
题目（高一 · 算术）：已知 $f(x)=x^{5}+x^{3}+x^{2}+x+1$, 求 $\mathrm{f}$ (3) 的值.
选项：
答案：原多项式可化为 $f(x)=(((x+0) x+1) x+1) x+1) x+1$, 当 $\mathrm{x}=3$ 时,

$v_{0}=1$

$v_{1}=1 \times 3+0=3$

$v_{2}=3 \times 3+1=10$

$v_{3}=10 \times 3+1=31$

$v_{4}=31 \times 3+1=94$

$v_{5}=94 \times 3+1=283$;

所以 $\mathrm{f}(3)$ 的值为 283 .
解析：原多项式可化为 $f(x)=(((x+0) x+1) x+1) x+1) x+1$, 当 $\mathrm{x}=3$ 时,

$v_{0}=1$

$v_{1}=1 \times 3+0=3$

$v_{2}=3 \times 3+1=10$

$v_{3}=10 \times 3+1=31$

$v_{4}=31 \times 3+1=94$

$v_{5}=94 \times 3+1=283$;

所以 $\mathrm{f}(3)$ 的值为 283 .
题目（高一 · 算术）：甲、乙、丙三种溶液的质量分别为 $147 \mathrm{~g}, 343 \mathrm{~g}, 133 \mathrm{~g}$, 现要将它们分别全部装入小瓶（小瓶均装满）中，每个小瓶中装入溶液的质量相同，问每瓶最多装入溶液的质量是多少?
选项：
答案：由题意知, 每个小瓶中最多装入溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数.先求 147 与 343 的最大公约数:

$343-147=196,196-147=49,147-49=98,98-49=49$, 所以 147 与 343 的最大公约数为 49.

再求 49 与 133 的最大公约数:

$133-49=84,84-49=35,49-35=14,35-14=21,21-14=7,14-7-7$, 所以 49 与 133 的最大公约数为 7 , 所以 $147,343,133$ 的最大公约数为 7 , 即每瓶最多装入溶液的质量
是 $7 \mathrm{~g}$.
解析：由题意知, 每个小瓶中最多装入溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数.先求 147 与 343 的最大公约数:

$343-147=196,196-147=49,147-49=98,98-49=49$, 所以 147 与 343 的最大公约数为 49.

再求 49 与 133 的最大公约数:

$133-49=84,84-49=35,49-35=14,35-14=21,21-14=7,14-7-7$, 所以 49 与 133 的最大公约数为 7 , 所以 $147,343,133$ 的最大公约数为 7 , 即每瓶最多装入溶液的质量
是 $7 \mathrm{~g}$.
题目（高一 · 算术）：某商场进行优惠促销: 若购物金额 $\mathrm{x}$ 在 500 元以上, 打 8 折; 若购物金额 $\mathrm{x}$ 在 300 元以上, 打 9 折; 否则, 不打折. 设计算法, 并画出程序框图, 要求输入购物金额 $\mathrm{x}$ 即能输出实际付款额 $\mathrm{y}$.
选项：
答案：步, 输入购物金额 $\mathrm{x}$.

第二步, 判断 $0<x \leq 300$ 是否成立若成立, 则 $\mathrm{y}=\mathrm{x}$, 然后执行第四步; 否则, 执行第三步.第三步, 判断 $x \leqslant 500$ 是否成立若成立, 则 $\mathrm{y}=0.9 \mathrm{x}$; 否则, $\mathrm{y}=0.8 \mathrm{x}$.第四步，输出 $\mathrm{y}$.

<ImageHere>
解析：步, 输入购物金额 $\mathrm{x}$.

第二步, 判断 $0<x \leq 300$ 是否成立若成立, 则 $\mathrm{y}=\mathrm{x}$, 然后执行第四步; 否则, 执行第三步.第三步, 判断 $x \leqslant 500$ 是否成立若成立, 则 $\mathrm{y}=0.9 \mathrm{x}$; 否则, $\mathrm{y}=0.8 \mathrm{x}$.第四步，输出 $\mathrm{y}$.
题目（高一 · 算术）：写出计算 $1^{2}+3^{2}+5^{2}+\cdots+99^{2}$ 的程序
选项：
答案：用 WHILE 语句编写程序如下:

| $S=0$ |
| :---: |
| $i=1$ |
| WHILE $\mathrm{i}<=99$ |
| $S=S+i^{\wedge} 2$ |
| $i=i+2$ |
| WEND |
| PRINT S |
| END |

用 UNTIL 语句编写程序如下:

| $\bar{S}=0$ |  |
| :---: | :---: |
| $i=1$ |  |
| D0 |  |
| $\mathrm{S}=\mathrm{S}+$ | $i 22$ |
| $i=i+2$ |  |
| LOOP UNTIL | $i>99$ |
| PRINT $\mathrm{S}$ |  |
| END |  |
解析：用 WHILE 语句编写程序如下:

| $S=0$ |  |
| :---: | :---: |
| $i=1$ |  |
| WHILE | $\mathrm{i}<=99$ |
|  | $S=S+i^{\wedge} 2$ |
|  | $i=i+2$ |
| WEND |  |
| PRINT | S |
| END |  |

用 UNTIL 语句编写程序如下:

| $S=0$ |  |
| :---: | :---: |
| $\mathrm{i}=1$ |  |
| D0 |  |
| $S=S+i$ |  |
| $i=i+$ |  |
| LOOP UNTIL | i>99 |
| PRINT $\quad S$ |  |
| END |  |
题目（高一 · 算术）：求值:

$$
\text { (1) }(\sqrt{2}-1)^{0}+\left(\frac{16}{9}\right)^{-\frac{1}{2}}+(\sqrt{8})^{-\frac{4}{3}}
$$

(2) $0.027^{-\frac{1}{3}}-\left(-\frac{1}{6}\right)^{-2}+256^{0.75}-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{9}\right)^{0}$.
选项：
答案：【解】 $(1)(\sqrt{2}-1)^{0}+\left(\frac{16}{9}\right)^{-\frac{1}{2}}+(\sqrt{8})-\frac{4}{3}=1+\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=2$.

(2) $0.027^{-\frac{1}{3}}-\left(-\frac{1}{6}\right)^{-2}+256^{0.75}-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{9}\right)^{0}=\frac{10}{3}-36+64-\frac{1}{3}+1=32$.

10. 化简 $\sqrt[3]{a_{2}^{7} \sqrt{a^{-3}}} \div \sqrt{\sqrt[3]{a^{-8}} \sqrt[3]{a^{15}}} \div \sqrt[3]{\sqrt{a^{-3}} \sqrt{a^{-1}}}$.
解析：【解】 $(1)(\sqrt{2}-1)^{0}+\left(\frac{16}{9}\right)^{-\frac{1}{2}}+(\sqrt{8})-\frac{4}{3}=1+\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=2$.

(2) $0.027^{-\frac{1}{3}}-\left(-\frac{1}{6}\right)^{-2}+256^{0.75}-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{9}\right)^{0}=\frac{10}{3}-36+64-\frac{1}{3}+1=32$.

10. 化简 $\sqrt[3]{a_{2}^{7} \sqrt{a^{-3}}} \div \sqrt{\sqrt[3]{a^{-8}} \sqrt[3]{a^{15}}} \div \sqrt[3]{\sqrt{a^{-3}} \sqrt{a^{-1}}}$.
题目（高一 · 算术）：(1)已知集合 $M=\left\{x \in \mathbf{N} \left\lvert\, \frac{6}{1+x} \in \mathbf{Z}\right.\right\}$, 求 $M$;

(2)已知集合 $C=\left\{\left.\frac{6}{1+x} \in \mathbf{Z} \right\rvert\, x \in \mathbf{N}\right\}$, 求 $C$.
选项：
答案：(1) $\because x \in \mathbf{N}, \frac{6}{1+x} \in \mathbf{Z}, \therefore 1+x$ 应为 6 的正约数.

$\therefore 1+x=1,2,3,6$, 即 $x=0,1,2,5.21$ 

$\therefore M=\{0,1,2,5\}$.

(2) $\because \frac{6}{1+x} \in \mathbf{Z}$, 且 $x \in \mathbf{N}$,

$\therefore 1+x$ 应为 6 的正约数,
$\therefore 1+x=1,2,3,6$, 此时 $\frac{6}{1+x}$ 分别为 $6,3,2,1$,

$\therefore C=\{6,3,2,1\}$.
解析：(1) $\because x \in \mathbf{N}, \frac{6}{1+x} \in \mathbf{Z}, \therefore 1+x$ 应为 6 的正约数.

$\therefore 1+x=1,2,3,6$, 即 $x=0,1,2,5.21$ 

$\therefore M=\{0,1,2,5\}$.

(2) $\because \frac{6}{1+x} \in \mathbf{Z}$, 且 $x \in \mathbf{N}$,

$\therefore 1+x$ 应为 6 的正约数,
$\therefore 1+x=1,2,3,6$, 此时 $\frac{6}{1+x}$ 分别为 $6,3,2,1$,

$\therefore C=\{6,3,2,1\}$.
题目（高一 · 算术）：以下是用二分法求方程 $x^{3}+3 x-5=0$ 的一个近似解(精确度 0.1 )的不完整的过程, 请补充完整, 并写出结论.

设函数 $f(x)=x^{3}+3 x-5$, 其图象在 $(-\infty,+\infty)$ 上是连续不断的一条曲线.

先求值: $f(0)=$ , $f(1)=$ , $f(2)=$ $f(3)=$所以 $f(x)$ 在区间内存在零点 $x_{0}$, 填表:

| 区间 | 中点 $m$ | $f(m)$ 的符号 | 区间长度 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
|  |  |  |  |
|  |  |  |  |
|  |  |  |  |
|  |  |  |  |
选项：
答案：$f(0)=-5, f(1)=-1, f(2)=9, f(3)=31$ ，

$f(x)$ 在区间 $(1,2)$ 内存在零点 $x_{0}$ ，填表为:

| 区间 | 中点 $m$ | $f(m)$ 的符号 | 区间长度 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $(1,2)$ | 1.5 | + | 1 |
| $(1,1.5)$ | 1.25 | + | 0.5 |
| $(1,1.25)$ | 1.125 | - | 0.25 |
| $(1,125,1.25)$ | 1.1875 | + | 0.125 |
| $(1.125,1.1875)$ |  |  | 0.0625 |

因为 $|1.1875-1.125|=0.0625<0.1$ ，

所以原方程的近似解可取为 1.1875.
解析：$f(0)=-5, f(1)=-1, f(2)=9, f(3)=31$ ，

$f(x)$ 在区间 $(1,2)$ 内存在零点 $x_{0}$ ，填表为:

| 区间 | 中点 $m$ | $f(m)$ 的符号 | 区间长度 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $(1,2)$ | 1.5 | + | 1 |
| $(1,1.5)$ | 1.25 | + | 0.5 |
| $(1,1.25)$ | 1.125 | - | 0.25 |
| $(1,125,1.25)$ | 1.1875 | + | 0.125 |
| $(1.125,1.1875)$ |  |  | 0.0625 |

因为 $|1.1875-1.125|=0.0625<0.1$ ，

所以原方程的近似解可取为 1.1875.
题目（高一 · 算术）：计算:

(1) $\sqrt{\frac{25}{9}}-\left(\frac{8}{27}\right)^{\frac{1}{3}}-(\pi+e)^{0}+\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}$;

(2) $2 \lg 5+\lg 4+\ln \sqrt{e}$
选项：
答案：(1)2; (2) $\frac{5}{2}$
解析：(1)原式 $=\frac{5}{3}-\frac{2}{3}-1+2=2$,

(2) 原式 $=2(\lg 5+\lg 2)+\frac{1}{2} \times \ln e=2 \lg 10+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$.
题目（高一 · 算术）：计算下列各式的值:

(I) $4^{-\frac{3}{2}}+\left(\sqrt[3]{8^{-1}}\right)^{2}+(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{0}$;

(II) $\log _{3} 27+\lg 25+1 g 4+\log _{4} 2$.
选项：
答案：解: (I) $4^{-\frac{3}{2}}+\left(\sqrt[3]{8^{-1}}\right)^{2}+(\sqrt{2}-\sqrt{3}) 0$

$=\left(2^{2}\right)^{-\frac{3}{2}}+2^{-2}+1$

$=2^{-3}+2^{-2}+1$

$=\frac{1}{8}+\frac{1}{4}+1$

$=\frac{11}{8}$;

(II) $\log _{3} 27+\lg 25+1 g 4+\log _{4} 2$

$=\log _{3} 3^{3}+\lg 5^{2}+2 \lg 2+\frac{1}{2}$

$=3+2 \lg 5+2 \lg 2+\frac{1}{2}$

$=3+2+\frac{1}{2}$

$=\frac{11}{2}$.
解析：利用有理数指数幂, 根式的运算性质及对数的运算性质对（I）、（II）、逐个运算即可.
题目（高一 · 算术）：用二分法求方程 $x^{2}-5=0$ 的一个近似正解. (精确度为 0.1 )
选项：
答案：【解】令 $f(x)=x^{2}-5$, 因为 $f(2.2)=-0.16<0, f(2.4)=0.76>0$, 所以 $f(2.2) \cdot f(2.4)<0$,即这个函数在区间 $(2.2,2.4)$ 内有零点 $x_{0}$,取区间 $(2.2,2.4)$ 的中点 $x_{1}=2.3, f(2.3)=0.29$, 因为 $f(2.2) \cdot f(2.3)<0$, 所以 $x_{0} \in(2.2,2.3)$,再取区间 $(2.2,2.3)$ 的中点 $x_{2}=2.25, f(2.25)=0.0625$, 因为 $f(2.2) \cdot f(2.25)<0$,所以 $x_{0} \in(2.2,2.25)$, 由于 $|2.25-2.2|=0.05<0.1$,所以原方程的近似正解可取为 2.25.
解析：【解】令 $f(x)=x^{2}-5$, 因为 $f(2.2)=-0.16<0, f(2.4)=0.76>0$, 所以 $f(2.2) \cdot f(2.4)<0$,即这个函数在区间 $(2.2,2.4)$ 内有零点 $x_{0}$,取区间 $(2.2,2.4)$ 的中点 $x_{1}=2.3, f(2.3)=0.29$, 因为 $f(2.2) \cdot f(2.3)<0$, 所以 $x_{0} \in(2.2,2.3)$,再取区间 $(2.2,2.3)$ 的中点 $x_{2}=2.25, f(2.25)=0.0625$, 因为 $f(2.2) \cdot f(2.25)<0$,所以 $x_{0} \in(2.2,2.25)$, 由于 $|2.25-2.2|=0.05<0.1$,所以原方程的近似正解可取为 2.25.