eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高一 · 解析几何）：（2020 春・双流区校级月考）关于 $x$ 的方程 $x^{2}-4 x+m=0(-1 \leqslant m \leqslant 7)$ 有两个正实根的概率是 \$ \qquad \$
选项：
答案：$\frac{1}{2}$.
解析：解: 由 $x^{2}-4 x+m=0$, 得 $m=-x^{2}+4 x=-(x-2)^{2}+4,(x>0)$,

解得 $m \in(0,4]$,

由 $-7 \leqslant m \leqslant 1$, 方程 $x^{2}-4 x+m=0(-1 \leqslant m \leqslant 7)$ 有两个正实根的概率为 $\frac{1}{2}$.

故答案为: $\frac{1}{2}$.
题目（高一 · 解析几何）：函数 $y=\log _{a}(2 x-3)+4$ 的图像恒过定点 $A$, 且点 $A$ 在幂函数 $f(x)$ 的图像上, 则 $f(3)=$ \$ \qquad \$ .
选项：
答案：9
解析：

$\because \log _{a} 1=0, \therefore$ 当 $2 x-3=1$, 即 $x=2$ 时, $y=4, \therefore$ 点定点 $A$ 的坐标是 $P(2,4)$, 幂函数 $f(x)=x^{\alpha}$ 图象过点 $A(2,4), \therefore 4=2^{\alpha}$, 解得 $\alpha=2, \therefore$ 幂函数为 $f(x)=x^{2}$, 则 $f(3)=9$, 故答案为 9 .
题目（高一 · 解析几何）：定义区间 $\left[x_{1}, x_{2}\right]$ 的长度为 $x_{2}-x_{1}$, 已知函数 $f(x)=3^{|x|}$ 的定义域为 $[a, b]$, 值域为 $[1,9]$, 则区间 $[a, b]$长度的最小值为 \$ \qquad \$
选项：
答案：2
解析：【详解】

$\because$ 函数 $f(x)=3^{|x|}$ 的定义域为 $[a, b]$, 值域为 $[1,9]$, 又 $3^{0}=1,3^{2}=3^{|2|}=9, \therefore 0 \in[a, b] .2$ 和 -2 至少有一个属于区间 $[a, b]$,

故区间 $[a, b]$ 的长度最小时为 $[-2,0]$ 或 $[0,2]$, 即区间 $[a, b]$ 长度的最小值为 2 .

故答案为: 2 .

【点睛】

本题主要考查指数函数的图象和性质, 考查绝对值不等式的解法, 属于中档题.
题目（高一 · 解析几何）：设 $[t]$ 表示不超过实数 $t$ 的最大整数 (如 $[-1.3]=-2,[2.6=2$ ), 则函数 $f(x)=|2 x-1|-|x|$ 的零点个数为
选项：
答案：2
解析：函数 $f(x)=|2 x-1|-\lfloor x\rfloor$ 的零点即方程 $|2 x-1|=\lfloor x\rfloor$ 的根,

$\therefore$ 函数 $f(x)$ 的零点个数, 即方程 $|2 x-1|=\lfloor x\rfloor$ 的根的个数.

$\because|2 x-1| \geq 0, \therefore|x| \geq 0, \therefore x \geq 0$.

当 $0 \leq x<1$ 时, $[x]=0, \therefore|2 x-1|=0, \therefore x=\frac{1}{2}$.

当 $x=1$ 时, $\lfloor x\rfloor=1 ， \therefore|2 x-1|=1, \therefore 2 x-1=1$ 或 $2 x-1=-1 \therefore x=1$ 或 $x=0$ (舍).

当 $x>1$ 时, $|2 x-1|=2 x-1>x \geq\lfloor x\rfloor, \therefore$ 方程 $|2 x-1|=\lfloor x\rfloor_{\text {无解. }}$.

综上, 方程 $|2 x-1|=\lfloor x\rfloor_{\text {的根为 }} \frac{1}{2}, 1$.

所以方程 $|2 x-1|=\lfloor x\rfloor$ 有 2 个根, 即函数 $f(x)=|2 x-1|-\lfloor x\rfloor$ 有 2 个零点.

故答案为: 2 .

【分析】函数 $f(x)=|2 x-1|-\lfloor x\rfloor$ 的零点即方程 $|2 x-1|=\lfloor x\rfloor$ 的根, 由 $\mid 2 x-1 \geq \geq 0$ 可得 $x \geq 0$. 分
$0 \leq x<1 、 x=1$ 和 $x>1$ 讨论, 求出方程 $|2 x-1|=\lfloor x \mid$ 的根, 即得函数 $f(x)$ 的零点个数.
题目（高一 · 解析几何）：已知 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 是平面上的两点, 试根据平面几何中的中点坐标公式设计一个程序, 要求输入 $A, B$ 两点的坐标, 输出它们连线中点的坐标. 现已给出程序的一部分,请在横线处把程序补充完整: \$ \qquad \$



$\mathrm{y}=$

PRINT $\mathrm{x}, \mathrm{y}$

END
选项：
答案：\left(x_{1}+x_{2}\right) / 2\left(y_{1}+y_{2}\right) / 2
解析：故答案为:\left(x_{1}+x_{2}\right) / 2\left(y_{1}+y_{2}\right) / 2
题目（高一 · 解析几何）：请你正确地使用符号写出直线与平面平行的判定定理条件
选项：
答案：\not \subset \alpha, b \subset \alpha, a / / b$
解析：【分析】

直线与平面平行的判定定理为: 如果平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行, 那么这条直线与这个平面平行，将文字语言转化为符号语言即可.

## 【详解】

直线与平面平行的判定定理的条件为“平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行”,转化为符号语言为: “ $a \not \subset \alpha, b \subset \alpha, a / / b$ ”

故答案为: $a \not \subset \alpha, b \subset \alpha, a / / b$

## 【点睛】

本题主要考查直线与平面平行的判定定理, 考查学生正确运用符号表示立体几何位置关系的能力，属于基础题.
题目（高一 · 解析几何）：如图, 函数 $f(x)$ 的图象是折线段 $A B C$, 其中 $A, B, C$ 的坐标分别为 $(0,4),(2,0),(6,4)$, 则 $f[f(2)]=$ ; 不等式 $f(x) \leq 2$ 的解集为


选项：
答案：(1) 由图可知, $f(2)=0$, 所以 $f[f(2)]=f(0)=4$

(2) 由图可知, 函数值小于等于 2 的解集为 $[1,4]$
解析：(1) 由图可知, $f(2)=0$, 所以 $f[f(2)]=f(0)=4$

(2) 由图可知, 函数值小于等于 2 的解集为 $[1,4]$
题目（高一 · 解析几何）：函数 $f(x)=\sqrt{x^{2}-2 x-3}$ 的单调递增区间为
选项：
答案：$[3,+\infty)$
解析：【详解】

令 $x^{2}-2 x-3 \geq 0$, 解得 $x \leq-1$ 或 $x \geq 3$,

函数 $f(x)=\sqrt{x^{2}-2 x-3}$ 的定义域为 $(-\infty,-1] \cup[3,+\infty)$.

内层函数 $u=x^{2}-2 x-3$ 的减区间为 $(-\infty,-1]$, 增区间为 $[3,+\infty)$.

外层函数 $y=\sqrt{u}$ 在 $[0,+\infty)$ 上为增函数,

由复合函数法可知, 函数 $f(x)=\sqrt{x^{2}-2 x-3}$ 的单调递增区间为 $[3,+\infty)$.

故答案为 $[3,+\infty)$.

【点睛】

本题考查函数单调区间的求解, 常用的方法有复合函数法、图象法, 另外在求单调区间时, 首先应求函数的定义域, 考查分析问题和解决问题的能力, 属于中等题.
题目（高一 · 解析几何）：函数 $f(x)=\frac{a}{x}+b x+3$ (a, b 均为正数), 若 $\mathbf{f}(\mathbf{x})$ 在 $(\mathbf{0},+\infty)$ 上有最小值 $\mathbf{1 0}$, 则 $\mathbf{f}(\mathrm{x})$ 在 $(-\infty, 0)$ 上的最大值为
选项：
答案：-4
解析：函数 ( $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 均为正数),

$$
f(x)=\frac{a}{x}+b x+3
$$

可设 $g(x)=\frac{\underline{a}}{\underline{a}}+b x$, 可得 $g(-x)=-\left(\frac{a}{x}+b x\right)=-g(x)$ ，

即 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 为奇函数,

设 $g(x)$ 在 $x>0$ 的最小值为 $m$, 在 $x<0$ 的最大值为 $n$,

且 $m+n=0$,

由 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $(0,+\infty)$ 上有最小值 10 ,

可得 $m+3=10$,

即 $m=7$, 可得 $n=-7$,

则 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上的最大值为 $-7+3=-4$.

故答案为: -4 .
题目（高一 · 度量几何学）：三条平行直线最多能确定的平面的个数为
选项：
答案：3
解析：当三条平行直线在一个平面内时，可以确定 1 个平面；当三条平行直线不在同一平面上时，可以确定 3 个平面. 综上最多可确定 3 个平面.
题目（高一 · 度量几何学）：已知平面 $\alpha$ 和 $\beta$, 在平面 $\alpha$ 内任取一条直线 $a$, 在 $\beta$ 内总存在直线 $b / / a$, 则 $\alpha$ 与 $\beta$ 的位置关系是 \$ \qquad \$ . (填 “平行” 或 “相交”)
选项：
答案：平行
解析：若 $\alpha \cap \beta=l$ ，则在平面 $\alpha$ 内，与 $l$ 相交的直线 $a$ ，

设 $a \cap l=A$ ，对于 $\beta$ 内的任意直线 $b$ ，

若 $b$ 过点 $A$ ，则 $a$ 与 $b$ 相交，若 $b$ 不过点 $A$ ，则 $a$ 与 $b$ 异面，即 $\beta$ 内不存在直线 $b / / a$ ，矛盾.

故 $\alpha / / \beta$.
题目（高一 · 度量几何学）：（2021・十五模拟）如图是一个圆形射击靶的示意图, 靶心为圆心 $O$, 半径为 2 分米. 一名运动员在练习射击的时候, 在靶上画了一个标志胜利的 “ $V$ ” 形轴对称图案 $A O B C$, 其中 $\angle A O B=60^{\circ}$,点 $A, B$ 在圆形靶的边缘上, 点 $C$ 与靶的边缘的最短距离为 1 分米. 该运动员朝靶上任意射击一次，没有脱靶，则命中靶中 “ $V$ ” 形图案的概率为 \$ \qquad \$


选项：
答案：$\frac{1}{4 \pi}$.

<ImageHere>
解析：解: 连接 $A B$, 由题意可得 $\triangle A O B$ 是边长为 2 的等边三角形,

则靶中 “ $V$ ” 形图案的面积为 $S_{\triangle A B C}-S_{\triangle A O B}=\frac{1}{2} \times 2 \times(1+\sqrt{3})-\frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{3}=1$,

又圆形靶的面积为 $4 \pi$,

根据几何概型的概率计算公式得命中靶中 “ $V$ ” 形图案的概率为 $\frac{1}{4 \pi}$,

故答案为: $\frac{1}{4 \pi}$.
题目（高一 · 度量几何学）：020 秋・二道区校级期末）在矩形 $A B C D$ 中, $A B=5, A C=7$, 现向该矩形 $A B C D$ 内随机投一点 $P$, 则 $\angle A P B>90^{\circ}$ 的概率为 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：frac{5 \sqrt{6} \pi}{96}$.

<ImageHere>
解析：由题意, $A D=\sqrt{A C^{2}-A B^{2}}=2 \sqrt{6}$, 矩形的面积为 $10 \sqrt{6}$, 如图而使 $\angle A P B>90^{\circ}$ 成立的区域为以 $A B$ 为直径的半圆, 面积为 $\frac{1}{2} \pi\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{25 \pi}{8}$,由几何概型公式得到向该矩形 $A B C D$ 内随机投一点 $P$, 则 $\angle A P B>90^{\circ}$ 的概率为: $\frac{\frac{25 \pi}{8}}{10 \sqrt{6}}=\frac{5 \sqrt{6} \pi}{96}$;故答案为: $\frac{5 \sqrt{6} \pi}{96}$.
题目（高一 · 立体几何学）：已知空间四点中无任何三点共线, 那么这四点可以确定平面的个数是
选项：
答案：1 或 4
解析：其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定 1 个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定 4 个平面.
题目（高一 · 立体几何学）：若直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 相交于点 $O, A, B \in l, C, D \in \alpha$, 且 $A C / / B D$, 则 $O, C, D$ 三点的位置关系是
选项：
答案：三点共线
解析：because A C / / B D$ ，

$\therefore A C$ 与 $B D$ 确定一个平面，记作平面 $\beta$ ，则 $\alpha \cap \beta=$ 直线 $C D$.



$\because l \cap \alpha=O, \quad \therefore O \in \alpha$.

又 $\because O \in A B \subset \beta$,
$\therefore O \in$ 直线 $C D$ ，

$\therefore O, C, D$ 三点共线.
题目（高一 · 立体几何学）：线 $l$ 上有两个点在平面 $\alpha$ 内, 则下列说法中正确的序号为

(1)直线 $l$ 上至少有一个点在平面 $\alpha$ 外;

(2)直线 $l$ 上有无穷多个点在平面 $\alpha$ 外;

(3)直线 $l$ 上所有点都在平面 $\alpha$ 内;

(4)直线 $l$ 上至多有两个点在平面 $\alpha$ 内
选项：
答案：(3)
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 空间四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C=8, B D=6, M, N$ 分别为 $A B, C D$ 的中点, 并且异面直线 $A C$ 与 $B D$ 所成的角为 $90^{\circ}$, 则 $M N=$


选项：
答案：5
解析：取 $A D$ 的中点 $P$ ，连接 $P M ， P N$ ，



则 $B D / / P M ， A C / / P N$ ，

$\therefore \angle M P N$ 即为异面直线 $A C$ 与 $B D$ 所成的角，

$\therefore \angle M P N=90^{\circ}$,

$P N=\frac{1}{2} A C=4, \quad P M=\frac{1}{2} B D=3$,

$\therefore M N=5$.
题目（高一 · 立体几何学）：正方体纸盒展开后如图所示, 在原正方体纸盒中有如下结论:



(1) $A B \perp E F$;

(2) $A B$ 与 $C M$ 所成的角为 $60^{\circ}$;

(3)EF 与 $M N$ 是异面直线;

(4) $M N / / C D$.

以上结论正确的为 \$ \qquad \$ . (填序号)
选项：
答案：(1)(3)
解析：方体的平面展开图还原成原来的正方体可知， $A B \perp E F ， E F$ 与 $M N$ 是异面直线， $A B / / C M ， M N \perp C D$ ，只有(1)(3)正确.
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示, 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $M, N$ 分别为棱 $C_{1} D_{1}, C_{1} C$ 的中点, 有以下四个结论:



(1)直线 $A M$ 与 $C C_{1}$ 是相交直线;

(2)直线 $A M$ 与 $B N$ 是平行直线;

(3)直线 $B N$ 与 $M B_{1}$ 是异面直线;

(4)直线 $A M$ 与 $D D_{1}$ 是异面直线.

其中正确的结论为 . (填序号)
选项：
答案：(3) (4)
解析：直线 $A M$ 与 $C C_{1}$ 是异面直线，直线 $A M$ 与 $B N$ 也是异面直线，故(1)(2)错误; (3)(4)正确.
题目（高一 · 立体几何学）：若点 $A \in \alpha, B \notin \alpha, C \notin \alpha$, 则平面 $A B C$ 与平面 $\alpha$ 的位置关系是
选项：
答案：相交
解析：$\because$ 点 $A \in \alpha ， B \notin \alpha ， C \notin \alpha$ ，

$\therefore$ 平面 $A B C$ 与平面 $\alpha$ 有公共点，且不重合，
$\therefore$ 平面 $A B C$ 与平面 $\alpha$ 的位置关系是相交.
题目（高一 · 立体几何学）：下列说法中正确的是 \$ \qquad \$ . (填序号)

(1)若直线 $a$ 不在平面 $\alpha$ 内，则 $a / / \alpha$;

(2)若直线 $l$ 上有无数个点不在平面 $\alpha$ 内, 则 $l / /$;

(3)若直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 平行, 则 $l$ 与 $\alpha$ 内任何一条直线都没有公共点;

(4)平行于同一平面的两条直线可以相交.
选项：
答案：(3) (4)
解析：当 $a \cap \alpha=A$ 时， $a \downarrow \alpha$ ，故(1)错; 当直线 $l$ 与 $\alpha$ 相交时， $l$ 上有无数个点不在 $\alpha$ 内，故(2)错；若 $l / / \alpha$ ，则 $l$ 与 $\alpha$ 无公共点，则 $l$ 与 $\alpha$ 内任何一条直线都无公共点，故(3)正确；在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 相交，且都与平面 $A B C D$ 平行，故(4)正确. 故答案为 (3) (4).
题目（高一 · 立体几何学）：互不重合的三个平面最多可以把空间分成 \$ \qquad \$个部分.
选项：
答案：8
解析：重合的三个平面将空间分成五种情形: 当三个平面互相平行时，将空间分成四部分；当两个平面平行，第三个平面与它们相交时，将空间分成六部分；当三个平面相交于同一条直线时，将空间分成六部分; 当三个平面相交于三条直线时，且三条交线交于同一点时，将空间分成八个部分；当三个平面相交于三条直线，且三条交线互相平行时，将空间分成七部分. 即不重合的三个平面可以将空间分成四部分或六部分或七部分或八部分. 所以最多将空间分成 8 部分.
题目（高一 · 立体几何学）：已知下列说法:

(1)若两个平面 $\alpha / / \beta, a \subset \alpha, b \subset \beta$, 则 $a / / b$;

(2)若两个平面 $\alpha / / \beta, a \subset \alpha, b \subset \beta$, 则 $a$ 与 $b$ 是异面直线;

(3)若两个平面 $\alpha / / \beta, a \subset \alpha, b \subset \beta$, 则 $a$ 与 $b$ 平行或异面;

(4)若两个平面 $\alpha \cap \beta=b, a \subset \alpha$, 则 $a$ 与 $\beta$ 一定相交.

其中正确的序号是
选项：
答案：(3)
解析：(1)错， $a$ 与 $b$ 也可能异面;

(2)错， $a$ 与 $b$ 也可能平行；

(3)对， $\because \alpha / / \beta ， \therefore \alpha$ 与 $\beta$ 无公共点，又 $\because a \subset \alpha ， b \subset \beta ， \therefore a$ 与 $b$ 无公共点，那么 $a / / b$ 或 $a$ 与 $b$ 异面；

(4)错， $a$ 与 $\beta$ 也可能平行.
题目（高一 · 立体几何学）：三棱雉 $S A B C$ 中, $G$ 为 $\triangle A B C$ 的重心, $E$ 在棱 $S A$ 上, 且 $A E=2 E S$, 则 $E G$ 与平面 $S B C$的关系为
选项：
答案：平行
解析：如图, 延长 $A G$ 交 $B C$ 于 $F$, 连接 $S F$, 则由 $G$ 为 $\triangle A B C$ 的重心知 $A G: G F=2$, 又 $A E: E S$ $=2 ， \therefore E G / / S F$ ，又 $S F \subset$ 平面 $S B C ， E G$ 平面 $S B C$ ，



$\therefore E G / /$ 平面 $S B C$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 在五面体 $F E-A B C D$ 中, 四边形 $C D E F$ 为矩形, $M, N$ 分别是 $B F, B C$ 的中点,则 $M N$ 与平面 $A D E$ 的位置关系是 \$ \qquad \$ .


选项：
答案：平行
解析：because M ， N$ 分别是 $B F ， B C$ 的中点， $\therefore M N / / C F$.

## 又四边形 $C D E F$ 为矩形，

$\therefore C F / / D E$,

$\therefore M N / / D E$.

又 $M N \nmid$ 平面 $A D E ， D E \subset$ 平面 $A D E ， \therefore M N / /$ 平面 $A D E$.
题目（高一 · 立体几何学）：已知 $l, m$ 是两条直线, $\alpha$ 是平面, 若要得到 “ $l / / \alpha$ ”, 则需要在条件 “ $m \subset \alpha, l / / m$ ” 中另外添加的一个条件是
选项：
答案：$l \Varangle \alpha$
题目（高一 · 立体几何学）：如图是正方体的平面展开图. 在这个正方体中,



(1) $B M / /$ 平面 $D E$; (2) $C N / /$ 平面 $A F$; (3)平面 $B D M / /$ 平面 $A F N$; (4) 平面 $B D E / /$ 平面 $N C F$.以上四个命题中, 正确命题的序号是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：(1)(2)(3)
解析：$A B C D$ 为下底面还原正方体，如图:



则易判定四个命题都是正确的.
题目（高一 · 立体几何学）：已知平面 $\alpha, \beta$ 和直线 $a, b, c$, 且 $a / / b / / c, a \subset \alpha, b, c \subset \beta$, 则 $\alpha$ 与 $\beta$ 的关系是
选项：
答案：相交或平行
解析：$b ， c \subset \beta ａ \subset \alpha ， a / / b / / c$ ，若 $\alpha / / \beta$ ，满足要求; 若 $\alpha$ 与 $\beta$ 相交，交线为 $l, b / / c / / l ， a / / l$ ，
满足要求，故答案为相交或平行.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 已知 $A, B, C, D$ 四点不共面, 且 $A B / / \alpha, C D / / \alpha, A C \cap \alpha=E, A D \cap \alpha=F, B D \cap \alpha$ $=H, B C \cap \alpha=G$, 则四边形 $E F H G$ 的形状是 \$ \qquad \$ .


选项：
答案：平行四边形
解析：$\because A B / / \alpha$,

平面 $A B C \cap \alpha=E G ，$

$\therefore E G / / A B$.同理 $F H / / A B$ ，

$\therefore E G / / F H$.又 $C D / / \alpha$ ，平面 $B C D \cap \alpha=G H$ ，

$\therefore G H / / C D$.同理 $E F / / C D$ ，

$\therefore G H / / E F$ ，

$\therefore$ 四边形 $E F H G$ 是平行四边形.
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示的正方体的棱长为 4 , 点 $E, F$ 分别为 $A_{1} D_{1}, A A_{1}$ 的中点, 则过 $C_{1}, E, F$ 的截面的周长为 \$ \qquad \$


选项：
答案：$4 \sqrt{5}+6 \sqrt{2}$
解析：$E F / /$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ 可知平面 $B C C_{1} B_{1}$ 与平面 $E F C_{1}$ 的交线为 $B C_{1}$ ，平面 $E F C_{1}$ 与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 的交线为 $B F$ ，所以截面周长为 $E F+F B+B C_{1}+C_{1} E=4 \sqrt{5}+6 \sqrt{2}$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示, $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是棱长为 $a$ 的正方体, $M, N$ 分别是下底面的棱 $A_{1} B_{1}, B_{1} C_{1}$的中点, $P$ 是上底面的棱 $A D$ 上的一点, $A P=\frac{a}{3}$, 过 $P, M, N$ 的平面交上底面于 $P Q, Q$ 在 $C D$ 上，则 $P Q=$ \$ \qquad \$ .


选项：
答案：$\frac{2 \sqrt{2}}{3} a$
解析：$\because M N / /$ 平面 $A C$ ，平面 $P M N \cap$ 平面 $A C=P Q$ ，

$\therefore M N / / P Q$ ，易知 $D P=D Q=\frac{2 a}{3}$ ，

故 $P Q=\sqrt{P D^{2}+D Q^{2}}=\sqrt{2} D P=\frac{2 \sqrt{2} a}{3}$.
题目（高一 · 立体几何学）：直线 $a / /$ 平面 $\alpha, \alpha$ 内有 $n$ 条直线交于一点, 则这 $n$ 条直线中与直线 $a$ 平行的直线有_条.
选项：
答案：0 或 1
解析：过直线 $a$ 与交点作平面 $\beta$ ，设平面 $\beta$ 与 $\alpha$ 交于直线 $b$ ，则 $a / / b$ ，若所给 $n$ 条直线中有 1 条是与 $b$ 重合的，则此直线与直线 $a$ 平行，若没有与 $b$ 重合的，则与直线 $a$ 平行的直线有 0 条.
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示, 平面 $\alpha / /$ 平面 $\beta, \triangle A B C, \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 分别在 $\alpha, \beta$ 内, 线段 $A A^{\prime}, B B^{\prime}$, $C C^{\prime}$ 共点于 $O, O$ 在平面 $\alpha$ 和平面 $\beta$ 之间, 若 $A B=2, A C=2, \angle B A C=60^{\circ}, O A: O A^{\prime}=$ $3: 2$, 则 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的面积为 \$ \qquad \$ .


选项：
答案：$\frac{4 \sqrt{3}}{9}$
解析：$A A^{\prime} ， B B^{\prime}$ 相交于 $O$ ，所以 $A A^{\prime} ， B B^{\prime}$ 确定的平面与平面 $\alpha$ ，平面 $\beta$ 的交线分别为 $A B ， A^{\prime} B^{\prime}$ ，有 $A B / / A^{\prime} B^{\prime}$ ，

且 $\frac{O A}{O A^{\prime}}=\frac{A B}{A^{\prime} B^{\prime}}=\frac{3}{2}$ ，同理可得 $\frac{O A}{O A^{\prime}}=\frac{A C}{A^{\prime} C^{\prime}}=\frac{3}{2}, \frac{O A}{O A^{\prime}}=\frac{B C}{B^{\prime} C^{\prime}}=\frac{3}{2}$, 所以 $\triangle A B C$ ，
$\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 面积的比为 $9: 4$, 又 $\triangle A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$, 所以 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的面积为 $\frac{4 \sqrt{3}}{9}$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 在多面体 $A B C-D E F G$ 中, 平面 $A B C / /$ 平面 $D E F G, A D / / B E, A C / / D G / / E F$,且 $A B=D E, D G=2 E F$, 则下列说法中正确的是 \$ \qquad \$ . (填序号)



(1) $B F / /$ 平面 $A C G D$;

(2) $C F / /$ 平面 $A B E D$;

(3) $B C / / F G$;

(4)平面 $A B E D / /$ 平面 $C G F$.
选项：
答案：(1)
解析：$\because E F / / D G, B E / / A D, B E \cap E F=E$ ，

$A D \cap D G=D ，$

$\therefore$ 平面 $B E F / /$ 平面 $A D G C$.

$\because B F \subset$ 平面 $B E F ， \therefore B F / /$ 平面 $A C G D$ ，故(1)正确;

由于 $D G=2 E F$ ，则四边形 $E F G D$ 是梯形，

$G F$ 的延长线必与直线 $D E$ 相交，

故(4)不正确；

选项(2)(3)不能推出.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 四棱雉 $P-A B C D$ 的底面是平行四边形, $P A=P B=A B=2, E, F$ 分别是 $A B, C D$的中点, 平面 $A G F / /$ 平面 $P E C, P D \cap$ 平面 $A G F=G, E D$ 与 $A F$ 相交于点 $H$, 则 $G H=$


选项：
答案：$\frac{\sqrt{3}}{2}$
解析：$A B C D$ 是平行四边形，

$\therefore A B / / C D$ ，且 $A B=C D ，$
又 $E, F$ 分别是 $A B, C D$ 的中点，

$\therefore A E=F D$ ，

又 $\angle E A H=\angle D F H$ ，

$\angle A E H=\angle F D H$,

$\therefore \triangle A E H \cong \triangle F D H$,

$\therefore E H=D H$.

$\because$ 平面 $A G F / /$ 平面 $P E C$ ，

又平面 $P E D \cap$ 平面 $A G F=G H$ ，

平面 $P E D \cap$ 平面 $P E C=P E$ ，

$\therefore G H / / P E$ ，

则 $G$ 是 $P D$ 的中点.

$\because P A=P B=A B=2$,

$\therefore P E=2 \times \sin 60^{\circ}=\sqrt{3}$,

$\therefore G H=\frac{1}{2} P E=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 过 $B B_{1}$ 的中点 $E$ 作一个与平面 $A C B_{1}$ 平行的平面交 $A B$ 于 $M$, 交 $B C$ 于 $N$, 则 $\frac{M N}{A C}=$ \$ \qquad \$ .


选项：
答案：$\frac{1}{2}$
解析：$\because$ 平面 $M N E / /$ 平面 $A C B_{1}$,

由面面平行的性质定理可得 $E N / / B_{1} C ， E M / / B_{1} A$ ，

又 $\because E$ 为 $B B_{1}$ 的中点， $\therefore M, N$ 分别为 $B A ， B C$ 的中点，

$\therefore M N=\frac{1}{2} A C$ ，即 $\frac{M N}{A C}=\frac{1}{2}$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 在直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, $B C=C C_{1}$, 当底面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 满足条件 \$ \qquad \$时,有 $A B_{1} \perp B C_{1}$. (注: 填上你认为正确的一种条件即可, 不必考虑所有可能的情况)


选项：
答案：$\angle A_{1} C_{1} B_{1}=90^{\circ}$
解析：如图所示，连接 $B_{1} C$ ，由 $B C=C C_{1}$ ，可得 $B C_{1} \perp B_{1} C$ ，因此，要证 $A B_{1} \perp B C_{1}$ ，则只要证明 $B C_{1} \perp$ 平面 $A B_{1} C$ ，即只要证 $A C \perp B C_{1}$ 即可，由直三棱柱可知，只要证 $A C \perp B C$ 即可. 因为 $A_{1} C_{1} / / A C ， B_{1} C_{1} / / B C$ ，故只要证 $A_{1} C_{1} \perp B_{1} C_{1}$ 即可. (或者能推出 $A_{1} C_{1} \perp B_{1} C_{1}$ 的条件，如 $\angle A_{1} C_{1} B_{1}=90^{\circ}$ 等)
题目（高一 · 立体几何学）：在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $M, N$ 分别是棱 $A A_{1}$ 和 $A B$ 上的点, 若 $\angle B_{1} M N$ 是直角,则 $\angle C_{1} M N=$
选项：
答案：$90^{\circ}$

#
解析：体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $M, N$ 分别是棱 $A A_{1}$ 和 $A B$ 上的点, 若 $\angle B_{1} M N$ 是直角,则 $\angle C_{1} M N=$

答案 $90^{\circ}$
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 已知四棱雉 $P-A B C D$ 中, 底面 $A B C D$ 为矩形, $P A \perp$ 平面 $A B C D$,则图中共有直角三角形的个数为 \$ \qquad \$


选项：
答案：4
解析：$\because P A \perp$ 平面 $A B C D ，$

$\therefore P A \perp B C$,

又 $B C \perp A B$ ，

$\therefore B C \perp$ 平面 $P A B$.

$\therefore B C \perp P B$,

同理得 $C D \perp P D$ ，

## 故共有 4 个直角三角形.
题目（高一 · 立体几何学）：所示, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $P A \perp \odot O$ 所在的平面, $C$ 是圆上一点, 且 $\angle A B C=30^{\circ}$, $P A=A B$ ，则直线 $P C$ 与平面 $A B C$ 所成角的正切值为 \$ \qquad \$ .


选项：
答案：2
解析：因为 $P A \perp$ 平面 $A B C$ ，所以 $A C$ 为斜线 $P C$ 在平面 $A B C$ 上的射影，所以 $\angle P C A$ 即为 $P C$与平面 $A B C$ 所成的角. 在 Rt $\triangle P A C$ 中， $A C=\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} P A$, 所以 $\tan \angle P C A=\frac{P A}{A C}=2$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示, 在四棱雉 $P-A B C D$ 中, $P A \perp$ 底面 $A B C D$, 且底面各边都相等, $M$ 是 $P C$ 上的一动点, 当点 $M$ 满足 \$ \qquad \$时，平面 $M B D \perp$ 平面 $P C D$. (只要填写一个你认为是正确的条件即可)


选项：
答案：$D M \perp P C$ (或 $B M \perp P C$ 等)
解析：意得 $B D \perp A C$ ，

$\because P A \perp$ 平面 $A B C D ，$

$\therefore P A \perp B D$.

又 $P A \cap A C=A$ ，

$\therefore B D \perp$ 平面 $P A C$ ，

$\therefore B D \perp P C$.

$\therefore$ 当 $D M \perp P C($ 或 $B M \perp P C)$ 时，

即有 $P C \perp$ 平面 $M B D ，$

而 $P C \subset$ 平面 $P C D$,

$\therefore$ 平面 $M B D \perp$ 平面 $P C D$.
题目（高一 · 立体几何学）：$\alpha, \beta$ 是两个不同的平面, $m, n$ 是平面 $\alpha$ 及 $\beta$ 之外的两条不同直线, 给出四个论断:

(1) $m \perp n$; (2) $\alpha \perp \beta$; (3) $n \perp \beta$; (4) $m \perp \alpha$.

以其中三个论断作为条件, 余下一个论断作为结论, 写出你认为正确的一个命题
选项：
答案：(1)(3)(4) $\Rightarrow$ (2)
解析：$m \perp n$ ，将 $m$ 和 $n$ 平移到一起，则确定一平面，

$\because n \perp \beta, m \perp \alpha$,

$\therefore$ 该平面与平面 $\alpha$ 和平面 $\beta$ 的交线也互相垂直，

从而平面 $\alpha$ 和平面 $\beta$ 的二面角的平面角为 $90^{\circ} ， \therefore \alpha \perp \beta$.

故答案为(1)(3)(4) $\Rightarrow$ (2).
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 平面 $A B C \perp$ 平面 $A B D, \angle A C B=90^{\circ}, C A=C B, \triangle A B D$ 是正三角形, $O$ 为 $A B$中点, 则图中直角三角形的个数为 \$ \qquad \$ .


选项：
答案：6
解析：$\because C A=C B, O$ 为 $A B$ 的中点， $\therefore C O \perp A B$.
又平面 $A B C \perp$ 平面 $A B D ，$ 平面 $A B C \cap$ 平面 $A B D=A B, C O \subset$ 平面 $A B C$ ，

$\therefore C O \perp$ 平面 $A B D$.

$\because O D \subset$ 平面 $A B D ， \therefore C O \perp O D ， \therefore \triangle C O D$ 为直角三角形.

$\therefore$ 图中的直角三角形有 $\triangle A O C ， \triangle C O B ， \triangle A B C ， \triangle A O D ， \triangle B O D ， \triangle C O D$ 共 6 个.
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示, $A B$ 为圆 $O$ 的直径, 点 $C$ 在圆周上(异于点 $A, B$ ), 直线 $P A$ 垂直于圆 $O$ 所在的平面, 点 $M$ 为线段 $P B$ 的中点. 有以下四个命题: (1) $P A / /$ 平面 $M O B$; (2) $M O / /$ 平面 $P A C$; (3) $O C \perp$ 平面 $P A C$; (4)平面 $P A C \perp$ 平面 $P B C$.其中正确的命题是 . (填上所有正确命题的序号)


选项：
答案：(2)(4)
解析：$P A \subset$ 平面 $M O B$ ，所以(1)不正确；因为 $M O / / P A$ ，而且 $M O \Varangle$ 平面 $P A C$ ，所以(2)正确; $O C$ 不垂直于 $A C$ ，所以(3)不正确; 因为 $B C \perp A C ， B C \perp P A ， A C \cap P A=A$ ，所以 $B C \perp$ 平面 $P A C$ ，所以平面 $P A C \perp$ 平面 $P B C$ ，所以(4)正确.
题目（高一 · 立体几何学）：$a, b$ 是异面直线, 直线 $l \perp a, l \perp b$, 直线 $m \perp a, m \perp b$, 则 $l$ 与 $m$ 的位置关系是
选项：
答案：平行
解析：由线面垂直的性质定理可得.
题目（高一 · 立体几何学）：020 春-桃城区校级月考）有一个底面圆的半径为 1 , 高为 2 的圆柱, 点 $O_{1}, O_{2}$ 分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点 $P$, 则点 $P$ 到点 $O_{1}, O_{2}$ 的距离都大于 1 的概
    率为 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：frac{1}{3}$

<ImageHere>
解析：$\because$ 到点 $O_{1}$ 的距离等于 1 的点构成一个半个球面, 到点 $O_{2}$ 的距离等于 1 的点构成一个半个球面，两个半球构成一个整球，如图，

点 $P$ 到点 $O_{1}, O_{2}$ 的距离都大于 1 的概率为:

$P=\frac{\text { 球外的体积 }}{\text { 圆柱体柱体积 }- \text { 球体积 }}=1-\frac{\frac{4}{3} \pi \times 1^{3}}{\pi \times 1^{2} \times 2}=\frac{1}{3}$;

故答案为: $\frac{1}{3}$
题目（高一 · 立体几何学）：四棱雉 $\mathrm{S}-\mathrm{ABCD}$ 内任取一点 $\mathrm{P}$, 则 $V_{P-A B C D}<\frac{1}{3} V_{S-A B C D}$ 的概率是
选项：
答案：\frac{19}{27}
解析：因为四棱雉 $S-A B C D$ 与四棱雉 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCD}$ 的底面相同, 所以 $V_{P-A B C D}<\frac{1}{3} V_{S-A B C D}$ 就是四棱雉 $\mathrm{P}-\mathrm{ABCD}$ 的高小于四棱雉 $\mathrm{S}-\mathrm{ABCD}$ 的高的 $\frac{1}{3}$, 过四棱雉高 $\frac{1}{3}$ 分点（靠近底面）作一个平行于底面的截面, 这个截面下任取一点都符合题意, 且

$S_{\text {截面 }}=\left(\frac{2}{3}\right)^{2} S_{\text {底面 } A B C D}=\frac{4}{9} S_{\text {底面 } A B C D}$



故答案为:\frac{19}{27}
题目（高一 · 立体几何学）：已知 $A, B, C$ 三点在球 $O$ 的表面上, $A B=B C=C A=2$, 且球心 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离等于球半径的 $\frac{1}{3}$, 则球 $O$ 的表面积为
选项：
答案：\pi$
解析：【分析】

设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积.

## 【详解】

解: 设球的半径为 $r, O^{\prime}$ 是 $\triangle A B C$ 的外心, 外接圆半径为 $R=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$,

$\because$ 球心 $O$ 到平面 $A B C$ 的距离等于球半径的 $\frac{1}{3}$,

$\therefore$ 得 $r^{2}-\frac{1}{9} r^{2}=\frac{4}{3}$, 得 $r^{2}=\frac{3}{2}$.

球的表面积 $S=4 \pi r^{2}=4 \pi \times \frac{3}{2}=6 \pi$.

故答案为 $6 \pi$.

【点睛】

本题考查球 $O$ 的表面积, 考查学生分析问题解决问题能力, 空间想象能力, 是中档题.
题目（高一 · 立体几何学）：若一圆柱与圆雉的高相等, 且轴截面面积也相等, 那么圆柱与圆雉的体积之比为
选项：
答案：frac{3}{4}$
解析：【分析】

根据圆柱与圆雉轴截面面积相等计算出两几何体底面半径之比, 然后利用雉体和柱体的体积公式可计算出这两个几何体的体积之比.

## 【详解】

设圆柱与圆雉的底面半径分别为 $r 、 R$, 高均为 $h$, 圆柱和圆锥的体积分别为 $V_{1} 、 V_{2}$,
则 $2 r h=\frac{1}{2} \times 2 R h, \therefore R=2 r$,

所以, 圆柱和圆锥的体积之比为 $\frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\pi r^{2} h}{\frac{1}{3} \pi R^{2} h}=\frac{\pi r^{2} h}{\frac{1}{3} \pi \times 4 r^{2} h}=\frac{3}{4}$.

故答案为: $\frac{3}{4}$.

## 【点睛】

本题考查圆柱和圆雉体积比的计算, 涉及轴截面的计算, 解题的关键就是计算出这两个几何体的底面半径之比, 考查计算能力, 属于基础题.
题目（高一 · 计数）：某中学高一有 400 人, 高二有 320 人, 高三有 280 人, 用简单随机抽样的方法抽取一个容量为 $\mathrm{n}$ 的样本, 已知每个人被抽到的可能性为 0.2 , 则 $\mathrm{n}=$
选项：
答案：0
解析：中的个体数 $\mathrm{N}=1000, \frac{n}{N}=0.2$ 即可求出样本容量为 200 .故答案为:200
题目（高一 · 计数）：已知某种型号的产品共有 $N$ 件, 且 $40<N<50$, 现需要利用系统抽样抽取样本进行质量检测, 若样本容量为 7 , 则不需要剔除; 若样本容量为 8 , 则需要剔除 1 个个体, 则 $N=$ \$ \qquad \$ .
选项：
答案：49
解析：因为样本容量为 7 时, 不需要剔除, 所以总体的容量 $N$ 为 7 的倍数, 又 $40<N<50$,所以 $N=42$ 或 49 . 若 $N=42$, 因为 42 除以 8 的余数为 2 , 所以当样本容量为 8 时, 需要剔除 2 个个体, 不符合题意; 若 $N=49$, 因为 49 除以 8 的余数为 1 , 所以当样本容量为 8 时,需要剔除 1 个个体, 满足题意, 故 $\mathrm{N}=49$.故答案为:49
题目（高一 · 计数）：为了了解学生对某网络游戏的态度, 高三 (11) 班计划在全班 60 人中展开调查. 根据调查结果, 班主任计划采用系统抽样的方法抽取若干名学生进行座谈, 为此先对 60 名学生进行编号: 01, 02, 03, , , 60.已知抽取的学生中最小的两个编号为 03,09 , 则抽取的学生中最大的编号 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：57
解析：由最小的两个编号为 03,09 可知, 抽样距为 $\mathrm{k}=9-3=6$, 而总体容量 $\mathrm{N}=60$, 所以样本容量 $n=\frac{N}{k}=10$, 即抽取 10 名同学, 最大的编号为第 10 组抽取的个体的编号, 故最大编号为 $3+9 \times 6=57$.故答案为:57
题目（高一 · 计数）：某单位有 200 名职工, 现要从中抽取 40 名职工作为样本. 用系统抽样法, 将全体职工随机按 $1^{\sim} 200$ 编号, 并按编号顺序平均分为 40 组 (1 5 号, $6^{\sim} 10$ 号 $\cdots, 196 \sim 200$ 号).若第 5 组抽出的号码为 22 , 则第 8 组抽出的号码应是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：37
解析：由系统抽样的知识可知, 将总体分成均等的若干部分是将总体分段, 且分段
间隔为 5 . 因为第 5 组抽出的号码为 22 , 所以第 6 组抽出的号码为 27 , 第 7 组抽出的号码为 32 , 第 8 组抽出的号码为 37 .故答案为:37
题目（高一 · 计数）：某单位有 420 名职工, 现采用系统抽样的方法抽取 21 人做问卷调查, 将 420 人按 1 , $2 \cdots ， 420$ 随机编号. 则抽取的 21 人中，编号落入区间 $[281,420]$ 的人数为 \$ \qquad \$
选项：
答案：7
解析：抽样间隔 $k=\frac{420}{21}=20$. 将这 420 名职工编号依次分成 21 组, 281 是第 15 组的第 1 个编号, 所以抽取的 21 人中, 编号落入区间 [281, 420] 的人数为 $21-15+1=7$.故答案为:7
题目（高一 · 计数）：某校高一年级有 900 名学生, 其中女生 400 名. 按男女比例用分层抽样的方法, 从该年级学生中抽取一个容量为 45 的样本, 则应抽取的男生人数为
选项：
答案：25
解析：设应抽取的男生人数为 $\mathrm{x}$, 则 $\frac{x}{900-400}=\frac{45}{900}$, 解得 $\mathrm{x}=25$.故答案为:25
题目（高一 · 计数）：某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向, 拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查. 已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 $4: 5: 5: 6$, 则应从一年级本科生中抽取名学生.
选项：
答案：60
解析：由分层抽样的方法可得, 从一年级本科生中抽取的学生人数为 $300 \times$ $\frac{4}{4+5+5+6}=60$.故答案为:60
题目（高一 · 计数）：（1）某市有大型超市 200 家, 中型超市 400 家, 小型超市 1400 家。为掌握各类超市的营业情况, 现按分层抽样的方法抽取一个容量为 100 的样本, 应抽取中型超市家

（2）某单位共有老、中、青职工 430 人，其中有青年职工 160 人，中年职工人数是老年职工人数的 2 倍, 为了解职工的身体状况, 现采用分层抽样方法进行调查, 在抽取的样本中有青年职工 32 人, 则该样本中的老年职工人数为
选项：
答案：（1）20，（2）18
解析：(1) 根据题意, 可得抽样比为 $\frac{100}{200+400+1400}=\frac{1}{20}$, 故应抽取中型超市 400 $\times \frac{1}{20}$ 元 $=20$ (家).

(2) 设该单位老年职工人数为 $x$, 由题意得 $3 x=430-160$, 解得 $32 x=90$. 则样本中的老年职工人数为 $90 \times \frac{32}{160}=18$.

故答案为:（1）20，（2）18
题目（高一 · 计数）：某班运动队由足球运动员 18 人、篮球运动员 12 人、乒乓球运动员 6 人组成（每人只参加一项）. 现从这些运动员中抽取一个容量为 $\mathrm{n}$ 的样本. 如果分别采用系统抽样法和分层抽样法, 都不用剔除个体, 那么样本容量 $\mathrm{n}$ 的最小值为
选项：
答案：6
解析：总体容量为 $6+12+18=36$. 当样本容量为 $n$ 时, 由题意可知, 系统抽样的分段
间隔为 $\frac{36}{n}$, 则 $\mathrm{n}$ 是 36 的因数, 分层抽样的抽样比是 $\frac{n}{36}$ - 则采用分层抽样法抽取的乒乓球运动员人数为 $6 \times \frac{n}{36}=\frac{n}{6}$, 篮球运动员人数为 $12 \times \frac{n}{36}=\frac{n}{3}$, 足球运动员人数为 $18 \times \frac{n}{36}=\frac{n}{2}$, 可知 $\mathrm{n}$ 应是 6 的倍数, 故 $\mathrm{n}=6,12,18$, 则样本容量 $\mathrm{n}$ 的最小值为 6 .故答案为:6
题目（高一 · 计数）：对一批底部周长属于 $[80,130]$ (单位: $\mathrm{cm}$ ）的树木进行研究, 从中随机抽出 200 株树木并测出其底部周长, 得到频率分布直方图如图所示, 由此估计, 这批树木的底部周长的众数是 $\mathrm{cm}$, 中位数是 $\mathrm{cm}$


选项：
答案：105,\frac{310}{3}
解析：由题图知, 底部周长的众数是 $\frac{100+110}{2}=105$, 中位数是 $\frac{0.05-0.015-0.025}{0.03} \times 10+100=\frac{10}{3}+100=\frac{310}{3}$故答案为:105,\frac{310}{3}
题目（高一 · 计数）：若一组数据的平均数是 $\mathrm{x}$, 众数是 $\mathrm{m}$, 中位数是 $\mathrm{n}$, 那么将每个数据加上 3 后得到一组新数据, 则这组新数据的平均数、众数、中位数分别为
选项：
答案：x+3,m+3,n+3
解析：因为原众数为 $\mathrm{m}$, 原中位数为 $\mathrm{n}$, 每个数据加上 3 后, $\mathrm{m}$ 会变为 $\mathrm{m}+3, \mathrm{n}$ 会变为 $n+3$, 所以众数变为 $m+3$, 中位数变为 $n+3$;故答案为:x+3,m+3,n+3