题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C, B D$ 相交于点 $O$, 点 $F$ 是 $C D$ 上一点, $O E \perp O F$ 交 $B C$ 于点 $E$, 连接 $A E, B F$ 交于点 $P$, 连接 $O P$. 则下列结论: (1) $A E \perp B F$ (2) $\triangle O A P \sim \triangle E A C$; (3)四边形 $O E C F$ 的面积是正方形 $A B C D$ 面积的 $\frac{1}{4}$; (4) $A P-B P=\sqrt{2} O P$

(5) 若 $B E: C E=2: 3$, 则 $\tan \angle C A E=\frac{4}{7}$. 其中正确的结论有 $(\quad)$ 个


选项：
A. 2 个
B. 3 个
C. 4 个
D. 5 个
答案：C
解析：【分析】

本题考查了正方形的性质, 全等三角形的判定和性质, 相似三角形的判定和性质, 解直角三角形等知识, 解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识.

(1) 可证明 $\triangle C O F \cong \triangle B O E$, 进而证明 $\triangle A B E \cong \triangle B C F$, 进一步得出结论;

(2)可证明 $\triangle A B P \sim \triangle A E B$, 从而 $A B^{2}=A P \cdot A E$, 可证明 $\triangle A O B \sim \triangle A B C$, 从而 $A B^{2}=O A \cdot A C$, 进而得出 $A P \cdot A E=O A \cdot A C$, 从而得出结论;

(3) 由四边形 $O E C F$ 的面积等于 $\triangle C O E$ 的面积加 $\triangle C O F$ 的面积可得四边形 $O E C F$ 的面积等于 $\triangle C O E$的面积加 $\triangle B O E$ 的面积, 从而四边形 $O E C F$ 的面积等于 $\triangle B O C$ 的面积, 进而得出结论;

(4) 作 $\angle P O Q=90^{\circ}$, 交 $A P$ 于 $Q$, 可证得 $P Q=\sqrt{2} O P$ 及 $\triangle A O Q \cong \triangle B O P$, 进一步得出结论;

(5)作 $F G \perp B D$ 于 $G$, 设 $C F=2 a$, 则 $C D=B C=5 a, B D=\sqrt{2} B C=5 \sqrt{2} a$, 可得出 $\tan \angle D B F=\frac{3}{7}$,
可证得 $\angle D B F=\angle C A E$, 从而得出 $\tan \angle C A E=\frac{3}{7}$, 从而得出结论.

【解答】

解: :四边形 $A B C D$ 是正方形,

$\therefore O B=O C, \angle O C F=\angle O B E=45^{\circ}, \angle B O C=90^{\circ}, A B=B C, \angle A B C=\angle B C D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B O C=\angle E O F=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B O C-\angle C O E=\angle E O F-\angle C O E$,

$\therefore \angle C O F=\angle B O E$,

$\therefore \triangle C O F \cong \triangle B O E(A A S)$,

$\therefore C F=B E$,

$\therefore \triangle A B E \cong \triangle B C F(S A S)$,

$\therefore \angle C B F=\angle B A E$,

$\because \angle A B E+\angle C B F=\angle A B C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A B E+\angle B A E=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A P B=90^{\circ}$,

$\therefore A E \perp B F$,

故(1)正确;

由 $\triangle A B P \sim \triangle A E B$ 得, $A B^{2}=A P \cdot A E$,

由 $\triangle A O B \backsim \triangle A B C$ 得, $A B^{2}=O A \cdot A C$,

$\therefore A P \cdot A E=O A \cdot A C$,

$\because \angle P O A=\angle C A E$,

$\therefore \triangle A O P \sim \triangle A E C$,

故(2)正确;

由(1)知: $\triangle C O F \cong \triangle B O E$,

$\because$ 四边形 $O E C F$ 的面积等于 $\triangle C O E$ 的面积加 $\triangle C O F$ 的面积,

$\therefore$ 四边形 $O E C F$ 的面积等于 $\triangle C O E$ 的面积加 $\triangle B O E$ 的面积,

$\therefore$ 四边形 $O E C F$ 的面积等于 $\triangle B O C$ 的面积,

而 $\triangle B O C$ 的面积等于正方形 $A B C D$ 的面积的 $\frac{1}{4}$,

$\therefore$ 四边形 $O E C F$ 的面积是正方形 $A B C D$ 面积的 $\frac{1}{4}$;

故(3)正确;
如图,



作 $\angle P O Q=90^{\circ}$, 交 $A P$ 于 $Q$,

$\because \angle A P O=45^{\circ}$,

$\therefore \angle O Q P=90^{\circ}-\angle A P O=45^{\circ}$,

$\therefore O Q=O P, P Q=\sqrt{2} O P$,

$\because \angle A O B=\angle P O Q=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A O Q=\angle B O P$,

$\because O A=O B$,

$\therefore \triangle A O Q \cong \triangle B O P(S A S)$,

$\therefore A Q=B P$,

$\because A P-A Q=P Q$,

$\therefore A P-P Q=\sqrt{2} O P$,

故(4)正确;

如图2,



图2

作 $F G \perp B D$ 于 $G$,

$\because B E: C E=2: 3$,

$\therefore B E: B C=2: 5$,

$\because C F=B E$,

$\therefore C F: B C=2: 5$,

设 $C F=2 a$, 则 $C D=B C=5 a, B D=\sqrt{2} B C=5 \sqrt{2} a$,
$\therefore D F=3 a$,

$\therefore F G=D G=\frac{\sqrt{2}}{2} D F=\frac{3 \sqrt{2}}{2} a$,

$\therefore B G=B D-D G=5 \sqrt{2} a-\frac{3 \sqrt{2}}{2}=\frac{7 \sqrt{2}}{2} a$,

$\therefore \tan \angle D B F=\frac{F G}{B G}=\frac{\frac{3 \sqrt{2}}{2} a}{\frac{7 \sqrt{2}}{2} a}=\frac{3}{7}$,

$\because \angle A B D=\angle A P O=45^{\circ}$,

$\therefore$ 点 $A 、 B 、 P 、 O$ 共圆，

$\therefore \angle D B F=\angle C A E$,

$\therefore \tan \angle C A E=\frac{3}{7}$,

故(5)不正确,

$\therefore$ (1)(2)(3)正确,

故选: $C$.