eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（七年级 · 代数）：周末小角陪爸爸去陶瓷商城购买一些茶壸和一些茶杯了了解情况后发现甲、乙两家商店都 在出
售两种同样品牌的茶壸和茶杯, 定价相同, 茶显每把定价 40 元, 茶杯每只定价 5 元, 且两家 都有优惠, 甲商店买一送一大酬宾(买一把茶壼送一只茶杯), 乙商店全场九折，小角的爸爸需茶壸 5 把，茶杯 $a$ 只(不少于 5 只).

（1）分别用含有 $a$ 的代数式表示在甲、乙两家商店购买所需的费用;

（2）当 $a=40$ 时, 在甲、乙哪个商店购买付款较少? 请说明理由;

（3）若小角的爸爸准备了 1800 元钱，在甲、乙哪个商店购买的茶杯多? 请说明理由.
选项：
答案：(1) 解: 甲商店所需的费用 $=40 \times 5+(\mathrm{a}-5) \times 5=5 \mathrm{a}+175$,乙商店所需的费用 $=(40 \times 5+5 \mathrm{a}) \times 0.9=4.5 \mathrm{a}+180$;

(2) 解: 甲商店所需的费用 $=40 \times 5+(40-5) \times 5=375$,

乙商店所需的费用 $=(40 \times 5+5 \times 40) \times 0.9=360$,

$\because 360<375$

$\therefore$ 乙商店付款较少;

(3) 解: 甲商店: $40 \times 5+(\mathrm{a}-5) \times 5=1800$,解得 $\mathrm{a}=325$,

乙商店所需的费用 $=(40 \times 5+\mathrm{a} \times 40) \times 0.9=1800$,

解得 $a=360$,

$\because 360>325$

乙商店买的多
解析：(1) 解: 甲商店所需的费用 $=40 \times 5+(\mathrm{a}-5) \times 5=5 \mathrm{a}+175$,乙商店所需的费用 $=(40 \times 5+5 \mathrm{a}) \times 0.9=4.5 \mathrm{a}+180$;

(2) 解: 甲商店所需的费用 $=40 \times 5+(40-5) \times 5=375$,

乙商店所需的费用 $=(40 \times 5+5 \times 40) \times 0.9=360$,

$\because 360<375$

$\therefore$ 乙商店付款较少;

(3) 解: 甲商店: $40 \times 5+(\mathrm{a}-5) \times 5=1800$,解得 $\mathrm{a}=325$,

乙商店所需的费用 $=(40 \times 5+\mathrm{a} \times 40) \times 0.9=1800$,

解得 $a=360$,

$\because 360>325$

乙商店买的多
题目（七年级 · 代数）：解方程,

(1) $\frac{0.1 x+0.03}{0.2}-\frac{0.2 x-0.03}{0.3}+\frac{3}{4}=0$

(2) $\frac{2014-x}{2013}+\frac{2016-x}{2015}=\frac{2018-x}{2017}+\frac{2020-x}{2019}$
选项：
答案：(1) 解: 方程 $\frac{0.1 x+0.03}{0.2}-\frac{0.2 x-0.03}{0.3}+\frac{3}{4}=0$ 变形为 $\frac{10 x+3}{20}-\frac{20 x-3}{30}+\frac{3}{4}=0$,去分母得 $3(10 x+3)-2(20 x-3)+45=0$ ，

去括号合并同类项得 $-10 \mathrm{x}+60=0$,

移项得 $-10 x=-60$,

系数化为 1 得 $x=6$.

(2) 解: 方程 $\frac{2014-x}{2013}+\frac{2016-x}{2015}=\frac{2018-x}{2017}+\frac{2020-x}{2019}$ 变形为 $1+\frac{1-x}{2013}+1+\frac{1-x}{2015}=1+\frac{1-x}{2017}+$ $1+\frac{1-x}{2019}$

$\therefore \frac{1-x}{2013}+\frac{1-x}{2015}-\frac{1-x}{2017}-\frac{1-x}{2019}=0$

$\therefore(1-x)\left(\frac{1}{2013}+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2017}-\frac{1}{2019}\right)=0$

$\therefore 1-x=0$,

$\therefore x=1$.
解析：(1) 解: 方程 $\frac{0.1 x+0.03}{0.2}-\frac{0.2 x-0.03}{0.3}+\frac{3}{4}=0$ 变形为 $\frac{10 x+3}{20}-\frac{20 x-3}{30}+\frac{3}{4}=0$,去分母得 $3(10 x+3)-2(20 x-3)+45=0$ ，

去括号合并同类项得 $-10 \mathrm{x}+60=0$,

移项得 $-10 x=-60$,

系数化为 1 得 $x=6$.

(2) 解: 方程 $\frac{2014-x}{2013}+\frac{2016-x}{2015}=\frac{2018-x}{2017}+\frac{2020-x}{2019}$ 变形为 $1+\frac{1-x}{2013}+1+\frac{1-x}{2015}=1+\frac{1-x}{2017}+$ $1+\frac{1-x}{2019}$

$\therefore \frac{1-x}{2013}+\frac{1-x}{2015}-\frac{1-x}{2017}-\frac{1-x}{2019}=0$

$\therefore(1-x)\left(\frac{1}{2013}+\frac{1}{2015}-\frac{1}{2017}-\frac{1}{2019}\right)=0$

$\therefore 1-x=0$,

$\therefore x=1$.
题目（七年级 · 代数）：已知方程 $6 x-9=10 x-45$ 与方程 $3 a-1=3(x+a)-2 a$ 的解相同.

(1) 求这个相同的解;

(2) 求 $\mathrm{a}$ 的值;

（3）若 $[m]$ 表示不大于 $m$ 的最大整数, 求 $\left[-\frac{1}{3} a-2\right]$ 的值.
选项：
答案：(1) 解：原方程 $6 x-9=10 x-45$ 移项得 $6 x-10 x=-45+9$,合并同类项得到 $-4 x=-36$,解得: $x=9$

(2) 解: 将 $x=9$ 代入第二个方程得: $3 a-1=3(9+a)-2 a$,

解得: $a=14$

(3) 解: $\left[-\frac{1}{3} a-2\right]=\left[-\frac{1}{3} \times 14-2\right]=\left[-\frac{20}{3}\right]=-7$
解析：(1) 解：原方程 $6 x-9=10 x-45$ 移项得 $6 x-10 x=-45+9$,合并同类项得到 $-4 x=-36$,解得: $x=9$

(2) 解: 将 $x=9$ 代入第二个方程得: $3 a-1=3(9+a)-2 a$,

解得: $a=14$

(3) 解: $\left[-\frac{1}{3} a-2\right]=\left[-\frac{1}{3} \times 14-2\right]=\left[-\frac{20}{3}\right]=-7$
题目（七年级 · 代数）：解方程:

(1) $2(3 x-1)-3(2-4 x)=10$

(2) $x-\frac{x-1}{3}=2-\frac{x-3}{5}$
选项：
答案：(1) 解： $2(3 x-1)-3(2-4 x)=10$
去括号得 $6 x-2-6+12 x=10$

移项合并同类项得 $18 x=18$

系数化为 1 得 $x=1$

$\therefore$ 方程的解为 $x=1$

(2) 解: $x-\frac{x-1}{3}=2-\frac{x-3}{5}$

去分母得 $15 x-5 \times(x-1)=30-3 \times(x-3)$

去括号得 $15 x-5 x+5=30-3 x+9$

移项合并同类项得 $13 x=34$

系数化为 1 得 $x=\frac{34}{13}$

$\therefore$ 方程的解为 $x=\frac{34}{13}$.
解析：(1) 解： $2(3 x-1)-3(2-4 x)=10$
去括号得 $6 x-2-6+12 x=10$

移项合并同类项得 $18 x=18$

系数化为 1 得 $x=1$

$\therefore$ 方程的解为 $x=1$

(2) 解: $x-\frac{x-1}{3}=2-\frac{x-3}{5}$

去分母得 $15 x-5 \times(x-1)=30-3 \times(x-3)$

去括号得 $15 x-5 x+5=30-3 x+9$

移项合并同类项得 $13 x=34$

系数化为 1 得 $x=\frac{34}{13}$

$\therefore$ 方程的解为 $x=\frac{34}{13}$.
题目（七年级 · 代数）：已知方程 $\left(1-m^{2}\right) x^{2}-(m+1) x+8=0$ 是关于 $x$ 的一元一次方程.

(1) 求 $m$ 的值及方程的解.

(2) 求代数式 $5 x^{2}-2\left(x m+2 x^{2}\right)-3\left(\frac{1}{3} x m+2\right)$ 的值.
选项：
答案：(1) 解: $\because$ 方程 $\left(1-m^{2}\right) x^{2}-(m+1) x+8=0$ 是关于 $x$ 的一元一次方程,

$\therefore 1-m^{2}=0$ 且 $-(m+1) \neq 0$,

$\therefore m=1$,

原一元一次方程化为: $-2 x+8=0$ ，解得 $x=4$

(2) 解: 原式 $=5 x^{2}-2\left(x m+2 x^{2}\right)-3\left(\frac{1}{3} x m+2\right)=5 x^{2}-2 x m-4 x^{2}-x m-6$ $=x^{2}-3 x m-6$,

当 $x=4, m=1$ 时, 原式 $=4^{2}-4 \times 3-6=-2$
解析：(1) 解: $\because$ 方程 $\left(1-m^{2}\right) x^{2}-(m+1) x+8=0$ 是关于 $x$ 的一元一次方程,

$\therefore 1-m^{2}=0$ 且 $-(m+1) \neq 0$,

$\therefore m=1$,

原一元一次方程化为: $-2 x+8=0$, 解得 $x=4$

(2) 解: 原式 $=5 x^{2}-2\left(x m+2 x^{2}\right)-3\left(\frac{1}{3} x m+2\right)=5 x^{2}-2 x m-4 x^{2}-x m-6$

$=x^{2}-3 x m-6$,

当 $x=4, m=1$ 时, 原式 $=4^{2}-4 \times 3-6=-2$
题目（七年级 · 代数）：小东同学在解一元一次方程时, 发现这样一种特殊现象:

$x+\frac{1}{2}=0$ 的解为 $x=-\frac{1}{2}$, 而 $-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-1$;

$2 x+\frac{4}{3}=0$ 的解为 $x=-\frac{2}{3}$, 而 $-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}-2$.

于是，小东将这种类型的方程作如下定义:

若一个关于 $\mathrm{x}$ 的方程 $\mathrm{ax}+\mathrm{b}=0(\mathrm{a} \neq 0)$ 的解为 $\mathrm{x}=\mathrm{b}-\mathrm{a}$, 则称之为 “奇异方程”. 请和小东一起进行以下探究:

（1）若 $\mathrm{a}=-1$, 有符合要求的“奇异方程”吗? 若有, 求出该方程的解; 若没有, 请说明理由;

(2) 若关于 $\mathrm{x}$ 的方程 $\mathrm{ax}+\mathrm{b}=0$ ( $\mathrm{a} \neq 0)$ 为奇异方程, 解关于 $\mathrm{y}$ 的方程: $\mathrm{a}(\mathrm{a}-\mathrm{b}) \mathrm{y}+2=\left(\mathrm{b}+\frac{1}{2}\right) \mathrm{y}$.
选项：
答案：(1) 解: 没有符合要求的“奇异方程”, 理由如下:

把 $a=-1$ 代入原方程解得: $x=b$,

若为“奇异方程”，则 $\mathrm{x}=\mathrm{b}+1$,

$\because \mathrm{b} \neq \mathrm{b}+1$,

$\therefore$ 不符合“奇异方程”定义, 故不存在;

（2）解: $\because \mathrm{ax}+\mathrm{b}=0(\mathrm{a} \neq 0)$ 为奇异方程,

$\therefore \mathrm{x}=\mathrm{b}-\mathrm{a}$,

$\therefore \mathrm{a}(\mathrm{b}-\mathrm{a})+\mathrm{b}=0$,

$\mathrm{a}(\mathrm{b}-\mathrm{a})=-\mathrm{b}$,

$a(a-b)=b$,

$\therefore$ 方程 $a(a-b) y+2=\left(b+\frac{1}{2}\right) y$ 可化为 $b y+2=\left(b+\frac{1}{2}\right) y$,

$\therefore$ by $+2=$ by $+\frac{1}{2} y$,

$2=\frac{1}{2} \mathrm{y}$,

解得 $y=4$.
解析：(1) 解: 没有符合要求的“奇异方程”, 理由如下:

把 $a=-1$ 代入原方程解得: $x=b$,

若为“奇异方程”，则 $\mathrm{x}=\mathrm{b}+1$,

$\because \mathrm{b} \neq \mathrm{b}+1$,

$\therefore$ 不符合“奇异方程”定义, 故不存在;

（2）解: $\because \mathrm{ax}+\mathrm{b}=0(\mathrm{a} \neq 0)$ 为奇异方程,

$\therefore \mathrm{x}=\mathrm{b}-\mathrm{a}$,

$\therefore \mathrm{a}(\mathrm{b}-\mathrm{a})+\mathrm{b}=0$,

$\mathrm{a}(\mathrm{b}-\mathrm{a})=-\mathrm{b}$,

$a(a-b)=b$,

$\therefore$ 方程 $a(a-b) y+2=\left(b+\frac{1}{2}\right) y$ 可化为 $b y+2=\left(b+\frac{1}{2}\right) y$,

$\therefore$ by $+2=$ by $+\frac{1}{2} y$,

$2=\frac{1}{2} \mathrm{y}$,

解得 $y=4$.
题目（七年级 · 代数）：对于有理数 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b}$ 定义一种新运算 $\mathrm{a} \otimes \mathrm{b}=\left\{\begin{array}{l}3 a-2 b(a \geq b) \\ a-\frac{2}{3} b(a<b)\end{array}\right.$, 如 $5 \otimes 3=3 \times 5-2 \times 3=9, \quad 1 \otimes 3=1-\frac{2}{3} \times 3$ $=-1$; 请按照这个定义完成下列计算:

(1) 计算

(1) $5 \otimes(-3)=$

(2) $(-5) \otimes(-3)=$

(3)若 $x^{8} \frac{3}{2}=-3$, 求 $x \times$ 的值;

(2) 若 $\mathrm{A}=-2 \mathrm{x}^{3}+\frac{2}{3} x^{2}-\mathrm{x}+1, \mathrm{~B}=-2 \mathrm{x}^{3}+\mathrm{x}^{2}-\mathrm{x}+\frac{3}{2}$, 且 $\mathrm{A} \otimes \mathrm{B}=-4$, 求 $3 \mathrm{x}^{3}+\frac{3}{2} \mathrm{x}+2$ 的值;

(3) 若 $\mathrm{x}$ 和 $\mathrm{k}$ 均为正整数, 且满足 $\left(\frac{k}{3} x+k\right) \otimes\left(\frac{1}{3} x+1\right)=\frac{4}{3} \mathrm{x}+12$, 求 $\mathrm{k}$ 的值.
选项：
答案：(1) (1) 21 ; (2)-3;

(3) $x \otimes \frac{3}{2}=-3$,

当 $x \geq \frac{3}{2}$ 时,

$x \otimes \frac{3}{2}=3 x-2 \times \frac{3}{2}=-3$,

解得: $x=0<\frac{3}{2}$, 不符合题意, 舍去;

当 $x<\frac{3}{2}$ 时,

$x \otimes \frac{3}{2}=x-\frac{2}{3} \times \frac{3}{2}=-3$,

解得: $x=-2$, 符合题意;

综上可得: $x=-2$ ；

(2) 解: $A=-2 x^{3}+\frac{2}{3} x^{2}-x+1, B=-2 x^{3}+x^{2}-x+\frac{3}{2}$,

$B-A=\frac{1}{3} x^{2}+\frac{1}{2}>0$, 即 $A<B$,

$\therefore A \otimes B=A-\frac{2}{3} B=-\frac{2}{3} x^{3}-\frac{1}{3} x=-4$,

$\therefore 2 x^{3}+x=12$,

$3 x^{3}+\frac{3}{2} x+2=\frac{3}{2}\left(2 x^{3}+x\right)+2=20$,

$\therefore 3 x^{3}+\frac{3}{2} x+2=20$;

(3) 解: $\left(\frac{k}{3} x+k\right) \otimes\left(\frac{x}{3}+1\right)=\frac{4}{3} x+12$,

$\frac{k}{3} x+k=k\left(\frac{x}{3}+1\right)$,

$\because \mathrm{x}$ 和 $\mathrm{k}$ 均为正整数,

$\therefore \frac{k}{3} x+k>\frac{x}{3}+1$,

$\therefore\left(\frac{k}{3} x+k\right) \otimes\left(\frac{x}{3}+1\right)=\frac{4}{3} x+12$,

即 $3\left(\frac{k}{3} x+k\right)-2\left(\frac{x}{3}+1\right)=\frac{4}{3} x+12$,

去括号得: $k x+3 k-\frac{2}{3} x-2=\frac{4}{3} x+12$,

移项合并同类项可得: $(x+3) k=2 x+14$,

$\therefore k=\frac{2 x+14}{x+3}=\frac{2(x+3)+8}{x+3}=2+\frac{8}{x+3}$,

当 $x=1$ 时, $k=2+\frac{8}{1+3}=4$,

当 $x=5$ 时, $k=2+\frac{8}{5+3}=3$,

$\therefore k=4$ 或 $k=3$.
解析：(1) 解: (1) $5 \otimes(-3)=3 \times 5-2 \times(-3)=21$;

故答案为: 21 ;

(2) $(-5) \otimes(-3)=-5-\frac{2}{3} \times(-3)=-3$;

故答案为: -3 ;
题目（七年级 · 代数）：为发展校园足球运动, 某校决定购买一批足球运动装备. 甲、乙两商场销售同种品牌的足球和足球队服, 标价一致, 每个足球比每套队服少 50 元, 两套队服与 3 个足球的费用相等. 经洽谈, 甲
商场优惠方案是: 每购买 10 套队服, 送 1 个足球. 乙商场优惠方案是: 若购买队服超过 80 套, 则购买足球打八折.

(1) 每个足球和每套队服的价格是多少元?

（2）若购买 100 套队服和 $a(a>10)$ 个足球, 请用含 $\mathrm{a}$ 的式子分别表示到甲商场和乙商场所花的费用.

（3）初中年级到甲商场购买 100 套队服和若干箱足球（每箱 10 个)，高中年级在乙商场购买相同装备, 付费相同, 求学校共买足球箱数.
选项：
答案：(1) 解：设每个足球 $x$ 元，则每套队服为 $(x+50)$ 元，由题意得

$2(x+50)=3 x$,

解得 $x=100$,

$\therefore \mathrm{x}+50=150$,

答: 每个足球和每套队服的价格分别为 100 元和 150 元;

(2) 解: 甲商场所花费用为: $150 \times 100+100\left(a-\frac{100}{10}\right)=(100 a+14000)$ 元;

乙商场所花费用为: $150 \times 100+0.8 \times 100 a=(80 a+15000)$ 元;

（3）解：设两队均购买 $y$ 个足球，则 $100 y+14000=80 y+15000$,解得 $y=50$,

$\therefore$ 学校共买足球 $\frac{50+50}{10}=10$ (箱).
解析：(1) 解：设每个足球 $x$ 元，则每套队服为 $(x+50)$ 元，由题意得

$2(x+50)=3 x$,

解得 $x=100$,

$\therefore \mathrm{x}+50=150$,

答: 每个足球和每套队服的价格分别为 100 元和 150 元;

(2) 解: 甲商场所花费用为: $150 \times 100+100\left(a-\frac{100}{10}\right)=(100 a+14000)$ 元;

乙商场所花费用为: $150 \times 100+0.8 \times 100 a=(80 a+15000)$ 元;

（3）解：设两队均购买 $y$ 个足球，则 $100 y+14000=80 y+15000$,解得 $y=50$,

$\therefore$ 学校共买足球 $\frac{50+50}{10}=10$ (箱).
题目（七年级 · 代数）：(1) 解方程: $\frac{2 x+1}{3}-\frac{5 x}{4}=\frac{3}{2}$.

(2) 若方程 $2 x+3=-1$ 和关于 $\mathrm{x}$ 的方程 $2-\frac{a-x}{3}=0$ 的解相同, 试求 $\mathrm{a}$ 的值.
选项：
答案：(1) 解：去分母, 得 $4(2 x+1)-15 x=18$.

去括号, 得 $8 x+4-15 x=18$.

移项, 得 $8 x-15 x=18-4$.

合并同类项, 得 $-7 x=14$.

$\therefore x=-2$.

(2) 解: 解方程 $2 x+3=-1$.

移项, 得 $2 x=-1-3$.

合并同类项, 得 $2 x=-4$.

$\therefore x=-2$.

解关于 $\mathrm{x}$ 的方程 $2-\frac{a-x}{3}=0$.

去分母, 得 $6-(a-x)=0$.

去括号, 得 $6-a+x=0$.

移项, 得 $x=0-6+a$.

$\therefore x=a-6$.

$\because$ 两个方程的解相同,

$\therefore-2=a-6$.

移项, 得 $-a=-6+2$.

合并同类项, 得 $-a=-4$.
$\therefore a=4$.
解析：(1) 解：去分母, 得 $4(2 x+1)-15 x=18$.

去括号, 得 $8 x+4-15 x=18$.

移项, 得 $8 x-15 x=18-4$.

合并同类项, 得 $-7 x=14$.

$\therefore x=-2$.

(2) 解: 解方程 $2 x+3=-1$.

移项, 得 $2 x=-1-3$.

合并同类项, 得 $2 x=-4$.

$\therefore x=-2$.

解关于 $\mathrm{x}$ 的方程 $2-\frac{a-x}{3}=0$.

去分母, 得 $6-(a-x)=0$.

去括号, 得 $6-a+x=0$.

移项, 得 $x=0-6+a$.

$\therefore x=a-6$.

$\because$ 两个方程的解相同,

$\therefore-2=a-6$.

移项, 得 $-a=-6+2$.

合并同类项, 得 $-a=-4$.
$\therefore a=4$.
题目（七年级 · 代数）：请从下面两个方程中任选一个, 联系生活实际编一道用方程解决的问题并解答.

(1) $\frac{2}{3} x+\frac{1}{4} x=55$

(2) $2 x+3(x-5)=100$.
选项：
答案：(1) 解: $\frac{2}{3} x+\frac{1}{4} x=55$.

问题: 小明买了一本书, 第一天看了这本书的 $\frac{2}{3}$, 第二天看了这本书的 $\frac{1}{4}$, 两天一共看了 55 页,那么这本书一共有多少页?

解：设这本书一共有 $x$ 页，

由题意, 得: $\frac{2}{3} x+\frac{1}{4} x=55$,

解得: $x=60$ ，

答: 这本书一共有 60 页.

(2) 解: $2 x+3(x-5)=100$.

问题: 有一条正在修建的公路, 这条公路由两个工程队修建. 已知甲工程队每天比乙工程队少修 $5 \mathrm{~km}$, 甲先修了三天, 乙又修了两天, 共修完 100km. 问: 甲, 乙两个工程队每天各修建多少?

解：设乙工程队每天修 $\mathrm{xkm}$ ，则甲工程队每天修（x-5） km,

由题意, 得: $2 x+3(x-5)=100$ ，

解得: $x=23$,

则 $x-5=23-5=18$,

答: 甲工程队每天修 $18 \mathrm{~km}$, 乙工程队每天修 $23 \mathrm{~km}$.
解析：(1) 解: $\frac{2}{3} x+\frac{1}{4} x=55$.

问题: 小明买了一本书, 第一天看了这本书的 $\frac{2}{3}$, 第二天看了这本书的 $\frac{1}{4}$, 两天一共看了 55 页,那么这本书一共有多少页?

解：设这本书一共有 $x$ 页，

由题意, 得: $\frac{2}{3} x+\frac{1}{4} x=55$,

解得: $x=60$ ，

答: 这本书一共有 60 页.

(2) 解: $2 x+3(x-5)=100$.

问题: 有一条正在修建的公路, 这条公路由两个工程队修建. 已知甲工程队每天比乙工程队少修 $5 \mathrm{~km}$, 甲先修了三天, 乙又修了两天, 共修完 100km. 问: 甲, 乙两个工程队每天各修建多少?

解：设乙工程队每天修 $\mathrm{xkm}$ ，则甲工程队每天修（x-5） km,

由题意, 得: $2 x+3(x-5)=100$ ，

解得: $x=23$,

则 $x-5=23-5=18$,

答: 甲工程队每天修 $18 \mathrm{~km}$, 乙工程队每天修 $23 \mathrm{~km}$.
题目（七年级 · 代数）：已知关于 $x$ 的方程 $(a-2) x^{|a|-1}+4 b=0$ 为一元一次方程, 且该方程的解与关于 $x$ 的方程 $\frac{2 x+1}{3}=\frac{x-b}{2}+1$ 的解相同.

(1) 求 $a 、 b$ 的值;

（2）在（1）的条件下, 若关于 $y$ 的方程 $|m-1| y+n=a+1+2 b y$ 有无数解, 求 $m, n$的值.
选项：
答案：(1) 解: $\because$ 关于 $x$ 的方程 $(a-2) x^{|a|-1}+4 b=0$ 为一元一次方程,

$\therefore|a|-1=1 ， a-2 \neq 0$, 解得: $a=-2$,

当 $a=-2$, 方程为 $-4 x+4 b=0$, 解得: $x=b$,

又 $\because$ 两个方程同解,

$\therefore \frac{2 b+1}{3}=\frac{b-b}{2}+1$, 解得: $b=1$.

(2) 解: 把 $a=-2, b=1$ 代入 $|m-1| y+n=a+1+2 b y$,

可得： $|m-1| y+n=-1+2 y$ ，变形得： $\quad(|m-1|-2) y=-n-1$,

$\because$ 关于 $y$ 的方程 $|m-1| y+n=a+1+2 b y$ 有无数解, 即与 $\mathrm{y}$ 的取值无关,

$\therefore|m-1|-2=0,-n-1=0$,

$\therefore m=3$ 或 $-1, n=-1$.
解析：(1) 解: $\because$ 关于 $x$ 的方程 $(a-2) x^{|a|-1}+4 b=0$ 为一元一次方程,

$\therefore|a|-1=1 ， a-2 \neq 0$, 解得: $a=-2$,

当 $a=-2$, 方程为 $-4 x+4 b=0$, 解得: $x=b$,

又 $\because$ 两个方程同解,

$\therefore \frac{2 b+1}{3}=\frac{b-b}{2}+1$, 解得: $b=1$.

(2) 解: 把 $a=-2, b=1$ 代入 $|m-1| y+n=a+1+2 b y$,

可得： $|m-1| y+n=-1+2 y$ ，变形得： $\quad(|m-1|-2) y=-n-1$,

$\because$ 关于 $y$ 的方程 $|m-1| y+n=a+1+2 b y$ 有无数解, 即与 $\mathrm{y}$ 的取值无关,

$\therefore|m-1|-2=0,-n-1=0$,

$\therefore m=3$ 或 $-1, n=-1$.
题目（七年级 · 代数）：我们规定: 若关于 $x$ 的一元一次方程 $a x=b$ 的解为 $b+a$, 则称该方程为“和解方程”,例如: 方程 $2 x=-4$ 的解为 $x=-2$, 而 $-2=-4+2$, 则方程 $2 x=-4$ 为“和解方程”.请根据上述规定解答下列问题:

(1) 方程 $3 x=-6$ \$ \qquad \$ “和解方程” (填“是”或“不是”);

(2) 若关于 $x$ 的一元一次方程 $6 x=k$ 是“和解方程”, 求 $k$ 的值;

（3）若关于 $x$ 的一元一次方程 $-5 x=m n+n$ 是“和解方程”, 并且它的解是 $x=n$, 求 $m, n$ 的值.
选项：
答案：(1) 不是

(2) 解: $\because 6 x=k$,

$\therefore x=\frac{k}{6}$,

$\because$ 关于 $x$ 的一元一次方程 $6 x=k$ 是“和解方程”,

$\therefore \frac{k}{6}=6+k$, 即: $6(k+6)=k$,

解得: $k=-\frac{36}{5}$.

（3）解: $\because$ 关于 $x$ 的一元一次方程 $-5 x=m n+n$ 是“和解方程”, 并且它的解是 $x=n$,

$\therefore\left\{\begin{array}{c}-5 n=m n+n \\ n=-5+m n+n\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{l}m=-6 \\ n=-\frac{5}{6}\end{array}\right.$.
解析：(1) $\because 3 x=-6$,

$\therefore \mathrm{x}=-2$,

$\because 3+(-6)=-3 \neq-2$,

$\therefore 3 x=-6$ 不是“和解方程”.

故答案为: 不是;
题目（七年级 · 代数）：某快递公司规定每件体积不超标的普通小件物品的收费标准如表:

| 寄往本省内 |  | 寄往周边省份 |  |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 首重 | 续重 | 首重 | 续重 |
| 8 元/千克 | 5 元/千克 $\quad$. | 12 元/千克 $\quad$ 象 | 6 元/千克 |
| 说明：１每件快递按送达地（省内, 省外）分别计算运费. |  |  |  |
| (2)运费计算方式: 首重价格+续重×续重运费. |  |  |  |
| : |  |  |  |

克计算）.

例如: 寄往省内一件 1.6 千克的物品, 运费总额为: $8+5 \times(0.5+0.5)=13$ 元.

寄往省外一件 2.3 千克的物品, 运费总额为: $12+6 \times(1+0.5)=21$ 元.

(下面问题涉及的寄件按上表收费标准计费)

（1）小明同时寄往省内一件 3 千克的物品和省外一件 2.8 千克的物品, 各需付运费多少元?

（2）小明寄往省内一件重 $(m+n)$ 千克, 其中 $m$ 是大于 1 的正整数, $\mathrm{n}$ 为大于 0 且不超过 0.5 的小数（即 $0<n \leq 0.5$ ）, 则用含字母 $\mathrm{m}$ 的代数式表示小明这次寄件的运费为 \$ \qquad \$
（3）小明一次向省外寄了一件物品, 用了 36 元, 你能知道小明这次寄件物品的重量范围吗?
选项：
答案：（1）解：寄往省内一件 3 千克的物品需付运费：

$8+5 \times(3-1)=18 \quad($ 元 $)$,

寄往省外一件 2.8 千克的物品需付运费：

$12+6 \times(1+0.5+0.5)=24 （$ 元 $)$

(2) $(5 m+5.5)$ 元

（3）解：设小明寄件的物品重 $(\mathrm{m}+\mathrm{n})$ 千克, $\mathrm{m}$ 为正整数, $\mathrm{n}$ 为大于等于 0 而小于 1 的数（即 $0 \leq$ $n<1$ ),

(1) 当 $n=0$ 时, $12+6(m-1)=36$,

解得: $m=5$;

(2) 当 $0<n \leq 0.5$ 时, $12+6(m-1+0.5)=36$,

解得： $m=4.5$ (不是正整数, 舍去);

(3) $0.5<n<1$ 时, $12+6(m-1+0.5+0.5)=36$,

解得: $m=4$,

$\therefore$ 小明这次寄件物品的重量范围为大于 $4.5 \mathrm{~kg}$ 但不超过 $5 \mathrm{~kg}$.
解析：（1）解：寄往省内一件 3 千克的物品需付运费：

$8+5 \times(3-1)=18 \quad($ 元 $)$,

寄往省外一件 2.8 千克的物品需付运费：

$12+6 \times(1+0.5+0.5)=24 （$ 元 $)$

(2) $(5 m+5.5)$ 元

（3）解：设小明寄件的物品重 $(\mathrm{m}+\mathrm{n})$ 千克, $\mathrm{m}$ 为正整数, $\mathrm{n}$ 为大于等于 0 而小于 1 的数（即 $0 \leq$ $n<1$ ),

(1) 当 $n=0$ 时, $12+6(m-1)=36$,

解得: $m=5$;

(2) 当 $0<n \leq 0.5$ 时, $12+6(m-1+0.5)=36$,

解得： $m=4.5$ (不是正整数, 舍去);

(3) $0.5<n<1$ 时, $12+6(m-1+0.5+0.5)=36$,

解得: $m=4$,

$\therefore$ 小明这次寄件物品的重量范围为大于 $4.5 \mathrm{~kg}$ 但不超过 $5 \mathrm{~kg}$.
题目（七年级 · 代数）：用“ $\otimes$ ”定义一种新运算: 对于任何有理数 $\mathrm{x}$ 和 $\mathrm{y}$, 规定 $\mathrm{x} \otimes \mathrm{y}=\left\{\begin{array}{l}2 x+\frac{1}{2} y(x \leq y) \\ y-\frac{1}{2} x(x>y)\end{array}\right.$.

(1) 求 $2 \otimes(-3)$ 的值;

(2) 若 $\left(-a^{2}\right) \otimes 2=m$, 求 $m$ 的最大整数;

(3) 若关于 $\mathrm{n}$ 的方程满足: $1 \otimes \mathrm{n}=-\frac{3}{2} \mathrm{n}-2$, 求 $\mathrm{n}$ 的值;

(4) 若 $-\frac{1}{3} A=\frac{1}{3} t^{3}-\frac{8}{3} t^{2}-2 t-2, \frac{1}{2} B=-\frac{1}{2} \mathrm{t}^{3}+2 \mathrm{t}^{2}+3 \mathrm{t}+1$, 且 $\mathrm{A} \otimes \mathrm{B}=-2$, 求 $5+12 \mathrm{t}-2 \mathrm{t}^{3}$ 的值.
选项：
答案：) 解: $2 \otimes(-3)=(-3)-\frac{1}{2} \times 2=-4$,

即 $2 \otimes(-3)=-4$;

(2) 解: $\left(-a^{2}\right) \otimes 2=m$,

$\because-a^{2}<0<2$,

$\therefore 2\left(-a^{2}\right)+\frac{1}{2} \times 2=m$, 即 $m=1-2 a^{2}$ ，

当 $a=0$ 时, $\mathrm{m}$ 取得最大整数为 1 ;

(3) 解: $1 \otimes n=-\frac{3}{2} n-2$,

(1)当 $1 \leq n$ 时, 可得 $2 \times 1+\frac{1}{2} n=-\frac{3}{2} n-2$,

解得: $n=-2<0$, 不符合题意, 舍去;

(2) 当 $1>n$ 时, 可得 $n-\frac{1}{2} \times 1=-\frac{3}{2} n-2$,

解得: $n=-\frac{3}{5}<1$, 符合题意;

综合可得: $n=-\frac{3}{5}$;

(4) 解: $\because-\frac{1}{3} A=\frac{1}{3} t^{3}-\frac{8}{3} t^{2}-2 t-2$,

$\therefore A=-t^{3}+8 t^{2}+6 t+6$,

$\because \frac{1}{2} B=-\frac{1}{2} t^{3}+2 t^{2}+3 t+1$,

$\therefore B=-t^{3}+4 t^{2}+6 t+2$,

$\therefore A-B=\left(-t^{3}+8 t^{2}+6 t+6\right)-\left(-t^{3}+4 t^{2}+6 t+2\right)=4 t^{2}+4>0$,

即 $A>B$,

$\therefore A \otimes B=B-\frac{1}{2} A=-2$,

即 $\left(-t^{3}+4 t^{2}+6 t+2\right)-\frac{1}{2}\left(-t^{3}+8 t^{2}+6 t+6\right)=-2$,

化简得: $t^{3}-6 t=2$,

$\therefore 5+12 t-2 t^{3}=5-2\left(t^{3}-6 t\right)=5-2 \times 2=1$,

即 $5+12 t-2 t^{3}=1$.
解析：) 解: $2 \otimes(-3)=(-3)-\frac{1}{2} \times 2=-4$,

即 $2 \otimes(-3)=-4$;

(2) 解: $\left(-a^{2}\right) \otimes 2=m$,

$\because-a^{2}<0<2$,

$\therefore 2\left(-a^{2}\right)+\frac{1}{2} \times 2=m$, 即 $m=1-2 a^{2}$ ，

当 $a=0$ 时, $\mathrm{m}$ 取得最大整数为 1 ;

(3) 解: $1 \otimes n=-\frac{3}{2} n-2$,

(1)当 $1 \leq n$ 时, 可得 $2 \times 1+\frac{1}{2} n=-\frac{3}{2} n-2$,

解得: $n=-2<0$, 不符合题意, 舍去;

(2) 当 $1>n$ 时, 可得 $n-\frac{1}{2} \times 1=-\frac{3}{2} n-2$,

解得: $n=-\frac{3}{5}<1$, 符合题意;

综合可得: $n=-\frac{3}{5}$;

(4) 解: $\because-\frac{1}{3} A=\frac{1}{3} t^{3}-\frac{8}{3} t^{2}-2 t-2$,

$\therefore A=-t^{3}+8 t^{2}+6 t+6$,

$\because \frac{1}{2} B=-\frac{1}{2} t^{3}+2 t^{2}+3 t+1$,

$\therefore B=-t^{3}+4 t^{2}+6 t+2$,

$\therefore A-B=\left(-t^{3}+8 t^{2}+6 t+6\right)-\left(-t^{3}+4 t^{2}+6 t+2\right)=4 t^{2}+4>0$,

即 $A>B$,

$\therefore A \otimes B=B-\frac{1}{2} A=-2$,

即 $\left(-t^{3}+4 t^{2}+6 t+2\right)-\frac{1}{2}\left(-t^{3}+8 t^{2}+6 t+6\right)=-2$,

化简得: $t^{3}-6 t=2$,

$\therefore 5+12 t-2 t^{3}=5-2\left(t^{3}-6 t\right)=5-2 \times 2=1$,

即 $5+12 t-2 t^{3}=1$.
题目（七年级 · 代数）：化简求值:

(1) $-\left(x^{2}-3\right)-\left(7-5 x^{2}\right)$, 其中 $x=-2$

(2) $4\left(2 x^{2} y-x y^{2}\right)-5\left(x y^{2}+2 x^{2} y\right)$, 其中 $x=-\frac{1}{2}, y=\frac{1}{3}$.
选项：
答案：(1) 解: $-\left(x^{2}-3\right)-\left(7-5 x^{2}\right)$,

$=-x^{2}+3-7+5 x^{2}$

$=4 x^{2}-4$

当 $x=-2$ 时, 原式 $=4 \times(-2)^{2}-4=12$

（2）解： $4\left(2 x^{2} y-x y^{2}\right)-5\left(x y^{2}+2 x^{2} y\right)$

$$
\begin{gathered}
=8 x^{2} y-4 x y^{2}-5 x y^{2}-10 x^{2} y \\
=-2 x^{2} y-9 x y^{2}
\end{gathered}
$$

当 $x=-\frac{1}{2}, y=\frac{1}{3}$ 时,

原式 $-\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$
解析：(1) 解: $-\left(x^{2}-3\right)-\left(7-5 x^{2}\right)$,

$=-x^{2}+3-7+5 x^{2}$

$=4 x^{2}-4$

当 $x=-2$ 时, 原式 $=4 \times(-2)^{2}-4=12$

（2）解： $4\left(2 x^{2} y-x y^{2}\right)-5\left(x y^{2}+2 x^{2} y\right)$

$$
\begin{gathered}
=8 x^{2} y-4 x y^{2}-5 x y^{2}-10 x^{2} y \\
=-2 x^{2} y-9 x y^{2}
\end{gathered}
$$

当 $x=-\frac{1}{2}, y=\frac{1}{3}$ 时,

原式 $-\frac{1}{6}+\frac{1}{2}=\frac{1}{3}$
题目（七年级 · 代数）：已知关于 $x$ 的两个多项式 $A=x^{2}-8 x+3 \cdot B=a x-b$, 且整式 $A+B$ 中不含一次项和常数项.

|  | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
| 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 |
| 28 | 29 | 30 | 31 |  |  |  |

(1) 求 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 的值;

(2) 如图是去年 2021 年 3 月份的月历.用带阴影的十字方框覆盖其中 5 个数字, 例如: 1, 7, $8,9,15$.现在移动十字方框使其履盖的 5 个数之和等于 $9 a+6 b$, 则此时十字方框正中心的数是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：(1) 解: $\because \mathrm{A}=\mathrm{x}^{2}-8 \mathrm{x}+3 \cdot \mathrm{B}=\mathrm{ax}-\mathrm{b}$,

$\therefore \mathrm{A}+\mathrm{B}=\mathrm{x}^{2}-8 \mathrm{x}+3+\mathrm{ax}-\mathrm{b}=\mathrm{x}^{2}+(-8+\mathrm{a}) \mathrm{x}-\mathrm{b}+3$,

由结果中不含一次项和常数项, 得到 $-8+a=0,-b+3=0$,

解得: $a=8, b=3$;

(2) 18
解析：(2) 设十字方框正中心的数是 $m$, 则它上面的数为 $m-7$, 它下面的数为 $m+7$, 它左面的数为 $m-1$, 它右面的数为 $m+1$, 列方程得,

$m+7+m-7+m+1+m-1+m=9 a+6 b$,

$\because \mathrm{a}=8, \mathrm{~b}=3 ;$

$\therefore 5 m=90$

解得, $m=18 ;$

故答案为: 18 .
题目（七年级 · 代数）：某钢铁厂每天可开采菱铁矿 $1920 \mathrm{t}$, 其中含铁率为 $50 \%$, 每天可开采的褐铁矿要比菱铁矿多 330 $\mathrm{t}$, 且褐铁矿的含铁率比菱铁矿提高了 10 个百分点. 钢铁厂一期开采某处菱铁矿, 二期开采某处褐铁矿，虽然二期开采天数比一期减少 3 天，但总产铁量比一期提高了 $3750 \mathrm{t}$.

（注: 本题中含铁率 $=\frac{\text { 产铁量 }}{\text { 矿石产量 }} \times 100 \%$ )

(1) 设一期菱铁矿开采了 $\mathrm{x}$ 天, 根据题目中的数量关系, 用含 $\mathrm{x}$ 的式子填表 (结果需要化简):

|  | 开采天数（天） | 每天开采量 $(\mathrm{t})$ | 含铁率 | 总产铁量 $(\mathrm{t})$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 一期 | $\mathrm{x}$ | 1920 | $50 \%$ |  |
| 二期 |  | $1920+330$ | $50 \%+10 \%$ |  |

并分别求出一期和二期的开采天数.

(2) 该厂将全部开采的铁矿石炼制加工成钢铁, 一期将钢铁按照每吨 a 万元定价, 且全部售出.由于成本增加, 该厂将二期的钢铁每吨定价提高了 0.1 万元, 也全部售出, 且二期的总售价比一期多 4170 万元, 求 $\mathrm{a}$ 的值.
选项：
答案：(1) 解: 根据题意, 一期总产铁量为: $1920 x \times 50 \%=960 x$ (吨); 二期开采天数为 (x$3)$, 二期总产铁量为: $(1920+330)(x-3) \times(50 \%+10 \%)=1350 x-4050 \quad$ (吨);填表得,

|  | 开采天数（天） | 每天开采量 $(\mathrm{t})$ | 含铁率 | 总产铁量 $(\mathrm{t})$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 一期 | $\mathrm{x}$ | 1920 | $50 \%$ | $960 \mathrm{x}$ |
| 二期 | $\mathrm{x}-3$ | $1920+330$ | $50 \%+10 \%$ | $1350 \mathrm{x}-4050$ |

根据题意列方程得, $1350 x-4050-960 x=3750$,
解得, $x=20, x-3=17$ ，

答：一期和二期的开采天数分别为 20 天和 17 天;

（2）解：由（1）得, 一期总产铁量为 $960 \times 20=19200$ 吨，二期总产铁量为 $1350 \times 20-$ $4050=22950$ 吨,

根据题意列方程得， $\quad 19200 a+4170=22950(a+0.1)$ ，

解得, $a=0.5$ ，

答: $\mathrm{a}$ 的值为 0.5
解析：(1) 解: 根据题意, 一期总产铁量为: $1920 x \times 50 \%=960 x$ (吨); 二期开采天数为 (x$3)$, 二期总产铁量为: $(1920+330)(x-3) \times(50 \%+10 \%)=1350 x-4050 \quad$ (吨);填表得,

|  | 开采天数（天） | 每天开采量 $(\mathrm{t})$ | 含铁率 | 总产铁量 $(\mathrm{t})$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 一期 | $\mathrm{x}$ | 1920 | $50 \%$ | $960 \mathrm{x}$ |
| 二期 | $\mathrm{x}-3$ | $1920+330$ | $50 \%+10 \%$ | $1350 \mathrm{x}-4050$ |

根据题意列方程得, $1350 x-4050-960 x=3750$,
解得, $x=20, x-3=17$ ，

答：一期和二期的开采天数分别为 20 天和 17 天;

（2）解：由（1）得, 一期总产铁量为 $960 \times 20=19200$ 吨，二期总产铁量为 $1350 \times 20-$ $4050=22950$ 吨,

根据题意列方程得， $\quad 19200 a+4170=22950(a+0.1)$ ，

解得, $a=0.5$ ，

答: $\mathrm{a}$ 的值为 0.5
题目（七年级 · 代数）：我们知道 $a+b=0$ 时, $a^{3}+b^{3}=0$ 也成立, 若将 $a$ 看成 $a^{3}$ 的立方根, $b$ 看成 $b^{3}$ 的立方根, 我们能否得出这样的结论: 若两个数的立方根互为相反数, 则这两个数也互为相反数.

(1) 试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立

(2) 若 $\sqrt{1-2 x}$ 与 $\sqrt[3]{3 x-5}$ 互为相反数, 求 $1-\sqrt{x}$ 的值.
选项：
答案：(1) 解:

$\because 2+(-2)=0$,

而且 $2^{3}=8,(-2)^{3}=-8$, 有 $8-8=0$,

$\therefore$ 结论成立;

$\therefore$ 即“若两个数的立方根互为相反数, 则这两个数也互为相反数是成立的.

(2) 解:

由 (1) 验证的结果知, $1-2 x+3 x-5=0$,
$\therefore \mathrm{x}=4$,

$\therefore 1-\sqrt{x}=1-2=-1$.
解析：(1) 解:

$\because 2+(-2)=0$,

而且 $2^{3}=8,(-2)^{3}=-8$, 有 $8-8=0$,

$\therefore$ 结论成立;

$\therefore$ 即“若两个数的立方根互为相反数, 则这两个数也互为相反数是成立的.

(2) 解:

由 (1) 验证的结果知, $1-2 x+3 x-5=0$,
$\therefore \mathrm{x}=4$,

$\therefore 1-\sqrt{x}=1-2=-1$.
题目（七年级 · 代数）：解答下列各题.

(1) 已知 $2 x+3$ 与 $x-18$ 是某数的平方根, 求 $x$ 的值及这个数。

（2）已知 $|2 \mathrm{c}-\mathrm{d}|+\sqrt{d^{2}-36}=0$, 求 $\mathrm{d}+\mathrm{c}$ 的平方根。
选项：
答案：(1) 解：由题意得： $2 x+3=-(x-18)$,

去括号: $2 x+3=-x+18$,

移项: $2 \mathrm{x}+\mathrm{x}=18-3$,

合并同类项: $3 x=15$,

系数化为 $1: x=5$,

$\therefore$ 这个数是: $(2 \times 5+3)^{2}=169$

（2）解： 由题意得： $2 c-d=0, d^{2}-36=0$,

解得 $\mathrm{d}= \pm 6, \mathrm{c}= \pm 3$,

$\because$ 当 $\mathrm{d}=-6, \mathrm{c}=-3$ 时, $\mathrm{d}+\mathrm{c}=-9$ （舍）

$\therefore \mathrm{d}+\mathrm{c}$ 的平方根为 $\pm \sqrt{d+c}= \pm \sqrt{9}= \pm 3$.
解析：(1) 解：由题意得： $2 x+3=-(x-18)$,

去括号: $2 x+3=-x+18$,

移项: $2 \mathrm{x}+\mathrm{x}=18-3$,

合并同类项: $3 x=15$,

系数化为 $1: x=5$,

$\therefore$ 这个数是: $(2 \times 5+3)^{2}=169$

（2）解： 由题意得： $2 c-d=0, d^{2}-36=0$,

解得 $\mathrm{d}= \pm 6, \mathrm{c}= \pm 3$,

$\because$ 当 $\mathrm{d}=-6, \mathrm{c}=-3$ 时, $\mathrm{d}+\mathrm{c}=-9$ （舍）

$\therefore \mathrm{d}+\mathrm{c}$ 的平方根为 $\pm \sqrt{d+c}= \pm \sqrt{9}= \pm 3$.