eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高一 · 代数）：某企业常年生产一种出口产品, 根据预测可知, 进入 21 世纪以来, 该产品的产量平稳增长. 记 2009 年为第 1 年, 且前 4 年中, 第 $\mathrm{x}$ 年与年产量 $f(x)$ (万件 $)$ 之间的关系如表所示:

| $\mathrm{X}$ | 1 | 2 | 3 | 4 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $f(x)$ | 4.00 | 5.58 | 7.00 | 8.4 |

若 $f(x)$ 近似符合以下三种函数模型之一: $f(x)=a x+b, f(x)=2^{x}+a, f(x)=\log _{\frac{1}{2}} x+a$.

(1) 找出你认为最适合的函数模型, 并说明理由, 然后求出相应的解析式（所求 $\mathrm{a}$ 或 $\mathrm{b}$ 值保留 1 位小数);

（2）因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2015 年的年产量比预计减少 30\%, 试根据所建立的函数模型，确定 2015 年的年产量.
选项：
答案：(1) 解: 符合条件的是 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{ax}+\mathrm{b}$.

若模型为 $f(x)=2^{x}+a$, 则由 $f(1)=2^{1}+a=4$, 得 $a=2$, 即 $f(x)=2^{x}+2$,

此时 $f(2)=6, f(3)=10, f(4)=18$, 与已知相差太大, 不符合.
若模型为 $f(x)=\log \frac{1}{2} x+a$, 则 $f(x)$ 是减函数, 与已知不符合.

由已知得 $\left\{\begin{array}{l}a+b=4 \\ 3 a+b=7 \text { 解得 }\end{array}\left\{\begin{array}{l}a=\frac{3}{2} \\ b=\frac{5}{2}\end{array}\right.\right.$

所以 $f(x)=\frac{3}{2} x+\frac{5}{2}, x \in N$.

(2) 解: 2015 年预计年产量为 $f(7)=\frac{3}{2} \times 7+\frac{5}{2}=13$,

则 2015 年实际年产量为 $13 \times(1-30 \%)=9.1$,

答: 最适合的模型解析式为 $f(x)=\frac{3}{2} x+\frac{5}{2}, x \in N .2015$ 年的实际产量为 9.1 万件
解析：（1）由题中数据可以判断最适合的函数模型是 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{ax}+\mathrm{b}$;

（2）由 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{ax}+\mathrm{b}$, 先求出 $\mathrm{x}=7$ 时的函数值, 再减少 $30 \%$, 可确定 2015 年的年产量.
题目（高一 · 代数）：函数 $f(x)=1.1^{x}, g(x)=\ln x+1, h(x)=x^{\frac{1}{2}}$ 的图象如图所示, 试分别指出各曲线对应的函数, 并比较三个函数的增长差异(以 $1, a, b, c, d, e$ 为分界点).


选项：
答案：由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线 $C_{1}$ 对应的函数是 $f(x)=1.1^{x}$, 曲线 $C_{2}$ 对应的函数是 $h(x)=x^{\frac{1}{2}}$, 曲线 $C_{3}$ 对应的函数是 $g(x)=\ln x+1$.

由题图知，当 $x<1$ 时， $f(x)>h(x)>g(x)$;

当 $1<x<e$ 时, $f(x)>g(x)>h(x)$;

当 $e<x<a$ 时, $g(x)>f(x)>h(x)$;

当 $a<x<b$ 时, $g(x)>h(x)>f(x)$;

当 $b<x<c$ 时, $h(x)>g(x)>f(x)$;
当 $c<x<d$ 时, $h(x)>f(x)>g(x)$;

当 $x>d$ 时, $f(x)>h(x)>g(x)$.
解析：由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线 $C_{1}$ 对应的函数是 $f(x)=1.1^{x}$, 曲线 $C_{2}$ 对应的函数是 $h(x)=x^{\frac{1}{2}}$, 曲线 $C_{3}$ 对应的函数是 $g(x)=\ln x+1$.

由题图知，当 $x<1$ 时， $f(x)>h(x)>g(x)$;

当 $1<x<e$ 时, $f(x)>g(x)>h(x)$;

当 $e<x<a$ 时, $g(x)>f(x)>h(x)$;

当 $a<x<b$ 时, $g(x)>h(x)>f(x)$;

当 $b<x<c$ 时, $h(x)>g(x)>f(x)$;
当 $c<x<d$ 时, $h(x)>f(x)>g(x)$;

当 $x>d$ 时, $f(x)>h(x)>g(x)$.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=3^{x}, f(a+2)=81, g(x)=\frac{1-a^{x}}{1+a^{x}}$.

(1)求 $g(x)$ 的解析式并判断 $g(x)$ 的奇偶性;

(2)用定义证明：函数 $g(x)$ 在 $\boldsymbol{R}$ 上是单调递减函数;

(3)求函数 $g(x)$ 的值域.
选项：
答案：【解】(1)由 $f(a+2)=3^{a^{+}}=81$, 得 $a+2=4$, 故 $a=2$, 则 $g(x)=\frac{1-2^{x}}{1+2^{x}}$,

又 $g(-x)=\frac{1-2^{-x}}{1+2^{-x}}=\frac{2^{x}-1}{2^{x}+1}=-f(x)$,

故 $g(x)$ 是奇函数.

(2)证明: 设 $x_{1}<x_{2} \in \boldsymbol{R}, g\left(x_{1}\right)-g\left(x_{2}\right)=\frac{1-2 x_{1}}{1+2 x_{1}}-\frac{1-2 x_{2}}{1+2 x_{2}}=\frac{2\left(2 x_{2}-2 x_{1}\right)}{\left(1+2 x_{1}\right)\left(1+2 x_{2}\right)}$.

$\because x_{1}<x_{2}, \quad \therefore 2 x_{1}<2 x_{2}$,

又 $2 x_{1}>0,2 x_{2}>0, \therefore g\left(x_{1}\right)-g\left(x_{2}\right)>0$, 即 $g\left(x_{1}\right)>g\left(x_{2}\right)$, 则函数 $g(x)$ 在 $R$ 上是单调递减函数.

(3) $g(x)=\frac{1-2^{x}}{1+2^{x}}=\frac{2-\left(1+2^{x}\right)}{1+2^{x}}=\frac{2}{1+2^{x}}-1$.

$\because 2^{x}>0,2^{x}+1>1, \therefore 0<\frac{1}{1+2^{x}}<1,0<\frac{2}{1+2^{x}}<2, \quad-1<\frac{2}{1+2^{x}}-1<1$, 故函数 $g(x)$ 的值域为 $(-1,1)$.
解析：【解】(1)由 $f(a+2)=3^{a^{+}}=81$, 得 $a+2=4$, 故 $a=2$, 则 $g(x)=\frac{1-2^{x}}{1+2^{x}}$,

又 $g(-x)=\frac{1-2^{-x}}{1+2^{-x}}=\frac{2^{x}-1}{2^{x}+1}=-f(x)$,

故 $g(x)$ 是奇函数.

(2)证明: 设 $x_{1}<x_{2} \in \boldsymbol{R}, g\left(x_{1}\right)-g\left(x_{2}\right)=\frac{1-2 x_{1}}{1+2 x_{1}}-\frac{1-2 x_{2}}{1+2 x_{2}}=\frac{2\left(2 x_{2}-2 x_{1}\right)}{\left(1+2 x_{1}\right)\left(1+2 x_{2}\right)}$.

$\because x_{1}<x_{2}, \quad \therefore 2 x_{1}<2 x_{2}$,

又 $2 x_{1}>0,2 x_{2}>0, \therefore g\left(x_{1}\right)-g\left(x_{2}\right)>0$, 即 $g\left(x_{1}\right)>g\left(x_{2}\right)$, 则函数 $g(x)$ 在 $R$ 上是单调递减函数.

(3) $g(x)=\frac{1-2^{x}}{1+2^{x}}=\frac{2-\left(1+2^{x}\right)}{1+2^{x}}=\frac{2}{1+2^{x}}-1$.

$\because 2^{x}>0,2^{x}+1>1, \therefore 0<\frac{1}{1+2^{x}}<1,0<\frac{2}{1+2^{x}}<2, \quad-1<\frac{2}{1+2^{x}}-1<1$, 故函数 $g(x)$ 的值域为 $(-1,1)$.
题目（高一 · 代数）：比较下列各组数的大小:

(1) $1.9^{-\pi}$ 与 $1.9^{-3}$;

(2) $0.7^{2^{-}} \sqrt{3}$ 与 $0.7^{0.3}$;

(3) $0.6^{0.4}$ 与 $0.4^{0.6}$.
选项：
答案：【解】(1)由于 $y=1.9^{x}$ 在 $\boldsymbol{R}$ 上单调递增, 而 $-\pi<-3$, 所以 $1.9^{-\pi}<1.9^{-3}$.

(2)因为 $y=0.7^{x}$ 在 $\boldsymbol{R}$ 上单调递减,

而 $2-\sqrt{3} \approx 0.2679<0.3$, 所以 $0.7^{-2} \sqrt{3}>0.7^{0.3}$.

(3)因为 $y=0.6^{x}$ 在 $\boldsymbol{R}$ 上单调递减, 所以 $0.6^{0.4}>0.6^{0.6}$; 又在 $y$ 轴右侧, 函数 $y=0.6^{x}$ 的图象在 $y=0.4^{x}$ 的图象的上方, 所以 $0.6^{0.6}>0.4^{0.6}$, 所以 $0.6^{0.4}>0.4^{0.6}$.
解析：【解】(1)由于 $y=1.9^{x}$ 在 $\boldsymbol{R}$ 上单调递增, 而 $-\pi<-3$, 所以 $1.9^{-\pi}<1.9^{-3}$.

(2)因为 $y=0.7^{x}$ 在 $\boldsymbol{R}$ 上单调递减,

而 $2-\sqrt{3} \approx 0.2679<0.3$, 所以 $0.7^{-2} \sqrt{3}>0.7^{0.3}$.

(3)因为 $y=0.6^{x}$ 在 $\boldsymbol{R}$ 上单调递减, 所以 $0.6^{0.4}>0.6^{0.6}$; 又在 $y$ 轴右侧, 函数 $y=0.6^{x}$ 的图象在 $y=0.4^{x}$ 的图象的上方, 所以 $0.6^{0.6}>0.4^{0.6}$, 所以 $0.6^{0.4}>0.4^{0.6}$.
题目（高一 · 代数）：若函数 $f(x)=a^{x}-1(a>0$, 且 $a \neq 1)$ 的定义域和值域都是 $[0,2]$, 求实数 $a$ 的值.
选项：
答案：当 $a>1$ 时, $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上递增,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}f(0)=0, \\ f(2)=2,\end{array} \quad\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l}a^{0}-1=0, \\ a^{2}-1=2,\end{array}\right.$

$\therefore a= \pm \sqrt{3} .21$ 世纪教育网

又 $a>1, \therefore a=\sqrt{3}$.

当 $0<a<1$ 时, $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上递减,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}f(0)=2, \\ f(2)=0,\end{array} \quad\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l}a^{0}-1=2, \\ a^{2}-1=0,\end{array}\right.$ 解得 $a \in \varnothing$,

综上所述, $a=\sqrt{3}$.
解析：当 $a>1$ 时, $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上递增,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}f(0)=0, \\ f(2)=2,\end{array} \quad\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l}a^{0}-1=0, \\ a^{2}-1=2,\end{array}\right.$

$\therefore a= \pm \sqrt{3} .21$ 世纪教育网

又 $a>1, \therefore a=\sqrt{3}$.

当 $0<a<1$ 时, $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上递减,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}f(0)=2, \\ f(2)=0,\end{array} \quad\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l}a^{0}-1=2, \\ a^{2}-1=0,\end{array}\right.$ 解得 $a \in \varnothing$,

综上所述, $a=\sqrt{3}$.
题目（高一 · 代数）：设全集为 $\mathbf{R}, A=\{x \mid 3 \leqslant x<7\}, B=\{x \mid 2<x<10\}$, 求:

(1) $A \cap B$;

(2) $\int_{\mathbf{R}} A$;

(3) $\complement_{\mathbf{R}}(A \cup B)$.
选项：
答案：【解】(1) $\because A=\{x \mid 3 \leqslant x<7\}, B=\{x \mid 2<x<10\}$,

$\therefore A \cap B=\{x \mid 3 \leqslant x<7\}$.

(2)又全集为 $\mathbf{R}, A=\{x \mid 3 \leqslant x<7\}, \therefore \complement_{\mathbf{R}} A=\{x \mid x<3$, 或 $x \geqslant 7\}$.

(3) $\because A \cup B=\{x \mid 2<x<10\}, \therefore \complement_{\mathbf{R}}(A \cup B)=\{x \mid x \leqslant 2$, 或 $x \geqslant 10\}$.
解析：【解】(1) $\because A=\{x \mid 3 \leqslant x<7\}, B=\{x \mid 2<x<10\}$,

$\therefore A \cap B=\{x \mid 3 \leqslant x<7\}$.

(2)又全集为 $\mathbf{R}, A=\{x \mid 3 \leqslant x<7\}, \therefore \complement_{\mathbf{R}} A=\{x \mid x<3$, 或 $x \geqslant 7\}$.

(3) $\because A \cup B=\{x \mid 2<x<10\}, \therefore \complement_{\mathbf{R}}(A \cup B)=\{x \mid x \leqslant 2$, 或 $x \geqslant 10\}$.
题目（高一 · 代数）：已知集合 $U=\{1,2,3,4,5\}$, 若 $A \cup B=U, A \cap B=\varnothing$, 且 $A \cap\left(\complement_{U} B\right)=\{1,2\}$, 试写出满足上述条件的集合 $A$,

B.
选项：
答案：【解】 $\because A \cup B=\mathrm{U}, A \cap B=\varnothing$,

$\therefore A=\complement_{\mathrm{UB}}$, 又 $A \cap \complement_{\mathrm{U} B}=\{1,2\}$,

$\therefore A=\{1,2\}$,

$\therefore B=\{3,4,5\}$.
解析：【解】 $\because A \cup B=\mathrm{U}, A \cap B=\varnothing$,

$\therefore A=\complement_{\mathrm{UB}}$, 又 $A \cap \complement_{\mathrm{U} B}=\{1,2\}$,

$\therefore A=\{1,2\}$,

$\therefore B=\{3,4,5\}$.
题目（高一 · 代数）：函数 $f(x)=x+\frac{m}{x}$, 且 $f(1)=3$.

(1)求 $m$ 的值;

(2)判断函数 $f(x)$ 的奇偶性.
选项：
答案：【解】(1)由题意知, $f(1)=1+m=3$,

$\therefore \mathrm{m}=2$.

(2)由(1)知, $f(x)=x+\frac{2}{x}, x \neq 0$.

$\because f(-x)=(-x)+\frac{2}{-x}=-\left(x+\frac{2}{x}\right)=-f(x)$,

$\therefore$ 函数 $f(x)$ 为奇函数.
解析：【解】(1)由题意知, $f(1)=1+m=3$,

$\therefore \mathrm{m}=2$.

(2)由(1)知, $f(x)=x+\frac{2}{x}, x \neq 0$.

$\because f(-x)=(-x)+\frac{2}{-x}=-\left(x+\frac{2}{x}\right)=-f(x)$,

$\therefore$ 函数 $f(x)$ 为奇函数.
题目（高一 · 代数）：已知 $f(x)$ 是奇函数, 且在 $(0,+\infty)$ 上是减函数. 求证: $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上是减函数.
选项：
答案：证明: 设 $x_{1}, x_{2}$ 是 $(-\infty, 0)$ 上的任意两个值, 且 $x_{1}<x_{2}$, 则 $-x_{1}>-x_{2}>0$.
$\because f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是减函数,

$\therefore f\left(-x_{1}\right)<f\left(-x_{2}\right)$.

又 $f(x)$ 是奇函数, $\therefore-f\left(x_{1}\right)<-f\left(x_{2}\right)$, 即 $f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right)$,

$\therefore f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上是减函数.
解析：证明: 设 $x_{1}, x_{2}$ 是 $(-\infty, 0)$ 上的任意两个值, 且 $x_{1}<x_{2}$, 则 $-x_{1}>-x_{2}>0$.
$\because f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上是减函数,

$\therefore f\left(-x_{1}\right)<f\left(-x_{2}\right)$.

又 $f(x)$ 是奇函数, $\therefore-f\left(x_{1}\right)<-f\left(x_{2}\right)$, 即 $f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right)$,

$\therefore f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上是减函数.
题目（高一 · 代数）：设函数 $f(x)=a^{x}-a^{-x}(a>0, a \neq 1), f(1)=\frac{3}{2}$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的解析式;

(2) 设 $g(x)=a^{2 x}+a^{-2 x}-2 m f(x), g(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上的最小值为 -1 , 求 $m$.
选项：
答案：(1) 由函数 $f(x)=a^{x}-a^{-x}$, 且 $f(1)=\frac{3}{2}$,

可得 $a-\frac{1}{a}=\frac{3}{2}$, 整理得 $2 a^{2}-3 a-2=0$, 解得 $a=2$ 或 $a=-\frac{1}{2}$ （舍去）,

所以函数 $f(x)$ 的解析式为 $f(x)=2^{x}-2^{-x}$.

(2) 由 $g(x)=a^{2 x}+a^{-2 x}-2 m f(x)$ ，

可得 $g(x)=2^{2 x}+2^{-2 x}-2 m\left(2^{x}-2^{-x}\right)=\left(2^{x}-2^{-x}\right)^{2}-2 m\left(2^{x}-2^{-x}\right)+2$,

令 $t=f(x)=2^{x}-2^{-x}$,

可得函数 $f(x)=2^{x}-2^{-x}$ 为增函数, $\because x \geq 1, \therefore t \geq f(1)=\frac{3}{2}$,

令 $h(t)=t^{2}-2 m t+2=(t-m)^{2}+2-m^{2}\left(t \geqslant \frac{3}{2}\right)$.
若 $m \geq \frac{3}{2}$, 当 $t=m$ 时, $h(t)_{\text {min }}=2-m^{2}=-1, \therefore m= \pm \sqrt{3}, \therefore m=\sqrt{3}$

若 $m<\frac{3}{2}$, 当 $t=\frac{3}{2}$ 时, $h(t)_{\min }=\frac{17}{4}-3 m=-1$, 解得 $m=\frac{7}{4}>\frac{3}{2}$, 舍去.

综上可知 $m=\sqrt{3}$.
解析：(1) 由函数 $f(x)=a^{x}-a^{-x}$, 且 $f(1)=\frac{3}{2}$,

可得 $a-\frac{1}{a}=\frac{3}{2}$, 整理得 $2 a^{2}-3 a-2=0$, 解得 $a=2$ 或 $a=-\frac{1}{2}$ （舍去）,

所以函数 $f(x)$ 的解析式为 $f(x)=2^{x}-2^{-x}$.

(2) 由 $g(x)=a^{2 x}+a^{-2 x}-2 m f(x)$ ，

可得 $g(x)=2^{2 x}+2^{-2 x}-2 m\left(2^{x}-2^{-x}\right)=\left(2^{x}-2^{-x}\right)^{2}-2 m\left(2^{x}-2^{-x}\right)+2$,

令 $t=f(x)=2^{x}-2^{-x}$,

可得函数 $f(x)=2^{x}-2^{-x}$ 为增函数, $\because x \geq 1, \therefore t \geq f(1)=\frac{3}{2}$,

令 $h(t)=t^{2}-2 m t+2=(t-m)^{2}+2-m^{2}\left(t \geqslant \frac{3}{2}\right)$.
若 $m \geq \frac{3}{2}$, 当 $t=m$ 时, $h(t)_{\text {min }}=2-m^{2}=-1, \therefore m= \pm \sqrt{3}, \therefore m=\sqrt{3}$

若 $m<\frac{3}{2}$, 当 $t=\frac{3}{2}$ 时, $h(t)_{\min }=\frac{17}{4}-3 m=-1$, 解得 $m=\frac{7}{4}>\frac{3}{2}$, 舍去.

综上可知 $m=\sqrt{3}$.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\log _{\mathrm{a}}(1-\mathrm{x})+\log _{\mathrm{a}}(\mathrm{x}+3)$, 其中 $0<\mathrm{a}<1$.

(1) 求函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的定义域;

(2) 若函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的最小值为 -4 , 求 $\mathrm{a}$ 的值.
选项：
答案：(1) 要使函数有意义, 则有 $\left\{\begin{array}{l}1-x>0 \\ x+3>0\end{array}\right.$, 解得 $-3<x<1$, 所以函数的定义域为 $(-3,1)$.

(2) 函数可化为 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\log _{\mathrm{a}}(1-\mathrm{x})(\mathrm{x}+3)=\log _{\mathrm{a}}\left(-\mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{x}+3\right)=\log _{\mathrm{a}}\left[-(\mathrm{x}+1)^{2}+4\right]$,

因为 $-3<<x<1$, 所以 $0<-(x+1)^{2}+4 \leqslant 4$.

因为 $0<\boldsymbol{a}<1$, 所以 $\log _{a}\left[-(x+1)^{2}+4\right] \geqslant \log _{a} 4$,

即 $f(x)_{\min }=\log _{a} 4$, 由 $\log _{a} 4=-4$, 得 $a^{-4}=4$, 所以 $a=4^{-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
解析：(1) 要使函数有意义, 则有 $\left\{\begin{array}{l}1-x>0 \\ x+3>0\end{array}\right.$, 解得 $-3<x<1$, 所以函数的定义域为 $(-3,1)$.

(2) 函数可化为 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\log _{\mathrm{a}}(1-\mathrm{x})(\mathrm{x}+3)=\log _{\mathrm{a}}\left(-\mathrm{x}^{2}-2 \mathrm{x}+3\right)=\log _{\mathrm{a}}\left[-(\mathrm{x}+1)^{2}+4\right]$,

因为 $-3<<x<1$, 所以 $0<-(x+1)^{2}+4 \leqslant 4$.

因为 $0<\boldsymbol{a}<1$, 所以 $\log _{a}\left[-(x+1)^{2}+4\right] \geqslant \log _{a} 4$,

即 $f(x)_{\min }=\log _{a} 4$, 由 $\log _{a} 4=-4$, 得 $a^{-4}=4$, 所以 $a=4^{-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=\ln (3+x)+\ln (3-x)$.

（1）求函数 $y=f(x)$ 的定义域并判断奇偶性;

(2) 若 $f(2 m-1)<f(m)$, 求实数 $\mathrm{m}$ 的取值范围.
选项：
答案：(1) 由 $\left\{\begin{array}{l}3+x>0 \\ 3-x>0\end{array}\right.$ 得 $-3<x<3$,

所以 $f(x)$ 的定义域为 $(-3,3)$, 又因为 $f(-x)=\ln (3-x)+\ln (3+x)=f(x)$, 所以 $f(x)$ 偶函数.

(2) 因为 $f(x)=\ln (3+x)+\ln (3-x)=\ln \left(9-x^{2}\right)$ 所以 $f(x)$ 是 $[0,3)$ 上的减函数, 又 $f(x)$ 是偶函数.

故 $\left\{\begin{array}{c}-3<2 m-1<3 \\ -3<m<3 \\ |2 m-1|>|m|\end{array}\right.$ 解得 $-1<m<\frac{1}{3}$ 或 $1<m<2$.
解析：(1) 由 $\left\{\begin{array}{l}3+x>0 \\ 3-x>0\end{array}\right.$ 得 $-3<x<3$,

所以 $f(x)$ 的定义域为 $(-3,3)$, 又因为 $f(-x)=\ln (3-x)+\ln (3+x)=f(x)$, 所以 $f(x)$ 偶函数.

(2) 因为 $f(x)=\ln (3+x)+\ln (3-x)=\ln \left(9-x^{2}\right)$ 所以 $f(x)$ 是 $[0,3)$ 上的减函数, 又 $f(x)$ 是偶函数.

故 $\left\{\begin{array}{c}-3<2 m-1<3 \\ -3<m<3 \\ |2 m-1|>|m|\end{array}\right.$ 解得 $-1<m<\frac{1}{3}$ 或 $1<m<2$.
题目（高一 · 代数）：已知 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数, 当 $x \geq 0$ 时, $f(x)=\log _{a}(x+1)(a>0$ 且 $a \neq 1)$.

(1) 求函数 $f(x)$ 的解析式;

(2) 若 $-1<f(2)<1$, 求实数 $a$ 的取值范围.
选项：
答案：) 当 $x<0$ 时, $-x>0$, 由题意知 $f(-x)=\log _{a}(-x+1)$.

又 $y=f(x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数, 所以 $f(-x)=-f(x)$.

所以当 $x<0$ 时, $f(x)=-f(-x)=-\log _{a}(-x+1)$,

所以函数 $y=f(x)$ 的解析式为 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\log _{a}(x+1), x \geq 0 \\ -\log _{a}(-x+1), x<0\end{array}\right.$;

（2）因为 $-1<f(2)<1$, 所以 $-1<\log _{a} 3<1$, 即 $\log _{a} \frac{1}{a}<\log _{a} 3<\log _{a} a$.

(1)当 $0<a<1$ 时, 原不等式等价于 $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}>3 \\ a<3\end{array}\right.$, 解得 $0<a<\frac{1}{3}$;

(2)当 $a>1$ 时, 原不等式等价于 $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}<3 \\ a>3\end{array}\right.$, 解得 $a>3$.

综上所述：实数 $\boldsymbol{a}$ 的取值范围是 $\left(0, \frac{1}{3}\right) \cup(3,+\infty)$.
解析：) 当 $x<0$ 时, $-x>0$, 由题意知 $f(-x)=\log _{a}(-x+1)$.

又 $y=f(x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数, 所以 $f(-x)=-f(x)$.

所以当 $x<0$ 时, $f(x)=-f(-x)=-\log _{a}(-x+1)$,

所以函数 $y=f(x)$ 的解析式为 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\log _{a}(x+1), x \geq 0 \\ -\log _{a}(-x+1), x<0\end{array}\right.$;

（2）因为 $-1<f(2)<1$, 所以 $-1<\log _{a} 3<1$, 即 $\log _{a} \frac{1}{a}<\log _{a} 3<\log _{a} a$.

(1)当 $0<a<1$ 时, 原不等式等价于 $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}>3 \\ a<3\end{array}\right.$, 解得 $0<a<\frac{1}{3}$;

(2)当 $a>1$ 时, 原不等式等价于 $\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{a}<3 \\ a>3\end{array}\right.$, 解得 $a>3$.

综上所述：实数 $\boldsymbol{a}$ 的取值范围是 $\left(0, \frac{1}{3}\right) \cup(3,+\infty)$.
题目（高一 · 代数）：已知定义域为 $R$ 的函数 $f(x)=\frac{-2^{x}+a}{2^{x}+1}$ 是奇函数.

(1) 求实数 $a$ 的值;

(2) 判断 $f(x)$ 的单调性并用定义证明;

(3) 已知不等式 $f\left(\log _{m} \frac{3}{4}\right)+f(-1)>0$ 恒成立, 求实数 $m$ 的取值范围.
选项：
答案：(1) $a=1$; （2） $f(x)$ 是减函数, 证明见解析; （3） $\left(0, \frac{3}{4}\right) \cup(1,+\infty)$.
解析：

(1) $\because f(x)$ 是 $R$ 上的奇函数, $\therefore f(0)=0, f(0)=\frac{-1+a}{1+1}=0$ 得 $a=1$

(2) $f(x)$ 是减函数, 证明如下:

设 $X_{1}, x_{2}$ 是 $R$ 上任意两个实数, 且 $X_{1}<x_{2}$,

$f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=\frac{-2^{x_{1}}+1}{2^{x_{1}}+1}-\frac{-2^{x_{2}}+1}{2^{x_{2}}+1}=\frac{\left(2^{x_{2}}+1\right)\left(1-2^{x_{1}}\right)-\left(2^{x_{1}}+1\right)\left(1-2^{x_{2}}\right)}{\left(2^{x_{1}}+1\right)\left(2^{x_{2}}+1\right)}=\frac{2\left(2^{x_{2}}-2^{x_{1}}\right)}{\left(2^{x_{1}}+1\right)\left(2^{x_{2}}+1\right)}$

$\because x_{1}<x_{2} \therefore 2^{x_{2}}>2^{x_{1}}$, 即 $2^{x_{2}}-2^{x_{1}}>0, \because 2^{x_{1}}+1>0,2^{x_{2}}+1>0$

$\therefore f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)>0$, 即 $f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right), \therefore f(x)$ 在 $R$ 上是减函数

(3) $\because$ 不等式 $f\left(\log _{m} \frac{3}{4}\right)+f(-1)>0$ 恒成立, $\therefore f\left(\log _{m} \frac{3}{4}\right)>-f(-1)$

$\because f(x)$ 是奇函数 $\therefore-f(-1)=f(1)$, 即不等式 $f\left(\log _{m} \frac{3}{4}\right)>f(1)$ 恒成立又 $\because f(x)$ 在 $R$ 上是减函数, $\therefore$ 不等式 $\log _{m} \frac{3}{4}<1$ 恒成立当 $0<m<1$ 时, 得 $m<\frac{3}{4} \quad \therefore 0<m<\frac{3}{4}$当 $m>1$ 时, 得 $m>\frac{3}{4} \quad \therefore m>1$综上, 实数 $m$ 的取值范围是 $\left(0, \frac{3}{4}\right) \cup(1,+\infty)$
题目（高一 · 代数）：已知函数 $g(x)=(a+1)^{x-2}+1(a>0)$ 的图像恒过定点 $A$, 且点 $A$ 又在函数 $f(x)=\log _{\sqrt{3}}(x+a)$ 的图像上.

(1) 求实数 $a$ 的值;

(2) 解不等式 $f(x)<\log _{\sqrt{3}} a$;

(3) $|g(x+2)-2|=2 b$ 有两个不等实根时, 求 $b$ 的取值范围.
选项：
答案：(1) $a=1$;
(2) $\{x \mid-1<x<0\}$;
(3) $\left(0, \frac{1}{2}\right)$.
解析：

解: (1) 函数 $g(x)$ 的图像恒过定点 $A, A$ 点的坐标为 $(2,2)$

又因为 $A$ 点在 $f(x)$ 上, 则: $f(2)=\log _{\sqrt{3}}(2+a)=2 \Rightarrow 2+a=3 \Rightarrow a=1$

(2) 由题意知: $\log _{\sqrt{3}}(x+1)<\log _{\sqrt{3}} 1$

而 $\log _{\sqrt{3}} x$ 在定义域上单调递增, 知

$0<x+1<1$, 即 $-1<x<0$

$\therefore$ 不等式的解集为 $\{x \mid-1<x<0\}$

(3) 由 $|g(x+2)-2|=2 b$ 知: $\left|2^{x}-1\right|=2 b$, 方程有两个不等实根

若令 $g(x)=|2 x-1|, h(x)=2 b$ 有它们的函数图像有两个交点, 如下图示



由图像可知: $0<2 b<1$, 故 $b$ 的取值范围为 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=\ln (x+1), g(x)=\ln (1-x)$.

（1）判断函数 $f(x)-g(x)$ 的奇偶性, 并予以证明.

(2) 求使不等式 $f(x)+g(x)<0$ 成立的 $x$ 的取值集合.
选项：
答案：(1) 函数 $f(x)-g(x)$ 为奇函数, 证明见解析; (2) $(-1,0) \cup(0,1)$.
解析：

解: (1) 函数 $f(x)-g(x)$ 为奇函数, 以下予以证明:

设 $F(x)=f(x)-g(x)=\ln (x+1)-\ln (1-x)=\ln \frac{1+x}{1-x} ，$

则函数 $F(x)$ 的定义域为 $(-1,1)$, 关于原点对称. $\because F(-x)=f(-x)-g(-x)=\ln (1-x)-\ln (1+x)=\ln \frac{1-x}{1+x}$
$=-\ln \frac{1+x}{1-x}=-[f(x)-g(x)]=-F(x)$

$\therefore$ 函数 $F(x)$ 为奇函数.

即函数 $f(x)-g(x)$ 为 $(-1,1)$ 上的奇函数.

(2) $\because f(x)+g(x)=\ln (x+1)+\ln (1-x)=\ln (x+1)(1-x)<0$

$\therefore(x+1)(1-x)<1$

即 $x^{2}>0 \quad \therefore x \neq 0$. 又 $x \in(-1,1)$.

$\therefore$ 不等式 $f(x)+g(x)<0$ 成立的 $x$ 的取值集合为 $(-1,0) \cup(0,1)$.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=3^{x}$, 且 $f(a+2)=18, g(x)=3^{a x}-4^{x}$ 的定义域为 $[-1,1]$.

(1) 求 $3^{a}$ 的值及函数 $g(x)$ 的解析式;

（2）试判断函数 $g(x)$ 的单调性;

（3）若方程 $g(x)=m$ 有解, 求实数 $m$ 的取值范围.
选项：
答案：(1) $3^{a}=2, g(x)=2^{x}-4^{x}$ (2) 单调递减. (3) $(x+y)^{2}=18,(x-y)^{2}=6$
解析：

试题分析：（1）将 $a+2$ 代入函数的解析式, 根据指数的运算性质可得 $3^{a}=2$, 再代入即可得 $g(x)$ 的解析式; (2) 令 $2^{x}=t \in\left[\frac{1}{2}, 2\right]$, 所以 $g(x)=\mu(t)=-t^{2}+t=-\left(t-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{4}$, 根据二次函数的性质可得 $\mu(t)$ 单调递减, $t=2^{x}$ 为单调递增函数, 根据复合函数的单调性可得结果; (3) 利用二次函数的性质求出 $g(x)$ 的范围即可.

试题解析: (1) $f(a+2)=3^{a+2}=3^{2} \cdot 3^{a}=18$, 所以 $3^{a}=2$, 所以 $g(x)=\left(3^{a}\right)^{x}-4^{x}=2^{x}-4^{x}$.

(2) $g(x)=2^{x}-4^{x}=-\left(2^{x}\right)^{2}+2^{x}$, 令 $2^{x}=t \in\left[\frac{1}{2}, 2\right]$, 所以 $g(x)=\mu(t)=-t^{2}+t=-\left(t-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{4}$在 $t \in\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ 上单调递减, 又 $t=2^{x}$ 为单调递增函数, 所以 $g(x)$ 在 $x \in[-1,1]$ 上单调递减.

(3) 由（2）知 $g(x)=\mu(t)=-t^{2}+t=-\left(t-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{4}$ 在 $t \in\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ 上单调递减, 所以 $g(x) \in\left[-2, \frac{1}{4}\right]$,
即 $m \in\left[-2, \frac{1}{4}\right]$.
题目（高一 · 代数）：解关于 $x$ 的不等式:

$$
\left(\frac{1}{4}\right)^{x}-2^{-x+1}-8<0
$$
选项：
答案：解: 设 $t=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}>0$,

所以原不等式转化为 $t^{2}-2 t-8<0$,

解得 $-2<t<4$, 所以得到 $0<t<4$,

即 $0<\left(\frac{1}{2}\right)^{x}<4$,

而 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ 单调递减,

所以得到 $x>-2$,

故不等式的解集为: $(-2,+\infty)$.
解析：设 $t=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}>0$, 将所求不等式转化为关于 $t$ 的二次不等式, 求出 $t$ 的范围, 即 $\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ 的范围, 再根据 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ 单调性, 求出 $x$ 的取值范围.
题目（高一 · 代数）：求值:

(1) $\left(\frac{16}{81}\right)^{-\frac{3}{4}}-2 e^{0}+\ln 1-\lg 4+\lg 5^{-2}+\log _{3} 5 \times \log _{5} 9$;

（2）已知 $a>0, a^{2 x}=3$, 求 $\frac{a^{3 x}+a^{-3 x}}{a^{x}+a^{-x}}$ 的值.
选项：
答案：(1) 解:

原式 $=\left[\left(\frac{2}{3}\right)^{4}\right]^{\frac{3}{4}}-2+0-\lg 4-\lg 25+\log _{3} 5 \times 2 \log _{5} 3=\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}-2-\lg (4 \times 25)+2=\frac{27}{8}-2=\frac{11}{8}$

（2）解：原式 $=\frac{\left(a^{x}+a^{-x}\right)\left(a^{\left.2 x-1+a^{2} x\right)}\right.}{a^{x}+a^{-x}}=a^{2 x}-1+a^{-2 x}=3-1+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$
解析：(1) 利用指数、对数的运算律和对数的换底公式可计算出所求代数式的值; (2) 利用立方和公式得出 $\frac{a^{3 x}+a^{-3 x}}{a^{x}+a^{-x}}=a^{2 x}-1+a^{-2 x}$, 结合 $a^{2 x}=3$ 可求出所求代数式的值.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=a^{x}, g(x)=\left(\frac{1}{a}\right)^{x}(a>0$ 且 $a \neq 1), f(-1)=\frac{1}{2}$.



(1) 求函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的解析式;

(2) 在同一坐标系中画出函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的图象;

（3）如果 $f(x)<g(x)$, 请直接写出 $x$ 的取值范围.
选项：
答案：(1) 解: $\because f(-1)=\frac{1}{2}$.

$\therefore a^{-1}=\frac{1}{a}=\frac{1}{2}, \therefore \mathrm{a}=2$,

所以 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=2^{\mathrm{x}}, \mathrm{g}(\mathrm{x})=\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{x}}$

(2) 解: 两个函数在同一坐标系的图象如图:

<ImageHere>

（3）解：由图象知当 $\mathrm{x}=0$ 时, $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{g}(\mathrm{x})$,
若 $\mathrm{f} （ \mathrm{x})<\mathrm{g}(\mathrm{x})$, 则 $\mathrm{x}<0$,

即不等式的解集为 $(-\infty, 0)$
解析：(1) 利用条件建立方程求出 $\mathrm{a}$ 的值即可求出函数的解析式 (2) 结合指数函数的图象和性质进行作图即可 (3) 结合图象, 利用数形结合进行求解
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=\log _{a} x(a>0, a \neq 1)$, 且 $f(3)-f(2)=1$.

(1) 若 $f(3 m-2)<f(2 m+5)$, 求实数 $m$ 的取值范围;

(2) 求使 $f\left(x-\frac{2}{x}\right)=\log _{\frac{3}{2}} \frac{7}{2}$ 成立的 $x$ 的值.
选项：
答案：(1) 解: $\because f(x)=\log _{a} x$,

则 $f(3)-f(2)=\log _{a} 3-\log _{a} 2=\log _{a} \frac{3}{2}=1$, 解得 $a=\frac{3}{2}$,

$\therefore f(x)=\log _{\frac{3}{2}} x_{\text {是 }}(0,+\infty)$ 上的增函数,

由 $f(3 m-2)<f(2 m+5)$, 得 $2 m+5>3 m-2>0$, 解得 $\frac{2}{3}<m<7$

因此, 实数 $m$ 的取值范围是 $\left(\frac{2}{3}, 7\right)$

$$
\because f(x)=\log _{\frac{3}{2}}\left(x-\frac{2}{x}\right)=\log _{\frac{3}{2}} \frac{7}{2}
$$

得 $x-\frac{2}{x}=\frac{7}{2}$, 化简得 $2 x^{2}-7 x-4=0$,

解得 $x=4$ 或 $x=-\frac{1}{2}$.
解析：(1) 先利用对数运算求出 $a=\frac{3}{2}$, 可得出函数 $y=f(x)$ 在其定义域上是增函数, 由 $f(3 m-2)<f(2 m+5)$ 得出 $2 m+5>3 m-2>0$, 解出即可; (2) 由题意得出 $x-\frac{2}{x}=\frac{7}{2}$, 解该方程即可.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=\log _{a} \frac{x-5}{x+5}(a>0$ 且 $a \neq 1)$.



（2）设 $g(x)=\log _{a}(x-3)$, 若方程 $f(x)-1=g(x)$ 有实根, 求 $a$ 的取值范围.
选项：
答案：(1) 解: $\because \frac{x-5}{x+5}=1-\frac{10}{x+5}, x \in[10,15]$,

$\therefore \frac{x-5}{x+5} \in\left[\frac{1}{3}, \frac{1}{2}\right]$,

$\because$ 函数 $y=\log _{2}^{t}$ 是单调增函数

$\therefore f(x) \in\left[-\log _{2} 3,-1\right]$,

所以函数 $f(x)$ 的值域为 $\left[-\log _{2}^{3}-1\right]$ 。

（2）解: 函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $(-\infty,-5) \cup(5,+\infty)$,

函数 $y=g(x)$ 的定义域为 $(3,+\infty)$,

因为方程 $f(x)-1=g(x)$ 有实根,

所以 $\log _{a} \frac{x-5}{x+5}-1=\log _{a}(x-3)$ 在 $(5,+\infty)$ 有实根,
即 $\log _{a} \frac{x-5}{(x+5) a}=\log _{a}(x-3)$ 在 $(5,+\infty)$ 有实根,

化简整理得, 方程 $x^{2}+\left(2-\frac{1}{a}\right) x-15+\frac{5}{a}=0$ 在 $(5,+\infty)$ 上有解,

设 $h(x)=x^{2}+\left(2-\frac{1}{a}\right) x-15+\frac{5}{a}$,

对称轴 $x=-1+\frac{1}{2 a}$.

(1) $-1+\frac{1}{2 a} \leq 5_{\text {即 }} a \geq \frac{1}{12}$ 且 $a \neq 1$,

因为 $h(5)>0$ 且 $y=h(x)$ 在 $(5,+\infty)$ 为增函数,

所以方程 $h(x)=0$ 在 $(5,+\infty)$ 无解。

(2) $-1+\frac{1}{2 a}>5$, 即 $0<a<\frac{1}{12}$,

则 $\Delta \geq 0$, 解得 $0<a \leq \frac{3-\sqrt{5}}{16}$,

综上 $: 0<a \leq \frac{3-\sqrt{5}}{16}$.
解析：（1）根据复合函数的单调性, 结合函数的定义域, 即可求出函数的值域;

（2）对 $\mathrm{a}$ 的取值分类讨论, 根据方程有实根, 即可求出 $\mathrm{a}$ 的取值范围.
题目（高一 · 代数）：已知 $f(x)=9^{x}-2 \times 3^{x}+4, x \in[-1,2]$.

(1) 设 $t=3^{x}, x \in[-1,2]$, 求 $t$ 的最大值与最小值;

(2)求 $f(x)$ 的最大值与最小值.
选项：
答案：【解】(1)设 $t=3^{x}, \because x \in[-1,2]$, 函数 $t=3^{x}$ 在 $[-1,2]$ 上是增函数, 故有 $\frac{1}{3} \leqslant t \leqslant 9$, 故 $t$ 的最大值为 9 , $t$ 的最小值为 $\frac{1}{3}$.

(2) 由 $f(x)=9^{x}-2 \times 3^{x}+4=t^{2}-2 t+4=(t-1)^{2}+3$, 可得此二次函数的对称轴为 $t=1$, 且 $\frac{1}{3} \leqslant t \leqslant 9$,故当 $t=1$ 时, 函数 $f(x)$ 有最小值为 3 , 当 $t=9$ 时, 函数 $f(x)$ 有最大值为 67 .
解析：【解】(1)设 $t=3^{x}, \because x \in[-1,2]$, 函数 $t=3^{x}$ 在 $[-1,2]$ 上是增函数, 故有 $\frac{1}{3} \leqslant t \leqslant 9$, 故 $t$ 的最大值为 9 , $t$ 的最小值为 $\frac{1}{3}$.

(2) 由 $f(x)=9^{x}-2 \times 3^{x}+4=t^{2}-2 t+4=(t-1)^{2}+3$, 可得此二次函数的对称轴为 $t=1$, 且 $\frac{1}{3} \leqslant t \leqslant 9$,故当 $t=1$ 时, 函数 $f(x)$ 有最小值为 3 , 当 $t=9$ 时, 函数 $f(x)$ 有最大值为 67 .
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=a^{x^{-1}}(x \geqslant 0)$ 的图象经过点 $\left(2, \frac{1}{2}\right)$, 其中 $a>0$ 且 $a \neq 1$.

(1)求 $a$ 的值;

(2)求函数 $y=f(x)(x \geqslant 0)$ 的值域.
选项：
答案：【解】(1)因为函数图象过点 $\left(2, \frac{1}{2}\right)$,所以 $a^{2-1}=\frac{1}{2}$, 则 $a=\frac{1}{2}$.

(2) 由(1)得 $f(x)=\left(\frac{1}{2}\right) x^{x-1}(x \geqslant 0)$,

由 $x \geqslant 0$, 得 $x-1 \geqslant-1$, 于是 $0<\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} \leqslant\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=2$.

所以所求函数的值域为 $(0,2]$.
解析：【解】(1)因为函数图象过点 $\left(2, \frac{1}{2}\right)$,所以 $a^{2-1}=\frac{1}{2}$, 则 $a=\frac{1}{2}$.

(2) 由(1)得 $f(x)=\left(\frac{1}{2}\right) x^{x-1}(x \geqslant 0)$,

由 $x \geqslant 0$, 得 $x-1 \geqslant-1$, 于是 $0<\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} \leqslant\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}=2$.

所以所求函数的值域为 $(0,2]$.
题目（高一 · 代数）：如果函数 $y=a^{2 x}+2 a^{x}-1(a>0$ 且 $a \neq 1)$ 在 $[-1,1]$ 上的最大值为 14 , 求 $a$ 的值.
选项：
答案：$y=a^{2 x}+2 a^{x}-1=\left(a^{x}+1\right)^{2}-2, x \in[-1,1]$. 若 $a>1$, 则 $x=1$ 时, 函数取最大值 $a^{2}+2 a-1=14$, 解得 $a=3$. 若 $0<a<1$, 则 $x=-1$ 时, 函数取最大值 $a^{-2}+2 a^{-1}-1=14$, 解得 $a=\frac{1}{3}$. 综上所述, $a=3$ 或 $\frac{1}{3}$.
解析：$y=a^{2 x}+2 a^{x}-1=\left(a^{x}+1\right)^{2}-2, x \in[-1,1]$. 若 $a>1$, 则 $x=1$ 时, 函数取最大值 $a^{2}+2 a-1=14$, 解得 $a=3$. 若 $0<a<1$, 则 $x=-1$ 时, 函数取最大值 $a^{-2}+2 a^{-1}-1=14$, 解得 $a=\frac{1}{3}$. 综上所述, $a=3$ 或 $\frac{1}{3}$.