eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高二 · 解析几何）：计算 $\sin 95^{\circ} \cos 50^{\circ}-\cos 95^{\circ} \sin 50^{\circ}$ 的结果为 ( )
选项：
A. $-\frac{\sqrt{2}}{2}$
   B. $\frac{1}{2}$
   C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
   D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
答案：C
解析：$\sin 95^{\circ} \cos 50^{\circ}-\cos 95^{\circ} \sin 50^{\circ}=\sin \left(95^{\circ}-50^{\circ}\right)=\sin 45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
故选: C
题目（高二 · 解析几何）：若 $\cos \theta=-\frac{4}{5}$, 且 $\theta$ 为第三象限角, 则 $\tan \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)$ 的值等于 ( )
选项：
A. $\frac{1}{7}$
   B. $-\frac{1}{7}$
   C. -7
   D. 7
答案：D
解析：因为 $\cos \theta=-\frac{4}{5}, \theta$ 为第三象限角, 所以 $\sin \theta=-\sqrt{1-\cos ^{2} \theta}=-\frac{3}{5}$,

所以 $\tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}=\frac{3}{4}$,

所以 $\tan \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tan \theta+\tan \frac{\pi}{4}}{1-\tan \theta \cdot \tan \frac{\pi}{4}}=\frac{\frac{3}{4}+1}{1-\frac{3}{4}}=7$.

故选 D.
题目（高二 · 解析几何）：$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos 375^{\circ}+\frac{\sqrt{2}}{2} \sin 375^{\circ}$ 的值为 ( )
选项：
A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
   B. $\frac{1}{2}$
   C. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
   D. $-\frac{1}{2}$
答案：A
解析：$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos 375^{\circ}+\frac{\sqrt{2}}{2} \sin 375^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2} \cos 15^{\circ}+\frac{\sqrt{2}}{2} \sin 15^{\circ}=\cos \left(45^{\circ}-15^{\circ}\right)=\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

选 A.
题目（高二 · 解析几何）：若 $\sqrt{7} \cos \left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)=\cos (\pi-\alpha)$, 则 $\tan 2 \alpha=(\quad)$
选项：
A. $\frac{3 \sqrt{7}}{7}$
   B. $\frac{\sqrt{7}}{3}$
   C. $\frac{\sqrt{7}}{7}$
   D. $\sqrt{7}$
答案：B
解析：先根据诱导公式化简, 再根据二倍角正切公式得结果

由题意得, $-\sqrt{7} \sin \alpha=-\cos \alpha$, 则 $\tan \alpha=\frac{\sqrt{7}}{7}$.

$\therefore \tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha}=\frac{\frac{2 \sqrt{7}}{7}}{1-\frac{1}{7}}=\frac{\sqrt{7}}{3}$, 故选 $B$.
题目（高二 · 解析几何）：若函数 $f(x)=\sin 2 x-a \cos 2 x$ 的一条对称轴为 $x=\frac{\pi}{8}$, 则下列四个命题:

(1) 函数 $f(x)$ 的一个对称中心为 $\left(-\frac{\pi}{8}, 0\right)$;

(2) 函数 $f(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{8}, \frac{5 \pi}{8}\right]$ 上单调递减;

(3) 将函数 $f(x)$ 图象向右平移 $\frac{\pi}{8}$ 个单位, 得到的函数为奇函数;

(4) 若函数 $f(x)=m$ 在区间 $[0, \pi]$ 上有两个不同的实根 $x_{1}, x_{2}$, 则 $x_{1}+x_{2}=\frac{5 \pi}{4}$.

其中正确的命题有（ ）
选项：
A. 1 个 B. 2 个C. 3 个D. 4 个
答案：B
解析：$f(x)=\sin 2 x-a \cos 2 x=\sqrt{1+a^{2}} \sin (2 x-\varphi)$, 其中 $\tan \varphi=a\left(-\frac{\pi}{2}<\varphi<\frac{\pi}{2}\right)$, 因为一条对

称轴为 $\frac{\pi}{8}$, 则 $2 \times \frac{\pi}{8}-\varphi=k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in \mathrm{Z}$, 解得 $\varphi=-\frac{\pi}{4}, a=-1$,

所以 $f(x)=\sqrt{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$,

则 $f\left(-\frac{\pi}{8}\right)=\sqrt{2} \sin \left(2 \times\left(-\frac{\pi}{8}\right)+\frac{\pi}{4}\right)=0$ ，

所以函数 $f(x)$ 的一个对称中心为 $\left(-\frac{\pi}{8}, 0\right)$, 故 (1) 正确;

$x \in\left[-\frac{\pi}{8}, \frac{5 \pi}{8}\right]$, 则 $2 x+\frac{\pi}{4} \in\left[0, \frac{3 \pi}{2}\right]$, 而 $y=\sin x$ 在 $\left[0, \frac{3 \pi}{2}\right]$ 上不单调, 故 (2) 错误;

函数 $f(x)$ 图象向右平移 $\frac{\pi}{8}$ 个单位, 得到的函数为 $y=\sqrt{2} \sin 2 x$, 是奇函数,

故（3）正确;

令 $2 x+\frac{\pi}{4}=k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in \mathrm{Z}$, 则 $x=\frac{k \pi}{2}+\frac{\pi}{8}, k \in \mathrm{Z}$, 所以函数 $f(x)$ 在区间 $[0, \pi]$ 上有两个不同的对称

轴 $x=\frac{\pi}{8}$ 和 $x=\frac{5 \pi}{8}$,

若 $f(x)=m$ 有两个不同的实根 $x_{1}, x_{2}$, 则 $x_{1}+x_{2}=\frac{\pi}{4}$ 或 $\frac{5 \pi}{4}$, 故 (4) 错误,

故选 B.
题目（高二 · 解析几何）：已知等腰三角形底角的正弦值为 $\frac{\sqrt{5}}{3}$, 则顶角的正弦值是 ( )
选项：
A. $\frac{4 \sqrt{5}}{9}$
B. $\frac{2 \sqrt{5}}{9}$
C. $-\frac{4 \sqrt{5}}{9}$
D. $-\frac{2 \sqrt{5}}{9}$
答案：A
解析：设底角为 $\theta$, 则 $\theta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 顶角为 $180^{\circ}-2 \theta$.

$\because \sin \theta=\frac{\sqrt{5}}{3}, \therefore \cos \theta=\sqrt{1-\sin ^{2} \theta}=\frac{2}{3}$,

$\therefore \sin \left(180^{\circ}-2 \theta\right)=\sin 2 \theta=2 \sin \theta \cos \theta=2 \times \frac{\sqrt{5}}{3} \times \frac{2}{3}=\frac{4 \sqrt{5}}{9}$, 故选 A.
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\sin \alpha+2 \cos \alpha=0$, 则 $\frac{\cos 2 \alpha}{\sin 2 \alpha-\cos ^{2} \alpha}=$ ( )
选项：
A. -1 B. 2
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{3}{5}$
答案：D
解析：由题意知 $\sin \alpha+2 \cos \alpha=0$, 即 $\sin \alpha=-2 \cos \alpha$, 可得 $\tan \alpha=-2$,

又由 $\frac{\cos 2 \alpha}{\sin 2 \alpha-\cos ^{2} \alpha}=\frac{\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha-\cos ^{2} \alpha}=\frac{1-\tan ^{2} \alpha}{2 \tan \alpha-1}=\frac{3}{5}$, 故选 D.
题目（高二 · 解析几何）：设 $\sin \alpha=\frac{1}{3}, 2 \pi<\alpha<3 \pi$, 则 $\sin \frac{\alpha}{2}+\cos \frac{\alpha}{2}=(\quad)$
选项：
A. $-\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
B. $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
C. $\frac{4}{3}$
D. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$
答案：A
解析：$\because \sin \alpha=\frac{1}{3}, \therefore\left(\sin \frac{\alpha}{2}+\cos \frac{\alpha}{2}\right)^{2}=1+\sin \alpha=\frac{4}{3}$,

又 $2 \pi<\alpha<3 \pi, \therefore \pi<\frac{\alpha}{2}<\frac{3 \pi}{2}, \sin \frac{\alpha}{2}+\cos \frac{\alpha}{2}=-\frac{2 \sqrt{3}}{3}$, 故选 A.
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\alpha 、 \beta$ 为锐角, $\cos \alpha=\frac{3}{5}, \tan (\alpha-\beta)=-\frac{1}{3}$, 则 $\tan \beta=(\quad)$
选项：
A. $\frac{1}{3}$
   B. 3
   C. $\frac{9}{13}$
   D. $\frac{13}{9}$
答案：B
解析：因为 $\cos \alpha=\frac{3}{5}$, 且 $\alpha$ 为锐角, 则 $\sin \alpha=\sqrt{1-\cos ^{2} \alpha}=\frac{4}{5}$, 所以 $\tan \alpha=\frac{4}{3}$,因为 $\beta=\alpha-(\alpha-\beta)$,

所以 $\tan \beta=\tan [\alpha-(\alpha-\beta)]=\frac{\tan \alpha-\tan (\alpha-\beta)}{1+\tan \alpha \tan (\alpha-\beta)}=\frac{\frac{4}{3}+\frac{1}{3}}{1+\frac{4}{3} \times\left(-\frac{1}{3}\right)}=3$ 故选 B.
题目（高二 · 解析几何）：若 $\sin \left(\frac{\pi}{6}-a\right)=\frac{1}{3}$, 则 $\cos \left(\frac{2 \pi}{3}+2 a\right)=($ )
选项：
A. $-\frac{7}{9}$
   B. $-\frac{1}{3}$
   C. $\frac{1}{3}$
   D. $\frac{7}{9}$
答案：A
解析：由题意, 可得 $\cos \left(\frac{2 \pi}{3}+2 a\right)=-\cos \left[\pi-\left(\frac{2 \pi}{3}+2 a\right)\right]=-\cos \left(\frac{\pi}{3}-2 a\right)=-\cos \left[2\left(\frac{\pi}{6}-a\right)\right]$ $=-\left[1-2 \sin ^{2}\left(\frac{\pi}{6}-a\right)\right]=-\frac{7}{9}$, 故选 $\mathrm{A}$.
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)+\sin \alpha=\frac{4 \sqrt{3}}{5}$, 则 $\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)$ 的值是（）
选项：
A. $\frac{4}{5}$
   B. $-\frac{4}{5}$
   C. $\frac{2 \sqrt{3}}{5}$
   D. $-\frac{2 \sqrt{3}}{5}$
答案：A
解析：由题意得 $\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)+\sin \alpha=\left(\frac{1}{2} \sin \alpha+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha\right)+\sin \alpha$ $=\frac{3}{2} \sin \alpha+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \alpha=\sqrt{3} \sin \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{4 \sqrt{3}}{5}$, 所以 $\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{4}{5}$, 选 A.
题目（高二 · 解析几何）：已知 $x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), \sin x=-\frac{3}{5}$, 则 $\tan 2 x=(\quad)$
选项：
A. $\frac{7}{24}$
   B. $-\frac{7}{24}$
   C. $\frac{24}{7}$
   D. $-\frac{24}{7}$
答案：D
解析：$\because$ 已知 $x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right), \sin x=-\frac{3}{5}, \therefore \cos x=\sqrt{1-\sin ^{2} x}=\frac{4}{5}, \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=-\frac{3}{4}$,则 $\tan 2 x=\frac{2 \tan x}{1-\tan ^{2} x}=-\frac{24}{7}$, 故选: $D$.
题目（高二 · 解析几何）：化简 $\frac{\cos ^{2} 5^{\circ}-\sin ^{2} 5^{\circ}}{\sin 40^{\circ} \cos 40^{\circ}}=($ )
选项：
A. 1
   B. 2
   C. $\frac{1}{2}$
   D. -1
答案：B
解析：： $\frac{\cos ^{2} 5^{\circ}-\sin ^{2} 5^{\circ}}{\sin 40^{\circ} \cos 40^{\circ}}=\frac{\cos 10^{\circ}}{\frac{1}{2} \sin 80^{\circ}}=\frac{2 \sin \left(90^{\circ}-10^{\circ}\right)}{\sin 80^{\circ}}=\frac{2 \sin 80^{\circ}}{\sin 80^{\circ}}=2$. 故 B 正确.
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\alpha$ 为第二象限角, $\sin \alpha=\frac{3}{5}$, 则 $\sin \left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)$ 的值等于
选项：
A. $\frac{4+3 \sqrt{3}}{10}$
   B. $\frac{4-3 \sqrt{3}}{10}$
   C. $\frac{3 \sqrt{3}-4}{10}$
   D. $\frac{-4-3 \sqrt{3}}{10}$
答案：A
解析：$\ \because \alpha$ 为第二象限角, $\sin \alpha=\frac{3}{5}$, 所以 $\cos \alpha=-\frac{4}{5}$, 则 $\sin \left(a-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{3}{5} \times \frac{\sqrt{3}}{2}-\left(-\frac{4}{5}\right) \times \frac{1}{2}=\frac{4+3 \sqrt{3}}{10}$,故选 A.
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{4}{5}, \cos \left(\beta-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{12}{13}, \alpha, \beta \in\left(0, \frac{\pi}{6}\right)$, 则 $\cos (\alpha+\beta)=$
选项：
A. $\frac{63}{65}$
   B. $\frac{33}{65}$
   C. $\frac{16}{65}$
   D. $\frac{56}{65}$
答案：D
解析：$\because \sin \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{4}{5}, \cos \left(\beta-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{12}{13}, \alpha, \beta \in\left(0, \frac{\pi}{6}\right)$

$\therefore \cos \left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{3}{5}, \sin \left(\beta-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{5}{13}$,

$\therefore \cos (\alpha+\beta)=\cos \left[\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)+\left(\beta-\frac{\pi}{6}\right)\right]$

$=\cos \left(\beta-\frac{\pi}{6}\right) \operatorname{xos}\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)-\operatorname{Sin}\left(\beta-\frac{\pi}{6}\right) \operatorname{Sin}\left(\alpha+\frac{\pi}{6}\right)=? \frac{56}{65}$. 故选 D
题目（高二 · 解析几何）：若 $4 \sin \alpha-3 \cos \alpha=0$, 则 ${ }^{\frac{1}{\cos ^{2} \alpha+2 \sin 2 \alpha}}$ 的值为 ( )
选项：
A. $\frac{25}{16}$
B.$\frac{25}{24}$
C. $\frac{25}{48}$
D. ${\frac{25}{64}}$
答案：D
解析：$$
\frac{1}{\frac{1}{\cos ^{2} \alpha+2 \sin ^{2} \alpha}}=\frac{\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha}{\cos ^{2} \alpha+4 \sin \alpha \cos \alpha}=\frac{\left(\frac{3}{4} \cos \alpha\right)^{2}+\cos ^{2} \alpha}{\cos ^{2} \alpha+4\left(\frac{3}{4} \cos \alpha\right) \cos \alpha}=\frac{\frac{25}{16}}{4}=\frac{25}{64}
$$

故选 D
题目（高二 · 解析几何）：已知角 $a$ 的终边经过点 $P(-4 m, 3 m)(m \neq 0)$ ，则 $2 \sin a+\cos a$ 的值是 $(\quad)$
选项：
A. 1 或 -1
B. $\frac{2}{5}$ 或 $-\frac{2}{5}$
C. 1 或 $-\frac{2}{5}$
D. -1 或 $\frac{2}{5}$
答案：B
解析：由题意得点 $P$ 与原点间的距离 $r=\sqrt{(-4 m)^{2}+(3 m)^{2}}=5|m|$.

(1)当 $m>0$ 时， $r=5 m$ ，

$\therefore \sin a=\frac{3 m}{5 m}=\frac{3}{5}, \cos a=\frac{-4 m}{5 m}=-\frac{4}{5}$,

$\therefore 2 \sin a+\cos a=2 \times \frac{3}{5}-\frac{4}{5}=\frac{2}{5}$.

(2) 当 $m<0$ 时， $r=-5 m$ ，

$\therefore \sin a=\frac{3 m}{-5 m}=-\frac{3}{5}, \cos a=\frac{-4 m}{-5 m}=\frac{4}{5}$

$\therefore 2 \sin a+\cos a=2 \times\left(-\frac{3}{5}\right)+\frac{4}{5}=-\frac{2}{5}$.

综上可得 $2 \sin a+\cos a$ 的值是 $\frac{2}{5}$ 或 $-\frac{2}{5}$. 故选 B.
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\cos \alpha=\frac{2}{3}$, 则 $\sin ^{2} \alpha=(\quad)$
选项：
A. ${ }^{\frac{5}{9}}$ B. $\pm^{\frac{5}{9}}$
C. ${ }^{\frac{\sqrt{5}}{3}}$
D. $\pm^{\frac{\sqrt{5}}{3}}$
答案：A
解析： $\sin ^{2} \alpha=1-\cos ^{2} \alpha=\frac{5}{9}$.
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\alpha$ 是第四象限角, $\cos \alpha={ }^{\frac{12}{13}}$, 则 $\sin \alpha=$
选项：
A. ${\frac{5}{13}}$ B. $-{\frac{5}{13}}$
C. ${\frac{5}{12}}$ D. $-{\frac{5}{12}}$
答案：B
解析： 由 $\alpha$ 是第四象限角可知 $\sin \alpha<0$, 又 $\cos \alpha={ }^{\frac{12}{13}}$, 且 $\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha=1$, 所以 $\sin \alpha==^{\frac{5}{13}}$.
题目（高二 · 解析几何）：若 $\sin \alpha={ }^{\frac{5}{13}}$, 且 $\alpha$ 为第二象限角,则 $\tan \alpha$ 的值等于
选项：
A. $\frac{12}{5}$
   B. $-{\frac{12}{5}}$
   C. ${\frac{5}{12}}$ D. $-{\frac{5}{12}}$
答案：D
解析：由 $\sin \alpha==^{\frac{5}{13}}$ ，且 $\alpha$ 为第二象限角，得 $\cos \alpha=-\sqrt{1-\sin ^{2} \alpha}=-\frac{12}{13}$, 则 $\tan \alpha==^{\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}}=-\frac{5}{12}$.
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\sin \theta+\cos \theta==^{\frac{4}{3}}, \theta \in{ }^{\left(0, \frac{\pi}{4}\right)}$, 则 $\sin \theta-\cos \theta$ 的值为 ( )
选项：
A. ${\frac{\sqrt{2}}{3}}$ B. $-{\frac{\sqrt{2}}{3}}$ C. ${\frac{1}{3}}$ D.$-{\frac{1}{3}}$
答案：B
解析：由 $\sin \vartheta+\cos \vartheta=^{\frac{4}{3}}, \vartheta \in\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ ，可得 $1>\cos \vartheta>\sin \vartheta>0,1+2 \sin \vartheta \cos \vartheta={ }^{\frac{16}{9}} ， \therefore 2 \sin \vartheta \cos$

$\vartheta={ }^{\frac{7}{9}}, \therefore \sin \vartheta-\cos \vartheta=-\sqrt{(\sin \theta-\cos \theta)^{2}}=-\sqrt{1-2 \sin \theta \cos \theta}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$.
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\sin \alpha \cos \alpha={ }^{\frac{3}{8}}$, 且 ${ }^{\frac{\pi}{4}}<\alpha<\frac{\pi}{2}$, 则 $\cos \alpha-\sin \alpha$ 的值为 ( )
选项：
A. ${\frac{1}{2}}$
B. $\pm{\frac{1}{2}}$
C. ${\frac{1}{4}}$ D. $-{\frac{1}{2}}$
答案：D
解析：因为 $\sin \alpha \cos \alpha=^{\frac{3}{8}}$, 所以 $(\cos \alpha-\sin \alpha)^{2}=\cos ^{2} \alpha-2 \sin \alpha \cos \alpha+\sin ^{2} \alpha=1-2 \sin \alpha \cos \alpha=1-2 x^{\frac{3}{8}}=\frac{1}{4}$ ，
又因为 ${ }^{\frac{\pi}{4}}<\alpha<\frac{\pi}{\frac{\pi}{2}}$, 所以 $\cos \alpha<\sin \alpha$, 即 $\cos \alpha-\sin \alpha<0$, 所以 $\cos \alpha-\sin \alpha=-\frac{1}{2}$.
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\tan \theta={ }^{\sqrt{3}}$, 则 $\sin \theta \cos \theta-\cos ^{2} \theta=$
选项：
A. ${ }^{\frac{1}{2}}$ B. $^{\frac{1}{2}}$
C. $\frac{\sqrt{3}-1}{4}$
D. $\frac{1-\sqrt{3}}{4}$
答案：C
解析：$\sin \vartheta \cos \vartheta-\cos ^{2} \vartheta=\frac{\sin \theta \cos \theta-\cos ^{2} \theta}{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}=\frac{\tan \theta-1}{\tan ^{2} \theta+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{3+1}=\frac{\sqrt{3}-1}{4}$.
题目（高二 · 解析几何）：已知一圆弧的弧长等于它所在圆的内接正三角形的边长, 则这段圆弧所对圆心角的弧度数为 ( )
选项：
A. $\frac{\pi}{3}$
   B. $\frac{2 \pi}{3}$
   C. $\sqrt{3}$
   D. 2
答案：C
解析：设等边三角形边长为 $a$, 圆的半径为 $R$, 由正弦定理得 $2 R=\frac{a}{\sin \frac{\pi}{3}}, a=\sqrt{3} R$, 故 $\alpha=\frac{l}{r}=\sqrt{3}$.
题目（高二 · 解析几何）：已知点 $(3,2)$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 上, 则( )
选项：
A. 点 $(-3,-2)$ 不在椭圆上

B. 点 $(3,-2)$ 不在粗圆上

C. 点 $(-3,2)$ 在粗圆上

D. 无法判定 $(-3,-2),(3,-2),(-3,2)$ 在椭圆上
答案：C
解析：解析 ：由椭圆的对称性知, 点 $(-3,-2),(3,-2),(-3,2)$ 都
在椭圆上.

答案 ：$\mathrm{C}$
题目（高二 · 解析几何）：已知 $F_{1}(-5,0), F_{2}(5,0)$ 为定点, 动点 $P$ 满足 $\left|P F_{1}\right|-\left|P F_{2}\right|=2 a$,当 $a=3$ 和 $a=5$ 时, $P$ 点的轨迹为( )
选项：
A. 双曲线和一条直线

B. 双曲线的一支和一条直线

C. 双曲线和一条射线

D. 双曲线的一支和一条射线
答案：D
解析：解析： 当 $a=3$ 时, $\left|P F_{1}\right|-\left|P F_{2}\right|=6<\left|F_{1} F_{2}\right|, P$ 的轨迹为双曲线的一支; 当 $a=5$ 时, $\left|P F_{1}\right|-\left|P F_{2}\right|=10=\left|F_{1} F_{2}\right|, \therefore P$ 的轨迹是一条射线.

答案： D
题目（高二 · 解析几何）：若 $k \in \mathbf{R}$, 则 “ $k>3$ ” 是 “方程 $\frac{x^{2}}{k-3}-\frac{y^{2}}{k+3}=1$ 表示双曲线”的( )
选项：
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案：A
解析：解析： 方程表示双曲线须 $(k-3)(k+3)>0$, 即 $k>3$, 或 $k<-3$, 又 “ $k>3$ ”是“ $k>3$ ”或 “ $k<-3$ ” 的充分不必要条件. $\therefore$ 选 A.

答案： A
题目（高二 · 解析几何）：已知双曲线的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$, 在左支上过 $F_{1}$ 的弦 $A B$ 的长为 5 , 若 $2 a=8$, 则 $\triangle A B F_{2}$ 的周长是 ( )
选项：
A. 16
B. 18
C. 21
D. 26
答案：D
解析： $\left|A F_{1}ight|+2 a=\left|A F_{2}ight|, \quad\left|B F_{1}ight|+2 a=\left|B F_{2}ight|$,$	herefore 	riangle A B F_{2}$ 的周长为 $|A B|+\left|A F_{2}ight|+\left|B F_{2}ight|=|A B|+\left|A F_{1}ight|+\left|B F_{1}ight|+4 a=$ $2|A B|+4 a=26$. 故选 D.答案： $\mathrm{D}$
题目（高二 · 解析几何）：已知 $P$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{9}=1$ 上任意一点, $A(5,0), B(-5,0)$,则 $k_{P A} \cdot k_{P B}$ 为 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{3}{5}$
B. $\frac{5}{3}$
C. $-\frac{9}{25}$
D. $\frac{9}{25}$
答案：D
解析：解析 ：设 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$, 则 $\frac{x_{0}^{2}}{25}-\frac{y_{0}^{2}}{9}=1, \therefore y_{0}^{2}=9\left(\frac{x_{0}^{2}}{25}-1\right)$.

又 $k_{P A} \cdot k_{P B}=\frac{y_{0}}{x_{0}-5} \cdot \frac{y_{0}}{x_{0}+5}=\frac{y_{0}^{2}}{x_{0}^{2}-25}$

$=\frac{\frac{9}{25}\left(x_{0}^{2}-25\right)}{x_{0}^{2}-25}=\frac{9}{25}$. 故选 D.

答案： D
题目（高二 · 解析几何）：已知 $f(x)=\frac{1}{2} x^{2}-\cos x, x \in[-1,1]$, 则导函数 $f^{\prime}(x)$ 是 $(\quad)$
选项：
A. 仅有最小值的奇函数

B. 既有最大值又有最小值的偶函数

C. 仅有最大值的偶函数

D. 既有最大值又有最小值的奇函数
答案：D
解析：解析： 求导可得 $f^{\prime}(x)=x+\sin x$,

显然 $f^{\prime}(x)$ 是奇函数, 令 $h(x)=f^{\prime}(x)$,

则 $h(x)=x+\sin x$, 求导得 $h^{\prime}(x)=1+\cos x$,

当 $x \in[-1,1]$ 时, $h^{\prime}(x)>0$,
所以 $h(x)$ 在 $[-1,1]$ 上单调递增, 有最大值和最小值.

所以 $f^{\prime}(x)$ 是既有最大值又有最小值的奇函数.

答案： D
题目（高二 · 解析几何）：当 $x \in[0,5]$ 时, 函数 $f(x)=3 x^{2}-4 x+c$ 的值域为 $(\quad)$
选项：
A. $[f(0), f(5)]$
B. $\left[f(0), f\left(\frac{2}{3}\right)\right]$
C. $\left[f\left(\frac{2}{3}\right), f(5)\right]$
D. $[c, f(5)]$
答案：C
解析：解析： 令 $f^{\prime}(x)=6 x-4=0, x=\frac{2}{3}$, 当 $0<x<\frac{2}{3}$ 时, $f^{\prime}(x)<0$; 当 $x>\frac{2}{3}$时, $f^{\prime}(x)>0$, 得 $f\left(\frac{2}{3}\right)$ 为极小值, 也是最小值. 由选项知应选 C.

答案： C
题目（高二 · 解析几何）：如果方程 $x^{2}+k y^{2}=2$ 表示焦点在 $y$ 轴上的椭圆, 那么实数 $k$的取值范围是( )
选项：
A. $(0,2)$
B. $(0,+\infty)$
C. $(-\infty, 1)$
D. $(0,1)$
答案：D
解析：解析 ：将方程化为标准方程为 $\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{\frac{2}{k}}=1, \therefore k>0$.

又因为焦点在 $y$ 轴上, $\therefore \frac{2}{k}>2$, 即 $0<k<1$.

答案： D
题目（高二 · 解析几何）：椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 的两个焦点为 $F_{1}, F_{2}$, 过 $F_{2}$ 作垂直于 $x$ 轴的直线与椭圆相交, 一个交点为 $P$, 则 $\left|P F_{1}\right|$ 等于 $(\quad)$
选项：
A. $\sqrt{3}$
B. $\frac{3}{2}$
C. $\frac{7}{2}$
D. 4
答案：C
解析：解析： 由 $P F_{2} \perp X$ 轴, 得 $\left|P F_{2}\right|=\frac{1}{2}$,

$\left|P F_{1}\right|=2 a-\left|P F_{2}\right|=\frac{7}{2}$.

答案 ：C
题目（高二 · 解析几何）：设定点 $F_{1}(0,-3), F_{2}(0,3)$, 动点 $P$ 满足条件 $\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=a$ $+\frac{9}{a}(a>0)$, 则点 $P$ 的轨迹是 ( )
选项：
A. 椭圆
B. 线段
C. 椭圆或线段
D. 不存在
答案：C
解析：解析： $\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=a+\frac{9}{a} \geqslant 6$,而 $\left|F_{1} F_{2}\right|=6$, 则点 $P$ 的轨迹是椭圆或线段.

答案： C
题目（高二 · 解析几何）：如果椭圆的两个焦点为 $F_{1}(-1,0), F_{2}(1,0), P$ 是椭圆上一点,且 $\left|P F_{1}\right|,\left|F_{1} F_{2}\right|,\left|P F_{2}\right|$ 成等差数列, 那么椭圆的方程是( )
选项：
A. $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$
B. $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}=1$
C. $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$
D. $\frac{x^{2}}{3}+\frac{y^{2}}{4}=1$
答案：C
解析：解析 ：$\because\left|P F_{1}\right|,\left|F_{1} F_{2}\right|,\left|P F_{2}\right|$ 成等差数列,

$\therefore\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=2\left|F_{1} F_{2}\right|=4$.

$\therefore 2 a=4, a=2, \quad c=1, \quad \therefore b^{2}=a^{2}-c^{2}=3$.

又焦点在 $x$ 轴上, $\therefore$ 椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$.

答案： C
题目（高二 · 解析几何）：双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$, 已知线段 $F_{1} F_{2}$ 被点 $(b, 0)$ 分成 51 两段, 则此双曲线的离心率为 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{3}{2}$
B. $\frac{9}{5}$
C. $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$
D. $\frac{\sqrt{6}}{2}$
答案：C
解析：解析： 由题可知 $b+c=5(c-b), \therefore 3 b=2 c$.

$\therefore 9 b^{2}=4 c^{2}=9\left(c^{2}-a^{2}\right)$.

$\therefore 5 c^{2}=9 a^{2}, \quad \therefore e^{2}=\frac{9}{5}, e=\frac{3}{5} \sqrt{5}$.

答案 ：$\mathrm{C}$
题目（高二 · 解析几何）：已知点 $F$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左焦点, 点 $E$ 是该双曲线的右顶点, 过点 $F$ 且垂直于 $x$ 轴的直线与双曲线交于 $A, B$ 两点, 若 $\triangle A B E$ 是针角三角形, 则该双曲线的离心率的取值范围是( )
选项：
A. $(1, \sqrt{2})$
B. $(\sqrt{2},+\infty)$
C. $(1,2)$
D. $(2,+\infty)$
答案：D
解析：设 $A\left(c, y_{0}ight)$ 代入双曲线方程得 $rac{c^{2}}{a^{2}}-rac{y_{0}^{2}}{b^{2}}=1, 	herefore y_{0}^{2}=rac{b^{4}}{a^{2}}$. $	herefore\left|y_{0}ight|=rac{b^{2}}{a}, \quad 	herefore|A F|=rac{b^{2}}{a}$.$ecause 	riangle A B E$ 是钝角三角形, $	herefore \angle A E F>45^{\circ}$.则只需 $|A F|>|E F|$, 即 $rac{b^{2}}{a}>a+c$,$	herefore b^{2}>a^{2}+a c$,即 $c^{2}-a^{2}>a^{2}+a c, c^{2}-a c-2 a^{2}>0$.$	herefore e^{2}-e-2>0$, 解得 $e>2$, 或 $e<-1$ (舍去). 故选 D.答案 ：D
题目（高二 · 解析几何）：设 $F_{1}, F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左、右焦点. 若在双曲线右支上存在点 $P$, 满足 $\left|P F_{2}\right|=\left|F_{1} F_{2}\right|$, 且 $F_{2}$ 到直线 $P F_{1}$ 的距离等于双曲线的实轴长, 则该双曲线的渐近线方程为 ( )
选项：
A. $3 x \pm 4 y=0$
B. $3 x \pm 5 y=0$
C. $4 x \pm 3 y=0$
D. $5 x \pm 4 y=0$
答案：C
解析：解析： 设 $P F_{1}$ 的中点为 $M$, 由 $\left|P F_{2}\right|=\left|F_{1} F_{2}\right|$,

故 $F_{2} M \perp P F_{1}$ ， 即 $\left|F_{2} M\right|=2 a ，$

在 Rt $\triangle F_{1} F_{2} M$ 中, $\left|F_{1} M\right|=\sqrt{(2 c)^{2}-(2 a)^{2}}=2 b$,

故 $\left|P F_{1}\right|=4 b$ ，则 $4 b-2 c=2 a$ ，

即 $2 b-a=c, \therefore(2 b-a)^{2}=a^{2}+b^{2}$.

$\therefore 3 b^{2}-4 a b=0$, 即 $3 b=4 a$.

故双曲线的渐近线方程是 $y= \pm \frac{b}{a} x$,

即 $y= \pm \frac{4}{3} x$, 故选 C.

答案： C
题目（高二 · 解析几何）：与曲线 $\frac{x^{2}}{24}+\frac{y^{2}}{49}=1$ 共焦点, 而与曲线 $\frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{64}=1$ 共渐近线的双曲线方程为( )
选项：
A. $\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{16}=1$
B. $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$
C. $\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{9}=1$
D. $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$
答案：C
解析：解析： 椭圆的焦点为 $(0, \pm 5)$, 双曲线的渐近线为 $y= \pm \frac{4}{3} x$, 验证选项知应选 C.

答案： $\mathrm{C}$
题目（高二 · 解析几何）：下列三图中的多边形均为正多边形, $M, N$ 是所在边上的中点, 双曲线均以图中的 $F_{1}, F_{2}$ 为焦点, 设图(1)、(2)、(3)中的双曲线的离心率分别为 $e_{1}, e_{2}, e_{3}$, 则 ( )



(1)



(2)



(3)
选项：
A. $e_{1}>e_{2}>e_{3}$
B. $e_{1}<e_{2}<e_{3}$
C. $e_{1}=e_{3}<e_{2}$
D. $e_{1}=e_{3}>e_{2}$
答案：D
解析：解析 ：设 $\left|F_{1} F_{2}\right|=2 c$, 在(1) 中 $2 a=\left|M F_{2}\right|-\left|M F_{1}\right|=(\sqrt{3}-1) c$; 在(2)中, $2 a=\left|M F_{2}\right|-\left|M F_{1}\right|=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2} c$; 在(3)中, $2 a=\left|A F_{2}\right|-\left|A F_{1}\right|=(\sqrt{3}-$ 1)c. $\therefore e_{1}=e_{3}>e_{2}$.

答案： $\mathrm{D}$
题目（高二 · 解析几何）：曲线 $y=x^{3}-4 x^{2}+4$ 在点 $(1,1)$ 处的切线方程为 $(\quad)$
选项：
A. $y=-x+2$
B. $y=5 x-4$
C. $y=-5 x+6$
D. $y=x-1$
答案：C
解析：解析 $y^{\prime}=3 x^{2}-8 x,\left.\therefore y^{\prime}\right|_{x=1}=-5$.

$\therefore$ 切线方程为 $y-1=-5(x-1), \therefore y=-5 x+6$.

答案 ：C
题目（高二 · 解析几何）：已知点 $P$ 在曲线 $y=x^{3}-x+\frac{2}{3}$ 上移动, 设点 $P$ 处切线的倾斜角为 $\alpha$, 则 $\alpha$ 的取值范围是 ( )
选项：
A. $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$
B. $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}\right]$
C. $\left[\frac{3 \pi}{4}, \pi\right]$
D. $\left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup\left[\frac{3 \pi}{4}, \pi\right)$
答案：D
解析：解析 $\because y^{\prime}=3 x^{2}-1 \geqslant-1 . \therefore \tan \alpha=3 x^{2}-1 \geqslant-1$,
$\therefore \alpha \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup\left[\frac{3 \pi}{4}, \pi\right)$.

答案 ：D
题目（高二 · 解析几何）：直线 $l$ 经过抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点, 且与抛物线相交于 $A, B$两点, 若弦 $A B$ 中点的横坐标为 3 , 则 $|A B|$ 为 $(\quad)$
选项：
A. 4
B. 8
C. 6
D. 10
答案：B
解析：解析 ：由题可知, 抛物线的准线方程为 $x=-1$, 焦点为 $F, A B$中点到准线的距离为 $3+1=4, \therefore|A B|=|A F|+|B F|=2 \times 4=8$.

答案 ：$B$
题目（高二 · 解析几何）：已知点 $P$ 是抛物线 $y^{2}=2 x$ 上的一个动点, 则点 $P$ 到点 $(0,2)$的距离与 $P$ 到抛物线准线的距离之和的最小值为 $(\quad)$
选项：
A. 3
B. $\frac{\sqrt{17}}{2}$
C. $\sqrt{5}$
D. $\frac{9}{2}$
答案：B
解析：解析 :根据扡物线定义, 点 $P$ 到准线的距离转化为到焦点 $F\left(\frac{1}{2}\right.$,

$0)$ 的距离, 故为 $(0,2)$ 和 $\left(\frac{1}{2}, 0\right)$ 的距离为 $\frac{\sqrt{17}}{2}$.

答案: B
题目（高二 · 解析几何）：已知抛物线 $y=4 a x^{2}(a>0)$ 的准线与圆 $x^{2}+y^{2}+m x-\frac{1}{4}=0$ 相切,且此抛物线上的点 $A\left(x_{0}, 2\right)$ 到焦点的距离等于 3 , 则 $m=(\quad)$
选项：
A. $\pm \sqrt{3}$
B. $\pm \sqrt{2}$
C. $\pm 1$
D. 0
答案：A
解析：解析 :抛物线 $y=4 a x^{2}$ 的准线方程为 $y=-\frac{1}{16 a}$,
由题知 $2+\frac{1}{16 a}=3, \therefore a=\frac{1}{16}$.

$\therefore$ 扡物线的准线为 $y=-1$,

圆的方程可化为 $\left(x+\frac{m}{2}\right)^{2}+y^{2}=\frac{1}{4}+\frac{m^{2}}{4}$,

由圆与抛物线的准线相切可得

$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{m^{2}}{4}}=1$, 即 $m= \pm \sqrt{3}$, 故选 A.

答案: A
题目（高二 · 解析几何）：函数 $y=2 x^{3}-x^{2}$ 的极大值为 $(\quad)$
选项：
A. 0
B. -9
C. $0, \frac{27}{16}$
D. $\frac{27}{16}$
答案：A
解析：解析：$y^{\prime}=6 x^{2}-2 x$, 令 $y^{\prime}>0$, 解得 $x<0, x>\frac{1}{3}$,令 $y^{\prime}<0$, 解得 $0<x<\frac{1}{3}$,

$\therefore$ 当 $x=0$ 时, 取得极大值 0 , 故选 A.

答案： A
题目（高二 · 解析几何）：函数 $y=1+3 x-x^{3}$ 有 $(\quad)$
选项：
A. 极小值 -1 , 极大值 1
B. 极小值一2，极大值 3
C. 极小值一2, 极大值 2
D. 极小值 -1 , 极大值 3
答案：D
解析：解析 ：$y^{\prime}=3-3 x^{2}$, 令 $y^{\prime}=0$, 得 $x= \pm 1$,

易判断当 $x=1$ 时，有极大值 $y=3$ ，

当 $x=-1$ 时, 有极小值 $y=-1$. 故选 D.

答案： $\mathrm{D}$
题目（高二 · 解析几何）：已知函数 $y=2 x^{3}-a x^{2}+36 x-24$ 在 $x=2$ 处有极值, 则该函数
的一个递增区间是( )
选项：
A. $(2,3)$
B. $(3,+\infty)$
C. $(2,+\infty)$
D. $(-\infty, 3)$
答案：B
解析：解析 ：$y^{\prime}=6 x^{2}-2 a x+36$,

$\because x=2$ 为极值点,

$\therefore$ 当 $x=2$ 时, $y^{\prime}=6 \times 4-2 a \times 2+36=0$,

解得 $a=15, \therefore y^{\prime}=6 x^{2}-30 x+36$,

令 $y^{\prime}=0$, 得 $x=2$, 或 $x=3$,

$\therefore$ 当 $y^{\prime}>0$ 时, $x<2$ 或 $x>3$,

当 $y^{\prime}<0$ 时, $2<x<3$,

$\therefore$ 递增区间是 $(-\infty, 2),(3,+\infty)$, 故选 B.

答案： B
题目（高二 · 解析几何）：到定点 $(3,5)$ 与定直线 $2 x+3 y-21=0$ 的距离相等的点的轨迹是( )
选项：
A. 圆
B. 抛物线
C. 线段
D. 直线
答案：D
解析：解析： 点 $(3,5)$ 在直线 $2 x+3 y-21=0$ 上, 所以到点 $(3,5)$ 与定直线距离相等的点是过 $(3,5)$ 且与直线垂直的直线.

答案： $\mathrm{D}$
题目（高二 · 解析几何）：已知函数 $f(x)=2 x^{2}$ 的图象上点 $P(1,1)$ 及邻近点 $Q(1+\Delta x, 1+$ $\Delta y)$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=(\quad)$
选项：
A. $4 x$
B. 4
C. $4+24 x$
D. $4+2(4 x)^{2}$
答案：B
解析：解析： $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{2(1+\Delta x)^{2}-2}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}(4+2 \Delta x)=4$.

答案： $\mathrm{B}$
题目（高二 · 解析几何）：在曲线 $y=x^{2}$ 上切线倾斜角为 $\frac{\pi}{4}$ 的点是 $(\quad)$
选项：
A. $(0,0)$
B. $(2,4)$
C. $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{16}\right)$
D. $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)$
答案：D
解析：解析： 由导数的定义, 知 $y^{\prime}=2 x, \therefore \tan \frac{\pi}{4}=1, y^{\prime} \mid x=x_{0}=2 x_{0}$ $=1, \therefore x_{0}=\frac{1}{2}$, 则 $y_{0}=\frac{1}{4}$, 故选 D.

答案 ：$\mathrm{D}$
题目（高二 · 解析几何）：设曲线 $y=a x^{2}$ 在点 $(1, a)$ 处的切线与直线 $2 x-y-6=0$ 平行,则 $a=(\quad)$
选项：
A. 1
B. $\frac{1}{2}$
C. $-\frac{1}{2}$
D. -1
答案：A
解析：解析： 由导数的定义知 $y^{\prime}=2 a x, \therefore f^{\prime}(1)=2 a=2$.
$\therefore a=1$.

答案 ：A
题目（高二 · 解析几何）：顶点在原点对称轴为 $x$ 轴, 焦点在直线 $3 x-4 y-12=0$ 上的抛物线的方程为( )
选项：
A. $y^{2}=-16 x$
B. $y^{2}=-12 x$
C. $y^{2}=16 x$
D. $y^{2}=12 x$
答案：C
解析：解析 ：直线与 $x$ 轴的交点坐标为 $(4,0), \therefore$ 扡物线的焦点为 $(4,0)$, $\therefore \frac{p}{2}=4, p=8, \therefore$ 扡物线方程为 $y^{2}=16 x$.

答案： C