题目（九年级 · 组合几何学）：已知: $\triangle A B C$ 内接于 $\odot O$, 弦 $C D$ 平分 $\angle A C B$.

(1)如图 1, 求证: $A D=B D$;

(2)如图 2, 过点 $A$ 作 $A E \perp B C$, 垂足为点 $E$. 过点 $D$ 作 $D F \perp B C$, 交 $C B$ 的延长线于点 $F$, 且 $A E=C F$.

(1)求证: $A C=C E+D F$;

(2)若 $C E=5, C D=4 \sqrt{13}$, 直接写出 $\odot O$ 的半径



图1



图2

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选项：
答案： (1)证明见解析

(2) 1)见解析 ; (2) $\frac{13 \sqrt{5}}{4}$


解析：（1）根据等弧所对的圆周角相等, 进行证明即可;

（2）(1)如图 1, 延长 $D F$ 到 $G$, 使 $F G=C E$, 证明 $\triangle A C E \cong \triangle C G F$ (SAS), 则

$A C=C G, \angle C A E=\angle G C F$, 进而可得 $\angle A C G=90^{\circ}, \angle D C G=90^{\circ}-\angle A C D$,

$\angle C D G=90^{\circ}-\angle D C F$, 由 $\angle A C D=\angle D C F$, 可得 $\angle C D G=\angle D C G, C G=D G$, 根据 $A C=C G$, $D G=F G+D F=C E+D F$, 可得数量关系; (2)设 $D F=a$, 则 $C G=D G=a+5$, 在 Rt $\triangle C D F$

和 Rt $\triangle C G F$ 中, 由勾股定理得 $C F^{2}=C D^{2}-D F^{2}=C G^{2}-F G^{2}$, 即 $(4 \sqrt{13})^{2}-a^{2}=(a+5)^{2}-5^{2}$,

求得 $a=8$, 则 $D F=8, A C=C G=D G=13, A E=C F=12$, 如图 2, 过 $D$ 作 $D H \perp A C$ 于 $H$, 连接 $A D, B D$, 由题意可得 $D H=D F=8, C H=C F=12, A H=A C-C H=1$, 证明 Rt $\triangle A D H \cong \mathrm{Rt} \triangle B D F(\mathrm{HL})$, 则 $B F=A H=1, B E=C F-C E-B F=6$, 在 Rt $\triangle B D F$ 和 Rt $\triangle A B E$中, 根据勾股定理求 $B D, A B$ 的值, 如图 2, 连接 $O D$ 交 $A B$ 于 $P$, 连接 $O B$, 由垂径定理可得 $O D \perp A B, B P=\frac{1}{2} A B=3 \sqrt{5}$, 在 $\mathrm{Rt} \triangle B D P$ 中, 由勾股定理求 $D P$ 的值, 设半径为 $r$, 则 $O P=r-2 \sqrt{5}$, 在 Rt $\triangle B O P$ 中, 由勾股定理得 $B O^{2}=O P^{2}+B P^{2}$, 即 $r^{2}=(r-2 \sqrt{5})^{2}+(3 \sqrt{5})^{2}$,求 $r$ 值即可.

【详解】(1) 证明: $\because$ 弦 $C D$ 平分 $\angle A C B$,

$\therefore \angle A C D=\angle B C D$,

$\therefore A D=B D$;

（2）(1)证明：如图 1, 延长 $D F$ 到 $G$, 使 $F G=C E$,



图1

在 $\triangle A C E$ 和 $\triangle C G F$ 中,

$\because\left\{\begin{array}{l}A E=C F \\ \angle A E C=\angle C F G=90^{\circ}, \\ C E=F G\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A C E \cong \triangle C G F(\mathrm{SAS})$,

$\therefore A C=C G, \angle C A E=\angle G C F$,

$\because \angle A C G=\angle A C E+\angle G C F=\angle A C E+\angle C A E=90^{\circ}$,

$\therefore \angle D C G=\angle A C G-\angle A C D=90^{\circ}-\angle A C D$,

$\because \angle C D G=180^{\circ}-\angle C F D-\angle D C F=90^{\circ}-\angle D C F, \angle A C D=\angle D C F$,

$\therefore \angle C D G=\angle D C G$,

$\therefore C G=D G$,

$\because A C=C G, \quad D G=F G+D F=C E+D F$,

$\therefore A C=C E+D F$;

(2) 解：设 $D F=a$ ，则 $C G=D G=a+5$,

在 Rt $\triangle C D F$ 中, 由勾股定理得 $C F^{2}=C D^{2}-D F^{2}$,

在 Rt $\triangle C G F$ 中, 由勾股定理得 $C F^{2}=C G^{2}-F G^{2}$,

$\therefore C D^{2}-D F^{2}=C G^{2}-F G^{2}$, 即 $(4 \sqrt{13})^{2}-a^{2}=(a+5)^{2}-5^{2}$,

解得 $a=8, a=-13$ (舍去),

$\therefore D F=8, \quad A C=C G=D G=13, \quad A E=C F=12$,

如图 2, 过 $D$ 作 $D H \perp A C$ 于 $H$, 连接 $A D, B D$,



$\because A D=B D$

$\therefore A D=B D$

$\because$ 弦 $C D$ 平分 $\angle A C B$,

$\therefore D H=D F=8, \quad C H=C F=12, \quad A H=A C-C H=1$,

在 Rt $\triangle A D H$ 和 Rt $\triangle B D F$ 中,
$\because\left\{\begin{array}{l}A D=B D \\ D H=D F\end{array}\right.$,

$\therefore$ Rt $\triangle A D H \cong \mathrm{Rt} \triangle B D F(\mathrm{HL})$,

$\therefore B F=A H=1, \quad B E=C F-C E-B F=6$,

在 Rt $\triangle B D F$ 中, 由勾股定理得 $B D=\sqrt{B F^{2}+D F^{2}}=\sqrt{65}$,

在 Rt $\triangle A B E$ 中, 由勾股定理得 $A B=\sqrt{A E^{2}+B E^{2}}=6 \sqrt{5}$,

如图 2, 连接 $O D$ 交 $A B$ 于 $P$, 连接 $O B$,

$\because A D=B D$,

$\therefore O D \perp A B$,

$\therefore B P=\frac{1}{2} A B=3 \sqrt{5}$,

在 Rt $\triangle B D P$ 中, 由勾股定理得 $D P=\sqrt{B D^{2}-B P^{2}}=2 \sqrt{5}$,

设半径为 $r$, 则 $O P=r-2 \sqrt{5}$,

在 Rt $\triangle B O P$ 中, 由勾股定理得 $B O^{2}=O P^{2}+B P^{2}$, 即 $r^{2}=(r-2 \sqrt{5})^{2}+(3 \sqrt{5})^{2}$,

解得 $r=\frac{13 \sqrt{5}}{4}$,

$\therefore$ 半径为 $\frac{13 \sqrt{5}}{4}$.

【点睛】本题考查了圆的综合，角平分线的性质，等弧所对的圆周角相等，全等三角形的判定与性质, 垂径定理, 勾股定理等知识. 解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

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