eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高三 · 代数）：下列积分值等于 1 的是
选项：
A. $\int_{0}^{1} x d x$
B. $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(-\cos x) d x$
C. $\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^{2}} d x$
D. $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$
答案：D
解析： $\int_{0}^{1} x d x=\frac{1}{2} x 2_{0}^{1}=\frac{1}{2}$;

$$
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(-\cos x) d x=(-\sin x)_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=-\sin \frac{\pi}{2}+\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)=-2 \sin \frac{\pi}{2}=-2
$$

令 $y=\sqrt{1-x^{2}}$, 则 $y \geq 0$,

因为 $y=\sqrt{1-x^{2}}$ 表示圆心在原点, 半径为 1 的圆的上半部分,

则 $\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^{2}} d x=\frac{\pi \cdot 1^{2}}{2}=\frac{\pi}{2} \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x=\left.\ln x\right|_{1} ^{e}=\ln e=1$,

故答案为: $\mathrm{D}$

【分析】根据牛顿莱布尼兹公式求解即可.
题目（高三 · 代数）：下列计算错误的是 ( )
选项：
A. $\int_{-\pi}^{\pi} \sin x d x=0$
C. $\int_{0}^{1} 2 d x=1$
答案：C
解析：答案: C

【解析】在 A 中,

$$
\left.\int_{-\pi}^{\pi} \sin x d x=(-\cos x)\right)_{-\pi}=[-\cos \pi-\cos (-\pi)]=0
$$

在 B 中, 根据定积分的几何意义, $\int_{0}^{1} \sqrt{1-\mathrm{x}^{2}} \mathrm{dx}=\frac{1}{4} \times\left(\pi \times 1^{2}\right)=\frac{\pi}{4}$,

在 C中, $\int_{0}^{1} 2 \mathrm{dx}=2 x_{0}^{1}=2-0=2$,

根据定积分的运算法则与几何意义,

易知 $\int_{-1}^{1} x^{2} d x=\int_{-1}^{0} x^{2} d x+\int_{0}^{1} x^{2} d x=2 \int_{0}^{1} x^{2} d x$,

故答案为: C.

【分析】利用定积分的性质、几何意义、运算法则求解.
题目（高三 · 代数）：$\left.\int_{-1}^{1} \frac{e^{x}-e^{-x}}{x^{2}+1}+1\right) d x=$

$\int_{0}^{1} \sqrt{1-x^{2}} d x=\frac{\pi}{4}$
D. $\int_{-1}^{1} x^{2} d x=2 \int_{0}^{1} x^{2} d x$
选项：
A. -1
B. 1
C. 2
D. 4
答案：C
解析：答案: C

【解析】 $\because y=\frac{e^{x}-e^{-x}}{x^{2}+1}$ 为奇函数,

$\therefore \int \frac{1}{1} \frac{e^{x}-e^{-x}}{x^{2}+1} d x=0$,

$\therefore \int_{-1}^{1}\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{x^{2}+1}+1\right) d x=\int_{-1}^{1} 1 d x=\left.x\right|_{-1} ^{1}=1-(-1)=2$,

故答案为: C

【分析】由 $y=\frac{e^{x}-e^{-x}}{x^{2}+1}$ 为奇函数, 可知 $\int \frac{1}{-1} \frac{e^{x}-e^{-x}}{x^{2}+1} d x=0$, 从而易得结果.
题目（高三 · 代数）：若 $f(x)=x^{3}+3 \int_{0}^{1} f(x) d x$, 则 $\int_{0}^{1} f(x) d x=(\quad)$
选项：
A. $-\frac{1}{8}$
B. $\frac{1}{8}$
C. $-\frac{1}{4}$
D. $\frac{1}{4}$
答案：A
解析：答案: A

【解析】 设 $\int_{0}^{1} f(x) d x=t$,

所以 $\int_{0}^{1} f(x) d x=\int_{0}^{1}\left(x^{3}+3 t\right) d x=\left(\frac{1}{4} x^{4}+3 t x\right)_{0}^{1}=t$,

所以 $\frac{1}{4}+3 t=t$, 解得 $t=-\frac{1}{8}$,

即 $\int_{0}^{1} f(x) d x=-\frac{1}{8}$.

故答案为: A

【分析】设 $\int_{0}^{1} f(x) d x=t$, 根据 $f(x)=x^{3}+3 \int_{0}^{1} f(x) d x$, 由 $\int_{0}^{1} f(x) d x=\int_{0}^{1}\left(x^{3}+3 t\right) d x$ 求解.
题目（高三 · 代数）：$\left.\int_{-1}^{1} \frac{e^{x}-e^{-x}}{x^{2}+1}+1\right) d x=$
选项：
A. -1
B. 1
C. 2
D. 4
答案：C
解析：答案: C

【解析】 $\because y=\frac{e^{x}-e^{-x}}{x^{2}+1}$ 为奇函数, $\therefore \int \frac{1}{1} \frac{e^{x}-e^{-x}}{x^{2}+1} d x=0$,

$\therefore \int_{-1}^{1}\left(\frac{e^{x}-e^{-x}}{x^{2}+1}+1\right) d x=\int_{-1}^{1} 1 d x=\left.x\right|_{-1} ^{1}=1-(-1)=2$.

故答案为: C

【分析】由 $y=\frac{e^{x}-e^{-x}}{x^{2}+1}$ 为奇函数, 可知 $\int \frac{1}{-1} \frac{e^{x}-e^{-x}}{x^{2}+1} d x=0$, 从而易得结果.
题目（高三 · 代数）：若 $f(x)=x^{3}+3 \int_{0}^{1} f(x) d x$, 则 $\int_{0}^{1} f(x) d x=$ ( )
选项：
A. $-\frac{1}{8}$
B. $\frac{1}{8}$
C. $-\frac{1}{4}$
D. $\frac{1}{4}$
答案：A
解析：答案: A

【解析】 设 $\int_{0}^{1} f(x) d x=t$,

所以 $\int_{0}^{1} f(x) d x=\int_{0}^{1}\left(x^{3}+3 t\right) d x=\left(\frac{1}{4} x^{4}+3 t x\right)_{0}^{1}=t$,

所以 $\frac{1}{4}+3 t=t$, 解得 $t=-\frac{1}{8}$,

即 $\int_{0}^{1} f(x) d x=-\frac{1}{8}$.

故答案为: A

【分析】设 $\int_{0}^{1} f(x) d x=t$, 根据 $f(x)=x^{3}+3 \int_{0}^{1} f(x) d x$, 由 $\int_{0}^{1} f(x) d x=\int_{0}^{1}\left(x^{3}+3 t\right) d x$ 求解.
题目（高三 · 代数）：下列积分值等于 1 的是 ( )
选项：
A. $\int_{0}^{1} x d x$
B. $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(-\cos x) d x$
C. $\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^{2}} d x$
D. $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x$
答案：D
解析：答案: D

【解析】 $\int_{0}^{1} x d x=\frac{1}{2} x 2^{2}=\frac{1}{2}$;

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(-\cos x) d x=(-\sin x)_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}=-\sin \frac{\pi}{2}+\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right)=-2 \sin \frac{\pi}{2}=-2$,

令 $y=\sqrt{1-x^{2}}$, 则 $y \geq 0$,

因为 $y=\sqrt{1-x^{2}}$ 表示圆心在原点, 半径为 1 的圆的上半部分,

则 $\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^{2}} d x=\frac{\pi \cdot 1^{2}}{2}=\frac{\pi}{2} \int_{1}^{e} \frac{1}{x} d x=\left.\ln x\right|_{1} ^{e}=\ln e=1$,

故答案为: D

【分析】根据牛顿莱布尼兹公式求解即可.
题目（高三 · 代数）：定积分 $\int_{1}^{2}\left(e^{x}+\frac{2}{x}\right) d x=(\quad)$
选项：
A. $e^{2}+1$
B. $e^{2}-e+1$
C. $e^{2}+2 \ln 2$
D. $e^{2}-e+2 \ln 2$
答案：D
解析：答案: D

【解析】 由题意得:

$$
\int_{1}^{2}\left(e^{x}+\frac{2}{x}\right) \mathrm{d} x=\left.\left(e^{x}+2 \ln x\right)\right|_{1} ^{2}=e^{2}-e+2 \ln 2
$$

故答案为:
D.

【分析】由题设条件, 求出被积函数的原函数, 求出定积分的值即可.
题目（高三 · 代数）：一物体作变速直线运动，其 $v-t$ 曲线如图所示，则该物体在 $\frac{1}{2} \mathrm{~S} \sim 6 \mathrm{~s}$ 间


选项：
A. 1
B. $\frac{4}{3}$
C. $\frac{49}{4}$
D. 2
答案：C
解析：答案: C

【解析】 由题中图象可得:

$v(t)=\left\{\begin{array}{l}2 t, 0 \leq t<1 \\ 2,1 \leq t \leq 3 \\ \frac{1}{3} t+1,3<t \leq 6\end{array}\right.$

由变速直线运动的路程公式，可得:

$s=\int_{\frac{1}{2}}^{6} v(t) \mathrm{d} t=\int_{\frac{1}{2}}^{1} 2 t d t+\int_{1}^{3} 2 \mathrm{~d} t+\int_{3}^{6}\left(\frac{1}{3} t+1\right) \mathrm{d} t$

$=t \int_{\frac{1}{2}}^{1}+\left.2 t\right|_{1} ^{3}+\left(\frac{1}{6} t^{2}+t\right)_{3}^{6}=\frac{49}{4}(\mathrm{~m})$

所以物体在 $\frac{1}{2} \mathrm{~s} \sim 6 \mathrm{~s}_{\text {间的运动路程是 }} \frac{49}{4} \mathrm{~m}$.

故答案为: C

【分析】由图象用分段函数表示 $v(t)$, 该物体在 $\frac{1}{2} \mathrm{~s} \sim 6 \mathrm{~s}$ 间的运动路程可用定积分 $s=\int_{\frac{1}{2} \nu}^{6} v(t) \mathrm{d} t$ 表示,计算即得解.
题目（高三 · 代数）：$\int_{-2}^{2}\left(x+\sqrt{4-x^{2}}\right) d x=$
选项：
A. $\pi$
B. $4 \pi$
C. $3 \pi$
D. $2 \pi$
答案：D
解析：答案: D

【解析】 由 $\int_{-2}^{2}\left(x+\sqrt{4-x^{2}}\right) d x=\int_{-2}^{2} x d x+\int_{-2}^{2} \sqrt{4-x^{2}} d x=0+2 \pi=2 \pi$

故答案为: D.

【分析】利用定积分的运算法则求出定积分的值。
题目（高三 · 代数）：已知积分 $\int_{0}^{1}(k x+1) d x=k$, 则实数 $k=(\quad)$
选项：
A. 2
B. -2
C. 1
D. -1
答案：A
解析：答案: A

【解析】 因为 $\int_{0}^{1}(k x+1) d x$, 所以 $\left.\left(\frac{1}{2} k x^{2}+x\right)\right|_{0} ^{1}=k$,

所以 $\frac{1}{2} k+1=k$, 所以 $k=2$.

故答案为: A

【分析】利用定积分结合已知条件求出 $\mathrm{k}$ 的值。
题目（高三 · 代数）：已知 $a=\int_{-1}^{1} 3 x^{2} d x, m=\log _{5} a, n=\log _{a} 3, \quad p=\frac{1}{a}$, 则 ( )
选项：
A. $m<n<p$
B. $m<p<n$
C. $p<m<n$
D. $n<p<m$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_7d21164174703021068bg-
答案：B
解析：答案: B

【解析】 由题意得 $a=\int_{-1}^{1} 3 x^{2} \mathrm{~d} x=x^{3} 2_{-1}^{1}=2$,

所以 $m=\log _{5} 2<\log _{5} \sqrt{5}=\frac{1}{2}, \quad n=\log _{2} 3>1, \quad p=\frac{1}{2}$.

所以 $m<p<n$,

故答案为: $\mathrm{B}$
B.

【分析】首先根据定积分的运算得出 $\mathrm{a}$ 的值, 再根据对数的性质得出 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$, 从而判断出 $\mathrm{m}, \mathrm{n}, \mathrm{p}$ 的大小.
题目（高三 · 代数）：一物体在力 $F(x)=\left\{\begin{array}{ll}5, & 0 \leq x \leq 2 \\ 3 x+4, x>2\end{array}\right.$ (单位: $\left.\mathrm{N}\right)$ 的作用下沿与力 $\mathrm{F}$ 相同的方向, 从 $x=0$ 处运动到 $x=4$ 处 (单位: $m$ ), 则力 $F(x)$ 所做的功为 ( )
选项：
A. 54 焦
B. 40 焦
C. 36 焦
D. 14 焦
答案：C
解析：答案: C

【解析】 由题意得: $W=\int_{0}^{4} F(x) d x$

$$
\begin{aligned}
& =\int_{0}^{2} 5 d x+\int_{2}^{4}(3 x+4) d x \\
& =\left.5 x\right|_{0} ^{2}+\left.\left(\frac{3}{2} x^{2}+4 x\right)\right|_{2} ^{4}=36
\end{aligned}
$$

故答案为: C.
【分析】本题是一个求变力做功的问题, 可以利用积分求解, 由题意, 其积分区间是 $[0,4]$, 被积函数是力的函数表达式, 由积分公式进行计算即可得到答案.
题目（高三 · 代数）：我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有: “割之弥细, 所失弥少, 割之又割, 以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣, "其体现的是一种无限与有限的转化过程, 比如在 $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}$ 中


不难得到 $2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\cdots}}=$
选项：
A. $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$
B. $\frac{1-\sqrt{2}}{2}$
.C. $\sqrt{2}+1$
D. $-\sqrt{2}+1$
答案：C
解析：答案: C
【解析】 由题意, 令 $2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\ldots}}=x(x>0)$, 即 $2+\frac{1}{x}=x$,

即 $x^{2}-2 x-1=0$,

解得 $x=\sqrt{2}+1_{\text {或 }} x=-\sqrt{2}+1$ (舍去)

$\therefore 2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\cdots}}=\sqrt{2}+1$,

故答案为: C

【分析】本题依照题干中的例子进行类比推理进行计算即可得到结果.
题目（高三 · 代数）：华为 $5 \mathrm{G}$ 通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法，如:

$$
\left(\begin{array}{ll}
c_{1} & c_{2}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
a_{1} & a_{2}
\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{ll}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{array}\right) \text {, 其中 }
$$

$c_{1}=a_{1} b_{11}+a_{2} b_{21}, \quad c_{2}=a_{1} b_{12}+a_{2} b_{22}$, 已知定义在 $\mathrm{R}$ 上不恒为 0 的函数 $f(x)$ ，对任意 $a, b \in R$ 有: $\left(\begin{array}{ll}y_{1} & y_{2}\end{array}\right)=(f(a) \quad f(b)) \times\left(\begin{array}{cc}-1 & b+1 \\ a-1 & 1\end{array}\right)$ 且满足 $f(a b)=y_{1}+y_{2}$, 则 $(\quad)$
选项：
A. $f(0)=0$
B. $f(-1)=1$
C. $f(x)$ 是偶函数
D. $f(x)$ 是奇函数
答案：AD
解析：答案: A,D

【解析】 $\left(\begin{array}{ll}y_{1} & y_{2}\end{array}\right)=(f(a) f(b)) \times\left(\begin{array}{cc}-1 & b+1 \\ a-1 & 1\end{array}\right)$,

$y_{1}=-f(a)+f(b)(a-1), \quad y_{2}=f(a)(b+1)+f(b)$,

$f(a b)=y_{1}+y_{2}$,
$f(a b)=-f(a)+f(b)(a-1)+f(a)(b+1)+f(b)=b f(a)+a f(b)$,

令 $a=b=0$, 则 $f(0)=0 f(0)+0 f(0)=0$,

令 $a=b=1$, 则 $f(1)=f(1)+f(1), f(1)=0$,

令 $a=b=-1$, 则 $f(1)=-f(-1)-f(-1), f(-1)=0$,

令 $a=x, b=-1$, 则 $f(-x)=-f(x)+x f(-1), f(x)+f(-x)=0$.

故答案为: $\mathrm{AD}$

【分析】创新题型, 利用新知识矩阵定义求出 $f(a b)=b f(a)+a f(b)$, 再赋值即可得解.
题目（高三 · 代数）：要证 $\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}<\sqrt[3]{a-b}$ 成立, a,b 应满足的条件是（）
选项：
A. $a b<0$ 且 $a>b$
B. $a b<0$ 且 $a<b$
C. $a b>0$ 且 $a<b$
D. $a b>0, a>b$ 或 $a b<0, a<b$
答案：D
解析：答案: D

【解析】要使 $\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}<\sqrt[3]{a-b}$ 成立, 只要 $a-b+3 \cdot \sqrt[3]{a b^{2}}-3 \cdot \sqrt[3]{a^{2} b}<a-b$,只要 $\sqrt[3]{a b^{2}}<\sqrt[3]{a^{2} b}$, 只要 $a b^{2}<a^{2} b$,即只要 $a b(a-b)>0$, 故只要 $a b>0$ 且 $a>b$, 或 $a b<0$ 且 $a<b$.故答案为: D.

【分析】根据分析法解题原理，转化为不等式成立的充分条件即可.
题目（高三 · 代数）：用数学归纳法证明等式, $1+2+3+\ldots+2 n=n(2 n+1)$ 时, 由 $n=k$ 到 $n=k+1$ 时, 等式左边应添加的项是 ( )
选项：
A. $2 k+1$
B. $2 k+2$
C. $(2 k+1)+(2 k+2)$
D. $(k+1)+(k+2)+\ldots+2 k$
答案：C
解析：答案: C

解: 因为要证明等式的左边是连续正整数, 所以当由 $n=k$ 到 $n=k+1$ 时, 等式左边增加了 $\lfloor 1+2+3+\cdots+2 k+(2 k+1)+2(k+1)\rfloor-(1+2+3+\cdots+2 k)=(2 k+1)+(2 k+2)$,故答案为: C.

【分析】利用已知条件结合数学归纳法的证明过程, 由 $n=k$ 到 $n=k+1$ 时, 等式左边应添加的项.
题目（高三 · 代数）：对于不等式 $\sqrt{n^{2}+2 n}<n+2\left(n \in \mathrm{N}^{*}\right)$, 某同学用数学归纳法证明的过程如下:

(1)当 $n=1$ 时, $\sqrt{1^{2}+2}<1+2$, 不等式成立; (2)假设当 $n=k\left(n \in \mathrm{N}^{*}\right)$ 时, 不等式成立, 即 $\sqrt{k^{2}+2 k}<k+2$, 则当 $n=k+1$ 时, $\sqrt{(k+1)^{2}+2(k+1)}=\sqrt{k^{2}+4 k+3}$ $<\sqrt{\left(k^{2}+4 k+3\right)+(2 k+6)}=\sqrt{(k+3)^{2}}=(k+1)+2$. 故当 $n=k+1$ 时, 不等式成立.则上述证法（ )
选项：
A. 过程全部正确
B. $n=1$ 的验证不正确
C. $n=k$ 的归纳假设不正确
D. 从 $n=k$ 到 $n=k+1$ 的推理不正确
答案：D
解析：答案: D

解: 在 $n=k+1$ 时, 没有应用 $n=k$ 时的假设, 即从 $n=k$ 到 $n=k+1$ 的推理不正确.故答案为: $\mathrm{D}$

【分析】根据数学归纳法证明的基本过程可得出结论.
题目（高三 · 代数）：已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}+\frac{1}{a_{n+1}}=2 a_{n}+\frac{1}{a_{n}}\left(n \in N^{*}\right)$, 则 ( )
选项：
A. 当 $0<a_{n}<1\left(n \in N^{*}\right)$ 时, 则 $a_{n+1}>a_{n}$
B. 当 $a_{n}>1\left(n \in N^{*}\right)$ 时, 则 $a_{n+1}<a_{n}$
C. 当 $a_{1}=\frac{1}{2}$ 时, 则 $a_{n+1}+\frac{1}{a_{n+1}}>\sqrt{2 n+4}$
D. 当 $a_{1}=2$ 时, 则 $a_{n+1}+\frac{1}{a_{n+1}}>\sqrt{3 n+20}$
答案：C
解析：答案: C

解: $a_{n+1}+\frac{1}{a_{n+1}}=2 a_{n}+\frac{1}{a_{n}} \therefore a_{n+1}-a_{n}+\frac{1}{a_{n+1}}-\frac{1}{a_{n}}=a_{n}$,

即 $\left(a_{n+1}-a_{n}\right)\left(1-\frac{1}{a_{n+1} a_{n}}\right)=a_{n}$,

当 $0<a_{n}<1$ 时, $1-\frac{1}{a_{n+1} a_{n}}<0$, 故 $a_{n+1}<a_{n}, \mathrm{~A}$ 不符合题意;

当 $a_{n}>1_{\text {时, }} 1-\frac{1}{a_{n+1} a_{n}}>0$, 故 $a_{n+1}>a_{n}, \mathrm{~B}$ 不符合题意;

对于 $\mathrm{D}$ 选项, 当 $n=1$ 时, $a_{1}=2, a_{2}+\frac{1}{a_{2}}=2 a_{1}+\frac{1}{a_{1}}=\frac{9}{2}<\sqrt{23}$, $\mathrm{D}$ 不符合题意;

用数学归纳法证明 C,

易知 $a_{n}>0$ 恒成立,

当 $n=1$ 时, $a_{2}+\frac{1}{a_{2}}=2 a_{1}+\frac{1}{a_{1}}=3>\sqrt{6}$, 成立;

假设当 $n=k$ 时成立, $a_{k+1}+\frac{1}{a_{k+1}}>\sqrt{2 k+4}$, 即 $a^{2}{ }_{k+1}+\frac{1}{a^{2}{ }_{k+1}}>2 k+2$,

当 $n=k+1$ 时:

$\left(a_{k+2}+\frac{1}{a_{k+2}}\right)^{2}=\left(2 a_{k+1}+\frac{1}{a_{k+1}}\right)^{2}=4 a^{2}{ }_{k+1}+\frac{1}{a^{2}{ }_{k+1}}+4=a^{2}{ }_{k+1}+\frac{1}{a^{2}{ }_{k+1}}+3 a^{2}{ }_{k+1}+4>2 k+6$

即 $a_{k+2}+\frac{1}{a_{k+2}}>\sqrt{2 k+6}$ 成立,

故 $a_{n+1}+\frac{1}{a_{n+1}}>\sqrt{2 n+4}$ 恒成立, 即可得证.

故答案为: C

【分析】依次判断每个选项的正误, 得到答案.
题目（高三 · 代数）：用数学归纳法证明等式 $1+2+3+\cdots+(n+3)=\frac{(n+3)(n+4)}{2}\left(n \in \mathrm{N}^{*}\right)$ 时, 第一步验证 $n=1$ 时, 左边应取的项是( )
选项：
A. 1
B. $1+2$
C. $1+2+3$
D. $1+2+3+4$
答案：D
解析：答案: D

解: 由数学归纳法的证明步骤可知: 当 $n=1$ 时, 等式的左边是 $1+2+3+1+3=1+2+3+4$,故答案为: D

【分析】由数学归纳法的证明步骤结合已知条件, 从而求出当 $n=1$ 时, 等式的左边的项.
题目（高三 · 代数）：用数学归纳法证明 $(n+2)(n+3) \cdots(2 n+2)=2^{n+1} \cdot 1 \cdot 3 \cdots \cdots(2 n+1)(n \in N)$ 时, 从 “ $k$ ” 到 $“ k+1$ ”的证明等式左边需增添的代数式是（）
选项：
A. $2 k+4$
B. $(2 k+3)(2 k+4)$
C. $\frac{2 k+4}{k+2}$
D. $\frac{(2 k+3)(2 k+4)}{k+2}$
答案：D
解析：答案: D

解: 由 $n=k$ 到 $n=k+1$ 时, 等式左端的项为 $(k+1+2)(k+1+3) \cdots(2(k+1)+2)$,

等式左端增加的项为 $\frac{(2 k+3)(2 k+4)}{k+2}$

故答案为:
D.

【分析】左边用“ $k+1$ ”替换“ $k$ ”, 观察增加的变化项即可得结果.
题目（高三 · 代数）：用数学归纳法证明: $\quad 1+a+a^{2}+\ldots \ldots+a^{n+1}=\frac{1-a^{n+2}}{1-a}(a \neq 1)$, 在验证 $n=1$ 时, 左边为（）
选项：
A. 1
B. $1+a$
C. $1+a+a^{2}$
D. 都不正确
答案：C
解析：答案: C

解: 用数学归纳法证明: $1+a+a^{2}+\ldots \ldots+a^{n+1}=\frac{1-a^{n+2}}{1-a}(a \neq 1)$,

在验证 $n=1$ 时, 只需令 $n=1$ 代入左边的代数式,

得到左边 $=1+a+a^{1+1}=1+a+a^{2}$.

故答案为: C

【分析】根据题意, 将 $n=1$ 直接代入, 即可求出结果.
题目（高三 · 代数）：用数学归纳法证明: $1+2+3+\cdots+2 n=n(2 n+1)$ 时, 从 $\mathrm{n}=\mathrm{k}$ 推证 $n=k+1$ 时, 左边增加的代数式是（）
选项：
A. $4 k+3$
B. $4 k+2$
C. $2 k+2$
D. $2 k+1$
答案：A
解析：答案: A

解: 由题意, 可得当 $n=1$ 时, 等式的左边为 $1+2$,

当 $n=k$ 时, 等式的左边为 $1+2+3+\cdots+2 k$,

当 $n=k+1$ 时, 等式的左边为 $1+2+3+\cdots+2 k+(2 k+1)+2(k+1)$,

所以从 $k$ 到 $k+1$ 时, 左边需增加的代数式是 $(2 k+1)+2(k+1)=4 k+3$,

故答案为: A.
【分析】根据题设中的等式, 当 $\mathrm{n}=\mathrm{k}$ 时, 等式的左边为 $1+2+3+\cdots+2 k$, 当 $n=k+1$ 时, 等式的左边为 $1+2+\cdots+2 k+(2 k+1)+2(k+1)$, 利用数学归纳法即可求解.
题目（高三 · 代数）：用数学归纳法证明等式 $1^{2}+2^{2} \cdots+(n-1)^{2}+n^{2}+(n-1)^{2}+\cdots+2^{2}+1^{2}=\frac{n\left(2 n^{2}+1\right)}{3}$, 当 $n=k+1$ 时, 等式左端应在 $n=k$ 的基础上加上（）
选项：
A. $(k+1)^{2}+2 k^{2}$
B. $(k+1)^{2}+k^{2}$
C. $(k+1)^{2}$
D. $\frac{1}{3}(k+1)\left[2(k+1)^{2}+1\right]$
答案：B
解析：答案: B

解: $n=k$ 时等式为 $1^{2}+2^{2} \cdots+(k-1)^{2}+k^{2}+(k-1)^{2}+\cdots+2^{2}+1^{2}=\frac{k\left(2 k^{2}+1\right)}{3}$,

$n=k+1$ 时等式为 $1^{2}+2^{2} \cdots+k^{2}+(k+1)^{2}+k^{2}+\cdots+2^{2}+1^{2}=\frac{(k+1)\left[2(k+1)^{2}+1\right]}{3}$,

当 $n=k+1$ 时, 等式左端应在 $n=k$ 的基础上加上 $(k+1)^{2}+k^{2}$,

故答案为: B.

【分析】写出 $n=k$ 和 $n=k+1$ 时的两式, 然后比较可得.
题目（高三 · 代数）：若 $z=1+2 i+i^{3}$, 则 $\mid z=(\quad)$
选项：
A. 0
B. 1
c. $\sqrt{2}$
D. 2
答案：C
解析：答案: C

【解析】 因为 $z=1+2 i+i^{3}=1+2 i-i=1+i$, 所以 $|z|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$.

故答案为: C.

【分析】先根据 $i^{2}=-1$ 将 $z$ 化简, 再根据向量的模的计算公式即可求出.
题目（高三 · 代数）：已知复数 $(1+i) z=2-3 i$ ( $i$ 为虚数单位), 则 $\mathrm{z}$ 在复平面内对应的点位于 ( )
选项：
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_7d21164174703021068bg-
答案：C
解析：答案: C

【解析】 由 $(1+i) z=2-3 i$ 得 $z=\frac{2-3 i}{1+i}=\frac{(2-3 i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{-1-5 i}{2}$,

故对应的点的坐标为 $\left(-\frac{1}{2},-\frac{5}{2}\right)$, 从而求出复数 $\mathrm{z}$ 在复平面内对应的点位于第三象限.

故答案为: C.

【分析】利用复数的除法运算法则求出复数 $\mathrm{z}$, 再利用复数的几何意义, 从而求出复数 $\mathrm{z}$ 在复平面内对应的点的坐标, 进而根据点的坐标确定复数 $\mathrm{z}$ 在复平面内对应的点所在的象限.
题目（高三 · 代数）：已知 $\mathrm{i}$ 为虚数单位, 复数 $\mathrm{z}$ 满足 $(1-i) z=2+2 i$, 则 $z \cdot z=(\quad)$
选项：
A. 4
B. 2
C. -4
D. -2
答案：A
解析：$ecause(1-i) z=2+2 i, \quad 	herefore z=rac{2+2 i}{1-i}=rac{2(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=2 i \quad, \quad 	herefore ar{z}=-2 i, \quad 	herefore z \cdot ar{z}=4$.故答案为: A.【分析】由已知可求出 $z=rac{2+2 i}{1-i}=2 i$, 进而可求 $ar{z}=-2 i$, 则可求出 $z \cdot z$ 的值.
题目（高三 · 代数）：欧拉公式 $e^{i x}=\cos x+i \sin x$ ( $i$ 为虚数单位) 是由瑞士著名数学家欧拉发明的, 他将指数函数的定义域扩大到复数, 建立了三角函数和指数函数的关系, 它在复变函数论里占有非常重要的地位, 被誉为“数学中的天桥”. 根据欧拉公式可知, $m=\frac{f(x)}{x}=g(x)$ 表示的复数在复平面中位于 $(\quad)$
选项：
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
答案：B
解析：答案: B

【解析】 因为欧拉公式 $e^{i x}=\cos x+i \sin x(i$ 为虚数单位 $)$,

所以 $e^{3 i}=\cos 3+i \sin 3$, 因为 $3 \in\left(\frac{\pi}{2}, \pi\right), \cos 3<0, \sin 3>0$,



故答案为: B.

【分析】利用欧拉公式 $e^{i x}=\cos x+i \sin x$, 化简 $m=\frac{f(x)}{x}=g(x)$ 的表达式, 通过三角函数的符号,判断复数的对应点所在象限即可.



15.答案: C,D

【解析】 $\because z=\frac{i}{1-2 i}=\frac{i(1+2 i)}{(1-2 i)(1+2 i)}=-\frac{2}{5}+\frac{1}{5} i$,

$\therefore$ 复数 $z$ 的虚部为 $\frac{1}{5}, \quad \mathrm{z}$ 的共轪复数 $\bar{z}=-\frac{2}{5}-\frac{i}{5}, \|=\sqrt{\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$,复平面内与 $z$ 对应的点的坐标为 $\left(-\frac{2}{5}, \frac{1}{5}\right)$, 在第二象限.

故答案为: CD.
【分析】利用复数的乘除运算可得 ${ }^{z}=-\frac{2}{5}+\frac{1}{5} i$, 根据复数的概念可判断 $\mathrm{A}$; 根据共轭复数的概念可判断 B; 根据复数的模可判断 C; 根据复数的几何意义可判断 D.
题目（高三 · 代数）：已知复数 $z=\frac{i}{1-2 i}$, 则以下说法正确的是 ( )
选项：
A. 复数 $\mathrm{z}$ 的虚部为 $\frac{i}{5}$
B. $\mathrm{z}$ 的共轭复数 $\bar{z}=\frac{2}{5}-\frac{i}{5}$
C. $=\frac{\sqrt{5}}{5}$
D. 在复平面内与 $\mathrm{z}$ 对应的点在第二象限
答案：CD
解析：ecause z=rac{i}{1-2 i}=rac{i(1+2 i)}{(1-2 i)(1+2 i)}=-rac{2}{5}+rac{1}{5} i$,$	herefore$ 复数 $z$ 的虚部为 $rac{1}{5}, \quad \mathrm{z}$ 的共轪复数 $ar{z}=-rac{2}{5}-rac{i}{5}, \|=\sqrt{\left(-rac{2}{5}ight)^{2}+\left(rac{1}{5}ight)^{2}}=rac{\sqrt{5}}{5}$,复平面内与 $z$ 对应的点的坐标为 $\left(-rac{2}{5}, rac{1}{5}ight)$, 在第二象限.故答案为: CD.
题目（高三 · 代数）：设复数 $\mathrm{z}$ 满足 $z=-1-2 i, \mathrm{i}$ 为虚数单位, 则下列命题正确的是 $(\quad)$
选项：
A. $|z|=\sqrt{5}$
B. 复数 $\mathrm{z}$ 在复平面内对应的点在第四象限
C. $\mathrm{z}$ 的共轭复数为 $-1+2 i$
D. 复数 $\mathrm{z}$ 在复平面内对应的点在直线 $y=-2 x$ 上
答案：AC
解析：答案: $A, C$

【解析】 $|z|=\sqrt{(-1)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{5}$, A 符合题意;

复数 $\mathrm{z}$ 在复平面内对应的点的坐标为 $(-1,-2)$, 在第三象限, $\mathrm{B}$ 不正确;

$\mathrm{z}$ 的共轭复数为 $-1+2 i, \mathrm{C}$ 符合题意;

复数 $\mathrm{z}$ 在复平面内对应的点 $(-1,-2)$ 不在直线 $y=-2 x$ 上, $\mathrm{D}$ 不正确.

故答案为: $\mathrm{AC}$

【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轪复数等知识, 选出正确选项.
题目（高三 · 代数）：已知复数 $z=a+\sqrt{3} i$ 在复平面内对应的点位于第二象限, 且 $|z|=2$ 则下列结论正确的是（）.
选项：
A. $z^{3}=8$
B. $z$ 的虚部为 $\sqrt{3}$
C. $\mathrm{z}$ 的共轭复数为 $1+\sqrt{3} i$
D. $z^{2}=4$
答案：AB
解析：答案: A,B

【解析】 $\because z=a+\sqrt{3} i$, 且 $|z|=2 \therefore a^{2}+(\sqrt{3})^{2}=4, a= \pm 1$,

复数 $z=a+\sqrt{3} i$ 在复平面内对应的点位于第二象限 $\therefore a=-1$,

A: $(-1+\sqrt{3} i)^{3}=(-1)^{3}+3(-1)^{2} \sqrt{3} i+3(-1)(\sqrt{3} i)^{2}+(\sqrt{3} i)^{3}=8$;

B: $z=-1+\sqrt{3} i_{\text {的虚部是 }} \sqrt{3}$;

$\mathrm{C}: z=-1+\sqrt{3} i$ 的共轭复数为 $z=-1-\sqrt{3} i$;

D: $(-1+\sqrt{3} i)^{2}=(-1)^{2}+2(-1) \sqrt{3} i+(\sqrt{3} i)^{2}=-2-2 \sqrt{3} i$.

故答案为: $\mathrm{AB}$.

【分析】利用复数 $|z|=2$ 的模长运算及 $z=a+\sqrt{3} i$ 在复平面内对应的点位于第二象限求出 $\mathrm{a}$, 再验算每个选项得解.
题目（高三 · 代数）：已知复数 $z$ 满足 $\bar{z} \cdot z+2 \bar{z}=3+a i, a \in R$, 则实数 $a$ 的值可能是 ( )
选项：
A. 1
B. -4
C. 0
D. 5
答案：ABC
解析：答案: A,B,C

【解析】 设 $z=x+y i, \therefore x^{2}+y^{2}+2 i(x-y i)=3+a i$,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}+2 y=3, \\ 2 x=a,\end{array} \Rightarrow y^{2}+2 y+\frac{a^{2}}{4}-3=0\right.$,

$\therefore \Delta=4-4\left(\frac{a^{2}}{4}-3\right) \geq 0$, 解得 $-4 \leq a \leq 4$,

$\therefore$ 实数 $a$ 的值可能是 $1,-4,0$.

故选: ABC.

【分析】设 $z=x+y i$, 从而有 $x^{2}+y^{2}+2 i(x-y)=3+a i$, 利用消元法得到关于 $y_{\text {的一元二次方 }}$
程, 利用判别式大于等于 0 , 从而求得 $\mathrm{a}$ 的范围, 即可得答案.
题目（高三 · 代数）：$\mathrm{i}(2+3 \mathrm{i})=$
选项：
A. $3-21$
B. $3+2 i$
C. $-3-21$
D. $-3+21$
答案：D
解析：答案: D

【解析】 $i(2+3 i)=2 i+3 i^{2}=-3+2 i$,

故答案为: D.

【分析】根据公式 $i^{2}=-1$, 可直接计算得 $i(2+3 i)=-3+2 i$.
题目（高三 · 代数）：复数 $2+i$ 的共轭复数是 ( )
选项：
A. $2-i$
B. $-2-i$
C. $i-2$
D. $i+2$
答案：A
解析：答案: A

【解析】 根据共轭复数的定义可得复数 $2+i$ 的共轭复数是 $2-i$.

故答案为: A.

【分析】利用共轭复数的定义直接得到.
题目（高三 · 代数）：已知复数 $z$ 满足 $(1-i) z=a+i$, 且 $z$ 为纯虚数, 则实数 $\mathrm{a}$ 的值为 $($ )
选项：
A. -1
B. 1
C. -2
D. 2
答案：B
解析：答案: B

【解析】 由于 $z$ 为纯虚数, 设为 $b i(b \neq 0)$, 由 $(1-i) z=a+i$ 得 $(1-i) \cdot b i=a+i$,

即 $b+b i=a+i$, 所以 $\left\{\begin{array}{l}b=a \\ b=1\end{array} \Rightarrow a=1\right.$.

故答案为: B

【分析】设出 $z$, 根据复数相等的条件列方程组, 解方程组求得 $a$ 的值.
题目（高三 · 代数）：已知复数 $z=|1+i|+2 i$ ( $\mathrm{i}$ 为虚数单位), 则 $z=($ )
选项：
A. $-1+2 i$
B. $1-2 i$
C. $-\sqrt{2}+2 i$
D. $\sqrt{2}-2 i$
答案：D
解析：答案: D

【解析】 $\because z=\sqrt{2}+2 i$, 所以 $\bar{z}=\sqrt{2}-2 i$.

故答案为: D

【分析】利用复数的求模运算、共轭复数的定义得出答案.
题目（高三 · 代数）：已知复数 $z=1+2 i(i$ 是虚数单位 $)$, 那么 $z$ 的虚部是 ( )
选项：
A. -2
B. -1
C. 1
D. 2
答案：D
解析：答案: D

【解析】 复数 $z=1+2 i$ 的虚部为 2

故答案为: $\mathrm{D}$.

【分析】直接利用复数的基本概念得答案.
题目（高三 · 代数）：若复数 $z=1+i+i^{2}+i^{3}+\ldots+i^{2021}$, 则复数 $z$ 对应的点在第（）象限
选项：
A. 一
B. 二
C. 三
D. 四
答案：A
解析：答案: A

【解析】 $z=1+i+i^{2}+i^{3}+\ldots+i^{2021}=(1+i-1-i)+\ldots+(1+i-1-i)+1+i=1+i$,故复数 $\mathrm{z}$ 对应的点在第一象限.

故答案为: A.

【分析】根据周期性得到 $z=1+i$, 得到答案.
题目（高三 · 代数）：已知 $a, b \in R, i$ 为虚数单位, $(2+i)(2-b i)=a$, 则 $a+b=(\quad)$
选项：
A. 6
B. 4
C. 2
D. 1
答案：A
解析：答案: A

【解析】 $\because(2+i)(2-b i)=(4+b)+(2-2 b) i=a, \quad \therefore\left\{\begin{array}{l}4+b=a \\ 2-2 b=0\end{array} \Rightarrow=\left\{\begin{array}{l}a=5 \\ b=1,\end{array}\right.\right.$

$\therefore a+b=6$.

故答案为: A.

【分析】根据复数相等的充要条件, 构造关于 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 的方程, 解出 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 即可得解.
题目（高三 · 代数）：复数 $\frac{1}{1-3 \mathrm{i}}$ 的虚部是（）
选项：
A. $-\frac{3}{10}$
B. $-\frac{1}{10}$
C. $\frac{1}{10}$
D. $\frac{3}{10}$
答案：D
解析：答案: D

【解析】因为 $z=\frac{1}{1-3 i}=\frac{1+3 i}{(1-3 i)(1+3 i)}=\frac{1}{10}+\frac{3}{10} i$,

所以复数 $z=\frac{1}{1-3 i}$ 的虚部为 $\frac{3}{10}$.

故答案为: D.

【分析】利用复数的除法运算求出 $\mathrm{z}$ 即可.
题目（高三 · 代数）：已知复数 $z=\frac{1}{1+\mathrm{i}}+\mathrm{i}$, 则 $|z|=($ )
选项：
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. 2
答案：B
解析：答案: B

【解析】因为 $\mathrm{z}=\frac{1}{1+\mathrm{i}}+\mathrm{i}=\frac{1-\mathrm{i}}{2}+\mathrm{i}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{i}$,

所以 $|z|=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

故答案为: B

【分析】先利用复数的除法, 将 $z=\frac{1}{1+\mathrm{i}}+\mathrm{i}_{\text {化简为 }} \mathbf{z}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2} \mathrm{i}$, 再利用模的公式求解.
题目（高三 · 代数）：$(1-\mathrm{i})^{4}=(\quad)$
选项：
A. -4
B. 4
C. $-4 \mathrm{i}$
D. $4 \mathrm{i}$
答案：A
解析：答案: A

【解析】$(1-i)^{4}=\left[(1-i)^{2}\right]^{2}=\left(1-2 i+i^{2}\right)^{2}=(-2 i)^{2}=-4$.

故答案为: A.

【分析】根据指数幂的运算性质, 结合复数的乘方运算性质进行求解即可.
题目（高三 · 代数）：若 $\mathrm{z}=1+\mathrm{i}$, 则 $\left|\mathrm{z}^{2}-2 \mathrm{z}\right|=(\quad)$
选项：
A. 0
B. 1
C. $\sqrt{2}$
D. 2

$\frac{2-\mathrm{i}}{
答案：D
解析：答案: D

【解析】由题意可得: $z^{2}=(1+i)^{2}=2 i$, 则 $z^{2}-2 z=2 i-2(1+i)=-2$.

故 $\left|z^{2}-2 z\right|=|-2|=2$.

故答案为: D.

【分析】由题意首先求得 $z^{2}-2 z$ 的值, 然后计算其模即可.
题目（高三 · 代数）：1+2 \mathrm{i}}=(\quad)$
选项：
A. 1
B. -1
C. i
D. $-\mathrm{i}$
答案：D
解析：答案: D

【解析】$\frac{2-i}{1+2 i}=\frac{(2-i)(1-2 i)}{(1+2 i)(1-2 i)}=\frac{-5 i}{5}=-i$.

故答案为: D

【分析】根据复数除法法则进行计算.
题目（高三 · 代数）：复数 $\mathrm{z}$ 满足 $z(1-\mathrm{i})=2 \mathrm{i}$, 则 $\mathrm{z}=(\mathrm{O})$
选项：
A. $1-\mathrm{i}$
B. $-1+\mathrm{i}$
C. $-1-\mathrm{i}$
D. $1+\mathrm{i}$
答案：B
解析：答案： B

【解析】因为 $z(1-i)=2 i$, 所以 $z=\frac{2 i}{1-i}=i(1+i)=-1+i$,故答案为: B.

【分析】利用复数的乘除法运算法则求出复数 $\mathrm{z}$ 的代数表达式.

8.答案: C

【解析】【解析】因为 $z=\frac{3+i}{1-i}=\frac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{2+4 i}{2}=1+2 i$,

所以复数 $z$ 的虚部为 2 .

故答案为: C.

【分析】根据复数的除法运算法则化简复数 $\mathrm{z}$, 再求得复数 $\mathrm{z}$ 的虚部即可.
题目（高三 · 代数）：若复数 $\mathrm{z}$ 满足 $z(2-i)=18+11 i$, 则 $|\bar{z}-4 i|=(\quad)$
选项：
A. $\sqrt{13}$
B. $\sqrt{15}$
C. 13
D. 15
答案：C
解析：答案: C

【解析】【解析】$\because$ 复数 $z$ 满足 $z(2-i)=18+11 i$,

$z=\frac{18+11 i}{2-i}=\frac{(18+11)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{36+40 i+11 i^{2}}{5}=5+8 i$

$\therefore \bar{z}=5-8 i, \quad \bar{z}-4 i=5-8 i-4 i=5-12 i$,

$\therefore|\bar{z}-4 i|=|5-12 i|=\sqrt{5^{2}+(-12)^{2}}=13$.

故答案为:

【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的概念以及模的计算公式即可得出.
题目（高三 · 代数）：下列给出四个求导运算:

(1) $\left(x-\frac{1}{x}\right)^{\prime}=\frac{x^{2}-1}{x^{2}}$; (2) $\left(x e^{x}\right)^{\prime}=e^{x}(x+1)$;

(3) $\left(\frac{\sin x}{2}\right)^{\prime}=\frac{\cos x}{4}$; (4) $\left(x^{2}-x-\ln x\right)^{\prime}=\frac{(x-\mathbb{1})(2 x+1)}{x}$.

其中运算结果正确的个数是（ ）
选项：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：B
解析：(1) $\left(x-rac{1}{x}ight)^{\prime}=1+rac{1}{x^{2}}=rac{x^{2}+1}{x^{2}}$, 故错误.(2) $\left(x e^{x}ight)^{\prime}=e^{x}+x e^{x}=e^{x}(x+1)$, 故正确.(3) $\left(rac{\sin x}{2}ight)^{\prime}=rac{\cos x}{2}$, 故错误.(4) $\left(x^{2}-x-\ln xight)^{\prime}=2 x-1-rac{1}{x}=rac{2 x^{2}-x-1}{x}=rac{(x-\mathbb{I})(2 x+1)}{x}$, 故正确.故答案为: $\mathrm{B}$