题目（八年级 · 度量几何学）：在正方形 $A B C D$ 中, 点 $E$ 是 $A D$ 上一动点, $M N \perp A B$ 分别交 $A B 、 C D$ 于 $M, N$, 连接 $B E$ 交 $M N$于点 $O$, 过 $O$ 作 $O P \perp B E$ 分别交 $A B 、 C D$ 于 $P 、 Q$.

探究: (1)如图 (1), 当点 $E$ 在边 $A D$ 上时, 请你动手测量三条线段 $A E 、 M P 、 N Q$ 的长度, 猜测 $A E$ 与 $M P+N Q$ 之间的数量关系, 并证明你所猜测的结论;

探究: (2)如图(2), 若点 $E$ 在 $D A$ 的延长线上时, $A E 、 M P 、 N Q$ 之间的数量关系又是怎样? 并证明你所猜测的结论.

再探究: (3)如图 (3), 连接并延长 $B N$ 交 $A D$ 的延长线 $D G$ 于 $H$, 若点 $E$ 分别在线段 $D H$ 和 $H G$ 上时, 判断 $A E, M P, N Q$ 之间的数量关系又分别怎样? 请直接写出结论.



图థ



图



图 1 .
选项：
答案：解: (1) $A E=M P+N Q$.

证明：如图 1, 过 $P$ 作 $P F \perp C D$ 于 $F$, 则 $\angle P F Q=\angle B A E=90^{\circ}, P F=A D=B A$,

<ImageHere>

图(1)

$\because O P \perp B E, P F \perp A B$,

$\therefore \angle Q P F=\angle E B A$,

在 $\triangle Q P F$ 和 $\triangle E B A$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}\angle P F Q=\angle B A E \\ P F=B A \\ \angle Q P F=\angle E B A\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle Q P F \cong \triangle E B A(A S A)$,

$\therefore A E=F Q$,

又 $\because M P=N F, F Q=N F+N Q$,

$\therefore A E=M P+N Q$

(2) $A E=N Q-M P$.

证明： 如图 2, 过 $P$ 作 $P F \perp C D$ 于 $F$, 则 $\angle P F Q=\angle B A E=90^{\circ}, P F=A D=B A$,

<ImageHere>

图(2)

$\because O P \perp B E, D Q \perp A D$,

$\therefore \angle P Q F=\angle B E A$,

在 $\triangle P Q F$ 和 $\triangle B E A$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}\angle P Q F=\angle B E A \\ \angle P F Q=\angle B A E, \\ P F=B A\end{array}\right.$

$\therefore \triangle P Q F \cong \triangle B E A(A A S)$,

$\therefore A E=F Q$,

又 $\because M P=N F, F Q=N Q-N F$,
$\therefore A E=N Q-M P$

(3)如图所示, 当点 $E$ 在线段 $D H$ 上时, 存在 $A E=M P+N Q$.

<ImageHere>

理由: 过 $P$ 作 $P F \perp C D$ 于 $F$, 则 $\angle F=\angle B A E=90^{\circ}, P F=A D=A B$,

根据 $O P \perp B E, C D \perp D E ，$ 可得 $\angle A E B=\angle F Q P ，$

易证 $\triangle A B E \cong \triangle F P Q$,

$\therefore A E=F Q$,

又 $\because M P=N F, F Q=F N+N Q ，$

$\therefore A E=M P+N Q$

如图所示, 点 $E$ 在线段 $H G$ 上时, 存在 $A E=M P-N Q$.

<ImageHere>

理由：过 $P$ 作 $P F \perp C D$ 于 $F$, 则 $\angle F=\angle B A E=90^{\circ}, P F=A D=A B$,

根据 $O P \perp B E, C D \perp D E$, 可得 $\angle A E B=\angle F Q P$,

易证 $\triangle A B E \cong \triangle F P Q ，$

$\therefore A E=F Q$,

又 $\because M P=N F, F Q=F N-N Q$,

$\therefore A E=M P-N Q$.
解析：解: (1) $A E=M P+N Q$.

证明：如图 1, 过 $P$ 作 $P F \perp C D$ 于 $F$, 则 $\angle P F Q=\angle B A E=90^{\circ}, P F=A D=B A$,



图(1)

$\because O P \perp B E, P F \perp A B$,

$\therefore \angle Q P F=\angle E B A$,

在 $\triangle Q P F$ 和 $\triangle E B A$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}\angle P F Q=\angle B A E \\ P F=B A \\ \angle Q P F=\angle E B A\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle Q P F \cong \triangle E B A(A S A)$,

$\therefore A E=F Q$,

又 $\because M P=N F, F Q=N F+N Q$,

$\therefore A E=M P+N Q$

(2) $A E=N Q-M P$.

证明： 如图 2, 过 $P$ 作 $P F \perp C D$ 于 $F$, 则 $\angle P F Q=\angle B A E=90^{\circ}, P F=A D=B A$,



图(2)

$\because O P \perp B E, D Q \perp A D$,

$\therefore \angle P Q F=\angle B E A$,

在 $\triangle P Q F$ 和 $\triangle B E A$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}\angle P Q F=\angle B E A \\ \angle P F Q=\angle B A E, \\ P F=B A\end{array}\right.$

$\therefore \triangle P Q F \cong \triangle B E A(A A S)$,

$\therefore A E=F Q$,

又 $\because M P=N F, F Q=N Q-N F$,
$\therefore A E=N Q-M P$

(3)如图所示, 当点 $E$ 在线段 $D H$ 上时, 存在 $A E=M P+N Q$.



理由: 过 $P$ 作 $P F \perp C D$ 于 $F$, 则 $\angle F=\angle B A E=90^{\circ}, P F=A D=A B$,

根据 $O P \perp B E, C D \perp D E ，$ 可得 $\angle A E B=\angle F Q P ，$

易证 $\triangle A B E \cong \triangle F P Q$,

$\therefore A E=F Q$,

又 $\because M P=N F, F Q=F N+N Q ，$

$\therefore A E=M P+N Q$

如图所示, 点 $E$ 在线段 $H G$ 上时, 存在 $A E=M P-N Q$.



理由：过 $P$ 作 $P F \perp C D$ 于 $F$, 则 $\angle F=\angle B A E=90^{\circ}, P F=A D=A B$,

根据 $O P \perp B E, C D \perp D E$, 可得 $\angle A E B=\angle F Q P$,

易证 $\triangle A B E \cong \triangle F P Q ，$

$\therefore A E=F Q$,

又 $\because M P=N F, F Q=F N-N Q$,

$\therefore A E=M P-N Q$.