题目（高三 · 计数）：某快递公司收取快递费用的标准是: 重量不超过 $1 \mathrm{~kg}$ 的包裹收费 10 元; 重量超过 $1 \mathrm{~kg}$ 的包裹,除 $1 \mathrm{~kg}$ 收费 10 元之外，超过 $1 \mathrm{~kg}$ 的部分，每超出 $1 \mathrm{~kg}$ （不足 $1 \mathrm{~kg}$, 按 $1 \mathrm{~kg}$ 计算）需再收 5 元. 该公司将最近承掞的 100 件包裹的重量统计如表:

| 包裹重量 (单位: $\mathrm{kg}$ ) | 1 | 2 | 3 | 45 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 包裹件数 | 43 | 30 | 15 | 84 |

公司对近 60 天，每天揽件数量统计如表:

| 包裏件数范围 | $0 \sim 100$ | $101 \sim 200$ | $201 \sim 300$ | $301 \sim 400$ | $401 \sim 500$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 包裏件数 (近似处理) | 50 | 150 | 250 | 350 | 450 |
| 天数 | 6 | 6 | 30 | 12 | 6 |

以上数据已做近似处理, 并将频率视为概率.

（1）计算该公司未来 3 天内恰有 2 天揽件数在 101 400 之间的概率;

(2) (1)估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值;

(2)公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润, 剩余的用作其他费用. 目前前台有工作人员 3 人, 每人每天揽件不超过 150 件, 工资 100 元. 公司正在考虑是否将前台工作人员裁减 1 人, 试计算裁员前后公司每日利润的数学期望, 并判断裁员是否对提高公司利润更有利?
选项：
答案：答案: (1) 【解析】 样本包裹件数在 $101 \sim 400$ 之间的天数为 48 ,

频率 $f=\frac{48}{60}=\frac{4}{5}$, 故可估计概率为 $\frac{4}{5}$,

显然未来 3 天中, 包裹件数在 $101 \sim 400$ 之间的天数 $X$ 服从二项分布,

即 $X \sim B\left(3, \frac{4}{5}\right)$, 故所求概率为 $C_{3}^{2} \times\left(\frac{4}{5}\right)^{2} \times \frac{1}{5}=\frac{48}{125}$;

（2）【解析】（i）样本中快递费用及包裹件数如下表:

| 包裹重量 (单位: $\mathrm{kg}$ ) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 快递费 (单位: 元) | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
| 包裹件数 | 43 | 30 | 15 | 8 | 4 |

故样本中每件快递收取的费用的平均值为

$$
\frac{10 \times 43+15 \times 30+20 \times 15+25 \times 8+30 \times 4}{100}=15(\text { 元 })
$$

故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为 15 元;

（ii）根据题意及（2）（i）, 揽件数每增加 1 ,

可使前台工资和公司利润增加 $15 \times \frac{1}{3}=5$ (元)，

将题目中的天数转化为频率, 得

| 包裹件数范围 | $0 \sim 100$ | $101 \sim 200$ | $201 \sim 300$ | $301 \sim 400$ | $401 \sim 500$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 包裹件数 <br> (近似处理) | 50 | 150 | 250 | 350 | 450 |
| 天数 | 6 | 6 | 30 | 12 | 6 |
| 频率 | 0.1 | 0.1 | 0.5 | 0.2 | 0.1 |

若不裁员, 则每天可揽件的上限为 450件, 公司每日揽件数情况如下:

| 包裹件数 <br> (近似处理) | 50 | 150 | 250 | 350 | 450 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 实际揽件数 $Y$ | 50 | 150 | 250 | 350 | 450 |
| 频率 | 0.1 | 0.1 | 0.5 | 0.2 | 0.1 |


| $E Y$ | $50 \times 0.1+150 \times 0.1+250 \times 0.5+350 \times 0.2+450 \times 0.1=260$ |
| :--- | :--- |

故公司平均每日利润的期望值为 $260 \times 5-3 \times 100=1000$ (元) ;

若裁员 1 人, 则每天可揽件的上限为 300 件, 公司每日揽件数情况如下:

| 包裹件数 <br> (近似处理) | 50 | 150 | 250 | 350 | 450 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 实际揽件数 $Z$ | 50 | 150 | 250 | 300 | 300 |
| 频率 | 0.1 | 0.1 | 0.5 | 0.2 | 0.1 |
| $E Z$ | $50 \times 0.1+150 \times 0.1+250 \times 0.5+300 \times 0.2+300 \times 0.1=235$ |  |  |  |  |

故公司平均每日利润的期望值为 $235 \times 5-2 \times 100=975$ (元).

因 $975<1000$, 故公司将前台工作人员裁员 1 人对提高公司利润不利.
解析：答案: (1) 【解析】 样本包裹件数在 $101 \sim 400$ 之间的天数为 48 ,

频率 $f=\frac{48}{60}=\frac{4}{5}$, 故可估计概率为 $\frac{4}{5}$,

显然未来 3 天中, 包裹件数在 $101 \sim 400$ 之间的天数 $X$ 服从二项分布,

即 $X \sim B\left(3, \frac{4}{5}\right)$, 故所求概率为 $C_{3}^{2} \times\left(\frac{4}{5}\right)^{2} \times \frac{1}{5}=\frac{48}{125}$;

（2）【解析】（i）样本中快递费用及包裹件数如下表:

| 包裹重量 (单位: $\mathrm{kg}$ ) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 快递费 (单位: 元) | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 |
| 包裹件数 | 43 | 30 | 15 | 8 | 4 |

故样本中每件快递收取的费用的平均值为

$$
\frac{10 \times 43+15 \times 30+20 \times 15+25 \times 8+30 \times 4}{100}=15(\text { 元 })
$$

故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为 15 元;

（ii）根据题意及（2）（i）, 揽件数每增加 1 ,

可使前台工资和公司利润增加 $15 \times \frac{1}{3}=5$ (元)，

将题目中的天数转化为频率, 得

| 包裹件数范围 | $0 \sim 100$ | $101 \sim 200$ | $201 \sim 300$ | $301 \sim 400$ | $401 \sim 500$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 包裹件数 <br> (近似处理) | 50 | 150 | 250 | 350 | 450 |
| 天数 | 6 | 6 | 30 | 12 | 6 |
| 频率 | 0.1 | 0.1 | 0.5 | 0.2 | 0.1 |

若不裁员, 则每天可揽件的上限为 450件, 公司每日揽件数情况如下:

| 包裹件数 <br> (近似处理) | 50 | 150 | 250 | 350 | 450 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 实际揽件数 $Y$ | 50 | 150 | 250 | 350 | 450 |
| 频率 | 0.1 | 0.1 | 0.5 | 0.2 | 0.1 |


| $E Y$ | $50 \times 0.1+150 \times 0.1+250 \times 0.5+350 \times 0.2+450 \times 0.1=260$ |
| :--- | :--- |

故公司平均每日利润的期望值为 $260 \times 5-3 \times 100=1000$ (元) ;

若裁员 1 人, 则每天可揽件的上限为 300 件, 公司每日揽件数情况如下:

| 包裹件数 <br> (近似处理) | 50 | 150 | 250 | 350 | 450 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 实际揽件数 $Z$ | 50 | 150 | 250 | 300 | 300 |
| 频率 | 0.1 | 0.1 | 0.5 | 0.2 | 0.1 |
| $E Z$ | $50 \times 0.1+150 \times 0.1+250 \times 0.5+300 \times 0.2+300 \times 0.1=235$ |  |  |  |  |

故公司平均每日利润的期望值为 $235 \times 5-2 \times 100=975$ (元).

因 $975<1000$, 故公司将前台工作人员裁员 1 人对提高公司利润不利.