eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高三 · 解析几何）：向量 $\vec{a}=(2,4, x), \vec{b}=(2, y, 2)$, 若 $|\vec{a}|=6$, 且 $\vec{a} \perp \vec{b}$, 则 $x+y$ 的值为 $(\quad)$
选项：
A. -3
B. 1
C. -3 或 1
D. 3 或 1
答案：C
解析：ecause|\vec{a}|=6$, 且 $\vec{a} \perp \vec{b}, 	herefore \sqrt{2^{2}+4^{2}+x^{2}}=6,4+4 y+2 x=0$, 解得 $\left\{egin{array}{l}x=4 \ y=-3\end{array}ight.$, 或 $\left\{egin{array}{l}x=-4 \ y=1\end{array}ight.$. 则 $x+y=-3$ 或 1 .
题目（高三 · 解析几何）：若向量 $\vec{a}=(x, 4,5), \vec{b}=(1,-2,2)$, 且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{2}}{6}$, 那么 $x=(\quad)$
选项：
A. 3
B. -3
C. -11
D. 3 或 -11
答案：A
解析：由向量 $\vec{a}=(x, 4,5), \vec{b}=(1,-2,2)$, 则 $|\vec{a}|=\sqrt{x^{2}+16+25}=$ $\s\qrt{\mathrm{x}^{2}+41},|\overrightarrow{\mathrm{b}}|=\sqrt{1+4+4}=3, \overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}=\mathrm{x}-8+10=\mathrm{x}+2$, 又 $\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}| \cdot|\vec{b}| \cos \langle\vec{a} \cdot \vec{b}angle$, 即 $\mathrm{x}+2=3 \sqrt{\mathrm{x}^{2}+41} 	imes rac{\sqrt{2}}{6}$, 解得: $\mathrm{x}=3$.
题目（高三 · 解析几何）：向量 $\vec{a}=(2-t,-3,0), \vec{b}=(1, t,-2), t \in \mathbf{R}$, 则 $|\vec{a}+\vec{b}|$ 的最小值是 $(\quad)$
选项：
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2


答案：D
解析：$ecause \vec{a}=(2-t,-3,0), \quad \vec{b}=(1, t,-2), \quad 	herefore \vec{a}+\vec{b}=(3-t, t-3,-2)$,$	herefore|\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}|=\sqrt{(3-\mathrm{t})^{2}+(\mathrm{t}-3)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{2(\mathrm{t}-3)^{2}+4}, \quad 	herefore$ 当 $\mathrm{t}=3$ 时, $|\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}|$ 取得最小值, $|\overrightarrow{\mathrm{a}}+\overrightarrow{\mathrm{b}}| \mathrm{min}=2$. 故选 D.
题目（高三 · 解析几何）：已知 $a \in R$, 若 $\frac{1+a i}{2-i}$ 为实数, 则 $a=(\quad)$
选项：
A. 2
B. -2
C. $-\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{2}$
答案：C
解析：解析: 解答: $\because \frac{1+a i}{2-i}=\frac{(1+a i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{2+i+2 a i-a}{5}=\frac{2-a}{5}+\frac{1+2 a}{5} i$,

$\because \frac{1+a i}{2-i}$ 为实数, $\therefore \frac{1+2 a}{5}=0, \therefore a=-\frac{1}{2}$. 故选 C.

分析: 本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的混合运算, 解决问题的关键是根据所给复数化简结合所给复数为实数求得 $\mathrm{a}$ 值即可.
题目（高三 · 解析几何）：已知定义在复数集 $\mathrm{C}$ 上的函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 满足 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}1+x, x \in R \\ (1-i) x, x \notin R\end{array}\right.$ ，则 $\mathrm{f}(1+\mathrm{i})$ 等于 $(\quad)$
选项：
A. -2
B. 0
C. 2
D. $2+i$
答案：C
解析：解析: 解答: 因为定义在复数集 $\mathrm{C}$ 上的函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 满足 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}1+x, x \in R \\ (1-i) x, x \notin R\end{array}\right.$

所以, $f(1+i)=(1-i)(1+i)=1-i^{2}=2$, 故选 C.

分析: 本题主要考查了复数代数形式的混合运算, 解决问题的关键是根据函数的性质运算即可.
题目（高三 · 解析几何）：如图,已知 $\mathrm{A}$ 为左顶点, $\mathrm{F}$ 是左焦点, $l$ 交 $\mathrm{OA}$ 的延长线于点 $\mathrm{B}$, 点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 在椭圆上, 有 $\mathrm{PD} \perp \mathrm{l}$ 于点 $\mathrm{D}, \mathrm{QF} \perp \mathrm{AO}$, 则粗圆的离心率是(1) $\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{PD}}$; (2) $\frac{\mathrm{QF}}{\mathrm{BF}}$; (3) $\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}$; (4) $\frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{AB}}$; (5) $\frac{\mathrm{FO}}{\mathrm{AO}}$

其中正确的是（ ）


选项：
A.(1)(2)
B.(1)(3)(4)
C.(2)(3)(5)
D. (1)(2)(3)(4)(5)
答案：D
解析：解析: 解答: (1) $\frac{\mathrm{PF}}{\mathrm{PD}}$ 符合离心率定义; (2)过点 $\mathrm{Q}$ 作 $\mathrm{QC} \perp \mathrm{l}$ 于 $\mathrm{C}, \because \mathrm{QC}=\mathrm{FB}, \therefore \frac{\mathrm{QF}}{\mathrm{BF}}=\frac{\mathrm{QF}}{\mathrm{QC}}$ 符合离心率定义; (3) $\because \mathrm{AO}=\mathrm{a}, \mathrm{BO}=\frac{\mathrm{a}^{2}}{\mathrm{c}}, \therefore \frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}=\frac{\mathrm{a}}{\frac{\mathrm{a}^{2}}{\mathrm{c}}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$, 故 $\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{BO}}$ 也是离心率; (4) $\because \mathrm{AF}=\mathrm{a}-\mathrm{c}, \mathrm{AB}=\frac{\mathrm{a}^{2}}{\mathrm{c}}-\mathrm{a}$, $\therefore \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{a}-\mathrm{c}}{\frac{\mathrm{a}^{2}}{\mathrm{c}}-\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}, \therefore \frac{\mathrm{AF}}{\mathrm{AB}}$ 是离心率; (5) $\because \mathrm{FO}=\mathrm{c}, \mathrm{AO}=\mathrm{a}, \therefore \frac{\mathrm{FO}}{\mathrm{AO}}=\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{a}}$ 是离心率. $\therefore$ (1)(2)(3)(4)(5)的表述均正确,故选 D.分析: 本题主要考查了平面与圆柱面的截线, 解决问题的关键是根据平面与圆柱面的截线的性质结合所给几何关系分析计算即可判断
题目（高三 · 解析几何）：已知直线 $A B$ 的方向向量为 $\overrightarrow{n_{1}}=(1,2,-2)$, 平面 $\alpha$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{n_{2}}=(-$ $2,-4, k)$, 若 $A B \| \alpha$, 则 $k$ 的值为 $(\quad)$
选项：
A. -5
B. 5
C. -4
D. 4
答案：A
解析：解: 因为直线与平面平行, 所以直线的方向向量与平面的法向量垂直, 即有 $\overrightarrow{n_{1}} \cdot \overrightarrow{n_{2}}=0$, 也即 $-2-8-$ $2 k=0$, 解得 $k=-5$. 故选 $A$.
题目（高三 · 解析几何）：直线 $a, b$ 的方向向量分别为 $\vec{e}=(1,-2,-2), \vec{n}=(-2,-3,2)$, 则 $a$ 与 $b$ 的位置关系是 ( )
选项：
A. 平行
B. 重合
C. 垂直
D. 夹角等于 $\frac{\pi}{3}$
答案：C
解析：解: $ecause \vec{e} \cdot \vec{n}=-2+6-4=0, 	herefore \vec{e} \perp \vec{n}, 	herefore a \perp b$. 故选: C.
题目（高三 · 解析几何）：下列各组向量中不平行的是 ( )
选项：
A. $\vec{a}=(1,2,-2), \vec{b}=(-2,-4,4)$
B. $\vec{c}=(1,0,0), \vec{d}=(-3,0,0)$
C. $\vec{e}=(2,3,0), \vec{f}=(0,0,0)$
D. $\vec{g}=(-2,3,5), \vec{h}=(16,24,40)$
答案：D
解析：解: 选项 $A$ 中, $\vec{b}=-2 \vec{a} \Rightarrow \vec{a} \| \vec{b}$; 选项 $B$ 中有: $\vec{d}=-3 \vec{c} \Rightarrow \vec{d} \| \vec{c}$, 选项 $C$ 中零向量与任意向量平行, 选项 $D$, 事实上不存在任何一个实数 $\lambda$, 使得 $\vec{g}=\lambda \vec{h}$, 即: $(16,24,40)=\lambda(16,24,40)$. 故应选: $D$
题目（高三 · 解析几何）：设平面 $\alpha$ 的法向量为 $(1,-2,2)$, 平面 $\beta$ 的法向量为 $(2, \lambda, 4)$, 若 $\alpha / / \beta$, 则 $\lambda=$
选项：
A. 2
B. 4
C. -2
D. -4
答案：D
解析：解: 根据题意, 两个平面的法向量平行, 所以 $rac{1}{2}=rac{-2}{\lambda}=rac{2}{4}$, 解得 $\lambda=-4$. 故选 $D$.
题目（高三 · 解析几何）：平面 $\alpha$ 的法向量是 $n$, 直线 $A B$ 的方向向量是 $a$, 则 “ $n \cdot a=0$ ” 是 “直线 $A B / /$ 平面 $\alpha$ 的
选项：
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案：B
解析：因为直线 $A B / /$ 平面 $\alpha$, 所以直线 $A B$ 的方向向量 $\vec{a}$ 与平面 $\alpha$ 的法向量 $\vec{n}$ 垂直, 所以 $\vec{a} \cdot \vec{n}=0$,同理若直线 $A B$ 的方向向量 $\vec{a}$ 与平面 $\alpha$ 的法向量 $\vec{n}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{n}=0$, 则直线 $A B / /$ 平面 $\alpha$ 或直线 $A B$ 在面 $\alpha$ 内.故 $\vec{a} \cdot \vec{n}=0$ 是直线 $A B / /$ 平面 $\alpha$ 的必要不充分条件. 故选 $B$.
题目（高三 · 解析几何）：已知 $A(2,4,1), B(1,2,0)$, 平面 $\alpha$ 的一个法向量为 $\vec{n}=(a, b, c)$, 若 $A B \|$ 平面 $\alpha$,则( )
选项：
A. $a=c=2 b$
B. $a+2 b=c$
C. $a+c=2 b$
D. $a+2 b+c=0$
答案：D
解析：因为 $A(2,4,1), B(1,2,0)$, 所以 $\overrightarrow{A B}=(-1,-2,-1)$, 又因为 $A B \|$ 平面 $\alpha$, 所以 $\overrightarrow{A B} \cdot \vec{n}=-a-2 b-c=0$ 得 $a+2 b+c=0$.故选 $D$.
题目（高三 · 解析几何）：若直线 $l$ 的方向向量为 $\vec{a}$, 平面 $\alpha$ 的法向量为 $\vec{\mu}$, 则能使 $l \| \alpha$ 的是 ( )
选项：
A. $\vec{a}=(1,0,0), \vec{\mu}=(-2,0,0)$
B. $\vec{a}=(1,3,5), \vec{\mu}=(1,0,1)$
C. $\vec{a}=(0,2,1), \vec{\mu}=(-1,0,1)$
D. $\vec{a}=(1,-1,3), \vec{\mu}=(0,3,1)$
答案：D
解析：解: 若 $l \| \alpha$, 则 $\vec{a} \cdot \vec{\mu}=0$, 而 $A$ 中 $\vec{a} \cdot \vec{\mu}=-2, B$ 中 $\vec{a} \cdot \vec{\mu}=1+5=6, C$ 中 $\vec{a} \cdot \vec{\mu}=1, D$ 选项中 $\vec{a} \cdot \vec{\mu}=-3+3=0$.故选 $D$
题目（高三 · 解析几何）：已知向量 $\vec{a}=(1,1,0), \vec{b}=(-1,0,2)$, 且 $k \vec{a}+\vec{b}$ 与 $2 \vec{a}-\vec{b}$ 互相垂直, 则实数 $k$ 的值为 $($ )
选项：
A. $\frac{2}{5}$
B. $\frac{1}{5}$
C. $\frac{3}{5}$
D. $\frac{7}{5}$
答案：D
解析：由已知得 $k \vec{a}+\vec{b}=(k, k, 0)+(-1,0,2)=(k-1, k, 2), 2 \vec{a}-\vec{b}=(3,2,-2)$.由 $k \vec{a}+\vec{b}$ 与 $2 \vec{a}-\vec{b}$ 互相垂直, 得 $(k-1, k, 2) \cdot(3,2,-2)=0$, 即 $5 k-7=0$, 解得 $k=rac{7}{5}$, 故选 $D$. $8 . B$ 解: $\vec{a} \cdot \vec{b}=(2,4,-3)(-1,2,2)=-2+8-6=0: \vec{a} \perp \vec{b}$ : 平面 $\alpha$ 与平面 $eta$ 垂直故选: $B$.
题目（高三 · 解析几何）：若平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 的法向量分别是 $\vec{a}=(2,4,-3), \vec{b}=(-1,2,2)$, 则平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 的位置关系是 ( )
选项：
A. 平行
B. 垂直
C. 相交但不垂直
D. 无法确定
答案：B
解析：$\vec{a} \cdot \vec{b}=(2,4,-3)(-1,2,2)=-2+8-6=0: \vec{a} \perp \vec{b}$ : 平面 $\alpha$ 与平面 $eta$ 垂直故选: $B$.
题目（高三 · 解析几何）：若平面 $\alpha$ 的一个法向量为 $(1,2,0)$, 平面 $\beta$ 的一个法向量为 $(2,-1,0)$, 则平面 $\alpha$ 和平面 $\beta$ 的位置关系是( )
选项：
A. 平行
B. 相交但不垂直
C. 垂直
D. 重合
答案：C
解析：由题意可得 $(1,2,0) \cdot(2,-1,0)=1 	imes 2-2 	imes 1+0 	imes 0=0$, 故两个平面的法向量垂直, 故平面 $\alpha$ 和平面 $eta$ 的位置关系为垂直, 故选 $C$.
题目（高三 · 解析几何）：以圆雉曲线的焦点弦为直径的圆和相应准线相切,则这样的圆锥曲线是（）
选项：
A. 不存在的
B. 椭圆
C.双曲线
D.抛物线
答案：D
解析：解析：解答：由圆雉曲线的定义知,截线是抛物线,应选 D.

分析: 本题主要考查了平面与圆雉面的截线, 解决问题的关键是根据平面与圆雉面的截线的性质分析即可
题目（高三 · 解析几何）：已知双曲线两个焦点的距离为 10 , 双曲线上任一点到两个焦点距离之差的绝对值为 6 , 则双曲线的离心率为
选项：
A. $\frac{3}{5}$
B. $\frac{4}{5}$
C. 1
D. $\frac{5}{3}$
答案：D
解析：解析: 解答: 设双曲线的实轴长为 $2 a$, 虚轴长为 $2 b$, 焦距为 $2 c$. 由题意知, $2 c=10,2 a=6$, 故 $e=\frac{c}{a}=\frac{5}{3}$分析: 本题主要考查了平面与圆雉面的截线, 解决问题的关键是根据平面与圆雉面的截线结合双曲线的性质计算即可
题目（高三 · 解析几何）：把两条直线的位置关系填入结构图中的 $M 、 N 、 E 、 F$ 中，顺序较为恰当的是（）

(1)平行 (2)垂直 (3)相交 (4)斜交.


选项：
A.(1)(2)(3)(4)
B.(1)(4)(2)(3)
C.(1)(3)(2)(4)
D.(2)(1)(3)(4)
答案：C
解析：解析: 解答: 根据两条直线的位置关系, 分析四个答案中的要素之间关系, (1)(3)均为逻辑关系, (2)4)是从属关系. 故选 C.

分析: 本题主要考查了结构图, 解决问题的关键是根据结构图反映的要素之间关系有: 从属关系和逻辑关系, 我们逐一判断四个答案中结构图中要素之间的关系, 即可得到答案.
题目（高三 · 解析几何）：把两条直线的位置关系填入结构图中的 $M 、 N 、 E 、 F$ 中, 顺序较为恰当的是 ( )
(1)平行
(2)垂直
(3)相交
(4)斜交.


选项：
A.(1)(2)(3)(4)
B.(1)(4)(2)(3)
C.(1)(3)(2)(4)
D.(2)(1)(3) 4
答案：C
解析：解析: 解答: 根据两条直线的位置关系, 分析四个答案中的要素之间关系, (1)(3)均为逻辑关系, (2)(4)是从属关系. 故选 C.

分析: 本题主要考查了结构图, 解决问题的关键是由于结构图反映的要素之间关系有: 从属关系和逻辑关系, 我们逐一判断四个答案中结构图中要素之间的关系, 即可得到答案
题目（高三 · 解析几何）：$\left(2 \sqrt{3} \sin 70^{\circ}-\tan 70^{\circ}\right) \sin 80^{\circ}=$
选项：
A. $\frac{1}{2}$
   B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
   C. $\sqrt{3}$
   D. 1
答案：B
解析：解三角形; 2.三角恒等变换.

14. 答案:$\frac{\sqrt{3}}{2}$

【解析】

$\because \alpha 、 \beta$ 为锐角, $\cos \alpha=\frac{1}{7}, \therefore \sin \alpha=\sqrt{1-\cos ^{2} \alpha}=\frac{4 \sqrt{3}}{7}$,

$\sin (\alpha+\beta)=\frac{5 \sqrt{3}}{14}<\sin \alpha, \therefore \alpha+\beta$ 为针角,

$\therefore \cos (\alpha+\beta)=-\sqrt{1-\sin ^{2}(\alpha+\beta)}=-\frac{11}{14}$,

$\therefore \sin \beta=\sin [(\alpha+\beta)-\alpha]=\sin (\alpha+\beta) \cos \alpha-\cos (\alpha+\beta) \sin \alpha$

$=\frac{5 \sqrt{3}}{14} \cdot \frac{1}{7}-\left(-\frac{11}{14}\right) \cdot \frac{4 \sqrt{3}}{7}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

故答案为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
题目（高三 · 解析几何）：若 $\sin (\alpha+\beta)=\frac{1}{2}, \sin (\alpha-\beta)=\frac{1}{3}$, 则 $\frac{\tan \alpha}{\tan \beta}$ 为（）
选项：
A. 5
    B. -1
    C. 6
    D. $\frac{1}{6}$
答案：A
解析：答案:A

【解析】由 $\sin (\alpha+\beta)=\frac{1}{2}, \sin (\alpha-\beta)=\frac{1}{3}$ 可知 $\sin \alpha \cos \beta+\cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{2}$,

$\sin \alpha \cos \beta-\cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{3}$. 两式联立可得:

$\sin \alpha \cos \beta=\frac{5}{12}, \cos \alpha \sin \beta=\frac{1}{12}, \therefore \frac{\tan \alpha}{\tan \beta}=5$. 故选 A.

考点: 两角和与差的正弦公式.
题目（高三 · 解析几何）：已知函数 $f(x)=|\sin x| \cdot \cos x$, 则下列说法正确的是 ( )
选项：
A. $f(x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{\pi}{2}$ 对称
    B. $f(x)$ 的周期为 $\pi$ 

​      C. 若 $\left|f\left(x_{1}\right)\right|=\left|f\left(x_{2}\right)\right|$, 则 $x^{2}=x_{2}+2 k \pi \quad(k \in Z$​ )

​      D. $f(x)$在区间[$\frac{\pi}{4}$,$\frac{3\pi}{4}$]上单调递减
答案：D
解析：答案:D

【解析】

$f(x)=|\sin x| \cdot \cos x=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{2} \sin 2 x, 2 k \pi \leq x<\pi+2 k \pi \\ -\frac{1}{2} \sin 2 x, \pi+2 k \pi \leq x<2 \pi+2 k \pi, \quad k \in Z,\end{array}\right.$, 故函数的图象关于直线 $x=k \pi$,

$k \in Z_{\text {对称, 故 A 错误; }}{ }^{f(x)}$ 的周期为 ${ }^{2 \pi}$, 故 B 错误; 函数 ${ }^{|f(x)|}$ 的周期为 ${ }^{\frac{\pi}{2}}$ 若 $\left|f\left(x_{1}\right)\right|=\left|f\left(x_{2}\right)\right|$, 则 $x_{1}=x_{2}+\frac{1}{2} k \pi \quad(k \in Z)$, 故 C 错误; ${ }^{f(x)}$ 在区间 ${ }^{\left[\frac{\pi}{4}, \frac{3 \pi}{4}\right]}$ 上单调递减, 故 D 正确; 故选 D.
题目（高三 · 解析几何）：已知 $\sin \left(\frac{\pi}{12}-\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}$, 则 $\sin \left(2 \alpha+\frac{\pi}{6}\right)=$
选项：
A. $-\frac{7}{10}$
   B. $\frac{7}{10}$
   C. $-\frac{7}{9}$
   D. $\frac{7}{9}$
答案：C
解析：答案:C

【解析】

利用倍角公式, 结合函数名的转换求解.

$\cos \left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)=1-2 \sin ^{2}\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{1}{3}$,

$\sin \left(2 \alpha+\frac{\pi}{6}\right)=\cos \left[\frac{\pi}{2}-\left(2 \alpha+\frac{\pi}{6}\right)\right]=\cos \left(\frac{\pi}{3}-2 \alpha\right)=2 \cos ^{2}\left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)-1=-\frac{7}{9}$, 故选 C.
题目（高三 · 解析几何）：如图, 在半径为 1 的扇形 $A O B$ 中 ( $O$ 为原点), $A(1,0), \angle A O B=\frac{2 \pi}{3}$. 点 $P(x$, y) 是 $A B$ 上任意一点, 则 $x y+x+y$ 的最大值为 ( )


选项：
A. $\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{2}$
B. 1
C. $\frac{3 \sqrt{3}}{4}+\frac{1}{2}$
D. $\sqrt{2}+\frac{1}{2}$
答案：D
解析：答案:D

【解析】

由题意知 $x=\cos \alpha, y=\sin \alpha, 0 \leq \alpha \leq \frac{2 \pi}{3}$,

则 $\mathrm{xy}+\mathrm{x}+\mathrm{y}=\sin \alpha \cos \alpha+\sin \alpha+\cos \alpha$,

设 $\mathrm{t}=\sin \alpha+\cos \alpha$, 则 $\mathrm{t}^{2}=1+2 \sin \alpha \cos \alpha$,

即 $\sin \alpha \cos \alpha=\frac{t^{2}-1}{2}$,

则 $\mathrm{xy}+\mathrm{x}+\mathrm{y}=\sin \alpha \cos \alpha+\sin \alpha+\cos \alpha=\frac{t^{2}-1}{2}+\mathrm{t}=\frac{1}{2}(t+1)^{2}-1$

$\mathrm{t}=\sin \alpha+\cos \alpha=\sqrt{2} \sin \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)$,

$\because 0 \leq \alpha \leq \frac{2 \pi}{3}, \therefore \frac{\pi}{4} \leq \alpha+\frac{\pi}{4} \leq \frac{11 \pi}{12}$,

$\therefore \frac{\sqrt{3}-1}{2} \leq t \leq \sqrt{2}$.

$\therefore$ 当 $\mathrm{t}=\sqrt{2}$ 时, $x \mathrm{y}+\mathrm{x}+\mathrm{y}$ 取得最大值为: $\sqrt{2}+\frac{1}{2}$.

故选: D.
题目（高三 · 解析几何）：若 $\tan \alpha=3 \tan \frac{\pi}{7}$, 则 $\frac{\sin \left(\alpha-\frac{\pi}{7}\right)}{\cos \left(\alpha-\frac{5 \pi}{14}\right)}=(\quad)$
选项：
A. 1
   B. $\frac{1}{2}$
   C. $\frac{1}{3}$
   D. $\frac{1}{4}$
答案：B
解析：答案:B

【解析】 $\frac{\sin \left(\alpha-\frac{\pi}{7}\right)}{\cos \left(\alpha-\frac{5 \pi}{14}\right)}=\frac{\sin \alpha \cos \frac{\pi}{7}-\cos \alpha \sin \frac{\pi}{7}}{\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{7}-\frac{\pi}{2}\right)}=\frac{\sin \alpha \cos \frac{\pi}{7}-\cos \alpha \sin \frac{\pi}{7}}{\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{7}\right)}$

$=\frac{\sin \alpha \cos \frac{\pi}{7}-\cos \alpha \sin \frac{\pi}{7}}{\sin \alpha \cos \frac{\pi}{7}+\cos \alpha \sin \frac{\pi}{7}}=\frac{\tan \alpha-\tan \frac{\pi}{7}}{\tan \alpha+\tan \frac{\pi}{7}}=\frac{2 \tan \frac{\pi}{7}}{4 \tan \frac{\pi}{7}}=\frac{1}{2}$, 故选 B.
题目（高三 · 解析几何）：已知双曲线的渐近线为 $y= \pm \sqrt{3} x$, 焦点坐标为 $(-4,0),(4,0)$, 则双曲线方程为 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1$
B. $\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$
C. $\frac{x^{2}}{24}-\frac{y^{2}}{8}=1$
D. $\frac{x^{2}}{8}-\frac{y^{2}}{24}=1$
答案：A
题目（高三 · 解析几何）：已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的右顶点为 $A$, 以 $A$ 为圆心, $b$ 为半径作圆 $A$, 圆 $A$ 与双曲线 $C$ 的一条渐近线交于 $M, N$ 两点. 若 $\angle M A N=60^{\circ}$, 则双曲线 $C$ 的离心率为 ( )
选项：
A. $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
B. $\frac{3}{2} \sqrt{2}$
C. $\sqrt{3}$
D. 2
答案：A
题目（高三 · 解析几何）：已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$, 以 $\left|F_{1} F_{2}\right|$ 为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为 $(1,2)$, 则此双曲线为 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{x^{2}}{4}-y^{2}=1$
B. $x^{2}-\frac{y^{2}}{4}=1$
C. $\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$
D. $x^{2}-\frac{y^{2}}{2}=1$
答案：B
题目（高三 · 解析几何）：双曲线 $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{8}=1$ 实轴和虚轴长分别是 ( )
选项：
A. $8 、 4 \sqrt{2}$
B. $8 、 2 \sqrt{2}$
C. $4 、 4 \sqrt{2}$
D. $4 、 2 \sqrt{2}$
答案：A
题目（高三 · 解析几何）：与曲线 $\frac{x^{2}}{24}+\frac{y^{2}}{49}=1$ 共焦点, 而与曲线 $\frac{x^{2}}{36}-\frac{y^{2}}{64}=1$ 共渐近线的双曲线方程为( )
选项：
A. $\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{9}=1$
B. $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$
C. $\frac{y^{2}}{9}-\frac{x^{2}}{16}=1$
D. $\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1$
答案：A
题目（高三 · 解析几何）：已知双曲线 $C: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ 的离心率为 2 , 则双曲线 $C$ 的渐近线方程为 ( )
选项：
A. $y= \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$
B. $y= \pm \sqrt{3} x$
C. $y= \pm 2 x$
D. $y= \pm \sqrt{5} x$
答案：B
题目（高三 · 解析几何）：双曲线 $\frac{x^{2}}{6}-\frac{y^{2}}{3}=1$ 的渐近线与圆 $(x-3)^{2}+y^{2}=r^{2}(r>0)$ 相切, 则 $r$ 等于 $(\quad)$
选项：
A. $\sqrt{3}$
B. 2
C. 3
D. 6
答案：A
题目（高三 · 解析几何）：已知双曲线的顶点为椭圆 $x^{2}+\frac{y^{2}}{2}=1$ 长轴的端点, 且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于 1 , 则双曲线的方程是
选项：
A. $x^{2}-y^{2}=1$
B. $y^{2}-x^{2}=1$
C. $x^{2}-y^{2}=2$
D. $y^{2}-x^{2}=2$
答案：D
题目（高三 · 解析几何）：已知 $P$ 是双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 上的点, $F_{1}, F_{2}$ 是其焦点, 双曲线的离心率是 $\frac{5}{4}$, 且 $\overrightarrow{P F_{1}} \cdot \overrightarrow{P F_{2}}=0$, 若 $\triangle P F_{1} F_{2}$ 的面积为 9 , 则 $a+b$ 的值为 $(\quad)$
选项：
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
答案：C
题目（高三 · 解析几何）：已知双曲线 $\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$, 其中一条渐近线方程为 $y=x$, 点 $P$ $\left(\sqrt{3}, y_{0}\right)$ 在该双曲线上, 则 $\overrightarrow{P F} \cdot 1 \cdot \overrightarrow{P F}$ 等于 $(\quad)$
选项：
A. -12
B. -2
C. 0
D. 4
答案：C
题目（高三 · 解析几何）：已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$ 的两条渐近线均和圆 $C: x^{2}+y^{2}-6 x+5=0$ 相切, 且双曲线的右焦点为圆 $C$ 的圆心，则该双曲线的方程为( )
选项：
A. $\frac{x^{2}}{5}-\frac{y^{2}}{4}=1$
B. $\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{5}=1$
C. $\frac{x^{2}}{3}-\frac{y^{2}}{6}=1$
D. $\frac{x^{2}}{6}-\frac{y^{2}}{3}=1$
答案：A
题目（高三 · 解析几何）：已知 $z_{1}, z_{2} \in C,\left|z_{1}+z_{2}\right|=2 \sqrt{2},\left|z_{1}\right|=\sqrt{3},\left|z_{2}\right|=\sqrt{2}$, 则 $\left|z_{1}-z_{2}\right|=$ ( )
选项：
A. 1
B. $\frac{1}{2}$
C. 2
D. $\sqrt{2}$
答案：D
解析：本题可用特值法, 不妨设 $z_{1}=\sqrt{3}, z_{2}=\sqrt{2}(\cos 	heta+i \sin 	heta), 	heta \in[0,2 \pi)$,由于 $\left|z_{1}+z_{2}ight|=2 \sqrt{2}$, 可得 $\sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{2} \cos 	heta)^{2}+(\sqrt{2} \sin 	heta)^{2}}=2 \sqrt{2}$,解得 $\cos 	heta=rac{\sqrt{6}}{4}$,则 $\left|z_{1}-z_{2}ight|=\sqrt{(\sqrt{3}-\sqrt{2} \cos 	heta)^{2}+(\sqrt{2} \sin 	heta)^{2}}=\sqrt{5-6 \cos 	heta}=\sqrt{2}$, 故选 D.
题目（高三 · 解析几何）：在复平面内, 复数 $\omega=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} i$ 对应的向量为 $\overrightarrow{O A}$, 复数 $\omega^{2}$ 对应的向量为 $\overrightarrow{O B}$. 那么向量 $\overrightarrow{A B}$ 对应的复数是 ( )
选项：
A. 1 B. -1 C. $\sqrt{3 i}$ D. $-\sqrt{3} i$
答案：D
解析：$\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}=\omega^{2}-\omega=\left(-rac{1}{2}+rac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i}ight)^{2}-\left(-rac{1}{2}+rac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i}ight)$$=-rac{1}{2}-rac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i}+rac{1}{2}-rac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i}=-\sqrt{3} \mathrm{i}$, 故选 D
题目（高三 · 解析几何）：在平行四边形 $A B C D$ 中, 若 $A, C$ 对应的复数分别为 $-1+i$ 和 $-4-3 i$, 则该平行四边形的对角线 $A C$ 的长度为 ( )
选项：
A. $\sqrt{5}$ B. 5
C. $2 \sqrt{5}$ D. 10
答案：B
解析：依题意, $\overrightarrow{A C}_{	ext {对应的复数为 }}^{(-4-3 i)-(-1+i)}=-3-4 \mathrm{i}$,因此 $A C$ 的长度为 $|-3-4 \mathrm{i}|=5$, 故选 $\mathrm{B}$.
题目（高三 · 解析几何）：设复数 $z$ 满足 $|z-3+4 i|=|z+3-4 i|$, 则复数 $z$ 在复平面上对应的点的轨迹是
选项：
A. 圆 B. 半圆 C. 直线 D. 射线
答案：C
解析：因为复数 $z$ 满足 $|z-3+4 i|=|z+3-4 i|$,复数 $z$ 的几何意义是复平面内到点 $(3,-4),(-3,4)$ 距离相等的点的轨迹,是两点连线的中垂线, 故选 C.
题目（高三 · 解析几何）：若函数 $f(x)=k x-\ln x$ 在区间 $(1,+\infty)$ 上单调递增, 则实数 $k$ 的取值范围是 ( )
选项：
A. $(-\infty,-2]$
B. $(-\infty,-1]$
C. $[2,+\infty)$
D. $[1,+\infty)$
答案：D
解析：解析： $f^{\prime}(x)=k-\frac{1}{x}, \because$ 函数 $f(x)=k x-\ln x$ 在区间 $(1,+\infty)$ 单调递增, $\therefore f^{\prime}(x) \geq 0$ 在区间 $(1,+\infty)$上恒成立. $\therefore k \geq \frac{1}{x}$, 而 $y=\frac{1}{x}$ 在区间 $(1,+\infty)$ 上单调递减, $\therefore k \geq 1 . \therefore k$ 的取值范围是 $[1,+\infty)$. 故选 D.
题目（高三 · 解析几何）：已知直线 $y=2 x$ 与曲线 $f(x)=\ln (a x+b)$ 相切, 则 $a b$ 的最大值为 ( )
选项：
A. $\frac{e}{4}$
B. $\frac{e}{2}$
C. $e$
D. $2 e$
答案：C
题目（高三 · 解析几何）：已知函数 $f(x)=2 \sin x-a x+1$ 的图象在点 0,1 处的切线方程为 $y=x+1$, 则 $a=(\quad)$
选项：
A. 0
B. 1
C. -1
D. -2
答案：B
题目（高三 · 解析几何）：若函数 $f(x)=a x-\ln x$ 在 $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 处取得极值, 则实数 $a$ 的值为 ( )
选项：
A. $\sqrt{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. 2
D. $\frac{1}{2}$
答案：A
解析：解析：当 $a \leq 0$ 时, $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 递减不合题意, $\therefore a>0$.

$\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=\mathrm{a}-\frac{1}{\mathrm{x}}(\mathrm{x}>0)$,

令 $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=0$, 即 $\mathrm{a}-\frac{1}{x}=0$, 得 $\mathrm{x}=\frac{1}{a}$. 当 $\mathrm{x} \in\left(0, \frac{1}{a}\right)$ 时, $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})<0, \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 递减;

当 $\mathrm{x} \in\left(\frac{1}{a},+\infty\right)$ 时, $\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})>0, \mathrm{f}(\mathrm{x})$ 递增.

$\therefore$ 当 $\mathrm{x}=\frac{1}{a}$ 时, $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 取得极小值, $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 无极大值.

$\therefore \frac{1}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 即 $\mathrm{a}=\sqrt{2}$.

故答案为: A
题目（高三 · 解析几何）：拖物线 $x^{2}=4 y$ 上一点 $A$ 的纵坐标为 4 , 则点 $A$ 与抛物线焦点的距离为 ( )
选项：
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
答案：D
题目（高三 · 解析几何）：已知直线 $y=k(x+2)(k>0)$ 与抛物线 $\mathrm{C}: y^{2}=8 x$ 相交 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 两点, $\mathrm{F}$ 为 $\mathrm{C}$ 的焦点. 若 $|F A|=2|F B|$,则 $\mathrm{k}=$
选项：
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{3}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$
答案：D
题目（高三 · 解析几何）：已知抛物线 $C: y^{2}=8 x$ 的焦点为 $F$, 准线为 $1, P$ 是 1 上一点, $Q$ 是直线 $P F$ 与 $C$ 的一个交点, 若 $\overrightarrow{F P}=4 \overrightarrow{F Q}$, 则 $|Q F|=($
选项：
A. $\frac{7}{2}$
B. $\frac{5}{2}$
C. 3
D. 2
答案：C
题目（高三 · 解析几何）：抛物线 $y=x^{2}$ 上一点到直线 $2 x-y-4=0$ 的距离最短的点的坐标是 ( )
选项：
A. $(1,1)$
B. $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)$
C. $\left(\frac{3}{2}, \frac{9}{4}\right)$
D. $(2,4)$
答案：A
题目（高三 · 解析几何）：已知抛物线的方程为 $y^{2}=4 x$, 过其焦点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $A, B$ 两点, 若 $S_{\triangle A O F}=S_{\triangle B O F}$ $(O$ 为坐标原点), 则 $|A B|=(\quad)$
选项：
A. $\frac{16}{3}$
B. $\frac{8}{3}$
C. $\frac{4}{3}$
D. 4
答案：A
题目（高三 · 解析几何）：抛物线 $y=4 x^{2}$ 的焦点坐标为 ( )
选项：
A. $(0,1)$
B. $(1,0)$
C. $\left(0, \frac{1}{16}\right)$
D. $\left(\frac{1}{16}, 0\right)$
答案：C
题目（高三 · 解析几何）：顶点在原点, 经过圆 $C: x^{2}+y^{2}-2 x+2 \sqrt{2} y=0$ 的圆心, 且准线与 $x$ 轴垂直的抛物线方程为 ( )
选项：
A. $y^{2}=-2 x$
B. $y^{2}=2 x$
C. $y=\sqrt{2} x^{2}$
D. $y=-\sqrt{2} x^{2}$
答案：B
题目（高三 · 解析几何）：过抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点作直线 $l$ 交抛物线于 $A, B$ 两点, 若线段 $A B$ 中点的横坐标为 3 ,则 $|A B|$ 等于（ ）
选项：
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
答案：D
题目（高三 · 解析几何）：$O$ 为坐标原点, $F$ 为抛物线 $C: y^{2}=4 x$ 的焦点, $P$ 为 $C$ 上一点, 若 $|P F|=4$, 则 $\triangle P O F$ 的面积为 ( )
选项：
A. $\sqrt{2}$
B. $\sqrt{3}$
C. 2
D. 3
答案：B
题目（高三 · 解析几何）：已知抛物线 $y^{2}=2 p x(p>0)$, 过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 $A 、 B$ 两点, 若线段 $A B$ 的中点的纵坐标为 2 , 则该抛物线的准线方程为 ( )
选项：
A. $x=1$
B. $x=-1$
C. $x=2$
D. $x=-2$
答案：B
题目（高三 · 解析几何）：已知直线 $l$ 过抛物线 $C$ 的焦点, 且与 $C$ 的对称轴垂直, $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点, $|A B|=12, P$ 为 $C$的准线上的一点, 则 $\triangle A B P$ 的面积为 ( )
选项：
A. 18
B. 24
C. 36
D. 48
答案：C
题目（高三 · 解析几何）：已知抛物线 $\mathrm{y}^{2}=2 \mathrm{px}(\mathrm{p}>0)$, 过其焦点且斜率为 -1 的直线交抛物线于 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点, 若线段 $\mathrm{AB}$ 的中点的横坐标为 3 , 则该抛物线的准线方程为 ( )
选项：
A. $x=1$
B. $x=2$
C. $x=-1$
D. $x=-2$
答案：C
题目（高三 · 解析几何）：已知命题 “曲线 $C$ 上的点的坐标是方程 $f(x, y)=0$ 的解” 是正确的, 则下列命题中正确的是 ( )
选项：
A. 满足方程 $f(x, y)=0$ 的点都在曲线 $C$ 上
B. 方程 $f(x, y)=0$ 是曲线 $C$ 的方程
C. 方程 $f(x, y)=0$ 所表示的曲线不一定是 $C$
D. 以上说法都正确
答案：C
题目（高三 · 解析几何）：方程 $\left(x^{2}-4\right)\left(y^{2}-4\right)=0$ 表示的图形是 ( )
选项：
A. 两条直线
B. 四条直线
C. 两个点
D. 四个点
答案：B
题目（高三 · 解析几何）：方程 $\left(x^{2}-4\right)^{2}+\left(y^{2}-4\right)^{2}=0$ 表示的图形是
选项：
A. 两个点
B. 四个点
C. 两条直线
D. 四条直线
答案：B
题目（高三 · 解析几何）：已知 $A(-1,0), B(1,0), C$ 为平面内的一动点, 且满足 $|A C|=\sqrt{2}|B C|$, 则点 $C$ 的轨迹方程为 (
选项：
A. $x^{2}+y^{2}+6 x+1=0$
B. $x^{2}+y^{2}-6 x+1=0$
C. $x^{2}+y^{2}-\frac{10}{3} x+1=0$
D. $x^{2}+y^{2}+\frac{10}{3} x+1=0$
答案：B
题目（高三 · 解析几何）：方程 $x+|y-1|=0$ 表示的曲线是 ( )



A



B



C



D

6. 已知 $A(1,0), B(-1,0)$, 动点 $M$ 满足 $|M A|-|M B|=2$, 则点 $M$ 的轨迹方程是 ( )
选项：
A. $y=0(-1 \leq x \leq 1)$
B. $y=0(x \geq 1)$
C. $y=0(x \leq-1)$
D. $y=0(|x| \geq 1)$
答案：B
题目（高三 · 解析几何）：已知 $A(-2,0) 、 B(2,0), \triangle A B C$ 的面积为 10 , 则顶点 $C$ 的轨迹是 ( )
选项：
A. 一个点
B. 两个点
C. 一条直线
D. 两条直线
答案：D
题目（高三 · 解析几何）：离心率为 $\frac{2}{3}$, 长轴长为 6 的椭圆的标准方程是 ( )
选项：
A. $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$
B. $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$ 或 $\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{9}=1$
C. $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{20}=1$
D. $\frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{20}=1$ 或 $\frac{x^{2}}{20}+\frac{y^{2}}{36}=1$
答案：B
题目（高三 · 解析几何）：防圆 $m x^{2}+n y^{2}=1$ 与直线 $y=1-x$ 交于 $M, N$ 两点, 过原点与线段 $M N$ 中点所在直线的斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$,则 $\frac{m}{n}$ 的值是 ( )
选项：
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
B. $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
C. $\frac{9 \sqrt{2}}{2}$
D. $\frac{2 \sqrt{3}}{27}$
答案：A
题目（高三 · 解析几何）：已知椭圆 $\frac{x^{2}}{10-m}+\frac{y^{2}}{m-2}=1$ 的长轴在 $y$ 轴上, 且焦距为 4 , 则 $m$ 等于（）
选项：
A. 4
B. 5
C. 7
D. 8
答案：D
题目（高三 · 解析几何）：直线 $l: 2 x-y+2=0$ 过椭圆左焦点 $F_{1}$ 和一个顶点 $B$, 则该椭圆的离心率为 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{1}{5}$
B. $\frac{2}{5}$
C. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
D. $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
答案：C
题目（高三 · 解析几何）：粗圆 $\mathrm{x}^{2}+m \mathrm{~m}^{2}=1$ 的焦点在 $\mathrm{y}$ 轴上, 长轴长是短轴长的两倍, 则 $\mathrm{m}$ 的值为 ( )
选项：
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{2}$
C. 2
D. 4
答案：A
题目（高三 · 解析几何）：中心在原点, 焦点在 $x$ 轴上, 长轴长为 18 , 且两个焦点恰好将长轴三等分的粗圆, 的方程是 ( )
选项：
A. $\frac{x^{2}}{81}+\frac{y^{2}}{45}=1$
B. $\frac{x^{2}}{81}+\frac{y^{2}}{9}=1$
C. $\frac{x^{2}}{81}+\frac{y^{2}}{72}=1$
D. $\frac{x^{2}}{81}+\frac{y^{2}}{36}=1$
答案：C
题目（高三 · 解析几何）：过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点 $F_{1}$ 作 $X$ 轴的垂线交椭圆于点 $P, F_{2}$ 为右焦点,若 $\angle F_{1} P F_{2}=60^{\circ}$, 则粗圆的离心率为 ( )
选项：
A. $\frac{\sqrt{5}}{2}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
答案：D
题目（高三 · 解析几何）：已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆的左, 右焦点, 现以 $F_{2}$ 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$, 若过 $F_{1}$ 的直线 $M F_{1}$ 是圆 $F_{2}$ 的切线，则椭圆的离心率为（）
选项：
A. $\sqrt{3}-1$
B. $2-\sqrt{3}$
C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
答案：A
题目（高三 · 解析几何）：设 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ 的两个焦点, 点 $P$ 在椭圆上, 若线段 $P F_{1}$ 的中点在 $y$ 轴上, 则 $\frac{\left|P F_{2}\right|}{\left|P F_{1}\right|}$的值为 ( )
选项：
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{5}$
C. $\frac{1}{7}$
D. $\frac{1}{9}$
答案：C