eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（九年级 · 度量几何学）：如图。矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C 、 B D$ 相交于点 $O$, 过点 $O$ 作 $O E \perp A C$ 交 $A B$ 于 $E$, 若 $B C=4, \triangle A O E$的面积为 5 , 则 $\sin \angle \mathrm{BOE}$ 的值为 \$ \qquad \$


选项：
答案：$\frac{3}{\frac{3}{5}}$
解析：如图, 过点 $\mathrm{O}$ 作 $\mathrm{OH} \perp \mathrm{AE}$ 于点 $\mathrm{H}$, 连接 $\mathrm{CE}$ 。



$\because$ 矩形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\mathrm{AO}=\mathrm{BO}, \mathrm{AB} \perp \mathrm{BC}, \mathrm{BC}=4$,

$\therefore$ 由三角形的中位线定理, 得 $\mathrm{OH}=2$ 。

$\because \triangle \mathrm{AOE}$ 的面积为 $5, \therefore \mathrm{AE}=5$ 。

$\because \mathrm{AO}=\mathrm{OC}, \mathrm{OE} \perp \mathrm{AC}$, 即 $\mathrm{EO}$ 是 $\mathrm{AC}$ 的垂直平分线, $\therefore \mathrm{CE}=\mathrm{AE}=5$ 。

在 Rt $\triangle \mathrm{EBC}$ 中, $\mathrm{BC}=4, \mathrm{CE}=" 5$," 由勾股定理得 $\mathrm{EB}=3$ 。

$\because \mathrm{OE} \perp \mathrm{AC}, \mathrm{AB} \perp \mathrm{BC}$, 即 $\angle \mathrm{EBC}=\angle \mathrm{EOC}=90^{\circ}$,

$\therefore$ 点 $\mathrm{O}, \mathrm{C}, \mathrm{B}, \mathrm{E}$ 在以 $\mathrm{CE}$ 为直径的圆上, $\therefore \angle \mathrm{BOE}=\angle \mathrm{BCE} 。 \therefore \sin \angle \mathrm{BOE}=\sin \angle \mathrm{BCE}=\frac{\mathrm{EB}}{\mathrm{CE}}=\frac{3}{5^{\circ}}$
题目（九年级 · 度量几何学）：若 $\sin \alpha+\cos \alpha=\frac{5}{3}, \angle \alpha$ 为锐角, 则 $\sin \alpha \cdot \cos \alpha$ 的值是
选项：
答案：$\frac{8}{9}$
解析：$\because \sin \mathrm{A}+\cos \mathrm{A}=\frac{5}{3}$,
$\therefore \sin ^{2} \mathrm{~A}+\cos ^{2} \mathrm{~A}+2 \sin \mathrm{A} \cos \mathrm{A}=\frac{25}{9}$, 即 $1+2 \sin \mathrm{A} \cos \mathrm{A}=\frac{25}{9}$ ，

$\therefore \sin A \cos A=\frac{8}{9}$. 故答案为 $\frac{8}{9}$
题目（九年级 · 度量几何学）：如图,点$A、B、C$都在$odotO$上,若$angleC=35^{circ}$,则$angleAOB$的度数是$qquad$度.
选项：
答案：70
解析：70
题目（九年级 · 度量几何学）：如图,$AB$是$odotO$的弦,$AB=8,P$是$odotO$上一点(不与点$A,B$重合),过点$O$作$OCperpAP$于点$C$,$ODperpPB$于点$D$,则$CD$的长为
选项：
答案：4
解析：$becauseOCperpAP,ODperpPB$,$therefore$由垂径定理,得$AC=PC,PD=BD$,$thereforeCD$是$trianglePAB$的中位线,$thereforeCD=frac{1}{2}AB=frac{1}{2}times8=4$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图所示,$A、B、C、D$是圆上的点,$angle1=68^{circ},angleA=40^{circ}$.则$angleD=$
选项：
答案：$28^{circ}$
解析：$28^{circ}$
题目（九年级 · 度量几何学）：工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口,假设钢珠的直径是$10{~mm}$,测得钢珠顶端离零件表面的距离为$8{~mm}$,如图所示,则这个小圆孔的宽口$AB$的长度为${mm}$.
选项：
答案：8
解析：8
题目（九年级 · 度量几何学）：在半径为$5{~cm}$的$odotO$中,如果弦$CD=8{~cm}$,直径$ABperpCD$,垂足为点$E$,则$AE$的长为${cm}$.
选项：
答案：2或8
解析：2或8
题目（九年级 · 度量几何学）：如图所示,菱形$ABCD$的边长是13,点$O$是两条对角线的交点,且$OB=12$.约定:三角形三边上的任意一点到圆上的任意一点距离的最小值叫做三角形与圆的距离.依据这个约定,可知当$odotC$的半径是时,$triangleABD$与$odotC$的距离为3.
选项：
答案：2或16
解析：2或16
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle B A C=90^{\circ}, A B=6, \sin C=\frac{3}{5}$, 以点 $A$ 为圆心, $A B$ 长为半径作弧交 $A C$ 于点 $M$, 分别以点 $B, M$ 为圆心, 以大于 $\frac{1}{2} B M$ 长为半径作弧, 两弧相交于点 $N$, 射线 $A N$ 与 $B C$ 相交于点 $D$, 则 $A D$ 的长为 \$ \qquad \$
选项：
答案：$\frac{24 \sqrt{2}}{7}$
解析：如图, 过 $D$ 作 $D E \perp A B$ 于 $E, D F \perp A C$ 于 $F$,

由题可得, $A D$ 平分 $\angle B A C, \angle B A C=90^{\circ}$,

$\therefore$ 四边形 $A E D F$ 是正方形,

$\therefore D E=D F, \angle B A D=45^{\circ}=\angle A D E$,

$\therefore A E=D E=A F=D F$,

$\because \angle B A C=90^{\circ}, A B=6, \sin C=\frac{3}{5}$,

$\therefore B C=10, A C=8$,

设 $A E=D E=A F=D F=x$, 则 $B E=6-x, C F=8-x$,



$\because \angle B=\angle F D C, \angle B D E=\angle C$,

$\therefore \triangle B D E \sim \triangle D C F$,

$\therefore \frac{B E}{D F}=\frac{E D}{F C}$, 即 $\frac{6-x}{x}=\frac{x}{8-x}$,

解得 $x=\frac{24}{7}$,

$\therefore A E=\frac{24}{7}$,

$\therefore$ Rt $\triangle A D E$ 中, $A D=\sqrt{2} A E=\frac{24 \sqrt{2}}{7}$,

故答案为: $\frac{24 \sqrt{2}}{7}$.
题目（九年级 · 度量几何学）：若锐角 $\alpha$ 满足 $\sin \alpha \geq \cos \alpha$, 则 $\alpha$ 的取值范围是
选项：
答案：$45^{\circ} \leq \alpha<90^{\circ}$
解析：$\because \cos \alpha=\sin \left(90^{\circ}-\alpha\right)$, 且 $\sin \alpha$ 随 $\alpha$ 的增大而增大,

$\therefore$ 由 $\sin \alpha \geq \cos \alpha$, 即 $\sin \alpha \geq \sin \left(90^{\circ}-\alpha\right)$ 知 $\alpha \geq 90^{\circ}-\alpha$,

解得： $a \geq 45^{\circ}$,

又 $\alpha$ 是锐角,

$\therefore 45^{\circ} \leq \alpha<90^{\circ}$,

故答案为: $45^{\circ} \leq \alpha<90^{\circ}$.
题目（九年级 · 度量几何学）：已知 $\alpha, \beta$ 都为锐角, 若 $\cos \alpha>\cos \beta$, 则 $\alpha$ $\beta$ (填 “>” “=”或 “<”).
选项：
答案：<
解析：$\because \cos \alpha>\cos \beta, \alpha, \beta$ 是锐角, 根据锐角余弦函数值随角度增大而减小知 $\alpha<\beta$.

故答案为: $<$
题目（九年级 · 度量几何学）：小鹏学完解直角三角形知识后, 给同桌小䎦出了一道题: “如图所示, 把一张长方形卡片 $A B C D$放在每格宽度为 $12 \mathrm{~mm}$ 的横格纸中, 恰好四个顶点都在横格线上, 已知 $\alpha=36^{\circ} ，$ 则长方形卡片的周长为 $m m . "($ 精确到 $1 \mathrm{~mm})$

(参考数据: $\sin 36^{\circ} \approx 0.60, \cos 36^{\circ} \approx 0.80$, $\left.\tan 36^{\circ} \approx 0.75\right)$
选项：
答案：200
解析：作 $B E \perp l$ 于点 $E, D F \perp l$ 于点 $F$.

$$
\begin{aligned}
\because \alpha+\angle D A F= & 180^{\circ}-\angle B A D=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}, \\
& \angle A D F+\angle D A F=90^{\circ} \\
& \therefore \angle A D F=\alpha=36^{\circ} .
\end{aligned}
$$

根据题意, 得 $B E=24 \mathrm{~mm}, D F=48 \mathrm{~mm}$.



在Rt $\triangle A B E$ 中, $\sin \alpha=\frac{B E}{A B}$,

$$
\therefore A B=\frac{B E}{\sin 36^{\circ}}=\frac{24}{0.60}=40 \mathrm{~mm}
$$

在Rt $\triangle A D F$ 中, $\cos \angle A D F=\frac{D F}{A D}$,

$\therefore A D=\frac{D F}{\cos 36^{\circ}}=\frac{48}{0.80}=60 \mathrm{~mm}$.

$\therefore$ 矩形 $A B C D$ 的周长 $=2(40+60)=200 \mathrm{~mm}$.

故答案为 200 .
题目（九年级 · 度量几何学）：已知 $O$ 为 $\triangle A B C$ 的外心, $I$ 为 $\triangle A B C$ 的内心, 若 $\angle A+\angle B I C+\angle B O C=398^{\circ}$, 则 $\angle A=$度.
选项：
答案：88 或 104
解析：当 $\angle A \leq 90^{\circ}$ 时，

$\angle B I C=180^{\circ}-\angle I B C-\angle I C B=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\angle A B C+\angle A C B)=180^{\circ}-\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle A\right)=90^{\circ}+\frac{1}{2} \angle A$,

由于 $\angle A+\angle B I C+\angle B O C=398^{\circ}$,

则 $\angle A+90^{\circ}+\frac{1}{2} \angle A+2 \angle A=398^{\circ}$,

解之得 $\angle A=88^{\circ}$;

当 $\angle A$ 为钝角时,

$\angle B O C=2\left(180^{\circ}-\angle A\right)=360^{\circ}-2 \angle A$,

$\angle B I C=90^{\circ}+\frac{1}{2} \angle A$,

则 $\angle A+90^{\circ}+\frac{1}{2} \angle A+360^{\circ}-2 \angle A=398^{\circ}$,

解得 $\angle A=104^{\circ}$;

故答案为: 88 或 104
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 过 $\odot O$ 上一点 $C$ 作 $\odot O$ 的切线, 交 $\odot O$ 直径 $A B$ 的延长线于点 $D$, 若 $\angle D=40^{\circ}$, 则 $\angle A$ 的度数为 \$ \qquad \$ .


选项：
答案：$25^{\circ}$
解析：连接 $O C$,



$\because C D$ 切 $\odot O$ 于 $C$,

$\therefore O C \perp C D$,

$\therefore \angle O C D=90^{\circ}$,

$\because \angle D=40^{\circ}$,

$\therefore \angle C O D=180^{\circ}-90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$,

$\because O A=O C$,

$\therefore \angle A=\angle O C A$,

$\because \angle A+\angle O C A=\angle C O D=50^{\circ}$,

$\therefore \angle A=25^{\circ}$.

故答案为 $25^{\circ}$.
题目（九年级 · 度量几何学）：已知, Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, A C=12, B C=16$ 点 $D$ 在边 $A B$ 上, 以 $A D$ 为直径的圆, 与边 $B C$ 有公共点 $E$, 则 $A D$ 的最小值是
选项：
答案：15
解析：当 $E$ 点是切点且 $E O \perp B C$ 时, 则 $A D$ 有最小值, 如图,



$\because \angle E B O=\angle A B C, \angle O E B=\angle A C B=90^{\circ}$

$\therefore \triangle E B O \sim \triangle C B A$,

$\therefore \frac{O B}{A B}=\frac{O E}{A C}$,

$\because$ Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, A C=12, B C=16$,

$\therefore A B=20$,

设 $O A=O D=O E=m$,

$$
\therefore \frac{20-m}{20}=\frac{m}{12}
$$

解得 $m=7.5$,

$\therefore A D=2 m=15$.

$\therefore A D$ 的最小值为 15 ,

故答案为 15 .
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 圆桌面正上方的灯泡发出的光线照射桌面后, 在地面上形成阴影(圆形).已知灯泡距离地面 $2.4 m$, 桌面距离地面 $0.8 m$ (桌面厚度不计算), 若桌面的面积是 $1.2 m^{2}$, 则地面上的阴影面积是 $m^{2}$.


选项：
答案：2.7
解析：如图设 $C, D$ 分别是桌面和其地面影子的圆心, $C B / / A D$,



$\therefore \triangle O B C \backsim \triangle O A D$,

$\therefore \frac{S_{\text {帛而 }}}{S_{\text {朋陟 }}}=\frac{O C^{2}}{O D^{2}}$, 而 $O D=2.4, C D=0.8$,

$\therefore O C=O D-C D=1.6$,

$\therefore S_{\text {阴影 }}=2.7 m^{2}$,

这样地面上阴影部分的面积为 $2.7 m^{2}$,

故答案为 2.7 .
题目（九年级 · 度量几何学）：求三角形的三条中位线所围成的三角形与原三角形的面积之比为:
选项：
答案：$1:4$
解析：$1:4$
题目（九年级 · 度量几何学）：如图,四边形$ABCD$与四边形$EFGH$位似,其位似中心为点$O$,且$frac{OE}{EA}=frac{4}{3}$,则$frac{FG}{BC}=$
选项：
答案：$frac{4}{7}$
解析：$because$四边形$ABCD$与四边形$EFGH$位似,$thereforetriangleOEFsimtriangleOAB,triangleOFGbacksimtriangleOBC$,$thereforefrac{OF}{OB}=frac{OE}{OA}=frac{4}{7},quadthereforefrac{FG}{BC}=frac{OF}{OB}=frac{4}{7}$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图所示,$triangleABCsimtriangleAED,AD=5{~cm},BD=6{~cm},AC=9{~cm}$,则$AE=$${cm},triangleABC$与$triangleAED$的相似比是
选项：
答案：$frac{55}{9},frac{9}{5}$;
解析：$frac{55}{9},frac{9}{5}$;
题目（九年级 · 解析几何）：已知二次函数 $y=-x^{2}+10 x-21$, 当 $6 \leq x \leq 12$ 时，函数的最大值是 $\qquad$ .

选项：
答案： 3


解析：先求出二次函数的对称轴为 $x=5$, 且 $-1<0$, 可得该函数图象开口向下,从而得到当 $6 \leq x \leq 12$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小, 故得到当 $x=6$ 时, 函数有最大值, 即可求解.

【详解】解: $\because y=-x^{2}+10 x-21=-(x-5)^{2}+4$

$\therefore$ 二次函数的对称轴为 $x=5$,

$\because-1<0$ ，

$\therefore$ 该函数图象开口向下，

$\because 6 \leq x \leq 12$,

$\therefore$ 此时图象位于对称轴的右边,

$\therefore$ 此时 $y$ 随 $x$ 的增大而减小，

$\therefore$ 当 $x=6$ 时, 函数有最大值, 则最大值为

$y=-(6-5)^{2}+4=3$,

故答案为: 3 .

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质, 熟练掌握二次函数的图象和性质, 并会利用数形结合的思想是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：如图，抛物线 $y=-x^{2}+4 x$ 上有一点 $B(1,3)$, 点 $B$ 与点 $C$ 关于抛物线的对称轴对称. 过点 $B$ 作直线 $B H \perp x$ 轴, 交 $x$ 轴于点 $H$. 点 $M$ 在直线 $B H$ 上运动, 点 $N$ 在 $x$ 轴正半轴上运动, 以 $C, M, N$ 为顶点的三角形为等腰直角三角形时, 点 $N$ 的坐标为 . $\qquad$

选项：
答案： (2，0）或（4，0）


解析：作辅助线构造一线三垂直模型, 利用全等的性质即可确定点 $N$ 的坐标.

【详解】解: $\because y=-x^{2}+4 x=-(x-2)^{2}+4$,

$\therefore$ 抛物线对称轴为直线 $x=2$,

$\because$ 点 $C$ 和点 $B$ 关于对称轴对称, 点 $B$ 的坐标为 $(1,3)$,

$\therefore C(3,3)$,

以点 $C 、 M 、 N$ 为顶点的三角形为等腰直角三角形时, 分三类情况讨论:

(1)以点 $M$ 为直角顶点且 $M$ 在 $x$ 轴上方时, 如图,



$\because \angle B M C+\angle H M N=90^{\circ}, \quad \angle H N M+\angle H M N=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B M C=\angle H N M$.

在 $\triangle C B M$ 和 $\triangle M H N$ 中,

$\left\{\begin{array}{c}\angle B M C=\angle H N M \\ \angle C B M=\angle M H N, \\ C M=M N\end{array}\right.$

$\therefore \triangle C B M \cong \triangle M H N(A A S)$,

$\therefore B C=M H=2, \quad B M=H N=3-2=1$,

$\therefore N(2,0)$;

(2)以点 $N$ 为直角顶点且 $N$ 在 $y$ 轴右侧时, 如图, 过点 $N$ 作 $y$ 轴的平行线, 交 $B C$ 于点 $D$, 过点 $M$ 作 $x$ 轴的平行线, 交 $D N$ 的延长线于点 $E$,



同(1)可证 $M E=D N=N H=3$,

$\therefore O N=1+3=4$,

$\therefore N(4,0)$;

(3)以 $C$ 为直角顶点时, 过点 $N$ 作 $N D \perp B C$, 交 $B C$ 的延长线于点 $D$,

同(1)可证 $D N=B C=2$,

$\because D N=B H=3$,

$\therefore$ 此种情况不成立, 不能构成等腰直角三角形;



综上可知当 $\triangle C M N$ 为等腰直角三角形时 $N$ 点坐标为 $(2 ， 0 ）$ 或 $(4,0)$.

故答案为: $(2,0)$ 或 $(4,0)$.

【点睛】本题主要考查二次函数的应用, 等腰直角三角形的性质, 全等三角形的判定与性质等知识, 关键是要会用待定系数法求拋物线的解析式, 熟练掌握等腰直角三角形的性质.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 二次函数 $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交
于 $A(-2,0), B$ 两点, 对称轴是直线 $x=1$, 下面四个结论中,

(1) $a<0$

(2)当 $x>-2$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而增大

(3) 点 $B$ 的坐标为 $(3,0)$

(4)若点 $M\left(-1, y_{1}\right), N\left(5, y_{2}\right)$ 在函数的图象上, 则 $y_{1}>y_{2}$所有正确结论的序号是 $\qquad$ .

##
选项：
答案： (1)(4)


解析：根据二次函数图象的性质即可判断.

【详解】解： $\because$ 二次函数的图象开口向下,

$\therefore a<0$, 故(1)正确;

由图象可得, 当 $x<1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而增大, 故(2)错误;

$\because$ 二次函数 $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于 $A(-2,0), B$ 两点, 对称轴是直线 $x=1$,

$\therefore$ 点 $B$ 的坐标为 $(4,0)$, 故(3)错误;

$\because$ 点 $M\left(-1, y_{1}\right), N\left(5, y_{2}\right)$ 在函数的图象上,

$\therefore y_{1}>0, y_{2}<0$

$\therefore y_{1}>y_{2}$, 故(4)正确

$\therefore$ 正确的结论是(1)(4)

故答案为: (1)(4)

【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象性质.
题目（九年级 · 解析几何）：已知点 $P\left(\frac{3}{2}, 6\right)$ 在抛物线 $y=a x^{2}$ 上, 那么 $a$ 的值为 $\qquad$ .

选项：
答案： $\frac{8}{3}$


解析：直接把点的坐标代入解析式即可求解.
【详解】解：把 $P\left(\frac{3}{2}, 6\right) 入 y=a x^{2}$,

得: $a=\frac{8}{3}$.

故答案为: $\frac{8}{3}$.

【点睛】本题考查了待定系数法确定函数关系式, 熟练掌握待定系数法确定函数关系式是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：拋物线 $y=-(x-h)^{2}+k$ 的部分图象如图所示，则此拋物线的顶点坐标是 $\qquad$




选项：
答案： $(1,4)$


解析：对称轴为直线 $x=1$, 求得 $h=1$, 把 $(0,3)$ 代入解析式, 写出函数解析式即可解答.

【详解】解: 对称轴为直线 $x=1$,

$\therefore h=1$,

把 $(0,3)$ 代入 $y=-(x-1)^{2}+k$,

$3=-1+k$

$\therefore k=4$,

$\therefore$ 抛物线的顶点坐标是 $(1,4)$.

故答案为: $(1,4)$.

【点睛】本题主要考查了抛物线的顶点式, 解答此题, 需要学生具备一定的读图能力, 难度不大.
题目（九年级 · 解析几何）：二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 若满足 $a-b+c=0$, 则其图象必经过点 $\qquad$ .

选项：
答案： $(-1,0)$

【详解】试题分析: 对于二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$, 当 $\mathrm{x}=-1$ 时, 函数值为 $\mathrm{a}-\mathrm{b}+\mathrm{c}$

由题意可得, $a-b+c=0$. 即当 $x=-1$ 时, $y=0$

所以函数图象必经过点 $(-1,0)$

考点: 二次函数图象上点的坐标特点

点评: 本题考查了二次函数图象上点的坐标特点, 函数图象上的点满足函数函数解析式

解析：-1,0)$

【详解】试题分析: 对于二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$, 当 $\mathrm{x}=-1$ 时, 函数值为 $\mathrm{a}-\mathrm{b}+\mathrm{c}$

由题意可得, $a-b+c=0$. 即当 $x=-1$ 时, $y=0$

所以函数图象必经过点 $(-1,0)$

考点: 二次函数图象上点的坐标特点

点评: 本题考查了二次函数图象上点的坐标特点, 函数图象上的点满足函数函数解析式
题目（九年级 · 解析几何）：如下图所示, 在一幅长 $80 \mathrm{~cm}$ 、宽 $50 \mathrm{~cm}$ 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边, 制成一幅矩形挂画, 设整个挂画总面积为 $y \mathrm{~cm}^{2}$, 金色纸边的宽为 $x \mathrm{~cm}$, 则 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式是 $\qquad$




选项：
答案： $y=4 x^{2}+260 x+4000$


解析：由于整个挂画为长方形, 用 $x$ 分别表示新的长方形的长和宽, 然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式.

【详解】解：由题意可得： $y=(80+2 x)(50+2 x)$

$=4 x^{2}+260 x+4000$.

故答案为: $y=4 x^{2}+260 x+4000$.

【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式, 解题的关键是根据题意, 找到所求量的等量关系, 此题主要利用了长方形的面积公式解题.
题目（九年级 · 解析几何）：已知函数 $y=x^{2}-6 x+5$ 的部分图象（如图), 满足 $y<0$ 的 $x$ 的取值范围是 $\qquad$ .




选项：
答案： $1<x<5$


解析：首先由图象可求得该抛物线与 $x$ 轴的另一个交点的横坐标, 再根据图象即可求解.

【详解】解: 由 $y=x^{2}-6 x+5$, 当 $x=0$ 时, $x^{2}-6 x+5=0$

解得: $x_{1}=1, x_{2}=5$

$\therefore$ 该拋物线与 $x$ 轴的交点的横坐标 1,5 ,

$\because$ 该抛物线的开口向上,

$\therefore$ 当 $y<0$ 时, $x$ 的取值范围是 $1<x<5$,

故答案为: $1<x<5$.

【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质, 从图象中获取相关信息是解决本题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：一名男生推铅球, 铅球行进高度 $y$ (单位: 米）关于水平距离 $x$ (单位: 米)的函数解析式是 $y=-\frac{1}{12} x^{2}+\frac{2}{3} x+\frac{5}{3}$, 则该男生铅球推出的距离是 $\qquad$米.

##
选项：
答案： 10


解析：令 $y=0$, 解一元二次方程, 解得 $\mathrm{x}$ 的值并根据问题的实际意义作出取舍即可.

【详解】解: 当 $y=0$ 时, $-\frac{1}{12} x^{2}+\frac{2}{3} x+\frac{5}{3}=0$,

解之得 $x_{1}=10, x_{2}=-2$ (不合题意, 舍去),

所以推铅球的水平距离是 10 米,

故答案为: 10 .

【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用, 明确二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：把拋物线 $y=3 x^{2}$ 向下平移 3 个单位得到抛物线的顶点坐标是 $\qquad$ .

选项：
答案： $(0,-3)$


解析：只需看顶点坐标是如何平移得到的即可.

【详解】解：原抛物线的顶点为 $(0,0)$, 向下平移 3 个单位后, 新顶点为 $(0,-3)$.

故所得抛物线的顶点坐标是 $(0,-3)$,

故答案为: $(0,-3)$.

【点睛】本题考查的知识点是二次函数的性质, 解题关键是得到原拋物线的顶点, 讨论两个二次函数的图象的平移问题.
题目（九年级 · 解析几何）：一个二次函数的解析式的二次项系数为 1 , 一次项系数为 0 , 这个二次函数的图象与 $y$ 轴的交点坐标是 $(0,1)$, 这个二次函数的解析式是 $\qquad$ .

选项：
答案： $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}+1$.


解析：根据已知条件可知 $\mathrm{a}=1, \mathrm{~b}=0, \mathrm{c}=1$, 即可求得.

【详解】设二次函数的解析式为 $\mathrm{y}=\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{bx}+\mathrm{c}(\mathrm{a} \neq 0)$,

$\because$ 二次项系数为 1 , 一次项系数为 0 , 这个二次函数图象与 $\mathrm{y}$ 轴交点坐标是 $(0,1)$,

$\therefore \mathrm{a}=1, \mathrm{~b}=0, \mathrm{c}=1$,

$\therefore$ 这个二次函数的解析式为 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}+1$.

【点睛】本题考查了二次函数待定系数法求解析式, 题目比较简单.
题目（九年级 · 解析几何）：把二次函数 $y=2 x^{2}$ 的图象先向左平移 2 个单位长度, 再向下平移 1 个单位长度,所得图象对应的函数表达式是 $\qquad$

选项：
答案： $y=2(x+2)^{2}-1$


解析：利用二次函数平移规律 “上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.

【详解】解：把二次函数 $y=2 x^{2}$ 的图象先向左平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度, 平移后的函数关系式是: $y=2(x+2)^{2}-1$.

故答案为: $y=2(x+2)^{2}-1$.

【点睛】本题考查的是二次函数的图象的平移, 熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：如果抛物线与 $x$ 轴交点的横坐标分别为 1,3, 与 $y$ 轴交点的纵坐标为 6 , 则该抛物线的函数表达式是 $\qquad$ .

选项：
答案： $y=2 x^{2}-8 x+6$


解析：先设所求拋物线是 $y=a x^{2}+b x+c$, 根据题意可知此线通过 $(3,0),(1,0),(0,6)$, 把此三组数代入解析式, 得到关于 $a 、 b 、 c$ 的方程组, 求解即可.

【详解】解: 设所求抛物线是 $y=a x^{2}+b x+c$, 根据抛物线与 $x$ 轴交点的横坐标分别为 3,1 ;与 $y$ 轴交点的纵坐标为 6 ,

得: $\left\{\begin{array}{l}a+b+c=0 \\ 9 a+3 b+c=0 \\ c=6\end{array}\right.$,

解得 $\left\{\begin{array}{l}a=2 \\ b=-8 \\ c=6\end{array}\right.$,

$\therefore$ 函数解析式是 $y=2 x^{2}-8 x+6$.

故答案为: $y=2 x^{2}-8 x+6$.

【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式, 方程组的解法, 掌握待定系数法是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：抛物线 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}-4 \mathrm{x}+3$ 的顶点及它与 $\mathrm{x}$ 轴的交点三点连线所围成的三角形面积是 . $\qquad$

选项：
答案： 1


解析：物线 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}-4 \mathrm{x}+3$ 的顶点及它与 $\mathrm{x}$ 轴的交点三点连线所围成的三角形中: 底边长为与 $\mathrm{x}$ 轴的两交点之间的距离, 高为抛物线的顶点的纵坐标的绝对值, 再利用三角形的面积公式即可求出 $\mathrm{b}$ 的值.

【详解】解：由题意可得：抛物线的顶点的纵坐标为 $\frac{4 \mathrm{ac}-\mathrm{b}^{2}}{4 \mathrm{a}}=-1$,

$\therefore$ 底边上的高为 1 ;

$\because x^{2}-4 x+3=0$, 解得 $x_{1}=1, x_{2}=3$,

$\therefore$ 抛物线与 $\mathrm{x}$ 轴的交点为 $(1,0) 、(3,0)$;

由题意得：底边长 $=\left|\mathrm{x}_{1}-\mathrm{x}_{2}\right|=2$,

$\therefore$ 抛物线 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}-4 \mathrm{x}+3$ 的顶点及它与 $\mathrm{x}$ 轴的交点三点连线所围成的三角形面积

为: $\frac{1}{2} \times 2 \times 1=1$.

故答案为: 1
题目（九年级 · 解析几何）：已知二次函数 $\mathrm{y}=(\mathrm{x}-2)^{2}-3$, 当 $\mathrm{x}$ $\qquad$时, $\mathrm{y}$ 随 $\mathrm{x}$ 的增大而减小.

选项：
答案： $<2$


解析：根据二次函数的性质,找到解析式中的 $a$ 为 1 和对称轴,由 $a$ 的值可判断出开口方向，在对称轴的两侧可以讨论函数的增减性.

【详解】解:在 $y=(x-2)^{2}-3$ 中, $a=1$,

$\because a>0$

$\therefore$ 开口向上,

由于函数的对称轴为 $x=2$,

当 $x<2$ 时, $y$ 的值随着 $x$ 的值增大而减小,

当 $x>2$ 时, $y$ 的值随着 $x$ 的值增大而增大，

故答案为: $<2$.

【点睛】本题考查了二次函数的性质,找到的 $a$ 的值和对称轴,对称轴方程是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：已知抛物线 $y=a x^{2}+b x+c$ ( $a, b, c$ 是常数), $a+b+c=0$, 下列四个结论:

(1)抛物线与 $x$ 轴一定有公共点; (2)若拋物线经过点 $(-5,0)$, 则 $4 a+b=0$; (3)若 $b=c$,则方程 $c x^{2}+b x+a=0$ 一定有根 $x=-2$; (4)点 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 在抛物线上, 若 $0<a<c$,则当 $x_{1}<x_{2}<1$ 时, $y_{1}>y_{2}$, 其中正确的是 $\qquad$ (填写序号).

##
选项：
答案： (1)(3)(4)


解析：由 $\Delta=b^{2}-4 a c=(a+c)^{2}-4 a c=(a-c)^{2} \geq 0$, 可判断(1); 由抛物线经过点 $(-5,0)$ 可得 $25 a-5 b+c=0$, 然后结合 $a+b+c=0$ 可得到 $4 a-b=0$, 可判断(2); 由 $b=c$, 则二次函数 $y=c x^{2}+b x+a$ 的对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2 c}=-\frac{1}{2}$, 可判断(3); 由题意可知, 拋物线开口向上,且 $\frac{c}{a}>1$, 则当 $x<1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小,可判断(4).
【详解】 $\because a+b+c=0$

$\therefore b=-a-c$

$\because$ 拋物线 $y=a x^{2}+b x+c(a, b, c$ 是常数 $)$

$\therefore \Delta=b^{2}-4 a c=(-a-c)^{2}-4 a c=(a-c)^{2} \geq 0$

$\therefore$ 抛物线与 $x$ 轴一定有公共点, 故(1)正确;

$\because a+b+c=0$

$\therefore c=-a-b$

$\because$ 抛物线经过点 $(-5,0)$

$\therefore 25 a-5 b+c=0$,

$\therefore$ 将 $c=-a-b$ 代入 $25 a-5 b+c=0$ 得 $25 a-5 b-a-b=0$

整理得 $4 a-b=0$, 故(2)错误;

若 $b=c$, 则二次函数 $y=c x^{2}+b x+a$ 的对称轴为直线 $x=-\frac{b}{2 c}=-\frac{1}{2}$, 且二次函数 $y=c x^{2}+b x+a$ 过点 $(1,0)$,

$\therefore$ 二次函数 $y=c x^{2}+b x+a$ 与 $x$ 轴的另外一个交点为 $(-2,0)$, 即方程 $c x^{2}+b x+a=0$ 一定有根 $x=-2$; 故(3)正确;

由题意可知, 抛物线开口向上, 且 $\frac{c}{a}>1$,

$\therefore(1,0)$ 在对称轴的左侧,

$\therefore$ 当 $x<1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小,

$\therefore$ 当 $x_{1}<x_{2}<1$ 时, $y_{1}>y_{2}$. 故(4)正确.

综上所述, 正确的有: (1)(3)4).

故答案为: (1)(3)(4).

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系, 根与系数的关系, 二次函数图象与 $x$ 轴的交点等问题, 掌握相关知识是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：请写出一条经过原点的抛物线解析式 $\qquad$ .

选项：
答案： $y=x^{2}$ (答案不唯一)


解析：已知抛物线的一般形式是: $y=a x^{2}+b x+c$, 可以先确定二次项系数, 一次项系数, 把原点的坐标代入可得常数项, 即可确定函数解析式.

【详解】解：假设函数解析式是： $y=x^{2}+c$.

把（0, $0 ）$ 代入得到: $c=0$.

即二次函数解析式是 $y=x^{2}$.

故答案为: $y=x^{2}$ (答案不唯一).

【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式. 解答本题的关键是熟练掌握拋物线的一般形式.
题目（九年级 · 解析几何）：抛物线 $y=m x^{2}+2 m x-1$ 的对称轴是 $\qquad$ .

选项：
答案： 直线 $x=-1$


解析：抛物线 $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ 的对称轴方程为: 直线 $x=-\frac{b}{2 a}$, 根据公式直接计算即可得到答案.

【详解】解：抛物线 $y=m x^{2}+2 m x-1$ 的对称轴是直线： $x=-\frac{2 m}{2 m}=-1$,故答案为: 直线 $x=-1$.

【点睛】本题考查的是二次函数的对称轴方程，掌握求解二次函数的对称轴方程是解本题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：如果将抛物线 $y=2 x^{2}$ 平移, 使平移后的抛物线顶点坐标为 $(1,2)$, 那么所得新抛物线的表达式是 $\qquad$ .

选项：
答案： $y=2(x-1)^{2}+2$.


解析：平移不改变抛物线的开口方向与开口大小, 即解析式的二次项系数不变, 根据抛物
线的顶点式可求抛物线解析式.

【详解】 $\because$ 原拋物线解析式为 $y=2 x^{2}$, 顶点坐标是 $(0,0)$, 平移后抛物线顶点坐标为 $(1,2)$, $\therefore$ 平移后的拋物线的表达式为: $y=2(x-1)^{2}+2$.

故答案为 $y=2(x-1)^{2}+2$.

【点睛】本题考查了拋物线的平移与解析式变化的关系. 关键是明确抛物线的平移实质上是顶点的平移, 能用顶点式表示平移后的拋物线解析式.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 拋物线 $y=x^{2}+a x+2$ 经过点 $P(-2,2), Q(m, n)$. 若点 $Q$ 到 $y$ 轴的距离小于 2 ,则 $n$ 的取值范围是 $\qquad$




选项：
答案： $1 \leq n<10$


解析：根据已知条件求出解析式 $y=x^{2}+2 x+2=(x+1)^{2}+1$, 可知函数最小值为 1 , 根据题意判断求解即可.

【详解】把 $P(-2,2)$ 代入解析式, 得 $2=4-2 a+2 . \therefore a=2$.

$\therefore y=x^{2}+2 x+2=(x+1)^{2}+1 . \therefore$ 顶点坐标为 $(-1,1)$.

即函数最小值为 1 .

当点 $Q$ 到 $y$ 轴的距离小于 2 时, 即 $-2<m<2$,

函数可以取得最小值为 1 .

当 $x=-2$ 时, $y=2$. 当 $x=2$ 时, $y=10$.

$\therefore n$ 的取值范围为 $1 \leq n<10$,

故答案为: $1 \leq \mathrm{n}<10$.



【点睛】本题主要考查了二次函数最值问题, 找出顶点坐标, 根据题意进行最值分析是本题的基本思路.
题目（九年级 · 解析几何）：已知抛物线 $y=x^{2}$ 与直线 $y=(k+2) x+1-2 k$ 的两个不同交点分别为 $A\left(x_{1}, y_{1}\right)$, $B\left(x_{2}, y_{2}\right)$. 若 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 均为整数, 则实数 $k$ 的值为 $\qquad$ .

##
选项：
答案： 2


解析：先联立两个函数的解析式可得 $x^{2}-(k+2) x-1+2 k=0$, 再根据一元二次方程的根与系数的关系可得 $x_{1}+x_{2}=k+2, x_{1} \cdot x_{2}=2 k-1$, 从而可得 $\left(x_{1}-2\right)\left(x_{2}-2\right)=-1$, 然后根据 $x_{1}$和 $x_{2}$ 均为整数可求出 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 的值, 由此即可得.

【详解】解: 联立 $\left\{\begin{array}{l}y=x^{2} \\ y=(k+2) x+1-2 k\end{array}\right.$,

整理得： $x^{2}-(k+2) x-1+2 k=0$,

$\because$ 拋物线 $y=x^{2}$ 与直线 $y=(k+2) x+1-2 k$ 的两个不同交点分别为 $A\left(x_{1}, y_{1}\right), B\left(x_{2}, y_{2}\right)$,

$\therefore x_{1}$ 和 $x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2}-(k+2) x-1+2 k=0$ 的两个不相等的根.

由根与系数的关系可知, $x_{1}+x_{2}=k+2, x_{1} \cdot x_{2}=2 k-1$,

则 $x_{1} \cdot x_{2}-2 x_{1}-2 x_{2}=-5$, 即 $\left(x_{1}-2\right)\left(x_{2}-2\right)=-1$,

$\because x_{1}$ 和 $x_{2}$ 均为整数,

$\therefore x_{1}-2$ 和 $x_{2}-2$ 均为整数,

不妨设 $x_{1}<x_{2}$,

则 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}-2=-1 \\ x_{2}-2=1\end{array}\right.$,

解得 $\left\{\begin{array}{l}x_{1}=1 \\ x_{2}=3\end{array}\right.$,

所以 $k+2=1+3=4$, 即 $k=2$,
故答案为: 2 .

【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系, 熟练掌握拋物线与一元二次方程的联系是解题关键.
题目（九年级 · 解析几何）：抛物线 $y=x^{2}-2 x+3$ 的对称轴是直线 $\qquad$ .

选项：
答案： $x=1$


解析：把解析式化为顶点式可求得答案.

【详解】解: $\because y=x^{2}-2 x+3=(x-1)^{2}+2$,

$\therefore$ 对称轴是直线 $x=1$,

故答案为: $x=1$.

【点睛】本题主要考查二次函数的性质, 掌握二次函数的顶点式是解题的关键, 即在 $y=a(x-h)^{2}+k$ 中, 对称轴为 $x=h$, 顶点坐标为 $(h, k)$.
题目（九年级 · 解析几何）：已知二次函数 $y=a x^{2}-3$ 的图象经过点 $(1,-1)$, 则 $a$ 的值为 $\qquad$

选项：
答案： 2


解析：将坐标代入二次函数表达式即可求出 $a$ 的值.

【详解】解: 把 $(1,-1)$ 代入函数解析式 $y=a x^{2}-3$, 得

$-1=a-3$,

解得 $a=2$.

故答案为: 2 .

【点睛】本题考查了二次函数图象上的点, 解题的关键是掌握二次函数图象上点的坐标特征.
题目（九年级 · 解析几何）：请写出一个图像关于 $x=1$ 对称的二次函数的表达式 $\qquad$ .

选项：
答案： $y=(x-1)^{2}$, 答案不唯一


解析：当只告诉一个对称轴时, 可设二次项系数为简单数如 1 , 得出表达式 $y=(x-1)^{2}+k$,然后把点 $(1,0)$ 的坐标代入即可.

【详解】 $\because$ 图像是关于直线 $x=1$ 对称的二次函数,

$\therefore$ 可设这个二次函数解析式为: $y=(x-1)^{2}+k$,

$\therefore$ 可取合适的点 $(1,0)$ 代入得 $k=0$,

$\therefore$ 这个二次函数解析式为: $y=(x-1)^{2}$ (答案不唯一).

故答案为: $y=(x-1)^{2}$ (答案不唯一).

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式, 熟练掌握确定待定系数的方法是解决此题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：二次函数 $y=-3(x+1)^{2}$ 的最大值为 $\qquad$ .

选项：
答案： 0


解析：根据二次函数的性质求解即可.

【详解】解：对于二次函数 $y=-3(x+1)^{2}$,

$\because-3<0$,

$\therefore$ 当 $x=-1$ 时，函数 $y$ 有最大值 0 ,

故答案为: 0 .

【点睛】本题考查二次函数的性质, 熟练掌握二次函数的性质是解答的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：若点 $A\left(-1, y_{1}\right), B\left(2, y_{2}\right)$ 在抛物线 $y=2 x^{2}$ 上, 则 $y_{1}, y_{2}$ 的大小关系为: $y_{1}$ $\qquad$ $y_{2}$ (填

">", "="或"<")。


选项：
答案： $<$


解析：分别求出 $y_{1}, y_{2}$ 的值, 再比较大小即可.

【详解】解: $\because$ 点 $A\left(-1, y_{1}\right), B\left(2, y_{2}\right)$ 在抛物线 $y=2 x^{2}$ 上,

$\therefore y_{1}=2 \times(-1)^{2}=2, \quad y_{2}=2 \times 4=8$,

$\therefore y_{1}<y_{2}$.

故答案为: $<$.

【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 隧道的截面是抛物线, 可以用 $y=-\frac{1}{8} x^{2}+5$ 表示, 该遂道内设双行道, 一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 $h$ 米, 宽为 4 米, 如果要安全通过隧道, $h$ 应满足 $\qquad$ .




选项：
答案： $0<h<3$


解析：根据 $y=-\frac{1}{8} x^{2}+5$, 对称轴为 $y$ 轴, 根据汽车宽为 4 米, 则当 $x=4$ 时, $y<3$, 即可.

【详解】 $\because y=-\frac{1}{8} x^{2}+5$, 汽车宽为 4 米,

$\therefore$ 当 $x=4$ 时, $y=3$,

$\therefore h<3$.

$\because 0<h$,

$\therefore 0<h<3$

故答案为: $0<h<3$.

【点睛】本题考查二次函数的知识, 解题的关键是掌握二次函数的图象和性质, 二次函数的对称性.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 一名学生推铅球, 铅球行进高度 $y$ (单位: m) 与水平距离 $x$ (单位: m)之间的关系是 $y=-\frac{1}{12}(x-10)(x+4)$, 则铅球推出的距离 $O A=$ $\qquad$ $\mathrm{m}$.




选项：
答案： 10


解析：点 $\mathrm{A}$ 在 $x$ 轴上, 令 $y=0$, 代入解析式即可求解.

【详解】解: 令 $y=0$, 则 $-\frac{1}{12}(x-10)(x+4)=0$, 解得: $x=10$ 或 $x=-4$ (不合题意, 舍去), $\therefore A(10,0)$,

$\therefore O A=10$,

故答案为: 10 .

【点睛】本题主要考查二次函数图像的性质, 理解题意, 掌握二次函数图像与坐标轴交点的计算方法是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 矩形 $A B C D$ 的两边长 $A B=18 \mathrm{~cm}, B C=4 \mathrm{~cm}$, 点 $M 、 N$ 分别从 $A 、 B$ 同时出发. $M$ 在边 $A B$ 上沿 $A B$ 方向以每秒 $2 \mathrm{~cm}$ 的速度匀速运动, $N$ 在边 $B C$ 上沿 $B C$ 方向以每秒 $1 \mathrm{~cm}$ 的速度的匀速运动, 当 $N$ 到达 $C$ 点时, $M 、 N$ 停止运动. 当运动时间 $t=$ $\qquad$秒时, $\triangle M B N$ 的面积最大, 最大值为 $\qquad$ $\mathrm{cm}^{2}$.



##
选项：
答案： 420


解析： $B M=18-2 t, B N=t$, 根据 $S_{\triangle M B N}=\frac{1}{2} B M \cdot B N=-\left(t-\frac{9}{2}\right)^{2}+\frac{81}{4}$, 结合 $0 \leq t \leq 4$ 得出
当 $t=4$ 时, $\triangle M B N$ 的面积最大, 且最大值为 $S_{\triangle M B N}=-\left(4-\frac{9}{2}\right)^{2}+\frac{81}{4}=20\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$.

【详解】解: $\because N$ 在边 $B C$ 上沿 $B C$ 方向以每秒 $1 \mathrm{~cm}$ 的速度的匀速运动, 当 $N$ 到达 $C$ 点时, $M 、 N$ 停止运动,

$\therefore 0 \leq t \leq 4$,

$\because M$ 在边 $A B$ 上沿 $A B$ 方向以每秒 $2 \mathrm{~cm}$ 的速度匀速运动, $N$ 在边 $B C$ 上沿 $B C$ 方向以每秒 $1 \mathrm{~cm}$的速度的匀速运动,

$\therefore B M=18-2 t, \quad B N=t$,

$\therefore S_{\triangle M B N}=\frac{1}{2} B M \cdot B N$

$=\frac{1}{2} \times t(18-2 t)$

$=-t^{2}+9 t$

$=-\left(t-\frac{9}{2}\right)^{2}+\frac{81}{4}$,

$\therefore$ 当 $t=4$ 时, $\triangle M B N$ 的面积最大, 且最大值为:

$S_{\triangle M B N}=-\left(4-\frac{9}{2}\right)^{2}+\frac{81}{4}=20\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$.

故答案为: $4 ; 20$.

【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用, 解题的关键是根据题意得出

$S_{\triangle M B N}=-\left(t-\frac{9}{2}\right)^{2}+\frac{81}{4}$.