题目（九年级 · 解析几何）：(本小题 8.0 分)

如图, 在菱形 $A B C D$ 中, $\angle D A B=60^{\circ}, A B=2$, 点 $E$ 为边 $A B$ 上一个动点, 延长 $B A$ 到点 $F$, 使 $A F=A E ，$ 且 $C F 、 D E$ 相交于点 $G$.





备用图

(1)当点 $E$ 运动到 $A B$ 中点时, 证明: 四边形 $D F E C$ 是平行四边形;

(2)当 $C G=2$ 时，求 $A E$ 的长;

(3)当点 $E$ 从点 $A$ 开始向右运动到点 $B$ 时, 求点 $G$ 运动路径的长度.
选项：
答案：解: (1)连接 $D F, C E$, 如图所示:

<ImageHere>

$\because E$ 为 $A B$ 中点,

$\therefore A E=A F=\frac{1}{2} A B$,

$\therefore E F=A B$,

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是菱形,

$\therefore E F=A B=C D, C D / / E F$,

$\therefore$ 四边形 $D F E C$ 是平行四边形.

(2)作 $C H \perp B H$, 设 $A E=F A=m$, 如图所示,

<ImageHere>

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是菱形,

$\therefore C D / / E F$,

$\therefore \triangle C D G \sim \triangle F E G$,

$\therefore \frac{C D}{C G}=\frac{E F}{F G}$,

$\therefore F G=E F=2 m$,

在Rt $\triangle C B H$ 中, $\angle C B H=60^{\circ}, B C=2$,

$\therefore \angle B C H=30^{\circ}$,

$\therefore B H=1, C H=\sqrt{3}$,

在Rt $\triangle C F H$ 中, $C F=2+2 m, C H=\sqrt{3}, F H=3+m$,

$C F^{2}=C H^{2}+F H^{2}$,

即 $(2+2 m)^{2}=(\sqrt{3})^{2}+(3+m)^{2}$,

整理得: $3 m^{2}+2 m-8=0$,

解得: $m_{1}=\frac{4}{3}, m_{2}=-2$ (舍去),

$\therefore A E=\frac{4}{3}$.

(3)因 $E$ 点沿线段 $A B$ 运动, $F$ 点沿线段 $B A$ 的延长线运动, 并且 $C D / / A B$, 线段 $E D$ 与线段 $C F$ 的交点 $G$点运动轨迹为线段 $A G$, 运动刚开始时, $A 、 E 、 F 、 G$ 四点重合, 当 $E$ 点与 $B$ 点重合时, $G$ 点运动到极限位置, 所以 $G$ 点轨迹为线段 $A G$.

如图所示, 作 $G H \perp A B$,

<ImageHere>
$\because$ 四边形 $A B C D$ 为菱形, $\angle D A B=60^{\circ}, A B=2$,

$\therefore C D / / B F, B D=2$,

$\therefore \triangle C D G \sim \triangle F B G$,

$\therefore \frac{C D}{B F}=\frac{D G}{B G}$, 即 $B G=2 D G$,

$\because B G+D G=B D=2$,

$\therefore B G=\frac{4}{3}$,

在Rt $\triangle G H B$ 中, $B G=\frac{4}{3}, \angle D B A=60^{\circ}$,

$\therefore \angle H G B=30^{\circ}$,

$\therefore B H=\frac{2}{3}, G H=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$,

在Rt $\triangle A H G$ 中, $A H=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}, G H=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$,

$A G^{2}=\left(\frac{4}{3}\right)^{2}+\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3}\right)^{2}=\frac{28}{9}$,

$\therefore A G=\frac{2 \sqrt{7}}{3}$.

$\therefore G$ 点运动路径的长度为 $\frac{2 \sqrt{7}}{3}$.

【解析】

【分析】

本题主要考查平行四边形的判定, 菱形的性质, 相似三角形的判定和性质, 含 $30^{\circ}$ 角的直角三角形的性质以及勾股定理，根据题意表示出相关线段的长度是解题的关键..

(1)利用平行四边形的判定定理: 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,

(2)作 $C H \perp B H$, 设 $A E=F A=m$, 利用三角形相似, 求出此时 $F G$ 的长, 进而表示出相关线段的长度, 再在 $R t \triangle C F H$ 中, 利用勾股定理求解即可,

(3)连接 $A G$, 作 $G H \perp A B$, 分析出点 $G$ 的运动路径是线段 $A G$, 先在 $R t \triangle G H B$ 中, 求出 $B H=\frac{2}{3}, G H=$ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$, 再在 $R t \triangle A H G$ 中, 利用勾股定理求出 $A G$ 的长度即可.
解析：解: (1)连接 $D F, C E$, 如图所示:



$\because E$ 为 $A B$ 中点,

$\therefore A E=A F=\frac{1}{2} A B$,

$\therefore E F=A B$,

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是菱形,

$\therefore E F=A B=C D, C D / / E F$,

$\therefore$ 四边形 $D F E C$ 是平行四边形.

(2)作 $C H \perp B H$, 设 $A E=F A=m$, 如图所示,



$\because$ 四边形 $A B C D$ 是菱形,

$\therefore C D / / E F$,

$\therefore \triangle C D G \sim \triangle F E G$,

$\therefore \frac{C D}{C G}=\frac{E F}{F G}$,

$\therefore F G=E F=2 m$,

在Rt $\triangle C B H$ 中, $\angle C B H=60^{\circ}, B C=2$,

$\therefore \angle B C H=30^{\circ}$,

$\therefore B H=1, C H=\sqrt{3}$,

在Rt $\triangle C F H$ 中, $C F=2+2 m, C H=\sqrt{3}, F H=3+m$,

$C F^{2}=C H^{2}+F H^{2}$,

即 $(2+2 m)^{2}=(\sqrt{3})^{2}+(3+m)^{2}$,

整理得: $3 m^{2}+2 m-8=0$,

解得: $m_{1}=\frac{4}{3}, m_{2}=-2$ (舍去),

$\therefore A E=\frac{4}{3}$.

(3)因 $E$ 点沿线段 $A B$ 运动, $F$ 点沿线段 $B A$ 的延长线运动, 并且 $C D / / A B$, 线段 $E D$ 与线段 $C F$ 的交点 $G$点运动轨迹为线段 $A G$, 运动刚开始时, $A 、 E 、 F 、 G$ 四点重合, 当 $E$ 点与 $B$ 点重合时, $G$ 点运动到极限位置, 所以 $G$ 点轨迹为线段 $A G$.

如图所示, 作 $G H \perp A B$,


$\because$ 四边形 $A B C D$ 为菱形, $\angle D A B=60^{\circ}, A B=2$,

$\therefore C D / / B F, B D=2$,

$\therefore \triangle C D G \sim \triangle F B G$,

$\therefore \frac{C D}{B F}=\frac{D G}{B G}$, 即 $B G=2 D G$,

$\because B G+D G=B D=2$,

$\therefore B G=\frac{4}{3}$,

在Rt $\triangle G H B$ 中, $B G=\frac{4}{3}, \angle D B A=60^{\circ}$,

$\therefore \angle H G B=30^{\circ}$,

$\therefore B H=\frac{2}{3}, G H=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$,

在Rt $\triangle A H G$ 中, $A H=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}, G H=\frac{2 \sqrt{3}}{3}$,

$A G^{2}=\left(\frac{4}{3}\right)^{2}+\left(\frac{2 \sqrt{3}}{3}\right)^{2}=\frac{28}{9}$,

$\therefore A G=\frac{2 \sqrt{7}}{3}$.

$\therefore G$ 点运动路径的长度为 $\frac{2 \sqrt{7}}{3}$.

【解析】

【分析】

本题主要考查平行四边形的判定, 菱形的性质, 相似三角形的判定和性质, 含 $30^{\circ}$ 角的直角三角形的性质以及勾股定理，根据题意表示出相关线段的长度是解题的关键..

(1)利用平行四边形的判定定理: 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,

(2)作 $C H \perp B H$, 设 $A E=F A=m$, 利用三角形相似, 求出此时 $F G$ 的长, 进而表示出相关线段的长度, 再在 $R t \triangle C F H$ 中, 利用勾股定理求解即可,

(3)连接 $A G$, 作 $G H \perp A B$, 分析出点 $G$ 的运动路径是线段 $A G$, 先在 $R t \triangle G H B$ 中, 求出 $B H=\frac{2}{3}, G H=$ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$, 再在 $R t \triangle A H G$ 中, 利用勾股定理求出 $A G$ 的长度即可.