题目（八年级 · 解析几何）：(15 分 ) 如图, 已知二次函数 $y=x^{2}-4 \sqrt{3} x+m$ 的图象与 $x$ 轴相交于不同的两点 $A\left(x_{1}, 0\right)$ 、 B $\left(x_{2}, 0\right)$ 且 $x_{1}<x_{2}$, 与 $y$ 轴交于点 $C$.



(1) 求 $m$ 的取值范围.

(2) 当 $\mathrm{OC}=6$ 时, 求抛物线的顶点坐标.

（3）设抛物线的顶点为 $D$, 当 $\triangle A B D$ 为等边三角形时, 求 $m$ 的值.
选项：
答案： (1) 解: $\because$ 二次函数 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}-4 \sqrt{3} \mathrm{x}+\mathrm{m}$ 的图象与 $\mathrm{x}$ 轴相交于不同的两点,

$\therefore \triangle=(-4 \sqrt{3})^{2}-4 \times 1 \times m>0$,

解得： $\mathrm{m}<12$

(2) 解: $\because \mathrm{OC}=6$,

$\therefore \mathrm{m}=6$,

$\therefore$ 二次函数解析式为 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}-4 \sqrt{3} \mathrm{x}+6$,

$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为 $\left(-\frac{-4 \sqrt{3}}{2 \times 1}, \frac{4 \times 1 \times 6-(-4 \sqrt{3})^{2}}{4 \times 1}\right)$, 即 $(2 \sqrt{3},-6)$.

(3) 解: $\because$ 二次函数 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}-4 \sqrt{3} \mathrm{x}+\mathrm{m}$ 的图象与 $\mathrm{x}$ 轴相交于点 $\mathrm{A}\left(\mathrm{x}_{1}, 0\right), \mathrm{B}\left(\mathrm{x}_{2}, 0\right)$,

$\therefore \mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}=4 \sqrt{3}, \mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}=\mathrm{m}$

$\therefore \mathrm{AB}=\mathrm{X}_{2}-\mathrm{x}_{1}=\sqrt{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}}=2 \sqrt{12-m}$.

设对称轴与 $\mathrm{x}$ 轴的交点为 $\mathrm{H}$, 如图所示.

<ImageHere>

$\because$ 二次函数解析式为 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}-4 \sqrt{3} \mathrm{x}+\mathrm{m}$,

$\therefore$ 点 D 的坐标为 $\left(-{ }^{\frac{-4 \sqrt{3}}{2 \times 1}}, \frac{4 \times 1 \times m-(-4 \sqrt{3})^{2}}{4 \times 1}-\right)$, 即 $(2 \sqrt{3}, \mathrm{~m}-12)$,

$\therefore \mathrm{DH}=12-\mathrm{m}$.

$\because \triangle \mathrm{ABD}$ 为等边三角形,

$\therefore \mathrm{DH}={ }^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \mathrm{AB}=\sqrt{36-3 m}$

$\therefore 12-\mathrm{m}=\sqrt{36-3 m}$

解得: $m_{1}=12$ (不合题意, 舍去) , $m_{2}=9$.

$\therefore$ 当 $\triangle A B D$ 为等边三角形时, $m$ 的值为 9 .
解析： (1) 解: $\because$ 二次函数 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}-4 \sqrt{3} \mathrm{x}+\mathrm{m}$ 的图象与 $\mathrm{x}$ 轴相交于不同的两点,

$\therefore \triangle=(-4 \sqrt{3})^{2}-4 \times 1 \times m>0$,

解得： $\mathrm{m}<12$

(2) 解: $\because \mathrm{OC}=6$,

$\therefore \mathrm{m}=6$,

$\therefore$ 二次函数解析式为 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}-4 \sqrt{3} \mathrm{x}+6$,

$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为 $\left(-\frac{-4 \sqrt{3}}{2 \times 1}, \frac{4 \times 1 \times 6-(-4 \sqrt{3})^{2}}{4 \times 1}\right)$, 即 $(2 \sqrt{3},-6)$.

(3) 解: $\because$ 二次函数 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}-4 \sqrt{3} \mathrm{x}+\mathrm{m}$ 的图象与 $\mathrm{x}$ 轴相交于点 $\mathrm{A}\left(\mathrm{x}_{1}, 0\right), \mathrm{B}\left(\mathrm{x}_{2}, 0\right)$,

$\therefore \mathrm{x}_{1}+\mathrm{x}_{2}=4 \sqrt{3}, \mathrm{x}_{1} \mathrm{x}_{2}=\mathrm{m}$

$\therefore \mathrm{AB}=\mathrm{X}_{2}-\mathrm{x}_{1}=\sqrt{\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-4 x_{1} x_{2}}=2 \sqrt{12-m}$.

设对称轴与 $\mathrm{x}$ 轴的交点为 $\mathrm{H}$, 如图所示.



$\because$ 二次函数解析式为 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{2}-4 \sqrt{3} \mathrm{x}+\mathrm{m}$,

$\therefore$ 点 D 的坐标为 $\left(-{ }^{\frac{-4 \sqrt{3}}{2 \times 1}}, \frac{4 \times 1 \times m-(-4 \sqrt{3})^{2}}{4 \times 1}-\right)$, 即 $(2 \sqrt{3}, \mathrm{~m}-12)$,

$\therefore \mathrm{DH}=12-\mathrm{m}$.

$\because \triangle \mathrm{ABD}$ 为等边三角形,

$\therefore \mathrm{DH}={ }^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \mathrm{AB}=\sqrt{36-3 m}$

$\therefore 12-\mathrm{m}=\sqrt{36-3 m}$

解得: $m_{1}=12$ (不合题意, 舍去) , $m_{2}=9$.

$\therefore$ 当 $\triangle A B D$ 为等边三角形时, $m$ 的值为 9 .