eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 在三棱雉 $P-A B C$ 中, 不能证明 $A P \perp B C$ 的条件是( )


选项：
$A P \perp P B, A P \perp P C$

B. $A P \perp P B, B C \perp P B$

C. 平面 $B P C \perp$ 平面 $A P C, B C \perp P C$

D. $A P \perp$ 平面 $P B C$
答案：B
解析：A 中, 因为 $A P \perp P B, A P \perp P C, P B \cap P C=P$, 所以 $A P \perp$ 平面 $P B C$, 又 $B C \subset$ 平面 $P B C$,所以 $A P \perp B C$, 故 $\mathrm{A}$ 正确;

C 中, 因为平面 $B C P \perp$ 平面 $P A C, B C \perp P C$, 所以 $B C \perp$ 平面 $A P C, A P \subset$ 平面 $A P C$, 所以 $A P \perp B C$ ，故 C 正确;

$\mathrm{D}$ 中, 由 $\mathrm{A}$ 知 $\mathrm{D}$ 正确; $\mathrm{B}$ 中条件不能判断出 $A P \perp B C$,

故选 B.

点睛：垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

(1)证明线面、面面平行, 需转化为证明线线平行.

(2)证明线面垂直, 需转化为证明线线垂直.

(3)证明线线垂直, 需转化为证明线面垂直.
题目（高一 · 立体几何学）：长方体 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 中, $A B=A D=2, A A^{\prime}=2 \sqrt{2}$, 则直线 $B D^{\prime}$ 与平面 $A B C D$ 所成角的大小
选项：
$30^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $90^{\circ}$
答案：B
解析：【分析】

连接 $B D$, 根据长方体的性质和线面角的定义可知: $\angle D B D^{\prime}$ 是直线 $B D^{\prime}$ 与平面 $A B C D$所成的角.在 $R t_{\triangle} D B D^{\prime}$ 中求 $\angle D B D^{\prime}$ 即得.

## 【详解】

连接 $B D$, 如图所示



在长方体 $A B C D-A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ 中, $D D^{\prime} \perp$ 平面 $A B C D$,

$\therefore \angle D B D^{\prime}$ 是直线 $B D^{\prime}$ 与平面 $A B C D$ 所成的角.

在 Rt $\triangle D B D^{\prime}$ 中, $D D^{\prime}=A A^{\prime}=2 \sqrt{2}, B D=\sqrt{A B^{2}+A D^{2}}=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2 \sqrt{2}$,

$\therefore \tan \angle D B D^{\prime}=\frac{D D^{\prime}}{B D}=\frac{2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}=1, \therefore \angle D B D^{\prime}=45^{\circ}$.
故选：B.

## 【点睛】

本题考查线面角, 属于基础题.
题目（高一 · 立体几何学）：已知三棱柱 $A B C-A_{1}^{P} B_{1} C_{1}$ 的侧棱与底面垂直, 体积为 $\frac{9}{4}$, 底面是边长为 $\sqrt{3}$ 的正三角形. 若 $P$ 为底面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 的中心, 则 $\mathbf{P A}$ 与平面 $\mathrm{ABC}$ 所成角的大小为
选项：
$\frac{5 \pi}{12}$
B. $\frac{\pi}{3}$
C. $\frac{\pi}{4}$
D. $\frac{\pi}{6}$
答案：B
解析：如图所示，



$\because \mathrm{AA}_{1} \perp$ 底面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}, \therefore \angle \mathrm{APA}_{1}$ 为 $\mathrm{PA}$ 与平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 所成角,

$\because$ 平面 $\mathrm{ABC} / /$ 平面 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}, \therefore \angle \mathrm{APA}_{1}$ 为 $\mathrm{PA}$ 与平面 $\mathrm{ABC}$ 所成角.

$\because S_{A_{1} B_{1} C_{1}}=\frac{\sqrt{3}}{4} \times(\sqrt{3})^{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{4}$.

$\therefore V_{\text {三棱杜 } A B C-A_{1} B_{1} C_{1}}=\mathrm{A} A_{1} \times S_{4 B_{1} B_{1}}=\frac{3 \sqrt{3}}{4} \mathrm{AA}_{1}$, 解得 $\mathrm{A} A_{1}=\sqrt{3}$.

又 $\mathrm{P}$ 为底面正三角形 $\mathrm{A}_{1} \mathrm{~B}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 的中心, $\therefore \mathrm{A}_{1} \mathrm{P}=\frac{2}{3} A_{1} D=1$,

在 Rt $\triangle \mathrm{AA}_{1} \mathrm{P}$ 中, $\tan \angle \mathrm{APA}_{1}=\frac{\mathrm{AA}}{\mathrm{A}}=\sqrt{3}$,

$\therefore \angle \mathrm{APA}_{1}=60^{\circ}$.

故选: B.

点睛: 求直线和平面所成角的关键是作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求, 有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱雉的等体积法求得垂线长, 进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值, 当空间关系较为复杂时也可以建立空间直角坐标系,
利用向量求解.
题目（高一 · 立体几何学）：已知三棱雉 $P-A B C$ 的四个顶点都在球 $O$ 的球面上, $P A \perp$ 平面 $A B C, \triangle A B C$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边三角形,若球 $O$ 的表面积为 $20 \pi$, 则直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的正切值为( )
选项：
$\frac{3}{4}$
B. $\frac{\sqrt{7}}{3}$
C. $\frac{3}{7} \sqrt{7}$
D. $\frac{\sqrt{7}}{4}$
答案：C
解析：【分析】

设 $D$ 为 $A B$ 中点, 先证明 $C D \perp$ 平面 $P A B$, 得出 $\angle C P D$ 为所求角,利用勾股定理计算 $P A, P D, C D$, 得出结论.

## 【详解】



设 $D, E$ 分别是 $A B, B C$ 的中点 $A E \cap C D=F$

$\because P A \perp$ 平面 $A B C \quad \therefore P A \perp C D$

$\because \triangle A B C$ 是等边三角形 $\quad \therefore C D \perp A B$

又 $P A \cap A B=A$

$\therefore C D \perp$ 平面 $P A B \quad \therefore \angle C P D$ 为 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成的角

$\because \triangle A B C$ 是边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边三角形

$\therefore C D=A E=3, A F=\frac{2}{3} A E=2$ 且 $F$ 为 $\triangle A B C$ 所在截面圆的圆心

$\because$ 球 $O$ 的表面积为 $20 \pi \quad \therefore$ 球 $O$ 的半径 $O A=\sqrt{5}$

$\therefore O F=\sqrt{O A^{2}-A F^{2}}=1$

$\because P A \perp$ 平面 $A B C \quad \therefore P A=2 O F=2$

$\therefore P D=\sqrt{P A^{2}+A D^{2}}=\sqrt{7}$

$\therefore \tan \angle C P D=\frac{C D}{P D}=\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3 \sqrt{7}}{7}$
本题正确选项: $C$

## 【点睛】

本题考查了棱雉与外接球的位置关系问题, 关键是能够通过垂直关系得到直线与平面所求角, 再利用球心位置来求解出线段长, 属于中档题.
题目（高一 · 立体几何学）：已知 $m, l$ 是两条不同的直线, $\alpha, \beta$ 是两个不同的平面, 下列命题中不正确的是
选项：
若 $l / / \alpha, l \perp \beta$, 则 $\alpha \perp \beta$
B. 若 $l / m, l \perp \alpha, m \perp \beta$, 则 $\alpha / / \beta$
C. 若 $l / / m, l \perp \alpha, m / / \beta$, 则 $\alpha / / \beta$
D. 若 $l \perp \alpha, m \perp \beta, \alpha / / \beta$, 则 $l / / m$
答案：C
解析：【分析】

根据空间中的平行与垂直关系，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.

## 【详解】

解: 对于 $\mathrm{A}, l / / \alpha$ 时, 过 $l$ 作平面 $\gamma \cap \alpha=n$, 则 $l / / n$; 由 $l \perp \beta$ 知 $n \perp \beta$, 所以 $\alpha \perp \beta$,故 A 正确;

对于 $\mathrm{B}$, 当 $l / / m, l \perp \alpha, m \perp \beta$ 时, 得 $l \perp \beta$ 且 $l \perp \alpha$, 所以 $\alpha / / \beta$, 故 B 正确;

对于 $\mathrm{C}$, 当 $l / / m, l \perp \alpha, m / / \beta$ 时, 则 $\alpha \perp \beta$, 所以 $\mathrm{C}$ 错误;

对于 $\mathrm{D}$, 当 $l \perp \alpha, \alpha / / \beta$ 时, $l \perp \beta$, 又 $m \perp \beta$, 所以 $l / / m, \mathrm{D}$ 正确.

故选: C.

## 【点睛】

本题考查了空间中的平行与垂直关系的判断问题, 也考查了符号语言应用问题, 是基础题.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图, 则该多面体各表面所在平面互相垂直的有



缩视国
选项：
2 对
B. 3 对
C. 4 对
D. 5 对
答案：C
解析：【分析】

画出该几何体的直观图 $P-A B C D$, 易证平面 $P A D \perp$ 平面 $A B C D$, 平面 $P C D \perp$ 平面 $P A D$, 平面 $P A B \perp$ 平面 $P A D$, 平面 $P A B \perp$ 平面 $P C D$, 从而可选出答案.

## 【详解】

该几何体是一个四棱雉, 直观图如下图所示, 易知平面 $P A D \perp$ 平面 $A B C D$,

作 $P O \perp A D$ 于 $O$, 则有 $P O \perp$ 平面 $A B C D, P O \perp C D$,

又 $A D \perp C D$, 所以, $C D \perp$ 平面 $P A D$,

所以平面 $P C D \perp$ 平面 $P A D$,

同理可证: 平面 $P A B \perp$ 平面 $P A D$,

由三视图可知: $P O=A O=O D$, 所以, $A P \perp P D$, 又 $A P \perp C D$,

所以, $A P \perp$ 平面 $P C D$, 所以, 平面 $P A B \perp$ 平面 $P C D$,

所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有 4 对.



## 【点睛】

本题考查了空间几何体的三视图, 考查了四棱雉的结构特征, 考查了面面垂直的证明,属于中档题.
题目（高一 · 立体几何学）：在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的侧面中, 与平面 $A B C D$ 垂直的平面有 ( ) 个
选项：
1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
答案：D
解析：【分析】

根据长方体中的棱与面的垂直关系, 可判断与平面 $A B C D$ 垂直的平面.

## 【详解】



在长方体中, 侧棱与底面都是垂直的, 所以侧面与底面 $A B C D$ 垂直.

平面 $A_{1} A B B_{1}$ 、平面 $B C C_{1} B_{1}$ 、平面 $C D D_{1} C_{1}$ 、平面 $D A A_{1} D_{1}$ 均与平面 $A B C D$ 垂直.

故选: D

## 【点睛】

本题考查长方体中的侧面与底面的垂直关系，属于基础题.
题目（高一 · 立体几何学）：如图是一个几何体的平面展开图, 其中四边形 $A B C D$ 为正方形, $\triangle P D C, \triangle P B C$, $\triangle P A B, \triangle P D A$ 为全等的等边三角形, $E 、 F$ 分别为 $P A 、 P D$ 的中点, 在此几何体中, 下列结论中正确的个数有 ()



(1)平面 $B C D \perp$ 平面 $P A D$

(2直线 $B E$ 与直线 $A F$ 是异面直线

(3)直线 $B E$ 与直线 $C F$ 共面

(4)面 $P A D$ 与面 $P B C$ 的交线与 $B C$ 平行
选项：
3
B. 2
C. 1
D. 0
答案：A
解析：【分析】

根据展开图, 复原几何体, 利用异面直线的定义可以判断出(2)(3)的正误, 利用面面垂直的判定定理判断(1)的正误, 利用面面平行的性质定理判断(4)的正误, 最后选出正确答案.

## 【详解】

根据展开图，复原几何体，如下图所示：



由已知条件, 在平面 $P A D$ 内, 过点 $P$ 的中线垂直于 $A D$, 再也找不到和平面 $B C D$ 内垂直的线段, 因此找不到和平面 $B C D$ 垂直的垂线, 由已知四边形 $A B C D$ 为正方形, 能得到 $A B \perp A D$ 或 $C D \perp A D$, 再也找不到和平面 $P A D$ 内相垂直的的线段, 因此找不到和平面 $P A D$ 垂直的线段, 所以不能判断平面 $B C D \perp$ 平面 $P A D$, 故(1)是不正确的;根据异面直线的定义可以判断(2)是正确的;

因为 $E 、 F$ 分别为 $P A 、 P D$ 的中点, 所以 $E F / / A D$, 而四边形 $A B C D$ 为正方形,所以有 $A D / / B C$, 因此有 $E F / / B C$, 所以 $E, F, B, C$ 中点共面, 所以(3)是正确的;因为 $A D / / B C, B C \not \subset$ 平面 $P A D, A D \subset$ 平面 $P A D$, 所以 $B C / /$ 平面 $P A D$,而 $B C \subset$ 平面 $P B C$, 所以面 $P A D$ 与面 $P B C$ 的交线与 $B C$ 平行, 故(4)正确, 故有三个结论是正确的, 本题选 A.

## 【点睛】

本题考查了线面平行的判定定理和性质定理, 考查了面面垂直的判定定理, 考查了异面直线的定义.
题目（高一 · 立体几何学）：在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 截面 $A_{1} B D$ 与底面 $A B C D$ 所成二面角 $A_{1}-B D-A$的正切值等于( )
选项：
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
c. $\sqrt{2}$
D. $\frac{2}{3}$
答案：C
解析：【分析】

先找二面角 $A_{1}-B D-A$ 的平面角, 在 $\triangle A_{1} O A$ 中, $\angle A_{1} O A$ 即为二面角 $A_{1}-B D-A$ 的平面角

## 【详解】

连接 $A C$ 交 $B D$ 与点 $O$, 如图所示,

因为 $A A_{1} \perp B D, A C \perp B D$,

所以 $\angle A_{1} O A$ 即为二面角 $A_{1}-B D-A$ 的平面角,

在 $\triangle A_{1} O A$ 中, $A A_{1}=a, A O=\frac{\sqrt{2}}{2} a$,

所以二面角 $A_{1}-B D-A$ 的正切值为 $\sqrt{2}$

故选 $C$.



## 【点睛】

这是利用面面垂直来找二面角的问题，找二面角的关键是过公共棱上同一点，在两半平面内作棱的垂线, 找两垂线所成角. 常用方法是用三垂线定理或其逆定理.
题目（高一 · 立体几何学）：如果直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 不垂直, 那么在平面 $\alpha$ 内
选项：
不存在与 $l$ 垂直的直线
B. 存在一条与 $l$ 垂直的直线
C. 存在无数条与 $l$ 垂直的直线
D. 任意一条都与 $l$ 垂直
答案：C
解析：【分析】

## 【详解】

因为直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 不垂直, 必然会有一条直线与其垂直, 而所有与该直线平行直线也与其垂直, 因此选 C
题目（高一 · 立体几何学）：若一个正四棱雉的侧棱和底面边长相等, 则该正四棱雉的侧棱和底面所成的角为 (
选项：
A. $30^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $\mathbf{9 0}{ }^{\circ}$
答案：B
解析：【分析】

正四棱雉 $P-A B C D$ ，连接底面对角线 $A C$, 在 $\triangle P A C$ 中, $\angle P A C$ 为侧棱与地面所成角, 通过边的关系得到答案.

【详解】

正四棱雉 $P-A B C D$ ，连接底面对角线 $A C, A C=\sqrt{2}$, 易知 $\triangle P A C$ 为等腰直角三角形.

$A C$ 中点为 $O$ ，又正四棱雉知： $P O \perp$ 底面 $A B C D$

即 $\angle P A C$ 为所求角为 $\frac{\pi}{4}$, 答案为 $\mathrm{B}$

## 【点睛】

本题考查了线面夹角的计算, 意在考察学生的计算能力和空间想象力.
题目（高一 · 立体几何学）：设 $m, n$ 是两条不同的直线, $\alpha, \beta$ 是两个不同的平面, 下列命题中正确的是 ( )
选项：
若 $\alpha \perp \beta, m \subset \alpha, n \subset \beta$, 则 $m \perp n$

B. 若 $\alpha / / \beta, m \subset \alpha, n \subset \beta$, 则 $m / / n$

C. 若 $m \perp n, m \subset \alpha, n \subset \beta$, 则 $\alpha \perp \beta$

D. 若 $m \perp \alpha, m / / n, n / / \beta$, 则 $\alpha \perp \beta$
答案：D
解析：试题分析: $\because m \perp \alpha, m\|n, \therefore n \perp \alpha, \because n\| \beta, \therefore \alpha \perp \beta$, 故选 D.

考点: 点线面的位置关系.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 在三棱雉 $S-A B C$ 中, $S C=A C, \angle S C B=\theta, \angle A C B=\pi-\theta$, 二面角 $S-B C-A$ 的平面角为 $\alpha$, 则 $(\quad)$


选项：
$\alpha \geq \theta$
B. $\angle S C A \geq \alpha$
C. $\angle S B A \leq \alpha$
D. $\angle S B A \geq \alpha$
答案：B
解析：【分析】

先对 $\theta$ 取 $90^{\circ}$ 特殊值, 进行判断, 最后可以判断出 $\angle S C A \geq \alpha$.

## 【详解】

当 $\theta=90^{\circ}$ 时, 显然有 $B C \perp A C, B C \perp S C$, 故 $B C \perp$ 平面 $S A C$, 于是 $\angle S C A$ 是二

面角 $S-B C-A$ 的平面角, 即 $\alpha=\angle S C A$, 当 $\theta \neq 90^{\circ}$ 时, $\angle S C A$ 不是二面角

$S-B C-A$ 的平面角, 故而 $\alpha<\angle S C A$, 综上所述: $\angle S C A \geq \alpha$, 故本题选 B.

## 【点睛】

本题考查了二面角与平面角大小关系的判断, 考查了空间想象能力.
题目（高一 · 立体几何学）：设 $I$ 是直线, $\alpha, \beta$ 是两个不同的平面, 下列命题正确的是（）
选项：
若 $l / / \alpha, l / / \beta$, 则 $\alpha / / \beta$
B. 若 $\alpha \perp \beta, l / / \alpha$, 则 $l \perp \beta$
C. 若 $\alpha \perp \beta, l \perp \alpha$, 则 $l / \beta$
D. 若 $l / / \alpha, l \perp \beta$, 则 $\alpha \perp \beta$
答案：D
解析：【分析】

利用空间线线、线面、面面的位置关系对选项进行逐一判断, 即可得到答案.

## 【详解】

A. 若 $l / / \alpha, l / / \beta$, 则 $\alpha$ 与 $\beta$ 可能平行, 也可能相交, 所以不正确.

B. 若 $\alpha \perp \beta, l / / \alpha$, 则 $l$ 与 $\beta$ 可能的位置关系有相交、平行或 $l \subseteq \beta$, 所以不正确.

C.若 $\alpha \perp \beta, l \perp \alpha$, 则可能 $l \subseteq \beta$, 所以不正确.

D. 若 $l / / \alpha, l \perp \beta$, 由线面平行的性质过 $l$ 的平面与 $\alpha$ 相交于 $l^{\prime}$, 则 $l / l l^{\prime}$, 又 $l \perp \beta$.所以 $I^{\prime} \perp \beta$, 所以有 $\alpha \perp \beta$, 所以正确.

故选: D

## 【点睛】

本题考查面面平行、垂直的判断，线面平行和垂直的判断,属于基础题.
题目（高一 · 立体几何学）：已知直线 $l \perp$ 平面 $\alpha$, 直线 $m \subset \alpha$, 则 ( )
选项：
$l \perp m$
B. $l \| m$
C. $l, m$ 异面
D. $l, m$ 相交而不垂直
答案：A
解析：【分析】

根据线面垂直的定义, 即可得出结果.

## 【详解】

根据线面垂直的定义，若直线与平面垂直，则直线垂直与该平面内的任意一条直线，因此 $l \perp m$, 故选 A

## 【点睛】

本题主要考查线面垂直的定义, 熟记概念即可, 属于基础题型.
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示, 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $E 、 F$ 分别在 $A_{1} D 、 A C$ 上, 且 $A_{1} E=\frac{2}{3} A_{1} D, A F=\frac{1}{3} A C$. 则 $(\quad)$


选项：
$E F$ 至多与 $A_{1} D 、 A C$ 之一垂直
B. $E F$ 是 $A_{1} D 、 A C$ 的公垂线
C. $E F$ 与 $B D_{1}$ 相交
D. $E F$ 与 $B D_{1}$ 异面
答案：B
解析：析】

延长 $A E$ 与 $D D_{1}$ 交于点 $G$, 连接 $B D$ 与 $A C$ 交于点 $O$, 连接 $G O$, 证明 $E F / / G O / / D_{1} B$, $A_{1} D \perp D_{1} B, A C \perp D_{1} B$, 得到答案.

## 【详解】

如图所示: 延长 $A E$ 与 $D D_{1}$ 交于点 $G$, 连接 $B D$ 与 $A C$ 交于点 $O$, 连接 $G O$.

$A_{1} E=\frac{2}{3} A_{1} D$, 根据 $\triangle A A_{1} E \sim \triangle G D E$ 知 $D G=\frac{1}{2} A A_{1}, G$ 为 $D D_{1}$ 中点.

$B D$ 与 $A C$ 交于点 $O, A F=\frac{1}{3} A C$, 故 $\triangle A E F \sim \triangle A G O$, 故 $E F / / G O / / D_{1} B$.

易知 $A D \perp$ 平面 $D_{1} A B, D_{1} B \subset$ 平面 $D_{1} A B$, 故 $A D \perp D_{1} B$, 同理 $A C \perp D_{1} B$.

故选：B.



试卷第 8 页，总 22 页

## 【点睛】

本题考查了直线和直线的位置关系, 意在考查学生的空间想象能力和推断能力.
题目（高一 · 立体几何学）：已知 $\triangle A B C$ 所在的平面为 $\alpha, l, m$ 是两条不同的直线, $l \perp A B, l \perp A C, m \perp B C$, $m \perp A C$, 则直线 $l, m$ 的位置关系是
选项：
A. 相交
B. 异面
C. 平行
D. 不确定
答案：C
解析：【分析】

由 $l \perp \alpha, m \perp \alpha$ ，根据线面垂直的性质定理，可得结果

## 【详解】

因为 $l \perp A B, l \perp A C, A B, A C \subset \alpha$

又 $A B \cap A C=A$ ，所以 $l \perp \alpha ，$

同理可证 $m \perp \alpha$, 所以 $l / / m$.

故选: C

## 【点睛】

本题主要考查线面垂直的性质定理, 属基础题.
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示, 在三棱雉 $P-A B C$ 中, $P O \perp$ 平面 $A B C, B O \perp A C, B O$ 的延长线
交 $A C$ 于点 $D$, 则图中与 $A C$ 垂直的直线有 $(\quad)$


选项：
1 条
B. 2 条
C. 3 条
D. 4 条
答案：D
解析：【分析】

根据线面垂直的判定定理先证明 $A C \perp$ 平面 $P B D$, 进而可得出结果.

## 【详解】

$\because P O \perp$ 平面 $A B C, \therefore P O \perp A C$.

又 $\because A C \perp B O$, 且 $B O \cap=P O=O, \therefore A C \perp$ 平面 $P B D$,

$\therefore$ 直线 $P B, P D, P O, B D$ 与 $A C$ 垂直.

## 【点睛】

本题主要考查线线垂直的判定, 由线面垂直可得线线垂直, 熟记线面垂直判定定理即可,属于常考题型.
题目（高一 · 立体几何学）：如图 1, 在正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $E, F$ 分别是 $A B_{1}, B C_{1}$ 的中点, 则以下结论中不成立的是（ ）


选项：
$E F$ 与 $B B_{1}$ 垂直
B. $E F$ 与 $B D$ 垂直
C. $E F$ 与 $C D$ 异面
D. $E F$ 与 $A_{1} C_{1}$ 异面
答案：D
解析：如图所示, 连结 $A_{1} B$, 由几何关系可得点 $E$ 为 $A_{1} B$ 的中点, 且 $B F=F C_{1}$,

由三角形中位线的性质可得: $E F \| A_{1} C_{1}$, 即 $E F$ 与 $A_{1} C_{1}$ 不是异面直线,

很明显, $E F$ 与 $C D$ 异面,

由几何关系可得： $A_{1} C_{1} \perp B B_{1}, A_{1} C_{1} \perp B D$, 则 $E F \perp B B_{1}, E F \perp B D$,

综上可得, 选项 $D$ 中的结论不成立.

本题选择 $D$ 选项.
题目（高一 · 立体几何学）：正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $O$ 为侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 的中心, 则 $A O$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值为 ( )


选项：
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{\sqrt{6}}{6}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
答案：C
解析：【分析】

取 $B C$ 中点 $E$, 则所求线面角为 $\angle O A E$, 利用勾股定理求得 $O E, O A$, 作比可求得结

果.

【详解】
取 $B C$ 中点 $E$, 连接 $O E, A E$



$\because O$ 为侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 的中心 $\quad \therefore O E \perp$ 平面 $A B C D$

$\therefore A O$ 与平面 $A B C D$ 所成角即为 $\angle O A E$

设正方体棱长为 $2 a$, 则 $O E=a, A E=\sqrt{4 a^{2}+a^{2}}=\sqrt{5} a, O A=\sqrt{5 a^{2}+a^{2}}=\sqrt{6} a$

$\therefore \sin \angle O A E=\frac{O E}{O A}=\frac{a}{\sqrt{6} a}=\frac{\sqrt{6}}{6}$, 即 $A O$ 与平面 $A B C D$ 所成角正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$

故选: $C$

## 【点睛】

本题考查直线与平面所成角的求解, 关键是能够根据线面垂直关系确定所求角, 属于基础题.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 四棱雉 $S-A B C D$ 的底面为正方形, $S D \perp$ 底面 $A B C D$, 则下列结论中不正确的是（ ）


选项：
$A C \perp S B$
B. $A D \perp S C$
C. 平面 $S A C \perp$ 平面 $S B D$
D. $B D \perp S A$
答案：D
解析：【分析】

由底面正方形及 $S D \perp$ 底面 $A B C D$, 确定线线间的垂直关系, 判断各个结论的正确性.

## 【详解】

$S D \perp$ 底面 $A B C D, S B$ 在平面 $A B C D$ 的射影 $A C$ 与 $B D$ 垂直, 则 $S B \perp B D, A$ 正确;

$S C$ 在平面 $A B C D$ 的射影 $D C$ 与 $A D$ 垂直, 则 $S C \perp A D, B$ 正确;

利用上述垂直可得 $A C \perp$ 平面 $S B D$, 从而有平面 $S A C \perp$ 平面 $S B D, C$ 正确;

若 $B D \perp S A$, 则 $B D$ 垂直 $S A$ 在平面 $A B C D$ 内的射影 $D A$, 这是不可能的, $\mathrm{D}$ 错误.

故选: D.

## 【点睛】

本题考查空间的线线的垂直与面面垂直的判断, 掌握三垂线定理及其逆定理是解题基础.
题目（高一 · 立体几何学）：正四棱雉 $S-A B C D$ 底面边长为 2 , 高为 $1, E$ 是棱 $B C$ 的中点, 动点 $P$ 在四棱雉表面上运动, 并且总保持 $\overrightarrow{P E} \cdot \overrightarrow{A C}=0$, 则动点 $P$ 的轨迹的周长为 ( )
选项：
$1+\sqrt{2}$
B. $\sqrt{2}+\sqrt{3}$
C. $2 \sqrt{2}$
D. $2 \sqrt{3}$
答案：B
解析：【分析】

设 $F, G$ 分别为 $D C, S C$ 的中点, 则可证明 $A C \perp$ 平面 $E F G$, 得到满足条件的动点 $P$ 的轨迹为 $\triangle E F G$ ，然后求解即可.

## 【详解】

由 $\overrightarrow{P E} \cdot \overrightarrow{A C}=0$, 即满足 $P E \perp A C$.

设 $F, G$ 分别为 $D C, S C$ 的中点, 连接 $A C, B D, E F, F G, G E$.

设 $A C, B D$ 交于点 $O, A C, E F$ 交于点 $O_{1}$.

所以在正四棱雉 $S-A B C D$ 中, $S O \perp$ 平面 $A B C D$.

所以 $S O \perp A C$, 且 $A C \perp B D$,

由 $E, F, G$ 分别为 $B C, D C, S C$ 的中点.

所以 $B D / / E F, S O / / G O_{1}$, 则有, $G O_{1} \perp A C, A C \perp E F$, 且 $E F \cap G O_{1}=O_{1}$

所以 $A C \perp$ 平面 $E F G$.

故当点 $P$ 在平面 $E F G$ 内时, 有 $P E \perp A C$ 成立.

所以动点 $P$ 的轨迹为平面 $E F G$ 截正四棱雉 $S-A B C D$ 的截面, 即 $\triangle E F G$.

由 $E, F, G$ 分别为 $B C, D C, S C$ 的中点.

所以 $E F=\frac{1}{2} B D, G E=\frac{1}{2} S B, F G=\frac{1}{2} S D$

又正四棱雉 $S-A B C D$ 底面边长为 2 , 高为 1 , 所以 $B D=2 \sqrt{2}, S B=\sqrt{1+(\sqrt{2})^{2}}=\sqrt{3}$.

所以 $E F+F G+G E=\sqrt{2}+\sqrt{3}$

故选: B



## 【点睛】

本题考查轨迹问题, 考查线面的垂直的证明, 属于中档题.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 四棱雉 $S-A B C D$ 的底面为正方形, $S D \perp$ 底面 $A B C D$, 则下列结论中不正确的是 ( )


选项：
$A C \perp S B$

B. $A B / /$ 平面 $S C D$

C. 平面 $S D B \perp$ 平面 $S A C$

D. $A B$ 与 $S C$ 所成的角等于 $D C$ 与 $S A$ 所成的角
答案：D
解析：【分析】

结合直线与平面垂直的判定和性质，结合直线与平面平行的判定，即可.

## 【详解】

$\mathrm{A}$ 选项, 可知 $A C \perp B D, A C \perp S D$ 可知 $A C \perp$ 平面 $S D B$, 故 $A C \perp S B$, 正确;

$\mathrm{B}$ 选项, $\mathrm{AB}$ 平行 $\mathrm{CD}$, 故正确;

$\mathrm{C}$ 选项, $A C \perp$ 平面 $S D B$, 故平面 $S D B \perp$ 平面 $S A C$, 正确;

$\mathrm{D}$ 选项, $\mathrm{AB}$ 与 $\mathrm{SC}$ 所成的角为 $\angle S C D$, 而 DC 与 SA 所成的角为 $90^{\circ}$, 故错误, 故选 D.

## 【点睛】

考查了直线与平面垂直的判定和性质, 考查了直线与平面平行的判定，考查了异面直线所成角, 难度中等.
题目（高一 · 立体几何学）：已知长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$, 在平面 $A A_{1} B_{1} B$ 上任取点 $M$, 作 $M E \perp A B$ 于点 $E$,则
选项：
$M E \perp$ 平面 $A B C D$

B. $M E \subset$ 平面 $A B C D$

C. $M E / /$ 平面 $A B C D$

D. 以上都有可能
答案：A
解析：【分析】

根据平面 $A A_{1} B_{1} B \perp$ 平面 $A B C D$ 可得 $M E \perp$ 平面 $A B C D$.

## 【详解】



$\because M E \subset$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$, 平面 $A A_{1} B_{1} B \cap$ 平面 $A B C D=A B$, 且平面 $A A_{1} B_{1} B \perp$ 平面 $A B C D, M E \perp A B, \therefore M E \perp$ 平面 $A B C D$.

## 【点睛】

本题考查面面垂直的性质，属于基础题.
题目（高一 · 立体几何学）：正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 在 $\triangle A_{1} B_{1} D_{1}$ 内部 (不含边界) 存在点 $P$, 满足点 $P$ 到平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的距离等于点 $P$ 到棱 $B B_{1}$ 的距离.分别记二面角 $P-A D-B$ 为 $\alpha$, $P-A C-B$ 为 $\beta, P-B C-A$ 为 $\gamma$, 则下列说法正确的是 ( )
选项：
$\alpha>\beta>\gamma$
B. $\alpha<\gamma<\beta$
C. $\alpha<\beta<\gamma$
D. 以上说法均不

正确
答案：C
解析：【分析】

如图连接 $P E, P F, P G$, 记 $\alpha=\angle P E Q, \beta=\angle P G Q, \gamma=\angle P F Q$, 因此 $\tan \alpha=\frac{P Q}{Q E}$,
$\tan \beta=\frac{P Q}{Q G}, \tan \gamma=\frac{P Q}{Q F}$, 比较长度关系即得解.

## 【详解】

如图所示，



作 $P Q \perp$ 面 $A B C D$ 于 $Q$, 作 $Q E \perp A D$ 于 $E, Q F \perp B C$ 于 $F, Q G \perp A C$ 于 $G$, 连 $P E$, $P F, P G$,

则 $\alpha=\angle P E Q, \beta=\angle P G Q, \gamma=\angle P F Q$.

因此 $\tan \alpha=\frac{P Q}{Q E}, \tan \beta=\frac{P Q}{Q G}, \tan \gamma=\frac{P Q}{Q F}$,

作 $P E_{1} \perp A_{1} D_{1}$ 于 $E_{1}, P F_{1} \perp B_{1} C_{1}$ 于 $F_{1}, P G_{1} \perp A_{1} C_{1}$ 于 $G_{1}$,

$P G_{1}$ 即点 $P$ 到平面 $A C C_{1} A_{1}$ 的距离, $P B_{1}$ 即点 $P$ 到棱 $B B_{1}$ 的距离,

因此 $P B_{1}=P G_{1}$,

因为 $Q F=P F_{1}<P B_{1}=P G_{1}=Q G$ ，

因此 $\tan \beta<\tan \gamma$,

因为 $Q G=P G_{1}<P E_{1}=Q E$,

因此 $\tan \alpha<\tan \beta$

综上有: $\tan \alpha<\tan \beta<\tan \gamma$ ，即 $\alpha<\beta<\gamma ，$

故选: $C$

## 【点睛】

本题考查了几何法研究二面角的大小, 考查了学生空间想象, 转化划归, 逻辑推理, 数学运算的能力, 属于较难题.
题目（高一 · 立体几何学）：若平面 $\alpha \perp$ 平面 $\beta$, 平面 $\beta \perp$ 平面 $\gamma$, 则（ ）
选项：
$\alpha / / \gamma$

B. $\alpha \perp \gamma$

C. $\alpha$ 与 $\gamma$ 相交但不垂直

D. 以上都有可能
答案：D
解析：【分析】

以正方体为模型可得 D 正确.

## 【详解】

在正方体中, 相邻两侧面都与底面垂直; 相对的两侧面都与底面垂直; 一侧面和一对角面都与底面垂直, 故选 D.

## 【点睛】

立体几何中关于点、线、面之间位置关系的命题的真假问题，可在正方体中考虑它们成立与否, 因为正方体中涵盖了点、线、面的所有位置关系, 注意有时需要动态地考虑位置关系.
题目（高一 · 立体几何学）：设 $a 、 b$ 是两条不同的直线, $\alpha 、 \beta$ 是两个不同的平面, 则下列正确的个数为: ( ) (1)若 $a \perp b, a \perp \alpha, b \not \subset \alpha$, 则 $b / / \alpha$; (2)若 $a / / \alpha, a \perp \beta$, 则 $\alpha \perp \beta$; (3)若 $a \perp \beta, \alpha \perp \beta$, 则 $a / / \alpha$ 或 $a \subset \alpha$; (4)若 $a \perp b, a \perp \alpha, b \perp \beta$, 则 $\alpha \perp \beta$
选项：
1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：D
解析：试题分析：(1)中 $a \perp \alpha$ 则 $a$ 与 $\alpha$ 内任意直线 $c$ 都垂直, 又 $a \perp b, b \not \subset \alpha$ 所以 $b, c$ 平行或异面, 所以 $b / / \alpha$; (2) $\because a / / \alpha \therefore \alpha$ 内存在 $c$ 与 $a$ 平行

$\because a \perp \beta \therefore c \perp \beta \because c \subset \alpha \therefore \alpha \perp \beta ;$ (3)

中由面面垂直的性质定理可知有 $a / / \alpha$ 或 $a \subset \alpha$; (4)由已知条件可知两平面的法向量垂直, 因此两面垂直

考点: 空间线面的位置关系

点评: 本题考察了空间线面垂直平行的的判定与性质定理及常用方法，难度不大，属于基本知识点的考察
题目（高一 · 立体几何学）：设 $\alpha, \beta$ 是两个不同的平面, $l, m$ 是两条不同的直线, 且 $l \subset \alpha$, 则下列说法正确的是
选项：
若 $m \perp l$, 则 $m \perp a$
B. 若 $m / / I$, 则 $m / / a$
C. 若 $I / / \beta$, 则 $\beta / / \alpha$
D. 若 $l \perp \beta$, 则 $\beta \perp \alpha$
答案：D
解析：【分析】

由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定逐一核对四个命题得答案.

## 【详解】

解：对于 A, 由 $l \subset \alpha, m \perp l$, 得 $m / / \alpha$ 或 $m \subset \alpha$ 或 $m$ 与 $\alpha$ 相交, 故 $\mathrm{A}$ 错误;

对于 $B$, 由 $l \subset \alpha, m / / l$, 得 $m / / \alpha$ 或 $m \subset \alpha$, 故 B 错误;

对于 $\mathrm{C}$, 由 $l \subset \alpha, l / / \beta$, 得 $\beta / / \alpha$ 或 $\beta$ 与 $\alpha$ 相交, 故 $\mathrm{C}$ 错误;

对于 $\mathrm{D}$, 由 $l \subset \alpha, l \perp \beta$, 结合面面垂直的判定可得 $\beta \perp \alpha$, 故 $\mathrm{D}$ 正确.

故选: D.

## 【点睛】

本题考查命题的真假判断与应用, 考查空间想象能力与思维能力, 是中档题.
题目（高一 · 立体几何学）：已知直线 $l \perp$ 平面 $\alpha$, 直线 $m / /$ 平面 $\beta$, 若 $\alpha \perp \beta$, 则下列结论正确的是
选项：
$l / / \beta$ 或 $l \subset \beta$
B. $l / / m$
C. $m \perp \alpha$
D. $l \perp m$
答案：A
解析：【分析】

选项 $\mathrm{A}$ 中 $l$ 与 $\beta$ 位置是平行或在平面内, 选项 $\mathrm{B}$ 中 $l$ 与 $m$ 可能共面或异面, 选项 $\mathrm{C}$ 中 $m$与 $\alpha$ 的位置不确定, 选项 $\mathrm{D}$ 中 $l$ 与 $m$ 的位置关系不确定.

## 【详解】

对于 $\mathrm{A}$, 直线 $l \perp$ 平面 $\alpha, \alpha \perp \beta$, 则 $l / \beta$ 或 $l \subset \beta, \mathrm{A}$ 正确;

对于 $\mathrm{B}$, 直线 $l \perp$ 平面 $\alpha$, 直线 $m / /$ 平面 $\beta$, 且 $\alpha \perp \beta$, 则 $l / / m$ 或 $l$ 与 $m$ 相交或 $l$ 与 $m$ 异面, $\therefore \mathrm{B}$ 错误;

对于 $\mathrm{C}$, 直线 $l \perp$ 平面 $\alpha$, 直线 $m / /$ 平面 $\beta$, 且 $\alpha \perp \beta$, 则 $m \perp \alpha$ 或 $m$ 与 $\alpha$ 相交或 $m \subset \alpha$ 或 $m / / \alpha, \therefore$ 错误;

对于 $\mathrm{D}$, 直线 $l \perp$ 平面 $\alpha$, 直线 $m / /$ 平面 $\beta$, 且 $\alpha \perp \beta$, 则 $l / / m$ 或 $l$ 与 $m$ 相交或 $l$ 与 $m$ 异面, $\therefore \mathrm{D}$ 错误.

故选 A.

【点睛】
本题考查了空间平面与平面关系的判定及直线与直线关系的确定问题, 也考查了几何符号语言的应用问题, 是基础题.
题目（高一 · 立体几何学）：已知 $a, b, c$ 是三条不同的直线, $\alpha, \beta$ 是两个不同的平面, 则下列条件中能得出直线 $a \perp$ 平面 $\alpha$ 的是
选项：
$a \perp c, a \perp b$, 其中 $b \subset \alpha, c \subset \alpha$
B. $a \perp b, b / / \alpha$
C. $\alpha \perp \beta, a / / \beta$
D. $a / / b, b \perp \alpha$
答案：D
解析：【分析】

对四个选项逐一分析, 排除错误选项, 由此得出正确选项.

## 【详解】

$\mathrm{A}$ 中缺少条件 “ $b$ 与 $c$ 相交”; $\mathrm{B}$ 中, 当 $b / / \alpha, a \perp b$ 时, $a$ 与 $\alpha$ 可能平行, 可能相交,也可能 $a \subset \alpha$; 中， $a$ 与 $\alpha$ 可能平行, 可能相交, 也可能 $a \subset \alpha$. 对于 $\mathrm{D}$ 选项，两条平行直线中有一条垂直于一个平面, 则另一条也垂直这个平面, D 选项正确.故选 D.

## 【点睛】

本小题主要考查线面垂直的判定定理, 考查线面垂直的充分条件, 属于基础题.
题目（高一 · 立体几何学）：已知三棱雉 $P-A B C$ 中, $O$ 为 $A B$ 中点, $P O \perp$ 平面 $A B C, \angle A P B=90^{\circ}, P A=P B=2$,则下列说法中错误的是 ( )


选项：
若 $O$ 为 $\triangle A B C$ 的外心, 则 $P C=2$

B. 若 $\triangle A B C$ 为等边三角形, 则 $A P \perp B C$

C. 当 $\angle A C B=90^{\circ}$ 时, $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的范围为 $\left(0, \frac{\pi}{4}\right]$

D. 当 $P C=4$ 时, $M$ 为平面 $P B C$ 内动点, 若 $O M \|$ 平面 $P A C$, 则 $M$ 在三角形 $P B C$ 内的轨迹长度为 2
答案：B
解析：【分析】

利用射影相等可知 $P A=P B=P C$, 利用反证法可知 $A P \perp B C$ 不成立, 构造线面角, 可
得其正弦值的范围为 $\left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$, 故可判断线面角的范围，利用线面平行的性质可知轨迹为 $\triangle P B C$ 中与 $P C$ 边平行的中位线.

## 【详解】

若 $O$ 为 $\triangle A B C$ 的外心, 则 $O A=O B=O C$, 由射线相等即可知 $P A=P B=P C$, 故 A 正确;假设 $A P \perp B C$, 则再根据 $P O \perp B C$, 得 $B C \perp$ 平面 $A P B$, 则 $B C \perp A B$, 与 $\triangle A B C$ 为等边三角形矛盾, 故 B 错误;

当 $\angle A C B=90^{\circ}$ 时, $O C=\sqrt{2}, P C=2$, 过 $C$ 作 $C H \perp A B$, 连结 $P H$, 易知 $\angle C P H$ 为 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角, $\sin \angle C P H=\frac{C H}{2} \in\left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$, 故 $\angle C P H$ 的范围为 $\left(0, \frac{\pi}{4}\right]$, 故 C 正确;取 $M_{1}, M_{2}$ 分别为 $P B, B C$ 的中点, 则平面 $O M_{1} M_{2} / /$ 平面 $A P C$, 则线段 $M_{1} M_{2}$ 为 $M$ 在三角形 $P B C$ 内的轨迹, 其长度为 2 , 故 $\mathrm{D}$ 正确


## 【点睛】

本题为立体几何中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断, 处理这类问题, 可以用已知的定理或性质来证明, 也可以用反证法来说明命题的不成立. 此类问题通常是中档题.
题目（高一 · 立体几何学）：设 $\alpha, \beta$ 是两个不同的平面, $l, m$ 是两条不同的直线, 且 $l \subset \alpha, m \subset \beta()$
选项：
若 $l \perp \beta$, 则 $\alpha \perp \beta$
B. 若 $\alpha \perp \beta$, 则 $l \perp m$
C. 若 $l / / \beta$, 则 $\alpha / / \beta$
D. 若 $\alpha / / \beta$, 则 $l / / m$
答案：A
解析：试题分析：由面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一平面的一条垂线, 则两面垂直, 可得 $l \perp \beta, l \subset \alpha$

可得 $\alpha \perp \beta$

考点: 空间线面平行垂直的判定与性质