eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（八年级 · 代数）：已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(a+c) x^{2}+2 b x+(a-c)=0$, 其中 $a 、 b 、 c$ 分别为 $\triangle A B C$ 三边的长.

(1) 如果 $x=-1$ 是方程的根, 试判断 $\triangle A B C$ 的形状, 并说明理由;

(2) 如果方程有两个相等的实数根, 试判断 $\triangle A B C$ 的形状, 并说明理由.
选项：
答案：解: (1) $\triangle A B C$ 是等腰三角形. 理由如下:

$\because x=-1$ 是方程的根,

$\therefore(a+c) \times(-1)^{2}-2 b+(a-c)=0$,

$\therefore a+c-2 b+a-c=0$,

$\therefore a-b=0, \quad \therefore a=b$,

$\therefore \triangle A B C$ 是等腰三角形;

(2) $\triangle A B C$ 是直角三角形. 理由如下:

$\because$ 方程有两个相等的实数根,

$\therefore \Delta=(2 b)^{2}-4(a+c) \quad(a-c)=0$,

$\therefore 4 b^{2}-4 a^{2}+4 c^{2}=0$,

$\therefore a^{2}=b^{2}+c^{2}$,

$\therefore \triangle A B C$ 是直角三角形.

【解析】(1) 根据方程解的定义把 $x=-1$ 代入方程得到 $(a+c) \times(-1)^{2}-2 b+(a-c)=0$, 整理得 $a-b=0$,即 $a=b$, 于是根据等腰三角形的判定即可得到 $\triangle A B C$ 是等腰三角形;

(2) 根据判别式的意义得到 $\Delta=(2 b)^{2}-4(a+c) \quad(a-c)=0$, 整理得 $a^{2}=b^{2}+c^{2}$, 然后根据勾股定理的逆定理得到 $\triangle A B C$ 是直角三角形.
解析：解: (1) $\triangle A B C$ 是等腰三角形. 理由如下:

$\because x=-1$ 是方程的根,

$\therefore(a+c) \times(-1)^{2}-2 b+(a-c)=0$,

$\therefore a+c-2 b+a-c=0$,

$\therefore a-b=0, \quad \therefore a=b$,

$\therefore \triangle A B C$ 是等腰三角形;

(2) $\triangle A B C$ 是直角三角形. 理由如下:

$\because$ 方程有两个相等的实数根,

$\therefore \Delta=(2 b)^{2}-4(a+c) \quad(a-c)=0$,

$\therefore 4 b^{2}-4 a^{2}+4 c^{2}=0$,

$\therefore a^{2}=b^{2}+c^{2}$,

$\therefore \triangle A B C$ 是直角三角形.

【解析】(1) 根据方程解的定义把 $x=-1$ 代入方程得到 $(a+c) \times(-1)^{2}-2 b+(a-c)=0$, 整理得 $a-b=0$,即 $a=b$, 于是根据等腰三角形的判定即可得到 $\triangle A B C$ 是等腰三角形;

(2) 根据判别式的意义得到 $\Delta=(2 b)^{2}-4(a+c) \quad(a-c)=0$, 整理得 $a^{2}=b^{2}+c^{2}$, 然后根据勾股定理的逆定理得到 $\triangle A B C$ 是直角三角形.
题目（八年级 · 代数）：若 $a$ 是方程 $x^{2}-2018 x+1=0$ 的一个根, 求代数式 $a^{2}-2019 a+\frac{a^{2}+1}{2018}$ 的值.
选项：
答案：解: 把 $x=a$ 代入方程, 可得: $a^{2}-2018 a+1=0$,

所以 $a^{2}-2018 a=-1, a^{2}+1=2018 a$,

所以 $a^{2}-2019 a=-a-1$,

所以 $a^{2}-2019 a+\frac{a^{2}+1}{2018}=-a-1+\frac{2018 a}{2018}=-1$, 即 $a^{2}-2019 a+\frac{a^{2}+1}{2018}=-1$.
解析：解: 把 $x=a$ 代入方程, 可得: $a^{2}-2018 a+1=0$,

所以 $a^{2}-2018 a=-1, a^{2}+1=2018 a$,

所以 $a^{2}-2019 a=-a-1$,

所以 $a^{2}-2019 a+\frac{a^{2}+1}{2018}=-a-1+\frac{2018 a}{2018}=-1$, 即 $a^{2}-2019 a+\frac{a^{2}+1}{2018}=-1$.
题目（八年级 · 代数）：已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-x+\frac{1}{4} m=0$ 有两个实数根.

(1)若 $m$ 为正整数, 求此方程的根.

(2)设此方程的一个实数根为 $b$, 若 $y=4 b^{2}-4 b-3 m+3$, 求 $y$ 的取值范围.
选项：
答案：解: (1) $\because$ 一元二次方程 $x^{2}-x+\frac{1}{4} m=0$ 有两个实数根,

$\therefore \Delta=1-m \geq 0$,

又 $\because m$ 为正整数,

$\therefore m=1$,

$\therefore$ 方程的根为 $\frac{1}{2}$;

(2) $\because \Delta=1-m \geq 0$,

$\therefore m \leq 1$,

$\because b$ 是方程的一个实数根,

$\therefore b^{2}-b+\frac{1}{4} m=0$,

$\therefore 4 b^{2}-4 b+m=0$,

$\therefore y=4 b^{2}-4 b-3 m+3=3-4 m$,

$\therefore y=3-4 m \geq-1$.

即 $y$ 的取值范围是: $y \geq-1$.
解析：解: (1) $\because$ 一元二次方程 $x^{2}-x+\frac{1}{4} m=0$ 有两个实数根,

$\therefore \Delta=1-m \geq 0$,

又 $\because m$ 为正整数,

$\therefore m=1$,

$\therefore$ 方程的根为 $\frac{1}{2}$;

(2) $\because \Delta=1-m \geq 0$,

$\therefore m \leq 1$,

$\because b$ 是方程的一个实数根,

$\therefore b^{2}-b+\frac{1}{4} m=0$,

$\therefore 4 b^{2}-4 b+m=0$,

$\therefore y=4 b^{2}-4 b-3 m+3=3-4 m$,

$\therefore y=3-4 m \geq-1$.

即 $y$ 的取值范围是: $y \geq-1$.
题目（八年级 · 代数）：甲乙两人同时在一家粮店购买大米, 两次大米的价格分别为每千克 $a$ 元和 $b$ 元 $(a \neq b)$. 甲每次买 100 千克的大米, 乙每次买的 100 元大米.

（1）若甲两次购买大米的平均单价为每千克 $Q_{1}$ 元, 乙两次购买大米的平均单价为每千克 $Q_{2}$元. 用含 $a 、 b$ 的代数式分别表示 $Q_{1} 、 Q_{2}$.

（2）若规定谁两次购粮的平均价格低, 谁购粮的方式就更合理, 请你判断比较甲、乙两人的购粮方式, 哪一个更合理，并说明你的理由.
选项：
答案：解: (1) 甲两次购买大米共需付款 $100(a+b)$ 元,则甲两次购买大米的平均单价为每千克 $Q_{1}=\frac{a+b}{2}$ 元,乙两次共购买 $\frac{100(a+b)}{a b}$ 千克大米,则乙两次购买大米的平均单价为每千克 $Q_{2}=\frac{2 a b}{a+b}$ 元.

<ImageHere>

$\because a \neq b, a>0, b>0$,

$\therefore(a-b)^{2} \geq 0,2(a+b)>0$,

$\therefore: \frac{(a-b)^{2}}{2(a+b)}>0, \quad \therefore Q_{1}-Q_{2}>0$,

$\therefore Q_{1}>Q_{2}$,

$\therefore$ 乙购买大米的方式更合算.

【解析】 (1) 根据购粮的平均单价等于两次花的钱数 $\div$ 两次购粮的总重量即可求解;

(2) 用求差法比较 $Q_{1}$ 与 $Q_{2}$ 的大小即可.
解析：解: (1) 甲两次购买大米共需付款 $100(a+b)$ 元,则甲两次购买大米的平均单价为每千克 $Q_{1}=\frac{a+b}{2}$ 元,乙两次共购买 $\frac{100(a+b)}{a b}$ 千克大米,则乙两次购买大米的平均单价为每千克 $Q_{2}=\frac{2 a b}{a+b}$ 元.



$\because a \neq b, a>0, b>0$,

$\therefore(a-b)^{2} \geq 0,2(a+b)>0$,

$\therefore: \frac{(a-b)^{2}}{2(a+b)}>0, \quad \therefore Q_{1}-Q_{2}>0$,

$\therefore Q_{1}>Q_{2}$,

$\therefore$ 乙购买大米的方式更合算.

【解析】 (1) 根据购粮的平均单价等于两次花的钱数 $\div$ 两次购粮的总重量即可求解;

(2) 用求差法比较 $Q_{1}$ 与 $Q_{2}$ 的大小即可.
题目（八年级 · 代数）：月电科技有限公司用 160 万元, 作为新产品的研发费用, 成功研制出了一种市场急需的电子产品,已于当年投入生产并进行销售.已知生产这种电子产品的成本为 4 元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量 $\mathcal{Y}$ (万件)与销售价格 $\mathbb{X}$ (元/件)的关系如图所示, 其中 $A B$ 为反比例函数图象的一部
分, $B C$ 为一次函数图象的一部分. 设公司销售这种电子产品的年利润为 (万元). (注: 若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本.)



(1)请求出 $\mathscr{y}$ (万件)与 $\mathbb{x}$ (元/件)之间的函数关系式;

(2)求出第一年这种电子产品的年利润 (万元)与 $\mathbb{x}$ (元/件)之间的函数关系式, 并求出第一年年利润的最大值;

(3)假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润 (万元)取得最大值时进行销售, 现根据第一年的盈亏情况, 决定第二年将这种电子产品每件的销售价格 $x($ 元 $)$ 定在 8 元以上 $(x>8)$, 当第二年的年利润不低于 103 万元时, 请结合年利润 (万元)与销售价格 $x$ (元/件)的函数示意图, 求销售价格 $x($ 元/件)的取值范围.
选项：
答案：解: (1)当 $4 \leq x \leq 8$ 时, 设 $y=\frac{k}{x}$, 将 $A(4,40)$ 代入得 $k=4 \times 40=160$,

$\therefore y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y=\frac{160}{x}$;

当 $8<x \leq 28$ 时, 设 $y=k^{\prime} x+b$, 将 $B(8,20), C(28,0)$ 代入得,

$\left\{8 k^{\prime}+b=20\right.$

$28 k^{\prime}+b=0$,

解得 $\left\{\begin{array}{l}k^{\prime}=-1 \\ b=28\end{array}\right.$,

$\therefore y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y=-x+28$,

综上所述, $y=\left\{\begin{array}{l}160 \\ \frac{160}{x}(4 \leq x \leq 8) \\ -x+28(8<x \leq 28)\end{array}\right.$;

(2) 当 $4 \leq x \leq 8$ 时， $z=(x-4) y-160=(x-4) \cdot \frac{160}{x}-160=-\frac{640}{x}$,
$\because$ 当 $4 \leq x \leq 8$ 时, $z$ 随着 $x$ 的增大而增大，

$\therefore$ 当 $x=8$ 时, $z_{\text {max }}=-\frac{640}{8}=-80$;

当 $8<x \leq 28$ 时, $z=(x-4) y-160=(x-4)(-x+28)-160=-(x-16)^{2}-16$,

$\therefore$ 当 $x=16$ 时, $z_{\text {max }}=-16$;

$\because-16>-80$,

$\therefore$ 当每件的销售价格定为 16 元时, 第一年年利润的最大值为 -16 万元;

$(3):$ 第一年的年利润为 -16 万元,

$\therefore 16$ 万元应作为第二年的成本,

又 $\because x>8$,

$\therefore$ 第二年的年利润 $z=(x-4)(-x+28)-16=-x^{2}+32 x-128$,

令 $z=103$, 则 $103=-x^{2}+32 x-128$,

解得 $x_{1}=11, x_{2}=21$,

在平面直角坐标系中, 画出 $z$ 与 $x$ 的函数示意图可得:

<ImageHere>

观察示意图可知, 当 $z \geq 103$ 时, $11 \leq x \leq 21$,

$\therefore$ 当 $11 \leq x \leq 21$ 时, 第二年的年利润 $z$ 不低于 103 万元.
解析：解: (1)当 $4 \leq x \leq 8$ 时, 设 $y=\frac{k}{x}$, 将 $A(4,40)$ 代入得 $k=4 \times 40=160$,

$\therefore y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y=\frac{160}{x}$;

当 $8<x \leq 28$ 时, 设 $y=k^{\prime} x+b$, 将 $B(8,20), C(28,0)$ 代入得,

$\left\{8 k^{\prime}+b=20\right.$

$28 k^{\prime}+b=0$,

解得 $\left\{\begin{array}{l}k^{\prime}=-1 \\ b=28\end{array}\right.$,

$\therefore y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y=-x+28$,

综上所述, $y=\left\{\begin{array}{l}160 \\ \frac{160}{x}(4 \leq x \leq 8) \\ -x+28(8<x \leq 28)\end{array}\right.$;

(2) 当 $4 \leq x \leq 8$ 时， $z=(x-4) y-160=(x-4) \cdot \frac{160}{x}-160=-\frac{640}{x}$,
$\because$ 当 $4 \leq x \leq 8$ 时, $z$ 随着 $x$ 的增大而增大，

$\therefore$ 当 $x=8$ 时, $z_{\text {max }}=-\frac{640}{8}=-80$;

当 $8<x \leq 28$ 时, $z=(x-4) y-160=(x-4)(-x+28)-160=-(x-16)^{2}-16$,

$\therefore$ 当 $x=16$ 时, $z_{\text {max }}=-16$;

$\because-16>-80$,

$\therefore$ 当每件的销售价格定为 16 元时, 第一年年利润的最大值为 -16 万元;

$(3):$ 第一年的年利润为 -16 万元,

$\therefore 16$ 万元应作为第二年的成本,

又 $\because x>8$,

$\therefore$ 第二年的年利润 $z=(x-4)(-x+28)-16=-x^{2}+32 x-128$,

令 $z=103$, 则 $103=-x^{2}+32 x-128$,

解得 $x_{1}=11, x_{2}=21$,

在平面直角坐标系中, 画出 $z$ 与 $x$ 的函数示意图可得:



观察示意图可知, 当 $z \geq 103$ 时, $11 \leq x \leq 21$,

$\therefore$ 当 $11 \leq x \leq 21$ 时, 第二年的年利润 $z$ 不低于 103 万元.
题目（八年级 · 代数）：阅读下面的材料, 再解答问题.

例: 解不等式 $\frac{x}{2 x-1}>1$.

解: 把不等式 $\frac{x}{2 x-1}>1$ 进行整理,

得 $\frac{x}{2 x-1}-1>0$, 即 $\frac{1-x}{2 x-1}>0$.

则有(1) $\left\{\begin{array}{l}1-x>0 \\ 2 x-1>0\end{array}\right.$ 或(2) $\left\{\begin{array}{l}1-x<0 \\ 2 x-1<0\end{array}\right.$

解不等式组(1), 得 $\frac{1}{2}<x<1$,

解不等式组(2)知其无解,

所以原不等式的解为 $\frac{1}{2}<x<1$.

请根据以上思想方法解不等式 $\frac{3 x+2}{x-2}<2$.
选项：
答案：解: 把不等式 $\frac{3 x+2}{x-2}<2$ 进行整理, 得,

$\frac{3 \mathrm{x}+2}{\mathrm{x}-2}-2<0$ ，即 $\frac{x+6}{x-2}<0 ，$

则有(1) $\left\{\begin{array}{l}x+6>0 \\ x-2<0\end{array}\right.$ 或(2) $\left\{\begin{array}{l}x+6<0 \\ x-2>0\end{array}\right.$,

解不等式组(1), 得 $-6<x<2$, 解不等式组(2)无解,

所以原不等式的解为 $-6<x<2$.
解析：解: 把不等式 $\frac{3 x+2}{x-2}<2$ 进行整理, 得,

$\frac{3 \mathrm{x}+2}{\mathrm{x}-2}-2<0$ ，即 $\frac{x+6}{x-2}<0 ，$

则有(1) $\left\{\begin{array}{l}x+6>0 \\ x-2<0\end{array}\right.$ 或(2) $\left\{\begin{array}{l}x+6<0 \\ x-2>0\end{array}\right.$,

解不等式组(1), 得 $-6<x<2$, 解不等式组(2)无解,

所以原不等式的解为 $-6<x<2$.
题目（八年级 · 代数）：求不等式组 $\left\{\begin{array}{l}2 x+1<3 x, \\ \frac{x+1}{5}-\frac{x-2}{2} \geq 0\end{array}\right.$ 的所有整数解.
选项：
答案：解: $\left\{\begin{array}{l}2 x+1<3 x(1) \\ \frac{x+1}{5}-\frac{x-2}{2} \geq 0(2)\end{array}\right.$

解不等式(1)得: $x>1$,

解不等式(2得: $x \leqslant 4$,

所以不等式组的解集为 $1<x \leqslant 4$,

故不等式组的整数解为 $2,3,4$.
解析：解: $\left\{\begin{array}{l}2 x+1<3 x(1) \\ \frac{x+1}{5}-\frac{x-2}{2} \geq 0(2)\end{array}\right.$

解不等式(1)得: $x>1$,

解不等式(2得: $x \leqslant 4$,

所以不等式组的解集为 $1<x \leqslant 4$,

故不等式组的整数解为 $2,3,4$.
题目（八年级 · 代数）：阅读下面的材料, 再解答问题.

例: 解不等式 $\frac{x}{2 x-1}>1$.
选项：
答案：解: 把不等式 $\frac{x}{2 x-1}>1$ 进行整理,

得 $\frac{x}{2 x-1}-1>0$, 即 $\frac{1-x}{2 x-1}>0$.

则有(1) $\left\{\begin{array}{l}1-x>0 \\ 2 x-1>0\end{array}\right.$ 或(2) $\left\{\begin{array}{l}1-x<0 \\ 2 x-1<0\end{array}\right.$

解不等式组(1), 得 $\frac{1}{2}<x<1$,

解不等式组(2)知其无解,

所以原不等式的解为 $\frac{1}{2}<x<1$.

请根据以上思想方法解不等式 $\frac{3 x+2}{x-2}<2$.

解: 把不等式 $\frac{3 x+2}{x-2}<2$ 进行整理, 得,

$\frac{3 \mathrm{x}+2}{\mathrm{x}-2}-2<0$ ，即 $\frac{x+6}{x-2}<0 ，$

则有(1) $\left\{\begin{array}{l}x+6>0 \\ x-2<0\end{array}\right.$ 或(2) $\left\{\begin{array}{l}x+6<0 \\ x-2>0\end{array}\right.$,

解不等式组(1), 得 $-6<x<2$, 解不等式组(2)无解,

所以原不等式的解为 $-6<x<2$.
解析：解: 把不等式 $\frac{x}{2 x-1}>1$ 进行整理,

得 $\frac{x}{2 x-1}-1>0$, 即 $\frac{1-x}{2 x-1}>0$.

则有(1) $\left\{\begin{array}{l}1-x>0 \\ 2 x-1>0\end{array}\right.$ 或(2) $\left\{\begin{array}{l}1-x<0 \\ 2 x-1<0\end{array}\right.$

解不等式组(1), 得 $\frac{1}{2}<x<1$,

解不等式组(2)知其无解,

所以原不等式的解为 $\frac{1}{2}<x<1$.

请根据以上思想方法解不等式 $\frac{3 x+2}{x-2}<2$.

解: 把不等式 $\frac{3 x+2}{x-2}<2$ 进行整理, 得,

$\frac{3 \mathrm{x}+2}{\mathrm{x}-2}-2<0$ ，即 $\frac{x+6}{x-2}<0 ，$

则有(1) $\left\{\begin{array}{l}x+6>0 \\ x-2<0\end{array}\right.$ 或(2) $\left\{\begin{array}{l}x+6<0 \\ x-2>0\end{array}\right.$,

解不等式组(1), 得 $-6<x<2$, 解不等式组(2)无解,

所以原不等式的解为 $-6<x<2$.
题目（八年级 · 代数）：解不等式组 $\left\{\begin{array}{c}2 x+5 \geq 3(1-x) \\ \frac{x-1}{2}<\frac{x}{3}\end{array}\right.$ 并写出不等式组的正整数解.
选项：
答案：解: 不等式组 $\left\{\begin{array}{c}2 x+5 \geq 3(1-x)(1) \\ \frac{x-1}{2}<\frac{x}{3}(2)\end{array}\right.$,

解不等式(1)得： $x \geq-\frac{2}{5} ，$

由不等式(2得: $x<3$,

$\therefore$ 该不等式组的解集为: $-\frac{2}{5} \leq x<3$

$\therefore$ 其整数解为 $0,1,2$.
解析：解: 不等式组 $\left\{\begin{array}{c}2 x+5 \geq 3(1-x)(1) \\ \frac{x-1}{2}<\frac{x}{3}(2)\end{array}\right.$,

解不等式(1)得： $x \geq-\frac{2}{5} ，$

由不等式(2得: $x<3$,

$\therefore$ 该不等式组的解集为: $-\frac{2}{5} \leq x<3$

$\therefore$ 其整数解为 $0,1,2$.
题目（八年级 · 代数）：某校计划为教师购买甲、乙两种词典.
    已知购买 1 本甲种词典和 2 本乙种词典共需 170 元,

购买 2 本甲种词典和 3 本乙种词典共需 290 元.

(1) 求每本甲种词典和每本乙种词典的价格分别为多少元?

（2）学校计划购买甲种词典和乙种词典共 30 本，总费用不超过 1600 元，

那么最多可购买甲种词典多少本?
选项：
答案：解：(1）设每本甲种词典的价格为 $x$ 元, 每本乙种词典的价格为 $y$ 元, 根据题意, 得

$$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
x+2 y=170 \\
2 x+3 y=290
\end{array}\right. \\
& \text { 解得 }\left\{\begin{array}{l}
x=70 \\
y=50
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

答：每本甲种词典的价格为 70 元, 每本乙种词典的价格为 50 元.

（2）设学校计划购买甲种词典 $m$ 本, 则购买乙种词典 $(30-m)$ 本, 根据题意, 得

$$
70 m+50(30-m) \leq 1600
$$

解得 $m \leq 5$

答: 学校最多可购买甲种词典 5 本.
解析：解：(1）设每本甲种词典的价格为 $x$ 元, 每本乙种词典的价格为 $y$ 元, 根据题意, 得

$$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
x+2 y=170 \\
2 x+3 y=290
\end{array}\right. \\
& \text { 解得 }\left\{\begin{array}{l}
x=70 \\
y=50
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$

答：每本甲种词典的价格为 70 元, 每本乙种词典的价格为 50 元.

（2）设学校计划购买甲种词典 $m$ 本, 则购买乙种词典 $(30-m)$ 本, 根据题意, 得

$$
70 m+50(30-m) \leq 1600
$$

解得 $m \leq 5$

答: 学校最多可购买甲种词典 5 本.
题目（八年级 · 代数）：阅读下面的材料, 再解答问题.

例: 解不等式 $\frac{x}{2 x-1}>1$.

解：把不等式 $\frac{x}{2 x-1}>1$ 进行整理,

得 $\frac{x}{2 x-1}-1>0$, 即 $\frac{1-x}{2 x-1}>0$.

则有 $(1)\left\{\begin{array}{l}1-x>0 \\ 2 x-1>0\end{array}\right.$ 或(2) $\left\{\begin{array}{l}1-x<0 \\ 2 x-1<0\end{array}\right.$

解不等式组 11 , 得 $\frac{1}{2}<x<1$,

解不等式组(2)知其无解,
所以原不等式的解为 $\frac{1}{2}<x<1$.

请根据以上思想方法解不等式 $\frac{3 x+2}{x-2}<2$.
选项：
答案：解: 把不等式 $\frac{3 x+2}{x-2}<2$ 进行整理, 得, $\frac{3 \mathrm{x}+2}{\mathrm{x}-2}-2<0$, 即 $\frac{x+6}{x-2}<0$,则有(1) $\left\{\begin{array}{l}x+6>0 \\ x-2<0\end{array}\right.$ 或(2) $\left\{\begin{array}{l}x+6<0 \\ x-2>0\end{array}\right.$,

解不等式组(1), 得 $-6<x<2$, 解不等式组(2)无解,

所以原不等式的解为 $-6<x<2$.

24 ・某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子.

己知购进甲种粽子的金额是 1200 元，购进乙种粽子的金额是 800 元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少 50 个,甲种粽子的单价是乙种粽子单价的 2 倍.

(1) 求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元?

（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共 200 个,若总金额不超过 1150 元，问最多购进多少个甲种粽子?

【解】解: (1) 设乙种粽子的单价为 $x$ 元，则甲种粽子的单价为 $2 x$ 元，依题意得: $\frac{800}{x}-\frac{1200}{2 x}=50$, 解得: $x=4$,经检验, $x=4$ 是原方程的解, 则 $2 x=8$,

## 答: 甲种粽子的单价为 8 元, 乙种粽子的单价为 4 元.

（2）设购进甲种粽子 $m$ 个，则购进乙种粽子 $(200-m)$ 个，依题意得: $8 m+4(200-m) \leqslant 1150, \quad$ 解得： $m \leqslant 87.5$,答: 最多购进 87 个甲种粽子.
解析：解: 把不等式 $\frac{3 x+2}{x-2}<2$ 进行整理, 得, $\frac{3 \mathrm{x}+2}{\mathrm{x}-2}-2<0$, 即 $\frac{x+6}{x-2}<0$,则有(1) $\left\{\begin{array}{l}x+6>0 \\ x-2<0\end{array}\right.$ 或(2) $\left\{\begin{array}{l}x+6<0 \\ x-2>0\end{array}\right.$,

解不等式组(1), 得 $-6<x<2$, 解不等式组(2)无解,

所以原不等式的解为 $-6<x<2$.

24 ・某超市节前购进了甲、乙两种畅销口味的粽子.

己知购进甲种粽子的金额是 1200 元，购进乙种粽子的金额是 800 元，购进甲种粽子的数量比乙种粽子的数量少 50 个,甲种粽子的单价是乙种粽子单价的 2 倍.

(1) 求甲、乙两种粽子的单价分别是多少元?

（2）为满足消费者需求，该超市准备再次购进甲、乙两种粽子共 200 个,若总金额不超过 1150 元，问最多购进多少个甲种粽子?

【解】解: (1) 设乙种粽子的单价为 $x$ 元，则甲种粽子的单价为 $2 x$ 元，依题意得: $\frac{800}{x}-\frac{1200}{2 x}=50$, 解得: $x=4$,经检验, $x=4$ 是原方程的解, 则 $2 x=8$,

## 答: 甲种粽子的单价为 8 元, 乙种粽子的单价为 4 元.

（2）设购进甲种粽子 $m$ 个，则购进乙种粽子 $(200-m)$ 个，依题意得: $8 m+4(200-m) \leqslant 1150, \quad$ 解得： $m \leqslant 87.5$,答: 最多购进 87 个甲种粽子.
题目（八年级 · 代数）：已知 $y=y_{1}+y_{2}, y_{1}$ 与 $(x-1)$ 成正比例, $y_{2}$ 与 $(x+1)$ 成反比例, 当 $x=0$ 时, $y=-3$, 当 $x=1$ 时, $y=-1$

(1)求 $y$ 的表达式;

(2)求当 $x=-\frac{1}{2}$ 时 $y$ 的值.
选项：
答案：解: (1) $\because y_{1}$ 与 $(x-1)$ 成正比例, $y_{2}$ 与 $(x+1)$ 成反比例,

$\therefore y_{1}=k_{1}(x-1), y_{2}=\frac{k_{2}}{x+1}$,

$\because y=y_{1}+y_{2}$, 当 $x=0$ 时, $y=-3$, 当 $x=1$ 时, $y=-1$.
$\therefore\left\{\begin{array}{l}-3=-k_{1}+k_{2} \\ -1=\frac{1}{2} k_{2}\end{array}\right.$,

$\therefore k_{2}=-2, k_{1}=1$,

$\therefore y=x-1-\frac{2}{x+1} ;$

(2)当 $x=-\frac{1}{2}, y=x-1-\frac{2}{x+1}=-\frac{1}{2}-1-\frac{2}{-\frac{1}{2}+1}=-\frac{11}{2}$.
解析：解: (1) $\because y_{1}$ 与 $(x-1)$ 成正比例, $y_{2}$ 与 $(x+1)$ 成反比例,

$\therefore y_{1}=k_{1}(x-1), y_{2}=\frac{k_{2}}{x+1}$,

$\because y=y_{1}+y_{2}$, 当 $x=0$ 时, $y=-3$, 当 $x=1$ 时, $y=-1$.
$\therefore\left\{\begin{array}{l}-3=-k_{1}+k_{2} \\ -1=\frac{1}{2} k_{2}\end{array}\right.$,

$\therefore k_{2}=-2, k_{1}=1$,

$\therefore y=x-1-\frac{2}{x+1} ;$

(2)当 $x=-\frac{1}{2}, y=x-1-\frac{2}{x+1}=-\frac{1}{2}-1-\frac{2}{-\frac{1}{2}+1}=-\frac{11}{2}$.
题目（八年级 · 代数）：某地上年度电价为 0.8 元/千瓦时, 年用电量为 1 亿千瓦时. 本年度计划将电价调至 $0.55 \sim 0.75$ 元/千瓦时. 经测算, 若电价调至 $x$ 元/千瓦时, 则本年度新增用电量 $y$ (亿千瓦时)与 $(x-0.4)$ 成反比例. 经取样调查, 当 $x=0.65$ 元/千瓦时时, $y=0.8$ 亿千瓦时.

(1)求 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式.

(2)若电价调至 0.6 元/千瓦时时, 本年度的用电量是多少？
选项：
答案：解: (1) $\because$ 本年度新增的电量为 $y$ (亿度)与 $(x-0.4)$ (元)成反比例关系, 且当 $x=0.65$ 时, $y=0.8$,

$\therefore$ 设 $y=\frac{k}{x-0.4}$, 则 $0.8=\frac{k}{0.65-0.4}$,

解得: $k=0.2$.
故 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系为: $y=\frac{0.2}{x-0.4}(0.55 \leq x \leq 0.75)$;

(2) 由题意可得: $x=0.6$, 则 $y=\frac{0.2}{0.6-0.4}=1$ (亿度),

故总用电量为 2 亿度.
解析：解: (1) $\because$ 本年度新增的电量为 $y$ (亿度)与 $(x-0.4)$ (元)成反比例关系, 且当 $x=0.65$ 时, $y=0.8$,

$\therefore$ 设 $y=\frac{k}{x-0.4}$, 则 $0.8=\frac{k}{0.65-0.4}$,

解得: $k=0.2$.
故 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系为: $y=\frac{0.2}{x-0.4}(0.55 \leq x \leq 0.75)$;

(2) 由题意可得: $x=0.6$, 则 $y=\frac{0.2}{0.6-0.4}=1$ (亿度),

故总用电量为 2 亿度.
题目（八年级 · 组合几何学）：已知: $A D$ 平分 $\angle C A B$, 且 $D C \perp A C, D B \perp A B$, 求证: $A B=A C$


选项：
答案：证明 $： \because \mathrm{AD}$ 平分 $\angle \mathrm{CAB}$,

$\therefore \angle \mathrm{CAD}=\angle \mathrm{BAD}$,

$\because \mathrm{DC} \perp \mathrm{AC}, \mathrm{DB} \perp \mathrm{AB}$,

$\therefore \angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{ABD}=90^{\circ}$

在 $\triangle A C D$ 和 $\triangle A B D$ 中

$$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
\angle C A D=\angle B A D \\
\angle C=\angle D \\
A D=A D
\end{array}\right. \\
& \therefore \triangle \mathrm{ACD} \cong \triangle \mathrm{ABD}(\mathrm{AAS}), \\
& \therefore \mathrm{AC}=\mathrm{AB} .
\end{aligned}
$$
解析：证明 $： \because \mathrm{AD}$ 平分 $\angle \mathrm{CAB}$,

$\therefore \angle \mathrm{CAD}=\angle \mathrm{BAD}$,

$\because \mathrm{DC} \perp \mathrm{AC}, \mathrm{DB} \perp \mathrm{AB}$,

$\therefore \angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{ABD}=90^{\circ}$

在 $\triangle A C D$ 和 $\triangle A B D$ 中

$$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
\angle C A D=\angle B A D \\
\angle C=\angle D \\
A D=A D
\end{array}\right. \\
& \therefore \triangle \mathrm{ACD} \cong \triangle \mathrm{ABD}(\mathrm{AAS}), \\
& \therefore \mathrm{AC}=\mathrm{AB} .
\end{aligned}
$$
题目（八年级 · 组合几何学）：在 $\triangle A B C$ 中, $A D \perp B C$ 于点 $D$, 点 $E$ 为 $A D$ 上一点, 连接 $C E, C E=A B, E D=B D$.



(1) 求证: $\triangle A B D \cong \triangle C E D$;

(2) 若 $\angle A C E=22^{\circ}$, 则 $\angle B$ 的度数为_.
选项：
答案：解: (1) $\because A D \perp B C$,

$\therefore \angle A D B=\angle C D E=90^{\circ}$,

在 $R t \triangle A B D$ 与 $R t \triangle C E D$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}C E=A B \\ E D=B D\end{array}\right.$,

$\therefore R t \triangle A B D \cong R t \triangle C E D(H L)$

(2) $\because R t \triangle A B D \cong R t \triangle C E D$,

$\therefore A D=C D$,

$\therefore \triangle A D C$ 是等腰直角三角形,

$\therefore \angle A C D=45^{\circ}$,

$\therefore \angle E C D=\angle A C D-\angle A C E=45^{\circ}-22^{\circ}=23^{\circ}$,

$\therefore \angle C E D=90^{\circ}-23^{\circ}=67^{\circ}$,

$\therefore \angle B=\angle C E D=67^{\circ}$.
解析：解: (1) $\because A D \perp B C$,

$\therefore \angle A D B=\angle C D E=90^{\circ}$,

在 $R t \triangle A B D$ 与 $R t \triangle C E D$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}C E=A B \\ E D=B D\end{array}\right.$,

$\therefore R t \triangle A B D \cong R t \triangle C E D(H L)$

(2) $\because R t \triangle A B D \cong R t \triangle C E D$,

$\therefore A D=C D$,

$\therefore \triangle A D C$ 是等腰直角三角形,

$\therefore \angle A C D=45^{\circ}$,

$\therefore \angle E C D=\angle A C D-\angle A C E=45^{\circ}-22^{\circ}=23^{\circ}$,

$\therefore \angle C E D=90^{\circ}-23^{\circ}=67^{\circ}$,

$\therefore \angle B=\angle C E D=67^{\circ}$.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 和 $\triangle A D E$ 中, $\angle B A C=\angle D A E=90^{\circ}, A B=A C, A D=A E$,

点 $C 、 D 、 E$ 三点在同一直线上, 连接 $B D$ 交 $A C$ 于点 $F$.



(1) 求证: $\triangle B A D \cong \underline{\simeq}_{\triangle} C A E$;

(2) 猜想 $B D, C E$ 有何特殊位置关系, 并说明理由.
选项：
答案：解: (1) 证: $\because \angle B A C=\angle D A E=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C+\angle C A D=\angle E A D+\angle C A D$,

$\therefore \angle B A D=\angle C A E$,

在 $\triangle B A D$ 和 $\triangle C A E$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}A B=A C \\ \angle B A D=\angle C A E, \\ A D=A E\end{array}\right.$

$\therefore \triangle B A D \cong \triangle C A E(\mathrm{SAS})$.

（2）证: 猜想: $B D \perp C E$, 理由如下:

由 (1) 知 $\triangle B A D \cong_{\triangle} C A E$,

$\therefore B D=C E, \quad \angle A B D=\angle A C E$,

$\because A B=A C, \quad \angle B A C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A B C=\angle A C B=45^{\circ}$,

$\therefore \angle A B D+\angle D B C=\angle A B C=45^{\circ}$,

$\because \angle A B D=\angle A C E$,

$\therefore \angle A C E+\angle D B C=45^{\circ}$,

$\therefore \angle D B C+\angle D C B=\angle D B C+\angle A C E+\angle A C B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B D C=180^{\circ}-\angle D B C-\angle D C B=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$,
$\therefore B D \perp C E$.
解析：解: (1) 证: $\because \angle B A C=\angle D A E=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C+\angle C A D=\angle E A D+\angle C A D$,

$\therefore \angle B A D=\angle C A E$,

在 $\triangle B A D$ 和 $\triangle C A E$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}A B=A C \\ \angle B A D=\angle C A E, \\ A D=A E\end{array}\right.$

$\therefore \triangle B A D \cong \triangle C A E(\mathrm{SAS})$.

（2）证: 猜想: $B D \perp C E$, 理由如下:

由 (1) 知 $\triangle B A D \cong_{\triangle} C A E$,

$\therefore B D=C E, \quad \angle A B D=\angle A C E$,

$\because A B=A C, \quad \angle B A C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A B C=\angle A C B=45^{\circ}$,

$\therefore \angle A B D+\angle D B C=\angle A B C=45^{\circ}$,

$\because \angle A B D=\angle A C E$,

$\therefore \angle A C E+\angle D B C=45^{\circ}$,

$\therefore \angle D B C+\angle D C B=\angle D B C+\angle A C E+\angle A C B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B D C=180^{\circ}-\angle D B C-\angle D C B=180^{\circ}-90^{\circ}=90^{\circ}$,
$\therefore B D \perp C E$.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 在矩形 $A B C D$ 中, $F$ 是 $B C$ 边上一点, $A F$ 的延长线交 $D C$ 的延长线于点 $G, D E \perp A G$, 垂足为 $E$, 且 $D E=D C$, 求证: $B F=A E$.


选项：
答案：证明: 在矩形 $A B C D$ 中, $A B=C D, B C / / A D, \angle B=90^{\circ}, D E=C D$,

$\therefore A B=D E, \angle B F A=\angle E A D$,

$\because D E \perp A G$,

$\therefore \angle A E D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A E D=\angle B$,

在 $\triangle A B F$ 与 $\triangle D E A$ 中

$\left\{\begin{array}{l}\angle B F A=\angle E A D \\ \angle B=\angle A E D \\ A B=D E\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A B F \cong \triangle D E A$,
$\therefore B F=A E$.
解析：证明: 在矩形 $A B C D$ 中, $A B=C D, B C / / A D, \angle B=90^{\circ}, D E=C D$,

$\therefore A B=D E, \angle B F A=\angle E A D$,

$\because D E \perp A G$,

$\therefore \angle A E D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A E D=\angle B$,

在 $\triangle A B F$ 与 $\triangle D E A$ 中

$\left\{\begin{array}{l}\angle B F A=\angle E A D \\ \angle B=\angle A E D \\ A B=D E\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A B F \cong \triangle D E A$,
$\therefore B F=A E$.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 正方形 $A B C D$, 点 $E, F$ 分别在边 $A D, C D$ 上, 且 $D E=C F, A F$ 与 $B E$ 相交于点 $G$.



(1)求证: $B E=A F$;

(2)若 $A B=4, D E=1$, 求 $A G$ 的长.
选项：
答案：(1)证明: $\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形,

$\therefore \angle B A E=\angle A D F=90^{\circ}, A B=A D=C D$,

$\because D E=C F$,

$\therefore A E=D F$,

在 $\triangle B A E$ 和 $\triangle A D F$ 中, $\left\{\begin{array}{l}A B=A D \\ \angle B A E=\angle A D F \\ A E=D F\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle B A E \cong \triangle A D F(S A S)$,

$\therefore B E=A F$

(2)解： 由(1)得： $\triangle B A E \cong \triangle A D F$ ，

$\therefore \angle E B A=\angle F A D$,

$\therefore \angle G A E+\angle A E G=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A G E=90^{\circ}$,

$\because A B=4, D E=1$,

$\therefore A E=3$,

$\therefore B E=\sqrt{A B^{2}+A E^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$,

在Rt $\triangle A B E$ 中, $\frac{1}{2} A B \times A E=\frac{1}{2} B E \times A G$,

$\therefore A G=\frac{3 \times 4}{5}=\frac{12}{5}$.
解析：(1)证明: $\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形,

$\therefore \angle B A E=\angle A D F=90^{\circ}, A B=A D=C D$,

$\because D E=C F$,

$\therefore A E=D F$,

在 $\triangle B A E$ 和 $\triangle A D F$ 中, $\left\{\begin{array}{l}A B=A D \\ \angle B A E=\angle A D F \\ A E=D F\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle B A E \cong \triangle A D F(S A S)$,

$\therefore B E=A F$

(2)解： 由(1)得： $\triangle B A E \cong \triangle A D F$ ，

$\therefore \angle E B A=\angle F A D$,

$\therefore \angle G A E+\angle A E G=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A G E=90^{\circ}$,

$\because A B=4, D E=1$,

$\therefore A E=3$,

$\therefore B E=\sqrt{A B^{2}+A E^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5$,

在Rt $\triangle A B E$ 中, $\frac{1}{2} A B \times A E=\frac{1}{2} B E \times A G$,

$\therefore A G=\frac{3 \times 4}{5}=\frac{12}{5}$.