eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高三 · 度量几何学）：若 $\vec{a}=(2,-3,1), \vec{b}=(2,0,3), \vec{c}=(0,2,2)$, 则 $\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{c})=(\quad)$
选项：
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
答案：B
解析：根据题意, 已知 $\vec{a}=(\lambda+1,0,2 \lambda), \vec{b}=(6,0,2)$, 若 $\vec{a} / / \vec{b}$, 必有 $rac{\lambda+1}{6}=rac{2 \lambda}{2}$, 解可得: $\lambda=rac{1}{5}$; 故选: B.
题目（高三 · 度量几何学）：已知 $\vec{a}_{=}(3,-2,-3), \vec{b}=\left(-1, x_{-} 1,1\right)$, 且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为针角, 则 $x$ 的取值范围是 ( )
选项：
A. $(-2,+\infty)$
B. $\left(-2, \frac{5}{3}\right) \cup\left(\frac{5}{3},+\infty\right)$
C. $(-\infty,-2)$
D. $\left(\frac{5}{3},+\infty\right)$
答案：B
解析：因为 $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ 与 $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ 的夹角为针角, 所以 $\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}<0$ 且 $\langle\vec{a}, \vec{b}angle 
eq 180^{\circ}$,所以 $\overrightarrow{\mathrm{a}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}=(3,-2,-3) \cdot(-1, \mathrm{x}-1,1)=3 	imes(-1)+(-2) \cdot(\mathrm{x}-1)+(-3) 	imes 1<0$, 所以 $\mathrm{x}>-2 ; ecause\langle\vec{a}, \vec{b}angle 
eq 180^{\circ}$ 即 $\mathrm{x} 
eq rac{5}{3}$, 即 $\mathrm{x}>-2$ 且 $\mathrm{x} 
eq rac{5}{3}$; 故选 B.
题目（高三 · 度量几何学）：设 $a$ 是实数, 若复数 $\frac{a}{i}+\frac{1-i}{2}$ (为虚数单位) 在复平面内对应的点在直线 $x+y=0$ 上,则 $a$ 的值为（ ）
选项：
A. -1
B. 0
C.
D. 2
答案：B
解析：解析: 解答: 由复数 $\frac{a}{i}+\frac{1-i}{2}$ 可化为 $\frac{1}{2}-\left(a+\frac{1}{2}\right) i$. 复数对应的点在直线 $x+y=0$ 上, 所以可得 $\frac{1}{2}-a-\frac{1}{2}=0, \therefore a=0$,故选 B.

分析: 本题主要考查了复数的代数表示法及其几何意义、复数代数形式的加减运算, 解决问题的关键是根据所给复数满足条件代入计算即可.
题目（高三 · 度量几何学）：若直线 $l$ 的一个方向向量为 $\vec{a}=(2,5,7)$, 平面 $\alpha$ 的一个法向量为 $\vec{\mu}=(1,1,-1)$,则 $(\quad)$
选项：
A. $l \| \alpha$
B. $l \perp \alpha$
C. $l \subset \alpha$
D. $A 、 C$ 都有可能
答案：D
解析：直线 $l$ 的一个方向向量为 $\vec{a}=(2,5,7)$, 平面 $\alpha$ 的一个法向量为 $\vec{\mu}=(1,1,-1)$,可得 $\vec{a} \cdot \vec{\mu}=(=(2,5,7)(1,1,-1)=2+5-7=0$, 所以 $l \| \alpha$. 或 $l \subset \alpha$. 故选: $D$. 2.A
题目（高三 · 度量几何学）：已知平面 $\alpha$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{n_{1}}=(-1,-2,-1)$, 平面 $\beta$ 的一个法向量 $\overrightarrow{n_{2}}=(2,4,2)$, 则不重合的平面 $\alpha$ 与平面 $\beta(\quad)$
选项：
A. 平行
B. 垂直
C. 相交但不垂直
D. 不确定
答案：A
解析：解: 因为 $\overrightarrow{n_{1}}=(-1,-2,-1) \overrightarrow{n_{2}}=(2,4,2)$, 所以 $\overrightarrow{n_{2}}=-2 \overrightarrow{n_{1}}$, 所以两平面的法向量平行, 故两平面平行.故选 $A$.
题目（高三 · 度量几何学）：设 $\vec{u}=(-2,2,5) 、 \vec{v}=(6,-4,4)$ 分别是平面 $\alpha, \beta$ 的法向量, 则平面 $\alpha, \beta$ 的位置关系是
选项：
A. 平行
B. 垂直
C. 相交但不垂直
D. 不能确定
答案：B
解析：$\vec{u} \cdot \vec{v}=(-2,2,5) \cdot(6,-4,4)=-2 	imes 6+2 	imes(-4)+5 	imes 4=0,: 	herefore \vec{u} \perp \vec{v}$, $: \vec{u}=(-2,2,5) 、 \vec{v}=(6,-4,4)$ 分别是平面 $\alpha, eta$ 的法向量, $	herefore$ 平面 $\alpha$ 与平面 $eta$ 垂直, . 故选 $B$.
题目（高三 · 度量几何学）：已知 $a=(1,1,1), b=(0,2,-1), c=m a+n b+(4,-4,1)$. 若 $c$ 与 $a$ 及 $b$ 都垂直,则 $m, n$ 的值分别为 ( )
选项：
A. $-1,2$
B. $1,-2$
C. 1,2
D. $-1,-2$
答案：A
解析：选 $A$ 由已知得 $c=(m+4, m+2 n-4, m-n+1)$, 故 $a \cdot c=3 m+n+1=0, b \cdot c=m+5 n-9=0$. 解得 $\left\{egin{array}{l}m=-1, \ n=2 .\end{array}ight.$
题目（高三 · 度量几何学）：已知函数 $f(x)=\sin ^{2} \frac{\omega x}{2}+\frac{1}{2} \sin \omega x-\frac{1}{2}(\omega>0)$, 若 $f(x)$ 在区间 $(\pi, 2 \pi)$ 内没有零点, 则 $\omega$ 的取值范围是
选项：
A. $\left(0, \frac{1}{8}\right]$
   B. $\left(0, \frac{1}{8}\right] \cup\left[\frac{1}{4}, \frac{5}{8}\right]$
   C. $\left(0, \frac{5}{8}\right]$
   D. $\left(0, \frac{1}{4}\right] \cup\left[\frac{5}{8}, 1\right)$
答案：B
解析：答案:B

【解析】

函数$f(x)=\sin ^{2} \frac{\omega x}{2}+\frac{1}{2} \sin \omega x-\frac{1}{2} f(x)=\frac{1-\cos \omega x}{2}+\frac{1}{2} \sin \omega x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(\omega x-\frac{\pi}{4}\right)$,

由 $f(x)=0$, 可得 $\sin \left(\omega x-\frac{\pi}{4}\right)=0$,

解得 $x=\frac{k \pi+\frac{\pi}{4}}{\omega} \notin(\pi, 2 \pi), \therefore \omega \notin\left(\frac{1}{8}, \frac{1}{4}\right) \cup\left(\frac{5}{8}, \frac{5}{4}\right) \cup\left(\frac{9}{8}, \frac{0}{4}\right) \cup \ldots=\left(\frac{1}{8}, \frac{1}{4}\right) \cup\left(\frac{5}{8},+\infty\right)$,

$\because f(x)$ 在区间 $(\pi, 2 \pi)$ 内没有零点,

$\therefore \omega \in\left(0, \frac{1}{8}\right] \cup\left[\frac{1}{4}, \frac{5}{8}\right]$.

故选 B.
题目（高三 · 度量几何学）：若 $\alpha, \beta$ 都是锐角, 且 $\cos \alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}, \sin (\alpha+\beta)=\frac{3}{5}$, 则 $\cos \beta=$
选项：
A. $\frac{2 \sqrt{5}}{25}$
   B. $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
   C. $\frac{2 \sqrt{5}}{25}$ 或 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
   D. $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 或 $\frac{\sqrt{5}}{25}$
答案：A
解析：答案:A

【解析】

因为 $\alpha, \beta$ 都是锐角, 且 $\cos \alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}<\frac{1}{2}$, 所以 $\frac{\pi}{3}<\alpha<\frac{\pi}{2}$, 又

$\sin (\alpha+\beta)=\frac{3}{5}<\frac{\sqrt{3}}{2}$, 所以 $\frac{\pi}{2}<\alpha+\beta<\pi$, 所以 $\cos (\alpha+\beta)=-\sqrt{1-\sin ^{2}(\alpha+\beta)}=-\frac{4}{5}$

$\sin \alpha=\sqrt{1-\cos ^{2} \alpha}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \cos \beta=\cos (\alpha+\beta-\alpha)=\cos (\alpha+\beta) \cos \alpha+\sin (\alpha+\beta) \sin \alpha$

$=\frac{2 \sqrt{5}}{25}$, 故选 A.
题目（高三 · 度量几何学）：已知 $i$ 是虚数单位, 在复平面内, 复数 $-2+i$ 和 $1-3 i$ 对应的点之间的距离是
选项：
A. $\sqrt{5}$ B. $\sqrt{10}$ C. 5
D. 25
答案：C
解析：由于复数 $-2+i$ 和 $1-3 i$ 对应的点分别为 $(-2,1),(1,-3)$,因此由两点间的距离公式, 得这两点间的距离为 $\sqrt{(-2-1)^{2}+(1+3)^{2}}=5$,故选 C.
题目（高三 · 度量几何学）：已知 $\triangle A B C \sim \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$, 下列选项中的式子, 不一定成立的是（）
选项：
A. $\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{B}^{\prime}$
B. $\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{C}^{\prime}$
C. $\frac{A B}{A^{\prime} B^{\prime}}=\frac{B C}{B^{\prime} C^{\prime}}$
D. $\frac{A B}{A^{\prime} B^{\prime}}=\frac{A C}{A^{\prime} C^{\prime}}$
答案：B
解析：解析: 解答: 很明显选项 $\mathrm{A}, \mathrm{C}, \mathrm{D}$ 均成立. 因为 $\angle \mathrm{A}$ 和 $\angle \mathrm{C}^{\prime}$ 不是对应角, 所以 $\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{C}^{\prime}$ 不一定成立.

分析: 本题主要考查了相似三角形的判定及性质, 解决问题的关键是根据相似三角形的判断与性质定理分析即可.
题目（高三 · 度量几何学）：如图,点 $C, D$ 在线段 $A B$ 上, $\triangle P C D$ 是等边三角形,且 $\triangle A C P \sim \triangle P D B$, 则 $\angle A P B$ 等于 ( )


选项：
A. $60^{\circ}$
B. $120^{\circ}$
C. $135^{\circ}$
D. $150^{\circ}$
答案：B
解析：解析: 解答: $\because \triangle \mathrm{ACP} \sim \triangle \mathrm{PDB}, \therefore \angle \mathrm{APC}=\angle \mathrm{PBD}, \therefore \angle \mathrm{APB}=\angle \mathrm{APC}+\angle \mathrm{CPD}+\angle \mathrm{DPB}=\angle$ $\mathrm{PBD}+60^{\circ}+\angle \mathrm{DPB}=(\angle \mathrm{PBD}+\angle \mathrm{DPB})+60^{\circ}=\angle \mathrm{CDP}+60^{\circ}=60^{\circ}+60^{\circ}=120^{\circ}$.

分析: 本题主要考查了相似三角形的判定及性质, 解决问题的关键是根据相似三角形的判断与性质分析运算即可解决
题目（高三 · 度量几何学）：在 $\triangle A B C$ 中, $D$ 是 $A B$ 上一点, 在边 $A C$ 上找一点 $E$,使得 $\triangle A D E$ 与 $\triangle A B C$ 相似,则这样的点最多有（）
选项：
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 无数个
答案：C
解析：解析：解答：如图, $\mathrm{DE}_{1} / / \mathrm{BC}$, 则 $\triangle \mathrm{ADE}_{1} \sim \triangle \mathrm{ABC}$; 在 $\mathrm{AC}$ 上若存在点 $\mathrm{E}_{2}$, 使 $\angle \mathrm{AE} \mathrm{E}_{2} \mathrm{D}=\angle \mathrm{B}$, 又 $\angle$ $\mathrm{A}=\angle \mathrm{A}$, 则 $\triangle \mathrm{ADE}{ }_{2} \sim \triangle \mathrm{ACB}$, 故这样的点最多有两个.

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题目（高三 · 度量几何学）：已知 $\triangle A B C \sim \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}, A B=4, A^{\prime} B^{\prime}=3$, 则 $B C$ 和 $B^{\prime} C^{\prime}$ 上对应中线的比等于（ ）
选项：
A. $\frac{4}{3}$
B. $\frac{3}{4}$
C. $\frac{16}{9}$
D. 无法确定
答案：A
解析：解析: 解答: 相似比为 $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}}=\frac{4}{3}$, 则 $\mathrm{BC}$ 和 $\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$ 上对应中线的比等于相似比 $\frac{4}{3}$.

分析: 本题主要考查了相似三角形的判定及性质, 解决问题的关键是根据相似三角形的判断与性质分析即可
题目（高三 · 度量几何学）：已知 $\triangle A B C \sim \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$, 且 $\frac{S_{\triangle A B C}}{S_{\triangle A^{\prime} B^{\prime}}}=\frac{1}{4}, B C=2$, 则 $B^{\prime} C^{\prime}$ 等于 ( )
选项：
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
答案：B
解析：解析: 解答: $\because \frac{\mathrm{S}_{\triangle A B C}}{\mathrm{~S}_{\triangle \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{BC}^{\prime}}}=\left(\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{B}^{\prime} C^{\prime}}\right)^{2}=\frac{1}{4}, \therefore \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}=\frac{1}{2}$. 又 $\because B C=2, \therefore \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}=2 \mathrm{BC}=4$.

分析: 本题主要考查了相似三角形的判定及性质, 解决问题的关键是根据相似三角形的判断与性质分析计算即可
题目（高三 · 度量几何学）：已知 $\triangle A B C \sim \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}, A D, A^{\prime} D^{\prime}$ 分别是 $\triangle A B C$ 和 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的角平分线, 且 $\frac{A D}{A^{\prime} D^{\prime}}=\frac{5}{4}$, 则 $\triangle \mathrm{ABC}$ 和 $\triangle \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$ 的内切圆的直径的比等于（）
选项：
A. $\frac{4}{5}$
B. $\frac{5}{9}$
C. $\frac{9}{4}$
D. $\frac{5}{4}$
答案：D
解析：解析: 解答: $\triangle \mathrm{ABC}$ 和 $\triangle \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$ 对应角平分线的比等于它们内切圆直径的比,故选 D.

分析: 本题主要考查了相似三角形的判定及性质, 解决问题的关键是根据相似三角形的判断与性质分析解决
题目（高三 · 度量几何学）：如图,在矩形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\mathrm{AB}=12, \mathrm{AD}=10$, 将此矩形折叠, 使点 $\mathrm{B}$ 落在 $\mathrm{AD}$ 的中点 $\mathrm{E}$ 处, 则折痕 FG 的长为 ( )


选项：
A. 13
B. $\frac{63}{5}$
C. $\frac{65}{6}$
D. $\frac{63}{6}$
答案：C
解析：解析: 解答: 由题意得,FG 是线段 BE 的中垂线.过点 A 作 $A H / / F G$ 交 CD 于点 H,如图.

则四边形 $\mathrm{AFGH}$ 是平行四边形.所以 $\mathrm{AH}=\mathrm{FG}$. 因为 $\mathrm{FG} \perp \mathrm{BE}$, 所以 $\mathrm{AH} \perp \mathrm{BE}$. 所以 $\angle \mathrm{ABE}+\angle \mathrm{BAH}=90^{\circ}$.因为 $\angle \mathrm{BAH}+\angle \mathrm{DAH}=90^{\circ}$,所以 $\angle \mathrm{ABE}=\angle \mathrm{DAH}$.因为 $\angle \mathrm{BAE}=\angle \mathrm{ADH}=90^{\circ}$, 所以 $	riangle \mathrm{ABE} \sim 	riangle \mathrm{DAH}$. 所以 $rac{\mathrm{BE}}{\mathrm{AB}}=rac{\mathrm{AH}}{\mathrm{AD}}$.因为 $A B=12, A D=10, A E=rac{1}{2} A D=rac{1}{2} 	imes 10=5$, 所以 $B E=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$. 所以 $rac{13}{12}=rac{A H}{10}$.所以 $\mathrm{AH}=rac{65}{6}$, 即 $\mathrm{FG}=rac{65}{6}$.分析: 本题主要考查了相似三角形的判定及性质, 解决问题的关键是根据相似三角形的判断与性质结合所给条件构造辅助线方向进行即可，有一定难度
题目（高三 · 度量几何学）：如图,在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\mathrm{FD} / / \mathrm{GE} / / \mathrm{BC}$,则与 $\triangle \mathrm{AFD}$ 相似的三角形有 ( )


选项：
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
答案：B
解析：解析：解答： $\because \mathrm{FD} / / \mathrm{GE} / / \mathrm{BC}, \therefore \triangle \mathrm{AFD} \sim \triangle \mathrm{AGE} \sim \triangle \mathrm{ABC}$,故与 $\triangle \mathrm{AFD}$ 相似的三角形有 2 个.

分析: 本题主要考查了相似三角形的判定及性质, 解决问题的关键是根据相似三角形的判断与性质分析即可.
题目（高三 · 度量几何学）：两个相似三角形对应中线分别长 $6 \mathrm{~cm}$ 和 $18 \mathrm{~cm}$, 若较大三角形的面积是 $36 \mathrm{~cm}^{2}$, 则较小三角形的面积是 ( )
选项：
A. $6 \mathrm{~cm}^{2}$
B. $4 \mathrm{~cm}^{2}$
C. $18 \mathrm{~cm}^{2}$
D. 不确定
答案：B
解析：解析: 解答: 相似比等于 $\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$, 则 $\frac{\mathrm{S}_{\text {小 }}}{\mathrm{S}_{\text {大 }}}=\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$, 故 $\mathrm{S}_{\text {小 }}=\frac{1}{9} \mathrm{~S}_{大}=\frac{1}{9} \times 36=4\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$.

分析: 本题主要考查了相似三角形的判定及性质, 解决问题的关键是根据相似三角形的判断与性质分析计算即可
题目（高三 · 度量几何学）：如图, $\mathrm{D}$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中 $\mathrm{AB}$ 边上一点, 过点 $\mathrm{D}$ 作 $\mathrm{DE} / / \mathrm{BC}$ 交 $\mathrm{AC}$ 于点 $\mathrm{E}$. 已知 $\mathrm{AD}: \mathrm{DB}=1: 3$,则 $\triangle \mathrm{ADE}$ 与四边形 $\mathrm{BCED}$ 的面积比为 ( )
选项：
A. $1: 3$
B. $1: 9$
C. $1: 15$
D. $1: 16$
答案：C
解析：解析：解答：因为 $\mathrm{DE} / / \mathrm{BC}$, 所以 $\triangle \mathrm{ADE} \sim \triangle \mathrm{ABC}$. 又因为 $\mathrm{AD}: \mathrm{DB}=1: 3$,所以 $A D: A B=1: 4, S_{\triangle A D E}: S_{\triangle A B C}=1: 16$,则所求的两部分面积比为 $1: 15$.

分析: 本题主要考查了相似三角形的判定及性质, 解决问题的关键是根据相似三角形的判断与性质结合三角形有关性质计算即可
题目（高三 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\mathrm{DE} / / \mathrm{BC}$, 点 $\mathrm{F}$ 是 $\mathrm{BC}$ 上一点, $\mathrm{AF}$ 交 $\mathrm{DE}$ 于点 $\mathrm{G}$, 则与 $\triangle \mathrm{ADG}$ 相似的是 ( )


选项：
A. $\triangle \mathrm{AEG}$
B. $\triangle \mathrm{ABF}$
C. $\triangle \mathrm{AFC}$
D. $\triangle \mathrm{ABC}$
答案：B
解析：解析：解答：在 $\triangle \mathrm{ABF}$ 中, $\mathrm{DG} / / \mathrm{BF}$, 则 $\triangle \mathrm{ADG} \sim \triangle \mathrm{ABF}$.

分析: 本题主要考查了相似三角形的判定及性质, 解决问题的关键是根据相似三角形的判断与性质分析即可.
题目（高三 · 度量几何学）：下列命题中,是真命题的为 ( )
选项：
A.锐角三角形都相似

B. 直角三角形都相似

C.等腰三角形都相似

D. 等边三角形都相似
答案：D
解析：解析：解答：因为等边三角形的每个角都是 $60^{\circ}$,所以任意两个等边三角形都是有“两角对应相等”的三角形.故等边三角形都相似.故选 D.

分析: 本题主要考查了相似三角形的判定及性质, 解决问题的关键是根据相似三角形的判断与性质分析即可
题目（高三 · 度量几何学）：如图, 锐角 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的高 $\mathrm{CD}$ 和 $\mathrm{BE}$ 相交于点 $\mathrm{O}$, 图中与 $\triangle \mathrm{ODB}$ 相似的三角形有 ( )


选项：
A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个
答案：B
解析：解析：解答：与 $\triangle \mathrm{ODB}$ 相似的三角形有 $\triangle \mathrm{AEB}, \triangle \mathrm{OEC}, \triangle \mathrm{ADC}$, 共有 3 个.

分析: 本题主要考查了相似三角形的判定及性质, 解决问题的关键是根据相似三角形的判断与性质分析即可
题目（高三 · 度量几何学）：以下列条件为依据,能判定 $\triangle A B C \sim \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的一组是（）
选项：
A. $\angle \mathrm{A}=45^{\circ}, \mathrm{AB}=12 \mathrm{~cm}, \mathrm{AC}=15 \mathrm{~cm} ; \angle \mathrm{A}^{\prime}=45^{\circ}, \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}=16 \mathrm{~cm}, \mathrm{~A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}=25 \mathrm{~cm}$

B. $A B=12 \mathrm{~cm}, \mathrm{BC}=15 \mathrm{~cm}, \mathrm{AC}=24 \mathrm{~cm} ; \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}=20 \mathrm{~cm}, \mathrm{~B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}=25 \mathrm{~cm}, \mathrm{~A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}=32 \mathrm{~cm}$

C. $\mathrm{AB}=2 \mathrm{~cm}, \mathrm{BC}=15 \mathrm{~cm}, \angle \mathrm{B}=36^{\circ} ; \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}=4 \mathrm{~cm}, \mathrm{~B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}=5 \mathrm{~cm}, \angle \mathrm{A}^{\prime}=36^{\circ}$

D. $\angle \mathrm{A}=68^{\circ}, \angle \mathrm{B}=40^{\circ} ; \angle \mathrm{A}^{\prime}=68^{\circ}, \angle \mathrm{B}^{\prime}=40^{\circ}$
答案：D
解析：解析: 解答: 选项 $\mathrm{A}$ 中, $\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{A}^{\prime}$, 但 $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}} \neq \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}$, 则 $\triangle \mathrm{ABC}$ 与 $\triangle \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$ 不相似; 选项 $\mathrm{B}$中, $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}}=\frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}} \neq \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}$ 则 $\triangle \mathrm{ABC}$ 与 $\triangle \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$ 不相似; 选项 $\mathrm{C}$ 中, $\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}} \neq \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}}, \angle \mathrm{B}$ 与 $\angle \mathrm{B}^{\prime}$ 不一定相等,则 $\triangle \mathrm{ABC}$ 与 $\triangle \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$ 不相似; 选项 $\mathrm{D}$ 中, $\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{A}^{\prime}, \angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{B}^{\prime}$, 则 $\triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime}$.

分析: 本题主要考查了相似三角形的判定及性质, 解决问题的关键是根据相似三角形的判断
与性质分析判断即可
题目（高三 · 度量几何学）：已知直线 $l_{1}$ 的方向向量为 $\boldsymbol{a}=(2,4, x)$, 直线 $l_{2}$ 的方向向量为 $\boldsymbol{b}=(2, y, 2)$, 若 $|\boldsymbol{a}|=6$,且 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b}$, 则 $x+y$ 的值是 ( )
选项：
A. -3 或 1
B. 3 或 -1
C. -3
D. 1
答案：A
题目（高三 · 度量几何学）：已知角 $A 、 B$ 为 $\triangle A B C$ 的内角, 则 $A>B$ 是 $\sin A>\sin B$ 的（）
选项：
A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件
答案：C
解析：答案:C

【解析】根据正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$,

$\because A 、 B$ 为三角形的内角, $\therefore \sin A>0, \sin B>0$,

$\therefore \sin A>\sin B \Leftrightarrow 2 R \sin A>2 R \sin B \Leftrightarrow a>b \Leftrightarrow A>B$
题目（高三 · 度量几何学）：已知 $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $2 x^{2}-3 y^{2}=6$ 的左右焦点, 点 $M$ 在此双曲线的右支上, 且 $\left|M F_{1}\right|=4 \sqrt{3}$,则 $\Delta M F_{1} F_{2}$ 的面积为 $(\quad)$
选项：
A. $4 \sqrt{2}$
B. 6
C. $2 \sqrt{10}$
D. $2 \sqrt{11}$
答案：D
题目（高三 · 度量几何学）：函数 $y=f(x)$ 的图象如图所示, 则阴影部分的面积是 ( )


选项：
A. $\int_{0}^{1} f(x) d x$
B. $\int_{0}^{2} f(x) d x$
C. $\int_{0}^{2}|f(x)| d x$
D. $\int_{0}^{1} f(x) d x+\int_{1}^{2} f(x) d x$
答案：C
解析：答案: C

【解析】 由图得阴影部分的面积为 $\int_{0}^{1}[-f(x)] d x+\int_{1}^{2} f(x) d x=\int_{0}^{1}|f(x)| d x+\int_{1}^{2} f(x) d x=\int_{0}^{2}|f(x)| d x$,
故答案为: C.

【分析】利用定积分的几何意义即可表示出封闭图形的面积.
题目（高三 · 度量几何学）：曲线 $y=x^{2}$ 与直线 $y=x$ 所围成的封闭图形的面积为 ( )
选项：
A. 1
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{1}{6}$
D. $\frac{1}{9}$
$\int_{7}^{1} \sqrt{4-x^{2}} d x=$
A. 4
B. 1
C. $4 \pi$
D. $\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$

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答案：C
解析：答案: C



$\int_{0}^{1}\left(x-x^{2}\right) d x=\left.\left(\frac{1}{2} x^{2}-\frac{1}{3} x^{3}\right)\right|_{0} ^{1}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6} ;$



故答案为: C

【分析】利用定积分的几何意义, 首先利用定积分表示面积, 然后计算即可.

7.答案: D

【解析】 设 $y=\sqrt{4-x^{2}}$, 则 $x^{2}+y^{2}=4$, 其中 $0 \leq x \leq 1, y \geq 0$.
$\int_{0}^{1} \sqrt{4-x^{2}} d x=$

的几何意义为图中阴影面积,



设 $\angle B O C=\alpha$ ，易知 $\alpha=\frac{\pi}{6}$,

则 $S=S_{1}+S_{2}=\frac{1}{2} \alpha r^{2}+\frac{1}{2} O A \cdot A C=\frac{1}{2} \times \frac{\pi}{6} \times 4+\frac{1}{2} \times 1 \times \sqrt{3}=\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$.

故答案为: D.

【分析】设 $y=\sqrt{4-x^{2}}$, 变换得到 $\int_{0}^{1-x^{2}} d x$ 的几何意义为图中阴影面积, 计算面积得到答案.

8.答案: C

【解析】【解析】由已知可得

$\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=\int_{0}^{1} x^{2} \mathrm{~d} x+\int_{1}^{2}(2-x) \mathrm{d} x=\left.\frac{1}{3} x^{3}\right|_{0} ^{1}+\left.\left(2 x-\frac{1}{2} x^{2}\right)\right|_{1} ^{2}=\frac{1}{3}+\left(4-2-2+\frac{1}{2}\right)=\frac{5}{6}$

故答案为: C.

【分析】根据分段函数将定积分分段求, 再根据定积分原理求定积分.
题目（高三 · 度量几何学）：如图, 阴影部分的面积是 ( )


选项：
A. $2 \sqrt{3}$
B. $-2 \sqrt{3}$
C. $\frac{35}{3}$
D. $\frac{32}{3}$
答案：D
解析：答案: D

【解析】 $S=\int_{-3}^{1}\left(3-x^{2}-2 x\right) d x=\left(-\frac{1}{3} x^{3}-x^{2}+3 x\right)_{-3}^{1}=\frac{32}{3}$,

故答案为: D

【分析】利用定积分求面积的方法, 从而求出阴影部分的面积.
题目（高三 · 度量几何学）：已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x+2, x \leq 2 \\ \sqrt{1-(x-3)^{2}}, 2<x \leq 4\end{array}\right.$, 则定积分 $\int_{1}^{4} f(x) d x$ 的值为 ( )
选项：
A. $\frac{9+4 \pi}{8}$
B. $\frac{1+4 \pi}{4}$
C. $\frac{1+\pi}{2}$
D. $\frac{3+2 \pi}{4}$
答案：C
解析：答案: C

【解析】 依题意, $\int_{1}^{4} f(x) d x=\int_{1}^{2}(-x+2) d x+\int_{2}^{4} \sqrt{1-(x-3)^{2}} d x$,

其中 $\int_{2}^{4} \sqrt{1-(x-3)^{2}} d x$ 表示以 $(3,0)$ 为圆心, 以 1 为半径的上半个圆的面积,

所以 $\int_{1}^{4} f(x) d x=\int_{1}^{2}(-x+2) d x+\int_{2}^{4} \sqrt{1-(x-3)^{2}} d x=\left(2 x-\frac{1}{2} x^{2}\right)_{1}^{2}+\frac{1}{2} \pi \times 1^{2}=\frac{1+\pi}{2}$.

故答案为: C.

【分析】依题意, $\int_{1}^{4} f(x) d x=\int_{1}^{2}(-x+2) d x+\int_{2}^{4} \sqrt{1-(x-3)^{2}} d x$, 根据定积分的几何意义, $\int_{2}^{4} \sqrt{1-(x-3)^{2}} d x$
题目（高三 · 度量几何学）：已知曲线 $y=x^{2}$ 和曲线 $y=\sqrt{x}$ 围成一个叶形图; 则其面积为（）
选项：
A. 1
B. $\frac{1}{2}$
c. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $\frac{1}{3}$
答案：D
解析：答案: D

【解析】 由题得函数的图象如图所示,



联立 $\left\{\begin{array}{l}y=x^{2} \\ y=\sqrt{x} \text { 得交点 }(1,1)\end{array}\right.$

所以叶形图面积为 $\int_{0}^{1}\left(\sqrt{x}-x^{2}\right) d x=\left(\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{3} x^{3}\right)_{0}^{1}=\frac{1}{3}$.

故答案为: D

【分析】先作出两个函数的图像, 再利用定积分求面积得解.

3.答案: D

【解析】 设 $y=\sqrt{4-x^{2}}$, 则 $x^{2}+y^{2}=4$, 其中 $0 \leq x \leq 1, y \geq 0$.

$\int_{0}^{1} \sqrt{4-x^{2}} d x=$ 的几何意义为图中阴影面积,


设 $\angle B O C=\alpha$ ，易知 $\alpha=\frac{\pi}{6}$ ，

则 $S=S_{1}+S_{2}=\frac{1}{2} \alpha r^{2}+\frac{1}{2} O A \cdot A C=\frac{1}{2} \times \frac{\pi}{6} \times 4+\frac{1}{2} \times 1 \times \sqrt{3}=\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$.

故答案为: D.

【分析】设 $y=\sqrt{4-x^{2}}$, 变换得到 $\int_{0}^{4-x^{2}} d x$的几何意义为图中阴影面积, 计算面积得到答案.

4.答案: C

【解析】 由图可得阴影部分的面积为 $\int_{0}^{1}[-f(x)] d x+\int_{1}^{2} f(x) d x=\int_{0}^{1}|f(x)| d x+\int_{1}^{2} f(x) d x=\int_{0}^{2} \mid f(x) d x$,故答案为: C.

【分析】利用定积分的几何意义即可表示出封闭图形的面积.
题目（高三 · 度量几何学）：$\int_{0}^{1} \sqrt{4-x^{2}} d x=$
选项：
A. 4
B. 1
C. $4 \pi$
D. $\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$
答案：D
解析：设 $y=\sqrt{4-x^{2}}$, 则 $x^{2}+y^{2}=4$, 其中 $0 \leq x \leq 1, y \geq 0$. $\int_{0}^{1} \sqrt{4-x^{2}} d x=$ 的几何意义为图中阴影面积,设 $\angle B O C=\alpha$ ，易知 $\alpha=rac{\pi}{6}$ ，则 $S=S_{1}+S_{2}=rac{1}{2} \alpha r^{2}+rac{1}{2} O A \cdot A C=rac{1}{2} 	imes rac{\pi}{6} 	imes 4+rac{1}{2} 	imes 1 	imes \sqrt{3}=rac{\pi}{3}+rac{\sqrt{3}}{2}$.
题目（高三 · 度量几何学）：如图，阴影部分的面积是（ ）


选项：
A. $2 \sqrt{3}$
B. $-2 \sqrt{3}$
C. $\frac{35}{3}$
D. $\frac{32}{3}$
答案：D
解析：答案: D

【解析】 $S=\int_{-3}^{1}\left(3-x^{2}-2 x\right) d x=\left(-\frac{1}{3} x^{3}-x^{2}+3 x\right)_{-3}^{1}=\frac{32}{3}$,
故答案为: D.

【分析】利用定积分求面积的方法, 从而求出阴影部分的面积.
题目（高三 · 度量几何学）：如图, 两曲线 $y=3-x^{2}$ 与 $y=x^{2}-2 x-1$ 所围成的图形面积是 ( )


选项：
A. 6
B. 9
C. 12
D. 3
答案：B
解析：答案: B

【解析】 由 $\left\{\begin{array}{l}y=3-x^{2}, \\ y=x^{2}-2 x-1,\end{array}\left\{\begin{array}{l}x=-1, \\ y=2,\end{array}\right.\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=2, \\ y=-1 .\end{array}\right.$

故两曲线所围成的阴影部分的面积,

$S=\int_{-1}^{2}\left[\left(3-x^{2}\right)-\left(x^{2}-2 x-1\right)\right] d x$

$S=\int_{-1}^{2}\left[\left(-2 x^{2}+2 x+4\right) d x\right.$

$=\left.\left(-\frac{2}{3} x^{3}+x^{2}+4 x\right)\right|_{-1} ^{2}$

$=\left(-\frac{16}{3}+4+8\right)-\left(\frac{2}{3}+1-4\right)$

$=9$

故选: B.

【分析】求出两个函数的交点坐标, 根据定积分的计算公式即可求得.
题目（高三 · 度量几何学）：如图, 两曲线 $y=3-x^{2}$ 与 $y=x^{2}-2 x-1$ 所围成的图形面积是（）


选项：
A. 6
B. 9
C. 12
D. 3
答案：B
解析：答案: B

【解析】 由 $\left\{\begin{array}{l}y=3-x^{2}, \\ y=x^{2}-2 x-1,\end{array}\left\{\begin{array}{l}x=-1, \\ y=2,\end{array}\right.\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x=2, \\ y=-1 .\end{array}\right.$

故两曲线所围成的阴影部分的面积:

$S=\int_{-1}^{2}\left[\left(3-x^{2}\right)-\left(x^{2}-2 x-1\right)\right] d x$,

$S=\int_{-1}^{2}\left[\left(-2 x^{2}+2 x+4\right) d x\right.$

$=\left.\left(-\frac{2}{3} x^{3}+x^{2}+4 x\right)\right|_{-1} ^{2}$

$=\left(-\frac{16}{3}+4+8\right)-\left(\frac{2}{3}+1-4\right)$

$=9$

故选: B.

【分析】求出两个函数的交点坐标, 根据定积分的计算公式即可求得.
题目（高三 · 度量几何学）：曲线 $y=\frac{2}{x}$ 与直线 $y=x-1$ 及 $x=4$ 所围成的封闭图形的面积为 ( )
选项：
A. $2 \ln 2$
B. $2-\ln 2$
C. $4-\ln 2$
D. $4-2 \ln 2$
答案：D
解析：答案: D

【解析】 曲线 $y=\frac{2}{x}$ 与直线 $y=x-1$ 及 $x=4$ 所围成的封闭图形如图所示,



图形的面积为 $\int_{2}^{4}\left(x-1-\frac{2}{x}\right) d x=\left(\frac{1}{2} x^{2}-x-2 \ln x\right)_{2}^{4}=4-2 \ln 2$,

故答案为: $D$.

【分析】作出平面区域, 求出交点坐标, 结合定积分的四则运算, 即可求出封闭图形的面积.

4.答案: C

【解析】 由图可得阴影部分的面积为 $\int_{0}^{1}[-f(x)] d x+\int_{1}^{2} f(x) d x=\int_{0}^{1}|f(x)| d x+\int_{1}^{2} f(x) d x=\int_{0}^{2} \mid f(x) d x$,故答案为: C.
【分析】利用定积分的几何意义即可表示出封闭图形的面积.
题目（高三 · 度量几何学）：如图, 阴影部分的面积是（ )


选项：
A. $2 \sqrt{3}$
B. $-2 \sqrt{3}$
C. $\frac{35}{3}$
D. $\frac{32}{3}$
答案：D
解析：答案: D

【解析】 $S=\int_{-3}^{1}\left(3-x^{2}-2 x\right) d x=\left(-\frac{1}{3} x^{3}-x^{2}+3 x\right)_{-3}^{1}=\frac{32}{3}$,

故答案为: D

【分析】利用定积分求面积的方法，从而求出阴影部分的面积。
题目（高三 · 度量几何学）：已知物体位移 $\mathrm{S}$ (单位: 米) 和时间 $\mathrm{t}$ (单位: 秒) 满足: $S=t^{3}-2 t+1$, 则该物体在 $t=1$ 时刻的瞬时速度为 ( )
选项：
A. 1 米/秒
B. 2 米/秒
C. 3 米/秒
D. 4 米/秒
答案：A
解析：由题意 $S^{\prime}=3 t^{2}-2$,当 $t=1$ 时, $S^{\prime}=3-2=1$.故答案为: A.
题目（高三 · 度量几何学）：已知非零向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$, 则 “ $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}>0$ ” 是 “向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 的夹角为锐角” 的 ( )
选项：
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案：B
题目（高三 · 度量几何学）：设 $\theta \in \mathbf{R}$, 则 “ $\left|\theta-\frac{\pi}{12}\right|<\frac{\pi}{12}$ ” 是 “ $\sin \theta<\frac{1}{2}$ ” 的
选项：
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案：A
题目（高三 · 度量几何学）：设 $x, y \in \mathbf{R}$, 则 “ $x \geq 2$ 且 $y \geq 2$ ” 是 “ $x^{2}+y^{2} \geq 4$ ” 的 ( )
选项：
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案：A
题目（高三 · 计数）：在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中, 下列说法正确的是( )
选项：
A. 若 $K^{2}$ 的观测值为 $k=6.635$, 我们有 $99 \%$ 的把握认为吸烟与患肺病有关系, 那么在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病B. 从独立性检验可知有 $99 \%$ 的把握认为吸烟与患肺病有关系时, 我们说某人吸烟, 那么他有 $99 \%$ 的可能患有肺病C. 若从统计量中求出有 $95 \%$ 的把握认为吸烟与患肺病有关系, 是指有 $5 \%$ 的可能性使得推断出现错误D.以上三种说法都不正确
答案：C
解析：答案: C

解析: 若 $K^{2}$ 的观测值为 $k=
题目（高三 · 计数）：为考察某种药物预防疾病的效果,对 100 只某种动物进行试验,得到如下的列联表:

|  | 患病 | 未患病 | 合计 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 服用药 | 10 | 40 | 50 |
| 没服用药 | 20 | 30 | 50 |
| 合计 | 30 | 70 | 100 |

经计算, 统计量 $K^{2}$ 的观测值 $k \approx 4.762$.

已知独立性检验中统计量 $K^{2}$ 的临界值参考表为:

| $P\left(K^{2} \geq k_{0}\right)$ | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $k_{0}$ | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |

则认为药物有效,犯错误的概率不超过( )
选项：
A.
答案：B
解析：解析: 由题意算得, $k=4.762>3.841$, 参照附表, 可得在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下,认为药物有效.
题目（高三 · 计数）：2020 年初, 新型冠状病毒(COVID-19)引起的肺炎疫情爆发以来, 各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法, 取得了不错的成效, 某地开始使用中西医结合方法后, 每周治愈的患者人数如下表所示:| 周数 $(x)$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 || :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: || 治愈人数 $(y)$ | 2 | 17 | 36 | 93 | 142 |由表格可得 $y$ 关于 $x$ 的二次回归方程为 $\hat{y}=6 x^{2}+a$, 则此回归模型第 2 周的残差(实际值与预报值之差)为 ( )
选项：
A. 5 B. 4C. 1 D. 0
答案：C
解析：答案:C

【解析】设 $t=x^{2}$, 则 $\bar{t}=\frac{1}{5}(1+4+9+16+25)=11, \bar{y}=\frac{1}{5}(2+17+36+93+142)=58$,

$a=58-6 \times 11=-8$, 所以 $\hat{y}=6 x^{2}-8$.

令 $x=2$, 得 $e_{2}=y_{2}-\hat{y}_{2}=17-6 \times 2^{2}+8=1$, 故选 C.