eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（九年级 · 计数）：(本小题8.0分)

4 张相同的卡片上分别写有数字 $0 、 1 、-2 、 3$, 将卡片的背面朝上, 洗匀后从中任意抽取1张, 将卡片上的数字记录下来; 再从余下的3张卡片中任意抽取1张, 同样将卡片上的数字记录下来.

(1)第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为 $\qquad$ ;

(2) 小敏设计了如下游戏规则: 当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时, 甲获胜; 否则, 乙获胜.小敏设计的游戏规则公平吗? 为什么? (请用树状图或列表等方法说明
理由)


选项：
答案：解: (1) $\frac{1}{4}$

(2)游戏规则公平, 列表如下:

|  | 0 | 1 | -2 | 3 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 0 | $/$ | 1 | -2 | 3 |
| 1 | -1 | $/$ | -3 | 2 |
| -2 | 2 | 3 | $/$ | 5 |
| 3 | -3 | -2 | -5 | $/$ |

(第一行为第一次抽取的, 第一列为第二次抽取的, 其余的为第一次的数字减第二次数字的差)由表可知, 共有12种等可能结果, 其中结果为非负数的有6种结果, 结果为负数的有 6 种结果,所以甲获胜的概率 $=$ 乙获胜的概率 $=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$,

$\therefore$ 此游戏规则公平.


解析：解：(1) $\because 4$ 张卡片只有一张卡片上的数字是负数,

$\therefore$ 第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为 $\frac{1}{4}$,

故答案为: $\frac{1}{4}$.

(2)见答案.

(1)利用概率 $=$ 所求情况数与总情况数之比求解即可;

(2)利用列表法列举出所有可能, 进而利用概率公式得出甲、乙获胜的概率即可得出答案.

本题考查的是游戏公平性的判断及列表法求概率. 判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率,概率相等就公平, 否则就不公平. 用到的知识点为: 概率=所求情况数与总情况数之比.
题目（九年级 · 计数）：(本小题8.0分)

学校为了响应国家阳光体育活动, 选派部分学生参加足球、兵兵球、篮球、排球队集训根据参加项目制成如下两幅不完整的统计图(如图(1)和如图(2), 要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类, 图中用足球、兵兵球、篮球、排球代表喜欢这四种球类中某种球类的学生人数)



图(1)



图(2)

请你根据图中提供的信息解答下列问题:

(1)参加篮球队的有 $\qquad$人, 参加足球队的人数占全部参加人数的 $\qquad$ $\%$.

(2)喜欢排球队的人数在扇形统计图中所占的圆心角是 $\qquad$度.

(3)若足球队只剩一个集训名额, 学生小明和小虎都想参加足球队, 决定采用随机摸球的方式确定参加权, 具体规则如下: 一个不透明的袋子中装着标有数字 $1 、 2 、 3 、 4$ 的四个完全相同的小球, 小明随机地从四个小球中摸出一球(不放回), 小虎再随机地摸出一球, 若小明摸出的小球所标数字比小虎摸出的小球所标的数字大, 则小明参加, 否则小虎参加, 请通过画树状图(或列表法)分析这种规则对双方是否公平?


选项：
答案： 403036


解析：解：(1) $\because$ 结合折线图与扇形图, 得出参加乒乓球队的人数为 20 , 占总数的 $20 \%$,

$\therefore$ 总人数为: $20 \div 20 \%=100$ (人),

$\therefore$ 参加篮球队的有: $100 \times 40 \%=40$ (人),

参加足球队的人数占全部参加人数的: $\frac{30}{100} \times 100 \%=30 \%$,

故答案为: 40,30

(2) $(1-40 \%-30 \%-20 \%) \times 360^{\circ}=36^{\circ}$,

$\therefore$ :喜欢排球队的人数在扇形统计图中所占的圆心角是 36 度;

故答案为: 36

(3)树状图如下:



$\because$ 共有 12 种可能的结果, 且每种结果的可能性相同, 其中小明参加的结果是 6 种,

$\therefore$ 小明参加的概率 $=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$, 小虎参加的概率 $=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$,

$\because \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$,

$\therefore$ 这个规则对双方公平.

(1)根据折线图与扇形图首先根据参加乒乓球队的人数与百分比得出总人数, 再利用扇形图即可得出参加篮球队的人数, 以及参加足球队的人数占全部参加人数的百分比;

(2)求出喜欢排球队的人数所占百分比, 然后乘以 $360^{\circ}$, 即可得出所占的圆心角的度数;

(3)利用画树状图法得出小虎参加的概率以及小明参加的概率, 然后判断即可.

本题主要考查了折线图与扇形统计图, 游戏的公平性以及利用树状图求概率, 利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图, 才能作出正确的判断和解决问题.
题目（九年级 · 计数）：(本小题8.0分)

在一个不透明的箱子里, 装有 2 个红球和 2 个黄球, 它除了颜色外均相同.

(1)随机地从该箱子里同时取出 2 个球, 请你用树状图或列表的方法求两球颜色相同的概率.

(2)小明、小亮都想去观看足球比赛, 但是只有一张门票, 他们决定通过摸球游戏确定谁去.规则如下:随机地从该箱子里同时取出 2 个球, 若两球颜色相同, 小明去; 否则, 小亮去.这个游戏公平吗? 请说明理由.

## 
选项：
答案：解: (1)列表如下:

|  | 红 | 红 | 黄 | 黄 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 红 |  | (红, 红) | (黄, 红) | (黄, 红) |
| 红 | (红, 红) |  | (黄, 红) | (黄, 红) |
| 黄 | (红, 黄) | (红, 黄) |  | (黄, 黄) |
| 黄 | (红, 黄) | (红, 黄) | (黄, 黄) |  |

由表格知, 共有12种等可能结果, 其中颜色相同的共有 4 种结果,

所以两球颜色相同的概率为 $\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$;

(2)这个游戏不公平,

由(1)知, 小明去的概率为 $\frac{1}{3}$, 则小亮去的概率为 $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$,

$\frac{1}{3} \neq \frac{2}{3}$,

所以这个游戏不公平.


解析：(1)列表得出所有等可能结果, 从中找到符合条件的结果数, 再根据概率公式求解即可;

(2)由(1)知, 小明去的概率为 $\frac{1}{3}$, 则小亮去的概率为 $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$, 继而可得答案.

本题主要考查游戏的公平性, 判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率, 然后比较概率的大小, 概率相等就公平，否则就不公平.
题目（九年级 · 计数）：(本小题8.0分)

2022年3月23日下午, “天宫课堂” 第二课开讲, 航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课,激发了同学们学习航天知识的热情. 小冰和小雪参加航天知识竞赛时, 均获得了一等奖, 学校想请一位同学作为代表分享获奖心得. 小冰和小雪都想分享, 于是两人决定一起做游戏, 谁获胜谁分享. 游戏规则如下: 甲口袋装有编号为 1,2 的两个球, 乙口袋装有编号为 $1,2,3,4,5$ 的五个球, 两口袋中的球除编号外都相同. 小冰先从甲口袋中随机摸出一个球, 小雪再从乙口袋中随机摸出一个球, 若两球编号之和为奇数, 则小冰获胜; 若两球编号之和为偶数, 则小雪获胜. 请用列表或画树状图的方法, 说明这个游戏对双方是否公平.

##
选项：
答案：解: 列表如下:

| 甲 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 1 | $(1,1)$ | $(1,2)$ | $(1,3)$ | $(1,4)$ | $(1,5)$ |
| 2 | $(2,1)$ | $(2,2)$ | $(2,3)$ | $(2,4)$ | $(2,5)$ |

$\therefore$ 共有10种等可能的结果, 其中两球编号之和为奇数的有 5 种结果, 两球编号之和为偶数的有 5 种结果,

$\therefore P($ 小冰获胜 $)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$,

$P($ 小雪获胜 $)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$,

$\because P($ 小冰获胜 $)=P($ 小雪获胜 $)$,

$\therefore$ :游戏对双方都公平.


解析：见答案
题目（九年级 · 计数）：(本小题8.0分)

一个不透明的袋子中装有 5 个红球、7个黑球, 这些球除颜色外都相同.

(1)若从中任意摸出一个球, 则摸到 $\qquad$球的可能性大;

(2)如果另外拿红球和黑球一共6个放入袋中, 你认为怎样放才能让摸到红球和摸到黑球的可能性相同. 
选项：
答案：黑


解析：解：(1)摸到红球的可能性为: $\frac{5}{5+7}=\frac{5}{12}$;

摸到黑球的可能性为 $\frac{7}{5+7}=\frac{7}{12}$.

故摸到黑球的概率大.

故答案为: 黑;

(2)放入 4 个红球, 2 个黑球.

理由如下:

$\because$ 另外拿红球和黑球一共6个放入袋中,

$\therefore$ 共有 $5+7+6=18$ 个球,

$\because$ 摸到红球和摸到黑球的可能性相同,

$\therefore$ 黑球和红球的数量相等,

$\therefore$ 应放入 4 个红球, 2 个黑球.

(1)分别求出摸出各种颜色球的概率, 即可比较出摸出何种颜色球的可能性大.

(2)另外放入 5 个球, 那么共有 16 个球, 每种颜色的各有 8 个时, 摸到红球和黄球的概率都是 $\frac{1}{2}$.本题考查的是可能性的大小, 解决这类题目要注意具体情况具体对待. 用到的知识点为: 可能性等于所求情况数与总情况数之比.
题目（九年级 · 计数）：(本小题8.0分)

在不透明的袋子中装有 5 个红球和 8 个黑球，每个球除颜色外都相同.

(1)从中任意摸出一个球，摸到 $\qquad$球的可能性大;

(2)如果另外拿红球和黑球一共7个放入袋中, 你认为怎样放才能让摸到红球和摸到黑球的可能性相同,请说明理由 $\qquad$

选项：
答案：黑 放入 5 个红球, 2 个黑球


解析：解：(1)摸到红球的可能性为: $\frac{5}{5+8}=\frac{5}{13}$;

摸到黑球的可能性为 $\frac{8}{13}$.

故摸到黑球的概率大.

故答案为: 黑;

(2)放入 5 个红球, 2 个黑球.

理由如下:

$\because$ 另外拿红球和黑球一共7个放入袋中,

$\therefore$ 共有 $5+8+7=20$ 个球,

$\because$ 摸到红球和摸到黑球的可能性相同,

$\therefore$ 黑球和红球的数量相等,

$\therefore$ 应放入 5 个红球, 2 个黑球.

故答案为: 放入 5 个红球, 2 个黑球.

(1)分别求出摸出各种颜色球的概率, 即可比较出摸出何种颜色球的可能性大.

(2)另外放入 5 个球, 那么共有 16 个球, 每种颜色的各有 8 个时, 摸到红球和黄球的概率都是 $\frac{1}{2}$.本题考查的是可能性的大小, 解决这类题目要注意具体情况具体对待. 用到的知识点为: 可能性等于所求情况数与总情况数之比.
题目（九年级 · 计数）：(本小题8.0分)

如图所示, 有两个质地均匀且可以转动的转盘, 转盘一被分成6个全等的扇形区域, 转盘二被分成8个全等的扇形区域. 在转盘的适当地方涂上灰色, 末涂色部分为白色. 用力转动转盘, 请你通过计算判断, 当转盘停止后哪一个转盘指针指向灰色的可能性大.



转盘一



转盘二


选项：
答案：转盘一指针指向灰色的可能性大


解析：【分析】根据等可能事件发生的可能性大小, 分别进行计算, 然后进行判断即可.

【详解】解：由图可知：转盘一指针指向灰色的可能性为: $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$;

转盘二指针指向灰色的可能性为: $\frac{5}{8}$;

$\because \frac{2}{3}=\frac{16}{24}, \frac{5}{8}=\frac{15}{24}$,

$\therefore \frac{2}{3}>\frac{5}{8}$,

即: 转盘停止后转盘一指针指向灰色的可能性大.

【点睛】本题考查比较可能性大小. 熟练掌握等可能事件的可能性大小的计算方法, 是解题的关键.
题目（九年级 · 计数）：(本小题8.0分)

甲袋中有红球 8 个、白球 5 个和黑球 12 个; 乙袋中有红球 18 个、白球 9 个和黑球 23 个. (每个球除颜色外都相同)

（1)若从中任意摸出一个球是红球, 选哪袋成功的机会大? 请说明理由;

（2）“从袋中取出10个红球后，乙袋中的红球个数和甲袋中红球个数一样多，所以此时若从中任意摸出一个球是红球, 选甲、乙两袋成功的机会相同” .你认为这种说法正确吗? 为什么?

##
选项：
答案：解: (1)甲袋中有红球 8 个、白球 5 个和黑球 12 个, 从甲袋中摸到红球的可能性为 $\frac{8}{8+5+12}=\frac{8}{25}$,乙袋中有红球 18 个、白球 9 个和黑球 23 个, 从乙袋中摸到红球的可能性为 $\frac{18}{18+9+23}=\frac{18}{50}=\frac{9}{25}$,因为 $\frac{8}{25}<\frac{9}{25}$,

故从中任意摸出一个球是红球, 选乙袋成功的机会大;

(2)从乙袋中取出10个红球后, 从乙袋中摸到红球的可能性为 $\frac{8}{8+9+23}=\frac{8}{40}=\frac{1}{5}$,

因为 $\frac{8}{25} \neq \frac{1}{5}$,

所以选甲、乙两袋成功的机会不相同, 故说法不正确.


解析：(1)首先求得从甲袋中摸到红球的可能性, 从乙袋中摸到红球的可能性, 比较得到结论;

(2)分别求得从甲袋中摸到红球的可能性, 从乙袋中摸到红球的可能性, 做判断即可.

此题考查了可能性的大小, 概率公式, 正确的理解题意是解题的关键. 一般地, 如果在一次试验中,有 $n$ 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件 $A$ 包含其中的 $m$ 种结果，那么事件 $A$ 发生的概率为 $P(A)=\frac{m}{n}$ 且 $0 \leq P(A) \leq 1$.
题目（九年级 · 计数）：(本小题8.0分)

一个布袋里装有只有颜色不同的 4 个小球，其中1个白球，3个黑球.

（1）从袋中随机取出1球, 求摸到的是白球的概率;

（2）从袋中随机取出1球, 不放回再取出第二个球, 请用列表法或树状图法表示出所有可能的结果, 并求出恰好取出一个黑球, 一个白球的概率.


选项：
答案：解: (1) $P$ (摸到白球 $)=\frac{1}{4}$;

(2)树状图法:

<ImageHere>

共有12种等可能的结果, 其中两次取出一个黑球, 一个白球的结果有6种,

$\therefore$ 概率为 $P$ (一黑一白) $=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$


解析：此题主要考查了概率公式, 树状图法求概率, 树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果, 适用于两步或两步以上完成的事件;解题时还要注意是放回试验还是不放回试验. 用到的知识点为: 概率=所求情况数与总情况数之比.

(1)直接由概率公式求解即可;

(2)画树状图, 共有12种等可能的结果，其中两次取出的一个黑球，一个白球的结果有6种, 再由概率公式求解即可.

##
题目（九年级 · 计数）：(本小题8.0分)

一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的 3 个黑球和 $n$ 个白球, 搅匀后从盒子里随机摸出一个球, 摸到白球的概率为 $\frac{1}{4}$.

(1)直接写出 $n$ 的值 $\qquad$ ;

(2)所有球放入盒中, 搅匀后若一次在盒子中随机摸出 2 个球, 请用列表或树状图的方法, 求所摸出两个球为一个白球和一个黑球的概率.


选项：
答案： 1


解析：解：(1)由题意得, $\frac{n}{3+n}=\frac{1}{4}$,

解得 $n=1$,

经检验, $n=1$ 是原方程的解,

$\therefore n=1$,

故答案为: 1 ;

(2)设3个黑球分别用 $A 、 B 、 C$ 表示, 1 个白球用 $D$ 表示, 列表如下:

|  | $A$ | $B$ | $C$ | $D$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $A$ |  | $(B, A)$ | $(C, A)$ | $(D, A)$ |
| $B$ | $(A, B)$ |  | $(C, B)$ | $(D, B)$ |
| $C$ | $(A, C)$ | $(B, C)$ |  | $(D, C)$ |
| $D$ | $(A, D)$ | $(B, D)$ | $(C, D)$ |  |

由表格可知一共有12种等可能性的结果数, 其中所摸出两个球为一个白球和一个黑球的结果数有6种, $\therefore$ 所摸出两个球为一个白球和一个黑球的概率 $=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$.

(1)根据概率计算公式列出方程求解即可;

(2)先列出表格得到所有的等可能性的结果数, 再找到所摸出两个球为一个白球和一个黑球的结果数,最后依据概率计算公式求解即可.

本题主要考查了已知概率求数量, 树状图法或列表法求解概率, 正确列出表格或画出树状图和建立方程是解题的关键.
题目（九年级 · 计数）：(本小题8.0分)

一个口袋中放有 20 个球, 其中红球 6 个, 白球和黑球各若干个, 每个球除了颜色外没有任何区别.某学习小组做摸球试验, 将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色, 再把它放回袋中, 不断重复.共摸球800 次, 其中有480次摸到白球, 请你估计袋中黑球的个数.


选项：
答案：解：设袋中黑球的个数为 $n$,

根据题意, 可得 $\frac{20-6-n}{20}=\frac{480}{800}$,

解得 $n=2$.

$\therefore$ 估计袋中黑球的个数为 2 个.


解析：用频率估计概率, 根据摸到白球的概率进行列式即可.

本题考查利用频率估计概率, 理解大量反复试验下频率稳定值即概率是解题的关键.
题目（九年级 · 计数）：(本小题8.0分)

在一个不透明的箱子中装有 3 张红卡和若干张绿卡, 它们除了颜色外其他完全相同, 现将箱子里的卡片搅拌均匀, 从中随机抽取一张, 记下颜色后再放回箱中, 不断重复这一过程, 通过多次试验后发现,抽到绿卡的频率稳定在 $75 \%$ 左右, 请估计箱中卡的总张数.

## 
选项：
答案：解: 设绿卡有 $x$ 张.

根据题意得 $\frac{x}{x+3}=75 \%$,

解得: $x=9$,

$\therefore$ 估计卡的总张数为 $9+3=12$ (张).


解析：由摸到绿卡的频率稳定在 $75 \%$ 附近得出箱子中得到绿卡的概率, 进而求出卡总个数即可.此题主要考查了利用频率估计概率, 根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键.
题目（九年级 · 计数）：(本小题8.0分)

某鱼塘里养了 1600 条鲤鱼, 若干条草鱼和 800 条罗非鱼, 该鱼塘主从鱼塘中随机捕出 1 条鱼, 记录下鱼的种类, 然后立即放回鱼塘中, 不断重复这一过程, 共捕了 400 次, 发现有200次捕到草鱼, 估计该鱼塘草鱼的条数.


选项：
答案：解: 设草鱼有 $x$ 条, 根据题意得:

$\frac{x}{1600+x+800}=\frac{200}{400}$,

解得: $x=2400$,

经检验 $x=2400$ 是方程的解,

答: 估计该鱼塘草鱼的条数为 2400 .


解析：根据大量重复试验中的频率估计出概率, 利用概率公式求得草鱼的数量即可.

本题考查利用频率估计概率, 解题的关键是明确题意, 由草鱼出现的频率可以计算出鱼的数量.
题目（九年级 · 计数）：(本小题8.0分)

一个不透明的箱子里装有 3 个红色小球和若干个白色小球, 每个小球除颜色外其他完全相同, 每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球, 记下颜色后再放回箱子里, 通过大量重复试验后, 发现摸到红色小球的频率稳定于 0.75 . 请你估计箱子里白色小球的个数.


选项：
答案：解： :通过多次摸球试验后发现, 摸到红球的频率稳定在 0.75 ,

$\therefore$ 估计摸到红球的概率为 0.75 ,

设白球有 $x$ 个,

根据题意, 得: $\frac{3}{3+x}=0.75$,

解得 $x=1$,

经检验 $x=1$ 是分式方程的解,

$\therefore$ 估计箱子里白色小球的个数为 1 .


解析：设白球有 $x$ 个, 利用概率公式列出关于 $x$ 的分式方程, 解分式方程即可求解.

本题主要考查利用频率估计概率, 大量重复实验时, 事件发生的频率在某个固定位置左右摆动, 并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.
题目（九年级 · 计数）：(本小题8.0分)

某市林业局积极响应习总书记 “青山绿水就是金山银山” 的号召, 特地考察一种花卉移植的成活率,对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计, 并绘制了如图所示的统计图.

请你根据统计图提供的信息，回答下列问题:

(1)这种花卉成活的频率稳定在 $\qquad$附近, 估计成活概率为 $\qquad$ . (精确到 0.1$)$

(2)该林业局已经移植这种花卉20000棵.

(1)估计这批花卉成活的棵数;

②根据市政规划共需要成活90000棵这种花卉, 估计还需要移植多少棵?




选项：
答案： 0.90 .9


解析：解：(1)由图可知, 这种花卉成活的频率稳定在 0.9 附近, 估计成活概率为 0.9 .故答案为: $0.9,0.9$;

(2)(1) $20000 \times 0.9=18000$ (棵),

答: 这种花卉成活率约 18000 棵.

(2) $90000 \div 0.9-20000=80000$ (棵),
答: 估计还要移植 80000 棵.

(1)根据统计图可得频率, 根据频率与概率的关系可得概率;

(2)(1)用20000乘以成活的概率即可;

(2)用移植的总棵数减去已经移植的棵数.

本题考查了用频率估计概率, 已知概率求数量, 理解概率的意义是解答本题的关键.
题目（九年级 · 计数）：(本小题8.0分)

在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个, 它们除颜色不同外, 其余都相同, 王颖做摸球实验, 她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色, 再把它放回盒子中搅匀, 经过大量重复上述摸球的过程, 发现摸到白球的频率定于 0.25

（1)请估计摸到白球的概率将会接近 $\qquad$
(2)计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个?

(3)如果要使摸到白球的概率为 $\frac{2}{5}$, 需要往盒子里再放入多少个白球?

##
选项：
答案：解: (1) 0.25 ;

(2) $60 \times 0.25=15,60-15=45$,

答: 盒子里白、黑两种颜色的球分别有 15 个、 45 个;

(3)设需要往盒子里再放入 $x$ 个白球,

根据题意得: $\frac{15+x}{60+x}=\frac{2}{5}$,

解得: $x=15$,

经检验 $x=15$ 是原方程的解,

答: 需要往盒子里再放入 15 个白球.

## 
解析：【分析】

(1)根据题意容易得出结果;

(2)由 $60 \times 0.25=15,60-15=45$, 即可得出结果;

(3)设需要往盒子里再放入 $x$ 个白球; 根据题意得出方程, 解方程即可.

本题考查了利用频率估计概率、概率公式的运用. 大量反复试验下频率稳定值即概率, 本题难度适中.

## 【解答】

解: (1)根据题意得: 当 $n$ 很大时, 摸到白球的概率将会接近 0.25 , 假如摸一次, 摸到白球的概率为 0.25 ,故答案为: 0.25 ;

(2)见答案;

(3)见答案.
题目（九年级 · 计数）：（8 分）不透明的袋中装有红色小球 2 个、黑色小球 3 个, 除颜色外无其他差别.

(1)直接写出：在袋中随机摸出一球是黑色球的概率

(2)随机摸出一个小球后, 放回并摇匀, 再随机摸出一个，用列表或画树状图的方法求出 “两球都是黑色”的概率;


选项：
答案： (1) $\frac{3}{5}$

(2) $\frac{9}{25}$


解析：(1) 依据不透明的袋中装有红色小球 2 个、黑色小球 3 个, 即可得到在袋中随机摸出一球是黑色球的概率为 $\frac{3}{5}$;

（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可.

【详解】(1) $\because$ 不透明的袋中装有红色小球 2 个、黑色小球 3 个,

$\therefore$ 在袋中随机摸出一球是黑色球的概率为 $\frac{3}{5}$;

(2) 树状图如图所示,



红红黑黑黑 红红黑黑黑红红黑黑黑红红黑黑黑红红黑黑黑共有 25 种等可能的结果，其中“两球都是黑色”的情况有 9 种，
$\therefore$ “两球都是黑色”的概率为 $\frac{9}{25}$.

【点睛】本题考查了用列表法求概率，解题的关键是列表将所有等可能的结果全部列举出来并分清是否为放回试验.
题目（九年级 · 计数）：为丰富学生课后服务社团活动, 某中学组建了: $A$ 声乐, $B$ 绘画, $C$ 舞蹈, $D$ 跳绳,这四类学生活动社团, 要求每人必须参加且只参加一类活动, 学校随机抽取部分学生进行调查, 以了解学生参团情况, 根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图. 请结合统计图中的信息, 解决下列问题:

学生参加社团类别条形统计图



学生参加社团类别扇形统计图



(1)扇形统计图中, 区域 $B$ 所对应的扇形圆心角的度数是 $\qquad$ ;

(2)将条形统计图补充完整; 并估计该中学 2000 名学生中参与跳绳社团的学生人数;

(3)校园艺术节时, 学校将从符合条件的 4 名社团学生 (男女各 2 名) 中随机选择两名学生担任开幕式主持人. 请用列表或画树状图的方法, 求恰好选中 1 名男生和 1 名女生的概率.


选项：
答案： (1) $108^{\circ}$

(2)见解析, 500 人

(3) $\frac{2}{3}$


解析：（1）算出调查的总人数, 然后求出 $B$ 的占比，再乘以 $360^{\circ}$ 即可;

(2) 利用调查总人数减去被调查的参与其余三类的学生人数, 即可得到参与 $A$ 类型的学生人数, 将条形统计图补充完成即可; 再利用参加跳绳社团的学生占比乘以该中学 2000 名学生, 即可解答;

（3）列出表格，根据概率公式，即可解答.

【详解】(1) 解:被调查的学生人数为 $14 \div 35 \%=40$ 人,

$\therefore$ 区域 $B$ 所对应的扇形圆心角的度数是 $\frac{12}{40} \times 360^{\circ}=108^{\circ}$,

故答案为: $108^{\circ}$;

(2) 解: 参与 $A$ 类型的学生人数为 $40-12-14-10=4$ 人,如图, 补全条形图如下:



该中学 2000 名学生中参与跳绳社团的学生人数为 $2000 \times \frac{10}{40}=500$ (人),
答: 该校 2000 名学生中参与跳绳社团的学生人数为 500 人.

（3）解: 用男 1 和男 2 分别表示两名男生, 用女 1 和女 2 分别表示两名女生, 根据提议, 列表如下:

| 二 | 男 1 | 男 2 | 女 1 | 女 2 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 男 1 |  | (男 ${ }_{2}$, 男 ${ }_{1}$ ) | (女 女 $_{1}$ 男 1 ) | $\left(\right.$ 女 $_{2}$, 男 1 ) |
| 男 2 | (男 1 , 男 2 ) |  | (女 女 $_{1}$ 男 2 ) | $\left(\right.$ 女 $_{2}$, 男 2 ) |
| 女 1 | （男 1 , 女 1 ） | (男 ${ }_{2}$, 女 $_{1}$ ) |  | $\left(女_{2}\right.$, 女 $\left._{1}\right)$ |
| 女 2 | （男 1 , 女 2 ) | (男 2 , 女 2 ) | $\left(\right.$ 女 $_{1}$, 女 2 ) |  |

由表可知, 从 4 名学生中选 2 名学生, 总共有 12 种结果, 且每种结果出现的可能性相同. 其中所评选 2 名学生为 1 名男生 1 名女生的结果有 8 种, 所以恰好选中 1 名男生和 1 名女生的概率 $=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$.

【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图的结合, 用样本估计总体, 利用列表法求概率,正确地求出利用条形统计图和扇形统计图计算出各类型的人数是解题的关键.
题目（九年级 · 计数）：(6 分) 在三张形状、大小、质地均相同的卡片上各写一个数字，分别为 $1 、 2 、-1$,现将三张卡片放入一只不透明的盒子中, 搅匀后任意抽出一张, 记下数字后放回, 搅匀后再任意抽出一张记下数字.

（1）第一次抽到写有负数的卡片的概率是 ; $\qquad$
（2）用画树状图或列表等方法求两次抽出的卡片上数字都为正数的概率.


选项：
答案： (1) $\frac{1}{3}$; (2) $\frac{4}{9}$


解析：(1) 用负数的个数除以数字的总个数即可;

（2）画树状图列出所有等可能结果, 从中找到符合条件的结果数, 再根据概率公式求解即可.

【详解】解：（1）负数的个数有 1 个, 数字的总个数是 3 个,所以第一次抽到写有负数的卡片的概率是 $\frac{1}{3}$,

故答案为: $\frac{1}{3}$;

（2）画树状图为:

共有 9 种等可能的结果数, 其中两次抽出的卡片上数字都为正数的有 4 种结果,

所以两次抽出的卡片上数字都为正数的概率为 $\frac{4}{9}$.

【点睛】本题考查的是求概率和树状图, 熟练掌握概率的意义是解决本题的关键.
题目（九年级 · 计数）：(6分)小明在操场上做游戏,他发现地上有一个如图所示的不规则的封闭图形$ABC$,为了求其面积,小明在封闭的图中找出了一个半径为1米的圆,在不远处向圈内郑石子,且记录如下:|石子落在区域内郑石子次数|50次|150次|300次||:----------------------------------------------------------:|:---:|:----:|:----:||石子落在$odotO$内$($含$odot{O}$上）次数$m$|14|43|93||石子落在阴影区域内次数$n$|29|85|186|你能否求出封闭图形$ABC$的面积？试试看.
选项：
答案：解：由记录$mnapproxfrac{1}{2},thereforeP$(落在$odot{O}$内$)=frac{1}{3}$.$becauseP($落在$odot{O}$内$)=frac{S_{odot0}}{S_{odot0}+S_{text{佤}}},S_{odot0}=pileft({m}^{2}right).thereforefrac{S_{odot0}}{S_{ABC}}=frac{1}{3},S_{ABC}=3pileft({m}^{2}right)$.
解析：解：由记录$mnapproxfrac{1}{2},thereforeP$(落在$odot{O}$内$)=frac{1}{3}$.$becauseP($落在$odot{O}$内$)=frac{S_{odot0}}{S_{odot0}+S_{text{佤}}},S_{odot0}=pileft({m}^{2}right).thereforefrac{S_{odot0}}{S_{ABC}}=frac{1}{3},S_{ABC}=3pileft({m}^{2}right)$.
题目（九年级 · 计数）：(8分)我校社团活动中其中4个社团报名情况（每人限报一个社团）：合唱有36人参加,民乐有30人参加,足球有22人参加,篮球社团有12人参加,回答下列问题:（1）若从4个社团里抽取一位学生,则抽到哪个社团的学生的可能性最大?哪个社团的学生的可能性最小?（2）若篮球队还有一个名额，小王、小李都想参加，决定采取抛郑一枚各面分别标有1,2,3,4的正四面体骰子的方法来确定,具体规则是：“每人各抛郑一次,若小王郑得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小,这次机会给小王,否则给小李”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？
选项：
答案：解:(1)抽到合唱社团的可能性最大,抽到篮球社团的可能性最小.(2)不公平．画树状图法说明（如图)<ImageHere>由此可知,共有16种等可能结果.其中小王掷得数字比小李郑得数字小的有6种:(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2,4),(3,4$)$.小王胜的可能性小于小李胜的可能性,所以不公平.
解析：解:(1)抽到合唱社团的可能性最大,抽到篮球社团的可能性最小.(2)不公平．画树状图法说明（如图)由此可知,共有16种等可能结果.其中小王掷得数字比小李郑得数字小的有6种:(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2,4),(3,4$)$.小王胜的可能性小于小李胜的可能性,所以不公平.
题目（九年级 · 计数）：(8分)某班有50名学生,每名学生都有一个序号,将50张编有学生序号(从1号到50号）的卡片（除序号不同外其他均相同）打乱顺序重新排列，从中任意抽取1张卡片.(1)在序号中,是20的倍数的有:20,40;能整除20的有:$1,2,4,5,10$(为了不重复计数,20只计一次）.求取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率.(2)若规定:取到的卡片上序号是$k$($k$是满足$1leqslantkleqslant50$的整数),则序号是$k$的倍数或能整除$k$(不重复计数)的学生能参加某项活动,这一规定是否公平?请说明理由.（3）请你设计一个规定,能公平地选出10名学生参加某项活动,并说明你的规定是符合要求的.
选项：
答案：解:(1)$because$在序号中,是20的倍数的有:20,40,能整除20的有:$1,2,4$,5,10（为了不重复计数，20只计一次），$therefore$是20倍数或能整除20的数有7个.$therefore$取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率为$frac{7}{50}$.(2)不公平.$because$无论$k$取何值,都能被1整除,则序号为1的学生能参加活动的概率为1,即$100%$,而抽到其他序号的学生参加活动的概率不为$100%$.$therefore$这一规定不公平.（3）答案不唯一，如方法一:先抽出一张,记下数字,然后每个数字加5,得到序号,若数字加5超过50,则减掉50,差为序号,直到得到10人为止.(每个人都有机会)方法二:分五组,110,1120,$cdots,41sim50$,任抽一张卡片,这张卡片是哪一组的,这一组的人就全部选中,且每个人被选中的概率相等.
解析：解:(1)$because$在序号中,是20的倍数的有:20,40,能整除20的有:$1,2,4$,5,10（为了不重复计数，20只计一次），$therefore$是20倍数或能整除20的数有7个.$therefore$取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率为$frac{7}{50}$.(2)不公平.$because$无论$k$取何值,都能被1整除,则序号为1的学生能参加活动的概率为1,即$100%$,而抽到其他序号的学生参加活动的概率不为$100%$.$therefore$这一规定不公平.（3）答案不唯一，如方法一:先抽出一张,记下数字,然后每个数字加5,得到序号,若数字加5超过50,则减掉50,差为序号,直到得到10人为止.(每个人都有机会)方法二:分五组,110,1120,$cdots,41sim50$,任抽一张卡片,这张卡片是哪一组的,这一组的人就全部选中,且每个人被选中的概率相等.
题目（九年级 · 计数）：(10分)某校活动课要求每位同学在乒乓球、篮球、排球、羽毛球4类体育项目中任选一项参加.为了解同学对这4类体育项目的报名情况,学校对本校50名学生进行抽样调查,并绘制统计图.请根据统计图回答下列问题:（1）已知全校共有500名学生,估计报名参加乒乓球项目的学生有多少人.（2）甲、乙、丙三人的乒乓球水平相当,学校决定从这三名同学中任选两名参加市乒乓球比赛,请用画树状图或列表法求甲被选中的概率.50名学生参加体育活动情况统计图
选项：
答案：解:(1)$500timesfrac{15}{500}=150$(人),$therefore$估计报名参加乒乓球项目的有150人.(2)列表法:||甲|乙|丙||:---|:-----|:-----|:-----||甲||甲,乙|甲,丙||乙|乙,甲||乙,丙||丙|丙,甲|丙,乙||树状图:<ImageHere>$thereforeP_{text{(甲)})}=frac{2}{3}$.
解析：解:(1)$500timesfrac{15}{500}=150$(人),$therefore$估计报名参加乒乓球项目的有150人.(2)列表法:||甲|乙|丙||:---|:-----|:-----|:-----||甲||甲,乙|甲,丙||乙|乙,甲||乙,丙||丙|丙,甲|丙,乙||树状图:$thereforeP_{text{(甲)})}=frac{2}{3}$.
题目（九年级 · 计数）：(10分)现有分别标有数字$-1,1,2$的3个质地和大小完全相同的小球.若3个小球都装在一个不透明的口袋中,从中随机摸出一个小球后不放回,其标号作为一次函数$y=$$kx+b$的系数$k$.再随机摸出一个,其标号作为一次函数$y=kx+b$的系数$b$.（1）利用树形图或列表法(只选一种)，表示一次函数$y=kx+b$可能出现的所有结果,并写出所有等可能结果;(2)求出一次函数$y=kx+b$的图象不经过第四象限的概率.
选项：
答案：解:(1)树形图如下:<ImageHere>(2)$P($图象不在第四象限$)=frac{2}{3}$.
解析：解:(1)树形图如下:(2)$P($图象不在第四象限$)=frac{2}{3}$.
题目（九年级 · 计数）：(12分)“校园诗歌大赛”结束后,张老师和李老师将所有参赛选手的比赛成绩(得分均为整数)进行整理,并分别绘制成扇形统计图和频数直方图,部分信息如图.扇形统计图频数直方图(1)本次比赛参赛选手共有$qquad$人，扇形统计图中“$69.5sim79.5$”这一组人数占总参赛人数的百分比为$qquad$(2)赛前规定,成绩由高到低前$60%$的参赛选手获奖.某参赛选手的比赛成绩为78分,试判断他能否获奖，并说明理由;（3）成绩前四名是2名男生和2名女生,若从他们中任选2人作为获奖代表发言,试求恰好选中1男1女的概率.
选项：
答案：(1)$50;30%$;解：(2)不能.理由:由频数分布直方图可得“$89.5sim99.5$”这一组人数为12人,$12div50$$=24%$,则$79.5sim89.5$和$89.5sim99.5$两组占参赛选手的$60%$,而$78<79.5$,所以他不能获奖;（3）由题意得树状图如答图,由树状图知,共有12种等可能的结果,其中恰好选中1男1女的结果共有8种,故$P=frac{8}{12}=frac{2}{3}$.<ImageHere>
解析：(1)$50;30%$;解：(2)不能.理由:由频数分布直方图可得“$89.5sim99.5$”这一组人数为12人,$12div50$$=24%$,则$79.5sim89.5$和$89.5sim99.5$两组占参赛选手的$60%$,而$78<79.5$,所以他不能获奖;（3）由题意得树状图如答图,由树状图知,共有12种等可能的结果,其中恰好选中1男1女的结果共有8种,故$P=frac{8}{12}=frac{2}{3}$.
题目（九年级 · 变换几何）：(本小题8.0分)

如图, 在 $4 \times 4$ 的方格纸中, $\triangle A B C$ 的三个顶点都在格点上.



图1



图2

(1)在图1中画出一个与 $\triangle A B C$ 成中心对称的格点三角形.

(2)在图2中画出 $\triangle A B C$ 绕着点 $C$ 按顺时针方向旋转 $90^{\circ}$ 后的三角形.


选项：
答案：【小题1】
如图1所示, $\triangle D E C$ 即为所求的三角形.

<ImageHere>

图1

## 【小题2】

如图2所示, $\triangle D E C$ 即为所求的三角形.

<ImageHere>

图2

## 
解析：1.见答案2.见答案
题目（九年级 · 变换几何）：(本小题8.0分)

如图所示, 将矩形 $A B C D$ 绕点 $A$ 按顺时针方向旋转得到矩形 $A E F G$, 点 $E$ 在 $B D$ 上.



(1)求证: $F D=A B$.

(2)连结 $A F$, 求证: $\angle D A F=\angle E F A$.

## 
选项：
答案：解：(1)由旋转可得, $A E=A B, \angle A E F=\angle A B C=\angle D A B=90^{\circ}, E F=B C=D A$,

$\therefore \angle A E B=\angle A B E$,

又 $\because \angle A B E+\angle E D A=90^{\circ}=\angle A E B+\angle D E F$,

$\therefore \angle E D A=\angle D E F$,

又 $\because D E=E D$,

$\therefore \triangle A E D \cong \triangle F D E(S A S)$,

$\therefore F D=A E$,

又 $\because A E=A B$,

$\therefore A B=F D$;

(2)如图: 设 $E F$ 与 $A D$ 交点为点 $H$,

<ImageHere>

$\because \triangle A E D \cong \triangle F D E$,

$\therefore \angle E D A=\angle D E F, E F=A D$,

$\therefore H E=H D$,

又 $\because E F=A D$,

$\therefore E F-H E=A D-H D$,

即 $H F=H A$,

$\therefore \angle D A F=\angle E F A$.


解析：本题考查了旋转的性质, 全等三角形的判定和性质, 矩形的性质, 熟练运用这些性质进行推理是本题的关键.

(1)先运用 $S A S$ 判定 $\triangle A E D \cong \triangle F D E$, 可得 $F D=A E$, 再根据 $A E=A B$, 即可得出 $A B=D F$;

(2)设 $E F$ 与 $A D$ 交点为点 $H$, 由 $\triangle A E D \cong \triangle F D E$, 可得 $\angle E D A=\angle D E F, E F=A D$, 可证 $H F=H A$, 即可得 $\angle D A F=\angle E F A$.
题目（九年级 · 变换几何）：(本小题8.0分)

如图所示, 在正方形网格中, $\triangle A B C$ 为格点三角形(顶点都是格点), 将 $\triangle A B C$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $90^{\circ}$ 得到 $\triangle A B_{1} C_{1}$.



(1)在正方形网格中, 作出 $\triangle A B_{1} C_{1}$. (不要求写作法)

(2)设网格小正方形的边长为 $1 \mathrm{~cm}$, 求线段 $A B$ 所扫过的图形的面积. (结果保留 $\pi$ )


选项：
答案：解: (1) $\triangle A B_{1} C_{1}$ 如图所示;

<ImageHere>

(2)阴影部分即为旋转过程中线段 $A B$ 扫过的图形, 如(1)中所示,

旋转过程中线段 $A B$ 扫过的图形为圆心角为 $90^{\circ}$, 半径为 4 的扇形, 所以, 面积为 $\frac{1}{4} \times \pi \times 4^{2}=4 \pi \mathrm{cm}^{2}$.


解析：本题考查旋转作图和扇形的面积计算.

(1)按照题目要求将 $\triangle A B C$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $90^{\circ}$, 画出图形;

(2)根据旋转的知识可知, 线段 $A B$ 所扫过的图形为圆心角为 $90^{\circ}$, 半径为 4 的扇形, 就是圆面积的 $\frac{1}{4}$,就可得出答案.
题目（九年级 · 变换几何）：(本小题8.0分)

在平面直角坐标系中, $\triangle A B C$ 的顶点坐标分别为 $A(0,2) 、 B(1,3) 、 C(2,1)$.

(1)以坐标原点 $O$ 为位似中心, 在 $x$ 轴下方, 画出 $\triangle A B C$ 的位似图形 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$, 使它与 $\triangle A B C$ 的相似比为 $2: 1$;

(2)在(1)的条件下, 写出点 $A 、 C$ 的对应点 $A^{\prime} 、 C^{\prime}$ 的坐标.




选项：
答案：解: (1)如图, $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 为所作;

<ImageHere>

（2）由(1)可知 $A^{\prime}(0,-4) 、 C^{\prime}(-4,-2)$.


解析：(1)连接 $A O 、 B O 、 C O$ 到点 $A^{\prime} 、 B^{\prime} 、 C^{\prime}$, 使 $O A^{\prime}=2 O A, O B^{\prime}=2 O B, O C^{\prime}=2 O C$, 再首尾顺次连接 $A^{\prime} 、 B^{\prime} 、 C^{\prime}$ 即可得出答案;

(2)直接由(1)中图形作答即可.

本题考查了画位似图形, 熟练掌握位似图形的画法是解题的关键.
题目（九年级 · 变换几何）：(本小题8.0分)

$\triangle A B C$ 在平面直角坐标系中的位置如图所示，网格中每个小正方形的边长都是 1 个单位长度.

(1)请画出 $\triangle A B C$ 关于 $x$ 轴对称的 $\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$ 点 $A, B, C$ 的对应点分别为 $A_{1}, B_{1}, C_{1}$;

(2)请以原点 $O$ 为位似中心, 在第四象限内画一个 $\triangle A_{2} B_{2} C_{2}$, 使它与 $\triangle A B C$ 的相似比为 $2: 1$.



## 
选项：
答案：解: (1)如图, $\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$ 即为所求;

(2)如图 $\triangle A_{2} B_{2} C_{2}$ 即为所求.

<ImageHere>


解析：(1)利用轴对称变换的性质分别作出 $A, B, C$ 的对应点 $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ 即可;

(2)利用相似变换的性质分别作出 $A, B, C$ 的对应点 $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ 即可.

本题考查作图一位似变换, 轴对称变换, 解题的关键是理解题意, 灵活运用所学知识解决问题.
题目（九年级 · 变换几何）：(本小题8.0分)

$\triangle A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A(-1,-2), B(-3,-1), C(-2,-3)$, 以原点 $O$ 为位似中心, 在第三象限内, 画出 $\triangle A B C$ 的位似图形 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$, 使 $\triangle A B C$ 与 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的相似比为 $1: 2$, 并写出 $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ 的坐标.




选项：
答案：解: 如图, $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 即为所作.

<ImageHere>

由图可知 $A^{\prime}(-2,-4), B^{\prime}(-6,-2), C^{\prime}(-4,-6)$.


解析：由位似图形的性质, 结合要在第三象限内, 画出 $\triangle A B C$ 的位似图形 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$, 即对应点坐标乘以2即可.

本题考查作图一位似变换, 坐标与图形的变化一位似变换. 掌握位似的性质是解题关键.
题目（九年级 · 变换几何）：(本小题8.0分)

已知: $\triangle A B C$ 在直角坐标平面内, 三个顶点的坐标分别为 $A(0,3) 、 B(3,4) 、 C(2,2)$ (正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度).



(1)画出 $\triangle A B C$ 向下平移 4 个单位长度得到的 $\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$.

(2)以点 $B$ 为位似中心, 在网格内画出 $\triangle A_{2} B_{2} C_{2}$, 使 $\triangle A_{2} B_{2} C_{2}$ 与 $\triangle A B C$ 位似, 且位似比为 $2: 1$.


选项：
答案：解: (1)如图所示, $\triangle A B C$ 向下平移 4 个单位长度得到的 $\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$ :

<ImageHere>

(2)如图所示, 以 $B$ 为位似中心, $\triangle A_{2} B_{2} C_{2}$, 使 $\triangle A_{2} B_{2} C_{2}$ 与 $\triangle A B C$ 位似, 且位似比为2: 1 .


解析：此题考查了作图一位似变换与平移变换, 熟练掌握位似变换与平移变换的性质是解本题的关键.

(1)分别作出点 $A 、 B 、 C$ 向下平移 4 个单位后的点 $A_{1} 、 B_{1} 、 C_{1}$, 顺次连接即可得到图形即可;

(2)延长 $B A$ 至 $A_{2}$, 使 $A_{2} B=2 B A$, 延长 $B C$ 至 $C_{2}$, 使 $C_{2} B=2 B C, B_{2}$ 与 $B$ 重合, 顺次连接 $A_{2} 、 B_{2} 、 C_{2}$,即可得到 $\triangle A_{2} B_{2} C_{2}$.
题目（九年级 · 变换几何）：(本小题8.0分)

如图, 在边长为 1 个单位长度的小正方形网格中, 正方形 $O A B C$ 的顶点均在格点上, 在建立平面直角坐标系后, 点 $B$ 的坐标为 $(2,2)$.

(1)在第一象限内, 以 $O$ 为位似中心, 画出正方形 $O A_{1} B_{1} C_{1}$, 使正方形 $O A_{1} B_{1} C_{1}$ 与正方形 $O A B C$ 位似,且位似比为 $2: 1$;

(2)在第一象限内以 $O$ 为位似中心, 画出正方形 $O A_{2} B_{2} C_{2}$, 使正方形 $O A_{2} B_{2} C_{2}$ 与正方形 $O A B C$ 位似, 且位似比为1: 2 ;

(3)直接写出正方形 $O A_{1} B_{1} C_{1}$ 与正方形 $O A_{2} B_{2} C_{2}$ 的周长之比.




选项：
答案：解：(1)如图, 正方形 $O A_{1} B_{1} C_{1}$ 即为所求作.

(2)如图, 正方形 $O A_{2} B_{2} C_{2}$ 即为所求作.

<ImageHere>

(3)正方形 $O A_{1} B_{1} C_{1}$ 与正方形 $O A_{2} B_{2} C_{2}$ 的周长之比 $=4: 1$.


解析：(1)分别作出 $A, B, C$ 的对应点 $A_{1}, B_{1}, C_{1}$ 即可.

(2)分别作出 $A, B, C$ 的对应点 $A_{2}, B_{2}, C_{2}$ 即可.

(3)根据相似多边形的周长之比等于相似比解决问题即可.本题考查作图-位似变换, 正方形的判定和性质等知识,解题的关键是理解题意, 灵活运用所学知识解决问题.
题目（九年级 · 变换几何）：(本小题8.0分)

如图, 在平面直角坐标系中, 四边形 $T A B C$ 的顶点坐标分别为: $T(1,1), A(2,3), B(3,3), C(A, 2)$.

(1)以点 $T$ 为位似中心, 在第一象限内将四边形 $T A B C$ 放大为原来的 2 倍, 放大后点 $A 、 B 、 C$ 的对应点分别为 $A^{\prime} 、 B^{\prime} 、 C^{\prime}$, 画出四边形 $T A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$.

(2)写出点 $A^{\prime} 、 B^{\prime} 、 C^{\prime}$ 的坐标: $A^{\prime}($ $\qquad$ ), $B^{\prime}$ $\qquad$ ), $C^{\prime}($ $\qquad$ ).



##
选项：
答案：3, $55,57,3$


解析：解：(1)如图所示：四边形 $T A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 即为所求.

(2) $A^{\prime}(3,5), \quad B^{\prime}(5,5), \quad C^{\prime}(7,3)$.


故答案为: 3,$5 ; 5,5 ; 7,3$.

(1)首先确定放大后点 $A 、 B 、 C$ 的对应点 $A^{\prime} 、 B^{\prime} 、 C^{\prime}$, 再连接即可;

(2)根据坐标系可得答案.

此题主要考查了作图--位似变换, 关键是正确确定组成图形的关键点的对应点位置.