eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高二 · 算术）：已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为递增数列, $S_{n}$ 是其前 $n$ 项和. 若 $a_{1}+a_{5}=\frac{17}{2}, a_{2} a_{4}=4$,则 $S_{6}=(\quad)$
选项：
A. $\frac{27}{16}$
B. $\frac{27}{8}$
C. $\frac{63}{4}$
D. $\frac{63}{2}$
答案：D
解析：设递增的等比数列 $\left\{\mathrm{a}_{n}\right\}$ 的公比为 $\mathrm{q}, \because \mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{5}=\frac{17}{2}, \mathrm{a}_{2} \mathrm{a}_{4}=4=\mathrm{a}_{1} \mathrm{a}_{5}$,

$\therefore$ 解得 $\mathrm{a}_{1}=\frac{1}{2}, \mathrm{a}_{5}=8, \quad \therefore \frac{a_{5}}{a_{1}}=q^{4}=16, \therefore$ 等比数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 为递增数列, $\therefore$ 解得 $\mathrm{q}=2$, $\therefore \mathrm{S}_{6}=\frac{\frac{1}{2}\left(2^{6}-1\right)}{2-1}=\frac{63}{2}$. 故选 D.
题目（高二 · 算术）：已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}+a_{2}=3, a_{3}+a_{4}=12$, 则 $a_{5}+a_{6}=(\quad)$
选项：
A. 3
B. 15
C. 48
D. 63
答案：C
解析：$\because \mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{2}=3, \mathrm{a}_{3}+\mathrm{a}_{4}=12, \therefore\left(\mathrm{a}_{1}+\mathrm{a}_{2}\right) \mathrm{q}^{2}=\mathrm{a}_{3}+\mathrm{a}_{4}$, 即 $\mathrm{q}^{2}=4$,则 $a_{5}+a_{6}=\left(a_{3}+a_{4}\right) q^{2}=12 \times 4=48$, 故选 : C.
题目（高二 · 算术）：正项等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{3}=2, a_{4} \cdot a_{6}=64$, 则 $\frac{a_{5}+a_{6}}{a_{1}+a_{2}}$ 的值是 ( )
选项：
A. 4
B. 8
C. 16
D. 64
答案：C
解析：设正项等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 q, $\because \mathrm{a}_{3}=2, a_{4} \cdot a_{6}=64$,

$\therefore a_{1} q^{2}=2, a_{1}^{2} q^{8}=64, \therefore$ 解得 $\mathrm{q}^{2}=4, \therefore \frac{a_{5}+a_{6}}{a_{1}+a_{2}}=\frac{q^{4}\left(a_{1}+a_{2}\right)}{a_{1}+a_{2}}=q^{4}=16$. 故选 C.
题目（高二 · 算术）：设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 且满足 $a_{6}=8 a_{3}$, 则 $\frac{S_{6}}{S_{3}}=(\quad)$
选项：
A. 4
B. 5
C. 8
D. 9
答案：D
解析：等比数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的前 $\mathrm{n}$ 项和为 $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$, 且满足 $\mathrm{a}_{6}=8 \mathrm{a}_{3}, \quad \therefore \frac{a_{6}}{a_{3}}=\mathrm{q}^{3}=8$, 解得 $\mathrm{q}=2, \quad \therefore \frac{S_{6}}{S_{3}}$ $=\frac{1-q^{6}}{1-q^{3}}=1+\mathrm{q}^{3}=9$. 故选: D.
题目（高二 · 算术）：$\cos 555^{\circ}$ 的值是
选项：
A. $\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}$
B. $-\frac{\sqrt{6}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{4}$
C. $\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{2}$
答案：B
解析：解析: $\because \cos 555^{\circ}=\cos 195^{\circ}=-\cos 15^{\circ}=-\cos \left(45^{\circ}-30^{\circ}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2}=-$ $\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.故选 B.

答案: B
题目（高二 · 算术）：已知 $\cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{3}$, 则 $\cos x+\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)=$
选项：
A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
    B. $\sqrt{3}$
    C. $\frac{1}{2}$
    D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
答案：D
解析：解析: $\cos x+\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\cos \left[\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+\frac{\pi}{6}\right]+$ $\cos \left[\left(x-\frac{\pi}{6}\right)-\frac{\pi}{6}\right]=2 \cos \left(x-\frac{\pi}{6}\right) \cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ ，故选 D.

答案: D
题目（高二 · 算术）：下列各式中, 不正确的是
选项：
A. $\sin \left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}\right)=\sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \frac{\pi}{4}$
B. $\cos \frac{5 \pi}{12}=\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \frac{\pi}{3}-\cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{3}$
C. $\cos \left(-\frac{\pi}{12}\right)=\cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{6}}{4}$
D. $\cos \frac{\pi}{12}=\cos \frac{\pi}{3}-\cos \frac{\pi}{4}$
答案：D
解析：解析: $\because \sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} ， \therefore \mathrm{A}$ 正确; $\because \cos \frac{5 \pi}{12}=-\cos \frac{7 \pi}{12}=-\cos \left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right), \therefore$ B 正确; $\because \cos \left(-\frac{\pi}{12}\right)=$ $\cos \left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}\right) ， \therefore$ C 正确; $\because \cos \frac{\pi}{12}=\cos \left(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}\right) \neq \cos \frac{\pi}{3}-\cos \frac{\pi}{4} ， \therefore$ D 不正确.

答案: D
题目（高二 · 算术）：若 $\sqrt{3} \sin x+\cos x=4-m$, 则实数 $m$ 的取值范围是
选项：
A. $[2,6]$
B. $[-6,6]$
C. $(2,6)$
D. $[2,4]$
答案：A
解析：解析: $\because \sqrt{3} \sin x+\cos x=4-m$,

$\therefore \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x+\frac{1}{2} \cos x=\frac{4-m}{2}$,

$\therefore \sin \frac{\pi}{3} \sin x+\cos \frac{\pi}{3} \cos x=\frac{4-m}{2}$,

$\therefore \cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{4-m}{2}$.

$\because\left|\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)\right| \leqslant 1, \quad \therefore\left|\frac{4-m}{2}\right| \leqslant 1, \quad \therefore 2 \leqslant m \leqslant 6$.

答案: A
题目（高二 · 算术）：$\cos ^{2} 75^{\circ}+\cos ^{2} 15^{\circ}+\cos 75^{\circ} \cos 15^{\circ}=$
选项：
A.$\frac{\sqrt{6}}{2} $$ B. \frac{3}{2} $ C.  $\frac{5}{4}$
D. $1+\frac{\sqrt{3}}{4}$
答案：C
解析：解析: 原式 $=\sin ^{2} 15^{\circ}+\cos ^{2} 15^{\circ}+\sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}=1+\frac{1}{2} \sin 30^{\circ}=1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$.

答案: C
题目（高二 · 算术）：函数 $f(x)=2 \sin \frac{x}{2} \sin \left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)$ 的最小值是
选项：
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{3}{2}$
C. $-\frac{1}{2}$
D. $-\frac{3}{2}$
答案：D
解析：解析: $\because f(x)=2 \sin \frac{x}{2} \cdot \sin \left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)=$

$-\left[\cos \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)-\cos \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{3}+\frac{x}{2}\right)\right]=$

$\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)-\frac{1}{2}, \therefore y_{\min }=-1-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$.

答案: D
题目（高二 · 算术）：如果 $a, b, c$ 满足 $c<b<a$, 且 $a c<0$, 那么下列不等式不一定成立的是 ( )
选项：
A. $\mathrm{ab}>\mathrm{ac}$
B. $b c>a c$
C. $\mathrm{cb}^{2}<\mathrm{ab}^{2}$
D. $\mathrm{ac}(\mathrm{a}-\mathrm{c})<0$
答案：C
解析：$ \because c<b<a$, 且 $a c<0, \therefore a>0, c<0, \quad \therefore a b-a c=a(b-c)>0, \quad b c-a c=(b-a) c>0, \quad a c(a-c)<0$,

$\therefore \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{D}$ 中的不等式均恒成立, $\because \mathrm{b}$ 可能等于 0 , 也可能不等于 $0, \therefore \mathrm{cb}^{2}<\mathrm{ab}^{2}$ 不一定成立, 故选 $\mathrm{C}$.
题目（高二 · 算术）：若 $a<b<0$, 则下列不等式不能成立的是 ( )
选项：
A. $\xrightarrow{1}>\frac{1}{b}$
B. $2^{\mathrm{a}}>2^{\mathrm{b}}$
C. $|a|>|b|$
D. $\left(\frac{1}{2}\right)^{a}>\left(\frac{1}{2}\right)^{b}$
答案：B
解析：对于A, 由 $a<b<0$ 知 $a b>0$, 因此 $a \cdot \frac{1}{a b}<b \cdot \frac{1}{a b} \stackrel{1}{-1}>\frac{1}{b}$, 即 $a$ 成立, 故 $A^{\text {正确; }}$

对于C, 由 $a<b<0$ 得 $-a>-b>0$, 因此 $|a|>|b|>0$ 成立, 故C正确;

对于D, 因为 $\left.\mathrm{a}<\mathrm{b}, \mathrm{y}=\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{x}}\right)^{\mathrm{x}}$ 是减函数, 所以 $\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{a}}>\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{b}}$ 成立, 故D正确,

对于 $\mathrm{B}$, 因为 $\mathrm{a}<\mathrm{b}, \mathrm{y}=2^{\mathrm{x}}$ 是增函数, 所以 $\mathrm{2}^{\mathrm{a}}<2^{\mathrm{b}}$, 选项 B不成立, 故选 B.
题目（高二 · 算术）：设 $a, b, c \in R$, 且 $a>b$, 则下列不等式成立的是
选项：
A. $a^{2}>b^{2}$
B. $a c^{2}>b c^{2}$
C. $a+c>b+c$
D. ${ }^{\frac{1}{a}<\frac{1}{b}}$
答案：C
解析：$ \because 1>-2$, 但是 $\frac{1}{1}<\frac{1}{-2}$ 不成立, 故D不正确; $\because 1>-2$, 但是 $(-1)^{2}>(-2)^{2}$ 不成立, 故A不正确;

$\because a>b, \therefore a+c>b+c, c_{\text {正确; }} c=0$ 时, $0=a c^{2}>b c^{2}=0$, 不成立, 故选 $B$.
题目（高二 · 算术）：对于实数 $a, b, c$, 下列结论中正确的是 ( )
选项：
A. 若 $a>b$, 则 $a c^{2}>b c^{2}$
B. 若 $a>b>0$, 则 $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$
C. 若 $a<b<0$, 则 $\frac{a}{b}<\frac{b}{a}$
D. 若 $a>b, \frac{1}{a}>\frac{1}{b}$, 则 $a b<0$
答案：D
解析：对于 $\mathrm{A}, a>b$, 若 $c=0$, 则 $a c^{2}=b c^{2}$, 故 $\mathrm{A}$ 错;

对于 B, $a>b>0$, 取 $a=2, b=1, \frac{1}{2}<1$, 即 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$, 故 B错;

对于 C, $a<b<0$, 取 $a=-2, b=-1,2>\frac{1}{2}$, 即 $\frac{a}{b}>\frac{b}{a}$, 故 C 错;

对于 $\mathrm{D}$, 若 $a>b$, 则 $a-b>0$, 又 $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$, 所以 $\frac{1}{a}-\frac{1}{b}>0$,

所以 $\frac{b-a}{a b}>0$, 又 $a-b>0$, 所以 $a b<0$, 故 D 正确.
题目（高二 · 算术）：若 $a>b, c>d$, 则不等式一定成立的是 ( )
选项：
A. $a-c>b-d$
B. $a+c>b+d$
C. $a c>b d$
D. $|a|>|b|$
答案：B
解析：由同向不等式的可加性可知 $a>b, c>d \Rightarrow a+c>b+d$ 成立. 故选 B.

考点: 不等式的基本性质.
题目（高二 · 算术）：设 $a=2^{0.1}, b=\lg \frac{3}{2}, c=\ln \frac{9}{10}$, 则 $a, b, c$ 的大小关系是 ( )
选项：
A. $b>c>a$
B. $a>c>b$
C. $b>a>c$
D. $a>b>c$
答案：D
解析：D
题目（高二 · 算术）：已知 $a, b, c, d \in R$, 则下列说法中一定正确的是 ( )
选项：
A. 若 $a>b, c>b$, 则 $a>c$
B. 若 $a>-b$, 则 $c-a<c+b$

C. 若 $a>b, c<d$, 则 $c \stackrel{a}{d}$

D. 若 $a^{2}>b^{2}$, 则 $-a<-b$
答案：B
解析：B  解析 对于 $A$, 若 $a=4, b=2, c=5$, 显然 $a>c$ 不成立; 对于B, 若 $a>-b$, 则 $-a<b$, 则 $c-a<c+b$, 一


不成立, 故选 B.
题目（高二 · 算术）：已知 $-1 \leq a \leq 3,2 \leq b \leq 4$, 则 $2 a-b$ 的取值范围是 ( )
选项：
A. $[-6,4]$
B. $[0,10]$
C. $[-4,2]$
D. $\left[\begin{array}{ll}-5, & 1\end{array}\right]$
答案：A
解析：$\because-1 \leq a \leq 3, \therefore-2 \leq 2 a \leq 6$, 又 $\because 2 \leq b \leq 4, \therefore-4 \leq-b \leq-2, \therefore-6=-2-4 \leq 2 a-b \leq 6-2=4$,

即 $-6 \leq 2 \mathrm{a}-\mathrm{b} \leq 4, \therefore 2 \mathrm{a}-\mathrm{b}$ 的取值范围是 $[-6,4]$; 故选 A.
题目（高二 · 算术）：已知集合 $A=\left\{x \mid-x^{2}+4 x \geq 0\right\}, B=\left\{x \left\lvert\, \frac{1}{81}<3^{x}<27\right.\right\}, C=\{x \mid x=2 n, n \in N\}$, 则 $(A \cup B)$ $\cap C=(\quad)$
选项：
A. $\{2,4\}$
B. $\{0,2\}$
C. $\{0,2,4\}$
D. $\{x \mid x=2 n, n \in N\}$
答案：C
解析：$\mathrm{A}=\left\{\mathrm{x} \mid-\mathrm{x}^{2}+4 \mathrm{x} \geq 0\right\}=\{\mathrm{x} \mid 0 \leq \mathrm{x} \leq 4\}$,

$B=\left\{x \left\lvert\, \frac{1}{81}<3^{x}<27\right.\right\}=\left\{x \mid 3^{-4}<3^{x}<3^{3}\right\}=\{x \mid-4<x<3\}$, 则 $A \cup B=\{x \mid-4<x \leq 4\}$,

$C=\{x \mid x=2 n, n \in N\}$, 可得 $(A \cup B) \cap C=\{0,2,4\}$, 故选 C.
题目（高二 · 算术）：在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}+3 a_{8}+a_{15}=120$, 则 $2 a_{9}-a_{10}$ 的值为 $(\quad)$
选项：
A. 24
B. 22
C. 20
D. -8
答案：A
题目（高二 · 算术）：在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{10}<0, a_{11}>0$, 且 $\left|a_{10}\right|<a_{11}, S_{n}$ 为 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项的和, 则下列结论正确的是( )
选项：
A. $S_{1}, S_{2}, \cdots, S_{10}$ 都小于零, $S_{11}, S_{12}, \cdots$ 都大于零
    B. $S_{1}, S_{2}, \cdots, S_{5}$ 都小于零, $S_{6}, S_{7}, \cdots$ 都大于零
    C. $S_{1}, S_{2}, \cdots, S_{20}$ 都小于零, $S_{21}, S_{22}, \cdots$ 都大于零
    D. $S_{1}, S_{2}, \cdots, S_{19}$ 都小于零, $S_{20}, S_{21}, \cdots$ 都大于零
答案：D
题目（高二 · 算术）：等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 若 $a_{3}+a_{7}+a_{11}=6$, 则 $S_{13}$ 等于 $(\quad)$
选项：
A. 24
B. 25
C. 26
D. 27
答案：C
解析：解析 $\because a_{3}+a_{7}+a_{11}=6, \therefore a_{7}=2$,

$\therefore S_{13}=\frac{13\left(a_{1}+a_{13}\right)}{2}=13 a_{7}=26$.
题目（高二 · 算术）：设数列 $\left\{a_{n}\right\} 、\left\{b_{n}\right\}$ 都是等差数列, 且 $a_{1}=25, b_{1}=75, a_{2}+b_{2}=100$, 则 $a_{37}+b_{37}$ 等于
选项：
A. 0
B. 37
C. 100
D. -37
答案：C
解析：解析 设数列 $\left\{a_{n}\right\},\left\{b_{n}\right\}$ 的公差分别为 $d, d^{\prime}$,

则 $a_{2}+b_{2}=\left(a_{1}+d\right)+\left(b_{1}+d^{\prime}\right)$

$=\left(a_{1}+b_{1}\right)+\left(d+d^{\prime}\right)$

$=100$

又 $\because a_{1}+b_{1}=100, \therefore d+d^{\prime}=0$.

$\therefore a_{37}+b_{37}=\left(a_{1}+36 d\right)+\left(b_{1}+36 d^{\prime}\right)$

$=\left(a_{1}+b_{1}\right)+36\left(d+d^{\prime}\right)=100$.等于( )
题目（高二 · 算术）：设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是公差为正数的等差数列, 若 $a_{1}+a_{2}+a_{3}=15, a_{1} a_{2} a_{3}=80$, 则 $a_{11}+a_{12}+a_{13}$
选项：
A. 120
B. 105
C. 90
D. 75
答案：B
解析：解析 $\because a_{1}+a_{2}+a_{3}=3 a_{2}=15, \therefore a_{2}=5$.

$\because a_{1}=5-d, \quad a_{3}=5+d, \quad d>0$,

$\therefore a_{1} a_{2} a_{3}=(5-d) \cdot 5 \cdot(5+d)=80$,

$\therefore d=3, a_{1}=2$.

$\therefore a_{11}+a_{12}+a_{13}=3 a_{12}=3\left(a_{1}+11 d\right)$

$=3 a_{1}+33 d=3 \times 2+33 \times 3=105$.
题目（高二 · 算术）：若 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列, $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和, 若 $a_{1}>0, d<0, S_{4}=S_{8}$, 则 $S_{n}>0$ 成立的最大自然数 $n$ 为 ()
选项：
A. 11
B. 12
C. 13
D. 14
答案：A
解析：解析 $S_{4}=S_{8} \Rightarrow a_{5}+a_{6}+a_{7}+a_{8}=0 \Rightarrow a_{6}+a_{7}=0$, 又 $a_{1}>0, d<0, S_{12}=\frac{\left(a_{1}+a_{12}\right) \cdot 12}{2}=0$, $n<12$ 时,

$S_{n}>0$.
题目（高二 · 算术）：在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=-2008$, 其前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 若 $\frac{S_{2} 008}{2008}-\frac{S_{2} 006}{2006}=2$, 则 $S_{2} 012$等于( )
选项：
A. -2012
B. 2012
C. 6033
D. 6036
答案：D
解析：解析 $\frac{S_{n}}{n}=a_{1}+\frac{(n-1) d}{2}$,

$\therefore \frac{S_{2} 008}{2008}-\frac{S_{2006}}{2006}=a_{1}+\frac{2008-1}{2} d-a_{1}-\frac{2006-1}{2} d$

$=d=2$.

$\therefore S_{2012}=2012 \times(-2008)+\frac{2012 \times 2011}{2} \times 2$

$=2012 \times 3=6036$​.
题目（高二 · 算术）：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 若 $a_{n}=\frac{1}{n(n+1)}$, 则 $S_{5}$ 等于 $(\quad)$
选项：
A. 1
B. $\frac{5}{6}$
c. $\frac{1}{6}$
D. $\frac{1}{30}$
答案：B
解析：解析 $\because a_{n}=\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$,

$\therefore S_{5}=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{6}\right)$

$=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$.
题目（高二 · 算术）：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式 $a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$, 若前 $n$ 项的和为 10 , 则项数为 ()
选项：
A. 11
B. 99
C. 120
D. 121
答案：C
解析：解析 $\because a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$,

$\therefore S_{n}=\sqrt{n+1}-1=10, \quad \therefore n=120$.
题目（高二 · 算术）：数列 $1 \frac{1}{2}, 2 \frac{1}{4}, 3 \frac{1}{8}, 4 \frac{1}{16}, \cdots$ 的前 $n$ 项和为 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{1}{2}\left(n^{2}+n+2\right)-\frac{1}{2^{n}}$
B. $\frac{1}{2} n(n+1)+1-\frac{1}{2^{n-1}}$
C. $\frac{1}{2}\left(n^{2}-n+2\right)-\frac{1}{2^{n}}$
D. $\frac{1}{2} n(n+1)+2\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)$
答案：A
解析：解析 $1 \frac{1}{2}+2 \frac{1}{4}+3 \frac{1}{8}+\cdots+\left(n+\frac{1}{2^{n}}\right)$

$=(1+2+\cdots+n)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}\right)$

$=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right)}{1-\frac{1}{2}}$

$=\frac{1}{2}\left(n^{2}+n\right)+1-\frac{1}{2^{n}}$
$=\frac{1}{2}\left(n^{2}+n+2\right)-\frac{1}{2^{n}}$.
题目（高二 · 算术）：已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项 $a_{n}=2 n+1$, 由 $b_{n}=\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}}{n}$ 所确定的数列 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$项之和是( )
选项：
A. $n(n+2)$
B. $\frac{1}{2} n(n+4)$
C. $\frac{1}{2} n(n+5)$
D. $\frac{1}{2} n(n+7)$
答案：C
解析：解析 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=\frac{n}{2}(2 n+4)=n^{2}+2 n$.

$\therefore b_{n}=n+2, \quad \therefore b_{n}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=\frac{n(n+5)}{2}$.
题目（高二 · 算术）：已知 $S_{n}=1-2+3-4+\cdots+(-1)^{n-1} n$, 则 $S_{17}+S_{33}+S_{50}$ 等于 ( )
选项：
A. 0
B. 1
C. -1
D. 2
答案：B
解析：解析 $S_{17}=(1-2)+(3-4)+\cdots+(15-16)+17=9$,

$S_{33}=(1-2)+(3-4)+\cdots+(31-32)+33=17$,

$S_{50}=(1-2)+(3-4)+\cdots+(49-50)=-25$,

所以 $S_{17}+S_{33}+S_{50}=1$.
题目（高二 · 算术）：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}, a_{2}-a_{1}, a_{3}-a_{2}, \cdots, a_{n}-a_{n-1}$ 是首项为 1 , 公比为 2 的等比数列,那么 $a_{n}$ 等于 ( )
选项：
A. $2^{n}-1$
B. $2^{n-1}-1$
C. $2^{n}+1$
D. $4^{n}-1$
答案：A
解析：解析 由于 $a_{n}-a_{n-1}=1 \times 2^{n^{-1}}=2^{n^{-1}}$,

那么 $a_{n}=a_{1}+\left(a_{2}-a_{1}\right)+\cdots+\left(a_{n}-a_{n-1}\right)$

$=1+2+\cdots+2^{n-1}=2^{n}-1$​.
题目（高二 · 算术）：已知 $x>0, y>0, x+2 y+2 x y=8$, 则 $x+2 y$ 的最小值是
选项：
A. 3
B. 4
C. $\frac{9}{2}$
D. $\frac{11}{2}$
答案：B
解析：考察均值不等式 $x+2 y=8-x \cdot(2 y) \geq 8-\left(\frac{x+2 y}{2}\right)^{2}$, 整理得$(x+2 y)^{2}+4(x+2 y)-32 \geq 0$ 即 $(x+2 y-4)(x+2 y+8) \geq 0$, 又 $x+2 y>0, \therefore x+2 y \geq 4$
题目（高二 · 算术）：已知 $x>1$, 则 $x+\frac{4}{x-1}$ 的最小值为
选项：
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
答案：C
解析：由题意, 因为 $x>1$, 则 $x-1>0$,

所以 $x+\frac{4}{x-1}=x-1+\frac{4}{x-1}+1 \geq 2 \sqrt{(x-1) \cdot\left(\frac{4}{x-1}\right)}+1=5$,

当且仅当 $x-1=\frac{4}{x-1}$ 时, 即 $x=3$ 时取等号,

所以 $x+\frac{4}{x-1}$ 的最小值为 5 , 故选 C.
题目（高二 · 算术）：下列函数中, 最小值为 2 的是 ( )
选项：
A. $y=x+\frac{1}{x}$
B. $y=3^{x}+3^{-x}$
C. $y=\lg x+\frac{1}{\lg x}(0<x<1)$
D. $y=\sin x+\frac{1}{\sin x}\left(0<x<\frac{\pi}{2}\right)$
答案：B
解析：$\mathrm{A}$ 项中, 因为自变量 $x$ 可以为负数, 所以函数值可以小于零, 故错误; B 项中, $3^{x}>0,3^{-x}>0$, 由基本不等式可知 $3^{x}+3^{-x} \geq 2 \sqrt{3^{x} \cdot 3^{-x}}=2$, 当且仅当 $x=0$ 时取等号, 故正确; $C$项中, $0<x<1 \Rightarrow \lg x<0$, 即函数值恒为负数, 故错误; $\mathrm{D}$ 项中, 由基本不等式可知当且仅当 $\sin x=1$时取到最小值 2 , 但是当 $0<x<\frac{\pi}{2}$ 时, $0<\sin x<1$, 故错误.故选 B.
题目（高二 · 代数）：已知 $\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{12}{13}$, 则 $\cos \left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)=$
选项：
A. $\frac{5}{13}$
B. $\frac{12}{13}$
C. $-\frac{5}{13}$
D. $-\frac{12}{13}$
答案：B
解析：解析: 因为 $\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{12}{13}$, 所以 $\cos \left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)=\sin \left[\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{6}-\alpha\right)\right]=\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{12}{13}$.

答案: B
题目（高二 · 代数）：化简 $\frac{\cos (\alpha+\pi) \cdot \sin ^{2}(\alpha+3 \pi)}{\tan (\alpha+4 \pi) \cdot \tan (\alpha-\pi) \sin ^{3}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}$ 的结果为
选项：
A. 1
B. -1
C. $\sin \alpha$
D. $\tan \alpha$
答案：B
解析：解析 : 原式 $=\frac{-\cos \alpha \cdot \sin ^{2} \alpha}{\tan \alpha \cdot \tan \alpha \cdot \cos ^{3} \alpha}=\frac{-\sin ^{2} \alpha}{\tan ^{2} \alpha \cdot \cos ^{2} \alpha}=-\frac{\tan ^{2} \alpha}{\tan ^{2} \alpha}=-1$.

答案: B
题目（高二 · 代数）：函数 $f(x)=x+\sin x, x \in \mathbf{R}$
选项：
A. 是奇函数, 但不是偶函数

B. 是偶函数, 但不是奇函数

C. 既是奇函数, 又是偶函数

D. 既不是奇函数, 又不是偶函数
答案：A
题目（高二 · 代数）：已知函数 $f(x)=|\sin x|, x \in[-2 \pi, 2 \pi]$, 则方程 $f(x)=\frac{1}{2}$ 的所有根的和等于 $(\quad)$
选项：
A. 0
    B. $\pi$
    C. $-\pi$
    D. $-2 \pi$
答案：A
解析：解析 : 若 $f(x)=\frac{1}{2}$,



则 $|\sin x|=\frac{1}{2}$,

$\therefore \sin x=\frac{1}{2}$ 或 $\sin x=-\frac{1}{2}$,

$\because x \in[-2 \pi, 2 \pi]$,

$\therefore$ 方程 $\sin x=\frac{1}{2}$ 的 4 个根关于 $x=-\frac{\pi}{2}$ 对称,

则对称的 2 个根之和为 $-\pi$,

则 4 个根之和为 $-2 \pi$,

同理, 由对称性可得 $\sin x=-\frac{1}{2}$ 的四个根之和为 $2 \pi$, 故选 A.

答案:
题目（高二 · 代数）：函数(1) $y=x^{2} \sin x$; (2) $y=\sin x, x \in[0,2 \pi]$; (3) $y=\sin x, x \in[-\pi, \pi]$; (4) $y=x \cos x$ 中, 奇函数的个数为
选项：
A. 1\nB. 2\nC. 3\nD. 4\n\n
答案：C
解析：C
题目（高二 · 代数）：函数 $y=\cos x\left(\frac{\pi}{6} \leqslant x \leqslant \frac{7 \pi}{6}\right)$ 的最小值, 最大值分别为
选项：
A. 0,1
B. $-1,1$
C. $-\frac{\sqrt{3}}{2}, 1$
D. $-1, \frac{\sqrt{3}}{2}$
答案：D
解析：解析: 由 $y=\cos x\left(\frac{\pi}{6} \leqslant x \leqslant \frac{7 \pi}{6}\right)$ 的图象(如图)可知, 当 $x=\frac{\pi}{6}$ 时, $y=\cos x$ 有最大值 $\frac{\sqrt{3}}{2}$; 当 $x$ $=\pi$ 时, $y=\cos x$ 有最小值 -1 . 故选 D.



答案: D
题目（高二 · 代数）：函数 $y=-x \cos x$ 的部分图象是 ( )


选项：
A.



B



C



D
答案：D
解析：解析: $\because y=-x \cos x$ 是奇函数, 它的图象关于原点对称, $\therefore$ 排除 A, C 项; 当 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 时, $y=-x \cos x<0, \therefore$ 排除 B 项, 故选 D.

答案: D
题目（高二 · 代数）：关于正切函数 $y=\tan x$, 下列判断不正确的是
选项：
A. 是奇函数

B. 在整个定义域上是增函数

C. 在定义域内无最大值和最小值

D. 平行于 $x$ 轴的直线被正切曲线各支所截线段相等
答案：B
解析：解析: 正切函数在整个定义域上不具有单调性，正切函数在每个单调区间内是增函数.

答案: B
题目（高二 · 代数）：已知 $a, b$ 是不等于 1 的正数, $\theta \in\left(\frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right)$, 若 $a^{\tan \theta}>b^{\tan \theta}>1$, 则下列关系式成立的是
选项：
A. $a>b>1$
    B. $a<b<1$
    C. $b<a<1$
    D. $b>a>1$
答案：B
解析：

$\therefore a<b<1$.

答案: B
题目（高二 · 代数）：函数 $y=|\tan x| \cos x$ 的部分图象是




选项：
A.



C



B



D
答案：C
解析：解析: 当 $x \in\left[0 ， \frac{\pi}{2}\right) \cup\left[\pi ， \frac{3 \pi}{2}\right)$ 时， $\tan x \geqslant 0$; 当 $x \in\left(\frac{\pi}{2} ， \pi\right)$ 时， $\tan x<0$.当 $x=\frac{\pi}{2}$ 或 $\frac{3 \pi}{2}$ 时， $\tan x$无意义.从而当 $x \in\left[0 ， \frac{\pi}{2}\right) \cup\left[\pi ， \frac{3 \pi}{2}\right)$ 时, $y=|\tan x| \cos x$ 与 $y=\sin x$ 的图象相同; 当 $x \in\left(\frac{\pi}{2} ， \pi\right)$时, $y=|\tan x| \cos x$ 与 $y=\sin x$ 的图象关于 $x$ 轴对称，故选 C.

答案: C
题目（高二 · 代数）：已知函数 $f(x)=A \cos (\omega x+\varphi)(A>0, \omega>0)$ 的部分图象如图所示, $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{2}{3}$, 则 $f(0)=$


选项：
A. $-\frac{2}{3}$
B. $\frac{2}{3}$
C. $-\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{2}$
答案：B
解析：解析 : 由图象可知所求函数的周期为 $T=2\left(\frac{11 \pi}{12}-\frac{7 \pi}{12}\right)=\frac{2 \pi}{3}$ ，故 $\omega=\frac{2 \pi}{\frac{2 \pi}{3}}=3$. 将 $\left(\frac{11 \pi}{12} ， 0\right)$ 代入解析式，得 $A \cos \left(3 \times \frac{11 \pi}{12}+\varphi\right)=0$ ，即 $\cos \left(\frac{11 \pi}{4}+\varphi\right)=0$ ，

$\therefore \frac{11 \pi}{4}+\varphi=\frac{\pi}{2}+2 k \pi ， k \in \mathbf{Z} ， \therefore \varphi=-\frac{9 \pi}{4}+2 k \pi ， k \in \mathbf{Z}$. 令 $\varphi=-\frac{\pi}{4}$, 代入解析式得 $f(x)=$ $\operatorname{Acos}\left(3 x-\frac{\pi}{4}\right)$.

又 $\because\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{2}{3}, \therefore\left(\frac{\pi}{2}\right)=-A \sin \frac{\pi}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2} A=-\frac{2}{3}, \therefore A=\frac{2}{3} \sqrt{2}$.

$\therefore f(0)=\frac{2}{3} \sqrt{2} \cos \left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{2}{3} \sqrt{2} \cos \frac{\pi}{4}=\frac{2}{3}$.

答案: B
题目（高二 · 代数）：如图, 单摆从某点开始来回摆动, 离开平衡位置 $O$ 的距离 $s(\mathrm{~cm})$ 和时间 $t(s)$ 的函数关系式为 $s$ $=6 \sin \left(2 \pi t+\frac{\pi}{6}\right)$, 那么单摆来回摆动一次所需的时间为


选项：
A. $2 \pi \mathrm{s}$
B. $\pi \mathrm{s}$
C. $0.5 \mathrm{~s}$
D. $1 \mathrm{~s}$
答案：D
解析：解析: 单摆来回摆动一次所需的时间为函数 $s=6 \sin \left(2 \pi t+\frac{\pi}{6}\right)$ 的周期. 又因为 $T=\frac{2 \pi}{2 \pi}=1$ ，所以单摆来回摆动一次所需的时间为 $1 \mathrm{~s}$ ，故选 D.

答案: D
题目（高二 · 代数）：商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数, “五一” 期间某一天商场的人流量满足函数 $F(t)=50+4 \sin \frac{t}{2}(t \geqslant 0)$, 则人流量增加的时间段是
选项：
A. $[0,5]$
B. $[5,10]$
C. $[10,15]$
D. $[15,20]$
答案：C
解析：解析: 由 $2 k \pi-\frac{\pi}{2} \leqslant \frac{t}{2} \leqslant 2 k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in \mathbf{Z}$ ，知函数 $F(t)$ 的单调递增区间为 $[4 k \pi-\pi, 4 k \pi+\pi], k \in \mathbf{Z}$.当 $k=1$ 时， $t \in[3 \pi ， 5 \pi]$. 因为 $[10 ， 15] \subseteq[3 \pi ， 5 \pi]$ ，故选 C.

答案: C
题目（高二 · 代数）：如图所示, 一个单摆以 $O A$ 为始边, $O B$ 为终边的角 $\theta(-\pi<\theta<\pi)$ 与时间 $t(\mathrm{~s})$ 满足函数关系式 $\theta$ $=\frac{1}{2} \sin \left(2 t+\frac{\pi}{2}\right), t \in[0,+\infty)$, 则当 $t=0$ 时, 角 $\theta$ 的大小及单摆频率是


选项：
A. $2, \frac{1}{\pi}$
B. $\frac{1}{2}, \frac{1}{\pi}$
$\mathrm{C} \cdot \frac{1}{2}, \pi$
D. $2, \pi$
答案：B
解析：解析: 当 $t=0$ 时， $\theta=\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{2}=\frac{1}{2}$ ，由函数解析式易知单摆周期为 $\frac{2 \pi}{2}=\pi$ ，故单摆频率为 $\frac{1}{\pi}$​​.答案: B
题目（高二 · 代数）：设集合 $M=\left\{\alpha \left\lvert\, \alpha=\frac{k \pi}{2}\right., k \in \mathbf{Z}\right\} \cup\left\{\alpha \left\lvert\, \alpha=k \pi+\frac{\pi}{4}\right., k \in \mathbf{Z}\right\}, N=\left\{\beta \left\lvert\, \beta=\frac{k \pi}{4}\right., k \in \mathbf{Z}\right\}$, 则集合 $M$与 $N$ 的关系是
选项：
A. $M N$
    B. $M N$
    C. $M=N$
    D. $M \cap N=\varnothing$
答案：B
解析：解析: 集合 $M$ 中, $\alpha=\frac{k \pi}{2}(k \in \mathbf{Z})$ 是 $\frac{\pi}{2}$ 的整数倍的角, 其终边在坐标轴上, $\alpha=k \pi+\frac{\pi}{4}(k \in \mathbf{Z})$ 的终边在直线 $y=x$ 上; 集合 $N$ 中, $\beta=\frac{k \pi}{4}(k \in \mathbf{Z})$ 是 $\frac{\pi}{4}$ 的整数倍角, 其终边在直线 $y=x$ 上, 或 $y$ 轴上, 或直线 $y=-x$ 上, 或 $x$ 轴上, 故 $M N$.

答案: B
题目（高二 · 代数）：下列等式中, 正确的个数为 (
(1) $0-\boldsymbol{a}=-\boldsymbol{a}$;
(2) $-(-a)=a$;
(3) $\boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{a})=0$; (4) $\boldsymbol{a}+0=\boldsymbol{a}$; (5) $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{b})$; (6) $\boldsymbol{a}-(-$ a) $=0$.
选项：
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
答案：C
解析：解析: (1)(2)(3)(4)(5)正确.

答案: C
题目（高二 · 代数）：若 $k_{1} \boldsymbol{a}+k_{2} \boldsymbol{b}=0$, 则 $k_{1}=k_{2}=0$, 那么下面关于向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 的判断正确的是 ( )
选项：
A. $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 一定共线
B. $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 一定不共线
C. $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 垂直
D. $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 中至少有一个为 0
答案：B
解析：解析:由平面向量基本定理可知，当 $\boldsymbol{a} ， \boldsymbol{b}$ 不共线时， $k_{1}=k_{2}=0$

答案: B
题目（高二 · 代数）：设向量 $\boldsymbol{a}=(m, n), \boldsymbol{b}=(s, t)$, 定义两个向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 之间的运算 “ $\otimes$ ” 为 $\boldsymbol{a} \otimes \boldsymbol{b}=(m s, n t)$. 若向量 $\boldsymbol{p}=(1,2), \boldsymbol{p}^{\otimes} \boldsymbol{q}=(-3,-4)$, 则向量 $\boldsymbol{q}=$
选项：
A. $(-3,2)$
   B. $(3,-2)$
   C. $(-2,-3)$
   D. $(-3,-2)$
答案：D
解析：解析: 设向量 $\boldsymbol{q}=(x, y)$ ，根据题意可得 $x=-3 ， 2 y=-4$ ，解得 $x=-3 ， y=-2$ ，即向量 $\boldsymbol{q}=(-3 ，-2) ，$ 故选 D.

答案: D
题目（高二 · 代数）：下面给出的关系式中正确的个数是 ( )

(1) $0 \cdot \boldsymbol{a}=0$; (2) $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{a} ;$ (3) $\boldsymbol{a}^{2}=|\boldsymbol{a}|^{2}$; (4) $|\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}| \leqslant \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} ;$ (5) $(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^{2}=\boldsymbol{a}^{2} \cdot \boldsymbol{b}^{2}$.
选项：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：C
解析：解析: (1)(2)(3)正确，(4)(5)错误， $(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^{2}=(|\boldsymbol{a}| \cdot|\boldsymbol{b}| \cos \theta)^{2}=\boldsymbol{a}^{2} \cdot \boldsymbol{b}^{2} \cos ^{2} \theta \neq \boldsymbol{a}^{2} \cdot \boldsymbol{b}^{2}$.

答案: C
题目（高二 · 代数）：下列量不是向量的是
选项：
A. 力
B. 速度
C. 质量
D. 加速度
答案：C
解析：解析: 质量只有大小, 没有方向, 不是向量.

答案: C
题目（高二 · 代数）：下列说法正确的是
选项：
A. 数量可以比较大小, 向量也可以比较大小

B. 方向不同的向量不能比较大小, 但同向的可以比较大小

C. 向量的大小与方向有关

D. 向量的模可以比较大小
答案：D
解析：解析: 向量不能比较大小, 但是向量的模是实数, 可以比较大小.

答案: D
题目（高二 · 代数）：下列说法正确的是
选项：
A. 若 $|a|>|b|$, 则 $a>b$

B. 若 $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|$, 则 $a=b$

C. 若 $a=b$, 则 $a / / b$

D. 若 $a \neq b$, 则 $a, b$ 不是共线向量
答案：C
解析：解析: 向量不能比较大小, 所以 $\mathrm{A}$ 不正确; $a=b$ 需满足两个条件: $a, b$ 同向且 $|a|=|b|$,所以 $\mathrm{B}$ 不正确; $\mathrm{C}$ 正确; 若 $a, b$ 是共线向量, 则 $a, b$ 方向相同或相反, $\mathrm{D}$ 不正确.

答案: $C$
题目（高二 · 代数）：给出下列结论:

(1)若用图象表示数列, 从图象上看都是一系列孤立的点;

(2)数列的项数都是无限的;

(3)数列可以看成是以正整数集或其有限子集 $\{1,2,3, \cdots, n\}$ 为定义域的函数.

其中正确的结论是（ ）
选项：
A. (1)(2).
B. (1)(3).
C. (2) (3).
D. (1)(2)(3).
答案：B
解析：解析 对于(1), 因为数列可以看成是以正整数集或其有限子集 $\{1,2,3 ， \ldots$, $\mathrm{n}\}$ 为定义域的函数，所以数列的图象都是一群孤立的点，正确;对于(2), 无穷数列的项数是无限的, 但有穷数列的项数是有限的, 故错误.对于(3), 数列可以看成是以正整数集或其有限子集 $\{1,2 ， 3 ， \ldots$,$\} 为定义域$的函数, 故正确; 故选 B.