eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（九年级 · 立体几何学）：如图, 边长为 $\mathrm{acm}$ 的正方体其上下底面的对角线 $\mathrm{AC} 、 \mathrm{~A}_{1} \mathrm{C}_{1}$ 与平面 $\mathrm{H}$ 垂直.



(1)指出正方体在平面 $\mathrm{H}$ 上的正投影图形;

(2)计算投影 MNP 的面积.
选项：
答案：(1) 矩形; (2) $\sqrt{2} a^{2}$

【解析】（1）正方体在平面 $H$ 上的正投影图形是矩形;

(2) $\because$ 正方体边长为 $a c m, \quad \therefore B D=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=\sqrt{2} a(\mathrm{~cm}) ， \therefore$ 投影 $M N P Q$ 的面积为 $\sqrt{2} a \times a=\sqrt{2} a^{2}$ $\left(\mathrm{cm}^{2}\right)$.
解析：(1) 矩形; (2) $\sqrt{2} a^{2}$

【解析】（1）正方体在平面 $H$ 上的正投影图形是矩形;

(2) $\because$ 正方体边长为 $a c m, \quad \therefore B D=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=\sqrt{2} a(\mathrm{~cm}) ， \therefore$ 投影 $M N P Q$ 的面积为 $\sqrt{2} a \times a=\sqrt{2} a^{2}$ $\left(\mathrm{cm}^{2}\right)$.
题目（九年级 · 立体几何学）：如图是两个长方体组合而成的一个立体图形的三视图, 根据图中所标尺寸单位 (毫米), 求这个几何体的表面积.



主视图



左视图



俯视图
选项：
答案：这个几何体的表面积是 $376 \mathrm{~mm}^{2}$
【解析】 根据三视图可得：上面的长方体长 $6 \mathrm{~mm}$, 高 $6 \mathrm{~mm}$, 宽 $3 \mathrm{~mm}$,

下面的长方体长 $8 \mathrm{~mm} ，$ 宽 $10 \mathrm{~mm} ，$ 高 $3 \mathrm{~mm} ，$

$2(3 \times 8+3 \times 10+8 \times 10)+2 \times(3 \times 6+6 \times 6)=268+108=376 \mathrm{~mm}^{2}$.

答：这个几何体的表面积是 $376 \mathrm{~mm}^{2}$.

20．（1）如图（一），左视图没有发生改变；（2）如图 1 所示见解析，（3）如图 2 所示见解析.

【解析】（1）如图（一）, 它是由 6 个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体(1)移走后，新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，左视图没有发生改变;
(2) 如图 1 所示,
(3) 如图 2 所示.

<ImageHere>

图1

<ImageHere>

图2
解析：这个几何体的表面积是 $376 \mathrm{~mm}^{2}$
【解析】 根据三视图可得：上面的长方体长 $6 \mathrm{~mm}$, 高 $6 \mathrm{~mm}$, 宽 $3 \mathrm{~mm}$,

下面的长方体长 $8 \mathrm{~mm} ，$ 宽 $10 \mathrm{~mm} ，$ 高 $3 \mathrm{~mm} ，$

$2(3 \times 8+3 \times 10+8 \times 10)+2 \times(3 \times 6+6 \times 6)=268+108=376 \mathrm{~mm}^{2}$.

答：这个几何体的表面积是 $376 \mathrm{~mm}^{2}$.

20．（1）如图（一），左视图没有发生改变；（2）如图 1 所示见解析，（3）如图 2 所示见解析.

【解析】（1）如图（一）, 它是由 6 个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体(1)移走后，新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，左视图没有发生改变;
(2) 如图 1 所示,
(3) 如图 2 所示.



图1



图2
题目（九年级 · 组合几何学）：如图, 在四边形 $\mathrm{ABCD}$ 中, $\mathrm{AB}=\mathrm{AD}$, 对角线 $\mathrm{AC}, \mathrm{BD}$ 交于点 $\mathrm{E}$, 点 $\mathrm{O}$ 在线段 $\mathrm{AE}$ 上, $\odot O$ 过 $\mathrm{B}$, $\mathrm{D}$ 两点, 若 $\mathrm{OC}=5, \mathrm{OB}=3$, 且 $\cos \angle \mathrm{BOE}=\frac{3}{5}$. 求证: $\mathrm{CB}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的切线.


选项：
答案：证明见解析.

【解析】连接 $\mathrm{OD}$, 可得 $\mathrm{OB}=\mathrm{OD}$,

$\because \mathrm{AB}=\mathrm{AD}, \quad \therefore \mathrm{AE}$ 垂直平分 $\mathrm{BD}$,

在 Rt $\triangle \mathrm{BOE}$ 中, $\mathrm{OB}=3, \cos \angle \mathrm{BOE}=\frac{3}{5}, \therefore \mathrm{OE}=\frac{9}{5}$,

根据勾股定理得: $\mathrm{BE}=\sqrt{B O^{2}-O E^{2}}=\frac{12}{5}, \mathrm{CE}=\mathrm{OC}-\mathrm{OE}=\frac{16}{5}$,

在 Rt $\triangle \mathrm{CEB}$ 中, $\mathrm{BC}=\sqrt{C E^{2}+B E^{2}}=4$,

$\because \mathrm{OB}=3, \mathrm{BC}=4, \quad \mathrm{OC}=5, \quad \therefore O B^{2}+B C^{2}=O C^{2}$,

$\therefore \angle \mathrm{OBC}=90^{\circ}$, 即 $\mathrm{BC} \perp \mathrm{OB}$, 则 $\mathrm{BC}$ 为圆 $\mathrm{O}$ 的切线.

<ImageHere>
解析：证明见解析.

【解析】连接 $\mathrm{OD}$, 可得 $\mathrm{OB}=\mathrm{OD}$,

$\because \mathrm{AB}=\mathrm{AD}, \quad \therefore \mathrm{AE}$ 垂直平分 $\mathrm{BD}$,

在 Rt $\triangle \mathrm{BOE}$ 中, $\mathrm{OB}=3, \cos \angle \mathrm{BOE}=\frac{3}{5}, \therefore \mathrm{OE}=\frac{9}{5}$,

根据勾股定理得: $\mathrm{BE}=\sqrt{B O^{2}-O E^{2}}=\frac{12}{5}, \mathrm{CE}=\mathrm{OC}-\mathrm{OE}=\frac{16}{5}$,

在 Rt $\triangle \mathrm{CEB}$ 中, $\mathrm{BC}=\sqrt{C E^{2}+B E^{2}}=4$,

$\because \mathrm{OB}=3, \mathrm{BC}=4, \quad \mathrm{OC}=5, \quad \therefore O B^{2}+B C^{2}=O C^{2}$,

$\therefore \angle \mathrm{OBC}=90^{\circ}$, 即 $\mathrm{BC} \perp \mathrm{OB}$, 则 $\mathrm{BC}$ 为圆 $\mathrm{O}$ 的切线.
题目（九年级 · 组合几何学）：如图, 已知 $\mathrm{AB}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的直径, 直线 $\mathrm{CE}$ 与 $\odot \mathrm{O}$ 相切于点 $C$, 交 $\mathrm{AB}$ 的延长线交于点 $\mathrm{E}$. 作 $\mathrm{AD} \perp \mathrm{CE}$, 垂足为 $\mathrm{D}$, 连接 $\mathrm{AC}$. 求证: $\mathrm{AC}$ 平分 $\angle \mathrm{DAB}$.


选项：
答案：证明见解析.

【解析】

连结 $\mathrm{OC}$, 如图,

<ImageHere>

$\because \quad$ 直线 $\mathrm{CE}$ 与 $\odot \mathrm{O}$ 相切于点 $C, \therefore \quad \mathrm{OC} \perp \mathrm{CE}$,

$\because \quad \mathrm{AD} \perp \mathrm{CE}, \therefore \quad \mathrm{OC} / / \mathrm{AD}, \therefore \quad \angle 1=\angle 3$,

$\because \quad \mathrm{OA}=\mathrm{OC}, \therefore \quad \angle 2=\angle 3$,

$\therefore \quad \angle 1=\angle 2, \therefore \quad \mathrm{AC}$ 平分 $\angle \mathrm{DAB}$.
解析：证明见解析.

【解析】

连结 $\mathrm{OC}$, 如图,



$\because \quad$ 直线 $\mathrm{CE}$ 与 $\odot \mathrm{O}$ 相切于点 $C, \therefore \quad \mathrm{OC} \perp \mathrm{CE}$,

$\because \quad \mathrm{AD} \perp \mathrm{CE}, \therefore \quad \mathrm{OC} / / \mathrm{AD}, \therefore \quad \angle 1=\angle 3$,

$\because \quad \mathrm{OA}=\mathrm{OC}, \therefore \quad \angle 2=\angle 3$,

$\therefore \quad \angle 1=\angle 2, \therefore \quad \mathrm{AC}$ 平分 $\angle \mathrm{DAB}$.
题目（九年级 · 组合几何学）：如图, $\odot \mathrm{O}$ 的直径为 $\mathrm{AB}$, 点 $\mathrm{C}$ 在圆周上(异于点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ ), $\mathrm{AD} \perp \mathrm{CD}$.

(1)若 $\mathrm{BC}=3, \mathrm{AB}=5$, 求 $\mathrm{AC}$ 的长;

(2)若 $\mathrm{AC}$ 是 $\angle \mathrm{DAB}$ 的平分线, 求证: 直线 $\mathrm{CD}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的切线.


选项：
答案：(1) $A C=4$; (2)详见解析.

【解析】 (1) $\because \mathrm{AB}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 直径, $\mathrm{C}$ 在 $\odot \mathrm{O}$ 上,

$\therefore \angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}$, 又 $\because \mathrm{BC}=3, \mathrm{AB}=5, \therefore$ 由勾股定理得 $\mathrm{AC}=4$;

(2) 证明: 连接 $\mathrm{OC} \because \mathrm{AC}$ 是 $\angle \mathrm{DAB}$ 的角平分线,

$\therefore \angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{BAC}$, 又 $\because \mathrm{AD} \perp \mathrm{DC}$,

$\therefore \angle \mathrm{ADC}=\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}, \therefore \triangle \mathrm{ADC} \sim \triangle \mathrm{ACB}$,

$\therefore \angle \mathrm{DCA}=\angle \mathrm{CBA}$, 又 $\because \mathrm{OA}=\mathrm{OC}$,

$\therefore \angle \mathrm{OAC}=\angle \mathrm{OCA}, \because \angle \mathrm{OAC}+\angle \mathrm{OBC}=90^{\circ}$,
$\therefore \angle \mathrm{OCA}+\angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{OCD}=90^{\circ}, \quad \therefore \mathrm{DC}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的切线.

<ImageHere>
解析：(1) $A C=4$; (2)详见解析.

【解析】 (1) $\because \mathrm{AB}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 直径, $\mathrm{C}$ 在 $\odot \mathrm{O}$ 上,

$\therefore \angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}$, 又 $\because \mathrm{BC}=3, \mathrm{AB}=5, \therefore$ 由勾股定理得 $\mathrm{AC}=4$;

(2) 证明: 连接 $\mathrm{OC} \because \mathrm{AC}$ 是 $\angle \mathrm{DAB}$ 的角平分线,

$\therefore \angle \mathrm{DAC}=\angle \mathrm{BAC}$, 又 $\because \mathrm{AD} \perp \mathrm{DC}$,

$\therefore \angle \mathrm{ADC}=\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}, \therefore \triangle \mathrm{ADC} \sim \triangle \mathrm{ACB}$,

$\therefore \angle \mathrm{DCA}=\angle \mathrm{CBA}$, 又 $\because \mathrm{OA}=\mathrm{OC}$,

$\therefore \angle \mathrm{OAC}=\angle \mathrm{OCA}, \because \angle \mathrm{OAC}+\angle \mathrm{OBC}=90^{\circ}$,
$\therefore \angle \mathrm{OCA}+\angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{OCD}=90^{\circ}, \quad \therefore \mathrm{DC}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的切线.
题目（九年级 · 组合几何学）：如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $C$ 是 $\odot O$ 上一点, $D$ 在 $A B$ 的延长线上, 且 $\angle B C D=\angle A$.

(1) 求证: $C D$ 是 $\odot O$ 的切线;

(2) $\odot O$ 的半径为 $3, C D=4$, 求 $B D$ 的长.


选项：
答案：（1）答案见解析; (2) 2 .

【解析】(1) 连接 $O C$.

$\because A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $C$ 是 $\odot O$ 上一点,

$\therefore \angle A C B=90^{\circ}$, 即 $\angle A C O+\angle O C B=90^{\circ}$.

$\because O A=O C, \angle B C D=\angle A, \quad \therefore \angle A C O=\angle A=\angle B C D$,

$\therefore \angle B C D+\angle O C B=90^{\circ}$, 即 $\angle O C D=90^{\circ}, \therefore C D$ 是 $\odot O$ 的切线.

(2) 在 Rt $\triangle O C D$ 中, $\angle O C D=90^{\circ}, O C=3, C D=4$,

$\therefore O D=\sqrt{O C^{2}+C D^{2}}=5$,

$\therefore B D=O D-O B=5-3=2$.

<ImageHere>
解析：（1）答案见解析; (2) 2 .

【解析】(1) 连接 $O C$.

$\because A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $C$ 是 $\odot O$ 上一点,

$\therefore \angle A C B=90^{\circ}$, 即 $\angle A C O+\angle O C B=90^{\circ}$.

$\because O A=O C, \angle B C D=\angle A, \quad \therefore \angle A C O=\angle A=\angle B C D$,

$\therefore \angle B C D+\angle O C B=90^{\circ}$, 即 $\angle O C D=90^{\circ}, \therefore C D$ 是 $\odot O$ 的切线.

(2) 在 Rt $\triangle O C D$ 中, $\angle O C D=90^{\circ}, O C=3, C D=4$,

$\therefore O D=\sqrt{O C^{2}+C D^{2}}=5$,

$\therefore B D=O D-O B=5-3=2$.
题目（九年级 · 组合几何学）：(本题7分)(2021$cdot$浙江$cdot$金华海亮外国语学校九年级阶段练习)如图,在四边形$ABCD$中,$AD=BC,angleB=angleD,AD$不平行于$BC$,过点$C$作$CE//AD$交$triangleABC$的外接圆$O$于点$E$,连接$AE$.(1)求证:四边形$AECD$为平行四边形;(2)连接$CO$,求证:$CO$平分$angleBCE$.
选项：
答案：(1)见解析(2)见解析
解析：【分析】(1)根据圆周角定理得到$angleB=angleE$,得到$angleE=angleD$,根据平行线的判定和性质定理得到$AE/CD$,证明结论;(2)作$OMperpBC$于$M,ONperpCE$于$N$,根据垂径定理、角平分线的判定定理证明.(1)证明:$becauseangleB=angleE,angleB=angleD$,$thereforeangleE=angleD$,$becauseCE//AD$$thereforeangleD+angleECD=180^{circ}$,$thereforeangleE+angleECD=180^{circ}$,$thereforeAE//CD$$therefore$四边形$AECD$为平行四边形;(2)证明:作$OMperpBC$于$M,ONperpCE$于$N$,如图,$because$四边形$AECD$为平行四边形,$thereforeAD=CE$又$becauseAD=BC$,$thereforeCE=CB$$becauseOMperpBC,ONperpCE$,$thereforeangleONC=angleOMC=90^{circ},CN=frac{1}{2}CE,CM=frac{1}{2}BC$,$thereforeCN=CM$$becauseOC=OC$,$thereforeRttriangleCONcongRttriangleCOM$$thereforeON=OM$$becauseOMperpBC,ONperpCE$$thereforeCO$平分$angleBCE$.【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心,掌握平行四边形的判定定理、垂径定理、圆周角定理是解题的关键.
题目（九年级 · 组合几何学）：(本题9分)(2021:浙江$cdot$杭州仁和实验学校九年级期中)如图,$AC$为$odotO$的直径,$BD$是弦,且$ACperpBD$于点$E$.连接$AB、OB、BC$.(1)求证:$angleCBO=angleABD$;(2)若$AE=4{~cm},CE=16{~cm}$,求弦$BD$的长.
选项：
答案：(1)见解析(2)弦$BD$的长为$16{~cm}$
解析：【分析】(1)根据垂径定理可得$AB=AD$,进而可得$angleABD=angleC$,根据半径相等可得$angleC=angleCBO$,等量代换即可得证;(2)在Rt$triangleOBE$中,勾股定理求得$BE$,根据垂径定理可得$BE=DE$,即可求解.(1)$becauseAC$为$odotO$的直径,且$ACperpBD$,$thereforeAB=AD$$thereforeangleABD=angleC$,$becauseOB=OC$$thereforeangleC=angleCBO$$thereforeangleCBO=angleABD$(2)$becauseAE=4,quadCE=16$,$thereforeOA=10,OE=6$,在Rt$triangleOBE$中,$BE=sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$,$becauseAC$为$odotO$的直径,且$ACperpBD$,$thereforeBE=DE$,$thereforeBD=2BE=16{~cm}$.【点睛】本题考查了垂径定理,勾股定理,圆周角定理等,掌握垂径定理是解题的关键.
题目（九年级 · 组合几何学）：(本题6分)(2020$cdot$浙江$cdot$诸暨市滨江初级中学九年级期中)如图,已知$AB//DC$,点$E、F$在线段$BD$上,$AB=2DC,BE=2DF$.(1)求证:$triangleABEsimtriangleCDF$.(2)若$BD=8,DF=2$,求$EF$的长.
选项：
答案：(1)见解析;(2)$EF=2$
解析：【分析】(1)根据$AB//DC$,可得$angleB=angleD$,再由$AB=2DC,BE=2DF$,可得$AB$:$DC=BE:DF=2$,即可证得;(2)根据$BE=2DF$,可得$BE=4$,即可求解.【详解】(1)证明:$becauseAB//DC$,$thereforeangleB=angleD$,$becauseAB=2DC,BE=2DF$$thereforeAB:DC=BE:DF=2$,$thereforetriangleABEsimtriangleCDF$(2)解:$becauseBE=2DF,DF=2$,$thereforeBE=4$$becauseBD=8$,$thereforeEF=BD-DF-BE=2$.【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定,熟练掌握两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键.
题目（九年级 · 组合几何学）：(本题6分)(2022浙江湖州$cdot$九年级期末）如图,在四边形$ABCD$中,$AD//BC$,$angleB=angleACD=90^{circ}$,(1)求证:$triangleABCsimtriangleDCA$.(2)若$BC=1,AC=2$,求$AD$的长.
选项：
答案：(1)见解析(2)4
解析：【分析】(1)先根据平行线的性质由$AD//BC$得$angleACB=angleDAC$,已知条件中还有$angleB=angleACD=90^{circ}$,根据“有两个角分别相等的两个三角形相似”可以证明$triangleABC$相似于$triangleDCA;$(2)由(1)可知$triangleABCsimtriangleDCA$,根据相似三角形的对应边成比例列出等式$frac{BC}{AC}=frac{AC}{AD}$,其中$BC=1,AC=2$,可以求出$AD$的长.(1)证明:$becauseAD//BC$$thereforeangleACB=angleDAC$又$becauseangleB=angleACD=90^{circ}$$thereforetriangleABCsimtriangleDCA$(2)$becausetriangleABCsimtriangleDCA$$thereforefrac{BC}{AC}=frac{AC}{AD}$$becauseBC=1,AC=2$即$frac{1}{2}=frac{2}{AD}$,$thereforeAD=4$$AD$的长为:4.【点睛】此题重点考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识,根据平行线的性质得出相等的角是解题的关键.
题目（九年级 · 组合几何学）：(本题8分)(2022-浙江金华$cdot$九年级期末)如图,在四边形$ABCD$中,$AC,BD$交于点$F$.点$E$在$BD$上,且$angleBAE=angleCAD,frac{AB}{AE}=frac{AC}{AD}$.(1)求证:$triangleABCsimtriangleAED$.(2)若$angleBAE=20^{circ}$,求$angleCBD$的度数.
选项：
答案：(1)证明见解析(2)$20^{circ}$
解析：【分析】(1)根据两边对应成比例,且夹角相等，两个三角形相似，即可证明，(2)根据（1）中$triangleABCsimtriangleAED$,得出$angleADB=angleACB$,再根据对顶角相等,$angleAFD=angleBFC$,证得$triangleAFDsimtriangleBFC$,得出$angleCBD=angleCAD=angleBAE$,即可求解.$becauseangleBAE=angleCAD$$thereforeangleBAE+angleEAF=angleCAD+angleEAF$,$thereforeangleBAC=angleDAE$$frac{AB}{AE}=frac{AC}{AD}$,$because$在$triangleABC$和$triangleAED$中,$left{begin{array}{c}frac{AB}{AE}=frac{AC}{AD}angleBAC=angleDAEend{array}right.$$thereforetriangleABCsimtriangleAED$.(2)$becausetriangleABCsimtriangleAED$$thereforeangleADB=angleACB$又$becauseangleAFD=angleBFC，$对顶角相等，$thereforetriangleAFDsimtriangleBFC$,$thereforeangleCBD=angleCAD$$becauseangleBAE=angleCAD,angleBAE=20^{circ}$,$thereforeangleCAD=20^{circ}$,故答案为:$20^{circ}$.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,熟练掌捯相似三角形的判定和性质是解题的关键.
题目（九年级 · 组合几何学）：(本小题8.0分)

如图, 在矩形 $A B C D$ 中, 点 $E$ 在边 $A B$ 上, 将矩形 $A B C D$ 沿直线 $D E$ 折叠, 点 $A$ 恰好落在边 $B C$ 的点 $F$ 处. 若 $A E=10, B F=6$, 求 $\tan \angle A D E$ 的值.


选项：
答案：解：由折叠性质得 $E F=A E=10$,

在 $R t \triangle E F B$ 中, $B F=6$,

$$
\therefore E B=\sqrt{E F^{2}-B F^{2}}=8
$$

$\therefore C D=A B=A E+B E=10+8=18$,

$\because \angle E F D=\angle A=90^{\circ}$,

$\therefore \angle E F B+\angle D F C=90^{\circ}$,

$\because \angle B E F+\angle E F B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle D F C=\angle B E F$,

$\because \angle B=\angle C$,

$\therefore \triangle B E F \sim \triangle C F D$,

$\therefore \frac{C F}{B E}=\frac{C D}{B F}$, 即 $\frac{C F}{8}=\frac{18}{6}$

$\therefore C F=24$,

$\therefore A D=B C=B F+C F=30$,

$\therefore \tan \angle A D E=\frac{A E}{A D}=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$.

【解析】见答案
解析：解：由折叠性质得 $E F=A E=10$,

在 $R t \triangle E F B$ 中, $B F=6$,

$$
\therefore E B=\sqrt{E F^{2}-B F^{2}}=8
$$

$\therefore C D=A B=A E+B E=10+8=18$,

$\because \angle E F D=\angle A=90^{\circ}$,

$\therefore \angle E F B+\angle D F C=90^{\circ}$,

$\because \angle B E F+\angle E F B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle D F C=\angle B E F$,

$\because \angle B=\angle C$,

$\therefore \triangle B E F \sim \triangle C F D$,

$\therefore \frac{C F}{B E}=\frac{C D}{B F}$, 即 $\frac{C F}{8}=\frac{18}{6}$

$\therefore C F=24$,

$\therefore A D=B C=B F+C F=30$,

$\therefore \tan \angle A D E=\frac{A E}{A D}=\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$.

【解析】见答案
题目（九年级 · 组合几何学）：(本小题8.0分)

如图, 将矩形 $A B C D$ 沿 $C E$ 折叠, 使点 $B$ 恰好落在边 $A D$ 上的点 $F$ 处, 若 $\frac{B C}{B C}=\frac{2}{3}$, 求 $\tan \angle D C F$ 的值.


选项：
答案：解: $\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形,

$\therefore A B=C D, \angle D=90^{\circ}$,

$\because$ 将矩形 $A B C D$ 沿 $C E$ 折叠, 点 $B$ 恰好落在边 $A D$ 的 $F$ 处,

$\therefore C F=B C$,

$\because \frac{A B}{B C}=\frac{2}{3}$,

$\therefore \frac{C D}{C F}=\frac{2}{3}$

设 $C D=2 x, C F=3 x$,

$\therefore D F=\sqrt{C F^{2}-C D^{2}}=\sqrt{5} x$,

$\therefore \tan \angle D C F=\frac{D F}{C D}=\frac{\sqrt{5} x}{2 x}=\frac{\sqrt{5}}{2}$,

故答案为: $\frac{\sqrt{5}}{2}$.

【解析】此题考查了矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理. 此题比较简单, 注意折叠中的对应关系, 注意数形结合思想的应用. 由矩形 $A B C D$ 沿 $C E$ 折叠, 点 $B$ 恰好落在边 $A D$ 的 $F$ 处, 即可得 $B C=$ $C F, C D=A B$, 由 $\frac{A B}{B C}=\frac{2}{3}$, 可得 $\frac{C D}{C F}=\frac{2}{3}$, 然后设 $C D=2 x, C F=3 x$, 利用勾股定理即可求得 $D F$ 的
值, 继而求得 $\tan \angle D C F$ 的值.
解析：解: $\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形,

$\therefore A B=C D, \angle D=90^{\circ}$,

$\because$ 将矩形 $A B C D$ 沿 $C E$ 折叠, 点 $B$ 恰好落在边 $A D$ 的 $F$ 处,

$\therefore C F=B C$,

$\because \frac{A B}{B C}=\frac{2}{3}$,

$\therefore \frac{C D}{C F}=\frac{2}{3}$

设 $C D=2 x, C F=3 x$,

$\therefore D F=\sqrt{C F^{2}-C D^{2}}=\sqrt{5} x$,

$\therefore \tan \angle D C F=\frac{D F}{C D}=\frac{\sqrt{5} x}{2 x}=\frac{\sqrt{5}}{2}$,

故答案为: $\frac{\sqrt{5}}{2}$.

【解析】此题考查了矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理. 此题比较简单, 注意折叠中的对应关系, 注意数形结合思想的应用. 由矩形 $A B C D$ 沿 $C E$ 折叠, 点 $B$ 恰好落在边 $A D$ 的 $F$ 处, 即可得 $B C=$ $C F, C D=A B$, 由 $\frac{A B}{B C}=\frac{2}{3}$, 可得 $\frac{C D}{C F}=\frac{2}{3}$, 然后设 $C D=2 x, C F=3 x$, 利用勾股定理即可求得 $D F$ 的
值, 继而求得 $\tan \angle D C F$ 的值.
题目（九年级 · 组合几何学）：(本小题8.0分)

如图, 点 $E$ 是 $\triangle A B C$ 的内心, $A E$ 的延长线和 $\triangle A B C$ 的外接圆相交于点 $D$, 连接 $B E$.

(1)若 $\angle C B D=34^{\circ}$, 求 $\angle B E C$ 的度数;

(2)求证: $D E=D B$.


选项：
答案：(1)解: $\because E$ 是 $\triangle A B C$ 的内心,

$\therefore A E$ 平分 $\angle B A C, B E$ 平分 $\angle A B C, C E$ 平分 $\angle A C B$.

$\because \angle C B D=34^{\circ}$,

$\therefore \angle C A D=\angle C B D=34^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C=2 \angle C B D=68^{\circ}$,

$\therefore \angle A B C+\angle A C B=180^{\circ}-68^{\circ}=112^{\circ}$,

$\therefore \angle A B E+\angle A C E=\frac{1}{2} \times 112^{\circ}=56^{\circ}$,

$\therefore \angle B E C=\angle B A C+\angle A B E+\angle A C E=68^{\circ}+56^{\circ}=124^{\circ} ;$

(2)证明: $\because$ 点 $E$ 是 $\triangle A B C$ 的内心,

$\therefore \angle B A D=\angle C A D, \angle A B E=\angle C B E$,

由圆周角定理得, $\angle D A C=\angle D B C$,

$\angle D B E=\angle D B C+\angle E B C, \angle D E B=\angle E B A+\angle E A B$,
$\therefore \angle D B E=\angle D E B$,

$\therefore D E=D B$.

【解析】(1)由点 $E$ 是 $\triangle A B C$ 的内心可得 $A E$ 平分 $\angle B A C, B E$ 平分 $\angle A B D, C E$ 平分 $\angle A C B$, 根据同弧所对的圆周角相等可得 $\angle C A D=\angle C B D$, 进而求出 $\angle B A C$ 的度数; 根据三角形内角和 $180^{\circ}$ 得到

$\angle A B C+\angle A C B=180^{\circ}-\angle B A C$, 利用三角形外角的性质得到 $\angle B E C=\angle B A C+\angle A B E+\angle A C E$, 进而求出 $\angle B E C$ 的度数;

(2)根据内心的性质, 三角形内角和定理证明.

本题考查的是三角形的内切圆与内心, 三角形的外接圆与外心, 掌握圆周角定理, 三角形的内心的概念, 三角形的外角的性质是解题的关键.
解析：(1)解: $\because E$ 是 $\triangle A B C$ 的内心,

$\therefore A E$ 平分 $\angle B A C, B E$ 平分 $\angle A B C, C E$ 平分 $\angle A C B$.

$\because \angle C B D=34^{\circ}$,

$\therefore \angle C A D=\angle C B D=34^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C=2 \angle C B D=68^{\circ}$,

$\therefore \angle A B C+\angle A C B=180^{\circ}-68^{\circ}=112^{\circ}$,

$\therefore \angle A B E+\angle A C E=\frac{1}{2} \times 112^{\circ}=56^{\circ}$,

$\therefore \angle B E C=\angle B A C+\angle A B E+\angle A C E=68^{\circ}+56^{\circ}=124^{\circ} ;$

(2)证明: $\because$ 点 $E$ 是 $\triangle A B C$ 的内心,

$\therefore \angle B A D=\angle C A D, \angle A B E=\angle C B E$,

由圆周角定理得, $\angle D A C=\angle D B C$,

$\angle D B E=\angle D B C+\angle E B C, \angle D E B=\angle E B A+\angle E A B$,
$\therefore \angle D B E=\angle D E B$,

$\therefore D E=D B$.

【解析】(1)由点 $E$ 是 $\triangle A B C$ 的内心可得 $A E$ 平分 $\angle B A C, B E$ 平分 $\angle A B D, C E$ 平分 $\angle A C B$, 根据同弧所对的圆周角相等可得 $\angle C A D=\angle C B D$, 进而求出 $\angle B A C$ 的度数; 根据三角形内角和 $180^{\circ}$ 得到

$\angle A B C+\angle A C B=180^{\circ}-\angle B A C$, 利用三角形外角的性质得到 $\angle B E C=\angle B A C+\angle A B E+\angle A C E$, 进而求出 $\angle B E C$ 的度数;

(2)根据内心的性质, 三角形内角和定理证明.

本题考查的是三角形的内切圆与内心, 三角形的外接圆与外心, 掌握圆周角定理, 三角形的内心的概念, 三角形的外角的性质是解题的关键.
题目（九年级 · 组合数学）：(本题6分)(2022-浙江杭州$cdot$九年级期末)一个布袋里装有三个小球,上面分别写着“"”,“2”,“3”,除数字外三个小球无其他差别.(1)从布袋里任意摸出一个小球,求上面的数字恰好是“3”的概率.(2)从布袋里任意摸出一个小球,记录其数字,放回并摇匀,再从中任意摸出一个小球,记录其数字,求两次记录的数字之和为3的概率.(要求列表或画树状图说明)
选项：
答案：(1)$frac{1}{3}$(2)$frac{2}{9}$
解析：【分析】（1）写有“3”的球的个数除以总的球的个数即可得解;(2)利用树状图列举法即可求解;(1)根据题意,上面的数字恰好是“3”的概率为:$frac{text{写有}3text{的球的个数}}{text{球的总个数}}=frac{1}{3}$,即所求概率为$frac{1}{3};$$(2)$利用树状图列举法:如图两次之和为“3”的次数共计有2次，总计有9种抽球的方式，则两次之和为“3”的概率为:$frac{2}{9}$.【点睛】本题考查了公式法和列举法求概率的知识,掌握理解列举法的基本原理是解答本题的关键.
题目（九年级 · 组合数学）：(本题9分)(2022-浙江杭州$cdot$九年级期末)在一次宣传杭州亚运会的有奖竞猜活动中,获奖者从放有只有颜色不同的3个小球（1个黑球，1个白球，1个黄球）的不透明布袋中摸球．若模到一个黑球奖励一个亚运会吉祥物“宸宸”,摸到一个白球奖励一个“琮琮”,摸到一个黄球奖励一个“莲莲”.一个获奖者先从布袋中任意摸出一球,不放回,再摸出一球,求得到一个“蓬莲”和一个“琮琮”的概率.抗州2022年第19届亚运会吉样物
选项：
答案：$frac{1}{3}$
解析：【分析】根据题意作图树状图,可知共有6种可能情况，而满足条件的有2种情况，进而求概率即可。【详解】解：根据题意，可作树状图如下,由树状图可知，共有6种可能情况，满足条件的有2种情况，所以,得到一个“莲莲”和一个“琮琮”的概率为$P=frac{2}{6}=frac{1}{3}$.【点睛】本题主要考查了列举法求概率的知识，能够正确作出树状图是解题关键.
题目（九年级 · 组合数学）：（6 分）一个不透明的盒子里装有 20 张红色卡片, 15 张黄色卡片, 12 张蓝色卡片和若干张黑色卡片, 每张卡片除颜色外都相同, 从中任意摸出一张卡片, 摸到红色卡片的概率是 0.25 .

(1)从中任意摸出一张卡片, 摸到蓝色卡片的概率是多少?

(2)求盒子里黑色卡片的个数.


选项：
答案： (1) $\frac{3}{20}$

(2) 33


解析：(1) 根据摸到红色卡片的概率是 0.25 求出卡片的总数, 进而根据概率计算公式进行求解即可;

（2）用卡片总数减去其他颜色卡片的张数即可求出黑色卡片的张数.

【详解】(1) 解: 由题意, 得卡片的总张数为 $\frac{20}{0.25}=80$ (张),

$\therefore$ 任意摸出一张卡片, 摸到蓝色卡片的概率是 $\frac{12}{80}=\frac{3}{20}$;

（2）解：盒子里黑色卡片的个数为 $80-15-20-12=33$.

答: 盒子里黑色卡片的个数为 33 张.

【点睛】此题主要考查了概率公式, 熟练掌握概率的意义是解题的关键.
题目（九年级 · 计数）：(本题8分)(2022$cdot$浙江杭州$cdot$九年级期末)将6个球分别放入标有$1，2，3，4$,5,6这6个号码的盒子中.如图,将一个圆形转盘平均分成3份,分别标上数字1,2,3,现转动转盘两次,两次转得的数字之和是几,从几号盘子中摸出一个球（如:第一次转得数字为2,第二次转得数字为3,则和为5,就从5号盒子中摸球).(1)求从6号盒子中摸球的概率;(2)通过计算，判断从几号盒子中摸球的概率最大?
选项：
答案：(1)$frac{1}{9}$(2)4号
解析：【分析】（1）先利用树状图展示所有9种等可能的结果，再找出符合条件的情况数,最后利用概率公式计算;（2）分别计算出从各个盒子中摸球的概率,再比较即可.(1)解:如图,共有9种等可能的结果,其中两次摸出的小球所标注数字之和为6的结果数为1,$therefore$从6号盒子中摸球的概率为$frac{1}{9}$;(2)由树状图可知:从1号盒子中摸球的概率为:$frac{0}{9}=0$,从2号盒子中摸球的概率为:$frac{1}{9}$,从3号盒子中摸球的概率为:$frac{2}{9}$,从4号盒子中摸球的概率为:$frac{3}{9}=frac{1}{3}$,从5号盒子中摸球的概率为:$frac{2}{9}$,从6号盒子中摸球的概率为:$frac{1}{9}$,$therefore$从4号盒子中摸球的概率最大.【点睛】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出$n$,再从中选出符合事件$A$或$B$的结果数目$m$,然后根据概率公式计算事件$A$或事件$B$的概率.
题目（九年级 · 计数）：(本题10分)(2019-浙江$cdot$九年级期中)在甲、乙两个不透明的布袋,甲袋中装有3个完全相同的小球,分别标有数字$0,1,2$;乙袋中装有3个完全相同的小球,分别标有数字$-1,-2,0$;现从甲袋中随机抽取一个小球,记录标有的数字为$x$,再从乙袋中随机抽取一个小球,记录标有的数字为$y$,确定点$M$坐标为$(x,y)$.（1）用树状图或列表法列举点$M$所有可能的坐标;(2)求点$M(x,y)$在函数$y=-x+1$的图象上的概率.
选项：
答案：(1)列表见解析;共有9种等可能的结果数;(2)点$M(x,y)$在函数$y=-$$x+1$的图象上的概率$=frac{2}{9}$
解析：【分析】（1）通过列表展示所有9种等可能的结果数;(2)找出满足点$({x},{y})$落在函数${y}=-$${x}+1$的图象上的结果数,然后根据概率公式求解.【详解】解:(1)列表如下:|$xy$|0|1|2||:---|:---|:---|:---||-1|$(0,-$<br>1|$(1,-$<br>1|$(2,-$||-2|$(0,-$|$(1,-$|$(2,-$||-1$)$|$2)$|$2)$|||0|$(0,0)$|$(1,0)$|$(2,0)$|共有9种等可能的结果数;(2)满足点$(x,y)$落在函数$y=-x+1$的图象上的结果有2个,即$(2,-1)$,$(1,0)$,所以点$M(x,y)$在函数$y=-x+1$的图象上的概率$=frac{2}{9}$.【点睛】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果$n$,再从中选出符合事件${A}$或${B}$的结果数目${m}$,然后利用概率公式计算事件${A}$或事件${B}$的概率.
题目（九年级 · 计数）：(6 分) 不透明的袋中装有 2 个红球、 3 个黄球和 1 个白球，它们除颜色外都相同. (1)从中随机取出一个球是红球是 $\qquad$事件, 随机取出一个球是黑球是 $\qquad$事件;

(2)求从袋中任意摸出一个球是黄球的概率.



选项：
答案： (1)随机, 不可能

(2) $P_{\text {(拱到黄冰) }}=\frac{1}{2}$


解析：(1) 根据事件的分类解答即可;

（2）根据概率公式计算即可.

【详解】(1) $\because$ 一个不透明的袋中装有 2 个红球、 3 个黄球和 1 个白球, 它们除颜色外都相同,

$\therefore$ 从中随机取出一个球是红球是随机事件, 随机取出一个球是黑球是不可能事件.

故答案为: 随机, 不可能;

（2） $\because$ 袋中装有 2 个红球、 3 个黄球和 1 个白球,

$\therefore$ 从袋中任意摸出一个球可能的结果有 6 种,

$\therefore P_{\text {(摸到黄球) }}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.

【点睛】本题考查了事件的分类, 概率的计算, 熟练掌握各知识点是解答本题的关键.
题目（九年级 · 计数）：(8 分) 某批乒乓球的质量检验结果如下:

| 抽取的乒乓球数 $n$ | 50 | 100 | 200 | 500 | 1000 | 1500 | 2000 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 优等品的频数 $m$ | 48 | 95 | $a$ | 471 | 946 | 1426 | 1898 |
| 优等品的频率 $m / n$ | 0.960 | 0.950 | 0.940 | 0.942 | 0.946 | 0.951 | $b$ |

(1)请求出 $a, \quad b$ 的值, $a=$ $\qquad$ $b=$ $\qquad$
(2)从这批乒兵球中, 任意抽取一只乒兵球是优等品的概率的估计值是 (精确到 0.01 ); (3)若这批乒兵球共有 4500 个, 请估计其中是优等品的个数.


选项：
答案： (1) $a=188, \quad b=0.949$

(2) 0.95

(3) 4275 个


解析：(1) 根据优等品的频率 $\frac{m}{n}$ 计算即可;

（2）大量重复实验时, 事件发生的频率在某个固定位置左右摆动, 并且摆动的幅度越来越小, 根据这个频率稳定性定理, 可以用频率的集中趋势来估计概率, 这个固定的近似值就是这个事件的概率. 根据表中优等品的频率判定即可;

（3）用 4500 乘以优等品的概率即可得解.

【详解】(1) 解: $a=200 \times 0.940=188, \quad b=\frac{1898}{2000}=0.949$;

（2）从这批乒兵球中，任意抽取一只乒乓球是优等品的概率的估计值是 0.95 ;

(3) $4500 \times 0.95=4275$ (个),

$\therefore$ 优等品的个数是 4275 个.

【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率, 理解利用频率估计概率的相关知识, 并准确计算是解题的关键.
题目（九年级 · 计数）：(8 分) 如图有两个质地均匀的转盘 A、B, 转盘 $\mathrm{A}$ 被分成 3 份, 分别标有数字 1 , 2, 3; 转盘 $\mathrm{B}$ 被 3 等分, 分别标有数字 $4,5,6$. 小强与小华用这两个转盘玩游戏,小强说“随机转动 $A 、 B$ 转盘各一次, 转盘停止后, 将 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 转盘的指针所指的数字相乘, 积为偶数我赢; 积为奇数你赢." (指针指向两个扇形的交线时, 重新转动转盘).

（1）小强指定的游戏规则对双方公平吗？并说明理由;

（2）小华认为只要在转盘 B 上修改其中一个数字，也可以使这个游戏对双方公平. 你能帮助小华如何进行修改吗?


选项：
答案： （1）不公平, 理由见解析; （2）只要把转盘 B 上的两个偶数中的一个改为奇数即可


解析：游戏是否公平, 关键要看游戏双方取胜的机会是否相等, 即判断双方取胜的概率是否相等, 或转化为在总情况明确的情况下, 判断双方取胜所包含的情况数目是否相等.
【详解】解:（1）不公平; 因为按照游戏规则, 根据树状图分析可得:

$1 \times 4 \quad 1 \times 5$
$1 \times 62 \times 4$
$2 \times 5$
$2 \times 63 \times 4$
$3 \times 5 \quad 3 \times 6$

一共有 9 种等可能结果, 其中偶数情况有 7 种, 奇数情况有 2 种

$\mathrm{P}$ (小强胜 $)=\frac{7}{9}, \mathrm{P}$ (小华胜 $)=\frac{2}{9}$;

(2) 只要把转盘 $\mathrm{B}$ 上的两个偶数中的一个改为奇数即可.

【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断, 判断游戏公平性就要计算每个事件的概率, 概率相等就公平, 否则就不公平, 用到的知识点为: 概率=所求情况数与总情况数之比.
题目（九年级 · 计数）：(10 分) 如图是某城市地铁线路图的一部分，已知甲从 $A$ 站上车，随机从 $B 、 C 、 D$ 、 $E$ 中的某一站下车.



(1)甲从 $C$ 站下车的概率是 $\qquad$
(2)若乙与甲乘坐同一趟地铁从 $A$ 站上车，随机从 $B 、 C 、 D 、 E$ 中的某一站下车,

(1)求甲、乙从 $B 、 C 、 D 、 E$ 中的某一站下车有多少种不同的可能. (用列表法或树状图表示)

(2)求甲、乙两人恰好从同一站下车的概率.


选项：
答案： (1) $\frac{1}{4}$

(2) $\frac{1}{4}$


解析：(1) 根据概率公式可进行求解;

（2）通过列表法可进行求解概率.

【详解】(1) 解：由题意可知甲从 $C$ 站下车的概率是 $\frac{1}{4}$;

故答案为 $\frac{1}{4}$;

（2）解: 由题意可列表如下:

|  | $B$ | $C$ | $D$ | $E$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $B$ | $(B, B)$ | $(B, C)$ | $(B, D)$ | $(B, E)$ |
| $C$ | $(C, B)$ | $(C, C)$ | $(C, D)$ | $(C, E)$ |
| $D$ | $(D, B)$ | $(D, C)$ | $(D, D)$ | $(D, E)$ |
| $E$ | $(E, B)$ | $(E, C)$ | $(E, D)$ | $(E, E)$ |

由表可知甲、乙两人随机从 $B 、 C 、 D 、 E$ 某一站下车共有 16 种情况, 其中甲、乙两人在同
一站下车共有 4 种情况, 所以其概率为 $P=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$.

【点睛】本题主要考查概率, 熟练掌握利用列表法进行求解概率是解题的关键.