eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（五年级 · 立体几何学）：下图是一个长方体的展开图, 计算这个长方体的表面积。


选项：
答案：解$392 \mathrm{~cm}^{2}$

【分析】由长方体的展开图可知, 这个长方体的长是 $12 \mathrm{~cm}$, 宽是 $8 \mathrm{~cm}$, 高是 $5 \mathrm{~cm}$; 根据长方体的表面积 $=($ 长 $\times$ 宽 + 长 $\times$ 高 + 宽 $\times$ 高 $) \times 2$, 代入数据计算即可。

【详解】 $(12 \times 8+12 \times 5+8 \times 5) \times 2$

$=(96+60+40) \times 2$

$=196 \times 2$

$=392\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$
解析：解$392 \mathrm{~cm}^{2}$

【分析】由长方体的展开图可知, 这个长方体的长是 $12 \mathrm{~cm}$, 宽是 $8 \mathrm{~cm}$, 高是 $5 \mathrm{~cm}$; 根据长方体的表面积 $=($ 长 $\times$ 宽 + 长 $\times$ 高 + 宽 $\times$ 高 $) \times 2$, 代入数据计算即可。

【详解】 $(12 \times 8+12 \times 5+8 \times 5) \times 2$

$=(96+60+40) \times 2$

$=196 \times 2$

$=392\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$
题目（五年级 · 立体几何学）：计算下面图形的表面积。(单位: 厘米)


选项：
答案：解940 平方厘米

【分析】长方体的表面积 $=($ 长 $\times$ 宽 + 长 $\times$ 高 + 宽 $\times$ 高 $) \times 2$, 图中, 长方体的长是 $(10+10)$ 厘米, 宽是 9 厘米，高是 10 厘米，将数据代入公式解答即可。

【详解】长: $10+10=20$ (厘米)

$(20 \times 9+20 \times 10+9 \times 10) \times 2$

$=(180+200+90) \times 2$

$=470 \times 2$
$=940$ (平方厘米)
解析：解940 平方厘米

【分析】长方体的表面积 $=($ 长 $\times$ 宽 + 长 $\times$ 高 + 宽 $\times$ 高 $) \times 2$, 图中, 长方体的长是 $(10+10)$ 厘米, 宽是 9 厘米，高是 10 厘米，将数据代入公式解答即可。

【详解】长: $10+10=20$ (厘米)

$(20 \times 9+20 \times 10+9 \times 10) \times 2$

$=(180+200+90) \times 2$

$=470 \times 2$
$=940$ (平方厘米)
题目（五年级 · 立体几何学）：分别求出下面图形的表面积和体积。


选项：
答案：解表面积 150; 体积 113

【分析】图形右上角缺口处露出了 3 个面, 分别向外平移,正好补成一个棱长是 5 的大正方体, 根据正方体的表面积 $=$ 棱长 $\times$ 棱长 $\times 6$, 代入数据计算即可求出这个图形的表面积;

补好图形右上角的缺口, 那么图形的体积 $=$ 棱长为 5 的正方体的体积一长 2 、宽 2 、高 3 的长方体的体积; 根据长方体的体积 $=$ 长 $\times$ 宽 $\times$ 高, 代入数据计算求出这个图形的体积。

【详解】如图:

<ImageHere>

表面积:

$5 \times 5 \times 6$

$=25 \times 6$

$=150$

体积：

$5 \times 5 \times 5-2 \times 2 \times 3$

$=125-12$

$=113$
解析：解表面积 150; 体积 113

【分析】图形右上角缺口处露出了 3 个面, 分别向外平移,正好补成一个棱长是 5 的大正方体, 根据正方体的表面积 $=$ 棱长 $\times$ 棱长 $\times 6$, 代入数据计算即可求出这个图形的表面积;

补好图形右上角的缺口, 那么图形的体积 $=$ 棱长为 5 的正方体的体积一长 2 、宽 2 、高 3 的长方体的体积; 根据长方体的体积 $=$ 长 $\times$ 宽 $\times$ 高, 代入数据计算求出这个图形的体积。

【详解】如图:



表面积:

$5 \times 5 \times 6$

$=25 \times 6$

$=150$

体积：

$5 \times 5 \times 5-2 \times 2 \times 3$

$=125-12$

$=113$
题目（五年级 · 立体几何学）：（2022 春・乐清市校级月考）求出如图图形的表面积和体积。

选项：
答案：解（1）长方体的表面积：

$(5 \times 5+12 \times 5+12 \times 5) \times 2$

$=(25+60+60) \times 2$

$=145 \times 2$

$=290\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$

长方体的体积:

$12 \times 5 \times 5$

$=60 \times 5$

$=300\left(\mathrm{~cm}^{3}\right)$

（2）正方体的表面积:

$0.25 \times 6=1.5\left(\mathrm{dm}^{2}\right)$

正方体的体积:

$0.5 \times 0.5 \times 0.5$

$=0.25 \times 0.5$

$=0.125\left(d m^{3}\right)$

（3）表面积:

$10 \times 8 \times 2+5 \times 10 \times 2+8 \times 5 \times 2+5 \times 5 \times 2+5 \times(12-8) \times 4-5 \times 5 \times 2$

$=160+100+80+80$

$=260+160$
$=420$ (平方厘米)

体积:

$12 \times 10 \times 5-5 \times(12-8) \times 5$

$=600-100$

$=500$ （立方厘米）

答：表面积 420 平方厘米；体积 500 立方厘米。
解析：解（1）长方体的表面积：

$(5 \times 5+12 \times 5+12 \times 5) \times 2$

$=(25+60+60) \times 2$

$=145 \times 2$

$=290\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$

长方体的体积:

$12 \times 5 \times 5$

$=60 \times 5$

$=300\left(\mathrm{~cm}^{3}\right)$

（2）正方体的表面积:

$0.25 \times 6=1.5\left(\mathrm{dm}^{2}\right)$

正方体的体积:

$0.5 \times 0.5 \times 0.5$

$=0.25 \times 0.5$

$=0.125\left(d m^{3}\right)$

（3）表面积:

$10 \times 8 \times 2+5 \times 10 \times 2+8 \times 5 \times 2+5 \times 5 \times 2+5 \times(12-8) \times 4-5 \times 5 \times 2$

$=160+100+80+80$

$=260+160$
$=420$ (平方厘米)

体积:

$12 \times 10 \times 5-5 \times(12-8) \times 5$

$=600-100$

$=500$ （立方厘米）

答：表面积 420 平方厘米；体积 500 立方厘米。
题目（五年级 · 算术）：直接写得数。

$25 \times 0.2=0 \times 5.8=1.25 \times 4=4.05 \times 4=0.6+4.4 \times 2=$ $6 \div 100=2.2 \div 0.1=2.4 \div 0.6=0.6 \div 0.02=5 \times 0.4 \div 5 \times 0.4=$
选项：
答案：解$5 ; 0 ; 5 ; 16.2 ; 9.4$

$0.06 ; 22 ; 4 ; 30 ; 0.16$

【分析】根据小数乘除法的计算方法，直接进行口算即可。

【详解】 $25 \times 0.2=5 \quad 0 \times 5.8=0 \quad 1.25 \times 4=5 \quad 4.05 \times 4=16.2 \quad 0.6+4.4 \times 2=0.6+8.8=9.4$ $6 \div 100=0.06 \quad 2.2 \div 0.1=22 \quad 2.4 \div 0.6=4 \quad 0.6 \div 0.02=30 \quad 5 \times 0.4 \div 5 \times 0.4=5 \div 5 \times 0.4 \times 0.4=0.16$

【点睛】本题考查了小数乘除法的口算, 计算时要认真。
解析：解$5 ; 0 ; 5 ; 16.2 ; 9.4$

$0.06 ; 22 ; 4 ; 30 ; 0.16$

【分析】根据小数乘除法的计算方法，直接进行口算即可。

【详解】 $25 \times 0.2=5 \quad 0 \times 5.8=0 \quad 1.25 \times 4=5 \quad 4.05 \times 4=16.2 \quad 0.6+4.4 \times 2=0.6+8.8=9.4$ $6 \div 100=0.06 \quad 2.2 \div 0.1=22 \quad 2.4 \div 0.6=4 \quad 0.6 \div 0.02=30 \quad 5 \times 0.4 \div 5 \times 0.4=5 \div 5 \times 0.4 \times 0.4=0.16$

【点睛】本题考查了小数乘除法的口算, 计算时要认真。
题目（五年级 · 算术）：简便计算。
(1) $0.77 \times 101$
(2) $1.01+9 \times 1.01$
(3) $0.125 \times 32 \times 0.25$
选项：
答案：解
    (1) 77.77 ;
    (2) 10.1 ;
    (3) 1

【分析】（1）先将 101 写成 $100+1$, 再根据乘法分配律, 展开计算即可;

（2）根据乘法分配律将 1.01 先提出来，再计算;

(3) 将 32 写成 $4 \times 8$, 再根据乘法交换律和结合律, 分别计算 $0.125 \times 8$ 和 $4 \times 0.25$, 再计算括号外的乘法。

【详解】（1） $0.77 \times 101$

$=0.77 \times(100+1)$

$=0.77 \times 100+0.77 \times 1$

$=77+0.77$

$=77.77$

(2) $1.01+9 \times 1.01$

$=1.01 \times 1+9 \times 1.01$

$=(1+9) \times 1.01$

$=10 \times 1.01$

$=10.1$;

(3) $0.125 \times 32 \times 0.25$

$=0.125 \times(8 \times 4) \times 0.25$

$=(0.125 \times 8) \times(4 \times 0.25)$

$=1 \times 1$
$=1$
解析：解
    (1) 77.77 ;
    (2) 10.1 ;
    (3) 1

【分析】（1）先将 101 写成 $100+1$, 再根据乘法分配律, 展开计算即可;

（2）根据乘法分配律将 1.01 先提出来，再计算;

(3) 将 32 写成 $4 \times 8$, 再根据乘法交换律和结合律, 分别计算 $0.125 \times 8$ 和 $4 \times 0.25$, 再计算括号外的乘法。

【详解】（1） $0.77 \times 101$

$=0.77 \times(100+1)$

$=0.77 \times 100+0.77 \times 1$

$=77+0.77$

$=77.77$

(2) $1.01+9 \times 1.01$

$=1.01 \times 1+9 \times 1.01$

$=(1+9) \times 1.01$

$=10 \times 1.01$

$=10.1$;

(3) $0.125 \times 32 \times 0.25$

$=0.125 \times(8 \times 4) \times 0.25$

$=(0.125 \times 8) \times(4 \times 0.25)$

$=1 \times 1$
$=1$
题目（五年级 · 算术）：一个长方形的长和宽都是以米为单位的质数, 周长是 24 米, 这个长方形的面积是多少?
选项：
答案：解35 平方米
【分析】一个长方形的长和宽都是以米为单位的质数, 周长是 24 米, 又长方形周长 $=($ 长+宽 $) \times 2$ $=24$ 米, 则长十宽 $=24 \div 2=12$ 米, 在自然数中, 除了 1 和它本身外, 没有别的因数的数为质数, 据此即可确定此长方形的长与宽是多少米, 然后求出面积即可。

【详解】由于（长+宽） $\times 2=24$ 米

即长 + 宽 $=24 \div 2=12$ 米

长与宽分别是以米为单位的质数,

$5+7=12$

即宽是 5 米, 长是 7 米

则长方形面积是 $5 \times 7=35$ 平方米

答：长方形的面积是 35 平方米。

【点睛】此题考查的是已知长方形周长求面积, 解答此题关键是根据长方形周长公式及质数的意义确定长方形的长与宽是完成本题的关键。
解析：解35 平方米
【分析】一个长方形的长和宽都是以米为单位的质数, 周长是 24 米, 又长方形周长 $=($ 长+宽 $) \times 2$ $=24$ 米, 则长十宽 $=24 \div 2=12$ 米, 在自然数中, 除了 1 和它本身外, 没有别的因数的数为质数, 据此即可确定此长方形的长与宽是多少米, 然后求出面积即可。

【详解】由于（长+宽） $\times 2=24$ 米

即长 + 宽 $=24 \div 2=12$ 米

长与宽分别是以米为单位的质数,

$5+7=12$

即宽是 5 米, 长是 7 米

则长方形面积是 $5 \times 7=35$ 平方米

答：长方形的面积是 35 平方米。

【点睛】此题考查的是已知长方形周长求面积, 解答此题关键是根据长方形周长公式及质数的意义确定长方形的长与宽是完成本题的关键。
题目（五年级 · 算术）：洋洋到蛋糕店买面包。甜甜圈 2 元一个，奶油面包 3 元一个，三明治 10 元一个。如果买了一些甜甜圈和三明治，他付给营业员 50 元，找回了 11 元，找的对吗？写出你的理由。
选项：
答案：解见详解

【分析】根据偶数的性质: 偶数的倍数是偶数, 偶数的和是偶数, 所以洋洋买了一些甜甜圈和三明治,花费的钱数仍是偶数, 偶数一偶数＝偶数, 所以找回的钱数是偶数, 不能是 11; 由此即可判断。

【详解】偶数+偶数=偶数, 偶数一偶数=偶数

所以小明买了一些甜甜圈和三明治, 花费的钱数仍是偶数, 所以找回的钱数是偶数, 不能是 11。答：他付给营业员 50 元，找回 11 元，找得不对， 11 是奇数。

【点睛】此题考查了奇数、偶数的性质, 明确数的奇偶性特点, 是解答此题的关键。
解析：解见详解

【分析】根据偶数的性质: 偶数的倍数是偶数, 偶数的和是偶数, 所以洋洋买了一些甜甜圈和三明治,花费的钱数仍是偶数, 偶数一偶数＝偶数, 所以找回的钱数是偶数, 不能是 11; 由此即可判断。

【详解】偶数+偶数=偶数, 偶数一偶数=偶数

所以小明买了一些甜甜圈和三明治, 花费的钱数仍是偶数, 所以找回的钱数是偶数, 不能是 11。答：他付给营业员 50 元，找回 11 元，找得不对， 11 是奇数。

【点睛】此题考查了奇数、偶数的性质, 明确数的奇偶性特点, 是解答此题的关键。
题目（五年级 · 逻辑题）：傍晚弟弟开灯, 一连开了 8 下。请你说说这时灯亮了还是没亮。13 下呢？
选项：
答案：解不亮; 亮

【分析】弟弟拉第一下灯, 灯亮, 再拉一下, 灯不亮, 再拉一下, 灯亮, 可见灯是按亮、不亮、亮、不亮的顺序循环出现的, 所以拉奇数下灯亮, 偶数下灯不亮; 所以，拉了 8 下开关灯是不亮的,同种方法可求出拉 13 下灯的状态。

【详解】拉奇数下灯变亮, 偶数下变为不亮;

拉 8 下, 为偶数次, 所以这时灯是不亮的;

拉 13 下, 为奇数次, 所以这时灯是亮的;

答: 这时灯是不亮的, 13 下后这时灯是亮的。

【点睛】完成本题的关键是明确开关拉偶数次开关的状态与原来相比不变，拉奇数次状态变化。
解析：解不亮; 亮

【分析】弟弟拉第一下灯, 灯亮, 再拉一下, 灯不亮, 再拉一下, 灯亮, 可见灯是按亮、不亮、亮、不亮的顺序循环出现的, 所以拉奇数下灯亮, 偶数下灯不亮; 所以，拉了 8 下开关灯是不亮的,同种方法可求出拉 13 下灯的状态。

【详解】拉奇数下灯变亮, 偶数下变为不亮;

拉 8 下, 为偶数次, 所以这时灯是不亮的;

拉 13 下, 为奇数次, 所以这时灯是亮的;

答: 这时灯是不亮的, 13 下后这时灯是亮的。

【点睛】完成本题的关键是明确开关拉偶数次开关的状态与原来相比不变，拉奇数次状态变化。
题目（五年级 · 组合数学）：在下面的方格纸上画面积是 $24 \mathrm{~cm}^{2}$ 的长方形(边长是整数, 每个小方格的边长是 $1 \mathrm{~cm}$ ), 你有几种不同的画法?




选项：
答案：解4 种 如图

<ImageHere>

【解析】略
解析：解4 种 如图



【解析】略
题目（高二 · 解析几何）：11. 在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $C B=7, A C=8, A B=9$, 试求 $A C$ 边上的中线长.
选项：
答案：由条件知: $\cos A=\frac{A B^{2}+A C^{2}-B C^{2}}{2 \cdot A B \cdot A C}=\frac{9^{2}+8^{2}-7^{2}}{2 \times 9 \times 8}=\frac{2}{3}$, 设中线长为 $x$, 由余弦定理知: $x^{2}=\left(\frac{A C}{2}\right)^{2}+A B^{2}-2 \cdot \frac{A C}{2} \cdot A B \cos A=4^{2}+9^{2}-2 \times 4 \times 9 \times \frac{2}{3}=49$ $\Rightarrow x=7$.

所以, 所求中线长为 7 .
解析：由条件知: $\cos A=\frac{A B^{2}+A C^{2}-B C^{2}}{2 \cdot A B \cdot A C}=\frac{9^{2}+8^{2}-7^{2}}{2 \times 9 \times 8}=\frac{2}{3}$, 设中线长为 $x$, 由余弦定理知: $x^{2}=\left(\frac{A C}{2}\right)^{2}+A B^{2}-2 \cdot \frac{A C}{2} \cdot A B \cos A=4^{2}+9^{2}-2 \times 4 \times 9 \times \frac{2}{3}=49$ $\Rightarrow x=7$.

所以, 所求中线长为 7 .
题目（高二 · 解析几何）：12. 在 $\triangle A B C$ 中, $B C=a, A C=b$, 且 $a, b$ 是方程 $x^{2}-2 \sqrt{3} x+2=0$ 的两根, $2 \cos (A+$ $B)=1$.

(1)求角 $C$ 的度数;

(2)求 $A B$ 的长;

(3)求 $\triangle A B C$ 的面积.
选项：
答案：(1) $\cos C=\cos [\pi-(A+B)]$

$=-\cos (A+B)=-\frac{1}{2}$,

又 $\because C \in\left(0^{\circ}, 180^{\circ}\right), \therefore C=120^{\circ}$.

(2) $\because a, b$ 是方程 $x^{2}-2 \sqrt{3} x+2=0$ 的两根,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}a+b=2 \sqrt{3}, \\ a b=2 .\end{array}\right.$

$\therefore A B^{2}=b^{2}+a^{2}-2 a b \cos 120^{\circ}=(a+b)^{2}-a b=10$,

$\therefore A B=\sqrt{10}$.

(3) $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
解析：(1) $\cos C=\cos [\pi-(A+B)]$

$=-\cos (A+B)=-\frac{1}{2}$,

又 $\because C \in\left(0^{\circ}, 180^{\circ}\right), \therefore C=120^{\circ}$.

(2) $\because a, b$ 是方程 $x^{2}-2 \sqrt{3} x+2=0$ 的两根,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}a+b=2 \sqrt{3}, \\ a b=2 .\end{array}\right.$

$\therefore A B^{2}=b^{2}+a^{2}-2 a b \cos 120^{\circ}=(a+b)^{2}-a b=10$,

$\therefore A B=\sqrt{10}$.

(3) $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
题目（高二 · 解析几何）：11. 在 $\triangle A B C$ 中, 求证: $\frac{a^{2}-b^{2}}{c^{2}}=\frac{\sin (A-B)}{\sin C}$.
选项：
答案：右边 $=\frac{\sin A \cos B-\cos A \sin B}{\sin C}=\frac{\sin A}{\sin C} \cdot \cos B-\frac{\sin B}{\sin C} \cdot \cos A$

$=\frac{a}{c} \cdot \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}-\frac{b}{c} \cdot \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 c^{2}}-\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 c^{2}}=\frac{a^{2}-b^{2}}{c^{2}}=$ 左边.

所以 $\frac{a^{2}-b^{2}}{c^{2}}=\frac{\sin (A-B)}{\sin C}$.
解析：右边 $=\frac{\sin A \cos B-\cos A \sin B}{\sin C}=\frac{\sin A}{\sin C} \cdot \cos B-\frac{\sin B}{\sin C} \cdot \cos A$

$=\frac{a}{c} \cdot \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}-\frac{b}{c} \cdot \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 c^{2}}-\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 c^{2}}=\frac{a^{2}-b^{2}}{c^{2}}=$ 左边.

所以 $\frac{a^{2}-b^{2}}{c^{2}}=\frac{\sin (A-B)}{\sin C}$.
题目（高二 · 解析几何）：12. 在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ 分别是角 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 的对边的长, $\cos \mathrm{B}=\frac{3}{5}$,

且 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}=-21$.

(1)求 $\triangle A B C$ 的面积;

(2)若 $a=7$, 求角 $C$.
选项：
答案：(1) $\because \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}=-21, \therefore \overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}=21$.

$\therefore \overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}=|\overrightarrow{B A}| \cdot|\overrightarrow{B C}| \cdot \cos \mathrm{B}=\operatorname{accos} \mathrm{B}=21$.

$\therefore \mathrm{ac}=35, \because \cos \mathrm{B}=\frac{3}{5}, \therefore \quad \sin \mathrm{B}=\frac{4}{5}$.

$\therefore \mathrm{S} \triangle \mathrm{ABC}=\frac{1}{2} \mathrm{acsin} \mathrm{B}=\frac{1}{2} \times 35 \times \frac{4}{5}=14$.

(2) $a c=35, a=7, \therefore c=5$.

由余弦定理得, $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B=32$,

$\therefore b=4 \sqrt{2}$. 由正弦定理: $\frac{c}{\sin C}=\frac{b}{\sin B}$.

$\therefore \sin C=\frac{c}{b} \sin B=\frac{5}{4 \sqrt{2}} \times \frac{4}{5}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\because c<b$ 且 $B$ 为锐角, $\therefore C$ 一定是锐角.

$\therefore C=45^{\circ}$.
解析：(1) $\because \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}=-21, \therefore \overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}=21$.

$\therefore \overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{B C}=|\overrightarrow{B A}| \cdot|\overrightarrow{B C}| \cdot \cos \mathrm{B}=\operatorname{accos} \mathrm{B}=21$.

$\therefore \mathrm{ac}=35, \because \cos \mathrm{B}=\frac{3}{5}, \therefore \quad \sin \mathrm{B}=\frac{4}{5}$.

$\therefore \mathrm{S} \triangle \mathrm{ABC}=\frac{1}{2} \mathrm{acsin} \mathrm{B}=\frac{1}{2} \times 35 \times \frac{4}{5}=14$.

(2) $a c=35, a=7, \therefore c=5$.

由余弦定理得, $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B=32$,

$\therefore b=4 \sqrt{2}$. 由正弦定理: $\frac{c}{\sin C}=\frac{b}{\sin B}$.

$\therefore \sin C=\frac{c}{b} \sin B=\frac{5}{4 \sqrt{2}} \times \frac{4}{5}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

$\because c<b$ 且 $B$ 为锐角, $\therefore C$ 一定是锐角.

$\therefore C=45^{\circ}$.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, $a, b, c$ 分别为内角 $A, B, C$ 所对的边, 且满足 $a$ $<b<c, \quad b=2 a \sin B$.

(1) 求 $A$ 的大小;

（2）若 $a=2, b=2 \sqrt{3}$, 求 $\triangle A B C$ 的面积.
选项：
答案：(1) $\because b=2 a \sin B, \therefore$ 由正弦定理化简得： $\sin B=2 \sin A \sin B, \because \sin B \neq 0, \therefore \sin A=\frac{1}{2}, \because a<b<c$, $\therefore A$ 为锐角, 则 $A=\frac{\pi}{6}$;

（2） $\because a=2, b=2 \sqrt{3}, \cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}, \therefore$ 由余弦定理得: $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$, 即 $4=12+c^{2}-2 \times 2 \sqrt{3} \times c \times \frac{\sqrt{3}}{2}$,整理得: $c^{2}-6 c+8=0$, 解得: $c=2$ (舍去) 或 $c=4$, 则 $S=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{1}{2} \times 2 \sqrt{3} \times 4 \times \frac{1}{2}=2 \sqrt{3}$.
解析：(1) $\because b=2 a \sin B, \therefore$ 由正弦定理化简得： $\sin B=2 \sin A \sin B, \because \sin B \neq 0, \therefore \sin A=\frac{1}{2}, \because a<b<c$, $\therefore A$ 为锐角, 则 $A=\frac{\pi}{6}$;

（2） $\because a=2, b=2 \sqrt{3}, \cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}, \therefore$ 由余弦定理得: $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$, 即 $4=12+c^{2}-2 \times 2 \sqrt{3} \times c \times \frac{\sqrt{3}}{2}$,整理得: $c^{2}-6 c+8=0$, 解得: $c=2$ (舍去) 或 $c=4$, 则 $S=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{1}{2} \times 2 \sqrt{3} \times 4 \times \frac{1}{2}=2 \sqrt{3}$.
题目（高二 · 解析几何）：13. 若 $\cos \theta>\sin \frac{7 \pi}{3}$, 利用三角函数线得角 $\theta$ 的取值范围是

解析 : $\cos \theta>\sin \frac{7}{3} \pi=\sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\therefore 2 k \pi-\frac{\pi}{6}<\theta<2 k \pi+\frac{\pi}{6}, \quad k \in \mathbf{Z}$.
选项：
答案：$\left(2 k \pi-\frac{\pi}{6}, 2 k \pi+\frac{\pi}{6}\right)(k \in \mathbf{Z})$
解析：$\left(2 k \pi-\frac{\pi}{6}, 2 k \pi+\frac{\pi}{6}\right)(k \in \mathbf{Z})$
题目（高二 · 解析几何）：16. 利用三角函数线证明: 若 $0<\alpha<\beta<\frac{\pi}{2}$, 则 $\beta-\alpha>\sin \beta-\sin \alpha$.
选项：
答案：如图, <ImageHere>单位圆 $O$ 与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$, 与角 $\alpha, \beta$ 的终边分别交于点 $Q, P$, 过 $P$, $Q$ 分别作 $O A$ 的垂线，设垂足分别为点 $M, N$, 则由三角函数线定义可知:

$\sin \alpha=N Q, \sin \beta=M P$, 过点 $Q$ 作 $Q H \perp M P$ 于点 $H$, 于是 $M H=N Q$, 则 $H P=M P-M H=$ $\sin \beta-\sin \alpha$.

由图可知, $H P<\overparen{P Q}=\overparen{A P}-\overparen{A Q}=\beta-\alpha$,

即 $\beta-\alpha>\sin \beta-\sin \alpha$.
解析：如图, 单位圆 $O$ 与 $x$ 轴正半轴交于点 $A$, 与角 $\alpha, \beta$ 的终边分别交于点 $Q, P$, 过 $P$, $Q$ 分别作 $O A$ 的垂线，设垂足分别为点 $M, N$, 则由三角函数线定义可知:

$\sin \alpha=N Q, \sin \beta=M P$, 过点 $Q$ 作 $Q H \perp M P$ 于点 $H$, 于是 $M H=N Q$, 则 $H P=M P-M H=$ $\sin \beta-\sin \alpha$.

由图可知, $H P<\overparen{P Q}=\overparen{A P}-\overparen{A Q}=\beta-\alpha$,

即 $\beta-\alpha>\sin \beta-\sin \alpha$.
题目（高二 · 解析几何）：9. 在单位圆中画出适合下列条件的角 $\alpha$ 的终边.

(1) $\sin \alpha=\frac{2}{3}$;

(2) $\cos \alpha=-\frac{3}{5}$.
选项：
解析：(1)作直线 $y=\frac{2}{3}$ 交单位圆于 $P, Q$ 两点, 则 $O P, O Q$ 为角 $\alpha$ 的终边, 如图甲.

(2)作直线 $x=-\frac{3}{5}$ 交单位圆于 $M, N$ 两点, 则 $O M, O N$ 为角 $\alpha$ 的终边, 如图乙.
题目（高二 · 解析几何）：10. 已知 $\sin \left(-\frac{\pi}{2}-\alpha\right) \cdot \cos \left(-\frac{5 \pi}{2}-\alpha\right)=\frac{60}{169}$, 且 $\frac{\pi}{4}<\alpha<\frac{\pi}{2}$, 求 $\sin \alpha$ 与 $\cos \alpha$ 的值.
选项：
答案：$\frac{5}{13}$
解析：$\because \sin \left(-\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=-\cos \alpha$, $\cos \left(-\frac{5 \pi}{2}-\alpha\right)=\cos \left(2 \pi+\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin \alpha$,

$\therefore \sin \alpha \cdot \cos \alpha=\frac{60}{169}$,

即 $2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha=\frac{120}{169}$. 1

又 $\because \sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1$,

(1) + (2) 得 $(\sin \alpha+\cos \alpha)^{2}=\frac{289}{169}$,

(2) $-(1)$ 得 $(\sin \alpha-\cos \alpha)^{2}=\frac{49}{169}$.

又 $\because \alpha \in\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right), \therefore \sin \alpha>\cos \alpha>0$,

即 $\sin \alpha+\cos \alpha>0, \sin \alpha-\cos \alpha>0$,
$\therefore \sin \alpha+\cos \alpha=\frac{17}{13}$,

$\sin \alpha-\cos \alpha=\frac{7}{13}$,

(3)+(4)得 $\sin \alpha=\frac{12}{13}$,

(3)-(4) 得 $\cos \alpha=\frac{5}{13}$.
题目（高二 · 解析几何）：15. 已知 $\alpha$ 是第四象限角, 且

$f(\alpha)=\frac{\sin (\pi-\alpha) \cos (2 \pi-\alpha)}{\cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) \sin (-\pi-\alpha) \cos (2 \pi+\alpha)}$.

(1)若 $\cos \left(\alpha-\frac{3 \pi}{2}\right)=\frac{1}{5}$, 求 $f(\alpha)$ 的值;

(2)若 $\alpha=-1860^{\circ}$, 求 $f(\alpha)$ 的值.
选项：
答案：$f(\alpha)=\frac{\sin (\pi-\alpha) \cos (2 \pi-\alpha)}{\cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) \sin (-\pi-\alpha) \cos (2 \pi+\alpha)}$

$=\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{-\sin \alpha \sin (\pi+\alpha) \cos \alpha}=\frac{1}{\sin \alpha}$.

(1) $\because \cos \left(\alpha-\frac{3 \pi}{2}\right)=\frac{1}{5}$,

$\therefore \cos \left(\alpha-\frac{3 \pi}{2}+2 \pi\right)=\frac{1}{5}$,

$\therefore \cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\frac{1}{5}$,

$\therefore \sin \alpha=-\frac{1}{5}, \therefore f(\alpha)=\frac{1}{\sin \alpha}=-5$.

(2)当 $\alpha=-1860^{\circ}$ 时, $f(\alpha)=\frac{1}{\sin \alpha}$

$=\frac{1}{\sin \left(-1860^{\circ}\right)}=\frac{1}{-\sin 1860^{\circ}}$

$=\frac{1}{-\sin \left(5 \times 360^{\circ}+60^{\circ}\right)}=\frac{1}{-\sin 60^{\circ}}=-\frac{2 \sqrt{3}}{3}$.
解析：$f(\alpha)=\frac{\sin (\pi-\alpha) \cos (2 \pi-\alpha)}{\cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) \sin (-\pi-\alpha) \cos (2 \pi+\alpha)}$

$=\frac{\sin \alpha \cos \alpha}{-\sin \alpha \sin (\pi+\alpha) \cos \alpha}=\frac{1}{\sin \alpha}$.

(1) $\because \cos \left(\alpha-\frac{3 \pi}{2}\right)=\frac{1}{5}$,

$\therefore \cos \left(\alpha-\frac{3 \pi}{2}+2 \pi\right)=\frac{1}{5}$,

$\therefore \cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=\frac{1}{5}$,

$\therefore \sin \alpha=-\frac{1}{5}, \therefore f(\alpha)=\frac{1}{\sin \alpha}=-5$.

(2)当 $\alpha=-1860^{\circ}$ 时, $f(\alpha)=\frac{1}{\sin \alpha}$

$=\frac{1}{\sin \left(-1860^{\circ}\right)}=\frac{1}{-\sin 1860^{\circ}}$

$=\frac{1}{-\sin \left(5 \times 360^{\circ}+60^{\circ}\right)}=\frac{1}{-\sin 60^{\circ}}=-\frac{2 \sqrt{3}}{3}$.
题目（高二 · 解析几何）：9. 已知 $\cos \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=\frac{1}{3}$, 求 $\cos ^{2}\left(\frac{3 \pi}{4}+\alpha\right)-\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)$ 的值.
选项：
答案：$-\frac{2}{9}$
解析：$\because \cos \left(\frac{3 \pi}{4}+\alpha\right)$

$=\cos \left[\pi-\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\right]$

$=-\cos \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=-\frac{1}{3}$,

$\therefore \cos ^{2}\left(\frac{3 \pi}{4}+\alpha\right)=\frac{1}{9}$.

又 $\because \sin \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\sin \left[\frac{\pi}{2}-\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)\right]=\cos \left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=\frac{1}{3}$,

$\therefore \cos ^{2}\left(\frac{3 \pi}{4}+\alpha\right)-\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{9}-\frac{1}{3}=-\frac{2}{9}$.
题目（高二 · 解析几何）：16. 已知函数 $f(x)=\cos \left(2 x+\frac{\pi}{3}\right)$, 若函数 $g(x)$ 的最小正周期是 $\pi$, 且当 $x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 时, $g(x)=$ $f\left(\frac{x}{2}\right)$, 求关于 $x$ 的方程 $g(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的解集.
选项：
答案：$\left\{\left.x\right|_{x=k \pi-\frac{\pi}{2}}\right.$ 或 $\left.x=k \pi-\frac{\pi}{6}, k \in \mathbf{Z}\right\}$.
解析：当 $x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 时, $g(x)=f\left(\frac{x}{2}\right)=\cos \left(x+\frac{\pi}{3}\right)$.

因为 $x+\frac{\pi}{3} \in\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{5 \pi}{6}\right]$,

所以由 $g(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 解得 $x+\frac{\pi}{3}=-\frac{\pi}{6}$ 或 $\frac{\pi}{6}$,

即 $x=-\frac{\pi}{2}$ 或 $-\frac{\pi}{6}$.

又因为 $g(x)$ 的最小正周期为 $\pi$.

所以 $g(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 的解集为 $\left\{\left.x\right|_{x=k \pi-\frac{\pi}{2}}\right.$ 或 $\left.x=k \pi-\frac{\pi}{6}, k \in \mathbf{Z}\right\}$.

##第一章 三角函数
题目（高二 · 解析几何）：8. 若 $f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的偶函数, 当 $x \geqslant 0$ 时, $f(x)=\sin x$, 则 $f(x)$ 的解析式是
选项：
答案：$f(x)=\sin |x|$
解析：解析：当 $x<0$ 时, $-x>0, f(-x)=\sin (-x)=-\sin x$.

$\because f(-x)=f(x), \quad \therefore x<0$ 时, $f(x)=-\sin x$.

$\therefore f(x)=\sin |x|$.
题目（高二 · 解析几何）：16. 关于 $x$ 的函数 $y=2 \cos ^{2} x-2 a \cos x-(2 a+1)$ 的最小值为 $f(a)$, 试确定满足 $f(a)=\frac{1}{2}$ 的 $a$ 的值,并对此时的 $a$ 值求 $y$ 的最大值.
选项：
答案：令 $\cos x=t, t \in[-1,1]$, 则 $y=2 t^{2}-2 a t-(2 a+1)$, 函数图象的对称轴为直线 $t=\frac{a}{2}$.当 $\frac{a}{2}<-1$, 即 $a<-2$ 时, 函数 $y$ 在 $[-1,1]$ 上单调递增, $y_{\text {min }}=1 \neq \frac{1}{2}$;

当 $\frac{a}{2}>1$, 即 $a>2$ 时, 函数 $y$ 在 $[-1,1]$ 上单调递减, $y_{\min }=-4 a+1=\frac{1}{2}$, 解得 $a=\frac{1}{8}$, 与 $a>2$矛盾;

当 $-1 \leqslant \frac{a}{2} \leqslant 1$, 即 $-2 \leqslant a \leqslant 2$ 时, $y_{\text {min }}=-\frac{a^{2}}{2}-2 a-1=\frac{1}{2}, a^{2}+4 a+3=0$, 解得 $a=-1$ 或 $a$ $=-3, \quad \therefore a=-1$.

此时 $y_{\text {max }}=-4 a+1=5$.

综上可知, 满足 $f(a)=\frac{1}{2}$ 的 $a$ 的值为 -1 , 此时 $y$ 的最大值为 5 .
解析：令 $\cos x=t, t \in[-1,1]$, 则 $y=2 t^{2}-2 a t-(2 a+1)$, 函数图象的对称轴为直线 $t=\frac{a}{2}$.当 $\frac{a}{2}<-1$, 即 $a<-2$ 时, 函数 $y$ 在 $[-1,1]$ 上单调递增, $y_{\text {min }}=1 \neq \frac{1}{2}$;

当 $\frac{a}{2}>1$, 即 $a>2$ 时, 函数 $y$ 在 $[-1,1]$ 上单调递减, $y_{\min }=-4 a+1=\frac{1}{2}$, 解得 $a=\frac{1}{8}$, 与 $a>2$矛盾;

当 $-1 \leqslant \frac{a}{2} \leqslant 1$, 即 $-2 \leqslant a \leqslant 2$ 时, $y_{\text {min }}=-\frac{a^{2}}{2}-2 a-1=\frac{1}{2}, a^{2}+4 a+3=0$, 解得 $a=-1$ 或 $a$ $=-3, \quad \therefore a=-1$.

此时 $y_{\text {max }}=-4 a+1=5$.

综上可知, 满足 $f(a)=\frac{1}{2}$ 的 $a$ 的值为 -1 , 此时 $y$ 的最大值为 5 .
题目（高二 · 解析几何）：14.关于函数 $f(x)=\tan \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)$ 有以下命题:

(1)函数 $f(x)$ 的周期是 $\frac{\pi}{2}$;

(2)函数 $f(x)$ 的定义域是 $\left\{x \mid x \in \mathbf{R}\right.$ 且 $\left.x \neq \frac{k \pi}{2}+\frac{\pi}{8}, k \in \mathbf{Z}\right\}$;

(3) $y=f(x)$ 是奇函数;

(4) $y=f(x)$ 的一个单调递增区间为 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$.

其中，正确的命题是
选项：
答案：(1)
解析：解析： $f(x)=\tan \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)$ 的周期 $T=\frac{\pi}{2}$ ，故 (1) 正确； $f(x)$ 的定义域为 $\left\{x \mid x \in \mathbf{R}\right.$ 且 $\left.x \neq \frac{k \pi}{2}+\frac{3 \pi}{8} ， k \in \mathbf{Z}\right\}$ ，故(2)不正确; $f(x)$ 是非奇非偶函数，故(3)不正确； $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left(\frac{k \pi}{2}-\frac{\pi}{8}, \frac{k \pi}{2}+\frac{3}{8} \pi\right) ， k \in \mathbf{Z}$ ，故(4)不正确.
题目（高二 · 解析几何）：16. 若函数 $y=\tan ^{2} x-a \tan x\left(|x| \leqslant \frac{\pi}{4}\right)$ 的最小值为 -6 , 求实数 $a$ 的值.
选项：
答案：设 $t=\tan x$. 因为 $|x| \leqslant \frac{\pi}{4}$ ，所以 $\tan x \in[-1,1]$ ，则原函数化为 $y=t^{2}-a t=\left(t-\frac{a}{2}\right)^{2}$ $\frac{a^{2}}{4}$, 对称轴方程为 $t=\frac{a}{2}$.

(1) 若 $-1 \leqslant \frac{a}{2} \leqslant 1$ ，即 $-2 \leqslant a \leqslant 2$ ，

则当 $t=\frac{a}{2}$ 时， $y_{\text {min }}=-\frac{a^{2}}{4}=-6$ ，

所以 $a^{2}=24$ ，不符合题意，舍去;

(2)若 $\frac{a}{2}<-1$ ，即 $a<-2$ ，则二次函数在 $[-1 ， 1]$ 上单调递增，当 $t=-1$ 时， $y_{\text {min }}=1+a=-$

6, 所以 $a=-7$;

(3) 若 ${ }_{2}^{a}>1$ ，即 $a>2$ ，则二次函数在 $[-1 ， 1]$ 上单调递减，

当 $t=1$ 时， $y_{\text {min }}=1-a=-6$, 所以 $a=7$.

综上所述，实数 $a$ 的值为 -7 或 7
解析：设 $t=\tan x$. 因为 $|x| \leqslant \frac{\pi}{4}$ ，所以 $\tan x \in[-1,1]$ ，则原函数化为 $y=t^{2}-a t=\left(t-\frac{a}{2}\right)^{2}$ $\frac{a^{2}}{4}$, 对称轴方程为 $t=\frac{a}{2}$.

(1) 若 $-1 \leqslant \frac{a}{2} \leqslant 1$ ，即 $-2 \leqslant a \leqslant 2$ ，

则当 $t=\frac{a}{2}$ 时， $y_{\text {min }}=-\frac{a^{2}}{4}=-6$ ，

所以 $a^{2}=24$ ，不符合题意，舍去;

(2)若 $\frac{a}{2}<-1$ ，即 $a<-2$ ，则二次函数在 $[-1 ， 1]$ 上单调递增，当 $t=-1$ 时， $y_{\text {min }}=1+a=-$

6, 所以 $a=-7$;

(3) 若 ${ }_{2}^{a}>1$ ，即 $a>2$ ，则二次函数在 $[-1 ， 1]$ 上单调递减，

当 $t=1$ 时， $y_{\text {min }}=1-a=-6$, 所以 $a=7$.

综上所述，实数 $a$ 的值为 -7 或 7 .