题目（高三 · 计数）：（12 分）甲、乙去某公司应聘面试. 该公司的面试方案为: 应聘者从 6 道备选
题中一次性随机抽取 3 道题, 按照答对题目的个数为标准进行笁选. 已知 6 道备选题中应聘者甲有 4 道题能正确完成, 2 道题不能完成; 应聘者乙每题正确完成的概率都是 $\frac{2}{3}$, 且每题正确完成与否互不影响.

（1）分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列, 并计算其数学期望;

（2）请分析比较甲、乙两人谁的面试通过的可能性较大?
选项：
答案：答案:(1) 甲、乙的分布列见解析, 甲的数学期望 2, 乙的数学期望 2；(2) 甲通过面试的概率较大.

【解析】(1) 设 $X$ 为甲正确完成面试题的数量, $Y$ 为乙正确完成面试题的数量,

依题意可得: $X \sim H(6,3,4)$,

$\therefore P(X=1)=\frac{\mathrm{C}_{4}^{1} \cdot \mathrm{C}_{2}^{2}}{\mathrm{C}_{6}^{3}}=\frac{1}{5}, P(X=2)=\frac{\mathrm{C}_{4}^{2} \cdot \mathrm{C}_{2}^{1}}{\mathrm{C}_{6}^{3}}=\frac{3}{5}, P(X=3)=\frac{\mathrm{C}_{4}^{3} \cdot \mathrm{C}_{2}^{0}}{\mathrm{C}_{6}^{3}}=\frac{1}{5}$,

$\therefore X$ 的分布列为:

| $X$ | 1 | 2 | 3 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\frac{1}{5}$ | $\frac{3}{5}$ | $\frac{1}{5}$ |

$\therefore E X=1 \times \frac{1}{5}+2 \times \frac{3}{5}+3 \times \frac{1}{5}=2$.

$Y \sim B\left(3, \frac{2}{3}\right)$,

$\therefore P(Y=0)=\mathrm{C}_{3}^{0}\left(\frac{2}{3}\right)^{0}\left(\frac{1}{3}\right)^{3}=\frac{1}{27}, P(Y=1)=\mathrm{C}_{3}^{1}\left(\frac{2}{3}\right)^{1}\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}$, $P(Y=2)=\mathrm{C}_{3}^{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\left(\frac{1}{3}\right)^{1}=\frac{12}{27}=\frac{4}{9}, P(Y=3)=\mathrm{C}_{3}^{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\left(\frac{1}{3}\right)^{0}=\frac{8}{27}$,

$\therefore Y$ 的分布列为:

| $Y$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\frac{1}{27}$ | $\frac{2}{9}$ | $\frac{4}{9}$ | $\frac{8}{27}$ |

$\therefore E Y=0 \times \frac{1}{27}+1 \times \frac{2}{9}+2 \times \frac{4}{9}+3 \times \frac{8}{27}=2$.

(2) $D X=\frac{1}{5} \times(1-2)^{2}+(2-2)^{2} \times \frac{3}{5}+(3-2)^{2} \times \frac{1}{5}=\frac{2}{5}$,

$D Y=n p(1-p)=3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$,

$\because D X<D Y$,

$\therefore$ 甲发挥的稳定性更强, 则甲通过面试的概率较大.
解析：答案:(1) 甲、乙的分布列见解析, 甲的数学期望 2, 乙的数学期望 2；(2) 甲通过面试的概率较大.

【解析】(1) 设 $X$ 为甲正确完成面试题的数量, $Y$ 为乙正确完成面试题的数量,

依题意可得: $X \sim H(6,3,4)$,

$\therefore P(X=1)=\frac{\mathrm{C}_{4}^{1} \cdot \mathrm{C}_{2}^{2}}{\mathrm{C}_{6}^{3}}=\frac{1}{5}, P(X=2)=\frac{\mathrm{C}_{4}^{2} \cdot \mathrm{C}_{2}^{1}}{\mathrm{C}_{6}^{3}}=\frac{3}{5}, P(X=3)=\frac{\mathrm{C}_{4}^{3} \cdot \mathrm{C}_{2}^{0}}{\mathrm{C}_{6}^{3}}=\frac{1}{5}$,

$\therefore X$ 的分布列为:

| $X$ | 1 | 2 | 3 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\frac{1}{5}$ | $\frac{3}{5}$ | $\frac{1}{5}$ |

$\therefore E X=1 \times \frac{1}{5}+2 \times \frac{3}{5}+3 \times \frac{1}{5}=2$.

$Y \sim B\left(3, \frac{2}{3}\right)$,

$\therefore P(Y=0)=\mathrm{C}_{3}^{0}\left(\frac{2}{3}\right)^{0}\left(\frac{1}{3}\right)^{3}=\frac{1}{27}, P(Y=1)=\mathrm{C}_{3}^{1}\left(\frac{2}{3}\right)^{1}\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{6}{27}=\frac{2}{9}$, $P(Y=2)=\mathrm{C}_{3}^{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\left(\frac{1}{3}\right)^{1}=\frac{12}{27}=\frac{4}{9}, P(Y=3)=\mathrm{C}_{3}^{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\left(\frac{1}{3}\right)^{0}=\frac{8}{27}$,

$\therefore Y$ 的分布列为:

| $Y$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\frac{1}{27}$ | $\frac{2}{9}$ | $\frac{4}{9}$ | $\frac{8}{27}$ |

$\therefore E Y=0 \times \frac{1}{27}+1 \times \frac{2}{9}+2 \times \frac{4}{9}+3 \times \frac{8}{27}=2$.

(2) $D X=\frac{1}{5} \times(1-2)^{2}+(2-2)^{2} \times \frac{3}{5}+(3-2)^{2} \times \frac{1}{5}=\frac{2}{5}$,

$D Y=n p(1-p)=3 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$,

$\because D X<D Y$,

$\therefore$ 甲发挥的稳定性更强, 则甲通过面试的概率较大.