eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（七年级 · 代数）：已知 $a^{2}-4 a+4$ 与 $|b-1|$ 互为相反数, 求 $\frac{a-b}{a+b}$ 的值.
选项：
答案：【答案】解: 依题意得 $\left(a^{2}-4 a+4\right)+|b-1|=0$,

$\therefore(a-2)^{2}+|b-1|=0$,

$\therefore a-2=0, b-1=0$,

$\therefore a=2, b=1$,

$\therefore$ 原式 $=\frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{3}$.

【解析】此题考查分式的求值和非负数的性质以及完全平方公式, 掌握非负数的性质是解题关键.

首先根据相反数的含义, 可得 $\left(a^{2}-4 a+4\right)+|b-1|=0$, 然后利用完全平方公式整理,由非负数的性质求出 $a 、 b$ 的值, 再把 $a 、 b$ 的值代入 $\frac{a-b}{a+b}$ 计算即可.
解析：【答案】解: 依题意得 $\left(a^{2}-4 a+4\right)+|b-1|=0$,

$\therefore(a-2)^{2}+|b-1|=0$,

$\therefore a-2=0, b-1=0$,

$\therefore a=2, b=1$,

$\therefore$ 原式 $=\frac{2-1}{2+1}=\frac{1}{3}$.

【解析】此题考查分式的求值和非负数的性质以及完全平方公式, 掌握非负数的性质是解题关键.

首先根据相反数的含义, 可得 $\left(a^{2}-4 a+4\right)+|b-1|=0$, 然后利用完全平方公式整理,由非负数的性质求出 $a 、 b$ 的值, 再把 $a 、 b$ 的值代入 $\frac{a-b}{a+b}$ 计算即可.
题目（七年级 · 代数）：已知 $m-n=2 \sqrt{3}$, 求代数式 $\left(\frac{m^{2}+n^{2}}{2 m}-n\right) \div \frac{m-n}{m}$ 的值.
选项：
答案：【答案】解: 原式 $=\left(\frac{m^{2}+n^{2}-2 m n}{2 m}\right) \div \frac{m-n}{m}$
$$
=\frac{(m-n)^{2}}{2 m} \cdot \frac{m}{m-n}
$$

$=\frac{m-n}{2}$.

$\because m-n=2 \sqrt{3}$,
$\therefore$ 原式 $=\frac{m-n}{2}=\frac{2 \sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$.

【解析】略
解析：【答案】解: 原式 $=\left(\frac{m^{2}+n^{2}-2 m n}{2 m}\right) \div \frac{m-n}{m}$
$$
=\frac{(m-n)^{2}}{2 m} \cdot \frac{m}{m-n}
$$

$=\frac{m-n}{2}$.

$\because m-n=2 \sqrt{3}$,
$\therefore$ 原式 $=\frac{m-n}{2}=\frac{2 \sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$.

【解析】略
题目（七年级 · 代数）：检验下列因式分解是否正确:

(1) $6 x^{2}-12 x y=6 x(x-2 y)$.

(2) $x y-1=(x-1)(y+1)$.

(3) $a^{2}-2 a b-8 b^{2}=(a-4 b)(a+2 b)$.
选项：
答案：【答案】解：(1)原式提公因式 $6 x$ 可得 $6 x(x-2 y)$, 正确;

(2) $x y-1$ 不能进行因式分解, 不正确;

(3) $(a-4 b)(a+2 b)=a^{2}+2 a b-4 a b-8 b^{2}=a^{2}-2 a b-8 b^{2}$, 正确

【解析】本题考查了因式分解的定义, 解决本题的关键是掌握因式分解的定义.

根据因式分解的定义即可判断.
解析：【答案】解：(1)原式提公因式 $6 x$ 可得 $6 x(x-2 y)$, 正确;

(2) $x y-1$ 不能进行因式分解, 不正确;

(3) $(a-4 b)(a+2 b)=a^{2}+2 a b-4 a b-8 b^{2}=a^{2}-2 a b-8 b^{2}$, 正确

【解析】本题考查了因式分解的定义, 解决本题的关键是掌握因式分解的定义.

根据因式分解的定义即可判断.
题目（七年级 · 代数）：不改变分式的值, 使分式 $\frac{2-x}{-3 x^{2}+1}$ 的分子、分母中最高次项的系数变为正数.
选项：
答案：【答案】解: 原式 $=\frac{-(x-2)}{-\left(3 x^{2}-1\right)}=\frac{x-2}{3 x^{2}-1}$.

【解析】根据分式的基本性质即可求出答案.

本题考查分式, 解题的关键是熟练运用分式的基本性质, 本题属于基础题型.
解析：【答案】解: 原式 $=\frac{-(x-2)}{-\left(3 x^{2}-1\right)}=\frac{x-2}{3 x^{2}-1}$.

【解析】根据分式的基本性质即可求出答案.

本题考查分式, 解题的关键是熟练运用分式的基本性质, 本题属于基础题型.
题目（七年级 · 代数）： 某企业生产、销售 $A, B$ 两类产品. 今年 $A$ 类产品与 $B$ 类产品的销售额之比为 $5: 3$,计划明年将 $A$ 类产品的销售额增加 $20 \%$, 问 $B$ 类产品的销售额需增加百分之多少,才能使两种产品的销售额之比变为 $4: 3$ ?
选项：
答案：【答案】解：设 $A$ 类产品销售额为 $5 x, B$ 类产品销售额为 $3 x, B$ 类产品的销售额需增加 $y$, 可使两种产品的销售额之比变为 $4: 3$,

由题意得:

$5 x(1+20 \%): 3 x(1+y)=4: 3$,

解得: $y=50 \%$.

答: $B$ 类产品的销售额需增加百分之五十, 才能使两种产品的销售额之比变为 $4: 3$.

【解析】首先根据今年 $A$ 类产品与 $B$ 类产品的销售额之比为 $5: 3$, 设 $A$ 类产品销售额为 $5 x$, $B$ 类产品销售额为 $3 x$, 再设 $B$ 类产品的销售额需增加 $y$, 可使两种产品的销售额之比变为 4: 3 ,

由题意得等量关系: 今年 $A$ 类产品 $\times(1+20 \%)$ : 今年 $B$ 类产品的销售额 $\times(1+y)=4$ :

3, 根据等量关系列出方程即可.
解析：【答案】解：设 $A$ 类产品销售额为 $5 x, B$ 类产品销售额为 $3 x, B$ 类产品的销售额需增加 $y$, 可使两种产品的销售额之比变为 $4: 3$,

由题意得:

$5 x(1+20 \%): 3 x(1+y)=4: 3$,

解得: $y=50 \%$.

答: $B$ 类产品的销售额需增加百分之五十, 才能使两种产品的销售额之比变为 $4: 3$.

【解析】首先根据今年 $A$ 类产品与 $B$ 类产品的销售额之比为 $5: 3$, 设 $A$ 类产品销售额为 $5 x$, $B$ 类产品销售额为 $3 x$, 再设 $B$ 类产品的销售额需增加 $y$, 可使两种产品的销售额之比变为 4: 3 ,

由题意得等量关系: 今年 $A$ 类产品 $\times(1+20 \%)$ : 今年 $B$ 类产品的销售额 $\times(1+y)=4$ :

3, 根据等量关系列出方程即可.
题目（七年级 · 代数）： 已知 $n$ 为整数, 代数式 $(n+5)^{2}-(n-1)^{2}$ 的值一定能被 12 整除吗.作出判断, 并说明理由.
选项：
答案：【答案】 $(n+5)^{2}-(n-1)^{2}=12(n+2), n$ 为整数, 故一定能被 12 整除

【解析】略
解析：【答案】 $(n+5)^{2}-(n-1)^{2}=12(n+2), n$ 为整数, 故一定能被 12 整除

【解析】略
题目（七年级 · 代数）：先化简, 再求值: $(2+a)(2-a)+a(a-5 b)+3 a^{5} b^{3} \div\left(-a^{2} b\right)^{2}$, 其中 $\mathrm{ab}=-\frac{1}{2}$.
选项：
答案：【答案】解: 原式 $=4-a^{2}+a^{2}-5 a b+3 a^{5} b^{3} \div a^{4} b^{2}$
$$
=4-5 a b+3 a b
$$

$=4-2 a b$,

当 $a b=-\frac{1}{2}$ 时, 原式 $=4-2 \times\left(-\frac{1}{2}\right)=4+1=5$.

【解析】本题主要考查整式的混合运算。掌握公式和法则是解题的关键.先根据平方差公式, 单项式乘多项式, 单项式除以单项式法则计算, 再合并同类项, 把整式化到最简,然后把 $a b$ 的值代入化简后的代数式计算即可.
解析：【答案】解: 原式 $=4-a^{2}+a^{2}-5 a b+3 a^{5} b^{3} \div a^{4} b^{2}$
$$
=4-5 a b+3 a b
$$

$=4-2 a b$,

当 $a b=-\frac{1}{2}$ 时, 原式 $=4-2 \times\left(-\frac{1}{2}\right)=4+1=5$.

【解析】本题主要考查整式的混合运算。掌握公式和法则是解题的关键.先根据平方差公式, 单项式乘多项式, 单项式除以单项式法则计算, 再合并同类项, 把整式化到最简,然后把 $a b$ 的值代入化简后的代数式计算即可.
题目（七年级 · 代数）：阅读材料: 若 $m^{2}-2 m n+2 n^{2}-8 n+16=0$, 求 $m 、 n$ 的值.

解: $\because m^{2}-2 m n+2 n^{2}-8 n+16=0, \quad \therefore\left(m^{2}-2 m n+n^{2}\right)+\left(n^{2}-8 n+16\right)=0$

$\therefore(m-n)^{2}+(n-4)^{2}=0, \quad \therefore(m-n)^{2}=0,(n-4)^{2}=0, \quad \therefore n=4, m=4$.

根据你的观察, 探究下面的问题:

(1) 已知 $x^{2}+2 x y+2 y^{2}+2 y+1=0$, 求 $2 x+y$ 的值;

(2)已知 $a-b=4, a b+c^{2}-6 c+13=0$, 求 $a+b+c$ 的值.
选项：
答案：【答案】解: (1) $\because x^{2}+2 x y+2 y^{2}+2 y+1=0$,

$\therefore\left(x^{2}+2 x y+y^{2}\right)+\left(y^{2}+2 y+1\right)=0$,

$\therefore(x+y)^{2}+(y+1)^{2}=0$,

$\therefore x+y=0, y+1=0$,

解得, $x=1, y=-1$,

$\therefore 2 x+y=2 \times 1+(-1)=1$;

(2) $\because a-b=4$,

$\therefore a=b+4$,

$\therefore$ 将 $a=b+4$ 代入 $a b+c^{2}-6 c+13=0$, 得

$b^{2}+4 b+c^{2}-6 c+13=0$,

$\therefore\left(b^{2}+4 b+4\right)+\left(c^{2}-6 c+9\right)=0$,

$\therefore(b+2)^{2}+(c-3)^{2}=0$,

$\therefore b+2=0, c-3=0$,

解得, $b=-2, c=3$,

$\therefore a=b+4=-2+4=2$,
$\therefore a+b+c=2-2+3=3$.

【解析】本题考查的是偶次方非负性, 完全平方公式, 因式分解应用, 配方法, 代数式的求值等有关知识.关键是掌握偶次方非负性和完全平方公式.

(1)首先对该式进行变形配方, 再利用偶次方非负性求得 $x 、 y$ 的值, 最后代入计算即可解答;

(2)先由 $a-b=4$, 得 $a=b+4$, 再将 $a=b+4$ 代入 $a b+c^{2}-6 c+13=0$, 再该式变形为两个非负数平方和的形式, 求出 $b, c$ 的值, 继而可求出代数式的值.
解析：【答案】解: (1) $\because x^{2}+2 x y+2 y^{2}+2 y+1=0$,

$\therefore\left(x^{2}+2 x y+y^{2}\right)+\left(y^{2}+2 y+1\right)=0$,

$\therefore(x+y)^{2}+(y+1)^{2}=0$,

$\therefore x+y=0, y+1=0$,

解得, $x=1, y=-1$,

$\therefore 2 x+y=2 \times 1+(-1)=1$;

(2) $\because a-b=4$,

$\therefore a=b+4$,

$\therefore$ 将 $a=b+4$ 代入 $a b+c^{2}-6 c+13=0$, 得

$b^{2}+4 b+c^{2}-6 c+13=0$,

$\therefore\left(b^{2}+4 b+4\right)+\left(c^{2}-6 c+9\right)=0$,

$\therefore(b+2)^{2}+(c-3)^{2}=0$,

$\therefore b+2=0, c-3=0$,

解得, $b=-2, c=3$,

$\therefore a=b+4=-2+4=2$,
$\therefore a+b+c=2-2+3=3$.

【解析】本题考查的是偶次方非负性, 完全平方公式, 因式分解应用, 配方法, 代数式的求值等有关知识.关键是掌握偶次方非负性和完全平方公式.

(1)首先对该式进行变形配方, 再利用偶次方非负性求得 $x 、 y$ 的值, 最后代入计算即可解答;

(2)先由 $a-b=4$, 得 $a=b+4$, 再将 $a=b+4$ 代入 $a b+c^{2}-6 c+13=0$, 再该式变形为两个非负数平方和的形式, 求出 $b, c$ 的值, 继而可求出代数式的值.
题目（七年级 · 代数）：请看下面的问题: 把 $x^{4}+4$ 分解因式.

分析：这个二项式既无公因式可提, 也不能直接利用公式, 怎么办呢?

19世纪的法国数学家苏菲.热门抓住了该式只有两项, 而且属于平方和的形式, 要使用完全平方公式就必须添一项 $4 x^{2}$, 随即将此项 $4 x^{2}$ 减去, 即可得 $x^{4}+4=x^{4}+$ $4 x^{2}+4-4 x^{2}=\left(x^{2}+2\right)^{2}-4 x^{2}=\left(x^{2}+2\right)^{2}-(2 x)^{2}=\left(x^{2}+2 x+2\right)\left(x^{2}-2 x+\right.$ 2).

人们为了纪念苏菲.热门给出的这一解法, 就把它叫做 “热门定理” . 请你依照苏菲.热门的做法, 将下列各式分解因式:

$$
\text { (1) } x^{4}+4 y^{4} \text {; }
$$

(2) $x^{2}-2 a x-b^{2}-2 a b$.
选项：
答案：【答案】解: (1) $x^{4}+4 y^{4}=x^{4}+4 x^{2} y^{2}+4 y^{2}-4 x^{2} y^{2}$,

$=\left(x^{2}+2 y^{2}\right)^{2}-4 x^{2} y^{2}$,

$=\left(x^{2}+2 y^{2}+2 x y\right)\left(x^{2}+2 y^{2}-2 x y\right)$

(2) $x^{2}-2 a x-b^{2}-2 a b$,

$=x^{2}-2 a x+a^{2}-a^{2}-b^{2}-2 a b$,

$=(x-a)^{2}-(a+b)^{2}$,

$=(x-a+a+b)(x-a-a-b)$,

$=(x+b)(x-2 a-b)$.

【解析】本题主要考查的是运用公式法分解因式的有关知识.

(1)根据例题将给出的式子进行变形, 然后利用公式法因式分解即可;

(2)根据例题将给出的式子进行变形, 然后利用公式法因式分解即可.
解析：【答案】解: (1) $x^{4}+4 y^{4}=x^{4}+4 x^{2} y^{2}+4 y^{2}-4 x^{2} y^{2}$,

$=\left(x^{2}+2 y^{2}\right)^{2}-4 x^{2} y^{2}$,

$=\left(x^{2}+2 y^{2}+2 x y\right)\left(x^{2}+2 y^{2}-2 x y\right)$

(2) $x^{2}-2 a x-b^{2}-2 a b$,

$=x^{2}-2 a x+a^{2}-a^{2}-b^{2}-2 a b$,

$=(x-a)^{2}-(a+b)^{2}$,

$=(x-a+a+b)(x-a-a-b)$,

$=(x+b)(x-2 a-b)$.

【解析】本题主要考查的是运用公式法分解因式的有关知识.

(1)根据例题将给出的式子进行变形, 然后利用公式法因式分解即可;

(2)根据例题将给出的式子进行变形, 然后利用公式法因式分解即可.
题目（七年级 · 代数）：化简求值: $(2 x+3)(2 x-3)-(x+2)^{2}+4(x+3)$, 其中 $x=\sqrt{2}$.
选项：
答案：【答案】解: 原式 $=4 x^{2}-9-\left(x^{2}+4 x+4\right)+4 x+12$
$$
=4 x^{2}-9-x^{2}-4 x-4+4 x+12
$$

$=3 x^{2}-1$,

当 $x=\sqrt{2}$ 时,

原式 $=3 \times(\sqrt{2})^{2}-1$

$$
\begin{aligned}
& =3 \times 2-1 \\
& =6-1
\end{aligned}
$$

$=5$.

【解析】本题主要考查整式的混合运算一化简求值, 解题的关键是掌握平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式法则、去括号法则、合并同类项法则.

先利用平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式法则展开, 再去括号、合并同类项即可化简原式, 继而将 $x$ 的值代入计算可得答案.
解析：【答案】解: 原式 $=4 x^{2}-9-\left(x^{2}+4 x+4\right)+4 x+12$
$$
=4 x^{2}-9-x^{2}-4 x-4+4 x+12
$$

$=3 x^{2}-1$,

当 $x=\sqrt{2}$ 时,

原式 $=3 \times(\sqrt{2})^{2}-1$

$$
\begin{aligned}
& =3 \times 2-1 \\
& =6-1
\end{aligned}
$$

$=5$.

【解析】本题主要考查整式的混合运算一化简求值, 解题的关键是掌握平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式法则、去括号法则、合并同类项法则.

先利用平方差公式、完全平方公式、单项式乘多项式法则展开, 再去括号、合并同类项即可化简原式, 继而将 $x$ 的值代入计算可得答案.
题目（七年级 · 代数）：已知 $\left\{\begin{array}{l}x=-2 \\ y=a\end{array}\right.$ 是方程 $2 x+3 y=5$ 的一个解, 求 $a$ 的值.


选项：
答案：【答案】解: 把 $\left\{\begin{array}{l}x=-2 \\ y=a\end{array}\right.$ 代入方程 $2 x+3 y=5$ 得: $-4+3 a=5$,

解得: $a=3$,

则 $a$ 的值为 3 .

【解析】把 $x$ 与 $y$ 代入方程计算即可求出 $a$ 的值.

此题考查了二元一次方程的解, 方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.
解析：【答案】解: 把 $\left\{\begin{array}{l}x=-2 \\ y=a\end{array}\right.$ 代入方程 $2 x+3 y=5$ 得: $-4+3 a=5$,

解得: $a=3$,

则 $a$ 的值为 3 .

【解析】把 $x$ 与 $y$ 代入方程计算即可求出 $a$ 的值.

此题考查了二元一次方程的解, 方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.
题目（七年级 · 代数）：以下关于 $x$ 的各个多项式中, $a, b, c, m, n$ 均为常数.

(1)根据计算结果填写下表:

|  | 二次项系数 | 一次项系数 | 常数项 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $(2 x+1)(x+2)$ | 2 |  | 2 |
| $(2 x+1)(3 x-2)$ | 6 | - | -2 |
| $(a x+b)(m x+n)$ | $a m$ | - | $b n$ |

(2) 已知 $(x+3)^{2}\left(x^{2}+m x+n\right)$ 既不含二次项, 也不含一次项, 求 $m+n$ 的值.

(3) 多项式 $M$ 与多项式 $x^{2}-3 x+1$ 的乘积为 $2 x^{4}+a x^{3}+b x^{2}+c x-3$, 则 $2 a+b+c$的值为 $\qquad$ .
选项：
答案：【答案】 $5-1 a n+b m-4$

【解析】解: $(1)(2 x+1)(x+2)=2 x^{2}+5 x+2$

$(2 x+1)(3 x-2)=6 x^{2}-x-2$
$(a x+b)(m x+n)=a m x^{2}+(a n+b m) x+b n$

故答案为 $5 、-1$ 、 $a n+b m$.

(2) $(x+3)^{2}\left(x^{2}+m x+n\right)$

$=\left(x^{2}+6 x+9\right)\left(x^{2}+m x+n\right)$

$=x^{4}+(m+6) x^{3}+(6 m+n+9) x^{2}+(9 m+6 n) x+9 n$

$\because$ 既不含二次项, 也不含一次项,

$\therefore 6 m+n+9=0$

$9 m+6 n=0$

解得: $m=-2, n=3$

$\therefore m+n=1$.

答 $m+n$ 的值为 1 .

(3) $\because$ 多项式 $M$ 与多项式 $x^{2}-3 x+1$ 的乘积为 $2 x^{4}+a x^{3}+b x^{2}+c x-3$,

$\therefore$ 设多项式 $M=2 x^{2}+m x-3$,

$\left(2 x^{2}+m x-3\right)\left(x^{2}-3 x+1\right)$

$=2 x^{4}-6 x^{3}+2 x^{2}+m x^{3}-3 m x^{2}+m x-3 x^{2}+9 x-3$

$=2 x^{4}+(m-6) x^{3}+(2-3 m-3) x^{2}+(m+9) x-3$

$=2 x^{4}+a x^{3}+b x^{2}+c x-3$,

$\therefore a=m-6, b=-3 m-1, c=m+9$

$\therefore 2 a+b+c=2 m-12-3 m-1+m+9=-4$.

故答案为 -4 .

(1)根据多项式乘以多项式即可求解;

(2)先用完全平方公式展开第一项, 再进行多项式乘以多项式, 合并同类项后使二次项系数和一次项系数为 0 即可求解;

(3)根据多项式乘以多项式的结果可以设多项式 $M$, 再根据恒等式的意义即可求解.

本题考查了多项式乘以多项式, 解决本题的关键是准确进行计算, 同时理解恒等变形.
解析：【答案】 $5-1 a n+b m-4$

【解析】解: $(1)(2 x+1)(x+2)=2 x^{2}+5 x+2$

$(2 x+1)(3 x-2)=6 x^{2}-x-2$
$(a x+b)(m x+n)=a m x^{2}+(a n+b m) x+b n$

故答案为 $5 、-1$ 、 $a n+b m$.

(2) $(x+3)^{2}\left(x^{2}+m x+n\right)$

$=\left(x^{2}+6 x+9\right)\left(x^{2}+m x+n\right)$

$=x^{4}+(m+6) x^{3}+(6 m+n+9) x^{2}+(9 m+6 n) x+9 n$

$\because$ 既不含二次项, 也不含一次项,

$\therefore 6 m+n+9=0$

$9 m+6 n=0$

解得: $m=-2, n=3$

$\therefore m+n=1$.

答 $m+n$ 的值为 1 .

(3) $\because$ 多项式 $M$ 与多项式 $x^{2}-3 x+1$ 的乘积为 $2 x^{4}+a x^{3}+b x^{2}+c x-3$,

$\therefore$ 设多项式 $M=2 x^{2}+m x-3$,

$\left(2 x^{2}+m x-3\right)\left(x^{2}-3 x+1\right)$

$=2 x^{4}-6 x^{3}+2 x^{2}+m x^{3}-3 m x^{2}+m x-3 x^{2}+9 x-3$

$=2 x^{4}+(m-6) x^{3}+(2-3 m-3) x^{2}+(m+9) x-3$

$=2 x^{4}+a x^{3}+b x^{2}+c x-3$,

$\therefore a=m-6, b=-3 m-1, c=m+9$

$\therefore 2 a+b+c=2 m-12-3 m-1+m+9=-4$.

故答案为 -4 .

(1)根据多项式乘以多项式即可求解;

(2)先用完全平方公式展开第一项, 再进行多项式乘以多项式, 合并同类项后使二次项系数和一次项系数为 0 即可求解;

(3)根据多项式乘以多项式的结果可以设多项式 $M$, 再根据恒等式的意义即可求解.

本题考查了多项式乘以多项式, 解决本题的关键是准确进行计算, 同时理解恒等变形.
题目（七年级 · 代数）：阅读下列解答过程:

已知: $x \neq 0$, 且满足 $x^{2}-3 x=1$. 求: $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}$ 的值.

解: $\because x^{2}-3 x=1, \therefore x^{2}-3 x-1=0$

$\therefore x-3-\frac{1}{x}=0$, 即 $x-\frac{1}{x}=3$.

$\therefore x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2}+2=3^{2}+2=11$.

请通过阅读以上内容, 解答下列问题:

已知 $a \neq 0$, 且满足 $(2 a+1)(1-2 a)-(3-2 a)^{2}+9 a^{2}=14 a-7$,

求: (1) $a^{2}+\frac{1}{a^{2}}$ 的值; (2) $\frac{a^{2}}{5 a^{4}+a^{2}+5}$ 的值.
选项：
答案：【答案】解: $(1)(2 a+1)(1-2 a)-(3-2 a)^{2}+9 a^{2}=14 a-71-4 a^{2}-(9-12 a+$ $\left.4 a^{2}\right)+9 a^{2}-14 a+7=0$,

整理得: $a^{2}-2 a-1=0$

$\therefore a-\frac{1}{a}=2$,
$\therefore a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=\left(a-\frac{1}{a}\right)^{2}+2=4+2=6$;

(2)解: $\frac{a^{2}}{5 a^{4}+a^{2}+5}$ 的倒数为 $\frac{5 a^{4}+a^{2}+5}{a^{2}}$,

$\because \frac{5 a^{4}+a^{2}+5}{a^{2}}=5 a^{2}+\frac{5}{a^{2}}+1=5\left(a^{2}+\frac{1}{a^{2}}\right)+1=5 \times 6+1=31$,

$\therefore \frac{a^{2}}{5 a^{4}+a^{2}+5}=\frac{1}{31}$.

【解析】(1)根据题意可得 $a-\frac{1}{a}=2$, 再利用完全平方公式计算即可;

(2)根据倒数的定义和完全平方公式计算即可.

此题考查完全平方公式, 关键是根据完全平方公式进行变形解答.
解析：【答案】解: $(1)(2 a+1)(1-2 a)-(3-2 a)^{2}+9 a^{2}=14 a-71-4 a^{2}-(9-12 a+$ $\left.4 a^{2}\right)+9 a^{2}-14 a+7=0$,

整理得: $a^{2}-2 a-1=0$

$\therefore a-\frac{1}{a}=2$,
$\therefore a^{2}+\frac{1}{a^{2}}=\left(a-\frac{1}{a}\right)^{2}+2=4+2=6$;

(2)解: $\frac{a^{2}}{5 a^{4}+a^{2}+5}$ 的倒数为 $\frac{5 a^{4}+a^{2}+5}{a^{2}}$,

$\because \frac{5 a^{4}+a^{2}+5}{a^{2}}=5 a^{2}+\frac{5}{a^{2}}+1=5\left(a^{2}+\frac{1}{a^{2}}\right)+1=5 \times 6+1=31$,

$\therefore \frac{a^{2}}{5 a^{4}+a^{2}+5}=\frac{1}{31}$.

【解析】(1)根据题意可得 $a-\frac{1}{a}=2$, 再利用完全平方公式计算即可;

(2)根据倒数的定义和完全平方公式计算即可.

此题考查完全平方公式, 关键是根据完全平方公式进行变形解答.
题目（七年级 · 代数）：【知识回顾】

七年级学习代数式求值时, 遇到这样一类题 “代数式 $a x-y+6+3 x-5 y-1$ 的值与 $x$ 的取值无关, 求 $a$ 的值, , 通常的解题方法是: 把 $x 、 y$ 看作字母, $a$ 看作系数合并同类项, 因为代数式的值与 $x$ 的取值无关, 所以含 $x$ 项的系数为 0 , 即原式 $=(a+$ 3) $x-6 y+5$, 所以 $a+3=0$, 则 $a=-3$.

【理解应用】

(1)若关于 $x$ 的多项式 $(2 x-3) m+2 m^{2}-3 x$ 的值与 $x$ 的取值无关, 求 $m$ 值;

【能力提升】

(2)7张如图1的小长方形, 长为 $a$, 宽为 $b$, 按照图 2 方式不重叠地放在大长方形 $A B C D$内, 大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分), 设右上角的面积为 $S_{1}$, 左下角的面积为 $S_{2}$, 当 $\mathrm{AB}$ 的长变化时, $S_{1}-S_{2}$ 的值始终保持不变, 求 $a$ 与 $b$ 的等量关系.


图1


图2
选项：
答案：【答案】解: (1) $(2 x-3) m+2 m^{2}-3 x=2 m x-3 m+2 m^{2}-3 x=(2 m-3) x-$ $3 m+2 m^{2}$,

$\because$ 若关于 $x$ 的多项式 $(2 x-3) m+2 m^{2}-3 x$ 的值与 $x$ 的取值无关，

$\therefore 2 m-3=0$,

$\therefore m=\frac{3}{2}$

(2)设 $A B=x$, 由图可知 $S_{1}=a(x-3 b), S_{2}=2 b(x-2 a)$,

$\therefore S_{1}-S_{2}=a(x-3 b)-2 b(x-2 a)=(a-2 b) x+a b$,

$\because$ 当 $A B$ 的长变化时, $S_{1}-S_{2}$ 的值始终保持不变,

$\therefore S_{1}-S_{2}$ 取值与 $x$ 无关,

$$
\therefore a-2 b=0
$$

$\therefore a=2 b$.

【解析】本题考查了多项式运算, 解答本题的关键是理解题目中字母 $x$ 的取值无关的意

思.

(1)由题可知代数式的值与 $x$ 的取值无关, 所以含 $x$ 项的系数为 0 , 故将多项式整理为

$(2 m-3) x-3 m+2 m^{2}$, 令 $x$ 系数为 0 ,

即可求出 $m$.

(2)设 $A B=x$, 由图可知 $S_{1}=a(x-3 b), S_{2}=2 b(x-2 a)$, 即可得到 $S_{1}-S_{2}$ 关于 $x$ 的代数式, 根据取值与 $x$ 无关, 可得 $a=2 b$.
解析：【答案】解: (1) $(2 x-3) m+2 m^{2}-3 x=2 m x-3 m+2 m^{2}-3 x=(2 m-3) x-$ $3 m+2 m^{2}$,

$\because$ 若关于 $x$ 的多项式 $(2 x-3) m+2 m^{2}-3 x$ 的值与 $x$ 的取值无关，

$\therefore 2 m-3=0$,

$\therefore m=\frac{3}{2}$

(2)设 $A B=x$, 由图可知 $S_{1}=a(x-3 b), S_{2}=2 b(x-2 a)$,

$\therefore S_{1}-S_{2}=a(x-3 b)-2 b(x-2 a)=(a-2 b) x+a b$,

$\because$ 当 $A B$ 的长变化时, $S_{1}-S_{2}$ 的值始终保持不变,

$\therefore S_{1}-S_{2}$ 取值与 $x$ 无关,

$$
\therefore a-2 b=0
$$

$\therefore a=2 b$.

【解析】本题考查了多项式运算, 解答本题的关键是理解题目中字母 $x$ 的取值无关的意

思.

(1)由题可知代数式的值与 $x$ 的取值无关, 所以含 $x$ 项的系数为 0 , 故将多项式整理为

$(2 m-3) x-3 m+2 m^{2}$, 令 $x$ 系数为 0 ,

即可求出 $m$.

(2)设 $A B=x$, 由图可知 $S_{1}=a(x-3 b), S_{2}=2 b(x-2 a)$, 即可得到 $S_{1}-S_{2}$ 关于 $x$ 的代数式, 根据取值与 $x$ 无关, 可得 $a=2 b$.
题目（七年级 · 代数）：乘法公式的探究及应用:

(1)如图1所示, 阴影部分的面积是 $\qquad$ (写成平方差的形式)


图 2

图 1

(2)若将图1中的阴影部分剪下来, 拼成如图2所示的长方形, 此长方形的面积是 $\qquad$ (写成多项式相乘的形式).

(3)比较两图的阴影部分的面积, 可以得到乘法公式: . $\qquad$
(4)应用所得的公式计算: $2\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{4}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{8}}\right)+\frac{1}{2^{14}}$.
选项：
答案：【答案】 $a^{2}-b^{2}(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

【解析】解: (1) $a^{2}-b^{2}$;

(2) $(a-b)(a+b)$;

(3) $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$;

$$
\begin{aligned}
& (4) 2\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{4}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{8}}\right)+\frac{1}{2^{14}} \\
& =4\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{4}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{8}}\right)+\frac{1}{2^{14}} \\
& =4\left(1-\frac{1}{2^{16}}\right)+\frac{1}{2^{14}} \\
& =4-\frac{1}{2^{14}}+\frac{1}{2^{14}}
\end{aligned}
$$

$=4$.

(1)根据面积的和差，可得答案;

(2)根据矩形的面积公式，可得答案;

(3)根据图形割补法，面积不变，可得答案;

(4)根据平方差公式计算即可.

本题考查的是平方差公式的推导和运用, 灵活运用平方差公式、掌握数形结合思想是解题的关键.
解析：【答案】 $a^{2}-b^{2}(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

【解析】解: (1) $a^{2}-b^{2}$;

(2) $(a-b)(a+b)$;

(3) $(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$;

$$
\begin{aligned}
& (4) 2\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{4}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{8}}\right)+\frac{1}{2^{14}} \\
& =4\left(1-\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{4}}\right)\left(1+\frac{1}{2^{8}}\right)+\frac{1}{2^{14}} \\
& =4\left(1-\frac{1}{2^{16}}\right)+\frac{1}{2^{14}} \\
& =4-\frac{1}{2^{14}}+\frac{1}{2^{14}}
\end{aligned}
$$

$=4$.

(1)根据面积的和差，可得答案;

(2)根据矩形的面积公式，可得答案;

(3)根据图形割补法，面积不变，可得答案;

(4)根据平方差公式计算即可.

本题考查的是平方差公式的推导和运用, 灵活运用平方差公式、掌握数形结合思想是解题的关键.
题目（七年级 · 算术）：已知 $a=5, b=-\frac{1}{5}, n$ 为正整数, 求 $a^{2 n+2} \cdot b^{2 n} \cdot b^{4}$ 的值.
选项：
答案：【答案】解: $a^{2 n+2} \cdot b^{2 n} \cdot b^{4}$
$$
\begin{gathered}
=a^{2 n} \cdot a^{2} \cdot b^{2 n} \cdot b^{4} \\
=a^{2 n} \cdot b^{2 n} \cdot a^{2} \cdot b^{2} \cdot b^{2} \\
=(a b)^{2 n} \cdot(a b)^{2} \cdot b^{2} \\
=\left[5 \times\left(-\frac{1}{5}\right)\right]^{2 n} \times\left[5 \times\left(-\frac{1}{5}\right)\right]^{2} \times\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}
\end{gathered}
$$

$$
=\frac{1}{25} \text {. }
$$

【解析】本题考查了代数式求值, 同底数幂的乘法的逆应用, 利用了同底数幂的乘方,积的乘方. 根据同底数幂的乘法, 以及积的乘方的逆运算可将原式变形为 $(a b)^{2 n} \cdot(a b)^{2}$. $b^{2}$, 再代入 $a 、 b$ 的值计算即可.
解析：【答案】解: $a^{2 n+2} \cdot b^{2 n} \cdot b^{4}$
$$
\begin{gathered}
=a^{2 n} \cdot a^{2} \cdot b^{2 n} \cdot b^{4} \\
=a^{2 n} \cdot b^{2 n} \cdot a^{2} \cdot b^{2} \cdot b^{2} \\
=(a b)^{2 n} \cdot(a b)^{2} \cdot b^{2} \\
=\left[5 \times\left(-\frac{1}{5}\right)\right]^{2 n} \times\left[5 \times\left(-\frac{1}{5}\right)\right]^{2} \times\left(-\frac{1}{5}\right)^{2}
\end{gathered}
$$

$$
=\frac{1}{25} \text {. }
$$

【解析】本题考查了代数式求值, 同底数幂的乘法的逆应用, 利用了同底数幂的乘方,积的乘方. 根据同底数幂的乘法, 以及积的乘方的逆运算可将原式变形为 $(a b)^{2 n} \cdot(a b)^{2}$. $b^{2}$, 再代入 $a 、 b$ 的值计算即可.
题目（七年级 · 算术）：当 $a=0,1,2$ 时, 分别求分式 $\frac{2 a-1}{a^{2}+1}$ 的值.
选项：
答案：【答案】解: 当 $a=0$ 时, $\frac{2 a-1}{a^{2}+1}=\frac{2 \times 0-1}{0^{2}+1}=-1$;

当 $a=1$ 时, $\frac{2 a-1}{a^{2}+1}=\frac{2 \times 1-1}{1^{2}+1}=\frac{1}{2}$,

当 $a=2$ 时, $\frac{2 a-1}{a^{2}+1}=\frac{2 \times 2-1}{2^{2}+1}=\frac{3}{5}$.

【解析】根据分式求值的方法, 可得答案.

本题考查了分式的值, 把 $a$ 的值代入是解题关键.
解析：【答案】解: 当 $a=0$ 时, $\frac{2 a-1}{a^{2}+1}=\frac{2 \times 0-1}{0^{2}+1}=-1$;

当 $a=1$ 时, $\frac{2 a-1}{a^{2}+1}=\frac{2 \times 1-1}{1^{2}+1}=\frac{1}{2}$,

当 $a=2$ 时, $\frac{2 a-1}{a^{2}+1}=\frac{2 \times 2-1}{2^{2}+1}=\frac{3}{5}$.

【解析】根据分式求值的方法, 可得答案.

本题考查了分式的值, 把 $a$ 的值代入是解题关键.
题目（七年级 · 算术）：原来某工厂每天需用煤 $q(q>1)$ 吨. 若从现在开始, 该工厂每天节省1吨煤, 则 $p$ 吨煤可用多少天? 当 $p=10, q=3$ 时, $p$ 吨煤可用几天?
选项：
答案：【答案】解： $p$ 吨煤可用 $\frac{p}{q-1}$ 天，

当 $p=10, q=3$ 时, 原式 $=\frac{10}{3-1}=5$.

故 $p$ 吨煤可用 5 天.

【解析】根据 “使用天数=总煤量 $\div$ 平均每天用煤量” 列出代数式可求 $p$ 吨煤可用多少天;再把 $p=10, q=3$ 代入计算即可求得使用天数.

本题考查了列代数式, 能够从实际问题中整理出 $p$ 吨煤可用多少天的代数式是解答本题的关键, 难度不大.
解析：【答案】解： $p$ 吨煤可用 $\frac{p}{q-1}$ 天，

当 $p=10, q=3$ 时, 原式 $=\frac{10}{3-1}=5$.

故 $p$ 吨煤可用 5 天.

【解析】根据 “使用天数=总煤量 $\div$ 平均每天用煤量” 列出代数式可求 $p$ 吨煤可用多少天;再把 $p=10, q=3$ 代入计算即可求得使用天数.

本题考查了列代数式, 能够从实际问题中整理出 $p$ 吨煤可用多少天的代数式是解答本题的关键, 难度不大.
题目（七年级 · 算术）：一家工艺品厂按计件方式结算工资. 暑假里, 大学生小华去这家工艺品厂打工, 第一天得到工资 120 元，第二天小华比第一天多做了 10 件，得到工资 150 元.问小华第一天做了多少件?每件工资是多少?
选项：
答案：【答案】解：设小华第一天做了 $x$ 件,

由题意, 得 $\frac{120}{x}=\frac{150}{x+10}$,

解得 $x=40$.

经检验, $x=40$ 是原方程的根, 且符合题意.

$\frac{120}{40}=3$ (元).

答: 小华第一天做了40件, 每件工资是3元.

【解析】本题考查分式方程的应用, 解题的关键是正确找出题中的等量关系, 本题属于基础题型. 设小华第一天做了 $x$ 件, 第二天做了 $(x+10)$ 件, 根据题意列出方程即可求出答案.
解析：【答案】解：设小华第一天做了 $x$ 件,

由题意, 得 $\frac{120}{x}=\frac{150}{x+10}$,

解得 $x=40$.

经检验, $x=40$ 是原方程的根, 且符合题意.

$\frac{120}{40}=3$ (元).

答: 小华第一天做了40件, 每件工资是3元.

【解析】本题考查分式方程的应用, 解题的关键是正确找出题中的等量关系, 本题属于基础题型. 设小华第一天做了 $x$ 件, 第二天做了 $(x+10)$ 件, 根据题意列出方程即可求出答案.
题目（七年级 · 算术）：已知 $a=\frac{2020}{2021}, b=\frac{2021}{2022}$, 试不用分数化小数的方法比较 $a 、 b$ 的大小. 观察 $a 、 b$ 的特征, 以及你比较大小的过程, 直接写出你发现的一个一般结论.
选项：
答案：【答案】解: $\because a=\frac{2020}{2021}=1-\frac{1}{2021}$,

$b=\frac{2021}{2022}=1-\frac{1}{2022}, \frac{1}{2021}>\frac{1}{2022}$,

$\therefore a<b$.

$a 、 b$ 的特征是 $a 、 b$ 中的分母均比分子大 1.

一般结论: $\frac{n-1}{n}<\frac{n}{n+1}(n \neq 0$ 且 $n \neq-1)$ (答案不唯一).

【解析】略
解析：【答案】解: $\because a=\frac{2020}{2021}=1-\frac{1}{2021}$,

$b=\frac{2021}{2022}=1-\frac{1}{2022}, \frac{1}{2021}>\frac{1}{2022}$,

$\therefore a<b$.

$a 、 b$ 的特征是 $a 、 b$ 中的分母均比分子大 1.

一般结论: $\frac{n-1}{n}<\frac{n}{n+1}(n \neq 0$ 且 $n \neq-1)$ (答案不唯一).

【解析】略
题目（七年级 · 算术）：某书商去图书批发市场购买某本书, 第一次用 12000 元购书若干本, 并把该书按定价7元/本出售, 很快售完, 由于该书畅销, 书商又去批发市场采购该书, 第二次购书时, 每本书批发价已比第一次提高了 $20 \%$, 他用 15000 元所购书数量比第一次多了100本.

(1)求第一次购书的进价是多少元一本? 第二次购进多少本书?

(2)若第二次购进书后, 仍按原定价7元/本售出2000本时, 出现滞销, 书商便以定价的 $n$ 折售完剩余的书, 结果第二次共盈利 $100 m$ 元 ( $n$ 、 $m$ 为正整数), 求相应 $n 、 m$值.
选项：
答案：解【答案】解：（1)设第一次购书的进价为 $x$ 元/本,

根据题意得: $\frac{12000}{x}+100=\frac{15000}{1.2 x}$,

解得: $x=5$,

经检验 $x=5$ 是分式方程的解, 且符合题意,

$\therefore 15000 \div(5 \times 1.2)=2500$ (本),

则第一次购书的进价为 5 元/本，且第二次买了 2500 本;

(2)第二次购书的进价为 $5 \times 1.2=6$ (元),

根据题意得: $2000 \times(7-6)+(2500-2000) \times\left(\frac{7 n}{10}-6\right)=100 m$,

整理得: $7 n=2 m+20$, 即 $2 m=7 n-20$,

$\therefore m=\frac{7 n-20}{2}$,

$\because m 、 n$ 为正整数, 且 $1 \leq n \leq 9$,

$\therefore$ 当 $n=4$ 时, $m=4$; 当 $n=6$ 时, $m=11$; 当 $n=8$ 时, $m=18$.

【解析】(1)设第一次购书的进价为 $x$ 元/本, 根据 “第二次购书时, 每本书批发价已比第一次提高了 $20 \%$, 他用 15000 元所购书数量比第一次多了 100本” 列出方程, 求出方程的解即可得到结果;

(2)根据题意列出关于 $m$ 与 $n$ 的方程, 由 $m$ 与 $n$ 为正整数, 且 $n$ 的范围确定出 $m$ 与 $n$ 的值即可.

此题考查了分式方程的应用, 以及二元一次方程的应用, 找出题中的等量关系是解本题的关键.
解析：解【答案】解：（1)设第一次购书的进价为 $x$ 元/本,

根据题意得: $\frac{12000}{x}+100=\frac{15000}{1.2 x}$,

解得: $x=5$,

经检验 $x=5$ 是分式方程的解, 且符合题意,

$\therefore 15000 \div(5 \times 1.2)=2500$ (本),

则第一次购书的进价为 5 元/本，且第二次买了 2500 本;

(2)第二次购书的进价为 $5 \times 1.2=6$ (元),

根据题意得: $2000 \times(7-6)+(2500-2000) \times\left(\frac{7 n}{10}-6\right)=100 m$,

整理得: $7 n=2 m+20$, 即 $2 m=7 n-20$,

$\therefore m=\frac{7 n-20}{2}$,

$\because m 、 n$ 为正整数, 且 $1 \leq n \leq 9$,

$\therefore$ 当 $n=4$ 时, $m=4$; 当 $n=6$ 时, $m=11$; 当 $n=8$ 时, $m=18$.

【解析】(1)设第一次购书的进价为 $x$ 元/本, 根据 “第二次购书时, 每本书批发价已比第一次提高了 $20 \%$, 他用 15000 元所购书数量比第一次多了 100本” 列出方程, 求出方程的解即可得到结果;

(2)根据题意列出关于 $m$ 与 $n$ 的方程, 由 $m$ 与 $n$ 为正整数, 且 $n$ 的范围确定出 $m$ 与 $n$ 的值即可.

此题考查了分式方程的应用, 以及二元一次方程的应用, 找出题中的等量关系是解本题的关键.
题目（七年级 · 算术）：为了创建全国卫生城市, 某社区要清理一个卫生死角内的垃圾, 租用甲、乙两车运送, 两车各运12趟可完成, 需支付运费 4800 元. 已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾, 乙车所运趟数是甲车的 2 倍, 且乙车每趟运费比甲车少 200 元.

(1)求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟?

(2)若单独租用一台车, 租用哪台车合算?
选项：
答案：【答案】解：(1)设甲车单独运完此堆垃圾需运 $x$ 趟, 则乙车单独运完此堆垃圾需运 $2 x$趟, 根据题意得出:
$12\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2 x}\right)=1$,

解得: $x=18$,

经检验得出: $x=18$ 是原方程的解,则乙车单独运完此堆垃圾需运: $2 x=36$,

答: 甲车单独运完需18趟, 乙车单独运完需36趟;

(2)设甲车每一趟的运费是 $a$ 元, 由题意得:

$12 a+12(a-200)=4800$,

解得: $a=300$,

则乙车每一趟的费用是: $300-200=100$ (元),

单独租用甲车总费用是: $18 \times 300=5400$ (元),

单独租用乙车总费用是: $36 \times 100=3600$ (元),

$3600<5400$,

故单独租用一台车, 租用乙车合算.

答: 单独租用一台车, 租用乙车合算.

【解析】(1)假设甲车单独运完此堆垃圾需运 $x$ 趟, 则乙车单独运完此堆垃圾需运 $2 x$ 趟,根据工作总量 $=$ 工作时间 $\times$ 工作效率建立方程求出其解即可;

(2)分别表示出甲、乙两车单独运每一趟所需费用, 再根据关键语句 “两车各运12趟可完成, 需支付运费 4800 元, 可得方程, 再解出方程, 再分别计算出利用甲或乙所需费用进行比较即可.

此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用, 关键是正确理解题意, 找出题目中的等量关系, 列出方程.
解析：【答案】解：(1)设甲车单独运完此堆垃圾需运 $x$ 趟, 则乙车单独运完此堆垃圾需运 $2 x$趟, 根据题意得出:
$12\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{2 x}\right)=1$,

解得: $x=18$,

经检验得出: $x=18$ 是原方程的解,则乙车单独运完此堆垃圾需运: $2 x=36$,

答: 甲车单独运完需18趟, 乙车单独运完需36趟;

(2)设甲车每一趟的运费是 $a$ 元, 由题意得:

$12 a+12(a-200)=4800$,

解得: $a=300$,

则乙车每一趟的费用是: $300-200=100$ (元),

单独租用甲车总费用是: $18 \times 300=5400$ (元),

单独租用乙车总费用是: $36 \times 100=3600$ (元),

$3600<5400$,

故单独租用一台车, 租用乙车合算.

答: 单独租用一台车, 租用乙车合算.

【解析】(1)假设甲车单独运完此堆垃圾需运 $x$ 趟, 则乙车单独运完此堆垃圾需运 $2 x$ 趟,根据工作总量 $=$ 工作时间 $\times$ 工作效率建立方程求出其解即可;

(2)分别表示出甲、乙两车单独运每一趟所需费用, 再根据关键语句 “两车各运12趟可完成, 需支付运费 4800 元, 可得方程, 再解出方程, 再分别计算出利用甲或乙所需费用进行比较即可.

此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用, 关键是正确理解题意, 找出题目中的等量关系, 列出方程.