eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高二 · 算术）：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=-1, a_{n+1}=a_{n}-3$, 则 $a_{8}$ 等于 ( )
选项：
A. -7
B. -8
C. -22
D. 27
答案：C
解析：数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 中, $\mathrm{a}_{1}=-1, \mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}=\mathrm{a}_{\mathrm{n}}-3, \therefore \mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}-\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=-3$,

$\therefore \mathrm{a}_{2}-\mathrm{a}_{1}=-3, \mathrm{a}_{3}-\mathrm{a}_{2}=-3, \ldots \mathrm{a}_{8}-\mathrm{a}_{7}=-3$, 进行叠加: $\mathrm{a}_{8}-\mathrm{a}_{1}=-3 \times 7$,

$\therefore \mathrm{a}_{8}=-21+(-1)=-22$, 故选 C.
题目（高二 · 算术）：已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{3}=9, a_{9}=3$, 则公差 $d$ 的值为
选项：
A. $\frac{1}{2}$
B. 1
C. $-\frac{1}{2}$
D. -1
答案：D
解析：等差数列 $\left\{\mathrm{a}_{n}\right\}$ 中, $\mathrm{a}_{3}=9, \mathrm{a}_{9}=3$,

由等差数列的通项公式, 可得 $\left\{\begin{array}{c}a_{1}+(3-1)=0 \\ a_{1}+(9-1) d=3\end{array}\right.$

解得 $\left\{\begin{array}{c}a=11 \\ d=-1\end{array}\right.$, 即等差数列的公差 $d=-1$. 故选: $\mathrm{D}$.
题目（高二 · 算术）：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n}+a_{n+2}=2 a_{n+1}\left(n \in N^{*}\right)$, 且 $a_{1}=2, a_{2}=4$, 则 $\mathbf{a}_{9}=(\quad)$
选项：
A. 18
B. 20
C. $\mathbf{2}^{10}$
D. $\mathbf{2}^{9}$
答案：A
解析：$\because$ 数列 $\left\{\mathrm{a}_{n}\right\}$ 满足 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}+\mathrm{a}_{\mathrm{n}+2}=2 \mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}\left(\mathrm{n} \in \mathrm{N}^{*}\right) \therefore$ 数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是等差数列, $\mathrm{a}_{1}=2, \mathrm{a}_{2}=4, \therefore$ 公差 $\mathrm{d}=2$, 则 $a_{9}=a_{1}+8 d=2+8 \times 2=2+16=18$. 故选 A.
题目（高二 · 算术）：在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, 已知 $a_{1}+a_{4}+a_{7}=39, a_{2}+a_{5+} a_{8}=33$, 则 $a_{3}+a_{6+} a_{9}=(\quad)$
选项：
A. 30
B. 27
C. 24
D. 21
答案：B
解析：设等差数列的公差为 $\mathrm{d}$, 则

$\because$ 等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}+a_{4}+a_{7}=39, a_{2}+a_{5}+a_{8}=33$,

$\therefore$ 两式相减可得 $3 \mathrm{~d}=-6 . \therefore \mathrm{d}=-2$

$\therefore \mathrm{a}_{3}+\mathrm{a}_{6}+\mathrm{a}_{9}=\mathrm{a}_{2}+\mathrm{a}_{5}+\mathrm{a}_{8}+3 \mathrm{~d}=\mathrm{a}_{2}+\mathrm{a}_{5}+\mathrm{a}_{8}-6=33-6=27$ 故选 B.
题目（高二 · 算术）：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}-a_{n}=2\left(n \in N^{*}\right)$, 且 $a_{2}+a_{40}=680$, 则 $a_{22}=(\quad)$
选项：
A. 338
B. 340
C. 342
D. 344
答案：C
解析：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{n+1}-a_{n}=2\left(n \in N^{*}\right)$, 且 $a_{2}+a_{40}=680$,
$\therefore$ 数列 $\left\{\mathrm{a}_{n}\right\}$ 是公差为 $\mathrm{d}=2$ 的等差数列, $\therefore \mathrm{a}_{3}+\mathrm{a}_{40}=\mathrm{a}_{1}+2+\mathrm{a}_{1}+39 \times 2=680$,

解得 $\mathrm{a}_{1}=300, \therefore \mathrm{a}_{22}=299+21 \times 2=342$. 故选 $: C$.
题目（高二 · 算术）：已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $3 a_{n+1}+a_{n}=0, a_{2}=-\frac{4}{3}$, 则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 10 项和等于 ( )
选项：
A. $-6\left(1-3^{-10}\right)$
B. $\frac{1}{9}\left(1-3^{-10}\right)$
C. $3\left(1-3^{-10}\right)$
D. $3\left(1+3^{-10}\right)$
答案：C
解析：$: 3 \mathrm{a}_{\mathrm{n}+1}+\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=0 \quad \therefore \frac{a_{\mathrm{n}+1}}{a_{n}}=-\frac{1}{3} \quad \therefore$ 数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 是以 $-\frac{1}{3}$ 为公比的等比数列 $\because$ $a_{2}=-\frac{4}{3} \quad \therefore \mathrm{a}_{1}=4, \quad \mathrm{~S}_{10}=\frac{4\left[1-\left(-\frac{1}{3}\right)^{10}\right]}{1+\frac{1}{3}}=3\left(1-3^{-10}\right) \quad$ 故选: $\mathrm{C}$.
题目（高二 · 算术）：已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列, 若 $a_{2}=2, a_{10}=8$, 则 $a_{6}=(\quad)$
选项：
A. $\pm 4$
B. -4
C. 4
D. 5
答案：C
解析：数列 $\left\{\mathrm{a}_{n}\right\}$ 为等比数列, $\mathrm{a}_{2}=2, \mathrm{a}_{10}=8, \therefore$ 解得 $\mathrm{q}^{8}=4$, $\mathrm{a}_{6}=\mathrm{a}_{2} \mathrm{q}^{4}=2 \times \sqrt{4}=4$. 故选: $\mathrm{C}$.
题目（高二 · 算术）：各项均为正数的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 前 $n$ 项和为 $S_{n}, S_{3}=14, a_{3}=8$, 则 $a_{6}=()$
选项：
A. 16
B. 32
C. 64
D. 128
答案：C
解析：$: \because \mathrm{S}_{3}=14, \mathrm{a}_{3}=8, \therefore\left\{\begin{array}{l}\frac{a_{1}\left(1-q^{3}\right)}{1-q}=14 \\ a_{1} q^{2}=8\end{array}\right.$, 解得 $\mathrm{a}_{1}=2, \mathrm{q}=2, \therefore \mathrm{a}_{6}=\mathrm{a}_{1} \mathrm{q}^{5}=2 \times 32=64$,

故选:C
题目（高二 · 算术）：等比数列前 $n$ 项和为 54 , 前 $2 n$ 项和为 60 , 则前 $3 n$ 项和为 $(\quad)$
选项：
A. 54
B. 64
C. $66 \frac{2}{3}$
D. $60 \frac{2}{3}$
答案：D
解析：$:$ 等比数列前 $\mathrm{n}$ 项和为 54 , 前 $2 \mathrm{n}$ 项和为 60 , $\therefore$ 第二个 $\mathrm{n}$ 项的和是 $6, \therefore$ 第三个 $\mathrm{n}$项的和是 $\frac{36}{54}=\frac{2}{3}$, 故前 $3 \mathrm{n}$ 项和为 $60 \frac{2}{3}$, 故选 D
题目（高二 · 算术）：等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的各项为正, 公比 $q$ 满足 $q^{2}=4$, 则 $\frac{a_{3}+a_{4}}{a_{5}+a_{6}}=(\quad)$
选项：
A. $\frac{1}{4}$
B. 2
C. $\pm \frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{2}$
答案：A
解析：等比数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的各项为正, 公比 $\mathrm{q}$ 满足 $\mathrm{q}^{2}=4$, 则 $\frac{a_{3}+a_{4}}{a_{5}+a_{6}}=\frac{a_{3}+a_{4}}{q^{2}\left(a_{3}+a_{4}\right)}=\frac{1}{4}$, 故选: A.
题目（高二 · 算术）：已知一个等比数列首项为 1 , 项数是偶数, 其奇数项之和为 85 , 偶数项之和为 170 , 则这个数列的项数为 ( )
选项：
A. 2
B. 4
C. 8
D. 16
答案：C
解析：设公比是 $q$, 由题意得 $a_{1}+a_{3}+\ldots+a_{n-1}=85, a_{2}+a_{4}+\ldots+a_{n}=170$, $a_{1} q+a_{3} q+\ldots+a_{n-1} q=170, \quad \therefore\left(a_{1}+a_{3}+\ldots+a_{n-1}\right) q=170$, 解得 $q=2, \quad a_{n}=2^{n-1}$, $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}=\frac{a_{1}\left(1-q^{\mathrm{n}}\right)}{1-q}=\frac{a_{1}-a_{n} q}{1-q},(\mathrm{q} \neq 1) \quad 170+85=2^{\mathrm{n}}-1$, 解得 $\mathrm{n}=8$. 故选 $: \mathrm{C}$.
题目（高二 · 算术）：已知 $\left\{a_{n}\right\}$ 是首项为 1 的等比数列, $S_{n}$ 是 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, 且 $9 S_{3}=S_{6}$, 则数列 $\left\{\frac{1}{a_{n}}\right\}$ 的前 5 项和为 ( )
选项：
A. $\frac{85}{32}$
B. $\frac{31}{16}$
C. $\frac{15}{8}$
D. $\frac{85}{2}$
答案：B
解析：等比数列前 $\mathrm{n}$ 项和公式 $\mathrm{Sn}=\frac{a_{1}\left(1-q^{n}\right)}{1-q}$, 而 $9 \mathrm{~S}_{3}=\mathrm{S}_{6}$, 可知 $\mathrm{q}=2$,

所以 $\mathrm{a}_{1}=1, \mathrm{a}_{2}=2, \mathrm{a}_{3}=4 \ldots$ 其倒数列前五项为 $1, \frac{1}{2} 、 \frac{1}{4} 、 \frac{1}{8} 、 \frac{1}{16}$,

故前 5 项和为 $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{31}{16}$, 故选: B.
题目（高二 · 算术）：数列 $1, \frac{2}{3}, \frac{3}{5}, \frac{4}{7}, \frac{5}{9}, \cdots$ 的一个通项公式可能是 ( )
选项：
A. $\frac{n}{2 n+1}$
B. $\frac{n}{2 n-1}$
C. $\frac{n}{2 n-3}$
D. $\frac{n}{2 n+3}$
答案：B
解析：数列 $1, \frac{2}{3}, \frac{3}{5}, \frac{4}{7}, \frac{5}{9}, \ldots$ 中, 分子时连续整数, 分母时连续奇数,故数列 $1, \frac{2}{3}, \frac{3}{5}, \frac{4}{7}, \frac{5}{9}, \ldots$ 的一个通项公式可能是 $\frac{n}{2 n-1}$.
题目（高二 · 算术）：已知数列的通项公式 $a_{n}=\left\{\begin{array}{l}3 n+1, n \text { 为奇数 } \\ 2 n-2, n \text { 为偶数 }\end{array}\right.$, 则 $a_{2} a_{3}$ 等于 ()
选项：
A. 70
B. 28
C. 20
D. 8
答案：C
解析：当 $n=2$ 时, $a_{2}=2 \times 2-2=2$, 当 $n=3$ 时, $a_{3}=3 \times 3+1=10$

故 $\mathrm{a}_{2} \mathrm{a}_{3}=2 \times 10=20$. 故选 C.
题目（高二 · 算术）：已知数列 $\left\{a_{n}\right)$ 中, $a_{1}=2, a_{n}=1-\frac{1}{a_{n-1}}(n \geq 2)$, 则 $a_{2017}$ 等于 ( )
选项：
A. $-\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{2}$
C. -1
D. 2
答案：D
解析：数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right)$ 中, $\mathrm{a}_{1}=2, \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=1-\frac{1}{a_{n-1}}(\mathrm{n} \geq 2)$,

$\therefore \mathrm{a}_{2}=1-\frac{1}{a_{1}}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}, \quad \mathrm{a}_{3}=1-\frac{1}{a_{2}}=1-2=-1, \quad \mathrm{a}_{4}=1-\frac{1}{a_{3}}=1-(-1)=2, \ldots, \quad \therefore \mathrm{a}_{\mathrm{n}+3}=\mathrm{a}_{\mathrm{n}}$,

$\therefore \mathrm{a}_{2017}=\mathrm{a}_{3 \times 672+1}=\mathrm{a}_{1}=2$. 故选: $\mathrm{D}$.
题目（高二 · 算术）：已知数列 $\left\{a_{n}\right\}, a_{1}=1, a_{n+1}=\frac{2 a_{n}}{a_{n}+2}$, 则 $a_{10}$ 的值为 ( )
选项：
A. 5
B. $\frac{1}{5}$
C. $\frac{11}{2}$
D. $\frac{2}{11}$
答案：D
解析：$: \because$ 数列 $\left\{\mathrm{a}_{n}\right\}, \mathrm{a}_{1}=1, a_{n+1}=\frac{2 a_{n}}{a_{n}+2}, \therefore a_{2}=\frac{2 \times 1}{1+3}=\frac{2}{3}, a_{3}=\frac{2 \times \frac{2}{3}}{\frac{2}{3}+2}=\frac{2}{4}$, $a_{4}=\frac{2 \times \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+2}=\frac{2}{5}$, 由此猜想 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\frac{2}{n+1}$. 故选: D.
题目（高二 · 算术）：已知 $a_{n+1}-a_{n}-3=0$, 则数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是 ( )
选项：
A. 递增数列
B. 递减数列
C. 常数项
D. 不能确定
答案：A
题目（高二 · 算术）：数列 $1,3,6,10,15, \cdots$ 的递推公式是( )
选项：
A. $a_{n+1}=a_{n}+n, n \in \mathbf{N}^{*}$

B. $a_{n}=a_{n-1}+n, n \in \mathbf{N}^{*}, n \geqslant 2$

C. $a_{n+1}=a_{n}+(n+1), n \in \mathbf{N}^{*}, n \geqslant 2$

D. $a_{n}=a_{n-1}+(n-1), n \in \mathbf{N}^{*}, n \geqslant 2$
答案：B
题目（高二 · 算术）：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=1$, 对所有的 $n \geqslant 2$, 都有 $a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdots a_{n}=n^{2}$, 则: $a_{3}+a_{5}$ 等于 ( )
选项：
A. $\frac{25}{9}$\nB. $\frac{25}{16}$\nC. $\frac{61}{16}$\nD. $\frac{31}{15}$\n\n
答案：C
解析：解析 $a_{1} a_{2} a_{3}=3^{2}, a_{1} a_{2}=2^{2}$,\n\n$a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}=5^{2}, a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}=4^{2}$,\n\n则 $a_{3}=\frac{3^{2}}{2^{2}}=\frac{9}{4}, a_{5}=\frac{5^{2}}{4^{2}}=\frac{25}{16}$.\n\n故 $a_{3}+a_{5}=\frac{61}{16}$.
题目（高二 · 算术）：已知 $a_{n}=\frac{n-\sqrt{98}}{n-\sqrt{99}}$, 则这个数列的前 30 项中最大项和最小项分别是 ( )
选项：
A. $a_{1}, a_{30}$
B. $a_{1}, a_{9}$
C. $a_{10}, a_{9}$
D. $a_{10}, a_{30}$
答案：C
解析：$\because a_{n}=\frac{n-\sqrt{99}+(\sqrt{99}-\sqrt{98})}{n-\sqrt{99}}$ $=\frac{\sqrt{99}-\sqrt{98}}{n-\sqrt{99}}+1$

$\therefore$ 点 $\left(n, a_{n}\right)$ 在函数 $y=\frac{\sqrt{99}-\sqrt{98}}{x-\sqrt{99}}+1$ 的图象上,在直角坐标系中作出函数 $y=\frac{\sqrt{99}-\sqrt{98}}{x-\sqrt{99}}+1$ 的图象,



由图象易知

当 $x \in(0, \sqrt{99})$ 时, 函数单调递减.

$\therefore a_{9}<a_{8}<a_{7}<\cdots<a_{1}<1$,

当 $x \in(\sqrt{99},+\infty)$ 时, 函数单调递减,

$\therefore a_{10}>a_{11}>\cdots>a_{30}>1$.

所以, 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 30 项中最大的项是 $a_{10}$, 最小的项是 $a_{9}$.
题目（高二 · 算术）：已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式 $a_{n}=3-2 n$, 则它的公差 $d$ 为 ( )
选项：
A. 2
B. 3
C. -2
D. -3
答案：C
题目（高二 · 算术）：一个等差数列的首项为 $a_{1}=1$, 末项 $a_{n}=41(n \geqslant 3)$ 且公差为整数, 那么项数 $n$ 的取值个数是( )
选项：
A. 6
    B. 7
    C. 8
    D. 不确定
答案：B
解析：由 $a_{n}=a_{1}+(n-1) d$, 得 $41=1+(n-1) d$,

$d=\frac{40}{n-1}$ 为整数, 且 $n \geqslant 3$.

则 $n=3,5,6,9,11,21,41$ 共 7 个.
题目（高二 · 算术）：在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=2,2 a_{n+1}=2 a_{n}+1\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$, 则 $a_{101}$ 的值为 $(\quad)$
选项：
A. 49
B. 50
C. 51
D. 52
答案：D
题目（高二 · 算术）：一个等差数列的前 4 项是 $a, x, b, 2 x$, 则 $\frac{a}{b}$ 等于 ( )
选项：
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{2}{3}$
答案：C
解析：解析 $\left\{\begin{array}{l}2 x=a+b, \\ 2 b=x+2 x,\end{array} \quad \therefore a=\frac{x}{2}, \quad b=\frac{3}{2} x\right.$.

$\therefore \frac{a}{b}=\frac{1}{3}$.
题目（高二 · 算术）：设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是递增等差数列, 前三项的和为 12 , 前三项的积为 48 , 则它的首项是 ( )
选项：
A. 1
B. 2
C. 4
D. 6
答案：B
解析：解析 设前三项分别为 $a-d, a, a+d$, 则 $a-d+a+a+d=12$ 且 $a(a-d)(a+d)=48$,解得 $a=4$ 且 $d= \pm 2$, 又 $\left\{a_{n}\right\}$ 递增, $\therefore d>0$, 即 $d=2, \therefore a_{1}=2$.
题目（高二 · 算术）：等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差 $d<0$, 且 $a_{2} \cdot a_{4}=12, a_{2}+a_{4}=8$, 则数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的通项公式是 $(\quad)$
选项：
A. $a_{n}=2 n-2\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$
B. $a_{n}=2 n+4\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$
C. $a_{n}=-2 n+12\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$
D. $a_{n}=-2 n+10\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$
答案：D
解析：由 $\left\{\begin{array}{l}a_{2} \cdot a_{4}=12, \\ a_{2}+a_{4}=8, \\ d<0,\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a_{2}=6, \\ a_{4}=2,\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a_{1}=8, \\ d=-2,\end{array}\right.\right.\right.$

所以 $a_{n}=a_{1}+(n-1) d$, 即 $a_{n}=8+(n-1) \times(-2)$,得 $a_{n}=-2 n+10$.
题目（高二 · 算术）：在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, 若 $a_{2}+a_{4}+a_{6}+a_{8}+a_{10}=80$, 则 $a_{7}-\frac{1}{2} a_{8}$ 的值为 $(\quad)$
选项：
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
答案：C
解析：解析 由 $a_{2}+a_{4}+a_{6}+a_{8}+a_{10}=5 a_{6}=80$,

$\therefore a_{6}=16, \quad \therefore a_{7}-\frac{1}{2} a_{8}=\frac{1}{2}\left(2 a_{7}-a_{8}\right)$

$=\frac{1}{2}\left(a_{6}+a_{8}-a_{8}\right)=\frac{1}{2} a_{6}=8$.
题目（高二 · 算术）：在 3 与 27 之间插入 7 个数, 使这 9 个数成等差数列, 则插入这 7 个数中的第 4 个数值为 (
选项：
A. 18
    B. 9
    C. 12
    D. 15
答案：D
解析：解析 设这 7 个数分别为 $a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{7}$,

公差为 $d$, 则 $27=3+8 d, d=3$.

故 $a_{4}=3+4 \times 3=15$.
题目（高二 · 算术）：已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公差为 $d(d \neq 0)$, 且 $a_{3}+a_{6}+a_{10}+a_{13}=32$, 若 $a_{m}=8$, 则 $m$ 为 $(\quad)$
选项：
A. 12
B. 8
C. 6
D. 4
答案：B
解析：解析 由等差数列性质 $a_{3}+a_{6}+a_{10}+a_{13}=\left(a_{3}+a_{13}\right)+\left(a_{6}+a_{10}\right)=2 a_{8}+2 a_{8}=4 a_{8}=32$,

$\therefore a_{8}=8$, 又 $d \neq 0$,

$\therefore m=8$.
题目（高二 · 算术）：如果等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{3}+a_{4}+a_{5}=12$, 那么 $a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{7}$ 等于 ( )
选项：
A. 14
B. 21
C. 28
D. 35
答案：C
解析：解析 $\because a_{3}+a_{4}+a_{5}=3 a_{4}=12$,

$\therefore a_{4}=4 . \therefore a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{7}=\left(a_{1}+a_{7}\right)+\left(a_{2}+a_{6}\right)+\left(a_{3}+a_{5}\right)+a_{4}=7 a_{4}=28$.
题目（高二 · 算术）：设公差为 -2 的等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$, 如果 $a_{1}+a_{4}+a_{7}+\cdots+a_{97}=50$, 那么 $a_{3}+a_{6}+a_{9}+\cdots$ $+a_{99}$ 等于 $(\quad)$
选项：
A. -182
B. -78
C. -148
D. -82
答案：D
解析：解析 $a_{3}+a_{6}+a_{9}+\cdots+a_{99}$

$=\left(a_{1}+2 d\right)+\left(a_{4}+2 d\right)+\left(a_{7}+2 d\right)+\cdots+\left(a_{97}+2 d\right)$

$=\left(a_{1}+a_{4}+\cdots+a_{97}\right)+2 d \times 33$

$=50+2 \times(-2) \times 33$

$=-82$.
题目（高二 · 算术）：若数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列, $a_{p}=q, a_{q}=p(p \neq q)$, 则 $a_{p+q}$ 为 ( )
选项：
A. $p+q$
B. 0
C. $-(p+q)$
D. $\frac{p+q}{2}$
答案：B
解析：解析 $\because d=\frac{a_{p}-a_{q}}{p-q}=\frac{q-p}{p-q}=-1$,

$\therefore a_{p+q}=a_{p}+q d=q+q \times(-1)=0$.
题目（高二 · 算术）：设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 若 $a_{2}+S_{3}=-4, a_{4}=3$, 则公差为 ( )
选项：
A. -1
B. 1
C. 2
D. 3
答案：C
解析：设等差数列 $\left\{\mathrm{a}_{\mathrm{n}}\right\}$ 的公差为 $\mathrm{d}$, 由 $\mathrm{a}_{2}+\mathrm{S}_{3}=-4, \mathrm{a}_{4}=3$, 可得 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}+d+3 a_{1}+\frac{3 \times 2}{2} d=-4 \\ a_{1}+3 d=3\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}=-3 \\ d=2\end{array}\right.$. 故选: C.
题目（高二 · 算术）：《张丘建算经》中女子织布问题为: 某女子善于织布, 一天比一天织得快, 且从第 2 天开始, 每天比前一天多织相同量的布, 已知第一天织 5 尺布, 一月(按 30 天计)共织 390 尺布, 则从第 2 天起每天比前一天多织( )尺布.
选项：
A. $\frac{16}{31}$
B. $\frac{16}{29}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{8}{15}$
答案：B
解析：由题可知, 女子每天织布数目是等差数列, 首项是 5 , 公差为 $d$, 前 30 项和为 390 . 根据等差数列前 $\mathrm{n}$ 项和公式, 有 $390=30 \times 5+\frac{30 \times 29}{2} d$, 解得 $\mathrm{d}=\frac{16}{29}$. 故选 $\mathrm{B}$
题目（高二 · 算术）：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $3+a_{n}=a_{n+1}(n \in N+)$ 且 $a_{2}+a_{4}+a_{6}=9$, 则 $\log _{\frac{1}{6}}\left(a_{5}+a_{7}+a_{9}\right)=$
选项：
A. -2
B. $-\frac{1}{2}$
C. 2
D. $\frac{1}{2}$
答案：A
解析：$: 3+a_{n}=a_{n+1} \quad \therefore a_{n+1}-a_{n}=3 \quad \therefore$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是以 3 为公差的等差数列, 由等差数列的性质可得, $a_{2}+a_{4}+a_{6}=3 a_{4}=9 \quad \therefore a_{4}=3, a_{7}=a_{4}+3 d=12$ $\therefore \log _{\frac{1}{1}}\left(a_{5}+a_{7}+a_{9}\right)=\log _{\frac{1}{6}} 3 a_{7}=\log _{\frac{1}{6}} 36=-2 \quad$ 故选 $\mathrm{A}$
题目（高二 · 算术）：在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, 若 $a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}=45$, 那么 $a_{5}$ 等于 (
选项：
A. 4
B. 5
C. 9
D. 18
答案：C
解析：$: a_{3}+a_{4}+a_{5}+a_{6}+a_{7}=45, \therefore 5 a_{5}=45$, 那么 $a_{5}=9$. 故选:C.
题目（高二 · 算术）：已知 $S_{n}$ 为等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, $S_{7}=28, S_{11}=66$, 则 $S_{9}$ 的值为
选项：
A. 47
B. 45
C. 38
D. 54
答案：B
解析：设公差为 $\mathrm{d}$, 由 $\mathrm{S}_{7}=28, \mathrm{~S}_{11}=66$ 得, $\left\{\begin{array}{l}7 a_{1}+\frac{7 \times 6}{2} d=28 \\ 11 a_{1}+\frac{11 \times 10}{2} d=66\end{array}\right.$, 即 $\left\{\begin{array}{c}a_{1}+3 d=4 \\ a_{1}+5 d=6\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{c}a_{1}=1 \\ d=1\end{array}\right.$,所以 $\mathrm{S}_{9}=9 \times 1+\frac{9 \times 8}{2} \times 1=45$. 故选 B.
题目（高二 · 算术）：在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, 已知 $a_{5}+a_{10}=12$, 则 $3 a_{7}+a_{9}$ 等于 ( )
选项：
A. 30
B. 24
C. 18
D. 12
答案：B
解析：等差数列 $\left\{\mathrm{a}_{n}\right\}$ 中, $\mathrm{a}_{5}+\mathrm{a}_{10}=12, \therefore 2 \mathrm{a}_{1}+13 \mathrm{~d}=12$,

$\therefore 3 a_{7}+a_{9}=4 a_{1}+26 d=2\left(2 a_{1}+13 d\right)=24$. 故选 $: B$.
题目（高二 · 算术）：设 $S_{n}$ 是等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, 已知 $a_{2}=3, a_{6}=11$, 则 $S_{7}$ 等于 $(\quad)$
选项：
A. 13
B. 35
C. 49
D. 63
答案：C
解析：解析 $S_{7}=\frac{7\left(a_{1}+a_{7}\right)}{2}=\frac{7\left(a_{2}+a_{6}\right)}{2}=49$.
题目（高二 · 算术）：已知两个等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 与 $\left\{b_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $A_{n}$ 和 $B_{n}$, 且 $\frac{A_{n}}{B_{n}}=\frac{7 n+45}{n+3}$, 则使得 $\frac{a_{n}}{b_{n}}$为整数的正整数 $n$ 的个数是 $(\quad)$
选项：
A. 2
    B. 3
    C. 4
    D. 5
答案：D
解析：解析 $\frac{a_{n}}{b_{n}}=\frac{A_{2 n-1}}{B_{2 n-1}}=\frac{14 n+38}{2 n+2}=\frac{7 n+19}{n+1}$

$=\frac{7(n+1)+12}{n+1}=7+\frac{12}{n+1}$,

$\therefore n=1,2,3,5,11$.
题目（高二 · 算术）：等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $S_{10}=4 S_{5}$, 则 $\frac{a_{1}}{d}$ 等于 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{1}{2}$
B. 2
C. $\frac{1}{4}$
D. 4
答案：A
解析：解析 由题意得:

$10 a_{1}+\frac{1}{2} \times 10 \times 9 d=4\left(5 a_{1}+\frac{1}{2} \times 5 \times 4 d\right)$,

$\therefore 10 a_{1}+45 d=20 a_{1}+40 d$,

$\therefore 10 a_{1}=5 d, \quad \therefore \frac{a_{1}}{d}=\frac{1}{2}$.
题目（高二 · 算术）：已知等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{3}^{3}+a_{8}^{2}+2 a_{3} a_{8}=9$, 且 $a_{n}<0$, 则 $S_{10}$ 为( )
选项：
A. -9
B. -11
C. -13
D. -15
答案：D
解析：解析 由 $a_{3}^{2}+a_{8}^{2}+2 a_{3} a_{8}=9$ 得

$\left(a_{3}+a_{8}\right)^{2}=9, \quad \because a_{n}<0$,

$\therefore a_{3}+a_{8}=-3$,

$\therefore S_{10}=\frac{10\left(a_{1}+a_{10}\right)}{2}$

$=\frac{10\left(a_{3}+a_{8}\right)}{2}=\frac{10 \times(-3)}{2}=-15$.
题目（高二 · 算术）：设等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 若 $S_{3}=9, S_{6}=36$. 则 $a_{7}+a_{8}+a_{9}$ 等于 ( )
选项：
A. 63
B. 45
C. 36
D. 27
答案：B
解析：解析 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列, 则 $S_{3}, S_{6}-S_{3}, S_{9}-S_{6}$ 为等差数列, 即 $2\left(S_{6}-S_{3}\right)=S_{3}+\left(S_{9}\right.$ $-S_{6}$ ),

$\because S_{3}=9, S_{6}-S_{3}=27$, 则 $S_{9}-S_{6}=45$.

$\therefore a_{7}+a_{8}+a_{9}=S_{9}-S_{6}=45$.
题目（高二 · 算术）：在小于 100 的自然数中, 所有被 7 除余 2 的数之和为( )
选项：
A. 765
B. 665
C. 763
D. 663
答案：B
解析：解析 $\because a_{1}=2, d=7,2+(n-1) \times 7<100, \therefore n<15$, $\therefore n=14, S_{14}=14 \times 2+\frac{1}{2} \times 14 \times 13 \times 7=665$.
题目（高二 · 算术）：一个等差数列的项数为 $2 n$, 若 $a_{1}+a_{3}+\cdots+a_{2 n-1}=90, a_{2}+a_{4}+\cdots+a_{2 n}=72$, 且 $a_{1}$ $-a_{2 n}=33$, 则该数列的公差是 ( )
选项：
A. 3
B. -3
C. -2
D. -1
答案：B
解析：解析 由 $\left\{\begin{array}{l}a_{1}+a_{3}+\cdots+a_{2 n-1}=n a_{1}+\frac{n(n-1)}{2} \times(2 d)=90, \\ a_{2}+a_{4}+\cdots+a_{2 n}=n a_{2}+\frac{n(n-1)}{2} \times(2 d)=72,\end{array}\right.$

得 $n d=-18$.

又 $a_{1}-a_{2 n}=-(2 n-1) d=33$, 所以 $d=-3$.
题目（高二 · 算术）：已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=n^{2}$ ，则 $a_{n}$ 等于 $(\quad)$
选项：
A. $n$
B. $n^{2}$
C. $2 n+1$
D. $2 n-1$
答案：D
题目（高二 · 算术）：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=3 n-2 n^{2}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$, 则当 $n \geqslant 2$ 时, 下列不等式成立的是 $(\quad)$
选项：
A. $S_{n}>n a_{1}>n a_{n}$
    B. $S_{n}>n a_{n}>n a_{1}$
    C. $n a_{1}>S_{n}>n a_{n}$
    D. $n a_{n}>S_{n}>n a_{1}$
答案：C
解析：方法一 由 $a_{n}= \begin{cases}S_{1} & (n=1) \\ S_{n}-S_{n-1} & (n \geqslant 2)\end{cases}$

解得 $a_{n}=5-4 n$.

$\therefore a_{1}=5-4 \times 1=1, \quad \therefore n a_{1}=n$,

$\therefore n a_{n}=5 n-4 n^{2}$,

$\because n a_{1}-S_{n}=n-\left(3 n-2 n^{2}\right)=2 n^{2}-2 n=2 n(n-1)>0$.

$S_{n}-n a_{n}=3 n-2 n^{2}-\left(5 n-4 n^{2}\right)=2 n^{2}-2 n>0$.

$\therefore n a_{1}>S_{n}>n a_{n}$.

方法二 $\because a_{n}=5-4 n$,

$\therefore$ 当 $n=2$ 时, $S_{n}=-2$,

$n a_{1}=2, n a_{n}=-6$,

$\therefore n a_{1}>S_{n}>n a_{n}$.
题目（高二 · 算术）：数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列, 它的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 若 $S_{n}=(n+1)^{2}+\lambda$, 则 $\lambda$ 的值是 $(\quad)$
选项：
A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
答案：B
解析：解析 等差数列前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的形式为: $S_{n}=a n^{2}+b n$,

$\therefore \lambda=-1$.
题目（高二 · 算术）：已知数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}=n^{2}-9 n$, 第 $k$ 项满足 $5<a_{k}<8$, 则 $k$ 为 $(\quad)$
选项：
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6
答案：B
解析：解析 由 $a_{n}=\left\{\begin{array}{ll}S_{1}, \\ S_{n}-S_{n-1}, & n \geqslant 2\end{array}, \therefore a_{n}=2 n-10\right.$.

由 $5<2 k-10<8$, 得 $
题目（高二 · 算术）：设 $S_{n}$ 是等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和, 若 $\frac{a_{5}}{a_{3}}=\frac{5}{9}$, 则 $\frac{S_{9}}{S_{5}}$ 等于 $(\quad)$
选项：
A. 1
B. -1
C. 2
D. $\frac{1}{2}$
答案：A
解析：解析 由等差数列的性质, $\frac{a_{5}}{a_{3}}=\frac{2 a_{5}}{2 a_{3}}=\frac{a_{1}+a_{9}}{a_{1}+a_{5}}=\frac{5}{9}$,

$\therefore \frac{S_{9}}{S_{5}}=\frac{\frac{9}{2}\left(a_{1}+a_{9}\right)}{\frac{5}{2}\left(a_{1}+a_{5}\right)}=\frac{9}{5} \times \frac{5}{9}=1$.
题目（高二 · 算术）：设 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等差数列, $S_{n}$ 是其前 $n$ 项和, 且 $S_{5}<S_{6}, S_{6}=S_{7}>S_{8}$, 则下列结论错误的是( )
选项：
A. $d<0$
B. $a_{7}=0$
C. $S_{9}>S_{5}$
D. $S_{6}$ 与 $S_{7}$ 均为 $S_{n}$ 的最大值
答案：C
解析：解析 由 $S_{5}<S_{6}$, 得 $a_{6}=S_{6}-S_{5}>0$. 又 $S_{6}=S_{7} \Rightarrow a_{7}=0$, 所以 $d<0$.

由 $S_{7}>S_{8} \Rightarrow a_{8}<0$, 因此, $S_{9}-S_{5}=a_{6}+a_{7}+a_{8}+a_{9}$

$=2\left(a_{7}+a_{8}\right)<0$ 即 $S_{9}<S_{5}$​.
题目（高二 · 算术）：在等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{n}>0$, 且 $a_{2}=1-a_{1}, a_{4}=9-a_{3}$, 则 $a_{4}+a_{5}$ 的值为 ( )
选项：
A. 16
B. 27
C. 36
D. 81
答案：B
解析：解析 由已知 $a_{1}+a_{2}=1, a_{3}+a_{4}=9, \therefore q^{2}=9$.

$\therefore q=3\left(q=-3\right.$ 舍), $\therefore a_{4}+a_{5}=\left(a_{3}+a_{4}\right) q=27$.
题目（高二 · 算术）：已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 满足 $a_{1}+a_{2}=3, a_{2}+a_{3}=6$, 则 $a_{7}$ 等于 ( )
选项：
A. 64
B. 81
C. 128
D. 243
答案：A
解析：解析 $\because\left\{a_{n}\right\}$ 为等比数列,

$\therefore \frac{a_{2}+a_{3}}{a_{1}+a_{2}}=q=2$.

又 $a_{1}+a_{2}=3, \therefore a_{1}=1$. 故 $a_{7}=1 \cdot 2^{6}=64$.
题目（高二 · 算术）：已知等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, 各项都是正数, 且 $a_{1}, \frac{1}{2} a_{3}, 2 a_{2}$ 成等差数列, 则 $\frac{a_{9}+a_{10}}{a_{7}+a_{8}}$ 等于 $(\quad)$
选项：
A. $1+\sqrt{2}$
B. $1-\sqrt{2}$
C. $3+2 \sqrt{2}$
D. $3-2 \sqrt{2}$
答案：C
解析：解析 设等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比为 $q$,

$\because a_{1}, \frac{1}{2} a_{3}, 2 a_{2}$ 成等差数列,

$\therefore a_{3}=a_{1}+2 a_{2}$,

$\therefore a_{1} q^{2}=a_{1}+2 a_{1} q$,

$\therefore q^{2}-2 q-1=0$,

$\therefore q=1 \pm \sqrt{2}$.

$\because a_{n}>0, \quad \therefore q>0, \quad q=1+\sqrt{2}$.

$\therefore \frac{a_{9}+a_{10}}{a_{7}+a_{8}}=q^{2}=(1+\sqrt{2})^{2}=3+2 \sqrt{2}$.
题目（高二 · 算术）：如果 $-1, a, b, c,-9$ 成等比数列, 那么( )
选项：
A. $b=3, a c=9$
B. $b=-3, a c=9$
C. $b=3, a c=-9$
D. $b=-3, a c=-9$
答案：B
解析：解析 $\because b^{2}=(-1) \times(-9)=9$ 且 $b$ 与首项 -1 同号, $\therefore b=-3$, 且 $a, c$ 必同号.

$\therefore a c=b^{2}=9$.
题目（高二 · 算术）：一个数分别加上 $20,50,100$ 后得到的三个数成等比数列, 其公比为 ( )
选项：
A. $\frac{5}{3}$
B. $\frac{4}{3}$
C. $\frac{3}{2}$
D. $\frac{1}{2}$
答案：A
解析：解析 设这个数为 $x$, 则 $(50+x)^{2}=(20+x) \cdot(100+x)$,解得 $x=25$, $\therefore$ 这三个数 $45,75,125$, 公比 $q$ 为 $\frac{75}{45}=\frac{5}{3}$.
题目（高二 · 算术）：若正项等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的公比 $q \neq 1$, 且 $a_{3}, a_{5}, a_{6}$ 成等差数列, 则 $\frac{a_{3}+a_{5}+a_{6}}{}$ 等于 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
答案：A
解析：$a_{3}+a_{6}=2 a_{5}, \therefore a_{1} q^{2}+a_{1} q^{5}=2 a_{1} q^{4}$,

$\therefore q^{3}-2 q^{2}+1=0, \quad \therefore(q-1)\left(q^{2}-q-1\right)=0(q \neq 1)$,

$\therefore q^{2}-q-1=0, \quad \therefore q=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\left(q=\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0\right.$ 舍 $)$

$\therefore \frac{a_{3}+a_{5}}{a_{4}+a_{6}}=\frac{1}{q}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
题目（高二 · 算术）：在等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=1$, 公比 $|q| \neq 1$. 若 $a_{m}=a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}$, 则 $m$ 等于( )
选项：
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
答案：C
解析：解析 在等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $\because a_{1}=1$,

$\therefore a_{m}=a_{1} a_{2} a_{3} a_{4} a_{5}=a_{1}^{5} q^{10}=q^{10}$.

$\because a_{m}=a_{1} q^{m^{-}}=q^{m^{-1}}$,

$\therefore m-1=10, \therefore m=11$.
题目（高二 · 算术）：已知各项为正数的等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1} a_{2} a_{3}=5, a_{7} a_{8} a_{9}=10$, 则 $a_{4} a_{5} a_{6}$ 等于( )
选项：
A. $5 \sqrt{2}$
B. 7
C. 6
D. $4 \sqrt{2}$
答案：A
解析：解析 $\because a_{1} a_{2} a_{3}=a_{2}^{3}=5, \therefore a_{2}=\sqrt[3]{5}$.

$\because a_{7} a_{8} a_{9}=a_{8}^{3}=10, \quad \therefore a_{8}=\sqrt[3]{10}$.

$\therefore a_{5}^{2}=a_{2} a_{8}=\sqrt[3]{50}=50 \frac{1}{3}$,

又 $\because$ 数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 各项为正数,

$\therefore a_{5}=50 \frac{1}{6}$.

$\therefore a_{4} a_{5} a_{6}=a_{5}^{3}=50 \frac{1}{2}=5 \sqrt{2}$.
题目（高二 · 算术）：在正项等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{n+1}<a_{n}, a_{2} \cdot a_{8}=6, a_{4}+a_{6}=5$, 则 $\frac{a_{5}}{a_{7}}$ 等于 ()
选项：
A. $\frac{5}{6}$
B. $\frac{6}{5}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{3}{2}$
答案：D
解析：解析 设公比为 $q$, 则由等比数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 各项为正数且 $a_{n+1}<a_{n}$ 知 $0<q<1$,由 $a_{2} \cdot a_{8}=6$, 得 $a_{5}^{2}=6$.

$\therefore a_{5}=\sqrt{6}, a_{4}+a_{6}=\frac{\sqrt{6}}{q}+\sqrt{6} q=5$.

解得 $q=\frac{2}{\sqrt{6}}, \therefore \frac{a_{5}}{a_{7}}=\frac{1}{q^{2}}=\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^{2}=\frac{3}{2}$​.