eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（八年级 · 立体几何学）：已知菱形 $A B C D$ 的边长为 $18, \angle A=60^{\circ}$, 若 $P$ 是菱形 $A B C D$ 内一点, 且 $P B=P D=6 \sqrt{3}$, 则 $C P$的长为
选项：
答案：$6 \sqrt{3}$ 或 $12 \sqrt{3}$
解析：当 $P$ 与 $C$ 在 $B D$ 的异侧时：连接 $C P$ 交 $B D$ 于 $M$,



$\because A D=A B, D P=B P$,

$\therefore A P \perp B D$ (到线段两端距离相等的点在垂直平分线上),

在直角 $\triangle A B M$ 中, $\angle B A M=30^{\circ}$,

$\therefore B M=\frac{1}{2} A B=9, C M=\sqrt{3} B M=9 \sqrt{3}$,

$\therefore P M=\sqrt{P B^{2}-B M^{2}}=\sqrt{(6 \sqrt{3})^{2}-9^{2}}=3 \sqrt{3}$,
$\therefore C P=C M+P M=12 \sqrt{3}$;

当 $P$ 与 $C$ 在 $B D$ 的同侧时: 连接 $C P$ 并延长 $C P$ 交 $B D$ 于点 $M$,



$C P=C M-P M=6 \sqrt{3}$

当 $P$ 与 $M$ 重合时, $P D=P B=18$, 与 $P B=P D=6 \sqrt{3}$ 矛盾, 舍去.

$A P$ 的长为 $12 \sqrt{3}$ 或 $6 \sqrt{3}$.

故答案为 $12 \sqrt{3}$ 或 $6 \sqrt{3}$.
题目（八年级 · 变换几何）：如图, 在 $\triangle A B C D$ 中, 点 $E, F$ 分别在边 $A D 、 B C$ 上, $E F=2, \angle D E F=60^{\circ}$. 将四边形 $E F C D$ 沿 $E F$ 翻折, 得到四边形 $E F C^{\prime} D^{\prime}, E D^{\prime}$ 交 $B C$ 于点 $G$, 则 $\triangle G E F$的周长为


选项：
答案：6
解析：解: $\because$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形,

$\therefore A D \| B C, \quad \therefore \angle A E G=\angle E G F$,

$\because$ 将四边形 $E F C D$ 沿 $E F$ 翻折, 得到 $E F C^{\prime} D^{\prime}$,

$\therefore \angle G E F=\angle D E F=60^{\circ}$,

$\therefore \angle A E G=60^{\circ}, \quad \therefore \angle E G F=60^{\circ}$,

$\therefore \triangle E G F$ 是等边三角形,
$\because E F=2$,

$\therefore \triangle G E F$ 的周长 $=6$
题目（八年级 · 变换几何）：如图, 四边形 $A B C D$ 中, 点 $M N$ 分别在 $A B, A C$ 上, $\angle C=80^{\circ}$, 按如图方式沿着 $M N$ 折叠, 使 $F N / / C D$, 此时量得 $\angle F M N=40^{\circ}$, 则 $\angle B$ 的度数是 \$ \qquad \$


选项：
答案：$100^{\circ}$
解析：$\because F N / / D C$,

$\therefore \angle B N F=\angle C=80^{\circ}$

$\because \triangle B M N$ 沿 $M N$ 翻折得 $\triangle F M N$,

$\therefore \angle B M N=\angle F M N=40^{\circ}$,

$\angle B N M=\frac{1}{2} \angle B N F=\frac{1}{2} \times 80^{\circ}=40^{\circ}$,

在 $\triangle B M N$ 中, $\angle B=180^{\circ}-(\angle B M N+\angle B N M)=180^{\circ}-\left(40^{\circ}+40^{\circ}\right)=180^{\circ}-80^{\circ}=100^{\circ}$.

故答案为: $100^{\circ}$.
题目（八年级 · 组合数学）：一次考试共有 25 道选择题, 做对一题得 4 分, 做错一题减 2 分, 不做得 0 分,若小明想确保考试成绩在 60 分以上, 那么他至少做对 $x$ 题, 应满足的不等式是 \$ \qquad \$
选项：
答案：$4 x-2(25-x) \geqslant 60$
题目（八年级 · 组合数学）：把一些笔记本分给几个学生, 如果每人分 3 本, 那么余 8 本; 如果前面的每个学生分 5 本,
那么最后一人能分到笔记本但数量不足 3 本, 则共有学生 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：人
题目（八年级 · 组合数学）：名学生分宿舍, 每间 4 人余 20 人, 每间 8 人, 其中一间不空也不满, 则宿舍有 \$ \qquad \$间.
选项：
答案：6
题目（八年级 · 逻辑题）：“等腰三角形的两条边相等” 的逆命题是 \$ \qquad \$ . （填真命题或假命题）
选项：
答案：真命题
题目（八年级 · 逻辑题）：用反证法证明 “三角形的三个内角中, 至少有一个大于或等于 $60^{\circ}$ ” 时, 应先假设
选项：
答案：三角形的三个内角都小于 $60^{\circ}$

<ImageHere>
解析：用反证法证明 “三角形的三个内角中, 至少有一个大于或等于 $60^{\circ}$ ” 时, 应先假设三角形的三个内角都小于 $60^{\circ}$.
题目（四年级 · 逻辑题）：因为 $\bullet \boldsymbol{■}=\boldsymbol{\Delta}$, 所以 $\boldsymbol{\Delta}+\boldsymbol{\square}=\bullet$ 。（）
选项：
答案：解（1）正确
解析：解（1）正确
题目（四年级 · 逻辑题）：学校篮球队队员的平均身高是 $170 \mathrm{~cm}$, 身高 $168 \mathrm{~cm}$ 的阳阳一定不是篮球队队员。（）
选项：
答案：答案:$\times$
解析：答案:$\times$
题目（四年级 · 逻辑题）：$\Delta+\vec{\sim}=$ 访 $+\Delta$, 运用了加法交换律。
选项：
答案：$\sqrt{ }$
题目（四年级 · 逻辑题）：射线、直线、线段都是直的。( )
选项：
答案：答案:（1）正确
解析：答案:（1）正确
题目（四年级 · 组合数学）：从 $2 \mathrm{~cm} 、 3 \mathrm{~cm} 、 4 \mathrm{~cm} 、 5 \mathrm{~cm} 、 6 \mathrm{~cm}$ 长的 5 根小棒中选择 3 根围成三角形, 能围成 ( ) 种不同的三角形。
选项：
答案：答案:7 & 8.25 & 12\end{array}$<ImageHere>
题目（四年级 · 组合数学）：小华的姐姐今年大学毕业, 她和 12 名女生同学们一起去毕业旅行。在网上预订某酒店, 3 人间 240 元 $/$ 天 2 人间 210 元/天。预订( ) 个 3 人间和( )个 2 人间最省钱，此时共需要

( )元。
选项：
答案：解$3 \quad 21140$

【分析】先根据“单价 $=$ 总价数量”分别计算出 2 人间和 3 人间每人需要的钱, 要使租酒店最省钱,则应尽量租最便宜的一种房型, 并且使每间房都住满, 没有空床; 因此用总人数除以最便宜的一种房型可住的人数, 再根据计算出的结果进行解答即可。

一共需要的租金 $=$ 租 2 人间的数量 $\times 2$ 人间的单价十租 3 人间的数量 $\times 3$ 人间的单价, 依此计算并解答。

【详解】 $240 \div 3=80$ （元/人）

$210 \div 2=105$ （元/人）

80 元 $<105$ 元, 即租 3 人间便宜

$1+12=13$ （人）

$13 \div 3=4$ （间）.....1（人）

$4-1=3$ （间）

$3+1=4$ (人)

$4 \div 2=2$ （间）

$3 \times 240+2 \times 210$

$=720+420$

$=1140 （$ 元）

即预订 3 个 3 人间和 2 个 2 人间最省钱, 此时共需要 1140 元。

【点睛】此题考查的是经济问题的计算, 要使租房最省钱, 则应尽量多租最便宜的一种房型, 并且使每间房都住满。
解析：解$3 \quad 21140$

【分析】先根据“单价 $=$ 总价数量”分别计算出 2 人间和 3 人间每人需要的钱, 要使租酒店最省钱,则应尽量租最便宜的一种房型, 并且使每间房都住满, 没有空床; 因此用总人数除以最便宜的一种房型可住的人数, 再根据计算出的结果进行解答即可。

一共需要的租金 $=$ 租 2 人间的数量 $\times 2$ 人间的单价十租 3 人间的数量 $\times 3$ 人间的单价, 依此计算并解答。

【详解】 $240 \div 3=80$ （元/人）

$210 \div 2=105$ （元/人）

80 元 $<105$ 元, 即租 3 人间便宜

$1+12=13$ （人）

$13 \div 3=4$ （间）.....1（人）

$4-1=3$ （间）

$3+1=4$ (人)

$4 \div 2=2$ （间）

$3 \times 240+2 \times 210$

$=720+420$

$=1140 （$ 元）

即预订 3 个 3 人间和 2 个 2 人间最省钱, 此时共需要 1140 元。

【点睛】此题考查的是经济问题的计算, 要使租房最省钱, 则应尽量多租最便宜的一种房型, 并且使每间房都住满。
题目（四年级 · 组合数学）：8 名老师带着 354 名学生参加“我爱劳动——绿色生态”研学旅行, 按照下面的价目表, 怎样租车最省钱?

| 租车价目表 |  |  |
| :---: | :---: | :---: |
| 车型 | 座位 (个) | 车费 (元) |
| 大车 | 40 | 900 |
| 小车 | 25 | 500 |

(1)分析可知, 租( )车便宜。

(2)最省钱的方案是租大车 $(\quad)$ 辆, 小车 $($ 辆, 租金是 $($ 元。
选项：
答案：解(1)小车

(2) $\begin{array}{llll}1 & 13 & 7400\end{array}$

【分析】（1）车费除以座位数得出平均每个座位的费用, 分别求出大车、小车每个座位的费用, 然后比较即可解答。

（2）尽量租便宜的车辆, 而且保证空位最少, 这样租金最少。

【详解】（1） $900 \div 40=22$ （元）.....20（元）

$500 \div 25=20$ （元）

$22>20$, 所以租小车便宜。

（2） $8+354=362$ (人)

$362 \div 25=14$ (辆) .12 （人）

12 人还得租 1 辆小车, 如果改为租 13 辆小车, 剩下的人改为租 1 辆大车更省钱。

$25 \times 13+40 \times 1$
$=325+40$

$=365$ (人)

$500 \times 13+900 \times 1$

$=6500+900$

$=7400$ （元）

最省钱的方案是租大车 1 辆, 小车 13 辆, 租金是 7400 元。

【点睛】本题是优化问题, 先判断租哪种车便宜, 就尽量租这种车, 并使空位最少最省钱。
解析：解(1)小车

(2) $\begin{array}{llll}1 & 13 & 7400\end{array}$

【分析】（1）车费除以座位数得出平均每个座位的费用, 分别求出大车、小车每个座位的费用, 然后比较即可解答。

（2）尽量租便宜的车辆, 而且保证空位最少, 这样租金最少。

【详解】（1） $900 \div 40=22$ （元）.....20（元）

$500 \div 25=20$ （元）

$22>20$, 所以租小车便宜。

（2） $8+354=362$ (人)

$362 \div 25=14$ (辆) .12 （人）

12 人还得租 1 辆小车, 如果改为租 13 辆小车, 剩下的人改为租 1 辆大车更省钱。

$25 \times 13+40 \times 1$
$=325+40$

$=365$ (人)

$500 \times 13+900 \times 1$

$=6500+900$

$=7400$ （元）

最省钱的方案是租大车 1 辆, 小车 13 辆, 租金是 7400 元。

【点睛】本题是优化问题, 先判断租哪种车便宜, 就尽量租这种车, 并使空位最少最省钱。
题目（四年级 · 组合数学）：学校开展“红色足迹”革命教育, 15 名教师带领 365 名学生参观革命纪念馆。大车可以坐 40 人,租金 800 元; 小车可以坐 20 人, 租金 500 元。租( )辆大车和( )辆小车最省钱。
选项：
答案：解$9 \quad 1$

【分析】先根据“单价=总价数量”分别计算出租大车和小车时每人需要的钱, 要使租车最省钱, 则应尽量租最便宜的一种车型, 并且使每辆车都坐满, 没有空位; 因此用总人数除以最便宜的一种车型可坐的人数, 再根据计算出的结果进行解答即可。
【详解】 $800 \div 40=20$ （元/人）

$500 \div 20=25$ （元/人）

20 元 $<25$ 元, 即租大车较便宜

$15+365=380$ （人）

$380 \div 40=9$ (辆) $\ldots \ldots .20$ (人)

剩下的 20 人刚好可以租 1 辆小车, 即租 9 辆大车和 1 辆小车最省钱。

【点睛】此题考查的是经济问题的计算, 要使租车最省钱, 则应尽量多租最便宜的一种车型, 并且使每辆车都坐满。
解析：解$9 \quad 1$

【分析】先根据“单价=总价数量”分别计算出租大车和小车时每人需要的钱, 要使租车最省钱, 则应尽量租最便宜的一种车型, 并且使每辆车都坐满, 没有空位; 因此用总人数除以最便宜的一种车型可坐的人数, 再根据计算出的结果进行解答即可。
【详解】 $800 \div 40=20$ （元/人）

$500 \div 20=25$ （元/人）

20 元 $<25$ 元, 即租大车较便宜

$15+365=380$ （人）

$380 \div 40=9$ (辆) $\ldots \ldots .20$ (人)

剩下的 20 人刚好可以租 1 辆小车, 即租 9 辆大车和 1 辆小车最省钱。

【点睛】此题考查的是经济问题的计算, 要使租车最省钱, 则应尽量多租最便宜的一种车型, 并且使每辆车都坐满。
题目（四年级 · 组合数学）：下面四张扑克牌, 经过怎样的运算才能得到 24 呢? 把你想到的方法用数字表示成综合算式写下来: $\quad$ 。


选项：
答案：解$(6-3) \times 2 \times 4=24$

【分析】因为 $6-3=3,2 \times 3=8,6 \times 4=24$, 由此写出即可。

【详解】据分析可知:

$(6-3) \times 2 \times 4$

$=3 \times 2 \times 4$

$=6 \times 4$

$=24$

【点睛】此题主要考查了填符号组算式问题, 解答此题的关键是熟练掌握整数四则混合运算的运算顺序, 注意答案不唯一。
解析：解$(6-3) \times 2 \times 4=24$

【分析】因为 $6-3=3,2 \times 3=8,6 \times 4=24$, 由此写出即可。

【详解】据分析可知:

$(6-3) \times 2 \times 4$

$=3 \times 2 \times 4$

$=6 \times 4$

$=24$

【点睛】此题主要考查了填符号组算式问题, 解答此题的关键是熟练掌握整数四则混合运算的运算顺序, 注意答案不唯一。
题目（四年级 · 组合数学）：用红、黄、蓝三种颜色的小棒围成一个三角形, 若蓝色小棒长 5 分米, 黄色小棒长 3 分米, 则这个三角形的周长最长是( )分米。（取整分米数）
选项：
答案：解15
【分析】三角形的两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边, 先求出红色小棒最长是多少分米, 再把三个小棒的长度相加, 据此即可解答。

【详解】 $5+3=8$ (分米)

$5-3=2$ (分米)

红色小棒大于 2 分米, 小于 8 分米, 最长是 7 分米。

$5+3+7$

$=8+7$

$=15$ (分米)

这个三角形的周长最长是 15 分米。

【点睛】熟练掌握三角形三边间的关系是解答本题的关键。
解析：解15
【分析】三角形的两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边, 先求出红色小棒最长是多少分米, 再把三个小棒的长度相加, 据此即可解答。

【详解】 $5+3=8$ (分米)

$5-3=2$ (分米)

红色小棒大于 2 分米, 小于 8 分米, 最长是 7 分米。

$5+3+7$

$=8+7$

$=15$ (分米)

这个三角形的周长最长是 15 分米。

【点睛】熟练掌握三角形三边间的关系是解答本题的关键。
题目（四年级 · 组合数学）：中心小学有 35 名学生去植树, 男生 3 名一组, 女生 4 名一组, 正好分成 12 组, 则去植树的男生有 15 名。
选项：
答案：答案: $\times$
解析：答案: $\times$
题目（四年级 · 组合数学）：6 张乒乓球台上共有 20 人在打球，正在进行单打的有（）人，双打的有（）人。

10．壮壮有三角形、正方形的图片共 30 张，这些图片共有 100 个角，其中三角形图片有（ ）张,正方形图片有（）张。
选项：
答案：答案: $4 \quad 16$
解析：答案: $4 \quad 16$
题目（四年级 · 组合数学）：从 $1,3,6,7,9,0$ 中选出 5 个数字组成满足下列要求的五位数。

(1) 最大的五位数: \$ \qquad \$ .

(2) 最小的五位数: \$ \qquad \$。

(3) 最高位上是 7 的最大五位数: \$ \qquad \$ .
选项：
答案：答案:(1) 97631

(2) 10367

(3) 79631
解析：答案:(1) 97631

(2) 10367

(3) 79631
题目（四年级 · 组合数学）：用 $6,5,1,9,0,0,0,0$, 八张数字卡片, 按要求组成八位数.

(1) 最大的八位数:

(2) 最小的八位数:

(3) 一个 0 也不读的八位数:

(4) 读三个 0 的八位数:

(5) 只读一个 0 的八位数:

(6) 约等于 1 亿的八位数:
选项：
答案：\quad 10000569 \quad 96510000$ (答案不唯一) 90060501 (答案不唯一) 90651000 (答案不唯一) 96510000 (答案不唯一)

【解析】略
解析：\quad 10000569 \quad 96510000$ (答案不唯一) 90060501 (答案不唯一) 90651000 (答案不唯一) 96510000 (答案不唯一)

【解析】略
题目（四年级 · 组合数学）：在一个十位数 7377751950 中任意划去 5 个数字, 把剩下的 5 个数字 (先后顺序不改变) 组成一个五位数。这个五位数最小是( ), 最大是
选项：
答案：答案: 31950 77950

【分析】在 10 个数字中划去 5 个数字, 还剩 5 个数字组成五位数, 要使这个五位数最小，应当用最小的数去占最高位（万位）, 10 个数字中最小的 3 放在万位上, 万位确定后, 千位在剩下的数中选最小的 1, 而题目中要求剩下的 5 个数字的先后顺序不改变, 所以, 百位、十位、个位上的数字只能是最后三个数字 $9,5,0$; 相反, 可得出最大的五位数是 77950 ; 据此解答。
【详解】根据分析：

(1)划去 4 个 7 和万位上的 5 , 这个五位数最小是 31950 ;

(2)划去两个 7 和 $3 、 5 、 1$, 最大是 77950 。

【点睛】注意组成的数最大, 需要较大的数占据高位; 组成的数最小, 需要较小的数占据高位。
解析：答案: 31950 77950

【分析】在 10 个数字中划去 5 个数字, 还剩 5 个数字组成五位数, 要使这个五位数最小，应当用最小的数去占最高位（万位）, 10 个数字中最小的 3 放在万位上, 万位确定后, 千位在剩下的数中选最小的 1, 而题目中要求剩下的 5 个数字的先后顺序不改变, 所以, 百位、十位、个位上的数字只能是最后三个数字 $9,5,0$; 相反, 可得出最大的五位数是 77950 ; 据此解答。
【详解】根据分析：

(1)划去 4 个 7 和万位上的 5 , 这个五位数最小是 31950 ;

(2)划去两个 7 和 $3 、 5 、 1$, 最大是 77950 。

【点睛】注意组成的数最大, 需要较大的数占据高位; 组成的数最小, 需要较小的数占据高位。
题目（四年级 · 变换几何）：像出、ロ、○、 $\triangle$ 等图形, 沿一条直线对折, 直线两侧的部分能完全重合, 这样的图形叫做 $($ )图形, 折痕所在的直线叫做 $(\quad)$ 。9.(1)点 $A$ 和点 $B$ 到对称轴的距离都是 ( ) 个小格。

(2)点 $C$ 和点 ( ) 到对称轴的距离是相等的。

(3)点 $\mathrm{F}$ 的对称点是点 $(\quad)$ 。

11.下面三幅图中， $(\quad)$ 平移到右下图位置 $M$ 后能与 $\mathrm{N}$ 成轴对称。
(1)


(2)


(3)




选项：
答案：答案:轴对称 对称轴
解析：答案:轴对称 对称轴
题目（四年级 · 算术）：已知下面的算式, 求 $\}$ 、 0 、咯代表的数.

$\xi+\circ=\circ+\square \quad \square+\dot{\xi}=26 \quad \circ+\xi+\square=84$

$\tilde{w}=(\quad \circ \quad \circ=(\quad) \quad \square=(\quad)$
选项：
答案：解$13 \quad 58 \quad 13$

【详解】略
解析：解$13 \quad 58 \quad 13$

【详解】略
题目（四年级 · 算术）：用计算器计算“ $136 \times 49$ ”时, 发现“4”这个键坏了. 如果还用这个计算器, 你会先算( )个"136",
再减去( ) 个“136”.
选项：
答案：解$50 \quad 1$

【详解】略
解析：解$50 \quad 1$

【详解】略
题目（四年级 · 算术）：在横线上填上正确的数:

$25 \times 199=199 \times$ $\qquad$
$(136+569)+431=$ $\qquad$ $+(\quad)+$ $\qquad$
选项：
答案：解$25 \quad 136 \quad 569 \quad 431$

【详解】略
解析：解$25 \quad 136 \quad 569 \quad 431$

【详解】略
题目（四年级 · 算术）：$125 \times(8 \times 5)=(125 \times 8) \times 5$ 是运用了 ( )律.
选项：
答案：解结合

【详解】略
解析：解结合

【详解】略
题目（四年级 · 算术）：如果 $\triangle+$ 谷 $=10$, 那么 $\triangle \times 56+56 \times$ 公 $=($
选项：
答案：解560

【分析】乘法分配律: 两个数的和同一个数相乘, 可以把两个加数分别和这个数相乘, 再把两个积相加, 结果不变。用字母表示是: $(\mathrm{a}+\mathrm{b}) \times \mathrm{c}=\mathrm{a} \times \mathrm{c}+\mathrm{b} \times \mathrm{c}$ 。

【详解】 $\triangle \times 56+56 \times$ 公

$=(\Delta+$ 约 $) \times 56$

$=10 \times 56$

$=560$

如果 $\triangle+$ 公 $=10$, 那么 $\triangle \times 56+56 \times$ 公 $=560$ 。

【点睛】此题主要考查了乘法分配律的应用, 要熟练掌握。
解析：解560

【分析】乘法分配律: 两个数的和同一个数相乘, 可以把两个加数分别和这个数相乘, 再把两个积相加, 结果不变。用字母表示是: $(\mathrm{a}+\mathrm{b}) \times \mathrm{c}=\mathrm{a} \times \mathrm{c}+\mathrm{b} \times \mathrm{c}$ 。

【详解】 $\triangle \times 56+56 \times$ 公

$=(\Delta+$ 约 $) \times 56$

$=10 \times 56$

$=560$

如果 $\triangle+$ 公 $=10$, 那么 $\triangle \times 56+56 \times$ 公 $=560$ 。

【点睛】此题主要考查了乘法分配律的应用, 要熟练掌握。
题目（四年级 · 算术）：$\star \times \times=25$, $(4 \times \star) \times(4 \times$ - $=($
选项：
答案：解400

【分析】要计算 $(4 \times \star) \times(4 \times)$ 的值, 需要知道 $\star$ 和 是多少, 但是只知道 $\star \times 2=25$, 不知道 $\star$和 具体的数值，我们可以将 $(4 \times \star) \times(4 \times)$ 运用乘法交换律和乘法结合律进行变换，把 $\star$ 和放到一起。

【详解】 $(4 \times \star) \times(4 \times)$

$=(4 \times 4) \times(\star \times)$

$=4 \times(4 \times 25)$

$=4 \times 100$

$=400$

【点睛】本题考查学生对于乘法交换律、结合律的掌握。在遇到这种不确定的数值时, 我们可以运用题目已知信息, 将要求的式子变换出已知条件, 再代入进行计算。
解析：解400

【分析】要计算 $(4 \times \star) \times(4 \times)$ 的值, 需要知道 $\star$ 和 是多少, 但是只知道 $\star \times 2=25$, 不知道 $\star$和 具体的数值，我们可以将 $(4 \times \star) \times(4 \times)$ 运用乘法交换律和乘法结合律进行变换，把 $\star$ 和放到一起。

【详解】 $(4 \times \star) \times(4 \times)$

$=(4 \times 4) \times(\star \times)$

$=4 \times(4 \times 25)$

$=4 \times 100$

$=400$

【点睛】本题考查学生对于乘法交换律、结合律的掌握。在遇到这种不确定的数值时, 我们可以运用题目已知信息, 将要求的式子变换出已知条件, 再代入进行计算。
题目（四年级 · 算术）：在括号里填“ $>$ "“$<$ "或“ $=$ 。

20 亿

)2001000000 $405 \times 11($

)4000 $45 \times 12($

) $45 \times 2 \times 6$

750 万(

) $7499000 \quad 21 \times 300($

) $210 \times 30 \quad 68 \times 99+1($

) $68 \times 100$
选项：
答案：解$<>=>=<$

【分析】（1）20 亿是 2000000000, 再和 2001000000 比较大小。

（2）先求出 $405 \times 11$ 的积, 再和 4000 比较大小。

（3）根据乘法的结合律可知， $45 \times 12=45 \times （ 2 \times 6 ）=45 \times 2 \times 6$ 。

（4） 750 万是 7500000 , 再和 7499000 比较大小。

（5）积的变化规律：如果一个因数扩大几倍, 另一个因数缩小为原来的几分之一, 那么积不变。据此可知, $21 \times 300=210 \times 30$ 。

（6）根据乘法的分配律可知， $68 \times 100=68 \times 99+68 \times 1$, 再和 $68 \times 99+1$ 比较大小。

【详解】 20 亿 $=2000000000,2000000000<2001000000$, 则 20 亿 $<2001000000$;

$405 \times 11=4455,4455>4000$, 则 $405 \times 11>4000$

$45 \times 12=45 \times(2 \times 6)=45 \times 2 \times 6$

750 万 $=7500000,7500000>7499000$, 则 750 万 $>7499000$

$21 \times 300=(21 \times 10) \times(300 \div 10)=210 \times 30$

$68 \times 100=68 \times(99+1)=68 \times 99+68 \times 11=68 \times 99+68,68 \times 99+1<68 \times 99+68$, 则 $68 \times 99+1<68 \times 100$

【点睛】整数比较大小，数位相同时，从高位起，依次比较相同数位上的数。两个算式比较大小，可以求出得数, 再进行比较。也可以运用运算定律变换算式, 再进行比较。
解析：解$<>=>=<$

【分析】（1）20 亿是 2000000000, 再和 2001000000 比较大小。

（2）先求出 $405 \times 11$ 的积, 再和 4000 比较大小。

（3）根据乘法的结合律可知， $45 \times 12=45 \times （ 2 \times 6 ）=45 \times 2 \times 6$ 。

（4） 750 万是 7500000 , 再和 7499000 比较大小。

（5）积的变化规律：如果一个因数扩大几倍, 另一个因数缩小为原来的几分之一, 那么积不变。据此可知, $21 \times 300=210 \times 30$ 。

（6）根据乘法的分配律可知， $68 \times 100=68 \times 99+68 \times 1$, 再和 $68 \times 99+1$ 比较大小。

【详解】 20 亿 $=2000000000,2000000000<2001000000$, 则 20 亿 $<2001000000$;

$405 \times 11=4455,4455>4000$, 则 $405 \times 11>4000$

$45 \times 12=45 \times(2 \times 6)=45 \times 2 \times 6$

750 万 $=7500000,7500000>7499000$, 则 750 万 $>7499000$

$21 \times 300=(21 \times 10) \times(300 \div 10)=210 \times 30$

$68 \times 100=68 \times(99+1)=68 \times 99+68 \times 11=68 \times 99+68,68 \times 99+1<68 \times 99+68$, 则 $68 \times 99+1<68 \times 100$

【点睛】整数比较大小，数位相同时，从高位起，依次比较相同数位上的数。两个算式比较大小，可以求出得数, 再进行比较。也可以运用运算定律变换算式, 再进行比较。
题目（四年级 · 算术）：算式 $24+42+76+58=(24+76)+(42+58)$ 运用的运算定律是 $(\quad)$ 。
选项：
答案：解加法交换律、加法结合律

【分析】加法交换律: $\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{b}+\mathrm{a}$; 加法结合律: $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=\mathrm{a}+(\mathrm{b}+\mathrm{c})$; 据此即可解答。
【详解】根据分析可知, 算式 $24+42+76+58=(24+76)+(42+58)$ 运用了加法交换律和结合律。

【点睛】本题主要考查了加法的运算定律, 要熟练掌握。
解析：解加法交换律、加法结合律

【分析】加法交换律: $\mathrm{a}+\mathrm{b}=\mathrm{b}+\mathrm{a}$; 加法结合律: $\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=\mathrm{a}+(\mathrm{b}+\mathrm{c})$; 据此即可解答。
【详解】根据分析可知, 算式 $24+42+76+58=(24+76)+(42+58)$ 运用了加法交换律和结合律。

【点睛】本题主要考查了加法的运算定律, 要熟练掌握。
题目（四年级 · 算术）：用计算器计算“ $1234 \times 69$ ”时, 发现键“ 6 ”坏了。如果还是用这个计算器, 你会怎样计算，请写出算式: ( )。
选项：
答案：解$1234 \times 70-1234$

【分析】根据题意可将 69 写成 70-1, 然后再根据乘法分配律的特点进行计算即可, 依此填空。乘法分配律的特点是两个数的差与一个数相乘, 可以先把它们与这个数分别相乘, 再相减。

【详解】 $1234 \times 69=1234 \times(70-1)=1234 \times 70-1234 \times 1=1234 \times 70-1234$ 。

即如果还是用这个计算器, 我会这样计算： $1234 \times 70-1234$ 。

【点睛】熟练掌握乘法分配律的特点是解答此题的关键。
解析：解$1234 \times 70-1234$

【分析】根据题意可将 69 写成 70-1, 然后再根据乘法分配律的特点进行计算即可, 依此填空。乘法分配律的特点是两个数的差与一个数相乘, 可以先把它们与这个数分别相乘, 再相减。

【详解】 $1234 \times 69=1234 \times(70-1)=1234 \times 70-1234 \times 1=1234 \times 70-1234$ 。

即如果还是用这个计算器, 我会这样计算： $1234 \times 70-1234$ 。

【点睛】熟练掌握乘法分配律的特点是解答此题的关键。
题目（四年级 · 算术）：（180×15）+（425015）去掉括号后, 结果不变。（）
选项：
答案：正确
解析：正确
题目（四年级 · 算术）：既有加减法又有乘除法的算式，计算时按照从左往右的顺序计算。( )
选项：
答案：错误
解析：错误
题目（四年级 · 算术）：根据加、减、乘、除之间的关系, 写出另外两个算式。

| $320+465=785$ | ) | $102 \times 96=9792$ | ) |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
|  | ( |  | ) |
| $852-478=374$ | ( | $754 \div 29=26$ | ( |
|  | ( |  | ( |
选项：
答案：解$785-320=465 \quad 9792 \div 96=102 \quad 785-465=320 \quad 9792 \div 102=96 \quad 852-374=$

$478 \quad 754 \div 26=29 \quad 478+374=852 \quad 26 \times 29=754$

【分析】根据和减去一个加数，等于另一个加数；差加减数等于被减数；积除以一个因数，等于另一个因数; 商乘除数等于被除数, 解答此题即可。

【详解】据分析可得:

| $320+465=785$ | $(785-320=465)$ |  | $(9792 \div 96=102)$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
|  | $(785-465=320)$ |  |  |
|  |  |  | $(9792 \div 96=9792=96)$ |
| $852-478=374$ | $(852-374=478)$ | $754 \div 29=26$ | $(754 \div 26=29)$ |


|  | $(478+374=852)$ |  | $(26 \times 29=754)$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- |

【点睛】根据加和减的互逆关系，乘和除的互逆关系，解答此题即可。
解析：解$785-320=465 \quad 9792 \div 96=102 \quad 785-465=320 \quad 9792 \div 102=96 \quad 852-374=$

$478 \quad 754 \div 26=29 \quad 478+374=852 \quad 26 \times 29=754$

【分析】根据和减去一个加数，等于另一个加数；差加减数等于被减数；积除以一个因数，等于另一个因数; 商乘除数等于被除数, 解答此题即可。

【详解】据分析可得:

| $320+465=785$ | $(785-320=465)$ |  | $(9792 \div 96=102)$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
|  | $(785-465=320)$ |  |  |
|  |  |  | $(9792 \div 96=9792=96)$ |
| $852-478=374$ | $(852-374=478)$ | $754 \div 29=26$ | $(754 \div 26=29)$ |


|  | $(478+374=852)$ |  | $(26 \times 29=754)$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- |

【点睛】根据加和减的互逆关系，乘和除的互逆关系，解答此题即可。
题目（四年级 · 算术）：果园将现摘的 9000 个苹果装箱用一辆三轮车运走, 25 个装一箱, 每次运走 12 箱, 一共要运

( )次。
选项：
答案：解30

【分析】用苹果总个数除以一箱装苹果个数, 求出可以装的箱数, 再用可以装的箱数除以每次运走的箱数, 求出需要运的次数。

【详解】 $9000 \div 25 \div 12$

$=360 \div 12$

$=30$ （次）

答：一共要运 30 次。

【点睛】本题考查除数是两位数的除法, 先求出装的箱数, 再求出运的次数。
解析：解30

【分析】用苹果总个数除以一箱装苹果个数, 求出可以装的箱数, 再用可以装的箱数除以每次运走的箱数, 求出需要运的次数。

【详解】 $9000 \div 25 \div 12$

$=360 \div 12$

$=30$ （次）

答：一共要运 30 次。

【点睛】本题考查除数是两位数的除法, 先求出装的箱数, 再求出运的次数。
题目（四年级 · 算术）：不改变算式中数和符号的位置, 将 $180-54+126 \div 9$ 的运算顺序调整为“先算加法，再算除法，最后算减法"，调整后的算式是( )。
选项：
答案：解$180-(54+126) \div 9$

【分析】 $180-54+126 \div 9$ 是先算除法, 再算减法, 最后算加法; 要想改变运算顺序, 可以通过添加小括号或者中括号的方法, 据此解答。

【详解】 $180-(54+126) \div 9$

$=180-180 \div 9$

$=180-20$

$=160$

【点睛】熟练掌握整数四则混合运算的法则是解答此题的关键。
解析：解$180-(54+126) \div 9$

【分析】 $180-54+126 \div 9$ 是先算除法, 再算减法, 最后算加法; 要想改变运算顺序, 可以通过添加小括号或者中括号的方法, 据此解答。

【详解】 $180-(54+126) \div 9$

$=180-180 \div 9$

$=180-20$

$=160$

【点睛】熟练掌握整数四则混合运算的法则是解答此题的关键。
题目（四年级 · 算术）：把 $102-87=15,15 \times 3=45,810 \div 45=18$ 这三道算式合并成一道算式是：（）。
选项：
答案：解$810 \div[(102-87) \times 3]=18$

【分析】根据题意可知, 此题是先算减法, 再算乘法, 最后算除法, 根据混合运算的计算顺序列式即
可。

【详解】根据题意可列式为: $810 \div[(102-87) \times 3]=18$

【点睛】熟练掌握混合运算的计算顺序是解答此题的关键。
解析：解$810 \div[(102-87) \times 3]=18$

【分析】根据题意可知, 此题是先算减法, 再算乘法, 最后算除法, 根据混合运算的计算顺序列式即
可。

【详解】根据题意可列式为: $810 \div[(102-87) \times 3]=18$

【点睛】熟练掌握混合运算的计算顺序是解答此题的关键。
题目（四年级 · 算术）：0 除以一个 ( )的数, 商是 0 。
选项：
答案：解非 0

【分析】我们知道除数不能为 0 , 据此解答。

【详解】 0 不能作除数。比如： $5 \div 0$ 不可能得到商, 因为找不到一个数同 0 相乘得到 $5 \circ 0 \div 0$ 不可能得到一个确定的商，因为任何数同 0 相乘都得 0 。所以 0 必须除以一个非 0 的数，商是 0 。

【点睛】解答本题关键是 0 不能作除数。
解析：解非 0

【分析】我们知道除数不能为 0 , 据此解答。

【详解】 0 不能作除数。比如： $5 \div 0$ 不可能得到商, 因为找不到一个数同 0 相乘得到 $5 \circ 0 \div 0$ 不可能得到一个确定的商，因为任何数同 0 相乘都得 0 。所以 0 必须除以一个非 0 的数，商是 0 。

【点睛】解答本题关键是 0 不能作除数。
题目（四年级 · 算术）：把下面的分步算式 $18+29=47,4 \times 47=188,188 \div 2=94$ 改写成一道综合算式是 ( )。
选项：
答案：解$4 \times(18+29) \div 2=94$

【分析】找到三个算式中的想等量进行代换, 注意不要改变运算顺序, 合理添加括号, 第二个算式中的 47 可以代换为第一个算式的 $18+29$,第三个算式的 188 可以把用第二个代换后的算式 $4 \times(18+29)$代换, 据此解答。

【详解】根据分析可得:

把下面的分步算式 $18+29=47,4 \times 47=188,188 \div 2=94$ 改写成一道综合算式是 $(4 \times(18+29) \div 2=$ 94）。

【点睛】本题考查整数四则混合运算的顺序，找到等量关系利用运算顺序合理代换是解题的关键。
解析：解$4 \times(18+29) \div 2=94$

【分析】找到三个算式中的想等量进行代换, 注意不要改变运算顺序, 合理添加括号, 第二个算式中的 47 可以代换为第一个算式的 $18+29$,第三个算式的 188 可以把用第二个代换后的算式 $4 \times(18+29)$代换, 据此解答。

【详解】根据分析可得:

把下面的分步算式 $18+29=47,4 \times 47=188,188 \div 2=94$ 改写成一道综合算式是 $(4 \times(18+29) \div 2=$ 94）。

【点睛】本题考查整数四则混合运算的顺序，找到等量关系利用运算顺序合理代换是解题的关键。
题目（四年级 · 算术）：在 $150 \div 5+34 \times 3$ 这道题中, ()法和( 法可以同时计算。
选项：
答案：解除 乘

【分析】四则混合运算的计算顺序是先选乘除法、再算加减法, 依此填空即可。

【详解】在 $150 \div 5+34 \times 3$ 这道题中, 有除法、加法和乘法, 因此, 除法和乘法可同时计算。

【点睛】熟练掌握四则混合运算的计算顺序是解答此题的关键。
解析：解除 乘

【分析】四则混合运算的计算顺序是先选乘除法、再算加减法, 依此填空即可。

【详解】在 $150 \div 5+34 \times 3$ 这道题中, 有除法、加法和乘法, 因此, 除法和乘法可同时计算。

【点睛】熟练掌握四则混合运算的计算顺序是解答此题的关键。
题目（四年级 · 算术）：如果把算式 915-12×6 9 的运算顺序改成先算乘法, 再算减法, 最后算除法, 那么该算式应改为
选项：
答案：解$(915-12 \times 6) \div 9$

【分析】整数四则混合运算的顺序: 先算乘除, 再算加减, 如果有括号, 就先算括号里面的, 据此解答。

【详解】如果把算式 915-12×6 $\div$ 的运算顺序改成先算乘法, 再算减法, 最后算除法, 那么该算式应改为: $(915-12 \times 6) \div 9$ 。

【点睛】本题考查整数四则混合运算的顺序, 小括号起到改变运算顺序的作用, 只要把先算的小括号括起来即可。
解析：解$(915-12 \times 6) \div 9$

【分析】整数四则混合运算的顺序: 先算乘除, 再算加减, 如果有括号, 就先算括号里面的, 据此解答。

【详解】如果把算式 915-12×6 $\div$ 的运算顺序改成先算乘法, 再算减法, 最后算除法, 那么该算式应改为: $(915-12 \times 6) \div 9$ 。

【点睛】本题考查整数四则混合运算的顺序, 小括号起到改变运算顺序的作用, 只要把先算的小括号括起来即可。
题目（四年级 · 算术）：小华在计算 $(500-\square ） \div 25+60$ 时, 没注意小括号, 看成了 $500-\square \div 25+60$, 算得结果是 552 ,正确答案应该是 $\qquad$。
选项：
答案：解72

【分析】根据题意可知, $500-\square \div 25+60=552$, 则 $\square=(500+60-552) \times 25$ 。将 $\square$ 的数值代入算式 $(500$一ם） $\div 25+60$ 中, 求出正确答案即可。

【详解】 $(500+60-552) \times 25$

$=8 \times 25$
$=200$

$(500-200) \div 25+60$

$=300 \div 25+60$

$=12+60$

$=72$

则正确答案应该是 72。

【点睛】本题考查整数四则混合运算。运算顺序是同级运算时, 从左到右依次计算; 两级运算时, 先算乘除, 后算加减。有括号时, 先算括号里面的。
解析：解72

【分析】根据题意可知, $500-\square \div 25+60=552$, 则 $\square=(500+60-552) \times 25$ 。将 $\square$ 的数值代入算式 $(500$一ם） $\div 25+60$ 中, 求出正确答案即可。

【详解】 $(500+60-552) \times 25$

$=8 \times 25$
$=200$

$(500-200) \div 25+60$

$=300 \div 25+60$

$=12+60$

$=72$

则正确答案应该是 72。

【点睛】本题考查整数四则混合运算。运算顺序是同级运算时, 从左到右依次计算; 两级运算时, 先算乘除, 后算加减。有括号时, 先算括号里面的。
题目（四年级 · 算术）：100 千克小麦可以磨 70 千克面粉, 照这样计算, 1 吨小麦可以磨( )千克面粉。
选项：
答案：解700

【分析】 1 吨 $=1000$ 千克, 1000 里面有 10 个 100 , 所以有 10 个 70 千克, 那么 1 吨小麦可以磨 $10 \times 70$ $=700$ 千克面粉。

【详解】 1 吨 $=1000$ 千克

$1000 \div 100=10$

$10 \times 70=700$ (千克)

1 吨小麦可以磨 700 千克面粉。

【点睛】解答此题的关键是先求出 1000 里面有 10 个 100 , 然后再进一步解答。
解析：解700

【分析】 1 吨 $=1000$ 千克, 1000 里面有 10 个 100 , 所以有 10 个 70 千克, 那么 1 吨小麦可以磨 $10 \times 70$ $=700$ 千克面粉。

【详解】 1 吨 $=1000$ 千克

$1000 \div 100=10$

$10 \times 70=700$ (千克)

1 吨小麦可以磨 700 千克面粉。

【点睛】解答此题的关键是先求出 1000 里面有 10 个 100 , 然后再进一步解答。
题目（四年级 · 算术）：要使 $6 、 2 、 4 、 3$ 凑成 24 , 我们可以这样列式: ( )。
选项：
答案：解$(6-3) \times 2 \times 4=24$

【分析】要使 6、2、4、3 凑成 24 , 就在这几个数字之间加上加、减、乘、除等运算符号及括号, 使运算的结果是 24 。所以我们可以这样列式: $(6-3) \times 2 \times 4=24$ 。解题方法多样, 只要合理即可。

【详解】 $(6-3) \times 2 \times 4=24$

（答案不唯一）

【点睛】本题主要考查了算“ 24 点”的知识, 熟练掌握四则混合运算是解题关键。
解析：解$(6-3) \times 2 \times 4=24$

【分析】要使 6、2、4、3 凑成 24 , 就在这几个数字之间加上加、减、乘、除等运算符号及括号, 使运算的结果是 24 。所以我们可以这样列式: $(6-3) \times 2 \times 4=24$ 。解题方法多样, 只要合理即可。

【详解】 $(6-3) \times 2 \times 4=24$

（答案不唯一）

【点睛】本题主要考查了算“ 24 点”的知识, 熟练掌握四则混合运算是解题关键。
题目（四年级 · 算术）：“ 52 减去 12 乘 3 的积, 所得的差再除以 8 , 商是多少? ”列出综合算式为 ( )。
选项：
答案：解$(52-12 \times 3) \div 8$

【分析】计算顺序是：先算乘法，再算减法，最后计算除法。据此解题即可。

【详解】根据计算顺序列式为: $(52-12 \times 3) \div 8$ 。

所以, “ 52 减去 12 乘 3 的积, 所得的差再除以 8 , 商是多少? "列出综合算式为: $(52-12 \times 3) \div 8$ 。

【点睛】熟练掌握有括号的运算顺序是解题关键, 计算有括号的算式时, 先算括号里面的, 再算括号外面的。
解析：解$(52-12 \times 3) \div 8$

【分析】计算顺序是：先算乘法，再算减法，最后计算除法。据此解题即可。

【详解】根据计算顺序列式为: $(52-12 \times 3) \div 8$ 。

所以, “ 52 减去 12 乘 3 的积, 所得的差再除以 8 , 商是多少? "列出综合算式为: $(52-12 \times 3) \div 8$ 。

【点睛】熟练掌握有括号的运算顺序是解题关键, 计算有括号的算式时, 先算括号里面的, 再算括号外面的。
题目（四年级 · 算术）：根据除法各部分间的关系写出另外两个算式。

$2808 \div 36=78 ;(\quad),($ 。
选项：
答案：解$78 \times 36=2808 \quad 2808 \div 78=36$

【分析】根据被除数除数 $=$ 商, 可得：被除数商 $=$ 除数, 商 $\times$ 除数 $=$ 被除数, 据此解题即可。

【详解】 $2808 \div 36=78$

$78 \times 36=2808$

$2808 \div 78=36$

【点睛】本题主要考查除法算式各部分的关系, 根据除法算式各个部分的关系即可得出相应的关系式。
解析：解$78 \times 36=2808 \quad 2808 \div 78=36$

【分析】根据被除数除数 $=$ 商, 可得：被除数商 $=$ 除数, 商 $\times$ 除数 $=$ 被除数, 据此解题即可。

【详解】 $2808 \div 36=78$

$78 \times 36=2808$

$2808 \div 78=36$

【点睛】本题主要考查除法算式各部分的关系, 根据除法算式各个部分的关系即可得出相应的关系式。
题目（四年级 · 算术）：$38 \times 25 \times 4=38 \times(25 \times 4)$ 运用了 ( )律，用字母表示是( )。
选项：
答案：解乘法结合 $\quad \mathrm{a} \times \mathrm{b} \times \mathrm{c}=\mathrm{a} \times(\mathrm{b} \times \mathrm{c})$

【分析】乘法结合律是指三个数相乘, 先把前两个数相乘, 再和另外一个数相乘, 或先把后两个数相
乘, 再和另外一个数相乘, 积不变。用字母表示 $\mathrm{a} \times \mathrm{b} \times \mathrm{c}=\mathrm{a} \times(\mathrm{b} \times \mathrm{c})$ 。

【详解】 $38 \times 25 \times 4=38 \times(25 \times 4)$ 运用了乘法结合律，用字母表示是 $\mathrm{a} \times \mathrm{b} \times \mathrm{c}=\mathrm{a} \times(\mathrm{b} \times \mathrm{c} ）$ 。

【点睛】本题考查乘法结合律的认识和掌握。
解析：解乘法结合 $\quad \mathrm{a} \times \mathrm{b} \times \mathrm{c}=\mathrm{a} \times(\mathrm{b} \times \mathrm{c})$

【分析】乘法结合律是指三个数相乘, 先把前两个数相乘, 再和另外一个数相乘, 或先把后两个数相
乘, 再和另外一个数相乘, 积不变。用字母表示 $\mathrm{a} \times \mathrm{b} \times \mathrm{c}=\mathrm{a} \times(\mathrm{b} \times \mathrm{c})$ 。

【详解】 $38 \times 25 \times 4=38 \times(25 \times 4)$ 运用了乘法结合律，用字母表示是 $\mathrm{a} \times \mathrm{b} \times \mathrm{c}=\mathrm{a} \times(\mathrm{b} \times \mathrm{c} ）$ 。

【点睛】本题考查乘法结合律的认识和掌握。