eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（九年级 · 度量几何学）：已知点 $P$ 在圆外, 它到圆的最近距离是 $1 \mathrm{~cm}$, 到圆的最远距离是 $7 \mathrm{~cm}$, 则圆的半径为 ( )
    
选项：
A. $3 \mathrm{~cm}$
    B. $4 \mathrm{~cm}$
    C. $3 \mathrm{~cm}$ 或 $4 \mathrm{~cm}$
    D. $6 \mathrm{~cm}$


答案：A
解析：圆外一点, 直径所在直线经过此点, 直径的远端点与此点的距离最远, 近端点与此点距离最近.

【详解】解: $P$ 为圆外一点, 且 $P$ 点到圆上点的最近距离为 $1 \mathrm{~cm}$, 到圆上点的最远距离为 $7 \mathrm{~cm}$, 则圆的直径是 $7-1=6(\mathrm{~cm})$, 因而半径是 $3 \mathrm{~cm}$.

故选: A.

【点睛】本题考查了圆外一点与圆上点的距离问题, 理解何时距离最远、最近是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 排水管截面的直径为 $26 \mathrm{~cm}$, 水面宽 $A B=24, O C \perp A B$, 则水的最大深度 $C D$ 为

  

  （第 6 题）

  
选项：
A. $14 \mathrm{~cm}$
  B. $16 \mathrm{~cm}$
  C. $7 \mathrm{~cm}$
  D. $8 \mathrm{~cm}$


答案：D
解析：先求出 $O A$ 的长, 再由垂径定理求出 $A D$ 的长, 根据勾股定理求出 $O D$ 的长, 然后用 $O C-O D$ 即可求出结果.

【详解】解: $\because$ 排水管截面的直径为 $26 \mathrm{~cm}$,

$\therefore O A=13 \mathrm{~cm}$,

$\because O D \perp A B, A B=24 \mathrm{~cm}$,

$\therefore A D=B D=12 \mathrm{~cm}$,

$\therefore O D=\sqrt{O A^{2}-A D^{2}}=5 \mathrm{~cm}$,

$\therefore$ 水的最大深度 $C D=O C-O D=13-5=8 \mathrm{~cm}$,

故选: D.

【点睛】本题考查的是垂径定理的应用以及勾股定理, 根据垂径定理和勾股定理求出 $O D$ 的长是解决此题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\odot O$ 中 $A B=C D, \angle A O B=45^{\circ}$, 则 $\angle C O D=$ ( )

  

  (第 1 题)

  
选项：
A. $45^{\circ}$
  B. $60^{\circ}$
  C. $75^{\circ}$
  D. $90^{\circ}$


答案：A
解析：根据同圆中等弧所对的圆心角相等, 即可求解.

【详解】解: $\because A B=C D, \angle A O B=45^{\circ}$,

$\therefore \angle C O D=45^{\circ}$,

故选: A.

【点睛】本题考查了同圆或等圆中, 等弧所对的圆心角相等, 掌握同圆或等圆中, 等弧所对的圆心角相等是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $A B$ 为 $\odot O$ 的直径, 点 $C$ 是 $\odot O$ 上的一点, $\angle A B C=70^{\circ}$, 则 $\angle B A C=(\quad)$

  

  （第 2 题）

  
选项：
A. $50^{\circ}$
  B. $40^{\circ}$
  C. $30^{\circ}$
  D. $20^{\circ}$


答案：D
解析：根据圆的性质, $A B$ 为 $\odot O$ 的直径, 点 $C$ 是 $\odot O$ 上的一点, 则 $\angle A C B=90^{\circ}$, 在 $\triangle A C B$中, 运用内角和定理, 结合 $\angle A B C=70^{\circ}$, 可得 $\angle B A C=180^{\circ}-(\angle A C B+\angle A B C)=20^{\circ}$.

【详解】解: $\because A B$ 为 $\odot O$ 的直径, 点 $C$ 是 $\odot O$ 上的一点,

$\therefore \angle A C B=90^{\circ}$,

$\because \angle A B C=70^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C=180^{\circ}-(\angle A C B+\angle A B C)=180^{\circ}-90^{\circ}-70^{\circ}=20^{\circ}$.

故选: D.

【点睛】本题考查了在圆中, 直径所对的圆周角为直角, 灵活运用该知识点是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 点 $A, B, C, D$ 在 $\odot O$ 上, 则图中一定与 $\angle A B C$ 相等的角是（）

  

  （第 5 题）

  
选项：
A. $\angle B A D$
  B. $\angle A C D$
  C. $\angle B C D$
  D. $\angle A D C$




答案：D
解析：根据同弧所对等圆周角相等求解即可.

【详解】 $\because \angle A B C$ 所对应的弧为 $A C$,

$\therefore \angle A D C=\angle A B C$,

故选: D.

【点睛】本题考查了圆周角定理, 熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：边长为 $3 \mathrm{~cm} 、 4 \mathrm{~cm} 、 5 \mathrm{~cm}$ 的三角形的外接圆半径等于 ( ) cm
    
选项：
A. 1.5
    B. 2
    C. 2.5
    D. 2.4


答案：C
解析：根据边长得到三角形为直角三角形, 再根据圆周角定理的推论, $90^{\circ}$ 的圆周角所对的弦为直径, 得到, 斜边是外接圆的直径, 即可得解.

【详解】解: $\because 3^{2}+4^{2}=25=5^{2}$,

$\therefore$ 边长为 $3 \mathrm{~cm} 、 4 \mathrm{~cm} 、 5 \mathrm{~cm}$ 的三角形为直角三角形,

由圆周角定理的推论, $90^{\circ}$ 的圆周角所对的弦为直径可得: 直角三角形的斜边是外接圆的直径,

$\therefore$ 三角形的外接圆的半径为: $\frac{5}{2}=2.5 \mathrm{~cm}$;

故选 C.

【点睛】本题考查三角形的外接圆, 熟练掌握直角三角形的斜边是其外接圆的直径, 是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：下列说法中, 正确的是 ( )
    
选项：
A. 等弦所对的弧相等
    B. 等弧所对的弦相等
    C. 圆心角相等, 所对的弦相等
    D. 弦相等所对的圆心角相等


答案：B
解析：根据圆心角, 弦, 弧之间的关系判断, 注意条件.

【详解】 A 中, 等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆;

$B$ 中, 等弧所对应的弦相等, 故选 $B$

$C$ 中, 圆心角相等所对应的弦可能互补;

$D$ 中，弦相等，圆心角可能互补;

故选 B

【点睛】本题考查了圆心角, 弧, 弦之间的观, 此类试题属于难度较大的试题, 其中, 弦和圆心角等一些基本知识容易混淆, 从而很难把握.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $C D$ 是 $\odot O$ 的直径, 弦 $A B$ 垂直 $C D$ 于点 $E$, 连接 $A C, B C, A D, B D$, 则下列结论不一定成立的是（）

  

  （第 8 题）

  
选项：
A. $C E=O E$
  B. $A E=B E$
  C. $A C=B C$
  D. $A D=B D$


答案：A
解析：根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可.

【详解】解: $\because C D$ 是 $\odot O$ 的直径, 弦 $A B$ 垂直 $C D$ 于点 $E$,

$\therefore A E=B E, A C=B C, A D=B D$,

$\therefore A C=B C, \quad A D=B D$,

而 $C E=O E$ 不一定成立,

故选: A.

【点睛】本题考查的是垂径定理, 垂直于弦的直径平分这条弦, 并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $P Q 、 P R$ 是 $\odot O$ 的两条互相垂直的弦, 且 $P Q=P R$, 过点 $O$ 作 $O M \perp P Q$ 于点
    $M, O N \perp P R$ 于点 $N$. 若 $M Q=2$, 则 $\odot O$ 的半径为 ( )

  

  (第 9 题)

  
选项：
A. $\sqrt{2}$
  B. $2 \sqrt{2}$
  C. 2
  D. 4


答案：B
解析：利用垂径定理, 弦、弦心距的关系求得 $O M=O N, Q M=P M=2$, 证明四边形 $O M P N$是正方形，利用勾股定理即可求解.

【详解】解: $\because P Q=P R, O M \perp P Q, O N \perp P R$,

$\therefore O M=O N, Q M=P M=2$,
$\because P Q \perp P R, \quad O M \perp P Q, \quad O N \perp P R$,

$\therefore$ 四边形 $O M P N$ 是矩形,

$\because O M=O N$,

$\therefore$ 矩形 $O M P N$ 是正方形,

连接 $O P$, 则 $O P=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=2 \sqrt{2}$.

故选: B.

【点睛】本题考查了垂径定理, 正方形的判定和性质, 勾股定理, 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 是以斐波那契数列的每一项的数为边长画 6 个小正方形组成的一个大长方形. 每个小正方形画出四分之一圆弧, 使相邻的圆弧首尾相连, 这些圆弧组成的平滑曲线称为斐波那契螺旋线. 试求图中斐波那契螺旋线的长.（ $\pi$ 取 3.14）( ）

    

    （第 10 题）

    
选项：
A. 15.7
    B. 31.4
    C. 9.8596
    D. 37.68

##
答案：B
解析：分别计算 6 段圆弧的长, 然后求和即可.

【详解】解: 若半径为 $r$, 则四分之一圆弧长为 $\frac{1}{4} \times 2 \pi r=\frac{1}{2} \pi r$,

由图可知, $r=1,1,2,3,5,8$,

则 6 段圆弧的长分别为: $\frac{1}{2} \pi, \frac{1}{2} \pi, \pi, \frac{3}{2} \pi, \frac{5}{2} \pi, 4 \pi$,

$\therefore$ 图中斐波那契螺旋线的长为 6 段弧长之和，即 $10 \pi \approx 31.4$.

故选: B.

【点睛】本题考查了数字的变化规律及弧长公式, 找出这组数列中的规律是解决本题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O, \angle A=125^{\circ}$, 则 $\angle C$ 的度数为 ( )

  

  （第 2 题）

  
选项：
A. $45^{\circ}$
  B. $55^{\circ}$
  C. $65^{\circ}$
  D. $75^{\circ}$








答案：B
解析：根据圆内接四边形的性质计算即可.

【详解】 $\because$ 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 内接于 $\odot \mathrm{O}$,

$\therefore \angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{C}=180^{\circ}$,

$\because \angle \mathrm{A}=125^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{C}=55^{\circ}$,

故选 B.

【点睛】此题考查圆内接四边形的性质, 掌握圆内接四边形的对角互补是解题关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O, \angle A: \angle B: \angle C: \angle D=3: m: 4: n$, 则 $m, n$ 满足条件 ( )
  
选项：
A. $3 m=4 n$
  B. $4 m=3 n$
  C. $m+n=7$
  D. $m+n=180^{\circ}$


答案：C
解析：根据圆内接四边形的对角互补, 可得 $\angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ}$, 所以 $\angle A+\angle C$ 所占的份数一定和 $\angle B+\angle D$ 所占的份数相等, 则 $m+n=7$.

【详解】解: $\because$ 圆内接四边形 $A B C D$,

$\therefore \angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180^{\circ}$,

$\because \angle A: \angle B: \angle C: \angle D=3: m: 4: n$,

$\therefore m+n=7$.

故选: C.

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质, 熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：若扇形的圆心角为 $135^{\circ}$, 半径为 4 , 则该扇形的面积为 ( )
  
选项：
A. $\frac{9}{2} \pi$
  B. $3 \pi$
  C. $6 \pi$
  D. $12 \pi$


答案：C
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $A B$ 是半圆 $O$ 的直径, $C$ 是半圆 $O$ 上一点, 连结 $A C, B C$, 若半圆 $O$ 的半径为 $4, \angle B=54^{\circ}$, 则 $B C$ 的长为 ( )

  

  （第 6 题）

  
选项：
A. $\frac{4}{5} \pi$
  B. $\frac{8}{5} \pi$
  C. $\frac{12}{5} \pi$
  D. $\frac{16}{5} \pi$


答案：B
解析：连接 $O C$, 根据圆周角定理得到 $\angle A C B=90^{\circ}$, 根据 $\angle B=54^{\circ}, O A=O C$ 得到 $\angle C O B$,从而利用弧长公式计算.

【详解】解: 如图所示, 连接 $O C$,

$\because A B$ 是半圆 $O$ 的直径,

$\therefore \angle A C B=90^{\circ}$,

又 $\angle B=54^{\circ}$ ，
$\therefore \angle C A B=90^{\circ}-\angle B=90^{\circ}-54^{\circ}=36^{\circ}$,

$\because O A=O C$,

$\therefore \angle O A C=\angle O C A=\angle C A B=36^{\circ}$,

又 $\angle C O B=\angle O A C+\angle O C A=36^{\circ}+36^{\circ}=72^{\circ}$,

$\because$ 半圆 $O$ 半径为 4 ,

$\therefore O B=O C=4$,

$\therefore B C=\frac{72 \times \pi \times 4}{180}=\frac{8}{5} \pi$.

故选 B.



【点睛】本题考查了圆周角定理, 弧长公式, 等边对等角, 解题的关键是根据 $A B$ 是直径得到 $\angle A C B=90^{\circ}$.
题目（九年级 · 度量几何学）：“莱洛三角形”也称为圆弧三角形, 它是工业生产中广泛使用的一种图形. 如图, 分别以等边 $\triangle A B C$ 的三个顶点为圆心, 以边长为半径画弧, 三段圆弧围成的封闭图形是 “莱洛三角形”. 若等边 $\triangle A B C$ 的边长为 3 , 则该“莱洛三角形”的面积等于 ( )

  

  (第 9 题)

  
选项：
A. $\frac{9}{4}(\pi-\sqrt{3})$
  B. $\frac{9}{2}(2 \pi-\sqrt{3})$
  C. $9(\pi-\sqrt{3})$
  D. $\frac{9}{2}(\pi-\sqrt{3})$


答案：D
解析：mathrm{D}$
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\odot O$ 中, $C$ 是 $A B$ 上一点, $O A \perp O B$, 过点 $C$ 作弦 $C D$ 交 $O B$ 于 $E$, 若 $O A=D E$,则 $\angle C$ 与 $\angle A O C$ 满足的数量关系是（）

    

    （第 10 题）

    
选项：
A. $\angle C=\frac{1}{3} \angle A O C$
    B. $\angle C=\frac{1}{2} \angle A O C$
    C. $\angle C=\frac{2}{3} \angle A O C$
    D. $\angle C=\frac{3}{4} \angle A O C$

##
答案：C
解析：连接 $O D$, 易得 $O D=D E=O C$, 进而得到 $\angle C=\angle D$,

$\angle D O E=\angle D E O=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle D\right)$, 利用外角的性质, 得到

$\angle D E O=\angle C+\angle C O E=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle C\right)$, 又 $\angle C O E=90^{\circ}-\angle A O C$, 得到

$\angle C+90^{\circ}-\angle A O C=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle C\right)$, 即可得出结论.

【详解】解：连接 $O D$,



$\because O A=D E$,

$\therefore O D=D E=O C$,

$\therefore \angle C=\angle D, \angle D O E=\angle D E O=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle D\right)$,

$\therefore \angle D E O=\angle C+\angle C O E=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle C\right)$,

$\because O A \perp O B$,

$\therefore \angle A O B=90^{\circ}, \angle C O E=90^{\circ}-\angle A O C$,

$\therefore \angle C+90^{\circ}-\angle A O C=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle C\right)$,

$\therefore \angle C=\frac{2}{3} \angle A O C$;

故选 C.

【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质, 三角形的外角的性质. 正确的识图, 确定角之间的和差关系, 是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：半径为 6 的圆中, 一个扇形的圆心角为 $60^{\circ}$, 则该扇形的面积为 ( )
    
选项：
A. $6 \pi$
    B. $3 \pi$
    C. $2 \pi$
    D. $\pi$


答案：A
解析：根据扇形的面积公式 $S=\frac{n \pi R^{2}}{360}$ （ $n$ 为圆心角）进行计算即可.

【详解】解: $S=\frac{n \pi r^{2}}{360}=\frac{60 \pi \times 6^{2}}{360}=6 \pi$.

故选: A.

【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算, 熟练掌握扇形面积的计算方法是解决本题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 扇形纸扇完全打开后, 扇面 (即扇形 $A B C$ ) 的面积为 $135 \pi \mathrm{cm}^{2}$, 竹条 $A B, A C$的长均为 $18 \mathrm{~cm}, D, E$ 分别为 $A B, A C$ 的中点, 则 $D E$ 的长为 ( )

  

  (第 3 题)

  
选项：
A. $\frac{13}{2} \pi \mathrm{cm}$
  B. $7 \pi \mathrm{cm}$
  C. $\frac{15}{2} \pi \mathrm{cm}$
  D. $8 \pi \mathrm{cm}$


答案：C
解析：先根据题意利用扇形面积公式求出 $\angle B A C$ 的度数, 再根据弧长公式求解即可.

【详解】 $\because A B=18 \mathrm{~cm}, D, E$ 分别为 $A B, A C$ 的中点,

$\therefore A D=A E=9 \mathrm{~cm}$,

$\because$ 扇面（即扇形 $A B C$ ）的面积为 $135 \pi \mathrm{cm}^{2}$,

$\therefore S_{\text {扇形 } A B C}=\frac{n \pi \times 18^{2}}{360}=135 \pi$,

解得 $n=150$,

$\therefore \angle A B C=150^{\circ}$,

$\therefore D E=\frac{150 \cdot \pi \times 9}{180}=\frac{15}{2} \pi \mathrm{cm}$,

故选: C.

【点睛】本题考查了扇形的面积公式 $\left(S=\frac{n \pi r^{2}}{360}\right)$ 和弧长公式 $\left(l=\frac{n \pi r}{180}\right)$, 熟练掌握知识点是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 正六边形 $\mathrm{ABCDEF}$ 内接于圆 $\mathrm{O}$, 正六边形的周长是 12 , 则圆 $\mathrm{O}$ 的半径是 ( )

  

  (第 5 题)

  
选项：
A. $\sqrt{3}$
  B. $2 \sqrt{3}$
  C. $2 \sqrt{2}$
  D. 2


答案：B
解析：详解】试题分析: 已知正六边形的周长是 12, 可得 $\mathrm{BC}=2$, 连接 $\mathrm{OB} 、 \mathrm{OC}$, 可得 $\angle \mathrm{BOC}=\frac{360^{\circ}}{6}=60^{\circ}$, 所以 $\triangle \mathrm{BOC}$ 为等边三角形, 所以 $\mathrm{OB}=\mathrm{BC}=2$, 即 $\mathrm{O} O$ 的半径是 2 , 故选 D.

考点: 正多边形和圆.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 线段 $C D$ 是 $\odot O$ 的直径, $C D \perp A B$ 于点 $E$, 若 $A B$ 长为 $16, O E$ 长为 6 , 则 $\odot O$ 半径是 $(\quad$ )

  

  (第 8 题)

  
选项：
A. 5
  B. 6
  C. 8
  D. 10


答案：D
解析：连接 $O B$, 由垂径定理可得 $B E=A E=8$, 由勾股定理计算即可获得答案.

【详解】解: 如图, 连接 $O B$,



$\because$ 线段 $C D$ 是 $\odot O$ 的直径, $C D \perp A B$ 于点 $E, A B=16$,

$\therefore B E=A E=\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} \times 16=8$,

$\therefore$ 在 Rt $\triangle O B E$ 中, 可有 $O B=\sqrt{O E^{2}+B E^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$,

$\therefore \odot O$ 半径是 10 .

故选: D.

【点睛】本题主要考查了垂径定理及勾股定理等知识, 理解并掌握垂径定理是解题关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 点 $A, B, C$ 在 $\odot O$ 上, $\angle B A C=40^{\circ}$, 则 $\angle B O C$ 的度数为 ( )

  

  (第 9 题)

  
选项：
A. $20^{\circ}$
  B. $80^{\circ}$
  C. $50^{\circ}$
  D. $100^{\circ}$


答案：B
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, 点 $D$ 在边 $A B$ 上, 过点 $D$ 作 $D E / / B C$, 交 $A C$ 于点 $E$. 若 $A D=2, B D=3$, 则 $\frac{A E}{A C}$ 的值是 ( )

  

  （第 4 题）

  
选项：
A. 0.5
  B. 0.4
  C. 0.6
  D. 0.8


答案：B
解析：利用平行线分线段成比例定理的推论得出 $\frac{A E}{A C}=\frac{A D}{A B}$, 即可求解.

【详解】解: $\because \triangle A B C$ 中, $D E / / B C$,

$\therefore \frac{A E}{A C}=\frac{A D}{A B}$,

$\because A D=2, B D=3$

$\therefore \frac{A E}{A C}=\frac{A D}{A D+B D}=\frac{2}{2+3}=\frac{2}{5}$,

故选: B.

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论, 解题关键是牢记“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例".
题目（九年级 · 度量几何学）：若 $\triangle A B C \sim \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}, \angle A=40^{\circ}, \angle B=110^{\circ}$, 则 $\angle C^{\prime}$ 的度数为（）
    
选项：
A. $30^{\circ}$
    B. $40^{\circ}$
    C. $70^{\circ}$
    D. $110^{\circ}$


答案：A
解析：若 $\triangle A B C \sim \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$, 则说明点 $\mathrm{A}$ 的对应点为点 $A^{\prime}$, 点 $\mathrm{B}$ 的对应点 $B^{\prime}$, 点 $\mathrm{C}$ 的对应点为点 $C^{\prime}$, 且对应角相等.

【详解】因为 $\triangle A B C \sim \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$, 所以 $\angle C=\angle C^{\prime}$. 因为 $\angle A=40^{\circ}, \angle B=110^{\circ}$, 所以 $\angle C=30^{\circ}$,所以 $\angle C^{\prime}=30^{\circ}$.

故选 A.

【点睛】考核知识点: 相似比.熟记相似三角形性质:对应角相等, 是关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：含 $60^{\circ}$ 角的直角三角板 $A B C\left(\angle A=60^{\circ}\right)$ 与含 $45^{\circ}$ 角的直角三角板 $B C D$ 如图放置, 它们的斜边 $A C$ 与斜边 $B D$ 相交于点 $E$. 下列结论正确的是（）

  

  （第 7 题）

  
选项：
A. $\triangle A B E \sim \triangle B C E$
  B. $\triangle A B E \sim \triangle C D E$
  C. $\triangle B C E \sim \triangle D C E$
  D. $\triangle A B C \backsim \triangle D C B$


答案：B
解析：根据相似三角形的判定方法, 进行判断即可.

【详解】解：由图可知： $\angle A B C=\angle B C D=90^{\circ}$,

$\therefore A B / / C D$,

$\therefore \angle A B E=\angle C D E, \angle B A E=\angle D C E$,

$\therefore \triangle A B E \sim \triangle C D E ;$

故选 B.

【点睛】本题考查相似三角形的判定. 熟练掌握相似三角形的判定方法, 是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：下列四组条件中, 能识别 $\triangle A B C$ 与 $\triangle D E F$ 相似的是（）
    
选项：
A. $\angle A=45^{\circ}, \angle B=55^{\circ} ; \angle D=45^{\circ}, \angle F=75^{\circ}$
    B. $A B=6, \quad B C=5, \angle B=40^{\circ}, D E=5, E F=6, \angle E=40^{\circ}$
    C. $A B=5, \quad B C=4, \angle A=45^{\circ}, D E=5, \quad E F=4, \angle D=45^{\circ}$
    D. $A B=B C, \angle A=50^{\circ} ; D E=E F, \angle E=50^{\circ}$


答案：B
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 已知 $\triangle A B C \sim \triangle E D C, A C: E C=2: 3$, 若 $A B$ 的长度为 6 , 则 $D E$ 的长度为 ( )

  

  (第 1 题)

  
选项：
A. 4
  B. 9
  C. 12
  D. 13.5








答案：B
解析：根据相似三角形的性质即可求出.

【详解】解: $\because \triangle A B C \sim \triangle E D C$,

$\therefore A C: E C=A B: D E$,

$\because A C: E C=2: 3, \quad A B=6$,

$\therefore 2: 3=6: D E$,

$\therefore D E=9$,

故选: B.

【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的边长比等于相似比是解决此题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $\triangle A D E \sim \triangle A C B, D E=5, S_{\triangle A D E}: S_{\text {四边形BCED }}=9: 16$, 则 $B C$ 为 $(\quad)$

  

  (第 2 题)

  
选项：
A. 8
  B. $\frac{20}{3}$
  C. $\frac{25}{3}$
  D. 10


答案：C
解析：根据 $S_{\triangle A D E}: S_{\text {四边形BCED }}$ 的比, 可得 $S_{\triangle A D E}: S_{\triangle A C B}$ 的比, 利用面积比是相似比的平方,可得 $\frac{D E}{B C}$, 从而可得答案.

【详解】解： $\because S_{\triangle A D E}: S_{\text {四边形 } B C E D}=9: 16$,

$\therefore S_{\triangle A D E}: S_{\triangle A C B}=9: 25$,

$\therefore$ 相似比为 $k=3: 5$, 即 $\frac{D E}{B C}=\frac{3}{5}, \frac{5}{B C}=\frac{3}{5}$,

$\therefore B C=\frac{25}{3}$;

故选: C.

【点睛】本题考查了形似三角形的性质, 解题的关键是掌握面积比是相似比的平方.
题目（九年级 · 度量几何学）：图 1 是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图, 图 2 是它的侧面示意图, $A D$ 与 $C B$ 相交于点 $O, A B / / C D$, 根据图 2 中的数据可得 $x$ 的值为 ( )

  

  图1

  

  图2

  (第 3 题)

  
选项：
A. 0.8
  B. 0.96
  C. 1
  D. 1.08


答案：B
解析：由 $A B / / C D$, 可得出 $\triangle C O D \sim \triangle B O A$, 进而得出 $\frac{0.8}{1}=\frac{x}{1.2}$, 解出即可得出结论.

【详解】解: $\because A B / / C D$,

$\therefore \triangle C O D \sim \triangle B O A$,

$\therefore \frac{0.8}{1}=\frac{x}{1.2}$,

$\therefore x=0.96$,

故选: B

【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质, 熟练掌握相似的判定和性质是解此题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 某同学利用镜面反射的原理巧妙地测出了树的高度, 已知人的站位点 $A$, 镜子 $O$, 树底 $B$ 三点在同一水平线上, 眼睛与地面的高度为 1.6 米, $O A=2.4$ 米, $O B=6$米, 则树高为 ( ) 米

  

  (第 5 题)

  
选项：
A. 4
  B. 5
  C. 6
  D. 7


答案：A
解析：点 $O$ 作镜面的法线 $F O$, 由入射角等于反射角可知 $\angle C O F=\angle D O F$, 则 $\angle C O A=\angle D O B$, 由相似三角形的判定定理可得出 $\triangle A C O \sim \triangle B D O$, 再根据相似三角形的对应边成比例即可求出 $B D$ 的长.

【详解】解：点 $O$ 作镜面的法线 $F O$, 由入射角等于反射角可知 $\angle C O F=\angle D O F$,



$\because \angle C O A=90^{\circ}-\angle C O F$,

$\angle D O B=90^{\circ}-\angle D O F$,

$\therefore \angle C O A=\angle D O B$,

又 $\because \angle C A O=\angle O B D=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle A C O \sim \triangle B D O$,

$\therefore \frac{A C}{B D}=\frac{O A}{O B}$,

$\because A C=1.6$ 米, $O A=2.4$ 米, $O B=6$ 米

$\therefore \frac{1.6}{B D}=\frac{2.4}{6}$,

$\therefore B D=4$ 米.

故选: A.

【点睛】本题考查相似三角形性质的应用, 解题时关键是找出相似的三角形, 然后根据对应边成比例

列出方程, 建立适当的数学模型来解决问题.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $P$ 是 $\triangle A B C$ 重心, $E F / / B C$ 且经过点 $P$, 则 $\frac{B E}{A B}$ 的值为 ( )

选项：
A. $\frac{3}{4}$
B. $\frac{1}{2}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{1}{3}$


答案：D
题目（九年级 · 度量几何学）：下列条件中, 能确定一个圆的是 ( )
  
选项：
A. 以点 $O$ 为圆心
  B. 以 $2 \mathrm{~cm}$ 长为半径
  C. 以点 $O$ 为圆心, $10 \mathrm{~cm}$ 长为半径
  D. 经过点 $\mathrm{A}$


答案：C
解析：确定一个圆有两个重要因素, 一是圆心, 二是半径, 据此可以得到答案.

【详解】解: $\because$ 圆心确定, 半径确定后才可以确定圆,

$\therefore$ C 选项正确,

故选: C.

【点睛】本题考查了确定圆的条件, 确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图 2 所示, 它是以 $O$ 为圆心. $O A, O B$ 长分别为半径, 圆心角 $\angle O=120^{\circ}$ 形成的扇面, 若 $O A=4 \mathrm{~m}, O B=2 \mathrm{~m}$, 则阴影部分的面积是（）



图1



图2

选项：
A. $\frac{4}{3} \pi$
B. $\frac{8}{3} \pi$
C. $4 \pi$
D. $\frac{16}{3} \pi$

##
答案：C
解析：根据扇形面积的计算方法, 计算圆环的面积即可求解.

【详解】解: 圆心角 $\angle O=120^{\circ}, O A=4 \mathrm{~m}, O B=2 \mathrm{~m}$,

$\therefore S_{\text {阴影 }}=\frac{120}{360} \pi \times O A^{2}-\frac{120}{360} \pi \times O B^{2}=\frac{120}{360} \pi \times\left(O A^{2}-O B^{2}\right)$,

$\therefore S_{\text {阴影 }}=\frac{120}{360} \pi \times\left(O A^{2}-O B^{2}\right)=\frac{1}{3} \pi \times\left(4^{2}-2^{2}\right)=4 \pi$,

故选: C.

【点睛】本题主要考查扇形面积的计算, 理解图示, 掌握扇形面积的计算方法, 圆环面积的计算方法是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：已知 $\odot O$ 的半径为 $4 \mathrm{~cm}$, 点 $P$ 在 $\odot O$ 上, 则 $O P$ 的长为 ( )
  
选项：
A. $2 \mathrm{~cm}$
  B. $4 \mathrm{~cm}$
  C. $5 \mathrm{~cm}$
  D. $8 \mathrm{~cm}$


答案：B
解析：根据点在圆上, 点到圆心的距离等于圆的半径求解即可.

【详解】解: $\because \odot O$ 的半径为 $4 \mathrm{~cm}$, 点 $P$ 在 $\odot O$ 上, $\therefore O P=4 \mathrm{~cm}$.

故选: B.

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系: 设 $\odot O$ 的半径为 $r$, 点 $P$ 到圆心的距离 $O P=d$, 则有: 点 $P$ 在圆外时, $d>r$; 点 $P$ 在圆上时, $d=r$; 点 $P$ 在圆内时, $d<r$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 点 $\mathrm{A} 、 B 、 C$ 在 $\odot O$ 上, 若 $\angle C=38^{\circ}$, 则 $\angle A O B$ 的度数为 ( )

  

  (第 4 题)

  
选项：
A. $38^{\circ}$
  B. $76^{\circ}$
  C. $80^{\circ}$
  D. $60^{\circ}$


答案：B
解析：根据圆周角定理求解即可.

【详解】解: $\because \angle A O B=2 \angle C, \angle C=38^{\circ}$, $\therefore \angle A O B=76^{\circ}$,

故选: B.

【点睛】此题考查了圆周角定理, 熟记圆周角定理是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $P$ 是 $\odot O$ 上一点, 若 $\angle P A B=32^{\circ}$, 则 $\angle P B A$ 的度数是 ( )

  

  (第 7 题)

  
选项：
A. $68^{\circ}$
  B. $58^{\circ}$
  C. $60^{\circ}$
  D. $64^{\circ}$


答案：B
解析：根据直径所对的圆周角是直角可得 $\angle A P B=90^{\circ}$, 然后利用直角三角形的两个锐角互余, 进行计算即可解答.

【详解】解: $\because A B$ 是 $\odot O$ 的直径,

$\therefore \angle A P B=90^{\circ}$,

$\because \angle P A B=32^{\circ}$,

$\therefore \angle P B A=90^{\circ}-32^{\circ}=58^{\circ}$,

故选: B.

【点睛】本题考查了圆周角定理, 熟练掌握圆周角定理是解题的关键.

##
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 线段 $C D$ 是 $\odot O$ 的直径, $C D \perp A B$ 于点 $E$, 若 $A B$ 长为 $16, O E$ 长为 6 , 则 $\odot O$半径是 ( )

  

  （第 8 题）

  
选项：
A. 5
  B. 6
  C. 8
  D. 10


答案：D
解析：连接 $O B$, 由垂径定理可得 $B E=A E=8$, 由勾股定理计算即可获得答案.

【详解】解：如图, 连接 $O B$,



$\because$ 线段 $C D$ 是 $\odot O$ 的直径, $C D \perp A B$ 于点 $E, A B=16$,

$\therefore B E=A E=\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} \times 16=8$,

$\therefore$ 在 Rt $\triangle O B E$ 中, 可有 $O B=\sqrt{O E^{2}+B E^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$,

$\therefore \odot O$ 半径是 10 .

故选: D.

【点睛】本题主要考查了垂径定理及勾股定理等知识, 理解并掌握垂径定理是解题关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $\triangle A B C$ 与 $\triangle D E F$ 位似, 位似中心为点 $O$. 若 $\triangle A B C$ 的周长与 $\triangle D E F$ 的周长比为 $\frac{4}{9}$, 则 $A O: D O$ 的值为 $(\quad)$

  

  (第 5 题)

  
选项：
A. $2: 3$
  B. $2: 5$
  C. $4: 9$
  D. $4: 5$


答案：C
解析：利用相似三角形的周长比等于相似比即可求解.

【详解】解: $\because$ 这两个位似三角形的周长比为 $\frac{4}{9}$,

$\therefore O A: O D=4: 9$,

故选: C.

【点睛】本题考查了位似和相似三角形的性质, 牢记位似中心到对应点所连的线段比等于相似比是解题关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图是物体 $A B$ 在焦距为 $a \mathrm{~cm}$ （即 $O E=O F=a \mathrm{~cm}$ ）的凸透镜下成倒立放大实像的光路示意图. 从点 $\mathrm{A}$ 发出的平行于 $B D$ 的光束折射后经过右焦点 $F$, 而经过光心 $O$ 点的光束不改变方向, 最后 $\mathrm{A}$ 点发出的光汇聚于点 $C, B$ 点发出的光汇聚于点 $D$, 从而得到最清晰的实像. 若物距 $O B=b \mathrm{~cm}$, 则像距 $O D$ 为 $(\quad \mathrm{cm}$.

  

  (第 9 题)

  
选项：
A. $\frac{a^{2}}{b-a}$
  B. $\frac{b^{2}}{b-a}$
  C. $\frac{b^{2}}{a}$
  D. $\frac{a b}{b-a}$


答案：D
解析：由题意可得 $A B / / O G / / C D, A B=O G$ ，易推出 $\triangle A B O \sim \triangle C D O ， \triangle G F O \sim \triangle C D O$,根据相似三角形的性质及 $A B=O G$ 得 $\frac{A B}{C D}=\frac{O G}{C D}=\frac{O B}{O D}=\frac{O F}{D F}$, 设 $D F=x \mathrm{~cm}$, 则

$O D=(x+a) \mathrm{cm}$, 列出关于 $x$ 的分式方程, 解方程即可.

【详解】解：由题意得： $A B / / O G / / C D, A B=O G$,

$\therefore \angle A B O=\angle G O F=\angle C D O, \angle A O B=\angle C O D, \angle G F O=\angle C D F$,

$\therefore \triangle A B O \sim \triangle C D O, \triangle G F O \sim \triangle C D O$,

$\therefore \frac{A B}{C D}=\frac{O B}{O D}, \quad \frac{O G}{C D}=\frac{O F}{D F}$,

$\because A B=O G$,
$\therefore \frac{A B}{C D}=\frac{O G}{C D}=\frac{O B}{O D}=\frac{O F}{D F}$,

设 $D F=x \mathrm{~cm}$, 则 $O D=(x+a) \mathrm{cm}$,

$\therefore \frac{b}{x+a}=\frac{a}{x}$,

解得: $x=\frac{a^{2}}{b-a}$,

经检验 $x=\frac{a^{2}}{b-a}$ 为原分式方程的解,

$\therefore O D=x+a=\frac{a^{2}}{b-a}+a=\frac{a^{2}+a b-a^{2}}{b-a}=\frac{a b}{b-a}$,

故选: D.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质, 分式方程, 熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：$\odot O$ 的半径为 $5 \mathrm{~cm}$, 点 $\mathrm{A}$ 到圆心 $O$ 的距离是 $3 \mathrm{~cm}$, 则点 $\mathrm{A}$ 与 $\odot O$ 的位置关系为 ( )

选项：
A. 点 $\mathrm{A}$ 在 $\odot O$ 上
B. 点 $\mathrm{A}$ 在 $\odot O$ 内
C. 点 $\mathrm{A}$ 在 $\odot O$ 外
D. 无法确定

答案：B
解析：根据点与圆的位置关系判断即可.

【详解】 $\because \odot O$ 的半径为 $5 \mathrm{~cm}$, 点 $\mathrm{A}$ 到圆心 $O$ 的距离是 $3 \mathrm{~cm}$, 且 $3 \mathrm{~cm}<5 \mathrm{~cm}$,

$\therefore$ 点 $\mathrm{A}$ 在 $\odot O$ 内,

故选: B.

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系: 设 $\odot O$ 的半径为 $r$, 点 $P$ 到圆心的距离 $O P=d$, 则有点 $P$ 在圆外 $\Leftrightarrow d>r$; 点 $P$ 在圆上 $\Leftrightarrow d=r$; 点 $P$ 在圆内 $\Leftrightarrow d<r$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图 1 为某酒店的圆形旋转门, 可看成如图 2 由外围的 $\odot O$ 和 3 翼隔风玻璃组成，外围圆有通道 $A B$ 和 $C D$, 且它们关于圆心 $O$ 中心对称, 圆内的 3 翼隔风玻璃可绕圆心 $O$转动, 且所成的夹角 $\angle E O F=\angle F O G=\angle G O E=120^{\circ}, 3$ 翼隔风玻璃在转动过程中, 始终使大厅内外空气隔离, 起到对大厅内保温作用. 例如: 当隔风玻璃转到如图 2 位置时,大厅内外空气被隔风玻璃 $O F, O G$ 隔离. 则通道 $A B$ 所对圆心角的度数的最大值为 $($ )



图1



图2

选项：
A. $30^{\circ}$
B. $60^{\circ}$
C. $90^{\circ}$
D. $120^{\circ}$

##
答案：B
解析：由题意得可得 $\angle A O B$ 与 $\angle C O D$ 的最大值的和为 $120^{\circ}$, 结合 $A B$ 和 $C D$ 关于圆心 $O$ 中心对称即可求解.

【详解】解: $\because \angle E O F=\angle F O G=\angle G O E=120^{\circ}$

$\therefore \angle A O C$ 与 $\angle B O D$ 的最小值为 $120^{\circ}$

$\therefore \angle A O B$ 与 $\angle C O D$ 的最大值的和为 $120^{\circ}$

$\because A B$ 和 $C D$ 关于圆心 $O$ 中心对称

$\therefore A B=C D$

$\therefore \angle A O B=\angle C O D$, 最大值为 $\frac{1}{2} \times 120^{\circ}=60^{\circ}$

故选: B

【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系. 得出 $\angle A O B$ 与 $\angle C O D$ 的最大值的和为 $120^{\circ}$ 是解题关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, 弦 $C D \perp A B$, 垂足为 $M$, 下列结论不一定成立的是 ( )



选项：
A. $C M=D M$
B. $C B=D B$
C. $A C=A D$
D. $O M=M B$


答案：D
解析：利用垂径定理可判断 $\mathrm{A}$ 选项; 从而可得 $A B$ 是线段 $C D$ 的垂直平分线，进而可得 $A C=A D$, 进而可得 $\angle C A B=\angle D A B, \angle A C D=\angle A D C$, 利用圆周角定理可判断 $\mathrm{B}$ 和 $\mathrm{C}$; 由题意不能得到 $O M=M B$ ，进而可判断 D.

【详解】解: $\because A B$ 是 $\odot O$ 的直径, 弦 $C D \perp A B$, 垂足为 $M$,

$\therefore C M=D M$, 则 $\mathrm{A}$ 选项正确, 故 $\mathrm{A}$ 选项不符合题意;

$\therefore A B$ 是线段 $C D$ 的垂直平分线，

$\therefore A C=A D$,

$\therefore \angle C A B=\angle D A B, \angle A C D=\angle A D C$,

$\therefore C B=D B$, 则 $\mathrm{B}$ 选项正确, 故 $\mathrm{B}$ 选项不符合题意;

$A C=A D$, 则 $\mathrm{C}$ 选项正确, 故 $\mathrm{C}$ 选项不符合题意;

$\mathrm{D}$ 、由题意不能得到 $O M=M B$, 则 $\mathrm{D}$ 选项不一定成立, 符合题意,

故选 D.

【点睛】本题考查了垂径定理及圆周角定理, 熟练掌握其定理是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：下列正多边形的中心角最小的是 ( )

选项：
A.


B.


C.


D.




答案：A
解析：根据正多边形的边数为 $n$, 则正多边形中心角为 $\frac{360^{\circ}}{n}$ 计算即可.

【详解】解: A. 中心角度数为: $360^{\circ} \div 8=45^{\circ}$,

B. 中心角度数为: $360^{\circ} \div 6=60^{\circ}$,

C. 中心角度数为: $360^{\circ} \div 5=72^{\circ}$,

D. 中心角度数为: $360^{\circ} \div 4=90^{\circ}$,故中心角最小的是 $45^{\circ}$.

故选: A.

【点睛】本题考查的是正多边形和圆的有关知识, 掌握正多边形的中心角的计算公式是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 某小区要绿化一扇形 $O A B$ 空地, 准备在小扇形 $O C D$ 内种花在其余区域内（阴影部分）种草，测得 $\angle A O B=120^{\circ} ， O A=15 \mathrm{~m} ， O C=10 \mathrm{~m}$ ，则种草区域的面积为（）



选项：
A. $\frac{25 \pi}{3} \mathrm{~m}^{2}$
B. $\frac{125 \pi}{3} m^{2}$
C. $\frac{250 \pi}{3} \mathrm{~m}^{2}$
D. $\frac{125}{3} \mathrm{~m}^{2}$


答案：B
解析：种草区域的面积等于大扇形面积减去小扇形面积, 利用利用扇形的面积公式计算即可.

【详解】解： $\because \angle A O B=120^{\circ}, O A=15 \mathrm{~m}, O C=10 \mathrm{~m}$,

$\therefore$ 种草区域的面积为 $\frac{120 \pi \cdot 15^{2}}{360}-\frac{120 \pi \cdot 10^{2}}{360}=\frac{125}{3} \pi\left(\mathrm{m}^{2}\right)$,

故选: B.

【点睛】本题考查扇形的面积, 解题的关键是记住扇形的面积公式: 扇形面积 $=\frac{n \pi r^{2}}{360}$.