题目（七年级 · 度量几何学）：（2020$\cdot$浙江湖州市$\cdot$七年级期末）问题情境: 如图 1, $\mathrm{AB} / / \mathrm{CD}, \angle \mathrm{A}=30^{\circ}, \angle \mathrm{C}=40^{\circ}$, 求 $\angle \mathrm{AEC}$的度数.小明的思路是:





图1



图2



图3

（1）初步尝试: 按小明的思路, 求得 $\angle \mathrm{AEC}$ 的度数; (2) 问题迁移：如图 2, $\mathrm{AB} / / \mathrm{CD}$, 点 $\mathrm{E} 、 \mathrm{~F}$为 $\mathrm{AB} 、 \mathrm{CD}$ 内部两点, 问 $\angle \mathrm{A} 、 \angle \mathrm{E} 、 \angle \mathrm{F}$ 和 $\angle \mathrm{D}$ 之间有何数量关系? 请说明理由;

(3) 应用拓展: 如图 3, $\mathrm{AB} / / \mathrm{CD}$, 点 $\mathrm{E} 、 \mathrm{~F}$ 为 $\mathrm{AB} 、 \mathrm{CD}$ 内部两点, 如果 $\angle \mathrm{E}+\angle \mathrm{EFG}=160^{\circ}$, 请直接写出 $\angle \mathrm{B}$ 与 $\angle$ $\mathrm{D}$ 之问的数量关系.

选项：
答案：(1) $70^{\circ}$
(2) 答案见解析
(3) $\angle B+\angle D=160^{\circ}$

【分析】(1) 添加辅助线, 转化基本图形, 过 $\mathrm{E}$ 作 $\mathrm{EM} / / \mathrm{AB}$, 利用平行线的性质可证得 $\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{AEM}$, $\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{CEM} ，$ 再证明 $\angle \mathrm{AEC}=\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{C}$, 继而可解答问题;

(2) 添加辅助线, 转化两直线平行的基本图形, 过点 $\mathrm{E}$ 作 $\mathrm{EM} / / \mathrm{AB}$, 过点 $\mathrm{F}$ 作 $\mathrm{FN} / / \mathrm{AB}$, 利用平行线的性质可证 $\mathrm{AB} / / \mathrm{ME} / / \mathrm{FN} / / \mathrm{CD}$, 再根据两直线平行, 内错角相等, 可证得 $\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{AEM}, \angle \mathrm{MEF}=$ $\angle \mathrm{EFN}, \angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{DFN}$, 然后将三式相加, 可证得结论;

(3) 过点 $E$ 作 $E H / / A B$, 过点 $F$ 作 $F M / / A B$, 结合已知可证得 $A B / / C D / / F M / / E H$, 利用两直线平行, 同位角相等, 同旁内角互补, 可证 $\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{BEH}, \angle \mathrm{EFM}=\angle \mathrm{HEF}, \angle \mathrm{MFD}+\angle \mathrm{D}=180^{\circ}$, 再将三个等式相加, 整理可得到 $\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{D}=180^{\circ}+\angle \mathrm{BEF}-\angle \mathrm{EFD}$, 然后由 $\angle \mathrm{BEF}+\angle \mathrm{EFG}=160^{\circ}$, 可推出 $\angle \mathrm{BEF}-$ $\angle \mathrm{EFD}=-20^{\circ}$, 整体代入求出 $\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{D}$ 的值.

【详解】(1) 如图, 过 E 作 EM// AB,

<ImageHere>

$\because \mathrm{AB} / / \mathrm{CD}, \quad \therefore \mathrm{AB} / / \mathrm{ME} / / \mathrm{CD}, \quad \therefore \angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{AEM}, \quad \angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{CEM}, \quad \therefore \angle \mathrm{AEC}=\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{C}=70^{\circ}$;

(2) $\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{EFD}=\angle \mathrm{AEF}+\angle \mathrm{D}$

理由如下: 过点 $\mathrm{E}$ 作 $\mathrm{EM} / / \mathrm{AB}$, 过点 $\mathrm{F}$ 作 $\mathrm{FN} / / \mathrm{AB}$

<ImageHere>

$\because \mathrm{AB} / / \mathrm{CD}, \quad \therefore \mathrm{AB} / / \mathrm{ME} / / \mathrm{FN} / / \mathrm{CD}, \quad \therefore \angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{AEM}, \quad \angle \mathrm{MEF}=\angle \mathrm{EFN}, \angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{DFN}$,
$\therefore \angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{EFD}=\angle \mathrm{AEF}+\angle \mathrm{D}$

(3) 过点 $\mathrm{E}$ 作 $\mathrm{EH} / / \mathrm{AB}$, 过点 $\mathrm{F}$ 作 $\mathrm{FM} / / \mathrm{AB}$,

<ImageHere>

图3

$\because \mathrm{AB} / / \mathrm{CD}, \quad \therefore \mathrm{AB} / / \mathrm{CD} / / \mathrm{FM} / / \mathrm{EH}$,

$\therefore \angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{BEH}, \angle \mathrm{EFM}=\angle \mathrm{HEF}, \angle \mathrm{MFD}+\angle \mathrm{D}=180^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{EFM}+\angle \mathrm{MFD}+\angle \mathrm{D}=180^{\circ}+\angle \mathrm{BEH}+\angle \mathrm{HEF}$,

$\therefore \angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{D}+\angle \mathrm{EFD}=180^{\circ}+\angle \mathrm{BEF}, \quad \therefore \angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{D}=180^{\circ}+\angle \mathrm{BEF}-\angle \mathrm{EFD}$ 。

$\because \angle \mathrm{BEF}+\angle \mathrm{EFG}=160^{\circ}, \therefore \angle \mathrm{BEF}+180^{\circ}-\angle \mathrm{EFD}=160^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BEF}-\angle \mathrm{EFD}=-20^{\circ} \quad \therefore \angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{D}=180^{\circ}-20^{\circ}=160^{\circ}$.

【点睛】此题考查平行线的性质和判定, 正确添加辅助线, 熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
解析：(1) 添加辅助线, 转化基本图形, 过 $\mathrm{E}$ 作 $\mathrm{EM} / / \mathrm{AB}$, 利用平行线的性质可证得 $\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{AEM}$, $\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{CEM} ，$ 再证明 $\angle \mathrm{AEC}=\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{C}$, 继而可解答问题;

(2) 添加辅助线, 转化两直线平行的基本图形, 过点 $\mathrm{E}$ 作 $\mathrm{EM} / / \mathrm{AB}$, 过点 $\mathrm{F}$ 作 $\mathrm{FN} / / \mathrm{AB}$, 利用平行线的性质可证 $\mathrm{AB} / / \mathrm{ME} / / \mathrm{FN} / / \mathrm{CD}$, 再根据两直线平行, 内错角相等, 可证得 $\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{AEM}, \angle \mathrm{MEF}=$ $\angle \mathrm{EFN}, \angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{DFN}$, 然后将三式相加, 可证得结论;

(3) 过点 $E$ 作 $E H / / A B$, 过点 $F$ 作 $F M / / A B$, 结合已知可证得 $A B / / C D / / F M / / E H$, 利用两直线平行, 同位角相等, 同旁内角互补, 可证 $\angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{BEH}, \angle \mathrm{EFM}=\angle \mathrm{HEF}, \angle \mathrm{MFD}+\angle \mathrm{D}=180^{\circ}$, 再将三个等式相加, 整理可得到 $\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{D}=180^{\circ}+\angle \mathrm{BEF}-\angle \mathrm{EFD}$, 然后由 $\angle \mathrm{BEF}+\angle \mathrm{EFG}=160^{\circ}$, 可推出 $\angle \mathrm{BEF}-$ $\angle \mathrm{EFD}=-20^{\circ}$, 整体代入求出 $\angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{D}$ 的值.

【详解】(1) 如图, 过 E 作 EM// AB,



$\because \mathrm{AB} / / \mathrm{CD}, \quad \therefore \mathrm{AB} / / \mathrm{ME} / / \mathrm{CD}, \quad \therefore \angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{AEM}, \quad \angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{CEM}, \quad \therefore \angle \mathrm{AEC}=\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{C}=70^{\circ}$;

(2) $\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{EFD}=\angle \mathrm{AEF}+\angle \mathrm{D}$

理由如下: 过点 $\mathrm{E}$ 作 $\mathrm{EM} / / \mathrm{AB}$, 过点 $\mathrm{F}$ 作 $\mathrm{FN} / / \mathrm{AB}$



$\because \mathrm{AB} / / \mathrm{CD}, \quad \therefore \mathrm{AB} / / \mathrm{ME} / / \mathrm{FN} / / \mathrm{CD}, \quad \therefore \angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{AEM}, \quad \angle \mathrm{MEF}=\angle \mathrm{EFN}, \angle \mathrm{D}=\angle \mathrm{DFN}$,
$\therefore \angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{EFD}=\angle \mathrm{AEF}+\angle \mathrm{D}$

(3) 过点 $\mathrm{E}$ 作 $\mathrm{EH} / / \mathrm{AB}$, 过点 $\mathrm{F}$ 作 $\mathrm{FM} / / \mathrm{AB}$,



图3

$\because \mathrm{AB} / / \mathrm{CD}, \quad \therefore \mathrm{AB} / / \mathrm{CD} / / \mathrm{FM} / / \mathrm{EH}$,

$\therefore \angle \mathrm{B}=\angle \mathrm{BEH}, \angle \mathrm{EFM}=\angle \mathrm{HEF}, \angle \mathrm{MFD}+\angle \mathrm{D}=180^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{EFM}+\angle \mathrm{MFD}+\angle \mathrm{D}=180^{\circ}+\angle \mathrm{BEH}+\angle \mathrm{HEF}$,

$\therefore \angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{D}+\angle \mathrm{EFD}=180^{\circ}+\angle \mathrm{BEF}, \quad \therefore \angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{D}=180^{\circ}+\angle \mathrm{BEF}-\angle \mathrm{EFD}$ 。

$\because \angle \mathrm{BEF}+\angle \mathrm{EFG}=160^{\circ}, \therefore \angle \mathrm{BEF}+180^{\circ}-\angle \mathrm{EFD}=160^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BEF}-\angle \mathrm{EFD}=-20^{\circ} \quad \therefore \angle \mathrm{B}+\angle \mathrm{D}=180^{\circ}-20^{\circ}=160^{\circ}$.

【点睛】此题考查平行线的性质和判定, 正确添加辅助线, 熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.