题目（八年级 · 解析几何）：如图所示, 在菱形 $A B C D$ 中, $A B=4, \angle B A D=120^{\circ}, \triangle A E F$ 为正三角形, 点 $E 、 F$ 分别在菱形
的边 $B C 、 C D$ 上滑动, 且 $E 、 F$ 不与 $B 、 C 、 D$ 重合.

(1)证明不论 $E 、 F$ 在 $B C 、 C D$ 上如何滑动, 总有 $B E=C F$;

(2)当点 $E 、 F$ 在 $B C 、 C D$ 上滑动时, 分别探讨四边形 $A E C F$ 和 $\triangle C E F$ 的面积是否发生变化? 如果不变, 求出这个定值; 如果变化, 求出最大(或最小)值.


选项：
答案：(1)证明：连接 $A C$, 如下图所示,

<ImageHere>

$\because$ 四边形 $A B C D$ 为菱形, $\angle B A D=120^{\circ}$,
$\angle 1+\angle E A C=60^{\circ}, \angle 3+\angle E A C=60^{\circ}$,

$\therefore \angle 1=\angle 3$,

$\because \angle B A D=120^{\circ}$,

$\therefore \angle A B C=60^{\circ}$,

$\therefore \triangle A B C$ 和 $\triangle A C D$ 为等边三角形,

$\therefore \angle 4=60^{\circ}, A C=A B$

$\therefore$ 在 $\triangle A B E$ 和 $\triangle A C F$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}\angle 1=\angle 3 \\ A B=A C \\ \angle A B C=\angle 4\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A B E \cong \triangle A C F(A S A)$.

$\therefore B E=C F$

(2)解：四边形 $A E C F$ 的面积不变, $\triangle C E F$ 的面积发生变化.

理由: 由(1)得 $\triangle A B E \cong \triangle A C F$,

则 $S_{\triangle A B E}=S_{\triangle A C F}$,

故 $S_{\text {四边形 } A E C F}=S_{\triangle A E C}+S_{\triangle A C F}=S_{\triangle A E C}+S_{\triangle A B E}=S_{\triangle A B C}$, 是定值,

作 $A H \perp B C$ 于 $H$ 点, 则 $B H=2$,

$S_{\text {四边形 } A E C F}=S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} B C \cdot A H=\frac{1}{2} B C \cdot \sqrt{A B^{2}-B H^{2}}=4 \sqrt{3}$,

由 “垂线段最短” 可知: 当正三角形 $A E F$ 的边 $A E$ 与 $B C$ 垂直时, 边 $A E$ 最短.

故 $\triangle A E F$ 的面积会随着 $A E$ 的变化而变化, 且当 $A E$ 最短时, 正三角形 $A E F$ 的面积会最小,

又 $S_{\triangle C E F}=S_{\text {四边形 } A E C F}-S_{\triangle A E F}$, 则此时 $\triangle C E F$ 的面积就会最大.

$\therefore S_{\triangle C E F}=S_{\text {四边形 } A E C F}-S_{\triangle A E F}=4 \sqrt{3}-\frac{1}{2} \times 2 \sqrt{3} \times \sqrt{(2 \sqrt{3})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{3}$.

即 $\triangle C E F$ 的面积最大值是 $\sqrt{3}$.
解析：(1)证明：连接 $A C$, 如下图所示,



$\because$ 四边形 $A B C D$ 为菱形, $\angle B A D=120^{\circ}$,
$\angle 1+\angle E A C=60^{\circ}, \angle 3+\angle E A C=60^{\circ}$,

$\therefore \angle 1=\angle 3$,

$\because \angle B A D=120^{\circ}$,

$\therefore \angle A B C=60^{\circ}$,

$\therefore \triangle A B C$ 和 $\triangle A C D$ 为等边三角形,

$\therefore \angle 4=60^{\circ}, A C=A B$

$\therefore$ 在 $\triangle A B E$ 和 $\triangle A C F$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}\angle 1=\angle 3 \\ A B=A C \\ \angle A B C=\angle 4\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A B E \cong \triangle A C F(A S A)$.

$\therefore B E=C F$

(2)解：四边形 $A E C F$ 的面积不变, $\triangle C E F$ 的面积发生变化.

理由: 由(1)得 $\triangle A B E \cong \triangle A C F$,

则 $S_{\triangle A B E}=S_{\triangle A C F}$,

故 $S_{\text {四边形 } A E C F}=S_{\triangle A E C}+S_{\triangle A C F}=S_{\triangle A E C}+S_{\triangle A B E}=S_{\triangle A B C}$, 是定值,

作 $A H \perp B C$ 于 $H$ 点, 则 $B H=2$,

$S_{\text {四边形 } A E C F}=S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} B C \cdot A H=\frac{1}{2} B C \cdot \sqrt{A B^{2}-B H^{2}}=4 \sqrt{3}$,

由 “垂线段最短” 可知: 当正三角形 $A E F$ 的边 $A E$ 与 $B C$ 垂直时, 边 $A E$ 最短.

故 $\triangle A E F$ 的面积会随着 $A E$ 的变化而变化, 且当 $A E$ 最短时, 正三角形 $A E F$ 的面积会最小,

又 $S_{\triangle C E F}=S_{\text {四边形 } A E C F}-S_{\triangle A E F}$, 则此时 $\triangle C E F$ 的面积就会最大.

$\therefore S_{\triangle C E F}=S_{\text {四边形 } A E C F}-S_{\triangle A E F}=4 \sqrt{3}-\frac{1}{2} \times 2 \sqrt{3} \times \sqrt{(2 \sqrt{3})^{2}-(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{3}$.

即 $\triangle C E F$ 的面积最大值是 $\sqrt{3}$.