eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高一 · 计数）：（2020 春・池州期末）某市教育局为了解全市高中学生在素质教育过程中的幸福指数变化情况,对 8 名学生在高一, 高二不同学习阶段的幸福指数进行了一次跟踪调研. 结果如表:

|        学生编号        |  1   |  2   |  3   |  4   |  5   |  6   |  7   |  8   |
| :--------------------: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: |
| 高一阶段 <br> 幸福指数 |  95  |  93  |  96  |  94  |  97  |  98  |  96  |  95  |
|        学生编号        |  1   |  2   |  3   |  4   |  5   |  6   |  7   |  8   |
| 高二阶段 <br> 幸福指数 |  94  |  97  |  95  |  96  |  95  |  94  |  93  |  96  |

（1）根据统计表中的数据情况, 分别计算出两组数据的平均值及方差;

（2）请根据上述结果, 就平均值和方差的角度分析, 说明在高一, 高二不同阶段的学生幸福指数状况，并发表自己观点.
选项：
答案：解：（1）8 名学生在高一阶段的幸福指数的平均数为:

$\bar{x}=\frac{1}{8}(95+93+96+94+97+98+96+95)=95.5$,

方差为: $S_{1}{ }^{2}=\frac{1}{8} \sum_{i=1}^{8}\left(x_{i}-\overline{x_{1}}\right)^{2}=2.25$,

8 名学生在高二阶段的幸福指数的平均数为:

$\bar{y}=\frac{1}{8}(94+97+95+96+95+94+93+96)=95$,

方差为: $S_{2}{ }^{2}=\frac{1}{8} \sum_{i=1}^{8}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}=1.5$;

(2) (1) $\because \bar{x}>\bar{y}$,

$\therefore$ 可以认为这 8 名学生在高一的平均幸福指数大于在高二的平均幸福指数,

(2) $\because S_{1}{ }^{2}>S_{2}{ }^{2}$,

$\therefore$ 可以认为这 8 名学生在高二的幸福指数的稳定性大于在高一的幸福指数的稳定性.
解析：解：（1）8 名学生在高一阶段的幸福指数的平均数为:

$\bar{x}=\frac{1}{8}(95+93+96+94+97+98+96+95)=95.5$,

方差为: $S_{1}{ }^{2}=\frac{1}{8} \sum_{i=1}^{8}\left(x_{i}-\overline{x_{1}}\right)^{2}=2.25$,

8 名学生在高二阶段的幸福指数的平均数为:

$\bar{y}=\frac{1}{8}(94+97+95+96+95+94+93+96)=95$,

方差为: $S_{2}{ }^{2}=\frac{1}{8} \sum_{i=1}^{8}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}=1.5$;

(2) (1) $\because \bar{x}>\bar{y}$,

$\therefore$ 可以认为这 8 名学生在高一的平均幸福指数大于在高二的平均幸福指数,

(2) $\because S_{1}{ }^{2}>S_{2}{ }^{2}$,

$\therefore$ 可以认为这 8 名学生在高二的幸福指数的稳定性大于在高一的幸福指数的稳定性.
题目（高一 · 计数）：（2020$\cdot$全国三模）新冠肺炎疫情这只 “黑天鹅” 的出现, 给经济运行带来明显影响, 住宿餐饮、文体娱乐、交通运输、旅游等行业受疫情影响严重. 随着复工复产的有序推动, 我市某西餐厅推出线上促销活动:

$A$ 套餐（在下列食品中 6 选 2)

西式面点：菖越莓核桃包、南瓜芝士包、黑列巴、全麦吐司;

中式面点: 豆包、桂花糕.

$B$ 套餐: 酱牛肉、老味烧鸡熟食类组合.

复工复产后某一周两种套餐的日销售量（单位: 份）如表:

|          | 星期一 | 星期二 | 星期三 | 星期四 | 星期五 | 星期六 | 星期日 |
| :------: | :----: | :----: | :----: | :----: | :----: | :----: | :----: |
| $A$ 套餐 |   11   |   12   |   14   |   18   |   22   |   19   |   23   |
| $B$ 套餐 |   6    |   13   |   15   |   15   |   37   |   20   |   41   |

( I ) 根据上面一周的销量, 计算 $A$ 套餐和 $B$ 套餐的平均销量和方差, 并根据所得数据评价两种套餐的销售情况;

(II) 若某顾客购买一份 $A$ 套餐, 求他所选的面点中至少一种中式面点的概率.
选项：
答案：解：（I ） $A$ 套餐数据的平均数 $\bar{x}_{A}=\frac{1}{7}(11+12+14+18+22+19+23)=17$, 方差 $s_{A}{ }^{2}=\frac{1}{7}$ $\left(6^{2}+5^{2}+3^{2}+1^{2}+5^{2}+2^{2}+6^{2}\right)=\frac{136}{7} ;$

$B$ 套餐数据的平均数 $\bar{x}_{B}=\frac{1}{7}(6+13+15+15+37+20+41)=21$, 方差 $s_{B}{ }^{2}=\frac{1}{7}\left(15^{2}+8^{2}+6^{2}+6^{2}+16^{2}+1^{2}+20^{2}\right)$
$=\frac{1018}{7}$;

因为 $\bar{x}_{A}<\bar{x}_{B}, s_{A}{ }^{2}<s_{B}{ }^{2}$, 该周销量中 $A$ 套餐比 $B$ 套餐平均销量低, 且 $A$ 套餐比 $B$ 套餐销量相对稳定；

(II) 设某顾客所选的面点中没有中式面点为事件 $A$, 从 $A$ 套餐中选两种共 $n=6 \times 5=30$ 种不同的方法,

其中没有中式面点共 $m=4 \times 3=12$ 种不同的方法, 则 $P(A)=\frac{m}{n}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$,

他所选的面点中至少一种中式面点的概率: $P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$.
解析：解：（I ） $A$ 套餐数据的平均数 $\bar{x}_{A}=\frac{1}{7}(11+12+14+18+22+19+23)=17$, 方差 $s_{A}{ }^{2}=\frac{1}{7}$ $\left(6^{2}+5^{2}+3^{2}+1^{2}+5^{2}+2^{2}+6^{2}\right)=\frac{136}{7} ;$

$B$ 套餐数据的平均数 $\bar{x}_{B}=\frac{1}{7}(6+13+15+15+37+20+41)=21$, 方差 $s_{B}{ }^{2}=\frac{1}{7}\left(15^{2}+8^{2}+6^{2}+6^{2}+16^{2}+1^{2}+20^{2}\right)$
$=\frac{1018}{7}$;

因为 $\bar{x}_{A}<\bar{x}_{B}, s_{A}{ }^{2}<s_{B}{ }^{2}$, 该周销量中 $A$ 套餐比 $B$ 套餐平均销量低, 且 $A$ 套餐比 $B$ 套餐销量相对稳定；

(II) 设某顾客所选的面点中没有中式面点为事件 $A$, 从 $A$ 套餐中选两种共 $n=6 \times 5=30$ 种不同的方法,

其中没有中式面点共 $m=4 \times 3=12$ 种不同的方法, 则 $P(A)=\frac{m}{n}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5}$,

他所选的面点中至少一种中式面点的概率: $P(\bar{A})=1-P(A)=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$.
题目（高一 · 计数）：020・香坊区校级二模）2020 年初新冠病毒疫情爆发, 全国范围开展了 “停课不停学” 的线上教学活动. 哈六中数学组积极研讨网上教学策略: 先采取甲、乙两套方案教学, 并对分别采取两套方案教学的班级的 7 次线上测试成绩进行统计如图所示:

(1) 请填写如表 (要求写出计算过程)

|      | 平均数 | 方差 |
| :--- | :----- | :--- |
| 甲   |        |      |
| 乙   |        |      |

（2）从下列三个不同的角度对这次方案选择的结果进行分析:

(1)从平均数和方差相结合看（分析哪种方案的成绩更好）;

(2)从折线图上两种方案的走势看（分析哪种方案更有潜力）。


选项：
答案：(1) 由图象可得, $\bar{x}_{\text {甲 }}=\frac{1}{7}(109+111+113+115+117+119+121)=115, \bar{x}_{\text {乙 }}=\frac{1}{7}$ $(121+115+109+115+113+117+115)=115$,

则 $s_{\text {甲 }}{ }^{2}=\frac{1}{7}\left(6^{2}+4^{2}+2^{2}+0^{2}+2^{2}+4^{2}+6^{2}\right)=16, s_{z^{2}}{ }^{2}=\frac{1}{7}\left(6^{2}+0^{2}+6^{2}+0^{2}+2^{2}+2^{2}+0^{2}\right)=\frac{80}{7} \approx 11.43$,故表格第一行：115，16; 第二行：115，约为 11.43;

(2) (1)因为 $\bar{x}_{\text {甲 }}=\bar{x}_{Z}, s_{\text {甲 }}{ }^{2}>s_{Z}{ }^{2}$, 故乙方案更好;

(2)由图象可知甲走势稳定上升, 故甲方案更有潜力.
解析：(1) 由图象可得, $\bar{x}_{\text {甲 }}=\frac{1}{7}(109+111+113+115+117+119+121)=115, \bar{x}_{\text {乙 }}=\frac{1}{7}$ $(121+115+109+115+113+117+115)=115$,

则 $s_{\text {甲 }}{ }^{2}=\frac{1}{7}\left(6^{2}+4^{2}+2^{2}+0^{2}+2^{2}+4^{2}+6^{2}\right)=16, s_{z^{2}}{ }^{2}=\frac{1}{7}\left(6^{2}+0^{2}+6^{2}+0^{2}+2^{2}+2^{2}+0^{2}\right)=\frac{80}{7} \approx 11.43$,故表格第一行：115，16; 第二行：115，约为 11.43;

(2) (1)因为 $\bar{x}_{\text {甲 }}=\bar{x}_{Z}, s_{\text {甲 }}{ }^{2}>s_{Z}{ }^{2}$, 故乙方案更好;

(2)由图象可知甲走势稳定上升, 故甲方案更有潜力.
题目（高一 · 计数）：（2016 秋・松桃县校级期中）从高二抽出 50 名学生参加数学竞赛, 由成绩得到如图的频率分布直方图.



试利用频率分布直方图（图 1），求（精确到小数点后一位）:

（1）估算这 50 名学生成绩的众数;

(2) 在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图 (图 2), 求输出 $S$ 的值. (注: $m_{i}, f_{i}$分别是第 $i$ 组分数的组中值和频率）.
选项：
答案：解：（1）由频率分布直方图知：众数 $P=75$;

(2) 由 $S \leftarrow S+m_{i} f_{i}$ 得

$$
S=45 \times 0.04+55 \times 0.06+65 \times 0.2+75 \times 0.3+85 \times 0.24+95 \times 0.16=76.2
$$

所以输出的 $S$ 的值为 76.2
解析：解：（1）由频率分布直方图知：众数 $P=75$;

(2) 由 $S \leftarrow S+m_{i} f_{i}$ 得

$$
S=45 \times 0.04+55 \times 0.06+65 \times 0.2+75 \times 0.3+85 \times 0.24+95 \times 0.16=76.2
$$

所以输出的 $S$ 的值为 76.2
题目（高一 · 计数）：美国历届总统中, 就任时年龄最小的是罗斯福, 他于 1901 年就任, 当时年仅 42 岁;就任时年龄最大的是特朗普，他于 2016 年就任，当时 70 岁下面按时间顺序（从 1789 年的华盛顿到 2016 年的特朗普, 共 45 任）给出了历届美国总统就任时的年龄:

57, 61, 57, 57, 58, 57, 61, 54, 68, 51, 49,
$64,50,48,65,52,56,46,54,49,51,47$,

$55,55,54,42,51,56,55,51,54,51,60$,

$62,43,55,56,61,52,69,64,46,54,47,70$.

(1) 将数据进行适当的分组, 并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图;

(2) 用自己的语言描述一下历届美国总统就任时年龄的分布情况
选项：
答案：（1）以 4 为组距, 列频率分布表如下:

| 分组 | 频数 | 频率 |
| :---: | :---: | :---: |
| $[42,46)$ | 2 | 0.0444 |
| $[46,50)$ | 7 | 0.1555 |
| $[50,54)$ | 8 | 0.1778 |
| $[54,58)$ | 16 | 0.3556 |
| $[58,62)$ | 5 | 0.1111 |
| $[62,66)$ | 4 | 0.0889 |
| $[66,70]$ | 3 | 0.0667 |
| 合计 | 45 | 1.0000 |

画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图, 如图

<ImageHere>

（2）从频率分布表中可以看出, 将近 60\%的美国总统就任时的年龄在 50 岁至 60 岁之间, 45 岁及 45 岁以下和 65 岁以上就任的总统所占的比例相对较小。
解析：（1）以 4 为组距, 列频率分布表如下:

| 分组 | 频数 | 频率 |
| :---: | :---: | :---: |
| $[42,46)$ | 2 | 0.0444 |
| $[46,50)$ | 7 | 0.1555 |
| $[50,54)$ | 8 | 0.1778 |
| $[54,58)$ | 16 | 0.3556 |
| $[58,62)$ | 5 | 0.1111 |
| $[62,66)$ | 4 | 0.0889 |
| $[66,70]$ | 3 | 0.0667 |
| 合计 | 45 | 1.0000 |

画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图, 如图



（2）从频率分布表中可以看出, 将近 60\%的美国总统就任时的年龄在 50 岁至 60 岁之间, 45 岁及 45 岁以下和 65 岁以上就任的总统所占的比例相对较小。
题目（高一 · 计数）：在某杂志的一篇文章中, 每个句子的字数如下:

$10,28,31,17,23,27,18,15,26,24,20,19,36,27,14,25,15,22$, $11,24,27,17$.

在某报纸的一篇文章中, 每个句子的字数如下:

$27,39,33,24,28,19,32,41,33,27,35,12,36,41,27,13,22,23$, $18,46,32,22$.

(1) 用茎叶图表示这两组数据;

(2) 将这两组数据进行比较分析, 得到什么结论?
选项：
答案：(1)

<ImageHere>

（2）杂志上的文章每个句子的字数集中在 10 30 之间，而报纸上的文章每个句子的字数集中在 20 40 之间. 还可以看出杂志上的文章每个句子的平均字数比报纸上的文章每个句子的平均字数要少, 说明杂志作为科普读物需通俗易懂、简明.
解析：(1)



（2）杂志上的文章每个句子的字数集中在 10 30 之间，而报纸上的文章每个句子的字数集中在 20 40 之间. 还可以看出杂志上的文章每个句子的平均字数比报纸上的文章每个句子的平均字数要少, 说明杂志作为科普读物需通俗易懂、简明.
题目（高一 · 计数）：为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的 500 名志愿者中随机抽取 100 名志愿者，他们的年龄情况如下表所示：

| 分组(单位:岁) | 频数 | 频率 |
| :---: | :---: | :---: |
| $[20,25)$ | 5 | 0.05 |
| $[25,30)$ | 1 | 0.20 |
| $[30,35)$ | 35 | 2 |
| $[35,40)$ | 30 | 0.30 |
| $[40,45]$ | 10 | 0.10 |
| 合计 | 100 | 1.00 |



（1）频率分布表中的(1)(2)位置应填什么数据?

（2）补全如图 2.2.1-32 所示的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 $[30,35 ）$ 内的人数。
选项：
答案：（1）设年龄在 $[25,30 ）$ 内的频数为 $\mathrm{x}$, 年龄在 $[30,35 ）$ 内的频率为 $\mathrm{y}$.方法一根据题意可得 $\frac{x}{100}=0.20, \frac{35}{100}=y$, 解得 $\mathrm{x}=20, \mathrm{y}=0.35$, 故(1)处应填 20 , (2)处应填 0. 35 .

方法二由题意得 $5+x+35+30+10=100,0.05+0.20+y+0.30+0.10=1$, 解得 $x=20, y=0.35$,故(1)处应填 20, (2)处应填 0.35 .

（2）由频率分布表知年龄在 $[25,30 ）$ 内的频率是 0.20 , 组距是 5 . 所以 $\frac{\text { 频率 }}{\text { 组距 }}=\frac{0.20}{5}=0.04$. 补全频率分布直方图如图所示.

<ImageHere>

根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 $[30,35)$ 内的人数为 $500 \times 0.35=175$.
解析：（1）设年龄在 $[25,30 ）$ 内的频数为 $\mathrm{x}$, 年龄在 $[30,35 ）$ 内的频率为 $\mathrm{y}$.方法一根据题意可得 $\frac{x}{100}=0.20, \frac{35}{100}=y$, 解得 $\mathrm{x}=20, \mathrm{y}=0.35$, 故(1)处应填 20 , (2)处应填 0. 35 .

方法二由题意得 $5+x+35+30+10=100,0.05+0.20+y+0.30+0.10=1$, 解得 $x=20, y=0.35$,故(1)处应填 20, (2)处应填 0.35 .

（2）由频率分布表知年龄在 $[25,30 ）$ 内的频率是 0.20 , 组距是 5 . 所以 $\frac{\text { 频率 }}{\text { 组距 }}=\frac{0.20}{5}=0.04$. 补全频率分布直方图如图所示.



根据频率分布直方图估计这 500 名志愿者中年龄在 $[30,35)$ 内的人数为 $500 \times 0.35=175$.
题目（高一 · 计数）：某城市 100 户居民的月平均用电量（单位：度），以 [160，180），[180，200），[200， $220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]$ 分组的频率分布直方图如图.



(1) 求直方图中 $\mathrm{x}$ 的值;

(2) 求月平均用电量的众数和中位数（2.2.2 节将学习）;

（3）在月平均用电量为 $[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]$ 的四组
用户中，用分层抽样的方法抽取 11 户居民，则月平均用电量在 $[220 ， 240 ）$ 的用户中应抽取多少户?
选项：
答案：17.（1） $x=[1-(0.002+0.0095+0.011+0.0125+0.005+0.0025 ） \times 20] \div$ $20=0.0075$.

(2) 由图可知, 最高矩形的数据组为 $[220,240)$, 故月平均用电量的众数为 $220+240-230$.频率分布直方图中, 中位数左边与右边直方图的面积相等, 设中位数为 $\mathrm{y}$, 则 $0.45+$ $(\mathrm{y}-220) \times 0.0125=0.5$, 解得 $\mathrm{y}=224$, 故月平均用电量的中位数为 224 .

（3）由频率分布直方图知, 月平均用电量为 $[220,240),[240,260),[260,280 ）$, $[280,300]$ 的共有 $[(0.0125+0.0075+0.005+0.0025) \times 20] \times 100=55$ （户），其中在 $[220$ ， 240）中的有 $0.0125 \times 20 \times 100=25$ （户）, 因此, 在所抽取的 11 户居民中, 月平均用电量在 $\left[220,240 ）\right.$ 的用户中应抽取 $\frac{25}{55} \times 11=5$ （户）.
解析：17.（1） $x=[1-(0.002+0.0095+0.011+0.0125+0.005+0.0025 ） \times 20] \div$ $20=0.0075$.

(2) 由图可知, 最高矩形的数据组为 $[220,240)$, 故月平均用电量的众数为 $220+240-230$.频率分布直方图中, 中位数左边与右边直方图的面积相等, 设中位数为 $\mathrm{y}$, 则 $0.45+$ $(\mathrm{y}-220) \times 0.0125=0.5$, 解得 $\mathrm{y}=224$, 故月平均用电量的中位数为 224 .

（3）由频率分布直方图知, 月平均用电量为 $[220,240),[240,260),[260,280 ）$, $[280,300]$ 的共有 $[(0.0125+0.0075+0.005+0.0025) \times 20] \times 100=55$ （户），其中在 $[220$ ， 240）中的有 $0.0125 \times 20 \times 100=25$ （户）, 因此, 在所抽取的 11 户居民中, 月平均用电量在 $\left[220,240 ）\right.$ 的用户中应抽取 $\frac{25}{55} \times 11=5$ （户）.
题目（高一 · 计数）：我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准 $\mathrm{x}$ （吨）, 一位居民的月用水量不超过 $\mathrm{x}$的部分按平价收费，超出 $\mathrm{x}$ 的部分按议价收费。为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年 100 位居民每人的月均用水量 (单位: 吨)，将数据按照 $[0,0.5) ，[0.5,1) \cdots$, [4, 4.5]分成 9 组, 制成了如图 2.2.1-23 所示的频率分布直方图.



(1) 求直方图中 $\mathrm{a}$ 的值;

（2）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数, 并说明理由;

（3）若该市政府希望使 85\%的居民每月的用水量不超过标准 $\mathrm{x}$ （吨）, 估计 $\mathrm{x}$ 的值, 并说明理由.
选项：
答案：) 由频率分布直方图知, 月均用水量在 $[0,0.5)$ 中的频率为 $0.08 \times 0.5=0.04$,同理，在 $[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4$, $4.5]$ 中的频率分别为 $0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02$.由 $0.04+0.08+0.5 \times \mathrm{a}+0.20+0.26+0.5 \times \mathrm{a}+0.06+0.04+0.02=1$, 解得 $\mathrm{a}=0.30$.

(2) 由 (1) 可知, 100 位居民每人月均用水量不低于 3 吨的频率为 $0.06+0.04+0.02=0.12$.由以上样本的频率, 可以估计全市 30 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 300000 $\times 0.12=36000$.

（3）因为前 6 组的频率之和为 $0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85$, 而前 5 组的频率之和为 $0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85$, 所以 $2.5 \leqslant x<3$.由 $0.3 x(x-2.5)=0.85-0.73$, 解得 $x=2.9$.所以，估计月用水量标准为 2.9 吨时， $85 \%$ 的居民每月的用水量不超过标准.
解析：) 由频率分布直方图知, 月均用水量在 $[0,0.5)$ 中的频率为 $0.08 \times 0.5=0.04$,同理，在 $[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4$, $4.5]$ 中的频率分别为 $0.08,0.20,0.26,0.06,0.04,0.02$.由 $0.04+0.08+0.5 \times \mathrm{a}+0.20+0.26+0.5 \times \mathrm{a}+0.06+0.04+0.02=1$, 解得 $\mathrm{a}=0.30$.

(2) 由 (1) 可知, 100 位居民每人月均用水量不低于 3 吨的频率为 $0.06+0.04+0.02=0.12$.由以上样本的频率, 可以估计全市 30 万居民中月均用水量不低于 3 吨的人数为 300000 $\times 0.12=36000$.

（3）因为前 6 组的频率之和为 $0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85$, 而前 5 组的频率之和为 $0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85$, 所以 $2.5 \leqslant x<3$.由 $0.3 x(x-2.5)=0.85-0.73$, 解得 $x=2.9$.所以，估计月用水量标准为 2.9 吨时， $85 \%$ 的居民每月的用水量不超过标准.
题目（高一 · 计数）：对于任意正整数 $n$, 用 WHLE 语句描述求 $S=1 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} \times \cdots \times \frac{1}{n}$ 的值的算法如下:



请试着用 UNTIL 语句描述.
选项：
答案：UNTIL 语句描述如下:

<ImageHere>
解析：UNTIL 语句描述如下:
题目（高一 · 计数）：分别用 WHILE 语句和 UNTL 语句编写计算机程序输出 1-100 之间（含 1 和 100）能被 3 整除的所有整数.
选项：
答案：WHILE 语句编写程序如下:

<ImageHere>

利用 UNTIL 语句编写程序如下:

<ImageHere>
解析：WHILE 语句编写程序如下:



利用 UNTIL 语句编写程序如下:
题目（高一 · 计数）：指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件:

（1）某体操运动员将在某次运动会上获得全能冠军;

（2）某人给其朋友打电话, 却忘记他朋友的电话号码的最后一个数字, 就随意在键盘上按了一个数字, 恰巧是他朋友的电话号码;

(3) 同时郑两枚骰子, 向上一面的两个点数之和为 13 ;

(4) 同时郑两枚股子, 向上一面的两个点数之和不小于 2 .
选项：
答案：（1）（2）可能发生也可能不发生, 是随机事件; 同时郑两枚唯子, 向上一面的两个点数之和最大为 12 , 因此 “向上一面的两个点数之和为 13 ” 不可能发生, 因此 （3）是不可能事件; “向上一面的两个点数之和不小于 2 ”一定发生, 因此（4）是必然事件。
解析：（1）（2）可能发生也可能不发生, 是随机事件; 同时郑两枚唯子, 向上一面的两个点数之和最大为 12 , 因此 “向上一面的两个点数之和为 13 ” 不可能发生, 因此 （3）是不可能事件; “向上一面的两个点数之和不小于 2 ”一定发生, 因此（4）是必然事件。
题目（高一 · 计数）：某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了 50 位市民. 根据这 50 位市民对这两个部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如图:


选项：
答案：分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于 90 的概率市民对甲、乙两部门的评分各有 50 个，对甲部门评分高于 90 的分数有 5 个,对乙部门评分高于 90 的分数有 8 个,故对甲部门评分高于 90 的频率为 $\frac{5}{50}=0.1$,对乙部门评分高于 90 的频率为 $\frac{8}{50}=0.16$.

从而，估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于 90 的概率分别为 $0.1,0.16$.
解析：分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于 90 的概率市民对甲、乙两部门的评分各有 50 个，对甲部门评分高于 90 的分数有 5 个,对乙部门评分高于 90 的分数有 8 个,故对甲部门评分高于 90 的频率为 $\frac{5}{50}=0.1$,对乙部门评分高于 90 的频率为 $\frac{8}{50}=0.16$.

从而，估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于 90 的概率分别为 $0.1,0.16$.
题目（高一 · 计数）：为了估计水库中鱼的尾数, 可以使用以下的方法: 先从水库中捕出一定数量的鱼, 例如 2000 尾, 给每尾鱼做上记号, 不影响其存活, 然后放回水库. 经过适当的时间, 让其和水库中的其他鱼充分混合, 再从水库中捕出一定数量的鱼, 例如 500 尾, 查看其中有记号的鱼, 设有 40 尾. 试根据上述数据, 估计水库中鱼的尾数
选项：
答案：库中鱼的尾数是 $n\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$.
现在要估计 $\mathrm{n}$ 的值, 假定每尾鱼被捕的可能性是相等的, 设事件 $\mathrm{A}=\{$ 捕到带记号的鱼 $\}$,

则 $P(A)=\frac{2000}{n}$

第二次从水库中捕出 500 尾鱼, 其中带记号的有 40 尾, 即事件 A 发生的频数为 40 , 40 由概率的统计定义知 $P(A)=\frac{40}{500}$ 即 $\frac{2000}{n}=\frac{40}{500}$, 解得 $n \approx 25000$ 所以估计水库中的鱼有 25000 尾
解析：库中鱼的尾数是 $n\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$.
现在要估计 $\mathrm{n}$ 的值, 假定每尾鱼被捕的可能性是相等的, 设事件 $\mathrm{A}=\{$ 捕到带记号的鱼 $\}$,

则 $P(A)=\frac{2000}{n}$

第二次从水库中捕出 500 尾鱼, 其中带记号的有 40 尾, 即事件 A 发生的频数为 40 , 40 由概率的统计定义知 $P(A)=\frac{40}{500}$ 即 $\frac{2000}{n}=\frac{40}{500}$, 解得 $n \approx 25000$ 所以估计水库中的鱼有 25000 尾
题目（高一 · 计数）：某商场有奖销售中, 购满 100 元商品得 1 张奖券, 多购多得. 已知 1 张奖券中一等奖的概率是 doo, 中二等奖的概率是动, 中三等奖的概率 1 是, 其他为 “谢谢参与”, 则 1 张奖券的中奖概率是多少?
选项：
答案：设中一等奖、二等奖、三等奖的事件分别为 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$, 显然事件 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 两两互斥, 则 1 张奖券中奖的概率为 $P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=\frac{1}{1000}+$ $\frac{1}{100}+\frac{1}{20}=\frac{1+10+50}{1000}=\frac{61}{1000}$
解析：设中一等奖、二等奖、三等奖的事件分别为 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$, 显然事件 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 两两互斥, 则 1 张奖券中奖的概率为 $P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=\frac{1}{1000}+$ $\frac{1}{100}+\frac{1}{20}=\frac{1+10+50}{1000}=\frac{61}{1000}$
题目（高一 · 计数）：受轿车在保修期内的维修费等因素的影响, 企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关, 某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车, 甲品牌车保修期为 3 年,乙品牌车保修期为 2 年, 现从该厂已售出的两种品牌的轿车中分别随机抽取 50 辆, 统计出在保修期内首次出现故障的车辆数据如下:

| 品牌 | 甲 |  |  |  | 乙 |  |  |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 首次出现故障 <br> 的时间 $x$ (年) | $0<x \leqslant 1$ | $1<x \leqslant 2$ | $2<x \leqslant 3$ | $x>3$ | $0<x \leqslant 1$ | $1<x \leqslant 2$ | $x>2$ |
| 轿车数量 (辆) | 2 | 1 | 3 | 44 | 2 | 3 | 45 |

(1) 从该厂生产的甲种品牌轿车中随机抽取一辆, 求首次出现故障发生在保修期内的概率;

(2) 从该厂生产的乙种品牌轿车中随机抽取一辆, 求首次出现故障发生在保修期内的概率
选项：
答案：）设 A, B, C 分别表示甲品牌轿车首次出现故障在第 1 年, 第 2 年和第 3 年之内, 设 D 表示甲品牌轿车首次出现故障在保修期内, 因为 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 是彼此互斥的,其概率分别为 $P(A)=\frac{2}{50}=\frac{1}{25}, P(B)=\frac{1}{50}$, 所以 $P(D)=P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C)=\frac{3}{25}$, 即首次出现故障发生在保修期内的概率为 $\frac{3}{25}$

(2) 乙品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的概率为 $\frac{2+3}{50}=\frac{1}{10}$
解析：）设 A, B, C 分别表示甲品牌轿车首次出现故障在第 1 年, 第 2 年和第 3 年之内, 设 D 表示甲品牌轿车首次出现故障在保修期内, 因为 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ 是彼此互斥的,其概率分别为 $P(A)=\frac{2}{50}=\frac{1}{25}, P(B)=\frac{1}{50}$, 所以 $P(D)=P(A \cup B \cup C)=P(A)+P(B)+P(C)=\frac{3}{25}$, 即首次出现故障发生在保修期内的概率为 $\frac{3}{25}$

(2) 乙品牌轿车首次出现故障发生在保修期内的概率为 $\frac{2+3}{50}=\frac{1}{10}$
题目（高一 · 计数）：判断下列试验是否是古典概型:

(1) 在适宜的条件下，种下一粒种子观察它是否发芽;

（2）口袋中有 2 个红球, 2 个白球, 每次从中任取一球, 观察颜色后放回, 直到取出红球;

（3）从甲、乙、丙、丁、戊 5 名同学中任意抽取 1 名担任学生代表;

（4）射击运动员向一靶子射击 5 次，脱靶的次数;

（5）某小组有男生 5 人，女生 3 人，从中任选 1 人做演讲
选项：
答案：（1）这个试验的结果只有两个： “发芽” 与 “不发芽” , 具备了有限性.而 “发芽” 与 “不发芽” 这两个结果出现的可能性一般是不相等的, 即不具备等可能性,因此该试验不是古典概型。

（2）每次摸出一个球后，仍放回袋中，再摸一个球。显然，对于有放回抽样，依次摸出的球可以重复, 且摸球可无限地进行下去, 即所有可能结果有无限个, 因此该试验不是
古典概型。

(3) 从 5 名同学中任意抽取 1 名, 有 5 种等可能发生的结果: 抽到学生甲, 抽到学生乙,抽到学生丙, 抽到学生了, 抽到学生龙。因此该试验是古典概型。

（4）射击的结果：命中 10 环，命中 9 环 $\cdots$ ，命中 0 环，都是基本事件，但不是等可能事件，因此该试验不是古典概型。

（5）显然满足有限性和等可能性，因此该试验是者典概型.
解析：（1）这个试验的结果只有两个： “发芽” 与 “不发芽” , 具备了有限性.而 “发芽” 与 “不发芽” 这两个结果出现的可能性一般是不相等的, 即不具备等可能性,因此该试验不是古典概型。

（2）每次摸出一个球后，仍放回袋中，再摸一个球。显然，对于有放回抽样，依次摸出的球可以重复, 且摸球可无限地进行下去, 即所有可能结果有无限个, 因此该试验不是
古典概型。

(3) 从 5 名同学中任意抽取 1 名, 有 5 种等可能发生的结果: 抽到学生甲, 抽到学生乙,抽到学生丙, 抽到学生了, 抽到学生龙。因此该试验是古典概型。

（4）射击的结果：命中 10 环，命中 9 环 $\cdots$ ，命中 0 环，都是基本事件，但不是等可能事件，因此该试验不是古典概型。

（5）显然满足有限性和等可能性，因此该试验是者典概型.
题目（高一 · 计数）：盒中有大小形状相同的 5 个白球, 2 个黑球, 用随机模拟法求下列事件的概率:

(1) 任取 1 个球, 得到白球;

（2）任取 3 个球，恰有 2 个白球;

（3）任取 3 个球（分三次每次放回再取）, 恰有 3 个白球.
选项：
答案：用 $1,2,3,4,5$ 表示白球，6，7 表示黑球，任取 3 个球，即每三个数一组, 每组中的数字不同; 而任取 3 个球（分三次每次放回再取）, 每组中的数字可以相同。

于是, 用计算器或计算机产生 1 到 7 之间的取整数, 值的随机数。

(1) 统计随机数个数 $\mathrm{N}$ 及小于 6 的个数 $N_{1}$, 则 $\frac{N_{1}}{N}$ 即为任取 1 个球, 得到白球的概率的近似值。

(2) 三个数一组 (每组中的数字不同), 统计总组数 $\mathrm{M}$ 及恰有两个数字小于 6 的组数 $M_{1}$,则 $\frac{M_{1}}{M}$ 即为任取 3 个球, 恰有 2 个白球的概率的近似值。

(3) 三个数一组 (每组中的数字可以相同), 统计总组教 $\mathrm{K}$ 及三个数字都小于 6 的组数,则 $\frac{K_{1}}{K}$ 即为任取 3 个球 (分三次每次放回再取)，恰有 3 个白球的概率的近似值.
解析：用 $1,2,3,4,5$ 表示白球，6，7 表示黑球，任取 3 个球，即每三个数一组, 每组中的数字不同; 而任取 3 个球（分三次每次放回再取）, 每组中的数字可以相同。

于是, 用计算器或计算机产生 1 到 7 之间的取整数, 值的随机数。

(1) 统计随机数个数 $\mathrm{N}$ 及小于 6 的个数 $N_{1}$, 则 $\frac{N_{1}}{N}$ 即为任取 1 个球, 得到白球的概率的近似值。

(2) 三个数一组 (每组中的数字不同), 统计总组数 $\mathrm{M}$ 及恰有两个数字小于 6 的组数 $M_{1}$,则 $\frac{M_{1}}{M}$ 即为任取 3 个球, 恰有 2 个白球的概率的近似值。

(3) 三个数一组 (每组中的数字可以相同), 统计总组教 $\mathrm{K}$ 及三个数字都小于 6 的组数,则 $\frac{K_{1}}{K}$ 即为任取 3 个球 (分三次每次放回再取)，恰有 3 个白球的概率的近似值.
题目（高一 · 计数）：某市举行职工技能比赛活动, 甲厂派出 2 男 1 女共 3 名职工, 乙厂派出 2 男 2 女共 4 名职工

(1) 若从甲厂和乙厂报名的职工中各任选 1 名进行比赛, 求选出的 2 名职工性别相同的概率;

(2) 若从甲厂和乙厂报名的这 7 名职工中任选 2 名进行比赛, 求选出的这 2 名职工来自同一工厂的概率。
选项：
答案：记甲厂派出的 2 名男职工为 $A_{1}, A_{2}$, 女职工为 $\mathrm{a}$; 乙厂派出的 2 名男职工为 $B_{1}, B_{2}$, 2 名女职工为 $b_{1}, b_{2}$.

(1) 从甲厂和乙厂报名的职工中各任选 1 名, 不同的结果有

$\left\{A_{1}, B_{1}\right\},\left\{A_{1}, B_{2}\right\},\left\{A_{1}, b_{1}\right\},\left\{A_{1}, b_{2}\right\},\left\{A_{2}, B_{1}\right\},\left\{A_{2}, B_{2}\right\}$

$\left\{A_{2}, b_{1}\right\},\left\{A_{2}, b_{2}\right\},\left\{a, B_{1}\right\},\left\{a, B_{2}\right\},\left\{a, b_{1}\right\},\left\{a, b_{2}\right\}$, 共 12 种.

其中选出的 2 名职工性别相同的结果有 $\left.\left\{A_{1}, B_{1}\right\},\left\{A_{1}, B_{2}\right\},\left\{A_{2}, B_{1}\right\},\left\{A_{2}, B_{2}\right\}, \mid a, b_{1}\right\},\left|a, b_{2}\right|$ 共 6 种。故选出的 2 名职工性别相同的概率 $P=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$

(2) 若从甲厂和乙厂报名的这 7 名职工中任选 2 名, 不同的结果有

$\left\{A_{1}, A_{2}\right\},\left\{A_{1}, a\right\},\left\{A_{1}, B_{1}\right\},\left\{A_{1}, B_{2}\right\},\left\{A_{1}, b_{1}\right\},\left\{A_{1}, b_{2}\right\}$

$\left.\left\{A_{2}, a\right\},\left\{A_{2}, B_{1}\right\},\left\{A_{2}, B_{2}\right\},\left\{A_{2}, b_{1}\right\},\left\{A_{2}, b_{2}\right\}, \mid a, B_{1}\right\},\left\{a, B_{2}\right\}$

, $\left.\left\{a, b_{1}\right\},\left\{a, b_{2}\right\},\left\{B_{1}, B_{2}\right\},\left\{B_{1}, b_{1}\right\},\left\{B_{1}, b_{2}\right\},\left\{B_{2}, b_{1}\right\},\left\{B_{2}, b_{2}\right\},\left\{b_{1}, b_{2}\right\}\right\}$, 共 21 种.
解析：记甲厂派出的 2 名男职工为 $A_{1}, A_{2}$, 女职工为 $\mathrm{a}$; 乙厂派出的 2 名男职工为 $B_{1}, B_{2}$, 2 名女职工为 $b_{1}, b_{2}$.

(1) 从甲厂和乙厂报名的职工中各任选 1 名, 不同的结果有

$\left\{A_{1}, B_{1}\right\},\left\{A_{1}, B_{2}\right\},\left\{A_{1}, b_{1}\right\},\left\{A_{1}, b_{2}\right\},\left\{A_{2}, B_{1}\right\},\left\{A_{2}, B_{2}\right\}$

$\left\{A_{2}, b_{1}\right\},\left\{A_{2}, b_{2}\right\},\left\{a, B_{1}\right\},\left\{a, B_{2}\right\},\left\{a, b_{1}\right\},\left\{a, b_{2}\right\}$, 共 12 种.

其中选出的 2 名职工性别相同的结果有 $\left.\left\{A_{1}, B_{1}\right\},\left\{A_{1}, B_{2}\right\},\left\{A_{2}, B_{1}\right\},\left\{A_{2}, B_{2}\right\}, \mid a, b_{1}\right\},\left|a, b_{2}\right|$ 共 6 种。故选出的 2 名职工性别相同的概率 $P=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$

(2) 若从甲厂和乙厂报名的这 7 名职工中任选 2 名, 不同的结果有

$\left\{A_{1}, A_{2}\right\},\left\{A_{1}, a\right\},\left\{A_{1}, B_{1}\right\},\left\{A_{1}, B_{2}\right\},\left\{A_{1}, b_{1}\right\},\left\{A_{1}, b_{2}\right\}$

$\left.\left\{A_{2}, a\right\},\left\{A_{2}, B_{1}\right\},\left\{A_{2}, B_{2}\right\},\left\{A_{2}, b_{1}\right\},\left\{A_{2}, b_{2}\right\}, \mid a, B_{1}\right\},\left\{a, B_{2}\right\}$

, $\left.\left\{a, b_{1}\right\},\left\{a, b_{2}\right\},\left\{B_{1}, B_{2}\right\},\left\{B_{1}, b_{1}\right\},\left\{B_{1}, b_{2}\right\},\left\{B_{2}, b_{1}\right\},\left\{B_{2}, b_{2}\right\},\left\{b_{1}, b_{2}\right\}\right\}$, 共 21 种.
题目（高一 · 计数）：某算法的程序框图如图所示, 其中输入的变量 $\mathrm{x}$ 在 1，2，3\%, 24 这 24 个整数中等可能随机产生.



(1) 分别求出按程序框图正确编程运行时输出 $y$ 的值为 $\mathrm{i}$ 的概率 $P_{\mathrm{i}}(\mathrm{i}=1,2,3)$;

（2）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解, 各自编写程序重复运行 n 次后, 统计记录了输出 y 的值为 $i(i=1,2,3)$ 的频数. 以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据.

## 甲的频数统计表 (部分)

| 运行次 <br> 数 $n$ | 输出 $y$ 的值 <br> 为 1 的频数 | 输出 $y$ 的值 <br> 为 2 的频数 | 输出 $y$ 的值 <br> 为 3 的频数 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 30 | 14 | 6 | 10 |
| $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ | $\cdots$ |
| 2100 | 1027 | 376 | 697 |

## 乙的频数统计表 (部分)

| 运行次 <br> 数 $n$ | 输出 $y$ 的值 <br> 为 1 的频数 | 輸出 $y$ 的值 <br> 为 2 的频数 | 輸出 $y$ 的值 <br> 为 3 的频数 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 30 | 12 | 11 | 7 |
| $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ | $\ldots$ |
| 2100 | 1051 | 696 | 353 |

当 $n=2100$ 时, 根据表中的数据, 分别写出甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 $i(i=1,2$, 3) 的频率 (用分数表示), 并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大。
选项：
答案：) 变量 $\mathrm{x}$ 是在 $1,2,3 \cdots, 24$ 这 24 个整数中等可能随机产生的一个数,共有 24 种可能.

当 $\mathrm{x}$ 从 $1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23$ 这 12 个数中产生时, 输出 $\mathrm{y}$ 的值为 1 , 故 $P_{1}=\frac{1}{2}$;

当 $\mathrm{x}$ 从 $2,4,8,10,14,16,20,22$ 这 8 个数中产生时, 输出 $\mathrm{y}$ 的值为 2 , 故 $P_{2}=\frac{1}{3}$;

当 $\mathrm{x}$ 从 $6,12,18,24$ 这 4 个数中产生时, 输出 $\mathrm{y}$ 的值为 3 , 故 $P_{3}=\frac{1}{6}$

所以, 输出 $\mathrm{y}$ 的值为 1 的概率为 $\frac{1}{2}$, 输出 $\mathrm{y}$ 的值为 2 的概率为 $\frac{1}{3}$, 输出 $\mathrm{y}$ 的值为 3 的概率为 $\frac{1}{6}$

（2）当 $n=2100$ 时，甲、乙所编程序各自输出 $y$ 的值为 $i(i=1,2,3)$ 的频率如下:

|  | 输出 $y$ 的值 <br> 为 1 的频率 | 输出 $y$ 的值 <br> 为 2 的频率 | 输出 $y$ 的值 <br> 为 3 的频率 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 甲 | $\frac{1027}{2100}$ | $\frac{376}{2100}$ | $\frac{697}{2100}$ |
| 乙 | $\frac{1051}{2100}$ | $\frac{696}{2100}$ | $\frac{353}{2100}$ |

比较频率趋势与概率，可得乙同学所编写的程序符合算法要求的可能性较大.
解析：) 变量 $\mathrm{x}$ 是在 $1,2,3 \cdots, 24$ 这 24 个整数中等可能随机产生的一个数,共有 24 种可能.

当 $\mathrm{x}$ 从 $1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23$ 这 12 个数中产生时, 输出 $\mathrm{y}$ 的值为 1 , 故 $P_{1}=\frac{1}{2}$;

当 $\mathrm{x}$ 从 $2,4,8,10,14,16,20,22$ 这 8 个数中产生时, 输出 $\mathrm{y}$ 的值为 2 , 故 $P_{2}=\frac{1}{3}$;

当 $\mathrm{x}$ 从 $6,12,18,24$ 这 4 个数中产生时, 输出 $\mathrm{y}$ 的值为 3 , 故 $P_{3}=\frac{1}{6}$

所以, 输出 $\mathrm{y}$ 的值为 1 的概率为 $\frac{1}{2}$, 输出 $\mathrm{y}$ 的值为 2 的概率为 $\frac{1}{3}$, 输出 $\mathrm{y}$ 的值为 3 的概率为 $\frac{1}{6}$

（2）当 $n=2100$ 时，甲、乙所编程序各自输出 $y$ 的值为 $i(i=1,2,3)$ 的频率如下:

|  | 输出 $y$ 的值 <br> 为 1 的频率 | 输出 $y$ 的值 <br> 为 2 的频率 | 输出 $y$ 的值 <br> 为 3 的频率 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 甲 | $\frac{1027}{2100}$ | $\frac{376}{2100}$ | $\frac{697}{2100}$ |
| 乙 | $\frac{1051}{2100}$ | $\frac{696}{2100}$ | $\frac{353}{2100}$ |

比较频率趋势与概率，可得乙同学所编写的程序符合算法要求的可能性较大.
题目（高一 · 计数）：判断下列试验是否为几何概型, 并说明理由:

(1) 从区间 $[-10,10]$ 上任取一个数, 求取到的数在 $[0,1]$ 内的概率;

(2) 从区间 $[-10,10]$ 上任取一个整数, 求取到大于 1 而小于 3 的数的概率;
选项：
答案：(1) 中的概率模型是几何概型, 因为区间 $[-10,10]$ 上有无数个数, 且每个数被取到的可能性相等;

（2）中的概率模型不是几何概型, 因为区间 $[-10,10]$ 上的整数只有 21 个, 是有限的
解析：(1) 中的概率模型是几何概型, 因为区间 $[-10,10]$ 上有无数个数, 且每个数被取到的可能性相等;

（2）中的概率模型不是几何概型, 因为区间 $[-10,10]$ 上的整数只有 21 个, 是有限的