eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高二 · 解析几何）：若 $\overrightarrow{O P_{1}}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{O P_{2}}=\boldsymbol{b}, \overrightarrow{P_{1} P}=\lambda \overrightarrow{P P}_{2}(\lambda \neq-1)$, 则 $\overrightarrow{O P}=$
选项：
A. $\boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b}$
    B. $\lambda \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$
    C. $\lambda \boldsymbol{a}+(1+\lambda) b$
    D. $\frac{\boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b}}{1+\lambda}$
答案：D
解析：解析: $\because \overrightarrow{P_{1} P}=\lambda \overrightarrow{P P}{ }_{2} ， \therefore \overrightarrow{O P}-\overrightarrow{O P}_{1}=\lambda\left(\overrightarrow{O P}_{2}-\overrightarrow{O P}\right),(1+\lambda) \overrightarrow{O P}=\lambda \overrightarrow{O P}_{2}+\overrightarrow{O P}_{1}, \quad \therefore \overrightarrow{O P}=\frac{\boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b}}{1+\lambda}$.

答案: D
题目（高二 · 解析几何）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $D, E$ 分别为 $A B, A C$ 的中点, $C D$ 与 $B E$ 交于点 $F$, 设 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{A C}=\boldsymbol{b}$, $\overrightarrow{A F}=m \boldsymbol{a}+n \boldsymbol{b}$, 则 $m+n=(\quad)$


选项：
A. 1
B. $\frac{4}{3}$
C. $\frac{2}{3}$
D. $\frac{5}{6}$
答案：C
解析：解析: $\overrightarrow{A F}=m \overrightarrow{A B}+n \overrightarrow{A C}=m \overrightarrow{A B}+2 n \overrightarrow{A E}$ ，

由 $B ， F ， E$ 三点共线，得 $m+2 n=1$ ，(1)

$\overrightarrow{A F}=m \overrightarrow{A B}+n \overrightarrow{A C}=2 m \overrightarrow{A D}+n \overrightarrow{A C}$

由 $C, F, D$ 三点共线，得 $2 m+n=1$ ，

(1) +(2)得 $3(m+n)=2, m+n=\frac{2}{3}$.

答案: C
题目（高二 · 解析几何）：如果 $\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}$ 是平面 $\alpha$ 内两个不共线的向量, 那么在下列各命题中不正确的有

(1) $\lambda e_{1}+\mu e_{2}(\lambda, \mu \in \mathbf{R})$ 可以表示平面 $\alpha$ 内的所有向量; (2)对于平面 $\alpha$ 内的任一向量 $\boldsymbol{a}$, 使 $\boldsymbol{a}$ $=\lambda e_{1}+\mu e_{2}$ 的实数 $\lambda, \mu$ 有无数多对; (3)若向量 $\lambda_{1} e_{1}+\mu_{1} e_{2}$ 与 $\lambda_{2} e_{1}+\mu_{2} e_{2}$ 共线, 则有且只有一个实数 $\lambda$, 使 $\lambda_{1} e_{1}+\mu_{1} e_{2}=\lambda\left(\lambda_{2} e_{1}+\mu_{2} e_{2}\right)$; (4)若实数 $\lambda, \mu$ 使 $\lambda e_{1}+\mu e_{2}=0$, 则 $\lambda=\mu=0$.
选项：
A. (1)(2)
B. (2)(3)
C. (3)(4)
D. (2)
答案：B
解析：解析: 由平面向量基本定理可知，(1)(4)是正确的；对于(2)，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于(3)，当两向量的系数均为零，即 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=\mu_{1}=\mu_{2}=0$ 时，这样的 $\lambda$ 有无数个. 故选 B.

答案: B
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 点 $D$ 在 $B C$ 边上, 且 $\overrightarrow{B D}=2 \overrightarrow{D C}$, 设 $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{A C}=\boldsymbol{b}$, 则 $\overrightarrow{A D}$ 可用基底 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 表示为
选项：
A. $\frac{1}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$ B. $\frac{2}{3} a+\frac{1}{3} b$
C. $\cdot \frac{1}{3} a+\frac{2}{3} b$
D. $\frac{1}{3}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$
答案：C
解析：解析: $\because \overrightarrow{B D}=2 \overrightarrow{D C}, \therefore \overrightarrow{B D}=\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}$.

$\therefore \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A B}+\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A B}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})=\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}=\frac{1}{3} \boldsymbol{a}+\frac{2}{3} \boldsymbol{b}$.

答案: C
题目（高二 · 解析几何）：已知四边形 $A B C D$ 为平行四边形, 其中 $A(5,-1), B(-1,7), C(1,2)$, 则顶点 $D$ 的坐标为
选项：
A. $(-7,6)$
B. $(7,6)$
C. $(6,7)$
D. $(7,-6)$
答案：D
解析：解析: 设 $D(x, y)$ ，由 $\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{B C}$ ，得 $(x-5, y+1)=(2 ，-5) ， \therefore x=7 ， y=-6 ， \therefore D(7 ，-$ 6).

答案: D
题目（高二 · 解析几何）：已知向量 $\boldsymbol{a}=(x, 1)$, 向量 $\boldsymbol{b}=\left(-x, x^{2}\right)$, 则向量 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$
选项：
A. 平行于 $x$ 轴

B. 平行于第一、三象限的角平分线

C. 平行于 $y$ 轴

D. 平行于第二、四象限的角平分线
答案：C
解析：解析 : $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=\left(0 ， 1+x^{2}\right)$ 对应的点在 $y$ 轴上，所以此向量必平行于 $y$ 轴. 故选 C.

答案: C
题目（高二 · 解析几何）：在平行四边形 $A B C D$ 中, $A C$ 为一条对角线. 若 $\overrightarrow{A B}=(2,4), \overrightarrow{A C}=(1,3)$, 则 $\overrightarrow{B D}=$
选项：
A. $(-2,-4)$
B. $(-3,-5)$
C. $(3,5)$
D. $(2,4)$
答案：B
解析：解析: $\because \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}, \therefore \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}=(-1,-1), \therefore \overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A B}=(-3 ，-5)$, 故选 B.

答案: B
题目（高二 · 解析几何）：设向量 $\boldsymbol{a}=(1,-3), \boldsymbol{b}=(-2,4), \boldsymbol{c}=(-1,-2)$. 若表示向量 $4 \boldsymbol{a}, 4 \boldsymbol{b}-2 \boldsymbol{c}, 2(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}), \boldsymbol{d}$的有向线段首尾相接能构成四边形, 则向量 $\boldsymbol{d}$ 为
选项：
A. $(2,6)$
B. $(-2,6)$
C. $(2,-6)$
D. $(-2,-6)$
答案：D
解析：解析: $\because \boldsymbol{a}=(1,-3), \boldsymbol{b}=(-2,4), \boldsymbol{c}=(-1,-2), \therefore 4 \boldsymbol{a}=(4,-12), 4 \boldsymbol{b}-2 \boldsymbol{c}=(-6$, 20)，2(a-c)=(4，-2). 又 $\because$ 表示 $4 \boldsymbol{a} ， 4 \boldsymbol{b}-2 \boldsymbol{c} ， 2(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c}) ， \boldsymbol{d}$ 的有向线段首尾相接能构成四边形， $\therefore 4 \boldsymbol{a}+(4 \boldsymbol{b}-2 \boldsymbol{c})+2(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{c})+\boldsymbol{d}=0$. 解得 $\boldsymbol{d}=(-2,-6)$. 故选 D.

答案: D
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 点 $P$ 在 $B C$ 上, 且 $\overrightarrow{B P}=2 \overrightarrow{P C}$, 点 $Q$ 是 $A C$ 的中点. 若 $\overrightarrow{P A}=(4,3), \overrightarrow{P Q}=(1$, 5), 则 $\overrightarrow{B C}=$
选项：
A. $(-2,7)$
B. $(-6,21)$
C. $(2,-7)$
D. $(6,-21)$
答案：B
解析：解析: 如图， $\because \overrightarrow{Q C}=\overrightarrow{A Q}=\overrightarrow{P Q}-\overrightarrow{P A}=(1,5)-(4,3)=(-3,2), \therefore \overrightarrow{P C}=\overrightarrow{P Q}+\overrightarrow{Q C}=(1,5)$ $+(-3,2)=(-2,7), \therefore \overrightarrow{B C}=3 \overrightarrow{P C}=(-6,21)$.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_f934fd3200dbf4af6dd7g-154，.jpg?height=280&width=343&top_left_y=525&top_left_x=891)

答案: $\mathrm{B}$
题目（高二 · 解析几何）：已知向量 $\boldsymbol{a}=(-1,2), \boldsymbol{b}=(1,-2 y)$. 若 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$, 则 $y$ 的值是
选项：
A. 2
B. -2
C. -1
D. 1
答案：D
解析：解析:因为 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$ ，所以 $(-1) \times(-2 y)=2 \times 1$ ，解得 $y=1$.

答案: D
题目（高二 · 解析几何）：已知向量 $\boldsymbol{a}=(1,2), \boldsymbol{b}=(1,0), \boldsymbol{c}=(3,4)$. 若 $\lambda$ 为实数, $(\boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b}) / / \boldsymbol{c}$, 则 $\lambda=$
选项：
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{2}$
C. 1
D. 2
答案：B
解析：解析: 由题意可得 $\boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b}=(1+\lambda ， 2)$. 由 $(\boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b}) / / \boldsymbol{c}$ ，得 $(1+\lambda) \times 4-3 \times 2=0$ ，解得 $\lambda=\frac{1}{2}$.

答案: B
题目（高二 · 解析几何）：已知向量 $\boldsymbol{a}=(1,-2),|\boldsymbol{b}|=4|\boldsymbol{a}|, \boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$, 则 $\boldsymbol{b}$ 可能是
选项：
A. $(4,8)$
B. $(8,4)$
C. $(-4,-8)$
D. $(-4,8)$
答案：D
解析：解析: $\because \boldsymbol{a}=(1,-2)=-\frac{1}{4}(-4,8),|\boldsymbol{b}|=4|\boldsymbol{a}|$,

$\therefore \boldsymbol{b}$ 可能是 $(-4,8)$.

答案: D
题目（高二 · 解析几何）：若向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 满足 $|\boldsymbol{a}|=1,(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{a},(2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{b}$, 则 $|\boldsymbol{b}|=$
选项：
A. 2 B. $\sqrt{2}$
    C. 1
    D. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
答案：B
解析：解析: $\because(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{a},(2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{b},|\boldsymbol{a}|=1$ ，

$\therefore\left\{\begin{array}{l}(a+b) \cdot a=0, \\ (2 a+b) \cdot b=0,\end{array} \therefore\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=-\boldsymbol{a}^{2}=-1, \\ 2 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{b}^{2}=0, \text { (2) }\end{array}\right.\right.$

把(1)代入(2)，得 $-2+\boldsymbol{b}^{2}=0 . \therefore \boldsymbol{b}^{2}=2 ， \therefore|\boldsymbol{b}|=\sqrt{2}$. 故选 B.

答案: B
题目（高二 · 解析几何）：向量 $\boldsymbol{a}$ 的模为 10, 它与 $x$ 轴正方向的夹角为 $150^{\circ}$, 则它在 $x$ 轴正方向上的投影为
选项：
A. $-5 \sqrt{3}$
B. 5
C. -5
D. $5 \sqrt{3}$
答案：A
解析：解析: $\boldsymbol{a}$ 在 $x$ 轴正方向上的投影为 $|\boldsymbol{a}| \cdot \cos 150^{\circ}=-5 \sqrt{3}$.

答案: A
题目（高二 · 解析几何）：如图所示, 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle A=90^{\circ}, A B=1$, 则 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}$ 的值为 ( )

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_f934fd3200dbf4af6dd7g-163，.jpg?height=291&width=257&top_left_y=1468&top_left_x=937)
选项：
A. 1
B. -1
C. 2
D. -2
答案：B
解析：解析: $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A B} \cdot(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})=\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B^{2}}=-|\overrightarrow{A B}|^{2}=-1$.

答案: B
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}$ 均为单位向量, $(2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \cdot(\boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b})=-\frac{3 \sqrt{3}}{2}$, 则 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $(\quad)$
选项：
A. $30^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $135^{\circ}$
D. $150^{\circ}$
答案：A
解析：解析: $\because(2 a+b) \cdot(\boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b})=2 \boldsymbol{a}^{2}-4 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}-2 \boldsymbol{b}^{2}=-3 \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=-\frac{3 \sqrt{3}}{2} ， \therefore \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. 设 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\theta$ ，则 $\cos \theta=\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}| \cdot|\boldsymbol{b}|}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. 又 $\because \theta \in\left[0^{\circ} ， 180^{\circ}\right] ， \therefore \theta=30^{\circ}$.

答案: A
题目（高二 · 解析几何）：设向量 $\boldsymbol{a}=(1,0), \boldsymbol{b}=\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$, 则下列结论中正确的是( )
选项：
A. $|\boldsymbol{a}|=|\boldsymbol{b}|$
B. $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{b}$
D. $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$
答案：C
解析：解析: $\because|\boldsymbol{a}|=1 ，|\boldsymbol{b}|=\frac{\sqrt{2}}{2} ， \therefore|\boldsymbol{a}| \neq|\boldsymbol{b}|$ ，故 A 错误; $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=(1 ， 0) \cdot\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2} \neq \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，故 B 错误; $\because \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=\left(\frac{1}{2} ，-\frac{1}{2}\right), \therefore(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{b}=\left(\frac{1}{2} ，-\frac{1}{2}\right) \cdot\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=0 ， \therefore(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) \perp \boldsymbol{b}$, 故 C 正确; $\because 1 \times \frac{1}{2}-0 \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2} \neq 0, \therefore \boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不平行，故 D 错误.

答案: C
题目（高二 · 解析几何）：设向量 $\boldsymbol{a}=(\cos \alpha, \sin \alpha), \boldsymbol{b}=(\cos \beta, \sin \beta)$, 其中 $0<\alpha<\beta<\pi$, 若 $|2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b}|$, 则 $\beta-\alpha$等于 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{\pi}{2}$
    B. $-\frac{\pi}{2}$
    C. $\frac{\pi}{4}$
    D. $-\frac{\pi}{4}$
答案：A
解析：解析 : 由向量 $\boldsymbol{a}=(\cos \alpha ， \sin \alpha) ， \boldsymbol{b}=(\cos \beta ， \sin \beta)$ ，且 $|2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|\boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b}|$ ，两边平方可得 4 $+1+4 \cos (\alpha-\beta)=1+4-4 \cos (\alpha-\beta)$ ，解得 $\cos (\alpha-\beta)=0$ ，又 $0<\alpha<\beta<\pi$ ，所以 $0<\beta-\alpha<\pi$ ，则 $\beta-\alpha=\frac{\pi}{2}$ ，故选 A.

答案: A
题目（高二 · 解析几何）：设 $A(a, 1), B(2, b), C(4,5)$ 为坐标平面上的三点, $O$ 为坐标原点. 若 $\overrightarrow{O A}$ 与 $\overrightarrow{O B}$ 在 $\overrightarrow{O C}$ 方向上的投影相同, 则 $a$ 与 $b$ 满足的关系式为 $($ )
选项：
A. $4 a-5 b=3$
    B. $5 a-4 b=3$
    C. $4 a+5 b=14$
    D. $5 a+4 b=14$
答案：A
解析：解析 : 由图知，要使 $\overrightarrow{O A}$ 与 $\overrightarrow{O B}$ 在 $\overrightarrow{O C}$ 方向上的投影相同，只需使 $\overrightarrow{A B} \perp \overrightarrow{O C}$ ，即 $(2-a, b-1) \cdot(4$ ， $5)=0$ ，得 $4 a-5 b-3=0$ ，即 $4 a-5 b=3$.



答案: A
题目（高二 · 解析几何）：若向量 $\overrightarrow{A B}=(3,-1), \boldsymbol{n}=(2,1)$, 且 $\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{A C}=7$, 则 $\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{B C}=$
选项：
A. -2
B. 2
C. -2 或 2
D. 0
答案：B
解析：解析: $\because \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}, \therefore \boldsymbol{n} \cdot(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C})=\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{A C}$, 即 $\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{A B}+\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{B C}=\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{A C} \cdot \therefore \boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{B C}=\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{A C}-\boldsymbol{n} \cdot \overrightarrow{A B}$ $=7-5=2$.

答案: B
题目（高二 · 解析几何）：设 $x, y \in \mathbf{R}$, 向量 $\boldsymbol{a}=(x, 1), \boldsymbol{b}=(1, y), \boldsymbol{c}=(2,-4)$, 且 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{c}, \boldsymbol{b} / / \boldsymbol{c}$, 则 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=(\quad)$
选项：
A. $\sqrt{5}$
B. $\sqrt{10}$
C. $2 \sqrt{5}$
D. 10
答案：B
解析：解析: 由 $\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{c}$ ，得 $2 x-4=0$ ，则 $x=2$. 由 $\boldsymbol{b} / / \boldsymbol{c}$ ，得 $-4=2 y$ ，则 $y=-2$ ，故 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=$ $\sqrt{(2+1)^{2}+(1-2)^{2}}=\sqrt{10}$.

答案: B
题目（高二 · 解析几何）：若向量 $\boldsymbol{a}=(1,2), \boldsymbol{b}=(1,-1)$, 则 $2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}$ 的夹角等于
选项：
A. $-\frac{\pi}{4}$
B. $\frac{\pi}{6}$
C. $\frac{\pi}{4}$
D. $\frac{3 \pi}{4}$
答案：C
解析：解析: $\because \boldsymbol{a}=(1,2), \boldsymbol{b}=(1,-1), \therefore 2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(3,3), \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(0 ， 3)$ ，则 $\cos \langle 2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}, \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\rangle$
$=\frac{3 \times 0+9}{3 \sqrt{2} \times 3}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \therefore\langle 2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}, \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\rangle=\frac{\pi}{4}$.

答案: C
题目（高二 · 解析几何）：若 $\boldsymbol{a}=(2,3), \boldsymbol{b}=(-4,7)$, 则 $\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 方向上的投影为
选项：
A. $\frac{\sqrt{65}}{5}$
B. $\sqrt{65}$
C. $\frac{\sqrt{13}}{5}$
D. $\sqrt{13}$
答案：A
解析：解析: 设 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\theta$ ，则 $\cos \theta=\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}| \boldsymbol{b} \mid}=\frac{2 \times(-4)+3 \times 7}{\sqrt{4+9} \times \sqrt{16+49}}=\frac{\sqrt{5}}{5} ， \therefore \boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 方向上的投影为 $|\boldsymbol{a}| \cos \theta=\sqrt{13} \times \frac{\sqrt{5}}{5}=\frac{\sqrt{65}}{5}$.

答案: A
题目（高二 · 解析几何）：在四边形 $A B C D$ 中, 若 $\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=0, \overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B D}=0$, 则四边形为
选项：
A. 平行四边形
B. 矩形
C. 等腰梯形
D. 菱形
答案：D
解析：解析: $\because \overrightarrow{A B} / / \overrightarrow{C D},|\overrightarrow{A B}|=|\overrightarrow{C D}|$ ，且 $\overrightarrow{A C} \perp \overrightarrow{B D} ， \therefore$ 四边形 $A B C D$ 为菱形.

答案: D
题目（高二 · 解析几何）：已知点 $A(7,1), B(1,4)$, 直线 $y=\frac{1}{2} a x$ 与线段 $A B$ 交于点 $C$, 且 $\overrightarrow{A C}=2 \overrightarrow{C B}$, 则 $a$ 等于
选项：
A. 2
    B. 1
    C. $\frac{4}{5}$
    D. $\frac{5}{3}$
答案：A
解析：解析: 设 $C(x, y)$ ，则 $(x-7, y-1)=(2-2 x ， 8-2 y)$ ，



$\because$ 点 $C$ 在直线 $y=\frac{1}{2} a x$ 上， $\therefore 3=\frac{1}{2} a \times 3 ， \therefore a=2$.

答案: A
题目（高二 · 解析几何）：在直角三角形 $A B C$ 中, 点 $D$ 是斜边 $A B$ 的中点, 点 $P$ 为线段 $C D$ 的中点, 则 $\frac{|P A|^{2}+|P B|^{2}}{|P C|^{2}}=$
选项：
A. 2
    B. 4
    C. 5
    D. 10
答案：D
解析：解析: 将 $\triangle A B C$ 各边及 $P A, P B, P C$ 均用向量表示，

则 $\frac{|P A|^{2}+|P B|^{2}}{|P C|^{2}}=\frac{\overrightarrow{P A}^{2}+\overrightarrow{P B^{2}}}{\overrightarrow{P C}^{2}}=\frac{(\overrightarrow{P C}+\overrightarrow{C A})^{2}+(\overrightarrow{P C}+\overrightarrow{C B})^{2}}{\overrightarrow{P C}^{2}}$
$=\frac{2|\overrightarrow{P C}|^{2}+2 \overrightarrow{P C} \cdot(\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C B})+\overrightarrow{A B}{ }^{2}}{|\overrightarrow{P C}|^{2}}=\frac{|\overrightarrow{A B}|^{2}}{|\overrightarrow{P C}|^{2}}-6=4^{2}-6=10$.

答案: D
题目（高二 · 解析几何）：若物体在共点力 $\boldsymbol{F}_{1}=(\lg 2, \lg 2), \boldsymbol{F}_{2}=(\lg 5, \lg 2)$ 的作用下产生位移 $\boldsymbol{s}=(2 \lg 5,1)$, 则共点力对物体所做的功 $W$ 为
选项：
A. $\lg 2$
B. $\lg 5$
C. 1
D. 2
答案：D
解析：解析: $W=\left(\boldsymbol{F}_{1}+\boldsymbol{F}_{2}\right) \cdot s=(\lg 2+\lg 5 ， 2 \lg 2) \cdot(2 \lg 5 ， 1)=(1,2 \lg 2) \cdot(2 \lg 5 ， 1)=2 \lg 5+2 \lg 2$ $=2$ ，故选 D.

答案: D
题目（高二 · 解析几何）：已知 $A, B, C$ 是坐标平面上的三点, 其坐标分别为 $A(1,2), B(4,1), C(0,-1)$, 则 $\triangle A B C$的形状为
选项：
A. 直角(非等腰)三角形

B. 等腰(非等边)三角形

C. 等腰直角三角形

D. 以上均不正确
答案：C
解析：解析: $\because \overrightarrow{A B}=(3,-1), \overrightarrow{A C}=(-1,-3), \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=3 \times(-1)+(-1) \times(-3)=0$ ，且 $|\overrightarrow{A B}|=$
$|\overrightarrow{A C}|=\sqrt{10}, \therefore \triangle A B C$ 为等腰直角三角形.

答案: C
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 若 $\overrightarrow{B A} \cdot(2 \overrightarrow{B C}-\overrightarrow{B A})=0$, 则 $\triangle A B C$ 一定是
选项：
A. 直角三角形
B. 等腰直角三角形
C. 正三角形
D. 等腰三角形
答案：D
解析：解析 : $\overrightarrow{B A} \cdot(2 \overrightarrow{B C}-\overrightarrow{B A})=\overrightarrow{B A} \cdot(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B C}-\overrightarrow{B A})=\overrightarrow{B A} \cdot(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{A B})=\overrightarrow{B A} \cdot(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{A C})=-\overrightarrow{B A} \cdot(\overrightarrow{C B}$ $+\overrightarrow{C A})=0$. 由向量加法的平行四边形法则，知以 $C A ， C B$ 为邻边的平行四边形的对角线互相垂直，所以 $\triangle A B C$ 一定是等腰三角形.

答案: D
题目（高二 · 解析几何）：设 $\boldsymbol{a}$ 是非零向量, $\lambda$ 是非零实数, 则下列结论中正确的是
选项：
A. $\boldsymbol{a}$ 与 $\lambda \boldsymbol{a}$ 的方向相同
B. $\boldsymbol{a}$ 与 $-\lambda \boldsymbol{a}$ 的方向相反
C. $\boldsymbol{a}$ 与 $\lambda^{2} \boldsymbol{a}$ 的方向相同
D. $|\lambda \boldsymbol{a}|=\lambda|\boldsymbol{a}|$
答案：C
解析：解析: 只有当 $\lambda>0$ 时, 才有 $\boldsymbol{a}$ 与 $\lambda \boldsymbol{a}$ 的方向相同, $\boldsymbol{a}$ 与 $-\lambda \boldsymbol{a}$ 的方向相反，且 $|\lambda \boldsymbol{a}|=\lambda|\boldsymbol{a}|$ : 因为 $\lambda^{2}>0$ ，所以 $\boldsymbol{a}$ 与 $\lambda^{2} \boldsymbol{a}$ 的方向相同.

答案: C
题目（高二 · 解析几何）：已知四边形 $A B C D$ 是菱形, 点 $P$ 在对角线 $A C$ 上(不包括端点 $A, C$ ), 则 $\overrightarrow{A P}=$
选项：
A. $\lambda(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}), \lambda \in(0,1)$
    B. $\lambda(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}), \quad \lambda \in\left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
    C. $\lambda(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}), \lambda \in(0,1)$
    D. $\lambda(\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{B C}), \lambda \in\left(0, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
答案：A
解析：解析: 由向量加法运算法则可知， $\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}$ ，又点 $P$ 在线段 $A C$ 上，故 $\overrightarrow{A P}$ 与 $\overrightarrow{A C}$ 同向，且 $|\overrightarrow{A P}|<|\overrightarrow{A C}| \cdot$ 故 $\overrightarrow{A P}=\lambda(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}), \lambda \in(0,1)$.

答案: A
题目（高二 · 解析几何）：点 $C$ 在线段 $A B$ 上, 且 $\overrightarrow{A C}=\frac{3}{5} \overrightarrow{A B}$, 则 $\overrightarrow{A C}=$
选项：
A. $\frac{3}{2} \overrightarrow{B C}$
B. $\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}$
C. $-\frac{3}{2} \overrightarrow{B C}$
D. $-\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}$
答案：C
解析：解析 : 依题意，可得 $A C=\frac{3}{2} B C ， 又 \overrightarrow{A C}$ 和 $\overrightarrow{B C}$ 方向相反，所以 $\overrightarrow{A C}=-\frac{3}{2} \overrightarrow{B C}$.

答案: C
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}$ 是不共线向量, 则下列各组向量中, 是共线向量的有

(1) $a=5 \boldsymbol{e}_{1}, \quad \boldsymbol{b}=7 \boldsymbol{e}_{1} ; \quad$ (2) $a=\frac{1}{2} \boldsymbol{e}_{1}-\frac{1}{3} \boldsymbol{e}_{2}, \quad \boldsymbol{b}=3 \boldsymbol{e}_{1}-2 \boldsymbol{e}_{2}$;

(3) $a=e_{1}+e_{2}, b=3 e_{1}-3 e_{2}$.
选项：
A. (1)(2)
B. (1)(3)
C. (2)(3)
D. (1)(2)(3)
答案：A
解析：解析: (1)中， $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 显然共线; (2)，因为 $\boldsymbol{b}=3 \boldsymbol{e}_{1}-2 \boldsymbol{e}_{2}=6\left(\frac{1}{2} \boldsymbol{e}_{1}-\frac{1}{3} e_{2}\right)=6 a$, 故 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 共线;

(3)中，设 $\boldsymbol{b}=3 \boldsymbol{e}_{1}-3 \boldsymbol{e}_{2}=k\left(\boldsymbol{e}_{1}+\boldsymbol{e}_{2}\right)$ ，无解，故 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 不共线，故选 A.

答案: A
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 若 $b, a, c$ 成等差数列, 且 $\sin ^{2} A=\sin B \sin C$, 则 $\triangle A B C$ 的形状为 ( )
选项：
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形
答案：C
解析：$\because \triangle \mathrm{ABC}$ 的三边 $\mathrm{b}, \mathrm{a}, \mathrm{c}$ 成等差数列, $\therefore \mathrm{b}+\mathrm{c}=2 \mathrm{a}(1)$, 又 $\sin ^{2} \mathrm{~A}=\sin B \sin \mathrm{C}$,

根据正弦定理化简得: $\mathrm{a}^{2}=\mathrm{bc}(2)$, 由(1)得: $\mathrm{a}=\frac{b+c}{2}$, 代入(2)得：

$\frac{(b+c)^{2}}{4}=\mathrm{bc}$, 即 $(\mathrm{b}-\mathrm{c})^{2}=0, \therefore \mathrm{b}=\mathrm{c}$, 故 $\mathrm{a}=\mathrm{b}=\mathrm{c}$, 则三角形为等边三角形. 故选: $\mathrm{C}$.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A 、 B 、 C$ 的对边分别为 $a 、 b 、 c$, 如果 $a 、 b 、 c$ 成等差数列, $B=30^{\circ}$, $\triangle \mathrm{ABC}$ 的面积为 $\frac{3}{2}$, 则 $\mathrm{b}$ 等于 $(\quad)$
选项：
A. $1+\sqrt{3}$
B. $2+\sqrt{3}$
C. $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$
D. $\frac{2+\sqrt{3}}{2}$
答案：A
解析：由余弦定理得 $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B=(a+c)^{2}-2 a c-2 a c \cos B(1)$,

又 $\mathrm{S}_{\triangle \mathrm{ABC}}=\frac{1}{2} \mathrm{acsin} \mathrm{B}=\frac{1}{4} \mathrm{ac}=\frac{3}{2}, \therefore \mathrm{ac}=6,(2) \because \mathrm{a} 、 \mathrm{~b} 、 \mathrm{c}$ 成等差数列, $\therefore \mathrm{a}+\mathrm{c}=2 \mathrm{~b}$, (3), 将(2)(3)代入

(1)得 $b^{2}=4 b^{2}-12-6 \sqrt{3}$, 化简整理得 $b^{2}=4+2 \sqrt{3}$, 解得 $b=1+\sqrt{3}$. 故选 A.
题目（高二 · 解析几何）：$\cos 27^{\circ} \cos 57^{\circ}-\sin 27^{\circ} \cos 147^{\circ}$ 等于
选项：
A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $-\frac{1}{2}$
答案：A
解析：解析: 原式 $=\cos 27^{\circ} \cos 57^{\circ}-\sin 27^{\circ} \cos \left(180^{\circ}-33^{\circ}\right)=\cos 27^{\circ} \cdot \cos 57^{\circ}+\sin 27^{\circ} \cos 33^{\circ}=\cos$ $27^{\circ} \cos 57^{\circ}+\sin 27^{\circ} \sin 57^{\circ}=\cos \left(57^{\circ}-27^{\circ}\right)=\cos 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. 故选 A.

答案: A
题目（高二 · 解析几何）：若 $\sin \alpha-\sin \beta=\frac{\sqrt{3}}{2}, \cos \alpha-\cos \beta=\frac{1}{2}$, 则 $\cos (\alpha-\beta)$ 的值为( )
选项：
A. $\frac{1}{2}$
    B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
    C. $\frac{\sqrt{3}}{4}$
    D. 1
答案：A
解析：解析: 由 $\sin \alpha-\sin \beta=\frac{\sqrt{3}}{2}, \cos \alpha-\cos \beta=\frac{1}{2}$ ，

得 $\sin ^{2} \alpha+\sin ^{2} \beta-2 \sin \alpha \sin \beta=\frac{3}{4}$ ，

$\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta-2 \cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{4}$

(1) + (2) 得 $2-2(\sin \alpha \sin \beta+\cos \alpha \cos \beta)=1$.

$\therefore \sin \alpha \sin \beta+\cos \alpha \cos \beta=\frac{1}{2}$.

$\therefore \cos (\alpha-\beta)=\frac{1}{2}$.

答案: A
题目（高二 · 解析几何）：若 $\cos (\alpha-\beta)=\frac{\sqrt{5}}{5}, \cos 2 \alpha=\frac{\sqrt{10}}{10}$, 并且 $\alpha, \beta$ 均为锐角, 且 $a<\beta$, 则 $\alpha+\beta$ 的值为
选项：
A. $\frac{\pi}{6}$
    B. $\frac{\pi}{4}$
    C. $\frac{3 \pi}{4}$
    D. $\frac{5 \pi}{6}$
答案：C
解析：解析: $\because 0<\alpha<\beta<\frac{\pi}{2} ， \therefore-\frac{\pi}{2}<\alpha-\beta<0 ， 0<2 \alpha<\pi$.

由 $\cos (\alpha-\beta)=\frac{\sqrt{5}}{5}$ ，得 $\sin (\alpha-\beta)=-\frac{2 \sqrt{5}}{5}$.

由 $\cos 2 \alpha=\frac{\sqrt{10}}{10}$ ，得 $\sin 2 \alpha=\frac{3 \sqrt{10}}{10}$.

$\therefore \cos (\alpha+\beta)=\cos [2 \alpha-(\alpha-\beta)]=\cos 2 \alpha \cos (\alpha-\beta)+\sin 2 \alpha \sin (\alpha-\beta)$

$=\frac{\sqrt{10}}{10} \times \frac{\sqrt{5}}{5}+\frac{3 \sqrt{10}}{10} \times\left(-\frac{2 \sqrt{5}}{5}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

又 $\because \alpha+\beta \in(0, \pi) ， \therefore \alpha+\beta=\frac{3 \pi}{4}$.

答案: C
题目（高二 · 解析几何）：若 $\cos \alpha=\frac{1}{17}, \cos (\alpha+\beta)=-\frac{47}{51}$, 且 $\alpha, \beta$ 都是锐角, 则 $\cos \beta$ 的值为 ( )
选项：
A. $-\frac{1}{7}$
B. $\frac{1}{3}$
C. $\frac{403}{867}$
D. $-\frac{403}{867}$
答案：B
解析：解析: $\because \beta=(\alpha+\beta)-\alpha$ ，
又 $\because \cos \alpha=\frac{1}{17} ， \cos (\alpha+\beta)=-\frac{47}{51} ， \alpha ， \beta$ 都是锐角，

$\therefore \alpha+\beta$ 是钝角， $\therefore \sin \alpha=\frac{12 \sqrt{2}}{17}, \sin (\alpha+\beta)=\frac{14 \sqrt{2}}{51}$.

$\because \cos \beta=\cos [(\alpha+\beta)-\alpha]=\cos (\alpha+\beta) \cos \alpha+\sin (\alpha+\beta) \sin \alpha$,

$\therefore \cos \beta=-\frac{47}{51} \times \frac{1}{17}+\frac{14 \sqrt{2}}{51} \times \frac{12 \sqrt{2}}{17}=\frac{-47+336}{51 \times 17}=\frac{289}{51 \times 17}=\frac{1}{3}$.

答案: B
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\sin \left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)=\frac{3}{5}, \frac{\pi}{3}<\alpha<\frac{5 \pi}{6}$, 则 $\cos \alpha$ 的值是
选项：
A. $\frac{3-4 \sqrt{3}}{10}$
B. $\frac{4-3 \sqrt{3}}{10}$
C. $\frac{2 \sqrt{3}-3}{5}$
D. $\frac{3-2 \sqrt{3}}{5}$
答案：A
解析：解析: $\because \frac{\pi}{3}<\alpha<\frac{5 \pi}{6} ， \therefore \frac{\pi}{2}<\frac{\pi}{6}+\alpha<\pi$.

$\therefore \cos \left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)=-\sqrt{1-\sin ^{2}\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)}=-\frac{4}{5}$.

$\therefore \cos \alpha=\cos \left[\left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right)-\frac{\pi}{6}\right]=\cos \left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right) \cos \frac{\pi}{6}+\sin \left(\frac{\pi}{6}+\alpha\right) \cdot \sin \frac{\pi}{6}=-\frac{4}{5} \times \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{5} \times \frac{1}{2}=\frac{3-4 \sqrt{3}}{10}$.

答案: A