题目（九年级 · 画法几何学）：(本小题 8.0 分)

如图, 在 ${ }^{\prime} A B C D$ 中, $E, F$ 分别是 $B C, A D$ 的中点.



(1)求证: $\triangle A B E \cong \triangle C D F$.

(2)当 $B C=2 A B=4$, 且 $\triangle A B E$ 的面积为 $\sqrt{3}$, 求证: 四边形 $A E C F$ 是菱形.
选项：
答案：证明: (1) $\because$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形,

$\therefore A B=D C, A D=C B, \angle B=\angle D$,

$\because E, F$ 分别是 $B C, A D$ 中点,

$D F=\frac{1}{2} D A, B E=\frac{1}{2} C B$,

$\therefore D F=B E$,

$\because A B=D C, \angle B=\angle D$,

$\therefore \triangle A B E \cong \triangle C D$.

(2) 解法一、过 $A$ 作 $A H \perp B C$ 于 $H$,

$\because B C=2 A B=4$, 且 $\triangle A B E$ 的面积为 $\sqrt{3}$,

$\therefore B E=A B=2, \frac{1}{2} \times E B \times A H=\sqrt{3}$,

<ImageHere>

$\therefore A H=\sqrt{3}$,

$\therefore \sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$,

$\therefore \angle B=60^{\circ}$,

$\therefore A B=B E=A E$,

$\because E, F$ 分别是 $B C, A D$ 中点,

$\therefore A F=C E=A E$,

$\because \triangle A B E \cong \triangle C D F$,

$\therefore C F=A E$,

$\therefore A E=C E=C F=A F$,

$\therefore$ 四边形 $A E C F$ 是菱形.

解法二、过 $A$ 作 $A H \perp B C$ 于 $H$,

$\because B C=2 A B=4$, 且 $\triangle A B E$ 的面积为 $\sqrt{3}$,

<ImageHere>
$\therefore B E=A B=2, \frac{1}{2} \times E B \times A H=\sqrt{3}$,

$\therefore A H=\sqrt{3}$,

$\therefore$ 由勾股定理得: $B H=1$,

$H E=2-1=1=B H$,

$\because A H \perp B E$,

$\therefore A B=A E=B E$,

$\because E, F$ 分别是 $B C, A D$ 中点,

$\therefore A F=C E=A E$,

$\because \triangle A B E \cong \triangle C D F$,

$\therefore C F=A E$,

$\therefore A E=C E=C F=A F$,

$\therefore$ 四边形 $A E C F$ 是菱形

【解析】 (1)根据平行四边形的性质得到 $A B=D C, A D=C B, \angle B=\angle D$, 推出 $D F=B E$, 根据 $S A S$即可推出答案;

(2)过 $A$ 作 $A H \perp B C$ 于 $H$, 根据三角形的面积求出 $A H$, 根据锐角三角函数求出 $\angle B$, 得出等边三角形 $A E B$, 推出 $A E=B E=A B$, 推出 $A F=C F=C E=A E$ 即可.

本题主要考查对平行四边形的性质, 全等三角形的性质和判定, 等边三角形的性质和判定, 三角形的面积, 锐角三角函数的定义, 菱形的判定等知识点的理解和掌握, 能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.
解析：证明: (1) $\because$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形,

$\therefore A B=D C, A D=C B, \angle B=\angle D$,

$\because E, F$ 分别是 $B C, A D$ 中点,

$D F=\frac{1}{2} D A, B E=\frac{1}{2} C B$,

$\therefore D F=B E$,

$\because A B=D C, \angle B=\angle D$,

$\therefore \triangle A B E \cong \triangle C D$.

(2) 解法一、过 $A$ 作 $A H \perp B C$ 于 $H$,

$\because B C=2 A B=4$, 且 $\triangle A B E$ 的面积为 $\sqrt{3}$,

$\therefore B E=A B=2, \frac{1}{2} \times E B \times A H=\sqrt{3}$,



$\therefore A H=\sqrt{3}$,

$\therefore \sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$,

$\therefore \angle B=60^{\circ}$,

$\therefore A B=B E=A E$,

$\because E, F$ 分别是 $B C, A D$ 中点,

$\therefore A F=C E=A E$,

$\because \triangle A B E \cong \triangle C D F$,

$\therefore C F=A E$,

$\therefore A E=C E=C F=A F$,

$\therefore$ 四边形 $A E C F$ 是菱形.

解法二、过 $A$ 作 $A H \perp B C$ 于 $H$,

$\because B C=2 A B=4$, 且 $\triangle A B E$ 的面积为 $\sqrt{3}$,


$\therefore B E=A B=2, \frac{1}{2} \times E B \times A H=\sqrt{3}$,

$\therefore A H=\sqrt{3}$,

$\therefore$ 由勾股定理得: $B H=1$,

$H E=2-1=1=B H$,

$\because A H \perp B E$,

$\therefore A B=A E=B E$,

$\because E, F$ 分别是 $B C, A D$ 中点,

$\therefore A F=C E=A E$,

$\because \triangle A B E \cong \triangle C D F$,

$\therefore C F=A E$,

$\therefore A E=C E=C F=A F$,

$\therefore$ 四边形 $A E C F$ 是菱形

【解析】 (1)根据平行四边形的性质得到 $A B=D C, A D=C B, \angle B=\angle D$, 推出 $D F=B E$, 根据 $S A S$即可推出答案;

(2)过 $A$ 作 $A H \perp B C$ 于 $H$, 根据三角形的面积求出 $A H$, 根据锐角三角函数求出 $\angle B$, 得出等边三角形 $A E B$, 推出 $A E=B E=A B$, 推出 $A F=C F=C E=A E$ 即可.

本题主要考查对平行四边形的性质, 全等三角形的性质和判定, 等边三角形的性质和判定, 三角形的面积, 锐角三角函数的定义, 菱形的判定等知识点的理解和掌握, 能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键.