题目（九年级 · 解析几何）：(10 分) 如图, $\triangle A B C$ 内接于 $\odot O$, 弦 $B D \perp A C$, 垂足为 $E$. 点 $D$, 点 $F$ 关于 $A C$ 对称, 连接 $A F$ 并延长交 $\odot O$ 于点 $G$.



(1)连接 $O B$, 求证: $\angle A B D=\angle O B C$;

(2)求证: 点 $F$, 点 $G$ 关于 $B C$ 对称;

(3)若 $B F=O B=2$, 求 $\triangle A B C$ 面积的最大值.

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选项：
答案： (1)见解析

(2)见解析

(3) $3 \sqrt{3}$


解析：(1) 连接 $O C$, 根据 $B D \perp A C$, 得出 $\angle B A C+\angle A B D=90^{\circ}$, 根据 $O B=O C$, 得出 $\angle O B C=\angle O C B$, 可得 $\angle O B C+\frac{1}{2} \angle B O C=90^{\circ}$, 可得 $\angle B A C=\frac{1}{2} \angle B O C$, 得出 $\angle B A C+\angle O B C=90^{\circ}$ 即可;

(2) 连接 $A D, B G$. 根据点 $D$, 点 $F$ 关于 $A C$ 对称, 得出 $A C$ 垂直平分 $D F$, 可得 $A D=A F$,根据同弧所对圆周角性质 $\angle D=\angle A F D, \angle F A C=\angle D A C$, 得出 $D C=G C, \angle D B C=\angle G B C$,根据 $\angle A D B=\angle A G B, \angle A F D=\angle B F G$, 得出 $B F=B G$, 根据 $\angle D B C=\angle G B C$, 得出 $B C \perp F G$即可;

(3)连接 $O G, C G$, 延长 $B O$, 交 $\odot O$ 于点 $H$, 连接 $G H$, 设 $A G$ 与 $B C$ 交于点 $M$, 先证明 $\triangle O B G$为等边三角形, 得到 $\angle B O G=60^{\circ}$, 等边对等角, 得到 $\angle O H G=\angle O G H=\frac{1}{2} \angle B O G=30^{\circ}$, 推出 $\angle B A G=\angle B C G=\angle H=30^{\circ}$, 进而得到 $\angle A B C=90^{\circ}-\angle B A G=60^{\circ}$, 连接 $O A, O C$, 过点 $O$ 作 $O N \perp A C$, 垂径定理求出 $O N, A C$ 的长, 得到当 $B H \perp A C$, 即: $B, O, N$ 三点共线时, $\triangle A B C$的面积最大, 求出 $B N$ 的长，利用三角形的面积公式进行求解即可.

【详解】(1) 证明：如图, 连接 $O C$,


$\because B D \perp A C$,

$\therefore \angle A E B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C+\angle A B D=90^{\circ}$,

$\because O B=O C$,

$\therefore \angle O B C=\angle O C B$,

$\therefore 2 \angle O B C+\angle B O C=180^{\circ}$,

$\therefore \angle O B C+\frac{1}{2} \angle B O C=90^{\circ}$,

$\because \angle B A C=\frac{1}{2} \angle B O C$,

$\therefore \angle B A C+\angle O B C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A B D=\angle O B C$;

(2) 证明: 如图, 连接 $A D, B G$.

$\because$ 点 $D$, 点 $F$ 关于 $A C$ 对称,

$\therefore A C$ 垂直平分 $D F$,

$\therefore A D=A F$,

$\therefore \angle D=\angle A F D, \angle F A C=\angle D A C$,

$\therefore D C=G C$,



$\therefore \angle D B C=\angle G B C$,

$\because \angle A D B=\angle A G B, \angle A F D=\angle B F G$,

$\therefore \angle B G F=\angle B F G$,

$\therefore B F=B G$,

$\because \angle D B C=\angle G B C$,

$\therefore B C$ 垂直平分 $F G$,

$\therefore$ 点 $F$, 点 $G$ 关于 $B C$ 对称.

(3) 连接 $O G, C G$, 延长 $B O$, 交 $\odot O$ 于点 $H$, 连接 $G H$, 设 $A G$ 与 $B C$ 交于点 $M$,



由 (2) 得: $B F=B G=2$,

$\because B O=G O=2=B G$,

$\therefore \triangle O B G$ 为等边三角形,

$\therefore \angle B O G=60^{\circ}$,

$\because O H=O G$

$\therefore \angle O H G=\angle O G H=\frac{1}{2} \angle B O G=30^{\circ}$,

$\therefore \angle B A G=\angle B C G=\angle H=30^{\circ}$,

$\because B C \perp A G$,

$\therefore \angle A B C=90^{\circ}-\angle B A G=60^{\circ}$,

连接 $O A, O C$, 过点 $O$ 作 $O N \perp A C$ 于 $N$, 则: $O A=O C=2, \angle A O C=120^{\circ}, A C=2 C N$,

$\therefore \angle O C A=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-120^{\circ}\right)=30^{\circ}$,

$\therefore O N=\frac{1}{2} O C=1, C N=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$,

$\therefore A C=2 \sqrt{3}$,

$\because S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} A C \cdot B E=\sqrt{3} B E$, 而 $B E \leq O B+O N=2+1=3$,

$\therefore$ 当 $B H \perp A C$ 时, 即: $B, O, N$ 三点共线, $B N=O B+O N=3$ 时, $S_{\triangle A B C}$ 最大, 最大为:

$\frac{1}{2} A C \cdot B N=\sqrt{3} \times 3=3 \sqrt{3}$.

【点睛】本题考查直线垂直性质, 互余性质, 等腰三角形内角和性质, 轴对称性质, 线段垂直平分线性质, 等腰三角形性质, 圆周角定理, 垂径定理, 等边三角形判定与性质, $30^{\circ}$ 直角三角形性质, 勾股定理, 三角形面积公式等知识, 通过辅助线画出准确图形是解题关键. 本题的综合性强, 难度大，属于压轴题.