eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高一 · 代数）：已知集合 $A=\{x \mid a-1<x<2 a+1\}, B=\{x \mid 0<x<1\}$.

(1)若 $a=\frac{1}{2}$, 求 $A \cap B$;

(2)若 $A \cap B=\varnothing$, 求实数 $a$ 的取值范围.
选项：
答案：【解】(1)当 $a=\frac{1}{2}$ 时, $A=\left\{x \left\lvert\,-\frac{1}{2}<x<2\right.\right\}, B=\{x \mid 0<x<1\}, \therefore A \cap B=\{x \mid 0<x<1\}$.

(2)若 $A \cap B=\varnothing$,

当 $A=\varnothing$ 时, 有 $a-1 \geqslant 2 a+1, \therefore a \leqslant-2$.

当 $A \neq \varnothing$ 时, 有 $\left\{\begin{array}{l}a-1<2 a+1 \\ 2 a+1 \leqslant 0 \text { 或 } a-1 \geqslant 1,\end{array}\right.$

$\therefore-2<a \leqslant-\frac{1}{2}$ 或 $a \geqslant 2$.
综上可得, $a \leqslant-\frac{1}{2}$ 或 $a \geqslant 2$.
解析：【解】(1)当 $a=\frac{1}{2}$ 时, $A=\left\{x \left\lvert\,-\frac{1}{2}<x<2\right.\right\}, B=\{x \mid 0<x<1\}, \therefore A \cap B=\{x \mid 0<x<1\}$.

(2)若 $A \cap B=\varnothing$,

当 $A=\varnothing$ 时, 有 $a-1 \geqslant 2 a+1, \therefore a \leqslant-2$.

当 $A \neq \varnothing$ 时, 有 $\left\{\begin{array}{l}a-1<2 a+1 \\ 2 a+1 \leqslant 0 \text { 或 } a-1 \geqslant 1,\end{array}\right.$

$\therefore-2<a \leqslant-\frac{1}{2}$ 或 $a \geqslant 2$.
综上可得, $a \leqslant-\frac{1}{2}$ 或 $a \geqslant 2$.
题目（高一 · 代数）：设 $A=\left\{x \mid x^{2}+a x+12=0\right\}, B=\left\{x \mid x^{2}+3 x+2 b=0\right\}, A \cap B=\{2\}, C=\{2,-3\}$,

(1)求 $a, b$ 的值及 $A, B$;

(2)求 $(A \cup B) \cap C$.
选项：
答案：【解】(1) $\because A \cap B=\{2\}, \therefore 4+2 a+12=0$, 即 $a=-8,4+6+2 b=0$, 即 $b=-5$,

$\therefore A=\left\{x \mid x^{2}-8 x+12=0\right\}=\{2,6\}, B=\left\{x \mid x^{2}+3 x-10=0\right\}=\{2,-5\}$.

(2) $\because A \cup B=\{-5,2,6\}, C=\{2,-3\}, \therefore(A \cup B) \cap C=\{2\}$.
解析：【解】(1) $\because A \cap B=\{2\}, \therefore 4+2 a+12=0$, 即 $a=-8,4+6+2 b=0$, 即 $b=-5$,

$\therefore A=\left\{x \mid x^{2}-8 x+12=0\right\}=\{2,6\}, B=\left\{x \mid x^{2}+3 x-10=0\right\}=\{2,-5\}$.

(2) $\because A \cup B=\{-5,2,6\}, C=\{2,-3\}, \therefore(A \cup B) \cap C=\{2\}$.
题目（高一 · 代数）：某企业生产某种产品时的能耗 $y$ 与产品件数 $x$ 之间的关系式为: $y=a x+\frac{b}{x}$. 且当 $x=2$ 时, $y=100$;当 $x=7$ 时, $y=35$. 且此产品生产件数不超过 20 件.

(1)写出函数 $y$ 关于 $x$ 的解析式;

(2)用列表法表示此函数, 并画出图象.
选项：
答案：(1) 将 $\left\{\begin{array}{l}x=2, \\ y=100,\end{array} \quad\left\{\begin{array}{l}x=7, \\ y=35,\end{array}\right.\right.$, 代入 $y=a x+\frac{b}{x}$ 中, 得 $\left\{\begin{array}{l}2 a+\frac{b}{2}=100, \\ 7 a+\frac{b}{7}=35\end{array} \quad \Rightarrow\right.$ $\left\{\begin{array}{l}4 a+b=200, \\ 49 a+b=245\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=1, \\ b=196 .\end{array}\right.\right.$

所以所求函数解析式为 $y=x+\frac{196}{x}(x \in \mathbf{N}, 0<x \leqslant 20)$.

(2)当 $x \in\{1,2,3,4,5, \cdots, 20\}$ 时，列表:

| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $y$ | 197 | 100 | 68.3 | 53 | 44.2 | 38.7 | 35 | 32.5 | 30.8 | 29.6 |
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| $x$ | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| $y$ | 28.8 | 28.3 | 28.1 | 28 | 28.1 | 28.25 | 28.5 | 28.9 | 29.3 | 29.8 |

依据上表，画出函数 $y$ 的图象如图所示，是由 20 个点构成的点列.

<ImageHere>
解析：(1) 将 $\left\{\begin{array}{l}x=2, \\ y=100,\end{array} \quad\left\{\begin{array}{l}x=7, \\ y=35,\end{array}\right.\right.$, 代入 $y=a x+\frac{b}{x}$ 中, 得 $\left\{\begin{array}{l}2 a+\frac{b}{2}=100, \\ 7 a+\frac{b}{7}=35\end{array} \quad \Rightarrow\right.$ $\left\{\begin{array}{l}4 a+b=200, \\ 49 a+b=245\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}a=1, \\ b=196 .\end{array}\right.\right.$

所以所求函数解析式为 $y=x+\frac{196}{x}(x \in \mathbf{N}, 0<x \leqslant 20)$.

(2)当 $x \in\{1,2,3,4,5, \cdots, 20\}$ 时，列表:

| $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $y$ | 197 | 100 | 68.3 | 53 | 44.2 | 38.7 | 35 | 32.5 | 30.8 | 29.6 |
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| $x$ | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| $y$ | 28.8 | 28.3 | 28.1 | 28 | 28.1 | 28.25 | 28.5 | 28.9 | 29.3 | 29.8 |

依据上表，画出函数 $y$ 的图象如图所示，是由 20 个点构成的点列.
题目（高一 · 代数）：当 $m$ 为怎样的实数时, 方程 $x^{2}-4|x|+5=m$ 有四个互不相等的实数根?
选项：
答案：先作出 $y=x^{2}-4|x|+5=\left\{\begin{array}{l}x^{2}-4 x+5, x \geq 0, \\ x^{2}+4 x+5, x<0\end{array}\right.$ 的图像(如图所示).

<ImageHere>

再作出直线 $y=m$, 从图中可以直接看出, 当 $1<m<5$ 时, 方程有四个互不相等的实根.
解析：先作出 $y=x^{2}-4|x|+5=\left\{\begin{array}{l}x^{2}-4 x+5, x \geq 0, \\ x^{2}+4 x+5, x<0\end{array}\right.$ 的图像(如图所示).



再作出直线 $y=m$, 从图中可以直接看出, 当 $1<m<5$ 时, 方程有四个互不相等的实根.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)$ 对任意的实数 $x, y$, 都有 $f(x+y)=f(x)+2 y(x+y)$, 且 $f(1)=1$, 求 $f(x)$ 的解析式.
选项：
答案：$\because f(x+y)=f(x)+2 y(x+y)$ 对任意 $x, y \in \mathbf{R}$ 都成立, 可令 $x=0, y=1$, 得 $f(1)=f(0)+2 \times 1 \times(0+1)$,又 $f(1)=1$, 解得 $f(0)=-1$,

再令 $x=0, y=x$, 得 $f(x)=f(0)+2 x(0+x)=-1+2 x^{2}$, 即 $f(x)=2 x^{2}-1$.
解析：$\because f(x+y)=f(x)+2 y(x+y)$ 对任意 $x, y \in \mathbf{R}$ 都成立, 可令 $x=0, y=1$, 得 $f(1)=f(0)+2 \times 1 \times(0+1)$,又 $f(1)=1$, 解得 $f(0)=-1$,

再令 $x=0, y=x$, 得 $f(x)=f(0)+2 x(0+x)=-1+2 x^{2}$, 即 $f(x)=2 x^{2}-1$.
题目（高一 · 代数）：2015 年我国国民生产总值为 $a$ 亿元, 如果平均每年增长 8\%, 那么过多少年后国民生产总值是 2015 年的 2 倍 $(\lg 2 \approx 0.3010, \lg 1.08 \approx 0.0334$, 精确到 1 年).
选项：
答案：【解】设经过 $x$ 年国民生产总值为 2015 年的 2 倍.

经过 1 年, 国民生产总值为 $a(1+8 \%)$,

经过 2 年, 国民生产总值为 $a(1+8 \%)^{2}$,

..

经过 $x$ 年, 国民生产总值为 $a(1+8 \%)^{x}=2 a$,

$\therefore 1.08^{x}=2$, 两边取常用对数, 得 $x \cdot \lg 1.08=\lg 2$.

$\therefore x=\frac{\lg 2}{\lg 1.08} \approx \frac{0.3010}{0.0334} \approx 9$.

故约经过 9 年, 国民生产总值是 2015 年的 2 倍.
解析：【解】设经过 $x$ 年国民生产总值为 2015 年的 2 倍.

经过 1 年, 国民生产总值为 $a(1+8 \%)$,

经过 2 年, 国民生产总值为 $a(1+8 \%)^{2}$,

..

经过 $x$ 年, 国民生产总值为 $a(1+8 \%)^{x}=2 a$,

$\therefore 1.08^{x}=2$, 两边取常用对数, 得 $x \cdot \lg 1.08=\lg 2$.

$\therefore x=\frac{\lg 2}{\lg 1.08} \approx \frac{0.3010}{0.0334} \approx 9$.

故约经过 9 年, 国民生产总值是 2015 年的 2 倍.
题目（高一 · 代数）：已知 $\log _{a}\left(x^{2}+4\right)+\log _{a}\left(y^{2}+1\right)=\log _{a} 5+\log _{a}(2 x y-1)(a>0$, 且 $a \neq 1)$, 求 $\log _{x}{ }_{x}{ }^{y}$ 的值.
选项：
答案：由对数的运算法则，可将等式化为

$$
\begin{aligned}
& \log _{a}\left[\left(x^{2}+4\right) \cdot\left(y^{2}+1\right)\right]= \\
& \log _{a}[5(2 x y-1)] \\
& \therefore\left(x^{2}+4\right)\left(y^{2}+1\right)=5(2 x y-1) \text {. } \\
& \text { 整理, 得 } x^{2} y^{2}+x^{2}+4 y^{2}-10 x y+9=0 \text {, } \\
& \text { 配方, 得 }(x y-3)^{2}+(x-2 y)^{2}=0 \text {, } \\
& \therefore\left\{\begin{array}{l}
x y=3, \\
x=2 y .
\end{array} \quad \therefore \frac{y}{x}=\frac{1}{2}\right. \\
& \therefore \log _{8} \frac{y}{x}=\log _{8} \frac{1}{2}=\log _{2} 2^{-1} \\
& =-\frac{1}{3} \log _{2} 2=-\frac{1}{3}
\end{aligned}
$$
解析：由对数的运算法则，可将等式化为

$$
\begin{aligned}
& \log _{a}\left[\left(x^{2}+4\right) \cdot\left(y^{2}+1\right)\right]= \\
& \log _{a}[5(2 x y-1)] \\
& \therefore\left(x^{2}+4\right)\left(y^{2}+1\right)=5(2 x y-1) \text {. } \\
& \text { 整理, 得 } x^{2} y^{2}+x^{2}+4 y^{2}-10 x y+9=0 \text {, } \\
& \text { 配方, 得 }(x y-3)^{2}+(x-2 y)^{2}=0 \text {, } \\
& \therefore\left\{\begin{array}{l}
x y=3, \\
x=2 y .
\end{array} \quad \therefore \frac{y}{x}=\frac{1}{2}\right. \\
& \therefore \log _{8} \frac{y}{x}=\log _{8} \frac{1}{2}=\log _{2} 2^{-1} \\
& =-\frac{1}{3} \log _{2} 2=-\frac{1}{3}
\end{aligned}
$$
题目（高一 · 代数）：已知 $2^{x}=3^{y}=6^{z} \neq 1$, 求证: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$.
选项：
答案：证明: 设 $2^{x}=3^{y}=6^{z}=k(k \neq 1)$,

$\therefore x=\log _{2} k, \quad y=\log _{3} k, \quad z=\log _{6} k$,

$\therefore \frac{1}{x}=\log _{k} 2, \frac{1}{y}=\log _{k} 3, \frac{1}{z}=\log _{k} 6=\log _{k} 2+\log _{k} 3, \quad \therefore \frac{1}{z}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$.
解析：证明: 设 $2^{x}=3^{y}=6^{z}=k(k \neq 1)$,

$\therefore x=\log _{2} k, \quad y=\log _{3} k, \quad z=\log _{6} k$,

$\therefore \frac{1}{x}=\log _{k} 2, \frac{1}{y}=\log _{k} 3, \frac{1}{z}=\log _{k} 6=\log _{k} 2+\log _{k} 3, \quad \therefore \frac{1}{z}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$.
题目（高一 · 代数）：若方程 $\left(m^{2}-3 m+2\right) x+(m-2) y-2 m+5=0$ 表示直线.

(1)求实数 $m$ 需满足的条件;

(2)若该直线的斜率 $k=1$, 求实数 $m$ 的值.

解 (1) 由题意知 $\left\{\begin{array}{l}m^{2}-3 m+2 \neq 0, \\ m-2 \neq 0,\end{array}\right.$ 解得 $m \neq 2$.

(2) 由题意知, $m \neq 2$, 由 $-\frac{m^{2}-3 m+2}{m-2}=1$, 解得 $m=0$
选项：
答案：若方程 $\left(m^{2}-3 m+2\right) x+(m-2) y-2 m+5=0$ 表示直线.

(1)求实数 $m$ 需满足的条件;

(2)若该直线的斜率 $k=1$, 求实数 $m$ 的值.

解 (1) 由题意知 $\left\{\begin{array}{l}m^{2}-3 m+2 \neq 0, \\ m-2 \neq 0,\end{array}\right.$ 解得 $m \neq 2$.

(2) 由题意知, $m \neq 2$, 由 $-\frac{m^{2}-3 m+2}{m-2}=1$, 解得 $m=0$.
解析：若方程 $\left(m^{2}-3 m+2\right) x+(m-2) y-2 m+5=0$ 表示直线.

(1)求实数 $m$ 需满足的条件;

(2)若该直线的斜率 $k=1$, 求实数 $m$ 的值.

解 (1) 由题意知 $\left\{\begin{array}{l}m^{2}-3 m+2 \neq 0, \\ m-2 \neq 0,\end{array}\right.$ 解得 $m \neq 2$.

(2) 由题意知, $m \neq 2$, 由 $-\frac{m^{2}-3 m+2}{m-2}=1$, 解得 $m=0$.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=-x^{2}+2 a x+1-a$ 在 $x \in[0,1]$ 时有最大值 2 , 求 $a$ 的值.
选项：
答案：【解】 $f(x)=-(x-a)^{2}+a^{2}-a+1$,

当 $a \geqslant 1$ 时, $f(x)_{\max }=f(1)=a$;
当 $0<a<1$ 时, $f(x)_{\text {max }}=f(a)=a^{2}-a+1$;

当 $a \leqslant 0$ 时, $f(x)_{\text {max }}=f(0)=1-a$.

根据已知条件得, $\left\{\begin{array}{l}a \geqslant 1, \\ a=2\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}0<a<1, \\ a^{2}-a+1=2\end{array}\right.$

或 $\left\{\begin{array}{l}a \leqslant 0, \\ 1-a=2,\end{array}\right.$

解得 $a=2$ 或 $a=-1$.
解析：【解】 $f(x)=-(x-a)^{2}+a^{2}-a+1$,

当 $a \geqslant 1$ 时, $f(x)_{\max }=f(1)=a$;
当 $0<a<1$ 时, $f(x)_{\text {max }}=f(a)=a^{2}-a+1$;

当 $a \leqslant 0$ 时, $f(x)_{\text {max }}=f(0)=1-a$.

根据已知条件得, $\left\{\begin{array}{l}a \geqslant 1, \\ a=2\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}0<a<1, \\ a^{2}-a+1=2\end{array}\right.$

或 $\left\{\begin{array}{l}a \leqslant 0, \\ 1-a=2,\end{array}\right.$

解得 $a=2$ 或 $a=-1$.
题目（高一 · 代数）：有甲、乙两种商品, 经营销售这两种商品所能获得的利润依次是 $P$ (万元)和 $Q$ (万元), 它们与投入资金 $x$ (万元)的关系有经验公式: $P=\frac{X}{5}, Q=\frac{3}{5} \sqrt{x}$. 今有 3 万元资金投入经营甲、乙两种商品, 为获得最大利润, 对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？
选项：
答案：设对甲种商品投资 $x$ 万元, 则对乙种商品投资 $(3-x)$ 万元, 总利润为 $y$ 万元, 根据题意得 $y=\frac{1}{5} x+\frac{3}{5}$ $\sqrt{3-x}(0 \leqslant x \leqslant 3)$.

令 $\sqrt{3-x}=t$, 则 $x=3-t^{2} 0 \leqslant t \leqslant \sqrt{3}$.

所以 $y=\frac{1}{5}\left(3-t^{2}\right)+\frac{3}{5} t=-\frac{1}{5}\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{21}{20}$,

$t \in[0, \sqrt{3}]$.

当 $t=\frac{3}{2}$ 时, $y_{\text {max }}=\frac{21}{20}$, 此时 $x=0.75,3-x=2.25$.

由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为 0.75 万元和 2.25 万元，获得的最大利润为 1.05 万元.
解析：设对甲种商品投资 $x$ 万元, 则对乙种商品投资 $(3-x)$ 万元, 总利润为 $y$ 万元, 根据题意得 $y=\frac{1}{5} x+\frac{3}{5}$ $\sqrt{3-x}(0 \leqslant x \leqslant 3)$.

令 $\sqrt{3-x}=t$, 则 $x=3-t^{2} 0 \leqslant t \leqslant \sqrt{3}$.

所以 $y=\frac{1}{5}\left(3-t^{2}\right)+\frac{3}{5} t=-\frac{1}{5}\left(t-\frac{3}{2}\right)^{2}+\frac{21}{20}$,

$t \in[0, \sqrt{3}]$.

当 $t=\frac{3}{2}$ 时, $y_{\text {max }}=\frac{21}{20}$, 此时 $x=0.75,3-x=2.25$.

由此可知，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为 0.75 万元和 2.25 万元，获得的最大利润为 1.05 万元.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=\frac{2 x+1}{x+1}$.

(1)用定义证明函数在区间 $[1,+\infty)$ 上是增函数;

(2)求该函数在区间 $[2,4]$ 上的最大值与最小值.
选项：
答案：(1)证明: 任取 $x_{1}, x_{2} \in[1,+\infty)$, 且 $x_{1}<x_{2}$, 则 $f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=\frac{2 x_{1}+1}{x_{1}+1}-\frac{2 x_{2}+1}{x_{2}+1}=\frac{x_{1}-x_{2}}{\left(x_{1}+1\right)\left(x_{2}+1\right)}$.

$\because 1 \leqslant x_{1}<x_{2}, \quad \therefore x_{1}-x_{2}<0, \quad\left(x_{1}+1\right)\left(x_{2}+1\right)>0$,

$\therefore f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)<0$, 即 $f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)$,

$\therefore$ 函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上是增函数.

(2) 由(1)知函数 $f(x)$ 在区间 $[2,4]$ 上是增函数,

$\therefore f(x)_{\max }=f(4)=\frac{2 \times 4+1}{4+1}=\frac{9}{5}$,

$f(x)_{\min }=f(2)=\frac{2 \times 2+1}{2+1}=\frac{5}{3}$
解析：(1)证明: 任取 $x_{1}, x_{2} \in[1,+\infty)$, 且 $x_{1}<x_{2}$, 则 $f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=\frac{2 x_{1}+1}{x_{1}+1}-\frac{2 x_{2}+1}{x_{2}+1}=\frac{x_{1}-x_{2}}{\left(x_{1}+1\right)\left(x_{2}+1\right)}$.

$\because 1 \leqslant x_{1}<x_{2}, \quad \therefore x_{1}-x_{2}<0, \quad\left(x_{1}+1\right)\left(x_{2}+1\right)>0$,

$\therefore f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)<0$, 即 $f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)$,

$\therefore$ 函数 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上是增函数.

(2) 由(1)知函数 $f(x)$ 在区间 $[2,4]$ 上是增函数,

$\therefore f(x)_{\max }=f(4)=\frac{2 \times 4+1}{4+1}=\frac{9}{5}$,

$f(x)_{\min }=f(2)=\frac{2 \times 2+1}{2+1}=\frac{5}{3}$
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)$ 对一切 $a, b$ 都有 $f(a b)=b f(a)+a f(b)$.

(1)求 $f(0)$;

(2)求证: $f(x)$ 是奇函数;

(3) 若 $F(x)=a f(x)+b x^{5}+c x^{3}+2 x^{2}+d x+3$, 已知 $F(-5)=7$, 求 $F(5)$.
选项：
答案：(1) : 函数 $f(x)$ 对一切 $a, b$ 都有 $f(a b)=b f(a)+a f(b)$,

$\therefore$ 令 $a=b=0$ 得 $f(0 \times 0)=0 \times f(0)+0 \times f(0)$,

即 $f(0)=0$.

(2)证明: 令 $a=b=1$ 得, $f(1 \times 1)=1 \times f(1)+1 \times f(1)$, 即 $f(1)=0.21$ 世纪教育网

令 $a=b=-1$ 得, $f[(-1) \times(-1)]=(-1) \times f(-1)+(-1) \times f(-1)$, 即 $f(-1)=0$.

令 $a=-1, b=x$ 得, $f[(-1) \times x]=x f(-1)+(-1) f(x)$,

即 $f(-x)=x f(-1)-f(x)$,

$\because f(-1)=0, \quad \therefore f(-x)=-f(x)$,

$\therefore f(x)$ 是奇函数.

(3) $\because f(x)$ 是奇函数,

$\therefore f(-5)=-f(5)$.

$\because F(x)=a f(x)+b x^{5}+c x^{3}+2 x^{2}+d x+3$, 且 $F(-5)=7$,
$\therefore a f(-5)+b \times(-5)^{5}+c \times(-5)^{3}+2 \times(-5)^{2}+d \times(-5)+3=7$,

即 $a f(5)+b \times 5^{5}+c \times 5^{3}+d \times 5=46$.

$\therefore F(5)=a f(5)+b \times 5^{5}+c \times 5^{3}+2 \times 5^{2}+d \times 5+3=46+50+3=99$.
解析：(1) : 函数 $f(x)$ 对一切 $a, b$ 都有 $f(a b)=b f(a)+a f(b)$,

$\therefore$ 令 $a=b=0$ 得 $f(0 \times 0)=0 \times f(0)+0 \times f(0)$,

即 $f(0)=0$.

(2)证明: 令 $a=b=1$ 得, $f(1 \times 1)=1 \times f(1)+1 \times f(1)$, 即 $f(1)=0.21$ 世纪教育网

令 $a=b=-1$ 得, $f[(-1) \times(-1)]=(-1) \times f(-1)+(-1) \times f(-1)$, 即 $f(-1)=0$.

令 $a=-1, b=x$ 得, $f[(-1) \times x]=x f(-1)+(-1) f(x)$,

即 $f(-x)=x f(-1)-f(x)$,

$\because f(-1)=0, \quad \therefore f(-x)=-f(x)$,

$\therefore f(x)$ 是奇函数.

(3) $\because f(x)$ 是奇函数,

$\therefore f(-5)=-f(5)$.

$\because F(x)=a f(x)+b x^{5}+c x^{3}+2 x^{2}+d x+3$, 且 $F(-5)=7$,
$\therefore a f(-5)+b \times(-5)^{5}+c \times(-5)^{3}+2 \times(-5)^{2}+d \times(-5)+3=7$,

即 $a f(5)+b \times 5^{5}+c \times 5^{3}+d \times 5=46$.

$\therefore F(5)=a f(5)+b \times 5^{5}+c \times 5^{3}+2 \times 5^{2}+d \times 5+3=46+50+3=99$.
题目（高一 · 代数）：已知幂函数 $f(x)=x^{-m^{2}+2 m+3}(m \in \mathbf{Z})$ 为偶函数, 且在区间 $(0,+\infty)$ 上是单调增函数.

(1)求函数 $f(x)$ 的解析式;
选项：
答案：$(1) \because f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上是单调增函数,

$\therefore-m^{2}+2 m+3>0$, 即 $m^{2}-2 m-3<0$, 依据函数 $y=m^{2}-2 m-3$ 的图象, 解得 $-1<m<3$.

又 $m \in \mathbf{Z}, \therefore m=0,1,2$, 而当 $m=0,2$ 时, $f(x)=x^{3}$ 不是偶函数; 当 $m=1$ 时, $f(x)=x^{4}$ 是偶函数.

故函数 $f(x)$ 的解析式为 $f(x)=x^{4}$.

(2) 由(1)知 $f(x)=x^{4}$, 则 $g(x)=x^{2}+2 x+c=(x+1)^{2}+(c-1)$.

$\because g(x)>2$ 对任意的 $x \in \mathbf{R}$ 恒成立,

$\therefore g(x)_{\min }>2$, 且 $x \in \mathbf{R}$.

又 $g(x)_{\min }=g(-1)=c-1, \therefore c-1>2$, 解得 $c>3$.

故实数 $c$ 的取值范围是 $(3,+\infty)$.

(2)设函数 $g(x)=\sqrt{f(x)}+2 x+c$, 若 $g(x)>2$ 对任意的 $x \in \mathbf{R}$ 恒成立, 求实数 $c$ 的取值范围
解析：$(1) \because f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上是单调增函数,

$\therefore-m^{2}+2 m+3>0$, 即 $m^{2}-2 m-3<0$, 依据函数 $y=m^{2}-2 m-3$ 的图象, 解得 $-1<m<3$.

又 $m \in \mathbf{Z}, \therefore m=0,1,2$, 而当 $m=0,2$ 时, $f(x)=x^{3}$ 不是偶函数; 当 $m=1$ 时, $f(x)=x^{4}$ 是偶函数.

故函数 $f(x)$ 的解析式为 $f(x)=x^{4}$.

(2) 由(1)知 $f(x)=x^{4}$, 则 $g(x)=x^{2}+2 x+c=(x+1)^{2}+(c-1)$.

$\because g(x)>2$ 对任意的 $x \in \mathbf{R}$ 恒成立,

$\therefore g(x)_{\min }>2$, 且 $x \in \mathbf{R}$.

又 $g(x)_{\min }=g(-1)=c-1, \therefore c-1>2$, 解得 $c>3$.

故实数 $c$ 的取值范围是 $(3,+\infty)$.

(2)设函数 $g(x)=\sqrt{f(x)}+2 x+c$, 若 $g(x)>2$ 对任意的 $x \in \mathbf{R}$ 恒成立, 求实数 $c$ 的取值范围
题目（高一 · 代数）：点 $(\sqrt{2}, 2)$ 与点 $\left(-2,-\frac{1}{2}\right)$ 分别在幂函数 $f(x), g(x)$ 的图象上, 问当 $x$ 为何值时, 有:

(1) $f(x)>g(x)$; (2) $f(x)=g(x)$; (3) $f(x)<g(x)$.
选项：
答案：设 $f(x)=x^{\alpha}, g(x)=x^{\beta}$.

$\because(\sqrt{2})^{\alpha}=2, \quad(-2)^{\beta}=-\frac{1}{2}$,

$\therefore \alpha=2, \beta=-1$.

$\therefore f(x)=x^{2}, g(x)=x^{-1}$.

分别作出它们的图象, 如图所示. 
由图象知, 当 $x \in(-\infty, 0) \cup(1,+\infty)$ 时, $f(x)>g(x)$;

当 $x=1$ 时, $f(x)=g(x)$;

当 $x \in(0,1)$ 时, $f(x)<g(x)$.

<ImageHere>
解析：设 $f(x)=x^{\alpha}, g(x)=x^{\beta}$.

$\because(\sqrt{2})^{\alpha}=2, \quad(-2)^{\beta}=-\frac{1}{2}$,

$\therefore \alpha=2, \beta=-1$.

$\therefore f(x)=x^{2}, g(x)=x^{-1}$.

分别作出它们的图象, 如图所示. 
由图象知, 当 $x \in(-\infty, 0) \cup(1,+\infty)$ 时, $f(x)>g(x)$;

当 $x=1$ 时, $f(x)=g(x)$;

当 $x \in(0,1)$ 时, $f(x)<g(x)$.
题目（高一 · 代数）：集合 $A=\{1,2,3, k\}, B=\left\{4,7, a^{4}, a^{2}+3 a\right\}$, 且 $a \in \mathbf{N}, k \in \mathbf{N}, x \in A, y \in B$, 映射 $f: A \rightarrow B$,使 $B$ 中元素 $y=3 x+1$ 和 $A$ 中元素 $x$ 对应, 求 $a$ 及 $k$ 的值.
选项：
答案：$\because B$ 中元素 $y=3 x+1$ 和 $A$ 中元素 $x$ 对应,

$\therefore A$ 中元素 1 的像是 $4 ; 2$ 的像是 $7 ; 3$ 的像是 10 , 即 $a^{4}=10$ 或 $a^{2}+3 a=10$.

$\because a \in \mathbf{N}, \therefore$ 仅有 $a^{2}+3 a=10$, 得 $a=2$.

则有 $k$ 的像是 $a^{4}$.

$\therefore 3 k+1=2^{4}$, 得 $k=5$.
解析：$\because B$ 中元素 $y=3 x+1$ 和 $A$ 中元素 $x$ 对应,

$\therefore A$ 中元素 1 的像是 $4 ; 2$ 的像是 $7 ; 3$ 的像是 10 , 即 $a^{4}=10$ 或 $a^{2}+3 a=10$.

$\because a \in \mathbf{N}, \therefore$ 仅有 $a^{2}+3 a=10$, 得 $a=2$.

则有 $k$ 的像是 $a^{4}$.

$\therefore 3 k+1=2^{4}$, 得 $k=5$.
题目（高一 · 代数）：已知: 集合 $A=\{x \mid-2 \leqslant x \leqslant 2\}, B=\{x \mid-1 \leqslant x \leqslant 1\}$. 对应 $f: x \rightarrow y=a x$. 若在 $f$ 的作用下能够建立从 $A$到 $B$ 的映射 $f: A \rightarrow B$, 求实数 $a$ 的取值范围.
选项：
答案：(1)当 $a \geqslant 0$ 时, 集合 $A$ 中元素的像满足 $-2 a \leqslant a x \leqslant 2 a$.

若能够建立从 $A$ 到 $B$ 的映射, 则 $[-2 a, 2 a] \subseteq[-1,1]$, 即 $\left\{\begin{array}{l}-2 a \geq-1 \\ 2 a \leq 1,\end{array}\right.$

$\therefore 0 \leqslant a \leqslant \frac{1}{2}$.

(2)当 $a<0$ 时, 集合 $A$ 中元素的像满足 $2 a \leqslant a x \leqslant-2 a$, 若能建立从 $A$ 到 $B$ 的映射,则 $[2 a,-2 a] \subseteq[-1,1]$,
即 $\left\{\begin{array}{l}2 a \geq-1, \\ -2 a \leq 1,\end{array}\right.$

$\therefore-\frac{1}{2} \leqslant a<0$

综合(1)(2)可知 $-\frac{1}{2} \leq a \leq \frac{1}{2}$.
解析：(1)当 $a \geqslant 0$ 时, 集合 $A$ 中元素的像满足 $-2 a \leqslant a x \leqslant 2 a$.

若能够建立从 $A$ 到 $B$ 的映射, 则 $[-2 a, 2 a] \subseteq[-1,1]$, 即 $\left\{\begin{array}{l}-2 a \geq-1 \\ 2 a \leq 1,\end{array}\right.$

$\therefore 0 \leqslant a \leqslant \frac{1}{2}$.

(2)当 $a<0$ 时, 集合 $A$ 中元素的像满足 $2 a \leqslant a x \leqslant-2 a$, 若能建立从 $A$ 到 $B$ 的映射,则 $[2 a,-2 a] \subseteq[-1,1]$,
即 $\left\{\begin{array}{l}2 a \geq-1, \\ -2 a \leq 1,\end{array}\right.$

$\therefore-\frac{1}{2} \leqslant a<0$

综合(1)(2)可知 $-\frac{1}{2} \leq a \leq \frac{1}{2}$.
题目（高一 · 代数）：已知映射 $f: A \rightarrow B$ 中, $A=B=\{(x, y) \mid x, y \in \mathbf{R}\}, f: A$ 中的元素 $(x, y)$ 对应到 $B$ 中的元素 $(3 x-2 y+$ $1,4 x+3 y-1)$.

(1)A 中是否存在这样的元素 $(a, b)$, 使它的像仍是它本身? 若存在, 求出这个元素; 若不存在, 说明理由.

(2)判断这个映射是不是一一映射.
选项：
答案：(1)假若 $A$ 中存在元素 $(a, b)$, 使它的像仍是它本身,

则有 $\left\{\begin{array}{l}3 a-2 b+1=a, \\ 4 a+3 b-1=b,\end{array}\right.$

解得, $\left\{\begin{array}{l}a=0, \\ b=\frac{1}{2} .\end{array}\right.$

这说明, 存在元素 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$, 使它在 $B$ 中的像还是它本身.

(2)由(1)的求解及结果可知, 在 $A$ 中的任意元素 $(x, y)(x, y \in \mathbf{R})$ 使得方程组 $\left\{\begin{array}{l}3 x-2 y+1=x, \\ 4 x+3 y-1=y\end{array}\right.$ 都有唯一解, 这说明对 $B$ 中任意元素, 在 $A$ 中有唯一的原像,

所以映射 $f: A \rightarrow B$ 是 $A$ 到 $B$ 的一一映射.
解析：(1)假若 $A$ 中存在元素 $(a, b)$, 使它的像仍是它本身,

则有 $\left\{\begin{array}{l}3 a-2 b+1=a, \\ 4 a+3 b-1=b,\end{array}\right.$

解得, $\left\{\begin{array}{l}a=0, \\ b=\frac{1}{2} .\end{array}\right.$

这说明, 存在元素 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$, 使它在 $B$ 中的像还是它本身.

(2)由(1)的求解及结果可知, 在 $A$ 中的任意元素 $(x, y)(x, y \in \mathbf{R})$ 使得方程组 $\left\{\begin{array}{l}3 x-2 y+1=x, \\ 4 x+3 y-1=y\end{array}\right.$ 都有唯一解, 这说明对 $B$ 中任意元素, 在 $A$ 中有唯一的原像,

所以映射 $f: A \rightarrow B$ 是 $A$ 到 $B$ 的一一映射.
题目（高一 · 代数）：若函数 $f(x)$ 为定义在 $\boldsymbol{R}$ 上的奇函数, 且 $x \in(0,+\infty)$ 时, $f(x)=\lg (x+1)$, 求 $f(x)$ 的表达式, 并画出大致图象.
选项：
答案：【解】 $\because f(x)$ 为 $\boldsymbol{R}$ 上的奇函数, $\therefore f(0)=0$.

又当 $x \in(-\infty, 0)$ 时, $-x \in(0,+\infty)$,

$\therefore f(-x)=\lg (1-x)$.

又 $f(-x)=-f(x), \therefore f(x)=-\lg (1-x)$,

$\therefore f(x)$ 的解析式为 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\lg (x+1), x>0 \\ 0, x=0 \\ -\lg (1-x), x<0,\end{array}\right.$

$\therefore f(x)$ 的大致图象如图所示.

<ImageHere>
解析：【解】 $\because f(x)$ 为 $\boldsymbol{R}$ 上的奇函数, $\therefore f(0)=0$.

又当 $x \in(-\infty, 0)$ 时, $-x \in(0,+\infty)$,

$\therefore f(-x)=\lg (1-x)$.

又 $f(-x)=-f(x), \therefore f(x)=-\lg (1-x)$,

$\therefore f(x)$ 的解析式为 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\lg (x+1), x>0 \\ 0, x=0 \\ -\lg (1-x), x<0,\end{array}\right.$

$\therefore f(x)$ 的大致图象如图所示.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=\log _{a} \frac{x+1}{x-1}(a>0$, 且 $a \neq 1)$.

(1)求 $f(x)$ 的定义域;

(2)判断函数的奇偶性.
选项：
答案：【解】(1)要使函数有意义, 则有 $\frac{x+1}{x-1}>0$, 即 $\left\{\begin{array}{l}x+1>0 \\ x-1>0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x+1<0 \\ x-1<0,\end{array}\right.$ 解得 $x>1$ 或 $x<-1$,此函数的定义域为 $(-\infty,-1) \cup(1,+\infty)$.

(2) 由于 $f(x)$ 的定义域关于原点对称, 且 $f(-x)=\log _{a} \frac{-x+1}{-x-1}=\log _{a} \frac{x+1}{x-1}=-\log _{a} \frac{x+1}{x-1}=-f(x)$.

$\therefore f(x)$ 为奇函数.
解析：【解】(1)要使函数有意义, 则有 $\frac{x+1}{x-1}>0$, 即 $\left\{\begin{array}{l}x+1>0 \\ x-1>0\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x+1<0 \\ x-1<0,\end{array}\right.$ 解得 $x>1$ 或 $x<-1$,此函数的定义域为 $(-\infty,-1) \cup(1,+\infty)$.

(2) 由于 $f(x)$ 的定义域关于原点对称, 且 $f(-x)=\log _{a} \frac{-x+1}{-x-1}=\log _{a} \frac{x+1}{x-1}=-\log _{a} \frac{x+1}{x-1}=-f(x)$.

$\therefore f(x)$ 为奇函数.
题目（高一 · 代数）：求函数 $f(x)=\left(\log _{0.25} x\right)^{2}-\log _{0.25} x^{2}+5$, 在 $x \in[2,4]$ 上的最值.
选项：
答案：设 $t=\log _{0.25} x, y=f(x)$.

由 $x \in[2,4]$, 得 $t \in\left[-1,-\frac{1}{2}\right]$.

又 $y=t^{2}-2 t+5=(t-1)^{2}+4$ 在 $\left[-1,-\frac{1}{2}\right]$ 上单调递减, 所以当 $t=-1$, 即 $x=4$ 时, $y$ 有最大值 8 ;

当 $t=-\frac{1}{2}$, 即 $x=2$ 时, $y$ 有最小值 $\frac{25}{4}$.
解析：设 $t=\log _{0.25} x, y=f(x)$.

由 $x \in[2,4]$, 得 $t \in\left[-1,-\frac{1}{2}\right]$.

又 $y=t^{2}-2 t+5=(t-1)^{2}+4$ 在 $\left[-1,-\frac{1}{2}\right]$ 上单调递减, 所以当 $t=-1$, 即 $x=4$ 时, $y$ 有最大值 8 ;

当 $t=-\frac{1}{2}$, 即 $x=2$ 时, $y$ 有最小值 $\frac{25}{4}$.
题目（高一 · 代数）：求下列函数的定义域:

(1) $y=\frac{1}{\log _{2}(x+1)-1}$;

(2) $y=\ln (x+1)+\frac{3 x^{2}}{\sqrt{1-x}}$
选项：
答案：(1)要使函数有意义, 需满足 $\left\{\begin{array}{l}x+1>0, \\ \log _{2}(x+1)-1 \neq 0,\end{array} \quad\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l}x>-1, \\ x+1 \neq 2,\end{array}\right.$

$\therefore x>-1$ 且 $x \neq 1$,

$\therefore$ 函数的定义域为 $\{x \mid x>-1$ 且 $x \neq 1\}$.

(2)要使函数有意义，需满足 $\left\{\begin{array}{l}x+1>0 ， \\ 1-x>0 ，\end{array}\right.$

$\therefore-1<x<1$,

$\therefore$ 函数的定义域为 $\{x \mid-1<x<1\}$.
解析：(1)要使函数有意义, 需满足 $\left\{\begin{array}{l}x+1>0, \\ \log _{2}(x+1)-1 \neq 0,\end{array} \quad\right.$ 即 $\left\{\begin{array}{l}x>-1, \\ x+1 \neq 2,\end{array}\right.$

$\therefore x>-1$ 且 $x \neq 1$,

$\therefore$ 函数的定义域为 $\{x \mid x>-1$ 且 $x \neq 1\}$.

(2)要使函数有意义，需满足 $\left\{\begin{array}{l}x+1>0 ， \\ 1-x>0 ，\end{array}\right.$

$\therefore-1<x<1$,

$\therefore$ 函数的定义域为 $\{x \mid-1<x<1\}$.
题目（高一 · 代数）：有时可用函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}0.1+15 \ln \frac{a}{a-x}, x \leqslant 6, \\ \frac{x-4.4}{x-4}, x>6,\end{array} \quad\right.$ 描述学习某学科知识的掌握程度. 其中 $x$表示某学科知识的学习次数 $\left(x \in \mathbf{N}^{*}\right), f(x)$ 表示对该学科知识的掌握程度, 正实数 $a$ 与学科知识有关.

(1)证明: 当 $x \geqslant 7$ 时, 掌握程度的增长量 $f(x+1)-f(x)$ 总是下降;

(2)根据经验, 学科甲、乙、丙对应的 $a$ 的取值区间分别为 $(115,121],(121,127],(127,133]$. 当学习某学科知识 6 次时, 掌握程度是 $85 \%$, 请确定相应的学科.
选项：
答案：【解】(1)证明: 当 $x \geqslant 7$ 时, $f(x+1)-f(x)=\frac{0.4}{(x-3)(x-4)}$,

而当 $x \geqslant 7$ 时, 函数 $y=(x-3)(x-4)$ 单调递增, 且 $(x-3)(x-4)>0$, 故函数 $f(x+1)-f(x)$ 单调递减, 所以当 $x \geqslant 7$ 时, 掌握程度的增长量 $f(x+1)-f(x)$ 总是下降.

(2)由题意可知 $0.1+15 \ln \frac{a}{a-6}=0.85$, 整理得 $\frac{a}{a-6}=\mathrm{e}^{0.05}$, 解得 $a=\frac{\mathrm{e}^{0.05}}{\mathrm{e}^{0.05}-1} \cdot 6=20.50 \times 6=$ 123 ,

又 $123 \in(121,127]$, 故该学科是乙学科.
解析：【解】(1)证明: 当 $x \geqslant 7$ 时, $f(x+1)-f(x)=\frac{0.4}{(x-3)(x-4)}$,

而当 $x \geqslant 7$ 时, 函数 $y=(x-3)(x-4)$ 单调递增, 且 $(x-3)(x-4)>0$, 故函数 $f(x+1)-f(x)$ 单调递减, 所以当 $x \geqslant 7$ 时, 掌握程度的增长量 $f(x+1)-f(x)$ 总是下降.

(2)由题意可知 $0.1+15 \ln \frac{a}{a-6}=0.85$, 整理得 $\frac{a}{a-6}=\mathrm{e}^{0.05}$, 解得 $a=\frac{\mathrm{e}^{0.05}}{\mathrm{e}^{0.05}-1} \cdot 6=20.50 \times 6=$ 123 ,

又 $123 \in(121,127]$, 故该学科是乙学科.
题目（高一 · 代数）：某公司试销某种 “上海世博会” 纪念品, 每件按 30 元销售, 可获利 50\%, 设每件纪念品的成本为 $a$ 元.

(1)试求 $a$ 的值;

(2)公司在试销过程中进行了市场调查, 发现销售量 $y$ (件)与每件售价 $x$ (元)满足关系 $y=-$ $10 x+800$. 设每天销售利润为 $W($ 元), 求每天销售利润 $W$ (元)与每件售价 $x$ (元)之间的函数解析式; 当每件售价为多少时, 每天获得的利润最大? 最大利润是多少?
选项：
答案：【解】(1) $\because$ 按 30 元销售, 可获利 $50 \%, \therefore a(1+50 \%)=30$, 解得 $a=20$.

(2) $\because$ 销售量 $y$ (件)与每件售价 $x$ (元) 满足关系 $y=-10 x+800$, 则每天销售利润 $W$ (元)与每件售价 $x$ (元) 满足

$W=(-10 x+800)(x-20)=-10 x^{2}+1000 x+16000=-10(x-50)^{2}+9000$,

故当 $x=50$ 时, $W$ 取最大值 9000 ,

即每件售价为 50 元时, 每天获得的利润最大, 最大利润是 9000 元.
解析：【解】(1) $\because$ 按 30 元销售, 可获利 $50 \%, \therefore a(1+50 \%)=30$, 解得 $a=20$.

(2) $\because$ 销售量 $y$ (件)与每件售价 $x$ (元) 满足关系 $y=-10 x+800$, 则每天销售利润 $W$ (元)与每件售价 $x$ (元) 满足

$W=(-10 x+800)(x-20)=-10 x^{2}+1000 x+16000=-10(x-50)^{2}+9000$,

故当 $x=50$ 时, $W$ 取最大值 9000 ,

即每件售价为 50 元时, 每天获得的利润最大, 最大利润是 9000 元.