eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高三 · 计数）：甲、乙两厂均生产某种零件.根据长期检测结果：甲、乙两厂生产的零件质量（单位： $g$ ) 均服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$, 在出厂检测处, 直接将质量在 $(\mu-3 \sigma, \mu+3 \sigma)$ 之外的零件作为废品处理, 不予出厂; 其它的准予出厂, 并称为正品.

（1）出厂前，从甲厂生产的该种零件中抽取 10 件进行检查，求至少有 1 片是废品的概率;

(2) 若规定该零件的“质量误差”计算方式为: 该零件的质量为 $x g$, 则“质量误差” $\mid x-x_{0} g$. 按标准,其中“优等”、“一级”、“合格”零件的“质量误差”范围分别是 $\lfloor 0,
选项：
答案：（1）【解析】由正态分布可知,抽取的一件零件的质量在 $(\mu-3 \sigma, \mu+3 \sigma)$ 之内的概率为 0.9974 ,则这 10 件质量全都在 $(\mu-3 \sigma, \mu+3 \sigma)$ 之内（即没有废品）的概率为 $0.9974^{10} \approx 0.9743$;则这 10 件零件中至少有 1 件是废品的概率为 $1-0.9743=0.0257$;（2）【解析】（i）由已知数据, 用这个样本的频率分布估计总体分布, 将频率视为概率, 得该厂生产的一件正品零件为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为 $0.7,0.2,0.1$;则 $\xi$ 的可能取值为 $150,140,130,125,115,110$ 元, 有:  $P(X=150)=0.7 	imes 0.7=0.49 ; \quad P(X=140)=0.7 	imes 0.2 	imes 2=0.28 ;$$P(X=130)=0.2 	imes 0.2=0.04 ; \quad P(X=125)=0.7 	imes 0.1 	imes 2=0.14 ;$$P(X=115)=0.2 	imes 0.1 	imes 2=0.04 ; \quad P(X=100)=0.1 	imes 0.1=0.01$,得到 $X$ 的分布列如下:| $X$ | 150 | 140 | 130 | 125 | 115 | 100 || :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- || $P$ | 0.49 | 0.28 | 0.04 | 0.14 | 0.04 | 0.01 |则数学期望为: $E(X)=150 	imes 0.49+140 	imes 0.28+130 	imes 0.04+125 	imes 0.14+115 	imes 0.04+100 	imes 0.01$ $=141$ (元) ;(ii) 设乙厂生产的 5 件该零件规格的正品零件中有 $n$ 件“优等”品, 则有 $5-n$ 件“一级”品,由已知有 $75 n+65(5-n) \geq 360$, 解得: $n \geq 3.5$, 则 $n$ 取 4 或 5 . 故所求的概率为:$$ P=C_{5}^{4} 	imes 0.8^{4} 	imes 0.2+0.8^{5}=0.4096+0.32768=0.7372$
题目（高三 · 计数）：（10 分）中国探月工程自 2004 年立项以来，聚焦“自主创新、重点跨越、支撑发展、引领未来”的目标, 创造了许多项中国首次。 2020 年 12 月 17 日凌晨, 嫦娥五号返回器携带“月壤”着陆地球, 又首次实现了我国地外天体无人采样返回. 为了了解某中学高三学生对此新闻事件的关注程度, 从该校高三学生中随机抽取了 100 名学生进行调查, 调查样本中有 40 名女生. 下图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图（阴影区域表示关注“嫦娥五号”的部分）

|  | 关注 | 没关注 | 合计 |
| :---: | :--- | :--- | :--- |
| 男 |  |  |  |

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_c6bd147c0b1c6b8cc44cg-
选项：
答案：1) 表格见解析, 有 $95 \%$ 的把握认为; (2) 分布列见解析, $rac{9}{10}$.
解析：(1)|  | 关注 | 没关注 | 合计 || :---: | :---: | :---: | :---: || 男 | 30 | 30 | 60 || 女 | 12 | 28 | 40 || 合计 | 42 | 58 | 100 |$K^{2}=rac{100(30 	imes 28-12 	imes 30)^{2}}{42 	imes 58 	imes 40 	imes 60}=rac{800}{203} \approx 3.941>3.841$所以有 $95 \%$ 的把握认为“对“嫦娥五号”关注与性别有关”.(2) 因为随机选一高三女生, 对此事关注的概率 $P=rac{12}{40}=rac{3}{10}$,又因为 $X \sim B\left(3, rac{3}{10}ight)$, 所以随机变量 $X$ 的分布列为:| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 || :---: | :---: | :---: | :---: | :---: || $P$ | $rac{343}{1000}$ | $rac{441}{1000}$ | $rac{189}{1000}$ | $rac{27}{1000}$ |显然, $E(X)=n p=rac{9}{10}$.
题目（高三 · 计数）：(12 分) 宁夏西海固地区，在 1972 年被联合国粮食开发署确定为最不适宜人类生存的地区之一，为改善这一地区人民生活的贫困状态，上世纪 90 年代，党中央和自治区政府决定开始吊庄移民, 将西海固地区的人口成批地迁移到更加适合生活的地区. 为了帮助移民人口尽快脱贫, 党中央作出推进东西部对口协作的战略部署, 其中确定福建对口帮扶宁夏, 在福建人民的帮助下, 原西海固人民实现了快速脱贫，下表是对 2016 年以来近 5 年某移民村庄 100 位移民的年人均收入的统计:

| 年份 | 2016 | 2017 | 2018 | 2019 | 2020 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 年份代码 $x$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 人均年收入 $y$ (千元) | $1 \cdot 3$ |
选项：
答案：(1) $\$=0.5 x^{2}+0.8$; (2) 模型二的拟合效果更好.
解析：(1) 令 $t=x^{2}$, 则模型二可化为 $y$ 关于 $t$ 的线性回归问题,则 $ar{z}=rac{1+4+9+16+25}{5}=11, ar{y}=rac{1.3+2.8+5.7+8.9+13.8}{5}=6.5$,则由参考数据可得 $\$=rac{\sum_{i=1}^{s} t_{i} y_{i}-5 ar{t} ar{y}}{\sum_{i=1}^{5} t_{i}^{2}-5 ar{t}^{2}} \approx 0.52 \approx 0.5$, $\hat{d}=ar{y}-\hat{c} ar{t}=6.5-0.52 	imes 11 \approx 0.8$,则模型二的方程为 $\$=0.5 x^{2}+0.8$.（2）由模型二的回归方程可得 $\$_{1}^{(2)}=0.5 	imes 1+0.8=1.3, \$_{2}^{(2)}=0.5 	imes 4+0.8=2.8$,$\$_{3}^{(2)}=0.5 	imes 9+0.8=5.3, \$_{4}^{(2)}=0.5 	imes 16+0.8=8.8, \quad \$_{5}^{(2)}=0.5 	imes 25+0.8=13.3$,$\sum_{i=1}^{5}\left(y_{i}-\hat{y}_{i}^{(2)}ight)^{2}=0^{2}+0^{2}+0.4^{2}+0.1^{2}+0.5^{2}=0.42<3.7$,故模型二的拟合效果更好.
题目（高三 · 计数）：(12 分) 在对人体的脂肪含量和年龄之间的关系的研究中，科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据 $\left(x_{i}, y_{i}\right)\left(i=1,2, \cdots, 20,25<x_{i}<65\right)$, 其中 $x_{i}$ 表示年龄, $y_{i}$ 表示脂肪含量, 并计算得到 $\sum_{i=1}^{20} x_{i}^{2}=48280, \sum_{i=1}^{20} y_{i}^{2}=15480$, $\sum_{i=1}^{20} x_{i} y_{i}=27220, \bar{x}=48, \bar{y}=27, \sqrt{22} \approx
选项：
答案：(1) 答案见解析, $\hat{y}=0.59 x-1.37$; (2) 该机构购买甲款健身器材更划算.
解析：(1) $ar{x}^{2}=2304, ar{y}^{2}=729, \sum_{i=1}^{20} x_{i} y_{i}-20 \overline{x y}=1300$,$\sum_{i=1}^{20} x_{i}^{2}-20 ar{x}^{2}=2200, \sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2}-20 ar{y}^{2}=900$,$r=rac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-20 ar{x} ar{y}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{20} x_{i}^{2}-20 ar{x}^{2}} \sqrt{\sum_{i=1}^{n} y_{i}^{2}-20 ar{y}^{2}}} \approx 0.92$,因为 $y$ 与 $x$ 的相关系数接近 1 ,所以 $y$ 与 $x$ 之间具有较强的线性相关关系, 可用线性回归模型进行拟合,由题可得 $\hat{b}=rac{\sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-ar{x}ight)\left(y_{i}-ar{y}ight)}{\sum_{i=1}^{20}\left(x_{i}-ar{x}ight)^{2}}=rac{\sum_{i=1}^{20} x_{i} y_{i}-20 ar{x} ar{y}}{\sum_{i=1}^{20} x_{i}^{2}-20 ar{x}^{2}}=rac{13}{22} \approx 0.591$,   $\hat{a}=ar{y}-\hat{b} ar{x}=27-0.591 	imes 48 \approx-1.37$,所以 $\hat{y}=0.59 x-1.37$.（2）以频率估计概率，设甲款健身器使用年限为 $X$ (单位: 年),| $X$ | 5 | 6 | 7 | 8 || :---: | :---: | :---: | :---: | :---: || $p$ | 0.1 | 0.4 | 0.3 | 0.2 |$E(X)=5 	imes 0.1+6 	imes 0.4+7 	imes 0.3+8 	imes 0.2=6.6 ;$设乙款健身器使用年限为 $Y$ (单位: 年),| $Y$ | 5 | 6 | 7 | 8 || :---: | :---: | :---: | :---: | :---: || $p$ | 0.3 | 0.4 | 0.2 | 0.1 |$E(Y)=5 	imes 0.3+6 	imes 0.4+7 	imes 0.2+8 	imes 0.1=6.1$,因为 $E(X)>E(Y)$, 所以该机构购买甲款健身器材更划算.
题目（高三 · 计数）：(12 分) 机动车行经人行横道时, 应当减速慢行: 遇行人正在通过人行横道,应当停车让行，俗称“礼让行人”.下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的 5 个月内驾驶员不“礼让行人”行为统计数据:

| 月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 违章驾驶员人数 | 120 | 105 | 100 | 95 | 80 |

(1) 请利用所给数据求违章人数 $y$ 与月份 $x$ 之间的回归直线方程 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$;

(2) 预测该路口 9 月份的不“礼让行人”违章驾驶员人数;

60 人的样本, 再用分层抽样的方法将“年龄达到 35 岁”的被抽个体数分配到“经常使用单车”和“偶尔使用单车”中去.

(1)求这 60 人中“年龄达到 35 岁且偶尔使用单车”的人数;

(2)为听取对发展共享单车的建议, 调查组专门组织所抽取的"年龄达到 35 岁且偶尔使用单车的人员召开座谈会, 会后共有 3 份礼品赠送给其中 3 人, 每人 1 份(其余人员仅赠送骑行优惠券). 已知参加座谈会的人员中有且只有 4 人来自 $A$ 组, 求 $A$组这 4 人中得到礼品的人数 $X$ 的分布列和数学期望;

(2) 从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄有关”的结论. 在用独立性检验的方法说明该结论成立时, 为使犯错误的概率尽可能小, 当年龄设定为 25 岁时, 根据已有数据, 完成下列 $2 \times 2$ 列联表(单位: 人), 并判断是否在犯错误的概率不超过 $1 \%$ 的前提下有把握认为“经常使用共享单车与年龄有关”?

如下表:

| 年龄 |  |  |  |  |
| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: |
|  | $A$ 组统计结果 |  | $B$ 组统计结果 |  |
| $[15,25)$ | 27 人 | 13 人 | 40 人 | 20 人 |
| $[25,35)$ | 23 人 | 17 人 | 35 人 | 25 人 |
| $[35,45)$ | 20 人 | 20 人 | 35 人 | 25 人 |

参考公式: $K^{2}=\frac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$, 其中 $n=a+b+c+d$.

参考数据:

| $P\left(k^{2} \geq k_{0}\right)$ |
选项：
答案：(1) $\hat{y}=-9 x+127$; (2) 46 人; (3) 没有 $97 \cdot 5 \%$ 的把握.
解析：(1) 由表中数据知, $ar{x}=rac{1+2+3+4+5}{5}=3, ar{y}=rac{120+105+100+95+80}{5}=100$,所以 $\hat{b}=rac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n ar{x} ar{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-n ar{x}^{2}}=rac{1410-1500}{55-45}=-9$,所以 $\hat{a}=ar{y}-\hat{b} ar{x}=100-(-9) 	imes 3=127$,故所求回归直线方程为 $\hat{y}=-9 x+127$(2) 由（1）知, 令 $x=9$, 则 $\hat{y}=-9 	imes 9+127=46$ 人.（3）提出假设 $H_{0}$ : “礼让行人”行为与驾龄无关,由表中数据得 $K^{2}=rac{70(24 	imes 14-16 	imes 16)^{2}}{40 	imes 30 	imes 40 	imes 30}=rac{14}{45} \approx 0.311<2.706$,根据统计知，没有 $97 \cdot 5 \%$ 的把握认为“礼让行人行为与驾龄有关.
题目（高三 · 计数）：(12 分) 某电器企业统计了近 10 年的年利润额 $y$ （千万元）与投入的年广告费用 $x$ （十万元）的相关数据, 散点图如图, 对数据作出如下处理: 令 $u_{i}=\ln x_{i}$, $v_{i}=\ln y_{i}$, 得到相关数据如表所示:

| $\sum_{i=1}^{10} u_{i} v_{i}$ | $\sum_{i=1}^{10} u_{i}$ | $\sum_{i=1}^{10} v_{i}$ | $\sum_{i=1}^{10} u_{i}^{2}$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
|
选项：
答案：(1）选择回归类型 $y=m \cdot x^{k}$ 更好;（2；（3）下一年应至少投入 ${ }^{498}$ 万元广告费用.
解析：(1) 由散点图知, 年广告费用 $x$ 和年利润额 $y$ 的回归类型并不是直线型的, 而是曲线型的, 且$y$ 与 $x$ 呈正相关,所以选择回归类型 $y=m \cdot x^{k}$ 更好.(2) 对 $y=m \cdot x^{k}$ 两边取自然对数, 得 $\ln y=\ln m+k \ln x$ ， $ecause v=\ln y, u=\ln x$, 则 $v=\ln m+k u$,由表中数据得 $\hat{k}=rac{\sum_{i=1}^{10} u_{i} 
u_{i}-10 ar{u}}{\sum_{i=1}^{10} u_{i}^{2}-10 ar{u}}=rac{30.5-10 	imes 1.5 	imes 1.5}{46.5-10 	imes 1.5 	imes 1.5}=rac{1}{3}$, 所以 $\ln m=ar{v}-\hat{k} ar{u}=1.5-rac{1}{3} 	imes 1.5=1$, 所以 $m=e$,所以年广告费用 $x$ 和年利润额 $y$ 的回归方程为.(3) 由 (2), 知, 令, 得 $x^{rac{1}{3}}>rac{10}{e}$, 得 $x^{rac{1}{3}}>3.6788$,所以 $x>3.6788^{3} \approx 49.787$, 所以 $x \approx 49.8$ (十万元).故下一年应至少投入 498 万元广告费用.
题目（高三 · 计数）：如图所示是世界 20 个地区受教育程度的人口百分比与人均收入的散点图, 样本点基本集中在一个条型区域，因此两个变量呈线性相关关系. 利用散点图中的数据建立的回归方程为 $\hat{y}=
选项：
答案：31.93 美元
解析：设所受教育百分比分别为 $a \%, b \%$, 且 $a-b=10$ ，根据回归方程为 $\hat{y}=3.193 x+88.193$ ，收入相差大约为 $3.193 	imes a+88.193-(3.193 	imes b+88.193)=3.193 	imes 10=31.93$即受教育的人口百分比相差 $10 \% ，$ 则其人均收入相差约 31.93 美元，故答案为 31.93 美元.
题目（高三 · 计数）：(10 分) 某机构为了解某大学中男生的体重单位: $\mathrm{kg}$ )与身高 $x$ (单位: $\mathrm{cm}$ )

是否存在较好的线性关系, 该机构搜集了 7 位该校男生的数据, 得到如下表格:

| 序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 身高 $(\mathrm{cm})$ | 161 | 175 | 169 | 178 | 173 | 168 | 180 |
| 体重 $(\mathrm{kg})$ | 52 | 62 | 54 | 70 | 66 | 57 | 73 |

根据表中数据计算得到 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y}=
选项：
答案：(1) $\hat{a}=-135.8$; (2) 该线性回归方程的拟合效果是良好, 理由见解析.
解析：(1） $ecause ar{x}=rac{161+175+169+178+173+168+180}{7}=172$ ，$ar{y}=rac{52+62+54+70+66+57+73}{7}=62$,将 $(172,62)$ 代入回归方程得, $	herefore \hat{a}=ar{y}-1.15 ar{x}=62-1.15 	imes 172=-135.8$,(2) $\sum_{i=1}^{7}\left(y_{i}-ar{y}ight)^{2}=100+0+64+64+761+25+121=390$, $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y}=1.15 x-135.8$,$	herefore\left(y_{7}-\hat{y}_{7}ight)^{2}=(73-1.15 	imes 180+135.8)^{2}=3.24$,$\sum_{i=1}^{7}\left(y_{i}-\hat{y}_{i}ight)^{2}=\sum_{i=1}^{6}\left(y_{i}-\hat{y}_{i}ight)^{2}+3.24=52.36$, $	herefore R^{2}=1-rac{\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\hat{y}_{i}ight)^{2}}{\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-ar{y}ight)^{2}}=1-rac{52.36}{390} \approx 0.87 \in(0.8,0.9)$,故该线性回归方程的拟合效果是良好.
题目（高三 · 计数）：(12 分) 今年疫情期间, 许多老师进行抖音直播上课某校团委为了解学生喜欢抖音上课是否与性别有关, 从高三年级中随机抽取 30 名学生进行了问卷调查, 得到如下列联表:

|  | 男生 | 女生 | 合计 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 喜欢抖音上课 | 10 |  |  |
| 不喜欢抖音上课 |  | 8 |  |
| 合计 |  |  | 30 |

已知在这 30 人中随机抽取 1 人抽到喜欢抖音上课的学生的概率是 $\frac{8}{15}$.

（1）请将上面的列联表补充完整，并据此资料分析能否有 $95 \%$ 的把握认为喜欢抖音上课与性别有关?

(2) 若从这 30 人中的女生中随机抽取 2 人, 记喜欢抖音上课的人数为 $X$, 求 $X$ 的分布列、数学期望.

附临界值表:

| $P\left(K^{2} \geq k_{0}\right)$ |
选项：
答案：(1) 列联表见解析, 没有; (2) 分布列见解析, $rac{6}{7}$.
解析：（1）列联表补充如下:|  | 男生 | 女生 | 合计 || :---: | :---: | :---: | :---: || 喜欢抖音上课 | 10 | 6 | 16 | 不喜欢抖音上课 | 6 | 8 | 14 || 合计 | 16 | 14 | 30 |由 30 人中随机抽取 1 人抽到喜欢抖音上课的学生的概率是 $rac{8}{15}$,故喜欢抖音上课的学生共有 16 人.由已知数据可求得 $k=rac{30 	imes(10 	imes 8-6 	imes 6)^{2}}{16 	imes 14 	imes 16 	imes 14} \approx 1.158<3.841$,所以没有 $95 \%$ 的把握认为喜欢抖音上课与性别有关.(2) $X$ 的可能取值为 $0,1,2$.$P(X=0)=rac{\mathrm{C}_{8}^{2}}{\mathrm{C}_{14}^{2}}=rac{4}{13}, P(X=1)=rac{\mathrm{C}_{8}^{1} \mathrm{C}_{6}^{1}}{\mathrm{C}_{14}^{2}}=rac{48}{91}, P(X=2)=rac{\mathrm{C}_{6}^{2}}{\mathrm{C}_{14}^{2}}=rac{15}{91}$,所以 $X$ 的分布列为| $X$ | 0 | 1 | 2 || :---: | :---: | :---: | :---: || $P$ | $rac{4}{13}$ | $rac{48}{91}$ | $rac{15}{91}$ |$X$ 的数学期望为 $E(X)=0 	imes rac{4}{13}+1 	imes rac{48}{91}+2 	imes rac{15}{91}=rac{6}{7}$.
题目（高三 · 计数）：(12 分) 高二理科班有 60 名同学参加某次考试, 从中随机抽选出 5 名同学,

他们的数学成绩 $x$ 与物理成绩 $y$ 如下表:

| 数学成绩 $x$ | 140 | 130 | 120 | 110 | 100 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |

得最大利润, 最大利润是多少？（注：利润 $L=$ 销售收入-原材料费用）

参考公式: $\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-n \bar{x}^{-2}}, \$=\bar{y}-\$ \bar{x}$,

参考数据: $\sum_{i=1}^{5} x_{i} y_{i}=1343, \sum_{i=1}^{S} x_{i}^{2}=558, \sum_{i=1}^{5} y_{i}^{2}=3237$.
选项：
答案：, \bar{y}=0.195$ (把百分数转化为小数),

而 $\hat{y}=(k x-4.68) \%=b x-0.0468$,

$\therefore 0.195=\hat{b} \times 19.5-0.0468, \quad \therefore \hat{b}=0.0124, \therefore \hat{y}=(1.24 x-4.68) \%$,

当 $x=\frac{30+34}{2}=32, t=1.24 \times 32-4.68=35$.

5.答案:D

【解析】由表中数据可得

表 1: $K^{2}=\frac{52 \times(6 \times 22-10 \times 14)}{16 \times 36 \times 20 \times 32} \approx
解析：, \bar{y}=0.195$ (把百分数转化为小数),

而 $\hat{y}=(k x-4.68) \%=b x-0.0468$,

$\therefore 0.195=\hat{b} \times 19.5-0.0468, \quad \therefore \hat{b}=0.0124, \therefore \hat{y}=(1.24 x-4.68) \%$,

当 $x=\frac{30+34}{2}=32, t=1.24 \times 32-4.68=35$.

5.答案:D

【解析】由表中数据可得

表 1: $K^{2}=\frac{52 \times(6 \times 22-10 \times 14)}{16 \times 36 \times 20 \times 32} \approx
题目（高三 · 计数）：（12 分） 2019 年的“金九银十”变成“铜九铁十”，国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行。如图是该地某小区 2018 年 11 月至 2019 年 1 月间，当月在售二手房均价（单位: 万元/平方米）的散点图. (图中月份代码 1 13 分别对应 2018 年 11 月 2019 年 11 月)

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_c6bd147c0b1c6b8cc44cg-
选项：
答案：（1）模型二拟合效果好;（2）（i） 2020 年 4 月份二手房均价的预测值为 1.044 （万元/平方米); (ii) 最大面积为 94 平方米.
解析：(1) 模型一中, $\hat{y}=0.9369+0.0285 \sqrt{x}$ 的残差平方和为 0.000591 , 相关指数为 $1-rac{0.000591}{0.006050} \approx 0.923$ ；模型二中, $\hat{y}=0.9554+0.0306 \ln x$ 的残差平方和为 0.000164 ，相关指数为 $1-rac{0.000164}{0.006050} \approx 0.973$,: 相关指数较大的模型二拟合效果好些2）通过散点图确定 2020 年 4 月对应的 $x=18$,代入（1）中拟合效果更好的模型二, 代入计算 $\hat{y}=0.9554+0.0306 \ln 18$ $=0.9554+0.0306 	imes(\ln 2+2 \ln 3)=0.9554+0.0306 	imes(0.69+2 	imes 1.10)$$\approx 1.044$ (万元/平方米),则 2020 年 4 月份二手房均价的预测值为 1.044 (万元/平方米),（i）设该购房者应支付的购房金额 $h$ 万元，因为税费中买方只需缴纳契税，(1)当 $70 \leq m \leq 90$ 时，契税为计税价格的 $1 \% ，$故 $h=m 	imes 1.044 	imes(1 \%+1)=1.05444 m$;(2)当 $90<m \leq 144$ 时，契税为计税价格的 $1.5 \%$,故 $h=m 	imes 1.044 	imes(1.5 \%+1)=1.05966 m$ ；(3)当 $144<m \leq 160$ 时, 契税为计税价格的 $3 \%$, 故 $h=m 	imes 1.044 	imes(3 \%+1)=1.07532 m$,$$h= egin{cases}1.05444 m, & 70 \leq m \leq 90 \ 1.05966 m, & 90<m \leq 144 \ 1.07532 m, & 144<m \leq 160\end{cases} $$当 $70 \leq m \leq 90$ 时购房金额为 $1.05444 m$ 万元，当 $90<m leq 144$ 时购房金额为 $1.05966 m$ 万元，当 $144<m \leq 160$ 时购房金额为 $1.07532 m$ 万元.（ii）设该购房者可购买该小区二手房的最大面积为 $t$ 平方米， 由（i）知，当 $70 \leq m \leq 90$ 时，应支付的购房金额为 $1.05444 t$又 $1.05444 t \leq 1.05444 	imes 90<100$又因为房屋均价约为 1.044 万元 $/$ 平方米，所以 $t<100$ ，所以 $90 \leq t<100 ，$由 $1.05966 t \leq 100$, 解得 $t \leq rac{100}{1.05966}$, 且 $rac{100}{1.05966} \approx 94.4$,所以该购房者可购买该小区二手房的最大面积为 94 平方米.
题目（高三 · 计数）：(12 分) 在 100 件产品中, 有 98 件合格品, 2 件次品. 从这 100 件产品中任意抽出 3 件。

（1）有多少种不同的抽法?

（2）抽出的 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少种?

(3) 抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种?
选项：
答案：答案:(1) 161700 ; (2) 9506 ; (3)
解析：答案:(1) 161700 ; (2) 9506 ; (3)
题目（高三 · 计数）：(10 分) 设袋中有 5 个红球, 3 个黑球, 2 个白球, 试按:

(1) 有放回摸球三次, 每次摸一球，求第三次才摸到白球的概率;

(2) 不放回摸球三次, 每次摸一球, 求第三次才摸到白球的概率.
选项：
答案：答案:(1) $\frac{16}{125}$; (2) $\frac{7}{45}$.

【解析】设 $A=\{$ 第一次未摸到白球 $\}, B=\{$ 第二次未摸到白球 $\}, C=\{$ 第三次摸到白球 $\}$, 则事件“第三次才摸到白球”可表示为 $A B C$.

(1) 有放回时, $P(A)=\frac{8}{10}, P(B \mid A)=\frac{8}{10}, P(C \mid A B)=\frac{2}{10}$,
$P(A B C)=P(C \mid A B) P(B \mid A) P(A)=\frac{2}{10} \times \frac{8}{10} \times \frac{8}{10}=\frac{16}{125}$.

(2) 不放回时, $P(A)=\frac{8}{10}, P(B \mid A)=\frac{7}{9}, P(C \mid A B)=\frac{2}{8}$,

$P(A B C)=P(C \mid A B) P(B \mid A) P(A)=\frac{2}{8} \times \frac{7}{9} \times \frac{8}{10}=\frac{7}{45}$.
解析：答案:(1) $\frac{16}{125}$; (2) $\frac{7}{45}$.

【解析】设 $A=\{$ 第一次未摸到白球 $\}, B=\{$ 第二次未摸到白球 $\}, C=\{$ 第三次摸到白球 $\}$, 则事件“第三次才摸到白球”可表示为 $A B C$.

(1) 有放回时, $P(A)=\frac{8}{10}, P(B \mid A)=\frac{8}{10}, P(C \mid A B)=\frac{2}{10}$,
$P(A B C)=P(C \mid A B) P(B \mid A) P(A)=\frac{2}{10} \times \frac{8}{10} \times \frac{8}{10}=\frac{16}{125}$.

(2) 不放回时, $P(A)=\frac{8}{10}, P(B \mid A)=\frac{7}{9}, P(C \mid A B)=\frac{2}{8}$,

$P(A B C)=P(C \mid A B) P(B \mid A) P(A)=\frac{2}{8} \times \frac{7}{9} \times \frac{8}{10}=\frac{7}{45}$.
题目（高三 · 计数）：(12 分) 假设每天从甲地去乙地的旅客人数 $X$ 是服从正态分布 $N\left(800,50^{2}\right)$ 的随机变量. 记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过 900 的概率为 ${ }^{p_{0}}$.

(1) 求 ${ }^{p_{0}}$ 的值;

(参考数据: 若 ${ }^{X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)}$, 有 $P(\mu-\sigma<X \leq \mu+\sigma)=
选项：
答案：(1) $0 \cdot 9772$; (2) $A$ 型车 5 辆, $B$ 型车 12 辆.
解析：（1）由于随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left(800,50^{2}ight)$,故有 $\mu=800, \sigma=50, P(700<X \leq 900)=0.9544$由正态分布的对称性，可 $p_{0}=P(X \leq 900)=P(X \leq 800)+P(800<X \leq 900)=rac{1}{2}+rac{1}{2} P(700<X \leq 900)$$=0.9772$.(2) 设 $A$ 型、 $B$ 型车辆的数量分别为 $x, y$ 辆, 则相应的营运成本为 $1600 x+2400 y$.依题意, $x, y$ 还需满足 $x+y \leq 21, y \leq x+7$,$P(X \leq 36 x+60 y) \geq p_{0}$由 (1) 知, $p_{0}=P(X \leq 900)$, 故 $P(X \leq 36 x+60 y) \geq p_{0}$ 等价于 $36 x+60 y \geq 900$.于是原问题等价于求满足约束条件 $\left\{egin{array}{l}x+y \leq 21 \ y \leq x+7 \ 36 x+60 y \geq 900 \ x, y \geq 0, x, y \in \mathbf{N}\end{array}ight.$,且使目标函数 $z=1600 x+2400 y$ 达到最小的 $x, y$.作可行域如图所示, 可行域的三个顶点坐标分别为 $P(5,12), Q(7,14), R(15,6)$.由图可知, 当直线 $z=1600 x+2400 y$ 经过可行域的点 $P$ 时, 直线 $z=1600 x+2400 y$ 在 $y$ 轴上截距$rac{z}{2400}$ 最小, 即 $z$ 取得最小值.故应配备 $A$ 型车 5 辆、 $B$ 型车 12 辆.
题目（高三 · 统计数学）：(本小题 10 分)

一项试验有两套方案, 每套方案试验成功的概率都是 $\frac{2}{3}$, 试验不成功的概率都是 $\frac{1}{3}$ 甲随机地从两套方案中选取一套进行这项试验, 共试验了 3 次, 每次实验相互独立, 且要从两套方案中等可能地选择一套.

(1) 求 3 次试验都选择了同一套方案且都试验成功的概率;

（2）记 3 次试验中，都选择了第一套方案并试验成功的次数为 $\mathrm{X}$, 求 $\mathrm{X}$ 的分布列和期望 $E X$.
选项：
答案：(1) 【解析】 记事件“一次试验中, 选择第 $i$ 套方案并试验成功”为 $A_{i}, i=1,2$,则 $P\left(A_{i}ight)=rac{1}{C_{2}^{1}} 	imes rac{2}{3}=rac{1}{3}$,3 次试验选择了同一套方案且都试验成功的概率:$P=P\left(A_{1} \cdot A_{1} \cdot A_{1}+A_{2} \cdot A_{2} \cdot A_{2}ight)=\left(rac{1}{3}ight)^{3}+\left(rac{1}{3}ight)^{3}=rac{2}{27} ;$2) 【解析】 $\mathrm{X}$ 的可能值为 $0,1,2,3$, 则 $X \sim B\left(3, rac{1}{3}ight)$, $P(X=k)=C_{3^{k}}\left(rac{1}{3}ight)^{k}\left(rac{2}{3}ight)^{3-k}, \quad k=0,1,2,3$, $\mathrm{X}$ 的分布列为:<ImageHere>
题目（高三 · 统计数学）：袋子 $A$ 和 $B$ 中均装有若干个大小相同的红球和白球, 从 $A$ 中摸出一个红球的概率是 $\frac{2}{3}$, 从 $B$ 中摸出一个红球的概率为 $p$.

(1) 从 $A$ 中有放回地摸球, 每次摸出 1 个, 有 3 次摸到红球即停止, 求恰好摸 5 次停止的概率.

(2) 若 $A 、 B$ 两个袋子中的球数之比为 $1: 2$, 将 $A 、 B$ 中的球装在一起后, 从中摸出一个红球的概率是 $\frac{2}{5}$, 求 $p$ 的值.
选项：
答案：答案:(1) 【解析】设“恰好摸 5 次停止”为事件 $A$,

由题意得恰好摸 5 次停止即第 5 次摸到红球, 前 4 次中有 2 次摸到红球,

所以恰好摸 5 次停止的概率为 $P(A)=C_{4}^{2} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \times\left(1-\frac{2}{3}\right)^{2} \times \frac{2}{3}=\frac{16}{81}$,

即恰好摸 5 次停止的概率为 $\frac{16}{81}$;

（2）【解析】设袋子 $\mathrm{A}$ 中有 $m$ 个球, 则袋子 $\mathrm{B}$ 中有 $2 m$ 个球,

则袋子 $\mathrm{A}$ 中有 $\frac{2}{5} m$ 个红球, 则袋子 $\mathrm{B}$ 中有 $2 m p$ 个红球,

由题意得 $\frac{\frac{2}{3} m+2 m p}{3 m}=\frac{2}{5}$, 解得 $p=\frac{4}{15}$.
解析：答案:(1) 【解析】设“恰好摸 5 次停止”为事件 $A$,

由题意得恰好摸 5 次停止即第 5 次摸到红球, 前 4 次中有 2 次摸到红球,

所以恰好摸 5 次停止的概率为 $P(A)=C_{4}^{2} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{2} \times\left(1-\frac{2}{3}\right)^{2} \times \frac{2}{3}=\frac{16}{81}$,

即恰好摸 5 次停止的概率为 $\frac{16}{81}$;

（2）【解析】设袋子 $\mathrm{A}$ 中有 $m$ 个球, 则袋子 $\mathrm{B}$ 中有 $2 m$ 个球,

则袋子 $\mathrm{A}$ 中有 $\frac{2}{5} m$ 个红球, 则袋子 $\mathrm{B}$ 中有 $2 m p$ 个红球,

由题意得 $\frac{\frac{2}{3} m+2 m p}{3 m}=\frac{2}{5}$, 解得 $p=\frac{4}{15}$.
题目（高三 · 统计数学）：(12 分) 高尔顿(钉)板是在一块坚起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉(如图), 并且每一排铁钉数目都比上一排多一个, 一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央. 从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球, 当小球从两钉之间的间隙下落时, 由于碰到下一排铁钉, 它将以相等的可能性向左或向右落下, 接着小球再通过两铁钉的间隙, 又碰到下一排铁钉. 如此继续下去, 在最底层的 5 个出口处各放置一个容器接住小球.

(1) 理论上, 小球落入 4 号容器的概率是多少?

(2) 一数学兴趣小组取 3 个小球进行试验, 设其中落入 4 号容器的小球的个数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列.


选项：
答案：答案:(1) $\frac{1}{4} ;$ （2）分布列见解析.

【解析】(1) 记“小球落入 4 号容器”为事件 $A$,

若要小球落入 4 号容器, 则需要在通过的四层中有三层向右, 一层向左,

$\therefore$ 理论上, 小球落入 4 号容器的概率 $P(A)=C_{4}^{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{4}=\frac{1}{4}$.

(2) 落入 4 号容器的小球的个数 $X$ 的所有可能取值为 $0,1,2,3$,

$\therefore P(X=0)=\mathrm{C}_{3}^{0} \times\left(1-\frac{1}{4}\right)^{3}=\frac{27}{64}, P(X=1)=\mathrm{C}_{3}^{1} \times \frac{1}{4} \times\left(1-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{27}{64}$,

$P(X=2)=\mathrm{C}_{3}^{2} \times\left(\frac{1}{4}\right)^{2} \times\left(1-\frac{1}{4}\right)^{1}=\frac{9}{64}, \quad P(X=3)=\mathrm{C}_{3}^{3} \times\left(\frac{1}{4}\right)^{3}=\frac{1}{64}$,

: $X$ 的分布列为

| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\frac{27}{64}$ | $\frac{27}{64}$ | $\frac{9}{64}$ | $\frac{1}{64}$ |
解析：答案:(1) $\frac{1}{4} ;$ （2）分布列见解析.

【解析】(1) 记“小球落入 4 号容器”为事件 $A$,

若要小球落入 4 号容器, 则需要在通过的四层中有三层向右, 一层向左,

$\therefore$ 理论上, 小球落入 4 号容器的概率 $P(A)=C_{4}^{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{4}=\frac{1}{4}$.

(2) 落入 4 号容器的小球的个数 $X$ 的所有可能取值为 $0,1,2,3$,

$\therefore P(X=0)=\mathrm{C}_{3}^{0} \times\left(1-\frac{1}{4}\right)^{3}=\frac{27}{64}, P(X=1)=\mathrm{C}_{3}^{1} \times \frac{1}{4} \times\left(1-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{27}{64}$,

$P(X=2)=\mathrm{C}_{3}^{2} \times\left(\frac{1}{4}\right)^{2} \times\left(1-\frac{1}{4}\right)^{1}=\frac{9}{64}, \quad P(X=3)=\mathrm{C}_{3}^{3} \times\left(\frac{1}{4}\right)^{3}=\frac{1}{64}$,

: $X$ 的分布列为

| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\frac{27}{64}$ | $\frac{27}{64}$ | $\frac{9}{64}$ | $\frac{1}{64}$ |
题目（高三 · 图论）：23. 唐朝时期, 皇帝统领政事堂, 政事堂由尚书省、中书省、门下省三省构成.在尚书省下设吏、户、礼、兵、刑、工六部.吏部主管官吏的任免和考核, 户部主管户籍、土地、赋税等,礼部主管礼仪、科举等, 兵部主管军政, 刑部主管刑狱, 工部主管国家的工程建设. 试用结构图来表示.
选项：
答案：答案：由已知分析各部门之间都是从属关系, 所以考虑用树形结构图来表示.

| 一政事堂 |  | 「吏部 | 一主管官吏的任免和考核 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
|  | 厂中书省 | 一户部 | 一主管户籍、土地、胧税等 |
|  |  | 一礼部 | 一主管礼仪、科举等 |
|  | 一尚书省 | 一兵部 | 一主管军政 |
|  | L门下省 | 一刑部 | 一主管刑狱 |
|  |  | L工部 | 一主管国家的工程建设 |
解析：: 分析: 本题主要考查了绘制结构图, 解决问题的关键是正确理解结构图的概念, 并能用简洁、清哳的结构图来描述事物的关系.结构图通常有树形结构和环形结构两种, 注意选择与应用, 通常各要素之间的从属关系用树形结构来表示, 而各要素之间的逻辑关系用环形结构来表示.
题目（高三 · 图论）：24. 一家新技术公司计划研制一个名片管理系统，希望系统能够具备以下功能:

(1)用户管理：能修改密码，显示用户信息，修改用户信息。

(2)用户登录。

(3)名片管理: 能够对名片进行删除、添加、修改、查询。

(4)出错信息处理。

请根据这些要求画出该系统的结构图.
选项：
答案：答案:

<ImageHere>
解析：: 分析: 本题主要考查了绘制结构图, 解决问题的关键是读懂题意, 按照画结构图的步骤画出结构图.
题目（高三 · 图论）：(10 分) 某班的行政结构如下：班主任下设班委会和团支部, 班委会设班长一名, 管理学习委员、生活委员、劳动卫生委员、文娱委员和体育委员，团支部设团支书一名, 管理组织委员和宣传委员. 试画出该班的组织结构图.
工作, 他测算了如下数据: 整理床铺、收拾携带物品 8 分钟, 洗脸、刷牙 7 分钟,煮牛奶 15 分钟, 吃早饭 10 分钟, 查公交线路图 9 分钟, 给出差在外的父亲发手机短信 6 分钟, 走到公共汽车站 10 分钟, 等公共汽车 10 分钟. 小强粗略地算了一下,总共需要 75 分钟, 为了赶上 7: 50 的公共汽车, 小强决定 6: 30 起床, 不幸的是他一下子睡到 6: 50, 请你帮小强安排一下时间, 画出一份郊游出行前时间安排流程图, 使他还能来得及参加此次郊游.
选项：
解析：该班的组织结构图如图:
题目（高三 · 图论）：(12 分) 某工会的组织结构设置如下:

（1）会员代表大会下设监事会、会长办公会, 而会员代表大会与会长办公会共同管辖理事会;

（2）会长办公会下设会长, 会长管理秘书长;

（3）秘书长具体分管: 秘书处、规范自律委员会、服务推广委员会、发展创新委员会.

据此绘制该工会的组织结构图.
选项：
解析：该工会的组织结构图如图所示:
题目（高一 · 解析几何）：中国第一高摩天轮“南昌之星摩天轮”高度为 $160 \mathrm{~m}$, 其中心 $O$ 距地面 $O B=\frac{167}{2} \mathrm{~m}$, 半径为 $O C=\frac{153}{2} \mathrm{~m}$

, 若某人从最低点 $D$ 处登上摩天轮, 摩天轮匀速旋转, 那么此人与地面的距离将随时间 $t$ 变化, $t=15 \mathrm{~min}$ 后达到最高点, 从登上摩天轮时开始计时.



(1) 求出人与地面距离 $\mathrm{y}$ 与时间 $\mathrm{t}$ 的函数解析式;

(2) 从登上摩天轮到旋转一周过程中, 有多长时间人与地面距离大于 $\frac{181}{4} \mathrm{~m}$.
选项：
答案：(1) 解：根据题意摩天轮从最低点开始, $15 \mathrm{~min}$ 后达到最高点,

则 $30 \mathrm{~min}$ 转一圈, 所以摩天轮的角速度为 $\omega=\frac{2 \pi}{30}=\frac{\pi}{15}$.

则 $t \min$ 时, 人在点 $C$ 处, 则此时转过的角度为 $\theta=\frac{\pi}{15} t$.

所以 $y=\frac{167}{2}-\frac{153}{2} \cos \frac{\pi}{15} t(t \geq 0)$.

(2) 解: 登上摩天轮到旋转一周,

则 $0 \leq t \leq 30$, 人与地面距离大于 $\frac{181}{4} \mathrm{~m}$,

即 $y=\frac{167}{2}-\frac{153}{2} \cos \frac{\pi}{15} t>\frac{181}{4}$, 所以 $\cos \frac{\pi}{15} t<\frac{1}{2}$,

由 $0 \leq t \leq 30$, 解得 $5<t<25$,

<ImageHere>
故有 20 分钟人与地面距离大于 $\frac{181}{4} \mathrm{~m}$.
解析：(1) 计算 $\omega=\frac{2 \pi}{30}=\frac{\pi}{15}$, 得到 $t \min$ 时, 转过的角度为 $\theta=\frac{\pi}{15} t$, 得到解析式. (2) 解不等式 $y=\frac{167}{2}-\frac{153}{2} \cos \frac{\pi}{15} t>\frac{181}{4}$ 得到答案.