eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高三 · 计数）：某商品销售量 $y$ (件) 与销售价格 $x$ (元/件) 负相关, 则其回归方程可能是 ( )
选项：
A. $\hat{y}=-10 x+200$
B. $\hat{y}=10 x+200$
C. $\hat{y}=-10 x-200$
D. $\hat{y}=10 x-200$
答案：A
解析：（万元/平方

米); (ii) 最大面积为 94 平方米.

【解析】(1) 模型一中, $\hat{y}=0.9369+0.0285 \sqrt{x}$ 的残差平方和为 0.000591 ,

相关指数为 $1-\frac{0.000591}{0.006050} \approx 0.923$ ；

模型二中, $\hat{y}=0.9554+0.0306 \ln x$ 的残差平方和为 0.000164 ，

相关指数为 $1-\frac{0.000164}{0.006050} \approx 0.973$,

: 相关指数较大的模型二拟合效果好些

（2）通过散点图确定 2020 年 4 月对应的 $x=18$,

代入（1）中拟合效果更好的模型二, 代入计算 $\hat{y}=0.9554+0.0306 \ln 18$

$=0.9554+0.0306 \times(\ln 2+2 \ln 3)=0.9554+0.0306 \times(0.69+2 \times 1.10)$

$\approx 1.044$ (万元/平方米),

则 2020 年 4 月份二手房均价的预测值为 1.044 (万元/平方米),

（i）设该购房者应支付的购房金额 $h$ 万元，因为税费中买方只需缴纳契税，

(1)当 $70 \leq m \leq 90$ 时，契税为计税价格的 $1 \% ，$

故 $h=m \times 1.044 \times(1 \%+1)=1.05444 m$;

(2)当 $90<m \leq 144$ 时，契税为计税价格的 $1.5 \%$,

故 $h=m \times 1.044 \times(1.5 \%+1)=1.05966 m$ ；

(3)当 $144<m \leq 160$ 时, 契税为计税价格的 $3 \%$,

故 $h=m \times 1.044 \times(3 \%+1)=1.07532 m$,

$$
h= \begin{cases}1.05444 m, & 70 \leq m \leq 90 \\ 1.05966 m, & 90<m \leq 144 \\ 1.07532 m, & 144<m \leq 160\end{cases}
$$

当 $70 \leq m \leq 90$ 时购房金额为 $1.05444 m$ 万元，

当 $90<m \leq 144$ 时购房金额为 $1.05966 m$ 万元，

当 $144<m \leq 160$ 时购房金额为 $1.07532 m$ 万元.

（ii）设该购房者可购买该小区二手房的最大面积为 $t$ 平方米，

由（i）知，当 $70 \leq m \leq 90$ 时，应支付的购房金额为 $1.05444 t$

又 $1.05444 t \leq 1.05444 \times 90<100$

又因为房屋均价约为 1.044 万元 $/$ 平方米，所以 $t<100$ ，所以 $90 \leq t<100 ，$

由 $1.05966 t \leq 100$, 解得 $t \leq \frac{100}{1.05966}$, 且 $\frac{100}{1.05966} \approx 94.4$,

所以该购房者可购买该小区二手房的最大面积为 94 平方米.

22.答案:(1) $\hat{y}=7.4 t-5.06, R_{1}^{2}=0.9853$; (2) 方案 1 更适合, 33.42 万亿元.

【解析】(1) $\because \bar{t}=3$

$\bigcap_{i=1}^{5}\left(t_{i}-t\right)^{2}=(1-3)^{2}+(2-3)^{2}+(3-3)^{2}+(4-3)^{2}+(5-3)^{2}=10$,

$\because \bar{y}=17.14, \sum_{i=1}^{S}\left(t_{i}-\bar{t}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)=74$, $\hat{b}=\frac{a_{i=1}^{S}\left(t_{i}-\bar{t}\right)\left(y_{i}-\bar{y}\right)}{\varliminf_{i=1}^{S}\left(t_{i}-\bar{t}\right)^{2}}=\frac{74}{10}=7.4, \quad \hat{b}=\bar{y}-\$ \bar{b}=17.14-7.4 \times 3=-5.06$

$y$ 关于 $t$ 的回归方程为 $\hat{y}=7.4 t-5.06$,

由 $\sum_{i=1}^{5}\left(y_{i}-\hat{y}_{i}\right)^{2}=0.66^{2}+0.14^{2}+2.04^{2}+1.86^{2}+0.34^{2}=8.192$,

$R_{1}^{2}=1-\frac{\sum_{i=1}^{5}\left(y_{i}-\hat{y}_{i}\right)^{2}}{\sum_{i=1}^{5}\left(y_{i}-\bar{y}\right)^{2}}=1-\frac{8.192}{555.792}=1-0.0147=0.9853$.

(2) 由 (1) 知, $R_{1}{ }^{2}=0.9853>0.9778=1-0.0222=R_{2}{ }^{2}$,

$\hat{y}=7.4 t-5.06$ 更适合作为全国进出口贸易总额 $y$ 关于 $t$ 的回归方程,

$\because 2020$ 年对应的 $t=5.2, \therefore$ 当 $t=5.2$ 时, $\hat{y}=7.4 ? 5.25 .06=33.42$,

可以预测 2020 年全国进出口贸易总额为 33.42 万亿元.
题目（高三 · 计数）：下列有关线性回归分析的六个命题:

(1)线性回归直线必过样本数据的中心点 $(\bar{x}, \bar{y})$;

(2)回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线;

(3)当相关性系数 $r>0$ 时，两个变量正相关;

(4)如果两个变量的相关性越强, 则相关性系数 $r$ 就越接近于 1;

(5)残差图中残差点所在的水平带状区域越宽, 则回归方程的预报精确度越高;

(6) 甲、乙两个模型的 $R^{2}$ 分别约为 0.88 和 0.80 , 则模型乙的拟合效果更好.
其中真命题的个数为 ( )
选项：
A. 1 个B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
答案：B
解析：(1)线性回归直线必过样本数据中心点 $(ar{x}, ar{y})$, 故(1)正确;(2)回归直线方程在散点图中可能不经过任意样本数据点, 故(2)错误;(3)当相关性系数 $r>0$ 时, 则两个变量正相关, 故(3)正确:(4)如果两个变量的相关性越强, 则相关性系数 $r$ 就越接近于 1 或 -1 , 故(4)错误;(5)残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，回归方程的预报精确度越高，故(5)错误;(6) 甲、乙两个模型的 $R^{2}$ 分别约为 0.88 和 0.80 ，则模型甲的拟合效果更好，故(6)错误,真命题的个数为 2 , 故选 B.
题目（高三 · 计数）：假设 2 个分类变量 $X$ 和 $Y$ 的 $2 \times 2$ 列联表如下:

| $Y$ | $y_{1}$ | $y_{2}$ | 总计 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $x_{1}$ | $a$ | 10 | $a+10$ |
| $x_{2}$ | $c$ | 30 | $c+30$ |
| 总计 | $a+c$ | 40 | 100 |

对于同一样本, 以下数据能说明 $X$ 和 $Y$ 有关系的可能性最大的一组是（）
选项：
A. $a=40, c=20$
B. $a=45, c=15$

C. $a=35, c=25$
D. $a=30, c=30$
答案：B
解析：$K^{2}$ 的观测值 $k=rac{n(a d-b c)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}=n\left(rac{a}{a+c}-rac{b}{b+d}ight)\left(rac{a}{a+b}-rac{b}{c+d}ight)$,根据 $2 	imes 2$ 列联表和独立性检验的相关知识, 当 $b, d$ 一定时, $a, c$ 相差越大,$rac{a}{a+10}$ 与 $rac{c}{c+30}$ 相差就越大, $X^{2}$ 就越大, 即 $X$ 和 $Y$ 有关系的可能性越大, 选项 B 中， $a-c=30$ 与其它选项相比相差最大，故选 B.
题目（高三 · 计数）：下列四个命题:

(1)在回归模型中, 预报变量 $y$ 的值不能由解释变量 $x$ 唯一确定;

(2)若变量 $x, y$ 满足关系 $y=-0.1 x+1$, 且变量 $y$ 与 $z$ 正相关, 则 $x$ 与 $z$ 也正相关; (3)在残差图中, 残差点分布的带状区域的宽度越狭窄, 其模型拟合的精度越高;

(4)以模型 $y=c e^{k x}$ 去拟合一组数据时, 为了求出回归方程, 设 $z=\ln y$, 将其变换后得到线性方程 $z=0.3 x+4$, 则 $C=e^{4}, k=0.3$.

其中真命题的个数为 ( )
选项：
A. 1 个B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
答案：C
解析：答案:C

【解析】下列四个命题,

(1)在回归模型中, 预报变量 $y$ 的值不能由解释变量 $x$ 唯一确定; 根据回归模型中的变量关系，正确： (2)若变量 $x, y$ 满足关系 $y=-
题目（高三 · 计数）：为了解学生对街舞的喜欢是否与性别有关, 在全校学生中进行抽样调查, 根据数据, 求得 $K^{2}$ 的观测值 $k_{0} \approx 4.804$, 则至少有 ( ) 的把握认为对街舞的喜欢与性别有关. 参考数据:

| $P\left(K^{2} \geq k_{0}\right)$ | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $k_{0}$ | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
选项：
A. $90 \%$
B. $95 \%$
C. $
答案：B
解析：x-1$ ；（2）食堂购买 36 袋食, 能获得最大利润, 最大利润为 11520 元.

【解析】(1）由所给数据可得 $\bar{x}=\frac{13+9+8+10+12}{5}=10.4, \bar{y}=\frac{32+23+18+24+28}{5}=25$,

$\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{S} x_{i} y_{i}-5 \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i=1}^{S} x_{i}^{2}-5 x^{-2}}=\frac{1343-5 \times 10.4 \times 25}{558-5 \times 10.4^{2}}=2.5, \hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}=25-2.5 \times 10.4=-1$,

故 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $\hat{y}=2.5 x-1$.

（2）因为 $\hat{y}=2.5 x-1$, 所以当 $x=15$ 时, $y=36.5$, 即预计需要购买食材 36.5 袋,

因为 $C=\left\{\begin{array}{ll}400 y-20, & 0<y<36(x \in \mathbb{N}) \\ 380 y, & y \geq 36(y \in \mathbf{N})\end{array}\right.$,

所以当 $y<36$ 时, 利润 $L=700 y-(400 y-20)=300 y+20$,

此时当 $y=35$ 时, $L_{\max }=300 \times 35+20=10520$,

当 $y \geq 36$ 时, 由题意可知, 剩余的食材只能无偿退还,

此时当 $y=36$ 时, $L=700 \times 36-380 \times 36=11520$,

当 $y=37$ 时, 利润 $L=700 \times 36.5-380 \times 37=11490$,

综上所述, 食堂应购买 36 袋食, 才能获得最大利润, 最大利润为 11520 元.

21.答案:（1）模型二拟合效果好;（2）（i） 2020 年 4 月份二手房均价的预测值为
题目（高三 · 计数）：为检测某药品服用后的多长时间开始有药物反应, 现随机抽取服用了该药品的 1000 人，其服用后开始有药物反应的时间（分钟）与人数的数据绘成的频率分布直方图如图所示．若将直方图中分组区间的中点值设为解释变量 $x$ (分钟), 这个区间上的人数为 $y$ (人), 易见两变量 $x, y$ 线性相关，那么一定在其线性回归直线上的点为 (



(分钟)
选项：
A. $(
答案：C
解析：x+\hat{a}$ 经过样本中心点 $(\bar{x}, \bar{y})$,

所以 $160=-3.1 \times 24+\hat{a}$, 解得 $\hat{a}=234.4$,

所以回归直线方程为 $\hat{y}=-3.1 x+234.4$,

把 $x=18$ 代入回归直线方程可得 $\hat{y}=178.6$,

故样本在 $(18,180)$ 处的残差为 $180-178.6=1.4$, 故选 B.

10.答案:B

【解析】(1)线性回归直线必过样本数据中心点 $(\bar{x}, \bar{y})$, 故(1)正确;

(2)回归直线方程在散点图中可能不经过任意样本数据点, 故(2)错误;

(3)当相关性系数 $r>0$ 时, 则两个变量正相关, 故(3)正确:

(4)如果两个变量的相关性越强, 则相关性系数 $r$ 就越接近于 1 或 -1 , 故(4)错误;

(5)残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，回归方程的预报精确度越高，

故(5)错误;

(6) 甲、乙两个模型的 $R^{2}$ 分别约为
题目（高三 · 计数）：2015 年年岁史诗大剧《辈月传》风靡大江南北, 影响力不亚于以前的《甄嬛传》. 某记者调查了大量《辈月传》的观众, 发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系, 年龄在 $[10,14],[15,19],[20,24],[25,29],[30,34]$ 的爱看比例分别为 $10 \%, 18 \%, 20 \%, 30 \%, t \%$. 现用这 5 个年龄段的中间值 $x$ 代表年龄段,如 12 代表 $[10,14], 17$ 代表 $[15,19]$, 根据前四个数据求得 $x$ 关于爱看比例 $y$ 的线性回归方程为 $\hat{y}=(k x-4.68) \%$, 由此可推测 $t$ 的值为（）
选项：
A. 33 B. 35
C. 37
D. 39
答案：C
解析：>3.841$, 所以有 $95 \%$ 的把握认为对街舞的喜欢与性别有关.

3.答案:C

【解析】由频率分布直方图可知，第一个区间中点坐标， $x_{1}=
题目（高三 · 计数）：某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变量之间的关系,随机抽查 52 名中学生, 得到统计数据如表 1 至表 4 , 这与性别有关联的可能性最大的变量是 (



表 3

| 智商 <br> 性别 | 㑤高 | 正常 | 总计 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 男 | 8 | 12 | 20 |
| 女 | 8 | 24 | 32 |
| 总计 | 16 | 36 | 52 |


选项：
A. 成绩 B. 视力 C. 智商 D. 阅读量
答案：D
解析：由表中数据可得表 1: $K^{2}=rac{52 	imes(6 	imes 22-10 	imes 14)}{16 	imes 36 	imes 20 	imes 32} \approx 0.009$;表 $2: K^{2}=rac{52 	imes(4 	imes 20-12 	imes 16)}{16 	imes 36 	imes 20 	imes 32} \approx 1.769$;表 3: $K^{2}=rac{52 	imes(8 	imes 24-12 	imes 8)}{16 	imes 36 	imes 20 	imes 32} \approx 1.3$;表 4: $K^{2}=rac{52 	imes(14 	imes 30-2 	imes 6)}{16 	imes 36 	imes 20 	imes 32} \approx 23.48$.其中 23.48 最大, 所以阅读量与性别有关联的可能性最大，故 D 正确.
题目（高三 · 计数）：为预测某种产品的回收率 $y$, 需要研究它和原料有效成分的含量 $x$ 之间的相关关系, 现取了 8 组观察值. 计算得 $\sum_{i=1}^{8} x_{i}=52, \sum_{i=1}^{8} y_{i}=228, \sum_{i=1}^{8} x_{i}^{2}=478$,

$\sum_{i=1}^{8} x_{i} y_{i}=1849$, 则 $y$ 对 $x$ 的回归方程是 ( )
选项：
A. $\hat{y}=
答案：A
解析：由 $\hat{b}=rac{\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_{i}-n \overline{x y}}{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}-n(ar{x})^{2}}, \hat{a}=ar{y}-\hat{b} ar{x}$, 直接计算得 $\hat{b} \approx 2.62, \hat{a} \approx 11.47$所以 $\hat{y}=11.47+2.62 x$, 选 A.
题目（高三 · 计数）：某饮料店的日销售收入 $y$ (单位: 百元) 与当天平均气温 $x$ (单位: ${ }^{"} \mathrm{C}$ ) 之间有下列数据:

| $x$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $y$ | 5 | 4 | 2 | 2 | 1 |

甲、乙、丙三位同学对上述数据进行研究, 分别得到了 $x$ 与 $y$ 之间的四个线性回归方程，其中正确的是（ ）
选项：
A. $\hat{y}=-x+
答案：A
解析：由题意可知 $ar{x}=rac{-2-1+0+1+2}{5}=0, ar{y}=rac{5+4+2+2+1}{5}=2.8$,由回归方程过中心点 $(0,2.8)$, 代入选项中只有 A 项满足。
题目（高三 · 计数）：变量 $X$ 与 $Y$ 相对应的一组数据为 $(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4)$,

$(13,5)$; 变量 $U$ 与 $^{V}$ 相对应的一组数据为 $(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2)$,

$(13,1) .{ }^{r_{1}}$ 表示变量 $Y, X$ 之间的线性相关系数, ${ }^{r_{2}}$ 表示变量 ${ }^{V}$ 与 $U$ 之间的线性相关系数, 则 ( )
选项：
A. $r_{1}<r_{2}<0$
B. $0<r_{2}<r_{1}$
C. $r_{2}<0<r_{1}$
D. $r_{2}=r_{1}$
答案：C
解析：$ecause$ 变量 $X$ 与 $Y$ 相对应的一组数据为 $(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5)$,$ar{X}=(10+11.3+11.8+12.5+13) \div 5=11.72, ar{Y}=(1+2+3+4+5) \div 5=3$,即 $r_{1}=rac{7.2}{19.172}=0.3755$;变量 $U$ 与 $V$ 相对应的一组数据为 $(10,5),(11.3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1)$, $ar{U}=rac{1+2+3+4+5}{5}=3$,这一组数据的相关系数 $r_{2}=-0.3755$,则第一组数据的相关系数大于 0 , 第二组数据的相关系数小于 0 ，则 $r_{2}<0<r_{1}$, 故选 C.
题目（高三 · 计数）：某商场为了了解不同厂家生产的散装面包的月销售量 $y$ (千克) 与售价 $x$ （元 /千克）之间的关系，随机统计了某几个月的月销售量与当月各散装面包的售价,相关数据如下表:

| 售价 $x$ (元/千克) | 18 | 20 | 22 | 26 | 28 | 30 |
| :--- | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 月销售量 $y$ (千克) | 180 | 168 | 166 | 160 | 150 | 136 |

由表中数据算出线性回归方程为 $\hat{y}=-3.1 x+\hat{a}$, 则样本在 $(18,180)$ 处的残差为

( )
选项：
A. 0
B.
答案：B
解析：由表格得 $(ar{x}, ar{y})$ 为 $(24,160)$,又回归直线方程 $\at{y}=-3.1 x+\hat{a}$ 经过样本中心点 $(ar{x}, ar{y})$,所以 $160=-3.1 	imes 24+\hat{a}$, 解得 $\hat{a}=234.4$,所以回归直线方程为 $\hat{y}=-3.1 x+234.4$,把 $x=18$ 代入回归直线方程可得 $\hat{y}=178.6$,故样本在 $(18,180)$ 处的残差为 $180-178.6=1.4$, 故选 B.
题目（高三 · 计数）：若集合 $E=\{(p, q, r, s) \mid 0 \leq p<s \leq 4,0 \leq q<s \leq 4,0 \leq r<s \leq 4$ 且 $p, q, r, s$ $\in \mathbb{N}\}, F=\{(t, u, v, w) \mid 0 \leq t<u \leq 4,0 \leq v<w \leq 4$ 且 $t, u, v, w \in \mathbf{N}\}$, 用

$\operatorname{card}(X)$ 表示集合 $X$ 中的元素个数, 则 $\operatorname{card}(E)+\operatorname{card}(F)=（ ）$
选项：
A. 50 B. 100 C. 150 D. 200
答案：D
解析：答案:D

【解析】当 $s=4$ 时, $p, q, r$ 都是取 $0,1,2,3$ 中的一个，有 $4 \times 4 \times 4=64$ 种,

当 $s=3$ 时, $p, q, r$ 都是取 $0,1,2$ 中的一个, 有 $3 \times 3 \times 3=27$ 种,

当 $s=2$ 时, $p, q, r$ 都是取 0,1 中的一个, 有 $2 \times 2 \times 2=8$ 种,

当 $s=1$ 时, $p, q, r$ 都取 0 , 有 1 种,

所以 $\operatorname{card}(E)=64+27+8+1=100 ；$

当 $t=0$ 时, $u$ 取 $1,2,3,4$ 中的一个, 有 4 种,

当 $t=1$ 时, $u$ 取 $2 ， 3,4$ 中的一个, 有 3 种,

当 $t=2$ 时, $u$ 取 3,4 中的一个, 有 2 种,

当 $t=3$ 时, $u$ 取 4 , 有 1 种,

所以 $t 、 u$ 的取值有 $1+2+3+4=10$ 种,

同理, $v 、 w$ 的取值也有 10 种, 所以 $\operatorname{card}(F)=10 \times 10=100$,

所以 $\operatorname{card}(E)+\operatorname{card}(F)=100+100=200$, 故选 D
题目（高三 · 计数）：有 4 位教师在同一年级的 4 个班中各教一个班的数学, 在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有（）
选项：
A. 8 种 B. 9 种 C. 10 种D. 11 种
答案：B
解析：答案:B

【解析】设四位监考教师分别为 $A, B, C, D$, 所教班分别为 $a, b, c, d$

假设 $A$ 监考 $b$, 则余下三人监考剩下的三个班，共有 3 种不同方法,

同理 $A$ 监考 $c, d$ 时, 也分别有 3 种不同方法,由分类加法计数原理, 共有 $3+3+3=9$ (种)不同的监考方法, 故选 B.
题目（高三 · 计数）：如图所示的结构图中, “古典概型”的“上位”要素是 ( )


选项：
A. 试验 B. 随机事件

C. 概率统计定义

D. 概率的应用
答案：B
解析：根据结构图得：“古典概型”的“上位”要素为“随机事件”，本题选 B.
题目（高三 · 计数）：图 1 是某学习小组学生数学考试成绩的茎叶图, 1 号到 16 号的同学的成绩依次为 $A_{1}, A_{2}, \ldots, A_{16}$, 图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内的学生情况的程序框图, 那么该程序框图输出的结果是 ( )



$\begin{array}{llll}\text {
选项：
A. } 10 & \text { B. } 6 & \text { C. } 7 & \text { D. } 16\end{array}$
答案：A
解析：$A_{1}=76, i=1, i \leq 16$ 成立, $A_{1} \geq 90$ 不成立, $i=1+1=2$; $A_{2}=79, i=2, i \leq 16$ 成立, $A_{2} \geq 90$ 不成立, $i=2+1=3$;L;$A_{7}=92, i=7, i \leq 16$ 成立, $A_{7} \geq 90$ 成立, $n=0+1=1, i=7+1=8$L ,依此类推, 上述程序框图是统计成绩不低于 90 分的学生人数, 从茎叶图中可知, 不低于90 分的学生数为 10 , 故选 A.
题目（高三 · 计数）：分形几何是美籍法国数学家芒德勃罗在 20 世纪 70 年代创立的一门数学新分支,其中的“谢尔宾斯基”图形的作法为: 第一次操作是先作一个正三角形, 挖去一个“中心三角形” (即以原三角形各边的中点为顶点的三角形) ; 第二次操作是在剩下的每个小正三角形中又挖去一个“中心三角形”; 第三次操作是......按上述方法无限连续地作下去直到无穷, 最终所得的极限图形称为“谢尔宾斯基”图形 (如图所示), 按上述操作 6 次后, “谢尔宾斯基”图形中的小三角形的个数为（）



$\begin{array}{llll}\text {
选项：
A. } 3^{4} & \text { B. } 3^{5} & \text { C. } 3^{6} & \text { D. } 3^{7}\end{array}$
答案：C
解析：答案:C

【解析】根据题意, 第一次: 得到 $3=3^{1}$ 个;

第二次: 在 3 个里面各又挖去一个“中心三角形”, 在原来的 3 个上, 每个多了 3 个, 有 $3 \times 3=3^{2}$ 个,故第 6 次有 $3^{6}$ 个, 故选 C.
题目（高三 · 计数）：已知随机变量 $\xi \sim N\left(3,2^{2}\right)$, 若 $\xi=2 \eta+3$, 则 $D(\eta)$ 等于 ( )
选项：
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
答案：B
解析：答案:B

【解析】 $\because \xi=2 \eta+3, \therefore D \xi=4 D \eta$, 又 $D \xi=4, \therefore D \eta=1$, 故选 B
题目（高三 · 计数）：国际羽毛球比赛规则从 2006 年 5 月开始, 正式决定实行 21 分的比赛规则和每球得分制, 并且每次得分者发球, 所有单项的每局获胜分至少是 21 分, 最高不超过 30 分, 即先到 21 分的获胜一方赢得该局比赛, 如果双方比分为 $20: 20$ 时, 获胜的一方需超过对方 2 分才算取胜, 直至双方比分打成 $29: 29$ 时, 那么先到第 30 分的一方获胜. 在一局比赛中, 甲发球赢球的概率为 $\frac{1}{2}$, 甲接发球贏球的概率为 $\frac{3}{5}$,则在比分为 $20: 20$ ，且甲发球的情况下，甲以 $23: 21$ 赢下比赛的概率为（）
选项：
A. $\frac{1}{8} \quad$ B. $\frac{3}{20} \quad$ C. $\frac{9}{50}$ D. $\frac{7}{20}$

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答案：B
解析：答案:B

【解析】设双方 20: 20 平后的第 $k$ 个球甲获胜为事件 $A_{k}(k=1 ， 2 ， 3 ， \ldots)$,

则 $P($ 甲以 $23: 21$ 赢 $)=P\left(\bar{A} A_{2} A_{3} A_{4}\right)+P\left(A_{1} \bar{A}_{2} A_{3} A_{4}\right)$

$=P\left(\bar{A}_{1}\right) P\left(A_{2}\right) P\left(A_{3}\right) P\left(A_{4}\right)+P\left(A_{1}\right) P\left(\overline{A_{2}}\right) P\left(A_{3}\right) P\left(A_{4}\right)$
$=\left(\frac{1}{2} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{2}\right)=\frac{3}{20}$.
题目（高三 · 计数）：有甲、乙两个盒子, 甲盒子里有 1 个红球, 乙盒子里有 3 个红球和 3 个黑球,现从乙盒子里随机取出 $n\left(1 \leq n \leq 6, n \in \mathrm{N}^{*}\right)$ 个球放入甲盒子后, 再从甲盒子里随机取一球, 记取到的红球个数为 $\xi$ 个, 则随着 $n\left(1 \leq n \leq 6, n \in \mathrm{N}^{*}\right)$ 的增加, 下列说法正确的是 ( )
选项：
A. $E \xi$ 增加, $D \xi$ 增加
B. $E \xi$ 增加, $D \xi$ 减小
C. $E \xi$ 减小, $D \xi$ 增加
D. $E \xi$ 减小, $D \xi$ 减小
答案：C
解析：答案:C

【解析】由题意可知, 从乙盒子里随机取出 $n$ 个球, 含有红球个数 $X$ 服从超几何分布, 即 $X \sim H(6,3, n)$,

其中 $P(X=k)=\frac{\mathrm{C}_{3}^{k} \mathrm{C}_{3}^{n-k}}{\mathrm{C}_{6}^{n}}$, 其中 $k \in \mathrm{N}, k \leq 3$ 且 $k \leq n, E X=\frac{3 n}{6}=\frac{n}{2}$.

故从甲盒中取球, 相当于从含有 $\frac{n}{2}+1$ 个红球的 $n+1$ 个球中取一球, 取到红球个数为 $\xi$,

故 $P(\xi=1)=\frac{\frac{n}{2}+1}{n+1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2 n+2}$,



$D \xi=1-P(\xi=1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2 n+2}$, 随着 $n$ 的增大, $D \xi$ 增大,

故选 C.


13.答案:11

【解析】设需要至少布置 $n$ 门高炮,

$\because$ 某种高炮在它控制的区域内击中敌机的概率为 $0 \cdot 2$,

要使敌机一旦进入这个区域后有
题目（高三 · 计数）：在某次联考数学测试中, 学生成绩 $\xi$ 服从正态分布 $\left(100, \sigma^{2}\right)(\sigma>0)$, 若 $\xi$ 在

$(80,120)$ 内的概率为 $0 \cdot 8$, 则任意选取一名学生, 该生成绩不高于 80 的概率为 ( )
选项：
A. $0 \cdot 05$ B. $0 \cdot 1$ C. $0 \cdot 15$ D. $0 \cdot 2$
答案：B
解析：答案:B

【解析】 $P(X \leq 80)=P(X \geq 120)=\frac{1-P(80<X<120)}{2}=
题目（高三 · 计数）：已知随机变量 $X$ 的分布列为

| $X$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\frac{1}{12}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{12}$ | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{12}$ |

若 $P\left(X^{2}<x\right)=\frac{11}{12}$, 则实数 $x$ 的取值范围是 ( )
选项：
A. $4 \leq x \leq 9$
B. $4<x \leq 9$
C. $4 \leq x<9$
D. $4<x<9$
答案：B
解析：由随机变量 $X$ 的分布列知, $X^{2}$ 的可能取值为 $0,1,4,9$, $P\left(X^{2}=0ight)=P(X=0)=rac{1}{3}$,$P\left(X^{2}=1ight)=P(X=-1)+P(X=1)=rac{1}{4}+rac{1}{12}=rac{1}{3}$, $P\left(X^{2}=4ight)=P(X=-2)+P(X=2)=rac{1}{12}+rac{1}{6}=rac{1}{4}$,$P\left(X^{2}=9ight)=P(X=3)=rac{1}{12}$,因为 $P\left(X^{2}<xight)=rac{11}{12}=rac{1}{3}+rac{1}{3}+rac{1}{4}$, 所以实数 $x$ 的取值范围是 $4<x \leq 9$, 故选 B.
题目（高三 · 计数）：某校组织由 5 名学生参加的演讲比赛, 采用抽签法决定演讲顺序, 在“学生甲和乙都不是第一个出场, 甲不是最后一个出场”的前提下, 学生丙第一个出场的概率为 ( )
选项：
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{5}$
D. $\frac{1}{2}$
答案：A
解析：答案:A【解析】由题意得学生甲和乙都不是第一个出场, 甲不是最后一个出场的概率 $P_{1}=\frac{C_{3}^{1} C_{3}^{1} A_{3}^{3}}{A_{5}^{5}}=\frac{9}{20}$, 其

中学生丙第一个出场的概率 $P_{2}=\frac{C_{3}^{1} A_{3}^{3}}{A_{5}^{5}}=\frac{3}{20}$,

所以所求概率为 $P=\frac{P_{2}}{P_{1}}=\frac{1}{3}$, 故选 A.
题目（高三 · 计数）：已知随机变量 $\xi$ 的取值为 $i(i=0,1,2)$. 若 $P(\xi=0)=\frac{1}{5}, E(\xi)=1$, 则 ( )
选项：
A. $P(\xi=1)<D(\xi)$
B. $P(\xi=1)=D(\xi)$

C. $P(\xi=1)>D(\xi)$
D. $P(\xi=1)=\frac{1}{5} D(\xi)$
答案：C
解析：答案:C

【解析】设 $P(\xi=1)=x$, 则 $P(\xi=2)=\frac{4}{5}-x$ ，

则 $E(\xi)=\frac{1}{5} \times 0+x \times 1+\left(\frac{4}{5}-x\right) \times 2=\frac{8}{5}-x=1$, 解得 $P(\xi=1)=\frac{3}{5}, P(\xi=2)=\frac{1}{5}$,

则 $D(\xi)=\frac{1}{5} \times(0-1)^{2}+\frac{3}{5} \times(1-1)^{2}+\frac{1}{5} \times(2-1)^{2}=\frac{2}{5}$ ，

故 $P(\xi=1)>D(\xi)$, 故选 C.
题目（高三 · 计数）：设 $0<a<1$, 则随机变量 $X$ 的分布列是:

| $X$ | 0 | $a$ | 1 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| $p$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{3}$ |

则当 $a$ 在 $(0,1)$ 内增大时 $(\quad)$
选项：
A. $D(X)$ 增大
B. $D(X)$ 减小
C. $D(X)$ 先增大后减小
D. $D(X)$ 先减小后增大
答案：D
解析：答案:D

【解析】由分布列得 $E(X)=\frac{1+a}{3}$ ，

则 $D(X)=\left(\frac{1+a}{3}-0\right)^{2} \times \frac{1}{3}+\left(\frac{1+a}{3}-a\right)^{2} \times \frac{1}{3}+\left(\frac{1+a}{3}-1\right)^{2} \times \frac{1}{3}$

$=\frac{2}{9}\left(a-\frac{1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{6}$

则当 $a$ 在 $(0,1)$ 内增大时, $D(X)$ 先减小后增大，故选 $\mathrm{D}$.
题目（高三 · 计数）：设 $X \sim N\left(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}\right), Y \sim N\left(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}\right)$, 这两个正态分布密度曲线如图所示,下列结论中正确的是 ( )


选项：
A.

$P\left(Y \geq \mu_{2}\right) \geq P\left(Y \geq \mu_{1}\right)$
B. $P\left(X \leq \sigma_{2}\right) \leq P\left(X \leq \sigma_{1}\right)$

C. 对任意正数 $t, P(X \geq t) \geq P(Y \geq t)$

D. 对任意正数 $t, P(X \leq t) \geq P(Y \leq t)$
答案：D
解析：答案:D

【解析】A 项, 由正态分布密度曲线可知, ${ }^{x=\mu_{2}}$ 为 $Y$ 曲线的对称轴, $\mu_{1}<\mu_{2}$,

所以 $P\left(Y \geq \mu_{2}\right)=\frac{1}{2}<P\left(Y \geq \mu_{1}\right)$, 故 A 错;

B 项, 由正态分布密度曲线可知, $0<\sigma_{1}<\sigma_{2}$, 所以 $P\left(X \leq \sigma_{2}\right)>P\left(X \leq \sigma_{1}\right)$, 故 B 错;

$\mathrm{C}$ 项, 对任意正数 $t, P(X>t)<P(Y>t)$, 即有 $P(X \geq t)<P(Y \geq t)$, 故 $\mathrm{C}$ 错;

$\mathrm{D}$ 项, 对任意正数 $t, P(X>t)<P(Y>t)$, 因此有 $P(X \leq t) \geq P(Y \leq t)$

故 D 项正确,

故选 D
题目（高三 · 计数）：为了研究国民收入在国民之间的分配, 避免贫富过分悬殊, 美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线, 如图所示: 劳伦茨曲线为直线 $O L$ 时, 表示收入完全平等, 劳伦茨曲线为折线 $O K L$ 时,表示收入完全不平等记区域 $A$ 为不平等区域, $\mathrm{a}$ 表示其面积, $\mathrm{s}$ 为 $\triangle O K L$ 的面积. 将 $G i n i=\frac{a}{S}$,称为基尼系数. 对于下列说法:



(1) Gimi越小, 则国民分配越公平; (2)设劳伦茨曲线对应的函数为 $y=f(x)$, 则对 $\forall x \in(0,1)$, 均
有 $\frac{f(x)}{x}>1$; (3)若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 $y=x^{2}\left(x \in[0,1)\right.$, , 则 $G i n i=\frac{1}{4}$;
(4)若某国家某年的劳伦茨曲线近似为 $y=x^{3}\left(x \in[0,1)\right.$, 则 Gini $=\frac{1}{2}$. $\frac{1}{2}$.其中不正确的是:
选项：
A. (1)(4)
B. (2)(3)
C. (1)(3) 4
D. (1)(2)(4)
答案：B
解析：答案: B

【解析】 依题意当 $\mathrm{a}$ 越小时, $\quad G i n i=\frac{a}{S}$ 越小, 则国民分配越公平, 故(1)正确;

当收入完全平等时, 劳伦茨曲线为直线 $O L$, 此时 $\frac{f(x)}{x}=1$, 故(2)错误;

当劳伦茨曲线近似为 $y=x^{2}\left(x \in[0,11)\right.$ 时, $a=\int_{0}^{1}\left(x-x^{2}\right) d x=\left.\left(\frac{1}{2} x^{2}-\frac{1}{3} x^{3}\right)\right|_{0} ^{1}=\frac{1}{6}$,

$S_{\lrcorner O K L}=\frac{1}{2} \times 1 \times 1=\frac{1}{2}$, 所以 $G i n i=\frac{a}{S}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$, 故(3)错误;

当劳伦茨曲线近似为 $y=x^{3}\left(x \in[0,1]\right.$ 时, $\quad a=\int_{0}^{1}\left(x-x^{3}\right) d x=\left.\left(\frac{1}{2} x^{2}-\frac{1}{4} x^{4}\right)\right|_{0} ^{1}=\frac{1}{4}$, $S_{\lrcorner O K L}=\frac{1}{2} \times 1 \times 1=\frac{1}{2}$, 所以 $G i n i=\frac{a}{S}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}$, 故(4)正确;故答案为: B

【分析】依题意, 利用微积分基本定理求出 $\mathrm{a}$ 的面积, 即可判断.
题目（高三 · 计数）：设集合 $A=\{x \in \mathbf{R} \mid x-2>0\}, B=\{x \in \mathbf{R} \mid x<0\}, C=\{x \in \mathbf{R} \mid x(x-4)>0\}$, 则 “ $x \in A \cup B$ ” 是 “ $x \in C$ ” 的 ( )
选项：
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案：B
题目（高三 · 统计数学）：一只小虫从数轴上的原点出发爬行, 若一次爬行过程中, 小虫等概率地向前或向后爬行 1 个单位, 设爬行 $n$ 次后小虫所在位置对应的数为随机变量 $\xi_{n}$, 则下列说法错误的是 ( )
选项：
A. $E\left(\xi_{M}\right)=0$
B. $D\left(\xi_{n}\right)=n$
C. $P\left(\xi_{2020}=0\right)<P\left(\xi_{200}=2\right)$
D. $P\left(\xi_{0200}=0\right)<P\left(\xi_{2018}=0\right)$
答案：C
解析：答案:C

【解析】由题意知: 设爬行 $n$ 次后小虫所在位置对应的数为随机变量 $\xi_{n} \in[-n, n]$, 且小虫向前或向后爬行 1 个单位的概率均为,

$\therefore$ 爬行 $n$ 次后小虫一共向前爬行 $r$ 次, 则向后爬行 $n-r$ 次,

有 $\xi_{n}=r+[-(n-r)]=2 r-n$,

故 $P\left(\xi_{n}=2 r-n\right)=C_{n}^{r}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$, 则 $E\left(\xi_{n}\right)=\sum_{\gamma\lrcorner 0}^{n} \frac{C_{n}^{\gamma}(2 r-n)}{2^{n}}=0$,

$D\left(\xi_{n}\right)=E\left(\xi_{n}^{2}\right)-E\left(\xi_{n}\right)^{2}=E\left(\xi_{n}^{2}\right)=\sum_{\gamma=0}^{n} \frac{C_{n}^{\gamma}(2 r-n)^{2}}{2^{n}}=n$, 故 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 正确;

$P\left(\xi_{2000}=0\right)=\mathrm{C}_{2010}^{1010}\left(\frac{1}{2}\right)^{2020}, P\left(\xi_{2020}=2\right)=\mathrm{C}_{200}^{1011}\left(\frac{1}{2}\right)^{2020}$, 即 $\frac{P\left(\xi_{2020}=0\right)}{P\left(\xi_{2020}=2\right)}=\frac{1011}{1010}>1$, 有

$P\left(\xi_{120}=0\right)>P\left(\xi_{2020}=2\right)$, 故 $\mathrm{C}$ 错误;

$P\left(\xi_{2018}=0\right)=\mathrm{C}_{2018}^{1009}\left(\frac{1}{2}\right)^{2018}$, 即 $\frac{P\left(\xi_{2020}=0\right)}{P\left(\xi_{2018}=0\right)}=\frac{4038}{4040}<1$,

有 $P\left(\xi_{2120}=0\right)<P\left(\xi_{2018}=0\right)$, 故 D 正确,

故选 C.
题目（高三 · 统计数学）：将两颗敏子各掷一次, 设事件 $A=$ “两个点数都不相同”, $B=$ “至少出现一个 5 点”, 则概率 $P(A \mid B)=(\quad)$

$\begin{array}{llll}\text {
选项：
A. } \frac{10}{11} & \text { B. } \frac{5}{11} & \text { C. } \frac{5}{18} & \text { D. } \frac{5}{36}\end{array}$
答案：A
解析：根据条件概率的含义, $P(A \mid B)$ 其含义为在 $B$ 发生的情况下, $A$ 发生的概率,即在“至少出现一个 5 点”的情况下，“两个点数都不相同”的概率，“至少出现一个 5 点”的情况数目为 $6 	imes 6-5 	imes 5=11$,“两个点数都不相同”则只有一个 5 点, 共 $\mathrm{C}_{2}^{1} 	imes 5=10$ 种,故 $P(A \mid B)=rac{10}{11}$, 故选 $\mathrm{A}$.
题目（高三 · 统计数学）：设随机变量 $\xi$ 的分布列为 $P\left(\xi=\frac{k}{5}\right)=a k(k=1,2,3,4,5)$, 则 ( )
选项：
A. $15 a=1$
B. $P(
答案：ABC
解析：答案: $A, B, C$

【解析】 $\because$ 随机变量 $\xi$ 的分布列为 $P\left(\xi=\frac{k}{5}\right)=a k(k=1,2,3,4,5)$,

$\therefore P\left(\xi=\frac{1}{5}\right)+P\left(\xi=\frac{2}{5}\right)+P\left(\xi=\frac{3}{5}\right)+P\left(\xi=\frac{4}{5}\right)+P(\xi=1)$



$\therefore P(0.5<\xi<0.8)=P\left(\xi=\frac{3}{5}\right)=3 \times \frac{1}{15}=0.2$, B 符合题意;

$\therefore P(0.1<\xi<0.5)=P\left(\xi=\frac{1}{5}\right)+P\left(\xi=\frac{2}{5}\right)=\frac{1}{15}+2 \times \frac{1}{15}=0.2$, C 符合题意;

$\therefore P(\xi=1)=5 \times \frac{1}{15}=\frac{1}{3} \neq 0.3$, D 不符合题意.

故答案为: $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B} 、 \mathrm{C}$.

14.答案: $A, C$

【解析】 数学成绩 $X$ 服从正态分布 $\mathrm{N}(100,100)$, 则数学成绩的期望为 100 , 数学成绩的标准差为 10 , $\mathrm{A}$ 符合题意 $\mathrm{B}$ 不符合题意;

及格率为 $p_{1}=1-\frac{1-P(100-10<\zeta<100+10)}{2}=
题目（高三 · 统计数学）：设服从二项分布 $B(n, p)$ 的随机变量 $\mathrm{X}$ 的期望与方差分别是 10 和 8 , 则 $n, p$ 的值分别是（）
选项：
A. ${ }^{50, \frac{1}{5}}$
B. ${ }^{60, \frac{1}{5}}$
C. ${ }^{50,} \frac{4}{5}$
D. ${ }^{60,} \frac{4}{5}$
答案：A
解析：答案: A

【解析】 题意可得 $\left\{\begin{array}{l}n p=10, \\ n p(1-p)=8 \text {, 解得 }\end{array}\left\{\begin{array}{l}n=50 \\ p=\frac{1}{5}\end{array}\right.\right.$.

故答案为: A
题目（高三 · 统计数学）：一个不透明的袋中装有 6 个白球, 4 个红球球除颜色外, 无任何差异. 从袋中往外取球, 每次任取 1 个, 取出后记下颜色不放回, 若为红色则停止, 若为白色则继续抽取, 停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量 $X$, 则 $P(X \leq 2 \sqrt{2})=(\quad)$
选项：
A. $\frac{\sqrt{2}}{3}$
B. $\frac{5}{12}$
C. $\frac{5}{6}$
D. $\frac{5}{18}$
答案：C
解析：答案: C

【解析】 $X=k$ 表示前 $\mathrm{k}$ 个球为白球, 第 $k+1$ 个球为红球,

$P(X=0)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$,

$P(X=1)=\frac{6 \times 4}{10 \times 9}=\frac{4}{15}$,

$P(X=2)=\frac{A_{6}^{2} A_{4}^{1}}{A_{10}^{3}}=\frac{1}{6}$,
所以 $P(X \leq 2 \sqrt{2})=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=\frac{2}{5}+\frac{4}{15}+\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$,

故答案为: C.
题目（高三 · 统计数学）：已知随机变量 $\xi$ 服从二项分布 $\xi \sim B\left(4, \frac{1}{3}\right)$, 则 $P(\xi=3)=(\quad)$
选项：
A. $\frac{32}{81}$
B. $\frac{16}{81}$
C. $\frac{24}{81}$
D. $\frac{8}{81}$
答案：D
解析：答案: $\mathrm{D}$



则 $P(\xi=3)=C_{4}^{3} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{3} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{1}=4 \times \frac{2}{81}=\frac{8}{81}$,

故答案为: D.

2.答案: A

【解析】根据题意：

$$
p=\frac{C_{5}^{1} C_{5}^{2}}{C_{10}^{5}}=\frac{50}{120}=\frac{5}{12}
$$

故答案为: A.
题目（高三 · 统计数学）：一个袋中装有大小相同的 3 个白球和 3 个黑球, 若不放回地依次取两个球, 设事件 A 为“第一次取出白球”, 事件 $\mathrm{B}$ 为“第二次取出黑球”, 则概率 $P(B \mid A)=(\quad)$
选项：
A. $\frac{5}{6}$
B. $\frac{3}{5}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{2}{5}$
答案：B
解析：答案: B

【解析】，设事件 A 为“第一次取出白球”，事件 B 为“第二次取出黑球”,

$P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}, P(A B)=\frac{3}{6} \times \frac{3}{5}=\frac{3}{10}$,

第一次取出白球的前提下, 第二次取出黑球的概率为:

$P(B \mid A)=\frac{P(A B)}{P(A)}=\frac{3}{5}$.

故答案为: $\mathrm{B}$
题目（高三 · 统计数学）：从 1，2，3，4，5，6，7，8，9 中不放回地依次取 2 个数, 事件 A 为“第一次取到的是奇数”, $\mathrm{B}$ 为 “第二次取到的是 3 的整数倍”, 则 $P(B \mid A)=（ ）$
选项：
A. $\frac{3}{8}$
B. $\frac{13}{40}$
.C. $\frac{13}{45}$
D. $\frac{3}{4}$
答案：B
解析：答案: B

【解析】 由题意 $P(A)=\frac{5}{9}$,

事件 $A \cap B$ 为“第一次取到的是奇数且第二次取到的是 3 的整数倍”:

若第一次取到的为 3 或 9 ,第二次有 2 种情况;

若第一次取到的为 $1,5,7$, 第二次有 3 种情况,

故共有 $2 \times 2+3 \times 3=13$ 个事件

$P(A \cap B)=\frac{13}{9 \times 8}=\frac{13}{72}$

由条件概率的定义:

$$
P(B \mid A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=\frac{13}{40}
$$

故答案为: B