eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高一 · 解析几何）：已知直线 $y=k x+2 k+1$ 与直线 $y=-x+2$ 的交点位于第一象限, 则实数 $k$ 的取值范围是 ( )
选项：
A. $\left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$
B. $\left[-\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$
C. $\left[-\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right]$
D. $\left(-\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right]$
答案：A
解析：直线 $y=-x+2$ 与两坐标轴的交点为 $A(0,2) 、 B(2,0)$, 直线 $y=k x+2 k+1$ 恒过定点 $P(-2,1)$, 要使两直线的交点位于第一象限, 只需实数 $k$ 满足: $k_{P B}<k<k_{P A}$, 即 $-\frac{1}{4}<k<\frac{1}{2}$.
题目（高一 · 解析几何）：过两直线 $3 x+y-1=0$ 与 $x+2 y-7=0$ 的交点, 并且与第一条直线垂直的直线方程是 ( )
选项：
A. $x-3 y+7=0$
B. $x-3 y+13=0$
C. $x-3 y+6=0$
D. $x-3 y+5=0$
答案：B
解析：直线 $3 x+y-1=0$ 与 $x+2 y-7=0$ 的交点为 $(-1,4)$, 与 $3 x+y-1=0$ 垂直, 得斜率为 $\frac{1}{3}$, 由点斜式,得 $y-4=\frac{1}{3}(x+1)$, 即 $x-3 y+13=0$, 故选 B.
题目（高一 · 解析几何）：已知直线 $m x+4 y-2=0$ 与 $2 x-5 y+n=0$ 互相垂直, 垂足坐标为 $(1, p)$, 则 $m-n+p$ 为 ( )
选项：
A. 24
B. 20
C. 0
D. -4
答案：B
解析：两直线互相垂直, $-\frac{m}{4} \times \frac{2}{5}=-1, m=10$,

又垂足坐标为 $(1, p)$, 代入直线 $10 x+4 y-2=0$,

得 $p=-2$,将 $(1,-2$ ) 代入直线 $2 x-5 y+n=0$, 得 $n=-12$,所以 $m-n+p=20$, 故选 B.
题目（高一 · 解析几何）：已知 $\triangle A B C$ 的三个顶点是 $A(-a, 0) 、 B(a, 0)$ 和 $C\left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} a\right)$, 则 $\triangle A B C$ 的形状是 ( )
选项：
等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 斜三角形
答案：C
解析：$\because|A B|=2|a|$,

$|A C|=\sqrt{\left(\frac{a}{2}+a\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2} a-0\right)^{2}}=\sqrt{3}|a|$,

$|B C|=\sqrt{\left(\frac{a}{2}-a\right)^{2}+\left(\frac{\sqrt{3}}{2} a-0\right)^{2}}=|a|$,

$\therefore|A B|^{2}=|A C|^{2}+|B C|^{2}$,

$\therefore \triangle A B C$ 为直角三角形.
题目（高一 · 解析几何）：直线 $x+y-1=0$ 上与点 $P(-2,3)$ 的距离等于 $\sqrt{2}$ 的点的坐标是 $(\quad)$
选项：
A. $(-4,5)$
B. $(-3,4)$
C. $(-3,4)$ 或 $(-1,2)$
D. $(-4,5)$ 或 $(0,1)$
答案：C
解析：求点的坐标为 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$, 有

$x_{0}+y_{0}-1=0$, 且 $\sqrt{\left(x_{0}+2\right)^{2}+\left(y_{0}-3\right)^{2}}=\sqrt{2}$,

两式联立解得 $\left\{\begin{array}{l}x_{0}=-3, \\ y_{0}=4\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x_{0}=-1, \\ y_{0}=2 .\end{array}\right.$ 故选 C.
题目（高一 · 解析几何）：圆 $(x-3)^{2}+(y+2)^{2}=1$ 与圆 $x^{2}+y^{2}-14 x-2 y+14=0$ 的位置关系是 $(\quad)$
选项：
A. 外切
B. 内切
C. 相交
D. 相离
答案：B
解析：圆 $x^{2}+y^{2}-14 x-2 y+14=0$ 变形为 $(x-7)^{2}+(y-1)^{2}=36$, 圆心坐标为 $(7,1)$, 半径为 $r_{1}=6$, 圆 $(x-3)^{2}$ $+(y+2)^{2}=1$ 的圆心坐标为 $(3,-2)$, 半径为 $r_{2}=1$, 所以圆心距 $d=\sqrt{(7-3)^{2}+[1-(-2)]^{2}}=5=6-1=r_{1}-$ $r_{2}$, 所以两圆内切。
题目（高一 · 解析几何）：已知圆 $C_{1}: x^{2}+y^{2}+2 x+8 y-8=0$ 与圆 $C_{2}: x^{2}+y^{2}-4 x-4 y-2=0$ 相交, 则圆 $C_{1}$ 与圆 $C_{2}$ 的公共弦所在直线的方程为 ( )
选项：
A. $x+2 y+1=0$
B. $x+2 y-1=0$
C. $x-2 y+1=0$
D. $x-2 y-1=0$
答案：B
解析：两个圆的方程相减, 得 $x+2 y-1=0$. 故选 $\mathrm{B}$.
题目（高一 · 解析几何）：若圆 $C_{1}:(x+2)^{2}+(y-m)^{2}=9$ 与圆 $C_{2}:(x-m)^{2}+(y+1)^{2}=4$ 外切, 则 $m$ 的值为 $(\quad)$
选项：
A. 2
B. -5
C. 2 或一 5
D. 不确定
答案：C
解析：两圆的圆心坐标分别为 $(-2, m),(m,-1)$,

两圆的半径分别为 3,2 ,

由题意得 $\sqrt{(m+2)^{2}+(-1-m)^{2}}=3+2$,

解得 $m=2$ 或一 5 .
题目（高一 · 解析几何）：设 $r>0$, 圆 $(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=r^{2}$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=16$ 的位置关系不可能是 $(\quad)$
选项：
A. 相切
B. 相交
C. 内切或内含
D. 外切或相离
答案：D
解析：两圆的圆心距为 $d=\sqrt{(1-0)^{2}+(-3-0)^{2}}=\sqrt{10}$,

两圆的半径之和为 $r+4$,

因为 $\sqrt{10}<r+4$,

所以两圆不可能外切或相离, 故选 D.
题目（高一 · 解析几何）：若圆 $x^{2}+y^{2}=r^{2}$ 与圆 $x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+4=0$ 有公共点, 则 $r$ 满足的条件是 $(\quad)$
选项：
A. $r<\sqrt{5}+1$
B. $r>\sqrt{5}+1$
C. $|r-\sqrt{5}| \leqslant 1$
D. $|r-\sqrt{5}|<1$
答案：C
解析：由 $x^{2}+y^{2}+2 x-4 y+4=0$, 得

$(x+1)^{2}+(y-2)^{2}=1$,

两圆圆心之间的距离为 $\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$.

$\because$ 两圆有公共点,

$\therefore|r-1| \leqslant \sqrt{5} \leqslant r+1$,

$\therefore \sqrt{5}-1 \leqslant r \leqslant \sqrt{5}+1$,

即 $-1 \leqslant r-\sqrt{5} \leqslant 1, \therefore|r-\sqrt{5}| \leqslant 1$.
题目（高一 · 解析几何）：设两圆 $C_{1}, C_{2}$ 都和两坐标轴相切, 且都过点 $(4,1)$, 则两圆心的距离 $\left|C_{1} C_{2}\right|$ 等于 $(\quad)$
选项：
A. 4
B. $4 \sqrt{2}$
C. 8
D. $8 \sqrt{2}$
答案：C
解析：because$ 两圆与两坐标轴都相切, 且都经过点 $(4,1)$,

$\therefore$ 两圆圆心均在第一象限且每个圆心的横、纵坐标相等。

设两圆的圆心坐标分别为 $(a, a),(b, b)$,

则有 $(4-a)^{2}+(1-a)^{2}=a^{2},(4-b)^{2}+(1-b)^{2}=b^{2}$,

即 $a, b$ 为方程 $(4-x)^{2}+(1-x)^{2}=x^{2}$ 的两个根,

整理得 $x^{2}-10 x+17=0$,

$\therefore a+b=10, a b=17$.

$\therefore(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4 a b=100-4 \times 17=32$,

$\therefore\left|C_{1} C_{2}\right|=\sqrt{(a-b)^{2}+(a-b)^{2}}=\sqrt{32 \times 2}=8$.
题目（高一 · 解析几何）：已知 $x^{2}+y^{2}-4 x-2 y+5=0$, 则 $\log _{x}\left(y^{x}\right)$ 的值是( )
选项：
A. 1
B. 0
C. $x$
D. $y$
答案：B
解析：由 $x^{2}+y^{2}-4 x-2 y+5=0$, 则 $(x-2)^{2}+(y-1)^{2}=0$,

$\therefore x=2, y=1 ; \log _{x}\left(y^{x}\right)=\log _{2}\left(1^{2}\right)=0$.
题目（高一 · 解析几何）：平面 $\alpha$ 内有不共线的三点到平面 $\beta$ 的距离相等且不为零, 则 $\alpha$ 与 $\beta$ 的位置关系为 ( )
选项：
A. 平行
B. 相交
C. 平行或相交
D. 可能重合
答案：C
解析：若三点分布于平面 $\beta$ 的同侧, 则 $\alpha$ 与 $\beta$ 平行，若三点分布于平面 $\beta$ 的两侧，则 $\alpha$ 与 $\beta$ 相交.
题目（高一 · 解析几何）：已知 $a, b$ 是两条相交直线, $a / / \alpha$, 则 $b$ 与 $\alpha$ 的位置关系是 ( )
选项：
$b / / \alpha$

B. $b$ 与 $\alpha$ 相交

C. $b \subset \alpha$

D. $b / / \alpha$ 或 $b$ 与 $\alpha$ 相交
答案：D
解析：由题意画出图形, 当 $a, b$ 所在平面与平面 $\alpha$ 平行时, $b$ 与平面 $\alpha$ 平行, 当 $a, b$ 所在平面与平面 $\alpha$ 相交时, $b$ 与平面 $\alpha$ 相交.
题目（高一 · 解析几何）：下列说法正确的是 ( )
选项：
A. 经过定点 $P_{0}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 的直线都可以用方程 $y-y_{0}=k\left(x-x_{0}\right)$ 表示

B. 经过定点 $A(0, b)$ 的直线都可以用方程 $y=k x+b$ 表示

C. 不经过原点的直线都可以用方程 $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ 表示

D. 经过任意两个不同的点 $P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)$ 的直线都可以用方程 $\left(y-y_{1}\right)\left(x_{2}-x_{1}\right)=\left(x-x_{1}\right)\left(y_{2}-y_{1}\right)$ 表示
答案：D
解析：斜率有可能不存在, 截距也有可能为 0 , 故选 D.
题目（高一 · 解析几何）：若直线 $l$ 的横截距与纵截距都是负数, 则( )
选项：
A. $l$ 的倾斜角为锐角且不过第二象限

B. $l$ 的倾斜角为钝角且不过第一象限

C. $l$ 的倾斜角为锐角且不过第四象限

D. $l$ 的倾斜角为针角且不过第三象限
答案：B
解析：依题意知, 直线 $l$ 的截距式方程为 $\frac{x}{-a}+\frac{y}{-b}=1(a>0, b>0)$, 显然直线 $l$ 只能过第二、三、四象限, 而不会过第一象限, 且倾斜角为钝角, 故选 B.
题目（高一 · 解析几何）：直线 $\frac{x}{a^{2}}-\frac{y}{b^{2}}=1$ 在 $y$ 轴上的截距是( )
选项：
A. $|b|$
B. $-b^{2}$
C. $b^{2}$
D. $\pm b$
答案：B
解析：令 $x=0$ 得, $y=-b^{2}$.
题目（高一 · 解析几何）：以 $A(1,3), B(-5,1)$ 为端点的线段的垂直平分线方程是 $(\quad)$
选项：
A. $3 x-y-8=0$
B. $3 x+y+4=0$

C. $3 x-y+6=0$
D. $3 x+y+2=0$
答案：B
解析：因为 $k_{A B}=\frac{1-3}{-5-1}=\frac{1}{3}$,

$A B$ 的中点坐标为 $(-2,2)$,

所以所求直线方程为 $y-2=-3(x+2)$,

化简为 $3 x+y+4=0$.
题目（高一 · 解析几何）：过点 $P(2,3)$, 并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 $(\quad)$
选项：
A. $x-y+1=0$

B. $x-y+1=0$ 或 $3 x-2 y=0$

C. $x+y-5=0$

D. $x+y-5=0$ 或 $3 x-2 y=0$
答案：B
解析：设直线方程为 $\frac{x}{a}+\frac{y}{-a}=1$ 或 $y=k x$,

将 $P(2,3)$ 代入求出 $a=-1$ 或 $k=\frac{3}{2}$.

所以所求的直线方程为 $x-y+1=0$ 或 $3 x-2 y=0$.
题目（高一 · 解析几何）：两条直线 $l_{1}: \frac{x}{a}-\frac{y}{b}=1$ 和 $l_{2}: \frac{x}{b}-\frac{y}{a}=1$ 在同一直角坐标系中的图象可以是( )
选项：
A.



B.



C.



D.


答案：A
解析：直线化为截距式分别为 $\frac{x}{a}+\frac{y}{-b}=1, \frac{x}{b}+\frac{y}{-a}=1$. 假定 $l_{1}$, 判断 $a, b$, 确定 $l_{2}$ 的位置, 知 A 项符合.
题目（高一 · 组合几何学）：（2020 秋・秦安县校级期末）如图, 在正方形围栏内均匀撒米粒, 一只小鸡在其中随意啄食, 此刻小鸡正在正方形的内切圆中的概率是（）


选项：
A. $\frac{1}{4}$
B. $\frac{\pi}{4}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{\pi}{3}$
答案：B
解析：解：设正方形的边长为 $2 a$, 则其内切圆的半径为 $a$, $S_{\text {正方㱜 }}=4 a^{2}, S_{\text {濞 }}=\pi a^{2}$,

$\therefore$ 小鸡在正方形的内切圆中的概率是 $\frac{S_{\text {圆 }}}{S_{\text {正方形 }}}=\frac{\pi a^{2}}{4 a^{2}}=\frac{\pi}{4}$.

故选: $B$.
题目（高一 · 组合几何学）：（2021-七模拟）欧几里得是希腊论证几何学的集大成者, 在其所著的《几何原本》中命题 I.47:在直角三角形中以斜边为边的正方形面积等于以两直角边为边的正方形面积之和（两直角边的平方和等于斜边的平方）, 这其实就是大家熟知的勾股定理, 如图是《几何原本》中证明的图示,在 Rt $\triangle A B C$ 中, $A B=3, A C=4, B C=5$, 若在四边形 $A B D L$ 中任取一点, 则该点落在四边形 $B D L M$中的概率是 ( )


选项：
A. $\frac{5}{6}$
B. $\frac{25}{27}$
C. $\frac{25}{29}$
D. $\frac{25}{31}$
答案：D
解析：解：由题意得: $A M=\frac{12}{5}, B M=\frac{9}{5}$,

故 $A L=5+\frac{12}{5}=\frac{37}{5}$,

故四边形 $A B D L$ 的面积 $S_{1}=\frac{\left(5+\frac{37}{5}\right) \times \frac{9}{5}}{2}=\frac{279}{25}$,

四边形 $B D L M$ 的面积 $S_{2}=5 \times \frac{9}{5}=9$,

设该点落在四边形 $B D M L$ 中为事件 $A$,

则 $P(A)=\frac{9}{\frac{279}{25}}=\frac{25}{31}$,

故选: D.
题目（高一 · 组合几何学）：如图, 点 $\mathrm{E}$ 是正方形 $\mathrm{ABCD}$ 的边 $\mathrm{BC}$ 的中点, 在该正方形内随机取一点, 则它在阴影部分的概率为 ( )


选项：
A. $\frac{1}{6}$
B. $\frac{1}{5}$
C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{1}{3}$
答案：C
解析：由题易知, 该几何概型与面积有关, 设正方形边长为 $\mathrm{a}$, 则所求概率 $P=\frac{S_{\triangle A C E}}{S_{\text {正方形 } A B C D}}=\frac{\frac{1}{4} a^{2}}{a^{2}}=\frac{1}{4}$

答案: C
题目（高一 · 组合几何学）：如图, 在圆心角为直角的扇形 $O A B$ 中, 分别以 $O A, O B$ 为直径作两个半圆. 在扇形 $O A B$内随机取一点, 则此点取自阴影部分的概率是（）
选项：
A. $1-\frac{2}{\pi}$
B. $\frac{1}{2}-\frac{1}{\pi}$
C. $\frac{2}{\pi}$
D. $\frac{1}{\pi}$


答案：A
解析：设扇形的半径为 2 , 则其面积为 $\frac{\pi \times 2^{2}}{4}=\pi$. 阴影部分的面积可转化为扇形的面积减去 $\triangle A O B$ 的面积, 即阴影部分的面积为 $\pi-\frac{1}{2} \times 2 \times 2=\pi-2$. 因此任取一点, 此点取自阴影部分的概率为 $\frac{\pi-2}{\pi}=1-\frac{2}{\pi}$.

答案: A
题目（高一 · 组合几何学）：如图, 六边形 $A B C D E F$ 是圆的内接正六边形, 若在圆内任取一点, 则此点取自其内接正六边形内部的概率是（）


选项：
A. $\frac{3 \sqrt{3}}{2 \pi} \quad$ B. $\frac{\sqrt{3}}{\pi}$ C. $\frac{3}{2 \pi}$ D. $\frac{3}{2 \pi}$
答案：A
解析：设圆心为 $O$, 圆的半径为 1 ,

则正六边形的面积 $S=6 \times \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$, 圆的面积为 $\pi ，$

则对应的概率 $P=\frac{3 \sqrt{3}}{2 \pi}$, 故选 A.
题目（高一 · 组合几何学）：与同一平面平行的两条直线 ( )
选项：
A. 平行
B. 相交
C. 异面
D. 平行或相交或异面
答案：D
解析：如图:



故选 D.
题目（高一 · 组合几何学）：下面每个选项的 2 个边长为 1 的正 $\triangle A B C$ 的直观图不是全等三角形的一组是 $(\quad)$
选项：
A.



B.



C.



D.

答案：C
解析：可分别画出各组图形的直观图, 观察可得结论.
题目（高一 · 度量几何学）：(2020$\cdot$广州二模) 《周髀算经》中提出了 “方属地, 圆属天”, 也就是人们常说的 “天圆地方”. 我国古代铜钱的铸造也蕴含了这种 “外圆内方” “天地合一” 的哲学思想. 现将铜钱抽象成如图所示的图形, 其中圆的半径为 $r$, 正方形的边长为 $a(0<a<r)$, 若在圆内随机取点, 得到点取自阴影部分的概率是 $p$ ，则圆周率 $\pi$ 的值为（）


选项：
A. $\frac{a^{2}}{(1-p) r^{2}}$
B. $\frac{a^{2}}{(1+p) r^{2}}$
C. $\frac{a}{(1-p) r}$
D. $\frac{a}{(1+p) r}$
答案：A
解析：解：圆形钱币的半径为 $r \mathrm{~cm}$ ，面积为 $S$ 圆 $=\pi \cdot r^{2}$;
正方形边长为 $a c m$, 面积为 $S$ 正方形 $=a^{2}$.

在圆形内随机取一点, 此点取自黑色部分的概率是

$p=\frac{S_{\text {圆 }}-S_{\text {正方形 }}}{S_{\text {圆 }}}=1-\frac{a^{2}}{\pi r^{2}}$,

则 $\pi=\frac{a^{2}}{(1-p) r^{2}}$.

故选: A.
题目（高一 · 度量几何学）：图中的文物叫做“垂鳞纹圆並”, 是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器血, 其身流线自若、纹理分明, 展现了古代中国精湛的制造技术. 科研人员为了测量其容积, 以恒定的流速向其内注水, 恰好用时 30 秒注满,设注水过程中, 壶中水面高度为 $h$, 注水时间为 $t$, 则下面选项中最符合 $h$ 关于 $t$ 的函数图象的是 ( )


选项：
A.


B.


C.


D.


答案：A
解析：【分析】

根据並的结构即可得出选项.

## 【详解】

水壶的结构：低端与上端细、中间粗，

所以在注水恒定的情况下:

开始水的高度增加的快, 中间增加的慢, 最后水上升的速度又变快,

由图可知选项 A 符合,

故选: A
题目（高一 · 度量几何学）：如图所示, 如果下面程序中输人的 $r=\sqrt{2}, f(r)$ 是用来求圆内接正方形边长 $\mathrm{a}$ 的一个函数, 则输出的结果为



| INPUT " $\mathrm{r}={ }^{\prime \prime} ; \mathrm{r}$ |
| :--- |
| $\mathrm{a}=\mathrm{f}(\mathrm{r})$ |
| $S_{1}=3.14 * \mathrm{r} * \mathrm{r}$ |
| $S_{2}=\mathrm{a} * \mathrm{a}$ |
| $\mathrm{S}=S_{1}-S_{2}$ |
| PRINT " $\mathrm{S}=$ " $; \mathrm{S}$ |
| END |
选项：
A. 4
B. 6.28
C. 2.28
D. 3.14
答案：C
解析：由程序可知, $S$, 表示的是半径为 $r$ 的圆的面积, $S$, 表示的是边长为 $a$ 的正方形的面积, 由图可知该正方形是圆的内接正方形, 所以其边长 $a=2 r . S$ 表示圆的面积与正方形的面积之差, 即题图中阴影部分的面积 $S=S_{1}-S_{2}$. 由已知 $r=\sqrt{2}$, 得 $a=\sqrt{2} r=2$,所以 $S_{1}=3.14 \times(\sqrt{2})^{2}=6.28, S_{2}=a^{2}=2^{2}=4$ 故 $S=S_{1}-S_{2}=6.28-4=2.28$.

答案: C
题目（高一 · 度量几何学）：下列程序框图中表示已知直角三角形两直角边 $a, b$, 求斜边 $c$ 的算法的是 ( )
选项：
A.


B.

D.


答案：C
解析：画程序框图时, 应先输入 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$, 再计算 $\mathrm{c}=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$, 最后输出 $\mathrm{c}$.

答案:C
题目（高一 · 度量几何学）：在我国古代数学名著《数学九章》中有这样一个问题: “今有木长二丈四尺, 围之五尺. 葛生其下,缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长 2 丈 4 尺，圆周长为 5 尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长, 绕圆木两周, 刚好顶部与圆木平齐, 问葛藤最少长多少尺.” (注: 1 丈等于 10 尺),则这个问题中，葛藤长的最小值为
选项：
2 丈 4 尺
B. 2 丈 5 尺
C. 2 丈 6 尺
D. 2 丈 8 尺
答案：C
解析：【分析】

由题意, 圆柱的侧面展开图是矩形, 一条直角边 (即木棍的高) 长 24 尺, 另一条直角边长 $5 \times 2=10$ （尺）, 利用勾股定理, 可得结论.

## 【详解】

由题意, 圆柱的侧面展开图是矩形, 一条直角边 (即木棍的高) 长 24 尺, 另一条直角边长 $5 \times 2=10$

（尺），



因此葛藤长的最小值为 $\sqrt{24^{2}+10^{2}}=26$ (尺), 即为 2 丈 6 尺.

故选: C.

【点睛】
题目（高一 · 度量几何学）：已知正三角形 $A B C$ 的边长为 $a$, 那么 $\triangle A B C$ 的平面直观图 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的面积为 ( )
选项：
$\frac{\sqrt{3}}{4} \boldsymbol{a}^{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{8} \boldsymbol{a}^{2}$
C. $\frac{\sqrt{6}}{8} a^{2}$
D. $\frac{\sqrt{6}}{16} a^{2}$
答案：D
解析：【分析】

由斜二测画法画出正三角形 $A B C$ 的直观图 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$, 作直观图 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的底边 $A^{\prime} B^{\prime}$ 的高, 进而求高, 再由三角形的面积公式求得结果。

## 【详解】

如图(1)2所示的实际图形和直观图.


图(1)


图(2)

由斜二测画法可知, $A^{\prime} B^{\prime}=A B=a, O^{\prime} C^{\prime}=\frac{1}{2} O C=\frac{\sqrt{3}}{4} a$, 在图(2)中作 $C^{\prime} D^{\prime} \perp A^{\prime} B^{\prime}$ 于 $D^{\prime}$, 则 $C^{\prime} D^{\prime}=$ $\frac{\sqrt{2}}{2} O^{\prime} C^{\prime}=\frac{\sqrt{6}}{8} a$. 所以 $S_{\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}=\frac{1}{2} A^{\prime} B^{\prime} \cdot C^{\prime} D^{\prime}=\frac{1}{2} \times a \times \frac{\sqrt{6}}{8} a=\frac{\sqrt{6}}{16} a^{2}$.

故选: $D$.

## 【点睛】

本题考查几何体的直观图, 考查基本应用求解能力, 属于基础题。求几何图形的直观图的面积, 方法一, 根据斜二测画法, 作出直观图, 再求直观图的面积; 方法二, 直观图的面积与原平面图形的面积比为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ 。
题目（高一 · 度量几何学）：如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为 $45^{\circ}$, 腰和上底均为 1 的等腰梯形, 那么
原平面图形的面积是（ ）
选项：
$2+\sqrt{2}$
B. $\frac{1+\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{2+\sqrt{2}}{2}$
D. $1+\sqrt{2}$
答案：A
解析：【分析】

如图所示建立坐标系, 计算面积得到答案.

## 【详解】

如图所示建立坐标系,

根据题意: 图 2 中 $O A B C$ 为直角梯形, $O C=2, B C=1, O A=\sqrt{2}+1$.

故 $S=2+\sqrt{2}$.

故选: $A$.



图1



图2

## 【点睛】

本题考查了斜二测画法求面积, 意在考查学生的计算能力.
题目（高一 · 度量几何学）：如图水平放置的一个平面图形的直观图是边长为 $1 \mathrm{~cm}$ 的正方形, 则原图形的周长是 ( )


选项：
$8 \mathrm{~cm}$

B. $6 \mathrm{~cm}$

C. $2(1+\sqrt{3}) \mathrm{cm}$

D. $2(1+\sqrt{2}) \mathrm{cm}$
答案：A
解析：【分析】

由斜二测画法的规则知在已知图形平行于 $x$ 轴的线段, 在直观图中画成平行于 $x^{\prime}$ 轴, 长度保持不变,已知图形平行于 $y$ 轴的线段, 在直观图中画成平行于 $y^{\prime}$ 轴, 且长度为原来一半, 据此还原几何体确定其周长即可.

## 【详解】

由斜二测画法的规则知与 $x^{\prime}$ 轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变,



正方形的对角线在 $y^{\prime}$ 轴上,

可求得其长度为 $\sqrt{2} \mathrm{~cm}$, 故在平面图中其在 $y$ 轴上, 且其长度变为原来的 2 倍, 长度为 $2 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$,其原来的图形如图所示,

则其周长为: $2 \times\left(1+\sqrt{1^{2}+(2 \sqrt{2})^{2}}\right)=8 \mathrm{~cm}$.

故选 $A$.

## 【点睛】

本题考查的知识点是平面图形的直观图, 其中斜二测画法的规则, 能够快速的在直观图面积和原图面积之间进行转化.
题目（高一 · 度量几何学）：正方形 $A B C D$ 的边长为 $1 \mathrm{~cm}$, 是水平放置的一个平面图形的直观图, 则原图的面积为 (
选项：
$\frac{\sqrt{2}}{4} \mathrm{~cm}^{2}$
B. $1 \mathrm{~cm}^{2}$
C. $2 \sqrt{2} \mathrm{~cm}^{2}$
D. $4 \mathrm{~cm}^{2}$
答案：C
解析：【分析】
根据斜二测画法的规则可还原出原来的图形, 得原图为一个底为 1 , 高为 $2 \sqrt{2}$ 的平行四边形, 求出它的面积即可.

## 【详解】

如图所示，



由斜二测画法的规则知与 $x^{\prime}$ 轴平行的线段其长度不变与横轴平行的性质不变, 正方形的对角线在 $y^{\prime}$ 轴上, 可求得其长度为 $\sqrt{2}$, 故在平面图中其在 $y$ 轴上, 且其长度变为原来的 2 倍长度为 $2 \sqrt{2}$,其原来的图形是平行四边形, 所以它的面积是 $1 \times 2 \sqrt{2}=2 \sqrt{2} \mathrm{~cm}^{2}$, 故选 C.

## 【点睛】

本题考查了斜二测画法的规则与应用问题, 解题时应还原出原来的图形, 是基础题. 斜二测画法画平面图形直观图的步骤: (1) 在已知图形中取互相垂直的 $X$ 轴和 $Y$ 轴, 两轴相交于 $O$ 点, 画直观图时, 把它画成对应的 $x^{\prime}$ 轴、 $y^{\prime}$ 轴, 使 $\angle x^{\prime} O y^{\prime}=45^{\circ}$ (或135 ), 它确定的平面表示水平平面; (2)已知图形中平行于 $x$ 轴或 $y$ 轴的线段, 在直观图中分别画成平行于 $x^{\prime}$ 或 $y^{\prime}$ 轴的线段; (3) 已知图形中平行于 $x$ 轴的线段, 在直观图中保持原长度不变; 平行于 $y$ 轴的线段, 长度为原来的一半.
题目（高一 · 度量几何学）：$a / / \alpha, b / / \beta, \alpha / / \beta$, 则 $a$ 与 $b$ 位置关系是 ( )
选项：
平行
B. 异面
C. 相交
D. 平行或异面或相交
答案：D
解析：结合图(1), (2), (3)所示的情况，可得 $a$ 与 $b$ 的关系分别是平行、异面或相交.



(1)



(2)

(3)

选 D。
题目（高一 · 度量几何学）：如图, 点 $C$ 在以 $A B$ 为直径的圆上, 且满足 $C A=C B$, 圆内的弧线是以 $C$ 为圆心, $C A$ 为半径的圆的一部分. 记 $\triangle A B C$ 三边所围成的区域 (灰色部分) 为 I ,右侧月牙形区域 (黑色部分) 为 II. 在整个图形中随机取一点, 记此点取自 I, II
   的概率分别为 $P_{1}, P_{2}$, 则 ( )


选项：
A. $P_{1}=P_{2}$
B. $P_{1}>P_{2}$

C. $P_{1}+P_{2}=\frac{4}{\pi+1}$
D. $P_{2}-P_{1}=\frac{1}{\pi+1}$
答案：A
解析：设圆的半径为 1 , 则区域 I 的面积为 $S_{1}=\frac{1}{2} \times 2 \times 1=1$;

区域 II 的面积 $S_{2}=\frac{1}{2} \pi \times 1^{2}-\left[\frac{1}{4} \pi \times(\sqrt{2})^{2}-\frac{1}{2} \times 2 \times 1\right]=1$,

圆的面积为 $\pi \times 1^{2}=\pi$.
所以 $P_{1}=P_{2}=\frac{1}{\pi}$, 故选 $\mathrm{A}$.
题目（高一 · 度量几何学）：下列各组中的 $M 、 P$ 表示同一集合的是 ( )

(1) $M=\{3,-1\}, P=\{(3,-1)\}$;

(2) $M=\{(3,1)\}, P=\{(1,3)\}$;

(3) $M=\left\{y \mid y=x^{2}-1\right\}, P=\left\{t \mid t=x^{2}-1\right\}$;

(4) $M=\left\{y \mid y=x^{2}-1\right\}, P=\left\{(x, y) \mid y=x^{2}-1\right\}$
选项：
A. (1)
B. (2)
C. (3)
D. (4)
答案：C
解析：【详解】

对于(1)，两个集合研究的对象不相同，故不是同一个集合. 对于(2)，两个集合中元素对应的坐标不相同，故不是同一个集合. 对于(3), 两个集合表示同一集合. 对于(4), 集合 $M$ 研究对象是函数值, 集合 $P$ 研究对象是点的坐标，故不是同一个集合.由此可知本小题选 C.

【点睛】

本小题主要考查两个集合相等的概念，属于基础题.
题目（高一 · 度量几何学）：下列说法中正确的是 ( )
选项：
一条直线和 $x$ 轴的正方向所成的正角, 叫做这条直线的倾斜角

B. 直线的倾斜角 $\alpha$ 的取值范围是 $\left[0^{\circ}, 180^{\circ}\right]$

C. 和 $x$ 轴平行的直线的倾斜角为 $180^{\circ}$

D. 每一条直线都存在倾斜角, 但并非每一条直线都存在斜率
答案：D
解析：倾斜角是直线向上方向与 $x$ 轴的正方向所成的角, 故选项 $\mathrm{A}$ 不正确; 直线的倾斜角的取值范围是 $\left[0^{\circ}\right.$, $180^{\circ}$ ), 故选项 B 不正确; 当直线与 $x$ 轴平行时, 倾斜角为 $0^{\circ}$, 故选项 C 不正确.
题目（高一 · 度量几何学）：一条直线 $l$ 与 $x$ 轴相交, 其向上的方向与 $y$ 轴正方向所成的角为 $\alpha\left(0^{\circ}<\alpha<90^{\circ}\right)$, 则其倾斜角为 $(\quad)$
选项：
A. $\alpha$
B. $180^{\circ}-\alpha$
C. $180^{\circ}-\alpha$ 或 $90^{\circ}-\alpha$
D. $90^{\circ}+\alpha$ 或 $90^{\circ}-\alpha$
答案：D
解析：如图所示, 当 $l$ 方向向上的部分在 $y$ 轴左侧时, 倾斜角为 $90^{\circ}+\alpha$; 当 $l$ 方向向上的部分在 $y$ 轴右侧时,倾斜角为 $90^{\circ}-\alpha$. 故选 D.
题目（高一 · 度量几何学）：设 $P$ 是圆 $(x-3)^{2}+(y+1)^{2}=4$ 上的动点, $Q$ 是直线 $x=-3$ 上的动点, 则 $|P Q|$ 的最小值为 $(\quad)$
选项：
A. 6
B. 4
C. 3
D. 2
答案：B
解析：, 圆心 $M(3,-1)$ 与定直线 $x=-3$ 的最短距离为 $|M Q|=3-(-3)=6$. 又圆的半径为 2 , 故所求最短距离为 $6-2=4$.
题目（高一 · 度量几何学）：空间四点 $A 、 B 、 C 、 D$ 共面而不共线, 那么这四点中( )
选项：
A. 必有三点共线

B. 必有三点不共线

C. 至少有三点共线

D. 不可能有三点共线
答案：B
解析：(1)(2)所示, $\mathrm{A} 、 \mathrm{C} 、 \mathrm{D}$ 均不正确, 只有 B 正确, 如图(1)中 $A 、 B 、 D$ 不共线.



(1)

(2)
题目（高一 · 度量几何学）：三条两两相交的直线最多可确定的平面的个数为( )
选项：
1
B. 2
C. 3
D. 无数
答案：C
解析：在空间中, 两两相交的三条直线最多可以确定 3 个平面, 如图所示:



$P A 、 P B 、 P C$ 相交于一点 $P$, 则 $P A 、 P B 、 P C$ 不共面, 则 $P A 、 P B$ 确定一个平面 $P A B, P B 、 P C$ 确定一个平面 $P B C, P A 、 P C$ 确定一个平面 $P A C$. 故选 C.
题目（高一 · 度量几何学）：若函数 $y=f(x)$ 定义在 $[-1,2]$ 上, 且满足 $f\left(-\frac{1}{2}\right)<f(1)$, 则 $f(x)$ 在区间 $[-1,2]$ 上的单调性是 $(\quad)$.
选项：
A. 增函数
B. 减函数
C. 先减后增
D. 无法判断其单调性
答案：D
解析：D 点拨: 增、减函数的定义中的 $x_{1}, x_{2}$ 具有任意性, 仅由两个特殊自变量 $-\frac{1}{2}$ 和 1 的函数值的大小关系无法判断函数 $f(x)$ 的单调性.
题目（高一 · 度量几何学）：定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数 $f(x)$ 对任意两个不等实数 $a, b$, 总有 $\frac{f(a)-f(b)}{b-a}>0$ 成立, 则必有 $(\quad)$.
选项：
A. 函数 $f(x)$ 是先增后减

B. 函数 $f(x)$ 是先减后增
C. $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上是增函数
D. $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上是减函数
答案：D
解析： $\mathrm{D}$ 点拨: 由 $\frac{f(a)-f(b)}{b-a}>0$, 知 $a-b$ 与 $f(a)-f(b)$ 永远异号, 由单调函数的定义知, $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上是减函数.
题目（高一 · 度量几何学）：点 $(1,-1)$ 到直线 $y=1$ 的距离是( )
选项：
A. $\sqrt{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. 3
D. 2
答案：D
解析：$d=\frac{|-1-1|}{\sqrt{1+0}}=2$, 故选 D.
题目（高一 · 度量几何学）：设 $l, m$ 是两条不同的直线, $\alpha$ 是一个平面, 则下列命题正确的是 ( )
选项：
A. 若 $l \perp m, m \subset \alpha$, 则 $l \perp \alpha$

B. 若 $l \perp \alpha, l / / m$, 则 $m \perp \alpha$

C. 若 $l / / \alpha, m \subset \alpha$, 则 $l / / m$

D. 若 $l / / \alpha, m / / \alpha$, 则 $l / / m$
答案：B
解析：定理, 两条平行线中一条直线垂直于一个平面, 则另一条直线也垂直于这个平面, 故选 B.
题目（高一 · 度量几何学）：池塘里浮萍的生长速度极快, 它覆盖池塘的面积, 每天可增加原来的一倍. 若一个池塘在第 30 天时, 刚好被浮萍盖满, 则浮萍覆盖池塘一半的面积是 ( )
选项：
A. 第 15 天
B. 第 20 天
C. 第 25 天
D. 第 29 天
答案：D
解析：因为每天增加一倍, 且第 30 天时, 刚好被浮萍盖满,

所以可知, 第 29 天时，刚好覆盖池塘的一半.

故答案为: D.

【分析】由题意, 每天可增加原来的一倍, 第 30 天时, 刚好被浮萍盖满, 所以第 29 天覆盖一半.
题目（高一 · 度量几何学）：高为 $H$, 满缸水量为 $V_{0}$ 的鱼缸的轴截面如图 3-2-4 所示, 其底部碰了一个小洞, 满缸水从洞中流出, 若鱼缸水深为 $h$ 时水的体积为 $V$, 则函数 $V=f(h)$ 的大致图象是 $(\quad)$
选项：


图 3-2-4

答案：B
解析：当 $h=H$ 时, 体积是 $V$, 故排除 $A, C . h$ 由 0 到 $H$ 变化的过程中, $V$ 的变化开始时增长速度越来越快, 类似于指数型函数的图象, 后来增长速度越来越慢, 类似于对数型函数的图象, 综合分析可知选 B.
题目（高一 · 度量几何学）：与同一个平面 $\alpha$ 都相交的两条直线的位置关系是( )
选项：
平行
B. 相交
C. 异面
D. 以上都有可能
答案：D
解析：直线 $l_{1}, l_{2}$ 和平面 $\alpha$, 有如下情况:



平行



相交



异面

故选 D.
题目（高一 · 度量几何学）：下列命题正确的是( )

(1)两个平面平行，这两个平面内的直线都平行;

(2)两个平面平行，其中一个平面内任何一条直线都平行于另一平面;

(3)两个平面平行, 其中一个平面内一条直线和另一个平面内的无数条直线平行;

(4)两个平面平行, 各任取两平面的一条直线, 它们不相交.
选项：
A. (1)
B. (2)(3)(4)
C. (1)(2)(3)
D. (1) (4)
答案：B
解析：)不正确, 因为有的直线可能是异面; (2)(3)(4)都正确, 可根据线面平行的定义或面面平行的定义或观察几何体模型进行判断.

8.在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的六个表面与六个对角面(面 $A A_{1} C_{1} C$ 、面 $A B C_{1} D_{1}$ 、面 $A D C_{1} B_{1}$ 、面 $B B_{1} D_{1} D$ 、面 $A_{1} B C D_{1}$ 及面 $A_{1} B_{1} C D$ ) 所在的平面中, 与棱 $A A_{1}$ 平行的平面共有 $(\quad)$


A. 2 个
B. 3 个
C. 4 个
D. 5 个

答案 $B$

解析 如图所示, 结合图形可知 $A A_{1} / /$ 平面 $B B_{1} C_{1} C, A A_{1} / /$ 平面 $D D_{1} C_{1} C, A A_{1} / /$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$.
题目（高一 · 度量几何学）：已知直线 $l$ 的倾斜角为 $20^{\circ}$, 直线 $l_{1} / / l$, 直线 $l_{2} \perp l$, 则直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的倾斜角分别是 $(\quad)$
选项：
A. $20^{\circ}, 110^{\circ}$
B. $70^{\circ}, 70^{\circ}$
C. $20^{\circ}, 20^{\circ}$
D. $110^{\circ}, 20^{\circ}$
答案：A
解析：如图, $\because l / l_{1}, \therefore l_{1}$ 的倾斜角为 $20^{\circ}$,



$\because l_{2} \perp l, \therefore l_{2}$ 的倾斜角为 $90^{\circ}+20^{\circ}=110^{\circ}$.
题目（高一 · 度量几何学）：已知圆 $C$ 的半径为 2 , 圆心在 $x$ 轴的正半轴上, 直线 $3 x+4 y+4=0$ 与圆 $C$ 相切, 则圆 $C$ 的方程为 (
选项：
A. $x^{2}+y^{2}-2 x-3=0$

B. $x^{2}+y^{2}+4 x=0$

C. $x^{2}+y^{2}+2 x-3=0$

D. $x^{2}+y^{2}-4 x=0$
答案：D
解析：心 $C$ 的坐标为 $(a, 0), a>0$,

$\therefore d=\frac{|3 a+4|}{5}=2$,

$\therefore a=2, \therefore$ 圆 $C$ 的方程为 $(x-2)^{2}+y^{2}=4$,

即 $x^{2}+y^{2}-4 x=0$.
题目（高一 · 度量几何学）：用一张长为 8, 宽为 4 的矩形硬纸卷成圆柱的侧面, 则相应圆柱的底面半径是( )
选项：
A. 2
B. $2 \pi$
C. $\frac{2}{\pi}$ 或 $\frac{4}{\pi}$
D. $\frac{\pi}{2}$ 或 $\frac{\pi}{4}$
答案：C
解析：如图所示, 设底面半径为 $r$, 若矩形的长 8 为卷成圆柱底面的周长, 则 $2 \pi r=8$, 所以 $r=\frac{4}{\pi}$; 同理, 若矩形的宽 4 为卷成圆柱的底面周长, 则 $2 \pi r=4$, 所以 $r=\frac{2}{\pi}$, 故选 C.
题目（高一 · 度量几何学）：下列四个结论中假命题的个数是( )

(1)垂直于同一直线的两条直线互相平行;

(2)平行于同一直线的两直线平行;

(3) 若直线 $a, b, c$ 满足 $a / / b, b \perp c$, 则 $a \perp c$;

(4)若直线 $l_{1}, l_{2}$ 是异面直线, 则与 $l_{1}, l_{2}$ 都相交的两条直线是异面直线.
选项：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：B
解析：(1)(4)均为假命题. (1)可举反例, 如 $a 、 b 、 c$ 三线两两垂直.

(4)如图甲， $c 、 d$ 与异面直线 $l_{1} 、 l_{2}$ 交于四个点，此时 $c 、 d$ 异面;

当点 $A$ 在直线 $l_{1}$ 上运动(其余三点不动)时, 会出现点 $A$ 与 $B$ 重合的情形，如图乙所示，此时 $c 、 d$ 共面相交.



甲



乙
题目（高一 · 度量几何学）：如图所示的四个容器高度都相同. 将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中, 注满为止. 用下面对应的图象显示该容器中水面的高度 $h$ 和时间 $t$ 之间的关系, 其中不正确的是 ( )

选项：
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
答案：A
解析：对于第一幅图, 水面的高度 $h$ 的增加应是均句的, 因此不正确，其他均正确，选 A.
题目（高一 · 度量几何学）：平面 $\alpha$ 内有不共线的三点到平面 $\beta$ 的距离相等且不为零, 则 $\alpha$ 与 $\beta$ 的位置关系为 $(\quad)$
选项：
A. 平行
B. 相交
C. 平行或相交
D. 可能重合
答案：C
解析：若三点分布于平面 $\beta$ 的同侧, 则 $\alpha$ 与 $\beta$ 平行，若三点分布于平面 $\beta$ 的两侧，则 $\alpha$ 与 $\beta$ 相交.
题目（高一 · 度量几何学）：$\alpha 、 \beta$ 是两个不重合的平面, $a 、 b$ 是两条不同的直线, 则在下列条件下, 可判定 $\alpha / / \beta$ 的是 ( )
选项：
A. $\alpha 、 \beta$ 都平行于直线 $a 、 b$

B. $\alpha$ 内有三个不共线的点到 $\beta$ 的距离相等

C. $a, b$ 是 $\alpha$ 内两条直线, 且 $a / / \beta, b / / \beta$

D. $a, b$ 是两条异面直线且 $a / / \alpha, b / / \alpha, \alpha / / \beta, b / / \beta$
答案：D
解析：$\mathrm{A}$ 错, 若 $a / / b$, 则不能断定 $\alpha / / \beta$; B 错, 若三点不在 $\beta$ 的同一侧, $\alpha$ 与 $\beta$ 相交; $\mathrm{C}$ 错, 若 $a / / b$, 则不能断定 $\alpha / / \beta$. 故选 D.
题目（高一 · 度量几何学）：下列不能确定两个平面垂直的是( )
选项：
两个平面相交, 所成二面角是直二面角

B. 一个平面垂直于另一个平面内的一条直线

C. 一个平面经过另一个平面的一条垂线

D. 平面 $\alpha$ 内的直线 $a$ 垂直于平面 $\beta$ 内的直线 $b$
答案：D
解析：如图所示, 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 平面 $A_{1} B_{1} C D$ 内的直线 $A_{1} B_{1}$ 垂直于平面 $A B C D$ 内的一条直线 $B C$, 但平面 $A_{1} B_{1} C D$ 与平面 $A B C D$ 显然不垂直.
题目（高一 · 度量几何学）：一个人以 6 米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车, 当他离汽车 25 米时, 交通灯由红变绿, 汽车以 1 米/秒 2 的加速度匀加速开走, 那么( )
选项：
A. 人可在 7 秒内追上汽车

B. 人可在 10 秒内追上汽车

C. 人追不上汽车, 其间距最少为 5 米

D. 人追不上汽车, 其间距最少为 7 米
答案：D
解析：设汽车经过 $t$ 秒行驶的路程为 $s$ 米, 则 $s=\frac{1}{2} t^{2}$, 车与人的间距 $d=(s+25)-6 t=\frac{1}{2} t^{2}-6 t+25$ $=\frac{1}{2}(t-6)^{2}+7$, 当 $t=6$ 时, $d$ 取得最小值为 7 , 故选 D.
题目（高一 · 度量几何学）：半径为 6 的圆与 $x$ 轴相切, 且与圆 $x^{2}+(y-3)^{2}=1$ 内切, 则此圆的方程是 ( )
选项：
A. $(x-4)^{2}+(y-6)^{2}=6$

B. $(x+4)^{2}+(y-6)^{2}=6$ 或 $(x-4)^{2}+(y-6)^{2}=6$

C. $(x-4)^{2}+(y-6)^{2}=36$

D. $(x+4)^{2}+(y-6)^{2}=36$ 或 $(x-4)^{2}+(y-6)^{2}=36$
答案：D
解析：由题意可设圆的方程为 $(x-a)^{2}+(y-6)^{2}=36$, 由题意, 得 $\sqrt{a^{2}+9}=5$, 所以 $a^{2}=16$, 所以 $a= \pm 4$.
题目（高一 · 计数）：(2020 秋・朝阳区校级期末）某公司有 3000 名员工, 将这些员工编号为 $1,2,3, \cdots, 3000$, 从这些员工中使用系统抽样的方法抽取 200 人进行 “学习强国” 的问卷调查, 若 84 号被抽到则下面被抽到的是（）
选项：
A. 44 号
   B. 294 号
   C. 1196 号
   D. 2984 号
答案：B
解析：解：某公司有 3000 名员工, 将这些员工编号为 $1,2,3, \cdots, 3000$, 从这些员工中使用系统抽样的方法抽取 200 人进行 “学习强国” 的问卷调查,

则分段的间隔为 $\frac{3000}{200}=15$, 抽到的 84 号是第 6 段的第 9 个, 故每段被抽到的号为 $15 k+9, k \in \mathbf{Z}$, $k=0,1,2,3, \cdots, 199$.

故选: $B$.
题目（高一 · 计数）：(2020 秋・秦安县校级期末) 一批热水器共 98 台, 其中甲厂生产的有 56 台, 乙厂生产的有 42 台,用分层抽样从中抽出一个容量为 14 的样本, 那么甲、乙两厂各抽得的热水器的台数是 ( )
选项：
甲厂 9 台, 乙厂 5 台B. 甲厂 8 台, 乙厂 6 台

C. 甲厂 10 台，乙厂 4 台

D. 甲厂 7 台，乙厂 7 台
答案：B
解析：$\because$ 一批热水器共有 98 台, 用分层抽样从中抽出一个容量为 14 的样本,

$\therefore$ 每个个体被抽到的概率是 $\frac{14}{98}=\frac{1}{7}$,

$\because$ 甲厂生产的有 56 台, 乙厂生产的有 42 台,

$\therefore$ 甲、乙两厂各抽得的热水器的台数是 $56 \times \frac{1}{7}=8,42 \times \frac{1}{7}=6$,

故选: B.
题目（高一 · 计数）：(2020 秋 - 南关区校级期末) 已知如表为 $x$ 与 $y$ 之间的一组数据, 若 $y$ 与 $x$ 线性相关, 则 $y$ 与 $x$ 的回归直线 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$ 必过点（）

| $x$  | 0    | 1    | 2    | 3    |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $y$  | 1    | 3    | 5    | 7    |
选项：
A. $(2,2)$
B. $(1.5,0)$
C. $(1,2)$
D. $(1.5,4)$
答案：D
解析：解: $\because \bar{x}=\frac{0+1+2+3}{4}=1.5, \bar{y}=\frac{1+3+5+7}{4}=4$,

$\therefore$ 样本点的中心的坐标为 $(1.5,4)$,

$\therefore y$ 与 $x$ 的回归直线 $y=b x+a$ 必过点 (1.5,4),

故选: D.
题目（高一 · 计数）：（2020 秋・渝中区校级月考）用最小二乘法得到一组数据（ $\left.x_{i}, y_{i}\right)$ 其中 $i=1,2,3,4,5$ 的线性回归方程为 $y=b x+3$, 若 $\sum_{i=1}^{5} x_{i}=25, \sum_{i=1}^{5} y_{i}=65$, 则当 $x=8$ 时, $y$ 的预报值为 ( )
选项：
A. 18
B. 19
C. 20
D. 21
答案：B
解析：解：由线性回归方程为 $\hat{y}=b x+3$,

且 $\bar{x}=\frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} x_{i}=\frac{1}{5} \times 25=5, \bar{y}=\frac{1}{5} \sum_{i=1}^{5} y_{i}=\frac{1}{5} \times 65=13$,

所以 $13=b \times 5+3$, 解得 $b=2$,

所以线性回归方程为 $\hat{y}=2 x+3$;

所以当 $x=8$ 时, $y$ 的预报值为 $\hat{y}=2 \times 8+3=19$.

故选: $B$.