eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高三 · 代数）：已知函数 $f(x)=\ln x-\frac{1}{2} a x^{2}+(a-1) x+a(a>0)$ 的值域与函数

$y=f(f(x))$ 的值域相同, 则实数 $a$ 的取值范围为（）
选项：
A. $(0,1]$
B. $(1,+\infty)$
C. $\left(0, \frac{4}{3}\right]$
D. $\left[\frac{4}{3},+\infty\right)$
答案：D
解析：由题可知，函数 $f(x)$ 的定义域为 $(0,+\infty)$.$ecause f(x)=\ln x-rac{1}{2} a x^{2}+(a-1) x+a(a>0)$,$	herefore f^{\prime}(x)=rac{1}{x}-a x+a-1=rac{(a x+1)(1-x)}{x}$,$	herefore$ 当 $x>1$ 时, $f^{\prime}(x)<0$; 当 $0<x<1$ 时, $f^{\prime}(x)>0$, $	herefore f(x)$ 在 $(0,1)$ 上单调递增, 在 $(1,+\infty)$ 上单调递减, $	herefore f(x)_{	ext {max }}=f(1)=rac{3}{2} a-1$, 即 $f(x)$ 的值域为 $\left(-\infty, rac{3}{2} a-1ight]$.要使 $y=f(f(x))$ 的值域也为 $\left(-\infty, rac{3}{2} a-1ight]$, 则只要 $f(x)_{	ext {max }} \geq 1$,则 $rac{3}{2} a-1 \geq 1$, 即 $a \geq rac{4}{3}$, 故选 D.
题目（高三 · 代数）：已知函数 $f(x)=x+\ln x, g(x)=x \ln x$, 若 $f\left(x_{1}\right)=\ln t, g\left(x_{2}\right)=t$,则 $x_{1} x_{2} \ln t$ 的最小值为 ( )

$\begin{array}{llll}\text {
选项：
A. } \frac{1}{e^{2}} & \text { B. } \frac{2}{e} & \text { C. }-\frac{1}{e} & \text { D. }-\frac{1}{e^{2}}\end{array}$
答案：C
解析：$ecause f\left(x_{1}ight)=x_{1}+\ln x_{1}=\ln t, 	herefore t=e^{x_{1}} \cdot x_{1}$ (1), $g\left(x_{2}ight)=x_{2} \ln x_{2}=t, \quad 	herefore t=e^{\ln x_{2}} \cdot \ln x_{2}(2)$,由(1)(2)得 $e^{x_{1}} \cdot x_{1}=e^{\mathrm{h} x_{2}} \cdot \ln x_{2}$,$ecause y=x e^{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 单调递增, $	herefore x_{1}=\ln x_{2}$, 则 $x_{1} x_{2}=t$,$x_{1} x_{2} \ln t=t \ln t$,令 $h(x)=t \ln t(t>0)$, 则 $h^{t}(t)=\ln t+1$,令 $h^{t}(t)>0$, 解得 $t>rac{1}{e}$; 令 $h^{t}(t)<0$, 解得 $0<t<rac{1}{e}$,故 $h(t)$ 在 $\left(0, rac{1}{e}ight)$ 单调递减, 在 $\left(rac{1}{e},+\inftyight)$ 单调递增,$h(t)_{\min }=h\left(rac{1}{e}ight)=-rac{1}{e}$, 故选 C.
题目（高三 · 代数）：已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}|\ln x|, & 0<x \leq e \\ f(2 e-x), & e<x<2 e\end{array}\right.$, 若方程 $F(x)=f(x)-a x$ 有 4 个

零点, 则 $a$ 的可能的值为 ( )
选项：
A. $\frac{1}{4}$
B. 1
C. $\frac{1}{2}$ D. $\frac{1}{e}$
答案：A
解析：根据函数 $f(x)$ 的解析式可知, 函数的图象如下: 要使方程 $F(x)=f(x)-a x$ 有 4 个零点, 则 $f(x)$ 的图象与直线 $y=a x$ 有 4 个不同的交点,所以只需 $a$ 小于 $y=\ln x$ 在区间 $[1, e]$ 上的过坐标原点的切线的斜率即可.由 $y=\ln x$, 得 $y^{t}=rac{1}{x}$, 设切点坐标为 $\left(x_{0}, y_{0}ight)$, 则切线方程为 $y-\ln x_{0}=rac{1}{x_{0}}\left(x-x_{0}ight)$,又切线过 $(0,0)$, 所以 $-\ln x_{0}=rac{1}{x_{0}}\left(-x_{0}ight)$, 解得 $x_{0}=e$, 故此时切线的斜率为 $rac{1}{x_{0}}=rac{1}{e}$, 故 $a \in\left(0, rac{1}{e}ight)$, 结合选项知, 选 A.
题目（高三 · 代数）：已知函数 $f(x)$ 的导函数为 $f^{\prime}(x)$, 函数 $g(x)=(x-1) f^{\prime}(x)$ 的图象如图所示,则下列结论正确的是 (


选项：
A. $f(x)$ 在 $(-\infty,-2),(1,2)$ 上为减函数

B. $f(x)$ 在 $(-2,1),(2,+\infty)$ 上为增函数

C. $f(x)$ 的极小值为 $f(-2)$, 极大值为 $f(2)$

D. $f(x)$ 的极大值为 $f(-2)$, 极小值为 $f(2)$
答案：D
解析：根据函数 $g(x)=(x-1) f^{\prime}(x)$ 的图象可知:当 $x>2$ 时, $g(x)>0$, 即 $(x-1) f^{\prime}(x)>0 \Rightarrow f^{\prime}(x)>0$, 因此当 $x>2$ 时, 函数 $f(x)$ 单调递增;当 $1<x<2$ 时, $g(x)<0$, 即 $(x-1) f^{\prime}(x)<0 \Rightarrow f^{\prime}(x)<0$, 因此当 $1<x<2$ 时, 函数 $f(x)$ 单调递减,显然当 $x=2$, 函数有极小值, 极小值为 $f(2)$;当 $-2<x<1$ 时, $g(x)>0$, 即 $(x-1) f^{\prime}(x)>0 \Rightarrow f^{\prime}(x)<0$, 因此当 $-2<x<1$ 时, 函数 $f(x)$ 单调递减;当 $x<-2$ 时, $g(x)<0$, 即 $(x-1) f^{\prime}(x)<0 \Rightarrow f^{\prime}(x)>0$, 因此当 $x<-2$ 时, 函数 $f(x)$ 单调递增,显然当 $x=-2$, 函数有极大值, 极大值为 $f(-2)$,由上可以判断 D 是正确的, 故选 D.
题目（高三 · 代数）：若函数 $f(x)=a x^{3}+3 x^{2}+x+b(a>0, b \in \mathbf{R})$ 恰好有三个不同的单调区间,

则实数 $a$ 的取值范围是 ( )
选项：
A. $(0,3) \cup(3,+\infty)$
B. $[3,+\infty)$
C. $(0,3]$
D. $(0,3)$
答案：D
解析：由题意得 $f^{\prime}(x)=3 a x^{2}+6 x+1(a>0)$,$ecause$ 函数 $f(x)$ 恰好有三个不同的单调区间, $	herefore f^{\prime}(x)$ 有两个不同的零点,所以, $\left\{egin{array}{l}\Delta=36-12 a>0 \ a>0\end{array}ight.$, 解得 $0<a<3$,因此, 实数 $a$ 的取值范围是 $(0,3)$, 故选 D.
题目（高三 · 代数）：用数学归纳法证明 $1+2+3+\cdots+(2 n+1)=(n+1)(2 n+1)$ 时, 从 “ $n=k$, 到 $《 n=k+1$, 左边需增添的代数式是 ( )
选项：
A. $(2 k+1)+(2 k+2)$
B. $(2 k-1)+(2 k+1)$

C. $(2 k+2)+(2 k+3)$
D. $(2 k+2)+(2 k+4)$
答案：C
解析：当 ${ }^{n=k}$ 时, 左边是共有 $2 k+1$ 个连续自然数相加,即 $^{1+2+3+\cdots+(2 k+1)}$,所以当 $n=k+1$ 时, 左边共有 ${ }^{2 k+3}$ 个连续自然数相加,即 $1+2+3+\cdots+(2 k+1)+(2 k+2)+(2 k+3) ，$所以左边需增添的代数式是 $(2 k+2)+(2 k+3)$, 故选 C.
题目（高三 · 代数）：已知函数 $y=f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上可导且 $f(0)=2$, 其导函数 $f^{\prime}(x)$ 满足, $\frac{f^{\prime}(x)-f(x)}{x-2}>0$, 若函数 $g(x)$ 满足 $e^{x} g(x)=f(x)$, 下列结论错误的是 ( )
选项：
A. 函数 $g(x)$ 在 $(2,+\infty)$ 上为增函数
B. $x=2$ 是函数 $\mathrm{g}(x)$ 的极小值点

C. $x \leq 0$ 时, 不等式 $f(x) \leq 2 e^{x}$ 恒成立 D. 函数 $g(x)$ 至多有两个零点
答案：C
解析：$ecause e^{x} g(x)=f(x), 	herefore g(x)=rac{f(x)}{e^{x}}$, 则 $g^{\prime}(x)=rac{f^{\prime}(x)-f(x)}{e^{x}}$,由题意得当 $x>2$ 时, $f^{\prime}(x)-f(x)>0$, 故 $y=g(x)$ 在 $(2,+\infty)$ 递增,选项 A 正确当 $x<2$ 时, $f^{\prime}(x)-f(x)<0$, 故 $y=g(x)$ 在 $(-\infty, 2)$ 递减,故 $x=2$ 是函数 $y=g(x)$ 的极小值点, 故选项 B 正确;由 $y=g(x)$ 在 $(-\infty, 2)$ 递减, 则 $y=g(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 递减,由 $g(0)=rac{f(0)}{e^{0}}=2$, 得 $x \leq 0$ 时, $g(x) \geq g(0)$,$	herefore rac{f(x)}{e^{x}} \geq 2$, 故 $f(x) \geq 2 e^{x}$, 故选项 C 错误;若 $g(2)<0$, 则 $y=g(x)$ 有 2 个零点:若 $oldsymbol{g}(2)=0$ ，则函数 $y=g(x)$ 有 1 个零点;若 $g(2)>0$, 则函数 $y=g(x)$ 没有零点, 故选项 D 正确,故选 C.
题目（高三 · 代数）：设 $a>0, b>0, e$ 是自然对数的底数 ( )
选项：
A. 若 $e^{a}+2 a=e^{b}+3 b$, 则 $a>b$
B. 若 $e^{a}+2 a=e^{b}+3 b$, 则 $a<b$

C. 若 $e^{a}-2 a=e^{b}-3 b$, 则 $a>b$

D. 若 $e^{a}-2 a=e^{b}-3 b$, 则 $a<b$
答案：A
解析：若 $e^{a}+2 a=2^{b}+3 b$, 必有 $e^{a}+2 a>e^{b}+2 b$构造函数: $f(x)=e^{x}+2 x$, 则 $f(a)>f(b)$, 则 $f^{\prime}(x)=e^{x}+2>0$ 恒成立,故有函数 $f(x)=e^{x}+2 x$ 在 $x>0$ 上单调递增, 所以 $a>b$ 成立,故选 A.
题目（高三 · 算术）：若 $a, b, c$ 为实数, 则下列命题正确的是 ( )
选项：
A. 若 $a>b$, 则 $a c^{2}>b c^{2}$
B. 若 $a<b<0$, 则 $a^{2}>a b>b^{2}$
C. 若 $a<b<0$, 则 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$
D. 若 $a<b<0$, 则 $\frac{b}{a}>\frac{a}{b}$
答案：B
解析：解析: 解答: 对于 $\mathrm{A}$, 当 $c=0$ 时, 不等式不成立, 故 $\mathrm{A}$ 错; 对于 $\mathrm{C}$, 因为 $a<b<0$, 两边同时除以 $a b>0$, 所以 $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$, 故 C 错; 对于 D, 因为 $-a>-b>0,-\frac{1}{b}>-\frac{1}{a}>0$, 所以 $\frac{a}{b}>\frac{b}{a}$, 故 $\mathrm{D}$ 错, 所以选 $\mathrm{B}$.

分析: 本题主要考查了不等关系与不等式, 解决问题的关键是根据不等式性质分析计算即可
题目（高三 · 算术）：若 $a<b<0$, 则下列不等式中, 一定成立的是（）
选项：
A. $a^{2}<a b<b^{2}$
B. $a^{2}>a b>b^{2}$
C. $a^{2}<b^{2}<a b$
D. $a^{2}>b^{2}>a b$
答案：B
解析：解析: 解答: 因为 $a<b<0$, 所以 $a^{2}>a b>b^{2}$, 故选 B.

分析: 本题主要考查了不等关系与不等式, 解决问题的关键是根据不等关系与不等式分析即可
题目（高三 · 算术）：若 $a>b>0, c<d<0$, 则一定有 ( )
选项：
A. $\frac{a}{c}>\frac{b}{d}$
B. $\frac{a}{d}>\frac{b}{c}$
C. $\frac{a}{d}<\frac{b}{c}$
D. $\frac{a}{c}<\frac{b}{d}$
答案：C
解析：解析: 解答: 因为 $\mathrm{c}<\mathrm{d}<0$, 所以 $\frac{1}{d}<\frac{1}{c}<0$, 即 $-\frac{1}{d}>-\frac{1}{c}>0$,

与 $\mathrm{a}>\mathrm{b}>0$ 对应相乘得, $-\frac{a}{d}>-\frac{b}{c}>0$, 所以 $\frac{a}{d}<\frac{b}{c}$. 故选 C.

分析: 本题主要考查了不等式与不等关系, 解决问题的关键是根据不等式的性质分析即可
题目（高三 · 算术）：若 $a, b, c \in \mathbf{R}, a>b$, 则下列不等式成立的是 ( )
选项：
A. $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$
B. $a^{2}>b^{2}$
C. $\frac{a}{c^{2}+1}>\frac{b}{c^{2}+1}$
D. $a|c|>b|c|$
答案：C
解析：解析: 解答: 根所题意及选项特征宜用特殊值法进行求解.不妨设 $a=1, b=-1$, 则可排除 $\mathrm{A} . \mathrm{~B}$ 选项，当 $c=0$ 时 $\mathrm{D}$ 选项显然不成立，故正确答案为选项 C.

分析: 本题主要考查了不等式与不等关系, 解决问题的关键是根据题意及选项特征宜用特殊值法进行求解
题目（高三 · 算术）：若 $a, b, c$ 为实数, 则下列命题正确的是 ( )
选项：
A. 若 $a>b$, 则 $a c^{2}>b c^{2}$

B. 若 $a<b<0$, 则 $a^{2}>a b>b^{2}$

C. 若 $a<b<0$, 则 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$

D. 若 $a<b<0$, 则 $\frac{b}{a}>\frac{a}{b}$
答案：B
解析：解析：解答：选项 A: 当 $c=0$ 时, $a c^{2}=b c^{2}=0$ (舍); 选项 B: $\because a<b<0$, $\therefore a^{2}>a b, a b>b^{2}$, 即 B 正确; 选项 C: $\because y=\frac{1}{x}$ 在 $(-\infty, 0)$ 上为减函数, 且 $a<b<0$, $\therefore \frac{1}{a}>\frac{1}{b}$ (舍)；选项 D: $\because a<b<0$, $\therefore a^{2}>b^{2}$, 所以 $\frac{b}{a}-\frac{a}{b}=\frac{b^{2}-a^{2}}{a b}<0$, 即 $\frac{b}{a}<\frac{a}{b}$ (舍); 故选 B 分析: 本题主要考查了不等式与不等关系, 解决问题的关键是根据不等式的性质分析即可
题目（高三 · 算术）：下列选项一定正确的是 ( )
选项：
A.若 $a>b$, 则 $a c>b c$

B.若 $\sqrt{a}>\sqrt{b}$, 则 $a>b$

C.若 $a^{2}>b^{2}$, 则 $a>b$

D.若 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$, 则 $a>b$
答案：D
解析：解析: 解答: 若 $c<0$, 选项 A 错误; 若 $\sqrt{a}>\sqrt{b}$, 两边平方, 则 $a>b$, 故 B 正确; 若 $a^{2}>b^{2}$,则 $|a|>|b|$, 故 C 错误; 若 $\mathrm{a}<0, \mathrm{~b}>0$, 则选项 D 错误; 故选 D.

分析: 本题主要考查了不等式与不等关系, 解决问题的关键是根据不等式的性质分析判断即可
题目（高三 · 算术）：函数 $f(x)=x^{2}-1$ 在区间 $[1, m]$ 上的平均变化率为 3 , 则实数 $m$ 的值为
选项：
A. 3
B. 2
C. 1
D. 4
答案：B
题目（高三 · 算术）：设函数 $f(x)$ 可导, 则 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{3 \Delta x}$ 等于 $(\quad)$
选项：
A. $f^{\prime}(1)$
B. $3 f^{\prime}(1)$
C. $\frac{1}{3} f^{\prime}(1)$
D. $f^{\prime}(3)$
答案：C
解析：]
题目（高三 · 算术）：下列命题中, 正确的是 ( )
选项：
A. 若 $a>b, c>d$, 则 $a c>b d$
B. 若 $a c>b c$, 则 $a>b$
C. 若 $\frac{a}{\mathrm{c}^{2}}<\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}^{2}}$, 则 $\mathrm{a}<\mathrm{b}$
D. 若 $a>b, c>d$, 则 $a-c>b-d$
答案：C
解析：A. 举出反例: 虽然 $5>2,-1>-2$, 但是 $5 	imes(-1)<2 	imes(-2)$, 故 A 不正确; B. 举出反例: 虽然 $2 	imes(-1)>3 	imes(-1)$, 但是 $\mathrm{a}<\mathrm{b}$, 故 B 不正确;C. $ecause rac{\mathrm{a}}{\mathrm{c}^{2}}<rac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}^{2}}, 	herefore rac{\mathrm{a}}{\mathrm{c}^{2}} 	imes \mathrm{c}^{2}<rac{\mathrm{b}}{\mathrm{c}^{2}} 	imes \mathrm{c}^{2}, 	herefore \mathrm{a}<\mathrm{b}$, 故 C 正确; D. 举出反例: 虽然 5 $>4,3>1$, 但是 $5-3<4-1$, 故 D 不正确. 综上可知: C 正确.
题目（高三 · 算术）：. 不等式 $|4-3 x|-5 \leq 0$ 的解集是（）
选项：
A. $\left\{x \left\lvert\,-\frac{1}{3}<x<3\right.\right\}$
B. $\left\{x \left\lvert\, x \leq-\frac{1}{3}\right.\right.$ 或 $\left.x \geq 3\right\}$
C. $\left\{x \left\lvert\, \frac{1}{3} \leq x \leq-3\right.\right\}$
D. $\left\{x \left\lvert\,-\frac{1}{3} \leq \mathrm{x} \leq 3\right.\right\}$
答案：D
解析：解析: 解答: : 由 $-5 \leq 3 x-4 \leq 5$ 得 $-\frac{1}{3} \leq x \leq 3$ 故解集为 $\left\{x \left\lvert\,-\frac{1}{3} \leq x \leq 3\right.\right\}$

分析: 本题主要考查了绝对值不等式的解法, 解决问题的关键是根据绝对值的性质分析计算即可
题目（高三 · 算术）：设 $(2 x+\sqrt{3})^{4}=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+a_{4} x^{4}$, 则 $\left(a_{0}+a_{2}+a_{4}\right)^{2}-\left(a_{1}+a_{3}\right)^{2}$ 的值为 ( )
选项：
A. 80
B. -80
C. 40
D. -40
答案：A
解析：答案: A

【解析】 $\left(a_{0}+a_{2}+a_{4}\right)^{2}-\left(a_{1}+a_{3}\right)^{2}=\left(a_{0}+a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}\right) \cdot\left(a_{0}-a_{1}+a_{2}-a_{3}+a_{4}\right)=$ $(2+\sqrt{3})^{4}(-2+\sqrt{3})^{4}=(-4+3)^{4}=1$, 故选 A.
题目（高三 · 算术）：用三段论推理: “任何实数的平方大于 0 , 因为 $a$ 是实数, 所以 $a^{2}>0$ ”, 你认为这个推理 ( )
选项：
A. 大前提错误
B. 小前提错误
C. 推理形式错误
D. 是正确的
答案：A
解析：解析: 解答: 要分析一个演绎推理是否正确, 主要观察所给的大前提, 小前提和结论是否正确, 根据三个方面都正确, 才能得到结论. 在本题中, 因为任何实数的平方大于 0 , 因为 $a$是实数, 所以 $a^{2}>0$, 大前提为: 任何实数的平方大于 0 是不正确的, 0 的平方就不大于 0 . 故选 A.

分析: 本题主要考查了演绎推理的基本方法, 解决问题的关键是根据演绎推理的基本方法结合三段论进行分析即可.
题目（高三 · 算术）：根据给出的数塔猜测 $123456 \times 9+7=（ \quad)$

$1 \times 9+2=11$

$12 \times 9+3=111$

$123 \times 9+4=1111$

$1234 \times 9+5=11111$

$12345 \times 9+6=111111$

......
选项：
A. 1111110
B. 1111111

C. 1111112
D. 111113
答案：B
解析：解析：解答：由数塔等号右侧数字规律易得 $123456 \times 9+7=1111111$.

分析: 本题主要考查了归纳推理, 解决问题的关键是根据所给数列的规律进行归纳即可.
题目（高三 · 组合数学）：高二年级的三个班去甲, 乙, 丙, 丁四个工厂参加社会实践, 但去何工厂可自由选择, 甲工厂必须有班级要去, 则不同的分配方案有( )
选项：
A. 16 种
B. 18 种
C. 37 种
D. 48 种
答案：C
解析：答案: C

【解析】 方法一: 满足题意的不同的分配方案有以下三类:

(1)三个班中只有一个班去甲工厂有 $\mathrm{C}_{3}^{1} \times 3^{2}=27$ 种方案; (2)三个班中只有两个班去甲工厂有 $\mathrm{C}_{3}^{2} \times 3=9$ 种方案; (3)三个班都去甲工厂, 有 1 种方案. 综上可知, 共有 $27+9+1=37$ 种不同方案, 故选 C.

方法二：高二年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，有 $4^{3}$ 种不同的分配方案, 若三个班都不去甲工厂, 则有 $3^{3}$ 种不同的分配方案, 则满足条件的不同的分配方案有 $4^{3}-3^{3}=37$ 种, 故选 C.
题目（高三 · 组合数学）：4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动, 则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 (
选项：
A. $\frac{1}{8}$
B. $\frac{3}{8}$
C. $\frac{5}{8}$
D. $\frac{7}{8}$
答案：D
解析：答案: D

【解析】 方法一: 4 为同学各自在周六、日任选一天参加公益活动共有 $2^{4}=16$ (种)结果,而周六、日都有同学参加公益活动有两种情况:(1)一天一人,另一天三人, $\mathrm{C}_{4}^{1} \mathrm{C}_{2}^{2}=8$ (种);(2)每天二人, 有 $\mathrm{C}_{4}^{2}=6$ (种), 所以 $P=\frac{8+6}{16}=\frac{7}{8}$.

方法二(间接法): 4 位同学各自在周六、日任选一天参加公益活动,共有 $2^{4}=16$ (种)结果,而 4 人都选周六或周日有 2 种结果, 所以 $P=1-\frac{2}{16}=\frac{7}{8}$.
题目（高三 · 组合数学）：体育场南侧有 4 个大门, 北侧有 3 个大门,某学生到该体育场练跑步, 则他进出门的方案有
选项：
A. 12 种
B. 7 种
C. 24 种
D. 49 种
答案：D
解析：答案: D

【解析】 第一步, 他进门, 有 7 种选择; 第二步, 他出门, 有 7 种选择. 根据分步乘法计数原理可得他进出门的方案有 $7 \times 7=49$ (种).
题目（高三 · 组合数学）：王刚同学衣服上左、右各有一个口袋,左边口袋里装有 30 个英语单词卡片,右边口袋里装有 20 个英语单词卡片, 这些英语单词卡片都互不相同,则从两个口袋里任取一张英语单词卡片,不同取法的种数为()
选项：
A. 20
B. 30
C. 50
D. 600
答案：C
解析：答案: C
【解析】从口袋里任取一张英语单词卡片的方案分两类:

第一类:从左边口袋里取一张英语单词卡片, 有 30 种不同的取法;

第二类: 从右边口袋里取一张英语单词卡片, 有 ${ }^{20}$ 种不同的取法. 由分类加法计数原理知, 从两个口袋里任取一张英语单词卡片的取法种数为 $30+20=50$.
题目（高三 · 组合数学）：从 6 人中选出 4 人分别参加 2018 年北京大学举办的数学、物理、化学、生物暑期夏令营,每人只能参加其中一项, 其中甲、乙两人都不能参加化学比赛, 则不同的参赛方案的种数为
选项：
A. 94
B. 180
C. 240
D. 286
答案：C
解析：答案: C

【解析】 第一步, 因为甲、乙两人都不能参加化学比赛. 所以从剩下的 4 人中选 1 人参加化学比赛.共有 4 种选法;

第二步,在剩下的 5 人中任选 3 人参加数学、物理、生物比赛,共有 $5 \times 4 \times 3=60$ 种选法.

由分步乘法计数原理,得不同的参赛方案的种数为 $4 \times 60=240$,故选 C.
题目（高三 · 组合数学）：甲与其四位同事各有一辆私家车, 车牌尾数分别是 $0 、 0 、 2 、 1 、 5$, 为遵守当地某月 5 日至 9 日 5 天的限行规定(奇数日车牌尾数为奇数的车通行, 偶数日车牌尾数为偶数的车通行), 五人商议拼车出行, 每天任选一辆符合规定的车, 但甲的车最多只能用一天, 则不同的用车方案种数为( )
选项：
A. 5
B. 24
C. 32
D. 64
答案：D
解析：答案: D

【解析】 5 日至 9 日,分别为 $5,6,7,8,9$, 有 3 天奇数日, 2 天偶数日,第一步安排奇数日出行,每天都有 2 种选择, 共有 $2^{3}=8$ 种, 第一步安排偶数日出行分两类, 第一类, 先选 1 天安排甲的车, 另外一天安排其他车, 有 $2 \times 2=4$ 种, 第二类, 不安排甲的车, 每天都有 2 种选择, 共有 $2^{2}=4$ 种, 共计 4 ? 4 ? $=8$, 根据分布计数原理, 不同的用车方案种数共有 $8 \times 8=64$. 故选 D.
题目（高三 · 组合数学）：六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲, 则不同的排法共有 ( )
选项：
A. 192 种
B. 216 种
C. 240 种
D. 288 种
答案：B
解析：答案: B

【解析】 若最左端排甲, 其他位置共有 $A_{5}^{5}=120$ (种) 排法; 若最左端排乙, 最右端共有 4 种排法,其余 4 个位置有 $A_{4}^{4}=24$ (种)排法,所以共有 $120+4 \times 24=216$ (种)排法。
题目（高三 · 组合数学）：某单位安排 7 位员工在 10 月 1 日至 7 日值班,每天安排 1 人,每人值班 1 天。若 7 位员工中的甲、乙排在相邻两天,丙不排在 10 月 1 日,丁不排在 10 月 7 日,则不同的安排方案共有( )
选项：
A. 504 种
B. 960 种
C. 1008 种
D. 1108 种
答案：C
解析：答案: C


甲乙排中间,丙排 7 号或不排 7 号,共有 $4 A_{2}^{2}\left(A_{+}^{+}+A_{3}^{2} A_{3}^{1} A_{3}^{3}\right)$ 种方法,故共有 1008 种不同的排法.故选 C.

3.答案: A

【解析】 安排人员去甲地可分为两步: 第一步安排教师, 有 ${ }^{1}$ 种方案; 第二步安排学生, 有 ${ }^{2}$ 种方案.其余的教师和学生去乙地,所以不同的安排方案共有 $C_{2}^{1} C_{4}^{R}=12$ 种,选 A.
题目（高三 · 组合数学）：将 2 名教师, 4 名学生分成 2 个小组,分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动, 每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成,不同的安排方案共有( )
选项：
A. 12 种
B. 10 种
C. 9 种
D. 8 种
答案：A
解析：安排人员去甲地可分为两步: 第一步安排教师, 有 ${ }^{1}$ 种方案; 第二步安排学生, 有 ${ }^{2}$ 种方案.其余的教师和学生去乙地,所以不同的安排方案共有 $C_{2}^{1} C_{4}^{R}=12$ 种,选 A.
题目（高三 · 组合数学）：从 $1,2,3, \ldots, 9$ 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数, 其和为偶数, 则不同的取法共有 ( )
选项：
A. 60 种
B. 63 种
C. 65 种
D. 66 种
答案：D
解析：答案: D

【解析】 共有 4 个不同的偶数和 5 个不同的基数,要使和为偶数, 则 4 个数全为奇数,或全为偶数,或 2 个奇数、 2 个偶数,故不同的取法有 $C_{5}^{4}+C_{4}^{4}+C_{5}^{2} C_{4}^{2}=66$ (种)。
题目（高三 · 组合数学）：从 1,3,5,7,9 这五个数中, 每次取出两个不同的数作为 $a, b$, 共可得到 $\lg a-1 \mathrm{l} b$ 的不同值的个数是( )
选项：
A. 9
B. 10
C. 18
D. 20
答案：C
解析：答案: C

【解析】 从 1,3,5,7,9 中,每次取出两个不同的数作为 $a, b$, 可以得到不同的差式 $\lg a-\lg b$ 共计 $A_{5}^{2}=20$ 个, 但其中 $\lg 9-\lg 3=\lg 3-\lg 1, \lg 3-\lg 9=\lg 1-\lg 3$, 故不同的值只有 18 个.
题目（高三 · 组合数学）：如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图.公司在年初分配给 $A, B, C, D$ 四个维修点某种配件各 50 件.在使用前发现需将 $A, B, C, D$ 四个维修点的这批配件分别调整为 $40,45,54,61$ 件,但调整只能在相邻维修点之间进行,那么要完成上述调整,最少的调动件次 $(n$ 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为 $n$ )为 ( )


选项：
A. 18
B. 17
C. 16
D. 15
答案：C
解析：答案: C
【解析】只需 $A$ 处给 $D$ 处 10 件, $B$ 处给 $C$ 处 5 件, $C$ 处给 $D$ 处 1 件, 共 16 件次,故选 C.
题目（高三 · 组合数学）：某班级需要把 6 名同学安排到周一、周二、周三这三天值日, 每天安排 2 名同学,已知甲不能安排到周一,乙和丙不能安排到同一天,则安排方案的种数为( )
选项：
A. 24
B. 36
C. 48
D. 72
答案：C
解析：答案: C

【解析】 根据题意, 分 2 种情况讨论:

(1)甲、乙、丙三人分在不同的三天值班，

甲可以分在周二、周三, 有 2 种安排方法, 将乙、丙全排列,分在其他 2 天, 有 $A_{2}^{2}=3$ 种安排方法,

剩余的 3 人,全排列,安排在周一、周二、周三这三天,有 $A_{3}^{3}=6$ 种安排方法,

则此时有 $2 \times 2 \times 6=24$ 种安排方法;

(2), 甲和乙、丙中的 1 人, 安排在同一天值班,

在乙、丙中选出 1 人，和甲一起分在周二、周三值班，有 $2 \times 2=4$ 种情况，

剩余 4 人,平均分成 2 组,有 $\frac{1}{2} C_{4}^{2}=3$ 种分组方法,

再将 2 组全排列,对应剩下的 2 天值班, 有 $A_{2}^{2}=2$ 种安排方法,

则此时有 $4 \times 3 \times 2=24$ 种安排方法;

则有 $24+24=48$ 种不同的安排方案,

故选: C.
题目（高三 · 组合数学）：某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言, 要求甲、乙两名同学至少有一人参加,且若甲、乙同时参加,则他们发言时不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为( )
选项：
A. 360
B. 520
C. 600
D. 720
答案：C
解析：答案: C

【解析】 分两类:第一类,甲、乙中只有一人参加,则有 $\mathrm{C}_{2}^{1} \mathrm{C}_{5}^{3} \mathrm{~A}_{4}^{4}=2 \times 10 \times 24=480$ 种选法.
第二类,甲、乙都参加时,则有 $C_{5}^{2}\left(\hat{A}_{4}^{4}-\hat{A}_{2}^{2} \hat{A}_{3}^{3}\right)=10 \times(24-12)=120$ 种选法.

$\therefore$ 共有 $480+120=600$ 种选法.
题目（高三 · 组合数学）：将 3 本相同的语文书和 2 本相同的数学书分给四名同学, 每人至少 1 本, 不同的分配方法数为( )
选项：
A. 24
B. 28
C. 32
D. 36
答案：B
解析：答案: B

【解析】 第一类, 先选 1 人得到两本语文书, 剩下的 3 人各得本, 有 $\mathrm{C}_{4}^{1} \mathrm{C}_{3}^{1}=12$ 种; 第二类,

先选 1 人得到一本语文书和一本数学书, 剩下的 3 人各得一本, 有 ${ }^{C_{4}^{1} C_{3}^{1}}=12$ 种; 第三类,先选 1 人得到两本数学书, 剩下的 3 人各得一本, 有 ${ }^{1}=4$ 种, 根据分类加法计数原理可得共有 $12+12+4=28$ 种方法, 故选 B.
题目（高三 · 组合数学）：在航天员进行的一项太空实验中, 要先后实施 6 个程序, 其中程序 $A$ 只能出现在第一步或最后一步, 程序 $B$ 和 $C$ 实施时必须相邻, 请问实验顺序的编排方法共有 ( )
选项：
A. 24 种
B. 48 种
C. 96 种
D. 144 种
答案：C
解析：答案: C

【解析】 由题意知程序 $A$ 只能出现在第一步或最后一步, $\therefore$ 从第一个位置和最后一个位置选一个位置把 $A$ 排列, 有 $A_{2}^{1}=2$ 种方法, $\mathrm{Q}$ 程序 $B$ 和 $C$ 实施时必须相邻, $\therefore$ 把 $B$ 和 $C$ 看作一个元素, 同除 $A$ 外的 3 个元素排列, 注意 $B$ 和 $C$ 之间还有一个排列, 共有 $A_{4}^{4} A_{2}^{2}=48$ 种方法,根据分步乘法计数原理知共有 $2 \times 48=96$ 种编排方法, 故选 C.
题目（高三 · 组合数学）：$\left(x-\frac{1}{x}\right)^{16}$ 的二项展开式中, 第 4 项是 ( )
选项：
A. 1
B. -1
C. 0
D. 2
答案：C
解析：答案: C

【解析】 展开式的通项为 $T_{\mathrm{r+1}}=\mathrm{C}_{1 \mathrm{r}}^{\mathrm{r}} \cdot x^{1 \mathrm{kr}} \cdot\left(-\frac{1}{x}\right)^{r}=(-1)^{r} \cdot \mathrm{C}_{1 \mathrm{k}}^{\mathrm{r}} \cdot x^{16-1 \mathrm{x}}$, 所以第 4 项为 $T_{4}=(-1)^{3} \times C_{16}^{3} x^{10}=-C_{16}^{3} x^{10}$. 故选 C.
题目（高三 · 组合数学）：若二项式 $\left(2 x-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{n}\left(n \in \mathrm{N}^{*}\right)$ 的展开式中第 2 项与第 3 项的二项式系数比是 $2: 5$, 则 $x^{3}$ 的系数为( )
选项：
A. ${ }^{2}{ }_{16}^{12}$
B. $\mathrm{C}^{3}{ }^{3} x^{10}$
C. $\mathrm{C}^{3} x^{10}$
D. ${ }^{4} x^{4} x^{8}$
答案：C
解析：答案: C

【解析】 二项展开式的第 $r+1$ 项的通项公式为 $T_{r+1}=C_{n}^{n}(2 x)^{n-r}\left(-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{r}$
由展开式中第 2 项与第 3 项的二项式系数之比是 $2: 5$, 可得: $C_{n}^{1}: C_{n}^{2}=2: 5$.

解得: $n=6$.

所以 $T_{r+1}=C_{n}^{r}(2 x)^{n-r}\left(-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{r}=C_{r}^{r} 2^{r-r}(-1)^{r} x^{r-\frac{3}{2}}$

令 $6-\frac{3}{2} r=3$, 解得: $r=2$,

所以 $x^{3}$ 的系数为 $C_{6}^{2} 2^{-12}(-1)^{2}=240$

故选 C.
题目（高三 · 组合数学）：我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表, 即杨辉三角, 这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角” 中, 第 $n$ 行的所有数字之和为 $2^{2^{n-1}}$, 若去除所有为 1 的项, 依次构成数列 $2,3,3,4,6,5,10,10,5, \cdots$, 则此数列的前 55 项和为 ( )


选项：
A. 4072
B. ${ }^{2026}$
C. ${ }^{4096}$
D. ${ }^{2048}$
答案：A
解析：答案:A

【解析】记数列 $2,3,3,4,6,5,10,10,5, \cdots$ 为 $\left\{a_{n}\right\}, n \in N^{*}$, 则在杨辉三角中, 第3行出现 $\left\{a_{n}\right\}$ 中的1 项, 第4行出现 $\left\{a_{n}\right\}$ 中的2项, 第5行出现 $\left\{a_{n}\right\}$ 中的3项, $\cdots$,第n行出现 $\left\{a_{n}\right\}$ 中的 ${ }^{(n-2)}$ 项, 设第55项出现在第 $n+1$ 行 $(n>2)$, 则 $1+2+3+\cdots+(n-1) .55$, 解得 $n \ldots 11, \therefore$ 第55项出现在第12 行从右向左数第 2 个. 又在“杨辉三角” 中, 第 $n$ 行的数字之和为 $2^{n-1}$, 从第二行起每一行再减去 2 个 $1, \therefore$ 前 55 项的和为 $2^{0}+2^{1}+2^{2}+\cdots+2^{11}-1-2 \times 11=4072$, 故选A.
题目（高三 · 组合数学）：我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中记录了一个由数字构成的三角形数表,我们通常称之为杨辉三角. 以下数表的构造思路就来源于杨辉三角.



从第二行起, 每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和, 表中最后一行仅有一个数 $\mathrm{a}$, 则 $\mathrm{a}$的值为( )
选项：
A. $2018 \times 2^{1008}$
B. $2018 \times 2^{1009}$
C. $2020 \times 2^{1008}$
D. $2020 \times 2^{1009}$
答案：C
解析：答案:C

【解析】观察数表中每一行的数, 第 1 行共 1010 个数, 第 1 个数是 $1 \times 2^{0}$ : 第 2 行共 1009 个数, 第 1 个数是 $2 \times 2^{1}$; 第 3 行共 1008 个数, 第 1 个数是 $3 \times 2^{2}$; 第 4 行共 1007 个数, 第 1 个数是 $4 \times 2^{3} ; \ldots$ 第 1010 行共 1 个数, 这个数是 $1010 \times 2^{1009}=2020 \times 2^{1008}$ 。
题目（高三 · 组合数学）：以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角”.

$\begin{array}{llllllllllll}1 & 2 & 3 & 4 & 5 & \cdots \cdots & 2013 & 2014 & 2015 & 2016\end{array}$

$\begin{array}{llllllllll}3 & 5 & 7 & 9 & \cdots \cdots & 4027 & 4029 & 4031\end{array}$

$\begin{array}{llllll}8 & 12 & 16 & \cdots \cdots & 8056 \quad 8060\end{array}$

$\begin{array}{llll}20 & 28 & \cdots \cdots & 16116\end{array}$

该表由若干行数字组成, 从第二行起, 每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和, 表中最后一行仅有一个数, 则这个数为 ( )
选项：
A. $2017 \times 2^{2015}$
B. $2017 \times 2^{2014}$
C. $2016 \times 2^{2015}$
D. $2016 \times 2^{2014}$
答案：B
解析：答案:B

【解析】由题意得, 数表的第一行有 2016 个数, 第二行有 2015 个数, ..., 所以最后一行有 1 个数, 最后一行为第 2016 行. 数表的每一行都是等差数列, 且第一行公差为 1 , 第二行公差为

2 , 第三行公差为 $4, \cdots$, 第 2015 行公差为 $2^{2014}$. 第一行的第一个数为 $2 \times 2^{-1}$, 第二行的第一个数为 $3 \times 2^{0}$, 第三行的第一个数为 $4 \times 2^{1}, \ldots$, 第 $\mathrm{n}$ 行的第一个数为 $(n+1) \times 2^{n-2}$, 第 2016 行只有数 $M=(1+2016) \times 2^{2014}=2017 \times 2^{2014}$, 故选 B.
题目（高三 · 立体几何学）：设是空间的三条直线, 给出以下五个命题:

(1)若 $\mathrm{A} \perp \mathrm{b}, \mathrm{b} \perp \mathrm{c}$, 则 $\mathrm{a} \perp \mathrm{c}$;

(2)若 $a 、 b$ 是异面直线, $b 、 c$ 是异面直线, 则 $a 、 c$ 也是异面直线;

(3)若 $\mathrm{a}$ 和 b 相交, b 和 $\mathrm{c}$ 相交, 则 $\mathrm{a}$ 和 $\mathrm{c}$ 也相交;

(4)若 $\mathrm{a}$ 和 b 共面, b 和 $c$ 共面, 则 $\mathrm{a}$ 和 $\mathrm{c}$ 也共面;

(5)若 $\mathrm{a} / / \mathrm{b}, \mathrm{b} / / \mathrm{c}$, 则 $\mathrm{a} / / \mathrm{c}$;

其中正确的命题的个数是 ( )
选项：
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：B
解析：(1)若 $a \perp b, b \perp c$, 则 $a \perp c$, 垂直于同一直线的两条直线相交、平行、异面皆有可能, 故命题不正确;(2)若 $a 、 b$ 是异面直线, $b 、 c$ 是异面直线，则 $a 、 c$ 也是异面直线，与同一直线异面的两直线可能是平行的, 即异面关系不具有传递性, 故命题不正确;(3)若 $\mathrm{a}$ 和 $\mathrm{b}$ 相交, $\mathrm{b}$ 和 $\mathrm{c}$ 相交, 则 $\mathrm{a}$ 和 $\mathrm{c}$ 也相交, 相交关系不具有传递性,故命题不正确;(4)若 $\mathrm{a}$ 和 $\mathrm{b}$ 共面, $\mathrm{b}$ 和 $\mathrm{c}$ 共面, 则 $\mathrm{a}$ 和 $\mathrm{c}$ 也共面, 线线间共面关系不具有传递性, $a \| b, b$ 与 $c$ 相交, 则 $a, c$ 可以是异面关系, 故命题不正确;(5)若 $a\|b ， b\| c$ ，则 $a \| c ，$ 此是空间两直线平行公理，是正确命题;综上，仅有(5)正确.故选 B.
题目（高三 · 立体几何学）：设点 $M$ 的柱坐标为 $\left(\sqrt{2}, \frac{5 \pi}{4}, \sqrt{2}\right)$, 则它的球坐标为 ( )

$$
\text {
选项：
A. }\left(2, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right) \text { B. }\left(2, \frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right) \text { C. }\left(2, \frac{5 \pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right) \text { D. }\left(2, \frac{3 \pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)
$$
答案：B
解析：解析: 解答: 设点 $M$ 的直角坐标为 $(x, y, z)$, 则 $\left\{\begin{array}{c}x=\sqrt{2} \cos \frac{5 \pi}{4}, \\ y=\sqrt{2} \sin \frac{5 \pi}{4} \\ z=\sqrt{2},\end{array}\right.$ 故 $\left\{\begin{array}{c}x=-1, \\ y=-1, \\ z=\sqrt{2}\end{array}\right.$.点 $M$ 的球坐标为 $(\rho, \varphi, \theta)$,

则 $\rho=\sqrt{(-1)^{2}+(-1)^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=2$, 由 $\sqrt{2}=2 \cos \varphi$ 知 $\varphi=\frac{\pi}{4}$,

又 $\tan \theta=\frac{-1}{-1}=1$, 故 $\theta=\frac{5 \pi}{4}$,

故点 $M$ 的球坐标为 $\left(2, \frac{\pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)$.

分析: 本题主要考查了柱坐标系与球坐标系, 解决问题的关键是根据柱坐标系与球坐标系的关系转化计算即可
题目（高三 · 立体几何学）：若点 $P$ 的柱坐标为 $\left(2, \frac{\pi}{6}, \sqrt{3}\right)$, 则 $P$ 到直线 $O y$ 的距离为 $(\quad)$
选项：
A. 1
В . 2
C. $\sqrt{3}$
D. $\sqrt{6}$
答案：D
解析：解析: 解答: 由于点 $P$ 的柱坐标为 $(\rho, \theta, z)=\left(2, \frac{\pi}{6}, \sqrt{3}\right)$, 故点 $P$ 在平面 $x O y$ 内的射影 $Q$ 到直线 $O y$ 的距离为 $\rho \cos \frac{\pi}{6}=\sqrt{3}$, 结合图形, 得 $P$ 到直线 $O y$ 的距离为 $\sqrt{6}$.

分析: 本题主要考查了柱坐标刻画点的位置, 解决问题的关键是根据柱坐标刻画点的位置转化为极坐标方程分析即可
题目（高三 · 立体几何学）：已知点 $P_{1}$ 的球坐标为 $\left(4, \frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{3}\right), P_{2}$ 的柱坐标为 $\left(2, \frac{\pi}{6}, 1\right)$, 则 $\left|P_{1} P_{2}\right|=(\quad)$
选项：
A. $\sqrt{21}$
B. $\sqrt{29}$
C. $\sqrt{30}$
D. $4 \sqrt{2}$
答案：A
解析：解析: 解答: 设点 $P_{1}$ 的直角坐标为 $\left(x_{1}, y_{1}, z_{1}\right)$,

则 $\left\{\begin{array}{c}x_{1}=4 \sin \frac{\pi}{2} \cos \frac{5 \pi}{3}, \\ y_{1}=4 \sin \frac{\pi}{2} \sin \frac{5 \pi}{3}, \\ z_{1}=4 \cos \frac{\pi}{2}\end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{c}x_{1}=2, \\ y_{1}=-2 \sqrt{3}, \\ z_{1}=0 .\end{array}\right.$

故 $P_{1}(2,-2 \sqrt{3}, 0)$,

设点 $P_{2}$ 的直角坐标为 $\left(x_{2}, y_{2}, z_{2}\right)$,

故 $\left\{\begin{array}{c}x_{2}=2 \cos \frac{\pi}{6}, \\ y_{2}=2 \sin \frac{\pi}{6}, \\ z_{2}=1\end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{c}x_{2}=\sqrt{3}, \\ y_{2}=1, \\ z_{2}=1 .\end{array}\right.$

故 $P_{2}(\sqrt{3}, 1,1)$.

则 $\left|P_{1} P_{2}\right|=\sqrt{(2-\sqrt{3})^{2}+(-2 \sqrt{3}-1)^{2}+(0-1)^{2}}=\sqrt{21}$.

分析: 本题主要考查了柱.球坐标系与空间直角坐标系的区别, 解决问题的关键是根据柱.
球坐标系与空间直角坐标系的区别分析计算即可
题目（高三 · 立体几何学）：如图, 一个底面半径为 2 的圆柱被与其底面所成角是 $30^{\circ}$ 的平面所截,截面是一个粗圆，则该粗圆的离心率等于（）


选项：
A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{4}$
答案：C
解析：$ecause$ 底面半径为 2 的圆柱被与底面成 $30^{\circ}$ 的平面所截, 其截口是一个椭圆, $	herefore$ 这个粗圆的短半轴长为 2 , 长半轴长为 $rac{2}{\cos 30^{\circ}}=rac{4 \sqrt{3}}{3}, ecause a^{2}=b^{2}+c^{2}, \quad 	herefore c=\sqrt{\left(rac{4}{3} \sqrt{3}ight)^{2}-2^{2}}=rac{2 \sqrt{3}}{3}$, $	herefore$ 椭圆的离心率为: $e=rac{c}{a}=rac{1}{2}$. 故选 $C$.
题目（高三 · 立体几何学）：六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体。如, 在平行四边形 $A B C D$ 中, 有 $A C^{2}+B D^{2}=2\left(A B^{2}+A D^{2}\right)$, 那么在图 (2) 的平行六面体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中有 $A C_{1}^{2}+B D_{1}^{2}+C A_{1}{ }^{2}+D B_{1}{ }^{2}$ 等于 $(\quad)$

选项：
A. $2\left(A B^{2}+A D^{2}+A A_{1}^{2}\right)$
B. $3\left(A B^{2}+A D^{2}+A A_{1}^{2}\right)$
C. $4\left(A B^{2}+A D^{2}+A A_{1}^{2}\right)$
D. $3\left(A B^{2}+A D^{2}\right)$
答案：C
解析：解析: 解答: 平行四边形 $A B C D$ 中, 有 $A C^{2}+B D^{2}=2\left(A B^{2}+A D^{2}\right)$, 两对角线的平方和等于两邻边平方和的两倍, 其中的 2 倍代表的是两条对角线, 类比平面图形, 在空间图形中, 对角线的平方和等于三条邻边的平方和的 4 倍。 4 倍代表是的 4 条对角线。分析: 本题主要考查了类比推理, 解决问题的关键是根据所给平面图形的性质通过类比推理得到空间几何体的有关性质.
题目（高三 · 立体几何学）：由“在平面内三角形的内切圆的圆心到三边的距离相等”联想到“在空间中内切于三棱锥的球的球心到三棱雉四个面的距离相等”这一推理过程是 ( )
选项：
A.归纳推理
B.类比推理
C. 演绎推理
D. 联想推理
答案：B
解析：解析：解答：圆的圆心 $\Rightarrow$ 三棱雉的球的球心，相同类型，用类比方法

分析: 本题主要考查了类比推理, 解决问题的关键是根据所给定义运用类比推理方法解决即可.