eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（八年级 · 立体几何学）：等腰三角形的一边等于 4 , 一边等于 9 , 则它的周长等于 ( )
选项：
A. 22
B. 17
C. 22 或 17
D. 16 或 21
答案：A
题目（八年级 · 立体几何学）：$\triangle A B C$ 为等边三角形, 点 $D$ 在线段 $B C$ 上, 且 $\angle B A D=20^{\circ}$, 则 $\angle A D C$ 的度数是 ( )
选项：
$40^{\circ}$
B. $60^{\circ}$
C. $80^{\circ}$
D. $100^{\circ}$
答案：C
题目（八年级 · 立体几何学）：下列数据中, 能作为三角形的三条边长的是 ( )
选项：
$1 \mathrm{~cm}, 2 \mathrm{~cm}, 4 \mathrm{~cm}$
B. $8 \mathrm{~cm}, 6 \mathrm{~cm}, 4 \mathrm{~cm}$
C. $12 \mathrm{~cm}, 6 \mathrm{~cm}, 6 \mathrm{~cm}$
D. $2 \mathrm{~cm}, 2 \mathrm{~cm}, 6 \mathrm{~cm}$
答案：B
题目（八年级 · 立体几何学）：若一个多边形的每个内角都是 $108^{\circ}$, 则这个多边形的内角和为
选项：
A. $360^{\circ}$
B. $540^{\circ}$
C. $720^{\circ}$
D. $900^{\circ}$
答案：B
解析：解: : 多边形的每个内角都是 $108^{\circ}$, $\therefore$ 每个外角是 $180^{\circ}-108^{\circ}=72^{\circ}$, $\therefore$ 这个多边形的边数是 $360^{\circ} \div 72^{\circ}=5$, $\therefore$ :这个多边形是五边形,则此多边形的内角和为 $(5-2) \times 180^{\circ}=540^{\circ}$.
题目（八年级 · 立体几何学）：下列条件中, 不能判断 $\triangle A B C$ 为直角三角形的是 ( )
选项：
$A B=15, B C=8, A C=17$
B. $A B: B C: A C=2: 3: 4$
C. $\angle A-\angle B=\angle C$
D. $\angle A: \angle B: \angle C=1: 2: 3$
答案：B
题目（八年级 · 立体几何学）：下列生活实例中, 利用了 “三角形稳定性” 的是 ( )
选项：

B.


c.


D.


答案：B
题目（八年级 · 立体几何学）：下列三条线段能组成三角形的是 $(\quad)$
选项：
A. $2 \mathrm{~cm}, 3 \mathrm{~cm}, 4 \mathrm{~cm}$
B. $1 \mathrm{~cm}, 2 \mathrm{~cm}, 3 \mathrm{~cm}$
C. $1 \mathrm{~cm}, 2 \mathrm{~cm}, 4 \mathrm{~cm}$
D. $1 \mathrm{~cm}, 1 \mathrm{~cm}, 3 \mathrm{~cm}$
答案：A
题目（八年级 · 立体几何学）：下列四组数, 可作为直角三角形三边长的是 ( )
选项：
$4 \mathrm{~cm} 、 5 \mathrm{~cm} 、 6 \mathrm{~cm}$
B. $1 \mathrm{~cm} 、 2 \mathrm{~cm} 、 3 \mathrm{~cm}$
C. $2 \mathrm{~cm} 、 3 \mathrm{~cm} 、 4 \mathrm{~cm}$
D. $5 \mathrm{~cm} 、 12 \mathrm{~cm} 、 13 \mathrm{~cm}$
答案：D
题目（八年级 · 立体几何学）：若等腰三角形腰上的高等于腰长的一半, 那么等腰三角形的顶角等于（）.
选项：
$60^{\circ}$ 或 $120^{\circ}$
B. $30^{\circ}$ 或 $150^{\circ}$
C. $150^{\circ}$
D. $30^{\circ}$
答案：B
题目（八年级 · 立体几何学）：下列每组数分别是三根木棒的长度, 能用它们首尾相连摆成一个三角形的是 ( )
选项：
A. $3 \mathrm{~cm}, 4 \mathrm{~cm}, 8 \mathrm{~cm}$
B. $8 \mathrm{~cm}, 7 \mathrm{~cm}, 15 \mathrm{~cm}$
C. $5 \mathrm{~cm}, 5 \mathrm{~cm}, 11 \mathrm{~cm}$
D. $13 \mathrm{~cm}, 12 \mathrm{~cm}, 20 \mathrm{~cm}$
答案：D
题目（八年级 · 立体几何学）：下列生活实例中, 利用了 “三角形稳定性” 的是（）
选项：

B.


C.


D.


答案：B
题目（八年级 · 立体几何学）：若等腰三角形有两条边的长度为 3 和 1 , 则此等腰三角形的周长为 ( )
选项：
A. 5
B. 7
C. 5 或 7
D. 6
答案：B
题目（八年级 · 立体几何学）：一个多边形截去一个角后, 形成另一个多边形的内角和为 $900^{\circ}$, 那么原多边形的边数为 $($ )
选项：
A. 5
B. 5 或 6
C. 6 或 7 或 8
D. 7 或 8 或 9
答案：C
解析：设原多边形为 $n$ 边形, 则当 $n$ 多边形截去一个角后, 可形成 $(n-1)$ 或 $n$ 或 $(n+1)$ 边形,

$\therefore(n-1-2) \times 180^{\circ}=900^{\circ}$ 或 $(n-2) \times 180^{\circ}=900^{\circ}$ 或 $(n+1-2) \times 180^{\circ}=900^{\circ}$,

解得 $n=8$ 或 7 或 6,

故选: $C$.
题目（八年级 · 立体几何学）：将一张平行四边形纸片折一次, 使得折痕平分这个平行四边形的面积, 则这样的折纸方法有 ( ).
选项：
A. 1 种
B. 2 种
C. 3 种
D. 无数种
答案：D
解析：因为平行四边形是中心对称图形, 任意一条过平行四边形对角线交点的直线都平分平行四边形的面积, 则这样的折纸方法共有无数种.

故选 $D$.
题目（八年级 · 立体几何学）：下列能判定一个四边形为平行四边形的条件是( )
选项：
A. 一组对边平行, 另一组对边相等
B. 一组对边平行, 一组对角互补
C. 一组对角相等, 一组邻角互补
D. 一组对角相等, 另一组对角互补
答案：C
解析：A.一组对边平行, 另一组对边相等, 也有可能是等腰梯形, 故此选项错误;

B.一组对边平行, 一组对角互补，也有可能是等腰梯形，故此选项错误;

C.一组对角相等, 一组邻角互补可得到两组对角分别相等, 所以是平行四边形, 故此选项正确;

D. 一组对角相等, 另一组对角互补, 可能是含两个直角的一般四边形, 故此选项错误.

故选 $C$.
题目（八年级 · 立体几何学）：如图, 在平行四边形 $A B C D$ 中, $\angle B=30^{\circ}$, 且 $B C=C A$, 将 $\triangle A B C$ 沿 $A C$ 翻折至 $\triangle A B^{\prime} C, A B^{\prime}$ 交 $C D$ 于点 $E$, 连接 $B^{\prime} D$.若 $A B=3 \sqrt{3}$, 则 $B^{\prime} D$ 的长度为 $(\quad)$


选项：
A. $6 \sqrt{3}$
B. $9 \sqrt{3}$
C. 6
D. 9
答案：C
解析：作 $C M \perp A B$ 于 $M$, 如图所示:

由折叠的性质得： $B^{\prime} C=B C=A C, \angle A B^{\prime} C=\angle B=\angle C A B^{\prime}=30^{\circ}, A B^{\prime}=$

$A B=C D$,

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形,

$\therefore A D=C B, A B=C D, \angle A D C=\angle B=30^{\circ}, \angle B A D=\angle B C D=180^{\circ}-\angle B=$

$150^{\circ}$,

$\therefore \angle B^{\prime} A D=150^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}$,

$\because B C=A C$,

$\therefore A M=B M=\frac{1}{2}$

$A B=\frac{3 \sqrt{3}}{2}, \angle B A C=\angle B=30^{\circ}$,

$\therefore C M=\frac{3}{2}$,

$\therefore A D=B C=2 C M=3$,

在 Rt $\triangle A B^{\prime} D$ 中, 由勾股定理得: $B^{\prime} D=\sqrt{A D^{2}+A B^{\prime 2}}=\sqrt{9+27}=6$,

故选 $C$.
题目（八年级 · 立体几何学）：在四边形 $A B C D$ 中, 若两条对角线 $A C=B D$, 且 $A C \perp B D$, 则这个四边形 $(\quad)$
选项：
A. 一定是正方形
B. 一定是菱形
C. 一定是平行四边形
D. 可能不是平行四边形
答案：D
解析：若 $A C=B D, A C \perp B D$ 的四边形 $A B C D$ 可能是平行四边形, 也可能是任意四边形.

故选 $D$.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, $\angle 1=\angle 2$, 下列条件中不能使 $\triangle A B D \cong \triangle A C D$ 的是（ ）


选项：
A. $A B=A C$
B. $\angle B=\angle C$
C. $\angle A D B=\angle A D C$
D. $D B=D C$
答案：D
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, $\triangle A B C$ 中, $A D \perp B C, A E$ 平分 $\angle B A C$, 若 $\angle B=72^{\circ}, \angle C=38^{\circ}$, 则 $\angle D A E=(\quad)$


选项：
$7^{\circ}$
B. $12^{\circ}$
C. $17^{\circ}$
D. $22^{\circ}$
答案：C
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 正方形 $A B C D$ 的边长为 1 , 其面积记为 $S_{1}$, 以 $C D$ 为斜边作等腰直角三角形, 以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形, 其面积记为 $S_{2}, \ldots$ 按此规律继续下去, 则 $S_{9}$ 的值为 ( )


选项：
A. $\left(\frac{1}{2}\right)^{9}$
B. $\left(\frac{1}{2}\right)^{8}$
C. $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{9}$
D. $\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{8}$
答案：B
解析：在图中标上字母 $E$, 如图所示.



$\because$ 正方形 $A B C D$ 的边长为 $1, \triangle C D E$ 为等腰直角三角形,
$\therefore D E^{2}+C E^{2}=C D^{2}, D E=C E$,

$\therefore S_{2}+S_{2}=S_{1}$.

观察, 发现规律: $S_{1}=1^{2}=1, S_{2}=\frac{1}{2} S_{1}=\frac{1}{2}, S_{3}=\frac{1}{2} S_{2}=\frac{1}{4}, S_{4}=\frac{1}{2} S_{3}=\frac{1}{8}, \ldots$,

$\therefore S_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$.

当 $n=9$ 时,$S_{9}=\left(\frac{1}{2}\right)^{9-1}=\left(\frac{1}{2}\right)^{8}$,

故选: $B$.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 点 $E 、 F 、 G 、 H$ 分别是四边形 $A B C D$ 的边 $A B 、 B C 、 C D 、 D A$ 的中点. 则下列说法: (1) 若



$A C=B D$, 则四边形 $E F G H$ 是菱形; (2)若 $A C \perp B D$, 则四边形 $E F G H$ 是矩形; (3)若四边形 $E F G H$是平行四边形, 则 $A C$ 与 $B D$ 互相平分: (4)若四边形 $E F G H$ 是正方形, 则 $A C$ 与 $B D$ 互相垂直且相等. 其中正确的个数是 $(\quad)$
选项：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：C
解析：$\because$ 点 $E, F, G, H$ 分别是四边形 $A B C D$ 边 $A B, B C, C D, D A$ 的中点,

$\therefore H G / / A C / / E F, H G=E F=\frac{1}{2} \mathrm{AC}$,

$\therefore$ 四边形 $A B C D$ 的中点四边形 $E F G H$ 是平行四边形, 故(3)错误;

$\because$ 点 $E, F, G, H$ 分别是四边形 $A B C D$ 边 $A B, B C, C D, D A$ 的中点,

$\therefore E H / / B D / / G F, E H=G F=\frac{1}{2} \mathrm{BD}$,

$\therefore$ 当对角线 $B D=A C$ 时, $E F=F G$, 此时中点四边形 $E F G H$ 是菱形, 故(1)正确;

当对角线 $A C \perp B D$ 时, $E F \perp F G$, 此时中点四边形 $E F G H$ 是矩形, 故(2)正确;

当对角线 $A C=B D$ 且 $A C \perp B D$ 时, $E F=F G$ 且 $E F \perp F G$, 此时中点四边形 $E F G H$ 是正方形, 故(4)正确.

$\therefore$ 正确的说法有 3 个.

故选: $C$.
题目（八年级 · 组合几何学）：在菱形 $A B C D$ 中, $\angle A B C=60^{\circ}, A B=1, E$ 为边 $B C$ 的中点. 则对角线 $B D$ 上的动点 $P$ 到 $E 、 C$两点的距离之和的最小值为 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{\sqrt{3}}{4}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $\sqrt{3}$
答案：C
解析：连接 $A C 、 A E, A E$ 交 $B D$ 于 $P$, 则此时 $P E+P C$ 最小, 连接 $C P$,



$\because$ 菱形 $A B C D$,

$\therefore O A=0 C, A C \perp B D, A B=B C$
$A$ 和 $C$ 关于 $B D$ 对称，

$\therefore A P=C P$,

$\because \angle A B C=60^{\circ}$,

$\therefore \triangle A B C$ 是等边三角形,

$\therefore A C=A B=1$,

$\because E$ 为边 $B C$ 的中点,

$\therefore A E \perp B C$,

$\therefore \angle B A E=30^{\circ}$,

$\therefore B E=\frac{1}{2}$,

根据勾股定理得: $A E=\frac{\sqrt{3}}{2}$,

$\therefore P E+P C=A E=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

故选 $C$.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 正方形纸片 $A B C D$ 的边长为 $15, E 、 F$ 分别是 $C D 、 A D$ 边上的点, 连接 $A E$, 把正方形纸片沿 $B F$ 折叠, 使点 $A$ 落在 $A E$ 上的一点 $G$, 若 $C E=7$. 则折痕 $B F$ 的长为 $(\quad)$
选项：
A. 12
B. 15
C. 17
D. 23


答案：C
解析：$\because$ 四边形 $A B C D$ 为正方形,

$\therefore A B=A D=15, \angle B A D=\angle D=90^{\circ}$,

$\because C E=7$

$\therefore D E=15-7=8$,

由折叠及轴对称的性质可知, $\triangle A B F \cong \triangle G B F, B F$ 垂直平分 $A G$,

$\therefore B F \perp A E, A H=G H$,

$\therefore \angle B A H+\angle A B H=90^{\circ}$,

又 $\because \angle F A H+\angle B A H=90^{\circ} ，$

$\therefore \angle A B H=\angle F A H$,

在 $\triangle A B F$ 与 $\triangle D A E$ 中

$$
\left\{\begin{aligned}
\angle B A F & =\angle \mathrm{ADE} \\
A B & =A D \\
\angle A B F & =\angle D A E
\end{aligned}\right.
$$

$\therefore \triangle A B F \cong \triangle D A E(A S A)$,
$\therefore A F=D E=8, B F=A E$

在Rt $\triangle A B F$ 中,

$B F=\sqrt{\mathrm{AB}^{2}+\mathrm{AF}^{2}}=\sqrt{225+64}=17$,

故选 $C$.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, $C$ 为线段 $A E$ 上一动点 (不与点 $A, E$ 重合), 在 $A E$ 同侧分别作等边 $\triangle A B C$ 和等边 $\triangle C D E$, $A D$ 与 $B E$ 交于点 $O, A D$ 与 $B C$ 交于点 $P, B E$ 与 $C D$ 交于点 $Q$, 连接 $P Q$. 则下列结论:
(1) $A D=B E ;$
(2) $P Q / / A E$
(3) $A P=B Q$;
(4) $D E=D P$;
(5) $\angle A O B=60^{\circ}$.

其中正确的是 $(\quad)$


选项：
(1)(2)(3)(4)(5)
B. (1)(2) (3)
C. (1)(2)(3)
D. (1)(2)(3)(5)
答案：D
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 在 $\triangle A B F$ 和 $\triangle D C E$ 中, 点 $E 、 F$ 在 $B C$ 上, $A F=D E, \angle A F B=\angle D E C$,添加下列一个条件后能用 “ $\mathrm{SAS}$ ” 判定 $\triangle A B F \cong \triangle D C E$ 的是（）


选项：
A. $B E=C F$
B. $\angle B=\angle C$
C. $\angle A=\angle D$
D. $A B=D C$
答案：A
题目（八年级 · 组合几何学）：为增强学生体质, 感受中国的传统文化, 学校将国家级非物质文化遗产 “抖空竹”引入阳光特色大课间. 如图是某同学 “抖空竹” 时的一个瞬间, 王聪把它抽象成如图的数学问题:已知 $A B / / C D, \angle E A B=80^{\circ}, \angle E C D=110^{\circ}$, 则 $\angle E$ 的度数为 $(\quad)$


选项：
$20^{\circ}$


答案：C
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 将 $\square A B C D$ 沿对角线 $A C$ 折叠, 使点 $B$ 落在 $B^{\prime}$ 处. 若 $\angle 1=\angle 2=44^{\circ}$, 则 $\angle B$ 为 ( )


选项：
A. $66^{\circ}$
B. $104^{\circ}$
C. $114^{\circ}$
D. $124^{\circ}$
答案：C
解析：解：反证法证明 “四边形中至少有一个内角大于或等于 $90^{\circ}$ ” 时,假设每一个内角都小于 $90^{\circ}$, 故选: $D$.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 点 $E, F$ 是平行四边形 $A B C D$ 对角线上两点, 在条件 (1) $\mathrm{DE}=\mathrm{BF}$; (2) $\angle A D E=\angle C B F$;

(3) $A F=C E$; (4) $\angle A E B=\angle C F D$ 中, 添加一个条件, 使四边形 $D E B F$ 是平行四边形, 可添加的条件是( $\quad)$


选项：
A. (1)(2)(3)
B. $(1)(2)(4)$
C. $(1)(3)(4)$
D.
(2) $(3)(4)$
答案：D
解析：解：由平行四边形的判定方法可知: 若是四边形的对角线互相平分, 可证明这个四边形是平行四边形, (1)不能证明对角线互相平分, 只有(2)(3)(4)可以.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, $\square A B C D$ 中, 点 $E 、 F$ 分别在 $A D 、 A B$ 上, 依次连接 $E B 、 E C 、 F C 、 F D$, 图中阴影部分的面积分别为 $S_{1} 、 S_{2} 、 S_{3} 、 S_{4}$, 已知 $S_{1}=2 、 S_{2}=12 、 S_{3}=3$, 则 $S_{4}$ 的值是 $(\quad)$

选项：
A. $\sqrt{2}$
B. $4 \sqrt{5}-2$
C. $4-\sqrt{5}$
D. $4 \sqrt{3}-4$
答案：A
解析：解: 设平行四边形的面积为 $S$, 则 $S_{\triangle C B E}=S_{\triangle C D F}=\frac{1}{2} S$,

由图形可知, $\triangle C D F$ 面积 $+\triangle C B E$ 面积 $+\left(S_{1}+S_{4}+S_{3}\right)-S_{2}=$ 平行四边形 $A B C D$ 的面积

$\therefore S=S_{\triangle C B E}+S_{\triangle C D F}+2+S_{4}+3-12$,

即 $S=\frac{1}{2} S+\frac{1}{2} S+2+S_{4}+3-12$,

解得 $S_{4}=7$
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 已知 $\triangle A B C$ 和 $\triangle C D E$ 都是等边三角形, $A D, B E$ 交于点 $F$, 则 $\angle A F B$ 等于 ( )


选项：
A. $50^{\circ}$
B. $60^{\circ}$
C. $45^{\circ}$
D. $70^{\circ}$
答案：B
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 已知 $\triangle A B C$ 中, $\angle 1=\angle 2, P R=P S, P R \perp A B$ 于 $R, P S \perp A C$ 于 $S$,则三个结论： (1) $A S=A R$ ； (2) $Q P / / A R$ ； (3) $\triangle B R P \cong \triangle Q S P$ 中（）


选项：
全部正确
B. (1)和(2)正确
C. 仅(1)正确
D. (1) 和(3)正确
答案：B
题目（八年级 · 组合几何学）：已知, 如图, 在 $\triangle A B C 、 \triangle A D E$ 中, $\angle B A C=\angle D A E=90^{\circ}, A B=A C, A D=A E$,点 $\mathrm{C}, \mathrm{D}, \mathrm{E}$ 三点在同一条直线上, 连接 BD, BE. 以下四个结论:
(1) $\mathrm{BD}=\mathrm{CE} ;$ ( $2 \mathrm{BD} \perp \mathrm{CE}$;
(3) $\angle \mathrm{ACE}+\angle \mathrm{DBC}=45^{\circ} ; \quad$ (4) $\mathrm{BC}=\mathrm{BD} ;$

其中结论正确的个数是 ( $\quad$ )


选项：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：C
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 点 $E$ 在 $\triangle D B C$ 的边 $D B$ 上, 点 $A$ 在 $\triangle D B C$ 内部, $\angle D A E=\angle B A C=90^{\circ}, A D=A E, A B=A C$.

给出下列结论:
(1) $B D=C E$;
(2) $\angle A B D+\angle E C B=45^{\circ}$
(3) $B D \perp C E$
(4) $B E^{2}=2\left(A D^{2}+A B^{2}\right)-C D^{2}$. 其中正确的是（ $\quad ）$


选项：
(1)(2)(3)(4)
B. (2)(4)
C. (1)(2)(3)
D. (1)(3)(4)
答案：A
题目（八年级 · 组合几何学）：如图钢架中, $\angle A=\alpha$, 焯上等长的钢条 $P_{1} P_{2}, P_{2} P_{3}, P_{3} P_{4}, \cdots \cdots$ 来加固钢架.

若 $P_{1} A=P_{1} P_{2}$, 且恰好用了 3 根钢条, 则下列各数中哪个可能是 $\alpha$ 的值（）


选项：
$25^{\circ}$
B. $20^{\circ}$
C. $15^{\circ}$
D. $30^{\circ}$
答案：A
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, $A B=A C, A D=A E, \angle B A C=\angle D A E, \angle 1=25^{\circ}, \angle 2=30^{\circ}$,连接 $B E$, 点 $D$ 恰好在 $B E$ 上, 则 $\angle 3=(\quad)$


选项：
$60^{\circ}$
B. $55^{\circ}$
C. $50^{\circ}$
D. 无法计算
答案：B
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 已知 $\angle 1=\angle 2, A C=A D$,

从 (1) $A B=A E$, (2) $B C=E D$, (3) $\angle B=\angle E$, (4) $\angle C=\angle D$

这四个条件中再选一个使 $\triangle A B C \cong \triangle A E D$, 符合条件的有 ( )


选项：
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
答案：C
题目（八年级 · 组合几何学）：在 $\triangle A B C$ 中, $D, E$ 分别是 $A C 、 B C$ 上的点, $D F \perp A B, D G \perp B C$,

连接 $D E$, 若 $D F=D G, B E=D E$, 则下面三个结论:
(1) $B F=B G$;
(2) $D E / / B F$
(3) $\triangle A D F \cong \triangle C D G$. 其中正确的是


选项：
A. (1)(3)
B. (2)(3)
C. (1)(2)
D. (1)(2)(3)
答案：C
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 用 $\angle B=\angle C, \angle 1=\angle 2$, 直接判定 $\triangle A B D \cong \triangle A C D$ 的理由是（）


选项：
AAS
B. SSS
C. ASA
D. SAS
答案：A
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 已知: $\angle M O N=30^{\circ}$, 点 $A_{1} 、 A_{2} 、 A_{3}$ 在射线 $0 N$ 上, 点 $B_{1} 、 B_{2} 、 B_{3} \cdots$. .在射线 $0 M$ 上, $\triangle A_{1} B_{1} A_{2} . \triangle A_{2} B_{2} A_{3} 、 \triangle A_{3} B_{3} A_{4} \cdots \cdots$ 均为等边三角形,若 $0 A_{1}=1$, 则 $\triangle A_{6} B_{B} A_{7}$ 的边长为 $(\quad)$.


选项：
6
B. 12
C. 32
D. 64
答案：C
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle B A C=90^{\circ}, A D$ 是高, $B E$ 是中线, $C F$ 是角平分线, $C F$ 交 $A D$ 于点 $G$, 交 $B E$ 于点 $H$, 下面说法正确的是（）
(1) $\triangle A B E$ 的面积 $=\triangle B C E$ 的面积;
(2) $\angle A F G=\angle A G F$;
(3) $\angle F A G=2 \angle A C F$;
(4) $B H=C H$.


选项：
A. (1)(2)(3)(4)
B. (1)(2)(3)
C. (2)(4)
D. (1)(3)
答案：B
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, $B D$ 是 $\triangle A B C$ 的中线, 点 $E, F$ 分别为 $B D, C E$ 的中点,

若 $\triangle A B C$ 的面积为 12. 则 $\triangle A E F$ 的面积是 ( )


选项：
2
B. 3
C. 4
D. 6
答案：B
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}$ ，直线 $D E$ 是斜边 $A B$ 的垂直平分线交 $A C$ 于 $D$.若 $A C=8, B C=6$, 则 $\triangle D B C$ 的周长为 $(\quad)$


选项：
12
B. 14
C. 16
D. 无法计算
答案：B
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 五根小木棒, 其长度分别为 $5,9,12,13 ， 15$, 现将它们摆成两个直角三角形,其中正确的是（ $\quad$
选项：
A.



B.



C.



D.


答案：C
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 一名工作人员不慎将一块三角形模具打碎成三块,

他要带其中一块或两块碎片到商店去配一块与原来一样的三角形模具, 他带（ ）去最省事.


选项：
A. (1)
B. (2)
C. (3)
D. (1)(3)
答案：C
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, $\angle B A D=\angle B C D=90^{\circ}, A B=B C$, 据此可以证明 $\triangle B A D \cong \triangle B C D$, 证明的依据是（ ）


选项：
A. AAS
B. ASA
C. SAS
D. $\mathrm{HL}$
答案：D
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, $A E / / D F, A E=D F$, 要使 $\triangle E A C \cong \triangle F D B$, 需要添加下列选项中的 ( )


选项：
$A B=C D$
B. $E C=B F$
C. $\angle A=\angle B$
D. $A B=B C$
答案：A
题目（八年级 · 组合几何学）：设 $S=\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\cdots+\sqrt{1+\frac{1}{2016^{2}}+\frac{1}{2017^{2}}}$, 则 $S$ 最接近的整数是 ( )
选项：
A. 2015
B. 2016
C. 2017
D. 2018
答案：C
解析：$\because \sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}}}$

$$
\begin{aligned}
& =\sqrt{\frac{n^{2}(n+1)^{2}+n^{2}+(n+1)^{2}}{[n(n+1)]^{2}}} \\
& =\sqrt{\frac{[n(n+1)]^{2}+2 n(n+1)+1}{[n(n+1)]^{2}}} \\
& =\sqrt{\frac{\left(n^{2}+n+1\right)^{2}}{[n(n+1)]^{2}}} \\
& =\frac{n^{2}+n+1}{n(n+1)} \\
& =1+\frac{1}{n(n+1)}
\end{aligned}
$$

$=1+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$,

$$
\begin{aligned}
& S=\sqrt{1+\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}}+\cdots+\sqrt{1+\frac{1}{2016^{2}}+\frac{1}{2017^{2}}} \\
& =\left(1+1-\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(1+\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}\right) \\
& =2016+\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{2016}-\frac{1}{2017}\right.
\end{aligned}
$$

$=2017-\frac{1}{2017}$,

所以 $S$ 最接近的整数是 2017,

故选: $C$.

先对通式进行化简, 然后将 $S$ 的各项代入计算即可.

本题考查了二次根式, 熟练运用完全平方公式是解题的关键.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, $\triangle A B C$ 是等边三角形, $A D$ 是 $B C$ 边上的高, 点 $E$ 是 $A C$ 边的中点, 点 $P$ 是 $A D$ 上的一个动点,

当 $P C+P E$ 最小时, $\angle C P E$ 的度数是 $(\quad)$


选项：
$30^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $90^{\circ}$
答案：C
题目（八年级 · 组合几何学）：下列四组多边形 (1)正三角形与正方形(2)正三角形与正十二边形(3)正方形与正六边形(4)正八边形与正方形, 其中能铺满地面的是 $(\quad)$
选项：
A. (1)(3)(4)
B. (1)(2)(4)
C. (2)(3)
D. (2)(3)(4)
答案：B
解析：(1)正三角形内角为 $60^{\circ}$, 正方形内角为 $90^{\circ}$, 可以由 3 个正三角形和 2 个正方形实现密铺;

(2)正三角形内角为 $60^{\circ}$, 正十二边形内角为 $150^{\circ}$, 可以由 1 个正三角形与 2 个正十二边形实现密铺;

(3)正六边形内角为 $120^{\circ}$, 正方形内角为 $90^{\circ}$, 正六边形和正方形无法密铺;

(4)正八边形内角为 $135^{\circ}$, 正方形内角为 $90^{\circ}, 2$ 个正八边形和 1 个正方形可以密铺;

因此能密铺地面的是(1)(2)(4).

故选 $B$.
题目（八年级 · 组合几何学）：小斌家买了一套新房正在进行装修, 星期天小斌陪父母一起到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖, 用来铺设客厅地面(需无缝), 则购买的瓷砖形状不可以是 ( )
选项：
A. 三角形地砖
B. 正方形地砖
C. 正六边形地砖
D. 正五边形地砖
答案：D
解析：A.正三角形的每个内角是 $60^{\circ}$, 能整除 $360^{\circ}$, 能用来铺设无缝地板;

B.正方形的每个内角是 $90^{\circ}$, 能整除 $360^{\circ}$, 能用来铺设无缝地板;

C.正六边形的每个内角是 $120^{\circ}$, 能整除 $360^{\circ}$, 能用来铺设无缝地板;

D. 正五边形每个内角是 $180^{\circ}-360^{\circ} \div 5=108^{\circ}$, 不能整除 $360^{\circ}$, 不能用来铺设无缝地板;

故选 $D$.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 在平行四边形 $A B C D$ 中, $\angle C=120^{\circ}, A D=2 A B=4$, 点 $H 、 G$ 分别是边 $A D 、 B C$ 上的动点. 连接 $A H 、 H G$, 点 $E$ 为 $A H$ 的中点, 点 $F$ 为 $G H$ 的中点, 连接 $E F$. 则 $E F$ 的最大值与最小值的差为 $(\quad)$


选项：
A. 1
B. $\sqrt{3}-1$
C.
D.
答案：C
解析：如图, 取 $A D$ 的中点 $M$, 连接 $C M 、 A G 、 A C$, 作 $A N \perp B C$ 于 $N$.



$\because$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形, $\angle B C D=120^{\circ}$,

$\therefore \angle D=180^{\circ}-\angle B C D=60^{\circ}, A B=C D=2$,

$\because A M=D M=D C=2$,

$\therefore \triangle C D M$ 是等边三角形,

$\therefore \angle D M C=\angle M C D=60^{\circ}, A M=M C$,

$\therefore \angle M A C=\angle M C A=30^{\circ}$,

$\therefore \angle A C D=90^{\circ}$,

$\therefore A C=2 \sqrt{3}$,

在Rt $\triangle A C N$ 中, $\because A C=2 \sqrt{3}, \angle A C N=\angle D A C=30^{\circ}$,
$\therefore A N=\frac{1}{2} A C=\sqrt{3}$,

$\because A E=E H, G F=F H$,

$\therefore E F=\frac{1}{2} A G$,

易知 $A G$ 的最大值为 $A C$ 的长, 最小值为 $A N$ 的长,

$\therefore A G$ 的最大值为 $2 \sqrt{3}$, 最小值为 $\sqrt{3}$,

$\therefore E F$ 的最大值为 $\sqrt{3}$, 最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$,

$\therefore E F$ 的最大值与最小值的差为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

故选 $C$.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 四边形 $A B C D$ 中, $\angle A=90^{\circ}, A B=12, A D=5$, 点 $M 、 N$ 分别为线段 $B C 、 A B$ 上的动点 (含端点, 但点 $M$ 不与点 $B$ 重合), 点 $E 、$ $F$ 分别为 $D M 、 M N$ 的中点, 则 $E F$ 长度的可能为 $(\quad)$


选项：
A. 2
B. 5
C. 7
D. 9
答案：B
解析：连接 $D N$,

$E D=E M, M F=F N$,

$E F=\frac{1}{2} D N$,

最大时， $E F$ 最大, $D N$ 最小时, $E F$ 最小，

$B$ 重合时 $D N$ 最大，


$D N=D B=\sqrt{A D^{2}+B D^{2}}=\sqrt{5^{2}+12^{2}}=13$,

$\therefore E F$ 的最大值为 6.5 .

$\because \angle A=90^{\circ}, A D=5$,

$\therefore D N \geq 5$,

$\therefore E F \geq 2.5$

$\therefore E F$ 长度的可能为 5 ;

故选: $B$.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 正方形 $A B C D$ 中, 点 $E 、 F$ 分别在 $B C 、 C D$ 上, $\triangle A E F$ 是等边三角形, 连接 $A C$ 交 $E F$ 于 $G$,
下列结论:

(1) $B E=D F$, (2) $\angle D A F=15^{\circ}$, (3) $A C$ 垂直平分 $E F$, (4) $B E+D F=E F$, (5) $S_{\triangle C E F}=2 S_{\triangle A B E}$.其中正确结论有 $(\quad)$ 个.


选项：
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
答案：A
解析：$\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形,

$\therefore A B=B C=C D=A D, \angle B=\angle B C D=\angle D=\angle B A D=90^{\circ}$.

$\because \triangle A E F$ 等边三角形,

$\therefore A E=E F=A F, \angle E A F=60^{\circ}$.

$\therefore \angle B A E+\angle D A F=30^{\circ}$.

在Rt $\triangle A B E$ 和Rt $\triangle A D F$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}A E=A F \\ A B=A D\end{array}\right.$,

Rt $\triangle A B E \cong R t \triangle A D F(H L)$

$\therefore B E=D F$ (故①)正确).

$\angle B A E=\angle D A F$,

$\therefore \angle D A F+\angle D A F=30^{\circ}$,

即 $\angle D A F=15^{\circ}$ (故(2)正确),

$\because B C=C D$,

$\therefore B C-B E=C D-D F$, 即 $C E=C F$,

$\because A E=A F$

$\therefore A C$ 垂直平分 $E F$. (故(3)正确).

设 $E C=x$, 由勾股定理, 得

$E F=\sqrt{2} x, C G=\frac{\sqrt{2}}{2} x$,

$A G=A E \sin 60^{\circ}=E F \sin 60^{\circ}=2 \times C G \sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{6}}{2} x$,

$\therefore A C=\frac{\sqrt{6} x+\sqrt{2} x}{2}$,

$\therefore A B=\frac{\sqrt{3} x+x}{2}$,

$\therefore B E=\frac{\sqrt{3} x+x}{2}-x=\frac{\sqrt{3} x-x}{2}$,
$\therefore B E+D F=\sqrt{3} x-x \neq \sqrt{2} x$, (故(4)错误),

$\because S_{\triangle C E F}=\frac{x^{2}}{2}$,

$S_{\triangle A B E}=\frac{\frac{\sqrt{3} x-x}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} x+x}{2}}{2}=\frac{x^{2}}{4}$,

$\therefore 2 S_{\triangle A B E}=\frac{x^{2}}{2}=S_{\triangle C E F}$, (故(5)正确).

综上所述, 正确的有 4 个,

故选: $A$.
题目（八年级 · 组合几何学）：如图, 菱形 $A B C D$ 的边长为 $8, \angle A B C=60^{\circ}$, 点 $E 、 F$ 分别为 $A O 、 A B$ 的中点, 则 $E F$ 的长度为 ( )


选项：
A. $\sqrt{3}$
B. 3
C. $2 \sqrt{3}$
D. 4
答案：C
解析：$\because$ 四边形 $A B C D$ 是菱形,

$\therefore A C \perp B D, \angle A B O=\frac{1}{2} \angle A B C=30^{\circ}$,

$\therefore O A=\frac{1}{2} A B=4$,

$\therefore O B=\sqrt{8^{2}-4^{2}}=4 \sqrt{3}$,

$\because$ 点 $E 、 F$ 分别为 $A O 、 A B$ 的中点,

$\therefore E F$ 为 $\triangle A O B$ 的中位线，

$\therefore E F=\frac{1}{2} O B=2 \sqrt{3}$,

故选 $C$.
题目（八年级 · 组合几何学）：在菱形 $A B C D$ 和菱形 $B E F G$ 中, 点 $A 、 B 、 G$ 共线, 点 $C$ 在 $B E$ 上, $\angle D A B=60^{\circ}, A G=8$, 点 $M$,



$N$ 分别是 $A C$ 和 $E G$ 的中点, 则 $M N$ 的最小值等于 ( )
选项：
A. $2 \sqrt{3}$
B. 4
C. $2 \sqrt{2}$
D. 6
答案：A
解析：连接 $B D 、 B F$, 延长 $A C$ 交 $G E$ 于 $H$, 连接 $B H$, 如图所示: $\because$ 四边形 $A B C D$ 和四边形 $B E F G$ 是菱形, $\angle D A B=60^{\circ}$,

$\therefore A D / / B C / / G F, A C \perp B D, B F \perp G E, B E=B G, A M=C M$,

$E N=G N$



$\therefore \angle G A H=30^{\circ}, \angle E B G=\angle D A B=60^{\circ}$,

$\therefore \triangle B E G$ 是等边三角形,

$\therefore \angle B G E=60^{\circ}$,

$\therefore \angle A H G=90^{\circ}$,

$\therefore$ 四边形 $B N H M$ 是矩形, $G H=\frac{1}{2} A G=4, A H=\sqrt{3} G H=4 \sqrt{3}$,

$\therefore M N=B H$, 当 $B H \perp A G$ 时, $B H$ 最小,

$\because \angle G A H=30^{\circ}$,

$\therefore B H=\frac{1}{2} A H=2 \sqrt{3}$,
$\therefore M N$ 的最小值 $=2 \sqrt{3}$;

故选: $A$.
题目（八年级 · 组合数学）：在一次数学兴趣小组活动中, 每两名学生握手一次, 但小明因中途有事离开, 他记得有 3 人没有和他握过手, 经统计所有握手共 42 次. 若设参加活动的学生为 $x$ 名, 据题意可列方程为 ( )
选项：
A. $x(x-1)-3=42$
B. $\frac{1}{2} x(x+1)-3=42$
C. $\frac{1}{2} x(x-1)-3=42$
D. $\frac{1}{2} x(x-1)+3=42$
答案：C
解析：解: 参加此会的学生为 $x$ 名, 每个学生都要握手 $(x-1)$ 次,

$\therefore$ 可列方程为 ${ }_{2}^{1} x(x-1)-3=42$

每个学生都要和他自己以外的学生握手一次, 但两个学生之间只握手一次, 所以等量关系为: $\frac{1}{2} \times$ 学生数 $\times$ (学生数 -1$)=$ 总握手次数, 把相关数值代入即可求解.
题目（八年级 · 组合数学）：5 名学生的身高两两不同, 把他们按从高到低排列, 设前三名的平均身高为 $a(m)$, 后两名的平均身高为 $b(m)$, 前两名的平均身高为 $c(m)$, 后三名的平均身高为 $d(m)$, 则 $(~)$
选项：
A. $\frac{a+b}{2}>\frac{c+d}{2}$
B. $\frac{c+d}{2}>\frac{a+b}{2}$
C. $\frac{c+d}{2}=\frac{a+b}{2}$
D. 以上都不对
答案：B
解析：根据题意，得 $3 a+2 b=2 c+3 d, a>d$ ，

$\therefore 2 a+2 b<2 c+2 d, \therefore a+b<c+d$,

$\therefore \frac{a+b}{2}<\frac{c+d}{2}$, 即 $\frac{c+d}{2}>\frac{a+b}{2}$.
题目（八年级 · 组合数学）：5 名学生身高两两不同, 把他们按从高到低的顺序排列, 设前三名的平均身高为 $a m$, 后两名的平均身高为 $b m$, 前两名的平均身高为 $c m$, 后三名的平均身高为 $d m$, 则 ( )
选项：
A. $\frac{a+b}{2}>\frac{c+d}{2}$
B. $\frac{c+d}{2}>\frac{a+b}{2}$
C. $\frac{c+d}{2}=\frac{a+b}{2}$
D. 以上都不对
答案：B
解析：解：根据题意, 得 $3 a+2 b=2 c+3 d, a>d$,

$\therefore 2 a+2 b<2 c+2 d$,

$\therefore a+b<c+d$,

$\therefore \frac{a+b}{2}<\frac{c+d}{2}$, 即 $\frac{c+d}{2}>\frac{a+b}{2}$.
题目（八年级 · 逻辑题）：用反证法证明 “四边形中至少有一个内角大于或等于 $90^{\circ}$ ” 时，应先假设（）
选项：
A. 有一个内角小于 $90^{\circ}$
B. 每一个内角都大于 $90^{\circ}$
C. 有一个内角小于或等于 $90^{\circ}$
D. 每一个内角都小于 $90^{\circ}$
答案：D
解析：解：反证法证明 “四边形中至少有一个内角大于或等于 $90^{\circ}$ ” 时,假设每一个内角都小于 $90^{\circ}$, 故选: $D$.
题目（八年级 · 逻辑题）：如果 $x>y$, 则下列式子中错误的是 ( )
选项：
$x-3>y-3$
B. $x+a>y+a$
C. $-3 x>-3 y$
D. $\frac{x}{3}>\frac{y}{3}$
答案：C
题目（八年级 · 逻辑题）：根据下列表述, 不能确定具体位置的是（ ）
选项：
黄河影院 1 号厅 3 排 4 座
B. 三门峡市崤山路中段 47 号
C. 某灯塔南偏西方向
D. 东经 $111.2^{\circ}$, 北纬 $34.8^{\circ}$
答案：C
题目（八年级 · 逻辑题）：下列命题中, 是真命题的是 $(\quad)$
选项：
A. 如果直角三角形的两条直角边长分别为 6 和 8 , 那么斜边长可能为 14

B. 如果 $x^{2}>0$, 那么 $x>0$

C. 多边形的所有外角都是钝角

D. 如果 $\angle 1$ 与 $\angle 2$ 是对顶角, 那么 $\angle 1=\angle 2$
答案：D
解析：A. 如果直角三角形的两条直角边长分别为 6 和 8 , 那么斜边长 $=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$, 故此选项不是真命题;

B. 当 $a=-2$ 时, $x^{2}=4>0$, 但是 $x<0$, 故此选项不是真命题;

$C$.矩形的所有外角都是直角, 不是针角, 故此选项不是真命题;

$D$. 如果 $\angle 1$ 与 $\angle 2$ 是对顶角, 那么 $\angle 1=\angle 2$, 正确, 故此选项是真命题.故选 $D$.
题目（八年级 · 逻辑题）：用反证法证明命题 “三角形中必有一个内角小于或等于 $60^{\circ}$ ” 时, 首先应该假设这个三角形中

()$^{2}$
选项：
A. 有一个内角小于 $60^{\circ}$
B. $\quad$ 每一个内角都小于 $60^{\circ}$
C. 有一个内角大于 $60^{\circ}$
D. 每一个内角都大于 $60^{\circ}$
答案：D
解析：用反证法证明 “三角形中必有一个内角小于或等于 $60^{\circ}$ ” 时,

应先假设三角形中每一个内角都不小于或等于 $60^{\circ}$, 即每一个内角都大于 $60^{\circ}$.

故选 $D$.
题目（八年级 · 逻辑题）：把一些书分给几名同学, 若 \$ \qquad \$ ；若每人分 11 本，则不够.

依题意, 设有 $\mathrm{x}$ 名同学, 可列不等式 $9 \mathrm{x}+7<11 \mathrm{x}$, 则横线上的信息可以是
选项：
每人分 7 本，则可多分 9 个人

B. 每人分 7 本，则剩余 9 本

C. 每人分 9 本，则剩余 7 本

D. 其中一个人分 7 本, 则其他同学每人可分 9 本
答案：C
题目（四年级 · 度量几何学）：一个直角三角形, 剪去一个直角, 剩下图形的度数是（）度。

选项：
A. 180
B. 360
C. 90

答案：B
解析：解B

【分析】一个直角三角形, 剪去一个直角, 剩下的图形是一个四边形 (图见详解), 多边形的内角和 $=($ 多边形的边数 -2$) \times 180^{\circ}$, 依此计算。

【详解】



$(4-2) \times 180^{\circ}$

$=2 \times 180^{\circ}$

$=360^{\circ}$

即剩下图形的度数是 360 度。

故答案为: B

【点睛】熟练掌握多边形的内角和的计算方法是解答此题的关键。