eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高二 · 解析几何）：13. 函数 $y=\tan ^{2} x-2 \tan x\left(|x| \leqslant \frac{\pi}{3}\right)$ 的值域为
选项：
答案：$[-1,3+2 \sqrt{3}]$
解析：令 $u=\tan x, \because|x| \leqslant \frac{\pi}{3}$,

$\therefore$ 由正切函数的图象知 $u \in[-\sqrt{3}, \sqrt{3}]$,

$\therefore$ 原函数可化为 $y=u^{2}-2 u ， u \in[-\sqrt{3} ， \sqrt{3}]$ ，

$\because$ 二次函数 $y=u^{2}-2 u$ 图象开口向上，对称轴方程为 $u=1$ ，

$\therefore$ 当 $u=1$ 时， $y_{\text {min }}=1^{2}-2 \times 1=-1$ ，

当 $u=-\sqrt{3}$ 时， $y_{\text {max }}=3+2 \sqrt{3}$ ，
$\therefore$ 原函数的值域为 $[-1,3+2 \sqrt{3}]$.

答案: $[-1,3+2 \sqrt{3}]$
题目（高二 · 解析几何）：6. 函数 $y=\sqrt{1-\tan x}$ 的定义域是
选项：
答案：$\left(k \pi-\frac{\pi}{2}, k \pi+\frac{\pi}{4}\right], k \in \mathbf{Z}$
解析：由 $1-\tan x \geqslant 0$ ，即 $\tan x \leqslant 1$ ，结合图象(图略)可解得.

答案: $\left(k \pi-\frac{\pi}{2}, k \pi+\frac{\pi}{4}\right], k \in \mathbf{Z}$
题目（高二 · 解析几何）：7. 已知函数 $f(x)=\sin \left(\omega x+\frac{\pi}{4}\right)(x \in \mathbf{R}, \omega>0)$ 的最小正周期为 $\pi$, 为了得到函数 $g(x)=2 \sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$的图象, 只需将 $y=f(x)$ 的图象上各点的纵坐标变为原来的倍, 横坐标变为原来的 \$ \qquad \$倍.
选项：
答案：2 2
解析：由条件知 $\omega=2$ ，所以只需将 $y=f(x)$ 的图象上各点的纵坐标变为原来的 2 倍，横坐标变为原来的 2 倍，即可得到 $y=g(x)$ 的图象，且两个变换没有先后顺序.

答案: 2 2
题目（高二 · 解析几何）：12. 若函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)\left(\omega>0\right.$ 且 $\left.|\varphi|<\frac{\pi}{2}\right)$ 在区间 $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{2 \pi}{3}\right]$ 上是单调减函数, 且函数值从 1 减少到 -1 , 则 $f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ 等于
选项：
答案：$\frac{\sqrt{3}}{2}$
解析：由题意知 $\left\{\begin{array}{l}\frac{\pi}{6} \omega+\varphi=\frac{\pi}{2}+2 k \pi \\ \frac{2 \pi}{3} \omega+\varphi=\frac{3 \pi}{2}+2 k \pi\end{array}, k \in \mathbf{Z}\right.$ ，

解之得 $\omega=2 ， \varphi=\frac{\pi}{6}+2 k \pi$ ，

又因为 $|\varphi|<\frac{\pi}{2}$ ，

所以 $\varphi=\frac{\pi}{6}$.

所以 $f(x)=\sin \left(2 x+\frac{\pi}{6}\right)$.

所以 $f\left(\frac{\pi}{4}\right)=\sin \left(2 \times \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\right)=\cos \frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
答案: $\frac{\sqrt{3}}{2}$
题目（高二 · 解析几何）：17.已知函数 $f(x)=-2 \sin (2 x+\varphi)(|\varphi|<\pi)$, 若 $f\left(\frac{\pi}{8}\right)=-2$, 则 $f(x)$ 的单调递减区间是
选项：
答案：$\left[k \pi-\frac{3 \pi}{8}, k \pi+\frac{\pi}{8}\right], k \in \mathbf{Z}$
解析：由函数 $f(x)=-2 \sin (2 x+\varphi)(|\varphi|<\pi)$ ，且 $f\left(\frac{\pi}{8}\right)=-2$ ，故有 $-2 \sin \left(\frac{\pi}{4}+\varphi\right)=-2$ ，

$\therefore \sin \left(\frac{\pi}{4}+\varphi\right)=1, \quad \therefore \varphi=\frac{\pi}{4}$,

$\therefore$ 函数 $f(x)=-2 \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$.

令 $2 k \pi-\frac{\pi}{2} \leqslant 2 x+\frac{\pi}{4} \leqslant 2 k \pi+\frac{\pi}{2}, k \in \mathbf{Z}$ ，

得 $k \pi-\frac{3 \pi}{8} \leqslant x \leqslant k \pi+\frac{\pi}{8}, k \in \mathbf{Z}$.

答案: $\left[k \pi-\frac{3 \pi}{8}, k \pi+\frac{\pi}{8}\right], k \in \mathbf{Z}$
题目（高二 · 解析几何）：10. 在 $\triangle A B C$ 中, $A=60^{\circ}, a=6 \sqrt{3}, b=12, S_{\triangle A B C}=18 \sqrt{3}$, 则 $\frac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\sin C}=$
选项：
答案：126
解析：frac{a+b+c}{\sin A+\sin B+\sin C}=\frac{a}{\sin A}=\frac{6 \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=12$.

$\because S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{1}{2} \times 6 \sqrt{3} \times 12 \sin C=18 \sqrt{3}$,

$\therefore \sin C=\frac{1}{2}, \therefore \frac{c}{\sin C}=\frac{a}{\sin A}=12, \quad \therefore c=6$.
题目（高二 · 解析几何）：8. 在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知 $A=60^{\circ}, a=\sqrt{3}, b=1$, 则 $c=$
选项：
答案：2
解析：由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$, 得 $\frac{\sqrt{3}}{\sin 60^{\circ}}=\frac{1}{\sin B}$,

$\therefore \sin B=\frac{1}{2}$, 故 $B=30^{\circ}$ 或 $150^{\circ}$. 由 $a>b$,

得 $A>B, \therefore B=30^{\circ}$, 故 $C=90^{\circ}$,

由勾股定理得 $c=2$.
题目（高二 · 解析几何）：9. 在单位圆上有三点 $A, B, C$, 设 $\triangle A B C$ 三边长分别为 $a, b, c$, 则 $\frac{a}{\sin A}+\frac{b}{2 \sin B}+\frac{2 c}{\sin C}$ $=$
选项：
答案：7
解析：$\because \triangle A B C$ 的外接圆直径为 $2 R=2$,

$\therefore \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R=2$,

$\therefore \frac{a}{\sin A}+\frac{b}{2 \sin B}+\frac{2 c}{\sin C}=2+1+4=7$.
题目（高二 · 解析几何）：8.在 $0^{\circ} \sim 720^{\circ}$ 中与 $\frac{2 \pi}{5}$ 终边相同的角为
选项：
答案：$72^{\circ}, 432^{\circ}$
解析：$\because \frac{2 \pi}{5}=\frac{2}{5} \times 180^{\circ}=72^{\circ}$,

$\therefore$ 与角 $\frac{2 \pi}{5}$ 终边相同的角构成集合 $\left\{\theta \mid \theta=72^{\circ}+k \cdot 360^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\right\}$.

当 $k=0$ 时, $\theta=72^{\circ}$;

当 $k=1$ 时, $\theta=432^{\circ}$

$\therefore$ 在 $0^{\circ} \sim 720^{\circ}$ 范围内,

与角 $\frac{2 \pi}{5}$ 终边相同的角为 $72^{\circ}, 432^{\circ}$.

答案: $72^{\circ}, 432^{\circ}$.
题目（高二 · 解析几何）：7. 若 $\alpha$ 是第二象限角, $P(x, \sqrt{5})$ 为其终边上一点, 且 $\cos \alpha=\frac{\sqrt{2}}{4} x$, 则 $x$ 的值为
选项：
答案：$-\sqrt{3}$
解析：$\because \alpha$ 是第二象限角, $\therefore x<0$. 又 $r=\sqrt{x^{2}+5}$,

$\therefore \cos \alpha=\frac{x}{r}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+5}}=\frac{\sqrt{2}}{4} x$, 解得 $x=-\sqrt{3}$.

答案: $-\sqrt{3}$
题目（高二 · 解析几何）：6. 在 $\triangle A B C$ 中, $|\overrightarrow{A B}|=|\overrightarrow{B C}|=|\overrightarrow{C A}|=1$, 则 $|\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}|$ 的值为
选项：
答案：1
解析：1
题目（高二 · 解析几何）：7. 已知 $\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{O B}=\boldsymbol{b}$, 若 $|\overrightarrow{O A}|=12,|\overrightarrow{O B}|=5$, 且 $\angle A O B=90^{\circ}$, 则 $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=$
选项：
答案：13
解析：解析 : $|\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}|=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=13$.
题目（高二 · 解析几何）：8. 化简: $(1) \overrightarrow{P B}+\overrightarrow{O P}-\overrightarrow{O B}=$ \$ \qquad \$
(2) $\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{C O}=$ \$ \qquad \$ .
选项：
答案：(1)0 (2) $\overrightarrow{A B}$
解析：(1)0 (2) $\overrightarrow{A B}$
题目（高二 · 解析几何）：12. 设 $G$ 为 $\triangle A B C$ 的重心, $O$ 为坐标原点, $\overrightarrow{O A}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{O B}=\boldsymbol{b}, \overrightarrow{O C}=\boldsymbol{c}$, 试用 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 表示 $\overrightarrow{O G}$,则 $\overrightarrow{O G}=$
选项：
答案：$\frac{1}{3}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$
解析：$\overrightarrow{O G}=\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{C G}=\overrightarrow{O C}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{C B})=\overrightarrow{O C}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O C}+\overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O C})=\frac{1}{3}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$.

答案: $\frac{1}{3}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c})$
题目（高二 · 解析几何）：13. 在平行四边形 $A B C D$ 中, $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{e}_{1}, \overrightarrow{A C}=\boldsymbol{e}_{2}, \overrightarrow{N C}=\frac{1}{4} \overrightarrow{A C}, \overrightarrow{B M}=\frac{1}{2} \overrightarrow{M C}$, 则 $\overrightarrow{M N}=$ . (用 $\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}$ 表示)
选项：
答案：$-\frac{2}{3} \boldsymbol{e}_{1}+\frac{5}{12} \boldsymbol{e}_{2}$
解析：如图, $\overrightarrow{M N}=\overrightarrow{C N}-\overrightarrow{C M}=\overrightarrow{C N}+2 \overrightarrow{B M}=\overrightarrow{C N}+\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}=-\frac{1}{4} \overrightarrow{A C}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})=-\frac{1}{4} e_{2}+\frac{2}{3}\left(\boldsymbol{e}_{2}\right.$
$\left.-\boldsymbol{e}_{1}\right)=-\frac{2}{3} \boldsymbol{e}_{1}+\frac{5}{12} \boldsymbol{e}_{2}$.



答案: $-\frac{2}{3} \boldsymbol{e}_{1}+\frac{5}{12} \boldsymbol{e}_{2}$
题目（高二 · 解析几何）：7. 设 $D, E$ 分别是 $\triangle A B C$ 的边 $A B, B C$ 上的点, $A D=\frac{1}{2} A B, B E=\frac{2}{3} B C$. 若 $\overrightarrow{D E}=\lambda_{1} \overrightarrow{A B}+\lambda_{2} \overrightarrow{A C}\left(\lambda_{1}\right.$, $\lambda_{2}$ 为实数), 则 $\lambda_{1}+\lambda_{2}=$
选项：
答案：$\frac{1}{2}$
解析：易知 $\overrightarrow{D E}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})=-\frac{1}{6} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}$ ，所以 $\lambda_{1}+\lambda_{2}=\frac{1}{2}$.

答案: $\frac{1}{2}$
题目（高二 · 解析几何）：8. 在梯形 $A B C D$ 中, $A B / / C D, M, N$ 分别是 $D A, B C$ 的中点, 且 $\frac{D C}{A B}=k(k \neq 1)$. 设 $\overrightarrow{A D}=\boldsymbol{e}_{1}$, $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{e}_{2}$, 选择基底 $\left\{\boldsymbol{e}_{1}, \boldsymbol{e}_{2}\right\}$, 试写出下列向量在此基底下的分解式: $\overrightarrow{D C}, \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{M N}$.
选项：
答案：如图， $\because \overrightarrow{A B}=\boldsymbol{e}_{2}$ ，且 $\frac{D C}{A B}=k$ ，

<ImageHere>

$\therefore \overrightarrow{D C}=k \overrightarrow{A B}=k \boldsymbol{e}_{2}$.

又 $\because \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D A}=0$ ，

$\therefore \overrightarrow{B C}=-\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{C D}-\overrightarrow{D A}=-\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{A D}=-\boldsymbol{e}_{2}+k \boldsymbol{e}_{2}+\boldsymbol{e}_{1}=\boldsymbol{e}_{1}+(k-1) \boldsymbol{e}_{2}$.

$\because \overrightarrow{M N}+\overrightarrow{N B}+\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A M}=0$,

$\therefore \overrightarrow{M N}=-\overrightarrow{N B}-\overrightarrow{B A}-\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{B N}+\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A M}=\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}+\boldsymbol{e}_{2}-\frac{1}{2} \overrightarrow{A D}=\frac{1}{2}\left[\boldsymbol{e}_{1}+(k-1) \boldsymbol{e}_{2}\right]+\boldsymbol{e}_{2}-\frac{1}{2} \boldsymbol{e}_{1}=$ $\frac{k+1}{2} \boldsymbol{e}_{2}$.
解析：如图， $\because \overrightarrow{A B}=\boldsymbol{e}_{2}$ ，且 $\frac{D C}{A B}=k$ ，



$\therefore \overrightarrow{D C}=k \overrightarrow{A B}=k \boldsymbol{e}_{2}$.

又 $\because \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D A}=0$ ，

$\therefore \overrightarrow{B C}=-\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{C D}-\overrightarrow{D A}=-\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{D C}+\overrightarrow{A D}=-\boldsymbol{e}_{2}+k \boldsymbol{e}_{2}+\boldsymbol{e}_{1}=\boldsymbol{e}_{1}+(k-1) \boldsymbol{e}_{2}$.

$\because \overrightarrow{M N}+\overrightarrow{N B}+\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A M}=0$,

$\therefore \overrightarrow{M N}=-\overrightarrow{N B}-\overrightarrow{B A}-\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{B N}+\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A M}=\frac{1}{2} \overrightarrow{B C}+\boldsymbol{e}_{2}-\frac{1}{2} \overrightarrow{A D}=\frac{1}{2}\left[\boldsymbol{e}_{1}+(k-1) \boldsymbol{e}_{2}\right]+\boldsymbol{e}_{2}-\frac{1}{2} \boldsymbol{e}_{1}=$ $\frac{k+1}{2} \boldsymbol{e}_{2}$.
题目（高二 · 解析几何）：9. 在 $\triangle A B C$ 中, 点 $M$ 是 $B C$ 的中点, 点 $N$ 在 $A C$ 上且 $\overrightarrow{A N}=2 \overrightarrow{N C}, A M$ 交 $B N$ 于 $P$ 点, 求 $A P$与 $A M$ 的比值.
选项：
答案：设 $\overrightarrow{B M}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{C N}=\boldsymbol{b}$ ，则 $\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C M}=-\boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b} ， \overrightarrow{B N}=2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$.

$\because A, P, M$ 和 $B, P, N$ 分别共线，

$\therefore$ 存在实数 $\lambda, \mu$ 使 $\overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{A M}=-\lambda \boldsymbol{a}-3 \lambda \boldsymbol{b}$ ，

$\overrightarrow{B P}=\mu \overrightarrow{B N}=2 \mu \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{b}$.

$\therefore \overrightarrow{B A}=\overrightarrow{B P}-\overrightarrow{A P}=(\lambda+2 \mu) \boldsymbol{a}+(3 \lambda+\mu) \boldsymbol{b}$.

又 $\because \overrightarrow{B A}=\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}=2 \boldsymbol{a}+3 \boldsymbol{b}$,

<ImageHere>

解得 $\left\{\begin{array}{l}\lambda=\frac{4}{5} ｝ \\{\mu=\frac{3}{5},} \end{array} \text { 则 } \overrightarrow{A P}=\frac{4}{5} \overrightarrow{A M} \text {. }\end{array}\right.$

$\therefore A P$ 与 $A M$ 的比值为 $\frac{4}{5}$.
解析：设 $\overrightarrow{B M}=\boldsymbol{a}, \overrightarrow{C N}=\boldsymbol{b}$ ，则 $\overrightarrow{A M}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C M}=-\boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b} ， \overrightarrow{B N}=2 \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$.

$\because A, P, M$ 和 $B, P, N$ 分别共线，

$\therefore$ 存在实数 $\lambda, \mu$ 使 $\overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{A M}=-\lambda \boldsymbol{a}-3 \lambda \boldsymbol{b}$ ，

$\overrightarrow{B P}=\mu \overrightarrow{B N}=2 \mu \boldsymbol{a}+\mu \boldsymbol{b}$.

$\therefore \overrightarrow{B A}=\overrightarrow{B P}-\overrightarrow{A P}=(\lambda+2 \mu) \boldsymbol{a}+(3 \lambda+\mu) \boldsymbol{b}$.

又 $\because \overrightarrow{B A}=\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C A}=2 \boldsymbol{a}+3 \boldsymbol{b}$,



解得 $\left\{\begin{array}{l}\lambda=\frac{4}{5} ｝ \\{\mu=\frac{3}{5},} \end{array} \text { 则 } \overrightarrow{A P}=\frac{4}{5} \overrightarrow{A M} \text {. }\end{array}\right.$

$\therefore A P$ 与 $A M$ 的比值为 $\frac{4}{5}$.
题目（高二 · 解析几何）：11. 已知平面上三点 $A(2,-4), B(0,6), C(-8,10)$, 则 $\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}-\frac{1}{4} \overrightarrow{B C}$ 的坐标是
选项：
答案：$(-3,6)$
解析：$(-3,6)$
题目（高二 · 解析几何）：12. 已知 $A(2,3), B(1,4)$, 且 $\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}=(\sin \alpha, \cos \beta), \alpha, \beta \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$, 则 $\alpha+\beta=$
选项：
答案：$\frac{\pi}{6}$ 或 $-\frac{\pi}{2}$
解析：$\overrightarrow{A B}=(1,4)-(2,3)=(-1,1)$.
$\therefore(\sin \alpha, \cos \beta)=\frac{1}{2}(-1,1)$ ，

$\therefore \sin \alpha=-\frac{1}{2}, \cos \beta=\frac{1}{2}$.

又 $\because \alpha, \beta \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$,

$\therefore \alpha=-\frac{\pi}{6} ， \beta=-\frac{\pi}{3}$ 或 $\frac{\pi}{3}, \alpha+\beta=-\frac{\pi}{2}$ 或 $\frac{\pi}{6}$.

答案: $\frac{\pi}{6}$ 或 $-\frac{\pi}{2}$
题目（高二 · 解析几何）：5. 若 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(-3,-4), \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(5,2)$, 则向量 $\boldsymbol{a}=$ \$ \qquad \$ ，向量 $\boldsymbol{b}=$
选项：
答案：$(1,-1)(-4,-3)$
解析：$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(-3,-4)$, (1) $\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=(5,2)$. (2)

(1) + (2)，得 $\boldsymbol{a}=\frac{1}{2}[(-3,-4)+(5,2)]=(1 ，-1)$ ；

(1) - (2)，得 $\boldsymbol{b}=\frac{1}{2}[(-3,-4)-(5,2)]=(-4,-3)$.

答案: $(1,-1)(-4,-3)$
题目（高二 · 解析几何）：6. 已知向量 $\boldsymbol{a}=(2,1), \boldsymbol{b}=(1,-2)$. 若 $m \boldsymbol{a}+n \boldsymbol{b}=(9,-8)(m, n \in \mathbf{R})$, 则 $m-n$ 的值为 \$ \qquad \$
.
选项：
答案：-3
解析：解析 : 由题意得 $m \boldsymbol{a}+n \boldsymbol{b}=(2 m, m)+(n － 2 n)=(2 m+n, m-2 n)=(9 ，-8)$ ，即 $\left\{\begin{array}{l}2 m+n=9 ， \\ m-2 n=-8 ，\end{array}\right.$

解得 $\left\{\begin{array}{l}m=2 ｝ \\{n=5 ｝\end{array}\end{array}\right.$

所以 $m-n=-3$
题目（高二 · 解析几何）：5. 已知 $A, B, C$ 三点共线, $\overrightarrow{B A}=-\frac{3}{8} \overrightarrow{A C}$, 点 $A, B$ 的纵坐标分别为 2,5 , 则点 $C$ 的纵坐标为
选项：
答案：10
解析：设点 $C$ 的纵坐标为 $y . \because A, B ， C$ 三点共线， $\overrightarrow{B A}=-\frac{3}{8} \overrightarrow{A C}, A ， B$ 的纵坐标分别为 2 ， $5, \quad \therefore 2-5=-\frac{3}{8}(y-2), \quad \therefore y=10$
答案: 10
题目（高二 · 解析几何）：6. 已知向量 $\boldsymbol{a}=(1,-2),|\boldsymbol{b}|=2 \sqrt{5}$, 且 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$, 则 $\boldsymbol{b}=$
选项：
答案：$(2,-4)$ 或 $(-2,4)$
解析：解析：



- 4)或( - 2，4).
题目（高二 · 解析几何）：7. 已知 $\boldsymbol{a}=\overrightarrow{A B}$, 点 $B$ 的坐标为 $(1,0), \boldsymbol{b}=(-3,4), \boldsymbol{c}=(-1,1)$, 且 $\boldsymbol{a}=3 \boldsymbol{b}-2 \boldsymbol{c}$, 求点 $A$ 的坐标.
选项：
答案：$(8 ，-10)$
解析：$\because \boldsymbol{b}=(-3,4), \boldsymbol{c}=(-1,1), \therefore 3 \boldsymbol{b}-2 \boldsymbol{c}=3(-3,4)-2(-1,1)=(-9,12)-(-2$ ， $2)=(-7,10)$ ，即 $\boldsymbol{a}=(-7,10)=\overrightarrow{A B}$.

又点 $B$ 的坐标为 $(1,0)$ ，设点 $A$ 的坐标为 $(x, y)$ ，则 $\overrightarrow{A B}=(1-x, 0-y)=(-7,10)$ ，

$\therefore\left\{\begin{array}{l}1-x=-7, \\ 0-y=10\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}x=8, \\ y=-10,\end{array}\right.\right.$

即点 $A$ 的坐标为 $(8 ，-10)$.
题目（高二 · 解析几何）：14. 已知 $|\boldsymbol{a}|=2,|\boldsymbol{b}|=3, \boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$. 若 $\boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b}$ 与 $\lambda \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 的夹角为锐角, 则实数 $\lambda$ 的取值范围为
选项：
答案：$\left(-\infty, \frac{-13-\sqrt{133}}{6}\right) \cup\left(\frac{\sqrt{133}-13}{6}, 1\right) \cup(1,+\infty)$
解析：解析：由题意可得 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}| \boldsymbol{b} \left\lvert\, \cos 60^{\circ}=2 \times 3 \times \frac{1}{2}=3\right.$.

又 $\because(\boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b}) \cdot(\lambda \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=\lambda \boldsymbol{a}^{2}+\left(\lambda^{2}+1\right) \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\lambda \boldsymbol{b}^{2} ，$

$\boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b}$ 与 $\lambda \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 的夹角为锐角， $\therefore \lambda \boldsymbol{a}^{2}+\left(\lambda^{2}+1\right) \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}+\lambda \boldsymbol{b}^{2}>0$.

$\because \boldsymbol{a}^{2}=|\boldsymbol{a}|^{2}=4, \quad \boldsymbol{b}^{2}=|\boldsymbol{b}|^{2}=9, \quad \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=3, \quad \therefore 3 \lambda^{2}+13 \lambda+3>0$,

解得 $\lambda>\frac{\sqrt{133}-13}{6}$ 或 $\lambda<\frac{-13-\sqrt{133}}{6}$.

当 $\lambda=1$ 时， $\boldsymbol{a}+\lambda \boldsymbol{b}$ 与 $\lambda \boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 共线，其夹角不为锐角.

故 $\lambda$ 的取值范围是 $\left(-\infty, \frac{-13-\sqrt{133}}{6}\right) \cup\left(\frac{\sqrt{133}-13}{6}, 1\right) \cup(1,+\infty)$.
题目（高二 · 解析几何）：6. 已知 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=16$, 若 $\boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 方向上的投影为 4, 则 $|\boldsymbol{b}|=$
选项：
答案：4
解析：解析：设 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\theta ， \because \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=16 ， \therefore|\boldsymbol{a}| \boldsymbol{b} \mid \cos \theta=16$.

又 $\because \boldsymbol{a}$ 在 $\boldsymbol{b}$ 方向上的投影为 $4 ， \therefore|\boldsymbol{a}| \cos \theta=4 ， \therefore|\boldsymbol{b}|=4$.
题目（高二 · 解析几何）：7. 若 $|\boldsymbol{a}|=5, \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=10$, 且 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $60^{\circ}$, 则 $|\boldsymbol{b}|=$
选项：
答案：4
解析：解析：因为 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=10 ，|\boldsymbol{a}|=5$ ，所以 $|\boldsymbol{a}| \cdot|\boldsymbol{b}| \cos 60^{\circ}=10$ ，所以 $|\boldsymbol{b}|=4$.
题目（高二 · 解析几何）：12. 已知向量 $\boldsymbol{a}=(2,-4), \boldsymbol{b}=(-3, m)$. 若 $|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|+\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0$, 则实数 $m=$

.
选项：
答案：6
解析：解析 : 由向量的数量积可知 $\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}| \cos \theta$ ，又 $|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|+\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=0$ ，所以 $\cos \theta=-1$ ，所以 $\theta=\pi$ ，
即向量 $\boldsymbol{a}=(2 ，-4)$ 与 $\boldsymbol{b}=(-3, m)$ 的方向相反. 设 $\boldsymbol{a}=\lambda \boldsymbol{b}$, 即 $(2 ，-4)=\lambda(-3 ， m)$ 可得 $\left\{\begin{array}{l}2=-3 \lambda ， \\ -4=\lambda m ，\end{array}\right.$ 解得 $m=6$
题目（高二 · 解析几何）：13. 在边长为 1 的正方形 $A B C D$ 中, $M$ 为 $B C$ 的中点, 点 $E$ 在线段 $A B$ 上运动, 则 $\overrightarrow{E C} \cdot \overrightarrow{E M}$ 的取值范围是
选项：
答案：$\left[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$
解析：将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设 $E(x, 0) ， 0 \leqslant x \leqslant 1$.



因为 $M\left(1, \frac{1}{2}\right), C(1,1)$, 所以 $\overrightarrow{E M}=\left(1-x, \frac{1}{2}\right), \overrightarrow{E C}=(1-x, 1)$, 所以 $\overrightarrow{E M} \cdot \overrightarrow{E C}=\left(1-x, \frac{1}{2}\right) \cdot(1$ $-x, 1)=(1-x)^{2}+\frac{1}{2}$. 因为 $0 \leqslant x \leqslant 1$ ，所以 $\frac{1}{2} \leqslant(1-x)^{2}+\frac{1}{2} \leqslant \frac{3}{2}$ ，即 $\overrightarrow{E M} \cdot \overrightarrow{E C}$ 的取值范围是 $\left[\frac{1}{2} ， \frac{3}{2}\right]$.答案: $\left[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$
题目（高二 · 解析几何）：6. 已知向量 $\boldsymbol{a}=(1,2), \boldsymbol{b}=(-2,-4),|\boldsymbol{c}|=\sqrt{5}$. 若 $(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}=\frac{5}{2}$, 则 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{c}$ 的夹角的大小为
选项：
答案：$120^{\circ}$
解析：设 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{c}$ 的夹角为 $\theta$ ，由 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(-1,-2)=-\boldsymbol{a},|\boldsymbol{a}|=\sqrt{5}, \cos \theta=\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}}{|\boldsymbol{a}| \boldsymbol{c} \mid}=\frac{-(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}}$ $=\frac{-\frac{5}{2}}{5}=-\frac{1}{2}$,

$\therefore \theta=120^{\circ}$.

答案: $120^{\circ}$
题目（高二 · 解析几何）：7. 已知向量 $\boldsymbol{a}=(1, \sqrt{3})$, 向量 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{c}$ 的夹角是 $\frac{\pi}{3}, \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}=2$, 则 $\mid \boldsymbol{c}$ 等于
选项：
答案：2
解析：解析：因为 $|\boldsymbol{a}|=2 ， \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}=2$ ，所以 $|\boldsymbol{a}| \cdot|\boldsymbol{c}| \cos 60^{\circ}=2$ ，得 $\boldsymbol{c} \mid=2$.
题目（高二 · 解析几何）：8. 已知 $\triangle A B C$ 中, $|\overrightarrow{A B}|=4,|\overrightarrow{A C}|=1, S_{\triangle A B C}=\sqrt{3}$, 则 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}$ 的值为
选项：
答案：$\pm 2$
解析：因为 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} \times 4 \times 1 \times \sin A=\sqrt{3}$ ，所以 $\sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，得 $A=\frac{\pi}{3}$ 或 $A=\frac{2 \pi}{3} ， \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=$ $1 \times 4 \times \cos A= \pm 2$.

答案: $\pm 2$
题目（高二 · 解析几何）：14. 设 $O$ 是正方形 $A B C D$ 的中心, 则(1) $\overrightarrow{A O}=\overrightarrow{O C}$; (2) $\overrightarrow{A O} / / \overrightarrow{A C}$; (3) $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{C D}$ 共线; (4) $\overrightarrow{A O}=\overrightarrow{B O}$. 其中, 所有正确结论的序号为 \$ \qquad \$ .


选项：
答案：(1)(2)(3)
解析：正方形的对角线互相平分, 则 $\overrightarrow{A O}=\overrightarrow{O C}$, (1)正确; $\overrightarrow{A O}$ 与 $\overrightarrow{A C}$ 的方向相同, 所以 $\overrightarrow{A O} / / \overrightarrow{A C}$, (2)正确; $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{C D}$ 的方向相反, 所以 $\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{C D}$ 共线, (3)正确; 尽管 $|\overrightarrow{A O}|=|\overrightarrow{B O}|$, 然而 $\overrightarrow{A O}$ 与 $\overrightarrow{B O}$ 的方向不相同, 所以 $\overrightarrow{A O} \neq \overrightarrow{B O}$, (4)不正确.

答案: (1)(2)(3)
题目（高二 · 解析几何）：12. 在四边形 $A B C D$ 中, $\overrightarrow{A B}=\boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b}, \overrightarrow{B C}=-4 \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}, \overrightarrow{C D}=-5 \boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b}$, 则四边形 $A B C D$ 的形状是
选项：
答案：梯形
解析：$\because \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}=(\boldsymbol{a}+2 \boldsymbol{b})+(-4 \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})+(-5 \boldsymbol{a}-3 \boldsymbol{b})=-8 \boldsymbol{a}-2 \boldsymbol{b}=2 \overrightarrow{B C}$ ， $\therefore A D / / B C$ ，且 $A D=2 B C . \therefore$ 四边形 $A B C D$ 是梯形.

答案: 梯形
题目（高二 · 解析几何）：7. 已知 $\overrightarrow{A D}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A E}=\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}$, 则 $\overrightarrow{D E}=$ \$ \qquad \$ $\overrightarrow{B C}$.
选项：
答案：$\frac{2}{3}$
解析：$\overrightarrow{D E}=\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{A E}=-\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A E}=-\frac{2}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{2}{3} \overrightarrow{A C}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B})=\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}$.

答案: $\frac{2}{3}$
题目（高二 · 解析几何）：13. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 角 $\alpha$ 与角 $\beta$ 均以 $O x$ 为始边, 它们的终边关于 $y$ 轴对称. 若 $\sin$
$\alpha=\frac{1}{3}$, 则 $\cos (\alpha-\beta)=$ \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$-\frac{7}{9}$
解析：由题意知 $\alpha+\beta=\pi+2 k \pi(k \in \mathbf{Z})$ ，

$\therefore \beta=\pi+2 k \pi-\alpha(k \in \mathbf{Z}), \sin \beta=\sin \alpha, \cos \beta=-\cos \alpha$.

又 $\sin \alpha=\frac{1}{3}$ ，

$\therefore \cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta$

$=-\cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha=2 \sin ^{2} \alpha-1$

$=2 \times \frac{1}{9}-1=-\frac{7}{9}$.

答案: $-\frac{7}{9}$
题目（高二 · 解析几何）：14. 已知 $\alpha, \beta$ 均为锐角, 且 $\sin \alpha=\frac{2 \sqrt{5}}{5}, \sin \beta=\frac{\sqrt{10}}{10}$, 则 $\alpha-\beta=$ \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$\frac{\pi}{4}$
解析：$\because \alpha, \beta$ 均为锐角， $\therefore \cos \alpha=\frac{\sqrt{5}}{5} ， \cos \beta=\frac{3 \sqrt{10}}{10}$.

$\therefore \cos (\alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta+\sin \alpha \sin \beta=\frac{\sqrt{5}}{5} \times \frac{3 \sqrt{10}}{10}+\frac{2 \sqrt{5}}{5} \times \frac{\sqrt{10}}{10}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

又 $\because \sin \alpha>\sin \beta, \quad \therefore 0<\beta<\alpha<\frac{\pi}{2}$ ，

$\therefore 0<\alpha-\beta<\frac{\pi}{2}$ ，故 $\alpha-\beta=\frac{\pi}{4}$.

## 答案: $\frac{\pi}{4}$
题目（高二 · 立体几何学）：10. 在 $\triangle A B C$ 中, $A=60^{\circ}, b=1, S_{\triangle A B C}=\sqrt{3}$, 则 $\triangle A B C$ 外接圆的面积是
选项：
答案：$\frac{13 \pi}{3}$
解析：_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{\sqrt{3}}{4} c=\sqrt{3}$,

$\therefore c=4$,

由余弦定理: $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$

$=1^{2}+4^{2}-2 \times 1 \times 4 \cos 60^{\circ}=13$,

$\therefore a=\sqrt{13}$.

$\therefore 2 R=\frac{a}{\sin A}=\frac{\sqrt{13}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2 \sqrt{39}}{3}$,

$\therefore R=\frac{\sqrt{39}}{3} . \therefore S_{\text {外茹团 }}=\pi R^{2}=\frac{13 \pi}{3}$.
题目（高二 · 立体几何学）：11. 把同一平面内所有模不小于 1 , 不大于 2 的向量的起点, 移到同一点 $O$, 则这些向量的终点构成的图形的面积等于 \$ \qquad \$
选项：
答案：$3 \pi$
解析：这些向量的终点构成的图形是一个圆环, 其面积为 $\pi \times 2^{2}-\pi \times 1^{2}=3 \pi$.

答案: $3 \pi$
题目（高二 · 立体几何学）：7. 设点 $O$ 是 $\triangle A B C$ 所在平面上一点, 若 $|\overrightarrow{O A}|=|\overrightarrow{O B}|=|\overrightarrow{O C}|$, 则点 $O$ 是 $\triangle A B C$ 的（）心.
选项：
答案：外
解析：外
题目（高二 · 算术）：7. 比较大小: $\sin 1 .2$ $\sin 1 .5$ (填“〉”或““”).
选项：
答案：<
解析：<