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题目（七年级 · 代数）：(2021 秋・洛阳期末) 阅读理解: 阅读下列材料: 已知二次三项式 $2 x^{2}+x+a$ 有一个因式是 $(x+2)$,求另一个因式以及 $a$ 的值.

解：设另一个因式是 $(2 x+b)$,

根据题意，得 $2 x^{2}+x+a=(x+2)(2 x+b)$.

展开, 得 $2 x^{2}+x+a=2 x^{2}+(b+4) x+2 b$.

所以, $\left\{\begin{array}{l}b+4=1 \\ a=2 b\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}a=-6 \\ b=-3\end{array}\right.$

所以，另一个因式是 $(2 x-3), a$ 的值是 -6 .

请你仿照以上做法解答下题: 已知二次三项式 $3 x^{2}+10 x+m$ 有一个因式是 $(x+4)$, 求另一个因式以及 $m$ 的值.
选项：
答案：解: 设另一个因式是 $(3 x+b)$, 根据题意, 得 $3 x^{2}+10 x+m=(x+4)(3 x+b)$.

展开, 得 $3 x^{2}+10 x+m=3 x^{2}+(b+12) x+4 b$.

所以, $\left\{\begin{array}{l}b+12=10 \\ m=4 b\end{array}\right.$, 解得: $\left\{\begin{array}{l}b=-2 \\ m=-8\end{array}\right.$, 所以, 另一个因式是 $(3 x-2), m$ 的值是 - 8 .
解析：直接利用已知例题进而假设出另一个因式是 $(3 x+b)$, 求出答案即可.

【答案】解: 设另一个因式是 $(3 x+b)$, 根据题意, 得 $3 x^{2}+10 x+m=(x+4)(3 x+b)$.

展开, 得 $3 x^{2}+10 x+m=3 x^{2}+(b+12) x+4 b$.

所以, $\left\{\begin{array}{l}b+12=10 \\ m=4 b\end{array}\right.$, 解得: $\left\{\begin{array}{l}b=-2 \\ m=-8\end{array}\right.$, 所以, 另一个因式是 $(3 x-2), m$ 的值是 - 8 .

【点睛】此题主要考查了因式分解的意义, 正确假设出另一个因式是解题关键.
题目（七年级 · 代数）：（2021 秋・平昌县期末）把下列多项式分解因式:
(1) $2 x(a-2)-y(2-a)$;
(2) $4 a^{2}-12 a b+9 b^{2}$;
(3) $x^{2}-2 x-15$;
(4) $-3 x^{3}+12 x$.
选项：
答案：解: (1) $2 x(a-2)-y(2-a)=(a-2)(2 x+y)$;

(2) $4 a^{2}-12 a b+9 b^{2}=(2 a-3 b)^{2}$;

(3) $x^{2}-2 x-15=(x-5)(x+3)$;

(4) $-3 x^{3}+12 x=-3 x\left(x^{2}-4\right)=-3 x(x+2)(x-2)$.
解析：（1）利用提公因式法分解即可;

(2) 利用完全平方公式分解即可;

(3) 利用十字相乘法分解即可;

（4）先提公因式, 然后再利用平方差公式继续分解即可.

【答案】解: (1) $2 x(a-2)-y(2-a)=(a-2)(2 x+y)$;

(2) $4 a^{2}-12 a b+9 b^{2}=(2 a-3 b)^{2}$;

(3) $x^{2}-2 x-15=(x-5)(x+3)$;

(4) $-3 x^{3}+12 x=-3 x\left(x^{2}-4\right)=-3 x(x+2)(x-2)$.

【点睛】本题考查了因式分解 - 十字相乘法, 提公因式法与公式法的综合运用, 一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式.
题目（七年级 · 代数）：（2021 秋 $\cdot$ 永吉县期末）阅读下列材料:

一般地, 没有公因式的多项式, 当项数为四项或四项以上时, 经常把这些项分成若干组, 然后各组运
用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法. 如:

因式分解: $a m+b m+a n+b n=(a m+b m)+(a n+b n)=m(a+b)+n(a+b)=(a+b)(m+n)$.

（1）利用分组分解法分解因式: (1) $3 m-3 y+a m-a y ;(2) a^{2} x+a^{2} y+b^{2} x+b^{2} y$.

(2) 因式分解: $a^{2}+2 a b+b^{2}-1=$ (直接写出结果) .
选项：
答案：解: (1) (1)原式 $=(3 m-3 y)+(a m-a y)=3(m-y)+a(m-y)=(m-y)(3+a)$;

(2) 原式 $=\left(a^{2} x+a^{2} y\right)+\left(b^{2} x+b^{2} y\right)=a^{2}(x+y)+b^{2}(x+y)=(x+y)\left(a^{2}+b^{2}\right) ;$

(2) $a^{2}+2 a b+b^{2}-1=(a+b)^{2}-1=(a+b+1)(a+b-1)$.

故答案为: $(a+b+1)(a+b-1)$ 。
解析：（1）１直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可;

(2)直接将前两项和后两项组合，提取公因式，进而分解因式即可;

（2）将前三项利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式得出答案.

【答案】解: (1) (1)原式 $=(3 m-3 y)+(a m-a y)=3(m-y)+a(m-y)=(m-y)(3+a)$;

(2) 原式 $=\left(a^{2} x+a^{2} y\right)+\left(b^{2} x+b^{2} y\right)=a^{2}(x+y)+b^{2}(x+y)=(x+y)\left(a^{2}+b^{2}\right) ;$

(2) $a^{2}+2 a b+b^{2}-1=(a+b)^{2}-1=(a+b+1)(a+b-1)$.

故答案为: $(a+b+1)(a+b-1)$ 。

【点睛】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式, 正确分组再运用公式法分解因式是解题关键.
题目（七年级 · 代数）：（2021 秋・兴文县期中）【阅读】代数中的很多等式可以用几何图形直观表示, 这种思想叫“数形结合”思想. 如图 1, 现有正方形 $A$ 类、 $B$ 类卡片和长方形 $C$ 类卡片若干张, 若要拼成一个长为 $2 a+b$ 、宽为 $a+2 b$ 的大长方形, 可以先计算大长方形面积为 $(2 a+b)(a+2 b)=2 a^{2}+2 b^{2}+5 a b$, 则分别需要 $A$类、B类、 $C$ 类卡片 2 张、 2 张、 5 张, 拼成的图形如图 2 所示.



图1



图2



图3

【探究】(1) 若要拼成一个长为 $a+3 b$ 、宽为 $a+b$ 的大长方形, 则需要 $A$ 类、 $B$ 类、 $C$ 类卡片各多少张？并画出示意图.

[应用](2) (1)由图 3 可得等式: \$ \qquad \$
(2)已知 $a+b+c=11, a b+b c+a c=38$, 利用(1)中所得结论, 求 $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ 的值.
选项：
答案：(1) $\because(a+3 b)(a+b)=a^{2}+3 b^{2}+4 a b$.

$\therefore$ 需要 $A$ 类卡片 1 张, $B$ 类卡片 3 张, $C$ 类卡片 4 张.

如下图:

| $A$ | $C$ | $C$ | $C$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $C$ | $B$ | $B$ | $B$ |

(2) (1)图 3 中大正方形的面积 $=(a+b+c)^{2}$, 还可以表示为: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 a c$.

$\therefore(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 a c$.

故答案为: $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 a c$.

(2) 由(1)知: $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 a c$.

$\therefore a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2 a b-2 b c-2 a c=11^{2}-2 \times 38=45$.
解析：(1) 根据 $(a+3 b)(a+b)$ 的画图。

（2）根据等面积法推导. (3) 通过图 3 面积, 找到 $a+b+c$ 与 $a b+b c+a c$ 值的关系求解.

【答案】 (1) $\because(a+3 b)(a+b)=a^{2}+3 b^{2}+4 a b$.

$\therefore$ 需要 $A$ 类卡片 1 张, $B$ 类卡片 3 张, $C$ 类卡片 4 张.

如下图:

| $A$ | $C$ | $C$ | $C$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $C$ | $B$ | $B$ | $B$ |

(2) (1)图 3 中大正方形的面积 $=(a+b+c)^{2}$, 还可以表示为: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 a c$.

$\therefore(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 a c$.

故答案为: $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 a c$.

(2) 由(1)知: $(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 a c$.

$\therefore a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2 a b-2 b c-2 a c=11^{2}-2 \times 38=45$.

【点睛】本题考查因式分解的应用, 用两种方法表示同一个图形的面积找出代数恒等式是求解本题的
关键.
题目（七年级 · 代数）：（2021 秋・长沙县期末）方法探究:

己知二次多项式 $x^{2}-4 x-21$, 我们把 $x=-3$ 代入多项式, 发现 $x^{2}-4 x-21=0$, 由此可以推断多项式中有因式 $(x+3)$. 设另一个因式为 $(x+k)$, 多项式可以表示成 $x^{2}-4 x-21=(x+3)(x+k)$, 则有 $x^{2}-4 x-21=x^{2}+(k+3) x+3 k$, 因为对应项的系数是对应相等的, 即 $k+3=-4$, 解得 $k=-7$, 因此多项式分解因式得: $\left.x^{2}-4 x-21=(x+3) （ x-7\right)$. 我们把以上分解因式的方法叫 “试根法”.问题解决: (1) 对于二次多项式 $x^{2}-4$, 我们把 $x=$ \$ \qquad \$代入该式, 会发现 $x^{2}-4=0$ 成立;

(2) 对于三次多项式 $x^{3}-x^{2}-3 x+3$, 我们把 $x=1$ 代入多项式, 发现 $x^{3}-x^{2}-3 x+3=0$, 由此可以推断多项式中有因式 $(x-1)$, 设另一个因式为 $\left(x^{2}+a x+b\right)$, 多项式可以表示成 $x^{3}-x^{2}-3 x+3=(x-$ 1） $\left(x^{2}+a x+b\right)$, 试求出题目中 $a, b$ 的值; （3）对于多项式 $x^{3}+4 x^{2}-3 x-18$, 用 “试根法” 分解因式.
选项：
答案：解: (1) 当 $x= \pm 2$ 时, $x^{2}-4=0$, 故答案为: $\pm 2$;

(2) 由题意可知 $x^{3}-x^{2}-3 x+3=(x-1)\left(x^{2}+a x+b\right)$,

$\therefore x^{3}-x^{2}-3 x+3=x^{3}-(1-a) x^{2}-(a-b) x-b$,

$\therefore 1-a=1, b=-3, \quad \therefore a=0, b=-3$

（3）当 $x=2$ 时， $x^{3}+4 x^{2}-3 x-18=8+16-6-18=0, \therefore$ 多项式有因式 $(x-2)$,设另一个因式为 $\left(x^{2}+a x+b\right) ， \therefore x^{3}+4 x^{2}-3 x-18=(x-2)\left(x^{2}+a x+b\right)$,

$\therefore x^{3}+4 x^{2}-3 x-18=x^{3}+(a-2) x^{2}-(2 a-b) x-2 b$,

$\therefore a-2=4, \quad 2 b=18, \quad \therefore a=6, \quad b=9, \quad \therefore x^{3}+4 x^{2}-3 x-18=(x-2)\left(x^{2}+6 x+9\right)=(x-2)(x+3)^{2}$.
解析：) 将 $x= \pm 2$ 代入即可; （2）由题意得 $x^{3}-x^{2}-3 x+3=x^{3}-(1-a) x^{2}-(a-b) x$ $-b$, 再由系数关系求 $a 、 b$ 即可; (3) 多项式有因式 $(x-2)$, 设另一个因式为 $\left(x^{2}+a x+b\right)$, 则 $x^{3}+4 x^{2}$ $-3 x-18=x^{3}+(a-2) x^{2}-(2 a-b) x-2 b$, 再由系数关系求 $a 、 b$ 即可.

【答案】解: (1) 当 $x= \pm 2$ 时, $x^{2}-4=0$, 故答案为: $\pm 2$;

(2) 由题意可知 $x^{3}-x^{2}-3 x+3=(x-1)\left(x^{2}+a x+b\right)$,

$\therefore x^{3}-x^{2}-3 x+3=x^{3}-(1-a) x^{2}-(a-b) x-b$,

$\therefore 1-a=1, b=-3, \quad \therefore a=0, b=-3$

（3）当 $x=2$ 时， $x^{3}+4 x^{2}-3 x-18=8+16-6-18=0, \therefore$ 多项式有因式 $(x-2)$,设另一个因式为 $\left(x^{2}+a x+b\right) ， \therefore x^{3}+4 x^{2}-3 x-18=(x-2)\left(x^{2}+a x+b\right)$,

$\therefore x^{3}+4 x^{2}-3 x-18=x^{3}+(a-2) x^{2}-(2 a-b) x-2 b$,

$\therefore a-2=4, \quad 2 b=18, \quad \therefore a=6, \quad b=9, \quad \therefore x^{3}+4 x^{2}-3 x-18=(x-2)\left(x^{2}+6 x+9\right)=(x-2)(x+3)^{2}$.

【点睛】本题考查因式分解的意义, 理解 “试根法” 的本质, 多项式乘多项式的正确展开是解题的关键。
题目（七年级 · 代数）：利用因式分解计算:

(1) $\frac{2017 \times 2019}{2018^{2}-1}$;

(2) $2020^{2}-2019^{2}+2018^{2}-2017^{2}+\cdots+2^{2}-1^{2}$.
选项：
答案：(1)原式 $=\frac{(2018-1) \times(2018+1)}{2018^{2}-1}=\frac{2018^{2}-1}{2018^{2}-1}=1$.

(2)原式 $=(2020+2019) \times(2020-2019)+(2018+2017) \times(2018-2017)+\cdots+(2+1) \times(2-1)$

$=2020+2019+2018+2017+\cdots+2+1$

$=\frac{1}{2} \times(2020+1) \times 2020$

$=2041210$.
解析：(1)原式 $=\frac{(2018-1) \times(2018+1)}{2018^{2}-1}=\frac{2018^{2}-1}{2018^{2}-1}=1$.

(2)原式 $=(2020+2019) \times(2020-2019)+(2018+2017) \times(2018-2017)+\cdots+(2+1) \times(2-1)$

$=2020+2019+2018+2017+\cdots+2+1$

$=\frac{1}{2} \times(2020+1) \times 2020$

$=2041210$.
题目（七年级 · 代数）：(6 分) 已知 $a+b+c=5, a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. 求 $a b+b c+c a$ 的值.
选项：
解析：$a+b+c=5$,

$\therefore(a+b+c)^{2}=25$,
即 $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 a c+2 b c=25 ，$

$\because a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

$\therefore 3+2(a b+a c+b c)=25$,

$\therefore a b+b c+c a=11$.

【解析】先将 $a+b+c=5$, 两边分别平方, 再将 $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$ 代入便可求得结果.
题目（七年级 · 代数）：(6 分) 已知三角形三边长 $a, b, c$, 且满足 $a^{2}+2 b^{2}+c^{2}-2 b(a+c)=0$, 则该三角形是什么三角形?说明理由.
选项：
答案：$\because a^{2}+2 b^{2}+c^{2}-2 b(a+c)=0$,

$\therefore a^{2}-2 a b+b^{2}+b^{2}-2 b c+c^{2}=0$

$\therefore(a-b)^{2}+(b-c)^{2}=0$,

$\therefore a-b=0$ 且 $b-c=0$,

$\therefore a=b$ 且 $b=c$,

$\therefore a=b=c$,

$\therefore$ 三角形 $A B C$ 是等边三角形.

【解析】根据 $a^{2}+2 b^{2}+c^{2}-2 b(a+c)=0$, 可以得到 $a 、 b 、 c$ 的关系, 从而可以判断三角形 $A B C$ 的形状.
解析：$\because a^{2}+2 b^{2}+c^{2}-2 b(a+c)=0$,

$\therefore a^{2}-2 a b+b^{2}+b^{2}-2 b c+c^{2}=0$

$\therefore(a-b)^{2}+(b-c)^{2}=0$,

$\therefore a-b=0$ 且 $b-c=0$,

$\therefore a=b$ 且 $b=c$,

$\therefore a=b=c$,

$\therefore$ 三角形 $A B C$ 是等边三角形.

【解析】根据 $a^{2}+2 b^{2}+c^{2}-2 b(a+c)=0$, 可以得到 $a 、 b 、 c$ 的关系, 从而可以判断三角形 $A B C$ 的形状.
题目（七年级 · 代数）：(6 分) 在分解因式 $x^{2}+a x+b$ 时, 小明看错了 $b$, 分解结果为 $(x+2)(x+4)$; 小张看错了 $a$, 分解结果为 $(x-1)(x-9)$, 求 $a, b$ 的值.
选项：
答案：$(x+2)(x+4)=x^{2}+6 x+8$,

$$
(x-1)(x-9)=x^{2}-10 x+9
$$

$a=6, \quad b=9$.
解析：$(x+2)(x+4)=x^{2}+6 x+8$,

$$
(x-1)(x-9)=x^{2}-10 x+9
$$

$a=6, \quad b=9$.
题目（七年级 · 代数）：(6 分) 已知 $m, n$ 为数轴上在原点两侧且到原点距离相等的两个点所表示的数,且满足 $(m+4)^{2}-(n+4)^{2}=16$, 求 $m^{2}+n^{2}-\frac{m}{n}$ 的值.
选项：
答案：由题意知 $m$ 与 $n$ 互为相反数,

所以 $m+n=0$. 所以 $m=-n$.

因为 $(m+4)^{2}-(n+4)^{2}=[(m+4)+(n+4)][(m+4)-(n+4)]=(m+n+8)(m-n)=16$,

所以 $8(m-n)=16$, 即 $m-n=2$. 所以 $-n-n=2$.

所以 $n=-1, m=1$, 则 $m^{2}+n^{2}-\frac{m}{n}=1+1+1=3$.

【解析】本题利用了方程思想, 先利用平方差公式分解因式,得出关于 $m, n$ 的方程,结合已知条件求出 $m, n$ 的值, 再代入求值即可.
解析：由题意知 $m$ 与 $n$ 互为相反数,

所以 $m+n=0$. 所以 $m=-n$.

因为 $(m+4)^{2}-(n+4)^{2}=[(m+4)+(n+4)][(m+4)-(n+4)]=(m+n+8)(m-n)=16$,

所以 $8(m-n)=16$, 即 $m-n=2$. 所以 $-n-n=2$.

所以 $n=-1, m=1$, 则 $m^{2}+n^{2}-\frac{m}{n}=1+1+1=3$.

【解析】本题利用了方程思想, 先利用平方差公式分解因式,得出关于 $m, n$ 的方程,结合已知条件求出 $m, n$ 的值, 再代入求值即可.
题目（七年级 · 代数）：(7 分) 如图, 将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成 9 块, 其中有 2 块是边长为 $a$ 厘米的大正
方形, 2 块是边长都为 $b$ 厘米的小正方形, 5 块是长为 $a$ 厘米, 宽为 $b$ 厘米的相同的小长方形,且 $a>b$,

(1) 观察图形，可以发现代数式 $2 a^{2}+5 a b+2 b^{2}$ 可以因式分解为

(2) 若图中阴影部分的面积为 242 平方厘米, 大长方形纸板的周长为 78 厘米, 求图中空白部分的面积.


选项：
答案：$(a+2 b)(2 a+b) ； 120$ 平分厘米

【解析】解： (1) 观察图形, 可以发现代数式 $2 a^{2}+5 a b+2 b^{2}$ 可以因式分解为 $(a+2 b)(2 a+b)$;

(2) 由已知得: $\left\{\begin{array}{c}2\left(a^{2}+b^{2}\right)=242 \\ 6 a+6 b=78\end{array}\right.$,

化简得 $\left\{\begin{array}{c}a^{2}+b^{2}=121 \\ a+b=13\end{array}\right.$

$\therefore(a+b)^{2}-2 a b=121$,

$\therefore a b=24$,

$5 a b=120$.
$\therefore$ 空白部分的面积为 120 平分厘米.

本题考查了因式分解，能通过两种方法表示纸板面积是解题的关键.
解析：答案】 $(a+2 b)(2 a+b) ； 120$ 平分厘米

【解析】解： (1) 观察图形, 可以发现代数式 $2 a^{2}+5 a b+2 b^{2}$ 可以因式分解为 $(a+2 b)(2 a+b)$;

(2) 由已知得: $\left\{\begin{array}{c}2\left(a^{2}+b^{2}\right)=242 \\ 6 a+6 b=78\end{array}\right.$,

化简得 $\left\{\begin{array}{c}a^{2}+b^{2}=121 \\ a+b=13\end{array}\right.$

$\therefore(a+b)^{2}-2 a b=121$,

$\therefore a b=24$,

$5 a b=120$.
$\therefore$ 空白部分的面积为 120 平分厘米.

本题考查了因式分解，能通过两种方法表示纸板面积是解题的关键.
题目（七年级 · 代数）：分）教科书中这样写道: “我们把多项式 $a^{2}+2 a b+b^{2}$ 及 $a^{2}$ $-2 a b+b^{2}$ 叫做完全平方式”, 如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形: 先添加一个适当的项, 使式子中出现完全平方式, 再减去这个项, 使整个式子的值不变, 这种方法叫做配方法. 配方法是一种重要的解决问题的数学方法, 不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式, 还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值, 最小值等.

例如: 分解因式 $x^{2}+2 x-3=\left(x^{2}+2 x+1\right)-4=(x+1)^{2}-4=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x$ - 1) ; 例如求代数式 $2 x^{2}+4 x-6$ 的最小值. $2 x^{2}+4 x-6=2\left(x^{2}+2 x-3\right)=2(x+1)^{2}-8$. 可知当 $x$ $=-1$ 时, $2 x^{2}+4 x-6$ 有最小值, 最小值是 -8 , 根据阅读材料用配方法解决下列问题:

(1) 分解因式: $m^{2}-4 m-5=$

(2) 当 $a, b$ 为何值时, 多项式 $a^{2}+b^{2}-4 a+6 b+18$ 有最小值, 并求出这个最小值.

(3) 当 $a, b$ 为何值时, 多项式 $a^{2}-2 a b+2 b^{2}-2 a-4 b+27$ 有最小值, 并求出这个最小值.
选项：
答案：(1) $m^{2}-4 m-5=m^{2}-4 m+4-9=(m-2)^{2}-9=(m-2+3) \quad(m-2-3)=(m+1) \quad(m-5)$

(2) $\because a^{2}+b^{2}-4 a+6 b+18=(a-2)^{2}+(b+3)^{2}+5$,

$\therefore$ 当 $a=2, b=-3$ 时, 多项式 $a^{2}+b^{2}-4 a+6 b+18$ 有最小值 5 ;

(3) $\because a^{2}-2 a b+2 b^{2}-2 a-4 b+27$

$=a^{2}-2 a(b+1)+(b+1)^{2}+(b-3)^{2}+17$

$=(a-b-1)^{2}+(b-3)^{2}+17$

$\therefore$ 当 $a=4, b=3$ 时, 多项式 $a^{2}-2 a b+2 b^{2}-2 a-4 b+27$ 有最小值 17.

【解析】本题考查了因式分解的应用, 非负数的性质, 解题时要注意配方法的步骤. 注意在变形的过程中不要改变式子的值.

（1）根据阅读材料, 先将 $m^{2}-4 m-5$ 变形为 $m^{2}-4 m+4-9$, 再根据完全平方公式写成 $(m-2)^{2}-9$, 然后利用平方差公式分解即可;

(2) 利用配方法将多项式 $a^{2}+b^{2}-4 a+6 b+18$ 转化为 $(a-2)^{2}+(b+3)^{2}+5$, 然后利用非负数的性质进行解答;

(3) 利用配方法将多项式 $a^{2}-2 a b+2 b^{2}-2 a-4 b+27$ 转化为 $(a-b-1)^{2}+(b-3)^{2}+17$, 然后利用非负数的性质进行解答
解析：答案】(1) $m^{2}-4 m-5=m^{2}-4 m+4-9=(m-2)^{2}-9=(m-2+3) \quad(m-2-3)=(m+1) \quad(m-5)$

(2) $\because a^{2}+b^{2}-4 a+6 b+18=(a-2)^{2}+(b+3)^{2}+5$,

$\therefore$ 当 $a=2, b=-3$ 时, 多项式 $a^{2}+b^{2}-4 a+6 b+18$ 有最小值 5 ;

(3) $\because a^{2}-2 a b+2 b^{2}-2 a-4 b+27$

$=a^{2}-2 a(b+1)+(b+1)^{2}+(b-3)^{2}+17$

$=(a-b-1)^{2}+(b-3)^{2}+17$

$\therefore$ 当 $a=4, b=3$ 时, 多项式 $a^{2}-2 a b+2 b^{2}-2 a-4 b+27$ 有最小值 17.

【解析】本题考查了因式分解的应用, 非负数的性质, 解题时要注意配方法的步骤. 注意在变形的过程中不要改变式子的值.

（1）根据阅读材料, 先将 $m^{2}-4 m-5$ 变形为 $m^{2}-4 m+4-9$, 再根据完全平方公式写成 $(m-2)^{2}-9$, 然后利用平方差公式分解即可;

(2) 利用配方法将多项式 $a^{2}+b^{2}-4 a+6 b+18$ 转化为 $(a-2)^{2}+(b+3)^{2}+5$, 然后利用非负数的性质进行解答;

(3) 利用配方法将多项式 $a^{2}-2 a b+2 b^{2}-2 a-4 b+27$ 转化为 $(a-b-1)^{2}+(b-3)^{2}+17$, 然后利用非负数的性质进行解答.
题目（七年级 · 代数）：已知 $x y=-3$, 满足 $x+y=2$, 求代数式 $x^{2} y+x y^{2}$ 的值.
选项：
答案：$\because x y=-3, x+y=2$,

$\therefore x^{2} y+x y^{2}=x y(x+y)=-3 \times 2=-6$.
解析：$\because x y=-3, x+y=2$,

$\therefore x^{2} y+x y^{2}=x y(x+y)=-3 \times 2=-6$.
题目（七年级 · 代数）：多项式 $3 x^{3}+m x^{2}+n x+42$ 中含有一个因式 $x^{2}+x-2$, 试求 $m, n$ 的值
选项：
答案：$\because x^{2}+x-2=(x+2)(x-1)$,

$\therefore$ 当 $x=-2$ 时, 原式 $=0$,

当 $x=1$ 时, 原式 $=0$,

即 $\left\{\begin{array}{l}-24+4 m-2 n+42=0 \\ 3+m+n+42=0\end{array}\right.$,

解得 $\left\{\begin{array}{l}m=-18 \\ n=-27\end{array}\right.$.
解析：$\because x^{2}+x-2=(x+2)(x-1)$,

$\therefore$ 当 $x=-2$ 时, 原式 $=0$,

当 $x=1$ 时, 原式 $=0$,

即 $\left\{\begin{array}{l}-24+4 m-2 n+42=0 \\ 3+m+n+42=0\end{array}\right.$,

解得 $\left\{\begin{array}{l}m=-18 \\ n=-27\end{array}\right.$.
题目（七年级 · 代数）：我们知道, 分解因式与整式乘法是互逆的运算. 在分解因式的练习中我们也会遇到下面的问题,请你根据情况解答:

(1)两位同学将一个二次三项式分解因式时, 其中一位同学因看错了一次项系数而分解成 $3(x-$ 1) $(x+2)$, 另一位同学因看错了常数项而分解成 $3(x+2)(x-3)$, 请你求出原来的多项式并将原式分解因式.

(2) 已知 $a 、 b 、 c$ 是 $\triangle A B C$ 的三边且满足 $a^{2} c^{2}-b^{2} c^{2}=a^{4}-b^{4}$. 判断 $\triangle A B C$ 的形状.
选项：
答案：(1)设原多项式为 $a x^{2}+b x+c$ (其中 $a 、 b 、 c$ 均为常数, 且 $a b c \neq 0$ ).

$\because 3(x-1)(x+2)=3\left(x^{2}+x-2\right)=3 x^{2}+3 x-6$,

$\therefore a=3, c=-6$

又 $\because 3(x+2)(x-3)=3\left(x^{2}-x-6\right)=3 x^{2}-3 x-18$,
$\therefore b=-3$.

$\therefore$ 原多项式为 $3 x^{2}-3 x-6$, 将它分解因式, 得

$3 x^{2}-3 x-6=3\left(x^{2}-x-2\right)=3(x-2)(x+1)$.

(2) $\because a^{4}-b^{4}=a^{2} c^{2}-b^{2} c^{2}$

$\therefore a^{4}-b^{4}-a^{2} c^{2}+b^{2} c^{2}=0$

即: $\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}+b^{2}\right)-c^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)$

$$
\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)\left(a^{2}-b^{2}\right)=0
$$

则 $a^{2}+b^{2}-c^{2}=0$ 或 $a^{2}-b^{2}=0$

可得 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 或 $a=b$.

$\therefore \triangle A B C$ 是等腰三角形或直角三角形
解析：(1)设原多项式为 $a x^{2}+b x+c$ (其中 $a 、 b 、 c$ 均为常数, 且 $a b c \neq 0$ ).

$\because 3(x-1)(x+2)=3\left(x^{2}+x-2\right)=3 x^{2}+3 x-6$,

$\therefore a=3, c=-6$

又 $\because 3(x+2)(x-3)=3\left(x^{2}-x-6\right)=3 x^{2}-3 x-18$,
$\therefore b=-3$.

$\therefore$ 原多项式为 $3 x^{2}-3 x-6$, 将它分解因式, 得

$3 x^{2}-3 x-6=3\left(x^{2}-x-2\right)=3(x-2)(x+1)$.

(2) $\because a^{4}-b^{4}=a^{2} c^{2}-b^{2} c^{2}$

$\therefore a^{4}-b^{4}-a^{2} c^{2}+b^{2} c^{2}=0$

即: $\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}+b^{2}\right)-c^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)$

$$
\left(a^{2}+b^{2}-c^{2}\right)\left(a^{2}-b^{2}\right)=0
$$

则 $a^{2}+b^{2}-c^{2}=0$ 或 $a^{2}-b^{2}=0$

可得 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 或 $a=b$.

$\therefore \triangle A B C$ 是等腰三角形或直角三角形
题目（七年级 · 代数）：阅读材料后解决问题:

小明遇到下面一个问题:

计算 $(2+1)\left(2^{2}+1\right)\left(2^{4}+1\right)\left(2^{8}+1\right)$.

经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构, 进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下:

$(2+1)\left(2^{2}+1\right)\left(2^{4}+1\right)\left(2^{8}+1\right)$

$=(2+1)(2-1)\left(2^{2}+1\right)\left(2^{4}+1\right)\left(2^{8}+1\right)$

$=\left(2^{2}-1\right)\left(2^{2}+1\right)\left(2^{4}+1\right)\left(2^{8}+1\right)$

$=\left(2^{4}-1\right)\left(2^{4}+1\right)\left(2^{8}+1\right)$

$=\left(2^{8}-1\right)\left(2^{8}+1\right)$

$=2^{16}-1$

请你根据小明解决问题的方法, 试着解决以下的问题:
$(1)(2+1)\left(2^{2}+1\right)\left(2^{4}+1\right)\left(2^{8}+1\right)\left(2^{16}+1\right)=$

$(2)(3+1)\left(3^{2}+1\right)\left(3^{4}+1\right)\left(3^{8}+1\right)\left(3^{16}+1\right)=$

(3)化简: $(m+n)\left(m^{2}+n^{2}\right)\left(m^{4}+n^{4}\right)\left(m^{8}+n^{8}\right)\left(m^{16}+n^{16}\right)$.
选项：
答案：$(1) 2^{32}-1$;

(2) $\frac{3^{32}-1}{2}$

(3) $(m+n)\left(m^{2}+n^{2}\right)\left(m^{4}+n^{4}\right)\left(m^{8}+n^{8}\right)\left(m^{16}+n^{16}\right)$.

当 $m \neq n$ 时, 原式 $=\frac{1}{m-n}(m-n)(m+n)\left(m^{2}+n^{2}\right)\left(m^{4}+n^{4}\right)\left(m^{8}+n^{8}\right)\left(m^{16}+n^{16}\right)=\frac{m^{32}-n^{32}}{m-n}$;

当 $m=n$ 时, 原式 $=2 m \cdot 2 m^{2} \cdot 2 m^{4} \cdot 2 m^{8} \cdot 2 m^{16}=32 m^{31}$.
解析：答案】 $(1) 2^{32}-1$;

(2) $\frac{3^{32}-1}{2}$

(3) $(m+n)\left(m^{2}+n^{2}\right)\left(m^{4}+n^{4}\right)\left(m^{8}+n^{8}\right)\left(m^{16}+n^{16}\right)$.

当 $m \neq n$ 时, 原式 $=\frac{1}{m-n}(m-n)(m+n)\left(m^{2}+n^{2}\right)\left(m^{4}+n^{4}\right)\left(m^{8}+n^{8}\right)\left(m^{16}+n^{16}\right)=\frac{m^{32}-n^{32}}{m-n}$;

当 $m=n$ 时, 原式 $=2 m \cdot 2 m^{2} \cdot 2 m^{4} \cdot 2 m^{8} \cdot 2 m^{16}=32 m^{31}$.
题目（七年级 · 代数）：当一个多位数位数为偶数时, 在其中间位插入一位数 $k,(0 \leq k \leq 9$, 且 $k$ 为整数 $)$ 得到一个新数,我们把这个新数称为原数的关联数. 如: 435729 中间插入数字 6 可得 435729 的一个关联数 4356729 , 其中 $435729=729+435 \times 1000,4356729=729+6 \times 1000+435 \times 10000$.请阅读以上材料, 解决下列问题.

(1)若一个三位关联数是原来两位数的 9 倍, 请找出满足这样的三位关联数;

(2)对于任何一个位数为偶数的多位数, 中间插入数字 $m$, 得其关联数 $(0 \leq m \leq 9$, 且 $m$ 为 3 的倍数), 试证明: 所得的关联数与原数 10 倍的差一定能被 3 整除.
选项：
答案：(1)
解析：设原数为 $a b=10 a+b$, 其关联数为 $a m b=100 a+10 m+b$,

$\because a m b=9 a b$,

$\therefore 100 a+10 m+b=9 \times(10 a+b)$,

$\therefore 5 a+5 m=4 b$,

$\therefore 5(a+m)=4 b$,

$\because b 、 m$ 为整数, $a$ 为正整数, 且 $a 、 b 、 m$ 均为一位数,

$\therefore b=5, a+m=4$,

$\therefore a=1, m=3 ; a=2, m=2 ; a=3, m=1 ; a=4, m=0$.

$\therefore$ 满足条件的三位关联数为 $135 、 225 、 315$ 和 405.

(2)证明：设原数为 $a_{1} a_{2} a_{3} \ldots a_{n-2} a_{n-1} a_{n}$ ( $n$ 为偶数), 关联数为 $a_{1} a_{2} a_{3} \ldots m \ldots a_{n-2} a_{n-1} a_{n}$,原数 10 倍为 $a_{1} a_{2} a_{3} \ldots a_{n-2} a_{n-1} a_{n} 0$,

将关联数与原数 10 倍相减得: $m \cdot 10^{\left.\frac{n}{2}+1\right)}-9 \times\left(a_{\frac{n}{2}+1} a_{\frac{n}{2}+2} \ldots a_{n-1} a_{n}\right)$, $\because m$ 和 9 均为 3 的倍数,
$\therefore$ 关联数与原数 10 倍的差一定能被 3 整除.
题目（七年级 · 代数）：关于 $x$ 的多项式 $x^{2}-4 x+m$ 有一个因式是 $(x+3)$, 求另一个因式以及 $m$ 的值.

解: 设另一个因式为 $(x+n)$, 得: $x^{2}-4 x+m=(x+3)(x+n)$, 则 $x^{2}-4 x+m=x^{2}+(n+$ 3) $x+3 n ，$

$\therefore\left\{\begin{array}{l}n+3=-4 \\ m=3 n\end{array}\right.$, 解得: $n=-7, m=-21$.

$\therefore$ 另一个因式为 $(x-7), m$ 的值为 -21 .

问题：仿照以上方法解答下面问题:

(1) 已知关于 $x$ 的多项式 $2 x^{2}+3 x-k$ 有一个因式是 $(x+4)$, 求另一个因式以及 $k$ 的值.

(2)已知关于 $x$ 的多项式 $2 x^{3}+5 x^{2}-x+b$ 有一个因式为 $x+2$, 求 $b$ 的值.
选项：
答案：(1)设另一个因式是 $(2 x+b)$, 则

$(x+4)(2 x+b)=2 x^{2}+b x+8 x+4 b=2 x^{2}+(b+8) x+4 b=2 x^{2}+3 x-k$,

则 $\left\{\begin{array}{l}b+8=3 \\ 4 b=-k\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{l}b=-5 \\ k=20\end{array}\right.$.

则另一个因式是: $2 x-5, k=20$.

(2) 设另一个因式是 $\left(2 x^{2}+m x+n\right)$, 则

$(x+2)\left(2 x^{2}+m x+n\right)=2 x^{3}+(m+4) x^{2}+(2 m+n) x+2 n=2 x^{3}+5 x^{2}-x+b$,

则 $\left\{\begin{array}{l}m+4=5 \\ 2 m+n=-1 \\ 2 n=b\end{array}\right.$

解得 $\left\{\begin{array}{l}m=1 \\ n=-3 . \\ b=-6\end{array}\right.$

故 $b$ 的值是 -6 .
解析：(1)设另一个因式是 $(2 x+b)$, 则

$(x+4)(2 x+b)=2 x^{2}+b x+8 x+4 b=2 x^{2}+(b+8) x+4 b=2 x^{2}+3 x-k$,

则 $\left\{\begin{array}{l}b+8=3 \\ 4 b=-k\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{l}b=-5 \\ k=20\end{array}\right.$.

则另一个因式是: $2 x-5, k=20$.

(2) 设另一个因式是 $\left(2 x^{2}+m x+n\right)$, 则

$(x+2)\left(2 x^{2}+m x+n\right)=2 x^{3}+(m+4) x^{2}+(2 m+n) x+2 n=2 x^{3}+5 x^{2}-x+b$,

则 $\left\{\begin{array}{l}m+4=5 \\ 2 m+n=-1 \\ 2 n=b\end{array}\right.$

解得 $\left\{\begin{array}{l}m=1 \\ n=-3 . \\ b=-6\end{array}\right.$

故 $b$ 的值是 -6 .
题目（七年级 · 代数）：根据要求求出下列代数式中 $x$ 的取值范围:

(1)分式 $\frac{x+3}{x^{2}-5}$ 无意义;

(2) 分式 $-\frac{x^{2}}{x-3}$ 值为正;

(3)代数式 $\frac{\sqrt{x+5}}{x-1}$ 有意义.
选项：
答案：(1)根据题意可得 $x^{2}-5=0$,

解得: $x= \pm \sqrt{5}$;

(2)根据题意可得

$\left\{\begin{array}{l}x-3<0 \\ -x^{2}<0\end{array}\right.$,

解得: $x<3$ 且 $x \neq 0$;

(3)根据题意可得 $x+5 \geq 0$ 且 $x-1 \neq 0$,

解得: $x \geq-5$ 且 $x \neq 1$.
解析：(1)根据题意可得 $x^{2}-5=0$,

解得: $x= \pm \sqrt{5}$;

(2)根据题意可得

$\left\{\begin{array}{l}x-3<0 \\ -x^{2}<0\end{array}\right.$,

解得: $x<3$ 且 $x \neq 0$;

(3)根据题意可得 $x+5 \geq 0$ 且 $x-1 \neq 0$,

解得: $x \geq-5$ 且 $x \neq 1$.
题目（七年级 · 代数）：先化简, 再求值: $\left(a-\frac{2 a}{a+1}\right) \div\left(\frac{a^{2}-2 a+1}{a^{2}-1}\right)$, 其中 $a$ 满足 $a^{2}-3 a+2=0$.
选项：
答案：$\left(a-\frac{2 a}{a+1}\right) \div\left(\frac{a^{2}-2 a+1}{a^{2}-1}\right)$

$=\frac{a(a+1)-2 a}{a+1} \times \frac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^{2}}$

$=\frac{a^{2}-a}{a-1}$

$=\frac{a(a-1)}{a-1}$

$=a$,

由 $a^{2}-3 a+2=0$, 得 $a=1$ 或 $a=2$,

$\because$ 当 $a=1$ 时, $a-1=0$, 使得原分式无意义,

$\therefore a=2$, 原式 $=2$.
解析：$\left(a-\frac{2 a}{a+1}\right) \div\left(\frac{a^{2}-2 a+1}{a^{2}-1}\right)$

$=\frac{a(a+1)-2 a}{a+1} \times \frac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^{2}}$

$=\frac{a^{2}-a}{a-1}$

$=\frac{a(a-1)}{a-1}$

$=a$,

由 $a^{2}-3 a+2=0$, 得 $a=1$ 或 $a=2$,

$\because$ 当 $a=1$ 时, $a-1=0$, 使得原分式无意义,

$\therefore a=2$, 原式 $=2$.
题目（七年级 · 组合几何学）：如图所示, 用三种大小不同的 5 个正方形和一个长方形（阴影部分）拼成长方形 $\mathrm{ABCD}$, 其中 $E F=7$ 厘米, 最小的正方形的边长为 $\mathrm{x}$ 厘米.



(1) $F G=$ \$ \qquad \$厘米, $D G=$ \$ \qquad \$厘米 (用含 $\mathrm{x}$ 的整式分别表示);

(2) 求长方形 $\mathrm{ABCD}$ 的周长 (用含 $\mathrm{x}$ 的整式表示), 当 $x=9$ 厘米时, 求其值.
选项：
答案：$(1)(x+7) ;(3 x-7)$

(2) 解: 长方形的宽为: $x+3 x=4 x(\mathrm{~cm})$, 长为: $3 x+x+7=(4 x+7)(\mathrm{cm})$,则长方形 $\mathrm{ABCD}$ 的周长为: $[4 x+(4 x+7)] \times 2=(16 x+14)(\mathrm{cm})$,
当 $x=9$ 时, $16 x+6=16 \times 9+14=158(\mathrm{~cm})$.
解析：(1) 由图可知: $\mathrm{FG}=(x+7)$ 厘米, $\mathrm{DG}=(3 x-7)$ 厘米;

故答案是: $(x+7),(3 x-7)$;
题目（七年级 · 组合几何学）：将 7 张相同的小长方形纸片（如图 1 所示）按图 2 所示的方式不重叠的放在长方形 $\mathrm{ABCD}$ 内,未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形, 面积分别为 $S_{1}, S_{2}$, 已知小长方形纸片的长为 $a$, 宽为 $b$, 且 $a>b$



图 1

图 2

(1) 当 $a=9, b=2, A D=30$ 时, 请求:

(1) 长方形 $\mathrm{ABCD}$ 的面积;

(2) $S_{2}-S_{1}$ 的值.

(2) 当 $A D=30$ 时, 请用含 $a, b$ 的式子表示 $S_{2}-S_{1}$ 的值.
选项：
答案：(1) 解: (1)长方形 $\mathrm{ABCD}$ 的面积为 $\mathrm{AD} \cdot \mathrm{AB}=\mathrm{AD} \cdot(\mathrm{a}+4 \mathrm{~b})=30 \times(4 \times 2+9)=510$;

(2) 由题意可得: $S_{2}=(30-3 b) \cdot a=(30-3 \times 2) \times 9=216$,

$S_{1}=(30-a) \cdot 4 b=(30-9) \times 4 \times 2=168$,

$\mathrm{S}_{2}-\mathrm{S}_{1}=216-168=48$

（2）解：当 $\mathrm{AD}=30$ 时,

$S_{2}-S_{1}=a(30-3 b)-4 b(30-a)=30 a-3 a b-120 b+4 a b=a b+30 a-120 b$.
解析：(1) 解: (1)长方形 $\mathrm{ABCD}$ 的面积为 $\mathrm{AD} \cdot \mathrm{AB}=\mathrm{AD} \cdot(\mathrm{a}+4 \mathrm{~b})=30 \times(4 \times 2+9)=510$;

(2) 由题意可得: $S_{2}=(30-3 b) \cdot a=(30-3 \times 2) \times 9=216$,

$S_{1}=(30-a) \cdot 4 b=(30-9) \times 4 \times 2=168$,

$\mathrm{S}_{2}-\mathrm{S}_{1}=216-168=48$

（2）解：当 $\mathrm{AD}=30$ 时,

$S_{2}-S_{1}=a(30-3 b)-4 b(30-a)=30 a-3 a b-120 b+4 a b=a b+30 a-120 b$.
题目（七年级 · 组合几何学）：, 已知 $\mathrm{B} 、 \mathrm{C}$ 在线段 $A D$ 上.



(1) 图中共有 \$ \qquad \$条线段;

(2) 若 $A B=C D$.

(1) 比较线段的大小: $A C$ $C \_\mathbf{\Delta}$ $B D$ (填: “>”、“=”或“<”);

(2) 若 $A D=20, B C=12, \mathrm{M}$ 是 $A B$ 的中点, $\mathrm{N}$ 是 $C D$ 的中点, 求 $M N$ 的长度.
选项：
答案：(1) 6

(2) $(1)=$

(2) $\because A D=20, B C=12$,

$\therefore A B+C D=A D-B C=8$.

$\because \mathrm{M}$ 是 $A B$ 的中点, $\mathrm{N}$ 是 $C D$ 的中点,

$\therefore B M=\frac{1}{2} A B, C N=\frac{1}{2} C D$,

$\therefore B M+C N=\frac{1}{2}(A B+C D)=\frac{1}{2} \times 8=4$,

$\therefore M N=B M+C N+B C=4+12=16$.
解析：(1) 解: 有 $\mathrm{AB}, \mathrm{AC}, \mathrm{AD}, \mathrm{BC}, \mathrm{BD}, \mathrm{CD}$, 共 6 条线段.

故答案为: 6 ;

(2) (1) $\because \mathrm{AB}=\mathrm{CD}$,

$\therefore \mathrm{AB}+\mathrm{BC}=\mathrm{CD}+\mathrm{BC}$,

即 $\mathrm{AC}=\mathrm{BD}$,

故答案为: $=$;
题目（七年级 · 组合几何学）：如图, 纸上有五个边长为 1 的小正方形组成的图形纸, 我们可以把它剪开拼成一个正方形。



(1) 拼成的正方形的面积与边长分别是多少?

（2）请在 $3 \times 3$ 方格图中，找出连接四个格点组成面积为 5 的正方形，并在图中画出虚线。



（3）你能把十个小正方形组成的图形纸, 剪两刀并拼成正方形吗? 若能, 则它的边长是多少? 并在图中画出裁剪的线。


选项：
答案：) 解: 5 个小正方形拼成一个大正方形后，面积不变，所以拼成的正方形的面积是: $5 \times 1 \times 1=5$

边长 $=\sqrt{5}$

(2) 解: 能.如图所示:

<ImageHere>

(3) 解: 能, 如图所示:

<ImageHere>
边长 $=\sqrt{10}$

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解析：) 解: 5 个小正方形拼成一个大正方形后，面积不变，所以拼成的正方形的面积是: $5 \times 1 \times 1=5$

边长 $=\sqrt{5}$

(2) 解: 能.如图所示:



(3) 解: 能, 如图所示:


边长 $=\sqrt{10}$

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