题目（九年级 · 度量几何学）：如图所示, $\triangle A B C$ 的外接圆圆心 0 在 $A B$ 上, 点 $D$ 是 $B C$ 延长线上一点, $D M \perp A B$ 于 $M$, 交 $A C$ 于 $N$, 且 $A C=C D$. $C P$是 $\triangle C D N$ 的边 $\mathrm{ND}$ 上的中线.

(1) 求证: $A B=D N$;

(2) 试判断 $\mathrm{CP}$ 与 $\odot 0$ 的位置关系, 并证明你的结论.


选项：
答案：【分析】 (1) 根据圆周角定理得到 $\therefore \angle A C B=90^{\circ}$, 则 $\angle N C D=90^{\circ}$, 而 $D M \perp A B$, 根据等角的余角相等得到 $\angle A=\angle D$, 然后根据 “ $A S A$ ” 判断 $\triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{DNC}$, 则 $A B=D N$;

(2) 根据直角三角形斜边上的中线性质得 $\mathrm{PC}=\mathrm{PN}=\frac{1}{2} D N$, 则 $\angle \mathrm{PCN}=\angle \mathrm{PNC}$, 所以 $\angle \mathrm{ANM}=\angle \mathrm{PCN}$, 而 $\angle \mathrm{A}=$ $\angle A C 0$, 于是得到 $\angle A C O+\angle P C N=90^{\circ}$,
即 $\angle \mathrm{PCO}=90^{\circ}$ ， 然后根据切线的判定定理得到 $\mathrm{CP}$ 是 $\odot 0$ 的切线.

<ImageHere>

(1) 证明: $\because A B$ 为 $\odot 0$ 的直径,

$\therefore \angle \mathrm{ACB}=90^{\circ} ，$ 则 $\angle \mathrm{NCD}=90^{\circ}$ ，

$\because \mathrm{DM} \perp \mathrm{AB}$,

$\therefore \angle \mathrm{AMN}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{D}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{D}$

在 $\triangle A B C$ 和 $\triangle D N C$ 中

$\left\{\begin{array}{l}\angle A=\angle D \\ A C=C D \\ \angle A C B=\angle N C D\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{DNC}(\mathrm{ASA})$,

$\therefore \mathrm{AB}=\mathrm{DN} ;$

(2) $\mathrm{CP}$ 是 $\odot 0$ 的切线. 理由如下:

连结 $O C$, 如图,

$\because \mathrm{CP}$ 是 $\triangle \mathrm{CDN}$ 的边 $\mathrm{ND}$ 上的中线, $\angle \mathrm{NCD}=90^{\circ}$,

$\therefore \mathrm{PC}=\mathrm{PN}=\frac{1}{2} D N$,

$\therefore \angle \mathrm{PCN}=\angle \mathrm{PNC}$,

$\because \angle \mathrm{ANM}=\angle \mathrm{PNC}$,

$\therefore \angle \mathrm{ANM}=\angle \mathrm{PCN}$,

$\because O A=0 C$,

$\therefore \angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{ACO}$,

$\because \angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{ANM}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{ACO}+\angle \mathrm{PCN}=90^{\circ}$,
$\therefore \angle \mathrm{PCO}=90^{\circ}$,

$\therefore 0 \mathrm{C} \perp \mathrm{PC}$

$\therefore \mathrm{CP}$ 是 $\odot 0$ 的切线.
解析：【分析】 (1) 根据圆周角定理得到 $\therefore \angle A C B=90^{\circ}$, 则 $\angle N C D=90^{\circ}$, 而 $D M \perp A B$, 根据等角的余角相等得到 $\angle A=\angle D$, 然后根据 “ $A S A$ ” 判断 $\triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{DNC}$, 则 $A B=D N$;

(2) 根据直角三角形斜边上的中线性质得 $\mathrm{PC}=\mathrm{PN}=\frac{1}{2} D N$, 则 $\angle \mathrm{PCN}=\angle \mathrm{PNC}$, 所以 $\angle \mathrm{ANM}=\angle \mathrm{PCN}$, 而 $\angle \mathrm{A}=$ $\angle A C 0$, 于是得到 $\angle A C O+\angle P C N=90^{\circ}$,
即 $\angle \mathrm{PCO}=90^{\circ}$ ， 然后根据切线的判定定理得到 $\mathrm{CP}$ 是 $\odot 0$ 的切线.



(1) 证明: $\because A B$ 为 $\odot 0$ 的直径,

$\therefore \angle \mathrm{ACB}=90^{\circ} ，$ 则 $\angle \mathrm{NCD}=90^{\circ}$ ，

$\because \mathrm{DM} \perp \mathrm{AB}$,

$\therefore \angle \mathrm{AMN}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{ABC}+\angle \mathrm{D}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{D}$

在 $\triangle A B C$ 和 $\triangle D N C$ 中

$\left\{\begin{array}{l}\angle A=\angle D \\ A C=C D \\ \angle A C B=\angle N C D\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle \mathrm{ABC} \cong \triangle \mathrm{DNC}(\mathrm{ASA})$,

$\therefore \mathrm{AB}=\mathrm{DN} ;$

(2) $\mathrm{CP}$ 是 $\odot 0$ 的切线. 理由如下:

连结 $O C$, 如图,

$\because \mathrm{CP}$ 是 $\triangle \mathrm{CDN}$ 的边 $\mathrm{ND}$ 上的中线, $\angle \mathrm{NCD}=90^{\circ}$,

$\therefore \mathrm{PC}=\mathrm{PN}=\frac{1}{2} D N$,

$\therefore \angle \mathrm{PCN}=\angle \mathrm{PNC}$,

$\because \angle \mathrm{ANM}=\angle \mathrm{PNC}$,

$\therefore \angle \mathrm{ANM}=\angle \mathrm{PCN}$,

$\because O A=0 C$,

$\therefore \angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{ACO}$,

$\because \angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{ANM}=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{ACO}+\angle \mathrm{PCN}=90^{\circ}$,
$\therefore \angle \mathrm{PCO}=90^{\circ}$,

$\therefore 0 \mathrm{C} \perp \mathrm{PC}$

$\therefore \mathrm{CP}$ 是 $\odot 0$ 的切线.