题目（七年级 · 度量几何学）：（2022$\cdot$浙江$\cdot$七年级期末）“一带一路”让中国和世界更紧密, “中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯. 如图 1 所示, 灯 A 射线从 AM 开始顺时针旋转至 AN 便立即回转,灯 $B$ 射线从 $B P$ 开始顺时针旋转至 $B Q$ 便立即回转, 两灯不停交叉照射巡视. 若灯 A 转动的速度是每秒 2 度, 灯 B 转动的速度是每秒 1 度. 假定主道路是平行的, 即 $\mathrm{PQ} / / \mathrm{MN}$, 且 $\angle \mathrm{BAM}: \angle \mathrm{BAN}=2$; 1.(1) 填空: $\angle \mathrm{BAN}=$ ; ; (2) 若灯 B 射线先转动 30 秒, 灯 A 射线才开始转动, 在灯 B 射线到达 $\mathrm{BQ}$ 之前, $\mathrm{A}$ 灯转动几秒, 两灯的光束互相平行? (3) 如图 2, 若两灯同时转动, 在灯 $\mathrm{A}$ 射线到达 $\mathrm{AN}$ 之前. 若射出的光束交于点 $\mathrm{C}$, 过 $\mathrm{C}$ 作 $\angle A C D$ 交 $\mathrm{PQ}$ 于点 $\mathrm{D}$, 且 $\angle A C D=120^{\circ}$, 则在转动过程中, 请探究 $\angle \mathrm{BAC}$ 与 $\angle \mathrm{BCD}$ 的数量关系是否发生变化？若不变, 请求出其数量关系; 若改变,请说明理由.



图 1



图2
选项：
答案：（1） 60 ; （2） 当 $\mathrm{t}=30$ 秒或 110 秒时, 两灯的光束互相平行; （3） $\angle \mathrm{BAC}$ 和 $\angle \mathrm{BCD}$ 关系不会变化．理由见解析．

【分析】 (1) 根据 $\angle \mathrm{BAM}+\angle \mathrm{BAN}=180^{\circ}, \angle \mathrm{BAM}: \angle \mathrm{BAN}=2: 1$, 即可得到 $\angle \mathrm{BAN}$ 的度数;

(2) 设 $\mathrm{A}$ 灯转动 $\mathrm{t}$ 秒, 两灯的光束互相平行, 分两种情况进行讨论: 当 $0<t<90$ 时, 根据 $2 \mathrm{t}=1 \cdot(30+\mathrm{t})$,可得 $t=30 ;$ 当 $90<t<150$ 时, 根据 $1 \cdot(30+t)+(2 t-180)=180$, 可得 $t=110$;

(3) 设灯 $\mathrm{A}$ 射线转动时间为 $\mathrm{t}$ 秒, 根据 $\angle \mathrm{BAC}=2 \mathrm{t}-120^{\circ}, \angle \mathrm{BCD}=120^{\circ}-\angle \mathrm{BCA}=\mathrm{t}-60^{\circ}$, 即可得出 $\angle \mathrm{BAC}$ : $\angle \mathrm{BCD}=2: 1$, 据此可得 $\angle \mathrm{BAC}$ 和 $\angle \mathrm{BCD}$ 关系不会变化.

【详解】 (1) $\because \angle \mathrm{BAM}+\angle \mathrm{BAN}=180^{\circ}, \angle \mathrm{BAM}: \angle \mathrm{BAN}=2: 1$,

$\therefore \angle \mathrm{BAN}=180^{\circ} \times \frac{1}{3}=60^{\circ}$, 故答案为 60 ;

(2) 设 $\mathrm{A}$ 灯转动 $\mathrm{t}$ 秒, 两灯的光束互相平行,

<ImageHere>

(图 1)

<ImageHere>

$A_{\text {(图2) }}$

(1)当 $0<\mathrm{t}<90$ 时, 如图 1 ,

$\because \mathrm{PQ} / / \mathrm{MN}, \quad \therefore \angle \mathrm{PBD}=\angle \mathrm{BDA}$

$\because \mathrm{AC} / / \mathrm{BD}, \quad \therefore \angle \mathrm{CAM}=\angle \mathrm{BDA}$,

$\therefore \angle \mathrm{CAM}=\angle \mathrm{PBD} \therefore 2 \mathrm{t}=1 \cdot(30+\mathrm{t})$ ，解得 $\mathrm{t}=30$;

(2)当 $90<\mathrm{t}<150$ 时, 如图 2 ,

$\because \mathrm{PQ} / / \mathrm{MN}, \quad \therefore \angle \mathrm{PBD}+\angle \mathrm{BDA}=180^{\circ}$,

$\because \mathrm{AC} / / \mathrm{BD}, \quad \therefore \angle \mathrm{CAN}=\angle \mathrm{BDA} \therefore \angle \mathrm{PBD}+\angle \mathrm{CAN}=180^{\circ}$

$\therefore 1 \cdot(30+t)+(2 t-180)=180$, 解得 $t=110$,

综上所述, 当 $t=30$ 秒或 110 秒时, 两灯的光束互相平行;

(3) $\angle \mathrm{BAC}$ 和 $\angle \mathrm{BCD}$ 关系不会变化.

理由: 设灯 $\mathrm{A}$ 射线转动时间为 $\mathrm{t}$ 秒,

<ImageHere>

$\because \angle \mathrm{CAN}=180^{\circ}-2 \mathrm{t}, \quad \therefore \angle \mathrm{BAC}=60^{\circ}-\left(180^{\circ}-2 \mathrm{t}\right)=2 \mathrm{t}-120^{\circ}$,

又 $\because \angle \mathrm{ABC}=120^{\circ}-\mathrm{t}, \therefore \angle \mathrm{BCA}=180^{\circ}-\angle \mathrm{ABC}-\angle \mathrm{BAC}=180^{\circ}-\mathrm{t}$, 而 $\angle \mathrm{ACD}=120^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BCD}=120^{\circ}-\angle \mathrm{BCA}=120^{\circ}-\left(180^{\circ}-\mathrm{t}\right)=\mathrm{t}-60^{\circ}, \therefore \angle \mathrm{BAC}: \angle \mathrm{BCD}=2: 1$,

即 $\angle \mathrm{BAC}=2 \angle \mathrm{BCD}, \therefore \angle \mathrm{BAC}$ 和 $\angle \mathrm{BCD}$ 关系不会变化.

【点睛】考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用, 解决问题的关键是运用分类思想进行求解,解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.
解析：(1) 根据 $\angle \mathrm{BAM}+\angle \mathrm{BAN}=180^{\circ}, \angle \mathrm{BAM}: \angle \mathrm{BAN}=2: 1$, 即可得到 $\angle \mathrm{BAN}$ 的度数;

(2) 设 $\mathrm{A}$ 灯转动 $\mathrm{t}$ 秒, 两灯的光束互相平行, 分两种情况进行讨论: 当 $0<t<90$ 时, 根据 $2 \mathrm{t}=1 \cdot(30+\mathrm{t})$,可得 $t=30 ;$ 当 $90<t<150$ 时, 根据 $1 \cdot(30+t)+(2 t-180)=180$, 可得 $t=110$;

(3) 设灯 $\mathrm{A}$ 射线转动时间为 $\mathrm{t}$ 秒, 根据 $\angle \mathrm{BAC}=2 \mathrm{t}-120^{\circ}, \angle \mathrm{BCD}=120^{\circ}-\angle \mathrm{BCA}=\mathrm{t}-60^{\circ}$, 即可得出 $\angle \mathrm{BAC}$ : $\angle \mathrm{BCD}=2: 1$, 据此可得 $\angle \mathrm{BAC}$ 和 $\angle \mathrm{BCD}$ 关系不会变化.

【详解】 (1) $\because \angle \mathrm{BAM}+\angle \mathrm{BAN}=180^{\circ}, \angle \mathrm{BAM}: \angle \mathrm{BAN}=2: 1$,

$\therefore \angle \mathrm{BAN}=180^{\circ} \times \frac{1}{3}=60^{\circ}$, 故答案为 60 ;

(2) 设 $\mathrm{A}$ 灯转动 $\mathrm{t}$ 秒, 两灯的光束互相平行,



(图 1)



$A_{\text {(图2) }}$

(1)当 $0<\mathrm{t}<90$ 时, 如图 1 ,

$\because \mathrm{PQ} / / \mathrm{MN}, \quad \therefore \angle \mathrm{PBD}=\angle \mathrm{BDA}$

$\because \mathrm{AC} / / \mathrm{BD}, \quad \therefore \angle \mathrm{CAM}=\angle \mathrm{BDA}$,

$\therefore \angle \mathrm{CAM}=\angle \mathrm{PBD} \therefore 2 \mathrm{t}=1 \cdot(30+\mathrm{t})$ ，解得 $\mathrm{t}=30$;

(2)当 $90<\mathrm{t}<150$ 时, 如图 2 ,

$\because \mathrm{PQ} / / \mathrm{MN}, \quad \therefore \angle \mathrm{PBD}+\angle \mathrm{BDA}=180^{\circ}$,

$\because \mathrm{AC} / / \mathrm{BD}, \quad \therefore \angle \mathrm{CAN}=\angle \mathrm{BDA} \therefore \angle \mathrm{PBD}+\angle \mathrm{CAN}=180^{\circ}$

$\therefore 1 \cdot(30+t)+(2 t-180)=180$, 解得 $t=110$,

综上所述, 当 $t=30$ 秒或 110 秒时, 两灯的光束互相平行;

(3) $\angle \mathrm{BAC}$ 和 $\angle \mathrm{BCD}$ 关系不会变化.

理由: 设灯 $\mathrm{A}$ 射线转动时间为 $\mathrm{t}$ 秒,



$\because \angle \mathrm{CAN}=180^{\circ}-2 \mathrm{t}, \quad \therefore \angle \mathrm{BAC}=60^{\circ}-\left(180^{\circ}-2 \mathrm{t}\right)=2 \mathrm{t}-120^{\circ}$,

又 $\because \angle \mathrm{ABC}=120^{\circ}-\mathrm{t}, \therefore \angle \mathrm{BCA}=180^{\circ}-\angle \mathrm{ABC}-\angle \mathrm{BAC}=180^{\circ}-\mathrm{t}$, 而 $\angle \mathrm{ACD}=120^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BCD}=120^{\circ}-\angle \mathrm{BCA}=120^{\circ}-\left(180^{\circ}-\mathrm{t}\right)=\mathrm{t}-60^{\circ}, \therefore \angle \mathrm{BAC}: \angle \mathrm{BCD}=2: 1$,

即 $\angle \mathrm{BAC}=2 \angle \mathrm{BCD}, \therefore \angle \mathrm{BAC}$ 和 $\angle \mathrm{BCD}$ 关系不会变化.

【点睛】考查了平行线的性质以及角的和差关系的运用, 解决问题的关键是运用分类思想进行求解,解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补.