eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（九年级 · 度量几何学）：下列线段中, 能成比例的是 $(\quad)$
选项：
A. $3 \mathrm{~cm}, 6 \mathrm{~cm}, 8 \mathrm{~cm}, 9 \mathrm{~cm}$B. $3 \mathrm{~cm}, 5 \mathrm{~cm}, 6 \mathrm{~cm}, 9 \mathrm{~cm}$C. $3 \mathrm{~cm}, 6 \mathrm{~cm}, 7 \mathrm{~cm}, 9 \mathrm{~cm}$D. $3 \mathrm{~cm}, 6 \mathrm{~cm}, 9 \mathrm{~cm}, 18 \mathrm{~cm}$
答案：D
解析：D
题目（九年级 · 度量几何学）：在同一时刻,身高 1.6 米的小强在阳光下的影长为 0.8 米,一棵大树的影长为 4.8 米,则树的高度为 ( )
选项：
A. 4.8 米B. 6.4 米C. 9.6 米D. 10 米
答案：C
解析：C
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 已知矩形 $A B C D$ 中, $A B=1$, 在 $B C$ 上取一点 $E$, 沿 $A E$ 将 $\triangle A B E$ 向上折叠, 使 $B$ 点落在 $A D$ 上的 $F$ 点, 若四边形 $E F D C$ 与矩形 $A B C D$ 相似, 则 $A D=(\quad)$
选项：
A. $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$B. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$C. $\sqrt{3}$D. 2
答案：B
解析：B
题目（九年级 · 度量几何学）：如图为 $\triangle A B C$ 与 $\triangle D E C$ 重迭的情形, 其中 $E$ 在 $B C$ 上, $A C$ 交 $D E$ 于 $F$ 点, 且 $A B / / D E$. 若 $\triangle A B C$ 与 $\triangle D E C$ 的面积相等, 且 $E F=9, A B=12$, 则 $D F=(\quad)$
选项：
A. 3B. 7C. 12D. 15
答案：B
解析：B【解析】解:becausetriangleABC与triangleDEC的面积相等,thereforetriangleCDF与四边形AFEB的面积相等.becauseAB//DE,thereforetriangleCEFsimtriangleCBAbecauseEF=9,AB=12thereforeEF:AB=9:12=3:4,therefore面积比=9:16.设triangleCEF的面积为9k,则四边形AFEB的面积=7k,becausetriangleCDF与四边形AFEB的面积相等,thereforetriangleCDF=7k.becausetriangleCDF与triangleCEF是同高不同底的三角形,therefore面积比等于底之比,thereforeDF:EF=7k:9k,thereforeDF=7.故选：B
题目（九年级 · 代数）：二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 自变量 $x$ 与函数值 $y$ 的对应关系如下表, 设一元二次方程 $a x^{2}+b x+c=0$ 的根为 $x_{1}, x_{2}$, 且 $x_{1}<x_{2}$, 则下列说法正确的是 ( )

| $x$ | -1.5 | -1 | -0.5 | 0 | 0.5 | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $y$ | -0.22 | 0.13 | 0.38 | 0.53 | 0.58 | 0.53 | 0.38 | 0.13 | -0.22 |


选项：
A. $-1.5<x_{1}<-1$
B. $-1<x_{1}<-0.5$
C. $0.5<x_{2}<1$
D. $1<x_{2}<1.5$


答案：A
解析：根据表格找出 $y$ 的值接近 0 时对应的 $x$ 的值的取值范围, 从而分析求解.

【详解】解：由表格可得：

当 $-1.5<x<-1$ 时, $-0.22<y<0.13$;

当 $2<x<2.5$ 时,$-0.22<y<0.13$,

又 $\because$ 一元二次方程 $a x^{2}+b x+c=0$ 的根为 $x_{1}, x_{2}$, 且 $x_{1}<x_{2}$,

$\therefore-1.5<x_{1}<-1, \quad 2<x_{2}<2.5$,

故选: A.

【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根, 结合表格中的数据找出方程 $a x^{2}+b x+c=0 \quad(a \neq 0, a, b, c$ 为常数 $)$ 的一个解的近似值是解题的关键.
题目（九年级 · 代数）：在下列函数中, $y$ 随着 $x$ 增大而减小的是 ( )

选项：
A. $y=2 x$
B. $y=-\frac{2}{x}$
C. $y=-2 x^{2}$
D. $y=-2 x+2$

答案：D
解析：直接根据二次函数、反比例函数，一次函数的增减性判断即可.

【详解】A、 $y=2 x$ 中, $k=2>0$, 故 $y$ 随 $x$ 增大而增大;

B、 $y=-\frac{2}{x}$ 中, $k=-2<0$, 在每个象限 $y$ 随 $x$ 增大而减小;

C、 $y=-2 x^{2}$ 中, 当 $x<0$ 时, $y$ 随 $x$ 增大而增大; 当 $x>0$ 时, $y$ 随 $x$ 增大而减小;

D、 $y=-2 x+2$ 中, $k=-2<0, y$ 随 $x$ 增大而减小.

故选: D.

【点睛】本题考查了二次函数、反比例函数, 一次函数的增减性. 关键是明确各函数的增减性的限制条件.
题目（九年级 · 代数）：定义一个运算 $H\left(x_{1}, x_{2}, \cdots x_{n} \mid y_{1}, y_{2}, \cdots y_{n}\right)=\frac{x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}}{y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n}}\left(y_{1}+y_{2}+\cdots+y_{n} \neq 0\right)$, 下列说法正确的有（）个

(1) $H(1,2 \mid 3)=1$;

(2) 若 $H\left(4 \mid x^{2},-4\right)-H(1 \mid x,-2)=-1$, 则 $x=-1$ 或 2 ;

(3) $H(1 \mid 1,2)+H\left(1 \mid 2^{2}, 4\right)+H\left(1 \mid 3^{2}, 6\right)+\cdots+H\left(1 \mid 10^{2}, 20\right)=\frac{175}{264}$;

(4) 若 $H(a \mid b, c, d)=H(b \mid a, c, d)=H(c \mid a, b, d)=H(d \mid a, b, c)$, 则 $\frac{c+d}{a+b}=1$.

选项：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4


答案：B
解析：根据所给新定义逐项列式计算即可，判断(2)时注意分式的分母不能为 0 , 判断(3)时注意裂项相消, 判断(4)时注意分 $a+b+c+d \neq 0$ 和 $a+b+c+d=0$ 两种情况, 利用等式的性质求解.

【详解】解: (1) $H(1,2 \mid 3)=\frac{1+2}{3}=1$, 故(1)正确;

(2) $H\left(4 \mid x^{2},-4\right)-H(1 \mid x,-2)=-1$, 则 $\frac{4}{x^{2}-4}-\frac{1}{x-2}=-1$, 化简得 $x^{2}-x-2=0$,

解得 $x=-1$ 或 $x=2$, 根据 $x^{2}-4 \neq 0$ 得 $x \neq \pm 2$,

$\therefore x=-1$, 故(2)错误;

(3) $H(1 \mid 1,2)+H\left(1 \mid 2^{2}, 4\right)+H\left(1 \mid 3^{2}, 6\right)+\cdots+H\left(1 \mid 10^{2}, 20\right)$

$=\frac{1}{1+2}+\frac{1}{2^{2}+4}+\frac{1}{3^{2}+6}+\cdots+\frac{1}{10^{2}+20}$

$=\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{15}+\cdots+\frac{1}{120}$

$=\frac{1}{2} \times\left[\left(1-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{10}-\frac{1}{12}\right)\right]$

$=\frac{1}{2} \times\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{11}-\frac{1}{12}\right)$

$=\frac{175}{264}$,

故(3)正确;

(4) 若 $H(a \mid b, c, d)=H(b \mid a, c, d)=H(c \mid a, b, d)=H(d \mid a, b, c)$,

则 $\frac{a}{b+c+d}=\frac{b}{a+c+d}=\frac{c}{a+b+d}=\frac{d}{a+b+c}$,

当 $a+b+c+d=0$ 时, $\frac{a}{b+c+d}=-1$,

$\therefore a+b=-(c+d)$,

$\therefore \frac{c+d}{a+b}=-1$

当 $a+b+c+d \neq 0$ 时, $\frac{a+b+c+d}{b+c+d+a+c+d+a+b+d+a+b+c}=\frac{1}{3}$,

$\therefore \frac{a}{b+c+d}=\frac{b}{a+c+d}=\frac{c}{a+b+d}=\frac{d}{a+b+c}=\frac{1}{3}$,
$\therefore a=b=c=d$,

$\therefore \frac{c+d}{a+b}=1$,

故(4)错误;

综上可知, 正确的是(1)(3),

故选 B.

【点睛】本题考查新定义运算, 涉及解分式方程, 等式的性质, 有理数的混合运算等, 解题的关键是理解新定义的运算法则.
题目（九年级 · 代数）：定义符合 $\min \{a, b\}$ 的含义为: 当 $a>b$ 时, $\min \{a, b\}=b$; 当 $a<b, \min \{a, b\}=a$,如: $\min \{1,-3\}=-3, \min \{-4,-2\}=-4$. 则 $\min \left\{-x^{2}+1,-x\right\}$ 的最大值是 $(\quad)$

选项：
A. 0
B. 1
C. $\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
D. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

答案：D
解析：先求出两个函数的交点坐标, 再根据 $\min$ 的定义解答即可.

【分析】解: 联立 $\left\{\begin{array}{c}y=-x^{2}+1 \\ y=-x\end{array}\right.$,

解得 $\left\{\begin{array}{c}x_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \\ y_{1}=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\end{array},\left\{\begin{array}{l}x_{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2} \\ y_{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\end{array}\right.\right.$,

所以, $\min \left\{-x^{2}+1,-x\right\}$ 的最大值是 $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

故选: D.

【点睛】本题考查了二次函数的最值问题, 读懂题目信息, 理解定义符号的意义并考虑求两个函数的交点是解题的关键.
题目（九年级 · 代数）：某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润 $y$ （万元）与销售量 $x$ (辆) 之间分别满足: $y_{1}=-x^{2}+10 x, y_{2}=2 x$, 若该公司在甲、乙两地共销售 15 辆该品牌的汽车, 则能获得的最大利润是（）

选项：
A. 30 万元
B. 40 万元
C. 45 万元
D. 46 万元

答案：D
解析：首先根据题意得出总利润与 $\mathrm{x}$ 之间的函数关系式, 进而求出最值即可.

【详解】解：设在甲地销售 $x$ 辆, 则在乙地销售 $(15-x)$ 辆, 根据题意得出: $W=y_{l}+y_{2}=-x^{2}+10 x+2(15-x)=-x^{2}+8 x+30$,

$\therefore$ 最大利润为: $\frac{4 a c-b^{2}}{4 a}=\frac{4 \times(-1) \times 30-8^{2}}{4 \times(-1)}=46$ (万元),

故选 D.

【点睛】此题主要考查了二次函数的应用, 得出函数关系式进而利用最值公式求出是解题关键.
题目（九年级 · 代数）：加工爆米花时, 爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”, 在特定条件下, 可食用率 $p$ 与加工时间 $t$ (单位: 分钟)满足函数关系 $p=a t^{2}+b t-2$ ( $a, b$ 是常数),如图记录了三次实验的数据, 根据上述函数模型和实验数据, 可得到最佳加工时间为



选项：
A. 3.75 分钟
B. 4.00 分钟
C. 4.15 分钟
D. 4.25 分钟


答案：A
解析：试题解析：据题意,将 $(3,0.7) 、(4,0.8) 、(5,0.5)$ 代入 $p=a t^{2}+b t+c$,

得：

$\left\{\begin{array}{l}9 a+3 b+c=0.7 \\ a+4 b+c=0.8 \\ a+5 b+c=0.5\end{array}\right.$

解得:

$\left\{\begin{array}{l}a=-0.2 \\ b=1.5 \\ c=-2,\end{array}\right.$

即 $p=-0.2 t^{2}+1.5 t-2$.

当 $t=-\frac{1.5}{-0.2 \times 2}=3.75$ 时, $p$ 取得最大值,

故选 A.

【点睛】待定系数法求出二次函数的解析式, 在 $x=-\frac{b}{2 a}$ 时, 二次函数有最大值.
题目（九年级 · 代数）：给出下列函数，其中 $y$ 随 $x$ 的增大而减小的函数是（）.
(1) $y=2 x$;
(2) $y=-2 x+1$;
(3) $y=\frac{2}{x}(x<0)$;
(4) $y=-x^{2}(x<1)$.

选项：
A. (1)(3)(4)
B. (2)(3)(4)
C. (2)(4)
D. (2)(3)

答案：D
解析：分别根据一次函数、二次函数及反比例函数的增减性进行解答即可.

【详解】解: (1) $\because y=2 x$ 中 $k=2>0, \therefore y$ 随 $x$ 的增大而增大, 故本小题错误;

(2) $\because y=-2 x+1$ 中 $k=-2<0, \therefore y$ 随 $x$ 的增大而减小, 故本小题正确;

(3) $\because y=\frac{2}{x}(x<0)$ 中 $k=2>0, \therefore x<0$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小, 故本小题正确;

(4) $\because y=-x^{2}(x<1)$ 中 $x<1, \therefore$ 当 $0<x<1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小, 故本小题错误.

故选 D.

【点睛】本题考查的是反比例函数的性质, 熟知一次函数、二次函数及反比例函数的增减性是解答此题的关键.
题目（九年级 · 代数）：若二次函数 $y=(k-1) x^{2}+4 x+1$ 的图象与 $x$ 轴有一个交点, 则 $k$ 的取值范围是 ( )

选项：
A. $k=5$
B. $k=0$
C. $k \neq 5$ 且 $k \neq 0$
D. $k=5$ 或 $k=0$

答案：A
解析：根据二次函数的定义和判别式的意义得到 $k-1 \neq 0$ 且 $\Delta=b^{2}-4 a c=0$, 即可求解.

【详解】根据题意得 $k-1 \neq 0$, 且 $\triangle=b^{2}-4 a c=4^{2}-4(k-1)=0$,

解得 $\mathrm{k}=5$.

故选: A.

【点睛】本题考查了抛物线与 $\mathrm{x}$ 轴的交点, 解题的关键是将抛物线与 $\mathrm{x}$ 轴的交点问题转化为解关于 $\mathrm{x}$ 的一元二次方程.
题目（九年级 · 代数）：已知 $y$ 关于 $x$ 的二次函数表达式是 $y=a x^{2}+4 x-a$, 下列结论: (1)若 $a=-1$, 函数的最大值是 5; (2)若 $a=-1$, 当 $x \geq 2$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减少; (3)无论 $a$ 为何值时, 函数图象一定经过点 (1,-4); (4)无论 $a$ 为何值时, 函数图象与 $x$ 轴有两个交点, 其中正确的是 ( )

选项：
A. (1)(2)
B. (1)(2)(4)
C. (1)(2)(3)
D. (2)(3)(4)

答案：B
解析：根据 $a$ 的取值及二次函数的性质, 即可一一判定.

【详解】解: (1)当 $a=-1$ 时, $y=-x^{2}+4 x+1=-(x-2)^{2}+5$, 则当 $x=2$ 时, 函数取得最大值, 此时 $y=5$, 故(1)正确符合题意;

(2)当 $a=-1$ 时, $y=-x^{2}+4 x+1$, 该函数图象开口向下, 对称轴是直线 $x=-\frac{4}{2 a}=2$, 则当 $x \geqslant 2$时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小, 故(2)正确符合题意;

(3) $y=a x^{2}+4 x-a=a\left(x^{2}-1\right)+4 x$, 令 $x^{2}-1=0$, 得 $x= \pm 1$, 当 $x=1$ 时, $y=4$, 当 $x=-1$ 时, $y=-4$, 即无

论 $a$ 为何值, 函数图象一定经过点 $(1,4)$ 和(-1,-4), 故(3)错误不符合题意;

(4)由于 $\Delta=16+4 a^{2}>0$, 所以无论 $a$ 为何值时, 函数图象与 $x$ 轴总有两个交点, 故(4)正确符合题意;

故正确的有(1)(2)(4).

故选: B.

【点睛】本题考查了抛物线与 $x$ 轴的交点问题, 二次函数图象的性质、二次函数的最值, 解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.
题目（九年级 · 代数）：下列函数: (1) $y=3 x^{2}-\frac{2}{x}+1$; （2） $y=\frac{1}{6} x^{2}$; （3） $y=1-\sqrt{2} x^{2}$; (4) $y=a x^{2}+b x+c$;

（5） $y=\frac{1}{x}+x$ ；（6） $y=x^{2}-(x-1) x$. 属于二次函数的有（）

选项：
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个


答案：B
解析：由二次函数的定义, 分别对每个选项进行判断, 即可得到答案.

【详解】解: 由题可得, 属于二次函数的为: (2) $\mathrm{y}=\frac{1}{6} \mathrm{x}^{2}$; (3) $\mathrm{y}=1-\sqrt{2} \mathrm{x}^{2}$; 共 2 个,故选: B.

【点睛】本题考查了二次函数的定义, 解题的关键是熟记定义, 分别进行判断.
题目（九年级 · 代数）：对于 “ $a, b$ 都是实数, 则 $(a-b)^{2} \geq 0$ ”这一事件是 ( )

选项：
A. 必然事件
B. 不确定事件
C. 不可能事件
D. 随机事件

答案：A
解析：由题意直接根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件.

【详解】解: “a, b 都是实数, 则 $(\mathrm{a}-\mathrm{b})^{2} \geq 0$ ”这一事件是必然事件.

故选: A.

【点睛】本题考查随机事件, 解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念. 必然事件指在一定条件下一定发生的事件. 不可能事件是指在一定条件下,一定不发生的事件. 不确定事件即随机事件是指在一定条件下, 可能发生也可能不发生的事件.
题目（九年级 · 代数）：下列函数表达式中，一定是二次函数的是（）

选项：
A. $y=3 x-1$
B. $y=a x^{2}+b x+c$
C. $y=3 x^{2}-2 x+1$
D. $y=x^{2}+\frac{1}{x}$

答案：C
解析：根据二次函数的定义: 一般地, 形如 $y=a x^{2}+b x+c(a 、 b 、 c$ 是常数, $a \neq 0)$ 的函数, 叫做二次函数进行分析即可.

【详解】解: A、是一次函数, 故此选项不符合题意;

B、当 $a \neq 0$ 时, 是二次函数, 故此选项不符合题意;

C、是二次函数, 故此选项符合题意;

D、分母中含有自变量, 不是二次函数, 故此选项不符合题意;

故选: C.

【点睛】此题主要考查了二次函数定义，解题的关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式, 若是整式且仍能化简的要先将其化简, 然后再根据二次函数的定义作出判断, 要抓住二次项系数不为 0 这个关键条件.
题目（九年级 · 代数）：若 $a \geq 0, b \geq 0$, 且 $2 a+b=2,2 a^{2}-4 b$ 的最小值为 $m$, 最大值为 $n$, 则 $m+n=(\quad)$

选项：
A. -14
B. -6
C. -8
D. 2

答案：B
解析：先用 $a$ 表示 $b$, 然后代入 $2 a^{2}-4 b$ 中，利用配方法进行配方，再根据 $a \geq 0 ， b \geq 0$ 确定 $a$ 的取值范围, 根据二次函数的增减性确定 $m, n$ 的值, 即可得出答案.

【详解】解: $\because 2 a+b=2$,

$\therefore b=2-2 a$,

设 $y=2 a^{2}-4 b$

$=2 a^{2}-4(2-2 a)$

$=2 a^{2}+8 a-8$

$=2\left(a^{2}+4 a-4\right)$

$=2\left(a^{2}+4 a+4-8\right)$

$=2\left[(a+2)^{2}-8\right]$

$=2(a+2)^{2}-16$,

$\because a \geq 0, \quad b \geq 0$,

$\therefore\left\{\begin{array}{c}a \geq 0 \\ 2-2 a \geq 0\end{array}\right.$,

解得: $0 \leq a \leq 1$,

$\because 2>0$

$\therefore$ 拋物线开口向上，对称轴为 $a=-2$,

当 $a>-2$ 时, $y$ 随 $a$ 的增大而增大,

当 $a=0$ 时, $y$ 最小，即 $m=2 \times 2^{2}-16=-8$,

当 $a=1$ 时, $y$ 最大, 即 $n=2 \times 3^{2}-16=2$,

$\therefore m+n=-8+2=-6$.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题, 用 $a$ 表示 $b$, 转化为关于 $a$ 的二次函数, 根据 $a$ 的取值范围确定最大值和最小值是解题的关键.
题目（九年级 · 代数）：现有一根长为 $50 \mathrm{~cm}$ 的铁丝, 把它弯成一个矩形, 设矩形的面积为 $y \mathrm{~cm}^{2}$, 一边长为 $x \mathrm{~cm}$,则 $y$ 与 $x$ 之间的函数表达式为 ( )

选项：
A. $y=x(50-x)$
B. $y=x(50-2 x)$
C. $y=x(25-2 x)$
D. $y=x(25-x)$

答案：D
解析：根据题意求出矩形的另一边长 $=50 \div 2-x=25-x$, 即可求解.

【详解】解：由题意得：矩形的另一边长 $=50 \div 2-x=25-x$,

$\therefore y=x(25-x)$,

故选: D.

【点睛】本题考查二次函数的实际应用，正确理解题意是关键.
题目（九年级 · 代数）：下列函数中是二次函数的是 ( )
  
选项：
A. $y=x+\frac{1}{2}$
  B. $y=(x+1)^{2}-x^{2}$
  C. $y=3(x-1)^{2}$
  D. $y=\frac{1}{x^{2}}-x$


答案：C
解析：整理成一般形式后，根据二次函数的定义判定即可.

【详解】解: $\mathrm{A}$ 选项: $y=x+\frac{1}{2}$ 是一次函数, 故此选项错误;

B 选项: $y=3(x-1)^{2}=3 x^{2}-6 x+3$, 是二次函数, 故此选项正确;

C 选项: $y=(x+1)^{2}-x^{2}=2 x+1$, 为一次函数, 故此选项错误;

$\mathrm{D}$ 选项: $y=\frac{1}{x^{2}}-x$ 是组合函数，不是二次函数，故此选项错误.

故选: C

【点睛】本题考查了二次函数的定义: 函数 $y=a x^{2}+b x+c \quad(a \neq 0, a 、 b 、 c$ 为常数 $)$ 叫二次函数.
题目（九年级 · 代数）：若二次函数 $\mathrm{y}=a x^{2}$ 的图象经过点 $P(-1,2)$, 则该图象必经过点 ( )
  
选项：
A. $(1,-2)$
  B. $(-1,-2)$
  C. $(1,2)$
  D. $(2,-1)$


答案：C
解析：先确定出二次函数图象的对称轴为 $\mathrm{y}$ 轴, 再根据二次函数的对称性解答.
【详解】解: $\because$ 二次函数 $\mathrm{y}=\mathrm{ax}^{2}$ 的对称轴为 $\mathrm{y}$ 轴,

$\therefore$ 若图象经过点 P $(-1,2)$,则该图象必经过点 (1, 2).

故选: C.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征, 主要利用了二次函数图象的对称性, 确定出函数图象的对称轴为 $\mathrm{y}$ 轴是解题的关键.
题目（九年级 · 代数）：下表是满足二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 的 5 组数据, $x_{1}$ 是方程 $a x^{2}+b x+c=0$ 的一个解,则下列选项中正确的是 ( )

| $x$ | 1.6 | 1.8 | 2.0 | 2.2 | 2.4 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $y$ | -0.80 | -0.54 | -0.20 | 0.22 | 0.72 |


选项：
A. $1.6<x_{1}<1.8$
B. $2.0<x_{1}<2.2$
C. $1.8<x_{1}<2.0$
D. $2.2<x_{1}<2.4$


答案：B
解析：根据表格即可直接得出答案.

【详解】解：由表格可知当 $x=2.0$ 时, $y=-0.20<0$, 当 $x=2.2$ 时, $y=0.22>0$,所以方程 $a x^{2}+b x+c=0$ 的一个根 $x_{1}$ 的取值范围是 $2.0<x_{1}<2.2$,故选 B.

【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似解, 找到 $y$ 由正变为负时, 自变量的取值是解题关键.
题目（九年级 · 代数）：设二次函数 $y=a(x-m)(x-m-k)(a>0, m, k$ 是实数)，则（）

选项：
A. 当 $k=2$ 时，函数 $y$ 的最小值为 $-2 a$
B. 当 $k=2$ 时，函数 $y$ 的最小值为 $-a$
C. 当 $k=4$ 时，函数 $y$ 的最小值为 $-a$
D. 当 $k=4$ 时，函数 $y$ 的最小值为 $-2 a$

##
答案：B
解析：令 $y=0$, 则 $0=a(x-m)(x-m-k)$, 解得: $x_{1}=m, x_{2}=m+k$, 从而求得拋物线对称轴为直线 $x=\frac{m+m+k}{2}=\frac{2 m+k}{2}$, 再分别求出当 $k=2$ 或 $k=4$ 时函数 $\mathrm{y}$ 的最小值即可求解.

【详解】解: 令 $y=0$, 则 $0=a(x-m)(x-m-k)$,

解得: $x_{1}=m, x_{2}=m+k$,

$\therefore$ 抛物线对称轴为直线 $x=\frac{m+m+k}{2}=\frac{2 m+k}{2}$

当 $k=2$ 时，抛物线对称轴为直线 $x=m+1$,

把 $x=m+1$ 代入 $y=a(x-m)(x-m-2)$, 得 $y=-a$,

$\because a>0$

$\therefore$ 当 $x=m+1, k=2$ 时, $\mathrm{y}$ 有最小值, 最小值为 $-a$.

故 B 正确, A 错误;

当 $k=4$ 时，抛物线对称轴为直线 $x=m+2$,

把 $x=m+2$ 代入 $y=a(x-m)(x-m-4)$, 得 $y=-4 a$,

$\because a>0$

$\therefore$ 当 $x=m+2, k=4$ 时, $\mathrm{y}$ 有最小值，最小值为 $-4 a$,

故 C、D 错误,

故选: B.

【点睛】本题考查抛物线的最值, 抛物线对称轴. 利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键.
题目（九年级 · 代数）：若二次函数 $y=a x^{2}$ 的图象经过点 $(-2,-4)$, 则 $a$ 的值为 ( )

选项：
A. -2
B. 2
C. -1
D. 1

答案：C
解析：把 $(-2,-4)$ 代入函数 $y=a x^{2}$ 中, 即可求 $a$.

【详解】解：把 $(-2,-4)$ 代入函数 $y=a x^{2}$, 得

$4 a=-4$,

解得 $a=-1$.

故选: $C$.

【点睛】本题考查了点与函数的关系，解题的关键是代入求值.
题目（九年级 · 代数）：在函数 $y=(x-1)^{2}+3, y$ 随 $x$ 增大而减小,则 $x$ 的取值范围为 $($ )

选项：
A. $x>1$
B. $x>0$
C. $x<3$
D. $x<1$

答案：D
解析：根据抛物线的开口方向和顶点式判断即可.

【详解】解: 在 $y=(x-1)^{2}+3$ 中,

$\because a=1>0$,

$\therefore$ 函数图像开口向上,

当 $x<1$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小.

故选: D.

【点睛】本题考查了二次函数的性质, 二次函数 $y=a x^{2}+b x+c(a, b, c$ 为常数, $a \neq 0)$,当 $a>0$ 时，在对称轴左侧 $y$ 随 $x$ 的增大而减小，在对称轴右侧 $y$ 随 $x$ 的增大而增大; 当 $a<0$时, 在对称轴左侧 $y$ 随 $x$ 的增大而增大，在对称轴右侧 $y$ 随 $x$ 的增大而减小.
题目（九年级 · 代数）：若 $\frac{a}{2}=\frac{b}{3}$, 则 $\frac{a+b}{b}$ 的值为 ( )
  
选项：
A. $\frac{2}{3}$
  B. $\frac{5}{2}$
  C. $\frac{5}{3}$
  D. 2


答案：C
解析：求出 $\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$, 设 $a=2 k, b=3 k$, 再求出答案即可.

【详解】解: $\because \frac{a}{2}=\frac{b}{3}$,

$\therefore \frac{a}{b}=\frac{2}{3}$,

设 $a=2 k, b=3 k$,

$\therefore \frac{a+b}{b}=\frac{2 k+3 k}{3 k}=\frac{5 k}{3 k}=\frac{5}{3}$,

故选: C.

【点睛】本题考查了比例的性质, 能选择适当的方法求解是解此题的关键, 注意: 如果 $a d=b c$, 那么 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$.
题目（九年级 · 代数）：二次函数 $y=x^{2}+2 x+3$ 与 $x$ 轴的公共点个数是 ( ).

选项：
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个

答案：A
解析：二次函数 $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$ 与 $x$ 轴的公共点个数即为对应的一元二次方程 $a x^{2}+b x+c=0(a \neq 0)$ 根的个数, 据此即可求解.

【详解】解：令 $y=0$, 则 $x^{2}+2 x+3=0$

$\Delta=b^{2}-4 a c=2^{2}-4 \times 1 \times 3=-8<0$

该方程无实数根

故二次函数 $y=x^{2}+2 x+3$ 与 $x$ 轴无公共点
故选: A

【点睛】本题考查二次函数与 $x$ 轴的交点问题. 熟记相关结论即可.
题目（九年级 · 代数）：下列函数中，是二次函数的是（）

选项：
A. $y=3 x+2$
B. $y=\frac{1}{x^{2}+2}$
C. $y=a x^{2}-2 x+2$
D. $y=2 x^{2}-1$

答案：D
解析：根据二次函数的定义逐项判断即可.

【详解】 $y=3 x+2$, 是一次函数, 故 A 不符合题意;

$y=\frac{1}{x^{2}+2}$, 右边是分式, 不是二次函数, 故 B 不符合题意;

当 $a=0$ 时, 原函数变为 $y=-2 x+2$, 为一次函数, 故 $\mathrm{C}$ 不符合题意;

$y=2 x^{2}-1$, 符合二次函数的定义, 是二次函数, 故 $\mathrm{D}$ 符合题意.

故选 D.

【点睛】本题考查二次函数的定义. 掌握一般地, 我们把形如 $y=a x^{2}+b x+c$ (其中 $a, b, c$是常数, 且 $a \neq 0$ )的函数叫做二次函数.
题目（九年级 · 代数）：已知: $a 、 b 、 c$ 满足 $\frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b}{c}=k(a b c \neq 0)$, 则 $k$ 的值为 $(\quad)$

选项：
A. 2
B. 0 或2
C. -1
D. 2 或 -1

## 第 II 卷（非选择题）

##
答案：D
解析：解：分两种情况：(1)当 $a+b+c=0$ 时, $b+c=-a$,

所以 $k=\frac{b+c}{a}=\frac{-a}{a}=-1$;

(2) 当 $a+b+c \neq 0$ 时,

$\because \frac{b+c}{a}=\frac{a+c}{b}=\frac{a+b}{c}=k$,

$$
\begin{aligned}
& \therefore k=\frac{b+c+a+c+a+b}{a+b+c} \\
& =\frac{2 a+2 b+2 c}{a+b+c}
\end{aligned}
$$

$=2$,

所以 $k$ 的值为 2 或 -1 ,
故选: D.

分两种情况: (1) 当 $a+b+c=0$ 时, $b+c=-a$, 求出 $k=-1$;

(2)当 $a+b+c \neq 0$ 时, 根据比例的性质, 可求出 $k=2$, 再得出答案即可.

本题考查了比例的性质, 采用分类讨论的思想是解此题的关键.
题目（九年级 · 代数）：若 $|x+1|+|y+3|=0$ ，那么 $x-y$ 等于 $(\quad)$

选项：
A. 4
B. 0
C. -4
D. 2

答案：D
解析：【分析】

本题考查了绝对值的非负性质, 解答时利用绝对值的非负性质, 求出 $x, y$ 的值, 进而可解。

## 【解答】

解: $|x+1|+|y+3|=0$,

则 $x+1=0, y+3=0$

$x=-1, y=-3$

$$
x-y=-1+3=2
$$

故选 $D$.
题目（九年级 · 代数）：已知 $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, 则下列式子中正确的是 $($ )

选项：
A. $a: b=c^{2}: d^{2}$
B. $a: d=c: b$
C. $a: b=(a+c):(b+d)$
D. $a: b=(a-d):(b-d)$

答案：C
解析：【分析】

本题分别利用等比性质, 合比性质, 以及分式的基本性质, 对各式进行变形, 即可得出结论.

## 【解答】

解: $A$.只对等式的右边同时平方, 不符合等式的性质, 故 $A$ 选项错误;

B. 转化为等积式是 $a b=c d$, 而原比例是转化为等积式是 $a d=b c$, 两者不一致, 故 $B$ 选项错误;

C.运用了比例的等比性质, 故 $C$ 选项正确;

$D$.等号右边是把左边的分子和分母是减去 $d$, 不符合分式的基本性质, 故 $D$ 选项错误.

故选 $C$.
题目（九年级 · 代数）：已知 $y=(m+1) x^{m^{2}+1}+2 x-3$ 是二次函数, 则 $m$ 的值为 $(\quad)$

选项：
A. 0
B. 1
C. -1
D. 1 或 -1

答案：B
解析：【分析】

本题主要考查的是二次函数的概念的有关知识, 直接利用二次函数的概念进行求解即可.

## 【解答】

解: $\because y=(m+1) x^{m^{2}+1}+2 x-3$ 是二次函数,

$\therefore m+1 \neq 0$ 且 $m^{2}+1=2$,

解得 $m=1$.

##
题目（九年级 · 代数）：对于关于 $x$ 的函数 $y=(m+1) x^{m^{2}-m}+3 x$, 下列说法错误的是

( )


选项：
A. 当 $m=-1$ 时, 该函数为正比例函数

B. 当 $m^{2}-m=1$ 时, 该函数为一次函数

C. 当该函数为二次函数时, $m=2$ 或 $m=-1$

D. 当该函数为二次函数时, $m=2$

## 第 II 卷（非选择题）

##
答案：C
解析：【分析】

本题考查了正比例函数的概念、一次函数以及二次函数的概念. 根据正比例函数的概念、一次函数的概念以及二次函数的概念, 结合各选项分析即可.

## 【解答】

解: $A$. 当 $m=-1$ 时, 该函数为 $y=3 x$, 是正比例函数, $A$ 选项说法正确, 故此选项不符合题意;

B. 当 $m^{2}-m=1$ 时, $m+1=m^{2}$, 该函数为 $y=\left(m^{2}+3\right) x$, 是一次函数, $B$ 选项说法正确, 故此选项不符合题意;

C. 当该函数为二次函数时, $m+1 \neq 0$ 且 $m^{2}-m=2$, 解得 $m=2, C$ 选项说法错误, 故此选项符合题意;

D. 当该函数为二次函数时, $m^{2}-m=2$ 且 $m+1 \neq 0$, 即 $m=2, D$ 选项说法正确, 故此选项不符合题意.

故选 $C$.

##
题目（九年级 · 代数）：下列函数是二次函数的是 ( )

选项：
A. $y=a x^{2}+b x+c$
B. $y=\frac{1}{x^{2}}+x$
C. $y=x(2 x-1)$
D. $y=(x+4)^{2}-x^{2}$

答案：C
解析：解： $A$ 、当 $a=0$ 时, 该函数不是二次函数, 故本选项不符合题意;

$B$ 、该函数分母含有字母，不是二次函数，故本选项不符合题意;

C、该函数是二次函数, 故本选项符合题意;

$D$ 、该函数化简后没有二次项, 是一次函数, 故本选项不符合题意.

故选: $C$.

根据二次函数的定义判断即可.

此题主要考查了二次函数定义, 解题的关键是掌握形如 $y=a x^{2}+b x+c(a 、 b 、 c$ 是常数, $a \neq 0)$ 的函数, 叫做二次函数.

##
题目（九年级 · 代数）：若函数 $y=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+2(x \leqslant 2), \\ 2 x(x>2),\end{array}\right.$ 则当函数值 $y=8$ 时, 自变量 $x$ 的值是

. ( )

选项：
A. $\pm \sqrt{6}$
B. 4
C. $\pm \sqrt{6}$ 或 4
D. 4 或 $-\sqrt{6}$


答案：D
解析：解: 把 $y=8$ 代入函数 $y=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+2(x \leqslant 2), \\ 2 x(x>2),\end{array}\right.$,

先代入上边的方程得 $x= \pm$

$\sqrt{6}$

,

$\because x \leq 2, x=$

$\sqrt{6}$

, 不合题意舍去, 故 $x=-$

$\sqrt{ } 6$

;

再代入下边的方程 $x=4$,

$\because x>2$, 故 $x=4$,
综上, $x$ 的值为 4 或 -

$\sqrt{ } 6$

故选: D.

本题考查求函数值:

(1)当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值;

(2)函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个.
题目（九年级 · 代数）：下列函数中, 是二次函数的有 $\left(\right.$ ) (1) $y=3(x-1)^{2}+1$; (2) $y=x+\frac{1}{x}$; (3) $y=8 x^{2}+1$; (4) $y=3 x^{3}+$ $2 x^{2}$.

选项：
A. 1 个
B. 2 个
C. 3个
D. 4 个

答案：B
解析：【分析】

本题考查了二次函数的定义, 解答本题关键是判断函数是否是二次函数, 首先是要看它的右边是否为整式, 其次判断二次项系数不能为 0 .

判断函数是否是二次函数, 首先是要看它的右边是否为整式, 若是整式且仍能化简的要先将其化简,然后再根据二次函数的定义作出判断, 要抓住二次项系数不为 0 这个关键条件. 【解答】

解: (1) $y=3(x-1)^{2}+1$, (3) $y=8 x^{2}+1$; 是二次函数的顶点式解析式, 属于二次函数;

(2) $y=x+\frac{1}{x}$ 的右边不是整式, 它不属于二次函数;

(4) $y=3 x^{3}+2 x^{2}$ 的右边最高次是 3 次, 它不属于二次函数;

综上所述，二次函数的个数是： 2 .

故选 $B$.

##
题目（九年级 · 代数）：对于关于 $x$ 的函数 $y=(m+1) x^{m^{2}-m}+3 x$, 下列说法错误的是

( )


选项：
A. 当 $m=-1$ 时, 该函数为正比例函数

B. 当 $m^{2}-m=1$ 时, 该函数为一次函数

C. 当该函数为二次函数时, $m=2$ 或 $m=-1$

D. 当该函数为二次函数时, $m=2$


答案：C
解析：【分析】

本题考查了正比例函数的概念、一次函数以及二次函数的概念. 根据正比例函数的概念、一次函数的概念以及二次函数的概念，结合各选项分析即可.

## 【解答】

解: $A$. 当 $m=-1$ 时, 该函数为 $y=3 x$, 是正比例函数, $A$ 选项说法正确, 故此选项不符合题意;

B. 当 $m^{2}-m=1$ 时, $m+1=m^{2}$, 该函数为 $y=\left(m^{2}+3\right) x$, 是一次函数, $B$ 选项说法正确, 故此选项不符合题意;

C. 当该函数为二次函数时, $m+1 \neq 0$ 且 $m^{2}-m=2$, 解得 $m=2, C$ 选项说法错误, 故此选项符合题意;

D. 当该函数为二次函数时, $m^{2}-m=2$ 且 $m+1 \neq 0$, 即 $m=2, D$ 选项说法正确, 故此选项不符合题意.

故选 $C$.

##
题目（九年级 · 代数）：用绳子围成周长为 $10 m$ 的矩形.记矩形的一边长为 $x m$, 它的邻边长为 $y m$, 矩形的面积为 $S m^{2}$. 当 $x$ 在一定范围内变化时, $y$ 和 $S$ 都随 $x$ 的变化而变化, 则 $y$ 与 $x, S$ 与 $x$ 满足的函数关系分别是 $($ )

选项：
A. 一次函数关系, 二次函数关系
B. 反比例函数关系, 二次函数关系
C. 一次函数关系, 反比例函数关系
D. 反比例函数关系, 一次函数关系

答案：A
解析：由题意得 $2(x+y)=10, \therefore x+y=5$, 即 $y=5-x . \therefore S=x y=x(5-x)=-x^{2}+5 x . \therefore y$与 $x, S$ 与 $x$ 满足的函数关系分别是一次函数关系, 二次函数关系, 故选 $A$.

##
题目（九年级 · 代数）：若方程 $y=m x^{2}-4 x-5$ 是关于 $x$ 的二次函数, 则 $m$ 的取值范围是 $(\quad)$

选项：
A. $m>0$
B. $m \neq 0$
C. $m \neq 2$
D. $m \neq-2$

答案：B
解析：解: $\because y=m x^{2}-4 x-5$ 是关于 $x$ 的二次函数,

$\therefore m \neq 0$,

故选: B.

根据二次函数的定义进行求解即可.

本题主要考查了二次函数的定义, 熟知二次函数的定义是解题的关键: 一般地, 形如 $y=a x^{2}+b x+$ $c(a \neq 0)$ 且 $a 、 b 、 c$ 是常数的函数叫做二次函数.

##
题目（九年级 · 代数）：若关于 $x$ 的函数 $y=(2-a) x^{2}-x$ 是二次函数，则 $a$ 的取值范围是 $(\quad)$

选项：
A. $a \neq 0$
B. $a \neq 2$
C. $a<2$
D. $a>2$

答案：B
解析：解： $\because$ 函数 $y=(2-a) x^{2}-x$ 是二次函数,

$\therefore 2-a \neq 0$, 即 $a \neq 2$,

故选: $B$.

根据二次函数的定义即可得.

本题主要考查二次函数的定义, 熟练掌握形如 $y=a x^{2}+b x+c(a 、 b 、 c$ 是常数, $a \neq 0)$ 的函数, 叫做二次函数是解题的关键.

##
题目（九年级 · 代数）：二次函数 $y=a x^{2}-4 a x+c(a>0)$ 的图象过 $A\left(-2, y_{1}\right), B\left(0, y_{2}\right), C\left(3, y_{3}\right), D\left(5, y_{4}\right)$ 四个点, 下列说法中一定正确的是( )

选项：
A. 若 $y_{1} y_{2}>0$, 则 $y_{3} y_{4}>0$
B. 若 $y_{1} y_{4}>0$, 则 $y_{2} y_{3}>0$
C. 若 $y_{2} y_{4}<0$, 则 $y_{1} y_{3}<0$
D. 若 $y_{3} y_{4}<0$, 则 $y_{1} y_{2}<0$

答案：C
解析： $\because y=a x^{2}-4 a x+c, \therefore$ 拋物线的对称轴为直线 $x=-\frac{-4 a}{2 a}=2, \because a>0,: \therefore$ 拋物线开口向上, $\because 2-(-2)>5-2>2-0>3-2, \quad \therefore y_{1}>y_{4}>y_{2}>y_{3}$,若 $y_{1}>y_{4}>y_{2}>0>y_{3}$, 则 $y_{1} y_{2}>0, y_{3} y_{4}<0$, 选项 $A$ 错误.

若 $y_{1}>y_{4}>y_{2}>0>y_{3}$, 则 $y_{1} y_{4}>0, y_{2} y_{3}<0$, 选项 $B$ 错误.

若 $y_{2} y_{4}<0$, 则 $y_{1}>y_{4}>0>y_{2}>y_{3}, \therefore y_{1} y_{3}<0$, 选项 $C$ 正确.

若 $y_{1}>y_{4}>y_{2}>0>y_{3}$, 则 $y_{3} y_{4}<0, y_{1} y_{2}>0$, 选项 $D$ 错误.
题目（九年级 · 代数）：已知 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 均是以 $x$ 为自变量的函数, 当 $x=m$ 时, 函数值分别是 $M_{1}$ 和 $M_{2}$, 若存在实数 $m$, 使得 $M_{1}+$ $M_{2}=0$, 则称函数 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 具有性质 $P$. 以下函数 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 具有性质 $P$ 的是 $(\quad)$

选项：
A. $y_{1}=x^{2}+2 x$ 和 $y_{2}=-x-1$
B. $y_{1}=x^{2}+2 x$ 和 $y_{2}=-x+1$
C. $y_{1}=-\frac{1}{x}$ 和 $y_{2}=-x-1$
D. $y_{1}=-\frac{1}{x}$ 和 $y_{2}=-x+1$

答案：A
解析：【分析】

本题属于新定义类问题, 考查一元二次方程的解法, 根据给出的定义构造方程, 利用方程思想解决问题是常见思路.

根据题干信息可知, 直接令 $y_{1}+y_{2}=0$, 若方程有解, 则具有性质 $P$, 若无解, 则不具有性质 $P$.

## 【解答】

解: $A$. 令 $y_{1}+y_{2}=0$, 则 $x^{2}+2 x-x-1=0$, 解得 $x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ 或 $x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$,即函数 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 具有性质 $P$, 符合题意;

B. 令 $y_{1}+y_{2}=0$, 则 $x^{2}+2 x-x+1=0$, 整理得, $x^{2}+x+1=0$, 方程无解,即函数 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 不具有性质 $P$, 不符合题意;

C. 令 $y_{1}+y_{2}=0$, 则 $-\frac{1}{x}-x-1=0$, 整理得, $x^{2}+x+1=0$, 方程无解,即函数 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 不具有性质 $P$ ，不符合题意;

D. 令 $y_{1}+y_{2}=0$, 则 $-\frac{1}{x}-x+1=0$, 整理得, $x^{2}-x+1=0$, 方程无解,

即函数 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 不具有性质 $P$, 不符合题意;

故选: A.

##
题目（九年级 · 代数）：关于 $x$ 的方程 $x^{2}+2 k x+3 k=0$ 的两个相异实根均大于 -1 且小于 3 , 那么 $k$ 的取值范围是 $(\quad)$

选项：
A. $-1<k<0$
B. $k<0$
C. $k>3$ 或 $k<0$
D. $k>-1$

答案：A
解析：【分析】
本题考查了抛物线与 $x$ 轴的交点: 把求二次函数 $y=a x^{2}+b x+c(a, b, c$ 是常数, $a \neq 0)$ 与 $x$ 轴的交点坐标问题转化为解关于 $x$ 的一元二次方程. 也考查了二次函数的性质. 把一元二次方程解的问题转化为抛物线与 $x$ 轴的交点问题, 则利用题意得拋物线 $y=x^{2}+2 k x+3 k$ 与 $x$ 轴的两个交点到在 $(-1,0)$ 和 $(3,0)$ 之间, 利用二次函数图象得到 $x=-1$ 时, $y>0$ 和当 $x=3$ 时, $y>0$;

接着由 $3 k<0$ 确定抛物线与 $x$ 轴有 2 个交点, 然后解关于 $k$ 的不等式组确定 $k$ 的范围.

## 【解答】

解: $\because$ 关于 $x$ 的方程 $x^{2}+2 k x+3 k=0$ 的两个相异实根均大于 -1 且小于 3 ,

$\therefore$ 抛物线 $y=x^{2}+2 k x+3 k$ 与 $x$ 轴的两个交点到在 $(-1,0)$ 和 $(3,0)$ 之间,

$\therefore 3 k<0$, 解得 $k<0$,

$\because x=-1$ 时, $y>0$,

$\therefore 1-2 k+3 k>0$, 解得 $k>-1$;

当 $x=3$ 时, $y>0$,

$\therefore 9+6 k+3 k>0$, 解得 $k>-1$,

$\therefore k$ 的范围为 $-1<k<0$.

故选 $A$.

##
题目（九年级 · 代数）：若被击打的小球飞行高度 $h$ (单位: $m$ )与飞行时间 $t$ (单位: $s$ )具有函数关系为 $h=20 t-5 t^{2}$, 则小球从飞出到落地的所用时间为( ）

选项：
A. $3 s$
B. $4 s$
C. $5 s$
D. $6 s$

答案：B
解析：【试题解析】

## 【分析】

本题考查二次函数的应用, 关键是理解掌握当 $h=0$ 时, 小球落地, 根据关系式, 令 $h=0$ 即可求得 $t$ 的值为飞行的时间.

## 【解答】

解: 依题意, 令 $h=0$ 得

$0=20 t-5 t^{2}$,

$t(20-5 t)=0$,
解得 $t_{1}=0$ (舍去), $t_{2}=4$,

即小球从飞出到落地所用的时间为 $4 s$.

故选 $B$.

##
题目（九年级 · 代数）：若实数 $a$ 为不大于 6 的非负整数, 则使关于 $x$ 的分式方程 $\frac{1}{x-3}+\frac{x-a}{3-x}=1$ 的解为整数的概率为 ( )

选项：
A. $\frac{2}{3}$
B. $\frac{5}{6}$
C. $\frac{4}{5}$
D. $\frac{3}{7}$

答案：D
解析：解析: 解分式方程 $\frac{1}{x-3}+\frac{x-a}{3-x}=1$ 得 $x=\frac{a+4}{2}$,

$\because$ 实数 $a$ 为不大于 6 的非负整数,

$\therefore a=0,1,2,3,4,5,6$,

$\because$ 当 $a=0$ 时, $x=2$;

当 $a=2$ 时, $x=3$, 方程无解, 故舍去;

当 $a=4$ 时, $x=4$;

当 $a=6$ 时, $x=5$,

$\therefore$ 使关于 $x$ 的分式方程 $\frac{1}{x-3}+\frac{x-a}{3-x}-1$ 的解为整数的概率为 $\frac{3}{7}$,

故选: D.

解分式方程 $\frac{1}{x-3}+\frac{x-a}{3-x}=1$ 得 $x=\frac{a+4}{2}$, 因为实数 $a$ 为不大于 6 的非负整数, 则 $a=0,1,2,3,4,5$, 6 , 分别讨论 $a==0,1,2,3,4,5,6$ 几种情况, 得出使关于 $x$ 的分式方程 $\frac{1}{x-3}+\frac{x-a}{3-x}-1$ 的解为整数的概率为 $\frac{3}{7}$,

本题考查概率公式, 分式方程的解, 解题的关键是掌握相关知识的灵活运用.
题目（九年级 · 代数）：将二次函数 $y=x^{2}-2 x+3$ 化为 $y=(x-h)^{2}+k$ 的形式, 结果为
选项：
A. $y=(x+1)^{2}+4$B. $y=(x-1)^{2}+4$C. $y=(x+1)^{2}+2$D. $y=(x-1)^{2}+2$
答案：D
解析：D【解析】y=x^2-2x+3=x^2-2x+1+2=(x-1)^2+2.