eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（七年级 · 算术）：请先阅读下列一组内容, 然后解答问题:

因为: $\frac{1}{1 \times 2}=1-\frac{1}{2}, \frac{1}{2 \times 3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}, \frac{1}{3 \times 4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4} \cdots \frac{1}{9 \times 10}=\frac{1}{9}-\frac{1}{10}$

所以: $\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{3 \times 4}+\cdots+\frac{1}{9 \times 10}$

$=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{9}-\frac{1}{10}\right)$

$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{9}-\frac{1}{10}=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}$

问题:

计算: (1) $\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{3 \times 4}+\cdots+\frac{1}{2004 \times 2005}$;

(2) $\frac{1}{1 \times 3}+\frac{1}{3 \times 5}+\frac{1}{5 \times 7}+\cdots+\frac{1}{49 \times 51}$
选项：
答案：解: (1)原式 $=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2004}-\frac{1}{2005}=1-\frac{1}{2005}=\frac{2004}{2005}$;

(2) 原式 $=\frac{1}{2} \times\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+\frac{1}{49}-\frac{1}{51}\right)=\frac{1}{2} \times\left(1-\frac{1}{51}\right)=\frac{25}{51}$.
解析：解: (1)原式 $=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2004}-\frac{1}{2005}=1-\frac{1}{2005}=\frac{2004}{2005}$;

(2) 原式 $=\frac{1}{2} \times\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+\frac{1}{49}-\frac{1}{51}\right)=\frac{1}{2} \times\left(1-\frac{1}{51}\right)=\frac{25}{51}$.
题目（七年级 · 算术）：请你仔细阅读下列材料, 计算:

阅读下列材料: 计算 $\frac{1}{12} \div\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right)$.
解法一: 原式 $==\frac{1}{12} \div \frac{1}{3}-\frac{1}{12} \div \frac{1}{4}+\frac{1}{12} \div \frac{1}{12}$

解法二: 原式 $=\frac{1}{12} \div\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right)$

解法三: 原式的倒数为 $\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right) \div \frac{1}{12}=\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right) \times 12$

上述得出的结果不同, 肯定有错误的解法, 你认为解法 $\_$_ _是错误的.

请你选择合适的解法解答下列问题: 计算: $\left(-\frac{1}{30}\right) \div\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5}\right)$
选项：
答案：解：解法一：原式 $=\frac{1}{12} \div \frac{1}{3}-\frac{1}{12} \div \frac{1}{4}+\frac{1}{12} \div \frac{1}{12}=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+1=\frac{11}{12}$ ，

解法二: 原式 $=\frac{1}{12} \div\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right)=\frac{1}{12} \div\left(\frac{4}{12}-\frac{3}{12}+\frac{1}{12}\right)=\frac{1}{12} \div \frac{1}{6}=\frac{1}{12} \times 6=\frac{1}{2}$,

解法三: 原式的倒数为

$\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right) \div \frac{1}{12}=\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right) \times 12=\frac{1}{3} \times 12-\frac{1}{4} \times 12+\frac{1}{12} \times 12=4-3+1=2$,

$\therefore \frac{1}{12} \div\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right)=\frac{1}{2} ;$

上述得到的结果不同, 所以我认为解法一是错误的;

故答案为一;

$\left(-\frac{1}{30}\right) \div\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5}\right)$ 的倒数为 $\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5}\right) \div\left(-\frac{1}{30}\right)=\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5}\right) \times(-30)$

$$
=\frac{2}{3} \times(-30)-\frac{1}{10} \times(-30)+\frac{1}{6} \times(-30)-\frac{2}{5} \times(-30)=-20+3-5+12
$$

$=-10 ;$

$\therefore\left(-\frac{1}{30}\right) \div\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5}\right)=-\frac{1}{10}$
解析：解：解法一：原式 $=\frac{1}{12} \div \frac{1}{3}-\frac{1}{12} \div \frac{1}{4}+\frac{1}{12} \div \frac{1}{12}=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+1=\frac{11}{12}$ ，

解法二: 原式 $=\frac{1}{12} \div\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right)=\frac{1}{12} \div\left(\frac{4}{12}-\frac{3}{12}+\frac{1}{12}\right)=\frac{1}{12} \div \frac{1}{6}=\frac{1}{12} \times 6=\frac{1}{2}$,

解法三: 原式的倒数为

$\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right) \div \frac{1}{12}=\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right) \times 12=\frac{1}{3} \times 12-\frac{1}{4} \times 12+\frac{1}{12} \times 12=4-3+1=2$,

$\therefore \frac{1}{12} \div\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{12}\right)=\frac{1}{2} ;$

上述得到的结果不同, 所以我认为解法一是错误的;

故答案为一;

$\left(-\frac{1}{30}\right) \div\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5}\right)$ 的倒数为 $\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5}\right) \div\left(-\frac{1}{30}\right)=\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5}\right) \times(-30)$

$$
=\frac{2}{3} \times(-30)-\frac{1}{10} \times(-30)+\frac{1}{6} \times(-30)-\frac{2}{5} \times(-30)=-20+3-5+12
$$

$=-10 ;$

$\therefore\left(-\frac{1}{30}\right) \div\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{10}+\frac{1}{6}-\frac{2}{5}\right)=-\frac{1}{10}$
题目（七年级 · 算术）：观察下列一组算式的特征, 并探索规律:

(1) $\sqrt{1^{3}}=1=1$;

(2) $\sqrt{1^{3}+2^{3}}=1+2=3$;

(3) $\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}}=1+2+3=6$;

(4) $\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}}=1+2+3+4=10$.

根据以上算式的规律, 解答下列问题:

(1) $1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=($ )$^{2}=$

(2) $\sqrt{1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+(n-1)^{3}+n^{3}}=$

（3）简便计算: $11^{3}+12^{3}+13^{3}+\ldots+19^{3}+20^{3}$.
选项：
答案：(1) $1+2+3+4+5 （$ 或 $15 ； 225$

(2) $\frac{n(n+1)}{2}$

(3) 解: 由 (2) 得,

$11^{3}+12^{3}+13^{3}+\ldots+19^{3}+20^{3}$

$=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+19^{3}+20^{3}-\left(1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+9^{3}+10^{3}\right)$

$=\left(\frac{20 \times 21}{2}\right)^{2}-\left(\frac{10 \times 11}{2}\right)^{2}$

$=44100-3025$

$=41075$
解析：(1) $1+2+3+4+5 （$ 或 $15 ； 225$

(2) $\frac{n(n+1)}{2}$

(3) 解: 由 (2) 得,

$11^{3}+12^{3}+13^{3}+\ldots+19^{3}+20^{3}$

$=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+19^{3}+20^{3}-\left(1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+9^{3}+10^{3}\right)$

$=\left(\frac{20 \times 21}{2}\right)^{2}-\left(\frac{10 \times 11}{2}\right)^{2}$

$=44100-3025$

$=41075$
题目（七年级 · 算术）：定义 $\oplus$ 运算

观察下列运算:

$(+4) \oplus(+16)=+20, \quad(-5) \oplus(-7)=+12, \quad(-6) \oplus(-17)=+23, \quad(-2) \oplus(+14)=-12$, $(-15) \oplus(+9)=-6, \quad(+25) \oplus(-10)=-15, \quad 0 \oplus(-15)=-15, \quad(+12) \oplus 0=+12$.

(1) 请你认真思考上述运算，归纳 $\oplus$ 运算的法则:两数进行 $\oplus$ 运算时, 同号两数运算算 ，异号两数运

特别地, 0 和任何数进行 $\oplus$ 运算, 或任何数和 0 进行 $\oplus$ 运算, 仍得这个数.

(2) 计算: $(-16) \oplus(-29)=$ , $(+18) \oplus[0 \oplus(-35)]=$

(3) 若 $-1 \oplus a=2021$, 则 $a=$ \$ \qquad \$ , 若 $1 \oplus b=-2021$, 则 $b=$
选项：
答案：(1) 结果为正, 并将两数的绝对值相加; 结果为负, 并用较大绝对值减去较小绝对值

(2) $45 ;-17$

(3) $-2020 ;-2022$
解析：(1) 由题意知, 两数进行 $\oplus$ 运算时, 同号两数运算结果为正, 并将两数的绝对值相加, 异号两数运算结果为负, 并用较大绝对值减去较小绝对值.

特别地, 0 和任何数进行 $\oplus$ 运算, 或任何数和 0 进行 $\oplus$ 运算, 仍得这个数.

故答案为: 结果为正, 并将两数的绝对值相加; 结果为负, 并用较大绝对值减去较小绝对值;

(2) $(-16) \oplus(-29)=+(16+29)=45$,

$(+18) \oplus[0 \oplus(-35)]$

$=(+18) \oplus(-35)$

$=-(35-18)$
$=-17$;

故答案为: $45,-17$;

(3) $\because-1 \oplus \mathrm{a}=2021$,

$\therefore \mathrm{a}=-(2021-1)=-2020$;

$\because 1 \oplus \mathrm{b}=-2021$,

$\therefore \mathrm{b}=-(2021+1)=-2022$,

故答案为: $-2020,-2022$.
题目（七年级 · 算术）：“ 24 ”点游戏的规则是这样的: 在整数范围内任意取四个数, 然后进行加、减、乘、除四则运算（每个数只能用一次，可使用小括号、中括号), 使其结果等于 24 . 例如, 取 $2,3,6$, 9 这四个数进行运算, 得: $2 \times 6+3+9=24$, 或 $6 \times 9 \div 2-3=24$, 或 $3 \times 9-6 \div 2=24$等.

(1) 用-3, -1, 5, 3 这四个整数, 写出 1 种算式, 使其运算结果为 24 ;

(2) 用 $-6,3,4,10$ 这四个整数, 写出 2 种不同的算式, 使其运算结果为 24 ;

(3) 用 $-4,2,8,11$ 这四个整数, 写出 1 种算式, 使其运算结果为 24 .
选项：
答案：(1) 解: $-3 \times(-1) \times(5+3)=24$ (答案不唯一)

(2) 解: $3 \times(10-6+4)=24$ 或 $3 \times(10-4)-(-6)=24$ (答案不唯一)

(3) 解: $2-[8 \times 11 \div(-4)]=24$ (答案不唯一)
解析：(1) 解: $-3 \times(-1) \times(5+3)=24$ (答案不唯一)

(2) 解: $3 \times(10-6+4)=24$ 或 $3 \times(10-4)-(-6)=24$ (答案不唯一)

(3) 解: $2-[8 \times 11 \div(-4)]=24$ (答案不唯一)
题目（七年级 · 算术）：已知 $1^{3}=\frac{1}{4} \times 1^{2} \times 2^{2}, 1^{3}+2^{3}=9=\frac{1}{4} \times 2^{2} \times 3^{2}, 1^{3}+2^{3}+3^{3}=36=\frac{1}{4} \times 3^{2} \times 4^{2}, \ldots$,按照这个规完成下列问题:

(1) $1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=$ \$ \qquad \$ $=\frac{1}{4} \times$ \$ \qquad \$ in $^{2} \times$ \$ \qquad \$ ! $^{2}$

（2）猜想: $1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+n^{3}=$ \$ \qquad \$
（3）利用 (2) 中的结论计算: (写出计算过程) $11^{3}+12^{3}+13^{3}+14^{3}+15^{3}+16^{3}+\ldots+39^{3}+$ $40^{3}$
选项：
答案：(1) $225 ; 5 ; 6$

(2) $\frac{1}{4} \times n^{2} \times(n+1)^{2}$

(3) 解: 利用 (2) 中的结论计算:

$11^{3}+12^{3}+13^{3}+14^{3}+15^{3}+16^{3}+\ldots+39^{3}+40^{3}$.

解: 原式 $=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+39^{3}+40^{3}-\left(1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+10^{3}\right)$

21 世纪教育网(www.21cnjy.com)
$=\frac{1}{4} \times 40^{2} \times 41^{2}-\frac{1}{4} \times 10^{2} \times 11^{2}$

$=672400-3025$

$=669375$.
解析：) $1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=225=\frac{1}{4} \times 5^{2} \times 6^{2}$;

故答案为: $225,5,6$;

（2）猜想: $1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+n^{3}=\frac{1}{4} \times n^{2} \times(n+1)^{2}$;

故答案为: $\frac{1}{4} \times n^{2} \times(n+1)^{2}$.
题目（七年级 · 算术）：(1) $(-5.3)+(-3.2)-(-5.3)-(+4.8)$.

(2) $9 \frac{17}{18} \times(-9)$.

(3) $\left(-\frac{3}{4}-\frac{5}{9}+\frac{7}{12}\right) \div \frac{1}{36}$.

(4) $\left|-\frac{7}{9}\right| \div\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{5}\right)-\frac{1}{3} \times(-4)^{2}$.
选项：
答案：(1) 解: $(-5.3)+(-3.2)-(-5.3)-(+4.8)$

$=(-5.3)+(-3.2)+5.3+(-4.8)$

$=(-5.3+5.3)+(-3.2-4.8)$

$=0+(-8)$

$=-8 ;$

(2) 解: $9 \frac{17}{18} \times(-9)$

$=\left(10-\frac{1}{18}\right) \times(-9)$

$=-10 \times 9+\frac{1}{18} \times 9$

$=-90+0.5$

$=-89.5$

(3) 解: $\left(-\frac{3}{4}-\frac{5}{9}+\frac{7}{12}\right) \div \frac{1}{36}$
$=\left(-\frac{3}{4}-\frac{5}{9}+\frac{7}{12}\right) \times 36$

$=-\frac{3}{4} \times 36-\frac{5}{9} \times 36+\frac{7}{12} \times 36$

$=-27-20+21$

$=-26$

(4) 解: $\left|-\frac{7}{9}\right| \div\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{5}\right)-\frac{1}{3} \times(-4)^{2}$

$=\frac{7}{9} \div \frac{7}{15}-\frac{1}{3} \times 16$

$=\frac{7}{9} \times \frac{15}{7}-\frac{1}{3} \times 16$

$=\frac{5}{3}-\frac{16}{3}$

$=-\frac{11}{3}$.
解析：(1) 解: $(-5.3)+(-3.2)-(-5.3)-(+4.8)$

$=(-5.3)+(-3.2)+5.3+(-4.8)$

$=(-5.3+5.3)+(-3.2-4.8)$

$=0+(-8)$

$=-8 ;$

(2) 解: $9 \frac{17}{18} \times(-9)$

$=\left(10-\frac{1}{18}\right) \times(-9)$

$=-10 \times 9+\frac{1}{18} \times 9$

$=-90+0.5$

$=-89.5$

(3) 解: $\left(-\frac{3}{4}-\frac{5}{9}+\frac{7}{12}\right) \div \frac{1}{36}$
$=\left(-\frac{3}{4}-\frac{5}{9}+\frac{7}{12}\right) \times 36$

$=-\frac{3}{4} \times 36-\frac{5}{9} \times 36+\frac{7}{12} \times 36$

$=-27-20+21$

$=-26$

(4) 解: $\left|-\frac{7}{9}\right| \div\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{5}\right)-\frac{1}{3} \times(-4)^{2}$

$=\frac{7}{9} \div \frac{7}{15}-\frac{1}{3} \times 16$

$=\frac{7}{9} \times \frac{15}{7}-\frac{1}{3} \times 16$

$=\frac{5}{3}-\frac{16}{3}$

$=-\frac{11}{3}$.
题目（七年级 · 算术）：认真观察, 寻找规律

第 1 个算式: $\frac{1}{1 \times 2}-\frac{1}{2 \times 3}=\frac{2}{6}$;

第 2 个算式: $\frac{1}{2 \times 3}-\frac{1}{3 \times 4}=\frac{2}{24}$

第 3 个算式: $\frac{1}{3 \times 4}-\frac{1}{4 \times 5}=\frac{2}{60}$;

第 4 个算式: $\frac{1}{4 \times 5}-\frac{1}{5 \times 6}=\frac{2}{120}$

用你发现的规律解答问题:

（1）第 $\mathrm{n}$ 个算式为:

（2）计算: $\frac{1}{3}+\frac{1}{12}+\frac{1}{30}+\frac{1}{60}$;

(3) 若 $\frac{1}{1 \times 2 \times 3}+\frac{1}{2 \times 3 \times 4}+\frac{1}{3 \times 4 \times 5}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{11}{45}$, 求 $\mathrm{n}$ 的值.
选项：
答案：(1) $\frac{1}{n \times(n+1)}-\frac{1}{(n+1) \times(n+2)}=\frac{2}{n \times(n+1) \times(n+2)}$

(2) 解：原式 $=\frac{2}{6}+\frac{2}{24}+\frac{2}{60}+\frac{2}{120}$

$=\frac{1}{1 \times 2}-\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{2 \times 3}-\frac{1}{3 \times 4}+\frac{1}{3 \times 4}-\frac{1}{4 \times 5}+\frac{1}{4 \times 5}-\frac{1}{5 \times 6}$

$=\frac{1}{1 \times 2}-\frac{1}{5 \times 6}$

$=\frac{1}{2}-\frac{1}{30}$

$=\frac{7}{15}$

(3) 解: $\frac{2}{1 \times 2 \times 3}+\frac{2}{2 \times 3 \times 4}+\frac{2}{3 \times 4 \times 5}+\ldots+\frac{2}{n(n+1)(n+2)}=\frac{22}{45}$ $\frac{1}{1 \times 2}-\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{2 \times 3}-\frac{1}{3 \times 4}+\frac{1}{3 \times 4}-\frac{1}{4 \times 5}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{22}{45}$

$$
\begin{gathered}
\frac{1}{1 \times 2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{22}{45} \\
-\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{22}{45}-\frac{1}{1 \times 2} \\
\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{90}
\end{gathered}
$$

$\because \mathrm{n}$ 为正整数, 所以 $\mathrm{n}+1=9, \mathrm{n}+2=10$, 则 $\mathrm{n}=8$.
解析：(1) $\frac{1}{n \times(n+1)}-\frac{1}{(n+1) \times(n+2)}=\frac{2}{n \times(n+1) \times(n+2)}$

(2) 解：原式 $=\frac{2}{6}+\frac{2}{24}+\frac{2}{60}+\frac{2}{120}$

$=\frac{1}{1 \times 2}-\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{2 \times 3}-\frac{1}{3 \times 4}+\frac{1}{3 \times 4}-\frac{1}{4 \times 5}+\frac{1}{4 \times 5}-\frac{1}{5 \times 6}$

$=\frac{1}{1 \times 2}-\frac{1}{5 \times 6}$

$=\frac{1}{2}-\frac{1}{30}$

$=\frac{7}{15}$

(3) 解: $\frac{2}{1 \times 2 \times 3}+\frac{2}{2 \times 3 \times 4}+\frac{2}{3 \times 4 \times 5}+\ldots+\frac{2}{n(n+1)(n+2)}=\frac{22}{45}$ $\frac{1}{1 \times 2}-\frac{1}{2 \times 3}+\frac{1}{2 \times 3}-\frac{1}{3 \times 4}+\frac{1}{3 \times 4}-\frac{1}{4 \times 5}+\ldots+\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{22}{45}$

$$
\begin{gathered}
\frac{1}{1 \times 2}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{22}{45} \\
-\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{22}{45}-\frac{1}{1 \times 2} \\
\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{90}
\end{gathered}
$$

$\because \mathrm{n}$ 为正整数, 所以 $\mathrm{n}+1=9, \mathrm{n}+2=10$, 则 $\mathrm{n}=8$.
题目（七年级 · 算术）：概念学习

规定: 求若干个相同的有理数（均不等于 0 ）的除法运算叫做除方, 如 $2 \div 2 \div 2,(-3) \div(-3) \div$ $(-3) \div(-3)$ 等, 类比有理数的乘方, 我们把 $2 \div 2 \div 2$ 记作 $2_{3}$, 读作“ 2 的 3 次商”, $(-3) \div(-$ $3) \div(-3) \div(-3)$ 记作 $(-3) 4$, 读作“ -3 的 4 次商”,一般地, 我们把 $\mathrm{n}$ 个 a ( $\mathrm{a} \neq 0$ ) 相除记作 $\mathrm{a}_{\mathrm{n}}$, 读作“ $\mathrm{a}$ 的 $\mathrm{n}$ 次商".

(1) 初步探究直接写出结果: $2_{3}=$ \$ \qquad \$ $;$

(2) 关于除方，下列说法错误的是 \$ \qquad \$ ;

(1)任何非零数的 2 次商都等于 1 ; (2)对于任何正整数 $\mathrm{n},(-1){ }_{\mathrm{n}}=-1$; (3) $3_{4}=4_{3}$; (4) 负数的奇数次商结果是负数, 负数的偶数次商结果是正数.

$(3)$ 深入思考
我们知道, 有理数的减法运算可以转化为加法运算, 除法运算能够转化为乘法运算, 那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢? 例: $2_{4}=2 \div 2 \div 2 \div 2=2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$.试一试: 仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式 $(-3)_{4}=$ \$ \qquad \$ $;$ $\left(\frac{1}{7}\right)_{5}=$ \$ \qquad \$
(4) 想一想: 将一个非零有理数 $\mathrm{a}$ 的 $\mathrm{n}$ 次商写成幂的形式等于 \$ \qquad \$ ;

(5) 算一算: $5_{2} \div\left(-\frac{1}{2}\right)_{4} \times\left(-\frac{1}{3}\right)_{5}+\left(-\frac{1}{4}\right)_{3} \times \frac{1}{4}=$ \$ \qquad \$ .
选项：
答案：(1) $\frac{1}{2}$

(2) (2) (3)

(3) $\left(-\frac{1}{3}\right)^{n-2} ; 7^{3}$

(4) $\left(\frac{1}{a}\right)^{n-2}$

(5) $-\frac{31}{4}$
解析：(1) $2_{3}=2 \div 2 \div 2=\frac{1}{2}$;

故答案为: $\frac{1}{2}$;

(2) $\because$ 任何非零数的 2 次商等于这个数与它本身相除, 结果为 1 ,

$\therefore$ 任何非零数的 2 次商都等于 1,

故(1)正确;

$\because$ 对于任何正整数 $n$, 当 $n$ 为奇数时, $(-1)_{n}=-1$, 当 $n$ 为偶数时, $(-1)_{n}=1$,

$\therefore$ (2)错误;

$\because 3_{4}=3 \div 3 \div 3 \div 3=\frac{1}{9}, 4_{3}=4 \div 4 \div 4=\frac{1}{4}$,

$\therefore 3_{4} \neq 4_{3}$.

$\therefore$ (3)错误;

$\because$ 负数的奇数次商结果是负数, 负数的偶数次商结果是正数,

$\therefore$ (4) 正确;

综上, 说法错误的是: (2) (3),

故答案为: (2) (3);

$$
\text { (3) }(-3)_{4}=(-3) \div(-3) \div(-3) \div(-3)=(-3) \times\left(-\frac{1}{3}\right) \times\left(-\frac{1}{3}\right) \times\left(-\frac{1}{3}\right)=
$$

$\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$,

$\left(\frac{1}{7}\right)_{5}=\frac{1}{7} \div \frac{1}{7} \div \frac{1}{7} \div \frac{1}{7} \div \frac{1}{7}=\frac{1}{7} \times 7 \times 7 \times 7 \times 7=7^{3}$,

故答案为: $\left(-\frac{1}{3}\right)^{2} ; 7^{3}$;

(4) $\because \mathrm{a}_{\mathrm{n}}=\underset{n \uparrow a}{a \div a \underset{\sim}{\div} \div \div a}=\mathrm{a} \times \frac{1}{a} \times \underset{(n-2) \uparrow \frac{1}{a}}{\frac{1}{a} \times \frac{1}{a} \times \cdots \times \frac{1}{a}}=\left(\frac{1}{a}\right)^{n-2}$,

$\therefore$ 将一个非零有理数 $\mathrm{a}$ 的 $\mathrm{n}$ 次商写成幂的形式等于 $\left(\frac{1}{a}\right)^{n-2}$.

故答案为: $\left(\frac{1}{a}\right)^{n-2}$.

(5) 原式 $=1 \div(-2)^{2} \times(-3)^{3}+(-4)^{1} \times \frac{1}{4}=1 \times \frac{1}{4} \times(-27)+(-1)=-\frac{31}{4}$.
题目（七年级 · 算术）：用符号 $M$ 表示一种运算, 它对整数和分数的运算结果分别如下:

$\mathrm{M}(1)=-2, \mathrm{M}(2)=-1, \mathrm{M}(3)=0, \mathrm{M}(4)=1 \ldots$

$\mathrm{M}\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}, \mathrm{M}\left(\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{9}, \mathrm{M}\left(\frac{1}{4}\right)=-\frac{1}{16}, \ldots$

利用以上规律计算:

(1) $\mathrm{M}(28) \times \mathrm{M}\left(\frac{1}{5}\right)$;

(2) $-1 \div \mathrm{M}(39) \div\left[-\mathrm{M}\left(\frac{1}{6}\right)\right]$.
选项：
答案：) 解: $\mathrm{M}(1)=-2, \mathrm{M}(2)=-1, \mathrm{M}(3)=0, \mathrm{M}(4)=1 \ldots$则 $M$ 对整数 $n$ 运算规律是 $n-3$,

$M\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}, M\left(\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{9}, M\left(\frac{1}{4}\right)=-\frac{1}{16}, \ldots$

则 $\mathrm{M}$ 对分数 $\frac{1}{m}$ 的运算规律是 $-\frac{1}{m^{2}}$ ，

$\therefore \mathrm{M}(28) \times \mathrm{M}\left(\frac{1}{5}\right)=(28-3) \times\left(-\frac{1}{5^{2}}\right)=-25 \times \frac{1}{25}=-1$

(2) 解: $-1 \div \mathrm{M}(39) \div\left[-\mathrm{M}\left(\frac{1}{6}\right)\right]$.

$=-1 \div(39-3) \div\left[-\left(-\frac{1}{6^{2}}\right)\right]$,

$=-1 \div 36 \div\left(\frac{1}{36}\right)$,

$=-\frac{1}{36} \times 36$,

$=-1$.
解析：) 解: $\mathrm{M}(1)=-2, \mathrm{M}(2)=-1, \mathrm{M}(3)=0, \mathrm{M}(4)=1 \ldots$则 $M$ 对整数 $n$ 运算规律是 $n-3$,

$M\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{4}, M\left(\frac{1}{3}\right)=-\frac{1}{9}, M\left(\frac{1}{4}\right)=-\frac{1}{16}, \ldots$

则 $\mathrm{M}$ 对分数 $\frac{1}{m}$ 的运算规律是 $-\frac{1}{m^{2}}$ ，

$\therefore \mathrm{M}(28) \times \mathrm{M}\left(\frac{1}{5}\right)=(28-3) \times\left(-\frac{1}{5^{2}}\right)=-25 \times \frac{1}{25}=-1$

(2) 解: $-1 \div \mathrm{M}(39) \div\left[-\mathrm{M}\left(\frac{1}{6}\right)\right]$.

$=-1 \div(39-3) \div\left[-\left(-\frac{1}{6^{2}}\right)\right]$,

$=-1 \div 36 \div\left(\frac{1}{36}\right)$,

$=-\frac{1}{36} \times 36$,

$=-1$.
题目（七年级 · 算术）：下列 8 个实数:

(1) $-3 ;$ (2) $0 ;$ (3) $\sqrt{3}$

(4) $\sqrt[3]{10} ; \quad(5) \frac{1}{3}$

(6) $-2.4 ;$ ( $7-\frac{10}{7}$;

(8) $2 \pi$

属于无理数的有: \$ \qquad \$ . (填序号)

属于负数的有: \$ \qquad \$ . (填序号)
选项：
答案：(3) (4) (8); (1) (6) (7)
解析：属于无理数的是： $\sqrt{3}, \sqrt[3]{10}$ 和 $2 \pi$,属于负数的是: $-3,-2.4,--\frac{10}{7}$.
故答案为: (3)(4) (8), (1) (6) (7).
题目（七年级 · 算术）：求下列各数的平方根.

(1) $\sqrt{256}$;

(2) $\frac{49}{81}$;

(3) $(-\sqrt{81})^{2}$.
选项：
答案：(1) 解: $\pm 4$

(2) 解: $\pm \frac{7}{9}$

(3) 解: $\pm 9$
解析：(1) $\because \sqrt{256}=16, \therefore \sqrt{256}$ 的平方根为 $\pm \sqrt{14}= \pm 4$;

(2) $\pm \sqrt{\frac{49}{81}}= \pm \frac{7}{9}$,

(3) $\because(-\sqrt{81})^{2}=81, \therefore(-\sqrt{81})^{2}=$ 的平方根为 $\pm \sqrt{81}= \pm 9$
题目（七年级 · 算术）：计算:

(1) $4-3.3+(-1.7)$

(2) $\frac{1}{18} \div\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{4}{9}\right)$

(3) $\left(-\frac{1}{2}\right) \div 8 \times(-2)^{3}$

(4) $\sqrt[3]{-27}+|\sqrt{3}-6|-(-\sqrt{3})$
选项：
答案：(1) 解: $4-3.3+(-1.7)$

$=4-3.3-1.7$

$=4-5$

$=-1$;

(2) 解: $\frac{1}{18} \div\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{4}{9}\right)=\frac{1}{18} \div \frac{5}{18}=\frac{1}{5}$;

(3) 解: $\left(-\frac{1}{2}\right) \div 8 \times(-2)^{3}=-\frac{1}{2} \times \frac{1}{8} \times(-8)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{8} \times 8=\frac{1}{2}$;

(4) 解: $\sqrt[3]{-27}+|\sqrt{3}-6|-(-\sqrt{3})=-3+6-\sqrt{3}+\sqrt{3}=3$.
解析：(1) 解: $4-3.3+(-1.7)$

$=4-3.3-1.7$

$=4-5$

$=-1$;

(2) 解: $\frac{1}{18} \div\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{4}{9}\right)=\frac{1}{18} \div \frac{5}{18}=\frac{1}{5}$;

(3) 解: $\left(-\frac{1}{2}\right) \div 8 \times(-2)^{3}=-\frac{1}{2} \times \frac{1}{8} \times(-8)=\frac{1}{2} \times \frac{1}{8} \times 8=\frac{1}{2}$;

(4) 解: $\sqrt[3]{-27}+|\sqrt{3}-6|-(-\sqrt{3})=-3+6-\sqrt{3}+\sqrt{3}=3$.
题目（七年级 · 算术）：我国数学家华罗庚在一次出国访问途中, 看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题, 求 59319 的立方根, 华罗庚脱口而出, 你知道怎样迅速准确地计算出结果的吗? 请按照下面的问题试一试:

(1) 由 $10^{3}=1000,100^{3}=1000000$, 确定 59319 的立方根是 \$ \qquad \$位数;

(2) 由 59319 的个位数是 9 , 确定 59319 的立方根的个位数是 \$ \qquad \$
（3）如果划去 59319 后面的三位 319 得到数 59 , 而 $3^{3}=27,4^{3}=64$, 由此能确定 59319 的立方根的十位数是 \$ \qquad \$ ; 所以 59319 的立方根是 \$ \qquad \$ $;$

(4) 用类似的方法, 请说出 -110592 的立方根是 \$ \qquad \$
选项：
答案：(1) 两

(2) 9

(3) $3 ; 39$

(4) -48
解析：(1) $\because 1000<59319<1000000$,

$\therefore 10<\sqrt[3]{59319}<100$

$\therefore 59319$ 的立方根是两位数,

故答案为: 两; (2) 只有个位数是 9 的立方数的个位数依然是 9 ,

$\therefore 59319$ 的立方根的个位数是 9 ,

故答案为: 9 ; ( 3 ) $\because 27<59<64$,

$\therefore 3<\sqrt[3]{59}<4$

$\therefore \sqrt[3]{59319}$ 的十位数是 3 ,

$\therefore \sqrt[3]{59319}=39$,

故答案为: 3,$39 ;(4)$ 根据上述知识可知,

$\therefore \sqrt[3]{-110592}$ 是个负两位数, 十位上的数是 4 , 个位上的数是 8 , 则

$\sqrt[3]{-110592}=-48$

故答案为: -48 ;
题目（七年级 · 算术）：先阅读下面的文字, 再回答问题:
大家知道 $\sqrt{2}$ 是无理数, 而无理数是无限不循环小数, 因此 $\sqrt{2}$ 的小数部分我们不可能全部写出来,于是小明用 $\sqrt{2}-1$ 来表示、 $\sqrt{2}$ 的小数部分, 你同意小明的表示方法吗?

事实上, 小明的表示方法是有道理的. 因为 $\sqrt{2}$ 的整数部分是 1 , 所以将 $\sqrt{2}$ 减去其整数部分, 所得的差就是 $\sqrt{2}$ 的小数部分.

例如: $\sqrt{4}<\sqrt{7}<\sqrt{9}$, 即 $2<\sqrt{7}<3$.

$\sqrt{7}$ 的整数部分为 2 , 小数部分为 $\sqrt{7}-2$.

(1) 如果 $\sqrt{5}$ 的小数部分为 $\mathrm{a}, \sqrt{13}$ 的整数部分为 $\mathrm{b}$, 求 $\mathrm{a}+\mathrm{b}-\sqrt{5}$ 的值;

(2) 已知 $10+\sqrt{3}=x+y$, 其中 $x$ 是整数, 且 $0<y<1$, 求 $x-y$ 的相反数.
选项：
答案：(1) 解: $4<5<9 . .2<\sqrt{5}<3$, $\sqrt{5}$ 的小数部分 $\mathrm{a}=\sqrt{5}-2$.

$9<13<16$,

$3<\sqrt{13}<4$,

$\sqrt{13}$ 的整数部分 $b=3$.

$\therefore \mathrm{a}+6-\sqrt{5}=\sqrt{5}-2+3-\sqrt{5}=1$

(2) 解: $\because 1<3<4$. $\therefore 1<\sqrt{3}<2$,

$\because$ 的整数部分是 1 , 小数部分是 $\sqrt{3}-1$,

$\therefore \mathrm{x}+\mathrm{y}=10+\sqrt{3}=10+1+(\sqrt{3}-1)=11+(\sqrt{3}-1)$.

又 $\because \mathrm{x}$ 是整数, 且 $0<\mathrm{y}<1, \therefore \mathrm{x}=11, \mathrm{y}=\sqrt{3}-1$.

$\therefore x-y=11-(\sqrt{3}-1)=12-\sqrt{3}$,

$\therefore \mathrm{x}-\mathrm{y}$ 的相反数为 $\sqrt{3}-12$.
解析：(1) 解: $4<5<9 . .2<\sqrt{5}<3$, $\sqrt{5}$ 的小数部分 $\mathrm{a}=\sqrt{5}-2$.

$9<13<16$,

$3<\sqrt{13}<4$,

$\sqrt{13}$ 的整数部分 $b=3$.

$\therefore \mathrm{a}+6-\sqrt{5}=\sqrt{5}-2+3-\sqrt{5}=1$

(2) 解: $\because 1<3<4$. $\therefore 1<\sqrt{3}<2$,

$\because$ 的整数部分是 1 , 小数部分是 $\sqrt{3}-1$,

$\therefore \mathrm{x}+\mathrm{y}=10+\sqrt{3}=10+1+(\sqrt{3}-1)=11+(\sqrt{3}-1)$.

又 $\because \mathrm{x}$ 是整数, 且 $0<\mathrm{y}<1, \therefore \mathrm{x}=11, \mathrm{y}=\sqrt{3}-1$.

$\therefore x-y=11-(\sqrt{3}-1)=12-\sqrt{3}$,

$\therefore \mathrm{x}-\mathrm{y}$ 的相反数为 $\sqrt{3}-12$.
题目（七年级 · 算术）：计算:

(1) $-15-(-5)-(+8)+(-34)$;

(2) $\left(-\frac{5}{9}-\frac{7}{12}+\frac{5}{6}\right) \times 36$

(3) $-2^{2}-5 \div\left(-\frac{1}{3}\right) \times(-3)+(-3)^{2} \div\left(-\frac{2}{3}\right)$;

(4) $\left[-\frac{7}{18} \times \frac{5}{8}+\left(-1 \frac{3}{4}\right)^{2} \times\left(-\frac{5}{9}\right)+\frac{5}{9} \times\left(-\frac{3}{2}\right)^{3}\right] \div\left(\frac{11}{2}\right)$.
选项：
答案：(1) 解：原式 $=-15+5-8-34$

$=-10-42$

$=-52$

(2) 解: 原式 $=-\frac{5}{9} \times 36-\frac{7}{12} \times 36+\frac{5}{6} \times 36$

$=-20-21+30$

$=-41+30$

$=-11$;

(3) 解：原式 $=-4-5 \times(-3) \times(-3)+9 \times\left(-\frac{3}{2}\right)$

$=-4-45-\frac{27}{2}$

$=-62 \frac{1}{2}$

(4) 解: 原式 $=\left[-\frac{35}{144}+\frac{49}{16} \times\left(-\frac{5}{9}\right)+\frac{5}{9} \times\left(-\frac{27}{8}\right)\right] \times\left(-\frac{2}{11}\right)$

$=\left(-\frac{35}{144}-\frac{245}{144}-\frac{15}{8}\right) \times\left(-\frac{2}{11}\right)$

$=-\frac{550}{144} \times\left(-\frac{2}{11}\right)$

$=\frac{25}{36}$.
解析：(1) 解：原式 $=-15+5-8-34$

$=-10-42$

$=-52$

(2) 解: 原式 $=-\frac{5}{9} \times 36-\frac{7}{12} \times 36+\frac{5}{6} \times 36$

$=-20-21+30$

$=-41+30$

$=-11$;

(3) 解：原式 $=-4-5 \times(-3) \times(-3)+9 \times\left(-\frac{3}{2}\right)$

$=-4-45-\frac{27}{2}$

$=-62 \frac{1}{2}$

(4) 解: 原式 $=\left[-\frac{35}{144}+\frac{49}{16} \times\left(-\frac{5}{9}\right)+\frac{5}{9} \times\left(-\frac{27}{8}\right)\right] \times\left(-\frac{2}{11}\right)$

$=\left(-\frac{35}{144}-\frac{245}{144}-\frac{15}{8}\right) \times\left(-\frac{2}{11}\right)$

$=-\frac{550}{144} \times\left(-\frac{2}{11}\right)$

$=\frac{25}{36}$.
题目（七年级 · 算术）：若一个数 $m$ 的两个不同的平方根是 $2 a+22$ 和 $3 a-7$.

(1) 求这个数 $m$;

(2) 求 $\sqrt{19+a}$ 的平方根.
选项：
答案：(1) 解：因为这个数的平方根是 $2 \mathrm{a}+22$ 和 $3 a-7$,所以 $2 \mathrm{a}+22+3 \mathrm{a}-7=0$.

所以 $a=-3$.
所以这个数 $m=(3 a-7)^{2}=[3 \times(-3)-7]^{2}=256$

（2）解：当 $\mathrm{a}=-3$ 时， $\sqrt{19+a}=\sqrt{19-3}=4$,

又因为 4 的平方根是 $\pm 2$,

所以 $\sqrt{19+a}$ 的平方根是 $\pm 2$.
解析：(1) 解：因为这个数的平方根是 $2 \mathrm{a}+22$ 和 $3 a-7$,所以 $2 \mathrm{a}+22+3 \mathrm{a}-7=0$.

所以 $a=-3$.
所以这个数 $m=(3 a-7)^{2}=[3 \times(-3)-7]^{2}=256$

（2）解：当 $\mathrm{a}=-3$ 时， $\sqrt{19+a}=\sqrt{19-3}=4$,

又因为 4 的平方根是 $\pm 2$,

所以 $\sqrt{19+a}$ 的平方根是 $\pm 2$.