eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（七年级 · 算术）：甲、乙两厂生产同一种水泥, 都计划把全年的水泥销往开州, 这样两厂的水泥就能占有开州市场同类水泥的 $\frac{4}{5}$ 然而实际情况并不理想, 甲厂仅有 $\frac{1}{2}$ 的水泥、乙厂仅有 $\frac{2}{3}$ 的水泥销到了开州, 两厂的水泥仅占了开州市场同类水泥的 $\frac{1}{2}$, 则甲厂该水泥的年产量与乙厂该水泥的年产量的比为
选项：
答案：$1: 3$
解析：设甲厂该水泥的年产量为 $a$, 乙厂该水泥的年产量 $b$,

$(a+b) \div \frac{4}{5}=\left(\frac{1}{2} a+\frac{2}{3} b\right) \div \frac{1}{2}$,

解得, $\frac{a}{b}=\frac{1}{3}$,

即甲厂该水泥的年产量与乙厂该水泥的年产量的比为 $1: 3$,

故答案为: $1: 3$.
题目（七年级 · 算术）：（2021・梓潼县模拟）若 $3^{a} \cdot 3^{b}=27,\left(3^{a}\right)^{b}=3$, 则 $a^{2}+b^{2}=$ \$ \qquad \$ .
选项：
答案：7 .
解析：根据同底数幂的乘法法则得出 $a+b=3$, 根据积的乘方运算法则得出 $a b=1$, 再根据完全平方公式解答即可.

【答案】解: $\because 3^{a} \cdot 3^{b}=3^{a+b}=27=3^{3}, \therefore a+b=3$,

$\because\left(3^{a}\right)^{b}=3, \quad \therefore a b=1, \quad \therefore a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2 a b=3^{2}-2=7$. 故答案为: 7 .

【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、完全平方公式以及幂的乘方与积的乘方, 熟记幂的运算法则是解答本题的关键.
题目（七年级 · 算术）：已知 $2 x+3 y-1=0$, 则 $9^{x} \cdot 27^{y}$ 的值为
选项：
答案：3
解析：由 $2 x+3 y-1=0$ 得 $2 x+3 y=1$,

$\therefore 9^{x} \cdot 2^{y}=3^{2 x} \cdot 3^{3 y}=3^{2 x+3 y}=3^{1}=3$.

由 $2 x+3 y-1=0$ 可得 $2 x+3 y=1$, 再根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则把 $9^{x} \cdot 27^{y}$ 化为 $3^{2 x \cdot 3^{3 y}=3^{2 x+3 y}}$ 解答即可.
题目（七年级 · 算术）：$\left(3^{2}+1\right)\left(3^{4}+1\right)\left(3^{8}+1\right) \cdots\left(3^{64}+1\right) \times 8+1=$
选项：
答案：$3^{128}$
解析：$\left(3^{2}+1\right)\left(3^{4}+1\right)\left(3^{8}+1\right) \cdots\left(3^{64}+1\right) \times 8+1$

$=\frac{3^{2}-1}{3^{2}-1} \times\left(3^{2}+1\right) \quad\left(3^{4}+1\right) \quad\left(3^{8}+1\right) \cdots\left(3^{64}+1\right) \times 8+1$

$=\left(3^{2}-1\right)\left(3^{2}+1\right)\left(3^{4}+1\right) \quad\left(3^{8}+1\right) \cdots\left(3^{64}+1\right)+1$

$=3^{128}-1+1$

$=3^{128}$
题目（七年级 · 算术）：若 $n$ 满足 $(n-1)^{n+2}=1$, 则整数 $n$ 的值是
选项：
答案：-2 或 0 或 2
解析：考查了有理数的乘方, 解题的关键是: 分三种情况讨论, (1)任意非 0 数的 0 次幂为 1 ; (2)-1 的偶次方为 1 ; (3) 1 的任意次方为 1 .

解: (1)当 $n+2=0$ 时, $n=-2$, 此时 $n-1=-3$,

$\because$ 任意非 0 数的 0 次幂为 1 ,

$\therefore(n-1)^{n+2}=1$.

(2)当 $n-1=-1$ 时, $n=0$, 此时 $n+2=2$,

$\because(-1)^{2}=1$,

$\therefore(n-1)^{n+2}=1$.

(3)当 $n-1=1$ 时, $n=2$,

$\because 1$ 的任意次方为 1 ,

$\therefore(n-1)^{n+2}=1$.

综合(1)(2)(3)可知, 满足 $(n-1)^{n+2}=1$ 的整数 $n$ 的值是 $-2,0,2$.
题目（七年级 · 算术）：计算 $(-2)^{2019}+(-2)^{2018}$ 的结果为
选项：
答案：$-2^{2018}$
解析：解: $(-2)^{2019}+(-2)^{2018}=(-2) \times(-2)^{2018}+(-2)^{2018}=(-2)^{2018} \times(-2+1)=-2^{2018}$.
题目（七年级 · 算术）：设 $a=19^{2} \times 918, b=888^{2}-30^{2}, c=1053^{2}-747^{2}$, 则数 $a 、 b 、 c$ 按从小到大的顺序排列是 .
选项：
答案：$a<c<b$
解析：$\because a=19^{2} \times 918=361 \times 918$,

$b=888^{2}-30^{2}=(888-30) \times(888+30)=858 \times 918$,

$c=1053^{2}-747^{2}=(1053+747) \times(1053-747)=1800 \times 306=600 \times 918$,

$\therefore a<c<b$.

故答案为 $a<c<b$.
题目（七年级 · 算术）：如果把分式 $\frac{2 x}{x-y}$ 中的 $x, y$ 都扩大 3 倍, 分式的值 \$ \qquad \$
选项：
答案：不变
解析：分别用 $3 x$ 和 $3 y$ 去代换原分式中的 $x$ 和 $y$,

得 $\frac{6 x}{3 x-3 y}=\frac{2 x}{x-y}$,

可见新分式与原分式的值相等.

故答案为: 不变.
题目（七年级 · 算术）：若分式 $\frac{a+3}{a+1}$ 的值是整数, 则整数 $a$ 的值是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：0 或 1 或 -2
解析：$\frac{a+3}{a+1}=1+\frac{2}{a+1}$,

当 $a+1=1$ 或 -2 或 -3 时, $\frac{2}{a+1}$ 是整数, 即原式是整数.

当 $a+1=1$ 或 $\pm 2$ 时， $a$ 的值是 0 或 1 或 -3 ,

故答案为: 0 或 1 或 -3 .
题目（七年级 · 算术）：2019 年 10 月 1 日的建国 70 周年庆典上, 有多国领导人出席观看了我国盛大的阅兵仪式. 为表示友好, 我国政府选择将刺绣和陶瓷两类工艺品作为国礼赠送给所有的来宾. 甲, 乙两个工厂分别承接了制作 $A, B$ 两种刺绣与 $C$ 种陶瓷的任务. 甲工厂安排 100 名工人制作刺绣, 每人只能制作其中一种刺绣, 乙工厂安排 50 名工人制作 $C$ 种孫瓷. $A$ 的人均制作数量比 $B$ 的人均制作数量少 3 件, $C$ 的人均制作量比 $A$ 的人均制作量少 $20 \%$. 若本次赠送的国礼 $(A, B, C$ 三样礼品)的人均制作数量比 $B$ 的人均制作数量少 $30 \%$, 且 $A$ 的人均制作数量为偶数件, 则本次赠送的国礼共制作了件.
选项：
答案：945
解析：设 $A$ 的制作量为 $A_{1}, B$ 的制作量为 $B_{1}, C$ 的制作量为 $C_{1}$, 有 $a$ 个工人做 $A$ 刺绣, 则 $(100-a)$ 个工人做 $B$ 刺绣,

则: $\frac{A_{1}}{a}+3=\frac{B_{1}}{100-a}, B_{1}=(100-a)\left(\frac{A_{1}}{a}+3\right)$,

$\frac{C_{1}}{50}=\frac{A_{1}}{a} \times(1-20 \%), \quad C_{1}=40 \times \frac{A_{1}}{a}, \frac{A_{1}+B_{1}+C_{1}}{150}=\frac{B_{1}}{100-a} \times(1-30 \%)$,

$A_{1}+(100-a)\left(\frac{A_{1}}{a}+3\right)+40 \times \frac{A_{1}}{a}=\left(\frac{A_{1}}{a}+3\right) \times 105$,

化简得: $35 \times \frac{A_{1}}{a}=15+3 a=3(5+a)$,

$\because a<100, \therefore 35 \times \frac{A_{1}}{a}<315, \frac{A_{1}}{a}<9, \because \frac{A_{1}}{a}$ 为偶数, 且能被 3 整除,
$\therefore \frac{A_{1}}{a}=6$, 则 $a=65,100-a=35$,

故 $A_{1}=390, B_{1}=315, C_{1}=240$,

$A_{1}+B_{1}+C_{1}=945$

故答案为 945 .
题目（七年级 · 度量几何学）：计算 $90^{\circ}-29^{\circ} 18^{\prime}$ 的结果是
选项：
答案：$60^{\circ} 42^{\prime}$
解析：$90^{\circ}-29^{\circ} 18^{\prime}=89^{\circ} 60^{\prime}-29^{\circ} 18^{\prime}=60^{\circ} 42^{\prime}$.

故答案为: $60^{\circ} 42^{\prime}$.
题目（七年级 · 度量几何学）：三角板摆放在一起的示意图如下, 若 $\angle 1=55^{\circ}$, 则 $\angle 2$ 的度数是


选项：
答案：$35^{\circ}$
解析：由题意得: $\angle 1+\angle 2=90^{\circ}$, $\therefore \angle 2=90^{\circ}-\angle 1=90^{\circ}-55^{\circ}=35^{\circ}$.

故答案为: $35^{\circ}$.
题目（七年级 · 度量几何学）：, 点 $\mathrm{C}$ 是线段 $\mathrm{AB}$ 上一点, $\mathrm{AC}=10 \mathrm{~cm}, \mathrm{CB}=5 \mathrm{~cm}, \mathrm{M}, \mathrm{N}$ 分别是 $\mathrm{AC}, \mathrm{BC}$ 的中点. 则线段 $\mathrm{MN}=$ \$ \qquad \$ .


选项：
答案：$7.5 \mathrm{~cm}$
解析：$\mathrm{AC}=10 \mathrm{~cm}, \mathrm{CB}=5 \mathrm{~cm}, \mathrm{M}, \mathrm{N}$ 分别是 $\mathrm{AC}, \mathrm{BC}$ 的中点,

所以, $C M=\frac{1}{2} A C=5 \mathrm{~cm}, C N=\frac{1}{2} C B=2.5 \mathrm{~cm}$,

所以 $M N=C M+C N=7.5 \mathrm{~cm}$,

故答案为: $7.5 \mathrm{~cm}$
题目（七年级 · 度量几何学）：如图, 将一副三角尺的直角顶点 $\mathrm{O}$ 重合在一起. 若 $\angle \mathrm{COB}$ 与 $\angle \mathrm{DOA}$ 的比是 2: 7, OP 平分 $\angle \mathrm{DOA}$, 则 $\angle \mathrm{POC}=$ \$ \qquad \$度.


选项：
答案：20
解析：$\because \angle C O B+\angle D O A=\angle C O B+\angle C O A+\angle C O B+\angle D O B$

$$
=\angle A O B+\angle C O D=180^{\circ}
$$

又 $\because \angle C O B$ 与 $\angle D O A$ 的比是 $2: 7$,

$\therefore \angle D O A=180^{\circ} \times \frac{7}{2+7}=140^{\circ}$,

$\because O P$ 平分 $\angle D O A$,

$\therefore \angle D O P=70^{\circ}$,

$\therefore \angle P O C=20^{\circ}$.

故答案为: 20 .
题目（七年级 · 度量几何学）：把弯曲的河道改直, 能够缩短航程, 这样做根据的道理是 \$ \qquad \$
选项：
答案：两点之间, 线段最短
解析：把弯曲的河道改直, 能够缩短航程, 这样做根据的道理是两点之间, 线段最短,故答案为: 两点之间, 线段最短.
题目（七年级 · 度量几何学）：$\angle \alpha=10^{\circ} 45^{\prime}$, 则 $\angle \alpha$ 的余角等于 \$ \qquad \$
选项：
答案：$79^{\circ} 15^{\prime}$
解析：$\because \angle \alpha=10^{\circ} 45^{\prime}$,

$\therefore \angle \alpha$ 的余角等于: $90^{\circ}-10^{\circ} 45^{\prime}=79^{\circ} 15^{\prime} ;$

故答案为: $79^{\circ} 15^{\prime}$.
题目（七年级 · 度量几何学）：已知 $\angle A O B$, 过 $\mathrm{O}$ 点作 $\mathrm{OC}$, 若 $\angle A O C=\frac{1}{2} \angle A O B$, 且 $\angle A O C=35^{\circ}$, 则 $\angle B O C=$ \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$35^{\circ}$ 或 $105^{\circ}$
解析：分三种情况进行讨论:

(1) 当点 $\mathrm{C}$ 在 $\angle A O B$ 内部, 如图所示:



$\because \angle A O C=\frac{1}{2} \angle A O B$, 且 $\angle A O C=35^{\circ}$,
$\therefore \angle A O B=70^{\circ}$,

$\therefore \angle B O C=\angle A O B-\angle A O C=35^{\circ}$

(2) 当点 $\mathrm{C}$ 在 $\mathrm{OA}$ 边的外侧时, 如图所示:



$\because \angle A O C=\frac{1}{2} \angle A O B$, 且 $\angle A O C=35^{\circ}$,

$\therefore \angle A O B=70^{\circ}$,

$\therefore \angle B O C=\angle A O B+\angle A O C=105^{\circ}$

(3) 当点 $\mathrm{C}$ 在 $\mathrm{OB}$ 边的外侧时, 如图所示:



$\because \angle A O C=\frac{1}{2} \angle A O B$,

$\therefore$ 此种情况不符合题意, 舍去;

综上可得: $\angle B O C=35^{\circ}$ 或 $\angle B O C=105^{\circ}$,

故答案为: $35^{\circ}$ 或 $105^{\circ}$.
题目（七年级 · 度量几何学）：如图, 点 $A, B$ 是直线 $l$ 上的两点, 点 $C, D$ 在直线 $l$ 上且点 $C$ 在点 $D$ 的左侧, 点 $D$ 在点 $B$ 的右侧, $A C: C B=2: 1, B D: A B=3: 2$. 若 $C D=11$, 则 $A B=$


选项：
答案：6 或 22
解析：$\because A C: C B=2: 1$,

$\therefore$ 点 $\mathrm{C}$ 不可能在 $\mathrm{A}$ 的左侧,

如图 1, 当 $\mathrm{C}$ 点在 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 之间时,



图1

设 $\mathrm{BC}=\mathrm{k}$ ，

$\because \mathrm{AC}: \mathrm{CB}=2: 1, \mathrm{BD}: \mathrm{AB}=3: 2$,

则 $\mathrm{AC}=2 \mathrm{k}, \mathrm{AB}=3 \mathrm{k}, \mathrm{BD}=\frac{9}{2} \mathrm{k}$,

$\therefore \mathrm{CD}=\mathrm{k}+\frac{9}{2} \mathrm{k}=\frac{11}{2} \mathrm{k}$,

$\because \mathrm{CD}=11$

$\therefore \frac{11}{2} \mathrm{k}=11$,

$\therefore \mathrm{k}=2$,

$\therefore \mathrm{AB}=6$

如图 2, 当 $\mathrm{C}$ 点在点 $\mathrm{B}$ 的右侧时,



图2

设 $\mathrm{BC}=\mathrm{k}$ ，

$\because \mathrm{AC}: \mathrm{CB}=2: 1, \mathrm{BD}: \mathrm{AB}=3: 2$,

则 $\mathrm{AC}=2 \mathrm{k}, \mathrm{AB}=\mathrm{k}, \mathrm{BD}=\frac{3}{2} \mathrm{k}$,

$\therefore \mathrm{CD}=\frac{3}{2} \mathrm{k}-\mathrm{k}=\frac{1}{2} \mathrm{k}$,

$\because \mathrm{CD}=11$

$\therefore \frac{1}{2} \mathrm{k}=11$,

$\therefore \mathrm{k}=22$

$\therefore \mathrm{AB}=22$

$\therefore$ 综上所述, $\mathrm{AB}=6$ 或 22 .

故答案为: 6 或 22 .
题目（七年级 · 度量几何学）：若数轴上点 $\mathrm{A}$ 对应的数为 -1 , 则与 $\mathrm{A}$ 点相距 3 个单位长度的点所对应的数为 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：2 或-4
解析：数轴上点 $\mathrm{A}$ 对应的数为 -1 , 则与 $\mathrm{A}$ 点相距 3 个单位长度的点所对应的数为 $-1+3=2$ 或 $-1-3=-$ 4.

故答案为: 2 或 -4 .
题目（七年级 · 度量几何学）：, 以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形, 以表示数 2 的点为圆心, 正方形对角线长为半径画半圆, 交数轴于点 $\mathrm{A}$ 和点 $\mathrm{B}$, 则点 $\mathrm{B}$ 表示的数是 \$ \qquad \$


选项：
答案：$2+\sqrt{2}$
解析：由图可知, 正方形的边长是 1 , 所以, 对角线是 $\sqrt{2}$, 所以, 点 $\mathrm{A}$ 表示的数是 $2-\sqrt{2}$;点 $\mathrm{B}$ 表示的数是 $2+\sqrt{2}$. 故答案为 $2-\sqrt{2}, 2+\sqrt{2}$.

【分析】根据题意正方形的边长为 1 一个单位长度，对角线长为 $\sqrt{2}$ 个单位长度，根据同圆的半径相等得出 $A, B$ 两点到数字 2 所在的点的距离都是 $\sqrt{2}$ 个单位长度, 故 $\mathrm{OA}=2-\sqrt{2}, \mathrm{OB}=2+\sqrt{2}$, 根据数轴上的点所表示数的特点, 原点右边表示的数都是正数, 从而得出答案。
题目（七年级 · 度量几何学）：$A 、 B 、 C 、 D$ 在数轴上的位置如图所示, 则 -3 的相反数所对应的点是


选项：
答案：A
解析：$\because-3$ 的相反数是 3

$\therefore-3$ 的相反数 3 对应的点是 A .

故答案为: A
题目（七年级 · 度量几何学）：已知有理数 $a, b, c$ 在数轴上对应的点的位置如图所示, 化简 $|a+c|-|b-a|+\mid b-$ $c \mid=$ \$ \qquad \$ .


选项：
答案：$-2 b$
解析：由数轴可得,

$\mathrm{a}<\mathrm{b}<0<\mathrm{c}, \quad|\mathrm{a}|>|\mathrm{c}|,|\mathrm{b}|<|\mathrm{c}|$

$\therefore \mathrm{a}+\mathrm{c}<0, \mathrm{~b}-\mathrm{a}>0, \mathrm{~b}-\mathrm{c}<0$,

$\therefore|a+c|-|b-a|+|b-c|$

$=-(a+c)-(b-a)+(-b+c)$

$=-a-c-b+a-b+c$

$=-2 b$

故答案为: $-2 b$.
题目（七年级 · 度量几何学）：如图, 数轴上的点 $\mathrm{A}$ 表示有理数 $\mathrm{a}$, 若点 $\mathrm{A}$ 到原点 $\mathrm{O}$ 的距离大于 1 , 则 $|\mathrm{a}+1|=$


选项：
答案：-a-1a
解析：由题意知 $\mathrm{a}$ 是负数, 且 $|a|>1$,

$\therefore \mathrm{a}+1<0$,

$\therefore|a+1|=-a-1$,

故答案为: $-a-1$.
题目（七年级 · 度量几何学）：(2022 - 浙江七年级期中) 已知 $\angle \beta$ 的一边与 $\angle \alpha$ 的一边平行, $\angle \beta$ 的另一边与 $\angle \alpha$ 的另一边垂直,若 $\angle \alpha=53^{\circ}$, 则 $\angle \beta=$ \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$143^{\circ}$ 或 $37^{\circ}$
解析：分 $A B / / C F, E F \perp B D$ 和 $A B / / C F, E F \perp B D$ 两种情况, 画出图形, 根据平行线的性质和垂直的定义求解.

【详解】 解：如图 $1, A B / / C F, E F \perp B D, \because A B / / C F, \therefore \angle C F D=\angle \alpha=53^{\circ}$,

$\because E F \perp B D, \quad \therefore \angle D F E=90^{\circ}, \quad \therefore \angle \beta=\angle C F D+\angle D F E=53^{\circ}+90^{\circ}=143^{\circ} ;$

如图 2, $A B / / C F, E F \perp B D, \because A B / / C F, \therefore \angle C F D=\angle \alpha=53^{\circ}$,

$\because E F \perp B D, \quad \therefore \angle E F D=90^{\circ}, \quad \therefore \angle \beta=\angle E F D-\angle C F D=90^{\circ}-53^{\circ}=37^{\circ}$;故答案为: $143^{\circ}$ 或 $37^{\circ}$.



图 1



图 2

【点睛】本题考查了平行线的性质, 垂直的定义, 解题的关键是根据题意画出图形, 分类讨论求出结果.
题目（七年级 · 度量几何学）：（2022$\cdot$浙江杭州市$\cdot$七年级期末）在长方形 $A B C D$ 中放入六个长、宽都相同的小长方形, 所标尺寸如图所示, 则小长方形的宽 $C E$ 为 $\mathrm{cm}$.


选项：
答案：2
解析：设小长方形的宽 $\mathrm{CE}$ 为 $x \mathrm{~cm}$, 小长方形的长是 $y \mathrm{~cm}$, 根据长方形 $\mathrm{ABCD}$ 的长和宽列出方程组 $\left\{\begin{array}{l}5+2 x=x+y \\ 3 x+y=13\end{array}\right.$ 求解.

【详解】解：设小长方形的宽 $\mathrm{CE}$ 为 $x \mathrm{~cm}$ ，小长方形的长是 $y \mathrm{~cm}$ ，根据图形, 大长方形的宽可以表示为 $5+2 x$, 或者 $x+y$, 则 $5+2 x=x+y$,大长方形的长可以表示为 $3 x+y ，$ 则 $3 x+y=13 ，$
$\left\{\begin{array}{l}5+2 x=x+y \\ 3 x+y=13\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=7\end{array}\right.$. 故答案是: 2 .

【点睛】本题考查二元一次方程组的应用, 解题的关键是找到等量关系列出方程组求解.
题目（七年级 · 度量几何学）：（2021- 浙江七年级月考） 如图, 正方形卡片 A 类, B 类和长方形卡片 C 类若干张, 如果要拼一个长为 $(a+2 b)$, 宽为 $(3 a+b)$ 的大长方形, 则需要 $C$ 类卡片张.

选项：
答案：7
解析：先求大长方形的面积，然后 $\mathrm{ab}$ 的系数即为 $\mathrm{C}$ 类卡片的张数.

【详解】解: $\because(a+2 b)(3 a+b)=3 a^{2}+7 a b+b^{2} \therefore$ 需 C 类卡片 7 张．故答案为 7 .

【点睛】本题考查了用面积来表示多项式乘多项式乘法, 掌握多项式乘法与纸片面积直角的关系是解答本题的关键.
题目（七年级 · 度量几何学）：（2022-浙江杭州市$\cdot$七年级其他模拟）如图, 在 $\triangle A B C$ 中, D, E, F 分别是 $B C, A C, A B$ 上的点, 且 $\angle C D E=\angle B . F D$ 把 $\angle B F E$ 分成 2:3的两部分. $\angle F D E+3 \angle A F E=180^{\circ}$, 则 $\angle B F E$ 的度数是


选项：
答案：$\frac{1800}{13}$ 或 $150^{\circ}$
解析：分 $\angle \mathrm{BFD}: \angle \mathrm{DFE}=2: 3$ 和 $\angle \mathrm{DFE}: \angle \mathrm{BFD}=2: 3$ 两种情况分别求解.

【详解】解: $\because F D$ 把 $\angle B F E$ 分成 $2: 3$ 的两部分, $\therefore$ (1) $\angle \mathrm{BFD}: \angle \mathrm{DFE}=2: 3$ 时,设 $\angle \mathrm{BFD}=2 \mathrm{x}, \angle \mathrm{DFE}=3 \mathrm{x}, \therefore \angle \mathrm{AFE}=180-5 \mathrm{x}, \because \angle \mathrm{CDE}=\angle \mathrm{B}, \therefore \mathrm{DE} / / \mathrm{AB}, \therefore \angle \mathrm{BFD}=\angle \mathrm{FDE}=2 \mathrm{x}$,又 $\because \angle \mathrm{FDE}+3 \angle \mathrm{AFE}=180^{\circ}$, 即 $2 \mathrm{x}+3(180-5 \mathrm{x})=180$, 解得: $\mathrm{x}=\frac{360}{13} ， \therefore \angle \mathrm{BFE}=5 \mathrm{x}=\frac{1800}{13}$ 。;

(2) $\angle \mathrm{DFE}: \angle \mathrm{BFD}=2: 3$ 时, 设 $\angle \mathrm{BFD}=3 \mathrm{x}, \angle \mathrm{DFE}=2 \mathrm{x}, \therefore \angle \mathrm{AFE}=180-5 \mathrm{x}$,

$\because \angle \mathrm{CDE}=\angle \mathrm{B}, \quad \therefore \mathrm{DE} / / \mathrm{AB}, \quad \therefore \angle \mathrm{BFD}=\angle \mathrm{FDE}=3 \mathrm{x}$,

又 $\because \angle \mathrm{FDE}+3 \angle \mathrm{AFE}=180^{\circ}$, 即 $3 \mathrm{x}+3(180-5 \mathrm{x})=180$, 解得: $\mathrm{x}=30, \therefore \angle \mathrm{BFE}=5 \mathrm{x}=150^{\circ}$,



【点睛】本题考查了平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，分类讨论解决问
题，属于中考常考题型.
题目（七年级 · 度量几何学）：（2021-浙江宁波市$\cdot$七年级期末）一副三角板按图 1 的形式摆放, 把含 $45^{\circ}$ 角的三角板固定, 含 $30^{\circ}$ 角的三角板绕直角顶点逆时针旋转, 设旋转的角度为 $\alpha\left(0^{\circ}<\alpha<180^{\circ}\right)$. 在旋转过程中, 当两块三角板有两边平行时, $\alpha$ 的度数为



(图 1)



(图 2)
选项：
答案：$30^{\circ}$ 或 $45^{\circ}$ 或 $120^{\circ}$ 或 $135^{\circ}$ 或 $165^{\circ}$
解析：分五种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算即可得到 $\angle \alpha$ 的度数.

【详解】解: (1) 当 $\mathrm{CD} / / \mathrm{OB}$ 时, $\angle \alpha=\angle \mathrm{D}=30^{\circ}$


(2) 当 $\mathrm{OC} / / \mathrm{AB}$ 时, $\angle \mathrm{OEB}=\angle \mathrm{COD}=90^{\circ}$, 此时 $\angle \alpha=90^{\circ}-\angle \mathrm{B}=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$

(3)当 $\mathrm{DC} / / \mathrm{OA}$ 时, $\angle \mathrm{DOA}=\angle \mathrm{D}=30^{\circ}$, 此时 $\angle \alpha=\angle \mathrm{AOB}+\angle \mathrm{AOD}=90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}$


(4)当 $\mathrm{OD} / / \mathrm{AB}$ 时, $\angle \mathrm{AOD}=\angle \mathrm{A}=45^{\circ}$, 此时 $\angle \alpha=\angle \mathrm{A}+\angle \mathrm{AOD}=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}$

(5)当 $\mathrm{CD} / / \mathrm{AB}$ 时, 延长 $\mathrm{BO}$ 交 $\mathrm{CD}$ 于点 $\mathrm{E}$, 则 $\angle C E O=\angle B=45^{\circ}$

$\therefore \angle \mathrm{DEO}=180^{\circ}-\angle \mathrm{CEO}=135^{\circ} \therefore \angle \mathrm{DOE}=180^{\circ}-\angle \mathrm{DEO}-\angle \mathrm{D}=15^{\circ}$

此时 $\angle \alpha=180^{\circ}-\angle \mathrm{DOE}=180^{\circ}-15^{\circ}=165^{\circ}$



综上, 在旋转过程中, 当两块三角板有两边平行时, $\alpha$ 的度数为 $30^{\circ}$ 或 $45^{\circ}$ 或 $120^{\circ}$ 或 $135^{\circ}$ 或 $165^{\circ}$

【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用. 在旋转过程中, 注意分情况讨论是解题关键.
题目（七年级 · 度量几何学）：如图, 把两个大小一样的直角三角形重叠在一起, 将其中一个三角形沿着点 $B$ 到 $C$ 方向平移到三角形 $\mathrm{DEF}$的位置, $\mathrm{AB}=9, \mathrm{DH}=3$, 平移距离为 4 , 则阴影


部分的面积是 $\qquad$ .
选项：
答案：【答案】 30

【解析】

【分析】

本题考查了平移的性质, 对应点连线的长度等于平移距离, 平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状, 熟记各性质并判断出阴影部分面积等于梯形 $A B E H$ 的面积是解题的关键. 先判断出阴影部分面积等于梯形 $A B E H$ 的面积, 再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得 $D E=A B$, 然后求出 $H E$, 根据平移的距离求出 $B E=4$, 然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解.

【解答】

解: $\because \triangle A B C$ 沿着点 $B$ 到点 $C$ 的方向平移到 $\triangle D E F$ 的位置,

$\therefore S_{\triangle A B C}=S_{\triangle D E F}, \quad D E=A B=9, \quad B E=4$,

$\therefore$ 阴影部分面积等于梯形 $A B E H$ 的面积,
$\because A B=9, \quad D H=3$,

$\therefore H E=D E-D H=9-3=6$,

$\therefore$ 阴影部分的面积 $=\frac{1}{2} \times(6+9) \times 4=30$.

故答案为: 30 .
解析：【答案】 30

【解析】

【分析】

本题考查了平移的性质, 对应点连线的长度等于平移距离, 平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状, 熟记各性质并判断出阴影部分面积等于梯形 $A B E H$ 的面积是解题的关键. 先判断出阴影部分面积等于梯形 $A B E H$ 的面积, 再根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得 $D E=A B$, 然后求出 $H E$, 根据平移的距离求出 $B E=4$, 然后利用梯形的面积公式列式计算即可得解.

【解答】

解: $\because \triangle A B C$ 沿着点 $B$ 到点 $C$ 的方向平移到 $\triangle D E F$ 的位置,

$\therefore S_{\triangle A B C}=S_{\triangle D E F}, \quad D E=A B=9, \quad B E=4$,

$\therefore$ 阴影部分面积等于梯形 $A B E H$ 的面积,
$\because A B=9, \quad D H=3$,

$\therefore H E=D E-D H=9-3=6$,

$\therefore$ 阴影部分的面积 $=\frac{1}{2} \times(6+9) \times 4=30$.

故答案为: 30 .
题目（七年级 · 度量几何学）：如图, 当风车的一片叶子 $A B$ 旋转到与地面 $M N$ 平行时,叶子 $C D$ 所在的直线与地面 $M N$ $\qquad$ , 理由是 $\qquad$ .


选项：
答案：解【答案】相交; 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行

解: 当风车的一片叶子 $A B$ 旋转到与地面 $M N$ 平行时, 叶子 $C D$ 所在的直线与地面 $M N$ 相交,理由是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
解析：解【答案】相交; 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行

解: 当风车的一片叶子 $A B$ 旋转到与地面 $M N$ 平行时, 叶子 $C D$ 所在的直线与地面 $M N$ 相交,理由是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
题目（七年级 · 度量几何学）：如图, 将木条 $a, b, c$ 钉在一起, $\angle 1=50^{\circ}, \angle 2=70^{\circ}$. 当木条 $a$ 按顺时针方向至少旋转 $\qquad$度时, $a / / b$.


选项：
答案：解【答案】 20
解析：解【答案】 20
题目（七年级 · 度量几何学）：如图, $A B / / C D, E F$ 分别与 $A B, C D$ 交于点 $B, F$.若 $\angle E=30^{\circ}, \angle E F C=130^{\circ}$, 则 $\angle A=$ $\qquad$ .


选项：
答案：解【答案】 $20^{\circ}$

【解析】解: $\because A B / / C D$,

$\therefore \angle A B F+\angle E F C=180^{\circ}$,

$\because \angle E F C=130^{\circ}$,

$\therefore \angle A B F=50^{\circ}$,

$\because \angle A+\angle E=180^{\circ}-\angle A B E=\angle A B F=50^{\circ}, \angle E=30^{\circ}$,

$\therefore \angle A=20^{\circ}$.

故答案为: $20^{\circ}$.
解析：解【答案】 $20^{\circ}$

【解析】解: $\because A B / / C D$,

$\therefore \angle A B F+\angle E F C=180^{\circ}$,

$\because \angle E F C=130^{\circ}$,

$\therefore \angle A B F=50^{\circ}$,

$\because \angle A+\angle E=180^{\circ}-\angle A B E=\angle A B F=50^{\circ}, \angle E=30^{\circ}$,

$\therefore \angle A=20^{\circ}$.

故答案为: $20^{\circ}$.
题目（七年级 · 度量几何学）：如图, 直线 $a / / b$, 若 $\angle 1=60^{\circ}$, 则 $\angle 2=$ $\qquad$度.


选项：
答案：【答案】 60

【解析】解: $\because a / / b$,

$\therefore \angle 2=\angle 1$,

$\because \angle 1=60^{\circ}$,

$\therefore \angle 2=60^{\circ}$.

故答案为 60 .

根据两直线平行, 同位角相等即可求解.

本题考查了平行线的性质, 掌握两直线平行, 同位角相等是解题的关键.
解析：【答案】 60

【解析】解: $\because a / / b$,

$\therefore \angle 2=\angle 1$,

$\because \angle 1=60^{\circ}$,

$\therefore \angle 2=60^{\circ}$.

故答案为 60 .

根据两直线平行, 同位角相等即可求解.

本题考查了平行线的性质, 掌握两直线平行, 同位角相等是解题的关键.
题目（七年级 · 度量几何学）：一块三角形铁板余料的底边长是 $(2 a+6 b)$ 米, 这边上的高是 $(4 a-5 b)$ 米, 则这块铁板的面积是 $\qquad$ .
选项：
答案：【答案】 $4 a^{2}+7 a b-15 b^{2}$ (平方米)

【解析】解: 这块铁板的面积是 $\frac{1}{2} \cdot(2 a+6 b) \cdot(4 a-5 b)=4 a^{2}+7 a b-15 b^{2}$ (平方米);

故答案为: $4 a^{2}+7 a b-15 b^{2}$ (平方米).

根据三角形的面积公式得出整式, 进而计算即可.
此题考查多项式的乘法, 关键是根据三角形面积公式列出整式解答.
解析：【答案】 $4 a^{2}+7 a b-15 b^{2}$ (平方米)

【解析】解: 这块铁板的面积是 $\frac{1}{2} \cdot(2 a+6 b) \cdot(4 a-5 b)=4 a^{2}+7 a b-15 b^{2}$ (平方米);

故答案为: $4 a^{2}+7 a b-15 b^{2}$ (平方米).

根据三角形的面积公式得出整式, 进而计算即可.
此题考查多项式的乘法, 关键是根据三角形面积公式列出整式解答.
题目（七年级 · 度量几何学）：如图, 两个正方形边长分别为 $a 、 b$, 如果 $a+b=7, a b=13$,则阴影部分的面积为 $\qquad$


选项：
答案：【答案】 5

【解析】

【分析】

此题考查了整式的混合运算, 列代数式并求值,表示出阴影部分面积是解本题的关键. 由大三角形面积减去小三角形面积表示出阴影部分面积, 将 $a+b$ 与 $a b$ 的值代入计算即可求出值.

【解答】

解: 根据题意得:

当 $a+b=7, a b=13$ 时,

$$
\begin{aligned}
& S_{\text {阴影 }}=\frac{1}{2} a^{2}-\frac{1}{2} b(a-b) \\
& =\frac{1}{2} a^{2}-\frac{1}{2} a b+\frac{1}{2} b^{2} \\
& =\frac{1}{2}\left[(a+b)^{2}-2 a b\right]-\frac{1}{2} a b \\
& =\frac{1}{2} \times\left(7^{2}-2 \times 13\right)-\frac{1}{2} \times 13
\end{aligned}
$$

$=5$.

故答案为: 5
解析：【答案】 5

【解析】

【分析】

此题考查了整式的混合运算, 列代数式并求值,表示出阴影部分面积是解本题的关键. 由大三角形面积减去小三角形面积表示出阴影部分面积, 将 $a+b$ 与 $a b$ 的值代入计算即可求出值.

【解答】

解: 根据题意得:

当 $a+b=7, a b=13$ 时,

$$
\begin{aligned}
& S_{\text {阴影 }}=\frac{1}{2} a^{2}-\frac{1}{2} b(a-b) \\
& =\frac{1}{2} a^{2}-\frac{1}{2} a b+\frac{1}{2} b^{2} \\
& =\frac{1}{2}\left[(a+b)^{2}-2 a b\right]-\frac{1}{2} a b \\
& =\frac{1}{2} \times\left(7^{2}-2 \times 13\right)-\frac{1}{2} \times 13
\end{aligned}
$$

$=5$.

故答案为: 5
题目（七年级 · 度量几何学）：有两个正方形 $A 、 B$, 现将 $B$ 放在 $A$ 的内部得图甲, 将 $A$ 、 $B$ 并列放置后构造新的正方形得图乙. 若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为 1 和 10 , 则正方形 $A, B$ 的面积之



图甲



图乙和为 $\qquad$
选项：
答案：【答案】 11

【解析】

【分析】

此题考查了完全平方公式, 整式的混合运算, 整体代入法, 面积法, 设正方形 $A$ 的边长为 $a$, 正方形 $B$ 的边长为 $b$, 由图甲得 $a^{2}-b^{2}-2(a-b) b=1$, 即 $a^{2}+b^{2}-2 a b=1$,由图乙得 $(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}=10$, 得到 $2 a b=10$, 即可得到 $a^{2}+b^{2}=11$.

【解答】

解: 设正方形 $A$ 的边长为 $a$, 正方形 $B$ 的边长为 $b$,

由图甲得 $a^{2}-b^{2}-2(a-b) b=1$,

即 $a^{2}+b^{2}-2 a b=1$,
由图乙得 $(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}=10$,

$\therefore 2 a b=10$,

$\therefore a^{2}+b^{2}=11$,

则正方形 $A, B$ 的面积之和为 11 ,

故答案为 11 .
解析：【答案】 11

【解析】

【分析】

此题考查了完全平方公式, 整式的混合运算, 整体代入法, 面积法, 设正方形 $A$ 的边长为 $a$, 正方形 $B$ 的边长为 $b$, 由图甲得 $a^{2}-b^{2}-2(a-b) b=1$, 即 $a^{2}+b^{2}-2 a b=1$,由图乙得 $(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}=10$, 得到 $2 a b=10$, 即可得到 $a^{2}+b^{2}=11$.

【解答】

解: 设正方形 $A$ 的边长为 $a$, 正方形 $B$ 的边长为 $b$,

由图甲得 $a^{2}-b^{2}-2(a-b) b=1$,

即 $a^{2}+b^{2}-2 a b=1$,
由图乙得 $(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2}=10$,

$\therefore 2 a b=10$,

$\therefore a^{2}+b^{2}=11$,

则正方形 $A, B$ 的面积之和为 11 ,

故答案为 11 .
题目（七年级 · 度量几何学）：如图, 两个正方形边长分别为 $a 、 b$, 且满足 $a+b=8, a b=6$, 图中阴影部分的面积为 $\qquad$ .


选项：
答案：【答案】 23

【解析】

【分析】

此题考查了整式的混合运算, 以及化简求值, 熟练掌握完全平方公式是解本题的关键. 将 $a+b=8$ 两边平方, 利用完全平方公式展开, 将 $a b$ 的值代入求出 $a^{2}+b^{2}$ 的值, 即为两正方形的面积之和; 由两个正方形的面积减去两个直角三角形的性质即可求出阴影部分面积.

【解答】

解: 如图:

<ImageHere>

将 $a+b=8$ 两边平方得: $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2 a b=64$,

将 $a b=6$ 代入得: $a^{2}+b^{2}+12=64$, 即 $a^{2}+b^{2}=52$,

则两个正方形面积之和为 52 ;

如图, $S_{\text {阴影 }}=S_{\text {两正方形 }}-S_{\triangle A B D}-S_{\triangle B F G}=a^{2}+b^{2}-\frac{1}{2} a^{2}-\frac{1}{2} b(a+b)=\frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}-\right.$
$a b)=\frac{1}{2} \times(52-6)=23$

故答案为 23 .
解析：【答案】 23

【解析】

【分析】

此题考查了整式的混合运算, 以及化简求值, 熟练掌握完全平方公式是解本题的关键. 将 $a+b=8$ 两边平方, 利用完全平方公式展开, 将 $a b$ 的值代入求出 $a^{2}+b^{2}$ 的值, 即为两正方形的面积之和; 由两个正方形的面积减去两个直角三角形的性质即可求出阴影部分面积.

【解答】

解: 如图:



将 $a+b=8$ 两边平方得: $(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2 a b=64$,

将 $a b=6$ 代入得: $a^{2}+b^{2}+12=64$, 即 $a^{2}+b^{2}=52$,

则两个正方形面积之和为 52 ;

如图, $S_{\text {阴影 }}=S_{\text {两正方形 }}-S_{\triangle A B D}-S_{\triangle B F G}=a^{2}+b^{2}-\frac{1}{2} a^{2}-\frac{1}{2} b(a+b)=\frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}-\right.$
$a b)=\frac{1}{2} \times(52-6)=23$

故答案为 23 .
题目（七年级 · 度量几何学）：在一块长为 $a$, 宽为 $b$ 的长方形草地上, 有一条弯曲的柏油小路(小路任何地方的水平宽度都是 1 个单位), 则草地的面积为 $\qquad$


选项：
答案：【答案】 $a b-b$

【解析】

【分析】

本题主要考查了平移的性质.需要注意的是: 平移前后图形的大小、形状都不改变.

小路可以看成 5 块底边为 1 , 总高为 $b$ 的平行四边形组成, 草地面积 $=$ 总面积一小路面积.

【解答】

解: 小路可以看成 5 块底边为 1 , 总高为 $b$ 的平行四边形组成, 所以小路面积 $=b$, 草地面积 $=a b-b$.

故答案为 $a b-b$.
解析：【答案】 $a b-b$

【解析】

【分析】

本题主要考查了平移的性质.需要注意的是: 平移前后图形的大小、形状都不改变.

小路可以看成 5 块底边为 1 , 总高为 $b$ 的平行四边形组成, 草地面积 $=$ 总面积一小路面积.

【解答】

解: 小路可以看成 5 块底边为 1 , 总高为 $b$ 的平行四边形组成, 所以小路面积 $=b$, 草地面积 $=a b-b$.

故答案为 $a b-b$.
题目（七年级 · 度量几何学）：如图, 直线 $a, b$ 与直线 $c$ 相交, 给出下列条件: (1) $\angle 1=\angle 2$;

(2) $\angle 3=\angle 6$; (3) $\angle 4+\angle 7=180^{\circ}$; (4) $\angle 5+\angle 3=180^{\circ}$,其中能判断 $a / / b$ 的是 $\qquad$ (填序号).


选项：
答案：【答案】(1)(3)

【解析】

【分析】

此题主要考查了平行线的判定，正确把握平行线的几种判定方法是解题关键. 直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案.

【解答】

解: (1) $\because \angle 1=\angle 2, \therefore a / / b$, 故此选项正确;

(2) $\angle 3=\angle 6$ 无法得出 $a / / b$, 故此选项错误;

(3) $\because \angle 4+\angle 7=180^{\circ}$,

$\therefore a / / b$, 故此选项正确;

(4) $\because \angle 5+\angle 3=180^{\circ}$,

$\therefore \angle 2+\angle 5=180^{\circ}$,
$\therefore a / / b$, 故此选项正确;

故答案为(1)(3)(4).
解析：【答案】(1)(3)

【解析】

【分析】

此题主要考查了平行线的判定，正确把握平行线的几种判定方法是解题关键. 直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案.

【解答】

解: (1) $\because \angle 1=\angle 2, \therefore a / / b$, 故此选项正确;

(2) $\angle 3=\angle 6$ 无法得出 $a / / b$, 故此选项错误;

(3) $\because \angle 4+\angle 7=180^{\circ}$,

$\therefore a / / b$, 故此选项正确;

(4) $\because \angle 5+\angle 3=180^{\circ}$,

$\therefore \angle 2+\angle 5=180^{\circ}$,
$\therefore a / / b$, 故此选项正确;

故答案为(1)(3)(4).
题目（七年级 · 度量几何学）：在数轴上与 -2 所对应的点相距 4 个单位长度的点表示的数是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：2或 -6
解析：解：当该点在 -2 的右边时,

由题意可知: 该点所表示的数为 2 ,

当该点在 -2 的左边时,

由题意可知: 该点所表示的数为 -6,

故答案为: 2 或 -6

由于题目没有说明该点的具体位置, 故要分情况讨论.

本题考查数轴, 涉及有理数的加减运算、分类讨论的思想.
题目（七年级 · 度量几何学）：一个数在数轴上对应的点在原点的左边, 且距离原点 2 个单位长度, 则这个数是 , 这个数的绝对值是 \$ \qquad \$ .
选项：
解析：

## 【分析】

本题考查了用数轴上的点表示数及绝对值的意义, 准确掌挃绝对值的意义是解题的关键.

一个数在原点左边是负数, 且到原点的距离是 2 , 所以这个数是 -2 , 这个数的绝对值是 2 .

## 【解答】

解: 在原点的左边且距离原点 2 个单位长度的点表示的数是 $-2,-2$ 的绝对值是 2 , 故答案为 -2 ,
题目（七年级 · 度量几何学）：, 已知四个有理数 $m, n, p, q$ 在一条缺失了原点和刻度的数轴上对应的点分别为 $M$, $N, P, Q$, 且 $m$ 与 $p$ 是相反数, 则在 $m, n, p, q$ 四个有理数中, 绝对值最小的一个是


选项：
答案：$
解析：

## 【分析】

此题考查了有理数大小比较, 数轴, 以及绝对值, 熟练掌握各自的性质是解本题的关键. 根据题意可知 $m$ 与 $p$ 为相反数, 且中点为坐标原点, 即可找出绝对值最小的数.

## 【解答】

解: 绝对值最小的数是 $q$,

故答案为 $q$.
题目（七年级 · 度量几何学）：在原点的左侧, 到原点的距离等于 1.5 的点表示的数是
选项：
解析：-