eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高一 · 算术）：用二分法求函数 $f(x)=x^{3}-3$ 的一个正零点. (精确度为 0.01 )
选项：
答案：【解】由于 $f(1)=-2<0, f(2)=5>0$, 因此可取区间 $(1,2)$ 作为计算的初始区间, 用二分法逐次计算，列表如下:

| 区间 | 中点的值 | 中点函数近似值 |
| :---: | :---: | :---: |
| $(1,2)$ | 1.5 | 0.375 |
| $(1,1.5)$ | 1.25 | -1.0469 |
| $(1.25,1.5)$ | 1.375 | -0.4004 |
| $(1.375,1.5)$ | 1.4375 | -0.0295 |
| $(1.4375,1.5)$ | 1.46875 | 0.1684 |
| $(1.4375,1.46875)$ | 1.453125 | 0.0684 |
| $(1.4375,1.453125)$ | 1.4453125 | 0.0192 |
| $(1.4375,1.4453125)$ |  |  |

$\because|1.4453125-1.4375|=0.0078125<0.01, \therefore x=1.4453125$ 可作为函数的一个正零点.
解析：【解】由于 $f(1)=-2<0, f(2)=5>0$, 因此可取区间 $(1,2)$ 作为计算的初始区间, 用二分法逐次计算，列表如下:

| 区间 | 中点的值 | 中点函数近似值 |
| :---: | :---: | :---: |
| $(1,2)$ | 1.5 | 0.375 |
| $(1,1.5)$ | 1.25 | -1.0469 |
| $(1.25,1.5)$ | 1.375 | -0.4004 |
| $(1.375,1.5)$ | 1.4375 | -0.0295 |
| $(1.4375,1.5)$ | 1.46875 | 0.1684 |
| $(1.4375,1.46875)$ | 1.453125 | 0.0684 |
| $(1.4375,1.453125)$ | 1.4453125 | 0.0192 |
| $(1.4375,1.4453125)$ |  |  |

$\because|1.4453125-1.4375|=0.0078125<0.01, \therefore x=1.4453125$ 可作为函数的一个正零点.
题目（高一 · 算术）：判断函数 $f(x)=2 x^{3}-1$ 的零点个数, 并用二分法求零点的近似值 (精确度 0.1).
选项：
答案：$f(0)=-1<0, f(1)=1>0$, 即 $f(0) \cdot f(1)<0$,

$f(x)$ 在 $(0,1)$ 内有零点, 又 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上是增函数,

$\therefore f(x)$ 只有一个零点 $x_{0} \in(0,1)$.

取区间 $(0,1)$ 的中点 $x_{1}=0.5, f(0.5)=-0.75<0$,

$\therefore f(0.5) \cdot f(1)<0$, 即 $x_{0} \in(0.5,1)$.

取区间 $(0.5,1)$ 的中点 $x_{2}=0.75$,

$f(0.75)=-0.15625<0$,

$\therefore f(0.75) \cdot f(1)<0$. 即 $x_{0} \in(0.75,1)$.

取区间 $(0.75,1)$ 的中点 $x_{3}=0.875, f(0.875) \approx 0.34>0$.

$\therefore f(0.75) \cdot f(0.875)<0$. 即 $x_{0} \in(0.75,0.875)$.

取区间 $(0.75,0.875)$ 的中点 $x_{4}=0.8125$,

$f(0.8125)=0.073>0$.

$\therefore f(0.75) \cdot f(0.8125)<0$,

即 $x_{0} \in(0.75,0.8125)$,

而 $0.8125-0.75 \mid<0.1$.

所以， $f(x)$ 的零点的近似值可取为 0.75 .
解析：$f(0)=-1<0, f(1)=1>0$, 即 $f(0) \cdot f(1)<0$,

$f(x)$ 在 $(0,1)$ 内有零点, 又 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上是增函数,

$\therefore f(x)$ 只有一个零点 $x_{0} \in(0,1)$.

取区间 $(0,1)$ 的中点 $x_{1}=0.5, f(0.5)=-0.75<0$,

$\therefore f(0.5) \cdot f(1)<0$, 即 $x_{0} \in(0.5,1)$.

取区间 $(0.5,1)$ 的中点 $x_{2}=0.75$,

$f(0.75)=-0.15625<0$,

$\therefore f(0.75) \cdot f(1)<0$. 即 $x_{0} \in(0.75,1)$.

取区间 $(0.75,1)$ 的中点 $x_{3}=0.875, f(0.875) \approx 0.34>0$.

$\therefore f(0.75) \cdot f(0.875)<0$. 即 $x_{0} \in(0.75,0.875)$.

取区间 $(0.75,0.875)$ 的中点 $x_{4}=0.8125$,

$f(0.8125)=0.073>0$.

$\therefore f(0.75) \cdot f(0.8125)<0$,

即 $x_{0} \in(0.75,0.8125)$,

而 $0.8125-0.75 \mid<0.1$.

所以， $f(x)$ 的零点的近似值可取为 0.75 .
题目（高一 · 算术）：求值: $(1) \lg 5^{2}+\frac{2}{3} \lg 8+\lg 5 \cdot \lg 20+(\lg 2)^{2}$;

(2) $\log _{8} 9 \cdot \log _{27} 32-(\sqrt{3})^{\lg 1}+\log _{5} 35-\log _{5} 7$.
选项：
答案：【解】 $(1)$ 原式 $=2 \lg 5+2 \lg 2+2 \lg 5 \lg 2+(\lg 5)^{2}+(\lg 2)^{2}=2(\lg 5+\lg 2)+(\lg 5+\lg 2)^{2}=2+1=3$.

(2) $\log _{8} 9 \cdot \log _{27} 32-(\sqrt{3})^{\lg 1}+\log _{5} 35-\log _{5} 7=\frac{\lg 9}{\lg 8} \times \frac{\lg 32}{\lg 27}-1+\log _{5} \frac{35}{7}=\frac{2 \lg 3}{3 \lg 2} \times \frac{5 \lg 2}{3 \lg 3}-1+1=\frac{10}{9}$.
解析：【解】 $(1)$ 原式 $=2 \lg 5+2 \lg 2+2 \lg 5 \lg 2+(\lg 5)^{2}+(\lg 2)^{2}=2(\lg 5+\lg 2)+(\lg 5+\lg 2)^{2}=2+1=3$.

(2) $\log _{8} 9 \cdot \log _{27} 32-(\sqrt{3})^{\lg 1}+\log _{5} 35-\log _{5} 7=\frac{\lg 9}{\lg 8} \times \frac{\lg 32}{\lg 27}-1+\log _{5} \frac{35}{7}=\frac{2 \lg 3}{3 \lg 2} \times \frac{5 \lg 2}{3 \lg 3}-1+1=\frac{10}{9}$.
题目（高一 · 算术）：某市居民自来水收费标准如下: 每户每月用水不超过 4 吨时每吨为 1.80 元, 当用水超过 4 吨时, 超过部分每吨为 3.00 元, 某月甲、乙两用户共交水费 $y$ 元, 已知甲、乙两用户该月用水量分别为 $5 x, 3 x$ 吨.

(1)求 $y$ 关于 $x$ 的函数;

(2)若甲、乙两用户该月共交水费 26.40 元，分别求出甲、乙两用户该月的用水量和水费.
选项：
答案：(1)当甲用户的用水量不超过 4 吨，即 $5 x \leqslant 4$ 时，乙用户的用水量也不超过 4 吨，即： $y=(5 x+3 x) \times 1.80=14.4 x$; 同理可得

当 $\frac{4}{5}<x \leqslant \frac{4}{3}$ 时, $y=20.4 x-4.8$;

当 $x>\frac{4}{3}$ 时, $y=24 x-9.6$.

$\therefore y= \begin{cases}14.4 x, & \left(0 \leqslant x \leqslant \frac{4}{5},\right) \\ 20.4 x-4.8, & \left(\frac{4}{5}<x \leqslant \frac{4}{3},\right) \\ 24 x-9.6, & \left(x>\frac{4}{3}\right) .\end{cases}$

(2)由于 $y=f(x)$ 在各段区间上均单调递增,

所以当 $x \in\left[0, \frac{4}{5}\right]$ 时, $y \leqslant\left(\frac{4}{5}\right)<26.40$;

当 $x \in\left(\frac{4}{5}, \frac{4}{3}\right]$ 时, $y \leqslant f\left(\frac{4}{3}\right)<26.40$;

当 $x \in\left(\frac{4}{3},+\infty\right)$ 时, 令 $24 x-9.6=26.40$, 得 $x=1.5$.

$\therefore$ 甲用户用水量为 $5 x=7.5$ (吨),

付费 $y_{1}=4 \times 1.80+3.5 \times 3.00=17.70$ (元)

乙用户用水量为 $3 x=4.5$ (吨),

付费 $y_{2}=4 \times 1.80+0.5 \times 3.00=8.70$ (元)
解析：(1)当甲用户的用水量不超过 4 吨，即 $5 x \leqslant 4$ 时，乙用户的用水量也不超过 4 吨，即： $y=(5 x+3 x) \times 1.80=14.4 x$; 同理可得

当 $\frac{4}{5}<x \leqslant \frac{4}{3}$ 时, $y=20.4 x-4.8$;

当 $x>\frac{4}{3}$ 时, $y=24 x-9.6$.

$\therefore y= \begin{cases}14.4 x, & \left(0 \leqslant x \leqslant \frac{4}{5},\right) \\ 20.4 x-4.8, & \left(\frac{4}{5}<x \leqslant \frac{4}{3},\right) \\ 24 x-9.6, & \left(x>\frac{4}{3}\right) .\end{cases}$

(2)由于 $y=f(x)$ 在各段区间上均单调递增,

所以当 $x \in\left[0, \frac{4}{5}\right]$ 时, $y \leqslant\left(\frac{4}{5}\right)<26.40$;

当 $x \in\left(\frac{4}{5}, \frac{4}{3}\right]$ 时, $y \leqslant f\left(\frac{4}{3}\right)<26.40$;

当 $x \in\left(\frac{4}{3},+\infty\right)$ 时, 令 $24 x-9.6=26.40$, 得 $x=1.5$.

$\therefore$ 甲用户用水量为 $5 x=7.5$ (吨),

付费 $y_{1}=4 \times 1.80+3.5 \times 3.00=17.70$ (元)

乙用户用水量为 $3 x=4.5$ (吨),

付费 $y_{2}=4 \times 1.80+0.5 \times 3.00=8.70$ (元)
题目（高一 · 算术）：某租车公司拥有汽车 100 辆, 当每辆车的月租金为 3000 元时, 可全部租出, 当每辆车的月租金每增加 60 元时, 末租出的车将会增加一辆, 租出的车每月需要维护费 160 元, 未租出的车每月需要维护费 40 元.

(1)当每辆车的月租金定为 3900 元时, 能租出多少辆车?

(2)当每辆车的月租金为多少元时, 租车公司的月收益最大? 最大月收益是多少?
选项：
答案：(1)租金增加了 900 元, $900 \div 60=15$,所以未租出的车有 15 辆, 一共租出了 85 辆.

(2)设租金提高后有 $x$ 辆未租出, 则已租出 $(100-x)$ 辆. 21 世纪教育网租货公司的月收益为 $y$ 元,

$y=(3000+60 x)(100-x)-160 \cdot(100-x)-40 x$,

其中 $x \in[0,100], x \in \mathbf{N}, 21$ 世纪教育网

整理，得 $y=-60 x^{2}+3120 x+284000$

$=-60(x-26)^{2}+324560$,

当 $x=26$ 时, $y=324560$,

即最大月收益为 324560 元。

此时, 月租金为 $3000+60 \times 26=4560$ (元).
解析：(1)租金增加了 900 元, $900 \div 60=15$,所以未租出的车有 15 辆, 一共租出了 85 辆.

(2)设租金提高后有 $x$ 辆未租出, 则已租出 $(100-x)$ 辆. 21 世纪教育网租货公司的月收益为 $y$ 元,

$y=(3000+60 x)(100-x)-160 \cdot(100-x)-40 x$,

其中 $x \in[0,100], x \in \mathbf{N}, 21$ 世纪教育网

整理，得 $y=-60 x^{2}+3120 x+284000$

$=-60(x-26)^{2}+324560$,

当 $x=26$ 时, $y=324560$,

即最大月收益为 324560 元。

此时, 月租金为 $3000+60 \times 26=4560$ (元).
题目（高一 · 算术）：求下列各式中 $x$ 的值.

(1) $\log _{5}\left(\log _{3} x\right)=0$;

(2) $\log _{3}(\lg x)=1$;

(3) $\ln \left(\log _{2}(\lg x)\right)=0$.
选项：
答案：【解】 (1) $\because \log _{5}\left(\log _{3} x\right)=\log _{5} 1, \therefore \log _{3} x=1, \therefore x=3$.

(2) $\because \log _{3}(\lg x)=1, \quad \therefore \lg x=3, \quad \therefore x=10^{3}=1000$.

(3) $\because \ln \left(\log _{2}(\lg x)\right)=0, \quad \therefore \log _{2}(\lg x)=1$,

$\therefore \lg x=2, \quad \therefore x=10^{2}=100$.
解析：【解】 (1) $\because \log _{5}\left(\log _{3} x\right)=\log _{5} 1, \therefore \log _{3} x=1, \therefore x=3$.

(2) $\because \log _{3}(\lg x)=1, \quad \therefore \lg x=3, \quad \therefore x=10^{3}=1000$.

(3) $\because \ln \left(\log _{2}(\lg x)\right)=0, \quad \therefore \log _{2}(\lg x)=1$,

$\therefore \lg x=2, \quad \therefore x=10^{2}=100$.
题目（高一 · 算术）：若 $\log x=m, \log y=m+2$, 求 $\frac{x^{2}}{y}$ 的值.
选项：
答案：$\log x=m, \therefore\left(\frac{1}{2}\right)^{m}=x, x^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2 m}$.

$\log y=m+2, \quad \therefore\left(\frac{1}{4}\right)^{m^{+} 2}=y$,

$y=\left(\frac{1}{2}\right)^{2 m+4}$.

$\therefore \frac{x^{2}}{y}=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{2 m}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2 m^{+} 4}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2 m^{-}\left(2 m^{+} 4\right)}=\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}=16$.
解析：$\log x=m, \therefore\left(\frac{1}{2}\right)^{m}=x, x^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2 m}$.

$\log y=m+2, \quad \therefore\left(\frac{1}{4}\right)^{m^{+} 2}=y$,

$y=\left(\frac{1}{2}\right)^{2 m+4}$.

$\therefore \frac{x^{2}}{y}=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^{2 m}}{\left(\frac{1}{2}\right)^{2 m^{+} 4}}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2 m^{-}\left(2 m^{+} 4\right)}=\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}=16$.
题目（高一 · 算术）：(10 分)（1）用辗转相除法求 840 与 1764 的最大公约数;

(2) 用更相减损术求 440 与 556 的最大公约数.
选项：
答案：(1) 84 ; (2) 4 ,
解析：(1) 用辗转相除法求 840 与 1764 的最大公约数.

$1764=840 \times 2+84,840=84 \times 10+0$,

所以 840 与 1764 的最大公约数是 84 .

(2) 用更相减损术求 440 与 556 的最大公约数.

$556-440=116,440-116=324$

$324-116=208,208-116=92$,

$116-92=24,92-24=68$

$68-24=44,44-24=20$

$24-20=4,20-4=16$

$16-4=12,12-4=8$,

$8-4=4$,

所以 440 与 556 的最大公约数 4 .
题目（高一 · 算术）：(12 分) 设计一个计算 $1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times 10$ 的值的算法, 并画出程序框图.
选项：
答案：见解析.
解析：算法:

第一步: 设 $i$ 的值为 1 ;

第二步：设 $S$ 的值为 1

第三步: 如果 $i \leq 10$ 执行第四步, 否则转去执行第七步;

第四步: 计算 $S \times i$ 并将结果代替 $S$

第五步: 计算 $i+1$ 并将结果代替 $i$;

第六步: 转去执行第三步，

第七步: 输出 $S$ 的值并结束算法,

程序框图如下：

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_03ea579800d3c478dd9eg-
题目（高一 · 算术）：（12 分）设计算法流程图, 要求输入自变量 $x$ 的值, 输出函数

$$
f(x)= \begin{cases}\frac{\pi}{2} x-5, & x>0 \\ 0, & x=0 \text { 的值, 并用复合 if 语句描述算法. } \\ \frac{\pi}{2} x+3, & x<0\end{cases}
$$
选项：
答案：见解析.
解析：![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_03ea579800d3c478dd9eg-
题目（高一 · 算术）：(12 分) 已知辗转相除法的算法步骤如下:

第一步：给定两个正整数 $m, n$;

第二步: 计算 $m$ 除以 $n$ 所得的余数 $r$;

第三步: $m=n, n=r$;

第四步: 若 $r=0$, 则 $m, n$ 的最大公约数等于 $m$; 否则, 返回第二步.

请根据上述算法画出程序框图。
选项：
答案：见解析.
解析：如图

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_03ea579800d3c478dd9eg-
题目（高一 · 算术）：(12 分) 某城市现有人口总数为 100 万人, 如果年自然增长率为 $1.2 \%$, 试解答下列问题:

(1) 写出该城市经过 $x$ 年后的人口总数关于 $x$ 的函数关系式;

## LOOPUNTILi>100

END

(2) 用程序流程图表示计算 10 年以后该城市人口总数的算法;

（3）用程序流程图表示如下算法: 计算大约多少年以后该城市人口将达到 120 万

人.

（2）改写为 WHILE 型循环结构程序.
选项：
答案：) (1) $m=0$ (2) $i=i+1$ ；（2）见解析。
解析：(1) (1) ${ }^{m=0}(2)^{i=i+1}$

（2）改写为 WHILE 型循环程序如下

$\mathrm{i}=1$

WHILE $i<=100$

$\mathrm{m}=\mathrm{i}$ MOD 2

IF $\mathrm{m}=0$ THEN

PRINT i

END IF

$\mathrm{i}=\mathrm{i}+1$

WEND

END
题目（高一 · 图论）：在一个风雨交加的夜里, 从某水库闸门到防洪指挥部的电话线路发生了故障. 这是一条长 $10 \mathrm{~km}$的线路, 电线杆的间距为 $100 \mathrm{~m}$. 请你设计一个方案, 能够迅速查出故障所在.
选项：
答案：解：如图所示,

<ImageHere>

首先从 $\mathrm{AB}$ 线路的中点 $\mathrm{C}$ 开始检查,

当用随身带的话机向两端测试时，发现 $A C$ 段正常，判定故障在 BC;

再到 $\mathrm{BC}$ 段中点 D 检查, 这次发现 BD 段正常, 可见故障出在 CD 段;

再到 $\mathrm{CD}$ 段中点 $\mathrm{E}$ 来检查......每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半.

要把故障可能发生的范围缩小到 $100 \mathrm{~m}$ 左右, 查 7 次就可以了.
解析：这是二分法在实际问题中的应用.由精确度得到次数.
题目（高一 · 统计数学）：指出下列事件哪些是必然事件, 哪些是不可能事件, 哪些是随机事件:

(1) 函数 $f(x)=x^{2}-2 x+1$ 的图象关于直线 $\mathrm{x}=1$ 对称;

(2) $y=k x+6$ 是定义在 $R$ 上的增函数;

(3) 若 $|a+b|=|a|+|b|$, 则 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 同号.
选项：
答案：必然事件有（1）; 随机事件有（2）（3）. 对于（3）, 当 $|a+b|=|a|+|b|$ 时,有两种可能: 一种可能是 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 同号, 即 $\mathrm{ab}>0$; 另外一种可能是 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 中至少有一个为 0 ,即 $\mathrm{ab}=0$.
解析：必然事件有（1）; 随机事件有（2）（3）. 对于（3）, 当 $|a+b|=|a|+|b|$ 时,有两种可能: 一种可能是 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 同号, 即 $\mathrm{ab}>0$; 另外一种可能是 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 中至少有一个为 0 ,即 $\mathrm{ab}=0$.
题目（高一 · 统计数学）：从某大学数学系图书室中任选一本书。设 A 表示事件“任选一本书, 这本书为数学书”; B 表示事件 “任选一本书，这本书为中文版的书” $\mathrm{C}$ 表示事件 “任选一本书，这本书为 2000 年后出版的书” 问:

(1) $A \cap B \cap \bar{C}$ 表示什么事件?

(2) 在什么条件下有 $A \cap B \cap C=A$ ?

（3） $\bar{C} \subseteq B$ 表示什么意思？

（4）如果 $\bar{A}=B$ ，那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的?
选项：
答案：（1） $A \cap B \cap \bar{C}$ 表示事件 “ 2000 年或 2000 年前出版的中文版的数学书” 。

（2）在 “图书室中所有数学书都是 2000 年后出版的且为中文版” 的条件下才有 $A \cap B \cap C=A$.

(3) $\bar{C} \subseteq B$ 表示 2000 年或 2000 年前出版的书全是中文版的.

(4) 是 $\bar{A}=B$ 意味着图书室中的非数学书都是中文版的, 而且所有的中文版的书都不是数学书. 同时 $\bar{A}=B$ 又可等价成 $\bar{B}=A$, 因而也可解释为: 图书室中所有的数学书都不是中文版的, 而且所有外文版的书都是数学书。
解析：（1） $A \cap B \cap \bar{C}$ 表示事件 “ 2000 年或 2000 年前出版的中文版的数学书” 。

（2）在 “图书室中所有数学书都是 2000 年后出版的且为中文版” 的条件下才有 $A \cap B \cap C=A$.

(3) $\bar{C} \subseteq B$ 表示 2000 年或 2000 年前出版的书全是中文版的.

(4) 是 $\bar{A}=B$ 意味着图书室中的非数学书都是中文版的, 而且所有的中文版的书都不是数学书. 同时 $\bar{A}=B$ 又可等价成 $\bar{B}=A$, 因而也可解释为: 图书室中所有的数学书都不是中文版的, 而且所有外文版的书都是数学书。
题目（高一 · 统计数学）：(12 分) 若一正四面体的四个面分别写上数字 $1 ， 2 ， 3 ， 4$, 设 $m$ 和 $n$ 是先、后抛郑该正四面体得到的底面上的数字, 用 $X$ 表示函数 $f(x)=x^{2}+m x+n$ 零点的个数.

(1) 求 $X=0$ 的概率;

(2) 求在先后两次出现的点数中有数字 3 的条件下, 函数有零点的概率.的可能性大?


选项：
答案：(1) $\frac{9}{16}$; (2) $\frac{3}{7}$.
解析：（1）由题意，设基本事件空间为 $Q=\{(m, n) \mid m=1,2,3,4 ; n=1,2,3,4\}$,

则 $Q=\{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(
题目（高一 · 统计数学）：（12 分）某科研团队发现了一种新型单细胞生物, 在长时间观测后, 科研团队发现每个活细胞在每一分钟内都会独立且等可能地发生以下四件事中的一件: (1)死亡; (2)保持原状; (3) 分裂成两个活细胞; (4)分裂成三个活细胞. 若初始时在一条件适宜的孤立系统中放置两个活细胞, 试计算理论上在无限长时间后该系统中仍有活细胞存活的概率.
选项：
答案：$2 \sqrt{2}-2$,
解析：设一个细胞时它存活的概率为 $x$, 则 $x$ 是与当前时间无关的,

一分钟后及“无限长时间后仍有存活的细胞的概率”还是 $x$,

变成两个细胞后有存活的概率会变成 $1-(1-x)^{2}$,

类推可得方程 $x=0 \times \frac{1}{4}+x \times \frac{1}{4}+\left[1-(1-x)^{2}\right] \times \frac{1}{4}+\left[1-(1-x)^{3}\right] \times \frac{1}{4}$,

整理得 $x^{2}-4 x+2=0$, 解得 $x=2-\sqrt{2}$ 或 $x=2+\sqrt{2}$ (舍去),

所以两个细胞无限时间后还有细胞存活的概率为 $P=1-(1-x)^{2}=2 \sqrt{2}-2$.
题目（高一 · 度量几何学）：如图, 水平的广场上有一盈路灯挂在高 $10 \mathrm{~m}$ 的电线杆顶上, 记电线杆的底部为点 $A$.把路灯看作一个点光源, 身高 $1.5 \mathrm{~m}$ 的女孩站在离点 $A 5 \mathrm{~m}$ 的点 $B$ 处, 回答下面的问题.



(1) 若女孩以 $5 \mathrm{~m}$ 为半径绕着电线杆走一个圆圈, 人影扫过的是什么图形, 求这个图形的面积;

(2) 若女孩向点 $A$ 前行 $4 m$ 到达点 $D$, 然后从点 $D$ 出发沿着以 $B D$ 为对角线的正方形走一圈, 画出女孩走一圈时头顶影子的轨迹, 说明轨迹的形状.
选项：
答案：)人影扫过的图形是一个圆环, $S=\frac{2775}{289} \pi$ (2) 女孩走一圈时头顶影子的轨迹形状为正方形 $H I P Q$
解析：【分析】

(1) 人影扫过的图形是一个圆环, 根据相似计算得到影长为 $\frac{15}{17}$, 再计算面积得到答案.

(2) 如图所示, 女孩在移动过程上比例关系不变, 故轨迹为正方形.

## 【详解】

(1) 人影扫过的图形是一个圆环，设影长 $B C=a$ ，如图 (1)，由题意知，



(1)



(2)

$B F=1.5, A E=10, A B=5, \therefore \frac{1.5}{10}=\frac{a}{a+5}, \therefore a=\frac{15}{17}, \therefore S=\pi\left(5+\frac{15}{17}\right)^{2}-\pi \times 5^{2}=\frac{2775}{289} \pi$.

（2）如图（2），女孩在移动过程上比例关系不变，如

$\frac{A D}{H D}=\frac{A G}{G K}=\frac{A M}{M I}=\frac{A B}{B P}=\frac{A N}{N Q}=\cdots$,

故女孩走一圈时头顶影子的轨迹形状为正方形 $H I P Q$.

## 【点睛】

本题考查了轨迹方程, 意在考查学生的空间想象能力和应用能力.
题目（高一 · 度量几何学）：在有阳光时, 一根长为 3 米的旗轩垂直于水平地面, 它的影长为 $\sqrt{3}$ 米, 同时将一个半径为 3 米的球放在这块水平地面上, 如图所示, 求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示).


选项：
答案：\sqrt{3} \pi\left(\right.$ 米 $\left.^{2}\right)$
解析：【分析】

先求出射影角, 再由射影比例求球的阴影部分的面积。

## 【详解】

解：由题意知, 光线与地面成 $60^{\circ}$ 角, 设球的阴影部分面积为 $S$, 垂直于光线的大圆面积为

$S^{\prime}$, 则 $S \cos 30^{\circ}=S^{\prime}$, 并且 $S^{\prime}=9 \pi$, 所以 $S=6 \sqrt{3} \pi\left(\right.$ 米 $\left.^{2}\right)$

## 【点睛】

先求出射影角, 再由射影比例求球的阴影部分的面积。
题目（高一 · 度量几何学）：如图所示, $\triangle A B C$ 中, $A C=12 \mathrm{~cm}$, 边 $A C$ 上的高 $B D=12 \mathrm{~cm}$, 求其水平放置的直观图的面积.


选项：
答案：8 \sqrt{2} \mathrm{~cm}^{2}$
解析：【分析】

画出直观图或直接根据直观图与原图像面积的关系求解即可.

## 【详解】

解法一:画 $x^{\prime}$ 轴与 $y^{\prime}$ 轴, 两轴交于 $O^{\prime}$, 使 $\angle x^{\prime} O^{\prime} y^{\prime}=45^{\circ}$, 作 $\triangle A B C$ 的直观图如图所示, 则 $A^{\prime} C^{\prime}=A C=12 \mathrm{~cm}, B^{\prime} D^{\prime}=\frac{1}{2} B D=6 \mathrm{~cm}$, 故 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的高为 $\frac{\sqrt{2}}{2} B^{\prime} D^{\prime}=3 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$, 所以 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} \times 12 \times 3 \sqrt{2}=18 \sqrt{2} \mathrm{~cm}^{2}$. 即 $\triangle A B C$ 水平放置的直观图的面积为 $18 \sqrt{2} \mathrm{~cm}^{2}$.



解法二: $\triangle A B C$ 的面积为 $\frac{1}{2} A C \cdot B D=\frac{1}{2} \times 12 \times 12=72\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$, 由平面图形的面积与直观图的面积间的关系,可得 $\triangle A B C$ 水平放置的直观图的面积是 $\frac{\sqrt{2}}{4} \times 72=18 \sqrt{2}\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$.

## 【点睛】

本题主要考查了直观图的画法与直观图和原图像面积的关系.属于基础题型.
题目（高一 · 度量几何学）：如图分别为直观图与水平放置的平面图形, 梯形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是平面图形 $A B C D$ 的直观图.若 $A_{1} D_{1} / / O^{\prime} y^{\prime}, A_{1} B_{1} / / C_{1} D_{1}, A_{1} B_{1}=\frac{2}{3} C_{1} D_{1}=2, A_{1} D_{1}=O^{\prime} D_{1}=1$. 如何求出水平放置的平面图形与直观图的面积?

选项：
答案：析, $\frac{5 \sqrt{2}}{4}$
解析：【分析】

根据直观图与原图之间的边角关系求解即可.

## 【详解】

由作法可知, 原四边形 $A B C D$ 是直角梯形, 上、下底边长度分别为 $A B=2, C D=3$, 直角腰的长度 $A D=2$, 所以面积为 $S=\frac{2+3}{2} \times 2=5$.

直观图中梯形的高为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$, 因此其面积为 $S^{\prime}=\frac{1}{2} \times(2+3) \times \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5 \sqrt{2}}{4}$.

## 【点睛】

本题主要考查了斜二测画法前后的图像关系,属于基础题型.
题目（高一 · 度量几何学）：长为 24 米的篱笆, 一面利用墙(墙最大长度是 10 米)围成一个矩形花圃, 设该花圃宽 $A B$ 为 $x$米, 面积是 $y$ 平方米,

(1)求出 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式，并指出 $x$ 的取值范围;

(2)当花圃一边 $A B$ 为多少米时，花圃面积最大？并求出这个最大面积？
选项：
答案：【解】(1)如图所示:

<ImageHere>

$\because 0<24-2 x \leqslant 10, \quad \therefore 7 \leqslant x<12$,

$\therefore y=x(24-2 x)=-2 x^{2}+24 x, \quad(7 \leqslant x<12)$.

(2) 由(1)得, $y=-2 x^{2}+24 x=-2(x-6)^{2}+72$,

$\therefore A B=6 \mathrm{~m}$ 时, $y$ 最大为 $72 \mathrm{~m}^{2}$.
解析：【解】(1)如图所示:



$\because 0<24-2 x \leqslant 10, \quad \therefore 7 \leqslant x<12$,

$\therefore y=x(24-2 x)=-2 x^{2}+24 x, \quad(7 \leqslant x<12)$.

(2) 由(1)得, $y=-2 x^{2}+24 x=-2(x-6)^{2}+72$,

$\therefore A B=6 \mathrm{~m}$ 时, $y$ 最大为 $72 \mathrm{~m}^{2}$.
题目（高一 · 度量几何学）：如图所示, 在 $\triangle A B C$ 中, $A C=12 \mathrm{~cm}, A C$ 边上的高 $B D=12 \mathrm{~cm}$, 求其水平放置的直观图的面积.
选项：
答案：一 画 $x^{\prime}$ 轴, $y^{\prime}$ 轴, 两轴交于 $O^{\prime}$, 使 $\angle x^{\prime} O^{\prime} y^{\prime}=45^{\circ}$, 作 $\triangle A B C$ 的直观图如图所示,

<ImageHere>
则 $A^{\prime} C^{\prime}=A C=12 \mathrm{~cm}, B^{\prime} D^{\prime}=\frac{1}{2} B D=6 \mathrm{~cm}$,

故 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的高为 $\frac{\sqrt{2}}{2} B^{\prime} D^{\prime}=3 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$,

所以 $S_{\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}=\frac{1}{2} \times 12 \times 3 \sqrt{2}=18 \sqrt{2}\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$.

即水平放置的直观图的面积为 $18 \sqrt{2} \mathrm{~cm}^{2}$.

方法二 $\triangle A B C$ 的面积为 $\frac{1}{2} A C \cdot B D=\frac{1}{2} \times 12 \times 12=72\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$.

由平面图形的面积与直观图的面积间的关系, 可得 $\triangle A B C$ 水平放置的直观图的面积是 $\frac{\sqrt{2}}{4} \times 72=18 \sqrt{2}\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$.
解析：一 画 $x^{\prime}$ 轴, $y^{\prime}$ 轴, 两轴交于 $O^{\prime}$, 使 $\angle x^{\prime} O^{\prime} y^{\prime}=45^{\circ}$, 作 $\triangle A B C$ 的直观图如图所示,


则 $A^{\prime} C^{\prime}=A C=12 \mathrm{~cm}, B^{\prime} D^{\prime}=\frac{1}{2} B D=6 \mathrm{~cm}$,

故 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的高为 $\frac{\sqrt{2}}{2} B^{\prime} D^{\prime}=3 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$,

所以 $S_{\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}}=\frac{1}{2} \times 12 \times 3 \sqrt{2}=18 \sqrt{2}\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$.

即水平放置的直观图的面积为 $18 \sqrt{2} \mathrm{~cm}^{2}$.

方法二 $\triangle A B C$ 的面积为 $\frac{1}{2} A C \cdot B D=\frac{1}{2} \times 12 \times 12=72\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$.

由平面图形的面积与直观图的面积间的关系, 可得 $\triangle A B C$ 水平放置的直观图的面积是 $\frac{\sqrt{2}}{4} \times 72=18 \sqrt{2}\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$.
题目（高一 · 逻辑题）：读下面的程序，并回答问题



IF $\mathrm{x}<=2 \quad$ THEN

$$
y=x^{\wedge} 2
$$

ELSE

IF $\quad \mathrm{x}<=5$ THEN
$y=2 * x-3$

ELSE

$$
y=1 / x
$$

END IF

END IF

PRINT y

END

(1) 画出该程序对应的程序框图;

(2) 若要使输入的 值与输出的 $\mathrm{y}$ 值相等, 则这样的 $\mathrm{x}$ 值有几个?
选项：
答案：由程序可知这是一个求 $x=\left\{\begin{array}{l}x^{2}, x \leqslant 2 \\ 2 x-3,2<x \leqslant 5 \text { 的函值的程序. } \\ \frac{1}{x}, x>5\end{array}\right.$

(1) 程序框图如图所示.

<ImageHere>

（2）若 $x=x^{2}$, 则 $\mathrm{x}=0$ 或 $\mathrm{x}=1$, 此时均满足 $x \leq 2$; 若 $2 \mathrm{x}-3=\mathrm{x}$, 则 $\mathrm{x}=3$, 满足 $2<x \leqslant 5$; 若 $\frac{1}{x}=x$, 则 $x= \pm 1$, 不满足 $\mathrm{x}>5$.

综上可知，满足题设条件的 值有 3 个，即 $\mathrm{x}=0$ 或 $\mathrm{x}=1$ 或 $\mathrm{x}=3$.
解析：由程序可知这是一个求 $x=\left\{\begin{array}{l}x^{2}, x \leqslant 2 \\ 2 x-3,2<x \leqslant 5 \text { 的函值的程序. } \\ \frac{1}{x}, x>5\end{array}\right.$

(1) 程序框图如图所示.



（2）若 $x=x^{2}$, 则 $\mathrm{x}=0$ 或 $\mathrm{x}=1$, 此时均满足 $x \leq 2$; 若 $2 \mathrm{x}-3=\mathrm{x}$, 则 $\mathrm{x}=3$, 满足 $2<x \leqslant 5$; 若 $\frac{1}{x}=x$, 则 $x= \pm 1$, 不满足 $\mathrm{x}>5$.

综上可知，满足题设条件的 值有 3 个，即 $\mathrm{x}=0$ 或 $\mathrm{x}=1$ 或 $\mathrm{x}=3$.
题目（高一 · 逻辑题）：若 $A=\{x \mid x>a\}, B=\{x \mid x>6\}$, 且 $A \subseteq B$, 则实数 $a$ 的取值范围是
选项：
答案：$[6,+\infty)$
解析：【详解】

因为 $A=\{x \mid x>a\}, B=\{x \mid x>6\}$, 且 $A \subseteq B$

所以集合 $A$ 的范围要比集合 $B$ 的小或者与集合 $B$ 一样,

故 $a$ 的取值范围是 $[6,+\infty)$

【点睛】

本题考查由子集关系求参数的范围, 属于简单题.
题目（高一 · 逻辑题）：已知集合 $A=\{x \mid 1<x<3\}$, 集合 $B=\{x \mid 2 m K x<1-m\}$.

(1) 当 $m=-1$ 时, 求 $A \cup B$;

(2) 若 $A \subseteq B$, 求实数 $m$ 的取值范围;

(3) 若 $A \cap B=\varnothing$, 求实数 $m$ 的取值范围.
选项：
答案：(1) $A \cup B=\{x \mid-2<x<3\}$ (2) $(-\infty,-2]$ (3) $[0,+\infty)$
解析：

试题分析：（1） $m=-1$, 用轴表示两个集合, 做并集运算, 注意空心点, 实心点. (2) 由于 $A \subseteq B$, 首先要保证 $1-m>2 m$, 即集合 $B$ 非空, 然后由数轴表示关系, 注意等号是否可取 $\left\{\begin{array}{c}1-m>2 m \\ 2 m \leq 1 \\ 1-m \geq 3\end{array}\right.$ ，(3) 空集有两种情况, 一种是集合 $B$ 为空集, 一种是集合 $B$ 非空, 此时用数奾表示, 写出代数关系, 注意等号是否可取.

试题解析：（1）当 $m=-1$ 时, $B=\{x \mid-2<x<2\}$, 则 $A \cup B=\{x \mid-2<x<3\}$

(2) 由 $A \subseteq B$ 知 $\left\{\begin{array}{c}1-m>2 m \\ 2 m \leq 1 \\ 1-m \geq 3\end{array}\right.$, 解得 $m \leq-2$,

即 $m$ 的取值范围是 $(-\infty,-2]$

(3) 由 $A \cap B=\varnothing$ 得

(1)若 $2 m \geq 1-m$, 即 $m \geq \frac{1}{3}$ 时, $B=\varnothing$ 符合题意

(2)若 $2 m<1-m$, 即 $m<\frac{1}{3}$ 时, 需 $\left\{\begin{array}{c}m<\frac{1}{3} \\ 1-m \leq 1\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}m<\frac{1}{3} \\ 2 m \geq 3\end{array}\right.$

得 $0 \leq m<\frac{1}{3}$ 或 $\varnothing$, 即 $0 \leq m<\frac{1}{3}$

综上知 $0 \leq m$, 即实数的取值范围为 $[0,+\infty)$
题目（高一 · 逻辑题）：已知函数 $f(x)=\log _{2}\left(1+x^{2}\right)$.

求证: (1) 函数 $f(x)$ 是偶函数;

(2)函数 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上是增函数.
选项：
答案：证明：(1)函数 $f(x)$ 的定义域是 $\mathbf{R}$,

$f(-x)=\log _{2}\left[1+(-x)^{2}\right]$

$=\log _{2}\left(1+x^{2}\right)=f(x)$, 所以函数 $f(x)$ 是偶函数.

(2)设 $0<x_{1}<x_{2}$,

则 $f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=\log _{2}\left(1+x_{1}^{2}\right)-\log _{2}\left(1+x_{2}^{2}\right)$

$=\log _{2} \frac{1+x^{2}}{1+x_{2}^{2}}$.

由于 $0<x_{1}<x_{2}$,

则 $0<x_{1}^{2}<x^{2}$,

则 $0<1+x_{1}^{2}<1+x^{2}$,

所以 $0<\frac{1+x_{1}^{2}}{1+x_{2}^{2}}<1$.

又函数 $y=\log _{2} x$ 在 $(0,+\infty)$ 上是增函数,

所以 $\log _{2} \frac{1+x_{1}^{2}}{1+x_{2}^{2}}<0$.

所以 $f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)$.

所以函数 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上是增函数.
解析：证明：(1)函数 $f(x)$ 的定义域是 $\mathbf{R}$,

$f(-x)=\log _{2}\left[1+(-x)^{2}\right]$

$=\log _{2}\left(1+x^{2}\right)=f(x)$, 所以函数 $f(x)$ 是偶函数.

(2)设 $0<x_{1}<x_{2}$,

则 $f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=\log _{2}\left(1+x_{1}^{2}\right)-\log _{2}\left(1+x_{2}^{2}\right)$

$=\log _{2} \frac{1+x^{2}}{1+x_{2}^{2}}$.

由于 $0<x_{1}<x_{2}$,

则 $0<x_{1}^{2}<x^{2}$,

则 $0<1+x_{1}^{2}<1+x^{2}$,

所以 $0<\frac{1+x_{1}^{2}}{1+x_{2}^{2}}<1$.

又函数 $y=\log _{2} x$ 在 $(0,+\infty)$ 上是增函数,

所以 $\log _{2} \frac{1+x_{1}^{2}}{1+x_{2}^{2}}<0$.

所以 $f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)$.

所以函数 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上是增函数.
题目（高一 · 逻辑题）：已知集合 $A$ 到集合 $B=\{0,1,2,3\}$ 的映射 $f: x \rightarrow \frac{1}{|x|-1}$, 试问集合 $A$ 中的元素最多有几个? 写出元素最多时的集合 $A$.
选项：
答案：$\because f: x \rightarrow \frac{1}{|x|-1}$ 是从集合 $A$ 到集合 $B$ 的映射,

$\therefore A$ 中每一个元素在集合 $B$ 中都应该有像.

令 $\frac{1}{|x|-1}=0$, 该方程无解. 故 0 没有原像.

分别令 $\frac{1}{|x|-1}=1,2,3$ 可得 $x= \pm 2, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{4}{3}$.

故集合 $A$ 中的元素最多为 6 个, 即

$A=\left\{2,-2, \frac{3}{2},-\frac{3}{2}, \frac{4}{3},-\frac{4}{3}\right\}$.
解析：$\because f: x \rightarrow \frac{1}{|x|-1}$ 是从集合 $A$ 到集合 $B$ 的映射,

$\therefore A$ 中每一个元素在集合 $B$ 中都应该有像.

令 $\frac{1}{|x|-1}=0$, 该方程无解. 故 0 没有原像.

分别令 $\frac{1}{|x|-1}=1,2,3$ 可得 $x= \pm 2, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{4}{3}$.

故集合 $A$ 中的元素最多为 6 个, 即

$A=\left\{2,-2, \frac{3}{2},-\frac{3}{2}, \frac{4}{3},-\frac{4}{3}\right\}$.
题目（高一 · 逻辑题）：(10 分) 运行如下图的程序框图:

(1) 若输入 $x=3$, 求输出的 $k$ 的值;

(2) 若输出 $k=4$, 求输人的实数 $x$ 的取值范围.
选项：
答案：(1) 5 ; (2) $\left(\frac{25}{4}, \frac{27}{2}\right]$.
解析：(1) 按照程序框图依次执行得: $x=3, k=0 ; x=7, k=1$ ，
$x=15, k=2 ; x=31, k=3 ; x=63, k=4 ; x=123, k=5$,

此时, $x=123>115$, 跳出循环, 此时 $k=5$,

所以输出的 $k$ 的值为 5 .

（2）按照程序框图依次执行得: $x=2 x+1, k=1 ; x=2(2 x+1)+1=4 x+3, k=2$;

$x=2(4 x+3)+1=8 x+7, k=3 ; \quad x=2(8 x+7)+1=16 x+15, k=4$

此时跳出循环, 所以有 $\left\{\begin{array}{l}8 x+7 \leq 115 \\ 16 x+15>115\end{array}\right.$, 解得 $\frac{25}{4}<x \leq \frac{27}{2}$,

所以输人的实数 $x$ 的取值范围为 $\left(\frac{25}{4}, \frac{27}{2}\right]$
题目（高一 · 组合几何学）：已知由长方体木块堆成的几何体的三视图如图所示, 则组成此几何体的长方体木块共有多少块.



正视图



俯视图



侧视图
选项：
解析：【分析】

通过三视图的正视图, 说明上部木块最多的个数, 侧视图说明上部木块的个数, 俯视图说明下部的个数, 即可得到木块的总数。

## 【详解】

由三视图的正视图可知, 几何体上部木块最多的个数为 2 块, 侧视图说明上部的木块的个数只有 1 块, 几何体下部最多 4 块, 俯视图说明下部的个数只有:3, 所以组成此几何体的长方体木块共有 4 块。

## 【点睛】

本题考查几何体的三视图还原直观图, 判断几何体的特征是解好本题的关键, 应注意本题的判-断方法。
题目（高一 · 组合几何学）：如图,正方形 $O^{\prime} A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的边长为 $1 \mathrm{~cm}$, 它是水平放置的一个平面-图形的直观图.请画出原来的平面图形的形状,并求原图形的周长与面积.


选项：
答案：见解析, $8 \mathrm{~cm}, 2 \sqrt{2} \mathrm{~cm}^{2}$
解析：【分析】

根据直观图与原图像的边角关系建系画图即可.

## 【详解】

如图, 建立平面直角坐标系 $x O y$, 在 $x$ 轴上取 $O A=O^{\prime} A^{\prime}=1 \mathrm{~cm}$; 在 $y$ 轴上取 $O B=2 O^{\prime} B^{\prime}=2 \sqrt{2} \mathrm{~cm}$; 在过点 $B$ 的 $x$ 轴的平行线上取 $B C=B^{\prime} C^{\prime}=1 \mathrm{~cm}$.



连接 $O, A, B, C$ 各点,即得到原图形.易知,四边形 $O A B C$ 为平行四边

形, $O C=\sqrt{O B^{2}+B C}=\sqrt{8+1}=3(\mathrm{~cm})$,

$\therefore$ 平行四边形 $O A B C$ 的周长为 $(3+1) \times 2=8(\mathrm{~cm})$, 面积 $S=1 \times 2 \sqrt{2}=2 \sqrt{2}\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$.

## 【点睛】

本题主要考查了直观图的画法与四边形面积和周长的求法,属于基础题型.