题目（高三 · 解析几何）：已知 $f(x)=\sqrt{3} \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4}+\cos ^{2} \frac{x}{4}$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调递减区间;

(2) 若 $f(\alpha)=\frac{3}{2}$, 求 $\cos \left(\frac{2 \pi}{3}-\alpha\right)$ 的值;

(3) 将函数 $y=f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{2 \pi}{3}$ 个单位得到 $y=g(x)$ 的图象, 若函数 $y=g$

( $x$ ) $-k$ 在 $\left[0, \frac{7 \pi}{3}\right]$ 上有唯一零点, 求实数 $k$ 的取值范围.
选项：
答案：答案:(1) 函数的单调递减区间为 $\left[\frac{2 \pi}{3}+4 k \pi, 4 k \pi+\frac{8 \pi}{3}\right](k \in Z)$ ；（2） 1 ；（3） $0 \leq k<\frac{1}{2}$ 或 $k=\frac{3}{2}$.

【解析】

(1)由于 $f(x)=\sqrt{3} \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4}+\cos ^{2} \frac{x}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \frac{x}{2}+\frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}+\frac{1}{2}=\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)+\frac{1}{2}$,

令 $\frac{\pi}{2}+2 k \pi \leq \frac{x}{2}+\frac{\pi}{6} \leq 2 k \pi+\frac{3 \pi}{2} \quad(k \in Z)$, 整理得 $\frac{2 \pi}{3}+4 k \pi \leq x \leq 4 k \pi+\frac{8 \pi}{3} \quad(k \in Z)$, 所以函数的单调递减区间为 $\left[\frac{2 \pi}{3}+4 k \pi, 4 k \pi+\frac{8 \pi}{3}\right](k \in Z)$.

(2) 由题意 $f(\alpha)=\frac{3}{2}$, 则 $\sin \left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{6}\right)+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$, 即 $\sin \left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{6}\right)=1$,

由 $\cos \left(\frac{\pi}{3}-\frac{\alpha}{2}\right)=\sin \left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{6}\right)=1$, 则 $\cos \left(\frac{2 \pi}{3}-\alpha\right)=2 \cos ^{2}\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\alpha}{2}\right)-1=2-1=1$

(3)由函数 $y=f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{2 \pi}{3}$ 个单位得到 $y=g(x)=\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)+\frac{1}{2}$ 的图象,

由于 $x \in\left[0, \frac{7 \pi}{3}\right]$, 所以 $\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6} \in\left[-\frac{\pi}{6}, \pi\right]$, 则函数 $y=g(x)-k$ 在 $\left[0, \frac{7 \pi}{3}\right]$ 上有唯一零点, 即得函数 $y=\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)$ 与 $y=k-\frac{1}{2}$ 图像在 $\left[0, \frac{7 \pi}{3}\right]$ 上只有一个交点,所以当 $\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6} \in\left[-\frac{\pi}{6}, 0\right)$ 或 $\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$ 时, 直线 $y=k-\frac{1}{2}$ 与函数 $y=\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)$ 的图象只有一个交点, 则由 $k-\frac{1}{2}=\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right) \in\left[-\frac{1}{2}, 0\right)$ 或 $k-\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi}{2}=1$,解得 $0 \leq k<\frac{1}{2}$ 或 $k=\frac{3}{2}$,即当 $0 \leq k<\frac{1}{2}$ 或 $k=\frac{3}{2}$ 时, 函数 $y=g(x)-k$ 在 $\left[0, \frac{7 \pi}{3}\right]$ 上有唯一零点.
解析：答案:(1) 函数的单调递减区间为 $\left[\frac{2 \pi}{3}+4 k \pi, 4 k \pi+\frac{8 \pi}{3}\right](k \in Z)$ ；（2） 1 ；（3） $0 \leq k<\frac{1}{2}$ 或 $k=\frac{3}{2}$.

【解析】

(1)由于 $f(x)=\sqrt{3} \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4}+\cos ^{2} \frac{x}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \frac{x}{2}+\frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}+\frac{1}{2}=\sin \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi}{6}\right)+\frac{1}{2}$,

令 $\frac{\pi}{2}+2 k \pi \leq \frac{x}{2}+\frac{\pi}{6} \leq 2 k \pi+\frac{3 \pi}{2} \quad(k \in Z)$, 整理得 $\frac{2 \pi}{3}+4 k \pi \leq x \leq 4 k \pi+\frac{8 \pi}{3} \quad(k \in Z)$, 所以函数的单调递减区间为 $\left[\frac{2 \pi}{3}+4 k \pi, 4 k \pi+\frac{8 \pi}{3}\right](k \in Z)$.

(2) 由题意 $f(\alpha)=\frac{3}{2}$, 则 $\sin \left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{6}\right)+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$, 即 $\sin \left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{6}\right)=1$,

由 $\cos \left(\frac{\pi}{3}-\frac{\alpha}{2}\right)=\sin \left(\frac{\alpha}{2}+\frac{\pi}{6}\right)=1$, 则 $\cos \left(\frac{2 \pi}{3}-\alpha\right)=2 \cos ^{2}\left(\frac{\pi}{3}-\frac{\alpha}{2}\right)-1=2-1=1$

(3)由函数 $y=f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{2 \pi}{3}$ 个单位得到 $y=g(x)=\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)+\frac{1}{2}$ 的图象,

由于 $x \in\left[0, \frac{7 \pi}{3}\right]$, 所以 $\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6} \in\left[-\frac{\pi}{6}, \pi\right]$, 则函数 $y=g(x)-k$ 在 $\left[0, \frac{7 \pi}{3}\right]$ 上有唯一零点, 即得函数 $y=\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)$ 与 $y=k-\frac{1}{2}$ 图像在 $\left[0, \frac{7 \pi}{3}\right]$ 上只有一个交点,所以当 $\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6} \in\left[-\frac{\pi}{6}, 0\right)$ 或 $\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$ 时, 直线 $y=k-\frac{1}{2}$ 与函数 $y=\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right)$ 的图象只有一个交点, 则由 $k-\frac{1}{2}=\sin \left(\frac{x}{2}-\frac{\pi}{6}\right) \in\left[-\frac{1}{2}, 0\right)$ 或 $k-\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi}{2}=1$,解得 $0 \leq k<\frac{1}{2}$ 或 $k=\frac{3}{2}$,即当 $0 \leq k<\frac{1}{2}$ 或 $k=\frac{3}{2}$ 时, 函数 $y=g(x)-k$ 在 $\left[0, \frac{7 \pi}{3}\right]$ 上有唯一零点.