eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高一 · 代数）：设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a-3^{x}, & x \leq 0 \\ 2 x+1, & x>0\end{array}\right.$, 若函数 $f(x)$ 有最小值, 则实数 $a$ 的取值范围是 ( )
选项：
A. $[2,+\infty)$
B. $(1,2]$
C. $(-\infty, 2)$
D. $(-\infty, 2]$
答案：D
解析：D

【详解】

当 $x>0$ 时, $f(x)=2 x+1$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增, 则值域为 $(1,+\infty)$;

当 $x \leq 0$ 时, $f(x)=a-3^{x}$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递减, 则值域为 $[a-1, a)$;

因为函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a-3^{x}, & x \leq 0 \\ 2 x+1, & x>0\end{array}\right.$,

所以函数 $f(x)$ 有最小值时, 需满足 $a-1 \leq 1$, 即 $a \leq 2$,

所以实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty, 2]$,

故选: D

【点睛】

该题考查的是有关函数的问题, 涉及到的知识点有指数函数的值域, 以及根据分段函数有最值求参数的取值范围，属于简单题目.
题目（高一 · 代数）：若函数 $y=a^{x}+b$ 的部分图象如下图所示, 则 ( )


选项：
A. $0<a<1,-1<b<0$
B. $0<a<1,0<b<1$
C. $a>1,-1<b<0$
D. $a>1,0<b<1$
答案：A
解析：【详解】

由题,函数图象恒过点 $(0,1+b)$, 由图象可得 $0<1+b<1$, 即 $-1<b<0$,

显然,函数单调递减, 所以 $0<a<1$,

故选:A

【点睛】

本题考查指数函数的图象的应用,属于基础题
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=e^{x}(1+x)$, 那么不等式 $f(x)<0$ 的解集是 ( )
选项：
A. $(-\infty,-e)$
B. $(-\infty,-1)$
C. $(-\infty, 1)$
D. $(-\infty, e)$
答案：B
解析：【详解】

由于对任意 $x \in \mathbf{R}, e^{x}>0$, 所以不等式 $f(x)<0 \Leftrightarrow x+1<0 \Leftrightarrow x<-1$, 所以不等式的解集为 $(-\infty,-1)$

故选: B

【点睛】

本小题主要考查含有指数函数的不等式的解法, 属于基础题.
题目（高一 · 代数）：已知关于 $x$ 的不等式 $2^{x}-a>0$ 在区间 $\left(-1,-\frac{1}{2}\right)$ 上有解, 那么实数 $a$ 的取值范围是 ( )
选项：
A. $\left(-\infty, \frac{1}{2}\right)$
B. $\left(-\infty, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
C. $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
D. $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},+\infty\right)$
答案：B
解析：B

【详解】

由于关于 $x$ 的不等式 $2^{x}-a>0$ 在区间 $\left(-1,-\frac{1}{2}\right)$ 上有解,

所以存在 $x \in\left(-1,-\frac{1}{2}\right)$, 使得 $a<2^{x}$, 也即 $a<\left(2^{x}\right)_{\text {max }}$,

由于 $y=2^{x}$ 在 $\left(-1,-\frac{1}{2}\right)$ 上递增, 当 $x=-\frac{1}{2}$ 时, $y=2^{-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,

所以 $a<\frac{\sqrt{2}}{2}$.

故选: B

【点睛】

本小题主要考查存在性问题的求解, 属于基础题.
题目（高一 · 代数）：已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\left(\frac{1}{2}\right)^{x-1}, x \leq 3 \\ f(x-6), x>3\end{array}\right.$ 则 $f(18)$ 的值为 ( )
选项：
A. $\frac{1}{2}$
B. 1
C. 0
D. 2
答案：D
解析：【详解】

由题得 $f(18)=f(12)=f(6)=f(0)=\left(\frac{1}{2}\right)^{0-1}=2$.

故答案为: D.

【点睛】

(1)本题主要考查分段函数求值, 意在考查学生对这些基础知识的掌握水平.(2)分段函数求值的关键是看自变量属于函数的哪一段, 如果不能确定就分类讨论.
题目（高一 · 代数）：设 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数, 当 $x \leq 0$ 时, $f(x)=2 x^{2}-x$, 则 $f(1)=(\quad)$
选项：
A. -3
B. -1
C. 1
D. 3
答案：A
解析：

试题分析：因为当 $x \leq 0$ 时,所以

$f(-1)=2 \times(-1)^{2}-(-1)=3$. 又因为 $f(x)$ 是定义在 $\mathrm{R}$ 上的奇函数, 所以 $f(1)=-f(-1)=-3$. 故应选 A.

考点: 函数奇偶性的性质.
题目（高一 · 代数）：已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x-5 & , x \geq 6 \\ f(x+2) & , x<6\end{array}\right.$, 则 $f(3)$ 为 $(\quad)$
选项：
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
答案：A
解析：【详解】

$f(3)=f(3+2)=f(5+2)=7-5=2$

故选: A

【点睛】

本题考查分段函数求值, 考查基本分析求解能力, 属基础题.
题目（高一 · 代数）：下列各组函数是同一函数的是 ( )
选项：
A. $y=\frac{|x|}{x}$ 与 $y=1$
B. $y=\frac{x^{2}}{x}$ 与 $y=x$
C. $y=\frac{x^{3}+x}{x^{2}+1}$ 与 $y=x$
D. $y=\sqrt{(x-1)^{2}}$ 与 $y=x-1$
答案：C
解析：对于 $A, y=\frac{|x|}{x}$ 的定义域是 $\{x \mid x \neq 0\}, y=1$ 的定义域是 $R, \therefore y=\frac{|x|}{x}$ 与 $y=1$ 不是同一函数, 故 $A$ 错误;

对于 $B, y=\frac{x^{2}}{x}$ 的定义域是 $\{x \mid x \neq 0\}, y=x$ 的定义域是 $R, \therefore y=\frac{x^{2}}{x}$ 与 $y=x$ 不是同一函数, 故 $B$错误;

对于 $C, y=\frac{x^{3}+x}{x^{2}+1}=x$ 与 $y=x$ 对应关系相同, 定义域者是 $R, \therefore y=\frac{x^{3}+x}{x^{2}+1}$ 与 $y=x$ 是同一函数, 故 $C$ 正确;

对于 $D, y=\sqrt{(x-1)^{2}}=\left\{\begin{array}{l}x-1, x \geqslant 1 \\ 1-x, x<1\end{array}\right.$, 当 $x<1$ 时, $y=\sqrt{(x-1)^{2}}$ 与 $y=x-1$ 对应关系不同, $\therefore$ $y=\sqrt{(x-1)^{2}}$ 与 $y=x-1$ 不是同一函数, 故 $D$ 错误.

故选: $C$.

【点睛】

本题考查两个函数是否是同一函数的判断, 考查同一函数的定义等基础知识, 考查运算求解能力, 属于基础题.
题目（高一 · 代数）：下列函数是偶函数的是 ( )
选项：
A. $y=2 x^{2}-3$
B. $y=x$
C. $y=x^{-\frac{1}{2}}$
D. $y=x^{2}, x \in[0,1]$
答案：A
解析：

C. y=x^-frac12 定义域为 (0,+infty) 定义域不关于原点对称, 不存在奇偶性;

D. y=x^2, x in[0,1] 定义域不关于原点对称, 不存在奇偶性;

B. y=x 为奇函数

A. y=2 x^2-3 定义域为 R, f(-x)=2(-x)^2-3=2 x^2-3=f(x) 故 y=2 x^2-3 为偶函数
选 A
题目（高一 · 代数）：设函数 $f(x), g(x)$ 的定义域都为 $R$, 且 $f(x)$ 是奇函数, $g(x)$ 是偶函数, 则下列结论正确的是
选项：
A. $f(x) \cdot g(x)$ 是偶函数
B. $|f(x)| \cdot g(x)$ 是奇函数
C. $f(x) \cdot|g(x)|$ 是奇函数
D. $|f(x) \cdot g(x)|$ 是奇函数
答案：C
解析：$\because f(x)$ 是奇函数, $g(x)$ 是偶函数,

$\therefore f(-x)=-f(x), g(-x)=g(x)$,

$f(-x) \cdot g(-x)=-f(x) \cdot g(x)$, 故函数是奇函数, 故 $A$ 错误,

$|f(-x)| \cdot g(-x)=|f(x)| \cdot g(x)$ 为偶函数, 故 $B$ 错误,

$f(-x) \cdot|g(-x)|=-f(x) \cdot|g(x)|$ 是奇函数, 故 $C$ 正确.

$|f(-x) \bullet g(-x)|=|f(x) \bullet g(x)|$ 为偶函数, 故 $D$ 错误,

故选: $C$.

【点睛】

本题主要考查函数奇偶性的判断, 根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=4 \mathrm{x}^{2}-\mathrm{kx}-8$ 在区间 $(5,20)$ 上既没有最大值也没有最小值, 则实数 $\mathrm{k}$ 的取值范围是
选项：
A. $[160,+\infty)$

B. $(-\infty, 40]$

C. $(-\infty, 40] \cup[160,+\infty)$

D. $(-\infty, 20] \cup[80,+\infty)$
答案：C
解析：【详解】

由于二次函数 $f(x)=4 x^{2}-k x-8$ 在区间 $(5,20)$ 上既没有最大值也没有最小值,

因此函数 $f(x)=4 x^{2}-k x-8$ 在区间 $(5,20)$ 上是单调函数,

二次函数 $f(x)=4 x^{2}-k x-8$ 图象的对称轴方程为 $x=\frac{k}{8}$,

因此 $\frac{k}{8} \leq 5$ 或 $\frac{k}{8} \geq 20, \therefore k \leq 40$ 或 $k \geq 160$, 故选 C.

【点睛】

本题主要考查了二次函数的性质的应用, 解题的关键是判断二次函数在对应区间上的单调性, 讨论对称轴与所给区间的关系，本题属于中档题.
题目（高一 · 代数）：设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{c}\left|x^{2}-x-2\right|, x \geq a \\ a x-6, x<a\end{array}\right.$ 是定义在 $R$ 上的增函数, 则实数 $a$ 取值范围 ( )
选项：
A. $[2,+\infty)$
B. $[0,3]$
C. $[2,3]$
D. $[2,4]$
答案：D
解析：【详解】

画出函数 $y=\left|x^{2}-x-2\right|$ 的图象如下图所示,



结合图象可得, 要使函数 $(x)=\left\{\begin{array}{c}\left|x^{2}-x-2\right|, x \geq a, \\ a x-6, x<a,\end{array}\right.$ 是在 $R$ 上的增函数,

需满足 $\left\{\begin{array}{c}a \geq 2 \\ a^{2}-a-2 \geq a^{2}-6\end{array}\right.$, 解得 $2 \leq x \leq 4$.

所以实数 $\boldsymbol{a}$ 取值范围是 $[2,4]$.

故选 D.

【点睛】

解答本题的关键有两个: (1) 画出函数的图象, 结合图象求解, 增强了解题的直观性和形象性; (2) 讨论函数在实数集上的单调性时, 除了考虑每个段上的单调性之外, 还要考虑在分界点处的函数值的大小关系.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $R, f(x+2)$ 是偶函数, $f(4)=2, f(x)$ 在 $(-\infty, 2)$ 上单调递增, 则不
等式 $f(4 x-1)>2$ 的解集为 $(\quad)$
选项：
A. $\left(\frac{1}{4}, \frac{5}{4}\right)$
B. $\left(-\infty, \frac{1}{4}\right) \cup\left(\frac{5}{4},+\infty\right)$
C. $(-\infty,-1) \cup(17,+\infty)$
D. $(-1,17)$
答案：A
解析：【详解】

依题意:

函数 $f(x)$ 的图象关于 $x=2$ 对称,

则 $f(4)=f(0)=2$,

且 $f(x)$ 在 $(-\infty, 2)$ 上单调递增

故 $f(4 x-1)>2 \Rightarrow 0<4 x-1<4$,

所以 $\frac{1}{4}<x<\frac{5}{4}$

故选: A.

【点睛】

本题考查抽象函数的性质, 主要考查利用函数单调性求解不等式, 中档题.
题目（高一 · 代数）：已知 $f(x)$ 是 $R$ 上的偶函数, $g(x)$ 是 $R$ 上的奇函数, 它们的部分图像如图, 则 $f(x) g(x)$ 的图像大致是 ( )


选项：
A.


B.


C.


D.


答案：C
解析：【详解】

由题意, 函数 $f(x)$ 是 $R$ 上的偶函数, $g(x)$ 是 $R$ 上的奇函数,

则函数 $F(x)=f(x) g(x)$, 可得 $F(-x)=f(-x) g(-x)=-f(x) g(x)=-F(x)$,

所以函数 $F(x)=f(x) g(x)$ 为奇函数, 图象关于原点对称, 排除 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$;

又由函数 $f(x), g(x)$ 的图象可知, 当 $x>0$ 时, $f(x)>0, g(x)>0$, 所以 $F(x)>0$,可排除 D，故选 C.

【点睛】

本题主要考查了函数的图象的识别, 以及函数的奇偶性的应用问题, 其中解答中根据题意函数 $f(x), g(x)$ 的奇偶性, 得到 $F(x)$ 的奇偶性, 再根据函数的取值进行排除是解答的关键, 着重考查了分析问题和解答问题的能力, 属于基础题.
题目（高一 · 代数）：某学生从家里去学校上学, 骑自行车一段时间, 因自行车爆胎, 后来推车步行, 下图中横轴表示出发后的时间, 纵轴表示该生离学校的距离, 则较符合该学生走法的图是 ( )
选项：
A.


B.


C.


D.


答案：D
解析：

先利用函数的单调性排除两项, 再利用曲线的斜率反映行进速度的特点选出正确结果: 随着时间的增加,距学校的距离在减小, 即函数图象应为减函数, 排除 $\mathrm{A} 、 \mathrm{C}$

曲线的斜率反映行进的速度, 斜率的绝对值越大速度越大, 步行后速度变小, 故排除 $\mathrm{B}$

故选 D
题目（高一 · 代数）：下列函数图像与 $x$ 轴均有交点, 但不宜用二分法求函数的零点的是 ( )
选项：
A.


B.


C.


D.


答案：B
解析：$\because \mathrm{B}$ 选项中的零点不是变号零点,

$\therefore$ 该零点不宜用二分法求解,

故选: B.
题目（高一 · 代数）：以下每个图象表示的函数都有零点, 但不能用二分法求函数零点的是 ( )
选项：
A.


B.


C.


D.


答案：C
解析：根据二分法的思想, 函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在区间 $[\mathrm{a}, \mathrm{b}]$ 上的图象连续不断, 且 $\mathrm{f}(\mathrm{a}) \cdot \mathrm{f}(\mathrm{b})<0$, 即函数的零点是变号零点, 才能将区间 $[\mathrm{a}, \mathrm{b}]$ 一分为二, 逐步得到零点的近似值, 对各图象分析可知, A, B, D 都符合条件,而选项 C 不符合, 因为图象经过零点时函数值不变号, 因此不能用二分法求函数零点.

故选 C
题目（高一 · 代数）：函数 $f(x)=\log _{2} x+2 x-1$ 的零点必落在区间 ( )
选项：
A. $(1,2)$
B. $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$
C. $\left(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}\right)$
D. $\left(\frac{1}{8}, \frac{1}{4}\right)$
答案：B
解析：由题得 $f\left(\frac{1}{2}\right)=\log _{2} \frac{1}{2}+1-1=-1<0, f(1)=\log _{2} 1+2-1=1>0$,

而 $f\left(\frac{1}{2}\right) f(1)<0 ，$
根据函数零点存在性定理可得函数 $f(x)$ 在区间 $\left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 上存在零点。

故答案为 B.
题目（高一 · 代数）：函数 $f(x)=|\ln x|-\frac{x}{e}$ 的零点个数为 ( )
选项：
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：C
解析：因为函数 $f(x)=|\ln x|-\frac{x}{e}$ 的零点个数即方程 $f(x)=|\ln x|-\frac{x}{e}=0$ 的根的个数,故可化为 $y=|\ln x|$ 与 $y=\frac{x}{e}$ 图象的交点的个数,

当 $x>1$ 时, $y=|\ln x|=\ln x$,

$y^{\prime}=\frac{1}{x}$,

令 $y^{\prime}=\frac{1}{x}=\frac{1}{e}$, 可解的 $x=e$,

所以直线 $y=\frac{x}{e}$ 与 $y=|\ln x|(x>1)$ 相切于点 $(e, 1)$,

作出函数 $y=|\ln x|$ 与函数 $y=\frac{x}{e}$ 图象如图:



由图象可知, 函数 $y=|\ln x|$ 与函数 $y=\frac{x}{e}$ 图象有 2 个交点,

故函数 $f(x)=|\ln x|-\frac{x}{e}$ 的零点个数为 2 个,

故选: $C$
题目（高一 · 代数）：下列函数的图象均与 $X$ 轴有交点, 其中不宜用二分法求交点横坐标的是（）.
选项：
A.


B.


C.


D.


答案：C
解析：C

【解析】

由题可知: 利用二分法求函数与 $X$ 轴交点的横坐标该函数的零点必须是变号零点,所以根据这个条件可知, 不宜用二分法求交点横坐标的是选项 C

故选: C
题目（高一 · 代数）：下列函数图像与 $\mathrm{x}$ 轴均有公共点, 其中能用二分法求零点的是 ( )
选项：
A.


B.


C.


D.


答案：C
解析：能用二分法求零点的函数必须在给定区间 $[a, b]$ 上连续不断, 并且有 $f(a) \cdot f(b)<0 A 、 B$ 中不存在 $f(x)<0, D$ 中函数不连续.

故选 $C$.
题目（高一 · 代数）：函数 $f(x)={ }_{x}+\frac{1}{x}$ 的零点个数为 $(\quad)$
选项：
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：A
解析：

令 $x+\frac{1}{x}=0$, 即 $\frac{x^{2}+1}{x}=0$, 显然该方程无解, 即函数 $f(x)=x+\frac{1}{x}$ 的零点个数为 0 ; 故选 A.
题目（高一 · 代数）：如图是函数 $f(x)$ 的图象, 它与 $x$ 轴有 4 个不同的公共点. 给出的下列四个区间之中, 存在不能用二分法求出的零点, 该零点所在的区间是 ( )


选项：
A. $[-2.1,-1]$
B. $[4.1,5]$
C. $[1.9,2.3]$
D. $[5,6.1]$
答案：C
解析：结合图象可得：ABD 选项每个区间的两个端点函数值异号，可以用二分法求出零点，

$\mathrm{C}$ 选项区间两个端点函数值同号，不能用二分法求零点.

故选: C
题目（高一 · 代数）：函数 $f(x)=\left(\frac{5}{2}\right)^{x}-4$ 的零点所在的区间是 ( )
选项：
A. $(1,2)$
B. $(2,3)$
C. $(3,4)$
D. $(0,1)$
答案：A
解析：$f(x)$ 是单调递增函数, 且 $f(1)=-\frac{3}{2}<0, f(2)=\frac{9}{4}>0$,

所以 $f(x)$ 的零点所在的区间为 $(1,2)$

故选: A
题目（高一 · 代数）：已知 $f(x)=-x-x^{3}, x \in[a, b]$, 且 $f(a) \cdot f(b)<0$, 则 $f(x)=0$ 在 $[a, b]$ 内 ( )
选项：
A. 至少有一个实根
B. 至多有一个实根
C. 没有实根
D. 有唯一实根
答案：D
解析：设 $x_{1}, x_{2} \in[a, b]$, 且 $x_{1}<x_{2}$, 则

$f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)=-x_{1}-x_{1}^{3}+x_{2}+x_{2}^{3}=\left(x_{2}-x_{1}\right)+\left(x_{2}^{3}-x_{1}^{3}\right)$,

因为 $x_{1}<x_{2}$, 所以 $\left(x_{2}-x_{1}\right)+\left(x_{2}^{3}-x_{1}^{3}\right)>0$, 即 $f\left(x_{1}\right)>f\left(x_{2}\right)$

所以 $f(x)=-x-x^{3}$ 在 $[a, b]$ 上单调递减,

因为 $f(a) \cdot f(b)<0$,

所以 $f(x)=0$ 在 $[a, b]$ 内有唯一解.

故选: D
题目（高一 · 代数）：下列函数中, 既是偶函数又存在零点的是 ( )
选项：
A. $y=2^{x}-2$
B. $y=x^{3}$
C. $y=\ln x$
D. $y=x^{2}-1$
答案：D
解析：

A. 因为 $f(-x)=2^{-x}-2 \neq 2^{x}-2=f(x)$, 所以是非奇非偶函数, 故错误;

B. 因为 $f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x)$, 所以是奇函数, 故错误;

C. 因为函数 $y=\ln x$ 的定义域为 $(0,+\infty)$, 所以是非奇非偶函数, 故错误;

D. 因为 $f(-x)=(-x)^{2}-1=x^{2}-1=f(x)$, 所以是偶函数, 令 $f(x)=0$, 解得 $x= \pm 1$, 故正确;

故选: D
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{x}, x \leq 0, \\ \ln x, x>0,\end{array} g(x)=f(x)+x+a\right.$. 若 $g(x)$ 存在 2 个零点, 则 $a$ 的取值范围是
选项：
A. $[-1,0)$
B. $[0,+\infty)$
C. $[-1,+\infty)$
D. $[1,+\infty)$
答案：C
解析：

分析: 首先根据 g(x) 存在 2 个零点, 得到方程 f(x)+x+a=0 有两个解, 将其转化为 f(x)=-x-a 有两个解, 即直线 y=-x-a 与曲线 y=f(x) 有两个交点, 根据题中所给的函数解析式, 画出函数 f(x) 的
图像（将 e^x(x>0) 去掉）, 再画出直线 y=-x, 并将其上下移动, 从图中可以发现, 当 -a leq 1 时, 满足 y=-x-a 与曲线 y=f(x) 有两个交点, 从而求得结果.

画出函数 $f(x)$ 的图像, $y=e^{x}$ 在 $\mathrm{y}$ 轴右侧的去掉,

再画出直线 $y=-x$, 之后上下移动,

可以发现当直线过点 $\mathrm{A}$ 时，直线与函数图像有两个交点，

并且向下可以无限移动, 都可以保证直线与函数的图像有两个交点,

即方程 $f(x)=-x-a$ 有两个解,

也就是函数 $g(x)$ 有两个零点,

此时满足 $-a \leq 1$, 即 $a \geq-1$, 故选 C.
题目（高一 · 代数）：函数 $y=\left|\log _{2} x\right|-2^{-x}$ 的零点个数为 ( )
选项：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：B
解析：

试题分析：由题求 $y=\left|\log _{2} x\right|-2^{-x}$ 的零点. 可分别化为两个函数： $y_{1}=\left|\log _{2} x\right|, y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$

分别（注: $y_{1}=\left|\log _{2} x\right|$ 的图像可将 $y_{1}=\log _{2} x$ 的图像 $\mathrm{x}$ 轴下方的部分沿 $\mathrm{x}$ 轴向上翻转可得）画出它们的图像,



由图中交点个数即为零点的个数. 由图易得由两个交点.
题目（高一 · 代数）：若函数 $f(x)=a x+b$ 的零点是 $2(a \neq 0)$, 则函数 $g(x)=a x^{2}+b x$ 的零点是 ( )
选项：
A. 2
B. 2 和 0
C. 0
D. -2 和 0
答案：B
解析：

由条件知 $f(2)=0, \therefore b=-2 a, \therefore g(x)=a x^{2}+b x=a x(x-2)$ 的零点为 0 和 2 .

故选 B.
题目（高一 · 代数）：函数 $y=\log _{\frac{1}{2}}\left(-x^{2}+x+6\right)$ 的零点个数为 ( )
选项：
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
答案：C
解析：

令 $y=0$, 则 $\log _{\frac{1}{2}}\left(-x^{2}+x+6\right)=0$,

即 $-x^{2}+x+5=0$, 又 $\Delta=1+20>0$,

故该方程有两根, 且均满足函数定义域.

故该函数有两个零点.

故选: $C$
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=2 a x-a+3$, 若 $\exists x_{0} \in(-1,1), f\left(x_{0}\right)=0$, 则实数 $a$ 的取值范围是 ( )
选项：
A. $(-\infty,-3) \cup(1,+\infty)$
B. $(-\infty,-3)$
C. $(-3,1)$
D. $(1,+\infty)$
答案：A
解析：

函数 $f(x)=2 a x-a+3$, 若 $\exists x_{0} \in(-1,1), f\left(x_{0}\right)=0$, 可得 $f(1) f(-1)=(-3 a+3)(a+3)<0$, 解得 $a<-3$ 或 $a>1$, 则实数 $a$ 的取值范围是 $(-\infty,-3) \cup(1,+\infty)$, 故选 A.
题目（高一 · 代数）：函数 $y=x^{2}-3 x+2$ 的零点是 $(\quad)$
选项：
A. 1,2
B. $-1,-2$
C. $(1,0) 、(2,0)$
D. $(-1,0)$ 、 $(-2,0)$
答案：A
解析：由题意, 令 $x^{2}-3 x+2=0$, 解得 $x=1$ 或 $x=2$,

即函数 $y=x^{2}-3 x+2$ 的零点是 1,2 .

故答案为: A.

【分析】令 $x^{2}-3 x+2=0$, 求解即可.
题目（高一 · 代数）：若定义在 $\mathrm{R}$ 上的偶函数 $f(x)$ 满足 $f(x+2)=f(x)$, 且 $x \in[0,1]_{\text {时, }} f(x)=x$, 则函数


选项：
A. 2 个
B. 4 个
C. 6 个
D. 8 个
答案：D
解析：$\because f(x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数, 且 $x \in[0,1]$ 时, $f(x)=x$,

当 $x \in[-1,0]$ 时, $-x \in[0,1], f(-x)=-x, \therefore f(x)=-x$,

又 $f(x)$ 满足 $f(x+2)=f(x)$,

所以 $f(x)$ 是周期为 2 的偶函数, 且 $f(x) \in[0,1]$,

令 $h(x)=0, f(x)=\log _{5}|x| \in[0,1], x \in[-5,-1] \cup[1,5]$,
设 $g(x)=\log _{9}|x|$, 则 $g(x)$ 为偶函数,

所以 $h(x)$ 的零点的个数为 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $[1,5]$ 上交点个数的两倍,

画出 $f(x), g(x)$ 在 $[1,5]$ 图象,



可得 $f(x)$ 与 $g(x)$ 在 $[1,5]$ 上交点个数为 4 个,



故答案为: D

【分析】根据已知可得 $f(x)$ 是周期为 2 的偶函数, 令 $h(x)=0$, 转化为求出 $y=f(x)$ 图象与
题目（高一 · 代数）：函数 $f(x)=3-x+\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ 零点的个数是 ( )
选项：
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：B
解析：函数 $f(x)=3-x+\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ 零点的个数,

即方程 $\left(\frac{1}{2}\right)^{x}=x-3$ 的根的个数,

所以只需求函数 $y=x-3$ 和函数 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ 交点的个数

在同一坐标系中分别作出函数 $y=x-3$ 和函数 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ 的图像.



如图所示, 函数 $y=x-3$ 和函数 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ 交点有 1 个.

故答案为: B

【分析】求函数 $y=x-3$ 和函数 $y=\left(\frac{1}{2}\right)^{x}$ 交点的个数, 数形结合可得结论.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=2^{3-x}$, 若函数 $g(x)=f(x)-2 f\left(m^{2}-m\right)$ 有两个零点, 则实数 $m$ 的取值范围为
选项：
A. $\left(-\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2}\right)$
B. $\left(-\infty,-\frac{\sqrt{5}}{2}\right) \cup\left(\frac{\sqrt{5}}{2},+\infty\right)$
C. $\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}, \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$
D. $\left(-\infty, \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right) \cup\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2},+\infty\right)$
答案：D
解析：令 $g(x)=0$, 即 $f(x)-2 f\left(m^{2}-m\right)=0$,

又因为 $f(x)=2^{3-x}$,

所以 $2^{3-|x|}-2^{4-\left(m^{2}-m\right)}=0$, 即 $2^{3-x \mid}=2^{4-\left(m^{2}-m\right)}$,

所以 $3-|x|=4-\left|m^{2}-m\right|$, 即 $|x|=\left|m^{2}-m\right|-1$,

因为函数 $g(x)=f(x \mid)-2 f\left(m^{2}-m\right)$ 有两个零点,

则 $|x|=\left|m^{2}-m\right|-1$ 有两个零点, 即 $y=|x|$ 与 $y=\left|m^{2}-m\right|-1$ 有两个交点,

所以 $\left|m^{2}-m\right|-1>0$, 即 $m^{2}-m>1$ 或 $m^{2}-m<-1$,

显然 $m^{2}-m>1$ 的解集为 $\left(-\infty, \frac{1-\sqrt{5}}{2}\right) \cup\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2},+\infty\right)$,

$m^{2}-m<-1$ 无解,

故选: D

【分析】令 $g(x)=0$, 可得 $f(x)=2 f\left(m^{2}-m\right)$, 代入解析式可得 $2^{3-x \mid}=2^{4-\left(m^{2}-m\right)}$, 从而可得 $|x|=\left|m^{2}-m\right|-1$, 只需 $\left|m^{2}-m\right|-1>0$, 解不等式即可.

二、填空题
题目（高一 · 代数）：方程 $\lg x+2 x=3$ 的解所在区间为 ( )
选项：
A. $(0,1)$
B. $(1,2)$
C. $(2,3)$
D. $(3,4)$
答案：B
解析：取 $f(x)=\lg x+2 x-3$, 则函数单调递增, $f(1)=-1<0, f(2)=\lg 2+1>0$,

故函数在 $(1,2)$ 上有唯一零点, 即 $\lg x+2 x=3$ 的解所在区间为 $(1,2)$.

故答案为: $B$.

【分析】取 $f(x)=\lg x+2 x-3$, 则函数单调递增, 根据零点存在定理计算得到答案.
题目（高一 · 代数）：函数 $f(x)=e^{x-1}+x-3$ 的零点所在的区间是（）
选项：
A. $(-1,0)$
B. $(0,1)$
C. $(1,2)$
D. $(2,3)$
答案：C
解析：因为 $f(x)=e^{x-1}+x-3$ 单调递增, 且是连续函数,

故函数 $f(x)$ 至多有一个零点,

因为 $f(1)=1+1-3=-1<0, f(2)=e+2-3=e-1>0$,

所以 $f(1) f(2)<0$,

所以函数 $f(x)=e^{x-1}+x-3$ 的零点所在区间是 (1, 2),

故选 C.

【分析】判断函数的单调性, 利用函数零点存在定理, 对区间端点函数值进行符号判断, 异号的就是函数零点存在的区间.
题目（高一 · 代数）：设 $\alpha, \beta$ 是方程 $2 x^{2}+3 x+1=0$ 的两根, 则 $\left(\frac{1}{4}\right)^{\alpha+\beta}$ 的值为 ( )
选项：
A. 8
B. $\frac{1}{8}$
C. -8
.D. $-\frac{1}{8}$
答案：A
解析：由题意可知 $a+\beta=-\frac{3}{2}$, 得 $\left(\frac{1}{4}\right)^{\alpha+\beta}=\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}}=4^{\frac{3}{2}}=\sqrt{4^{3}}=8$,故答案为: A

【分析】利用韦达定理得到 $a+\beta=-\frac{3}{2}$, 代入计算得到答案.
题目（高一 · 代数）：方程 $2 \ln x=6-x$ 的解所在的区间是( )
选项：
A. $(0,1)$
B. $(1,2)$
C. $(2,3)$
D. $(3,4)$
答案：D
解析：方程 $2 \ln x=6-x$ 的解所在的区间即函数 $f(x)=2 \ln x+x-6$ 的零点所在的区间,

由于: $f(0) \rightarrow-\infty, f(1)=-5<0$,

$f(2)=2 \ln 2-4<0, \quad f(3)=2 \ln 3-3<0, \quad f(4)=2 \ln 4-2>0$,

结合函数零点存在定理可得函数零点所在区间为 $(3,4)$.

故答案为: D.

【分析】由题意结合零点存在定理确定方程的解所在的区间即可.
题目（高一 · 代数）：已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\log _{2}(1-x), & x \leq 0 \\ -x^{2}+4 x, & x>0,\end{array}\right.$ 则函数 $g(x)=f\lfloor f(x)\rfloor-1$ 的零点个数为 ( )
选项：
A. 4
คB. 7
C. 8
D. 9
答案：B
解析：令 $f(x)=t$, 则可得 $f(t)=1$,

当 $t \leq 0$ 时, 即可得 $\log _{2}(1-t)=1$, 解得 $t=-1$;

当 $t>0$ 时, 即可得 $-t^{2}+4 t=1$, 解得 $t=2^{ \pm} \sqrt{3}$.

则 $f(x)=-1$, 或 $f(x)=2+\sqrt{3}$, 或 $f(x)=2-\sqrt{3}$

当 $x \leq 0$ 时,

令 $\log _{2}(1-x)=-1$, 解得 $x=\frac{1}{2}$, 不满足题意;

令 $\log _{2}(1-x)=2+\sqrt{3}$, 解得 $x=1-2^{2+\sqrt{3}} \leq 0$, 满足题意;

令 $\log _{2}(1-x)=2-\sqrt{3}$, 解得 $x=1-2^{2-\sqrt{3}} \leq 0$, 满足题意.

当 $x>0$ 时,

令 $-x^{2}+4 x=-1$, 解得 $x=2+\sqrt{5}$ 或 $x=2-\sqrt{5}$ (舍);

令 $-x^{2}+4 x=2+\sqrt{3}$, 整理得 $x^{2}-4 x+2+\sqrt{3}=0$,

解得 $x=2+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$ 或 $x=2-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$ 满足题意;

令 $-x^{2}+4 x=2-\sqrt{3}$, 整理得 $x=2+\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$ 或 $x=2-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$ 满足题意.

综上所述, 函数零点有 $1-2^{2+\sqrt{3}}, 1-2^{2-\sqrt{3}}, 2+\sqrt{5}, 2 \pm \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}, 2 \pm \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$ 共计 7 个.

故答案为: B.

【分析】令 $f(x)=t$, 求得 $f(t)=1$ 的根, 再求 $f(x)=t$ 的根, 则问题得解.
题目（高一 · 代数）：若函数 $f(x)=\log _{3} x+x-3$ 的一个零点附近的函数值用二分法逐次计算的参考数据如下:

| $f(2)=-0.3691$ | $f(2.5)=0.3340$ |
| :--- | :--- |
| $f(2.25)=-0.0119$ | $f(2.375)=0.1624$ |
| $f(2.3125)=0.0756$ | $f(2.28125)=0.0319$ |

那么方程 $\log _{3} x+x-3=0$ 的一个近似根（精确度 $0.1 ＼mathrm{~ ） 为 ~(~) . ~}$
选项：
A. 2.1
B. 2.2
C. $2 \cdot 3$
D. 2.4
答案：C
解析：由函数 $f(x)=\log _{3 x+x-3}$ 为增函数,

由参考数据可得 $f(2.25) \cdot f(2.3125)<0$,

且 $|2.3125-2.25|=0.0625<0.1$,



也即方程 $\log _{3} x+x-3=0$ 根的近似值.

故答案为: C.

【分析】先研究函数 $f(x)=\log _{3} x+x-3$, 再利用函数的单调性, 结合二分法求函数零点, 由参考

数据可得 $f(2.25) \cdot f(2.3125)<0$, 且 $|2.3125-2.25|=0.0625<0.1$, 可得解.
题目（高一 · 代数）：下列函数图象与 $x$ 轴均有交点, 其中不能用二分法求函数零点的是（ ）
选项：
A.



B.



C.



D.


答案：D
解析：能用二分法求函数零点的函数，在零点的左右两侧的函数值符号相反,

由图象可得, 只有 $\mathrm{D}$ 不能满足此条件, 故答案为: D.

【分析】根据题意由图像利用二分法的定义，结合选项的函数图像即可得出结果。
题目（高一 · 代数）：函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+\mathrm{x}-3$ 在区间 $(0,1)$ 内的零点个数是 $(\quad)$
选项：
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：B
解析：$\because$ 函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+\mathrm{x}-2$ 在区间 $(0,1)$ 内单调递增,

$\because f(0)=1+1-3=-1<0$, 且 $f(1)=e+1-3>0, \therefore f(0) f(1)<0$,

$\therefore$ 函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+\mathrm{x}-3$ 在区间 $(0,1)$ 内有唯一的零点,

故答案为: B

【分析】利用二分法的定义可得函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+\mathrm{x}-3$ 在区间 $(0,1)$ 内有唯一的零点.
题目（高一 · 代数）：方程 $\mathrm{e}^{\mathrm{x}}=2-\mathrm{x}$ 的根位于 ( )
选项：
A. $(-1,0)$
B. $(0,1)$
C. $(1,2)$
D. $(2,3)$
答案：B
解析：设 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+\mathrm{x}-2$,

则 $\mathrm{f}(0)=1-2=-1<0, \mathrm{f}(1)=\mathrm{e}+1-2=\mathrm{e}-1>0$,

所以根据零点存在性定理, 在区间 $(0,1)$ 上函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 存在一个零点,

即程 $\mathrm{e}^{\mathrm{x}}=2-\mathrm{x}$ 的根位于 $(0,1)$.

故选 B.

【分析】设函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}+\mathrm{x}-2$, 根据根的存在性定理进行判断即可.
题目（高一 · 代数）：给出三种函数模型: $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{\mathrm{n}}(\mathrm{n}>0), \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{a}^{\mathrm{x}}(\mathrm{a}>1)$ 和 $\mathrm{h}(\mathrm{x})=\log _{\mathrm{a}} \mathrm{x}(\mathrm{a}>1)$. 根据它们增长的快慢, 则一定存在正实数 $\mathrm{x}_{0}$, 当 $\mathrm{x}>\mathrm{x}_{0}$ 时, 就有 $($ )
选项：
A. $\mathrm{f}(\mathrm{x})>\mathrm{g}(\mathrm{x})>\mathrm{h}(\mathrm{x})$
B. $h(x)>g(x)>f(x)$
C. $\mathrm{f}(\mathrm{x})>\mathrm{h}(\mathrm{x})>\mathrm{g}(\mathrm{x})$
D. $g(x)>f(x)>h(x)$
答案：D
解析：画出三种函数模型: $f(x)=x^{n}(n>0), g(x)=a^{x}(a>1)$ 和 $h(x)=\log _{a} x(a>1)$ 的示意图:



观察图象发现，指数函数 $\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{a}^{\mathrm{x}}(\mathrm{a}>1)$ 的函数值增长速度最快,

其次是幂函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{\mathrm{n}}(\mathrm{n}>0)$, 最后是对数函数 $\mathrm{h}(\mathrm{x})=\log _{\mathrm{a}} \mathrm{x}(\mathrm{a}>1)$.

根据它们增长的快慢, 则一定存在正实数 $\mathrm{x}_{0}$, 当 $\mathrm{x}>\mathrm{x}_{0}$ 时, 就有 $\mathrm{g}(\mathrm{x})>\mathrm{f}(\mathrm{x})>\mathrm{h}(\mathrm{x})$.

故选 D.

【分析】先分别画出三种函数模型: $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{\mathrm{n}}(\mathrm{n}>0), \mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{a}^{\mathrm{x}}(\mathrm{a}>1)$ 和 $\mathrm{h}(\mathrm{x})=\log _{\mathrm{a}} \mathrm{x}(\mathrm{a}>1)$的示意图. 观察图象发现, 指数函数 $\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{a}^{\mathrm{x}}(\mathrm{a}>1)$ 的函数值增长速度最快, 其次是幂函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ $=x^{n}(n>0)$, 最后是对数函数 $h(x)=\log _{a} x(a>1)$. 根据它们增长的快慢从而得出结论.
题目（高一 · 代数）：下列函数关系中, 可以看着是指数型函数 $y=k a^{x} \quad(k \in R, \quad a>0$ 且 $a \neq 1 ）$ 模型的是 ( )
选项：
A. 坚直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）.

B. 我国人口年自然增长率为 $1 \%$, 这样我国人口总数随年份的变化关系.

C. 如果某人 $\mathrm{ts}$ 内骑车行进了 $1 \mathrm{~km}$, 那么此人骑车的平均速度 $\mathrm{v}$ 与时间 $\mathrm{t}$ 的函数关系.

D. 信件的邮资与其重量间的函数关系.
答案：B
解析：解：A：坚直向上发射的信号弹, 从发射到落回地面,

信号弹的高度与时间的关系，是二次函数关系;

B: 我国人口年自然增长率为 $1 \%$, 这样我国人口总数随年份的变化关系, 是指数型函数关系;

$\mathrm{C}$ : 如果某人 $\mathrm{ts}$ 内骑车行进了 $1 \mathrm{~km}$, 那么此人骑车的平均速度 $\mathrm{v}$ 与时间 $\mathrm{t}$ 的函数关系,是反比例函数关系;

$\mathrm{D}$ ：信件的邮资与其重量间的函数关系，是正比例函数关系.

故选 B.

【分析】根据实际问题中的数量关系及指数型函数 $\mathrm{y}=\mathrm{ka}^{\mathrm{x}}$ 的模型, 逐一判断.
题目（高一 · 代数）：某池塘中原有一块浮草, 浮草蔓延后的面积 $\mathrm{y}\left(\mathrm{m}^{2}\right)$ 与时间 $\mathrm{t}$ (月) 之间的函数关系是 $\mathrm{y}=\mathrm{a}^{\mathrm{t}^{-1}}$ (a $>0$, 且 $a \neq 1$ ), 它的图象如图所示.



给出以下命题:

(1)池塘中原有浮草的面积是 $0.5 \mathrm{~m}^{2}$;

(2)到第 7 个月浮草的面积一定能超过 $60 \mathrm{~m}^{2}$

(3)浮草每月增加的面积都相等;

(4) 若浮草面积达到 $4 m^{2}, 16 m^{2}, 64 m^{2}$ 所经过时间分别为 $t_{1}, t_{2}, t_{3}$, 则 $t_{1}+t_{2}<t_{3}$, 其中所有正确命题的序号是 ( )
选项：
A. (1)(2)
B. (1)(4)
C. (2)(3)
D. (2)(4)
答案：A
解析：根据图象过点 $(2,2)$ 可知点 $(2,2)$ 适合 $\mathrm{y}=\mathrm{a}^{\mathrm{t}^{-1}}$ 即 $2=\mathrm{a}$

$\therefore$ 函数关系是 $\mathrm{y}=2^{\mathrm{t}} \mathrm{t}^{-1}$,

令 $\mathrm{t}=0$ 时, $\mathrm{y}=\frac{1}{2}=0.5$, 故(1)正确;

令 $\mathrm{t}=7$ 时, $\mathrm{y}=2^{6}=64>60$, 故(2)正确;

当 $\mathrm{t}=1$ 时, $\mathrm{y}=1$, 增加 0.5 , 当 $\mathrm{t}=2$ 时, $\mathrm{y}=2$, 增加 1 ,

每月增加的面积不相等, 故(3)不正确;

分别令 $y=4 、 16 、 64$, 解得 $t_{1}=3, t_{2}=5, t_{3}=7, t_{1}+t_{2}>t_{3}$, 故(4)不正确.

其中所有正确命题的序号是: (1)(2)

故选 A.

【分析】先根据图象经过点 $(2,2)$ 求出 $\mathrm{a}$, 代入函数的解析式, 即可求出底数 $\mathrm{a}$, 进而即可求出这个指数函数的表达式; 然后对各个选择支进行逐一判断即可. 令 $\mathrm{t}=0$ 时, $\mathrm{y}=\frac{1}{2}=0.5$ 即可对(1)进行判断; 对于(2), 将 $\mathrm{t}=7$ 代入函数的解析式, 即可求出第 7 个月时浮萍的面积; 对于(3), 当 $\mathrm{t}=1$ 时, 和当 $\mathrm{t}=2$ 时, 计算这两个月增加的面积; 分别将 $\mathrm{y}=4 、 16 、 64$ 分别代入函数解析式, 求出对应的 $\mathrm{t}$ 值, 即可对于(4)进行判断.

二、填空题
题目（高一 · 代数）：已知 $\mathrm{a}>0$ 且 $\mathrm{a} \neq 1, \mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{2}-\mathrm{a}^{\mathrm{x}}$, 当 $\mathrm{x} \in(-1,1)$ 时均有 $\mathrm{f}(\mathrm{x})<\frac{1}{2}$, 则实数 $\mathrm{a}$ 的取值范围是 ( )
选项：
A. $\left(0, \frac{1}{2}\right] \cup[2,+\infty)$
B. $\left[\frac{1}{4}, 1\right) \cup(1,4]$
C. $\left[\frac{1}{2}, 1\right)$
$\cup(1,2]$
D. $\left(0, \frac{1}{4}\right] \cup[4,+\infty)$
答案：C
解析：由题意可知, $a^{x}>x^{2}-\frac{1}{2}$ 在 $(-1,1)$ 上恒成立,

令 $\mathrm{y}_{1}=\mathrm{a}^{\mathrm{x}}, \mathrm{y}_{2}=\mathrm{x}^{2}-\frac{1}{2}$, 由图象知:



$0<\mathrm{a}<1$ 时 $\mathrm{a}^{1} \geq 1^{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$, 即 $\frac{1}{2} \leq \mathrm{a}<1$;

当 $a>1$ 时, $a^{-1} \geq 1^{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$, 可得 $1<a \leq 2$.

$\therefore{ }^{\frac{1}{2}} \leq \mathrm{a}<1$ 或 $1<\mathrm{a} \leq 2$.

故选 C.
【分析】由题意可知, $a^{x}>x^{2}-\frac{1}{2}$ 在 $(-1,1)$ 上恒成立, 令 $y_{1}=a^{x}, y_{2}=x^{2}-\frac{1}{2}$, 结合图象,列出不等式组, 解不等式组, 求出 $\mathrm{a}$ 的取值范围.
题目（高一 · 代数）：下列函数中, 增长速度最快的是（）
选项：
A. $y=20^{x}$
B. $y=x^{20}$
C. $y=\log _{20} x$
D. $y=20 x$
答案：A
解析：指数函数增长速度最快,

故选 A.

【分析】由题意, 指数函数增长速度最快.