题目（八年级 · 度量几何学）：在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, A C=B C$, 直线 $M N$ 经过点 $C$, 且 $A D \perp M N$ 于 $D, B E \perp M N$ 于 $E$.



图1



图2



图3

(1)当直线 $M N$ 绕点 $C$ 旋转到图 1 位置时, 求证: $D E=A D+B E$;

(2)当直线 $M N$ 绕点 $C$ 旋转到图 2 位置时, 试问: $D E 、 A D 、 B E$ 有怎样的等量关系?

请写出这个等量关系, 并加以证明;

(3) 当直线 $M N$ 绕点 $C$ 旋转到图 3 位置时,

$D E 、 A D 、 B E$ 之间的等量关系是 (直接写出答案) .
选项：
答案：(1) 证明: 由题意知, $\angle B C A=90^{\circ}, \angle A D C=\angle B E C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A C D+\angle B C E=90^{\circ}, \angle B C E+\angle C B E=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A C D=\angle C B E$,

在 $\triangle A D C$ 和 $\triangle C E B$ 中,

$\because\left\{\begin{array}{l}\angle A D C=\angle C E B=90^{\circ} \\ \angle A C D=\angle C B E \\ A C=B C\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A D C \cong \triangle C E B(\mathrm{AAS})$,

$\therefore A D=C E, \quad B E=C D$,

$\therefore D E=D C+C E=B E+A D$,

$\therefore D E=A D+B E$.

(2) 解: $A D=B E+D E$.

证明: $\because A D \perp M N, B E \perp M N$,

$\therefore \angle A D C=\angle B E C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A C D+\angle B C E=90^{\circ}, \angle B C E+\angle C B E=90^{\circ}$,
$\therefore \angle A C D=\angle C B E$

在 $\triangle A B D$ 和 $\triangle A C E$ 中,

$\because\left\{\begin{array}{l}\angle A D C=\angle C E B \\ \angle A C D=\angle C B E \\ A C=B C\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A C D \cong \triangle C B E(\mathrm{AAS})$

$\therefore A D=C E, \quad B E=C D$,

又 $\because C E=C D+D E=B E+D E$,

$\therefore A D=B E+D E$.

(3) 解: $B E=A D+D E$.

证明: $\because A D \perp M N$ 于 $D, B E \perp M N$ 于 $E$,

$\therefore \angle A D C=\angle B E C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B C E+\angle E B C=90^{\circ}, \angle A C D+\angle B C E=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A C D=\angle E B C$,

在 $\triangle A C D$ 和 $\triangle C B E$ 中,

$\because\left\{\begin{array}{l}\angle A D C=\angle C E B \\ \angle A C D=\angle C B E, \\ A C=B C\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A C D \cong \triangle C B E(\mathrm{AAS})$,

$\therefore A D=C E, \quad B E=C D$,

又 $\because C D=C E+D E=A D+D E$,

$\therefore B E=A D+D E$.
解析：(1) 证明: 由题意知, $\angle B C A=90^{\circ}, \angle A D C=\angle B E C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A C D+\angle B C E=90^{\circ}, \angle B C E+\angle C B E=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A C D=\angle C B E$,

在 $\triangle A D C$ 和 $\triangle C E B$ 中,

$\because\left\{\begin{array}{l}\angle A D C=\angle C E B=90^{\circ} \\ \angle A C D=\angle C B E \\ A C=B C\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A D C \cong \triangle C E B(\mathrm{AAS})$,

$\therefore A D=C E, \quad B E=C D$,

$\therefore D E=D C+C E=B E+A D$,

$\therefore D E=A D+B E$.

(2) 解: $A D=B E+D E$.

证明: $\because A D \perp M N, B E \perp M N$,

$\therefore \angle A D C=\angle B E C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A C D+\angle B C E=90^{\circ}, \angle B C E+\angle C B E=90^{\circ}$,
$\therefore \angle A C D=\angle C B E$

在 $\triangle A B D$ 和 $\triangle A C E$ 中,

$\because\left\{\begin{array}{l}\angle A D C=\angle C E B \\ \angle A C D=\angle C B E \\ A C=B C\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A C D \cong \triangle C B E(\mathrm{AAS})$

$\therefore A D=C E, \quad B E=C D$,

又 $\because C E=C D+D E=B E+D E$,

$\therefore A D=B E+D E$.

(3) 解: $B E=A D+D E$.

证明: $\because A D \perp M N$ 于 $D, B E \perp M N$ 于 $E$,

$\therefore \angle A D C=\angle B E C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B C E+\angle E B C=90^{\circ}, \angle A C D+\angle B C E=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A C D=\angle E B C$,

在 $\triangle A C D$ 和 $\triangle C B E$ 中,

$\because\left\{\begin{array}{l}\angle A D C=\angle C E B \\ \angle A C D=\angle C B E, \\ A C=B C\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A C D \cong \triangle C B E(\mathrm{AAS})$,

$\therefore A D=C E, \quad B E=C D$,

又 $\because C D=C E+D E=A D+D E$,

$\therefore B E=A D+D E$.