eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高一 · 计数）：某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训, 他们在培训期间参加的 8 次测试成绩记录如下:

甲9582888193798478

乙83 92809590808575

试比较哪个工人的成绩较好.
选项：
答案：$\bar{x}_{\text {甲 }}=\frac{1}{8} \times(78+79+81+82+84+88+93+95)=85$

$\bar{x}_{\text {乙 }}=\frac{1}{8} \times(75+80+80+83+85+90+92+95)=85$

$s_{\text {甲 }}^{2}=\frac{1}{8} \times\left[(78-85)^{2}+(79-85)^{2}+(81-85)^{2}+(82-85)^{2}+\right.$

$\left.(84-85)^{2}+(88-85)^{2}+(93-85)^{2}+(95-85)^{2}\right]=35.5$

$s_{z}^{2}=\frac{1}{8} \times\left[(75-85)^{2}+(80-85)^{2}+(80-85)^{2}+(83-85)^{2}+\right.$

$\left.(85-85)^{2}+(90-85)^{2}+(92-85)^{2}+(95-85)^{2}\right]=41 \quad \because \bar{x}_{\text {甲 }}=\bar{x}_{\text {乙 }}, s_{\text {甲 }}^{2}<\mathrm{s}_{\text {乙 }}^{2}$

所以甲的成绩较稳定。

综上可知, 甲的成绩较好.
解析：$\bar{x}_{\text {甲 }}=\frac{1}{8} \times(78+79+81+82+84+88+93+95)=85$

$\bar{x}_{\text {乙 }}=\frac{1}{8} \times(75+80+80+83+85+90+92+95)=85$

$s_{\text {甲 }}^{2}=\frac{1}{8} \times\left[(78-85)^{2}+(79-85)^{2}+(81-85)^{2}+(82-85)^{2}+\right.$

$\left.(84-85)^{2}+(88-85)^{2}+(93-85)^{2}+(95-85)^{2}\right]=35.5$

$s_{z}^{2}=\frac{1}{8} \times\left[(75-85)^{2}+(80-85)^{2}+(80-85)^{2}+(83-85)^{2}+\right.$

$\left.(85-85)^{2}+(90-85)^{2}+(92-85)^{2}+(95-85)^{2}\right]=41 \quad \because \bar{x}_{\text {甲 }}=\bar{x}_{\text {乙 }}, s_{\text {甲 }}^{2}<\mathrm{s}_{\text {乙 }}^{2}$

所以甲的成绩较稳定。

综上可知, 甲的成绩较好.
题目（高一 · 计数）：某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了 50 位市民，根据这 50 位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如图:

|  |  | 乙部门 |
| ---: | ---: | :--- |
| 甲部门 | 3 | 59 |
| 9 | 4 | 0448 |
| 97 | 5 | 122456677789 |
| 97665332110 | 6 | 011234688 |
| 98877766555554443332100 | 7 | 00113449 |
| 6655200 | 8 | 123345 |
| 632220 | 9 | 011456 |
|  | 10 | 000 |
选项：
答案：18.（1）由题中茎叶图知, 将 50 位市民对甲部门的评分由小到大排序, 排在第 25,26 位的是 75,75 , 故样本的中位数为 75 , 所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是 75.50 位市民对乙部门的评分由小到大排序, 排在第 25,26 位的是 66 , 68 , 故样本中位数为 $\frac{66+68}{2}=67$, 所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是 67 .

（2）由题中茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数, 而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差, 说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致, 对乙部门的评价较低、评价差异较大。
解析：18.（1）由题中茎叶图知, 将 50 位市民对甲部门的评分由小到大排序, 排在第 25,26 位的是 75,75 , 故样本的中位数为 75 , 所以该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是 75.50 位市民对乙部门的评分由小到大排序, 排在第 25,26 位的是 66 , 68 , 故样本中位数为 $\frac{66+68}{2}=67$, 所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是 67 .

（2）由题中茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的评分的中位数, 而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于对乙部门的评分的标准差, 说明该市市民对甲部门的评价较高、评价较为一致, 对乙部门的评价较低、评价差异较大。
题目（高一 · 计数）：在一项农业试验中, A, B 两种肥料分别被施用于同类橘子树. 为了了解这两种肥料的效果, 试验人员分别从施用这两种肥料的橘子树中随机抽取了 12 棵, 下表给出了每一棵橘子树的产量（单位: 千克）:

肥料 A63, $54,19,20,72,92,8,10,22,11,24,5$; 肥料 B57, $86,33,40,59$, $56,73,25,44,31,64,45$.

(1) 用茎叶图表示分别施用 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两种肥料的橘子树的产量, 并从图中比较各自平均数的大小。

（2）从图中你认为哪一组数据的标准差更小?

（3）分别计算施用 A, B 两种肥料的橘子树产量的平均数和标准差, 看看与（2）的结果是否一致?

（4）你认为哪种肥料对橘子树的产量的影响更大? 依据是什么?
选项：
答案：（1）施用 A 种肥料的橘子树的产量用图（1）所示茎叶图表示, 施用 B 种肥料的橘子树的产量用图 (2) 所示茎叶图表示.

<ImageHere>

(1)

| $B$ |  |  |  |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 2 | 5 |  |  |
| 3 | 1 | 3 |  |
| 4 | 0 | 4 | 5 |
| 5 | 6 | 7 | 9 |
| 6 | 4 |  |  |
| 7 | 3 |  |  |
| 8 | 6 |  |  |

(2)

从图中可以看出第一组数据的平均数要小于第二组数据的平均数.

(2) 从图中观察到第一组数据比第二组数据更分散, 因此估计第二组数据的标准差更小.

（3）计算得出第一组数据的平均数约是 $33.3 \mathrm{~kg}$, 标准差约是 $27.9 \mathrm{~kg}$; 第二组数据的平
均数约是 $51.1 \mathrm{~kg}$, 标准差约是 $17.3 \mathrm{~kg}$. 故第二组数据的标准差更小, 与 (2) 的结果一致.

（4）由两组样本数据的平均数可以判断 B 种肥料对橘子树的产量影响更大.
解析：（1）施用 A 种肥料的橘子树的产量用图（1）所示茎叶图表示, 施用 B 种肥料的橘子树的产量用图 (2) 所示茎叶图表示.



(1)

| $B$ |  |  |  |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 2 | 5 |  |  |
| 3 | 1 | 3 |  |
| 4 | 0 | 4 | 5 |
| 5 | 6 | 7 | 9 |
| 6 | 4 |  |  |
| 7 | 3 |  |  |
| 8 | 6 |  |  |

(2)

从图中可以看出第一组数据的平均数要小于第二组数据的平均数.

(2) 从图中观察到第一组数据比第二组数据更分散, 因此估计第二组数据的标准差更小.

（3）计算得出第一组数据的平均数约是 $33.3 \mathrm{~kg}$, 标准差约是 $27.9 \mathrm{~kg}$; 第二组数据的平
均数约是 $51.1 \mathrm{~kg}$, 标准差约是 $17.3 \mathrm{~kg}$. 故第二组数据的标准差更小, 与 (2) 的结果一致.

（4）由两组样本数据的平均数可以判断 B 种肥料对橘子树的产量影响更大.
题目（高一 · 计数）：某工厂 36 名工人的年龄数据如下表.

| 工人编号 | 年龄 | 工人编号 | 年龄 | 工人编号 | 年龄 | 工人编号 | 年龄 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 1 | 40 | 10 | 36 | 19 | 27 | 28 | 34 |
| 2 | 44 | 11 | 31 | 20 | 43 | 29 | 39 |
| 3 | 40 | 12 | 38 | 21 | 41 | 30 | 43 |
| 4 | 41 | 13 | 39 | 22 | 37 | 31 | 38 |
| 5 | 33 | 14 | 43 | 23 | 34 | 32 | 42 |
| 6 | 40 | 15 | 45 | 24 | 42 | 33 | 53 |
| 7 | 45 | 16 | 39 | 25 | 37 | 34 | 37 |
| 8 | 42 | 17 | 38 | 26 | 44 | 35 | 49 |
| 9 | 43 | 18 | 36 | 27 | 42 | 36 | 39 |

(1) 用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本, 且在第一分段里用随机抽样法
抽到的年龄数据为 44 , 列出样本的年龄数据;

（2）计算（1）中样本的均值和方差 $S^{2}$;

（3） 36 名工人中年龄在 $-\mathrm{s}$ 与 $+\mathrm{s}$ 之间有多少人? 所占的百分比是多少 (精确到 $0.01 \%$ ？
选项：
答案：(1) 用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本, 根据题意, 所抽取工人编号为 $2,6,10,14,18,22,26,30,34$, 则相应工人的年龄数据为 $44,40,36$, $43,36,37,44,43,37$.

(2) 样本均值 $\bar{x}=\frac{1}{9} \times(44+40+36+43+36+37+44+43+37)=40$样本方差 $s^{2}=\frac{1}{9} \times\left[(44-40)^{2}+(40-40)^{2}+(36-40)^{2}+(43-\right.$ $40)^{2}+(36-40)^{2}+(37-40)^{2}+(44-40)^{2}+(43-40)^{2}+$ $\left.(37-40)^{2}\right]=\frac{1}{9} \times\left[4^{2}+0^{2}+(-4)^{2}+3^{2}+(-4)^{2}+(-3)^{2}+4^{2}+3^{2}+(-3)^{2}\right]=\frac{100}{9}$

（3）由于 $\bar{x}=40, s=\sqrt{s^{2}}=\frac{10}{3} \approx 3.33,36$ 名工人中年龄在 $\bar{x}=s \approx 36.67$ 与 $\bar{x}+s \approx 43.33$ 之间有 23 人, 所占比例为 $\frac{23}{36} \approx 63.89 \%$.
解析：(1) 用系统抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本, 根据题意, 所抽取工人编号为 $2,6,10,14,18,22,26,30,34$, 则相应工人的年龄数据为 $44,40,36$, $43,36,37,44,43,37$.

(2) 样本均值 $\bar{x}=\frac{1}{9} \times(44+40+36+43+36+37+44+43+37)=40$样本方差 $s^{2}=\frac{1}{9} \times\left[(44-40)^{2}+(40-40)^{2}+(36-40)^{2}+(43-\right.$ $40)^{2}+(36-40)^{2}+(37-40)^{2}+(44-40)^{2}+(43-40)^{2}+$ $\left.(37-40)^{2}\right]=\frac{1}{9} \times\left[4^{2}+0^{2}+(-4)^{2}+3^{2}+(-4)^{2}+(-3)^{2}+4^{2}+3^{2}+(-3)^{2}\right]=\frac{100}{9}$

（3）由于 $\bar{x}=40, s=\sqrt{s^{2}}=\frac{10}{3} \approx 3.33,36$ 名工人中年龄在 $\bar{x}=s \approx 36.67$ 与 $\bar{x}+s \approx 43.33$ 之间有 23 人, 所占比例为 $\frac{23}{36} \approx 63.89 \%$.
题目（高一 · 计数）：某市居民用水拟实行阶梯水价。每人月用水量中不超过 $\mathrm{w}$ 立方米的部分按 4 元/立方米收费，超出 $\mathrm{w}$ 立方米的部分按 10 元/立方米收费. 从该市随机调查了 10000 位居民，获得了他们某月的用水量数据, 整理得到如图频率分布直方图:



（1）如果 $\mathrm{w}$ 为整数，那么根据此次调查，为使 $80 \%$ 以上居民在该月的用水价格为 4 元/立方米, $\mathrm{w}$ 至少定为多少?

（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替. 当 $\mathrm{w}=3$ 时，估计该市居民该月的人均水费。
选项：
答案：）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间 $[0.5,1]$, $(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]$ 内的频率依次为 $0.1,0.15,0.2,0.25$, 0. 15. 所以该月用水量不超过 3 立方米的居民占 $85 \%$, 用水量不超过 2 立方米的居民占 $45 \%$.依题意, w 至少定为 3 .

(2) 由用水量的频率分布直方图及题意, 得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表:

| 组号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 分组 | $[2,4]$ | $(4,6]$ | $(6,8]$ | $(8,10]$ | $(10,12]$ | $(12,17]$ | $(17,22]$ | $(22,27]$ |
| 频率 | 0.1 | 0.15 | 0.2 | 0.25 | 0.15 | 0.05 | 0.05 | 0.05 |

根据题意，该市居民该月的人均水费估计为: $4 \times 0.1+6 \times 0.15+8 \times 0.2+10 \times 0.25+12 \times 0.15+17 \times 0.05+22 \times 0.05+27 \times 0.05=10.5$ (元)
解析：）由用水量的频率分布直方图知，该市居民该月用水量在区间 $[0.5,1]$, $(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]$ 内的频率依次为 $0.1,0.15,0.2,0.25$, 0. 15. 所以该月用水量不超过 3 立方米的居民占 $85 \%$, 用水量不超过 2 立方米的居民占 $45 \%$.依题意, w 至少定为 3 .

(2) 由用水量的频率分布直方图及题意, 得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表:

| 组号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| 分组 | $[2,4]$ | $(4,6]$ | $(6,8]$ | $(8,10]$ | $(10,12]$ | $(12,17]$ | $(17,22]$ | $(22,27]$ |
| 频率 | 0.1 | 0.15 | 0.2 | 0.25 | 0.15 | 0.05 | 0.05 | 0.05 |

根据题意，该市居民该月的人均水费估计为: $4 \times 0.1+6 \times 0.15+8 \times 0.2+10 \times 0.25+12 \times 0.15+17 \times 0.05+22 \times 0.05+27 \times 0.05=10.5$ (元)
题目（高一 · 计数）：高一（2）班共有 54 名学生参加数学竞赛, 现已有他们的竞赛分数, 请设计一个将竞赛成绩优秀学生的平均分输出的算法（规定 90 分以上为优秀）.
选项：
答案：解：算法如下:

第一步: $i=0, n=0, S=0$

第二步: 输入一个成绩 $a$

第三步：若 $a>90$, 则 $S=S+a, n=n+1$

否则，执行第四步

第四步: $i=i+1$

第五步: 若 $i>54$, 则 $s=s / n$, 输出 $S, n$. 否则, 执行第二步.
解析：解：算法如下:

第一步: $i=0, n=0, S=0$

第二步: 输入一个成绩 $a$

第三步：若 $a>90$, 则 $S=S+a, n=n+1$

否则，执行第四步

第四步: $i=i+1$

第五步: 若 $i>54$, 则 $s=s / n$, 输出 $S, n$. 否则, 执行第二步.
题目（高一 · 计数）：某市 2006 年 $1 \sim 12$ 月的产值（单位: 亿元）分别为 $3.8,4.2,5.3,6.1,5.6,4.8,7.3,4.5,6.4$, 5.8, 4.7, 6.5, 该市要统计每季度的月平均产值及 2006 年的月平均产值, 试分别用输入、输出语句和赋值语句表示计算上述各个平均值的一个算法.
选项：
答案：解:

INPUTa1, a2, $\cdots, a 12$

PRINT “第 1 季度 aver $=” ; \quad(a 1+a 2+a 3) / 3$

PRINT “第 2 季度 $a v e r=” ; \quad(a 4+a 5+a 6 ） / 3$

PRINT “第 3 季度 $a v e r=” ; \quad(a 7+a 8+a 9) / 3$

PRINT “第 4 季度 aver $=”$; $\quad(a 10+a 11+a 12) / 3$

PRINT “全年 aver $=” ; \quad(a 1+a 2+\cdots+a 12) / 3$

END
解析：解:

INPUTa1, a2, $\cdots, a 12$

PRINT “第 1 季度 aver $=” ; \quad(a 1+a 2+a 3) / 3$

PRINT “第 2 季度 $a v e r=” ; \quad(a 4+a 5+a 6 ） / 3$

PRINT “第 3 季度 $a v e r=” ; \quad(a 7+a 8+a 9) / 3$

PRINT “第 4 季度 aver $=”$; $\quad(a 10+a 11+a 12) / 3$

PRINT “全年 aver $=” ; \quad(a 1+a 2+\cdots+a 12) / 3$

END
题目（高一 · 计数）：（2020 秋$\cdot$沈阳期末）中学阶段是学生身体发育重要的阶段, 长时间謷夜学习严重影响学生的身体健康. 某校为了解甲、乙两个班的学生每周謷夜学习的总时长 (单位: 小时), 从这两个班中各随机抽取 6 名同学进行调查, 将他们最近一周謷夜学习的总时长作为样本数据, 如表所示. 如果学生一周謷夜学习的总时长超过 21 小时, 则称为 “过度謷夜”.

| 甲班 |  9   |  11  |  13  |  20  |  24  |  31  |
| :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: | :--: |
| 乙班 |  11  |  12  |  18  |  20  |  22  |  25  |

（1）分别计算出甲、乙两班样本的平均值;

(2) 为了解学生过度热夜的原因, 从甲、乙两班符合 “过度鳌夜” 的样本数据中, 抽取 2 个数据,求抽到的数据来自于同一个班级的概率;

（3）从甲班的样本数据中有放回地抽取 2 个数据, 求恰有 1 个数据为 “过度鳌夜” 的概率.
选项：
答案：解：（1）甲班样本的平均值为:

$$
\bar{x}_{\text {甲 }}=\frac{1}{6}(9+11+13+20+24+31)=18 \text {. }
$$

乙班样本的平均成绩为:

$\bar{x}_{Z}=\frac{1}{6}(11+12+18+20+22+25)=18$.

（2）甲班符合 “过度謷夜” 的样本数据有 2 个, 乙班符合 “过度謷夜” 的样本数据有 2 个,
从甲、乙两班符合 “过度鳌夜” 的样本数据中, 抽取 2 个数据,

基本事件总数 $n=C_{4}^{2}=6$,

抽到的数据来自于同一个班级包含的基本事件个数 $m=C_{2}^{2}+C_{2}^{2}=2$,

$\therefore$ 抽到的数据来自于同一个班级的概率 $p=\frac{m}{n}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

（3）甲班的 6 个样本数据中, 为 “过度鳌夜” 的数据有 2 个,从甲班的样本数据中有放回地抽取 2 个数据,

基本事件总数 $n=6 \times 6=36$,

恰有 1 个数据为 “过度謷夜” 包含的基本事件总数 $m=C_{4}^{1} C_{2}^{1}+C_{2}^{1} C_{4}^{1}=16$,

$\therefore$ 恰有 1 个数据为 “过度謷夜” 的概率 $P=\frac{m}{n}=\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$.
解析：解：（1）甲班样本的平均值为:

$$
\bar{x}_{\text {甲 }}=\frac{1}{6}(9+11+13+20+24+31)=18 \text {. }
$$

乙班样本的平均成绩为:

$\bar{x}_{Z}=\frac{1}{6}(11+12+18+20+22+25)=18$.

（2）甲班符合 “过度謷夜” 的样本数据有 2 个, 乙班符合 “过度謷夜” 的样本数据有 2 个,
从甲、乙两班符合 “过度鳌夜” 的样本数据中, 抽取 2 个数据,

基本事件总数 $n=C_{4}^{2}=6$,

抽到的数据来自于同一个班级包含的基本事件个数 $m=C_{2}^{2}+C_{2}^{2}=2$,

$\therefore$ 抽到的数据来自于同一个班级的概率 $p=\frac{m}{n}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$.

（3）甲班的 6 个样本数据中, 为 “过度鳌夜” 的数据有 2 个,从甲班的样本数据中有放回地抽取 2 个数据,

基本事件总数 $n=6 \times 6=36$,

恰有 1 个数据为 “过度謷夜” 包含的基本事件总数 $m=C_{4}^{1} C_{2}^{1}+C_{2}^{1} C_{4}^{1}=16$,

$\therefore$ 恰有 1 个数据为 “过度謷夜” 的概率 $P=\frac{m}{n}=\frac{16}{36}=\frac{4}{9}$.
题目（高一 · 计数）：（2021$\cdot$二十模拟）2019 年 9 月 1 日央视《开学第一课》播出后, 社会各界反响强烈. 某兴趣小组为了了解某校学生对 《开学第一课》的满意程度, 从该校随机抽取了 100 名学生对该节目进行打分（满分 100 分，并把相关的统计结果记录如表:

| 分数段 | $[50,60)$ | $[60,70)$ | $[70,80)$ | $[80,90)$ | $[90,100]$ |
| :----: | :-------: | :-------: | :-------: | :-------: | :--------: |
|  频数  |     1     |     9     |    18     |    32     |     40     |

(1) 试估计这 100 名学生对该节目打分的平均值 (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);

（2）将频率视为概率，该兴趣小组用分层抽样的方法从打分为 $[60,70)$ 和 $[70,80 ）$ 的学生中抽取 6 人, 再从这 6 人中随机抽取 2 名学生进行详细调查, 记 “这 2 名学生的打分在同一分数段”为事件 $M$ ，求事件 $M$ 发生的概率.
选项：
答案：解: (1) 由频数分布表估计这 100 名学生对该节目打分的平均值为:

$55 \times \frac{1}{100}+65 \times \frac{9}{100}+75 \times \frac{18}{100}+85 \times \frac{32}{100}+95 \times \frac{40}{100}=85.1$,

$\therefore$ 这 100 名学生对该节目打分的平均值为 85.1.

（2）由题意知, 从打分为 $[60 ， 70 ）$ 的学生中抽取了 2 人, 分别记为 $a, b$,从打分在 $[70,80 ）$ 的学生中抽取了 4 人, 分别记为 $A, B, C, D$,

从这 6 人中随机抽取 2 名学生进行详细调查的基本事件有:

$a b, a A, a B, a C, a D, b A, b B, b C, b D, A B, A C, A D, B C, B D, C D$, 共 15 个,记 “这 2 名学生的打分在同一分数段” 为事件 $M$,

事件 $M$ 包含的基本事件有:

$a b, A B, A C, A D, B C, B D, C D$ 共 7 个,

$\therefore$ 事件 $M$ 发生的概率 $P(M)=\frac{7}{15}$.
解析：解: (1) 由频数分布表估计这 100 名学生对该节目打分的平均值为:

$55 \times \frac{1}{100}+65 \times \frac{9}{100}+75 \times \frac{18}{100}+85 \times \frac{32}{100}+95 \times \frac{40}{100}=85.1$,

$\therefore$ 这 100 名学生对该节目打分的平均值为 85.1.

（2）由题意知, 从打分为 $[60 ， 70 ）$ 的学生中抽取了 2 人, 分别记为 $a, b$,从打分在 $[70,80 ）$ 的学生中抽取了 4 人, 分别记为 $A, B, C, D$,

从这 6 人中随机抽取 2 名学生进行详细调查的基本事件有:

$a b, a A, a B, a C, a D, b A, b B, b C, b D, A B, A C, A D, B C, B D, C D$, 共 15 个,记 “这 2 名学生的打分在同一分数段” 为事件 $M$,

事件 $M$ 包含的基本事件有:

$a b, A B, A C, A D, B C, B D, C D$ 共 7 个,

$\therefore$ 事件 $M$ 发生的概率 $P(M)=\frac{7}{15}$.
题目（高一 · 计数）：（2020 秋・忻府区校级月考）某校要从该校环境保护兴趣协会的 20 名成员中, 选取 6 人组队参加市电视台组织的环保知识竞赛.

（1）若采用抽签法选取参赛队伍成员，请写出步骤;

(2) 若选出的人员中有 2 名女生 4 名男生, 在这 6 名学生中任选两人担任正副队长, 求所选两人恰好有 1 名女生的概率.
选项：
答案：解: (1) (i) 把该校环境保护兴趣协会的 20 名成员进行编号, 号码分别为: $01,02,03,04,05,06,07,08,09,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20$, (ii) 20 个号码傥拌均匀, 从中依次取出 6 个号码, 从而取出参赛队伍成员.

(2) 选出的人员中有 2 名女生 4 名男生, 在这 6 名学生中任选两人担任正副队长,基本事件总数 $n=C_{6}^{2}=15$,所选两人恰好有 1 名女生包含的基本事件个数 $m=C_{2}^{1} C_{4}^{1}=8$,

$\therefore$ 所选两人恰好有 1 名女生的概率 $P=\frac{m}{n}=\frac{8}{15}$.
解析：解: (1) (i) 把该校环境保护兴趣协会的 20 名成员进行编号, 号码分别为: $01,02,03,04,05,06,07,08,09,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20$, (ii) 20 个号码傥拌均匀, 从中依次取出 6 个号码, 从而取出参赛队伍成员.

(2) 选出的人员中有 2 名女生 4 名男生, 在这 6 名学生中任选两人担任正副队长,基本事件总数 $n=C_{6}^{2}=15$,所选两人恰好有 1 名女生包含的基本事件个数 $m=C_{2}^{1} C_{4}^{1}=8$,

$\therefore$ 所选两人恰好有 1 名女生的概率 $P=\frac{m}{n}=\frac{8}{15}$.
题目（高一 · 计数）：（2021・八模拟）2020 年寒假期间新冠肺炎肆虐，全国人民众志成城抗击疫情. 某市要求全体市民在家隔离, 同时决定全市所有学校推迟开学. 某区教育局为了让学生 “停课不停学” , 要求学校各科老师每天在网上授课, 每天共 240 分钟, 请学生自主学习. 区教育局为了了解学生网上学习情况, 上课几天后在全区学生中采取随机抽样的方法抽取了 200 名学生进行问卷调查, 为了方便表述把学习时间在 $[0,120)$ 分钟的学生称为 $A$ 类, 把学习时间在 $[120,240]$ 分钟的学生称为 $B$类, 调查的 200 名学生学习时间的人数频率分布表如表:

| 学习时间 | $[0,40)$ | $[40,80)$ | $[80,120)$ | $[120,160)$ | $[160,200)$ | $[200,240]$ |
| :------: | :------: | :-------: | :--------: | :---------: | :---------: | :---------: |
|   频数   |    20    |    35     |    $n$     |     60      |     10      |     10      |
|   频率   |          |           |            |             |             |             |

以频率估计概率回答下列问题:

(I) 求表中 $n$ 的值并完成上表, 并估算这 200 名学生学习时间的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替，结果保留整数）；

(II) 在 $A, B$ 两类学生中, 按分层抽样的方法从上述 200 名学生中抽取 5 人, 求从这五人中抽取的两人都是 $A$ 类学生的概率.
选项：
答案：解：（I ）由题知被调查者一共 200 人,

$\therefore 35+60+n+20+10+10=200$, 解得 $n=65$.

则被调查人员各组学习时间的频率分别为 $0.1,0.175,0.325,0.3,0.05,0.05$,

$\therefore$ 调查的 200 名学生学习时间的人数频率分布表如表:

| 学习时间 | $[0,40)$ | $[40,80)$ | $[80,120)$ | $[120,160)$ | $[160,200)$ | $[200,240]$ |
| :------: | :------: | :-------: | :--------: | :---------: | :---------: | :---------: |
|   频数   |    20    |    35     |     65     |     60      |     10      |     10      |
|   频率   |   0.1    |   0.175   |   0.325    |     0.3     |    0.05     |    0.05     |

平均值为:

$20 \times 0.1+60 \times 0.175+100 \times 0.325+140 \times 0.3+180 \times 0.05+220 \times 0.05=107$.

(II) 由题意 $A$ 类学生抽取人数为 $5 \times \frac{120}{200}=3$ (人),

将 $A$ 类学生分别记为 $x, y, z, B$ 类学生分别记为 $a, b$,

设 “选中的 2 人都是 $A$ 类学生” 为事件 $A$,

则从 5 名学生中任选 2 人, 所有可能情况有 10 种, 分别为:

$(x, y),(x, z),(x, a),(x, b),(y, z),(y, a),(y, b),(z, a),(z, b)$, $(a, b)$,

其中事件 $A$ 包含的基本事件有 3 种，分别为: $(x, y),(x, z),(y, z)$,

$\therefore$ 从这五人中抽取的两人都是 $A$ 类学生的概率为:

$P(A)=\frac{3}{10}=0.3$.
解析：解：（I ）由题知被调查者一共 200 人,

$\therefore 35+60+n+20+10+10=200$, 解得 $n=65$.

则被调查人员各组学习时间的频率分别为 $0.1,0.175,0.325,0.3,0.05,0.05$,

$\therefore$ 调查的 200 名学生学习时间的人数频率分布表如表:

| 学习时间 | $[0,40)$ | $[40,80)$ | $[80,120)$ | $[120,160)$ | $[160,200)$ | $[200,240]$ |
| :------: | :------: | :-------: | :--------: | :---------: | :---------: | :---------: |
|   频数   |    20    |    35     |     65     |     60      |     10      |     10      |
|   频率   |   0.1    |   0.175   |   0.325    |     0.3     |    0.05     |    0.05     |

平均值为:

$20 \times 0.1+60 \times 0.175+100 \times 0.325+140 \times 0.3+180 \times 0.05+220 \times 0.05=107$.

(II) 由题意 $A$ 类学生抽取人数为 $5 \times \frac{120}{200}=3$ (人),

将 $A$ 类学生分别记为 $x, y, z, B$ 类学生分别记为 $a, b$,

设 “选中的 2 人都是 $A$ 类学生” 为事件 $A$,

则从 5 名学生中任选 2 人, 所有可能情况有 10 种, 分别为:

$(x, y),(x, z),(x, a),(x, b),(y, z),(y, a),(y, b),(z, a),(z, b)$, $(a, b)$,

其中事件 $A$ 包含的基本事件有 3 种，分别为: $(x, y),(x, z),(y, z)$,

$\therefore$ 从这五人中抽取的两人都是 $A$ 类学生的概率为:

$P(A)=\frac{3}{10}=0.3$.
题目（高一 · 计数）：（2020 秋 - 海东市月考）某电脑公司为调查旗下 $A$ 品牌电脑的使用情况, 随机抽取 200 名用户,根据不同年龄段（单位: 岁）统计，如表:

|   分组    | 频率/组距 |
| :-------: | :-------: |
| $[25,30)$ |   0.01    |
| $[30,35)$ |   0.04    |
| $[35,40)$ |   0.07    |
| $[40,45)$ |   0.06    |
| $[45,50]$ |   0.02    |

（1）根据如表, 试估计样本的中位数, 平均数（同一组数据以该组区间的中点值为代表, 结果精确到 $0.1 ）$;

（2）按照年龄段从 $[30,35 ）,[45,50]$ 内的用户中进行分层抽样, 抽取 6 人, 在从中随机选取 2 人赠送小礼品, 求恰有 1 人在 $[45,50]$ 内的概率.
选项：
答案：解：（1）中位数在 $[35,40 ）$ 中, 设为 $x$,

则 $0.01 \times 5+0.04 \times 5+0.07 \times(x-35)=0.5$, 解得 $x \approx 38.6$.
平均数为 $(27.5 \times 0.01+32.5 \times 0.04+37.5 \times 0.07+42.5 \times 0.06+47.5 \times 0.02) \times 5=38.5$.

所以样本的中位数为 38.6 , 平均数为 38.5 .

（2）根据分层抽样法, 其中位于 $[30 ， 35 ）$ 中的有 4 人，记为 $A, B ， C ， D$,位于 $[45,50]$ 中的有 2 人, 记为 $a, b$.

从 6 人中抽取 2 人, 有 15 种情况, 分别为:
$(A, B)$
$(A, C)$
$(A, D)$
$(A, a),(A, b)$,
$(B, C)$,
$(B, D)$,
$(B, a)$,
$(B, b)$,
$(C, D)$,
$(C, a)$,
$(c, b)$,
$(D, a)$,
$(D, b),(a, b)$,

恰有 1 人在 $[45,50]$ 内的有:
$(A, a)$,
$(A, b)$,
$(B, a)$,
$(B, b)$,
$(C, a)$,
$(C, b)$,
(D, a) ,
（D，b），共

8 种情况,

所以恰有 1 人在 $[45,50]$ 内的概率为 $P=\frac{8}{15}$.
解析：解：（1）中位数在 $[35,40 ）$ 中, 设为 $x$,

则 $0.01 \times 5+0.04 \times 5+0.07 \times(x-35)=0.5$, 解得 $x \approx 38.6$.
平均数为 $(27.5 \times 0.01+32.5 \times 0.04+37.5 \times 0.07+42.5 \times 0.06+47.5 \times 0.02) \times 5=38.5$.

所以样本的中位数为 38.6 , 平均数为 38.5 .

（2）根据分层抽样法, 其中位于 $[30 ， 35 ）$ 中的有 4 人，记为 $A, B ， C ， D$,位于 $[45,50]$ 中的有 2 人, 记为 $a, b$.

从 6 人中抽取 2 人, 有 15 种情况, 分别为:
$(A, B)$
$(A, C)$
$(A, D)$
$(A, a),(A, b)$,
$(B, C)$,
$(B, D)$,
$(B, a)$,
$(B, b)$,
$(C, D)$,
$(C, a)$,
$(c, b)$,
$(D, a)$,
$(D, b),(a, b)$,

恰有 1 人在 $[45,50]$ 内的有:
$(A, a)$,
$(A, b)$,
$(B, a)$,
$(B, b)$,
$(C, a)$,
$(C, b)$,
(D, a) ,
（D，b），共

8 种情况,

所以恰有 1 人在 $[45,50]$ 内的概率为 $P=\frac{8}{15}$.
题目（高一 · 计数）：（2019 秋-东湖区校级月考）某儿童乐园在 “六一” 儿童节推出了一项趣味活动, 参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次, 每次转动后, 待转盘停止转动时, 记录指针所指区域中的数. 设两次记录的数分别为 $x 、 y$, 奖励规则如下:

(1)若 $x y \leqslant 3$, 则奖励玩具一个; (2)若 $x y \geqslant 8$, 则奖励水杯一个;

(3)其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀, 四个区域划分均匀. 小亮准备参加此项活动.

(1) 求小亮获得玩具的概率;

（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小, 并说明理由.


选项：
答案：解：（1）两次记录的数为 $(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2$,
3), ( 2,4$)$,
$(3,4)$
$(2,1)$
$(3,1),(4,1),(3,2)$,
$(3,3)$
$(4,2)$,

$(4,3),(4,4)$, 共 16 个,

满足 $x y \leqslant 3$, 有 $(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)$, 共 5 个,

$\therefore$ 小亮获得玩具的概率为 $\frac{5}{16}$;

(2) 满足 $x y \geqslant 8,(2,4),(3,4),(4,2),(4,3),(3,3),(4,4)$ 共 6 个, $\therefore$小亮获得水杯的概率为 $\frac{6}{16}$;

小亮获得饮料的概率为 $1-\frac{5}{16}-\frac{6}{16}=\frac{5}{16}$,

$\therefore$ 小亮获得水杯大于获得饮料的概率.
解析：解：（1）两次记录的数为 $(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2$,
3), ( 2,4$)$,
$(3,4)$
$(2,1)$
$(3,1),(4,1),(3,2)$,
$(3,3)$
$(4,2)$,

$(4,3),(4,4)$, 共 16 个,

满足 $x y \leqslant 3$, 有 $(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)$, 共 5 个,

$\therefore$ 小亮获得玩具的概率为 $\frac{5}{16}$;

(2) 满足 $x y \geqslant 8,(2,4),(3,4),(4,2),(4,3),(3,3),(4,4)$ 共 6 个, $\therefore$小亮获得水杯的概率为 $\frac{6}{16}$;

小亮获得饮料的概率为 $1-\frac{5}{16}-\frac{6}{16}=\frac{5}{16}$,

$\therefore$ 小亮获得水杯大于获得饮料的概率.
题目（高一 · 计数）：（2019 秋・保定月考）（1）从区间 $[1,10]$ 内任意选取一个实数 $x$ ，求 $x^{2}-6 x-16 \leqslant 0$ 的概率; （2）从区间 $[1,12]$ 内任意选取一个整数 $x$, 求 $\ln (x-2)<2$ 的概率.
选项：
答案：解: (1) 因为 $x^{2}-6 x-16 \leqslant 0 \Rightarrow-2 \leqslant x \leqslant 8$;

$\because 1 \leqslant x \leqslant 10$

$\therefore 1 \leqslant x \leqslant 8 ;$

$\therefore \frac{8-1}{10-1}=\frac{7}{9}$;

(2) $\because \ln (x-2)<2 \Rightarrow 2<x<e^{2}+2$;

则在区间 $[1,12]$ 内满足 $\ln (x-2)<2$ 的整数为 $3,4,5,6,7,8,9$, 共有 7 个,故由古典概型可知, 所求概率为 $\frac{7}{12}$.
解析：解: (1) 因为 $x^{2}-6 x-16 \leqslant 0 \Rightarrow-2 \leqslant x \leqslant 8$;

$\because 1 \leqslant x \leqslant 10$

$\therefore 1 \leqslant x \leqslant 8 ;$

$\therefore \frac{8-1}{10-1}=\frac{7}{9}$;

(2) $\because \ln (x-2)<2 \Rightarrow 2<x<e^{2}+2$;

则在区间 $[1,12]$ 内满足 $\ln (x-2)<2$ 的整数为 $3,4,5,6,7,8,9$, 共有 7 个,故由古典概型可知, 所求概率为 $\frac{7}{12}$.
题目（高一 · 计数）：（2017 秋・上期末）（1）从区间（0，5）内任意选取一个实数 $x$, 求事件 “ $9^{x}>27$ ” 发生的概率;

（2）从区间（0,8）内任意选取一个整数 $x$, 求事件 “ $\log _{\frac{1}{2}} x>-2$ ” 发生的概率.
选项：
答案：解: (1) 因为 $9^{x}>27$, 所以 $x>\log _{9} 27$, 即 $x>\frac{3}{2}$,

故由几何概型可知, 所求概率为 $\frac{5-\frac{3}{2}}{5-0}=\frac{7}{10}$.

(2) 因为 $\log _{\frac{1}{2}} x>-2$, 所以 $0<x<4$,
则在区间 $(0,8)$ 内满足 $\log _{\frac{1}{2}} x>-2$ 的整数为 $1,2,3$, 共 3 个,

故由古典概型可知, 所求概率为 $\frac{3}{7}$.
解析：解: (1) 因为 $9^{x}>27$, 所以 $x>\log _{9} 27$, 即 $x>\frac{3}{2}$,

故由几何概型可知, 所求概率为 $\frac{5-\frac{3}{2}}{5-0}=\frac{7}{10}$.

(2) 因为 $\log _{\frac{1}{2}} x>-2$, 所以 $0<x<4$,
则在区间 $(0,8)$ 内满足 $\log _{\frac{1}{2}} x>-2$ 的整数为 $1,2,3$, 共 3 个,

故由古典概型可知, 所求概率为 $\frac{3}{7}$.
题目（高一 · 计数）：在研究历史声音档案时, 发现 $30 \mathrm{~min}$ 长的磁带上, 从开始 $30 \mathrm{~s}$ 处起, 有 $10 \mathrm{~s}$ 长的一段内容包含两位名人的信息. 后来发现, 这段谈话的一部分被某位工作人员擦掉了, 该工作人员声称她完全是无意中按错了键，使从此处起往后的所有内容都被擦掉了. 问：由于按错了键而使含有两位名人谈话内容被部分或全部擦掉的概率有多大?
选项：
答案：解: 由题意, 含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉就是在 40 秒以前按错了键, 在 40 秒后按错了键也不会被擦掉,

所以概率为 $P=\frac{30+10}{30 \times 60}=\frac{1}{45}$;

故所求概率为: $\frac{1}{45}$.
解析：解: 由题意, 含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉就是在 40 秒以前按错了键, 在 40 秒后按错了键也不会被擦掉,

所以概率为 $P=\frac{30+10}{30 \times 60}=\frac{1}{45}$;

故所求概率为: $\frac{1}{45}$.
题目（高一 · 算术）：用分数指数幂表示下列各式（式中字母均为正数）;

(1) $\sqrt{a^{6} b^{5}}$;

(2) $\sqrt[3]{m^{2}}$;

(3) $\sqrt{(m-n)^{3}} \quad(\mathrm{~m}>\mathrm{n})$;

(4) $\sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a}$

(5) $\sqrt{a \sqrt{a \sqrt{a}}}$.
选项：
答案：(1) 解: $\because \mathrm{a}>0, \mathrm{~b}>0$,

$\therefore \sqrt{a^{6} b^{5}}=a^{3} b^{2} \sqrt{b}=a^{3} b^{\frac{5}{2}}$

(2) 解: $\because \mathrm{m}>0, \therefore \sqrt[3]{m^{2}}=m^{\frac{2}{3}}$

(3) 解: $\because \mathrm{m}>\mathrm{n}>0, \therefore \sqrt{(m-n)^{3}}=(m-n)^{\frac{3}{2}}$

(4) 解: $\because \mathrm{a}>0, \therefore \sqrt{a} \cdot \sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{3}}=a^{\frac{3}{6}}$

（5）解： $\because \mathrm{a}>0, \therefore \sqrt{a \sqrt{a \sqrt{a}}}=\sqrt{a \cdot \sqrt{a \cdot \sqrt{a^{\frac{1}{2}}}}}=\sqrt{a \cdot a^{\frac{3}{4}}}=a^{\frac{1}{8}}$
解析：结合公式 $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}$, 利用分数指数幂的性质和运算法则求解.
题目（高一 · 算术）：化简求值:

(1) $\left(2 \frac{3}{5}\right)^{0}+2^{-2} \times\left(2 \frac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}-(0.01)^{0.5}$;

(2) $\sqrt[3]{a^{5}} \cdot \sqrt[3]{a^{7}} \div a^{6}$.
选项：
答案：(1) 解: $\left(2 \frac{3}{5}\right)^{0}+2^{-2} \times\left(2 \frac{1}{4}\right)^{-\frac{1}{2}}-(0.01)^{0.5}$

$=1+\frac{1}{4} \times\left[\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\right]^{-\frac{1}{2}}-\left(\frac{1}{100}\right)^{\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{4} \times \frac{2}{3}-\frac{1}{10}=\frac{16}{15}$.

(2) 解:

$$
\sqrt[3]{a^{5}} \cdot \sqrt[3]{a^{7}} \div a^{6}=a^{\frac{5}{3}} \cdot a^{\frac{7}{3}} \div a^{6}=a^{\frac{5}{3}+\frac{7}{3}-6}=a^{-2}=\frac{1}{a^{2}} .
$$
解析：（1）根据指数幂的运算法则求解即可; (2) 把根式化成分数指数幂后根据指数幂的运算法则求解即可.
题目（高一 · 算术）：(1) 计算: $\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}+\left(\frac{64}{27}\right)^{\frac{1}{3}}+\left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}+\left(\frac{81}{16}\right)^{-\frac{1}{4}}$;

(2) 化简: $\frac{\sqrt[3]{\sqrt[3]{a b^{2}} \cdot a^{3} b^{2}}}{\sqrt[3]{b}\left(a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{2}}\right)^{4}}(a>0, b>0)$.
选项：
答案：(1) 解: $\left(\frac{1}{2}\right)^{-4}+\left(\frac{64}{27}\right)^{\frac{1}{3}}+\left(\frac{1}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}+\left(\frac{81}{16}\right)^{-\frac{1}{4}}=16+\frac{4}{3}+4+\frac{2}{3}=22$

(2) 解: $\frac{\sqrt[3]{a b^{2}} \cdot a^{3} b^{2}}{\sqrt[3]{b}\left(a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{2}}\right)^{4}}=\frac{\left(\left(a b^{2}\right)^{\frac{1}{3}} a^{3} b^{2}\right)^{\frac{1}{2}}}{b^{\frac{1}{3}}\left(a^{\frac{1}{6}} b^{\frac{1}{2}}\right)^{4}}=\frac{a^{\frac{5}{3}} b^{\frac{4}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} b^{\frac{7}{3}}}=\frac{a}{b}$
解析：（1）利用有理数指数幂的运算性质化简求值.

（2）利用根式与指数幂的关系式结合有理数指数幂的运算性质化简得出结果.
题目（高一 · 算术）：计算求值:

(1) $0.064^{-\frac{1}{3}}-\left(-\frac{7}{8}\right)^{0}+16^{\frac{3}{4}}+0.25^{\frac{1}{2}}$

(2) 若 $x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$, 求 $x+x^{-1}$ 的值
选项：
答案：（1）解: 原式 $=\left(0 \cdot 4^{3}\right)^{-\frac{1}{3}}-1+\left(2^{4}\right)^{\frac{3}{4}}+\left(0 \cdot 5^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$

$=0 \cdot 4^{-1}-1+8+\frac{1}{2}$

$=\frac{5}{2}+7+\frac{1}{2}$

$=10$

(2) 解: $\because x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$

$\therefore\left(x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}\right)^{2}=5$

$\therefore x+x^{-1}=3$
解析：根据指数式的运算化简即可.
题目（高一 · 算术）：计算下列式子的值:

(1) $\log _{3} 1-\log _{3} \frac{1}{27}+\log _{\sqrt{3}} 3$;

(2) $0.064^{-\frac{1}{3}}-\left(-\frac{1}{2}\right)^{0}+4^{\frac{3}{2}}+0.25^{\frac{1}{2}}$.
选项：
答案：(1) 解: $\log _{3} 1-\log _{3} \frac{1}{27}+\log _{\sqrt{3}} 3=0+3+2=5$

（2）解: $0.064^{-\frac{1}{3}}-\left(-\frac{1}{2}\right)^{0}+4^{\frac{3}{2}}+0.25^{\frac{1}{2}}=\sqrt[3]{\frac{1000}{64}}-1+(\sqrt{4})^{3}+\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{10}{4}-1+8+\frac{1}{2}=10$
解析：（1）利用对数的运算性质进行计算即可; （2）利用幂指数性质来进行计算即可.