题目（高二 · 解析几何）：已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=^{\frac{m x}{x^{2}+n}}(\mathrm{~m}, \mathrm{n} \in \mathrm{R})$ 在 $\mathrm{x}=1$ 处取到极值 2 .

(1) 求 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的解析式;

(2) 设函数 $g(x)=\ln x{ }^{\frac{a}{x}}$, 若对任意的 $x_{1} \in[-1,1]$, 总存在 $x_{2} \in[1, e]$, 使得 $g\left(x_{2}\right) \leq f\left(x_{1}\right)$ $+^{\frac{7}{2}}$, 求实数 $\mathrm{a}$ 的取值范围.
选项：
答案：答案:解：（1）

$$
f^{\prime}(x)=\frac{m\left(x^{2}+n\right)-2 m x^{2}}{\left(x^{2}+n\right)^{2}}=\frac{-m x^{2}+m n}{\left(x^{2}+n\right)^{2}}
$$

由 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\mathrm{x}=1$ 处取到极值 2, 故 $\mathrm{f}^{\prime}(1)=0, \mathrm{f}(1)=2$ 即

$$
\left\{\begin{array}{c}
\frac{m n-m}{(1+n)^{2}}=0 \\
\frac{m}{1+n}=2
\end{array}\right.
$$

解得 $m=4, n=1$, 经检验, 此时 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极值. 故

$$
f(x)=\frac{4 x}{x^{2}+1}
$$

（2）由（1）知 $\mathrm{f}(\mathrm{x} ）$ 的定义域为 $\mathrm{R}$, 且 $\mathrm{f}(-\mathrm{x})=-\mathrm{f}(\mathrm{x})$. 故 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 为奇函数. $\mathrm{f}(0)=0, \mathrm{x}>0$时, $f(x)>0, f(x)={ }^{\frac{4}{x+\frac{1}{x}}} \leq 2$. 当且仅当 $x=1$ 时取 “=”.

故 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的值域为 $[-2,2]$. 从而 $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{1}\right)+^{\frac{7}{2}} \geq^{\frac{3}{2}}$. 依题意有 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 最小值 $\leq^{\frac{3}{2}}$函数 $\mathrm{g}(\mathrm{x})=\ln \mathrm{x}+{ }^{\frac{a}{x}}$ 的定义域为 $(0,+\infty), \mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{x})=^{\frac{x-a}{x^{2}}}$

(1)当 $\mathrm{a} \leq 1$ 时, $\mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{x})>0$ 函数 $\mathrm{g}$ ( $\mathrm{x}$ ) 在 $[1, e]$ 上单调递增, 其最小值为 $\mathrm{g}(1)=\mathrm{a} \leq 1<^{\frac{3}{2}}$ 合题意; (2)当 $1<a<e$ 时, 函数 $g(x)$ 在 $[1, a)$ 上有 $g^{\prime}(x)<0$, 单调递减, 在 $(a, e]$ 上有 $g^{\prime}(x)>0$, 单调递增, 所以函数 $\mathrm{g}$ ( $\mathrm{x})$ 最小值为 $\mathrm{f}(\mathrm{a})=\operatorname{lna}+1$, 由 $\ln \mathrm{a}+1 \leq^{\frac{3}{2}}$, 得 $0<\mathrm{a} \leq \sqrt{e}$. 从而知 $1<\mathrm{a} \leq \sqrt{e}$ 符合题意.

(3)当 $\mathrm{a} \geq \mathrm{e}$ 时, 显然函数 $g$ (x) 在 $[1, e]$ 上单调递减, 其最小值为 $g(e)=1+^{\frac{7}{2}} \geq 2>^{\frac{3}{2}}$, 不合题意

综上所述, $\mathrm{a}$ 的取值范围为 $\mathrm{a} \leq \sqrt{e}$

【解析】【分析】(1) 利用函数的求导公式计算函数的导数, 根据函数在 $\mathrm{x}=1$ 处取到极值得出函数在 $\mathrm{x}=1$ 处的导数为 0 , 再把 $\mathrm{x}=2$ 代入函数, 联立两式求出 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 的值即可. 已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=^{\frac{\mathrm{mx}}{x^{2}+n}}$ ( $\mathrm{m}$, $n \in R$ ) 在 $x=1$ 处取到极值 2 .

（2）由（1）知 $\mathrm{f}(\mathrm{x} ）$ 的定义域为 $\mathrm{R}$, 且 $\mathrm{f}(-\mathrm{x})=-\mathrm{f}(\mathrm{x})$. 故 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 为奇函数. $\mathrm{f}(0)=0$, $x>0$ 时, $f(x)>0, f(x)={ }^{\frac{4}{x+\frac{1}{x}}} \leq 2$. 当且仅当 $x=1$ 时取“=”. 故 $f(x)$ 的值域为 $[-2,2]$. 从而 $f\left(x_{1}\right)$ $+\frac{7}{2} \geq^{\frac{3}{2}}$. 依题意有 $g(x)$ 最小值 $\leq^{\frac{3}{2}}$ 。
解析：答案:解：（1）

$$
f^{\prime}(x)=\frac{m\left(x^{2}+n\right)-2 m x^{2}}{\left(x^{2}+n\right)^{2}}=\frac{-m x^{2}+m n}{\left(x^{2}+n\right)^{2}}
$$

由 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在 $\mathrm{x}=1$ 处取到极值 2, 故 $\mathrm{f}^{\prime}(1)=0, \mathrm{f}(1)=2$ 即

$$
\left\{\begin{array}{c}
\frac{m n-m}{(1+n)^{2}}=0 \\
\frac{m}{1+n}=2
\end{array}\right.
$$

解得 $m=4, n=1$, 经检验, 此时 $f(x)$ 在 $x=1$ 处取得极值. 故

$$
f(x)=\frac{4 x}{x^{2}+1}
$$

（2）由（1）知 $\mathrm{f}(\mathrm{x} ）$ 的定义域为 $\mathrm{R}$, 且 $\mathrm{f}(-\mathrm{x})=-\mathrm{f}(\mathrm{x})$. 故 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 为奇函数. $\mathrm{f}(0)=0, \mathrm{x}>0$时, $f(x)>0, f(x)={ }^{\frac{4}{x+\frac{1}{x}}} \leq 2$. 当且仅当 $x=1$ 时取 “=”.

故 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 的值域为 $[-2,2]$. 从而 $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}_{1}\right)+^{\frac{7}{2}} \geq^{\frac{3}{2}}$. 依题意有 $\mathrm{g}(\mathrm{x})$ 最小值 $\leq^{\frac{3}{2}}$函数 $\mathrm{g}(\mathrm{x})=\ln \mathrm{x}+{ }^{\frac{a}{x}}$ 的定义域为 $(0,+\infty), \mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{x})=^{\frac{x-a}{x^{2}}}$

(1)当 $\mathrm{a} \leq 1$ 时, $\mathrm{g}^{\prime}(\mathrm{x})>0$ 函数 $\mathrm{g}$ ( $\mathrm{x}$ ) 在 $[1, e]$ 上单调递增, 其最小值为 $\mathrm{g}(1)=\mathrm{a} \leq 1<^{\frac{3}{2}}$ 合题意; (2)当 $1<a<e$ 时, 函数 $g(x)$ 在 $[1, a)$ 上有 $g^{\prime}(x)<0$, 单调递减, 在 $(a, e]$ 上有 $g^{\prime}(x)>0$, 单调递增, 所以函数 $\mathrm{g}$ ( $\mathrm{x})$ 最小值为 $\mathrm{f}(\mathrm{a})=\operatorname{lna}+1$, 由 $\ln \mathrm{a}+1 \leq^{\frac{3}{2}}$, 得 $0<\mathrm{a} \leq \sqrt{e}$. 从而知 $1<\mathrm{a} \leq \sqrt{e}$ 符合题意.

(3)当 $\mathrm{a} \geq \mathrm{e}$ 时, 显然函数 $g$ (x) 在 $[1, e]$ 上单调递减, 其最小值为 $g(e)=1+^{\frac{7}{2}} \geq 2>^{\frac{3}{2}}$, 不合题意

综上所述, $\mathrm{a}$ 的取值范围为 $\mathrm{a} \leq \sqrt{e}$

【解析】【分析】(1) 利用函数的求导公式计算函数的导数, 根据函数在 $\mathrm{x}=1$ 处取到极值得出函数在 $\mathrm{x}=1$ 处的导数为 0 , 再把 $\mathrm{x}=2$ 代入函数, 联立两式求出 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 的值即可. 已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=^{\frac{\mathrm{mx}}{x^{2}+n}}$ ( $\mathrm{m}$, $n \in R$ ) 在 $x=1$ 处取到极值 2 .

（2）由（1）知 $\mathrm{f}(\mathrm{x} ）$ 的定义域为 $\mathrm{R}$, 且 $\mathrm{f}(-\mathrm{x})=-\mathrm{f}(\mathrm{x})$. 故 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 为奇函数. $\mathrm{f}(0)=0$, $x>0$ 时, $f(x)>0, f(x)={ }^{\frac{4}{x+\frac{1}{x}}} \leq 2$. 当且仅当 $x=1$ 时取“=”. 故 $f(x)$ 的值域为 $[-2,2]$. 从而 $f\left(x_{1}\right)$ $+\frac{7}{2} \geq^{\frac{3}{2}}$. 依题意有 $g(x)$ 最小值 $\leq^{\frac{3}{2}}$ 。