eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高一 · 立体几何学）：不同的直线 $m, n$ 与不同的平面 $\alpha, \beta, \gamma$, 有下列六个命题:

(1)若 $m \perp \alpha, m / / \beta$, 则 $\alpha \perp \beta$;

(2)若 $m / / n, n \subset \alpha$,则 $m / / \alpha$;

(3)若 $m \perp \alpha, n / / \beta$, 且 $\alpha / / \beta$, 则 $m \perp n$;

(4)若 $m / / \alpha, n \perp \beta$, 且 $\alpha \perp \beta$, 则 $m / / n$;

(5)若 $m \perp \alpha, n \perp \beta$, 且 $\alpha \perp \beta$, 则 $m \perp n$;

(6) 若 $m / / \alpha, n / / \beta$, 且 $\alpha / / \beta$, 则 $m / / n$;

其中正确命题的序号是
选项：
答案：)(3)(5)
解析：【分析】

(1): 根据线面平行的性质定理、面面垂直的判定定理, 结合平行线的性质进行判断即可;

(2): 根据线面平行的判定定理进行判断即可;

(3): 根据线面平行的性质定理、面面平行的性质，以及平行线的性质进行判断即可;

(4): 在正方体中可以找到特例进行判断即可;

(5): 根据平面法向量的性质和空间向量夹角公式进行判断即可;

(6): 根据面面平行的性质, 结合直线与直线的位置关系进行判断即可.

## 【详解】

(1): 因为 $m / / \beta$, 所以存在过直线 $m$ 的一个平面与平面 $\beta$ 交于直线 $n$, 显然有 $n / / m$,而 $m \perp \alpha, m / / \beta$, 所以 $n \perp \alpha$, 而 $n \subset \beta$, 因此 $\alpha \perp \beta$, 故本命题是真命题;

(2): 只有当 $m \not \subset \alpha, m / / n, n \subset \alpha$ 才能推出 $m / / \alpha$, 故本命题是假命题;

(3): 因为 $n / / \beta$, 所以存在过直线 $n$ 的一个平面与平面 $\beta$ 交于直线 $l$, 显然有 $n / / l$,又 $m \perp \alpha, \alpha / / \beta$, 所以 $m \perp \beta$, 因此 $m \perp l$, 所以 $m \perp n$, 故本命题是真命题;

(4): 在如图的正方体 $A B C D-E F G H$ 中:

平面 $A B C D$ 记为平面 $\alpha$, 平面 $C D H G$ 记为平面 $\beta$, 直线 $E F$ 记为直线 $m$, 直线 $F G$ 记为直线 $n$, 显然符合 $m / / \alpha, n \perp \beta, \alpha \perp \beta$, 但是 $m \cap n$, (当然 $m, n$ 也可以是异面直线),故本命题是假命题,



(5): 因为 $m \perp \alpha, n \perp \beta$, 所以平面 $\alpha, \beta$ 的法向量分别为: $\vec{m}, \vec{n}$, 因为 $\alpha \perp \beta$, 所以为 $\vec{m} \cdot \vec{n}=0 \Rightarrow \vec{m} \perp \vec{n} \Rightarrow m \perp n$, 故本命题是真命题;

(6): 因为 $m / / \alpha, n / / \beta$, 且 $\alpha / / \beta$, 所以直线 $m, n$ 没有交点, 故两直线是平行线或异面直线, 故本命题是假命题.

故答案为: (1)(3)(5)

## 【点睛】

本题考查了面面平行的性质、面面垂直的性质, 考查了线面平行的判定定理, 属于基础
题.
题目（高一 · 立体几何学）：$m, n$ 为空间两条不同的直线, $\alpha, \beta$ 为空间两个不同的平面, 给出下列命题:

(1)若 $m\|\alpha, m\| \beta$, 则 $\alpha \| \beta$;

(3)若 $m\|\alpha, m\| n$ ，则 $n \| \alpha$ ；

其中的正确命题序号是
选项：
答案：)(4)
解析：【分析】

利用空间线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理分别分析四个命题, 得到正确答案.

## 【详解】

对于(1), 若 $m / / \alpha, m / / \beta$, 则 $\alpha$ 与 $\beta$ 可能相交, 故(1)错误;

对于(2), 若 $\mathrm{m} \perp \alpha, \mathrm{m} / / \beta$, 根据线面垂直和线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理得到 $\alpha \perp \beta$, 故(2)正确;

对于(3)，若 $\mathrm{m} / / \alpha, \mathrm{m} / / \mathrm{n}$ 则 $\mathrm{n}$ 可能在 $\alpha$ 内，故(3)错误;

对于(4), 若 $\mathrm{m} \perp \alpha, \alpha / / \beta$, 则根据线面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理得到 $\mathrm{m} \perp \beta$;故(4)正确;

故答案为: (2)(4).

## 【点睛】

本题考查了空间线面平行、线面垂直面面垂直的性质定理和判定定理的运用; 熟练掌握定理是关键.
题目（高一 · 立体几何学）：$a, b, c$ 表示空间中三条不同的直线, $\alpha, \beta, \gamma$ 表示平面, 给出下列命题:

(1)若 $\vec{a} \perp \vec{b}, b \perp c$ ，则 $a / / c$;(2)若 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}, a / / c$, 则 $b / / c$;

(3)若 $a / / \gamma, b / / \gamma$, 则 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$;(4)若 $\alpha / / \gamma, \beta / / \gamma$, 则 $\alpha / / \beta$.

其中真命题的序号是
选项：
答案：)(4)
解析：【分析】

判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换,进行证明,也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析.

## 【详解】

$\because a \perp b, b \perp c$

$\therefore a$ 与 $c$ 平行,相交或异面,故(1)不正确;

$\because a / / b, a / / c$,

$\therefore$ 由平行公理可知 $b / / c$ 故(2)正确;

$\because a / / \gamma, b / / \gamma$

$\therefore a$ 与 $b$ 平行,相交或异面故(3)不正确;

$\because \alpha / / \gamma, \beta / / \gamma$

$\therefore$ 由面面平行的性质可知 $\alpha / / \beta$, 故(4)正确.

故答案为:(2)(4).

## 【点睛】

判断空间线面的关系,常常把他们放在空间几何体中来直观的分析,在判断线与面的平行与垂直关系时,正方体是最常用的空间模型, 大家一定要熟练掌握这种方法,难度较易.
题目（高一 · 立体几何学）：命题中正确的是 . (填上所有正确命题的序号)

(1)若 $m / / \alpha, n \subset \alpha$, 则 $m / / n$;

(2)若 $l / / \alpha, l / / \beta$, 则 $\alpha / / \beta$;

(3)若 $m \perp \alpha, n \perp \alpha$, 则 $m / / n$;

(4)若 $m / / \beta, n / / \beta, m \subset \alpha, n \subset \alpha$, 则 $\alpha / / \beta$.
选项：
答案：)
解析：对于(1), 若 $m / / \alpha, n \subset \alpha$, 则 $m$ 与 $n$ 可能异面、平行, 故(1)错误; 对于(2), 若 $l / / \alpha$, $l / / \beta$, 则 $\alpha$ 与 $\beta$ 可能平行、相交, 故(2)错误; 对于(3), 若 $m \perp \alpha, n \perp \alpha$, 则根据线面垂直的性质，可知 $m / / n$, 故(3)正确; 对于(4), 根据面面平行的判定定理可知，还需添加 $m, n$ 相交，故(4)错误，故答案为(3).

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面平行的性质及线面垂直的性质,属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断, 常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除篮选法等；另外，若原命题不太容易判断真假, 可以考虑它的逆否命题, 判断它的逆否命题真假, 原命题与逆否命题等价.
题目（高一 · 立体几何学）：高为 $\boldsymbol{H}$ 的正三棱雉 $P-A B C$ 的每个顶点都在半径为 $\boldsymbol{R}$ 的球 $\boldsymbol{O}$ 的球面上, 若二面角 $P-A B-C$ 的正切值为 $\mathbf{4}$, 则 $\frac{H}{R}=$
选项：
答案：frac{8}{5}$
解析：【分析】

取线段 $A B$ 的中点 $D$, 点 $P$ 在平面 $A B C$ 的射影点 $M$, 利用二面角的定义得出 $\angle P D C$ 为二面角 $P-A B-C$ 的平面角, 于此得出 $\frac{P M}{D M}=4$, 并在 $R t \triangle O M C$ 中, 由勾股定理 $O M^{2}+C M^{2}=O C^{2}$,经过计算可得出 $R$ 与 $H$ 的比值。

## 【详解】

取线段 $A B$ 的中点 $D$, 设 $P$ 在底面 $A B C$ 的射影为 $M$, 则 $H=P M$, 连接 $C D, P D$ (图略).设 $P M=4 k$, 易证 $P D \perp A B, C D \perp A B$, 则 $\angle P D C$ 为二面角 $P-A B-C$ 的平面角,

从而 $\tan \angle P D C=\frac{P M}{D M}=\frac{4 k}{D M}=4$, 则 $D M=k, C M=2 k$.

在Rt $\triangle O M C$ 中, $O M^{2}+C M^{2}=O C^{2}$, 即 $(4 k-R)^{2}+(2 k)^{2}=R^{2}$, 解得 $R=\frac{5 k}{2}$, 故 $\frac{H}{R}=\frac{8}{5}$.

故答案为: $\frac{8}{5}$ 。

## 【点睛】

本题考查二面角的定义, 考查多面体的外接球, 在处理多面体的外接球时, 要确定球心的位置, 同时在求解时可引入一些参数去表示相关边长, 可简化计算, 考查逻辑推理能力, 属于中等题。
题目（高一 · 立体几何学）：下列四个平面图形都是正方体的展开图, 还原成正方体后, 数字排列规律完全一样的两个是



(1)

(2)



(3)


(4)

图 1-1-12
选项：
答案：)(3)
解析：)(3)中, (1)(4)为相对的面, (2)(5)为相对的面, (3)(6)为相对的面, 故它们的排列规律完全一样。
题目（高一 · 立体几何学）：一个长方体共顶点的三个面的面积分别是 $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{6}$, 则这个长方体对角线的长是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$\sqrt{6}$
解析：设长方体长、宽、高为 $x, y, z$,

则 $y z=\sqrt{2}, x z=\sqrt{3}, y x=\sqrt{6}$,

三式相乘得 $x^{2} y^{2} z^{2}=6$, 即 $x y z=\sqrt{6}$,

解得 $x=\sqrt{3}, y=\sqrt{2}, z=1$,

所以 $\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\sqrt{3+2+1}=\sqrt{6}$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 已知正三棱雉 $P-A B C$ 的侧棱长为 $\sqrt{2}$, 底面边长为 $\sqrt{2}, Q$ 是侧棱 $P A$ 的中点, 一条折线从 $A$ 点出发, 绕侧面一周到 $Q$ 点, 则这条折线长度的最小值为


选项：
答案：$\frac{3 \sqrt{2}}{2}$
解析：棱 $P A$ 把三棱锥展开成平面图形,



所求的折线长度的最小值就是线段 $A Q$ 的长度, 令 $\angle P A B=\theta$, 则 $\theta=60^{\circ}$, 在展开图中, $A Q=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$, 故答案为 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$.
题目（高一 · 立体几何学）：以三棱台的顶点为三棱雉的顶点, 这样可以把一个三棱台分成 \$ \qquad \$个三棱雉.
选项：
答案：3
解析：如图, 分割为 $A_{1}-A B C, B-A_{1} C C_{1}, C_{1}-A_{1} B_{1} B, 3$ 个棱锥.
题目（高一 · 立体几何学）：已知 $A \in \alpha, B \notin \alpha$, 若 $A \in l, B \in l$, 那么直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 有 \$ \qquad \$个公共点.
选项：
答案：1
解析：若直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 有两个公共点, 则 $l \subset \alpha$, 那么 $B \in \alpha$, 这与 $B \notin \alpha$ 矛盾, $\therefore I \cap \alpha=A$.
题目（高一 · 立体几何学）：$\alpha 、 \beta$ 为平面, $A 、 B 、 M 、 N$ 为点, $a$ 为直线, 下列推理错误的是 - (填序号)

(1) $A \in a, \quad A \in \beta, B \in a, B \in \beta \Rightarrow a \subset \beta$;

(2) $M \in \alpha, \quad M \in \beta, \quad N \in \alpha, N \in \beta \Rightarrow \alpha \cap \beta=M N$;

(3) $A \in \alpha, \quad A \in \beta \Rightarrow \alpha \cap \beta=A$;

(4) $A 、 B 、 M \in \alpha, A 、 B 、 M \in \beta$, 且 $A 、 B 、 M$ 不共线 $\Rightarrow \alpha 、 \beta$ 重合.
选项：
答案：(3)
解析：because A \in \alpha, A \in \beta, \therefore A \in \alpha \cap \beta$.

由公理可知 $\alpha \cap \beta$ 为经过 $A$ 的一条直线而不是点 $A$.

故 $\alpha \cap \beta=A$ 的写法错误.
题目（高一 · 立体几何学）：平行直线最多能确定的平面的个数为
选项：
答案：3
解析：当三条平行直线在一个平面内时, 可以确定 1 个平面; 当三条平行直线不在同一平面上时, 可以确定 3 个平面。综上最多可确定 3 个平面.
题目（高一 · 立体几何学）：如图 2-3-7, 平面 $\alpha \cap \beta=C D, E A \perp \alpha$, 垂足为 $A, E B \perp \beta$, 垂足为 $B$, 则 $C D$ 与 $A B$ 的位置关系是



图 2-3-7
选项：
答案：$C D \perp A B$
解析：$\because E A \perp \alpha, C D \subset \alpha$,

根据直线和平面垂直的定义, 则有 $C D \perp E A$.

同样, $\because E B \perp \beta, C D \subset \beta$, 则有 $E B \perp C D$.

又 $E A \cap E B=E$,

$\therefore C D \perp$ 平面 $A E B$.
又 $\because A B \subset$ 平面 $A E B, \therefore C D \perp A B$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $P A \perp \odot O$ 所在的平面, $C$ 是圆上一点, 且 $\angle A B C=30^{\circ}, P A=A B$, 则直线 $P C$ 与平面 $A B C$ 所成角的正切值为


选项：
答案：2
解析：因为 $P A \perp$ 平面 $A B C$, 所以 $A C$ 为斜线 $P C$ 在平面 $A B C$ 上的射影, 所以 $\angle P C A$ 即为 $P C$ 与平面 $A B C$ 所成的角. 在 $\triangle P A C$ 中, $A C=\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} P A$, 所以 $\tan \angle P C A=\frac{P A}{A C}=2$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示, 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $M 、 N$ 分别是棱 $A A_{1}$ 和 $A B$ 上的点, 若 $\angle B_{1} M N$ 是直角, 则 $\angle C_{1} M N=$ \$ \qquad \$ .


选项：
答案：$90^{\circ}$
解析：because B_{1} C_{1} \perp$ 平面 $A B B_{1} A_{1}, \therefore B_{1} C_{1} \perp M N$.

又 $\because M N \perp B_{1} M, \therefore M N \perp$ 平面 $C_{1} B_{1} M$.

又 $C_{1} M \subset$ 平面 $C_{1} B_{1} M$,

$\therefore M N \perp C_{1} M, \therefore \angle C_{1} M N=90^{\circ}$.
题目（高一 · 立体几何学）：在直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, $B C=C C_{1}$, 当底面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 满足条件 \$ \qquad \$时, 有 $A B_{1} \perp B C_{1}$. (注：填上你认为正确的一种条件即可, 不必考虑所有可能的情况)
选项：
答案：$\angle A_{1} C_{1} B_{1}=90^{\circ}$
解析：如图所示, 连接 $B_{1} C$, 由 $B C=C C_{1}$, 可得 $B C_{1} \perp B_{1} C$, 因此, 要证 $A B_{1} \perp B C_{1}$, 则只要证明 $B C_{1} \perp$ 平面 $A B_{1} C$, 即只要证 $A C \perp B C_{1}$ 即可, 由直三棱柱可知, 只要证 $A C \perp B C$ 即可. 因为 $A_{1} C_{1} / / A C, B_{1} C_{1} / / B C$, 故
只要证 $A_{1} C_{1} \perp B_{1} C_{1}$ 即可. (或者能推出 $A_{1} C_{1} \perp B_{1} C_{1}$ 的条件, 如 $\angle A_{1} C_{1} B_{1}=90^{\circ}$ 等)
题目（高一 · 立体几何学）：若 $a 、 b$ 是两条异面直线, 且 $a / /$ 平面 $\alpha$, 则 $b$ 与 $\alpha$ 的位置关系是
选项：
答案：平行或相交或 $b$ 在 $\alpha$ 内
解析：, 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 设平面 $A B C D$ 为 $\alpha, A_{1} B_{1}$ 为 $a$, 则 $a / / \alpha$, 当分别取 $E F$, $B C_{1}, B C$ 为 $b$ 时, 均满足 $a$ 与 $b$ 异面, 于是 $b / / \alpha, b \cap \alpha=B, b \subset \alpha$ (其中 $E, F$ 为棱的中点).
题目（高一 · 立体几何学）：在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的六个表面与六个对角面(面 $A A_{1} C_{1} C$ 、面 $A B C_{1} D_{1}$ 、面 $A D C_{1} B_{1}$ 、面 $B B_{1} D_{1} D$ 、面 $A_{1} B C D_{1}$ 及面 $\left.A_{1} B_{1} C D\right)$ 所在的平面中, 与棱 $A A_{1}$ 平行的平面共有 \$ \qquad \$个.
选项：
解析：所示, 结合图形可知 $A A_{1} / /$ 平面 $B B_{1} C_{1} C, A A_{1} / /$ 平面 $D D_{1} C_{1} C, A A_{1} / /$ 平面 $B B_{1} D_{1} D$.
题目（高一 · 立体几何学）：若 $a, b$ 是两条异面直线, 且 $a / /$ 平面 $\alpha$, 则 $b$ 与 $\alpha$ 的位置关系是
选项：
答案：$b \subset \alpha, b / / \alpha$ 或 $b$ 与 $\alpha$ 相交
解析：$b$ 与 $\alpha$ 有如下情况:



(1)



(2)



(3)

故答案为 $b \subset \alpha, b / / \alpha$, 或 $b$ 与 $\alpha$ 相交.
题目（高一 · 立体几何学）：若不共线的三点到平面 $\alpha$ 的距离相等, 则该三点确定的平面 $\beta$ 与 $\alpha$ 之间的关系是
选项：
答案：平行或相交
解析：点在平面 $\alpha$ 的同侧时, 如图 1 所示, 由点 $A, B, C$ 到平面 $\alpha$ 的距离相等, 设到 $\alpha$ 的点为 $D, E$, $F$, 则有构成三个长方形 $A B E D, B C F E, C A D F$, 于是就有 $A B / / D E, B C / / E F$, 因为两相交直线平行, 所以 $\alpha / / \beta$. 当三点在平面 $\beta$ 的异侧时, 如图 2 所示也成立.



图 1



图 2
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中判断下列位置关系:



(1) $A D_{1}$ 所在直线与平面 $B C C_{1}$ 的位置关系是

(2)平面 $A_{1} B C_{1}$ 与平面 $A B C D$ 的位置关系是
选项：
答案：(1)平行 (2)相交
解析：(1) $A D_{1}$ 所在的直线与平面 $B C C_{1}$ 没有公共点, 所以平行; (2)平面 $A_{1} B C_{1}$ 与平面 $A B C D$ 有公共点 $B$, 故相交.
题目（高一 · 立体几何学）：如图 2-3-42, 在三棱雉 $P-A B C$ 中, $P A \perp$ 底面 $A B C, \angle B A C=90^{\circ}, F$ 是 $A C$ 的中点, $E$ 是 $P C$ 上的点, 且 $E F \perp B C$, 则 $\frac{P E}{E C}=$


图 2-3-42
选项：
答案：1
解析：在三棱锥 $P-A B C$ 中,

因为 $P A \perp$ 底面 $A B C, \angle B A C=90^{\circ}$, 所以 $A B \perp$ 平面 $A P C$.

因为 $E F \subset$ 平面 $P A C$, 所以 $E F \perp A B$,

因为 $E F \perp B C, B C \cap A B=B$,

所以 $E F \perp$ 底面 $A B C$ ，所以 $P A / / E F ，$

因为 $F$ 是 $A C$ 的中点, $E$ 是 $P C$ 上的点,

所以 $E$ 是 $P C$ 的中点, 所以 $\frac{P E}{E C}=1$.
题目（高一 · 立体几何学）：在三棱雉 $P-A B C$ 中, 平面 $P A C \perp$ 平面 $A B C, \angle P C A=90^{\circ}, \triangle A B C$ 是边长为 4 的正三角形, $P C=4, M$是 $A B$ 边上的一动点, 则 $P M$ 的最小值为
选项：
答案：\sqrt{7}$
解析：连接 $C M$, 则由题意知 $P C \perp$ 平面 $A B C$,



可得 $P C \perp C M$, 所以 $P M=\sqrt{P C^{2}+C M^{2}}$, 要求 $P M$ 的最小值只需求出 $C M$ 的最小值即可, 在 $\triangle A B C$ 中,当 $C M \perp A B$ 时, $C M$ 有最小值, 此时有 $C M=4 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=2 \sqrt{3}$, 所以 $P M$ 的最小值为 $2 \sqrt{7}$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示, 在直四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, 当底面四边形 $A B C D$ 满足 \$ \qquad \$时, $A_{1} C \perp B_{1} D_{1}$.(写出一个正确条件即可)


选项：
答案：$A C \perp B D$
解析：连接 $B D$. 因为 $B D / / B_{1} D_{1}$, 所以要使 $A_{1} C \perp B_{1} D_{1}$, 即使 $A_{1} C \perp B D$. 又因为 $A_{1} A \cap A_{1} C=A_{1}$, 所以 $B D \perp$ 平面 $A_{1} A C$. 因为 $A C \subset$ 平面 $A_{1} A C$, 所以 $A C \perp B D$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示, $A B$ 为圆 $O$ 的直径, 点 $C$ 在圆周上(异于点 $A, B$ ), 直线 $P A$ 垂直于圆 $O$ 所在的平面, 点 $M$为线段 $P B$ 的中点. 有以下四个命题: (1) $P A / /$ 平面 $M O B$; (2) $M O / /$ 平面 $P A C$; (3) $O C \perp$ 平面 $P A C$; (4)平面 $P A C \perp$平面 $P B C$.其中正确的命题是 \$ \qquad \$ . (填上所有正确命题的序号)


选项：
答案：(2)(4)
解析：$P A \subset$ 平面 $M O B$, 所以(1)不正确; 因为 $M O / / P A$, 而且 $M O \varangle$ 平面 $P A C$, 所以(2)正确; $O C$ 不垂直于 $A C$, 所以(3)不正确; 因为 $B C \perp A C, B C \perp P A, A C \cap P A=A$, 所以 $B C \perp$ 平面 $P A C$, 所以平面 $P A C \perp$ 平面 $P B C$, 所以(4)正确.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 在三棱雉 $P-A B C$ 中, 侧面 $P A C \perp$ 底面 $A B C$, 且 $\angle P A C=90^{\circ}, P A=1, A B=2$, 则 $P B=$


选项：
答案：$\sqrt{5}$
解析：$\because$ 侧面 $P A C \perp$ 底面 $A B C$, 交线为 $A C, \angle P A C=90^{\circ}$ (即 $P A \perp A C$ ),

$\therefore P A \perp$ 平面 $A B C$,

$\therefore P A \perp A B, \therefore P B=\sqrt{P A^{2}+A B^{2}}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$.
题目（高一 · 立体几何学）：直线 $a$ 和 $b$ 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的两个不同平面内, 使 $a / / b$ 成立的条件是 . (只填序号)

(1) $a$ 和 $b$ 垂直于正方体的同一个面;

(2) $a$ 和 $b$ 在正方体两个相对的面内，且共面;

(3) $a$ 和 $b$ 平行于同一条棱;

(4) $a$ 和 $b$ 在正方体的两个面内, 且与正方体的同一条棱垂直.
选项：
答案：(1)(2)(3)
解析：(1)为直线与平面垂直的性质定理的应用, (2) 为面面平行的性质, (3)为公理 4 的应用.
题目（高一 · 立体几何学）：如图 1-1-21 是一个几何体的表面展开图形, 则这个几何体是



图 1-1-21

【
选项：
答案：】圆柱
解析：】一个长方形和两个圆折叠后，能围成的几何体是圆柱。

【
题目（高一 · 立体几何学）：一圆雉的母线长为 6 , 底面半径为 3 , 用该圆雉截一圆台, 截得圆台的母线长为 4 , 则圆台的另一底面半径为 \$ \qquad \$

## 【
选项：
答案：1
解析：】作轴截面如图, 则

$\frac{r}{3}=\frac{6-4}{6}=\frac{1}{3}$,

$\therefore r=1$.



【
题目（高一 · 立体几何学）：若母线长是 4 的圆雉的轴截面的面积是 8 , 则该圆雉的高是
选项：
答案：$2 \sqrt{2}$
解析：设圆锥的底面半径为 $r$, 则圆锥的高 $h=\sqrt{4^{2}-r^{2}}$,

$\therefore$ 由题意可知 $\frac{1}{2} \cdot 2 r \cdot h=r \sqrt{4^{2}-r^{2}}=8$,

$\therefore r^{2}=8, \quad \therefore h=2 \sqrt{2}$.
题目（高一 · 立体几何学）：球的两个平行截面的面积分别为 $5 \pi$ 和 $8 \pi$, 它们位于球心的同一侧, 且距离为 1 , 那么这个球的半径是
选项：
答案：3
解析：所示, $\because$ 两个平行截面的面积分别为 $5 \pi 、 8 \pi, \therefore$ 两个截面圆的半径分别为 $r_{1}=\sqrt{5}$,



$r_{2}=2 \sqrt{2}$.

$\because$ 球心到两个截面的距离

$d_{1}=\sqrt{R^{2}-r_{1}^{2}}, \quad d_{2}=\sqrt{R^{2}-r_{2}^{2}}$,

$\therefore d_{1}-d_{2}=\sqrt{R^{2}-5}-\sqrt{R^{2}-8}=1$,

$\therefore R^{2}=9, \quad \therefore R=3$.
题目（高一 · 立体几何学）：正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周, 所得几何体是
选项：
答案：两个圆雉
解析：连接正方形的两条对角线知对角线互相垂直, 故绕对角线所在直线旋转一周形成两个底面相同的圆锥。
题目（高一 · 立体几何学）：如图 2-1-20 所示, 正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $M 、 N$ 分别为棱 $C_{1} D_{1} 、 C_{1} C$ 的中点, 有以下四个结论:



图 2-1-20

(1)直线 $A M$ 与 $C C_{1}$ 是相交直线;

(2)直线 $A M$ 与 $B N$ 是平行直线;

(3)直线 $B N$ 与 $M B_{1}$ 是异面直线;

(4)直线 $A M$ 与 $D D_{1}$ 是异面直线.

其中正确的结论为 \$ \qquad \$ (注: 把你认为正确结论的序号都填上).
选项：
答案：(3) (4)
解析：由异面直线的定义知(3)(4)正确.
题目（高一 · 立体几何学）：如图 2-1-21, 在三棱雉 $A-B C D$ 中, $E, F, G$ 分别是 $A B, B C, A D$ 的中点, $\angle G E F=120^{\circ}$, 则 $B D$ 和 $A C$所成角的度数为 \$ \qquad \$



图 2-1-21
选项：
答案：0^{\circ}$
解析：依题意知, $E G / / B D, E F / / A C$, 所以 $\angle G E F$ 所成的角或其补角即为异面直线 $A C$ 与 $B D$ 所成的角, 又 $\angle G E F=120^{\circ}$, 所以异面直线 $B D$ 与 $A C$ 所成的角为 $60^{\circ}$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示, 在三棱雉 $P-A B C$ 的六条棱所在的直线中, 异面直线共有对.


选项：
答案：3
解析：$P A$ 与 $B C, P B$ 与 $A C, P C$ 与 $A B$ 互为异面直线。 $\therefore$ 共 3 对.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, $G, H, M, N$ 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点, 则表示直线 $G H, M N$ 是异面直线的图形有



(1)



(2)



(3)



(4)
选项：
答案：(2)(4)
解析：(1) 中 $H G / / M N$, (3) 中 $G M / / H N$ 且 $G M \neq H N$, 所以直线 $H G$ 与 $M N$ 必相交.
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示, 在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中,

(1) $A C$ 与 $D D_{1}$ 所成的角为 \$ \qquad \$ ;

(2) $A C$ 与 $D_{1} C_{1}$ 所成的角为 \$ \qquad \$ .


选项：
答案：$(1) 90^{\circ}(2) 45^{\circ}$
解析：) $D D_{1}$ 和 $A C$ 是异面直线, 因为 $A A_{1} / / D D_{1}$, 所以 $\angle A_{1} A C$ 为 $D D_{1}$ 和 $A C$ 所成的角. 因为 $A A_{1} \perp A C$,所以 $\angle A_{1} A C=90^{\circ}$, 所以 $D D_{1}$ 和 $A C$ 所成的角是 $90^{\circ}$.

(2)因为 $D C / / D_{1} C_{1}$, 所以 $\angle A C D$ 是 $A C$ 和 $D_{1} C_{1}$ 所成的角. 又 $\angle A C D=45^{\circ}$, 所以 $A C$ 和 $D_{1} C_{1}$ 所成的角是 $45^{\circ}$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图 2-2-9, 在五面体 $F E-A B C D$ 中, 四边形 $C D E F$ 为矩形, $M, N$ 分别是 $B F, B C$ 的中点, 则 $M N$ 与平面 $A D E$ 的位置关系是



图 2-2-9
选项：
答案：平行
解析：$[\because M, N$ 分别是 $B F, B C$ 的中点, $\therefore M N / / C F$. 又四边形 $C D E F$ 为矩形, $\therefore C F / / D E$, $\therefore M N / / D E$. 又 $M N \nmid$ 平面 $A D E, D E \subset$ 平面 $A D E, \therefore M N / /$ 平面 $A D E$. ]
题目（高一 · 立体几何学）：在如图 2-2-10 所示的几何体中, 三个侧面 $A A_{1} B_{1} B, B B_{1} C_{1} C, C C_{1} A_{1} A$ 都是平行四边形, 则平面 $A B C$ 与平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ 平行吗? \$ \qquad \$ (填“是”或 “否”).



图 2-2-10
选项：
解析：因为侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 是平行四边形,

所以 $A B / / A_{1} B_{1}$,

因为 $A B$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}, A_{1} B_{1} \subset$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$,

所以 $A B / /$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$,

同理可证: $B C / /$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$.

又因为 $A B \cap B C=B, A B \subset$ 平面 $A B C$,

$B C \subset$ 平面 $A B C$, 所以平面 $A B C / /$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$.
题目（高一 · 立体几何学）：一个棱柱的侧面展开图是三个全等的矩形, 矩形的长和宽分别为 $6 \mathrm{~cm}, 4 \mathrm{~cm}$, 则该棱柱的侧面积为 $\mathrm{cm}^{2}$.
选项：
答案：72
解析：的侧面积 $S$ 侧 $=3 \times 6 \times 4=72\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$.
题目（高一 · 立体几何学）：一个几何体的三视图如图 1-3-12 所示(单位: $m$ ), 则该几何体的体积为 \$ \qquad \$ $\mathrm{m}^{3}$.



正视图



俯视图



侧视图

图 1-3-12
选项：
答案：frac{8}{3} \pi$
解析：何体的三视图可知该几何体由两个圆锥和一个圆柱构成，其中圆锥的底面半径和高均为 1 , 圆柱的底面半径为 1 且其高为 2 , 故所求几何体的体积为 $V=\frac{1}{3} \pi \times 1^{2} \times 1 \times 2+\pi \times 1^{2} \times 2=\frac{8}{3} \pi$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示, 一个正四棱雉(底面是正方形, 从顶点向底面引垂线, 垂足是底面中心的四棱雉)的正方形底面的边长为 $4 \mathrm{~cm}$, 高与斜高的夹角为 $30^{\circ}$, 则正四棱雉的表面积为 $\mathrm{cm}^{2}$.


选项：
答案：48
解析：$\because$ 该四棱锥的侧面是底边长为 $4 \mathrm{~cm}$ 的全等的等腰三角形, $\therefore$ 要求侧面积, 只需求等腰三角形底边上的高即可, 可构造直角三角形求解. 如题图所示, 正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成 Rt $\triangle P O E$.

$\because O E=2 \mathrm{~cm}, \angle O P E=30^{\circ}$,

$\therefore$ 斜高 $P E=\frac{O E}{\sin 30^{\circ}}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4(\mathrm{~cm})$.

$\therefore S_{\text {校维侧 }}=4 \cdot \frac{1}{2} \cdot B C \cdot P E=4 \times \frac{1}{2} \times 4 \times 4=32\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$,

$\therefore S_{\text {表 }}=S_{\text {侧 }}+S_{\text {底 }}=32+4 \times 4=48\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示, 在棱长为 4 的正方体上底面中心位置打一个直径为 2 、深为 4 的圆柱形孔, 则打孔后的几何体的表面积为


选项：
答案：$96+6 \pi$
解析：意知, 所打圆柱形孔穿透正方体, 因此打孔后所得几何体的表面积等于正方体的表面积, 再加上一个圆柱的侧面积，同时减去两个圆的面积，即 $S=6 \times 4^{2}+4 \times 2 \pi-2 \pi \times 1^{2}=96+6 \pi$.
题目（高一 · 立体几何学）：个圆雉的侧面展开图是半圆, 则这个圆雉的底面面积与侧面积的比是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$1: 2$
解析：设该圆锥体的底面半径为 $r$, 母线长为 $l$, 根据题意得 $2 \pi r=\pi l$, 所以 $l=2 r$,

所以这个圆锥的底面面积与侧面积的比是

$\pi r^{2}: \frac{1}{2} \pi l^{2}=r^{2}: \frac{1}{2}(2 r)^{2}=1: 2$.

故答案为 $1: 2$.
题目（高一 · 立体几何学）：一个几何体的三视图如图所示, 其正视图和侧视图都是底边长分别为 2 和 4 , 腰长为 4 的等腰梯形, 则该几何体的侧面积是 \$ \qquad \$ .


侧视图

俯视图
选项：
答案：$12 \pi$
解析：由三视图知该几何体是一个圆台, 其上、下底面的半径分别为 2,1 , 母线长为 4, 则该几何体的侧面积 $S=\pi(2 \times 4+1 \times 4)=12 \pi$.
题目（高一 · 立体几何学）：若 $P$ 是 $\triangle A B C$ 所在平面外一点, 且 $\triangle P B C$ 和 $\triangle A B C$ 都是边长为 2 的正三角形, $P A=\sqrt{6}$, 那么二面角 $P-B C-A$的大小为
选项：
答案：$90^{\circ}$
解析：取 $B C$ 的中点 $O$, 连接 $O A, O P$ (图略), 则 $\angle P O A$ 为二面角 $P-B C-A$ 的平面角, $O P=O A=\sqrt{3}$, $P A=\sqrt{6}$, 所以 $\triangle P O A$ 为直角三角形, $\angle P O A=90^{\circ}$.
题目（高一 · 立体几何学）：在平面几何中, 有真命题: 如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直, 则这两个角相等或互补. 某同学将此结论类比到立体几何中, 得一结论: 如果一个二面角的两个面和另一个二面角的两个面分别垂直,那么这两个二面角相等或互补.

你认为这个结论 \$ \qquad \$ . (填 “正确” 或 “错误”)
选项：
解析：所示的正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，



平面 $A B C_{1} D_{1}$ 上平面 $B C C_{1} B_{1}$, 平面 $C D D_{1} C_{1}$ 上平面 $A B C D$, 而二面角 $A-C_{1} D_{1}-C$ 为 $45^{\circ}$, 二面角 $A-B C-C_{1}$为 $90^{\circ}$.

## 则这两个二面角既不相等又不互补.
题目（高一 · 立体几何学）：结论中, 所有正确结论的序号是

(1)两个相交平面形成的图形叫做二面角;

(2)异面直线 $a, b$ 分别和一个二面角的两个面垂直, 则 $a, b$ 所成的角与这个二面角的平面角相等或互补;

(3)二面角的平面角是从棱上一点出发, 分别在两个面内作射线所成的角的最小角;

(4)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.
选项：
答案：(2)(4)
解析：由二面角及二面角的平面角的定义知(1)(3)不正确, (4)正确; (2)中所成的角虽不是二面角的平面角,但由平面几何的知识易知(2)正确.
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示, 在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $B C=2, A A_{1}=1, E, F$ 分别在 $A D$ 和 $B C$ 上, 且 $E F / / A B$,若二面角 $C_{1}-E F-C$ 等于 $45^{\circ}$, 则 $B F=$


选项：
答案：1
解析：由题意知 $E F \perp B C$.

$\because C C_{1} \perp$ 平面 $A B C D, \therefore C C_{1} \perp E F$,

又 $B C \cap C C_{1}=C, \therefore E F \perp$ 平面 $C C_{1} F$,

$\therefore E F \perp C_{1} F$.

故 $\angle C_{1} F C$ 为二面角 $C_{1}-E F-C$ 的平面角,

即 $\angle C_{1} F C=45^{\circ}$,

$\because A A_{1}=1, \quad \therefore C F=1$, 又 $B C=2, \therefore B F=1$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示, 在四棱雉 $P-A B C D$ 中, $P A \perp$ 底面 $A B C D$, 且底面各边都相等, $M$ 是 $P C$ 上的一动点, 当点 $M$ 满足时, 平面 $M B D \perp$ 平面 $P C D$. (只要填写一个你认为是正确的条件即可)


选项：
答案：$D M \perp P C$ (或 $B M \perp P C$ 等)
解析：理可知, $B D \perp P C$.

$\therefore$ 当 $D M \perp P C$ (或 $B M \perp P C$ ) 时, 即有 $P C \perp$ 平面 $M B D$,

而 $P C \subset$ 平面 $P C D$,

$\therefore$ 平面 $M B D \perp$ 平面 $P C D$.
题目（高一 · 立体几何学）：已知 $\alpha, \beta$ 是两个不同的平面, $l$ 是平面 $\alpha$ 与 $\beta$ 之外的直线, 给出下列三个论断: (1) $l \perp \alpha$, (2) $l / / \beta$, (3) $\alpha \perp \beta$.以其中的两个论断作为条件, 余下的一个论断作为结论, 写出你认为正确的一个命题: . (用序号表

示)
选项：
答案：(1)(2) $\Rightarrow$
解析：由 $l / / \beta$ 可在平面 $\beta$ 内作 $l^{\prime} / / l$, 又 $l \perp \alpha, \therefore l^{\prime} \perp \alpha$,

$\because l^{\prime} \subset \beta, \therefore \alpha \perp \beta$, 故(1)(2) $\Rightarrow$ (3).
题目（高一 · 立体几何学）：一个几何体的三视图(单位: $m$ )如图 1-3-19 所示, 则该几何体的体积为 $\mathrm{m}^{3}$.



正视图



俯视图



侧视图

图 1-3-19
选项：
答案：$9 \pi+18$
解析：由三视图知, 几何体下面是两个球, 球半径为 $\frac{3}{2}$;

上面是长方体，其长、宽、高分别为 $6 、 3 、 1$ ，

所以 $V=\frac{4}{3} \pi \times\left(\frac{3}{2}\right)^{3} \times 2+1 \times 3 \times 6=9 \pi+18$.
题目（高一 · 立体几何学）：湖面上漂着一个小球, 湖水结冰后将球取出, 冰面上留下了一个直径为 $6 \mathrm{~cm}$, 深为 $1 \mathrm{~cm}$ 的空穴, 则该球半径是 \$ \qquad \$ $\mathrm{cm}$ ，表面积是 \$ \qquad \$ $\mathrm{cm}^{2}$.
选项：
答案：100 \pi$
解析：心为 $O, O C$ 是与冰面垂直的一条球半径, 冰面截球得到的小圆圆心为 $D, A B$ 为小圆 $D$的一条直径, 设球的半径为 $R$, 则 $O D=R-1$,



则 $(R-1)^{2}+3^{2}=R^{2}$,
解得 $R=5 \mathrm{~cm}$,

所以该球表面积为 $S=4 \pi R^{2}=4 \pi \times 5^{2}=100 \pi\left(\mathrm{cm}^{2}\right)$.
题目（高一 · 立体几何学）：圆雉的侧面展开图为扇形, 若其弧长为 $2 \pi \mathrm{cm}$, 半径为 $\sqrt{2} \mathrm{~cm}$, 则该圆雉的体积为— $\mathrm{cm}^{3}$.
选项：
答案：$\frac{\pi}{3}$
解析：$\because$ 圆锥的侧面展开图的弧长为 $2 \pi \mathrm{cm}$, 半径为 $\sqrt{2} \mathrm{~cm}$, 故圆锥的底面周长为 $2 \pi \mathrm{cm}$, 母线长为 $\sqrt{2} \mathrm{~cm}$,
则圆锥的底面半径为 1 , 高为 1 , 则圆锥的体积 $V=\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 1^{2} \cdot 1=\frac{\pi}{3}$.
题目（高一 · 立体几何学）：已知某几何体的三视图如图所示, 其中正视图、侧视图均是由三角形与半圆构成, 俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为



正视图



俯视图
选项：
答案：$\frac{\sqrt{2} \pi}{6}+\frac{1}{6}$
解析：由已知的三视图可知原几何体的上方是三棱锥, 下方是半球, $\therefore V=\frac{1}{3} \times\left(\frac{1}{2} \times 1 \times 1\right) \times 1+\left[\frac{4}{3} \pi\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{3}\right] \times \frac{1}{2}=$ $\frac{1}{6}+\frac{\sqrt{2} \pi}{6}$.
题目（高一 · 立体几何学）：若一个四面体的四个面中, 有两个面都是直角边长为 1 的等腰直角三角形, 另两个面都是直角边长分别为 1 和 $\sqrt{2}$ 的直角三角形, 则该四面体的外接球的表面积为
选项：
答案：$3 \pi$
解析：题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥 $V-A B C$,



所以 $V A=A B=B C=1, V B=A C=\sqrt{2}$,

其外接球即为该企方体的外接球，故其半径为 $R=\frac{\sqrt{3}}{2}$,

所以该四面体外接球的表面积为 $4 \pi \times\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=3 \pi$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1}-A B C$ 中, 已知 $D, E, F$ 分别为 $A B, A C, A A_{1}$ 的中点, 设三棱雉 $A-F E D$ 的体积为 $V_{1}$, 三棱柱 $A_{1} B_{1} C_{1}-A B C$ 的体积为 $V_{2}$, 则 $V_{1}: V_{2}$ 的值为


选项：
答案：$\frac{1}{24}$
解析：设三棱柱的高为 $h$,

$\because F$ 是 $A A_{1}$ 的中点, 则三棱雉 $F-A D E$ 的高为 $\frac{h}{2}$,

$\because D, E$ 分别是 $A B, A C$ 的中点, $\therefore S_{\triangle A D E}=\frac{1}{4} S_{\triangle A B C}$,

$\because V_{1}=\frac{1}{3} S_{\triangle A D E} \cdot \frac{h}{2}, \quad V_{2}=S_{\triangle A B C} \cdot h$,

$\therefore \frac{V_{1}}{V_{2}}=\frac{\frac{1}{6} S \triangle{ }^{A D E} \cdot h}{}=\frac{1}{24}$.

$$
S_{\triangle A B C} h
$$
题目（高一 · 立体几何学）：如图 2-2-25, 正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $A B=2$, 点 $E$ 为 $A D$ 的中点, 点 $F$ 在 $C D$ 上, 若 $E F / /$ 平面 $A B_{1} C$,则线段 $E F$ 的长度等于



图 2-2-25
选项：
答案：$\sqrt{2}$
解析：$E F / /$ 平面 $A B_{1} C, E F \subset$ 平面 $A B C D$,平面 $A B_{1} C \cap$ 平面 $A B C D=A C$,所以 $E F / / A C$. 又点 $E$ 为 $A D$ 的中点, 点 $F$ 在 $C D$ 上,所以点 $F$ 是 $C D$ 的中点, 所以 $E F=\frac{1}{2} A C=\sqrt{2}$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图 2-2-26 所示, 直线 $a / /$ 平面 $\alpha, A \notin \alpha$, 并且 $a$ 和 $A$ 位于平面 $\alpha$ 两侧, 点 $B, C \in a, A B 、 A C$ 分别交平面 $\alpha$ 于点 $E, F$, 若 $B C=4, C F=5, A F=3$, 则 $E F=$



图 2-2-26
选项：
答案：frac{3}{2}$
解析：F$ 可看成直线 $a$ 与点 $A$ 确定的平面与平面 $\alpha$ 的交线, $\because a / / \alpha$, 由线面平行的性质定理知,
$B C / / E F$, 由条件知 $A C=A F+C F=3+5=8$.

又 $\frac{E F}{B C}=\frac{A F}{A C}, \therefore E F=\frac{A F \times B C}{A C}=\frac{3 \times 4}{8}=\frac{3}{2}$.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 已知 $A, B, C, D$ 四点不共面, 且 $A B / / \alpha, C D / / \alpha, A C \cap \alpha=E, A D \cap \alpha=F, B D \cap \alpha=H, B C \cap \alpha$ $=G$, 则四边形 $E F H G$ 的形状是 \$ \qquad \$ .


选项：
答案：平行四边形
解析：$\because A B / / \alpha$, 平面 $A B C \cap \alpha=E G, \therefore E G / / A B$. 同理 $F H / / A B, \therefore E G / / F H$. 又 $C D / / \alpha$, 平面 $B C D \cap \alpha=G H$, $\therefore G H / / C D$. 同理 $E F / / C D, \therefore G H / / E F, \therefore$ 四边形 $E F H G$ 是平行四边形.