eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（五年级 · 立体几何学）：求下面图形的表面积和体积。（单位：厘米）


选项：
答案：解216 平方厘米; 204 立方厘米

【分析】组合体的表面积 $=$ 大正方体表面积, 正方体表面积 $=$ 棱长 $\times$ 棱长 $\times 6$; 组合体体积 $=$ 大正方体体积一小长方体体积, 正方体体积 $=$ 棱长 $\times$ 棱长 $\times$ 棱长, 长方体体积 $=$ 棱长 $\times$ 棱长 $\times$ 棱长, 据此列式计算。

【详解】 $6 \times 6 \times 6=216$ (平方厘米)

$6 \times 6 \times 6-2 \times 2 \times 3$

$=216-12$

$=204$ （立方厘米）
解析：解216 平方厘米; 204 立方厘米

【分析】组合体的表面积 $=$ 大正方体表面积, 正方体表面积 $=$ 棱长 $\times$ 棱长 $\times 6$; 组合体体积 $=$ 大正方体体积一小长方体体积, 正方体体积 $=$ 棱长 $\times$ 棱长 $\times$ 棱长, 长方体体积 $=$ 棱长 $\times$ 棱长 $\times$ 棱长, 据此列式计算。

【详解】 $6 \times 6 \times 6=216$ (平方厘米)

$6 \times 6 \times 6-2 \times 2 \times 3$

$=216-12$

$=204$ （立方厘米）
题目（五年级 · 立体几何学）：计算下面长方体的表面积和体积。（单位: 厘米）


选项：
答案：解表面积：184 平方厘米；体积：160 立方厘米

【分析】根据长方体的表面积公式: $\mathrm{S}=(\mathrm{ab}+\mathrm{ah}+\mathrm{bh}) \times 2$, 长方体的体积公式: $\mathrm{V}=\mathrm{abh}$, 据此代入数值进行计算即可。
【详解】 $(8 \times 5+8 \times 4+4 \times 5) \times 2$

$=(40+32+20) \times 2$

$=92 \times 2$

$=184$ (平方厘米)

$8 \times 5 \times 4$

$=40 \times 4$

$=160$ （立方厘米）
解析：解表面积：184 平方厘米；体积：160 立方厘米

【分析】根据长方体的表面积公式: $\mathrm{S}=(\mathrm{ab}+\mathrm{ah}+\mathrm{bh}) \times 2$, 长方体的体积公式: $\mathrm{V}=\mathrm{abh}$, 据此代入数值进行计算即可。
【详解】 $(8 \times 5+8 \times 4+4 \times 5) \times 2$

$=(40+32+20) \times 2$

$=92 \times 2$

$=184$ (平方厘米)

$8 \times 5 \times 4$

$=40 \times 4$

$=160$ （立方厘米）
题目（五年级 · 立体几何学）：计算下面组合图形的表面积和体积。


选项：
答案：解表面积 $1204 \mathrm{~cm}^{2}$; 体积 $2328 \mathrm{~cm}^{3}$

【分析】组合图形的左边是正方体, 右边是长方体, 正方体和长方体有重合部分; 把长方体的右面向左平移到重合部分, 补给正方体的右面, 这样正方体的表面积是 6 个面的面积之和, 长方体的表面积只有上下面、前后面共 4 个面的面积;

组合图形的表面积 $=$ 正方体的表面积 + 长方体 4 个面的面积，根据正方体的表面积 $=$ 棱长 $\times$ 棱长 $\times 6$,长方体 4 个面的面积 $=$ 长 $\times$ 宽 $\times 2$ +长 $\times$ 高 $\times 2$, 代入数据计算即可;

组合图形的体积 $=$ 正方体的体积 + 长方体的体积, 根据正方体的体积 $=$ 棱长 $\times$ 棱长 $\times$ 棱长, 长方体的体积 $=$ 长 $\times$ 宽 $\times$ 高, 代入数据计算即可。

【详解】表面积：

$12 \times 12 \times 6$

$=144 \times 6$

$=864\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$

$10 \times 12 \times 2+10 \times 5 \times 2$

$=240+100$

$=340\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$

$864+340=1204\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$

体积:

$12 \times 12 \times 12$

$=144 \times 12$

$=1728\left(\mathrm{~cm}^{3}\right)$

$10 \times 12 \times 5$

$=120 \times 5$

$=600\left(\mathrm{~cm}^{3}\right)$

$1728+600=2328\left(\mathrm{~cm}^{3}\right)$
解析：解表面积是 184 平方厘米, 体积是 152 立方厘米

【分析】图形的表面积等于正方体的侧面积加长方体的表面积, 根据正方体的侧面积 $=$ 棱长 $\times$ 棱长 $\times 4$,长方体的表面积 $=($ 长 $\times$ 宽 + 长 $\times$ 高 + 宽 $\times$ 高 $) \times 2$, 代入数据计算即可解答; 组合图形的体积等于正方体的体积加上长方体的体积, 根据正方体的体积 $=$ 棱长 $\times$ 棱长 $\times$ 棱长, 长方体的体积 $=$ 长 $\times$ 宽 $\times$ 高, 代入数据解答即可。

【详解】 $2 \times 2 \times 4+(6 \times 6+6 \times 4+6 \times 4) \times 2$

$=16+(36+24+24) \times 2$

$=16+84 \times 2$

$=16+168$

$=184$ (平方厘米)

$2 \times 2 \times 2+6 \times 6 \times 4$

$=8+144$

$=152$ （立方厘米）

表面积是 184 平方厘米, 体积是 152 立方厘米。
题目（五年级 · 立体几何学）：计算下面图形的表面积和体积。(单位：厘米)
(1)


(2)


选项：
答案：解 (1) 解: 表面积： $(12 \times 8+12 \times 5+8 \times 5) \times 2=(96+60+40) \times 2=196 \times 2=392$ (平方厘米)

体积： $12 \times 8 \times 5=480$ (立方厘米)

(2) 解: 表面积: $9 \times 9 \times 6=486$ (平方厘米)

体积: $9 \times 9 \times 9=729$ (立方厘米)
解析：解 (1) 解: 表面积： $(12 \times 8+12 \times 5+8 \times 5) \times 2=(96+60+40) \times 2=196 \times 2=392$ (平方厘米)

体积： $12 \times 8 \times 5=480$ (立方厘米)

(2) 解: 表面积: $9 \times 9 \times 6=486$ (平方厘米)

体积: $9 \times 9 \times 9=729$ (立方厘米)
题目（五年级 · 立体几何学）：求下列组合体的体积（单位: $m$ )


选项：
答案：解 $15-3=12$ (米), $12-10=2$ (米)

$$
\begin{aligned}
& 14 \times 12 \times 3+12 \times 14 \times 2 \\
& =504+336 \\
& =840 \text { (立方米) }
\end{aligned}
$$

答: 组合体的体积是 840 立方米。
解析：解 $15-3=12$ (米), $12-10=2$ (米)

$$
\begin{aligned}
& 14 \times 12 \times 3+12 \times 14 \times 2 \\
& =504+336 \\
& =840 \text { (立方米) }
\end{aligned}
$$

答: 组合体的体积是 840 立方米。
题目（五年级 · 算术）：写出下面各数的倍数。（各写 5 个）

$\begin{array}{llll}3 & 7 & 2 & 13\end{array}$
选项：
答案：解3 的倍数: $3,6,9,12,15$

7 的倍数: $7,14,21,28,35$

2 的倍数: $2,4,6,8,10$

13 的倍数: $13,26,39,52,65$

(答案不唯一)

【分析】一个数的倍数的个数是无限的, 最小的倍数是它本身, 没有最大的倍数, 所以求一个数的倍数, 就是要这个数依次乘 $1 、 2 、 3$由此解答即可。

【详解】 3 的倍数: $3,6,9,12,15$;

7 的倍数: $7,14,21,28,35$;

2 的倍数: $2,4,6,8,10$;

13 的倍数: $13,26,39,52,65$
解析：解3 的倍数: $3,6,9,12,15$

7 的倍数: $7,14,21,28,35$

2 的倍数: $2,4,6,8,10$

13 的倍数: $13,26,39,52,65$

(答案不唯一)

【分析】一个数的倍数的个数是无限的, 最小的倍数是它本身, 没有最大的倍数, 所以求一个数的倍数, 就是要这个数依次乘 $1 、 2 、 3$由此解答即可。

【详解】 3 的倍数: $3,6,9,12,15$;

7 的倍数: $7,14,21,28,35$;

2 的倍数: $2,4,6,8,10$;

13 的倍数: $13,26,39,52,65$
题目（五年级 · 算术）：写出下面各数的因数。

$8 \quad 19 \quad 42 \quad 36$
选项：
答案：解8 的因数: $1,2,4,8$;

9 的因数: 1,19 ;

42 的因数: $1,2,3,6,7,14,21,42$;

36 的因数: $1,2,3,4,6,9,12,18,36$ 。

【分析】根据求一个数的因数的方法, 直接列举即可, 在写一个数的因数时, 如果有相同的因数, 如 $36=6 \times 6$, 只写 1 个。

【详解】 8 的因数: $1,2,4,8$;

9 的因数: 1,19 ;

42 的因数: $1,2,3,6,7,14,21,42$;

36 的因数： $1,2,3,4,6,9,12,18,36$ 。
解析：解8 的因数: $1,2,4,8$;

9 的因数: 1,19 ;

42 的因数: $1,2,3,6,7,14,21,42$;

36 的因数: $1,2,3,4,6,9,12,18,36$ 。

【分析】根据求一个数的因数的方法, 直接列举即可, 在写一个数的因数时, 如果有相同的因数, 如 $36=6 \times 6$, 只写 1 个。

【详解】 8 的因数: $1,2,4,8$;

9 的因数: 1,19 ;

42 的因数: $1,2,3,6,7,14,21,42$;

36 的因数： $1,2,3,4,6,9,12,18,36$ 。
题目（五年级 · 算术）：写出下面各数的因数.

$\begin{array}{llll}25 & 12 & 49 & 36 \text {. }\end{array}$
选项：
答案：解<ImageHere>
    $2 、 3 、 4 、 6 、 9 、 12 、 18 、 36$.
解析：解
    $2 、 3 、 4 、 6 、 9 、 12 、 18 、 36$.
题目（五年级 · 算术）：如果 $a 、 b$ 均为质数, 且 $3 a+7 b=41$ 。求 $a+b$ 。
选项：
答案：解$a+b=7$

【详解】若 $a 、 b$ 既是质数, 又是奇数, 则 $3 a+7 b \neq 41$ (奇数), 故 $a 、 b$ 中有一个数为 2 。当 $a=2$ 时, $3 \times 2+7 b=41, b=5$, 符合题意; 当 $b=2$ 时, $3 a+72=41, a=9$, 不符合题意。所以 $a+b=2+5=7$ 。
解析：解$a+b=7$

【详解】若 $a 、 b$ 既是质数, 又是奇数, 则 $3 a+7 b \neq 41$ (奇数), 故 $a 、 b$ 中有一个数为 2 。当 $a=2$ 时, $3 \times 2+7 b=41, b=5$, 符合题意; 当 $b=2$ 时, $3 a+72=41, a=9$, 不符合题意。所以 $a+b=2+5=7$ 。
题目（五年级 · 算术）：18 的因数有哪些?
选项：
答案：解18 的因数有: $1 、 2 、 3 、 6 、 9 、 18$ 。

【分析】在整数除法中, 如果商是整数而没有余数, 我们就说被除数是除数和商的倍数, 除数和商是被除数的因数; 用除法算式求出 18 的所有因数。

【详解】 $18 \div 1=18$

$18 \div 2=9$

$18 \div 3=6$

所以, 18 的因数有: $1 、 2 、 3 、 6 、 9 、 18$ 。
解析：解18 的因数有: $1 、 2 、 3 、 6 、 9 、 18$ 。

【分析】在整数除法中, 如果商是整数而没有余数, 我们就说被除数是除数和商的倍数, 除数和商是被除数的因数; 用除法算式求出 18 的所有因数。

【详解】 $18 \div 1=18$

$18 \div 2=9$

$18 \div 3=6$

所以, 18 的因数有: $1 、 2 、 3 、 6 、 9 、 18$ 。
题目（五年级 · 算术）：写出 100 以内 15 的全部倍数。
选项：
答案：解100 以内 15 的倍数有: $15,30 ， 45 ， 60 ， 75 ， 90$ 。

【分析】根据求一个数的倍数的方法, 进行依次列举出 100 以内的 15 的倍数即可。。

【详解】100 以内 15 的全部倍数有: $15 、 30 、 45 、 60 、 75 、 90$ 。
解析：解100 以内 15 的倍数有: $15,30 ， 45 ， 60 ， 75 ， 90$ 。

【分析】根据求一个数的倍数的方法, 进行依次列举出 100 以内的 15 的倍数即可。。

【详解】100 以内 15 的全部倍数有: $15 、 30 、 45 、 60 、 75 、 90$ 。
题目（五年级 · 算术）：写出 70 的所有因数, 并找出其中的质数。
选项：
答案：解见详解

【分析】因数可以一对一对的找， $70=1 \times 70=2 \times 35=5 \times 14=7 \times 10$; 结合质数表找到各个质数。

<ImageHere>
解析：解见详解

【分析】因数可以一对一对的找， $70=1 \times 70=2 \times 35=5 \times 14=7 \times 10$; 结合质数表找到各个质数。
题目（五年级 · 算术）：有两个质数的和是 24 , 积是 95 , 这两个质数差是多少?
选项：
答案：解14

【详解】 $19 \times 5=95$
$19-5=14$
解析：解14

【详解】 $19 \times 5=95$
$19-5=14$
题目（五年级 · 算术）：写出下面各数的因数.

$\begin{array}{llll}25 & 12 & 49 & 36 .\end{array}$
选项：
答案：解<ImageHere>
    $2 、 3 、 4 、 6 、 9 、 12 、 18 、 36$.

【解析】略
解析：解
    $2 、 3 、 4 、 6 、 9 、 12 、 18 、 36$.

【解析】略
题目（五年级 · 算术）：脱式计算, 能简算的要简算。

$3.15 \times 104 \quad 0.46 \times 1.9+0.54 \times 1.9 \quad 3.17+0.83 \times 1.6$
选项：
答案：解$327.6 ; 1.9 ; 4.498$

【分析】（1）（2）根据乘法分配律进行简算; （3）根据小数四则混合运算顺序, 先算乘法, 再算加法进行计算。

【详解】 $3.15 \times 104$

$=3.15 \times(100+4)$

$=3.15 \times 100+3.15 \times 4$

$=327.6$

$0.46 \times 1.9+0.54 \times 1.9$

$=(0.46+0.54) \times 1.9$

$=1.9$

$3.17+0.83 \times 1.6$

$=3.17+1.328$

$=4.498$

【点睛】此题是考查小数四则混合运算的简便运算, 要仔细观察算式的特点, 灵活运用一些定律进行简便计算。
解析：解$327.6 ; 1.9 ; 4.498$

【分析】（1）（2）根据乘法分配律进行简算; （3）根据小数四则混合运算顺序, 先算乘法, 再算加法进行计算。

【详解】 $3.15 \times 104$

$=3.15 \times(100+4)$

$=3.15 \times 100+3.15 \times 4$

$=327.6$

$0.46 \times 1.9+0.54 \times 1.9$

$=(0.46+0.54) \times 1.9$

$=1.9$

$3.17+0.83 \times 1.6$

$=3.17+1.328$

$=4.498$

【点睛】此题是考查小数四则混合运算的简便运算, 要仔细观察算式的特点, 灵活运用一些定律进行简便计算。
题目（五年级 · 算术）：写出下面各数的因数。

$3 \quad 9 \quad 32$
选项：
答案：解1、3;

$1 、 3 、 9$;

$1 、 32 、 2 、 16,4 、 8$

【分析】 3 是质数, 它的因数只有 1 和本身;

根据求一个数的因数的方法, 直接列举即可, 在写一个数的因数时, 如果有相同的因数, 如 $9=3 \times 3$,只写 1 个。

【详解】 $3=1 \times 3$, 所以 3 的因数有: $1 、 3$;
$9=1 \times 9=3 \times 3$, 所以 9 的因数有: $1 、 3 、 9$;

$32=1 \times 32=2 \times 16=4 \times 8$, 所以 32 的因数有: $1 、 32 、 2 、 16 、 4 、 8$ 。
解析：解1、3;

$1 、 3 、 9$;

$1 、 32 、 2 、 16,4 、 8$

【分析】 3 是质数, 它的因数只有 1 和本身;

根据求一个数的因数的方法, 直接列举即可, 在写一个数的因数时, 如果有相同的因数, 如 $9=3 \times 3$,只写 1 个。

【详解】 $3=1 \times 3$, 所以 3 的因数有: $1 、 3$;
$9=1 \times 9=3 \times 3$, 所以 9 的因数有: $1 、 3 、 9$;

$32=1 \times 32=2 \times 16=4 \times 8$, 所以 32 的因数有: $1 、 32 、 2 、 16 、 4 、 8$ 。
题目（五年级 · 算术）：找出 40 的所有因数。
选项：
答案：解$1 、 2 、 4 、 5 、 8 、 10 、 20 、 40$

【分析】列乘法算式找因数, 按照从小到大的顺序, 一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式, 乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。

【详解】 $40=1 \times 40=2 \times 20=4 \times 10=5 \times 8$

40 的因数有: $1 、 2 、 4 、 5 、 8 、 10 、 20 、 40$ 。
解析：解$1 、 2 、 4 、 5 、 8 、 10 、 20 、 40$

【分析】列乘法算式找因数, 按照从小到大的顺序, 一组一组地写出所有积是这个数的乘法算式, 乘法算式中的两个因数就是这个数的因数。

【详解】 $40=1 \times 40=2 \times 20=4 \times 10=5 \times 8$

40 的因数有: $1 、 2 、 4 、 5 、 8 、 10 、 20 、 40$ 。
题目（五年级 · 算术）：写出下面各数的因数。

$3 \quad 9 \quad 32$
选项：
答案：解1、3;

$1 、 3 、 9 ;$

$1 、 32 、 2 、 16 、 4 、 8$
【分析】 3 是质数, 它的因数只有 1 和本身;

根据求一个数的因数的方法, 直接列举即可, 在写一个数的因数时, 如果有相同的因数, 如 $9=3 \times 3$,只写 1 个。

【详解】 $3=1 \times 3$, 所以 3 的因数有: $1 、 3$;

$9=1 \times 9=3 \times 3$, 所以 9 的因数有: $1 、 3 、 9$;

$32=1 \times 32=2 \times 16=4 \times 8$, 所以 32 的因数有: $1 、 32 、 2 、 16 、 4 、 8$ 。
解析：解1、3;

$1 、 3 、 9$;

$1 、 32 、 2 、 16,4 、 8$

【分析】 3 是质数, 它的因数只有 1 和本身;

根据求一个数的因数的方法, 直接列举即可, 在写一个数的因数时, 如果有相同的因数, 如 $9=3 \times 3$,只写 1 个。

【详解】 $3=1 \times 3$, 所以 3 的因数有: $1 、 3$;
$9=1 \times 9=3 \times 3$, 所以 9 的因数有: $1 、 3 、 9$;

$32=1 \times 32=2 \times 16=4 \times 8$, 所以 32 的因数有: $1 、 32 、 2 、 16 、 4 、 8$ 。
题目（五年级 · 算术）：写出下面各数的倍数。

$\begin{array}{llll}8 & 11 & 5 & 10\end{array}$
选项：
答案：解<ImageHere>

11 的倍数: $11 、 22 、 33 、 44 、 55 、 66 、 \ldots$

5 的倍数: $5 、 10 、 15 、 20 、 25 、 \ldots$

10 的倍数: $10 、 20 、 30 、 40 、 50 、 \ldots$

【分析】求一个数的倍数就是用这个数乘以正整数, 所求得的积就是这个数的倍数, 因为一个数的倍数的个数是无限的, 所以只要依次列出前几个再用省略号表示即可。

【详解】用 $8 、 11 、 5 、 10$ 这四个数分别与正整数 $1 、 2 、 3 、 4 、 5$ 相乘就能求出前五个倍数, 然后用省略号表示。

8 的倍数: $8 、 16 、 24 、 32 、 40 、 \ldots$

11 的倍数: $11 、 22 、 33 、 44 、 55 、 \ldots$

5 的倍数: $5 、 10 、 15 、 20 、 25 、 \ldots$

<ImageHere>
解析：解

11 的倍数: $11 、 22 、 33 、 44 、 55 、 66 、 \ldots$

5 的倍数: $5 、 10 、 15 、 20 、 25 、 \ldots$

10 的倍数: $10 、 20 、 30 、 40 、 50 、 \ldots$

【分析】求一个数的倍数就是用这个数乘以正整数, 所求得的积就是这个数的倍数, 因为一个数的倍数的个数是无限的, 所以只要依次列出前几个再用省略号表示即可。

【详解】用 $8 、 11 、 5 、 10$ 这四个数分别与正整数 $1 、 2 、 3 、 4 、 5$ 相乘就能求出前五个倍数, 然后用省略号表示。

8 的倍数: $8 、 16 、 24 、 32 、 40 、 \ldots$

11 的倍数: $11 、 22 、 33 、 44 、 55 、 \ldots$

5 的倍数: $5 、 10 、 15 、 20 、 25 、 \ldots$
题目（高二 · 解析几何）：设 $x \in R$, 试比较 $x^{6}$ 与 $x^{5}-1$ 的大小
选项：
答案：当 $x<0$ 时, $x^{6}>0$, 而 $x^{5}<0, \therefore x^{6}>x^{5}-1$

当 $0 \leq x<1$ 时, $0 \leq x^{5}<1, x^{5}-1<0$, 而 $x^{6} \geq 0, \therefore x^{6}>x^{5}-1$

当 $x \geq 1$ 时, $x^{6}-\left(x^{5}-1\right)=x^{5}(x-1)+1 \geq 1>0, \therefore x^{6}>x^{5}-1$

综上可知, 当 $x \in R$ 时, 恒有 $x^{6}>x^{5}-1$
解析：当 $x<0$ 时, $x^{6}>0$, 而 $x^{5}<0, \therefore x^{6}>x^{5}-1$

当 $0 \leq x<1$ 时, $0 \leq x^{5}<1, x^{5}-1<0$, 而 $x^{6} \geq 0, \therefore x^{6}>x^{5}-1$

当 $x \geq 1$ 时, $x^{6}-\left(x^{5}-1\right)=x^{5}(x-1)+1 \geq 1>0, \therefore x^{6}>x^{5}-1$

综上可知, 当 $x \in R$ 时, 恒有 $x^{6}>x^{5}-1$
题目（高二 · 解析几何）：17.在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b$, $c$, 且 $(a-b+c)(\sin A-\sin B-\sin C)=c \sin C-2 a \sin B$.

(1) 求 $C$ 的取值范围;

(2) 若 $\cos C=\frac{\sqrt{3}}{3}$, 求 $\frac{c}{a}$ 的值.
选项：
答案：(1) $\left(0, \frac{\pi}{3}\right] ;$ （2） $\frac{\sqrt{6}}{3}$ 或 $\sqrt{2}$
解析：(1) 因为 $(a-b+c)(\sin A-\sin B-\sin C)=c \sin C-2 a \sin B$, 所以

$(a-b+c)(a-b-c)=c^{2}-2 a b$,

整理得 $a^{2}+b^{2}=2 c^{2}$ ，即 $c^{2}=\frac{1}{2} a^{2}+\frac{1}{2} b^{2}$.

由余弦定理可得 $\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}$, 则 $\cos C=\frac{\frac{1}{2} a^{2}+\frac{1}{2} b^{2}}{2 a b} \geq \frac{a b}{2 a b}=\frac{1}{2}$,

因为 $0<C<\pi$, 所以 $C$ 的取值范围为 $\left(0, \frac{\pi}{3}\right]$.

(2) 由（1）可得 $b^{2}=2 c^{2}-a^{2}$, 即 $b=\sqrt{2 c^{2}-a^{2}}$, 则 $\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}=\frac{c^{2}}{2 a \sqrt{2 c^{2}-a^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,整理得 $3 c^{4}=8 a^{2} c^{2}-4 a^{4}$, 即 $\left(3 c^{2}-2 a^{2}\right)\left(c^{2}-2 a^{2}\right)=0$, 则 $\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ 或 $\frac{c}{a}=\sqrt{2}$.因为 $b^{2}=2 c^{2}-a^{2}>0$, 所以 $\frac{c^{2}}{a^{2}}>\frac{1}{2}$, 则 $\frac{c}{a}$ 的值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ 或 $\sqrt{2}$ 。
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, $a=3, b-c=2, \cos B=-\frac{1}{2}$.

(1) 求 $b, c$ 的值;

(2) 求 $\sin (B-C)$ 的值.
选项：
答案：(1) $b=7, c=5$; (2) $\frac{4}{7} \sqrt{3}$.
解析：(1) 由余弦定理 $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B$, 得 $b^{2}=3^{2}+c^{2}-2 \times 3 \times c \times\left(-\frac{1}{2}\right)$.

因为 $b=c+2$, 所以 $(c+2)^{2}=3^{2}+c^{2}-2 \times 3 \times c \times\left(-\frac{1}{2}\right)$.

解得 $c=5$. 所以 $b=7$.

(2) 由 $\cos B=-\frac{1}{2}$ 得 $\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

由正弦定理得 $\sin C=\frac{c}{b} \sin B=\frac{5 \sqrt{3}}{14}$.

在 $\triangle A B C$ 中, $\angle B$ 是针角, 所以 $\angle C$ 为锐角.

所以 $\cos C=\sqrt{1-\sin ^{2} C}=\frac{11}{14}$. 所以 $\sin (B-C)=\sin B \cos C-\cos B \sin C=\frac{4 \sqrt{3}}{7}$.
题目（高二 · 解析几何）：19.在 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$. 已知 $b+c=2 a$, $3 c \sin B=4 a \sin C$.

(1) 求 $\cos B$ 的值;

(2) 求 $\sin \left(2 B+\frac{\pi}{6}\right)$ 的值.
选项：
答案：(1) $-\frac{1}{4}$; (2) $-\frac{3 \sqrt{5}+7}{16}$.
解析：(1) 在 $\triangle A B C$ 中, 由正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$, 得 $b \sin C=c \sin B$, 又由 $3 c \sin B=4 a \sin C$,得 $3 b \sin C=4 a \sin C$, 即 $3 b=4 a$. 又因为 $b+c=2 a$, 得到 $b=\frac{4}{3} a, c=\frac{2}{3} a$. 由余弦定理可得 $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}=\frac{a^{2}+\frac{4}{9} a^{2}-\frac{16}{9} a^{2}}{2 \cdot a \cdot \frac{2}{3} a}=-\frac{1}{4}$.

（2）由（1）可得 $\sin B=\sqrt{1-\cos ^{2} B}=\frac{\sqrt{15}}{4}$ ，从而 $\sin 2 B=2 \sin B \cos B=-\frac{\sqrt{15}}{8}$, $\cos 2 B=\cos ^{2} B-\sin ^{2} B=-\frac{7}{8}$, 故 $\sin \left(2 B+\frac{\pi}{6}\right)=\sin 2 B \cos \frac{\pi}{6}+\cos 2 B \sin \frac{\pi}{6}=-\frac{\sqrt{15}}{8} \times \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{7}{8} \times \frac{1}{2}=-\frac{3 \sqrt{5}+7}{16}$.
题目（高二 · 解析几何）：21. 已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$, 且 $b \sin 2 A=a \sin B$.

(1) 求 $A$;

(2) 若 $a=2, \triangle A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$, 求 $\triangle A B C$ 的周长.
选项：
答案：(1) 由 $b \sin 2 A=a \sin B$, 得 $2 b \sin A \cos A=a \sin B$, 1 分

由正弦定理，得 $2 \sin B \sin A \cos A=\sin A \sin B$,

由于 $\sin A \sin B \neq 0$,

所以 $\cos A=\frac{1}{2}$.

因为 $0<A<\pi$, 所以 $A=\frac{\pi}{3}$.

(2) 由余弦定理, 得 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$, 5 分

又 $a=2$, 所以 $4=b^{2}+c^{2}-b c$. 6 分

又 $\triangle A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$, 即 $\frac{1}{2} b c \sin A=\sqrt{3}$,
即 $\frac{1}{2} b c \sin \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$, 即 $b c=4$. (2) …….....................8 8 分

由(1)(2)得 $b^{2}+c^{2}=8, \ldots . . \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . . . .9$ 分

则 $(b+c)^{2}=b^{2}+c^{2}+2 b c=8+8=16$,

得 $b+c=4$. 11 分

所以 $\triangle A B C$ 的周长为 6
解析：(1) 由 $b \sin 2 A=a \sin B$, 得 $2 b \sin A \cos A=a \sin B$, 1 分

由正弦定理，得 $2 \sin B \sin A \cos A=\sin A \sin B$,

由于 $\sin A \sin B \neq 0$,

所以 $\cos A=\frac{1}{2}$.

因为 $0<A<\pi$, 所以 $A=\frac{\pi}{3}$.

(2) 由余弦定理, 得 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$, 5 分

又 $a=2$, 所以 $4=b^{2}+c^{2}-b c$. 6 分

又 $\triangle A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$, 即 $\frac{1}{2} b c \sin A=\sqrt{3}$,
即 $\frac{1}{2} b c \sin \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$, 即 $b c=4$. (2) …….....................8 8 分

由(1)(2)得 $b^{2}+c^{2}=8, \ldots . . \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots . . . . . . . .9$ 分

则 $(b+c)^{2}=b^{2}+c^{2}+2 b c=8+8=16$,

得 $b+c=4$. 11 分

所以 $\triangle A B C$ 的周长为 6 . 12 分
题目（高二 · 解析几何）：22. 已知 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$, 且 $a \sin A+c \sin C-b \sin B=\sqrt{2} a \sin C$.

(1) 求角 $B$ 的大小;

(2) 设向量 $\vec{m}=(\cos A, \cos 2 A), \vec{n}=(12,-5)$, 边长 $a=4$, 求当 $\vec{m} \cdot \vec{m}$ 取最大值时, 求 $b$ 边的长.
选项：
答案：(1) 因为 $a \sin A+c \sin C-b \sin B=\sqrt{2} a \sin C$,

由正弦定理得 $a^{2}+c^{2}-b^{2}=\sqrt{2} a c$,

由余弦定理得 $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}=\frac{\sqrt{2} a c}{2 a c}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,

因为 $0<B<\pi$, 所以 $B=\frac{\pi}{4}$.

(2) 因为 $\vec{m} \cdot \vec{m}=12 \cos A-5 \cos 2 A$

$=12 \cos A-5\left(2 \cos ^{2} A-1\right)=-10 \cos ^{2} A+12 \cos A+5$

$=-10\left(\cos A-\frac{3}{5}\right)^{2}+\frac{43}{5}$.

所以当 $\cos A=\frac{3}{5}$ 时, $\vec{m} \cdot \vec{m}$ 取最大值, 此时, $\sin A=\frac{4}{5}$.

由正弦定理得, $b=a \frac{\sin B}{\sin A}=\frac{5 \sqrt{2}}{2}$.
解析：(1) 因为 $a \sin A+c \sin C-b \sin B=\sqrt{2} a \sin C$,

由正弦定理得 $a^{2}+c^{2}-b^{2}=\sqrt{2} a c$,

由余弦定理得 $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}=\frac{\sqrt{2} a c}{2 a c}=\frac{\sqrt{2}}{2}$,

因为 $0<B<\pi$, 所以 $B=\frac{\pi}{4}$.

(2) 因为 $\vec{m} \cdot \vec{m}=12 \cos A-5 \cos 2 A$

$=12 \cos A-5\left(2 \cos ^{2} A-1\right)=-10 \cos ^{2} A+12 \cos A+5$

$=-10\left(\cos A-\frac{3}{5}\right)^{2}+\frac{43}{5}$.

所以当 $\cos A=\frac{3}{5}$ 时, $\vec{m} \cdot \vec{m}$ 取最大值, 此时, $\sin A=\frac{4}{5}$.

由正弦定理得, $b=a \frac{\sin B}{\sin A}=\frac{5 \sqrt{2}}{2}$.
题目（高二 · 解析几何）：17. $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 设 $(\sin B-\sin C)^{2}=\sin ^{2} A-\sin B \sin C$.

(1) 求 $A$;

(2) 若 $\sqrt{2} a+b=2 c$, 求 $\sin C$.
选项：
答案：(1) $A=60^{\circ}$;
(2) $\sin C=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
解析：（1）由已知得 $\sin ^{2} B+\sin ^{2} C-\sin ^{2} A=\sin B \sin C$, 故由正弦定理得 $b^{2}+c^{2}-a^{2}=b c$.由余弦定理得 $\cos A=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{1}{2}$. 因为 $0^{\circ}<A<180^{\circ}$, 所以 $A=60^{\circ}$.

(2) 由（1）知 $B=120^{\circ}-C$, 由题设及正弦定理得 $\sqrt{2} \sin A+\sin \left(120^{\circ}-C\right)=2 \sin C$,即 $\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} \cos C+\frac{1}{2} \sin C=2 \sin C$ ，可得 $\cos \left(C+60^{\circ}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$.由于 $0^{\circ}<C<120^{\circ}$, 所以 $\sin \left(C+60^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 故 $\sin C=\sin \left(C+60^{\circ}-60^{\circ}\right)=\sin \left(C+60^{\circ}\right) \cos 60^{\circ}-\cos \left(C+60^{\circ}\right) \sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.
题目（高二 · 解析几何）：18. $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$, 已知 $a \sin \frac{A+C}{2}=b \sin A$.

(1) 求 $B$;

(2) 若 $\triangle A B C$ 为锐角三角形, 且 $c=1$, 求 $\triangle A B C$ 面积的取值范围.
选项：
答案：(1) $B=60^{\circ}$;
(2) $\left(\frac{\sqrt{3}}{8}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
解析：(1) 由题设及正弦定理得 $\sin A \sin \frac{A+C}{2}=\sin B \sin A$.
因为 $\sin A \neq 0$, 所以 $\sin \frac{A+C}{2}=\sin B$.

由 $A+B+C=180^{\circ}$, 可得 $\sin \frac{A+C}{2}=\cos \frac{B}{2}$ ，故 $\cos \frac{B}{2}=2 \sin \frac{B}{2} \cos \frac{B}{2}$.

因为 $\cos \frac{B}{2} \neq 0$, 故 $\sin \frac{B}{2}=\frac{1}{2}$, 因此 $B=60^{\circ}$.

（2）由题设及（1）知 $\triangle A B C$ 的面积 $S_{\triangle A B C}=\frac{\sqrt{3}}{4} a$.

由正弦定理得 $a=\frac{c \sin A}{\sin C}=\frac{\sin \left(120^{\circ}-C\right)}{\sin C}=\frac{\sqrt{3}}{2 \tan C}+\frac{1}{2}$.

由于 $\triangle A B C$ 为锐角三角形, 故 $0^{\circ}<A<90^{\circ}, 0^{\circ}<C<90^{\circ}$, 由 (1) 知 $A+C=120^{\circ}$, 所以 $30^{\circ}<C<90^{\circ}$, 故 $\frac{1}{2}<a<2$,从而 $\frac{\sqrt{3}}{8}<S_{\triangle A B C}<\frac{\sqrt{3}}{2}$. 因此, $\triangle A B C$ 面积的取值范围是 $\left(\frac{\sqrt{3}}{8}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
题目（高二 · 解析几何）：20. $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$, 已知 $b \cos C+c \sin B=0$.

(1) 求 $C$;

(2) 若 $a=\sqrt{5}, b=\sqrt{10}$, 点 $D$ 在边 $A B$ 上, $C D=B D$, 求 $C D$ 的长.
选项：
答案：(1) 因为 $b \cos C+\operatorname{csin} B=0$,

所以由正弦定理知, $\sin B \cos C+\sin C \sin B=0$,

因为 $0<B<\pi$, 所以 $\sin B>0$,

于是 $\cos C+\sin C=0$, 即 $\tan C=-1$, 3 分

因为 $0<C<\pi$, 所以 $C=\frac{3 \pi}{4}$.

(2) 由（1）结合余弦定理, 得

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C=(\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{10})^{2}-2 \times \sqrt{5} \times \sqrt{10} \times\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=25$,

所以 $c=5$, 所以 $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}=\frac{5+25-10}{2 \times \sqrt{5} \times 5}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

因为在 $\triangle B C D$ 中, $C D=B D$,

所以 $\frac{\frac{1}{2} B C}{C D}=\cos B$, 所以 $C D=\frac{a}{2 \cos B}=\frac{\sqrt{5}}{2 \times \frac{2 \sqrt{5}}{5}}=\frac{5}{4}$
解析：(1) 因为 $b \cos C+\operatorname{csin} B=0$,

所以由正弦定理知, $\sin B \cos C+\sin C \sin B=0$,

因为 $0<B<\pi$, 所以 $\sin B>0$,

于是 $\cos C+\sin C=0$, 即 $\tan C=-1$, 3 分

因为 $0<C<\pi$, 所以 $C=\frac{3 \pi}{4}$.

(2) 由（1）结合余弦定理, 得

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \cos C=(\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{10})^{2}-2 \times \sqrt{5} \times \sqrt{10} \times\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=25$,

所以 $c=5$, 所以 $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}=\frac{5+25-10}{2 \times \sqrt{5} \times 5}=\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

因为在 $\triangle B C D$ 中, $C D=B D$,

所以 $\frac{\frac{1}{2} B C}{C D}=\cos B$, 所以 $C D=\frac{a}{2 \cos B}=\frac{\sqrt{5}}{2 \times \frac{2 \sqrt{5}}{5}}=\frac{5}{4}$
题目（高二 · 解析几何）：21. 在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A, B, C$ 的对边分别是 $a, b, c$, 已知 $\triangle A B C$ 的外接圆半径 $R=\sqrt{2}$, 且 $\tan B+\tan C=\frac{\sqrt{2} \sin A}{\cos C}$.

(1) 求 $B$ 和 $b$ 的值;

(2) 求 $\triangle A B C$ 面积的最大值.
选项：
答案：（1）因为 $\tan B+\tan C=\frac{\sqrt{2} \sin A}{\cos C}$,
所以 $\frac{\sin B}{\cos B}+\frac{\sin C}{\cos C}=\frac{\sqrt{2} \sin A}{\cos C}$.

所以 $\sin B \cos C+\cos B \sin C=\sqrt{2} \sin A \cos B, \sin (B+C)=\sqrt{2} \sin A \cos B$,

因为 $A+B+C=\pi$, 所以 $\sin (B+C)=\sin A$. $\cdots .4$ 分

因为 $\sin A \neq 0$, 所以 $\cos B=\frac{\sqrt{2}}{2}$. 因为 $0<B<\pi$, 所以 $B=\frac{\pi}{4}$.

由正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=2 R$, 得 $b=2 R \sin B=2 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}=2$.

（2）由余弦定理，得 $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B$, 所以 $4=a^{2}+c^{2}-\sqrt{2} a c$.

由基本不等式，得 $4=a^{2}+c^{2}-\sqrt{2} a c \geq 2 a c-\sqrt{2} a c ，$

所以 $a c \leq \frac{4}{2-\sqrt{2}}=2(2+\sqrt{2})$.

因为 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a c \sin B=\frac{1}{2} a c \sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{4} a c$,

所以 $S_{\triangle A B C}=\frac{\sqrt{2}}{4} a c \leq \frac{\sqrt{2}}{4} \times 2(2+\sqrt{2})=1+\sqrt{2}$.

所以 $\triangle A B C$ 面积的最大值为 $1+\sqrt{2}$.
解析：（1）因为 $\tan B+\tan C=\frac{\sqrt{2} \sin A}{\cos C}$,
所以 $\frac{\sin B}{\cos B}+\frac{\sin C}{\cos C}=\frac{\sqrt{2} \sin A}{\cos C}$.

所以 $\sin B \cos C+\cos B \sin C=\sqrt{2} \sin A \cos B, \sin (B+C)=\sqrt{2} \sin A \cos B$,

因为 $A+B+C=\pi$, 所以 $\sin (B+C)=\sin A$. $\cdots .4$ 分

因为 $\sin A \neq 0$, 所以 $\cos B=\frac{\sqrt{2}}{2}$. 因为 $0<B<\pi$, 所以 $B=\frac{\pi}{4}$.

由正弦定理 $\frac{b}{\sin B}=2 R$, 得 $b=2 R \sin B=2 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}=2$.

（2）由余弦定理，得 $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B$, 所以 $4=a^{2}+c^{2}-\sqrt{2} a c$.

由基本不等式，得 $4=a^{2}+c^{2}-\sqrt{2} a c \geq 2 a c-\sqrt{2} a c ，$

所以 $a c \leq \frac{4}{2-\sqrt{2}}=2(2+\sqrt{2})$.

因为 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} a c \sin B=\frac{1}{2} a c \sin \frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{4} a c$,

所以 $S_{\triangle A B C}=\frac{\sqrt{2}}{4} a c \leq \frac{\sqrt{2}}{4} \times 2(2+\sqrt{2})=1+\sqrt{2}$.

所以 $\triangle A B C$ 面积的最大值为 $1+\sqrt{2}$.
题目（高二 · 解析几何）：22. $\triangle A B C$ 中, $a, b, c$ 分别为内角 $A, B, C$ 所对的边长. 已知 $a=3, \cos A=\frac{\sqrt{6}}{3}, B=A+\frac{\pi}{2}$.

( I ) 求 $b$ 的值;

(II) 求 $\triangle A B C$ 的面积.
选项：
答案：(1) 在 $\triangle A B C$ 中, 由题意知 $\sin A=\sqrt{1-\cos ^{2} A}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,

又因为 $B=A+\frac{\pi}{2}$, 所有 $\sin B=\sin \left(A+\frac{\pi}{2}\right)=\cos A=\frac{\sqrt{6}}{3}$, 由正弦定理 可得 $b=\frac{a \sin B}{\sin A}=\frac{3 \times \frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3 \sqrt{2}$.

(II) 由 $B=A+\frac{\pi}{2}$ 得, $\cos B=\cos \left(A+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin A=-\frac{\sqrt{3}}{3}$, 由 $A+B+C=\pi$, 得 $C=\pi-(A+B)$.所

$\sin C=\sin [\pi-(A+B)]=\sin (A+B)=\sin A \cos B+\cos A \sin B=\frac{\sqrt{3}}{3} \times\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)+\frac{\sqrt{6}}{3} \times \frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{1}{3}$.

因此, $\triangle A B C$ 的面积 $S=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{1}{2} \times 3 \times 3 \sqrt{2} \times \frac{1}{3}=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$.
解析：(1) 在 $\triangle A B C$ 中, 由题意知 $\sin A=\sqrt{1-\cos ^{2} A}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,

又因为 $B=A+\frac{\pi}{2}$, 所有 $\sin B=\sin \left(A+\frac{\pi}{2}\right)=\cos A=\frac{\sqrt{6}}{3}$, 由正弦定理 可得 $b=\frac{a \sin B}{\sin A}=\frac{3 \times \frac{\sqrt{6}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3 \sqrt{2}$.

(II) 由 $B=A+\frac{\pi}{2}$ 得, $\cos B=\cos \left(A+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin A=-\frac{\sqrt{3}}{3}$, 由 $A+B+C=\pi$, 得 $C=\pi-(A+B)$.所

$\sin C=\sin [\pi-(A+B)]=\sin (A+B)=\sin A \cos B+\cos A \sin B=\frac{\sqrt{3}}{3} \times\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)+\frac{\sqrt{6}}{3} \times \frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{1}{3}$.

因此, $\triangle A B C$ 的面积 $S=\frac{1}{2} a b \sin C=\frac{1}{2} \times 3 \times 3 \sqrt{2} \times \frac{1}{3}=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$.