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题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 已知直线 $l_{1} / / l_{2} / / l_{3} / / l_{4}$, 相邻两条平行直线间的距离都是 1 , 如果正方形 $A B C D$ 的四个顶点分别在四条直线上, 则 $\sin \alpha=(\quad)$
选项：
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$


答案：B
解析：过 $D$ 作 $E F \perp l_{1}$, 交 $l_{1}$ 于 $E$, 交 $l_{4}$ 于 $F$,

$\because E F \perp l_{1}, l_{1} / / l_{2} / / l_{3} / / l_{4}$,

$\therefore E F$ 和 $l_{2}, l_{3}, l_{4}$ 的夹角都是 $90^{\circ}$,

即 $E F$ 与 $l_{2}, l_{3}, l_{4}$ 都垂直,



$\therefore D E=1, D F=2$.

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是正方形,

$\therefore \angle A D C=90^{\circ}, A D=C D$,

$\therefore \angle A D E+\angle C D F=90^{\circ}$,

又 $\because \angle \alpha+\angle A D E=90^{\circ}$,

$\therefore \angle \alpha=\angle C D F$,

$\because A D=C D, \angle A E D=\angle D F C=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle A D E \cong \triangle D C F$,

$\therefore D E=C F=1$,

$\therefore$ 在Rt $\triangle C D F$ 中, $C D=\sqrt{C F^{2}+D F^{2}}=\sqrt{5}$,

$\therefore \sin \alpha=\sin \angle C D F=\frac{C F}{C D}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

故选: $B$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $2 \times 2$ 的正方形网格中, 以格点为顶点的 $\triangle A B C$ 的面积等于 $\frac{3}{2}$, 则 $\sin \angle C A B$ 的值是 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{3}{2} \sqrt{3}$
B. $\frac{3}{5}$
C. $\frac{\sqrt{10}}{5}$
D. $\frac{3}{10}$
答案：B
解析：如图：作 $C D \perp A B$ 于 $D, A E \perp B C$ 于 $E$,



由勾股定理, 得

$A B=A C=\sqrt{5}, B C=\sqrt{2}$.

由等腰三角形的性质, 得

$B E=\frac{1}{2} B C=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

由勾股定理, 得 $A E=\sqrt{A B^{2}-B E^{2}}=\frac{3 \sqrt{2}}{2}$,

由三角形的面积, 得

$\frac{1}{2} A B \cdot C D=\frac{1}{2} B C \cdot A E$.

即 $C D=\frac{\sqrt{2} \times \frac{3 \sqrt{2}}{2}}{\sqrt{5}}=\frac{3 \sqrt{5}}{5}$,

$\sin \angle C A B=\frac{C D}{A C}=\frac{\frac{3 \sqrt{5}}{5}}{\sqrt{5}}=\frac{3}{5}$.

故选 $B$.
题目（九年级 · 度量几何学）：一个正方体沿斜坡向下滑动, 其截面如图所示: $\angle B=90^{\circ}$, 正方形 $D E F H$的边长为 $1 m, B C=4 m, A C=8 m$. 当正方形 $D E F H$ 运动到某位置, 使得 $D C^{2}=A E^{2}+B C^{2}$, 此时 $A E$ 的长为 $(\quad) m$.
选项：
A. $\frac{49}{16}$
B. 4
C. $\sqrt{17}$
D. $2 \sqrt{3}$


答案：A
解析：如图, 连接 $C D$,



设 $A E=x$,

可得 $E C=8-x$.
$\because$ 正方形 $D E F H$ 的边长为 1 米, 即 $D E=1$ 米,

$\therefore D C^{2}=D E^{2}+E C^{2}=1+(8-x)^{2}, A E^{2}+B C^{2}=x^{2}+16$,

$\because D C^{2}=A E^{2}+B C^{2}$,

$\therefore 1+(8-x)^{2}=x^{2}+16$,

解得: $x=\frac{49}{16}$,

所以, 当 $A E=\frac{49}{16}$ 米时, 有 $D C^{2}=A E^{2}+B C^{2}$.

故选 $A$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如果一个三角形的面积和周长都被同一直线所平分, 那么该直线必通过这个三角形的 ( )
选项：
A. 内心
B. 外内
C. 重心
D. 垂心
答案：A
解析：设直线 $D E$ 平分 $\triangle A B C$ 的周长和面积，点 $D 、 E$ 分别在边 $A B$ 和 $A C$ 上, 作 $\angle A$ 的平分线交 $D E$ 于点 $P$, 记点 $P$ 到 $A B 、 A C$ 的距离为 $r, P$ 到 $B C$ 的距离为 $r_{1}$, 于是依题意, 有 $\left\{\begin{array}{l}A D+A E=D B+B C+C E, \\ \frac{r}{2}(A D+A E)=\frac{r}{2}(D B+C E)+\frac{r_{1}}{2} B C, \text { 解得 } r=r_{1} \text {, 即点 } P \text { 为 } \triangle A B C \text { 的内心. 故选 } A .\end{array}\right.$
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $\triangle A B C$ 是等腰直角三角形, $A C=B C=2$, 以斜边 $A B$ 上的点 $O$ 为圆心的圆分别与 $A C 、 B C$ 相切于点 $E 、 F$, 与 $A B$ 分别相交于点 $G 、 H$, 且 $E H$的延长线与 $C B$ 的延长线交于点 $D$, 则 $C D$ 的长为 $(\quad)$
选项：
A. $2 \sqrt{2}-1$
B. $2 \sqrt{2}$
C. $\sqrt{2}+1$
D. $2 \sqrt{2}-\frac{1}{2}$


答案：C
解析：如右图所示, 连接 $O E 、 O F$,

$\because \odot O$ 与 $A C 、 B C$ 切于点 $E 、 F$,

$\therefore \angle O E C=\angle O F C=90^{\circ}, O E=O F$,

又 $\because \triangle A B C$ 是等腰直角三角形,



$\therefore \angle C=90^{\circ}$,

$\therefore$ 四边形 $C E O F$ 是正方形,

$\therefore O E / / B C$,

又 $\because$ 以斜边 $A B$ 上的点 $O$ 为圆心的圆分别与 $A C 、 B C$ 相切于点 $E 、 F, O E=O F$,

$\therefore O$ 在 $\angle A C B$ 的角平分线上,

$\because A C=B C$

$\therefore O$ 是 $A B$ 中点,

$\therefore A E=C E$,

又 $\because A C=2$,

$\therefore A E=C E=1$,

$\therefore O E=O F=C E=1$,

$\therefore O H=1$,

$\because O E / / C D$,

$\therefore \triangle O E H \sim \triangle B D H$

$\therefore \frac{O E}{O H}=\frac{D B}{B H}$

又 $\because A B=\sqrt{A C^{2}+B C^{2}}=2 \sqrt{2}$,

$\therefore O B=\sqrt{2}$,
$\therefore \frac{1}{1}=\frac{D B}{\sqrt{2}-1}$,

$\therefore B D=\sqrt{2}-1$,

$\therefore C D=2+B D=\sqrt{2}+1$,

故选: $C$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $\odot O$ 的外切正八边形 $A B C D E F G H$ 的边长 2 , 则 $\odot O$ 的半径为 ( )
选项：
A. 2
B. $1+\sqrt{2}$
C. 3


D. $2+\sqrt{2}$
答案：B
解析：设 $D E$ 与 $\odot O$ 相切于点 $N$, 连接 $O D 、 O E 、 O N$, 作 $D M \perp O E$ 于 $M$, 如图所示:

则 $O N \perp D E, D E=2, O D=O E, \angle D O E=\frac{360^{\circ}}{8}=45^{\circ}$,

$\because D M \perp O E$,

$\therefore \triangle O D M$ 是等腰直角三角形,



$\therefore D M=O M, O E=O D=\sqrt{2} D M$,

设 $O M=D M=x$, 则 $O D=O E=\sqrt{2} x, E M=O E-O M=(\sqrt{2}-1) x$,

在Rt $\triangle D E M$ 中, 由勾股定理得: $x^{2}+(\sqrt{2}-1)^{2} x^{2}=2^{2}$,

解得: $x^{2}=2+\sqrt{2}$,

$\because \triangle O D E$ 的面积 $=\frac{1}{2} D E \times O N=\frac{1}{2} O E \times D M$,

$\therefore O N=\frac{O E \times D M}{D E}=\frac{\sqrt{2} x^{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{2})}{2}=\sqrt{2}+1$,

即 $\odot O$ 的半径为: $1+\sqrt{2}$;

故选：B.
题目（九年级 · 度量几何学）：已知某几何体的三视图如图所示, 其中俯视图为等边三角形, 则该几何体的表面积为( $)$
选项：
A. $6 \mathrm{~cm}^{2}$
B. $18 \mathrm{~cm}^{2}$
C. $2 \sqrt{3} \mathrm{~cm}^{2}$
D. $(18+2 \sqrt{3}) \mathrm{cm}^{2}$



主视图 左视图

$\checkmark$

俯视图
答案：D
解析：根据三视图可得几何体是三棱柱, 底面三角形是正三角形, 边长为 $2 \mathrm{~cm}$, 棱柱的高为 $3 \mathrm{~cm}$,

底面面积为: $2 \times \sqrt{3} \div 2=\sqrt{3}\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$,

侧面积是 $6 \times 3=18\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$,

则这个几何体的表面积是 $(18+2 \sqrt{3}) \mathrm{cm}^{2}$.

故选 $D$.
题目（九年级 · 度量几何学）：在阳光下, 一名同学测得一根长为 1 米的垂直地面的竹竿的影长为 0.6 米,同时另一名同学测量树的高度时, 发现树的影子不全落在地面上, 有一部分落在教学楼的第一级台阶上, 测得此影子长为 0.2 米, 一级台阶高为 0.3 米,如图所示, 若此时落在地面上的影长为 4.42 米, 则树高为 ( )
选项：
A. 6.93 米
B. 8 米
C. 11.8 米
D. 12 米
答案：B
解析：如图,



$\because \frac{D E}{E H}=\frac{1}{0.6}$,

$\therefore E H=0.3 \times 0.6=0.18$

$\therefore A F=A E+E H+H F=4.42+0.18+0.2=4.8$,

$\because \frac{A B}{A F}=\frac{1}{0.6}$,

$\therefore A B=\frac{4.8}{0.6}=8$ (米),

故选 $B$.
题目（九年级 · 度量几何学）：在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例. 在某一时刻, 有人测得一个高为 1 米的竹笔的影长为 3 米; 某高楼的影长为 60 米, 那么高楼的高度是 $(\quad)$
选项：
A. 1 米
B. 10 米
C. 20 米
D. 30 米
答案：C
解析：设此高楼的高度为 $h$ 米,

$\because$ 在同一时刻, 有人测得一高为 1.8 米得竹等的影长为 3 米, 某高楼的影长为 60 米,

$\therefore \frac{1}{3}=\frac{h}{60}$, 解得 $h=20$.

$\therefore$ 高楼的高度是 20 米.

故选: $C$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 已知 $B C$ 是圆柱的底面直径, $A B$ 是圆柱的高, 在圆柱的侧面上,过点 $A 、 C$ 嵌有一圈路径最短的金属丝, 现将圆柱侧面沿 $A B$ 剪开, 若展开图中, 金属丝与底面周长围成的图形的面积是 $5 \mathrm{~cm}^{2}$, 该圆柱的侧面积是 $(\quad) \mathrm{cm}^{2}$
选项：
A. 10
B. 20
C. $10 \pi$
D. $20 \pi$
答案：A
解析：如图, 圆柱的侧面展开图为长方形, $A C=A^{\prime} C$, 且点 $C$ 为 $B B^{\prime}$ 的中点,



$\because A A^{\prime} / / B B^{\prime}$, 四边形 $A B B^{\prime} A^{\prime}$ 是矩形,

$\therefore S_{\triangle A A C C}=\frac{1}{2} S_{\text {长方形 } A B B, A,}$,

又 :展开图中, $S_{\triangle A A \prime C}=5 \mathrm{~cm}^{2}$,

$\therefore$ 圆柱的侧面积是 $10 \mathrm{~cm}^{2}$.
故选 $A$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $\mathrm{PO}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 外一点, $\mathrm{PA}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的切线, $\mathrm{PO}=26 \mathrm{~cm}, \mathrm{PA}=" 24 " \mathrm{~cm}$, 则 $\odot \mathrm{O}$ 的周长为 $(\mathrm{)}$


选项：
A. $18 \pi \mathrm{cm}$
B. $16 \pi \mathrm{cm}$
C. $20 \pi \mathrm{cm}$
D. $24 \pi \mathrm{cm}$
答案：C
解析：如图, 设 $\mathrm{PA}$ 与 $\odot \mathrm{O}$ 相交于点 $\mathrm{D}$, 延长 $\mathrm{PO}$ 交 $\odot \mathrm{O}$ 于另一点 $\mathrm{C}$,



若 $\odot \mathrm{O}$ 的半径为 $\mathrm{r}$, 则 $\because \mathrm{PO}=26, \therefore \mathrm{PD}=26-\mathrm{r}, \mathrm{PC}=26+\mathrm{r}$.

$\because \mathrm{PA}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的切线, $\therefore$ 根据切割线定理, $\mathrm{PA}^{2}=\mathrm{PC} \cdot \mathrm{PD} . \because \mathrm{PA}=" 24 " \mathrm{~cm}$,

$\therefore 24^{2}=(26+r) \cdot(26-r) \Rightarrow 24^{2}=26^{2}-r^{2} \Rightarrow r^{2}=26^{2}-24^{2}=(26+24)(6-24)=50 \times 2=100 \Rightarrow \mathrm{r}=10$.

$\therefore \odot \mathrm{O}$ 的周长为 $2 \pi \mathrm{r}=20 \pi(\mathrm{cm})$. 故选 C.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 一圆内切四边形 $A B C D$, 且 $A B=16, C D=10$, 则四边形的周长为 ( )


选项：
A. 50
B. 52
C. 54
D. 56
答案：B
解析：根据切线长定理, 可以证明圆外切四边形的性质: 圆外切四边形的两组对边的和相等,所以四边形的周长为: $2 \times(16+10)=52$. 故选 B.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $A B$ 为半圆 $O$ 的直径, $A D 、 B C$ 分别切 $\odot O$ 于 $A, B$ 两点, $C D$ 切 $\odot O$ 于点 $E, A D$ 与 $C D$相交于 $\mathrm{D}, \mathrm{BC}$ 与 $\mathrm{CD}$ 相交于 $\mathrm{C}$, 连结 $\mathrm{OD} 、 \mathrm{OE} 、 \mathrm{OC}$, 对于下列结论: (1) $\mathrm{AD}+\mathrm{BC}=\mathrm{CD}$; (2) $\angle \mathrm{DOC}=90^{\circ}$; (3) $\mathrm{S}_{\text {粠形 } \mathrm{ABCD}}=\frac{1}{2} \mathrm{CD} \cdot \mathrm{OA}$; (4) $\frac{O D}{D E}=\frac{C D}{O D}$. 其中结论正确的个数是（ ）


选项：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：C
解析：根据切线的性质可得: $\mathrm{AD}=\mathrm{DE}, \mathrm{BC}=\mathrm{CE}$, 则 $\mathrm{AD}+\mathrm{BC}=\mathrm{DE}+\mathrm{CE}=\mathrm{CD}$, 则(1)正确; 根据题意可知: $\triangle \mathrm{AOD}$ 和 $\triangle \mathrm{EOD}$ 全等, $\triangle \mathrm{BOC}$ 和 $\triangle \mathrm{EOC}$ 全等, 则 $\angle \mathrm{DOC}=90^{\circ}$, 故(2)正确; 梯形的面积 $=(\mathrm{AD}+\mathrm{BC}) \cdot \mathrm{AB} \div 2=\mathrm{CD} \cdot \mathrm{AB} \div 2=\mathrm{CD} \cdot \mathrm{OA}$, 则(3)错误; 根据题意可知: $\triangle \mathrm{DOE}$ 和 $\triangle \mathrm{DCO}$ 相似, 则(4)正确,故选 C.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的切线, $B$ 为切点, $A O$ 与 $\odot O$ 交于点 $C$, 若 $\angle B A O=30^{\circ}$, 则 $\angle O C B$ 的度数为 ( )


选项：
A. $30^{\circ}$
B. $60^{\circ}$
C. $50^{\circ}$
D. $40^{\circ}$
答案：B
解析：$\because A B$ 是 $\odot O$ 的切线, $B$ 为切点, $\therefore \angle O B A=90^{\circ} . \because \angle B A O=30^{\circ}, \therefore \angle O=60^{\circ} . \because O B=O C$, $\therefore \triangle O B C$ 是等边三角形, $\therefore \angle O C B=60^{\circ}$. 故选 B.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $P A 、 P B$ 分别切 $\odot O$ 于 $A 、 B$ 两点, 点 $C$ 在优弧 $A C B$ 上, $\angle P=80^{\circ}$, 则 $\angle C$ 的度数为


选项：
A. $50^{\circ}$
B. $60^{\circ}$
C. $70^{\circ}$
D. $80^{\circ}$
答案：A
解析：$\because \mathrm{PA}$ 是圆的切线.



$\therefore \angle \mathrm{OAP}=90^{\circ}$, 同理 $\angle \mathrm{OBP}=90^{\circ}$,

根据四边形内角和定理可得:

$\angle \mathrm{AOB}=360^{\circ}-\angle \mathrm{OAP}-\angle \mathrm{OBP}-\angle \mathrm{P}=360^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}-80^{\circ}=100^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{C}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{AOB}=50^{\circ}$. 故选 A.
题目（九年级 · 度量几何学）：在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\angle \mathrm{A}=90^{\circ}, \mathrm{AB}=3 \mathrm{~cm}, \mathrm{AC}=4 \mathrm{~cm}$, 若以顶点 $\mathrm{A}$ 为圆心, $3 \mathrm{~cm}$ 长为半径作 $\odot \mathrm{A}$, 则
$\mathrm{BC}$ 与 $\odot \mathrm{A}$ 的位置关系是 $(\quad)$
选项：
A. 相切
B. 相交
C. 相离
D. 无法确定
答案：B
解析：做 $\mathrm{AD} \perp \mathrm{BC}$,



$\because \angle A=90^{\circ}, A B=3 \mathrm{~cm}, A C=4 \mathrm{~cm}$, 若以 $A$ 为圆心 $3 \mathrm{~cm}$ 为半径作 $\odot A$,

$\therefore \mathrm{BC}=5, \therefore \mathrm{AD} \times \mathrm{BC}=\mathrm{AC} \times \mathrm{AB}$, 即 $\mathrm{AD} \times 5=4 \times 3$ 解得: $\mathrm{AD}=2.4,2.4<3$,

$\therefore$ 直线 $\mathrm{BC}$ 与 $\odot \mathrm{A}$ 的位置关系是: 相交. 故选: $\mathrm{B}$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $A C=5, B C=12, \odot O$ 分别与边 $A B, A C$ 相切, 切点分别为 $E, C$,则 $\odot O$ 的半径是 ()


选项：
A. $\frac{10}{3}$
B. $\frac{16}{3}$
C. $\frac{20}{3}$
D. $\frac{23}{3}$
答案：A
解析：$\because \mathrm{AE}=\mathrm{AC}=5, \mathrm{AC}=5, \mathrm{BC}=12$,

$\therefore \mathrm{AB}=13, \quad \therefore \mathrm{BE}=8$

$\because \mathrm{BE}^{2}=\mathrm{BD} \cdot \mathrm{BC}, \quad \therefore \mathrm{BD}=\frac{16}{3}$,

$\therefore \mathrm{CD}=\frac{20}{3}, \therefore$ 圆的半径是 $\frac{10}{3}$, 故选 A.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 点 $\mathrm{O}$ 是 $\angle \mathrm{BAC}$ 的边 $\mathrm{AC}$ 上的一点, $\odot \mathrm{O}$ 与边 $\mathrm{AB}$ 相切于点 $\mathrm{D}$, 与线段 $\mathrm{AO}$ 相交于点 $\mathrm{E}$, 若点 $\mathrm{P}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 上一点, 且 $\angle \mathrm{EPD}=35^{\circ}$, 则 $\angle \mathrm{BAC}$ 的度数为 $(\quad)$


选项：
A. $20^{\circ}$
B. $35^{\circ}$
C. $55^{\circ}$
D. $70^{\circ}$
答案：A
解析：连接 $\mathrm{OD}$,



$\because \odot \mathrm{O}$ 与边 $\mathrm{AB}$ 相切于点 $\mathrm{D}, \quad \therefore \mathrm{OD} \perp \mathrm{AD}$,

$\therefore \angle \mathrm{ADO}=90^{\circ}, \because \angle \mathrm{EPD}=35^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{EOD}=2 \angle \mathrm{EPD}=70^{\circ}, \therefore \angle \mathrm{BAC}=90^{\circ}-\angle \mathrm{EOD}=20^{\circ}$. 故选 A.
题目（九年级 · 度量几何学）：$\sin 60^{\circ}$ 的值等于 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. 1
答案：C
解析：根据特殊角的三角函数值,可知:

$\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. 故选 C.
题目（九年级 · 度量几何学）：下列命题: (1)所有锐角三角函数值都为正数; (2)解直角三角形时只需已知除直角外的两个元素; (3)Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle B=90^{\circ}$, 则 $\sin ^{2} A+\cos ^{2} A=1$; (4) $R t \triangle A B C$ 中, $\angle A=90^{\circ}$, 则 $\tan C \cdot \sin C=\cos C$. 其中正确的命题有 $(\quad)$
选项：
A. 0 个
B. 1 个
C. 2 个
D. 3 个
答案：C
解析：(1)根据锐角三角函数的定义知所有的锐角三角函数值都是正数, 故正确;

(2)两个元素中, 至少得有一条边, 故错误;

(3)根据锐角三角函数的概念, 以及勾股定理, 得则 $\sin ^{2} A+\cos ^{2} A=\frac{a 2+c 2}{b 2}=1$, 故正确;

(4)根据锐角三角函数的概念, 得 $\tan C=\frac{c}{b}, \sin C=\frac{c}{a}, \cos C=\frac{b}{a}$, 则 $\tan C \cdot \cos C=\sin C$, 故错误. 故选 C.
题目（九年级 · 度量几何学）：将 $R t \triangle A B C$ 的三边分别扩大 2 倍, 得到 $R t \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$, 则 ( )
选项：
A. $\sin A=\sin A^{\prime}$
B. $\sin A>\sin A^{\prime}$
C. $\sin A<\sin A^{\prime}$
D. 不能确定
答案：A
解析：Rt $\triangle A B C$ 的三边分别扩大 2 倍, 得到 Rt $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$, 对边与斜边的比值不变,故 A 正确; 故选: A.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 按照三视图确定该几何体的侧面积是(单位: $\mathrm{cm})($ )



选项：
A. $24 \pi \mathrm{cm}^{2}$
B. $48 \pi \mathrm{cm}^{2}$
C. $60 \pi c m^{2}$
D. $80 \pi c m^{2}$
答案：A
解析：解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体, 由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥;

根据三视图知: 该圆锥的母线长为 $6 \mathrm{~cm}$, 底面半径为 $8 \div 2=4 \mathrm{~cm}$,

故侧面积 $=\pi r l=\pi \times 6 \times 4=24 \pi \mathrm{cm}^{2}$.

故选: $A$.

由主视图和左视图确定是柱体, 锥体还是球体, 再由俯视图确定具体形状, 确定圆锥的母线长和底面半径, 从而确定其侧面积.

此题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力, 同时也体现了对空间想象能力方面的考查.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 一个几何体的三视图分别是两个矩形、一个扇形, 则这个几何体表面积的大小为( )



（主视图）



(左视图)



（俯视图）
选项：
A. $12 \pi$
B. $15 \pi$
C. $12 \pi+6$
D. $15 \pi+12$
答案：D
解析：【分析】

本题主要考查由三视图判断几何体, 由几何体的三视图得出该几何体是几何体是长方体与三棱柱的组合体，结合图中数据求出组合体的表面积即可.

【解答】

解: 由几何体的三视图可得: 该几何体是长方体、两个扇形和一个矩形的组合体, 该组合体的表

面积为: $S=2 \times 2 \times 3+\frac{270 \pi \times 2^{2}}{360} \times 2+\frac{270 \pi \times 2}{180} \times 3=12+15 \pi$,

故选 $D$.
题目（九年级 · 度量几何学）：(本题 3 分）（2020$\cdot$浙江宁波$\cdot$九年级期中）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形,两小孔形状、大小完全相同. 当水面刚好淹没小孔时, 大孔水面宽度为 10 米, 孔顶离水面 1.5 米; 当水位下降, 大孔水面宽度为 14 米时, 单个小孔的水面宽度为 4 米, 若大孔水面宽度为 20 米，则单个小孔的水面宽度为（）
选项：
A. $4 \sqrt{3}$ 米B. $5 \sqrt{2}$ 米C. $2 \sqrt{13}$ 米D. 7 米
答案：B
解析：B【解析】【分析】根据题意，可以画出相应的拋物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的小孔所在抛物线的解析式,将x=-10代入可求解.【详解】解:如图,建立如图所示的平面直角坐标系,由题意可得MN=4,EF=14,BC=10,DO=frac32,设大孔所在抛物线解析式为y=ax^2+frac32,becauseBC=10,therefore点B(-5,0),therefore0=atimes(-5)^2+frac32,thereforea=-frac350,therefore大孔所在抛物线解析式为y=-frac350x^2+frac32,设点A(b,0),则设顶点为A的小孔所在拖物线的解析式为y=m(x-b)^2,becauseEF=14,therefore点E的横坐标为-7,therefore点E坐标为left(-7,-frac3625right),therefore-frac3625=m(x-b)^2,thereforex_1=frac65sqrt-frac1m+b,x_2=-frac65sqrt-frac1m+b,thereforeMN=4,thereforeleft|frac65sqrt-frac1m+b-left(-frac65sqrt-frac1m+bright)right|=4thereforem=-frac925,therefore顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=-frac925(x-b)^2,because大孔水面宽度为20米,therefore当x=-10时,y=-frac92,therefore-frac92=-frac925(x-b)^2,thereforex_1=frac52sqrt2+b,x_2=-frac5sqrt22+btherefore单个小孔的水面宽度=left|left(frac52sqrt2+bright)-left(-frac52sqrt2+bright)right|=5sqrt2(米),故选:B.【点睛】本题考查二次函数的应用,解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答.
题目（九年级 · 度量几何学）：(本题 3 分) (2022 浙江绍兴$\cdot$九年级期末) 已知扇形的圆心角为 $120^{\circ}$, 半径为 $3 \mathrm{~cm}$, 则弧长为
选项：
A. $\frac{2 \pi}{3} \mathrm{~cm}$B. $2 \pi \mathrm{cm}$C. $4 \mathrm{~cm}$D. $\frac{\pi}{3} \mathrm{~cm}$
答案：B
解析：B【解析】【分析】扇形的弧长=圆形周长timesfractext扇形圆心角360^circ,根据公式列出算式计算即可.【详解】解:扇形的弧长:2times3timespitimesfrac120^circ360^circ=2pi,故选:B.【点睛】本题考查扇形的弧长,掌握扇形的弧长公式是解决本题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：(本题 3 分) (2022$\cdot$浙江湖州$\cdot$模拟预测）如图, $\triangle A B C$ 内接于 $\odot O, \angle A=$ $50^{\circ} . O D \perp B C$, 垂足为 $E$, 连接 $B D$, 则 $\angle C B D$ 的大小为 ( ).
选项：
A. $50^{\circ}$B. $60^{\circ}$C. $25^{\circ}$D. $30^{\circ}$
答案：C
解析：C【解析】【分析】连接CD,根据圆内接四边形的性质得到angleCDB=180^circ-angleA=130^circ,根据垂径定理得到E是边BC的中点,由垂直平分线的性质得到BD=CD,根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理即可得到结论.【详解】解：连接CDbecause四边形ABDC是圆内接四边形,angleA=50^circthereforeangleCDB+angleA=180^circthereforeangleCDB=180^circ-angleA=130^circbecauseODperpBCthereforeE是边BC的中点thereforeBD=CDthereforeangleCBD=angleBCD=frac12left(180^circ-angleCDBright)=frac12left(180^circ-130^circright)=25^circ故选:C.【点睛】本题考查三角形的外接圆和外心,圆内接四边形的性质,垂径定理,等腰三角形的性质.正确作出辅助线（即连接CD)构造等腰三角形是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：(本题 3 分)（2022$\cdot$浙江$\cdot$温州绣山中学二模）如图, $A B$ 是半圆 $O$ 的直径,$A B=20$, 弦 $D C / / A B, E$ 是 $D C$ 上的点, 连结 $O E, E B$. 若 $O E=E B$,$E C: E D=3: 13$, 则 $O E$ 的长为 $(\quad)$
选项：
A. $\sqrt{69}$B. 8C. $\sqrt{61}$D. $5 \sqrt{2}$
答案：C
解析：C【解析】【分析】过点O作OMperpCD,过点E作ENperpAB,连接OC,设EC=3x,则ED=13x,先证明四边形MONE是矩形,求出x的值,再根据勾股定理求出OM及OE的值.【详解】解：过点O作OMperpCD,过点E作ENperpAB,连接OC,垂足分别为点M、N,becauseEC:ED=3:13therefore设EC=3x,则ED=13x,thereforeCD=16x,becauseOMperpCDthereforeCM=DM=8x,thereforeME=CM-CE=8x-3x=5x,becauseOMperpCD,quadDC//AB,ENperpAB,thereforeangleMON=angleOME=angleONE=90^circ,therefore四边形MONE是矩形,thereforeON=ME=5x,becauseAB=20,thereforeOB=10,becauseOE=EB,ENperpAB,thereforeON=BN=5,therefore5x=5，即x=1,thereforeCM=8,thereforeOM=sqrtOC^2-CM^2=sqrt10^2-8^2=6,thereforeOE=sqrtOM^2+EM^2=sqrt6^2+5^2=sqrt61故选：C【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握垂径定理的性质，灵活运用所学知识解决问题.
题目（九年级 · 度量几何学）：(本题 3 分) (2021$\cdot$浙江温州$\cdot$九年级期末) 已知一个扇形的半径长是 6 , 圆心角为 $90^{\circ}$,则这个扇形的面积为 $(\quad)$
选项：
A. $12 \pi$B. $9 \pi$C. $6 \pi$D. $3 \pi$
答案：B
解析：B【分析】根据扇形的面积公式直接求解即可.【详解】解：由扇形的面积公式可得,这个扇形的面积为frac90^circpitimes6^2360^circ=9pi故选B【点睛】此题考查了扇形面积的计算,掌握扇形面积的计算公式是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：(本题 3 分) (2022- 浙江$\cdot$九年级专题练习) 如图, 四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O, \angle D-$ $\angle B=40^{\circ}$, 连接 $A O, C O$, 则 $\angle A O C$ 的度数为 $(\quad)$
选项：
A. $110^{\circ}$B. $120^{\circ}$C. $130^{\circ}$D. $140^{\circ}$
答案：D
解析：D【分析】根据圆内接四边形的性质得出angleB+angleD=180^circ,根据angleD-angleB=40^circ求出angleD=110^circ,angleB=70^circ,根据圆周角定理得出angleAOC=2angleB,再代入求出答案即可.【详解】because四边形ABCD内接于odotO,thereforeangleB+angleD=180^circ,becauseangleD-angleB=40^circthereforeangleD=110^circ,angleB=70^circ,thereforeangleAOC=2angleB=140^circ,故选:D.【点睛】本题考查了圆周角定理及圆内接四边形的性质,解题的关键是熟记圆内接四边形的对角互补.
题目（九年级 · 度量几何学）：(本题 3 分) (2021 浙江權州$\cdot$九年级阶段练习) 已知点 $P$ 在半径为 8 的 $\odot O$ 外, 则
选项：
A. $O P>8$B. $O P=8$C. $O P<8$D. $O P \geq 8$
答案：A
解析：A【解析】【分析】根据点P与odotO的位置关系即可确定OP的范围.【详解】解:because点P在圆O的外部,therefore点P到圆心O的距离大于8,故选:A.【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系,关键是要牢记判断点与圆的位置关系的方法.
题目（九年级 · 度量几何学）：(本题 3 分) (2020$\cdot$浙江杭州$\cdot$九年级期末) 如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, 点 $C$, 点 $D$是半圆上两点, 连结 $A C, B D$ 相交于点 $P$, 连结 $A D, O D$. 已知 $O D \perp A C$ 于点 $E$, $A B=2$. 下列结论: (1) $A D^{2}+A C^{2}=4$; (2) $\angle D B C+\angle A D O=90^{\circ}$; (3)若 $A C=B D$, 则 $D E=O E$ ； (4)若点 $P$ 为 $B D$ 的中点, 则 $D E=2 O E$. 其中正确的是（ )
选项：
A. (1)(2)(3)B. (2)(3)(4)C. (3)(4)D. (2)(4)
答案：B
解析：B【解析】【分析】证明AC^2+BC^2=AB^2=4即可判断(1);根据ODperpAC,得到angleDAE+angleADO=90^circ,根据angleDAE=angleDBC,即可判断(2);推出triangleAOD是等边三角形,即可判断(3);利用全等三角形的性质证明DE=BC,再利用三角形的中位线定理证明BC=2OE即可判断(4).【详解】解:becauseAB是直径,thereforeangleADB=angleACB=90^circ,在RttriangleACB中,thereforeAC^2+BC^2=AB^2=4,由已知条件无法得到AD与BC之间的大小关系,故无法得到AD^2+AC^2与4的大小关系，故(1)错误;becauseODperpACthereforeangleAED=90^circ,thereforeangleDAE+angleADO=90^circ,becauseangleDAE=angleDBC,thereforeangleDBC+angleADO=90^circ,故(2)正确;becauseAEperpOE,thereforeAD=CD,becauseAC=BDthereforeAC=BD,thereforeAD=CD=BC,thereforeangleAOD=60^circ,becauseOA=ODthereforetriangleOAD是等边三角形,becauseAEperpODthereforeDE=OE,故(3)正确,becauseangleDEP=angleBCP=90^circ,DP=PB,angleDPE=angleBPC,thereforetrianglePDEcongtrianglePBC(AAS),thereforeDE=BCbecauseOE//BC,AO=OBthereforeAE=EC,thereforeBC=2OE,thereforeDE=2OE,故(4)正确.故选:B.【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型
题目（九年级 · 度量几何学）：(本题 3 分) (2022$\cdot$浙江湖州$\cdot$九年级期末) 已知圆心角度数为 $60^{\circ}$, 半径为 30 , 则这个圆心角所对的弧长为
选项：
A. $20 \pi$B. $15 \pi$C. $10 \pi$D. $5 \pi$
答案：C
解析：C【解析】【分析】根据弧长公式求出答案即可.【详解】解:圆心角是60^circ,半径为30的扇形的弧长是frac60pitimes30180=10pi.故选:C【点睛】本题主要考查了求弧长,熟练掌握弧长公式l=fracnpir180(其中n,r分别为圆心角,半径)是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：(本题 3 分)（2022$\cdot$浙江湖州$\cdot$年级期中）如图, 四边形 $A B C D$ 内接于 $\odot O, C D$ 是 $\odot O$ 的直径, 若 $\angle B D C=20^{\circ}$, 则 $\angle A$ 的度数是（ ）
选项：
A. $100^{\circ}$B. $110^{\circ}$C. $120^{\circ}$D. $130^{\circ}$
答案：B
解析：B【解析】【分析】由直角三角形的性质可得angleC的度数,再由圆内接四边形的性质即可求得结果.【详解】becauseCD是odotO的直径thereforeangleDBC=90^circbecauseangleBDC=20thereforeangleC=90^circ-angleBDC=70^circbecause四边形ABCD内接于odotOthereforeangleA=180^circ-angleC=110^circ故选：B【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角,圆内接四边形的性质,掌握这两个知识点是关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：(本题 3 分) (2022$\cdot$浙江杭州$\cdot$九年级开学考试) 如图, $\odot O$ 为 $\triangle A B C$ 的外接圆, $\angle A$ $=45^{\circ}, \odot O$ 的半径为 2 , 则 $B C$ 的长为 $(\quad)$
选项：
A. 2B. $2 \sqrt{2}$C. 4D. $2 \sqrt{3}$
答案：B
解析：B【解析】【分析】由odotO是triangleABC的外接圆,angleA=45^circ,易得triangleOBC是等腰直角三角形,继而求得答案.【详解】解：如图,连接OB,OC,becauseodotO是triangleABC的外接圆,angleA=45^circ,thereforeangleBOC=2angleA=90^circ,becauseOB=OC=2,thereforetriangleOBC是等腰直角三角形,thereforeBC=sqrtOB^2+OC^2=sqrt4+4=sqrt8=2sqrt2.故选:B.【点睛】本题主要考查圆周角定理，勾股定理，掌握圆周角定理以及勾股定理是解决问题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：(本题 3 分) (2022$\cdot$浙江杭州 $\cdot$九年级期末) 如图, $B D$ 是 $\odot O$ 的直径, $A, C$ 是圆上不与点 $B, D$ 重合的两个点, 若 $\angle A B D=30^{\circ}$, 则 $\angle A C B$ 的度数为 ( )
选项：
A. $30^{\circ}$B. $45^{\circ}$C. $60^{\circ}$D. $75^{\circ}$
答案：C
解析：C【解析】【分析】根据直径所对的圆周角等于直角,三角形内角和定理即可求得angleADB的度数,再利用在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等。即可求出angleACB.【详解】解:连接AD,becauseBD是odotO的直径,thereforeangleBAD=90^circ,becauseangleABD=30^circthereforeangleADB=60^circ.thereforeangleACB=angleADB=60^circ.故选:D.【点睛】本题考查直径所对的圆周角等于直角，三角形内角和定理，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等。解题的关键求出angleADB=60^circ.
题目（九年级 · 度量几何学）：(本题 3 分) (2022$\cdot$浙江杭州$\cdot$九年级期末) 如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}$, 点 $D$为边 $A B$ 的中点, 以点 $A$ 为圆心，线段 $A D$ 的长为半径画弧，与 $A C$ 边交于点 $E$; 以点 $B$ 为圆心, 线段 $B D$ 的长为半径画弧, 与 $B C$ 边交于点 $F$. 若 $B C=6, A C=8$, 则图中阴影部分的面积为 $(\quad)$
选项：
A. $48-\frac{25 \pi}{2}$B. $48-\frac{25 \pi}{4}$C. $24-\frac{25 \pi}{2}$D. $24-\frac{25 \pi}{4}$
答案：D
解析：D【解析】【分析】根据勾股定理得到AB=sqrtAC^2+BC^2=10,根据线段中点的定义得到AD=BD=5,根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论.【详解】解:becauseangleACB=90^circ,BC=6,AC=8,thereforeAB=sqrtAC^2+BC^2=10,angleA+angleB=90^circ,because点D为边AB的中点,thereforeAD=BD=5,如图所示,扇形ADE面积与扇形BGD面积相等,therefore图中阴影部分的面积==frac12times6times8-frac90cdotpitimes5^2360=24-frac25pi4,故选：D.【点睛】本题考查了扇形面积的计算,三角形的面积公式,勾股定理,熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：(本题 3 分)（2021$\cdot$浙江$\cdot$宁波市镇海蛟川书院九年级期中）下面四组线段中, 成比例的是 $(\quad)$
选项：
A. $a=1, b=2, c=2, d=4$B. $a=2, b=3, c=4, d=5$C. $a=4, b=6, c=8, d=10$D. $a=\sqrt{2}, c=3, b=\sqrt{3}, c=\sqrt{3}$
答案：A
解析：A【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段.对选项一一分析，排除错误答案.【详解】解:A、1times4=2times2,故选项符合题意;B、2times5neq3times4,故选项不符合题意;C、4times10neq6times8,故选项不符合题意;C、sqrt2times3neqsqrt3timessqrt3,故选项不符合题意;故选:A.【点睛】此题考查了比例线段,根据成比例线段的概念,注意在相乘的时候,最小的和最大的相乘,另外两个相乘,看它们的积是否相等,同时注意单位要统一.
题目（九年级 · 度量几何学）：(本题 3 分) (2021$\cdot$浙江得州$\cdot$九年级阶段练习) 如图, 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}$, $\angle A=30^{\circ}, B C=3$, 按图中虚线剪下的三角形与 $\triangle A B C$ 不相似的是 ( )
选项：
A.B.C.D.
答案：D
解析：D【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解.【详解】解：A、由两角对应相等,两三角形相似,可证图中虚线剪下的三角形与triangleABC相似,故选项A不符合题意;B、由两组对边对应成比例且夹角相等，两三角形相似，可证图中虚线剪下的三角形与triangleABC相似，故选项B不符合题意;C、由两角对应相等,两三角形相似,可证图中虚线剪下的三角形与triangleABC相似,故选项C不符合题意;D、无法证明图中虚线剪下的三角形与triangleABC相似,故选项D符合题意;故选:D.【点睛】本题考查了相似三角形的判定,直角三角形的性质,掌握相似三角形的判定方法是本题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：(本题 3 分) (2020:浙江杭州 九九年级期末) $\triangle A B C$ 中, $P$ 为 $A B$ 上的一点. 下列四个条件: (1) $\angle A C P=\angle B$ : (2) $\angle A P C=\angle A C B$ : (3) $\frac{A C}{A B}=\frac{A P}{A C}$; (4) $\frac{A B}{A C}=\frac{B C}{C P}$ 等, 其中能判断 $\triangle A P C \sim \triangle A C B$ 的有 $(\quad)$
选项：
A. (1)(2)(4)B. (1)(3)(4)C. (2)(3)(4)D. (1)(2)(3)
答案：D
解析：D【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解.【详解】解:(1)angleACP=angleB,angleA=angleA,可证triangleAPCsimtriangleACB,故(1)符合题意;(2)angleAPC=angleACB,angleA=angleA,可证triangleAPCsimtriangleACB,故(2)符合题意;(3)fracACAB=fracAPAC,angleA=angleA,可证triangleAPCbacksimtriangleACB,故(3)符合题意;(4)fracABAC=fracBCCP,angleA=angleA,不能证明triangleAPCbacksimtriangleACB,故(4)不符合题意;故选:D.【点睛】本题考查了相似三角形的判定,灵活运用相似三角形的判定是本题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：(本题 3 分) (2022$\cdot$浙江彊州 $\cdot$九年级期末) 如图, 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle B A C=90^{\circ}$, 中线 $A D, B E$ 相交于点 $F . E G / / B C$, 交 $A D$ 于点 $G . G F=1$, 则 $B C$ 的长为 $(\quad)$
选项：
A. 5B. 6C. 10D. 12
答案：D
解析：D【分析】首先根据GE//CD得到triangleAGFsimtriangleADC、triangleFEGsimtriangleFBD,求出AD=6,然后利用直角三角形斜边的中线性质得出结果.【详解】解：becauseGE//CD，thereforetriangleAGEsimtriangleADC,triangleFEGsimtriangleFBDthereforefracAGAD=fracGECD=fracAEAC=frac12thereforefracGEBD=fracGFDF又becauseBD=CD,thereforefracGFDF=frac12,thereforeDF=2GF=2,thereforeDG=DF+GF=3thereforeAD=2DG=6,在直角triangleABC中,angleBAC=90^circ,thereforeBC=2AD=12,故选D.【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定以及直角三角形的性质,根据平行得到相似三角形是解决问题的关键.