eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高三 · 度量几何学）：20. 已知 $\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}, \cos \frac{\pi}{5} \cos \frac{2 \pi}{5}=\frac{1}{4}, \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2 \pi}{7} \cos \frac{3 \pi}{7}=\frac{1}{8}, \ldots$, 根据这些结果,猜想 $\cos \frac{\pi}{9} \cos \frac{2 \pi}{9} \cos \frac{3 \pi}{9} \cos \frac{4 \pi}{9}=$
选项：
答案：答案: $\frac{1}{16}$
解析：: 解答: 根据题意, 分析所给的等式可得: $\cos \frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$, 可化为 $\cos \frac{1 \times \pi}{2 \times 1+1}=\frac{1}{2^{1}}$, $\cos \frac{\pi}{5} \cos \frac{2 \pi}{5}=\frac{1}{4}$, 可化为 $\cos \frac{1 \times \pi}{2 \times 2+1} \cos \frac{2 \times \pi}{2 \times 2+1}=\frac{1}{2^{2}}, \cos \frac{\pi}{7} \cos \frac{2 \pi}{7} \cos \frac{3 \pi}{7}=\frac{1}{8}$,可化为 $\cos \frac{1 \times \pi}{2 \times 3+1} \cos \frac{2 \times \pi}{2 \times 3+1} \cos \frac{3 \times \pi}{2 \times 3+1}=\frac{1}{2^{3}}$;

则一般的结论为 $\cos \frac{\pi}{2 n+1} \cos \frac{2 \pi}{2 n+1} \ldots \cos \frac{n \pi}{2 n+1}=\frac{1}{2^{n}}$ ；

$\therefore \cos \frac{\pi}{9} \cos \frac{2 \pi}{9} \cos \frac{3 \pi}{9} \cos \frac{4 \pi}{9}=\cos \frac{\pi}{2 \times 4+1} \cos \frac{2 \pi}{2 \times 4+1} \cos \frac{3 \pi}{2 \times 4+1} \cos \frac{4 \pi}{2 \times 4+1}=$

$$
\frac{1}{2^{4}}=\frac{1}{16}
$$

分析: 本题主要考查了归纳推理, 解决问题的关键是根据所给式子的特征进行归纳得到对应的规律即可.
题目（高三 · 度量几何学）：10. 如图, 若 $\angle \mathrm{BAD}=75^{\circ}$, 则 $\angle \mathrm{BCD}=$


选项：
答案：答案: 105
解析：：解答： $\mathrm{BAD}$ 是 $\mathrm{BCD}$ 所对的圆周角, $\angle \mathrm{BCD}$ 是 $\mathrm{BAD}$ 所对的圆周角, 则 $\mathrm{BCD}$ 所对的圆心角为 $2 \times 75^{\circ}=150^{\circ}$.

又 $\because \mathrm{BCD}$ 和 $\mathrm{BAD}$ 所对圆心角的和是周角 $360^{\circ}$,

$\therefore \mathrm{BAD}$ 所对圆心角是 $360^{\circ}-150^{\circ}=210^{\circ}$,

$\therefore \mathrm{BAD}$ 所对圆周角 $\angle \mathrm{BCD}=\frac{1}{2} \times 210^{\circ}=105^{\circ}$.

分析: 本题主要考查了圆周角定理, 解决问题的关键是根据圆周角定理结合所给条件计算即可
题目（高三 · 解析几何）：15. 已知 $A(2,1), B(-1,1), O$ 为坐标原点,动点 $M$ 满足 $\overrightarrow{O M}=m \overrightarrow{O A}+n \overrightarrow{O B}$, 其中 $m, n \in \mathbf{R}$, 且 $2 m^{2}-n^{2}=2$, 则 $M$ 的轨迹方程为
选项：
答案：答案: $\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$
解析：：解答：设 $M(x, y)$ ，

则 $(x, y)=m(2,-1)+n(-1,1)=(2 m-n, n-m)$,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}x=2 m-n_{s} \\ y=n-m .\end{array}\right.$ 又 $2 m^{2}-n^{2}=2$, 消去 $m, n$ 得 $\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1$.

分析: 本题主要考查了平面直角坐标系与曲线方程, 解决问题的关键是根据所给条件求解曲线方程即可
题目（高三 · 解析几何）：12. 直线 $x \cos a+y \sin a=0$ 的极坐标方程为
选项：
答案：答案: $\theta=\frac{\pi}{2}+\alpha$
解析：：解答： $\rho \cos \theta \cos \alpha+\rho \sin \theta \sin \alpha=0, \cos (\theta-\alpha)=0$, 取 $\theta-\alpha=\frac{\pi}{2}$

分析: 本题主要考查了极坐标系, 解决问题的关键是根据所给方程化为极坐标即可
题目（高三 · 解析几何）：13. 在直角坐标系 $\mathrm{xOy}$ 中, 以 $\mathrm{O}$ 为极点, $\mathrm{x}$ 正半轴为极轴建立极坐标系,且在两种坐标系中取相同的单位长度,将点 $\mathrm{P}$ 的极坐标 $\left(2, \frac{\pi}{4}\right)$ 化成直角坐标
选项：
答案：:答案: $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$
解析：: 解答: 本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化, 由点 $\mathrm{P}$ 的极坐标为 $\left(2, \frac{\pi}{4}\right)$, 设点 $\mathrm{P}$的直角坐标为 $(\mathrm{x}, \mathrm{y})$,所以 $x=2 \cos \frac{\pi}{4}=\sqrt{2}, y=2 \sin \frac{\pi}{4}=\sqrt{2}$, 故填 $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$

分析: 本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化, 解决问题的关键是根据点的极坐标和直角坐标的互化分析计算即可
题目（高三 · 解析几何）：14. 在极坐标系中, 若过点 $(3,0)$ 且与极轴垂直的直线交曲线 $\rho=4 \cos \theta$ 于 $\mathrm{A} . \mathrm{~B}$ 两点, 则 $|A B|=$ \$ \qquad \$ .
选项：
答案：答案: $2 \sqrt{3}$
解析：: 解答: 本题考查极坐标系与直角坐标系的互化, 意在考查考生的运算求解能力. 曲线 $\rho=4 \cos \theta$ 化为直角坐标方程为 $x^{2}+y^{2}-4 x=0$, 过点 $(3,0)$ 且与极轴垂直的直线为 $x=3$ 直线与圆联立得 $A(3, \sqrt{3}), B(3,-\sqrt{3})$, 故 $|A B|=2 \sqrt{3}$. 故本题正确答案为 $2 \sqrt{3}$.

分析: 本题主要考查了点的极坐标和直角坐标的互化, 解决问题的关键是根据点的极坐标和直角坐标的互化分析计算即可
题目（高三 · 解析几何）：16. 若存在实数 $x$ 使 $|x-a|+|x-1| \leq 3$ 成立, 则实数 $a$ 的取值范围是
选项：
答案：答案: $-2 \leq a \leq 4$
解析：: 解答: 在数轴上, $|x-a|$ 表示横坐标为 $X$ 的点 $P$ 到横坐标为 $\mathrm{a}$ 的点 $\mathrm{A}$ 距离, $|x-1|$ 就表示点 $P$ 到横坐标为 1 的点 $\mathrm{B}$ 的距离, 所以 $(|P A|+|P B|)_{\text {min }}=|a-1|$,

从而 $|a-1| \leq 3$, 解得 $-2 \leq a \leq 4$. 故答案为 $-2 \leq a \leq 4$.

分析: 本题主要考查了绝对值不等式的解法, 解决问题的关键是为使存在实数 $X$ 使 $|x-a|+|x-1| \leq 3$ 成立, 只需 $|\mathrm{x}-\mathrm{a}|+|\mathrm{x}-1|$ 的最小值满足不大于
题目（高三 · 解析几何）：10. 直线 $\frac{\sqrt{3}}{3} x-y=0$ 的极坐标方程为
选项：
答案：答案: $\theta=\frac{\pi}{6}$ 或 $\theta=\frac{7 \pi}{6}$
解析：: 解答: 直线方程 $\frac{\sqrt{3}}{3} x-y=0$ 变为 $\frac{\sqrt{3}}{3} \rho \cos \theta-\rho \sin \theta=0$, 即 $\frac{\sqrt{3}}{3} \cos \theta-\sin \theta=0$,故 $\tan \theta=\frac{\sqrt{3}}{3}$, 故 $\theta=\frac{\pi}{6}$ 或 $\theta=\frac{7 \pi}{6}$.所以直线 $\frac{\sqrt{3}}{3} x-y=0$ 的极坐标方程为 $\theta=\frac{\pi}{6}$ 或 $\theta=\frac{7 \pi}{6}$.

分析: 本题主要考查了简单曲线的极坐标方程, 解决问题的关键是将所给普通方程转化即可
题目（高三 · 解析几何）：11. 在极坐标系中, 曲线 $C_{1}: \rho(\sqrt{2} \cos \theta+\sin \theta)=1$ 与曲线 $C_{2}: \rho=a(a>0)$ 的一个交点在极轴上, 则 $a=$
选项：
答案：答案: $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$
解析：: 解答: 曲线 $C_{1}$ 的直角坐标方程是 $\sqrt{2} x+y=1$, 曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程是 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$,因为曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 的一个交点在极轴上, 所以 $C_{1}$ 与 $\mathrm{x}$ 轴交点的横坐标与 $\mathrm{a}$ 值相等, 由 $y=0, x=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 知 $a=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

分析: 本题主要考查了简单曲线的极坐标方程, 解决问题的关键是转化为普通方程分析判定即可
题目（高三 · 解析几何）：12. 在极坐标系中, 过点 $P\left(3, \frac{\pi}{3}\right)$ 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是
选项：
答案：答案: $\rho \cos \theta=\frac{3}{2}$
解析：: 解答: 因 $3 \times \cos \frac{\pi}{3}=\frac{3}{2}$, 故过点 $P\left(3, \frac{\pi}{3}\right)$ 且垂直于极轴的直线与极轴的交点 $\left(\frac{3}{2}, 0\right)$,因为过 $\left(\frac{3}{2}, 0\right)$ 且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 $\rho \cos \theta=\frac{3}{2}$.故过 $P\left(3, \frac{\pi}{3}\right)$ 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 $\rho \cos \theta=\frac{3}{2}$分析: 本题主要考查了简单曲线的极坐标方程, 解决问题的关键是根据所给极坐标关系分析
即可
题目（高三 · 解析几何）：13. 在极坐标系中, 过点 $\left(2 \sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)$ 作圆 $\rho=4 \sin \theta$ 的切线, 则切线的极坐标方程为
选项：
答案：答案: $\rho \cos \theta=2$
解析：: 解答: 点 $\left(2 \sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)$ 的直角坐标为 $(2,2)$, 圆 $\rho=4 \sin \theta$ 的直角坐标方程为 $x^{2}+y^{2}-4 y=0$, 配方, 得 $x^{2}+(y-2)^{2}=4$, 所以过点 $(2,2)$ 的圆的切线方程为 $x=2$,化为极坐标方程为 $\rho \cos \theta=2$.

分析: 本题主要考查了简单曲线的极坐标方程, 解决问题的关键是转化为普通方程分析即可
题目（高三 · 解析几何）：16. 已知圆的极坐标方程是 $\rho=2 \cos \theta$, 那么该圆的直角坐标方程是 \$ \qquad \$
选项：
答案：答案: $(x-1)^{2}+y^{2}=1$
解析：: 解答: $\because \rho=2 \cos \theta, \therefore \rho^{2}=2 \rho \cos \theta, \therefore x^{2}+y^{2}=2 x$, 即 $(x-1)^{2}+y^{2}=1$分析: 本题主要考查了圆的极坐标方程, 解决问题的关键是根据所给极坐标方程转化即可
题目（高三 · 解析几何）：17. 设有半径为 4 的圆, 在极坐标系内它的圆心坐标为 $(4, \pi)$, 则这个圆的极坐标方程是
选项：
答案：答案: $\rho=8 \cos (\theta-\pi)$
解析：: 解答: 根据公式圆心为 $\left(a, \theta_{0}\right)$, 半径 $a$ 的圆的极坐标方程是 $\rho=2 a \cos \left(\theta-\theta_{0}\right)$ 得此圆的极坐标方程是 $\rho=8 \cos (\theta-\pi)$

分析: 本题主要考查了圆的极坐标方程, 解决问题的关键是根据所给普通方程转化即可
题目（高三 · 解析几何）：18. 圆 $O_{1}$ 和圆 $O_{2}$ 的极坐标方程分别为 $\rho=4 \cos \theta, \rho=-4 \sin \theta$, 则经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：答案: $y=x-2$
解析：: 解答: 圆 $O_{1}: \rho=4 \cos \theta$ 的直角坐标方程为 $(x-2)^{2}+y^{2}=4$, 其圆心为 $O_{1}(2,0)$;圆 $O_{1}: \rho=-4 \sin \theta$ 的直角坐标方程为 $x^{2}+(y+2)^{2}=4$, 其圆心为 $O_{2}(0,-2)$, 由直线两点式方程求得经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为 $y=x-2$ 。

分析: 本题主要考查了圆的极坐标方程, 解决问题的关键是要解决坐标系与参数方程的问题,需将问题转化为直角坐标系的问题
题目（高三 · 解析几何）：19. 已知圆的极坐标方程为 $\rho=4 \cos \theta$, 圆心为 $\mathrm{C}$, 点 $\mathrm{P}$ 的极坐标为 $\left(4, \frac{\pi}{3}\right)$, 则 $|\mathrm{CP}|=$ \$ \qquad \$ .
选项：
答案：答案: $2 \sqrt{3}$
解析：: 解答: 由题意知, 圆心坐标为 $(2,0)$, 设点 $\mathrm{P}(x, y)$, 则 $\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, x=\rho \cos \theta=2$,
$y=\rho \sin \theta=2 \sqrt{3}$,

所以点 $\mathrm{P}$ 的坐标为 $(2,2 \sqrt{3})$, 所以 $|\mathrm{CP}|=2 \sqrt{3}$.

分析: 本题主要考查了圆的极坐标方程, 解决问题的关键是化为普通方程分析计算即可
题目（高三 · 解析几何）：20. 已知某圆的极坐标方程为 $\rho^{2}-4 \sqrt{2} \rho \cos \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)+6=0$, 若点 $P(x, y)$ 在该圆上, 则 $\frac{y}{x}$ 的最大值是
选项：
答案：答案: $2+\sqrt{3}$
解析：: 解答: 极坐标方程 $\rho^{2}-4 \sqrt{2} \rho \cos \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)+6=0$, 整理的 $(x-2)^{2}+(y-2)^{2}=2$,圆心 $(2,2)$ 半径 $r=\sqrt{2}, \frac{y}{x}=\frac{y-0}{x-0}$ 看作连接 $(x, y),(0,0)$ 的直线斜率, 当直线与圆相切时,斜率取得最值, 设直线为 $k x-y=0 \therefore \frac{|2 k-2|}{\sqrt{k^{2}+1}}=\sqrt{2} \therefore k=2+\sqrt{3}$

分析: 本题主要考查了圆的极坐标方程, 解决问题的关键是数形结合法将所求 $\frac{y}{x}$ 转化为切线斜率, 进而利用直线与圆相切得到 $\boldsymbol{d}=\boldsymbol{r}$ 求解, 此题用到了数形结合法, 此法解题时经常用到, 本题难度适中
题目（高三 · 解析几何）：12. 在 Rt $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}, \mathrm{CD} \perp \mathrm{AB}$ 于点 $\mathrm{D}, \mathrm{CD}=\sqrt{6}, \mathrm{AB}=5$, 则 $\mathrm{AD}=$
选项：
答案：答案: $A D=2$ 或 3
解析：：解答: $\because \angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}, \mathrm{CD} \perp \mathrm{AB}, \therefore \mathrm{CD}^{2}=\mathrm{AD} \cdot \mathrm{DB}$.

$\because \mathrm{CD}=\sqrt{6}, \therefore \mathrm{AD} \cdot \mathrm{DB}=6$. 又 $\because \mathrm{AB}=5, \therefore \mathrm{DB}=5-\mathrm{AD}$.

$\therefore A D(5-A D)=6$,解得 $A D=2$ 或 3 .

分析: 本题主要考查了直角三角形的射影定理, 解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理结合所给条件计算即可
题目（高三 · 解析几何）：14. 直角三角形斜边上的高把斜边分成了 $3: 2$ 两段, 且斜边上的高为 $2 \sqrt{6}$ 厘米, 则斜边长为厘米.
选项：
答案：10
解析：：解答：设斜边长为 $5 \mathrm{acm}$,则斜边上的高把斜边分成两段的长分别为 $3 \mathrm{a} \mathrm{cm}, 2 \mathrm{a} \mathrm{cm}$, 则由射影定理得 $3 a \cdot 2 a=(2 \sqrt{6})^{2}$, 解得 $a=2$, 则斜边长为 $5 a=5 \times 2=10(\mathrm{~cm})$.

分析: 本题主要考查了直角三角形的射影定理, 解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理结合所给三角形满足条件分析计算即可
题目（高三 · 解析几何）：6. 点 $M$ 的柱坐标为 $\left(2, \frac{\pi}{3}, 8\right)\left(2, \frac{\pi}{3}, 8\right)$, 则它的直角坐标为
选项：
答案：答案: $(1, \sqrt{3}, 8)$
解析：: 解答: $\because x=2 \cos \frac{\pi}{3}=1, y=2 \sin \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}, z=8 . \therefore$ 它的直角坐标为 $(1, \sqrt{3}, 8)$分析: 本题主要考查了柱坐标刻画点的位置, 解决问题的关键是转化即可
题目（高三 · 解析几何）：已知椭圆的标准方程为 $\frac{x^{2}}{m-3}+\frac{y^{2}}{5-m}=1$, 若其焦点在 $x$ 轴上, 则 $m$ 的取值范围是
选项：
答案：(4, 5)
解析：解析: $rac{x^{2}}{m-3}+rac{y^{2}}{5-m}=1$ 为焦点在 $x$ 轴上的椭圆, 则 $m-3>5-m>0$, 解得 $4<m<5$, 故答案为 $(4,5)$.
题目（高三 · 解析几何）：已知过定点 $\mathrm{A}(-2,0)$ 的动圆 $\mathrm{M}$ 与定圆 $\mathrm{B}:(\mathrm{x}-2)^{2}+\mathrm{y}^{2}=36$ 相内切, 则动圆的圆心 $\mathrm{P}$ 的轨迹方程为
选项：
答案：$rac{x^{2}}{9}+rac{y^{2}}{5}=1$
解析：圆 $B:(x-2)^{2}+y^{2}=36$, 圆心为 $B(2,0)$, 半径为 $r=6$, 设动圆的圆心为 $\mathrm{P}, ecause$ 圆 $\mathrm{M}$ 过点 $\mathrm{A}(-2,0)$, 圆 $\mathrm{M}$ 与圆 $\mathrm{B}$ 相内切, $	herefore|\mathrm{PB}|=6-|\mathrm{PA}|$, 得 $|\mathrm{PB}|+|\mathrm{PA}|=6>|\mathrm{AB}|$ (定值) 因此, 动点 $P$ 的轨迹为以 $A 、 B$ 为焦点的椭圆, $2 a=6, c=2$, 可得 $b=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{5}:$.椭圆的方程为 $rac{\mathrm{x}^{2}}{9}+rac{\mathrm{y}^{2}}{5}=1$, 即为动圆圆心的轨迹方程.
题目（高三 · 解析几何）：与粗圆 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 有相同的焦点, 且离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ 的椭圆标准方程为
选项：
答案：$rac{\mathrm{x}^{2}}{25}+rac{\mathrm{y}^{2}}{20}=1$ 由粗圆 $rac{\mathrm{x}^{2}}{9}+rac{\mathrm{y}^{2}}{4}=1$, 得 $\mathrm{a}^{2}=9, \quad \mathrm{~b}^{2}=4, 	herefore \mathrm{c}^{2}=\mathrm{a}^{2}-\mathrm{b}^{2}=5$, $	herefore$ 该粗圆的焦点坐标为 $( \pm \sqrt{5}, 0)$,设所求粗圆方程为 $rac{x^{2}}{a^{2}}+rac{y^{2}}{b^{2}}=1, a>b>0$, 则 $c=\sqrt{5}$, 又 $rac{c}{a}=rac{\sqrt{5}}{5}$, 得 $a=5, 	herefore b^{2}=25-5=20$, $	herefore$ 所求椭圆方程为: $rac{\mathrm{x}^{2}}{25}+rac{\mathrm{y}^{2}}{20}=1$.
题目（高三 · 解析几何）：已知椭圆 $\frac{x^{2}}{\mathrm{~m}+2}+\frac{\mathrm{y}^{2}}{4}=1$ 的离心率 $\mathrm{e}=\frac{1}{3}$, 则 $\mathrm{m}$ 的值等于
选项：
解析：$rac{5}{2}$ 或 $rac{14}{9}$: $ecause$ 椭圆 $rac{x^{2}}{m+2}+rac{y^{2}}{4}=1, 	herefore$ (1)当椭圆焦点在 $x$ 轴上时, $a^{2}=m+2, \quad b^{2}=4$, 可得 $c=\sqrt{m-2}$,离心率 $e=rac{\sqrt{m-2}}{\sqrt{m+2}}=rac{1}{3}$, 得 $m=rac{5}{2}$; (2) 当椭圆焦点在 $y$ 轴上时, $a^{2}=4, b^{2}=m+2$, 可得 $c=$ $\sqrt{2-\mathrm{m}}$, 离心率 $\mathrm{e}=rac{\sqrt{2-\mathrm{m}}}{2}=rac{1}{3}$, 得 $\mathrm{m}=rac{14}{9}$. 综上所述 $\mathrm{m}=rac{5}{2}$ 或 $rac{14}{9}$.
题目（高三 · 解析几何）：粗圆 $\frac{x^{2}}{8}+y^{2}=1$ 的左、右焦点为 $F_{1}, F_{2}$, 点 $P$ 在椭圆上, 则 $\left|P F_{1}\right| \cdot\left|P F_{2}\right|$ 最大值为
选项：
答案：8
解析：由椭圆方程 $rac{x^{2}}{8}+y^{2}=1$ 可知: $a=2 \sqrt{2},\left|P F_{1}ight|+\left|P F_{2}ight|=2 a=4 \sqrt{2}$, 则基本不等式的性质可知: $\left|P F_{1}ight| \cdot\left|P F_{2}ight| \leq\left(rac{\left|P F_{1}ight|+\left|P F_{2}ight|}{2}ight)^{2}=8$, 当且仅当 $\left|P F_{1}ight|=\left|P F_{2}ight|=2 \sqrt{2}$ 时, 取等号, $\left|P F_{1}ight| \cdot\left|P F_{2}ight|$最大值为 8 ,
题目（高三 · 解析几何）：已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>b>0)$ 的左焦点为 $F, A(-a, 0), B(0, b)$ 为椭圆的两个顶点, 若 $F$ 到 $A B$ 的距离等于 $\frac{b}{\sqrt{7}}$, 则粗圆的离心率为
选项：
答案：$rac{1}{2}$
解析：$A B$ 的方程为 $rac{x}{-a}+rac{y}{b}=1$, 即: $b x-a y+a b=0$, 点 $F(-c, 0)$ 到直线 $A B$ 的距离 $d=rac{|-b c+a b|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}=rac{b}{\sqrt{7}}$, $	herefore 5 a^{2}-14 a c+8 c^{2}=0, 	herefore 8 e^{2}-14 e+5=0, ecause e \in(0,1) 	herefore e=rac{1}{2}$ 或 $e=rac{5}{4}$ （舍）.
题目（高三 · 解析几何）：椭圆 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ 的焦距是 \$ \qquad \$
选项：
答案：2 \sqrt{5}$
解析：因为粗圆的标准方程为 $rac{x^{2}}{9}+rac{y^{2}}{4}=1$, 所以 $a=3, b=2$, 所以 $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{5}$, 所以椭圆 $rac{x^{2}}{9}+rac{y^{2}}{4}=1$ 的焦距为 $2 \sqrt{5}$, 故答案为 $2 \sqrt{5}$.
题目（高三 · 解析几何）：在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 已知 $\triangle A B C$ 顶点 $A(-4,0)$ 和 $C(4,0)$, 顶点 $B$ 在椭圆 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 上, 则 $\frac{\sin A+\sin C}{\sin B}=$ \$ \qquad \$
选项：
答案：$rac{5}{4}$
解析：利用椭圆定义得三角形的三边存在 $a+c=2 	imes 5=10, b=2 	imes 4=8$, 由正弦定理得 $rac{\sin A+\sin C}{\sin B}=rac{a+c}{b}=rac{10}{8}=rac{5}{4}$. 故答案为 $rac{5}{4}$.
题目（高三 · 解析几何）：如果 $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$ 的左、右焦点, $A B$ 是双曲线左支上过点 $F_{1}$ 的弦, 且 $|A B|=6$,则 $\triangle A B F_{2}$ 的周长是
选项：
答案：28
解析：由题意知: $a=4, b=3$, 故 $c=5$. 由双曲线的定义知 $\left|A F_{2}ight|-\left|A F_{1}ight|=8(1),\left|B F_{2}ight|-\left|B F_{1}ight|=8(2)$, (1)+(2)得: $\left|A F_{2}ight|+\left|B F_{2}ight|-|A B|=16$, 所以 $\left|A F_{2}ight|+\left|B F_{2}ight|=22$, 所以 $	riangle A B F_{2}$ 的周长是 $\left|A F_{2}ight|+\left|B F_{2}ight|+|A B|=28$
题目（高三 · 解析几何）：以椭圆 $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{9}=1$ 长轴的端点为焦点, 以陏圆的焦点为顶点的双曲线方程为
选项：
答案：$rac{x^{2}}{2}-rac{y^{2}}{2}=1$
解析：由粗圆方程可知所求双曲线的焦点为 $(-2,0),(2,0)$, 顶点为 $(-\sqrt{2}, 0),(\sqrt{2}, 0)$.则设双曲线方程为 $rac{x^{2}}{a^{2}}-rac{y^{2}}{b^{2}}=1(a>0, b>0)$, 所以 $a=\sqrt{2}, c=2$, 则 $b=\sqrt{c^{2}-a^{2}}=\sqrt{2}$. 所以所求双曲线方程为 $rac{x^{2}}{2}-rac{y^{2}}{2}=1$.
题目（高三 · 变换几何）：11. 将点 $P(2,3)$ 变换为点 $(1,1)$ 的一个伸缩变换公式为
选项：
答案：: $\left\{\begin{array}{l}x^{s}=\frac{x}{2} \\ y^{\prime}=\frac{y}{3}\end{array}\right.$

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分析: 本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换, 解决问题的关键是根据伸缩变换计算即可
解析：: $\left\{\begin{array}{l}x^{s}=\frac{x}{2} \\ y^{\prime}=\frac{y}{3}\end{array}\right.$



分析: 本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换, 解决问题的关键是根据伸缩变换计算即可
题目（高三 · 变换几何）：12. 将点 $P(-2,2)$ 变换为 $P^{\prime}(-6,1)$ 的伸缩变换公式为
选项：
答案：答案: $\left\{\begin{array}{c}x^{s}=3 x, \\ y^{\prime}=\frac{1}{2} y\end{array}\right.$
解析：: 解答: 由伸缩变换公式 $\left\{\begin{array}{c}x^{3}=\lambda x(\lambda>0), \\ y^{3}=\mu y(\mu>0)\end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{c}-6=\lambda \times(-2), \\ 1=\mu \times 2,\end{array}\right.$ 所以 $\lambda=3, \mu=\frac{1}{2}$.

故伸缩变换公式为 $\left\{\begin{array}{l}x^{*}=3 x, \\ y^{\prime}=\frac{1}{2} y .\end{array}\right.$
分析: 本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换, 解决问题的关键是根据伸缩变换的原理计算即可
题目（高三 · 计数）：某高三毕业班有 40 人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了条毕业留言.(用数字作答)
选项：
答案：答案: 1560

【解析】 依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从 40 人中任选两人的排列数,所以全班共写了 $A^{2}=40 \times 39=1560$ 条毕业留言,故应填入 1560 .
解析：答案: 1560

【解析】 依题两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从 40 人中任选两人的排列数,所以全班共写了 $A^{2}=40 \times 39=1560$ 条毕业留言,故应填入 1560 .
题目（高三 · 计数）：从 8 名女生和 4 名男生中, 抽取 3 名学生参加某档电视节目, 如果按性别比例分层抽样,则不同的抽取方法数为
选项：
答案：答案: 112

【解析】 由分层抽样可得, 应从 8 名女生中抽取 2 人, 从 4 名男生中抽取 1 人, 所以不同的抽取方法共有 $\mathrm{C}_{8}^{2} \mathrm{C}_{+}^{1}=112$ 种.
解析：答案: 112

【解析】 由分层抽样可得, 应从 8 名女生中抽取 2 人, 从 4 名男生中抽取 1 人, 所以不同的抽取方法共有 $\mathrm{C}_{8}^{2} \mathrm{C}_{+}^{1}=112$ 种.
题目（高三 · 计数）：下列随机变量中不是离散型随机变量的有 .(填序号)

(1)某宾馆每天入住的旅客数量 $X$;

(2)广州某水文站观测到一天中珠江的水位 $X$;

(3) 深圳欢乐谷一日接待游客的数量 $X$;

(4)虎门大桥一天经过的车辆数 $X$.
选项：
答案：答案:(2)

解析：(1)(3)(4)中的随机变量 $X$ 的所有取值, 我们都可以按照一定的次序一一列出, 因此它们是离散型随机变量; (2)中随机变量 $X$ 可以取某一区间内的一切值, 但无法按一定次序一一列出, 故不是离散型随机变量.
解析：答案:(2)

解析：(1)(3)(4)中的随机变量 $X$ 的所有取值, 我们都可以按照一定的次序一一列出, 因此它们是离散型随机变量; (2)中随机变量 $X$ 可以取某一区间内的一切值, 但无法按一定次序一一列出, 故不是离散型随机变量.
题目（高三 · 计数）：若随机变量 $X$ 的分布列为

| $X$ | 0 | 1 |
| :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\frac{2}{3}$ | $m$ |

则 $D(X)=$
选项：
答案：$rac{2}{9}$
解析：由分布列的性质可得 $rac{2}{3}+m=1, 	herefore m=rac{1}{3}$, 由两点分布的方差可得 $D(X)=rac{1}{3} 	imes\left(1-rac{1}{3}ight)=rac{2}{9}$.
题目（高三 · 计数）：若 $P(X=0)=1-P, P(X=1)=P$, 则 $E(2 X-3)=$
选项：
答案：答案: $2 p-3$

【解析】$E(X)=0 \cdot(1-p)+1 \cdot p=p$ 则 $E(2 X-3)=2 E(X)-3=2 p-3$ 故答案是 $2 p-3$
解析：答案: $2 p-3$

【解析】$E(X)=0 \cdot(1-p)+1 \cdot p=p$ 则 $E(2 X-3)=2 E(X)-3=2 p-3$ 故答案是 $2 p-3$
题目（高三 · 计数）：随机变量 $\xi^{\xi}$ 的取值为 $0,1,2$, 若 $P(\xi=0)=\frac{1}{5}, E(\xi)=1$, 则 $D(\xi)=$
选项：
答案：答案: $\frac{2}{5}$

【解析】 本题主要考查方差与概率.

已知 $P(\xi=0)=\frac{1}{5}$, 设 $P(\xi=1)=x, P(\xi=2)=y$.

故 $E(\xi)=0 \times \frac{1}{5}+1 \times x+2 \times y=x+2 y=1$ ，

又因为 $\frac{1}{5}+x+y=1$, 所以 $x=\frac{3}{5}, y=\frac{1}{5}$,故 $D(\xi)=\frac{1}{5} \times(0-1)^{2}+\frac{3}{5} \times(1-1)^{2}+\frac{1}{5} \times(2-1)^{2}=\frac{2}{5}$.
解析：答案: $\frac{2}{5}$

【解析】 本题主要考查方差与概率.

已知 $P(\xi=0)=\frac{1}{5}$, 设 $P(\xi=1)=x, P(\xi=2)=y$.

故 $E(\xi)=0 \times \frac{1}{5}+1 \times x+2 \times y=x+2 y=1$ ，

又因为 $\frac{1}{5}+x+y=1$, 所以 $x=\frac{3}{5}, y=\frac{1}{5}$,故 $D(\xi)=\frac{1}{5} \times(0-1)^{2}+\frac{3}{5} \times(1-1)^{2}+\frac{1}{5} \times(2-1)^{2}=\frac{2}{5}$.
题目（高三 · 计数）：已知随机变量 $\xi$ 服从正态分布 $N\left(40, a^{2}\right)$, 若 $P(\xi<30)=
选项：
答案：0.6
解析：根据随机变量 $\xi$ 服从正态分布, 知正态曲线的对称轴是 $x=40$,利用正态分布的对称性可得 $P(\xi>50)=P(\xi<30)=0.2$, 所以 $P(30<\xi<50)=1-[P(\xi>50)+P(\xi<30)]=1-0.4=0.6$故答案为: 0.6
题目（高三 · 计数）：随机变量 $X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$, 且 $P(X<-3)=P(X>1)=
选项：
答案：0.3
解析：$X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}ight)$, 且 $P(X<-3)=P(X>1)=0.2$, 可得 $\mu=-1, P(-1<X<1)=0.5-0.2=0.3$
题目（高三 · 计数）：, 样本点的中心为 $(4,5)$, 则回归直线方程是
选项：
答案：D
解析：答案: D

解析: 由线性回归方程 $\$=
题目（高三 · 计数）：某数学老师身高 $176 \mathrm{~cm}$, 他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 $173 \mathrm{~cm}, 170 \mathrm{~cm}$ 和 $182 \mathrm{~cm}$. 因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 $\mathrm{cm}$.
选项：
答案：185
解析：设父亲的身高为 $x \mathrm{~cm}$, 儿子身高为 $y \mathrm{~cm}$, 则| $\mathrm{x}$ | 173 | 170 | 176 || :--- | :--- | :--- | :--- || $\mathrm{y}$ | 170 | 176 | 182 |$x=173, y=176$,$\hat{b}=rac{0 	imes(-6)+(-3) 	imes 0+3 	imes 6}{0^{2}+3^{2}+3^{2}}=1$,$\hat{a}=ar{y}-\hat{b} \mathrm{x}=176-1 	imes 173=3$$	herefore y=x+3$,当 $x=182$ 时, $\hat{y}=185$.
题目（高三 · 计数）：若回归直线方程的斜率的估计值是
选项：
答案：$\hat{y}=1.23 x+0.08$
解析：由题意设回归直线方程为: $\hat{y}=1.23 x+a$, 则该直线必过样本中心 ${ }^{(4,5)}$ 所以, $5=1.23 	imes 4+a$, 解得: $a=0.08$. 所以答案应填: $\hat{y}=1.23 x+0.08$.
题目（高三 · 计数）：下表是关于喜欢抢红包与性别是否有关的列联表,依据表中的数据,得到 $K^{2}$ 的观测值 $k$ 为 (结果保留到小数点后三位).

|  | 喜欢抢红包 | 不喜欢抢红包 | 总计 |
| :---: | :---: | :---: | :---: |
| 女 | 40 | 28 | 68 |
| 男 | 5 | 12 | 17 |
| 总计 | 45 | 40 | 85 |
选项：
答案：4.772
解析：$, 我们有 $99 \%$ 的把握认为吸烟与患肺病有关系, 而不是在 100 个吸烟的人中必有 99 人患有肺病, 故 A 不正确; 从独立性检验可知有 $99 \%$ 的把握认为吸烟与患肺病有关系时, 并不是吸烟的人就有 $99 \%$ 的可能患有肺病, 故 B 不正确; 若从统计量中求出有 $95 \%$ 的把握认为吸烟与患肺病有关系, 是指有 $5 \%$ 的可能性使得推断出现错误,C 正确.故选 C.

2.答案: C

解析：在确定两个问题是否相关时, 需进行独立性检验, 故利用独立性检验的方法最有说服力.故选 C.
题目（高三 · 统计数学）：某气象台统计, 该地区下雨的概率为 $\frac{4}{15}$, 刮四级以上风的概率为 $\frac{2}{15}$, 既利四级以上的风又下雨的概率为 $\frac{1}{10}$. 设 $A$ 为下雨, $B$ 为刮四级以上的风, 则 $P(B \mid A)=$ $P(A \mid B)=$
选项：
答案：答案: $\frac{3}{8} ; \frac{3}{4}$

【解析】 由已知 $P(A)=\frac{4}{15}, P(B)=\frac{2}{15}, P(A \cap B)=\frac{1}{10}$,

$$
\therefore P(B \mid A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{10}}{\frac{4}{15}}=\frac{3}{8}
$$

$P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{3}{4}$
解析：答案: $\frac{3}{8} ; \frac{3}{4}$

【解析】 由已知 $P(A)=\frac{4}{15}, P(B)=\frac{2}{15}, P(A \cap B)=\frac{1}{10}$,

$$
\therefore P(B \mid A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}=\frac{\frac{1}{10}}{\frac{4}{15}}=\frac{3}{8}
$$

$P(A \mid B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}=\frac{3}{4}$
题目（高三 · 画法几何学）：16. 一个等腰直角三角形在平面内的正投影可能是
选项：
答案：答案: 线段或三角形
解析：: 解答: 当直角三角形和平面垂直的时候, 其投影为一条线段, 当直角三角形与平面的夹角不为 $90^{\circ}$ 时, 其投影为三角形.

故答案为: 线段或三角形

分析: 本题主要考查了平行射影, 解决问题的关键是根据平行射影性质结合三角形的位置分情况探讨各线段的投影即可
题目（高三 · 图论）：16. 已知某一项工程的工序流程图如图所示, 其中时间单位为“天”, 根据这张图就能算出工
程的工期，这个工程的工期为天.


选项：
答案：答案: 10
解析：: 解答: 由题意可知: 工序(1) $\rightarrow$ 工序(4)工时数为 2 , 工序(4) $\rightarrow$ 工序(6)工时数为 2 , 工序 (6) $\rightarrow$ 工序(7)工时数为 5 , 工序(7) $\rightarrow$ 工序(8)工时数为 1 , 所以所用工程总时数为: $2+2+5+1=10$天.

故答案为: 10 .

分析: 本题主要考查了工序流程图 (即统筹图), 解决问题的关键是仔细观察工序流程图,寻找关键路线, 注意利用优选法对重复的供需选择用时较多的. 进而问题即可获得解答.
题目（高三 · 图论）：19. 下面的图示中, 是流程图的是


选项：
答案：答案: (1)2
解析：: 解答: (1)(2)为流程图, (3)(4)为结构图

分析: 本题主要考查了绘制简单实际问题的流程图, 解决问题的关键是根据流程图与结构图的联系与区别进行分析解决.
题目（高一 · 算术）：若 $2 \in\left\{1, x^{2}+x\right\}$, 则 $x$ 的值为
选项：
答案：-2 或 1
解析：$2 \in\left\{1, x^{2}+x\right\}$, 故 $2=x^{2}+x \therefore x=1$ 或- 2 , 经检验满足元素的互异性.

故填 -2 或 1

【分析】利用元素和集合的关系结合一元二次方程求根的方法求出 $\mathrm{x}$ 的值, 再用元素的互异性得出满足要求的 $\mathrm{x}$ 的值。
题目（高一 · 算术）：已知 $P=\{x \mid 2<x<a, x \in N\}$, 已知集合 $P$ 中恰有 3 个元素, 则整数 $a=$
选项：
答案：6
解析：根据题意得出 3、4、 $4 \in P, 6 \notin P, \therefore\left\{\begin{array}{l}a>5 \\ a \leq 6,\end{array}\right.$ 即 $5<a \leq 6$.

因此, 整数 $a$ 的值为 6 .

【分析】根据题意得出 3、 $4 、 5 \in P, 6 \notin P$, 从而可得出实数 $a$ 的不等式, 解出即可得出整数 $a$ 的值.
题目（高一 · 算术）：用列举法表示集合 $M=\left\{m \left\lvert\, \frac{10}{m+2} \in N\right., m \in Z\right\}=$
选项：
答案：$\{-1,0,3,8\}$
解析：$\because \frac{10}{m+2} \in N, m \in Z \therefore m+2$ 为 10 的正因数,

$\therefore m+2=1,2,5,10, \quad \therefore m=-1,0,3,8$

故答案为: $\{-1,0,3,8\}$

【分析】利用题目条件, 依次代入, 使 $\frac{10}{m+2} \in N, m \in Z$, 从而确定 $m$ 的值, 即可得到所求集合。
题目（高一 · 算术）：计算 $5^{\sqrt{2}} \cdot\left(\frac{1}{5}\right)^{\sqrt{2}}=$
选项：
答案：1
解析：$5^{\sqrt{2}} \cdot\left(\frac{1}{5}\right)^{\sqrt{2}}=5^{\sqrt{2}} \cdot\left(5^{-1}\right)^{\sqrt{2}}=5^{\sqrt{2}} \cdot 5^{\sqrt{2}}=5^{\sqrt{2}-\sqrt{2}}=5^{0}=1$,

故答案为: 1 .

【分析】将 $\left(\frac{1}{5}\right)^{\sqrt{2}}$ 看成 $5 \sqrt{2}$ 即可计算出结果.
题目（高一 · 算术）：计算 $0.027^{-\frac{1}{3}}-\left(-\frac{1}{7}\right)^{-2}+256^{\frac{3}{4}}-3^{-1}+(\sqrt{2}-1)^{0}=$
选项：
答案：19
解析：$0.027^{-\frac{1}{3}}-\left(-\frac{1}{7}\right)^{-2}+256^{\frac{3}{4}}-3^{-1}+(\sqrt{2}-1)^{0}=\frac{10}{3}-49+64-\frac{1}{3}+1=19$.

【分析】主要考查分数指数幂的概念及其运算性质。
题目（高一 · 算术）：若 $\log _{3} m=2$, 则 $m=$ $2^{\log _{2} 3}+3^{0}+\log _{3} 9=$
选项：
答案：$9 ; 6$
解析：若 $\log _{3} m=2$, 则 $m=9,2^{\log _{2} 3}+3^{0}+\log _{3} 9=3+1+2=6$.

故答案为: 9 ; 6

【分析】利用对数的运算可得 $m=9$, 再利用对数的运算性质即可求解.
题目（高一 · 算术）：计算:

$$
\frac{8^{\frac{2}{3}} \times 3^{-\log _{3} 2}}{\ln e+\log _{4} \frac{1}{64}}=
$$
选项：
答案：-1
解析：因为 $\frac{8^{\frac{2}{3}} \times 3^{-\log _{3} 2}}{\ln e+\log _{4} \frac{1}{64}}=\frac{2^{\frac{6}{3}} \times \frac{1}{2}}{1+\log _{4} 4^{-3}}=\frac{2}{-2}=-1$,故答案为: -1 .

【分析】利用分数指数幂的运算性质和指数与对数的运算性质化简求值。
题目（高一 · 算术）：计算 $2 \log _{5} 25+3 \log _{2} 64-8 \log _{7} 1=$

$19.2^{a}=3^{b}=k(k>0$ 且 $k \neq 1), \frac{2}{a}+\frac{1}{b}=2$, 则 $k=$
选项：
答案：22
解析：$2 \log _{5} 25+3 \log _{2} 64-8 \log _{7} 1=2 \times 2+3 \times 6-8 \times 0=4+18-0=22$

故答案为: 22

【分析】先算出每一个对数式的值, 再代入进行乘法和加减运算即可.
题目（高一 · 算术）：函数 $f(x)=\sqrt{\lg \frac{2}{x}-1}$ 的定义域为
选项：
答案：$\left\{x \left\lvert\, 0<x \leq \frac{1}{5}\right.\right\}$
解析：由题意可得, $\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{x}>0 \\ \lg \frac{2}{x}-1 \geqslant 0, \text { 解得, } 0<x \leqslant \frac{1}{5},\end{array}\right.$

故答案为 $\left\{x \left\lvert\, 0<x \leqslant \frac{1}{5}\right.\right\}$.

【分析】由题意可得, $\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{x}>0 \\ \lg \frac{2}{x}-1 \geqslant 0, \text { 解不等式可求. }\end{array}\right.$
题目（高一 · 算术）：（2017 春 -大丰市校级期中）阅读如图所示的伪代码：若输入 $x$ 的值为 12 , 则 $p=$

Read $x$

If $x \leqslant 10$ Then

$$
p \leftarrow 0.35 \mathrm{x}
$$

Else

$p \leftarrow 3.5+0.7(x-10)$

## End If

## Print $p$
选项：
答案：4.9
解析：解: 由已知中伪代码, 可知:

该程序的功能是计算并输出分段函数 $p=\left\{\begin{array}{l}0.35 x, x \leq 10 \\ 3.5+0.7(x-10), x>10\end{array}\right.$ 的函数值,

当 $x=12$ 时, $p=3.5+0.7(12-10)=4.9$,

故答案为: 4.9
题目（高一 · 算术）：018 春・惠山区校级期中)执行算法代码“ForIFrom 1 To50 Step 2”, 共执行的循环次数为
选项：
答案：.
解析：算法代码是 “ForIFrom 1 To 50 Step 2”,

$I$ 的取值构成等差数列, 等差 $d=2, a_{1}=1, a_{n}=50$,

根据等差数列的通项公式: $a_{n}=a_{1}+(n-1) d$, 可得: $50=1+(n-1) \times 2$

$\therefore$ 可解得: $n=25.5$, 共执行 25 次.

故答案为: 25 .
题目（高一 · 算术）：（2018 秋・怀仁市校级期末）用秦九韶算法求函数 $f(x)=1+2 x+x^{2}-3 x^{3}+2 x^{4}$, 当 $x=-1$ 时的值时, $v_{2}$ 的结果是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：6 .
解析：解: $v_{1}=2 \times(-1)-3=-5$;

$\therefore v_{2}=(-5) \times(-1)+1=6$,

故答案为: 6 .
题目（高一 · 算术）：019 春 $・$ 乐山期中) 若二进制数 $10 b 1_{(2)}$ 和三进制数 $a 02_{(3)}$ 相等, $a, b$ 为正整数, 则 $2 a+b=$ \$ \qquad \$ .
选项：
答案：.
解析：$\because 10 b 1_{(2)}=1 \times 2^{3}+0 \times 2^{2}+b \times 2^{1}+1 \times 2^{0}=8+0+2 b+1=9+2 b, \quad(b=0,1)$, $a 02_{(3)}=a \times 3^{2}+0 \times 3^{1}+2 \times 3^{0}=9 a+2, \quad(a=0,1,2)$,

$\therefore$ 根据题意, 可得: $9+2 b=9 a+2$,

$\therefore$ 解得: $a=1, b=1$,

$\therefore 2 a+b=3$.

故答案为: 3 .
题目（高一 · 算术）：（2020 秋・黑龙江期中）二进制数 101110 转化为等值的八进制数为
选项：
答案：56 .
解析：解: $101110(2)=0 \times 2^{0}+1 \times 2^{1}+1 \times 2^{2}+1 \times 2^{3}+1 \times 2^{5}=46$

$46 \div 8=5 \cdots 6$

$5 \div 8=0 \cdots 5$

故 $46{ }_{(10)}=56(8)$

故答案为: 56 .
题目（高一 · 算术）：（2020 春・宁县校级期末）用秦九韶算法求多项式 $f(x)=x^{6}-5 x^{5}+6 x^{4}+x^{2}+3 x+2$ 的值, 当 $x=-2$
   时, $v_{2}$ 的值为 \$ \qquad \$
选项：
答案：20 .
解析：解: 函数 $\left.f(x)=x^{6}-5 x^{5}+6 x^{4}+x^{2}+3 x+2=((((x-5) x+6) x) x+1) x+3\right) x+2$,

当 $x=-2$ 时, 分别算出 $v_{0}=1$,

$v_{1}=-1 \times 2-5=-7$,

$v_{2}=-7 \times(-2)+6=20$,

故得 $v_{2}$ 的值为 20 .

故答案为: 20 .