eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高二 · 解析几何）：过点 $M(3,2)$ 作直线 $l$ 与抛物线 $y^{2}=8 x$ 只有一个交点, 这样的直线共有( )
选项：
A. 0 条
B. 1 条
C. 2 条
D. 3 条
答案：B
解析：解析： 因为点 $(3,2)$ 在抛物线内部, 所以只有一条与对称轴平行的直线与抛物线有一个交点.

答案： $\mathrm{B}$
题目（高二 · 解析几何）：设斜率为 2 的直线 $l$ 过抛物线 $y^{2}=a x(a \neq 0)$ 的焦点, 且和 $y$ 轴交于点 $A$, 若 $\triangle O A F(O$ 为坐标原点)的面积为 4 , 则抛物线的方程为 ( )
选项：
A. $y^{2}= \pm 4 x$
B. $y^{2}= \pm 8 x$
C. $y^{2}=4 x$
D. $y^{2}=8 x$
答案：B
解析：解析 ：由题可知, 抛物线焦点坐标为 $\left(\frac{a}{4}, 0\right)$, 于是过焦点且斜率为 2 的直线的方程为 $y=2\left(x-\frac{a}{4}\right)$, 令 $x=0$, 可得 $A$ 点坐标为 $\left(0,-\frac{a}{2}\right)$,所以 $S_{\triangle O A F}=\frac{1}{2} \cdot \frac{\mid a}{4} \cdot \frac{|a|}{2}=4$,
$\therefore a= \pm 8$, 故选 B.

答案： $\mathrm{B}$
题目（高二 · 解析几何）：抛物线 $y^{2}=2 p x$ 与直线 $a x+y-4=0$ 交于 $A, B$ 两点, 其中 $A$的坐标为 $(1,2)$, 设抛物线的焦点为 $F$, 则 $|F A|+|F B|$ 等于 $(\quad)$
选项：
A. 7
B. $3 \sqrt{5}$
C. 6
D. 5
答案：A
解析：解析： 将 $A(1,2)$ 分别代入抛物线与直线方程可得

$p=2, a=2, \therefore\left\{\begin{array}{l}y^{2}=4 x, \\ 2 x+y-4=0,\end{array}\right.$ 可得 $x^{2}-5 x+4=0, \therefore x_{1}=1$, $x_{2}=4 .|F A|+|F B|=x_{1}+\frac{p}{2}+x_{2}+\frac{p}{2}=7$.

答案 ：A
题目（高二 · 解析几何）：过抛物线 $y^{2}=4 x$ 的焦点作一条直线与抛物线相交于 $A, B$ 两点, 它们的横坐标和等于 $a^{2}+2 a+3(a \in \mathbf{R})$ 的最小值, 则这样的直线 ( )
选项：
A. 有且仅有一条
B. 有且仅有两条
C. 有一条或两条
D. 有无数多条
答案：A
解析：解析： 由抛物线的定义知, $|A B|=x_{A}+x_{B}+p$, 而 $a^{2}+2 a+3=(a$ $+1)^{2}+2 \geqslant 2, p=2, \quad \therefore|A B|=2+2=4$.

而过焦点最短的弦长 $|A B|=4$ (即通径长)，

$\therefore$ 这样的直线有且仅有一条。

答案： A
题目（高二 · 解析几何）：已知 $D, E, F$ 分别是 $\triangle A B C$ 三边 $A B, B C, C A$ 的中点, 则下列等式不成立的是 ( )
选项：
A. $\overrightarrow{F D}+\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{F A}$
   B. $\overrightarrow{F D}+\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{E F}=0$
   C. $\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{E C}$
   D. $\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D E}=\overrightarrow{D F}$
答案：B
解析：由加法的三角形法则可得, $\overrightarrow{F D}+\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{F A}, \overrightarrow{F D}+\overrightarrow{D E}+\overrightarrow{E F}=\overrightarrow{0}, \overrightarrow{D E}+\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{E C}$, $\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D E}=\overrightarrow{D F}$ ，故选 B.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\overrightarrow{A B}=\vec{a}, \overrightarrow{A C}=\vec{b}, \mathrm{M}$ 是 $\mathrm{AB}$ 的中点, $\mathrm{N}$ 是 $\mathrm{CM}$ 的中点, 则 $\overrightarrow{A N}=(\quad)$
选项：
A. $\frac{1}{3} \vec{a}+\frac{2}{3} \vec{b}$,
    B. $\frac{1}{3} \vec{a}+\frac{1}{2} \vec{b}$
    C. $\frac{1}{2} \vec{a}+\frac{1}{4} \vec{b}$
    D. $\frac{1}{4} \vec{a}+\frac{1}{2} \vec{b}$
答案：D
解析：$\overrightarrow{A N}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{A M}+\overrightarrow{A C})=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}\right)=\frac{1}{4} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}$, 即 $\overrightarrow{A N}=\frac{1}{4} \vec{a}+\frac{1}{2} \vec{b}$故选: D.
题目（高二 · 解析几何）：点 $P$ 是 $\triangle A B C$ 所在平面上一点, 若 $\overrightarrow{A P}=\frac{2}{5} \overrightarrow{A B}+\frac{3}{5} \overrightarrow{A C}$, 则 $\triangle A B P$ 与 $\triangle A C P$ 的面积之比是
选项：
A. $\frac{3}{5}$
    B. $\frac{5}{2}$
    C. $\frac{3}{2}$
    D. $\frac{2}{3}$
答案：C
解析：因为点 $P$ 是 $\triangle A B C$ 所在平面上一点, 又 $\overrightarrow{A P}=\frac{2}{5} \overrightarrow{A B}+\frac{3}{5} \overrightarrow{A C}$,所以 $\frac{2}{5} \overrightarrow{A P}-\frac{2}{5} \overrightarrow{A B}=\frac{3}{5} \overrightarrow{A C}-\frac{3}{5} \overrightarrow{A P}$, 即 $\frac{2}{5} \overrightarrow{B P}=\frac{3}{5} \overrightarrow{P C}$, 即 $\overrightarrow{B P}=\frac{3}{2} \overrightarrow{P C}$,则点 $P$ 在线段 $B C$ 上, 且 $|B P|=\frac{3}{2}|P C|$,又 $S_{\triangle A P C}=\frac{1}{2}|A P||P C| \sin \angle A P C, S_{\triangle A B P}=\frac{1}{2}|A P||B P| \sin \angle A P B$,又 $\angle A P B+\angle A P C=\pi$, 即 $\sin \angle A P C=\sin \angle A P B$,所以点 $P$ 在线段 $B C$ 上, 且 $|B P|=\frac{3}{2}|P C|$,
$S_{\triangle A B P}: S_{\triangle A P C}=\frac{1}{2}|A P||B P| \sin \angle A P B: \frac{1}{2}|A P||P C| \sin \angle A P C=|B P|:|P C|=3: 2$,

故选: C.
题目（高二 · 解析几何）：在四边形 $A B C D$ 中, $|\overrightarrow{A B}|=|\overrightarrow{A D}|$ 且 $\overrightarrow{B A}=\overrightarrow{C D}$, 则四边形 $A B C D$ 的形状一定是 ( )
选项：
A. 正方形
    B. 矩形
    C. 菱形
    D. 等腰梯形
答案：C
解析：因为 $\overrightarrow{B A}=\overrightarrow{C D}$, 所以 $B A / / C D, B A=C D$, 四边形是平行四边形又 $|\overrightarrow{A B}|=|\overrightarrow{A D}|$, 所以 $A B=A D$,四边形是菱形, 故选 C.
题目（高二 · 解析几何）：给出下列结论:

(1)两个单位向量是相等向量;

(2) 若 $\vec{a}=\vec{b}, \vec{b}=\vec{c}$, 则 $\vec{a}=\vec{c}$;

(3)若一个向量的模为 0 , 则该向量的方向不确定;

(4)若 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$, 则 $\vec{a}=\vec{b}$;

(5)若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线, $\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 共线, 则 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 共线.

其中正确结论的个数是（ ）
选项：
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
答案：B
解析：两个单位向量的模相等，但方向不一定相同，(1)错误;

若 $\vec{a}=\vec{b}, \vec{b}=\vec{c}$, 则 $\vec{a}=\vec{c}$, 向量相等具有传递性, (2)正确;

一个向量的模为 0 , 则该向量一定是零向量, 方向不确定, (3)正确;

若 $|\vec{a}|=|\vec{b}|$ ，则 $\vec{a}=\vec{b}$ ，还要方向相同才行，(4)错误;

$\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线, $\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 共线, 则 $\vec{a}$ 与 $\vec{c}$ 共线, 当 $\vec{b}$ 为零向量时不成立, (5)错误.
题目（高二 · 解析几何）：点 $\mathbf{D}$ 为 $\triangle A B C$ 内一点, 且 $\overrightarrow{D A}+4 \overrightarrow{D B}+7 \overrightarrow{D C}=\overrightarrow{0}$, 则 $\frac{S_{\triangle B C D}}{S_{\triangle A B C}}=(\quad)$
选项：
$\frac{4}{7}$
    B. $\frac{1}{3}$
    C. $\frac{7}{12}$
    D. $\frac{1}{12}$
答案：D
解析：分别延长 $D B, D C$ 至 $B_{1}, C_{1}$, 使得 $D B_{1}=3 D B, D C_{1}=7 D C$, 则 $\overrightarrow{D A}+\overrightarrow{D B_{1}}+\overrightarrow{D C_{1}}=\overrightarrow{0}$, 则 $S_{\triangle D A B_{1}}=S_{\triangle D A G_{1}}=S_{\triangle D B_{1} G_{1}}=S$, $S_{\triangle D A B}=\frac{1}{4} s, S_{\triangle D A C}=\frac{1}{7} s, S_{\triangle D B C}=\frac{1}{28} s, S_{\triangle A B C}=\frac{1}{4} s+\frac{1}{7} s+\frac{1}{28} s=\frac{12}{28} s, \frac{S_{\triangle B C D}}{S_{\triangle A B C}}=\frac{\frac{1}{28} s}{\frac{12}{28} s}=\frac{1}{12}$, 故选 D.
题目（高二 · 解析几何）：已知 $P 、 Q$ 为 $\triangle A B C$ 中不同的两点, 且 $3 \overrightarrow{P A}+2 \overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}=0, \overrightarrow{Q A}+\overrightarrow{Q B}+\overrightarrow{Q C}=0$, 则 $S_{\triangle P A B}: S_{\triangle Q A B} \quad$ 为 $(\quad)$
选项：
A. $1: 2$
    B. $2: 1$
    C. $2: 3$
    D. $3: 2$
答案：A
解析：因为 $3 \overrightarrow{P A}+2 \overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}=2(\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B})+\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P C}=\overrightarrow{0}$, 所以 $P$ 在与 $B C$ 平行的中位线上,且是该中位线的的一个三等分点, 可得 $S_{\triangle P A B}=\frac{1}{6} S_{\triangle A B C}, \overrightarrow{Q A}+\overrightarrow{Q B}+\overrightarrow{Q C}=\overrightarrow{0}$ 可得 $Q$ 是三角形 $A B C$的重心, 因此 $S_{\triangle Q A B}=\frac{1}{3} S_{\triangle A B C}, S_{\triangle P A B}: S_{\triangle Q A B}=\frac{1}{2}$, 故选 A.
题目（高二 · 解析几何）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, 点 $D$ 在 $B C$ 边上, 且 $C D=2 D B$, 点 $E$ 在 $A D$ 边上, 且 $A D=3 A E$, 则用向量 $\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A C}$ 表示 $\overrightarrow{C E}$ 为 $(\quad)$
选项：
A. $\overrightarrow{C E}=\frac{2}{9} \overrightarrow{A B}+\frac{8}{9} \overrightarrow{A C}$
B. $\overrightarrow{C E}=\frac{2}{9} \overrightarrow{A B}-\frac{8}{9} \overrightarrow{A C}$
C. $\overrightarrow{C E}=\frac{2}{9} \overrightarrow{A B}+\frac{7}{9} \overrightarrow{A C}$
D. $\overrightarrow{C E}=\frac{2}{9} \overrightarrow{A B}-\frac{7}{9} \overrightarrow{A C}$
答案：B
解析：由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得 $\overrightarrow{C E}=\overrightarrow{C A}+\overrightarrow{A E}, \overrightarrow{A E}=\frac{1}{3} \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D}, \overrightarrow{B D}=\frac{1}{3} \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{B D}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{A C})$, $\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{B A}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}$,

$\overrightarrow{A E}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{A B}+\frac{1}{3} \overrightarrow{B A}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A C}\right), \overrightarrow{C E}=\overrightarrow{C A}+\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{9} \overrightarrow{B A}+\frac{1}{9} \overrightarrow{A C}$

$=\frac{1}{3} \overrightarrow{A B}+\frac{1}{9} \overrightarrow{B A}+\overrightarrow{C A}+\frac{1}{9} \overrightarrow{A C}=\frac{2}{9} \overrightarrow{A B}+\frac{8}{9} \overrightarrow{C A}$, 又 $\because \frac{8}{9} \overrightarrow{C A}=-\frac{8}{9} A C, \therefore \overrightarrow{C E}=\frac{2}{9} \overrightarrow{A B}-\frac{8}{9} \overrightarrow{A C}$,

故选 B.
题目（高二 · 解析几何）：如图, 已知 $\overrightarrow{A P}^{\frac{4}{3}}=^{\overrightarrow{A B}}$, 用 $\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}_{\text {表示 }} \overrightarrow{O P}$, 则 $\overrightarrow{O P}_{\text {等于( ) }}$ )
选项：
A. ${ }^{\frac{1}{3}} \overrightarrow{O A}-\frac{4}{3} \overrightarrow{O B}$
B. ${ }^{\frac{1}{3}} \overrightarrow{O A}+{ }^{\frac{4}{3}} \overrightarrow{O B}$
C. $-\frac{1}{3} \overrightarrow{O A}+{ }^{\frac{4}{3}} \overrightarrow{O B}$
D. $-^{\frac{1}{3}} \overrightarrow{O A}-\frac{4}{3} \overrightarrow{O B}$
答案：C
解析：$\left.\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A P}=\overrightarrow{O A}+\frac{4}{3} \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{O A}+\frac{4}{3} \overrightarrow{O B}-\overrightarrow{O A}\right)=-\frac{1}{3} \overrightarrow{O A}+\frac{4}{3} \overrightarrow{O B}$, 选 C.
题目（高二 · 解析几何）：$P$ 是 $\triangle A B C$ 所在平面上的一点, 满足 $\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}=2 \overrightarrow{C B}$, 若 $S_{\triangle A B C}=6$, 则 $\triangle P A B$ 的面积为
选项：
2
    B. 3
    C. 4
    D. 8
答案：A
解析：依题意有 $\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}=2(\overline{P B}-\overrightarrow{P C})$, 化简得 $\overrightarrow{P A}=\frac{1}{3} \overrightarrow{C B}$, 所以 $P$ 到 $A B$ 的距离等于 $C$ 到 $A B$ 距离的三分之一, 故 $\triangle P A B$ 的面积为 $6 \times \frac{1}{3}=2$. 故选 $A$.
题目（高二 · 解析几何）：$O$ 为 $\triangle A B C$ 所在平面上动点, 点 $P$ 满足 $\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+\lambda\left(\frac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|}+\frac{\overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}|}\right), \lambda \in[0,+\infty)$, 则射线 $A P$ 过 $\triangle A B C$ 的 ( )
选项：
A. 外心
    B. 内心
    C. 重心
    D. 垂心
答案：B
解析：$\because \overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+\lambda\left(\frac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|}+\frac{\overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}|}\right)$

$\therefore \overrightarrow{O P}-\overrightarrow{O A}=\overrightarrow{A P}=\lambda\left(\frac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|}+\frac{\overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}|}\right)$

因为 $\frac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|}$ 和 $\frac{\overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}|}$ 分别是 $\overrightarrow{A B}$ 和 $\overrightarrow{A C}$ 的单位向量

所以 $\frac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|}+\frac{\overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}|}$ 是以 $\frac{\overrightarrow{A B}}{|\overrightarrow{A B}|}$ 和 $\frac{\overrightarrow{A C}}{|\overrightarrow{A C}|}$ 为邻边的平行四边形的角平分线对应的向量

所以 $\overrightarrow{A P}$ 的方向与 $\angle B A C$ 的角平分线重合

即射线 $A P$ 过 $\triangle A B C$ 的内心

故选 B
题目（高二 · 解析几何）：下列各式不恒成立的是 $($ )
选项：
A. $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$
   B. $\vec{a}+\overrightarrow{0}=\vec{a}$
   C. $\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{A B}$
   D. $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$
答案：D
解析：由向量的运算法则可知： $\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$ 正确; $\vec{a}+\overrightarrow{0}=\vec{a}$ 正确; $\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{A B}$ 正确; $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$ 只有 $\vec{a} 、 \vec{b}$ 同向时成立, 所以 $\mathrm{D}$ 不恒成立. 故选 $\mathrm{D}$.
题目（高二 · 解析几何）：若 $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$, 则 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ( )
选项：
A. 一定可以构成三角形
B. 都是非零向量时可以构成一个三角形
C. 一定不可以构成一个三角形
D. 都是非零向量时也可能无法构成三角形
答案：D
解析：$\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{0}$, 则 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 都是非零向量且不共线时可以构成一个三角形, 而共线时不能构成三角形，故选 D.
题目（高二 · 解析几何）：向量 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b}$ 均为非零向量, 则下列说法不正确的是 ()
选项：
A. 若向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 反向, 且 $|\boldsymbol{a}|>|\boldsymbol{b}|$, 则向量 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 的方向相同

B. 若向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 反向, 且 $|\boldsymbol{a}|<|\boldsymbol{b}|$, 则向量 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 的方向相同

C. 若向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 同向, 则向量 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{a}$ 的方向相同

D. 若向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的方向相同或相反, 则 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 的方向必与 $\boldsymbol{a} 、 \boldsymbol{b}$ 之一的方向相同
答案：B
解析：对于 $\mathrm{B}$, 向量 $\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的方向相同，故选 B.
题目（高二 · 解析几何）：$P$ 为四边形 $A B C D$ 所在平面上一点, $\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}+\overrightarrow{P D}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}$,则 $P$ 为
选项：
A. 四边形 $A B C D$ 对角线交点
   B. $A C$ 的中点
   C. $B D$ 的中点
   D. $C D$ 边上一点
答案：B
解析：$\because \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A P}+\overrightarrow{P B}, \overrightarrow{C D}=\overrightarrow{C P}+\overrightarrow{P D}, \overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}+\overrightarrow{P D}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}$,

$\therefore \overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P C}=\overrightarrow{A P}+\overrightarrow{C P}, \therefore \overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P C}=\overrightarrow{0} . \therefore$ 点 $P$ 为线段 $A C$ 的中点. 故选 B.
题目（高二 · 解析几何）：已知 $O, A, B$ 是平面上的三个点, 直线 $A B$ 上有一点 $C$, 满足 $\overrightarrow{2 A C}+\overrightarrow{C B}=0$, 则 $\overrightarrow{O C}=()$
选项：
A. $2 \overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}$
   B. $-\overrightarrow{O A}+2 \overrightarrow{O B}$
   C. $\frac{2}{3} \overrightarrow{O A}-\frac{1}{3} \overrightarrow{O B}$
   D. $-\frac{1}{3} \overline{O A}+\frac{2}{3} \overline{O B}$
答案：A
解析：由已知 $2 \overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C B}=0$, 可得: $\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{A B}=0$,点 $\mathrm{A}$ 是线段 $\mathrm{CB}$ 的中点, 设 $\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O D}$,

作平行四边形 $\mathrm{OBDC}$, 由平行四边形法则可得 $\overrightarrow{O C}=2 \overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}$.

$\therefore \overrightarrow{O C}=2 \overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}$
题目（高二 · 解析几何）：已知平面向量 $\overrightarrow{A B}=(1,2), \overrightarrow{A C}=(3,4)$, 则向量 $\overrightarrow{C B}=$
选项：
A. $(-4,-6)$
    B. $(4,6)$
    C. $(-2,-2)$
    D. $(2,2)$
答案：C
解析：$\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}=(1,2)-(3,4)=(-2,-2)$,
题目（高二 · 解析几何）：已知向量 ${ }^{\vec{a}}=(1, m), \vec{b}=(3,-2)$, 且 ${ }^{(\vec{a}+\vec{b})} \perp \vec{b}$, 则 $\boldsymbol{m}=(\mathrm{)})$
选项：
A. -8
    B. -6
    C. 6
    D. 8
答案：D
解析：$\because \vec{a}=(1, m), \vec{b}=(3,-2), \therefore \vec{a}+\vec{b}=(4, m-2)$, 又 $(\vec{a}+\vec{b}) \perp \vec{b}$,

$\therefore 3 \times 4+(-2) \times(\mathrm{m}-2)=0$, 解得 $\mathrm{m}=8$.

故选: D.
题目（高二 · 解析几何）：已知平面向量 $a=(2 m+1,3), b=(2, m)$, 且 $a$ 与 $b$ 反向, 则 $|a+b|$ 等于
选项：
A. $\sqrt{2}$
    B. $\frac{15}{2}$ 或 $\sqrt{2}$
    C. $\frac{15}{2}$
    D. $\frac{10 \sqrt{2}}{7}$
答案：A
解析：因为 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 反向，所以存在实数 $\lambda$ 使得 $\boldsymbol{a}=\lambda \boldsymbol{b}(\lambda<0)$, 即 $\left\{\begin{array}{c}2 m+1=2 \lambda \\ 3=\lambda m\end{array}\right.$ ，解得 $\left\{\begin{array}{l}m=-2 \\ \lambda=-\frac{3}{2}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}m=\frac{3}{2} \\ \lambda=2\end{array}\right.$, 因为 $\lambda<0$, 所以 $m=-2$,

所以向量 $\boldsymbol{a}=(-3,3), \boldsymbol{b}=(2,-2)$,

所以 $|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=|(-3,3)+(2,-2)|=|(-1,1)|=\sqrt{2}$ ，

本题选择 $A$ 选项.
题目（高二 · 解析几何）：在梯形 $A B C D$ 中, $A D / / B C$, 已知 $A D=4, B C=6$, 若 $\overrightarrow{C D}=m \overrightarrow{B A}+n \overrightarrow{B C}(m, n \in \mathbf{R})$, 则 $\frac{m}{n}=$
选项：
A. -3
    B. $-\frac{1}{3}$
    C. $\frac{1}{3}$
    D. 3
答案：A
解析：过点 $A$ 作 $A E / / C D$, 交 $B C$ 于点 $E$, 则 $B E=2, C E=4$, 所以 $m \overrightarrow{B A}+n \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{E A}=\overrightarrow{E B}$ $+\overrightarrow{B A}=-\frac{1}{3} \overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B A}=-\frac{1}{3} \overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B A}$, 所以 $\frac{m}{n}=-3$
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\triangle A B C$ 的三个顶点 $A, B, C$ 及所在平面内一点 $P$ 满足 $\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}=\overrightarrow{A B}$, 则点 $P$ 与 $\triangle A B C$ 的关系
选项：
A. $P$ 在 $\triangle A B C$ 内部 $B$
    B. $P$ 在 $\triangle A B C$ 外部 C. $P$ 在边 $A B$ 上
    D. $P$ 在边 $A C$ 上
答案：D
解析：因为 $\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}=\overrightarrow{A B}$, 所以 $\overrightarrow{P A}+\overrightarrow{P B}+\overrightarrow{P C}=\overrightarrow{P B}-\overrightarrow{P A}$,

所以 $\overrightarrow{P C}=-2 \overrightarrow{P A}=2 \overrightarrow{A P}$,

所以 $\mathrm{P}$ 是 $\mathrm{AC}$ 的一个三等分点,

故选 D.
题目（高二 · 解析几何）：已知平面向量 $\vec{a}=(1, m), \vec{b}=(2,5), \vec{c}=(m, 3)$, 且 $(\vec{a}+\vec{c}) / /(\vec{a}-\vec{b})$, 则 $m=(\quad)$.
选项：
A. -3 或 1
    B. 2 或 -1
    C. $\frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$
    D. $\frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$
答案：D
解析：因为 $\vec{a}+\vec{c}=(m+1,3+m), \vec{a}-\vec{b}=(-1, m-5),(\vec{a}+\vec{c}) / /(\vec{a}-\vec{b})$

$\therefore(m+1)(m-5)=-3-m, \therefore m^{2}-3 m-2=0$, 解得 $m=\frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$.

故选: $D$
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 均为单位向量, 它们的夹角为 $60^{\circ}$, 那么 $|\vec{a}-3 \vec{b}|$ 等于 ( )
选项：
A. $\sqrt{7}$
    B. $\sqrt{10}$
    C. $\sqrt{13}$
    D. 4
答案：A
解析：本题主要考查的是向量的求模公式。由条件可知

$|\vec{a}-3 \vec{b}|=\sqrt{(\vec{a}-3 \vec{b})^{2}}=\sqrt{\vec{a}^{2}+9 \vec{b}^{2}-6 \vec{a} \cdot \vec{b}}=\sqrt{1+9-6 \times 1 \times 1 \times \cos 60^{0}}=\sqrt{7}$, 所以应选 A。
题目（高二 · 解析几何）：向 $\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{O B}+2 \overrightarrow{A C}=\overrightarrow{O B}+2(\overrightarrow{O C}-\overrightarrow{O A})$ 量 $\vec{a}=(1,0), \vec{b}=(2,1), \vec{c}=(x, 1)$, 若 $3 \vec{a}-\vec{b}$与 $\vec{c}$ 共线, 则 $X=(\quad)$
选项：
A. 1
   B. -3
   C. -2
   D. ${ }^{-} 1$
答案：D
解析：向量 $\vec{a}=(1,0), \vec{b}=(2,1), \vec{c}=(x, 1)$, 则 $3 \vec{a}-\vec{b}=(1,-1)$, 又 $3 \vec{a}-\vec{b}$ 与 $\vec{c}$ 共线,则 $1 \times 1-(-1) \cdot x=0$, 解得 $x=-1$. 故选: $D$.
题目（高二 · 解析几何）：在平行四边形 $\mathbf{A B C D}$ 中, $A B=4, A D=3, \angle D A B=\frac{\pi}{3}$, 点 $E, F$ 分别在 $B C, D C$ 边上, 且 $\overrightarrow{B E}=2 \overrightarrow{E C}, \overrightarrow{D F}=\overrightarrow{F C}$, 则 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{B F}=(\quad)$

选项：
A. $-\frac{8}{3}$
B. -1
C. 2
D. $\frac{10}{3}$
答案：C
解析：$\overrightarrow{A E}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B E}=\overrightarrow{A B}+\frac{2}{3} \overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A B}+\frac{2}{3} \overrightarrow{A D}, \overrightarrow{B F}=\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C F}=\overrightarrow{B C}+\frac{1}{2} \overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A D}-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}$,所以 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{B F}=\left(\overrightarrow{A B}+\frac{2}{3} \overrightarrow{A D}\right) \cdot\left(\overrightarrow{A D}-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}\right)=-\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}^{2}+\frac{2}{3} \overrightarrow{A D}^{2}+\frac{2}{3} \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}$ $=-\frac{1}{2} \times 4^{2}+\frac{2}{3} \times 3^{2}+\frac{2}{3} \times 4 \times 3 \times \frac{1}{2}=2$, 故选 C.
题目（高二 · 解析几何）：$\triangle A B C$ 是边长为 $\mathbf{1}$ 的等边三角形, 点 $D, E$ 分别是边 $A B, B C$ 的中点, 连接 $D E$ 并延长到点 $F$,使得 $D E=2 E F$, 则 $\overrightarrow{A F} \cdot \overrightarrow{B C}$ 的值为 $(\quad)$
选项：
A. $-\frac{5}{8}$
    B. $\frac{1}{8}$
    C. $\frac{1}{4}$
    D. $\frac{11}{8}$
答案：B
解析：

试题分析: 设 $\overrightarrow{B A}=a, \overrightarrow{B C}=b, \therefore \overrightarrow{D E}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A C}=\frac{1}{2}(b-a), \overrightarrow{D F}=\frac{3}{2} \overrightarrow{D E}=\frac{3}{4}(b-a)$, $\overrightarrow{A F}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D F}=-\frac{1}{2} a+\frac{3}{4}(b-a)=-\frac{5}{4} a+\frac{3}{4} b, \therefore \overrightarrow{A F} \cdot \overrightarrow{B C}=-\frac{5}{4} a \cdot b+\frac{3}{4} b^{2}=-\frac{5}{8}+\frac{3}{4}=\frac{1}{8}$.
题目（高二 · 解析几何）：如图, $\angle B A C=\frac{2 \pi}{3}$, 圆 $\mathbf{M}$ 与 $\mathbf{A B} 、 \mathbf{A C}$ 分别相切于点 $\mathbf{D} 、 \mathbf{E}, A D=1$, 点 $\mathbf{P}$ 是圆 $\mathbf{M}$ 及其内部任意一点, 且 $\overrightarrow{A P}=x \overrightarrow{A D}+y \overrightarrow{A E}(x, y \in R)$, 则 $x+y$ 的取值范围是 ( )


选项：
A. $[1,4+2 \sqrt{3}]$

B. $[4-2 \sqrt{3}, 4+2 \sqrt{3}]$

c. $[1,2+\sqrt{3}]$

D. $[2-\sqrt{3}, 2+\sqrt{3}]$
答案：B
解析：连接 $A M$ 并延长分别交圆 $M$ 于 $Q 、 T$, 连接 $D E, D E$ 与 $A M$ 交于 $R$, 显然 $\overrightarrow{A R}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A D}+\frac{1}{2} \overrightarrow{A E}$,此时 $x+y=1$, 分别过 $Q 、 T$ 作 $D E$ 的平行线, 由于 $A D=A E=1, \angle B A C=120^{\circ}$, 则 $A M=2, D M=\sqrt{3}$, 则 $A Q=2-\sqrt{3}, A R=\frac{1}{2}$, $\overrightarrow{A Q}=\frac{2-\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}=(4-2 \sqrt{3}) \overrightarrow{A R}=(2-\sqrt{3}) \overrightarrow{A D}+(2-\sqrt{3}) \overrightarrow{A E}$, 此时 $x+y=4-2 \sqrt{3}$, 同理可得: $\overrightarrow{A T}=(2+\sqrt{3}) \overrightarrow{A D}+(2+\sqrt{3}) \overrightarrow{A E}, \quad x+y=4+2 \sqrt{3}$, 选 $B$.
题目（高二 · 解析几何）：已知平面向量 $\vec{a}=(1,1), \vec{b}=(1,-1)$, 则向量 ${ }^{\frac{1}{2}} \vec{a}-\frac{3}{2} \vec{b}=$ ( )
选项：
A. ${ }^{(-2,-1)}$
   B. $(-2,1)$
   C. ${ }^{(-1,0)}$
   D. $(-1,2)$
答案：D
解析：$\frac{1}{2} \vec{a}-\frac{3}{2} \vec{b}=\frac{1}{2}(1,1)-\frac{3}{2}(1,-1)=\left(\frac{1}{2}-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}+\frac{3}{2}\right)=(-1,2)$.

故选 D
题目（高二 · 解析几何）：在平面直角坐标系 $x \mathrm{O} y$ 中, 已知四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是平行四边形, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=(1,-2), \overrightarrow{\mathrm{AD}}=(2,1)$, 则 $\overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=($ )
选项：
A. 2
   B. 3
   C. 4
   D. 5
答案：D
解析：因为四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是平行四边形, 所以 $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{AD}}=(1,-2)+(2,1)=(3,-1)$, 所以
$\overrightarrow{\mathrm{AD}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=2 \times 3+1 \times(-1)=5$, 故选 D.
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\vec{a}=(m, n), \vec{b}=(-5,0)$ 且向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影是 -2 , 则 ( )
选项：
A. $m=2, n=-2$
   B. $m=-2, n=2$
   C. $m=2, n$ 取任意实数
   D. $m=-2, n$ 取任意实数
答案：C
解析：由向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 方向上的投影定义得: $-2=|\vec{a}| \cos \langle\vec{a}, \vec{b}\rangle=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$,所以 $-2=\frac{-5 m}{5} \Rightarrow m=2$,

所以 $m=2, n$ 取任意实数.

故选: C.
题目（高二 · 解析几何）：已知向量 $\vec{a}=(2,3), \vec{b}=(-4,7)$, 则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的射影为 $($ )
选项：
A. $\sqrt{13}$
   B. $\frac{\sqrt{13}}{5}$
   C. $\sqrt{65}$
   D. $\frac{\sqrt{65}}{5}$
答案：D
解析：根据投影的定义, 得; 向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的射影数量是
$m=|\vec{a}| \cdot \cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}=\frac{2 \times(-4)+3 \times 7}{\sqrt{(-4)^{2}+7^{2}}}=\frac{\sqrt{65}}{5}$. 故选: $D$.
题目（高二 · 解析几何）：若 $e_{1}, e_{2}$ 是夹角为 $60^{\circ}$ 的两个单位向量, 则 $\boldsymbol{a}=2 e_{1}+e_{2}$ 与 $\boldsymbol{b}=-3 e_{1}+2 e_{2}$ 的
夹角为 ( )
选项：
A. $30^{\circ}$ B. $60^{\circ}$ C. $120^{\circ}$ D. $150^{\circ}$
答案：C
解析：$\because e_{1} \cdot e_{2}=\left|e_{1}\right|\left|e_{2}\right| \cdot \cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$,

$\therefore \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}=\left(2 e_{1}+e_{2}\right) \cdot\left(-3 e_{1}+2 e_{2}\right)=-6 e_{1}^{2}+e_{1} \cdot e_{2}+2 e_{2}^{2}=-6+\frac{1}{2}+2=-\frac{7}{2}$,

$|\boldsymbol{a}|^{2}=\boldsymbol{a}^{2}=\left(2 e_{1}+e_{2}\right)^{2}=4 e_{1}^{2}+4 e_{1} \cdot e_{2}+e_{2}^{2}=4+4 \times \frac{1}{2}+1=7$,

$|\boldsymbol{b}|^{2}=\boldsymbol{b}^{2}=\left(-3 e_{1}+2 e_{2}\right)^{2}=9 e_{1}^{2}-12 e_{1} \cdot e_{2}+4 e_{2}^{2}=9-12 \times \frac{1}{2}+4=7$.

设向量 $\boldsymbol{a}$ 与向量 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 $\theta$, 则 $\cos \theta=\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a} \| \boldsymbol{b}|}=\frac{-\frac{7}{2}}{\sqrt{7} \times \sqrt{7}}=-\frac{1}{2}$.

又 $0^{\circ} \leq \theta \leq 180^{\circ}$, 所以 $\theta=120^{\circ}$, 故选 C.