eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（八年级 · 解析几何）：已知点 $P(2-a, 3 a+6)$, 分别求符合下列条件 $a$ 的值:

(1) 点 $P$ 到 $y$ 轴的距离为 2 ;

(2) 点 $P$ 到两坐标轴的距离相等.
选项：
答案：解： (1) $\because$ 点 $P$ 到 $y$ 轴的距离为 2,

$\therefore|2-a|=2$,

即 $2-a=2$ 或 $2-a=-2 ，$

解得 $a=0$ 或 $a=4$

(2) $\because$ 点 $P$ 到两坐标轴的距离相等,

$\therefore|2-a|=|3 a+6|$,

即： $2-a=3 a+6$ 或 $2-a=-3 a-6 ，$

解得: $a=-1$ 或 $a=-4$.
解析：解： (1) $\because$ 点 $P$ 到 $y$ 轴的距离为 2,

$\therefore|2-a|=2$,

即 $2-a=2$ 或 $2-a=-2 ，$

解得 $a=0$ 或 $a=4$

(2) $\because$ 点 $P$ 到两坐标轴的距离相等,

$\therefore|2-a|=|3 a+6|$,

即： $2-a=3 a+6$ 或 $2-a=-3 a-6 ，$

解得: $a=-1$ 或 $a=-4$.
题目（八年级 · 解析几何）：如图, 已知四边形 $A B C D$.



(1) 分别写出点 $A, B, C, D$ 的坐标;

(2) 试求四边形 $A B C D$ 的面积. (网格中每个小正方形的边长均为 1).
选项：
答案：解: (1) $A(-1,-2), B(2,-3), C(2,3), D(-2,1)$

(2) $\mathrm{S}_{\text {四边形 } A B C D}=3 \times 3+2 \times \frac{1}{2} \times 1 \times 3+\frac{1}{2} \times 2 \times 4=16$
解析：解: (1) $A(-1,-2), B(2,-3), C(2,3), D(-2,1)$

(2) $\mathrm{S}_{\text {四边形 } A B C D}=3 \times 3+2 \times \frac{1}{2} \times 1 \times 3+\frac{1}{2} \times 2 \times 4=16$
题目（八年级 · 解析几何）：（1）若点 $(5-a, a-3)$ 在第一、三象限的角平分线上, 求 $a$ 的值.

(2) 已知两点 $A(-3, m), B(n, 4)$, 若 $A B / / x$ 轴, 求 $m$ 的值, 并确定 $n$ 的范围.

(3) 点 $P$ 到 $x$ 轴和 $y$ 轴的距离分别是 3 和 4 , 求 $P$ 点的坐标.
选项：
答案：解: (1) 因为点 $(5-a, a-3)$ 在第一、三象限的角平分线上,

所以 $5-a=a-3$, 所以 $a=4$.

(2) 因为 $A B / / x$ 轴, 所以 $m=4$,

因为 $A, B$ 两点不重合, 所以 $n \neq-3$.

(3) 设 $P$ 点的坐标为 $(x, y)$,

由已知条件得 $|y|=3,|x|=4$,

所以 $y= \pm 3, x= \pm 4$,

所以 $P$ 点的坐标为 $(4,3)$ 或 $(-4,3)$ 或 $(4,-3)$ 或 $(-4,-3)$.
解析：解: (1) 因为点 $(5-a, a-3)$ 在第一、三象限的角平分线上,

所以 $5-a=a-3$, 所以 $a=4$.

(2) 因为 $A B / / x$ 轴, 所以 $m=4$,

因为 $A, B$ 两点不重合, 所以 $n \neq-3$.

(3) 设 $P$ 点的坐标为 $(x, y)$,

由已知条件得 $|y|=3,|x|=4$,

所以 $y= \pm 3, x= \pm 4$,

所以 $P$ 点的坐标为 $(4,3)$ 或 $(-4,3)$ 或 $(4,-3)$ 或 $(-4,-3)$.
题目（八年级 · 解析几何）：先阅读下列一段文字, 再解答问题: 已知在平面内有两点 $P_{1}\left(x_{1}, y_{1}\right), P_{2}\left(x_{2}, y_{2}\right)$,其两点间的距离公式为 $P_{1} P_{2}=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}}$,同时, 当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时,两点间距离公式可简化为 $\left|x_{2}-x_{1}\right|$ 或 $\left|y_{2}-y_{1}\right|$

(1) 已知点 $M(2,4), N(3,8)$, 试求 $M, N$ 两点间的距离;

(2) 已知点 $A(0,6), B(-3,2), C(3,2)$, 判断线段 $A B, B C, A C$ 中哪两条是相等的? 并说明理由.
选项：
答案：解: (1) $\because M(2,4), N(3,8)$,

$\therefore M N=\sqrt{(3-2)^{2}+(8-4)^{2}}=\sqrt{17}$,

即 $M, N$ 两点间的距离为 $\sqrt{17}$.

(2) $A B=A C$, 理由如下:

$\because A(0,6), B(-3,2), C(3,2)$,

$\therefore A B=\sqrt{(-3-0)^{2}+(2-6)^{2}}=5$,

$B C=\sqrt{(3+3)^{2}+(2-2)^{2}}=6$,

$A C=\sqrt{(3-0)^{2}+(2-6)^{2}}=5$,

$\therefore A B=A C$.
解析：解: (1) $\because M(2,4), N(3,8)$,

$\therefore M N=\sqrt{(3-2)^{2}+(8-4)^{2}}=\sqrt{17}$,

即 $M, N$ 两点间的距离为 $\sqrt{17}$.

(2) $A B=A C$, 理由如下:

$\because A(0,6), B(-3,2), C(3,2)$,

$\therefore A B=\sqrt{(-3-0)^{2}+(2-6)^{2}}=5$,

$B C=\sqrt{(3+3)^{2}+(2-2)^{2}}=6$,

$A C=\sqrt{(3-0)^{2}+(2-6)^{2}}=5$,

$\therefore A B=A C$.
题目（八年级 · 解析几何）：在平面直角坐标系中, 一蚂蚁从原点 0 出发,

按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动, 每次移动 1 个单位. 其行走路线如图.



（1）填写下列各点的坐标： $A_{4}\left({ }_{-},{ }_{-}\right), A_{8}\left({ }_{-}, \quad \ldots\right)$;

(2) 点 $A_{4 n-1}$ 的坐标 $(n$ 是正整数 $)$ 为

(3) 指出蚂蚁从点 $A_{2013}$ 到点 $A_{2014}$ 的移动方向.
选项：
答案：解: (1) 由图可知, $\mathrm{A}_{4}, \mathrm{~A}_{8}$ 都在 $\mathrm{x}$ 轴上,

$\because$ 小蚂蚁每次移动 1 个单位,

$\therefore 0 \mathrm{~A}_{4}=2, \quad 0 \mathrm{~A}_{8}=4$,

$\therefore \mathrm{A}_{4}(2,0), \mathrm{A}_{8}(4,0)$;

故答案为 2,$0 ; 4,0$;

(2) 根据（1） $0 \mathrm{~A}_{4 \mathrm{n}}=4 \mathrm{n} \div 2=2 \mathrm{n}$,

$\therefore$ 点 $\mathrm{A}_{4 n-1}$ 的坐标 $(2 n-1,0) ;$

(3) $\because 2013 \div 4=503 \cdots 1$,

$\therefore$ 从点 $\mathrm{A}_{2013}$ 到点 $\mathrm{A}_{2014}$ 的移动方向与从点 $\mathrm{A}_{1}$ 到 $\mathrm{A}_{2}$ 的方向一致, 为向右.
解析：解: (1) 由图可知, $\mathrm{A}_{4}, \mathrm{~A}_{8}$ 都在 $\mathrm{x}$ 轴上,

$\because$ 小蚂蚁每次移动 1 个单位,

$\therefore 0 \mathrm{~A}_{4}=2, \quad 0 \mathrm{~A}_{8}=4$,

$\therefore \mathrm{A}_{4}(2,0), \mathrm{A}_{8}(4,0)$;

故答案为 2,$0 ; 4,0$;

(2) 根据（1） $0 \mathrm{~A}_{4 \mathrm{n}}=4 \mathrm{n} \div 2=2 \mathrm{n}$,

$\therefore$ 点 $\mathrm{A}_{4 n-1}$ 的坐标 $(2 n-1,0) ;$

(3) $\because 2013 \div 4=503 \cdots 1$,

$\therefore$ 从点 $\mathrm{A}_{2013}$ 到点 $\mathrm{A}_{2014}$ 的移动方向与从点 $\mathrm{A}_{1}$ 到 $\mathrm{A}_{2}$ 的方向一致, 为向右.
题目（八年级 · 解析几何）：(5 分 ) 在平面直角坐标系中, 画出函数 ${ }^{y=\frac{4}{x}}$ 的图象.


选项：
答案：解：列表得：

| $\mathrm{x}$ | -4 | -2 | -1 | 1 | 2 | 4 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\mathrm{y}$ | -1 | -2 | -4 | 4 | 2 | 1 |

描点, 连线得:

<ImageHere>

【考点】反比例函数的图象

【解析】【分析】从正数, 负数中各选几个值作为 $\mathrm{x}$ 的值, 进而得到 $\mathrm{y}$ 的值, 描点, 连线即可.
解析：解：列表得：

| $\mathrm{x}$ | -4 | -2 | -1 | 1 | 2 | 4 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $\mathrm{y}$ | -1 | -2 | -4 | 4 | 2 | 1 |

描点, 连线得:



【考点】反比例函数的图象

【解析】【分析】从正数, 负数中各选几个值作为 $\mathrm{x}$ 的值, 进而得到 $\mathrm{y}$ 的值, 描点, 连线即可.
题目（八年级 · 解析几何）：(9 分) 某兴趣小组对函数 $\mathrm{y}={ }^{\frac{x-1}{x-3}}$ 的图象和性质进行探究, 请你帮助解决下面问题:

(1) 函数 $\mathrm{y}={ }^{\frac{x-1}{x-3}}$ 中自变量 $\mathrm{x}$ 的取值范围是

(2) 如表是 $x 、 y$ 的几组对应值, 则 $m=$



（3）如图, 已经画出了该函数图象的一部分, 请你画出函数图象的另一部分;



(4) 该函数图象两个分支关于一个点成中心对称，这个点的坐标是 \$ \qquad \$ ;

(5) 若函数 $\mathrm{y}={ }^{\frac{x-1}{x-3}}$ 的图象上有三点 $\mathrm{A}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{y}_{1}\right) 、 \mathrm{~B}\left(\mathrm{x}_{2}, \mathrm{y}_{2}\right) 、 C\left(\mathrm{x}_{3}, \mathrm{y}_{3}\right)$ 且 $\mathrm{x}_{1}<\mathrm{x}_{2}$ $<3<x_{3}$, 则 $\mathrm{y}_{1} 、 \mathrm{y}_{2} 、 \mathrm{y}_{3}$ 的大小关系是 \$ \qquad \$ (用“<”连接) .
选项：
答案： (1) $\mathrm{x} \neq 3$
$(2)^{\frac{1}{2}}$

(3) 解: 画出函数图象, 如图所示:

<ImageHere>

(4) $(3,1)$

(5) $\mathrm{y}_{2}<\mathrm{y}_{1}<\mathrm{y}_{3}$.

【考点】反比例函数的性质, 描点法画函数图象

【解析】【解答】解: (1) $\because x$ 在分母上,

$\therefore$ 自变量 $\mathrm{x}$ 的取值范围是 $\mathrm{x}-3 \neq 0$, 解得 $\mathrm{x} \neq 3$;

( 2 ）当 $x=-1$ 时,

$$
y=\frac{-1-1}{-1-3}=\frac{1}{2}
$$

即 $\mathrm{m}=\frac{1}{2}$

（４）该函数图象两个分支关于一个点成中心对称, 这个点的坐标是 ( 3,1 ) ;

( 5 ) 由图象可知, 当 $x<3$ 时, $y<0$ 且 $y$ 随 $x$ 的增大而减小; 当 $x>3$ 时, $y>0$,

$\because \mathrm{x}_{1}<\mathrm{x}_{2}<3<\mathrm{x}_{3} \quad$,

$\therefore \mathrm{y}_{2}<\mathrm{y}_{1}<\mathrm{y}_{3}$.

故答案为:
(1) $x \neq 3$;

<ImageHere>

(4) $(3,1)$;

(5) $\mathrm{y}_{2}<\mathrm{y}_{1}<\mathrm{y}_{3}$.

【分析】（1）由分母不能为零, 即可得出自变量 $x$ 的取值范围;

(2) 把 $x=-1$ 代入函数关系式即可;

(3) 描点、连线, 画出函数图象即可;

(4) 观察函数图象即可解答;

（5）观察函数图象即可解答.
解析： (1) $\mathrm{x} \neq 3$
$(2)^{\frac{1}{2}}$

(3) 解: 画出函数图象, 如图所示:



(4) $(3,1)$

(5) $\mathrm{y}_{2}<\mathrm{y}_{1}<\mathrm{y}_{3}$.

【考点】反比例函数的性质, 描点法画函数图象

【解析】【解答】解: (1) $\because x$ 在分母上,

$\therefore$ 自变量 $\mathrm{x}$ 的取值范围是 $\mathrm{x}-3 \neq 0$, 解得 $\mathrm{x} \neq 3$;

( 2 ）当 $x=-1$ 时,

$$
y=\frac{-1-1}{-1-3}=\frac{1}{2}
$$

即 $\mathrm{m}=\frac{1}{2}$

（４）该函数图象两个分支关于一个点成中心对称, 这个点的坐标是 ( 3,1 ) ;

( 5 ) 由图象可知, 当 $x<3$ 时, $y<0$ 且 $y$ 随 $x$ 的增大而减小; 当 $x>3$ 时, $y>0$,

$\because \mathrm{x}_{1}<\mathrm{x}_{2}<3<\mathrm{x}_{3} \quad$,

$\therefore \mathrm{y}_{2}<\mathrm{y}_{1}<\mathrm{y}_{3}$.

故答案为:
(1) $x \neq 3$;



(4) $(3,1)$;

(5) $\mathrm{y}_{2}<\mathrm{y}_{1}<\mathrm{y}_{3}$.

【分析】（1）由分母不能为零, 即可得出自变量 $x$ 的取值范围;

(2) 把 $x=-1$ 代入函数关系式即可;

(3) 描点、连线, 画出函数图象即可;

(4) 观察函数图象即可解答;

（5）观察函数图象即可解答.
题目（八年级 · 解析几何）：(6 分 ) 如图, 在同一直角坐标系中, 一次函数 $\mathrm{y}=\sqrt{3} \mathrm{x}-2$ 的图象和反比例函数 $\mathrm{y}={ }^{\frac{k}{x}}$ 的图象的一个交点为 $\mathrm{A}(\sqrt{3}, \mathrm{~m})$.



(1) 求 $m$ 的值及反比例函数的解析式.

(2) 若点 $P$ 在 $x$ 轴上, 且 $\triangle A O P$ 为等腰三角形, 请直接写出点 $P$ 的坐标
选项：
答案： (1) 解: $\because$ 一次函数 $\mathrm{y}=\sqrt{3}_{\mathrm{x}}-2$ 的图象经过点 $\mathrm{A}(\sqrt{3}, \mathrm{~m})$,

$\therefore \mathrm{m}=\sqrt{3} \times \sqrt{3}-2=1$,

$\therefore$ 点 $\mathrm{A}$ 的坐标为 $(\sqrt{3}, 1)$,

又 $\because$ 反比例函数 $\mathrm{y}={ }^{\frac{k}{x}}$ 的图象经过点 $\mathrm{A}$,

$\therefore \mathrm{k}=\sqrt{3}_{\times 1}=\sqrt{3}$,

$\therefore$ 反比例函数的解析式为 ${ }^{\frac{\sqrt{3}}{x}} ;$

(2) 解: 符合条件的点 $\mathrm{P}$ 有 4 个, 分别是: $\mathrm{P}_{1}(-2,0), \mathrm{P}_{2}(2,0), \mathrm{P}_{3}\left(2^{\sqrt{3}}, 0\right), \mathrm{P}_{4} \mathrm{C}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}$, $0)$.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题

【解析】【分析】 (1) 把 $\mathrm{A}(\sqrt{3}, \mathrm{~m})$ 代入一次函数的解析式, 即可求得 $\mathrm{n}$ 的值, 即 $\mathrm{A}$ 的坐标,然后把 A 的坐标代入反比例函数的解析式, 即可求得函数的解析式;

（2） 分三种情况进行讨论: $\mathrm{OA}=\mathrm{OP}$ 时两个点（2, 0$) ，(-2,0), \mathrm{PA}=\mathrm{PO}$ 时一个点 $\left(^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}, 0\right)$, $A O=A P$ 时一个点 $\left(2^{\sqrt{3}}, 0\right)$, 求得 $P$ 的坐标.
解析： (1) 解: $\because$ 一次函数 $\mathrm{y}=\sqrt{3}_{\mathrm{x}}-2$ 的图象经过点 $\mathrm{A}(\sqrt{3}, \mathrm{~m})$,

$\therefore \mathrm{m}=\sqrt{3} \times \sqrt{3}-2=1$,

$\therefore$ 点 $\mathrm{A}$ 的坐标为 $(\sqrt{3}, 1)$,

又 $\because$ 反比例函数 $\mathrm{y}={ }^{\frac{k}{x}}$ 的图象经过点 $\mathrm{A}$,

$\therefore \mathrm{k}=\sqrt{3}_{\times 1}=\sqrt{3}$,

$\therefore$ 反比例函数的解析式为 ${ }^{\frac{\sqrt{3}}{x}} ;$

(2) 解: 符合条件的点 $\mathrm{P}$ 有 4 个, 分别是: $\mathrm{P}_{1}(-2,0), \mathrm{P}_{2}(2,0), \mathrm{P}_{3}\left(2^{\sqrt{3}}, 0\right), \mathrm{P}_{4} \mathrm{C}^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}$, $0)$.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题

【解析】【分析】 (1) 把 $\mathrm{A}(\sqrt{3}, \mathrm{~m})$ 代入一次函数的解析式, 即可求得 $\mathrm{n}$ 的值, 即 $\mathrm{A}$ 的坐标,然后把 A 的坐标代入反比例函数的解析式, 即可求得函数的解析式;

（2） 分三种情况进行讨论: $\mathrm{OA}=\mathrm{OP}$ 时两个点（2, 0$) ，(-2,0), \mathrm{PA}=\mathrm{PO}$ 时一个点 $\left(^{\frac{2 \sqrt{3}}{3}}, 0\right)$, $A O=A P$ 时一个点 $\left(2^{\sqrt{3}}, 0\right)$, 求得 $P$ 的坐标.
题目（八年级 · 解析几何）：(10 分 ) 如图, $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 两点在函数 $y=\frac{m}{x}(x>0)$ 的图象上.



(1) 求 $m$ 的值及直线 $\mathrm{AB}$ 对应的函数关系式.

(2) 如果一个点的横、纵坐标均为整数,那么我们称这个点是格点. 请直接写出图中阴影部分(不包括边界)所含格点的个数.
选项：
答案： (1) 解: $\because$ 图象过 $\mathrm{B}$ 点,

$\therefore \mathrm{m}=\mathrm{xy}=6 \times 1=6$,

$\therefore \mathrm{y}=\frac{6}{x}$,

$\therefore$ 设直线 $\mathrm{AB}$ 的函数式为: $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+\mathrm{b}$,

$\left.\therefore \begin{array}{l}6=k \times 1+b \\ 1=k \times 6+b\end{array}\right)$
解得 $\binom{k=-1}{b=7}$,

$\therefore \mathrm{y}=-\mathrm{x}+7$.

（2）解: 当 $x=2$ 时, $y=-x+7=-2+7=5, y==^{\frac{6}{x}}=\frac{6}{2}=3$,

$\because 3<\mathrm{y}<5$ 时, $\therefore$ 有格点 $(2,4)$;

当 $x=3$ 时, $y=-x+7=-3+7=4, y={ }^{\frac{6}{x}}=\frac{6}{3}=2$,

$\because 2<\mathrm{y}<4, \therefore$ 有格点（3,3）;

当 $\mathrm{x}=4$ 时, $\mathrm{y}=-\mathrm{x}+7=-4+7=3, \mathrm{y}={ }^{\frac{6}{x}}={ }^{\frac{6}{4}}=1.25$,

$\because 1.25<\mathrm{y}<3, \therefore$ 有格点（3,2）;

当 $\mathrm{x}=5$ 时, $\mathrm{y}=-\mathrm{x}+7=-5+7=2, \mathrm{y}={ }^{\frac{6}{x}}=\frac{6}{5}=1.2$,

$\because 1.2<\mathrm{y}<2$ 之间没有整数, $\therefore$ 没有格点;综上, 有 3 个格点.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题

【解析】【分析】 (1) 因为图象经过 B 点, 把 B 点坐标代入函数式即可求出 $m$, 现知 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 点坐标,利用待定系数法即可求出直线 $\mathrm{AB}$ 的函数式;

(2) 用列举法, 分别把 $\mathrm{x}=2,3,4,5$ 代入两个函数式, 如果两个函数值之间有整数点, 则有格点, 否则就没有.
解析： (1) 解: $\because$ 图象过 $\mathrm{B}$ 点,

$\therefore \mathrm{m}=\mathrm{xy}=6 \times 1=6$,

$\therefore \mathrm{y}=\frac{6}{x}$,

$\therefore$ 设直线 $\mathrm{AB}$ 的函数式为: $\mathrm{y}=\mathrm{kx}+\mathrm{b}$,

$\left.\therefore \begin{array}{l}6=k \times 1+b \\ 1=k \times 6+b\end{array}\right)$
解得 $\binom{k=-1}{b=7}$,

$\therefore \mathrm{y}=-\mathrm{x}+7$.

（2）解: 当 $x=2$ 时, $y=-x+7=-2+7=5, y==^{\frac{6}{x}}=\frac{6}{2}=3$,

$\because 3<\mathrm{y}<5$ 时, $\therefore$ 有格点 $(2,4)$;

当 $x=3$ 时, $y=-x+7=-3+7=4, y={ }^{\frac{6}{x}}=\frac{6}{3}=2$,

$\because 2<\mathrm{y}<4, \therefore$ 有格点（3,3）;

当 $\mathrm{x}=4$ 时, $\mathrm{y}=-\mathrm{x}+7=-4+7=3, \mathrm{y}={ }^{\frac{6}{x}}={ }^{\frac{6}{4}}=1.25$,

$\because 1.25<\mathrm{y}<3, \therefore$ 有格点（3,2）;

当 $\mathrm{x}=5$ 时, $\mathrm{y}=-\mathrm{x}+7=-5+7=2, \mathrm{y}={ }^{\frac{6}{x}}=\frac{6}{5}=1.2$,

$\because 1.2<\mathrm{y}<2$ 之间没有整数, $\therefore$ 没有格点;综上, 有 3 个格点.

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题

【解析】【分析】 (1) 因为图象经过 B 点, 把 B 点坐标代入函数式即可求出 $m$, 现知 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 点坐标,利用待定系数法即可求出直线 $\mathrm{AB}$ 的函数式;

(2) 用列举法, 分别把 $\mathrm{x}=2,3,4,5$ 代入两个函数式, 如果两个函数值之间有整数点, 则有格点, 否则就没有.
题目（八年级 · 解析几何）：如图, 一个梯子 $A B$ 长 2.5 米, 顶端 $A$ 靠在墙 $A C$ 上,

这时梯子下端 $B$ 与墙角 $C$ 距离为 0.7 米, 梯子滑动后停在 $D E$ 的位置上,

测得 $B D$ 长为 1.3 米, 求梯子顶端 $A$ 下落了多少米?


选项：
答案：解: 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $A B=2.5$ 米, $B C=0.7$ 米,

故 $A C=\sqrt{A B^{2}-B C^{2}}=\sqrt{2.5^{2}-0.7^{2}}=2.4$ 米,

在 Rt $\triangle E C D$ 中, $A B=D E=2.5$ 米, $C D=(1.3+0.7)=2$ 米,

故 $E C=\sqrt{D E^{2}-C D^{2}}=\sqrt{2.5^{2}-2^{2}}=1.5$ 米,

故 $A E=A C-C E=2.4-1.5=0.9$ 米.

答: 梯子下滑了 0.9 米.
解析：解: 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $A B=2.5$ 米, $B C=0.7$ 米,

故 $A C=\sqrt{A B^{2}-B C^{2}}=\sqrt{2.5^{2}-0.7^{2}}=2.4$ 米,

在 Rt $\triangle E C D$ 中, $A B=D E=2.5$ 米, $C D=(1.3+0.7)=2$ 米,

故 $E C=\sqrt{D E^{2}-C D^{2}}=\sqrt{2.5^{2}-2^{2}}=1.5$ 米,

故 $A E=A C-C E=2.4-1.5=0.9$ 米.

答: 梯子下滑了 0.9 米.
题目（八年级 · 解析几何）：如图, 一个牧童在小河的南 $4 \mathrm{~km}$ 的 $A$ 处牧马, 而他正位于他的小屋 $B$ 的西 $8 \mathrm{~km}$ 北 $7 \mathrm{~km}$ 处,他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家．他要完成这件事情所走的最短路程是多少？


选项：
答案：解：如图, 做出点 $A$ 关于小河 $M N$ 的对称点 $A^{\prime}$, 连接 $A^{\prime} B$ 交 $M N$ 于点 $P$,

则 $A^{\prime} B$ 就是牧童要完成这件事情所走的最短路程长度.

<ImageHere>

由题意知: $A^{\prime} D=4+4+7=15 \mathrm{~km}, B D=8 \mathrm{~km}, \angle D=90^{\circ}$,在 Rt $\triangle A^{\prime} D B$ 中, 由勾股定理求得 $A^{\prime} B=\sqrt{A^{\prime} D^{2}+B D^{2}}=17 \mathrm{~km}$,则他要完成这件事情所走的最短路程是 $17 \mathrm{~km}$.
解析：解：如图, 做出点 $A$ 关于小河 $M N$ 的对称点 $A^{\prime}$, 连接 $A^{\prime} B$ 交 $M N$ 于点 $P$,

则 $A^{\prime} B$ 就是牧童要完成这件事情所走的最短路程长度.



由题意知: $A^{\prime} D=4+4+7=15 \mathrm{~km}, B D=8 \mathrm{~km}, \angle D=90^{\circ}$,在 Rt $\triangle A^{\prime} D B$ 中, 由勾股定理求得 $A^{\prime} B=\sqrt{A^{\prime} D^{2}+B D^{2}}=17 \mathrm{~km}$,则他要完成这件事情所走的最短路程是 $17 \mathrm{~km}$.
题目（八年级 · 解析几何）：如图, 一个牧童在小河的南 $4 \mathrm{~km}$ 的 $A$ 处牧马, 而他正位于他的小屋 $B$ 的西 $8 \mathrm{~km}$ 北 $7 \mathrm{~km}$ 处,他想把他的马牵到小河边去饮水, 然后回家. 他要完成这件事情所走的最短路程是多少?


选项：
答案：解: 如图, 做出点 $A$ 关于小河 $M N$ 的对称点 $A^{\prime}$, 连接 $A^{\prime} B$ 交 $M N$ 于点 $P$,则 $A^{\prime} B$ 就是牧童要完成这件事情所走的最短路程长度.

<ImageHere>

由题意知: $A^{\prime} D=4+4+7=15 \mathrm{~km}, B D=8 \mathrm{~km}, \angle D=90^{\circ}$,在 Rt $\triangle A^{\prime} D B$ 中, 由勾股定理求得 $A^{\prime} B=\sqrt{A^{\prime} D^{2}+B D^{2}}=17 \mathrm{~km}$,则他要完成这件事情所走的最短路程是 $17 \mathrm{~km}$.
解析：解: 如图, 做出点 $A$ 关于小河 $M N$ 的对称点 $A^{\prime}$, 连接 $A^{\prime} B$ 交 $M N$ 于点 $P$,则 $A^{\prime} B$ 就是牧童要完成这件事情所走的最短路程长度.



由题意知: $A^{\prime} D=4+4+7=15 \mathrm{~km}, B D=8 \mathrm{~km}, \angle D=90^{\circ}$,在 Rt $\triangle A^{\prime} D B$ 中, 由勾股定理求得 $A^{\prime} B=\sqrt{A^{\prime} D^{2}+B D^{2}}=17 \mathrm{~km}$,则他要完成这件事情所走的最短路程是 $17 \mathrm{~km}$.
题目（八年级 · 解析几何）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A D$ 是 $\triangle A B C$ 的角平分线, $D E \perp A C$, 若 $\angle B=42^{\circ}, \angle C=58^{\circ}$.



(1) 求 $\angle B A D$ 的度数;

(2) 求 $\angle A D E$ 的度数.
选项：
答案：(1) 解: $\because \angle B=42^{\circ}, \angle C=58^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C=180^{\circ}-\angle B-\angle C=80^{\circ}$,

又 $\because A D$ 是 $\triangle A B C$ 的角平分线,

$\therefore \angle B A D=\frac{1}{2} \angle B A C=40^{\circ}$.

(2) 由 (1) 得: $\angle C A D=\frac{1}{2} \angle B A C=40^{\circ}$,

$\because D E \perp A C$,

$\therefore \angle A E D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A D E=90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$.
解析：(1) 解: $\because \angle B=42^{\circ}, \angle C=58^{\circ}$,

$\therefore \angle B A C=180^{\circ}-\angle B-\angle C=80^{\circ}$,

又 $\because A D$ 是 $\triangle A B C$ 的角平分线,

$\therefore \angle B A D=\frac{1}{2} \angle B A C=40^{\circ}$.

(2) 由 (1) 得: $\angle C A D=\frac{1}{2} \angle B A C=40^{\circ}$,

$\because D E \perp A C$,

$\therefore \angle A E D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A D E=90^{\circ}-40^{\circ}=50^{\circ}$.
题目（八年级 · 解析几何）：如图, 已知 $\triangle A B C$ 和 $\triangle C D E$ 均为等边三角形, 且点 $B 、 C 、 D$ 在同一条直线上,连接 $A D 、 B E$, 交 $C E$ 和 $A C$ 分别于 $G 、 H$ 点, 连接 $G H$.

(1) 求证: $A D=B E$;

(2) 求证: $\triangle B C H \cong \triangle A C G$;

（3）试猜想： $\triangle C G H$ 是什么特殊的三角形, 并加以说明.


选项：
答案：解: (1) $\because \triangle A B C$ 和 $\triangle C D E$ 均为等边三角形,

$\therefore A C=B C, E C=D C$,

$\angle A C B=\angle E C D=60^{\circ}$,

$\therefore \angle A C D=\angle E C B$,

$\therefore \triangle A C D \cong \triangle B C E(S A S)$,

$\therefore A D=B E$

(2) $\because \triangle A C D \cong \triangle B C E$,

$\therefore \angle C B H=\angle C A G$,
$\because \angle A C B=\angle E C D=60^{\circ}$ ，点 $B 、 C 、 D$ 在同一条直线上,

$\therefore \angle A C G=60^{\circ}=\angle A C B$

又 $\because A C=B C$,

$\therefore \triangle A C G \xlongequal{\triangle} \triangle B C H(A S A)$

(3) $\triangle C G H$ 是等边三角形, 理由如下:

$\because \triangle A C G \cong \triangle B C H$

$\therefore C G=C H($ 全等三角形的对应边相等 $)$,

又 $\because \angle A C G=60^{\circ} ，$

$\therefore \triangle C G H$ 是等边三角形（有一内角为 60 度的等腰三角形为等边三角形）.
解析：解: (1) $\because \triangle A B C$ 和 $\triangle C D E$ 均为等边三角形,

$\therefore A C=B C, E C=D C$,

$\angle A C B=\angle E C D=60^{\circ}$,

$\therefore \angle A C D=\angle E C B$,

$\therefore \triangle A C D \cong \triangle B C E(S A S)$,

$\therefore A D=B E$

(2) $\because \triangle A C D \cong \triangle B C E$,

$\therefore \angle C B H=\angle C A G$,
$\because \angle A C B=\angle E C D=60^{\circ}$ ，点 $B 、 C 、 D$ 在同一条直线上,

$\therefore \angle A C G=60^{\circ}=\angle A C B$

又 $\because A C=B C$,

$\therefore \triangle A C G \xlongequal{\triangle} \triangle B C H(A S A)$

(3) $\triangle C G H$ 是等边三角形, 理由如下:

$\because \triangle A C G \cong \triangle B C H$

$\therefore C G=C H($ 全等三角形的对应边相等 $)$,

又 $\because \angle A C G=60^{\circ} ，$

$\therefore \triangle C G H$ 是等边三角形（有一内角为 60 度的等腰三角形为等边三角形）.
题目（八年级 · 解析几何）：如图, 已知 $A(3,4), B(1,2), C(5,1)$.



(1) 作 $\triangle A B C$ 关于 $x$ 轴对称的 $\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$; 写出对称后三个顶点的坐标.

(2) 在 $x$ 轴上找一点 $P$ 使得 $P C+P B$ 最小, 画出点 $P$ 所在的位置;

(3) 求 $\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积.
选项：
答案：解: (1) 如图所示 $\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$ 即为所求;

<ImageHere>

由图可知: $A_{1}(3,-4), B_{1}(1,-2), C_{1}(5,-1)$;

(2) 如图所示点 $P$ 即为所求;

<ImageHere>

$\because C, C_{1}$ 关于 $x$ 轴对称,

$\therefore B P+C P=B P+C_{1} P \geq B C_{1}$,

$\therefore$ 当 $B, P, C_{1}$ 三点共线时, $P C+P B$ 的值最小;

(3) $\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积 $3 \times 4-\frac{1}{2} \times 4 \times 1-\frac{1}{2} \times 2 \times 2-\frac{1}{2} \times 3 \times 2=5$.
解析：解: (1) 如图所示 $\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$ 即为所求;



由图可知: $A_{1}(3,-4), B_{1}(1,-2), C_{1}(5,-1)$;

(2) 如图所示点 $P$ 即为所求;



$\because C, C_{1}$ 关于 $x$ 轴对称,

$\therefore B P+C P=B P+C_{1} P \geq B C_{1}$,

$\therefore$ 当 $B, P, C_{1}$ 三点共线时, $P C+P B$ 的值最小;

(3) $\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积 $3 \times 4-\frac{1}{2} \times 4 \times 1-\frac{1}{2} \times 2 \times 2-\frac{1}{2} \times 3 \times 2=5$.
题目（八年级 · 解析几何）：如图, $A E=D F, A C=D B$, 点 $E, B, C, F$ 在一条直线上, 且 $E B=F C$. 求证: $A E / / D F$.


选项：
答案：解: 证明: $\because B E=F C$,

$\therefore B E+B C=B C+F C$,
即 $E C=F B ，$

在 $\triangle A C E$ 与 $\triangle D B F$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}A E=D F \\ C E=B F, \\ A C=D B\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A C E \cong \triangle D B F(\mathrm{SSS})$,

$\therefore \angle E=\angle F$,

$\therefore A E / / D F$.
解析：解: 证明: $\because B E=F C$,

$\therefore B E+B C=B C+F C$,
即 $E C=F B ，$

在 $\triangle A C E$ 与 $\triangle D B F$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}A E=D F \\ C E=B F, \\ A C=D B\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A C E \cong \triangle D B F(\mathrm{SSS})$,

$\therefore \angle E=\angle F$,

$\therefore A E / / D F$.
题目（八年级 · 解析几何）：如图正方形网格中的每个小正方形的边长都是 1 , 每个小正方形的顶点称为格点, 利用正方形网
格可以画出长度为无理数的线段, 如图 $1, A B=\sqrt{3^{2}+2^{2}}=\sqrt{13}$, 请参考此方法按下列要求作图.

(1) 在图 1 中以格点为顶点画一个面积为 13 的正方形 $A B C D$, 并标出字母;

(2) 在图 2 中以格点为顶点画一个 $\triangle E F M$, 使 $E F=2 \sqrt{5}, F M=2 \sqrt{5}, E M=2 \sqrt{10}$;

(3) 猜想 $\triangle E F M$ 是什么形状的三角形？并说明理由.



图1



图2
选项：
答案：解: (1) 如图 1 所示, 四边形 $A B C D$ 即为所求作的正方形;

(2) 如图 2 所示, $\triangle E F M$ 即为所求作三角形（答案不唯一）;

(3) $\triangle E F M$ 为等腰直角三角形,

$\because E F^{2}+F M^{2}=(2 \sqrt{5})^{2}+(2 \sqrt{5})^{2}=40$,

$E M^{2}=(2 \sqrt{10})^{2}=40$,

<ImageHere>

图1

$\therefore E F^{2}+F M^{2}=E M^{2}$, 即 $\triangle E F M$ 为直角三角形,

<ImageHere>

图2

又 $\because E F=F M=2 \sqrt{5}, \therefore \triangle E F M$ 为等腰直角三角形.
解析：解: (1) 如图 1 所示, 四边形 $A B C D$ 即为所求作的正方形;

(2) 如图 2 所示, $\triangle E F M$ 即为所求作三角形（答案不唯一）;

(3) $\triangle E F M$ 为等腰直角三角形,

$\because E F^{2}+F M^{2}=(2 \sqrt{5})^{2}+(2 \sqrt{5})^{2}=40$,

$E M^{2}=(2 \sqrt{10})^{2}=40$,



图1

$\therefore E F^{2}+F M^{2}=E M^{2}$, 即 $\triangle E F M$ 为直角三角形,



图2

又 $\because E F=F M=2 \sqrt{5}, \therefore \triangle E F M$ 为等腰直角三角形.
题目（八年级 · 解析几何）：设 $a=\sqrt{8-x}, b=2, c=\sqrt{6}$ (1)当 $a$ 有意义时, 求 $x$ 的取值范围;

(2)若 $a, b, c$ 为 $R t \triangle A B C$ 的三边长, 求 $x$ 的值.
选项：
答案：解: (1) $\because a$ 有意义,

$\therefore 8-x \geq 0, \quad \therefore x \leq 8$

(2) 方法一：分三种情况:

(1)当 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, 即 $8-x+4=6$, 得 $x=6$,

(2) 当 $a^{2}+c^{2}=b^{2}$, 即 $8-x+6=4$, 得 $x=10$,

(3)当 $b^{2}+c^{2}=a^{2}$, 即 $4+6=8-x$, 得 $x=-2$,

又 $\because x \leq 8, \therefore x=6$ 或 $-2 ;$

方法二: $\because$ 直角三角形中斜边为最长的边, $c>b$

$\therefore$ 存在两种情况,

(1)当 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, 即 $8-x+4=6$, 得 $x=6$,

(2) 当 $b^{2}+c^{2}=a^{2}$, 即 $4+6=8-x$, 得 $x=-2$,

$\therefore x=6$ 或 -2.

【解析】此题主要考查了二次根式的应用以及勾股定理等知识, 利用分类讨论得出是解题关键.
解析：解: (1) $\because a$ 有意义,

$\therefore 8-x \geq 0, \quad \therefore x \leq 8$

(2) 方法一：分三种情况:

(1)当 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, 即 $8-x+4=6$, 得 $x=6$,

(2) 当 $a^{2}+c^{2}=b^{2}$, 即 $8-x+6=4$, 得 $x=10$,

(3)当 $b^{2}+c^{2}=a^{2}$, 即 $4+6=8-x$, 得 $x=-2$,

又 $\because x \leq 8, \therefore x=6$ 或 $-2 ;$

方法二: $\because$ 直角三角形中斜边为最长的边, $c>b$

$\therefore$ 存在两种情况,

(1)当 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, 即 $8-x+4=6$, 得 $x=6$,

(2) 当 $b^{2}+c^{2}=a^{2}$, 即 $4+6=8-x$, 得 $x=-2$,

$\therefore x=6$ 或 -2.

【解析】此题主要考查了二次根式的应用以及勾股定理等知识, 利用分类讨论得出是解题关键.
题目（八年级 · 解析几何）：如图 1 所示,一架云梯斜靠在一坚直的墙上, 云梯的顶端距地面 15 米,

梯子的长度比梯子底端离墙的距离大 5 米.



图1



图2

(1) 这个云梯的底端离墙多远?

(2) 如图 2 所示, 如果梯子的顶端下滑了 8 米, 那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米?
选项：
答案：解: (1) 根据题意, 得 $\mathrm{OA}=15$ 米, $\mathrm{AB}-\mathrm{OB}=5$ 米

由勾股定理得 $O A^{2}+O B^{2}=A B^{2}$

$\therefore 15^{2}+O B^{2}=(5+O B)^{2}$

$\therefore O B=20$

即这个云梯的底端离墙 20 米远;

(2) 由 (1) 可得: $A B=20+5=25$ 米

根据题意可得: $\mathrm{OC}=15-8=7$ 米, $\mathrm{CD}=\mathrm{AB}=25$ 米

由勾股定理得 $\mathrm{OC}^{2}+\mathrm{OD}^{2}=\mathrm{CD}^{2}$

可得: $\mathrm{OD}=\sqrt{\mathrm{CD}^{2}-\mathrm{OC}^{2}}=\sqrt{25^{2}-7^{2}}=24$

$B D=O D-O B=24-20=4$ 米

即梯子的底部在水平方向滑动了 4 米
解析：解: (1) 根据题意, 得 $\mathrm{OA}=15$ 米, $\mathrm{AB}-\mathrm{OB}=5$ 米

由勾股定理得 $O A^{2}+O B^{2}=A B^{2}$

$\therefore 15^{2}+O B^{2}=(5+O B)^{2}$

$\therefore O B=20$

即这个云梯的底端离墙 20 米远;

(2) 由 (1) 可得: $A B=20+5=25$ 米

根据题意可得: $\mathrm{OC}=15-8=7$ 米, $\mathrm{CD}=\mathrm{AB}=25$ 米

由勾股定理得 $\mathrm{OC}^{2}+\mathrm{OD}^{2}=\mathrm{CD}^{2}$

可得: $\mathrm{OD}=\sqrt{\mathrm{CD}^{2}-\mathrm{OC}^{2}}=\sqrt{25^{2}-7^{2}}=24$

$B D=O D-O B=24-20=4$ 米

即梯子的底部在水平方向滑动了 4 米
题目（八年级 · 解析几何）：如图, $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}, \mathrm{DE} \perp \mathrm{AC}, \mathrm{BF} \perp \mathrm{AC}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ 是垂足, $\mathrm{AE}=\mathrm{CF}$, 求证: $\mathrm{AB} / / \mathrm{CD}$.


选项：
答案：证明: $\because A E=C F$,
$\therefore A E+E F=C F+E F$, 即 $A F=E C$.

又 $\because B F \perp A C, D E \perp A C$,

$\therefore \angle A F B=\angle C E D=90^{\circ}$.

在 Rt $\triangle A B F$ 与 Rt $\triangle C D E$ 中,

$\because\left\{\begin{array}{l}A F=C E \\ A B=C D\end{array}\right.$,

$\therefore \mathrm{Rt} \triangle A B F \xlongequal{ } \mathrm{Rt} \triangle C D E(\mathrm{HL})$,

$\therefore \angle C=\angle A$,

$\therefore A B / / C D$
解析：证明: $\because A E=C F$,
$\therefore A E+E F=C F+E F$, 即 $A F=E C$.

又 $\because B F \perp A C, D E \perp A C$,

$\therefore \angle A F B=\angle C E D=90^{\circ}$.

在 Rt $\triangle A B F$ 与 Rt $\triangle C D E$ 中,

$\because\left\{\begin{array}{l}A F=C E \\ A B=C D\end{array}\right.$,

$\therefore \mathrm{Rt} \triangle A B F \xlongequal{ } \mathrm{Rt} \triangle C D E(\mathrm{HL})$,

$\therefore \angle C=\angle A$,

$\therefore A B / / C D$