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题目（九年级 · 组合几何学）：(6 分) 如图, $\odot O$ 中, 弦 $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $E, A B=C D$, 连接 $A D, B C$. 求证:

$$
A D=B C \text {. }
$$




选项：
答案： 证明见详解


解析：由 $A B=C D$ 知 $A B=C D$, 得到 $A D+A C=B C+A C$, 即可得出 $A D=B C$.

【详解】解: $\because A B=C D$,

$\therefore A B=C D$, 即 $A D+A C=B C+A C$ ，

$\therefore A D=B C$.

【点睛】本题主要考查圆心角、弧、弦的关系, 理解在同圆或等圆中, (1)圆心角相等, (2)所对的弧相等, (3)所对的弦相等, 三项“知一推二”, 一项相等, 其余二项皆相等是解题关键.
题目（九年级 · 组合几何学）：(8 分) 已知: 如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C$, 以腰 $A B$ 为直径作半圆 $O$, 分别交 $B C, A C$于点 $D, E$.



(1)求证: $B D=D C$.

(2)若 $\angle B A C=40^{\circ}$, 求圆弧 $B D, D E, A E$ 所对的圆心角的度数.


选项：
答案： (1)证明见解析

(2)分别为 $40^{\circ} 、 40^{\circ} 、 100^{\circ}$


解析：(1) 连接 $B E, A D$, 利用 $A B$ 是圆的直径, 再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可;

（2）根据 $A B$ 是圆的直径可知 $\angle A D B=\angle A E B=90^{\circ}$, 从而求出 $\angle B A D=\angle D A C=\frac{1}{2} \angle B A C=20^{\circ}$, 再根据圆周角定理求解即可;

【详解】(1) 解：连接 $B E 、 A D$,

$\because A B$ 是圆的直径,

$\therefore \angle A D B=90^{\circ}$,



$\therefore A D$ 是 $\triangle A B C$ 的高,

$\because A B=A C$,

$\therefore B D=C D$.

(2) 解: $\because A B$ 是圆的直径,

$\therefore \angle A D B=\angle A E B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A D B=\angle A E B=90^{\circ}$,

$\because A B=A C, \angle A D B=90^{\circ}, \angle B A C=40^{\circ}$,

$\therefore \angle B A D=\angle D A C=\frac{1}{2} \angle B A C=20^{\circ}$,

$\therefore$ 由圆周角定理得: $B D$ 所对的圆心角的度数是 $2 \angle D A B=40^{\circ}$,

$D E$ 所对的圆心角的度数是 $2 \angle D A E=40^{\circ}$,
$A E$ 所对的圆心角的度数是 $2 \angle A B E=2 \times\left(90^{\circ}-40^{\circ}\right)=100^{\circ}$

【点睛】本题主要考查了圆的相关知识, 掌握直径所对的圆周角是 $90^{\circ}$ 、圆周角定理, 等腰三角形的性质等知识是解题的关键.
题目（九年级 · 组合几何学）：(12 分) 如图, 圆内接四边形 $A B C D$ 的对角线 $A C, B D$ 交于点 $E, B D$ 平分 $\angle A B C$, $\angle B A C=\angle A D B$.



(1)求证 $D B$ 平分 $\angle A D C$, 并求 $\angle B A D$ 的大小;

(2)过点 $C$ 作 $C F / / A D$ 交 $A B$ 的延长线于点 $F$. 若 $A C=A D, B F=2$, 求此圆半径的长.

##
选项：
答案： (1) 见解析, $\angle B A D=90^{\circ}$

(2) 4


解析：(1) 根据已知得出 $A B=B C$, 则 $\angle A D B=\angle C D B$, 即可证明 $D B$ 平分 $\angle A D C$, 进而根据 $B D$ 平分 $\angle A B C$, 得出 $A D=C D$, 推出 $B A D=B C D$, 得出 $B D$ 是直径, 进而可得 $\angle B A D=90^{\circ} ;$

（2）根据（1）的结论结合已知条件得出, $\angle F=90^{\circ}, \triangle A D C$ 是等边三角形, 进而得出 $\angle C D B=\frac{1}{2} \angle A D C=30^{\circ}$, 由 $B D$ 是直径, 根据含 30 度角的直角三角形的性质可得 $B C=\frac{1}{2} B D$,在 Rt $\triangle B F C$ 中, 根据含 30 度角的直角三角形的性质求得 $B C$ 的长, 进而即可求解.

【详解】(1) 解: $\because \angle B A C=\angle A D B$

$\therefore A B=B C$,

$\therefore \angle A D B=\angle C D B$, 即 $D B$ 平分 $\angle A D C$.

$\because B D$ 平分 $\angle A B C$,

$\therefore \angle A B D=\angle C B D$,

$\therefore A D=C D$,

$\therefore A B+A D=B C+C D$, 即 $B A D=B C D$,

$\therefore B D$ 是直径,

$\therefore \angle B A D=90^{\circ}$;

(2) 解: $\because \angle B A D=90^{\circ}, C F / / A D$,

$\therefore \angle F+\angle B A D=180^{\circ}$, 则 $\angle F=90^{\circ}$.

$\because A D=C D$,

$\therefore A D=D C$.

$\because A C=A D$,

$\therefore A C=A D=C D$,

$\therefore \triangle A D C$ 是等边三角形, 则 $\angle A D C=60^{\circ}$.

$\because B D$ 平分 $\angle A D C$,

$\therefore \angle C D B=\frac{1}{2} \angle A D C=30^{\circ}$.

$\because B D$ 是直径,

$\therefore \angle B C D=90^{\circ}$, 则 $B C=\frac{1}{2} B D$.

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是圆内接四边形,

$\therefore \angle A D C+\angle A B C=180^{\circ}$, 则 $\angle A B C=120^{\circ}$,

$\therefore \angle F B C=60^{\circ}$,

$\therefore \angle F C B=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$,

$\therefore F B=\frac{1}{2} B C$.

$\because B F=2$,

$\therefore B C=4$,

$\therefore B D=2 B C=8$.

$\because B D$ 是直径,

$\therefore$ 此圆半径的长为 $\frac{1}{2} B D=4$.

【点睛】本题考查了弧与圆周角的关系, 等弧所对的圆周角相等, 直径所对的圆周角是直角,含 30 度角的直角三角形的性质, 等边三角形的性质与判定, 圆内接四边形对角互补, 熟练
掌握以上知识是解题的关键.
题目（九年级 · 组合几何学）：(6 分) 已知: 如图, 等边三角形 $A B C$ 的三个顶点都在 $\odot O$ 上.

求证: $\angle A O B=\angle B O C=\angle C O A=120^{\circ}$.




选项：
答案： 见解析


解析：连接 $O A, O B, O C$, 根据弧、弦、圆心角的关系证明即可.

【详解】证明：连接 $O A, O B, O C$.



$\because A B=B C=C A$,

$\therefore \angle A O B=\angle B O C=\angle C O A=\frac{1}{3} \times 360^{\circ}=120^{\circ}$.

【点睛】本题考查弧、弦、圆心角的关系，掌握定理是解题的关键.
题目（九年级 · 组合几何学）：(8 分) 如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, 弦 $C D$ 交 $A B$ 于点 $E$, 连接 $A C, A D$. 若 $\angle B A C=35^{\circ}$,



(1)求 $\angle D$ 的度数;

(2)若 $\angle A C D=65^{\circ}$, 求 $\angle C E B$ 的度数.


选项：
答案： (1)55 度

(2) 100 度


解析：(1) 先根据直径所对的角是直角得出 $\angle A C B=90^{\circ}$, 再根据三角形内角和定理得出 $\angle A B C=55^{\circ}$, 最后根据同弧所对的圆周角相等, 求解即可;

（2）根据三角形外角的性质求解即可.

【详解】(1) 连接 $C B$,



$\because A B$ 是 $\odot O$ 的直径,

$\therefore \angle A C B=90^{\circ}$,

$\because \angle B A C=35^{\circ}$,

$\therefore \angle A B C=90^{\circ}-\angle B A C=55^{\circ}$,

$\therefore \angle A B C=\angle D=55^{\circ} \angle A B C=\angle D=55^{\circ}$;

(2) $\because \angle C E B$ 是 $\triangle A C E$ 的一个外角, $\angle B A C=35^{\circ}, \angle A C D=65^{\circ}$,

$\therefore \angle C E B=\angle B A C+\angle A C D=100^{\circ}$.

【点睛】本题考查了圆周角定理, 三角形内角和定理和外角的性质, 熟练掌握知识点是解题的关键.
题目（九年级 · 组合几何学）：(本小题8.0分)

已知: 如图, $O$ 为等腰三角形 $A B C$ 的底边 $A B$ 的中点, 以 $A B$ 为直径的半圆分别交 $A C, B C$ 于点 $D, E$. 求
证: $\overparen{A D}=\overparen{B E}$.




选项：
答案：略

## 
解析：略
题目（九年级 · 组合几何学）：(本小题8.0分)

如图, 在 $\odot O$ 中, $A B, D E$ 为 $\odot O$ 的直径, $C$ 是 $\odot O$ 上一点, 且 $\overparen{A D}=\overparen{C E}$.



(1) $B E$ 与 $C E$ 有什么数量关系? 为什么?

(2)若 $\angle B O E=60^{\circ}$, 则四边形 $O A C E$ 是什么特殊的四边形?请说明理由.


选项：
答案：【小题1】

$B E=C E$. 理由如下: $\because A B, D E$ 是 $\odot O$ 的直径, $\therefore \angle A O D=\angle B O E, \therefore \overparen{A D}=\overparen{B E} \cdot \because \overparen{A D}=\overparen{C E}, \therefore \overparen{B E}=\overparen{C E}$ ，

$\therefore B E=C E$.

【小题2】

连结 $O C$, 如图, $\because \angle B O E=60^{\circ}, B E=C E, \therefore \angle C O E=60^{\circ} . \because O C=O E, \therefore \triangle C O E$ 是等边三角形. $\because$ $\angle A O C=180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}, O A=O C, \therefore \triangle A O C$ 是等边三角形, $\therefore O E=C E=O A=A C=O C$, $\therefore$ 四边形 $O A C E$ 是菱形.

<ImageHere>


解析：1.见答案

2.见答案
题目（九年级 · 组合几何学）：(本小题8.0分)

如图所示, 在 $\odot O$ 中, 弦 $A B$ 与 $C D$ 相交于点 $E, A B=C D$, 连结 $A D, B C$.



求证: (1) $\overparen{A D}=\overparen{B C}$.

(2) $A E=C E$.


选项：
答案：证明: (1) $\because A B=C D$,

$\therefore \overparen{A B}=\overparen{C D}$, 即 $\overparen{A D}+\overparen{A C}=\overparen{B C}+\overparen{A C}$,

$\therefore \overparen{A D}=\overparen{B C}$.

(2) $\because \overparen{A D}=\overparen{B C}$,

$\therefore A D=B C$.

又 $\because \angle A D E=\angle C B E, \angle D A E=\angle B C E$,

$\therefore \triangle A D E \cong \triangle C B E(A S A)$,

$\therefore A E=C E$.

## 
解析：略
题目（九年级 · 组合几何学）：(本小题8.0分)

如图, $A B$ 是 $\odot O$ 的直径, $C$ 是 $\overparen{B D}$ 的中点, $C E \perp A B$ 于点 $E, B D$ 交 $C E$ 于点 $F$.



(1)求证: $C F=B F$;

(2)若 $C D=6, A C=8$, 求 $\odot O$ 的半径及 $C E$ 的长.

## 
选项：
答案：解：(1)证明： $\because A B$ 为 $\odot O$ 的直径,

$\therefore \angle A C B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A=90^{\circ}-\angle A B C$.

$\because C E \perp A B$,

$\therefore \angle C E B=90^{\circ}$,
$\therefore \angle E C B=90^{\circ}-\angle A B C$,

$\therefore \angle E C B=\angle A$.

$\because C$ 是弧 $B D$ 的中点,

$\therefore \overparen{C D}=\overparen{C B}$

$\therefore \angle D B C=\angle A$,

$\therefore \angle E C B=\angle D B C$,

$\therefore C F=B F$.

(2) $\because \overparen{C D}=\overparen{C B}$,

$\therefore B C=C D=6$.

$\because \angle A C B=90^{\circ}$,

$\therefore A B=\sqrt{B C^{2}+A C^{2}}=\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$,

$\therefore \odot O$ 的半径为 5 ,

$\because S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} A B \cdot C E=\frac{1}{2} B C \cdot A C$,

$\therefore C E=\frac{B C \cdot A C}{A B}=4.8$.


解析：见答案.
题目（九年级 · 组合几何学）：(本小题8.0分)

如图, 小亮从点 $O$ 处出发, 前进 5 米后向右转 $15^{\circ}$, 再前进 5 米后又向右转 $15^{\circ}$, 这样走 $n$ 次后恰好回到出发点 $O$ 处.

O.



(1)小亮走出的这个 $n$ 边形的每个内角是多少度?这个 $n$ 边形的内角和是多少度?

(2)小亮走出的这个 $n$ 边形的周长是多少米?


选项：
答案：【小题1】

这个 $n$ 边形每个内角度数为 $180^{\circ}-15^{\circ}=165^{\circ} . \because$ 多边形外角和为 $360^{\circ}, \therefore 15 n=360$, 解得 $n=24$, $\therefore$ 这个 $n$ 边形的内角和是

$(24-2) \times 180^{\circ}=3960^{\circ}$.

## 【小题2】

$5 \times 24=120$ (米).

$\therefore$ 小亮走出的这个 $n$ 边形的周长是 120 米.

## 
解析：1.略2.略
题目（九年级 · 组合几何学）：(本小题8.0分)

如图, 在 $\triangle A B C$ 和 $\triangle A C G$ 中, $D 、 E 、 F$ 分别在线段 $A B 、 A C 、 A G$ 上, 连接 $D E 、 E F, D E / / B C, E F / / C G$, $\frac{A D}{A B}=\frac{1}{3}, A F=3$, 求 $A G$ 的长.



##
选项：
答案：解: $\because D E / / B C, E F / / C G$,

$\therefore \frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}, \frac{A F}{A G}=\frac{A E}{A C}$,

$\therefore \frac{A D}{A B}=\frac{A F}{A G}$,

$\because \frac{A D}{A B}=\frac{1}{3}, A F=3$,

$\therefore A G=9$.


解析：由 $D E / / B C, E F / / C G$ 可得 $\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}, \frac{A F}{A G}=\frac{A E}{A C}$, 从而可得 $\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}$, 再由 $\frac{A D}{A B}=\frac{1}{3}, A F=3$ 可得结

果.

本题考查了平行线分线段成比例定理, 解决本题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理.
题目（九年级 · 组合几何学）：(本小题8.0分)
如图, 点 $D 、 E$ 分别为 $\triangle A B C$ 的 $A B 、 A C$ 边上的点, 且 $\triangle A D E \sim \triangle A B C$, 已知 $A D: D B=1: 2, B C=6 \mathrm{~cm}$,求 $D E$ 的长.




选项：
答案：解: $\because A D: D B=1: 2$,

$\therefore A D: A B=1: 3$,

$\because \triangle A B C \backsim \triangle A D E$,

$\therefore \frac{D E}{B C}=\frac{A D}{A B}$,
$\therefore D E=2 \mathrm{~cm}$.


解析：先根据 $A D: D B=1: 2$ 得出 $A D: A B=1: 3$ 的值, 再根据相似三角形对应边成比例即可得出 $D E$ 的长.

本题考查的是相似三角形的性质, 熟知相似三角形对应边的比等于相似比是解答此题的关键.
题目（九年级 · 组合几何学）：(本小题8.0分)

如图, 在矩形 $A B C D$ 中, 点 $E 、 F$ 分别在边 $A D 、 D C$ 上, $\triangle A B E \sim \triangle D E F, A B=6, A E=9, D E=2$. 求 $E F$ 的长.



## 
选项：
答案：解: $\because \triangle A B E \backsim \triangle D E F$,

$\therefore \frac{A B}{D E}=\frac{A E}{D F}$.

$\because A B=6, A E=9, D E=2$,

$\therefore D F=3$.

在 $R t \triangle D E F$ 中,

$E F=\sqrt{D E^{2}+D F^{2}}=\sqrt{2^{2}+3^{2}}=\sqrt{13}$.


解析：本题考查的是相似三角形的性质和勾股定理, 熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的

关键.

先根据相似三角形的性质求出 $D F$ 的长, 再由勾股定理即可得出结论.
题目（九年级 · 组合几何学）：(本小题8.0分)

如图, 四边形 $A B C D$ 和四边形 $A C E D$ 都是平行四边形, $R$ 是 $D E$ 的中点, 连接 $B R$, 分别与 $A C, C D$ 交于点 $P, Q$.



(1)求证: $\triangle A B P \sim \triangle D Q R$.

(2) 求 $\frac{B P}{Q R}$ 的值.


选项：
答案：解：(1)证明： $\because$ 四边形 $A B C D$ 和四边形 $A C E D$ 都是平行四边形,

$\therefore A B / / C D, A C / / D E$,

$\therefore \angle B A C=\angle A C D, \angle A C D=\angle C D E$,

$\therefore \angle B A C=\angle Q D R$,
$\because A B / / C D$,

$\therefore \angle A B P=\angle D Q R$,

$\therefore \triangle A B P \backsim \triangle D Q R$;

(2) $\because$ 四边形 $A B C D$ 和四边形 $A C E D$ 都是平行四边形,

$\therefore A D=B C, A D=C E, A B=C D$,

$\therefore B C=C E$,

$\because C P / / R E$,

$\therefore B P=P R$,

$\therefore C P=\frac{1}{2} R E$,

$\because$ 点 $R$ 为 $D E$ 的中点,

$\therefore D R=R E$,

$\therefore \frac{P C}{D R}=\frac{1}{2}$,

$\because C P / / D R$,

$\therefore \triangle C P Q \backsim \triangle D R Q$,

$\therefore \frac{C Q}{D Q}=\frac{C P}{D R}=\frac{1}{2}$,

$\therefore \frac{D Q}{D C}=\frac{2}{3}$,

$\therefore \frac{C D}{D Q}=\frac{3}{2}$,

$\therefore \frac{A B}{D Q}=\frac{3}{2}$.

由(1)得: $\triangle A B P \sim \triangle D Q R$,

$\therefore \frac{B P}{Q R}=\frac{A B}{D Q}=\frac{3}{2}$.


解析：此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质.

(1)根据平行线的性质可证明两三角形相似;

(2)根据平行四边形的性质及三角形中位线定理得: $B P=P R$, 则 $C P=\frac{1}{2} R E$, 证明 $\triangle C P Q \sim \triangle D R Q$,可得 $\frac{C Q}{D Q}=\frac{C P}{D R}=\frac{1}{2}$, 由(1)中的相似列比例式可得结论.
题目（九年级 · 组合几何学）：(本小题8.0分)

已知: 如图, $\triangle A B C$ 中, $A B=4, B C=8, D$ 为 $B C$ 边上一点, $B D=2$. 求证: $\angle B D A=\angle B A C$.




选项：
答案：证明：在 $\triangle A B C$ 中, $A B=4, B C=8, B D=2 . \therefore \frac{A B}{B C}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}, \frac{B D}{B A}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}, \therefore \frac{A B}{B C}=\frac{B D}{B A}$,又 $\because \angle A B D=\angle C B A, \therefore \triangle A B D \backsim \triangle C B A, \therefore \angle B D A=\angle B A C$.


解析：见答案
题目（九年级 · 组合几何学）：(本小题8.0分)

如图, 在矩形 $A B C D$ 中, $E$ 是 $B C$ 的中点, $D F \perp A E$, 垂足为 $F$.



(1)求证: $\triangle A B E \backsim \triangle D F A$.

(2)若 $A B=6, B C=4$, 求 $D F$ 的长.


选项：
答案：【小题1】

证明: $\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形,

$\therefore A D / / B C, \angle B=90^{\circ}, \therefore \angle D A F=\angle A E B$.

$\because D F \perp A E, \quad \therefore \angle A F D=\angle B=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle A B E \backsim \triangle D F A$.

## 【小题2】

$\because E$ 是 $B C$ 的中点, $B C=4, \therefore B E=2$.

$\because A B=6, \quad \therefore A E=\sqrt{A B^{2}+B E^{2}}=\sqrt{6^{2}+2^{2}}=2 \sqrt{10}$.

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形, $\therefore A D=B C=4$.
$\because \triangle A B E \backsim \triangle D F A, \quad \therefore \frac{A B}{D F}=\frac{A E}{A D}$,

$\therefore D F=\frac{A B \cdot A D}{A E}=\frac{6 \times 4}{2 \sqrt{10}}=\frac{6}{5} \sqrt{10}$.

## 
解析：1.见答案2.见答案
题目（九年级 · 组合几何学）：(本小题8.0分)
如图, 四边形 $A B C D$ 内接于半圆 $O, A B$ 是直径, $C$ 是 $\overparen{B D}$ 的中点, 延长 $A D, B C$ 交于点 $E$.

(1)求证: $C E=C D$.

(2)若 $A B=5, B C=\sqrt{5}$, 求 $A D$ 的长.




选项：
答案：(1)证明: 连接 $A C$,

<ImageHere>

$\because C$ 是 $\overparen{B D}$ 的中点,

$\therefore \overparen{C D}=\overparen{C B}$,

$\therefore \angle E A C=\angle B A C, \quad C D=C B$,

$\because A B$ 是直径,

$\therefore \angle A C E=\angle A C B=90^{\circ}$,

在 $\triangle A C E$ 与 $\triangle A C B$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}\angle E A C=\angle B A C \\ A C=A C \\ \angle A C E=\angle A C B\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A C E \cong \triangle A C B(A S A)$,

$\therefore B C=E C$,

$\therefore C D=C E$;

(2)解: 连接 $B D$,

<ImageHere>

由(1)知, $C E=B C=\sqrt{5}$,

$\therefore B E=B C+C E=2 \sqrt{5}$,
$\because$ 四边形 $A B C D$ 内接于半圆 $O$,

$\therefore \angle A B C+\angle A D C=180^{\circ}$,

$\because \angle A D C+\angle C D E=180^{\circ}$,

$\therefore \angle A B C=\angle C D E$,

$\because C E=C D$,

$\therefore \angle E=\angle C D E=\angle A B C$,

$\because A B$ 为直径,

$\therefore \angle A D B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B D E=90^{\circ}$,

$\because \angle A C B=\angle B D E=90^{\circ}, \angle A B C=\angle E$,

$\therefore \triangle A B C \backsim \triangle B E D$,

$\therefore \frac{A B}{B E}=\frac{B C}{E D}$,

$\therefore \frac{5}{2 \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{E D}$,

$\therefore E D=2$,

$\because \triangle A C E \cong \triangle A C B$,

$\therefore A E=A B=5$,

$\therefore A D=A E-E D=5-2=3$.


解析：(1)连接 $A C$, 根据 $C$ 是 $\overparen{B D}$ 的中点, 得 $\angle E A C=\angle B A C$, 根据 $A B$ 是直径, 知 $\angle A C E=\angle A C B=90^{\circ}$,再利用 $A S A$ 证明 $\triangle A C E \cong \triangle A C B$, 得 $B C=E C$, 从而证明结论;

(2)连接 $B D$, 利用两个角相等证明 $\triangle A B C \sim \triangle B E D$, 得 $\frac{A B}{B E}=\frac{B C}{E D}$, 可得 $E D$ 的长, 从而得出答案.

本题主要考查了圆周角定理, 圆心角、弧、弦的关系, 相似三角形的判定与性质, 全等三角形的判定与性质等知识, 证明 $\triangle A B C \sim \triangle B E D$ 是解题的关键.
题目（九年级 · 组合几何学）：(本小题8.0分)

如图, 四边形 $A B C D \sim$ 四边形 $G F E H$ 且 $\angle A=\angle G=70^{\circ}, \angle B=60^{\circ}, \angle E=120^{\circ}, D C=24, H E=18$, $H G=21$. 求 $\angle D 、 \angle F$ 的大小和 $A D$ 的长.



选项：
答案：解: $\because$ 四边形 $A B C D \backsim$ 四边形 $G F E H$,

$\therefore \angle C=\angle E=120^{\circ}, \angle F=\angle B=60^{\circ}$,

$\because \angle A=\angle G=70^{\circ}, \angle B=60^{\circ}$,
$\therefore \angle D=360^{\circ}-\angle A-\angle B-\angle C=360^{\circ}-70^{\circ}-60^{\circ}-120^{\circ}=110^{\circ}$, $\because$ 四边形 $A B C D \backsim$ 四边形 $G F E H$,

$\therefore \frac{D C}{H E}=\frac{A D}{H G}$,

$\because D C=24, H E=18, H G=21$,

$\therefore \frac{24}{18}=\frac{A D}{21}$,

解得: $A D=28$.

$\therefore \angle D=110^{\circ}, \angle F=60^{\circ}, A D=28$.


解析：由四边形 $A B C D \sim$ 四边形 $G F E H$, 根据相似四边形的对应角相等, 即可求得 $\angle C=\angle E=120^{\circ}$, $\angle F=\angle B=60^{\circ}$, 又由四边形的内角和等于 $360^{\circ}$, 即可求得 $\angle D$ 的度数; 根据相似四边形的对应边成比例, 即可求得 $A D$ 的长.

此题考查了相似四边形的性质. 此题比较简单, 解题的关键是注意掌握相似四边形的对应角相等与相似四边形的对应边成比例性质定理的应用.
题目（九年级 · 组合几何学）：(本小题8.0分)

如图，点 $E$ 是菱形 $A B C D$ 对角线 $C A$ 的延长线上任意一点，以线段 $A E$ 为边作一个菱形 $A E F G$, 且菱形 $A E F G \backsim$ 菱形 $A B C D$, 相似比是 $\sqrt{3}: 2$, 连接 $E B, G D$.



(1)求证: $E B=G D$.

(2)若 $\angle D A B=60^{\circ}, A B=2$, 求 $G D$ 的长.

##
选项：
答案：【小题1】

证明: $\because$ 菱形 $A E F G \backsim$ 菱形 $A B C D, \therefore \angle E A G=\angle B A D, A E=A G, A B=A D, \therefore \angle E A G+\angle G A B=\angle B A D+$ $\angle G A B, \therefore \angle E A B=\angle G A D . \because A E=A G, A B=A D, \therefore \triangle A E B \cong \triangle A G D, \quad \therefore E B=G D$.

【小题 2 】

如图, 连接 $B D$ 交 $A C$ 于点 $P$, 则 $B P \perp A C$.

$\because \angle D A B=60^{\circ}, \quad \therefore \angle P A B=30^{\circ}$.

$\because$ 菱形 $A E F G \backsim$ 菱形 $A B C D$, 相似比是 $\sqrt{3}: 2, A B=2, \therefore A E=\sqrt{3}, B P=\frac{1}{2} A B=1, \therefore A P=$ $\sqrt{A B^{2}-B P^{2}}=\sqrt{3}, \quad \therefore E P=A E+A P=2 \sqrt{3}$,

$\therefore E B=\sqrt{E P^{2}+B P^{2}}=\sqrt{12+1}=\sqrt{13}$,

$\therefore G D=\sqrt{13}$.

<ImageHere>

## 
解析：1.见答案2.见答案
题目（九年级 · 组合几何学）：(本小题8.0分)

某农场要建一个矩形动物场, 场地的一边靠墙(墙 $A B$ 长度不限), 另外三边用木栏围成, 木栏总长 20 米,设动物场 $C D$ 边的长为 $x m$, 矩形面积为 $y m^{2}$.



(1)矩形面积 $y=$ $\qquad$ (用含 $x$ 的代数式表示);

(2)当矩形动物场面积为 $48 m^{2}$ 时, 求 $C D$ 边的长.

(3)能否围成面积为 $60 m^{2}$ 矩形动物场?说明理由.


选项：
答案： (1) $-2 x^{2}+20 x$;

(2)解：由题意得 $-2 x^{2}+20 x=48$,

整理得 $x^{2}-10 x+24=0$,

解得 $x_{1}=4, x_{2}=6$,

$\therefore C D=4$ 或 6 , 符合题意,

答: $C D=4 m$ 或 $6 m$;

(3)解: 不能围成面积为 $60 m^{2}$ 矩形动物场.理由如下:

由题意得 $-2 x^{2}+20 x=60$,

整理得 $x^{2}-10 x+30=0$,

$\because a=1, b=-10, c=30$,

$\therefore \Delta=b^{2}-4 a c=(-10)^{2}-4 \times 1 \times 30=-20<0$,

$\therefore$ 方程没有实数解，故不能围成面积为 $60 \mathrm{~m}^{2}$ 矩形动物场.

## 
解析：【分析】

本题考查了二次函数和一元二次方程在几何面积问题中的应用, 正确分析题意, 列出式子, 是解题的关键.

(1)根据题意表示出 $D E$ 的长度, 进而可表示出 $y$ 与 $x$ 的函数关系式;

(2) 令 $y=48$, 解方程即可;

(3)令 $y=60$, 利用根的判别式判断即可.

## 【解答】

(1)解：根据题意得: $y=x(20-2 x)=-2 x^{2}+20 x$,

$\therefore y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y=-2 x^{2}+20 x$;

故答案为 $-2 x^{2}+20 x$;

(2)见答案;

(3)见答案.
题目（九年级 · 组合几何学）：如图, $\odot \mathrm{O}$ 的弦 $\mathrm{AB} 、 \mathrm{CD}$ 的延长线相交于点 $\mathrm{P}$, 且 $\mathrm{AB}=\mathrm{CD}$. 求证 $\mathrm{PA}=\mathrm{PC}$.




选项：
答案： 见解析.


解析：连接 $\mathrm{AC}$, 由圆心角、弧、弦的关系得出 $A B=C D$, 进而得出 $A D=C B$, 根据等弧所对的圆周角相等得出 $\angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{A}$, 根据等角对等边证得结论.

【详解】解: 如图, 连接 $A C$.

$\because A B=C D$,

$\therefore A B=C D$.

$\therefore A B+B D=C D+D B$, 即 $A D=C B$.

$\therefore \angle C=\angle A$.

$\therefore P A=P C$



【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，等腰三角形的判定等，熟练掌握性质定理是解题的关键.
题目（九年级 · 组合几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C$, 点 $D 、 E$ 在 $B C$ 上, $B D=C E$, 过 $\mathrm{A} 、 D 、 E$ 三点作 $\odot O$, 连接 $A O$ 并延长, 交 $B C$ 于点 $F$.



(1)求证: $A F \perp B C$;

(2)若 $A B=10, B C=12, B D=2$, 求 $\odot O$ 的半径长.


选项：
答案： (1) 见解析

(2) $\odot O$ 的半径为 5


解析：(1)连接 $A D 、 A E 、 O D 、 O E$, 先证明 $\triangle A B D \cong \triangle A C E$, 得到 $A D=A E$, 再由 $O D=O E$,可得 $A O$ 垂直平分 $D E$, 即 $A F \perp B C$,

（2）设求 $\odot O$ 的半径为 $x$, 由（1）可知 $F$ 为 $B C$ 中点, 则 $B F=C F=\frac{1}{2} B C=6$, 利用勾股
定理求出 $A F=8$, 再求出 $D F=4, O F=8-x, O D=x$, 由勾股定理建立方程 $x^{2}=4^{2}+(8-x)^{2}$,解得 $x=5$, 则 $\odot O$ 的半径为 5 .

【详解】(1) 证明：连接 $A D 、 A E 、 O D 、 O E$,

$\because A B=A C$,

$\therefore \angle B=\angle C$,

在 $\triangle A B D$ 和 $\triangle A C E$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}A B=A C \\ \angle B=\angle C, \\ B D=C E\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A B D \cong \triangle A C E(\mathrm{SAS})$,

$\therefore A D=A E$,

又 $\because O D=O E$,

$\therefore A O$ 垂直平分 $D E$, 即 $A F \perp B C$,



（2）解：设求 $\odot O$ 的半径为 $x$,

由（1）可知 $A F \perp B C$,

$\therefore F$ 为 $D E$ 中点, $F$ 为 $B C$ 中点,

$\therefore B F=C F=\frac{1}{2} B C=6$,

在 $\triangle A B F$ 中, $A F=\sqrt{A B^{2}-B F^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$,

在 $\triangle D O F$ 中, $D F=B F-D B=6-2=4, O F=A F-A O=8-x, O D=x$,

$\because O D^{2}=D F^{2}+O F^{2}$

$\therefore x^{2}=4^{2}+(8-x)^{2}$,

解得 $x=5$,

$\therefore \odot O$ 的半径为 5 .
【点睛】本题主要考查了三线合一定理, 线段垂直平分线的性质与判定, 全等三角形的性质与判定，勾股定理，圆的基本性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键.
题目（九年级 · 组合几何学）：如图, $C, D$ 是以 $A B$ 为直径的半圆上的两点, $\angle C A B=\angle D B A$, 连结 $B C, C D$.



(1)求证: $C D / / A B$.

(2)若 $A B=4, \angle A C D=30^{\circ}$, 求阴影部分的面积.


选项：
答案： (1)答案见解析

(2) $\frac{2}{3} \pi$


解析：(1) 根据同弧所对的圆周角相等得到 $\angle A C D=\angle D B A$, 根据 $\angle C A B=\angle D B A$ 得到 $\angle C A B=\angle A C D$, 进而得到结论;

(2) 连结 $O C, O D$, 证明所求的阴影部分面积与扇形 $C O D$ 的面积相等, 继而得到结论.

【详解】(1) 证明: $\because \widehat{A D}=\widehat{A D}$,

$\therefore \angle A C D=\angle D B A$,

又 $\because \angle C A B=\angle D B A$,

$\therefore \angle C A B=\angle A C D$,

$\therefore C D / / A B$;

(2) 解: 如图, 连结 $O C, O D$.



$\because \angle A C D=30^{\circ}$,

$\therefore \angle A C D=\angle C A B=30^{\circ}$,

$\therefore \angle A O D=\angle C O B=60^{\circ}$,

$\therefore \angle C O D=180^{\circ}-\angle A O D-\angle C O B=60^{\circ}$.

$\because C D / / A B$

$\therefore S_{\triangle} D O C=S_{\triangle} D B C$,

$\therefore S_{\text {阴影 }}=S_{\text {马形 }} C O D+S_{\triangle} D O C=S_{\text {㟲 }} C O D+S_{\triangle D B C}=\mathrm{S}$ 扇形 $C O D$,

$\because A B=4$,

$\therefore O A=2$,

$\therefore S_{\text {肩形 } C O D}=\frac{n \pi r^{2}}{360}=\frac{60 \times \pi \times 2^{2}}{360}=\frac{2}{3} \pi$.

$\therefore S_{\text {阴影 }}=\frac{2}{3} \pi$.

【点睛】本题主要考查扇形的面积，同弧所对的圆周角相等，平行线的判定，掌握定理以及公式是解题的关键.
题目（九年级 · 组合几何学）：如图, 点 $A, B, C, D$ 在 $\odot O$ 上, $A B=C D$. 求证:



(1) $A C=B D$;

(2) $\triangle A B E \sim \triangle D C E$.


选项：
答案： (1)见解析

(2)见解析


解析：(1)两个等弧同时加上一段弧后两弧仍然相等; 再通过同弧所对的弦相等证明即可;

（2）根据同弧所对的圆周角相等, 对顶角相等即可证明相似.

【详解】(1) $\because A B=C D$

$\therefore A B+A D=C D+A D$

$\therefore B A D=A D C$

$\therefore B D=A C$

(2) $\because \angle B=\angle \mathrm{C}$

$\angle A E B=\angle D E C$

$\therefore \triangle A B E \sim \triangle D C E$

【点睛】本题考查等弧所对弦相等、所对圆周角相等, 掌握这些是本题关键.
题目（九年级 · 组合几何学）：如图, $A B$ 为 $\odot O$ 的直径, 点 $C, D$ 在 $\odot O$ 上, $A C$ 与 $O D$ 交于点 $E, A E=E C, O E=E D$,连接 $B C, C D$. 求证:

(1) $\triangle A O E \cong \triangle C D E$;

(2) 四边形 $O B C D$ 是菱形.




选项：
答案： （1）见解析；（2）见解析


解析：(1) 由已知条件根据全的三角形的判定即可证明;

(2) 首先根据平行四边形的判定证明四边形 $O B C D$ 是平行四边形, 然后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明.

【详解】解: (1) 在 $\triangle A O E$ 和 $\triangle C D E$ 中,

$\because\left\{\begin{array}{l}A E=C E \\ \angle A E O=\angle C E D, \\ O E=D E\end{array}\right.$,

$\therefore \triangle A O E \cong \triangle C D E(S A S) ;$

(2) $\because A B$ 为 $\odot O$ 的直径,
$\therefore A O=B O$,

$\because \triangle A O E \cong \triangle C D E$,

$\therefore \angle O A C=\angle D C A, \quad A O=C D$,

$\therefore B O / / C D, B O=C D$,

$\therefore$ 四边形 $O B C D$ 是平行四边形.

$\because B O=D O$,

$\therefore$ 四边形 $O B C D$ 是菱形.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、菱形的判定、圆的基础知识, 掌握全等三角形的判定和特殊平行四边形的判定是解题的关键.
题目（九年级 · 组合几何学）：如图, $A B$ 为 $\odot O$ 的直径, 点 $C$ 在 $\odot O$ 上, 延长 $B C$ 至点 $D$, 使 $D C=C B$, 延长 $D A$与 $\odot O$ 的另一个交点为 $E$, 连结 $A C, C E$.



(1) 求证: $\angle B=\angle D$;

（2）若 $A B=4, B C-A C=2$, 求 $C E$ 的长.


选项：
答案： （1）见解析 (2) $1+\sqrt{7}$


解析：(1)由 $A B$ 为 $\odot O$ 的直径, 易证得 $A C \perp B D$, 又由 $D C=C B$, 根据线段垂直平分线的性质，可证得 $A D=A B$, 即可得: $\angle B=\angle D$;

（2）首先设 $B C=x$, 则 $A C=x-2$, 由在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\mathrm{AC}^{2}+\mathrm{BC}^{2}=\mathrm{AB}^{2}$, 可得方程:

$(x-2)^{2}+x^{2}=4^{2}$, 解此方程即可求得 $C B$ 的长, 继而求得 $C E$ 的长.

【详解】解：（1）证明： $\because A B$ 为 $\odot O$ 的直径,

$\therefore \angle A C B=90^{\circ}$

$\therefore A C \perp B C$

$\because D C=C B$

$\therefore A D=A B$

$\therefore \angle B=\angle D$

(2) 设 $B C=x$, 则 $A C=x-2$,

在 Rt $\triangle A B C$ 中, $A C^{2}+B C^{2}=A B^{2}$,

$\therefore(x-2)^{2}+x^{2}=4^{2}$, 解得: $x_{1}=1+\sqrt{7}, x_{2}=1-\sqrt{7}$ (舍去).

$\because \angle B=\angle E, \quad \angle B=\angle D$,

$\therefore \angle D=\angle E$

$\therefore C D=C E$

$\because C D=C B$,

$\therefore C E=C B=1+\sqrt{7}$.