题目（八年级 · 度量几何学）：如图, $\triangle O A B$ 和 $\triangle O C D$ 中, $O A=O B, O C=O D, \angle A O B=\angle C O D=\alpha, A C, B D$ 交于 $M$.



图1



图2



图3

(1) 如图 1, 当 $\alpha=90^{\circ}$ 时, $\angle A M D$ 的度数为_ ㅇ;

(2) 如图 2, 当 $\alpha=60^{\circ}$ 时, 求 $\angle A M D$ 的度数为_ ${ }^{\circ}$;

(3) 如图 3, 当 $\triangle O C D$ 绕 $O$ 点任意旋转时, $\angle A M D$ 与 $\alpha$ 是否存在着确定的数量关系?

如果存在, 请你用 $\alpha$ 表示 $\angle A M D$, 并用图 3 进行证明; 若不确定, 说明理由.
选项：
答案：解: (1) $\because \angle A O B=\angle C O D=\alpha$,

$\therefore \angle D O C+\angle A O D=\angle A O B+\angle A O D$, 即 $\angle A O C=\angle B O D$,

在 $\triangle B O D$ 和 $\triangle A O C$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}O A=O B \\ \angle A O C=\angle B O D, \\ O C=O D\end{array}\right.$

$\therefore \triangle B O D \cong \triangle A O C(\mathrm{SAS})$,

$\therefore \angle O A C=\angle O B D$,

$\therefore \angle A M D=\angle A B M+\angle B A C=\angle A B O+\angle B A O$,

$\because \angle A O B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A B O+\angle B A O=90^{\circ}$,

即 $\angle A M D=90^{\circ}$;

故答案为: 90

(2) 解: $\because \angle A O B=\angle C O D=\alpha$,

$\therefore \angle D O C+\angle A O D=\angle A O B+\angle A O D$, 即 $\angle A O C=\angle B O D$,
在 $\triangle B O D$ 和 $\triangle A O C$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}O A=O B \\ \angle A O C=\angle B O D, \\ O C=O D\end{array}\right.$

$\therefore \triangle B O D \cong \triangle A O C(\mathrm{SAS})$,

$\therefore \angle O A C=\angle O B D$,

$\therefore \angle A M D=\angle A B M+\angle B A C=\angle A B O+\angle B A O$,

$\because \angle A O B=60^{\circ}$,

$\therefore \angle A B O+\angle B A O=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$,

即 $\angle A M D=120^{\circ}$;

故答案为: 120

(3) 解: 如图 3 中, 设 $C A$ 交 $B O$ 于 $K$.

<ImageHere>

## 图3

$\because \angle A O B=\angle C O D=\alpha$

$\therefore \angle A O C=\angle B O D$,

在 $\triangle B O D$ 和 $\triangle A O C$ 中,

<ImageHere>

$\therefore \triangle B O D \cong \triangle A O C(\mathrm{SAS})$,

$\therefore \angle O B D=\angle O A C$,

$\because \angle A K O=\angle B K M$,

$\therefore \angle A O K=\angle B M K=\alpha$.

$\therefore \angle A M D=180^{\circ}-\alpha$.
解析：解: (1) $\because \angle A O B=\angle C O D=\alpha$,

$\therefore \angle D O C+\angle A O D=\angle A O B+\angle A O D$, 即 $\angle A O C=\angle B O D$,

在 $\triangle B O D$ 和 $\triangle A O C$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}O A=O B \\ \angle A O C=\angle B O D, \\ O C=O D\end{array}\right.$

$\therefore \triangle B O D \cong \triangle A O C(\mathrm{SAS})$,

$\therefore \angle O A C=\angle O B D$,

$\therefore \angle A M D=\angle A B M+\angle B A C=\angle A B O+\angle B A O$,

$\because \angle A O B=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A B O+\angle B A O=90^{\circ}$,

即 $\angle A M D=90^{\circ}$;

故答案为: 90

(2) 解: $\because \angle A O B=\angle C O D=\alpha$,

$\therefore \angle D O C+\angle A O D=\angle A O B+\angle A O D$, 即 $\angle A O C=\angle B O D$,
在 $\triangle B O D$ 和 $\triangle A O C$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}O A=O B \\ \angle A O C=\angle B O D, \\ O C=O D\end{array}\right.$

$\therefore \triangle B O D \cong \triangle A O C(\mathrm{SAS})$,

$\therefore \angle O A C=\angle O B D$,

$\therefore \angle A M D=\angle A B M+\angle B A C=\angle A B O+\angle B A O$,

$\because \angle A O B=60^{\circ}$,

$\therefore \angle A B O+\angle B A O=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$,

即 $\angle A M D=120^{\circ}$;

故答案为: 120

(3) 解: 如图 3 中, 设 $C A$ 交 $B O$ 于 $K$.



## 图3

$\because \angle A O B=\angle C O D=\alpha$

$\therefore \angle A O C=\angle B O D$,

在 $\triangle B O D$ 和 $\triangle A O C$ 中,



$\therefore \triangle B O D \cong \triangle A O C(\mathrm{SAS})$,

$\therefore \angle O B D=\angle O A C$,

$\because \angle A K O=\angle B K M$,

$\therefore \angle A O K=\angle B M K=\alpha$.

$\therefore \angle A M D=180^{\circ}-\alpha$.