eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高一 · 立体几何学）：已知 $\boldsymbol{m}, \boldsymbol{n}$ 是两条不同的直线, $\alpha, \beta$ 是两个不同的平面,则下列命题正确的是 $(\quad)$
选项：
$m / / \alpha, n / / \alpha$, 则 $m / / n$
B. $m / / \alpha, m / / n$, 则 $n / / \alpha$
C. $\alpha \perp \beta, m / / n, m \perp \alpha$, 则 $n / / \beta$
D. $m \perp \alpha, m / / n$, 则 $n \perp \alpha$
答案：D
解析：【分析】

根据空间中线线、线面和面面的位置关系，对选项进行逐一判断.

## 【详解】

对于 A，如果 $m, n$ 分别在与平面 $\alpha$ 平行的平面上，那么 $m, n$ 可以有多种位置关系，则 A 错误;

对于 $\mathrm{B}$, 如果 $m / / \alpha$, 作平面 $\beta$ 经过直线 $m$ 且与 $\alpha$ 相交于直线 $l$, 由线面平行的性质定理可知, $m \| l$,

$\therefore$ 当 $m \| n$ 时, 有可能直线 $n$ 与直线 $l$ 重合, 此时 $n \subseteq \alpha$, 则 $\mathrm{B}$ 错误;

对于 C, $\because m \perp \alpha$, 且 $\alpha \perp \beta, \therefore m \| \beta$ 或 $m \subseteq \beta$, 又因为 $m\|n, \therefore n\| \beta$ 或 $n \subseteq \beta$,则 C 错误;

对于 D, $\because m \perp \alpha, m \| n$, 由平行的传递性可知, $n \perp \alpha$. 则 D 正确.

故选: D.

## 【点睛】

本题考查空间直线和平面的位置关系, 考查线线平行, 线面平行, 线面垂直的判定和性质定理, 注意定理的条件是解题的关键, 举出反例可提高作题的效率, 是易错题, 属于基础题.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $A A_{1}=A B=2, A D=1$, 点 $E, F, G$ 分别是 $D D_{1}, A B, C C_{1}$ 的中点,则异面直线 $A_{1} E$ 与 $G F$ 所成角的余弦值是


选项：
$\frac{\sqrt{15}}{5}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{10}}{5}$
D. 0
答案：D
解析：【分析】

以 $D A, D C, D D_{1}$ 所在直线为 $x, y, z$ 轴, 建立空间直角坐标系, 可得 $\overrightarrow{A_{1} E}$ 和 $\overrightarrow{G F}$ 的坐标, 进而可得 $\cos \overrightarrow{A_{1} E}, \overrightarrow{G F}$, 从而可得结论.

## 【详解】

以 $D A, D C, D D_{1}$ 所在直线为 $x, y, z$ 轴，建立空间直角坐标系，



则可得 $A_{1}(1,0,2), E(0,0,1), G(0,2,1), F(1,1,0)$,

$\therefore \overrightarrow{A_{1} E}=(-1,0,-1), \overrightarrow{G F}=(1,-1,-1)$,

设异面直线 $A_{1} E$ 与 $G F$ 所成的角为 $\theta$,
则 $\cos \theta=\left|\cos \overrightarrow{A_{1} E}, \overrightarrow{G F}\right|=\left|\frac{-1 \times 1+0+(-1) \times(-1)}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}}\right|=0$, 故选 D.

## 【点睛】

本题主要考查异面直线所成的角, 属于中档题.求异面直线所成的角主要方法有两种:一是向量法, 根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后, 分别求出两直线的方向向量, 再利用空间向量夹角的余弦公式求解; 二是传统法, 利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角, 再利用平面几何性质求解.
题目（高一 · 立体几何学）：如图两正方形 $A B C D, C D F E$ 所在的平面垂直, 将 $\triangle E F C$ 沿着直线 $F C$ 旋转一周,则直线 $E C$ 与 $A C$ 所成角的取值范围是 ( )


选项：
$\left[\frac{\pi}{12}, \frac{5 \pi}{12}\right]$
B. $\left[\frac{\pi}{12}, \frac{7 \pi}{12}\right]$
C. $\left[\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{2}\right]$
D. $\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right]$
答案：C
解析：【分析】

可证得 $A F=A C=C F$, 故 $\angle A C F=\frac{\pi}{3}, \angle E C F=\frac{\pi}{4}$, 当 $\triangle E F C$ 沿着直线 $F C$ 旋转一周, $\angle C E A \leq \angle E C F+\angle F C A$, 且 $\angle C E F \geq \angle A C F-\angle E C F$, 结合线线角的取值范围即得解.

## 【详解】

如下图所示，



连接 $A F$, 因为正方形 $A B C D$ 和 $C D F E$, 则 $A D \perp C D, F D \perp C D, A D=D C=D F$又因为面 $A B C D \perp$ 面 $C D F E$, 面 $A B C D \cap$ 面 $C D F E=C D$,则 $A D \perp$ 面 $C D F E$,

因此 $A D \perp D F$.

因此 $A F^{2}=A D^{2}+D F^{2}, A C^{2}=A D^{2}+D C^{2}, C F^{2}=C D^{2}+D F^{2}$,

则 $A F=A C=C F$,

因此 $\angle A C F=\frac{\pi}{3}$

因为 $\angle E C F=\frac{\pi}{4}$,

则当 $\triangle E F C$ 沿着直线 $F C$ 旋转一周, $\angle C E A \leq \angle E C F+\angle F C A=\frac{7 \pi}{12}$

$\angle C E F \geq \angle A C F-\angle E C F=\frac{\pi}{12}$,

当 $\angle C E F$ 为锐角或直角时, 直线 $E C$ 和 $A C$ 所成角的等于 $\angle C E F$

当 $\angle C E F$ 为针角时, 直线 $E C$ 和 $A C$ 所成的角等于 $\angle C E F$ 的补角
因此直线 $E C$ 和 $A C$ 所成的角的取值范围是 $\left[\frac{\pi}{12}, \frac{\pi}{2}\right]$

故选: $C$.

## 【点睛】

本题考查了空间中直线与直线的夹角, 考查了学生空间想象, 转化划归, 数学运算的能力, 属于较难题.
题目（高一 · 立体几何学）：给出以下四个命题:

(1)依次首尾相接的四条线段必共面;

(2)过不在同一条直线上的三点, 有且只有一个平面;

(3)空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行, 那么这两个角必相等;

(4)垂直于同一直线的两条直线必平行.

其中正确命题的个数是
选项：
0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：B
解析：【分析】

用空间四边形对(1)进行判断; 根据公理 2 对(2)进行判断; 根据空间角的定义对(3)进行判断；根据空间直线位置关系对(4)进行判断.

## 【详解】

(1)中，空间四边形的四条线段不共面，故(1)错误.

(2)中, 由公理 2 知道, 过不在同一条直线上的三点, 有且只有一个平面, 故(2)正确.

(3)中, 由空间角的定义知道, 空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行, 那么

这两个角相等或互补，故(3)错误.

(4)中, 空间中, 垂直于同一直线的两条直线可相交, 可平行, 可异面, 故(4)错误.

故选: B

## 【点睛】

本小题考查空间点, 线, 面的位置关系及其相关公理, 定理及其推论的理解和认识; 考查空间想象能力，推理论证能力，考查数形结合思想，化归与转化思想.
题目（高一 · 立体几何学）：在四棱雉 $P-A B C D$ 中, 所有侧棱都为 $4 \sqrt{2}$, 底面是边长为 $2 \sqrt{6}$ 的正方形, $O$ 是 $P$在平面 $A B C D$ 内的射影, $M$ 是 $P C$ 的中点, 则异面直线 $O P$ 与 $B M$ 所成角为 ( )
选项：
$30^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $\mathbf{9 0}{ }^{\circ}$
答案：C
解析：【分析】

先取 $N$ 为 $O C$ 的中点, 得到 $O P \| M N$, 则 $\angle B M N$ 是异面直线 $O P$ 与 $B M$ 所成的角,

根据题意, 求出 $M N=\sqrt{5}, B M=2 \sqrt{5}$, 解三角形, 即可得出结果.

## 【详解】

由题可知 $O$ 是正方形 $A B C D$ 的中心，

取 $N$ 为 $O C$ 的中点, 所以 $O P \| M N$,

则 $\angle B M N$ 是异面直线 $O P$ 与 $B M$ 所成的角.

因为 $O P \perp$ 平面 $A B C D$,

所以 $M N \perp$ 平面 $A B C D$,

因为在四棱雉 $P-A B C D$ 中, 所有侧棱都为 $4 \sqrt{2}$, 底面是边长为 $2 \sqrt{6}$ 的正方形,

所以 $O C=2 \sqrt{3}$, 所以 $O P=\sqrt{32-12}=2 \sqrt{5}$, 因此 $M N=\sqrt{5}$,

又在 $\triangle P B C$ 中, $\cos \angle B P C=\frac{P B^{2}+P C^{2}-B C^{2}}{2 P B \bullet P C}=\frac{32+32-24}{2 \times 32}=\frac{5}{8}$,

所以 $B M^{2}=P B^{2}+P M^{2}-2 P B \bullet P M \bullet \cos \angle B P C=32+8-2 \times 4 \sqrt{2} \times 2 \sqrt{2} \times \frac{5}{8}=20$,

即 $B M=2 \sqrt{5}$ ，

所以 $\cos \angle B M N=\frac{M N}{M B}=\frac{1}{2}$,

则异面直线 $O P$ 与 $B M$ 所成的角为 $60^{\circ}$.

故选 C



【点睛】
本题主要考查异面直线所成的角, 熟记几何法作出异面直线所成的角, 再求解即可, 属于常考题型.
题目（高一 · 立体几何学）：如图, 在四面体 $A B C D$ 中, $E, F$ 分别是 $A C$ 与 $B D$ 的中点, 若 $C D=2 A B=4, E F \perp B A$,则 $E F$ 与 $C D$ 所成的角为 ( )


选项：
$60^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $30^{\circ}$
D. $90^{\circ}$
答案：C
解析：【分析】

取 $B C$ 中点为 $G$, 连接 $F G, E G$. 推导出 $\angle E F G$ 是 $E F$ 与 $C D$ 所成的角, 由此能求出结果.

## 【详解】

取 $B C$ 中点为 $G$, 连接 $F G, E G$.

所以有 $A B / / E G$,

因为 $E F \perp B A$, 所以 $E F \perp E G$,

因为 $C D=2 A B=4$, 所以可知 $E G=1, F G=2$,

所以 $\triangle E F G$ 是一个斜边为 2 , 一条直边为 1 的直角三角形.

$E F$ 与 $C D$ 所成的角也是 $E F$ 与 $F G$ 所成的角.

也是斜边为 2 与直角边为 1 的夹角,

即 $E F$ 与 $C D$ 所成的角为 $30^{\circ}$.

故选 $C$.



## 【点睛】

本题考查异面直线所成角的求法, 考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识, 考查推理论证能力、运算求解能力, 考查化归与转化思想、函数与方程思想, 是基
础题.
题目（高一 · 立体几何学）：在直三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 中, 已知 $A B \perp B C, A B=B C=2, C C_{1}=2 \sqrt{2}$, 则异面直线 $A C_{1}$ 与 $A_{1} B_{1}$ 所成的角为
选项：
$30^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $90^{\circ}$
答案：C
解析：【分析】

由条件可看出 $A B \| A_{1} B_{1}$, 则 $\angle B A C_{1}$ 为异面直线 $A C_{1}$ 与 $A_{1} B_{1}$ 所成的角, 可证得三角形 $B A C_{1}$ 中, $A B \perp B C_{1}$, 解得 $\tan \angle B A C_{1}$, 从而得出异面直线 $A C_{1}$ 与 $A_{1} B_{1}$ 所成的角.

## 【详解】

连接 $A C_{1}, B C_{1}$, 如图:



又 $\mathrm{AB} \| A_{1} B_{1}$, 则 $\angle B A C_{1}$ 为异面直线 $A C_{1}$ 与 $A_{1} B_{1}$ 所成的角.

因为 $A B \perp B C$, 且三棱柱为直三棱柱, $\therefore A B \perp C C_{1}, \therefore A B \perp$ 面 $B C_{1} B_{1}$,

$\therefore A B \perp B C_{1}$,

又 $A B=B C=2, C C_{1}=2 \sqrt{2}, \therefore B C_{1}=\sqrt{(2 \sqrt{2})^{2}+2^{2}}=2 \sqrt{3}$,

$\therefore \tan \angle B A C_{1}=\sqrt{3}$, 解得 $\angle B A C_{1}=60^{\circ}$.

故选 C

## 【点睛】

考查直三棱柱的定义, 线面垂直的性质, 考查了异面直线所成角的概念及求法, 考查了逻辑推理能力，属于基础题.
题目（高一 · 立体几何学）：在正四棱柱 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $A A_{1}=4, A B=2$, 点 $E, F$ 分别为棱 $B B_{1}$,
$C C_{1}$ 上两点, 且 $B E=\frac{1}{4} B B_{1}, C F=\frac{1}{2} C C_{1}$, 则 $(\quad)$
选项：
$D_{1} E \neq A F$, 且直线 $D_{1} E, A F$ 异面
B. $D_{1} E \neq A F$, 且直线 $D_{1} E, A F$ 相交
C. $D_{1} E=A F$, 且直线 $D_{1} E, A F$ 异面
D. $D_{1} E=A F$, 且直线 $D_{1} E, A F$ 相交
答案：A
解析：【分析】

作图, 通过计算可知 $D_{1} E \neq A F$, 取点 $M$ 为 $B C$ 的中点, 则 $A M F D_{1}$ 共面, 显然点 $E$ 不在面 $A M F D_{1}$ 内, 由此直线 $D_{1} E, A F$ 异面.

【详解】

$\because D_{1} E=\sqrt{D_{1} B_{1}^{2}+B_{1} E^{2}}=\sqrt{17}, \quad A F=\sqrt{A C^{2}+C F^{2}}=\sqrt{12} \neq D_{1} E$,

如图, 取点 $M$ 为 $B C$ 的中点, 则 $A D_{1} / / M F$,

故 $A M F D_{1}$ 共面, 点 $E$ 在面 $A M F D_{1}$ 面外,

故直线 $D_{1} E, A F$ 异面.

故选: A.



【点睛】

本题主要考查异面直线的判定及空间中线段的距离求解，属于基础题.
题目（高一 · 立体几何学）：四棱雉 $P-A B C D$ 中, $P A \perp$ 平面 $A B C D$, 底面 $A B C D$ 是边长为 2 的正方形, $P A=\sqrt{5}, E$ 为 $P C$ 的中点, 则异面直线 $B E$ 与 $P D$ 所成角的余弦值为 ( )
选项：
$\frac{\sqrt{13}}{10}$
B. $\frac{\sqrt{15}}{5}$
C. $\frac{\sqrt{13}}{39}$
D. $\frac{\sqrt{15}}{39}$
答案：C
解析：

如图所示, 延长 $\mathrm{AD}$ 到 $\mathrm{H}$, 使 $\mathrm{AD}=\mathrm{DH}$, 过 $\mathrm{P}$ 作 $P G \| A H, P G=A H, \mathrm{~F}$ 为 $\mathrm{PG}$ 的中点, 连接 $\mathrm{BF}, \mathrm{FH}, \mathrm{BH}$,

则 $\angle B F H$ 为异面直线 $B E$ 与 $P D$ 所成的角或者补角,

在 $\triangle B F H$ 中, 由余弦定理得 $\cos \angle B F H=\frac{13+9-20}{2 \times \sqrt{13} \times 3}=\frac{\sqrt{13}}{39}$,

故选 C.

点睛: 平移线段法是求异面直线所成角的常用方法, 其基本思路是通过平移直线, 把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：

(1)平移: 平移异面直线中的一条或两条, 作出异面直线所成的角;

(2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角;

(3)计算: 求该角的值, 常利用解三角形;

(4)取舍: 由异面直线所成的角的取值范围是 ( $\left.0, \frac{\pi}{2}\right]$, 当所作的角为钝角时, 应取它的补角作为两条异面直线所成的角.
题目（高一 · 立体几何学）：已知正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中, $M, N$ 分别为 $A B, A A_{1}$ 的中点, 则异面直线 $C_{1} M$ 与 $B N$ 所成角的大小为
选项：
$30^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $90^{\circ}$
答案：D
解析：【分析】

根据题意画出图形, 可将异面直线转化共面的相交直线, 再进行求解

## 【详解】

如图:



作 $A N$ 的中点 $N^{\prime}$, 连接 $N^{\prime} M, C_{1} N^{\prime}$ 由题设可知 $N^{\prime} M / / B N$, 则异面直线 $C_{1} M$ 与 $B N$所成角为 $\angle N^{\prime} M C_{1}$ 或其补角, 设正方体的边长为 4 , 由几何关系可得, $\left|N^{\prime} M\right|=\sqrt{5}$ ， $\left|C_{1} M\right|=6,\left|C_{1} N^{\prime}\right|=\sqrt{41}$, 得 $\left|C_{1} N^{\prime}\right|^{2}=\left|N^{\prime} M\right|^{2}+\left|C_{1} M\right|^{2}$, 即 $\angle N^{\prime} M C_{1}=90^{\circ}$

故选 D

## 【点睛】

本题考查异面直线的求法, 属于基础题
题目（高一 · 立体几何学）：已知矩形 $A B C D, A B=1, B C=\sqrt{2}$. 将 $\triangle A B D$ 沿矩形的对角线 $B D$ 所在的直线进行翻折, 在翻折过程中 ( )
选项：
存在某个位置, 使得直线 $A C$ 与直线 $B D$ 垂直

B. 存在某个位置, 使得直线 $A B$ 与直线 $C D$ 垂直

C. 存在某个位置, 使得直线 $A D$ 与直线 $B C$ 垂直

D. 对任意位置, 三对直线“ $A C$ 与 $B D$ ”, “ $A B$ 与 $C D$ ”, “ $A D$ 与 $B C$ ”均不垂直
答案：B
解析：最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着, 观察在翻着过程, 即可知选项 B 是正确的
题目（高一 · 立体几何学）：已知 $l, m$ 是两条不同的直线, $\alpha, \beta$ 是两个不同的平面, 且 $l \| \alpha, m \perp \beta$, 则下列命题中为真命题的是 ( )
选项：
若 $\alpha / / \beta$, 则 $l / / \beta$
B. 若 $\alpha \perp \beta$, 则 $l \perp m$
C. 若 $l \perp m$, 则 $l / / \beta$
D. 若 $\alpha / / \beta$, 则 $m \perp \alpha$
答案：D
解析：【分析】

利用线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理对选项分别分析选择.

## 【详解】

选项 $\mathrm{A}, \mathrm{C}$ 直线 $l$ 可能在 $\beta$ 平面内, 故不正确; 选项 $\mathrm{B}$, 若 $\alpha \perp \beta, m \perp \beta$, 则, $m \| \alpha$或 $m$ 在平面 $\alpha$ 内, 而 $l \| \alpha$, 故 $l$ 与 $m$ 可能平行, 相交或异面, 故不正确; 对于选项 $\mathrm{D}$ :由 $m \perp \beta, \alpha / / \beta$, 结合面面平行的性质和线面垂直的判定定理, 可得出直线 $m \perp \alpha$,故为正确.

故选: D

## 【点睛】

本题考查了线面平行、面面平行、线面垂直的性质定理和判定定理，注意定理成立的条件，属于基础题.
题目（高一 · 立体几何学）：已知正三棱柱 $A B C-A_{1} B_{1} C_{1}$ 的底面边长为 2 , 高为 $\mathbf{1}$, 过顶点 $\boldsymbol{A}$ 作一平面 $\alpha$ 与侧面 $B C C_{1} B_{1}$ 交于 $\boldsymbol{E F}$, 且 $\boldsymbol{E F} / / \boldsymbol{B C}$, 若平面 $\alpha$ 与底面 $\boldsymbol{A B C}$ 所成二面角的大小为 $x\left(0<x \leq \frac{\pi}{6}\right)$, 四边形 $\boldsymbol{B C E F}$ 面积为 $y$, 则函数 $y=f(x)$ 的图像大致是 ( )
选项：

B.


C.


D.


答案：C
解析：【分析】

先作出平面 $\alpha$ 与底面 $A B C$ 所成的二面角的平面角为 $X$, 如图为 $\angle G A H$, 在直角三角形 $A G H$ 中用 $x$,及 $A H=\sqrt{3}$ 表示出 $G H$,再利用四边形 $B C E F$ 面积为 $y=B C \times G H$ 求出 $f(x)$, 根据解析式, 作出简图, 即可得到答案.

## 【详解】

作图如下:



过 $\mathrm{A}$ 作 $A M \| B C$,

$H, G$ 分别是 $B C, E F$ 中点,

则 $A H \perp B C$,

所以 $A H \perp A M$

在等腰三角形 $\triangle A E F$ 中,

$A G \perp E F$,

$\because E F / / B C$,

$\therefore A G \perp A M$

所以 $\angle G A H$ 是平面 $\alpha$ 与底面 $A B C$ 所成角的平面角.

$\therefore \angle G A H=X$,

$\tan x=\frac{G H}{A H}$,

$\therefore G H=\sqrt{3} \tan x$,
所以四边形 $B C E F$ 面积为:

$y=f(x)$

$=B C \times G H$

$=2 \sqrt{3} \tan x$

根据正切函数图象可知 C 符合.

故选:C

## 【点睛】

本题主要考查空间中两面所成二面角的平面角的求解及性质;利用线线平行、线线垂直证明 $\angle G A H$ 是平面 $\alpha$ 与底面 $A B C$ 所成的二面角的平面角是求解本题的关键;本题属于难度较大型试题.
题目（高一 · 立体几何学）：设 $m, n$ 是两条不同的直线, $\alpha, \beta$ 是两个不同的平面, 则下列命题正确的是 ( )
选项：
若 $m / / \alpha, n / / \alpha$, 则 $m / / n$
B. 若 $\alpha / / \beta, m \subset \alpha, n \subset \beta$, 则 $m / / n$

C. 若 $\alpha \bigcap \beta=m, n \subset \alpha, n \perp m$, 则 $n \perp \beta$

D. 若 $m \perp \alpha, m / / n, n \subset \beta$, 则 $\alpha \perp \beta$
答案：D
解析：【分析】

根据各选项的条件及结论，可画出图形或想象图形，再结合平行、垂直的判定定理即可
找出正确选项.

## 【详解】

选项 $A$ 错误, 同时和一个平面平行的两直线不一定平行, 可能相交, 可能异面;

选项 $B$ 错误，两平面平行，两平面内的直线不一定平行，可能异面;

选项 $C$ 错误,一个平面内垂直于两平面交线的直线, 不一定和另一平面垂直, 可能斜交;

选项 $D$ 正确, 由 $m \perp \alpha, m / / n$ 便得 $n \perp \alpha$, 又 $n \subset \beta, \therefore \beta \perp \alpha$, 即 $\alpha \perp \beta$.

故选: $D$.

## 【点睛】

本题考查空间直线位置关系的判定, 这种位置关系的判断题, 可以举反例或者用定理简单证明,

属于基础题.
题目（高一 · 立体几何学）：已知空间中的两条直线 $l, m$, 三个平面 $\alpha, \beta, \gamma$, 则下列说法中:

(1)平面 $\alpha, \beta, \gamma$ 最多可将平面分为 7 个部分;

(2)已知 $\alpha \cap \gamma=m, l \subset \gamma$. 若 $l / / \alpha$, 则 $l / m$;

(3)已知 $\alpha \perp \beta, \alpha \cap \beta=m$ ，若 $l \perp m$ ，则 $l \perp \beta ；$

(4)已知 $m \subset \gamma, \alpha \cap \beta=l$, 若 $\alpha \perp \gamma, \beta \perp \gamma$, 则 $l \perp m$.

一定正确的为
选项：
(1)(3)
B. (1)(4)
C. (2)(3)
D. (2)(4)
答案：D
解析：【分析】

根据线面关系, 逐项判断, 即可求得答案.

## 【详解】

对于(1), 平面 $\alpha, \beta, \gamma$ 最多可将平面分为 8 个部分, 故(1)错误;

对于(2), $\because \alpha \cap \gamma=m, l \subset \gamma$.

又 $\because l / / \alpha$

$\therefore l / / m$, 故(2)正确;

对于(3), 当 $\alpha \perp \beta, \alpha \cap \beta=m$, 若 $l \perp m$

$l$ 可能与 $\beta$ 平行，故(3)错误;
对于(4), $\because m \subset \gamma, \alpha \cap \beta=l$

当 $\alpha \perp \gamma, \beta \perp \gamma$, 可得 $l \perp m$, 故(4)正确;

综上所述, 正确的是(2)(4)

故选: D.

## 【点睛】

本题主要考查了判断线面位置关系, 解题关键是掌握线面关系基础知识, 考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题.
题目（高一 · 立体几何学）：已知直线 $m 、 n$, 平面 $\alpha 、 \beta$, 给出下列命题:

(1)若 $m \perp \alpha, n \perp \beta$, 且 $m \perp n$, 则 $\alpha \perp \beta$

(2)若 $m / / \alpha, n / / \beta$, 且 $m / / n$, 则 $\alpha / / \beta$

(3)若 $m \perp \alpha, n / / \beta$, 且 $m \perp n$, 则 $\alpha \perp \beta$

(4)若 $m \perp \alpha, n / / \beta$, 且 $m / / n$, 则 $\alpha \perp \beta$

其中正确的命题是（ ）
选项：
A. (2)(3)
B. (1)(3)
C. (1)(4)
D. (3)(4)
答案：C
解析：分析：(1)可由面面垂直的判定定理进行判断；(2)可由面面平行的条件进行判断；(3)可由面面垂直的条件进行判断; (4)可由面面垂直的判定定理进行判断.
解析:

(1)若 $m \perp \alpha, n \perp \beta$, 且 $m \perp n$, 则 $\alpha \perp \beta$, 正确.

$\because n \perp \beta$, 且 $m \perp n$, 可得出 $m / / \beta$ 或 $m \subset \beta$, 又 $m \perp \alpha$, 故可得到 $\alpha \perp \beta$.

(2)若 $m / / \alpha, n / / \beta$, 且 $m / / n$, 则 $\alpha / / \beta$, 不正确.

两个面平行与同一条线平行，两平面有可能相交.

(3)若 $m \perp \alpha, n / / \beta$, 且 $m \perp n$, 则 $\alpha \perp \beta$, 不正确.

$m \perp \alpha$ 且 $m \perp n$, 可得出 $n / / \alpha$, 又 $n / / \beta$, 故不能得出 $\alpha \perp \beta$.

(4)若 $m \perp \alpha, n / / \beta$, 且 $m / / n$, 则 $\alpha \perp \beta$, 正确.

$m \perp \alpha$ 且 $m / / n$, 可得出 $n \perp \alpha$, 又 $n / / \beta$, 故得出 $\alpha \perp \beta$.

故选: C.

点睛：解决空间位置关系问题的方法

(1)解决空间中点、线、面位置关系的问题，首先要明确空间位置关系的定义，然后通过转化的方法，把空间中位置关系的问题转化为平面问题解决.

(2)解决位置关系问题时, 要注意几何模型的选取, 如利用正(长)方体模型来解决问题.
题目（高一 · 立体几何学）：已知 $l, m$ 是两条不同的直线, $\alpha, \beta$ 是两个不同的平面, 则下列命题正确的是 ( )
选项：
若 $l \| \alpha, l \perp m$, 则 $m \perp \alpha$
B. 若 $l \| \alpha, l|| \beta$, 则 $\alpha / / \beta$
C. 若 $l \perp \alpha, \alpha \perp \beta$, 则 $l / / \beta$
D. 若 $l \perp \alpha, l \perp \beta$, 则 $\alpha / / \beta$
答案：D
解析：【分析】

分析条件的特殊情况, 结合定理举例推翻错误选项即可.

## 【详解】

当直线 $l, m$ 是相交且垂直, 确定的平面与 $\alpha$ 平行时, $m \| \alpha$, 故 $\mathrm{A}$ 错误;

当 $\alpha, \beta$ 相交, 直线 $l$ 与交线平行时, $l\|\alpha, l\| \beta$, 故 B 错误;

当直线 $l$ 在面 $\beta$ 内, 且 $\alpha \perp \beta$, 直线 $l$ 垂直 $\alpha, \beta$ 的交线时, $l \perp \alpha$, 故 C 错误;

垂直与同一直线的两个平面平行, 故 D 正确.

故选 D.

【点睛】
本题考查空间线面的位置关系，结合定理与举例判断.
题目（高一 · 立体几何学）：设 $l$ 表示直线, $\alpha, \beta, \gamma$ 表示不同的平面, 则下列命题中正确的是
选项：
若 $l / / \alpha$ 且 $\alpha \perp \beta$, 则 $l \perp \beta$
B. 若 $\gamma / / \alpha$ 且 $\gamma / / \beta$,则 $\alpha / / \beta$
C. 若 $l / / \alpha$ 且 $l / / \beta$, 则 $\alpha / / \beta$
D. 若 $\gamma \perp \alpha$ 且 $\gamma \perp \beta$, 则 $\alpha / / \beta$
答案：B
解析：【分析】

$\mathrm{A}$ 中, $l$ 与 $\beta$ 可能相交、平行或 $l \subset \beta ; \mathrm{B}$ 中, 由面面平行的性质可得 $\alpha / / \beta$; 中,$\alpha$与 $\beta$ 相交或平行; $\mathrm{D}$ 中, $\alpha$ 与 $\beta$ 相交或平行, 即可求解.

## 【详解】

由 $l$ 表示直线, $\alpha, \beta, \gamma$ 表示不同的平面,

在 A 中, 若 $l / \alpha \alpha$ 且 $\alpha \perp \beta$, 则 $l \perp \beta$, 则 $l$ 与 $\beta$ 可能相交、平行或 $l \subset \beta$;

在 B 中，若 $\gamma / / \alpha$ 且 $\gamma / / \beta$ ，则 $\alpha / / \beta$ ，由面面平行的性质可得 $\alpha / / \beta$;

在 C 中, 若 $l / / \alpha$ 且 $l / \beta \beta$, 则 $\alpha / / \beta$, 则 $\alpha$ 与 $\beta$ 相交或平行;

在 D中，若 $\gamma \perp \alpha$ 且 $\gamma \perp \beta$, 则 $\alpha / / \beta$ ，则 $\alpha$ 与 $\beta$ 相交或平行,

故选 B.

## 【点睛】

本题主要考查了线面位置关系的判定与证明, 其中解答中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理是解答的关键, 着重考查了推理与运算能力, 属于基础题.
题目（高一 · 立体几何学）：设 $m, n$ 是两条不同的直线, $\alpha, \beta, \gamma$ 是三个不同的平面, 给出下列四个命题:

(1)若 $m \perp \alpha, n / / \alpha$, 则 $m \perp n$

(2)若 $\alpha / / \beta, \beta / / \gamma, m \perp \alpha$, 则 $m \perp \gamma$

(3)若 $m / / \alpha, n / / \alpha$, 则 $m / / n$

(4)若 $\alpha \perp \gamma, \beta \perp \gamma$, 则 $\alpha / / \beta$

其中正确命题的序号是 ( )
选项：
A. (1)和(2)
B. (2)和(3)
C. (3)和(4)
D. (1)和(4)
答案：A
解析：【分析】

根据线面平行性质定理，结合线面垂直的定义，可得(1)是真命题; 根据面面平行的性质结合线面垂直的性质，可得(2)是真命题; 在正方体中举出反例, 可得平行于同一个平面的两条直线不一定平行，垂直于同一个平面和两个平面也不一定平行，可得(3)(4)不正确. 由此可得本题的答案.

## 【详解】

解: 对于(1), 因为 $n / / \alpha$, 所以经过 $n$ 作平面 $\beta$, 使 $\beta \cap \alpha=l$, 可得 $n / / l$,

又因为 $m \perp \alpha, l \subset \alpha$, 所以 $m \perp l$, 结合 $n / / l$ 得 $m \perp n$. 由此可得(1)是真命题;

对于(2), 因为 $\alpha / / \beta$ 且 $\beta / / \gamma$, 所以 $\alpha / / \gamma$ ，结合 $m \perp \alpha$, 可得 $m \perp \gamma$, 故(2)是真命

题;

对于(3)，设直线 $m 、 n$ 是位于正方体上底面所在平面内的相交直线，

而平面 $\alpha$ 是正方体下底面所在的平面,

则有 $m / / \alpha$ 且 $n / / \alpha$ 成立, 但不能推出 $m / / n$, 故(3)不正确;

对于(4), 设平面 $\alpha 、 \beta 、 \gamma$ 是位于正方体经过同一个顶点的三个面,

则有 $\alpha \perp \gamma$ 且 $\beta \perp \gamma$, 但是 $\alpha \perp \beta$, 推不出 $\alpha / / \beta$, 故(4)不正确.

综上所述，其中正确命题的序号是(1)和(2)

故选：A

## 【点睛】

本题给出关于空间线面位置关系的命题, 要我们找出其中的真命题, 着重考查了线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识, 属于中档题.
题目（高一 · 立体几何学）：在长方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D$ 中, $A B=2, A D=3, A A_{1}=2, E$ 是 $A A_{1}$ 的中点, $F$ 是棱 $A D$ 上一点, $A F=1$, 动点 $P$ 在底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内, 且三棱雉 $P-B E F$ 与三棱锥 $B-D_{1} E F$ 的体积相等, 则直线 $C P$ 与 $B B_{1}$ 所成角的正切值的最小值为
选项：
$\frac{\sqrt{13}}{4}$
B. $\frac{4 \sqrt{13}}{13}$
C. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
D. $\sqrt{5}$
答案：C
解析：【分析】

过 $D_{1}$ 构造与平面 $B E F$ 平行的平面, 得出 $P$ 的轨迹, 从而可得出当所求角最小时对应的
$P$ 的位置.

## 【详解】

解析: 因为 $V_{P-B E F}=V_{B-D_{1} E F}=V_{D_{1}-B E F}$, 设 $C_{1} G=1, C_{1} C$ 的中点为 $M$,则 $D_{1} G / / B F, M G / / E F$, 因为 $D_{1} G \not \subset$ 平面 $B E F, B F \subset$ 平面 $B E F$,所以 $D_{1} G / /$ 平面 $B E F, M G \not \subset$ 平面 $B E F, E F \subset$ 平面 $B E F$,所以 $M G / /$ 平面 $B E F$, 又因为 $D_{1} G \cap G M=G$,

所以平面 $D_{1} G M / /$ 平面 $B E F$,

所以 $P \in$ 平面 $D_{1} G M$, 因为 $P \in$ 底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$,

因为平面 $D_{1} G M \cap$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}=D_{1} G$ ，

所以 $P$ 在底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的轨迹为线段 $D_{1} G$,

在平面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 内, 过点 $C_{1}$ 作 $C_{1} H$ 垂直于 $D_{1} G$, 垂足为 $H$, 连接 $C H$,则 $\angle C_{1} C H$ 为直线 $C P$ 与 $B B_{1}$ 所成的最小角, 所以 $\tan \angle C_{1} C H=\frac{C_{1} H}{C_{1} C}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.

故选: C



【点睛】

本题考查了异面直线所成角的计算，考查面面平行的判定，考查棱锥的体积公式，属于中档题.
题目（高一 · 立体几何学）：下列描述中, 不是棱柱的结构特征的是( )
选项：
有一对面互相平行

B. 侧面都是四边形

C. 相邻两个侧面的公共边都互相平行

D. 所有侧棱都交于一点
答案：D
解析：柱的结构特征知 D 错.
题目（高一 · 立体几何学）：观察如图 1-1-8 的四个几何体, 其中判断不正确的是( )



(1)



(3)



(2)



(4)

图 1-1-8
选项：
A. (1)是棱柱
B. (2)不是棱雉
C. (3)不是棱雉
D. (4)是棱台
答案：B
解析：结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知(1)是棱柱, (2) 是棱锥, (4)是棱台, (3)不是棱锥, 故 B 错误.
题目（高一 · 立体几何学）：四棱柱的体对角线的条数为( )
选项：
A. 6
B. 7
C. 4
D. 3
答案：C
解析：共有 4 条体对角线, 一个底面上的每个点与另一个底面上的不相邻的点连成一条体对角线.
题目（高一 · 立体几何学）：纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北. 现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开, 外面朝上展平得到如图 1-1-10 所示的平面图形, 则标 “ $\triangle$ ” 的面的方位是( )



图 1-1-10
选项：
A. 南
B. 北
C. 西
D. 下
答案：B
解析：给图形还原为正方体, 并将已知面 “上” “东” 分别指向上面、东面, 则标记 “ $\triangle$ ”的为北面, 选 B.
题目（高一 · 立体几何学）：在棱柱中( )
选项：
只有两个面平行

B. 所有的棱都平行

C. 所有的面都是平行四边形

D. 两底面平行, 且各侧棱也互相平行
答案：D
解析：对于 $\mathrm{A}$, 如果是长方体, 可能不止有两个面平行, 故错; 对于 $\mathrm{B}$, 如果是长方体, 不可能所有的棱都平行, 只是所有的侧棱都平行, 故错; 对于 C, 上、下底面不一定是平行四边形, 故错; 对于 $\mathrm{D}$, 据棱柱的定义知其正确, 故对. 故选 D.
题目（高一 · 立体几何学）：下面多面体中有 12 条棱的是( )
选项：
A. 四棱柱
B. 四棱雉
C. 五棱雉
D. 五棱柱
答案：A
解析：$\because n$ 棱柱共有 $3 n$ 条棱, $n$ 棱锥共有 $2 n$ 条棱, $\therefore$ 四棱柱共有 12 条棱; 四棱锥共有 8 条棱; 五棱锥共有 10 条棱; 五棱柱共有 15 条棱。故选 A.
题目（高一 · 立体几何学）：有两个面平行的多面体不可能是( )
选项：
A. 棱柱
B. 棱雉
C. 棱台
D. 以上都错
答案：B
解析：由棱锥的结构特征可得.
题目（高一 · 立体几何学）：棱台不具有的性质是( )
选项：
A. 两底面相似

B. 侧面都是梯形

C. 侧棱都平行

D. 侧棱延长后都交于一点
答案：C
解析：根据棱台的定义: 用平行于底面的平面截棱台, 截面与底面之间的部分叫做棱台, $\therefore$ 棱台具有的性质是：上、下底面多边形相似, 每个侧面都是梯形, 侧棱延长后交于一点, 故选项 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B} 、 \mathrm{D}$ 排除, $\therefore$ 棱台的侧棱都不平行, 故选 C.
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示, 在三棱台 $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}-A B C$ 中, 截去三棱雉 $A^{\prime}-A B C$, 则剩余部分是 $(\quad)$


选项：
A. 三棱雉
B. 四棱雉
C. 三棱柱
D. 三棱台
答案：B
解析：由题图知剩余的部分是四棱锥 $A^{\prime}-B C C^{\prime} B^{\prime}$.
题目（高一 · 立体几何学）：若棱台上、下底面的对应边之比为 $1: 2$, 则上、下底面的面积之比是 $(\quad)$
选项：
A. $1: 2$
B. $1: 4$
C. $2: 1$
D. $4: 1$
答案：B
解析：由棱台的结构特征知, 棱台上、下底面是相似多边形, 面积比为对应边之比的平方, 故选 B.
题目（高一 · 立体几何学）：五棱柱中, 不同在同一个侧面且不同在同一个底面的两顶点的连线称为它的对角线, 那么一个五棱柱对角线的条数共有( )
选项：
A. 20
B. 15
C. 12
D. 10
答案：D
解析：, 在五棱柱 $A B C D E-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1} E_{1}$ 中, 从顶点 $A$ 出发的对角线有两条: $A C_{1}, A D_{1}$, 同理从 $B, C$, $D, E$ 点出发的对角线均有两条, 共 $2 \times 5=10$ (条).
题目（高一 · 立体几何学）：给出下列说法:

(1)梯形的四个顶点共面;

(2)三条平行直线共面;

(3)有三个公共点的两个平面重合;

(4)三条直线两两相交, 可以确定 3 个平面.

其中正确的序号是( )
选项：
A. (1)
B. (1)(4)
C. (2)(3)
D. (3) (4)
答案：A
解析：因为梯形有两边平行, 所以梯形确定一个平面, 所以(1)是正确的; 三条平行直线不一定共面，如直三棱柱的三条平行的棱，所以(2)不正确; 有三个公共点的两个平面不一定重合，如两个平面相交，三个公共点都在交线上, 所以(3)不正确; 三条直线两两相交, 可以确定的平面个数是 1 或 3 , 所以(4)不正确.
题目（高一 · 立体几何学）：已知 $\alpha, \beta$ 为平面, $A, B, M, N$ 为点, $a$ 为直线, 下列推理错误的是 ( )
选项：
A. $A \in a, A \in \beta, B \in a, B \in \beta \Rightarrow a \subset \beta$
B. $M \in \alpha, M \in \beta, N \in \alpha, N \in \beta \Rightarrow \alpha \cap \beta=M N$
C. $A \in \alpha, A \in \beta \Rightarrow \alpha \cap \beta=A$
D. $A, B, M \in \alpha, A, B, M \in \beta$, 且 $A, B, M$ 不共线 $\Rightarrow \alpha, \beta$ 重合
答案：C
解析：C 中, $\alpha$ 与 $\beta$ 有公共点 $A$, 则它们有过点 $A$ 的一条交线, 而不是点 $A$, 故 C 错.
题目（高一 · 立体几何学）：经过空间任意三点作平面( )
选项：
A. 只有一个
B. 可作两个
C. 可作无数多个
D. 只有一个或有无数多个
答案：D
解析：若三点不共线, 只可以作一个平面; 若三点共线, 则可以作出无数多个平面, 选 D.
题目（高一 · 立体几何学）：如图 2-1-7, 平面 $\alpha \cap$ 平面 $\beta=l, A 、 B \in \alpha, C \in \beta, C \notin l$, 直线 $A B \cap l=D$, 过 $A 、 B 、 C$ 三点确定的平面为 $\gamma$, 则平面 $\gamma, \beta$ 的交线必过( )



图 2-1-7
选项：
A. 点 $A$

B. 点 $B$

C. 点 $C$, 但不过点 $D$

D. 点 $C$ 和点 $D$
答案：D
解析：公理判定点 $C$ 和点 $D$ 既在平面 $\beta$ 内又在平面 $\gamma$ 内, 故在 $\beta$ 与 $\gamma$ 的交线上. 故选 D.
题目（高一 · 立体几何学）：空间中, 可以确定一个平面的条件是( )
选项：
三个点
B. 四个点
C. 三角形
D. 四边形
答案：C
解析：由平面的基本性质及推论得: 在 A 中, 不共线的三个点能确定一个平面, 共线的三个点不能确定一个平面, 故 $\mathrm{A}$ 错误; 在 B中, 不共线的四个点最多能确定四个平面, 故 B 错误; 在 C中, 由于三角形的三个顶点不共线, 因此三角形能确定一个平面, 故 C 正确; 在 D中, 四边形有空间四边形和平面四边形, 空间四边形不能确定一个平面, 故 D 错误. 故选 C.
题目（高一 · 立体几何学）：如果 $A$ 点在直线 $a$ 上, 而直线 $a$ 在平面 $\alpha$ 内, 点 $B$ 在 $\alpha$ 内, 可以表示为 ( )
选项：
A. $A \subset a, a \subset \alpha, B \in \alpha$
B. $A \in a, a \subset \alpha, B \in \alpha$
C. $A \subset a, a \in \alpha, B \subset \alpha$
D. $A \in a, a \in \alpha, B \in \alpha$
答案：B
解析：$A$ 点在直线 $a$ 上, 而直线 $a$ 在平面 $\alpha$ 内, 点 $B$ 在 $\alpha$ 内, 表示为: $A \in a, a \subset \alpha, B \in \alpha$, 故选 B.
题目（高一 · 立体几何学）：空间四点 $A 、 B 、 C 、 D$ 共面而不共线, 那么这四点中( )
选项：
必有三点共线
B. 必有三点不共线
C. 至少有三点共线
D. 不可能有三点共线
答案：B
解析：$A 、 B 、 C 、 D$ 共面而不共线, 这四点可能有三点共线, 也可能任意三点不共线, $A$ 错误; 如果四点中没有三点不共线, 则四点共线, 矛盾, 故 B 正确; 当任意三点不共线时, 也满足条件, 故 C 错误, 当其中三点共线, 第四个点不共线时, 也满足条件, 故 D 错误, 故选 B.
题目（高一 · 立体几何学）：有下列说法:

(1)梯形的四个顶点在同一个平面内;

(2)三条平行直线必共面;

(3)有三个公共点的两个平面必重合.

其中正确的个数是( )
选项：
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：B
解析：因为梯形的上下底互相平行, 所以梯形是平面图形, 故(1)正确; 三条平行直线不一定共面, 如三棱柱的三条侧棱, 故2(2错误; 若两个平面的三个公共点不共线, 则两平面重合, 若三个公共点共线, 两平面有可能相交, 故(3)错误, 故选 B.
题目（高一 · 立体几何学）：如图所示, 平面 $\alpha \cap \beta=l, A 、 B \in \alpha, C \in \beta$, 且 $C \notin l$, 直线 $A B \cap l=M$, 过 $A, B, C$ 三点的平面记作 $\gamma$, 则 $\gamma$ 与 $\beta$ 的交线必通过( )


选项：
A. 点 $A$
B. 点 $B$
C. 点 $C$ 但不过点 $M$
D. 点 $C$ 和点 $M$
答案：D
解析：because A B \subset \gamma, M \in A B, \therefore M \in \gamma$.

又 $\alpha \cap \beta=l, M \in l, \therefore M \in \beta$.

根据公理 3 可知, $M$ 在 $\gamma$ 与 $\beta$ 的交线上.

同理可知, 点 $C$ 也在 $\gamma$ 与 $\beta$ 的交线上.
题目（高一 · 立体几何学）：下列条件中, 能使直线 $m \perp$ 平面 $\alpha$ 的是( )
选项：
A. $m \perp b, m \perp c, b \perp \alpha, c \perp \alpha$
B. $m \perp b, b / / \alpha$
C. $m \cap b=A, b \perp \alpha$
D. $m / / b, b \perp \alpha$
答案：D
解析：线平行及线面垂直的判定知选项 D 正确.
题目（高一 · 立体几何学）：如图 2-3-6, 三棱雉 $P-A B C$ 中, $P A \perp A B, P A \perp B C$, 则直线 $P B$ 和平面 $A B C$ 所成的角是( )



图 2-3-6
选项：
A. $\angle B P A$
B. $\angle P B A$
C. $\angle P B C$

D. 以上都不对
答案：B
解析：$P A \perp A B, P A \perp B C, A B \cap B C=B$,

得 $P A \perp$ 平面 $A B C$,

所以 $\angle P B A$ 为 $B P$ 与平面 $A B C$ 所成的角. 故选 $\mathrm{B}$.
题目（高一 · 立体几何学）：已知直线 $m, n$ 是异面直线, 则过直线 $n$ 且与直线 $m$ 垂直的平面( )
选项：
A. 有且只有一个
B. 至多一个
C. 有一个或无数个
D. 不存在
答案：B
解析：若异面直线 $m$ 、 $n$ 垂直, 则符合要求的平面有一个, 否则不存在。