eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 正六边形螺帽的扳手开口 $a$ 的值为 2 , 则 $E F=(\quad$ )


选项：
A. $\sqrt{3}$

B. $\sqrt{2}$

C. 1

D. 1.414




答案：C
解析：解: 如图, 连接 $A B$, 过 $E$ 作 $E M \perp A B$ 于点 $M$,则 $E F=B M$,

由题意得: $A B=a=2$,

$\because A E=B E, E M \perp A B$,

$\therefore B M=A M=\frac{1}{2} A B=1$,

$\therefore E F=B M=1$,

故选: $C$.

连接 $A B$, 过 $E$ 作 $E M \perp A B$ 于点 $M$, 则 $E F=B M$, 由等腰三角形的性质得 $B M=A M=\frac{1}{2} A B=1$, 即可得出结论.

本题考查了正六边形的性质、等腰三角形的性质等知识, 熟练掌握正六边形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 四边形 $A B C D$ 是半径为 2 的 $\odot O$ 的内接四边形, 连接 $O A, O C$. 若 $\angle A O C: \angle A B C=4: 3$, 则 $\overparen{A C}$ 的长为 $(\quad)$


选项：
A. $\frac{3}{5} \pi$

B. $\frac{4}{5} \pi$

C. $\frac{6}{5} \pi$

D. $\frac{8}{5} \pi$


答案：D
解析：解: $\because$ 四边形内接于 $\odot O, \angle A O C=2 \angle A D C$,

$\therefore \angle A D C+\angle A B C=\frac{1}{2} \angle A O C+\angle A B C=180^{\circ}$.

又 $\angle A O C: \angle A B C=4: 3$

$\therefore \angle A O C=144^{\circ}$.

$\because \odot O$ 的半径为 2 ,

$\therefore$ 劣弧 $A C$ 的长为 $\frac{144 \pi \cdot 2}{180}=\frac{8}{5} \pi$.

故选: D.

利用圆周角定理和圆内接四边形的性质求得 $\angle A O C=108^{\circ}$, 结合弧长公式进行解答即可.

本题考查了圆周角定理、弧长的计算, 本题中利用圆周角定理中圆周角与圆心角的关系得出角的度数,

从而得到 $\angle A O C=108^{\circ}$, 从而得出劣弧 $A C$ 的长.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 四边形 $A B C D$ 是 $\odot O$ 的内接四边形, $\odot O$ 的半径为 $3, \angle C=140^{\circ}$,则弧 $B D$ 的长为 $($ )


选项：
A. $\frac{2}{3} \pi$

B. $\frac{4}{3} \pi$



C. $\pi$

D. $2 \pi$

## 第 II 卷（非选择题）

##
答案：B
解析：解: 连接 $O B 、 O D$,

$\because$ 四边形 $A B C D$ 是 $\odot O$ 的内接四边形, $\angle C=140^{\circ}$,

$\therefore \angle A+\angle C=180^{\circ}$,

$\therefore \angle A=180^{\circ}-\angle C=40^{\circ}$,



$\therefore \angle B O D=2 \angle A=80^{\circ}$,

$\therefore \overparen{B D}=\frac{80 \cdot \pi \times 3}{180}=\frac{4}{3} \pi$,

故选: $B$.
连接 $O B 、 O D$, 根据圆内接四边形的性质求出 $\angle A$ 的度数, 根据圆周角定理求出 $\angle B O D$ 的度数, 利用弧长公式计算即可.

本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理以及弧长的计算, 掌握圆内接四边形的对角互补、弧长公式是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle \mathrm{ABC}, \angle \mathrm{BAC}=90^{\circ}, \mathrm{AB}=\mathrm{AC}=4$, 以点 $C$ 为中心, 把 $\triangle \mathrm{ABC}$ 逆时针旋转 $45^{\circ}$, 得到 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C$,则图中阴影部分的面积为

( )



选项：
A. 2
B. $2 \pi$
C. 4
D. $4 \pi$


答案：B
解析：【分析】

本题考查了旋转的性质, 三角形面积, 扇形面积公式的应用.

根据阴影部分的面积是(扇形 $C B B^{\prime}$ 的面积 $-\triangle C A^{\prime} B^{\prime}$ 的面积 $)+\left(\triangle A B C\right.$ 的面积一扇形 $C A A^{\prime}$ 的面积 $)$, 代入数值解答即可.

## 【解答】

解: :在 $\triangle A B C$ 中, $\angle B A C=90^{\circ}, A B=A C=4$,

$\therefore B C=\sqrt{A B^{2}+A C^{2}}=4 \sqrt{2}, \angle A C B=\angle A^{\prime} C B^{\prime}=45^{\circ}$,

$\therefore$ 阴影部分的面积 $=\frac{45 \pi \cdot(4 \sqrt{2})^{2}}{360}-\frac{1}{2} \times 4 \times 4+\frac{1}{2} \times 4 \times 4-\frac{45 \pi \cdot 4^{2}}{360}=2 \pi$,

故选: $B$.
题目（九年级 · 度量几何学）：三个正方形方格在扇形中的位置如图所示，点 $O$ 为扇形的圆心，格点 $A$, $B, C$ 分别在扇形的两条半径和弧上, 已知每个方格的边长为 1 , 则 $\overparen{E F}$ 的长与扇形 $E O F$ 的面积分别是为 ( )


选项：
A. $\pi c m ; 2 \pi c m^{2}$



B. $\frac{\sqrt{10}}{4} \pi c m ; \frac{5}{4} \pi c m^{2}$

C. $\frac{\sqrt{10}}{8} \pi c m ; \frac{5}{8} \pi c m^{2}$

D. $2 \pi c m ; \frac{5}{8} \pi c m^{2}$


答案：B
解析：解：如图, 连接 $O C$,


由图可知 $O C=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}, \angle E O F=45^{\circ}$,

$\therefore \overparen{E F}$ 的长 $=\frac{45 \pi \cdot \sqrt{10}}{180}=\frac{\sqrt{10}}{4} \pi$,

扇形 $E O F$ 的面积为 $\frac{45}{360} \pi \times(\sqrt{10})^{2}=\frac{5}{4} \pi\left(\mathrm{cm}^{2}\right)$,

故选: B.

连接 $O C$, 根据勾股定理求出 $O C$, 即圆半径, 求出 $\angle E O F$, 根据弧长公式以及扇形面积公式, 求出即可.

本题考查了正方形的性质, 勾股定理, 弧长公式, 扇形面积等知识点, 能求出 $O C$ 长和 $\angle E O F$ 的度数是解此题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 阴影部分是某个品牌商标的图案, 为了研究它的面积, 小明通过数学知识找到弧 $A C$ 所在圆
的圆心 $O$, 经测量 $\angle A D C=90^{\circ}, A D=O D=2 \mathrm{~cm}$, 则商标的面积为 $\mathrm{cm}^{2}(\quad)$



选项：
A. $\frac{8 \pi}{3}-2 \sqrt{3}$
B. $\frac{8 \pi}{3}-4 \sqrt{3}$
C. $\frac{16 \pi}{3}-2 \sqrt{3}$
D. $\frac{16 \pi}{3}-4 \sqrt{3}$


答案：A
解析：【分析】

本题考查了扇形的面积, 等边三角形的判定和性质, 线段垂直平分线的定义和性质, 勾股定理等知识.连接 $O C, A C$, 先证出 $\triangle A O C$ 是等边三角形, 得出 $C D, \angle A O C$, 再根据割补法求出阴影部分面积.

## 【解答】

解: 连接 $O C, A C$



$\because \angle A D C=90^{\circ}, A D=O D=2 \mathrm{~cm}$

$\therefore C D$ 垂直平分 $O A, O A=4 \mathrm{~cm}$

$$
\begin{aligned}
& \therefore A C=O C \\
& \because O C=O A \\
& \therefore O A=O C=A C=4 \mathrm{~cm}
\end{aligned}
$$

$\therefore \triangle A O C$ 是等边三角形, $C D=\sqrt{C O^{2}-O D^{2}}=2 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$

$$
\begin{aligned}
& \therefore \angle A O C=60^{\circ} \\
& \therefore S_{\text {阴影 }}=S_{\text {扇形AOC }}-S_{\triangle O D C}=\frac{60 \pi \times 4^{2}}{360}-\frac{1}{2} \times 2 \times 2 \sqrt{3}=\frac{8}{3} \pi-2 \sqrt{3}
\end{aligned}
$$
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 将一把折扇打开后, 小东测量出 $\angle A O C=160^{\circ}, O A=20 \mathrm{~cm}, O B=10 \mathrm{~cm}$, 那么由 $\overparen{A C}, \overparen{B D}$ 及线段 $A B$, 线段 $C D$ 所围成的扇面的面积约是 $($ )



选项：
A. $157 \mathrm{~cm}^{2}$
B. $314 \mathrm{~cm}^{2}$
C. $628 \mathrm{~cm}^{2}$
D. $419 \mathrm{~cm}^{2}$


答案：D
解析：解：根据题意可得： $\because \angle A O C=160^{\circ}, O A=20 \mathrm{~cm}, O B=10 \mathrm{~cm}$, $\therefore$ 线段 $C D$ 所围成的扇面的面积为: $S_{\text {扇形 } O A C}-S_{\text {扇形 } O B D}=\frac{160^{\circ}}{360^{\circ}} \pi \times 20^{2}-\frac{160^{\circ}}{360^{\circ}} \pi \times 10^{2} \approx 419 \mathrm{~cm}^{2}$,
故选: D.

根据线段 $C D$ 所围成的扇面的面积 $=S_{\text {扇形 } O A C}-S_{\text {扇形 } O B D}$ 即可得出答案.

本题考查的是扇形面积的计算, 熟练掌握扇形的面积公式是解答此题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 网格中的小正方形边长都是1, 则以 $O$ 为圆心, $O A$ 为半径的弧 $\overparen{A B}$ 和弦 $A B$ 所围成的弓形面积等于 $($ )


选项：
A. $2 \pi-4$

B. $2 \pi-8$

C. $4 \pi-4$



D. $\pi-4$


答案：A
解析：解: 由题意, $O A=O B=2 \sqrt{2}, \angle A O B=90^{\circ}$,

$\therefore S_{\text {形 }}=S_{\text {扇形 } O A B}-S_{\triangle A O B}=\frac{90 \cdot \pi \times(2 \sqrt{2})^{2}}{360}-\frac{1}{2} \times 2 \sqrt{2} \times 2 \sqrt{2}=2 \pi-4$,

故选: $A$.

弓形面积看成扇形面积减去三角形面积即可.

本题考查扇形的面积, 三角形的面积等知识, 解题的关键是学会利用分割法求阴影部分面积.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 正方形的边长为 4 , 以正方形的边长为直径在正方形内部作半圆, 以正方形的顶点为圆心, 边长为半径在正方形内部作弧, 求阴影部分的面积( )


选项：
A. 6

B. 12



C. $4 \pi$

D. $3.5 \pi$


答案：B
解析：解: 取 $C D$ 中点 $O$, 连接 $O F$,

$\because$ 正方形的边长为 4 ,

$\therefore C D=4$,

$\therefore O C=O D=2$,



$\because$ 扇形 $O F C$ 的面积 $=\frac{90 \pi \times 2^{2}}{360}=\pi, \triangle O F C$ 的面积 $=\frac{1}{2} O F \cdot O C=\frac{1}{2} \times 2 \times 2=2$,

$\therefore$ 弓形 $C M F$ 的面积 $=$ 扇形 $O F C$ 的面积 $-\triangle O F C$ 的面积 $=\pi-2$,

$\because \triangle A B C$ 的面积 $=\frac{1}{2} A B \cdot B C=\frac{1}{2} \times 4 \times 4=8$, 半圆的面积 $=\frac{1}{2} \pi \times 2^{2}=2 \pi, S_{1}=S_{2}$,

$\therefore$ 阴影的面积 $=\triangle A B C$ 的面积 + 半圆的面积 - 弓形 $C M F$ 的面积 $\times 2=8+2 \pi-2(\pi-2)=12$.

故选: $B$.

取 $C D$ 中点 $O$, 连接 $O F$, 由阴影的面积 $=\triangle A B C$ 的面积 + 半圆的面积 - 弓形 $C M F$ 的面积 $\times 2$, 求出 $\triangle A B C$的面积, 半圆的面积, 弓形 $C M F$ 的面积, 即可解决问题.

本题考查扇形面积的计算, 三角形面积的计算, 关键是得到阴影的面积 $=\triangle A B C$ 的面积 + 半圆的面积 弓形 $C M F$ 的面积 $\times 2$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 正方形边长为 $a$, 分别以它的 4 条边为直径作半圆, 则圆中阴影部分面积为 ( )


选项：
A. $\left(\frac{\pi}{2}-1\right) a^{2}$

B. $\frac{\pi}{2} a^{2}$



C. $(\pi-1) a^{2}$

D. $\left(\frac{\sqrt{3} \pi}{2}-1\right) a^{2}$


答案：A
解析：解: 如图, 连接 $P A 、 P B 、 O P$,


则 $S_{\text {半圆 } O}=\frac{1}{2} \pi\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=\frac{1}{8} \pi a^{2}, S_{\triangle A B P}=\frac{1}{2} A B \cdot O P=\frac{1}{2} \times a \times \frac{a}{2}=\frac{1}{4} a^{2}$,

由题意得: 图中阴影部分的面积 $=4\left(S_{\text {半圆 } 0}-S_{\triangle A B P}\right)=4\left(\frac{1}{8} \pi a^{2}-\frac{1}{4} a^{2},\right)=\left(\frac{\pi}{2}-1\right) a^{2}$.

故选: $A$.

如图, 作辅助线; 首先求出半圆 $O$ 的面积, 其次求出 $\triangle A B P$ 的面积; 观察图形可以发现：阴影部分的面积 $=4\left(S_{\text {半圆 } 0}-S_{\triangle A B P}\right)$, 求出值, 即可解决问题.

该题主要考查了正方形的性质、圆的面积公式、三角形的面积公式等知识点及其应用问题; 解题的关键是作辅助线, 将阴影部分的面积转化为规则图形的面积和或差.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $C, D$ 是以 $A B$ 为直径的半圆上的三等分点, $E$ 是 $A B$ 上一点, 若 $A B=8$, 则阴影的面积为 $($ )


选项：
A. $\frac{8}{3} \pi$

B. $\frac{8}{3}$



C. $\frac{16}{3} \pi$

D. $\frac{16}{3}$


答案：A
解析：解: 连接 $C O, D O$,



$\because C, D$ 是以 $A B$ 为直径的半圆上的三等分点,

$\therefore \angle C O D=60^{\circ}, C D \backslash$ user $2 / / A B$,

$\because \triangle E C D$ 的面积等于 $\triangle O C D$ 的面积,

$\therefore S_{\text {阴影 }}=S_{\text {扇形 } O C D}=\frac{60 \pi \cdot 4^{2}}{360}=\frac{8 \pi}{3}$,

故选: $A$.

利用等底等高的三角形面积相等可知 $S_{\text {阴影 }}=S_{\text {扇形 } O C D}$, 利用扇形的面积公式计算即可.

本题考查了扇形面积的计算. 根据图形推知图中 $S_{\text {阴影 }}=S_{\text {扇形 } O C D}$ 是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：“苏堤南起南屏山麓, 北到栖霞岭下，全长2.8公里.苏堤上有名的六吊桥由南到北分别是映波桥、锁澜桥、望山桥、压堤桥、东浦桥、跨虹桥. 压堤桥约居苏堤南北的黄金分割位, 旧时又是湖船东来西去的水道通行., 从地图上看, 压堤桥位于苏堤北部, 请结合上述描述, 估计压堤桥到栖霞岭下的大致距离为( ）

选项：
A. 0.9 公里
B. 1.1 公里
C. 1.3 公里
D. 1.4 公里

答案：B
解析：略
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, D$ 点在边 $B C$ 上, $\frac{B D}{C D}=\frac{2}{5}, E$ 为 $A B$ 边上一点, 当 $E C=E D$ 时, $\frac{A E}{B E}$ 的值为 $($ )



选项：
A. $\frac{5}{9}$
B. $\frac{5}{8}$
C. $\frac{4}{7}$
D. $\frac{3}{5}$


答案：A
解析：解：过点 $E$ 作 $E F \perp B C$ 于 $F$,

$\because E C=E D, E F \perp C D$,

$\therefore C F=D F$,



$\because \frac{B D}{C D}=\frac{2}{5}$,

$\therefore \frac{C F}{F B}=\frac{5}{9}$,

$\because E F \perp B C, A C \perp B C$,

$\therefore E F / / A C$,

$\therefore \frac{A E}{E B}=\frac{5}{9}$,

故选: $A$.

过点 $E$ 作 $E F \perp B C$ 于 $F$, 根据比例的性质得 $\frac{C F}{F B}=\frac{5}{9}$, 再由 $E F / / A C$ 即可得出答案.

此题考查比例的性质和平行线的判定与性质, 根据题意正确作出辅助线是解答的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：在比例尺为 $1: 1000000$ 的地图上量得 $A, B$ 两地的距离是 $20 \mathrm{~cm}$, 那么 $A 、 B$ 两地的实际距离是 ( )

选项：
A. $2000000 \mathrm{~cm}$
B. $2000 \mathrm{~m}$
C. $200 \mathrm{~km}$
D. $2000 \mathrm{~km}$

答案：C
解析：【分析】

本题考查了比例线段, 能够根据比例尺正确进行计算, 注意单位的换算. 比例尺 $=$ 图上距离: 实际距离, 根据比例尺关系可直接得出 $A 、 B$ 两地的实际距离.

## 【解答】

解: 根据比例尺=图上距离: 实际距离,

得 $A 、 B$ 两地的实际距离为 $20 \times 1000000=20000000(\mathrm{~cm})$,

$20000000 \mathrm{~cm}=200 \mathrm{~km}$.

故 $A 、 B$ 两地的实际距离是 $200 \mathrm{~km}$.

故选 $C$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 四边形 $A B C D$ 是黄金矩形, $A D>A B$, 已知 $A D=2$, 则 $A B$ 的长为 ( )


选项：
A. $3-\sqrt{5}$



B. $6-2 \sqrt{5}$

C. $2 \sqrt{5}-2$

D. $\sqrt{5}-1$


答案：D
解析：解: $\because$ 四边形 $A B C D$ 是黄金矩形, $A D>A B$,

$\therefore \frac{A B}{A D}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,

$\because A D=2$,

$\therefore A B=\sqrt{5}-1$;
故选: D.

根据黄金分割比可进行求解.

本题主要考查黄金分割比, 熟练掌握黄金分割比是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $\odot O$ 是 $R t \triangle A B C$ 的外接圆, $O E \perp A B$ 交 $\odot O$ 于点 $E$, 垂足为点 $D, A E, C B$ 的延长线交于点 $F$.若 $O D=3, A B=8$, 则 $F C$ 的长是 $(\quad)$



选项：
A. 10
B. 8
C. 6
D. 4

## 第 II 卷（非选择题）

##
答案：A
解析： $\because \angle A B C=90^{\circ}, O E \perp A B, \therefore O D / / B C, \therefore \frac{A O}{C O}=\frac{A D}{B D} . \because O A=O C, \therefore A D=B D, \therefore A D=\frac{1}{2} A B=$ $\frac{1}{2} \times 8=4$. 又 $\because O D=3, \therefore O A=\sqrt{A D^{2}+O D^{2}}=\sqrt{4^{2}+3^{2}}=5, \therefore O E=O A=5 . \because O E / / C F$, 点 $O$ 是 $A C$ 中点, $\therefore O E$ 是 $\triangle A C F$ 的中位线, $\therefore C F=2 O E=2 \times 5=10$, 故选 $A$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 直线 $l_{1} / / l_{2} / / l_{3}$, 直线 $l_{1} 、 l_{2} 、 l_{3}$ 分别和直线 $m$ 交于点 $A 、 B 、 C$,和直线 $n$ 交于点 $A_{1} 、 B_{1} 、 C_{1}$, 若 $A B=6, A C=9, A B_{1}=8$, 则线段 $B_{1} C_{1}$的长为( )


选项：
A. 2



B. 3

C. 4

D. 6


答案：C
解析：解: $\because l_{1} / / l_{2} / / l_{3}$,

$\therefore \frac{A B}{A C}=\frac{A_{1} B_{1}}{A_{1} C_{1}}$,

即 $\frac{6}{9}=\frac{8}{A_{1} C_{1}} ，$

$\therefore A_{1} C_{1}=12$,

$\therefore B_{1} C_{1}=A_{1} C_{1}-A_{1} B_{1}=12-8=4$.

故选: $C$.

根据平行线分线段成比例定理得到 $\frac{A B}{A C}=\frac{A_{1} B_{1}}{A_{1} C_{1}}$, 则可计算出 $A_{1} C_{1}=12$, 然后计算 $A_{1} C_{1}-A_{1} B_{1}$ 即可.

本题考查了平行线分线段成比例定理: 三条平行线截两条直线, 所得的对应线段成比例.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 点 $E$ 是 $\triangle A B C$ 内一点, $\angle A E B=90^{\circ}, A E$ 平分 $\angle B A C, D$ 是边 $A B$ 的中点, 延长线段 $D E$ 交边 $B C$ 于点 $F$, 若 $A B=6, E F=1$, 则线段 $A C$ 的长为 $($ )



选项：
A. 7
B. $\frac{15}{2}$
C. 8
D. 9


答案：C
解析：【分析】

本题考查角平分线的定义, 直角三角形斜边的中线的性质, 三角形的中位线定理, 平行线的判定, 等腰三角形的性质, 平行线分线段成比例.关键是证明 $D F$ 是 $D F$ 是 $\triangle B A C$ 的中位线.

先由角平分线的定义, 直角三角形斜边的中线的性质证明 $D F / / A C$, 再根据平行线分线段成比例证明 $F$ 是 $B C$ 中点, 最后根据三角形中位线定理即可解答.

## 【解答】

解: $\because \angle A E B=90^{\circ}$, $D$ 是边 $A B$ 的中点, $A B=6$

$\therefore D E=D A=D B=\frac{1}{2} A B=3$,

$\therefore \angle D A E=\angle D E A$,

$\because A E$ 平分 $\angle B A C$,
$\therefore \angle D A E=\angle C A E$,

$\therefore \angle D E A=\angle C A E$,

$\therefore \frac{B D}{D A}=\frac{B F}{F C}$,

$\because B D=D A$,

$\therefore B F=F C$,

$\therefore F$ 是 $B C$ 中点,

$\therefore D F$ 是 $\triangle B A C$ 的中位线，

$D F=\frac{1}{2} A C$,

$\because D E=3, E F=1$,

$\therefore D F=4$,

$\therefore A C=8$.

故选 $C$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图，小东展示了 “过直线外一点作已知直线的平行线” 的尺规作图过程，点 $C$ 为直线 $A B$ 上一点, 过点 $C$ 的一条直线分别交两条平行线于点 $D, E$, 则有 $\frac{B C}{A B}=$ $\frac{D C}{E D}$, 这一步的依据是 ( )


选项：
A. 同位角相等, 两直线平行

B. 三角形中位线定理

C. 平行线分线段成比例

D. 相似三角形的对应边成比例

第 II 卷（非选择题）

##
答案：C
解析：解：由题意可知: $B D / / A E$,

$\therefore \frac{B C}{A B}=\frac{D C}{E D}$.

故选: $C$.

根据平行线分线段成比例定理求解即可.

本题考查了平行线分线段成比例定理, 掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：若 $\triangle A B C \backsim \triangle A_{1} B_{1} C_{1}$, 面积比为 $2: 1$, 则 $\triangle A B C$ 与 $\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$ 的相似比为 ( )

选项：
A. $4: 1$
B. $\sqrt{2}: 1$
C. $1: \sqrt{2}$
D. $1: 4$

答案：B
解析：解: $\because \triangle A B C \sim \triangle A_{1} B_{1} C_{1}$, 且面积比为 $2: 1$,

$\therefore \triangle A B C$ 与 $\triangle A_{1} B_{1} C_{1}$ 的相似比为 $\sqrt{2}: 1$,

故选: $B$.

根据相似三角形的面积比等于相似比的平方, 即可得到答案.

本题考查了相似三角形的性质, 解题关键是掌握似三角形的面积比等于相似比的平方.
题目（九年级 · 度量几何学）：已知 $\triangle A B C \sim \triangle D E F, A B=1, B C=3, E F=5$, 则 $\triangle A B C$ 与 $\triangle D E F$ 的面积比是 $($ )

选项：
A. $1: 9$
B. $1: 25$
C. 9: 25
D. $3: 5$

答案：C
解析：【分析】

直接利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方进而得出答案.

此题主要考查了相似三角形的性质, 正确得出相似比是解题关键.

## 【解答】

解: $\because \triangle A B C \backsim \triangle D E F, A B=1, B C=3, E F=5$,

$\therefore \frac{B C}{E F}=\frac{3}{5}$,

$\therefore \triangle A B C$ 与 $\triangle D E F$ 的面积比是: $9: 25$.

故选: $C$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $C H \perp A B, C H=h, A B=c$, 若内接正方形 $D E F G$ 的边长是 $x$, 则 $h 、 c 、 x$ 的数量关系为

( )



选项：
A. $x^{2}+h^{2}=c^{2}$
B. $\frac{1}{2} x+h=c$
C. $h^{2}=x c$
D. $\frac{1}{x}=\frac{1}{h}+\frac{1}{c}$


答案：D
解析：解：如图, 设 $C H$ 与 $G F$ 交于点 $M$,



$\because$ 四边形 $D E F G$ 是正方形,

$\therefore G F / / D E, \angle G D E=\angle D G F=90^{\circ}$,

$\therefore \triangle C G F \backsim \triangle C A B$,

$\therefore \frac{G F}{A B}=\frac{C M}{C H}$,

$\because C H \perp A B$,

$\therefore \angle D H M=90^{\circ}$,

$\therefore$ 四边形 $D H M G$ 是矩形,

$\therefore D G=M H$,

$\because C H=h, A B=c$, 正方形 $D E F G$ 的边长是 $x$,

$\therefore M H=x$,

$\therefore C M=C H-M H=h-x$,

$\therefore \frac{x}{c}=\frac{h-x}{h}$,

$\therefore \frac{x}{c}=1-\frac{x}{h}$,

$\therefore \frac{1}{c}=\frac{1}{x}-\frac{1}{h}$,

$\therefore \frac{1}{x}=\frac{1}{h}+\frac{1}{c}$,

故选: D.

先根据正方形的性质得到 $G F / / D E$, 从而证明 $\triangle C G F \sim \triangle C A B$, 根据相似三角形的性质可列出比例式,再通过证明四边形 $D H M G$ 是矩形表示出 $C M$ 的长度, 即可求解.

本题考查相似三角形的判定与性质, 正方形的性质, 解题的关键是证明 $\triangle C G F \sim \triangle C A B$ 后列出比例式.
题目（九年级 · 度量几何学）：已知 $\triangle A B C \sim \triangle D E F$, 若相似比 $\frac{A B}{D E}=\frac{1}{2}$, 则 $\frac{S_{\triangle A B C}}{S_{\triangle D E F}}=(\quad)$

选项：
A. $\frac{1}{2}$
B. 2
C. $\frac{1}{4}$
D. 4

( )


A. $\sqrt{6}$
B. $2 \sqrt{2}$
C. $3 \sqrt{2}$
D. $4 \sqrt{2}$


答案：C
解析：解: $\because \triangle A B C \sim \triangle D E F, \frac{A B}{D E}=\frac{1}{2}$,

$$
\therefore \frac{S_{\triangle A B C}}{S_{\triangle D E F}}=\left(\frac{A B}{D E}\right)^{2}=\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}
$$

故选: $C$.

利用相似三角形的性质代入即可.
本题主要考查了相似三角形的性质, 熟练掌握相似三角形面积比等于相似比的平方是解题的关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：已知两个相似三角形的周长比为 $2: 3$, 它们的面积之差为 $40 \mathrm{~cm}^{2}$, 那么它们的面积之和为 ( )

选项：
A. $108 \mathrm{~cm}^{2}$
B. $104 \mathrm{~cm}^{2}$
C. $100 \mathrm{~cm}^{2}$
D. $80 \mathrm{~cm}^{2}$

答案：B
解析：【分析】

此题考查了相似三角形的性质. 此题难度不大, 注意掌握方程思想的应用.

由两个相似三角形的周长比为 $2: 3$, 根据相似三角形(多边形)的周长的比等于相似比; 相似三角形的面积比等于相似比的平方, 即可求得它们的面积比, 设此两个三角形的面积分别为 $4 x \mathrm{~cm}^{2}, 9 x \mathrm{~cm}^{2}$. 又由它们的面积之差为 $40 \mathrm{~cm}^{2}$, 列出关系式, 求出 $x$ 值, 即可求得答案.

## 【解答】

解: $\because$ 两个相似三角形的周长比为 $2: 3$,

$\therefore$ 这两个相似三角形的相似比为 $2: 3$,

$\therefore$ 它们的面积比为 $4: 9$.

设此两个三角形的面积分别为 $4 x \mathrm{~cm}^{2}, 9 x \mathrm{~cm}^{2}$.

$\because$ 它们的面积之差为 $40 \mathrm{~cm}^{2}$,

$\therefore 9 x-4 x=40$, 解得 $x=8$,

$\therefore$ 它们的面积之和为 $9 x+4 x=13 x=104\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$.

故选 $B$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $\triangle A B C \sim \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}, A D, B E$ 分别是 $\triangle A B C$ 的高和中线, $A^{\prime} D^{\prime}, B^{\prime} E^{\prime}$ 分别是 $\triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 的高和中线, 且 $A D=4, A^{\prime} D^{\prime}=3, B E=6$, 则 $B^{\prime} E^{\prime}$ 的长为 $(\quad)$


选项：
A. $\frac{3}{2}$
B. $\frac{5}{2}$
C. $\frac{7}{2}$
D. $\frac{9}{2}$

答案：D
解析：由 $\triangle A B C \sim \triangle A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime}$ 可知对应高、中线的比等于相似比, 即 $\frac{A D}{A^{\prime} D^{\prime}}=\frac{B E}{B^{\prime} E^{\prime}}$, 即 $\frac{4}{3}=\frac{6}{B^{\prime} E^{\prime}}$, 解得 $B^{\prime} E^{\prime}=\frac{9}{2}$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, $\odot O$ 的弦 $C D$ 交直径 $A B$ 于 $E, O D=D E, C E: D E=3: 5$, 若 $O E=5$,则 $C D$ 的长为 ( )


选项：
A. $4 \sqrt{10}$

B. $4 \sqrt{5}$



C. $3 \sqrt{10}$

D. $3 \sqrt{5}$


答案：A
解析：解: 连接 $A D, C B$.



$\because C E: D E=3: 5$,

$\therefore$ 可以假设 $C E=3 k, D E=5 k$,

$\because O D=D E$,

$\therefore O A=O D=O B=5 k$,

$\therefore A E=O A+O E=5 k+5, \quad B E=O B-O E=5 k-5$,

$\because \angle A=\angle C, \angle A D E=\angle B$,

$\therefore \triangle A E D \backsim \triangle C E B$,

$\therefore \frac{A E}{C E}=\frac{D E}{E B}$,

$\therefore A E \cdot E B=C E \cdot D E$,

$\therefore(5 k+5)(5 k-5)=3 k \times 5 k$,

$\therefore k=\frac{\sqrt{10}}{2}$ (负根已经舍去),

$\therefore C D=8 k=4 \sqrt{10}$.

故选: A.

连接 $A D, B C$, 设 $C E=3 k, D E=5 k$, 利用相似三角形的性质构建方程求解

本题考查垂径定理, 相似三角形的判定和性质等知识, 解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 等腰 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle B A C=90^{\circ}$, 点 $D$ 是 $\triangle A B C$ 外一点,分别以 $B D, C D$ 为斜边作两个等腰直角 $\triangle B D E$ 和 $\triangle C D F$, 并使点 $F$ 落在 $B C$ 上, 点 $E$ 落在 $\triangle A B C$ 的内部, 连结 $E F$. 若 $\tan \angle F D B=\frac{5}{2}$, 则 $\triangle$


$A B E$ 与 $\triangle D E F$ 的面积之比为 ( )


选项：
A. $\frac{7}{4}$

B. $\frac{7}{3}$

C. $\frac{5}{2}$

D. 3




答案：B
解析：解: 如图, 延长 $A E$ 交 $B C$ 于点 $J$.



在 Rt $\triangle B D F$ 中, $\tan \angle B D F=\frac{B F}{D F}=\frac{5}{2}$,

$\therefore$ 可以假设 $B F=5 a, D F=2 a$,

$\because \triangle C D F$ 是等腰直角三角形,

$\therefore C F=D F=2 a, C D=2 \sqrt{2} a$,

$\because \triangle A B C, \triangle B D E$ 都是等腰直角三角形,

$\therefore \angle A B C=\angle E B D=45^{\circ}, \frac{B D}{B E}=\frac{B C}{B A}=\sqrt{2}$,

$\therefore \angle D B C=\angle E B A$,

$\therefore \triangle B D C \sim \triangle E B A$,

$\therefore \frac{C D}{A E}=\frac{B C}{A B}=\sqrt{2}, \angle B C D=\angle B A E=45^{\circ}$,

$\therefore A E=\frac{\sqrt{2}}{2} C D=2 a$,

$\because \angle B A C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle B A E=\angle C A E=45^{\circ}$,

$\because A B=A C$,

$\therefore A J \perp B C, B J=C J=\frac{7}{2} a$,

$\therefore S_{\triangle A B E}=\frac{1}{2} \cdot A E \cdot B J=\frac{1}{2} \times 2 a \times \frac{7}{2} a=\frac{7}{2} a^{2}$,
$\because A J=B J=C J=\frac{7}{2} a$

$\therefore E J=A J-A E=\frac{3}{2} a$,

$\therefore S_{\triangle D E F}=S_{\triangle B D F}+S_{\triangle B F E}-S_{\triangle B D E}=\frac{1}{2} \times 5 a \times 2 a+\frac{1}{2} \times 5 a \times \frac{3}{2} a-\frac{1}{2} \times \sqrt{29} a \times \frac{\sqrt{29}}{2} a=\frac{3}{2} a^{2}$,

$\therefore \frac{S_{\triangle A B E}}{S_{\triangle D E F}}=\frac{\frac{7}{2} a^{2}}{\frac{3}{2} a^{2}}=\frac{7}{3}$,

故选: $B$.

如图, 延长 $A E$ 交 $B C$ 于点 J.在 $R t \triangle B D F$ 中, $\tan \angle B D F=\frac{B F}{D F}=\frac{5}{2}$, 可以假设 $B F=5 a, D F=2 a$, 分别求出 $\triangle A B E, \triangle D E F$ 的面积, 可得结论.

本题考查相似三角形的判定和性质, 等腰直角三角形的性质, 解直角三角形等知识, 解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle B=60^{\circ}, B A=3, B C=5$, 将 $\triangle A B C$ 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )



选项：
A.


B.


C.


D.




答案：D
解析：解：A.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等, 故两三角形相似, 故本选项错误;

B.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等, 故两三角形相似, 故本选项错误;

C.两三角形对应边成比例且夹角相等, 故两三角形相似, 故本选项错误.

D.两三角形的对应边成比例, 但夹角不相等, 故两三角形不相似, 故本选项正确.
故选: D.

此题考查的是相似三角形的判定, 熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键. 根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可.

根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可.
题目（九年级 · 度量几何学）：某校数学兴趣小组为测量学校旗杆 $A C$ 的高度, 在点 $F$ 处坚立一根长为 1.5 米的标杆 $D F$, 如图所示,量出 $D F$ 的影子 $E F$ 的长度为 1 米, 再量出旗杆 $A C$ 的影子 $B C$ 的长度为 6 米, 那么旗杆 $A C$ 的高度为 ( )



选项：
A. 6米
B. 7 米
C. 8.5米
D. 9 米


答案：D
解析：【分析】

本题考查了相似三角形在测量高度时的应用, 解题时关键是找出相似的三角形, 然后根据对应边成比例列式, 建立适当的数学模型来解决问题. 在同一时刻的两个物体, 影子, 经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似. 根据相似三角形的对应边的比相等, 即可求解.

## 【解答】



即 $\frac{1.5}{1}=\frac{A C}{6}$,

$\therefore A C=6 \times 1.5=9$ (米).

故选 $D$.
题目（九年级 · 度量几何学）：《九章算术》中, 有一数学史上有名的测量问题: “今有邑, 东西七里, 南北九里, 各开中门, 出东门一十五里有木, 问: 出南门几何步而见木? ” 今译如下: 如图, 矩形 $A B C D$, 东边城墙 $A B$ 长 9 里,南边城墙 $A D$ 长 7 里, 东门点 $E$, 南门点 $F$ 分别位于 $A B, A D$ 的中点, $E G \perp A B, F H \perp A D, E G=15$ 里, $H G$ 经过 $A$ 点, 则 $F H$ 的长为 $($ )



选项：
A. 0.95 里
B. 1.05 里
C. 2.05 里
D. 2.15里


答案：B
解析：解: $\because$ 四边形 $A B C D$ 是矩形, $E G \perp A B, F H \perp A D$,

$\therefore \angle H F A=\angle A E G=\angle D A B=90^{\circ}$,

$\therefore F H / / A E$,

$\therefore \angle F H A=\angle E A G$,

$\therefore \triangle A F H \sim \triangle G E A$,

$\therefore \frac{F A}{E G}=\frac{F H}{E A}$,

$\because E$ 是 $A B$ 的中点, $F$ 是 $A D$ 的中点, $A B=9$ 里, $A D=7$ 里, $E G=15$ 里,

$\therefore E A=4.5$ 里, $F A=3.5$ 里,

$\therefore \frac{3.5}{15}=\frac{F H}{4.5}$,

解得: $F H=1.05$.

故选: $B$.

首先根据题意得到 $\triangle A F H \sim \triangle G E A$, 然后利用相似三角形对应边成比例列出比例式求得答案即可.

本题考查了相似三角形的应用, 解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形, 难度不大.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 小明从路灯下 $A$ 处, 向前走了 5 米到达 $D$ 处, 在 $D$ 处发现自己在地面上的影子长 $D E$ 是 2 米, 如果小明的身高为 1.6 米, 那么路灯离地面的高度 $A B$ 是米. ( ）


选项：
A. 4.6

B. 5.6

C. 7.5

D. 8.5


答案：B
解析：解: $\because A D=5$ 米, $D E=2$ 米,

$\therefore A E=7$ 米,
$\because A B \perp A E, C D \perp A E$,

$\therefore \triangle A B E \backsim \triangle D C E$,

$\therefore \frac{A B}{C D}=\frac{A E}{D E}$,

$\therefore A B=\frac{A E}{D E} \cdot C D=\frac{7}{2} \times 1.6=5.6($ 米 $)$.

故选: $B$.

根据相似三角形对应边成比例可解.

此题主要考查了相似三角形的应用, 正确得出相似三角形是解题关键.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图一块三角形余料 $A B C, B C=120 \mathrm{~mm}$, 高线 $A D=90 \mathrm{~mm}$, 要把它加工成一个矩形零件, 使矩形的一边在 $B C$ 上, 点 $P 、 M$ 分别在 $A B, A C$ 上, 若满足 $P M: P Q=2: 1$, 则 $P Q$ 的长为. ( )



选项：
A. $36 \mathrm{~mm}$
B. $40 \mathrm{~mm}$
C. $50 \mathrm{~mm}$
D. $120 \mathrm{~mm}$


答案：A
解析：【分析】

本题考查相似三角形的应用, 解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题, 属于中考常考题型. 由题意可得 $\triangle A P M \sim \triangle A B C$, 利用相似三角形的性质构建方程即可求解.

## 【解答】

解: 如图, 设 $A D$ 与 $P M$ 交于点 $K$,



$\because P M: P Q=2: 1$,

$\therefore$ 可设 $P M=2 y m m$ ，则 $P Q=y m m ，$

$\because$ 四边形 $P Q N M$ 是矩形,

$\therefore P M / / B C$,

$\therefore \triangle A P M \backsim \triangle A B C$,

$\because A D \perp B C, A K \perp P M$,

$\therefore \frac{P M}{B C}=\frac{A K}{A D}$,

$\therefore \frac{2 y}{120}=\frac{90-y}{90}$,

解得 $y=36$,

$\therefore P Q=36(\mathrm{~mm})$.

故选 $A$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 身高1.6米的小明利用影长测量学校旗杆的高度, 当他站在点 $C$ 处时, 他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合在点 $A$ 处, 测量得到 $A C=2$ 米, $C B=18$ 米, 则旗杆的高度是

( )



选项：
A. 8米
B. 14.4 米
C. 16米
D. 20 米


答案：C
解析：【分析】

本题考查了相似三角形的定义及判定, 解题时关键是找出相似的三角形, 然后根据对应边成比例列出方程, 建立适当的数学模型来解决问题. 因为人和旗杆均垂直于地面, 所以构成相似三角形, 利用相似比解题即可.

## 【解答】

解: 如图



$\because C E \perp A B, B F \perp A B$

$$
\begin{aligned}
& \therefore \triangle A C E \sim \triangle A B F \\
& \therefore \frac{A C}{A B}=\frac{C E}{B F}
\end{aligned}
$$

设旗杆高度为 $h$ 米，由题意得 $\frac{2}{2+18}=\frac{1.6}{h}$,

解得: $h=16$,
则旗杆的高度是16米.

故选: $C$.
题目（九年级 · 度量几何学）：如图, 某同学想测量旗杆的高度, 他在某一时刻测得1米长的竹竿坚直放置时影长1.5米, 在同一时刻测量旗杆的影长时, 因旗杆靠近一楼房, 影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上影长为21米, 留在墙上的影高为2米, 旗杆的高度为( )



选项：
A. 14
B. 16
C. 18
D. 20


答案：B
解析：【分析】

本题考查相似三角形的应用, 解题的关键是学会添加常用辅助线, 构造直角三角形解决问题, 学会利用: 物长: 影长=定值, 构建方程解决问题, 属于中考常考题型.

过 $C$ 作 $C E \perp A B$ 于 $E$, 首先证明四边形 $C D B E$ 为矩形, 可得 $B D=C E=21, C D=B E=2$, 设 $A E=x$,则1: $1.5=x: 21$, 求出 $x$ 即可解决问题.

## 【解答】

解: 过 $C$ 作 $C E \perp A B$ 于 $E$,



$\because C D \perp B D, A B \perp B D$,

$\therefore \angle E B D=\angle C D B=\angle C E B=90^{\circ}$,

$\therefore$ 四边形 $C D B E$ 为矩形,

$\therefore B D=C E=21, C D=B E=2$,

设 $A E=x$, 则 $1: 1.5=x: 21$ ，

解得 $x=14$,

$\therefore$ 旗杆的高 $A B=A E+B E=14+2=16$ 米.

故选 $B$.