eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高三 · 度量几何学）：23. 如图, 已知 Rt $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}, \mathrm{CD} \perp \mathrm{AB}$ 于点 $\mathrm{D}, \mathrm{DE} \perp \mathrm{AC}$ 于点 $\mathrm{E}, \mathrm{DF} \perp \mathrm{BC}$ 于点 $\mathrm{F}$. 求证: $\mathrm{AE} \cdot \mathrm{BF} \cdot \mathrm{AB}=\mathrm{CD}^{3}$.


选项：
答案：答案：证明： $\because$ 在 Rt $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}, \mathrm{CD} \perp \mathrm{AB}$,

$\therefore \mathrm{CD}^{2}=\mathrm{AD} \cdot \mathrm{BD}, \therefore \mathrm{CD}^{4}=\mathrm{AD}^{2} \cdot \mathrm{BD}^{2}$.

又 $\because$ 在 Rt $\triangle \mathrm{ADC}$ 中, $\mathrm{DE} \perp \mathrm{AC}$, 在 Rt $\triangle \mathrm{BDC}$ 中, $\mathrm{DF} \perp \mathrm{BC}$,

$\therefore \mathrm{AD}^{2}=\mathrm{AE} \cdot \mathrm{AC}, \mathrm{BD}^{2}=\mathrm{BF} \cdot \mathrm{BC}$,

$\therefore \mathrm{CD}^{4}=\mathrm{AE} \cdot \mathrm{BF} \cdot \mathrm{AC} \cdot \mathrm{BC}$.

又 $\because \angle \mathrm{A}=\angle \mathrm{A}, \angle \mathrm{ACD}=\angle \mathrm{ABC}$,

$\therefore \triangle \mathrm{ABC} \sim \triangle \mathrm{ACD}$.

$\therefore \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{CD}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{AC}}$,

即 $A C \cdot B C=A B \cdot C D$,

$\therefore \mathrm{CD}^{4}=\mathrm{AE} \cdot \mathrm{BF} \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{CD}$.

$\therefore \mathrm{AE} \cdot \mathrm{BF} \cdot \mathrm{AB}=\mathrm{CD}^{3}$.
解析：: 分析: 本题主要考查了直角三角形的射影定理, 解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理分别在 Rt $\triangle \mathrm{ABC}, \mathrm{Rt} \triangle \mathrm{ADC}, \mathrm{Rt} \triangle \mathrm{BDC}$ 中运用射影定理, 再将线段进行代换, 就可以实现等积式的证明.
题目（高三 · 度量几何学）：25. 如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $D, F$ 两点分别在 $A C, B C$ 上, 且 $A B \perp A C, A F \perp B C, B D=D C=F C=1$, 求 $A C$的长


选项：
答案：答案: 解答: 在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, 设 $\mathrm{AC}=\mathrm{x}, \because \mathrm{AB} \perp \mathrm{AC}, \mathrm{AF} \perp \mathrm{BC}$,

又 $\mathrm{FC}=1$, 根据射影定理, 得 $A C^{2}=F C \cdot B C$, 即 $B C=x^{2}$.

再由射影定理,得 $A F^{2}=B F \cdot F C=(B C-F C) \cdot F C$, 即 $\mathrm{AF}^{2}=x^{2}-1$.

$\therefore \mathrm{AF}=\sqrt{\mathrm{x}^{2}-1}$.

在 $\triangle \mathrm{BDC}$ 中,过点 $\mathrm{D}$ 作 $\mathrm{DE} \perp \mathrm{BC}$ 于点 $\mathrm{E}$,如图,

<ImageHere>

又 $\because \mathrm{BD}=\mathrm{DC}=1$,

$\therefore \mathrm{BE}=\mathrm{EC}$,

又 $\because \mathrm{AF} \perp \mathrm{BC}$,

$\therefore \mathrm{DE} / / \mathrm{AF}$

$\therefore \frac{\mathrm{DE}}{\mathrm{AF}}=\frac{\mathrm{DC}}{\mathrm{AC}}$

$\therefore \mathrm{DE}=\frac{\mathrm{DC} \cdot \mathrm{AF}}{\mathrm{AC}}=\frac{\sqrt{\mathrm{x}^{2}-1}}{\mathrm{x}}$.

在 Rt $\triangle \mathrm{DEC}$ 中, $\because \mathrm{DE}^{2}+\mathrm{EC}^{2}=\mathrm{DC}^{2}$,

即 $\left(\frac{\sqrt{x^{2}-1}}{x}\right)^{2}+\left(\frac{x^{2}}{2}\right)^{2}=1^{2}$,
$\therefore \frac{\mathrm{x}^{2}-1}{\mathrm{x}^{2}}+\frac{\mathrm{x}^{4}}{4}=1$.

整理得 $\mathrm{x}^{6}=4 . \therefore \mathrm{x}=\sqrt[3]{2} \therefore \mathrm{AC}=\sqrt[3]{2}$.
解析：: 分析: 本题主要考查了直角三角形的射影定理, 解决问题的关键是根据直角三角形的射影定理结合所给直角三角形满足的条件构造辅助线计算即可, 属于较难题目
题目（高三 · 变换几何）：16. 在平面直角坐标系中, 求下列方程所对应的图形经过伸缩变换, $\left\{\begin{array}{l}x^{\prime}=\frac{1}{8} x \\ y^{\prime}=\frac{1}{2} y\end{array}\right.$ 后的图形是什么形状?

(1) $y^{2}=2 x$
选项：
答案：答案: 解: 由伸缩变换 $\left\{\begin{array}{l}x^{s}=\frac{1}{3} x_{x} \\ y^{\prime}=\frac{1}{2} y_{x}\end{array}\right.$ 知 $\left\{\begin{array}{l}x=3 x^{s}, \\ y=2 y^{\prime}\end{array}\right.$.

将 $\left\{\begin{array}{l}x=3 x^{3} \\ y=2 y^{\prime}\end{array}\right.$, 代入 $y^{2}=2 x$, 可得 $4 y^{\prime 2}=6 x^{f}$, 即 $y^{\prime 2}=\frac{3}{2} x^{f}$.

即伸缩变换之后的图形还是抛物线.

(2) $x^{2}+y^{2}=1$

答案: 解: 将 $\left\{\begin{array}{l}x=3 x^{\prime} \\ y=2 y^{\prime}\end{array}\right.$, 代入 $x^{2}+y^{2}=1$, 得 $\left(3 x^{\prime}\right)^{2}+\left(2 y^{\prime}\right)^{2}=1$,

即 $\frac{x^{\prime 2}}{\frac{1}{6}}+\frac{y^{\prime 2}}{\frac{1}{4}}=1$,

即伸缩变换之后的图形为焦点在 $y$ 轴上的椭圆.
解析：: 分析: 本题考查伸缩变换的应用,解答此题需要先根据伸缩变换求出变换后的方程,然后再判断图形的形状.
题目（高三 · 变换几何）：22. 在平面直角坐标系中, 求下列方程对应的图形经过伸缩变换 $\left\{\begin{array}{c}x^{\prime}=\frac{1}{2} x, \\ y^{\prime}=\frac{1}{3} y\end{array}\right.$ 后的图形.

(1) $5 x+2 y=0$.
选项：
答案：: 答案: 解: 由伸缩变换 $\left\{\begin{array}{c}x^{f}=\frac{1}{2} x, \\ y^{\prime}=\frac{1}{3} y\end{array}\right.$ 得 $\left\{\begin{array}{l}x=2 x^{s}, \\ y=3 y^{\prime},\end{array}\right.$

将其代入 $5 x+2 y=0$, 得到经过伸缩变换后的图形的方程是 $5 x^{f}+3 y^{f}=0$.

所以经过伸缩变换 $\left\{\begin{array}{c}x^{\prime}=\frac{1}{2} x, \\ y^{\prime}=\frac{1}{3} y\end{array}\right.$ 后, 直线 $5 x+2 y=0$ 成直线 $5 x^{f}+3 y^{\prime}=0$.

(2) $x^{2}+y^{2}=2$.

答案: 解: 将 $\left\{\begin{array}{c}x=2 x^{5} \\ y=3 y^{y}\end{array}\right.$, 代入 $x^{2}+y^{2}=2$, 得到经过伸缩变换后的图形的方程是 $\frac{x^{x^{2}}}{\frac{1}{4}}+\frac{y^{y^{2}}}{\frac{1}{6}}=2$, 即 $\frac{x^{x^{2}}}{\frac{1}{2}}+\frac{y^{y^{2}}}{\frac{2}{6}}=1$.

所以经过伸缩变换 $\left\{\begin{array}{c}x^{\prime}=\frac{1}{2} x, \\ y^{\prime}=\frac{1}{3} y\end{array}\right.$ 后, 圆 $x^{2}+y^{2}=2$ 变成粗圆 $\frac{x^{r^{2}}}{\frac{1}{2}}+\frac{y^{\prime^{2}}}{\frac{2}{2}}=1$.
解析：: 分析: 本题主要考查了平面直角坐标轴中的伸缩变换, 解决问题的关键是根据平面直角坐标轴中的伸缩变换原理计算即可
题目（高三 · 算术）：22. 设函数 $f(x)=|x-a|$.

(1) 当 $a=2$ 时, 解不等式 $f(x) \geq 4-|x-1|$;
选项：
答案：答案: 解: 当 $\mathrm{a}=2$ 时, 不等式为 $|x-2|+|x-1| \geq 4$,不等式的解集为 $\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right] \cup\left[\frac{7}{2},+\infty\right)$;

(2) 若 $f(x) \leq 1$ 的解集为 $[0,2], \frac{1}{m}+\frac{1}{2 n}=a(m>0, n>0)$, 求证: $m+2 n \geq 4$

答案: 证明: $f(x) \leq 1$ 即 $|x-a| \leq 1$, 解得 $a-1 \leq x \leq a+1$, 而 $f(x) \leq 1$ 解集是 $[0,2]$,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}a-1=0 \\ a+1=2\end{array}\right.$, 解得 $a=1$, 所以 $\frac{1}{m}+\frac{1}{2 n}=1(m>0, n>0)$

所以 $m+2 n=(m+2 n)\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{2 n}\right) \geq 4$.
解析：: 分析: 本题主要考查了绝对值不等式的解法, 解决问题的关键是 (1) 用零点分段法去掉绝对值符号, 转化为不等式组, 解不等式; (2) 先解不等式 $|x-a| \leq 1$, 再结合 $f(x) \leq 1$
的解集为 $[0,2]$, 从而得到 $\mathrm{a}$ 的值, 再利用特殊值 1 将 $m+2 n$ 转化为 $(m+2 n)\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{2 n}\right)=1+\frac{m}{2 n}+\frac{2 n}{m}+1$, 再利用基本不等式求函数 $m+2 n$ 的取值范围.
题目（高三 · 算术）：25. 已知函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=|3 \mathrm{x}+2|$

(1) 解不等式 $f(x)<4-|x-1|$,
选项：
答案：答案: 解: 不等式 $f(x)<4-|x-1|$, 即 $|3 x+2|+|x-1|<4$,当 $x<-\frac{2}{3}$ 时, 即 $-3 x-2-x+1<4$, 解得 $-\frac{5}{4}<x<-\frac{2}{3}$,当 $-\frac{2}{3} \leq x \leq 1$ 时, 即 $3 x+2-x+1<4$, 解得 $-\frac{2}{3} \leq x<\frac{1}{2}$,当 $x>1$ 时, 即 $3 x+2+x-1<4$, 无解,

综上所述 $x \in\left(-\frac{5}{4}, \frac{1}{2}\right)$.

(2) 已知 $\mathrm{m}+\mathrm{n}=1(\mathrm{~m}, \mathrm{n}>0)$, 若 $|x-a|-f(x) \leq \frac{1}{m}+\frac{1}{n}(a>0)$ 恒成立, 求实数 $\mathrm{a}$ 的取值范围.

答案: 解: $\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=\left(\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\right)(m+n)=1+1+\frac{n}{m}+\frac{m}{n} \geq 4$,令 $g(x)=|x-a|-f(x)=|x-a|-|3 x+2|=\left\{\begin{array}{l}2 x+2+a, x<-\frac{2}{3}, \\ -4 x+2+a,-\frac{2}{3} \leq x \leq a, \\ -2 x-2-a, x>a\end{array}\right.$ $\therefore x=-\frac{2}{3}$ 时, $g(x)_{\text {max }}=\frac{2}{3}+a$, 要使不等式恒成立,只需 $g(x)_{\text {max }}=\frac{2}{3}+a \leq 4$ 即 $0<a \leq \frac{10}{3}$.
解析：：分析：本题主要考查了绝对值不等式的解法, 解决问题的关键是 (1) 不等式
$f(x)<4-|x-1|$, 即 $|3 x+2|+|x-1|<4$, 通过分类讨论求出不等式的解; (2) 对于恒成立的问题, 常用到以下两个结论：(1) $a \geq f(x)$ 恒成立 $\Leftrightarrow a \geq f(x)_{\text {max }}$, (2) $a \leq f(x)$ 恒成立 $\Leftrightarrow a \leq f(x)_{\text {min }}$
题目（高三 · 算术）：22. 设数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$, 且满足 $a_{n}=2-S_{n}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$.

(1) 求 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 的值并写出其通项公式;


(2) 用三段论证明数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列.
选项：
答案：答案:由 $a_{n}=2-S_{n}$, 得 $a_{1}=1 ; a_{2}=\frac{1}{2} ; a_{3}=\frac{1}{4} ; a_{4}=\frac{1}{8}$, 猜想 $a_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$. 因为通项公式为 $a_{n}$ 的数列 $\left\{a_{n}\right\}$, 若 $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=p, p$ 是非零常数, 则 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列;因为通项公式 $a_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$, 又 $\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{1}{2}$; 所以通项公式 $a_{n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}$ 的数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 是等比数列.
解析：: 分析: 本题主要考查了演绎推理的基本方法、进行简单的演绎推理, 解决问题的关键是 (1) 由递推关系式得到数列前几项, 然后猜想即可 (2) 利用三段论的方法严格的按步骤进行.
题目（高三 · 算术）：16.(1)用反证法证明: 在一个三角形中, 至少有一个内角大于或等于 $60^{\circ}$;

(2)已知 $n \geq 0$, 试用分析法证明: $\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}<\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$
选项：
答案：答案: (1)证明: 假设在一个三角形中, 没有一个内角大于或等于 $60^{\circ}$,即均小于 $60^{\circ}$, 则三内角和小于 $180^{\circ}$,

这与三角形中三个内角和等于 $180^{\circ}$ 矛盾,故假设不成立，原命题成立;

(2)证明: 要证上式成立, 需证 $\sqrt{n+2}+\sqrt{n}<2 \sqrt{n+1}$

需证 $(\sqrt{n+2}+\sqrt{n})^{2}<(2 \sqrt{n+1})^{2}$

需证 $n+1>\sqrt{n^{2}+2 n}$

需证 $(n+1)^{2}>n^{2}+2 n$

需证 $n^{2}+2 n+1>n^{2}+2 n$

只需证 $1>0$

因为 $1>0$ 显然成立，所以原命题成立.
解析：:【分析】本题考查反证法与分析法的应用,解题时需要注意以下关键要点:(1)反证法证明问题的关键是: 提出结论的反面, 并以此为条件推导导出矛盾; (2)分析法要求由结论成立反推条件(由果索因).
题目（高三 · 算术）：22. 若 $n$ 是大于 1 的自然数, 求证: $\frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}<2$.
选项：
答案：答案: 证明: $\because \frac{1}{k^{2}}<\frac{1}{k(k-1)}=\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}, k=2,3,4, \cdots, n$,

$\therefore \frac{1}{1^{2}}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{a^{2}}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}$

$<\frac{1}{1}+\frac{1}{1 \times 2}+\frac{1}{2 \times 3}+\cdots+\frac{1}{(n-1) \cdot n}$
$=\frac{1}{1}+\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)$

$=2-\frac{1}{n}<2$.
解析：:【分析】本题主要考查了反证法与放缩法, 解决问题的关键是(1)放缩法证明不等式主要是根据不等式的传递性进行交换, 即欲证 $a>b$, 可换成证 $a>c$ 且 $c>b$, 欲证 $a<b$, 可换成证 $a<c$ 且 $c<b$. (2)放缩法原理简单, 但技巧性较强且有时还会有“危险”, 因为放大或缩小过头, 就会得出错误的结论, 而达不到预期的目的, 因此, 在使用放缩法时要注意放缩的“度”.
题目（高三 · 算术）：(12 分) 在数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{1}=\frac{1}{2}, a_{n+1}=\frac{3 a_{n}}{a_{n}+3}$.

(1) 求出 $a_{2}, a_{3}$ 并猜想 $a_{n}$ 的通项公式;

(2) 用数学归纳方证明你的猜想.
选项：
答案：1) $a_{2}=rac{3}{7}, a_{3}=rac{3}{8}, a_{n}=rac{3}{n+5}$; (2) 证明见解析.
解析：(1) $ecause a_{1}=rac{1}{2}, a_{n+1}=rac{3 a_{n}}{a_{n}+3}$,$	herefore a_{2}=rac{3 a_{1}}{a_{1}+3}=rac{3 	imes rac{1}{2}}{rac{1}{2}+3}=rac{3}{7}, a_{3}=rac{3 a_{2}}{a_{2}+3}=rac{3 	imes rac{3}{7}}{rac{3}{7}+3}=rac{3}{8}$,因此可猜想: $a_{n}=rac{3}{n+5}\left(n \in \mathbb{N}^{*}ight)$.(2) 当 $n=1$ 时, $a_{1}=rac{1}{2}$, 等式成立,假设 $n=k$ 时, 等式成立, 即 $a_{k}=rac{3}{k+5}$,则当 $n=k+1$ 时, $a_{k+1}=rac{3 a_{k}}{a_{k}+3}=rac{3 	imes rac{3}{k+5}}{rac{3}{k+5}+3}=rac{3}{k+6}=rac{3}{(k+1)+5}$,即当 $n=k+1$ 时, 等式也成立,综上所述, 对任意自然数 $n \in \mathbb{N}^{*}, a_{n}=rac{3}{n+5}$
题目（高三 · 立体几何学）：11. 设点 $M$ 的直角坐标为 $(1,1, \sqrt{2})$, 求它的球坐标.
选项：
答案：答案: 解: $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=\sqrt{1^{2}+1^{2}+(\sqrt{2})^{2}}=2$.

由 $r \cos \varphi=z=\sqrt{2}$,
得 $\cos \varphi=\frac{\sqrt{2}}{r}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \varphi=\frac{\pi}{4}$.

又 $\tan \theta=\frac{y}{x}=1, \theta=\frac{\pi}{4}(x>0, y>0)$,

从而知 $M$ 点的球坐标为 $\left(2, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$.
解析：: 分析: 本题主要考查了 $\left(2, \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$, 解决问题的关键是本题考查直角坐标与球坐标的变换关系,解只需将已知条件代入变换公式求解即可, 但应注意 $\theta$ 与 $\varphi$ 的取值范围.由坐标变换公式,可得. 由直角坐标化为球坐标时, 我们可以先设点 $M$ 的球坐标为 $(r, \varphi, \theta)$, 再利用变换公式 $\left\{\begin{array}{l}x=r \sin \varphi \cos \theta, \\ y=r \sin \varphi \sin \theta, \text { 求出 } r . \theta . \varphi \text { 代入点的球坐标即可; 也可以利用 } r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}, \\ z=r \cos \varphi\end{array}\right.$ $\tan \theta=\frac{y}{x}, \cos \varphi=\frac{z}{r}$, 特别注意由直角坐标求球坐标时, $\theta$ 和 $\varphi$ 的取值应首先看清点所在的象限, 准确取值, 才能无误.
题目（高三 · 立体几何学）：12. 已知点 $M$ 的球坐标为 $\left(5, \frac{5}{6} \pi, \frac{4}{3} \pi\right)$, 求它的直角坐标
选项：
答案：答案: 解: $\because M$ 的球坐标为 $\left(5, \frac{5}{6} \pi, \frac{4}{3} \pi\right)$,

$\therefore r=5, \varphi=\frac{5}{6} \pi, \theta=\frac{4}{3} \pi$.

由变换公式 $\left\{\begin{array}{c}x=r \sin \varphi \cos \theta \text { 。 } \\ y=r \sin \varphi \sin \theta \text {, 得 } \\ z=r \cos \varphi \text {, }\end{array}\left\{\begin{array}{c}x=5 \sin \frac{5}{6} \pi \cos \frac{4}{3} \pi=-\frac{5}{4} \\ y=5 \sin \frac{5}{6} \pi \cdot \sin \frac{4}{3} \pi=-\frac{5 \sqrt{3}}{4} \text {, } \\ z=5 \cos \frac{5}{6} \pi=-\frac{5 \sqrt{3}}{2} \text {, }\end{array}\right.\right.$

故它的直角坐标为 $\left(-\frac{5}{4},-\frac{5 \sqrt{3}}{4},-\frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)$.
解析：: 分析: 本题考查球坐标刻画点的位置,解答本题需要先搞清球坐标 $\left(5, \frac{5}{6} \pi, \frac{4}{3} \pi\right)$ 中各个坐标的意义,然后代入相应的公式求解即可.
题目（高三 · 立体几何学）：13. 如图, $P$ 为圆柱的上底面与侧面交线上的一点, 且 $P$ 点的柱坐标为 $\left(6, \frac{\pi}{4}, 5\right)$, 求该圆柱的体积.


选项：
答案：答案：解：过点 $P$ 作 $P P^{\prime}$ 垂直底面,垂足为 $P^{\prime}$,

<ImageHere>

$\because P\left(6, \frac{\pi}{4}, 5\right)$,

$\therefore P^{\prime}$ 点的坐标为 $\left(6, \frac{\pi}{4}, 0\right)$.

$\therefore$ 圆柱底面圆半径为 6 , 高为 5 .

$\therefore$ 圆柱的体积为 $V=\pi \times 6^{2} \times 5=180 \pi$.
解析：: 分析: 本题主要考查了柱坐标刻画点的位置, 解决问题的关键是转化计算即可
题目（高三 · 立体几何学）：15. 已知空间点 $M$ 的直角坐标为 $(-1,-\sqrt{3}, 3)$, 求它的柱坐标
选项：
答案：答案: 解: 由公式 $\left\{\begin{array}{c}x=\rho \cos \theta, \\ y=\rho \sin \theta, \\ z=z,\end{array},\left\{\begin{array}{c}-1=\rho \cos \theta, \\ -\sqrt{3}=\rho \sin \theta, \\ z=3,\end{array}\right.\right.$,

$\therefore \rho^{2}=(-1)^{2}+(-\sqrt{3})^{2}=4$.

$\therefore \rho=2$.

$\therefore \cos \theta=-\frac{1}{2}, \sin \theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

又 $\because \theta \in[0,2 \pi)$,

$\therefore \theta=\frac{4}{3} \pi$.

即 $M$ 的柱坐标为 $\left(2, \frac{4}{3} \pi, 3\right)$.
解析：: 分析: 本题主要考查了柱坐标刻画点的位置, 解决问题的关键是根据所给条件转化即可
题目（高三 · 立体几何学）：17. 一只蚂蚁在一个母线与轴线夹角为箃的圆锥面上从顶点出发盘旋着向上爬行, 已知它上升的速度为 $v>0$, 盘旋的角速度为 $\omega>0$, 求 $t$ 时刻蚂蚁所在的位置的球坐标.
选项：
答案：答案: 解: 取圆雉的顶点 $O$ 为坐标原点, 建立球坐标系,

<ImageHere>

设 $\mathrm{t}$ 时刻蚂蚁在点 $M(r, \varphi, \theta)$ 处, 由题意得 $\theta=\omega t, z=v t, \varphi=\frac{\pi}{3}$, 由于

$\frac{z}{r}=\cos \varphi=\cos \frac{\pi}{a}=\frac{1}{2}$, 于是 $r=2 z=2 v t$,

所以 $t$ 时刻蚂蚁所在球坐标为 $M\left(2 v t, \frac{\pi}{3}, \omega t\right), t \in[0,+\infty)$.
解析：: 分析: 本题主要考查了球坐标刻画点的位置, 解决问题的关键是根据所给条件转化计算即可
题目（高三 · 立体几何学）：18. 已知点 $P$ 的球坐标为 $\left(4, \frac{3 \pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$ 求它的直角坐标.
选项：
答案：答案：解：由变换公式得：

$x=r \sin \varphi \cos \theta=4 \sin \frac{3 \pi}{4} \cos \frac{\pi}{4}=2$.

$y=r \sin \varphi \sin \theta=4 \sin \frac{3 \pi}{4} \sin \frac{\pi}{4}=2$.

$z=r \cos \varphi=4 \cos \frac{3 \pi}{4}=-2 \sqrt{2}$.

$\therefore$ 它的直角坐标为 $(2,2,-2 \sqrt{2})$.
解析：: 分析: 本题主要考查了球坐标刻画点的位置, 解决问题的关键是根据球坐标刻画点的位置转化即可
题目（高三 · 计数）：23. 已知 $f(n)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$. 经计算得 $f(4)>2, f(8)>\frac{5}{2}, f(16)>3, f(32)>\frac{7}{2}$.

（1）由上面数据, 试猜想出一个一般性结论;

 
（2）用数学归纳法证明你的猜想.
选项：
答案：答案: 由题意知, $f\left(2^{2}\right)>2=\frac{2+2}{2}, f\left(2^{3}\right)>\frac{5}{2}=\frac{3+2}{2}$
$f\left(2^{4}\right)>3=\frac{4+2}{2}, f\left(2^{5}\right)>\frac{7}{2}=\frac{5+2}{2}$.

由此得到一般性结论: $f\left(2^{n+1}\right)>\frac{n+3}{2}$

(或者猜测 $f\left(2^{n}\right)>\frac{n+2}{2}(n \geq 2, n \in N)$ 也行)
证明: (1)当 $n=1$ 时, $f\left(2^{2}\right)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{25}{12}>\frac{4}{2}=\frac{1+3}{2}$, 所以结论成立 (2)假设 $n=k(k \geq 1, k \in N)$ 时, 结论成立, 即 $f\left(2^{k+1}\right)>\frac{k+3}{2}$

那么, $n=k+1$ 时, $f\left(2^{k+2}\right)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^{k+1}}+\frac{1}{2^{k+1}+1}+\frac{1}{2^{k+1}+2}+\cdots+\frac{1}{2^{k+2}}$

$>\frac{k+3}{2}+\frac{1}{2^{k+1}+1}+\frac{1}{2^{k+1}+2}+\cdots+\frac{1}{2^{k+2}}$

$>\frac{k+3}{2}+\frac{1}{2^{k+2}}+\frac{1}{2^{k+2}}+\cdots+\frac{1}{2^{k+2}}=\frac{k+3}{2}+\frac{2^{k+1}}{2^{k+2}}=\frac{k+1+3}{2}$

所以当 $n=k+1$ 时, 结论也成立.

综上所述，上述结论对 $n \geq 1, n \in N$ 都成立，所以猜想成立.
解析：: 分析: 本题主要考查了归纳推理, 解决问题的关键是 (1) 由归纳推理进行猜想; (2)利用数学归纳法的步骤进行证明.
题目（高三 · 计数）：某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.

(1) 若花店一天购进 16 枝玫瑰花, 求当天的利润 ${ }^{y}$ (单位:元)关于当天需求量 ${ }^{n}$ (单位:枝, $n \in \mathbb{N}$ )的函数解析式

(2) 花店记录了 100 天玫瑰花的口需求量(单位:枝), 整理得下表:

| 日需求量 n | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| 频数 | 10 | 20 | 16 | 16 | 15 | 13 | 10 |

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

(1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花, $X$ 表示当天的利润,求 $X$ 的分布列、数学期望及方差;

(2)若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝? 请说明理由.
选项：
答案：(1) 当 $n>16$ 时, $y=16 	imes(10-5)=80$;当 $n \leq 16$ 时, $y=(10-5) n-5 	imes(16-n)=10 n-80$ ，$y=\left\{egin{array}{l}10 n-80, n \leq 16 \ 80, n>16,\end{array}(n \in \mathbb{N})ight.$. (2) (1) $X$ 可取 ${ }^{60,70,80}$, $P(X=60)=0.1, P(X=70)=0.2, P(X=80)=0.7$$X$ 的分布列为:| $\mathrm{X}$ | 60 | 70 | 80 || :--- | :--- | :--- | :--- | $\mathrm{P}$ | 0.1 | 0.2 | 0.7 |$E X=60 	imes 0.1+70 	imes 0.2+80 	imes 0.7=76$,$D X=16^{2} 	imes 0.1+6^{2} 	imes 0.2+4^{2} 	imes 0.7=44$.(2)若购进 17 枝,则当天利润的期望为$(14 	imes 5-3 	imes 5) 	imes 0.1+(15 	imes 5-2 	imes 5) 	imes 0.2+(16 	imes 5-1 	imes 5) 	imes 0.16+17 	imes 5 	imes 0.54=76.4$,因为 $76.4>76$, 所以应购迸 17 枝.
题目（高三 · 计数）：质检部门对某工厂甲、乙两个车间生产的 12 个零件质量进行检测. 甲、乙两个车间的零件质量 (单位: 克) 分布的茎叶图如图所示. 零件质量不超过 20 克的为合格.

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_7da760c0cd38339a5113g-
选项：
答案：：(1)设事件 $A$ 表示“ 2 件合格, 2 件不合格”;事件 $B$ 表示“ 3 件合格, 1 件不合格”;事件 $C$ 表示“ 4 件全合格”;事件 $D$ 表示“检测通过”;事件 $E$ 表示“检测良好”。$	herefore P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=rac{\mathrm{C}_{4}^{2} \mathrm{C}_{4}^{2}}{\mathrm{C}_{8}^{4}}+rac{\mathrm{C}_{4}^{3} \mathrm{C}_{4}^{1}}{\mathrm{C}_{8}^{4}}+rac{\mathrm{C}_{4}^{4}}{\mathrm{C}_{8}^{4}}=rac{53}{70}$$	herefore P(E \mid D)=rac{P(C)}{P(D)}+rac{P(B)}{P(D)}=rac{17}{53}$.故所求概率为 $rac{17}{53}$.(2) $X$ 可能取值为 ${ }^{0,1,2}$$P(X=0)=rac{\mathrm{C}_{8}^{2}}{\mathrm{C}_{12}^{2}}=rac{14}{33}$$P(X=1)=rac{\mathrm{C}_{4}^{1} \mathrm{C}_{8}^{1}}{\mathrm{C}_{12}^{2}}=rac{16}{33}$$P(X=2)=rac{\mathrm{C}_{4}^{2}}{\mathrm{C}_{12}^{2}}=rac{1}{11}$| $X$ | 0 | 1 | 2 || :---: | :---: | :---: | :---: || $P$ | $rac{14}{33}$ | $rac{16}{33}$ | $rac{1}{11}$ |分布列为所以, $E(X)=0 	imes rac{14}{33}+1 	imes rac{16}{33}+2 	imes rac{1}{11}=rac{2}{3}$.
题目（高三 · 计数）：出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗, 假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的, 并且概率都是 ${ }^{\frac{1}{3}}$.

(1)求这位司机遇到红灯前, 已经通过了两个交通岗的概率;

(2)求这位司机在途中遇到红灯数 $X$ 的均值与方差.
选项：
答案：(1)因为这位司机在第一、二个交通岗未遇到红灯, 在第三个交通岗遇到红灯, 所以 $P=\left(1-rac{1}{3}ight) 	imes\left(1-rac{1}{3}ight) 	imes rac{1}{3}=rac{4}{27}$ (2)易知随机变量 $$X \sim B\left(6, rac{1}{3}ight) $$所以 $E(X)=6 	imes rac{1}{3}=2, D(X)=6 	imes rac{1}{3} 	imes\left(1-rac{1}{3}ight)=rac{4}{3}$.
题目（高三 · 计数）：某厂有 4 台大型机器, 在一个月中, 一台机器至多出现 1 次故障, 且每台机器是否出现故障是相互独立的, 出现故障时需 1 名工人进行维修, 每台机器出现故障需要维修的概率为 ${ }^{\frac{1}{3}}$.

(1)若出现故障的机器台数为 $X$, 求 $X$ 的分布列.

(2)该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于 $90 \%$ ?
选项：
答案：答案: (1) 一台机器是否出现故障可看作一次试验, 在一次试验中, 记机器出现故障为事件 $A$, 则事件 $A$ 的概率为 $\frac{1}{3}$, 该厂有 4 台机器就相当于 4 次独立重复试验, 因为出现故障的机器台数为 $X$, 所以 $X \sim B\left(4, \frac{1}{3}\right), P(X=0)=\mathrm{C}_{4}^{0} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{4}=\frac{16}{81}, P(X=1)=$

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{C}_{4}^{1} \times \frac{1}{3} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{3}=\frac{32}{81}, F(X=2)=\mathrm{C}_{4}^{2} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{2} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{8}{27} \\
& F(X=3)=\mathrm{C}_{4}^{3} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{3} \times \frac{2}{3}=\frac{8}{81}, F(X=4)=\mathrm{C}_{4}^{4} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{4}=\frac{1}{81}
\end{aligned}
$$

$X$ 的分布列为

| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\frac{16}{81}$ | $\frac{32}{81}$ | $\frac{8}{27}$ | $\frac{8}{81}$ | $\frac{1}{81}$ |

(2)设该厂有 $n$ 名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”满足的条件为 $X, n$ ，即 $X=0, X=1, \mathrm{~L}, X=n$ 这 $n+1$ 个互斥事件的和事件，则

| $n$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P(X, n)$ | $\frac{16}{81}$ | $\frac{16}{27}$ | $\frac{8}{9}$ | $\frac{80}{81}$ | 1 |

因为 $\frac{72}{81}<90 \%<\frac{80}{81}$, 所以至少有 3 名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障能及时进行维修的概率不小于 $90 \%$.
解析：答案: (1) 一台机器是否出现故障可看作一次试验, 在一次试验中, 记机器出现故障为事件 $A$, 则事件 $A$ 的概率为 $\frac{1}{3}$, 该厂有 4 台机器就相当于 4 次独立重复试验, 因为出现故障的机器台数为 $X$, 所以 $X \sim B\left(4, \frac{1}{3}\right), P(X=0)=\mathrm{C}_{4}^{0} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{4}=\frac{16}{81}, P(X=1)=$

$$
\begin{aligned}
& \mathrm{C}_{4}^{1} \times \frac{1}{3} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{3}=\frac{32}{81}, F(X=2)=\mathrm{C}_{4}^{2} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{2} \times\left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{8}{27} \\
& F(X=3)=\mathrm{C}_{4}^{3} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{3} \times \frac{2}{3}=\frac{8}{81}, F(X=4)=\mathrm{C}_{4}^{4} \times\left(\frac{1}{3}\right)^{4}=\frac{1}{81}
\end{aligned}
$$

$X$ 的分布列为

| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P$ | $\frac{16}{81}$ | $\frac{32}{81}$ | $\frac{8}{27}$ | $\frac{8}{81}$ | $\frac{1}{81}$ |

(2)设该厂有 $n$ 名工人，则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”满足的条件为 $X, n$ ，即 $X=0, X=1, \mathrm{~L}, X=n$ 这 $n+1$ 个互斥事件的和事件，则

| $n$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $P(X, n)$ | $\frac{16}{81}$ | $\frac{16}{27}$ | $\frac{8}{9}$ | $\frac{80}{81}$ | 1 |

因为 $\frac{72}{81}<90 \%<\frac{80}{81}$, 所以至少有 3 名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障能及时进行维修的概率不小于 $90 \%$.
题目（高三 · 计数）：某钢管生产车间生产一批钢管, 质检员从中抽出若干根对其直径(单位: $m$ mm )进行测量, 得出这批钢管的直径 $X$ 服从正态分布 ${ }^{N(65,
选项：
答案：(1) $ecause \mu=65, \sigma=2.2, \mu-3 \sigma=58.4, \mu+3 \sigma=71.6$, 而 $73 \in(\mu+3 \sigma,+\infty)$,$	herefore P(X>71.6)=rac{1-P(58.4<X \leq 71.6)}{2}=rac{1-0.997}{2}=0.0015$
题目（高三 · 计数）：假设某农作物基本苗数 $x$ 与有效穗数 $y$ 之间存在相关关系, 令测得 5 组数据如下:

| $x$ |
选项：
答案：(1)散点图如图所示.<ImageHere>(2)由图看出, 样本点呈条状分布, 有比较好的线性相关关系, 因此可以用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.设线性回归方程为 $\hat{y}=\hat{b} x+\hat{a}$, 由表中数据可得 $\hat{b} \approx 0.29, \hat{a} \approx 34.70$, 故 $\mathrm{y}$ 与 $\mathrm{x}$ 之间的回归方程为 $\hat{y}=0.29 x+34.70$.当 $x=56.7$ 时, $\hat{y}=0.29 	imes 56.7+34.70=51.143$.所以由回归方程可预报当基本苗数为 56.7 时，有效穗数为 51.143 .(3)各组数据的残差分别为 $\widehat{e_{1}}=0.35, \widehat{e_{2}}=0.718, \widehat{e_{3}}=-0.5, \widehat{e_{4}}=-2.214, \widehat{e_{3}}=1.624$. $R^{2}=1-rac{\sum_{i=1}^{5}\left(y_{i}-\widehat{y_{i}}ight)^{2}}{\sum_{i=1}^{5}\left(y_{i}-ar{y}ight)^{2}} \approx 0.832$
题目（高三 · 计数）：某高校共有学生 15000 人,其中男生 10500 人,女生 4500 人.为调査该校学生每周平均体育运动时间的情况,采用分层抽样的方法,收集 300 位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位:小时).

(1)应收集多少位女生的样本数据?

(2)根据这 300 个样本数据, 得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示), 其中样本数据的分组区间为: $[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12]$. 估计该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率;



(3)在样本数据中, 有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 小时, 清完成每周平均体育运动时间与性别列联表, 并判断是否有 $95 \%$ 的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
选项：
答案：(1) $300 	imes rac{4500}{15000}=90$, 所以应收集 90 位女生的样本数据.(2)由频率分布直方图得 $1-2 	imes(0.100+0.025)=0.75$, 所以该校学生每周平均体育运动时间超过 4 小时的概率的估计值为 0.75 .(3)由 2 知, 300 位学生中有 $300 	imes 0.75=225$ 人的每周平均体育运动时间超过 4 小时, 75 人的每周平均体育运动时间不超过 4 小时. 又因为样本数据中有 210 份是关于男生的, 90 份是关于女生的. 所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下:|  | 男生 | 女生 | 总计 || :--- | :--- | :--- | :--- || 每周平均体育运动 <br> 时间不超过 4 小时 | 45 | 30 | 75 || 每周平均体育运动 <br> 时间超过 4 小时 | 165 | 60 | 225 || 总计 | 210 | 90 | 300 |结合列联表可算得 $K^{2}=rac{300 	imes(45 	imes 60-165 	imes 30)^{2}}{75 	imes 225 	imes 210 	imes 90}=rac{100}{21} \approx 4.762>3.841$.所以,有 $95 \%$ 的把握认为 “该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关。
解析：无
题目（高三 · 计数）：下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 $x$ （吨）与相应的生产能耗 $Y$ (吨标准煤) 的几组对应数据.
选项：
答案：(1) $\hat{y}=0.6 x+1$; (2) 9 (吨标准煤).
解析：(1) 由对应数据, 计算得 $\bar{x}=\frac{3+4+5+6+7}{5}=5, \bar{y}=\frac{3+3+4+5+5}{5}=4$,

$\hat{b}=\frac{(3-5)(3-4)+(4-5)(3-4)+(5-5)(4-4)+(6-5)(5-4)+(7-5)(5-4)}{(3-5)^{2}+(4-5)^{2}+(5-5)^{2}+(6-5)^{2}+(7-5)^{2}}=0.6$

$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b} \bar{x}=4-0.6 \times 5=1$

所求的回归方程为 $\hat{y}=0.6 x+1$

(2) $x=100, \hat{y}=0.6 \times 100+1=61$,

预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低 $70-61=9$ (吨标准煤).

20. 答案:(1) $\hat{y}=