eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（九年级 · 解析几何）：某大桥的桥拱可以用抛物线的一部分表示，函数关系为 $y=-\frac{1}{25} x^{2}$, 当水面宽度 $A B$为 $20 \mathrm{~m}$ 时, 水面与桥拱顶的高度 $\mathrm{CO}$ 等于（）

  

  （第 6 题）

  
选项：
A. $2 \mathrm{~m}$
  B. $4 \mathrm{~m}$
  C. $10 \mathrm{~m}$
  D. $16 m$


答案：B
解析：根据题意, 把 $x=10$ 直接代入解析式即可解答.
【详解】解：根据题意 $B$ 的横坐标为 10 ,

将 $x=10$ 代入 $y=-\frac{1}{25} x^{2}$ 得: $y=-4$,

$\therefore A(-10,-4), B(10,-4)$,

即水面与桥拱顶的高度 $\mathrm{CO}$ 等于 $4 \mathrm{~m}$,

故选: B.

【点睛】此题考查了二次函数的实际应用, 掌握二次函数的对称性是解决问题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：已知 $A\left(-1, y_{1}\right), B\left(1, y_{2}\right), C\left(4, y_{3}\right)$ 三点都在二次函数 $y=-(x-2)^{2}+m$ 的图象上, 则 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 的大小关系为 ( )
  
选项：
A. $y_{1}<y_{2}<y_{3}$
  B. $y_{1}<y_{3}<y_{2}$
  C. $y_{3}<y_{1}<y_{2}$
  D. $y_{3}<y_{2}<y_{1}$


答案：B
解析：先求出二次函数的对称轴为直线 $x=2$, 再利用二次函数的增减性求解即可得.

【详解】解: $\because$ 二次函数 $y=-(x-2)^{2}+m$ 的对称轴为直线 $x=2$, 开口向下,

$\therefore$ 当 $x=0$ 时的函数值与当 $x=4$ 时的函数值相等, 即为 $y_{3}$; 当 $x<2$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而增大,

又 $\because A\left(-1, y_{1}\right), B\left(1, y_{2}\right),\left(0, y_{3}\right)$ 三点都在二次函数 $y=-(x-2)^{2}+m$ 的图象上, 且 $-1<0<1$, $\therefore y_{1}<y_{3}<y_{2}$,

故选: B.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质, 熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题关键.
题目（九年级 · 解析几何）：抛物线 $\mathrm{y}=-2(\mathrm{x}+3)^{2}-4$ 的顶点坐标是:

选项：
A. $(3,-4)$
B. $(-3,4)$
C. $(-3,-4)$
D. $(-4,3)$

答案：C
解析：mathrm{C}$

【详解】试题分析: 抛物线 $y=-2(x+3)^{2}-4$ 的顶点坐标是 $(-3,-4)$. 故选 C.

考点: 二次函数的性质.
题目（九年级 · 解析几何）：若抛物线 $y=x^{2}+2 a x+(a-1)^{2}$ 的顶点在第二象限，则 $a$ 的取值范围是（）

选项：
A. $0<a<\frac{1}{2}$
B. $a>0$
C. $a>\frac{1}{2}$
D. $a<0$

答案：A
解析：把二次函数化为顶点式，写出顶点坐标，根据顶点在第二象限得到 $a$ 的取值范围.

【详解】解: 由 $y=x^{2}+2 a x+(a-1)^{2}$ 得, $y=x^{2}+2 a x+(a-1)^{2}=x^{2}+2 a x+a^{2}-2 a+1=(x+a)^{2}+1-2 a$,

$\therefore$ 抛物线的顶点坐标为 $(-a, 1-2 a)$,

$\because$ 顶点在第二象限,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}-a<0 \\ 1-2 a>0\end{array}\right.$,

解得: $0<a<\frac{1}{2}$,
故选: A.

【点睛】本题主要考查了二次函数图象的特征, 将二次函数的一般式化为顶点式, 熟练掌握第二象限的点的特征是解题的关键.
题目（九年级 · 解析几何）：拋物线 $y=a x^{2}+b x+c$ 上部分点的横坐标 $x$, 纵坐标 $y$ 的对应值如下表:



| $x$ | $\ldots$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | $\cdots$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $y$ | $\ldots$ | 0 | 4 | 6 | 6 | 4 | $\cdots$ |

从表中可知, 下列说法中正确的是（）

选项：
A. 抛物线的对称轴是直线 $x=0$
B. 抛物线与 $x$ 轴的一个交点为 $(3,0)$
C. 函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 的最大值为 6
D. 在对称轴右侧, $y$ 随 $x$ 增大而增大


答案：B
解析：根据表格信息结合二次函数性质，逐项判断即可.

【详解】解：A、由表格可知函数经过 $(0,6),(1,6)$, 所以对称轴 $x=\frac{0+1}{2}=\frac{1}{2}$, 故选项不符合题意;

B、根据图表, 当 $x=-2, y=0$, 根据抛物线的对称性, 当 $x=3$ 时, $y=0$, 即抛物线与 $x$轴的交点为 $(-2,0)$ 和 $(3,0)$, 故选项正确, 符合题意;

C、根据表中数据得到拋物线的开口向下,

$\therefore$ 当 $x=\frac{1}{2}$ 时, 函数有最大值, 而不是 $x=0$, 或 1 对应的函数值 6 , 故选项错误, 不符合题意;

D、根据表中数据得到拋物线的开口向下, 并且在直线 $x=\frac{1}{2}$ 的右侧, $y$ 随 $x$ 增大而减小, 故选项错误，不符合题意;

故选: B.
【点睛】本题考查了抛物线 $y=a x^{2}+b x+c$ 的性质：抛物线是轴对称图形, 它与 $x$ 轴的两个交点是对称点, 对称轴与拋物线的交点为抛物线的顶点; $a<0$ 时, 函数有最大值, 在对称轴左侧, $y$ 随 $x$ 增大而增大.
题目（九年级 · 解析几何）：抛物线 $y=x^{2}+1$ 的顶点坐标是 ( )

选项：
A. $(-1,0)$
B. $(0,-1)$
C. $(0,1)$
D. $(1,0)$

答案：C
解析：本题考查了二次函数的性质, 熟练掌握形如 $y=a x^{2}+k$ 的顶点坐标为 $(0, k)$ 是解题的关键.

【详解】解：拋物线 $y=x^{2}+1$ 的顶点坐标是 $(0,1)$,

故选 C.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 已知 $\triangle A B C$ 中, $D E / / B C$, 若 $A D=3, D B=6, A E=2$, 则 $A C$ 的长是 ( )



选项：
A. 4
B. 9
C. 6
D. 8


答案：C
解析：根据平行线分线段成比例的方法即可求解.

【详解】解：在 $\triangle A B C$ 中, $D E / / B C$,

$\therefore \frac{A D}{B D}=\frac{A E}{E C}$,

$\therefore E C=\frac{A E \cdot B D}{A D}$, 且 $A D=3, D B=6, A E=2$,

$\therefore E C=\frac{2 \times 6}{3}=4$,

$\therefore A C=A E+E C=2+4=6$,

故选: C.

【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的知识，掌握以上知识是解题的关键.

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题目（九年级 · 解析几何）：已知二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 的图象如图所示，下列说法错误的是（）



选项：
A. 图象关于直线 $x=1$ 对称
B. 函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 的最小值是 -4
C. 当 $-1 \leq x \leq 3$ 时, $y \geq 0$
D. 当 $x<1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小


答案：C
解析：本题考查了二次函数的图象及性质, 根据函数图象, 结合二次函数的性质逐一判断即可求解, 从图象中获取信息, 掌握二次函数的图象及性质是解题的关键.

【详解】解： A、由图得: 图象关于直线 $x=1$ 对称, 则正确, 故不符合题意;

B、由图得: 函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 的最小值是 -4 , 则正确, 故不符合题意;

C、由图得: 对称轴为直线 $x=1$, 抛物线的一个交点为: $(-1,0)$, 则抛物线与 $x$ 轴的另一交点为: $(3,0)$,

$\therefore$ 当 $-1 \leq x \leq 3$ 时, $y \leq 0$, 则错误, 故符合题意;

D、由图得: 对称轴为直线 $x=1$,

$\therefore$ 当 $x<1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小,则正确, 故不符合题意;

故选 C.
题目（九年级 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 若 $\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}, \cos A=\frac{1}{2}$, 则 $\triangle A B C$ 是 (）
选项：
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 等腰直角三角形
答案：B
解析：【分析】利用特殊角的三角函数值得出 $\angle \mathrm{B}, \angle \mathrm{A}$ 的度数, 进而得出答案.

解: $\because$ 在 $\triangle A B C$ 中, $\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}, \cos A=\frac{1}{2}$,
$\therefore \angle \mathrm{B}=60^{\circ}, \angle \mathrm{A}=60^{\circ}$

$\therefore \triangle \mathrm{ABC}$ 是等边三角形.

故选: B.
题目（九年级 · 解析几何）：在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, B C=a, A C=b$, 且 $3 a=4 b$, 则 $\angle A$ 的度数为 ( )
选项：
A. $53.48^{\circ}$
B. $53.13^{\circ}$
C. $53.13^{\prime}$
D. $53.48^{\prime}$
答案：B
解析：【分析】首先利用正切函数的定义求得 $\tan \angle \mathrm{A}$ 的值, 然后利用计算器即可求得 $\angle \mathrm{A}$ 度数.

解: 由锐角三角函数的定义可知: $\tan A=\frac{a}{b}=\frac{4}{3}$.

$\therefore \angle \mathrm{A} \approx 53.13^{\circ}$.

故选: B.
题目（九年级 · 解析几何）：若 $\tan a=2$, 则 $\frac{3 \sin \alpha-\cos \alpha}{4 \sin \alpha+2 \cos \alpha}$ 的值为 ( )
选项：
A. $\frac{1}{3}$
B. $\frac{5}{6}$
C. $\frac{1}{2}$
D. 1
答案：C
解析：【分析】分子分母同时除以 $\cos \alpha$, 转化为关于 $\tan \alpha$ 的式子解答.

解: 因为 $\tan a=\frac{s i n^{2} \alpha_{n}}{\cos \alpha}=2$,

$\therefore$ 原式 $=\frac{\frac{3 \sin \alpha}{\cos \alpha}-1}{\frac{4 \sin \alpha}{\cos \alpha}+2}=\frac{3 \tan \alpha-1}{4 \tan \alpha+2}=\frac{3 \times 2-1}{4 \times 2+2}=\frac{1}{2}$.

故选 C.
题目（九年级 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, a, b, c$ 分别是 $\angle A, \angle B, \angle C$ 的对边, 下列等式: (1) $b=c \cos B$; (2) $b=a \tan B$; (3) $a=c \sin A$; (4) $a=c \cos B$; (5) $a=b \tan A$; (5) $a=b \cot A$, 其中正确的有（ ）
选项：
A. 2 个
B. 3 个
C. 4 个
D. 5 个
答案：B
解析：【分析】在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}$, 则利用锐角三角函数的定义分别代入求解即可.

解: 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}$,

则 $\cos A=\frac{b}{c}, \sin A=\frac{a}{c}, \tan B=\frac{b}{a}, \cos B=\frac{a}{c}, \tan A=\frac{a}{b}, \cot A=\frac{b}{a}$.

因而 $b=c \cos A=a \tan B, a=c \sin A=c \cos B=b \tan A=\frac{b}{\cot A}$,

故正确的是: (2), (3), (4)共 3 个.

故选: B.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 把一块直尺与一块三角板如图放置, 若 $\angle 2=135^{\circ}$, 则 $\tan \angle 1$ 的值为


选项：
A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. 1
D. $\sqrt{3}$
答案：C
解析：【分析】根据 $\angle 2=135^{\circ}$, 求出 $\angle 2$ 的补角的度数, 然后求出 $\angle 1$ 的度数, 最后求出 $\tan \angle 1$.
解: $\because 2=135^{\circ}$,

$\therefore \angle 2$ 的补角 $=180^{\circ}-135^{\circ}=45^{\circ}$,

$\therefore \angle 1=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$,

则 $\tan \angle 1=\tan 45^{\circ}=1$.

故选 C.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, $\triangle A B C$ 的三个顶点分别在正方形网格的格点上, 则 $\tan C$ 的值是 ( )


选项：
A. $\frac{6}{5}$
B. $\frac{2 \sqrt{10}}{3}$
c. $\frac{5}{6}$
D. $\frac{3 \sqrt{10}}{3}$
答案：A
解析：【分析】根据在直角三角形中, 锐角的正切为对边比邻边, 可得答案.

解：如图



$\tan C=\frac{B D}{C D}=\frac{6}{5}$,

故选: A.
题目（九年级 · 解析几何）：王村和元村之间有一座小山，县里计划修建一条通过此小山的公路，以方便两村村民的来往, 如图, 经测量, 从坡底 $B$ 到坡顶 $A$ 的坡角为 $30^{\circ}$, 斜坡 $A B$ 长为 100 米, 根据地形, 要求修好后的公路路面 $B D$ 的坡度是 1: 5 (假设 $A, D$ 两点处于同一铅垂线上). 为减少工程量,若 $A D \leqslant 20$ 米, 则直接开挖, 若 $A D>20$ 米, 就要重新设计, 根据你所学过的知识, 你认为 ( )


选项：
A. 不用重新设计, 因为 $A D<20$ 米

B. 不用重新设计, 因为 $A D=20$ 米

C. 需要重新设计, 因为 $A D>20$ 米

D. 应用所给数据无法计算 $A D$ 的长, 因此, 不能判断是否需要重新设计
答案：C
解析：【分析】将原题抽象为关于直角三角形 $A B C$ 和直角三角形 $D B C$ 的问题进行解答, 求出 $A C$的长, 再求出 $A D$ 的长, 算出其差, 即可判断 $A D$ 是否大于 20 米, 然后再作判断.

解: 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $A B=100$ 米, 则 $A C=100 \times \frac{1}{2}=50$ 米,

$B C=A B \cdot \cos 30^{\circ}=100 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=50 \sqrt{3}$ 米,

又因为 $B D$ 的坡度是 $1: 5$,

则 $\frac{D C}{B C}=\frac{1}{5}$,

解得 $\mathrm{DC}=10 \sqrt{3}$ 米,

于是有 $A D=A C-D C=50-10 \sqrt{3} \approx 32>20$,

$\therefore$ 需要重新设计.
故选 C.
题目（九年级 · 解析几何）：已知 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle A=30^{\circ}, a+b=1$, 则斜边 $c$ 为 ( )
选项：
A. $\sqrt{3}+1$
B. $\sqrt{3}-1$
C. $\sqrt{2}+1$
D. $\sqrt{2}-1$
答案：B
解析：【分析】根据题中所给的条件, 在直角三角形中解题. 根据三角函数定义结合 $a+b=1$ 列方程组求解.

解: $\because \angle \mathrm{A}=30^{\circ}, \therefore \tan 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}=\mathrm{a}: \mathrm{b}$,

则 $\mathrm{a}=\frac{\sqrt{3}}{3} \mathrm{~b}$.

$\because a+b=1$,

$\therefore \mathrm{b}=\frac{3}{3+\sqrt{3}}, \mathrm{a}=\frac{\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$.

又 $\because \sin A=\frac{1}{2}=a: c$,

$\therefore \mathrm{c}=\frac{2 \sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1$.

故选 B.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 在网格中, 小正方形的边长均为 1 , 点 $A, B, C$ 都在格点上, 则 $\angle A B C$ 的正切值是 ( )


选项：
A. 2
B. $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
D. $\frac{1}{2}$
答案：D
解析：【分析】利用勾股定理和锐三角函数的定义求解

解: 连结 $A C$, 由勾股定理, 得 $A C=\sqrt{2}, A B=2 \sqrt{2}, B C=\sqrt{10}, A B^{2}+A C^{2}=B C^{2}, A C \perp A B$.则 $\tan \angle B=\frac{A C}{A B}=\frac{1}{2}$.

故选 D.
题目（九年级 · 解析几何）：已知 $\mathrm{B}$ 港口位于 $\mathrm{A}$ 观测点北偏东 $45^{\circ}$ 方向, 且其到 $\mathrm{A}$ 观测点正北风向的距离 $\mathrm{BM}$ 的长为 $10 \sqrt{2} \mathrm{~km}$, 一艘货轮从 $\mathrm{B}$ 港口沿如图所示的 $\mathrm{BC}$ 方向航行 $4 \sqrt{7} \mathrm{~km}$ 到达 $\mathrm{C}$ 处, 测得 $\mathrm{C}$ 处位于 $\mathrm{A}$ 观测点北偏东 $75^{\circ}$ 方向,则此时货轮与 $\mathrm{A}$ 观测点之间的距离 $\mathrm{AC}$ 的长为 $(\quad) \mathrm{km}$.

选项：
A. $8 \sqrt{3}$
B. $9 \sqrt{3}$
C. $6 \sqrt{3}$
D. $7 \sqrt{3}$
答案：A
解析：【分析】根据 $\angle \mathrm{MAB}=45^{\circ}, \mathrm{BM}=10 \sqrt{2}$ 和勾股定理求出 $\mathrm{AB}$ 的长, 再根据 $\tan \angle \mathrm{BAD}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AD}}$, 求出 $\mathrm{BD}$ 的长,即可得出 $\mathrm{AD}$ 以及 $\mathrm{CD}$ 的长, 进而得出答案.

解: $\because \angle \mathrm{MAB}=45^{\circ}, \mathrm{BM}=10 \sqrt{2}$,

$\therefore \mathrm{AB}=\sqrt{\mathrm{B} \mathrm{M}^{2}+\mathrm{MA}^{2}}=\sqrt{(10 \sqrt{2})^{2}+(10 \sqrt{2})^{2}}=20 \mathrm{~km}$,

过点 $B$ 作 $B D \perp A C$, 交 $A C$ 的延长线于 $D$,

在 Rt $\triangle \mathrm{ADB}$ 中, $\angle \mathrm{BAD}=\angle \mathrm{MAC}-\angle \mathrm{MAB}=75^{\circ}-45^{\circ}=30^{\circ}$,

$\tan \angle \mathrm{BAD}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{AD}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$,

$\therefore \mathrm{AD}=\sqrt{3} B \mathrm{BD}$,

$B D^{2}+A D^{2}=A B^{2}, \quad$ 即 $B D^{2}+(\sqrt{3} B D)^{2}=20^{2}$,
$\therefore \mathrm{BD}=10$

$\therefore \mathrm{AD}=10 \sqrt{3}$,

在 $\mathrm{Rt} \triangle \mathrm{BCH}$ 中, $\mathrm{BD}^{2}+\mathrm{CD}^{2}=\mathrm{BC}^{2}, \mathrm{BC}=4 \sqrt{7}$,

$\therefore \mathrm{CD}=2 \sqrt{3}$,

$\therefore \mathrm{AC}=\mathrm{AD}-\mathrm{CD}=10 \sqrt{3}-2 \sqrt{3}=8 \sqrt{3} \mathrm{~km}$,

答: 此时货轮与 $\mathrm{A}$ 观测点之间的距离 $\mathrm{AC}$ 的长为 $8 \sqrt{3} \mathrm{~km}$.

故选 A.
题目（九年级 · 解析几何）：已知抛物线 $y=-x^{2}-2 x+3$ 与 $x$ 轴交于 $A$. $B$ 两点, 将这条抛物线的顶点记为 $C$, 连接 $A C 、 B C$, 则 $\tan \angle$ $\mathrm{CAB}$ 的值为 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
C. $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
D. 2
答案：D
解析：【分析】先求出 $A . B 、 C$ 坐标, 作 $C D \perp A B$ 于 $D$, 根据 $\tan \angle A C D=\frac{C D}{\mathrm{AD}}$ 即可计算.

解: 令 $y=0$, 则 $-x^{2}-2 x+3=0$, 解得 $x=-3$ 或 1 , 不妨设 $A(-3,0), B(1,0)$, $\because y=-x^{2}-2 x+3=-(x+1)^{2}+4$,

$\therefore$ 顶点 C $(-1,4)$,
如图所示, 作 $C D \perp A B$ 于 $D$.



在 RT $\triangle \mathrm{ACD}$ 中, $\tan \angle \mathrm{CAD}=\frac{\mathrm{CD}}{\mathrm{AD}}=\frac{4}{2}=2$,

故答案为 D.
题目（九年级 · 解析几何）：如图 , 在直角 $\triangle B A D$ 中, 延长斜边 $B D$ 到点 $C$, 使 $D C=\frac{1}{2} B D$, 连结 $A C$, 若 $\tan B=\frac{5}{3}$, 则 $\tan \angle C A D$ 的值为


选项：
A. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{5}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{1}{5}$
答案：D
解析：解: 过点 $D$ 作 $D E / / A B$ 交 $A C$ 于点 $E$.



$\because \angle B A D=90^{\circ}, D E / / A B$,

$\therefore \angle A D E=90^{\circ}$,

$\because \tan B=\frac{5}{3}$, 设 $A D=5 k, A B=3 k$,

$\because D E / / A B$,

$\therefore \frac{D E}{A B}=\frac{C D}{B C}, D E=\frac{1}{3} A B=k$,

$\therefore \tan \angle C A D=\frac{D E}{A D}=\frac{k}{5 k}=\frac{1}{5}$.

故选 D.
题目（九年级 · 解析几何）：有下列结论: (1) 平分弦的直径垂直于弦; （2）圆周角的度数等于圆心角的一半;等弧所对的圆周角相等; （4）经过三点一定可以作一个圆; (5) 三角形的外心到三边的距离相等；（6）垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的个数为（）
选项：
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
答案：A
解析：【分析】根据圆周角定理、垂径定理知识，运用排除法, 逐题分析判断.

解: (1) 应强调这条弦不是直径; 故本选项错误;

(2) 应强调在同圆或等圆中, 同弧所对的圆周角的度数等于圆心角的一半; 故本选项错误;

（3）等弧弧所对的圆周角的度数等于圆心角的一半; 故本选项正确;

（4）必须不在同一条直线上的三个点才能确定一个圆，故本选项错误;

(5) 三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点, 所以三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等, 故本选项错误;

（6）应该是过圆上一点且垂直圆的半径的直线是圆的切线; 故本选项错误;

综上所述, 正确的个数是 1 个;

故选 A.
题目（九年级 · 解析几何）：已知 $\odot O$ 的半径是 5 , 直线 $l$ 是 $\odot O$ 的切线, 则点 $O$ 到直线 $l$ 的距离是 $(\quad)$
选项：
A. 2.5
B. 3
C. 5
D. 10
答案：C
解析：【分析】根据直线与圆的位置关系可直接得到点 0 到直线 1 的距离如果 $\odot O$ 的半径为 $r$, 圆心 $O$ 到直线 $l$ 的距离为 $d$, 那么直线 $l$ 和 $\odot O$ 相切 $\Leftrightarrow d=r$; 所以点 $O$ 到直线 $l$ 的距离等于半径.

解: $\because$ 直线 1 与半径为 $r$ 的 $\odot 0$ 相切,

$\therefore$ 点 0 到直线 1 的距离等于圆的半径,

即点 0 到直线 1 的距离为 5.

故选 C.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, $A B$ 与 $\odot 0$ 相切于点 $B, A 0$ 的延长线交 $\odot 0$ 于点 $C$, 连结 $B C$, 若 $\angle A=36^{\circ}$, 则 $\angle C$ 等于 ( )


选项：
A. $36^{\circ}$
B. $54^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $27^{\circ}$
答案：D
解析：【分析】根据题目条件易求 $\angle \mathrm{BOA}$, 根据圆周角定理求出 $\angle \mathrm{C}=\frac{{ }_{\frac{1}{2}}^{2}}{} \angle \mathrm{BOA}$, 即可求出答案.

$\because \mathrm{AB}$ 与 $\odot 0$ 相切于点 $\mathrm{B}$,

$\therefore \angle \mathrm{ABO}=90^{\circ}$,

$\because \angle \mathrm{A}=36^{\circ}$

$\therefore \angle \mathrm{BOA}=54^{\circ}$,

$\therefore$ 由圆周角定理得： $\angle \mathrm{C}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{B} 0 \mathrm{~A}=27^{\circ} ，$

故选 D.
题目（九年级 · 解析几何）：如图已知等腰 $\triangle A B C, A B=B C$, 以 $A B$ 为直径的圆交 $A C$ 于点 $D$, 过点 $D$ 的圆 $O$ 的切线交 $B C$ 于点 $E$, 若 $C D=5$, $C E=4$, 则圆 $O$ 的半径是 ( $\quad)$
选项：
A. 3
B. 4
C. $\frac{25}{6}$
D. $\frac{25}{8}$


答案：D
解析：解: 连接 $0 \mathrm{D}, \mathrm{DB}$

$\because \mathrm{AB}$ 是 $\odot 0$ 的直径,

$\therefore \angle \mathrm{ADB}=90^{\circ}$,

$\therefore \mathrm{BD} \perp \mathrm{AC}$,

又 $\because \mathrm{AB}=\mathrm{BC}$,

$\therefore A D=C D$,

又 $\because \mathrm{AO}=\mathrm{OB}$,

$\therefore \mathrm{OD}$ 是 $\triangle \mathrm{ABC}$ 的中位线,

$\therefore \mathrm{OD} / / \mathrm{BC}$

$\because \mathrm{DE}$ 是 $\odot 0$ 的切线,



$\therefore \mathrm{DE} \perp O \mathrm{OD}$

$\therefore \mathrm{DE} \perp \mathrm{BC}$,

$\because C D=5, C E=4$,

$\therefore \mathrm{DE}=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$,

$\because \mathrm{S} \triangle \mathrm{BCD}=\mathrm{BD} \cdot \mathrm{CD} \div 2=\mathrm{BC} \cdot \mathrm{DE} \div 2$

$\therefore 5 \mathrm{BD}=3 \mathrm{BC}$,

$\therefore B D=\frac{3}{5} B C$,

$\because \mathrm{BD}^{2}+\mathrm{CD}^{2}=\mathrm{BC}^{2}$,

$\therefore\left(\frac{3}{5} B C\right)^{2}+5^{2}=B C^{2}$

解得 $\mathrm{BC}=\frac{25}{4}$,

$\because A B=B C$,

$\therefore \mathrm{AB}=\frac{25}{4}$,
$\because \mathrm{AB}=\mathrm{BC}$,

$\therefore \mathrm{AB}=\frac{25}{4}$,

$\therefore \odot 0$ 的半径是;

$\frac{25}{4} \div 2=\frac{25}{8}$.

故选: D.
题目（九年级 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A, \angle B$ 都是锐角, 且 $\sin A=\frac{1}{2}, \cos B=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 则 $\triangle A B C$ 三个角的大小关系是 （）
选项：
A. $\angle C>\angle A>\angle B$
B. $\angle B>\angle C>\angle A$
C. $\angle A>\angle B>\angle C$
D. $\angle C>\angle B>\angle A$
答案：D
解析：$\because \sin A=\frac{1}{2}, \cos B=\frac{\sqrt{2}}{2}$,

$\therefore \angle A=30^{\circ}, \angle B=45^{\circ}$.

$\therefore \angle C=180^{\circ}-30^{\circ}-45=105^{\circ}$.

$\therefore \angle C>\angle B>\angle A$.

故选 $D$.
题目（九年级 · 解析几何）：如图中是抛物线形拱桥, $P$ 处有一照明灯, 水面 $O A$ 宽 $4 m$, 从 $O 、 A$ 两处观测 $P$ 处, 仰角分别为 $\alpha, \beta$, 且 $\tan \alpha=\frac{1}{2}, \tan \beta=\frac{3}{2}$, 以 $O$ 为原点, $O A$ 所在直线为 $x$ 轴建立直角坐标系, 若水面上升 $1 \mathrm{~m}$,


水面宽为 $(\quad) m$.
选项：
A. $2 \sqrt{2}$
B. $2 \sqrt{3}$
C. $\frac{3}{2} \sqrt{2}$
D. $\frac{1}{2} \sqrt{3}$
答案：A
解析：设 $P B=3 x$,

在Rt $\triangle O B P$ 中,

$\because \tan \alpha=\frac{P B}{O B}=\frac{1}{2}$,

$\therefore O B=6 x$.

在 $R t \triangle A B P$ 中,

$\because \tan \beta=\frac{P B}{A B}=\frac{3}{2}$,

$\therefore A B=2 x$,

$\therefore O A=O B+A B=8 x=4$,

$\therefore x=\frac{1}{2}$,

$\therefore O B=3, P B=\frac{3}{2}$,


$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $\left(3, \frac{3}{2}\right)$,

若水面上升 $1 m$ 后到达 $B C$ 位置, 如图,

过点 $O(0,0), A(4,0)$ 的抛物线的解析式可设为 $y=a x(x-4)$,

$\because$ 点 $P$ 的坐标 $\left(3, \frac{3}{2}\right)$ 在抛物线 $y=a x(x-4)$ 上,

$\therefore 3 a(3-4)=\frac{3}{2}$,

解得: $a=-\frac{1}{2}$,

$\therefore$ 抛物线的解析式为 $y=-\frac{1}{2} x(x-4)$,

当 $y=1$ 时, $1=-\frac{1}{2} x(x-4)$,

解得: $x_{1}=2+\sqrt{2}, x_{2}=2-\sqrt{2}$,

$\therefore B C=(2+\sqrt{2})-(2-\sqrt{2})=2 \sqrt{2}$.

故选 $A$.
题目（九年级 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 若 $\cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}, \tan B=\sqrt{3}$, 则这个三角形一定是 $(\quad)$
选项：
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 钝角三角形
D. 等腰三角形
答案：A
解析：$\because \cos A=\frac{\sqrt{2}}{2}, \tan B=\sqrt{3}$,

$\therefore \angle A=45^{\circ}, \angle B=60^{\circ}$.

$\therefore \angle C=180^{\circ}-45^{\circ}-60^{\circ}=75^{\circ}$.

$\therefore \triangle A B C$ 为锐角三角形.

故选: $A$.
题目（九年级 · 解析几何）：已知直线 $l: y=2 x+b$ 与以原点 $O$ 为圆心, 5 为半径的 $\odot O$ 相交, 则 $b$ 的取值范围为
选项：
A. $b>5 \sqrt{5}$
B. $b<-5 \sqrt{5}$
C. $-5 \sqrt{5}<b<5 \sqrt{5}$
D. $b>5 \sqrt{5}$ 或 $b<-5 \sqrt{5}$
答案：C
解析：如图, 假设直线: $y=2 x+b$ 交 $x$ 轴与 $A$, 交 $y$ 轴与 $B$,

则: $A\left(-\frac{1}{2} b, 0\right), B(0, b)$

$A B^{2}=O A^{2}+O B^{2}=\frac{1}{4} b^{2}+b^{2}=\frac{5}{4} b^{2}$,

$$
\therefore A B=\left|\frac{\sqrt{5}}{2} b\right|
$$

假设直线: $y=2 x+b$ 与圆相切, 切点是 $C$,

则 $O C \perp A B, \quad O C=5$.

$\because \frac{1}{2} O A \cdot O B=\frac{1}{2} A B \cdot O C$,



$\therefore\left|\frac{1}{2} b\right| \cdot|b|=\left|\frac{\sqrt{5}}{2} b\right| \times 5$,

$\therefore b= \pm 5 \sqrt{5}$.

$\therefore$ 直线 $l: y=2 x+b$ 与 $\odot O$ 相交时 $b$ 的取值范围为

$-5 \sqrt{5}<b<5 \sqrt{5}$.

故选: $C$
题目（九年级 · 解析几何）：在平面直角坐标系中, 以点 $(-2,3)$ 为圆心, 半径为 3 的圆一定 $(~)$
选项：
A. 与 $x$ 轴相切, 与 $y$ 轴相切
B. 与 $x$ 轴相切, 与 $y$ 轴相交
C. 与 $x$ 轴相交, 与 $y$ 轴相切
D. 与 $x$ 轴相交, 与 $y$ 轴相交
答案：B
解析：: 点 $(-2,3)$ 到 $x$ 轴的距离是 3 , 等于半径,

到 $y$ 轴的距离是 2 , 小于半径,
$\therefore$ 圆与 $y$ 轴相交, 与 $x$ 轴相切.

故选 $B$.
题目（九年级 · 解析几何）：下列事件中, (1)三点确定一个圆; (2)平分弦的直径垂直于弦; (3)从圆外一点可以引圆的两条切线, 它们的切线长相等; (4)关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2}+2 x+1=0$ 有实数根, 则 $a$ 的取值范围是 $a \leq 1$ ； (5)圆心角是圆周角的 2 倍。其中必然事件的个数有 ( )
选项：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案：A
解析：: 点 $(-2,3)$ 到 $x$ 轴的距离是 3 , 等于半径,

到 $y$ 轴的距离是 2 , 小于半径,
$\therefore$ 圆与 $y$ 轴相交, 与 $x$ 轴相切.

故选 $B$.
题目（九年级 · 解析几何）：在平面直角坐标系中, 半径为 1 的 $\odot A$ 的圆心坐标为 $(-3,-2)$, 若 $P$ 是 $x$ 轴上一动点, $P Q$ 是 $\odot A$的切线, $Q$ 为切点, 则当 $P Q$ 最短时 $P$ 点的坐标为 $(）$
选项：
A. $(-2,0)$
B. $(-3,0)$
C. $(-4,0)$
D. $(-2,0)$ 或 $(-4,0)$
答案：B
解析：连接 $A Q, A P$, 如图,



根据切线的性质定理, 得 $A Q \perp P Q$,

要使 $P Q$ 最小，只需 $A P$ 最小，
则根据垂线段最短, 则作 $A P \perp x$ 轴于 $P$, 即为所求作的点 $P$,

此时 $P$ 点的坐标是 $(-3,0)$.

故选 $B$.
题目（九年级 · 解析几何）：在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\angle \mathrm{C}=90^{\circ}, \tan \mathrm{A}=\frac{1}{3}$, 那么 $\sin \mathrm{A}$ 的值是 ( )
选项：
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{10}}{10}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
答案：B
解析：$\tan A=\frac{B C}{A C}=\frac{1}{3}, B C=\mathrm{x}, \mathrm{AC}=3 \mathrm{x}$,

由勾股定理, 得 $\mathrm{AB}=\sqrt{10} \mathrm{x}, \sin \mathrm{A}=\frac{B C}{A B}=\frac{\sqrt{10}}{10}$, 故选 $\mathrm{B}$.
题目（九年级 · 解析几何）：在正方形网格中 $\triangle A B C$ 的位置如图所示, 则 $\cos \angle B$ 的值为 ( )


选项：
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
D. $\frac{\sqrt{3}}{3}$
答案：B
解析：由图可得 $\cos B=\frac{2}{\sqrt{2^{2}+2^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 故选 B.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 在矩形 $\mathrm{ABCD}$ 中, 点 $\mathrm{E}$ 是边 $\mathrm{BC}$ 的中点, $\mathrm{AE} \perp \mathrm{BD}$, 垂足为 $\mathrm{F}$, 则 $\tan \angle \mathrm{BDE}$ 的值是 ( )


选项：
A. $\frac{\sqrt{2}}{4}$
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{3}$
答案：A
解析：$\because$ 四边形 $\mathrm{ABCD}$ 是矩形,

$\therefore \mathrm{AD}=\mathrm{BC}, \mathrm{AD} / / \mathrm{BC}, \because$ 点 $\mathrm{E}$ 是边 $\mathrm{BC}$ 的中点, $\therefore \mathrm{BE}=\frac{1}{2} \mathrm{BC}=\frac{1}{2} \mathrm{AD}$,

$\therefore \triangle \mathrm{BEF} \sim \triangle \mathrm{DAF}, \therefore \frac{E F}{A F}=\frac{B E}{A D}=\frac{1}{2}, \therefore \mathrm{EF}=\frac{1}{2} \mathrm{AF}, \therefore \mathrm{EF}=\frac{1}{3} \mathrm{AE}, \because$ 点 $\mathrm{E}$ 是边 $\mathrm{BC}$ 的中点, $\therefore$ 由矩形的对称性得: $\mathrm{AE}=\mathrm{DE}, \quad \therefore \mathrm{EF}=\frac{1}{3} \mathrm{DE}$, 设 $\mathrm{EF}=\mathrm{x}$, 则 $\mathrm{DE}=3 \mathrm{x}, \quad \therefore \mathrm{DF}=\sqrt{D E^{2}-E F^{2}}=2 \sqrt{2} \mathrm{x}$, $\therefore \tan \angle \mathrm{BDE}=\frac{E F}{D F}=\frac{x}{2 \sqrt{2} \mathrm{x}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$. 故选 A.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, $\mathrm{AB}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的直径, 且经过弦 $\mathrm{CD}$ 的中点 $\mathrm{H}$, 已知 $\sin \angle \mathrm{CDB}=\frac{3}{5}, \mathrm{BD}=5$, 则 $\mathrm{AH}$ 的长为 ( )


选项：
A. $\frac{25}{3}$
B. $\frac{16}{3}$
C. $\frac{25}{6}$
D. $\frac{16}{6}$
答案：B
解析：连接 $\mathrm{OD}$, 如图所示:

$\because \mathrm{AB}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的直径, 且经过弦 $\mathrm{CD}$ 的中点 $\mathrm{H}, \therefore \mathrm{AB} \perp \mathrm{CD}$,

$\therefore \angle \mathrm{OHD}=\angle \mathrm{BHD}=90^{\circ}, \because \sin \angle \mathrm{CDB}=\frac{3}{5}, \mathrm{BD}=5, \therefore \mathrm{BH}=3$,

$\therefore \mathrm{DH}=\sqrt{B D^{2}-B H^{2}}=4$, 设 $\mathrm{OH}=\mathrm{x}$, 则 $\mathrm{OD}=\mathrm{OB}=\mathrm{x}+3$,

在 Rt $\triangle O D H$ 中, 由勾股定理得: $x^{2}+4^{2}=(x+3)^{2}$, 解得: $x=\frac{7}{6}$,

$\therefore \mathrm{OH}=\frac{7}{6}, \quad \therefore \mathrm{AH}=\mathrm{OA}+\mathrm{OH}=\frac{7}{6}+3+\frac{7}{6}=\frac{16}{3}$, 故选 B.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 已知 $A B, C D$ 是 $\odot O$ 的两条直径, $\angle A B C=20^{\circ}$, 那么 $\angle B A D=(\quad)$
选项：
A. $45^{\circ}$   B. $60^{\circ}$   C. $30^{\circ}$   D. $20^{\circ}$
答案：D
解析：D
题目（九年级 · 解析几何）：我校数学社团学生小明想测量学校对面斜坡 $B D$ 上的信号树 $A B$ 的高度, 已知 $B D$ 的坡度为 $1: \frac{5}{12}$, 且 $B D$ 的长度为 65 米, 小明从坡底 $D$处沿直线走到学校大台阶底部 $E$ 处, $D E$ 长为 20 米, 他沿着与水平地面成 $30^{\circ}$ 夹角的大台阶行走 20 米到达平台 $F$ 处, 又向前走了 13 米到达平台上的旗杆 $G$ 处, 此时他仰望信号树的顶部 $A$, 测得仰角为 $50^{\circ}$,


则信号树 $A B$ 的高度约为 $(\quad)$ (小明的身高忽略不计)

(参考数据: $\sqrt{2} \approx 1.4, \sqrt{3} \approx 1.7, \sin 50^{\circ} \approx 0.77, \cos 50^{\circ} \approx 0.64, \tan 50^{\circ} \approx 1.2$ )
选项：
A. 45 米
B. 30 米
C. 35 米
D. 40 米
答案：D
解析：$\because B D$ 的坡度为 $1: \frac{5}{12}$, 且 $B D$ 的长度为 65 米,

$\therefore$ 设 $B C=12 k, C D=5 k$,

$\therefore B D=13 k=65$,

$\therefore k=5$,

$\therefore B C=60, C D=25$,



延长 $G F$ 交 $B C$ 于 $M$,

则 $G M \perp A C$,

过 $F$ 作 $F N \perp C H$ 于 $N$,

$\therefore F M=C N, C M=F N$,

$\because \angle F E N=30^{\circ}, E F=20$,

$\therefore F N=10, E N=10 \sqrt{3}$,

$\therefore C M=10, G M=13+10 \sqrt{3}+20+25=58+10 \sqrt{3}$,

在Rt $\triangle A M G$ 中, $\because \angle A G M=50^{\circ}$,

$\therefore \tan 50^{\circ}=\frac{A M}{G M}=\frac{A M}{58+10 \sqrt{3}}=1.2$,

$\therefore A M=90$,

$\therefore A B=A M-B M=90-(60-10)=40$ 米,

$\therefore$ 信号树 $A B$ 的高度约为 40 米,

故选: $D$.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, $A B$ 为 $\odot O$ 的直径, 在 $\odot O$ 上取异于 $A, B$ 的一点 $C$, 并连接 $B C, A C$ 。若想在直径 $A B$ 上取一点 $P$, 使得 $P$ 与直线 $B C$ 的距离等于 $A P$ 的长, 以下是甲、乙两人的做法, 下列选项正确的是 $(\quad)$

选项：
A. 只有甲正确
B. 只有乙正确
C. 甲、乙均正确
D. 甲、乙均不正确
答案：B
解析：根据甲的作法如图所示：



$\because B D$ 平分 $\angle A B C$,

$\therefore \angle C B D=\angle A B D$,

$\because D P / / B C$,

$\therefore \angle C B D=\angle D$,

$\therefore \angle A B D=\angle D$,

$\therefore P D=P B$,

根据直角三角形斜边大于直角边可知点 $P$ 到 $B C$ 的距离一定小于 $P B$,

$\because B P$ 与 $A P$ 的大小关系不确定,

$\therefore P$ 到 $B C$ 的距离与 $A P$ 的大小关系也无法确定.

$\therefore$ 甲的作法不正确;

根据乙的作法, 如图所示:



$\because D A$ 是 $\odot O$ 的切线,

$\therefore A D \perp A B$,

$\because A B$ 为 $\odot O$ 的直径,

$\therefore \angle A C B=90^{\circ}$,

$\because D P$ 平分 $\angle A D C$,

$\therefore$ 点 $P$ 到 $A D$ 的距离与到 $B C$ 的距离相等,

即此种作法能在直径 $A B$ 上取一点 $P$, 使得 $P$ 与直线 $B C$ 的距离等于 $A P$ 的长.

故选 $B$.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 一艘海轮位于灯塔 $P$ 的北偏东 $55^{\circ}$ 方向的 $A$ 处, 已知 $P A=6$ 海里, 如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向, 则海轮航行的距离 $A B$ 的长是 $(\quad)$
选项：
A. 6 海里
B. $6 \cos 55^{\circ}$ 海里
C. $6 \sin 55^{\circ}$ 海里
D. $6 \tan 55^{\circ}$ 海里


答案：B
解析：由题意可知 $\angle N P A=55^{\circ}, P A=6$ 海里, $\angle A B P=90^{\circ}$.

$\because A B / / N P$,

$\therefore \angle A=\angle N P A=55^{\circ}$.

在Rt $\triangle A B P$ 中, $\because \angle A B P=90^{\circ}, \angle A=55^{\circ}, P A=6$ 海里,

$\therefore A B=A P \cdot \cos \angle A=6 \cos 55^{\circ}$ 海里.

故选: $B$.
题目（九年级 · 解析几何）：下列说法中, 正确的是 $(\quad)$
选项：
A. 经过半径的端点并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线

B. 平分弦的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧
C. $90^{\circ}$ 的圆周角所对的弦是直径

D. 如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等
答案：C
解析：$A$ 、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线, 故不符合题意;

B、平分弦(不是直径)的直径垂直于弦, 并且平分弦所对的两条弧, 故不符合题意;

C、 $90^{\circ}$ 的圆周角所对的弦是这个圆的直径，故符合题意;

$D$ 、在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对的弦相等，所对的弧也相等，故不符合题意;

故选：C.
题目（九年级 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 若 $\angle A, \angle B$ 满足 $\left|\sin A-\frac{\sqrt{3}}{2}\right|+\left(\cos B-\frac{1}{2}\right)^{2}=0$, 则 $\triangle A B C$ 是 ( )
选项：
A. 等腰非等边三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 钝角三角形
答案：B
解析：根据题意得 $\sin A-\frac{\sqrt{3}}{2}=0, \cos B-\frac{1}{2}=0$,

$\therefore \sin A=\frac{\sqrt{3}}{2}, \cos B=\frac{1}{2}$,

$\therefore A=60^{\circ}$ 或 $120^{\circ}, B=60^{\circ}$,

当 $A=120^{\circ}, B=60^{\circ}$, 不满足 $\triangle A B C$, 舍去,

$\therefore A=60^{\circ}, B=60^{\circ}$,

$\therefore \triangle A B C$ 为等边三角形.

故选 $B$.