题目（八年级 · 解析几何）：在平面直角坐标系中, 已知 $A(a, b)$ 且 $a 、 b$ 满足 $a=\sqrt{b-2}+\sqrt{2-b}+1$, 点 $B$ 为 $y$ 轴上一点, 点 $C$为 $x$ 轴上一点.



图 1



图 2

(1)求 $A$ 点的坐标;

(2)如图 1, 点 $B(0,1), C(-3,0)$, 连接 $A C 、 B C 、 O A$, 求 $\angle A C O+\angle B C O$ 的度数;

(3)如图 2, 若 $\angle B C O<30^{\circ}$, 点 $B$ 与点 $D$ 关于 $x$ 轴对称, 点 $E$ 在第三象限, 且 $\triangle B C E$ 为正三角形,连接 $C D$, 直线 $D E$ 与直线 $B C$ 交于点 $F$, 与 $x$ 轴交于点 $P$, 请找出线段 $P C 、 P O 、 P E$ 之间数量关系并证明你的结论.
选项：
答案：解: (1) $\because a 、 b$ 满足 $a=\sqrt{b-2}+\sqrt{2-b}+1$, $\therefore b=2, a=1, \quad A(1,2)$

(2) 如图, 作 $B$ 点关于 $x$ 轴的对称点 $D$, 连接 $C D 、 A D$,

$\because$ 点 $B(0,1), C(-3,0), A(1,2)$,

$\therefore D(0,-1)$,

$A D^{2}=1^{2}+3^{2}=10, C D^{2}=1^{2}+3^{2}=10, A C^{2}=(1+3)^{2}+2^{2}=20$,

$\therefore A C^{2}=A D^{2}+C D^{2}$,

$\therefore \triangle A D C$ 为等腰直角三角形, 且 $\angle A D C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A C D=45^{\circ}$,

<ImageHere>

$\because B 、 D$ 关于 $x$ 轴对称,

$\therefore \angle B C O=\angle D C O$,

$\therefore \angle A C O+\angle B C O=\angle A C O+\angle D C O=\angle A C D=45^{\circ} ;$

(3) 线段 $P C 、 P O 、 P E$ 之间数量关系是 $P C=P E+2 P O$.

$\because$ 点 $B$ 与点 $D$ 关于 $x$ 轴对称,

$\therefore C D=B C, \angle 2=\angle 4$,

$\because \triangle B C E$ 为正三角形,

$\therefore B C=C E=E B, \angle B C E=\angle C E B=60^{\circ}$,

$\therefore C D=C E$,

$\therefore \angle C E D=\angle C D E$,

$\therefore \angle 2=\frac{1}{2}\left(60^{\circ}-\angle 3\right)=30^{\circ}-\frac{1}{2} \angle 3, \angle C E D=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle 3\right)=90^{\circ}-\frac{1}{2} \angle 3$,

<ImageHere>

$\therefore \angle 1=\angle C E D-\angle C E B=\left(90^{\circ}-\frac{1}{2} \angle 3\right)-60^{\circ}=30^{\circ}-\frac{1}{2} \angle 3$,

$\therefore \angle 1=\angle 2$,
在 $C P$ 截取 $C H=E P$, 在 $\triangle C B H$ 和 $\triangle E B P$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}B C=B E \\ \angle 2=\angle 1 \\ C H=P E\end{array}\right.$

$\therefore \triangle C B H \cong \triangle E B P$,

$\therefore B H=B P$,

$\therefore H O=O P$,

$\therefore P C=C H+H P=P E+2 P O$,

即 $P C=P E+2 P O$.

【解析】此题主要考查坐标与图形的性质, 全等三角形的判定与性质, 轴对称的性质, 等边三角形的判定与性质, 等腰直角三角形的判定与性质, 勾股定理逆定理, 三角形内角和定理, 等腰三角形的性质, 二次根式的意义.此题综合性比较强, 难度较大.

(1) 根据二次根式的意义求出 $b$ 和 $a$ 的值, 即可得到 $A$ 点的坐标;

(2) 作 $B$ 点关于 $x$ 轴的对称点 $D$, 连接 $C D 、 A D$, 证明 $\triangle A D C$ 为等腰直角三角形, 且 $\angle A D C=90^{\circ}$, 得到 $\angle A C D=45^{\circ}$, 再根据 $B 、 D$ 关于 $x$ 轴对称，即可求 $\angle A C O+\angle B C O$ 的度数;

(3) 根据点 $B$ 与点 $D$ 关于 $x$ 轴对称, $\triangle B C E$ 为正三角形, 利用三角形内角和定理证明 $\angle 1=\angle 2$, 在 $C P$截取 $C H=E P$, 证明 $\triangle C B H \cong \triangle E B P$, 得到 $B H=B P$, 再根据等腰三角形三线合一的性质可得 $H O=P O$,即可得到线段 $P C 、 P O 、 P E$ 之间数量关系.
解析：解: (1) $\because a 、 b$ 满足 $a=\sqrt{b-2}+\sqrt{2-b}+1$, $\therefore b=2, a=1, \quad A(1,2)$

(2) 如图, 作 $B$ 点关于 $x$ 轴的对称点 $D$, 连接 $C D 、 A D$,

$\because$ 点 $B(0,1), C(-3,0), A(1,2)$,

$\therefore D(0,-1)$,

$A D^{2}=1^{2}+3^{2}=10, C D^{2}=1^{2}+3^{2}=10, A C^{2}=(1+3)^{2}+2^{2}=20$,

$\therefore A C^{2}=A D^{2}+C D^{2}$,

$\therefore \triangle A D C$ 为等腰直角三角形, 且 $\angle A D C=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A C D=45^{\circ}$,



$\because B 、 D$ 关于 $x$ 轴对称,

$\therefore \angle B C O=\angle D C O$,

$\therefore \angle A C O+\angle B C O=\angle A C O+\angle D C O=\angle A C D=45^{\circ} ;$

(3) 线段 $P C 、 P O 、 P E$ 之间数量关系是 $P C=P E+2 P O$.

$\because$ 点 $B$ 与点 $D$ 关于 $x$ 轴对称,

$\therefore C D=B C, \angle 2=\angle 4$,

$\because \triangle B C E$ 为正三角形,

$\therefore B C=C E=E B, \angle B C E=\angle C E B=60^{\circ}$,

$\therefore C D=C E$,

$\therefore \angle C E D=\angle C D E$,

$\therefore \angle 2=\frac{1}{2}\left(60^{\circ}-\angle 3\right)=30^{\circ}-\frac{1}{2} \angle 3, \angle C E D=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\angle 3\right)=90^{\circ}-\frac{1}{2} \angle 3$,



$\therefore \angle 1=\angle C E D-\angle C E B=\left(90^{\circ}-\frac{1}{2} \angle 3\right)-60^{\circ}=30^{\circ}-\frac{1}{2} \angle 3$,

$\therefore \angle 1=\angle 2$,
在 $C P$ 截取 $C H=E P$, 在 $\triangle C B H$ 和 $\triangle E B P$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}B C=B E \\ \angle 2=\angle 1 \\ C H=P E\end{array}\right.$

$\therefore \triangle C B H \cong \triangle E B P$,

$\therefore B H=B P$,

$\therefore H O=O P$,

$\therefore P C=C H+H P=P E+2 P O$,

即 $P C=P E+2 P O$.

【解析】此题主要考查坐标与图形的性质, 全等三角形的判定与性质, 轴对称的性质, 等边三角形的判定与性质, 等腰直角三角形的判定与性质, 勾股定理逆定理, 三角形内角和定理, 等腰三角形的性质, 二次根式的意义.此题综合性比较强, 难度较大.

(1) 根据二次根式的意义求出 $b$ 和 $a$ 的值, 即可得到 $A$ 点的坐标;

(2) 作 $B$ 点关于 $x$ 轴的对称点 $D$, 连接 $C D 、 A D$, 证明 $\triangle A D C$ 为等腰直角三角形, 且 $\angle A D C=90^{\circ}$, 得到 $\angle A C D=45^{\circ}$, 再根据 $B 、 D$ 关于 $x$ 轴对称，即可求 $\angle A C O+\angle B C O$ 的度数;

(3) 根据点 $B$ 与点 $D$ 关于 $x$ 轴对称, $\triangle B C E$ 为正三角形, 利用三角形内角和定理证明 $\angle 1=\angle 2$, 在 $C P$截取 $C H=E P$, 证明 $\triangle C B H \cong \triangle E B P$, 得到 $B H=B P$, 再根据等腰三角形三线合一的性质可得 $H O=P O$,即可得到线段 $P C 、 P O 、 P E$ 之间数量关系.