eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高二 · 解析几何）：设函数 $f(x)=\sin \left(x-\frac{\pi}{6}\right)$, 若对于任意 $\alpha \in\left[-\frac{5 \pi}{6},-\frac{\pi}{2}\right]$, 在区间 $[0, m]$ 上总存在唯一确定的 $\beta$,使得 $f(\alpha)+f(\beta)=0$, 则 $m$ 的最小值为 ( )
选项：
A. $\frac{\pi}{6}$
B. $\frac{\pi}{2}$
C. $\frac{7 \pi}{6}$
D. $\pi$
答案：B
解析：当 $\alpha \in\left[-\frac{5 \pi}{6},-\frac{\pi}{2}\right]$ 时, 有 $\alpha-\frac{\pi}{6} \in\left[-\pi,-\frac{2 \pi}{3}\right]$, 所以 $f(\alpha) \in\left[-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right]$.

在区间 $[0, m]$ 上总存在唯一确定的 $\beta$, 使得 $f(\alpha)+f(\beta)=0$,

所以存在唯一确定的 $\beta$, 使得 $f(\beta)=-f(\alpha) \in\left[0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$.

$\beta \in[0, m], \beta-\frac{\pi}{6} \in\left[-\frac{\pi}{6}, m-\frac{\pi}{6}\right]$, 所以 $m-\frac{\pi}{6} \in\left[\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right), m \in\left[\frac{\pi}{2}, \frac{5 \pi}{6}\right)$. 故选 B.

【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质, 考查了函数与方程的思想, 正确理解两变量的
关系是解题的关键, 属于中档题. 求解时, 先求 $f(\alpha) \in\left[-\frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right]$, 再由存在唯一确定的 $\beta$, 使得 $f(\beta)=-f(\alpha) \in\left[0, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$, 得 $m-\frac{\pi}{6} \in\left[\frac{\pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}\right)$, 从而得解.
题目（高二 · 解析几何）：已知函数 $f(x)=\sin ^{2} \frac{\omega x}{2}+\frac{1}{2} \sin \omega x-\frac{1}{2}(\omega>0), x \in R$. 若 $f(x)$ 在区间 $(\pi, 2 \pi)$内

没有零点, 则 $\omega$ 的取值范围是 ( )
选项：
A. $\left(0, \frac{1}{8}\right]$
B. $\left(0, \frac{1}{4}\right] \cup\left[\frac{5}{8}, 1\right)$
c. $\left(0, \frac{5}{8}\right]$
D. $\left(0, \frac{1}{8}\right] \cup\left[\frac{1}{4}, \frac{5}{8}\right]$
答案：D
解析： $f(x)=\frac{1}{2}(1-\cos \omega x)+\frac{1}{2} \sin \omega x-\frac{1}{2}=\frac{1}{2} \sin \omega x-\frac{1}{2} \cos \omega x=\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(\omega x-\frac{\pi}{4}\right)$, 当 $\omega=\frac{1}{2}$ 时, $f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(\frac{1}{2} x-\frac{\pi}{4}\right), x \in(\pi, 2 \pi)$ 时, $f(x) \in\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$, 无零点, 排除 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$; 当 $\omega=\frac{3}{16}$ 时, $f(x)=\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(\frac{3}{16} x-\frac{\pi}{4}\right), x \in(\pi, 2 \pi)$ 时, $0 \in f(x)$, 有零点, 排除 C. 故选 D.
题目（高二 · 解析几何）：已知将函数 $f(x)=\cos (2 x+\varphi)\left(0<\varphi<\frac{\pi}{2}\right)$ 的图象向左平移 $\varphi$ 个单位长度后, 得到函数 $g(x)$ 的图象,若 $g(x)$ 的图象关于原点对称, 则 $f\left(\frac{\pi}{3}\right)=(\quad)$
选项：
A. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. $-\frac{1}{2}$
D. $\frac{1}{2}$
答案：A
解析： $f(x)=\cos (2 x+\varphi)\left(0<\varphi<\frac{\pi}{2}\right)$ 的图象向左平移 $\varphi$ 个单位长度后, 得到函数 $g(x)=\cos [2 x+3 \varphi]$, 因为 $g(x)$ 的图象关于原点对称, 所以 $g(0)=\cos [0+3 \varphi]=0$, 所以 $\varphi=\frac{\pi}{6}$, $f\left(\frac{\pi}{3}\right)=\cos \left(2 \times \frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.
题目（高二 · 解析几何）：函数 $f(x)=2 \sin ^{2}\left(x+\frac{\pi}{4}\right)+2 \sin \left(\frac{\pi}{4}-x\right) \cos \left(\frac{\pi}{4}-x\right)$ 在区间 $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}\right]$ 上的最小值是 ( )
选项：
A. $1-\sqrt{2}$
B. 0
C. 1
D. 2
答案：A
解析：由题意 $f(x)=1-\cos \left(2 x+\frac{\pi}{2}\right)+\sin \left(\frac{\pi}{2}-2 x\right)=1+\sin 2 x+\cos 2 x=1+\sqrt{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$,因为 $\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{3 \pi}{4}$, 所以 $\frac{5 \pi}{4} \leq 2 x+\frac{\pi}{4} \leq \frac{7 \pi}{4}$, 所以 $-1 \leq \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right) \leq-\frac{\sqrt{2}}{2}$, 所以
$1-\sqrt{2} \leq 1+\sqrt{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right) \leq 0$. 故选 A.
题目（高二 · 解析几何）：(2018 河北石家庄一模) 若 $\omega>0$, 函数 $y=\cos \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的图像向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度后与函数 $y=\sin \omega x$ 图像重合, 则 $\omega$ 的最小值为
选项：
A. $\frac{11}{2}$
B. $\frac{5}{2}$
C. $\frac{1}{2}$
D. $\frac{3}{2}$
答案：B
解析： $y=\cos \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)$ 向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位可得, $y=\cos \left[\omega\left(x-\frac{\pi}{3}\right)+\frac{\pi}{3}\right]=$ $\cos \left(\omega x+\frac{\pi}{3}-\frac{\omega \pi}{3}\right)$, 因为函数 $y=\cos \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度后与函数 $y=\sin \omega x$图象重合, 所以 $\frac{\pi}{3}-\frac{\omega \pi}{3}=k \pi+\frac{\pi}{2}$, 当 $k=-1$ 时, $\omega$ 的最小值为 $\frac{5}{2}$, 故选 B.
题目（高二 · 解析几何）：若将函数 $f(x)=\sin 2 x+\cos 2 x$ 的图象向左平移 $\varphi(\varphi>0)$ 个单位, 所得的图象关于 $y$ 轴对称, 则 $\varphi$ 的最小值是 ( )
选项：
A. $\frac{\pi}{4}$
B. $\frac{\pi}{8}$
C. $\frac{3 \pi}{8}$
D. $\frac{5 \pi}{8}$
答案：B
解析：函数 $f(x)=\sin 2 x+\cos 2 x=\sqrt{2} \sin \left(2 x+\frac{\pi}{4}\right)$ 的图象向左平移 $\varphi(\varphi>0)$ 个单位, 得到 $y=\sqrt{2} \sin \left(2 x+2 \varphi+\frac{\pi}{4}\right)$ 图象关于 $y$ 轴对称, 即 $2 \varphi+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k \pi(k \in Z)$, 解得 $\varphi=\frac{1}{2} k \pi+\frac{\pi}{8}$, 又 $\varphi>0$, 当 $k=0$ 时, $\varphi$ 的最小值为 $\frac{\pi}{8}$​​, 故选 B.
题目（高二 · 解析几何）：(2015 山东) 已知 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-y \geqslant 0 \\ x+y \leqslant 2 \\ y \geqslant 0\end{array}\right.$, 若 $z=a x+y$ 的最大值为 4 , 则 $a=$
选项：
A. 3
B. 2
C. -2
D. -3
答案：B
解析：由 $z=a x+y$ 得 $y=-a x+z$, 借助图形可知:

当 $-a \geq 1$, 即 $a \leq-1$ 时在 $x=y=0$ 时有最大值 0 , 不符合题意;

当 $0 \leq-a<1$, 即 $-1<a \leq 0$ 时在 $x=y=1$ 时有最大值 $a+1=4, a=3$,

不满足 $-1<a \leq 0$; 当 $-1<-a \leq 0$, 即 $0<a \leq 1$ 时在 $x=y=1$ 时有最大值

$a+1=4, a=3$, 不满足 $0<a \leq 1$; 当 $-a<-1$,

即 $a>1$ 时在 $x=2, y=0$ 时有最大值 $2 a=4, a=2$, 满足 $a>1$.
题目（高二 · 解析几何）：(2014 福建) 已知圆 $C:(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=1$, 设平面区域 $\Omega=\left\{\begin{array}{l}x+y-7 \leq 0, \\ x-y+7 \geq 0, \\ y \geq 0\end{array}\right.$, 若圆心 $C \in \Omega$,且.

圆 $C$ 与 $x$ 轴相切, 则 $a^{2}+b^{2}$ 的最大值为
选项：
A. 5
B. 29
C. 37
D. 49
答案：C
解析：平面区域 $\Omega$ 为如图所示的阴影部分的 $\triangle A B D$,



因圆心 $C(a, b) \in \Omega$, 且圆 $C$ 与 $x$ 轴相切, 所以点 $C$ 在如图所示的线段 $M N$ 上, 线段 $M N$ 的方程为 $y=1(-2 \leqslant x \leqslant 6)$, 由图形得, 当点 $C$ 在点 $N(6,1)$ 处时, $a^{2}+b^{2}$ 取得最大值 $6^{2}+1^{2}=37$, 故选 C.
题目（高二 · 解析几何）：(2012 福建) 若直线 $y=2 x$ 上存在点 $(x, y)$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x+y-3 \leq 0, \\ x-2 y-3 \leq 0, \\ x \geq m,\end{array}\right.$, 则实数 $m$ 的最大值为
选项：
A. -1
B. 1
C. $\frac{3}{2}$
D. 2
答案：B
解析：由题意, $\left\{\begin{array}{c}y=2 x \\ x+y-3=0\end{array}\right.$, 可求得交点坐标为 $(1,2)$ 要使直线 $y=2 x$ 上存在点 $(x, y)$ 满足约条件 $\left\{\begin{array}{c}x+y-3 \leqslant 0 \\ x-2 y-3 \leqslant 0, \\ x \geqslant m\end{array}\right.$ 如图所示.



则 $3-m \geq 2 m$, 可得 $m \leq 1, \therefore$ 实数 $m$ 的最大值为 1 , 故选 B.
题目（高二 · 解析几何）：若 $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-y-2 \leq 0 \\ 3 x-y+1 \geq 0 \\ y \leq 2\end{array}\right.$, 则 $z=4 x+2 y$ 的最小值为 ( )
选项：
A. -17
B. -13
C. $\frac{16}{3}$
D. 20
答案：B
解析： $x, y$ 满足约束条件 $\left\{\begin{array}{l}x-y-2 \leq 0 \\ 3 x-y+1 \geq 0, \\ y \leq 2\end{array}\right.$ 由此可得可行域如下图所示:

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_823e2db37acdc25ab6e0g-115，.jpg?height=394&width=434&top_left_y=2147&top_left_x=228)

该可行域是一个以 $A\left(\frac{1}{3}, 2\right), B(4,2), C\left(-\frac{3}{2},-\frac{7}{2}\right)$ 为顶点的三角形区域（包括边界）.
目标函数 $z=4 x+2 y$ 可化为 $y=-2 x+\frac{z}{2}$

当动直线 $y=-2 x+\frac{z}{2}$ 过点 $C\left(-\frac{3}{2},-\frac{7}{2}\right)$ 时, $z$ 取得最小值,

此时 $z_{\text {min }}=4 \times\left(-\frac{3}{2}\right)+2 \times\left(-\frac{7}{2}\right)=-13$, 故选 B。
题目（高二 · 解析几何）：设 $m>1$, 在约束条件 $\left\{\begin{array}{l}y \geq x \\ y \leq m x \\ x+y \leq 1\end{array}\right.$ 下, 目标函数 $z=x+m y$ 的最大值小于 2 , 则 $m$ 的取值范围为
选项：
A. $(1,1+\sqrt{2})$
B. $(1+\sqrt{2},+\infty)$
C. $(1,3)$
D. $(3,+\infty)$
答案：A
解析：画出可行域, 可知 $z=x+5 y$ 在点 $\left(\frac{1}{1+m}, \frac{m}{1+m}\right)$ 取最大值,

由 $\frac{1}{1+m}+\frac{m^{2}}{1+m}<2$ 解得 $1<m<\sqrt{2}+1$.
题目（高二 · 解析几何）：已知 $x, y$ 满足不等式组 $\left\{\begin{array}{l}2 x+y-2 \leq 0 \\ x-2 y-1 \leq 0 \\ x \geq 0\end{array}\right.$, 则点 $P(x, y)$ 所在区域的面积是 ( )
选项：
A. 1
B. 2
C. $\frac{5}{4}$
D. $\frac{4}{5}$
答案：C
解析：不等式表示的平面区域如图:



直线 $2 x+y-2=0$ 的斜率为 -2 , 直线 $x-2 y-1$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$, 所以两直线垂直, 故 $\triangle B C D$ 为直角三角形, 易得 $B(1,0), D\left(0,-\frac{1}{2}\right), C(0,2),|B D|=\frac{\sqrt{5}}{2},|B C|=\sqrt{5}$ 所以阴影部分面积

$S_{\triangle B C D}=\frac{1}{2}|B D| \cdot|B C|=\frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{5}}{2} \times \sqrt{5}=\frac{5}{4}$, 故选 C。
题目（高二 · 解析几何）：太极图被称为“中华第一图”. 从孔庙大成殿梁柱, 到楼观台、三茅宫标记物; 从道袍、卦推、中医、气功、武术到南韩国旗……, 太极图无不跃居其上. 这种广为人知的太极图, 其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”。在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为

$A=\left\{(x, y) \mid x^{2}+(y-1)^{2} \leq 1\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2} \leq 4 \\ x^{2}+(y+1)^{2} \geq 1 \\ x \leq 0\end{array}\right\}$, 设点 $(x, y) \in A$, 则 $z=x+2 y$ 的取值范围是 ( )


选项：
A. $[-2-\sqrt{5}, 2 \sqrt{5}]$
B. $[-2 \sqrt{5}, 2 \sqrt{5}]$
C. $[-2 \sqrt{5}, 2+\sqrt{5}]$
D. $[-4,2+\sqrt{5}]$
答案：C
解析：如图, 作直线 $x+2 y=0$, 当直线上移与圆 $x^{2}+(y-1)^{2}=1$ 相切时, $z=x+2 y$ 取最大值,此时, 圆心 $(0,1)$ 到直线 $z=x+2 y$ 的距离等于 1 , 即 $\frac{|2-z|}{\sqrt{5}}=1$,解得 $z$ 的最大值为: $2+\sqrt{5}$,

当下移与圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 相切时, $x+2 y$ 取最小值,同理 $\frac{|-z|}{\sqrt{5}}=2$, 即 $z$ 的最小值为: $-2 \sqrt{5}$,

所以 $\mathrm{z} \in[-2 \sqrt{5}, 2+\sqrt{5}]$.
题目（高二 · 解析几何）：(2016 浙江)在平面上, 过点 $P$ 作直线 $l$ 的垂线所得的垂足称为点 $P$ 在直线 $l$ 上的投影. 由区域 $\left\{\begin{array}{l}x-2 \leq 0 \\ x+y \geq 0 \\ x-3 y+4 \geq 0\end{array}\right.$, 中的点在直线 $x+y-2=0$ 上的投影构成的线段记为 $A B$, 则 $|A B|=$
选项：
A. $2 \sqrt{2}$
B. 4
C. $3 \sqrt{2}$
D. 6
答案：C
解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示, 过点 $C, D$ 分别作直线 $x+y-2=0$ 的垂线,

垂足分别为 $A, B$, 则四边形 $A B D C$ 为矩形; 又 $C(2,-2), D(-1,1)$, 所以 $|A B|=|C D|=\sqrt{(2+1)^{2}+(-2-1)^{2}}=3 \sqrt{2}$, 故选 C.
题目（高二 · 解析几何）：设 $P$ 是椭圆 $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$ 上一点, $M, N$ 分别是两圆 $(x+2)^{2}+y^{2}$ $=1$ 和 $(x-2)^{2}+y^{2}=1$ 上的点, 则 $|P M|+|P N|$ 的最小值和最大值分别为
选项：
A. 4,8
B. 6,8
C. 8,12
D. 2,6
答案：A
解析：解析 ：设椭圆的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$, 两圆的半径为 $R$, 由题意可知 $|P M|+|P N|$ 的最大值为 $\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|+2 R$, 最小值为 $\left|P F_{1}\right|+$ $\left|P F_{2}\right|-2 R$, 又因为 $\left|P F_{1}\right|+\left|P F_{2}\right|=2 a=6, R=1$, 所以 $|P M|+|P N|$ 的最大值为 8 ，最小值为 4 .

答案： A
题目（高二 · 解析几何）：若点 $O$ 和点 $F$ 分别为椭圆 $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 的中心和左焦点, 点 $P$为粗圆上的任意一点, 则 $\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{F P}$ 的最大值为 ( )
选项：
A. 2
B. 3
C. 6
D. 8
答案：C
解析：解析 ：由题意, $F(-1,0)$, 设点 $P\left(x_{0}, y_{0}\right)$,

则有 $\frac{x_{0}^{2}}{4}+\frac{y_{0}^{2}}{3}=1$, 解得 $y_{0}^{2}=3\left(1-\frac{x_{0}^{2}}{4}\right)$,

$\because \overrightarrow{F P}=\left(x_{0}+1, y_{0}\right), \quad \overrightarrow{O P}=\left(x_{0}, y_{0}\right)$,

$\therefore \overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{F P}=x_{0}\left(x_{0}+1\right)+y_{0}^{2}$

$=x_{0}\left(x_{0}+1\right)+3\left(1-\frac{x_{0}^{2}}{4}\right)=\frac{x_{0}^{2}}{4}+x_{0}+3$.

此二次函数对应的抛物线的对称轴为 $x_{0}=-2$,

$\because-2 \leqslant x_{0} \leqslant 2, \therefore$ 当 $x_{0}=2$ 时,

$\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{F P}$ 取得最大值 $\frac{2^{2}}{4}+2+3=6$, 选 C.

答案： C
题目（高二 · 解析几何）：直线 $y=x+2$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{3}=1$ 有两个公共点, 则 $m$ 的取值范围是( )
选项：
A. $m>1$
B. $m>1$ 且 $m \neq 3$
C. $m>3$
D. $m>0$ 且 $m \neq 3$
答案：B
解析：解析 ：把 $y=x+2$ 代入 $\frac{x^{2}}{m}+\frac{y^{2}}{3}=1$, 并整理得 $(m+3) x^{2}+4 m x+m=$
题目（高二 · 解析几何）：函数 $f(x)=2 x-\sin x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上 $(\quad)$
选项：
A. 是增函数
B. 是减函数
C. 有最大值
D. 有最小值
答案：A
解析：解析 ：$f^{\prime}(x)=2-\cos x>0, \therefore f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上是增函数, 故选 A.

答案： A
题目（高二 · 解析几何）：在 $\mathbf{R}$ 上可导的函数 $f(x)$ 的图象如图所示, 则关于 $x$ 的不等式 $x \cdot f^{\prime}(x)<0$ 的解集为 $(\quad)$


选项：
A. $(-\infty,-1) \cup(0,1)$
B. $(-1,0) \cup(1,+\infty)$
C. $(-2,-1) \cup(1,2)$
D. $(-\infty,-2) \cup(2,+\infty)$
答案：A
解析：解析 ：从 $f(x)$ 的图象可知, $f(x)$ 在 $(-\infty,-1)(1,+\infty)$ 是增函数,在 $(-1,1)$ 是减函数,

$\therefore$ 当 $x<-1$, 或 $x>1$ 时, $f^{\prime}(x)>0$;

当 $-1<x<1$ 时, $f^{\prime}(x)<0$,

$\therefore x \cdot f^{\prime}(x)<0$ 的解集为 $(-\infty,-1) \cup(0,1)$, 故选 A.

答案 ：A
题目（高二 · 解析几何）：函数 $y=-\cos x(x>0)$ 的图象中与 $y$ 轴最近的最高点的坐标为
选项：
A. $\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$
B. $(\pi, 1)$
C. $(0,1)$
D. $(2 \pi, 1)$
答案：B
解析：解析 : 用五点作图法作出函数 $y=-\cos x(x>0)$ 的一个周期的图象如图所示，由图易知与 $y$轴最近的最高点的坐标为 $(\pi ， 1)$.



答案: B
题目（高二 · 解析几何）：用 “五点法” 作函数 $y=\cos \left(4 x-\frac{\pi}{6}\right)$ 在一个周期内的图象时, 第四个关键点的坐标是
选项：
A. $\left(\frac{5 \pi}{12}, 0\right)$
B. $\left(-\frac{5 \pi}{12}, 1\right)$
C. $\left(\frac{5 \pi}{12}, 1\right)$
D. $\left(-\frac{5 \pi}{12}, 0\right)$
答案：A
解析：解析 : 令 $4 x-\frac{\pi}{6}=\frac{3 \pi}{2}$ ，得 $x=\frac{5 \pi}{12} ， \therefore$ 该点坐标为 $\left(\frac{5 \pi}{12} ， 0\right)$.

答案: A
题目（高二 · 解析几何）：以下对正弦函数 $y=\sin x$ 的图象描述不正确的是
选项：
A. 在 $x \in[2 k \pi, 2 k \pi+2 \pi](k \in \mathbf{Z})$ 时的图象形状相同, 只是位置不同

B. 介于直线 $y=1$ 与直线 $y=-1$ 之间

C. 关于 $x$ 轴对称

D. 与 $y$ 轴仅有一个交点
答案：C
解析：解析: 由正弦函数 $y=\sin x$ 在 $x \in[2 k \pi ， 2 k \pi+2 \pi](k \in \mathbf{Z})$ 时的图象可知 C 项不正确.

答案: C
题目（高二 · 解析几何）：函数 $y=-\sin x, x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]$ 的简图是


选项：
A.



C



B



D
答案：D
解析：解析: 当 $x=-\frac{\pi}{2}$ 时， $y=-\sin x$ 取得最大值 1 ，当 $x=\frac{3 \pi}{2}$ 时， $y=-\sin x$ 取得最大值 1 ，故

选 D

答案: D
题目（高二 · 解析几何）：与图中曲线(部分)对应的函数解析式是


选项：
A. $y=|\sin x|$
B. $y=\sin |x|$
C. $y=-\sin |x|$
D. $y=-|\sin x|$
答案：C
解析：解析：注意图象所对的函数值的正负，可排除选项 A，D.当 $x \in(0 ， \pi)$ 时， $\sin |x|>0$ ，而图中显然小于零，因此排除选项 B.故选 C.

答案: C
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\triangle A B C$ 中, $a=1, b=\sqrt{3}, A=30^{\circ}$, 则 $B$ 等于 $(\quad)$
选项：
A. $30^{\circ}$
B. $30^{\circ}$ 或 $150^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $60^{\circ}$ 或 $120^{\circ}$
答案：D
解析：由题意得, $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\mathrm{a}=1, b=\sqrt{3}, \mathrm{~A}=30^{\circ}$, 由 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 得, $\sin \mathrm{B}=\frac{b \cdot \sin A}{a} \frac{\sqrt{3} \times \frac{1}{2}}{1}$ $=\frac{\sqrt{3}}{2}$, 又 $\mathrm{b}>\mathrm{a}, 0^{\circ}<\mathrm{B}<180^{\circ}$, 则 $\mathrm{B}=60^{\circ}$ 或 $\mathrm{B}=120^{\circ}$,
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\triangle A B C$ 中, $A: B: C=1: 1: 4$, 则 $a: b: c$ 等于
选项：
A. $1: 1: \sqrt{3}$
B. $2: 2: \sqrt{3}$
C. $1: 1: 2$
D. 1: $1: 4$
答案：A
解析：$\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\because \mathrm{A}: \mathrm{B}: \mathrm{C}=1: 1: 4$, 故三个内角分别为 $30^{\circ} 、 30^{\circ} 、 120^{\circ}$,

则 $\mathrm{a}: \mathrm{b}: \mathrm{c}=\sin 30^{\circ}: \sin 30^{\circ}: \sin 120^{\circ}=1: 1: \sqrt{3}$ ，故选 A.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, $c=\sqrt{3}, B=45^{\circ}, C=60^{\circ}$, 则 $b=(\quad)$
选项：
A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
C. $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$
D. $\sqrt{2}$
答案：D
解析：在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\mathrm{c}=\sqrt{3}, \mathrm{~B}=45^{\circ}, \mathrm{C}=60^{\circ}$, 则 $\mathrm{b}=\frac{c \sin B}{\sin C}=\frac{\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sqrt{2}$.
题目（高二 · 解析几何）：已知 $\triangle A B C$ 的三内角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c$, 若 $c=2 b \cos A$,则此三角形必是 ( )
选项：
A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 针角三角形
答案：B
解析：$\because c=2 b \cos A$ 由正弦定理，可得： $\sin C=2 \sin B \cos A$, 即 $\sin (A+B)=2 \sin B \cos A$ ， $\sin A \cos B+\cos A \sin B=2 \sin B \cos A ， \therefore \sin A \cos B-\sin B \cos A=0$ 即 $\sin (A-B)==0 ， \because A 、 B$ 是 $\triangle A B C$ 的三内角, $\therefore A=B$. 故 $\triangle A B C$ 的是等腰三角形.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, $A=30^{\circ}, A B=2$, 且 $\triangle A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$, 则 $\triangle A B C$ 外接圆的半径为 $(\quad)$
选项：
A. $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
B. $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$
C. 2
D. 4
答案：C
解析：在 $\triangle A B C$ 中, 由 $A=30^{\circ}, c=A B=2$, 得到 $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{1}{2} b \times 2 \times \frac{1}{2}=\sqrt{3}$,

解得 $\mathrm{b}=2 \sqrt{3}$, 根据余弦定理得: $\mathrm{a}^{2}=12+4-2 \times 2 \sqrt{3} \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=4$, 解得 $\mathrm{a}=2$,

根据正弦定理得: $\frac{a}{\sin A}=2 R$ ( $\mathrm{R}$ 为外接圆半径), 则 $\mathrm{R}=\frac{2}{2 \times \frac{1}{2}}=2$
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 三内角正弦之比为 $\sin A: \sin B: \sin C=2: 3: \sqrt{7}$, 则角四等于 $(\quad)$
选项：
A. $30^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $120^{\circ}$
答案：C
解析：由题意得, 根据正弦定理可得, $a: b: c=2: 3: \sqrt{7}, \cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}=\frac{1}{2}, C=\frac{\pi}{3}$,
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 若 $A=\frac{\pi}{3}, \cos B=\frac{\sqrt{6}}{3}, B C=6$, 则 $A C=(\quad)$
选项：
A. $4 \sqrt{2}$   B. 4    C. $2 \sqrt{3}$    D. $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$
答案：B
解析：$\because \cos \mathrm{B}=\frac{\sqrt{6}}{3}, \mathrm{~B} \in(0, \pi)$,$\therefore \sin B=\sqrt{1-\cos ^{2} B}=\frac{\sqrt{3}}{3}$, 由正弦定理可得: $\frac{B C}{\sin A}=\frac{A C}{\sin B}$,$\therefore A C=\frac{B C \sin B}{\sin A}=\frac{6 \times \frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 若 $\left(a^{2}+c^{2}-b^{2}\right) \tan B=\sqrt{3} a c$, 则角 $B=(\quad)$
选项：
A. $30^{\circ}$
B. $60^{\circ}$
C. $60^{\circ}$ 或 $120^{\circ}$
D. $30^{\circ}$ 或 $150^{\circ}$
答案：C
解析：C 由余弦定理得: $\cos B=\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2 a c}$, 即 $\mathrm{a}^{2}+\mathrm{c}^{2}-\mathrm{b}^{2}=2 \mathrm{accos} \mathrm{B}$,代入已知等式得: $2 a \cos B \cdot \tan B=\sqrt{3} a c$, 即 $\sin B=\frac{\sqrt{3}}{2}$,

$\because \mathrm{B}$ 为三角形内角, $\therefore \mathrm{B}=60^{\circ}$ 或 $120^{\circ}$,
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, $a, b, c$ 分别为角 $A 、 B 、 C$ 的对边, 若 $a=2, b=2 \sqrt{3}, \angle A=30^{\circ}$,则 $\angle B$ 等于 ( )
选项：
A. $30^{\circ}$
B. $30^{\circ}$ 或 $150^{\circ}$
C. $60^{\circ}$
D. $60^{\circ}$ 或 $120^{\circ}$
答案：D
解析：$\because \mathrm{a}=2, \mathrm{~b}=2 \sqrt{3}, \angle \mathrm{A}=30^{\circ}$,

$\therefore$ 由正弦定理可得 $: \sin B=\frac{b \sin A}{a}=\frac{2 \sqrt{3} \times \frac{1}{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$,

$\because \mathrm{B} \in\left(0,180^{\circ}\right), \therefore \mathrm{B}=60^{\circ}$ 或 $120^{\circ}$.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 若 $\sin A-2 \sin B \cos C=0$, 则 $\triangle A B C$ 必定是（）
选项：
A. 针角三角形 B. 锐角三角形
C. 直角三角形
D. 等腰三角形
答案：D
解析：$\because \sin \mathrm{A}-2 \sin B \cos \mathrm{C}=0$

由正弦定理及余弦定理可得, $a-2 b \times \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}=0$

整理可得, $\mathrm{b}=\mathrm{c} \therefore \triangle \mathrm{ABC}$ 为等腰三角形、
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, $b=1, c=\sqrt{3}, B=30^{\circ}$, 则 $C$ 的大小为 ( )
选项：
A. $30^{\circ}$
B. $30^{\circ}$ 或 $150^{\circ}$
C. $60^{\circ}$ 或 $120^{\circ}$
D. $60^{\circ}$
答案：C
解析：$\because$ 由正弦定理可得: $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2$,

$\therefore$ 解得 $: \sin C=\frac{\sqrt{3}}{2}, \therefore$ 解得: $C=60^{\circ}$ 或 $120^{\circ}$.
题目（高二 · 解析几何）：若 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 且 $a^{2}=c^{2}-b^{2}+\sqrt{2} b a$, 则 $\angle C=(\quad)$
选项：
A. $\frac{\pi}{6}$
B. $\frac{5 \pi}{6}$
C. $\frac{\pi}{4}$
D. $\frac{3 \pi}{4}$
答案：C
解析：$\because a^{2}=c^{2}-b^{2}+\sqrt{2} b a$, 即 $a^{2}+b^{2}-c^{2}=\sqrt{2} a b$,

$\therefore \cos \mathrm{C}=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}=\frac{\sqrt{2}}{2}, \because \mathrm{C}$ 为三角形内角, $\therefore \mathrm{C}=\frac{\pi}{4}$.
题目（高二 · 解析几何）：$\triangle A B C$ 中, $A=45^{\circ}, B=30^{\circ}, a=10$, 则 $b=(\quad)$
选项：
A. $5 \sqrt{2}$
B. $10 \sqrt{2}$
C. $10 \sqrt{6}$
D. $5 \sqrt{6}$
答案：A
解析：根据题意, $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, 有 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$, 则 $\mathrm{b}=\frac{a \cdot \sin B}{\sin A}$,又由 $\mathrm{A}=45^{\circ}, \mathrm{B}=30^{\circ}, \mathrm{a}=10$,则 $\mathrm{b}=\frac{a \cdot \sin B}{\sin A}=\frac{10 \times \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=5 \sqrt{2}$;
题目（高二 · 解析几何）：$b=c=0$ 是二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 的图象经过原点的 ( )
选项：
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案：A
解析：解析: 解答: 若 $b=c=0$, 则二次函数 $y=a x^{2}+b x+c=a x^{2}$ 经过原点,若二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 过原点, 则 $c=0$, 故选A.

分析: 解答此类问题的关键是分析条件 $p$ 和 $q$ 是否具有推出关系, 首先要化简条件, 其次要明确条件 $p$ 是什么, 结论 $q$ 是什么, 接着判断一是 $p$ 能否推得条件 $q$; 二是 $q$ 能否推得条件 $p$, 方可解决; 注意养成“解决彻底”的好习惯, 既要解决充分性, 又要解决必要性.
题目（高二 · 解析几何）：命题 $p$ : 不等式 $a x^{2}+2 a x+1>0$ 的解集为 $R$, 命题 $q: 0<a<1$,则 $p$ 是 $q$ 成立的 ( )
选项：
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案：B
解析：解析：解答：当 $a=0$ 时, 不等式 $a x^{2}+2 a x+1>0$ 的解集为 $R$;
当 $\left\{\begin{array}{l}a>0, \\ \Delta=4 a^{2}-4 a<0,\end{array}\right.$, 即 $0<a<1$ 时, 不等式 $a x^{2}+2 a x+1>0$ 的解集为 $R$.

综上, 不等式 $a x^{2}+2 a x+1>0$ 的解集为 $R$ 时, $0 \leq a<1$, 故选B.

分析: 解答此类问题的关键是分析条件 $p$ 和 $q$ 是否具有推出关系, 首先要化简条件, 其次要明确条件 $p$ 是什么, 结论 $q$ 是什么, 接着判断一是 $p$ 能否推得条件 $q$; 二是 $q$ 能否推得条件 $p$, 方可解决; 注意养成“解决彻底”的好习惯, 既要解决充分性, 又要解决必要性.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 已知 $B C=1, B=\frac{\pi}{3}, \triangle A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$, 则 $A C$ 的长为 ( )
选项：
A. 3
B. $\sqrt{13}$
C. $\sqrt{21}$
D. $\sqrt{57}$
答案：B
解析：$\because \mathrm{BC}=1, \mathrm{~B}=\frac{\pi}{3}, \triangle \mathrm{ABC}$ 的面积为 $\sqrt{3}=\frac{1}{2} \mathrm{BC} \cdot \mathrm{AB} \cdot \sin \mathrm{B}=\frac{1}{2} \times A B \times 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2}, \therefore \mathrm{AB}=4$,

$\therefore \mathrm{AC}=\sqrt{A B^{2}+B C^{2}-2 A B \cdot B C \cdot \cos B}=\sqrt{16+1-2 \times 4 \times 1 \times \frac{1}{2}}=\sqrt{13}$.
题目（高二 · 解析几何）：设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边长分别为 $a, b, c$, 若 $b \cos C+c \cos B=2 a \cos A$, 则 $A=(\quad)$
选项：
A. $\frac{\pi}{6}$
B. $\frac{\pi}{3}$
C. $\frac{\pi}{4}$
D. $\frac{\pi}{3}$ 或 $\frac{2 \pi}{3}$
答案：B
解析：$: \because b \cos C+\cos B=2 a \cos A$,

$\therefore$ 由正弦定理可得: $\sin B \cos C+\sin C \cos B=2 \sin A \cos A$,

可得: $\sin (B+C)=\sin A=2 \sin A \cos A, \because A \in(0, \pi), \sin A \neq 0, \therefore \cos A=$ $\frac{1}{2}, \therefore$ 可得 $\mathrm{A}=\frac{\pi}{3}$.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$, 若 $a=4, A=\frac{\pi}{3}$, 则该三角形面积的最大值是 ( )
选项：
A. $2 \sqrt{2}$
B. $3 \sqrt{3}$
C. $4 \sqrt{3}$
D. $4 \sqrt{2}$
答案：C
解析：由余弦定理得: $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$, 即 $16=b^{2}+c^{2}-b c \geq 2 b c-b c=b c$,

$\therefore b c \leq 16, \therefore S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} b c s i n A \leq 4 \sqrt{3}$, 则 $\triangle A B C$ 面积的最大值为 $4 \sqrt{3}$. 故选: C.
题目（高二 · 解析几何）：设 $\triangle A B C$ 的三个内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 如果 $(a+b+c)(b+c-a)$ $=3 b c$, 且 $a=\sqrt{3}$, 那么 $\triangle A B C$ 的外接圆半径为 ( )
选项：
A. 2
B. 4
C. $\sqrt{2}$
D. 1
答案：D
解析：$\because(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c})(\mathrm{b}+\mathrm{c}-\mathrm{a})=3 \mathrm{bc}, \therefore(\mathrm{b}+\mathrm{c})^{2}-\mathrm{a}^{2}=3 \mathrm{bc}$, 化为: $\mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}-\mathrm{a}^{2}=\mathrm{bc}$.

$\therefore \cos \mathrm{A}=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{1}{2}, \because \mathrm{A} \in(0, \pi), \therefore \mathrm{A}=\frac{\pi}{3}$, 由正弦定理可得 $2 \mathrm{R}=\frac{a}{\sin A}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$,

解得 $\mathrm{R}=1$, 故选: $\mathrm{D}$.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c$, 且 $b^{2}+c^{2}=a^{2}+b c$. 若 $\sin B \cdot \sin C=\sin ^{2} A$,则 $\triangle A B C$ 的形状是 ( )
选项：
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形
答案：C
解析：在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\because \mathrm{b}^{2}+\mathrm{c}^{2}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{bc}, \therefore \cos \mathrm{A}=\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}=\frac{b c}{2 b c}=\frac{1}{2}$,

$\because \mathrm{A} \in(0, \pi), \therefore A=\frac{\pi}{3}$.

$\because \sin B \cdot \sin C=\sin ^{2} A, \therefore b c=a^{2}$, 代入 $b^{2}+c^{2}=a^{2}+b c, \therefore(b-c)^{2}=0$, 解得 $b=c$.

$\therefore \triangle \mathrm{ABC}$ 的形状是等边三角形. 故选: $\mathrm{C}$.
题目（高二 · 解析几何）：设 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$. 已知 $a=2 \sqrt{2}, \cos A=\frac{3}{4}, \sin B=2 \sin C$,则 $\triangle A B C$ 的面积是 ( )
选项：
A. $\sqrt{7}$
B. $\frac{\sqrt{7}}{4}$
C. $\frac{16}{5}$
D. $\frac{8}{5}$
答案：A
解析：$\because a=2 \sqrt{2}, \cos A=\frac{3}{4}, \sin \mathrm{B}=2 \sin \mathrm{C}$, 可得: $\mathrm{b}=2 \mathrm{c} . \sin \mathrm{A}=\sqrt{1-\cos ^{2} A}=\frac{\sqrt{7}}{4}$,

$\therefore$ 由 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A$, 可得: $8=4 c^{2}+c^{2}-3 c^{2}$, 解得 $c=2, b=4$.
$\therefore \mathrm{S}_{\triangle \mathrm{ABC}}=\frac{1}{2} \mathrm{bcsin} \mathrm{A}=\frac{1}{2} \times 2 \times 4 \times \frac{\sqrt{7}}{4}=\sqrt{7}$. 故选 A.
题目（高二 · 解析几何）：在 $\triangle A B C$ 中, 角 $A 、 B 、 C$ 所对的边分别为 $a 、 b 、 c$, 若 $B=60^{\circ}, b^{2}=a c$, 则 $\triangle A B C$ 一定是 ( )
选项：
A. 直角三角形
B. 针角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形
答案：C
解析：由余弦定理可得: $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2 a c \cos B=a^{2}+c^{2}-a c=a c$,

化为 $(a-c)^{2}=0$, 解得 $a=c$. 又 $B=60^{\circ}$, 可得 $\triangle A B C$ 是等边三角形, 故选: $C$.
题目（高二 · 解析几何）：如图, 要测量底部不能到达的某铁塔 $A B$ 的高度, 在塔的同一侧选择 $C 、 D$ 两观测点, 且在 $C 、 D$ 两点测得塔顶的仰角分别为 $45^{\circ} 、 30^{\circ}$. 在水平面上测得 $\angle B C D=120^{\circ}, C 、 D$ 两地相距 $600 \mathrm{~m}$,则铁塔 $A B$ 的高度是 ( )
选项：
A. $120 \sqrt{2} m$
B. $480 \mathrm{mC}$
C. $240 \sqrt{2} m$
D. $600 \mathrm{~m}$
答案：D
解析：设 $A B=x$, 则 $B C=x, B D=\sqrt{3} \mathrm{x}$,

在 $\triangle \mathrm{BCD}$ 中, 由余弦定理知 $\cos 120^{\circ}=\frac{B C^{2}+C D^{2}-B D^{2}}{2 B C \cdot C D}=\frac{x^{2}+600^{2}-3 x^{2}}{2 x \cdot 600}=-\frac{1}{2}$,

求得 $\mathrm{x}=600$ 米, 故铁塔的高度为 600 米. 故选 D.
题目（高二 · 解析几何）：已知在 $\triangle A B C$ 中, 内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$, 且 $4 \sqrt{3} \cos (A+B)+2 \cos 2 C+5=0$,则角 $C=(\quad)$
选项：
A. $\frac{\pi}{6}$
B. $\frac{\pi}{4}$
C. $\frac{\pi}{3}$
D. $\frac{\pi}{2}$
答案：A
解析：$4 \sqrt{3} \cos (\mathrm{A}+\mathrm{B})+2 \cos 2 \mathrm{C}+5=0$,

可得 $4 \sqrt{3} \cos (\pi-C)+2 \cos 2 C+5=0$, 即 $-4 \sqrt{3} \cos C+2\left(2 \cos ^{2} C-1\right)+5=0$,

即 $4 \cos ^{2} C-4 \sqrt{3} \cos C+3=0$, 可得 $\cos C=\frac{\sqrt{3}}{2}$, 由 $0<C<\pi$, 可得 $C=\frac{\pi}{6}$, 故选: $A$.
题目（高二 · 解析几何）：已知两灯塔 $A$ 和 $B$ 与海洋观测站 $C$ 的距离都等于 $a \mathrm{~km}$, 灯塔 $A$ 在观测站 $C$ 的北偏东 $20^{\circ}$ 方向上, 灯塔 $B$ 在观测站 $C$ 的南偏东 $40^{\circ}$ 方向上, 则灯塔 $A$ 与灯塔 $B$ 的距离为 $(\quad)$
选项：
A. $a \mathrm{~km}$
B. $\sqrt{3} a \mathrm{~km}$
C. $\sqrt{2} a \mathrm{~km}$
D. $2 a \mathrm{~km}$
答案：B
解析：解析 $\angle A C B=120^{\circ}, A C=B C=a$,

$\therefore$ 由余弦定理得 $A B=\sqrt{3} a$.