eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高一 · 算术）：已知 $t>1, x=\log _{2} t, y=\log _{3} t, z=\log _{5} t$, 则
选项：
A. $2 x<3 y<5 z$
B. $5 z<2 x<3 y$
.C. $3 y<5 z<2 x$
D. $3 y<2 x<5 z$
答案：D
解析：由题意 $2 x=2 \log _{2} t=\log _{\sqrt{2}} t, \quad 3 y=3 \log _{3} t=\log _{\sqrt[3]{3}} t \quad 5 z=5 \log _{5} t=\log _{\sqrt[5]{5}} t$,

又 $\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}=8^{\frac{1}{6}}, \sqrt[3]{3}=3^{\frac{1}{3}}=9^{\frac{1}{6}}$,

易知 $2^{\frac{1}{2}}<3^{\frac{1}{3}}, 5^{\frac{1}{5}}=25^{\frac{1}{10}}, 2^{\frac{1}{2}}=32^{\frac{1}{10}}$, 即 $5^{\frac{1}{5}}<2^{\frac{1}{2}}$,

$\therefore 1<5^{\frac{1}{5}}<2^{\frac{1}{2}}<3^{\frac{1}{3}}$, 又 $t>1, \therefore 3 y<2 x<5 z$,

故答案为:
D.

【分析】利用 $\mathrm{t}$ 的取值范围结合对数函数的单调性和特殊值 1 对应的对数, 再利用 $2 \mathrm{x}, 3 \mathrm{y}, 5 \mathrm{z}$ 与 1 的大小关系, 从而推出 $2 \mathrm{x}, 3 \mathrm{y}, 5 \mathrm{z}$ 的大小关系。
题目（高一 · 算术）：已知 $a=\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{3}}, b=\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{3}}, c=\log _{3} \frac{1}{2}$, 则（）
选项：
A. $c<b<a$
B. $a<c<b$
C. $b<a<c$
D. $c<a<b$
答案：D
解析：由幂函数的单调性可知 $0<a=\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{3}}<\left(\frac{2}{3}\right)^{0}=1=\left(\frac{3}{2}\right)^{0}<b=\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{3}} \therefore b>a>0$

而 $c=\log _{3} \frac{1}{2}<\log _{3} 1=0$, 所以 $c<a<b$.

故答案为: $D$

【分析】根据幂函数的单调性得到 $b>a>0$, 再判断 $c<0$ 得到答案.
题目（高一 · 算术）：（2017・東阳市校级一模）如果输入 $n=2$, 那么执行如图中算法的结果是

## 第一歩: 输入 $n$

第二步: $n=n+1$

第三步: $n=n+2$

第四步: 输出 $n$
选项：
A. 输出 3

B. 输出 4

C. 输出 5

D. 程序出错, 输不出任何结果
答案：C
解析：解: 第一步: 输入 $n=2$

第二步: $n=2+1=3$

第三步: $n=3+2=5$

第四步: 输出 5

故选: $C$.
题目（高一 · 算术）：(2020 秋・哈尔滨期末) 把 77 化成四进制数的末位数字为 ( )
选项：
A. 4
   B. 3
   C. 2
   D. 1
答案：D
解析：解: $\because 77 \div 4=19 \cdots 1$

$19 \div 4=4 \cdots 3$

$4 \div 4=1 \cdots 0$

$1 \div 4=0 \cdots 1$

故 $77_{(10)}=1031_{(4)}$

末位数字为 1 .

故选: D.
题目（高一 · 算术）：（2020 秋・尖山区校级月考）秦九韶算法的先进性主要体现在减少运算次数, 下列说法正确的是
选项：
A. 可以减少加法运算次数

B. 可以减少乘法运算次数

C. 同时减少加法和乘法的运算次数

D. 加法次数和乘法次数都有可能减少
答案：B
解析：解：由秦九韶算法中, 把一个 $n$ 次多项式的值转化为求 $n$ 个一次多项的值,

即可以把至多 $\frac{n(n+1)}{2}$ 次的乘法运算次数减少至多 $n$ 次计算, 而加法运算数不变.

故选: $B$.
题目（高一 · 算术）：（2020 秋・让胡路区校级月考）下列各数转化成十进制后最大的数是（）
选项：
A. $111111_{(2)}$
   B. 210 (6)
   C. 1000 (4)
   D. $81_{(9)}$
答案：B
解析：解: $111111_{(2)}=2^{5}+2^{4}+2^{3}+2^{2}+2^{1}+2^{0}=63$.

$210{ }_{(6)}=2 \times 6^{2}+1 \times 6=78 ;$

$1000(4)=1 \times 4^{3}=64 ;$

$81_{(9)}=8 \times 9+1=73 ;$

故 210 (6) 最大,

故选: B.
题目（高一 · 算术）：（2018 秋・潞州区校级期末）用秦九韶算法计算多项式 $f(x)=4 x^{5}+5 x^{4}+6 x^{3}+7 x^{2}+8 x+1$ 当 $x=0.4$的值时, 需要做乘法和加法的次数分别是 ( )
选项：
5,5
   B. 4,5
   C. 4,4
   D. 5,4
答案：A
解析：根据题意最高次数为 5 次, 因此需做 5 次加法, 5 次乘法;

故选: A.
题目（高一 · 解析几何）：方程组 $\left\{\begin{array}{l}2 x+y=5 \\ x-y=1 \text { 的解集不可以表示为 }(\text { ) }\end{array}\right.$
$\left\{(x, y) \left\lvert\, \begin{array}{c}2 x+y=5 \\ x-y=1\end{array}\right.\right\}$
B. $\left\{(x, y) \left\lvert\, \begin{array}{c}x=2 \\ y=1\end{array}\right.\right\}$
C. $\{2,1\}$
D. $\{(2,1)\}$

6.已知 $A=\{x \mid x \leq 2 \sqrt{3}, x \in R\}, a=\sqrt{14}, b=2 \sqrt{2}$, 则 ( )
选项：
A. $a \in A$, 且 $b \notin A$
B. $a \notin A$, 且 $b \in A$
C. $a \in A$, 且 $b \in A$
D. $a \notin A$, 且 $b \notin A$
答案：C
解析：解: 由题意, 方程组 $\left\{\begin{array}{l}2 x+y=5 \\ x-y=1\end{array}\right.$ 的解集所表示的集合应为点集, 根据集合的表示方法, 可得方程组的解集可表示为 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B} 、 \mathrm{D}$ 的形式，

而集合 $\{2,1\}$ 为两个元素的数集, 所以不正确,

故答案为: C.

【分析】由方程组 $\left\{\begin{array}{l}2 x+y=5 \\ x-y=1\end{array}\right.$ 的解集所表示的集合应为点集, 根据集合的表示方法, 即作出判定,得到答案.

6.答案: B

解: $\because A=\{x \mid x \leq 2 \sqrt{3}, x \in R\}, a=\sqrt{14}, b=2 \sqrt{2}$,

由 $\sqrt{14}>2 \sqrt{3}$, 可得 $a \notin A, 2 \sqrt{2}<2 \sqrt{3}$, 可得 $b \in A$,

故答案为: B.

【分析】比较 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 与 $^{2} \sqrt{3}$ 的大小, 即可判断 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 与集合 $\mathrm{A}$ 的关系.
题目（高一 · 解析几何）：函数 $f(x)=2 x+\sqrt{x-1}(1 \leq x \leq 5)$ 的值域是 $(\quad)$
选项：
A. $(-\infty, 12]$
B. $(-\infty, 2)$
C. $[2,12]$
D. $22,+\infty)$
答案：C
解析：$f(x)=2 x+\sqrt{x-1}(1 \leq x \leq 5)$, 设 $\sqrt{x-1}=t \therefore x=t^{2}+1, t \in[0,2]$

变换得到函数 $y=2 t^{2}+t+2=2\left(t+\frac{1}{4}\right)^{2}+\frac{15}{8}$ 在 $[0,2\rfloor$ 单调递增.

故 $y_{\text {max }}=12, y_{\text {min }}=2$, 即 $f(x)_{\text {min }}=f(1)=2, f(x)_{\text {max }}=f(5)=12$

故答案为: $C$

【分析】换元 $\sqrt{x-1}=t$, 变换得到 $y=2 t^{2}+t+2$, 根据函数的单调性得到函数值域.
题目（高一 · 解析几何）：当 $x \in[1 ， 4]$ 时, 函数 $f(x)=x^{2}-3 x+2$ 的值域为 $(）$
选项：
A. $\lfloor 1,6\rfloor$
B. $\lfloor 0,6\rfloor$
C. $\left[-\frac{1}{4}, 6\right]$
D. $\left[-\frac{5}{4}, 6\right]$
答案：C
解析：由题, $f(x)=x^{2}-3 x+2=\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}$,

因为 $x \in[1,4]$, 则当 $x=\frac{3}{2}$ 时, $f\left(\frac{3}{2}\right)=f(x)_{\text {min }}=-\frac{1}{4}$;

当 $x=4$ 时, $f(4)=f(x)_{\text {max }}=\left(4-\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}=6$;

故答案为: C

【分析】先利用配方法可得 $f(x)=\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{1}{4}$, 则在 $x=\frac{3}{2}$ 与 $x=4$ 时分别能取得最小值与最大值,即可得到值域.
题目（高一 · 解析几何）：函数 $y=-\frac{x^{2}}{|x|}$ 的图象的大致形状是（）
选项：
A.



B.



C.



D.


答案：C
解析：方法一: $y=-\frac{x^{2}}{|x|}=\left\{\begin{array}{l}-x, x>0 \\ x, x<0\end{array}\right.$,

观察选项, C 符合;

方法二: $y=-\frac{x^{2}}{|x|}<0$, 故图像全部在 $x$ 轴下方, 只有 C 符合,

故答案为: C.

【分析】通过分类讨论去绝对值, 得到函数的解析式的分段形式, 再观察图像即可得结果.
题目（高一 · 解析几何）：将函数 $y=2(x+1)^{2}-3$ 的图像向右平移 1 个单位长度, 再向上平移 3 个单位长度, 所得的图像所对应的函数解析式为 ( )
选项：
A. $y=2 x^{2}$
B. $y=2 x^{2}-6$
C. $y=2(x+2)^{2}-6$
D. $y=2(x+2)^{2}$
答案：A
解析：设 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=2(\mathrm{x}+1)^{2}-3$, 得函数 $\mathrm{y}=2(\mathrm{x}+1)^{2}-3$ 的图象向右平移 1 个单位长度,

得到的图象对应函数解析式为: $y=f(x-1)=2[(x+1)-1]^{2}-3=2 x^{2}-3$,

再将所得图象向上平移 3 个单位长度,

得到的图象对应函数表达式为: $y=f(x-1)+3=2 x^{2}-3+3=2 x^{2}$,

即最终得到的图象对应函数解析式为: $y=2 x^{2}$

故答案为: A

【分析】函数 $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 图象向右平移 1 个单位长度, 得到图象对应的解析式为: $\mathrm{y}=\mathrm{f}(\mathrm{x}-1)$, 然后再将所得图象向上平移 3 个单位长度, 得到的图象对应函数表达式为: $y=f(x-1)+3$. 依此规律代入题
中函数解析式。
题目（高一 · 解析几何）：具有性质 $f\left(\frac{1}{x}\right)=-f(x)$ 的函数, 我们称为满足 “倒负” 变换的函数, 给出下列函数:

$f(x)=x-\frac{1}{x}$

(2) $f(x)=x+\frac{1}{x}$

$f(x)=\left\{\begin{array}{c}x, 0<x<1 \\ 0, x=1 \\ -\frac{1}{x}, x>1\end{array}\right.$
选项：
A. (1)(3)
B. (2)(3)
C. (1)(2)(3)
D. (1)(2)
答案：A
解析：对于(1): $f\left(\frac{1}{x}\right)+f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{\frac{1}{x}}+x-\frac{1}{x}=\frac{1}{x}-x+x-\frac{1}{x}=0$, 满足题意;

对于(2): $f\left(\frac{1}{x}\right)+f(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{\frac{1}{x}}+x+\frac{1}{x}=\frac{1}{x}+x+x+\frac{1}{x}=2 x+\frac{2}{x}$, 不满足题意;

$f\left(\frac{1}{x}\right)=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{x}, 0<\frac{1}{x}<1 \\ 0, \frac{1}{x}=1 \\ -x, \frac{1}{x}>1\end{array}=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{x}, & x>1 \\ 0, & x=1 \\ -x, & 0<x<1\end{array}\right.\right.$

故 $f\left(\frac{1}{x}\right)=-f(x)$, 满足题意.

综上可知, 满足“倒负”变换的函数是(1)(3).

故答案为: A.

【分析】对三个函数逐一判断, 对于函数(1)(2)就是判断 $f\left(\frac{1}{x}\right)+f(x)=0$ 是否成立即可, 对于函数(3),

求出. $f\left(\frac{1}{x}\right)$ 的表达式, 进行比较即可判断出来.
题目（高一 · 解析几何）：函数 $y=\frac{4 x}{x^{2}+1}$ 的图象大致为 ( )
选项：
A.



C.



B.



D.


答案：A
解析：由函数的解析式可得: $f(-x)=\frac{-4 x}{x^{2}+1}=-f(x)$,

则函数 $f(x)$ 为奇函数, 其图象关于坐标原点对称, $\mathrm{CD}$ 不符合题意;

当 $x=1$ 时, $y=\frac{4}{1+1}=2>0, \mathrm{~B}$ 不符合题意.
故答案为: A.

【分析】由题意首先确定函数的奇偶性, 然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.
题目（高一 · 解析几何）：三条两两相交的直线最多可确定的平面的个数为( )
选项：
A. 1
B. 2
C. 3
D. 无数
答案：C
解析：在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定 3 个平面，如图所示:



$P A ， P B ， P C$ 相交于一点 $P$ ，则 $P A ， P B ， P C$ 不共面，则 $P A ， P B$ 确定一个平面 $P A B ， P B$ ， $P C$ 确定一个平面 $P B C ， P A ， P C$ 确定一个平面 $P A C$.故选 C.
题目（高一 · 解析几何）：若 $0<\mathrm{a}<1, \mathrm{~b}>0$ 则函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a}^{\mathrm{x}}+\mathrm{b}$ 的图象一定经过 ( )
选项：
A. 第一、二象限
.B. 第二、四象限
c. 第一、二、四象限
。D. 第二、三、四象限
答案：A
解析：因为 $0<\mathrm{a}<1$, 则函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a}^{\mathrm{x}}$ 单调递减, 过一、二象限,

又因为 $\mathrm{b}>0$, 把图像向上平移, 即函数图象一定过第二象限,

故选 A.

【分析】利用指数函数的图象与性质, 得到当 $0<\mathrm{a}<1$, 函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\mathrm{a}^{\mathrm{x}}$ 单调递减且过一、二象限, 再把图象向上平移即可得结果.
题目（高一 · 解析几何）：函数 $y=a^{x-2}+4(a>0$ 且 $a \neq 1)$ 的图象必经过点（）
选项：
A. $(0,1)$
B. $(1,1)$
C. $(2,4)$
D. $(2,5)$
答案：D
解析：当 $x=2$ 时, $y=5$, 故函数图像必经过点 $(2,5)$.

故答案为: $\mathrm{D}$.

【分析】根据指数 $a^{0}=1$ 直接计算得到定点.
题目（高一 · 解析几何）：函数 $f(x)=a^{x}$ 与 $g(x)=-x+2$ 在同一坐标系中的图象可能是 $(\quad)$
选项：
A.



C.


B.



D.


答案：A
解析：由函数 $g(x)=-x+2$ 易知 C、D 选项不正确,

对于 A、B 选项可知函数 $f(x)=a^{x}$ 为 $a>1$ 时的图象,

但函数 $f(x)=a^{x}$ 的图象过 $(0,1)$ 点,

而函数 $g(x)=-x+2$ 的图象过 $(0,2)$ 点,
所以 $\mathrm{B}$ 选项不正确, $\mathrm{A}$ 选项正确.

故答案为: A.

【分析】先根据 $g(x)=-x+2$ 的图象排除选项, 再利用函数 $f(x)=a^{x}$ 的图象排除剩余选项即可.
题目（高一 · 解析几何）：函数 $f(x)=\frac{\sqrt{-x^{2}-3 x+4}}{\lg (x+1)}$ 的定义域为 $(\quad)$
选项：
A. $(-1,0) \cup(0,1]$
B. $(-1,1]$
C. $(-4,1]$
D. $(-4,0) \cup(0,1]$
答案：A
解析：要使函数有意义, 则 $\left\{\begin{array}{l}-x^{2}-3 x+4 \geq 0 \\ x+1>0 \\ x+1 \neq 1\end{array}\right.$,

解得 $-1<x \leq 1$ 且 $x \neq 0$,

所以函数定义域为 $(-1,0) \cup(0,1]$.

故答案为: A

【分析】根据函数解析式, 写出自变量满足的条件, 即可求解.
题目（高一 · 解析几何）：函数 $y=\log _{a}(x+2)+1_{\text {的图象过定点 }(\text { ) }}$
选项：
A. $(1,2)$
B. $(2,1)$
C. $(-2,1)$
D. $(-1,1)$
答案：D
解析：因为函数 $y=\log _{a} x(a>0, a \neq 1)$ 必过点 $(1,0)$,

所以当 $x+2=1$, 即 $x=-1$ 时, 有 $y=0+1=1$,

所以函数 $y=\log _{a}(x+2)+1_{\text {必过点 }}(-1,1)$.

故答案为: D

【分析】根据对数函数 $y=\log _{a} x(a>0, a \neq 1)$ 必过点 $(1,0)$, 即可确定相应函数图象所过定点坐标.
题目（高一 · 解析几何）：若幂函数 $f(x)$ 的图象过点 $(16,8)$, 则 $f(x)<f\left(x^{2}\right)$ 的解集为 $(\quad)$
选项：
A. $(-\infty, 0) \cup(1,+\infty)$
B. $(0,1)$
C. $(-\infty, 0)$
D. $(1,+\infty)$
答案：D
解析：设幂函数的解析式是 $f(x)=x^{\alpha}$,

将点 (16, 8) 代入解析式得 $16^{\alpha}=8$, 解得 $\alpha=\frac{3}{4}>0$,

又函数 $f(x)$ 在定义域是 $[0,+\infty)$,

且 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 递增, 故 $0 \leq x<x^{2}$, 解得 $x>1$.

故答案为: $\mathrm{D}$.

【分析】先根据幂函数 $f(x)$ 的图象过点 $(16,8)$ 求出 $\alpha=\frac{3}{4}>0$, 再根据幂函数的单调性得到 $0<x<x^{2}$,解不等式即得不等式的解集.
题目（高一 · 解析几何）：下列命题中:

(1)幂函数的图象都经过点 $(1,1)$ 和点 $(0,0)$; (2)幂函数的图象不可能在第四象限; (3)当 $\mathrm{n}=0$ 时,幂函数 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{\mathrm{n}}$ 的图象是一条直线; (4)当 $\mathrm{n}>0$ 时, 幂函数 $\mathrm{y}=\mathrm{x}^{\mathrm{n}}$ 是增函数; (5)当 $\mathrm{n}<0$ 时, 幂函数在第一象限内的函数值随 $\mathrm{x}$ 的值增大而减小。其中正确的是（）
选项：
A. (1)和(4)
B. (4)和(5)
C. (2)和(3)
D. (2)和(5)
答案：D
解析：当 $y=x^{-1}$ 时, 不过 $(0,0)$ 点, (1)错误;

当 $x>0$ 时, $y>0$, 故幂函数的图象不可能在第四象限内, 故(2)对;

当 $n=0$ 时, $y=x^{n}$ 中 $x \neq 0$, 故其图象是去掉 $(0,0)$ 点的一条直线, (3)错;

$y=x^{2}$ 在 $(-\infty, 0)$ 上是减函数, $(0,+\infty)$ 上是增函数, (4)错;

幂函数 $y=x^{n}$, 当 $\mathrm{n}<0$ 时, 在第一象限内函数值随 $x$ 值的增大而减小, (5)对.

故答案为: D

【分析】利用幕函数的图象特征结合幕函数的单调性, 从而找出正确命题的序号。
题目（高一 · 解析几何）：已知幂函数 $f(x)=\left(m^{2}-2 m+1\right) x^{m 2}+m-2$ 的图象不过原点, 则 $m$ 的值为 ( )
选项：
A. 0
B. -1
C. 2
D. 0 或 2
答案：A
解析：$\because$ 函数是幂函数,
$\therefore m^{2}-2 m+1=1$, 解得: $m=2$ 或 $m=0$,

当 $m=2$ 时, $f(x)=x^{4}$, 过原点, 不满足条件;

当 $m=0$ 时, $f(x)=x^{-2}$, 不过原点, 满足条件,

$\therefore m=0$.

故答案为: A.

【分析】根据函数是幂函数可知 $m^{2}-2 m+1=1$, 得出: $m=2$ 或 $m=0$, 然后验证, 得到 $m$ 的值.
题目（高一 · 解析几何）：已知幂函数 $f(x)=x^{n}$ 的图象过点 $\left(8, \frac{1}{4}\right)$, 且 $f(a+1)<f(3)$, 则 $\mathrm{a}$ 的取值范围是
选项：
A. $(-4,2)$
B. $(-\infty,-4) \cup(2,+\infty)$
C. $(-\infty,-4)$
D. $(2,+\infty)$
答案：B
解析：已知幂函数 $f(x)=x^{n}$ 的图象过点 $\left(8, \frac{1}{4}\right)$,

则 $8^{n}=\frac{1}{4}$, 则 $n=\log _{8} \frac{1}{4}=-\frac{2}{3}$,

故幂函数 $f(x)$ 的解析式为 $f(x)=x-\frac{2}{3}$, 若 $f(a+1)<f(3)$,

则 $|a+1|>3$, 解得 $a<-4$ 或 $a>2$.

故答案为: B.

【分析】求出幂函数解析式, 根据函数单调性求解不等式.
题目（高一 · 解析几何）：已知幂函数 $y=f(x)$ 的图象过点 $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, 则 $\log _{4} f(2)$ 的值为 ( )
选项：
A. $-\frac{1}{4}$
B. $\frac{1}{4}$
C. -2
D. 2
答案：B
解析：设幕函数的表达式为 $f(x)=x^{n}$, 则 $\left(\frac{1}{2}\right)^{n}=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 解得 $n=\frac{1}{2}$,

所以 $f(x)=x^{\frac{1}{2}}$, 则 $\log _{4} f(2)=\log _{4} 2^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2} \log _{2} 2^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$.

故答案为: B,

【分析】利用幕函数图象过点 $\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 可以求出函数解析式, 然后求出 $\log _{4} f(2)$ 即可。
题目（高一 · 解析几何）：（2020 秋・齐齐哈尔期末）在区间 $[-1,2]$ 上任取一个实数 $k$, 则直线 $y=k(x-\sqrt{5})$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=1$相交的概率为（）
选项：
A. $\frac{3}{4}$
   B. $\frac{1}{3}$
   C. $\frac{2}{3}$
   D. $\frac{1}{2}$
答案：B
解析：解：圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 的圆心为 $(0,0)$,

圆心到直线 $y=k(x-\sqrt{5})$ 的距离为 $\frac{|\sqrt{5} k|}{\sqrt{k^{2}+1^{2}}}$,

要使直线 $y=k(x-\sqrt{5})$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 相交, 则 $\frac{|\sqrt{5} k|}{\sqrt{k^{2}+1^{2}}}<1$, 解得 $-\frac{1}{2}<k \quad<\frac{1}{2}$.
$\therefore$ 在区间 $[-1,2]$ 上随机取一个数 $k$, 使 $y=k(x-\sqrt{5})$ 与圆 $x^{2}+y^{2}=1$ 相交的概率为 $\frac{\frac{1}{2}-\left(-\frac{1}{2}\right)}{2-(-1)}=\frac{1}{3}$.故选: B.
题目（高一 · 解析几何）：（2018 春-福州期中）定义：如果一条直线同时与 $n$ 个圆相切, 则称这条直线为这 $n$ 个圆的公切线. 已知有 2018 个圆 $\mathrm{C}_{\mathrm{n}}$ : $\left(x-a_{n}\right)^{2}+\left(y-b_{n}\right)^{2}=r_{n}^{2}(n=1,2,3, \cdots, 2018)$, 其中 $a_{n}, b_{n}$, $r_{n}$ 的值由以下程序给出, 则这 2018 个圆的公切线条数


选项：
A. 没有公切线
B. 只有一条
C. 恰好有两条
D. 有超过两条
答案：C
解析：解: 由程序语言知, 圆心坐标 $(m n, 2 m n)$ 在直线 $y=2 x$ 上, 圆的半径为 $|m| n$,
$\therefore$ 相邻两圆半径之差为 $|m|$, 相邻两圆圆心距均为

$d=\sqrt{[m(n+1)-m n]^{2}+[2 m(n+1)-2 m n]^{2}}=\sqrt{5}|m|$,

$\therefore$ 这 2018 个圆的公切线恰好有两条，是外公切线;

故选: $C$.
题目（高一 · 解析几何）：函数 $y=2^{x}-x^{2}$ 的图象大致是 ()
选项：
A.


B.


C.


D.


答案：A
解析：

因为 2、 4 是函数的零点, 所以排除 B、C;

因为 $x=-1$ 时 $y<0$, 所以排除 $\mathrm{D}$, 故选 $\mathrm{A}$
题目（高一 · 解析几何）：函数 $y=x^{-2}$ 在区间 $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ 上的最小值是 ( )
选项：
A. $\frac{1}{4}$
B. $-\frac{1}{4}$
C. 4
D. -4
答案：A
解析：【详解】

$\because$ 函数 $y=x^{-2}$ 在区间 $\left[\frac{1}{2}, 2\right]$ 上是减函数,

$\therefore y_{\text {min }}=2^{-2}=\frac{1}{4}$,

故选: A.

【点睛】

此题考查由函数的单调性求最值, 属于基础题
题目（高一 · 解析几何）：已知点 $\left(2, \frac{1}{4}\right)$ 在幂函数 $y=f(x)$ 的图象上, 设 $a=f\left(\log _{0.5} 0.3\right), b=f\left(0.5^{0.3}\right), c=f\left(0.3^{0.5}\right)$, 则 $a, b, c$ 的大小关系是 ( )
选项：
A. $b<c<a$
B. $c<b<a$
C. $a<c<b$
D. $a<b<c$
答案：D
解析：【详解】

设幂函数 $y=f(x)$ 为 $f(x)=x^{\alpha}$, 因为点 $\left(2, \frac{1}{4}\right)$ 在幂函数 $y=f(x)$ 的图象上, 所以 $\frac{1}{4}=2^{\alpha}$, 解得 $\alpha=-2$,
所以 $f(x)=x^{-2}$, 且函数 $f(x)=x^{-2}$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减,

又 $\log _{0.5} 0.3>1,0<0.5^{0.3}<1,0<0.3^{0.5}<1$, 且 $0.0 .3^{0.5}<0.3^{0.3}<0.5^{0.3}$,

所以 $0.3^{0.5}<0.5^{0.3}<\log _{0.5} 0.3$, 所以 $a<b<c$,

故选: D.

【点睛】

本题考查指数式, 对数式比较大小, 并且根据函数的单调性比较函数值的大小关系, 属于中档题.
题目（高一 · 解析几何）：已知函数 $f(x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数, 且 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=2$ 对称, 当 $0<x<2$ 时, $f(x)=2^{x+2}-x$, 则 $f(5)=(\quad)$
选项：
A. 3
B. -3
C. 7
D. -7
答案：D
解析：【详解】

由题意可得 $f(x+2)=f(-x+2)$,

所以 $f(5)=f(3+2)=f(-3+2)=f(-1)=-f(1)=-\left(2^{3}-1\right)=-7$.

故选: D.

【点睛】

本题考查函数的性质, 考查运算求解能力与推理论证能力.
题目（高一 · 解析几何）：二次函数 $y=x^{2}-4 x+3$ 在区间 $(1,4]$ 上的值域是（）
选项：
A. $[-1,+\infty)$
B. $(0,3]$
C. $[-1,3]$
D. $(-1,3]$
答案：C
解析：【详解】

由于 $y=(x-2)^{2}-1$, 函数的对称轴为 $x=2$, 开口向上, 所以当 $x=2$ 时函数有最小值为 -1 , 当 $x=4$
时, 函数有最大值为 3 , 所以函数在区间 $(1,4]$ 上的值域为 $[-1,3]$.

故选: C

【点睛】

本小题主要考查二次函数在给定区间上的值域的求法, 属于基础题.
题目（高一 · 解析几何）：设 $f(x)=3^{x}+3 x-8$, 用二分法求方程 $3^{x}+3 x-8=0$ 在 $x \in(1,2)$ 内近似解的过程中得 $f(1)<0$, $f(1.5)>0, f(1.25)<0$, 则方程的根落在区间 ( )
选项：
A. $(1,1.25)$
B. $(1.25,1.5)$
C. $(1.5,2)$
D. 不能确定
答案：B
解析：$\because f(x)=3^{x}+3 x-8$

又 $\because f(1.5)>0, f(1.25)<0$

$\therefore \quad f(1.5) \cdot f(1.25)<0$

由零点存在定理可得 $f(x)$ 在区间 $(1.25,1.5)$ 存在零点.

$\therefore 3^{x}+3 x-8=0$ 方程的根落在区间 $(1.25,1.5)$

故选: $B$.
题目（高一 · 解析几何）：若函数 $f(x)=\ln x-\frac{1}{x}+a$ 在区间 $(1, e)$ 上存在零点, 则常数 $a$ 的取值范围为 $(\quad)$
选项：
A. $0<a<1$
B. $\frac{1}{e}<a<1$
C. $\frac{1}{e}-1<a<1$
D. $\frac{1}{e}+1<a<1$
答案：C
解析：函数 $f(x)=\ln x-\frac{1}{x}+a$ 在区间 $(1, e)$ 上为增函数,

$\because f(1)=\ln 1-1+a<0, \quad f(e)=\ln e-\frac{1}{e}+a>0$,

可得 $\frac{1}{e}-1<a<1$

故选: C.
【分析】函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ 在定义域内单调递增, 由零点存在性定理可知 $f(1)<0, f(e)>0$, 解不等式即可求得 $\mathrm{a}$ 的取值范围.
题目（高一 · 解析几何）：已知定义在 $R$ 上的函数 $f(x)$ 的图像是连续的, 且有如下对应值表, 那么 $f(x)$ 一定存在零点的区间是 ( )

| $x$ | 1 | 2 | 3 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| $f(x)$ | 5.1 | 4.2 | -3.3 |
选项：
A. $(-\infty, 1)$
B. $(1,2)$
C. $(2,3)$
D. $(3,+\infty)$
答案：C
解析：因为 $f(1)=5.1>0, f(2)=4.2>0, f(3)=-3.3<0$,

所以 $f(2) \cdot f(3)<0$,

又函数 $f(x)$ 在 $R$ 上连续, 由函数零点存在定理, 可得: $f(x)$ 在区间 $(2,3)$ 上必有零点.

故答案为: C

【分析】根据函数零点存在定理, 结合题中数据, 即可得出结果.
题目（高一 · 解析几何）：已知集合 $M=\{(x, y) \mid x+y \leq 1, x \in \boldsymbol{Z}, y \in \mathbf{Z}\}, N=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 2\right\}$, 则集合 $M \cap N$ 中元素的个数是 ( )
选项：
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
答案：C
解析：【分析】

先由 $N$ 中的不等式求得 $x, y$ 的取值范围, 再列举出其中的整点, 然后检验是否满足 $M$ 中的不等式, 即得到交集中的元素个数.

## 【详解】

由 $x^{2}+y^{2} \leq 2$ 可得, $x^{2} \leq 2, y^{2} \leq 2$, 即 $|x| \leq \sqrt{2},|y| \leq \sqrt{2}$,

$N$ 中的满足 $x \in Z, y \in Z$ 的整点有:

$(0,0),(0,1),(0,-1),(-1,0),(1,0),(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1)$, 共 9 个点,

其中只有 $(1,1)$ 这一个点不满足 $x+y \leq 1$,

故 $M \cap N$ 中的元素个数为 8 个,

故选: C.

## 【点睛】

本题考查集合的交集，关键是寻找 $M$ 中同时符合 $N$ 中的条件的元素.
题目（高一 · 解析几何）：已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\log _{2}(1-x), & x \leq 0 \\ -x^{2}+4 x, & x>0,\end{array}\right.$ 则函数 $g(x)=f\lfloor f(x)\rfloor-1$ 的零点个数为 $(\quad)$
选项：
A. 4
B. 7
C. 8
D. 9
答案：B
解析：令 $f(x)=t$, 则可得 $f(t)=1$,

当 $t \leq 0$ 时, 即可得 $\log _{2}(1-t)=1$, 解得 $t=-1$;

当 $t>0$ 时, 即可得 $-t^{2}+4 t=1$, 解得 $t=2^{ \pm} \sqrt{3}$.

则 $f(x)=-1$, 或 $f(x)=2+\sqrt{3}$, 或 $f(x)=2-\sqrt{3}$

当 $x \leq 0$ 时,

令 $\log _{2}(1-x)=-1$, 解得 $x=\frac{1}{2}$, 不满足题意;
令 $\log _{2}(1-x)=2+\sqrt{3}$, 解得 $x=1-2^{2+\sqrt{3}} \leq 0$, 满足题意;

令 $\log _{2}(1-x)=2-\sqrt{3}$, 解得 $x=1-2^{2-\sqrt{3}} \leq 0$, 满足题意.

当 $x>0$ 时,

令 $-x^{2}+4 x=-1$, 解得 $x=2+\sqrt{5}$ 或 $x=2-\sqrt{5}$ (舍);

令 $-x^{2}+4 x=2+\sqrt{3}$, 整理得 $x^{2}-4 x+2+\sqrt{3}=0$,

解得 $x=2+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$ 或 $x=2-\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$ 满足题意;

令 $-x^{2}+4 x=2-\sqrt{3}$, 整理得 $x=2+\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$ 或 $x=2-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$ 满足题意.

综上所述, 函数零点有 $1-2^{2+\sqrt{3}}, 1-2^{2-\sqrt{3}}, 2+\sqrt{5}, 2 \pm \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}, 2 \pm \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$

共计7个.

故答案为: B

【分析】令 $f(x)=t$, 求得 $f(t)=1$ 的根, 再求 $f(x)=t$ 的根, 则问题得解.
题目（高一 · 解析几何）：已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $R$, 图象恒过 $(0,1)$ 点, 对任意 $x_{1}, x_{2} \in R$ 当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时, 都有 $\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}>1$,则不等式 $f\left[\ln \left(e^{x}-1\right)\right]<1+\ln \left(e^{x}-1\right)$ 的解集为 ( )
选项：
A. $(\ln 2,+\infty)$
B. $(-\infty, \ln 2)$
C. $(\ln 2,1)$
D. $(0, \ln 2)$
答案：D
解析：因为 $\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}>1$, 不妨设 $x_{1}>x_{2}$, 则 $f\left(x_{1}\right)-x_{1}>f\left(x_{2}\right)-x_{2}$,
令 $g(x)=f(x)-x$, 在 $\mathrm{R}$ 上递增,

又 $f(0)=1$, 所以不等式 $f\left[\ln \left(e^{x}-1\right)\right]<1+\ln \left(e^{x}-1\right)$,

即为 $f\left[\ln \left(e^{x}-1\right)\right]-\ln \left(e^{x}-1\right)<1=f(0)-0$, 即 $g\left[\ln \left(e^{x}-1\right)\right]<g(0)$, 所以 $\ln \left(e^{x}-1\right)<0$,

则 $0<e^{x}-1<1$, 解得 $0<x<\ln 2$, 故选 D.
题目（高一 · 解析几何）：给出下列程序:

INPUT “实数” ; $x_{1}, y_{1}, x_{2}, y_{2}$
$\mathrm{a}=x_{1}-x_{2}$
$\mathrm{~m}=a^{2}$
$\mathrm{~b}=y_{1}-y_{2}$
$\mathrm{n}=\mathrm{b}^{2}$
$\mathrm{~s}=\mathrm{m}+\mathrm{n}$
$\mathrm{d}=\mathrm{SQR}(\mathrm{s})$

PRINT d END

此程序的功能为
选项：
A. 求点到直线的距离

B. 求两点之间的距离

C. 求一个多项式的值

D. 求输入的值的平方和
答案：B
解析：输入的四个实数可作为两个点的坐标, 程序中的 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 分别表示两个点的横、纵坐标之差, 而 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 分别表示两个点的横、纵坐标之差的平方, $\mathrm{s}$ 是横、纵坐标之差的平方和, $\mathrm{d}$ 是平方和的算术平方根, 即两点之间的距离, 最后输出此距离。

答案: B
题目（高一 · 解析几何）：给出下列程序:

INPUT “实数” ; $\mathrm{x} 1, \mathrm{y} 1, \mathrm{x} 2, \mathrm{y} 2$
$\mathrm{a}=\mathrm{x} 1-\mathrm{x} 2$
$\mathrm{~m}=\mathrm{a}^{\wedge} 2$
$\mathrm{~b}=\mathrm{y} 1-\mathrm{y} 2$
$\mathrm{n}=\mathrm{b}^{\wedge} 2$
$\mathrm{~s}=\mathrm{m}+\mathrm{n} \mathrm{d}=\mathrm{SQR}(\mathrm{s})$
PRINT d
END

此程序的功能为
选项：
A. 求点到直线的距离

B. 求两点之间的距离

C. 求一个多项式的值

D. 求输入的值的平方和
答案：B
解析：输入的四个实数可作为两个点的坐标, 程序中的 a, 6 分别表示两个点的横、纵坐标之差, 而 $\mathrm{m}, \mathrm{n}$ 分别表示两个点的横、纵坐标之差的平方, $\mathrm{s}$ 是横、纵坐标之差的平方和, $\mathrm{d}$ 是平方和的算术平方根, 即两点之间的距离, 最后输出此距离.

答案: B
题目（高一 · 组合几何学）：若集合 $M=\{a, b, c\}$ 中的元素是 $\triangle A B C$ 的三边长, 则 $\triangle A B C$ 一定不是 ( )
选项：
A. 锐角三角形
B. 直角三角形
C. 针角三角形
D. 等腰三角形
答案：D
解析：根据集合元素的互异性，

在集合 $\mathrm{M}=\{\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}\}$ 中，必有 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b} 、 \mathrm{c}$ 互不相等,

故 $\triangle \mathrm{ABC}$ 一定不是等腰三角形;

选 D.

【分析】根据集合元素的互异性, 在集合 $\mathrm{M}=\{\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}\}$ 中, 必有 $\mathrm{a} 、 \mathrm{~b} 、 \mathrm{c}$ 互不相等, 则 $\triangle \mathrm{ABC}$ 不会是等腰三角形. .
题目（高一 · 组合几何学）：图中阴影表示的集合是（ ）.


选项：
A. $(P \cup Q) \cap C_{U} S$
B. $(P \cap Q) \cup C_{U} S$
C. $(P \cap Q) \cap C_{U} S$
D. $(P \cup Q) \cup C_{U} S$
答案：C
解析：图中阴影是集合 $P, Q$ 的公共部分，但不包含集合 $S$ 中的元素,

$\therefore$ 阴影部分表示为 $(P \cap Q) \cap C_{U} S$.

故答案为:

【分析】根据图中阴影部分直接求集合的运算.
题目（高一 · 度量几何学）：用 $\mathrm{d}(\mathrm{A})$ 表示集合 $\mathrm{A}$ 中的元素个数, 若集合 $\mathrm{A}=\{0,1\}, B=\left\{x \mid\left(x^{2}-a x\right) \quad\left(x^{2}-a x+1\right)=0\right\}$, 且 $\mid d(A)$ $-d （ B ） \mid=1$. 设实数 $\mathrm{a}$ 的所有可能取值构成集合 $\mathrm{M}$ ，则 $\mathrm{d}(\mathrm{M})=(\mathrm{)}$
选项：
A. 3
B. 2
C. 1
D. 4
答案：A
解析：由题意, $|\mathrm{d}(\mathrm{A})-\mathrm{d}(\mathrm{B})|=1, \mathrm{~d}(\mathrm{~A})=2$, 可得 $\mathrm{d}(\mathrm{B})$ 的值为 1 或 3

若 $d(B)=1$, 则 $x^{2}-a x=0$ 仅有一根, 必为 0 , 此时 $a=0$, 则 $x^{2}-a x+1=x^{2}+1=0$ 无根, 符合题意

若 $d(B)=3$, 则 $x^{2}-a x=0$ 有一根, 必为 0 , 此时 $a=0$, 则 $x^{2}-a x+1=x^{2}+1=0$ 无根, 不合题意

故 $\mathrm{x}^{2}-\mathrm{ax}=0$ 有二根, 一根是 0 , 另一根是 $\mathrm{a}$, 所以 $\mathrm{x}^{2}-\mathrm{ax}+1=0$ 必仅有一根,

所以 $\triangle=a^{2}-4=0$, 解得 $\mathrm{a}= \pm 2$, 此时 $\mathrm{x}^{2}-\mathrm{ax}+1=0$ 为 1 或 -1 , 符合题意,

综上实数 $\mathrm{a}$ 的所有可能取值构成集合 $\mathrm{M}=\{0,-2,2\}, \mathrm{D}(\mathrm{M})=3$.

故答案为: A.

【分析】先由已知可得元素个数 $\mathrm{d}$ (B) 的值为 1 或 3 , 再分别判断是否符合题意, 即可求出集合 M 得结果.
题目（高一 · 度量几何学）：设 $x \in R$, 定义符号函数 $\operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{l}1, x>0 \\ 0, x=0 \\ -1, x<0\end{array}\right.$, 则函数 $f(x)=|x| \operatorname{sgn} x$ 的图象大致是 ( )
选项：
A.



C.



.B.



D.


答案：C
解析：函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=|\mathrm{x}| \operatorname{sgn} \mathrm{x}=\left\{\begin{array}{l}x, x>0 \\ 0, x=0 \\ x, x<0=\mathrm{x},\end{array}\right.$

故函数 $\mathrm{f}(\mathrm{x})=|\mathrm{x}| \operatorname{sgn} \mathrm{x}$ 的图象为 $\mathrm{y}=\mathrm{x}$ 所在的直线。

故答案为: C。

【分析】利用符号函数的定义结合分段函数图象的画法找出函数 $f(x)=|x| \operatorname{sgn} x$ 的大致图象。
题目（高一 · 度量几何学）：已知在空间四边形 $A B C D$ 中, $M, N$ 分别是 $A B, C D$ 的中点, 且 $A C=4, B D=6$, 则 ( )
选项：
A. $1<M N<5$
B. $2<M N<10$
C. $1 \leqslant M N \leqslant 5$
D. $2<M N<5$
答案：A
解析：取 $A D$ 的中点 $H$ ，连接 $M H, N H$ ，则 $M H / / B D$ ，且 $M H=\frac{1}{2} B D ， N H / / A C$ ，且 $N H=\frac{1}{2}$ $A C$ ，且 $M, N ， H$ 三点构成三角形，由三角形中三边关系，可得 $M H-N H<M N<M H+N H$ ，即 $1<M N<5$.
题目（高一 · 度量几何学）：下列四个说法中正确的是( )
选项：
平面 $\alpha$ 内有无数个点到平面 $\beta$ 的距离相等, 则 $\alpha / / \beta$

B. $\alpha \cap \gamma=a, \alpha \cap \beta=b$, 且 $a / / b(\alpha, \beta, \gamma$ 分别表示平面, $a, b$ 表示直线), 则 $\gamma / / \beta$

C. 平面 $\alpha$ 内一个三角形三边分别平行于平面 $\beta$ 内的一个三角形的三条边, 则 $\alpha / / \beta$

D. 平面 $\alpha$ 内的一个平行四边形的两边与平面 $\beta$ 内的一个平行四边形的两边对应平行, 则 $\alpha / / \beta$
答案：C
解析：由面面平行的判定定理知 C 正确.
题目（高一 · 度量几何学）：下列不能确定两个平面垂直的是( )
选项：
A. 两个平面相交, 所成二面角是直二面角

B. 一个平面垂直于另一个平面内的一条直线

C. 一个平面经过另一个平面的一条垂线

D. 平面 $\alpha$ 内的直线 $a$ 垂直于平面 $\beta$ 内的直线 $b$
答案：D
解析：如图所示，在正方体 $A B C D-A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，平面 $A_{1} B_{1} C D$ 内的直线 $A_{1} B_{1}$ 垂直于平面 $A B C D$ 内的一条直线 $B C$ ，但平面 $A_{1} B_{1} C D$ 与平面 $A B C D$ 显然不垂直.
题目（高一 · 度量几何学）：（2020 春・荔湾区期末）七巧板是中国古代劳动人民的发明，在 18 世纪，七巧板流传到了国外，被誉为 “东方魔板” , 至今英国剑桥大学的图书馆里还珍藏着一部《七巧新谱》. 完整图案为一正方形（如图）五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形, 如果向此正方形内部随机撒 800 个点, 则估计落在阴影部分的点的个数约为（）


选项：
A. 250
B. 300
C. 350
D. 400
答案：C
解析：解: 根据题意, 设大正方形的边长为 4 , 则面积 $S=4 \times 4=16$,

阴影部分的面积 $S^{\prime}=\frac{1}{2} S-\left(\frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \sqrt{2}\right)=7$,则在此正方形中随机取一点, 那么此点取自阴影部分的概率 $P=\frac{7}{16}$,如果向此正方形内部随机撒 800 个点, 则估计落在阴影部分的点的个数约 $800 \times \frac{7}{16}=350$,故选: C.
题目（高一 · 度量几何学）：(2021$\cdot$二模拟) 某人向直角边长分别为 6 和 8 的一个直角三角形中投郑一个点, 求此点落在此直角三角形内切圆的内部的概率是（ ）
选项：
A. $\frac{\pi}{2}$
   B. $\frac{\pi}{4}$
   C. $\frac{\pi}{6}$
   D. $\frac{\pi}{8}$
答案：C
解析：解：由勾股定理可得斜边长为 $\sqrt{6^{2}+8^{2}}=10$,

设其内切圆的半径为 $r$,

则由等面积法, 可得 $\frac{1}{2}(8+6+10) r=\frac{1}{2} \times 8 \times 6$, 则 $r=2$.

$\because S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} \times 8 \times 6=24, S_{\text {圆 }}=\pi \times 2^{2}=4 \pi$.

$\therefore$ 往该直角三角形中随机投郑一个点, 则该点落在此三角形内切圆内的概率为 $\frac{4 \pi}{24}=\frac{\pi}{6}$.故选: $C$.
题目（高一 · 度量几何学）：(2021$\cdot$十一模拟) 某游乐场制作了如图所示的游戏盘, 其中 $\triangle A B C$ 为等腰三角形, $A=\frac{2 \pi}{3}, O$ 为 $B C$ 的中点, 分别以 $A, O$ 为圆心, $A B, B O$ 为半径画弧, 交于另一点 $C$. 向游戏盘内投飞镖（不考虑投不中的情况），则飞镖落入阴影部分的概率为


选项：
$\frac{5 \pi+6 \sqrt{3}}{6(\pi+\sqrt{3})}$
B. $\frac{8 \pi+6 \sqrt{3}}{9 \pi+6 \sqrt{3}}$
C. $\frac{3 \sqrt{3}+\pi}{6(\pi+\sqrt{3})}$
D. $\frac{\pi+6 \sqrt{3}}{9 \pi+6 \sqrt{3}}$
答案：D
解析：设 $A B=2$, 则 $B O=\sqrt{3}, S_{\text {雇形 } A C B}=\frac{1}{3} \times \pi \times 2^{2}=\frac{4 \pi}{3}$,以 $B C$ 为直径的半圆的面积 $S=\frac{1}{2} \pi(\sqrt{3})^{2}=\frac{3 \pi}{2}$, $S_{\triangle A B C}=\frac{1}{2} \times 2 \sqrt{3} \times 1=\sqrt{3}$,故阴影部分的面积为 $\frac{3 \pi}{2}+\sqrt{3}-\frac{4 \pi}{3}=\frac{\pi}{6}+\sqrt{3}$,故所求概率 $P=\frac{\frac{\pi}{6}+\sqrt{3}}{\frac{3 \pi}{2}+\sqrt{3}}=\frac{\pi+6 \sqrt{3}}{9 \pi+6 \sqrt{3}}$,

故选: D.