eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（九年级 · 解析几何）：(本题12分)如图所示,有一边长为$5{~cm}$的正方形$ABCD$和等腰$trianglePQR,PQ=PR=5{~cm},QR=8{~cm}$,点$B、C、Q、R$在同一条直线$l$上,从$C、Q$两点重合时,等腰三角形$PQR$以$1{~cm}/{s}$的速度沿直线$l$按箭头所示方向开始匀速运动,$t{~s}$后正方形$ABCD$与等腰三角形$PQR$重合部分的面积为$S{~cm}^{2}$.解答下列问题:(1)当$t=3$时，求$S$的值;(2)当$t=5$时，求$S$的值;（3）当$5<t<8$时,求$S$与$t$之间的函数关系式,并求出$S$的最大值.
选项：
答案：解:(1)作$PEperpQR,E$为垂足,如图所示.<ImageHere>$becausePQ=PR$,$thereforeQE=RE=frac{1}{2}QR=4$.$thereforePE=sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$.当$t=3$时,$QC=3$,设$PQ$与$DC$交于点$G$.$becausePE//DC$$thereforetriangleQCGbacksimtriangleQEP$.$thereforefrac{S}{S_{triangleQEP}}=left(frac{3}{4}right)^{2}$$becauseS_{triangleQEP}=frac{1}{2}times4times3=6$,$thereforeS=left(frac{3}{4}right)^{2}times6=frac{27}{8}left({~cm}^{2}right)$.(2)当$t=5$时,$CR=3$,点$B$与点$Q$重合,设$PR$与$DC$交于点$G$,如图所示.<ImageHere>由$triangleRCGbacksimtriangleREP$得$S_{triangleRCG}=frac{27}{8}$.$thereforeS=S_{trianglePQR}-S_{triangleRCG}=12-frac{27}{8}=frac{69}{8}left({~cm}^{2}right)$.(3)当$5<t<8$时,$QB=t-5,RC=8-t$,如图所示.<ImageHere>设$PQ$交$AB$于点$H$.由$triangleQBHsimtriangleQEP$得$S_{triangleQBH}=frac{3}{8}(t-5)^{2}$.由$triangleRCGsimtriangleREP$得$S_{triangleRCG}=frac{3}{8}(8-t)^{2}$,$thereforeS=12-frac{3}{8}(t-5)^{2}-frac{3}{8}(8-t)^{2}$,即$S=-frac{3}{4}t^{2}+frac{39}{4}t-frac{171}{8}$.$thereforeS=-frac{3}{4}left(t-frac{13}{2}right)^{2}+frac{165}{16}$.$thereforeS_{text{最大值}}=frac{165}{16}{~cm}^{2}$.
解析：解:(1)作$PEperpQR,E$为垂足,如图所示.$becausePQ=PR$,$thereforeQE=RE=frac{1}{2}QR=4$.$thereforePE=sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$.当$t=3$时,$QC=3$,设$PQ$与$DC$交于点$G$.$becausePE//DC$$thereforetriangleQCGbacksimtriangleQEP$.$thereforefrac{S}{S_{triangleQEP}}=left(frac{3}{4}right)^{2}$$becauseS_{triangleQEP}=frac{1}{2}times4times3=6$,$thereforeS=left(frac{3}{4}right)^{2}times6=frac{27}{8}left({~cm}^{2}right)$.(2)当$t=5$时,$CR=3$,点$B$与点$Q$重合,设$PR$与$DC$交于点$G$,如图所示.由$triangleRCGbacksimtriangleREP$得$S_{triangleRCG}=frac{27}{8}$.$thereforeS=S_{trianglePQR}-S_{triangleRCG}=12-frac{27}{8}=frac{69}{8}left({~cm}^{2}right)$.(3)当$5<t<8$时,$QB=t-5,RC=8-t$,如图所示.设$PQ$交$AB$于点$H$.由$triangleQBHsimtriangleQEP$得$S_{triangleQBH}=frac{3}{8}(t-5)^{2}$.由$triangleRCGsimtriangleREP$得$S_{triangleRCG}=frac{3}{8}(8-t)^{2}$,$thereforeS=12-frac{3}{8}(t-5)^{2}-frac{3}{8}(8-t)^{2}$,即$S=-frac{3}{4}t^{2}+frac{39}{4}t-frac{171}{8}$.$thereforeS=-frac{3}{4}left(t-frac{13}{2}right)^{2}+frac{165}{16}$.$thereforeS_{text{最大值}}=frac{165}{16}{~cm}^{2}$.
题目（九年级 · 解析几何）：(本题6分)如图所示,已知二次函数$y=x^{2}-4x+3$.(1)用配方法求其图象的顶点$C$的坐标,并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况.(2)求函数图象与$x$轴的交点$A,B$的坐标及$triangleABC$的面积.
选项：
答案：解:(1)$y=x^{2}-4x+3=x^{2}-4x+4-4+3=(x-2)^{2}-1$.$therefore$顶点$C$的坐标是$(2,-1)$.当$xleqslant2$时,$y$随$x$的增大而减小;当$xgeqslant2$时,$y$随$x$的增大而增大.(2)令$x^{2}-4x+3=0$,解得$x_{1}=3,x_{2}=1$.$therefore$点$A$的坐标是$(1,0)$,点$B$的坐标是$(3,0)$.$thereforeS_{triangleABC}=frac{1}{2}ABtimesh=frac{1}{2}times2times1=1$.
解析：解:(1)$y=x^{2}-4x+3=x^{2}-4x+4-4+3=(x-2)^{2}-1$.$therefore$顶点$C$的坐标是$(2,-1)$.当$xleqslant2$时,$y$随$x$的增大而减小;当$xgeqslant2$时,$y$随$x$的增大而增大.(2)令$x^{2}-4x+3=0$,解得$x_{1}=3,x_{2}=1$.$therefore$点$A$的坐标是$(1,0)$,点$B$的坐标是$(3,0)$.$thereforeS_{triangleABC}=frac{1}{2}ABtimesh=frac{1}{2}times2times1=1$.
题目（九年级 · 解析几何）：(本题6分)已知二次函数图象的顶点坐标为$(1,-1)$,且过原点$(0,0)$,求该函数表达式.
选项：
答案：解:$because$二次函数图象的顶点坐标为$(1,-1)$,$therefore$可设为$y=a(x-1)^{2}-1(aneq0)$.$because$当$x=0$时,$y=0$,$therefore0=atimes(0-1)^{2}-1$,解得$a=1$.$therefore$该函数表达式为$y=(x-1)^{2}-1$.
解析：解:$because$二次函数图象的顶点坐标为$(1,-1)$,$therefore$可设为$y=a(x-1)^{2}-1(aneq0)$.$because$当$x=0$时,$y=0$,$therefore0=atimes(0-1)^{2}-1$,解得$a=1$.$therefore$该函数表达式为$y=(x-1)^{2}-1$.
题目（九年级 · 解析几何）：(本题10分)如图,已知抛物线$y=frac{1}{2}x^{2}+bx$与直线$y=2x$交于点$O(0,0),A(a,12)$.点$B$是抛物线上$O,A$之间的一个动点,过点$B$分别作$x$轴、$y$轴的平行线与直线$OA$交于点$C,E$.(1)求抛物线的函数表达式;(2)若点$C$为$OA$的中点,求$BC$的长;（3）以$BC,BE$为边构造矩形$BCDE$,设点$D$的坐标为$(m,n)$,求出$m,n$之间的关系式.
选项：
答案：解：(1)$because$点$A(a,12)$在直线$y=2x$上,$therefore12=2a$,解得:$a=6$,又$because$点$A$是抛物线$y=frac{1}{2}x^{2}+bx$上的一点,将点$A(6,12)$代入$y=frac{1}{2}x^{2}+bx$,可得$b=-1$,$therefore$抛物线表达式为$y=frac{1}{2}x^{2}-x$.(2)$because$点$C$是$OA$的中点,$therefore$点$C$的坐标为$(3,6)$,把$y=6$代入$y=frac{1}{2}x^{2}-x$,解得:$x_{1}=1+sqrt{13},x_{2}=1-sqrt{13}$(舍去),故$BC=1+sqrt{13}-3=sqrt{13}-2$.(3)<ImageHere>$because$直线$OA$的表达式为:$y=2x$,点$D$的坐标为$(m,n)$,$therefore$点$E$的坐标为$left(frac{1}{2}n,nright)$,点$C$的坐标为$(m,2m)$,$therefore$点$B$的坐标为$left(frac{1}{2}n,2mright)$,把点$Bleft(frac{1}{2}n,2mright)$代入$y=frac{1}{2}x^{2}-x$,可得$m=frac{1}{16}n^{2}-frac{1}{4}n$,$thereforem、n$之间的关系式为$m=frac{1}{16}n^{2}-frac{1}{4}n$.
解析：解：(1)$because$点$A(a,12)$在直线$y=2x$上,$therefore12=2a$,解得:$a=6$,又$because$点$A$是抛物线$y=frac{1}{2}x^{2}+bx$上的一点,将点$A(6,12)$代入$y=frac{1}{2}x^{2}+bx$,可得$b=-1$,$therefore$抛物线表达式为$y=frac{1}{2}x^{2}-x$.(2)$because$点$C$是$OA$的中点,$therefore$点$C$的坐标为$(3,6)$,把$y=6$代入$y=frac{1}{2}x^{2}-x$,解得:$x_{1}=1+sqrt{13},x_{2}=1-sqrt{13}$(舍去),故$BC=1+sqrt{13}-3=sqrt{13}-2$.(3)$because$直线$OA$的表达式为:$y=2x$,点$D$的坐标为$(m,n)$,$therefore$点$E$的坐标为$left(frac{1}{2}n,nright)$,点$C$的坐标为$(m,2m)$,$therefore$点$B$的坐标为$left(frac{1}{2}n,2mright)$,把点$Bleft(frac{1}{2}n,2mright)$代入$y=frac{1}{2}x^{2}-x$,可得$m=frac{1}{16}n^{2}-frac{1}{4}n$,$thereforem、n$之间的关系式为$m=frac{1}{16}n^{2}-frac{1}{4}n$.
题目（九年级 · 解析几何）：如图, 点 $A 、 B 、 C$ 为抛物线 $y=x^{2}+b x+c$ 与坐标轴交点, $O A=3, O B=1$.



(1)求此抛物线的解析式:

(2)在对称轴上找一点 $P$, 使 $\triangle B C P$ 的周长最小, 则此时点 $P$ 坐标为,$\triangle B C P$ 的周长为.




选项：
答案： (1) $y=x^{2}+2 x-3$

(2) $P(-1,-2), \sqrt{10}+3 \sqrt{2}$

解析：(1) 求出点 $A$ 和点 $B$ 的坐标, 代入拋物线解析式, 根据待定系数法求出此函数的关系式即可;

(2) 先求出 $A$ 点坐标, 然后根据拋物线的对称性得到 $A P=B P$, 则 $P B+P C$ 的最小值即为 $P A+P C$ 的最小值, 此时 $P A+P C+B C$ 最小, 即 $\triangle B C P$ 的周长最小, 故当 $P 、 A 、 C$ 三点共线时, $\triangle B C P$ 的周长最小, 即 $P$ 在 $P^{\prime}$ 所在的位置, 求出直线 $A C$ 的解析式, 即可求出 $P$ 点坐标, 进而可求出 $\triangle B C P$ 的周长;

【详解】(1) 解: (1) $\because O A=3, O B=1$,

$\therefore A(-3,0), B(1,0)$.

设: 抛物线解析式为 $y=x^{2}+b x+c$ 经过 $A(-3,0), B(1,0)$,

$\left\{\begin{array}{c}0=9-3 b+c \\ 0=1+b+c\end{array}\right.$,

解得 $\left\{\begin{array}{c}b=2 \\ c=-3\end{array}\right.$

$\therefore$ 拋物线解析式为 $y=x^{2}+2 x-3$

(2) 如图, 连接 $A P, B P, A C, A C$ 与抛物线对称轴交于点 $P^{\prime}$,



图2

$\because$ 抛物线的解析式为: $y=x^{2}+2 x-3$,

$\therefore$ 拋物线的对称轴为直线 $x=-1, C(0,-3)$,

$\because B$ 是抛物线与 $x$ 轴的另一个交点, $A(-3,0)$,
$\therefore B(1,0)$,

$\therefore B C=\sqrt{O B^{2}+O C^{2}}=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$,

$\because$ 点 $A, B$ 关于抛物线对称轴对称,

$\therefore A P=B P$,

$\therefore P B+P C$ 的最小值即为 $P A+P C$ 的最小值, 此时 $P A+P C+B C$ 最小, 即 $\triangle B C P$ 的周长最小,

$\therefore$ 当 $P 、 A 、 C$ 三点共线时, $\triangle B C P$ 的周长最小, 即 $P$ 在 $P^{\prime}$ 所在的位置,

设直线 $A C$ 的解析式为 $y=k x+b_{1}$,

$\therefore\left\{\begin{array}{c}-3 k+b_{1}=0 \\ b_{1}=-3\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{l}k=-1 \\ b_{1}=-3\end{array}\right.$,

$\therefore$ 直线 $A C$ 的解析式为: $y=-x-3$,

$\therefore$ 当 $x=-1$ 时, $y=-2$,

$\therefore$ 点 $P$ 的坐标为 $(-1,-2)$.

$\because$ 当 $x=0$ 时, $y=x^{2}+2 x-3=-3$,

$\therefore O C=3$

$\therefore O A=3, O B=1$,

$\therefore A C=\sqrt{3^{2}+3^{2}}=3 \sqrt{2}, \quad B C=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$,

$\therefore \triangle B C P$ 的周长为: $P^{\prime} B+P^{\prime} C+B C=A C+B C=3 \sqrt{2}+\sqrt{10}$.

故答案为: $P(-1,-2), \sqrt{10}+3 \sqrt{2}$.

【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、轴对称最短问题、勾股定理等知识, 解题的关键是学会利用对称解决最短问题.
题目（九年级 · 代数）：用配方法把函数 $y=-3 x^{2}-6 x+10$ 化成 $y=a(x-h)^{2}+k$ 的形式, 然后指出它的图象开口方向, 对称轴, 顶点坐标和最值.

选项：
答案： 向下, $x=-1,(-1,13)$, 最大值 13
【详解】解: $\because y=-3 x^{2}-6 x+10=-3(x+1)^{2}+13$,

$\therefore$ 开口向下, 对称轴 $x=-1$, 顶点坐标 $(-1,13)$, 最大值 13 .

解析：, $x=-1,(-1,13)$, 最大值 13
【详解】解: $\because y=-3 x^{2}-6 x+10=-3(x+1)^{2}+13$,

$\therefore$ 开口向下, 对称轴 $x=-1$, 顶点坐标 $(-1,13)$, 最大值 13 .
题目（九年级 · 代数）：园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃 $A B C D$. 苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为 14 米). 另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留 2 米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长 32 米，设苗圃 $A B C D$ 的一边 $C D$ 长为 $x$ 米.



(1) $B C$ 长为 $\qquad$米 (包含门宽, 用含 $x$ 的代数式表示);

(2)若苗圃 $A B C D$ 的面积为 $96 \mathrm{~m}^{2}$, 求 $x$ 的值;

(3)当 $x$ 为何值时，苗圃 $A B C D$ 的面积最大，最大面积为多少?

##
选项：
答案： (1) $(36-3 x)$

(2) 8

(3)当 $x$ 为 $\frac{22}{3}$ 米时, 苗圃 $A B C D$ 的最大面积为 $\frac{308}{3}$ 平方米


解析：(1) 根据木栏总长 32 米, 两处各留 2 米宽的门, 设苗圃 $A B C D$ 的一边 $C D$ 长为 $x$米, 即得 $B C$ 的长为 $(36-3 x)$ 米; (2) 根据题意得, $x \cdot(36-3 x)=96$, 即可解得 $x$ 的值; （3）设苗圃 $A B C D$ 的面积为 $w, w=x \cdot(36-3 x)=-3(x-6)^{2}+108$, 由二次函数的性质可得答案.

【详解】(1) $\because$ 木栏总长 32 米, 两处各留 2 米宽的门, 设苗圃 $A B C D$ 的一边 $C D$ 长为 $x$ 米, $B C$ 的长为 $32-3 x+4=(36-3 x)$ 米,故答案为: $(36-3 x)$;

(2) 根据题意得, $x \cdot(36-3 x)=96$,

解得, $x=4$ 或 $x=8$,

$\because$ 当 $x=4$ 时, $36-3 x=24>14$,

$\therefore x=4$ 舍去，

$\therefore x$ 的值为 8 ;

（3）设苗圃 $A B C D$ 的面积为 $w$,

$w=x \cdot(36-3 x)=-3(x-6)^{2}+108$,

$\because 4<36-3 x \leq 14$,

$\therefore \frac{22}{3} \leq x<\frac{32}{3}$,

$\because-3<0$, 图象开口向下,

$\therefore$ 当 $x=\frac{22}{3}$ 时, $w$ 取得最大值, $w$ 最大为 $\frac{308}{3}$;

答: 当 $x$ 为 $\frac{22}{3}$ 米时, 苗圃 $A B C D$ 的最大面积为 $\frac{308}{3}$ 平方米.

【点睛】本题考查了二次函数的应用, 解题的关键是读懂题意, 根据已知列方程和函数关系式.
题目（九年级 · 代数）：“国庆”期间，某电影院装修后重新开业，试营业期间统计发现，影院每天售出的电影票张数 $y$ （张）与电影票售价 $x$ （元/张）之间满足一次函数关系:

$y=-4 x+260(30 \leq x \leq 60), x$ 是整数, 影院每天运营成本为 1600 元，设影院每天的利润为 $W$ (元）(利润＝票房收入一运营成本). 求影院将电影票售价定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少元？


选项：
答案： 影院将电影票售价定为 32 或 33 元时, 每天获利最大，最大利润为 2624 元


解析：根据题意可列函数关系式为 $W=x(-4 x+260)-1600$, 然后根据二次函数的性质可进行求解.
【详解】解：由题意得:

$W=x(-4 x+260)-1600=-4 x^{2}+260 x-1600=-4\left(x-\frac{65}{2}\right)^{2}+2625$,

$\therefore-4<0$, 开口向下, 对称轴为直线 $x=\frac{65}{2}$,

$\because 30 \leq x \leq 60$ 且 $x$ 为整数,

$\therefore$ 当 $x=32$ 或 $x=33$ 时, $W$ 有最大值, 即为 $W=-4 \times\left(33-\frac{65}{2}\right)^{2}+2625=2624$;

答: 影院将电影票售价定为 32 或 33 元时, 每天获利最大, 最大利润为 2624 元.

【点睛】本题主要考查二次函数的应用, 熟练掌握二次函数的应用是解题的关键.
题目（九年级 · 代数）：(6 分) 已知二次函数 $y=a x^{2}+b x+c$ 部分自变量 $x$ 与函数值 $y$ 的对应值如下表所示:

| $x$ | $\cdots$ | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | $\cdots$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $y$ | $\ldots$ | -5 | 0 | 3 | 4 | 3 | $\cdots$ |



(2)在平面直角坐标系中画出二次函数的图象;

(3)当 $-3 \leq x \leq 2$ 时, $y$ 的取值范围是 $\qquad$ .


选项：
答案： (1) $y=-x^{2}+2 x+3$

(2)画图见详解

(3) $-12 \leq y \leq 4$

解析：(1)用待定系数法即可求解;

（2）根据函数解析式，用描点法即可求解;

（3）根据自变量的取值范围, 结合图示, 即可确定函数值的取值范围.

【详解】（1）解：当 $x=-2$ 时, $y=-5$; 当 $x=-1$ 时, $y=0$; 当 $x=0$ 时, $y=3$, $\therefore\left\{\begin{array}{l}4 a-2 b+c=-5 \\ a-b+c=0 \\ c=3\end{array}\right.$, 解方程得 $\left\{\begin{array}{l}a=-1 \\ b=2 \\ c=3\end{array}\right.$,

$\therefore$ 二次函数解析式为 $y=-x^{2}+2 x+3$.

(2) 解: 二次函数解析式为 $y=-x^{2}+2 x+3$, 图像如图所示,



函数与 $x$ 轴的交点是 $(-1,0),(3,0)$, 与 $y$ 轴的交点是 $(0,3)$, 对称轴为 $x=1$, 符合题意.

（3）解：当 $-3 \leq x \leq 2$ 时, 根据（2）中图示可知,

当 $x=-3$ 时, $y=-(-3)^{2}+2 \times(-3)+3=-12$; 当当 $x=1$ 时, $y=-1^{2}+2 \times 1+3=4$; 当 $x=2$ 时, $y=-2^{2}+2 \times 2+3=3$.

$\therefore$ 当 $-3 \leq x \leq 2$ 时, $-12 \leq y \leq 4$.

【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式, 根据函数解析式画函数图形, 根据函数自变量求函数取值范围, 掌握待定系数法解二次函数解析式，函数图像的性质是解题的关键.
题目（九年级 · 代数）：为了响应政府提出的由中国制造向中国创造转型的号召, 某公司自主设计了一款成本为 8 元的工艺品，并投放市场进行试销售，经过调查发现该产品每天的销售量 $y$ (件）与销售单价 $x$ （元）（不低于成本）满足的函数关系如图所示.

(1)求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式;

(2)当销售单价定为多少元时, 每天销售获得的利润最大？最大利润是多少?




选项：
答案： (1) $y$ 与 $x$ 之间的关系式为: $y=-10 x+300,8 \leq x<30$

(2)售价定为 19 元时, 每天销售获得的利润最大，最大利润为 1210 元


解析：(1) 根据题意设出函数解析式为 $y=k x+b$ ，然后用待定系数法求函数解析式，再根
据成本为 8 元, 利润大于 0 求出自变量的取值范围;

（2）根据利润 $=$ 单个利润 $\times$ 销量列出函数解析式，根据函数的性质求最值.

【详解】(1) 解:（1）由题意可设 $y$ 与 $x$ 之间的关系式为 $y=k x+b$, 则

$\left\{\begin{array}{l}200=10 k+b \\ 150=15 k+b\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{l}k=-10 \\ b=300\end{array}\right.$ ，

$\therefore y$ 与 $x$ 之间的关系式为: $y=-10 x+300,8 \leq x<30$.

(2) (2) 解: 设每天的利润为 $W$ 元, 根据题意得:

$W=(x-8)(-10 x+300)=-10 x^{2}+380 x-2400=-10(x-19)^{2}+1210$,

$\therefore$ 当 $x=19$ 时, $W$ 最大，最大值为 1210 元,

答：售价定为 19 元时，每天销售获得的利润最大，最大利润为 1210 元.

【点睛】本题考查二次函数的应用, 待定系数法求一次函数解析式, 解题的关键是根据等量关系列出函数解析式.
题目（九年级 · 代数）：某药店新进一批桶装消毒液, 每桶进价 35 元, 原计划以每桶 55 元的价格销售, 为更好
地助力疫情防控，现决定降价销售. 已知这种消毒液销售量 $y$ （桶）与每桶降价 $x$ （元） $(0<x<20)$ 之间满足一次函数关系，其图象如图所示:

(1)求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式;

(2)这次助力疫情防控中，该药店仅获利 1760，这种消毒液每桶实际售价多少元？

(3)这种消毒液每桶售价多少元时，获利最大，最大利润是多少元？




选项：
答案： (1) $y=10 x+100(0<x<20)$

(2) 43 元

(3)售价为 50 元时, 最大利润为 2250 元


解析：(1) 设 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y=k x+b(k \neq 0)$, 将 $(1,110),(3,130)$ 代入建立方程组求解即可;

（2）由每桶利润乘以销售量等于 1760 元，再建立方程求解即可;

（3）设利润为 $w$ 元, 则 $w=(55-35-x)(10 x+100)=-10 x^{2}+100 x+2000$, 由 $-10<0$, 利润有最大值, 从而可得答案.

【详解】(1) 解：设 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y=k x+b(k \neq 0)$,

将 $(1,110),(3,130)$ 代入 $y=k x+b$ 得: $\left\{\begin{array}{l}k+b=110 \\ 3 k+b=130\end{array}\right.$,

解得: $\left\{\begin{array}{l}k=10 \\ b=100\end{array}\right.$,
$\therefore y$ 与 $x$ 之间的函数关系式为 $y=10 x+100(0<x<20)$.

（2）依题意得： $(55-x-35)(10 x+100)=1760$,

整理得: $x^{2}-10 x-24=0$,

解得: $x_{1}=-2$ (不符合题意, 舍去), $x_{2}=12$,

$\therefore 55-x=55-12=43$.

答: 这种消毒液每桶实际售价为 43 元.

（3）设利润为 $w$ 元，则

$w=(55-35-x)(10 x+100)=-10 x^{2}+100 x+2000$,

由 $-10<0$, 利润有最大值,

当 $x=-\frac{100}{2 \times(-10)}=5$ 时, 利润最大值为 $(55-35-5) \times(10 \times 5+100)=2250$ (元)

$\therefore$ 售价为 $55-5=50$ 元时, 最大利润为 2250 元.

【点睛】本题考查的是一次函数的实际应用，一元二次方程的解法，二次函数的实际应用，理解题意, 建立函数关系式与方程是解本题的关键.
题目（九年级 · 代数）：(6 分) 已知二次函数 $y=-x^{2}+2 x$

(1)求对称轴及顶点坐标.

(2)当 $x$ 为何值时, $y$ 随 $x$ 增大而减小，当 $x$ 为何值时， $y$ 随 $x$ 增大而增大.


选项：
答案： (1)对称轴为: 直线 $x=1$, 顶点坐标为: (1, 0);

(2) $x>1$ 时， $y$ 随 $x$ 增大而减小， $x<1$ 时， $y$ 随 $x$ 增大而增大.

解析：)对称轴为: 直线 $x=1$, 顶点坐标为: (1, 0);

(2) $x>1$ 时， $y$ 随 $x$ 增大而减小， $x<1$ 时， $y$ 随 $x$ 增大而增大.
题目（九年级 · 代数）：(10 分) 某超市经销一种商品, 成本价为 50 元/千克. (规定每千克售价不低于成本价), 且不高于 85 元, 经市场调查发现, 该种商品每天销售量 $y$ (千克）与销售单价 $x$ （元/千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示:

| 售价 $x$ (元/千克) | 50 | 60 | 70 |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| 销售量 $y$ (千克) | 120 | 100 | 800 |

（1）求 $y$ （千克）与 $x$ （元/千克）之间的函数表达式;

(2) 为保证某天获得 1600 元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少元?

（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大? 最大利润是多少?

## 


选项：
答案： (1) $y=-2 x+220(50 \leq x \leq 85)$ ；（2）当销售单价定位 70 元时，销售利润为 1600 元；（3）当销售单价定为 80 元时, 可使当天的销售利润最大，最大利润是 1800 元


解析：(1) 利用待定系数法求解即可;

（2）根据题意列方程, 解方程即可得到答案;

（3）根据“总利润=每千克利润 $\times$ 销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式即可得最值情况.

【详解】解:（1） $\because$ 该种商品每天销售量 $y$ (千克)与销售单价 $x$ (元/千克) 满足一次函数关系

$\therefore$ 设 $y=k x+b$

$\therefore$ 将 $(50,120) 、(60,100)$ 代入上式得:

$\left\{\begin{array}{l}120=50 k+b \\ 100=60 k+b\end{array}\right.$

$\therefore\left\{\begin{array}{l}k=-2 \\ b=220\end{array}\right.$

$\therefore y=-2 x+220(50 \leq x \leq 85)$.

(2) 为保证获得 1600 元的销售利润, 则该天的销售单价 $x$ 应满足: $(x-50)(-x+220)=1600$ $\therefore x=90$ 或 $x=70$

$\because 50 \leq x \leq 85$

$\therefore x=70$

答：当销售单价定位 70 元时，销售利润为 1600 元.

（3）设销售利润为 $W$ 元，根据题意得

$W=(x-50)(-2 x+220)$

$=-2 x^{2}+320 x-11000$

$=-2(x-80)^{2}+1800$

$\therefore$ 当 $x=80$ 时, 销售利润最大, 最大值为 1800 元

答: 当销售单价定为 80 元时, 可使当天的销售利润最大, 最大利润是 1800 元.

【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一元二次方程的应用、二次函数的应用等, 熟练掌握相关知识点是解题的关键.
题目（九年级 · 代数）：(6 分) 在二次函数 $y=x^{2}-2 t x+3(t>0)$ 中,

(1)若图象过点 $(2,1)$, 则 $t$ 的值为多少?

(2)若 $y$ 的最小值为 -2 , 求 $t$ 的值.


选项：
答案： (1) $t=\frac{3}{2}$

(2) $t=\sqrt{5}$

(3) $3<m<4$ 或 $m>6$


解析：(1) 将坐标代入解析式, 求解待定参数值;

(2) 确定抛物线的对称轴, 对待定参数分类讨论, 分 $0<t \leq 3$, 当 $x=t$ 时, 函数值最小,以及 $t>3$, 当 $x=3$ 时, 函数值最小, 求得相应的 $t$ 值即可 得;

(3) 由 $A(m-2, a), C(m, a)$ 关于对称轴对称得 $m-1=t$, 且 $A$ 在对称轴左侧, $C$ 在对称轴右侧; 确定抛物线与 $y$ 轴交点 $(0,3)$, 此交点关于对称轴的对称点为 $(2 m-2,3)$, 结合已知确定出 $m>3$; 再分类讨论: $A, B$ 都在对称轴左边时, $A, B$ 分别在对称轴两侧时, 分别列出不等式进行求解即可.

【详解】(1) 将 $(2,1)$ 代入 $y=x^{2}-2 t x+3$ 中,

得 $1=4-4 t+3$,

解得, $t=\frac{3}{2}$;

(2) 抛物线对称轴为 $x=t$.

当 $x=t$ 时, 函数值最小,

$\therefore t^{2}-2 t^{2}+3=-2$,

解得 $t= \pm \sqrt{5}$.

$\because t>0$,
$\therefore t=\sqrt{5}$
题目（九年级 · 代数）：设二次函数 $y=a x^{2}+b x+1,(a \neq 0, b$ 是实数 $)$. 已知函数值 $y$ 和自变量 $x$ 的部分对应取值如下表所示:

| $x$ | $\cdots$ | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | $\cdots$ |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
| $y$ | $\cdots$ | $m$ | 1 | $n$ | 1 | $p$ | $\cdots$ |

(1)若 $m=4$, 求二次函数的表达式;

(2)写出一个符合条件的 $x$ 的取值范围, 使得 $y$ 随 $x$ 的增大而减小.

(3)若在 $m 、 n 、 p$ 这三个实数中, 只有一个是正数, 求 $a$ 的取值范围.

##
选项：
答案： (1) $y=x^{2}-2 x+1$

(2)当 $a>0$ 时, 则 $x<1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小; 当 $a<0$ 时, 则 $x>1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小

(3) $a \leq-\frac{1}{3}$


解析：(1) 用待定系数法求解即可.

（2）利用抛物线的对称性质求得抛物线的对称轴为直线 $x=1$; 再根据抛物线的增减性求解即可.

(3) 先把 $(2,1)$ 代入 $y=a x^{2}+b x+1$, 得 $b=-2 a$, 从而得 $y=a x^{2}-2 a x+1$, 再求出 $m=3 a+1$, $n=-a+1, \quad p=3 a+1$, 从而得 $m=p$, 然后 $m 、 n 、 p$ 这三个实数中, 只有一个是正数, 得 $\left\{\begin{array}{l}-a+1>0 \\ 3 a+1 \leq 0\end{array}\right.$, 求解即可.

【详解】(1) 解: 把 $(-1,4),(2,1)$ 代入 $y=a x^{2}+b x+1$, 得 $\left\{\begin{array}{l}a-b+1=4 \\ 4 a+2 b+1=1\end{array}\right.$, 解得: $\left\{\begin{array}{l}a=1 \\ b=-2\end{array}\right.$, $\therefore y=x^{2}-2 x+1$

（2）解: $\because(0,1),(2,1)$ 在 $y=a x^{2}+b x+1$ 图象上,

$\therefore$ 抛物线的对称轴为直线 $x=\frac{0+2}{2}=1$,

$\therefore$ 当 $a>0$ 时, 则 $x<1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小,当 $a<0$ 时, 则 $x>1$ 时, $y$ 随 $x$ 的增大而减小.

（3）解: 把 $(2,1)$ 代入 $y=a x^{2}+b x+1$, 得 $1=4 a+2 b+1$

$\therefore b=-2 a$

$\therefore y=a x^{2}+b x+1=a x^{2}-2 a x+1$

把 $(-1, m)$ 代入 $y=a x^{2}-2 a x+1$ 得, $\quad m=a+2 a+1=3 a+1$,

把 $(1, n)$ 代入 $y=a x^{2}-2 a x+1$ 得, $\quad n=a-2 a+1=-a+1$,

把 $(3, p)$ 代入 $y=a x^{2}-2 a x+1$ 得, $p=9 a-6 a+1=3 a+1$,

$\therefore m=p$,

$\because m 、 n 、 p$ 这三个实数中, 只有一个是正数,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}-a+1>0 \\ 3 a+1 \leq 0\end{array}\right.$, 解得: $a \leq-\frac{1}{3}$.

【点睛】本题考查用待定系数法求拋物线解析式, 拋物线的图象性质, 解不等式组, 熟练掌握用待定系数法求拋物线解析式和抛物线的图象性质是解析的关键.
题目（九年级 · 代数）：已知线段 $a 、 b$ 满足 $\frac{a}{b}=2$, 且 $a+2 b=28$.

(1)求 $a 、 b$ 的值;

(2)若线段 $x$ 是线段 $a 、 b$ 的比例中项，求 $x$ 的值.


选项：
答案： (1) $a=14, b=7$

(2) $7 \sqrt{2}$


解析：(1) 根据 $\frac{a}{b}=2$ 可得 $a=2 b$, 再代入 $a+2 b=28$ 计算即可得;

（2）根据比例中项的定义求解即可得.
【详解】(1) 解: $\because \frac{a}{b}=2$,

$\therefore a=2 b$,

$\because a+2 b=28$,

$\therefore 2 b+2 b=28$,

解得 $b=7$,

则 $a=2 \times 7=14$.

（2）解: $\because$ 线段 $x$ 是线段 $a 、 b$ 的比例中项，

$\therefore x^{2}=a b$ ，即 $x^{2}=14 \times 7$,

解得 $x=7 \sqrt{2}$ 或 $x=-7 \sqrt{2}<0$ (不符合题意, 舍去),

则 $x$ 的值为 $7 \sqrt{2}$.

【点睛】本题主要考查了比例线段和比例中项，属于基础题，熟记定义是解题关键.
题目（九年级 · 代数）：(本小题8.0分)

已知 $3 x=2 y=5 z \neq 0$, 求 $\frac{x+2 y+3 z}{x-4 y+5 z}$ 的值.


选项：
答案：解: 令 $3 x=2 y=5 z=k$,

则: $x=\frac{k}{3}, y=\frac{k}{2}, z=\frac{k}{5}$,

$\therefore \frac{x+2 y+3 z}{x-4 y+5 z}=\frac{\frac{k}{3}+2 \cdot \frac{k}{2}+3 \cdot \frac{k}{5}}{\frac{k}{3}-4 \cdot \frac{k}{2}+5 \cdot \frac{k}{5}}=\frac{\frac{29 k}{15}}{-\frac{2 k}{3}}=-\frac{29}{10}$.


解析：令 $3 x=2 y=5 z=k$, 得到 $x=\frac{k}{3}, y=\frac{k}{2}, z=\frac{k}{5}$, 代入求值即可.

本题考查分式的求值. 解题的关键是掌握设参法.
题目（九年级 · 代数）：(本小题8.0分)

计算

(1) 若 $\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b}{c}=k$, 求 $k$ 的值.

(2) 已知 $2 x^{2}-7 x y+6 y^{2}=0$, 则 $\frac{x}{y}$ 的值.


选项：
答案：解: (1) $\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=\frac{a+b}{c}=k$, 得

$b+c=k a(1), c+a=k b(2), a+b=c k(3)$;

(1) +2 (2), 得

$b+c+c+a+a+b=k(a+b+c)$,

当 $a+b+c \neq 0$ 时,$k=\frac{b+c+c+a+a+b}{a+b+c}=2$,

当 $a+b+c=0$ 时, $(b+c)=-a$,

$k=\frac{b+c}{a}=\frac{-a}{a}=-1$,

$k$ 的值为 2 或 -1 ;

(2)两边都除以 $y^{2}$, 得

$2\left(\frac{x}{y}\right)^{2}-7\left(\frac{x}{y}\right)+6=0$,

因式分解, 得

$\left[2\left(\frac{x}{y}\right)-3\right]\left(\frac{x}{y}-2\right)=0$

解得 $\frac{x}{y}=\frac{3}{2}, \frac{x}{y}=2$.


解析：(1)根据合比性质, 可得答案;

(2)根据等式的性质, 可得关于 $\frac{x}{y}$ 的方程, 根据解方程, 可得答案.

本题考查了比例的性质, 利用等比性质是解题关键, 要分类讨论, 以防遗漏.
题目（九年级 · 代数）：(本小题8.0分)

求值:

(1)已知 $\frac{b}{a}=\frac{3}{4}$, 求 $\frac{a-2 b}{a+2 b}$ 的值; (2)已知 $\frac{a}{2}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}, a+b+c=22$, 求 $3 a-b+2 c$ 的值.


选项：
答案：解: (1)设 $b=3 k$, 则 $a=4 k(k \neq 0)$,

$\frac{a-2 b}{a+2 b}=\frac{4 k-2 \times 3 k}{4 k+2 \times 3 k}=\frac{-2 k}{10 k}=-\frac{1}{5}$.

(2) 设 $\frac{a}{2}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=k$, 则 $a=2 k, b=4 k, c=5 k$.

$\therefore 2 k+4 k+5 k=22$,

解得 $k=2$.

$\therefore a=4, b=8, c=10$.

$\therefore 3 a-b+2 c=3 \times 4-8+2 \times 10=24$.


解析：本题考查的是比例的性质, 掌握比例的基本性质、灵活运用换元思想是解题的关键.

(1)先根据 $\frac{b}{a}=\frac{3}{4}$, 设 $b=3 k$, 则 $a=4 k(k \neq 0)$, 再把 $a 、 b$ 的值代入到 $\frac{a-2 b}{a+2 b}$ 中计算即可;

(2)首先设 $\frac{a}{2}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=k$, 则 $a=2 k, b=4 k, c=5 k$. 然后根据 $a+b+c=22$ 得到关于 $k$ 的方程, 解这个方程求出 $k$ 的值, 进一步得到 $a 、 b 、 c$ 的值, 再代入到 $3 a-b+2 c$ 中, 即可求解.
题目（九年级 · 代数）：(本小题8.0分)

若 $y=(m+2) x^{m^{2}-2}$ 是二次函数, 求 $m$ 的值.


选项：
答案：解: 由题意可知 $\left\{\begin{array}{l}m^{2}-2=2 \\ m+2 \neq 0\end{array}\right.$,

解得: $m=2$.


解析：利用二次函数定义进行解答即可.

此题主要考查了二次函数定义，关键是掌握二次函数定义，要抓住二次项系数不为 0 这个关键条件.
题目（九年级 · 代数）：(本小题8.0分)

已知 $y=(m+3) x^{m^{2}+2 m-1}+(1-m) x-5$ 是 $y$ 关于 $x$ 的二次函数, 求 $m$ 的值.


选项：
答案：解: 由题意得, $m^{2}+2 m-1=2$,

解得 $m=1$ 或 -3 ,

$\because m+3 \neq 0$

$\therefore m \neq-3$,

$\therefore m$ 的值为 1 .


解析：根据二次函数的定义列式计算, 得到答案.

本题考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是关键.
题目（九年级 · 代数）：(本小题8.0分)

若函数 $y=(k-1) x^{k^{2}-3 k+4}+2 x-1$ 是二次函数.

(1)求 $k$ 的值.

(2)当 $x=0.5$ 时, 求 $y$ 的值.


选项：
答案：解：(1)由题意得: $k^{2}-3 k+4=2$, 且 $k-1 \neq 0$,

解得: $k=2$;

(2)把 $k=2$ 代入 $y=(k-1)^{x^{k^{2}-3 k+4}}+2 x-1$, 得:

$y=x^{2}+2 x-1$

当 $x=0.5$ 时, $y=\frac{1}{4}$.


解析：此题主要考查了二次函数的定义, 关键是掌握判断函数是否是二次函数, 要抓住二次项系数
不为 0 和自变量指数为 2 这个关键条件.

(1)根据二次函数的定义: 一般地, 形如 $y=a x^{2}+b x+c(a 、 b 、 c$ 是常数, $a \neq 0)$ 的函数, 叫做二次函数, 可得 $k^{2}-3 k+4=2$, 且 $k-1 \neq 0$, 再解即可;

(2)根据(1)中 $k$ 的值, 可得函数解析式，再利用代入法把 $x=0.5$ 代入可得 $y$ 的值.
题目（九年级 · 代数）：(本小题8.0分)

已知 $y=(m-4) x^{m^{2}-m}+2 x^{2}-3 x-1$.

(1)当 $m$ 为何值时，它是 $y$ 关于 $x$ 的一次函数?

（2)当 $m$ 为何值时，它是 $y$ 关于 $x$ 的二次函数?

东东给出了如下解答过程:

(1) 由 $y=(m-4) x^{m^{2}-m}+2 x^{2}-3 x-1$ 是关于 $x$ 的一次函数, 得 $m-4+2=0$, 解得 $m=2$.

(2) 由 $y=(m-4) x^{m^{2}-m}+2 x^{2}-3 x-1$ 是关于 $x$ 的二次函数, 得 $m-4=0$, 解得 $m=4$.

请问东东的解答过程正确吗?如果不正确, 请写出正确的解答过程.

##
选项：
答案：东东的解答过程不正确, 正确的解答过程如下:

<ImageHere>
的值为 2 时，它是 $y$ 关于 $x$ 的一次函数.

(2)由 $y=(m-4) x^{m^{2}-m}+2 x^{2}-3 x-1$ 是关于 $x$ 的二次函数, 得 (1) $m-4=0$, 解得 $m=4$; (2) $m^{2}-$

<ImageHere>
所述, 当 $m$ 的值为 4 或 $\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ 或 -1 或 0 或 1 时, 它是 $y$ 关于 $x$ 的二次函数.


解析：见答案
题目（九年级 · 代数）：(本小题8.0分)

在二次函数 $y=x^{2}-2 t x+3(t>0)$ 中,

(1)若它的图象过点 $(2,1)$, 则 $t$ 的值为多少?

(2)当 $0 \leq x \leq 3$ 时, $y$ 的最小值为 -2 , 求出 $t$ 的值.


选项：
答案：(1)将 $(2,1)$ 代入 $y=x^{2}-2 t x+3$ 得:

$1=4-4 t+3$,
解得: $t=\frac{3}{2}$;

(2)抛物线 $y=x^{2}-2 t x+3$ 对称轴为 $x=t$.

若 $0<t \leq 3$, 当 $x=t$ 时函数取最小值,

$\therefore t^{2}-2 t^{2}+3=-2$,

解得 $t_{1}=\sqrt{5} ; t_{2}=-\sqrt{5}$ (舍去),

若 $t>3$, 当 $x=3$ 时函数取最小值,

$\therefore 9-6 t+3=-2$,

解得 $t=\frac{7}{3}$ (不符合题意, 舍去);

综上所述, $t$ 的值为 $\sqrt{5}$;


解析：本题考查二次函数的综合应用, 涉及函数图象上点坐标的特征, 解题的关键是分类讨论思想的应用.

(1)将 $(2,1)$ 代入 $y=x^{2}-2 t x+3$ 即可得 $t$ 的值;

(2)拋物线 $y=x^{2}-2 t x+3$ 对称轴为 $x=t$. 分 $0<t \leq 3$ 与 $t>3$ 两种情况讨论解答即可.
题目（九年级 · 代数）：(本小题8.0分)

某山区不仅有美丽风光，也有许多令人喜爱的土特产，为实现脱贫奔小康，该山区组织村民加工包装土特产销售给游客，以增加村民收入.已知某种土特产每袋成本 10 元，试销阶段每袋的销售价 $x$ (元)与该土特产的日销售量 $y$ (袋)之间的关系如表:

| $x$ (元) | 15 | 20 | 30 | $\cdots$ |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| $y$ (袋) | 25 | 20 | 10 | $\cdots$ |

(1)若日销售量 $y$ (袋)是每袋的销售价 $x$ (元)的一次函数, 求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式;

（2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同, 设每日销售土特产的利润为 $w$ (元);

(1)求 $w$ 与 $x$ 之间的函数关系式;

(2)要使这种土特产每日销售的利润最大, 每袋的销售价应定为多少元? 每日销售的最大利润是多少元?

## 
选项：
答案：解:（1)依题意, 根据表格的数据, 设日销售量 $y$ (袋)与每袋销售价 $x$ (元)的函数关系式为 $y=k x+b$ 得

$\left\{\begin{array}{l}20 k+b=20 \\ 30 k+b=10\end{array}\right.$, 解得 $\left\{\begin{array}{l}k=-1 \\ b=40\end{array}\right.$,

故日销售量 $y$ (袋)与每袋销售价 $x$ (元)的函数关系式为: $y=-x+40$;

(2)(1)依题意, 设利润为 $w$ 元, 得

$w=(x-10)(-x+40)=-x^{2}+50 x-400 ;$

(2) $w=-x^{2}+50 x-400=-(x-25)^{2}+225$;

$$
\because-1<0
$$

$\therefore$ 当 $x=25$ 时, $w$ 取得最大值, 最大值为 225

故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为 25 元，每日销售的最大利润是 225 元.


解析：(1)根据表格中的数据, 利用待定系数法, 求出日销售量 $y$ (袋)与每袋销售价 $x$ (元)的函数关系式即可;

(2)利用每件利润 $\times$ 总销量 $=$ 总利润, 进而求出二次函数最值即可.

本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，根据每天的利润 $=$ 一件的利润 $\times$ 销售件数，建立函数关系式, 此题为数学建模题, 借助二次函数解决实际问题.