eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（七年级 · 组合几何学）：如图, 将一个边长为 1 的正方形纸片分割成 7 个部分, 第(1)部分是边长不 1 的正方形纸片面积的一半, 第(2)部分是第(1)部分面积的半, 第(3)部分是第(3)部分面积的一半, ..., 依次类推.


(1) 阴影部分的面积是多少?

(2) 受此启发, 你能求出 $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^{6}}$ 的值吗?

（3）请你利用图中右侧的正方形, 再设计能求 $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^{6}}$ 的值的几何图形. (只画出图形即可)

(4) 根据以上规律， $\quad \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}=$ \$ \qquad \$ .


选项：
答案：(1) 解: $\because$ 部分 (1)是整体面积的一半, 部分 (2)是部分 (1)面积的一半, 部分 (3)是部分(2)面积的一半, $\ldots$,

$\therefore$ 图中阴影部分的面积是部分(5)的一半, 即 $1^{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2^{6}}=\frac{1}{64}$,故答案为: $\frac{1}{64}$;

(2) 解: $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^{6}}=1-\frac{1}{2^{6}}=1-\frac{1}{64}=\frac{63}{64}$;

(3) 解: 如图所示 (彩色部分) 即为: 求 $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^{6}}$ 的值的几何图形.

<ImageHere>

(4) $1-\frac{1}{2^{n}}$
解析：(4) $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^{n}}=1-\frac{1}{2^{n}}$

##
题目（七年级 · 组合几何学）：(2022.浙江七年级期末) 如图, $D, E$ 分别是 $\triangle A B C$ 边 $A B, B C$ 上的点, $D E / / A C$, 点 $F$ 在 $D E$ 的延长线上, 且 $\angle D F C=\angle A$.



(1) 试判断 $A B$ 与 $C F$ 的位置美系, 并说明理由.

(2) 若 $\angle A C F$ 比 $\angle B D E$ 大 $40^{\circ}$. 求 $\angle B D E$ 的度数.
选项：
答案：(1) $A B / / C F$.理由见解析; (2) $\angle B D E=70^{\circ}$.

【分析】 (1) $A B / / C F$, 只要证明 $\angle \mathrm{DFC}=\angle \mathrm{BDE}$, 即可解决问题;

(2) 用构建方程组的思想即可解决问题.

【详解】(1) $A B / / C F$.

证明: $\because \mathrm{DE} / / \mathrm{AC}, \quad \therefore \angle \mathrm{BDE}=\angle \mathrm{A}$,

$\because \angle \mathrm{DFC}=\angle \mathrm{A}, \quad \therefore \angle \mathrm{DFC}=\angle \mathrm{BDE}, \quad \therefore \mathrm{AB} / / \mathrm{CF} ;$

(2) $\because \mathrm{DE} / / \mathrm{AC}, \quad \therefore \angle \mathrm{ACF}+\angle \mathrm{DFC}=180^{\circ}$,

由 (1) 中已证 $\angle \mathrm{DFC}=\angle \mathrm{BDE}, \therefore \angle \mathrm{ACF}+\angle \mathrm{BDE}=180^{\circ}$,

又 $\because \angle \mathrm{ACF}$ 比 $\angle \mathrm{BDE}$ 大 $40^{\circ}, \therefore \angle \mathrm{BDE}+40^{\circ}+\angle \mathrm{BDE}=180^{\circ}, \therefore \angle \mathrm{BDE}=70^{\circ}$.

【点睛】本题考查平行线的判定和性质、二元一次方程组等知识, 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题, 学会与转化的思想思考问题, 属于中考常考题型.
解析：(1) $A B / / C F$, 只要证明 $\angle \mathrm{DFC}=\angle \mathrm{BDE}$, 即可解决问题;

(2) 用构建方程组的思想即可解决问题.

【详解】(1) $A B / / C F$.

证明: $\because \mathrm{DE} / / \mathrm{AC}, \quad \therefore \angle \mathrm{BDE}=\angle \mathrm{A}$,

$\because \angle \mathrm{DFC}=\angle \mathrm{A}, \quad \therefore \angle \mathrm{DFC}=\angle \mathrm{BDE}, \quad \therefore \mathrm{AB} / / \mathrm{CF} ;$

(2) $\because \mathrm{DE} / / \mathrm{AC}, \quad \therefore \angle \mathrm{ACF}+\angle \mathrm{DFC}=180^{\circ}$,

由 (1) 中已证 $\angle \mathrm{DFC}=\angle \mathrm{BDE}, \therefore \angle \mathrm{ACF}+\angle \mathrm{BDE}=180^{\circ}$,

又 $\because \angle \mathrm{ACF}$ 比 $\angle \mathrm{BDE}$ 大 $40^{\circ}, \therefore \angle \mathrm{BDE}+40^{\circ}+\angle \mathrm{BDE}=180^{\circ}, \therefore \angle \mathrm{BDE}=70^{\circ}$.

【点睛】本题考查平行线的判定和性质、二元一次方程组等知识, 解题的关键是灵活运用所学知识解决问题, 学会与转化的思想思考问题, 属于中考常考题型.
题目（七年级 · 组合几何学）：（2021$\cdot$浙江宁波市$\cdot$七年级期中）两个边长分别为 $\mathrm{a}$ 和 $\mathrm{b}$ 的正方形如图放置（图 1）, 其未叠合部分 (阴影) 面积为 $\mathrm{S}_{1}$; 若再在图 1 中大正方形的右下角摆放一个边长为 $\mathrm{b}$ 的小正方形 (如图 2),两个小正方形叠合部分（阴影）面积为 $\mathrm{S}_{2}$.
(1) 用含 $a, b$ 的代数式分别表示 $S_{1} 、 S_{2}$;
(2) 若 $a+b=10, a b=20$, 求 $\mathrm{S}_{1}+S_{2}$ 的值;

(3) 当 $S_{1}+S_{2}=30$ 时, 求出图 3 中阴影部分的面积 $S_{3}$.



图 1



图 2



图 3
选项：
答案：（1） $\mathrm{S}_{1}=\mathrm{a}^{2}-\mathrm{b}^{2}, \mathrm{~S}_{2}=2 \mathrm{~b}^{2}-\mathrm{ab}$; （2） 40 ; （3） 15

【分析】(1) 用边长为 $\mathrm{a}$ 的正方形的面积减去边长为 $\mathrm{b}$ 的正方形的面积即为 $\mathrm{S}_{1}$, 用边长为 $\mathrm{a}$ 的正方形的面积减去一个边长分别为 $a 、(a-b)$ 的长方形的面积再减去两个边长分别为 $b 、(a-b)$ 的长方形的面积即为 $\mathrm{S}_{2}$, 据此解答即可; (2) 先计算 $\mathrm{S}_{1}+\mathrm{S}_{2}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}-\mathrm{ab}=(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{2}-3 a b$, 再将 $\mathrm{a}+\mathrm{b}=10$, $a b=20$ 整体代入计算即可; (3) 先计算 $S_{3}=\frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}-a b\right)$, 然后由 $S_{1}+S_{2}=a^{2}+b^{2}-a b=30$, 即可得到阴影部分的面积.

【详解】解: (1) 由图可得, $S_{1}=a^{2}-b^{2}, S_{2}=a^{2}-a(a-b)-2 b(a-b)=2 b^{2}-a b ;$

(2) $\mathrm{S}_{1}+\mathrm{S}_{2}=\mathrm{a}^{2}-\mathrm{b}^{2}+2 \mathrm{~b}^{2}-\mathrm{ab}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}-\mathrm{ab}$,

$\because \mathrm{a}+\mathrm{b}=10, \quad \mathrm{ab}=20, \quad \therefore \mathrm{S}_{1}+\mathrm{S}_{2}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}-\mathrm{ab}=(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{2}-3 a b=100-3 \times 20=40$;

(3) 由图可得, $S_{3}=a^{2}+b^{2}-\frac{1}{2} b(a+b)-\frac{1}{2} a^{2}=\frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}-a b\right)$,
$\because \mathrm{S}_{1}+\mathrm{S}_{2}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}-\mathrm{ab}=30, \quad \therefore \mathrm{S}_{3}=\frac{1}{2} \times 30=15$.

【点睛】本题考查了完全平方公式的变形求值及相关图形面积的计算, 属于常见题型, 熟练掌握完全平方公式及其变形、灵活应用整体思想是解题关键.
解析：(1) 用边长为 $\mathrm{a}$ 的正方形的面积减去边长为 $\mathrm{b}$ 的正方形的面积即为 $\mathrm{S}_{1}$, 用边长为 $\mathrm{a}$ 的正方形的面积减去一个边长分别为 $a 、(a-b)$ 的长方形的面积再减去两个边长分别为 $b 、(a-b)$ 的长方形的面积即为 $\mathrm{S}_{2}$, 据此解答即可; (2) 先计算 $\mathrm{S}_{1}+\mathrm{S}_{2}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}-\mathrm{ab}=(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{2}-3 a b$, 再将 $\mathrm{a}+\mathrm{b}=10$, $a b=20$ 整体代入计算即可; (3) 先计算 $S_{3}=\frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}-a b\right)$, 然后由 $S_{1}+S_{2}=a^{2}+b^{2}-a b=30$, 即可得到阴影部分的面积.

【详解】解: (1) 由图可得, $S_{1}=a^{2}-b^{2}, S_{2}=a^{2}-a(a-b)-2 b(a-b)=2 b^{2}-a b ;$

(2) $\mathrm{S}_{1}+\mathrm{S}_{2}=\mathrm{a}^{2}-\mathrm{b}^{2}+2 \mathrm{~b}^{2}-\mathrm{ab}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}-\mathrm{ab}$,

$\because \mathrm{a}+\mathrm{b}=10, \quad \mathrm{ab}=20, \quad \therefore \mathrm{S}_{1}+\mathrm{S}_{2}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}-\mathrm{ab}=(\mathrm{a}+\mathrm{b})^{2}-3 a b=100-3 \times 20=40$;

(3) 由图可得, $S_{3}=a^{2}+b^{2}-\frac{1}{2} b(a+b)-\frac{1}{2} a^{2}=\frac{1}{2}\left(a^{2}+b^{2}-a b\right)$,
$\because \mathrm{S}_{1}+\mathrm{S}_{2}=\mathrm{a}^{2}+\mathrm{b}^{2}-\mathrm{ab}=30, \quad \therefore \mathrm{S}_{3}=\frac{1}{2} \times 30=15$.

【点睛】本题考查了完全平方公式的变形求值及相关图形面积的计算, 属于常见题型, 熟练掌握完全平方公式及其变形、灵活应用整体思想是解题关键.
题目（七年级 · 组合几何学）：(本小题 8.0 分)

如图, 有 $A, B, C, D$ 四个村庄, 为解决当地的缺水问题, 政府准备修建一个蓄水池, 不考虑其他因素, 请你画出蓄水池 $P$ 的位置, 使它与四个村庄的距离之和最小.



$A \cdot$


选项：
答案：连接 $A C, B D$, 交点即为蓄水池 $P$ 的位置, 图略.
解析：略
题目（七年级 · 组合几何学）：小题8.0分)

如图11222, 在 $\triangle A C B$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, C D \perp A B$ 于点 $D$.



(1)求证: $\angle A C D=\angle B$;

(2)若 $A F$ 平分 $\angle C A B$ 分别交 $C D, B C$ 于点 $E, F$, 求证: $\angle C E F=\angle C F E$.
选项：
答案：证明: (1) $\because \angle A C B=90^{\circ}, C D \perp A B$ 于 $D$,

$\therefore \angle A C D+\angle B C D=90^{\circ}, \angle B+\angle B C D=90^{\circ}$,

$\therefore \angle A C D=\angle B ;$

(2)在Rt $\triangle A F C$ 中, $\angle C F A=90^{\circ}-\angle C A F$,

同理在Rt $\triangle A E D$ 中, $\angle A E D=90^{\circ}-\angle D A E$.

又 $\because A F$ 平分 $\angle C A B$,

$\therefore \angle C A F=\angle D A E$,

$\therefore \angle A E D=\angle C F E$,

又 $\because \angle C E F=\angle A E D$,

$\therefore \angle C E F=\angle C F E$.
解析：本题考查了直角三角形的性质, 三角形角平分线的定义, 对顶角的性质, 余角的性质,难度适中.

(1) 由于 $\angle A C D$ 与 $\angle B$ 都是 $\angle B C D$ 的余角, 根据同角的余角相等即可得证;

(2)根据直角三角形两锐角互余得出 $\angle C F A=90^{\circ}-\angle C A F, \angle A E D=90^{\circ}-\angle D A E$, 再根据角平分线的定义得出 $\angle C A F=\angle D A E$, 然后由对顶角相等的性质, 等量代换即可证明 $\angle C E F=\angle C F E$.
题目（七年级 · 组合几何学）：(本小题 8.0 分)

如图(1)所示是一个长为 $2 m$, 宽为 $2 n$ 的长方形, 沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形, 然后按图(2)的方式拼成一个正方形.



(1)



(2)

(1)图(2)中的大正方形的边长为 ; 阴影部分的正方形的边长为 \$ \qquad \$ ;

(2)请用两种方式表示图(2)中阴影部分的面积;


选项：
答案：(1) $m+n, m-n$;

(2)解: 图(2)中阴影部分的面积一是看作正方形的面积则为: $(m-n)^{2}$,也可看作是大正方形的面积减去四个小长方形的面积: 表示为 $(m+n)^{2}-4 m n$.

## 
解析：本题考查的是列代数式, 矩形的性质有关知识.

(1)根据图形直接写出大正方形的边长和阴影部分正方形的边长即可;

(2)利用面积法直接表示出答案即可.

## 【解答】

(1)解: 图(2)中的大正方形的边长为: $m+n$; 阴影部分的正方形的边长为: $m-n$;故答案为 $m+n, m-n$.

(2)见答案.
题目（七年级 · 组合几何学）：(本小题8.0分)

用正方形硬纸板做三棱柱盒子, 每个盒子由 3 个长方形侧面和 2 个正三角形底面组成.硬纸板以如图两种方法裁剪(裁剪后边角料不再利用).

$A$ 方法: 剪6个侧面;

$B$ 方法: 剪 4 个侧面和 5 个底面.



现有 19 张硬纸板，裁剪时 $x$ 张用 $A$ 方法，其余用 $B$ 方法.

(1)用含 $x$ 的代数式分别表示裁剪出的侧面和底面的个数.

(2)若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做多少个盒子.
选项：
答案：解：(1)裁剪出的侧面有 $6 x+4(19-x)=(2 x+76)$ 个,

裁剪出的底面有 $5(19-x)=(-5 x+95)$ 个.

(2) 由题意, 得 $\frac{2 x+76}{3}=\frac{-5 x+95}{2}$,

解得 $x=7$.

当 $x=7$ 时, $\frac{2 x+76}{3}=30$.

所以能做 30 个盒子.
解析：本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用, 一元一次方程的解法的运用, 列代数式的运用, 解答时根据裁剪出的侧面和底面个数相等建立方程是关键.

(1) 由 $x$ 张用 $A$ 方法, 就有 $(19-x)$ 张用 $B$ 方法, 就可以分别表示出侧面个数和底面个数;

(2) 由侧面个数和底面个数比为 $3: 2$ 建立方程求出 $x$ 的值, 求出侧面的总数就可以求出结论.
题目（七年级 · 组合几何学）：(2021 秋・南岗区期末) 已知: 在四边形 $A B C D$ 中, $\angle B=\angle D$, 点 $E$ 在边 $B C$ 的延长线上, 连接 $A E$交 $C D$ 于点 $F$, 若 $\angle B A F+\angle A F C=180^{\circ}$. (1) 如图 1, 求证: $A D / / B C$; (2) 如图 2, 过点 $D$ 作 $D G / /$ $A E$ 交 $B E$ 的延长线于点 $C$, 若 $\angle G=\angle B$, 在不添加任何辅助线的情况下, 请直接写出图 2 中除 $\angle B$ 以外的四个与 $\angle G$ 相等的角.



图1



图2
选项：
答案：(1) 证明: $\because \angle B A F+\angle A F C=180^{\circ}$,

$\therefore A B / / C D, \therefore \angle B=\angle E C D$,

$\because \angle B=\angle D, \quad \therefore \angle D=\angle E C D, \quad \therefore A D / / B C$

(2) $\because D G / / A E, \therefore \angle G=\angle A E B$, 由（1）得 $A D / / B C$,

$\therefore \angle A E B=\angle D A E, \quad \angle A D C=\angle D C G, \quad \therefore \angle G=\angle D A E$,

$\because \angle B=\angle A D C, \angle G=\angle B, \quad \therefore \angle G=\angle A D C=\angle D C G$,

综上所述, 所 $\angle G$ 相等的角有: $\angle A E B, \angle D A E, \angle A D C, \angle D C G$.
解析：(1) 由已知条件可得 $A B / / C D$, 从而有 $\angle B=\angle E C D$, 则可求得 $\angle D=\angle E C D$, 即可得 $A D / /$ $B C ; \quad(2)$ 利用平行线的性质进行求解即可.

【答案】(1) 证明: $\because \angle B A F+\angle A F C=180^{\circ}$,

$\therefore A B / / C D, \therefore \angle B=\angle E C D$,

$\because \angle B=\angle D, \quad \therefore \angle D=\angle E C D, \quad \therefore A D / / B C$

(2) $\because D G / / A E, \therefore \angle G=\angle A E B$, 由（1）得 $A D / / B C$,

$\therefore \angle A E B=\angle D A E, \quad \angle A D C=\angle D C G, \quad \therefore \angle G=\angle D A E$,

$\because \angle B=\angle A D C, \angle G=\angle B, \quad \therefore \angle G=\angle A D C=\angle D C G$,

综上所述, 所 $\angle G$ 相等的角有: $\angle A E B, \angle D A E, \angle A D C, \angle D C G$.

【点睛】本题主要考查平行线判定与性质, 解答的关键是对平行线的性质与判定条件的掌握与灵活运用.
题目（七年级 · 组合几何学）：(2021春$\cdot$新丰县期末) 如图, 已知点 $A$ 在 $E F$ 上, 点 $P, Q$ 在 $B C$ 上, $\angle E=\angle E M A, \angle B Q M=\angle B M Q$.

(1) 求证: $E F / / B C$; (2) 若 $F P \perp A C, \angle 2+\angle C=90^{\circ}$, 求证: $\angle 1=\angle B$;

(3) 若 $\angle 3+\angle 4=180^{\circ}, \angle B A F=3 \angle F-20^{\circ}$, 求 $\angle B$ 的度数.


选项：
答案：(1) 证明: $\because \angle E=\angle E M A, \angle B Q M=\angle B M Q, \angle E M A=\angle B M Q$,

$\therefore \angle E=\angle B Q M, \quad \therefore E F / / B C$

(2) 证明: $\because F P \perp A C, \quad \therefore \angle P G C=90^{\circ}$,

$\because E F / / B C, \quad \therefore \angle E A C+\angle C=180^{\circ}$,

$\because \angle 2+\angle C=90^{\circ}, \quad \therefore \angle B A C=\angle P G C=90^{\circ}$,

$\therefore A B / / F P, \quad \therefore \angle 1=\angle B$

（3）解: $\because \angle 3+\angle 4=180^{\circ}, \angle 4=\angle M N F$,

$\therefore \angle 3+\angle M N F=180^{\circ}, \therefore A B / / F P, \therefore \angle F+\angle B A F=180^{\circ}$,

$\because \angle B A F=3 \angle F-20^{\circ}, \therefore \angle F+3 \angle F-20^{\circ}=180^{\circ}$ ，解得 $\angle F=50^{\circ}$ ，

$\because A B / / F P, E F / / B C, \quad \therefore \angle B=\angle 1, \angle 1=\angle F, \therefore \angle B=\angle F=50^{\circ}$.
解析：(1) 根据, $\angle E=\angle E M A, \angle B Q M=\angle B M Q$, 结合对顶角相等可得 $\angle E=\angle B Q M$, 利用内错角相等两直线平行可证明结论; (2) 根据垂直的定义可得 $\angle P G C=90^{\circ}$, 由两直线平行同旁内角互补可得 $\angle E A C+\angle C=180^{\circ}$, 结合 $\angle 2+\angle C=90^{\circ}$, 可求得 $\angle B A C=90^{\circ}$, 利用同位角相等两直线平行可得 $A B / /$ $F P$, 进而可证明结论; (3) 根据同旁内角互补可判定 $A B / / F P$, 结合 $\angle B A F=3 \angle F-20^{\circ}$ 可求解 $\angle F$ 的度数, 根据平行线的性质可得 $\angle B=\angle F$, 即可求解.

【答案】(1) 证明: $\because \angle E=\angle E M A, \angle B Q M=\angle B M Q, \angle E M A=\angle B M Q$,

$\therefore \angle E=\angle B Q M, \quad \therefore E F / / B C$

(2) 证明: $\because F P \perp A C, \quad \therefore \angle P G C=90^{\circ}$,

$\because E F / / B C, \quad \therefore \angle E A C+\angle C=180^{\circ}$,

$\because \angle 2+\angle C=90^{\circ}, \quad \therefore \angle B A C=\angle P G C=90^{\circ}$,

$\therefore A B / / F P, \quad \therefore \angle 1=\angle B$

（3）解: $\because \angle 3+\angle 4=180^{\circ}, \angle 4=\angle M N F$,

$\therefore \angle 3+\angle M N F=180^{\circ}, \therefore A B / / F P, \therefore \angle F+\angle B A F=180^{\circ}$,

$\because \angle B A F=3 \angle F-20^{\circ}, \therefore \angle F+3 \angle F-20^{\circ}=180^{\circ}$ ，解得 $\angle F=50^{\circ}$ ，

$\because A B / / F P, E F / / B C, \quad \therefore \angle B=\angle 1, \angle 1=\angle F, \therefore \angle B=\angle F=50^{\circ}$.

【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定, 垂线的定义, 灵活运用平行线的性质与判定是解题的关键.
题目（七年级 · 组合几何学）：在直角 $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, D E \perp A C$ 于 $E$, 交 $A B$ 于 $D$.

(1)试指出 $B C 、 D E$ 被 $A B$ 所截时, $\angle 3$ 的同位角、内错角和同旁内角;

(2)试说明 $\angle 1=\angle 2=\angle 3$ 的理由. (提示: 三角形内角和是 $180^{\circ}$ )


选项：
答案：(1)当 $B C, D E$ 被 $A B$ 所截时, $\angle 3$ 的同位角为 $\angle 1 ; \angle 3$ 的内错角为 $\angle 2 ; \angle 3$ 的同旁内角为 $\angle 4$;

(2) $\because \angle 1+\angle A+\angle C=180^{\circ}, \angle 3+\angle A+\angle C=180^{\circ}$,

$\therefore \angle 1=\angle 3$

$\because \angle 1=\angle 2$

$$
\therefore \angle 1=\angle 2=\angle 3
$$
解析：(1)当 $B C, D E$ 被 $A B$ 所截时, $\angle 3$ 的同位角为 $\angle 1 ; \angle 3$ 的内错角为 $\angle 2 ; \angle 3$ 的同旁内角为 $\angle 4$;

(2) $\because \angle 1+\angle A+\angle C=180^{\circ}, \angle 3+\angle A+\angle C=180^{\circ}$,

$\therefore \angle 1=\angle 3$

$\because \angle 1=\angle 2$

$$
\therefore \angle 1=\angle 2=\angle 3
$$
题目（七年级 · 组合几何学）：一张如图 1 的长方形铁皮, 四个角都剪去边长为 30 厘米的正方形, 再四周折起, 做成一个有底无盖的铁盒如图 2, 铁盒底面长方形的长是 $4 a(\mathrm{~cm})$, 宽是 $2 a(\mathrm{~cm})$, 这个无盖铁盒各个面的面积之和称为铁盒的全面积.



图1



图2

(1) 请用 $a$ 的代数式表示图 1 中原长方形铁皮的面积;

（2）若要在铁盒的各个外表面漆上某种油漆, 每元钱可漆的面积为 a $\left(\mathrm{cm}^{2}\right)$, 则油漆这 25 个铁盒需要多少钱(用 $a$ 的代数式表示)?

(3) 若用若干个这样的铁盒用来装(480a3- 120a) $\mathrm{cm}^{3}$ 水, 假设每个铁盒都装满, 则共需要多少个这样的铁盒?
选项：
答案：(1) 原铁皮的面积是 $(4 a+60)(2 a+60)=8 a^{2}+360 a+3600\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$;

（2）油漆这个铁盒的表面积是 $2 a \times 4 a+2 \times 30 \times 4 a+2 \times 30 \times 2 a$

$=8 a^{2}+240 a+120 a$

$=8 a^{2}+360 a\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$,

则油漆这个铁盒需要的钱数是: $\left(8 a^{2}+360 a\right) \div a \times 25=(8 a+360) \times 25=(200 a+9000)$ 元,答: 油漆这 25 个铁盒需要（200a+9000）元钱

(3) $\left(480 a^{3}-120 a\right) \div(4 a \times 2 a \times 30)=\left(480 a^{3}-120 a\right) \div 240 a^{2}=2 a-\frac{1}{2 a}$,

答: 假设每个铁盒都装满, 则共需要 $\left(2 a-\frac{1}{2 a}\right)$ 个这样的铁盒.

【解析】此题考查整式的混合运算, 掌握长方体的全面积与底面积的计算方法是解决问题的关键.

(1) 根据图形表示出原长方形铁皮的面积即可;

（2）根据长方体表面积公式, 求出铁盒的表面积, 乘以单价, 再乘以数量即可得到结果;

（3）先求得这个铁盒的容积 $4 a \times 2 a \times 30$, 再计算 $\left(480 a^{3}-120 a\right) \div(4 a \times 2 a \times 30)$, 即可得到答案.
解析：(1) 原铁皮的面积是 $(4 a+60)(2 a+60)=8 a^{2}+360 a+3600\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$;

（2）油漆这个铁盒的表面积是 $2 a \times 4 a+2 \times 30 \times 4 a+2 \times 30 \times 2 a$

$=8 a^{2}+240 a+120 a$

$=8 a^{2}+360 a\left(\mathrm{~cm}^{2}\right)$,

则油漆这个铁盒需要的钱数是: $\left(8 a^{2}+360 a\right) \div a \times 25=(8 a+360) \times 25=(200 a+9000)$ 元,答: 油漆这 25 个铁盒需要（200a+9000）元钱

(3) $\left(480 a^{3}-120 a\right) \div(4 a \times 2 a \times 30)=\left(480 a^{3}-120 a\right) \div 240 a^{2}=2 a-\frac{1}{2 a}$,

答: 假设每个铁盒都装满, 则共需要 $\left(2 a-\frac{1}{2 a}\right)$ 个这样的铁盒.

【解析】此题考查整式的混合运算, 掌握长方体的全面积与底面积的计算方法是解决问题的关键.

(1) 根据图形表示出原长方形铁皮的面积即可;

（2）根据长方体表面积公式, 求出铁盒的表面积, 乘以单价, 再乘以数量即可得到结果;

（3）先求得这个铁盒的容积 $4 a \times 2 a \times 30$, 再计算 $\left(480 a^{3}-120 a\right) \div(4 a \times 2 a \times 30)$, 即可得到答案.
题目（七年级 · 组合几何学）：在如图所示的 $3 \times 3$ 的方格中, 画出 4 个面积小于 9 的不同的正方形 (用阴影部分表示), 且所画正方形的顶点都在方格的顶点上, 并写出相应正方形的边长.



边长:



边长:



边长:



边长:
选项：
答案：解：如图所示:

<ImageHere>

边长: $\sqrt{5}$

<ImageHere>

边长: $\sqrt{2}$

<ImageHere>

边长: 1

<ImageHere>

边长: 2
解析：解：如图所示:



边长: $\sqrt{5}$



边长: $\sqrt{2}$



边长: 1



边长: 2
题目（七年级 · 画法几何学）：如图, 在平面内有 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B} 、 \mathrm{C}$ 三点,

## A

(1) 请根据下列语句画图:

(1)画直线 $A C$ 、线段 $B C$ 、射线 $A B$;

(2)在线段 $\mathrm{BC}$ 上任取一点 $\mathrm{D}$ (不同于点 $\mathrm{B} 、 \mathrm{C}$ ), 连接线段 $\mathrm{AD}$;

(2) 此时图中的线段共有 \$ \qquad \$条.
选项：
答案：(1) 解: (1)如图, 直线 $\mathrm{AC}$, 线段 $\mathrm{BC}$, 射线 $\mathrm{AB}$ 即为所求;

<ImageHere>

(2)如图, 线段 $\mathrm{AD}$ 即为所求;

(2) 6
解析：(2) 由题可得, 图中线段为 $\mathrm{AB}, \mathrm{AC}, \mathrm{AD}, \mathrm{BD}, \mathrm{CD}, \mathrm{BC}$, 条数共为 6 .故答案为: 6 .
题目（七年级 · 画法几何学）：如图 1, 将一副直角三角板的两顶点重合叠放于点 $O$, 其中一个三角板的顶点 $C$ 落在另一个三角板的边 $O A$ 上. 已知 $\angle A B O=\angle D C O=90^{\circ}, \angle A O B=45^{\circ}, \angle C O D=60^{\circ}$, 作 $\angle A O D$ 的平分线交边 $C D$ 于点 $E$.



(1) 求 $\angle B O E$ 的度数;

（2）如图 2, 若点 $C$ 不落在边 $O A$ 上, 当 $\angle C O E=15^{\circ}$ 时, 求 $\angle B O D$ 的度数.
选项：
答案：(1) 解: $\because \angle A O D=60^{\circ}, O E$ 平分 $\angle A O D$,

$\therefore \angle A O E=\frac{1}{2} \angle A O D=30^{\circ}$

$\because \angle A O B=45^{\circ}$

$\therefore \angle B O E=\angle A O E+\angle A O B=75^{\circ}$

（2）解: $\because \angle C O D=60^{\circ}, \angle C O E=15^{\circ}$,

$\therefore \angle D O E=\angle C O D-\angle C O E=45^{\circ}$

$\because O E$ 平分 $\angle A O D$

$\therefore \angle A O D=2 \angle D O E=90^{\circ}$

$\because \angle A O B=45^{\circ}$

$\therefore \angle B O D=\angle A O D+\angle A O B=135^{\circ}$
解析：(1) 解: $\because \angle A O D=60^{\circ}, O E$ 平分 $\angle A O D$,

$\therefore \angle A O E=\frac{1}{2} \angle A O D=30^{\circ}$

$\because \angle A O B=45^{\circ}$

$\therefore \angle B O E=\angle A O E+\angle A O B=75^{\circ}$

（2）解: $\because \angle C O D=60^{\circ}, \angle C O E=15^{\circ}$,

$\therefore \angle D O E=\angle C O D-\angle C O E=45^{\circ}$

$\because O E$ 平分 $\angle A O D$

$\therefore \angle A O D=2 \angle D O E=90^{\circ}$

$\because \angle A O B=45^{\circ}$

$\therefore \angle B O D=\angle A O D+\angle A O B=135^{\circ}$
题目（七年级 · 画法几何学）：已知, $\mathrm{O}$ 是直线 $\mathrm{AB}$ 上的一点, $\mathrm{OC} \perp \mathrm{OE}$.



图1



图2



图3

(1) 如图(1), 若 $\angle \mathrm{COA}=34^{\circ}$, 求 $\angle \mathrm{BOE}$ 的度数.

(2) 如图(2), 当射线 $\mathrm{OC}$ 在直线 $\mathrm{AB}$ 下方时, $\mathrm{OF}$ 平分 $\angle \mathrm{AOE}, \angle \mathrm{BOE}=130^{\circ}$, 求 $\angle \mathrm{COF}$ 的度数.

(3) 在 (2) 的条件下, 如图 (3), 在 $\angle \mathrm{BOE}$ 内部作射线 $\mathrm{OM}$, 使 $\angle \mathrm{COM}+\frac{17}{10} \angle \mathrm{AOE}=$ $2 \angle \mathrm{BOM}+\angle \mathrm{FOM}$, 求 $\angle \mathrm{BOM}$ 的度数.
选项：
答案：(1) 解: $\because \mathrm{OC} \perp \mathrm{OE}, \angle \mathrm{COA}=34^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BOE}=180^{\circ}-90^{\circ}-34^{\circ}=56^{\circ} ;$

(2) 解: $\because \angle \mathrm{BOE}=130^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{AOE}=180^{\circ}-\angle \mathrm{BOE}=50^{\circ}$

$\because \mathrm{OF}$ 平分 $\angle \mathrm{AOE}$

$\therefore \angle \mathrm{EOF}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{AOE}=25^{\circ}=\angle \mathrm{AOF}$

$\because \mathrm{OC} \perp \mathrm{OE}$

$\therefore \angle \mathrm{COF}=90^{\circ}-\angle \mathrm{EOF}=65^{\circ} ;$

(3) 解: $\because \mathrm{OC} \perp \mathrm{OE}$,

$\therefore \angle \mathrm{AOC}=90^{\circ}-\angle \mathrm{AOE}=40^{\circ}$

设 $\angle \mathrm{BOM}$ 的度数为 $\mathrm{x}$

$\therefore \angle \mathrm{COM}=\angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{AOM}=40^{\circ}+180^{\circ}-\mathrm{x}=220^{\circ}-\mathrm{x}, \quad \angle \mathrm{FOM}=\angle \mathrm{AOM}-\angle \mathrm{AOF}=180^{\circ}-\mathrm{x}-25^{\circ}=155^{\circ}-\mathrm{x}$

$\because \angle \mathrm{COM}+\frac{17}{10} \angle \mathrm{AOE}=2 \angle \mathrm{BOM}+\angle \mathrm{FOM}$,
$\therefore 220^{\circ}-\mathrm{x}+\frac{17}{10} \times 50^{\circ}=2 \mathrm{x}+155^{\circ}-\mathrm{x}$

解得 $x=75^{\circ}$

$\therefore \angle \mathrm{BOM}$ 的度数为 $75^{\circ}$.
解析：(1) 解: $\because \mathrm{OC} \perp \mathrm{OE}, \angle \mathrm{COA}=34^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{BOE}=180^{\circ}-90^{\circ}-34^{\circ}=56^{\circ} ;$

(2) 解: $\because \angle \mathrm{BOE}=130^{\circ}$,

$\therefore \angle \mathrm{AOE}=180^{\circ}-\angle \mathrm{BOE}=50^{\circ}$

$\because \mathrm{OF}$ 平分 $\angle \mathrm{AOE}$

$\therefore \angle \mathrm{EOF}=\frac{1}{2} \angle \mathrm{AOE}=25^{\circ}=\angle \mathrm{AOF}$

$\because \mathrm{OC} \perp \mathrm{OE}$

$\therefore \angle \mathrm{COF}=90^{\circ}-\angle \mathrm{EOF}=65^{\circ} ;$

(3) 解: $\because \mathrm{OC} \perp \mathrm{OE}$,

$\therefore \angle \mathrm{AOC}=90^{\circ}-\angle \mathrm{AOE}=40^{\circ}$

设 $\angle \mathrm{BOM}$ 的度数为 $\mathrm{x}$

$\therefore \angle \mathrm{COM}=\angle \mathrm{AOC}+\angle \mathrm{AOM}=40^{\circ}+180^{\circ}-\mathrm{x}=220^{\circ}-\mathrm{x}, \quad \angle \mathrm{FOM}=\angle \mathrm{AOM}-\angle \mathrm{AOF}=180^{\circ}-\mathrm{x}-25^{\circ}=155^{\circ}-\mathrm{x}$

$\because \angle \mathrm{COM}+\frac{17}{10} \angle \mathrm{AOE}=2 \angle \mathrm{BOM}+\angle \mathrm{FOM}$,
$\therefore 220^{\circ}-\mathrm{x}+\frac{17}{10} \times 50^{\circ}=2 \mathrm{x}+155^{\circ}-\mathrm{x}$

解得 $x=75^{\circ}$

$\therefore \angle \mathrm{BOM}$ 的度数为 $75^{\circ}$.
题目（七年级 · 画法几何学）：如图, $\mathrm{C}$ 是线段 $\mathrm{AB}$ 外一点, 按要求画图:



(1) 画射线 $\mathrm{CB}$;

(2) 反向延长线段 $A B$;

(3) 连接 $\mathrm{AC}$, 并延长 $\mathrm{AC}$ 到 $\mathrm{D}$, 使 $C D=A C$;

(4) 观察画完的图形, 比较大小: $A B+A C$是 . \$ \qquad \$



(1)



(2)



(3)
选项：
答案：(1) 解：射线 $C B$ 即为所求; (2) 射线 $B A$ 即为所求; (3) 线段 $C D$ 即为所求;
解析：(4) 解：由图知, $A B+A C>B C$, 根据是两点之间线段最短,

故答案为: $>$, 两点之间线段最短.
题目（七年级 · 画法几何学）：如图 1, 纸上有五个边长为 1 的小正方形组成的图形纸, 我们可以把它剪开拼成一个正方形.



图 1



图 2



图 3

(1) 拼成的正方形的面积与边长分别是多少?

(2) 如图 2 所示, 以数轴的单位长度的线段为边作一个直角三角形, 以数轴的 -1 点为圆心, 直角三角形的最大边为半径画弧, 交数轴正半轴于点 $\mathrm{A}$, 那么点 $\mathrm{A}$ 表示的数是多少? 点 $\mathrm{A}$ 表示的数的相反数是多少?

（3）如图 3 你能把十三个小正方形组成的图形纸, 剪开并拼成正方形吗? 若能, 请画出示意图,并求它的边长是多少?


选项：
答案：(1) 解：拼成的正方形的面积等于原来 5 个小正方形面积之和, 即为 5 ,

$\because$ 正方形的面积等于边长的平方, $\therefore$ 正方形的边长即为面积的算术平方根, 为 $\sqrt{5}$;

(2) 解: 设点 $A$ 表示的数为 $x$, 则由题意可得: $x-(-1)=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{5}, \therefore x=\sqrt{5}-1$,又 $\because-(\sqrt{5}-1)=1-\sqrt{5}, \therefore$ 点 $\mathrm{A}$ 表示的数是 $\sqrt{5}-1$, 点 $\mathrm{A}$ 表示的数的相反数是 $1-\sqrt{5}$;

(3) 解: 如图,

<ImageHere>

可以按如下方式把十三个小正方形组成的图形纸剪拼成正方形, 其中三角形 A 可以平移至三角形 $\mathrm{C}$, 三角形 $\mathrm{B}$ 可以平移至三角形 $\mathrm{D}$, 由题意可知其边长为 13 的算术平方根, 即 $\sqrt{13}$.
解析：(1) 解：拼成的正方形的面积等于原来 5 个小正方形面积之和, 即为 5 ,

$\because$ 正方形的面积等于边长的平方, $\therefore$ 正方形的边长即为面积的算术平方根, 为 $\sqrt{5}$;

(2) 解: 设点 $A$ 表示的数为 $x$, 则由题意可得: $x-(-1)=\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}=\sqrt{5}, \therefore x=\sqrt{5}-1$,又 $\because-(\sqrt{5}-1)=1-\sqrt{5}, \therefore$ 点 $\mathrm{A}$ 表示的数是 $\sqrt{5}-1$, 点 $\mathrm{A}$ 表示的数的相反数是 $1-\sqrt{5}$;

(3) 解: 如图,



可以按如下方式把十三个小正方形组成的图形纸剪拼成正方形, 其中三角形 A 可以平移至三角形 $\mathrm{C}$, 三角形 $\mathrm{B}$ 可以平移至三角形 $\mathrm{D}$, 由题意可知其边长为 13 的算术平方根, 即 $\sqrt{13}$.
题目（七年级 · 画法几何学）：(2021-浙江杭州市$\cdot$七年级月考) 如图 $D E$ 平分 $\angle B D F, A F$ 平分 $\angle B A C$, 且 $\angle 1=\angle 2$,
$\angle C F A=70^{\circ}$.
(1) 说明 $A F / / D E$;
(2) 求 $\angle D E B$ 的度数.




选项：
答案：(1) 见解析; (2) $110^{\circ}$

【分析】 (1) 只要证明 $\angle \mathrm{BDE}=\angle 2$ 即可. (2) 利用平行线的性质求出 $\angle \mathrm{DEC}$ 即可解决问题.

【详解】解: (1) 证明: $\because \mathrm{DE}$ 平分 $\angle \mathrm{BDF}, \quad \therefore \angle 1=\angle \mathrm{BDE}$,

$\because \angle 1=\angle 2, \therefore \angle \mathrm{BDE}=\angle 2, \therefore \mathrm{AF} / / \mathrm{DE} ;$

(2) $\because \mathrm{AF} / / \mathrm{DE}, \therefore \angle \mathrm{DEC}=\angle \mathrm{AFC}=70^{\circ}, \therefore \angle \mathrm{DEB}=180^{\circ}-\angle \mathrm{DEC}=110^{\circ}$.

【点睛】本题考查平行线的判定和性质, 角平分线的定义, 解题的关键是熟练掌握基本知识, 属于中考常考题型.
解析：(1) 只要证明 $\angle \mathrm{BDE}=\angle 2$ 即可. (2) 利用平行线的性质求出 $\angle \mathrm{DEC}$ 即可解决问题.

【详解】解: (1) 证明: $\because \mathrm{DE}$ 平分 $\angle \mathrm{BDF}, \quad \therefore \angle 1=\angle \mathrm{BDE}$,

$\because \angle 1=\angle 2, \therefore \angle \mathrm{BDE}=\angle 2, \therefore \mathrm{AF} / / \mathrm{DE} ;$

(2) $\because \mathrm{AF} / / \mathrm{DE}, \therefore \angle \mathrm{DEC}=\angle \mathrm{AFC}=70^{\circ}, \therefore \angle \mathrm{DEB}=180^{\circ}-\angle \mathrm{DEC}=110^{\circ}$.

【点睛】本题考查平行线的判定和性质, 角平分线的定义, 解题的关键是熟练掌握基本知识, 属于中考常考题型.
题目（七年级 · 画法几何学）：小题8.0分)

如图, 平原上有 $A, B, C, D$ 四个村庄, 直线 $E F$ 是河岸.为解决当地缺水问题, 政府准备投资修建一个蓄水池.



(1)不考虑其他因素, 请你画图确定蓄水池点 $H$ 的位置, 使它到四个村庄的距离之和最小.

(2)现计划把河水引入蓄水池 $H$ 中, 怎样开渠最短?说明依据.
选项：
答案：(1)因为两点之间线段最短, 所以连结 $A D, B C$, 交于点 $H$ (如图), 则点 $H$ 为蓄水池的位置, 它到四个村庄的距离之和最小.(2)过点 $H$ 作 $H G \perp E F$, 垂足为 $G$ (如图), 沿 $H G$ 开渠最短, 依据: 直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短.<ImageHere>
解析：略