eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高三 · 代数）：设 $f(x)$ 是在 $(0,+\infty)$ 上的可导函数, 且 $f^{\prime}(x) \geq \frac{2}{x} f(x), f(1)=4, f(2)=16$, 则下列一定不成立的是 ( )
选项：
A. $f\left(\frac{3}{2}\right)=8$
B. $f(3)=40$
C. $f(4)=72$
D. $f(5)=120$
答案：A
解析：答案: A
【解析】$\because f(x)$ 是在 $(0,+\infty)$ 上的可导函数, 且 $f^{\prime}(x) \geq \frac{2}{x} f(x), \therefore \frac{x f^{\prime}(x)-2 f(x)}{x} \geq 0$,

设 $g(x)=\frac{f(x)}{x^{2}}, x>0, \therefore g(x)=\frac{f^{\prime}(x) x^{2}-f(x) 2 x}{x^{4}}=\frac{x f^{\prime}(x)-2 f(x)}{x^{3}} \geq 0$ ，



又 $g(1)=\frac{f(1)}{1^{2}}=4, g(2)=\frac{f(2)}{2^{2}}=4, \therefore g(x)_{\text {在区间 }\lfloor 1,2\rfloor \text { 上是常数函数, }}$,

$\therefore g\left(\frac{3}{2}\right)=4=\frac{f\left(\frac{3}{2}\right)}{\frac{9}{4}}, \quad \therefore f\left(\frac{3}{2}\right)=9$.

又 $g(3) \geq 4, \therefore f(3) \geq 36, \quad g(4) \geq 4, \therefore f(4) \geq 64, \quad g(5) \geq 4, \therefore f(5) \geq 100$.

故答案为: A.


$f(1)=4, f(2)=16$, 可得 $g(1)=g(2)=4$, 故 $g(x)$ 在区间 $\lfloor 1,2\rfloor$ 上是常数函数, 可求 $f\left(\frac{3}{2}\right)_{\text {的值, }}$可得 $A$ 的正误. 再根据 $g(3) \geq 4, g(4) \geq 4, g(5) \geq 4$, 求出 $f(3), f(4), f(5)$ 的取值范围, 进而判断 $B, C, D$ 的正误, 即得答案.



13.答案: $\mathrm{B}, \mathrm{C}$

【解析】由图象得 $x<-3$ 时, $f^{\prime}(x)<0, x>-3$ 时, $f^{\prime}(x) \geqslant 0$,故 $f(x)$ 在 $(-\infty,-3)$ 单调递减, 在 $(-3,+\infty)$ 单调递增, 故 $x=-3$ 是函数 $f(x)$ 的极小值点.对选项 D: 显然 $f^{\prime}(0)>0$, 故 $D$ 错误.

故答案为: BC.

【分析】根据导函数图象，求得函数单调性，结合极值点定义，即可容易判断选择.
题目（高三 · 代数）：已知函数 $f(x)=x \ln x$, 若 $0<x_{1}<x_{2}$, 则下列选项正确的是 ( )
А. $\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}<0$
B. $x_{1}+f\left(x_{1}\right)<x_{2}+f\left(x_{2}\right)$
C. $x_{2} f\left(x_{1}\right)<x_{1} f\left(x_{2}\right)$
D. 当 $x_{2}>x_{1}>\frac{1}{e}$ 时, $x_{1} f\left(x_{1}\right)+x_{2} f\left(x_{2}\right)>x_{2} f\left(x_{1}\right)+x_{1} f\left(x_{2}\right)$
15. 已知 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$, 下列结论正确的是 ( )
选项：
A. $f(x)$ 在 $(0, \mathrm{e})$ 上单调递增
B. $f(2)>f(3)$
C. $f(x)$ 的图象在点 $(1,0)$ 处的切线方程为 $y=x$

D. 若关于 $x$ 的不等式 $\left(\frac{1}{x}\right)^{\frac{2}{x}} \leq \frac{1}{27}$ 有正整数解, 则 $\lambda \geq 9$
答案：CD
解析：答案: C,D

【解析】对于 A 选项, 函数 $f(x)=x \ln x$, 定义域为 $(0,+\infty), f^{\prime}(x)=\ln x+1$.令 $f^{\prime}(x)<0$, 则 $0<x<\frac{1}{e}$; 令 $f^{\prime}(x)>0$, 可得 $x>\frac{1}{e}$.所以，函数 $f(x)=x \ln x$ 的单调递减区间为 $\left(0, \frac{1}{e}\right)$, 单调递增区间为 $\left(\frac{1}{e},+\infty\right)$.
当 $x_{2}>x_{1}>\frac{1}{e}$ 时, $f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)<0$, 则 $\frac{f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)}{x_{1}-x_{2}}>0$, $\mathrm{A}$ 选项错误;

对于 $\mathrm{B}$ 选项, 构造函数 $g(x)=f(x)+x=x \ln x+x$, 定义域为 $(0,+\infty), g(x)=\ln x+2$,

当 $0<x<\frac{1}{e^{2}}$ 时, $g(x)<0$; 当 $x>\frac{1}{e^{2}}$ 时, $g(x)>0$.

所以，函数 $g(x)=x \ln x+x$ 的单调递减区间为 $\left(0, \frac{1}{e^{2}}\right)$ ，单调递增区间为 $\left(\frac{1}{e^{2}},+\infty\right)$,

当 $0<x_{1}<x_{2}<\frac{1}{e^{2}}$ 时, $x_{1}+f\left(x_{1}\right)>x_{2}+f\left(x_{2}\right)$, B 选项错误;

对于 C 选项, $\frac{f(x)}{x}=\ln x$, 由于函数 $y=\ln x$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增,

当 $0<x_{1}<x_{2}$ 时, $\ln x_{1}<\ln x_{2}$, 即 $\frac{f\left(x_{1}\right)}{x_{1}}<\frac{f\left(x_{2}\right)}{x_{2}}$, 所以, $x_{2} f\left(x_{1}\right)<x_{1} f\left(x_{2}\right)$, C 选项正确;

对于 $\mathrm{D}$ 选项, 由 $\mathrm{A}$ 选项知, 函数 $y=f(x)$ 在区间 $\left(\frac{1}{e},+\infty\right)$ 上单调递增,

当 $x_{2}>x_{1}>\frac{1}{e}$ 时, $f\left(x_{1}\right)<f\left(x_{2}\right)$, 则 $\left(x_{1}-x_{2}\right) f\left(x_{1}\right)>\left(x_{1}-x_{2}\right) f\left(x_{2}\right)$,

即 $x_{1} f\left(x_{1}\right)+x_{2} f\left(x_{2}\right)>x_{2} f\left(x_{1}\right)+x_{1} f\left(x_{2}\right)$, D 选项正确.

故答案为: CD.

【分析】利用导数判断函数 $y=f(x)$ 的单调性, 可判断 $\mathrm{A}$ 选项; 构造函数 $g(x)=f(x)+x$, 利用导数判断函数 $y=g(x)$ 的单调性, 可判断 $\mathrm{B}$ 选项; 由函数 $y=\ln x$ 的单调性可判断 $\mathrm{C}$ 选项; 利用函数 $y=f(x)$ 在区间 $\left(\frac{1}{e},+\infty\right)$ 上的单调性可判断 $\mathrm{D}$ 选项.
题目（高三 · 代数）：已知函数 $f(x)=x \ln x$, 给出下面四个命题: (1)函数 $f(x)$ 的最小值为 $-\frac{1}{e}$; (2)函数 $f(x)$ 有两个


则其中错误命题的序号是 ( )
选项：
A. (1)
B. (2)
C. (3)
D. (4)
答案：BCD
解析：答案: B,C,D

【解析】因为函数 $f(x)=x \ln x$, 所以 $f^{\prime}(x)=1+\ln x$

当 $0<x<\frac{1}{e}$ 时, $f^{\prime}(x)<0$, 当 $x>\frac{1}{e}$ 时, $f^{\prime}(x)>0$,所以当 $x=\frac{1}{e}$ 时, $f(x)$ 的最小值为 $-\frac{1}{e}$,如图所示:



当 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x) \rightarrow 0$, 当 $x \rightarrow+\infty$ 时, $f(x) \rightarrow+\infty$, 所以函数 $f(x)$ 有一个零点;


故错误命题的序号是 (2)(3)(4)。

故答案为: BCD

【分析】由函数 $f(x)=x \ln x$, 求导 $f^{\prime}(x)=1+\ln x$, 当 $0<x<\frac{1}{e}$ 时, $f^{\prime}(x)<0$, 当 $x>\frac{1}{e}$ 时, $f^{\prime}(x)>0$, 作出函数图象逐项判断, 从而找出错误的命题序号。



17.答案: 1

【解析】由函数的解析式可得: $f^{\prime}(x)=\frac{e^{x}(x+a)-e^{x}}{(x+a)^{2}}=\frac{e^{x}(x+a-1)}{(x+a)^{2}}$,则: $f^{\prime}(1)=\frac{e^{\mathrm{l} \times(1+a-1)}}{(1+a)^{2}}=\frac{a e}{(a+1)^{2}}$, 据此可得: $\frac{a e}{(a+1)^{2}}=\frac{e}{4}$,
整理可得: $a^{2}-2 a+1=0$, 解得: $a=1$.

故答案为: 1 .

【分析】由题意首先求得导函数的解析式, 然后得到关于实数 $\mathrm{a}$ 的方程, 解方程即可确定实数 $\mathrm{a}$ 的值
题目（高三 · 代数）：已知函数 $f(x)=\frac{1}{2} x^{2}-\ln x, f^{\prime}(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数, 则 $f^{\prime}(1)$ 的值为 ( )
选项：
A. -1
B. $-\frac{1}{2}$
C. 0
D. $\frac{1}{2}$
答案：C
解析：答案: C

【解析】由 $f(x)=\frac{1}{2} x^{2}-\ln x$

可得, $f^{\prime}(x)=x-\frac{1}{x}$ ，

所以, $f^{\prime}(1)=1-\frac{1}{1}=0$.

故答案为: C

【分析】求幂函数和对数函数的导数, 代入 1 即可得出结果.
题目（高三 · 代数）：若 $z(1+i)=1-i$, 则 $\mathrm{z}=(\quad)$
选项：
A. $1-\mathrm{i}$
B. $1+\mathrm{i}$
C. $-\mathrm{i}$
D. i
答案：D
解析：答案: D

【解析】 因为 $\bar{z}=\frac{1-i}{1+i}=\frac{(1-i)^{2}}{(1+i)(1-i)}=\frac{-2 i}{2}=-i$, 所以 $z=i$.

故答案为: D

【分析】先利用除法运算求得 $z$, 再利用共轭复数的概念得到 $\mathrm{z}$ 即可.
题目（高三 · 代数）：下列命题中,正确的命题是 ( )
选项：
A. 若 $z_{1} z_{2} \in C, z_{1}-z_{2}>0$, 则 $z_{1}>z_{2}$
B. 若 $z \in R$, 则 $z \cdot \bar{z}=\left|z^{2}\right|^{2}$ 不成立
C. $z_{1} z_{2} \in C, z_{1} \cdot z_{2}=0$, 则 $z_{1}=0$ 或 $z_{2}=0$
D. $z_{1} 、 z_{2} \in C, z_{1} 2+z_{2} 2=0$, 则 $z_{1}=0$ 且 $z_{2}=0$
答案：C
解析：答案: C

【解析】 A. 当 $z_{1}=2+i, z_{2}=1+i_{\text {时, }} z_{1}-z_{2}=1>0$, 此时 $z_{1}, z_{2}$ 无法比较大小, 故错误;

B. 当 $z=0$ 时, $\bar{z}=z=0$, 所以 $z \cdot \bar{z}=\mid z^{2}=0$, 所以此时 $z \cdot \bar{z}=\left|z^{2}\right|^{2}$ 成立, 故错误;

C. 根据复数乘法的运算法则可知: $z_{1}=0_{\text {或 }} z_{2}=0$, 故正确;

D. 当 $z_{1}=i, z_{2}=1_{\text {时, }} z_{1} 2+z_{2}^{2}=-1+1=0$, 此时 $z_{1} \neq 0$ 且 $z_{2} \neq 0$, 故错误.

故答案为: C.

【分析】A. 根据复数虚部相同，实部不同时，举例可判断结论是否正确;

B. 根据实数的共轭复数还是其本身判断 $z \cdot \bar{z}=\mid z^{2}$ 是否成立;

C. 根据复数乘法的运算法则可知是否正确;

D. 考虑特殊情况: $z_{1}=i, z_{2}=1$, 由此判断是否正确.
题目（高三 · 代数）：若复数 $\mathrm{z}$ 满足 $z(2-i)=18+11 i$, 则 $|\bar{z}-4 i|=$ （）
选项：
A. $\sqrt{13}$
B. $\sqrt{15}$
C. 13
D. 15
答案：C
解析：答案: C
【解析】 $\because$ 复数 $z$ 满足 $z(2-i)=18+11 i$

$$
\begin{aligned}
& z=\frac{18+11 i}{2-i}=\frac{(18+11 i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\frac{36+40 i+11 i^{2}}{5}=5+8 i \\
& \therefore \bar{z}=5-8 i, \quad \bar{z}-4 i=5-8 i-4 i=5-12 i \\
& \therefore|\bar{z}-4 i|=|5-12 i|=\sqrt{5^{2}+(-12)^{2}}=13
\end{aligned}
$$

故答案为: C.

【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的概念以及模的计算公式即可得出.
题目（高三 · 代数）：已知 $\mathrm{a}$ 是实数, $\frac{a+i}{1-i}$ 是实数, 则 $\cos \frac{a \pi}{3}$ 的值为 ( )
选项：
A. $\frac{1}{2}$
B. $-\frac{1}{2}$
C. 0
D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$
答案：A
解析：答案: A

【解析】 【解析】 $\because \frac{a+i}{1-i}=\frac{(a+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\frac{a-1}{2}+\frac{a+1}{2} i_{\text {是实数, }}$

$\therefore \frac{a+1}{2}=0$, 即 $a=-1$.

$\therefore \cos \frac{a \pi}{3}=\cos \left(-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}$.

故答案为: A.

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简, 由虚部为 0 求得 $a$ 值, 代入 $\cos \frac{a \pi}{3}$ 得答案.
题目（高三 · 代数）：设复数 $\mathrm{z}$ 满足 $z=-1-2 i, \mathrm{i}$ 为虚数单位, 则下列命题正确的是( )
选项：
A. $|z|=\sqrt{5}$
B. 复数 $\mathrm{z}$ 在复平面内对应的点在第四象限
C. $z$ 的共轭复数为 $-1+2 i$
D. 复数 $\mathrm{z}$ 在复平面内对应的点在直线 $y=-2 x$

上
答案：AC
解析：答案: $A, C$

【解析】 $|z|=\sqrt{(-1)^{2}+(-2)^{2}}=\sqrt{5}, \mathrm{~A}$ 符合题意;

复数 $\mathrm{z}$ 在复平面内对应的点的坐标为 $(-1,-2)$, 在第三象限, $\mathrm{B}$ 不正确;

$\mathrm{z}$ 的共轭复数为 $-1+2 i, \mathrm{C}$ 符合题意;

复数 $\mathrm{z}$ 在复平面内对应的点 $(-1,-2)$ 不在直线 $y=-2 x$ 上, $\mathrm{D}$ 不正确.

故答案为: $\mathrm{AC}$

【分析】根据复数的模、复数对应点的坐标、共轪复数等知识, 选出正确选项.
题目（高三 · 代数）：已知复数 $z=a+\sqrt{3} i$ 在复平面内对应的点位于第二象限, 且 $|z|=2$ 则下列结论正确的是（）.
选项：
A. $z^{3}=8$
B. $\mathrm{z}$ 的虚部为 $\sqrt{3}$
C. $\mathrm{z}$ 的共轭复数为 $1+\sqrt{3} i$
D. $z^{2}=4$
答案：D
解析：答案: A,B

【解析】 $\because z=a+\sqrt{3} i$, 且 $|z|=2 \therefore a^{2}+(\sqrt{3})^{2}=4, \quad a= \pm 1$,



A: $(-1+\sqrt{3} i)^{3}=(-1)^{3}+3(-1)^{2} \sqrt{3} i+3(-1)(\sqrt{3} i)^{2}+(\sqrt{3} i)^{3}=8$;

B: $z=-1+\sqrt{3} i_{\text {的虚部是 }} \sqrt{3}$;

$\mathrm{C}: z=-1+\sqrt{3} i$ 的共轭复数为 $z=-1-\sqrt{3} i$;

D: $(-1+\sqrt{3} i)^{2}=(-1)^{2}+2(-1) \sqrt{3} i+(\sqrt{3} i)^{2}=-2-2 \sqrt{3} i$.

故答案为: $\mathrm{AB}$.

【分析】利用复数 $|z|=2$ 的模长运算及 $z=a+\sqrt{3} i$ 在复平面内对应的点位于第二象限求出 $\mathrm{a}$, 再验算每个选项得解.

16.答案: C,D

【解析】

$$
\because z=\frac{i}{1-2 i}=\frac{i(1+2 i)}{(1-2 i)(1+2 i)}=-\frac{2}{5}+\frac{1}{5} i
$$

$\therefore$ 复数 $z$ 的虚部为 $\frac{1}{5}, z$ 的共轭复数 $\bar{z}=-\frac{2}{5}-\frac{i}{5}, \|=\sqrt{\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$,复平面内与 $z$ 对应的点的坐标为 $\left(-\frac{2}{5}, \frac{1}{5}\right)$, 在第二象限.

故答案为: $\mathrm{CD}$.

【分析】利用复数的乘除运算可得 $z=-\frac{2}{5}+\frac{1}{5} i$, 根据复数的概念可判断 A; 根据共轪复数的概念可判断 B; 根据复数的模可判断 C; 根据复数的几何意义可判断 D.
题目（高三 · 代数）：已知复数 $z=\frac{i}{1-2 i}$, 则以下说法正确的是（）
选项：
A. 复数 $\mathrm{z}$ 的虚部为 $\frac{i}{5}$
B. $\mathrm{z}$ 的共轭复数 $\bar{z}=\frac{2}{5}-\frac{i}{5}$
C. $z=\frac{\sqrt{5}}{5}$
答案：BCD
解析：因为函数 $f(x)=x \ln x$, 所以 $f^{\prime}(x)=1+\ln x当 $0<x<rac{1}{e}$ 时, $f^{\prime}(x)<0$, 当 $x>rac{1}{e}$ 时, $f^{\prime}(x)>0$,所以当 $x=rac{1}{e}$ 时, $f(x)$ 的最小值为 $-rac{1}{e}$,如图所示:当 $x ightarrow 0$ 时, $f(x) ightarrow 0$, 当 $x ightarrow+\infty$ 时, $f(x) ightarrow+\infty$, 所以函数 $f(x)$ 有一个零点;故错误命题的序号是 (2)(3)(4)。
题目（高三 · 代数）：复数 $\frac{1}{1-3 i}$ 的虚部是 ( )
选项：
A. $-\frac{3}{10}$
B. $-\frac{1}{10}$
C. $\frac{1}{10}$
D. $\frac{3}{10}$
答案：D
解析：答案: D

【解析】 因为 $z=\frac{1}{1-3 i}=\frac{1+3 i}{(1-3 i)(1+3 i)}=\frac{1}{10}+\frac{3}{10} i$,

所以复数 $z=\frac{1}{1-3 i}$ 的虚部为 $\frac{3}{10}$.

故答案为: D.

【分析】利用复数的除法运算求出 $\mathrm{z}$ 即可.
题目（高三 · 代数）：$\frac{2-\mathrm{i}}{1+2 \mathrm{i}}=(\quad)$
选项：
A. 1
B. -1
C. i
D. $-\mathrm{i}$
答案：D
解析：答案: D

【解析】 $\frac{2-i}{1+2 i}=\frac{(2-i)(1-2 i)}{(1+2 i)(1-2 i)}=\frac{-5 i}{5}=-i$

故答案为: D

【分析】根据复数除法法则进行计算.
题目（高三 · 代数）：若 $z=1+2 i+i^{3}$, 则 $\mid z=(\quad)$
选项：
A. 0
B. 1
C. $\sqrt{2}$
D. 2
答案：C
解析：答案: C

【解析】 因为 $z=1+2 i+i^{3}=1+2 i-i=1+i$, 所以 $|z|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$.

故答案为: C

【分析】先根据 $i^{2}=-1$ 将 $z$ 化简, 再根据向量的模的计算公式即可求出.
题目（高三 · 代数）：复数 $z=\frac{-2+i}{i}$ (其中 $\mathrm{i}$ 为虚数单位) 在复平面内对应的点在 ( )
选项：
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
答案：A
解析：答案: A

【解析】 $\because{ }^{z=\frac{-2+i}{i}=\frac{(-2+i)(-i)}{-i^{2}}=1+2 i}$,
$\therefore$ 复数 $z=\frac{-2+i}{i}$ 在复平面内对应的点的坐标为 $(1,2)$, 在第一象限,

故答案为: A.

【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简求出 $z$ 的值, 根据复数的几何意义可得结果.
题目（高三 · 代数）：若 $\mathrm{z}=1+\mathrm{i}$, 则 $\left|\mathrm{z}^{2}-2 \mathrm{z}\right|=(\quad)$
选项：
A. 0
B. 1
.C. $\sqrt{2}$
D. 2
答案：D
解析：答案: D

【解析】 由题意可得: $z^{2}=(1+i)^{2}=2 i$, 则 $z^{2}-2 z=2 i-2(1+i)=-2$.

故 $\left|z^{2}-2 z\right|=|-2|=2$.

故答案为: D.

【分析】由题意首先求得 $z^{2}-2 z$ 的值, 然后计算其模即可.
题目（高三 · 代数）：基本再生数 $\mathrm{R}_{0}$ 与世代间隔 $\mathrm{T}$ 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数, 世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段, 可以用指数模型: $I(t)=\mathrm{e}^{r t}$ 描述累计感染病例数 $\mathrm{I}(\mathrm{t})$ 随时间 $\mathrm{t}\left(\right.$ 单位: 天)的变化规律, 指数增长率 $\mathrm{r}$ 与 $\mathrm{R}_{0}, \mathrm{~T}$ 近似满足 $\mathrm{R}_{0}=1+\mathrm{rT}$. 有学者基于已有数据估计出 $\mathrm{R}_{0}=3.28, \mathrm{~T}=6$. 据此, 在新冠肺炎疫情初始阶段, 累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为 $(\ln 2 \approx 0.69)$
选项：
A.
答案：B
解析：因为 $R_{0}=3.28, T=6, R_{0}=1+r T$,所以 $r=rac{3.28-1}{6}=0.38$, 所以 $I(t)=e^{r t}=e^{0.38 t}$,设在新冠肺炎疫情初始阶段, 累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为 $t_{1}$ 天,则 $e^{0.38(t+t)}=2 e^{0.38 t}$, 所以 $e^{0.38 t_{t}}=2$, 所以 $0.38 t_{1}=\ln 2$,所以 $t_{1}=rac{\ln 2}{0.38} \approx rac{0.69}{0.38} \approx 1.8$ 天.故答案为: B.
题目（高三 · 代数）：华为 $5 \mathrm{G}$ 通信编码的极化码技术方案基于矩阵的乘法, 如:

$$
\left(\begin{array}{ll}
c_{1} & c_{2}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ll}
a_{1} & a_{2}
\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{ll}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{array}\right) \text {, 其中 }
$$

$c_{1}=a_{1} b_{11}+a_{2} b_{21}, \quad c_{2}=a_{1} b_{12}+a_{2} b_{22}$. 已知定义在 $\mathrm{R}$ 上不恒为 0 的函数 $f(x)$, 对任意 $a, b \in R$ 有: $\left(\begin{array}{ll}y_{1} & y_{2}\end{array}\right)=(f(a) f(b)) \times\left(\begin{array}{cc}-1 & b+1 \\ a-1 & 1\end{array}\right)$ 且满足 $f(a b)=y_{1}+y_{2}$, 则 $(\quad)$
选项：
A. $f(0)=0$
B. $f(-1)=1$
C. $f(x)$ 是偶函数
D. $f(x)$ 是奇函数
答案：AD
解析：答案: A,D

【解析】

$\left(\begin{array}{ll}y_{1} & y_{2}\end{array}\right)=(f(a) \quad f(b)) \times\left(\begin{array}{cc}-1 & b+1 \\ a-1 & 1\end{array}\right)$,

$y_{1}=-f(a)+f(b)(a-1), \quad y_{2}=f(a)(b+1)+f(b)$,

$f(a b)=y_{1}+y_{2}$,

$f(a b)=-f(a)+f(b)(a-1)+f(a)(b+1)+f(b)=b f(a)+a f(b)$,

令 $a=b=0$, 则 $f(0)=0 f(0)+0 f(0)=0$,

令 $a=b=1$, 则 $f(1)=f(1)+f(1), f(1)=0$,

令 $a=b=-1$, 则 $f(1)=-f(-1)-f(-1), f(-1)=0$,

令 $a=x, b=-1$, 则 $f(-x)=-f(x)+x f(-1), f(x)+f(-x)=0$,

故答案为: $\mathrm{AD}$

【分析】创新题型, 利用新知识矩阵定义求出 $f(a b)=b f(a)+a f(b)$, 再赋值可得解.
题目（高三 · 代数）：若 “ $0<x<1$ ” 是 “ $(x-a)[x-(a+2)] \leq 0$ ” 的充分而不必要条件, 则实数 $a$ 的取值范围
选项：
A. $[-1,0]$
B. $(-1,0)$
C. $(-\infty, 0] \cup[1,+\infty)$
D. $(-\infty,-1) \cup(0,+\infty)$
答案：A
题目（高三 · 代数）：设 $x>0, y \in \mathbf{R}$, 则 “ $x>y$ ” 是 “ $x>|y|$ ” 的 ( )
选项：
A. 充要条件
B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
答案：C
题目（高三 · 代数）：设 $p: \sqrt{2 x-1} \leq 1, q:(x-a)[x-(a+1)] \leq 0$, 若 $q$ 是 $p$ 的必要而不充分条件, 则实数 $a$ 的取值范围是 ( )
选项：
A. $\left[0, \frac{1}{2}\right]$
B. $\left(0, \frac{1}{2}\right)$
C. $(-\infty, 0] \cup\left[\frac{1}{2},+\infty\right)$
D. $(-\infty, 0) \cup\left(\frac{1}{2},+\infty\right)$
答案：A
题目（高三 · 算术）：观察下列各式 $7^{1}=7,7^{2}=49,7^{3}=343,7^{4}=2401,7^{5}=16807, \cdots$, 则 $7^{2014}$ 的末尾两位数是 ( )
选项：
A. 01
B. 43
C. 49
D. 07
答案：C
解析：解析：解答: 根据题意, 得

$7^{2}=49,7^{3}=343,7^{4}=2401,7^{5}=16807,7^{6}=117649,7^{7}=823543$,

$7^{8}=5764801,7^{9}=40353607$ 发现: $7^{4 k-2}$ 的末两位数字是 $49, \quad 7^{4 k-1}$ 的末两位数字是 43 , $7^{4 k}$ 的末两位数字是 $01,7^{4 k+1}$ 的末两位数字是 $49,(\mathrm{k}=1 、 2 、 3 、 4 、 \ldots) \because 2012=503 \times 4 . \therefore 7^{2012}$的末两位数字为 01 , 故选 A.

分析: 本题主要考查了归纳推理, 解决问题的关键是根据所给数列的特征进行归纳分析即可.
题目（高三 · 算术）：已知在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{5}+a_{11}=16, a_{4}=1$, 则 $a_{12}$ 的值是 ( )
选项：
A. 15
B. 30
C. 31
D. 64
答案：A
解析：解析:【解答】已知在等差数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 中, $a_{5}+a_{11}=16$,

又 $a_{5}+a_{11}=2 a_{8}, \therefore a_{8}=8$.

又 $2 a_{8}=a_{4}+a_{12}, \therefore a_{12}=15$.故选 A.

【分析】本题主要考查了分析法与综合法, 解决问题的关键是根据等差数列性质解析分析计算即可
题目（高三 · 算术）：已知 $a \geq 0, b \geq 0$, 且 $a+b=2$, 则( )
选项：
A. $a b \leq \frac{1}{2}$ B. $a b \geq \frac{1}{2}$ C. $a^{2}+b^{2} \geq 2$ D. $a^{2}+b^{2} \leq 3$
答案：C
解析：解析:【解答】由 $a+b=2$, 可得 $a b \leq 1$, 又 $a^{2}+b^{2}=4-2 a b, \therefore a^{2}+b^{2} \geq 2$.

【分析】本题主要考查了分析法与综合法, 解决问题的关键是根据 $a+b=2$, 结合基本不等式性质得到 $a b \leq 1$, 根据 $a^{2}+b^{2}=4-2 a b$ 分析计算即可.
题目（高三 · 算术）：下列说法正确的是( )。
选项：
A. 如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0 , 那么这两个复数相等

B. ${ }^{\alpha \mathrm{i}}$ 是纯虚数 $(a \in \mathbf{R})$

C. 如果复数 $x+y i(x, y \in \mathbf{R})$ 是实数, 则 $x=0, y=0$

![](https://cdn.mathpix.com/cropped/2024_04_19_1c8199717051225e8ab7g-
答案：A
解析：答案: A

解析: 两个复数相等的充要条件是这两个复数的实部与虚部分别相等, 即它们的实部的差与虚部的差

都为 0 ,故 A 正确; $\mathrm{B}$ 中当 $a=0$ 时, ${ }^{a \mathrm{i}}$ 是实数 $0 ; \mathrm{C}$ 中 $^{x+y \mathrm{i}}$ 是实数, 只需 $y=0$ 就可以了; $\mathrm{D}$ 中当 $b=0$ 时,复数 $a+b \mathrm{i}$ 为实数。故选 $\mathrm{A}$ 。
题目（高三 · 算术）：若复数 $z=\frac{1+i}{1-i}$, 则 $|z|=(\quad)$
选项：
A. 1
B. 0
C. $\frac{1}{2}$
D. $\sqrt{2}$
答案：A
解析：答案: A

解析: $z=i,|z|=1$. 故选 A.
题目（高三 · 算术）：根据下边框图, 当输入 $x$ 为 6 时, 输出的 ${ }^{y}$ 等于 ( )


选项：
A. 1
B. 2
C. 5
D. 10
答案：D
解析：解析: 该程序框图运行如下: $x=6-3=3>0, x=3-3=0, x=0-3=-3<0, y=(-3)^{2}+1=10$, 故答案选 D.
题目（高三 · 算术）：小明每天早晨起床后要做如下事情:洗濑用 5 分钟,收拾床裮用 4 分钟,听广播用 15 分钟,吃早饭用 8 分钟,要完成这些事情,小明要花费的最少时间为( )
选项：
A. 17 分钟
B. 19 分钟
C. 23 分钟
D. 27 分钟
答案：A
解析：过程的简单化和重复化,使许多问题可以在同一时间内完成.如听广播的同时可以洗漱、收拾床裖、吃早饭,所以最少时间为 $5+4+8=17$ (分钟).
题目（高三 · 算术）：函数 $y=\frac{\ln x}{x}$ 的最大值为 ( )
选项：
A. $e^{-1}$ B. $e^{e} \quad$ C. $e^{2} \quad$ D. 10
答案：A
解析：令 $y^{t}=rac{1-\ln x}{x^{2}}=0 \Rightarrow x=e$ ，当 $x>e$ 时, $y^{t}<0$; 当 $0<x<e$ 时, $y^{t}>0$,所以函数得极大值为 $e^{-1}$, 因为在定义域内只有一个极值, 所以 $y_{	ext {max }}=e^{-1}$,故选 A.
题目（高三 · 算术）：已知 $f(n)=\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n^{2}}$, 则 ( )
选项：
A. $f(n)$ 中共有 $n$ 项, 当 $n=2$ 时, $f(2)=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$
B. $f(n)$ 中共有 $(n+1)$ 项, 当 $n=2$ 时, $f(2)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$
C. $f(n)$ 中共有 $\left(n^{2}-n+2\right)$ 项, 当 $n=2$ 时, $f(2)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$
D. $f(n)$ 中共有 $\left(n^{2}-n+1\right)$ 项, 当 $n=2$ 时, $f(2)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$
答案：C
解析：$f(n)$ 中共有 $n^{2}-(n-1)+1=n^{2}-n+2$ 项，当 $n=2$ 时, $f(2)=1+rac{1}{2}+rac{1}{3}+rac{1}{4}$, 故选 C.
题目（高三 · 算术）：36 的所有正约数之和可按如下方法得到: 因为 $36=2^{2} \times 3^{2}$, 所以 36 的所有正约数之和为 $\left(1+3+3^{2}\right)+\left(2+2 \times 3+2 \times 3^{2}\right)+\left(2^{2}+2^{2} \times 3+2^{2} \times 3^{2}\right)=$ $\left(1+2+2^{2}\right)\left(1+3+3^{2}\right)=91$, 参照上述方法, 可求得 200 的所有正约数之和为 (

$\begin{array}{llll}\text {
选项：
A. } 201 & \text { B. } 411 & \text { C. } 465 & \text { D. } 565\end{array}$
答案：C
解析：200 的所有正约数之和可按如下方法得到:因为 $200=2^{3} 	imes 5^{2}$,所以 200 的所有正约数之和为 $\left(1+2+2^{2}+2^{3}ight) \cdot\left(1+5+5^{2}ight)=465$ ，所以 200 的所有正约数之和为 465 , 故选 C
题目（高三 · 算术）：已知 $\left\{b_{n}\right\}$ 为等比数列, $b_{5}=2$, 则 $b_{1} b_{2} b_{3} b_{4} b_{5} b_{6} b_{7} b_{8} b_{9}=2^{9}$. 若 $\left\{a_{n}\right\}$ 为等差数列, $a_{5}=2$, 则 $\left\{a_{n}\right\}$ 的类似结论为 ( )
选项：
A. $a_{1} a_{2} a_{3} \cdots a_{9}=2^{9}$
B. $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{9}=2^{9}$
C. $a_{1} a_{2} a_{3} \cdots a_{9}=2 \times 9$
D. $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{9}=2 \times 9$
答案：D
解析：已知 $\left\{b_{n}ight\}$ 为等比数列, $b_{5}=2$, 则 $b_{1} b_{2} b_{3} b_{4} b_{5} b_{6} b_{7} b_{8} b_{9}=2^{9}$.将乘法类比为加法，将等比中项类比为等差中项，对应地, 在等差数列 $\left\{a_{n}ight\}$ 中, $a_{5}=2$, 则 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{9}=9 a_{5}=2 	imes 9$.故选 D.
题目（高三 · 算术）：已知 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 均为正数, 且 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=10$, 以下有两个命题:命题一: $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 中至少有一个数小于 3 ;

命题二: 若 $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}=7$, 则 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 中至少有一个数不大于 1.

关于这两个命题正误的判断正确的是 ( )
选项：
A. 命题一错误、命题二错误
B. 命题一错误、命题二正确
C. 命题一正确、命题二错误
D. 命题一正确、命题二正确
答案：D
解析：$ecause a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 均为正数,假设 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 都大于 3 , 则 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4} \geq 12$,与已知 $a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}=10$ 矛盾, 即命题一正确;假设 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ 均大于 1,设 $b_{i}=a_{i}-1>0 \quad(i=1,2,3,4)$ ，即 $b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}=\left(a_{1}-1ight)+\left(a_{2}-1ight)+\left(a_{3}-1ight)+\left(a_{4}-1ight)=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}-4$$=10-4=6$,则 $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}=\left(b_{1}+1ight) \cdot\left(b_{2}+1ight) \cdot\left(b_{3}+1ight) \cdot\left(b_{4}+1ight)$$=b_{1} b_{2} b_{3} b_{4}+b_{1} b_{2} b_{3}+b_{1} b_{2} b_{4}+b_{1} b_{2}+b_{1} b_{3} b_{4}+b_{1} b_{3}+b_{1} b_{4}+b_{1}+b_{2} b_{3} b_{4}+b_{2} b_{3}+b_{2} b_{4}+b_{2}+b_{3} b_{4}+b_{3}+b_{4}+1$,又 $ecause b_{1}>0, \quad 	herefore a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}>1+b_{1}+b_{2}+b_{3}+b_{4}=7$,则与已知 $a_{1} a_{2} a_{3} a_{4}=7$ 矛盾, 即命题二正确,故选 D.
题目（高三 · 算术）：欲证 $\sqrt{2}-\sqrt{3}<\sqrt{6}-\sqrt{7}$ 成立, 只需证（）
选项：
A. $(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}<(\sqrt{6}-\sqrt{7})^{2}$
B. $(\sqrt{2}-\sqrt{6})^{2}<(\sqrt{3}-\sqrt{7})^{2}$

C. $(\sqrt{2}+\sqrt{7})^{2}<(\sqrt{3}+\sqrt{6})^{2}$
D. $(\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{6})^{2}<(-\sqrt{7})^{2}$
答案：C
解析：要证 $\sqrt{2}-\sqrt{3}<\sqrt{6}-\sqrt{7}$,因为不等式两边为负数, 故变形为证明: $\sqrt{2}+\sqrt{7}<\sqrt{3}+\sqrt{6}$,此时不等式两边都为正数, 故有分析法可得只需证: 即可,故选 C.
题目（高三 · 算术）：“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法, 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、
辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、西、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法, 其相配顺序为: 甲子、乙丑、丙寅、...、癸西、甲戌、己亥、丙子、....癸未、甲申、乙西、丙戌、...癸已、..., 共得到 60 个组合, 周而复始, 循环记录. 已知 1894 年是“干支纪年法”中的甲午年，那么 2021 年是“干支纪年法”中的（）
选项：
A. 庚子年
B. 辛丑年
C. 已亥年
D. 戊戌年
答案：B
解析：天干的周期为 10 ，地支的周期为 12 ，因为 1894 年是“干支纪年法”中的甲午年，所以 2014 年为甲午年，从 2014 年到 2021 年, 经过了 7 年,所以“天干”中的甲变为辛, 地支中的午变为丑, 即 2021 年是辛丑年,故选 B.
题目（高三 · 算术）：设函数 $f(x)=\cos x$, 则 $\left[f\left(\frac{\pi}{2}\right)\right]^{t}=(\quad)$
选项：
A. 0
B. 1
C. ${ }^{-1}$

D. 以上均不正确
答案：A
解析：因为 $f\left(rac{\pi}{2}ight)=\cos rac{\pi}{2}=0$ 为常数, 所以 $\left[f\left(rac{\pi}{2}ight)ight]^{t}=0$, 故选 $\mathrm{A}$.
题目（高三 · 算术）：观察下列各式: $1=1^{2}, 2+3+4=3^{2}, 3+4+5+6+7=5^{2}$,

$4+5+6+7+8+9+10=7^{2}, \cdots$, 可以得出的一般结论是 ( )
选项：
A. $n+(n+1)+(n+2)+\cdots+(3 n-2)=n^{2}$

B. $n+(n+1)+(n+2)+\cdots+(3 n-1)=n^{2}$

C. $n+(n+1)+(n+2)+\cdots+(3 n-2)=(2 n-1)^{2}$

D. $n+(n+1)+(n+2)+\cdots+(3 n-1)=(2 n-1)^{2}$
答案：C
解析：$1=1^{2}, 2+3+4=3^{2}, 3+4+5+6+7=5^{2}, 4+5+6+7+8+9+10=7^{2}, \cdots$,由上述式子可以归纳:左边每一个式子均有 ${ }^{2 n-1}$ 项, 且第一项为 ${ }^{n}$, 则最后一项为 $3 n-2$, 右边均为 $2 n-1$ 的平方, 故选 C.
题目（高三 · 算术）：在进行 $1+2+3+\mathrm{L}+100$ 的求和运算时, 德国大数学家高斯提出了倒序相加法的原理, 该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成, 因此, 此方法也称之为高斯算法. 已知数列 $a_{n}=\frac{n}{2 m+4034}$, 则 $a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{m+2016}=（ ）$
选项：
A. $\frac{m}{2}+504$
B. $\frac{m}{4}+504$
C. $m+504$
D. $2 m+504$
答案：B
解析：依题意, 记 $S=a_{1}+a_{2}+\mathrm{L}+a_{m+2016}$,则 $S=rac{1}{2 m+4034}+rac{2}{2 m+4034}+\mathrm{L}+rac{m+2015}{2 m+4034}+rac{m+2016}{2 m+4034}$ ，又 $S=rac{m+2016}{2 m+4034}+rac{m+2015}{2 m+4034}+\mathrm{L}+rac{2}{2 m+4034}+rac{1}{2 m+4034}$,两式相加可得$2 S=rac{m+2017}{2 m+4034}+rac{m+2017}{2 m+4034}+\cdots+rac{m+2017}{2 m+4034}+rac{m+2017}{2 m+4034}=rac{m+2016}{2}$,则 $S=rac{m+2016}{4}=rac{m}{4}+504$,故选 B.
题目（高三 · 算术）：设复数 $z$ 满足条件 $|z|=1$ 那么 $|z+2 \sqrt{2}+i|$ 的最大值是 ( )
选项：
A. 3
B. 4
C. $1+2 \sqrt{2}$
D. $2 \sqrt{3}$
答案：B
解析：解析：解答：设 $z=\cos \theta+i \sin \theta,|z+2 \sqrt{2}+i|$

$=\sqrt{(\cos \theta+2 \sqrt{2})^{2}+(1+\sin \theta)^{2}}=\sqrt{10+4 \sqrt{2} \cos \theta+2 \sin \theta}$

$\leq \sqrt{10+\sqrt{(4 \sqrt{2})^{2}+2^{2}}}=4$.

分析: 本题主要考查了复数的基本概念, 解决问题的关键是根据所给复数结合模的定义化简运用三角函数性质判定即可.
题目（高三 · 算术）：设 $a, b, c>0$, 且 $a+b+c=1$, 则 $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$ 的最大值是 $(\quad)$
选项：
A. 1
B. $\sqrt{3}$
C. 3
D. 9
答案：B
解析：解析 : 【解 答 】由柯 西不等式得 $\left[(\sqrt{a})^{2}+(\sqrt{b})^{2}+(\sqrt{c})^{2}\right]\left(1^{2}+1^{2}+1^{2}\right) \geq(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}$

$\left[(\sqrt{a})^{2}+(\sqrt{b})^{2}+(\sqrt{c})^{2}\right]\left(1^{2}+1^{2}+1^{2}\right) \geq(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2}$,

$\therefore(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})^{2} \leq 3 \times 1=3$.

当且仅当 $a=b=c=\frac{1}{3}$ 时等号成立.

$\therefore \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$ 的最大值为 $\sqrt{3}$.

【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式, 解决问题的关键是根据所给条件结合一般形式的柯西不等构造不等式计算即可.
题目（高三 · 算术）：$n$ 个正数的和与这 $n$ 个正数的倒数和的乘积的最小值是 ( )
选项：
A. 1
B. $n$
C. $n^{2}$
D. $\frac{1}{n}$
答案：C
解析：解析:【解答】设 $n$ 个正数为 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{\mathrm{n}}$,

由柯西不等式, 得

$\left(x_{1}+x_{2}+\cdots+x_{n}\right)\left(\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}+\cdots+\frac{1}{x_{n}}\right)$

$\geq\left(\sqrt{x_{1}} \times \frac{1}{\sqrt{x_{1}}}+\sqrt{x_{2}} \times \frac{1}{\sqrt{x_{2}}}+\cdots+\sqrt{x_{n}} \times \frac{1}{\sqrt{x_{n}}}\right)^{2}=(1+1+\cdots+1)^{2}=n^{2}$.
当且仅当 $x_{1}=x_{2}=\cdots=x_{n}$ 时取等号.

【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式, 解决问题的关键设 $n$ 个正数为 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$, 然后构造条件根据所给条件结合一般形式的柯西不等构造不等式计算即可.
题目（高三 · 算术）：已知 $a+b+c=1$, 且 $a, b, c>0$, 则 $\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}$ 的最小值为( )
选项：
A. 1
B. 3
C. 6
D. 9
答案：D
解析：解析:【解答】 $\because a+b+c=1$.

$\therefore \frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}$

$=2(a+b+c) \cdot\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)$

$=[(a+b)+(b+c)+(c+a)] \cdot\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right) \geq(1+1+1)^{2}=9$,

当且仅当 $a=b=c=\frac{1}{3} a=b=c=\frac{1}{3}$ 时等号成立.

【分析】本题主要考查了一般形式的柯西不等式, 解决问题的关键是根据所给条件 $a+b+c=1$ 结合一般形式的柯西不等构造不等式计算即可.
题目（高三 · 算术）：用数学归纳法证明 $1+2+3+\ldots+(3 n+1)=\frac{(3 n+1)(3 n+2)}{2}$, 则当 $n=k+1$ 时左端应在 $n=k$的基础上加上 ( )
选项：
A. $(3 \mathrm{k}+2)$

B. $(3 \mathrm{k}+4)$

C. $(3 k+2)+(3 k+3)$

D. $(3 k+2)+(3 k+3)+(3 k+4)$
答案：D
解析：解析:解答:当 $n=k$ 时, 等式左端 $=1+2+\ldots+(3 k+1)$,

当 $n=k+1$ 时, 等式左端 $=1+2+\ldots+(3 k+1)+(3 k+2)+(3 k+3)+(3 k+4)$,即当 $n=k+1$ 时左端应在 $n=k$ 的基础上加上（3k+1) + (3k+2) +(3k+3)+(3k+4).

故选: D.

分析: 本题主要考查了数学归纳法, 解决问题的关键是分别使得 $n=k$, 和 $n=k+1$ 代入等式,然后把 $n=k+1$ 时等式的左端减去 $n=k$ 时等式的左端, 即可得到答案.
题目（高三 · 算术）：已知 $f(n)=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{3 n-1}\left(n \in \mathbf{N}^{*}\right)$, 则 $f(k+1)=(\quad)$
选项：
A. $f(k)+\frac{1}{3(k+1)+1}$

B. $f(k)+\frac{1}{3 k+2}$

C. $f(k)+\frac{1}{3 k+2}+\frac{1}{3 k+3}+\frac{1}{3 k+4}-\frac{1}{k+1}$

D. $f(k)+\frac{1}{3 k+4}-\frac{1}{k+1}$
答案：C
解析：解析:解答:注意式子中分母从 $n+1$, 依次增加 1 , 直到 $3 n-1$. 所以由等差数列知识知 $f(k+1)=f(k)+\frac{1}{3 k+2}+\frac{1}{3 k+3}+\frac{1}{3 k+4}-\frac{1}{k+1}$, 故选 C

分析: 本题主要考查了数学归纳法的证明步骤, 解决问题的关键是根据归纳法分析即可