eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（高二 · 逻辑题）：20. 已知命题 $p:|3 x-4|>2$, 命题 $q: \frac{1}{x^{2}-x-2}>0$, 求 $\neg p$ 和 $\neg q$ 对应的 $x$ 的取值范围—
选项：
答案：答案: $-1 \leq x \leq 2$.
解析：: 解答: 因为命题 $p:|3 x-4|>2$, 则命题 $\neg p:|3 x-4| \leq 2$, 解得 $\frac{2}{3} \leq x \leq 2$.

因为命题 $q: \frac{1}{x^{2}-x-2}>0$, 即 $x^{2}-x-2>0$, 则命题 $\neg q: x^{2}-x-2 \leq 0$,

解得 $-1 \leq x \leq 2$. 故答案为: $-1 \leq x \leq 2$.

分析：先求出命题 $p$ 和命题 $q$, 再求出 $\neg p$ 和 $\neg q$ 即可。
题目（高二 · 逻辑题）：16. 全称命题 $\forall x \in M, p(x)$ 的否定是
选项：
答案：答案: $\exists x \in M, \neg p(x)$
解析：: 解答: 全称命题 $\forall x \in M, p(x)$ 的否定是 $\exists x \in M, \neg p(x)$, 故答案 $\exists x \in M, \neg p(x)$ 。分析: 全称命题的否定就是特称命题, 注意用数学符号表示。
题目（高二 · 逻辑题）：17. 命题“存在实数 $x, y$, 使得 $x+y>1$, 用符号表示为 ; 此命题的否定是 (用符号表示), 是 \$ \qquad \$命题 (添“真”或“假”)。
选项：
答案：答案: $\exists x, y \in R, x+y>1 \mid \forall x, y \in R, x+y \leq 1$, 假
解析：: 解答: 命题 “存在实数 $x, y$, 使得 $x+y>1$ ”, 用符号表示为 $\exists x, y \in R, x+y>1$ 熟记符号表示, 即可; 命题的否定: $\forall x, y \in R, x+y \leq 1$, 熟记符号表示即可; 断命题的真假, 直接利用相关定义、定理、公理判断即可，可得是假命题; 故答案:

$\exists x, y \in R, x+y>1 ; \forall x, y \in R, x+y \leq 1$, 假。
分析: 注意练习符号 $\exists, \forall, \neg, \wedge, \vee$ 等。原命题为真, 所以它的否定是假。也可以有线性规划的知识判断。
题目（高二 · 逻辑题）：18. 已知命题 $\mathrm{p}$ : “存在 $x \in \mathbf{R}_{+}, x>\frac{1}{x}$ ”, 命题 $\mathrm{p}$ 的否定为命题 $\mathrm{q}$, 则 $\mathrm{q}$ 是“ $" ; \mathrm{q}$ 的真假为 \$ \qquad \$ $\cdot$ (填“真”或“假”)
选项：
答案：答案：任意 $x \in \mathbf{R}_{+}, \left.x \leq \frac{1}{x} \right\rvert\,$ 假
解析：：解答：任意 $x \in \mathbf{R}_{+}, x \leq \frac{1}{x}$; 假.

分析：特称命题的否定就是全称命题, 注意用数学符号表示
题目（高二 · 逻辑题）：19. 给出下列 4 个命题:

(1) $\vec{a} \perp \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b}=0$;

(2)矩形都不是梯形;

(3) $\exists x, y \in R, x+y \leq 1$;

(4)任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于 -1 。其中全称命题是 \$ \qquad \$。
选项：
答案：答案: (1)(2)
解析：：解答：注意命题中有和没有的全称量词; 故答案为(1)(2)(4)

分析：特称命题的否定就是全称命题, 注意用数学符号表示
题目（高二 · 逻辑题）：设集合 $\mathbf{M}=\left\{\alpha \left\lvert\, \alpha=\frac{k \pi}{2}-\frac{\pi}{3}\right., k \in Z\right\}, \mathbf{N}=\{\boldsymbol{\alpha} \mid-\pi<\boldsymbol{\alpha}<\pi\}$, 则 $\mathbf{M} \cap \mathbf{N}=$
选项：
答案：${-\frac{5}{6} \pi,-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}, \frac{2}{3} \pi\right\}$
解析：由 $-\pi<\frac{k \pi}{2}-\frac{\pi}{3}<\pi$, 得 $-\frac{4}{3}<\mathrm{k}<\frac{8}{3}, \because \mathrm{k} \in \mathrm{Z}$,

$\therefore \mathrm{k}=-1,0,1,2$, 故 $\mathrm{M} \cap \mathrm{N}=\left\{-\frac{5}{6} \pi,-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{6}, \frac{2}{3} \pi\right\}$
题目（高二 · 逻辑题）：6. 有下列语句:

(1)集合 $\{1,2,3\}$ 有 3 个子集;

(2) $x^{2}-1<0$;

(3) $f(x)=2 \log _{3} x(x>0)$ 是对数函数;

(4) 若 $A \cup B=A \cap B$, 则 $A=B$.

其中真命题的序号是
选项：
答案：:(4)
解析：:(4)
题目（高二 · 逻辑题）：8. “若 $a>b$, 则 $2^{a}>2^{b}-1$ ” 的否命题是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：:若 $a \leqslant b$, 则 $2^{a} \leqslant 2^{b}-1$
解析：:若 $a \leqslant b$, 则 $2^{a} \leqslant 2^{b}-1$
题目（高二 · 逻辑题）：若命题 $\mathrm{p}:$ “ $\log _{2} \mathrm{x}<0$ ”, 命题 $\mathrm{q}:$ “ $x<1$ ”, 则 $\mathrm{p}$ 是 $\mathrm{q}$ 的 \$ \qquad \$条件. (填“充要”、“充分不必要”、 “必要不充分”或“既不充分也不必要”)
选项：
答案：答案:充分不必要
解析：答案:充分不必要

【解析】解：因为命题 $\mathrm{p}:$ “ $\log _{2} \mathrm{x}<0$ ”, 所以 $0<\mathrm{x}<1$,

显然命题 p: “ $\log _{2} \mathrm{x}<0$ ”, $\Rightarrow$ 命题 q: “ $x<1$ ",

$x \in q$ 时 $x$ 不一定满足 $p$;
所以 $\mathrm{p}$ 是 $\mathrm{q}$ 的充分不必要条件.

故答案为: 充分不必要.

【分析】命题 $p \Rightarrow$ 命题 $q$, 则 $p$ 是 $q$ 的充要条件; 只有命题 $p \Rightarrow$ 命题 $q$, 则 $p$ 是 $q$ 的充分不必要; 只有命题 $p=$ 命题 $q$, 则 $p$ 是 $q$ 的必要不充分; 命题 $p$ 与命题 $q$ 不能相互推导, 则 $p$ 是 $q$ 的既不充分也不必要.
题目（高二 · 逻辑题）：已知命题: “ $\exists x \in[1,2]$,使 $x^{2}+2 x+a \geq 0$ ”为真命题,则 $a$ 的取值范围是 \$ \qquad \$
选项：
答案：答案: $[-8,+\infty)$
解析：答案: $[-8,+\infty)$

【解析】解答当 $1 \leq x \leq 2$ 时, $3 \leq x^{2}+2 x \leq 8$,如果 “ $\exists x \in[1,2]$, 使 $x^{2}+2 x+a \geq 0$ ” 为真命题应有 $-a \leq x^{2}+2 x$, 因为 $x^{2}+2 x$ 在 $[1,2]$, 为递增, 过 $x^{2}+2 x$ 在 $[1,2]$,的最大值为 8 , 所以 $a \geq-8$; 故答案为 $[-8,+\infty)$

【分析】本题利用原命题的否命题转化为求最值问题, 求否命题 a 范围的补集, 结合集合的补集定义即可解决.
题目（高二 · 逻辑题）：设命题 $\mathrm{p}$ : 函数 $f(x)=\lg \left(a x^{2}-x+\frac{1}{16} a\right)$ 的定义域为 $\mathrm{R}$; 命题 $\mathrm{q}$ : 函数 $f(x)=\left(a-\frac{3}{2}\right)^{x}$ 是 $\mathrm{R}$ 上的减函数, 如果命题 $\mathrm{p}$ 或 $\mathrm{q}$ 为真命题, 命题 $\mathrm{p}$ 且 $\mathrm{q}$ 为假命题, 则实数 $\mathrm{a}$ 的取值范围为 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：答案:$\frac{3}{2}<a \leq 2$ 或 $a \geq \frac{5}{2}$

解: 若 $\mathrm{p}$ 真: $a x^{2}-x+\frac{1}{16} a>0$ 在 $\mathrm{R}$ 上恒成立, $\quad \mathrm{a}=0$ 时, 显然不恒成立,

$a \neq 0$ 时, $\triangle=1-\frac{1}{4} a^{2}<0$, 且 $a>0$, 解得: $a>2$,

若 q 真: $\quad 0<a-\frac{3}{2}<1 \Rightarrow \frac{3}{2}<a<\frac{5}{2}$,

据题意 $-p$ 与 $q$ 一真一假, 即是 $p$ 与 $q$ 一真一假,

故 $\left\{\begin{array}{c}a>2 \\ a \geq \frac{5}{2} \text { 或 } a \leq \frac{3}{2} \text { 或 }\left\{\begin{array}{c}a \leq 2 \\ \frac{3}{2}<\alpha<\frac{5}{2}\end{array},\right.\end{array}\right.$

解得: $\frac{3}{2}<a \leq 2$ 或 $a \geq \frac{5}{2}$
解析：答案:$\frac{3}{2}<a \leq 2$ 或 $a \geq \frac{5}{2}$

解: 若 $\mathrm{p}$ 真: $a x^{2}-x+\frac{1}{16} a>0$ 在 $\mathrm{R}$ 上恒成立, $\quad \mathrm{a}=0$ 时, 显然不恒成立,

$a \neq 0$ 时, $\triangle=1-\frac{1}{4} a^{2}<0$, 且 $a>0$, 解得: $a>2$,

若 q 真: $\quad 0<a-\frac{3}{2}<1 \Rightarrow \frac{3}{2}<a<\frac{5}{2}$,

据题意 $-p$ 与 $q$ 一真一假, 即是 $p$ 与 $q$ 一真一假,

故 $\left\{\begin{array}{c}a>2 \\ a \geq \frac{5}{2} \text { 或 } a \leq \frac{3}{2} \text { 或 }\left\{\begin{array}{c}a \leq 2 \\ \frac{3}{2}<\alpha<\frac{5}{2}\end{array},\right.\end{array}\right.$

解得: $\frac{3}{2}<a \leq 2$ 或 $a \geq \frac{5}{2}$

【解析】分别求出 $p, q$ 的真假, 根据 $p$ 与 $q$ 一真一假, 得到关于 $a$ 的不等式组, 解出即可. 三、
题目（高二 · 组合数学）：9. 用火柴棒按下图的方法搭三角形:


按图示的规律搭下去, 则所用火柴棒数 $a_{n}$ 与所搭三角形的个数 $n$ 之间的关系式可以是
选项：
答案：$a_{1}=3, a_{2}=3+2=5, a_{3}=3+2+2=7, a_{4}=3+2+2+2=9, \cdots, \therefore a_{n}=2 n+1$.
解析：$a_{1}=3, a_{2}=3+2=5, a_{3}=3+2+2=7, a_{4}=3+2+2+2=9, \cdots, \therefore a_{n}=2 n+1$.
题目（高二 · 组合数学）：8. 已知 $x, y$ 为非负整数, 则满足 $x+y \leqslant 2$ 的点 $(x, y)$ 共有 \$ \qquad \$个.
选项：
答案：6
解析：由题意点 $(x, y)$ 的坐标应满足 $\left\{\begin{array}{l}x \in \mathbf{N} \\ y \in \mathbf{N} \\ x+y \leqslant 2\end{array}\right.$, 由图可知, 整数点有 $(0,0),(1,0)$, $(2,0)(0,1)(0,2)(1,1) 6$ 个.
题目（高二 · 组合数学）：13. 天干地支纪年法, 源于中国, 中国自古便有十天干与十二地支.十天干: 甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.十二地支: 子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配, 排列起来, 天干在前, 地支在后, 天干由“甲”起, 地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，..., 以此类推，排列到“癸西”后，天干回到“甲重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，..., 以此类推，已知 2016 年为丙申年，那么到改革开放 100 年时，即 2078 年为 \$ \qquad \$年
选项：
答案：戊戌
解析：由题意，可得数列天干是以 10 为公差的等差数列，地支是以 12 为公差的等差数列,从 2017 年到 2078 年经过了 61 年，且 2017 年为丁茜年，以 2017 年的天干和地支分别为首项，则 $61 \div 10=6$ 余 1 , 则 2078 年的天干为戊, $61 \div 12=5$ 余 1 , 则 2078 年的天干为戌, 所以 2078 年为戊戌年。
题目（高二 · 组合数学）：15.（2018 河南郑州三模）设有四个数的数列 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$, 前三个数构成一个等比数列, 其和为 $k$, 后三个数构成一个等差数列, 其和为 15 , 其公差非零, 对于任意固定的实数 $k$, 若满足条件的数列个数大于 1 , 则 $k$ 的取值范围是 \$ \qquad \$
选项：
答案：$\left(\frac{15}{4}, 5\right) \cup(5,15) \cup(15,+\infty)$
解析：依题意 $a_{2}+a_{3}+a_{4}=3 a_{3}=15$, 得 $a_{3}=5, a_{1}+a_{2}+a_{3}=a_{1}+a_{2}+3=k$, 得 $a_{1}+a_{2}=k-5 \neq 0$, 又 $a_{2}^{2}=a_{1} a_{3}=5 a_{1}=5\left(k-5-a_{2}\right)$,所以 $a_{2}^{2}+5 a_{2}=5(k-5)$, 即 $\left(a_{2}+\frac{5}{2}\right)^{2}=5\left(k-\frac{15}{4}\right)$. 因为对于任意固定的实数 $k$, 若满足条件的数列个数大于 1 , 所以 $k-\frac{15}{4}>0$, 得 $k>\frac{15}{4}$. 又检验知 $k=15$ 时不符合题意. 所以, $k$ 的取值范围是 $k$ 的取值范围是 $\left(\frac{15}{4}, 5\right) \cup(5,15) \cup(15,+\infty)$.
题目（高二 · 计数）：13. 有纯酒精 $a \mathrm{~L}(a>1)$, 从中取出 $1 \mathrm{~L}$, 再用水加满, 然后再取出 $1 \mathrm{~L}$, 再用水加满,如此反复进行，则第九次和第十次共倒出纯酒精 \$ \qquad \$ L.
选项：
答案：$\left(1-\frac{1}{a}\right)\left(2-\frac{1}{a}\right)$
解析：$\left\{a_{n}\right\}$ 表示每次取出的纯酒精, $a_{1}=1$, 加水后浓度为 $\frac{a-1}{a}=1-\frac{1}{a}, a_{2}=1-\frac{1}{a}$, 加水后浓度为 $\left(1-\frac{1}{a}\right)\left(\frac{a-1}{a}\right)=\left(1-\frac{1}{a}\right)^{2}, a_{3}=\left(1-\frac{1}{a}\right)^{2}$,

依次类推: $a_{9}=\left(1-\frac{1}{a}\right) 8, a_{10}=\left(1-\frac{1}{a}\right)$.

$\therefore\left(1-\frac{1}{a}\right)^{8}+\left(1-\frac{1}{a}\right) 9=\left(1-\frac{1}{a}\right) 8\left(2-\frac{1}{a}\right)$.
题目（高二 · 计数）：求 $f(x)=\sqrt{1-\sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right)}$ 的定义域
选项：
答案：$\left\{x \left\lvert\, 2 k \pi-\frac{5 \pi}{4} \leq x \leq 2 k \pi+\frac{\pi}{4}\right., k \in \mathbf{Z}\right\}$
解析：要使函数有意义, 则 $1-\sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right) \geq 0$, 即 $\cos \left(\frac{\pi}{2}-x\right) \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$,

由余弦函数的图象得 $\frac{\pi}{4}+2 k \pi \leq \frac{\pi}{2}-x \leq \frac{7 \pi}{4}+2 k \pi$,

解得 $-\frac{5 \pi}{4}+2 k \pi \leq x \leq \frac{\pi}{4}+2 k \pi,(k \in \mathbf{Z})$,

故函数的定义域是 $\left\{x \left\lvert\,-\frac{5 \pi}{4}+2 k \pi \leq x \leq \frac{\pi}{4}+2 k \pi\right.,(k \in \mathrm{Z})\right\}$,

故答案为 $\left\{x \left\lvert\,-\frac{5 \pi}{4}+2 k \pi \leq x \leq \frac{\pi}{4}+2 k \pi\right.,(k \in \mathbf{Z})\right\}$,
题目（七年级 · 算术）：三个互不相等的有理数, 既可以表示为 $1, a+b, b$ 的形式, 又可以表示为 $0, \frac{a}{b}$, $a$ 的形式, 且 $|x|=3$, 求 $(a+b)^{2020}+(a b)^{2021}-(a+b-a b)+x^{2}$ 的值为 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：7
解析：$\because$ 三个互不相等的有理数, 既可以表示为 $1, a+b, b$ 的形式, 又可以表示为 $0, \frac{a}{b}$, $a$ 的形式,

$\therefore \mathrm{a}+\mathrm{b}=0$ 或 $\mathrm{b}=0$,

若 $\mathrm{b}=0$, 则 $\frac{a}{b}$ 就没有意义,

故 $\mathrm{b}=0$ 不成立,

$\therefore \mathrm{a}+\mathrm{b}=0$;

若 $\frac{a}{b}=1$, 则 $\mathrm{a}=\mathrm{b}$, 这与已知三个互不相等的有理数矛盾,

$\therefore \frac{a}{b}=1$ 不成立,

故 $\mathrm{a}=1$,

$\therefore \frac{a}{b}=\mathrm{b}$ 即 $b^{2}=1$,

$\therefore \mathrm{b}=-1$ 或 $\mathrm{b}=1, \mathrm{~b}=1$ 与 $\mathrm{a}$ 相等, 舍去,

$\therefore \mathrm{a}+\mathrm{b}=0, \mathrm{a}=1, \mathrm{~b}=-1$,

$\because|x|=3$,

$\therefore x^{2}=9$

$\therefore(a+b)^{2020}+(a b)^{2021}-(a+b-a b)+x^{2}$

$=0-1-1+9$
$=7$,

故答案为: 7 .
题目（七年级 · 算术）：有理数 $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ 满足 $a b<0,|a+b|=a+b, 5 a+2 b+1=-|b-a|$, 则 $\left(2 a+\frac{3}{2} b+\right.$ $\left.\frac{1}{2}\right) \cdot(a-b)$ 的值为 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：0
解析：(1) $a>0, b<0$ 时, $5 a+2 b+1=-|b-a|=-[-(b-a)]=b-a$ ，

$\therefore 6 a+b+1=0$,

$\because|a+b|=a+b \geq 0$,

$\therefore 6 a+b+1=5 a+1+(a+b)>0$ (矛盾),

$\therefore$ 舍去;

(2) $a<0, b>0$ 时, $5 a+2 b+1=-|b-a|=-(b-a)=a-b$,

$\therefore 4 a+3 b+1=0$,

$\therefore 2 a+\frac{3}{2} b+\frac{1}{2}=0$

$\therefore$ 原式 $=0(a-b)=0$.

故答案为: 0 .
题目（七年级 · 算术）：香蕉的单价为 $\mathrm{a}$ 元/千克, 苹果的单价为 $\mathrm{b}$ 元/千克, 买 2 千克苹果和 3 千克香蕉共需元.
选项：
答案：$(3 a+2 b)$ 或 $(2 b+3 a)$
解析：根据题意得：买 2 千克苹果和 3 千克香蕉共需 $(3 a+2 b)$ 元,故答案为: $(3 a+2 b)$.
题目（七年级 · 算术）：某服装店新开张，第一天销售服装 $\mathrm{a}$ 件，第二天比第一天少销售 10 件，第三天的销售量是第二天的 2 倍多 7 件, 则第三天销售了件.
选项：
答案：$2 \mathrm{a}-13$
解析：根据题意可知第二天销售 $(a-10)$ 件,所以第三天销售 $2(a-10)+7=(2 a-13)$ 件.故答案为: $2 a-13$.
题目（七年级 · 算术）：已知一个两位数 $M$ 的个位数字是 $a$, 十位数字是 $b$, 交换这个两位数的个位与十位上的数字的位置, 所得的新数记为 $\mathrm{N}$, 则 $2 \mathrm{M}-\mathrm{N}=$ \$ \qquad \$ (用含 $\mathrm{a}$ 和 $\mathrm{b}$ 的式子表示).
选项：
答案：8 a+19 b$
解析：解 $：$ 由题意可得,

$M=10 b+a, N=10 a+b$

$\therefore 2 \mathrm{M}-\mathrm{N}$

$=2(10 b+a)-(10 a+b)$
$=20 b+2 a-10 a-b$

$=-8 a+19 b$

故答案为: $-8 a+19 b$.
题目（七年级 · 算术）：, 有一种塑料杯子的高度是 $10 \mathrm{~cm}$, 两个以及三个这种杯子叠放时高度如图所示, 第 $n$ 个这种杯子叠放在一起高度是 $\mathrm{cm}$ (用含 $n$ 的式子表示).


## 第 $n$ 个
选项：
答案：$3 n+7$
解析：由图可得，

每增加一个杯子, 高度增加 $3 \mathrm{~cm}$,

则 $\mathrm{n}$ 个这样的杯子叠放在一起高度是: $10+3(n-1)=(3 n+7) \mathrm{cm}$,

故答案为: $3 n+7$.
题目（七年级 · 算术）：三堆棋子, 数目相等, 每堆至少有 4 枚. 从左堆中取出 3 枚放入中堆, 从右堆中取出 4 枚放入中堆, 再从中堆中取出与左堆剩余棋子数相同的棋子数放入左堆, 这时中堆的棋子数是枚.
选项：
答案：10
解析：从左堆中取出 3 枚放入中堆, 则左堆现在有 $(x-3)$ 枚, 中堆现在有 $(x+3)$ 枚;从右堆中取出 4 枚放入中堆, 则右堆现在有 $(x-4)$ 枚, 中堆现在有 $(x+7)$ 枚;

从中堆中取出与左堆剩余棋子数相同的棋子数放入左堆, 这时中堆的棋子数是 $(x+7)-(x-3)=$ $x+7-x+3=10$ 枚

故答案为: 10 .
题目（七年级 · 算术）：已知 $\mathrm{x}$ 的 2 倍与 10 的和等于 18 , 根据题意可列等式为 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$2 \mathrm{x}+10=18$
解析：依题意得： $2 x+10=18$.
故答案为 $2 x+10=18$.
题目（七年级 · 算术）：我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题: 一支篻子一条索, 索比篻子长一托, 对折索子来量管, 却比篻子短一托.如果 1 托为 5 尺, 那么索长为尺. (其大意为: 现有一根竿和一条绳索, 如果用绳索去量竿, 绳索比竿长 5 尺; 如果将绳索对折后再去量竿, 就比竿短 5 尺, 则绳索长几尺.)
选项：
答案：20
解析：设绳索长 $x$ 尺,

由题意得: $x-5=\frac{x}{2}+5$,

解得 $x=20$ ，

即绳索长 20 尺,

故答案为: 20 .
题目（七年级 · 算术）：甲、乙两数的和是 42 , 甲与乙的比是 4： 3 , 甲、乙两数差是 \$ \qquad \$
选项：
答案：6
解析：设甲数为 $x$, 乙数为 $(42-x)$, 根据题意得

## $3 x=4(42-x)$

解之: $x=24$

乙数: $42-24=18$,

$\therefore$ 甲、乙两数的差为: $24-18=6$.

故答案为: 6 .
题目（七年级 · 算术）：家丢番图的墓上记截着: 他生命的六分之一是幸福的童年; 再活了他生命的十二分之一,两规长起了细细的胡须; 他结了婚, 又度过了一生的七分之一; 再过五年, 他有了儿子, 感到很幸
福; 可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半; 儿子死后, 他在极度悲痛中度过了四年, 也与世长辞了.根据以上信息，请你算出丢番图的寿命是岁.
选项：
答案：84
解析：设丢番图的寿命为 $\mathrm{x}$ 岁，

依题意得: $\frac{1}{6} x+\frac{1}{12} x+\frac{1}{7} x+5+\frac{1}{2} x+4=x$,

解得: $x=84$.

故答案为: 84 .

【分析】设丢番图的寿命为 $x$ 岁, 由题意可得幸福的童年有 $\frac{1}{6} x$ 岁, 两颊长起了细细的胡须时 $\left(\frac{1}{6} \mathrm{x}+\frac{1}{12} \mathrm{x}\right)$ 岁, 结婚时 $\left(\frac{1}{6} \mathrm{x}+\frac{1}{12} \mathrm{x}+\frac{1}{7} \mathrm{x}\right)$ 岁, 有儿子时 $\left(\frac{1}{6} \mathrm{x}+\frac{1}{12} \mathrm{x}+\frac{1}{7} \mathrm{x}+5\right)$ 岁, 儿子死时父亲 $\left(\frac{1}{6} x+\frac{1}{12} x+\frac{1}{7} x+5+\frac{1}{2} x\right)$ 岁, 父亲死时 $\left(\frac{1}{6} x+\frac{1}{12} x+\frac{1}{7} x+5+\frac{1}{2} x+4\right)$, 结合寿命为 $x$ 岁建立方程, 求解即可.
题目（七年级 · 算术）：某服装店推出如下优惠方案:

(1)一次性购物不超过 100 元不享受优惠;

(2)一次性购物超过 100 元但不超过 300 元一律 9 折;

(3)一次性购物超过 300 元一律 8 折.

小李两次购物分别付款 85 元, 252 元, 如果他一次性购买以上两次相同的商品, 他应付款 \$ \qquad \$元.
选项：
答案：292 或 320
解析：(1) 第一次购物显然没有超过 100 , 即在第一次消费 85 元的情况下, 他的实质购物价值只能是 85 元.

（2）第二次购物消费 252 元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同（折扣率不同):

(1)第一种情况：他消费超过 100 元但不足 300 元，这时候他是按照 9 折付款的．设第二次实质购物价值为 $x$, 那么依题意有 $x \times 0.9=252$, 解得: $\mathrm{x}=280$.

(2)第二种情况：他消费超过 300 元，这时候他是按照 8 折付款的. 设第二次实质购物价值为 $\mathrm{x}$ ，那么依题意有 $x \times 0.8=252$, 解得: $x=315$. 即在第二次消费 252 元的情况下, 他的实际购物价值可能是 280 元或 315 元.

综上所述, 他两次购物的实质价值为 $85+280=365$ 或 $85+315=400$, 均超过了 300 元.

因此均可以按照 8 折付款: $365 \times 0.8=292$ 元, $395 \times 0.8=320$ 元.

故答案为: 292 或 320 .
题目（七年级 · 算术）：是 2021 年 7 月份的日历表，用形如


的框架框住日历表中的五个数，对于框架框住的五个数字之和, 小明的计算结果有 $45,55,60,75$, 小华说有结果是不正确的. 通过计算, 可知小明的计算结果中不正确的是 \$ \qquad \$ .

| 日 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 |
| :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: |
|  |  |  |  | 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 11 | 12 | 13 |  | 15 |  | 17 |
| 18 | 19 | 20 | 21 |  | 23 | 24 |
| 25 | 26 | 27 |  | 29 |  | 31 |
选项：
答案：55
解析：设框架框住的中间的数为 $x$, 则其他四个数分别为 $x-8, x-6, x+6, x+8$,

所以这五个数字之和为 $x-8+x-6+x+6+x+8+x=5 x$,

当计算结果是 45 时, 则 $5 x=45$, 解得 $x=9$, 符合题意;

当计算结果是 55 时, 则 $5 x=55$, 解得 $x=11$, 不符题意;

当计算结果是 60 时, 则 $5 x=60$, 解得 $x=12$, 符合题意;

当计算结果是 75 时, 则 $5 x=75$, 解得 $x=15$, 符合题意;

所以小明的计算结果中不正确的是 55 ,

故答案为: 55 .
题目（七年级 · 算术）：一个无限循环小数都可以写成分数的形式, 应该怎样写呢?我们以无限循环小数 0.7 为例进行说明, 设 $0 . \dot{7}=x$, 由 $0.7=0.7777$可知, $10 x=7.7777$ , 所以 $10 x-x=7$, 解方程, 得 $x=\frac{7}{9}$, 于是 $0.7=\frac{7}{9}$, 将 0.45 写成分数的形式是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$\frac{5}{11}$
解析：设 $0 . \dot{4} \dot{5}=\mathrm{x}$, 则 $45 . \dot{4} \dot{5}=100 \mathrm{x}$,

$\therefore 100 x-x=45$,

解得: $x=\frac{5}{11}$,

故答案为: $\frac{5}{11}$.
题目（七年级 · 算术）：$\left\lvert\,-\frac{2}{5}\right.$ 的相反数是 \$ \qquad \$ ,$\left|-\frac{2}{5}\right|$ 的倒数是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$-\frac{2}{5} ; \frac{5}{2}$
解析：$\left|-\frac{2}{5}\right|=\frac{2}{5}$ 的相反数是: $-\frac{2}{5}$,

$\left|-\frac{2}{5}\right|=\frac{2}{5}$ 的倒数是: $\frac{5}{2}$.

故答案为: $-\frac{2}{5}, \frac{5}{2}$.
题目（七年级 · 算术）：一个数与 -4 的乘积等于 $1 \frac{3}{5}$, 则这个数是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$-\frac{2}{5}$
解析：$1 \frac{3}{5} \div(-4)=-\frac{2}{5}$,

故这个数是 $-\frac{2}{5}$,

故答案为: $-\frac{2}{5}$.
题目（七年级 · 算术）：商品的标价为 200 元, 为了吸引顾客, 按九折出售, 这时仍要盈利 $20 \%$, 则这种商品的进价是元.
选项：
答案：150
解析：设这种商品的进价是 $\mathrm{x}$ 元, 根据题意可得 $200 \times 90 \%=\mathrm{x}(1+20 \%)$

解得: $x=150$,

故答案为: 150 .
题目（七年级 · 算术）：某铁路桥长 1600 米. 现有一列火车从桥上通过, 测得火车从开始上桥到完全过桥共用 90 秒, 整列火车完全在桥上的时间是 70 秒, 则这列火车长米.
选项：
答案：200
解析：设这列火车长为 $\mathrm{x}$ 米,

由题意, 得: $\frac{1600-x}{70}=\frac{1600+x}{90}$,

整理，解得： $x=200 ，$

$\therefore$ 这列火车长 200 米.

故答案为: 200 .
题目（七年级 · 算术）：我国古代数学书《四元玉鉴》中有这样一个问题: “九百九十九文钱, 甜果苦果买一千, 甜果九个十一文，苦果七个四文钱”. 计算可得甜果的个数是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：657
解析：设甜果的个数为 $\mathrm{x}$ 个, 则苦果的个数为 $(1000-\mathrm{x})$,

根据题意有: $\frac{11}{9} \times x+\frac{4}{7} \times(1000-x)=999$,

解得: $x=657$,

即甜果个数为 657 个,

故答案为: 657 .
题目（七年级 · 算术）：法统宗》是中国古代重要的数学著作, 其中记载: 我问开店李三公, 众客都来到店中, 一房七客多七客, 一房九客一房空. 其大意为: 今有若干人住店, 若每间住 7 人, 则余下 7 人无房可住；若每间住 9 人，则余下一间无人住，设店中共有 $\mathrm{x}$ 间房，可求得 $\mathrm{x}$ 的值为 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：8
解析：设店中共有 $\mathrm{x}$ 间房，

由题意得, $7 x+7=9(x-1)$,

解得 $x=8$,

所以，店中共有 8 间房，

故答案为: 8
题目（七年级 · 算术）：茶百道生产的一种由 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 两种原料按一定比例配制而成的奶茶, 其中 A 原料成本价为 10 元/千克, $\mathrm{B}$ 原料成本价为 15 元/千克, 按现行价格销售每千克奶茶可获得 4.8 元的利润.由于物价上涨, A 原料上涨 $20 \%$, B 原料上涨 $10 \%$, 配制后的总成本增加 $\frac{3}{20}$. 茶百道为了拓展市场, 打算再投入现总成本的 $10 \%$ 做广告宣传, 使得销售成本再次增加, 如果要保证每千克的利润不变, 则此时这种奶茶每千克的售价与原售价之差为 \$ \qquad \$元
选项：
答案：3.18
解析：设配制比例为1：x，由题意得：

$$
10(1+20 \%)+15(1+10 \%) x=(10+15 x)\left(1+\frac{3}{20}\right)
$$

解得 $x=\frac{2}{3}$,
则原来每千克成本为: $\frac{10 \times 1+15 \times \frac{2}{3}}{1+\frac{2}{3}}=12$ (元),

原来每千克售价为: $12+4.8=16.8 （$ 元）

此时每千克成本为: $12 \times\left(1+\frac{3}{20}\right)(1+10 \%)=15.18$ (元),

此时每千克售价为: $15.18+4.8=19.98 （$ 元 $),$

则此时售价与原售价之差为: $19.98-16.8=3.18 （$ 元）.

故答案为: 3.18 .
题目（七年级 · 算术）：某超市推出如下优惠方案:

(1)一次性购物不超过 100 元不享受优惠;

(2)一次性购物超过 100 元但不超过 300 元一律 9 折;

(3)一次性购物超过 300 元一律 8 折。

小红两次购物分别付款 99 元和 225 元, 如果小红一次性购买以上两次相同的商品, 则应付元.
选项：
答案：288 或 279.2
解析：一次性购物付款 99 元, 据条件 (1)、(2) 知她有可能享受九折优惠, 则实际购物款为: $99 \div 0.9=110($ 元 $)$,

也可能实际就是 99 元，没有优惠，则实际购物款为 99 元;

另一次购物付款 225 元, 只有一种可能, 是购物超过 100 元但不超过 300 元按九折计算, 则实际购物款为 $\frac{225}{0.9}=250$ (元).

$250+110=360$ （元），或 $250+99=349$ （元），

即小红两次购物总价值为 360 元, 349 元,

若一次性购买这些商品应付款为:

则 $360 \times 0.8=288$ (元), 或 $349 \times 0.8=279.2 （$ 元）.

故答案为: 288 或 279.2 .
题目（七年级 · 算术）：在数轴上, 点 $\mathrm{A}, \mathrm{O}, \mathrm{B}$ 分别表示 $-16,0,14$, 点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}$ 分别从点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}$ 同时开始沿数轴正方向运动, 点 $\mathrm{P}$ 的速度是每秒 3 个单位, 点 $\mathrm{Q}$ 的速度是每秒 1 个单位, 运动时间为 $\mathrm{t}$ 秒. 若点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{O}$三点在运动过程中, 其中一点恰好是另外两点为端点构成的线段的三等分点时, 则运动时间为秒.
选项：
答案：$\frac{18}{7}$ 或 $\frac{31}{4}$ 或 $\frac{76}{7}$ 或 $\frac{74}{3}$
解析：设运动的时间为 $t s(t>0)$, 则点 $P$ 表示 $3 t-16$, 点 $Q$ 表示 $t+14$,

(1)当点 $O$ 在线段 $A B$ 上时, 如图 1 所示.



图1

此时 $3 \mathrm{t}-16<0$, 即 $\mathrm{t}<\frac{16}{3}$.

$\because$ 点 $\mathrm{O}$ 是线段 $\mathrm{PQ}$ 的三等分点,

$\therefore \mathrm{PO}=2 \mathrm{OQ}$ 或 $2 \mathrm{PO}=\mathrm{OQ}$,

即 $16-3 t=2(t+14)$ 或 $2(16-3 t)=t+14$,

解得: $t=-\frac{12}{5}$ (舍去), 或 $t=\frac{18}{7}$;

(2)当点 $P$ 在线段 $O Q$ 上时, 如图 2 所示.



图2

此时 $0<3 t-16<t+14$, 即 $\frac{16}{3}<t<15$

$\because$ 点 $\mathrm{P}$ 是线段 $\mathrm{OQ}$ 的三等分点,

$\therefore 2 \mathrm{OP}=\mathrm{PQ}$ 或 $\mathrm{OP}=2 \mathrm{PQ}$,

即 $2(3 t-16)=t+14-（ 3 t-16 ）$ 或 $3 t-16=2[t+14-（ 3 t-16)]$,

解得: $\mathrm{t}=\frac{31}{4}$, 或 $\mathrm{t}=\frac{76}{7}$;

(3)当点 $\mathrm{Q}$ 在线段 $O P$ 上时, 如图 3 所示.



图3

此时 $\mathrm{t}+14<3 \mathrm{t}-16$, 即 $\mathrm{t}>15$.

$\because$ 点 $\mathrm{Q}$ 是线段 $\mathrm{OP}$ 的三等分点,

$\therefore \mathrm{OQ}=2 \mathrm{QP}$ 或 $2 \mathrm{OQ}=\mathrm{QP}$,

即 $t+14=2[3 t-16-(t+14)]$ 或 $2 （ t+14)=3 t-16-(t+14)$,
解得: $\mathrm{t}=\frac{74}{3}$, 或无解.

综上可知: 点 $\mathrm{P}, \mathrm{Q}, \mathrm{O}$ 三点在运动过程中, 其中两点为端点构成的线段被第三个点三等分, 则运动时间为 $\frac{18}{7} 、 \frac{31}{4} 、 \frac{76}{7}$ 或 $\frac{74}{3}$ 秒.

故答案为: $\frac{18}{7} 、 \frac{31}{4} 、 \frac{76}{7}$ 或 $\frac{74}{3}$ 秒.
题目（七年级 · 算术）：$-\sqrt{5},-2,-\frac{7}{3}$ 这三个数中, 最小的数是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$-\frac{7}{3}$
解析：$\because|-\sqrt{5}|=\frac{\sqrt{45}}{3},|-2|=\frac{\sqrt{36}}{3},\left|-\frac{7}{3}\right|=\frac{\sqrt{49}}{3}$,

$\therefore \frac{49}{3}>\frac{\sqrt{45}}{3}>\frac{\sqrt{36}}{3}$

$\therefore-2>-\sqrt{5}>-\frac{7}{3}$,

$\therefore$ 最小的数是 $-\frac{7}{3}$.
题目（七年级 · 算术）：$\left|-\frac{2}{5}\right|$ 的相反数是 \$ \qquad \$ , $\left|-\frac{2}{5}\right|$ 的倒数是
选项：
答案：$-\frac{2}{5} ; \frac{5}{2}$
解析：$\left|-\frac{2}{5}\right|=\frac{2}{5}$ 的相反数是: $-\frac{2}{5}$,

$\left|-\frac{2}{5}\right|=\frac{2}{5}$ 的倒数是: $\frac{5}{2}$.

故答案为: $-\frac{2}{5}, \frac{5}{2}$.
题目（七年级 · 算术）：已知 $a<b$, 且 $|a|=6,|b|=3$, 则 $a+b$ 的值为 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：-3 或 -9
解析：$\because|a|=6,|b|=3$,

$\therefore \mathrm{a}= \pm 6, \mathrm{~b}= \pm 3$

$\because \mathrm{a}<\mathrm{b}$,

$\therefore$ 当 $a=-6$ 时 $b=3, a+b=-6+3=-3$;

当 $a=-6$ 时 $b=-3, a+b=-6-3=-9$;

故答案为: -3 或 -9 .
题目（七年级 · 算术）：如果 $x^{2}=64$, 那么 $\sqrt[3]{x}=$ \$ \qquad \$ , 最小正整数与最大负整数的积等于 \$ \qquad \$
选项：
答案：pm 2 ;-1$
解析：$\because x^{2}=64$,

$\therefore \mathrm{x}= \pm 8$

$\therefore \sqrt[3]{-8}=-2, \sqrt[3]{8}=2$

最小正整数与最大负整数的积等于 $1 \times(-1)=-1$.

故答案为: $\pm 2,-1$.
题目（七年级 · 算术）：一台无人机从高度为 $50 \mathrm{~m}$ 的位置开始, 先上升 $10 \mathrm{~m}$, 后下降 $18 \mathrm{~m}$, 这时这台无人机所在的高度是
选项：
答案：42 米
解析：$\because$ 一台无人机从高度为 $50 \mathrm{~m}$ 的位置开始, 先上升 $10 \mathrm{~m}$, 后下降 $18 \mathrm{~m}$, $\therefore$ 这时这台无人机所在的高度是 $50+10-18=42$.

故答案为: 42 米.
题目（七年级 · 算术）：计算: $35 \times\left(\frac{2}{5}-\frac{4}{7}\right)=$ \$ \qquad \$ .
选项：
答案：-6
解析：原式 $=35 \times \frac{2}{5}-35 \times \frac{4}{7}=14-20=-6$.

故答案为: -6 .
题目（七年级 · 算术）：$a+3 b-4=0$, 则 $9 b+3 a-11$ 的值是 \$ \qquad \$
选项：
答案：1
解析：$\because a+3 b-4=0$,

$\therefore a+3 b=4$

$\therefore 9 b+3 a-11=3(a+3 b)-11=3 \times 4-11=1$,

故答案为: 1 .
题目（七年级 · 算术）：比较两数大小: \$ \qquad \$ $-\frac{7}{6}$ （用“<”，或“>”，或“=”填空）
选项：
答案：>
解析：$\because\left|-\frac{6}{7}\right|=\frac{6}{7}<1, \quad\left|-\frac{7}{6}\right|=\frac{7}{6}>1$,

$\therefore\left|-\frac{6}{7}\right|<\left|-\frac{7}{6}\right|$

$\therefore-\frac{6}{7}>-\frac{7}{6}$.
故答案为: $>$.
题目（七年级 · 算术）：点 $A 、 B$ 在数轴上, 若数轴上点 $A$ 表示 -1 , 且 $A B=2$, 则点 $B$ 表示的数是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：或 1
解析：根据题意得:

当点 $B$ 在点 $A$ 的右边时, 点 $B$ 表示的数是 $2+(-1)=1$;

当点 $B$ 在点 $A$ 的左边时, 点 $B$ 表示的数是 $(-1)-2=-3$;

$\therefore$ 点 $\mathrm{B}$ 表示的数是 -3 或 1.

故答案为: -3 或 1
题目（七年级 · 算术）：若一个数的平方等于 256 , 则这个数是
选项：
答案：$\pm 16$
解析：略
题目（七年级 · 算术）：比较大小: $-\sqrt{5} \quad-\sqrt{3}, 2.5 \quad \sqrt{7}$.
选项：
答案：<; <
解析：略
题目（七年级 · 算术）：: $\sqrt[3]{-8}-|1-\sqrt{2}|=$
选项：
答案：$-1-\sqrt{2}$
解析：解：原式 $=\sqrt[3]{-8}-|1-\sqrt{2}|=-2-(\sqrt{2}-1)=-2+1-\sqrt{2}=-1-\sqrt{2}$.

故答案为: $-1-\sqrt{2}$.

利用立方根和绝对值的意义化简计算即可.
本题主要考查了实数的运算, 立方根与绝对值的意义, 正确利用上述法则运算是解题的关键.
题目（七年级 · 算术）：设 $\sqrt{6}$ 的整数部分是 $m$ ，小数部分是 $n$, 则 $n^{2}-2 m-1$ 的值为
选项：
答案：$5-4 \sqrt{6}$
解析：析】解：因为 $2<\sqrt{6}<3$,

$\therefore \sqrt{6}$ 的整数部分是 $m=2$, 小数部分是 $n=\sqrt{6}-2$,

所以 $n^{2}-2 m-1=(\sqrt{6}-2)^{2}-2 \times 2-1=6-4 \sqrt{6}+4-4-1=5-4 \sqrt{6}$,

故答案为: $5-4 \sqrt{6}$.

先估算数 $\sqrt{6}$ 的大小，然后可求得 $m 、 n$ 的值，最后代入计算即可.
本题考查了估算无理数的大小, 求得 $m 、 n$ 的值是解题的关键.
题目（七年级 · 算术）：如果 $\sqrt{16}$ 的算术平方根是 $m,-64$ 的立方根是 $n$, 那么 $m-n=$
选项：
解析：

## 【分析】

本题主要考查的是立方根、平方根的定义，依据立方根和平方根的定义求得 $m 、 n$ 的值是解题的关键.

依据算术平方根和立方根的定义求得 $m 、 n$ 的值，然后代入求解即可.

## 【解答】

解: $\because \sqrt{16}=4,4$ 的算术平方根是 2 ,

$\therefore m=2$.

$\because-64$ 的立方根是 -4,

$\therefore n=-4$.

$\therefore m-n=2-(-4)=2+4=6$.

故答案为 6 .
题目（七年级 · 算术）：（2020$\cdot$浙江宁波市・七年级期末）世界上最小、最轻的昆虫是膜翅目缨小蜂科的一种卵蜂, 其质量仅有 0.000005 克, 用科学记数法表示 0.000005 为

##
选项：
答案：$5 \times 10^{-6}$
解析：绝对值小于 1 的数可以利用科学记数法表示, 一般形式为 $a \times 10^{-n}$, 与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定.

【详解】 $0.000005=5 \times 10^{6} .$.

【点睛】本题考查了负整数指数科学记数法, 对于一个绝对值小于 1 的非 0 小数, 用科学记数法写成
$a \times 10^{-n}$ 的形式, 其中 $1 \leq|a|<10, n$ 是正整数, $n$ 等于原数中第一个非 0 数字前面所有 0 的个数（包括小数点前面的 0$)$.
题目（七年级 · 算术）：方程 $2 x+y=5$ 的正整数解为 $\qquad$或 $\qquad$
选项：
答案：【答案】 $x=2, y=1 \quad x=1, y=3$

【解析】解: 由已知方程 $2 x+y=5$, 移项得 $y=5-2 x$,

$\because x, y$ 都是正整数, 则有 $y=5-2 x>0$, 又 $\because x>0$,

$\therefore 0<x<\frac{5}{2}$, 又 $\because x$ 为正整数, 根据以上条件可知, 合适的 $x$ 值只能是 $x=1 、 2$,

代入方程得相应 $y=3 、 1$,

$\therefore$ 方程 $2 x+y=5$ 的正整数解为 $x=1, y=3 ; x=2, y=1$.

由题意求方程的解且要使 $x, y$ 都是正整数, 将方程移项, 再把 $x$ 和 $y$ 互相表示出来, 在由题意要求 $x>0, y>0$, 根据以上两个条件可夹出合适的 $x$ 值从而代入方程得到相应的 $y$ 值.

本题是求不定方程的整数解, 先将方程做适当变形, 确定其中一个未知数的取值范围,然后列举出适合条件的所有整数值, 再求出另一个未知数的值.
解析：【答案】 $x=2, y=1 \quad x=1, y=3$

【解析】解: 由已知方程 $2 x+y=5$, 移项得 $y=5-2 x$,

$\because x, y$ 都是正整数, 则有 $y=5-2 x>0$, 又 $\because x>0$,

$\therefore 0<x<\frac{5}{2}$, 又 $\because x$ 为正整数, 根据以上条件可知, 合适的 $x$ 值只能是 $x=1 、 2$,

代入方程得相应 $y=3 、 1$,

$\therefore$ 方程 $2 x+y=5$ 的正整数解为 $x=1, y=3 ; x=2, y=1$.

由题意求方程的解且要使 $x, y$ 都是正整数, 将方程移项, 再把 $x$ 和 $y$ 互相表示出来, 在由题意要求 $x>0, y>0$, 根据以上两个条件可夹出合适的 $x$ 值从而代入方程得到相应的 $y$ 值.

本题是求不定方程的整数解, 先将方程做适当变形, 确定其中一个未知数的取值范围,然后列举出适合条件的所有整数值, 再求出另一个未知数的值.