eodcF/cmm-math huggingface dataset:
题目（八年级 · 代数）：已知 $a$ 是方程 $x^{2}-3 x-1=0$ 的一个根, 则代数式 $-2 a^{2}+6 a-3$ 的值是
选项：
答案：-5
解析：解: $\because a$ 是方程 $x^{2}-3 x-1=0$ 的一个根, $\therefore a^{2}-3 a-1=0$,

整理得, $a^{2}-3 a=1$,

$\therefore-2 a^{2}+6 a-3=-2\left(a^{2}-3 a\right)-3$

$=-2 \times 1-3$

$=-5$

根据方程的根的定义, 把 $x=a$ 代入方程求出 $a^{2}-3 a$ 的值, 然后整体代入代数式进行计算即可得解.
题目（八年级 · 代数）：已知方程 $x^{2}+5 x-6=0$ 的解是 $x_{1}=1, x_{2}=-6$, 则方程 $(2 x+3)^{2}+5(2 x+3)-6=0$ 的解是
选项：
答案：$x_{1}=-1, x_{2}=-\frac{9}{2}$
解析：解: 把方程 $(2 x+3)^{2}+5(2 x+3)-6=0$ 看作关于 $2 x+3$ 的一元二次方程,所以 $2 x+3=1$ 或 $2 x+3=-6$,

所以 $x_{1}=-1, x_{2}=-\frac{9}{2}$.
题目（八年级 · 代数）：已知非零有理数 $x, y$ 满足 $x^{2}-4 x y+3 y^{2}=0$, 则 $\frac{x-y}{x+y}=$
选项：
答案：0 或 $\frac{1}{2}$
解析：解: :非零有理数 $x, y$ 满足 $x^{2}-4 x y+3 y^{2}=0$,

$\therefore(x-y)(x-3 y)=0$,

则 $x-y=0$ 或 $x-3 y=0$,

所以 $x=y$ 或 $x=3 y$,

当 $x=y$ 时, $\frac{x-y}{x+y}=0$;
当 $x=3 y$ 时, $\frac{x-y}{x+y}=\frac{3 y-y}{3 y+y}=\frac{2 y}{4 y}=\frac{1}{2}$;

综上, $\frac{x-y}{x+y}=0$ 或 $\frac{1}{2}$

本题主要考查解一元二次方程的能力, 熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法: 直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法, 结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.
题目（八年级 · 代数）：如果关于 $x$ 的一元二次方程 $a x^{2}+b x+c=0$ 有两个实数根, 且其中一个根为另一根的 2 倍, 则称这样的方程为 “倍根方程” , 以下关于倍根方程的说法, 正确的有个.

(1) 方程 $x^{2}-x-2=0$ 是倍根方程;

(2)若 $(x-2)(m x+n)=0$ 是倍根方程, 则 $4 m^{2}+5 m n+n^{2}=0$;

(3)若 $p 、 q$ 满足 $p q=2$, 则关于 $x$ 的方程 $p x^{2}+3 x+q=0$ 是倍根方程;

(4)若方程 $a x^{2}+b x+c=0$ 是倍根方程, 则必有 $2 b^{2}=9 a c$.
选项：
答案：3
解析：解：(1)解方程 $x^{2}-x-2=0$ 得, $x_{1}=2, x_{2}=-1$, 得, $x_{1} \neq 2 x_{2}$,

$\therefore$ 方程 $x^{2}-x-2=0$ 不是倍根方程；故(1)不正确;

(2)若 $(x-2) \quad(m x+n)=0$ 是倍根方程, $x_{1}=2$,

因此 $x_{2}=1$ 或 $x_{2}=4$,

当 $x_{2}=1$ 时,$m+n=0$,

当 $x_{2}=4$ 时, $4 m+n=0$,

$\therefore 4 m^{2}+5 m n+n^{2}=(m+n) \quad(4 m+n)=0$,

故(2)正确;

(3) $\because p q=2$, 则 $p x^{2}+3 x+q=(p x+1)(x+q)=0$,

$\therefore x_{1}=-\frac{1}{p}, x_{2}=-q$,

$\therefore x_{2}=-q=-\frac{2}{p}=2 x_{1}$,

因此是倍根方程, 故(3)正确;

(4)方程 $a x^{2}+b x+c=0$ 的根为: $x_{1}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}, x_{2}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$,

若 $x_{1}=2 x_{2}$, 则 $\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \times 2$,

即 $\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}-\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \times 2=0$,

$\therefore \frac{b+3 \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}=0$

$\therefore b+3 \sqrt{b^{2}-4 a c}=0$,
$\therefore 3 \sqrt{b^{2}-4 a c}=-b$,

$\therefore 9\left(b^{2}-4 a c\right)=b^{2}$,

$\therefore 2 b^{2}=9 a c$.

若 $2 x_{1}=x_{2}$ 时, 则 $\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \times 2=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$,

则 $\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \times 2-\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}=0$ ，

$\therefore \frac{-b+3 \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}=0$,

$\therefore-b+3 \sqrt{b^{2}-4 a c}=0$,

$\therefore b=3 \sqrt{b^{2}-4 a c}$,

$\therefore b^{2}=9\left(b^{2}-4 a c\right)$,

$\therefore 2 b^{2}=9 a c$.

故(4)正确,

$\therefore$ 正确的有: (2)(3)(4)共 3 个.
题目（八年级 · 代数）：关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+2(m-1) x+m^{2}=0$ 的两个实数根分别为 $x_{1}, x_{2}$, 且 $x_{1}+x_{2}>0, x_{1} x_{2}$ $>0$, 则 $m$ 的取值范围是
选项：
答案：$m \leq \frac{1}{2}$ 且 $m \neq 0$
解析：解: $\because \Delta=[2(m-1)]^{2}-4 m^{2}=-8 m+4 \geq 0$,

$\therefore m \leq \frac{1}{2}$,

$\because x_{1}+x_{2}=-2(m-1)>0, x_{1} x_{2}=m^{2}>0$,

$\therefore m<1, m \neq 0$

$\therefore m \leq \frac{1}{2}$ 且 $m \neq 0$.
题目（八年级 · 代数）：已知 $x=1$ 是一元二次方程 $a x^{2}+b x-10=0$ 的一个根, 则分式 $\frac{a^{2}+2 a b+b^{2}}{2 a+2 b}$ 的值为 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：5
解析：把 $x=1$ 代入方程 $a x^{2}+b x-10=$ 得 $a+b-10=0$,

解 $a+b=10$.

$\frac{a^{2}+2 a b+b^{2}}{2 a+2 b}=\frac{(a+b)^{2}}{2(a+b)}=\frac{a+b}{2}=5$

故答案为 5 .
题目（八年级 · 代数）：若关于 $x$ 的方程 $x^{2}+p x+1=0$ 的一个实数根的倒数恰好是它本身, 则 $p$ 的值是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：2 或 -2
解析：$\because$ 一个根的倒数恰好是它本身,

$\therefore$ 方程的根可能为 1 或 -1 ,

假设 $x=1$ ，

将 $x=1$ 代入方程 $x^{2}+p x+1=0$ 中,

可得 $p=-2$;

假设 $x=-1$, 将 $x=-1$ 代入方程 $x^{2}+p x+1=0$ 中,

可得 $p=2$.

故答案为 2 或 -2 .
题目（八年级 · 代数）：关于 $x$ 的一元二次方程 $(m-5) x^{2}+2 x+2=0$ 有实根, 则 $m$ 的最大整数解是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：4
解析：$\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $(m-5) x^{2}+2 x+2=0$ 有实根,

$\therefore \Delta=4-8(m-5) \geq 0$, 且 $m-5 \neq 0$,

解得 $m \leq 5.5$, 且 $m \neq 5$,

则 $m$ 的最大整数解是 4 .

故答案为 4 .
题目（八年级 · 代数）：关于 $x$ 的一元二次方程 $2 x^{2}-6 x+k=0$ 有两个不相等的实数根, 则实数 $k$ 的取值范围是 \$ \qquad \$
选项：
答案：$k<4.5$
解析：$\because$ 关于 $x$ 的一元二次方程 $2 x^{2}-6 x+k=0$ 有两个不相等的实数根,

$\therefore \Delta=(-6)^{2}-4 \times 2 \cdot k=36-8 k>0$,

解得： $k<4.5$.

故答案为 $k<4.5$.
题目（八年级 · 代数）：若关于 $x$ 的方程 $-2 x+m \sqrt{2018-x}+4020=0$ 存在整数解, 则正整数 $m$ 的所有取值的和为 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：18
解析：由题意 $m=\frac{2 x-4020}{\sqrt{2018-x}}$, 令 $y=\sqrt{2018-x}$, 则 $x=2018-y^{2}$,

$$
\therefore m=\frac{2\left(2018-y^{2}\right)-4020}{y}=\frac{16}{y}-2 y
$$

$\because m$ 是正整数, $y \geq 0$,

$\therefore y=1$ 时, $m=14$,

$y=2$ 时, $m=4$,

$\therefore$ 正整数 $m$ 的所有取值的和为 $14+4=18$.

故答案为 18 .
题目（八年级 · 代数）：若关于 $x$ 的方程 $(x-2)\left(x^{2}-4 x+m\right)=0$ 有三个根, 且这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长, 则 $m$ 的取值范围是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$3<m \leq 4$
解析：: 关于 $x$ 的方程 $(x-2)\left(x^{2}-4 x+m\right)=0$ 有三个根,

$\therefore$ (1) $x-2=0$, 解得 $x_{1}=2$;

(2) $x^{2}-4 x+m=0$,

$\therefore \Delta=16-4 m \geq 0$, 即 $m \leq 4$,

$\therefore x_{2}=2+\sqrt{4-m}$,

$x_{3}=2-\sqrt{4-m}$,

又 : : 这三个根恰好可以作为一个三角形的三条边的长,

且最长边为 $x_{2}$,

$\therefore x_{1}+x_{3}>x_{2}$,

即 $2+2-\sqrt{4-m}>2+\sqrt{4-m}$,

化简得: $\sqrt{4-m}>1$,

又 $4-m \geq 0$,

解得: $3<m \leq 4$,

$\therefore m$ 的取值范围是 $3<m \leq 4$.

故答案为 $3<m \leq 4$.
题目（八年级 · 代数）：对于三个数 $a, b, c$, 我们规定用 $M\{a, b, c\}$ 表示这三个数的平均数, 用 $\min \{a, b, c\}$ 表示这三个数中最小的数. 例如: $M\{-1,2,3\}=\frac{-1+2+3}{3}=\frac{4}{3}, \min \{-1,2,3\}=-1$. 如果 $M\{3,2 x+1,4 x-1\}$ $=\min \{2,-x+3,5 x\}$, 那么 $x=$ \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$\frac{1}{2}$ 或 $\frac{1}{3}$
解析：解: $M\{3,2 x+1,4 x-1\}=\min \{2,-x+3,5 x\}$,

(1) 若 $\frac{1}{3}(3+2 x+1+4 x-1)=2$, 则 $x=\frac{1}{2}$, (符合题意)

(2)若 $\frac{1}{3}(3+2 x+1+4 x-1)=-x+3$, 则 $x=\frac{2}{3}, \quad(-x+3$ 不是三个数中最小的数, 不符合题意 $)$

(3) 若 $\frac{1}{3}(3+2 x+1+4 x-1)=5 x$, 则 $x=\frac{1}{3}$, (符合题意)

故答案为: $\frac{1}{2}$ 或 $\frac{1}{3}$.

本题考查了一元一次方程的应用. 解题的关键是弄清新定义运算的法则, 并分情况讨论.
题目（八年级 · 代数）：5 个人围成一个圆圈做游戏, 游戏的规则是: 每个人心里都想好一个实数, 并把自己想好的数如实地告诉他相邻的两个人, 然后每个人将他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来, 若报出来的数如图所示, 则报 4 的人心里想的数是


选项：
答案：9
解析：设报 4 的人心想的数是 $x$, 报 1 的人心想的数是 $10-x$, 报 3 的人心想的数是 $x-6$, 报 5 的人心想的数是 $14-x$, 报 2 的人心想的数是 $x-12$,

所以有 $x-12+x=2 \times 3$,

解得 $x=9$.

故答案为 9 .
题目（八年级 · 代数）：如果 $y=\frac{k-2}{x}+\left(k^{2}-2 k\right)$ 是反比例函数, 则 $k=$
选项：
答案：0
解析：由题意得: $\left\{\begin{array}{l}k-2 \neq 0 \\ k^{2}-2 k=0\end{array}\right.$ ，

解得 $k=0$,

故答案为: 0 .
题目（八年级 · 代数）：如果函数 $y=(m-1) x^{m^{2}-2}$ 是反比例函数, 那么 $m$ 的值是
选项：
答案：-1
解析：根据题意 $m^{2}-2=-1$,

$m= \pm 1$

又 $m-1 \neq 0, m \neq 1$ ，

所以 $m=-1$.

故答案为: -1 .
题目（八年级 · 代数）：用不等式表示 “ $x$ 与 5 的差不大于 1 ”: \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$\mathrm{x}-5 \leqslant 1$.
题目（八年级 · 代数）：已知不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x>1 \\ x<a\end{array}\right.$ 有三个整数解, 则 $\mathrm{a}$ 的取值范围是 \$ \qquad \$
选项：
答案：$4<\mathrm{a} \leqslant 5$
题目（八年级 · 代数）：我们定义 $\left|\begin{array}{ll}a & c \\ b & d\end{array}\right|=a d-b c$, 例如: $\left|\begin{array}{ll}2 & 5 \\ 4 & 3\end{array}\right|=2 \times 3-4 \times 5=-14$,

若字母 $\mathrm{x}$ 满足 $-1<\left|\begin{array}{ll}x & x+1 \\ 2 & 3\end{array}\right|<3$, 则 $\mathrm{x}$ 的取值范围是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$1<x<5$
题目（八年级 · 代数）：于 $x$ 的不等式组 $\left\{\begin{array}{l}x<a \\ x<2\end{array}\right.$ 的解集是 $x<2$, 则 $a$ 的取值范围是 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：$a \geq 2$
题目（八年级 · 代数）：对于正整数 a、b、c、d, 符号 $\left|\begin{array}{ll}\boldsymbol{a} & \boldsymbol{b} \\ \boldsymbol{d} & \boldsymbol{c}\end{array}\right|=\mathrm{ac}-\mathrm{bd}$, 若 $1<\left|\begin{array}{ll}1 & \boldsymbol{b} \\ \boldsymbol{d} & 4\end{array}\right|<3$, 则 $\mathrm{b}+\mathrm{d}=$ \$ \qquad \$ .
选项：
答案：或 -3
题目（八年级 · 代数）：已知函数 $y=(k+1) x^{k^{2}+k-1}(k$ 为整数 $)$, 当 $k$ 为时, $y$ 是 $x$ 的反比例函数.
选项：
答案：0
解析：$\because y=(k+1) x^{k^{2}+k-1}$ 是反比例函数,

$\therefore\left\{\begin{array}{l}k^{2}+k-1=-1 \\ k+1 \neq 0\end{array}\right.$,

解之得 $k=0$.
题目（八年级 · 代数）：反比例函数 $y=(m-2) x^{2 m+1}$ 的函数值为 $\frac{1}{3}$ 时, 自变量 $x$ 的值是
选项：
答案：-9
解析：$\because y=(m-2) x^{2 m+1}$ 是反比例函数,

则有 $\left\{\begin{array}{l}2 m+1=-1 \\ m-2 \neq 0\end{array}\right.$,
解得 $m=-1$,

因而函数解析式是 $y=-\frac{3}{x}$,

当函数值为 $\frac{1}{3}$ 时，即 $-\frac{3}{x}=\frac{1}{3}$,

解得 $x=-9$.

故自变量 $x$ 的值是 -9 .

故答案为 -9 .
题目（八年级 · 度量几何学）：: $\triangle A B C \cong \triangle D E F, B C=7, E C=4$, 那么 $C F$ 的长为


选项：
答案：3
题目（八年级 · 度量几何学）：, 将一副三角板如图方式放置, 则 $\angle 1$ 的度数是


选项：
答案：$15^{\circ}$
题目（八年级 · 度量几何学）：如图是一块菜地, 已知 $A D=8$ 米, $C D=6$ 米, $\angle D=90^{\circ}, A B=26$ 米, $B C=24$ 米.则这块菜地的面积是


选项：
答案：96 平方米
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在锐角 $\triangle A B C$ 中, $A B=8, S_{\triangle A B C}=16$,

$B D$ 平分 $\angle A B C, M 、 N$ 分别是 $B D 、 B C$ 上的动点, 则 $C M+M N$ 的最小值是


选项：
答案：4
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 将两条宽度均为 2 的纸条相交成 $30^{\circ}$ 角叠放, 则重合部分构成的四边形 $A B C D$ 的面积为 \$ \qquad \$ .
选项：
答案：8
解析：过点 $A$ 作 $A E \perp B C$ 于 $E, A F \perp C D$ 于 $F$, 如图所示:

$\because$ 两条纸条宽度相同,

$\therefore A E=A F$,



$\because A B / / C D, A D / / B C$
$\therefore$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形, $\angle A B C=30^{\circ}$,

$\because S_{\square A B C D}=B C \cdot A E=C D \cdot A F$,

又 $\because A E=A F$,

$\therefore B C=C D$,

$\therefore$ 四边形 $A B C D$ 是菱形,

$\therefore A B=B C$,

在Rt $\triangle A E B$ 中, $\angle A E B=90^{\circ}, \angle A B C=30^{\circ}, A E=2$,

$\therefore B C=A B=2 A E=2$,

$\therefore$ 四边形 $A B C D$ 的面积 $=B C \cdot A E=4 \times 2=8$,

故答案为: 8 .
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 线段 $A B$ 的长为 $6 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$, 点 $D$ 在线段 $A B$ 上, $\triangle A C D$ 为等边三角形,


过点 $D$ 作 $D P \perp C D$, 点 $G$ 是射线 $D P$ 上不与点 $D$ 重合的一动点, 作矩形 $C D G H$, 记矩形 $C D G H$



的对角线交点为 $O$, 连接 $O B$, 则线段 $O B$ 长度的最小值等于 cm.
选项：
答案：$3 \sqrt{3}$
解析：连接 $A O$,

$\because$ 四边形 $C D G H$ 是矩形,

$\therefore C G=D H, O C=\frac{1}{2} C G, O D=\frac{1}{2} D H$,

$\therefore O C=O D$,

$\because \triangle A C D$ 是等边三角形,

$\therefore A C=A D, \angle C A D=60^{\circ}$,

在 $\triangle A C O$ 和 $\triangle A D O$ 中,

$\left\{\begin{array}{l}A C=A D \\ A O=A O \\ C O=D O\end{array}\right.$

$\therefore \triangle A C O \cong \triangle A D O(S S S)$,

$\therefore \angle O A B=\angle C A O=\frac{1}{2} \times 60^{\circ}=30^{\circ}$,

$\therefore$ 点 $O$ 一定在 $\angle C A B$ 的平分线上运动, 所以当 $O B \perp A O$ 时, $O B$ 的长最小,

$\because \angle O A B=30^{\circ}, \angle A O B=90^{\circ}$,

$\therefore O B=\frac{1}{2} A B=\frac{1}{2} \times 6 \sqrt{3}=3 \sqrt{3}(\mathrm{~cm})$,

即 $O B$ 的最小值为 $3 \sqrt{3} \mathrm{~cm}$,

故答案为: $3 \sqrt{3}$.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在矩形 $A B C D$ 中, $A B=5, A D=8$, 点 $E$ 是边 $A D$ 上的一个动点,把 $\triangle B A E$ 沿 $B E$ 折叠, 点 $A$ 落在 $A^{\prime}$ 处, 如果 $A^{\prime}$ 恰在矩形的某条对称轴上,则 $A E$ 的长为 \$ \qquad \$
选项：
答案：$\frac{5}{2}$ 或 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$
解析：分两种情况：

(1)如图 1, 过 $A^{\prime}$ 作 $M N / / C D$ 交 $A D$ 于 $M$, 交 $B C$ 于 $N$,则直线 $M N$ 是矩形 $A B C D$ 的对称轴,

$\therefore A M=B N=\frac{1}{2} A D=4, M N=A B=5$,



图1

$\because \triangle A B E$ 沿 $B E$ 折叠得到 $\triangle A^{\prime} B E$,

$\therefore A^{\prime} E=A E, A^{\prime} B=A B=5$,

$\therefore A^{\prime} N=\sqrt{5^{2}-4^{2}}=3$,

$\therefore A^{\prime} M=M N-A^{\prime} N=5-3=2$,

由勾股定理得： $A^{\prime} E^{2}=E M^{2}+A^{\prime} M^{2}$,

$\therefore A^{\prime} E^{2}=\left(4-A^{\prime} E\right)^{2}+2^{2}$,

解得: $A^{\prime} E=\frac{5}{2}$,

$\therefore A E=\frac{5}{2}$;

(2)如图 2, 过 $A^{\prime}$ 作 $P Q / / A D$ 交 $A B$ 于 $P$, 交 $C D$ 于 $Q$,则直线 $P Q$ 是矩形 $A B C D$ 的对称轴,

$\therefore P Q \perp A B, A P=P B, A D / / P Q / / B C$,



图2

$\therefore A^{\prime} B=2 P B$,

$\therefore \angle P A^{\prime} B=30^{\circ}$,

$\therefore \angle A^{\prime} B C=30^{\circ}$,

$\therefore \angle E B A^{\prime}=30^{\circ}$,

$\therefore A E=A^{\prime} E=\frac{\sqrt{3}}{3} A^{\prime} B=\frac{5 \sqrt{3}}{3}$

综上所述: $A E$ 的长为 $\frac{5}{2}$ 或 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ ，

故答案为: $\frac{5}{2}$ 或 $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在等边 $\triangle A B C$ 中, $A B=4, D$ 是边 $B C$ 上一点, $\angle B A D=30^{\circ}$, 则 $C D$ 的长为


选项：
答案：2
题目（八年级 · 度量几何学）：如果等腰三角形一个底角为 $35^{\circ}$, 那么这个等腰三角形的顶角度数为
选项：
答案：$110^{\circ}$
题目（八年级 · 度量几何学）：由于台风的影响, 一棵树在离地面 $6 \mathrm{~m}$ 处折断, 树顶落在离树干底部 $8 \mathrm{~m}$ 处,则这棵树在折断前 (不包括树根) 长度是


选项：
答案：$16 \mathrm{~m}$
题目（八年级 · 度量几何学）：, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}$, 点 $D$ 是 $A B$ 的中点, $C D=2$, 则 $A B=$


选项：
答案：4
题目（八年级 · 度量几何学）：, $A B C D$ 为一长方形纸带, $A B / / C D$, 将 $A B C D$ 沿 $E F$ 折叠, $A, D$ 两点分别与 $A^{\prime}, D^{\prime}$ 对应,若 $\angle 2=70$. 如图, 台球桌相邻两边互相垂直, 若 $\angle 3=30^{\circ}$, 为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中, 那么打白球时, 必须保证 $\angle 1$ 的度数为


选项：
答案：60
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, A D$ 平分 $\angle B A C$, 交 $B C$ 于点 $D$, 且 $D A=D B$.若 $A D=6$, 则 $B C=$


选项：
答案：9
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B$ 的中垂线交边 $A C$ 于点 $E, B E=5, C E=3$, 则 $A C=$


选项：
答案：8
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, $A E$ 是 $\triangle A B C$ 的外角 $\angle C A D$ 的平分线, 且 $A B=A C, \angle A B C=65^{\circ}$, 则 $\angle D A E=$


选项：
答案：65
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 直线 $l_{1} / / l_{2}$, 有一个含 $30^{\circ}$ 的直角三角板的直角顶点 $A$ 在直线 $l_{2}$ 上,

若边 $A C$ 与直线 $l_{2}$ 的夹角 $\angle 1=70^{\circ}$, 则边 $B C$ 与直线 $l_{1}$ 的夹角 $\angle 2=$


选项：
答案：40
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B$ 的垂直平分线分别交 $A B 、 B C$ 于点 $D 、 E$, 连接 $A E$,若 $A E=4, E C=2$, 则 $B C$ 的长


选项：
答案：6
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $C A=C B, A C$ 的垂直平分线 $P Q$ 分别与 $B C, A C$ 交于点 $P, Q$,连接 $A P$, 若 $\angle B A P=30^{\circ}$, 则 $\angle A P B=$


选项：
答案：80
题目（八年级 · 度量几何学）：, $\triangle A B C \cong \triangle D E F$, 点 $B, E, C, F$ 在一条直线上. 已知 $B C=8, E C=5$, 则 $C F$ 的长为


选项：
答案：3
题目（八年级 · 度量几何学）：如图是单位长度为 1 的正方形网格, 则 $\angle 1+\angle 2+\angle 3=$


选项：
答案：5
题目（八年级 · 度量几何学）：已知三角形三条边的长分别是 $7 \mathrm{~cm}, 12 \mathrm{~cm}, 15 \mathrm{~cm}$, 则连接三边中点所构成三角形的周长为 \$ \qquad \$ cm.
选项：
答案：17
解析：解：如图,

$\because D 、 F$ 分别为 $A B 、 A C$ 的中点,

$\therefore D F$ 是 $\triangle A B C$ 的中位线,

$\therefore D F=\frac{1}{2} B C=3.5(\mathrm{~cm})$, 同理, $E F=\frac{1}{2} A B=6(\mathrm{~cm}), D E=\frac{1}{2} A C=7.5(\mathrm{~cm})$,

$\therefore \triangle D E F$ 的周长 $=3.5+6+7.5=17(\mathrm{~cm})$
题目（八年级 · 度量几何学）：若 $\triangle A B C D$ 中, $\angle A-\angle B=70^{\circ}$, 则 $\angle A=$
选项：
答案：$125^{\circ}$
解析：解: 在 $\square A B C D$ 中, $A D \| B C, \angle A=\angle C$,

$\therefore \angle A+\angle B=180^{\circ}$,

$\because \angle A-\angle B=70^{\circ}$,

$\therefore \angle A=125^{\circ}$
题目（八年级 · 度量几何学）：如图所示的六边形花环是用六个全等的直角三角形拼成的, 则 $\angle A B C=$ \$ \qquad \$度.



间有两条小路，
选项：
答案：30
解析：解：正六边形的每个内角的度数为: $\frac{(6-2) \cdot 180^{\circ}}{6}=120^{\circ}$,

所以 $\angle A B C=120^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}$
题目（八年级 · 度量几何学）：如图是一块长方形草坪, 长是 $16 \mathrm{~m}$, 宽是 $10 \mathrm{~m}$, 中
一条是长方形, 一条是平行四边形, 那么有草部分(阴影部分)的面积为 \$ \qquad \$ $m^{2}$.


选项：
答案：112
解析：本题主要考查求长方形的面积, 解答此题的关键是利用 “靠边站” 原理, 将小路靠边, 即可求出有草部分的面积. 由题意可知: 求有草部分的面积, 实际上就是求长为 (16-2) 米, 宽为 (10-2)米的长方形的面积, 利用长方形的面积公式即可求解.

解: $(16-2) \times(10-2)=14 \times 8=112$ (平方米)
题目（八年级 · 度量几何学）：三角形的两边长分别是 3 和 6 , 第三边长为偶数, 则三角形的周长为
选项：
答案：13或15或17
题目（八年级 · 度量几何学）：一座城墙高 $12 \mathrm{~m}$, 墙外有一条宽 $5 \mathrm{~m}$ 的护城河,

那么一架云梯至少要 \$ \qquad \$ $\mathrm{m}$ 才能到达城墙的顶端.
选项：
答案：13
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 已知 $\angle B=20^{\circ}, \angle C=35^{\circ}, \angle D=165^{\circ}$, 则 $\angle A$ 的度数为 \$ \qquad \$ $\circ$


选项：
答案：110
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90^{\circ}, A C=4, B C=3$, 以 $A B$ 为边作正方形 $A B D E$,则正方形 $A B D E$ 的面积为


选项：
答案：25
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\mathrm{Rt} \triangle A B C$ 中, $\angle A C B=90^{\circ}, D E$ 是 $A B$ 的垂直平分线,若 $\angle C B E=20^{\circ}$ ，则 $\angle A=$


选项：
答案：35
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, $A C=B C, \angle A C B=90^{\circ}, A E$ 平分 $\angle B A C, B F \perp A E$,

交 $A C$ 的延长线于点 $F$, 且垂足为 $E$, 下面的结论:
(1) $A D=B F$;
(2) $B F=A F ;$
(3) $A C+C D=A B$;
(4) $A B=B F ;$
(5) $A D=2 B E$.

其中正确的是


选项：
答案：)(3)(5)
题目（八年级 · 度量几何学）：, 在 $A B C$ 中, $\angle A=70^{\circ}, \angle B=60^{\circ}$, 点 $D$ 在 $B C$ 的延长线上, 则 $\angle A C D$ 等于


选项：
答案：$130^{\circ}$
题目（八年级 · 度量几何学）：若等边三角形的边长为 $2 \mathrm{~cm}$, 则该等边三角形的面积是 $\mathrm{cm}^{2}$.
选项：
答案：$\sqrt{3}$
题目（八年级 · 度量几何学）：, 点 $D$ 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle B D C=90^{\circ}, A B=6, A C=B D=4, C D=2$, 则图中阴影部分的面积为 \$ \qquad \$ .


选项：
答案：$4 \sqrt{5}-4$
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在 $R t \triangle A B C$ 与 $R t \triangle D C B$ 中, 已知 $\angle A=\angle D=90^{\circ}$, 请你添加一个条件 (不添加字母和辅助线),使 $R t \triangle A B C \xlongequal{\text { 尺 }} R t \triangle D C B$, 你添加的条件是 \$ \qquad \$


选项：
答案：$A B=D C$
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C, D E$ 是 $A B$ 的垂直平分线, $\triangle B C E$ 的周长为 $16, B C=7$, 则 $A B$ 的长为


选项：
答案：9
题目（八年级 · 度量几何学）：所示, 图中的 $\angle 1=$


选项：
答案：50
题目（八年级 · 度量几何学）：等腰三角形的一个内角为 $50^{\circ}$, 它的顶角的度数是
选项：
答案：$50^{\circ}$ 或 $80^{\circ}$
题目（八年级 · 度量几何学）：, 在 $\triangle A B C$ 中, 点 $D 、 E$ 分别为边 $B C 、 A D$ 上的中点, 且 $S_{\triangle A B C}=4 \mathrm{~cm}^{2}$, 则 $S_{\triangle B E C}$ 的值为


选项：
答案：$2 \mathrm{~cm}^{2}$
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle \mathrm{C}=90^{\circ}$, 按以下步骤作图: (1)以点 $A$ 为圆心、适当长为半径作圆弧,分别交边 $A C 、 A B$ 于点 $M 、 N$; (2) 分别以点 $M$ 和点 $N$ 为圆心、大于 $\frac{1}{2} M N$ 的长为半径作圆弧,在 $\angle B A C$ 内, 两弧交于点 $P ;$; 3)作射线 $A P$ 交边 $B C$ 于点 $D$, 若 $C D=4, A B=15$, 则 $\triangle A B D$ 的面积是


选项：
答案：30
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle B A C=100^{\circ}$, 边 $A B 、 A C$ 的垂直平分线分别交 $B C$ 于 $M 、 N$,则 $\angle M A N$ 等于


选项：
答案：0^{\circ}$
题目（八年级 · 度量几何学）：如图所示, 图中的 $\angle 1=$


选项：
答案：50
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, $\triangle A B C \cong \triangle D E F$, 点 $B, E, C, F$ 在一条直线上. 已知 $B C=8, E C=5$, 则 $C F$ 的长为


选项：
答案：3
题目（八年级 · 度量几何学）：所示, 在 $\triangle A B C$ 中, $A D \perp B C$ 于点 $D, A E$ 为 $\angle B A C$ 的平分线,

且 $\angle \mathrm{DAE}=15^{\circ}, \angle \mathrm{B}=35^{\circ}$, 则 $\angle \mathrm{C}=$


选项：
答案：65
题目（八年级 · 度量几何学）：, 要测量小金河两岸相对的 $A 、 B$ 两点之间的距离,

可以在与 $A B$ 垂直的河岸 $B F$ 上取 $C 、 D$ 两点, 且使 $B C=C D$.

从点 $D$ 出发沿与河岸 $B F$ 垂直的方向移动到点 $E$, 使点 $A 、 C 、 E$ 在一条直线上.

若测量 $D E$ 的长为 28 米, 则 $A 、 B$ 两点之间的距离为 \$ \qquad \$米.


选项：
答案：28
题目（八年级 · 度量几何学）：, $\triangle A B C$ 中, $\angle A=54^{\circ}, \angle B=46^{\circ}$, 点 $D 、 E$ 分别在 $A B 、 A C$ 上,
连接 $D E$ 并延长, 交 $B C$ 的延长线于 $F$, 若 $\angle F=25^{\circ}$, 则 $\angle 1$ 的度数为


选项：
答案：$125^{\circ}$
题目（八年级 · 度量几何学）：所示的网格是正方形网格, 图形的各个顶点均为格点, 则 $\angle 1+\angle 2=$


选项：
答案：$45^{\circ}$
题目（八年级 · 度量几何学）：, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A=52^{\circ}, \angle A B C$ 与 $\angle A C B$ 的平分线交于点 $D_{1}$,

$\angle A B D_{1}$ 与 $\angle A C D_{1}$ 的平分线交于点 $D_{2} \cdots \cdots$ 依此类推, $\angle B D_{i} C$ 的度数是


选项：
答案：6^{\circ}$
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 数字代表所在正方形的面积, 则 $A$ 所代表的正方形的面积为


选项：
答案：100
题目（八年级 · 度量几何学）：如图: $\triangle A B C \cong \triangle D E F, B C=7, E C=4$, 那么 $C F$ 的长为


选项：
答案：3
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B$ 的垂直平分线 1 交 $B C$ 于点 $D, B=7, A C=4$, 则 $\triangle A C D$ 的周长为


选项：
答案：11
题目（八年级 · 度量几何学）：, $\triangle A B C$ 中, $D E 、 F G$ 分别是 $A B 、 A C$ 的垂直平分线, $B C=4 \mathrm{~cm}, \angle B A C=100^{\circ}$.则 $\triangle A D F$ 的周长是 \$ \qquad \$ $\mathrm{cm}, \angle D A F=$ \$ \qquad \$ $\therefore$


选项：
答案：4 20
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 一棵大树折断后倒在地上, 请按图中所标的数据, 计算大树没折断前的高度的结果是


选项：
答案：18 米
题目（八年级 · 度量几何学）：, 直线 $a, b$ 过等边 $\triangle A B C$ 的顶点 $A$ 和 $C$, 且 $a / / b, \angle 1=38^{\circ}$, 则 $\angle 2$ 的度数为


选项：
答案：$98^{\circ}$
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle B A C=90^{\circ}, B C=4$,

分别以 $A B 、 A C$ 为直径作半圆, 面积分别记为 $S_{1} 、 S_{2}$, 则 $S_{1}+S_{2}=$


选项：
答案：$2 \pi$
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, $\triangle A B C$ 中, $D$ 是 $B C$ 上一点, $A C=A D=D B, \angle B A C=102^{\circ}$, 则 $\angle A D C=$度.


选项：
答案：52
题目（八年级 · 度量几何学）：, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C, \angle A=30^{\circ}, A B$ 的垂直平分线 $l$ 交 $A C$ 于点 $D$, 则 $\angle C B D=$


选项：
答案：$45^{\circ}$
题目（八年级 · 度量几何学）：, $\triangle A B C$ 是等边三角形, $P$ 为 $B C$ 上一点, 在 $A C$ 上取一点 $D$, 使 $A D=A P$,且 $\angle A P D=70^{\circ}$, 则 $\angle P A B$ 的度数是


选项：
答案：$20^{\circ}$
题目（八年级 · 度量几何学）：Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle C=90$ 度, $\angle B=25$ 度, 则 $\angle A=$度.
选项：
答案：65
题目（八年级 · 度量几何学）：, $\triangle \mathrm{ABC}$ 中, $\angle \mathrm{ACB}=90^{\circ}, \mathrm{CD}$ 是斜边上的高, $\mathrm{AC}=4, \mathrm{BC}=3$, 则 $\mathrm{CD}=$


选项：
答案：2.4
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, $\triangle A B C$ 中, $A B=A C, A B$ 的垂直平分线交边 $A B$ 于 $D$ 点, 交边 $A C$ 于 $E$ 点,若 $\triangle A B C$ 与 $\triangle E B C$ 的周长分别是 $40 \mathrm{~cm}, 24 \mathrm{~cm}$, 则 $A B=$ $\mathrm{cm}$.


选项：
答案：16
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在 $R t \triangle A B C$ 与 $R t \triangle D C B$ 中, 已知 $\angle A=\angle D=90^{\circ}$, 请你添加一个条件 (不添加字母和辅助线),使 $R t \triangle A B C \cong R t \triangle D C B$, 你添加的条件是


选项：
答案：$A B=D C$
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=3, A C=4, B C=5, E F$ 垂直平分 $B C$, 点 $P$ 为直线 $E F$ 上一动点,则 $\triangle A B P$ 周长的最小值是


选项：
答案：7
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, $O P$ 平分 $\angle M O N, P E \perp O M$ 于点 $E, P F \perp O N$ 于点 $F, O A=O B$, 则图中有对全等三角形.


选项：
答案：3
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, $\angle B=60^{\circ}, \angle A C D=100^{\circ}$, 那么 $\angle A=$


选项：
答案：$40^{\circ}$
题目（八年级 · 度量几何学）：如图: $\triangle A B C \cong \triangle D E F, B C=7, E C=4$, 那么 $C F$ 的长为_.


选项：
答案：3
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, $\triangle A B C$ 是等边三角形, 点 $B 、 C 、 D 、 E$ 在同一直线上, 且 $C G=C D, D F=D E$, 则 $\angle E=$度.


选项：
答案：15
题目（八年级 · 度量几何学）：如图所示, 学校有一块长方形花围, 有极少数人为了避开拐角走 “捷径”,在花围内走出了一条 “路”，他们仅仅少走了 , 却踩坏了花草.


选项：
答案：2 米
题目（八年级 · 度量几何学）：, 在 Rt $\triangle A B C$ 中, $\angle B A C=90^{\circ}, D E \perp B C, \angle 1=\angle 2, A C=6, A B=8$, 则 $\triangle B D E$ 的周长是


选项：
答案：12
题目（八年级 · 度量几何学）：, $\angle B=60^{\circ}, \angle A=50^{\circ}$, 则 $\angle A C D=$


选项：
答案：$110^{\circ}$
题目（八年级 · 度量几何学）：, $A B=A C, C D$ 平分 $\angle A C B, D E / / B C, \angle A D E=80^{\circ}$ ，那么 $\angle 2=$ \$ \qquad \$度.


选项：
答案：$40^{\circ}$.
题目（八年级 · 度量几何学）：如图，图中有个三角形，其中，是锐角三角形,
是直角三角形, \$ \qquad \$是钝角三角形.


选项：
答案：$6 \quad \triangle A B C, \triangle A C D \quad \triangle A C E, \triangle A B E, \triangle A D E \quad \triangle A B D$
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 若 $C D$ 是 $\triangle A B C$ 的角平分线, 若 $\angle A C B=80^{\circ}$, 则 $\angle B C D=$ \$ \qquad \$


选项：
答案：$40^{\circ}$
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, $A B=7 \mathrm{~cm}, \angle C A B=\angle D B A=60^{\circ}, A C=5 \mathrm{~cm}$,

点 $P$ 在线段 $A B$ 上以 $2 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}$ 的速度由点 $\mathrm{A}$ 向点 $B$ 运动, 同时点 $Q$ 在射线 $B D$ 上运动,

当点 $P$ 运动结束时, 点 $Q$ 随之结束运动, 当点 $P O$ 运动到某处时有 $\triangle A C P$ 与 $\triangle B P Q$ 全等,

则 $Q$ 的运动速度是 \$ \qquad \$ $\mathrm{cm} / \mathrm{s}$.


选项：
答案：或 $\frac{20}{7}$
题目（八年级 · 度量几何学）：我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作 《数书九章》一书中, 给出了著名的秦九韶公式, 也叫三斜求积公式, 即如果一个三角形的三边长分别为 $a, b, c$, 则该三角形的面积为 $S=$ $\sqrt{\frac{1}{4}\left[a^{2} b^{2}-\left(\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2}\right)^{2}\right]}$ ( $c$ 为最大边) 。现已知 $\triangle A B C$ 的三边长分别为 $\sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}$, 则 $\triangle A B C$ 的面积为 \$ \qquad \$
选项：
答案：$\frac{\sqrt{26}}{2}$
解析：$: S=\sqrt{\frac{1}{4}\left[a^{2} b^{2}-\left(\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2}\right)^{2}\right]}$,

$\therefore \triangle A B C$ 的三边长分别为 $\sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}$,

则 $\triangle A B C$ 的面积为:

$S=\sqrt{\frac{1}{4} \times\left[(\sqrt{5})^{2} \times(\sqrt{6})^{2}-\left(\frac{(\sqrt{5})^{2}+(\sqrt{6})^{2}-(\sqrt{7})^{2}}{2}\right)^{2}\right]}$,

$=\frac{\sqrt{26}}{2}$.

故答案为 $\frac{\sqrt{26}}{2}$.
题目（八年级 · 度量几何学）：, 学校有一块长方形花圃, 有少数人为了走 “捷径” , 在花圃内走出一条不文明的 “路”,
其实他们仅仅少走了 \$ \qquad \$步路, 却踩伤了花草（假设 2 步为 1 米）.


选项：
答案：4
题目（八年级 · 度量几何学）：, 在 $\triangle A B C$ 中, $A B=A C, \angle A=40^{\circ}, B D \perp A C$ 于 $D$, 则 $\angle D B C=$ \$ \qquad \$度.


选项：
答案：20
题目（八年级 · 度量几何学）：架秋千, 当它静止时, 踏板离地垂直高度 $D E=0.5 \mathrm{~m}$,

将它往前推送 $2 \mathrm{~m}($ 水平距离 $B C=2 \mathrm{~m})$ 时, 秋千踏板离地的垂直高度 $B F=1.5 \mathrm{~m}$,

秋千的绳索始终拉得很直, 则绳索 $A D$ 长为 \$ \qquad \$ $\mathrm{m}$.

选项：
答案：2.5
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 已知 $\angle M O N=30^{\circ}$, 点 $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \cdots$ 在射线 $O N$ 上, 点 $B_{1}, B_{2}, B_{3}, \cdots$ 在射线 $O M$ 上,且 $\triangle A_{1} B_{1} A_{2}, \triangle A_{2} B_{2} A_{3}, \triangle A_{3} B_{3} A_{4}, \cdots$ 均为等边三角形,若 $O A_{1}=2$, 则 $\triangle A_{2022} B_{2022} A_{2023}$ 的边长为


选项：
答案：^{2022}$
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在一个长 $20 m$, 宽 $10 m$ 的矩形草地内修建宽度相等的小路 (阴影部分),若剩余草地（空白部分）的面积 $171 m^{2}$, 则小路的宽度为 m.


选项：
答案：1
解析：解：设小路的宽度为 $x m$, 根据题意列方程得

$$
(20-x) \quad(10-x)=171
$$

整理得： $x^{2}-30 x+29=0$

解得: $x_{1}=1, x_{2}=29$ （不合题意，舍去）.

故小路的宽度为 $1 \mathrm{~m}$.
题目（八年级 · 度量几何学）：一个正方形的边长增加 $2 \mathrm{~cm}$, 它的面积就增加 $20 \mathrm{~cm}^{2}$, 这个正方形的边长是 \$ \qquad \$ cm.
选项：
答案：4
解析：设正方形的边长为 $x$, 则

$(x+2)^{2}=x^{2}+20$,

解得: $x=4$.

故答案为 4 .
题目（八年级 · 度量几何学）：如图, 在 $\triangle A B C D$ 中, 点 $E$ 在边 $A D$ 上, 以 $B E$ 为折痕, 将 $\triangle A B E$ 向上翻折, 点 $A$ 正好落在 $C D$ 上的点 $F$. 若 $\triangle F D E$ 的周长为 $8, \triangle F C B$ 的周长为 22 , 则 $F C$ 的长为 \$ \qquad \$ .


选项：
答案：7
解析：由折叠的性质可得 $E F=A E 、 B F=A B$,

$\therefore \triangle A B C D$ 的周长 $=D F+F C+C B+B A+A E+D E=\triangle F D E$ 的周长 $+\triangle F C B$ 的周长 $=8+22=30$,

$\because$ 四边形 $A B C D$ 为平行四边形,

$\therefore A B+B C=15$,

$\because \triangle F C B$ 的周长 $=C F+B C+B F=C F+B C+A B=22$,

即 $F C+15=22 ，$

$\therefore F C=7$,

故答案为 7 .