题目（九年级 · 解析几何）：如图, $\mathrm{AB}$ 是 $\odot \mathrm{O}$ 的直径, 弦 $\mathrm{CD} \perp \mathrm{AB}$ 于 $\mathrm{H}$, 过 $\mathrm{CD}$ 延长线上一点 $\mathrm{E}$ 作 $\odot \mathrm{O}$ 的切线交 $\mathrm{AB}$ 的延长线于切点为 $G$, 连接 $A G$ 交 $C D$ 于 $K$.

(1) 求证: $K E=G E$;

(2) 若 $\mathrm{KG}^{2}=\mathrm{KD} \cdot \mathrm{GE}$, 试判断 $\mathrm{AC}$ 与 $\mathrm{EF}$ 的位置关系, 并说明理由;

(3) 在（2）的条件下, 若 $\sin E=\frac{3}{5}, \quad A K=2 \sqrt{5}$, 求 $\mathrm{FG}$ 的长.


选项：
答案：（1）证明见解析; （2） $\mathrm{AC} / / \mathrm{EF}$, 证明见解析；（3） $\mathrm{FG}=\frac{25 \sqrt{2}}{8}$.

【解析】 (1) 如图 1 , 连接 $\mathrm{OG}$.

<ImageHere>

图1

$\because \mathrm{EG}$ 为切线, $\therefore \angle \mathrm{KGE}+\angle \mathrm{OGA}=90^{\circ}$,

$\because \mathrm{CD} \perp \mathrm{AB}, \quad \therefore \angle \mathrm{AKH}+\angle \mathrm{OAG}=90^{\circ}$,

又 $\because \mathrm{OA}=\mathrm{OG}, \therefore \angle \mathrm{OGA}=\angle \mathrm{OAG}$,

$\therefore \angle \mathrm{KGE}=\angle \mathrm{AKH}=\angle \mathrm{GKE}, \quad \therefore \mathrm{KE}=\mathrm{GE}$.

(2) $\mathrm{AC} / / \mathrm{EF}$, 理由为连接 $\mathrm{GD}$, 如图 2 所示.

<ImageHere>

图2

$\because \mathrm{KG}^{2}=\mathrm{KD} \cdot \mathrm{GE}$, 即 $^{\frac{K G}{K D}=\frac{G E}{K G}}, \therefore^{\frac{K G}{G E}=\frac{K D}{K G}}$,

又 $\because \angle \mathrm{KGE}=\angle \mathrm{GKE}, \therefore \triangle \mathrm{GKD} \sim \triangle \mathrm{EGK}$,

$\therefore \angle \mathrm{E}=\angle \mathrm{AGD}$, 又 $\because \angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{AGD}$,

$\therefore \angle \mathrm{E}=\angle \mathrm{C}, \quad \therefore \mathrm{AC} / / \mathrm{EF}$

(3) 连接 $O G, O C$, 如图 3 所示,

<ImageHere>

图3

$\because \mathrm{EG}$ 为切线, $\therefore \angle \mathrm{KGE}+\angle \mathrm{OGA}=90^{\circ}$,

$\because \mathrm{CD} \perp \mathrm{AB}, \quad \therefore \angle \mathrm{AKH}+\angle \mathrm{OAG}=90^{\circ}$,

又 $\because \mathrm{OA}=\mathrm{OG}, \quad \therefore \angle \mathrm{OGA}=\angle \mathrm{OAG}$,

$\therefore \angle \mathrm{KGE}=\angle \mathrm{AKH}=\angle \mathrm{GKE}$,

$\therefore \mathrm{KE}=$ GE. $\because \operatorname{sinE}=\sin \angle \mathrm{ACH}=\frac{3}{5}$

, 设 $\mathrm{AH}=3 \mathrm{t}$, 则 $\mathrm{AC}=5 \mathrm{t}, \mathrm{CH}=4 \mathrm{t}, \because \mathrm{KE}=\mathrm{GE}, \mathrm{AC} / / \mathrm{EF}$,

$\therefore \mathrm{CK}=\mathrm{AC}=5 \mathrm{t}, \quad \therefore \mathrm{HK}=\mathrm{CK}-\mathrm{CH}=\mathrm{t}$.

在 Rt $\triangle \mathrm{AHK}$ 中, 根据勾股定理得 $\mathrm{AH} \mathrm{H}^{2}+\mathrm{HK}^{2}=\mathrm{AK} \mathrm{K}^{2}$,

即 $(3 \mathrm{t})^{2}+\mathrm{t}^{2}=\left(2^{\sqrt{5}}\right)^{2}$, 解得 $\mathrm{t}={ }^{\sqrt{2}}$.

设 $\odot \mathrm{O}$ 半径为 $\mathrm{r}$, 在 Rt $\triangle \mathrm{OCH}$ 中, $\mathrm{OC}=\mathrm{r}, \mathrm{OH}=\mathrm{r}-3 \mathrm{t}, \mathrm{CH}=4 \mathrm{t}$,

由勾股定理得: $\mathrm{OH}^{2}+\mathrm{CH}^{2}=\mathrm{OC}^{2}$,
即 $(r-3 t)^{2}+(4 t)^{2}=r^{2}$, 解得 $r={ }^{\frac{25}{6}} t={ }^{\frac{25}{6}} \sqrt{2} . \because E F$ 为切线,

$\therefore \triangle \mathrm{OGF}$ 为直角三角形, 在 Rt $\triangle \mathrm{OGF}$ 中, $\mathrm{OG}=\mathrm{r}=\frac{25}{6} \sqrt{2}, \tan \angle \mathrm{OFG}=\tan \angle \mathrm{CAH}=\frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{AH}}=\frac{4}{3}$,

$\therefore F G=\frac{O G}{\tan \angle O F G}=\frac{\frac{25}{6} \sqrt{2}}{\frac{7}{3}}=\frac{25}{8} \sqrt{2}$
解析：（1）证明见解析; （2） $\mathrm{AC} / / \mathrm{EF}$, 证明见解析；（3） $\mathrm{FG}=\frac{25 \sqrt{2}}{8}$.

【解析】 (1) 如图 1 , 连接 $\mathrm{OG}$.



图1

$\because \mathrm{EG}$ 为切线, $\therefore \angle \mathrm{KGE}+\angle \mathrm{OGA}=90^{\circ}$,

$\because \mathrm{CD} \perp \mathrm{AB}, \quad \therefore \angle \mathrm{AKH}+\angle \mathrm{OAG}=90^{\circ}$,

又 $\because \mathrm{OA}=\mathrm{OG}, \therefore \angle \mathrm{OGA}=\angle \mathrm{OAG}$,

$\therefore \angle \mathrm{KGE}=\angle \mathrm{AKH}=\angle \mathrm{GKE}, \quad \therefore \mathrm{KE}=\mathrm{GE}$.

(2) $\mathrm{AC} / / \mathrm{EF}$, 理由为连接 $\mathrm{GD}$, 如图 2 所示.



图2

$\because \mathrm{KG}^{2}=\mathrm{KD} \cdot \mathrm{GE}$, 即 $^{\frac{K G}{K D}=\frac{G E}{K G}}, \therefore^{\frac{K G}{G E}=\frac{K D}{K G}}$,

又 $\because \angle \mathrm{KGE}=\angle \mathrm{GKE}, \therefore \triangle \mathrm{GKD} \sim \triangle \mathrm{EGK}$,

$\therefore \angle \mathrm{E}=\angle \mathrm{AGD}$, 又 $\because \angle \mathrm{C}=\angle \mathrm{AGD}$,

$\therefore \angle \mathrm{E}=\angle \mathrm{C}, \quad \therefore \mathrm{AC} / / \mathrm{EF}$

(3) 连接 $O G, O C$, 如图 3 所示,



图3

$\because \mathrm{EG}$ 为切线, $\therefore \angle \mathrm{KGE}+\angle \mathrm{OGA}=90^{\circ}$,

$\because \mathrm{CD} \perp \mathrm{AB}, \quad \therefore \angle \mathrm{AKH}+\angle \mathrm{OAG}=90^{\circ}$,

又 $\because \mathrm{OA}=\mathrm{OG}, \quad \therefore \angle \mathrm{OGA}=\angle \mathrm{OAG}$,

$\therefore \angle \mathrm{KGE}=\angle \mathrm{AKH}=\angle \mathrm{GKE}$,

$\therefore \mathrm{KE}=$ GE. $\because \operatorname{sinE}=\sin \angle \mathrm{ACH}=\frac{3}{5}$

, 设 $\mathrm{AH}=3 \mathrm{t}$, 则 $\mathrm{AC}=5 \mathrm{t}, \mathrm{CH}=4 \mathrm{t}, \because \mathrm{KE}=\mathrm{GE}, \mathrm{AC} / / \mathrm{EF}$,

$\therefore \mathrm{CK}=\mathrm{AC}=5 \mathrm{t}, \quad \therefore \mathrm{HK}=\mathrm{CK}-\mathrm{CH}=\mathrm{t}$.

在 Rt $\triangle \mathrm{AHK}$ 中, 根据勾股定理得 $\mathrm{AH} \mathrm{H}^{2}+\mathrm{HK}^{2}=\mathrm{AK} \mathrm{K}^{2}$,

即 $(3 \mathrm{t})^{2}+\mathrm{t}^{2}=\left(2^{\sqrt{5}}\right)^{2}$, 解得 $\mathrm{t}={ }^{\sqrt{2}}$.

设 $\odot \mathrm{O}$ 半径为 $\mathrm{r}$, 在 Rt $\triangle \mathrm{OCH}$ 中, $\mathrm{OC}=\mathrm{r}, \mathrm{OH}=\mathrm{r}-3 \mathrm{t}, \mathrm{CH}=4 \mathrm{t}$,

由勾股定理得: $\mathrm{OH}^{2}+\mathrm{CH}^{2}=\mathrm{OC}^{2}$,
即 $(r-3 t)^{2}+(4 t)^{2}=r^{2}$, 解得 $r={ }^{\frac{25}{6}} t={ }^{\frac{25}{6}} \sqrt{2} . \because E F$ 为切线,

$\therefore \triangle \mathrm{OGF}$ 为直角三角形, 在 Rt $\triangle \mathrm{OGF}$ 中, $\mathrm{OG}=\mathrm{r}=\frac{25}{6} \sqrt{2}, \tan \angle \mathrm{OFG}=\tan \angle \mathrm{CAH}=\frac{\mathrm{CH}}{\mathrm{AH}}=\frac{4}{3}$,

$\therefore F G=\frac{O G}{\tan \angle O F G}=\frac{\frac{25}{6} \sqrt{2}}{\frac{7}{3}}=\frac{25}{8} \sqrt{2}$