Złoty podział

Złoty podział (łac. sectio aurea), podział harmoniczny, złota proporcja, boska proporcja (łac. divina proportio) – podział odcinka na dwie części tak, by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej. Innymi słowy: długość dłuższej części ma być średnią geometryczną długości krótszej części i całego odcinka. Rysunek obok ilustruje ten związek geometrycznie. Wyrażony algebraicznie:
Stosunek, o którym mowa w definicji, nazywa się złotą liczbą i oznacza grecką literą φ (czyt. „fi”). Jej wartość wynosi:
Złoty podział wykorzystuje się często w estetycznych, proporcjonalnych kompozycjach architektonicznych, malarskich, fotograficznych itp. Znany był już w starożytności i przypisywano mu wyjątkowe walory estetyczne. Stosowano go np. w planach budowli na Akropolu.
Co najmniej od XX wieku wielu artystów i architektów tworzyło swoje dzieła z zachowaniem złotego stosunku – szczególnie w formie złotego prostokąta, w którym stosunek dłuższego boku do krótszego jest równy złotej proporcji – zgodnie z poglądem, że takie proporcje wyglądają estetycznie (zobacz Zastosowania i obserwacje poniżej). Złoty prostokąt może być rozcięty na kwadrat i mniejszy prostokąt o tych samych proporcjach co rozcinany. Matematycy, począwszy od Euklidesa, badali złoty podział z powodu jego wyjątkowych i interesujących własności. Złoty podział jest także używany w analizie rynków finansowych, w strategiach takich jak zniesienia Fibonacciego (ang. Fibonacci retracement).
Złoty podział (łac. sectio aurea) jest często nazywany złotym stosunkiem lub złotym środkiem. Inne nazwy obejmują złoty sposób, średni podział, boską proporcję, boski podział (łac. sectio divina), złotą proporcję, złote cięcie, złotą liczbę i środek Fidiasza.

context: Elementy Euklidesa (gr. Στοιχεῖα) podają pierwszą znaną zapisaną definicję pojęcia określanego dzisiaj jako złoty podział: „Prosta linia jest podzielona w złoty sposób, gdy stosunek całej linii do większego odcinka jest równy stosunkowi większego do mniejszego”. Euklides wyjaśnia sposób podziału odcinka „w złoty sposób”, tzn. w złotym stosunku. W Elementach kilka zaproponowanych propozycji (twierdzeń w dzisiejszym rozumieniu) i ich dowody stosują złoty podział. Niektóre z tych propozycji pokazują, że złoty podział jest liczbą niewymierną.
qas: question: Kto jako pierwszy stworzył definicję złotego podziału?
answers: text: Euklidesa
answer_end: 18
generative_answer: Euklides

question: W jakim dziele Euklides zawarł opis złotego podziału?
answers: text: Elementy
answer_end: 8
generative_answer: Elementy

question: Jak brzmi definicja złotego podziału Euklidesa?
answers: text: „Prosta linia jest podzielona w złoty sposób, gdy stosunek całej linii do większego odcinka jest równy stosunkowi większego do mniejszego”
answer_end: 261
generative_answer: „Prosta linia jest podzielona w złoty sposób, gdy stosunek całej linii do większego odcinka jest równy stosunkowi większego do mniejszego”

question: Jakim typem liczby jest złoty podział w każdym z przywołanych przez Euklidesa twierdzeń?
plausible_answers: text: niewymierną
answer_end: 543
generative_answer: niewymierną

question: Czy Euklides sam w Elementach stosuje zasadę złotego podziału?
answers: text: W Elementach kilka zaproponowanych propozycji (twierdzeń w dzisiejszym rozumieniu) i ich dowody stosują złoty podział
answer_end: 464
generative_answer: tak

context: Le Corbusier jawnie użył złotego podziału w swoim systemie skali proporcji architektonicznych Modulor. Uważał ten system za kontynuację długiej tradycji Witruwiusza, „człowieka witruwiańskiego” Leonarda da Vinci, prac Leona Battisty Albertiego i innych używających proporcji ciała ludzkiego do udoskonalenia wyglądu i funkcjonalności architektury. Oprócz złotego podziału Le Corbusier oparł system na pomiarach ciała ludzkiego, ciągu Fibonacciego, i jednostkach podwójnych. Rozciągnął powiązania złotego podziału z proporcjami ciała ludzkiego do ekstremum: podzielił swoją modelową wysokość człowieka na dwie części w złotym stosunku na wysokości pępka, następnie podzielił uzyskane odcinki również w tej proporcji na wysokości kolan i szyi; używał tych proporcji w swoim systemie Modulor. Villa Stein w Garches Le Corbusiera z 1927 jest przykładem zastosowania systemu Modulor. Prostokątny plan willi, elewacja i wewnętrzna struktura są dobrym przybliżeniem złotych prostokątów.
qas: question: Kot jako pierwszy posłużył się złotym podziałem?
plausible_answers: text: Le Corbusier
answer_end: 12
generative_answer: Le Corbusier

question: Kto stworzył postać człowieka witruwiańskiego?
answers: text: Leonarda da Vinci
answer_end: 211
generative_answer: Leonardo da Vinci

question: Do czego Alberti wykorzystywał proporcje ciała człowieka?
answers: text: udoskonalenia wyglądu i funkcjonalności architektury
answer_end: 346
generative_answer: udoskonalenia wyglądu i funkcjonalności architektury

question: Jakie inne techniki wykorzystał Le Corbusier do swojego projektu Modulor?
answers: text: pomiarach ciała ludzkiego, ciągu Fibonacciego, i jednostkach podwójnych
answer_end: 472
generative_answer: pomiary ciała ludzkiego, ciąg Fibonacciego, jednostki podwójne

question: W jakiej realizacji Le Corbusier wykorzystał Modulor?
answers: text: Villa Stein
answer_end: 801
generative_answer: Villa Stein