Em matemática, um grupo é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto de elementos equipados com uma operação que combina dois elementos para formar um terceiro elemento. A operação atende a quatro condições denominadas axiomas do grupo: fechamento, associatividade, identidade e invertibilidade. Um dos exemplos mais familiares de um grupo é o conjunto de números inteiros, juntamente com a operação de adição, mas a formalização abstrata dos axiomas do grupo, destacada por ser da natureza concreta de qualquer grupo específico e sua operação, se aplica muito mais amplamente. Ele permite que entidades com origens matemáticas altamente diversas na álgebra abstrata e além sejam tratadas de maneira flexível, mantendo seus aspectos estruturais essenciais. A onipresença de grupos em inúmeras áreas dentro e fora da matemática os torna um princípio organizador central da matemática contemporânea.
um grupo
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O que é uma estrutura aritmética composta por um conjunto de elementos, incluindo uma operação que une dois elementos para formar um terceiro elemento?
axiomas do grupo:
5728062d3acd2414000df282
Qual é o nome usado para descrever as quatro condições de fechamento, associatividade, identidade e invertibilidade?
formalização abstrata dos axiomas do grupo
5728062d3acd2414000df283
O que permite que elementos com diferentes pontos de partida matemáticos sejam tratados de maneira flexível, mantendo seus principais aspectos básicos?
5a81b61731013a001a334db3
uma estrutura algébrica
Do que é construído um conjunto de elementos?
5a81b61731013a001a334db4
axiomas do grupo:
Como são chamados os dois elementos?
5a81b61731013a001a334db5
a natureza concreta
A que a formalização abstrata está ligada?
5a81b61731013a001a334db6
seus aspectos estruturais essenciais.
O que as entidades perdem quando tratadas em álgebra abstrata?
5a81b61731013a001a334db7
o conjunto de números inteiros, juntamente com a operação de adição,
O que é um exemplo de um grupo raro?
Os grupos compartilham um parentesco fundamental com a noção de simetria. Por exemplo, um grupo de simetria codifica recursos de simetria de um objeto geométrico: o grupo consiste no conjunto de transformações que mantêm o objeto inalterado e na operação de combinar duas dessas transformações executando uma após a outra. Grupos de mentiras são os grupos de simetria usados no Modelo Padrão da física de partículas; Grupos de pontos são usados para ajudar a entender fenômenos de simetria em química molecular; e grupos de Poincaré podem expressar a simetria física subjacente à relatividade especial.
simetria
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O que compartilha uma relação essencial com os grupos?
Grupos de mentiras
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Quais são os grupos de simetria utilizados como parte da física de partículas do Modelo Padrão?
Grupos de pontos
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Quais grupos são utilizados para compreender maravilhas de simetria na química?
grupos de Poincaré
572807e2ff5b5019007d9b67
Quais grupos podem expressar a simetria física oculta por trás da relatividade especial?
5a81b6a631013a001a334dbd
ca recursos de simetria de um objeto geométrico:
O que codifica um grupo de simetria?
5a81b6a631013a001a334dbe
simetria.
A que grupos são diferentes?
5a81b6a631013a001a334dbf
partículas;
Grupos de pontos são usados em que forma de física?
5a81b6a631013a001a334dc0
química
Grupos de Poincaré são usados para entender o quê molecular?
5a81b6a631013a001a334dc1
simetria física
O que os grupos de Lie expressam em termos de relatividade especial?
O conceito de grupo surgiu do estudo de equações polinomiais, começando com Évariste Galois na década de 1830. Após contribuições de outros campos, como teoria dos números e geometria, a noção de grupo foi generalizada e firmemente estabelecida por volta de 1870. A teoria moderna dos grupos - uma disciplina matemática ativa - estuda os grupos por direito próprio. A [›] Para explorar grupos, os matemáticos planejaram várias noções para dividir grupos em partes menores e mais compreensíveis, como subgrupos, grupos de quocientes e grupos simples. Além de suas propriedades abstratas, os teóricos dos grupos também estudam as diferentes maneiras pelas quais um grupo pode ser expresso concretamente (suas representações grupais), tanto do ponto de vista teórico quanto computacional. Uma teoria foi desenvolvida para grupos finitos, que culminou com a classificação de grupos simples finitos anunciada em 1983.aa [›] Desde meados da década de 1980, a teoria dos grupos geométricos, que estuda grupos finitamente gerados como objetos geométricos, tornou-se uma atividade particularmente ativa área em teoria de grupos.
o estudo de equações polinomiais
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De onde surgiu a ideia de um grupo?
1870
572809ab2ca10214002d9c39
Quando a noção de grupo foi resumida e solidamente estabelecida?
subgrupos, grupos de quocientes e grupos simples
572809ab2ca10214002d9c3a
Quais são os grupos menores e mais fáceis de entender, divididos em?
1983.aa
572809ab2ca10214002d9c3b
Quando foi o anúncio para a classificação de grupos simples finitos?
5a81b7f631013a001a334dd9
Évariste Galois
Quem generalizou a noção de grupo em 1870?
5a81b7f631013a001a334dda
1870.
Em que ano os matemáticos começaram a estudar grupos por direito próprio?
5a81b7f631013a001a334ddb
grupos de quocientes e grupos simples.
Quais são os dois subgrupos?
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1983.aa
Quando os teóricos começaram a explorar o ponto de vista teórico e computacional?
5a81b7f631013a001a334ddd
meados da década de 1980,
Quando a teoria dos grupos geométricos se tornou menos ativa?
O conjunto G é chamado de conjunto subjacente do grupo (G, •). Muitas vezes, o conjunto subjacente G do grupo é usado como um nome abreviado para o grupo (G, •). Na mesma linha, expressões abreviadas como "um subconjunto do grupo G" ou "um elemento do grupo G" são usadas quando o que realmente significa é "um subconjunto do conjunto subjacente G do grupo (G, •)" ou "um elemento do conjunto subjacente G do grupo (G, •)". Geralmente, é claro, a partir do contexto, se um símbolo como G se refere a um grupo ou a um conjunto subjacente.
O conjunto
57280b474b864d19001642e6
O que é conhecido como conjunto subjacente do grupo?
conjunto subjacente do grupo
57280b474b864d19001642e7
O que é frequentemente utilizado como um nome abreviado para o grupo?
expressões abreviadas
57280b474b864d19001642e8
Quais expressões são utilizadas quando realmente está implícito para ser uma expressão mais longa?
5a81b8ad31013a001a334de3
o conjunto subjacente G do grupo
O que não pode ser usado como o nome abreviado do grupo?
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O conjunto G
Qual é o conjunto de sobreposições do grupo?
5a81b8ad31013a001a334de5
se um símbolo como G se refere a um grupo ou a um conjunto subjacente.
O que pode não estar claro para o símbolo G?
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ome abreviado
Um subconjunto do conjunto subjacente G do grupo (G) não pode ser gravado usando que tipo de expressão?
Essas simetrias são representadas por funções. Cada uma dessas funções envia um ponto no quadrado para o ponto correspondente sob a simetria. Por exemplo, r1 envia um ponto para sua rotação 90 ° no sentido horário em torno do centro do quadrado, e fh envia um ponto para seu reflexo na linha média vertical do quadrado. A composição de duas dessas funções de simetria fornece outra função de simetria. Essas simetrias determinam um grupo chamado grupo diédrico de grau 4 e denotado D4. O conjunto subjacente do grupo é o conjunto acima de funções de simetria e a operação do grupo é a composição da função. Duas simetrias são combinadas, compondo-as como funções, ou seja, aplicando a primeira ao quadrado e a segunda ao resultado da primeira aplicação. O resultado da execução de primeiro a e, em seguida, b é gravado simbolicamente da direita para a esquerda como
funções
57280d1c4b864d190016431a
O que envia um ponto no quadrado para o ponto relacionado sob a simetria?
sição de duas dessas funções de simetria
57280d1c4b864d190016431b
 O que dá outra função de simetria?
o grupo diédrico
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Que grupo inclui as simetrias do grau 4 e denotadas D4?
5a81b9e531013a001a334df5
funções.
O que são representados por simetrias?
5a81b9e531013a001a334df6
diédrico
r1 faz parte de qual grupo?
5a81b9e531013a001a334df7
o quadrado
Ambas as simetrias são aplicadas a quê?
5a81b9e531013a001a334df8
o
O que está escrito da esquerda para a direita?
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90 °
Quantos graus é girado fh?
O conceito moderno de um grupo abstrato se desenvolveu a partir de vários campos da matemática. A motivação original para a teoria de grupos era a busca de soluções de equações polinomiais de grau superior a 4. O matemático francês do século 19, Évariste Galois, estendendo o trabalho anterior de Paolo Ruffini e Joseph-Louis Lagrange, forneceu um critério para a resolubilidade de um determinado equação polinomial em termos do grupo de simetria de suas raízes (soluções). Os elementos desse grupo Galois correspondem a certas permutações das raízes. A princípio, as idéias de Galois foram rejeitadas por seus contemporâneos e publicadas apenas postumamente. Grupos de permutação mais gerais foram investigados em particular por Augustin Louis Cauchy. Sobre a teoria dos grupos, de Arthur Cayley, conforme depende da equação simbólica θn = 1 (1854) fornece a primeira definição abstrata de um grupo finito.
grupo abstrato
57280ee3ff5b5019007d9c00
Que conceito moderno foi criado a partir de muitos campos da matemática?
teoria de grupos
57280ee3ff5b5019007d9c01
A jornada para obter respostas para equações polinomiais de grau superior a 4 foi a motivação original para qual teoria?
Évariste Galois
57280ee3ff5b5019007d9c02
 Que matemático francês expandiu os trabalhos anteriores de Paolo Ruffini e Joseph-Louis Lagrange?
Arthur Cayley
57280ee3ff5b5019007d9c03
 Quem desenvolveu uma teoria dando a primeira definição abstrata de um grupo finito?
5a81bcfc31013a001a334e19
4.
As pessoas procuravam equações polinomiais sob que número?
5a81bcfc31013a001a334e1a
Évariste Galois,
Em que trabalho Paolo Ruffini e Joseph-Louis Lagrange basearam seu trabalho?
5a81bcfc31013a001a334e1b
francês
Qual era a nacionalidade de Augustin Louis Cauchy?
5a81bcfc31013a001a334e1c
o século
Quando Arthur Cayley publicou Sobre a teoria dos grupos?
5a81bcfc31013a001a334e1d
θn = 1 (1854)
Que equação Galois criou que criou uma definição abstrata?
A convergência dessas várias fontes em uma teoria uniforme dos grupos começou com o Traité des substitutions et des équations algébriques (1870), de Camille Jordan. Walther von Dyck (1882) introduziu a idéia de especificar um grupo por meio de geradores e relações, e também foi o primeiro a dar uma definição axiomática de um "grupo abstrato", na terminologia da época. A partir do século XX, os grupos ganharam amplo reconhecimento pelo trabalho pioneiro de Ferdinand Georg Frobenius e William Burnside, que trabalhavam na teoria da representação de grupos finitos, na teoria da representação modular de Richard Brauer e nos trabalhos de Issai Schur. A teoria dos grupos de Lie e, em geral, os grupos compactos localmente foram estudados por Hermann Weyl, Élie Cartan e muitos outros. Sua contraparte algébrica, a teoria dos grupos algébricos, foi moldada por Claude Chevalley (a partir do final da década de 1930) e depois pelo trabalho de Armand Borel e Jacques Tits.
1870
5728106fff5b5019007d9c3a
Quando a teoria uniforme dos grupos se desenvolveu a partir de diferentes fontes?
Walther von Dyck
5728106fff5b5019007d9c3b
Quem apresentou um método para especificar um grupo por meio de geradores e relações?
A teoria dos grupos de Lie
5728106fff5b5019007d9c3c
Que teoria Hermann Weyl estudou além de grupos localmente compactos?
Claude Chevalley
5728106fff5b5019007d9c3d
Quem inicialmente moldou a teoria dos grupos algébricos?
5a81bdcf31013a001a334e23
.
O que Walter von Dyck publicou em 1870?
5a81bdcf31013a001a334e24
Hermann Weyl,
Quem escreveu a teoria dos grupos de Lie?
5a81bdcf31013a001a334e25
a teoria dos grupos algébricos,
O que Jacques Tits moldou primeiro?
5a81bdcf31013a001a334e26
representação modular
Sobre o que estava a teoria de Issai Schur?
5a81bdcf31013a001a334e27
William Burnside,
Quem trabalhou na teoria das representações de grupos de mentiras?
O Ano da Teoria de Grupos da Universidade de Chicago, 1960–61, reuniu teóricos de grupos como Daniel Gorenstein, John G. Thompson e Walter Feit, estabelecendo as bases de uma colaboração que, com contribuições de vários outros matemáticos, classificou todos os grupos simples finitos em 1982. Este projeto excedeu os esforços matemáticos anteriores por seu tamanho, tanto no comprimento da prova quanto no número de pesquisadores. Pesquisas estão em andamento para simplificar a prova dessa classificação. Atualmente, a teoria dos grupos ainda é um ramo matemático altamente ativo, impactando muitos outros campos.a [›]
Universidade de Chicago
572811cc2ca10214002d9d22
Onde o grupo de teóricos se encontrou pela primeira vez?
1960–61
572811cc2ca10214002d9d23
Que ano de aula da universidade pertencia ao grupo de teóricos?
todos os grupos simples finitos
572811cc2ca10214002d9d24
O que o grupo de teóricos classificou em 1982?
quanto no número de pesquisadores
572811cc2ca10214002d9d25
Quais são os dois fatores que descrevem o tamanho grande do projeto?
5a81be8331013a001a334e2d
todos os grupos simples finitos
O que foi classificado em 1960?
5a81be8331013a001a334e2e
Daniel Gorenstein, John G. Thompson e Walter Feit,
Quem fundou o Ano da Teoria dos Grupos da Universidade de Chicago?
5a81be8331013a001a334e2f
teoria dos grupos
O que não tem mais impacto em outros campos?
5a81be8331013a001a334e30
rimento da prova
O que foi mais curto nesse projeto em comparação com outros empreendimentos?
5a81be8331013a001a334e31
1960–61,
Quando a Universidade de Chicago começou?
Para entender grupos além do nível de meras manipulações simbólicas, como acima, conceitos mais estruturais precisam ser empregados.c [›] Existe um princípio conceitual subjacente a todas as seguintes noções: tirar proveito da estrutura oferecida pelos grupos (que define, sendo "sem estrutura", não possui), as construções relacionadas aos grupos devem ser compatíveis com a operação do grupo. Essa compatibilidade se manifesta nas seguintes noções de várias maneiras. Por exemplo, os grupos podem ser relacionados entre si por meio de funções chamadas homomorfismos de grupo. Pelo princípio mencionado, eles devem respeitar as estruturas do grupo em um sentido preciso. A estrutura dos grupos também pode ser entendida dividindo-os em partes chamadas subgrupos e quocientes. O princípio de "preservar estruturas" - um tópico recorrente em toda a matemática - é um exemplo de trabalho em uma categoria, neste caso a categoria de grupos.
conceitos mais estruturais
572812cd2ca10214002d9d48
Que idéias são usadas para entender grupos além dos símbolos?
construções relacionadas aos grupos
572812cd2ca10214002d9d49
O que tem de ser compatível com a operação do grupo?
homomorfismos de grupo
572812cd2ca10214002d9d4a
Que conceito descreve grupos que podem ser relacionados entre si por meio de funções?
5a81bf4631013a001a334e37
manipulações simbólicas,
O que é necessário para entender os conceitos estruturais?
5a81bf4631013a001a334e38
estrutura
Grupos e conjuntos têm o quê?
5a81bf4631013a001a334e39
homomorfismos de grupo.
Que função é usada para dividir grupos em pedaços?
5a81bf4631013a001a334e3a
preciso.
Os grupos não precisam respeitar estruturas em que sentido?
5a81bf4631013a001a334e3b
grupos e quocientes.
O que é um exemplo de um subgrupo?
Dois grupos G e H são chamados isomórficos se existirem homomorfismos de grupo a: G → H eb: H → G, de modo que a aplicação das duas funções uma após a outra em cada uma das duas ordens possíveis dê as funções de identidade de G e H. Ou seja, a (b (h)) = he eb (a (g)) = g para qualquer g em G e h em H. De um ponto de vista abstrato, grupos isomórficos carregam a mesma informação. Por exemplo, provar que g • g = 1G para algum elemento g de G é equivalente a provar que a (g) ∗ a (g) = 1H, porque aplicar a à primeira igualdade produz a segunda e aplicar b à segunda devolve o primeiro.
isomórficos
57281407ff5b5019007d9ca6
Como se chamam dois grupos se incluem homomorfismos?
grupos isomórficos
57281407ff5b5019007d9ca7
Que elemento similar os grupos isomórficos carregam?
aplicar a à primeira igualdade produz a segunda
57281407ff5b5019007d9ca8
Como mostrar a segunda igualdade rende a primeira prova do conceito de grupos isomórficos?
5a81c05031013a001a334e41
isomórficos
Como são chamados dois grupos se nenhum homomorfismo de grupo for encontrado?
5a81c05031013a001a334e42
 informação.
Grupos isomórficos carregam diferente o quê?
5a81c05031013a001a334e43
aplicação das duas funções uma após a outra
O que dá a identidade de a?
5a81c05031013a001a334e44
De que ponto de vista os grupos isomórficos têm informações diferentes?
5a81c05031013a001a334e45
aplicar a à primeira igualdade produz a segunda
Como a segunda igualdade refuta o conceito de grupos isomórficos?
No exemplo acima, a identidade e as rotações constituem um subgrupo R = {id, r1, r2, r3}, destacado em vermelho na tabela de grupos acima: quaisquer duas rotações compostas ainda são uma rotação e uma rotação pode ser desfeita por (ou seja, é inverso) às rotações complementares 270 ° para 90 °, 180 ° para 180 ° e 90 ° para 270 ° (observe que a rotação na direção oposta não está definida). O teste do subgrupo é uma condição necessária e suficiente para que um subconjunto H de um grupo G seja um subgrupo: é suficiente verificar se g-1h H para todos os elementos g, h ∈ H. Conhecer os subgrupos é importante para entender a grupo como um todo.d [›]
uma rotação
572820982ca10214002d9e86
O que é composto de duas rotações?
inverso
572820982ca10214002d9e87
Por qual rotação uma rotação pode ser revertida?
O teste do subgrupo
572820982ca10214002d9e88
Que condição essencial deve ser atendida para que um subconjunto de um grupo seja um subgrupo?
5a81c12031013a001a334e4b
rotação
O que é definido quando se move na direção oposta?
5a81c12031013a001a334e4c
complementares
270 para 180 é um exemplo de que tipo de rotação?
5a81c12031013a001a334e4d
identidade
o subgrupo R é composto pelo inverso e o quê?
5a81c12031013a001a334e4e
subgrupos
O que não é importante para entender o grupo como um todo?
5a81c12031013a001a334e4f
a grupo como um todo.d
Conhecer o grupo como um todo é importante para entender o que?
Em muitas situações, é desejável considerar dois elementos de grupo iguais se eles diferem por um elemento de um determinado subgrupo. Por exemplo, em D4 acima, uma vez que uma reflexão é realizada, o quadrado nunca volta à configuração r2 apenas aplicando as operações de rotação (e sem reflexões adicionais), ou seja, as operações de rotação são irrelevantes para a questão de saber se uma reflexão foi executada. . Cosets são usados para formalizar esse insight: um subgrupo H define cosets esquerdo e direito, que podem ser pensados como traduções de H por elementos arbitrários do grupo g. Em termos simbólicos, os cosets esquerdo e direito de H contendo g são
irrelevantes para a questão de saber se uma reflexão foi executada
572821b7ff5b5019007d9dac
Quando é preferível considerar dois elementos de grupo iguais?
operações de rotação
572821b7ff5b5019007d9dad
O que não deve ser considerado quando se pergunta se uma reflexão foi realizada?
Cosets
572821b7ff5b5019007d9dae
Quais conjuntos de números são usados para mostrar como os subgrupos podem ser vistos como traduções do grupo maior?
5a81c9c731013a001a334ebd
se eles diferem por um elemento
Quando dois elementos do grupo são considerados diferentes?
5a81c9c731013a001a334ebe
as operações de rotação
Em D4, o quadrado pode retornar à configuração r2 aplicando apenas o que?
5a81c9c731013a001a334ebf
se uma reflexão foi executada.
A que pergunta os cosets são irrelevantes?
5a81c9c731013a001a334ec0
cosets esquerdo e direito,
O que o elemento de grupo g define?
5a81c9c731013a001a334ec1
uma vez que uma reflexão é realizada,
Quando são consideradas as operações de rotação?
Este conjunto herda uma operação de grupo (às vezes chamada multiplicação de coset ou adição de coset) do grupo original G: (gN) • (hN) = (gh) N para todos os g e h em G. Essa definição é motivada pela idéia ( uma instância de considerações estruturais gerais descritas acima) de que o mapa G → G / N que se associa a qualquer elemento g seu coset gN seja um homomorfismo de grupo ou por considerações abstratas gerais chamadas propriedades universais. O coset eN = N serve como identidade nesse grupo, e o inverso de gN no grupo quociente é (gN) −1 = (g − 1) N.e [›]
adição de coset
572823544b864d1900164546
Qual é o outro termo para multiplicação de coset?
multiplicação de coset
572823544b864d1900164547
Que operação de grupo é realizada pelo conjunto do grupo original?
grupo quociente
572823544b864d1900164548
Que grupo inclui o inverso de gN?
5a81caf731013a001a334edb
multiplicação de coset ou adição de coset)
Como é chamado às vezes o grupo original?
5a81caf731013a001a334edc
propriedades universais.
Como são chamados os homomorfismos de grupo?
5a81caf731013a001a334edd
identidade
Para que serve o Coset gN?
5a81caf731013a001a334ede
multiplicação de coset
Que operação de grupo é realizada pelo grupo original do conjunto?
5a81caf731013a001a334edf
grupo quociente
O inverso de gN exclui qual grupo?
Grupos e subgrupos de quocientes juntos formam uma maneira de descrever cada grupo por sua apresentação: qualquer grupo é o quociente do grupo livre sobre os geradores do grupo, quociente pelo subgrupo de relações. O grupo diédrico D4, por exemplo, pode ser gerado por dois elementos ref (por exemplo, r = r1, a rotação correta ef = fv a reflexão vertical (ou qualquer outra)), o que significa que toda simetria do quadrado é uma composição finita dessas duas simetrias ou seus inversos. Juntamente com as relações
é o quociente do grupo livre sobre os geradores do grupo
572823f82ca10214002d9ec6
Quais grupos podem ser combinados para descrever cada grupo?
qualquer grupo
572823f82ca10214002d9ec7
Qual grupo pode ser o quociente do grupo livre sobre os geradores do grupo?
toda simetria do quadrado
572823f82ca10214002d9ec8
O que é uma composição finita de duas simetrias ou seus inversos?
5a81cbef31013a001a334ee5
cada grupo por sua apresentação:
O que os grupos de quocientes descrevem sozinhos?
5a81cbef31013a001a334ee6
Grupos e subgrupos de quocientes
Que apresentação descreve cada grupo?
5a81cbef31013a001a334ee7
dois
Quantos elementos o grupo diédrico gera?
5a81cbef31013a001a334ee8
toda simetria
O que de um quadrado é uma composição infinita?
5a81cbef31013a001a334ee9
ref
Quais dois elementos o D4 gera?
Os grupos sub e quociente estão relacionados da seguinte maneira: um subconjunto H de G pode ser visto como um mapa injetor H → G, ou seja, qualquer elemento do alvo tem no máximo um elemento que mapeia para ele. A contrapartida dos mapas injetáveis são mapas sobrejetivos (todos os elementos do alvo são mapeados), como o mapa canônico G → G / Ny [›] A interpretação do subgrupo e quocientes à luz desses homomorfismos enfatizam o conceito estrutural inerente a essas definições aludidas para na introdução. Em geral, os homomorfismos não são injetivos nem adjetivos. O núcleo e a imagem dos homomorfismos do grupo e o primeiro teorema do isomorfismo abordam esse fenômeno.
mapa injetor
5728250a4b864d1900164588
Que mapa mostra a relação entre grupos de sub e quociente?
mapas sobrejetivos
5728250a4b864d1900164589
Quais são os opostos dos mapas injetáveis?
mapa canônico
5728250a4b864d190016458a
O que é um exemplo de um mapa subjetivo?
o primeiro teorema do isomorfismo
5728250a4b864d190016458b
Que teoria aborda o fenômeno dos homomorfismos que não são nem injetivos nem adjetivos?
5a81cd1f31013a001a334eef
H → G,
O subconjunto G de H é visto como que mapa?
5a81cd1f31013a001a334ef0
Qual é o número mínimo de elementos em um destino?
5a81cd1f31013a001a334ef1
rejetivos
Que tipo de mapa é semelhante a um mapa injetivo?
5a81cd1f31013a001a334ef2
o primeiro teorema do isomorfismo
Que teoria discute a natureza subjetiva dos mapas canônicos?
5a81cd1f31013a001a334ef3
injetivos nem adjetivos.
Quais são as duas formas que os homomorfismos devem assumir?
Os grupos também são aplicados em muitas outras áreas matemáticas. Os objetos matemáticos são frequentemente examinados associando grupos a eles e estudando as propriedades dos grupos correspondentes. Por exemplo, Henri Poincaré fundou o que agora é chamado de topologia algébrica, introduzindo o grupo fundamental. Por meio dessa conexão, propriedades topológicas como proximidade e continuidade se traduzem em propriedades de grupos.i [›] Por exemplo, elementos do grupo fundamental são representados por loops. A segunda imagem à direita mostra alguns loops em um plano menos um ponto. O loop azul é considerado nulo-homotópico (e, portanto, irrelevante), porque pode ser continuamente reduzido a um ponto. A presença do furo impede que o laço laranja seja encolhido a um ponto. O grupo fundamental do plano com um ponto excluído acaba sendo cíclico infinito, gerado pelo laço laranja (ou qualquer outro laço que se enrola uma vez ao redor do buraco). Dessa forma, o grupo fundamental detecta o buraco.
objetos matemáticos
572826002ca10214002d9f12
O que geralmente são analisados associando grupos a eles e estudando os elementos dos grupos correspondentes?
Henri Poincaré
572826002ca10214002d9f13
Quem fundou a topologia algébrica?
o grupo fundamental
572826002ca10214002d9f14
O que Henri Poincaré introduziu quando estabeleceu a topologia algébrica?
proximidade e continuidade
572826002ca10214002d9f15
Quais propriedades topológicas se traduzem em propriedades de grupos?
loops
572826002ca10214002d9f16
O que representa elementos do grupo fundamental?
5a81ce1331013a001a334ef9
Henri Poincaré
Quem primeiro aplicou grupos a outras áreas matemáticas?
5a81ce1331013a001a334efa
proximidade e continuidade
Quais propriedades topológicas não são transferidas para grupos?
5a81ce1331013a001a334efb
pode ser continuamente reduzido a um ponto.
Por que o loop azul é considerado relevante?
5a81ce1331013a001a334efc
A presença do furo
O que faz com que o loop laranja encolha até certo ponto?
5a81ce1331013a001a334efd
O grupo fundamental do plano com um ponto excluído
O que resulta em um ciclo finito?
Na aritmética modular, dois números inteiros são adicionados e a soma é dividida por um número inteiro positivo chamado módulo. O resultado da adição modular é o restante dessa divisão. Para qualquer módulo, n, o conjunto de números inteiros de 0 a n - 1 forma um grupo sob adição modular: o inverso de qualquer elemento a é n - ae 0 é o elemento de identidade. Isso é familiar com a adição de horas no mostrador de um relógio: se o ponteiro das horas estiver 9 e avançar 4 horas, ele terminará em 1, como mostrado à direita. Isso é expresso dizendo que 9 + 4 é igual a 1 "módulo 12" ou, em símbolos,
o módulo
572826e63acd2414000df5a7
Qual número inteiro positivo é usado para dividir a soma de dois números inteiros positivos na matemática modular?
o restante dessa divisão
572826e63acd2414000df5a8
O que resulta da adição modular?
um relógio:
572826e63acd2414000df5a9
Que tipo de dispositivo pode ser usado para demonstrar a adição modular?
5a81d33331013a001a334f03
aritmética
Quantos números inteiros são divididos em aritmética modular?
5a81d33331013a001a334f04
o módulo.
Como são chamados os dois números inteiros?
5a81d33331013a001a334f05
adição modular
Qual é o resultado do restante da divisão?
5a81d33331013a001a334f06
elemento de identidade.
O que é 9 na adição modular?
5a81d33331013a001a334f07
9
Se o ponteiro das horas estiver em 1 e for avançado em 4 horas, onde termina?
Para qualquer número primo p, há também o grupo multiplicativo de números inteiros módulo p. Seus elementos são os números inteiros 1 a p - 1. A operação de grupo é o módulo de multiplicação p. Ou seja, o produto usual é dividido por pe o restante dessa divisão é o resultado da multiplicação modular. Por exemplo, se p = 5, existem quatro elementos de grupo 1, 2, 3, 4. Nesse grupo, 4 · 4 = 1, porque o produto usual 16 é equivalente a 1, que dividido por 5 produz o restante de 1 para 5 divisões 16 - 1 = 15, denotado
o
572827c73acd2414000df5b5
Qual termo descreve o grupo de números inteiros relacionados a um número primo?
1 a p - 1
572827c73acd2414000df5b6
Quais números inteiros estão incluídos no módulo p?
quatro elementos de grupo
572827c83acd2414000df5b7
Quantos elementos de grupo existem se p = 5?
5a81d44431013a001a334f0d
número primo
O que descreve um grupo de números inteiros relacionados a um módulo?
5a81d44431013a001a334f0e
produto
Qual é o resultado da multiplicação modular dividida por?
5a81d44431013a001a334f0f
quatro
Quantos números inteiros tem p = 5?
5a81d44431013a001a334f10
o produto usual
O que é p dividido por?
5a81d44431013a001a334f11
1,
Quanto é 16 multiplicado por 5 Se p = 5?
Nos grupos Z / nZ introduzidos acima, o elemento 1 é primitivo, portanto esses grupos são cíclicos. De fato, cada elemento é expressável como uma soma, cujos termos são 1. Qualquer grupo cíclico com n elementos é isomórfico para esse grupo. Um segundo exemplo para grupos cíclicos é o grupo das n-ésimas raízes complexas da unidade, dadas por números complexos z satisfazendo zn = 1. Esses números podem ser visualizados como os vértices de um n-gon regular, como mostrado em azul à direita para n = 6. A operação de grupo é multiplicação de números complexos. Na figura, multiplicar por z corresponde a uma rotação no sentido anti-horário de 60 °. Usando alguma teoria de campo, o grupo Fp × pode ser cíclico: por exemplo, se p = 5, 3 é um gerador, pois 31 = 3, 32 = 9 ≡ 4, 33 ≡ 2 e 34 ≡ 1.
cíclicos
572829024b864d1900164612
O que é um grupo rotulado quando o elemento 1 é primitivo?
Qualquer grupo cíclico com n elementos
572829024b864d1900164613
Que grupo é isomórfico para grupos cíclicos?
o grupo das n-ésimas raízes complexas da unidade
572829024b864d1900164614
Que exemplo de grupo cíclico satisfaz a expressão de zn = 1?
5a81e1e031013a001a334f61
isomórfico
Um grupo cíclico sem n elementos é considerado o quê?
5a81e1e031013a001a334f62
1
Qual elemento não é primitivo nos grupos Z / nZ?
5a81e1e031013a001a334f63
cíclicos.
Como são chamados os grupos quando o elemento 1 não é primitivo?
5a81e1e031013a001a334f64
uma rotação no sentido anti-horário de 60 °.
Qual rotação resulta na multiplicação, mas n?
5a81e1e031013a001a334f65
vértices
O que são números em um n-gon irregular?
Grupos de simetria são grupos que consistem em simetrias de determinados objetos matemáticos - sejam eles de natureza geométrica, como o grupo introdutório de simetria do quadrado, ou de natureza algébrica, como equações polinomiais e suas soluções. Conceitualmente, a teoria dos grupos pode ser pensada como o estudo da simetria. [›] As simetrias na matemática simplificam bastante o estudo de objetos geométricos ou analíticos. Diz-se que um grupo age sobre outro objeto matemático X se cada elemento do grupo executar alguma operação em X compatível com a lei do grupo. No exemplo mais à direita abaixo, um elemento da ordem 7 do grupo de triângulo (2,3,7) atua sobre a telha permutando os triângulos deformados destacados (e os outros também). Por uma ação de grupo, o padrão de grupo é conectado à estrutura do objeto que está sendo acionado.
Grupos de simetria
57282a4b2ca10214002d9fc0
O que são grupos que consistem em simetrias de conceitos aritméticos dados?
natureza geométrica
57282a4b2ca10214002d9fc1
Qual termo descreve o grupo introdutório de simetria do quadrado?
teoria dos grupos
57282a4b2ca10214002d9fc2
O que pode ser considerado como o estudo da simetria?
lei do grupo
57282a4b2ca10214002d9fc3
Qual é o nome da regra que deve ser atendida para que uma operação de grupo ocorra?
ação de grupo
57282a4b2ca10214002d9fc4
O padrão do grupo está conectado à estrutura do alvo por qual comportamento?
5a81e2e631013a001a334f6b
e determinados objetos matemáticos -
O que os grupos de simetria fazem?
5a81e2e631013a001a334f6c
equações polinomiais
Qual equação é usada para o quadrado?
5a81e2e631013a001a334f6d
teoria dos grupos
Como é chamado o estudo de objetos geométricos ou analíticos?
5a81e2e631013a001a334f6e
objetos geométricos ou analíticos.
O que facilita o estudo de simetrias?
5a81e2e631013a001a334f6f
permutando os triângulos deformados destacados
O que a ação do grupo faz com o ladrilho?
Da mesma forma, a teoria de grupos ajuda a prever as mudanças nas propriedades físicas que ocorrem quando um material passa por uma transição de fase, por exemplo, de uma forma cristalina cúbica para uma tetraédrica. Um exemplo são os materiais ferroelétricos, nos quais a mudança de um estado paraelétrico para um ferroelétrico ocorre na temperatura de Curie e está relacionada a uma mudança do estado paraelétrico de alta simetria para o estado ferroelético de simetria mais baixa, acompanhado pelo chamado modo fonônio mole , um modo de treliça vibracional que atinge a frequência zero na transição.
teoria de grupos
57282d592ca10214002d9ff0
O que ajuda a prever mudanças de características físicas?
transição de fase
57282d592ca10214002d9ff1
Em que estágio de uma transformação física a teoria dos grupos pode ser usada para fazer previsões?
temperatura de Curie
57282d592ca10214002d9ff2
Que temperatura causa a mudança de materiais ferroelétricos?
modo fonônio mole
57282d592ca10214002d9ff3
Qual termo descreve o modo de treliça vibracional que muda para a frequência 0 na mudança?
5a81e3c131013a001a334f75
propriedades físicas
O que prevê as mudanças na teoria dos grupos?
5a81e3c131013a001a334f76
uma transição de fase,
Em qual estágio as propriedades físicas podem ser usadas para fazer previsões sobre a teoria dos grupos?
5a81e3c131013a001a334f77
temperatura de Curie
Que temperatura causa uma mudança de ferroelétrico para paraelétrico?
5a81e3c131013a001a334f78
zero
Qual é a frequência de um estado paraelétrico antes da transição?
5a81e3c131013a001a334f79
modo fonônio mole
Qual é o nome do modo que move o material de um estado de baixa simetria para um alto?
Grupos de simetria finita, como os grupos Mathieu, são usados na teoria da codificação, que por sua vez é aplicada na correção de erros dos dados transmitidos e nos CD players. Outra aplicação é a teoria diferencial de Galois, que caracteriza funções com anti-derivadas de uma forma prescrita, fornecendo critérios teóricos de grupo para quando as soluções de certas equações diferenciais são bem comportadas.u [›] As propriedades geométricas que permanecem estáveis sob as ações do grupo são investigadas ( teoria geométrica) invariante.
grupos Mathieu
5728362a3acd2414000df70f
Quais são os exemplos de grupos de simetria finita usados na teoria de codificação?
teoria da codificação
5728362a3acd2414000df710
O que é usado para correção de erros dos dados transferidos?
teoria diferencial de Galois
5728362a3acd2414000df711
O que descreve funções com antiderivadas de uma forma prescrita?
5728362a3acd2414000df712
Que conceito investiga elementos geométricos que permanecem estáveis sob ação do grupo?
5a81e49731013a001a334f89
codificação,
A que teoria é aplicada a correção de erros?
5a81e49731013a001a334f8a
Mathieu,
Que forma de grupos de simetria finita é inútil na teoria da codificação?
5a81e49731013a001a334f8b
anti-derivadas
Os grupos Mathieu têm que tipo de forma prescrita?
5a81e49731013a001a334f8c
geométricas
Quais propriedades estáveis a teoria de Galois estuda?
5a81e49731013a001a334f8d
diferenciais
A teoria dos invariantes geométricos estuda que tipo de equações?
Grupos de matrizes consistem em matrizes juntamente com a multiplicação de matrizes. O grupo linear geral GL (n, R) consiste em todas as matrizes n-a-n invertíveis com entradas reais. Seus subgrupos são referidos como grupos de matrizes ou grupos lineares. O exemplo do grupo diédrico mencionado acima pode ser visto como um grupo de matriz (muito pequeno). Outro grupo matricial importante é o grupo ortogonal especial SO (n). Ele descreve todas as rotações possíveis em n dimensões. Via ângulos de Euler, matrizes de rotação são usadas em computação gráfica.
Grupos de matrizes
5728372a4b864d190016475c
Quais grupos combinam matrizes com multiplicação de matrizes?
O grupo linear geral
5728372a4b864d190016475d
O que inclui todas as matrizes n-por-n invertíveis com entradas reais?
grupo matricial
5728372a4b864d190016475e
Qual termo descreve subgrupos do grupo linear geral?
o grupo ortogonal especial SO (n
5728372a4b864d190016475f
Que grupo de matrizes retrata todas as rotações possíveis em n dimensões?
ângulos de Euler
5728372a4b864d1900164760
Grupos de matriz de rotação são utilizados em computação gráfica com que conceito?
5a81e5d531013a001a334f93
multiplicação de matrizes.
Como são chamadas matrizes e grupos de matrizes combinados?
5a81e5d531013a001a334f94
possíveis em n dimensões.
O grupo linear geral descreve tudo o que é possível?
5a81e5d531013a001a334f95
grupo diédrico
O que é um exemplo de um grande grupo de matrizes?
5a81e5d531013a001a334f96
grupos de matrizes ou grupos lineares.
Como são chamados os subgrupos do grupo ortogonal especial?
5a81e5d531013a001a334f97
Euler,
Que tipo de ângulos são feitos de todas as matrizes n-por-b invertíveis?
A troca de "+" e "-" na expressão, isto é, permutando as duas soluções da equação pode ser vista como uma operação de grupo (muito simples). Fórmulas semelhantes são conhecidas para equações cúbicas e quárticas, mas geralmente não existem para o grau 5 e superior. As propriedades abstratas dos grupos de Galois associadas aos polinômios (em particular sua solvabilidade) fornecem um critério para polinômios que têm todas as suas soluções expressáveis por radicais, isto é, soluções expressáveis usando apenas adição, multiplicação e raízes semelhantes à fórmula acima.
grau 5 e superior
572838983acd2414000df749
Que grau não inclui fórmulas simples para equações cúbicas e quadráticas?
propriedades abstratas dos grupos de Galois
572838983acd2414000df74a
Qual conceito está associado à solvabilidade dos polinômios?
radicais
572838983acd2414000df74b
O que é usado para expressar as soluções de polinômios?
5a81f51431013a001a334fd9
grau 5
Qual o grau que deve ser menor do que ter fórmulas simples?
5a81f51431013a001a334fda
polinômios
O que fornece critérios para propriedades abstratas?
5a81f51431013a001a334fdb
grupos de Galois
Qual grupo não pode ser expresso usando radicais?
5a81f51431013a001a334fdc
troca de "+" e "-"
O que é um exemplo de uma operação complexa?
5a81f51431013a001a334fdd
operação de grupo (muito simples).
O que as equações cúbicas e quárticas não têm?
Um grupo é chamado finito se tiver um número finito de elementos. O número de elementos é chamado de ordem do grupo. Uma classe importante são os grupos simétricos SN, os grupos de permutações de N letras. Por exemplo, o grupo simétrico em 3 letras S3 é o grupo que consiste em todos os pedidos possíveis das três letras ABC, ou seja, contém os elementos ABC, ACB, ..., até CBA, no total de 6 (ou 3 fatores fatoriais). Essa classe é fundamental na medida em que qualquer grupo finito pode ser expresso como um subgrupo de um grupo simétrico SN para um número inteiro N adequado (teorema de Cayley). Paralelamente ao grupo de simetrias do quadrado acima, S3 também pode ser interpretado como o grupo de simetrias de um triângulo equilátero.
um número finito de elementos
5728396e2ca10214002da110
O que inclui um grupo finito?
e ordem do grupo
5728396e2ca10214002da111
Qual é o número de elementos em um grupo chamado?
fundamental
5728396e2ca10214002da112
Que tipo de classe possui um grupo finito que pode ser expresso como um subgrupo de um grupo simétrico?
S3
5728396e2ca10214002da113
O que pode ser descrito como o grupo de simetrias de um triângulo equilátero?
5a81f74231013a001a334fed
O número de elementos
Como é chamada a ordem do grupo?
5a81f74231013a001a334fee
Um grupo
O que inclui um número finito de elementos?
5a81f74231013a001a334fef
qualquer grupo finito
Como pode ser expresso um subgrupo de um grupo simétrico SN?
5a81f74231013a001a334ff0
triângulo equilátero.
Qual é o grupo de simetrias de um S3?
Os matemáticos frequentemente se esforçam para uma classificação completa (ou lista) de uma noção matemática. No contexto de grupos finitos, esse objetivo leva a matemática difícil. Segundo o teorema de Lagrange, grupos finitos de ordem p, um número primo, são necessariamente grupos cíclicos (abelianos) Zp. Os grupos da ordem p2 também podem ser mostrados como abelianos, uma declaração que não generaliza para a ordem p3, como mostra o grupo não abeliano D4 da ordem 8 = 23 acima. Os sistemas de álgebra computacional podem ser usados para listar pequenos grupos, mas não há classificação para todos os grupos finitos.q [›] Uma etapa intermediária é a classificação dos grupos simples finitos.r [›] Um grupo não trivial é chamado de simples, se for o único normal. os subgrupos são o grupo trivial e o próprio grupo. [›] O teorema de Jordan – Hölder exibe grupos simples finitos como os blocos de construção para todos os grupos finitos. Listar todos os grupos simples finitos foi uma conquista importante na teoria contemporânea dos grupos. Richard Borcherds, vencedor da Fields Medal 1998, conseguiu provar as monstruosas conjecturas do luar, uma relação surpreendente e profunda entre o maior grupo esporádico simples finito - o "grupo monstro" - e certas funções modulares, uma peça de análise complexa clássica e teoria das cordas, uma teoria deveria unificar a descrição de muitos fenômenos físicos.
classificação completa
57283ac63acd2414000df75f
Que nível de finalidade os matemáticos tentam alcançar com os conceitos de matemática?
grupos finitos
57283ac63acd2414000df760
Que área de classificação leva a aritmética problemática?
teorema de Lagrange
57283ac63acd2414000df761
O que define grupos finitos de ordem p, um número primo, como sendo necessariamente grupos cíclicos (abelianos) Zp?
sistemas de álgebra computacional
57283ac63acd2414000df762
O que pode ser usado para classificar pequenos grupos, mesmo que não haja uma classificação de todos os grupos finitos?
O teorema de Jordan – Hölder
57283ac63acd2414000df763
O que descreve grupos simples finitos como peças de construção para todos os grupos finitos?
5a81fab831013a001a335037
abelianos,
Ambos P2 e P2 são o que?
5a81fab831013a001a335038
sistemas de álgebra computacional
O que é usado para classificar todos os grupos finitos?
5a81fab831013a001a335039
1998,
Quando o teorema de Jordan-Holder foi publicado?
5a81fab831013a001a33503a
uma noção matemática.
Do que Richard Borcherd fez uma classificação completa?
5a81fab831013a001a33503b
Jordan – Hölder
Que teorema detalha o vínculo entre o maior grupo finito e funções modulares?
Alguns espaços topológicos podem ser dotados de uma lei de grupo. Para que a lei do grupo e a topologia se entrelaçam bem, as operações do grupo devem ser funções contínuas, ou seja, g • he g-1 não devem variar muito se g e h variarem pouco. Esses grupos são chamados de grupos topológicos e são os objetos de grupo na categoria de espaços topológicos. Os exemplos mais básicos são os reais R em adição, (R ∖ {0}, ·) e da mesma forma que qualquer outro campo topológico, como números complexos ou números p-adic. Todos esses grupos são localmente compactos, portanto, eles têm medidas de Haar e podem ser estudados via análise harmônica. Os primeiros oferecem um formalismo abstrato de integrais invariantes. Invariância significa, no caso de números reais, por exemplo:
funções contínuas
57283bec2ca10214002da13c
Quais operações de grupo devem ocorrer para que a lei e a topologia do grupo se integrem bem?
reais R em adição, (R ∖ {0}, ·
57283bec2ca10214002da13d
Qual é o exemplo mais simples de grupos topológicos?
 medidas
57283bec2ca10214002da13e
Quais variáveis os grupos localmente compactos compartilham que podem ser estudadas por análise harmônica?
5a81fbf231013a001a335041
topologia
O que permite que a lei e as operações do grupo se entrelaçam?
5a81fbf231013a001a335042
espaços topológicos
Com o que o direito do grupo é dotado?
5a81fbf231013a001a335043
 medidas
Quais são as análises harmônicas estudadas usando?
5a81fbf231013a001a335044
grupos topológicos
Quais são os espaços topológicos categorizados por?
5a81fbf231013a001a335045
análise harmônica.
Como são estudados os grupos que não são localmente compactos?
para qualquer constante c. Os grupos de matrizes nesses campos se enquadram nesse regime, assim como os anéis de adele e os grupos algébricos adélicos, que são básicos para a teoria dos números. Grupos Galois de extensões de campos infinitos, como o grupo absoluto de Galois, também podem ser equipados com uma topologia, a chamada topologia de Krull, que por sua vez é central para generalizar a conexão esboçada de campos e grupos acima com extensões de campos infinitos. Uma generalização avançada dessa idéia, adaptada às necessidades da geometria algébrica, é o grupo fundamental da etale.
anéis de adele e os grupos algébricos adélicos
57283d5cff5b5019007d9fb4
Quais conceitos são fundamentais para a teoria dos números?
o grupo absoluto de Galois
57283d5cff5b5019007d9fb5
Qual grupo usa extensões de campo infinitas com topologia?
topologia de Krull
57283d5cff5b5019007d9fb6
O que é usado para generalizar a conexão de campos e grupos a extensões de campo infinitas?
o grupo fundamental da
57283d5cff5b5019007d9fb7
Que grupo é uma observação avançada de extensões e grupos de campos infinitos, adaptada às necessidades da geometria algébrica?
5a81fdc831013a001a33505f
teoria dos números.
O que é básico para adele rings?
5a81fdc831013a001a335060
absoluto
Qual grupo Galois não usa topologia?
5a81fdc831013a001a335061
Krull,
Que forma de topologia os grupos Matrix usam?
5a81fdc831013a001a335062
algébrica,
O grupo Galois está adaptado às necessidades de que forma de geometria?
5a81fdc831013a001a335063
o grupo fundamental da
O que é a geometria algébrica adaptada às necessidades de?
Os grupos de mentiras são de fundamental importância na física moderna: o teorema de Noether vincula simetrias contínuas a quantidades conservadas. A rotação, bem como as traduções no espaço e no tempo, são simetrias básicas das leis da mecânica. Eles podem, por exemplo, ser usados para construir modelos simples - impor, digamos, simetria axial a uma situação, normalmente leva a uma simplificação significativa nas equações que precisamos resolver para fornecer uma descrição física.v [›] Outro exemplo é o Lorentz transformações, que relacionam medidas de tempo e velocidade de dois observadores em movimento em relação um ao outro. Eles podem ser deduzidos de uma maneira puramente teórica de grupo, expressando as transformações como uma simetria rotacional do espaço de Minkowski. O último serve - na ausência de gravitação significativa - como um modelo de espaço-tempo na relatividade especial. O grupo de simetria completo do espaço Minkowski, ou seja, incluindo traduções, é conhecido como grupo de Poincaré. Pelo exposto, ele desempenha um papel central na relatividade especial e, por implicação, nas teorias quânticas de campos. Simetrias que variam com a localização são centrais para a descrição moderna das interações físicas com a ajuda da teoria dos medidores.
grupos de mentiras
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Que conceito é de importância básica na física moderna?
teorema de Noether
57283e51ff5b5019007d9fd9
O que conecta simetrias contínuas a quantidades conservadas?
rotação
57283e51ff5b5019007d9fda
Que termo descreve as simetrias básicas das leis da mecânica?
transformações, que relacionam
57283e51ff5b5019007d9fdb
Que conceito relaciona medidas de tempo e velocidade de dois observadores em movimento em relação um ao outro?
grupo de Poincaré
57283e51ff5b5019007d9fdc
O que descreve o grupo completo de simetria do espaço Minkowski, incluindo traduções?
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física moderna:
O que é importante para os grupos de mentiras?
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teorema de Noether
O que conecta grupos de Lie com quantidades conservadas?
5a81feb231013a001a33507d
rotação, bem como as traduções no espaço e no tempo,
Quais são as leis básicas da mecânica?
5a81feb231013a001a33507e
transformações, que relacionam
O que mede o tempo e a velocidade de dois observadores?
5a81feb231013a001a33507f
grupo de Poincaré.
Como são chamadas as traduções em um grupo do espaço Minkowski?
Na álgebra abstrata, estruturas mais gerais são definidas relaxando alguns dos axiomas que definem um grupo. Por exemplo, se o requisito de que todo elemento tenha um inverso for eliminado, a estrutura algébrica resultante será chamada de monóide. Os números naturais N (incluindo 0) sob adição formam um monóide, assim como os números inteiros diferentes de zero sob multiplicação (Z ∖ {0}, ·), veja acima. Existe um método geral para adicionar formalmente inversos aos elementos de qualquer monóide (abeliano), da mesma maneira que (Q ∖ {0}, ·) é derivado de (Z ∖ {0}, ·), conhecido como grupo Grothendieck . Os grupóides são semelhantes aos grupos, exceto que a composição a • b não precisa ser definida para todos os a e b. Surgem no estudo de formas mais complicadas de simetria, geralmente em estruturas topológicas e analíticas, como o grupóide fundamental ou as pilhas. Finalmente, é possível generalizar qualquer um desses conceitos, substituindo a operação binária por uma n-ária arbitrária (ou seja, uma operação que recebe n argumentos). Com a generalização adequada dos axiomas do grupo, isso gera um grupo n-ário. A tabela fornece uma lista de várias estruturas que generalizam grupos.
monóide
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Que produto é criado se o requisito de que cada elemento tem um inverso for eliminado?
números naturais N (incluindo 0
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Que tipo de números em adição formam um monóide?
o grupo Grothendieck
57283f6d2ca10214002da17c
Qual método adiciona formalmente inversos aos elementos de qualquer monóide?
a operação binária
57283f6d2ca10214002da17d
O que pode ser substituído para simplificar os conceitos abstratos de álgebra?
5a81ff7e31013a001a33508d
estruturas mais gerais
Axiomas são definidos relaxando o que?
5a81ff7e31013a001a33508e
monóide.
Como é chamado o inverso de todo elemento?
5a81ff7e31013a001a33508f
(Q ∖ {0}, ·)
Do que é derivado (Q \ [0], -)?
5a81ff7e31013a001a335090
composição a • b
O que precisa ser definido em Groupoids para a e b?
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axiomas do grupo,
O que generaliza um grupo n-ário gera?