'''분수 푸리에 변환'''()는 조화해석학 용어로, 푸리에 변환을 일반화한 선형 변환의 일종이다. 분수 푸리에 변환은 푸리에 변환의 n제곱(n은 정수뿐만이 아니라 임의의 실수 )으로 있다. 즉, time domain과 frequency domain 사이의 임의의 domain으로 주어진 함수를 이동할 있는 것이다. 변환이 활용되는 곳은 필터 설계와 신호 분석, 패턴 인식 등으로 다양하다. FRFT는 분수 합성곱, 상관관계, 밖에 다른 여러 가지의 분수 변환을 정의하는 쓰이며, 일반화한 것으로는 linear canonical transformation (LCT)이 있다. FRFT는 Condon, 의해 처음 도입되었으며, 이때의 목적은 그린 함수에 대한 phase-space 회전 방정식을 해결하기 위하여였다. 그후, Wiener의 에르미트 다항식에 대한 논문을 참조하여 Namias가 이를 확장하였다. 그러나, 신호 처리 학계에는 1993년까지 거의 알려지지 않았다가, 알려진 이후에는 Shannon interpolation theorem을 Fourier transform에서 Fractional Fourier transform으로 확장하는 학계의 노력이 계속되어왔다. == 소개 == 연속 푸리에 변환 ƒ: '''R''' '''C'''는 ''L''2 함수 frequential 버전 ƒ̂로 매핑하는 unitary operator이다.(별도의 말이 없는 한, 모든 연산자는 pointwise 연산자가 아닌 L2 연산자로 간주한다.) f는 다시 inverse transform {\mathcal {F}}^{-1}에 의해 결정된다. and when ''n'' is non-negative integer, and FrFT 이것을 n이 정수가 아닌 경우에도 성립하도록 (n 2α/π) Fourier 변환을 확장시킨 선형 변환이다. == 정의 == 참고: 일부 저자들은 "각도 α" 대신 "a제곱"이라는 표현을 쓰며, 경우 α는 보통 π/2*a이다. 가지 형태는 서로 동치지만, 관련 문헌을 찾아볼 경우 해당 문헌의 저자가 어떤 정의를 사용하는지 주의해야 한다. 엄밀히 말하자면, 식은 f가 충분히 nice한 함수 공간(예: L1 또는 Schwartz 공간)에 있을 때만 유효하며, 이외의 경우에는 Fourier transform 문서에서 설명되어 있는 것과 비슷한 방식으로 density argument를 통해 정의되어야 한다. α가 pi의 정수배일 경우. 식의 코탄젠트와 코시컨트 함수는 정의되지 않으나, α에 대한 극한을 취하면, α가 pi의 짝수배일 때의 FRFT는 원래 함수와 같고, pi의 홀수배일 때의 FRFT는 원래 함수에 parity operator를 적용한 후의 함수가 된다는 것을 있다. 대한 ''α'' ''π''/2,이것이 정확하게 정의 지속적인 푸리에 변환, ''α'' −''π''/2 그것의 정의 지속적인 푸리에 변환한다. === 속성 === The -th order fractional Fourier transform operator, has the properties: For any real angles :: :: '''Integer Orders.''' If is an integer multiple of then: :: :Moreover, it has following relation :: '''Inverse.''' :: :: :: '''Unitarity''' :: '''Time Reversal.''' :: :: '''Transform of shifted function''' :Define the shift and the phase shift operators as follows: :: :: :Then :: '''Transform of scaled function''' :Define the scaling and chirp multiplication operators as follows: :: :: :Then, :: :Notice that the fractional Fourier transform of cannot be expressed as scaled version of Rather, the fractional Fourier transform of turns out to be scaled and chirp modulated version of where is different order. == == Rect 기능으로 싱크로 기능해의 분수 푸리에 변환된 일반적인 해석의 푸리에 변환로 변환 시간의 도메인의 신호 주파수 영역으로 신호이다. 다른 한편으로 해석의 푸리에 변환로 변환하의 주파수 도메인 신호로 시간을 도메인의 신호이다. 분명 분수 푸리에 변환을 변화시킬 있는 신호(시간 영역에서 또는 주파수 영역)도메인으로 시간 주파수: 회전 시간-주파수 도메인한다. 이러한 관점을 일반화하여 선형 정식 변화, 일반화 분, 푸리에 변환할 있다. 선형 변환의 시간-주파수 도메인 이외의 다른 회한다. 아래 그림으로 예이다. 경우 신호가 시간에는 도메인이 직사각형(아래),그것이 것이다 동기 기능에서 주파수 도메인이다. 그러나 우리는 적용 분수 푸리에 변환하여 직사각형 신호 변환 출력이에서 도메인 사이의 시간 주파수이다. 분수 푸리에 변환 실제로, 분수 푸리에 변환의 회전 운영 시간에는 주파수 분포한다. 위의 정의에서, ''α'' 0,없을 것입한 후에 변경을 적용하는 분수,푸리에 변환, ''α'' ''π''/2,분수,푸리에 변형이 푸리에 변환,회전 시간을 주파수 분포 ''π''/2이다. 다른 값의 ''α'', 분수 푸리에 변환을 회전시간 주파수 분포에 따라 α이다. 다음 그림의 결과를 분수와 푸리에 변환의 서로 다른 값을 ''α''이다. 시간/주파수 분포의 분수 푸리에 변환 == 활용 == 분수,푸리에 변환에 사용할 있는 시간이 주파수 분석 DSP. 그것은 유용한 잡읍 필터링, 하지만 조건으로 그것이 중복되지 않으로 원하는 신호에서 시간–주파수 도메인이다. 다음 예제를 살펴보면 우리는 없는 필터 적용을 직접을 제거하는 소음은, 하나의 분수 푸리에 변환, 우리가 있다. 회전 신호(신호 잡음). 우리는 다음을 적용하의 특정 필터는 것이 허용만을 원하는 신호를 전달한다. 따라서 소음을 완전히 제거된다. 그런 다음 우리가 사용하는 분수 푸리에 변환을 다시 회전 신호를 다시고 우리는 얻을 있으며, 원하는 신호이다. 분수 푸리에 변환은 또한 사용을 디자인하는 광학 시스템을 최적화 홀로그램 스토리지 효율성이 매우 높다. 따라서,분수 푸리를 사용하여 잘라내기 시간에는 도메인, 또는 동등하게 낮은 패스 필터 주파수 영역에서,하나둘 있는 모든 볼록 설정에서 시간–주파수 공간,그냥을 사용하여 시간 영역 또는 주파수 도메인 방법이 없이 분수 푸리에 변형만 허용을 밖으로 절단하는 사각형 병렬로 축이다. == 각주 == 분류:푸리에 해석학 분류:적분 변환 분류:시간-주파수 분석