펜로즈 타일링 하나. '''펜로즈 타일링'''()은 비주기적 타일링 하나이다. 여기에서 '타일링'이란 같은 모양으로 겹치거나 빈틈이 없게 평면을 채우는 것이고, '비주기적'이란 타일링 일부를 골라서 돌리지 않고 밀기만 했을 모양이 같은 타일링이 없다는 것이다. 평행 이동 대칭이 없지만 반사 대칭과 5차 회전 대칭은 있다. 펜로즈 타일링은 수학자이자 물리학자인 로저 펜로즈가 1970년에 연구로 발견했다. 다른 모양의 타일을 가진 펜로즈 타일링의 가지 변형이 있다. 원래의 펜로즈 타일링은 4개의 다른 모양을 사용했지만, 2개로 줄어들었다. (마름모 2개 또는 카이트(kite)와 다트(dart)) 펜로즈 타일링은 서로 모양이 맞도록 했을 만들 있다. 연결 규칙(matching rules), 타일 tiling), 유한한 분할 규칙(finite subdivision rules), 잘라서 사영하기 방법, 덮기 등이다. 이렇게 만들어진 후에도 펜로즈 타일링은 무한히 많은 펜로즈 타일링을 만들 있다. 펜로즈 타일링은 자기유사성이 있어서, '부풀리기'와 '줄이기'라는 과정을 거쳐서 다른 크기의 타일이 쓰인 펜로즈 타일링과 바꿀 있다. 펜로즈 타일링에서 유한한 크기의 타일 조각들의 패턴이 타일링 전체에서 무수히 많이 나타난다. 펜로즈 타일링은 브래그 곡선, 5차 회전 대칭(360°/5=72° 회전 대칭), 패턴의 반복 등이 나타나며, 물리학적인 구조에서 회절 무늬가 있고 준결정이다. 이런 타일링을 연구하는 것은 준결정을 형성하는 물리학적인 물질을 이해하는 점에서 중요하다. 펜로즈 타일링은 건축, 장식, 바닥 타일 등에도 적용돼 오고 있다. == 배경 역사 == === 주기적, 비주기적 타일링 === alt= 평면을 기하학적인 모양인 '타일'로 겹치거나 빈틈 없이 덮는 것을 타일링이라고 한다. 모서리와 모서리가 만나는 정사각형 모양의 바닥 타일은 주기적 타일링의 예시이다. 정사각형 타일링을 타일의 변과 평행하게 밀었을 때, 밀기 전과 모양이 같다. 이렇게 보존되는 평행 이동(밀기)을 타일링의 '주기'라고 한다. 가지 방향으로 평행 이동했을 주기를 가지는 타일링을 주기적이라고 한다. 정사각형 타일링의 타일은 하나의 모양만 있고, 다른 타일링에서도 유한한 개수의 모양이 있는 일반적이다. 이런 모야을 '프로토타일'이라고 하며, 이런 모양만으로 평면의 타일링이 가능하다면 프로토타일의 집합이 '타일링을 허용한다' 또는 '평면을 타일링한다'고 말한다. 다시 말해서, 타일링에 사용된 타일은 프로토타일 하나와 합동인 것이다. 주기가 없는 타일링을 '비주기적'이라고 한다. 프로토타일의 집합으로 만들 있는 모든 타일링이 비주기적일 때, 집합을 '비주기적'이라고 있고, 이것들로 만들어진 타일링을 비주기적 타일링이라고 한다. 펜로즈 타일링은 유한한 개수의 프로토타일 집합으로 평면을 타일링할 있는 간단한 비주기적 타일링으로 알려진 예시 하나다. === 초기의 비주기적 타일링 === 파일:Wang 도미노의 비주기적 집합|alt= 논리학자 하오 왕이 결정 문제와 타일링의 관계에 주목한 1960년대에 비주기적 타일링이라는 주제가 관심사로 떠올랐다. 특히 그는 모서리 쪽이 색칠된 정사각형인 도미노라는 타일링을 도입하면서 도미노 문제를 제안했다. 이는 도미노의 집합이 주어졌을 때, 맞닿아 있는 도미노 모서리에 같은 색이 오도록 평면을 타일링할 있을지 결정하는 문제이다. 만약 문제를 결정할 없다면, 도미노의 비주기적인 집합이 존재하는 것이었다. 당시 그럴 없다고 생각한 왕은 비주기적인 집합이 존재할 없다고 추측했다. 왕의 학생 로버트 버거는 1964년 논문에 도미노 문제가 결정할 없다는 것(다시 말해서 왕의 추측이 틀렸다는 것)을 증명했고, 20,426개의 도미노를 사용한 비주기적인 집합을 찾았다. 프로토타일 개수를 104개로 줄인 가능한 경우도 알아냈지만, 출판한 논문에는 나타내지 않았다. 1968년에 도널드 크누스는 버거의 집합을 변형해서 92개의 도미노만 필요한 집합을 찾았다. 모서리에 색칠된 색끼리 맞을 있도록 직소 퍼즐처럼 타일의 모서리를 바꾸면, 색이 맞는 도미노를 쉽게 찾을 있다. 래피얼 로빈슨은 1971년 논문에서 버거의 방법과 결정 문제를 결정할 없다는 증명을 단순화시켰고, 버거의 방법을 써서 6개의 프로토타일만으로 비주기적인 집합을 찾았다. === 펜로즈 타일링의 발전 === alt= 처음의 펜로즈 타일링(P1 타일링)은 6개의 프로토타일로 만들어졌고, 로저 펜로즈의 1974년 논문에 소개되었다. 여기서 정사각형이 아닌 정오각형을 사용했다. 정오각형으로 평면을 채우려고 시도하면 항상 빈틈이 생기지만, 요하네스 케플러는 1916년에 《세계의 조화》에서 이런 빈틈을 오각별, 십각형 관련된 도형으로 채울 있다는 보였다. 케플러는 타일링을 다각형 5개를 사용해 확장했는데 주기적인 패턴을 찾을 없었고, 확장을 때마다 새로운 성질이 생길 것이라고 이미 추측한 상태였다. (따라서 비주기적 타일링이 만들어진다.) 이런 생각은 알베르트 뒤러의 작품에서도 찾아볼 있다. 케플러의 생각을 알게 펜로즈는 이렇게 비주기적 집합을 만드는 모양들에서, 서로를 연결시키는 규칙을 찾았다. 이런 연결 규칙은 타일에서처럼 모서리를 색칠해서 만들어진다. 펜로즈의 타일링은 케플러의 무한 'Aa' 패턴의 완성작이라고 있다. 파일:Tiling at Zelena 초반에 정오각형과 길쭉한 마름모로 만든 펜로즈 타일링이 아닌 타일링이다. 체코 공화국의 즈댜르 나트 사자보우에 있는 네포쿠츠기 순례 교회에 있다. 펜로즈는 이후에 카이트와 다트 타일링(P2 타일링)과 마름모 타일링(P3 타일링)을 발견해 프로토타일의 개수를 2개로 줄였다. 마름모 타일링은 로버트 애먼이 독립적으로 1976년에 발견했다. 펜로즈와 호턴 콘웨이는 펜로즈 타일링의 특성을 연구했고, 대체하는 특성이 계층 구조를 설명한다는 발견했다. 발견은 《사이언티픽 아메리칸》의 1977년 1월 "수학 게임"에 기재되었다. 1981년에 니콜라스 호버트 브라윈은 펜로즈 타일링을 만드는 가지 다른 방법을 소개했다. 브라윈의 "다중격자 방법"은 평행한 직선 5그룹을 배치한 쌍대 그래프로 펜로즈 타일링을 얻는다. "잘라 사영하기 방버"에서 펜로즈 타일링은 5차원 초입방체 구조를 2차원으로 사영해서 얻을 있다. 이런 접근에서 펜로즈 타일링은 꼭짓점의 집합으로 있고 타일들은 꼭짓점을 모서리로 이을 생기는 도형들에서 얻을 있다. == 펜로즈 타일링 == alt= 3가지 펜로즈 타일링인 P1–P3가 아래에 각각 설명되어 있다. 여러 공통적인 특징이 있는데, 타일은 정오각형과 황금비와 관련된 모양에서 만들어지지만 비주기적으로 타일링하기 위해 '연결 규칙'이 추가적으로 있어야 한다. 이런 규칙은 특정한 꼭짓점이나 모서리, 타일 면의 패턴과 관련이 있다. 모서리의 모양이 안으로 들어가거나 밖으로 나오게 수도 있다. === 원래 펜로즈 오각형 타일링 (P1) === 펜로즈의 타일링은 정오각형뿐 아니라 다른 3가지 모양도 쓰는데, "별" (오각별), "배" (별의 3/5), "다이아몬드" (얇은 마름모)를 쓴다. 모든 타일링이 비주기적이 되기 위해 타일이 만나는 법을 정하는 연결 규칙이 있는데, 오각형 타일에는 종류의 연결 규칙이 있다. 이러한 3가지 종류의 오각형을 다른 프로토타일로 보면 프로토타일이 6개가 생긴다. 일반적으로 오른쪽 그림처럼 다른 종류의 오각형 타일을 다른 가지 색으로 칠한다. == 같이 보기 == 기리 타일링 바람개비 타일링 오각형 타일링 로저 펜로즈 == 각주 == == 외부 링크 == This has list of additional resources. 분류:테셀레이션 분류:비주기적 테셀레이션