군론에서, '''콕서터 군'''(Coxeter群, )은 일련의 반사들로 구성되는 군이다. 단순 군의 바일 군은 유한 콕서터 군이며, 따라서 유한 콕서터 군은 단순 군과 유사하게 분류할 있다. 또한, 다각형이나 다면체의 반사 대칭군 또한 유한 콕서터 군이므로, 콕서터 군은 정다면체의 분류와도 관련있다. == 정의 == '''콕서터 군'''은 다음과 같이 표시될 있는 군이다. 여기서 행렬 다음과 같은 성질들을 만족시킨다. (). 여기서 경우는 꼴의 관계를 아예 적용하지 않아야 한다는 뜻이다. 행렬 콕서터 군의 '''콕서터 )이라고 하고, 콕서터 군의 '''계수'''(階數, )라고 한다. 순서쌍 '''콕서터 계'''(Coxeter系, )라고 한다. 콕서터 군이 군으로서 동형이더라도, 서로 동형이 아닌 콕서터 계를 가질 있다. 예를 들어, 군으로서 이지만, 이들은 서로 다른 콕서터 계를 가진다. 그러나 콕서터 군의 계수는 표시에 관계없는 불변량이다. === 콕서터 행렬 슐레플리 행렬 콕서터 도표 === 콕서터 군의 콕서터 행렬 다른 방법으로 표기할 있다. '''콕서터 )은 콕서터 군을 그래프로 나타내는 방법이다. 구체적으로, 이는 변에 유리수 붙은 그래프이다. 콕서터 도표의 꼭짓점은 어떤 거울 반사의 반사면을 나타낸다. 콕서터 도표의 꼭짓점 사이의, 붙은 변은 거울 반사 사이의 각도가 라는 것을 뜻한다. 그림을 간략하게 하기 위하여, 통상적으로 다음과 같은 규칙을 따른다. ** 경우, 사이에 각도가 경우에는 변을 통상적으로 생략한다. ** 경우, 사이에 각도가 경우에는 변을 그리되, 통상적으로 생략한다. ** 경우 통상적으로 값을 생략하지 않는다. 콕서터 행렬 대응하는 '''슐레플리 행렬'''() 성분은 다음과 같다. 즉, 콕서터 행렬은 반사면 사이의 각도의 라디안 분모 나타내는 반면, 슐레플리레 행렬은 각도의 코사인의 −2배를 표기한다. 예를 들어, 비교적 간단한 콕서터 군들의 콕서터 행렬 슐레플리 행렬 콕서터 도표는 다음과 같다. 콕서터 행렬 슐레플리 행렬 콕서터 도표의 콕서터 A1×A1 A2 Ĩ1 A3 BC3 D4 Ã3 콕서터 도표 콕서터 행렬 슐레플리 행렬 슐레플리 행렬의 고윳값 2, 1, 0, 2, 2±√2 2, 2±√3 2, 2, 2±√3 0, 2, 2, 분류 유한 유한 아핀 유한 유한 유한 아핀 콕서터 군은 슐레플리 행렬 고윳값들에 따라서 다음과 같이 종류로 분류된다. '''유한 콕서터 군'''(): 고윳값들이 모두 양의 실수이다. 경우는 유한군이며, 폴리토프(=초구의 테셀레이션)의 대칭군과 관련있다. '''아핀 콕서터 군'''(): 고윳값들이 모두 음의 실수가 아니며, 0을 고윳값으로 갖는다. 경우는 무한군이며, 유클리드 공간의 테셀레이션의 대칭군과 관련있다. '''쌍곡선 콕서터 군'''(): 하나 이상의 음의 고윳값을 갖는다. 경우는 무한군이며, 쌍곡공간의 테셀레이션의 대칭군과 관련있다. == 성질 == === 크기 === 유한 콕서터 군의 크기 콕서터 다음과 같이 관계있다. p: 2h/gp p,q: 8/gp,q 2/p 2/q -1 p,q,r: 64h/gp,q,r 12 2q 4/p 4/r p,q,r,s: 16/gp,q,r,s 8/gp,q,r 8/gq,r,s 2/(ps) 1/p 1/q 1/r 1/s +1 === 호몰로지 === 콕서터 군은 유한 개의, 차수 2의 원소들로 생성되었으므로, 아벨화(=1차 호몰로지)는 2차 순환군 들의 유한 개의 직합이다. 콕서터 군의 슈어 승수(=2차 호몰로지) 역시 알려져 있다. === 불변량 === 계수 유한 콕서터 차원 (실수) 벡터 공간 위에 자연스러운 표현을 갖는다. 경우, 작용에 대하여 불변인 다항식들의 대수 생각할 있다. 이는 항상 자유 가환 단위 결합 대수(=다항식 대수)를 이룬다. 불변량 대수 생성원들의 수는 군의 계수 이며, 불변량 대수의 생성원('''기본 불변량''' )들의 차수는 아래 표에 제시하였다. 이들은 다음과 같은 성질을 보인다. 생성원들의 차수 가운데 최댓값은 항상 콕서터 이며, 최솟값은 2이다. 차수 생성원이 존재한다면, 차수 생성원 역시 존재한다. === 콕서터 원소 === 반사 으로 생성되는 콕서터 '''콕서터 원소'''는 다음과 같은 꼴의 원소이다. 물론, 이는 순열 의존하며, 일반적으로 유일하지 않으나, 모든 콕서터 원소는 하나의 켤레류에 속한다. 특히, 모든 콕서터 원소는 같은 차수를 갖는다. 콕서터 원소의 차수를 콕서터 '''콕서터 수'''(Coxeter數, )라고 한다. === 길이 함수 === 콕서터 위에는 다음과 같은 '''콕서터 길이 함수'''가 존재한다. 이는 원소를 나타내기 위하여 필요한 반사의 수이다. 길이 함수를 사용하여 위에 여려 부분 순서를 정의할 있으며, 또한 유한 콕서터 군의 경우 유일한 최장(最長) 원소가 존재한다. == 분류 == === 유한 콕서터 === 유한 콕서터 군들은 모두 완전히 분류되었고, 다음 표와 같다. 유한 콕서터 군의 곱은 또다른 유한 콕서터 군이므로, 아래 표는 콕서터 군의 곱으로 나타낼 없는 콕서터 군들만을 나열하였다. 유한 콕서터 군의 기호에서 아랫첨자는 콕서터 군의 계수(즉, 콕서터 도표의 점의 수)와 같다. 기호 다른 기호 콕서터 표기법 콕서터 도표 크기 콕서터 ''h'' 관련 폴리토프 기본 불변량들의 차수 ''A''''n'' ''A''''n'' 3n-1 (''n'' 1)! ''n'' ''n''-단체 2, 3, 4, …, ''n'' ''BC''''n'' ''C''''n'' 4,3n-2 2''n'' ''n''! 2''n'' ''n''-초입방체 2, 4, 6, …, 2''n'' ''D''''n'' ''B''''n'' 3n-3,1,1 2''n''−1 ''n''! 2''n'' 2, 4, 6, …, 2''n'' ''E''6 ''E''6 32,2,1 72×6! 12 221, 122 2, 5, 6, 8, 9, 12 ''E''7 ''E''7 33,2,1 72×8! 18 321, 231, 132 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18 ''E''8 ''E''8 34,2,1 192×10! 30 421, 241, 142 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30 ''F''4 ''F''4 3,4,3 1152 12 24-cell 2, 6, 8, 12 ''H''3 ''G''3 3,5 120 10 정이십면체 정십이면체 2, 6, 10 ''H''4 ''G''4 3,3,5 14400 30 120-cell 600-cell 2, 12, 20, 30 ''I''2(''p'') ''D''2''p'' ''p'' 2''p'' ''p'' 정''p''각형 2, ''p'' 목록에서, 다음과 같은 항목들이 서로 중복된다. 또한, 작은 대하여 그대로 연장한다면 다음과 같은 항목들이 중복된다. '''바일 군'''은 유한 콕서터 가운데, '''결정 조건'''(結晶條件, )을 만족시키는 것이다. 여기서 결정 조건이란 콕서터 도표의 모든 변에 대하여, 첨부된 숫자가 2, 3, 4, 또는 (즉, 90°, 60°, 45°, 30°)이어야 한다는 것이다. 경우, 또는 경우는 각각 딘킨 도표에서 변이 2겹 또는 3겹인 경우에 해당한다. 따라서, 유한 콕서터 가운데 바일 군인 것들은 다음 목록에 수록된 군들의 직접곱이다. 이들은 바일 군이다. 이는 바일 군이다. 유한 콕서터 군들의 콕서터 도표는 다음과 같다. :파일:Finite coxeter.svg === 아핀 콕서터 === 아핀 콕서터 군의 기호의 아랫첨자는 계수(콕서터 도표의 꼭짓점의 수)보다 작으며, 이들은 대응하는 유한 콕서터 군의 기호에 물결표(~)를 덧씌워 표기한다. 기호 비트 기호 콕서터 기호 관련 테셀레이션 콕서터 도표 ''P''''n+1'' 3''n'' 단체 쪽매맞춤(simplectic honeycomb) ''S''''n+1'' 4,3n-3,31,1 쪽매맞춤 ''R''''n+1'' 4,3''n''−2,4 하이퍼큐브 쪽매맞춤 ''Q''''n+1'' demihypercubic honeycomb ''T''''7'' 32,2,2 222 ''T''''8'' 33,3,1 331, 133 ''T''''9'' 35,2,1 521, 251, 152 ''U''''5'' 3,4,3,3 16-cell 쪽매맞춤, 24-cell 쪽매맞춤 ''V''''3'' 6,3 정육각형 쪽매맞춤, 정삼각형 쪽매맞춤 ''W''''2'' 직선의 단위 구간에 의한 쪽매맞춤 아핀 콕서터 군의 콕서터 도표는 다음과 같다. === 쌍곡선 콕서터 === '''쌍곡선 콕서터 군'''()의 분류는 유한 콕서터 군이나 아핀 콕서터 군의 분류보다 복잡하다. == 역사 == 해럴드 스콧 맥도널드 콕서터가 1930년대에 도입하였다. 이후 자크 티츠와 니콜라 부르바키가 콕서터 군의 이론의 발전에 공헌하였다. == 참고 문헌 == == 같이 보기 == 바일 근계 정다면체 테셀레이션 아핀 대수 == 외부 링크 == 분류:이산 분류:다포체