이론물리학에서, )은 서로 다른 듯한 물리 이론이 결합 상수의 역수를 취하는 변환에 의하여 서로 동등한 현상이다. 즉, 결합 상수가 작은 이론은 결합 상수가 다른 이론과 동등하게 된다. 양자장론과 이론에서 나타난다. == 양자장론의 S-이중성 == 양자장론에서는 여러 가지의 S-이중성을 찾을 있다. 이들은 대부분 일종의 초대칭을 가정하며, 궁극적으로 초끈 이론의 S-이중성에서 비롯된다. === 전기-자기 이중성 === S-이중성의 가장 기본적인 형태는 맥스웰 방정식의 '''전기-자기 이중성'''(電氣磁氣二重性, )이다. 대전 입자를 포함하지 않는 맥스웰 방정식은 전기장과 자기장을 치환하여도 동등하다. 여기에 전기적으로 대전된 입자만 추가하면 전기-자기 이중성이 깨지지만, 자기적으로 대전된 입자도 추가하면 다시 전기-자기 이중성이 성립한다. 여기서 전기적으로만 대전된 입자는 전기 홀극, 자기적으로만 대전된 입자는 자기 홀극, 전기와 자기 대전된 입자를 '''다이온'''이라고 한다. 부호수가 4차원 다양체 생각하자. 가운데 호몰로지 다음과 같은 연산자 정의하자. 여기서 경우 그렇지 않은 경우 놓는다. 경우, 이므로, 역은 이다. 즉, 이러한 꼴의 연산자는 단순히 복소수로 생각할 있다. U(1) 게이지 이론은 다음과 같이 기술할 있다. U(1) 접속의 곡률을 라고 하자. 이는 선다발의 특성류와 같다. 게이지 이론의 작용을 다음과 같이 적자. 통상적으로, 성분들은 으로 적는다. 여기서 결합 상수 CP 위반 이다. 즉, 텐서 표기법으로 쓰면 이다. 작용은 대하여 불변이다. 이는 고전 전자기학의 전기-자기 이중성이다. 이론을 양자화하게 되면, 경로 적분은 이다. 경우, 이므로, 이다. 만약 스핀 다양체라면, 2차 미분형식의 교차 형식(intersection form)은 짝수이므로, 항상 짝수다. 따라서 이고, 경우 경로 적분에 등장하는 불변이다. 즉, 양자역학적으로 또한 대칭이다. 이들을 합성하면 모듈러 이루게 된다. 유클리드 계량 부호수의 경우, 이는 구체적으로 경로 적분을 계산해 확인할 있다. 맥스웰 방정식을 만족시키는 장세기 이므로 조화형식(harmonic form)을 이루며, 이는 호지 이론에 따라 코호몰로지류 대응한다. 유클리드 계량 부호수에서는 2차 형식에 대한 호지 쌍대가 이므로, 호지 쌍대의 고윳값에 따라 임의의 장세기를 분해할 있다. 그렇다면 이다. 따라서 작용은 된다. 따라서, 경로 적분은 다음과 같다. () 이는 서로 다른 선다발들의 합만 고려한 것이다. 여기에 유한 에너지 모드들의 기여를 고려하면, 모드의 에너지는 비례하며, 경로 적분에는 (에너지 연산자의 행렬식의 제곱근이므로) 모드가 기여한다. 인자는 경로 적분의 측도를 국소적으로 재정의해 없앨 있다. 그러나 게이지 고정을 경우 상수 게이지 변환은 진동 모드에 영향을 미치지 않으므로 곱해야 하고, 또한 (1차 베티 수) 개의 영에너지 모드는 게이지 변환에 영향을 받지 않으므로 이들은 기여한다. 즉, 경로 적분은 다음과 같은 꼴이다. 이는 세타 함수의 일종이며, 이는 무게가 (비정칙) 모듈러 형식이다. 여기서 오일러 지표이고, 교차 형식의 부호수이다. 무게가 0이 아닌 경우에는 고전적인 모듈러 대칭에 변칙이 생기는 것을 있다. === 몬토넨-올리브 이중성 === 4차원에서, 초대칭을 갖는 비가환 양-밀스 이론에서도 일종의 S-이중성이 성립하는데, 이를 '''몬토넨-올리브 이중성'''()이라고 한다. 이는 클라우스 몬토넨()과 데이비드 이언 올리브()가 1977년 발견하였다. 몬토넨-올리브 이중성은 ⅡB종 초끈 이론으로 설명할 있다. 양-밀스 이론은 개의 겹친 D3-막들 위에 존재하는 유효 이론이다. D3-막에는 기본 끈(F-끈)과 D1-막(D-끈)이 붙어 있는데, F-끈의 끝은 전기 홀극, D-끈의 끝은 자기 홀극을 이룬다. ⅡB종 초끈 이론에서는 S-이중성은 F-끈과 D-끈을 맞바꾸게 되고, 이중성은 물론 D3-막의 유효 이론도 따르게 된다. 이중성이 몬토넨-올리브 이중성이다. === 자이베르그 이중성 === 4차원 초대칭 양-밀스 이론에서도 '''자이베르그 이중성'''()이라는 S-이중성이 존재한다. 경우, 서로 대응하는 이론은 일반적으로 똑같지 않지만, 낮은 에너지 눈금에서는 재규격화군 흐름에 의하여 서로 같아진다. 서로 대응하는 이론의 모듈러스 공간은 서로 동형이다. 나탄 자이베르그가 1994년 발견하였다. 보다 일반적으로, 맛깔 대칭()들을 게이지하면, '''이중성 폭포'''()라는 일련의 관계들을 얻는다. === 자이베르그-위튼 이론 === '''자이베르그-위튼 이론'''()은 4차원 초대칭 게이지 이론의 모듈러스 공간()을 다루는 이론이다. 나탄 자이베르그와 에드워드 위튼이 1994년 발표하였다. 이에 따라, 많은 경우 양자 초대칭 게이지 이론의 모듈러스 공간을 정확히 계산할 있고, 서로 다른 것처럼 보이는 이론들이 S-이중성에 따라 사실 같은 양자장론임을 있다. === 6차원 (2,0) 초등각 장론으로 인한 이중성 === 6차원 (2,0) 초등각 장론을 각종 차원의 다양체에 콤팩트화하면, 여러 다양한 S-이중성을 얻는다. 특히, 이를 콤팩트 리만 곡면에 축소하면, 4차원 초대칭 게이지 이론의 이중성들의 여러 일반화를 얻는다. == 이론의 S-이중성 == 이론들 사이의 이중성 초끈 이론들도 S-이중성을 나타낸다. ⅡB종 초끈 이론은 스스로에게 대응한다. 즉, 결합 상수 ⅡB종 초끈 이론은 결합 상수 이론과 같다. Ⅰ종 초끈 이론은 SO(32) 잡종 이론과 대응한다. ⅡA종 초끈 이론과 E8 잡종 이론은 축소화한 M이론에 대응하게 된다. 따라서, 일반적으로 M이론의 이중성들의 군은 T-이중성과 S-이중성들로 생성된다. T-이중성과 S-이중성을 합성한 이중성을 '''U-이중성'''이라고 한다. S-이중성 아래, 기본 끈(F-끈)은 D1-막(D-끈)과 맞바뀌고, D5-막은 NS5-막(F5-막)과 맞바뀐다. === Ⅰ종/Spin(32) 잡종 이중성 === Ⅰ종 Spin(32) 잡종 기본 (없음) D1-막 기본 D5-막 NS5 D0-막 (非BPS) Spin(32) 스피너 상태 입자 (非BPS) Ⅰ종 이론의 기본 끈은 다른 이론의 끈과 달리 BPS가 아니어서, 일반적으로 안정하지 않다 (즉, 끊어질 있다). 이는 Ⅰ종 이론은 캘브-라몽 장을 포함하지 아니하므로, 끈이 보존되는 전하에 대하여 대전되어 있지 않기 때문이다. 결합 상수가 작을 경우 끈이 끊어지는 속도가 느려 섭동 이론을 전개할 있지만, S-이중 이론은 결합 상수가 경우에 해당하므로 Ⅰ종 끈은 붕괴해 버린다. 반면 Spin(32) 잡종 끈은 BPS이므로 안정하며, I종 이론에서 D1-막 (D-끈)으로 존재한다. ==== Spin(32)의 스피너 상태 ==== Spin(32) 잡종 이론의 (기본 끈의) 스펙트럼에는 게이지 Spin(32)의 스피너 표현으로 변환하는 상태가 존재한다. 이는 질량을 가지며, BPS 상태가 아니지만, Spin(32) 게이지 전하의 보존으로 인하여 이러한 상태 가운데 가장 가벼운 것은 안정하다. S-이중성에 따라서, Ⅰ종 이론에도 이에 대응하는 안정한 상태가 존재한다. S-이중성의 성질에 의하여 이는 물론 Ⅰ종 기본 끈의 스펙트럼에 등장하지 않는다. (Ⅰ종 기본 끈의 스펙트럼의 모든 상태는 SO(32)의 텐서 표현을 따른다.) 다만, 초중력 근사에서, 이러한 상태는 호모토피 로서 존재함을 있다. 즉, 9+1차원 시공간 속에서, 입자 주위의 9차원 공간의 등각 무한대인 8차원 초구 생각하자. 경우 호모토피 군의 존재로 인하여, 무한대에서 위와 같이 위상수학적으로 자명하지 않은 꼴을 취하는 게이지 장의 상태를 취할 있다. 이는 양-밀스 방정식의 해를 이루지 않으며, 이와 같은 꼴의 해의 최저 에너지 상태는 (만약 존재한다면) 고에너지 물리학(즉, 초끈 이론)에 의존한다. Ⅰ종 이론의 관점에서, 이는 BPS 조건을 따르지 않는 D0-막으로 여길 있다. 이는 BPS가 아니지만, 게이지 전하의 보존으로 인하여 안정하다. === ⅡB 자기 이중성 === ⅡB종 ⅡB종 기본 D1-막 D3-막 D3-막 D5-막 NS5-막 D7-막 S7-막 D9-막 S9-막 ⅡB 이론은 스스로의 S-이중 이론이다. 또한, ⅡB 이론의 S-대칭은 이다. 이에 따라 기본 끈((1,0)-끈)은 일반적으로 ''p''개의 기본 끈과 ''q''개의 D-끈으로 이루어진 대응되게 된다. 마찬가지로 (''p'',''q'') 5-막도 존재한다. D3-막은 S-이중성에 따라 변환하지 않는다. 7-막과 9-막의 변환은 복잡하다. D7-막은 여차원이 2이므로, 초중력에서 해는 부족각(不足角, )을 가지며, 액시온(0차 라몽-라몽 장)과 딜라톤은 주위에서 모노드로미를 갖는다. 7-막들은 액시오딜라톤의 SL(2;ℤ) 모노드로미 행렬로서 분류된다. 부족각의 존재 때문에, 충분히 많은 7-막을 사용하면 ⅡB 초끈 이론의, 양의 곡률을 갖는 다양체 위의 축소화를 정의할 있으며, 경우 7-막들은 F이론에 의하여 타원 곡선 올의 퇴화에 해당한다. 9-막의 경우, 이는 시공간을 채우는 막이므로, 올챙이() 파인먼 도표의 상쇄를 위하여 특정한 수의 D9-막과 오리엔티폴드를 가해야 하며, 경우 Ⅰ종 초끈 이론을 얻는다. === ⅡA 잡종 이중성 === ⅡA종 이론을 K3 곡면 위에 축소화하여 얻는, 6차원 초끈 이론은 잡종 이론을 4차원 원환면 위에 축소화하여 얻는 6차원 초끈 이론과 같다. 경우, 결합 상수가 서로 반비례하므로, 이는 S-이중성의 형태이다. == ⅡB종 초중력의 S-이중성 == ⅡB종 초중력은 ⅡB종 초끈 이론의 저에너지 유효이론이다. ⅡB종 초끈 이론이 S-이중성을 가지는 것처럼, ⅡB종 초중력도 S-이중성을 가진다. (초중력을 초끈 이론으로 양자화하는 과정에서, 양자역학적 효과에 의하여 깨진다.) ⅡB종 초중력의 보손 장들은 대하여 다음과 같이 변환한다. 행렬 대한 변환 캘브-라몽 라몽-라몽 2차 형식 딜라톤 라몽-라몽 0차 형식 라몽-라몽 4차 형식 불변 중력장 (아인슈타인 틀) 불변 == U-이중성 == M이론에서는 T-이중성과 S-이중성에 의하여, 보다 이산대칭군이 존재한다. 이를 '''U-이중성'''이라고 한다. == 통계역학적 격자 모형의 S-이중성 == 통계역학에서, 각종 격자 모형들도 S-이중성을 만족한다. 2차원 격자 모형의 S-이중성은 '''크라머르스-바니어 이중성'''()이라고 하며, 헨드릭 안토니 크라머르스와 그레고리 바니어()가 1941년 발표하였다. 2차원 이상의 차원에도 유사한 이중성들이 존재한다. == 참고 문헌 == == 외부 링크 == 분류:양자장론 분류:끈 이론 분류:쌍대성이론 분류:격자 모형