이론물리학과 수학에서, '''바탈린-빌코비스키 대수'''()는 게이지 이론을 BRST 양자화할 등장하는 대수이다. == 정의 == === 고차 미분 연산자 === (단위원을 갖는) 정수 등급 가환 결합 대수 주어졌다고 하자. 이제, 왼쪽 곱셈 연산자 초괄호 정의할 있다. 초괄호는 또한 등급을 갖는 동차 연산자에 대해서도 정의될 있다. 위의 연산자 다음 조건을 만족시킨다면, 이를 '''차 등급 미분 연산자'''()라고 한다. 여기서 초괄호에서 간주한다. 예를 들어, 0차 미분 연산자의 경우 것이다. 1차 미분 연산자는 것이다. 즉, 이며, 이는 규칙이다. 홀수 등급 2차 미분 연산자 만족시킨다. === 거스틴해버 괄호 === 등급 가환 결합 대수 위의 사슬 복합체 구조 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 일련의 괄호들을 정의할 있다. 이를 '''거스틴해버 괄호'''라고 한다. 예를 들어 이다. 그렇다면, 곱셈 구조를 잊으면, L∞-대수를 이룬다. 물론, 만약 미분 연산자라면, 오직 만이 0이 아닐 있다. 바탈린-빌코비스키 대수에는 다음과 같은 '''거스틴해버 괄호'''() 또는 '''반괄호'''() 정의할 있다. 이는 다음과 같은 성질들을 따른다. (차수 −1) (등급가환성) (등급 야코비 항등식) (등급 라이프니츠 규칙) === 바탈린-빌코비스키 대수 === '''바탈린-빌코비스키 대수''' 다음과 같은 데이터로 구성된다. 등급 가환 결합 대수 위의 2차 −1등급 미분 연산자 이를 '''바탈린-빌코비스키 라플라스 연산자'''라고 한다. == 게이지 이론의 양자화 == 바탈린-빌코비스키 대수는 게이지 이론의 양자화에 등장한다. 경우, 바탈린-빌코비스키 대수의 등급은 유령수(ghost number)가 된다. 게이지 이론이 고전적 작용 의해 정의된다고 하자. 또한, 이론에 다음과 같은 게이지 변환들이 존재한다고 하자. 여기서 게이지 변환 매개변수이다. 또한, 게이지 변환들 사이에 관계들이 있을 있다. 즉, 다음과 같은 꼴의 관계가 존재한다. 이다. 여기서 임의의 텐서이다. 즉, 일반적으로 게이지 이론은 1차 게이지 변환 2차 게이지 변환 3차 게이지 변환 등의 일련의 고차 게이지 변환들을 가진다. 그렇다면 바탈린-빌코비스키 양자화에서는 (고차) 게이지 변환 대응하는 유령장 정의한다. 유령장은 대응하는 게이지 변환의 통계와 반대 통계를 따른다. (즉, 일반적 게이지 변환의 경우 페르미온, 초대칭 게이지 변환의 경우 보손이다.) 유령장 물리적 대응하는 '''반대장'''(反對場, 정의하자. 반대장들은 대응하는 장과 반대 통계를 따른다. 또한, 이들 장들에 '''유령수'''(幽靈數, )라는 차수를 붙인다. 물리적 장은 유령수 0, 게이지 변환에 대응하는 유령장은 유령수 그리고 유령수 대응하는 반대장은 유령수 가진다. 이를 표로 적으면 다음과 같다. 기호 통계 (+1: 보손, −1: 페르미온) 유령수 물리적 (보손: +1, 페르미온: −1) 물리적 반대장 −1 유령장 (일반 대칭: −1, 초대칭: +1) 유령 반대장 즉, 장들은 유령수에 따라 등급대수를 이룬다. === 연산자와 거스틴해버 괄호 === 모든 장들을 통칭해 적자. 장들의 등급대수에 다음과 같은 연산자를 정의할 있다. 또한, 거스틴해버 괄호는 다음과 같다. 이렇게 연산자들을 정의하면, 장들의 등급대수는 바탈린-빌코비스키 대수를 이룬다. 여기서 각각 좌·우미분이다. === 고전 으뜸 방정식 === 고전적 작용 유령수 0의 원소이다. 게이지 고정을 하려면, 여기에 유령장 반대장들을 추가하여 다음과 같은 꼴로 교정하여야 한다. 여기서 개의 유령장의 곱을 포함하며, 유령수를 상쇄시키는 반대장들을 포함한다. 즉, 유령수는 0이다. 이렇게 교정된 작용 다음과 같은 '''고전 으뜸 방정식'''()을 만족시킨다. 이로부터 완전히 계산할 있다. 경우, 이론의 BRST 대칭은 꼴이다. 경우 자동적으로 된다. 작용은 유령수가 0이고 거스틴해버 괄호는 유령수가 1이므로, BRST 대칭은 유령수를 1만큼 증가시킨다. 임을 쉽게 확인할 있다. 따라서, 이에 대한 코호몰로지 정의할 있다. 관측가능량들은 0차 BRST 코호몰로지 원소이다. 고전적인 연산자 주어지면, 여기에 유령장을 포함하는 항들을 추가하여, BRST 불변이게 만들어야 한다. === 게이지 고정 === 유령항을 추가한 뒤, 경로 적분을 사용하려면 작용을 게이지 고정시켜야 한다. 이를 위해 유령수가 −1이고, 반대장들을 포함하지 않는 페르미온 연산자 선택하자. 이를 '''게이지 고정 페르미온'''()이라고 한다. 이러한 연산자가 주어지면, 작용에서 반대장을 다음과 같이 치환한다. 작용에서 반대장들을 이렇게 치환하게 되면, 게이지가 고정된다. 게이지 고정 페르미온은 &minus1;의 유령수를 가져야 하는데, 반대장이 아닌 장들은 모두 음이 아닌 유령수를 가진다. 때문에 이론에 음의 유령수를 가진 보조장들을 추가하여야 한다. === 양자 으뜸 방정식 === 양자화를 하게 되면, 작용뿐만 아니라 경로 적분의 측도 또한 BRST 불변이어아 한다. 측도가 BRST 불변일 필요충분조건은 이다. 예를 들어, 양-밀스 이론의 경우 조건이 성립한다. 만약 측도가 BRST 불변이 아니라면, 작용에 적절한 항들을 추가하여 이를 상쇄시켜야 한다. 이는 플랑크 상수 비례하게 된다. 즉, 으로 놓으면, 이다. 이에 대한 '''양자 으뜸 방정식'''()은 이다. 다음 표현은 위와 동치이다. 이다. 이를 전개하면 등등의 일련의 식들을 얻는다. 가운데 처음 방정식이 고전 으뜸 방정식이다. 피적분량 위와 같이 게이지 고정시켜 경로 적분한다고 하자. 적분이 게이지 고정 페르미온의 선택에 의존하지 않으려면, 바탈린-빌코비스키 라플라스 연산자가 0이어야 한다. 따라서, 연산자를 삽입하지 않은 경로 적분 고려하면 양자 으뜸 방정식 만족되어야 함을 있다. 연산자 삽입된 경로 적분의 경우, 마찬가지로 성립해야 한다. 이는 스토크스 정리와 유사하게 생각할 있다. 즉, 경로 공간(장들의 무한 차원 짜임새 공간) 위에서, 생각하자. 경로 적분의 측도 짜임새 공간 위의 미분형식으로 생각하면, 경로 공간 위의 미분형식이고, 외미분은 바탈린-빌코비스키 연산자 이다. 즉, Δ-코호몰로지에서는 부분적분에 따라, 임의의 부분공간 위의 적분은 이고, 또한 만약 이라면 무한소 변화에 의존하지 않는다 (즉, 호몰로지류에만 의존한다). 게이지 이론의 양자화에서는 닫혀 있다면, 경로 적분은 게이지 고정의 변화에 의존하지 않는다. == == === 양-밀스 이론 === 로런츠 지표는 로, 게이지 대수 지표는 쓰자. 비가환 양-밀스 이론의 경우, 게이지장 다음과 같은 게이지 대칭을 가진다. 따라서, 이에 대응하는 반가환 유령장 반대장 존재한다. 작용 유령항들을 추가하면 다음과 같은 BRST 불변 작용을 얻는다. 게이지 고정을 위해, 유령수 −1의 페르미온 유령수 0의 보손 추가하고, 작용에 다음과 같은 보조장항을 더하자. 그렇다면 게이지 고정 페르미온 삽입한다. 여기서 임의의 상수다. 이렇게 하여 반대장들을 치환하면, 다음과 같은 게이지 고정 작용을 얻는다. 기호 통계 유령수 게이지 게이지 반대장 −1 유령장 유령 반대장 −2 보조장 보조 반대장 −1 보조 유령장 −1 보조 유령 반대장 === 미분형식 전기역학 === ''p''차 미분형식 전기역학의 경우, ''p''차 미분형식 게이지 퍼텐셜 다음과 같은 게이지 변환들을 가진다. :⋮ 여기서 미분형식이다. 따라서, 다음과 같은 유령장들과 반대장들이 존재한다. 기호 통계 유령수 게이지 유령장 ''p''−''k'' 게이지 반대장 −1 유령 반대장 ''k''−''p''−1 유령항을 추가한 작용은 다음과 같다. == 역사 == 이고리 아니톨리예비치 바탈린()과 그리고리 알렉산드로비치 빌코비스키()가 초중력을 양자화하기 위해 도입하였다. 이후 바탈린-빌코비스키 양자화는 닫힌 장론 등을 양자화하는 쓰였다. == 같이 보기 == 거스틴해버 대수 == 참고 문헌 == == 외부 링크 == 분류:수리물리학 분류:양자장론 분류:대수 분류:심플렉틱 기하학