대수적 위상수학에서, '''류스테르니크-시니렐만 또는 '''LS 범주'''()는 위상 공간에 대한 자연수 값의 호모토피 불변량이다. 거칠게 말하면 공간이 얼마나 복잡한지를 나타내는 척도 하나라고 있다. == 정의 == 류스테르니크-시니렐만 범주의 개념은 여러 가지로 정의될 있으며, 정의들은 CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간에 대해서는 서로 일치한다. === 열린 덮개를 통한 정의 === 점을 가진 공간 주어졌으며, CW 복합체와 호모토피 동치이며, 쌍대올뭉치라고 하자. '''류스테르니크-시니렐만 범주''' 다음 조건을 만족시키는 최소의 자연수 정의한다. X를 덮는 어떤 개의 열린 덮개 존재해서, 모든 포함 함수 X가 상수 함수와 호모토피 동치이다. 만약 위와 같은 자연수가 존재하지 않는다면, 놓는다. 일부 문헌에서는 류스테르니크-시니렐만 범주를 대신 정의한다. === 화이트헤드의 정의 === 대상(시작 대상이자 대상인 대상)을 갖는 모형 범주 주어졌다고 하자. 모형 범주에서, 다음과 같은 성질을 생각할 있다. :'''육면체 공리'''(): 임의의 정육면체 꼴의 호모토피 가환 그림 ::300px :에서, 만약 호모토피 밂이며 모든 옆면들이 호모토피 당김이라면, 밑면 역시 호모토피 밂이다. (육면체 공리는 점을 가진 공간의 모형 범주 경우 성립한다. 육면체 공리는 자기 쌍대 조건이 아니다. 예를 들어 점을 가진 공간의 범주의 반대 범주인 마찬가지로 대상을 갖는 모형 범주지만 육면체 공리는 성립하지 않는다.) 이러한 모형 범주에서, 올대상이자 쌍대올대상인 대상 '''부케가르니'''() 또는 '''뚱뚱한 쐐기합'''() 다음과 같이 재귀적으로 정의되는 대상이다. 이다. 주어졌을 때, 모형 범주 에서의, 다음과 같은 꼴의 호모토피 밂이다. 특히, 다음이 성립한다. (스스로와의 쌍대곱) 점을 가진 공간의 범주에서, 부케가르니는 구체적으로 다음과 같은 꼴로 주어진다. 즉, 이는 곱공간 에서, 적어도 좌표가 밑점 되는 점들로 구성된 부분 공간이다. '''류스테르니크-시니렐만 범주'''는 다음 그림을 호모토피 가환 그림으로 만드는 연속 함수 존재하는 최소의 자연수 이다. 여기서 대각 사상이다. === 가네아의 정의 === 대상을 가지며 육면체 공리를 따르는 모형 범주 생각하자. 올대상이자 쌍대올대상인 대상 대하여, '''가네아 구성'''은 다음과 같은 올뭉치들의 가환 그림이다. 여기서 이다. 다음과 같은 네모들은 호모토피 당김이다. (즉, 올뭉치 호모토피 올이다.) *: 다음과 같은 네모들은 모형 범주 에서의 호모토피 밂이다. *: 이를 '''가네아 올뭉치'''()라고 한다. 이제, '''류스테르니크-시니렐만 범주''' 호모토피 범주에서 오른쪽 역사상(즉, 단면) 가질 있는 최소의 자연수 이다. 점을 가진 공간의 범주에서, 경로 공간 으로 잡을 있으며, 호모토피 올은 고리 공간 이다. 경우 으로 잡을 있다. (여기서 위상 공간의 이음이다.) 또한, 경우 잡을 있다. 여기서 축소 현수이다. === 정의 사이의 관계 === 영대상을 가지며 육면체 공리를 따르는 모형 범주가 주어질 경우, 올대상이자 쌍대올대상인 대상에 대하여 류스테르니크-시니렐만 범주의 화이트헤드 정의와 가네아 정의는 서로 일치한다. 또한 범주가 경우, CW 복합체와 호모토피 동치인 위상 공간에 대하여 열린 덮개를 통한 정의와 일치한다. == 성질 == 류스테르니크-시니렐만 범주는 호모토피 불변량이다. 즉, 서로 호모토피 동치인 위상 공간은 같은 류스테르니크-시니렐만 범주를 갖는다. === 연산에 대한 호환 === 다음이 성립한다. (여기서 점을 가진 공간의 쐐기합이다.) 만약 사상 호모토피 오른쪽 역사상을 갖는다면, 이다. 올뭉치 대하여, 이다. 임의의 점을 가진 공간 의, 크기 2의 열린 덮개 주어졌다고 하면, 다음이 성립한다. === 차원과의 관계 === 위상 공간 -연결 공간이라고 하자. 즉, 라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. 여기서 르베그 덮개 차원이다. (다양체의 경우 이는 물론 다양체 차원과 일치한다.) === 모스 이론과의 관계 === 연결 콤팩트 매끄러운 다양체 위의 연속 미분 가능 함수 임계점의 집합 크기 1은 류스테르니크-시니렐만 범주의 상계를 이룬다. '''증명 개략:''' 경우엔 부등식이 자명하게 성립하므로 유한 개의 임계점만을 가질 경우만 확인하면 충분하다. 임의의 리만 다양체 구조를 주고, 기울기 흐름 생각하자. 그렇다면, 임계점 대하여 정의하자. 콤팩트 공간이며 임계점들이 유한 밖에 없기 때문에, 이들은 덮개를 정의한다. 원소들은 닫힌집합이며, 또한 기울기 흐름의 존재에 의하여 모두 상수 함수 호모토피 동치이다. 이제, 대하여, 이며, 호모토피 성질을 보존하는 열린 근방 찾을 있음을 보일 있다. 즉, 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의에 등장하는 조건을 만족시키는 열린 덮개이다. 예를 들어, 초구 유클리드 공간 위의 단위구로 놓았을 때, 높이 함수는 개의 임계점(북극과 남극)을 갖는다. 초구의 류스테르니크-시니렐만 범주는 1이므로, 등호가 성립한다. 성질은 모스 이론과 유사하다. 그러나 모스 이론은 모스 함수의 임계점의 수의 하한에 대한 것이지만, 류스테르니크-시니렐만 범주는 모든 연속 미분 가능 함수의 임계점의 수에 대한 것이다. === 코호몰로지 길이와의 관계 === 일반적으로, 위상 공간 의, 개의 축소 특이 코호몰로지류들의 합곱이 0이 아니라고 하자. 그렇다면, 이다. === 유리수 류스테르니크-시니렐만 범주 === 유리수체 위의 가환 미분 등급 대수의 모형 범주 생각하자. 그렇다면, 조각 범주 대상을 가지는 모형 범주이며, 육면체 공리를 따른다. 따라서, 범주 위에서 류스테르니크-시니렐만 범주를 정의할 있다. (CW-복합체와 호모토피 동치이며, 포함 사상이 쌍대올뭉치인) 점을 가진 공간 대하여, 이에 대응되는 가환 미분 등급 대수 A\to\mathbb Q의 류스테르니크-시니렐만 범주를 라고 표기하자. 이는 사실 유리수 호모토피 동치인 점을 가진 공간의 류스테르니크-시니렐만 범주의 최솟값이다. 특히, 다음이 항상 성립한다. 또한, 만약 단일 연결 공간이며, 최소 설리번 대수들이 등급별 유한 차원이라고 하자. 그렇다면, 다음이 성립한다. == == 점을 가진 공간 류스테르니크-시니렐만 범주 축약 가능 공간 초구 축약 불가능한 현수 원환면 실수 사영 공간 복소수 사영 공간 종수 가향 콤팩트 곡면 콤팩트 단일 연결 심플렉틱 다양체 '''콤팩트 단일 연결 심플렉틱 다양체 대하여 증명:''' 심플렉틱 형식 드람 코호몰로지류 생각하자. 그렇다면, 이다. (이는 부피 형식을 이룬다.) 따라서 코호몰로지 길이는 이상이며, 이다. 반면, 단일 연결 공간이므로 이다. == 역사 == 류스테르니크 라자리 류스테르니크와 레프 시니렐만이 도입하였다. 명의 공동 논문은 시니렐만의 사후인 1947년에 처음 출판되었다. 그들은 위상 공간의 LS 범주와 공간 위의 연속 함수의 임계점의 수의 관계를 밝힘으로써 위상수학과 미분기하학 사이에 관계가 있음을 알아냈다. 그들은 공간의 성질을 나타내는 불변량에 ‘범주’(, )라는 이름을 붙였는데, 이는 범주론의 범주와는 관련이 없고 당시는 아직 범주론이 정립되기 전이었다. 부케가르니를 통한 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의는 도입하였다. 가네아 구성을 통한 류스테르니크-시니렐만 범주의 정의는 도입하였다. 1971년 가네아는 LS 범주에 관한 명제인 가네아 추측을 제안했다. 하지만 1998년에 이와세 노리오()가 추측에 대한 반례를 발견하였다. == 참고 문헌 == == 외부 링크 == 분류:대수적 위상수학 분류:모스 이론