제1 브로카르 기하학에서, '''브로카르 점'''()은 주어진 삼각형으로 결정되는 쌍의 등각 켤레점이다. == 정의 == (유향) 평면 위의 삼각형 주어졌다고 하자. 편의상 꼭짓점이 시계 반대 방향 순서로 쓰였다고 하자. 그렇다면 다음 조건을 만족시키는 유일하게 존재하며, 점을 삼각형 '''제1 브로카르 점'''() 라고 한다. (유향) 평면 위의 삼각형 주어졌다고 하자. 편의상 꼭짓점이 시계 반대 방향 순서로 쓰였다고 하자. 그렇다면 다음 조건을 만족시키는 유일하게 존재하며, 점을 삼각형 '''제2 브로카르 점'''() 이라고 한다. 제1·제2 브로카르 점을 통틀어 '''브로카르 점'''이라고 한다. 등식 지나며 에서 접하는 위의 (점 또는 아닌) 점인 것과 동치이며, 등식 지나며 에서 접하는 위의 (점 또는 아닌) 점인 것과 동치이다. 각각 원의 현과 접선이므로, 원은 교점 에서 접하지 않으며, 원은 다른 교점을 갖는다. 이는 제1 브로카르 점의 정의를 만족시키는 유일한 점이다. 이는 미켈 정리에 극한을 취한 경우와 같다. == 성질 == === 브로카르 === 삼각형 제1·제2 브로카르 등각 켤레점이다. 즉, 6개의 각의 크기는 일치한다. 각의 크기를 삼각형 '''브로카르 각'''() 라고 한다. 삼각형 꼭짓점 대변의 길이를 넓이를 라고 하자. 그렇다면 다음 항등식들이 성립한다. 유향 선분 연장선과 지나며 에서 접하는 원의 교점을 라고 하자. 그렇다면 원주각의 성질에 따라 이므로 평행한다. 지나는 수선의 발을 라고 하자. 그렇다면 접현각의 성질에 따라 이다. 따라서 다음이 성립한다. 또한 이므로 이다. 밖의 항등식들은 항등식과 삼각법을 사용하여 증명할 있다. 모든 삼각형의 브로카르 각은 이하이며, 정확히 필요 충분 조건은 정삼각형이다 (바이첸뵈크 부등식). 보다 일반적으로, 볼록 다각형 () 내부에 속하는 주어졌다고 하자. 그렇다면 다음 부등식이 성립하며, 등식이 성립할 필요 충분 조건은 정다각형과 중심이다. 모든 대하여 이라고 가정하자. 그렇다면 모든 대하여, 선분 위의 존재한다. 사인 법칙에 따라 다음이 성립한다. 또한 산술-기하 평균 부등식과 옌센 부등식에 따라 다음이 성립한다. 따라서 부등식에서 등식이 성립한다. 등식이 성립할 조건에 따라 모든 대하여 이며, 이다. 또한 이다. 따라서 볼록 다각형 정다각형이며 중심이다. 삼각형 제1·제2 브로카르 점을 외심을 라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다. 유향 선분 연장선과 외접원의 교점을 이라고 하자. 그렇다면 원주각의 성질에 따라 이다. 따라서 삼각형 삼각형 외심 대하여 만큼 회전한 상이며, 삼각형 제2 브로카르 점이다. 따라서 외심 대하여 만큼 회전한 상은 원래 삼각형 제2 브로카르 같다. 삼각형 제1 브로카르 지나는 수선의 발을 라고 하고, 제2 브로카르 지나는 수선의 발을 라고 하자. 그렇다면 브로카르 점의 수족 삼각형 합동이며, 모두 원래 삼각형 닮음이다. 사각형 내접 사각형이므로 원주각의 성질에 따라 이다. 따라서 삼각형 제1 브로카르 점이다. 또한 이므로 삼각형 닮음이다. 닮음비는 이며, 이는 제2 브로카르 점의 경우도 마찬가지다. 삼각형 꼭짓점이 시계 반대 방향 순서로 쓰였다고 하자. 그렇다면 꼭짓점 제1 브로카르 지나는 직선 시계 반대 방향에 대한 다음 꼭짓점 지나는 대칭 중선 남은 꼭짓점 지나는 중선 점에서 만난다. 반대로, 꼭짓점 제2 브로카르 지나는 직선 시계 방향에 대한 다음 꼭짓점 지나는 대칭 중선 남은 꼭짓점 지나는 중선 점에서 만난다. 꼭짓점을 지나는 직선 발을 라고 하자. 그렇다면 대칭 중선과 중선의 성질에 따라 이다. 체바 정리에 따라 다음을 보이는 것으로 충분하다. 제1 브로카르 정의에 따라 이다. 사인 법칙에 따라 다음이 성립한다. 삼각형 닮음이므로 이다. === 제1 브로카르 삼각형과 브로카르 === 삼각형 각각 제1·제2 브로카르 지나는 체바 직선 교점 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 '''제1 브로카르 삼각형'''() 라고 한다. 제1 브로카르 삼각형의 꼭짓점 각각 삼각형의 수직 이등분선 위의 점이다. 이는 제1 브로카르 삼각형의 꼭짓점 각각 브로카르 각을 밑각으로 하는 이등변 삼각형 꼭짓점이기 때문이다. 삼각형 대칭 중점 외심 사이의 선분 지름으로 하는 원을 삼각형 '''브로카르 원'''()이라고 한다. 브로카르 원은 제1 르무안 원과 동심원이다. 삼각형 제1·제2 브로카르 모두 브로카르 위의 점이다. 브로카르 원은 제1 브로카르 삼각형 외접원이다. 삼각형 중점을 각각 라고 하자. 그렇다면 사이의 거리는 이다. 이는 대칭 중점 사이의 거리와 같으므로 평행한다. 수선이므로 수선이다. 즉, 제1 브로카르 삼각형의 꼭짓점 브로카르 위의 점이다. 마찬가지로 평행하며 브로카르 위의 점이다. 따라서 이다. 즉, 제1 브로카르 브로카르 위의 점이다. 제1 브로카르 삼각형 방향 비(非)보존 닮음 변환에 대하여 원래 삼각형 닮음이다. 이는 원주각의 성질을 사용하여 다음과 같이 증명할 있다. 제1 브로카르 삼각형 원래 삼각형 무게 중심은 일치한다. 이에 따라, 제1 브로카르 삼각형의 중점 지나는 원래 삼각형의 수선은 원래 삼각형의 구점원의 중심 에서 만난다. 대하여 반사시킨 상을 이라고 하자. 그렇다면 이므로 삼각형 닮음이다. 마찬가지로 이므로 삼각형 닮음이다. 또한 이므로 삼각형 합동이다. 따라서 이다. 선분 각각 대하여 시계 방향 만큼 회전시킨 상은 모두 평행하므로, 평행한다. 따라서 사각형 평행 사변형이며, 대각선 교점 에서 서로를 이등분한다. 선분 삼각형 공통 꼭짓점 지나는 공통 중선이므로, 삼각형 무게 중심은 일치한다. 선분 공통 중점을 라고 하자. 그렇다면 선분 삼각형 공통 꼭짓점 지나는 공통 중선이므로, 삼각형 무게 중심 역시 일치한다. 따라서 삼각형 무게 중심은 일치한다. 삼각형 외심 제1 브로카르 삼각형의 꼭짓점 무게 중심 닮음 중심으로 하고 닮음비로 하는 중심 닮음 변환을 가한 상은 각각 구점원의 중심 이다. 각각 삼각형의 수직 이등분선이다. 변환은 직선의 방향을 보존하므로 평행한다. 따라서 각각 삼각형의 수선이다. === 제2 브로카르 삼각형 === 삼각형 꼭짓점 또는 지나며 꼭짓점 에서 각각 또는 접하는 원의 교점 꼭짓점 또는 지나며 꼭짓점 에서 각각 또는 접하는 원의 교점 꼭짓점 또는 지나며 꼭짓점 에서 각각 또는 접하는 원의 교점 꼭짓점으로 하는 삼각형을 삼각형 '''제2 브로카르 삼각형'''() 라고 한다. 제2 브로카르 삼각형의 꼭짓점 각각 대칭 중선 위의 점이다. 접현각의 성질에 따라 이므로 삼각형 닮음이다. 따라서 삼각형의 사이의 거리의 비는 이다. 즉, 대칭 중선 위의 점이다. 브로카르 원은 제2 브로카르 삼각형 외접원이다. 제2 브로카르 삼각형의 꼭짓점 각각 선분 연장한 외접원의 현의 중점이다. 편의상 삼각형 예각 삼각형이며 대칭 중점 선분 위의 점이며 외심 삼각형 내부에 속한다고 가정하자 (그 밖의 경우의 증명은 유사하다). 그렇다면 이므로 위의 점이다. 따라서 다음이 성립한다. 즉, 제2 브로카르 삼각형의 꼭짓점 브로카르 위의 점이다. 유향 선분 연장선과 외접원의 교점을 라고 하자. 그렇다면 수선이므로 중점이다. === 슈타이너 점과 타리 === 삼각형 꼭짓점 지나는 제1 브로카르 삼각형의 평행선은 점에서 만난다. 점을 삼각형 '''슈타이너 점'''() 라고 한다 (야코프 슈타이너). 삼각형 꼭짓점 지나는 제1 브로카르 삼각형의 수선은 점에서 만난다. 점을 삼각형 '''타리 점'''() 라고 한다 (가스통 타리, ). 슈타이너 점과 타리 점은 외접원 위의 쌍의 대척점이다. 꼭짓점 지나는 평행선의 교점을 라고 하자. 그렇다면 삼각형 닮음이므로 이다. 따라서 외접원 위의 점이다. 원주각의 성질에 따라 이다. 평행하므로 평행한다. 대척점을 라고 하자. 그렇다면 선분 외접원의 지름이므로 각각 수선이다. 따라서 수선이다. 슈타이너 점은 삼각형의 꼭짓점에 외각의 크기를 질량으로 부여한 질점의 무게 중심이다. 삼각형 대칭 중점 제1 브로카르 삼각형 슈타이너 점이다. 우선, 제1 브로카르 삼각형 제1 브로카르 삼각형 원래 삼각형 중심 닮음임을 증명하자. 대칭성에 따라 평행함을 증명하면 충분하다. 삼각형 제1 브로카르 삼각형 조합한 도형은 제1 브로카르 삼각형 제1 브로카르 삼각형 조합한 도형과 방향 비(非)보존 닮음 변환에 대하여 닮음이다. 따라서 에서 회전한 각의 크기와 에서 회전한 각의 크기는 덧셈 역원이다. 에서 회전한 각의 크기는 에서 회전한 각의 크기와 같으므로 (절댓값은 ), 에서 회전한 각의 크기는 에서 회전한 각의 크기와 같다. 따라서 평행한다. 이제 대칭 중점 제1 브로카르 삼각형 슈타이너 점임을 증명하자. 삼각형 외심을 라고 하자. 대칭성에 따라 평행함을 증명하면 충분하다. 이는 수직이며 수직이며 또한 평행하므로 성립한다. === 노이베르크 === 삼각형 브로카르 각을 라고 하자. 그렇다면 각각 선분 변으로 하는 삼각형 브로카르 각이 되게 만드는 자취는 각각 꼭짓점 지나는 원과 이를 각각 대하여 반사한 상이다. 6개의 가운데 각각 꼭짓점 지나는 3개의 원을 삼각형 '''노이베르크 원'''()이라고 한다 (요제프 노이베르크, ). 삼각형 음이 아닌 실수 주어졌다고 하자. 삼각형의 중점을 라고 하자. 수직 이등분선에서 대하여 같은 쪽이며 취하자. 아폴로니오스 정리에 따라 이다. 또한 삼각형 넓이는 다음과 같다. 코사인 법칙에 따라 다음이 성립한다. 만약 삼각형 브로카르 각이 라면, 이다. 즉, 중심이 반지름이 위의 점이다. 반대로, 만약 이라면, 이므로 삼각형 브로카르 각은 이다. 꼭짓점 지나는 노이베르크 원의 중심 각각 삼각형의 수직 이등분선 위의 점이다. 노이베르크 원의 중심 삼각형의 사이의 거리는 각각 다음과 같다. 노이베르크 원의 반지름은 각각 다음과 같다. 꼭짓점 지나는 노이베르크 원은 꼭짓점 중심으로 하며 선분 반지름으로 하는 원과 직교한다. 마찬가지로, 꼭짓점 지나는 노이베르크 원은 꼭짓점 중심으로 하며 선분 반지름으로 하는 원과 직교하며, 꼭짓점 지나는 노이베르크 원은 꼭짓점 중심으로 하며 선분 반지름으로 하는 원과 직교한다. 이에 따라, 고정된 선분 변화하는 대한 (꼭짓점 지나는) 노이베르크 원들은 동축원 다발을 이루며, 극한점 선분 정삼각형 이룬다. == 역사 == 오늘날 브로카르 점이라고 불리는 개념은 아우구스트 레오폴트 크렐레()가 1816년에 도입하였다. 카를 프리드리히 안드레아스 야코비()를 비롯한 수학자들도 이를 연구하였다. 앙리 브로카르()가 1875년에 재발견하였다. == 각주 == == 외부 링크 == ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** 분류:삼각 기하학