조합론과 표현론에서, '''영 타블로'''()는 대칭군과 일반선형군, 특수선형군, 특수 유니터리 등의 표현을 나타내는 조합론적인 대상이다. == 정의 == '''페러스 그림'''()은 일련의 행들로 이루어진 도형이다. 열들은 왼쪽에 정렬돼 있으며, 아래로 내려갈 수록 길이들이 같거나 짧다. 페러스 그림의 예. 열의 길이는 5, 4, 1이다. '''영 타블로'''()는 페러스 그림에, 각각의 칸에 숫자를 기입한 도형이다. 타블로의 예. '''표준 타블로'''()는 다음 조건을 만족시키는 타블로다. 행에서 오른쪽으로 수록 숫자가 항상 증가한다. 열에서 밑으로 수록 숫자가 항상 증가한다. '''준표준 타블로'''()는 다음 조건을 만족시키는 타블로다. 행에서 오른쪽으로 수록 숫자가 항상 감소하지 않는다. 열에서 밑으로 수록 숫자가 항상 증가한다. 주어진 페러스 그림에서, 번째 칸의 '''고리 길이'''() 또는 (즉, 주어진 칸의 오른쪽 또는 밑에 있는 칸들. 주어진 자체도 포함한다) 들의 개수다. 페러스 그림의 칸의 고리 길이들 == 표현론에서의 응용 == === 대칭군 === 대칭군 복소수 기약 표현은 개의 칸을 가지는 페러스 그림과 일대일 대응한다. 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 다음 조건을 만족하는, 페러스 그림에 대응하는 표준 타블로의 수와 같다. 칸의 숫자는 가운데 하나이고, 숫자가 중복되지 않는다. 경우, 기약 표현의 차원은 다음과 같다. 예를 들어, S4의 기약 표현들은 다음과 같다. 페러스 그림 고리 길이 S4 표현 차원 □□□□ 4321 □□□□ 4211 □□□□ 3221 □□□□ 4121 □□□□ 4321 === 선형군과 유니터리 === 일반선형군 복소수 기약 표현은 다음 조건을 만족시키는 페러스 그림과 일대일 대응한다. 열의 길이는 이하다. 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 다음 조건을 만족하는, 페러스 그림에 대응하는 준표준 타블로의 수와 같다. 칸의 숫자는 가운데 하나다. 경우, 차원은 다음과 같이 계산할 있다. 특수선형군 복소수 기약 표현은 다음 조건을 만족시키는 페러스 그림과 일대일 대응한다. 열의 길이는 미만이다. 주어진 페러스 그림에 대응하는 표현의 차원은 일반선형군의 경우와 같다. 특수 유니터리 복소화는 특수선형군 이다. 따라서 특수 유니터리 군의 복소수 기약 표현도 특수선형군과 마찬가지로 분류할 있다. 페러스 그림 고리 길이 SU(''n'') 표현 차원 □□ 21 □□ 21 □□□ 321 □□□ 311 □□□ 321 이들 표현들은 ''N''차원 기본 표현의 적절한 (반)대칭 곱들로 만들 있다. 이를 ''N''차원 기본 표현의 지표(index)로 나타내면 같은 행에 속한 지수들은 모두 완전 대칭화한다. 같은 열에 속한 지수들은 모두 완전 반대칭화한다. 예를 들어, :i⃞ j⃞ k⃞l⃞ m⃞ 꼴의 타블로는 꼴의 텐서에 대응한다. 이는 꼴의 (반)대칭성을 가진다. === 직교군 === SO(''n'')의 경우, 사용해 표현을 분류할 있다. 경우, SO(''n'')의 텐서 표현은 다음과 같은 조건을 만족시키는 페러스 그림과 대응한다. 열의 길이가 만약 짝수이고, 길이가 열이 존재한다면, 같은 타블로에 개의 기약 표현이 대응한다. 이는 각각 자기쌍대(, SD) 반자기쌍대(, ASD)로 일컬어진다. 주어진 페러스 그림에 대응하는 SO(''n'') 텐서 표현의 차원은 다음과 같다. 번째 열의 길이를 번째 행의 길이를 라고 하자 (). 만약 해당하는 행·열이 없으면 길이는 0으로 정의한다. 다음과 같은 '''내용 함수'''()을 정의하자. 그렇다면 SO(''n'') 텐서 표현의 차원은 다음과 같다. 만약 짝수이며 길이가 행이 있다면, (반)자기쌍대 조건을 가하면 차원은 공식의 ½이다. 타블로의 칸은 차원 벡터 지표에 대응한다. 경우 같은 행에 속한 지표들은 모두 대칭화하며, 같은 행에 속한 임의의 쌍의 지표에 대하여 대각합이 0이다. 같은 열에 속한 지표들은 모두 반대칭화한다. 예를 들어, :i⃞ j⃞ k⃞l⃞ m⃞ 꼴의 타블로는 꼴의 텐서에 대응하며, 꼴의 (반)대칭성을 가진다. SO(''n'')의 경우, SU(''n'')과는 달리 스피너 표현들이 존재한다. 스피너 표현의 경우 모든 가능한 감마 행렬 축약이 0이어야 한다. 스피너 표현은 간혹 텐서 표현의 타블로의 칸에 점을 찍어 표기된다. 여기서는 스피너 표현을 (s)로 표기하자. 페러스 그림 고리 길이 내용 SO(''n'') 표현 차원 페러스 그림 Spin(''n'') 표현 차원 () (s) +0 (s) □□ 21 +2 −1 □□ (s) □□ 21 +0−1 (s)□ □□□ 321 +4 −1 +0 □□□ (s) □□□ 311 +2 −2+0 □□ (s)□ □□□ 321 +0−1−2 (s)□□ 예를 들어, SU(2)=Spin(3)의 기약 표현들은 SU(2) 타블로 또는 SO(3) 타블로로 다음과 같이 나타낼 있다. 스핀 1½ 2½ 3½ 차원 SU(2) 타블로 □□ □□□ □□□□ □□□□□ □□□□□□ □□□□□□□□ SO(3) 타블로 (s) (s) □□ □□ (s) □□□ □□□ (s) 마찬가지로, Spin(6)=SU(4)의 기약 표현들은 SO(6) 타블로 또는 SU(4) 타블로로 다음과 같이 나타낼 있다. 차원 10 SU(4) 타블로 □□□ □□ □□ □□□□□□ SO(6) 타블로 (s) () (SD)□□ (ASD)□□ 마찬가지로, 기약 표현들은 다음과 같다. 스핀 (0, 0) (½, 0) (0, ½) (½, ½) (1, 0) (0, 1) (1, ½) (½, 1) (1½, 0) (0, 1½) (1, 1) (1½, ½) (½, 1½) (2, 0) (0, 2) SU(2) 타블로 (·, ·) (□, ·) (·, □) (□, □) (□□, ·) (·, □□) (□□, □) (□, □□) (□□□, ·) (·, □□□) (□□, □□) (□□□, □) (□, □□□) (□□□□, ·) (·, □□□□) SO(4) 타블로 (SD)□ (ASD)□ (s) () (s)□ ()□ □□ □□ (SD) □□ (ASD) □□ (SD) □□ □□ (ASD) □□ === 심플렉틱 === 짝수 대하여, USp(''n'')의 경우에도 타블로를 사용하여 표현을 분류할 있다. 경우 사용해, 특수 유니터리 군의 경우와 마찬가지로 표현들을 분류할 있다. 경우, USp(''n'')의 텐서 표현은 다음과 같은 조건을 만족시키는 페러스 그림과 대응한다. 열의 길이가 이하이다. 경우, 주어진 페러스 그림에 대응하는 USp(''n'') 표현의 차원은 다음과 같다. 페러스 그림 행의 길이가 이며, 열의 길이가 라고 하자. 우선, 다음과 같은 '''내용 함수'''()를 정의하자. 그렇다면 USp(''n'') 표현의 차원은 다음과 같다. 타블로의 칸은 차원 벡터 지표에 대응한다. 경우 같은 행에 속한 지표들은 모두 대칭화한다. 같은 열에 속한 지표들은 모두 반대칭화하며, 의한 축약이 모두 0이다. 예를 들어, :i⃞ j⃞ k⃞l⃞ m⃞ 꼴의 타블로는 꼴의 텐서에 대응하며, 꼴의 (반)대칭성을 가진다. 페러스 그림 고리 길이 내용 USp(''n'') 표현 차원 □□ 21 +0 +1 □□ 21 −2+1 □□□ 321 +0 +1 +2 □□□ 311 −2 +0+2 □□□ 321 −4+0+1 예를 들어, SO(5)=USp(4)의 표현들은 다음과 같다. 차원 10 14 16 SO(5) 타블로 (s) □□ □□ (s) USp(4) 타블로 □□ □□ □□□□ □□□ == 역사 == 영국의 수학자 앨프리드 영()이 1900년에 도입하였다. == 참고 문헌 == 분류:조합론 분류:표현론 분류:대칭함수