이론물리학에서, '''최소 모형'''(最小模型, )은 중심 전하가 미만인 유리 2차원 등각 장론(rational conformal field theory, 일차장이 유한개인 등각 장론)이다. == 비초대칭 최소 모형 == 유니터리 최소 모형은 하나의 정수 으로 정의된다. 이는 잉여류로 정의되며, 경우 중심 전하는 된다. 최소 모형은 다음과 같은 무게의 일차장들을 가진다. 여기서 이다. 최소 모형은 여러 격자 모형의 임계 현상을 나타낸다. 처음 개의 최소 모형은 다음과 같다. (1차장들의 목록에서, 진공 생략하였다.) ''k'' 중심 전하 ''c'' 1차장 무게 ''h'' 설명 1/2 1/16, 1/2 임계 이징 모형. 여기서 일차장들은 각각 단위원, 스핀 밀도, 에너지 밀도이다. 7/10 3/80, 1/10, 7/16, 3/5, 3/2 삼중 임계(tricritical) 이징 모형 4/5 1/40, 1/15, 1/8, 2/5, 21/40, 2/3, 7/5, 13/8, 임계 3상태 포츠 모형 6/7 1/56, 1/21, 5/56, 1/7, 3/8, 10/21, 33/56, 5/7, 4/3, 85/56, 12/7, 23/8, 22/7, 3상태 포츠 모형 == 𝒩=1 초등각 최소 모형 == 초등각 장론의 유니터리 최소 모형들은 잉여류 의하여 정의된다. 중심 전하는 이므로, 최소 모형의 중심 전하는 다음과 같다. 이들은 다음과 같은 무게의 1차장들을 갖는다. 여기서 이며, 대한 조건은 다음과 같다. 느뵈-슈워츠(NS) 경계 조건에서는 짝수이며, 이다. 라몽(R) 경계 조건에서는 홀수이며, 다음이 성립한다. 이에 따라, 진공을 포함해 개의 초1차장이 존재하며, 가운데 절반은 느뵈-슈워츠 경계 조건에, 나머지 절반은 라몽 경계 조건에 속한다. 또한, 짝수 경우 라몽 바닥 상태(인 상태)가 하나 존재한다. 처음 개의 최소 모형은 다음과 같다. NS 비라소로 1차장 가운데, 진공 () 가하여 얻을 있는 것들은 생략하였다. ''k'' 중심 전하 ''c'' NS 1차장 1차장 설명 7/10 1/10 7/16, 3/80 삼중 임계 이징 모형 비초대칭 최소 모형)의 불변 부분 1/16, 1/6, 3/8, 1/24, 9/16, 1/16 반지름이 위의 시그마 모형. 최소 모형과 같음 81/70 3/70, 9/10, 3/70, 8/7, 3/14 27/80, 269/560, 29/560, 31/16, 73/112, 9/112 5/4 1/32, 1/12, 5/32, 1/4, 5/6, 33/32, 5/4, 5/96, 1/16, 3/32, 5/16, 41/96, 9/16, 23/32, 29/16, 67/32 == 𝒩=2 초등각 최소 모형 == 초등각 장론의 경우, 유니터리 최소 모형들은 다음과 같다. 이들은 잉여류로 정의할 있다. 경우 중심 전하는 이며 중심 전하가 이므로, 올바른 중심 전하를 얻는다. === 장들의 목록 === 최소 모형에 포함되는 비라소로 1차장들은 개의 정해지며, 여기서 이며, 이면 같은 등각장을 나타낸다. 짝수인 경우는 느뵈-슈워츠 (NS) 경계 조건에, 홀수인 경우는 라몽 (R) 경계 조건에 속한다. 만약 이라면, 이에 대응하는 R대칭 전하 등각 무게 다음과 같다. 스펙트럼 흐름에 따라, 장들은 다음과 같이 변환한다. 이에 따라 된다. === NS === NS 경계 조건의 초1차장들은 대응하며, 개가 있다. 최소 모형의 가운데, 손지기장(, 장)은 것들이며, 반손지기장(, 장)은 것들이다. 이들은 (진공을 제외하고) 각각 개가 있다. 라몽 바닥 상태(인 장)는 것들이며, 경우 이다. 이들은 개가 있으며, 이들은 진공을 포함한 손지기장과 대응한다. 손지기장들의 경우, 코호몰로지를 취하여 환으로 만들 있다. 손지기환은 다항식환의 몫환 이다. 여기서 대응한다. === === 경계 조건의 초1차장들은 대응하며, 가운데 경우는 라몽 바닥 상태이다. NS장과 마찬가지로 개의 라몽 초1차장이 존재하며, 가운데 개는 라몽 바닥 상태, 개는 바닥 상태가 아닌 다른 라몽 초1차장이다. === === 처음 개의 최소 모형들은 다음과 같다. NS 1차장 가운데, 진공 수록된 것들에 또는 가하여 얻을 있는 것은 생략하였다. ''k'' 중심 전하 ''c'' 진공을 제외한 (반)손지기장의 전하 ''q'' 기타 NS 바닥 상태 ''q'' 기타 설명 ±⅓ (없음) ±⅙ (⅜,±½) 반지름이 위의 시그마 모형. 최소 모형과 같음 3/2 ±¼, ±½ (½,0) 0, ±¼ (5/16,±½), (9/16,±¼), (9/16,±¾) 9/5 ±⅕, ±⅖, ±⅗ (⅖,0), (7/10,±⅕) ±1/10, ±3/10 (11/40,±½), (19/40,±3/10), (19/40,±7/10), (27/40,±1/10), (27/40,±9/10), (7/8,±1/2) ±⅙, ±⅓, ±½, ±⅔ (⅓,0), (7/12,±⅙), (⅔,±⅔), (¾,±½), (⅚,±⅓), (1,0), (4/3,±⅔) 0, ±⅙, ±⅓ (생략) == == === ''c''=½ 최소 모형 === 최소 모형은 다음과 같이 가지로 정의할 있다. 하나는 이징 모형의 임계점이며, 다른 하나는 자유 마요라나-바일 페르미온 이론이다. ==== 이징 모형 표현 ==== (외부 자기장이 없는) 2차원 이징 모형은 대칭을 가지며, 낮은 온도에서는 모든 스핀이 또는 아래로 정렬돼 있는 상을 보이지만 높은 온도에서는 무질서 상을 보인다. 사이에는 2차 상전이가 존재하며, 임계 온도에서 이징 모형은 최소 모형으로 나타내어진다. 2차원 이징 모형에서, 스핀이 이라고 하자. 그렇다면 평균 스핀 장을 생각할 있다. 2점 함수는 꼴을 갖는다. 여기서 사이의 거리이다. 또한, 평균 에너지 생각하자. 여기서 근접한 모든 대한 합이다. 그렇다면 2점 함수 정의할 있다. 경우, 임계 지수 최소 모형에 포함된, 진공이 아닌 나머지 장의 등각 무게를 정의한다. 즉, 평균 스핀 장은 무게가 스칼라장에, 평균 에너지 장은 스칼라장에 대응한다. ==== 자유 페르미온 ==== 2차원 마요라나-바일 스피너장 하나의 반가환수 성분을 갖는다. 장은 운동 방정식에 따라서 같은 꼴로, 정칙 성분과 반정칙 성분의 합으로 분해된다. 경우, 무게가 장이며, 무게가 장이다. 스피너장의 경우, 느뵈-슈워츠(NS) 경계 조건과 라몽(R) 경계 조건을 있다. 경계 조건 사이를 전환하는 연산자가 존재하며, '''뒤틀림장'''()이라고 한다. 정칙 성분의 뒤틀림장은 반정칙 성분의 뒤틀림장은 이다. 정칙 자유 페르미온의 이론은 정칙 최소 모형을 이룬다. 비정칙 자유 페르미온의 이론에서, 보손장들만으로 구성된 부분 이론을 취하면 이는 임계 이징 모형과 같게 된다. 즉, 경우 무게 스칼라장이 되며, 뒤틀림장도 마찬가지다. 이는 보손화의 기초적인 예이다. === ''c''=7/10 최소 모형 === 최소 모형은 삼중 임계 이징 모형()의 임계점 근처 현상을 나타낸다. 삼중 임계 이징 모형에서 스핀은 값을 가지며, 경우 해밀토니언은 이다. 이론에서는 온도 (입자수 대응하는) 퓨가시티 조절할 있다. 만약 퓨가시티가 이라면, 이는 이징 모형과 같으며, 일정한 온도 에서 2차 상전이가 존재한다. 반대로, 이며 경우 어떤 에서 1차 상전이가 존재한다. (이라면 개의 독립된 바닥 상태가 존재하지만, 라면 입자수 밀도가 0으로 하나의 바닥 상태가 존재하기 때문이다.) 따라서, 조절한다면, 1차 상전이가 2차 상전이로 바뀌는 시점이 존재한다. 이를 삼중 임계 이징 모형의 '''삼중점'''()이라고 하며, 삼중점에서의 임계 현상은 최소 모형으로 나타내어진다. 경우, 등각 1차장들은 다음과 같이 대응한다. 무게 설명 (0,0) 진공 (3/80,3/80) 평균 스핀 (자기화) (7/16,7/16) 자기화 준밀도() (1/10,1/10) 에너지 밀도 (3/5,3/5) 양공 밀도() 에너지 밀도의 초대칭짝 (3/2,3/2) 에너지 준밀도() 초전류 === ''c''=1 초대칭 최소 모형 === 초대칭 최소 모형은 반지름이 위의 시그마 모형으로 나타낼 있다. 경우, 주기 경계 조건과 호환되는 스칼라장 지수들은 다음과 같다. 경우, 짝수라면 느뵈-슈워츠 경계 조건, 홀수라면 라몽 경계 조건에 해당한다. 이론에서 초등각 대수의 표현은 다음과 같다. 경우, NS 장들은 다음과 같이 대응된다. 아래 표에서 항상 이다. NS (반)손지기장 라몽 바닥 상태 라몽 상태 밖의 다른 상태들은 상태들에 가하여 얻어진다. 예를 들어, 가하여 얻는다. 모형에, 같은 오비폴드를 취하자. 그렇다면 R대칭 전하가 부호만 다른 장들이 서로 같은 장이 되고, 오비폴드로 인하여 뒤틀린 장들이 추가된다. 이렇게 하면, 초대칭 최소 모형을 얻는다. == 참고 문헌 == == 외부 링크 == 분류:등각 장론 분류:격자 모형