'''리 대수'''(Lie代數, )는 군의 국소적 구조를 나타내는 대수 구조이다. 엄밀히 말하면, 괄호라 부르는, 야코비 항등식을 만족하는 교대 쌍선형 이항 연산을 지닌 벡터 공간이다. == 정의 == 가환환 위에 정의된 '''리 대수''' -가군 다음을 만족하는 선형 변환 이루어진다. (쌍선형성) 모든 대해 이다. (교대성) 모든 대하여 이다. (야코비 항등식) 모든 대해 이다. 이항 연산은 '''리 괄호'''(Lie括弧, )로 불린다. 대수의 '''준동형'''은 괄호를 보존하는 선형 변환이다. 만약 에서 2의 역원 존재한다면 (예를 들어, 표수가 2가 아닌 체라면), 교대성을 반대칭성, 모든 대하여 성질로 대체할 있다. (2가 가역원이 아니라면, 교대성이 반대칭성보다 강한 조건이다.) 통상적으로 대수는 흑자체 소문자 등으로 나타낸다. 정수환 위의 대수를 '''리 환'''(Lie環, )이라고 부르기도 한다. 이름과 달리 환은 (곱셈 결합 법칙을 따르는) 환을 이루지 않는다. === 부분 대수와 아이디얼 === 가환환 위의 대수 '''부분 대수'''() 괄호에 대하여 닫힌 -부분 가군이다. 즉, 이며 이다. 가환환 위의 대수 '''리 대수 아이디얼''' 만족하는 -부분 가군이다. 모든 대수 아이디얼은 부분 대수다. 이는 군론의 정규 부분군이나 환론의 아이디얼에 대응하는 개념으로, 마찬가지로 '''몫 대수'''() 정의할 있다. 모든 대수 아이디얼은 부분 대수이지만, 역은 성립하지 않는다. === 등급 대수 === 환의 개념에 등급을 붙여 등급환을 정의할 있는 것처럼, '''등급 대수'''(等級Lie代數, )의 개념을 정의할 있다. 가환 모노이드 주어졌다고 하자. 가환환 위의, 등급을 갖는 '''등급 대수''' 다음과 같이, 등급이 붙어 있고, 괄호가 등급을 보존하는 대수이다. 즉, 이다. == 성질 == === 군론적 성질 === 군론에서, 실수체 또는 복소수체 위의 대수는 실수 또는 복소수 군과 밀접한 관계를 가진다. 모든 군에 대하여, 왼쪽 불변 벡터장들은 유한 차원 실수 대수를 이루며, 반대로 모든 유한 차원 실수 대수는 유일한 연결 단일 연결 군의 동형류에 표준적으로 대응한다. 통상적으로, 주어진 군의 대수는 군의 이름의 흑자체 소문자로 쓴다. 예를 들어 SO(5)의 대수는 이다. === 보편 대수학적 성질 === 군과 달리, 주어진 위의 대수들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 대수 구조 다양체는 다음과 같은 연산을 갖는다. 0항 연산: ** (덧셈 항등원) 1항 연산: ** (덧셈 역원) ** 임의의 대하여, 스칼라곱 2항 연산: ** (덧셈) ** (리 괄호) 이는 위의 벡터 공간의 대수 구조에 괄호를 추가한 것이다. 이에 따라 자유 대수의 개념이나 대수의 직접곱을 정의할 있다. 유한 개의 대수의 직접곱은 직합과 같다. 밖에도, 다음과 같은 대수들의 모임은 대수 구조 다양체를 이룬다. 아벨 대수. 이는 항등식 으로 정의된다. 형의 멱영 대수. 이는 내림 중심렬의 길이가 이하인 대수이다. 형의 가해 대수. 이는 유도열의 길이가 이하인 대수이다. 대수의 대수 구조 다양체들의 모임 위에는 다음과 같이 이항 연산을 정의할 있다. 대수의 대수 구조 다양체 주어졌을 때, 원소들의, 속한 대수 아이디얼에 대한 대수 확대로 구성된다. === 범주론적 성질 === 주어진 위의 대수와 대수 준동형의 범주 대수 구조 다양체의 범주이므로, 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 대수의 범주에서, 유한 곱과 유한 쌍대곱이 일치하며, 이는 직합이다. 대수의 범주는 대상을 가지며, 이는 유일한 0차원 대수이다. 대수의 범주는 또한 핵과 여핵을 갖는다. 대수 준동형 핵은 원상 이며, 이는 대수 아이디얼을 이룬다. 여핵은 치역 포함하는 가장 작은 대수 아이디얼에 대한 대수이다. (이러한 대수 아이디얼은 유일하다.) 대수의 범주는 아벨 군의 범주 위의 풍성한 범주()이다. 그러나 아이디얼이 아닌 부분 대수가 존재하므로, 대수의 범주는 아벨 범주를 이루지 않는다. 위의 단위 결합 대수의 범주 에서 위의 대수의 범주 가는 망각 함자 존재한다. 함자의 왼쪽 수반 함자는 보편 포락 대수 함자 이다. === 오퍼라드 이론적 성질 === 대수의 구조를 묘사하는 오퍼라드인 '''리 오퍼라드'''() 존재한다. 즉, 위의 대수는 -벡터 공간의 범주 위의 -대수이다. 마찬가지로, -초 벡터 공간의 범주 위의 -대수는 '''리 초대수'''라고 한다. 다른 오퍼라드와 마찬가지로, 오퍼라드의 호모토피화를 정의할 있다. 즉, 야코비 항등식이 "호모토피 동치 아래" 성립하는 대수를 정의할 있다. 이를 '''L∞-대수'''라고 한다. == 연산 == === 중심 === 가환환 위의 대수 '''중심'''(中心, 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 대수이다. 이는 아벨 대수를 이루며, 또한 대수 아이디얼을 이룬다. 이는 군론에서의 군의 중심의 개념에 대응한다. === 대수 === 가환환 위의 대수 대수 아이디얼 주어졌을 때, '''몫 대수'''() 정의할 있다. -가군으로서, 몫가군 이다. 위의 괄호는 다음과 같이 자연스럽게 정의된다. 이는 아이디얼의 정의에 따라 동치류의 대표원의 선택에 의존하지 않는다. === 직합 === 가환환 위의 대수 주어졌을 때, '''직합''' 정의할 있다. 이는 가군으로서의 직합과 일치하며, 위의 괄호는 다음과 같이 성분별로 정의된다. 보다 일반적으로, -리 대수의 집합 주어졌을 때, 직합 정의할 있다. 마찬가지로, -리 대수의 집합 주어졌을 때, '''직접곱''' 정의할 있다. 유한 직접곱은 유한 직합과 일치하지만, 무한 직접곱은 일반적으로 무한 직합보다 크다. 실수체 위의 대수의 직합·직접곱은 군의 직접곱에 대응한다. 반면, 대수의 텐서곱은 일반적으로 정의될 없다. === 대수의 확대 === 군에 대하여 군의 확대를 정의할 있는 것처럼, 대수의 '''확대'''(擴大, )를 다음과 같이 정의할 있다. 대수의 범주에서는 대상과 여핵이 존재하므로, 완전열의 개념을 정의할 있다. 대수의 짧은 완전열 주어졌다면, 로의 '''확대'''라고 한다. 만약 중심에 속한다면, 이를 (군의 경우와 마찬가지로) '''중심 확대'''(中心擴大, )라고 한다. === 반직접합 === 군에 대하여 반직접곱을 정의할 있는 것처럼, 개의 대수의 '''반직접합'''()을 정의할 있다. 대수의 범주는 아벨 범주를 이루지 못하므로, 직합이 아닌 반직접합이 존재한다. === 미분 === 위의 대수 위의 '''미분'''(微分, )은 다음과 같은 -선형 변환이다. 이는 다음과 같은 규칙을 만족시켜야 한다. 대수 위의 미분들의 벡터 공간을 라고 쓰자. 위에 다음과 같은 괄호를 부여한다면 역시 대수를 이루며, 이를 '''미분 대수'''() 라고 한다. 이는 부분 대수를 이룬다. 만약 아벨 대수라면 이다. 경우, 대수의 (리 군인) 자기 동형군 대수와 같다. 즉, 대수의 미분은 무한소 자기 동형으로 생각할 있다. 임의의 원소 대하여, 딸림표현 미분을 이룬다. 이러한 미분을 '''내부 미분'''(內部微分, )이라고 한다. == 구조론과 분류 == 우선 다음 성질을 정의하자. '''아벨 대수'''(Abel Lie代數, )는 임의의 대하여 대수다. '''멱영 대수'''는 다음을 만족한다. 이고, 정의하자. 그렇다면 존재한다. '''가해 대수'''는 다음을 만족한다. 이고, 정의하자. 그렇다면 존재한다. '''단순 대수'''는 자신이나 0이 아닌 대수 아이디얼을 가지지 않고, 가환하지 않는 대수다. '''반단순 대수'''는 0이 아닌 가환 대수 아이디얼을 지니지 않는 대수다. 다음과 같은 포함 관계가 성립한다. :아벨 대수 멱영 대수 가해 대수 대수 :단순 대수 반단순 대수 대수 다음을 보일 있다. 임의의 유한 차원 실수 또는 복소 대수는 행렬로 충실히 표현할 있다. ('''아도 정리''' 임의의 유한 차원 실수 대수는 가해 아이디얼과 반단순 부분 대수의 반직접합으로 나타낼 있다. ('''레비 분해''' (실수 또는 복소수) 콤팩트 군의 대수는 반단순 대수와 아벨 대수의 직합이다. (이를 간혹 '''콤팩트 대수'''라 부르기도 한다. 물론, 대수는 벡터 공간이므로 위상수학적으로 절대 콤팩트 공간이 아니다.) 모든 반단순 대수는 단순 대수의 직합으로 유일하게 나타낼 있다. 아벨 대수는 자명하게 차원으로 분류된다. 실수와 복소수 단순 대수는 완전히 분류되었다. 복소수 단순 대수는 4개의 무한한 족과 5개의 예외적 대수로 분류되며, 주어진 복소수 단순 대수에 대응되는 (유한한 수의) 실수 단순 대수 역시 완전히 알려져 있다. 그러나 가해 대수의 분류는 매우 어렵다. == 낮은 차원의 대수 == 3차원 이하의 실수 대수에 대하여, '''비앙키 분류'''()라는 분류가 존재한다. 이는 루이지 비앙키가 도입하였다. === 2차원 이하 대수 === 임의의 대하여, 2차원 이하의 대수는 다음 가지밖에 없다. 0차원 아벨 대수 1차원 아벨 대수 2차원 아벨 대수 2차원 비아벨 가해 대수 여기서 곱셈 으로 잡을 있다. 2차원에서의 유일한 비아벨 실수 대수는 다음과 같이 생각할 있다. 특수 상삼각 행렬 대수 이는 2×2 상삼각 행렬 가운데, 대각합이 0인 것들로 구성된다. 1차원 아핀 대수 === 3차원 실수 대수 === 모든 3차원 실수 대수는 단순 대수이거나 가해 대수이다. 3차원 단순 대수는 실수 반단순 대수는 개가 있다. 전통적으로 '''VIII형''', '''IX형'''으로 불린다. 3차원 실수 가해 대수는 아벨 대수의 반직접합 으로 나타낼 있다. 경우, 작용 2×2 실수 정사각 행렬 의하여 완전히 결정된다. (, )는 동형인 반직접합을 결정하므로, 이러한 대수의 분류는 2×2 실수 정사각 행렬의 닮음 분류로 귀결된다. 이는 다음과 같이 조르당 표준형으로 결정되며, 이들에는 전통적으로 이름이 붙어 있다. 가운데 '''I형'''은 아벨 대수이며, '''II형'''은 하이젠베르크 대수 이자 2차원 갈릴레이 대수 이다. 둘은 분류 가운데 유일한 멱영 대수들이다. '''III형'''은 직합 같다. '''V형'''은 평면의 닮음 변환군(, 평행 이동과 확대 변환으로 생성되는 군)의 대수 이며, '''VI0형'''은 (1,1)차원 푸앵카레 대수 같으며, '''VII0형'''은 2차원 유클리드 대수 같다. II형과 VI0형은 3차원 다양체의 기하화 추측의 8가지 기하 가운데 각각 영기하와 해기하에 대응한다. '''VI형'''과 '''VII형'''은 무한한 족을 이루며, 나머지는 모두 (동형 아래) 하나의 대수에 대응한다. 즉, 경우, 잡으면 괄호는 구체적으로 다음과 같다. 다른 이름 단일 연결 군의 중심 외부자기동형군 성질 I형 아벨 대수 아벨 대수 II형 하이젠베르크 대수 갈릴레이 대수 멱영 대수 III형 가해 대수 IV형 V형 닮음 변환 대수 VI형 VI0형 푸앵카레 대수 VII형 VII0형 유클리드 대수 VIII형 특수 선형 대수 단순 대수 IX형 직교 대수/유니터리 대수 === 3차원 복소수 대수 === 3차원의 복소수 대수의 비앙키 분류는 실수의 경우와 유사하지만, 대수적으로 닫힌 체이므로 간단하다. 3차원 복소수 단순 대수의 경우, 하나밖에 없다. 이는 전통적으로 불린다. 3차원 복소수 가해 대수의 경우, 마찬가지로 2×2 복소수 행렬의 조르당 표준형의 분류로 귀결되는데, 경우 VI형과 VII형이 같아지며, VI0형과 VII0 형이 같아진다. === 4차원 이상 === 레비 분해에 따라, 대수의 분해는 가해 대수의 분류로 귀결된다. 임의의 표수의 위의, 4차원 이하의 대수는 그뢰브너 기저를 사용하여 최근에 완전히 분류되었다. == == === 아벨 대수 === 가환환 위의 자명한 가군 위에, 자명한 괄호 준다면 이는 대수를 이룬다. 이는 대수의 범주의 대상이다. 보다 일반적으로, 가환환 위의 가군 위에 자명한 괄호 준다면 역시 대수를 이룬다. 이를 '''아벨 대수'''()라고 한다. 만약 실수체이거나 복소수체라면, 이는 실수 또는 복소수 아벨 군의 대수이다. === 단위 결합 대수의 대수 구조 === 가환환 위의 단위 결합 대수 주어졌다고 하자. 그렇다면, 위에 다음과 같이 괄호를 교환자로 정의하면, 대수를 이룬다. 특히, 위의 정사각 행렬들은 행렬 곱셈에 대하여 단위 결합 대수를 이루며, 이에 대한 대수는 일반 선형 대수 이다. === 미분 === 가환환 위의 (결합 대수가 아닐 있는) 대수 주어졌다고 하자. 위의 미분들의 집합을 라고 쓰자. 위에 다음과 같은 괄호를 교환자로서 정의하자. 그렇다면 역시 미분을 이룸을 있다. 괄호에 대하여 -리 대수를 이룬다. === 자유 대수 === 대수의 모임은 대수 구조 다양체이므로, '''자유 대수'''()를 정의할 있다. 집합 위의 자유 대수를 라고 하고, 위의 자유 단위 결합 대수(=텐서 대수, 비가환 다항식 대수)를 라고 하자. 그렇다면 자연스럽게 부분 집합을 이루며, 보편 포락 대수이다. 속의, 생성되는 부분 대수이다. === 벡터장 === 매끄러운 다양체 위의 매끄러운 벡터장들의 벡터 공간 미분에 대하여 대수를 이룬다. 위의, 왼쪽 불변 벡터장들은 대수 이룬다. 즉, 부분 대수로 생각할 있다. 심플렉틱 다양체 위의 매끄러운 함수 대하여, 다음과 같이 푸아송 괄호를 정의하자. 그렇다면 이는 야코비 항등식을 만족시키며, 따라서 -리 대수를 이룬다. 꼴로 나타내어지는 벡터장을 해밀턴 벡터장이라고 하며, 해밀턴 벡터장의 미분은 푸아송 괄호와 일치한다. 즉, 해밀턴 벡터장들로 구성된 부분 대수로 생각할 있다. 보다 일반적으로, 푸아송 다양체 주어졌을 때, -리 대수를 이룬다. === 형식적 벡터장 === 표수가 0인 위의 형식적 멱급수환 생각하자. 가환환 위의 미분은 차원 공간 위의 형식적 벡터장으로 생각할 있다. 이러한 모든 미분들의 집합 대수를 이룬다. 부분 대수를 '''형식적 벡터장 대수'''()라고 한다. 형식적 벡터장 대수 자기 동형을 통해 관련된다면, 서로 '''좌표 변환 아래 동치'''()라고 한다. '''차수'''는 다음과 같다. 여기서 우변에서 이다. 이렇게 형식적 벡터장의 차수를 정의한다면, 된다. 따라서, 형식적 벡터장 대수 속에서, 차수가 이상인 원소들의 부분 벡터 공간 부분 대수를 이룬다. 속의 여차원은 이하이다. 만약 여차원이 이라면, '''추이적 형식적 벡터장 대수'''()라고 한다. 1차원 공간 위의 유한 차원 형식적 벡터장 대수는 모두 분류되었으며, 다음과 같이 개의 무한 족과 하나의 예외가 있다. 이는 1차원 아벨 대수이다. 이는 2차원 비아벨 가해 대수이다. 이는 3차원 단순 대수이며, 2차원 특수 선형 대수 동형이다. 가운데 추이적 형식적 벡터장 대수는 개이다. 대수적으로 닫힌 계수의 2차원 공간 위의 유한 차원 추이적 형식적 벡터장 대수들은 소푸스 리가 분류하였다. 실수체의 경우에도 마찬가지로 유사한 분류가 존재한다. === 반단순 대수 === 표수 0인 대수적으로 닫힌 위의 반단순 대수는 모두 분류되었다. 반단순 대수는 단순 대수들의 직합이며, 단순 대수는 4개의 무한 족과 5개의 예외 단순 대수로 분류된다. 표수 0인 대수적으로 닫힌 위의 반단순 대수 속에 카르탕 부분 대수 잡자. 그렇다면, 속의 근계 생각하자. 그렇다면, 단순 대수의 구조론에 따라 -등급 대수를 이룬다. 구체적으로, 등급은 이다. === 중심렬 === 속의 중심렬 주어졌다고 하자. 즉, 모든 대하여 라고 하자. 그렇다면, 모두 아벨 군을 이룬다. 몫군들의 직합을 생각하자. 이는 자연스럽게 아벨 군을 이룬다. 위에 다음과 같이 괄호를 교환자로 정의하자. 그렇다면, 이는 자연수 등급이 붙은 등급 환을 이룬다. === 호모토피 === 점을 가진 공간 위의 호모토피 위에는 화이트헤드 괄호라는 다음과 같은 쌍선형 이항 연산이 존재한다. 이는 야코비 항등식을 만족시키며, 반대칭이지만, 일반적으로 교대 형식을 이루지 않는다. 만약 여기서 꼬임 부분군에 대한 몫을 취하면 대수를 얻는다. 구체적으로, 유리수 호모토피 이론에서 유리수 계수의 호모토피 생각하면, 이는 화이트헤드 괄호 아래 유리수 계수 등급 대수를 이룬다. === 기타 === 비라소로 대수는 물리학, 특히 2차원 등각 장론에 등장하는 무한 차원 대수이다. 아핀 대수와 일반화 카츠-무디 대수 역시 무한 차원 대수의 예이다. 하이젠베르크 대수는 멱영 대수의 대표적인 예이다. == 역사 == 소푸스 리가 군을 다루기 위하여 도입하였으며, "무한소군"()으로 일컬었다. 빌헬름 킬링은 1888년~1890년 동안 반단순 대수의 분류를 제창하였고, 1894년에 엘리 카르탕이 킬링의 분류를 엄밀하게 증명하였다. 1898년에 루이지 비앙키는 3차원 이하의 대수의 비앙키 분류를 제시하였다. 1930년대에 헤르만 바일이 "리 대수"라는 용어를 도입하였다. 아도 정리는 이고리 드미트리예비치 아도()가 1935년에 증명하였다. 레비 분해 정리는 1950년에 에우제니오 엘리아 레비()가 증명하였다. == 같이 보기 == 대수의 표현 근계 대수 코호몰로지 초대수 거스틴해버 대수 == 참고 문헌 == == 외부 링크 == ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** 분류:리