함수해석학에서, '''C* 대수'''(시스타 대수, )는 대합 대수와 복소수 바나흐 대수의 구조를 서로 호환되게 갖춘 수학 구조이다. == 정의 == C* 대수의 개념은 다양한 방법으로 정의될 있다. 추상적으로, 복소수 대합 대수와 복소수 바나흐 대수의 구조가 서로 호환되게 주어진 복소수 벡터 공간으로 여길 있다. 사실, 복소수 바나흐 공간 구조는 복소수 대합 대수 구조로부터 정의될 있다. 따라서, C* 대수를 순수하게 대수학적으로 특별한 꼴의 복소수 대합 대수로 정의할 있다. 구체적으로, 복소수 힐베르트 공간 위의 유계 작용소 대수로 표현될 있는 복소수 바나흐 대수로 여길 있다. 정의에서, 복소수 힐베르트 공간 위의 *-표현은 C* 대수의 정의에 포함되지 않는다. 정의들은 모두 서로 동치이다. === 추상적 정의 === 복소수 벡터 공간 위에 다음과 같은 구조가 주어졌다고 하자. (복소수 켤레를 부여한) 복소수체 위의 (항등원을 갖는) 대합 대수이다. (즉, 임의의 대하여 이다.) 복소수 바나흐 대수이다. 그렇다면, 대하여 다음 조건이 서로 동치이며, 만약 이를 만족시킨다면 '''C* 대수'''라고 한다. ('''C* 항등식''' ('''B* 항등식''' (C* 항등식이 B* 항등식을 함의하는 것은 자명하지만, 반대 방향의 함의를 증명하는 것은 자명하지 않다.) 일부 문헌에서는 C* 대수의 정의에서 항등원의 존재를 생략하기도 한다. === 대수적 정의 === (복소수 켤레를 부여한) 복소수체 위의 (항등원을 갖는) 대합 대수 다음 조건을 만족시킨다면, '''C* 대수'''라고 한다. 위의 노름을 이룬다. 즉, 다음이 성립한다. ** 임의의 대하여, 스펙트럼 유계 집합이다. ** 임의의 대하여, 가역원이 아니게 만드는 복소수 존재한다. ** (삼각 부등식) 임의의 대하여, 이다. 완비 노름을 이룬다. 대수적 정의는 위의 정의와 동치이다. 구체적으로, C* 항등식으로부터 노름이 항상 임을 보일 있으며, 반대로 임의의 복소수 바나흐 대수에서 이므로 이는 B* 항등식을 함의한다. === 구체적 정의 === 복소수 대합 대수 '''*-표현'''()은 다음과 같은 데이터로 구성된다. 복소수 힐베르트 공간 유계 작용소들의 복소수 바나흐 대수 가는 단사 복소수 대합 대수 준동형 즉, 단사 함수이며, 복소수 선형 변환이며, (항등원을 보존하는) 준동형이며, 대합을 보존한다 (즉, a\in A. 여기서 우변의 유계 작용소의 에르미트 수반이다.) 만약 복소수 대합 대수가 상이 (작용소 노름으로 정의되는 거리 위상에 대하여) 닫힌집합인 *-표현을 갖는다면, 이를 '''C* 대수'''라고 한다. (마지막 조건을 노름 위상 대신 강한 작용소 위상 또는 약한 작용소 위상에 대한 닫힌집합인 것으로 강화시키면, 대신 노이만 대수의 개념을 얻는다.) '''겔판트-나이마르크 )에 따르면, 임의의 (추상적 정의에 따른) C* 대수 경우, 어떤 복소수 힐베르트 공간 위의 작용 존재하며, 또한 이는 단사 함수이자 복소수 선형 변환이자 등거리 변환이며, 또한 수반 연산 대한 준동형이며, 상은 C* 대수의 구체적 정의에 부합한다. === C* 대수의 원소 === C* 대수라고 하고, 라고 하자. 만약 존재하여 라면, '''음이 아닌 원소'''(陰-元素, )라고 한다. 음이 아닌 원소들의 집합은 볼록 뿔(convex cone)을 이룬다. 만약 라면, '''자기 수반 원소'''라고 한다. 자기 수반 원소의 스펙트럼은 모두 실수이다. 이라면, '''유니터리 원소'''라고 한다. 유니터리 원소의 스펙트럼의 원소들의 절댓값은 항상 1이다. '''스펙트럼''' 가역원이 아니게 되는 들의 집합이다. 일반적으로, 이다. 스펙트럼의 절댓값들의 상한 '''스펙트럼 반지름'''이라고 한다. 스펙트럼 반지름은 다음과 같이 정의할 수도 있다. *: == 연산 == === 직합 === 유한 또는 무한 개의 C* 대수 주어졌다고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 복소수 벡터 공간 위에 균등 노름 성분별 곱셈 부여하면, 이는 C* 대수를 이룬다. 경우 항등원은 이다. 물론, 만약 유한 집합이라면, 이는 단순히 직합 같다. === 몫대수 === 다음이 주어졌다고 하자. C* 대수 양쪽 아이디얼 또한, 닫힌집합이라고 하자. 그렇다면, 몫환 역시 C* 대수를 이룬다. === 행렬 대수 === C* 대수 자연수 n\in\mathbb N에 대하여, 행렬 대수 성분의 정사각 행렬들로 구성되며, 역시 C* 대수를 이룬다. 만약 어떤 복소수 힐베르트 공간 대하여 라면, 으로 여길 있다. 만약 경우, 이는 자명환이다. == 성질 == === C* 대수 사이의 사상 === 다음이 주어졌다고 하자. (항등원을 갖는) C* 대수 (항등원을 보존하는) 복소수 대합 대수 준동형 즉, 복소수 선형 변환이자 준동형이며, 대합 연산을 보존한다 (). 그렇다면, 작용소 노름이 이하인 유계 작용소이다. '''증명:''' 임의의 대하여, C* 항등식에 따라 이다. 음이 아닌 원소이므로, 노름은 스펙트럼 반지름과 같다. 가역원의 상은 가역원이므로 다음이 성립한다. 여기서 스펙트럼이다. 특히 이다. 이에 따라 이며, 이다. 또한, 만약 추가로 단사 함수라면, 이는 등거리 변환이다. 즉, 이다. 이에 따라, C* 대수와 복소수 대합 대수 준동형들은 구체적 범주 이룬다. === 스펙트럼 === C* 대수의 원소의 스펙트럼은 항상 공집합이 아니다. 또한, 임의의 C* 대수 원소 대하여 이다. C* 대수의 자기 수반 원소의 스펙트럼은 실수의 부분 집합이다. C* 대수의 유니터리 원소의 스펙트럼은 부분 집합이다. == 분류 == 모든 C* 대수는 겔판트-나이마르크 정리에 의하여 어떤 복소수 힐베르트 공간 속의 유계 작용소 C* 대수의 부분 대수로 나타내어진다. 특히, C* 대수를 포함하는 최소의 노이만 대수를 정의할 있으며, 원래 C* 대수는 노이만 대수의 강한 연산자 위상에서의 조밀 집합을 이룬다. 노이만 대수의 경우 자세한 구조 이론이 알려져 있다. == == === 자명한 C* 대수 === 한원소 집합 위의 유일한 구조인 자명환은 C* 대수를 이룬다. 이는 유일한 0차원 C* 대수이다. === 유한 차원 C* 대수 === 임의의 유한 차원 C* 대수 다음과 같은 꼴이다. 여기서 작용소 노름이 부여된, 복소수 정사각 행렬들의 C* 대수이다. === 가환 C* 대수 === (항등원을 갖는) 가환 C* 대수 '''스펙트럼'''()은 다음과 같은 집합이다. (이 개념은 C* 대수의 원소의 스펙트럼의 개념과 관계가 없다.) 즉, *-준동형들의 집합이다. *-준동형의 작용소 노름은 이하이므로, 이다. (여기서 우변은 연속 쌍대 공간 닫힌 단위 공이다.) 우변에 약한-* 위상을 주고, 좌변을 부분 공간으로 간주하면, 바나흐-앨러오글루 정리에 의하여 콤팩트 하우스도르프 공간을 이룬다. 연산은 함자 정의한다. 여기서 정의역은 (항등원을 갖는) 가환 C* 대수와, *-준동형들의 구체적 범주이다. 공역은 콤팩트 하우스도르프 공간과 연속 함수들의 구체적 범주의 반대 범주이다. 반대로, 다음과 같은 함자 정의할 있다. 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 대하여, 복소수 연속 함수들의 공간이다. 위에 ∞-르베그 노름 점별 덧셈 곱셈 복소수 켤레를 부여하면, 이는 가환 C* 대수를 이룬다. 임의의 콤팩트 하우스도르프 공간 사이의 연속 함수 대한 상은 다음과 같다. *: *: '''겔판트 표현 )에 따르면, 함자는 사실 범주 사이의 범주의 동치를 정의한다. 특히, 모든 (항등원을 갖는) 가환 C* 대수 대하여 이며, 모든 (항등원을 갖는) 가환 C* 대수 위와 같은 꼴로 (유일하게) 표현된다. === 유계 작용소 대수 === 임의의 복소수 힐베르트 공간 위의 모든 유계 작용소들의 집합 함수의 합성을 곱셈으로 삼을 C* 대수를 이룬다. (이는 특히 I종 인자 대수이다.) 특히, 만약 유한 차원이라면, 이는 복소수 행렬들로 구성된다. === 콤팩트 작용소 대수 === 임의의 복소수 힐베르트 공간 위의 모든 콤팩트 작용소들의 집합 닫힌 양쪽 아이디얼을 이루며, 이에 대한 몫환 C* 대수를 이룬다. 이를 '''콜킨 대수'''()라고 한다. == 응용 == C* 대수의 이론은 양자장론을 수학적으로 엄밀하게 정의하려는 시도에 사용된다. 겔판트 표현에 의하여, 가환 C* 대수는 콤팩트 하우스도르프 공간에 대응되며, 만약 항등원을 가져야 하는 조건을 생략한다면, 이는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간에 대응된다. 이에 대하여, 일반적 (비가환일 있는) C* 대수 역시 일종의 ‘공간’으로 여길 있다. 이러한 수학적 분야를 비가환 기하학이라고 한다. == 참고 문헌 == == 외부 링크 == 분류:연산자 이론 분류:대수