환론에서, '''국소화'''(局所化, )는 환의 일부 원소에 역원을 추가하여 가역원으로 만드는 방법이다. 대수기하학에서 과정은 스펙트럼 함자를 통해 대수다양체 또는 스킴의 부분으로 국한시키는 기하학적 과정으로 해석된다. 가환환의 경우에는 국소화는 항상 작동하지만, 비가환환의 경우 국소화가 작동하려면 '''오레 조건'''()이라고 불리는 조건이 성립해야 한다. == 가환환의 국소화 == === 보편 성질 === 가환환이고, 곱셈에 대한 모노이드라고 하자. 그렇다면, 대한 '''국소화''' 다음 보편 성질을 만족시키는 가환환 준동형 으로 구성된다. 임의의 대하여, 가역원이다. (1)을 만족시키는 임의의 가환환 준동형 대하여, 되는 준동형 유일하게 존재한다. 국소화는 항상 존재하며, 보편 성질의 성질에 따라서 유일한 동형 아래 유일하다. 보편 성질은 곱셈 모노이드가 아닌 경우에도 정의할 있다. 그러나 가역원의 곱은 항상 가역원이 되어야 하므로 일반성을 잃지 않고 곱셈 모노이드로 놓을 있다. 즉, 만약 곱셈 모노이드가 아니고, 이를 포함하는 가장 작은 곱셈 모노이드라면, 항상 된다. === 구성 === 보편 성질을 만족시키는 국소화를 구체적으로 다음과 같이 구성할 있다. 위에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자. 만약 이고 있다면 으로 정의한다. 그렇다면 놓자. 이는 대략 같은 비로 해석하는 것이다. 앞으로 쓰자. 위에 다음과 같은 가환환 구조를 정의한다. :. 또한, 가는 다음과 같은 준동형이 존재한다. :. 이는 일반적으로 단사 함수도, 전사 함수도 아니다. == 비가환환의 국소화 == 가환환이 아닐 있는 임의의 부분 모노이드 대하여, 국소화 생각할 있다. 이는 환의 범주 에서 마찬가지 보편 성질을 만족시키는 환이다. 비가환환의 국소화는 항상 존재하지만, 경우 일반적으로 다음 성질들이 모두 성립하지 않는다. (A) 모든 원소 대하여, 되는 존재한다. (A′) 모든 원소 대하여, 되는 존재한다. (B) 핵은 이다. (B′) 핵은 이다. (C) 이며 라면 이다. 때문에 일반적인 비가환 국소화는 "국소화" 대신 '''보편 -가역화 환'''(普遍-可逆化環, )이라고 불리기도 한다. 비가환환의 국소화의 존재는 범주론적으로 다음과 같이 보일 있다. 표현 가능 함자 속의, 가역원으로 대응시키는 준동형으로 구성된 부분 함자 생각하자. 이는 프레이드 수반 함자 정리에 따라서 왼쪽 수반 함자 가지며, 따라서 표현 가능 함자이다. 즉, 생각할 있으며, 국소화 이룬다. 만약 가환환일 경우, 비가환환으로서의 국소화 가환환이며, 이는 가환환으로서의 국소화와 일치한다. (이 경우, 비가환환으로서의 국소화는 오레 국소화이며, 경우 오레 국소화가 가환환임을 쉽게 있다.) === 구성 === 비가환환의 국소화는 다음과 같이 구체적으로 구성할 있다. 표시 고르자. 즉, 생성원 관계 나타내자. 그렇다면, 대하여 생성원 추가하고, 관계 추가하자. 그렇다면 국소화의 보편 성질을 만족시킨다. 구성에서, 모든 원소는 다음과 같은 꼴로 나타내어진다. === 오레 국소화 === 비가환환 국소화는 항상 존재하지만, 일반적으로 구체적으로 다루기 어렵다. 그러나 만약 부분 모노이드 '''오레 조건'''()이라는 조건을 만족시킨다면, 국소화를 구체적으로 정의할 있다. 경우 존재하는 '''오레 국소화'''는 성질 (A), (B), (C) (또는 (A′), (B′), (C))를 만족시킨다. 구체적으로, 부분 모노이드 다음 조건을 만족시킨다면, '''왼쪽 오레 조건'''()이 성립한다고 한다. 마찬가지로, 부분 모노이드 다음 조건을 만족시킨다면, '''오른쪽 오레 조건'''()이 성립한다고 한다. 왼쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 곱집합 위에 다음과 같은 동치 관계를 주자. 그렇다면 집합으로서 몫집합 이다. 동치류를 표기하자. 위의 곱셈은 다음과 같다. 여기서 왼쪽 오레 조건에 의하여 존재하며, 이는 :"" 생각할 있다. (물론 이는 아직 엄밀히 정의되지 않는다.) 마찬가지로, 위의 덧셈은 다음과 같다. 여기서 왼쪽 오레 조건에 의하여 존재하며, 이는 :"" 생각할 있다. 덧셈의 정의는 :"" 생각할 있다. 마찬가지로, 오른쪽 오레 조건의 경우에도 마찬가지로 국소화 구성할 있다. 이렇게 구성한 국소화를 '''오레 국소화'''()라고 한다. 왼쪽·오른쪽 오레 국소화는 (보편 성질에 따른) 국소화의 특수한 경우이다. 가환환의 경우 왼쪽·오른쪽 오레 조건이 자명하게 성립하며, 경우 오레 국소화는 가환환으로서의 국소화와 일치한다. == 가군의 국소화 == 곱셈에 대한 부분 모노이드 위의 왼쪽 가군 주어졌다고 하자. 그렇다면, 에서의 '''국소화''' 위의 왼쪽 가군이며, 다음과 같다. 또한, 표준적인 -왼쪽 가군 사상 존재한다. 이는 함자 정의하며, 준동형 의한 망각 함자 왼쪽 수반 함자이다. 즉, 이는 다음과 같은 수반 함자 보편 성질을 만족시킨다. 임의의 -왼쪽 가군의 준동형 대하여, 만약 임의의 대하여 전단사 함수라면, -왼쪽 가군 준동형 존재한다. === 구성 === 가환환일 때, 가군의 국소화 다음과 같이 매우 구체적으로 구성할 있다. 위에 다음과 같은 동치 관계를 부여하자. 집합으로서 동치 관계에 대한 몫집합이다. 동치류를 표기하자. 그렇다면, 위의 덧셈과 스칼라 곱셈은 다음과 같다. == 성질 == === 아이디얼 === 가환환 곱셈 모노이드 대하여, 국소화 아이디얼들은 아이디얼 가운데 서로소인 것들과 일대일 대응한다. 즉, 다음과 같은 전단사 함수가 존재한다. 여기서 표준적으로 존재하는 준동형이다. 특히, 아이디얼 대하여, 국소환이며, 유일한 극대 아이디얼은 대응한다. === 국소화의 단사성과 전사성 === 가환환 곱셈 모노이드 대하여, 다음 조건이 서로 동치이다. 표준적 준동형 단사 함수이다. 영인자를 포함하지 않는다. (0은 정의에 따라 영인자이다.) 그러나 이는 비가환한에 대하여 일반적으로 성립하지 않는다. 뇌터 가환환 위의 단사 가군 임의의 원소 대하여, 전사 함수이다. === 오레 조건의 필요충분성 === 곱셈 모노이드 대하여 다음 조건이 서로 동치이다. 왼쪽 오레 조건을 만족시킨다. 다음 조건들을 만족시키는 준동형 존재한다. ** ** ** 또한, 이러한 조건을 만족시키는 유일한 동형 아래 유일하며, (오레) 국소화와 일치한다. 마찬가지로, 곱셈 모노이드 대하여 다음 조건이 서로 동치이다. 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다. 다음 조건들을 만족시키는 준동형 존재한다. ** ** ** 특히, 만약 가환환이라면 왼쪽·오른쪽 오레 조건이 자명하게 성립하므로 조건들이 성립한다. == == (비가환일 있는) 곱셈 모노이드 주어졌다고 하자. 이라고 하자. 그렇다면 항상 (자명환)이다. 만약 가환환이라면, 또한 성립한다. 이라고 하자. 그렇다면 항상 이다. === 분수체 === (곱셈 항등원을 갖는) 대하여, 정칙원(오른쪽 영인자 또는 왼쪽 영인자가 아닌 원소)들의 집합이라고 하자. 또한, 왼쪽 오레 조건 또는 오른쪽 오레 조건을 만족시킨다고 하자. 그렇다면, 국소화 '''전분수환''' 라고 한다. 특히, 만약 (가환) 정역이라면 이며, 체를 이룬다. 경우, '''분수체'''라고 한다. 보다 일반적으로, 정역의 0을 포함하지 않는 부분 모노이드 주어졌을 때, 경우, 국소화 준동형 다음과 같이 일부분을 이룬다. 이에 따라 항상 분수체 부분환을 이룬다. === 정수환 === 정수환 아이디얼은 소수의 아이디얼 또는 아이디얼 이다. 정수환 아이디얼에서 국소화하면 다음과 같다. 즉, 분모가 배수가 아닌 유리수들의 환이다. 이들은 정역의 아이디얼에서의 국소화이므로 국소환이다. 특히, 이산 값매김환이며, 체이다. 정수환의 원소 에서 국소화하면 다음과 같다. (자명환) 즉, 분모가 거듭제곱인 유리수들의 환이다. (이는 흔히 표기되는 p진 정수의 환과 다른 환이다. p진 정수는 정수환을 국소화 대신 완비화하여 얻는다.) === 정수환의 몫환 === 정수환의 몫환 생각해 보자. 소수의 거듭제곱이라면 이거나 이다. 만약 이고, 1보다 서로소 자연수라면 중국인의 나머지 정리에 의하여 이다. 그렇다면 가능한데, 경우 이다. === 비가환환의 자명한 국소화 === 정수 대하여, 행렬환 생각하자. 에서 성분 가지며, 나머지 성분이 모두 행렬이라고 하자. 그렇다면, 때, 국소화 자명환이다. == 응용 == 대수기하학에서는 크게 종류의 국소화가 사용된다. 원소 주어진 경우, 대한 국소화이다. 기하학적으로, 이는 함수환을 0이 아닌 점들로 구성된 자리스키 열린집합 국한한 것이다. ** 예를 들어, 1차원 아핀 공간의 함수환 경우 로랑 다항식환이다. 이는 원점을 제거한 1차원 아핀 공간 위에서 정의된 유리 함수들의 체이므로, 으로 국한된 것을 있다. 아이디얼 주어진 경우, 대한 국소화이다. 기하학적으로, 이는 함수환을 자리스키 폐포 근방에 국한한 것이다. ** 예를 들어, 1차원 아핀 공간의 함수환 극대 아이디얼 에서 국소화하면 유리 함수체 얻는다. 이는 근방에서 정의되는 유리 함수들의 체이므로, 근방으로 국한된 것을 있다. == 역사 == 1927년에 하인리히 그렐(, 1903~1974)이 정역의 분수체를 도입하였다. 에미 뇌터는 오레 조건의 기본 개념을 이해하고 있었지만, 이에 대하여 출판하지 않았다. 오레 국소화는 외위스테인 오레(1899~1968)가 1937년에 도입하였다. (람짓윈은 사실과 관련하여 "NOETHER"(뇌터)가 "THEN ORE"(영어로, "그 오레")의 어구전철이 된다는 사실을 지적하였다.) 임의의 가환환의 국소화는 클로드 슈발레와 알렉산드르 일라리오노비치 우스코프()가 도입하였다. == 참고 문헌 == ** == 같이 보기 == 국소환 값매김환 == 외부 링크 == 분류:가환대수학 분류:환론 분류:분수