수학에서, '''다각수'''(多角數, )는 삼각수와 정사각수를 임의의 정다각형에까지 일반화하여 얻는 평면 도형수이다. 기하학적으로, 다각수는 정다각형에 배열된 공의 수를 나타낸다. 주어진 다각수 바로 다음에 오는 다각수를 얻으려면 다각형의 이웃하는 변의 길이를 늘려 원래와 닮은 새로운 다각형으로 확장하면 된다. 경우 늘리려는 변에 각각 개의 공이 추가되며, 새로운 다각형의 남은 변을 만들기 위한 공들 역시 추가된다. 이렇게 추가되는 부분을 다각수의 그노몬()이라고 부른다. 대수학적으로, 다각수는 1에서 시작하는 자연수 공차의 등차 수열의 부분합을 나타내며, 그노몬은 등차 수열의 항에 대응한다. == 정의 == 자연수 주어졌을 때, 번째 '''각수'''(角數, 다음과 같이 정의된다. 특히, '''삼각수'''라고 한다. 1~5번째 삼각수는 다음과 같다 (빨간색 부분은 그노몬을 나타낸다). *:600픽셀 '''정사각수'''라고 한다. 1~5번째 사각수는 다음과 같다. *:600픽셀 '''오각수'''라고 한다. 1~5번째 오각수는 다음과 같다. *:600픽셀 '''육각수'''라고 한다. 1~5번째 육각수는 다음과 같다. *:600픽셀 == 성질 == === 점화식 === 다음과 같은 점화식이 성립한다. === 생성 함수 === 다각수의 생성 함수는 다음과 같다. === 페르마 다각수 정리 === 임의의 자연수는 많아도 개의 각수의 합으로 나타낼 있다. 즉, 임의의 자연수 대하여, 다음을 만족시키는 자연수 존재한다. 이를 페르마 다각수 정리라고 한다. (만약 대하여 개의 각수로 나타내려면 취하면 된다.) == == 주어진 자연수 대하여, 각수는 다음과 같다. 명칭 처음 20항 () OEIS 삼각수 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, ... 정사각수 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, ... 오각수 0, 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, ... 육각수 0, 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, ... 칠각수 0, 1, 7, 18, 34, 55, 81, 112, 148, 189, 235, 286, 342, 403, 469, 540, 616, 697, 783, 874, ... 팔각수 0, 1, 8, 21, 40, 65, 96, 133, 176, 225, 280, 341, 408, 481, 560, 645, 736, 833, 936, 1045, 구각수(九角數, 0, 1, 9, 24, 46, 75, 111, 154, 204, 261, 325, 396, 474, 559, 651, 750, 856, 969, 1089, 1216, ... 10 십각수(十角數, 0, 1, 10, 27, 52, 85, 126, 175, 232, 297, 370, 451, 540, 637, 742, 855, 976, 1105, 1242, 1387, ... 11 십일각수(十一角數, 0, 1, 11, 30, 58, 95, 141, 196, 260, 333, 415, 506, 606, 715, 833, 960, 1096, 1241, 1395, 1558, ... 12 십이각수(十二角數, 0, 1, 12, 33, 64, 105, 156, 217, 288, 369, 460, 561, 672, 793, 924, 1065, 1216, 1377, 1548, 1729, ... 13 십삼각수(十三角數, 0, 1, 13, 36, 70, 115, 171, 238, 316, 405, 505, 616, 738, 871, 1015, 1170, 1336, 1513, 1701, 1900, ... 14 십사각수(十四角數, 0, 1, 14, 39, 76, 125, 186, 259, 344, 441, 550, 671, 804, 949, 1106, 1275, 1456, 1649, 1854, 2071, ... 15 십오각수(十五角數, 0, 1, 15, 42, 82, 135, 201, 280, 372, 477, 595, 726, 870, 1027, 1197, 1380, 1576, 1785, 2007, 2242, ... 16 십육각수(十六角數, 0, 1, 16, 45, 88, 145, 216, 301, 400, 513, 640, 781, 936, 1105, 1288, 1485, 1696, 1921, 2160, 2413, ... 17 십칠각수(十七角數, 0, 1, 17, 48, 94, 155, 231, 322, 428, 549, 685, 836, 1002, 1183, 1379, 1590, 1816, 2057, 2313, 2584, ... 18 십팔각수(十八角數, 0, 1, 18, 51, 100, 165, 246, 343, 456, 585, 730, 891, 1068, 1261, 1470, 1695, 1936, 2193, 2466, 2755, ... 19 십구각수(十九角數, 0, 1, 19, 54, 106, 175, 261, 364, 484, 621, 775, 946, 1134, 1339, 1561, 1800, 2056, 2329, 2619, 2926, ... 20 이십각수(二十角數, 0, 1, 20, 57, 112, 185, 276, 385, 512, 657, 820, 1001, 1200, 1417, 1652, 1905, 2176, 2465, 2772, 3097, ... 21 이십일각수(二十一角數, 0, 1, 21, 60, 118, 195, 291, 406, 540, 693, 865, 1056, 1266, 1495, 1743, 2010, 2296, 2601, 2925, 3268, ... 22 이십이각수(二十二角數, 0, 1, 22, 63, 124, 205, 306, 427, 568, 729, 910, 1111, 1332, 1573, 1834, 2115, 2416, 2737, 3078, 3439, ... 23 이십삼각수(二十三角數, 0, 1, 23, 66, 130, 215, 321, 448, 596, 765, 955, 1166, 1398, 1651, 1925, 2220, 2536, 2873, 3231, 3610, ... 24 이십사각수(二十四角數, 0, 1, 24, 69, 136, 225, 336, 469, 624, 801, 1000, 1221, 1464, 1729, 2016, 2325, 2656, 3009, 3384, 3781, ... 25 이십오각수(二十五角數, 0, 1, 25, 72, 142, 235, 351, 490, 652, 837, 1045, 1276, 1530, 1807, 2107, 2430, 2776, 3145, 3537, 3952, ... 26 이십육각수(二十六角數, 0, 1, 26, 75, 148, 245, 366, 511, 680, 873, 1090, 1331, 1596, 1885, 2198, 2535, 2896, 3281, 3690, 4123, ... 27 이십칠각수(二十七角數, 0, 1, 27, 78, 154, 255, 381, 532, 708, 909, 1135, 1386, 1662, 1963, 2289, 2640, 3016, 3417, 3843, 4294, ... 28 이십팔각수(二十八角數, 0, 1, 28, 81, 160, 265, 396, 553, 736, 945, 1180, 1441, 1728, 2041, 2380, 2745, 3136, 3553, 3996, 4465, ... 29 이십구각수(二十九角數, 0, 1, 29, 84, 166, 275, 411, 574, 764, 981, 1225, 1496, 1794, 2119, 2471, 2850, 3256, 3689, 4149, 4636, ... 30 삼십각수(三十角數, 0, 1, 30, 87, 172, 285, 426, 595, 792, 1017, 1270, 1551, 1860, 2197, 2562, 2955, 3376, 3825, 4302, 4807, ... == 역사 == 일반적인 다각수는 힙시클레스()가 기원전 2세기에 처음 정의하였다. == 외부 링크 == 분류:도형수 분류:다각형 분류:유희 수학