미분기하학에서, '''양-밀스 )는 4차원 매끄러운 다양체 위의 주다발의 주접속 가운데, 주곡률의 호지 쌍대가 스스로의 −1배와 같은 것이다. 양자역학에서, 이는 양-밀스 이론의 특별한 (고전적) 해에 해당하며, 순간자로 해석될 있다. 양-밀스 순간자의 모듈라이 공간으로부터 도널드슨 불변량을 정의할 있다. == 정의 == === (반) 자기 쌍대 형식 === 다음이 주어졌다고 하자. 차원 유향 콤팩트 리만 다양체 위의 임의의 매끄러운 벡터 다발 위의 양의 정부호 내적 그렇다면, 벡터 미분 형식의 공간 정의할 있으며, 호지 쌍대 정의할 있다. 물론, 미분 형식에 대하여 이다. 특히, 가운데 차수 (n차) 미분 형식에 대하여, 호지 쌍대는 자기 사상을 이루며, 경우 *^2 (-)^{n^2}이다. 만약 짝수일 경우, 고윳값은 ±1이 된다. 이에 따라, 가운데 차수 미분 형식의 공간을 호지 쌍대의 고유 공간에 따라 다음과 같이 분해할 있다. 여기서 원소는 '''자기 쌍대 미분 형식'''(), 원소는 '''반 자기 쌍대 미분 형식'''()라고 한다. 이에 대한 사영 사상을 라고 표기하자. (만약 홀수라면, 고윳값은 된다. 따라서 복소수 계수에서 유사한 분해를 가할 있다.) 다양체 방향을 뒤집으면, 자기 쌍대 미분 형식은 자기 쌍대 미분 형식이 되며, 역도 마찬가지다. 즉, 자기 쌍대 자기 쌍대의 선택은 임의적이다. === 순간자수 === 다음이 주어졌다고 하자. 4차원 유향 콤팩트 매끄러운 다양체 콤팩트 위의 양의 정부호 2차 불변 다항식 -매끄러운 주다발 그렇다면, 천-베유 준동형 정의할 있으며, 천-베유 준동형 아래의 정의할 있다. 이는 특성류로 정의되는 특성수이며, 모든 가능한 주다발들에 대하여 값들은 어떤 대하여 꼴이다. 경우, 주다발 '''순간자수'''()라고 한다. (이는 아래 부호의 모호성을 가진다.) 만약 (4차원 초구)이며, 콤팩트 단순 군이라면, 위의 -주다발은 순간자수만으로 완전히 분류된다. '''증명 개략''': 위의 주다발이 주어졌다고 하자. 위에 임의의 주접속 부여하자. 또한, 어떤 임의의 \infty \in \mathbb S^4을 무한대로 여겨, 여길 있다. 4차원 유클리드 공간 축약 가능 공간이므로, 위의 G-주다발은 하나 밖에 없으며, 이를 자명한 주다발로 여길 있다. 위의 주접속으로 여길 있다. 4차원 유클리드 공간 무한대는 이므로, 무한대에서 게이지 퍼텐셜은 연속 함수 나타낸다. 서로 호모토픽한 게이지 퍼텐셜들은 같은 위의 서로 동형인 주다발에 정의될 있다. 따라서, 주다발들은 호모토피류, 3차 호모토피 군에 의하여 분류된다. 그런데 콤팩트 단순 군이라면 이는 이며, 이는 순간자수에 해당한다. === (반) 자기 쌍대 주접속 === 다음이 주어졌다고 하자. 4차원 유향 콤팩트 리만 다양체 콤팩트 위의 양의 정부호 2차 불변 다항식 -매끄러운 주다발 그렇다면, 주접속들을 생각하자. 연관 벡터 다발 정의하면, 주접속 모듈라이 공간은 대한 아핀 공간이다. (는 딸림표현이다.) 주접속 로부터, 주곡률 정의할 있다. 양의 정부호 2차 불변 다항식이므로, 이는 위의 양의 정부호 내적을 정의한다. 따라서 주곡률의 호지 쌍대를 정의할 있다. 주접속 가운데, 주곡률이 자기 쌍대인 것을 '''반 자기 쌍대 주접속'''() 또는 '''양-밀스 순간자'''()라고 한다. 경우, 게이지 변환에 대하여 서로 동치인 주접속은 같은 순간자로 간주한다. 경우 게이지 변환군은 이다. 대신, 임의의 밑점을 골라 점을 가진 공간 만들어, 밑점에서 자명한 게이지 변환들의 부분군 생각할 있다. 이는 짧은 완전열 이룬다. 대한 자기 쌍대 주접속의 동치류를 '''틀 갖춘 순간자'''()이라고 한다. 순간자의 모듈라이 공간을 갖춘 순간자의 모듈라이 공간을 이라고 하면, 이는 -주다발 이룬다. == 성질 == === 순간자 모듈라이 공간의 국소 모형 === 자기 쌍대 주접속의 모듈라이 공간 접공간은 다음과 같이 묘사할 있다. 우선, 자기 쌍대 주접속 A\in\mathcal 주어졌을 때, 다음과 같은 짧은 완전열을 정의할 있으며, 이를 '''순간자 변형 )라고 한다. '''완전열 조건의 증명''': 임의의 주어졌을 때, 이다. 여기서 A의 주곡률이다. 자기 쌍대 2차 미분 형식이라고 가정하였으므로, 이다. 여기서 자기 쌍대 미분 형식으로 구성된, 부분 실수 벡터 공간이다. 자기 쌍대 2차 미분 형식에 대한 사영이다. 대한 공변 미분이다. 순간자 변형 복합체의 (가운데) 코호몰로지 의, 에서의 접공간과 표준적으로 동형이다. 해석은 다음과 같다. 임의의 대하여, 조건은 자기 쌍대 조건이 성립해야 함을 뜻한다. 조건은 게이지 변환군의 작용에 대한 몫을 취한 것이다. 순간자 변형 복합체의 오일러 지표 모듈라이 공간의 '''가상 차원'''(假想次元, )이라고 한다. 이는 아티야-싱어 지표 정리를 통해 계산될 있으며, 모듈라이 공간의 실제 차원의 하계를 이룬다. 많은 주접속의 경우, 이는 실제 차원과 일치한다. 주다발 대하여, 갖춘 순간자 모듈라이 공간의 가상 차원은 다음과 같다. 여기서 순간자수이며, 이중 콕서터 수이다. 즉, 이는 갖춘 순간자 모듈라이 공간의 하계이다. 틀이 없는 순간자 모듈라이 공간의 차원은 물론 이보다 만큼 작다. === 순간자 모듈라이 공간 === 양-밀스 순간자의 모듈라이 공간 생각하자. 위에는 리만 계량 위의 2차 불변 다항식으로 유도되는 리만 계량이 존재한다. 만약 4차원 유클리드 공간의 콤팩트화라면, 이에 따라 달린 순간자 모듈라이 공간 (특이점을 제외하면 국소적으로) 초켈러 다양체를 이룬다. 특히, 가상 차원은 항상 4의 배수이다. 4차원 유클리드 공간(의 콤팩트화) 위에서, 게이지 군이 경우, 1차 2차 베티 수가 0이므로, 순간자 모듈라이 공간의 가상 차원은 실제 차원과 일치하며, 다음과 같다. 모든 순간자들을 평행 이동시킬 있고, 방향으로는 모듈라이 공간이 평탄하다. 즉, 모듈라이 공간 등거리 대칭을 갖는다. 이에 대한 몫을 취하면, 차원의 초켈러 다양체를 얻는다. === ADHM 작도 === 4차원 유클리드 공간의 콤팩트화 (즉, 4차원 초구) 위의 양-밀스 순간자 모듈라이 공간은 게이지 이론의 힉스 가지()로 나타낼 있다. 이를 통해 순간자를 힉스 가지의 모듈라이로 작도할 있다. 이를 '''ADHM 작도'''라고 한다. 마이클 아티야, 블라디미르 드린펠트, 나이절 히친, 유리 마닌이 1978년에 3쪽밖에 되지 않는 유명한 논문에 발표하였다. === 보고몰니-프라사드-소머필드 부등식 === (반) 자기 쌍대 주접속은 부등식'''(, BPS 부등식)을 충족시킨다. 위의 부피 형식 리만 계량에 의하여 주어지며, 또한 위에 양의 정부호 쌍선형 형식을 이루는 2차 불변 다항식 주어졌다고 하자. (반단순 대수의 경우, 이는 킬링 형식에 비례한다.) 경우, 위에 자연스러운 양의 정부호 내적 주어진다. 내적 아래, 자기 쌍대 2차 미분 형식의 공간과 자기 쌍대 2차 미분 형식의 공간은 서로 수직이다. 이에 대한 주곡률의 노름 주접속의 '''양-밀스 작용'''()이라고 하며, 이는 양-밀스 이론의 작용이다. 임의의 주곡률 (반) 자기 쌍대 성분을 이라고 하자 (, ). 그렇다면 이다. 우변은 (어떤 충실한 표현에 대한 연관 벡터 다발의) 2차 특성류(의 절댓값)에 비례한다. 즉, 양-밀스 작용은 특성류의 절댓값에 의하여 하계를 갖는다. 이를 주접속의 부등식'''이라고 한다. (반) 자기 쌍대 접속의 경우, 또는 0이므로, 보고몰니-프라사드-소머필드 부등식 부등식이 포화된다. 즉, (반) 자기 쌍대 접속은 양-밀스 작용을 (국소적으로) 최소화시킨다. == == === 유클리드 공간 === 4차원 유클리드 공간 위의, 게이지 양-밀스 순간자를 생각하자. 콤팩트화 자명한 위상을 가지므로, 위의 순간자 모듈라이 공간의 가상 차원은 실제 차원과 같다. 예를 들어, 경우 이중 콕서터 수는 이며, 달린 순간자 모듈라이 공간의 차원은 이다. 하나의 순간자()인 경우, 이는 다음과 같다. 4차원 공간 속의 점입자이므로, 4개의 평행 이동() 자유도가 있다. 4차원 순수 양-밀스 이론(또는 𝒩=4 초대칭 양-밀스 이론)은 등각 장론이므로, 순간자의 크기를 마음대로 놓을 있다. 이에 따라 1개의 확대 변환() 자유도가 있다. 이므로, 원점에서 무한히 떨어진 에서 순간자의 게이지 퍼텐셜은 SU(2)를 따라 감기게 된다. SU(2)는 3차원이므로, 무한대에서 상수 게이지 변환 3개가 있다. 에서 SU(2) 부분군을 골라야 하는데, 모듈라이 공간은 잉여류 공간 :: :이고, 차원은 :: :이다. 따라서, 순간자수 1의 모듈라이 공간의 가상 차원은 이다. 만약 순간자수가 라면, 순간자들이 멀리 떨어져 있을 경우 차원이 되며, 모듈라이 공간의 가상 차원은 일정하므로 이는 순간자들이 서로 가까이 있을 때에도 성립한다. 하나의 순간자의 모듈라이 공간은 이다. 경우, 오비폴드의 특이점은 작은 순간자 극한에 해당한다. === 칼로론 === 위의 양-밀스 순간자는 '''칼로론'''이라고 하며, 알려져 있다. === 초켈러 다양체 === 점근 국소 유클리드 공간과 토브-너트 공간의 경우에도 양-밀스 순간자가 알려져 있다. 파일:Taub–NUT instanton bow 공간 위의 SU(2) 순간자 모듈라이 공간을 나타내는 도형 토브-너트 공간 위의 (무한대에서 주어진 모노드로미 행렬 갖는) 개의 SU(2) 양-밀스 순간자의 모듈라이 공간은 초켈러 축소 주어진다. 이는 도형()으로 유도할 있다. 따라서, 모듈라이 공간의 실수 차원은 이다. == 역사 == 양-밀스 순간자의 수학적 중요성은 사이먼 도널드슨이 1983년에 지적하였다. == 참고 문헌 == == 외부 링크 == 분류:미분기하학 분류:게이지 이론