이론물리학에서, '''11차원 초중력'''(十一次元超重力, )은 (10,1)차원에 정의되는 초중력 이론이다. 이상의 차원에서는 초대칭이 존재할 없으며, 11차원 초중력은 M이론의 무질량 입자 유효 이론이다. == 정의 == 11차원은 초대칭이 존재할 있는 (로런츠 계량 부호수) 최다(最多) 차원이다. 이는 12차원 이상인 경우에는 스핀이 2를 초과하는 입자들이 존재하게 되어, 상호작용하는 양자장론을 정의할 없기 때문이다. 11차원에서의 초대칭 이론은 (3차 이상 도함수항을 제외하면) 유일하며, 이론을 '''11차원 초중력'''이라고 한다. == 성질 == === 대칭 === 이론은 32개의 초전하()를 가지며, 이는 초대칭에 해당한다. 초대칭은 초대수 의하여 주어진다. 가환 성분, R대칭군은 대수 이다. 11차원에서, 마요라나 스피너는 32개의 실수 성분을 갖는데, R대칭은 위에 회전군으로 작용한다. 특히, 경우 그래비티노 초대칭 변환은 꼴이다. 여기서 스핀 접속을 포함하는, 스피너 공변 미분이다. 일종의 킬링 스피너 방정식에 해당하며, 조건을 만족시키는 스피너장의 수는 초중력 배경이 보존하는 초대칭의 양이다. === === 11차원 초중력은 중력장 마요라나 그래비티노 3차 미분형식 게이지장 포함한다. 이들은 다음과 같다. 이름 기호 푸앵카레 대칭 표현 게이지 대칭 중력장 대칭 텐서 미분 동형 그래비티노 벡터-마요라나 스피너 국소 초대칭 변환 게이지장 3차 미분 형식 === 작용 === 11차원 초중력의 작용은 다음과 같다. 여기서 11차원 굽은 공간 지표이다. 필바인(11차원 민코프스키 공간) 지표이다. 리치 스칼라이다. 필바인이며, 11차원 계량 텐서이다. ** 부피 형식이다. ** 필바인으로 정의되는 스핀 접속이다. 4차 미분 형식 장세기이다. (천-사이먼스 꼴의 항을 적기 위한) 11차원 레비치비타 기호이다. 중력 상수의 8π배이다. === L∞-대수를 통한 구성 === 다음과 같은 슈발레-에일렌베르크 대수를 갖는, 등급의 (즉, 초벡터 공간 범주에서 정의된) L∞-대수를 생각하자. 이름 기호 등급 미분 필바인 (1,+) 스핀 접속 (1,+) 그래비티노 (1,−) 3차 미분 형식 (전기) 게이지 (3,+) 6차 미분 형식 (자기) 게이지 (6,+) L∞-대수 '''초중력 L∞-대수'''라고 한다. 가운데, 생략하면, 푸앵카레 대수 얻는다. 이제, 베유 대수() 정의할 있다. 이는 -등급 미분 등급 대수이다. 시공간이 매끄러운 다양체 이라고 때, 위의 초중력 장들은 다음과 같다. 이제, 베유 대수에서 다음과 같은 장세기들을 정의할 있다. (비틀림 텐서) (리치 곡률 텐서의 일반화) 11차원 초중력의 (고전적) 장방정식들이 만족시켜질 필요 충분 조건은 대상들이 생성되는 아이디얼에 속하며, 포함하는 항들의 (미분 형식) 계수는 만을 포함하는 항의 계수의 (쐐기곱에 대한) 다항식이어야 한다. 즉, 예를 들어, C_3의 경우, 다음과 같은 4차 미분 형식 존재하여야 한다. 이러한 꼴의 조건을 '''리오노미'''()라고 한다. === 차원 축소 === 11차원 초중력을 낮은 차원으로 차원 축소를 가하면, 다음과 같은 이론들을 얻는다. 차원 이론 11 11차원 초중력 10 ⅡA형 () 초중력 초중력 초중력 초중력 초중력 초중력 초중력 === E₇과의 관계 === 11차원 초중력을 위에 정의하자 (차원 축소). 그렇다면, 초중력의 보손 (계량 텐서 게이지 )은 다음과 같이 분해된다. 이들의 성분의 수는 각각 다음과 같다. (10,1)차원 (3,1)+7차원 (3,1)차원 (유사)스칼라장의 (3,1)차원 벡터장의 (3,1)차원 텐서장의 28 21 35 70 28 이제, 장들 가운데, 38+35개의 스칼라장 의하여 정의되는 7개의 스칼라장 생각하자. 이들은 70개의 스칼라장을 이루며, 이는 사실 동차 공간 좌표를 이룬다. 여기서 E₇의 분할 형태이며, SU(8)은 특수 유니터리 군이다. ==== 스칼라장과 유사스칼라장 ==== 28개의 스칼라장 쌍대화하여 얻는 7개의 스칼라장 생각하자. 이제, 다음과 같은 8×8 정사각 행렬을 정의하자. 이는 동차 공간 원소로 간주된다. (이 동차 공간은 차원이므로, 올바른 수의 성분을 갖는다.) 즉, 이는 게이지 변환 겪는다. 게이지 변환 가운데 부분은 7개의 내부 차원의 회전군이다. 35개의 스칼라장 말고도, 35개의 유사스칼라 존재한다. 군론에서, 다음과 같은 가환 그림이 주어진다. 이에 따라, 35개의 유사스칼라장 성분을 추가하여, 원소로 확장할 있다. 다만, 가장 작은 충실한 표현이 54차원이므로, 구체적 표기는 복잡하다. ==== 벡터장 ==== 이론은 28개의 게이지 보손을 갖는다. 우선, 스칼라장의 대칭에 대하여, 보손들은 28차원 표현으로 변환한다. (이 표현은 8×8 반대칭 행렬로 구성된다.) 즉, 이는 8차원 실수 내적 공간 위의 쌍선형 형식을 이룬다. 4차원에서는 2차 미분 형식의 호지 쌍대가 2차 미분 형식이다. 이에 따라, 28개의 게이지 보손 장세기와 28개의 쌍대 장세기들을 생각하자. 이들은 56차원 실수 기본 표현을 이룬다. 이는 부분군에 대하여 다음과 같이 분해된다. 여기서 표현은 8×8 복소수 반대칭 행렬로 구성된다. ==== 페르미온 ==== 11차원 마요라나 스피너는 32개의 실수 성분을 가지며, 이는 4차원에서 4개의 디랙 스피너를 이룬다. 11차원 마요라나 그래비티노는 10×32 =320개의 실수 성분을 갖는다. 4차원에서, 이는 28개의 디랙 스피너 8개의 마요라나 그래비티노(즉, 4개의 디랙 그래비티노)를 이룬다. 28개의 디랙 스피너는 게이지 SU(8)의 복소수 28차원 (실수 56차원) 표현을 이룬다 (8×8 반대칭 행렬). 8개의 마요라나 그래비티노는 SU(8)의 8차원 복소수 표현을 이룬다. 페르미온들은 대역적 대칭 대하여 변환하지 않는다. 이는 일반 상대성 이론에서 페르미온이 필바인의 대칭 표현을 이루지만 표현을 이루지 않는 것과 마찬가지다. === E₆과의 관계 === 11차원 초중력을 위에 정의하자 (차원 축소). 그렇다면, 초중력의 보손 장(계량 텐서 게이지 )은 다음과 같이 분해된다. 이들의 성분의 수는 각각 다음과 같다. (10,1)차원 (4,1)+6차원 (4,1)차원 (유사)스칼라장의 (4,1)차원 벡터장의 (4,1)차원 대칭 텐서장의 42 27 이제, 장들 가운데, 21+20개의 스칼라장 의하여 정의되는 스칼라장 생각하자. 이들은 42개의 스칼라장을 이루며, 이는 사실 동차 공간 좌표를 이룬다. 여기서 단순 E₆의 분할 형태이며, USp(8)은 콤팩트 심플렉틱 군이다. 마찬가지로, 27개의 벡터장들은 E6의 27차원 기본 표현을 이룬다. == 응용 == 이론에서, 11차원 초중력은 M이론의 낮은 에너지 눈금 유효 이론이다. == 역사 == 11차원 초중력의 존재는 1978년에 외젠 크레메르()와 베르나르 쥘리아(), 조엘 셰르크가 증명하였다. == 참고 문헌 == == 외부 링크 == 분류:초대칭 분류:중력 분류:끈 이론