Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.pair_le_pair_left (Arithmetization/Basic/IOpen.lean)

State before:
M : Type u_1
inst✝⁶ : Zero M
inst✝⁵ : One M
inst✝⁴ : Add M
inst✝³ : Mul M
inst✝² : LT M
inst✝¹ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈open
a₁ a₂ : M
h : a₁ ≤ a₂
b : M
⊢ ⟪a₁, b⟫ ≤ ⟪a₂, b⟫
Tactic:
rcases h with (rfl | lt)
State after:
case inl
M : Type u_1
inst✝⁶ : Zero M
inst✝⁵ : One M
inst✝⁴ : Add M
inst✝³ : Mul M
inst✝² : LT M
inst✝¹ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈open
a₁ b : M
⊢ ⟪a₁, b⟫ ≤ ⟪a₁, b⟫

case inr
M : Type u_1
inst✝⁶ : Zero M
inst✝⁵ : One M
inst✝⁴ : Add M
inst✝³ : Mul M
inst✝² : LT M
inst✝¹ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈open
a₁ a₂ b : M
lt : a₁ < a₂
⊢ ⟪a₁, b⟫ ≤ ⟪a₂, b⟫

State before:
case inl
M : Type u_1
inst✝⁶ : Zero M
inst✝⁵ : One M
inst✝⁴ : Add M
inst✝³ : Mul M
inst✝² : LT M
inst✝¹ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈open
a₁ b : M
⊢ ⟪a₁, b⟫ ≤ ⟪a₁, b⟫
Tactic:
simp
State after:
no goals

State before:
case inr
M : Type u_1
inst✝⁶ : Zero M
inst✝⁵ : One M
inst✝⁴ : Add M
inst✝³ : Mul M
inst✝² : LT M
inst✝¹ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈open
a₁ a₂ b : M
lt : a₁ < a₂
⊢ ⟪a₁, b⟫ ≤ ⟪a₂, b⟫
Tactic:
exact le_of_lt (pair_lt_pair_left lt b)
State after:
no goals