Theorem: SciLean.ite.arg_te.cderiv_rule (SciLean/Core/FunctionTransformations/CDeriv.lean)

State before:
K✝ : Type ?u.104136
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.104142
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.104155
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.104166
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.104177
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.104188
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.104215
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.104261
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.104272
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.104283
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.104310
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
dec : Decidable c
t e : X → Y
⊢ (cderiv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then cderiv K t y else cderiv K e y
Tactic:
induction dec
State after:
case isFalse
K✝ : Type ?u.104136
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.104142
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.104155
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.104166
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.104177
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.104188
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.104215
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.104261
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.104272
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.104283
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.104310
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h✝ : ¬c
⊢ (cderiv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then cderiv K t y else cderiv K e y

case isTrue
K✝ : Type ?u.104136
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.104142
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.104155
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.104166
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.104177
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.104188
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.104215
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.104261
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.104272
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.104283
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.104310
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h✝ : c
⊢ (cderiv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then cderiv K t y else cderiv K e y

State before:
K✝ : Type ?u.104136
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.104142
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.104155
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.104166
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.104177
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.104188
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.104215
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.104261
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.104272
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.104283
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.104310
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
⊢ (cderiv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then cderiv K t y else cderiv K e y
Tactic:
case isTrue h  => ext y; simp[h]
State after:
no goals

State before:
K✝ : Type ?u.104136
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.104142
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.104155
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.104166
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.104177
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.104188
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.104215
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.104261
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.104272
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.104283
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.104310
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
⊢ (cderiv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then cderiv K t y else cderiv K e y
Tactic:
case isFalse h => ext y; simp[h]
State after:
no goals

State before:
K✝ : Type ?u.104136
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.104142
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.104155
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.104166
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.104177
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.104188
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.104215
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.104261
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.104272
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.104283
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.104310
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
⊢ (cderiv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then cderiv K t y else cderiv K e y
Tactic:
ext y
State after:
case h.h
K✝ : Type ?u.104136
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.104142
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.104155
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.104166
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.104177
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.104188
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.104215
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.104261
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.104272
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.104283
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.104310
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ cderiv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝ = (if c then cderiv K t y else cderiv K e y) x✝

State before:
case h.h
K✝ : Type ?u.104136
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.104142
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.104155
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.104166
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.104177
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.104188
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.104215
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.104261
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.104272
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.104283
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.104310
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ cderiv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝ = (if c then cderiv K t y else cderiv K e y) x✝
Tactic:
simp[h]
State after:
no goals

State before:
K✝ : Type ?u.104136
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.104142
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.104155
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.104166
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.104177
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.104188
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.104215
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.104261
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.104272
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.104283
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.104310
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
⊢ (cderiv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then cderiv K t y else cderiv K e y
Tactic:
ext y
State after:
case h.h
K✝ : Type ?u.104136
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.104142
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.104155
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.104166
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.104177
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.104188
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.104215
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.104261
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.104272
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.104283
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.104310
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ cderiv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝ = (if c then cderiv K t y else cderiv K e y) x✝

State before:
case h.h
K✝ : Type ?u.104136
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.104142
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.104155
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.104166
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.104177
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.104188
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.104215
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.104261
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.104272
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.104283
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.104310
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ cderiv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝ = (if c then cderiv K t y else cderiv K e y) x✝
Tactic:
simp[h]
State after:
no goals