Theorem: SciLean.HasAdjDiffAt.comp_rule (SciLean/Core/FunctionPropositions/HasAdjDiff.lean)

State before:
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_3
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.5139
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.5166
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
x : X
hf : HasAdjDiffAt K f (g x)
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => f (g x)) x
Tactic:
constructor
State after:
case left
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_3
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.5139
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.5166
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
x : X
hf : HasAdjDiffAt K f (g x)
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => f (g x)) x

case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_3
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.5139
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.5166
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
x : X
hf : HasAdjDiffAt K f (g x)
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => f (g x)) x)

State before:
case left
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_3
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.5139
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.5166
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
x : X
hf : HasAdjDiffAt K f (g x)
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => f (g x)) x

case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_3
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.5139
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.5166
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
x : X
hf : HasAdjDiffAt K f (g x)
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => f (g x)) x)
Tactic:
. fun_prop
State after:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_3
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.5139
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.5166
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
x : X
hf : HasAdjDiffAt K f (g x)
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => f (g x)) x)

State before:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_3
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.5139
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.5166
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
x : X
hf : HasAdjDiffAt K f (g x)
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => f (g x)) x)
Tactic:
. fun_trans; fun_prop
State after:
no goals

State before:
case left
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_3
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.5139
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.5166
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
x : X
hf : HasAdjDiffAt K f (g x)
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => f (g x)) x
Tactic:
fun_prop
State after:
no goals

State before:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_3
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.5139
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.5166
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
x : X
hf : HasAdjDiffAt K f (g x)
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => f (g x)) x)
Tactic:
fun_trans
State after:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_3
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.5139
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.5166
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
x : X
hf : HasAdjDiffAt K f (g x)
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => cderiv K (fun x0 => f x0) (g x) (cderiv K (fun x => g x) x dx)

State before:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_3
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.5139
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.5166
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
x : X
hf : HasAdjDiffAt K f (g x)
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => cderiv K (fun x0 => f x0) (g x) (cderiv K (fun x => g x) x dx)
Tactic:
fun_prop
State after:
no goals