Theorem: Lean4Lean.VEnv.IsDefEq.sort_inv' (Lean4Lean/Theory/Typing/Lemmas.lean)

State before:
env : VEnv
henv : Ordered env
U : Nat
Γ : List VExpr
e1 e2 V : VExpr
u : VLevel
H : IsDefEq env U Γ e1 e2 V
eq : e1 = VExpr.sort u ∨ e2 = VExpr.sort u
⊢ VLevel.WF U u
Tactic:
induction H with
| symm _ ih => exact ih eq.symm
| trans _ _ ih1 ih2
| proofIrrel _ _ _ _ ih1 ih2 =>
  obtain eq | eq := eq <;> [exact ih1 (.inl eq); exact ih2 (.inr eq)]
| sortDF => obtain ⟨⟨⟩⟩ | ⟨⟨⟩⟩ := eq <;> assumption
| defeqDF _ _ _ ih2 => exact ih2 eq
| @beta _ _ e _ _ h1 _ ih1 ih2 =>
  obtain ⟨⟨⟩⟩ | eq := eq
  cases e with
  | bvar i =>
    cases i with simp [inst] at eq
    | zero => exact ih2 (.inl eq)
  | _ => cases eq <;> exact ih1 (.inl rfl)
| eta _ ih =>
  obtain ⟨⟨⟩⟩ | eq := eq
  exact ih (.inl eq)
| @extra df ls _ h1 h2 =>
  suffices ∀ e, VExpr.instL ls e = .sort u → HasType env df.uvars [] e df.type → u.WF U by
    have ⟨A1, A2⟩ := henv.defEqWF h1
    cases eq <;> exact this _ ‹_› ‹_›
  intro e eq IH
  cases e <;> cases eq; rename_i u
  exact VLevel.WF.inst h2
| _ => nomatch eq
State after:
no goals

State before:
case symm
env : VEnv
henv : Ordered env
U : Nat
Γ : List VExpr
e1 e2 V : VExpr
u : VLevel
Γ✝ : List VExpr
e✝ e'✝ A✝ : VExpr
a✝ : IsDefEq env U Γ✝ e✝ e'✝ A✝
ih : e✝ = VExpr.sort u ∨ e'✝ = VExpr.sort u → VLevel.WF U u
eq : e'✝ = VExpr.sort u ∨ e✝ = VExpr.sort u
⊢ VLevel.WF U u
Tactic:
exact ih eq.symm
State after:
no goals

State before:
case proofIrrel
env : VEnv
henv : Ordered env
U : Nat
Γ : List VExpr
e1 e2 V : VExpr
u : VLevel
Γ✝ : List VExpr
p✝ h✝ h'✝ : VExpr
a✝² : IsDefEq env U Γ✝ p✝ p✝ (VExpr.sort VLevel.zero)
a✝¹ : IsDefEq env U Γ✝ h✝ h✝ p✝
a✝ : IsDefEq env U Γ✝ h'✝ h'✝ p✝
a_ih✝ : p✝ = VExpr.sort u ∨ p✝ = VExpr.sort u → VLevel.WF U u
ih1 : h✝ = VExpr.sort u ∨ h✝ = VExpr.sort u → VLevel.WF U u
ih2 : h'✝ = VExpr.sort u ∨ h'✝ = VExpr.sort u → VLevel.WF U u
eq : h✝ = VExpr.sort u ∨ h'✝ = VExpr.sort u
⊢ VLevel.WF U u
Tactic:
obtain eq | eq := eq <;> [exact ih1 (.inl eq); exact ih2 (.inr eq)]
State after:
no goals

State before:
case sortDF
env : VEnv
henv : Ordered env
U : Nat
Γ : List VExpr
e1 e2 V : VExpr
u l✝ l'✝ : VLevel
Γ✝ : List VExpr
a✝² : VLevel.WF U l✝
a✝¹ : VLevel.WF U l'✝
a✝ : l✝ ≈ l'✝
eq : VExpr.sort l✝ = VExpr.sort u ∨ VExpr.sort l'✝ = VExpr.sort u
⊢ VLevel.WF U u
Tactic:
obtain ⟨⟨⟩⟩ | ⟨⟨⟩⟩ := eq <;> assumption
State after:
no goals

State before:
case defeqDF
env : VEnv
henv : Ordered env
U : Nat
Γ : List VExpr
e1 e2 V : VExpr
u : VLevel
Γ✝ : List VExpr
A✝ B✝ : VExpr
u✝ : VLevel
e1✝ e2✝ : VExpr
a✝¹ : IsDefEq env U Γ✝ A✝ B✝ (VExpr.sort u✝)
a✝ : IsDefEq env U Γ✝ e1✝ e2✝ A✝
a_ih✝ : A✝ = VExpr.sort u ∨ B✝ = VExpr.sort u → VLevel.WF U u
ih2 : e1✝ = VExpr.sort u ∨ e2✝ = VExpr.sort u → VLevel.WF U u
eq : e1✝ = VExpr.sort u ∨ e2✝ = VExpr.sort u
⊢ VLevel.WF U u
Tactic:
exact ih2 eq
State after:
no goals

State before:
case beta
env : VEnv
henv : Ordered env
U : Nat
Γ : List VExpr
e1 e2 V : VExpr
u : VLevel
A✝ : VExpr
Γ✝ : List VExpr
e B✝ e'✝ : VExpr
h1 : IsDefEq env U (A✝ :: Γ✝) e e B✝
a✝ : IsDefEq env U Γ✝ e'✝ e'✝ A✝
ih1 : e = VExpr.sort u ∨ e = VExpr.sort u → VLevel.WF U u
ih2 : e'✝ = VExpr.sort u ∨ e'✝ = VExpr.sort u → VLevel.WF U u
eq : app (lam A✝ e) e'✝ = VExpr.sort u ∨ inst e e'✝ = VExpr.sort u
⊢ VLevel.WF U u
Tactic:
obtain ⟨⟨⟩⟩ | eq := eq
State after:
case beta.inr
env : VEnv
henv : Ordered env
U : Nat
Γ : List VExpr
e1 e2 V : VExpr
u : VLevel
A✝ : VExpr
Γ✝ : List VExpr
e B✝ e'✝ : VExpr
h1 : IsDefEq env U (A✝ :: Γ✝) e e B✝
a✝ : IsDefEq env U Γ✝ e'✝ e'✝ A✝
ih1 : e = VExpr.sort u ∨ e = VExpr.sort u → VLevel.WF U u
ih2 : e'✝ = VExpr.sort u ∨ e'✝ = VExpr.sort u → VLevel.WF U u
eq : inst e e'✝ = VExpr.sort u
⊢ VLevel.WF U u

State before:
case beta.inr
env : VEnv
henv : Ordered env
U : Nat
Γ : List VExpr
e1 e2 V : VExpr
u : VLevel
A✝ : VExpr
Γ✝ : List VExpr
e B✝ e'✝ : VExpr
h1 : IsDefEq env U (A✝ :: Γ✝) e e B✝
a✝ : IsDefEq env U Γ✝ e'✝ e'✝ A✝
ih1 : e = VExpr.sort u ∨ e = VExpr.sort u → VLevel.WF U u
ih2 : e'✝ = VExpr.sort u ∨ e'✝ = VExpr.sort u → VLevel.WF U u
eq : inst e e'✝ = VExpr.sort u
⊢ VLevel.WF U u
Tactic:
cases e with
| bvar i =>
  cases i with simp [inst] at eq
  | zero => exact ih2 (.inl eq)
| _ => cases eq <;> exact ih1 (.inl rfl)
State after:
no goals

State before:
case beta.inr.bvar
env : VEnv
henv : Ordered env
U : Nat
Γ : List VExpr
e1 e2 V : VExpr
u : VLevel
A✝ : VExpr
Γ✝ : List VExpr
B✝ e'✝ : VExpr
a✝ : IsDefEq env U Γ✝ e'✝ e'✝ A✝
ih2 : e'✝ = VExpr.sort u ∨ e'✝ = VExpr.sort u → VLevel.WF U u
i : Nat
h1 : IsDefEq env U (A✝ :: Γ✝) (VExpr.bvar i) (VExpr.bvar i) B✝
ih1 : VExpr.bvar i = VExpr.sort u ∨ VExpr.bvar i = VExpr.sort u → VLevel.WF U u
eq : inst (VExpr.bvar i) e'✝ = VExpr.sort u
⊢ VLevel.WF U u
Tactic:
cases i with simp [inst] at eq
| zero => exact ih2 (.inl eq)
State after:
no goals

State before:
case beta.inr.bvar.zero
env : VEnv
henv : Ordered env
U : Nat
Γ : List VExpr
e1 e2 V : VExpr
u : VLevel
A✝ : VExpr
Γ✝ : List VExpr
B✝ e'✝ : VExpr
a✝ : IsDefEq env U Γ✝ e'✝ e'✝ A✝
ih2 : e'✝ = VExpr.sort u ∨ e'✝ = VExpr.sort u → VLevel.WF U u
h1 : IsDefEq env U (A✝ :: Γ✝) (VExpr.bvar Nat.zero) (VExpr.bvar Nat.zero) B✝
ih1 : VExpr.bvar Nat.zero = VExpr.sort u ∨ VExpr.bvar Nat.zero = VExpr.sort u → VLevel.WF U u
eq : e'✝ = VExpr.sort u
⊢ VLevel.WF U u
Tactic:
exact ih2 (.inl eq)
State after:
no goals

State before:
case beta.inr.forallE
env : VEnv
henv : Ordered env
U : Nat
Γ : List VExpr
e1 e2 V : VExpr
u : VLevel
A✝ : VExpr
Γ✝ : List VExpr
B✝ e'✝ : VExpr
a✝ : IsDefEq env U Γ✝ e'✝ e'✝ A✝
ih2 : e'✝ = VExpr.sort u ∨ e'✝ = VExpr.sort u → VLevel.WF U u
binderType✝ body✝ : VExpr
h1 : IsDefEq env U (A✝ :: Γ✝) (VExpr.forallE binderType✝ body✝) (VExpr.forallE binderType✝ body✝) B✝
ih1 : VExpr.forallE binderType✝ body✝ = VExpr.sort u ∨ VExpr.forallE binderType✝ body✝ = VExpr.sort u → VLevel.WF U u
eq : inst (VExpr.forallE binderType✝ body✝) e'✝ = VExpr.sort u
⊢ VLevel.WF U u
Tactic:
cases eq <;> exact ih1 (.inl rfl)
State after:
no goals

State before:
case eta
env : VEnv
henv : Ordered env
U : Nat
Γ : List VExpr
e1 e2 V : VExpr
u : VLevel
Γ✝ : List VExpr
e✝ A✝ B✝ : VExpr
a✝ : IsDefEq env U Γ✝ e✝ e✝ (VExpr.forallE A✝ B✝)
ih : e✝ = VExpr.sort u ∨ e✝ = VExpr.sort u → VLevel.WF U u
eq : lam A✝ (app (lift e✝) (VExpr.bvar 0)) = VExpr.sort u ∨ e✝ = VExpr.sort u
⊢ VLevel.WF U u
Tactic:
obtain ⟨⟨⟩⟩ | eq := eq
State after:
case eta.inr
env : VEnv
henv : Ordered env
U : Nat
Γ : List VExpr
e1 e2 V : VExpr
u : VLevel
Γ✝ : List VExpr
e✝ A✝ B✝ : VExpr
a✝ : IsDefEq env U Γ✝ e✝ e✝ (VExpr.forallE A✝ B✝)
ih : e✝ = VExpr.sort u ∨ e✝ = VExpr.sort u → VLevel.WF U u
eq : e✝ = VExpr.sort u
⊢ VLevel.WF U u

State before:
case eta.inr
env : VEnv
henv : Ordered env
U : Nat
Γ : List VExpr
e1 e2 V : VExpr
u : VLevel
Γ✝ : List VExpr
e✝ A✝ B✝ : VExpr
a✝ : IsDefEq env U Γ✝ e✝ e✝ (VExpr.forallE A✝ B✝)
ih : e✝ = VExpr.sort u ∨ e✝ = VExpr.sort u → VLevel.WF U u
eq : e✝ = VExpr.sort u
⊢ VLevel.WF U u
Tactic:
exact ih (.inl eq)
State after:
no goals

State before:
case extra
env : VEnv
henv : Ordered env
U : Nat
Γ : List VExpr
e1 e2 V : VExpr
u : VLevel
df : VDefEq
ls : List VLevel
Γ✝ : List VExpr
h1 : env.defeqs df
h2 : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls → VLevel.WF U l
a✝ : List.length ls = df.uvars
eq : VExpr.instL ls df.lhs = VExpr.sort u ∨ VExpr.instL ls df.rhs = VExpr.sort u
⊢ VLevel.WF U u
Tactic:
suffices ∀ e, VExpr.instL ls e = .sort u → HasType env df.uvars [] e df.type → u.WF U by
  have ⟨A1, A2⟩ := henv.defEqWF h1
  cases eq <;> exact this _ ‹_› ‹_›
State after:
case extra
env : VEnv
henv : Ordered env
U : Nat
Γ : List VExpr
e1 e2 V : VExpr
u : VLevel
df : VDefEq
ls : List VLevel
Γ✝ : List VExpr
h1 : env.defeqs df
h2 : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls → VLevel.WF U l
a✝ : List.length ls = df.uvars
eq : VExpr.instL ls df.lhs = VExpr.sort u ∨ VExpr.instL ls df.rhs = VExpr.sort u
⊢ ∀ (e : VExpr), VExpr.instL ls e = VExpr.sort u → HasType env df.uvars [] e df.type → VLevel.WF U u

State before:
case extra
env : VEnv
henv : Ordered env
U : Nat
Γ : List VExpr
e1 e2 V : VExpr
u : VLevel
df : VDefEq
ls : List VLevel
Γ✝ : List VExpr
h1 : env.defeqs df
h2 : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls → VLevel.WF U l
a✝ : List.length ls = df.uvars
eq : VExpr.instL ls df.lhs = VExpr.sort u ∨ VExpr.instL ls df.rhs = VExpr.sort u
⊢ ∀ (e : VExpr), VExpr.instL ls e = VExpr.sort u → HasType env df.uvars [] e df.type → VLevel.WF U u
Tactic:
intro e eq IH
State after:
case extra
env : VEnv
henv : Ordered env
U : Nat
Γ : List VExpr
e1 e2 V : VExpr
u : VLevel
df : VDefEq
ls : List VLevel
Γ✝ : List VExpr
h1 : env.defeqs df
h2 : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls → VLevel.WF U l
a✝ : List.length ls = df.uvars
eq✝ : VExpr.instL ls df.lhs = VExpr.sort u ∨ VExpr.instL ls df.rhs = VExpr.sort u
e : VExpr
eq : VExpr.instL ls e = VExpr.sort u
IH : HasType env df.uvars [] e df.type
⊢ VLevel.WF U u

State before:
case extra
env : VEnv
henv : Ordered env
U : Nat
Γ : List VExpr
e1 e2 V : VExpr
u : VLevel
df : VDefEq
ls : List VLevel
Γ✝ : List VExpr
h1 : env.defeqs df
h2 : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls → VLevel.WF U l
a✝ : List.length ls = df.uvars
eq✝ : VExpr.instL ls df.lhs = VExpr.sort u ∨ VExpr.instL ls df.rhs = VExpr.sort u
e : VExpr
eq : VExpr.instL ls e = VExpr.sort u
IH : HasType env df.uvars [] e df.type
⊢ VLevel.WF U u
Tactic:
cases e <;> cases eq
State after:
case extra.sort.refl
env : VEnv
henv : Ordered env
U : Nat
Γ : List VExpr
e1 e2 V : VExpr
df : VDefEq
ls : List VLevel
Γ✝ : List VExpr
h1 : env.defeqs df
h2 : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls → VLevel.WF U l
a✝ : List.length ls = df.uvars
u✝ : VLevel
IH : HasType env df.uvars [] (VExpr.sort u✝) df.type
eq : VExpr.instL ls df.lhs = VExpr.sort (VLevel.inst ls u✝) ∨ VExpr.instL ls df.rhs = VExpr.sort (VLevel.inst ls u✝)
⊢ VLevel.WF U (VLevel.inst ls u✝)

State before:
case extra.sort.refl
env : VEnv
henv : Ordered env
U : Nat
Γ : List VExpr
e1 e2 V : VExpr
df : VDefEq
ls : List VLevel
Γ✝ : List VExpr
h1 : env.defeqs df
h2 : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls → VLevel.WF U l
a✝ : List.length ls = df.uvars
u✝ : VLevel
IH : HasType env df.uvars [] (VExpr.sort u✝) df.type
eq : VExpr.instL ls df.lhs = VExpr.sort (VLevel.inst ls u✝) ∨ VExpr.instL ls df.rhs = VExpr.sort (VLevel.inst ls u✝)
⊢ VLevel.WF U (VLevel.inst ls u✝)
Tactic:
rename_i u
State after:
case extra.sort.refl
env : VEnv
henv : Ordered env
U : Nat
Γ : List VExpr
e1 e2 V : VExpr
df : VDefEq
ls : List VLevel
Γ✝ : List VExpr
h1 : env.defeqs df
h2 : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls → VLevel.WF U l
a✝ : List.length ls = df.uvars
u : VLevel
IH : HasType env df.uvars [] (VExpr.sort u) df.type
eq : VExpr.instL ls df.lhs = VExpr.sort (VLevel.inst ls u) ∨ VExpr.instL ls df.rhs = VExpr.sort (VLevel.inst ls u)
⊢ VLevel.WF U (VLevel.inst ls u)

State before:
case extra.sort.refl
env : VEnv
henv : Ordered env
U : Nat
Γ : List VExpr
e1 e2 V : VExpr
df : VDefEq
ls : List VLevel
Γ✝ : List VExpr
h1 : env.defeqs df
h2 : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls → VLevel.WF U l
a✝ : List.length ls = df.uvars
u : VLevel
IH : HasType env df.uvars [] (VExpr.sort u) df.type
eq : VExpr.instL ls df.lhs = VExpr.sort (VLevel.inst ls u) ∨ VExpr.instL ls df.rhs = VExpr.sort (VLevel.inst ls u)
⊢ VLevel.WF U (VLevel.inst ls u)
Tactic:
exact VLevel.WF.inst h2
State after:
no goals

State before:
env : VEnv
henv : Ordered env
U : Nat
Γ : List VExpr
e1 e2 V : VExpr
u : VLevel
df : VDefEq
ls : List VLevel
Γ✝ : List VExpr
h1 : env.defeqs df
h2 : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls → VLevel.WF U l
a✝ : List.length ls = df.uvars
eq : VExpr.instL ls df.lhs = VExpr.sort u ∨ VExpr.instL ls df.rhs = VExpr.sort u
this : ∀ (e : VExpr), VExpr.instL ls e = VExpr.sort u → HasType env df.uvars [] e df.type → VLevel.WF U u
⊢ VLevel.WF U u
Tactic:
have ⟨A1, A2⟩ := henv.defEqWF h1
State after:
env : VEnv
henv : Ordered env
U : Nat
Γ : List VExpr
e1 e2 V : VExpr
u : VLevel
df : VDefEq
ls : List VLevel
Γ✝ : List VExpr
h1 : env.defeqs df
h2 : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls → VLevel.WF U l
a✝ : List.length ls = df.uvars
eq : VExpr.instL ls df.lhs = VExpr.sort u ∨ VExpr.instL ls df.rhs = VExpr.sort u
this : ∀ (e : VExpr), VExpr.instL ls e = VExpr.sort u → HasType env df.uvars [] e df.type → VLevel.WF U u
A1 : HasType env df.uvars [] df.lhs df.type
A2 : HasType env df.uvars [] df.rhs df.type
⊢ VLevel.WF U u

State before:
env : VEnv
henv : Ordered env
U : Nat
Γ : List VExpr
e1 e2 V : VExpr
u : VLevel
df : VDefEq
ls : List VLevel
Γ✝ : List VExpr
h1 : env.defeqs df
h2 : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls → VLevel.WF U l
a✝ : List.length ls = df.uvars
eq : VExpr.instL ls df.lhs = VExpr.sort u ∨ VExpr.instL ls df.rhs = VExpr.sort u
this : ∀ (e : VExpr), VExpr.instL ls e = VExpr.sort u → HasType env df.uvars [] e df.type → VLevel.WF U u
A1 : HasType env df.uvars [] df.lhs df.type
A2 : HasType env df.uvars [] df.rhs df.type
⊢ VLevel.WF U u
Tactic:
cases eq <;> exact this _ ‹_› ‹_›
State after:
no goals

State before:
case forallEDF
env : VEnv
henv : Ordered env
U : Nat
Γ : List VExpr
e1 e2 V : VExpr
u : VLevel
Γ✝ : List VExpr
A✝ A'✝ : VExpr
u✝ : VLevel
body✝ body'✝ : VExpr
v✝ : VLevel
a✝¹ : IsDefEq env U Γ✝ A✝ A'✝ (VExpr.sort u✝)
a✝ : IsDefEq env U (A✝ :: Γ✝) body✝ body'✝ (VExpr.sort v✝)
a_ih✝¹ : A✝ = VExpr.sort u ∨ A'✝ = VExpr.sort u → VLevel.WF U u
a_ih✝ : body✝ = VExpr.sort u ∨ body'✝ = VExpr.sort u → VLevel.WF U u
eq : VExpr.forallE A✝ body✝ = VExpr.sort u ∨ VExpr.forallE A'✝ body'✝ = VExpr.sort u
⊢ VLevel.WF U u
Tactic:
nomatch eq
State after:
no goals