Theorem: SciLean.Inner.inner.arg_a0a1.cderiv_rule_at (SciLean/Core/FunctionTransformations/CDeriv.lean)

State before:
K✝ : Type ?u.106961
inst✝²⁰ : RCLike K✝
X✝¹ : Type ?u.106967
inst✝¹⁹ : Vec K✝ X✝¹
Y✝¹ : Type ?u.106980
inst✝¹⁸ : Vec K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.106991
inst✝¹⁷ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.107002
inst✝¹⁶ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.107013
inst✝¹⁵ : IndexType ι✝
inst✝¹⁴ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹³ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.107040
inst✝¹² : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type ?u.107056
inst✝¹¹ : RCLike K
X✝ : Type ?u.107062
inst✝¹⁰ : Vec K X✝
Y✝ : Type ?u.107075
inst✝⁹ : Vec K Y✝
Z : Type ?u.107086
inst✝⁸ : Vec K Z
W : Type ?u.107097
inst✝⁷ : Vec K W
ι : Type ?u.107108
inst✝⁶ : IndexType ι
inst✝⁵ : LawfulIndexType ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.107135
inst✝³ : (i : ι) → Vec K (E i)
R : Type u_1
inst✝² : RealScalar R
X : Type u_2
inst✝¹ : Vec R X
Y : Type u_3
inst✝ : SemiHilbert R Y
f g : X → Y
x : X
hf : CDifferentiableAt R f x
hg : CDifferentiableAt R g x
⊢ cderiv R (fun x => ⟪f x, g x⟫_R) x = fun dx =>
    let y₁ := f x;
    let dy₁ := cderiv R f x dx;
    let y₂ := g x;
    let dy₂ := cderiv R g x dx;
    ⟪dy₁, y₂⟫_R + ⟪y₁, dy₂⟫_R
Tactic:
sorry_proof
State after:
no goals