Theorem: SciLean.FwdFDeriv.dite.arg_te.fwdFDeriv_rule (SciLean/Core/FunctionTransformations/FwdFDeriv.lean)

State before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
dec : Decidable c
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
⊢ (fwdFDeriv K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y
Tactic:
induction dec
State after:
case isFalse
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h✝ : ¬c
⊢ (fwdFDeriv K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y

case isTrue
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h✝ : c
⊢ (fwdFDeriv K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y

State before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : c
⊢ (fwdFDeriv K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y
Tactic:
case isTrue h  => ext y; simp[h]; simp[h]
State after:
no goals

State before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : ¬c
⊢ (fwdFDeriv K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y
Tactic:
case isFalse h => ext y; simp[h]; simp[h]
State after:
no goals

State before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : c
⊢ (fwdFDeriv K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y
Tactic:
ext y
State after:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y x✝).1 =
    ((if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y) x✝).1

case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y x✝).2 =
    ((if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y) x✝).2

State before:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y x✝).1 =
    ((if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y) x✝).1

case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y x✝).2 =
    ((if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y) x✝).2
Tactic:
simp[h]
State after:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y x✝).2 =
    ((if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y) x✝).2

State before:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y x✝).2 =
    ((if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y) x✝).2
Tactic:
simp[h]
State after:
no goals

State before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : ¬c
⊢ (fwdFDeriv K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y
Tactic:
ext y
State after:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y x✝).1 =
    ((if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y) x✝).1

case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y x✝).2 =
    ((if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y) x✝).2

State before:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y x✝).1 =
    ((if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y) x✝).1

case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y x✝).2 =
    ((if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y) x✝).2
Tactic:
simp[h]
State after:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y x✝).2 =
    ((if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y) x✝).2

State before:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.202240
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.202375
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.202383
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y x✝).2 =
    ((if p : c then fwdFDeriv K (t p) y else fwdFDeriv K (e p) y) x✝).2
Tactic:
simp[h]
State after:
no goals