Theorem: SchwartzMap.integral_iteratedFDeriv_vectorFourierIntegrand_apply (ForML/SchwartzFourier.lean)

State before:
E' : Type ?u.1537740
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
ξ : E
m : Fin n → E
⊢ ∫ (x : E), (iteratedFDeriv ℝ n (fun x_1 => ((vectorFourierIntegrand x_1) f) x) ξ) m =
    (-(2 * ↑π * I)) ^ n • ∫ (x : E), (∏ i : Fin n, ⟪x, m i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Tactic:
simp only [iteratedFDeriv_vectorFourierIntegrand]
State after:
E' : Type ?u.1537740
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
ξ : E
m : Fin n → E
⊢ ∫ (x : E),
      ((-(2 * ↑π * I)) ^ n •
          ContinuousMultilinearMap.compContinuousLinearMap
            (ContinuousMultilinearMap.mkPiRing ℝ (Fin n) (((vectorFourierIntegrand ξ) f) x)) fun x_1 => (innerSL ℝ) x)
        m =
    (-(2 * ↑π * I)) ^ n • ∫ (x : E), (∏ i : Fin n, ⟪x, m i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x

State before:
E' : Type ?u.1537740
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
n : ℕ
f : 𝓢(E, F)
ξ : E
m : Fin n → E
⊢ ∫ (x : E),
      ((-(2 * ↑π * I)) ^ n •
          ContinuousMultilinearMap.compContinuousLinearMap
            (ContinuousMultilinearMap.mkPiRing ℝ (Fin n) (((vectorFourierIntegrand ξ) f) x)) fun x_1 => (innerSL ℝ) x)
        m =
    (-(2 * ↑π * I)) ^ n • ∫ (x : E), (∏ i : Fin n, ⟪x, m i⟫_ℝ) • ((vectorFourierIntegrand ξ) f) x
Tactic:
simp [integral_smul]
State after:
no goals