Theorem: div_zeta_sub_one_eq_zero_iff (FltRegular/CaseII/InductionStep.lean)

State before:
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg : (↑p).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
x y z : 𝓞 K
ε : (𝓞 K)ˣ
m : ℕ
e : x ^ ↑p + y ^ ↑p = ↑ε * (π ^ (m + 1) * z) ^ ↑p
hy : ¬π ∣ y
hz : ¬π ∣ z
η✝ η : { x // x ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K) }
⊢ (Ideal.Quotient.mk 𝔭) (div_zeta_sub_one hp hζ e η) = 0 ↔ π ^ 2 ∣ x + y * ↑η
Tactic:
letI := IsCyclotomicExtension.numberField {p} ℚ K
State after:
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg : (↑p).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
x y z : 𝓞 K
ε : (𝓞 K)ˣ
m : ℕ
e : x ^ ↑p + y ^ ↑p = ↑ε * (π ^ (m + 1) * z) ^ ↑p
hy : ¬π ∣ y
hz : ¬π ∣ z
η✝ η : { x // x ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K) }
this : NumberField K := IsCyclotomicExtension.numberField {p} ℚ K
⊢ (Ideal.Quotient.mk 𝔭) (div_zeta_sub_one hp hζ e η) = 0 ↔ π ^ 2 ∣ x + y * ↑η

State before:
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg : (↑p).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
x y z : 𝓞 K
ε : (𝓞 K)ˣ
m : ℕ
e : x ^ ↑p + y ^ ↑p = ↑ε * (π ^ (m + 1) * z) ^ ↑p
hy : ¬π ∣ y
hz : ¬π ∣ z
η✝ η : { x // x ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K) }
this : NumberField K := IsCyclotomicExtension.numberField {p} ℚ K
⊢ (Ideal.Quotient.mk 𝔭) (div_zeta_sub_one hp hζ e η) = 0 ↔ π ^ 2 ∣ x + y * ↑η
Tactic:
rw [Ideal.Quotient.eq_zero_iff_dvd, pow_two,
  ← div_zeta_sub_one_mul_zeta_sub_one hp hζ e,
    mul_dvd_mul_iff_right (hζ.unit'_coe.sub_one_ne_zero hpri.out.one_lt)]
State after:
no goals