Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.HSMul.hSMul.arg_a1.HasSemiAdjoint_rule (SciLean/Core/FunctionPropositions/HasSemiAdjoint.lean)

State before:
K✝ : Type ?u.40108
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.40114
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.40127
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.40138
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.40149
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.40160
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.40187
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.40233
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.40244
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.40255
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.40282
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
f : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ HasSemiAdjoint K fun x => c • f x
Tactic:
constructor
State after:
case semiAdjoint_exists
K✝ : Type ?u.40108
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.40114
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.40127
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.40138
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.40149
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.40160
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.40187
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.40233
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.40244
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.40255
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.40282
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
f : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y : Y), TestFunction x → ⟪y, c • f x⟫_K = ⟪f' y, x⟫_K

case is_differentiable
K✝ : Type ?u.40108
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.40114
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.40127
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.40138
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.40149
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.40160
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.40187
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.40233
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.40244
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.40255
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.40282
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
f : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => c • f x

State before:
case semiAdjoint_exists
K✝ : Type ?u.40108
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.40114
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.40127
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.40138
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.40149
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.40160
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.40187
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.40233
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.40244
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.40255
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.40282
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
f : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y : Y), TestFunction x → ⟪y, c • f x⟫_K = ⟪f' y, x⟫_K

case is_differentiable
K✝ : Type ?u.40108
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.40114
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.40127
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.40138
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.40149
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.40160
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.40187
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.40233
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.40244
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.40255
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.40282
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
f : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => c • f x
Tactic:
. apply Exists.intro (fun (y' : Y) => conj c • semiAdjoint K f y') _
  sorry_proof
State after:
case is_differentiable
K✝ : Type ?u.40108
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.40114
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.40127
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.40138
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.40149
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.40160
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.40187
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.40233
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.40244
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.40255
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.40282
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
f : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => c • f x

State before:
case is_differentiable
K✝ : Type ?u.40108
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.40114
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.40127
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.40138
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.40149
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.40160
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.40187
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.40233
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.40244
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.40255
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.40282
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
f : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => c • f x
Tactic:
. fun_prop
State after:
no goals

State before:
case semiAdjoint_exists
K✝ : Type ?u.40108
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.40114
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.40127
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.40138
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.40149
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.40160
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.40187
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.40233
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.40244
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.40255
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.40282
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
f : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y : Y), TestFunction x → ⟪y, c • f x⟫_K = ⟪f' y, x⟫_K
Tactic:
apply Exists.intro (fun (y' : Y) => conj c • semiAdjoint K f y') _
State after:
K✝ : Type ?u.40108
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.40114
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.40127
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.40138
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.40149
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.40160
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.40187
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.40233
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.40244
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.40255
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.40282
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
f : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∀ (x : X) (y : Y), TestFunction x → ⟪y, c • f x⟫_K = ⟪(fun y' => (starRingEnd K) c • semiAdjoint K f y') y, x⟫_K

State before:
K✝ : Type ?u.40108
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.40114
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.40127
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.40138
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.40149
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.40160
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.40187
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.40233
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.40244
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.40255
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.40282
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
f : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∀ (x : X) (y : Y), TestFunction x → ⟪y, c • f x⟫_K = ⟪(fun y' => (starRingEnd K) c • semiAdjoint K f y') y, x⟫_K
Tactic:
sorry_proof
State after:
no goals

State before:
case is_differentiable
K✝ : Type ?u.40108
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.40114
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.40127
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.40138
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.40149
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.40160
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.40187
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.40233
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.40244
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.40255
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.40282
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
f : X → Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => c • f x
Tactic:
fun_prop
State after:
no goals