Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.lt_pair_left_of_pos (Arithmetization/Basic/IOpen.lean)

State before:
M : Type u_1
inst✝⁶ : Zero M
inst✝⁵ : One M
inst✝⁴ : Add M
inst✝³ : Mul M
inst✝² : LT M
inst✝¹ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈open
a : M
pos : 0 < a
b : M
⊢ a < ⟪a, b⟫
Tactic:
simp [pair]
State after:
M : Type u_1
inst✝⁶ : Zero M
inst✝⁵ : One M
inst✝⁴ : Add M
inst✝³ : Mul M
inst✝² : LT M
inst✝¹ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈open
a : M
pos : 0 < a
b : M
⊢ a < if a < b then b * b + a else a * a + a + b

State before:
M : Type u_1
inst✝⁶ : Zero M
inst✝⁵ : One M
inst✝⁴ : Add M
inst✝³ : Mul M
inst✝² : LT M
inst✝¹ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈open
a : M
pos : 0 < a
b : M
⊢ a < if a < b then b * b + a else a * a + a + b
Tactic:
split_ifs
State after:
case pos
M : Type u_1
inst✝⁶ : Zero M
inst✝⁵ : One M
inst✝⁴ : Add M
inst✝³ : Mul M
inst✝² : LT M
inst✝¹ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈open
a : M
pos : 0 < a
b : M
h✝ : a < b
⊢ a < b * b + a

case neg
M : Type u_1
inst✝⁶ : Zero M
inst✝⁵ : One M
inst✝⁴ : Add M
inst✝³ : Mul M
inst✝² : LT M
inst✝¹ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈open
a : M
pos : 0 < a
b : M
h✝ : ¬a < b
⊢ a < a * a + a + b

State before:
case pos
M : Type u_1
inst✝⁶ : Zero M
inst✝⁵ : One M
inst✝⁴ : Add M
inst✝³ : Mul M
inst✝² : LT M
inst✝¹ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈open
a : M
pos : 0 < a
b : M
h✝ : a < b
⊢ a < b * b + a
Tactic:
simp
State after:
case pos
M : Type u_1
inst✝⁶ : Zero M
inst✝⁵ : One M
inst✝⁴ : Add M
inst✝³ : Mul M
inst✝² : LT M
inst✝¹ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈open
a : M
pos : 0 < a
b : M
h✝ : a < b
⊢ ¬b = 0

State before:
case pos
M : Type u_1
inst✝⁶ : Zero M
inst✝⁵ : One M
inst✝⁴ : Add M
inst✝³ : Mul M
inst✝² : LT M
inst✝¹ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈open
a : M
pos : 0 < a
b : M
h✝ : a < b
⊢ ¬b = 0
Tactic:
exact pos_iff_ne_zero.mp <| pos_of_gt (by assumption)
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝⁶ : Zero M
inst✝⁵ : One M
inst✝⁴ : Add M
inst✝³ : Mul M
inst✝² : LT M
inst✝¹ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈open
a : M
pos : 0 < a
b : M
h✝ : a < b
⊢ ?m.910972 < b
Tactic:
assumption
State after:
no goals

State before:
case neg
M : Type u_1
inst✝⁶ : Zero M
inst✝⁵ : One M
inst✝⁴ : Add M
inst✝³ : Mul M
inst✝² : LT M
inst✝¹ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈open
a : M
pos : 0 < a
b : M
h✝ : ¬a < b
⊢ a < a * a + a + b
Tactic:
calc
  a < a * a + a     := lt_add_of_pos_left a (by simpa using (pos_iff_ne_zero.mp pos))
  _ ≤ a * a + a + b := by simp
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝⁶ : Zero M
inst✝⁵ : One M
inst✝⁴ : Add M
inst✝³ : Mul M
inst✝² : LT M
inst✝¹ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈open
a : M
pos : 0 < a
b : M
h✝ : ¬a < b
⊢ 0 < a * a
Tactic:
simpa using (pos_iff_ne_zero.mp pos)
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝⁶ : Zero M
inst✝⁵ : One M
inst✝⁴ : Add M
inst✝³ : Mul M
inst✝² : LT M
inst✝¹ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈open
a : M
pos : 0 < a
b : M
h✝ : ¬a < b
⊢ a * a + a ≤ a * a + a + b
Tactic:
simp
State after:
no goals