Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.sUnion_lt_of_pos (Arithmetization/ISigmaOne/HFS/Basic.lean)

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
a : M
ha : 0 < a
⊢ ∀ i ∈ ⋃ʰᶠ a, i < log a
Tactic:
simp
State after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
a : M
ha : 0 < a
⊢ ∀ (i x : M), x ∈ a → i ∈ x → i < log a

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
a : M
ha : 0 < a
⊢ ∀ (i x : M), x ∈ a → i ∈ x → i < log a
Tactic:
intro i x hx hi
State after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
a : M
ha : 0 < a
i x : M
hx : x ∈ a
hi : i ∈ x
⊢ i < log a

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
a : M
ha : 0 < a
i x : M
hx : x ∈ a
hi : i ∈ x
⊢ i < log a
Tactic:
exact lt_of_lt_of_le (lt_of_mem hi) (le_log_of_mem hx)
State after:
no goals