Theorem: unit_to_U_pow (FltRegular/NumberTheory/Hilbert92.lean)

State before:
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹¹ : Field k
inst✝¹⁰ : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup G
inst✝⁸ : CommGroup H
inst✝⁷ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r : ℕ
inst✝⁶ : DistribMulAction H G
inst✝⁵ : Module.Free ℤ G
inst✝⁴ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r * (↑p - 1)
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : IsGalois k K
inst✝¹ : FiniteDimensional k K
inst✝ : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
x : (𝓞 K)ˣ
n : ℕ
⊢ mkG (x ^ n) = n • mkG x
Tactic:
induction n with
| zero => simp [unit_to_U_one]
| succ n IH => simp [unit_to_U_mul, pow_succ, succ_nsmul, IH]
State after:
no goals

State before:
case zero
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹¹ : Field k
inst✝¹⁰ : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup G
inst✝⁸ : CommGroup H
inst✝⁷ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r : ℕ
inst✝⁶ : DistribMulAction H G
inst✝⁵ : Module.Free ℤ G
inst✝⁴ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r * (↑p - 1)
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : IsGalois k K
inst✝¹ : FiniteDimensional k K
inst✝ : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
x : (𝓞 K)ˣ
⊢ mkG (x ^ 0) = 0 • mkG x
Tactic:
simp [unit_to_U_one]
State after:
no goals

State before:
case succ
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹³ : Field K
inst✝¹² : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹¹ : Field k
inst✝¹⁰ : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝⁹ : AddCommGroup G
inst✝⁸ : CommGroup H
inst✝⁷ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r : ℕ
inst✝⁶ : DistribMulAction H G
inst✝⁵ : Module.Free ℤ G
inst✝⁴ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r * (↑p - 1)
inst✝³ : Algebra k K
inst✝² : IsGalois k K
inst✝¹ : FiniteDimensional k K
inst✝ : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
x : (𝓞 K)ˣ
n : ℕ
IH : mkG (x ^ n) = n • mkG x
⊢ mkG (x ^ (n + 1)) = (n + 1) • mkG x
Tactic:
simp [unit_to_U_mul, pow_succ, succ_nsmul, IH]
State after:
no goals