Theorem: Probly.flip.arg_x.randDeriv_rule (Probly/Flip.lean)

State before:
W : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup W
inst✝¹² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹¹ : MeasurableSpace W
X : Type ?u.21696
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ X
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
Y : Type ?u.21813
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ Y
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
Z : Type ?u.21930
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace ℝ Z
inst✝² : MeasurableSpace Z
α : Type ?u.22047
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type ?u.22053
inst✝ : MeasurableSpace β
x : W → ℝ
hf : Differentiable ℝ x
⊢ (randDeriv fun w => flip (x w)) = fun w dw =>
    let dx' := (fderiv ℝ x w) dw;
    dx' • dflip
Tactic:
simp (disch:=sorry) [rand_simp]
State after:
W : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup W
inst✝¹² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹¹ : MeasurableSpace W
X : Type ?u.21696
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ X
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
Y : Type ?u.21813
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ Y
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
Z : Type ?u.21930
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace ℝ Z
inst✝² : MeasurableSpace Z
α : Type ?u.22047
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type ?u.22053
inst✝ : MeasurableSpace β
x : W → ℝ
hf : Differentiable ℝ x
⊢ (fun x_1 dx => randDeriv flip (x x_1) ((fderiv ℝ (fun x_2 => x x_2) x_1) dx)) = fun w dw => (fderiv ℝ x w) dw • dflip

State before:
W : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup W
inst✝¹² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹¹ : MeasurableSpace W
X : Type ?u.21696
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ X
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
Y : Type ?u.21813
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ Y
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
Z : Type ?u.21930
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace ℝ Z
inst✝² : MeasurableSpace Z
α : Type ?u.22047
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type ?u.22053
inst✝ : MeasurableSpace β
x : W → ℝ
hf : Differentiable ℝ x
⊢ (fun x_1 dx => randDeriv flip (x x_1) ((fderiv ℝ (fun x_2 => x x_2) x_1) dx)) = fun w dw => (fderiv ℝ x w) dw • dflip
Tactic:
funext w dw
State after:
case h.h
W : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup W
inst✝¹² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹¹ : MeasurableSpace W
X : Type ?u.21696
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ X
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
Y : Type ?u.21813
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ Y
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
Z : Type ?u.21930
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace ℝ Z
inst✝² : MeasurableSpace Z
α : Type ?u.22047
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type ?u.22053
inst✝ : MeasurableSpace β
x : W → ℝ
hf : Differentiable ℝ x
w dw : W
⊢ randDeriv flip (x w) ((fderiv ℝ (fun x_1 => x x_1) w) dw) = (fderiv ℝ x w) dw • dflip

State before:
case h.h
W : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup W
inst✝¹² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹¹ : MeasurableSpace W
X : Type ?u.21696
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ X
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
Y : Type ?u.21813
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ Y
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
Z : Type ?u.21930
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace ℝ Z
inst✝² : MeasurableSpace Z
α : Type ?u.22047
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type ?u.22053
inst✝ : MeasurableSpace β
x : W → ℝ
hf : Differentiable ℝ x
w dw : W
⊢ randDeriv flip (x w) ((fderiv ℝ (fun x_1 => x x_1) w) dw) = (fderiv ℝ x w) dw • dflip
Tactic:
simp [randDeriv]
State after:
case h.h
W : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup W
inst✝¹² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹¹ : MeasurableSpace W
X : Type ?u.21696
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ X
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
Y : Type ?u.21813
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ Y
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
Z : Type ?u.21930
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace ℝ Z
inst✝² : MeasurableSpace Z
α : Type ?u.22047
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type ?u.22053
inst✝ : MeasurableSpace β
x : W → ℝ
hf : Differentiable ℝ x
w dw : W
⊢ {
      action := fun φ =>
        (fderiv ℝ (fun x' => x' * φ true + (1 - x') * φ false) (x w)) ((fderiv ℝ (fun x_1 => x x_1) w) dw) } =
    (fderiv ℝ x w) dw • dflip

State before:
case h.h
W : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup W
inst✝¹² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹¹ : MeasurableSpace W
X : Type ?u.21696
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ X
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
Y : Type ?u.21813
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ Y
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
Z : Type ?u.21930
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace ℝ Z
inst✝² : MeasurableSpace Z
α : Type ?u.22047
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type ?u.22053
inst✝ : MeasurableSpace β
x : W → ℝ
hf : Differentiable ℝ x
w dw : W
⊢ {
      action := fun φ =>
        (fderiv ℝ (fun x' => x' * φ true + (1 - x') * φ false) (x w)) ((fderiv ℝ (fun x_1 => x x_1) w) dw) } =
    (fderiv ℝ x w) dw • dflip
Tactic:
apply DRand.ext
State after:
case h.h.a
W : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup W
inst✝¹² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹¹ : MeasurableSpace W
X : Type ?u.21696
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ X
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
Y : Type ?u.21813
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ Y
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
Z : Type ?u.21930
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace ℝ Z
inst✝² : MeasurableSpace Z
α : Type ?u.22047
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type ?u.22053
inst✝ : MeasurableSpace β
x : W → ℝ
hf : Differentiable ℝ x
w dw : W
⊢ ∀ (φ : Bool → ℝ),
    {
            action := fun φ =>
              (fderiv ℝ (fun x' => x' * φ true + (1 - x') * φ false) (x w))
                ((fderiv ℝ (fun x_1 => x x_1) w) dw) }.action
        φ =
      ((fderiv ℝ x w) dw • dflip).action φ

State before:
case h.h.a
W : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup W
inst✝¹² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹¹ : MeasurableSpace W
X : Type ?u.21696
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ X
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
Y : Type ?u.21813
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ Y
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
Z : Type ?u.21930
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace ℝ Z
inst✝² : MeasurableSpace Z
α : Type ?u.22047
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type ?u.22053
inst✝ : MeasurableSpace β
x : W → ℝ
hf : Differentiable ℝ x
w dw : W
⊢ ∀ (φ : Bool → ℝ),
    {
            action := fun φ =>
              (fderiv ℝ (fun x' => x' * φ true + (1 - x') * φ false) (x w))
                ((fderiv ℝ (fun x_1 => x x_1) w) dw) }.action
        φ =
      ((fderiv ℝ x w) dw • dflip).action φ
Tactic:
intro φ
State after:
case h.h.a
W : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup W
inst✝¹² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹¹ : MeasurableSpace W
X : Type ?u.21696
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ X
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
Y : Type ?u.21813
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ Y
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
Z : Type ?u.21930
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace ℝ Z
inst✝² : MeasurableSpace Z
α : Type ?u.22047
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type ?u.22053
inst✝ : MeasurableSpace β
x : W → ℝ
hf : Differentiable ℝ x
w dw : W
φ : Bool → ℝ
⊢ {
          action := fun φ =>
            (fderiv ℝ (fun x' => x' * φ true + (1 - x') * φ false) (x w)) ((fderiv ℝ (fun x_1 => x x_1) w) dw) }.action
      φ =
    ((fderiv ℝ x w) dw • dflip).action φ

State before:
case h.h.a
W : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup W
inst✝¹² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹¹ : MeasurableSpace W
X : Type ?u.21696
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ X
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
Y : Type ?u.21813
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ Y
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
Z : Type ?u.21930
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace ℝ Z
inst✝² : MeasurableSpace Z
α : Type ?u.22047
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type ?u.22053
inst✝ : MeasurableSpace β
x : W → ℝ
hf : Differentiable ℝ x
w dw : W
φ : Bool → ℝ
⊢ {
          action := fun φ =>
            (fderiv ℝ (fun x' => x' * φ true + (1 - x') * φ false) (x w)) ((fderiv ℝ (fun x_1 => x x_1) w) dw) }.action
      φ =
    ((fderiv ℝ x w) dw • dflip).action φ
Tactic:
simp[dflip,rand_simp]
State after:
case h.h.a
W : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup W
inst✝¹² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹¹ : MeasurableSpace W
X : Type ?u.21696
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ X
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
Y : Type ?u.21813
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ Y
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
Z : Type ?u.21930
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace ℝ Z
inst✝² : MeasurableSpace Z
α : Type ?u.22047
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type ?u.22053
inst✝ : MeasurableSpace β
x : W → ℝ
hf : Differentiable ℝ x
w dw : W
φ : Bool → ℝ
⊢ (fderiv ℝ (fun x' => x' * φ true + (1 - x') * φ false) (x w)) ((fderiv ℝ (fun x_1 => x x_1) w) dw) =
    (fderiv ℝ x w) dw * (φ true - φ false)

State before:
case h.h.a
W : Type u_1
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup W
inst✝¹² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹¹ : MeasurableSpace W
X : Type ?u.21696
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ X
inst✝⁸ : MeasurableSpace X
Y : Type ?u.21813
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ Y
inst✝⁵ : MeasurableSpace Y
Z : Type ?u.21930
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace ℝ Z
inst✝² : MeasurableSpace Z
α : Type ?u.22047
inst✝¹ : MeasurableSpace α
β : Type ?u.22053
inst✝ : MeasurableSpace β
x : W → ℝ
hf : Differentiable ℝ x
w dw : W
φ : Bool → ℝ
⊢ (fderiv ℝ (fun x' => x' * φ true + (1 - x') * φ false) (x w)) ((fderiv ℝ (fun x_1 => x x_1) w) dw) =
    (fderiv ℝ x w) dw * (φ true - φ false)
Tactic:
sorry
State after:
no goals