Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Bounded.retraction (Arithmetization/Definability/Definability.lean)

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
f : (Fin k → M) → M
hf : Bounded L f
e : Fin k → Fin n
⊢ Bounded L fun v => f fun i => v (e i)
Tactic:
rcases hf with ⟨t, ht⟩
State after:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
f : (Fin k → M) → M
e : Fin k → Fin n
t : Semiterm L M k
ht : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id t
⊢ Bounded L fun v => f fun i => v (e i)

State before:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
f : (Fin k → M) → M
e : Fin k → Fin n
t : Semiterm L M k
ht : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id t
⊢ Bounded L fun v => f fun i => v (e i)
Tactic:
exact ⟨Rew.substs (fun x ↦ #(e x)) t, by intro; simp [Semiterm.val_substs, ht]⟩
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
f : (Fin k → M) → M
e : Fin k → Fin n
t : Semiterm L M k
ht : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id t
⊢ ∀ (v : Fin n → M), (f fun i => v (e i)) ≤ Semiterm.valm M v id ((Rew.substs fun x => #(e x)) t)
Tactic:
intro
State after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
f : (Fin k → M) → M
e : Fin k → Fin n
t : Semiterm L M k
ht : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id t
v✝ : Fin n → M
⊢ (f fun i => v✝ (e i)) ≤ Semiterm.valm M v✝ id ((Rew.substs fun x => #(e x)) t)

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
f : (Fin k → M) → M
e : Fin k → Fin n
t : Semiterm L M k
ht : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id t
v✝ : Fin n → M
⊢ (f fun i => v✝ (e i)) ≤ Semiterm.valm M v✝ id ((Rew.substs fun x => #(e x)) t)
Tactic:
simp [Semiterm.val_substs, ht]
State after:
no goals