Theorem: SciLean.HasAdjDiff.let_rule (SciLean/Core/FunctionPropositions/HasAdjDiff.lean)

State before:
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.14506
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.14533
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y → Z
g : X → Y
hf : HasAdjDiff K ↿f
hg : HasAdjDiff K g
⊢ HasAdjDiff K fun x =>
    let y := g x;
    f x y
Tactic:
intro x
State after:
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.14506
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.14533
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y → Z
g : X → Y
hf : HasAdjDiff K ↿f
hg : HasAdjDiff K g
x : X
⊢ HasAdjDiffAt K
    (fun x =>
      let y := g x;
      f x y)
    x

State before:
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.14506
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.14533
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y → Z
g : X → Y
hf : HasAdjDiff K ↿f
hg : HasAdjDiff K g
x : X
⊢ HasAdjDiffAt K
    (fun x =>
      let y := g x;
      f x y)
    x
Tactic:
constructor
State after:
case left
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.14506
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.14533
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y → Z
g : X → Y
hf : HasAdjDiff K ↿f
hg : HasAdjDiff K g
x : X
⊢ CDifferentiableAt K
    (fun x =>
      let y := g x;
      f x y)
    x

case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.14506
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.14533
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y → Z
g : X → Y
hf : HasAdjDiff K ↿f
hg : HasAdjDiff K g
x : X
⊢ HasSemiAdjoint K
    (cderiv K
      (fun x =>
        let y := g x;
        f x y)
      x)

State before:
case left
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.14506
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.14533
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y → Z
g : X → Y
hf : HasAdjDiff K ↿f
hg : HasAdjDiff K g
x : X
⊢ CDifferentiableAt K
    (fun x =>
      let y := g x;
      f x y)
    x

case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.14506
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.14533
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y → Z
g : X → Y
hf : HasAdjDiff K ↿f
hg : HasAdjDiff K g
x : X
⊢ HasSemiAdjoint K
    (cderiv K
      (fun x =>
        let y := g x;
        f x y)
      x)
Tactic:
. fun_prop
State after:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.14506
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.14533
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y → Z
g : X → Y
hf : HasAdjDiff K ↿f
hg : HasAdjDiff K g
x : X
⊢ HasSemiAdjoint K
    (cderiv K
      (fun x =>
        let y := g x;
        f x y)
      x)

State before:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.14506
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.14533
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y → Z
g : X → Y
hf : HasAdjDiff K ↿f
hg : HasAdjDiff K g
x : X
⊢ HasSemiAdjoint K
    (cderiv K
      (fun x =>
        let y := g x;
        f x y)
      x)
Tactic:
. fun_trans; fun_prop
State after:
no goals

State before:
case left
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.14506
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.14533
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y → Z
g : X → Y
hf : HasAdjDiff K ↿f
hg : HasAdjDiff K g
x : X
⊢ CDifferentiableAt K
    (fun x =>
      let y := g x;
      f x y)
    x
Tactic:
fun_prop
State after:
no goals

State before:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.14506
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.14533
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y → Z
g : X → Y
hf : HasAdjDiff K ↿f
hg : HasAdjDiff K g
x : X
⊢ HasSemiAdjoint K
    (cderiv K
      (fun x =>
        let y := g x;
        f x y)
      x)
Tactic:
fun_trans
State after:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.14506
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.14533
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y → Z
g : X → Y
hf : HasAdjDiff K ↿f
hg : HasAdjDiff K g
x : X
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => cderiv K (fun xy => f xy.1 xy.2) (x, g x) (dx, cderiv K (fun x => g x) x dx)

State before:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type ?u.14506
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.14533
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y → Z
g : X → Y
hf : HasAdjDiff K ↿f
hg : HasAdjDiff K g
x : X
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => cderiv K (fun xy => f xy.1 xy.2) (x, g x) (dx, cderiv K (fun x => g x) x dx)
Tactic:
fun_prop
State after:
no goals