Theorem: SciLean.semiAdjoint.dite.arg_te.semiAdjoint_rule (SciLean/Core/FunctionTransformations/SemiAdjoint.lean)

State before:
K✝ : Type ?u.34704
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34710
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34723
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34734
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34745
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34772
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34818
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34829
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34840
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34867
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
dec : Decidable c
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
⊢ (semiAdjoint K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then semiAdjoint K (t p) y else semiAdjoint K (e p) y
Tactic:
induction dec
State after:
case isFalse
K✝ : Type ?u.34704
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34710
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34723
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34734
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34745
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34772
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34818
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34829
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34840
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34867
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h✝ : ¬c
⊢ (semiAdjoint K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then semiAdjoint K (t p) y else semiAdjoint K (e p) y

case isTrue
K✝ : Type ?u.34704
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34710
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34723
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34734
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34745
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34772
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34818
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34829
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34840
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34867
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h✝ : c
⊢ (semiAdjoint K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then semiAdjoint K (t p) y else semiAdjoint K (e p) y

State before:
K✝ : Type ?u.34704
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34710
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34723
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34734
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34745
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34772
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34818
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34829
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34840
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34867
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : c
⊢ (semiAdjoint K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then semiAdjoint K (t p) y else semiAdjoint K (e p) y
Tactic:
case isTrue h  => ext y; simp[h]
State after:
no goals

State before:
K✝ : Type ?u.34704
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34710
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34723
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34734
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34745
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34772
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34818
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34829
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34840
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34867
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : ¬c
⊢ (semiAdjoint K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then semiAdjoint K (t p) y else semiAdjoint K (e p) y
Tactic:
case isFalse h => ext y; simp[h]
State after:
no goals

State before:
K✝ : Type ?u.34704
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34710
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34723
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34734
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34745
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34772
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34818
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34829
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34840
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34867
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : c
⊢ (semiAdjoint K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then semiAdjoint K (t p) y else semiAdjoint K (e p) y
Tactic:
ext y
State after:
case h
K✝ : Type ?u.34704
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34710
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34723
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34734
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34745
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34772
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34818
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34829
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34840
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34867
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : c
y : Y
⊢ semiAdjoint K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y =
    if p : c then semiAdjoint K (t p) y else semiAdjoint K (e p) y

State before:
case h
K✝ : Type ?u.34704
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34710
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34723
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34734
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34745
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34772
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34818
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34829
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34840
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34867
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : c
y : Y
⊢ semiAdjoint K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y =
    if p : c then semiAdjoint K (t p) y else semiAdjoint K (e p) y
Tactic:
simp[h]
State after:
no goals

State before:
K✝ : Type ?u.34704
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34710
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34723
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34734
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34745
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34772
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34818
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34829
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34840
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34867
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : ¬c
⊢ (semiAdjoint K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then semiAdjoint K (t p) y else semiAdjoint K (e p) y
Tactic:
ext y
State after:
case h
K✝ : Type ?u.34704
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34710
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34723
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34734
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34745
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34772
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34818
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34829
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34840
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34867
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : ¬c
y : Y
⊢ semiAdjoint K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y =
    if p : c then semiAdjoint K (t p) y else semiAdjoint K (e p) y

State before:
case h
K✝ : Type ?u.34704
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34710
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34723
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34734
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34745
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34772
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34818
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34829
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34840
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34867
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : ¬c
y : Y
⊢ semiAdjoint K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y =
    if p : c then semiAdjoint K (t p) y else semiAdjoint K (e p) y
Tactic:
simp[h]
State after:
no goals