Theorem: Imo2005P3.key_insight (Compfiles/Imo2005P3.lean)

State before:
x y z : ℝ
hx : x > 0
hy : y > 0
hz : z > 0
h : x * y * z ≥ 1
⊢ (x ^ 5 - x ^ 2) / (x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) ≥ (x ^ 2 - y * z) / (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)
Tactic:
have key :
  (x ^ 5 - x ^ 2) / (x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) -
      (x ^ 5 - x ^ 2 * 1) / (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)) =
    (x ^ 3 - 1) ^ 2 * x ^ 2 * (y ^ 2 + z ^ 2) /
      ((x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) * (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2))) := by
  field_simp
  ring
State after:
x y z : ℝ
hx : x > 0
hy : y > 0
hz : z > 0
h : x * y * z ≥ 1
key :
  (x ^ 5 - x ^ 2) / (x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) - (x ^ 5 - x ^ 2 * 1) / (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)) =
    (x ^ 3 - 1) ^ 2 * x ^ 2 * (y ^ 2 + z ^ 2) / ((x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) * (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)))
⊢ (x ^ 5 - x ^ 2) / (x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) ≥ (x ^ 2 - y * z) / (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)

State before:
x y z : ℝ
hx : x > 0
hy : y > 0
hz : z > 0
h : x * y * z ≥ 1
key :
  (x ^ 5 - x ^ 2) / (x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) - (x ^ 5 - x ^ 2 * 1) / (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)) =
    (x ^ 3 - 1) ^ 2 * x ^ 2 * (y ^ 2 + z ^ 2) / ((x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) * (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)))
⊢ (x ^ 5 - x ^ 2) / (x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) ≥ (x ^ 2 - y * z) / (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)
Tactic:
have h₅ :
  (x ^ 3 - 1) ^ 2 * x ^ 2 * (y ^ 2 + z ^ 2) /
      ((x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) * (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2))) ≥ 0 := by positivity
State after:
x y z : ℝ
hx : x > 0
hy : y > 0
hz : z > 0
h : x * y * z ≥ 1
key :
  (x ^ 5 - x ^ 2) / (x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) - (x ^ 5 - x ^ 2 * 1) / (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)) =
    (x ^ 3 - 1) ^ 2 * x ^ 2 * (y ^ 2 + z ^ 2) / ((x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) * (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)))
h₅ : (x ^ 3 - 1) ^ 2 * x ^ 2 * (y ^ 2 + z ^ 2) / ((x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) * (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2))) ≥ 0
⊢ (x ^ 5 - x ^ 2) / (x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) ≥ (x ^ 2 - y * z) / (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)

State before:
x y z : ℝ
hx : x > 0
hy : y > 0
hz : z > 0
h : x * y * z ≥ 1
key :
  (x ^ 5 - x ^ 2) / (x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) - (x ^ 5 - x ^ 2 * 1) / (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)) =
    (x ^ 3 - 1) ^ 2 * x ^ 2 * (y ^ 2 + z ^ 2) / ((x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) * (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)))
h₅ : (x ^ 3 - 1) ^ 2 * x ^ 2 * (y ^ 2 + z ^ 2) / ((x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) * (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2))) ≥ 0
⊢ (x ^ 5 - x ^ 2) / (x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) ≥ (x ^ 2 - y * z) / (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)
Tactic:
calc
  (x ^ 5 - x ^ 2) / (x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2)
    ≥ (x ^ 5 - x ^ 2 * 1) / (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)) := by linarith only [key, h₅]
  _ ≥ (x ^ 5 - x ^ 2 * (x * y * z)) / (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)) := by gcongr
  _ = (x ^ 2 - y * z) / (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) := by field_simp; ring
State after:
no goals

State before:
x y z : ℝ
hx : x > 0
hy : y > 0
hz : z > 0
h : x * y * z ≥ 1
⊢ (x ^ 5 - x ^ 2) / (x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) - (x ^ 5 - x ^ 2 * 1) / (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)) =
    (x ^ 3 - 1) ^ 2 * x ^ 2 * (y ^ 2 + z ^ 2) / ((x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) * (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)))
Tactic:
field_simp
State after:
x y z : ℝ
hx : x > 0
hy : y > 0
hz : z > 0
h : x * y * z ≥ 1
⊢ (x ^ 5 - x ^ 2) * (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)) - (x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) * (x ^ 5 - x ^ 2) =
    (x ^ 3 - 1) ^ 2 * x ^ 2 * (y ^ 2 + z ^ 2)

State before:
x y z : ℝ
hx : x > 0
hy : y > 0
hz : z > 0
h : x * y * z ≥ 1
⊢ (x ^ 5 - x ^ 2) * (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)) - (x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) * (x ^ 5 - x ^ 2) =
    (x ^ 3 - 1) ^ 2 * x ^ 2 * (y ^ 2 + z ^ 2)
Tactic:
ring
State after:
no goals

State before:
x y z : ℝ
hx : x > 0
hy : y > 0
hz : z > 0
h : x * y * z ≥ 1
key :
  (x ^ 5 - x ^ 2) / (x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) - (x ^ 5 - x ^ 2 * 1) / (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)) =
    (x ^ 3 - 1) ^ 2 * x ^ 2 * (y ^ 2 + z ^ 2) / ((x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) * (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)))
⊢ (x ^ 3 - 1) ^ 2 * x ^ 2 * (y ^ 2 + z ^ 2) / ((x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) * (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2))) ≥ 0
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
x y z : ℝ
hx : x > 0
hy : y > 0
hz : z > 0
h : x * y * z ≥ 1
key :
  (x ^ 5 - x ^ 2) / (x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) - (x ^ 5 - x ^ 2 * 1) / (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)) =
    (x ^ 3 - 1) ^ 2 * x ^ 2 * (y ^ 2 + z ^ 2) / ((x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) * (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)))
h₅ : (x ^ 3 - 1) ^ 2 * x ^ 2 * (y ^ 2 + z ^ 2) / ((x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) * (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2))) ≥ 0
⊢ (x ^ 5 - x ^ 2) / (x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) ≥ (x ^ 5 - x ^ 2 * 1) / (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2))
Tactic:
linarith only [key, h₅]
State after:
no goals

State before:
x y z : ℝ
hx : x > 0
hy : y > 0
hz : z > 0
h : x * y * z ≥ 1
key :
  (x ^ 5 - x ^ 2) / (x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) - (x ^ 5 - x ^ 2 * 1) / (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)) =
    (x ^ 3 - 1) ^ 2 * x ^ 2 * (y ^ 2 + z ^ 2) / ((x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) * (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)))
h₅ : (x ^ 3 - 1) ^ 2 * x ^ 2 * (y ^ 2 + z ^ 2) / ((x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) * (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2))) ≥ 0
⊢ (x ^ 5 - x ^ 2 * 1) / (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)) ≥
    (x ^ 5 - x ^ 2 * (x * y * z)) / (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2))
Tactic:
gcongr
State after:
no goals

State before:
x y z : ℝ
hx : x > 0
hy : y > 0
hz : z > 0
h : x * y * z ≥ 1
key :
  (x ^ 5 - x ^ 2) / (x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) - (x ^ 5 - x ^ 2 * 1) / (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)) =
    (x ^ 3 - 1) ^ 2 * x ^ 2 * (y ^ 2 + z ^ 2) / ((x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) * (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)))
h₅ : (x ^ 3 - 1) ^ 2 * x ^ 2 * (y ^ 2 + z ^ 2) / ((x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) * (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2))) ≥ 0
⊢ (x ^ 5 - x ^ 2 * (x * y * z)) / (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)) = (x ^ 2 - y * z) / (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)
Tactic:
field_simp
State after:
x y z : ℝ
hx : x > 0
hy : y > 0
hz : z > 0
h : x * y * z ≥ 1
key :
  (x ^ 5 - x ^ 2) / (x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) - (x ^ 5 - x ^ 2 * 1) / (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)) =
    (x ^ 3 - 1) ^ 2 * x ^ 2 * (y ^ 2 + z ^ 2) / ((x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) * (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)))
h₅ : (x ^ 3 - 1) ^ 2 * x ^ 2 * (y ^ 2 + z ^ 2) / ((x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) * (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2))) ≥ 0
⊢ (x ^ 5 - x ^ 2 * (x * y * z)) * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) = (x ^ 2 - y * z) * (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2))

State before:
x y z : ℝ
hx : x > 0
hy : y > 0
hz : z > 0
h : x * y * z ≥ 1
key :
  (x ^ 5 - x ^ 2) / (x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) - (x ^ 5 - x ^ 2 * 1) / (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)) =
    (x ^ 3 - 1) ^ 2 * x ^ 2 * (y ^ 2 + z ^ 2) / ((x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) * (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)))
h₅ : (x ^ 3 - 1) ^ 2 * x ^ 2 * (y ^ 2 + z ^ 2) / ((x ^ 5 + y ^ 2 + z ^ 2) * (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2))) ≥ 0
⊢ (x ^ 5 - x ^ 2 * (x * y * z)) * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2) = (x ^ 2 - y * z) * (x ^ 3 * (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2))
Tactic:
ring
State after:
no goals