Theorem: descent_gcd3 (Flt/Euler.lean)

State before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
h3_dvd_p : 3 ∣ p
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧ b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * p) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3
Tactic:
have h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q := by
  intro H
  have := hcoprime.isUnit_of_dvd' h3_dvd_p H
  rw [Int.isUnit_iff_natAbs_eq] at this
  norm_num at this
State after:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
h3_dvd_p : 3 ∣ p
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧ b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * p) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3

State before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
h3_dvd_p : 3 ∣ p
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧ b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * p) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3
Tactic:
obtain ⟨s, rfl⟩ := h3_dvd_p
State after:
case intro
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s)) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3

State before:
case intro
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s)) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3
Tactic:
have hspos : s ≠ 0 := right_ne_zero_of_mul hp
State after:
case intro
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s)) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3

State before:
case intro
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s)) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3
Tactic:
have hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) := by
  ring
State after:
case intro
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s)) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3

State before:
case intro
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s)) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3
Tactic:
have hodd' : Even q ↔ ¬Even s :=
  by
  rw [Iff.comm, not_iff_comm, Iff.comm]
  simpa [parity_simps] using hodd
State after:
case intro
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s)) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3

State before:
case intro
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s)) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3
Tactic:
have hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) :=
  descent_gcd3_coprime h3_ndvd_q hspos hcoprime' hodd'
State after:
case intro
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s)) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3

State before:
case intro
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s)) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3
Tactic:
obtain ⟨r, hr⟩ : ∃ r, 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3 := by
  rcases hcube with (hcube | hcube | hcube) <;> [(use a), (use b), (use c)] <;> exact hcube
State after:
case intro.intro
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ?m.138743
hr : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s)) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3

State before:
case intro.intro
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ?m.138743
hr : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s)) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3
Tactic:
rw [hps] at hr
State after:
case intro.intro
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ?m.138743
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s)) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3

a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
⊢ Type ?u.138629

a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
⊢ ?m.138743 → Type ?u.138628

a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
⊢ (r : ?m.138743) → HPow ?m.138743 (?m.138939 r) ℤ

a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
⊢ (r : ?m.138743) → OfNat (?m.138939 r) 3

State before:
case intro.intro
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ?m.138743
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s)) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3

a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
⊢ Type ?u.138629

a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
⊢ ?m.138743 → Type ?u.138628

a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
⊢ (r : ?m.138743) → HPow ?m.138743 (?m.138939 r) ℤ

a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
⊢ (r : ?m.138743) → OfNat (?m.138939 r) 3
Tactic:
have : Odd 3 := by norm_num
State after:
case intro.intro
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s)) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3

State before:
case intro.intro
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s)) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3
Tactic:
obtain ⟨hcubeleft, hcuberight⟩ := Int.eq_pow_of_mul_eq_pow_odd hcoprime'' this hr
State after:
case intro.intro.intro
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 3 ^ 2 * 2 * s = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s)) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3

State before:
case intro.intro.intro
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 3 ^ 2 * 2 * s = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s)) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3
Tactic:
obtain ⟨u, v, hq, hs, huvcoprime, huvodd⟩ := obscure' q s hq hcoprime'.symm hodd' hcuberight
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 3 ^ 2 * 2 * s = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s)) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 3 ^ 2 * 2 * s = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s)) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3
Tactic:
have hv : v ≠ 0 := by
  rintro rfl
  norm_num at hs
  contradiction
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 3 ^ 2 * 2 * s = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s)) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 3 ^ 2 * 2 * s = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s)) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3
Tactic:
obtain ⟨haddcoprime, hsubcoprime, haddsubcoprime⟩ := gcd3_coprime huvcoprime huvodd
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 3 ^ 2 * 2 * s = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s)) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 3 ^ 2 * 2 * s = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s)) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3
Tactic:
obtain ⟨e, he⟩ := hcubeleft
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
e : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = e ^ 3
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s)) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
e : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = e ^ 3
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s)) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3
Tactic:
have : 3 ∣ e :=
  by
  rw [← Int.pow_dvd_pow_iff (by norm_num : 0 < 3), ← he, hs]
  convert dvd_mul_right _ (2 * v * (u - v) * (u + v)) using 1
  norm_num
  ring
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this✝ : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
e : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = e ^ 3
this : 3 ∣ e
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s)) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this✝ : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
e : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = e ^ 3
this : 3 ∣ e
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s)) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3
Tactic:
obtain ⟨t, rfl⟩ := this
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s)) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s)) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3
Tactic:
have ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3 :=
  by
  have : (3 ^ 3 : ℤ) ≠ 0 := by norm_num
  rw [← mul_right_inj' this, ← mul_pow, ← he, hs]
  ring
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s)) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
⊢ ∃ a' b' c',
    a' ≠ 0 ∧
      b' ≠ 0 ∧ c' ≠ 0 ∧ Int.natAbs (a' ^ 3 * b' ^ 3 * c' ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s)) ∧ a' ^ 3 + b' ^ 3 = c' ^ 3
Tactic:
refine' ⟨A, B, C, HApos, HBpos, HCpos, _, _⟩
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
⊢ Int.natAbs (A ^ 3 * B ^ 3 * C ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s))

case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
⊢ A ^ 3 + B ^ 3 = C ^ 3

State before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
⊢ 3 ∣ p
Tactic:
apply Int.dvd_mul_cancel_prime' _ dvd_rfl Int.prime_two
State after:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
⊢ 3 ∣ 2 * p

a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
⊢ ¬2 ∣ 3

State before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
⊢ 3 ∣ 2 * p
Tactic:
zify  at hgcd
State after:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : ↑(Int.gcd (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)) = 3
⊢ 3 ∣ 2 * p

State before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : ↑(Int.gcd (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)) = 3
⊢ 3 ∣ 2 * p
Tactic:
rw [← hgcd]
State after:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : ↑(Int.gcd (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)) = 3
⊢ ↑(Int.gcd (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)) ∣ 2 * p

State before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : ↑(Int.gcd (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)) = 3
⊢ ↑(Int.gcd (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2)) ∣ 2 * p
Tactic:
exact Int.gcd_dvd_left _ _
State after:
no goals

State before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
⊢ ¬2 ∣ 3
Tactic:
norm_num
State after:
no goals

State before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
h3_dvd_p : 3 ∣ p
⊢ ¬3 ∣ q
Tactic:
intro H
State after:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
h3_dvd_p : 3 ∣ p
H : 3 ∣ q
⊢ False

State before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
h3_dvd_p : 3 ∣ p
H : 3 ∣ q
⊢ False
Tactic:
have := hcoprime.isUnit_of_dvd' h3_dvd_p H
State after:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
h3_dvd_p : 3 ∣ p
H : 3 ∣ q
this : IsUnit 3
⊢ False

State before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
h3_dvd_p : 3 ∣ p
H : 3 ∣ q
this : IsUnit 3
⊢ False
Tactic:
rw [Int.isUnit_iff_natAbs_eq] at this
State after:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
h3_dvd_p : 3 ∣ p
H : 3 ∣ q
this : Int.natAbs 3 = 1
⊢ False

State before:
a b c p q : ℤ
hp : p ≠ 0
hq : q ≠ 0
hcoprime : IsCoprime p q
hodd : Even p ↔ ¬Even q
hcube : 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * p * (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * p) (p ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
h3_dvd_p : 3 ∣ p
H : 3 ∣ q
this : Int.natAbs 3 = 1
⊢ False
Tactic:
norm_num at this
State after:
no goals

State before:
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
⊢ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
Tactic:
ring
State after:
no goals

State before:
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
⊢ IsCoprime s q
Tactic:
apply isCoprime_of_prime_dvd
State after:
case nonzero
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
⊢ ¬(s = 0 ∧ q = 0)

case H
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
⊢ ∀ (z : ℤ), Prime z → z ∣ s → ¬z ∣ q

State before:
case H
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
⊢ ∀ (z : ℤ), Prime z → z ∣ s → ¬z ∣ q
Tactic:
intro k hkprime hkdvdleft hkdvdright
State after:
case H
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
k : ℤ
hkprime : Prime k
hkdvdleft : k ∣ s
hkdvdright : k ∣ q
⊢ False

State before:
case H
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
k : ℤ
hkprime : Prime k
hkdvdleft : k ∣ s
hkdvdright : k ∣ q
⊢ False
Tactic:
apply hkprime.not_unit
State after:
case H
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
k : ℤ
hkprime : Prime k
hkdvdleft : k ∣ s
hkdvdright : k ∣ q
⊢ IsUnit k

State before:
case H
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
k : ℤ
hkprime : Prime k
hkdvdleft : k ∣ s
hkdvdright : k ∣ q
⊢ IsUnit k
Tactic:
apply hcoprime.isUnit_of_dvd' _ hkdvdright
State after:
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
k : ℤ
hkprime : Prime k
hkdvdleft : k ∣ s
hkdvdright : k ∣ q
⊢ k ∣ 3 * s

State before:
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
k : ℤ
hkprime : Prime k
hkdvdleft : k ∣ s
hkdvdright : k ∣ q
⊢ k ∣ 3 * s
Tactic:
exact hkdvdleft.mul_left 3
State after:
no goals

State before:
case nonzero
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
⊢ ¬(s = 0 ∧ q = 0)
Tactic:
rintro ⟨h1, -⟩
State after:
case nonzero.intro
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
h1 : s = 0
⊢ False

State before:
case nonzero.intro
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
h1 : s = 0
⊢ False
Tactic:
exact hspos h1
State after:
no goals

State before:
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
⊢ Even q ↔ ¬Even s
Tactic:
rw [Iff.comm, not_iff_comm, Iff.comm]
State after:
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
⊢ Even s ↔ ¬Even q

State before:
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
⊢ Even s ↔ ¬Even q
Tactic:
simpa [parity_simps] using hodd
State after:
no goals

State before:
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
⊢ ∃ r, 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
Tactic:
rcases hcube with (hcube | hcube | hcube) <;> [(use a), (use b), (use c)] <;> exact hcube
State after:
no goals

State before:
case inl
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcube : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3
⊢ ∃ r, 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
Tactic:
use a
State after:
case inl
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcube : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3
⊢ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3

State before:
case inr.inl
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcube : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3
⊢ ∃ r, 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
Tactic:
use b
State after:
case inr.inl
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcube : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3
⊢ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3

State before:
case inr.inr
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcube : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
⊢ ∃ r, 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = r ^ 3
Tactic:
use c
State after:
case inr.inr
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcube : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
⊢ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3

State before:
a b c q : ℤ
hq : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
⊢ Odd 3
Tactic:
norm_num
State after:
no goals

State before:
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 3 ^ 2 * 2 * s = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
⊢ v ≠ 0
Tactic:
rintro rfl
State after:
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 3 ^ 2 * 2 * s = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * 0) * (u + 3 * 0)
hs : s = 3 * 0 * (u - 0) * (u + 0)
huvcoprime : IsCoprime u 0
huvodd : Even u ↔ ¬Even 0
⊢ False

State before:
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 3 ^ 2 * 2 * s = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * 0) * (u + 3 * 0)
hs : s = 3 * 0 * (u - 0) * (u + 0)
huvcoprime : IsCoprime u 0
huvodd : Even u ↔ ¬Even 0
⊢ False
Tactic:
norm_num at hs
State after:
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 3 ^ 2 * 2 * s = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * 0) * (u + 3 * 0)
huvcoprime : IsCoprime u 0
huvodd : Even u ↔ ¬Even 0
hs : s = 0
⊢ False

State before:
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcubeleft : ∃ d, 3 ^ 2 * 2 * s = d ^ 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * 0) * (u + 3 * 0)
huvcoprime : IsCoprime u 0
huvodd : Even u ↔ ¬Even 0
hs : s = 0
⊢ False
Tactic:
contradiction
State after:
no goals

State before:
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
e : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = e ^ 3
⊢ 3 ∣ e
Tactic:
rw [← Int.pow_dvd_pow_iff (by norm_num : 0 < 3), ← he, hs]
State after:
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
e : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = e ^ 3
⊢ 3 ^ 3 ∣ 3 ^ 2 * 2 * (3 * v * (u - v) * (u + v))

State before:
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
e : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = e ^ 3
⊢ 3 ^ 3 ∣ 3 ^ 2 * 2 * (3 * v * (u - v) * (u + v))
Tactic:
convert dvd_mul_right _ (2 * v * (u - v) * (u + v)) using 1
State after:
case h.e'_4
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
e : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = e ^ 3
⊢ 3 ^ 2 * 2 * (3 * v * (u - v) * (u + v)) = 3 ^ 3 * (2 * v * (u - v) * (u + v))

State before:
case h.e'_4
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
e : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = e ^ 3
⊢ 3 ^ 2 * 2 * (3 * v * (u - v) * (u + v)) = 3 ^ 3 * (2 * v * (u - v) * (u + v))
Tactic:
norm_num
State after:
case h.e'_4
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
e : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = e ^ 3
⊢ 18 * (3 * v * (u - v) * (u + v)) = 27 * (2 * v * (u - v) * (u + v))

State before:
case h.e'_4
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
e : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = e ^ 3
⊢ 18 * (3 * v * (u - v) * (u + v)) = 27 * (2 * v * (u - v) * (u + v))
Tactic:
ring
State after:
no goals

State before:
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
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haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
e : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = e ^ 3
⊢ 0 < 3
Tactic:
norm_num
State after:
no goals

State before:
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
⊢ 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
Tactic:
have : (3 ^ 3 : ℤ) ≠ 0 := by norm_num
State after:
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this✝ : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
this : 3 ^ 3 ≠ 0
⊢ 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3

State before:
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this✝ : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
this : 3 ^ 3 ≠ 0
⊢ 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
Tactic:
rw [← mul_right_inj' this, ← mul_pow, ← he, hs]
State after:
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this✝ : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
this : 3 ^ 3 ≠ 0
⊢ 3 ^ 3 * (2 * v * (u - v) * (u + v)) = 3 ^ 2 * 2 * (3 * v * (u - v) * (u + v))

State before:
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this✝ : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
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huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
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haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
this : 3 ^ 3 ≠ 0
⊢ 3 ^ 3 * (2 * v * (u - v) * (u + v)) = 3 ^ 2 * 2 * (3 * v * (u - v) * (u + v))
Tactic:
ring
State after:
no goals

State before:
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
⊢ 3 ^ 3 ≠ 0
Tactic:
norm_num
State after:
no goals

State before:
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
⊢ ∃ X Y Z, X ≠ 0 ∧ Y ≠ 0 ∧ Z ≠ 0 ∧ 2 * v = X ^ 3 ∧ u - v = Y ^ 3 ∧ u + v = Z ^ 3
Tactic:
apply Int.cube_of_coprime
State after:
case ha
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
⊢ 2 * v ≠ 0

case hb
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
⊢ u - v ≠ 0

case hc
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
⊢ u + v ≠ 0

case hcoprimeab
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
⊢ IsCoprime (2 * v) (u - v)

case hcoprimeac
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
⊢ IsCoprime (2 * v) (u + v)

case hcoprimebc
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
⊢ IsCoprime (u - v) (u + v)

case hs
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
⊢ 2 * v * (u - v) * (u + v) = ?s ^ 3

case s
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
⊢ ℤ

State before:
case ha
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
⊢ 2 * v ≠ 0
Tactic:
exact mul_ne_zero two_ne_zero hv
State after:
no goals

State before:
case hb
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
⊢ u - v ≠ 0
Tactic:
intro H
State after:
case hb
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
H : u - v = 0
⊢ False

State before:
case hb
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
H : u - v = 0
⊢ False
Tactic:
rw [sub_eq_zero] at H
State after:
case hb
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
H : u = v
⊢ False

State before:
case hb
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
H : u = v
⊢ False
Tactic:
apply iff_not_self
State after:
case hb.a
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
H : u = v
⊢ ?hb.a ↔ ¬?hb.a

case hb.a
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
H : u = v
⊢ Prop

State before:
case hb.a
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
H : u = v
⊢ ?hb.a ↔ ¬?hb.a

case hb.a
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
H : u = v
⊢ Prop
Tactic:
simpa [H, parity_simps] using huvodd
State after:
no goals

State before:
case hc
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
⊢ u + v ≠ 0
Tactic:
intro H
State after:
case hc
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
H : u + v = 0
⊢ False

State before:
case hc
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
H : u + v = 0
⊢ False
Tactic:
rw [add_eq_zero_iff_eq_neg] at H
State after:
case hc
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
H : u = -v
⊢ False

State before:
case hc
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
H : u = -v
⊢ False
Tactic:
apply iff_not_self
State after:
case hc.a
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
H : u = -v
⊢ ?hc.a ↔ ¬?hc.a

case hc.a
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
H : u = -v
⊢ Prop

State before:
case hc.a
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
H : u = -v
⊢ ?hc.a ↔ ¬?hc.a

case hc.a
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
H : u = -v
⊢ Prop
Tactic:
simpa [H, parity_simps] using huvodd
State after:
no goals

State before:
case hcoprimeab
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
⊢ IsCoprime (2 * v) (u - v)
Tactic:
exact hsubcoprime
State after:
no goals

State before:
case hcoprimeac
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
⊢ IsCoprime (2 * v) (u + v)
Tactic:
exact haddcoprime
State after:
no goals

State before:
case hcoprimebc
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
⊢ IsCoprime (u - v) (u + v)
Tactic:
exact haddsubcoprime
State after:
no goals

State before:
case hs
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
⊢ 2 * v * (u - v) * (u + v) = ?s ^ 3
Tactic:
exact ht
State after:
no goals

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
⊢ Int.natAbs (A ^ 3 * B ^ 3 * C ^ 3) ≤ Int.natAbs (2 * (3 * s))
Tactic:
rw [← mul_assoc, mul_comm, ← mul_assoc (C ^ 3), ← HA, ← HB, ← HC]
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
⊢ Int.natAbs ((u + v) * (2 * v) * (u - v)) ≤ Int.natAbs (2 * 3 * s)

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
⊢ Int.natAbs ((u + v) * (2 * v) * (u - v)) ≤ Int.natAbs (2 * 3 * s)
Tactic:
set x := v * (u - v) * (u + v) with hx
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
x : ℤ := v * (u - v) * (u + v)
hx : x = v * (u - v) * (u + v)
⊢ Int.natAbs ((u + v) * (2 * v) * (u - v)) ≤ Int.natAbs (2 * 3 * s)

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
x : ℤ := v * (u - v) * (u + v)
hx : x = v * (u - v) * (u + v)
⊢ Int.natAbs ((u + v) * (2 * v) * (u - v)) ≤ Int.natAbs (2 * 3 * s)
Tactic:
calc
  ((u + v) * (2 * v) * (u - v)).natAbs = (2 * x).natAbs :=
    by
    rw [hx]
    congr 1
    ring
  _ = 2 * x.natAbs := by
    rw [Int.natAbs_mul 2]
    rfl
  _ ≤ 3 * x.natAbs := (Nat.mul_le_mul_right _ (by norm_num))
  _ = (3 * x).natAbs := by
    rw [Int.natAbs_mul 3]
    rfl
  _ = s.natAbs := by
    rw [hx, hs]
    congr 1
    ring
  _ ≤ 2 * 3 * s.natAbs := (Nat.le_mul_of_pos_left (by norm_num))
  _ = (2 * 3 * s).natAbs := by
    rw [Int.natAbs_mul (2 * 3)]
    rfl
State after:
no goals

State before:
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
x : ℤ := v * (u - v) * (u + v)
hx : x = v * (u - v) * (u + v)
⊢ Int.natAbs ((u + v) * (2 * v) * (u - v)) = Int.natAbs (2 * x)
Tactic:
rw [hx]
State after:
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
x : ℤ := v * (u - v) * (u + v)
hx : x = v * (u - v) * (u + v)
⊢ Int.natAbs ((u + v) * (2 * v) * (u - v)) = Int.natAbs (2 * (v * (u - v) * (u + v)))

State before:
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
x : ℤ := v * (u - v) * (u + v)
hx : x = v * (u - v) * (u + v)
⊢ Int.natAbs ((u + v) * (2 * v) * (u - v)) = Int.natAbs (2 * (v * (u - v) * (u + v)))
Tactic:
congr 1
State after:
case e_m
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
x : ℤ := v * (u - v) * (u + v)
hx : x = v * (u - v) * (u + v)
⊢ (u + v) * (2 * v) * (u - v) = 2 * (v * (u - v) * (u + v))

State before:
case e_m
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
x : ℤ := v * (u - v) * (u + v)
hx : x = v * (u - v) * (u + v)
⊢ (u + v) * (2 * v) * (u - v) = 2 * (v * (u - v) * (u + v))
Tactic:
ring
State after:
no goals

State before:
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
x : ℤ := v * (u - v) * (u + v)
hx : x = v * (u - v) * (u + v)
⊢ Int.natAbs (2 * x) = 2 * Int.natAbs x
Tactic:
rw [Int.natAbs_mul 2]
State after:
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
x : ℤ := v * (u - v) * (u + v)
hx : x = v * (u - v) * (u + v)
⊢ Int.natAbs 2 * Int.natAbs x = 2 * Int.natAbs x

State before:
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
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huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
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x : ℤ := v * (u - v) * (u + v)
hx : x = v * (u - v) * (u + v)
⊢ Int.natAbs 2 * Int.natAbs x = 2 * Int.natAbs x
Tactic:
rfl
State after:
no goals

State before:
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
x : ℤ := v * (u - v) * (u + v)
hx : x = v * (u - v) * (u + v)
⊢ 2 ≤ 3
Tactic:
norm_num
State after:
no goals

State before:
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
x : ℤ := v * (u - v) * (u + v)
hx : x = v * (u - v) * (u + v)
⊢ 3 * Int.natAbs x = Int.natAbs (3 * x)
Tactic:
rw [Int.natAbs_mul 3]
State after:
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
x : ℤ := v * (u - v) * (u + v)
hx : x = v * (u - v) * (u + v)
⊢ 3 * Int.natAbs x = Int.natAbs 3 * Int.natAbs x

State before:
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
x : ℤ := v * (u - v) * (u + v)
hx : x = v * (u - v) * (u + v)
⊢ 3 * Int.natAbs x = Int.natAbs 3 * Int.natAbs x
Tactic:
rfl
State after:
no goals

State before:
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
x : ℤ := v * (u - v) * (u + v)
hx : x = v * (u - v) * (u + v)
⊢ Int.natAbs (3 * x) = Int.natAbs s
Tactic:
rw [hx, hs]
State after:
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
x : ℤ := v * (u - v) * (u + v)
hx : x = v * (u - v) * (u + v)
⊢ Int.natAbs (3 * (v * (u - v) * (u + v))) = Int.natAbs (3 * v * (u - v) * (u + v))

State before:
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
x : ℤ := v * (u - v) * (u + v)
hx : x = v * (u - v) * (u + v)
⊢ Int.natAbs (3 * (v * (u - v) * (u + v))) = Int.natAbs (3 * v * (u - v) * (u + v))
Tactic:
congr 1
State after:
case e_m
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
x : ℤ := v * (u - v) * (u + v)
hx : x = v * (u - v) * (u + v)
⊢ 3 * (v * (u - v) * (u + v)) = 3 * v * (u - v) * (u + v)

State before:
case e_m
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
x : ℤ := v * (u - v) * (u + v)
hx : x = v * (u - v) * (u + v)
⊢ 3 * (v * (u - v) * (u + v)) = 3 * v * (u - v) * (u + v)
Tactic:
ring
State after:
no goals

State before:
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
x : ℤ := v * (u - v) * (u + v)
hx : x = v * (u - v) * (u + v)
⊢ 0 < 2 * 3
Tactic:
norm_num
State after:
no goals

State before:
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
x : ℤ := v * (u - v) * (u + v)
hx : x = v * (u - v) * (u + v)
⊢ 2 * 3 * Int.natAbs s = Int.natAbs (2 * 3 * s)
Tactic:
rw [Int.natAbs_mul (2 * 3)]
State after:
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
x : ℤ := v * (u - v) * (u + v)
hx : x = v * (u - v) * (u + v)
⊢ 2 * 3 * Int.natAbs s = Int.natAbs (2 * 3) * Int.natAbs s

State before:
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
x : ℤ := v * (u - v) * (u + v)
hx : x = v * (u - v) * (u + v)
⊢ 2 * 3 * Int.natAbs s = Int.natAbs (2 * 3) * Int.natAbs s
Tactic:
rfl
State after:
no goals

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
⊢ A ^ 3 + B ^ 3 = C ^ 3
Tactic:
rw [← HA, ← HB, ← HC]
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
hsubcoprime : IsCoprime (2 * v) (u - v)
haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
⊢ 2 * v + (u - v) = u + v

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
a b c q : ℤ
hq✝ : q ≠ 0
h3_ndvd_q : ¬3 ∣ q
s : ℤ
hp : 3 * s ≠ 0
hcoprime : IsCoprime (3 * s) q
hodd : Even (3 * s) ↔ ¬Even q
hcube :
  2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = a ^ 3 ∨
    2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = b ^ 3 ∨ 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = c ^ 3
hgcd : Int.gcd (2 * (3 * s)) ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3
hspos : s ≠ 0
hps : 2 * (3 * s) * ((3 * s) ^ 2 + 3 * q ^ 2) = 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
hcoprime' : IsCoprime s q
hodd' : Even q ↔ ¬Even s
hcoprime'' : IsCoprime (3 ^ 2 * 2 * s) (q ^ 2 + 3 * s ^ 2)
r : ℤ
hr : 3 ^ 2 * 2 * s * (q ^ 2 + 3 * s ^ 2) = r ^ 3
this : Odd 3
hcuberight : ∃ e, q ^ 2 + 3 * s ^ 2 = e ^ 3
u v : ℤ
hq : q = u * (u - 3 * v) * (u + 3 * v)
hs : s = 3 * v * (u - v) * (u + v)
huvcoprime : IsCoprime u v
huvodd : Even u ↔ ¬Even v
hv : v ≠ 0
haddcoprime : IsCoprime (2 * v) (u + v)
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haddsubcoprime : IsCoprime (u - v) (u + v)
t : ℤ
he : 3 ^ 2 * 2 * s = (3 * t) ^ 3
ht : 2 * v * (u - v) * (u + v) = t ^ 3
A B C : ℤ
HApos : A ≠ 0
HBpos : B ≠ 0
HCpos : C ≠ 0
HA : 2 * v = A ^ 3
HB : u - v = B ^ 3
HC : u + v = C ^ 3
⊢ 2 * v + (u - v) = u + v
Tactic:
ring
State after:
no goals