Theorem: Lean4Lean.VEnv.IsDefEq1.induction (Lean4Lean/Theory/Typing/Stratified.lean)

State before:
env : VEnv
U : Nat
henv : Ordered env
hasType : List VExpr → VExpr → VExpr → Prop
defEq : List VExpr → VExpr → VExpr → VExpr → Prop
hty : ∀ {Γ : List VExpr} {e A : VExpr}, hasType Γ e A → HasType env U Γ e A
hdf : ∀ {Γ : List VExpr} {e1 e2 A : VExpr}, defEq Γ e1 e2 A → IsDefEq env U Γ e1 e2 A
Γ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
H : IsDefEq1 env U hasType defEq Γ e1 e2 A
⊢ IsDefEq env U Γ e1 e2 A
Tactic:
induction H with
| refl h => exact hty h
| symm _ ih => exact ih.symm
| trans _ _ ih1 ih2 => exact ih1.trans ih2
| constDF h1 h2 h3 h4 h5 => exact .constDF h1 h2 h3 h4 h5
| sortDF h1 h2 h3 => exact .sortDF h1 h2 h3
| appDF _ _ ih1 ih2 => exact .appDF ih1 ih2
| lamDF _ _ ih1 ih2 => exact .lamDF ih1 ih2
| forallEDF _ _ ih1 ih2 => exact .forallEDF ih1 ih2
| defeqDF h1 _ ih => exact .defeqDF (hdf h1) ih
| beta h1 h2 => exact .beta (hty h1) (hty h2)
| eta h => exact .eta (hty h)
| proofIrrel h1 h2 h3 => exact .proofIrrel (hty h1) (hty h2) (hty h3)
| extra h1 h2 h3 => exact .extra h1 h2 h3
State after:
no goals

State before:
case refl
env : VEnv
U : Nat
henv : Ordered env
hasType : List VExpr → VExpr → VExpr → Prop
defEq : List VExpr → VExpr → VExpr → VExpr → Prop
hty : ∀ {Γ : List VExpr} {e A : VExpr}, hasType Γ e A → HasType env U Γ e A
hdf : ∀ {Γ : List VExpr} {e1 e2 A : VExpr}, defEq Γ e1 e2 A → IsDefEq env U Γ e1 e2 A
Γ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
e✝ A✝ : VExpr
h : hasType Γ✝ e✝ A✝
⊢ IsDefEq env U Γ✝ e✝ e✝ A✝
Tactic:
exact hty h
State after:
no goals

State before:
case symm
env : VEnv
U : Nat
henv : Ordered env
hasType : List VExpr → VExpr → VExpr → Prop
defEq : List VExpr → VExpr → VExpr → VExpr → Prop
hty : ∀ {Γ : List VExpr} {e A : VExpr}, hasType Γ e A → HasType env U Γ e A
hdf : ∀ {Γ : List VExpr} {e1 e2 A : VExpr}, defEq Γ e1 e2 A → IsDefEq env U Γ e1 e2 A
Γ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
e✝ e'✝ A✝ : VExpr
a✝ : IsDefEq1 env U hasType defEq Γ✝ e✝ e'✝ A✝
ih : IsDefEq env U Γ✝ e✝ e'✝ A✝
⊢ IsDefEq env U Γ✝ e'✝ e✝ A✝
Tactic:
exact ih.symm
State after:
no goals

State before:
case trans
env : VEnv
U : Nat
henv : Ordered env
hasType : List VExpr → VExpr → VExpr → Prop
defEq : List VExpr → VExpr → VExpr → VExpr → Prop
hty : ∀ {Γ : List VExpr} {e A : VExpr}, hasType Γ e A → HasType env U Γ e A
hdf : ∀ {Γ : List VExpr} {e1 e2 A : VExpr}, defEq Γ e1 e2 A → IsDefEq env U Γ e1 e2 A
Γ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
e₁✝ e₂✝ A✝ e₃✝ : VExpr
a✝¹ : IsDefEq1 env U hasType defEq Γ✝ e₁✝ e₂✝ A✝
a✝ : IsDefEq1 env U hasType defEq Γ✝ e₂✝ e₃✝ A✝
ih1 : IsDefEq env U Γ✝ e₁✝ e₂✝ A✝
ih2 : IsDefEq env U Γ✝ e₂✝ e₃✝ A✝
⊢ IsDefEq env U Γ✝ e₁✝ e₃✝ A✝
Tactic:
exact ih1.trans ih2
State after:
no goals

State before:
case constDF
env : VEnv
U : Nat
henv : Ordered env
hasType : List VExpr → VExpr → VExpr → Prop
defEq : List VExpr → VExpr → VExpr → VExpr → Prop
hty : ∀ {Γ : List VExpr} {e A : VExpr}, hasType Γ e A → HasType env U Γ e A
hdf : ∀ {Γ : List VExpr} {e1 e2 A : VExpr}, defEq Γ e1 e2 A → IsDefEq env U Γ e1 e2 A
Γ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
c✝ : Name
ci✝ : VConstant
ls✝ ls'✝ : List VLevel
Γ✝ : List VExpr
h1 : env.constants c✝ = some (some ci✝)
h2 : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls✝ → VLevel.WF U l
h3 : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls'✝ → VLevel.WF U l
h4 : List.length ls✝ = ci✝.uvars
h5 : List.Forall₂ (fun x x_1 => x ≈ x_1) ls✝ ls'✝
⊢ IsDefEq env U Γ✝ (const c✝ ls✝) (const c✝ ls'✝) (instL ls✝ ci✝.type)
Tactic:
exact .constDF h1 h2 h3 h4 h5
State after:
no goals

State before:
case sortDF
env : VEnv
U : Nat
henv : Ordered env
hasType : List VExpr → VExpr → VExpr → Prop
defEq : List VExpr → VExpr → VExpr → VExpr → Prop
hty : ∀ {Γ : List VExpr} {e A : VExpr}, hasType Γ e A → HasType env U Γ e A
hdf : ∀ {Γ : List VExpr} {e1 e2 A : VExpr}, defEq Γ e1 e2 A → IsDefEq env U Γ e1 e2 A
Γ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
l✝ l'✝ : VLevel
Γ✝ : List VExpr
h1 : VLevel.WF U l✝
h2 : VLevel.WF U l'✝
h3 : l✝ ≈ l'✝
⊢ IsDefEq env U Γ✝ (sort l✝) (sort l'✝) (sort (VLevel.succ l✝))
Tactic:
exact .sortDF h1 h2 h3
State after:
no goals

State before:
case appDF
env : VEnv
U : Nat
henv : Ordered env
hasType : List VExpr → VExpr → VExpr → Prop
defEq : List VExpr → VExpr → VExpr → VExpr → Prop
hty : ∀ {Γ : List VExpr} {e A : VExpr}, hasType Γ e A → HasType env U Γ e A
hdf : ∀ {Γ : List VExpr} {e1 e2 A : VExpr}, defEq Γ e1 e2 A → IsDefEq env U Γ e1 e2 A
Γ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
f✝ f'✝ A✝ B✝ a✝² a'✝ : VExpr
a✝¹ : IsDefEq1 env U hasType defEq Γ✝ f✝ f'✝ (forallE A✝ B✝)
a✝ : IsDefEq1 env U hasType defEq Γ✝ a✝² a'✝ A✝
ih1 : IsDefEq env U Γ✝ f✝ f'✝ (forallE A✝ B✝)
ih2 : IsDefEq env U Γ✝ a✝² a'✝ A✝
⊢ IsDefEq env U Γ✝ (app f✝ a✝²) (app f'✝ a'✝) (inst B✝ a✝²)
Tactic:
exact .appDF ih1 ih2
State after:
no goals

State before:
case lamDF
env : VEnv
U : Nat
henv : Ordered env
hasType : List VExpr → VExpr → VExpr → Prop
defEq : List VExpr → VExpr → VExpr → VExpr → Prop
hty : ∀ {Γ : List VExpr} {e A : VExpr}, hasType Γ e A → HasType env U Γ e A
hdf : ∀ {Γ : List VExpr} {e1 e2 A : VExpr}, defEq Γ e1 e2 A → IsDefEq env U Γ e1 e2 A
Γ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
A✝ A'✝ : VExpr
u✝ : VLevel
b✝ b'✝ B✝ : VExpr
a✝¹ : IsDefEq1 env U hasType defEq Γ✝ A✝ A'✝ (sort u✝)
a✝ : IsDefEq1 env U hasType defEq (A✝ :: Γ✝) b✝ b'✝ B✝
ih1 : IsDefEq env U Γ✝ A✝ A'✝ (sort u✝)
ih2 : IsDefEq env U (A✝ :: Γ✝) b✝ b'✝ B✝
⊢ IsDefEq env U Γ✝ (lam A✝ b✝) (lam A'✝ b'✝) (forallE A✝ B✝)
Tactic:
exact .lamDF ih1 ih2
State after:
no goals

State before:
case forallEDF
env : VEnv
U : Nat
henv : Ordered env
hasType : List VExpr → VExpr → VExpr → Prop
defEq : List VExpr → VExpr → VExpr → VExpr → Prop
hty : ∀ {Γ : List VExpr} {e A : VExpr}, hasType Γ e A → HasType env U Γ e A
hdf : ∀ {Γ : List VExpr} {e1 e2 A : VExpr}, defEq Γ e1 e2 A → IsDefEq env U Γ e1 e2 A
Γ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
A✝ A'✝ : VExpr
u✝ : VLevel
B✝ B'✝ : VExpr
v✝ : VLevel
a✝¹ : IsDefEq1 env U hasType defEq Γ✝ A✝ A'✝ (sort u✝)
a✝ : IsDefEq1 env U hasType defEq (A✝ :: Γ✝) B✝ B'✝ (sort v✝)
ih1 : IsDefEq env U Γ✝ A✝ A'✝ (sort u✝)
ih2 : IsDefEq env U (A✝ :: Γ✝) B✝ B'✝ (sort v✝)
⊢ IsDefEq env U Γ✝ (forallE A✝ B✝) (forallE A'✝ B'✝) (sort (VLevel.imax u✝ v✝))
Tactic:
exact .forallEDF ih1 ih2
State after:
no goals

State before:
case defeqDF
env : VEnv
U : Nat
henv : Ordered env
hasType : List VExpr → VExpr → VExpr → Prop
defEq : List VExpr → VExpr → VExpr → VExpr → Prop
hty : ∀ {Γ : List VExpr} {e A : VExpr}, hasType Γ e A → HasType env U Γ e A
hdf : ∀ {Γ : List VExpr} {e1 e2 A : VExpr}, defEq Γ e1 e2 A → IsDefEq env U Γ e1 e2 A
Γ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
A✝ B✝ : VExpr
u✝ : VLevel
e₁✝ e₂✝ : VExpr
h1 : defEq Γ✝ A✝ B✝ (sort u✝)
a✝ : IsDefEq1 env U hasType defEq Γ✝ e₁✝ e₂✝ A✝
ih : IsDefEq env U Γ✝ e₁✝ e₂✝ A✝
⊢ IsDefEq env U Γ✝ e₁✝ e₂✝ B✝
Tactic:
exact .defeqDF (hdf h1) ih
State after:
no goals

State before:
case beta
env : VEnv
U : Nat
henv : Ordered env
hasType : List VExpr → VExpr → VExpr → Prop
defEq : List VExpr → VExpr → VExpr → VExpr → Prop
hty : ∀ {Γ : List VExpr} {e A : VExpr}, hasType Γ e A → HasType env U Γ e A
hdf : ∀ {Γ : List VExpr} {e1 e2 A : VExpr}, defEq Γ e1 e2 A → IsDefEq env U Γ e1 e2 A
Γ : List VExpr
e1 e2 A A✝ : VExpr
Γ✝ : List VExpr
e✝ B✝ e'✝ : VExpr
h1 : hasType (A✝ :: Γ✝) e✝ B✝
h2 : hasType Γ✝ e'✝ A✝
⊢ IsDefEq env U Γ✝ (app (lam A✝ e✝) e'✝) (inst e✝ e'✝) (inst B✝ e'✝)
Tactic:
exact .beta (hty h1) (hty h2)
State after:
no goals

State before:
case eta
env : VEnv
U : Nat
henv : Ordered env
hasType : List VExpr → VExpr → VExpr → Prop
defEq : List VExpr → VExpr → VExpr → VExpr → Prop
hty : ∀ {Γ : List VExpr} {e A : VExpr}, hasType Γ e A → HasType env U Γ e A
hdf : ∀ {Γ : List VExpr} {e1 e2 A : VExpr}, defEq Γ e1 e2 A → IsDefEq env U Γ e1 e2 A
Γ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
e✝ A✝ B✝ : VExpr
h : hasType Γ✝ e✝ (forallE A✝ B✝)
⊢ IsDefEq env U Γ✝ (lam A✝ (app (lift e✝) (bvar 0))) e✝ (forallE A✝ B✝)
Tactic:
exact .eta (hty h)
State after:
no goals

State before:
case proofIrrel
env : VEnv
U : Nat
henv : Ordered env
hasType : List VExpr → VExpr → VExpr → Prop
defEq : List VExpr → VExpr → VExpr → VExpr → Prop
hty : ∀ {Γ : List VExpr} {e A : VExpr}, hasType Γ e A → HasType env U Γ e A
hdf : ∀ {Γ : List VExpr} {e1 e2 A : VExpr}, defEq Γ e1 e2 A → IsDefEq env U Γ e1 e2 A
Γ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
p✝ h✝ h'✝ : VExpr
h1 : hasType Γ✝ p✝ (sort VLevel.zero)
h2 : hasType Γ✝ h✝ p✝
h3 : hasType Γ✝ h'✝ p✝
⊢ IsDefEq env U Γ✝ h✝ h'✝ p✝
Tactic:
exact .proofIrrel (hty h1) (hty h2) (hty h3)
State after:
no goals

State before:
case extra
env : VEnv
U : Nat
henv : Ordered env
hasType : List VExpr → VExpr → VExpr → Prop
defEq : List VExpr → VExpr → VExpr → VExpr → Prop
hty : ∀ {Γ : List VExpr} {e A : VExpr}, hasType Γ e A → HasType env U Γ e A
hdf : ∀ {Γ : List VExpr} {e1 e2 A : VExpr}, defEq Γ e1 e2 A → IsDefEq env U Γ e1 e2 A
Γ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
df✝ : VDefEq
ls✝ : List VLevel
Γ✝ : List VExpr
h1 : env.defeqs df✝
h2 : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls✝ → VLevel.WF U l
h3 : List.length ls✝ = df✝.uvars
⊢ IsDefEq env U Γ✝ (instL ls✝ df✝.lhs) (instL ls✝ df✝.rhs) (instL ls✝ df✝.type)
Tactic:
exact .extra h1 h2 h3
State after:
no goals