Theorem: Matroid.Iso.on_indep (Matroid/Old/_Equiv.lean)

State before:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α₁ : Type u_4
α₂ : Type u_5
α₃ : Type u_6
M : Matroid α
N : Matroid β
B I D X Y : Set α
e : M.Iso N
hI : M.Indep I
⊢ N.Indep (↑e.toPartialEquiv '' I)
Tactic:
change (_ ∈ (setOf N.Indep))
State after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α₁ : Type u_4
α₂ : Type u_5
α₃ : Type u_6
M : Matroid α
N : Matroid β
B I D X Y : Set α
e : M.Iso N
hI : M.Indep I
⊢ ↑e.toPartialEquiv '' I ∈ setOf N.Indep

State before:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α₁ : Type u_4
α₂ : Type u_5
α₃ : Type u_6
M : Matroid α
N : Matroid β
B I D X Y : Set α
e : M.Iso N
hI : M.Indep I
⊢ ↑e.toPartialEquiv '' I ∈ setOf N.Indep
Tactic:
rw [setOf_indep_eq, e.setOf_base_eq]
State after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α₁ : Type u_4
α₂ : Type u_5
α₃ : Type u_6
M : Matroid α
N : Matroid β
B I D X Y : Set α
e : M.Iso N
hI : M.Indep I
⊢ ↑e.toPartialEquiv '' I ∈ ↑(lowerClosure (image ↑e.toPartialEquiv '' setOf M.Base))

State before:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α₁ : Type u_4
α₂ : Type u_5
α₃ : Type u_6
M : Matroid α
N : Matroid β
B I D X Y : Set α
e : M.Iso N
hI : M.Indep I
⊢ ↑e.toPartialEquiv '' I ∈ ↑(lowerClosure (image ↑e.toPartialEquiv '' setOf M.Base))
Tactic:
simp only [SetLike.mem_coe, mem_lowerClosure, mem_image, mem_setOf_eq, le_eq_subset,
  image_subset_iff, exists_exists_and_eq_and]
State after:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α₁ : Type u_4
α₂ : Type u_5
α₃ : Type u_6
M : Matroid α
N : Matroid β
B I D X Y : Set α
e : M.Iso N
hI : M.Indep I
⊢ ∃ a, M.Base a ∧ I ⊆ ↑e.toPartialEquiv ⁻¹' (↑e.toPartialEquiv '' a)

State before:
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α₁ : Type u_4
α₂ : Type u_5
α₃ : Type u_6
M : Matroid α
N : Matroid β
B I D X Y : Set α
e : M.Iso N
hI : M.Indep I
⊢ ∃ a, M.Base a ∧ I ⊆ ↑e.toPartialEquiv ⁻¹' (↑e.toPartialEquiv '' a)
Tactic:
obtain ⟨B, hB, hIB⟩ := hI.exists_base_superset
State after:
case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α₁ : Type u_4
α₂ : Type u_5
α₃ : Type u_6
M : Matroid α
N : Matroid β
B✝ I D X Y : Set α
e : M.Iso N
hI : M.Indep I
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : I ⊆ B
⊢ ∃ a, M.Base a ∧ I ⊆ ↑e.toPartialEquiv ⁻¹' (↑e.toPartialEquiv '' a)

State before:
case intro.intro
α : Type u_1
β : Type u_2
γ : Type u_3
α₁ : Type u_4
α₂ : Type u_5
α₃ : Type u_6
M : Matroid α
N : Matroid β
B✝ I D X Y : Set α
e : M.Iso N
hI : M.Indep I
B : Set α
hB : M.Base B
hIB : I ⊆ B
⊢ ∃ a, M.Base a ∧ I ⊆ ↑e.toPartialEquiv ⁻¹' (↑e.toPartialEquiv '' a)
Tactic:
exact ⟨B, hB, hIB.trans (subset_preimage_image _ _)⟩
State after:
no goals