Theorem: ZetaInvBnd (PrimeNumberTheoremAnd/ZetaBounds.lean)

State before:
⊢ ∃ A,
    ∃ (_ : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)),
      ∃ C,
        ∃ (_ : 0 < C), ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1 → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log ^ 7
Tactic:
obtain ⟨C', C'pos, hC₁⟩ := ZetaInvBound2
State after:
case intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
⊢ ∃ A,
    ∃ (_ : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)),
      ∃ C,
        ∃ (_ : 0 < C), ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1 → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log ^ 7

State before:
case intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
⊢ ∃ A,
    ∃ (_ : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)),
      ∃ C,
        ∃ (_ : 0 < C), ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1 → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log ^ 7
Tactic:
obtain ⟨A', hA', C₂, C₂pos, hC₂⟩ := Zeta_diff_Bnd
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
⊢ ∃ A,
    ∃ (_ : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)),
      ∃ C,
        ∃ (_ : 0 < C), ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1 → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log ^ 7

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
⊢ ∃ A,
    ∃ (_ : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)),
      ∃ C,
        ∃ (_ : 0 < C), ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1 → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log ^ 7
Tactic:
set C₁ := 1 / C'
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
⊢ ∃ A,
    ∃ (_ : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)),
      ∃ C,
        ∃ (_ : 0 < C), ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1 → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log ^ 7

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
⊢ ∃ A,
    ∃ (_ : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)),
      ∃ C,
        ∃ (_ : 0 < C), ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1 → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log ^ 7
Tactic:
let A := min A' <| (1 / 2 : ℝ) * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ (4 : ℝ)
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
⊢ ∃ A,
    ∃ (_ : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)),
      ∃ C,
        ∃ (_ : 0 < C), ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1 → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log ^ 7

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
⊢ ∃ A,
    ∃ (_ : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)),
      ∃ C,
        ∃ (_ : 0 < C), ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1 → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log ^ 7
Tactic:
have Apos : 0 < A := by have := hA'.1; positivity
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
⊢ ∃ A,
    ∃ (_ : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)),
      ∃ C,
        ∃ (_ : 0 < C), ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1 → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log ^ 7

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
⊢ ∃ A,
    ∃ (_ : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)),
      ∃ C,
        ∃ (_ : 0 < C), ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1 → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log ^ 7
Tactic:
have Ale : A ≤ 1 / 2 := by dsimp only [A]; apply min_le_iff.mpr; left; exact hA'.2
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
⊢ ∃ A,
    ∃ (_ : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)),
      ∃ C,
        ∃ (_ : 0 < C), ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1 → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log ^ 7

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
⊢ ∃ A,
    ∃ (_ : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)),
      ∃ C,
        ∃ (_ : 0 < C), ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1 → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log ^ 7
Tactic:
set C := (C₁ * A ^ (3 / 4 : ℝ) - C₂ * 2 * A)⁻¹
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
⊢ ∃ A,
    ∃ (_ : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)),
      ∃ C,
        ∃ (_ : 0 < C), ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1 → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log ^ 7

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
⊢ ∃ A,
    ∃ (_ : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)),
      ∃ C,
        ∃ (_ : 0 < C), ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1 → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log ^ 7
Tactic:
have Cpos : 0 < C := by
  refine ZetaInvBnd_aux2 (by positivity) (by positivity) (by positivity) ?_
  apply min_le_iff.mpr; right; exact le_rfl
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
⊢ ∃ A,
    ∃ (_ : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)),
      ∃ C,
        ∃ (_ : 0 < C), ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1 → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log ^ 7

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
⊢ ∃ A,
    ∃ (_ : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)),
      ∃ C,
        ∃ (_ : 0 < C), ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1 → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log ^ 7
Tactic:
refine ⟨A, ⟨Apos, by linarith [hA'.2]⟩ , C, Cpos, ?_⟩
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
⊢ ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1 → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log ^ 7

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
⊢ ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1 → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log ^ 7
Tactic:
intro σ t t_gt hσ
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
⊢ 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log ^ 7

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
⊢ 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log ^ 7
Tactic:
have logt_gt_one := logt_gt_one t_gt
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
⊢ 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log ^ 7

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
⊢ 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log ^ 7
Tactic:
have σ_ge : 1 - A / Real.log |t| ≤ σ := by
  apply le_trans ?_ hσ.1
  suffices A / Real.log |t| ^ 9 ≤ A / Real.log |t| by linarith
  exact div_le_div Apos.le (by rfl) (by positivity) <| ZetaInvBnd_aux logt_gt_one
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
⊢ 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log ^ 7

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
⊢ 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log ^ 7
Tactic:
obtain ⟨_, _, neOne⟩ := UpperBnd_aux ⟨Apos, Ale⟩ t_gt σ_ge
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
⊢ 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log ^ 7

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
⊢ 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log ^ 7
Tactic:
set σ' := 1 + A / Real.log |t| ^ 9
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
⊢ 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log ^ 7

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
⊢ 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log ^ 7
Tactic:
have σ'_gt : 1 < σ' := by simp only [σ', lt_add_iff_pos_right]; positivity
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
⊢ 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log ^ 7

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
⊢ 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log ^ 7
Tactic:
have σ'_le : σ' ≤ 2 := by
  simp only [σ']
  suffices A / Real.log |t| ^ 9 < 1 by linarith
  apply div_lt_one (by positivity) |>.mpr
  exact lt_trans₄ (by linarith) logt_gt_one <| ZetaInvBnd_aux' logt_gt_one
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
⊢ 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log ^ 7

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
⊢ 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log ^ 7
Tactic:
set s := σ + t * I
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
⊢ 1 / ‖ζ s‖ ≤ C * |t|.log ^ 7

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
⊢ 1 / ‖ζ s‖ ≤ C * |t|.log ^ 7
Tactic:
set s' := σ' + t * I
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
⊢ 1 / ‖ζ s‖ ≤ C * |t|.log ^ 7

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
⊢ 1 / ‖ζ s‖ ≤ C * |t|.log ^ 7
Tactic:
by_cases h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
State after:
case pos
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
⊢ 1 / ‖ζ s‖ ≤ C * |t|.log ^ 7

case neg
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ¬‖ζ s‖ ≠ 0
⊢ 1 / ‖ζ s‖ ≤ C * |t|.log ^ 7

State before:
case pos
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
⊢ 1 / ‖ζ s‖ ≤ C * |t|.log ^ 7

case neg
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ¬‖ζ s‖ ≠ 0
⊢ 1 / ‖ζ s‖ ≤ C * |t|.log ^ 7
Tactic:
swap
State after:
case neg
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ¬‖ζ s‖ ≠ 0
⊢ 1 / ‖ζ s‖ ≤ C * |t|.log ^ 7

case pos
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
⊢ 1 / ‖ζ s‖ ≤ C * |t|.log ^ 7

State before:
case neg
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ¬‖ζ s‖ ≠ 0
⊢ 1 / ‖ζ s‖ ≤ C * |t|.log ^ 7

case pos
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
⊢ 1 / ‖ζ s‖ ≤ C * |t|.log ^ 7
Tactic:
simp only [ne_eq, not_not] at h0
State after:
case neg
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ = 0
⊢ 1 / ‖ζ s‖ ≤ C * |t|.log ^ 7

case pos
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
⊢ 1 / ‖ζ s‖ ≤ C * |t|.log ^ 7

State before:
case neg
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ = 0
⊢ 1 / ‖ζ s‖ ≤ C * |t|.log ^ 7

case pos
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
⊢ 1 / ‖ζ s‖ ≤ C * |t|.log ^ 7
Tactic:
simp only [h0, div_zero]
State after:
case neg
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ = 0
⊢ 0 ≤ C * |t|.log ^ 7

case pos
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
⊢ 1 / ‖ζ s‖ ≤ C * |t|.log ^ 7

State before:
case neg
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ = 0
⊢ 0 ≤ C * |t|.log ^ 7

case pos
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
⊢ 1 / ‖ζ s‖ ≤ C * |t|.log ^ 7
Tactic:
positivity
State after:
case pos
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
⊢ 1 / ‖ζ s‖ ≤ C * |t|.log ^ 7

State before:
case pos
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
⊢ 1 / ‖ζ s‖ ≤ C * |t|.log ^ 7
Tactic:
apply div_le_iff (by positivity) |>.mpr <| div_le_iff' (by positivity) |>.mp ?_
State after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
⊢ 1 / (C * |t|.log ^ 7) ≤ ‖ζ s‖

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
⊢ 1 / (C * |t|.log ^ 7) ≤ ‖ζ s‖
Tactic:
have pos_aux : 0 < (σ' - 1) := by linarith
State after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ 1 / (C * |t|.log ^ 7) ≤ ‖ζ s‖

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ 1 / (C * |t|.log ^ 7) ≤ ‖ζ s‖
Tactic:
calc
  _ ≥ ‖ζ s'‖ - ‖ζ s - ζ s'‖ := ?_
  _ ≥ C₁ * (σ' - 1) ^ ((3 : ℝ)/ 4) * Real.log |t|  ^ ((-1 : ℝ)/ 4) - C₂ * Real.log |t| ^ 2 * (σ' - σ) := ?_
  _ ≥ C₁ * (A / Real.log |t| ^ (9 : ℝ)) ^ ((3 : ℝ)/ 4) * Real.log |t| ^ ((-1 : ℝ)/ 4) - C₂ * Real.log |t| ^ (2 : ℝ) * 2 * A / Real.log |t| ^ (9 : ℝ) := ?_
  _ ≥ C₁ * A ^ ((3 : ℝ)/ 4) * Real.log |t| ^ (-7 : ℝ) - C₂ * 2 * A * Real.log |t| ^ (-7 : ℝ) := ?_
  _ = (C₁ * A ^ ((3 : ℝ)/ 4) - C₂ * 2 * A) * Real.log |t| ^ (-7 : ℝ) := by ring
  _ ≥ _ := ?_
State after:
case calc_1
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ ‖ζ s‖ ≥ ‖ζ s'‖ - ‖ζ s - ζ s'‖

case calc_2
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ ‖ζ s'‖ - ‖ζ s - ζ s'‖ ≥ C₁ * (σ' - 1) ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-1 / 4) - C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ' - σ)

case calc_3
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ C₁ * (σ' - 1) ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-1 / 4) - C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ' - σ) ≥
    C₁ * (A / |t|.log ^ 9) ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-1 / 4) - C₂ * |t|.log ^ 2 * 2 * A / |t|.log ^ 9

case calc_4
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ C₁ * (A / |t|.log ^ 9) ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-1 / 4) - C₂ * |t|.log ^ 2 * 2 * A / |t|.log ^ 9 ≥
    C₁ * A ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-7) - C₂ * 2 * A * |t|.log ^ (-7)

case calc_5
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A) * |t|.log ^ (-7) ≥ 1 / (C * |t|.log ^ 7)

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
⊢ 0 < A
Tactic:
have := hA'.1
State after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
this : 0 < A'
⊢ 0 < A

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
this : 0 < A'
⊢ 0 < A
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
⊢ A ≤ 1 / 2
Tactic:
dsimp only [A]
State after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
⊢ min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4) ≤ 1 / 2

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
⊢ min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4) ≤ 1 / 2
Tactic:
apply min_le_iff.mpr
State after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
⊢ A' ≤ 1 / 2 ∨ 1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4 ≤ 1 / 2

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
⊢ A' ≤ 1 / 2 ∨ 1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4 ≤ 1 / 2
Tactic:
left
State after:
case h
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
⊢ A' ≤ 1 / 2

State before:
case h
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
⊢ A' ≤ 1 / 2
Tactic:
exact hA'.2
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
⊢ 0 < C
Tactic:
refine ZetaInvBnd_aux2 (by positivity) (by positivity) (by positivity) ?_
State after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
⊢ A ≤ 1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
⊢ A ≤ 1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4
Tactic:
apply min_le_iff.mpr
State after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
⊢ A' ≤ 1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4 ∨ 1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4 ≤ 1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
⊢ A' ≤ 1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4 ∨ 1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4 ≤ 1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4
Tactic:
right
State after:
case h
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
⊢ 1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4 ≤ 1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4

State before:
case h
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
⊢ 1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4 ≤ 1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4
Tactic:
exact le_rfl
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
⊢ 0 < A
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
⊢ 0 < C₁
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
⊢ 0 < C₂
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
⊢ A ≤ 1 / 2
Tactic:
linarith [hA'.2]
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
⊢ 1 - A / |t|.log ≤ σ
Tactic:
apply le_trans ?_ hσ.1
State after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
⊢ 1 - A / |t|.log ≤ 1 - A / |t|.log ^ 9

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
⊢ 1 - A / |t|.log ≤ 1 - A / |t|.log ^ 9
Tactic:
suffices A / Real.log |t| ^ 9 ≤ A / Real.log |t| by linarith
State after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
⊢ A / |t|.log ^ 9 ≤ A / |t|.log

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
⊢ A / |t|.log ^ 9 ≤ A / |t|.log
Tactic:
exact div_le_div Apos.le (by rfl) (by positivity) <| ZetaInvBnd_aux logt_gt_one
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
this : A / |t|.log ^ 9 ≤ A / |t|.log
⊢ 1 - A / |t|.log ≤ 1 - A / |t|.log ^ 9
Tactic:
linarith
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
⊢ A ≤ A
Tactic:
rfl
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
⊢ 0 < |t|.log
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
⊢ 1 < σ'
Tactic:
simp only [σ', lt_add_iff_pos_right]
State after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
⊢ 0 < A / |t|.log ^ 9

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
⊢ 0 < A / |t|.log ^ 9
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
⊢ σ' ≤ 2
Tactic:
simp only [σ']
State after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
⊢ 1 + A / |t|.log ^ 9 ≤ 2

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
⊢ 1 + A / |t|.log ^ 9 ≤ 2
Tactic:
suffices A / Real.log |t| ^ 9 < 1 by linarith
State after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
⊢ A / |t|.log ^ 9 < 1

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
⊢ A / |t|.log ^ 9 < 1
Tactic:
apply div_lt_one (by positivity) |>.mpr
State after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
⊢ A < |t|.log ^ 9

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
⊢ A < |t|.log ^ 9
Tactic:
exact lt_trans₄ (by linarith) logt_gt_one <| ZetaInvBnd_aux' logt_gt_one
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
this : A / |t|.log ^ 9 < 1
⊢ 1 + A / |t|.log ^ 9 ≤ 2
Tactic:
linarith
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
⊢ 0 < |t|.log ^ 9
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
⊢ A < 1
Tactic:
linarith
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
⊢ 0 < ‖ζ s‖
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
⊢ 0 < C * |t|.log ^ 7
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
⊢ 0 < σ' - 1
Tactic:
linarith
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ C₁ * A ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-7) - C₂ * 2 * A * |t|.log ^ (-7) = (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A) * |t|.log ^ (-7)
Tactic:
ring
State after:
no goals

State before:
case calc_1
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ ‖ζ s‖ ≥ ‖ζ s'‖ - ‖ζ s - ζ s'‖
Tactic:
apply ge_iff_le.mpr
State after:
case calc_1
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ ‖ζ s'‖ - ‖ζ s - ζ s'‖ ≤ ‖ζ s‖

State before:
case calc_1
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ ‖ζ s'‖ - ‖ζ s - ζ s'‖ ≤ ‖ζ s‖
Tactic:
convert norm_sub_norm_le (a := ζ s') (b := ζ s' - ζ s) using 1
State after:
case h.e'_3
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ ‖ζ s'‖ - ‖ζ s - ζ s'‖ = ‖ζ s'‖ - ‖ζ s' - ζ s‖

case h.e'_4
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ ‖ζ s‖ = ‖ζ s' - (ζ s' - ζ s)‖

State before:
case h.e'_3
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ ‖ζ s'‖ - ‖ζ s - ζ s'‖ = ‖ζ s'‖ - ‖ζ s' - ζ s‖
Tactic:
rw [(by simp : ζ s' - ζ s = -(ζ s - ζ s'))]
State after:
case h.e'_3
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ ‖ζ s'‖ - ‖ζ s - ζ s'‖ = ‖ζ s'‖ - ‖-(ζ s - ζ s')‖

State before:
case h.e'_3
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ ‖ζ s'‖ - ‖ζ s - ζ s'‖ = ‖ζ s'‖ - ‖-(ζ s - ζ s')‖
Tactic:
simp only [norm_neg, sub_right_inj]
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ ζ s' - ζ s = -(ζ s - ζ s')
Tactic:
simp
State after:
no goals

State before:
case h.e'_4
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ ‖ζ s‖ = ‖ζ s' - (ζ s' - ζ s)‖
Tactic:
simp
State after:
no goals

State before:
case calc_2
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ ‖ζ s'‖ - ‖ζ s - ζ s'‖ ≥ C₁ * (σ' - 1) ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-1 / 4) - C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ' - σ)
Tactic:
apply sub_le_sub
State after:
case calc_2.hab
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ C₁ * (σ' - 1) ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-1 / 4) ≤ ‖ζ s'‖

case calc_2.hcd
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ ‖ζ s - ζ s'‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ' - σ)

State before:
case calc_2.hab
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ C₁ * (σ' - 1) ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-1 / 4) ≤ ‖ζ s'‖
Tactic:
have := one_div_le ?_ (by positivity) |>.mp <| hC₁ ⟨σ'_gt, σ'_le⟩ t t_gt
State after:
case calc_2.hab.refine_2
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
this : 1 / (C' * (σ' - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)) ≤ ‖ζ (↑σ' + ↑t * I)‖
⊢ C₁ * (σ' - 1) ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-1 / 4) ≤ ‖ζ s'‖

case calc_2.hab.refine_1
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ 0 < ‖ζ (↑σ' + ↑t * I)‖

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ 0 < C' * (σ' - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
case calc_2.hab.refine_2
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
this : 1 / (C' * (σ' - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)) ≤ ‖ζ (↑σ' + ↑t * I)‖
⊢ C₁ * (σ' - 1) ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-1 / 4) ≤ ‖ζ s'‖
Tactic:
convert this using 1
State after:
case h.e'_3
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
this : 1 / (C' * (σ' - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)) ≤ ‖ζ (↑σ' + ↑t * I)‖
⊢ C₁ * (σ' - 1) ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-1 / 4) = 1 / (C' * (σ' - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4))

State before:
case h.e'_3
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
this : 1 / (C' * (σ' - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)) ≤ ‖ζ (↑σ' + ↑t * I)‖
⊢ C₁ * (σ' - 1) ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-1 / 4) = 1 / (C' * (σ' - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4))
Tactic:
rw [one_div, mul_inv_rev, mul_comm, mul_inv_rev, mul_comm _ C'⁻¹]
State after:
case h.e'_3
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
this : 1 / (C' * (σ' - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)) ≤ ‖ζ (↑σ' + ↑t * I)‖
⊢ |t|.log ^ (-1 / 4) * (C₁ * (σ' - 1) ^ (3 / 4)) = (|t|.log ^ (1 / 4))⁻¹ * (C'⁻¹ * ((σ' - 1) ^ (-3 / 4))⁻¹)

State before:
case h.e'_3
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
this : 1 / (C' * (σ' - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)) ≤ ‖ζ (↑σ' + ↑t * I)‖
⊢ |t|.log ^ (-1 / 4) * (C₁ * (σ' - 1) ^ (3 / 4)) = (|t|.log ^ (1 / 4))⁻¹ * (C'⁻¹ * ((σ' - 1) ^ (-3 / 4))⁻¹)
Tactic:
simp only [one_div C', C₁]
State after:
case h.e'_3
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
this : 1 / (C' * (σ' - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)) ≤ ‖ζ (↑σ' + ↑t * I)‖
⊢ |t|.log ^ (-1 / 4) * (C'⁻¹ * (σ' - 1) ^ (3 / 4)) = (|t|.log ^ (1 / 4))⁻¹ * (C'⁻¹ * ((σ' - 1) ^ (-3 / 4))⁻¹)

State before:
case h.e'_3
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
this : 1 / (C' * (σ' - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)) ≤ ‖ζ (↑σ' + ↑t * I)‖
⊢ |t|.log ^ (-1 / 4) * (C'⁻¹ * (σ' - 1) ^ (3 / 4)) = (|t|.log ^ (1 / 4))⁻¹ * (C'⁻¹ * ((σ' - 1) ^ (-3 / 4))⁻¹)
Tactic:
congr <;> (rw [← Real.rpow_neg (by linarith), neg_div])
State after:
case h.e'_3.e_a.e_a
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
this : 1 / (C' * (σ' - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)) ≤ ‖ζ (↑σ' + ↑t * I)‖
⊢ (σ' - 1) ^ (3 / 4) = (σ' - 1) ^ (- -(3 / 4))

State before:
case h.e'_3.e_a.e_a
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
this : 1 / (C' * (σ' - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)) ≤ ‖ζ (↑σ' + ↑t * I)‖
⊢ (σ' - 1) ^ (3 / 4) = (σ' - 1) ^ (- -(3 / 4))
Tactic:
rw [neg_neg]
State after:
no goals

State before:
case h.e'_3.e_a.e_a
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
this : 1 / (C' * (σ' - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)) ≤ ‖ζ (↑σ' + ↑t * I)‖
⊢ (σ' - 1) ^ (3 / 4) = ((σ' - 1) ^ (-3 / 4))⁻¹
Tactic:
rw [← Real.rpow_neg (by linarith), neg_div]
State after:
case h.e'_3.e_a.e_a
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
this : 1 / (C' * (σ' - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)) ≤ ‖ζ (↑σ' + ↑t * I)‖
⊢ (σ' - 1) ^ (3 / 4) = (σ' - 1) ^ (- -(3 / 4))

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
this : 1 / (C' * (σ' - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)) ≤ ‖ζ (↑σ' + ↑t * I)‖
⊢ 0 ≤ σ' - 1
Tactic:
linarith
State after:
no goals

State before:
case calc_2.hab.refine_1
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ 0 < ‖ζ (↑σ' + ↑t * I)‖
Tactic:
apply norm_pos_iff.mpr <| riemannZeta_ne_zero_of_one_lt_re (by simp [σ'_gt])
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ 1 < (↑σ' + ↑t * I).re
Tactic:
simp [σ'_gt]
State after:
no goals

State before:
case calc_2.hcd
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ ‖ζ s - ζ s'‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ' - σ)
Tactic:
rw [(by simp : ζ s - ζ s' = -(ζ s' - ζ s)), norm_neg]
State after:
case calc_2.hcd
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ ‖ζ s' - ζ s‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ' - σ)

State before:
case calc_2.hcd
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ ‖ζ s' - ζ s‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ' - σ)
Tactic:
refine hC₂ σ σ' t t_gt ?_ σ'_le <| lt_trans hσ.2 σ'_gt
State after:
case calc_2.hcd
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ 1 - A' / |t|.log ≤ σ

State before:
case calc_2.hcd
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ 1 - A' / |t|.log ≤ σ
Tactic:
apply le_trans ?_ hσ.1
State after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ 1 - A' / |t|.log ≤ 1 - A / |t|.log ^ 9

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ 1 - A' / |t|.log ≤ 1 - A / |t|.log ^ 9
Tactic:
rw [tsub_le_iff_right, ← add_sub_right_comm, le_sub_iff_add_le, add_le_add_iff_left]
State after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ A / |t|.log ^ 9 ≤ A' / |t|.log

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ A / |t|.log ^ 9 ≤ A' / |t|.log
Tactic:
exact div_le_div hA'.1.le (by simp [A]) (by positivity) <| ZetaInvBnd_aux logt_gt_one
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ ζ s - ζ s' = -(ζ s' - ζ s)
Tactic:
simp
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ A ≤ A'
Tactic:
simp [A]
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ 0 < |t|.log
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
case calc_3
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ C₁ * (σ' - 1) ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-1 / 4) - C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ' - σ) ≥
    C₁ * (A / |t|.log ^ 9) ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-1 / 4) - C₂ * |t|.log ^ 2 * 2 * A / |t|.log ^ 9
Tactic:
apply sub_le_sub (by simp only [add_sub_cancel_left, σ']; exact_mod_cast le_rfl) ?_
State after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ' - σ) ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * 2 * A / |t|.log ^ 9

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ' - σ) ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * 2 * A / |t|.log ^ 9
Tactic:
rw [mul_div_assoc, mul_assoc _ 2 _]
State after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ' - σ) ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (2 * (A / |t|.log ^ 9))

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ' - σ) ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (2 * (A / |t|.log ^ 9))
Tactic:
apply mul_le_mul (by exact_mod_cast le_rfl) ?_ (by linarith [hσ.2]) (by positivity)
State after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ σ' - σ ≤ 2 * (A / |t|.log ^ 9)

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ σ' - σ ≤ 2 * (A / |t|.log ^ 9)
Tactic:
suffices h : σ' + (1 - A / Real.log |t| ^ 9) ≤ (1 + A / Real.log |t| ^ 9) + σ by
  simp only [tsub_le_iff_right]
  convert le_sub_right_of_add_le h using 1; ring_nf; norm_cast; simp
State after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ σ' + (1 - A / |t|.log ^ 9) ≤ 1 + A / |t|.log ^ 9 + σ

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ σ' + (1 - A / |t|.log ^ 9) ≤ 1 + A / |t|.log ^ 9 + σ
Tactic:
exact add_le_add (by linarith) (by linarith [hσ.1])
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ C₁ * (A / |t|.log ^ 9) ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-1 / 4) ≤ C₁ * (σ' - 1) ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-1 / 4)
Tactic:
simp only [add_sub_cancel_left, σ']
State after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ C₁ * (A / |t|.log ^ 9) ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-1 / 4) ≤ C₁ * (A / |t|.log ^ 9) ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-1 / 4)

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ C₁ * (A / |t|.log ^ 9) ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-1 / 4) ≤ C₁ * (A / |t|.log ^ 9) ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-1 / 4)
Tactic:
exact_mod_cast le_rfl
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ C₂ * |t|.log ^ 2 ≤ C₂ * |t|.log ^ 2
Tactic:
exact_mod_cast le_rfl
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ 0 ≤ σ' - σ
Tactic:
linarith [hσ.2]
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ 0 ≤ C₂ * |t|.log ^ 2
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
h : σ' + (1 - A / |t|.log ^ 9) ≤ 1 + A / |t|.log ^ 9 + σ
⊢ σ' - σ ≤ 2 * (A / |t|.log ^ 9)
Tactic:
simp only [tsub_le_iff_right]
State after:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
h : σ' + (1 - A / |t|.log ^ 9) ≤ 1 + A / |t|.log ^ 9 + σ
⊢ σ' ≤ 2 * (A / |t|.log ^ 9) + σ

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
h : σ' + (1 - A / |t|.log ^ 9) ≤ 1 + A / |t|.log ^ 9 + σ
⊢ σ' ≤ 2 * (A / |t|.log ^ 9) + σ
Tactic:
convert le_sub_right_of_add_le h using 1
State after:
case h.e'_4
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
h : σ' + (1 - A / |t|.log ^ 9) ≤ 1 + A / |t|.log ^ 9 + σ
⊢ 2 * (A / |t|.log ^ 9) + σ = 1 + A / |t|.log ^ 9 + σ - (1 - A / |t|.log ^ 9)

State before:
case h.e'_4
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
h : σ' + (1 - A / |t|.log ^ 9) ≤ 1 + A / |t|.log ^ 9 + σ
⊢ 2 * (A / |t|.log ^ 9) + σ = 1 + A / |t|.log ^ 9 + σ - (1 - A / |t|.log ^ 9)
Tactic:
ring_nf
State after:
case h.e'_4
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
h : σ' + (1 - A / |t|.log ^ 9) ≤ 1 + A / |t|.log ^ 9 + σ
⊢ A * (|t|.log ^ 9)⁻¹ * 2 + σ = A * |t|.log⁻¹ ^ 9 * 2 + σ

State before:
case h.e'_4
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
h : σ' + (1 - A / |t|.log ^ 9) ≤ 1 + A / |t|.log ^ 9 + σ
⊢ A * (|t|.log ^ 9)⁻¹ * 2 + σ = A * |t|.log⁻¹ ^ 9 * 2 + σ
Tactic:
simp
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ σ' ≤ 1 + A / |t|.log ^ 9
Tactic:
linarith
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ 1 - A / |t|.log ^ 9 ≤ σ
Tactic:
linarith [hσ.1]
State after:
no goals

State before:
case calc_4
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ C₁ * (A / |t|.log ^ 9) ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-1 / 4) - C₂ * |t|.log ^ 2 * 2 * A / |t|.log ^ 9 ≥
    C₁ * A ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-7) - C₂ * 2 * A * |t|.log ^ (-7)
Tactic:
simp_rw [tsub_le_iff_right, div_eq_mul_inv _ (Real.log |t| ^ (9 : ℝ))]
State after:
case calc_4
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ C₁ * A ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-7) ≤
    C₁ * (A * (|t|.log ^ 9)⁻¹) ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-1 / 4) - C₂ * |t|.log ^ 2 * 2 * A * (|t|.log ^ 9)⁻¹ +
      C₂ * 2 * A * |t|.log ^ (-7)

State before:
case calc_4
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ C₁ * A ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-7) ≤
    C₁ * (A * (|t|.log ^ 9)⁻¹) ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-1 / 4) - C₂ * |t|.log ^ 2 * 2 * A * (|t|.log ^ 9)⁻¹ +
      C₂ * 2 * A * |t|.log ^ (-7)
Tactic:
rw [← Real.rpow_neg (by positivity), Real.mul_rpow (by positivity) (by positivity)]
State after:
case calc_4
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ C₁ * A ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-7) ≤
    C₁ * (A ^ (3 / 4) * (|t|.log ^ (-9)) ^ (3 / 4)) * |t|.log ^ (-1 / 4) - C₂ * |t|.log ^ 2 * 2 * A * |t|.log ^ (-9) +
      C₂ * 2 * A * |t|.log ^ (-7)

State before:
case calc_4
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ C₁ * A ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-7) ≤
    C₁ * (A ^ (3 / 4) * (|t|.log ^ (-9)) ^ (3 / 4)) * |t|.log ^ (-1 / 4) - C₂ * |t|.log ^ 2 * 2 * A * |t|.log ^ (-9) +
      C₂ * 2 * A * |t|.log ^ (-7)
Tactic:
rw [← Real.rpow_mul (by positivity)]
State after:
case calc_4
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ C₁ * A ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-7) ≤
    C₁ * (A ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-9 * (3 / 4))) * |t|.log ^ (-1 / 4) - C₂ * |t|.log ^ 2 * 2 * A * |t|.log ^ (-9) +
      C₂ * 2 * A * |t|.log ^ (-7)

State before:
case calc_4
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ C₁ * A ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-7) ≤
    C₁ * (A ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-9 * (3 / 4))) * |t|.log ^ (-1 / 4) - C₂ * |t|.log ^ 2 * 2 * A * |t|.log ^ (-9) +
      C₂ * 2 * A * |t|.log ^ (-7)
Tactic:
ring_nf
State after:
case calc_4
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ C'⁻¹ * A ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-7) ≤
    C'⁻¹ * A ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-27 / 4) * |t|.log ^ (-1 / 4) +
      (|t|.log ^ (-7) * C₂ * A * 2 - C₂ * |t|.log ^ 2 * A * |t|.log ^ (-9) * 2)

State before:
case calc_4
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ C'⁻¹ * A ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-7) ≤
    C'⁻¹ * A ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-27 / 4) * |t|.log ^ (-1 / 4) +
      (|t|.log ^ (-7) * C₂ * A * 2 - C₂ * |t|.log ^ 2 * A * |t|.log ^ (-9) * 2)
Tactic:
conv => rhs; lhs; rw [mul_assoc, ← Real.rpow_add (by positivity)]
State after:
case calc_4
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ C'⁻¹ * A ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-7) ≤
    C'⁻¹ * A ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-27 / 4 + -1 / 4) +
      (|t|.log ^ (-7) * C₂ * A * 2 - C₂ * |t|.log ^ 2 * A * |t|.log ^ (-9) * 2)

State before:
case calc_4
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ C'⁻¹ * A ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-7) ≤
    C'⁻¹ * A ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-27 / 4 + -1 / 4) +
      (|t|.log ^ (-7) * C₂ * A * 2 - C₂ * |t|.log ^ 2 * A * |t|.log ^ (-9) * 2)
Tactic:
conv => rhs; rhs; rhs; rw [mul_comm _ A]; lhs; rw [mul_assoc, mul_assoc C₂]
State after:
case calc_4
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ C'⁻¹ * A ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-7) ≤
    C'⁻¹ * A ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-27 / 4 + -1 / 4) +
      (|t|.log ^ (-7) * C₂ * A * 2 - A * (C₂ * (|t|.log ^ 2 * |t|.log ^ (-9))) * 2)

State before:
case calc_4
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ C'⁻¹ * A ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-7) ≤
    C'⁻¹ * A ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-27 / 4 + -1 / 4) +
      (|t|.log ^ (-7) * C₂ * A * 2 - A * (C₂ * (|t|.log ^ 2 * |t|.log ^ (-9))) * 2)
Tactic:
rw [← Real.rpow_add (by positivity)]
State after:
case calc_4
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ C'⁻¹ * A ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-7) ≤
    C'⁻¹ * A ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-27 / 4 + -1 / 4) +
      (|t|.log ^ (-7) * C₂ * A * 2 - A * (C₂ * |t|.log ^ (2 + -9)) * 2)

State before:
case calc_4
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ C'⁻¹ * A ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-7) ≤
    C'⁻¹ * A ^ (3 / 4) * |t|.log ^ (-27 / 4 + -1 / 4) +
      (|t|.log ^ (-7) * C₂ * A * 2 - A * (C₂ * |t|.log ^ (2 + -9)) * 2)
Tactic:
norm_num
State after:
case calc_4
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ A * (C₂ * t.log ^ (-7)) ≤ t.log ^ (-7) * C₂ * A

State before:
case calc_4
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ A * (C₂ * t.log ^ (-7)) ≤ t.log ^ (-7) * C₂ * A
Tactic:
group
State after:
case calc_4
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ A * C₂ * t.log ^ (-7) ≤ A * C₂ * t.log ^ (-7)

State before:
case calc_4
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ A * C₂ * t.log ^ (-7) ≤ A * C₂ * t.log ^ (-7)
Tactic:
exact le_rfl
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ 0 ≤ |t|.log
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ 0 ≤ A
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ 0 ≤ |t|.log ^ (-9)
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
case calc_5
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A) * |t|.log ^ (-7) ≥ 1 / (C * |t|.log ^ 7)
Tactic:
apply div_le_iff (by positivity) |>.mpr
State after:
case calc_5
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ 1 ≤ (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A) * |t|.log ^ (-7) * (C * |t|.log ^ 7)

State before:
case calc_5
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ 1 ≤ (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A) * |t|.log ^ (-7) * (C * |t|.log ^ 7)
Tactic:
conv => rw [mul_assoc]; rhs; rhs; rw [mul_comm C, ← mul_assoc, ← Real.rpow_add (by positivity)]
State after:
case calc_5
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ 1 ≤ (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A) * (|t|.log ^ (-7 + 7) * C)

State before:
case calc_5
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ 1 ≤ (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A) * (|t|.log ^ (-7 + 7) * C)
Tactic:
have := inv_inv C ▸ mul_inv_cancel (a := C⁻¹) (by positivity) |>.symm.le
State after:
case calc_5
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
this : 1 ≤ C⁻¹ * C
⊢ 1 ≤ (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A) * (|t|.log ^ (-7 + 7) * C)

State before:
case calc_5
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
this : 1 ≤ C⁻¹ * C
⊢ 1 ≤ (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A) * (|t|.log ^ (-7 + 7) * C)
Tactic:
simpa [C] using this
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ 0 < C * |t|.log ^ 7
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
C' : ℝ
C'pos : C' > 0
hC₁ : ∀ {σ : ℝ}, σ ∈ Ioc 1 2 → ∀ (t : ℝ), 3 < |t| → 1 / ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C' * (σ - 1) ^ (-3 / 4) * |t|.log ^ (1 / 4)
A' : ℝ
hA' : A' ∈ Ioc 0 (1 / 2)
C₂ : ℝ
C₂pos : 0 < C₂
hC₂ :
  ∀ (σ₁ σ₂ t : ℝ),
    3 < |t| →
      1 - A' / |t|.log ≤ σ₁ → σ₂ ≤ 2 → σ₁ < σ₂ → ‖ζ (↑σ₂ + ↑t * I) - ζ (↑σ₁ + ↑t * I)‖ ≤ C₂ * |t|.log ^ 2 * (σ₂ - σ₁)
C₁ : ℝ := 1 / C'
A : ℝ := min A' (1 / 2 * (C₁ / (C₂ * 2)) ^ 4)
Apos : 0 < A
Ale : A ≤ 1 / 2
C : ℝ := (C₁ * A ^ (3 / 4) - C₂ * 2 * A)⁻¹
Cpos : 0 < C
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Ico (1 - A / |t|.log ^ 9) 1
logt_gt_one : 1 < |t|.log
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
left✝¹ : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝ : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
σ' : ℝ := 1 + A / |t|.log ^ 9
σ'_gt : 1 < σ'
σ'_le : σ' ≤ 2
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
neOne : 1 < |t|.log ∧ 1 - A < σ ∧ 0 < σ ∧ s ≠ 1
s' : ℂ := ↑σ' + ↑t * I
h0 : ‖ζ s‖ ≠ 0
pos_aux : 0 < σ' - 1
⊢ C⁻¹ ≠ 0
Tactic:
positivity
State after:
no goals