Theorem: NontrivialHolomorphicAt.congr (Ray/AnalyticManifold/Nontrivial.lean)

State before:
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f g : S → T
z : S
n : NontrivialHolomorphicAt f z
e : (𝓝 z).EventuallyEq f g
⊢ NontrivialHolomorphicAt g z
Tactic:
use n.holomorphicAt.congr e
State after:
case nonconst
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f g : S → T
z : S
n : NontrivialHolomorphicAt f z
e : (𝓝 z).EventuallyEq f g
⊢ ∃ᶠ (w : S) in 𝓝 z, g w ≠ g z

State before:
case nonconst
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f g : S → T
z : S
n : NontrivialHolomorphicAt f z
e : (𝓝 z).EventuallyEq f g
⊢ ∃ᶠ (w : S) in 𝓝 z, g w ≠ g z
Tactic:
refine n.nonconst.mp (e.mp (eventually_of_forall fun w ew n ↦ ?_))
State after:
case nonconst
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f g : S → T
z : S
n✝ : NontrivialHolomorphicAt f z
e : (𝓝 z).EventuallyEq f g
w : S
ew : f w = g w
n : f w ≠ f z
⊢ g w ≠ g z

State before:
case nonconst
X : Type
inst✝⁶ : TopologicalSpace X
S : Type
inst✝⁵ : TopologicalSpace S
inst✝⁴ : ChartedSpace ℂ S
cms : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) S
T : Type
inst✝³ : TopologicalSpace T
inst✝² : ChartedSpace ℂ T
cmt : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) T
U : Type
inst✝¹ : TopologicalSpace U
inst✝ : ChartedSpace ℂ U
cmu : AnalyticManifold 𝓘(ℂ, ℂ) U
f✝ : ℂ → ℂ
s : Set ℂ
f g : S → T
z : S
n✝ : NontrivialHolomorphicAt f z
e : (𝓝 z).EventuallyEq f g
w : S
ew : f w = g w
n : f w ≠ f z
⊢ g w ≠ g z
Tactic:
rwa [← ew, ← e.self_of_nhds]
State after:
no goals