Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.HSMul.hSMul.arg_a0.HasSemiAdjoint_rule (SciLean/Core/FunctionPropositions/HasSemiAdjoint.lean)

State before:
K✝ : Type ?u.36201
inst✝¹⁸ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.36207
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.36220
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.36231
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.36242
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.36253
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.36280
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.36315
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.36326
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.36337
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.36348
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.36375
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
y : Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ HasSemiAdjoint K fun x => f x • y
Tactic:
constructor
State after:
case semiAdjoint_exists
K✝ : Type ?u.36201
inst✝¹⁸ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.36207
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.36220
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.36231
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.36242
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.36253
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.36280
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.36315
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.36326
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.36337
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.36348
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.36375
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
y : Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y_1 : Y), TestFunction x → ⟪y_1, f x • y⟫_K = ⟪f' y_1, x⟫_K

case is_differentiable
K✝ : Type ?u.36201
inst✝¹⁸ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.36207
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.36220
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.36231
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.36242
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.36253
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.36280
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.36315
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Z : Type ?u.36326
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.36337
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.36348
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.36375
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
y : Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => f x • y

State before:
case semiAdjoint_exists
K✝ : Type ?u.36201
inst✝¹⁸ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.36207
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.36220
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.36231
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.36242
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.36253
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.36280
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
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Y✝ : Type ?u.36315
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.36326
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.36337
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.36348
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.36375
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
y : Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y_1 : Y), TestFunction x → ⟪y_1, f x • y⟫_K = ⟪f' y_1, x⟫_K

case is_differentiable
K✝ : Type ?u.36201
inst✝¹⁸ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.36207
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.36220
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.36231
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.36242
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.36253
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.36280
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.36315
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Z : Type ?u.36326
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.36337
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.36348
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.36375
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
y : Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => f x • y
Tactic:
. apply Exists.intro (fun (y' : Y) => ⟪y,y'⟫[K] • semiAdjoint K f 1) _
  sorry_proof
State after:
case is_differentiable
K✝ : Type ?u.36201
inst✝¹⁸ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.36207
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.36220
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.36231
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.36242
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.36253
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.36280
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.36315
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.36326
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.36337
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.36348
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.36375
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
y : Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => f x • y

State before:
case is_differentiable
K✝ : Type ?u.36201
inst✝¹⁸ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.36207
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.36220
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.36231
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.36242
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.36253
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.36280
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.36315
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.36326
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.36337
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.36348
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.36375
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
y : Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => f x • y
Tactic:
. fun_prop
State after:
no goals

State before:
case semiAdjoint_exists
K✝ : Type ?u.36201
inst✝¹⁸ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.36207
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.36220
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.36231
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W✝ : Type ?u.36242
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.36253
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.36280
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
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inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
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Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
y : Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y_1 : Y), TestFunction x → ⟪y_1, f x • y⟫_K = ⟪f' y_1, x⟫_K
Tactic:
apply Exists.intro (fun (y' : Y) => ⟪y,y'⟫[K] • semiAdjoint K f 1) _
State after:
K✝ : Type ?u.36201
inst✝¹⁸ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.36207
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inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.36280
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K : Type u_2
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Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
y : Y
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⊢ ∀ (x : X) (y_1 : Y), TestFunction x → ⟪y_1, f x • y⟫_K = ⟪(fun y' => ⟪y, y'⟫_K • semiAdjoint K f 1) y_1, x⟫_K

State before:
K✝ : Type ?u.36201
inst✝¹⁸ : RCLike K✝
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W✝ : Type ?u.36242
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K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
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Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
y : Y
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⊢ ∀ (x : X) (y_1 : Y), TestFunction x → ⟪y_1, f x • y⟫_K = ⟪(fun y' => ⟪y, y'⟫_K • semiAdjoint K f 1) y_1, x⟫_K
Tactic:
sorry_proof
State after:
no goals

State before:
case is_differentiable
K✝ : Type ?u.36201
inst✝¹⁸ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.36207
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.36220
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Z✝ : Type ?u.36231
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ι✝ : Type ?u.36253
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inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.36280
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K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.36315
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.36326
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.36337
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.36348
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.36375
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
y : Y
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => f x • y
Tactic:
fun_prop
State after:
no goals