Theorem: continuous_to_harmonic_real (Ray/Hartogs/Subharmonic.lean)

State before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
Tactic:
generalize hf' : (fun z ↦ (f z : ℂ)) = f'
State after:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
f' : ℂ → ℂ
hf' : (fun z => ↑(f z)) = f'
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z

State before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
f' : ℂ → ℂ
hf' : (fun z => ↑(f z)) = f'
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
Tactic:
have fc' : ContinuousOn f' (sphere c r) := by
  rw [← hf']; exact Complex.continuous_ofReal.comp_continuousOn fc
State after:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
f' : ℂ → ℂ
hf' : (fun z => ↑(f z)) = f'
fc' : ContinuousOn f' (sphere c r)
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z

State before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
f' : ℂ → ℂ
hf' : (fun z => ↑(f z)) = f'
fc' : ContinuousOn f' (sphere c r)
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
Tactic:
rcases continuous_to_harmonic_complex fc' with ⟨g, gh, b⟩
State after:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
f' : ℂ → ℂ
hf' : (fun z => ↑(f z)) = f'
fc' : ContinuousOn f' (sphere c r)
g : ℂ → ℂ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
b : ∀ z ∈ sphere c r, f' z = g z
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z

State before:
case intro.intro
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
f' : ℂ → ℂ
hf' : (fun z => ↑(f z)) = f'
fc' : ContinuousOn f' (sphere c r)
g : ℂ → ℂ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
b : ∀ z ∈ sphere c r, f' z = g z
⊢ ∃ g, HarmonicOn g (closedBall c r) ∧ ∀ z ∈ sphere c r, f z = g z
Tactic:
use fun z ↦ (g z).re, gh.re
State after:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
f' : ℂ → ℂ
hf' : (fun z => ↑(f z)) = f'
fc' : ContinuousOn f' (sphere c r)
g : ℂ → ℂ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
b : ∀ z ∈ sphere c r, f' z = g z
⊢ ∀ z ∈ sphere c r, f z = (g z).re

State before:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
f' : ℂ → ℂ
hf' : (fun z => ↑(f z)) = f'
fc' : ContinuousOn f' (sphere c r)
g : ℂ → ℂ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
b : ∀ z ∈ sphere c r, f' z = g z
⊢ ∀ z ∈ sphere c r, f z = (g z).re
Tactic:
intro z zs
State after:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
f' : ℂ → ℂ
hf' : (fun z => ↑(f z)) = f'
fc' : ContinuousOn f' (sphere c r)
g : ℂ → ℂ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
b : ∀ z ∈ sphere c r, f' z = g z
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
⊢ f z = (g z).re

State before:
case right
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
f' : ℂ → ℂ
hf' : (fun z => ↑(f z)) = f'
fc' : ContinuousOn f' (sphere c r)
g : ℂ → ℂ
gh : HarmonicOn g (closedBall c r)
b : ∀ z ∈ sphere c r, f' z = g z
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
⊢ f z = (g z).re
Tactic:
simp only [← b z zs, Complex.ofReal_re, ← hf']
State after:
no goals

State before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
f' : ℂ → ℂ
hf' : (fun z => ↑(f z)) = f'
⊢ ContinuousOn f' (sphere c r)
Tactic:
rw [← hf']
State after:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
f' : ℂ → ℂ
hf' : (fun z => ↑(f z)) = f'
⊢ ContinuousOn (fun z => ↑(f z)) (sphere c r)

State before:
S : Type
inst✝¹⁵ : RCLike S
inst✝¹⁴ : SMulCommClass ℝ S S
T : Type
inst✝¹³ : RCLike T
inst✝¹² : SMulCommClass ℝ T T
E : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁰ : CompleteSpace E
inst✝⁹ : NormedSpace ℝ E
F : Type
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ F
H : Type
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup H
inst✝⁴ : CompleteSpace H
inst✝³ : NormedSpace ℂ H
inst✝² : SecondCountableTopology E
inst✝¹ : SecondCountableTopology F
inst✝ : SecondCountableTopology H
f : ℂ → ℝ
c : ℂ
r : ℝ
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
f' : ℂ → ℂ
hf' : (fun z => ↑(f z)) = f'
⊢ ContinuousOn (fun z => ↑(f z)) (sphere c r)
Tactic:
exact Complex.continuous_ofReal.comp_continuousOn fc
State after:
no goals