Theorem: SciLean.FwdFDeriv.FinType.sum.arg_f.fwdFDeriv_rule_at (SciLean/Core/FunctionTransformations/FwdFDeriv.lean)

State before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.174334
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type u_4
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.174477
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ fwdFDeriv K (fun x => ∑ i : ι, f x i) x = fun dx =>
    let ydy := fun i => fwdFDeriv K (fun x => f x i) x dx;
    ∑ i : ι, ydy i
Tactic:
unfold fwdFDeriv
State after:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.174334
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type u_4
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.174477
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ (fun dx => ((fun x => ∑ i : ι, f x i) x, (fderiv K (fun x => ∑ i : ι, f x i) x) dx)) = fun dx =>
    let ydy := fun i => ((fun x => f x i) x, (fderiv K (fun x => f x i) x) dx);
    ∑ i : ι, ydy i

State before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.174334
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type u_4
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.174477
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ (fun dx => ((fun x => ∑ i : ι, f x i) x, (fderiv K (fun x => ∑ i : ι, f x i) x) dx)) = fun dx =>
    let ydy := fun i => ((fun x => f x i) x, (fderiv K (fun x => f x i) x) dx);
    ∑ i : ι, ydy i
Tactic:
fun_trans
State after:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.174334
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type u_4
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.174477
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ (fun dx => (∑ i : ι, f x i, Finset.sum Finset.univ ((fderiv K (fun x i => f x i) x) dx))) = fun dx =>
    ∑ x_1 : ι, (f x x_1, (fderiv K (fun x => f x x_1) x) dx)

State before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.174334
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type u_4
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.174477
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ (fun dx => (∑ i : ι, f x i, Finset.sum Finset.univ ((fderiv K (fun x i => f x i) x) dx))) = fun dx =>
    ∑ x_1 : ι, (f x x_1, (fderiv K (fun x => f x x_1) x) dx)
Tactic:
sorry_proof
State after:
no goals