Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.div_lt_of_pos_of_one_lt (Arithmetization/Basic/IOpen.lean)

State before:
M : Type u_1
inst✝⁶ : Zero M
inst✝⁵ : One M
inst✝⁴ : Add M
inst✝³ : Mul M
inst✝² : LT M
inst✝¹ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈open
a b : M
ha : 0 < a
hb : 1 < b
⊢ a / b < a
Tactic:
rcases zero_le (a / b) with (e | lt)
State after:
case inl
M : Type u_1
inst✝⁶ : Zero M
inst✝⁵ : One M
inst✝⁴ : Add M
inst✝³ : Mul M
inst✝² : LT M
inst✝¹ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈open
a b : M
ha : 0 < a
hb : 1 < b
e : 0 = a / b
⊢ a / b < a

case inr
M : Type u_1
inst✝⁶ : Zero M
inst✝⁵ : One M
inst✝⁴ : Add M
inst✝³ : Mul M
inst✝² : LT M
inst✝¹ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈open
a b : M
ha : 0 < a
hb : 1 < b
lt : 0 < a / b
⊢ a / b < a

State before:
case inl
M : Type u_1
inst✝⁶ : Zero M
inst✝⁵ : One M
inst✝⁴ : Add M
inst✝³ : Mul M
inst✝² : LT M
inst✝¹ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈open
a b : M
ha : 0 < a
hb : 1 < b
e : 0 = a / b
⊢ a / b < a
Tactic:
simp [←e, ha]
State after:
no goals

State before:
case inr
M : Type u_1
inst✝⁶ : Zero M
inst✝⁵ : One M
inst✝⁴ : Add M
inst✝³ : Mul M
inst✝² : LT M
inst✝¹ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈open
a b : M
ha : 0 < a
hb : 1 < b
lt : 0 < a / b
⊢ a / b < a
Tactic:
exact lt_of_lt_of_le (lt_mul_of_one_lt_left lt hb) (mul_div_le a b)
State after:
no goals