Theorem: proportion_of_eq_ratio (Pythagoras/proportion.lean)

State before:
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
rstu : r / s = t / u
⊢ proportion r s t u
Tactic:
refine' ⟨hr, hs, ht, hu, _⟩
State after:
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
rstu : r / s = t / u
⊢ ∀ (n m : ℕ),
    (↑n * r = ↑m * s → ↑n * t = ↑m * u) ∧ (↑n * r < ↑m * s → ↑n * t < ↑m * u) ∧ (↑m * s < ↑n * r → ↑m * u < ↑n * t)

State before:
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
rstu : r / s = t / u
⊢ ∀ (n m : ℕ),
    (↑n * r = ↑m * s → ↑n * t = ↑m * u) ∧ (↑n * r < ↑m * s → ↑n * t < ↑m * u) ∧ (↑m * s < ↑n * r → ↑m * u < ↑n * t)
Tactic:
intro n m
State after:
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
rstu : r / s = t / u
n m : ℕ
⊢ (↑n * r = ↑m * s → ↑n * t = ↑m * u) ∧ (↑n * r < ↑m * s → ↑n * t < ↑m * u) ∧ (↑m * s < ↑n * r → ↑m * u < ↑n * t)

State before:
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
rstu : r / s = t / u
n m : ℕ
⊢ (↑n * r = ↑m * s → ↑n * t = ↑m * u) ∧ (↑n * r < ↑m * s → ↑n * t < ↑m * u) ∧ (↑m * s < ↑n * r → ↑m * u < ↑n * t)
Tactic:
field_simp at rstu
State after:
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
⊢ (↑n * r = ↑m * s → ↑n * t = ↑m * u) ∧ (↑n * r < ↑m * s → ↑n * t < ↑m * u) ∧ (↑m * s < ↑n * r → ↑m * u < ↑n * t)

State before:
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
⊢ (↑n * r = ↑m * s → ↑n * t = ↑m * u) ∧ (↑n * r < ↑m * s → ↑n * t < ↑m * u) ∧ (↑m * s < ↑n * r → ↑m * u < ↑n * t)
Tactic:
constructor
State after:
case left
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
⊢ ↑n * r = ↑m * s → ↑n * t = ↑m * u

case right
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
⊢ (↑n * r < ↑m * s → ↑n * t < ↑m * u) ∧ (↑m * s < ↑n * r → ↑m * u < ↑n * t)

State before:
case left
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
⊢ ↑n * r = ↑m * s → ↑n * t = ↑m * u
Tactic:
intro h
State after:
case left
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r = ↑m * s
⊢ ↑n * t = ↑m * u

State before:
case left
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r = ↑m * s
⊢ ↑n * t = ↑m * u
Tactic:
suffices hh : (n : ℝ) * t * s = m * u * s
State after:
case left
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r = ↑m * s
hh : ↑n * t * s = ↑m * u * s
⊢ ↑n * t = ↑m * u

case hh
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r = ↑m * s
⊢ ↑n * t * s = ↑m * u * s

State before:
case left
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r = ↑m * s
hh : ↑n * t * s = ↑m * u * s
⊢ ↑n * t = ↑m * u
Tactic:
convert (congr_arg (fun x => x / s) hh) using 1
State after:
case h.e'_2
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r = ↑m * s
hh : ↑n * t * s = ↑m * u * s
⊢ ↑n * t = ↑n * t * s / s

case h.e'_3
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r = ↑m * s
hh : ↑n * t * s = ↑m * u * s
⊢ ↑m * u = ↑m * u * s / s

State before:
case h.e'_2
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r = ↑m * s
hh : ↑n * t * s = ↑m * u * s
⊢ ↑n * t = ↑n * t * s / s

case h.e'_3
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r = ↑m * s
hh : ↑n * t * s = ↑m * u * s
⊢ ↑m * u = ↑m * u * s / s
Tactic:
all_goals field_simp
State after:
no goals

State before:
case h.e'_3
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r = ↑m * s
hh : ↑n * t * s = ↑m * u * s
⊢ ↑m * u = ↑m * u * s / s
Tactic:
field_simp
State after:
no goals

State before:
case hh
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r = ↑m * s
⊢ ↑n * t * s = ↑m * u * s
Tactic:
convert (congr_arg (fun x => x * u) h) using 1
State after:
case h.e'_2
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r = ↑m * s
⊢ ↑n * t * s = ↑n * r * u

case h.e'_3
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r = ↑m * s
⊢ ↑m * u * s = ↑m * s * u

State before:
case h.e'_2
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r = ↑m * s
⊢ ↑n * t * s = ↑n * r * u
Tactic:
rw [mul_assoc, ← rstu]
State after:
case h.e'_2
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r = ↑m * s
⊢ ↑n * (r * u) = ↑n * r * u

State before:
case h.e'_2
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r = ↑m * s
⊢ ↑n * (r * u) = ↑n * r * u
Tactic:
ring
State after:
no goals

State before:
case h.e'_3
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r = ↑m * s
⊢ ↑m * u * s = ↑m * s * u
Tactic:
ring
State after:
no goals

State before:
case right
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
⊢ (↑n * r < ↑m * s → ↑n * t < ↑m * u) ∧ (↑m * s < ↑n * r → ↑m * u < ↑n * t)
Tactic:
constructor
State after:
case right.left
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
⊢ ↑n * r < ↑m * s → ↑n * t < ↑m * u

case right.right
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
⊢ ↑m * s < ↑n * r → ↑m * u < ↑n * t

State before:
case right.left
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
⊢ ↑n * r < ↑m * s → ↑n * t < ↑m * u
Tactic:
intro h
State after:
case right.left
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r < ↑m * s
⊢ ↑n * t < ↑m * u

State before:
case right.left
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r < ↑m * s
⊢ ↑n * t < ↑m * u
Tactic:
suffices hh : (n : ℝ) * t * s < m * u * s
State after:
case right.left
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r < ↑m * s
hh : ↑n * t * s < ↑m * u * s
⊢ ↑n * t < ↑m * u

case hh
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r < ↑m * s
⊢ ↑n * t * s < ↑m * u * s

State before:
case right.left
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r < ↑m * s
hh : ↑n * t * s < ↑m * u * s
⊢ ↑n * t < ↑m * u
Tactic:
convert mul_lt_mul hh (by simp : (1:ℝ)/s ≤ 1/s) (by positivity)  (by positivity) using 1
State after:
case h.e'_3
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r < ↑m * s
hh : ↑n * t * s < ↑m * u * s
⊢ ↑n * t = ↑n * t * s * (1 / s)

case h.e'_4
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r < ↑m * s
hh : ↑n * t * s < ↑m * u * s
⊢ ↑m * u = ↑m * u * s * (1 / s)

State before:
case h.e'_3
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r < ↑m * s
hh : ↑n * t * s < ↑m * u * s
⊢ ↑n * t = ↑n * t * s * (1 / s)

case h.e'_4
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r < ↑m * s
hh : ↑n * t * s < ↑m * u * s
⊢ ↑m * u = ↑m * u * s * (1 / s)
Tactic:
all_goals field_simp
State after:
no goals

State before:
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r < ↑m * s
hh : ↑n * t * s < ↑m * u * s
⊢ 1 / s ≤ 1 / s
Tactic:
simp
State after:
no goals

State before:
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r < ↑m * s
hh : ↑n * t * s < ↑m * u * s
⊢ 0 < 1 / s
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r < ↑m * s
hh : ↑n * t * s < ↑m * u * s
⊢ 0 ≤ ↑m * u * s
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
case h.e'_4
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r < ↑m * s
hh : ↑n * t * s < ↑m * u * s
⊢ ↑m * u = ↑m * u * s * (1 / s)
Tactic:
field_simp
State after:
no goals

State before:
case hh
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r < ↑m * s
⊢ ↑n * t * s < ↑m * u * s
Tactic:
rw [mul_assoc, ← rstu, ← mul_assoc]
State after:
case hh
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r < ↑m * s
⊢ ↑n * r * u < ↑m * u * s

State before:
case hh
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r < ↑m * s
⊢ ↑n * r * u < ↑m * u * s
Tactic:
convert mul_lt_mul h (by simp : u ≤ u) (by positivity) (by positivity) using 1
State after:
case h.e'_4
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r < ↑m * s
⊢ ↑m * u * s = ↑m * s * u

State before:
case h.e'_4
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r < ↑m * s
⊢ ↑m * u * s = ↑m * s * u
Tactic:
ring
State after:
no goals

State before:
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r < ↑m * s
⊢ u ≤ u
Tactic:
simp
State after:
no goals

State before:
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r < ↑m * s
⊢ 0 < u
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑n * r < ↑m * s
⊢ 0 ≤ ↑m * s
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
case right.right
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
⊢ ↑m * s < ↑n * r → ↑m * u < ↑n * t
Tactic:
intros h
State after:
case right.right
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑m * s < ↑n * r
⊢ ↑m * u < ↑n * t

State before:
case right.right
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑m * s < ↑n * r
⊢ ↑m * u < ↑n * t
Tactic:
suffices hh : (m : ℝ) * u * s < n * t * s
State after:
case right.right
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑m * s < ↑n * r
hh : ↑m * u * s < ↑n * t * s
⊢ ↑m * u < ↑n * t

case hh
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑m * s < ↑n * r
⊢ ↑m * u * s < ↑n * t * s

State before:
case right.right
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑m * s < ↑n * r
hh : ↑m * u * s < ↑n * t * s
⊢ ↑m * u < ↑n * t
Tactic:
convert mul_lt_mul hh (by simp : (1:ℝ)/s ≤ 1/s) (by positivity) (by positivity) using 1
State after:
case h.e'_3
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑m * s < ↑n * r
hh : ↑m * u * s < ↑n * t * s
⊢ ↑m * u = ↑m * u * s * (1 / s)

case h.e'_4
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑m * s < ↑n * r
hh : ↑m * u * s < ↑n * t * s
⊢ ↑n * t = ↑n * t * s * (1 / s)

State before:
case h.e'_3
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑m * s < ↑n * r
hh : ↑m * u * s < ↑n * t * s
⊢ ↑m * u = ↑m * u * s * (1 / s)

case h.e'_4
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑m * s < ↑n * r
hh : ↑m * u * s < ↑n * t * s
⊢ ↑n * t = ↑n * t * s * (1 / s)
Tactic:
all_goals field_simp
State after:
no goals

State before:
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑m * s < ↑n * r
hh : ↑m * u * s < ↑n * t * s
⊢ 1 / s ≤ 1 / s
Tactic:
simp
State after:
no goals

State before:
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑m * s < ↑n * r
hh : ↑m * u * s < ↑n * t * s
⊢ 0 < 1 / s
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑m * s < ↑n * r
hh : ↑m * u * s < ↑n * t * s
⊢ 0 ≤ ↑n * t * s
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
case h.e'_4
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑m * s < ↑n * r
hh : ↑m * u * s < ↑n * t * s
⊢ ↑n * t = ↑n * t * s * (1 / s)
Tactic:
field_simp
State after:
no goals

State before:
case hh
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑m * s < ↑n * r
⊢ ↑m * u * s < ↑n * t * s
Tactic:
rw [(by ring : (n : ℝ) * t * s = n * (t * s)), ← rstu]
State after:
case hh
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑m * s < ↑n * r
⊢ ↑m * u * s < ↑n * (r * u)

State before:
case hh
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑m * s < ↑n * r
⊢ ↑m * u * s < ↑n * (r * u)
Tactic:
convert mul_lt_mul h (by simp : u ≤ u) (by positivity) (by positivity) using 1
State after:
case h.e'_3
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑m * s < ↑n * r
⊢ ↑m * u * s = ↑m * s * u

case h.e'_4
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑m * s < ↑n * r
⊢ ↑n * (r * u) = ↑n * r * u

State before:
case h.e'_3
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑m * s < ↑n * r
⊢ ↑m * u * s = ↑m * s * u

case h.e'_4
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑m * s < ↑n * r
⊢ ↑n * (r * u) = ↑n * r * u
Tactic:
all_goals ring
State after:
no goals

State before:
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑m * s < ↑n * r
⊢ ↑n * t * s = ↑n * (t * s)
Tactic:
ring
State after:
no goals

State before:
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑m * s < ↑n * r
⊢ u ≤ u
Tactic:
simp
State after:
no goals

State before:
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑m * s < ↑n * r
⊢ 0 < u
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑m * s < ↑n * r
⊢ 0 ≤ ↑n * r
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
case h.e'_4
r s t u : ℝ
hr : 0 ≤ r
hs : 0 ≤ s
ht : 0 ≤ t
hu : 0 ≤ u
s_ne : s ≠ 0
u_ne : u ≠ 0
n m : ℕ
rstu : r * u = t * s
h : ↑m * s < ↑n * r
⊢ ↑n * (r * u) = ↑n * r * u
Tactic:
ring
State after:
no goals