Theorem: TendstoUniformlyOn.mul_of_bound (RMT4/hurwitz.lean)

State before:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
s K : Set α
inst✝ : NormedField 𝕜
F G : ι → α → 𝕜
f g : α → 𝕜
x y : 𝕜
η η' : ℝ
p : Filter ι
mf mg : ℝ
hF : TendstoUniformlyOn F f p s
hG : TendstoUniformlyOn G g p s
hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf
hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg
⊢ TendstoUniformlyOn (F * G) (f * g) p s
Tactic:
have h1 : ∀ᶠ i in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf + 1 := by
  simp_rw [Metric.tendstoUniformlyOn_iff, dist_eq_norm] at hF
  filter_upwards [hF 1 zero_lt_one] with i hF x hx
  have : ‖F i x‖ ≤ ‖f x - F i x‖ + ‖f x‖ := by
    simpa [← norm_neg (F i x - f x)] using norm_add_le (F i x - f x) (f x)
  linarith [hF x hx, hf x hx]
State after:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
s K : Set α
inst✝ : NormedField 𝕜
F G : ι → α → 𝕜
f g : α → 𝕜
x y : 𝕜
η η' : ℝ
p : Filter ι
mf mg : ℝ
hF : TendstoUniformlyOn F f p s
hG : TendstoUniformlyOn G g p s
hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf
hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg
h1 : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf + 1
⊢ TendstoUniformlyOn (F * G) (f * g) p s

State before:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
s K : Set α
inst✝ : NormedField 𝕜
F G : ι → α → 𝕜
f g : α → 𝕜
x y : 𝕜
η η' : ℝ
p : Filter ι
mf mg : ℝ
hF : TendstoUniformlyOn F f p s
hG : TendstoUniformlyOn G g p s
hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf
hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg
h1 : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf + 1
⊢ TendstoUniformlyOn (F * G) (f * g) p s
Tactic:
have h2 : ∀ᶠ i in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ mg + 1 := by
  simp_rw [Metric.tendstoUniformlyOn_iff, dist_eq_norm] at hG
  filter_upwards [hG 1 zero_lt_one] with i hG x hx
  have : ‖G i x‖ ≤ ‖g x - G i x‖ + ‖g x‖ := by
    simpa [← norm_neg (G i x - g x)] using norm_add_le (G i x - g x) (g x)
  linarith [hG x hx, hg x hx]
State after:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
s K : Set α
inst✝ : NormedField 𝕜
F G : ι → α → 𝕜
f g : α → 𝕜
x y : 𝕜
η η' : ℝ
p : Filter ι
mf mg : ℝ
hF : TendstoUniformlyOn F f p s
hG : TendstoUniformlyOn G g p s
hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf
hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg
h1 : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf + 1
h2 : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ mg + 1
⊢ TendstoUniformlyOn (F * G) (f * g) p s

State before:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
s K : Set α
inst✝ : NormedField 𝕜
F G : ι → α → 𝕜
f g : α → 𝕜
x y : 𝕜
η η' : ℝ
p : Filter ι
mf mg : ℝ
hF : TendstoUniformlyOn F f p s
hG : TendstoUniformlyOn G g p s
hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf
hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg
h1 : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf + 1
h2 : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ mg + 1
⊢ TendstoUniformlyOn (F * G) (f * g) p s
Tactic:
exact hF.mul_of_le hG h1 h2
State after:
no goals

State before:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
s K : Set α
inst✝ : NormedField 𝕜
F G : ι → α → 𝕜
f g : α → 𝕜
x y : 𝕜
η η' : ℝ
p : Filter ι
mf mg : ℝ
hF : TendstoUniformlyOn F f p s
hG : TendstoUniformlyOn G g p s
hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf
hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf + 1
Tactic:
simp_rw [Metric.tendstoUniformlyOn_iff, dist_eq_norm] at hF
State after:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
s K : Set α
inst✝ : NormedField 𝕜
F G : ι → α → 𝕜
f g : α → 𝕜
x y : 𝕜
η η' : ℝ
p : Filter ι
mf mg : ℝ
hG : TendstoUniformlyOn G g p s
hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf
hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg
hF : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf + 1

State before:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
s K : Set α
inst✝ : NormedField 𝕜
F G : ι → α → 𝕜
f g : α → 𝕜
x y : 𝕜
η η' : ℝ
p : Filter ι
mf mg : ℝ
hG : TendstoUniformlyOn G g p s
hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf
hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg
hF : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf + 1
Tactic:
filter_upwards [hF 1 zero_lt_one] with i hF x hx
State after:
case h
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
s K : Set α
inst✝ : NormedField 𝕜
F G : ι → α → 𝕜
f g : α → 𝕜
x✝ y : 𝕜
η η' : ℝ
p : Filter ι
mf mg : ℝ
hG : TendstoUniformlyOn G g p s
hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf
hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg
hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε
i : ι
hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < 1
x : α
hx : x ∈ s
⊢ ‖F i x‖ ≤ mf + 1

State before:
case h
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
s K : Set α
inst✝ : NormedField 𝕜
F G : ι → α → 𝕜
f g : α → 𝕜
x✝ y : 𝕜
η η' : ℝ
p : Filter ι
mf mg : ℝ
hG : TendstoUniformlyOn G g p s
hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf
hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg
hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε
i : ι
hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < 1
x : α
hx : x ∈ s
⊢ ‖F i x‖ ≤ mf + 1
Tactic:
have : ‖F i x‖ ≤ ‖f x - F i x‖ + ‖f x‖ := by
  simpa [← norm_neg (F i x - f x)] using norm_add_le (F i x - f x) (f x)
State after:
case h
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
s K : Set α
inst✝ : NormedField 𝕜
F G : ι → α → 𝕜
f g : α → 𝕜
x✝ y : 𝕜
η η' : ℝ
p : Filter ι
mf mg : ℝ
hG : TendstoUniformlyOn G g p s
hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf
hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg
hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε
i : ι
hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < 1
x : α
hx : x ∈ s
this : ‖F i x‖ ≤ ‖f x - F i x‖ + ‖f x‖
⊢ ‖F i x‖ ≤ mf + 1

State before:
case h
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
s K : Set α
inst✝ : NormedField 𝕜
F G : ι → α → 𝕜
f g : α → 𝕜
x✝ y : 𝕜
η η' : ℝ
p : Filter ι
mf mg : ℝ
hG : TendstoUniformlyOn G g p s
hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf
hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg
hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε
i : ι
hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < 1
x : α
hx : x ∈ s
this : ‖F i x‖ ≤ ‖f x - F i x‖ + ‖f x‖
⊢ ‖F i x‖ ≤ mf + 1
Tactic:
linarith [hF x hx, hf x hx]
State after:
no goals

State before:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
s K : Set α
inst✝ : NormedField 𝕜
F G : ι → α → 𝕜
f g : α → 𝕜
x✝ y : 𝕜
η η' : ℝ
p : Filter ι
mf mg : ℝ
hG : TendstoUniformlyOn G g p s
hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf
hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg
hF✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖f x - F n x‖ < ε
i : ι
hF : ∀ x ∈ s, ‖f x - F i x‖ < 1
x : α
hx : x ∈ s
⊢ ‖F i x‖ ≤ ‖f x - F i x‖ + ‖f x‖
Tactic:
simpa [← norm_neg (F i x - f x)] using norm_add_le (F i x - f x) (f x)
State after:
no goals

State before:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
s K : Set α
inst✝ : NormedField 𝕜
F G : ι → α → 𝕜
f g : α → 𝕜
x y : 𝕜
η η' : ℝ
p : Filter ι
mf mg : ℝ
hF : TendstoUniformlyOn F f p s
hG : TendstoUniformlyOn G g p s
hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf
hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg
h1 : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf + 1
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ mg + 1
Tactic:
simp_rw [Metric.tendstoUniformlyOn_iff, dist_eq_norm] at hG
State after:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
s K : Set α
inst✝ : NormedField 𝕜
F G : ι → α → 𝕜
f g : α → 𝕜
x y : 𝕜
η η' : ℝ
p : Filter ι
mf mg : ℝ
hF : TendstoUniformlyOn F f p s
hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf
hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg
h1 : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf + 1
hG : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ mg + 1

State before:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
s K : Set α
inst✝ : NormedField 𝕜
F G : ι → α → 𝕜
f g : α → 𝕜
x y : 𝕜
η η' : ℝ
p : Filter ι
mf mg : ℝ
hF : TendstoUniformlyOn F f p s
hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf
hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg
h1 : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf + 1
hG : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε
⊢ ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖G i x‖ ≤ mg + 1
Tactic:
filter_upwards [hG 1 zero_lt_one] with i hG x hx
State after:
case h
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
s K : Set α
inst✝ : NormedField 𝕜
F G : ι → α → 𝕜
f g : α → 𝕜
x✝ y : 𝕜
η η' : ℝ
p : Filter ι
mf mg : ℝ
hF : TendstoUniformlyOn F f p s
hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf
hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg
h1 : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf + 1
hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε
i : ι
hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < 1
x : α
hx : x ∈ s
⊢ ‖G i x‖ ≤ mg + 1

State before:
case h
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
s K : Set α
inst✝ : NormedField 𝕜
F G : ι → α → 𝕜
f g : α → 𝕜
x✝ y : 𝕜
η η' : ℝ
p : Filter ι
mf mg : ℝ
hF : TendstoUniformlyOn F f p s
hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf
hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg
h1 : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf + 1
hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε
i : ι
hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < 1
x : α
hx : x ∈ s
⊢ ‖G i x‖ ≤ mg + 1
Tactic:
have : ‖G i x‖ ≤ ‖g x - G i x‖ + ‖g x‖ := by
  simpa [← norm_neg (G i x - g x)] using norm_add_le (G i x - g x) (g x)
State after:
case h
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
s K : Set α
inst✝ : NormedField 𝕜
F G : ι → α → 𝕜
f g : α → 𝕜
x✝ y : 𝕜
η η' : ℝ
p : Filter ι
mf mg : ℝ
hF : TendstoUniformlyOn F f p s
hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf
hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg
h1 : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf + 1
hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε
i : ι
hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < 1
x : α
hx : x ∈ s
this : ‖G i x‖ ≤ ‖g x - G i x‖ + ‖g x‖
⊢ ‖G i x‖ ≤ mg + 1

State before:
case h
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
s K : Set α
inst✝ : NormedField 𝕜
F G : ι → α → 𝕜
f g : α → 𝕜
x✝ y : 𝕜
η η' : ℝ
p : Filter ι
mf mg : ℝ
hF : TendstoUniformlyOn F f p s
hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf
hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg
h1 : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf + 1
hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε
i : ι
hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < 1
x : α
hx : x ∈ s
this : ‖G i x‖ ≤ ‖g x - G i x‖ + ‖g x‖
⊢ ‖G i x‖ ≤ mg + 1
Tactic:
linarith [hG x hx, hg x hx]
State after:
no goals

State before:
𝕜 : Type u_1
ι : Type u_2
α : Type u_3
s K : Set α
inst✝ : NormedField 𝕜
F G : ι → α → 𝕜
f g : α → 𝕜
x✝ y : 𝕜
η η' : ℝ
p : Filter ι
mf mg : ℝ
hF : TendstoUniformlyOn F f p s
hf : ∀ x ∈ s, ‖f x‖ ≤ mf
hg : ∀ x ∈ s, ‖g x‖ ≤ mg
h1 : ∀ᶠ (i : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖F i x‖ ≤ mf + 1
hG✝ : ∀ ε > 0, ∀ᶠ (n : ι) in p, ∀ x ∈ s, ‖g x - G n x‖ < ε
i : ι
hG : ∀ x ∈ s, ‖g x - G i x‖ < 1
x : α
hx : x ∈ s
⊢ ‖G i x‖ ≤ ‖g x - G i x‖ + ‖g x‖
Tactic:
simpa [← norm_neg (G i x - g x)] using norm_add_le (G i x - g x) (g x)
State after:
no goals