Theorem: HSMul.hSMul.arg_a0a1.revDerivUpdate_rule (SciLean/Core/FunctionTransformations/RevDeriv.lean)

State before:
K : Type
inst✝³⁴ : RCLike K
X : Type
inst✝³³ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type
inst✝³² : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type
inst✝³¹ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝³⁰ : StructType X' Xi XI
inst✝²⁹ : IndexType Xi
inst✝²⁸ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁷ : DecidableEq Xi
Y' Yi✝ : Type
YI✝ : Yi✝ → Type
inst✝²⁶ : StructType Y' Yi✝ YI✝
inst✝²⁵ : IndexType Yi✝
inst✝²⁴ : LawfulIndexType Yi✝
inst✝²³ : DecidableEq Yi✝
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝²² : StructType Z' Zi ZI
inst✝²¹ : IndexType Zi
inst✝²⁰ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹⁹ : DecidableEq Zi
inst✝¹⁸ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁷ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝¹⁴ : (i : Yi✝) → SemiInnerProductSpace K (YI✝ i)
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi✝ YI✝
inst✝¹² : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝¹¹ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝⁸ : IndexType ι
inst✝⁷ : LawfulIndexType ι
Y Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝⁶ : StructType Y Yi YI
inst✝⁵ : IndexType Yi
inst✝⁴ : LawfulIndexType Yi
inst✝³ : DecidableEq Yi
inst✝² : SemiHilbert K Y
inst✝¹ : (i : Yi) → SemiHilbert K (YI i)
inst✝ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y Yi YI
f : X → K
g : X → Y
hf : HasAdjDiff K f
hg : HasAdjDiff K g
⊢ (revDerivUpdate K fun x => f x • g x) = fun x =>
    let ydf := revDerivUpdate K f x;
    let zdg := revDerivUpdate K g x;
    (ydf.1 • zdg.1, fun dy dx =>
      let dk := ⟪zdg.1, dy⟫_K;
      let dy' := (starRingEnd K) ydf.1 • dy;
      let dx := zdg.2 dy' dx;
      ydf.2 dk dx)
Tactic:
unfold revDerivUpdate
State after:
K : Type
inst✝³⁴ : RCLike K
X : Type
inst✝³³ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type
inst✝³² : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type
inst✝³¹ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝³⁰ : StructType X' Xi XI
inst✝²⁹ : IndexType Xi
inst✝²⁸ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁷ : DecidableEq Xi
Y' Yi✝ : Type
YI✝ : Yi✝ → Type
inst✝²⁶ : StructType Y' Yi✝ YI✝
inst✝²⁵ : IndexType Yi✝
inst✝²⁴ : LawfulIndexType Yi✝
inst✝²³ : DecidableEq Yi✝
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝²² : StructType Z' Zi ZI
inst✝²¹ : IndexType Zi
inst✝²⁰ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹⁹ : DecidableEq Zi
inst✝¹⁸ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁷ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝¹⁴ : (i : Yi✝) → SemiInnerProductSpace K (YI✝ i)
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi✝ YI✝
inst✝¹² : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝¹¹ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝⁸ : IndexType ι
inst✝⁷ : LawfulIndexType ι
Y Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝⁶ : StructType Y Yi YI
inst✝⁵ : IndexType Yi
inst✝⁴ : LawfulIndexType Yi
inst✝³ : DecidableEq Yi
inst✝² : SemiHilbert K Y
inst✝¹ : (i : Yi) → SemiHilbert K (YI i)
inst✝ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y Yi YI
f : X → K
g : X → Y
hf : HasAdjDiff K f
hg : HasAdjDiff K g
⊢ (fun x =>
      let ydf := revDeriv K (fun x => f x • g x) x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy)) =
    fun x =>
    let ydf :=
      let ydf := revDeriv K f x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy);
    let zdg :=
      let ydf := revDeriv K g x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy);
    (ydf.1 • zdg.1, fun dy dx =>
      let dk := ⟪zdg.1, dy⟫_K;
      let dy' := (starRingEnd K) ydf.1 • dy;
      let dx := zdg.2 dy' dx;
      ydf.2 dk dx)

State before:
K : Type
inst✝³⁴ : RCLike K
X : Type
inst✝³³ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type
inst✝³² : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type
inst✝³¹ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝³⁰ : StructType X' Xi XI
inst✝²⁹ : IndexType Xi
inst✝²⁸ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁷ : DecidableEq Xi
Y' Yi✝ : Type
YI✝ : Yi✝ → Type
inst✝²⁶ : StructType Y' Yi✝ YI✝
inst✝²⁵ : IndexType Yi✝
inst✝²⁴ : LawfulIndexType Yi✝
inst✝²³ : DecidableEq Yi✝
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝²² : StructType Z' Zi ZI
inst✝²¹ : IndexType Zi
inst✝²⁰ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹⁹ : DecidableEq Zi
inst✝¹⁸ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁷ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝¹⁴ : (i : Yi✝) → SemiInnerProductSpace K (YI✝ i)
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi✝ YI✝
inst✝¹² : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝¹¹ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝⁸ : IndexType ι
inst✝⁷ : LawfulIndexType ι
Y Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝⁶ : StructType Y Yi YI
inst✝⁵ : IndexType Yi
inst✝⁴ : LawfulIndexType Yi
inst✝³ : DecidableEq Yi
inst✝² : SemiHilbert K Y
inst✝¹ : (i : Yi) → SemiHilbert K (YI i)
inst✝ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y Yi YI
f : X → K
g : X → Y
hf : HasAdjDiff K f
hg : HasAdjDiff K g
⊢ (fun x =>
      let ydf := revDeriv K (fun x => f x • g x) x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy)) =
    fun x =>
    let ydf :=
      let ydf := revDeriv K f x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy);
    let zdg :=
      let ydf := revDeriv K g x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy);
    (ydf.1 • zdg.1, fun dy dx =>
      let dk := ⟪zdg.1, dy⟫_K;
      let dy' := (starRingEnd K) ydf.1 • dy;
      let dx := zdg.2 dy' dx;
      ydf.2 dk dx)
Tactic:
funext x
State after:
case h
K : Type
inst✝³⁴ : RCLike K
X : Type
inst✝³³ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type
inst✝³² : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type
inst✝³¹ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝³⁰ : StructType X' Xi XI
inst✝²⁹ : IndexType Xi
inst✝²⁸ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁷ : DecidableEq Xi
Y' Yi✝ : Type
YI✝ : Yi✝ → Type
inst✝²⁶ : StructType Y' Yi✝ YI✝
inst✝²⁵ : IndexType Yi✝
inst✝²⁴ : LawfulIndexType Yi✝
inst✝²³ : DecidableEq Yi✝
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝²² : StructType Z' Zi ZI
inst✝²¹ : IndexType Zi
inst✝²⁰ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹⁹ : DecidableEq Zi
inst✝¹⁸ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁷ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝¹⁴ : (i : Yi✝) → SemiInnerProductSpace K (YI✝ i)
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi✝ YI✝
inst✝¹² : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝¹¹ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝⁸ : IndexType ι
inst✝⁷ : LawfulIndexType ι
Y Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝⁶ : StructType Y Yi YI
inst✝⁵ : IndexType Yi
inst✝⁴ : LawfulIndexType Yi
inst✝³ : DecidableEq Yi
inst✝² : SemiHilbert K Y
inst✝¹ : (i : Yi) → SemiHilbert K (YI i)
inst✝ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y Yi YI
f : X → K
g : X → Y
hf : HasAdjDiff K f
hg : HasAdjDiff K g
x : X
⊢ (let ydf := revDeriv K (fun x => f x • g x) x;
    (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy)) =
    let ydf :=
      let ydf := revDeriv K f x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy);
    let zdg :=
      let ydf := revDeriv K g x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy);
    (ydf.1 • zdg.1, fun dy dx =>
      let dk := ⟪zdg.1, dy⟫_K;
      let dy' := (starRingEnd K) ydf.1 • dy;
      let dx := zdg.2 dy' dx;
      ydf.2 dk dx)

State before:
case h
K : Type
inst✝³⁴ : RCLike K
X : Type
inst✝³³ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type
inst✝³² : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type
inst✝³¹ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝³⁰ : StructType X' Xi XI
inst✝²⁹ : IndexType Xi
inst✝²⁸ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁷ : DecidableEq Xi
Y' Yi✝ : Type
YI✝ : Yi✝ → Type
inst✝²⁶ : StructType Y' Yi✝ YI✝
inst✝²⁵ : IndexType Yi✝
inst✝²⁴ : LawfulIndexType Yi✝
inst✝²³ : DecidableEq Yi✝
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝²² : StructType Z' Zi ZI
inst✝²¹ : IndexType Zi
inst✝²⁰ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹⁹ : DecidableEq Zi
inst✝¹⁸ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁷ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝¹⁴ : (i : Yi✝) → SemiInnerProductSpace K (YI✝ i)
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi✝ YI✝
inst✝¹² : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝¹¹ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝⁸ : IndexType ι
inst✝⁷ : LawfulIndexType ι
Y Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝⁶ : StructType Y Yi YI
inst✝⁵ : IndexType Yi
inst✝⁴ : LawfulIndexType Yi
inst✝³ : DecidableEq Yi
inst✝² : SemiHilbert K Y
inst✝¹ : (i : Yi) → SemiHilbert K (YI i)
inst✝ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y Yi YI
f : X → K
g : X → Y
hf : HasAdjDiff K f
hg : HasAdjDiff K g
x : X
⊢ (let ydf := revDeriv K (fun x => f x • g x) x;
    (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy)) =
    let ydf :=
      let ydf := revDeriv K f x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy);
    let zdg :=
      let ydf := revDeriv K g x;
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy);
    (ydf.1 • zdg.1, fun dy dx =>
      let dk := ⟪zdg.1, dy⟫_K;
      let dy' := (starRingEnd K) ydf.1 • dy;
      let dx := zdg.2 dy' dx;
      ydf.2 dk dx)
Tactic:
fun_trans
State after:
case h
K : Type
inst✝³⁴ : RCLike K
X : Type
inst✝³³ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type
inst✝³² : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type
inst✝³¹ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝³⁰ : StructType X' Xi XI
inst✝²⁹ : IndexType Xi
inst✝²⁸ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁷ : DecidableEq Xi
Y' Yi✝ : Type
YI✝ : Yi✝ → Type
inst✝²⁶ : StructType Y' Yi✝ YI✝
inst✝²⁵ : IndexType Yi✝
inst✝²⁴ : LawfulIndexType Yi✝
inst✝²³ : DecidableEq Yi✝
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝²² : StructType Z' Zi ZI
inst✝²¹ : IndexType Zi
inst✝²⁰ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹⁹ : DecidableEq Zi
inst✝¹⁸ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁷ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝¹⁴ : (i : Yi✝) → SemiInnerProductSpace K (YI✝ i)
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi✝ YI✝
inst✝¹² : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝¹¹ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝⁸ : IndexType ι
inst✝⁷ : LawfulIndexType ι
Y Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝⁶ : StructType Y Yi YI
inst✝⁵ : IndexType Yi
inst✝⁴ : LawfulIndexType Yi
inst✝³ : DecidableEq Yi
inst✝² : SemiHilbert K Y
inst✝¹ : (i : Yi) → SemiHilbert K (YI i)
inst✝ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y Yi YI
f : X → K
g : X → Y
hf : HasAdjDiff K f
hg : HasAdjDiff K g
x : X
⊢ (fun dy dx =>
      dx +
        (revDerivUpdate K (fun x => f x) x).2 (⟪g x, dy⟫_K)
          ((starRingEnd K) (f x) • (revDeriv K (fun x => g x) x).2 dy)) =
    fun dy dx => dx + (revDeriv K g x).2 ((starRingEnd K) (f x) • dy) + (revDeriv K f x).2 ⟪g x, dy⟫_K

State before:
case h
K : Type
inst✝³⁴ : RCLike K
X : Type
inst✝³³ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type
inst✝³² : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type
inst✝³¹ : SemiInnerProductSpace K Z
X' Xi : Type
XI : Xi → Type
inst✝³⁰ : StructType X' Xi XI
inst✝²⁹ : IndexType Xi
inst✝²⁸ : LawfulIndexType Xi
inst✝²⁷ : DecidableEq Xi
Y' Yi✝ : Type
YI✝ : Yi✝ → Type
inst✝²⁶ : StructType Y' Yi✝ YI✝
inst✝²⁵ : IndexType Yi✝
inst✝²⁴ : LawfulIndexType Yi✝
inst✝²³ : DecidableEq Yi✝
Z' Zi : Type
ZI : Zi → Type
inst✝²² : StructType Z' Zi ZI
inst✝²¹ : IndexType Zi
inst✝²⁰ : LawfulIndexType Zi
inst✝¹⁹ : DecidableEq Zi
inst✝¹⁸ : SemiInnerProductSpace K X'
inst✝¹⁷ : (i : Xi) → SemiInnerProductSpace K (XI i)
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpaceStruct K X' Xi XI
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K Y'
inst✝¹⁴ : (i : Yi✝) → SemiInnerProductSpace K (YI✝ i)
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y' Yi✝ YI✝
inst✝¹² : SemiInnerProductSpace K Z'
inst✝¹¹ : (i : Zi) → SemiInnerProductSpace K (ZI i)
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpaceStruct K Z' Zi ZI
W : Type
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type
inst✝⁸ : IndexType ι
inst✝⁷ : LawfulIndexType ι
Y Yi : Type
YI : Yi → Type
inst✝⁶ : StructType Y Yi YI
inst✝⁵ : IndexType Yi
inst✝⁴ : LawfulIndexType Yi
inst✝³ : DecidableEq Yi
inst✝² : SemiHilbert K Y
inst✝¹ : (i : Yi) → SemiHilbert K (YI i)
inst✝ : SemiInnerProductSpaceStruct K Y Yi YI
f : X → K
g : X → Y
hf : HasAdjDiff K f
hg : HasAdjDiff K g
x : X
⊢ (fun dy dx =>
      dx +
        (revDerivUpdate K (fun x => f x) x).2 (⟪g x, dy⟫_K)
          ((starRingEnd K) (f x) • (revDeriv K (fun x => g x) x).2 dy)) =
    fun dy dx => dx + (revDeriv K g x).2 ((starRingEnd K) (f x) • dy) + (revDeriv K f x).2 ⟪g x, dy⟫_K
Tactic:
simp[mul_assoc,add_assoc,revDerivUpdate,revDeriv,smul_push]
State after:
no goals