Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.domain_eq_empty_iff_eq_empty (Arithmetization/ISigmaOne/HFS/Basic.lean)

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s : M
⊢ domain s = ∅ → s = ∅
Tactic:
simp [isempty_iff, mem_domain_iff]
State after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s : M
⊢ (∀ (x x_1 : M), ⟪x, x_1⟫ ∉ s) → ∀ (x : M), x ∉ s

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s : M
⊢ (∀ (x x_1 : M), ⟪x, x_1⟫ ∉ s) → ∀ (x : M), x ∉ s
Tactic:
intro h x hx
State after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s : M
h : ∀ (x x_1 : M), ⟪x, x_1⟫ ∉ s
x : M
hx : x ∈ s
⊢ False

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s : M
h : ∀ (x x_1 : M), ⟪x, x_1⟫ ∉ s
x : M
hx : x ∈ s
⊢ False
Tactic:
exact h (π₁ x) (π₂ x) (by simpa using hx)
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s : M
h : ∀ (x x_1 : M), ⟪x, x_1⟫ ∉ s
x : M
hx : x ∈ s
⊢ ⟪π₁ x, π₂ x⟫ ∈ s
Tactic:
simpa using hx
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s : M
⊢ s = ∅ → domain s = ∅
Tactic:
rintro rfl
State after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
⊢ domain ∅ = ∅

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
⊢ domain ∅ = ∅
Tactic:
simp
State after:
no goals