Theorem: HolomorphicAt.add (Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean)

State before:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f g : M → 𝕜
x : M
fa : HolomorphicAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) f x
ga : HolomorphicAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) g x
⊢ HolomorphicAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) (fun x => f x + g x) x
Tactic:
have e : (fun x ↦ f x + g x) = (fun p : 𝕜 × 𝕜 ↦ p.1 + p.2) ∘ fun x ↦ (f x, g x) := rfl
State after:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f g : M → 𝕜
x : M
fa : HolomorphicAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) f x
ga : HolomorphicAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) g x
e : (fun x => f x + g x) = (fun p => p.1 + p.2) ∘ fun x => (f x, g x)
⊢ HolomorphicAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) (fun x => f x + g x) x

State before:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f g : M → 𝕜
x : M
fa : HolomorphicAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) f x
ga : HolomorphicAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) g x
e : (fun x => f x + g x) = (fun p => p.1 + p.2) ∘ fun x => (f x, g x)
⊢ HolomorphicAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) (fun x => f x + g x) x
Tactic:
rw [e]
State after:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f g : M → 𝕜
x : M
fa : HolomorphicAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) f x
ga : HolomorphicAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) g x
e : (fun x => f x + g x) = (fun p => p.1 + p.2) ∘ fun x => (f x, g x)
⊢ HolomorphicAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) ((fun p => p.1 + p.2) ∘ fun x => (f x, g x)) x

State before:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f g : M → 𝕜
x : M
fa : HolomorphicAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) f x
ga : HolomorphicAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) g x
e : (fun x => f x + g x) = (fun p => p.1 + p.2) ∘ fun x => (f x, g x)
⊢ HolomorphicAt I 𝓘(𝕜, 𝕜) ((fun p => p.1 + p.2) ∘ fun x => (f x, g x)) x
Tactic:
exact (((analyticAt_fst _).add (analyticAt_snd _)).holomorphicAt _ _).comp (fa.prod ga)
State after:
no goals