Theorem: bound_sum_log (PrimeNumberTheoremAnd/Wiener.lean)

State before:
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
⊢ ∑' (i : ℕ), ‖f i‖ / ↑i * (1 + (1 / (2 * π) * (↑i / x).log) ^ 2)⁻¹ ≤ C * (1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (1 / (2 * π)) t)
Tactic:
let ggg (i : ℕ) : ℝ := if i = 0 then 1 else gg x i
State after:
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
⊢ ∑' (i : ℕ), ‖f i‖ / ↑i * (1 + (1 / (2 * π) * (↑i / x).log) ^ 2)⁻¹ ≤ C * (1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (1 / (2 * π)) t)

State before:
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
⊢ ∑' (i : ℕ), ‖f i‖ / ↑i * (1 + (1 / (2 * π) * (↑i / x).log) ^ 2)⁻¹ ≤ C * (1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (1 / (2 * π)) t)
Tactic:
have l0 : x ≠ 0 := by linarith
State after:
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
⊢ ∑' (i : ℕ), ‖f i‖ / ↑i * (1 + (1 / (2 * π) * (↑i / x).log) ^ 2)⁻¹ ≤ C * (1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (1 / (2 * π)) t)

State before:
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
⊢ ∑' (i : ℕ), ‖f i‖ / ↑i * (1 + (1 / (2 * π) * (↑i / x).log) ^ 2)⁻¹ ≤ C * (1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (1 / (2 * π)) t)
Tactic:
have l1 i : 0 ≤ ggg i := by by_cases hi : i = 0 <;> simp [ggg, hi, gg] ; positivity
State after:
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
⊢ ∑' (i : ℕ), ‖f i‖ / ↑i * (1 + (1 / (2 * π) * (↑i / x).log) ^ 2)⁻¹ ≤ C * (1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (1 / (2 * π)) t)

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n : ℕ
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ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
⊢ ∑' (i : ℕ), ‖f i‖ / ↑i * (1 + (1 / (2 * π) * (↑i / x).log) ^ 2)⁻¹ ≤ C * (1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (1 / (2 * π)) t)
Tactic:
have l3 : 0 ≤ C := by simpa [cumsum, hf0] using hf 1
State after:
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ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
⊢ ∑' (i : ℕ), ‖f i‖ / ↑i * (1 + (1 / (2 * π) * (↑i / x).log) ^ 2)⁻¹ ≤ C * (1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (1 / (2 * π)) t)

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n : ℕ
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ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
⊢ ∑' (i : ℕ), ‖f i‖ / ↑i * (1 + (1 / (2 * π) * (↑i / x).log) ^ 2)⁻¹ ≤ C * (1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (1 / (2 * π)) t)
Tactic:
have l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t :=
  setIntegral_nonneg measurableSet_Ioi (fun x hx => hh_nonneg _ (LT.lt.le hx))
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F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
⊢ ∑' (i : ℕ), ‖f i‖ / ↑i * (1 + (1 / (2 * π) * (↑i / x).log) ^ 2)⁻¹ ≤ C * (1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (1 / (2 * π)) t)

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n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
⊢ ∑' (i : ℕ), ‖f i‖ / ↑i * (1 + (1 / (2 * π) * (↑i / x).log) ^ 2)⁻¹ ≤ C * (1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (1 / (2 * π)) t)
Tactic:
have l5 {n : ℕ} : AntitoneOn (fun t ↦ x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 n) := by
  intro u ⟨hu1, _⟩ v ⟨hv1, _⟩ huv
  simp only
  apply mul_le_mul le_rfl ?_ (hh_nonneg _ (by positivity)) (by positivity)
  apply hh_antitone one_div_two_pi_mem_Ioo (by simp ; positivity) (by simp ; positivity)
  apply (div_le_div_right (by positivity)).mpr huv
State after:
n : ℕ
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ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
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𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
⊢ ∑' (i : ℕ), ‖f i‖ / ↑i * (1 + (1 / (2 * π) * (↑i / x).log) ^ 2)⁻¹ ≤ C * (1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (1 / (2 * π)) t)

State before:
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
⊢ ∑' (i : ℕ), ‖f i‖ / ↑i * (1 + (1 / (2 * π) * (↑i / x).log) ^ 2)⁻¹ ≤ C * (1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (1 / (2 * π)) t)
Tactic:
have l6 {n : ℕ} : IntegrableOn (fun t ↦ x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 n) volume := by
  apply IntegrableOn.mono_set (hh_integrable (by positivity) (by positivity) (by positivity)) Icc_subset_Ici_self
State after:
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
⊢ ∑' (i : ℕ), ‖f i‖ / ↑i * (1 + (1 / (2 * π) * (↑i / x).log) ^ 2)⁻¹ ≤ C * (1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (1 / (2 * π)) t)

State before:
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
⊢ ∑' (i : ℕ), ‖f i‖ / ↑i * (1 + (1 / (2 * π) * (↑i / x).log) ^ 2)⁻¹ ≤ C * (1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (1 / (2 * π)) t)
Tactic:
apply Real.tsum_le_of_sum_range_le (fun n => by positivity)
State after:
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
⊢ ∀ (n : ℕ),
    ∑ i ∈ Finset.range n, ‖f i‖ / ↑i * (1 + (1 / (2 * π) * (↑i / x).log) ^ 2)⁻¹ ≤
      C * (1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (1 / (2 * π)) t)

State before:
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
⊢ ∀ (n : ℕ),
    ∑ i ∈ Finset.range n, ‖f i‖ / ↑i * (1 + (1 / (2 * π) * (↑i / x).log) ^ 2)⁻¹ ≤
      C * (1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (1 / (2 * π)) t)
Tactic:
intro n
State after:
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, ‖f i‖ / ↑i * (1 + (1 / (2 * π) * (↑i / x).log) ^ 2)⁻¹ ≤
    C * (1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (1 / (2 * π)) t)

State before:
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, ‖f i‖ / ↑i * (1 + (1 / (2 * π) * (↑i / x).log) ^ 2)⁻¹ ≤
    C * (1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (1 / (2 * π)) t)
Tactic:
convert_to ∑ i in Finset.range n, ‖f i‖ * ggg i ≤ _
State after:
case h.e'_3
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, ‖f i‖ / ↑i * (1 + (1 / (2 * π) * (↑i / x).log) ^ 2)⁻¹ = ∑ i ∈ Finset.range n, ‖f i‖ * ggg i

case convert_2
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, ‖f i‖ * ggg i ≤ C * (1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (1 / (2 * π)) t)

State before:
case convert_2
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, ‖f i‖ * ggg i ≤ C * (1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (1 / (2 * π)) t)
Tactic:
apply cancel_main' (fun _ => norm_nonneg _) (by simp [hf0]) l1 hf l2 n |>.trans
State after:
case convert_2
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
⊢ C * cumsum (fun i => ggg i) n ≤ C * (1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (1 / (2 * π)) t)

State before:
case convert_2
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
⊢ C * cumsum (fun i => ggg i) n ≤ C * (1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (1 / (2 * π)) t)
Tactic:
gcongr
State after:
case convert_2.h
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
⊢ cumsum (fun i => ggg i) n ≤ 1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (1 / (2 * π)) t

State before:
case convert_2.h
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
⊢ cumsum (fun i => ggg i) n ≤ 1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (1 / (2 * π)) t
Tactic:
simp [ggg, cumsum, gg_of_hh l0]
State after:
case convert_2.h
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
⊢ (∑ i ∈ Finset.range n, if i = 0 then 1 else x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑i / x)) ≤ 1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t

State before:
case convert_2.h
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
⊢ (∑ i ∈ Finset.range n, if i = 0 then 1 else x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑i / x)) ≤ 1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
Tactic:
by_cases hn : n = 0
State after:
case pos
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : n = 0
⊢ (∑ i ∈ Finset.range n, if i = 0 then 1 else x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑i / x)) ≤ 1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t

case neg
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : ¬n = 0
⊢ (∑ i ∈ Finset.range n, if i = 0 then 1 else x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑i / x)) ≤ 1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t

State before:
case pos
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : n = 0
⊢ (∑ i ∈ Finset.range n, if i = 0 then 1 else x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑i / x)) ≤ 1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t

case neg
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : ¬n = 0
⊢ (∑ i ∈ Finset.range n, if i = 0 then 1 else x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑i / x)) ≤ 1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
Tactic:
simp [hn]
State after:
case pos
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : n = 0
⊢ 0 ≤ 1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t

case neg
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : ¬n = 0
⊢ (∑ i ∈ Finset.range n, if i = 0 then 1 else x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑i / x)) ≤ 1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t

State before:
case pos
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : n = 0
⊢ 0 ≤ 1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t

case neg
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : ¬n = 0
⊢ (∑ i ∈ Finset.range n, if i = 0 then 1 else x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑i / x)) ≤ 1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
Tactic:
positivity
State after:
case neg
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : ¬n = 0
⊢ (∑ i ∈ Finset.range n, if i = 0 then 1 else x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑i / x)) ≤ 1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t

State before:
case neg
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : ¬n = 0
⊢ (∑ i ∈ Finset.range n, if i = 0 then 1 else x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑i / x)) ≤ 1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
Tactic:
replace hn : 0 < n := by omega
State after:
case neg
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ (∑ i ∈ Finset.range n, if i = 0 then 1 else x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑i / x)) ≤ 1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t

State before:
case neg
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ (∑ i ∈ Finset.range n, if i = 0 then 1 else x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑i / x)) ≤ 1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
Tactic:
have : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n := by
  ext i ; simp ; by_cases hi : i = 0 <;> simp [hi, hn] ; omega
State after:
case neg
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
⊢ (∑ i ∈ Finset.range n, if i = 0 then 1 else x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑i / x)) ≤ 1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t

State before:
case neg
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
⊢ (∑ i ∈ Finset.range n, if i = 0 then 1 else x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑i / x)) ≤ 1 + ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
Tactic:
simp [this, Finset.sum_union]
State after:
case neg
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
⊢ (∑ x_1 ∈ Finset.Ico 1 n, if x_1 = 0 then 1 else x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑x_1 / x)) ≤
    ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t

State before:
case neg
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
⊢ (∑ x_1 ∈ Finset.Ico 1 n, if x_1 = 0 then 1 else x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑x_1 / x)) ≤
    ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
Tactic:
convert_to ∑ x_1 in Finset.Ico 1 n, x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑x_1 / x) ≤ _
State after:
case h.e'_3
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
⊢ (∑ x_1 ∈ Finset.Ico 1 n, if x_1 = 0 then 1 else x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑x_1 / x)) =
    ∑ x_1 ∈ Finset.Ico 1 n, x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑x_1 / x)

case neg.convert_2
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
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hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
⊢ ∑ x_1 ∈ Finset.Ico 1 n, x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑x_1 / x) ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t

State before:
case neg.convert_2
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
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C : ℝ
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ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
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l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
⊢ ∑ x_1 ∈ Finset.Ico 1 n, x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑x_1 / x) ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
Tactic:
simp_rw [Finset.sum_Ico_eq_sum_range, add_comm 1]
State after:
case neg.convert_2
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
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C : ℝ
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hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
⊢ ∑ x_1 ∈ Finset.range (n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x_1 + 1) / x) ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t

State before:
case neg.convert_2
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
⊢ ∑ x_1 ∈ Finset.range (n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x_1 + 1) / x) ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
Tactic:
have := @sum_le_integral 0 (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (n - 1) (by simpa using l5) (by simpa using l6)
State after:
case neg.convert_2
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this✝ : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
this :
  ∑ i ∈ Finset.range (n - 1), (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (0 + ↑(i + 1)) ≤
    ∫ (x_1 : ℝ) in 0 ..0 + ↑(n - 1), (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) x_1
⊢ ∑ x_1 ∈ Finset.range (n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x_1 + 1) / x) ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t

State before:
case neg.convert_2
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this✝ : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
this :
  ∑ i ∈ Finset.range (n - 1), (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (0 + ↑(i + 1)) ≤
    ∫ (x_1 : ℝ) in 0 ..0 + ↑(n - 1), (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) x_1
⊢ ∑ x_1 ∈ Finset.range (n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x_1 + 1) / x) ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
Tactic:
simp only [zero_add] at this
State after:
case neg.convert_2
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this✝ : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
this :
  ∑ x_1 ∈ Finset.range (n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x_1 + 1) / x) ≤
    ∫ (x_1 : ℝ) in 0 ..↑(n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (x_1 / x)
⊢ ∑ x_1 ∈ Finset.range (n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x_1 + 1) / x) ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t

State before:
case neg.convert_2
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
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hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this✝ : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
this :
  ∑ x_1 ∈ Finset.range (n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x_1 + 1) / x) ≤
    ∫ (x_1 : ℝ) in 0 ..↑(n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (x_1 / x)
⊢ ∑ x_1 ∈ Finset.range (n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x_1 + 1) / x) ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
Tactic:
apply this.trans
State after:
case neg.convert_2
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this✝ : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
this :
  ∑ x_1 ∈ Finset.range (n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x_1 + 1) / x) ≤
    ∫ (x_1 : ℝ) in 0 ..↑(n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (x_1 / x)
⊢ ∫ (x_1 : ℝ) in 0 ..↑(n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (x_1 / x) ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t

State before:
case neg.convert_2
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
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hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this✝ : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
this :
  ∑ x_1 ∈ Finset.range (n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x_1 + 1) / x) ≤
    ∫ (x_1 : ℝ) in 0 ..↑(n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (x_1 / x)
⊢ ∫ (x_1 : ℝ) in 0 ..↑(n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (x_1 / x) ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
Tactic:
rw [@intervalIntegral.integral_comp_div ℝ _ _ 0 ↑(n - 1) x (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t)) l0]
State after:
case neg.convert_2
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this✝ : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
this :
  ∑ x_1 ∈ Finset.range (n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x_1 + 1) / x) ≤
    ∫ (x_1 : ℝ) in 0 ..↑(n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (x_1 / x)
⊢ x • ∫ (x_1 : ℝ) in 0 / x..↑(n - 1) / x, x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) x_1 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t

State before:
case neg.convert_2
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this✝ : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
this :
  ∑ x_1 ∈ Finset.range (n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x_1 + 1) / x) ≤
    ∫ (x_1 : ℝ) in 0 ..↑(n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (x_1 / x)
⊢ x • ∫ (x_1 : ℝ) in 0 / x..↑(n - 1) / x, x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) x_1 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
Tactic:
simp [← mul_assoc, mul_inv_cancel l0]
State after:
case neg.convert_2
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this✝ : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
this :
  ∑ x_1 ∈ Finset.range (n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x_1 + 1) / x) ≤
    ∫ (x_1 : ℝ) in 0 ..↑(n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (x_1 / x)
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑(n - 1) / x, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) x ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t

State before:
case neg.convert_2
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this✝ : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
this :
  ∑ x_1 ∈ Finset.range (n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x_1 + 1) / x) ≤
    ∫ (x_1 : ℝ) in 0 ..↑(n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (x_1 / x)
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑(n - 1) / x, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) x ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
Tactic:
have : (0 : ℝ) ≤ ↑(n - 1) / x := by positivity
State after:
case neg.convert_2
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this✝¹ : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
this✝ :
  ∑ x_1 ∈ Finset.range (n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x_1 + 1) / x) ≤
    ∫ (x_1 : ℝ) in 0 ..↑(n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (x_1 / x)
this : 0 ≤ ↑(n - 1) / x
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑(n - 1) / x, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) x ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t

State before:
case neg.convert_2
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this✝¹ : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
this✝ :
  ∑ x_1 ∈ Finset.range (n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x_1 + 1) / x) ≤
    ∫ (x_1 : ℝ) in 0 ..↑(n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (x_1 / x)
this : 0 ≤ ↑(n - 1) / x
⊢ ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑(n - 1) / x, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) x ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
Tactic:
rw [intervalIntegral.intervalIntegral_eq_integral_uIoc]
State after:
case neg.convert_2
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this✝¹ : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
this✝ :
  ∑ x_1 ∈ Finset.range (n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x_1 + 1) / x) ≤
    ∫ (x_1 : ℝ) in 0 ..↑(n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (x_1 / x)
this : 0 ≤ ↑(n - 1) / x
⊢ (if 0 ≤ ↑(n - 1) / x then 1 else -1) • ∫ (x : ℝ) in Ι 0 (↑(n - 1) / x), hh (π⁻¹ * 2⁻¹) x ∂volume ≤
    ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t

State before:
case neg.convert_2
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this✝¹ : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
this✝ :
  ∑ x_1 ∈ Finset.range (n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x_1 + 1) / x) ≤
    ∫ (x_1 : ℝ) in 0 ..↑(n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (x_1 / x)
this : 0 ≤ ↑(n - 1) / x
⊢ (if 0 ≤ ↑(n - 1) / x then 1 else -1) • ∫ (x : ℝ) in Ι 0 (↑(n - 1) / x), hh (π⁻¹ * 2⁻¹) x ∂volume ≤
    ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
Tactic:
simp [this]
State after:
case neg.convert_2
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this✝¹ : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
this✝ :
  ∑ x_1 ∈ Finset.range (n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x_1 + 1) / x) ≤
    ∫ (x_1 : ℝ) in 0 ..↑(n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (x_1 / x)
this : 0 ≤ ↑(n - 1) / x
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (↑(n - 1) / x), hh (π⁻¹ * 2⁻¹) x ∂volume ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t

State before:
case neg.convert_2
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this✝¹ : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
this✝ :
  ∑ x_1 ∈ Finset.range (n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x_1 + 1) / x) ≤
    ∫ (x_1 : ℝ) in 0 ..↑(n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (x_1 / x)
this : 0 ≤ ↑(n - 1) / x
⊢ ∫ (x : ℝ) in Ioc 0 (↑(n - 1) / x), hh (π⁻¹ * 2⁻¹) x ∂volume ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
Tactic:
apply integral_mono_measure
State after:
case neg.convert_2.hle
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this✝¹ : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
this✝ :
  ∑ x_1 ∈ Finset.range (n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x_1 + 1) / x) ≤
    ∫ (x_1 : ℝ) in 0 ..↑(n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (x_1 / x)
this : 0 ≤ ↑(n - 1) / x
⊢ volume.restrict (Ioc 0 (↑(n - 1) / x)) ≤ volume.restrict (Ioi 0)

case neg.convert_2.hf
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this✝¹ : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
this✝ :
  ∑ x_1 ∈ Finset.range (n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x_1 + 1) / x) ≤
    ∫ (x_1 : ℝ) in 0 ..↑(n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (x_1 / x)
this : 0 ≤ ↑(n - 1) / x
⊢ 0 ≤ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] fun a => hh (π⁻¹ * 2⁻¹) a

case neg.convert_2.hfi
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this✝¹ : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
this✝ :
  ∑ x_1 ∈ Finset.range (n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x_1 + 1) / x) ≤
    ∫ (x_1 : ℝ) in 0 ..↑(n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (x_1 / x)
this : 0 ≤ ↑(n - 1) / x
⊢ Integrable (fun a => hh (π⁻¹ * 2⁻¹) a) (volume.restrict (Ioi 0))

State before:
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
⊢ x ≠ 0
Tactic:
linarith
State after:
no goals

State before:
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
i : ℕ
⊢ 0 ≤ ggg i
Tactic:
by_cases hi : i = 0 <;> simp [ggg, hi, gg]
State after:
case neg
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
i : ℕ
hi : ¬i = 0
⊢ 0 ≤ (↑i)⁻¹ * (1 + (π⁻¹ * 2⁻¹ * (↑i / x).log) ^ 2)⁻¹

State before:
case neg
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
i : ℕ
hi : ¬i = 0
⊢ 0 ≤ (↑i)⁻¹ * (1 + (π⁻¹ * 2⁻¹ * (↑i / x).log) ^ 2)⁻¹
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
⊢ Antitone ggg
Tactic:
intro i j hij
State after:
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
i j : ℕ
hij : i ≤ j
⊢ ggg j ≤ ggg i

State before:
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
i j : ℕ
hij : i ≤ j
⊢ ggg j ≤ ggg i
Tactic:
by_cases hi : i = 0 <;> by_cases hj : j = 0 <;> simp [ggg, hi, hj]
State after:
case neg
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
i j : ℕ
hij : i ≤ j
hi : i = 0
hj : ¬j = 0
⊢ gg x ↑j ≤ 1

case pos
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
i j : ℕ
hij : i ≤ j
hi : ¬i = 0
hj : j = 0
⊢ 1 ≤ gg x ↑i

case neg
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
i j : ℕ
hij : i ≤ j
hi : ¬i = 0
hj : ¬j = 0
⊢ gg x ↑j ≤ gg x ↑i

State before:
case neg
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
i j : ℕ
hij : i ≤ j
hi : i = 0
hj : ¬j = 0
⊢ gg x ↑j ≤ 1
Tactic:
exact gg_le_one _
State after:
no goals

State before:
case pos
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
i j : ℕ
hij : i ≤ j
hi : ¬i = 0
hj : j = 0
⊢ 1 ≤ gg x ↑i
Tactic:
omega
State after:
no goals

State before:
case neg
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
i j : ℕ
hij : i ≤ j
hi : ¬i = 0
hj : ¬j = 0
⊢ gg x ↑j ≤ gg x ↑i
Tactic:
simp only [gg_of_hh l0]
State after:
case neg
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
i j : ℕ
hij : i ≤ j
hi : ¬i = 0
hj : ¬j = 0
⊢ x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (↑j / x) ≤ x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (↑i / x)

State before:
case neg
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
i j : ℕ
hij : i ≤ j
hi : ¬i = 0
hj : ¬j = 0
⊢ x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (↑j / x) ≤ x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (↑i / x)
Tactic:
gcongr
State after:
case neg.h
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
i j : ℕ
hij : i ≤ j
hi : ¬i = 0
hj : ¬j = 0
⊢ hh (1 / (2 * π)) (↑j / x) ≤ hh (1 / (2 * π)) (↑i / x)

State before:
case neg.h
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
i j : ℕ
hij : i ≤ j
hi : ¬i = 0
hj : ¬j = 0
⊢ hh (1 / (2 * π)) (↑j / x) ≤ hh (1 / (2 * π)) (↑i / x)
Tactic:
apply hh_antitone one_div_two_pi_mem_Ioo
State after:
case neg.h.x
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
i j : ℕ
hij : i ≤ j
hi : ¬i = 0
hj : ¬j = 0
⊢ ↑i / x ∈ Ioi 0

case neg.h.x
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
i j : ℕ
hij : i ≤ j
hi : ¬i = 0
hj : ¬j = 0
⊢ ↑j / x ∈ Ioi 0

case neg.h.a
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
i j : ℕ
hij : i ≤ j
hi : ¬i = 0
hj : ¬j = 0
⊢ ↑i / x ≤ ↑j / x

State before:
case neg.h.x
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
i j : ℕ
hij : i ≤ j
hi : ¬i = 0
hj : ¬j = 0
⊢ ↑i / x ∈ Ioi 0
Tactic:
simp
State after:
case neg.h.x
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
i j : ℕ
hij : i ≤ j
hi : ¬i = 0
hj : ¬j = 0
⊢ 0 < ↑i / x

State before:
case neg.h.x
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
i j : ℕ
hij : i ≤ j
hi : ¬i = 0
hj : ¬j = 0
⊢ 0 < ↑i / x
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
case neg.h.x
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
i j : ℕ
hij : i ≤ j
hi : ¬i = 0
hj : ¬j = 0
⊢ ↑j / x ∈ Ioi 0
Tactic:
simp
State after:
case neg.h.x
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
i j : ℕ
hij : i ≤ j
hi : ¬i = 0
hj : ¬j = 0
⊢ 0 < ↑j / x

State before:
case neg.h.x
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
i j : ℕ
hij : i ≤ j
hi : ¬i = 0
hj : ¬j = 0
⊢ 0 < ↑j / x
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
case neg.h.a
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
i j : ℕ
hij : i ≤ j
hi : ¬i = 0
hj : ¬j = 0
⊢ ↑i / x ≤ ↑j / x
Tactic:
gcongr
State after:
no goals

State before:
n : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
⊢ 0 ≤ C
Tactic:
simpa [cumsum, hf0] using hf 1
State after:
no goals

State before:
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
n : ℕ
⊢ AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
Tactic:
intro u ⟨hu1, _⟩ v ⟨hv1, _⟩ huv
State after:
n✝ : ℕ
A a b c d u✝ x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
n : ℕ
u : ℝ
hu1 : 0 < u
right✝¹ : u ≤ ↑n
v : ℝ
hv1 : 0 < v
right✝ : v ≤ ↑n
huv : u ≤ v
⊢ (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) v ≤ (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) u

State before:
n✝ : ℕ
A a b c d u✝ x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
n : ℕ
u : ℝ
hu1 : 0 < u
right✝¹ : u ≤ ↑n
v : ℝ
hv1 : 0 < v
right✝ : v ≤ ↑n
huv : u ≤ v
⊢ (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) v ≤ (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) u
Tactic:
simp only
State after:
n✝ : ℕ
A a b c d u✝ x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
n : ℕ
u : ℝ
hu1 : 0 < u
right✝¹ : u ≤ ↑n
v : ℝ
hv1 : 0 < v
right✝ : v ≤ ↑n
huv : u ≤ v
⊢ x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (v / x) ≤ x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (u / x)

State before:
n✝ : ℕ
A a b c d u✝ x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
n : ℕ
u : ℝ
hu1 : 0 < u
right✝¹ : u ≤ ↑n
v : ℝ
hv1 : 0 < v
right✝ : v ≤ ↑n
huv : u ≤ v
⊢ x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (v / x) ≤ x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (u / x)
Tactic:
apply mul_le_mul le_rfl ?_ (hh_nonneg _ (by positivity)) (by positivity)
State after:
n✝ : ℕ
A a b c d u✝ x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
n : ℕ
u : ℝ
hu1 : 0 < u
right✝¹ : u ≤ ↑n
v : ℝ
hv1 : 0 < v
right✝ : v ≤ ↑n
huv : u ≤ v
⊢ hh (1 / (2 * π)) (v / x) ≤ hh (1 / (2 * π)) (u / x)

State before:
n✝ : ℕ
A a b c d u✝ x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
n : ℕ
u : ℝ
hu1 : 0 < u
right✝¹ : u ≤ ↑n
v : ℝ
hv1 : 0 < v
right✝ : v ≤ ↑n
huv : u ≤ v
⊢ hh (1 / (2 * π)) (v / x) ≤ hh (1 / (2 * π)) (u / x)
Tactic:
apply hh_antitone one_div_two_pi_mem_Ioo (by simp ; positivity) (by simp ; positivity)
State after:
n✝ : ℕ
A a b c d u✝ x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
n : ℕ
u : ℝ
hu1 : 0 < u
right✝¹ : u ≤ ↑n
v : ℝ
hv1 : 0 < v
right✝ : v ≤ ↑n
huv : u ≤ v
⊢ u / x ≤ v / x

State before:
n✝ : ℕ
A a b c d u✝ x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
n : ℕ
u : ℝ
hu1 : 0 < u
right✝¹ : u ≤ ↑n
v : ℝ
hv1 : 0 < v
right✝ : v ≤ ↑n
huv : u ≤ v
⊢ u / x ≤ v / x
Tactic:
apply (div_le_div_right (by positivity)).mpr huv
State after:
no goals

State before:
n✝ : ℕ
A a b c d u✝ x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
n : ℕ
u : ℝ
hu1 : 0 < u
right✝¹ : u ≤ ↑n
v : ℝ
hv1 : 0 < v
right✝ : v ≤ ↑n
huv : u ≤ v
⊢ 0 ≤ v / x
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
n✝ : ℕ
A a b c d u✝ x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
n : ℕ
u : ℝ
hu1 : 0 < u
right✝¹ : u ≤ ↑n
v : ℝ
hv1 : 0 < v
right✝ : v ≤ ↑n
huv : u ≤ v
⊢ 0 ≤ x⁻¹
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
n✝ : ℕ
A a b c d u✝ x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
n : ℕ
u : ℝ
hu1 : 0 < u
right✝¹ : u ≤ ↑n
v : ℝ
hv1 : 0 < v
right✝ : v ≤ ↑n
huv : u ≤ v
⊢ u / x ∈ Ioi 0
Tactic:
simp
State after:
n✝ : ℕ
A a b c d u✝ x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
n : ℕ
u : ℝ
hu1 : 0 < u
right✝¹ : u ≤ ↑n
v : ℝ
hv1 : 0 < v
right✝ : v ≤ ↑n
huv : u ≤ v
⊢ 0 < u / x

State before:
n✝ : ℕ
A a b c d u✝ x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
n : ℕ
u : ℝ
hu1 : 0 < u
right✝¹ : u ≤ ↑n
v : ℝ
hv1 : 0 < v
right✝ : v ≤ ↑n
huv : u ≤ v
⊢ 0 < u / x
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
n✝ : ℕ
A a b c d u✝ x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
n : ℕ
u : ℝ
hu1 : 0 < u
right✝¹ : u ≤ ↑n
v : ℝ
hv1 : 0 < v
right✝ : v ≤ ↑n
huv : u ≤ v
⊢ v / x ∈ Ioi 0
Tactic:
simp
State after:
n✝ : ℕ
A a b c d u✝ x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
n : ℕ
u : ℝ
hu1 : 0 < u
right✝¹ : u ≤ ↑n
v : ℝ
hv1 : 0 < v
right✝ : v ≤ ↑n
huv : u ≤ v
⊢ 0 < v / x

State before:
n✝ : ℕ
A a b c d u✝ x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
n : ℕ
u : ℝ
hu1 : 0 < u
right✝¹ : u ≤ ↑n
v : ℝ
hv1 : 0 < v
right✝ : v ≤ ↑n
huv : u ≤ v
⊢ 0 < v / x
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
n✝ : ℕ
A a b c d u✝ x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
n : ℕ
u : ℝ
hu1 : 0 < u
right✝¹ : u ≤ ↑n
v : ℝ
hv1 : 0 < v
right✝ : v ≤ ↑n
huv : u ≤ v
⊢ 0 < x
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
n : ℕ
⊢ IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
Tactic:
apply IntegrableOn.mono_set (hh_integrable (by positivity) (by positivity) (by positivity)) Icc_subset_Ici_self
State after:
no goals

State before:
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
n : ℕ
⊢ 0 < x⁻¹
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
n : ℕ
⊢ 0 < π⁻¹ * 2⁻¹
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
n : ℕ
⊢ 0 < x
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
⊢ 0 ≤ ‖f n‖ / ↑n * (1 + (1 / (2 * π) * (↑n / x).log) ^ 2)⁻¹
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
case h.e'_3
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
⊢ ∑ i ∈ Finset.range n, ‖f i‖ / ↑i * (1 + (1 / (2 * π) * (↑i / x).log) ^ 2)⁻¹ = ∑ i ∈ Finset.range n, ‖f i‖ * ggg i
Tactic:
congr
State after:
case h.e'_3.e_f
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
⊢ (fun i => ‖f i‖ / ↑i * (1 + (1 / (2 * π) * (↑i / x).log) ^ 2)⁻¹) = fun i => ‖f i‖ * ggg i

State before:
case h.e'_3.e_f
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
⊢ (fun i => ‖f i‖ / ↑i * (1 + (1 / (2 * π) * (↑i / x).log) ^ 2)⁻¹) = fun i => ‖f i‖ * ggg i
Tactic:
ext i
State after:
case h.e'_3.e_f.h
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n i : ℕ
⊢ ‖f i‖ / ↑i * (1 + (1 / (2 * π) * (↑i / x).log) ^ 2)⁻¹ = ‖f i‖ * ggg i

State before:
case h.e'_3.e_f.h
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n i : ℕ
⊢ ‖f i‖ / ↑i * (1 + (1 / (2 * π) * (↑i / x).log) ^ 2)⁻¹ = ‖f i‖ * ggg i
Tactic:
by_cases hi : i = 0
State after:
case pos
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n i : ℕ
hi : i = 0
⊢ ‖f i‖ / ↑i * (1 + (1 / (2 * π) * (↑i / x).log) ^ 2)⁻¹ = ‖f i‖ * ggg i

case neg
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n i : ℕ
hi : ¬i = 0
⊢ ‖f i‖ / ↑i * (1 + (1 / (2 * π) * (↑i / x).log) ^ 2)⁻¹ = ‖f i‖ * ggg i

State before:
case pos
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n i : ℕ
hi : i = 0
⊢ ‖f i‖ / ↑i * (1 + (1 / (2 * π) * (↑i / x).log) ^ 2)⁻¹ = ‖f i‖ * ggg i
Tactic:
simp [hi, hf0]
State after:
no goals

State before:
case neg
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n i : ℕ
hi : ¬i = 0
⊢ ‖f i‖ / ↑i * (1 + (1 / (2 * π) * (↑i / x).log) ^ 2)⁻¹ = ‖f i‖ * ggg i
Tactic:
field_simp [hi, ggg, gg]
State after:
no goals

State before:
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
⊢ ‖f 0‖ = 0
Tactic:
simp [hf0]
State after:
no goals

State before:
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : ¬n = 0
⊢ 0 < n
Tactic:
omega
State after:
no goals

State before:
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
⊢ Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
Tactic:
ext i
State after:
case a
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
i : ℕ
⊢ i ∈ Finset.range n ↔ i ∈ {0} ∪ Finset.Ico 1 n

State before:
case a
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
i : ℕ
⊢ i ∈ Finset.range n ↔ i ∈ {0} ∪ Finset.Ico 1 n
Tactic:
simp
State after:
case a
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
i : ℕ
⊢ i < n ↔ i = 0 ∨ 1 ≤ i ∧ i < n

State before:
case a
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
i : ℕ
⊢ i < n ↔ i = 0 ∨ 1 ≤ i ∧ i < n
Tactic:
by_cases hi : i = 0 <;> simp [hi, hn]
State after:
case neg
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
i : ℕ
hi : ¬i = 0
⊢ i < n → 1 ≤ i

State before:
case neg
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
i : ℕ
hi : ¬i = 0
⊢ i < n → 1 ≤ i
Tactic:
omega
State after:
no goals

State before:
case h.e'_3
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
⊢ (∑ x_1 ∈ Finset.Ico 1 n, if x_1 = 0 then 1 else x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑x_1 / x)) =
    ∑ x_1 ∈ Finset.Ico 1 n, x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑x_1 / x)
Tactic:
apply Finset.sum_congr rfl (fun i hi => ?_)
State after:
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.Ico 1 n
⊢ (if i = 0 then 1 else x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑i / x)) = x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑i / x)

State before:
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
i : ℕ
hi : i ∈ Finset.Ico 1 n
⊢ (if i = 0 then 1 else x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑i / x)) = x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑i / x)
Tactic:
simp at hi
State after:
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
i : ℕ
hi : 1 ≤ i ∧ i < n
⊢ (if i = 0 then 1 else x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑i / x)) = x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑i / x)

State before:
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
i : ℕ
hi : 1 ≤ i ∧ i < n
⊢ (if i = 0 then 1 else x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑i / x)) = x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑i / x)
Tactic:
have : i ≠ 0 := by omega
State after:
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this✝ : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
i : ℕ
hi : 1 ≤ i ∧ i < n
this : i ≠ 0
⊢ (if i = 0 then 1 else x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑i / x)) = x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑i / x)

State before:
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this✝ : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
i : ℕ
hi : 1 ≤ i ∧ i < n
this : i ≠ 0
⊢ (if i = 0 then 1 else x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑i / x)) = x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑i / x)
Tactic:
simp [this]
State after:
no goals

State before:
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
i : ℕ
hi : 1 ≤ i ∧ i < n
⊢ i ≠ 0
Tactic:
omega
State after:
no goals

State before:
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
⊢ AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Ioc 0 (0 + ↑(n - 1)))
Tactic:
simpa using l5
State after:
no goals

State before:
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
⊢ IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 (0 + ↑(n - 1))) volume
Tactic:
simpa using l6
State after:
no goals

State before:
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this✝ : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
this :
  ∑ x_1 ∈ Finset.range (n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x_1 + 1) / x) ≤
    ∫ (x_1 : ℝ) in 0 ..↑(n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (x_1 / x)
⊢ 0 ≤ ↑(n - 1) / x
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
case neg.convert_2.hle
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this✝¹ : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
this✝ :
  ∑ x_1 ∈ Finset.range (n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x_1 + 1) / x) ≤
    ∫ (x_1 : ℝ) in 0 ..↑(n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (x_1 / x)
this : 0 ≤ ↑(n - 1) / x
⊢ volume.restrict (Ioc 0 (↑(n - 1) / x)) ≤ volume.restrict (Ioi 0)
Tactic:
apply Measure.restrict_mono Ioc_subset_Ioi_self le_rfl
State after:
no goals

State before:
case neg.convert_2.hf
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this✝¹ : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
this✝ :
  ∑ x_1 ∈ Finset.range (n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x_1 + 1) / x) ≤
    ∫ (x_1 : ℝ) in 0 ..↑(n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (x_1 / x)
this : 0 ≤ ↑(n - 1) / x
⊢ 0 ≤ᶠ[ae (volume.restrict (Ioi 0))] fun a => hh (π⁻¹ * 2⁻¹) a
Tactic:
apply eventually_of_mem (self_mem_ae_restrict measurableSet_Ioi)
State after:
case neg.convert_2.hf
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this✝¹ : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
this✝ :
  ∑ x_1 ∈ Finset.range (n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x_1 + 1) / x) ≤
    ∫ (x_1 : ℝ) in 0 ..↑(n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (x_1 / x)
this : 0 ≤ ↑(n - 1) / x
⊢ ∀ x ∈ Ioi 0, 0 x ≤ (fun a => hh (π⁻¹ * 2⁻¹) a) x

State before:
case neg.convert_2.hf
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this✝¹ : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
this✝ :
  ∑ x_1 ∈ Finset.range (n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x_1 + 1) / x) ≤
    ∫ (x_1 : ℝ) in 0 ..↑(n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (x_1 / x)
this : 0 ≤ ↑(n - 1) / x
⊢ ∀ x ∈ Ioi 0, 0 x ≤ (fun a => hh (π⁻¹ * 2⁻¹) a) x
Tactic:
intro x (hx : 0 < x)
State after:
case neg.convert_2.hf
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝¹ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x✝ : ℝ
hx✝ : 1 ≤ x✝
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x✝ ↑i
l0 : x✝ ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x✝⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x✝)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x✝⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x✝)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this✝¹ : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
this✝ :
  ∑ x ∈ Finset.range (n - 1), x✝⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x + 1) / x✝) ≤
    ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑(n - 1), x✝⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (x / x✝)
this : 0 ≤ ↑(n - 1) / x✝
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ 0 x ≤ (fun a => hh (π⁻¹ * 2⁻¹) a) x

State before:
case neg.convert_2.hf
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝¹ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x✝ : ℝ
hx✝ : 1 ≤ x✝
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x✝ ↑i
l0 : x✝ ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x✝⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x✝)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x✝⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x✝)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this✝¹ : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
this✝ :
  ∑ x ∈ Finset.range (n - 1), x✝⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x + 1) / x✝) ≤
    ∫ (x : ℝ) in 0 ..↑(n - 1), x✝⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (x / x✝)
this : 0 ≤ ↑(n - 1) / x✝
x : ℝ
hx : 0 < x
⊢ 0 x ≤ (fun a => hh (π⁻¹ * 2⁻¹) a) x
Tactic:
apply hh_nonneg _ hx.le
State after:
no goals

State before:
case neg.convert_2.hfi
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this✝¹ : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
this✝ :
  ∑ x_1 ∈ Finset.range (n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x_1 + 1) / x) ≤
    ∫ (x_1 : ℝ) in 0 ..↑(n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (x_1 / x)
this : 0 ≤ ↑(n - 1) / x
⊢ Integrable (fun a => hh (π⁻¹ * 2⁻¹) a) (volume.restrict (Ioi 0))
Tactic:
have := (@hh_integrable 1 (1 / (2 * π)) 1 (by positivity) (by positivity) (by positivity))
State after:
case neg.convert_2.hfi
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this✝² : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
this✝¹ :
  ∑ x_1 ∈ Finset.range (n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x_1 + 1) / x) ≤
    ∫ (x_1 : ℝ) in 0 ..↑(n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (x_1 / x)
this✝ : 0 ≤ ↑(n - 1) / x
this : IntegrableOn (fun t => 1 * hh (1 / (2 * π)) (t / 1)) (Ici 0) volume
⊢ Integrable (fun a => hh (π⁻¹ * 2⁻¹) a) (volume.restrict (Ioi 0))

State before:
case neg.convert_2.hfi
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this✝² : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
this✝¹ :
  ∑ x_1 ∈ Finset.range (n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x_1 + 1) / x) ≤
    ∫ (x_1 : ℝ) in 0 ..↑(n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (x_1 / x)
this✝ : 0 ≤ ↑(n - 1) / x
this : IntegrableOn (fun t => 1 * hh (1 / (2 * π)) (t / 1)) (Ici 0) volume
⊢ Integrable (fun a => hh (π⁻¹ * 2⁻¹) a) (volume.restrict (Ioi 0))
Tactic:
simpa using this.mono_set Ioi_subset_Ici_self
State after:
no goals

State before:
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this✝¹ : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
this✝ :
  ∑ x_1 ∈ Finset.range (n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x_1 + 1) / x) ≤
    ∫ (x_1 : ℝ) in 0 ..↑(n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (x_1 / x)
this : 0 ≤ ↑(n - 1) / x
⊢ 0 < 1
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
n✝ : ℕ
A a b c d u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
C : ℝ
hf0 : f 0 = 0
hf : chebyWith C f
x : ℝ
hx : 1 ≤ x
ggg : ℕ → ℝ := fun i => if i = 0 then 1 else gg x ↑i
l0 : x ≠ 0
l1 : ∀ (i : ℕ), 0 ≤ ggg i
l2 : Antitone ggg
l3 : 0 ≤ C
l4 : 0 ≤ ∫ (t : ℝ) in Ioi 0, hh (π⁻¹ * 2⁻¹) t
l5 : ∀ {n : ℕ}, AntitoneOn (fun t => x⁻¹ * hh (1 / (2 * π)) (t / x)) (Ioc 0 ↑n)
l6 : ∀ {n : ℕ}, IntegrableOn (fun t => x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (t / x)) (Icc 0 ↑n) volume
n : ℕ
hn : 0 < n
this✝¹ : Finset.range n = {0} ∪ Finset.Ico 1 n
this✝ :
  ∑ x_1 ∈ Finset.range (n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (↑(x_1 + 1) / x) ≤
    ∫ (x_1 : ℝ) in 0 ..↑(n - 1), x⁻¹ * hh (π⁻¹ * 2⁻¹) (x_1 / x)
this : 0 ≤ ↑(n - 1) / x
⊢ 0 < 1 / (2 * π)
Tactic:
positivity
State after:
no goals