Theorem: one_sub_zeta_dvd_zeta_pow_sub (FltRegular/CaseII/InductionStep.lean)

State before:
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg : (↑p).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
x y z : 𝓞 K
ε : (𝓞 K)ˣ
m : ℕ
e : x ^ ↑p + y ^ ↑p = ↑ε * (π ^ (m + 1) * z) ^ ↑p
hy : ¬π ∣ y
hz : ¬π ∣ z
η : { x // x ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K) }
⊢ π ∣ x + y * ↑η
Tactic:
letI : Fact (Nat.Prime p) := hpri
State after:
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg : (↑p).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
x y z : 𝓞 K
ε : (𝓞 K)ˣ
m : ℕ
e : x ^ ↑p + y ^ ↑p = ↑ε * (π ^ (m + 1) * z) ^ ↑p
hy : ¬π ∣ y
hz : ¬π ∣ z
η : { x // x ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K) }
this : Fact (↑p).Prime := hpri
⊢ π ∣ x + y * ↑η

State before:
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg : (↑p).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
x y z : 𝓞 K
ε : (𝓞 K)ˣ
m : ℕ
e : x ^ ↑p + y ^ ↑p = ↑ε * (π ^ (m + 1) * z) ^ ↑p
hy : ¬π ∣ y
hz : ¬π ∣ z
η : { x // x ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K) }
this : Fact (↑p).Prime := hpri
⊢ π ∣ x + y * ↑η
Tactic:
letI := IsCyclotomicExtension.numberField {p} ℚ K
State after:
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg : (↑p).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
x y z : 𝓞 K
ε : (𝓞 K)ˣ
m : ℕ
e : x ^ ↑p + y ^ ↑p = ↑ε * (π ^ (m + 1) * z) ^ ↑p
hy : ¬π ∣ y
hz : ¬π ∣ z
η : { x // x ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K) }
this✝ : Fact (↑p).Prime := hpri
this : NumberField K := IsCyclotomicExtension.numberField {p} ℚ K
⊢ π ∣ x + y * ↑η

State before:
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg : (↑p).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
x y z : 𝓞 K
ε : (𝓞 K)ˣ
m : ℕ
e : x ^ ↑p + y ^ ↑p = ↑ε * (π ^ (m + 1) * z) ^ ↑p
hy : ¬π ∣ y
hz : ¬π ∣ z
η : { x // x ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K) }
this✝ : Fact (↑p).Prime := hpri
this : NumberField K := IsCyclotomicExtension.numberField {p} ℚ K
⊢ π ∣ x + y * ↑η
Tactic:
have h := zeta_sub_one_dvd hζ e
State after:
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg : (↑p).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
x y z : 𝓞 K
ε : (𝓞 K)ˣ
m : ℕ
e : x ^ ↑p + y ^ ↑p = ↑ε * (π ^ (m + 1) * z) ^ ↑p
hy : ¬π ∣ y
hz : ¬π ∣ z
η : { x // x ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K) }
this✝ : Fact (↑p).Prime := hpri
this : NumberField K := IsCyclotomicExtension.numberField {p} ℚ K
h : π ∣ x ^ ↑p + y ^ ↑p
⊢ π ∣ x + y * ↑η

State before:
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg : (↑p).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
x y z : 𝓞 K
ε : (𝓞 K)ˣ
m : ℕ
e : x ^ ↑p + y ^ ↑p = ↑ε * (π ^ (m + 1) * z) ^ ↑p
hy : ¬π ∣ y
hz : ¬π ∣ z
η : { x // x ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K) }
this✝ : Fact (↑p).Prime := hpri
this : NumberField K := IsCyclotomicExtension.numberField {p} ℚ K
h : π ∣ x ^ ↑p + y ^ ↑p
⊢ π ∣ x + y * ↑η
Tactic:
replace h : ∏ _η in nthRootsFinset p (𝓞 K), Ideal.Quotient.mk 𝔭 (x + y * η : 𝓞 K) = 0
State after:
case h
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg : (↑p).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
x y z : 𝓞 K
ε : (𝓞 K)ˣ
m : ℕ
e : x ^ ↑p + y ^ ↑p = ↑ε * (π ^ (m + 1) * z) ^ ↑p
hy : ¬π ∣ y
hz : ¬π ∣ z
η : { x // x ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K) }
this✝ : Fact (↑p).Prime := hpri
this : NumberField K := IsCyclotomicExtension.numberField {p} ℚ K
h : π ∣ x ^ ↑p + y ^ ↑p
⊢ ∏ _η ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K), (Ideal.Quotient.mk 𝔭) (x + y * ↑η) = 0

K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg : (↑p).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
x y z : 𝓞 K
ε : (𝓞 K)ˣ
m : ℕ
e : x ^ ↑p + y ^ ↑p = ↑ε * (π ^ (m + 1) * z) ^ ↑p
hy : ¬π ∣ y
hz : ¬π ∣ z
η : { x // x ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K) }
this✝ : Fact (↑p).Prime := hpri
this : NumberField K := IsCyclotomicExtension.numberField {p} ℚ K
h : ∏ _η ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K), (Ideal.Quotient.mk 𝔭) (x + y * ↑η) = 0
⊢ π ∣ x + y * ↑η

State before:
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg : (↑p).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
x y z : 𝓞 K
ε : (𝓞 K)ˣ
m : ℕ
e : x ^ ↑p + y ^ ↑p = ↑ε * (π ^ (m + 1) * z) ^ ↑p
hy : ¬π ∣ y
hz : ¬π ∣ z
η : { x // x ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K) }
this✝ : Fact (↑p).Prime := hpri
this : NumberField K := IsCyclotomicExtension.numberField {p} ℚ K
h : ∏ _η ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K), (Ideal.Quotient.mk 𝔭) (x + y * ↑η) = 0
⊢ π ∣ x + y * ↑η
Tactic:
rw [Finset.prod_const, ← map_pow, Ideal.Quotient.eq_zero_iff_dvd] at h
State after:
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg : (↑p).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
x y z : 𝓞 K
ε : (𝓞 K)ˣ
m : ℕ
e : x ^ ↑p + y ^ ↑p = ↑ε * (π ^ (m + 1) * z) ^ ↑p
hy : ¬π ∣ y
hz : ¬π ∣ z
η : { x // x ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K) }
this✝ : Fact (↑p).Prime := hpri
this : NumberField K := IsCyclotomicExtension.numberField {p} ℚ K
h : π ∣ (x + y * ↑η) ^ (nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K)).card
⊢ π ∣ x + y * ↑η

State before:
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg : (↑p).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
x y z : 𝓞 K
ε : (𝓞 K)ˣ
m : ℕ
e : x ^ ↑p + y ^ ↑p = ↑ε * (π ^ (m + 1) * z) ^ ↑p
hy : ¬π ∣ y
hz : ¬π ∣ z
η : { x // x ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K) }
this✝ : Fact (↑p).Prime := hpri
this : NumberField K := IsCyclotomicExtension.numberField {p} ℚ K
h : π ∣ (x + y * ↑η) ^ (nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K)).card
⊢ π ∣ x + y * ↑η
Tactic:
exact hζ.zeta_sub_one_prime'.dvd_of_dvd_pow h
State after:
no goals

State before:
case h
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg : (↑p).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
x y z : 𝓞 K
ε : (𝓞 K)ˣ
m : ℕ
e : x ^ ↑p + y ^ ↑p = ↑ε * (π ^ (m + 1) * z) ^ ↑p
hy : ¬π ∣ y
hz : ¬π ∣ z
η : { x // x ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K) }
this✝ : Fact (↑p).Prime := hpri
this : NumberField K := IsCyclotomicExtension.numberField {p} ℚ K
h : π ∣ x ^ ↑p + y ^ ↑p
⊢ ∏ _η ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K), (Ideal.Quotient.mk 𝔭) (x + y * ↑η) = 0
Tactic:
rw [pow_add_pow_eq_prod_add_zeta_runity_mul (hpri.out.eq_two_or_odd.resolve_left
  (PNat.coe_injective.ne hp)) hζ.unit'_coe, ← Ideal.Quotient.eq_zero_iff_dvd, map_prod] at h
State after:
case h
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg : (↑p).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
x y z : 𝓞 K
ε : (𝓞 K)ˣ
m : ℕ
e : x ^ ↑p + y ^ ↑p = ↑ε * (π ^ (m + 1) * z) ^ ↑p
hy : ¬π ∣ y
hz : ¬π ∣ z
η : { x // x ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K) }
this✝ : Fact (↑p).Prime := hpri
this : NumberField K := IsCyclotomicExtension.numberField {p} ℚ K
h : ∏ x_1 ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K), (Ideal.Quotient.mk 𝔭) (x + x_1 * y) = 0
⊢ ∏ _η ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K), (Ideal.Quotient.mk 𝔭) (x + y * ↑η) = 0

State before:
case h
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg : (↑p).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
x y z : 𝓞 K
ε : (𝓞 K)ˣ
m : ℕ
e : x ^ ↑p + y ^ ↑p = ↑ε * (π ^ (m + 1) * z) ^ ↑p
hy : ¬π ∣ y
hz : ¬π ∣ z
η : { x // x ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K) }
this✝ : Fact (↑p).Prime := hpri
this : NumberField K := IsCyclotomicExtension.numberField {p} ℚ K
h : ∏ x_1 ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K), (Ideal.Quotient.mk 𝔭) (x + x_1 * y) = 0
⊢ ∏ _η ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K), (Ideal.Quotient.mk 𝔭) (x + y * ↑η) = 0
Tactic:
convert h using 2 with η' hη'
State after:
case h.e'_2.a
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg : (↑p).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
x y z : 𝓞 K
ε : (𝓞 K)ˣ
m : ℕ
e : x ^ ↑p + y ^ ↑p = ↑ε * (π ^ (m + 1) * z) ^ ↑p
hy : ¬π ∣ y
hz : ¬π ∣ z
η : { x // x ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K) }
this✝ : Fact (↑p).Prime := hpri
this : NumberField K := IsCyclotomicExtension.numberField {p} ℚ K
h : ∏ x_1 ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K), (Ideal.Quotient.mk 𝔭) (x + x_1 * y) = 0
η' : 𝓞 K
hη' : η' ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K)
⊢ (Ideal.Quotient.mk 𝔭) (x + y * ↑η) = (Ideal.Quotient.mk 𝔭) (x + η' * y)

State before:
case h.e'_2.a
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg : (↑p).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
x y z : 𝓞 K
ε : (𝓞 K)ˣ
m : ℕ
e : x ^ ↑p + y ^ ↑p = ↑ε * (π ^ (m + 1) * z) ^ ↑p
hy : ¬π ∣ y
hz : ¬π ∣ z
η : { x // x ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K) }
this✝ : Fact (↑p).Prime := hpri
this : NumberField K := IsCyclotomicExtension.numberField {p} ℚ K
h : ∏ x_1 ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K), (Ideal.Quotient.mk 𝔭) (x + x_1 * y) = 0
η' : 𝓞 K
hη' : η' ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K)
⊢ (Ideal.Quotient.mk 𝔭) (x + y * ↑η) = (Ideal.Quotient.mk 𝔭) (x + η' * y)
Tactic:
rw [map_add, map_add, map_mul, map_mul, IsPrimitiveRoot.eq_one_mod_one_sub' hζ.unit'_coe hη',
  IsPrimitiveRoot.eq_one_mod_one_sub' hζ.unit'_coe η.prop, one_mul, mul_one]
State after:
no goals