Theorem: SciLean.revDeriv.let_rule (SciLean/Core/FunctionTransformations/RevDeriv.lean)

State before:
K : Type u_1
I : Type ?u.38964
inst✝²⁴ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝²³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝²² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝²¹ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.39005
inst✝²⁰ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.39016
inst✝¹⁹ : IndexType ι
inst✝¹⁸ : LawfulIndexType ι
inst✝¹⁷ : DecidableEq ι
κ : Type ?u.39041
inst✝¹⁶ : IndexType κ
inst✝¹⁵ : LawfulIndexType κ
inst✝¹⁴ : DecidableEq κ
E : Type ?u.39066
EI : I → Type ?u.39071
inst✝¹³ : StructType E I EI
inst✝¹² : IndexType I
inst✝¹¹ : LawfulIndexType I
inst✝¹⁰ : DecidableEq I
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpace K E
inst✝⁸ : (i : I) → SemiInnerProductSpace K (EI i)
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpaceStruct K E I EI
F : Type ?u.39205
J : Type ?u.39208
FJ : J → Type ?u.39213
inst✝⁶ : StructType F J FJ
inst✝⁵ : IndexType J
inst✝⁴ : LawfulIndexType J
inst✝³ : DecidableEq J
inst✝² : SemiInnerProductSpace K F
inst✝¹ : (j : J) → SemiInnerProductSpace K (FJ j)
inst✝ : SemiInnerProductSpaceStruct K F J FJ
f : X → Y → Z
g : X → Y
hf : HasAdjDiff K fun xy => f xy.1 xy.2
hg : HasAdjDiff K g
⊢ (revDeriv K fun x =>
      let y := g x;
      f x y) =
    fun x =>
    let ydg := revDerivUpdate K g x;
    let zdf := revDeriv K (fun xy => f xy.1 xy.2) (x, ydg.1);
    (zdf.1, fun dz =>
      let dxdy := zdf.2 dz;
      let dx := ydg.2 dxdy.2 dxdy.1;
      dx)
Tactic:
unfold revDerivUpdate revDeriv
State after:
K : Type u_1
I : Type ?u.38964
inst✝²⁴ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝²³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝²² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝²¹ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.39005
inst✝²⁰ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.39016
inst✝¹⁹ : IndexType ι
inst✝¹⁸ : LawfulIndexType ι
inst✝¹⁷ : DecidableEq ι
κ : Type ?u.39041
inst✝¹⁶ : IndexType κ
inst✝¹⁵ : LawfulIndexType κ
inst✝¹⁴ : DecidableEq κ
E : Type ?u.39066
EI : I → Type ?u.39071
inst✝¹³ : StructType E I EI
inst✝¹² : IndexType I
inst✝¹¹ : LawfulIndexType I
inst✝¹⁰ : DecidableEq I
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpace K E
inst✝⁸ : (i : I) → SemiInnerProductSpace K (EI i)
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpaceStruct K E I EI
F : Type ?u.39205
J : Type ?u.39208
FJ : J → Type ?u.39213
inst✝⁶ : StructType F J FJ
inst✝⁵ : IndexType J
inst✝⁴ : LawfulIndexType J
inst✝³ : DecidableEq J
inst✝² : SemiInnerProductSpace K F
inst✝¹ : (j : J) → SemiInnerProductSpace K (FJ j)
inst✝ : SemiInnerProductSpaceStruct K F J FJ
f : X → Y → Z
g : X → Y
hf : HasAdjDiff K fun xy => f xy.1 xy.2
hg : HasAdjDiff K g
⊢ (fun x =>
      ((fun x =>
            let y := g x;
            f x y)
          x,
        semiAdjoint K
          (cderiv K
            (fun x =>
              let y := g x;
              f x y)
            x))) =
    fun x =>
    let ydg :=
      let ydf := (g x, semiAdjoint K (cderiv K g x));
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy);
    let zdf := ((fun xy => f xy.1 xy.2) (x, ydg.1), semiAdjoint K (cderiv K (fun xy => f xy.1 xy.2) (x, ydg.1)));
    (zdf.1, fun dz =>
      let dxdy := zdf.2 dz;
      let dx := ydg.2 dxdy.2 dxdy.1;
      dx)

State before:
K : Type u_1
I : Type ?u.38964
inst✝²⁴ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝²³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝²² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝²¹ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.39005
inst✝²⁰ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.39016
inst✝¹⁹ : IndexType ι
inst✝¹⁸ : LawfulIndexType ι
inst✝¹⁷ : DecidableEq ι
κ : Type ?u.39041
inst✝¹⁶ : IndexType κ
inst✝¹⁵ : LawfulIndexType κ
inst✝¹⁴ : DecidableEq κ
E : Type ?u.39066
EI : I → Type ?u.39071
inst✝¹³ : StructType E I EI
inst✝¹² : IndexType I
inst✝¹¹ : LawfulIndexType I
inst✝¹⁰ : DecidableEq I
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpace K E
inst✝⁸ : (i : I) → SemiInnerProductSpace K (EI i)
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpaceStruct K E I EI
F : Type ?u.39205
J : Type ?u.39208
FJ : J → Type ?u.39213
inst✝⁶ : StructType F J FJ
inst✝⁵ : IndexType J
inst✝⁴ : LawfulIndexType J
inst✝³ : DecidableEq J
inst✝² : SemiInnerProductSpace K F
inst✝¹ : (j : J) → SemiInnerProductSpace K (FJ j)
inst✝ : SemiInnerProductSpaceStruct K F J FJ
f : X → Y → Z
g : X → Y
hf : HasAdjDiff K fun xy => f xy.1 xy.2
hg : HasAdjDiff K g
⊢ (fun x =>
      ((fun x =>
            let y := g x;
            f x y)
          x,
        semiAdjoint K
          (cderiv K
            (fun x =>
              let y := g x;
              f x y)
            x))) =
    fun x =>
    let ydg :=
      let ydf := (g x, semiAdjoint K (cderiv K g x));
      (ydf.1, fun dy dx => dx + ydf.2 dy);
    let zdf := ((fun xy => f xy.1 xy.2) (x, ydg.1), semiAdjoint K (cderiv K (fun xy => f xy.1 xy.2) (x, ydg.1)));
    (zdf.1, fun dz =>
      let dxdy := zdf.2 dz;
      let dx := ydg.2 dxdy.2 dxdy.1;
      dx)
Tactic:
fun_trans
State after:
no goals