Theorem: HolomorphicAt.smoothAt (Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean)

State before:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa : HolomorphicAt I J f x
⊢ SmoothAt I J f x
Tactic:
rw [holomorphicAt_iff] at fa
State after:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa :
  ContinuousAt f x ∧
    AnalyticAt 𝕜 (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) (↑(_root_.extChartAt I x) x)
⊢ SmoothAt I J f x

State before:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa :
  ContinuousAt f x ∧
    AnalyticAt 𝕜 (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) (↑(_root_.extChartAt I x) x)
⊢ SmoothAt I J f x
Tactic:
simp only [SmoothAt, contMDiffAt_iff]
State after:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa :
  ContinuousAt f x ∧
    AnalyticAt 𝕜 (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) (↑(_root_.extChartAt I x) x)
⊢ ContinuousAt f x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) (range ↑I)
      (↑(_root_.extChartAt I x) x)

State before:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa :
  ContinuousAt f x ∧
    AnalyticAt 𝕜 (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) (↑(_root_.extChartAt I x) x)
⊢ ContinuousAt f x ∧
    ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) (range ↑I)
      (↑(_root_.extChartAt I x) x)
Tactic:
use fa.1
State after:
case right
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa :
  ContinuousAt f x ∧
    AnalyticAt 𝕜 (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) (↑(_root_.extChartAt I x) x)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) (range ↑I)
    (↑(_root_.extChartAt I x) x)

State before:
case right
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
f : M → N
x : M
fa :
  ContinuousAt f x ∧
    AnalyticAt 𝕜 (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) (↑(_root_.extChartAt I x) x)
⊢ ContDiffWithinAt 𝕜 ⊤ (↑(_root_.extChartAt J (f x)) ∘ f ∘ ↑(_root_.extChartAt I x).symm) (range ↑I)
    (↑(_root_.extChartAt I x) x)
Tactic:
use fa.2.contDiffAt.contDiffWithinAt
State after:
no goals