Theorem: Matroid.er_mono (Matroid/Rank.lean)

State before:
α : Type u_1
ι : Type u_2
M✝ N : Matroid α
I B X X' Y Y' Z R : Set α
n : ℕ∞
e f : α
M : Matroid α
⊢ Monotone M.er
Tactic:
rintro X Y (hXY : X ⊆ Y)
State after:
α : Type u_1
ι : Type u_2
M✝ N : Matroid α
I B X✝ X' Y✝ Y' Z R : Set α
n : ℕ∞
e f : α
M : Matroid α
X Y : Set α
hXY : X ⊆ Y
⊢ M.er X ≤ M.er Y

State before:
α : Type u_1
ι : Type u_2
M✝ N : Matroid α
I B X✝ X' Y✝ Y' Z R : Set α
n : ℕ∞
e f : α
M : Matroid α
X Y : Set α
hXY : X ⊆ Y
⊢ M.er X ≤ M.er Y
Tactic:
obtain ⟨I, hI⟩ := M.exists_basis' X
State after:
case intro
α : Type u_1
ι : Type u_2
M✝ N : Matroid α
I✝ B X✝ X' Y✝ Y' Z R : Set α
n : ℕ∞
e f : α
M : Matroid α
X Y : Set α
hXY : X ⊆ Y
I : Set α
hI : M.Basis' I X
⊢ M.er X ≤ M.er Y

State before:
case intro
α : Type u_1
ι : Type u_2
M✝ N : Matroid α
I✝ B X✝ X' Y✝ Y' Z R : Set α
n : ℕ∞
e f : α
M : Matroid α
X Y : Set α
hXY : X ⊆ Y
I : Set α
hI : M.Basis' I X
⊢ M.er X ≤ M.er Y
Tactic:
obtain ⟨J, hJ, hIJ⟩ := hI.indep.subset_basis'_of_subset (hI.subset.trans hXY)
State after:
case intro.intro.intro
α : Type u_1
ι : Type u_2
M✝ N : Matroid α
I✝ B X✝ X' Y✝ Y' Z R : Set α
n : ℕ∞
e f : α
M : Matroid α
X Y : Set α
hXY : X ⊆ Y
I : Set α
hI : M.Basis' I X
J : Set α
hJ : M.Basis' J Y
hIJ : I ⊆ J
⊢ M.er X ≤ M.er Y

State before:
case intro.intro.intro
α : Type u_1
ι : Type u_2
M✝ N : Matroid α
I✝ B X✝ X' Y✝ Y' Z R : Set α
n : ℕ∞
e f : α
M : Matroid α
X Y : Set α
hXY : X ⊆ Y
I : Set α
hI : M.Basis' I X
J : Set α
hJ : M.Basis' J Y
hIJ : I ⊆ J
⊢ M.er X ≤ M.er Y
Tactic:
rw [hI.er_eq_encard, hJ.er_eq_encard]
State after:
case intro.intro.intro
α : Type u_1
ι : Type u_2
M✝ N : Matroid α
I✝ B X✝ X' Y✝ Y' Z R : Set α
n : ℕ∞
e f : α
M : Matroid α
X Y : Set α
hXY : X ⊆ Y
I : Set α
hI : M.Basis' I X
J : Set α
hJ : M.Basis' J Y
hIJ : I ⊆ J
⊢ I.encard ≤ J.encard

State before:
case intro.intro.intro
α : Type u_1
ι : Type u_2
M✝ N : Matroid α
I✝ B X✝ X' Y✝ Y' Z R : Set α
n : ℕ∞
e f : α
M : Matroid α
X Y : Set α
hXY : X ⊆ Y
I : Set α
hI : M.Basis' I X
J : Set α
hJ : M.Basis' J Y
hIJ : I ⊆ J
⊢ I.encard ≤ J.encard
Tactic:
exact encard_mono hIJ
State after:
no goals