Theorem: lh_pow_free' (FltRegular/NumberTheory/Hilbert92.lean)

State before:
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
hr : finrank ℤ (Additive M) + 1 < r
η : Fin r → Additive M
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin r, ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ r - 1)
Tactic:
cases' r with r
State after:
case zero
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
hr : finrank ℤ (Additive M) + 1 < 0
η : Fin 0 → Additive M
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin 0, ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ 0 - 1)

case succ
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
hr : finrank ℤ (Additive M) + 1 < r + 1
η : Fin (r + 1) → Additive M
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin (r + 1), ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ r + 1 - 1)

State before:
case succ
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
hr : finrank ℤ (Additive M) + 1 < r + 1
η : Fin (r + 1) → Additive M
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin (r + 1), ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ r + 1 - 1)
Tactic:
simp only [Nat.succ_eq_add_one, add_lt_add_iff_right] at hr
State after:
case succ
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin (r + 1), ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ r + 1 - 1)

State before:
case succ
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin (r + 1), ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ r + 1 - 1)
Tactic:
obtain ⟨a₁, ι₁, i₁, e₁, hi₁⟩ := lh_pow_free_aux p hp ζ hk r hr (η ∘ Fin.castSucc)
State after:
case succ.intro.intro.intro.intro
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin (r + 1), ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ r + 1 - 1)

State before:
case succ.intro.intro.intro.intro
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin (r + 1), ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ r + 1 - 1)
Tactic:
obtain ⟨a₂, ι₂, i₂, e₂, hi₂⟩ := lh_pow_free_aux p hp ζ hk r hr (η ∘ Fin.succAbove i₁.castSucc)
State after:
case succ.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin (r + 1), ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ r + 1 - 1)

State before:
case succ.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin (r + 1), ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ r + 1 - 1)
Tactic:
by_cases hζ' : ζ = 1
State after:
case pos
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ζ = 1
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin (r + 1), ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ r + 1 - 1)

case neg
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin (r + 1), ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ r + 1 - 1)

State before:
case neg
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin (r + 1), ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ r + 1 - 1)
Tactic:
by_cases ha₁ : ↑p ∣ a₁
State after:
case pos
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ↑↑p ∣ a₁
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin (r + 1), ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ r + 1 - 1)

case neg
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin (r + 1), ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ r + 1 - 1)

State before:
case neg
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin (r + 1), ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ r + 1 - 1)
Tactic:
by_cases ha₂ : ↑p ∣ a₂
State after:
case pos
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
ha₂ : ↑↑p ∣ a₂
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin (r + 1), ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ r + 1 - 1)

case neg
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
ha₂ : ¬↑↑p ∣ a₂
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin (r + 1), ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ r + 1 - 1)

State before:
case neg
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
ha₂ : ¬↑↑p ∣ a₂
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin (r + 1), ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ r + 1 - 1)
Tactic:
obtain ⟨α₁, β₁, h₁⟩ := (Nat.prime_iff_prime_int.mp hp).coprime_iff_not_dvd.mpr ha₁
State after:
case neg.intro.intro
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
ha₂ : ¬↑↑p ∣ a₂
α₁ β₁ : ℤ
h₁ : α₁ * ↑↑p + β₁ * a₁ = 1
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin (r + 1), ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ r + 1 - 1)

State before:
case neg.intro.intro
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
ha₂ : ¬↑↑p ∣ a₂
α₁ β₁ : ℤ
h₁ : α₁ * ↑↑p + β₁ * a₁ = 1
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin (r + 1), ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ r + 1 - 1)
Tactic:
obtain ⟨α₂, β₂, h₂⟩ := (Nat.prime_iff_prime_int.mp hp).coprime_iff_not_dvd.mpr ha₂
State after:
case neg.intro.intro.intro.intro
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
ha₂ : ¬↑↑p ∣ a₂
α₁ β₁ : ℤ
h₁ : α₁ * ↑↑p + β₁ * a₁ = 1
α₂ β₂ : ℤ
h₂ : α₂ * ↑↑p + β₂ * a₂ = 1
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin (r + 1), ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ r + 1 - 1)

State before:
case neg.intro.intro.intro.intro
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
ha₂ : ¬↑↑p ∣ a₂
α₁ β₁ : ℤ
h₁ : α₁ * ↑↑p + β₁ * a₁ = 1
α₂ β₂ : ℤ
h₂ : α₂ * ↑↑p + β₂ * a₂ = 1
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin (r + 1), ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ r + 1 - 1)
Tactic:
refine ⟨α₂ - α₁, β₁ • Function.extend Fin.castSucc ι₁ 0 - β₂ • Function.extend
    (Fin.succAbove i₁.castSucc) ι₂ 0, i₁.castSucc, ?_, ?_, fun H ↦ (hζ' H).elim⟩
State after:
case neg.intro.intro.intro.intro.refine_1
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
ha₂ : ¬↑↑p ∣ a₂
α₁ β₁ : ℤ
h₁ : α₁ * ↑↑p + β₁ * a₁ = 1
α₂ β₂ : ℤ
h₂ : α₂ * ↑↑p + β₂ * a₂ = 1
⊢ ∑ i : Fin (r + 1),
      (β₁ • Function.extend Fin.castSucc ι₁ 0 - β₂ • Function.extend i₁.castSucc.succAbove ι₂ 0) i • η i =
    ((α₂ - α₁) * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ

case neg.intro.intro.intro.intro.refine_2
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
ha₂ : ¬↑↑p ∣ a₂
α₁ β₁ : ℤ
h₁ : α₁ * ↑↑p + β₁ * a₁ = 1
α₂ β₂ : ℤ
h₂ : α₂ * ↑↑p + β₂ * a₂ = 1
⊢ ¬↑↑p ∣ (β₁ • Function.extend Fin.castSucc ι₁ 0 - β₂ • Function.extend i₁.castSucc.succAbove ι₂ 0) i₁.castSucc

State before:
case zero
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
hr : finrank ℤ (Additive M) + 1 < 0
η : Fin 0 → Additive M
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin 0, ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ 0 - 1)
Tactic:
exact (not_lt_zero' hr).elim
State after:
no goals

State before:
case pos
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ζ = 1
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin (r + 1), ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ r + 1 - 1)
Tactic:
refine ⟨1, Function.extend Fin.castSucc ι₁ 0, Fin.castSucc i₁, ?_,
  by rwa [(Fin.castSucc_injective r).extend_apply], ?_⟩
State after:
case pos.refine_1
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ζ = 1
⊢ ∑ i : Fin (r + 1), Function.extend Fin.castSucc ι₁ 0 i • η i = (1 * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ

case pos.refine_2
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ζ = 1
⊢ ζ = 1 → ↑i₁.castSucc ≠ r + 1 - 1

State before:
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ζ = 1
⊢ ¬↑↑p ∣ Function.extend Fin.castSucc ι₁ 0 i₁.castSucc
Tactic:
rwa [(Fin.castSucc_injective r).extend_apply]
State after:
no goals

State before:
case pos.refine_1
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ζ = 1
⊢ ∑ i : Fin (r + 1), Function.extend Fin.castSucc ι₁ 0 i • η i = (1 * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ
Tactic:
subst hζ'
State after:
case pos.refine_1
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, 1 ^ i = ε
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul 1
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul 1
⊢ ∑ i : Fin (r + 1), Function.extend Fin.castSucc ι₁ 0 i • η i = (1 * ↑↑p) • Additive.ofMul 1

State before:
case pos.refine_1
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, 1 ^ i = ε
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul 1
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul 1
⊢ ∑ i : Fin (r + 1), Function.extend Fin.castSucc ι₁ 0 i • η i = (1 * ↑↑p) • Additive.ofMul 1
Tactic:
simp only [Function.comp_apply, ofMul_one, smul_zero] at e₁ ⊢
State after:
case pos.refine_1
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, 1 ^ i = ε
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul 1
e₁ : ∑ x : Fin r, ι₁ x • η x.castSucc = 0
⊢ ∑ i : Fin (r + 1), Function.extend Fin.castSucc ι₁ 0 i • η i = 0

State before:
case pos.refine_1
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, 1 ^ i = ε
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul 1
e₁ : ∑ x : Fin r, ι₁ x • η x.castSucc = 0
⊢ ∑ i : Fin (r + 1), Function.extend Fin.castSucc ι₁ 0 i • η i = 0
Tactic:
rw [← e₁]
State after:
case pos.refine_1
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, 1 ^ i = ε
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul 1
e₁ : ∑ x : Fin r, ι₁ x • η x.castSucc = 0
⊢ ∑ i : Fin (r + 1), Function.extend Fin.castSucc ι₁ 0 i • η i = ∑ x : Fin r, ι₁ x • η x.castSucc

State before:
case pos.refine_1
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, 1 ^ i = ε
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul 1
e₁ : ∑ x : Fin r, ι₁ x • η x.castSucc = 0
⊢ ∑ i : Fin (r + 1), Function.extend Fin.castSucc ι₁ 0 i • η i = ∑ x : Fin r, ι₁ x • η x.castSucc
Tactic:
simp [Fin.sum_univ_castSucc, (Fin.castSucc_injective r).extend_apply,
  (Fin.castSucc_lt_last _).ne]
State after:
no goals

State before:
case pos.refine_2
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ζ = 1
⊢ ζ = 1 → ↑i₁.castSucc ≠ r + 1 - 1
Tactic:
rintro -
State after:
case pos.refine_2
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ζ = 1
⊢ ↑i₁.castSucc ≠ r + 1 - 1

State before:
case pos.refine_2
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ζ = 1
⊢ ↑i₁.castSucc ≠ r + 1 - 1
Tactic:
simp [(Fin.is_lt _).ne]
State after:
no goals

State before:
case pos
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ↑↑p ∣ a₁
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin (r + 1), ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ r + 1 - 1)
Tactic:
obtain ⟨b, hb⟩ := ha₁
State after:
case pos.intro
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
b : ℤ
hb : a₁ = ↑↑p * b
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin (r + 1), ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ r + 1 - 1)

State before:
case pos.intro
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
b : ℤ
hb : a₁ = ↑↑p * b
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin (r + 1), ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ r + 1 - 1)
Tactic:
refine ⟨b, Function.extend Fin.castSucc ι₁ 0, Fin.castSucc i₁, ?_,
  by rwa [(Fin.castSucc_injective r).extend_apply], fun H ↦ (hζ' H).elim⟩
State after:
case pos.intro
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
b : ℤ
hb : a₁ = ↑↑p * b
⊢ ∑ i : Fin (r + 1), Function.extend Fin.castSucc ι₁ 0 i • η i = (b * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ

State before:
case pos.intro
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
b : ℤ
hb : a₁ = ↑↑p * b
⊢ ∑ i : Fin (r + 1), Function.extend Fin.castSucc ι₁ 0 i • η i = (b * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ
Tactic:
rw [← hb.trans (mul_comm _ _), ← e₁]
State after:
case pos.intro
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
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G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
b : ℤ
hb : a₁ = ↑↑p * b
⊢ ∑ i : Fin (r + 1), Function.extend Fin.castSucc ι₁ 0 i • η i = ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i

State before:
case pos.intro
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
b : ℤ
hb : a₁ = ↑↑p * b
⊢ ∑ i : Fin (r + 1), Function.extend Fin.castSucc ι₁ 0 i • η i = ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i
Tactic:
simp [Fin.sum_univ_castSucc, (Fin.castSucc_injective r).extend_apply,
  (Fin.castSucc_lt_last _).ne]
State after:
no goals

State before:
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
b : ℤ
hb : a₁ = ↑↑p * b
⊢ ¬↑↑p ∣ Function.extend Fin.castSucc ι₁ 0 i₁.castSucc
Tactic:
rwa [(Fin.castSucc_injective r).extend_apply]
State after:
no goals

State before:
case pos
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
ha₂ : ↑↑p ∣ a₂
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin (r + 1), ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ r + 1 - 1)
Tactic:
obtain ⟨b, hb⟩ := ha₂
State after:
case pos.intro
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
b : ℤ
hb : a₂ = ↑↑p * b
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin (r + 1), ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ r + 1 - 1)

State before:
case pos.intro
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
b : ℤ
hb : a₂ = ↑↑p * b
⊢ ∃ a ι i, ∑ i : Fin (r + 1), ι i • η i = (a * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ ∧ ¬↑↑p ∣ ι i ∧ (ζ = 1 → ↑i ≠ r + 1 - 1)
Tactic:
refine ⟨b, Function.extend (Fin.succAbove i₁.castSucc) ι₂ 0, Fin.succAbove i₁.castSucc i₂, ?_,
  by rwa [Fin.succAbove_right_injective.extend_apply], fun H ↦ (hζ' H).elim⟩
State after:
case pos.intro
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
b : ℤ
hb : a₂ = ↑↑p * b
⊢ ∑ i : Fin (r + 1), Function.extend i₁.castSucc.succAbove ι₂ 0 i • η i = (b * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ

State before:
case pos.intro
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
b : ℤ
hb : a₂ = ↑↑p * b
⊢ ∑ i : Fin (r + 1), Function.extend i₁.castSucc.succAbove ι₂ 0 i • η i = (b * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ
Tactic:
rw [← hb.trans (mul_comm _ _), ← e₂]
State after:
case pos.intro
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
b : ℤ
hb : a₂ = ↑↑p * b
⊢ ∑ i : Fin (r + 1), Function.extend i₁.castSucc.succAbove ι₂ 0 i • η i =
    ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i

State before:
case pos.intro
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
b : ℤ
hb : a₂ = ↑↑p * b
⊢ ∑ i : Fin (r + 1), Function.extend i₁.castSucc.succAbove ι₂ 0 i • η i =
    ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i
Tactic:
simp [Fin.sum_univ_succAbove _ i₁.castSucc, Fin.succAbove_right_injective.extend_apply]
State after:
no goals

State before:
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
b : ℤ
hb : a₂ = ↑↑p * b
⊢ ¬↑↑p ∣ Function.extend i₁.castSucc.succAbove ι₂ 0 (i₁.castSucc.succAbove i₂)
Tactic:
rwa [Fin.succAbove_right_injective.extend_apply]
State after:
no goals

State before:
case neg.intro.intro.intro.intro.refine_1
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
ha₂ : ¬↑↑p ∣ a₂
α₁ β₁ : ℤ
h₁ : α₁ * ↑↑p + β₁ * a₁ = 1
α₂ β₂ : ℤ
h₂ : α₂ * ↑↑p + β₂ * a₂ = 1
⊢ ∑ i : Fin (r + 1),
      (β₁ • Function.extend Fin.castSucc ι₁ 0 - β₂ • Function.extend i₁.castSucc.succAbove ι₂ 0) i • η i =
    ((α₂ - α₁) * ↑↑p) • Additive.ofMul ζ
Tactic:
rw [sub_mul, eq_sub_iff_add_eq.mpr h₁, eq_sub_iff_add_eq.mpr h₂]
State after:
case neg.intro.intro.intro.intro.refine_1
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
ha₂ : ¬↑↑p ∣ a₂
α₁ β₁ : ℤ
h₁ : α₁ * ↑↑p + β₁ * a₁ = 1
α₂ β₂ : ℤ
h₂ : α₂ * ↑↑p + β₂ * a₂ = 1
⊢ ∑ i : Fin (r + 1),
      (β₁ • Function.extend Fin.castSucc ι₁ 0 - β₂ • Function.extend i₁.castSucc.succAbove ι₂ 0) i • η i =
    (1 - β₂ * a₂ - (1 - β₁ * a₁)) • Additive.ofMul ζ

State before:
case neg.intro.intro.intro.intro.refine_1
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
ha₂ : ¬↑↑p ∣ a₂
α₁ β₁ : ℤ
h₁ : α₁ * ↑↑p + β₁ * a₁ = 1
α₂ β₂ : ℤ
h₂ : α₂ * ↑↑p + β₂ * a₂ = 1
⊢ ∑ i : Fin (r + 1),
      (β₁ • Function.extend Fin.castSucc ι₁ 0 - β₂ • Function.extend i₁.castSucc.succAbove ι₂ 0) i • η i =
    (1 - β₂ * a₂ - (1 - β₁ * a₁)) • Additive.ofMul ζ
Tactic:
simp only [zsmul_eq_mul, Pi.intCast_def, Int.cast_id, Pi.sub_apply, Pi.mul_apply,
  Fin.succAbove_of_le_castSucc, ne_eq, not_not, not_exists, sub_sub_sub_cancel_left]
State after:
case neg.intro.intro.intro.intro.refine_1
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
ha₂ : ¬↑↑p ∣ a₂
α₁ β₁ : ℤ
h₁ : α₁ * ↑↑p + β₁ * a₁ = 1
α₂ β₂ : ℤ
h₂ : α₂ * ↑↑p + β₂ * a₂ = 1
⊢ ∑ x : Fin (r + 1),
      (β₁ * Function.extend Fin.castSucc ι₁ 0 x - β₂ * Function.extend i₁.castSucc.succAbove ι₂ 0 x) • η x =
    (β₁ * a₁ - β₂ * a₂) • Additive.ofMul ζ

State before:
case neg.intro.intro.intro.intro.refine_1
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
ha₂ : ¬↑↑p ∣ a₂
α₁ β₁ : ℤ
h₁ : α₁ * ↑↑p + β₁ * a₁ = 1
α₂ β₂ : ℤ
h₂ : α₂ * ↑↑p + β₂ * a₂ = 1
⊢ ∑ x : Fin (r + 1),
      (β₁ * Function.extend Fin.castSucc ι₁ 0 x - β₂ * Function.extend i₁.castSucc.succAbove ι₂ 0 x) • η x =
    (β₁ * a₁ - β₂ * a₂) • Additive.ofMul ζ
Tactic:
simp only [sub_smul, mul_smul, ← e₁, ← e₂, sum_sub_distrib]
State after:
case neg.intro.intro.intro.intro.refine_1
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
ha₂ : ¬↑↑p ∣ a₂
α₁ β₁ : ℤ
h₁ : α₁ * ↑↑p + β₁ * a₁ = 1
α₂ β₂ : ℤ
h₂ : α₂ * ↑↑p + β₂ * a₂ = 1
⊢ ∑ x : Fin (r + 1), β₁ • Function.extend Fin.castSucc ι₁ 0 x • η x -
      ∑ x : Fin (r + 1), β₂ • Function.extend i₁.castSucc.succAbove ι₂ 0 x • η x =
    β₁ • ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i - β₂ • ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i

State before:
case neg.intro.intro.intro.intro.refine_1
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
ha₂ : ¬↑↑p ∣ a₂
α₁ β₁ : ℤ
h₁ : α₁ * ↑↑p + β₁ * a₁ = 1
α₂ β₂ : ℤ
h₂ : α₂ * ↑↑p + β₂ * a₂ = 1
⊢ ∑ x : Fin (r + 1), β₁ • Function.extend Fin.castSucc ι₁ 0 x • η x -
      ∑ x : Fin (r + 1), β₂ • Function.extend i₁.castSucc.succAbove ι₂ 0 x • η x =
    β₁ • ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i - β₂ • ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i
Tactic:
rw [Fin.sum_univ_castSucc, Fin.sum_univ_succAbove _ i₁.castSucc]
State after:
case neg.intro.intro.intro.intro.refine_1
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
ha₂ : ¬↑↑p ∣ a₂
α₁ β₁ : ℤ
h₁ : α₁ * ↑↑p + β₁ * a₁ = 1
α₂ β₂ : ℤ
h₂ : α₂ * ↑↑p + β₂ * a₂ = 1
⊢ ∑ i : Fin r, β₁ • Function.extend Fin.castSucc ι₁ 0 i.castSucc • η i.castSucc +
        β₁ • Function.extend Fin.castSucc ι₁ 0 (Fin.last r) • η (Fin.last r) -
      (β₂ • Function.extend i₁.castSucc.succAbove ι₂ 0 i₁.castSucc • η i₁.castSucc +
        ∑ i : Fin r,
          β₂ • Function.extend i₁.castSucc.succAbove ι₂ 0 (i₁.castSucc.succAbove i) • η (i₁.castSucc.succAbove i)) =
    β₁ • ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i - β₂ • ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i

State before:
case neg.intro.intro.intro.intro.refine_1
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
ha₂ : ¬↑↑p ∣ a₂
α₁ β₁ : ℤ
h₁ : α₁ * ↑↑p + β₁ * a₁ = 1
α₂ β₂ : ℤ
h₂ : α₂ * ↑↑p + β₂ * a₂ = 1
⊢ ∑ i : Fin r, β₁ • Function.extend Fin.castSucc ι₁ 0 i.castSucc • η i.castSucc +
        β₁ • Function.extend Fin.castSucc ι₁ 0 (Fin.last r) • η (Fin.last r) -
      (β₂ • Function.extend i₁.castSucc.succAbove ι₂ 0 i₁.castSucc • η i₁.castSucc +
        ∑ i : Fin r,
          β₂ • Function.extend i₁.castSucc.succAbove ι₂ 0 (i₁.castSucc.succAbove i) • η (i₁.castSucc.succAbove i)) =
    β₁ • ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i - β₂ • ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i
Tactic:
simp [(Fin.castSucc_injective r).extend_apply, Fin.succAbove_right_injective.extend_apply,
  (Fin.castSucc_lt_last _).ne, smul_sum]
State after:
no goals

State before:
case neg.intro.intro.intro.intro.refine_2
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
ha₂ : ¬↑↑p ∣ a₂
α₁ β₁ : ℤ
h₁ : α₁ * ↑↑p + β₁ * a₁ = 1
α₂ β₂ : ℤ
h₂ : α₂ * ↑↑p + β₂ * a₂ = 1
⊢ ¬↑↑p ∣ (β₁ • Function.extend Fin.castSucc ι₁ 0 - β₂ • Function.extend i₁.castSucc.succAbove ι₂ 0) i₁.castSucc
Tactic:
simp only [zsmul_eq_mul, Pi.intCast_def, Int.cast_id, Pi.sub_apply, Pi.mul_apply,
  exists_apply_eq_apply, not_true_eq_false, (Fin.castSucc_injective r).extend_apply,
  Fin.exists_succAbove_eq_iff, ne_eq, not_false_eq_true, Function.extend_apply', Pi.zero_apply,
  mul_zero, sub_zero, (Nat.prime_iff_prime_int.mp hp).dvd_mul, hi₁, not_or, and_true]
State after:
case neg.intro.intro.intro.intro.refine_2
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
ha₂ : ¬↑↑p ∣ a₂
α₁ β₁ : ℤ
h₁ : α₁ * ↑↑p + β₁ * a₁ = 1
α₂ β₂ : ℤ
h₂ : α₂ * ↑↑p + β₂ * a₂ = 1
⊢ ¬↑↑p ∣ β₁

State before:
case neg.intro.intro.intro.intro.refine_2
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H
inst✝⁹ : Fintype H
hCard : Fintype.card H = ↑p
σ✝ : H
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
ha₂ : ¬↑↑p ∣ a₂
α₁ β₁ : ℤ
h₁ : α₁ * ↑↑p + β₁ * a₁ = 1
α₂ β₂ : ℤ
h₂ : α₂ * ↑↑p + β₂ * a₂ = 1
⊢ ¬↑↑p ∣ β₁
Tactic:
intro H
State after:
case neg.intro.intro.intro.intro.refine_2
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H✝ : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H✝
inst✝⁹ : Fintype H✝
hCard : Fintype.card H✝ = ↑p
σ✝ : H✝
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H✝ G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
ha₂ : ¬↑↑p ∣ a₂
α₁ β₁ : ℤ
h₁ : α₁ * ↑↑p + β₁ * a₁ = 1
α₂ β₂ : ℤ
h₂ : α₂ * ↑↑p + β₂ * a₂ = 1
H : ↑↑p ∣ β₁
⊢ False

State before:
case neg.intro.intro.intro.intro.refine_2
p : ℕ+
K : Type u_1
inst✝¹⁵ : Field K
inst✝¹⁴ : NumberField K
k : Type u_2
inst✝¹³ : Field k
inst✝¹² : NumberField k
hp : (↑p).Prime
G : Type u_3
H✝ : Type u_4
inst✝¹¹ : AddCommGroup G
inst✝¹⁰ : CommGroup H✝
inst✝⁹ : Fintype H✝
hCard : Fintype.card H✝ = ↑p
σ✝ : H✝
hσ✝ : Subgroup.zpowers σ✝ = ⊤
r✝ : ℕ
inst✝⁸ : DistribMulAction H✝ G
inst✝⁷ : Module.Free ℤ G
inst✝⁶ : Module.Finite ℤ G
hf : finrank ℤ G = r✝ * (↑p - 1)
inst✝⁵ : Algebra k K
inst✝⁴ : IsGalois k K
inst✝³ : FiniteDimensional k K
inst✝² : IsUnramifiedAtInfinitePlaces k K
hKL : finrank k K = ↑p
σ : K ≃ₐ[k] K
hσ : ∀ (x : K ≃ₐ[k] K), x ∈ Subgroup.zpowers σ
M : Type u_5
inst✝¹ : CommGroup M
inst✝ : Module.Finite ℤ (Additive M)
ζ : M
hk : ∀ (ε : M) (n : ℕ), ε ^ ↑p ^ n = 1 → ∃ i, ζ ^ i = ε
r : ℕ
η : Fin (r + 1) → Additive M
hr : finrank ℤ (Additive M) < r
a₁ : ℤ
ι₁ : Fin r → ℤ
i₁ : Fin r
e₁ : ∑ i : Fin r, ι₁ i • (η ∘ Fin.castSucc) i = a₁ • Additive.ofMul ζ
hi₁ : ¬↑↑p ∣ ι₁ i₁
a₂ : ℤ
ι₂ : Fin r → ℤ
i₂ : Fin r
e₂ : ∑ i : Fin r, ι₂ i • (η ∘ i₁.castSucc.succAbove) i = a₂ • Additive.ofMul ζ
hi₂ : ¬↑↑p ∣ ι₂ i₂
hζ' : ¬ζ = 1
ha₁ : ¬↑↑p ∣ a₁
ha₂ : ¬↑↑p ∣ a₂
α₁ β₁ : ℤ
h₁ : α₁ * ↑↑p + β₁ * a₁ = 1
α₂ β₂ : ℤ
h₂ : α₂ * ↑↑p + β₂ * a₂ = 1
H : ↑↑p ∣ β₁
⊢ False
Tactic:
exact (Nat.prime_iff_prime_int.mp hp).not_dvd_one
  (h₁ ▸ dvd_add (dvd_mul_left (p : ℤ) α₁) (dvd_mul_of_dvd_left H a₁))
State after:
no goals