Theorem: Bind.bind.arg_a0a1.fwdDerivM_rule (SciLean/Core/Monads/FwdDerivMonad.lean)

State before:
ι : Sort ?u.34852
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : FwdDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : Vec K X
Y : Type
inst✝² : Vec K Y
Z : Type
inst✝¹ : Vec K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
a0 : X → m Y
a1 : X → Y → m Z
ha0 : CDifferentiableM K a0
ha1 : CDifferentiableM K fun xy => a1 xy.1 xy.2
⊢ (fwdDerivM K fun x => a0 x >>= a1 x) = fun x dx => do
    let ydy ← fwdDerivM K a0 x dx
    fwdDerivM K (fun xy => a1 xy.1 xy.2) (x, ydy.1) (dx, ydy.2)
Tactic:
let g := fun x => do
  let y ← a0 x
  pure (x,y)
State after:
ι : Sort ?u.34852
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : FwdDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : Vec K X
Y : Type
inst✝² : Vec K Y
Z : Type
inst✝¹ : Vec K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
a0 : X → m Y
a1 : X → Y → m Z
ha0 : CDifferentiableM K a0
ha1 : CDifferentiableM K fun xy => a1 xy.1 xy.2
g : X → m (X × Y) :=
  fun x => do
    let y ← a0 x
    pure (x, y)
⊢ (fwdDerivM K fun x => a0 x >>= a1 x) = fun x dx => do
    let ydy ← fwdDerivM K a0 x dx
    fwdDerivM K (fun xy => a1 xy.1 xy.2) (x, ydy.1) (dx, ydy.2)

State before:
ι : Sort ?u.34852
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
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inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : Vec K X
Y : Type
inst✝² : Vec K Y
Z : Type
inst✝¹ : Vec K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
a0 : X → m Y
a1 : X → Y → m Z
ha0 : CDifferentiableM K a0
ha1 : CDifferentiableM K fun xy => a1 xy.1 xy.2
g : X → m (X × Y) :=
  fun x => do
    let y ← a0 x
    pure (x, y)
⊢ (fwdDerivM K fun x => a0 x >>= a1 x) = fun x dx => do
    let ydy ← fwdDerivM K a0 x dx
    fwdDerivM K (fun xy => a1 xy.1 xy.2) (x, ydy.1) (dx, ydy.2)
Tactic:
let f := fun xy : X×Y => a1 xy.1 xy.2
State after:
ι : Sort ?u.34852
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
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inst✝⁵ : LawfulMonad m
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X : Type
inst✝³ : Vec K X
Y : Type
inst✝² : Vec K Y
Z : Type
inst✝¹ : Vec K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
a0 : X → m Y
a1 : X → Y → m Z
ha0 : CDifferentiableM K a0
ha1 : CDifferentiableM K fun xy => a1 xy.1 xy.2
g : X → m (X × Y) :=
  fun x => do
    let y ← a0 x
    pure (x, y)
f : X × Y → m Z := fun xy => a1 xy.1 xy.2
⊢ (fwdDerivM K fun x => a0 x >>= a1 x) = fun x dx => do
    let ydy ← fwdDerivM K a0 x dx
    fwdDerivM K (fun xy => a1 xy.1 xy.2) (x, ydy.1) (dx, ydy.2)

State before:
ι : Sort ?u.34852
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
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inst✝⁶ : FwdDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
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X : Type
inst✝³ : Vec K X
Y : Type
inst✝² : Vec K Y
Z : Type
inst✝¹ : Vec K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
a0 : X → m Y
a1 : X → Y → m Z
ha0 : CDifferentiableM K a0
ha1 : CDifferentiableM K fun xy => a1 xy.1 xy.2
g : X → m (X × Y) :=
  fun x => do
    let y ← a0 x
    pure (x, y)
f : X × Y → m Z := fun xy => a1 xy.1 xy.2
⊢ (fwdDerivM K fun x => a0 x >>= a1 x) = fun x dx => do
    let ydy ← fwdDerivM K a0 x dx
    fwdDerivM K (fun xy => a1 xy.1 xy.2) (x, ydy.1) (dx, ydy.2)
Tactic:
rw[show (fun x => Bind.bind (a0 x) (a1 x))
        =
        fun x => g x >>= f by simp[f,g]]
State after:
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K : Type
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m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
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inst✝⁶ : FwdDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : Vec K X
Y : Type
inst✝² : Vec K Y
Z : Type
inst✝¹ : Vec K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
a0 : X → m Y
a1 : X → Y → m Z
ha0 : CDifferentiableM K a0
ha1 : CDifferentiableM K fun xy => a1 xy.1 xy.2
g : X → m (X × Y) :=
  fun x => do
    let y ← a0 x
    pure (x, y)
f : X × Y → m Z := fun xy => a1 xy.1 xy.2
⊢ (fwdDerivM K fun x => g x >>= f) = fun x dx => do
    let ydy ← fwdDerivM K a0 x dx
    fwdDerivM K (fun xy => a1 xy.1 xy.2) (x, ydy.1) (dx, ydy.2)

State before:
ι : Sort ?u.34852
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : FwdDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : Vec K X
Y : Type
inst✝² : Vec K Y
Z : Type
inst✝¹ : Vec K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
a0 : X → m Y
a1 : X → Y → m Z
ha0 : CDifferentiableM K a0
ha1 : CDifferentiableM K fun xy => a1 xy.1 xy.2
g : X → m (X × Y) :=
  fun x => do
    let y ← a0 x
    pure (x, y)
f : X × Y → m Z := fun xy => a1 xy.1 xy.2
⊢ (fwdDerivM K fun x => g x >>= f) = fun x dx => do
    let ydy ← fwdDerivM K a0 x dx
    fwdDerivM K (fun xy => a1 xy.1 xy.2) (x, ydy.1) (dx, ydy.2)
Tactic:
have hg : CDifferentiableM K (fun x => do let y ← a0 x; pure (x,y)) :=
  by apply FwdDerivMonad.CDifferentiableM_pair a0 ha0
State after:
ι : Sort ?u.34852
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : FwdDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : Vec K X
Y : Type
inst✝² : Vec K Y
Z : Type
inst✝¹ : Vec K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
a0 : X → m Y
a1 : X → Y → m Z
ha0 : CDifferentiableM K a0
ha1 : CDifferentiableM K fun xy => a1 xy.1 xy.2
g : X → m (X × Y) :=
  fun x => do
    let y ← a0 x
    pure (x, y)
f : X × Y → m Z := fun xy => a1 xy.1 xy.2
hg :
  CDifferentiableM K fun x => do
    let y ← a0 x
    pure (x, y)
⊢ (fwdDerivM K fun x => g x >>= f) = fun x dx => do
    let ydy ← fwdDerivM K a0 x dx
    fwdDerivM K (fun xy => a1 xy.1 xy.2) (x, ydy.1) (dx, ydy.2)

State before:
ι : Sort ?u.34852
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : FwdDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : Vec K X
Y : Type
inst✝² : Vec K Y
Z : Type
inst✝¹ : Vec K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
a0 : X → m Y
a1 : X → Y → m Z
ha0 : CDifferentiableM K a0
ha1 : CDifferentiableM K fun xy => a1 xy.1 xy.2
g : X → m (X × Y) :=
  fun x => do
    let y ← a0 x
    pure (x, y)
f : X × Y → m Z := fun xy => a1 xy.1 xy.2
hg :
  CDifferentiableM K fun x => do
    let y ← a0 x
    pure (x, y)
⊢ (fwdDerivM K fun x => g x >>= f) = fun x dx => do
    let ydy ← fwdDerivM K a0 x dx
    fwdDerivM K (fun xy => a1 xy.1 xy.2) (x, ydy.1) (dx, ydy.2)
Tactic:
have hf : CDifferentiableM K f := by fun_prop
State after:
ι : Sort ?u.34852
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : FwdDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : Vec K X
Y : Type
inst✝² : Vec K Y
Z : Type
inst✝¹ : Vec K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
a0 : X → m Y
a1 : X → Y → m Z
ha0 : CDifferentiableM K a0
ha1 : CDifferentiableM K fun xy => a1 xy.1 xy.2
g : X → m (X × Y) :=
  fun x => do
    let y ← a0 x
    pure (x, y)
f : X × Y → m Z := fun xy => a1 xy.1 xy.2
hg :
  CDifferentiableM K fun x => do
    let y ← a0 x
    pure (x, y)
hf : CDifferentiableM K f
⊢ (fwdDerivM K fun x => g x >>= f) = fun x dx => do
    let ydy ← fwdDerivM K a0 x dx
    fwdDerivM K (fun xy => a1 xy.1 xy.2) (x, ydy.1) (dx, ydy.2)

State before:
ι : Sort ?u.34852
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : FwdDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : Vec K X
Y : Type
inst✝² : Vec K Y
Z : Type
inst✝¹ : Vec K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
a0 : X → m Y
a1 : X → Y → m Z
ha0 : CDifferentiableM K a0
ha1 : CDifferentiableM K fun xy => a1 xy.1 xy.2
g : X → m (X × Y) :=
  fun x => do
    let y ← a0 x
    pure (x, y)
f : X × Y → m Z := fun xy => a1 xy.1 xy.2
hg :
  CDifferentiableM K fun x => do
    let y ← a0 x
    pure (x, y)
hf : CDifferentiableM K f
⊢ (fwdDerivM K fun x => g x >>= f) = fun x dx => do
    let ydy ← fwdDerivM K a0 x dx
    fwdDerivM K (fun xy => a1 xy.1 xy.2) (x, ydy.1) (dx, ydy.2)
Tactic:
rw [FwdDerivMonad.fwdDerivM_bind _ _ hf hg]
State after:
ι : Sort ?u.34852
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : FwdDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : Vec K X
Y : Type
inst✝² : Vec K Y
Z : Type
inst✝¹ : Vec K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
a0 : X → m Y
a1 : X → Y → m Z
ha0 : CDifferentiableM K a0
ha1 : CDifferentiableM K fun xy => a1 xy.1 xy.2
g : X → m (X × Y) :=
  fun x => do
    let y ← a0 x
    pure (x, y)
f : X × Y → m Z := fun xy => a1 xy.1 xy.2
hg :
  CDifferentiableM K fun x => do
    let y ← a0 x
    pure (x, y)
hf : CDifferentiableM K f
⊢ (fun x dx => do
      let ydy ←
        fwdDerivM K
            (fun x => do
              let y ← a0 x
              pure (x, y))
            x dx
      fwdDerivM K f ydy.1 ydy.2) =
    fun x dx => do
    let ydy ← fwdDerivM K a0 x dx
    fwdDerivM K (fun xy => a1 xy.1 xy.2) (x, ydy.1) (dx, ydy.2)

State before:
ι : Sort ?u.34852
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : FwdDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : Vec K X
Y : Type
inst✝² : Vec K Y
Z : Type
inst✝¹ : Vec K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
a0 : X → m Y
a1 : X → Y → m Z
ha0 : CDifferentiableM K a0
ha1 : CDifferentiableM K fun xy => a1 xy.1 xy.2
g : X → m (X × Y) :=
  fun x => do
    let y ← a0 x
    pure (x, y)
f : X × Y → m Z := fun xy => a1 xy.1 xy.2
hg :
  CDifferentiableM K fun x => do
    let y ← a0 x
    pure (x, y)
hf : CDifferentiableM K f
⊢ (fun x dx => do
      let ydy ←
        fwdDerivM K
            (fun x => do
              let y ← a0 x
              pure (x, y))
            x dx
      fwdDerivM K f ydy.1 ydy.2) =
    fun x dx => do
    let ydy ← fwdDerivM K a0 x dx
    fwdDerivM K (fun xy => a1 xy.1 xy.2) (x, ydy.1) (dx, ydy.2)
Tactic:
simp [FwdDerivMonad.fwdDerivM_pair a0 ha0]
State after:
no goals

State before:
ι : Sort ?u.34852
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : FwdDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : Vec K X
Y : Type
inst✝² : Vec K Y
Z : Type
inst✝¹ : Vec K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
a0 : X → m Y
a1 : X → Y → m Z
ha0 : CDifferentiableM K a0
ha1 : CDifferentiableM K fun xy => a1 xy.1 xy.2
g : X → m (X × Y) :=
  fun x => do
    let y ← a0 x
    pure (x, y)
f : X × Y → m Z := fun xy => a1 xy.1 xy.2
⊢ (fun x => a0 x >>= a1 x) = fun x => g x >>= f
Tactic:
simp[f,g]
State after:
no goals

State before:
ι : Sort ?u.34852
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : FwdDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : Vec K X
Y : Type
inst✝² : Vec K Y
Z : Type
inst✝¹ : Vec K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
a0 : X → m Y
a1 : X → Y → m Z
ha0 : CDifferentiableM K a0
ha1 : CDifferentiableM K fun xy => a1 xy.1 xy.2
g : X → m (X × Y) :=
  fun x => do
    let y ← a0 x
    pure (x, y)
f : X × Y → m Z := fun xy => a1 xy.1 xy.2
⊢ CDifferentiableM K fun x => do
    let y ← a0 x
    pure (x, y)
Tactic:
apply FwdDerivMonad.CDifferentiableM_pair a0 ha0
State after:
no goals

State before:
ι : Sort ?u.34852
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m m' : Type → Type
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : FwdDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : Vec K X
Y : Type
inst✝² : Vec K Y
Z : Type
inst✝¹ : Vec K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
a0 : X → m Y
a1 : X → Y → m Z
ha0 : CDifferentiableM K a0
ha1 : CDifferentiableM K fun xy => a1 xy.1 xy.2
g : X → m (X × Y) :=
  fun x => do
    let y ← a0 x
    pure (x, y)
f : X × Y → m Z := fun xy => a1 xy.1 xy.2
hg :
  CDifferentiableM K fun x => do
    let y ← a0 x
    pure (x, y)
⊢ CDifferentiableM K f
Tactic:
fun_prop
State after:
no goals