Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.order_induction_h (Arithmetization/Basic/Ind.lean)

State before:
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
⊢ ∀ (x : M), P x
Tactic:
suffices ∀ x, ∀ y < x, P y by
  intro x; exact this (x + 1) x (by simp only [lt_add_iff_pos_right, lt_one_iff_eq_zero])
State after:
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
⊢ ∀ (x y : M), y < x → P y

State before:
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
⊢ ∀ (x y : M), y < x → P y
Tactic:
intro x
State after:
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
x : M
⊢ ∀ y < x, P y

State before:
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
x : M
⊢ ∀ y < x, P y
Tactic:
induction x using induction_h
State after:
case Γ
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
⊢ Polarity

case m
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
⊢ ℕ

case hP
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
x : M
⊢ DefinablePred ?m.128738 (?Γ.coe, ?m) fun x => ∀ y < x, P y

case zero
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
⊢ ∀ y < 0, P y

case succ
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
x✝ : M
a✝ : ∀ y < x✝, P y
⊢ ∀ y < x✝ + 1, P y

case inst
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
x : M
⊢ ?m.128738.ORing

case inst
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
x : M
⊢ Structure ?m.128738 M

case inst
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
x : M
⊢ Structure.ORing ?m.128738 M

case inst
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
x : M
⊢ M ⊧ₘ* Theory.indScheme ?m.128738 (Hierarchy ?Γ ?m)

State before:
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
⊢ ∀ y < 0, P y
Tactic:
case zero => simp
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
x : M
⊢ Structure.ORing L M
Tactic:
case inst => exact inferInstance
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
x : M
⊢ M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
Tactic:
case inst => exact inferInstance
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
this : ∀ (x y : M), y < x → P y
⊢ ∀ (x : M), P x
Tactic:
intro x
State after:
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
this : ∀ (x y : M), y < x → P y
x : M
⊢ P x

State before:
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
this : ∀ (x y : M), y < x → P y
x : M
⊢ P x
Tactic:
exact this (x + 1) x (by simp only [lt_add_iff_pos_right, lt_one_iff_eq_zero])
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
this : ∀ (x y : M), y < x → P y
x : M
⊢ x < x + 1
Tactic:
simp only [lt_add_iff_pos_right, lt_one_iff_eq_zero]
State after:
no goals

State before:
case Γ
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
⊢ Polarity
Tactic:
exact Γ
State after:
no goals

State before:
case m
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
⊢ ℕ
Tactic:
exact m
State after:
no goals

State before:
case hP
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
x : M
⊢ DefinablePred ?m.128738 (Γ.coe, m) fun x => ∀ y < x, P y
Tactic:
suffices DefinablePred L (Γ, m) fun x => ∀ y < x, P y by exact this
State after:
case hP
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
x : M
⊢ DefinablePred L (Γ.coe, m) fun x => ∀ y < x, P y

State before:
case hP
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
x : M
⊢ DefinablePred L (Γ.coe, m) fun x => ∀ y < x, P y
Tactic:
exact Definable.ball_lt₀ (L := L) (by simp) (hP.retraction ![0])
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
x : M
this : DefinablePred L (Γ.coe, m) fun x => ∀ y < x, P y
⊢ DefinablePred ?m.128738 (Γ.coe, m) fun x => ∀ y < x, P y
Tactic:
exact this
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
x : M
⊢ DefinableBoundedFunction L (Γ.coe, m) fun v => v 0
Tactic:
simp
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
⊢ ∀ y < 0, P y
Tactic:
simp
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
x : M
IH : ∀ y < x, P y
⊢ ∀ y < x + 1, P y
Tactic:
intro y hxy
State after:
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
x : M
IH : ∀ y < x, P y
y : M
hxy : y < x + 1
⊢ P y

State before:
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
x : M
IH : ∀ y < x, P y
y : M
hxy : y < x + 1
⊢ P y
Tactic:
rcases show y < x ∨ y = x from lt_or_eq_of_le (le_iff_lt_succ.mpr hxy) with (lt | rfl)
State after:
case inl
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
x : M
IH : ∀ y < x, P y
y : M
hxy : y < x + 1
lt : y < x
⊢ P y

case inr
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
y : M
IH : ∀ y_1 < y, P y_1
hxy : y < y + 1
⊢ P y

State before:
case inl
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
x : M
IH : ∀ y < x, P y
y : M
hxy : y < x + 1
lt : y < x
⊢ P y
Tactic:
exact IH y lt
State after:
no goals

State before:
case inr
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
y : M
IH : ∀ y_1 < y, P y_1
hxy : y < y + 1
⊢ P y
Tactic:
exact ind y IH
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
x : M
⊢ Structure.ORing L M
Tactic:
exact inferInstance
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝¹⁰ : Zero M
inst✝⁹ : One M
inst✝⁸ : Add M
inst✝⁷ : Mul M
inst✝⁶ : LT M
inst✝⁵ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
L : Language
inst✝⁴ : L.ORing
inst✝³ : Structure L M
inst✝² : Structure.ORing L M
inst✝¹ : Structure.Monotone L M
Γ : Polarity
m : ℕ
inst✝ : M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
P : M → Prop
hP : DefinablePred L (Γ.coe, m) P
ind : ∀ (x : M), (∀ y < x, P y) → P x
x : M
⊢ M ⊧ₘ* Theory.indScheme L (Hierarchy Γ m)
Tactic:
exact inferInstance
State after:
no goals