Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.Prod.mk.arg_fstsnd.HasSemiAdjoint_rule (SciLean/Core/FunctionPropositions/HasSemiAdjoint.lean)

State before:
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ HasSemiAdjoint K fun x => (g x, f x)
Tactic:
constructor
State after:
case semiAdjoint_exists
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y : Y × Z), TestFunction x → ⟪y, (g x, f x)⟫_K = ⟪f' y, x⟫_K

case is_differentiable
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => (g x, f x)

State before:
case semiAdjoint_exists
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y : Y × Z), TestFunction x → ⟪y, (g x, f x)⟫_K = ⟪f' y, x⟫_K

case is_differentiable
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => (g x, f x)
Tactic:
. apply Exists.intro (fun yz => semiAdjoint K g yz.1 + semiAdjoint K f yz.2) _
  intros; dsimp[Inner.inner]
  rw[SemiInnerProductSpace.add_left]
  rw[semiAdjoint_move]; rw[semiAdjoint_move]
  repeat aesop
State after:
case is_differentiable
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => (g x, f x)

State before:
case is_differentiable
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => (g x, f x)
Tactic:
. fun_prop
State after:
no goals

State before:
case semiAdjoint_exists
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y : Y × Z), TestFunction x → ⟪y, (g x, f x)⟫_K = ⟪f' y, x⟫_K
Tactic:
apply Exists.intro (fun yz => semiAdjoint K g yz.1 + semiAdjoint K f yz.2) _
State after:
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∀ (x : X) (y : Y × Z),
    TestFunction x → ⟪y, (g x, f x)⟫_K = ⟪(fun yz => semiAdjoint K g yz.1 + semiAdjoint K f yz.2) y, x⟫_K

State before:
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ ∀ (x : X) (y : Y × Z),
    TestFunction x → ⟪y, (g x, f x)⟫_K = ⟪(fun yz => semiAdjoint K g yz.1 + semiAdjoint K f yz.2) y, x⟫_K
Tactic:
intros
State after:
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y × Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ ⟪y✝, (g x✝, f x✝)⟫_K = ⟪(fun yz => semiAdjoint K g yz.1 + semiAdjoint K f yz.2) y✝, x✝⟫_K

State before:
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y × Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ ⟪y✝, (g x✝, f x✝)⟫_K = ⟪(fun yz => semiAdjoint K g yz.1 + semiAdjoint K f yz.2) y✝, x✝⟫_K
Tactic:
dsimp[Inner.inner]
State after:
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y × Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ ⟪y✝.1, g x✝⟫_K + ⟪y✝.2, f x✝⟫_K = ⟪semiAdjoint K g y✝.1 + semiAdjoint K f y✝.2, x✝⟫_K

State before:
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y × Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ ⟪y✝.1, g x✝⟫_K + ⟪y✝.2, f x✝⟫_K = ⟪semiAdjoint K g y✝.1 + semiAdjoint K f y✝.2, x✝⟫_K
Tactic:
rw[SemiInnerProductSpace.add_left]
State after:
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y × Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ ⟪y✝.1, g x✝⟫_K + ⟪y✝.2, f x✝⟫_K = ⟪semiAdjoint K g y✝.1, x✝⟫_K + ⟪semiAdjoint K f y✝.2, x✝⟫_K

case a
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
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hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y × Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ TestFunction (semiAdjoint K g y✝.1) ∧ TestFunction (semiAdjoint K f y✝.2) ∨ TestFunction x✝

State before:
K✝ : Type ?u.22849
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Y✝ : Type ?u.22868
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Z✝ : Type ?u.22879
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W✝ : Type ?u.22890
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ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
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K : Type u_1
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X : Type u_2
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Y : Type u_3
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Z : Type u_4
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W : Type ?u.22985
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inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y × Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ ⟪y✝.1, g x✝⟫_K + ⟪y✝.2, f x✝⟫_K = ⟪semiAdjoint K g y✝.1, x✝⟫_K + ⟪semiAdjoint K f y✝.2, x✝⟫_K

case a
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
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Z : Type u_4
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W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y × Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ TestFunction (semiAdjoint K g y✝.1) ∧ TestFunction (semiAdjoint K f y✝.2) ∨ TestFunction x✝
Tactic:
rw[semiAdjoint_move]
State after:
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
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Y✝ : Type ?u.22868
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Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
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K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
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Y : Type u_3
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Z : Type u_4
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inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
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x✝ : X
y✝ : Y × Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ ⟪y✝.1, g x✝⟫_K + ⟪y✝.2, f x✝⟫_K = ⟪y✝.1, g x✝⟫_K + ⟪semiAdjoint K f y✝.2, x✝⟫_K

case hx
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
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Y✝ : Type ?u.22868
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Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
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K : Type u_1
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X : Type u_2
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Y : Type u_3
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Z : Type u_4
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W : Type ?u.22985
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ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
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E : ι → Type ?u.23023
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⊢ TestFunction x✝

case hf
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ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
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K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
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Y : Type u_3
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inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
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a✝ : TestFunction x✝
⊢ HasSemiAdjoint K g

case a
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inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
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E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
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K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
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inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
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g : X → Y
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hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y × Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ TestFunction (semiAdjoint K g y✝.1) ∧ TestFunction (semiAdjoint K f y✝.2) ∨ TestFunction x✝

State before:
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
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Y✝ : Type ?u.22868
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Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
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X : Type u_2
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Y : Type u_3
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Z : Type u_4
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W : Type ?u.22985
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ι : Type ?u.22996
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f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y × Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ ⟪y✝.1, g x✝⟫_K + ⟪y✝.2, f x✝⟫_K = ⟪y✝.1, g x✝⟫_K + ⟪semiAdjoint K f y✝.2, x✝⟫_K

case hx
K✝ : Type ?u.22849
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X✝ : Type ?u.22855
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Y✝ : Type ?u.22868
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Z✝ : Type ?u.22879
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W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
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K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
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Y : Type u_3
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Z : Type u_4
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W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
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g : X → Y
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hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y × Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ TestFunction x✝

case hf
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
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W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y × Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ HasSemiAdjoint K g

case a
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
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W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
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x✝ : X
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⊢ TestFunction (semiAdjoint K g y✝.1) ∧ TestFunction (semiAdjoint K f y✝.2) ∨ TestFunction x✝
Tactic:
rw[semiAdjoint_move]
State after:
case hx
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
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inst✝³ : IndexType ι
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E : ι → Type ?u.23023
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g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y × Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ TestFunction x✝

case hf
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
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K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
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Z : Type u_4
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inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
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g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
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x✝ : X
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a✝ : TestFunction x✝
⊢ HasSemiAdjoint K f

case hx
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
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Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
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E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
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K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
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Z : Type u_4
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W : Type ?u.22985
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E : ι → Type ?u.23023
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g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y × Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ TestFunction x✝

case hf
K✝ : Type ?u.22849
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X✝ : Type ?u.22855
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W✝ : Type ?u.22890
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ι✝ : Type ?u.22901
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E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
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K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
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Z : Type u_4
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E : ι → Type ?u.23023
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g : X → Y
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⊢ HasSemiAdjoint K g

case a
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
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Z✝ : Type ?u.22879
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W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
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Z : Type u_4
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inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
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hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y × Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ TestFunction (semiAdjoint K g y✝.1) ∧ TestFunction (semiAdjoint K f y✝.2) ∨ TestFunction x✝

State before:
case hx
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
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inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y × Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ TestFunction x✝

case hf
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y × Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ HasSemiAdjoint K f

case hx
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y × Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ TestFunction x✝

case hf
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y × Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ HasSemiAdjoint K g

case a
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y × Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ TestFunction (semiAdjoint K g y✝.1) ∧ TestFunction (semiAdjoint K f y✝.2) ∨ TestFunction x✝
Tactic:
repeat aesop
State after:
no goals

State before:
case a
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
x✝ : X
y✝ : Y × Z
a✝ : TestFunction x✝
⊢ TestFunction (semiAdjoint K g y✝.1) ∧ TestFunction (semiAdjoint K f y✝.2) ∨ TestFunction x✝
Tactic:
aesop
State after:
no goals

State before:
case is_differentiable
K✝ : Type ?u.22849
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22855
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22868
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22879
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.22890
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.22901
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22928
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22985
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22996
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.23023
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasSemiAdjoint K g
f : X → Z
hf : HasSemiAdjoint K f
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => (g x, f x)
Tactic:
fun_prop
State after:
no goals