Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.mem_product_iff' (Arithmetization/ISigmaOne/HFS/Basic.lean)

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x a b : M
⊢ x ∈ a ×ʰᶠ b ↔ π₁ x ∈ a ∧ π₂ x ∈ b
Tactic:
simp [mem_product_iff]
State after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x a b : M
⊢ (∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫) ↔ π₁ x ∈ a ∧ π₂ x ∈ b

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x a b : M
⊢ (∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫) ↔ π₁ x ∈ a ∧ π₂ x ∈ b
Tactic:
constructor
State after:
case mp
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x a b : M
⊢ (∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫) → π₁ x ∈ a ∧ π₂ x ∈ b

case mpr
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x a b : M
⊢ π₁ x ∈ a ∧ π₂ x ∈ b → ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫

State before:
case mp
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x a b : M
⊢ (∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫) → π₁ x ∈ a ∧ π₂ x ∈ b
Tactic:
rintro ⟨y, hy, z, hz, rfl⟩
State after:
case mp.intro.intro.intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
a b y : M
hy : y ∈ a
z : M
hz : z ∈ b
⊢ π₁⟪y, z⟫ ∈ a ∧ π₂⟪y, z⟫ ∈ b

State before:
case mp.intro.intro.intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
a b y : M
hy : y ∈ a
z : M
hz : z ∈ b
⊢ π₁⟪y, z⟫ ∈ a ∧ π₂⟪y, z⟫ ∈ b
Tactic:
simp [*]
State after:
no goals

State before:
case mpr
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x a b : M
⊢ π₁ x ∈ a ∧ π₂ x ∈ b → ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
Tactic:
rintro ⟨h₁, h₂⟩
State after:
case mpr.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x a b : M
h₁ : π₁ x ∈ a
h₂ : π₂ x ∈ b
⊢ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫

State before:
case mpr.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x a b : M
h₁ : π₁ x ∈ a
h₂ : π₂ x ∈ b
⊢ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
Tactic:
exact ⟨π₁ x, h₁, π₂ x, h₂, by simp⟩
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x a b : M
h₁ : π₁ x ∈ a
h₂ : π₂ x ∈ b
⊢ x = ⟪π₁ x, π₂ x⟫
Tactic:
simp
State after:
no goals