Theorem: SciLean.HMul.hMul.arg_a0a1.cderiv_rule (SciLean/Core/FunctionTransformations/CDeriv.lean)

State before:
K✝ : Type ?u.55642
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.55648
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.55661
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.55672
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.55683
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.55694
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.55721
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.55756
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.55767
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.55778
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.55789
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.55816
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f g : X → K
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
⊢ (cderiv K fun x => f x * g x) = fun x =>
    let fx := f x;
    let gx := g x;
    fun dx => cderiv K g x dx * fx + cderiv K f x dx * gx
Tactic:
funext x
State after:
case h
K✝ : Type ?u.55642
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.55648
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.55661
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.55672
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.55683
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.55694
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.55721
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.55756
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.55767
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.55778
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.55789
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.55816
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f g : X → K
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
x : X
⊢ cderiv K (fun x => f x * g x) x =
    let fx := f x;
    let gx := g x;
    fun dx => cderiv K g x dx * fx + cderiv K f x dx * gx

State before:
case h
K✝ : Type ?u.55642
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.55648
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.55661
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.55672
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.55683
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.55694
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.55721
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.55756
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.55767
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.55778
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.55789
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.55816
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f g : X → K
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
x : X
⊢ cderiv K (fun x => f x * g x) x =
    let fx := f x;
    let gx := g x;
    fun dx => cderiv K g x dx * fx + cderiv K f x dx * gx
Tactic:
fun_trans
State after:
no goals