Theorem: Arith.Model.Definable.and (Arithmetization/Definability/Hierarchy.lean)

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
h₁ : Definable L Γ P
h₂ : Definable L Γ Q
⊢ Definable L Γ fun v => P v ∧ Q v
Tactic:
rcases h₁ with ⟨p₁, h₁⟩
State after:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
h₂ : Definable L Γ Q
p₁ : HSemiformula L M k Γ
h₁ : DefinedWithParam P p₁
⊢ Definable L Γ fun v => P v ∧ Q v

State before:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
h₂ : Definable L Γ Q
p₁ : HSemiformula L M k Γ
h₁ : DefinedWithParam P p₁
⊢ Definable L Γ fun v => P v ∧ Q v
Tactic:
rcases h₂ with ⟨p₂, h₂⟩
State after:
case mk.intro.mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
p₁ : HSemiformula L M k Γ
h₁ : DefinedWithParam P p₁
p₂ : HSemiformula L M k Γ
h₂ : DefinedWithParam Q p₂
⊢ Definable L Γ fun v => P v ∧ Q v

State before:
case mk.intro.mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
p₁ : HSemiformula L M k Γ
h₁ : DefinedWithParam P p₁
p₂ : HSemiformula L M k Γ
h₂ : DefinedWithParam Q p₂
⊢ Definable L Γ fun v => P v ∧ Q v
Tactic:
exact ⟨p₁ ⋏ p₂, h₁.and h₂⟩
State after:
no goals