Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.DefinableBoundedFunction.of_iff (Arithmetization/Definability/Definability.lean)

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
g f : (Fin k → M) → M
h : ∀ (v : Fin k → M), f v = g v
H : DefinableBoundedFunction L Γ f
⊢ DefinableBoundedFunction L Γ g
Tactic:
have : f = g := by funext v; simp [h]
State after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
g f : (Fin k → M) → M
h : ∀ (v : Fin k → M), f v = g v
H : DefinableBoundedFunction L Γ f
this : f = g
⊢ DefinableBoundedFunction L Γ g

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
g f : (Fin k → M) → M
h : ∀ (v : Fin k → M), f v = g v
H : DefinableBoundedFunction L Γ f
this : f = g
⊢ DefinableBoundedFunction L Γ g
Tactic:
rcases this
State after:
case refl
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
g : (Fin k → M) → M
h : ∀ (v : Fin k → M), g v = g v
H : DefinableBoundedFunction L Γ g
⊢ DefinableBoundedFunction L Γ g

State before:
case refl
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
g : (Fin k → M) → M
h : ∀ (v : Fin k → M), g v = g v
H : DefinableBoundedFunction L Γ g
⊢ DefinableBoundedFunction L Γ g
Tactic:
exact H
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
g f : (Fin k → M) → M
h : ∀ (v : Fin k → M), f v = g v
H : DefinableBoundedFunction L Γ f
⊢ f = g
Tactic:
funext v
State after:
case h
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
g f : (Fin k → M) → M
h : ∀ (v : Fin k → M), f v = g v
H : DefinableBoundedFunction L Γ f
v : Fin k → M
⊢ f v = g v

State before:
case h
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
g f : (Fin k → M) → M
h : ∀ (v : Fin k → M), f v = g v
H : DefinableBoundedFunction L Γ f
v : Fin k → M
⊢ f v = g v
Tactic:
simp [h]
State after:
no goals