Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.of_zero (Arithmetization/Definability/Hierarchy.lean)

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
Γ' : SigmaPiDelta
R : (Fin k → M) → Prop
Γ : HierarchySymbol
p : HSemiformula L M k (Γ', 0)
h : DefinedWithParam R p
m : ℕ
⊢ DefinedWithParam R (p.ofZero (𝚺, m))
Tactic:
intro _
State after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
Γ' : SigmaPiDelta
R : (Fin k → M) → Prop
Γ : HierarchySymbol
p : HSemiformula L M k (Γ', 0)
h : DefinedWithParam R p
m : ℕ
v✝ : Fin k → M
⊢ R v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (p.ofZero (𝚺, m)).val

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
Γ' : SigmaPiDelta
R : (Fin k → M) → Prop
Γ : HierarchySymbol
p : HSemiformula L M k (Γ', 0)
h : DefinedWithParam R p
m : ℕ
v✝ : Fin k → M
⊢ R v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (p.ofZero (𝚺, m)).val
Tactic:
simp [h.df.iff]
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
Γ' : SigmaPiDelta
R : (Fin k → M) → Prop
Γ : HierarchySymbol
p : HSemiformula L M k (Γ', 0)
h : DefinedWithParam R p
m : ℕ
⊢ DefinedWithParam R (p.ofZero (𝚷, m))
Tactic:
intro _
State after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
Γ' : SigmaPiDelta
R : (Fin k → M) → Prop
Γ : HierarchySymbol
p : HSemiformula L M k (Γ', 0)
h : DefinedWithParam R p
m : ℕ
v✝ : Fin k → M
⊢ R v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (p.ofZero (𝚷, m)).val

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
Γ' : SigmaPiDelta
R : (Fin k → M) → Prop
Γ : HierarchySymbol
p : HSemiformula L M k (Γ', 0)
h : DefinedWithParam R p
m : ℕ
v✝ : Fin k → M
⊢ R v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (p.ofZero (𝚷, m)).val
Tactic:
simp [h.df.iff]
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
Γ' : SigmaPiDelta
R : (Fin k → M) → Prop
Γ : HierarchySymbol
p : HSemiformula L M k (Γ', 0)
h : DefinedWithParam R p
m : ℕ
⊢ HSemiformula.ProperWithParamOn M (p.ofZero (𝚫, m))
Tactic:
simp
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
Γ' : SigmaPiDelta
R : (Fin k → M) → Prop
Γ : HierarchySymbol
p : HSemiformula L M k (Γ', 0)
h : DefinedWithParam R p
m : ℕ
⊢ FirstOrder.DefinedWithParam R (p.ofZero (𝚫, m)).val
Tactic:
intro _
State after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
Γ' : SigmaPiDelta
R : (Fin k → M) → Prop
Γ : HierarchySymbol
p : HSemiformula L M k (Γ', 0)
h : DefinedWithParam R p
m : ℕ
v✝ : Fin k → M
⊢ R v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (p.ofZero (𝚫, m)).val

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
Γ' : SigmaPiDelta
R : (Fin k → M) → Prop
Γ : HierarchySymbol
p : HSemiformula L M k (Γ', 0)
h : DefinedWithParam R p
m : ℕ
v✝ : Fin k → M
⊢ R v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (p.ofZero (𝚫, m)).val
Tactic:
simp [h.df.iff]
State after:
no goals