Theorem: iteratedFDeriv_sum (ForML/FDerivProd.lean)

State before:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
f : ι → E → F
u : Finset ι
i : ℕ
h : ∀ j ∈ u, ContDiff 𝕜 (↑i) (f j)
⊢ (iteratedFDeriv 𝕜 i fun x => ∑ j in u, f j x) = ∑ j in u, iteratedFDeriv 𝕜 i (f j)
Tactic:
simp only [← iteratedFDerivWithin_univ]
State after:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
f : ι → E → F
u : Finset ι
i : ℕ
h : ∀ j ∈ u, ContDiff 𝕜 (↑i) (f j)
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 i (fun x => ∑ j in u, f j x) Set.univ = ∑ x in u, iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f x) Set.univ

State before:
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
f : ι → E → F
u : Finset ι
i : ℕ
h : ∀ j ∈ u, ContDiff 𝕜 (↑i) (f j)
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 i (fun x => ∑ j in u, f j x) Set.univ = ∑ x in u, iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f x) Set.univ
Tactic:
funext x
State after:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
f : ι → E → F
u : Finset ι
i : ℕ
h : ∀ j ∈ u, ContDiff 𝕜 (↑i) (f j)
x : E
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 i (fun x => ∑ j in u, f j x) Set.univ x =
    Finset.sum u (fun x => iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f x) Set.univ) x

State before:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
f : ι → E → F
u : Finset ι
i : ℕ
h : ∀ j ∈ u, ContDiff 𝕜 (↑i) (f j)
x : E
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 i (fun x => ∑ j in u, f j x) Set.univ x =
    Finset.sum u (fun x => iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f x) Set.univ) x
Tactic:
rw [Finset.sum_apply]
State after:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
f : ι → E → F
u : Finset ι
i : ℕ
h : ∀ j ∈ u, ContDiff 𝕜 (↑i) (f j)
x : E
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 i (fun x => ∑ j in u, f j x) Set.univ x = ∑ c in u, iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f c) Set.univ x

State before:
case h
𝕜 : Type u_1
inst✝¹¹ : NontriviallyNormedField 𝕜
D : Type uD
inst✝¹⁰ : NormedAddCommGroup D
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 D
E : Type uE
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁷ : NormedSpace 𝕜 E
F : Type uF
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁵ : NormedSpace 𝕜 F
G : Type uG
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup G
inst✝³ : NormedSpace 𝕜 G
X : Type u_2
inst✝² : NormedAddCommGroup X
inst✝¹ : NormedSpace 𝕜 X
s s₁ t u✝ : Set E
f✝ f₁ : E → F
g : F → G
x✝ x₀ : E
c : F
b : E × F → G
m n : ℕ∞
p : E → FormalMultilinearSeries 𝕜 E F
ι : Type u_3
inst✝ : DecidableEq ι
f : ι → E → F
u : Finset ι
i : ℕ
h : ∀ j ∈ u, ContDiff 𝕜 (↑i) (f j)
x : E
⊢ iteratedFDerivWithin 𝕜 i (fun x => ∑ j in u, f j x) Set.univ x = ∑ c in u, iteratedFDerivWithin 𝕜 i (f c) Set.univ x
Tactic:
exact iteratedFDerivWithin_sum_apply uniqueDiffOn_univ trivial fun j hj ↦ (h j hj).contDiffOn
State after:
no goals