Theorem: SciLean.semiAdjoint.ite.arg_te.semiAdjoint_rule (SciLean/Core/FunctionTransformations/SemiAdjoint.lean)

State before:
K✝ : Type ?u.34023
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34029
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34042
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34053
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34064
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34091
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34137
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34148
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34159
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34186
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
dec : Decidable c
t e : X → Y
⊢ (semiAdjoint K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then semiAdjoint K t y else semiAdjoint K e y
Tactic:
induction dec
State after:
case isFalse
K✝ : Type ?u.34023
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34029
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34042
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34053
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34064
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34091
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34137
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34148
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34159
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34186
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h✝ : ¬c
⊢ (semiAdjoint K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then semiAdjoint K t y else semiAdjoint K e y

case isTrue
K✝ : Type ?u.34023
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34029
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34042
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34053
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34064
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34091
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34137
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34148
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34159
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34186
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h✝ : c
⊢ (semiAdjoint K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then semiAdjoint K t y else semiAdjoint K e y

State before:
K✝ : Type ?u.34023
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34029
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34042
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34053
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34064
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34091
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34137
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34148
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34159
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34186
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
⊢ (semiAdjoint K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then semiAdjoint K t y else semiAdjoint K e y
Tactic:
case isTrue h  => ext y; simp[h]
State after:
no goals

State before:
K✝ : Type ?u.34023
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34029
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34042
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34053
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34064
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34091
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34137
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34148
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34159
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34186
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
⊢ (semiAdjoint K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then semiAdjoint K t y else semiAdjoint K e y
Tactic:
case isFalse h => ext y; simp[h]
State after:
no goals

State before:
K✝ : Type ?u.34023
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34029
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34042
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34053
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34064
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34091
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34137
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34148
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34159
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34186
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
⊢ (semiAdjoint K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then semiAdjoint K t y else semiAdjoint K e y
Tactic:
ext y
State after:
case h
K✝ : Type ?u.34023
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34029
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34042
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34053
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34064
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34091
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34137
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34148
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34159
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34186
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
y : Y
⊢ semiAdjoint K (fun x => if c then t x else e x) y = if c then semiAdjoint K t y else semiAdjoint K e y

State before:
case h
K✝ : Type ?u.34023
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34029
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34042
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34053
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34064
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34091
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34137
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34148
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34159
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34186
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
y : Y
⊢ semiAdjoint K (fun x => if c then t x else e x) y = if c then semiAdjoint K t y else semiAdjoint K e y
Tactic:
simp[h]
State after:
no goals

State before:
K✝ : Type ?u.34023
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34029
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34042
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34053
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34064
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34091
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34137
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34148
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34159
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34186
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
⊢ (semiAdjoint K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then semiAdjoint K t y else semiAdjoint K e y
Tactic:
ext y
State after:
case h
K✝ : Type ?u.34023
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34029
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34042
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34053
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34064
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34091
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34137
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34148
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34159
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34186
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
y : Y
⊢ semiAdjoint K (fun x => if c then t x else e x) y = if c then semiAdjoint K t y else semiAdjoint K e y

State before:
case h
K✝ : Type ?u.34023
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.34029
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.34042
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.34053
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.34064
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.34091
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.34137
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.34148
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.34159
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.34186
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
y : Y
⊢ semiAdjoint K (fun x => if c then t x else e x) y = if c then semiAdjoint K t y else semiAdjoint K e y
Tactic:
simp[h]
State after:
no goals