Theorem: SchwartzMap.integral_vectorFourierIntegrand_pderivCLM_single_euclidean (ForML/SchwartzFourier.lean)

State before:
E' : Type ?u.1392274
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
i : ι
f : 𝓢(EuclideanSpace ℝ ι, F)
ξ : EuclideanSpace ℝ ι
⊢ 𝓕ᵥ (⇑((pderivCLM ℝ (EuclideanSpace.single i 1)) f)) ξ = (2 * ↑π * I * ↑(ξ i)) • 𝓕ᵥ (⇑f) ξ
Tactic:
rw [RealVectorFourier.fourierIntegral_euclidean_eq_fourierIntegral_l2inner]
State after:
E' : Type ?u.1392274
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
i : ι
f : 𝓢(EuclideanSpace ℝ ι, F)
ξ : EuclideanSpace ℝ ι
⊢ 𝓕ₙ (⇑((pderivCLM ℝ (EuclideanSpace.single i 1)) f)) ξ = (2 * ↑π * I * ↑(ξ i)) • 𝓕ᵥ (⇑f) ξ

State before:
E' : Type ?u.1392274
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
i : ι
f : 𝓢(EuclideanSpace ℝ ι, F)
ξ : EuclideanSpace ℝ ι
⊢ 𝓕ₙ (⇑((pderivCLM ℝ (EuclideanSpace.single i 1)) f)) ξ = (2 * ↑π * I * ↑(ξ i)) • 𝓕ᵥ (⇑f) ξ
Tactic:
rw [RealVectorFourier.fourierIntegral_euclidean_eq_fourierIntegral_l2inner]
State after:
E' : Type ?u.1392274
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
i : ι
f : 𝓢(EuclideanSpace ℝ ι, F)
ξ : EuclideanSpace ℝ ι
⊢ 𝓕ₙ (⇑((pderivCLM ℝ (EuclideanSpace.single i 1)) f)) ξ = (2 * ↑π * I * ↑(ξ i)) • 𝓕ₙ (⇑f) ξ

State before:
E' : Type ?u.1392274
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
i : ι
f : 𝓢(EuclideanSpace ℝ ι, F)
ξ : EuclideanSpace ℝ ι
⊢ 𝓕ₙ (⇑((pderivCLM ℝ (EuclideanSpace.single i 1)) f)) ξ = (2 * ↑π * I * ↑(ξ i)) • 𝓕ₙ (⇑f) ξ
Tactic:
have := realintegral_vectorFourierIntegrand_pderivCLM_single (i := i)
  (f := compEquiv (EuclideanSpace.equiv ι ℝ).symm f) (ξ := (EuclideanSpace.equiv ι ℝ) ξ)
State after:
E' : Type ?u.1392274
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
i : ι
f : 𝓢(EuclideanSpace ℝ ι, F)
ξ : EuclideanSpace ℝ ι
this :
  𝓕ₙ (⇑((pderivCLM ℝ (Pi.single i 1)) ((compEquiv (ContinuousLinearEquiv.symm (EuclideanSpace.equiv ι ℝ))) f)))
      ((EuclideanSpace.equiv ι ℝ) ξ) =
    (2 * ↑π * I * ↑((EuclideanSpace.equiv ι ℝ) ξ i)) •
      𝓕ₙ (⇑((compEquiv (ContinuousLinearEquiv.symm (EuclideanSpace.equiv ι ℝ))) f)) ((EuclideanSpace.equiv ι ℝ) ξ)
⊢ 𝓕ₙ (⇑((pderivCLM ℝ (EuclideanSpace.single i 1)) f)) ξ = (2 * ↑π * I * ↑(ξ i)) • 𝓕ₙ (⇑f) ξ

State before:
E' : Type ?u.1392274
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
i : ι
f : 𝓢(EuclideanSpace ℝ ι, F)
ξ : EuclideanSpace ℝ ι
this :
  𝓕ₙ (⇑((pderivCLM ℝ (Pi.single i 1)) ((compEquiv (ContinuousLinearEquiv.symm (EuclideanSpace.equiv ι ℝ))) f)))
      ((EuclideanSpace.equiv ι ℝ) ξ) =
    (2 * ↑π * I * ↑((EuclideanSpace.equiv ι ℝ) ξ i)) •
      𝓕ₙ (⇑((compEquiv (ContinuousLinearEquiv.symm (EuclideanSpace.equiv ι ℝ))) f)) ((EuclideanSpace.equiv ι ℝ) ξ)
⊢ 𝓕ₙ (⇑((pderivCLM ℝ (EuclideanSpace.single i 1)) f)) ξ = (2 * ↑π * I * ↑(ξ i)) • 𝓕ₙ (⇑f) ξ
Tactic:
conv at this =>
  lhs; arg 4; intro x
  simp
  conv => arg 1; arg 2; intro y; simp
  change fderiv ℝ (f ∘ ⇑(EuclideanSpace.equiv ι ℝ).symm) x (Pi.single i 1)
  rw [ContinuousLinearEquiv.comp_right_fderiv]
  rw [ContinuousLinearMap.comp_apply]
State after:
E' : Type ?u.1392274
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
i : ι
f : 𝓢(EuclideanSpace ℝ ι, F)
ξ : EuclideanSpace ℝ ι
this :
  𝓕ₙ
      (fun x =>
        (fderiv ℝ (⇑f) ((ContinuousLinearEquiv.symm (EuclideanSpace.equiv ι ℝ)) x))
          (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (EuclideanSpace.equiv ι ℝ)) (Pi.single i 1)))
      ((EuclideanSpace.equiv ι ℝ) ξ) =
    (2 * ↑π * I * ↑((EuclideanSpace.equiv ι ℝ) ξ i)) •
      𝓕ₙ (⇑((compEquiv (ContinuousLinearEquiv.symm (EuclideanSpace.equiv ι ℝ))) f)) ((EuclideanSpace.equiv ι ℝ) ξ)
⊢ 𝓕ₙ (⇑((pderivCLM ℝ (EuclideanSpace.single i 1)) f)) ξ = (2 * ↑π * I * ↑(ξ i)) • 𝓕ₙ (⇑f) ξ

State before:
E' : Type ?u.1392274
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
i : ι
f : 𝓢(EuclideanSpace ℝ ι, F)
ξ : EuclideanSpace ℝ ι
this :
  𝓕ₙ
      (fun x =>
        (fderiv ℝ (⇑f) ((ContinuousLinearEquiv.symm (EuclideanSpace.equiv ι ℝ)) x))
          (↑(ContinuousLinearEquiv.symm (EuclideanSpace.equiv ι ℝ)) (Pi.single i 1)))
      ((EuclideanSpace.equiv ι ℝ) ξ) =
    (2 * ↑π * I * ↑((EuclideanSpace.equiv ι ℝ) ξ i)) •
      𝓕ₙ (⇑((compEquiv (ContinuousLinearEquiv.symm (EuclideanSpace.equiv ι ℝ))) f)) ((EuclideanSpace.equiv ι ℝ) ξ)
⊢ 𝓕ₙ (⇑((pderivCLM ℝ (EuclideanSpace.single i 1)) f)) ξ = (2 * ↑π * I * ↑(ξ i)) • 𝓕ₙ (⇑f) ξ
Tactic:
exact this
State after:
no goals