Theorem: SciLean.SciLean.cderiv.arg_dx.CDifferentiable_rule (SciLean/Core/FunctionTransformations/CDeriv.lean)

State before:
K✝ : Type ?u.119671
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.119677
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.119690
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.119701
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.119712
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.119723
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.119750
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type u_3
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.119807
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.119818
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.119845
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
y : Y
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
⊢ CDifferentiable K fun dx' => cderiv K f y (g dx')
Tactic:
intro dx
State after:
K✝ : Type ?u.119671
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.119677
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.119690
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.119701
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.119712
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.119723
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.119750
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type u_3
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.119807
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.119818
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.119845
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
y : Y
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
dx : X
⊢ CDifferentiableAt K (fun dx' => cderiv K f y (g dx')) dx

State before:
K✝ : Type ?u.119671
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.119677
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.119690
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.119701
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.119712
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.119723
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.119750
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type u_3
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.119807
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.119818
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.119845
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
y : Y
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
dx : X
⊢ CDifferentiableAt K (fun dx' => cderiv K f y (g dx')) dx
Tactic:
apply SciLean.cderiv.arg_dx.CDifferentiableAt_rule
State after:
case hf
K✝ : Type ?u.119671
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.119677
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.119690
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.119701
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.119712
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.119723
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.119750
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type u_3
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.119807
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.119818
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.119845
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
y : Y
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
dx : X
⊢ CDifferentiableAt K f y

case hg
K✝ : Type ?u.119671
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.119677
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.119690
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.119701
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.119712
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.119723
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.119750
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type u_3
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.119807
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.119818
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.119845
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
y : Y
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
dx : X
⊢ CDifferentiableAt K (fun dx' => g dx') dx

State before:
case hf
K✝ : Type ?u.119671
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.119677
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.119690
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.119701
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.119712
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.119723
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.119750
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type u_3
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.119807
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.119818
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.119845
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
y : Y
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
dx : X
⊢ CDifferentiableAt K f y

case hg
K✝ : Type ?u.119671
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.119677
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.119690
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.119701
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.119712
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.119723
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.119750
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type u_3
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.119807
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.119818
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.119845
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
y : Y
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
dx : X
⊢ CDifferentiableAt K (fun dx' => g dx') dx
Tactic:
apply (hf y)
State after:
case hg
K✝ : Type ?u.119671
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.119677
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.119690
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.119701
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.119712
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.119723
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.119750
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type u_3
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.119807
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.119818
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.119845
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
y : Y
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
dx : X
⊢ CDifferentiableAt K (fun dx' => g dx') dx

State before:
case hg
K✝ : Type ?u.119671
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.119677
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.119690
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.119701
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.119712
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.119723
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.119750
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type u_3
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.119807
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.119818
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.119845
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
f : Y → Z
g : X → Y
y : Y
hf : CDifferentiable K f
hg : CDifferentiable K g
dx : X
⊢ CDifferentiableAt K (fun dx' => g dx') dx
Tactic:
apply (hg dx)
State after:
no goals