Theorem: SciLean.HSMul.hSMul.arg_a1.HasAdjDiffAt_rule (SciLean/Core/FunctionPropositions/HasAdjDiff.lean)

State before:
K✝ : Type ?u.47901
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.47907
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.47920
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.47931
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.47942
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.47969
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.48015
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.48026
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.48037
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.48064
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
g : X → Y
x : X
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => c • g x) x
Tactic:
constructor
State after:
case left
K✝ : Type ?u.47901
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.47907
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.47920
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.47931
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.47942
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.47969
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.48015
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.48026
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.48037
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.48064
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
g : X → Y
x : X
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => c • g x) x

case right
K✝ : Type ?u.47901
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.47907
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.47920
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.47931
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.47942
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.47969
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.48015
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.48026
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.48037
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.48064
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
g : X → Y
x : X
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => c • g x) x)

State before:
case left
K✝ : Type ?u.47901
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.47907
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.47920
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.47931
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.47942
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.47969
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.48015
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.48026
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.48037
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.48064
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
g : X → Y
x : X
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => c • g x) x

case right
K✝ : Type ?u.47901
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.47907
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.47920
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.47931
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.47942
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.47969
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.48015
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.48026
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.48037
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.48064
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
g : X → Y
x : X
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => c • g x) x)
Tactic:
fun_prop
State after:
case right
K✝ : Type ?u.47901
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.47907
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.47920
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.47931
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.47942
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.47969
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.48015
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.48026
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.48037
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.48064
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
g : X → Y
x : X
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => c • g x) x)

State before:
case right
K✝ : Type ?u.47901
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.47907
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.47920
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.47931
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.47942
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.47969
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.48015
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.48026
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.48037
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.48064
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
g : X → Y
x : X
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => c • g x) x)
Tactic:
fun_trans
State after:
case right
K✝ : Type ?u.47901
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.47907
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.47920
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.47931
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.47942
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.47969
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.48015
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.48026
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.48037
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.48064
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
g : X → Y
x : X
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => c • cderiv K (fun x => g x) x dx

State before:
case right
K✝ : Type ?u.47901
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.47907
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.47920
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.47931
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.47942
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.47969
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.48015
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.48026
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.48037
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.48064
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
c : K
g : X → Y
x : X
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => c • cderiv K (fun x => g x) x dx
Tactic:
fun_prop
State after:
no goals