Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.domain_subset_domain_of_subset (Arithmetization/ISigmaOne/HFS/Basic.lean)

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s t : M
h : s ⊆ t
⊢ domain s ⊆ domain t
Tactic:
intro x hx
State after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s t : M
h : s ⊆ t
x : M
hx : x ∈ domain s
⊢ x ∈ domain t

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s t : M
h : s ⊆ t
x : M
hx : x ∈ domain s
⊢ x ∈ domain t
Tactic:
rcases mem_domain_iff.mp hx with ⟨y, hy⟩
State after:
case intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s t : M
h : s ⊆ t
x : M
hx : x ∈ domain s
y : M
hy : ⟪x, y⟫ ∈ s
⊢ x ∈ domain t

State before:
case intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s t : M
h : s ⊆ t
x : M
hx : x ∈ domain s
y : M
hy : ⟪x, y⟫ ∈ s
⊢ x ∈ domain t
Tactic:
exact mem_domain_iff.mpr ⟨y, h hy⟩
State after:
no goals