Theorem: SchwartzMap.norm_fderivVectorFourierIntegrandCLM (ForML/SchwartzFourier.lean)

State before:
E' : Type ?u.618588
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
ξ x : E
⊢ ‖((fderivVectorFourierIntegrandCLM ξ) f) x‖ = 2 * π * ‖(innerSL_smul f) x‖
Tactic:
suffices : ‖fderivVectorFourierIntegrandCLM ξ f x‖ = ‖innerSL_smul ((2 * π) • f) x‖
State after:
E' : Type ?u.618588
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
ξ x : E
this : ‖((fderivVectorFourierIntegrandCLM ξ) f) x‖ = ‖(innerSL_smul ((2 * π) • f)) x‖
⊢ ‖((fderivVectorFourierIntegrandCLM ξ) f) x‖ = 2 * π * ‖(innerSL_smul f) x‖

case this
E' : Type ?u.618588
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
ξ x : E
⊢ ‖((fderivVectorFourierIntegrandCLM ξ) f) x‖ = ‖(innerSL_smul ((2 * π) • f)) x‖

State before:
E' : Type ?u.618588
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
ξ x : E
this : ‖((fderivVectorFourierIntegrandCLM ξ) f) x‖ = ‖(innerSL_smul ((2 * π) • f)) x‖
⊢ ‖((fderivVectorFourierIntegrandCLM ξ) f) x‖ = 2 * π * ‖(innerSL_smul f) x‖

case this
E' : Type ?u.618588
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
ξ x : E
⊢ ‖((fderivVectorFourierIntegrandCLM ξ) f) x‖ = ‖(innerSL_smul ((2 * π) • f)) x‖
Tactic:
. simpa [norm_smul, _root_.abs_of_nonneg Real.pi_pos.le] using this
State after:
case this
E' : Type ?u.618588
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
ξ x : E
⊢ ‖((fderivVectorFourierIntegrandCLM ξ) f) x‖ = ‖(innerSL_smul ((2 * π) • f)) x‖

State before:
case this
E' : Type ?u.618588
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
ξ x : E
⊢ ‖((fderivVectorFourierIntegrandCLM ξ) f) x‖ = ‖(innerSL_smul ((2 * π) • f)) x‖
Tactic:
simp only [ContinuousLinearMap.norm_def]
State after:
case this
E' : Type ?u.618588
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
ξ x : E
⊢ sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x_1 : E), ‖(((fderivVectorFourierIntegrandCLM ξ) f) x) x_1‖ ≤ c * ‖x_1‖} =
    sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x_1 : E), ‖((innerSL_smul ((2 * π) • f)) x) x_1‖ ≤ c * ‖x_1‖}

State before:
case this
E' : Type ?u.618588
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
ξ x : E
⊢ sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x_1 : E), ‖(((fderivVectorFourierIntegrandCLM ξ) f) x) x_1‖ ≤ c * ‖x_1‖} =
    sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x_1 : E), ‖((innerSL_smul ((2 * π) • f)) x) x_1‖ ≤ c * ‖x_1‖}
Tactic:
simp only [fderivVectorFourierIntegrandCLM_apply, vectorFourierIntegrand_apply, innerSL_smul_apply]
State after:
case this
E' : Type ?u.618588
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
ξ x : E
⊢ sInf
      {c |
        0 ≤ c ∧
          ∀ (x_1 : E),
            ‖-((2 * ↑π * I) • ⟪x, x_1⟫_ℝ • ↑(Real.fourierChar (Multiplicative.ofAdd (-⟪x, ξ⟫_ℝ))) • f x)‖ ≤ c * ‖x_1‖} =
    sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x_1 : E), ‖⟪x, x_1⟫_ℝ • ((2 * π) • f) x‖ ≤ c * ‖x_1‖}

State before:
case this
E' : Type ?u.618588
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
ξ x : E
⊢ sInf
      {c |
        0 ≤ c ∧
          ∀ (x_1 : E),
            ‖-((2 * ↑π * I) • ⟪x, x_1⟫_ℝ • ↑(Real.fourierChar (Multiplicative.ofAdd (-⟪x, ξ⟫_ℝ))) • f x)‖ ≤ c * ‖x_1‖} =
    sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x_1 : E), ‖⟪x, x_1⟫_ℝ • ((2 * π) • f) x‖ ≤ c * ‖x_1‖}
Tactic:
simp
State after:
case this
E' : Type ?u.618588
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
ξ x : E
⊢ sInf
      {c |
        0 ≤ c ∧
          ∀ (x_1 : E),
            ‖(2 * ↑π * I) • ⟪x, x_1⟫_ℝ • ↑(Real.fourierChar (Multiplicative.ofAdd (-⟪x, ξ⟫_ℝ))) • f x‖ ≤ c * ‖x_1‖} =
    sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x_1 : E), ‖⟪x, x_1⟫_ℝ • (2 * π) • f x‖ ≤ c * ‖x_1‖}

State before:
case this
E' : Type ?u.618588
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
ξ x : E
⊢ sInf
      {c |
        0 ≤ c ∧
          ∀ (x_1 : E),
            ‖(2 * ↑π * I) • ⟪x, x_1⟫_ℝ • ↑(Real.fourierChar (Multiplicative.ofAdd (-⟪x, ξ⟫_ℝ))) • f x‖ ≤ c * ‖x_1‖} =
    sInf {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x_1 : E), ‖⟪x, x_1⟫_ℝ • (2 * π) • f x‖ ≤ c * ‖x_1‖}
Tactic:
congr
State after:
case this.e_a
E' : Type ?u.618588
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
ξ x : E
⊢ {c |
      0 ≤ c ∧
        ∀ (x_1 : E),
          ‖(2 * ↑π * I) • ⟪x, x_1⟫_ℝ • ↑(Real.fourierChar (Multiplicative.ofAdd (-⟪x, ξ⟫_ℝ))) • f x‖ ≤ c * ‖x_1‖} =
    {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x_1 : E), ‖⟪x, x_1⟫_ℝ • (2 * π) • f x‖ ≤ c * ‖x_1‖}

State before:
case this.e_a
E' : Type ?u.618588
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
ξ x : E
⊢ {c |
      0 ≤ c ∧
        ∀ (x_1 : E),
          ‖(2 * ↑π * I) • ⟪x, x_1⟫_ℝ • ↑(Real.fourierChar (Multiplicative.ofAdd (-⟪x, ξ⟫_ℝ))) • f x‖ ≤ c * ‖x_1‖} =
    {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x_1 : E), ‖⟪x, x_1⟫_ℝ • (2 * π) • f x‖ ≤ c * ‖x_1‖}
Tactic:
ext r
State after:
case this.e_a.h
E' : Type ?u.618588
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
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inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
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inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
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inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
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ξ x : E
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⊢ r ∈
      {c |
        0 ≤ c ∧
          ∀ (x_1 : E),
            ‖(2 * ↑π * I) • ⟪x, x_1⟫_ℝ • ↑(Real.fourierChar (Multiplicative.ofAdd (-⟪x, ξ⟫_ℝ))) • f x‖ ≤ c * ‖x_1‖} ↔
    r ∈ {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x_1 : E), ‖⟪x, x_1⟫_ℝ • (2 * π) • f x‖ ≤ c * ‖x_1‖}

State before:
case this.e_a.h
E' : Type ?u.618588
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
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M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
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inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
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inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
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inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
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ξ x : E
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⊢ r ∈
      {c |
        0 ≤ c ∧
          ∀ (x_1 : E),
            ‖(2 * ↑π * I) • ⟪x, x_1⟫_ℝ • ↑(Real.fourierChar (Multiplicative.ofAdd (-⟪x, ξ⟫_ℝ))) • f x‖ ≤ c * ‖x_1‖} ↔
    r ∈ {c | 0 ≤ c ∧ ∀ (x_1 : E), ‖⟪x, x_1⟫_ℝ • (2 * π) • f x‖ ≤ c * ‖x_1‖}
Tactic:
simp
State after:
case this.e_a.h
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    ((∀ (x_1 : E),
        ‖(2 * ↑π * I) • ⟪x, x_1⟫_ℝ • ↑(Real.fourierChar (Multiplicative.ofAdd (-⟪x, ξ⟫_ℝ))) • f x‖ ≤ r * ‖x_1‖) ↔
      ∀ (x_1 : E), ‖⟪x, x_1⟫_ℝ • (2 * π) • f x‖ ≤ r * ‖x_1‖)

State before:
case this.e_a.h
E' : Type ?u.618588
ι : Type u_1
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ξ x : E
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    ((∀ (x_1 : E),
        ‖(2 * ↑π * I) • ⟪x, x_1⟫_ℝ • ↑(Real.fourierChar (Multiplicative.ofAdd (-⟪x, ξ⟫_ℝ))) • f x‖ ≤ r * ‖x_1‖) ↔
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Tactic:
intro _
State after:
case this.e_a.h
E' : Type ?u.618588
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M : ι → Type u_5
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G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
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inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
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inst✝¹ : BorelSpace E'
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f : 𝓢(E, F)
ξ x : E
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⊢ (∀ (x_1 : E),
      ‖(2 * ↑π * I) • ⟪x, x_1⟫_ℝ • ↑(Real.fourierChar (Multiplicative.ofAdd (-⟪x, ξ⟫_ℝ))) • f x‖ ≤ r * ‖x_1‖) ↔
    ∀ (x_1 : E), ‖⟪x, x_1⟫_ℝ • (2 * π) • f x‖ ≤ r * ‖x_1‖

State before:
case this.e_a.h
E' : Type ?u.618588
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R : Type u_4
M : ι → Type u_5
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F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
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inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
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inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
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      ‖(2 * ↑π * I) • ⟪x, x_1⟫_ℝ • ↑(Real.fourierChar (Multiplicative.ofAdd (-⟪x, ξ⟫_ℝ))) • f x‖ ≤ r * ‖x_1‖) ↔
    ∀ (x_1 : E), ‖⟪x, x_1⟫_ℝ • (2 * π) • f x‖ ≤ r * ‖x_1‖
Tactic:
refine forall_congr' ?_
State after:
case this.e_a.h
E' : Type ?u.618588
ι : Type u_1
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R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
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F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
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inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
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inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
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inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
ξ x : E
r : ℝ
a✝ : 0 ≤ r
⊢ ∀ (a : E),
    ‖(2 * ↑π * I) • ⟪x, a⟫_ℝ • ↑(Real.fourierChar (Multiplicative.ofAdd (-⟪x, ξ⟫_ℝ))) • f x‖ ≤ r * ‖a‖ ↔
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State before:
case this.e_a.h
E' : Type ?u.618588
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
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F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
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inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
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inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
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inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
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inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
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inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
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inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
ξ x : E
r : ℝ
a✝ : 0 ≤ r
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    ‖(2 * ↑π * I) • ⟪x, a⟫_ℝ • ↑(Real.fourierChar (Multiplicative.ofAdd (-⟪x, ξ⟫_ℝ))) • f x‖ ≤ r * ‖a‖ ↔
      ‖⟪x, a⟫_ℝ • (2 * π) • f x‖ ≤ r * ‖a‖
Tactic:
intro u
State after:
case this.e_a.h
E' : Type ?u.618588
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
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inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
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State before:
case this.e_a.h
E' : Type ?u.618588
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
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inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
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Tactic:
simp [norm_smul]
State after:
case this.e_a.h
E' : Type ?u.618588
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
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inst✝ : CompleteSpace F
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⊢ 2 * |π| * (|⟪x, u⟫_ℝ| * ‖f x‖) ≤ r * ‖u‖ ↔ |⟪x, u⟫_ℝ| * (2 * |π| * ‖f x‖) ≤ r * ‖u‖

State before:
case this.e_a.h
E' : Type ?u.618588
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
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inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
ξ x : E
r : ℝ
a✝ : 0 ≤ r
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⊢ 2 * |π| * (|⟪x, u⟫_ℝ| * ‖f x‖) ≤ r * ‖u‖ ↔ |⟪x, u⟫_ℝ| * (2 * |π| * ‖f x‖) ≤ r * ‖u‖
Tactic:
ring_nf
State after:
no goals

State before:
E' : Type ?u.618588
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
𝕜' : Type u_3
R : Type u_4
M : ι → Type u_5
D : Type u_6
E : Type u_7
F : Type u_8
G : Type u_9
inst✝²² : DecidableEq ι
inst✝²¹ : Fintype ι
inst✝²⁰ : NontriviallyNormedField 𝕜
inst✝¹⁹ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝¹⁸ : (i : ι) → NormedSpace ℝ (M i)
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup D
inst✝¹⁶ : NormedSpace ℝ D
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹⁴ : InnerProductSpace ℝ E
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E'
inst✝¹² : InnerProductSpace ℝ E'
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℂ F
inst✝⁹ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup G
inst✝⁷ : NormedSpace ℝ G
inst✝⁶ : MeasurableSpace E
inst✝⁵ : FiniteDimensional ℝ E
inst✝⁴ : BorelSpace E
inst✝³ : MeasurableSpace E'
inst✝² : FiniteDimensional ℝ E'
inst✝¹ : BorelSpace E'
inst✝ : CompleteSpace F
f : 𝓢(E, F)
ξ x : E
this : ‖((fderivVectorFourierIntegrandCLM ξ) f) x‖ = ‖(innerSL_smul ((2 * π) • f)) x‖
⊢ ‖((fderivVectorFourierIntegrandCLM ξ) f) x‖ = 2 * π * ‖(innerSL_smul f) x‖
Tactic:
simpa [norm_smul, _root_.abs_of_nonneg Real.pi_pos.le] using this
State after:
no goals