Theorem: Matrix.colBasis_iff_colBasis_compl_of_orth (Matroid/ForMathlib/LinearAlgebra/Matrix/Rowspace.lean)

State before:
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
m' : Type u_3
n✝ : Type u_4
n' : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
o : Type u_8
α : Type u_9
R✝ : Type u_10
A✝¹ B✝ : Matrix m✝ n✝ R✝
s✝ : Set m✝
t✝¹ : Set n✝
m : Type u_11
n : Type u_12
R : Type u_13
s : Set m
t✝ : Set n
A✝ B : Matrix m n R
K : Type u_14
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype n
m₁ : Type u_15
m₂ : Type u_16
inst✝¹ : Fintype m₁
inst✝ : Fintype m₂
A : Matrix m n K
A₁ : Matrix m₁ n K
A₂ : Matrix m₂ n K
t : Set n
h : A₁.rowSpace = A₂.nullSpace
⊢ A₁.ColBasis t ↔ A₂.ColBasis tᶜ
Tactic:
obtain ⟨b₁, hb₁⟩ := A₁.exists_rowBasis
State after:
case intro
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
m' : Type u_3
n✝ : Type u_4
n' : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
o : Type u_8
α : Type u_9
R✝ : Type u_10
A✝¹ B✝ : Matrix m✝ n✝ R✝
s✝ : Set m✝
t✝¹ : Set n✝
m : Type u_11
n : Type u_12
R : Type u_13
s : Set m
t✝ : Set n
A✝ B : Matrix m n R
K : Type u_14
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype n
m₁ : Type u_15
m₂ : Type u_16
inst✝¹ : Fintype m₁
inst✝ : Fintype m₂
A : Matrix m n K
A₁ : Matrix m₁ n K
A₂ : Matrix m₂ n K
t : Set n
h : A₁.rowSpace = A₂.nullSpace
b₁ : Set m₁
hb₁ : A₁.RowBasis b₁
⊢ A₁.ColBasis t ↔ A₂.ColBasis tᶜ

State before:
case intro
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
m' : Type u_3
n✝ : Type u_4
n' : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
o : Type u_8
α : Type u_9
R✝ : Type u_10
A✝¹ B✝ : Matrix m✝ n✝ R✝
s✝ : Set m✝
t✝¹ : Set n✝
m : Type u_11
n : Type u_12
R : Type u_13
s : Set m
t✝ : Set n
A✝ B : Matrix m n R
K : Type u_14
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype n
m₁ : Type u_15
m₂ : Type u_16
inst✝¹ : Fintype m₁
inst✝ : Fintype m₂
A : Matrix m n K
A₁ : Matrix m₁ n K
A₂ : Matrix m₂ n K
t : Set n
h : A₁.rowSpace = A₂.nullSpace
b₁ : Set m₁
hb₁ : A₁.RowBasis b₁
⊢ A₁.ColBasis t ↔ A₂.ColBasis tᶜ
Tactic:
obtain ⟨b₂, hb₂⟩ := A₂.exists_rowBasis
State after:
case intro.intro
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
m' : Type u_3
n✝ : Type u_4
n' : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
o : Type u_8
α : Type u_9
R✝ : Type u_10
A✝¹ B✝ : Matrix m✝ n✝ R✝
s✝ : Set m✝
t✝¹ : Set n✝
m : Type u_11
n : Type u_12
R : Type u_13
s : Set m
t✝ : Set n
A✝ B : Matrix m n R
K : Type u_14
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype n
m₁ : Type u_15
m₂ : Type u_16
inst✝¹ : Fintype m₁
inst✝ : Fintype m₂
A : Matrix m n K
A₁ : Matrix m₁ n K
A₂ : Matrix m₂ n K
t : Set n
h : A₁.rowSpace = A₂.nullSpace
b₁ : Set m₁
hb₁ : A₁.RowBasis b₁
b₂ : Set m₂
hb₂ : A₂.RowBasis b₂
⊢ A₁.ColBasis t ↔ A₂.ColBasis tᶜ

State before:
case intro.intro
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
m' : Type u_3
n✝ : Type u_4
n' : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
o : Type u_8
α : Type u_9
R✝ : Type u_10
A✝¹ B✝ : Matrix m✝ n✝ R✝
s✝ : Set m✝
t✝¹ : Set n✝
m : Type u_11
n : Type u_12
R : Type u_13
s : Set m
t✝ : Set n
A✝ B : Matrix m n R
K : Type u_14
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype n
m₁ : Type u_15
m₂ : Type u_16
inst✝¹ : Fintype m₁
inst✝ : Fintype m₂
A : Matrix m n K
A₁ : Matrix m₁ n K
A₂ : Matrix m₂ n K
t : Set n
h : A₁.rowSpace = A₂.nullSpace
b₁ : Set m₁
hb₁ : A₁.RowBasis b₁
b₂ : Set m₂
hb₂ : A₂.RowBasis b₂
⊢ A₁.ColBasis t ↔ A₂.ColBasis tᶜ
Tactic:
rw [← orthSpace_rowSpace_eq_nullSpace, ← hb₁.rowSpace_eq, ← hb₂.rowSpace_eq] at h
State after:
case intro.intro
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
m' : Type u_3
n✝ : Type u_4
n' : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
o : Type u_8
α : Type u_9
R✝ : Type u_10
A✝¹ B✝ : Matrix m✝ n✝ R✝
s✝ : Set m✝
t✝¹ : Set n✝
m : Type u_11
n : Type u_12
R : Type u_13
s : Set m
t✝ : Set n
A✝ B : Matrix m n R
K : Type u_14
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype n
m₁ : Type u_15
m₂ : Type u_16
inst✝¹ : Fintype m₁
inst✝ : Fintype m₂
A : Matrix m n K
A₁ : Matrix m₁ n K
A₂ : Matrix m₂ n K
t : Set n
b₁ : Set m₁
hb₁ : A₁.RowBasis b₁
b₂ : Set m₂
h : (A₁.rowSubmatrix b₁).rowSpace = (A₂.rowSubmatrix b₂).rowSpace.orthSpace
hb₂ : A₂.RowBasis b₂
⊢ A₁.ColBasis t ↔ A₂.ColBasis tᶜ

State before:
case intro.intro
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
m' : Type u_3
n✝ : Type u_4
n' : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
o : Type u_8
α : Type u_9
R✝ : Type u_10
A✝¹ B✝ : Matrix m✝ n✝ R✝
s✝ : Set m✝
t✝¹ : Set n✝
m : Type u_11
n : Type u_12
R : Type u_13
s : Set m
t✝ : Set n
A✝ B : Matrix m n R
K : Type u_14
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype n
m₁ : Type u_15
m₂ : Type u_16
inst✝¹ : Fintype m₁
inst✝ : Fintype m₂
A : Matrix m n K
A₁ : Matrix m₁ n K
A₂ : Matrix m₂ n K
t : Set n
b₁ : Set m₁
hb₁ : A₁.RowBasis b₁
b₂ : Set m₂
h : (A₁.rowSubmatrix b₁).rowSpace = (A₂.rowSubmatrix b₂).rowSpace.orthSpace
hb₂ : A₂.RowBasis b₂
⊢ A₁.ColBasis t ↔ A₂.ColBasis tᶜ
Tactic:
rw [← hb₁.colBases_eq, ← hb₂.colBases_eq]
State after:
case intro.intro
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
m' : Type u_3
n✝ : Type u_4
n' : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
o : Type u_8
α : Type u_9
R✝ : Type u_10
A✝¹ B✝ : Matrix m✝ n✝ R✝
s✝ : Set m✝
t✝¹ : Set n✝
m : Type u_11
n : Type u_12
R : Type u_13
s : Set m
t✝ : Set n
A✝ B : Matrix m n R
K : Type u_14
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype n
m₁ : Type u_15
m₂ : Type u_16
inst✝¹ : Fintype m₁
inst✝ : Fintype m₂
A : Matrix m n K
A₁ : Matrix m₁ n K
A₂ : Matrix m₂ n K
t : Set n
b₁ : Set m₁
hb₁ : A₁.RowBasis b₁
b₂ : Set m₂
h : (A₁.rowSubmatrix b₁).rowSpace = (A₂.rowSubmatrix b₂).rowSpace.orthSpace
hb₂ : A₂.RowBasis b₂
⊢ (A₁.rowSubmatrix b₁).ColBasis t ↔ (A₂.rowSubmatrix b₂).ColBasis tᶜ

State before:
case intro.intro
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
m' : Type u_3
n✝ : Type u_4
n' : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
o : Type u_8
α : Type u_9
R✝ : Type u_10
A✝¹ B✝ : Matrix m✝ n✝ R✝
s✝ : Set m✝
t✝¹ : Set n✝
m : Type u_11
n : Type u_12
R : Type u_13
s : Set m
t✝ : Set n
A✝ B : Matrix m n R
K : Type u_14
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype n
m₁ : Type u_15
m₂ : Type u_16
inst✝¹ : Fintype m₁
inst✝ : Fintype m₂
A : Matrix m n K
A₁ : Matrix m₁ n K
A₂ : Matrix m₂ n K
t : Set n
b₁ : Set m₁
hb₁ : A₁.RowBasis b₁
b₂ : Set m₂
h : (A₁.rowSubmatrix b₁).rowSpace = (A₂.rowSubmatrix b₂).rowSpace.orthSpace
hb₂ : A₂.RowBasis b₂
⊢ (A₁.rowSubmatrix b₁).ColBasis t ↔ (A₂.rowSubmatrix b₂).ColBasis tᶜ
Tactic:
have _ := hb₁.finite.fintype
State after:
case intro.intro
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
m' : Type u_3
n✝ : Type u_4
n' : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
o : Type u_8
α : Type u_9
R✝ : Type u_10
A✝¹ B✝ : Matrix m✝ n✝ R✝
s✝ : Set m✝
t✝¹ : Set n✝
m : Type u_11
n : Type u_12
R : Type u_13
s : Set m
t✝ : Set n
A✝ B : Matrix m n R
K : Type u_14
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype n
m₁ : Type u_15
m₂ : Type u_16
inst✝¹ : Fintype m₁
inst✝ : Fintype m₂
A : Matrix m n K
A₁ : Matrix m₁ n K
A₂ : Matrix m₂ n K
t : Set n
b₁ : Set m₁
hb₁ : A₁.RowBasis b₁
b₂ : Set m₂
h : (A₁.rowSubmatrix b₁).rowSpace = (A₂.rowSubmatrix b₂).rowSpace.orthSpace
hb₂ : A₂.RowBasis b₂
x✝ : Fintype ↑b₁
⊢ (A₁.rowSubmatrix b₁).ColBasis t ↔ (A₂.rowSubmatrix b₂).ColBasis tᶜ

State before:
case intro.intro
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
m' : Type u_3
n✝ : Type u_4
n' : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
o : Type u_8
α : Type u_9
R✝ : Type u_10
A✝¹ B✝ : Matrix m✝ n✝ R✝
s✝ : Set m✝
t✝¹ : Set n✝
m : Type u_11
n : Type u_12
R : Type u_13
s : Set m
t✝ : Set n
A✝ B : Matrix m n R
K : Type u_14
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype n
m₁ : Type u_15
m₂ : Type u_16
inst✝¹ : Fintype m₁
inst✝ : Fintype m₂
A : Matrix m n K
A₁ : Matrix m₁ n K
A₂ : Matrix m₂ n K
t : Set n
b₁ : Set m₁
hb₁ : A₁.RowBasis b₁
b₂ : Set m₂
h : (A₁.rowSubmatrix b₁).rowSpace = (A₂.rowSubmatrix b₂).rowSpace.orthSpace
hb₂ : A₂.RowBasis b₂
x✝ : Fintype ↑b₁
⊢ (A₁.rowSubmatrix b₁).ColBasis t ↔ (A₂.rowSubmatrix b₂).ColBasis tᶜ
Tactic:
have _ := hb₂.finite.fintype
State after:
case intro.intro
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
m' : Type u_3
n✝ : Type u_4
n' : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
o : Type u_8
α : Type u_9
R✝ : Type u_10
A✝¹ B✝ : Matrix m✝ n✝ R✝
s✝ : Set m✝
t✝¹ : Set n✝
m : Type u_11
n : Type u_12
R : Type u_13
s : Set m
t✝ : Set n
A✝ B : Matrix m n R
K : Type u_14
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype n
m₁ : Type u_15
m₂ : Type u_16
inst✝¹ : Fintype m₁
inst✝ : Fintype m₂
A : Matrix m n K
A₁ : Matrix m₁ n K
A₂ : Matrix m₂ n K
t : Set n
b₁ : Set m₁
hb₁ : A₁.RowBasis b₁
b₂ : Set m₂
h : (A₁.rowSubmatrix b₁).rowSpace = (A₂.rowSubmatrix b₂).rowSpace.orthSpace
hb₂ : A₂.RowBasis b₂
x✝¹ : Fintype ↑b₁
x✝ : Fintype ↑b₂
⊢ (A₁.rowSubmatrix b₁).ColBasis t ↔ (A₂.rowSubmatrix b₂).ColBasis tᶜ

State before:
case intro.intro
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
m' : Type u_3
n✝ : Type u_4
n' : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
o : Type u_8
α : Type u_9
R✝ : Type u_10
A✝¹ B✝ : Matrix m✝ n✝ R✝
s✝ : Set m✝
t✝¹ : Set n✝
m : Type u_11
n : Type u_12
R : Type u_13
s : Set m
t✝ : Set n
A✝ B : Matrix m n R
K : Type u_14
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype n
m₁ : Type u_15
m₂ : Type u_16
inst✝¹ : Fintype m₁
inst✝ : Fintype m₂
A : Matrix m n K
A₁ : Matrix m₁ n K
A₂ : Matrix m₂ n K
t : Set n
b₁ : Set m₁
hb₁ : A₁.RowBasis b₁
b₂ : Set m₂
h : (A₁.rowSubmatrix b₁).rowSpace = (A₂.rowSubmatrix b₂).rowSpace.orthSpace
hb₂ : A₂.RowBasis b₂
x✝¹ : Fintype ↑b₁
x✝ : Fintype ↑b₂
⊢ (A₁.rowSubmatrix b₁).ColBasis t ↔ (A₂.rowSubmatrix b₂).ColBasis tᶜ
Tactic:
refine ⟨colBasis_iff_aux (by simp [h]) hb₁.linearIndependent hb₂.linearIndependent, fun h' ↦ ?_⟩
State after:
case intro.intro
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
m' : Type u_3
n✝ : Type u_4
n' : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
o : Type u_8
α : Type u_9
R✝ : Type u_10
A✝¹ B✝ : Matrix m✝ n✝ R✝
s✝ : Set m✝
t✝¹ : Set n✝
m : Type u_11
n : Type u_12
R : Type u_13
s : Set m
t✝ : Set n
A✝ B : Matrix m n R
K : Type u_14
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype n
m₁ : Type u_15
m₂ : Type u_16
inst✝¹ : Fintype m₁
inst✝ : Fintype m₂
A : Matrix m n K
A₁ : Matrix m₁ n K
A₂ : Matrix m₂ n K
t : Set n
b₁ : Set m₁
hb₁ : A₁.RowBasis b₁
b₂ : Set m₂
h : (A₁.rowSubmatrix b₁).rowSpace = (A₂.rowSubmatrix b₂).rowSpace.orthSpace
hb₂ : A₂.RowBasis b₂
x✝¹ : Fintype ↑b₁
x✝ : Fintype ↑b₂
h' : (A₂.rowSubmatrix b₂).ColBasis tᶜ
⊢ (A₁.rowSubmatrix b₁).ColBasis t

State before:
case intro.intro
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
m' : Type u_3
n✝ : Type u_4
n' : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
o : Type u_8
α : Type u_9
R✝ : Type u_10
A✝¹ B✝ : Matrix m✝ n✝ R✝
s✝ : Set m✝
t✝¹ : Set n✝
m : Type u_11
n : Type u_12
R : Type u_13
s : Set m
t✝ : Set n
A✝ B : Matrix m n R
K : Type u_14
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype n
m₁ : Type u_15
m₂ : Type u_16
inst✝¹ : Fintype m₁
inst✝ : Fintype m₂
A : Matrix m n K
A₁ : Matrix m₁ n K
A₂ : Matrix m₂ n K
t : Set n
b₁ : Set m₁
hb₁ : A₁.RowBasis b₁
b₂ : Set m₂
h : (A₁.rowSubmatrix b₁).rowSpace = (A₂.rowSubmatrix b₂).rowSpace.orthSpace
hb₂ : A₂.RowBasis b₂
x✝¹ : Fintype ↑b₁
x✝ : Fintype ↑b₂
h' : (A₂.rowSubmatrix b₂).ColBasis tᶜ
⊢ (A₁.rowSubmatrix b₁).ColBasis t
Tactic:
rw [← compl_compl t]
State after:
case intro.intro
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
m' : Type u_3
n✝ : Type u_4
n' : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
o : Type u_8
α : Type u_9
R✝ : Type u_10
A✝¹ B✝ : Matrix m✝ n✝ R✝
s✝ : Set m✝
t✝¹ : Set n✝
m : Type u_11
n : Type u_12
R : Type u_13
s : Set m
t✝ : Set n
A✝ B : Matrix m n R
K : Type u_14
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype n
m₁ : Type u_15
m₂ : Type u_16
inst✝¹ : Fintype m₁
inst✝ : Fintype m₂
A : Matrix m n K
A₁ : Matrix m₁ n K
A₂ : Matrix m₂ n K
t : Set n
b₁ : Set m₁
hb₁ : A₁.RowBasis b₁
b₂ : Set m₂
h : (A₁.rowSubmatrix b₁).rowSpace = (A₂.rowSubmatrix b₂).rowSpace.orthSpace
hb₂ : A₂.RowBasis b₂
x✝¹ : Fintype ↑b₁
x✝ : Fintype ↑b₂
h' : (A₂.rowSubmatrix b₂).ColBasis tᶜ
⊢ (A₁.rowSubmatrix b₁).ColBasis tᶜᶜ

State before:
case intro.intro
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
m' : Type u_3
n✝ : Type u_4
n' : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
o : Type u_8
α : Type u_9
R✝ : Type u_10
A✝¹ B✝ : Matrix m✝ n✝ R✝
s✝ : Set m✝
t✝¹ : Set n✝
m : Type u_11
n : Type u_12
R : Type u_13
s : Set m
t✝ : Set n
A✝ B : Matrix m n R
K : Type u_14
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype n
m₁ : Type u_15
m₂ : Type u_16
inst✝¹ : Fintype m₁
inst✝ : Fintype m₂
A : Matrix m n K
A₁ : Matrix m₁ n K
A₂ : Matrix m₂ n K
t : Set n
b₁ : Set m₁
hb₁ : A₁.RowBasis b₁
b₂ : Set m₂
h : (A₁.rowSubmatrix b₁).rowSpace = (A₂.rowSubmatrix b₂).rowSpace.orthSpace
hb₂ : A₂.RowBasis b₂
x✝¹ : Fintype ↑b₁
x✝ : Fintype ↑b₂
h' : (A₂.rowSubmatrix b₂).ColBasis tᶜ
⊢ (A₁.rowSubmatrix b₁).ColBasis tᶜᶜ
Tactic:
refine colBasis_iff_aux ?_ hb₂.linearIndependent hb₁.linearIndependent h'
State after:
case intro.intro
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
m' : Type u_3
n✝ : Type u_4
n' : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
o : Type u_8
α : Type u_9
R✝ : Type u_10
A✝¹ B✝ : Matrix m✝ n✝ R✝
s✝ : Set m✝
t✝¹ : Set n✝
m : Type u_11
n : Type u_12
R : Type u_13
s : Set m
t✝ : Set n
A✝ B : Matrix m n R
K : Type u_14
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype n
m₁ : Type u_15
m₂ : Type u_16
inst✝¹ : Fintype m₁
inst✝ : Fintype m₂
A : Matrix m n K
A₁ : Matrix m₁ n K
A₂ : Matrix m₂ n K
t : Set n
b₁ : Set m₁
hb₁ : A₁.RowBasis b₁
b₂ : Set m₂
h : (A₁.rowSubmatrix b₁).rowSpace = (A₂.rowSubmatrix b₂).rowSpace.orthSpace
hb₂ : A₂.RowBasis b₂
x✝¹ : Fintype ↑b₁
x✝ : Fintype ↑b₂
h' : (A₂.rowSubmatrix b₂).ColBasis tᶜ
⊢ (A₂.rowSubmatrix b₂).rowSpace = (A₁.rowSubmatrix b₁).nullSpace

State before:
case intro.intro
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
m' : Type u_3
n✝ : Type u_4
n' : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
o : Type u_8
α : Type u_9
R✝ : Type u_10
A✝¹ B✝ : Matrix m✝ n✝ R✝
s✝ : Set m✝
t✝¹ : Set n✝
m : Type u_11
n : Type u_12
R : Type u_13
s : Set m
t✝ : Set n
A✝ B : Matrix m n R
K : Type u_14
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype n
m₁ : Type u_15
m₂ : Type u_16
inst✝¹ : Fintype m₁
inst✝ : Fintype m₂
A : Matrix m n K
A₁ : Matrix m₁ n K
A₂ : Matrix m₂ n K
t : Set n
b₁ : Set m₁
hb₁ : A₁.RowBasis b₁
b₂ : Set m₂
h : (A₁.rowSubmatrix b₁).rowSpace = (A₂.rowSubmatrix b₂).rowSpace.orthSpace
hb₂ : A₂.RowBasis b₂
x✝¹ : Fintype ↑b₁
x✝ : Fintype ↑b₂
h' : (A₂.rowSubmatrix b₂).ColBasis tᶜ
⊢ (A₂.rowSubmatrix b₂).rowSpace = (A₁.rowSubmatrix b₁).nullSpace
Tactic:
rw [← orthSpace_rowSpace_eq_nullSpace, h, orthSpace_orthSpace]
State after:
no goals

State before:
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
m' : Type u_3
n✝ : Type u_4
n' : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
o : Type u_8
α : Type u_9
R✝ : Type u_10
A✝¹ B✝ : Matrix m✝ n✝ R✝
s✝ : Set m✝
t✝¹ : Set n✝
m : Type u_11
n : Type u_12
R : Type u_13
s : Set m
t✝ : Set n
A✝ B : Matrix m n R
K : Type u_14
inst✝³ : Field K
inst✝² : Fintype n
m₁ : Type u_15
m₂ : Type u_16
inst✝¹ : Fintype m₁
inst✝ : Fintype m₂
A : Matrix m n K
A₁ : Matrix m₁ n K
A₂ : Matrix m₂ n K
t : Set n
b₁ : Set m₁
hb₁ : A₁.RowBasis b₁
b₂ : Set m₂
h : (A₁.rowSubmatrix b₁).rowSpace = (A₂.rowSubmatrix b₂).rowSpace.orthSpace
hb₂ : A₂.RowBasis b₂
x✝¹ : Fintype ↑b₁
x✝ : Fintype ↑b₂
⊢ (A₁.rowSubmatrix b₁).rowSpace = (A₂.rowSubmatrix b₂).nullSpace
Tactic:
simp [h]
State after:
no goals