Theorem: SciLean.FwdFDeriv.ite.arg_te.fwdFDeriv_rule (SciLean/Core/FunctionTransformations/FwdFDeriv.lean)

State before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
dec : Decidable c
t e : X → Y
⊢ (fwdFDeriv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y
Tactic:
induction dec
State after:
case isFalse
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h✝ : ¬c
⊢ (fwdFDeriv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y

case isTrue
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h✝ : c
⊢ (fwdFDeriv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y

State before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
⊢ (fwdFDeriv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y
Tactic:
case isTrue h  => ext y; simp[h]; simp[h]
State after:
no goals

State before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
⊢ (fwdFDeriv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y
Tactic:
case isFalse h => ext y; simp[h]; simp[h]
State after:
no goals

State before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
⊢ (fwdFDeriv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y
Tactic:
ext y
State after:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).1 = ((if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y) x✝).1

case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).2 = ((if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y) x✝).2

State before:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).1 = ((if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y) x✝).1

case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).2 = ((if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y) x✝).2
Tactic:
simp[h]
State after:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).2 = ((if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y) x✝).2

State before:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).2 = ((if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y) x✝).2
Tactic:
simp[h]
State after:
no goals

State before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
⊢ (fwdFDeriv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y
Tactic:
ext y
State after:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).1 = ((if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y) x✝).1

case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).2 = ((if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y) x✝).2

State before:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).1 = ((if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y) x✝).1

case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).2 = ((if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y) x✝).2
Tactic:
simp[h]
State after:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).2 = ((if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y) x✝).2

State before:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.200246
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.200381
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.200389
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ (fwdFDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).2 = ((if c then fwdFDeriv K t y else fwdFDeriv K e y) x✝).2
Tactic:
simp[h]
State after:
no goals