Theorem: Lean4Lean.VEnv.IsDefEq.instN (Lean4Lean/Theory/Typing/Lemmas.lean)

State before:
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
k : Nat
Γ₁ Γ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
W : Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ₁ Γ
H : IsDefEq env U Γ₁ e1 e2 A
⊢ IsDefEq env U Γ (inst e1 e₀ k) (inst e2 e₀ k) (inst A e₀ k)
Tactic:
induction H generalizing Γ k with
| @bvar _ i ty h =>
  dsimp [inst]
  induction W generalizing i ty with
  | zero =>
    cases h with simp [inst_lift]
    | zero => exact h₀
    | succ h => exact .bvar h
  | succ _ ih =>
    cases h with (simp; rw [Nat.add_comm, ← VExpr.liftN_instN_lo (hj := Nat.zero_le _)])
    | zero => exact .bvar .zero
    | succ h => exact (ih h).weak henv
| symm _ ih => exact .symm (ih W)
| trans _ _ ih1 ih2 => exact .trans (ih1 W) (ih2 W)
| sortDF h1 h2 h3 => exact .sortDF h1 h2 h3
| constDF h1 h2 h3 h4 h5 =>
  rw [(henv.closedC h1).instL.instN_eq (Nat.zero_le _)]
  exact .constDF h1 h2 h3 h4 h5
| appDF _ _ ih1 ih2 => exact VExpr.inst_inst_hi .. ▸ .appDF (ih1 W) (ih2 W)
| lamDF _ _ ih1 ih2 => exact .lamDF (ih1 W) (ih2 W.succ)
| forallEDF _ _ ih1 ih2 => exact .forallEDF (ih1 W) (ih2 W.succ)
| defeqDF _ _ ih1 ih2 => exact .defeqDF (ih1 W) (ih2 W)
| beta _ _ ih1 ih2 =>
  exact VExpr.inst_inst_hi .. ▸ VExpr.inst_inst_hi .. ▸ .beta (ih1 W.succ) (ih2 W)
| eta _ ih =>
  have := IsDefEq.eta (ih W)
  rw [lift, VExpr.liftN_instN_lo (hj := Nat.zero_le _), Nat.add_comm] at this
  simpa [inst]
| proofIrrel _ _ _ ih1 ih2 ih3 => exact .proofIrrel (ih1 W) (ih2 W) (ih3 W)
| extra h1 h2 h3 =>
  have ⟨⟨hA1, _⟩, hA2, hA3⟩ := henv.closed.2 h1
  rw [
    hA1.instL.instN_eq (Nat.zero_le _),
    hA2.instL.instN_eq (Nat.zero_le _),
    hA3.instL.instN_eq (Nat.zero_le _)]
  exact .extra h1 h2 h3
State after:
no goals

State before:
case bvar
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
i : Nat
ty : VExpr
h : Lookup Γ✝ i ty
k : Nat
Γ : List VExpr
W : Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ
⊢ IsDefEq env U Γ (inst (VExpr.bvar i) e₀ k) (inst (VExpr.bvar i) e₀ k) (inst ty e₀ k)
Tactic:
dsimp [inst]
State after:
case bvar
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
i : Nat
ty : VExpr
h : Lookup Γ✝ i ty
k : Nat
Γ : List VExpr
W : Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ
⊢ IsDefEq env U Γ (instVar i e₀ k) (instVar i e₀ k) (inst ty e₀ k)

State before:
case bvar
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
i : Nat
ty : VExpr
h : Lookup Γ✝ i ty
k : Nat
Γ : List VExpr
W : Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ
⊢ IsDefEq env U Γ (instVar i e₀ k) (instVar i e₀ k) (inst ty e₀ k)
Tactic:
induction W generalizing i ty with
| zero =>
  cases h with simp [inst_lift]
  | zero => exact h₀
  | succ h => exact .bvar h
| succ _ ih =>
  cases h with (simp; rw [Nat.add_comm, ← VExpr.liftN_instN_lo (hj := Nat.zero_le _)])
  | zero => exact .bvar .zero
  | succ h => exact (ih h).weak henv
State after:
no goals

State before:
case bvar.zero
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
k : Nat
Γ : List VExpr
i : Nat
ty : VExpr
h : Lookup (A₀ :: Γ₀) i ty
⊢ IsDefEq env U Γ₀ (instVar i e₀) (instVar i e₀) (inst ty e₀)
Tactic:
cases h with simp [inst_lift]
| zero => exact h₀
| succ h => exact .bvar h
State after:
no goals

State before:
case bvar.zero.zero
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
k : Nat
Γ : List VExpr
⊢ IsDefEq env U Γ₀ e₀ e₀ A₀
Tactic:
exact h₀
State after:
no goals

State before:
case bvar.zero.succ
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
k : Nat
Γ : List VExpr
n✝ : Nat
ty✝ : VExpr
h : Lookup Γ₀ n✝ ty✝
⊢ IsDefEq env U Γ₀ (VExpr.bvar n✝) (VExpr.bvar n✝) ty✝
Tactic:
exact .bvar h
State after:
no goals

State before:
case bvar.succ
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝¹ : List VExpr
k : Nat
Γ : List VExpr
k✝ : Nat
Γ✝ Γ'✝ : List VExpr
A✝ : VExpr
a✝ : Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k✝ Γ✝ Γ'✝
ih : ∀ {i : Nat} {ty : VExpr}, Lookup Γ✝ i ty → IsDefEq env U Γ'✝ (instVar i e₀ k✝) (instVar i e₀ k✝) (inst ty e₀ k✝)
i : Nat
ty : VExpr
h : Lookup (A✝ :: Γ✝) i ty
⊢ IsDefEq env U (inst A✝ e₀ k✝ :: Γ'✝) (instVar i e₀ (k✝ + 1)) (instVar i e₀ (k✝ + 1)) (inst ty e₀ (k✝ + 1))
Tactic:
cases h with (simp; rw [Nat.add_comm, ← VExpr.liftN_instN_lo (hj := Nat.zero_le _)])
| zero => exact .bvar .zero
| succ h => exact (ih h).weak henv
State after:
no goals

State before:
case bvar.succ.succ
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝¹ : List VExpr
k : Nat
Γ : List VExpr
k✝ : Nat
Γ✝ Γ'✝ : List VExpr
A✝ : VExpr
a✝ : Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k✝ Γ✝ Γ'✝
ih : ∀ {i : Nat} {ty : VExpr}, Lookup Γ✝ i ty → IsDefEq env U Γ'✝ (instVar i e₀ k✝) (instVar i e₀ k✝) (inst ty e₀ k✝)
n✝ : Nat
ty✝ : VExpr
h : Lookup Γ✝ n✝ ty✝
⊢ IsDefEq env U (inst A✝ e₀ k✝ :: Γ'✝) (instVar (n✝ + 1) e₀ (k✝ + 1)) (instVar (n✝ + 1) e₀ (k✝ + 1))
    (inst (lift ty✝) e₀ (k✝ + 1))
Tactic:
simp
State after:
case bvar.succ.succ
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝¹ : List VExpr
k : Nat
Γ : List VExpr
k✝ : Nat
Γ✝ Γ'✝ : List VExpr
A✝ : VExpr
a✝ : Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k✝ Γ✝ Γ'✝
ih : ∀ {i : Nat} {ty : VExpr}, Lookup Γ✝ i ty → IsDefEq env U Γ'✝ (instVar i e₀ k✝) (instVar i e₀ k✝) (inst ty e₀ k✝)
n✝ : Nat
ty✝ : VExpr
h : Lookup Γ✝ n✝ ty✝
⊢ IsDefEq env U (inst A✝ e₀ k✝ :: Γ'✝) (lift (instVar n✝ e₀ k✝)) (lift (instVar n✝ e₀ k✝)) (inst (lift ty✝) e₀ (k✝ + 1))

State before:
case bvar.succ.succ
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝¹ : List VExpr
k : Nat
Γ : List VExpr
k✝ : Nat
Γ✝ Γ'✝ : List VExpr
A✝ : VExpr
a✝ : Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k✝ Γ✝ Γ'✝
ih : ∀ {i : Nat} {ty : VExpr}, Lookup Γ✝ i ty → IsDefEq env U Γ'✝ (instVar i e₀ k✝) (instVar i e₀ k✝) (inst ty e₀ k✝)
n✝ : Nat
ty✝ : VExpr
h : Lookup Γ✝ n✝ ty✝
⊢ IsDefEq env U (inst A✝ e₀ k✝ :: Γ'✝) (lift (instVar n✝ e₀ k✝)) (lift (instVar n✝ e₀ k✝)) (inst (lift ty✝) e₀ (k✝ + 1))
Tactic:
rw [Nat.add_comm, ← VExpr.liftN_instN_lo (hj := Nat.zero_le _)]
State after:
case bvar.succ.succ
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝¹ : List VExpr
k : Nat
Γ : List VExpr
k✝ : Nat
Γ✝ Γ'✝ : List VExpr
A✝ : VExpr
a✝ : Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k✝ Γ✝ Γ'✝
ih : ∀ {i : Nat} {ty : VExpr}, Lookup Γ✝ i ty → IsDefEq env U Γ'✝ (instVar i e₀ k✝) (instVar i e₀ k✝) (inst ty e₀ k✝)
n✝ : Nat
ty✝ : VExpr
h : Lookup Γ✝ n✝ ty✝
⊢ IsDefEq env U (inst A✝ e₀ k✝ :: Γ'✝) (lift (instVar n✝ e₀ k✝)) (lift (instVar n✝ e₀ k✝)) (liftN 1 (inst ty✝ e₀ k✝))

State before:
case bvar.succ.zero
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝¹ : List VExpr
k : Nat
Γ : List VExpr
k✝ : Nat
Γ✝ Γ'✝ : List VExpr
A✝ : VExpr
a✝ : Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k✝ Γ✝ Γ'✝
ih : ∀ {i : Nat} {ty : VExpr}, Lookup Γ✝ i ty → IsDefEq env U Γ'✝ (instVar i e₀ k✝) (instVar i e₀ k✝) (inst ty e₀ k✝)
⊢ IsDefEq env U (inst A✝ e₀ k✝ :: Γ'✝) (VExpr.bvar 0) (VExpr.bvar 0) (liftN 1 (inst A✝ e₀ k✝))
Tactic:
exact .bvar .zero
State after:
no goals

State before:
case bvar.succ.succ
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝¹ : List VExpr
k : Nat
Γ : List VExpr
k✝ : Nat
Γ✝ Γ'✝ : List VExpr
A✝ : VExpr
a✝ : Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k✝ Γ✝ Γ'✝
ih : ∀ {i : Nat} {ty : VExpr}, Lookup Γ✝ i ty → IsDefEq env U Γ'✝ (instVar i e₀ k✝) (instVar i e₀ k✝) (inst ty e₀ k✝)
n✝ : Nat
ty✝ : VExpr
h : Lookup Γ✝ n✝ ty✝
⊢ IsDefEq env U (inst A✝ e₀ k✝ :: Γ'✝) (lift (instVar n✝ e₀ k✝)) (lift (instVar n✝ e₀ k✝)) (liftN 1 (inst ty✝ e₀ k✝))
Tactic:
exact (ih h).weak henv
State after:
no goals

State before:
case symm
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
e✝ e'✝ A✝ : VExpr
a✝ : IsDefEq env U Γ✝ e✝ e'✝ A✝
ih :
  ∀ {k : Nat} {Γ : List VExpr},
    Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ → IsDefEq env U Γ (inst e✝ e₀ k) (inst e'✝ e₀ k) (inst A✝ e₀ k)
k : Nat
Γ : List VExpr
W : Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ
⊢ IsDefEq env U Γ (inst e'✝ e₀ k) (inst e✝ e₀ k) (inst A✝ e₀ k)
Tactic:
exact .symm (ih W)
State after:
no goals

State before:
case trans
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
e₁✝ e₂✝ A✝ e₃✝ : VExpr
a✝¹ : IsDefEq env U Γ✝ e₁✝ e₂✝ A✝
a✝ : IsDefEq env U Γ✝ e₂✝ e₃✝ A✝
ih1 :
  ∀ {k : Nat} {Γ : List VExpr},
    Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ → IsDefEq env U Γ (inst e₁✝ e₀ k) (inst e₂✝ e₀ k) (inst A✝ e₀ k)
ih2 :
  ∀ {k : Nat} {Γ : List VExpr},
    Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ → IsDefEq env U Γ (inst e₂✝ e₀ k) (inst e₃✝ e₀ k) (inst A✝ e₀ k)
k : Nat
Γ : List VExpr
W : Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ
⊢ IsDefEq env U Γ (inst e₁✝ e₀ k) (inst e₃✝ e₀ k) (inst A✝ e₀ k)
Tactic:
exact .trans (ih1 W) (ih2 W)
State after:
no goals

State before:
case sortDF
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
l✝ l'✝ : VLevel
Γ✝ : List VExpr
h1 : VLevel.WF U l✝
h2 : VLevel.WF U l'✝
h3 : l✝ ≈ l'✝
k : Nat
Γ : List VExpr
W : Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ
⊢ IsDefEq env U Γ (inst (VExpr.sort l✝) e₀ k) (inst (VExpr.sort l'✝) e₀ k) (inst (VExpr.sort (VLevel.succ l✝)) e₀ k)
Tactic:
exact .sortDF h1 h2 h3
State after:
no goals

State before:
case constDF
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
c✝ : Name
ci✝ : VConstant
ls✝ ls'✝ : List VLevel
Γ✝ : List VExpr
h1 : env.constants c✝ = some (some ci✝)
h2 : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls✝ → VLevel.WF U l
h3 : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls'✝ → VLevel.WF U l
h4 : List.length ls✝ = ci✝.uvars
h5 : List.Forall₂ (fun x x_1 => x ≈ x_1) ls✝ ls'✝
k : Nat
Γ : List VExpr
W : Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ
⊢ IsDefEq env U Γ (inst (VExpr.const c✝ ls✝) e₀ k) (inst (VExpr.const c✝ ls'✝) e₀ k)
    (inst (VExpr.instL ls✝ ci✝.type) e₀ k)
Tactic:
rw [(henv.closedC h1).instL.instN_eq (Nat.zero_le _)]
State after:
case constDF
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
c✝ : Name
ci✝ : VConstant
ls✝ ls'✝ : List VLevel
Γ✝ : List VExpr
h1 : env.constants c✝ = some (some ci✝)
h2 : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls✝ → VLevel.WF U l
h3 : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls'✝ → VLevel.WF U l
h4 : List.length ls✝ = ci✝.uvars
h5 : List.Forall₂ (fun x x_1 => x ≈ x_1) ls✝ ls'✝
k : Nat
Γ : List VExpr
W : Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ
⊢ IsDefEq env U Γ (inst (VExpr.const c✝ ls✝) e₀ k) (inst (VExpr.const c✝ ls'✝) e₀ k) (VExpr.instL ls✝ ci✝.type)

State before:
case constDF
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
c✝ : Name
ci✝ : VConstant
ls✝ ls'✝ : List VLevel
Γ✝ : List VExpr
h1 : env.constants c✝ = some (some ci✝)
h2 : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls✝ → VLevel.WF U l
h3 : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls'✝ → VLevel.WF U l
h4 : List.length ls✝ = ci✝.uvars
h5 : List.Forall₂ (fun x x_1 => x ≈ x_1) ls✝ ls'✝
k : Nat
Γ : List VExpr
W : Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ
⊢ IsDefEq env U Γ (inst (VExpr.const c✝ ls✝) e₀ k) (inst (VExpr.const c✝ ls'✝) e₀ k) (VExpr.instL ls✝ ci✝.type)
Tactic:
exact .constDF h1 h2 h3 h4 h5
State after:
no goals

State before:
case appDF
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
f✝ f'✝ A✝ B✝ a✝² a'✝ : VExpr
a✝¹ : IsDefEq env U Γ✝ f✝ f'✝ (VExpr.forallE A✝ B✝)
a✝ : IsDefEq env U Γ✝ a✝² a'✝ A✝
ih1 :
  ∀ {k : Nat} {Γ : List VExpr},
    Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ → IsDefEq env U Γ (inst f✝ e₀ k) (inst f'✝ e₀ k) (inst (VExpr.forallE A✝ B✝) e₀ k)
ih2 :
  ∀ {k : Nat} {Γ : List VExpr},
    Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ → IsDefEq env U Γ (inst a✝² e₀ k) (inst a'✝ e₀ k) (inst A✝ e₀ k)
k : Nat
Γ : List VExpr
W : Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ
⊢ IsDefEq env U Γ (inst (app f✝ a✝²) e₀ k) (inst (app f'✝ a'✝) e₀ k) (inst (inst B✝ a✝²) e₀ k)
Tactic:
exact VExpr.inst_inst_hi .. ▸ .appDF (ih1 W) (ih2 W)
State after:
no goals

State before:
case lamDF
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
A✝ A'✝ : VExpr
u✝ : VLevel
body✝ body'✝ B✝ : VExpr
a✝¹ : IsDefEq env U Γ✝ A✝ A'✝ (VExpr.sort u✝)
a✝ : IsDefEq env U (A✝ :: Γ✝) body✝ body'✝ B✝
ih1 :
  ∀ {k : Nat} {Γ : List VExpr},
    Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ → IsDefEq env U Γ (inst A✝ e₀ k) (inst A'✝ e₀ k) (inst (VExpr.sort u✝) e₀ k)
ih2 :
  ∀ {k : Nat} {Γ : List VExpr},
    Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k (A✝ :: Γ✝) Γ → IsDefEq env U Γ (inst body✝ e₀ k) (inst body'✝ e₀ k) (inst B✝ e₀ k)
k : Nat
Γ : List VExpr
W : Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ
⊢ IsDefEq env U Γ (inst (lam A✝ body✝) e₀ k) (inst (lam A'✝ body'✝) e₀ k) (inst (VExpr.forallE A✝ B✝) e₀ k)
Tactic:
exact .lamDF (ih1 W) (ih2 W.succ)
State after:
no goals

State before:
case forallEDF
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
A✝ A'✝ : VExpr
u✝ : VLevel
body✝ body'✝ : VExpr
v✝ : VLevel
a✝¹ : IsDefEq env U Γ✝ A✝ A'✝ (VExpr.sort u✝)
a✝ : IsDefEq env U (A✝ :: Γ✝) body✝ body'✝ (VExpr.sort v✝)
ih1 :
  ∀ {k : Nat} {Γ : List VExpr},
    Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ → IsDefEq env U Γ (inst A✝ e₀ k) (inst A'✝ e₀ k) (inst (VExpr.sort u✝) e₀ k)
ih2 :
  ∀ {k : Nat} {Γ : List VExpr},
    Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k (A✝ :: Γ✝) Γ → IsDefEq env U Γ (inst body✝ e₀ k) (inst body'✝ e₀ k) (inst (VExpr.sort v✝) e₀ k)
k : Nat
Γ : List VExpr
W : Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ
⊢ IsDefEq env U Γ (inst (VExpr.forallE A✝ body✝) e₀ k) (inst (VExpr.forallE A'✝ body'✝) e₀ k)
    (inst (VExpr.sort (VLevel.imax u✝ v✝)) e₀ k)
Tactic:
exact .forallEDF (ih1 W) (ih2 W.succ)
State after:
no goals

State before:
case defeqDF
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
A✝ B✝ : VExpr
u✝ : VLevel
e1✝ e2✝ : VExpr
a✝¹ : IsDefEq env U Γ✝ A✝ B✝ (VExpr.sort u✝)
a✝ : IsDefEq env U Γ✝ e1✝ e2✝ A✝
ih1 :
  ∀ {k : Nat} {Γ : List VExpr},
    Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ → IsDefEq env U Γ (inst A✝ e₀ k) (inst B✝ e₀ k) (inst (VExpr.sort u✝) e₀ k)
ih2 :
  ∀ {k : Nat} {Γ : List VExpr},
    Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ → IsDefEq env U Γ (inst e1✝ e₀ k) (inst e2✝ e₀ k) (inst A✝ e₀ k)
k : Nat
Γ : List VExpr
W : Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ
⊢ IsDefEq env U Γ (inst e1✝ e₀ k) (inst e2✝ e₀ k) (inst B✝ e₀ k)
Tactic:
exact .defeqDF (ih1 W) (ih2 W)
State after:
no goals

State before:
case beta
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A A✝ : VExpr
Γ✝ : List VExpr
e✝ B✝ e'✝ : VExpr
a✝¹ : IsDefEq env U (A✝ :: Γ✝) e✝ e✝ B✝
a✝ : IsDefEq env U Γ✝ e'✝ e'✝ A✝
ih1 :
  ∀ {k : Nat} {Γ : List VExpr},
    Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k (A✝ :: Γ✝) Γ → IsDefEq env U Γ (inst e✝ e₀ k) (inst e✝ e₀ k) (inst B✝ e₀ k)
ih2 :
  ∀ {k : Nat} {Γ : List VExpr},
    Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ → IsDefEq env U Γ (inst e'✝ e₀ k) (inst e'✝ e₀ k) (inst A✝ e₀ k)
k : Nat
Γ : List VExpr
W : Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ
⊢ IsDefEq env U Γ (inst (app (lam A✝ e✝) e'✝) e₀ k) (inst (inst e✝ e'✝) e₀ k) (inst (inst B✝ e'✝) e₀ k)
Tactic:
exact VExpr.inst_inst_hi .. ▸ VExpr.inst_inst_hi .. ▸ .beta (ih1 W.succ) (ih2 W)
State after:
no goals

State before:
case eta
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
e✝ A✝ B✝ : VExpr
a✝ : IsDefEq env U Γ✝ e✝ e✝ (VExpr.forallE A✝ B✝)
ih :
  ∀ {k : Nat} {Γ : List VExpr},
    Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ → IsDefEq env U Γ (inst e✝ e₀ k) (inst e✝ e₀ k) (inst (VExpr.forallE A✝ B✝) e₀ k)
k : Nat
Γ : List VExpr
W : Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ
⊢ IsDefEq env U Γ (inst (lam A✝ (app (lift e✝) (VExpr.bvar 0))) e₀ k) (inst e✝ e₀ k) (inst (VExpr.forallE A✝ B✝) e₀ k)
Tactic:
have := IsDefEq.eta (ih W)
State after:
case eta
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
e✝ A✝ B✝ : VExpr
a✝ : IsDefEq env U Γ✝ e✝ e✝ (VExpr.forallE A✝ B✝)
ih :
  ∀ {k : Nat} {Γ : List VExpr},
    Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ → IsDefEq env U Γ (inst e✝ e₀ k) (inst e✝ e₀ k) (inst (VExpr.forallE A✝ B✝) e₀ k)
k : Nat
Γ : List VExpr
W : Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ
this :
  IsDefEq env U Γ (lam (inst A✝ e₀ k) (app (lift (inst e✝ e₀ k)) (VExpr.bvar 0))) (inst e✝ e₀ k)
    (VExpr.forallE (inst A✝ e₀ k) (inst B✝ e₀ (k + 1)))
⊢ IsDefEq env U Γ (inst (lam A✝ (app (lift e✝) (VExpr.bvar 0))) e₀ k) (inst e✝ e₀ k) (inst (VExpr.forallE A✝ B✝) e₀ k)

State before:
case eta
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
e✝ A✝ B✝ : VExpr
a✝ : IsDefEq env U Γ✝ e✝ e✝ (VExpr.forallE A✝ B✝)
ih :
  ∀ {k : Nat} {Γ : List VExpr},
    Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ → IsDefEq env U Γ (inst e✝ e₀ k) (inst e✝ e₀ k) (inst (VExpr.forallE A✝ B✝) e₀ k)
k : Nat
Γ : List VExpr
W : Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ
this :
  IsDefEq env U Γ (lam (inst A✝ e₀ k) (app (lift (inst e✝ e₀ k)) (VExpr.bvar 0))) (inst e✝ e₀ k)
    (VExpr.forallE (inst A✝ e₀ k) (inst B✝ e₀ (k + 1)))
⊢ IsDefEq env U Γ (inst (lam A✝ (app (lift e✝) (VExpr.bvar 0))) e₀ k) (inst e✝ e₀ k) (inst (VExpr.forallE A✝ B✝) e₀ k)
Tactic:
rw [lift, VExpr.liftN_instN_lo (hj := Nat.zero_le _), Nat.add_comm] at this
State after:
case eta
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
e✝ A✝ B✝ : VExpr
a✝ : IsDefEq env U Γ✝ e✝ e✝ (VExpr.forallE A✝ B✝)
ih :
  ∀ {k : Nat} {Γ : List VExpr},
    Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ → IsDefEq env U Γ (inst e✝ e₀ k) (inst e✝ e₀ k) (inst (VExpr.forallE A✝ B✝) e₀ k)
k : Nat
Γ : List VExpr
W : Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ
this :
  IsDefEq env U Γ (lam (inst A✝ e₀ k) (app (inst (liftN 1 e✝) e₀ (k + 1)) (VExpr.bvar 0))) (inst e✝ e₀ k)
    (VExpr.forallE (inst A✝ e₀ k) (inst B✝ e₀ (k + 1)))
⊢ IsDefEq env U Γ (inst (lam A✝ (app (lift e✝) (VExpr.bvar 0))) e₀ k) (inst e✝ e₀ k) (inst (VExpr.forallE A✝ B✝) e₀ k)

State before:
case eta
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
e✝ A✝ B✝ : VExpr
a✝ : IsDefEq env U Γ✝ e✝ e✝ (VExpr.forallE A✝ B✝)
ih :
  ∀ {k : Nat} {Γ : List VExpr},
    Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ → IsDefEq env U Γ (inst e✝ e₀ k) (inst e✝ e₀ k) (inst (VExpr.forallE A✝ B✝) e₀ k)
k : Nat
Γ : List VExpr
W : Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ
this :
  IsDefEq env U Γ (lam (inst A✝ e₀ k) (app (inst (liftN 1 e✝) e₀ (k + 1)) (VExpr.bvar 0))) (inst e✝ e₀ k)
    (VExpr.forallE (inst A✝ e₀ k) (inst B✝ e₀ (k + 1)))
⊢ IsDefEq env U Γ (inst (lam A✝ (app (lift e✝) (VExpr.bvar 0))) e₀ k) (inst e✝ e₀ k) (inst (VExpr.forallE A✝ B✝) e₀ k)
Tactic:
simpa [inst]
State after:
no goals

State before:
case proofIrrel
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
p✝ h✝ h'✝ : VExpr
a✝² : IsDefEq env U Γ✝ p✝ p✝ (VExpr.sort VLevel.zero)
a✝¹ : IsDefEq env U Γ✝ h✝ h✝ p✝
a✝ : IsDefEq env U Γ✝ h'✝ h'✝ p✝
ih1 :
  ∀ {k : Nat} {Γ : List VExpr},
    Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ → IsDefEq env U Γ (inst p✝ e₀ k) (inst p✝ e₀ k) (inst (VExpr.sort VLevel.zero) e₀ k)
ih2 :
  ∀ {k : Nat} {Γ : List VExpr}, Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ → IsDefEq env U Γ (inst h✝ e₀ k) (inst h✝ e₀ k) (inst p✝ e₀ k)
ih3 :
  ∀ {k : Nat} {Γ : List VExpr},
    Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ → IsDefEq env U Γ (inst h'✝ e₀ k) (inst h'✝ e₀ k) (inst p✝ e₀ k)
k : Nat
Γ : List VExpr
W : Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ
⊢ IsDefEq env U Γ (inst h✝ e₀ k) (inst h'✝ e₀ k) (inst p✝ e₀ k)
Tactic:
exact .proofIrrel (ih1 W) (ih2 W) (ih3 W)
State after:
no goals

State before:
case extra
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
df✝ : VDefEq
ls✝ : List VLevel
Γ✝ : List VExpr
h1 : env.defeqs df✝
h2 : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls✝ → VLevel.WF U l
h3 : List.length ls✝ = df✝.uvars
k : Nat
Γ : List VExpr
W : Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ
⊢ IsDefEq env U Γ (inst (VExpr.instL ls✝ df✝.lhs) e₀ k) (inst (VExpr.instL ls✝ df✝.rhs) e₀ k)
    (inst (VExpr.instL ls✝ df✝.type) e₀ k)
Tactic:
have ⟨⟨hA1, _⟩, hA2, hA3⟩ := henv.closed.2 h1
State after:
case extra
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
df✝ : VDefEq
ls✝ : List VLevel
Γ✝ : List VExpr
h1 : env.defeqs df✝
h2 : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls✝ → VLevel.WF U l
h3 : List.length ls✝ = df✝.uvars
k : Nat
Γ : List VExpr
W : Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ
hA1 : ClosedN df✝.lhs
right✝ : ClosedN df✝.type
hA2 : ClosedN df✝.rhs
hA3 : ClosedN df✝.type
⊢ IsDefEq env U Γ (inst (VExpr.instL ls✝ df✝.lhs) e₀ k) (inst (VExpr.instL ls✝ df✝.rhs) e₀ k)
    (inst (VExpr.instL ls✝ df✝.type) e₀ k)

State before:
case extra
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
df✝ : VDefEq
ls✝ : List VLevel
Γ✝ : List VExpr
h1 : env.defeqs df✝
h2 : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls✝ → VLevel.WF U l
h3 : List.length ls✝ = df✝.uvars
k : Nat
Γ : List VExpr
W : Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ
hA1 : ClosedN df✝.lhs
right✝ : ClosedN df✝.type
hA2 : ClosedN df✝.rhs
hA3 : ClosedN df✝.type
⊢ IsDefEq env U Γ (inst (VExpr.instL ls✝ df✝.lhs) e₀ k) (inst (VExpr.instL ls✝ df✝.rhs) e₀ k)
    (inst (VExpr.instL ls✝ df✝.type) e₀ k)
Tactic:
rw [
  hA1.instL.instN_eq (Nat.zero_le _),
  hA2.instL.instN_eq (Nat.zero_le _),
  hA3.instL.instN_eq (Nat.zero_le _)]
State after:
case extra
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
df✝ : VDefEq
ls✝ : List VLevel
Γ✝ : List VExpr
h1 : env.defeqs df✝
h2 : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls✝ → VLevel.WF U l
h3 : List.length ls✝ = df✝.uvars
k : Nat
Γ : List VExpr
W : Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ
hA1 : ClosedN df✝.lhs
right✝ : ClosedN df✝.type
hA2 : ClosedN df✝.rhs
hA3 : ClosedN df✝.type
⊢ IsDefEq env U Γ (VExpr.instL ls✝ df✝.lhs) (VExpr.instL ls✝ df✝.rhs) (VExpr.instL ls✝ df✝.type)

State before:
case extra
env : VEnv
U : Nat
Γ₀ : List VExpr
e₀ A₀ : VExpr
henv : Ordered env
h₀ : HasType env U Γ₀ e₀ A₀
Γ₁ : List VExpr
e1 e2 A : VExpr
df✝ : VDefEq
ls✝ : List VLevel
Γ✝ : List VExpr
h1 : env.defeqs df✝
h2 : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls✝ → VLevel.WF U l
h3 : List.length ls✝ = df✝.uvars
k : Nat
Γ : List VExpr
W : Ctx.InstN Γ₀ e₀ A₀ k Γ✝ Γ
hA1 : ClosedN df✝.lhs
right✝ : ClosedN df✝.type
hA2 : ClosedN df✝.rhs
hA3 : ClosedN df✝.type
⊢ IsDefEq env U Γ (VExpr.instL ls✝ df✝.lhs) (VExpr.instL ls✝ df✝.rhs) (VExpr.instL ls✝ df✝.type)
Tactic:
exact .extra h1 h2 h3
State after:
no goals