Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.bex (Arithmetization/Definability/Hierarchy.lean)

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin (k + 1) → M) → Prop
t : Semiterm L M k
m : ℕ
p : HSemiformula L M (k + 1) (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
⊢ DefinedWithParam (fun v => ∃ x < Semiterm.valm M v id t, P (x :> v)) (HSemiformula.bex t p)
Tactic:
intro v
State after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin (k + 1) → M) → Prop
t : Semiterm L M k
m : ℕ
p : HSemiformula L M (k + 1) (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
v : Fin k → M
⊢ (fun v => ∃ x < Semiterm.valm M v id t, P (x :> v)) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (HSemiformula.bex t p).val

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin (k + 1) → M) → Prop
t : Semiterm L M k
m : ℕ
p : HSemiformula L M (k + 1) (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
v : Fin k → M
⊢ (fun v => ∃ x < Semiterm.valm M v id t, P (x :> v)) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (HSemiformula.bex t p).val
Tactic:
simp [hp.df.iff]
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin (k + 1) → M) → Prop
t : Semiterm L M k
m : ℕ
p : HSemiformula L M (k + 1) (𝚷, m)
hp : DefinedWithParam P p
⊢ DefinedWithParam (fun v => ∃ x < Semiterm.valm M v id t, P (x :> v)) (HSemiformula.bex t p)
Tactic:
intro v
State after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin (k + 1) → M) → Prop
t : Semiterm L M k
m : ℕ
p : HSemiformula L M (k + 1) (𝚷, m)
hp : DefinedWithParam P p
v : Fin k → M
⊢ (fun v => ∃ x < Semiterm.valm M v id t, P (x :> v)) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (HSemiformula.bex t p).val

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L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin (k + 1) → M) → Prop
t : Semiterm L M k
m : ℕ
p : HSemiformula L M (k + 1) (𝚷, m)
hp : DefinedWithParam P p
v : Fin k → M
⊢ (fun v => ∃ x < Semiterm.valm M v id t, P (x :> v)) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (HSemiformula.bex t p).val
Tactic:
simp [hp.df.iff]
State after:
no goals

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L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin (k + 1) → M) → Prop
t : Semiterm L M k
m : ℕ
p : HSemiformula L M (k + 1) (𝚫, m)
hp : DefinedWithParam P p
⊢ FirstOrder.DefinedWithParam (fun v => ∃ x < Semiterm.valm M v id t, P (x :> v)) (HSemiformula.bex t p).val
Tactic:
intro v
State after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin (k + 1) → M) → Prop
t : Semiterm L M k
m : ℕ
p : HSemiformula L M (k + 1) (𝚫, m)
hp : DefinedWithParam P p
v : Fin k → M
⊢ (fun v => ∃ x < Semiterm.valm M v id t, P (x :> v)) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (HSemiformula.bex t p).val

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L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q : (Fin k → M) → Prop
P : (Fin (k + 1) → M) → Prop
t : Semiterm L M k
m : ℕ
p : HSemiformula L M (k + 1) (𝚫, m)
hp : DefinedWithParam P p
v : Fin k → M
⊢ (fun v => ∃ x < Semiterm.valm M v id t, P (x :> v)) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (HSemiformula.bex t p).val
Tactic:
simp [hp.df.iff]
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