Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.emb (Arithmetization/Definability/Hierarchy.lean)

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q R : (Fin k → M) → Prop
Γ : HierarchySymbol
m : ℕ
p : HSemiformula ℒₒᵣ M k (𝚺, m)
h : DefinedWithParam R p
⊢ DefinedWithParam R (HSemiformula.emb L p)
Tactic:
intro _
State after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q R : (Fin k → M) → Prop
Γ : HierarchySymbol
m : ℕ
p : HSemiformula ℒₒᵣ M k (𝚺, m)
h : DefinedWithParam R p
v✝ : Fin k → M
⊢ R v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (HSemiformula.emb L p).val

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q R : (Fin k → M) → Prop
Γ : HierarchySymbol
m : ℕ
p : HSemiformula ℒₒᵣ M k (𝚺, m)
h : DefinedWithParam R p
v✝ : Fin k → M
⊢ R v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (HSemiformula.emb L p).val
Tactic:
simp [h.iff]
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q R : (Fin k → M) → Prop
Γ : HierarchySymbol
m : ℕ
p : HSemiformula ℒₒᵣ M k (𝚷, m)
h : DefinedWithParam R p
⊢ DefinedWithParam R (HSemiformula.emb L p)
Tactic:
intro _
State after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q R : (Fin k → M) → Prop
Γ : HierarchySymbol
m : ℕ
p : HSemiformula ℒₒᵣ M k (𝚷, m)
h : DefinedWithParam R p
v✝ : Fin k → M
⊢ R v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (HSemiformula.emb L p).val

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q R : (Fin k → M) → Prop
Γ : HierarchySymbol
m : ℕ
p : HSemiformula ℒₒᵣ M k (𝚷, m)
h : DefinedWithParam R p
v✝ : Fin k → M
⊢ R v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (HSemiformula.emb L p).val
Tactic:
simp [h.iff]
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q R : (Fin k → M) → Prop
Γ : HierarchySymbol
m : ℕ
p : HSemiformula ℒₒᵣ M k (𝚫, m)
h : DefinedWithParam R p
⊢ HSemiformula.ProperWithParamOn M (HSemiformula.emb L p)
Tactic:
simpa using h.proper
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q R : (Fin k → M) → Prop
Γ : HierarchySymbol
m : ℕ
p : HSemiformula ℒₒᵣ M k (𝚫, m)
h : DefinedWithParam R p
⊢ FirstOrder.DefinedWithParam R (HSemiformula.emb L p).val
Tactic:
intro _
State after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q R : (Fin k → M) → Prop
Γ : HierarchySymbol
m : ℕ
p : HSemiformula ℒₒᵣ M k (𝚫, m)
h : DefinedWithParam R p
v✝ : Fin k → M
⊢ R v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (HSemiformula.emb L p).val

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q R : (Fin k → M) → Prop
Γ : HierarchySymbol
m : ℕ
p : HSemiformula ℒₒᵣ M k (𝚫, m)
h : DefinedWithParam R p
v✝ : Fin k → M
⊢ R v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (HSemiformula.emb L p).val
Tactic:
simp [h.df.iff]
State after:
no goals