Theorem: cauchy1_bound (Ray/Hartogs/Osgood.lean)

State before:
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
⊢ ‖∮ (z : ℂ) in C(c, r), (z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ 2 * π * b * r⁻¹ ^ n
Tactic:
have sb : ∀ z, z ∈ sphere c r → ‖(z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b := by
  intro z zs; have fb := bh z zs
  rw [norm_smul, norm_smul, Complex.norm_eq_abs, Complex.norm_eq_abs]
  simp only [inv_pow, map_inv₀, map_pow, ge_iff_le, Metric.mem_sphere, Complex.dist_eq] at zs ⊢
  rw [zs]; ring_nf; bound
State after:
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
sb : ∀ z ∈ sphere c r, ‖(z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b
⊢ ‖∮ (z : ℂ) in C(c, r), (z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ 2 * π * b * r⁻¹ ^ n

State before:
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
sb : ∀ z ∈ sphere c r, ‖(z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b
⊢ ‖∮ (z : ℂ) in C(c, r), (z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ 2 * π * b * r⁻¹ ^ n
Tactic:
have isb := bounded_circleIntegral rp ?_ sb
State after:
case refine_2
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
sb : ∀ z ∈ sphere c r, ‖(z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b
isb : ‖∮ (z : ℂ) in C(c, r), (z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ 2 * π * r * (r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b)
⊢ ‖∮ (z : ℂ) in C(c, r), (z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ 2 * π * b * r⁻¹ ^ n

case refine_1
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
sb : ∀ z ∈ sphere c r, ‖(z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b
⊢ ContinuousOn (fun z => (z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z) (sphere c r)

State before:
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
⊢ ∀ z ∈ sphere c r, ‖(z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b
Tactic:
intro z zs
State after:
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
⊢ ‖(z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b

State before:
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
⊢ ‖(z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b
Tactic:
have fb := bh z zs
State after:
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
fb : ‖f z‖ ≤ b
⊢ ‖(z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b

State before:
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
fb : ‖f z‖ ≤ b
⊢ ‖(z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b
Tactic:
rw [norm_smul, norm_smul, Complex.norm_eq_abs, Complex.norm_eq_abs]
State after:
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
fb : ‖f z‖ ≤ b
⊢ Complex.abs ((z - c)⁻¹ ^ n) * (Complex.abs (z - c)⁻¹ * ‖f z‖) ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b

State before:
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
z : ℂ
zs : z ∈ sphere c r
fb : ‖f z‖ ≤ b
⊢ Complex.abs ((z - c)⁻¹ ^ n) * (Complex.abs (z - c)⁻¹ * ‖f z‖) ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b
Tactic:
simp only [inv_pow, map_inv₀, map_pow, ge_iff_le, Metric.mem_sphere, Complex.dist_eq] at zs ⊢
State after:
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
z : ℂ
fb : ‖f z‖ ≤ b
zs : Complex.abs (z - c) = r
⊢ (Complex.abs (z - c) ^ n)⁻¹ * ((Complex.abs (z - c))⁻¹ * ‖f z‖) ≤ (r ^ n)⁻¹ * r⁻¹ * b

State before:
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
z : ℂ
fb : ‖f z‖ ≤ b
zs : Complex.abs (z - c) = r
⊢ (Complex.abs (z - c) ^ n)⁻¹ * ((Complex.abs (z - c))⁻¹ * ‖f z‖) ≤ (r ^ n)⁻¹ * r⁻¹ * b
Tactic:
rw [zs]
State after:
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
z : ℂ
fb : ‖f z‖ ≤ b
zs : Complex.abs (z - c) = r
⊢ (r ^ n)⁻¹ * (r⁻¹ * ‖f z‖) ≤ (r ^ n)⁻¹ * r⁻¹ * b

State before:
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
z : ℂ
fb : ‖f z‖ ≤ b
zs : Complex.abs (z - c) = r
⊢ (r ^ n)⁻¹ * (r⁻¹ * ‖f z‖) ≤ (r ^ n)⁻¹ * r⁻¹ * b
Tactic:
ring_nf
State after:
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
z : ℂ
fb : ‖f z‖ ≤ b
zs : Complex.abs (z - c) = r
⊢ r⁻¹ * r⁻¹ ^ n * ‖f z‖ ≤ r⁻¹ * r⁻¹ ^ n * b

State before:
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
z : ℂ
fb : ‖f z‖ ≤ b
zs : Complex.abs (z - c) = r
⊢ r⁻¹ * r⁻¹ ^ n * ‖f z‖ ≤ r⁻¹ * r⁻¹ ^ n * b
Tactic:
bound
State after:
no goals

State before:
case refine_2
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
sb : ∀ z ∈ sphere c r, ‖(z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b
isb : ‖∮ (z : ℂ) in C(c, r), (z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ 2 * π * r * (r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b)
⊢ ‖∮ (z : ℂ) in C(c, r), (z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ 2 * π * b * r⁻¹ ^ n
Tactic:
calc ‖∮ z in C(c, r), (z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖
  _ ≤ 2 * π * r * (r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b) := isb
  _ = 2 * π * b * r⁻¹ ^ n * (r * r⁻¹) := by ring
  _ = 2 * π * b * r⁻¹ ^ n := by rw [mul_inv_cancel rp.ne']; simp
State after:
no goals

State before:
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
sb : ∀ z ∈ sphere c r, ‖(z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b
isb : ‖∮ (z : ℂ) in C(c, r), (z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ 2 * π * r * (r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b)
⊢ 2 * π * r * (r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b) = 2 * π * b * r⁻¹ ^ n * (r * r⁻¹)
Tactic:
ring
State after:
no goals

State before:
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
sb : ∀ z ∈ sphere c r, ‖(z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b
isb : ‖∮ (z : ℂ) in C(c, r), (z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ 2 * π * r * (r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b)
⊢ 2 * π * b * r⁻¹ ^ n * (r * r⁻¹) = 2 * π * b * r⁻¹ ^ n
Tactic:
rw [mul_inv_cancel rp.ne']
State after:
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
sb : ∀ z ∈ sphere c r, ‖(z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b
isb : ‖∮ (z : ℂ) in C(c, r), (z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ 2 * π * r * (r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b)
⊢ 2 * π * b * r⁻¹ ^ n * 1 = 2 * π * b * r⁻¹ ^ n

State before:
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
sb : ∀ z ∈ sphere c r, ‖(z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b
isb : ‖∮ (z : ℂ) in C(c, r), (z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ 2 * π * r * (r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b)
⊢ 2 * π * b * r⁻¹ ^ n * 1 = 2 * π * b * r⁻¹ ^ n
Tactic:
simp
State after:
no goals

State before:
case refine_1
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
sb : ∀ z ∈ sphere c r, ‖(z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b
⊢ ContinuousOn (fun z => (z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z) (sphere c r)
Tactic:
apply ContinuousOn.smul
State after:
case refine_1.hf
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
sb : ∀ z ∈ sphere c r, ‖(z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b
⊢ ContinuousOn (fun x => (x - c)⁻¹ ^ n) (sphere c r)

case refine_1.hg
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
sb : ∀ z ∈ sphere c r, ‖(z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b
⊢ ContinuousOn (fun x => (x - c)⁻¹ • f x) (sphere c r)

State before:
case refine_1.hf
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
sb : ∀ z ∈ sphere c r, ‖(z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b
⊢ ContinuousOn (fun x => (x - c)⁻¹ ^ n) (sphere c r)

case refine_1.hg
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
sb : ∀ z ∈ sphere c r, ‖(z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b
⊢ ContinuousOn (fun x => (x - c)⁻¹ • f x) (sphere c r)
Tactic:
apply ContinuousOn.pow
State after:
case refine_1.hf.hf
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
sb : ∀ z ∈ sphere c r, ‖(z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b
⊢ ContinuousOn (fun x => (x - c)⁻¹) (sphere c r)

case refine_1.hg
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
sb : ∀ z ∈ sphere c r, ‖(z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b
⊢ ContinuousOn (fun x => (x - c)⁻¹ • f x) (sphere c r)

State before:
case refine_1.hf.hf
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
sb : ∀ z ∈ sphere c r, ‖(z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b
⊢ ContinuousOn (fun x => (x - c)⁻¹) (sphere c r)

case refine_1.hg
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
sb : ∀ z ∈ sphere c r, ‖(z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b
⊢ ContinuousOn (fun x => (x - c)⁻¹ • f x) (sphere c r)
Tactic:
exact ContinuousOn.inv_sphere rp
State after:
case refine_1.hg
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
sb : ∀ z ∈ sphere c r, ‖(z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b
⊢ ContinuousOn (fun x => (x - c)⁻¹ • f x) (sphere c r)

State before:
case refine_1.hg
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
sb : ∀ z ∈ sphere c r, ‖(z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b
⊢ ContinuousOn (fun x => (x - c)⁻¹ • f x) (sphere c r)
Tactic:
apply ContinuousOn.smul
State after:
case refine_1.hg.hf
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
sb : ∀ z ∈ sphere c r, ‖(z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b
⊢ ContinuousOn (fun x => (x - c)⁻¹) (sphere c r)

case refine_1.hg.hg
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
sb : ∀ z ∈ sphere c r, ‖(z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b
⊢ ContinuousOn (fun x => f x) (sphere c r)

State before:
case refine_1.hg.hf
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
sb : ∀ z ∈ sphere c r, ‖(z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b
⊢ ContinuousOn (fun x => (x - c)⁻¹) (sphere c r)

case refine_1.hg.hg
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
sb : ∀ z ∈ sphere c r, ‖(z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b
⊢ ContinuousOn (fun x => f x) (sphere c r)
Tactic:
exact ContinuousOn.inv_sphere rp
State after:
case refine_1.hg.hg
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
sb : ∀ z ∈ sphere c r, ‖(z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b
⊢ ContinuousOn (fun x => f x) (sphere c r)

State before:
case refine_1.hg.hg
E : Type
inst✝² : NormedAddCommGroup E
inst✝¹ : NormedSpace ℂ E
inst✝ : CompleteSpace E
f✝ : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c1 w0 w1 : ℂ
r✝ b✝ : ℝ
f : ℂ → E
b r : ℝ
c : ℂ
rp : r > 0
fc : ContinuousOn f (sphere c r)
bh : ∀ z ∈ sphere c r, ‖f z‖ ≤ b
n : ℕ
sb : ∀ z ∈ sphere c r, ‖(z - c)⁻¹ ^ n • (z - c)⁻¹ • f z‖ ≤ r⁻¹ ^ n * r⁻¹ * b
⊢ ContinuousOn (fun x => f x) (sphere c r)
Tactic:
assumption
State after:
no goals