Theorem: SciLean.FwdFDeriv.let_rule_at (SciLean/Core/FunctionTransformations/FwdFDeriv.lean)

State before:
K : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.18770
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.18778
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f : X → Y → Z
g : X → Y
hf : DifferentiableAt K (fun xy => f xy.1 xy.2) (x, g x)
hg : DifferentiableAt K g x
⊢ fwdFDeriv K
      (fun x =>
        let y := g x;
        f x y)
      x =
    fun dx =>
    let ydy := fwdFDeriv K g x dx;
    let zdz := fwdFDeriv K (fun xy => f xy.1 xy.2) (x, ydy.1) (dx, ydy.2);
    zdz
Tactic:
unfold fwdFDeriv
State after:
K : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.18770
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.18778
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f : X → Y → Z
g : X → Y
hf : DifferentiableAt K (fun xy => f xy.1 xy.2) (x, g x)
hg : DifferentiableAt K g x
⊢ (fun dx =>
      ((fun x =>
            let y := g x;
            f x y)
          x,
        (fderiv K
            (fun x =>
              let y := g x;
              f x y)
            x)
          dx)) =
    fun dx =>
    let ydy := (g x, (fderiv K g x) dx);
    let zdz := ((fun xy => f xy.1 xy.2) (x, ydy.1), (fderiv K (fun xy => f xy.1 xy.2) (x, ydy.1)) (dx, ydy.2));
    zdz

State before:
K : Type u_4
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type u_1
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.18770
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.18778
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f : X → Y → Z
g : X → Y
hf : DifferentiableAt K (fun xy => f xy.1 xy.2) (x, g x)
hg : DifferentiableAt K g x
⊢ (fun dx =>
      ((fun x =>
            let y := g x;
            f x y)
          x,
        (fderiv K
            (fun x =>
              let y := g x;
              f x y)
            x)
          dx)) =
    fun dx =>
    let ydy := (g x, (fderiv K g x) dx);
    let zdz := ((fun xy => f xy.1 xy.2) (x, ydy.1), (fderiv K (fun xy => f xy.1 xy.2) (x, ydy.1)) (dx, ydy.2));
    zdz
Tactic:
fun_trans
State after:
no goals