Theorem: Matroid.erk_eq_zero_iff (Matroid/Rank.lean)

State before:
α : Type u_1
ι : Type u_2
M N : Matroid α
I B X X' Y Y' Z R : Set α
n : ℕ∞
e f : α
E : Set α
⊢ M.erk = 0 ↔ M = loopyOn M.E
Tactic:
refine ⟨fun h ↦ cl_empty_eq_ground_iff.1 ?_, fun h ↦ by rw [h, loopyOn_erk_eq]⟩
State after:
α : Type u_1
ι : Type u_2
M N : Matroid α
I B X X' Y Y' Z R : Set α
n : ℕ∞
e f : α
E : Set α
h : M.erk = 0
⊢ M.cl ∅ = M.E

State before:
α : Type u_1
ι : Type u_2
M N : Matroid α
I B X X' Y Y' Z R : Set α
n : ℕ∞
e f : α
E : Set α
h : M.erk = 0
⊢ M.cl ∅ = M.E
Tactic:
obtain ⟨B, hB⟩ := M.exists_base
State after:
case intro
α : Type u_1
ι : Type u_2
M N : Matroid α
I B✝ X X' Y Y' Z R : Set α
n : ℕ∞
e f : α
E : Set α
h : M.erk = 0
B : Set α
hB : M.Base B
⊢ M.cl ∅ = M.E

State before:
case intro
α : Type u_1
ι : Type u_2
M N : Matroid α
I B✝ X X' Y Y' Z R : Set α
n : ℕ∞
e f : α
E : Set α
h : M.erk = 0
B : Set α
hB : M.Base B
⊢ M.cl ∅ = M.E
Tactic:
rw [← hB.encard, encard_eq_zero] at h
State after:
case intro
α : Type u_1
ι : Type u_2
M N : Matroid α
I B✝ X X' Y Y' Z R : Set α
n : ℕ∞
e f : α
E B : Set α
h : B = ∅
hB : M.Base B
⊢ M.cl ∅ = M.E

State before:
case intro
α : Type u_1
ι : Type u_2
M N : Matroid α
I B✝ X X' Y Y' Z R : Set α
n : ℕ∞
e f : α
E B : Set α
h : B = ∅
hB : M.Base B
⊢ M.cl ∅ = M.E
Tactic:
rw [← h, hB.cl_eq]
State after:
no goals

State before:
α : Type u_1
ι : Type u_2
M N : Matroid α
I B X X' Y Y' Z R : Set α
n : ℕ∞
e f : α
E : Set α
h : M = loopyOn M.E
⊢ M.erk = 0
Tactic:
rw [h, loopyOn_erk_eq]
State after:
no goals