Theorem: SciLean.fwdDeriv.HSMul.hSMul.arg_a0a1.fwdDeriv_rule_at (SciLean/Core/FunctionTransformations/FwdDeriv.lean)

State before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.73752
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.73763
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.73774
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.73801
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f : X → K
g : X → Y
hf : CDifferentiableAt K f x
hg : CDifferentiableAt K g x
⊢ fwdDeriv K (fun x => f x • g x) x = fun dx =>
    let ydy := fwdDeriv K f x dx;
    let zdz := fwdDeriv K g x dx;
    (ydy.1 • zdz.1, ydy.1 • zdz.2 + ydy.2 • zdz.1)
Tactic:
unfold fwdDeriv
State after:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.73752
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.73763
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.73774
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.73801
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f : X → K
g : X → Y
hf : CDifferentiableAt K f x
hg : CDifferentiableAt K g x
⊢ (fun dx => ((fun x => f x • g x) x, cderiv K (fun x => f x • g x) x dx)) = fun dx =>
    let ydy := (f x, cderiv K f x dx);
    let zdz := (g x, cderiv K g x dx);
    (ydy.1 • zdz.1, ydy.1 • zdz.2 + ydy.2 • zdz.1)

State before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.73752
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.73763
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.73774
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.73801
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f : X → K
g : X → Y
hf : CDifferentiableAt K f x
hg : CDifferentiableAt K g x
⊢ (fun dx => ((fun x => f x • g x) x, cderiv K (fun x => f x • g x) x dx)) = fun dx =>
    let ydy := (f x, cderiv K f x dx);
    let zdz := (g x, cderiv K g x dx);
    (ydy.1 • zdz.1, ydy.1 • zdz.2 + ydy.2 • zdz.1)
Tactic:
fun_trans
State after:
no goals