Theorem: SciLean.FwdFDeriv.HDiv.hDiv.arg_a0a1.fwdFDeriv_rule_at (SciLean/Core/FunctionTransformations/FwdFDeriv.lean)

State before:
K : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.122707
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.122842
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.122977
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.122985
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → K
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
hx : g x ≠ 0
⊢ fwdFDeriv K (fun x => f x / g x) x = fun dx =>
    let ydy := fwdFDeriv K f x dx;
    let zdz := fwdFDeriv K g x dx;
    (ydy.1 / zdz.1, (ydy.2 * zdz.1 - ydy.1 * zdz.2) / zdz.1 ^ 2)
Tactic:
unfold fwdFDeriv
State after:
K : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.122707
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.122842
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.122977
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.122985
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → K
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
hx : g x ≠ 0
⊢ (fun dx => ((fun x => f x / g x) x, (fderiv K (fun x => f x / g x) x) dx)) = fun dx =>
    let ydy := (f x, (fderiv K f x) dx);
    let zdz := (g x, (fderiv K g x) dx);
    (ydy.1 / zdz.1, (ydy.2 * zdz.1 - ydy.1 * zdz.2) / zdz.1 ^ 2)

State before:
K : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.122707
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.122842
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.122977
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.122985
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → K
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
hx : g x ≠ 0
⊢ (fun dx => ((fun x => f x / g x) x, (fderiv K (fun x => f x / g x) x) dx)) = fun dx =>
    let ydy := (f x, (fderiv K f x) dx);
    let zdz := (g x, (fderiv K g x) dx);
    (ydy.1 / zdz.1, (ydy.2 * zdz.1 - ydy.1 * zdz.2) / zdz.1 ^ 2)
Tactic:
funext dx
State after:
case h
K : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.122707
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.122842
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.122977
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.122985
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → K
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
hx : g x ≠ 0
dx : X
⊢ ((fun x => f x / g x) x, (fderiv K (fun x => f x / g x) x) dx) =
    let ydy := (f x, (fderiv K f x) dx);
    let zdz := (g x, (fderiv K g x) dx);
    (ydy.1 / zdz.1, (ydy.2 * zdz.1 - ydy.1 * zdz.2) / zdz.1 ^ 2)

State before:
case h
K : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.122707
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.122842
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.122977
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.122985
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → K
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
hx : g x ≠ 0
dx : X
⊢ ((fun x => f x / g x) x, (fderiv K (fun x => f x / g x) x) dx) =
    let ydy := (f x, (fderiv K f x) dx);
    let zdz := (g x, (fderiv K g x) dx);
    (ydy.1 / zdz.1, (ydy.2 * zdz.1 - ydy.1 * zdz.2) / zdz.1 ^ 2)
Tactic:
simp
State after:
case h
K : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.122707
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.122842
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.122977
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.122985
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → K
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
hx : g x ≠ 0
dx : X
⊢ (fderiv K (fun x => f x / g x) x) dx = ((fderiv K f x) dx * g x - f x * (fderiv K g x) dx) / g x ^ 2

State before:
case h
K : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.122707
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.122842
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.122977
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.122985
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → K
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
hx : g x ≠ 0
dx : X
⊢ (fderiv K (fun x => f x / g x) x) dx = ((fderiv K f x) dx * g x - f x * (fderiv K g x) dx) / g x ^ 2
Tactic:
conv =>
  lhs
  simp[div_eq_inv_mul]
  fun_trans (disch:=assumption)
State after:
case h
K : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.122707
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.122842
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.122977
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.122985
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → K
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
hx : g x ≠ 0
dx : X
⊢ (fderiv K (fun x => f x) x) dx * (g x)⁻¹ + (fderiv K (fun x2 => x2⁻¹) (g x)) ((fderiv K (fun x => g x) x) dx) * f x =
    ((fderiv K f x) dx * g x - f x * (fderiv K g x) dx) / g x ^ 2

State before:
case h
K : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.122707
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.122842
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.122977
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.122985
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → K
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
hx : g x ≠ 0
dx : X
⊢ (fderiv K (fun x => f x) x) dx * (g x)⁻¹ + (fderiv K (fun x2 => x2⁻¹) (g x)) ((fderiv K (fun x => g x) x) dx) * f x =
    ((fderiv K f x) dx * g x - f x * (fderiv K g x) dx) / g x ^ 2
Tactic:
field_simp
State after:
case h
K : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.122707
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.122842
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.122977
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.122985
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → K
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
hx : g x ≠ 0
dx : X
⊢ ((fderiv K (fun x => f x) x) dx + (fderiv K (fun x2 => 1 / x2) (g x)) ((fderiv K (fun x => g x) x) dx) * f x * g x) *
      g x ^ 2 =
    ((fderiv K f x) dx * g x - f x * (fderiv K g x) dx) * g x

State before:
case h
K : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.122707
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.122842
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.122977
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.122985
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → K
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
hx : g x ≠ 0
dx : X
⊢ ((fderiv K (fun x => f x) x) dx + (fderiv K (fun x2 => 1 / x2) (g x)) ((fderiv K (fun x => g x) x) dx) * f x * g x) *
      g x ^ 2 =
    ((fderiv K f x) dx * g x - f x * (fderiv K g x) dx) * g x
Tactic:
sorry_proof
State after:
no goals

State before:
case funProp.discharger
K : Type u_1
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.122707
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.122842
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.122977
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.122985
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f g : X → K
hf : DifferentiableAt K f x
hg : DifferentiableAt K g x
hx : g x ≠ 0
dx✝ dx : X
⊢ g x ≠ 0
Tactic:
assumption
State after:
no goals