Theorem: Arith.Model.Definable.not (Arithmetization/Definability/Hierarchy.lean)

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
Γ : SigmaPiDelta
h : Definable L (Γ.alt, m) P
⊢ Definable L (Γ, m) fun v => ¬P v
Tactic:
match Γ with
| 𝚺 => rcases h with ⟨p, h⟩; exact ⟨p.negPi, h.negPi⟩
| 𝚷 => rcases h with ⟨p, h⟩; exact ⟨p.negSigma, h.negSigma⟩
| 𝚫 => rcases h with ⟨p, h⟩; exact ⟨p.negDelta, h.not⟩
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
Γ : SigmaPiDelta
h : Definable L (𝚺.alt, m) P
⊢ Definable L (𝚺, m) fun v => ¬P v
Tactic:
rcases h with ⟨p, h⟩
State after:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
Γ : SigmaPiDelta
p : HSemiformula L M k (𝚺.alt, m)
h : DefinedWithParam P p
⊢ Definable L (𝚺, m) fun v => ¬P v

State before:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
Γ : SigmaPiDelta
p : HSemiformula L M k (𝚺.alt, m)
h : DefinedWithParam P p
⊢ Definable L (𝚺, m) fun v => ¬P v
Tactic:
exact ⟨p.negPi, h.negPi⟩
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
Γ : SigmaPiDelta
h : Definable L (𝚷.alt, m) P
⊢ Definable L (𝚷, m) fun v => ¬P v
Tactic:
rcases h with ⟨p, h⟩
State after:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
Γ : SigmaPiDelta
p : HSemiformula L M k (𝚷.alt, m)
h : DefinedWithParam P p
⊢ Definable L (𝚷, m) fun v => ¬P v

State before:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
Γ : SigmaPiDelta
p : HSemiformula L M k (𝚷.alt, m)
h : DefinedWithParam P p
⊢ Definable L (𝚷, m) fun v => ¬P v
Tactic:
exact ⟨p.negSigma, h.negSigma⟩
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
Γ : SigmaPiDelta
h : Definable L (𝚫.alt, m) P
⊢ Definable L (𝚫, m) fun v => ¬P v
Tactic:
rcases h with ⟨p, h⟩
State after:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
Γ : SigmaPiDelta
p : HSemiformula L M k (𝚫.alt, m)
h : DefinedWithParam P p
⊢ Definable L (𝚫, m) fun v => ¬P v

State before:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
Γ : SigmaPiDelta
p : HSemiformula L M k (𝚫.alt, m)
h : DefinedWithParam P p
⊢ Definable L (𝚫, m) fun v => ¬P v
Tactic:
exact ⟨p.negDelta, h.not⟩
State after:
no goals