Theorem: step4_3 (FltRegular/FltThree/Edwards.lean)

State before:
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
⊢ |p.re| = |p'.re| ∧ |p.im| = |p'.im|
Tactic:
have hdvd : p'.norm ∣ p.norm := by rw [heq]
State after:
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
⊢ |p.re| = |p'.re| ∧ |p.im| = |p'.im|

State before:
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
⊢ |p.re| = |p'.re| ∧ |p.im| = |p'.im|
Tactic:
have him : p'.im ≠ 0 := by
  apply OddPrimeOrFour.im_ne_zero _ hcoprime'
  rwa [← heq]
State after:
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
him : p'.im ≠ 0
⊢ |p.re| = |p'.re| ∧ |p.im| = |p'.im|

State before:
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
⊢ p'.norm ∣ p.norm
Tactic:
rw [heq]
State after:
no goals

State before:
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
⊢ p'.im ≠ 0
Tactic:
apply OddPrimeOrFour.im_ne_zero _ hcoprime'
State after:
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
⊢ OddPrimeOrFour p'.norm.natAbs

State before:
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
⊢ OddPrimeOrFour p'.norm.natAbs
Tactic:
rwa [← heq]
State after:
no goals

State before:
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
him : p'.im ≠ 0
⊢ OddPrimeOrFour p'.norm.natAbs
Tactic:
rwa [← heq]
State after:
no goals

State before:
case intro.intro.intro.inr
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
him : p'.im ≠ 0
u : ℤ√(-3)
h1 : p.norm = p'.norm * u.norm
H : p = star p' * u
⊢ |p.re| = |p'.re| ∧ |p.im| = |p'.im|
Tactic:
rw [heq] at h1
State after:
case intro.intro.intro.inr
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
him : p'.im ≠ 0
u : ℤ√(-3)
h1 : p'.norm = p'.norm * u.norm
H : p = star p' * u
⊢ |p.re| = |p'.re| ∧ |p.im| = |p'.im|

State before:
case intro.intro.intro.inr
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
him : p'.im ≠ 0
u : ℤ√(-3)
h1 : p'.norm = p'.norm * u.norm
H : p = star p' * u
⊢ |p.re| = |p'.re| ∧ |p.im| = |p'.im|
Tactic:
have := Int.eq_one_of_mul_eq_self_right (Spts.ne_zero_of_coprime' _ hcoprime') h1.symm
State after:
case intro.intro.intro.inr
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
him : p'.im ≠ 0
u : ℤ√(-3)
h1 : p'.norm = p'.norm * u.norm
H : p = star p' * u
this : u.norm = 1
⊢ |p.re| = |p'.re| ∧ |p.im| = |p'.im|

State before:
case intro.intro.intro.inr
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
him : p'.im ≠ 0
u : ℤ√(-3)
h1 : p'.norm = p'.norm * u.norm
H : p = star p' * u
this : u.norm = 1
⊢ |p.re| = |p'.re| ∧ |p.im| = |p'.im|
Tactic:
obtain ⟨ha, hb⟩ := Spts.eq_one this
State after:
case intro.intro.intro.inr.intro
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
him : p'.im ≠ 0
u : ℤ√(-3)
h1 : p'.norm = p'.norm * u.norm
H : p = star p' * u
this : u.norm = 1
ha : |u.re| = 1
hb : u.im = 0
⊢ |p.re| = |p'.re| ∧ |p.im| = |p'.im|

State before:
case intro.intro.intro.inr.intro
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
him : p'.im ≠ 0
u : ℤ√(-3)
h1 : p'.norm = p'.norm * u.norm
H : p = star p' * u
this : u.norm = 1
ha : |u.re| = 1
hb : u.im = 0
⊢ |p.re| = |p'.re| ∧ |p.im| = |p'.im|
Tactic:
simp only [hb, Zsqrtd.ext_iff, Zsqrtd.mul_re, Zsqrtd.mul_im, add_zero, zero_add,
  MulZeroClass.mul_zero] at H
State after:
case intro.intro.intro.inr.intro
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
him : p'.im ≠ 0
u : ℤ√(-3)
h1 : p'.norm = p'.norm * u.norm
this : u.norm = 1
ha : |u.re| = 1
hb : u.im = 0
H : p.re = (star p').re * u.re ∧ p.im = (star p').im * u.re
⊢ |p.re| = |p'.re| ∧ |p.im| = |p'.im|

State before:
case intro.intro.intro.inr.intro
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
him : p'.im ≠ 0
u : ℤ√(-3)
h1 : p'.norm = p'.norm * u.norm
this : u.norm = 1
ha : |u.re| = 1
hb : u.im = 0
H : p.re = (star p').re * u.re ∧ p.im = (star p').im * u.re
⊢ |p.re| = |p'.re| ∧ |p.im| = |p'.im|
Tactic:
rw [H.1, H.2, abs_mul, abs_mul, ha, mul_one, mul_one]
State after:
case intro.intro.intro.inr.intro
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
him : p'.im ≠ 0
u : ℤ√(-3)
h1 : p'.norm = p'.norm * u.norm
this : u.norm = 1
ha : |u.re| = 1
hb : u.im = 0
H : p.re = (star p').re * u.re ∧ p.im = (star p').im * u.re
⊢ |(star p').re| = |p'.re| ∧ |(star p').im| = |p'.im|

State before:
case intro.intro.intro.inr.intro
p p' : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime p.re p.im
hcoprime' : IsCoprime p'.re p'.im
h : OddPrimeOrFour p.norm.natAbs
heq : p.norm = p'.norm
hdvd : p'.norm ∣ p.norm
him : p'.im ≠ 0
u : ℤ√(-3)
h1 : p'.norm = p'.norm * u.norm
this : u.norm = 1
ha : |u.re| = 1
hb : u.im = 0
H : p.re = (star p').re * u.re ∧ p.im = (star p').im * u.re
⊢ |(star p').re| = |p'.re| ∧ |(star p').im| = |p'.im|
Tactic:
simp
State after:
no goals