Theorem: Matrix.ColBasis.rows_linearIndependent (Matroid/ForMathlib/LinearAlgebra/Matrix/Rowspace.lean)

State before:
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
m' : Type u_3
n✝ : Type u_4
n' : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
o : Type u_8
α : Type u_9
R✝ : Type u_10
A✝¹ B✝ : Matrix m✝ n✝ R✝
s✝ : Set m✝
t✝ : Set n✝
m : Type u_11
n : Type u_12
R : Type u_13
s : Set m
t : Set n
A✝ B : Matrix m n R
K : Type u_14
inst✝¹ : Field K
A : Matrix m n K
inst✝ : Fintype m
ht : A.ColBasis t
hA : LinearIndependent K A.rowFun
⊢ LinearIndependent K (A.colSubmatrix t).rowFun
Tactic:
rw [← colSpace_eq_top_iff_linearIndependent_rows, Submodule.eq_top_iff']
State after:
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
m' : Type u_3
n✝ : Type u_4
n' : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
o : Type u_8
α : Type u_9
R✝ : Type u_10
A✝¹ B✝ : Matrix m✝ n✝ R✝
s✝ : Set m✝
t✝ : Set n✝
m : Type u_11
n : Type u_12
R : Type u_13
s : Set m
t : Set n
A✝ B : Matrix m n R
K : Type u_14
inst✝¹ : Field K
A : Matrix m n K
inst✝ : Fintype m
ht : A.ColBasis t
hA : LinearIndependent K A.rowFun
⊢ ∀ (x : m → K), x ∈ (A.colSubmatrix t).colSpace

State before:
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
m' : Type u_3
n✝ : Type u_4
n' : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
o : Type u_8
α : Type u_9
R✝ : Type u_10
A✝¹ B✝ : Matrix m✝ n✝ R✝
s✝ : Set m✝
t✝ : Set n✝
m : Type u_11
n : Type u_12
R : Type u_13
s : Set m
t : Set n
A✝ B : Matrix m n R
K : Type u_14
inst✝¹ : Field K
A : Matrix m n K
inst✝ : Fintype m
ht : A.ColBasis t
hA : LinearIndependent K A.rowFun
⊢ ∀ (x : m → K), x ∈ (A.colSubmatrix t).colSpace
Tactic:
rw [← colSpace_eq_top_iff_linearIndependent_rows] at hA
State after:
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
m' : Type u_3
n✝ : Type u_4
n' : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
o : Type u_8
α : Type u_9
R✝ : Type u_10
A✝¹ B✝ : Matrix m✝ n✝ R✝
s✝ : Set m✝
t✝ : Set n✝
m : Type u_11
n : Type u_12
R : Type u_13
s : Set m
t : Set n
A✝ B : Matrix m n R
K : Type u_14
inst✝¹ : Field K
A : Matrix m n K
inst✝ : Fintype m
ht : A.ColBasis t
hA : A.colSpace = ⊤
⊢ ∀ (x : m → K), x ∈ (A.colSubmatrix t).colSpace

State before:
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
m' : Type u_3
n✝ : Type u_4
n' : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
o : Type u_8
α : Type u_9
R✝ : Type u_10
A✝¹ B✝ : Matrix m✝ n✝ R✝
s✝ : Set m✝
t✝ : Set n✝
m : Type u_11
n : Type u_12
R : Type u_13
s : Set m
t : Set n
A✝ B : Matrix m n R
K : Type u_14
inst✝¹ : Field K
A : Matrix m n K
inst✝ : Fintype m
ht : A.ColBasis t
hA : A.colSpace = ⊤
⊢ ∀ (x : m → K), x ∈ (A.colSubmatrix t).colSpace
Tactic:
exact fun x ↦ by simp [hA ▸ ht.colSpace_eq]
State after:
no goals

State before:
l : Type u_1
m✝ : Type u_2
m' : Type u_3
n✝ : Type u_4
n' : Type u_5
n₁ : Type u_6
n₂ : Type u_7
o : Type u_8
α : Type u_9
R✝ : Type u_10
A✝¹ B✝ : Matrix m✝ n✝ R✝
s✝ : Set m✝
t✝ : Set n✝
m : Type u_11
n : Type u_12
R : Type u_13
s : Set m
t : Set n
A✝ B : Matrix m n R
K : Type u_14
inst✝¹ : Field K
A : Matrix m n K
inst✝ : Fintype m
ht : A.ColBasis t
hA : A.colSpace = ⊤
x : m → K
⊢ x ∈ (A.colSubmatrix t).colSpace
Tactic:
simp [hA ▸ ht.colSpace_eq]
State after:
no goals