Theorem: SciLean.Inner.inner.arg_a0a1.HasAdjDiff_rule (SciLean/Core/FunctionPropositions/HasAdjDiff.lean)

State before:
K✝ : Type ?u.82437
inst✝¹⁹ : RCLike K✝
X✝¹ : Type ?u.82443
inst✝¹⁸ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝¹
Y✝¹ : Type ?u.82456
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.82467
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.82478
inst✝¹⁵ : IndexType ι✝
inst✝¹⁴ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹³ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.82505
inst✝¹² : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type ?u.82521
inst✝¹¹ : RCLike K
X✝ : Type ?u.82527
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpace K X✝
Y✝ : Type ?u.82540
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.82551
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.82562
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.82573
inst✝⁶ : IndexType ι
inst✝⁵ : LawfulIndexType ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.82600
inst✝³ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
R : Type u_1
inst✝² : RealScalar R
X : Type u_2
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace R X
Y : Type u_3
inst✝ : SemiHilbert R Y
f g : X → Y
hf : HasAdjDiff R f
hg : HasAdjDiff R g
⊢ HasAdjDiff R fun x => ⟪f x, g x⟫_R
Tactic:
intro x
State after:
K✝ : Type ?u.82437
inst✝¹⁹ : RCLike K✝
X✝¹ : Type ?u.82443
inst✝¹⁸ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝¹
Y✝¹ : Type ?u.82456
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.82467
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.82478
inst✝¹⁵ : IndexType ι✝
inst✝¹⁴ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹³ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.82505
inst✝¹² : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type ?u.82521
inst✝¹¹ : RCLike K
X✝ : Type ?u.82527
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpace K X✝
Y✝ : Type ?u.82540
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.82551
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.82562
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.82573
inst✝⁶ : IndexType ι
inst✝⁵ : LawfulIndexType ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.82600
inst✝³ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
R : Type u_1
inst✝² : RealScalar R
X : Type u_2
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace R X
Y : Type u_3
inst✝ : SemiHilbert R Y
f g : X → Y
hf : HasAdjDiff R f
hg : HasAdjDiff R g
x : X
⊢ HasAdjDiffAt R (fun x => ⟪f x, g x⟫_R) x

State before:
K✝ : Type ?u.82437
inst✝¹⁹ : RCLike K✝
X✝¹ : Type ?u.82443
inst✝¹⁸ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝¹
Y✝¹ : Type ?u.82456
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.82467
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.82478
inst✝¹⁵ : IndexType ι✝
inst✝¹⁴ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹³ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.82505
inst✝¹² : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type ?u.82521
inst✝¹¹ : RCLike K
X✝ : Type ?u.82527
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpace K X✝
Y✝ : Type ?u.82540
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.82551
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.82562
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.82573
inst✝⁶ : IndexType ι
inst✝⁵ : LawfulIndexType ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.82600
inst✝³ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
R : Type u_1
inst✝² : RealScalar R
X : Type u_2
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace R X
Y : Type u_3
inst✝ : SemiHilbert R Y
f g : X → Y
hf : HasAdjDiff R f
hg : HasAdjDiff R g
x : X
⊢ HasAdjDiffAt R (fun x => ⟪f x, g x⟫_R) x
Tactic:
fun_prop
State after:
no goals