Theorem: LO.FirstOrder.Semiterm.val_fix (Logic/FirstOrder/Basic/Semantics/Semantics.lean)

State before:
n n₁ n₂ : ℕ
L : Language
μ : Type v
μ₁ : Type v₁
μ₂ : Type v₂
M : Type w
s : Structure L M
e : Fin n → M
e₁ : Fin n₁ → M
e₂ : Fin n₂ → M
ε✝ : μ → M
ε₁ : μ₁ → M
ε₂ : μ₂ → M
ε : ℕ → M
a : M
t : SyntacticSemiterm L n
⊢ val s (e <: a) ε (Rew.fix t) = val s e (a :>ₙ ε) t
Tactic:
simp [val_rew]
State after:
n n₁ n₂ : ℕ
L : Language
μ : Type v
μ₁ : Type v₁
μ₂ : Type v₂
M : Type w
s : Structure L M
e : Fin n → M
e₁ : Fin n₁ → M
e₂ : Fin n₂ → M
ε✝ : μ → M
ε₁ : μ₁ → M
ε₂ : μ₂ → M
ε : ℕ → M
a : M
t : SyntacticSemiterm L n
⊢ val s (val s (e <: a) ε ∘ ⇑Rew.fix ∘ bvar) (val s (e <: a) ε ∘ ⇑Rew.fix ∘ fvar) t = val s e (a :>ₙ ε) t

State before:
n n₁ n₂ : ℕ
L : Language
μ : Type v
μ₁ : Type v₁
μ₂ : Type v₂
M : Type w
s : Structure L M
e : Fin n → M
e₁ : Fin n₁ → M
e₂ : Fin n₂ → M
ε✝ : μ → M
ε₁ : μ₁ → M
ε₂ : μ₂ → M
ε : ℕ → M
a : M
t : SyntacticSemiterm L n
⊢ val s (val s (e <: a) ε ∘ ⇑Rew.fix ∘ bvar) (val s (e <: a) ε ∘ ⇑Rew.fix ∘ fvar) t = val s e (a :>ₙ ε) t
Tactic:
congr <;> simp [Function.comp]
State after:
case e_ε
n n₁ n₂ : ℕ
L : Language
μ : Type v
μ₁ : Type v₁
μ₂ : Type v₂
M : Type w
s : Structure L M
e : Fin n → M
e₁ : Fin n₁ → M
e₂ : Fin n₂ → M
ε✝ : μ → M
ε₁ : μ₁ → M
ε₂ : μ₂ → M
ε : ℕ → M
a : M
t : SyntacticSemiterm L n
⊢ (fun x => val s (e <: a) ε (Rew.fix &x)) = a :>ₙ ε

State before:
case e_ε
n n₁ n₂ : ℕ
L : Language
μ : Type v
μ₁ : Type v₁
μ₂ : Type v₂
M : Type w
s : Structure L M
e : Fin n → M
e₁ : Fin n₁ → M
e₂ : Fin n₂ → M
ε✝ : μ → M
ε₁ : μ₁ → M
ε₂ : μ₂ → M
ε : ℕ → M
a : M
t : SyntacticSemiterm L n
⊢ (fun x => val s (e <: a) ε (Rew.fix &x)) = a :>ₙ ε
Tactic:
exact funext (Nat.cases (by simp) (by simp))
State after:
no goals

State before:
n n₁ n₂ : ℕ
L : Language
μ : Type v
μ₁ : Type v₁
μ₂ : Type v₂
M : Type w
s : Structure L M
e : Fin n → M
e₁ : Fin n₁ → M
e₂ : Fin n₂ → M
ε✝ : μ → M
ε₁ : μ₁ → M
ε₂ : μ₂ → M
ε : ℕ → M
a : M
t : SyntacticSemiterm L n
⊢ val s (e <: a) ε (Rew.fix &0) = (a :>ₙ ε) 0
Tactic:
simp
State after:
no goals

State before:
n n₁ n₂ : ℕ
L : Language
μ : Type v
μ₁ : Type v₁
μ₂ : Type v₂
M : Type w
s : Structure L M
e : Fin n → M
e₁ : Fin n₁ → M
e₂ : Fin n₂ → M
ε✝ : μ → M
ε₁ : μ₁ → M
ε₂ : μ₂ → M
ε : ℕ → M
a : M
t : SyntacticSemiterm L n
⊢ ∀ (n_1 : ℕ), val s (e <: a) ε (Rew.fix &(n_1 + 1)) = (a :>ₙ ε) (n_1 + 1)
Tactic:
simp
State after:
no goals