Theorem: SciLean.IndexType.sum.arg_f.HasAdjDiffAt_rule (SciLean/Core/FunctionPropositions/HasAdjDiff.lean)

State before:
K✝ : Type ?u.70635
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.70641
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.70654
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.70665
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.70676
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.70703
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.70749
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.70760
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.70798
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiffAt K (fun x => f x i) x
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x =>  ∑ i, f x i) x
Tactic:
constructor
State after:
case left
K✝ : Type ?u.70635
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.70641
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.70654
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.70665
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.70676
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.70703
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.70749
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.70760
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.70798
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiffAt K (fun x => f x i) x
⊢ CDifferentiableAt K (fun x =>  ∑ i, f x i) x

case right
K✝ : Type ?u.70635
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.70641
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.70654
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.70665
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.70676
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.70703
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.70749
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.70760
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.70798
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiffAt K (fun x => f x i) x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x =>  ∑ i, f x i) x)

State before:
case left
K✝ : Type ?u.70635
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.70641
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.70654
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.70665
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.70676
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.70703
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.70749
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.70760
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.70798
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiffAt K (fun x => f x i) x
⊢ CDifferentiableAt K (fun x =>  ∑ i, f x i) x

case right
K✝ : Type ?u.70635
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.70641
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.70654
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.70665
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.70676
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.70703
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.70749
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.70760
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.70798
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiffAt K (fun x => f x i) x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x =>  ∑ i, f x i) x)
Tactic:
fun_prop
State after:
case right
K✝ : Type ?u.70635
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.70641
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.70654
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.70665
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.70676
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.70703
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.70749
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.70760
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.70798
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiffAt K (fun x => f x i) x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x =>  ∑ i, f x i) x)

State before:
case right
K✝ : Type ?u.70635
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.70641
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.70654
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.70665
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.70676
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.70703
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.70749
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.70760
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.70798
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiffAt K (fun x => f x i) x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x =>  ∑ i, f x i) x)
Tactic:
fun_trans
State after:
case right
K✝ : Type ?u.70635
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.70641
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.70654
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.70665
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.70676
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.70703
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.70749
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.70760
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.70798
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiffAt K (fun x => f x i) x
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx =>  ∑ i, cderiv K (fun x => f x i) x dx

State before:
case right
K✝ : Type ?u.70635
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.70641
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.70654
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.70665
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.70676
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.70703
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.70749
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.70760
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.70798
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → ι → Y
hf : ∀ (i : ι), HasAdjDiffAt K (fun x => f x i) x
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx =>  ∑ i, cderiv K (fun x => f x i) x dx
Tactic:
fun_prop
State after:
no goals