Theorem: Matroid.Indep.cl_inter_eq_self_of_subset (Matroid/Closure.lean)

State before:
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : Matroid α
F I J X Y B C R : Set α
e f x y : α
hI : M.Indep I
hJI : J ⊆ I
⊢ M.cl J ∩ I = J
Tactic:
have hJ := hI.subset hJI
State after:
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : Matroid α
F I J X Y B C R : Set α
e f x y : α
hI : M.Indep I
hJI : J ⊆ I
hJ : M.Indep J
⊢ M.cl J ∩ I = J

State before:
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : Matroid α
F I J X Y B C R : Set α
e f x y : α
hI : M.Indep I
hJI : J ⊆ I
hJ : M.Indep J
⊢ M.cl J ∩ I = J
Tactic:
rw [subset_antisymm_iff, and_iff_left (subset_inter (M.subset_cl _) hJI)]
State after:
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : Matroid α
F I J X Y B C R : Set α
e f x y : α
hI : M.Indep I
hJI : J ⊆ I
hJ : M.Indep J
⊢ M.cl J ∩ I ⊆ J

State before:
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : Matroid α
F I J X Y B C R : Set α
e f x y : α
hI : M.Indep I
hJI : J ⊆ I
hJ : M.Indep J
⊢ M.cl J ∩ I ⊆ J
Tactic:
rintro e ⟨heJ, heI⟩
State after:
case intro
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : Matroid α
F I J X Y B C R : Set α
e✝ f x y : α
hI : M.Indep I
hJI : J ⊆ I
hJ : M.Indep J
e : α
heJ : e ∈ M.cl J
heI : e ∈ I
⊢ e ∈ J

State before:
case intro
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : Matroid α
F I J X Y B C R : Set α
e✝ f x y : α
hI : M.Indep I
hJI : J ⊆ I
hJ : M.Indep J
e : α
heJ : e ∈ M.cl J
heI : e ∈ I
⊢ e ∈ J
Tactic:
exact hJ.basis_cl.mem_of_insert_indep heJ (hI.subset (insert_subset heI hJI))
State after:
no goals