Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Exponential.one_le_ext_of_seq₀_of_seqₛ (Arithmetization/ISigmaZero/Exponential/Exp.lean)

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
⊢ 1 ≤ ext i X
Tactic:
induction i using order_induction_iSigmaZero
State after:
case hP
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
⊢ 𝚺₀-Predicate fun {i} => i ≠ 2 → i ≤ y ^ 2 → PPow2 i → 1 ≤ ext i X

case ind
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
x✝ : M
a✝ : ∀ y_1 < x✝, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 1 ≤ ext y_1 X
ne2 : x✝ ≠ 2
hi : x✝ ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 x✝
⊢ 1 ≤ ext x✝ X

State before:
case hP
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
⊢ 𝚺₀-Predicate fun {i} => i ≠ 2 → i ≤ y ^ 2 → PPow2 i → 1 ≤ ext i X
Tactic:
definability
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 1 ≤ ext y_1 X
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
⊢ 1 ≤ ext i X
Tactic:
by_cases ne4 : i = 4
State after:
case pos
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 1 ≤ ext y_1 X
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ne4 : i = 4
⊢ 1 ≤ ext i X

case neg
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 1 ≤ ext y_1 X
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ne4 : ¬i = 4
⊢ 1 ≤ ext i X

State before:
case pos
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 1 ≤ ext y_1 X
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ne4 : i = 4
⊢ 1 ≤ ext i X
Tactic:
rcases ne4 with rfl
State after:
case pos
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
IH : ∀ y_1 < 4, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 1 ≤ ext y_1 X
ne2 : 4 ≠ 2
hi : 4 ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 4
⊢ 1 ≤ ext 4 X

State before:
case pos
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
IH : ∀ y_1 < 4, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 1 ≤ ext y_1 X
ne2 : 4 ≠ 2
hi : 4 ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 4
⊢ 1 ≤ ext 4 X
Tactic:
simp [h₀.1, h₀.2, one_lt_two]
State after:
no goals

State before:
case neg
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 1 ≤ ext y_1 X
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ne4 : ¬i = 4
⊢ 1 ≤ ext i X
Tactic:
have IH : 1 ≤ ext (√i) X :=
IH (√i) (sqrt_lt_self_of_one_lt ppi.one_lt) (ppi.sqrt_ne_two ne2 ne4) (le_trans (by simp) hi) (ppi.sqrt ne2)
State after:
case neg
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH✝ : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 1 ≤ ext y_1 X
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ne4 : ¬i = 4
IH : 1 ≤ ext (√i) X
⊢ 1 ≤ ext i X

State before:
case neg
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH✝ : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 1 ≤ ext y_1 X
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ne4 : ¬i = 4
IH : 1 ≤ ext (√i) X
⊢ 1 ≤ ext i X
Tactic:
rcases show Seqₛ.Even X Y (√i) ∨ Seqₛ.Odd X Y (√i) from
  hₛ (√i) (sqrt_le_of_le_sq $ hi) (ppi.sqrt_ne_two ne2 ne4) (ppi.sqrt ne2) with (heven | hodd)
State after:
case neg.inl
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH✝ : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 1 ≤ ext y_1 X
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ne4 : ¬i = 4
IH : 1 ≤ ext (√i) X
heven : Seqₛ.Even X Y (√i)
⊢ 1 ≤ ext i X

case neg.inr
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH✝ : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 1 ≤ ext y_1 X
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ne4 : ¬i = 4
IH : 1 ≤ ext (√i) X
hodd : Seqₛ.Odd X Y (√i)
⊢ 1 ≤ ext i X

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 1 ≤ ext y_1 X
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ne4 : ¬i = 4
⊢ √i ≤ i
Tactic:
simp
State after:
no goals

State before:
case neg.inl
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH✝ : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 1 ≤ ext y_1 X
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ne4 : ¬i = 4
IH : 1 ≤ ext (√i) X
heven : Seqₛ.Even X Y (√i)
⊢ 1 ≤ ext i X
Tactic:
have : ext i X = 2 * ext (√i) X := by simpa [ppi.sq_sqrt_eq ne2] using heven.1
State after:
case neg.inl
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH✝ : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 1 ≤ ext y_1 X
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ne4 : ¬i = 4
IH : 1 ≤ ext (√i) X
heven : Seqₛ.Even X Y (√i)
this : ext i X = 2 * ext (√i) X
⊢ 1 ≤ ext i X

State before:
case neg.inl
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH✝ : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 1 ≤ ext y_1 X
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ne4 : ¬i = 4
IH : 1 ≤ ext (√i) X
heven : Seqₛ.Even X Y (√i)
this : ext i X = 2 * ext (√i) X
⊢ 1 ≤ ext i X
Tactic:
exact le_trans IH (by simp [this])
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH✝ : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 1 ≤ ext y_1 X
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ne4 : ¬i = 4
IH : 1 ≤ ext (√i) X
heven : Seqₛ.Even X Y (√i)
⊢ ext i X = 2 * ext (√i) X
Tactic:
simpa [ppi.sq_sqrt_eq ne2] using heven.1
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH✝ : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 1 ≤ ext y_1 X
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ne4 : ¬i = 4
IH : 1 ≤ ext (√i) X
heven : Seqₛ.Even X Y (√i)
this : ext i X = 2 * ext (√i) X
⊢ ext (√i) X ≤ ext i X
Tactic:
simp [this]
State after:
no goals

State before:
case neg.inr
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH✝ : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 1 ≤ ext y_1 X
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ne4 : ¬i = 4
IH : 1 ≤ ext (√i) X
hodd : Seqₛ.Odd X Y (√i)
⊢ 1 ≤ ext i X
Tactic:
have : ext i X = 2 * ext (√i) X + 1 := by simpa [ppi.sq_sqrt_eq ne2] using hodd.1
State after:
case neg.inr
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH✝ : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 1 ≤ ext y_1 X
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ne4 : ¬i = 4
IH : 1 ≤ ext (√i) X
hodd : Seqₛ.Odd X Y (√i)
this : ext i X = 2 * ext (√i) X + 1
⊢ 1 ≤ ext i X

State before:
case neg.inr
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH✝ : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 1 ≤ ext y_1 X
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ne4 : ¬i = 4
IH : 1 ≤ ext (√i) X
hodd : Seqₛ.Odd X Y (√i)
this : ext i X = 2 * ext (√i) X + 1
⊢ 1 ≤ ext i X
Tactic:
simp [this]
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH✝ : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 1 ≤ ext y_1 X
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ne4 : ¬i = 4
IH : 1 ≤ ext (√i) X
hodd : Seqₛ.Odd X Y (√i)
⊢ ext i X = 2 * ext (√i) X + 1
Tactic:
simpa [ppi.sq_sqrt_eq ne2] using hodd.1
State after:
no goals