Theorem: Arith.Model.DefinedFunction.of_eq (Arithmetization/Definability/Hierarchy.lean)

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
f g : (Fin k → M) → M
h : ∀ (x : Fin k → M), f x = g x
p : HSemisentence L (k + 1) Γ
H : DefinedFunction L Γ f p
⊢ ∀ (x : Fin k.succ → M), (x 0 = g fun x_1 => x x_1.succ) ↔ x 0 = f fun x_1 => x x_1.succ
Tactic:
intro
State after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
f g : (Fin k → M) → M
h : ∀ (x : Fin k → M), f x = g x
p : HSemisentence L (k + 1) Γ
H : DefinedFunction L Γ f p
x✝ : Fin k.succ → M
⊢ (x✝ 0 = g fun x => x✝ x.succ) ↔ x✝ 0 = f fun x => x✝ x.succ

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
f g : (Fin k → M) → M
h : ∀ (x : Fin k → M), f x = g x
p : HSemisentence L (k + 1) Γ
H : DefinedFunction L Γ f p
x✝ : Fin k.succ → M
⊢ (x✝ 0 = g fun x => x✝ x.succ) ↔ x✝ 0 = f fun x => x✝ x.succ
Tactic:
simp [h]
State after:
no goals