Theorem: MvPowerSeries.scale_algHom_comp (DividedPowers/ForMathlib/MvPowerSeries/Substitutions.lean)

State before:
σ : Type u_1
inst✝²³ : DecidableEq σ
A : Type u_2
inst✝²² : CommSemiring A
R : Type u_3
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : Algebra A R
τ : Type u_4
inst✝¹⁹ : DecidableEq τ
S : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : Algebra A S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A R S
a✝ : σ → MvPowerSeries τ S
ha : SubstDomain a✝
T✝ : Type u_6
inst✝¹⁴ : CommRing T✝
inst✝¹³ : UniformSpace T✝
inst✝¹² : T2Space T✝
inst✝¹¹ : CompleteSpace T✝
inst✝¹⁰ : UniformAddGroup T✝
inst✝⁹ : TopologicalRing T✝
inst✝⁸ : LinearTopology T✝
inst✝⁷ : Algebra R T✝
inst✝⁶ : Algebra S T✝
inst✝⁵ : IsScalarTower R S T✝
ε : MvPowerSeries τ S →ₐ[R] T✝
υ : Type u_7
inst✝⁴ : DecidableEq υ
T : Type u_8
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
b✝ : τ → MvPowerSeries υ T
hb : SubstDomain b✝
a b : σ → A
⊢ (scale_algHom R a).comp (scale_algHom R b) = scale_algHom R (a * b)
Tactic:
rw [AlgHom.ext_iff]
State after:
σ : Type u_1
inst✝²³ : DecidableEq σ
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inst✝²² : CommSemiring A
R : Type u_3
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hb : SubstDomain b✝
a b : σ → A
⊢ ∀ (x : MvPowerSeries σ R), ((scale_algHom R a).comp (scale_algHom R b)) x = (scale_algHom R (a * b)) x

State before:
σ : Type u_1
inst✝²³ : DecidableEq σ
A : Type u_2
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τ : Type u_4
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a b : σ → A
⊢ ∀ (x : MvPowerSeries σ R), ((scale_algHom R a).comp (scale_algHom R b)) x = (scale_algHom R (a * b)) x
Tactic:
intro f
State after:
σ : Type u_1
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⊢ ((scale_algHom R a).comp (scale_algHom R b)) f = (scale_algHom R (a * b)) f

State before:
σ : Type u_1
inst✝²³ : DecidableEq σ
A : Type u_2
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⊢ ((scale_algHom R a).comp (scale_algHom R b)) f = (scale_algHom R (a * b)) f
Tactic:
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State after:
σ : Type u_1
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State before:
σ : Type u_1
inst✝²³ : DecidableEq σ
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τ : Type u_4
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T✝ : Type u_6
inst✝¹⁴ : CommRing T✝
inst✝¹³ : UniformSpace T✝
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⊢ (substAlgHom ⋯) ((substAlgHom ⋯) f) = (substAlgHom ⋯) f
Tactic:
rw [substAlgHom_comp_substAlgHom_apply]
State after:
σ : Type u_1
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inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : Algebra A R
τ : Type u_4
inst✝¹⁹ : DecidableEq τ
S : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : Algebra A S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A R S
a✝ : σ → MvPowerSeries τ S
ha : SubstDomain a✝
T✝ : Type u_6
inst✝¹⁴ : CommRing T✝
inst✝¹³ : UniformSpace T✝
inst✝¹² : T2Space T✝
inst✝¹¹ : CompleteSpace T✝
inst✝¹⁰ : UniformAddGroup T✝
inst✝⁹ : TopologicalRing T✝
inst✝⁸ : LinearTopology T✝
inst✝⁷ : Algebra R T✝
inst✝⁶ : Algebra S T✝
inst✝⁵ : IsScalarTower R S T✝
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⊢ (substAlgHom ⋯) f = (substAlgHom ⋯) f

State before:
σ : Type u_1
inst✝²³ : DecidableEq σ
A : Type u_2
inst✝²² : CommSemiring A
R : Type u_3
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inst✝²⁰ : Algebra A R
τ : Type u_4
inst✝¹⁹ : DecidableEq τ
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inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : Algebra A S
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ha : SubstDomain a✝
T✝ : Type u_6
inst✝¹⁴ : CommRing T✝
inst✝¹³ : UniformSpace T✝
inst✝¹² : T2Space T✝
inst✝¹¹ : CompleteSpace T✝
inst✝¹⁰ : UniformAddGroup T✝
inst✝⁹ : TopologicalRing T✝
inst✝⁸ : LinearTopology T✝
inst✝⁷ : Algebra R T✝
inst✝⁶ : Algebra S T✝
inst✝⁵ : IsScalarTower R S T✝
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hb : SubstDomain b✝
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⊢ (substAlgHom ⋯) f = (substAlgHom ⋯) f
Tactic:
congr
State after:
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inst✝¹⁴ : CommRing T✝
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State before:
case e_a.e_a
σ : Type u_1
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inst✝¹⁴ : CommRing T✝
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⊢ (fun s => (substAlgHom ⋯) ((b • X) s)) = (a * b) • X
Tactic:
rw [Function.funext_iff]
State after:
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⊢ ∀ (a_1 : σ), (substAlgHom ⋯) ((b • X) a_1) = ((a * b) • X) a_1
Tactic:
intro s
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simp only [Pi.smul_apply', Pi.mul_apply]
State after:
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State before:
case e_a.e_a
σ : Type u_1
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inst✝²⁰ : Algebra A R
τ : Type u_4
inst✝¹⁹ : DecidableEq τ
S : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : Algebra A S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A R S
a✝ : σ → MvPowerSeries τ S
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T✝ : Type u_6
inst✝¹⁴ : CommRing T✝
inst✝¹³ : UniformSpace T✝
inst✝¹² : T2Space T✝
inst✝¹¹ : CompleteSpace T✝
inst✝¹⁰ : UniformAddGroup T✝
inst✝⁹ : TopologicalRing T✝
inst✝⁸ : LinearTopology T✝
inst✝⁷ : Algebra R T✝
inst✝⁶ : Algebra S T✝
inst✝⁵ : IsScalarTower R S T✝
ε : MvPowerSeries τ S →ₐ[R] T✝
υ : Type u_7
inst✝⁴ : DecidableEq υ
T : Type u_8
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⊢ (substAlgHom ⋯) (b s • X s) = (a s * b s) • X s
Tactic:
rw [AlgHom.map_smul_of_tower]
State after:
case e_a.e_a
σ : Type u_1
inst✝²³ : DecidableEq σ
A : Type u_2
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R : Type u_3
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inst✝²⁰ : Algebra A R
τ : Type u_4
inst✝¹⁹ : DecidableEq τ
S : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : Algebra A S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A R S
a✝ : σ → MvPowerSeries τ S
ha : SubstDomain a✝
T✝ : Type u_6
inst✝¹⁴ : CommRing T✝
inst✝¹³ : UniformSpace T✝
inst✝¹² : T2Space T✝
inst✝¹¹ : CompleteSpace T✝
inst✝¹⁰ : UniformAddGroup T✝
inst✝⁹ : TopologicalRing T✝
inst✝⁸ : LinearTopology T✝
inst✝⁷ : Algebra R T✝
inst✝⁶ : Algebra S T✝
inst✝⁵ : IsScalarTower R S T✝
ε : MvPowerSeries τ S →ₐ[R] T✝
υ : Type u_7
inst✝⁴ : DecidableEq υ
T : Type u_8
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
b✝ : τ → MvPowerSeries υ T
hb : SubstDomain b✝
a b : σ → A
f : MvPowerSeries σ R
s : σ
⊢ b s • (substAlgHom ⋯) (X s) = (a s * b s) • X s

State before:
case e_a.e_a
σ : Type u_1
inst✝²³ : DecidableEq σ
A : Type u_2
inst✝²² : CommSemiring A
R : Type u_3
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : Algebra A R
τ : Type u_4
inst✝¹⁹ : DecidableEq τ
S : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : Algebra A S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A R S
a✝ : σ → MvPowerSeries τ S
ha : SubstDomain a✝
T✝ : Type u_6
inst✝¹⁴ : CommRing T✝
inst✝¹³ : UniformSpace T✝
inst✝¹² : T2Space T✝
inst✝¹¹ : CompleteSpace T✝
inst✝¹⁰ : UniformAddGroup T✝
inst✝⁹ : TopologicalRing T✝
inst✝⁸ : LinearTopology T✝
inst✝⁷ : Algebra R T✝
inst✝⁶ : Algebra S T✝
inst✝⁵ : IsScalarTower R S T✝
ε : MvPowerSeries τ S →ₐ[R] T✝
υ : Type u_7
inst✝⁴ : DecidableEq υ
T : Type u_8
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
b✝ : τ → MvPowerSeries υ T
hb : SubstDomain b✝
a b : σ → A
f : MvPowerSeries σ R
s : σ
⊢ b s • (substAlgHom ⋯) (X s) = (a s * b s) • X s
Tactic:
rw [← MvPolynomial.coe_X, substAlgHom_coe, MvPolynomial.aeval_X, MvPolynomial.coe_X]
State after:
case e_a.e_a
σ : Type u_1
inst✝²³ : DecidableEq σ
A : Type u_2
inst✝²² : CommSemiring A
R : Type u_3
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : Algebra A R
τ : Type u_4
inst✝¹⁹ : DecidableEq τ
S : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : Algebra A S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A R S
a✝ : σ → MvPowerSeries τ S
ha : SubstDomain a✝
T✝ : Type u_6
inst✝¹⁴ : CommRing T✝
inst✝¹³ : UniformSpace T✝
inst✝¹² : T2Space T✝
inst✝¹¹ : CompleteSpace T✝
inst✝¹⁰ : UniformAddGroup T✝
inst✝⁹ : TopologicalRing T✝
inst✝⁸ : LinearTopology T✝
inst✝⁷ : Algebra R T✝
inst✝⁶ : Algebra S T✝
inst✝⁵ : IsScalarTower R S T✝
ε : MvPowerSeries τ S →ₐ[R] T✝
υ : Type u_7
inst✝⁴ : DecidableEq υ
T : Type u_8
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
b✝ : τ → MvPowerSeries υ T
hb : SubstDomain b✝
a b : σ → A
f : MvPowerSeries σ R
s : σ
⊢ b s • (a • X) s = (a s * b s) • X s

State before:
case e_a.e_a
σ : Type u_1
inst✝²³ : DecidableEq σ
A : Type u_2
inst✝²² : CommSemiring A
R : Type u_3
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : Algebra A R
τ : Type u_4
inst✝¹⁹ : DecidableEq τ
S : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : Algebra A S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A R S
a✝ : σ → MvPowerSeries τ S
ha : SubstDomain a✝
T✝ : Type u_6
inst✝¹⁴ : CommRing T✝
inst✝¹³ : UniformSpace T✝
inst✝¹² : T2Space T✝
inst✝¹¹ : CompleteSpace T✝
inst✝¹⁰ : UniformAddGroup T✝
inst✝⁹ : TopologicalRing T✝
inst✝⁸ : LinearTopology T✝
inst✝⁷ : Algebra R T✝
inst✝⁶ : Algebra S T✝
inst✝⁵ : IsScalarTower R S T✝
ε : MvPowerSeries τ S →ₐ[R] T✝
υ : Type u_7
inst✝⁴ : DecidableEq υ
T : Type u_8
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
b✝ : τ → MvPowerSeries υ T
hb : SubstDomain b✝
a b : σ → A
f : MvPowerSeries σ R
s : σ
⊢ b s • (a • X) s = (a s * b s) • X s
Tactic:
simp only [Pi.smul_apply', algebraMap_smul]
State after:
case e_a.e_a
σ : Type u_1
inst✝²³ : DecidableEq σ
A : Type u_2
inst✝²² : CommSemiring A
R : Type u_3
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : Algebra A R
τ : Type u_4
inst✝¹⁹ : DecidableEq τ
S : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : Algebra A S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A R S
a✝ : σ → MvPowerSeries τ S
ha : SubstDomain a✝
T✝ : Type u_6
inst✝¹⁴ : CommRing T✝
inst✝¹³ : UniformSpace T✝
inst✝¹² : T2Space T✝
inst✝¹¹ : CompleteSpace T✝
inst✝¹⁰ : UniformAddGroup T✝
inst✝⁹ : TopologicalRing T✝
inst✝⁸ : LinearTopology T✝
inst✝⁷ : Algebra R T✝
inst✝⁶ : Algebra S T✝
inst✝⁵ : IsScalarTower R S T✝
ε : MvPowerSeries τ S →ₐ[R] T✝
υ : Type u_7
inst✝⁴ : DecidableEq υ
T : Type u_8
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
b✝ : τ → MvPowerSeries υ T
hb : SubstDomain b✝
a b : σ → A
f : MvPowerSeries σ R
s : σ
⊢ b s • a s • X s = (a s * b s) • X s

State before:
case e_a.e_a
σ : Type u_1
inst✝²³ : DecidableEq σ
A : Type u_2
inst✝²² : CommSemiring A
R : Type u_3
inst✝²¹ : CommRing R
inst✝²⁰ : Algebra A R
τ : Type u_4
inst✝¹⁹ : DecidableEq τ
S : Type u_5
inst✝¹⁸ : CommRing S
inst✝¹⁷ : Algebra A S
inst✝¹⁶ : Algebra R S
inst✝¹⁵ : IsScalarTower A R S
a✝ : σ → MvPowerSeries τ S
ha : SubstDomain a✝
T✝ : Type u_6
inst✝¹⁴ : CommRing T✝
inst✝¹³ : UniformSpace T✝
inst✝¹² : T2Space T✝
inst✝¹¹ : CompleteSpace T✝
inst✝¹⁰ : UniformAddGroup T✝
inst✝⁹ : TopologicalRing T✝
inst✝⁸ : LinearTopology T✝
inst✝⁷ : Algebra R T✝
inst✝⁶ : Algebra S T✝
inst✝⁵ : IsScalarTower R S T✝
ε : MvPowerSeries τ S →ₐ[R] T✝
υ : Type u_7
inst✝⁴ : DecidableEq υ
T : Type u_8
inst✝³ : CommRing T
inst✝² : Algebra R T
inst✝¹ : Algebra S T
inst✝ : IsScalarTower R S T
b✝ : τ → MvPowerSeries υ T
hb : SubstDomain b✝
a b : σ → A
f : MvPowerSeries σ R
s : σ
⊢ b s • a s • X s = (a s * b s) • X s
Tactic:
rw [← mul_smul, mul_comm]
State after:
no goals