Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₁ (Arithmetization/Definability/Definability.lean)

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
⊢ Definable L Γ fun v => P (f v)
Tactic:
rcases hf.bounded with ⟨bf, hbf⟩
State after:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
⊢ Definable L Γ fun v => P (f v)

State before:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
⊢ Definable L Γ fun v => P (f v)
Tactic:
have : Definable L Γ fun v ↦ ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z :=
  bex_le₀ (by simp) (and hf.definable <| hP.retraction (fun _ ↦ 0))
State after:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
this : Definable L Γ fun v => ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
⊢ Definable L Γ fun v => P (f v)

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
⊢ DefinableBoundedFunction L Γ fun v => Semiterm.valm M v id bf
Tactic:
simp
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
this : Definable L Γ fun v => ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
⊢ ∀ (x : Fin k → M), P (f x) ↔ ∃ z ≤ Semiterm.valm M x id bf, z = f x ∧ P z
Tactic:
intro v
State after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
this : Definable L Γ fun v => ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
v : Fin k → M
⊢ P (f v) ↔ ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
this : Definable L Γ fun v => ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
v : Fin k → M
⊢ P (f v) ↔ ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
Tactic:
constructor
State after:
case mp
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
this : Definable L Γ fun v => ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
v : Fin k → M
⊢ P (f v) → ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z

case mpr
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
this : Definable L Γ fun v => ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
v : Fin k → M
⊢ (∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z) → P (f v)

State before:
case mp
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
this : Definable L Γ fun v => ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
v : Fin k → M
⊢ P (f v) → ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
Tactic:
intro h
State after:
case mp
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
this : Definable L Γ fun v => ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
v : Fin k → M
h : P (f v)
⊢ ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z

State before:
case mp
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
this : Definable L Γ fun v => ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
v : Fin k → M
h : P (f v)
⊢ ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
Tactic:
exact ⟨f v, hbf v, rfl, h⟩
State after:
no goals

State before:
case mpr
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
this : Definable L Γ fun v => ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
v : Fin k → M
⊢ (∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z) → P (f v)
Tactic:
rintro ⟨_, _, rfl, h⟩
State after:
case mpr.intro.intro.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
this : Definable L Γ fun v => ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
v : Fin k → M
left✝ : f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
h : P (f v)
⊢ P (f v)

State before:
case mpr.intro.intro.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P : M → Prop
f : (Fin k → M) → M
hP : DefinablePred L Γ P
hf : DefinableBoundedFunction L Γ f
bf : Semiterm L M k
hbf : ∀ (v : Fin k → M), f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
this : Definable L Γ fun v => ∃ z ≤ Semiterm.valm M v id bf, z = f v ∧ P z
v : Fin k → M
left✝ : f v ≤ Semiterm.valm M v id bf
h : P (f v)
⊢ P (f v)
Tactic:
exact h
State after:
no goals