Theorem: SciLean.fwdDeriv.pi_rule_at (SciLean/Core/FunctionTransformations/FwdDeriv.lean)

State before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.19078
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.19089
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.19100
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f : X → (i : ι) → E i
hf : ∀ (i : ι), CDifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ fwdDeriv K (fun x i => f x i) x = fun dx => (fun i => f x i, fun i => (fwdDeriv K (fun x => f x i) x dx).2)
Tactic:
unfold fwdDeriv
State after:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.19078
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.19089
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.19100
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f : X → (i : ι) → E i
hf : ∀ (i : ι), CDifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ (fun dx => ((fun x i => f x i) x, cderiv K (fun x i => f x i) x dx)) = fun dx =>
    (fun i => f x i, fun i => ((fun x => f x i) x, cderiv K (fun x => f x i) x dx).2)

State before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.19078
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.19089
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.19100
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f : X → (i : ι) → E i
hf : ∀ (i : ι), CDifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ (fun dx => ((fun x i => f x i) x, cderiv K (fun x i => f x i) x dx)) = fun dx =>
    (fun i => f x i, fun i => ((fun x => f x i) x, cderiv K (fun x => f x i) x dx).2)
Tactic:
fun_trans
State after:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.19078
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.19089
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.19100
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f : X → (i : ι) → E i
hf : ∀ (i : ι), CDifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ (fun dx => (fun i => f x i, cderiv K (fun x i => f x i) x dx)) = fun dx =>
    (fun i => f x i, fun i => cderiv K (fun x => f x i) x dx)

State before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.19078
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.19089
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.19100
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f : X → (i : ι) → E i
hf : ∀ (i : ι), CDifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ (fun dx => (fun i => f x i, cderiv K (fun x i => f x i) x dx)) = fun dx =>
    (fun i => f x i, fun i => cderiv K (fun x => f x i) x dx)
Tactic:
funext x
State after:
case h
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.19078
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.19089
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.19100
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x✝ : X
f : X → (i : ι) → E i
hf : ∀ (i : ι), CDifferentiableAt K (fun x => f x i) x✝
x : X
⊢ (fun i => f x✝ i, cderiv K (fun x i => f x i) x✝ x) = (fun i => f x✝ i, fun i => cderiv K (fun x => f x i) x✝ x)

State before:
case h
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.19078
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.19089
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.19100
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x✝ : X
f : X → (i : ι) → E i
hf : ∀ (i : ι), CDifferentiableAt K (fun x => f x i) x✝
x : X
⊢ (fun i => f x✝ i, cderiv K (fun x i => f x i) x✝ x) = (fun i => f x✝ i, fun i => cderiv K (fun x => f x i) x✝ x)
Tactic:
simp
State after:
case h
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.19078
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.19089
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.19100
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x✝ : X
f : X → (i : ι) → E i
hf : ∀ (i : ι), CDifferentiableAt K (fun x => f x i) x✝
x : X
⊢ cderiv K (fun x i => f x i) x✝ x = fun i => cderiv K (fun x => f x i) x✝ x

State before:
case h
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.19078
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.19089
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.19100
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x✝ : X
f : X → (i : ι) → E i
hf : ∀ (i : ι), CDifferentiableAt K (fun x => f x i) x✝
x : X
⊢ cderiv K (fun x i => f x i) x✝ x = fun i => cderiv K (fun x => f x i) x✝ x
Tactic:
rw[cderiv.pi_rule_at (hf:=by fun_prop)]
State after:
no goals

State before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type ?u.19078
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.19089
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.19100
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type u_4
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x✝ : X
f : X → (i : ι) → E i
hf : ∀ (i : ι), CDifferentiableAt K (fun x => f x i) x✝
x : X
⊢ ∀ (i : ι), CDifferentiableAt K (fun x => f x i) x✝
Tactic:
fun_prop
State after:
no goals