Theorem: DividedPowers.generated_dpow_isSubIdeal (DividedPowers/SubDPIdeal.lean)

State before:
A : Type u_1
inst✝ : CommSemiring A
I : Ideal A
hI : DividedPowers I
S : Set A
hS : S ⊆ ↑I
⊢ Ideal.span {y | ∃ n, ∃ (_ : n ≠ 0), ∃ x, ∃ (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x} ≤ I
Tactic:
rw [Ideal.span_le]
State after:
A : Type u_1
inst✝ : CommSemiring A
I : Ideal A
hI : DividedPowers I
S : Set A
hS : S ⊆ ↑I
⊢ {y | ∃ n, ∃ (_ : n ≠ 0), ∃ x, ∃ (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x} ⊆ ↑I

State before:
A : Type u_1
inst✝ : CommSemiring A
I : Ideal A
hI : DividedPowers I
S : Set A
hS : S ⊆ ↑I
⊢ {y | ∃ n, ∃ (_ : n ≠ 0), ∃ x, ∃ (_ : x ∈ S), y = hI.dpow n x} ⊆ ↑I
Tactic:
rintro y ⟨n, hn, x, hx, hxy⟩
State after:
case intro.intro.intro.intro
A : Type u_1
inst✝ : CommSemiring A
I : Ideal A
hI : DividedPowers I
S : Set A
hS : S ⊆ ↑I
y : A
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x : A
hx : x ∈ S
hxy : y = hI.dpow n x
⊢ y ∈ ↑I

State before:
case intro.intro.intro.intro
A : Type u_1
inst✝ : CommSemiring A
I : Ideal A
hI : DividedPowers I
S : Set A
hS : S ⊆ ↑I
y : A
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x : A
hx : x ∈ S
hxy : y = hI.dpow n x
⊢ y ∈ ↑I
Tactic:
rw [hxy]
State after:
case intro.intro.intro.intro
A : Type u_1
inst✝ : CommSemiring A
I : Ideal A
hI : DividedPowers I
S : Set A
hS : S ⊆ ↑I
y : A
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x : A
hx : x ∈ S
hxy : y = hI.dpow n x
⊢ hI.dpow n x ∈ ↑I

State before:
case intro.intro.intro.intro
A : Type u_1
inst✝ : CommSemiring A
I : Ideal A
hI : DividedPowers I
S : Set A
hS : S ⊆ ↑I
y : A
n : ℕ
hn : n ≠ 0
x : A
hx : x ∈ S
hxy : y = hI.dpow n x
⊢ hI.dpow n x ∈ ↑I
Tactic:
exact hI.dpow_mem hn (hS hx)
State after:
no goals