Theorem: SciLean.SciLean.norm₂.arg_x.cderiv_rule (SciLean/Core/FunctionTransformations/CDeriv.lean)

State before:
K✝ : Type ?u.117262
inst✝²⁰ : RCLike K✝
X✝¹ : Type ?u.117268
inst✝¹⁹ : Vec K✝ X✝¹
Y✝¹ : Type ?u.117281
inst✝¹⁸ : Vec K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.117292
inst✝¹⁷ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.117303
inst✝¹⁶ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.117314
inst✝¹⁵ : IndexType ι✝
inst✝¹⁴ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹³ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.117341
inst✝¹² : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type ?u.117357
inst✝¹¹ : RCLike K
X✝ : Type ?u.117363
inst✝¹⁰ : Vec K X✝
Y✝ : Type ?u.117376
inst✝⁹ : Vec K Y✝
Z : Type ?u.117387
inst✝⁸ : Vec K Z
W : Type ?u.117398
inst✝⁷ : Vec K W
ι : Type ?u.117409
inst✝⁶ : IndexType ι
inst✝⁵ : LawfulIndexType ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.117436
inst✝³ : (i : ι) → Vec K (E i)
R : Type u_1
inst✝² : RealScalar R
X : Type u_2
inst✝¹ : Vec R X
Y : Type u_3
inst✝ : SemiHilbert R Y
f : X → Y
hf : CDifferentiable R f
hx : ∀ (x : X), f x ≠ 0
⊢ (cderiv R fun x => ‖f x‖₂[R]) = fun x dx =>
    let y := f x;
    let dy := cderiv R f x dx;
    ‖y‖₂[R]⁻¹ * ⟪dy, y⟫_R
Tactic:
funext x
State after:
case h
K✝ : Type ?u.117262
inst✝²⁰ : RCLike K✝
X✝¹ : Type ?u.117268
inst✝¹⁹ : Vec K✝ X✝¹
Y✝¹ : Type ?u.117281
inst✝¹⁸ : Vec K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.117292
inst✝¹⁷ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.117303
inst✝¹⁶ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.117314
inst✝¹⁵ : IndexType ι✝
inst✝¹⁴ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹³ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.117341
inst✝¹² : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type ?u.117357
inst✝¹¹ : RCLike K
X✝ : Type ?u.117363
inst✝¹⁰ : Vec K X✝
Y✝ : Type ?u.117376
inst✝⁹ : Vec K Y✝
Z : Type ?u.117387
inst✝⁸ : Vec K Z
W : Type ?u.117398
inst✝⁷ : Vec K W
ι : Type ?u.117409
inst✝⁶ : IndexType ι
inst✝⁵ : LawfulIndexType ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.117436
inst✝³ : (i : ι) → Vec K (E i)
R : Type u_1
inst✝² : RealScalar R
X : Type u_2
inst✝¹ : Vec R X
Y : Type u_3
inst✝ : SemiHilbert R Y
f : X → Y
hf : CDifferentiable R f
hx : ∀ (x : X), f x ≠ 0
x : X
⊢ cderiv R (fun x => ‖f x‖₂[R]) x = fun dx =>
    let y := f x;
    let dy := cderiv R f x dx;
    ‖y‖₂[R]⁻¹ * ⟪dy, y⟫_R

State before:
case h
K✝ : Type ?u.117262
inst✝²⁰ : RCLike K✝
X✝¹ : Type ?u.117268
inst✝¹⁹ : Vec K✝ X✝¹
Y✝¹ : Type ?u.117281
inst✝¹⁸ : Vec K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.117292
inst✝¹⁷ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.117303
inst✝¹⁶ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.117314
inst✝¹⁵ : IndexType ι✝
inst✝¹⁴ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹³ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.117341
inst✝¹² : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type ?u.117357
inst✝¹¹ : RCLike K
X✝ : Type ?u.117363
inst✝¹⁰ : Vec K X✝
Y✝ : Type ?u.117376
inst✝⁹ : Vec K Y✝
Z : Type ?u.117387
inst✝⁸ : Vec K Z
W : Type ?u.117398
inst✝⁷ : Vec K W
ι : Type ?u.117409
inst✝⁶ : IndexType ι
inst✝⁵ : LawfulIndexType ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.117436
inst✝³ : (i : ι) → Vec K (E i)
R : Type u_1
inst✝² : RealScalar R
X : Type u_2
inst✝¹ : Vec R X
Y : Type u_3
inst✝ : SemiHilbert R Y
f : X → Y
hf : CDifferentiable R f
hx : ∀ (x : X), f x ≠ 0
x : X
⊢ cderiv R (fun x => ‖f x‖₂[R]) x = fun dx =>
    let y := f x;
    let dy := cderiv R f x dx;
    ‖y‖₂[R]⁻¹ * ⟪dy, y⟫_R
Tactic:
rw [SciLean.norm₂.arg_x.cderiv_rule_at f x (hf x) (hx x)]
State after:
no goals