Theorem: SciLean.HSMul.hSMul.arg_a0a1.HasAdjDiffAt_rule (SciLean/Core/FunctionPropositions/HasAdjDiff.lean)

State before:
K✝ : Type ?u.55489
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.55495
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.55508
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.55519
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.55530
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.55557
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.55592
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.55603
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.55614
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.55625
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.55652
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt K f x
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => f x • g x) x
Tactic:
constructor
State after:
case left
K✝ : Type ?u.55489
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.55495
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.55508
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.55519
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.55530
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.55557
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.55592
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.55603
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.55614
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.55625
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.55652
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt K f x
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => f x • g x) x

case right
K✝ : Type ?u.55489
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.55495
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.55508
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.55519
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.55530
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.55557
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.55592
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.55603
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.55614
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.55625
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.55652
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt K f x
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => f x • g x) x)

State before:
case left
K✝ : Type ?u.55489
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.55495
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.55508
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.55519
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.55530
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.55557
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.55592
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.55603
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.55614
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.55625
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.55652
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt K f x
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => f x • g x) x

case right
K✝ : Type ?u.55489
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.55495
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.55508
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.55519
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.55530
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.55557
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.55592
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.55603
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.55614
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.55625
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.55652
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt K f x
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => f x • g x) x)
Tactic:
fun_prop
State after:
case right
K✝ : Type ?u.55489
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.55495
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.55508
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.55519
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.55530
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.55557
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.55592
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.55603
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.55614
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.55625
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.55652
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt K f x
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => f x • g x) x)

State before:
case right
K✝ : Type ?u.55489
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.55495
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.55508
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.55519
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.55530
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.55557
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.55592
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.55603
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.55614
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.55625
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.55652
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt K f x
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => f x • g x) x)
Tactic:
fun_trans
State after:
case right
K✝ : Type ?u.55489
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.55495
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.55508
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.55519
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.55530
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.55557
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.55592
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.55603
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.55614
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.55625
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.55652
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt K f x
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => f x • cderiv K (fun x => g x) x dx + cderiv K (fun x => f x) x dx • g x

State before:
case right
K✝ : Type ?u.55489
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.55495
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝¹ : Type ?u.55508
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.55519
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.55530
inst✝¹³ : IndexType ι✝
inst✝¹² : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹¹ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.55557
inst✝¹⁰ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_2
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_3
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K X
Y✝ : Type ?u.55592
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.55603
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.55614
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.55625
inst✝⁴ : IndexType ι
inst✝³ : LawfulIndexType ι
inst✝² : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.55652
inst✝¹ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
Y : Type u_1
inst✝ : SemiHilbert K Y
f : X → K
g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt K f x
hg : HasAdjDiffAt K g x
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => f x • cderiv K (fun x => g x) x dx + cderiv K (fun x => f x) x dx • g x
Tactic:
fun_prop
State after:
no goals