Theorem: SciLean.let_rule (SciLean/Core/FunctionTransformations/Broadcast.lean)

State before:
tag : Lean.Name
R : Type u_3
inst✝²⁰ : Ring R
ι : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁹ : AddCommGroup X
inst✝¹⁸ : Module R X
Y : Type u_7
inst✝¹⁷ : AddCommGroup Y
inst✝¹⁶ : Module R Y
Z : Type u_6
inst✝¹⁵ : AddCommGroup Z
inst✝¹⁴ : Module R Z
MX : Type u_1
inst✝¹³ : AddCommGroup MX
inst✝¹² : Module R MX
inst✝¹¹ : BroadcastType tag R ι X MX
MY : Type u_8
inst✝¹⁰ : AddCommGroup MY
inst✝⁹ : Module R MY
inst✝⁸ : BroadcastType tag R ι Y MY
MZ : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup MZ
inst✝⁶ : Module R MZ
inst✝⁵ : BroadcastType tag R ι Z MZ
κ : Type ?u.63075
E : κ → Type ?u.63080
ME : κ → Type ?u.63085
inst✝⁴ : (j : κ) → AddCommGroup (E j)
inst✝³ : (j : κ) → Module R (E j)
inst✝² : (j : κ) → AddCommGroup (ME j)
inst✝¹ : (j : κ) → Module R (ME j)
inst✝ : (j : κ) → BroadcastType tag R ι (E j) (ME j)
g : X → Y
f : X → Y → Z
⊢ (broadcast tag R ι fun x =>
      let y := g x;
      f x y) =
    fun mx =>
    let my := broadcast tag R ι g mx;
    let mz := broadcast tag R ι (fun xy => f xy.1 xy.2) (mx, my);
    mz
Tactic:
rw[show (fun x => let y := g x; f x y)
        =
        fun x => (fun (xy : X×Y) => f xy.1 xy.2) ((fun x' => (x', g x')) x) by rfl]
State after:
tag : Lean.Name
R : Type u_3
inst✝²⁰ : Ring R
ι : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁹ : AddCommGroup X
inst✝¹⁸ : Module R X
Y : Type u_7
inst✝¹⁷ : AddCommGroup Y
inst✝¹⁶ : Module R Y
Z : Type u_6
inst✝¹⁵ : AddCommGroup Z
inst✝¹⁴ : Module R Z
MX : Type u_1
inst✝¹³ : AddCommGroup MX
inst✝¹² : Module R MX
inst✝¹¹ : BroadcastType tag R ι X MX
MY : Type u_8
inst✝¹⁰ : AddCommGroup MY
inst✝⁹ : Module R MY
inst✝⁸ : BroadcastType tag R ι Y MY
MZ : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup MZ
inst✝⁶ : Module R MZ
inst✝⁵ : BroadcastType tag R ι Z MZ
κ : Type ?u.63075
E : κ → Type ?u.63080
ME : κ → Type ?u.63085
inst✝⁴ : (j : κ) → AddCommGroup (E j)
inst✝³ : (j : κ) → Module R (E j)
inst✝² : (j : κ) → AddCommGroup (ME j)
inst✝¹ : (j : κ) → Module R (ME j)
inst✝ : (j : κ) → BroadcastType tag R ι (E j) (ME j)
g : X → Y
f : X → Y → Z
⊢ (broadcast tag R ι fun x => (fun xy => f xy.1 xy.2) ((fun x' => (x', g x')) x)) = fun mx =>
    let my := broadcast tag R ι g mx;
    let mz := broadcast tag R ι (fun xy => f xy.1 xy.2) (mx, my);
    mz

State before:
tag : Lean.Name
R : Type u_3
inst✝²⁰ : Ring R
ι : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁹ : AddCommGroup X
inst✝¹⁸ : Module R X
Y : Type u_7
inst✝¹⁷ : AddCommGroup Y
inst✝¹⁶ : Module R Y
Z : Type u_6
inst✝¹⁵ : AddCommGroup Z
inst✝¹⁴ : Module R Z
MX : Type u_1
inst✝¹³ : AddCommGroup MX
inst✝¹² : Module R MX
inst✝¹¹ : BroadcastType tag R ι X MX
MY : Type u_8
inst✝¹⁰ : AddCommGroup MY
inst✝⁹ : Module R MY
inst✝⁸ : BroadcastType tag R ι Y MY
MZ : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup MZ
inst✝⁶ : Module R MZ
inst✝⁵ : BroadcastType tag R ι Z MZ
κ : Type ?u.63075
E : κ → Type ?u.63080
ME : κ → Type ?u.63085
inst✝⁴ : (j : κ) → AddCommGroup (E j)
inst✝³ : (j : κ) → Module R (E j)
inst✝² : (j : κ) → AddCommGroup (ME j)
inst✝¹ : (j : κ) → Module R (ME j)
inst✝ : (j : κ) → BroadcastType tag R ι (E j) (ME j)
g : X → Y
f : X → Y → Z
⊢ (broadcast tag R ι fun x => (fun xy => f xy.1 xy.2) ((fun x' => (x', g x')) x)) = fun mx =>
    let my := broadcast tag R ι g mx;
    let mz := broadcast tag R ι (fun xy => f xy.1 xy.2) (mx, my);
    mz
Tactic:
rw[comp_rule _ _]
State after:
tag : Lean.Name
R : Type u_3
inst✝²⁰ : Ring R
ι : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁹ : AddCommGroup X
inst✝¹⁸ : Module R X
Y : Type u_7
inst✝¹⁷ : AddCommGroup Y
inst✝¹⁶ : Module R Y
Z : Type u_6
inst✝¹⁵ : AddCommGroup Z
inst✝¹⁴ : Module R Z
MX : Type u_1
inst✝¹³ : AddCommGroup MX
inst✝¹² : Module R MX
inst✝¹¹ : BroadcastType tag R ι X MX
MY : Type u_8
inst✝¹⁰ : AddCommGroup MY
inst✝⁹ : Module R MY
inst✝⁸ : BroadcastType tag R ι Y MY
MZ : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup MZ
inst✝⁶ : Module R MZ
inst✝⁵ : BroadcastType tag R ι Z MZ
κ : Type ?u.63075
E : κ → Type ?u.63080
ME : κ → Type ?u.63085
inst✝⁴ : (j : κ) → AddCommGroup (E j)
inst✝³ : (j : κ) → Module R (E j)
inst✝² : (j : κ) → AddCommGroup (ME j)
inst✝¹ : (j : κ) → Module R (ME j)
inst✝ : (j : κ) → BroadcastType tag R ι (E j) (ME j)
g : X → Y
f : X → Y → Z
⊢ (broadcast tag R ι fun x => (fun xy => f xy.1 xy.2) ((fun x' => (x', g x')) x)) = fun mx =>
    let my := (fun mx => broadcast tag R ι g (broadcast tag R ι (fun x => x) mx)) mx;
    let mz := broadcast tag R ι (fun xy => f xy.1 xy.2) (mx, my);
    mz

State before:
tag : Lean.Name
R : Type u_3
inst✝²⁰ : Ring R
ι : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁹ : AddCommGroup X
inst✝¹⁸ : Module R X
Y : Type u_7
inst✝¹⁷ : AddCommGroup Y
inst✝¹⁶ : Module R Y
Z : Type u_6
inst✝¹⁵ : AddCommGroup Z
inst✝¹⁴ : Module R Z
MX : Type u_1
inst✝¹³ : AddCommGroup MX
inst✝¹² : Module R MX
inst✝¹¹ : BroadcastType tag R ι X MX
MY : Type u_8
inst✝¹⁰ : AddCommGroup MY
inst✝⁹ : Module R MY
inst✝⁸ : BroadcastType tag R ι Y MY
MZ : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup MZ
inst✝⁶ : Module R MZ
inst✝⁵ : BroadcastType tag R ι Z MZ
κ : Type ?u.63075
E : κ → Type ?u.63080
ME : κ → Type ?u.63085
inst✝⁴ : (j : κ) → AddCommGroup (E j)
inst✝³ : (j : κ) → Module R (E j)
inst✝² : (j : κ) → AddCommGroup (ME j)
inst✝¹ : (j : κ) → Module R (ME j)
inst✝ : (j : κ) → BroadcastType tag R ι (E j) (ME j)
g : X → Y
f : X → Y → Z
⊢ (broadcast tag R ι fun x => (fun xy => f xy.1 xy.2) ((fun x' => (x', g x')) x)) = fun mx =>
    let my := (fun mx => broadcast tag R ι g (broadcast tag R ι (fun x => x) mx)) mx;
    let mz := broadcast tag R ι (fun xy => f xy.1 xy.2) (mx, my);
    mz
Tactic:
funext mx
State after:
case h
tag : Lean.Name
R : Type u_3
inst✝²⁰ : Ring R
ι : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁹ : AddCommGroup X
inst✝¹⁸ : Module R X
Y : Type u_7
inst✝¹⁷ : AddCommGroup Y
inst✝¹⁶ : Module R Y
Z : Type u_6
inst✝¹⁵ : AddCommGroup Z
inst✝¹⁴ : Module R Z
MX : Type u_1
inst✝¹³ : AddCommGroup MX
inst✝¹² : Module R MX
inst✝¹¹ : BroadcastType tag R ι X MX
MY : Type u_8
inst✝¹⁰ : AddCommGroup MY
inst✝⁹ : Module R MY
inst✝⁸ : BroadcastType tag R ι Y MY
MZ : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup MZ
inst✝⁶ : Module R MZ
inst✝⁵ : BroadcastType tag R ι Z MZ
κ : Type ?u.63075
E : κ → Type ?u.63080
ME : κ → Type ?u.63085
inst✝⁴ : (j : κ) → AddCommGroup (E j)
inst✝³ : (j : κ) → Module R (E j)
inst✝² : (j : κ) → AddCommGroup (ME j)
inst✝¹ : (j : κ) → Module R (ME j)
inst✝ : (j : κ) → BroadcastType tag R ι (E j) (ME j)
g : X → Y
f : X → Y → Z
mx : MX
⊢ broadcast tag R ι (fun x => (fun xy => f xy.1 xy.2) ((fun x' => (x', g x')) x)) mx =
    let my := (fun mx => broadcast tag R ι g (broadcast tag R ι (fun x => x) mx)) mx;
    let mz := broadcast tag R ι (fun xy => f xy.1 xy.2) (mx, my);
    mz

State before:
case h
tag : Lean.Name
R : Type u_3
inst✝²⁰ : Ring R
ι : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁹ : AddCommGroup X
inst✝¹⁸ : Module R X
Y : Type u_7
inst✝¹⁷ : AddCommGroup Y
inst✝¹⁶ : Module R Y
Z : Type u_6
inst✝¹⁵ : AddCommGroup Z
inst✝¹⁴ : Module R Z
MX : Type u_1
inst✝¹³ : AddCommGroup MX
inst✝¹² : Module R MX
inst✝¹¹ : BroadcastType tag R ι X MX
MY : Type u_8
inst✝¹⁰ : AddCommGroup MY
inst✝⁹ : Module R MY
inst✝⁸ : BroadcastType tag R ι Y MY
MZ : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup MZ
inst✝⁶ : Module R MZ
inst✝⁵ : BroadcastType tag R ι Z MZ
κ : Type ?u.63075
E : κ → Type ?u.63080
ME : κ → Type ?u.63085
inst✝⁴ : (j : κ) → AddCommGroup (E j)
inst✝³ : (j : κ) → Module R (E j)
inst✝² : (j : κ) → AddCommGroup (ME j)
inst✝¹ : (j : κ) → Module R (ME j)
inst✝ : (j : κ) → BroadcastType tag R ι (E j) (ME j)
g : X → Y
f : X → Y → Z
mx : MX
⊢ broadcast tag R ι (fun x => (fun xy => f xy.1 xy.2) ((fun x' => (x', g x')) x)) mx =
    let my := (fun mx => broadcast tag R ι g (broadcast tag R ι (fun x => x) mx)) mx;
    let mz := broadcast tag R ι (fun xy => f xy.1 xy.2) (mx, my);
    mz
Tactic:
simp[broadcast, BroadcastType.equiv]
State after:
no goals

State before:
tag : Lean.Name
R : Type u_3
inst✝²⁰ : Ring R
ι : Type u_4
X : Type u_5
inst✝¹⁹ : AddCommGroup X
inst✝¹⁸ : Module R X
Y : Type u_7
inst✝¹⁷ : AddCommGroup Y
inst✝¹⁶ : Module R Y
Z : Type u_6
inst✝¹⁵ : AddCommGroup Z
inst✝¹⁴ : Module R Z
MX : Type u_1
inst✝¹³ : AddCommGroup MX
inst✝¹² : Module R MX
inst✝¹¹ : BroadcastType tag R ι X MX
MY : Type u_8
inst✝¹⁰ : AddCommGroup MY
inst✝⁹ : Module R MY
inst✝⁸ : BroadcastType tag R ι Y MY
MZ : Type u_2
inst✝⁷ : AddCommGroup MZ
inst✝⁶ : Module R MZ
inst✝⁵ : BroadcastType tag R ι Z MZ
κ : Type ?u.63075
E : κ → Type ?u.63080
ME : κ → Type ?u.63085
inst✝⁴ : (j : κ) → AddCommGroup (E j)
inst✝³ : (j : κ) → Module R (E j)
inst✝² : (j : κ) → AddCommGroup (ME j)
inst✝¹ : (j : κ) → Module R (ME j)
inst✝ : (j : κ) → BroadcastType tag R ι (E j) (ME j)
g : X → Y
f : X → Y → Z
⊢ (fun x =>
      let y := g x;
      f x y) =
    fun x => (fun xy => f xy.1 xy.2) ((fun x' => (x', g x')) x)
Tactic:
rfl
State after:
no goals