Theorem: SciLean.Prod.mk.arg_fstsnd.HasAdjDiff_rule (SciLean/Core/FunctionPropositions/HasAdjDiff.lean)

State before:
K✝ : Type ?u.22539
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22545
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22558
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22569
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.22580
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22607
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22664
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22675
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.22702
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasAdjDiff K g
f : X → Z
hf : HasAdjDiff K f
⊢ HasAdjDiff K fun x => (g x, f x)
Tactic:
intros x
State after:
K✝ : Type ?u.22539
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22545
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22558
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22569
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.22580
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22607
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22664
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22675
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.22702
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasAdjDiff K g
f : X → Z
hf : HasAdjDiff K f
x : X
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => (g x, f x)) x

State before:
K✝ : Type ?u.22539
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22545
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22558
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22569
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.22580
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22607
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22664
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22675
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.22702
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasAdjDiff K g
f : X → Z
hf : HasAdjDiff K f
x : X
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => (g x, f x)) x
Tactic:
constructor
State after:
case left
K✝ : Type ?u.22539
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22545
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22558
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22569
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.22580
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22607
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22664
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22675
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.22702
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasAdjDiff K g
f : X → Z
hf : HasAdjDiff K f
x : X
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => (g x, f x)) x

case right
K✝ : Type ?u.22539
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22545
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22558
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22569
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.22580
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22607
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22664
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22675
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.22702
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasAdjDiff K g
f : X → Z
hf : HasAdjDiff K f
x : X
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => (g x, f x)) x)

State before:
case left
K✝ : Type ?u.22539
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22545
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22558
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22569
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.22580
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22607
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22664
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22675
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.22702
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasAdjDiff K g
f : X → Z
hf : HasAdjDiff K f
x : X
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => (g x, f x)) x

case right
K✝ : Type ?u.22539
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22545
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22558
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22569
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.22580
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22607
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22664
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22675
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.22702
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasAdjDiff K g
f : X → Z
hf : HasAdjDiff K f
x : X
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => (g x, f x)) x)
Tactic:
fun_prop
State after:
case right
K✝ : Type ?u.22539
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22545
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22558
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22569
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.22580
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22607
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22664
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22675
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.22702
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasAdjDiff K g
f : X → Z
hf : HasAdjDiff K f
x : X
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => (g x, f x)) x)

State before:
case right
K✝ : Type ?u.22539
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22545
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22558
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22569
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.22580
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22607
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22664
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22675
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.22702
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasAdjDiff K g
f : X → Z
hf : HasAdjDiff K f
x : X
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => (g x, f x)) x)
Tactic:
fun_trans
State after:
case right
K✝ : Type ?u.22539
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22545
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22558
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22569
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.22580
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22607
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22664
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22675
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.22702
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasAdjDiff K g
f : X → Z
hf : HasAdjDiff K f
x : X
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => (cderiv K (fun x => g x) x dx, cderiv K (fun x => f x) x dx)

State before:
case right
K✝ : Type ?u.22539
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.22545
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.22558
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.22569
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.22580
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.22607
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.22664
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.22675
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.22702
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
g : X → Y
hg : HasAdjDiff K g
f : X → Z
hf : HasAdjDiff K f
x : X
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => (cderiv K (fun x => g x) x dx, cderiv K (fun x => f x) x dx)
Tactic:
fun_prop
State after:
no goals