Theorem: BrunTitchmarsh.floor_approx (PrimeNumberTheoremAnd/BrunTitchmarsh.lean)

State before:
x✝ y z : ℝ
hx✝ : 0 < x✝
hy : 0 < y
hz : 1 ≤ z
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ ∃ C, |C| ≤ 1 ∧ ↑⌊x⌋₊ = x + C
Tactic:
use ↑(Nat.floor x) - x
State after:
case h
x✝ y z : ℝ
hx✝ : 0 < x✝
hy : 0 < y
hz : 1 ≤ z
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ |↑⌊x⌋₊ - x| ≤ 1 ∧ ↑⌊x⌋₊ = x + (↑⌊x⌋₊ - x)

State before:
case h
x✝ y z : ℝ
hx✝ : 0 < x✝
hy : 0 < y
hz : 1 ≤ z
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ |↑⌊x⌋₊ - x| ≤ 1 ∧ ↑⌊x⌋₊ = x + (↑⌊x⌋₊ - x)
Tactic:
simp only [add_sub_cancel, and_true]
State after:
case h
x✝ y z : ℝ
hx✝ : 0 < x✝
hy : 0 < y
hz : 1 ≤ z
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ |↑⌊x⌋₊ - x| ≤ 1

State before:
case h
x✝ y z : ℝ
hx✝ : 0 < x✝
hy : 0 < y
hz : 1 ≤ z
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ |↑⌊x⌋₊ - x| ≤ 1
Tactic:
rw[abs_le]
State after:
case h
x✝ y z : ℝ
hx✝ : 0 < x✝
hy : 0 < y
hz : 1 ≤ z
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ -1 ≤ ↑⌊x⌋₊ - x ∧ ↑⌊x⌋₊ - x ≤ 1

State before:
case h
x✝ y z : ℝ
hx✝ : 0 < x✝
hy : 0 < y
hz : 1 ≤ z
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ -1 ≤ ↑⌊x⌋₊ - x ∧ ↑⌊x⌋₊ - x ≤ 1
Tactic:
constructor
State after:
case h.left
x✝ y z : ℝ
hx✝ : 0 < x✝
hy : 0 < y
hz : 1 ≤ z
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ -1 ≤ ↑⌊x⌋₊ - x

case h.right
x✝ y z : ℝ
hx✝ : 0 < x✝
hy : 0 < y
hz : 1 ≤ z
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ ↑⌊x⌋₊ - x ≤ 1

State before:
case h.left
x✝ y z : ℝ
hx✝ : 0 < x✝
hy : 0 < y
hz : 1 ≤ z
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ -1 ≤ ↑⌊x⌋₊ - x
Tactic:
simp only [neg_le_sub_iff_le_add]
State after:
case h.left
x✝ y z : ℝ
hx✝ : 0 < x✝
hy : 0 < y
hz : 1 ≤ z
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ x ≤ ↑⌊x⌋₊ + 1

State before:
case h.left
x✝ y z : ℝ
hx✝ : 0 < x✝
hy : 0 < y
hz : 1 ≤ z
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ x ≤ ↑⌊x⌋₊ + 1
Tactic:
linarith [Nat.lt_floor_add_one x]
State after:
no goals

State before:
case h.right
x✝ y z : ℝ
hx✝ : 0 < x✝
hy : 0 < y
hz : 1 ≤ z
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ ↑⌊x⌋₊ - x ≤ 1
Tactic:
simp only [tsub_le_iff_right]
State after:
case h.right
x✝ y z : ℝ
hx✝ : 0 < x✝
hy : 0 < y
hz : 1 ≤ z
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ ↑⌊x⌋₊ ≤ 1 + x

State before:
case h.right
x✝ y z : ℝ
hx✝ : 0 < x✝
hy : 0 < y
hz : 1 ≤ z
x : ℝ
hx : 0 ≤ x
⊢ ↑⌊x⌋₊ ≤ 1 + x
Tactic:
linarith [Nat.floor_le hx]
State after:
no goals