Theorem: a_div_principal (FltRegular/CaseII/InductionStep.lean)

State before:
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg : (↑p).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
x y z : 𝓞 K
ε : (𝓞 K)ˣ
m : ℕ
e : x ^ ↑p + y ^ ↑p = ↑ε * (π ^ (m + 1) * z) ^ ↑p
hy : ¬π ∣ y
hz : ¬π ∣ z
η η₁ η₂ : { x // x ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K) }
⊢ (↑(↑(𝔞 η₁) / ↑(𝔞 η₂))).IsPrincipal
Tactic:
apply isPrincipal_of_isPrincipal_pow_of_Coprime' _ hreg
State after:
case hI
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg : (↑p).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
x y z : 𝓞 K
ε : (𝓞 K)ˣ
m : ℕ
e : x ^ ↑p + y ^ ↑p = ↑ε * (π ^ (m + 1) * z) ^ ↑p
hy : ¬π ∣ y
hz : ¬π ∣ z
η η₁ η₂ : { x // x ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K) }
⊢ (↑((↑(𝔞 η₁) / ↑(𝔞 η₂)) ^ ↑p)).IsPrincipal

State before:
case hI
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg : (↑p).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
x y z : 𝓞 K
ε : (𝓞 K)ˣ
m : ℕ
e : x ^ ↑p + y ^ ↑p = ↑ε * (π ^ (m + 1) * z) ^ ↑p
hy : ¬π ∣ y
hz : ¬π ∣ z
η η₁ η₂ : { x // x ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K) }
⊢ (↑((↑(𝔞 η₁) / ↑(𝔞 η₂)) ^ ↑p)).IsPrincipal
Tactic:
rw [div_pow, ← FractionalIdeal.coeIdeal_pow, ← FractionalIdeal.coeIdeal_pow,
  root_div_zeta_sub_one_dvd_gcd_spec, root_div_zeta_sub_one_dvd_gcd_spec]
State after:
case hI
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg : (↑p).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
x y z : 𝓞 K
ε : (𝓞 K)ˣ
m : ℕ
e : x ^ ↑p + y ^ ↑p = ↑ε * (π ^ (m + 1) * z) ^ ↑p
hy : ¬π ∣ y
hz : ¬π ∣ z
η η₁ η₂ : { x // x ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K) }
⊢ (↑(↑(𝔠 η₁) / ↑(𝔠 η₂))).IsPrincipal

State before:
case hI
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝³ : Field K
inst✝² : NumberField K
inst✝¹ : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
inst✝ : Fintype (ClassGroup (𝓞 K))
hreg : (↑p).Coprime (Fintype.card (ClassGroup (𝓞 K)))
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
x y z : 𝓞 K
ε : (𝓞 K)ˣ
m : ℕ
e : x ^ ↑p + y ^ ↑p = ↑ε * (π ^ (m + 1) * z) ^ ↑p
hy : ¬π ∣ y
hz : ¬π ∣ z
η η₁ η₂ : { x // x ∈ nthRootsFinset (↑p) (𝓞 K) }
⊢ (↑(↑(𝔠 η₁) / ↑(𝔠 η₂))).IsPrincipal
Tactic:
exact c_div_principal hp hζ e hy η₁ η₂
State after:
no goals