Theorem: Matroid.rFin.cl_eq_cl_of_subset_of_er_ge_er (Matroid/Rank.lean)

State before:
α : Type u_1
ι : Type u_2
M N : Matroid α
I B X X' Y Y' Z R : Set α
n : ℕ∞
e f : α
hX : M.rFin X
hXY : X ⊆ Y
hr : M.er Y ≤ M.er X
⊢ M.cl X = M.cl Y
Tactic:
obtain ⟨I, hI⟩ := M.exists_basis' X
State after:
case intro
α : Type u_1
ι : Type u_2
M N : Matroid α
I✝ B X X' Y Y' Z R : Set α
n : ℕ∞
e f : α
hX : M.rFin X
hXY : X ⊆ Y
hr : M.er Y ≤ M.er X
I : Set α
hI : M.Basis' I X
⊢ M.cl X = M.cl Y

State before:
case intro
α : Type u_1
ι : Type u_2
M N : Matroid α
I✝ B X X' Y Y' Z R : Set α
n : ℕ∞
e f : α
hX : M.rFin X
hXY : X ⊆ Y
hr : M.er Y ≤ M.er X
I : Set α
hI : M.Basis' I X
⊢ M.cl X = M.cl Y
Tactic:
obtain ⟨J, hJ, hIJ⟩ := hI.indep.subset_basis'_of_subset (hI.subset.trans hXY)
State after:
case intro.intro.intro
α : Type u_1
ι : Type u_2
M N : Matroid α
I✝ B X X' Y Y' Z R : Set α
n : ℕ∞
e f : α
hX : M.rFin X
hXY : X ⊆ Y
hr : M.er Y ≤ M.er X
I : Set α
hI : M.Basis' I X
J : Set α
hJ : M.Basis' J Y
hIJ : I ⊆ J
⊢ M.cl X = M.cl Y

State before:
case intro.intro.intro
α : Type u_1
ι : Type u_2
M N : Matroid α
I✝ B X X' Y Y' Z R : Set α
n : ℕ∞
e f : α
hX : M.rFin X
hXY : X ⊆ Y
hr : M.er Y ≤ M.er X
I : Set α
hI : M.Basis' I X
J : Set α
hJ : M.Basis' J Y
hIJ : I ⊆ J
⊢ M.cl X = M.cl Y
Tactic:
rw [hI.er_eq_encard, hJ.er_eq_encard] at hr
State after:
case intro.intro.intro
α : Type u_1
ι : Type u_2
M N : Matroid α
I✝ B X X' Y Y' Z R : Set α
n : ℕ∞
e f : α
hX : M.rFin X
hXY : X ⊆ Y
I : Set α
hI : M.Basis' I X
J : Set α
hr : J.encard ≤ I.encard
hJ : M.Basis' J Y
hIJ : I ⊆ J
⊢ M.cl X = M.cl Y

State before:
case intro.intro.intro
α : Type u_1
ι : Type u_2
M N : Matroid α
I✝ B X X' Y Y' Z R : Set α
n : ℕ∞
e f : α
hX : M.rFin X
hXY : X ⊆ Y
I : Set α
hI : M.Basis' I X
J : Set α
hr : J.encard ≤ I.encard
hJ : M.Basis' J Y
hIJ : I ⊆ J
⊢ M.cl X = M.cl Y
Tactic:
rw [← cl_inter_ground, ← M.cl_inter_ground Y, ← hI.basis_inter_ground.cl_eq_cl,
  ← hJ.basis_inter_ground.cl_eq_cl, Finite.eq_of_subset_of_encard_le'
    (hI.indep.finite_of_subset_rFin hI.subset hX) hIJ hr]
State after:
no goals