Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.two_mul_le_sq_add_one (Arithmetization/Vorspiel/Lemmata.lean)

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
a b c i : M
⊢ 2 * i ≤ i ^ 2 + 1
Tactic:
rcases zero_le i with (rfl | pos)
State after:
case inl
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
a b c : M
⊢ 2 * 0 ≤ 0 ^ 2 + 1

case inr
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
a b c i : M
pos : 0 < i
⊢ 2 * i ≤ i ^ 2 + 1

State before:
case inl
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
a b c : M
⊢ 2 * 0 ≤ 0 ^ 2 + 1
Tactic:
simp
State after:
no goals

State before:
case inr
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
a b c i : M
pos : 0 < i
⊢ 2 * i ≤ i ^ 2 + 1
Tactic:
rcases pos_iff_one_le.mp pos with (rfl | lt)
State after:
case inr.inl
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
a b c : M
pos : 0 < 1
⊢ 2 * 1 ≤ 1 ^ 2 + 1

case inr.inr
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
a b c i : M
pos : 0 < i
lt : 1 < i
⊢ 2 * i ≤ i ^ 2 + 1

State before:
case inr.inl
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
a b c : M
pos : 0 < 1
⊢ 2 * 1 ≤ 1 ^ 2 + 1
Tactic:
simp [one_add_one_eq_two]
State after:
no goals

State before:
case inr.inr
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
a b c i : M
pos : 0 < i
lt : 1 < i
⊢ 2 * i ≤ i ^ 2 + 1
Tactic:
exact le_trans (two_mul_le_sq (one_lt_iff_two_le.mp lt)) (by simp)
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
a b c i : M
pos : 0 < i
lt : 1 < i
⊢ i ^ 2 ≤ i ^ 2 + 1
Tactic:
simp
State after:
no goals