Theorem: RectangleIntegral_tendsTo_LowerU (PrimeNumberTheoremAnd/PerronFormula.lean)

State before:
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
⊢ Tendsto (fun U => RectangleIntegral f (↑σ - I * ↑U) (↑σ' - I * ↑T)) atTop (𝓝 (-LowerUIntegral f σ σ' T))
Tactic:
have h_re  (s : ℝ) (t : ℝ) : (s  - I * t).re = s  := by simp
State after:
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
h_re : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).re = s
⊢ Tendsto (fun U => RectangleIntegral f (↑σ - I * ↑U) (↑σ' - I * ↑T)) atTop (𝓝 (-LowerUIntegral f σ σ' T))

State before:
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
h_re : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).re = s
⊢ Tendsto (fun U => RectangleIntegral f (↑σ - I * ↑U) (↑σ' - I * ↑T)) atTop (𝓝 (-LowerUIntegral f σ σ' T))
Tactic:
have h_im  (s : ℝ) (t : ℝ) : (s  - I * t).im = -t  := by simp
State after:
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
h_re : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).re = s
h_im : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).im = -t
⊢ Tendsto (fun U => RectangleIntegral f (↑σ - I * ↑U) (↑σ' - I * ↑T)) atTop (𝓝 (-LowerUIntegral f σ σ' T))

State before:
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
h_re : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).re = s
h_im : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).im = -t
⊢ Tendsto (fun U => RectangleIntegral f (↑σ - I * ↑U) (↑σ' - I * ↑T)) atTop (𝓝 (-LowerUIntegral f σ σ' T))
Tactic:
have hbot' : Tendsto (fun (y : ℝ) ↦ ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (x - y * I)) atTop (𝓝 0) := by
  convert (hbot.comp tendsto_neg_atTop_atBot) using 1
  ext; simp only [Function.comp_apply, ofReal_neg, neg_mul]; rfl
State after:
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
h_re : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).re = s
h_im : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).im = -t
hbot' : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑y * I)) atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun U => RectangleIntegral f (↑σ - I * ↑U) (↑σ' - I * ↑T)) atTop (𝓝 (-LowerUIntegral f σ σ' T))

State before:
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
h_re : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).re = s
h_im : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).im = -t
hbot' : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑y * I)) atTop (𝓝 0)
⊢ Tendsto (fun U => RectangleIntegral f (↑σ - I * ↑U) (↑σ' - I * ↑T)) atTop (𝓝 (-LowerUIntegral f σ σ' T))
Tactic:
have htop : Tendsto (fun (_ : ℝ) ↦ ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (x - T * I)) atTop (𝓝 <| ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (x - T * I)) :=
  tendsto_const_nhds
State after:
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
h_re : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).re = s
h_im : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).im = -t
hbot' : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑y * I)) atTop (𝓝 0)
htop : Tendsto (fun x => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)))
⊢ Tendsto (fun U => RectangleIntegral f (↑σ - I * ↑U) (↑σ' - I * ↑T)) atTop (𝓝 (-LowerUIntegral f σ σ' T))

State before:
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
h_re : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).re = s
h_im : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).im = -t
hbot' : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑y * I)) atTop (𝓝 0)
htop : Tendsto (fun x => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)))
⊢ Tendsto (fun U => RectangleIntegral f (↑σ - I * ↑U) (↑σ' - I * ↑T)) atTop (𝓝 (-LowerUIntegral f σ σ' T))
Tactic:
have hvert (s : ℝ) (int : Integrable (fun (y : ℝ) ↦ f (s + y * I))) :
    Tendsto (fun (U : ℝ) ↦ I * ∫ (y : ℝ) in -U..-T, f (s + y * I)) atTop (𝓝 <| I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (s + y * I)) := by
  have := (intervalIntegral_tendsto_integral_Iic (-T) int.restrict tendsto_id).const_smul I
  convert (this.comp tendsto_neg_atTop_atBot) using 1
State after:
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
h_re : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).re = s
h_im : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).im = -t
hbot' : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑y * I)) atTop (𝓝 0)
htop : Tendsto (fun x => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)))
hvert :
  ∀ (s : ℝ),
    Integrable (fun y => f (↑s + ↑y * I)) volume →
      Tendsto (fun U => I * ∫ (y : ℝ) in -U..-T, f (↑s + ↑y * I)) atTop (𝓝 (I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑s + ↑y * I)))
⊢ Tendsto (fun U => RectangleIntegral f (↑σ - I * ↑U) (↑σ' - I * ↑T)) atTop (𝓝 (-LowerUIntegral f σ σ' T))

State before:
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
h_re : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).re = s
h_im : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).im = -t
hbot' : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑y * I)) atTop (𝓝 0)
htop : Tendsto (fun x => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)))
hvert :
  ∀ (s : ℝ),
    Integrable (fun y => f (↑s + ↑y * I)) volume →
      Tendsto (fun U => I * ∫ (y : ℝ) in -U..-T, f (↑s + ↑y * I)) atTop (𝓝 (I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑s + ↑y * I)))
⊢ Tendsto (fun U => RectangleIntegral f (↑σ - I * ↑U) (↑σ' - I * ↑T)) atTop (𝓝 (-LowerUIntegral f σ σ' T))
Tactic:
have := ((hbot'.sub htop).add (hvert σ' hright)).sub (hvert σ hleft)
State after:
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
h_re : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).re = s
h_im : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).im = -t
hbot' : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑y * I)) atTop (𝓝 0)
htop : Tendsto (fun x => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)))
hvert :
  ∀ (s : ℝ),
    Integrable (fun y => f (↑s + ↑y * I)) volume →
      Tendsto (fun U => I * ∫ (y : ℝ) in -U..-T, f (↑s + ↑y * I)) atTop (𝓝 (I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑s + ↑y * I)))
this :
  Tendsto
    (fun x =>
      (((∫ (x_1 : ℝ) in σ..σ', f (↑x_1 - ↑x * I)) - ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) +
          I * ∫ (y : ℝ) in -x..-T, f (↑σ' + ↑y * I)) -
        I * ∫ (y : ℝ) in -x..-T, f (↑σ + ↑y * I))
    atTop
    (𝓝
      (((0 - ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) + I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ' + ↑y * I)) -
        I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ + ↑y * I)))
⊢ Tendsto (fun U => RectangleIntegral f (↑σ - I * ↑U) (↑σ' - I * ↑T)) atTop (𝓝 (-LowerUIntegral f σ σ' T))

State before:
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
h_re : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).re = s
h_im : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).im = -t
hbot' : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑y * I)) atTop (𝓝 0)
htop : Tendsto (fun x => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)))
hvert :
  ∀ (s : ℝ),
    Integrable (fun y => f (↑s + ↑y * I)) volume →
      Tendsto (fun U => I * ∫ (y : ℝ) in -U..-T, f (↑s + ↑y * I)) atTop (𝓝 (I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑s + ↑y * I)))
this :
  Tendsto
    (fun x =>
      (((∫ (x_1 : ℝ) in σ..σ', f (↑x_1 - ↑x * I)) - ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) +
          I * ∫ (y : ℝ) in -x..-T, f (↑σ' + ↑y * I)) -
        I * ∫ (y : ℝ) in -x..-T, f (↑σ + ↑y * I))
    atTop
    (𝓝
      (((0 - ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) + I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ' + ↑y * I)) -
        I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ + ↑y * I)))
⊢ Tendsto (fun U => RectangleIntegral f (↑σ - I * ↑U) (↑σ' - I * ↑T)) atTop (𝓝 (-LowerUIntegral f σ σ' T))
Tactic:
rw [zero_sub] at this
State after:
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
h_re : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).re = s
h_im : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).im = -t
hbot' : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑y * I)) atTop (𝓝 0)
htop : Tendsto (fun x => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)))
hvert :
  ∀ (s : ℝ),
    Integrable (fun y => f (↑s + ↑y * I)) volume →
      Tendsto (fun U => I * ∫ (y : ℝ) in -U..-T, f (↑s + ↑y * I)) atTop (𝓝 (I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑s + ↑y * I)))
this :
  Tendsto
    (fun x =>
      (((∫ (x_1 : ℝ) in σ..σ', f (↑x_1 - ↑x * I)) - ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) +
          I * ∫ (y : ℝ) in -x..-T, f (↑σ' + ↑y * I)) -
        I * ∫ (y : ℝ) in -x..-T, f (↑σ + ↑y * I))
    atTop
    (𝓝
      (((-∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) + I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ' + ↑y * I)) -
        I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ + ↑y * I)))
⊢ Tendsto (fun U => RectangleIntegral f (↑σ - I * ↑U) (↑σ' - I * ↑T)) atTop (𝓝 (-LowerUIntegral f σ σ' T))

State before:
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
h_re : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).re = s
h_im : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).im = -t
hbot' : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑y * I)) atTop (𝓝 0)
htop : Tendsto (fun x => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)))
hvert :
  ∀ (s : ℝ),
    Integrable (fun y => f (↑s + ↑y * I)) volume →
      Tendsto (fun U => I * ∫ (y : ℝ) in -U..-T, f (↑s + ↑y * I)) atTop (𝓝 (I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑s + ↑y * I)))
this :
  Tendsto
    (fun x =>
      (((∫ (x_1 : ℝ) in σ..σ', f (↑x_1 - ↑x * I)) - ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) +
          I * ∫ (y : ℝ) in -x..-T, f (↑σ' + ↑y * I)) -
        I * ∫ (y : ℝ) in -x..-T, f (↑σ + ↑y * I))
    atTop
    (𝓝
      (((-∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) + I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ' + ↑y * I)) -
        I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ + ↑y * I)))
⊢ Tendsto (fun U => RectangleIntegral f (↑σ - I * ↑U) (↑σ' - I * ↑T)) atTop (𝓝 (-LowerUIntegral f σ σ' T))
Tactic:
simp_rw [RectangleIntegral, LowerUIntegral, HIntegral, VIntegral, h_re, h_im, ofReal_neg, neg_mul, neg_add_rev, neg_sub]
State after:
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
h_re : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).re = s
h_im : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).im = -t
hbot' : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑y * I)) atTop (𝓝 0)
htop : Tendsto (fun x => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)))
hvert :
  ∀ (s : ℝ),
    Integrable (fun y => f (↑s + ↑y * I)) volume →
      Tendsto (fun U => I * ∫ (y : ℝ) in -U..-T, f (↑s + ↑y * I)) atTop (𝓝 (I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑s + ↑y * I)))
this :
  Tendsto
    (fun x =>
      (((∫ (x_1 : ℝ) in σ..σ', f (↑x_1 - ↑x * I)) - ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) +
          I * ∫ (y : ℝ) in -x..-T, f (↑σ' + ↑y * I)) -
        I * ∫ (y : ℝ) in -x..-T, f (↑σ + ↑y * I))
    atTop
    (𝓝
      (((-∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) + I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ' + ↑y * I)) -
        I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ + ↑y * I)))
⊢ Tendsto
    (fun U =>
      (((∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + -(↑U * I))) - ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + -(↑T * I))) +
          I • ∫ (y : ℝ) in -U..-T, f (↑σ' + ↑y * I)) -
        I • ∫ (y : ℝ) in -U..-T, f (↑σ + ↑y * I))
    atTop
    (𝓝
      (-(I • ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ + ↑y * I)) +
        ((I • ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ' + ↑y * I)) - ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + -(↑T * I)))))

State before:
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
h_re : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).re = s
h_im : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).im = -t
hbot' : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑y * I)) atTop (𝓝 0)
htop : Tendsto (fun x => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)))
hvert :
  ∀ (s : ℝ),
    Integrable (fun y => f (↑s + ↑y * I)) volume →
      Tendsto (fun U => I * ∫ (y : ℝ) in -U..-T, f (↑s + ↑y * I)) atTop (𝓝 (I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑s + ↑y * I)))
this :
  Tendsto
    (fun x =>
      (((∫ (x_1 : ℝ) in σ..σ', f (↑x_1 - ↑x * I)) - ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) +
          I * ∫ (y : ℝ) in -x..-T, f (↑σ' + ↑y * I)) -
        I * ∫ (y : ℝ) in -x..-T, f (↑σ + ↑y * I))
    atTop
    (𝓝
      (((-∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) + I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ' + ↑y * I)) -
        I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ + ↑y * I)))
⊢ Tendsto
    (fun U =>
      (((∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + -(↑U * I))) - ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + -(↑T * I))) +
          I • ∫ (y : ℝ) in -U..-T, f (↑σ' + ↑y * I)) -
        I • ∫ (y : ℝ) in -U..-T, f (↑σ + ↑y * I))
    atTop
    (𝓝
      (-(I • ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ + ↑y * I)) +
        ((I • ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ' + ↑y * I)) - ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + -(↑T * I)))))
Tactic:
have final : (((-∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) + I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ' + ↑y * I)) -
    I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ + ↑y * I)) = (-(I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ + ↑y * I)) +
    ((I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ' + ↑y * I)) - ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I))) := by
  ring_nf
State after:
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
h_re : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).re = s
h_im : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).im = -t
hbot' : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑y * I)) atTop (𝓝 0)
htop : Tendsto (fun x => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)))
hvert :
  ∀ (s : ℝ),
    Integrable (fun y => f (↑s + ↑y * I)) volume →
      Tendsto (fun U => I * ∫ (y : ℝ) in -U..-T, f (↑s + ↑y * I)) atTop (𝓝 (I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑s + ↑y * I)))
this :
  Tendsto
    (fun x =>
      (((∫ (x_1 : ℝ) in σ..σ', f (↑x_1 - ↑x * I)) - ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) +
          I * ∫ (y : ℝ) in -x..-T, f (↑σ' + ↑y * I)) -
        I * ∫ (y : ℝ) in -x..-T, f (↑σ + ↑y * I))
    atTop
    (𝓝
      (((-∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) + I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ' + ↑y * I)) -
        I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ + ↑y * I)))
final :
  ((-∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) + I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ' + ↑y * I)) -
      I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ + ↑y * I) =
    -(I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ + ↑y * I)) +
      ((I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ' + ↑y * I)) - ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I))
⊢ Tendsto
    (fun U =>
      (((∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + -(↑U * I))) - ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + -(↑T * I))) +
          I • ∫ (y : ℝ) in -U..-T, f (↑σ' + ↑y * I)) -
        I • ∫ (y : ℝ) in -U..-T, f (↑σ + ↑y * I))
    atTop
    (𝓝
      (-(I • ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ + ↑y * I)) +
        ((I • ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ' + ↑y * I)) - ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + -(↑T * I)))))

State before:
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
h_re : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).re = s
h_im : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).im = -t
hbot' : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑y * I)) atTop (𝓝 0)
htop : Tendsto (fun x => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)))
hvert :
  ∀ (s : ℝ),
    Integrable (fun y => f (↑s + ↑y * I)) volume →
      Tendsto (fun U => I * ∫ (y : ℝ) in -U..-T, f (↑s + ↑y * I)) atTop (𝓝 (I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑s + ↑y * I)))
this :
  Tendsto
    (fun x =>
      (((∫ (x_1 : ℝ) in σ..σ', f (↑x_1 - ↑x * I)) - ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) +
          I * ∫ (y : ℝ) in -x..-T, f (↑σ' + ↑y * I)) -
        I * ∫ (y : ℝ) in -x..-T, f (↑σ + ↑y * I))
    atTop
    (𝓝
      (((-∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) + I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ' + ↑y * I)) -
        I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ + ↑y * I)))
final :
  ((-∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) + I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ' + ↑y * I)) -
      I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ + ↑y * I) =
    -(I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ + ↑y * I)) +
      ((I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ' + ↑y * I)) - ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I))
⊢ Tendsto
    (fun U =>
      (((∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + -(↑U * I))) - ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + -(↑T * I))) +
          I • ∫ (y : ℝ) in -U..-T, f (↑σ' + ↑y * I)) -
        I • ∫ (y : ℝ) in -U..-T, f (↑σ + ↑y * I))
    atTop
    (𝓝
      (-(I • ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ + ↑y * I)) +
        ((I • ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ' + ↑y * I)) - ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + -(↑T * I)))))
Tactic:
exact final ▸ this
State after:
no goals

State before:
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
s t : ℝ
⊢ (↑s - I * ↑t).re = s
Tactic:
simp
State after:
no goals

State before:
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
h_re : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).re = s
s t : ℝ
⊢ (↑s - I * ↑t).im = -t
Tactic:
simp
State after:
no goals

State before:
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
h_re : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).re = s
h_im : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).im = -t
⊢ Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑y * I)) atTop (𝓝 0)
Tactic:
convert (hbot.comp tendsto_neg_atTop_atBot) using 1
State after:
case h.e'_3
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
h_re : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).re = s
h_im : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).im = -t
⊢ (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑y * I)) = (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) ∘ Neg.neg

State before:
case h.e'_3
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
h_re : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).re = s
h_im : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).im = -t
⊢ (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑y * I)) = (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) ∘ Neg.neg
Tactic:
ext
State after:
case h.e'_3.h
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
h_re : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).re = s
h_im : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).im = -t
x✝ : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑x✝ * I) = ((fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) ∘ Neg.neg) x✝

State before:
case h.e'_3.h
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
h_re : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).re = s
h_im : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).im = -t
x✝ : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑x✝ * I) = ((fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) ∘ Neg.neg) x✝
Tactic:
simp only [Function.comp_apply, ofReal_neg, neg_mul]
State after:
case h.e'_3.h
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
h_re : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).re = s
h_im : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).im = -t
x✝ : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑x✝ * I) = ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + -(↑x✝ * I))

State before:
case h.e'_3.h
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
h_re : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).re = s
h_im : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).im = -t
x✝ : ℝ
⊢ ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑x✝ * I) = ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + -(↑x✝ * I))
Tactic:
rfl
State after:
no goals

State before:
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
h_re : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).re = s
h_im : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).im = -t
hbot' : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑y * I)) atTop (𝓝 0)
htop : Tendsto (fun x => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)))
s : ℝ
int : Integrable (fun y => f (↑s + ↑y * I)) volume
⊢ Tendsto (fun U => I * ∫ (y : ℝ) in -U..-T, f (↑s + ↑y * I)) atTop (𝓝 (I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑s + ↑y * I)))
Tactic:
have := (intervalIntegral_tendsto_integral_Iic (-T) int.restrict tendsto_id).const_smul I
State after:
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
h_re : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).re = s
h_im : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).im = -t
hbot' : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑y * I)) atTop (𝓝 0)
htop : Tendsto (fun x => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)))
s : ℝ
int : Integrable (fun y => f (↑s + ↑y * I)) volume
this :
  Tendsto (fun x => I • ∫ (x : ℝ) in id x..-T, f (↑s + ↑x * I)) atBot
    (𝓝 (I • ∫ (x : ℝ) in Iic (-T), f (↑s + ↑x * I) ∂volume))
⊢ Tendsto (fun U => I * ∫ (y : ℝ) in -U..-T, f (↑s + ↑y * I)) atTop (𝓝 (I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑s + ↑y * I)))

State before:
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
h_re : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).re = s
h_im : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).im = -t
hbot' : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑y * I)) atTop (𝓝 0)
htop : Tendsto (fun x => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)))
s : ℝ
int : Integrable (fun y => f (↑s + ↑y * I)) volume
this :
  Tendsto (fun x => I • ∫ (x : ℝ) in id x..-T, f (↑s + ↑x * I)) atBot
    (𝓝 (I • ∫ (x : ℝ) in Iic (-T), f (↑s + ↑x * I) ∂volume))
⊢ Tendsto (fun U => I * ∫ (y : ℝ) in -U..-T, f (↑s + ↑y * I)) atTop (𝓝 (I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑s + ↑y * I)))
Tactic:
convert (this.comp tendsto_neg_atTop_atBot) using 1
State after:
no goals

State before:
σ σ' T : ℝ
f : ℂ → ℂ
hbot : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x + ↑y * I)) atBot (𝓝 0)
hleft : Integrable (fun y => f (↑σ + ↑y * I)) volume
hright : Integrable (fun y => f (↑σ' + ↑y * I)) volume
h_re : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).re = s
h_im : ∀ (s t : ℝ), (↑s - I * ↑t).im = -t
hbot' : Tendsto (fun y => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑y * I)) atTop (𝓝 0)
htop : Tendsto (fun x => ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) atTop (𝓝 (∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)))
hvert :
  ∀ (s : ℝ),
    Integrable (fun y => f (↑s + ↑y * I)) volume →
      Tendsto (fun U => I * ∫ (y : ℝ) in -U..-T, f (↑s + ↑y * I)) atTop (𝓝 (I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑s + ↑y * I)))
this :
  Tendsto
    (fun x =>
      (((∫ (x_1 : ℝ) in σ..σ', f (↑x_1 - ↑x * I)) - ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) +
          I * ∫ (y : ℝ) in -x..-T, f (↑σ' + ↑y * I)) -
        I * ∫ (y : ℝ) in -x..-T, f (↑σ + ↑y * I))
    atTop
    (𝓝
      (((-∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) + I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ' + ↑y * I)) -
        I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ + ↑y * I)))
⊢ ((-∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I)) + I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ' + ↑y * I)) -
      I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ + ↑y * I) =
    -(I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ + ↑y * I)) +
      ((I * ∫ (y : ℝ) in Iic (-T), f (↑σ' + ↑y * I)) - ∫ (x : ℝ) in σ..σ', f (↑x - ↑T * I))
Tactic:
ring_nf
State after:
no goals