Theorem: SciLean.HasAdjDiffAt.apply_rule (SciLean/Core/FunctionPropositions/HasAdjDiff.lean)

State before:
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type ?u.4014
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.4027
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.4038
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => x i) x
Tactic:
constructor
State after:
case left
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type ?u.4014
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.4027
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.4038
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => x i) x

case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type ?u.4014
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.4027
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.4038
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => x i) x)

State before:
case left
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type ?u.4014
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.4027
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.4038
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => x i) x

case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type ?u.4014
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.4027
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.4038
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => x i) x)
Tactic:
. fun_prop
State after:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type ?u.4014
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.4027
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.4038
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => x i) x)

State before:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type ?u.4014
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.4027
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.4038
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => x i) x)
Tactic:
. fun_trans; fun_prop
State after:
no goals

State before:
case left
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type ?u.4014
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.4027
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.4038
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => x i) x
Tactic:
fun_prop
State after:
no goals

State before:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type ?u.4014
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.4027
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.4038
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => x i) x)
Tactic:
fun_trans
State after:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type ?u.4014
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.4027
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.4038
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => dx i

State before:
case right
K : Type u_1
inst✝⁷ : RCLike K
X : Type ?u.4014
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.4027
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.4038
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K Z
ι : Type u_2
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type u_3
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : (i : ι) → E i
i : ι
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => dx i
Tactic:
fun_prop
State after:
no goals