Theorem: LambdaCalculi.hasType_app (LambdaCalculi/HasType.lean)

State before:
p : LambdaParams
U : Type ?u.18239
C : Type ?u.18242
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
Γ : Context p✝ U✝
h : p✝.lambda = true
t u : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
τ : LambdaType p✝ U✝
⊢ (Γ ⊢[T] LambdaTerm.app h t u ∶ τ) ↔ ∃ σ, (Γ ⊢[T] t ∶ LambdaType.lambda h σ τ) ∧ (Γ ⊢[T] u ∶ σ)
Tactic:
constructor
State after:
case mp
p : LambdaParams
U : Type ?u.18239
C : Type ?u.18242
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
Γ : Context p✝ U✝
h : p✝.lambda = true
t u : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
τ : LambdaType p✝ U✝
⊢ (Γ ⊢[T] LambdaTerm.app h t u ∶ τ) → ∃ σ, (Γ ⊢[T] t ∶ LambdaType.lambda h σ τ) ∧ (Γ ⊢[T] u ∶ σ)

case mpr
p : LambdaParams
U : Type ?u.18239
C : Type ?u.18242
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
Γ : Context p✝ U✝
h : p✝.lambda = true
t u : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
τ : LambdaType p✝ U✝
⊢ (∃ σ, (Γ ⊢[T] t ∶ LambdaType.lambda h σ τ) ∧ (Γ ⊢[T] u ∶ σ)) → (Γ ⊢[T] LambdaTerm.app h t u ∶ τ)

State before:
case mp
p : LambdaParams
U : Type ?u.18239
C : Type ?u.18242
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
Γ : Context p✝ U✝
h : p✝.lambda = true
t u : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
τ : LambdaType p✝ U✝
⊢ (Γ ⊢[T] LambdaTerm.app h t u ∶ τ) → ∃ σ, (Γ ⊢[T] t ∶ LambdaType.lambda h σ τ) ∧ (Γ ⊢[T] u ∶ σ)
Tactic:
intro h
State after:
case mp
p : LambdaParams
U : Type ?u.18239
C : Type ?u.18242
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
Γ : Context p✝ U✝
h✝ : p✝.lambda = true
t u : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
τ : LambdaType p✝ U✝
h : Γ ⊢[T] LambdaTerm.app h✝ t u ∶ τ
⊢ ∃ σ, (Γ ⊢[T] t ∶ LambdaType.lambda h✝ σ τ) ∧ (Γ ⊢[T] u ∶ σ)

State before:
case mp
p : LambdaParams
U : Type ?u.18239
C : Type ?u.18242
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
Γ : Context p✝ U✝
h✝ : p✝.lambda = true
t u : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
τ : LambdaType p✝ U✝
h : Γ ⊢[T] LambdaTerm.app h✝ t u ∶ τ
⊢ ∃ σ, (Γ ⊢[T] t ∶ LambdaType.lambda h✝ σ τ) ∧ (Γ ⊢[T] u ∶ σ)
Tactic:
cases h
State after:
case mp.app
p : LambdaParams
U : Type ?u.18239
C : Type ?u.18242
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
Γ : Context p✝ U✝
h : p✝.lambda = true
t u : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
τ : LambdaType p✝ U✝
h✝ : p✝.lambda = true
τ✝ : LambdaType p✝ U✝
a✝¹ : Γ ⊢[T] u ∶ τ✝
a✝ : Γ ⊢[T] t ∶ LambdaType.lambda h✝ τ✝ τ
⊢ ∃ σ, (Γ ⊢[T] t ∶ LambdaType.lambda h σ τ) ∧ (Γ ⊢[T] u ∶ σ)

State before:
case mp.app
p : LambdaParams
U : Type ?u.18239
C : Type ?u.18242
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
Γ : Context p✝ U✝
h : p✝.lambda = true
t u : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
τ : LambdaType p✝ U✝
h✝ : p✝.lambda = true
τ✝ : LambdaType p✝ U✝
a✝¹ : Γ ⊢[T] u ∶ τ✝
a✝ : Γ ⊢[T] t ∶ LambdaType.lambda h✝ τ✝ τ
⊢ ∃ σ, (Γ ⊢[T] t ∶ LambdaType.lambda h σ τ) ∧ (Γ ⊢[T] u ∶ σ)
Tactic:
exact ⟨_, by assumption, by assumption⟩
State after:
no goals

State before:
p : LambdaParams
U : Type ?u.18239
C : Type ?u.18242
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
Γ : Context p✝ U✝
h : p✝.lambda = true
t u : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
τ : LambdaType p✝ U✝
h✝ : p✝.lambda = true
τ✝ : LambdaType p✝ U✝
a✝¹ : Γ ⊢[T] u ∶ τ✝
a✝ : Γ ⊢[T] t ∶ LambdaType.lambda h✝ τ✝ τ
⊢ Γ ⊢[T] t ∶ LambdaType.lambda h ?m.19157 τ
Tactic:
assumption
State after:
no goals

State before:
p : LambdaParams
U : Type ?u.18239
C : Type ?u.18242
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
Γ : Context p✝ U✝
h : p✝.lambda = true
t u : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
τ : LambdaType p✝ U✝
h✝ : p✝.lambda = true
τ✝ : LambdaType p✝ U✝
a✝¹ : Γ ⊢[T] u ∶ τ✝
a✝ : Γ ⊢[T] t ∶ LambdaType.lambda h✝ τ✝ τ
⊢ Γ ⊢[T] u ∶ τ✝
Tactic:
assumption
State after:
no goals

State before:
case mpr
p : LambdaParams
U : Type ?u.18239
C : Type ?u.18242
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
Γ : Context p✝ U✝
h : p✝.lambda = true
t u : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
τ : LambdaType p✝ U✝
⊢ (∃ σ, (Γ ⊢[T] t ∶ LambdaType.lambda h σ τ) ∧ (Γ ⊢[T] u ∶ σ)) → (Γ ⊢[T] LambdaTerm.app h t u ∶ τ)
Tactic:
rintro ⟨σ, h₁, h₂⟩
State after:
case mpr.intro.intro
p : LambdaParams
U : Type ?u.18239
C : Type ?u.18242
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
Γ : Context p✝ U✝
h : p✝.lambda = true
t u : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
τ σ : LambdaType p✝ U✝
h₁ : Γ ⊢[T] t ∶ LambdaType.lambda h σ τ
h₂ : Γ ⊢[T] u ∶ σ
⊢ Γ ⊢[T] LambdaTerm.app h t u ∶ τ

State before:
case mpr.intro.intro
p : LambdaParams
U : Type ?u.18239
C : Type ?u.18242
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
Γ : Context p✝ U✝
h : p✝.lambda = true
t u : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
τ σ : LambdaType p✝ U✝
h₁ : Γ ⊢[T] t ∶ LambdaType.lambda h σ τ
h₂ : Γ ⊢[T] u ∶ σ
⊢ Γ ⊢[T] LambdaTerm.app h t u ∶ τ
Tactic:
exact .app h₁ h₂
State after:
no goals