Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.retraction (Arithmetization/Definability/Hierarchy.lean)

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
l : ℕ
f : Fin k → Fin l
snd✝ : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚺, snd✝)
hp : DefinedWithParam P p
⊢ DefinedWithParam (fun v => P fun i => v (f i)) (HSemiformula.rew (Rew.substs fun x => #(f x)) p)
Tactic:
intro
State after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
l : ℕ
f : Fin k → Fin l
snd✝ : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚺, snd✝)
hp : DefinedWithParam P p
v✝ : Fin l → M
⊢ (fun v => P fun i => v (f i)) v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (HSemiformula.rew (Rew.substs fun x => #(f x)) p).val

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
l : ℕ
f : Fin k → Fin l
snd✝ : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚺, snd✝)
hp : DefinedWithParam P p
v✝ : Fin l → M
⊢ (fun v => P fun i => v (f i)) v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (HSemiformula.rew (Rew.substs fun x => #(f x)) p).val
Tactic:
simp [hp.df.iff]
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
l : ℕ
f : Fin k → Fin l
snd✝ : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚷, snd✝)
hp : DefinedWithParam P p
⊢ DefinedWithParam (fun v => P fun i => v (f i)) (HSemiformula.rew (Rew.substs fun x => #(f x)) p)
Tactic:
intro
State after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
l : ℕ
f : Fin k → Fin l
snd✝ : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚷, snd✝)
hp : DefinedWithParam P p
v✝ : Fin l → M
⊢ (fun v => P fun i => v (f i)) v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (HSemiformula.rew (Rew.substs fun x => #(f x)) p).val

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L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
l : ℕ
f : Fin k → Fin l
snd✝ : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚷, snd✝)
hp : DefinedWithParam P p
v✝ : Fin l → M
⊢ (fun v => P fun i => v (f i)) v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (HSemiformula.rew (Rew.substs fun x => #(f x)) p).val
Tactic:
simp [hp.df.iff]
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
l : ℕ
f : Fin k → Fin l
snd✝ : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚫, snd✝)
hp : DefinedWithParam P p
⊢ FirstOrder.DefinedWithParam (fun v => P fun i => v (f i)) (HSemiformula.rew (Rew.substs fun x => #(f x)) p).val
Tactic:
intro
State after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
l : ℕ
f : Fin k → Fin l
snd✝ : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚫, snd✝)
hp : DefinedWithParam P p
v✝ : Fin l → M
⊢ (fun v => P fun i => v (f i)) v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (HSemiformula.rew (Rew.substs fun x => #(f x)) p).val

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
l : ℕ
f : Fin k → Fin l
snd✝ : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚫, snd✝)
hp : DefinedWithParam P p
v✝ : Fin l → M
⊢ (fun v => P fun i => v (f i)) v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (HSemiformula.rew (Rew.substs fun x => #(f x)) p).val
Tactic:
simp [hp.df.iff]
State after:
no goals