Theorem: SciLean.Scalar.sqrt.arg_x.HasAdjDiffAt_rule (SciLean/Core/Functions/Pow.lean)

State before:
R : Type u_1
inst✝² : RealScalar R
W : Type ?u.17689
inst✝¹ : Vec R W
U : Type u_2
inst✝ : SemiInnerProductSpace R U
u : U
x : U → R
hx : HasAdjDiffAt R x u
hu : 0 < x u
⊢ HasAdjDiffAt R (fun u => sqrt (x u)) u
Tactic:
constructor
State after:
case left
R : Type u_1
inst✝² : RealScalar R
W : Type ?u.17689
inst✝¹ : Vec R W
U : Type u_2
inst✝ : SemiInnerProductSpace R U
u : U
x : U → R
hx : HasAdjDiffAt R x u
hu : 0 < x u
⊢ CDifferentiableAt R (fun u => sqrt (x u)) u

case right
R : Type u_1
inst✝² : RealScalar R
W : Type ?u.17689
inst✝¹ : Vec R W
U : Type u_2
inst✝ : SemiInnerProductSpace R U
u : U
x : U → R
hx : HasAdjDiffAt R x u
hu : 0 < x u
⊢ HasSemiAdjoint R (cderiv R (fun u => sqrt (x u)) u)

State before:
case left
R : Type u_1
inst✝² : RealScalar R
W : Type ?u.17689
inst✝¹ : Vec R W
U : Type u_2
inst✝ : SemiInnerProductSpace R U
u : U
x : U → R
hx : HasAdjDiffAt R x u
hu : 0 < x u
⊢ CDifferentiableAt R (fun u => sqrt (x u)) u

case right
R : Type u_1
inst✝² : RealScalar R
W : Type ?u.17689
inst✝¹ : Vec R W
U : Type u_2
inst✝ : SemiInnerProductSpace R U
u : U
x : U → R
hx : HasAdjDiffAt R x u
hu : 0 < x u
⊢ HasSemiAdjoint R (cderiv R (fun u => sqrt (x u)) u)
Tactic:
fun_prop (disch:=aesop)
State after:
case right
R : Type u_1
inst✝² : RealScalar R
W : Type ?u.17689
inst✝¹ : Vec R W
U : Type u_2
inst✝ : SemiInnerProductSpace R U
u : U
x : U → R
hx : HasAdjDiffAt R x u
hu : 0 < x u
⊢ HasSemiAdjoint R (cderiv R (fun u => sqrt (x u)) u)

State before:
case right
R : Type u_1
inst✝² : RealScalar R
W : Type ?u.17689
inst✝¹ : Vec R W
U : Type u_2
inst✝ : SemiInnerProductSpace R U
u : U
x : U → R
hx : HasAdjDiffAt R x u
hu : 0 < x u
⊢ HasSemiAdjoint R (cderiv R (fun u => sqrt (x u)) u)
Tactic:
fun_trans (disch:=aesop) [fwdDeriv]
State after:
case right
R : Type u_1
inst✝² : RealScalar R
W : Type ?u.17689
inst✝¹ : Vec R W
U : Type u_2
inst✝ : SemiInnerProductSpace R U
u : U
x : U → R
hx : HasAdjDiffAt R x u
hu : 0 < x u
⊢ HasSemiAdjoint R fun dw => cderiv R (fun w => x w) u dw / (2 * sqrt (x u))

State before:
case right
R : Type u_1
inst✝² : RealScalar R
W : Type ?u.17689
inst✝¹ : Vec R W
U : Type u_2
inst✝ : SemiInnerProductSpace R U
u : U
x : U → R
hx : HasAdjDiffAt R x u
hu : 0 < x u
⊢ HasSemiAdjoint R fun dw => cderiv R (fun w => x w) u dw / (2 * sqrt (x u))
Tactic:
fun_prop
State after:
no goals

State before:
case funProp.discharger
R : Type u_1
inst✝² : RealScalar R
W : Type ?u.17689
inst✝¹ : Vec R W
U : Type u_2
inst✝ : SemiInnerProductSpace R U
u : U
x : U → R
hx : HasAdjDiffAt R x u
hu : 0 < x u
⊢ x u ≠ 0
Tactic:
aesop
State after:
no goals

State before:
case funProp.discharger
R : Type u_1
inst✝² : RealScalar R
W : Type ?u.17689
inst✝¹ : Vec R W
U : Type u_2
inst✝ : SemiInnerProductSpace R U
u : U
x : U → R
hx : HasAdjDiffAt R x u
hu : 0 < x u
⊢ 0 < x u
Tactic:
aesop
State after:
no goals