Theorem: Along0.radius (Ray/Hartogs/Hartogs.lean)

State before:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
p : FormalMultilinearSeries ℂ (ℂ × ℂ) E
⊢ p.radius ≤ p.along0.radius
Tactic:
simp_rw [FormalMultilinearSeries.radius]
State after:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
p : FormalMultilinearSeries ℂ (ℂ × ℂ) E
⊢ ⨆ r, ⨆ C, ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C), ↑r ≤ ⨆ r, ⨆ C, ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p.along0 n‖ * ↑r ^ n ≤ C), ↑r

State before:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
p : FormalMultilinearSeries ℂ (ℂ × ℂ) E
⊢ ⨆ r, ⨆ C, ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C), ↑r ≤ ⨆ r, ⨆ C, ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p.along0 n‖ * ↑r ^ n ≤ C), ↑r
Tactic:
refine iSup_mono ?_
State after:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
p : FormalMultilinearSeries ℂ (ℂ × ℂ) E
⊢ ∀ (i : ℝ≥0), ⨆ C, ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑i ^ n ≤ C), ↑i ≤ ⨆ C, ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p.along0 n‖ * ↑i ^ n ≤ C), ↑i

State before:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r r0 r1 b e : ℝ
p : FormalMultilinearSeries ℂ (ℂ × ℂ) E
⊢ ∀ (i : ℝ≥0), ⨆ C, ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑i ^ n ≤ C), ↑i ≤ ⨆ C, ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p.along0 n‖ * ↑i ^ n ≤ C), ↑i
Tactic:
intro r
State after:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r✝ r0 r1 b e : ℝ
p : FormalMultilinearSeries ℂ (ℂ × ℂ) E
r : ℝ≥0
⊢ ⨆ C, ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C), ↑r ≤ ⨆ C, ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p.along0 n‖ * ↑r ^ n ≤ C), ↑r

State before:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r✝ r0 r1 b e : ℝ
p : FormalMultilinearSeries ℂ (ℂ × ℂ) E
r : ℝ≥0
⊢ ⨆ C, ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C), ↑r ≤ ⨆ C, ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p.along0 n‖ * ↑r ^ n ≤ C), ↑r
Tactic:
refine iSup_mono ?_
State after:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r✝ r0 r1 b e : ℝ
p : FormalMultilinearSeries ℂ (ℂ × ℂ) E
r : ℝ≥0
⊢ ∀ (i : ℝ), ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ i), ↑r ≤ ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p.along0 n‖ * ↑r ^ n ≤ i), ↑r

State before:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r✝ r0 r1 b e : ℝ
p : FormalMultilinearSeries ℂ (ℂ × ℂ) E
r : ℝ≥0
⊢ ∀ (i : ℝ), ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ i), ↑r ≤ ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p.along0 n‖ * ↑r ^ n ≤ i), ↑r
Tactic:
intro C
State after:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r✝ r0 r1 b e : ℝ
p : FormalMultilinearSeries ℂ (ℂ × ℂ) E
r : ℝ≥0
C : ℝ
⊢ ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C), ↑r ≤ ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p.along0 n‖ * ↑r ^ n ≤ C), ↑r

State before:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r✝ r0 r1 b e : ℝ
p : FormalMultilinearSeries ℂ (ℂ × ℂ) E
r : ℝ≥0
C : ℝ
⊢ ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C), ↑r ≤ ⨆ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p.along0 n‖ * ↑r ^ n ≤ C), ↑r
Tactic:
refine iSup_mono' ?_
State after:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r✝ r0 r1 b e : ℝ
p : FormalMultilinearSeries ℂ (ℂ × ℂ) E
r : ℝ≥0
C : ℝ
⊢ (∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C) → ∃ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p.along0 n‖ * ↑r ^ n ≤ C), ↑r ≤ ↑r

State before:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r✝ r0 r1 b e : ℝ
p : FormalMultilinearSeries ℂ (ℂ × ℂ) E
r : ℝ≥0
C : ℝ
⊢ (∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C) → ∃ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p.along0 n‖ * ↑r ^ n ≤ C), ↑r ≤ ↑r
Tactic:
intro h
State after:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r✝ r0 r1 b e : ℝ
p : FormalMultilinearSeries ℂ (ℂ × ℂ) E
r : ℝ≥0
C : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C
⊢ ∃ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p.along0 n‖ * ↑r ^ n ≤ C), ↑r ≤ ↑r

State before:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r✝ r0 r1 b e : ℝ
p : FormalMultilinearSeries ℂ (ℂ × ℂ) E
r : ℝ≥0
C : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C
⊢ ∃ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p.along0 n‖ * ↑r ^ n ≤ C), ↑r ≤ ↑r
Tactic:
have h' : ∀ n, ‖p.along0 n‖ * (r:ℝ)^n ≤ C := by
  intro n; refine le_trans ?_ (h n); apply mul_le_mul_of_nonneg_right
  exact Along0.norm (p n); bound
State after:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r✝ r0 r1 b e : ℝ
p : FormalMultilinearSeries ℂ (ℂ × ℂ) E
r : ℝ≥0
C : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C
h' : ∀ (n : ℕ), ‖p.along0 n‖ * ↑r ^ n ≤ C
⊢ ∃ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p.along0 n‖ * ↑r ^ n ≤ C), ↑r ≤ ↑r

State before:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r✝ r0 r1 b e : ℝ
p : FormalMultilinearSeries ℂ (ℂ × ℂ) E
r : ℝ≥0
C : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C
h' : ∀ (n : ℕ), ‖p.along0 n‖ * ↑r ^ n ≤ C
⊢ ∃ (_ : ∀ (n : ℕ), ‖p.along0 n‖ * ↑r ^ n ≤ C), ↑r ≤ ↑r
Tactic:
use h'
State after:
no goals

State before:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r✝ r0 r1 b e : ℝ
p : FormalMultilinearSeries ℂ (ℂ × ℂ) E
r : ℝ≥0
C : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C
⊢ ∀ (n : ℕ), ‖p.along0 n‖ * ↑r ^ n ≤ C
Tactic:
intro n
State after:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r✝ r0 r1 b e : ℝ
p : FormalMultilinearSeries ℂ (ℂ × ℂ) E
r : ℝ≥0
C : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C
n : ℕ
⊢ ‖p.along0 n‖ * ↑r ^ n ≤ C

State before:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r✝ r0 r1 b e : ℝ
p : FormalMultilinearSeries ℂ (ℂ × ℂ) E
r : ℝ≥0
C : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C
n : ℕ
⊢ ‖p.along0 n‖ * ↑r ^ n ≤ C
Tactic:
refine le_trans ?_ (h n)
State after:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r✝ r0 r1 b e : ℝ
p : FormalMultilinearSeries ℂ (ℂ × ℂ) E
r : ℝ≥0
C : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C
n : ℕ
⊢ ‖p.along0 n‖ * ↑r ^ n ≤ ‖p n‖ * ↑r ^ n

State before:
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r✝ r0 r1 b e : ℝ
p : FormalMultilinearSeries ℂ (ℂ × ℂ) E
r : ℝ≥0
C : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C
n : ℕ
⊢ ‖p.along0 n‖ * ↑r ^ n ≤ ‖p n‖ * ↑r ^ n
Tactic:
apply mul_le_mul_of_nonneg_right
State after:
case h
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r✝ r0 r1 b e : ℝ
p : FormalMultilinearSeries ℂ (ℂ × ℂ) E
r : ℝ≥0
C : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C
n : ℕ
⊢ ‖p.along0 n‖ ≤ ‖p n‖

case a0
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r✝ r0 r1 b e : ℝ
p : FormalMultilinearSeries ℂ (ℂ × ℂ) E
r : ℝ≥0
C : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C
n : ℕ
⊢ 0 ≤ ↑r ^ n

State before:
case h
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r✝ r0 r1 b e : ℝ
p : FormalMultilinearSeries ℂ (ℂ × ℂ) E
r : ℝ≥0
C : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C
n : ℕ
⊢ ‖p.along0 n‖ ≤ ‖p n‖

case a0
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r✝ r0 r1 b e : ℝ
p : FormalMultilinearSeries ℂ (ℂ × ℂ) E
r : ℝ≥0
C : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C
n : ℕ
⊢ 0 ≤ ↑r ^ n
Tactic:
exact Along0.norm (p n)
State after:
case a0
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r✝ r0 r1 b e : ℝ
p : FormalMultilinearSeries ℂ (ℂ × ℂ) E
r : ℝ≥0
C : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C
n : ℕ
⊢ 0 ≤ ↑r ^ n

State before:
case a0
E : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup E
inst✝² : NormedSpace ℂ E
inst✝¹ : CompleteSpace E
inst✝ : SecondCountableTopology E
f : ℂ × ℂ → E
s : Set (ℂ × ℂ)
c0 c0' c1 z0 z1 w0 w1 : ℂ
r✝ r0 r1 b e : ℝ
p : FormalMultilinearSeries ℂ (ℂ × ℂ) E
r : ℝ≥0
C : ℝ
h : ∀ (n : ℕ), ‖p n‖ * ↑r ^ n ≤ C
n : ℕ
⊢ 0 ≤ ↑r ^ n
Tactic:
bound
State after:
no goals