Theorem: LocalVolume.Ioc (Ray/Misc/Measure.lean)

State before:
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
a b : ℝ
⊢ LocalVolumeSet (Set.Ioc a b)
Tactic:
apply LocalVolume.closure_interior
State after:
case bp
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
a b : ℝ
⊢ ∀ (x r : ℝ), r > 0 → ↑volume (ball x r) > 0

case ci
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
a b : ℝ
⊢ Set.Ioc a b ⊆ closure (interior (Set.Ioc a b))

State before:
case bp
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
a b : ℝ
⊢ ∀ (x r : ℝ), r > 0 → ↑volume (ball x r) > 0
Tactic:
intro x r rp
State after:
case bp
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
a b x r : ℝ
rp : r > 0
⊢ ↑volume (ball x r) > 0

State before:
case bp
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
a b x r : ℝ
rp : r > 0
⊢ ↑volume (ball x r) > 0
Tactic:
simp only [Real.volume_ball, gt_iff_lt, ENNReal.ofReal_pos, mul_pos_iff_of_pos_left,
  zero_lt_bit0, zero_lt_one]
State after:
case bp
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
a b x r : ℝ
rp : r > 0
⊢ 0 < 2 * r

State before:
case bp
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
a b x r : ℝ
rp : r > 0
⊢ 0 < 2 * r
Tactic:
bound
State after:
no goals

State before:
case ci
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
a b : ℝ
⊢ Set.Ioc a b ⊆ closure (interior (Set.Ioc a b))
Tactic:
by_cases ab : a = b
State after:
case pos
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
a b : ℝ
ab : a = b
⊢ Set.Ioc a b ⊆ closure (interior (Set.Ioc a b))

case neg
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
a b : ℝ
ab : ¬a = b
⊢ Set.Ioc a b ⊆ closure (interior (Set.Ioc a b))

State before:
case neg
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
a b : ℝ
ab : ¬a = b
⊢ Set.Ioc a b ⊆ closure (interior (Set.Ioc a b))
Tactic:
simp only [interior_Ioc, closure_Ioo ab, Set.Ioc_subset_Icc_self]
State after:
no goals

State before:
case pos
E : Type
inst✝¹³ : NormedAddCommGroup E
inst✝¹² : NormedSpace ℝ E
inst✝¹¹ : CompleteSpace E
inst✝¹⁰ : SecondCountableTopology E
F : Type
inst✝⁹ : NormedAddCommGroup F
inst✝⁸ : NormedSpace ℝ F
inst✝⁷ : CompleteSpace F
X : Type
inst✝⁶ : MeasureSpace X
inst✝⁵ : MetricSpace X
inst✝⁴ : BorelSpace X
Y : Type
inst✝³ : MeasureSpace Y
inst✝² : MetricSpace Y
inst✝¹ : BorelSpace Y
A : Type
inst✝ : TopologicalSpace A
a b : ℝ
ab : a = b
⊢ Set.Ioc a b ⊆ closure (interior (Set.Ioc a b))
Tactic:
simp only [ab, Set.Ioc_self, Set.empty_subset]
State after:
no goals