Theorem: LambdaCalculi.eq_of_hasType (LambdaCalculi/HasType.lean)

State before:
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
Γ : Context p✝ U✝
t : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] t ∶ σ
hτ : Γ ⊢[T] t ∶ τ
⊢ σ = τ
Tactic:
induction t generalizing Γ σ τ
State after:
case const
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝ : C✝
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.const a✝ ∶ σ
hτ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.const a✝ ∶ τ
⊢ σ = τ

case var
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝ : ℕ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.var a✝ ∶ σ
hτ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.var a✝ ∶ τ
⊢ σ = τ

case lambda
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝² : p✝.lambda = true
a✝¹ : LambdaType p✝ U✝
a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.lambda a✝² a✝¹ a✝ ∶ σ
hτ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.lambda a✝² a✝¹ a✝ ∶ τ
⊢ σ = τ

case app
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝² : p✝.lambda = true
a✝¹ a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
a_ih✝¹ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ) → σ = τ
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.app a✝² a✝¹ a✝ ∶ σ
hτ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.app a✝² a✝¹ a✝ ∶ τ
⊢ σ = τ

case pair
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝² : p✝.prod = true
a✝¹ a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
a_ih✝¹ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ) → σ = τ
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.pair a✝² a✝¹ a✝ ∶ σ
hτ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.pair a✝² a✝¹ a✝ ∶ τ
⊢ σ = τ

case fst
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝¹ : p✝.prod = true
a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.fst a✝¹ a✝ ∶ σ
hτ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.fst a✝¹ a✝ ∶ τ
⊢ σ = τ

case snd
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝¹ : p✝.prod = true
a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.snd a✝¹ a✝ ∶ σ
hτ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.snd a✝¹ a✝ ∶ τ
⊢ σ = τ

case inl
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝² : p✝.coprod = true
a✝¹ : LambdaType p✝ U✝
a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.inl a✝² a✝¹ a✝ ∶ σ
hτ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.inl a✝² a✝¹ a✝ ∶ τ
⊢ σ = τ

case inr
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝² : p✝.coprod = true
a✝¹ : LambdaType p✝ U✝
a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.inr a✝² a✝¹ a✝ ∶ σ
hτ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.inr a✝² a✝¹ a✝ ∶ τ
⊢ σ = τ

case case
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝³ : p✝.coprod = true
a✝² a✝¹ a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
a_ih✝² : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝² ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝² ∶ τ) → σ = τ
a_ih✝¹ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ) → σ = τ
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.case a✝³ a✝² a✝¹ a✝ ∶ σ
hτ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.case a✝³ a✝² a✝¹ a✝ ∶ τ
⊢ σ = τ

case star
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝ : p✝.unit = true
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.star a✝ ∶ σ
hτ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.star a✝ ∶ τ
⊢ σ = τ

case elim
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝² : p✝.empty = true
a✝¹ : LambdaType p✝ U✝
a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.elim a✝² a✝¹ a✝ ∶ σ
hτ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.elim a✝² a✝¹ a✝ ∶ τ
⊢ σ = τ

State before:
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝² : p✝.lambda = true
a✝¹ a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
ih : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ) → σ = τ
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.app a✝² a✝¹ a✝ ∶ σ
hτ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.app a✝² a✝¹ a✝ ∶ τ
⊢ σ = τ
Tactic:
case app ih _ =>
  rw [hasType_app] at hσ hτ
  obtain ⟨_, h₁, -⟩ := hσ
  obtain ⟨_, h₂, -⟩ := hτ
  cases ih h₁ h₂
  rfl
State after:
no goals

State before:
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝¹ : p✝.prod = true
a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
ih : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.snd a✝¹ a✝ ∶ σ
hτ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.snd a✝¹ a✝ ∶ τ
⊢ σ = τ
Tactic:
case fst ih | snd ih =>
  simp only [hasType_fst, hasType_snd] at hσ hτ
  obtain ⟨σ', hσ⟩ := hσ
  obtain ⟨τ', hτ⟩ := hτ
  cases ih hσ hτ
  rfl
State after:
no goals

State before:
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝³ : p✝.coprod = true
a✝² a✝¹ a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
ih₁ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝² ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝² ∶ τ) → σ = τ
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ) → σ = τ
ih : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.case a✝³ a✝² a✝¹ a✝ ∶ σ
hτ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.case a✝³ a✝² a✝¹ a✝ ∶ τ
⊢ σ = τ
Tactic:
case case ih₁ _ ih =>
  rw [hasType_case] at hσ hτ
  obtain ⟨σ₁, σ₂, hσ, hσ₁, _⟩ := hσ
  obtain ⟨τ₁, τ₂, hτ, hτ₁, _⟩ := hτ
  cases ih hσ hτ
  cases ih₁ hσ₁ hτ₁
  rfl
State after:
no goals

State before:
case const
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝ : C✝
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.const a✝ ∶ σ
hτ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.const a✝ ∶ τ
⊢ σ = τ

case var
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝ : ℕ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.var a✝ ∶ σ
hτ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.var a✝ ∶ τ
⊢ σ = τ

case lambda
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝² : p✝.lambda = true
a✝¹ : LambdaType p✝ U✝
a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.lambda a✝² a✝¹ a✝ ∶ σ
hτ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.lambda a✝² a✝¹ a✝ ∶ τ
⊢ σ = τ

case pair
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝² : p✝.prod = true
a✝¹ a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
a_ih✝¹ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ) → σ = τ
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.pair a✝² a✝¹ a✝ ∶ σ
hτ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.pair a✝² a✝¹ a✝ ∶ τ
⊢ σ = τ

case inl
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝² : p✝.coprod = true
a✝¹ : LambdaType p✝ U✝
a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.inl a✝² a✝¹ a✝ ∶ σ
hτ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.inl a✝² a✝¹ a✝ ∶ τ
⊢ σ = τ

case inr
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝² : p✝.coprod = true
a✝¹ : LambdaType p✝ U✝
a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.inr a✝² a✝¹ a✝ ∶ σ
hτ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.inr a✝² a✝¹ a✝ ∶ τ
⊢ σ = τ

case star
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝ : p✝.unit = true
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.star a✝ ∶ σ
hτ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.star a✝ ∶ τ
⊢ σ = τ

case elim
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝² : p✝.empty = true
a✝¹ : LambdaType p✝ U✝
a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.elim a✝² a✝¹ a✝ ∶ σ
hτ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.elim a✝² a✝¹ a✝ ∶ τ
⊢ σ = τ
Tactic:
all_goals aesop
State after:
no goals

State before:
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝² : p✝.lambda = true
a✝¹ a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
ih : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ) → σ = τ
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.app a✝² a✝¹ a✝ ∶ σ
hτ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.app a✝² a✝¹ a✝ ∶ τ
⊢ σ = τ
Tactic:
rw [hasType_app] at hσ hτ
State after:
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝² : p✝.lambda = true
a✝¹ a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
ih : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ) → σ = τ
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : ∃ σ_1, (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ LambdaType.lambda a✝² σ_1 σ) ∧ (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ_1)
hτ : ∃ σ, (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ LambdaType.lambda a✝² σ τ) ∧ (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ)
⊢ σ = τ

State before:
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝² : p✝.lambda = true
a✝¹ a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
ih : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ) → σ = τ
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : ∃ σ_1, (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ LambdaType.lambda a✝² σ_1 σ) ∧ (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ_1)
hτ : ∃ σ, (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ LambdaType.lambda a✝² σ τ) ∧ (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ)
⊢ σ = τ
Tactic:
obtain ⟨_, h₁, -⟩ := hσ
State after:
case intro.intro
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝² : p✝.lambda = true
a✝¹ a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
ih : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ) → σ = τ
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hτ : ∃ σ, (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ LambdaType.lambda a✝² σ τ) ∧ (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ)
w✝ : LambdaType p✝ U✝
h₁ : Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ LambdaType.lambda a✝² w✝ σ
⊢ σ = τ

State before:
case intro.intro
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝² : p✝.lambda = true
a✝¹ a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
ih : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ) → σ = τ
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hτ : ∃ σ, (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ LambdaType.lambda a✝² σ τ) ∧ (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ)
w✝ : LambdaType p✝ U✝
h₁ : Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ LambdaType.lambda a✝² w✝ σ
⊢ σ = τ
Tactic:
obtain ⟨_, h₂, -⟩ := hτ
State after:
case intro.intro.intro.intro
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝² : p✝.lambda = true
a✝¹ a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
ih : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ) → σ = τ
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ w✝¹ : LambdaType p✝ U✝
h₁ : Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ LambdaType.lambda a✝² w✝¹ σ
w✝ : LambdaType p✝ U✝
h₂ : Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ LambdaType.lambda a✝² w✝ τ
⊢ σ = τ

State before:
case intro.intro.intro.intro
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝² : p✝.lambda = true
a✝¹ a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
ih : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ) → σ = τ
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ w✝¹ : LambdaType p✝ U✝
h₁ : Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ LambdaType.lambda a✝² w✝¹ σ
w✝ : LambdaType p✝ U✝
h₂ : Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ LambdaType.lambda a✝² w✝ τ
⊢ σ = τ
Tactic:
cases ih h₁ h₂
State after:
case intro.intro.intro.intro.refl
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝² : p✝.lambda = true
a✝¹ a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
ih : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ) → σ = τ
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ w✝ : LambdaType p✝ U✝
h₁ h₂ : Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ LambdaType.lambda a✝² w✝ σ
⊢ σ = σ

State before:
case intro.intro.intro.intro.refl
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝² : p✝.lambda = true
a✝¹ a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
ih : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ) → σ = τ
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ w✝ : LambdaType p✝ U✝
h₁ h₂ : Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ LambdaType.lambda a✝² w✝ σ
⊢ σ = σ
Tactic:
rfl
State after:
no goals

State before:
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝¹ : p✝.prod = true
a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
ih : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.snd a✝¹ a✝ ∶ σ
hτ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.snd a✝¹ a✝ ∶ τ
⊢ σ = τ
Tactic:
simp only [hasType_fst, hasType_snd] at hσ hτ
State after:
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝¹ : p✝.prod = true
a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
ih : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : ∃ σ_1, Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.prod a✝¹ σ_1 σ
hτ : ∃ σ, Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.prod a✝¹ σ τ
⊢ σ = τ

State before:
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝¹ : p✝.prod = true
a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
ih : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : ∃ σ_1, Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.prod a✝¹ σ_1 σ
hτ : ∃ σ, Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.prod a✝¹ σ τ
⊢ σ = τ
Tactic:
obtain ⟨σ', hσ⟩ := hσ
State after:
case intro
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝¹ : p✝.prod = true
a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
ih : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hτ : ∃ σ, Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.prod a✝¹ σ τ
σ' : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.prod a✝¹ σ' σ
⊢ σ = τ

State before:
case intro
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝¹ : p✝.prod = true
a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
ih : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hτ : ∃ σ, Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.prod a✝¹ σ τ
σ' : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.prod a✝¹ σ' σ
⊢ σ = τ
Tactic:
obtain ⟨τ', hτ⟩ := hτ
State after:
case intro.intro
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝¹ : p✝.prod = true
a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
ih : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ σ' : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.prod a✝¹ σ' σ
τ' : LambdaType p✝ U✝
hτ : Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.prod a✝¹ τ' τ
⊢ σ = τ

State before:
case intro.intro
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝¹ : p✝.prod = true
a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
ih : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ σ' : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.prod a✝¹ σ' σ
τ' : LambdaType p✝ U✝
hτ : Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.prod a✝¹ τ' τ
⊢ σ = τ
Tactic:
cases ih hσ hτ
State after:
case intro.intro.refl
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝¹ : p✝.prod = true
a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
ih : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ σ' : LambdaType p✝ U✝
hσ hτ : Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.prod a✝¹ σ' σ
⊢ σ = σ

State before:
case intro.intro.refl
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝¹ : p✝.prod = true
a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
ih : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ σ' : LambdaType p✝ U✝
hσ hτ : Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.prod a✝¹ σ' σ
⊢ σ = σ
Tactic:
rfl
State after:
no goals

State before:
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝³ : p✝.coprod = true
a✝² a✝¹ a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
ih₁ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝² ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝² ∶ τ) → σ = τ
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ) → σ = τ
ih : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.case a✝³ a✝² a✝¹ a✝ ∶ σ
hτ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.case a✝³ a✝² a✝¹ a✝ ∶ τ
⊢ σ = τ
Tactic:
rw [hasType_case] at hσ hτ
State after:
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝³ : p✝.coprod = true
a✝² a✝¹ a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
ih₁ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝² ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝² ∶ τ) → σ = τ
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ) → σ = τ
ih : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : ∃ τ₁ τ₂, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.coprod a✝³ τ₁ τ₂) ∧ (τ₁ :: Γ ⊢[T] a✝² ∶ σ) ∧ (τ₂ :: Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ)
hτ : ∃ τ₁ τ₂, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.coprod a✝³ τ₁ τ₂) ∧ (τ₁ :: Γ ⊢[T] a✝² ∶ τ) ∧ (τ₂ :: Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ)
⊢ σ = τ

State before:
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝³ : p✝.coprod = true
a✝² a✝¹ a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
ih₁ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝² ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝² ∶ τ) → σ = τ
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ) → σ = τ
ih : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : ∃ τ₁ τ₂, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.coprod a✝³ τ₁ τ₂) ∧ (τ₁ :: Γ ⊢[T] a✝² ∶ σ) ∧ (τ₂ :: Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ)
hτ : ∃ τ₁ τ₂, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.coprod a✝³ τ₁ τ₂) ∧ (τ₁ :: Γ ⊢[T] a✝² ∶ τ) ∧ (τ₂ :: Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ)
⊢ σ = τ
Tactic:
obtain ⟨σ₁, σ₂, hσ, hσ₁, _⟩ := hσ
State after:
case intro.intro.intro.intro
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝³ : p✝.coprod = true
a✝² a✝¹ a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
ih₁ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝² ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝² ∶ τ) → σ = τ
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ) → σ = τ
ih : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hτ : ∃ τ₁ τ₂, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.coprod a✝³ τ₁ τ₂) ∧ (τ₁ :: Γ ⊢[T] a✝² ∶ τ) ∧ (τ₂ :: Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ)
σ₁ σ₂ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.coprod a✝³ σ₁ σ₂
hσ₁ : σ₁ :: Γ ⊢[T] a✝² ∶ σ
right✝ : σ₂ :: Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ
⊢ σ = τ

State before:
case intro.intro.intro.intro
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝³ : p✝.coprod = true
a✝² a✝¹ a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
ih₁ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝² ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝² ∶ τ) → σ = τ
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ) → σ = τ
ih : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hτ : ∃ τ₁ τ₂, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.coprod a✝³ τ₁ τ₂) ∧ (τ₁ :: Γ ⊢[T] a✝² ∶ τ) ∧ (τ₂ :: Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ)
σ₁ σ₂ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.coprod a✝³ σ₁ σ₂
hσ₁ : σ₁ :: Γ ⊢[T] a✝² ∶ σ
right✝ : σ₂ :: Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ
⊢ σ = τ
Tactic:
obtain ⟨τ₁, τ₂, hτ, hτ₁, _⟩ := hτ
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝³ : p✝.coprod = true
a✝² a✝¹ a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
ih₁ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝² ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝² ∶ τ) → σ = τ
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ) → σ = τ
ih : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ σ₁ σ₂ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.coprod a✝³ σ₁ σ₂
hσ₁ : σ₁ :: Γ ⊢[T] a✝² ∶ σ
right✝¹ : σ₂ :: Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ
τ₁ τ₂ : LambdaType p✝ U✝
hτ : Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.coprod a✝³ τ₁ τ₂
hτ₁ : τ₁ :: Γ ⊢[T] a✝² ∶ τ
right✝ : τ₂ :: Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ
⊢ σ = τ

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝³ : p✝.coprod = true
a✝² a✝¹ a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
ih₁ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝² ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝² ∶ τ) → σ = τ
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ) → σ = τ
ih : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ σ₁ σ₂ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.coprod a✝³ σ₁ σ₂
hσ₁ : σ₁ :: Γ ⊢[T] a✝² ∶ σ
right✝¹ : σ₂ :: Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ
τ₁ τ₂ : LambdaType p✝ U✝
hτ : Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.coprod a✝³ τ₁ τ₂
hτ₁ : τ₁ :: Γ ⊢[T] a✝² ∶ τ
right✝ : τ₂ :: Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ
⊢ σ = τ
Tactic:
cases ih hσ hτ
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refl
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝³ : p✝.coprod = true
a✝² a✝¹ a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
ih₁ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝² ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝² ∶ τ) → σ = τ
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ) → σ = τ
ih : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ σ₁ σ₂ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.coprod a✝³ σ₁ σ₂
hσ₁ : σ₁ :: Γ ⊢[T] a✝² ∶ σ
right✝¹ : σ₂ :: Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ
hτ₁ : σ₁ :: Γ ⊢[T] a✝² ∶ τ
right✝ : σ₂ :: Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ
hτ : Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.coprod a✝³ σ₁ σ₂
⊢ σ = τ

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refl
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝³ : p✝.coprod = true
a✝² a✝¹ a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
ih₁ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝² ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝² ∶ τ) → σ = τ
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ) → σ = τ
ih : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ σ₁ σ₂ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.coprod a✝³ σ₁ σ₂
hσ₁ : σ₁ :: Γ ⊢[T] a✝² ∶ σ
right✝¹ : σ₂ :: Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ
hτ₁ : σ₁ :: Γ ⊢[T] a✝² ∶ τ
right✝ : σ₂ :: Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ
hτ : Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.coprod a✝³ σ₁ σ₂
⊢ σ = τ
Tactic:
cases ih₁ hσ₁ hτ₁
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refl.refl
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝³ : p✝.coprod = true
a✝² a✝¹ a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
ih₁ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝² ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝² ∶ τ) → σ = τ
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ) → σ = τ
ih : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ σ₁ σ₂ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.coprod a✝³ σ₁ σ₂
hσ₁ : σ₁ :: Γ ⊢[T] a✝² ∶ σ
right✝¹ : σ₂ :: Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ
hτ : Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.coprod a✝³ σ₁ σ₂
hτ₁ : σ₁ :: Γ ⊢[T] a✝² ∶ σ
right✝ : σ₂ :: Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ
⊢ σ = σ

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refl.refl
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝³ : p✝.coprod = true
a✝² a✝¹ a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
ih₁ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝² ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝² ∶ τ) → σ = τ
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ τ) → σ = τ
ih : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ σ₁ σ₂ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.coprod a✝³ σ₁ σ₂
hσ₁ : σ₁ :: Γ ⊢[T] a✝² ∶ σ
right✝¹ : σ₂ :: Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ
hτ : Γ ⊢[T] a✝ ∶ LambdaType.coprod a✝³ σ₁ σ₂
hτ₁ : σ₁ :: Γ ⊢[T] a✝² ∶ σ
right✝ : σ₂ :: Γ ⊢[T] a✝¹ ∶ σ
⊢ σ = σ
Tactic:
rfl
State after:
no goals

State before:
case elim
p : LambdaParams
U : Type ?u.145218
C : Type ?u.145221
C✝ : Type u_1
p✝ : LambdaParams
U✝ : Type u_2
T : C✝ → LambdaType p✝ U✝
a✝² : p✝.empty = true
a✝¹ : LambdaType p✝ U✝
a✝ : LambdaTerm p✝ U✝ C✝
a_ih✝ : ∀ {Γ : Context p✝ U✝} {σ τ : LambdaType p✝ U✝}, (Γ ⊢[T] a✝ ∶ σ) → (Γ ⊢[T] a✝ ∶ τ) → σ = τ
Γ : Context p✝ U✝
σ τ : LambdaType p✝ U✝
hσ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.elim a✝² a✝¹ a✝ ∶ σ
hτ : Γ ⊢[T] LambdaTerm.elim a✝² a✝¹ a✝ ∶ τ
⊢ σ = τ
Tactic:
aesop
State after:
no goals