Theorem: ZetaUpperBnd (PrimeNumberTheoremAnd/ZetaBounds.lean)

State before:
⊢ ∃ A,
    ∃ (_ : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)),
      ∃ C, ∃ (_ : 0 < C), ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
Tactic:
let A := (1 / 2 : ℝ)
State after:
A : ℝ := 1 / 2
⊢ ∃ A,
    ∃ (_ : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)),
      ∃ C, ∃ (_ : 0 < C), ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log

State before:
A : ℝ := 1 / 2
⊢ ∃ A,
    ∃ (_ : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)),
      ∃ C, ∃ (_ : 0 < C), ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
Tactic:
let C := Real.exp A * (5 + 8 * 2)
State after:
A : ℝ := 1 / 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
⊢ ∃ A,
    ∃ (_ : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)),
      ∃ C, ∃ (_ : 0 < C), ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log

State before:
A : ℝ := 1 / 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
⊢ ∃ A,
    ∃ (_ : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)),
      ∃ C, ∃ (_ : 0 < C), ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
Tactic:
refine ⟨A, ⟨by norm_num, by norm_num⟩ , C, (by positivity), ?_⟩
State after:
A : ℝ := 1 / 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
⊢ ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log

State before:
A : ℝ := 1 / 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
⊢ ∀ (σ t : ℝ), 3 < |t| → σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2 → ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
Tactic:
intro σ t t_gt ⟨σ_ge, σ_le⟩
State after:
A : ℝ := 1 / 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
σ_le : σ ≤ 2
⊢ ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log

State before:
A : ℝ := 1 / 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
σ_le : σ ≤ 2
⊢ ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
Tactic:
obtain ⟨Npos, _, _, _, σPos, neOne⟩ := UpperBnd_aux ⟨by norm_num, by norm_num⟩ t_gt σ_ge
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro
A : ℝ := 1 / 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
σ_le : σ ≤ 2
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝² : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
left✝¹ : 1 < |t|.log
left✝ : 1 - A < σ
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
⊢ ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro
A : ℝ := 1 / 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
σ_le : σ ≤ 2
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝² : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
left✝¹ : 1 < |t|.log
left✝ : 1 - A < σ
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
⊢ ‖ζ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
Tactic:
rw [← Zeta0EqZeta Npos (by simp [σPos]) neOne]
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro
A : ℝ := 1 / 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
σ_le : σ ≤ 2
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝² : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
left✝¹ : 1 < |t|.log
left✝ : 1 - A < σ
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
⊢ ‖ζ₀ ⌊|t|⌋₊ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro
A : ℝ := 1 / 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
σ_le : σ ≤ 2
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝² : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
left✝¹ : 1 < |t|.log
left✝ : 1 - A < σ
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
⊢ ‖ζ₀ ⌊|t|⌋₊ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ C * |t|.log
Tactic:
apply le_trans (by apply norm_add₄_le) ?_
State after:
A : ℝ := 1 / 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
σ_le : σ ≤ 2
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝² : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
left✝¹ : 1 < |t|.log
left✝ : 1 - A < σ
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
⊢ ‖∑ n ∈ Finset.range (⌊|t|⌋₊ + 1), 1 / ↑n ^ (↑σ + ↑t * I)‖ + ‖-↑⌊|t|⌋₊ ^ (1 - (↑σ + ↑t * I)) / (1 - (↑σ + ↑t * I))‖ +
        ‖-↑⌊|t|⌋₊ ^ (-(↑σ + ↑t * I)) / 2‖ +
      ‖(↑σ + ↑t * I) * ∫ (x : ℝ) in Ioi ↑⌊|t|⌋₊, (↑⌊x⌋ + 1 / 2 - ↑x) / ↑x ^ (↑σ + ↑t * I + 1)‖ ≤
    C * |t|.log

State before:
A : ℝ := 1 / 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
σ_le : σ ≤ 2
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝² : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
left✝¹ : 1 < |t|.log
left✝ : 1 - A < σ
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
⊢ ‖∑ n ∈ Finset.range (⌊|t|⌋₊ + 1), 1 / ↑n ^ (↑σ + ↑t * I)‖ + ‖-↑⌊|t|⌋₊ ^ (1 - (↑σ + ↑t * I)) / (1 - (↑σ + ↑t * I))‖ +
        ‖-↑⌊|t|⌋₊ ^ (-(↑σ + ↑t * I)) / 2‖ +
      ‖(↑σ + ↑t * I) * ∫ (x : ℝ) in Ioi ↑⌊|t|⌋₊, (↑⌊x⌋ + 1 / 2 - ↑x) / ↑x ^ (↑σ + ↑t * I + 1)‖ ≤
    C * |t|.log
Tactic:
convert ZetaUpperBnd' ⟨by norm_num, le_rfl⟩ t_gt ⟨σ_ge, σ_le⟩ using 1
State after:
case h.e'_3
A : ℝ := 1 / 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
σ_le : σ ≤ 2
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝² : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
left✝¹ : 1 < |t|.log
left✝ : 1 - A < σ
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
⊢ ‖∑ n ∈ Finset.range (⌊|t|⌋₊ + 1), 1 / ↑n ^ (↑σ + ↑t * I)‖ + ‖-↑⌊|t|⌋₊ ^ (1 - (↑σ + ↑t * I)) / (1 - (↑σ + ↑t * I))‖ +
        ‖-↑⌊|t|⌋₊ ^ (-(↑σ + ↑t * I)) / 2‖ +
      ‖(↑σ + ↑t * I) * ∫ (x : ℝ) in Ioi ↑⌊|t|⌋₊, (↑⌊x⌋ + 1 / 2 - ↑x) / ↑x ^ (↑σ + ↑t * I + 1)‖ =
    ‖∑ n ∈ Finset.range (⌊|t|⌋₊ + 1), 1 / ↑n ^ (↑σ + ↑t * I)‖ + ‖↑⌊|t|⌋₊ ^ (1 - (↑σ + ↑t * I)) / (1 - (↑σ + ↑t * I))‖ +
        ‖↑⌊|t|⌋₊ ^ (-(↑σ + ↑t * I)) / 2‖ +
      ‖(↑σ + ↑t * I) * ∫ (x : ℝ) in Ioi ↑⌊|t|⌋₊, (↑⌊x⌋ + 1 / 2 - ↑x) / ↑x ^ (↑σ + ↑t * I + 1)‖

State before:
case h.e'_3
A : ℝ := 1 / 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
σ_le : σ ≤ 2
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝² : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
left✝¹ : 1 < |t|.log
left✝ : 1 - A < σ
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
⊢ ‖∑ n ∈ Finset.range (⌊|t|⌋₊ + 1), 1 / ↑n ^ (↑σ + ↑t * I)‖ + ‖-↑⌊|t|⌋₊ ^ (1 - (↑σ + ↑t * I)) / (1 - (↑σ + ↑t * I))‖ +
        ‖-↑⌊|t|⌋₊ ^ (-(↑σ + ↑t * I)) / 2‖ +
      ‖(↑σ + ↑t * I) * ∫ (x : ℝ) in Ioi ↑⌊|t|⌋₊, (↑⌊x⌋ + 1 / 2 - ↑x) / ↑x ^ (↑σ + ↑t * I + 1)‖ =
    ‖∑ n ∈ Finset.range (⌊|t|⌋₊ + 1), 1 / ↑n ^ (↑σ + ↑t * I)‖ + ‖↑⌊|t|⌋₊ ^ (1 - (↑σ + ↑t * I)) / (1 - (↑σ + ↑t * I))‖ +
        ‖↑⌊|t|⌋₊ ^ (-(↑σ + ↑t * I)) / 2‖ +
      ‖(↑σ + ↑t * I) * ∫ (x : ℝ) in Ioi ↑⌊|t|⌋₊, (↑⌊x⌋ + 1 / 2 - ↑x) / ↑x ^ (↑σ + ↑t * I + 1)‖
Tactic:
simp
State after:
no goals

State before:
A : ℝ := 1 / 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
⊢ 0 < A
Tactic:
norm_num
State after:
no goals

State before:
A : ℝ := 1 / 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
⊢ A ≤ 1 / 2
Tactic:
norm_num
State after:
no goals

State before:
A : ℝ := 1 / 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
⊢ 0 < C
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
A : ℝ := 1 / 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
σ_le : σ ≤ 2
⊢ 0 < A
Tactic:
norm_num
State after:
no goals

State before:
A : ℝ := 1 / 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
σ_le : σ ≤ 2
⊢ A ≤ 1 / 2
Tactic:
norm_num
State after:
no goals

State before:
A : ℝ := 1 / 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
σ_le : σ ≤ 2
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝² : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
left✝¹ : 1 < |t|.log
left✝ : 1 - A < σ
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
⊢ 0 < (↑σ + ↑t * I).re
Tactic:
simp [σPos]
State after:
no goals

State before:
A : ℝ := 1 / 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
σ_le : σ ≤ 2
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝² : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
left✝¹ : 1 < |t|.log
left✝ : 1 - A < σ
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
⊢ ‖ζ₀ ⌊|t|⌋₊ (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ ?m.863712
Tactic:
apply norm_add₄_le
State after:
no goals

State before:
A : ℝ := 1 / 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
σ t : ℝ
t_gt : 3 < |t|
σ_ge : 1 - A / |t|.log ≤ σ
σ_le : σ ≤ 2
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
left✝² : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
left✝¹ : 1 < |t|.log
left✝ : 1 - A < σ
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
⊢ 0 < 1 / 2
Tactic:
norm_num
State after:
no goals