Theorem: Matroid.r_le_iff (Matroid/Rank.lean)

State before:
α : Type u_1
ι : Type u_2
M N : Matroid α
I B X X' Y Y' Z R : Set α
n✝ : ℕ∞
e f : α
inst✝ : M.FiniteRk
n : ℕ
⊢ M.r X ≤ n ↔ ∀ {I : Set α}, I ⊆ X → M.Indep I → I.ncard ≤ n
Tactic:
simp_rw [← er_le_coe_iff, er_le_iff, encard_le_coe_iff]
State after:
α : Type u_1
ι : Type u_2
M N : Matroid α
I B X X' Y Y' Z R : Set α
n✝ : ℕ∞
e f : α
inst✝ : M.FiniteRk
n : ℕ
⊢ (∀ {I : Set α}, I ⊆ X → M.Indep I → I.Finite ∧ ∃ n₀, I.encard = ↑n₀ ∧ n₀ ≤ n) ↔
    ∀ {I : Set α}, I ⊆ X → M.Indep I → I.ncard ≤ n

State before:
α : Type u_1
ι : Type u_2
M N : Matroid α
I B X X' Y Y' Z R : Set α
n✝ : ℕ∞
e f : α
inst✝ : M.FiniteRk
n : ℕ
⊢ (∀ {I : Set α}, I ⊆ X → M.Indep I → I.Finite ∧ ∃ n₀, I.encard = ↑n₀ ∧ n₀ ≤ n) ↔
    ∀ {I : Set α}, I ⊆ X → M.Indep I → I.ncard ≤ n
Tactic:
refine ⟨fun h I hIX hI ↦ ?_, fun h I hIX hI ↦ ⟨hI.finite, ⟨_, hI.finite.encard_eq_coe, h hIX hI⟩⟩⟩
State after:
α : Type u_1
ι : Type u_2
M N : Matroid α
I✝ B X X' Y Y' Z R : Set α
n✝ : ℕ∞
e f : α
inst✝ : M.FiniteRk
n : ℕ
h : ∀ {I : Set α}, I ⊆ X → M.Indep I → I.Finite ∧ ∃ n₀, I.encard = ↑n₀ ∧ n₀ ≤ n
I : Set α
hIX : I ⊆ X
hI : M.Indep I
⊢ I.ncard ≤ n

State before:
α : Type u_1
ι : Type u_2
M N : Matroid α
I✝ B X X' Y Y' Z R : Set α
n✝ : ℕ∞
e f : α
inst✝ : M.FiniteRk
n : ℕ
h : ∀ {I : Set α}, I ⊆ X → M.Indep I → I.Finite ∧ ∃ n₀, I.encard = ↑n₀ ∧ n₀ ≤ n
I : Set α
hIX : I ⊆ X
hI : M.Indep I
⊢ I.ncard ≤ n
Tactic:
obtain ⟨-, m, hm, hmn⟩ := h hIX hI
State after:
case intro.intro.intro
α : Type u_1
ι : Type u_2
M N : Matroid α
I✝ B X X' Y Y' Z R : Set α
n✝ : ℕ∞
e f : α
inst✝ : M.FiniteRk
n : ℕ
h : ∀ {I : Set α}, I ⊆ X → M.Indep I → I.Finite ∧ ∃ n₀, I.encard = ↑n₀ ∧ n₀ ≤ n
I : Set α
hIX : I ⊆ X
hI : M.Indep I
m : ℕ
hm : I.encard = ↑m
hmn : m ≤ n
⊢ I.ncard ≤ n

State before:
case intro.intro.intro
α : Type u_1
ι : Type u_2
M N : Matroid α
I✝ B X X' Y Y' Z R : Set α
n✝ : ℕ∞
e f : α
inst✝ : M.FiniteRk
n : ℕ
h : ∀ {I : Set α}, I ⊆ X → M.Indep I → I.Finite ∧ ∃ n₀, I.encard = ↑n₀ ∧ n₀ ≤ n
I : Set α
hIX : I ⊆ X
hI : M.Indep I
m : ℕ
hm : I.encard = ↑m
hmn : m ≤ n
⊢ I.ncard ≤ n
Tactic:
rwa [ncard_def, hm, toNat_coe]
State after:
no goals