Theorem: SciLean.Prob.DRand.bindDR_dE (SciLean/Modules/Prob/DRand.lean)

State before:
R : Type ?u.25112
inst✝¹⁶ : RealScalar R
X : Type
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ X
inst✝¹³ : NormedSpace R X
inst✝¹² : MeasurableSpace X
Y : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Y
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ Y
inst✝⁹ : NormedSpace R X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
Z : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Z
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ Z
inst✝⁵ : NormedSpace R X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Z
W : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup W
inst✝² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹ : NormedSpace R X
inst✝ : MeasurableSpace W
x : DRand X
f : X → Rand Y
φ : Y → Z
⊢ dE (bindDR x f) φ = dE x fun x' => E (f x') φ
Tactic:
simp only [bindDR,dE,rand_simp, E]
State after:
R : Type ?u.25112
inst✝¹⁶ : RealScalar R
X : Type
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ X
inst✝¹³ : NormedSpace R X
inst✝¹² : MeasurableSpace X
Y : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Y
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ Y
inst✝⁹ : NormedSpace R X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
Z : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Z
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ Z
inst✝⁵ : NormedSpace R X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Z
W : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup W
inst✝² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹ : NormedSpace R X
inst✝ : MeasurableSpace W
x : DRand X
f : X → Rand Y
φ : Y → Z
⊢ testFunctionExtension (fun φ => x.action fun x' => ∫ (x' : Y), φ x' ∂↑(f x').μ) φ =
    testFunctionExtension x.action fun x' => ∫ (x' : Y), φ x' ∂↑(f x').μ

State before:
R : Type ?u.25112
inst✝¹⁶ : RealScalar R
X : Type
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ X
inst✝¹³ : NormedSpace R X
inst✝¹² : MeasurableSpace X
Y : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Y
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ Y
inst✝⁹ : NormedSpace R X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
Z : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Z
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ Z
inst✝⁵ : NormedSpace R X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Z
W : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup W
inst✝² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹ : NormedSpace R X
inst✝ : MeasurableSpace W
x : DRand X
f : X → Rand Y
φ : Y → Z
⊢ testFunctionExtension (fun φ => x.action fun x' => ∫ (x' : Y), φ x' ∂↑(f x').μ) φ =
    testFunctionExtension x.action fun x' => ∫ (x' : Y), φ x' ∂↑(f x').μ
Tactic:
apply testFunctionExtension_ext
State after:
case h
R : Type ?u.25112
inst✝¹⁶ : RealScalar R
X : Type
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ X
inst✝¹³ : NormedSpace R X
inst✝¹² : MeasurableSpace X
Y : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Y
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ Y
inst✝⁹ : NormedSpace R X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
Z : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Z
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ Z
inst✝⁵ : NormedSpace R X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Z
W : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup W
inst✝² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹ : NormedSpace R X
inst✝ : MeasurableSpace W
x : DRand X
f : X → Rand Y
φ : Y → Z
⊢ ∀ (φ : Y → ℝ) (y : Z),
    (x.action fun x' => ∫ (x' : Y), φ x' ∂↑(f x').μ) • y =
      testFunctionExtension x.action fun x' => ∫ (x' : Y), (fun x => φ x • y) x' ∂↑(f x').μ

State before:
case h
R : Type ?u.25112
inst✝¹⁶ : RealScalar R
X : Type
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ X
inst✝¹³ : NormedSpace R X
inst✝¹² : MeasurableSpace X
Y : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Y
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ Y
inst✝⁹ : NormedSpace R X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
Z : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Z
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ Z
inst✝⁵ : NormedSpace R X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Z
W : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup W
inst✝² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹ : NormedSpace R X
inst✝ : MeasurableSpace W
x : DRand X
f : X → Rand Y
φ : Y → Z
⊢ ∀ (φ : Y → ℝ) (y : Z),
    (x.action fun x' => ∫ (x' : Y), φ x' ∂↑(f x').μ) • y =
      testFunctionExtension x.action fun x' => ∫ (x' : Y), (fun x => φ x • y) x' ∂↑(f x').μ
Tactic:
intro φ y
State after:
case h
R : Type ?u.25112
inst✝¹⁶ : RealScalar R
X : Type
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ X
inst✝¹³ : NormedSpace R X
inst✝¹² : MeasurableSpace X
Y : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Y
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ Y
inst✝⁹ : NormedSpace R X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
Z : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Z
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ Z
inst✝⁵ : NormedSpace R X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Z
W : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup W
inst✝² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹ : NormedSpace R X
inst✝ : MeasurableSpace W
x : DRand X
f : X → Rand Y
φ✝ : Y → Z
φ : Y → ℝ
y : Z
⊢ (x.action fun x' => ∫ (x' : Y), φ x' ∂↑(f x').μ) • y =
    testFunctionExtension x.action fun x' => ∫ (x' : Y), (fun x => φ x • y) x' ∂↑(f x').μ

State before:
case h
R : Type ?u.25112
inst✝¹⁶ : RealScalar R
X : Type
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ X
inst✝¹³ : NormedSpace R X
inst✝¹² : MeasurableSpace X
Y : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Y
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ Y
inst✝⁹ : NormedSpace R X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
Z : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Z
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ Z
inst✝⁵ : NormedSpace R X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Z
W : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup W
inst✝² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹ : NormedSpace R X
inst✝ : MeasurableSpace W
x : DRand X
f : X → Rand Y
φ✝ : Y → Z
φ : Y → ℝ
y : Z
⊢ (x.action fun x' => ∫ (x' : Y), φ x' ∂↑(f x').μ) • y =
    testFunctionExtension x.action fun x' => ∫ (x' : Y), (fun x => φ x • y) x' ∂↑(f x').μ
Tactic:
symm
State after:
case h
R : Type ?u.25112
inst✝¹⁶ : RealScalar R
X : Type
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ X
inst✝¹³ : NormedSpace R X
inst✝¹² : MeasurableSpace X
Y : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Y
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ Y
inst✝⁹ : NormedSpace R X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
Z : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Z
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ Z
inst✝⁵ : NormedSpace R X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Z
W : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup W
inst✝² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹ : NormedSpace R X
inst✝ : MeasurableSpace W
x : DRand X
f : X → Rand Y
φ✝ : Y → Z
φ : Y → ℝ
y : Z
⊢ (testFunctionExtension x.action fun x' => ∫ (x' : Y), (fun x => φ x • y) x' ∂↑(f x').μ) =
    (x.action fun x' => ∫ (x' : Y), φ x' ∂↑(f x').μ) • y

State before:
case h
R : Type ?u.25112
inst✝¹⁶ : RealScalar R
X : Type
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ X
inst✝¹³ : NormedSpace R X
inst✝¹² : MeasurableSpace X
Y : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Y
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ Y
inst✝⁹ : NormedSpace R X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
Z : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Z
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ Z
inst✝⁵ : NormedSpace R X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Z
W : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup W
inst✝² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹ : NormedSpace R X
inst✝ : MeasurableSpace W
x : DRand X
f : X → Rand Y
φ✝ : Y → Z
φ : Y → ℝ
y : Z
⊢ (testFunctionExtension x.action fun x' => ∫ (x' : Y), (fun x => φ x • y) x' ∂↑(f x').μ) =
    (x.action fun x' => ∫ (x' : Y), φ x' ∂↑(f x').μ) • y
Tactic:
dsimp
State after:
case h
R : Type ?u.25112
inst✝¹⁶ : RealScalar R
X : Type
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ X
inst✝¹³ : NormedSpace R X
inst✝¹² : MeasurableSpace X
Y : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Y
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ Y
inst✝⁹ : NormedSpace R X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
Z : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Z
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ Z
inst✝⁵ : NormedSpace R X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Z
W : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup W
inst✝² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹ : NormedSpace R X
inst✝ : MeasurableSpace W
x : DRand X
f : X → Rand Y
φ✝ : Y → Z
φ : Y → ℝ
y : Z
⊢ (testFunctionExtension x.action fun x' => ∫ (x' : Y), φ x' • y ∂↑(f x').μ) =
    (x.action fun x' => ∫ (x' : Y), φ x' ∂↑(f x').μ) • y

State before:
case h
R : Type ?u.25112
inst✝¹⁶ : RealScalar R
X : Type
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ X
inst✝¹³ : NormedSpace R X
inst✝¹² : MeasurableSpace X
Y : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Y
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ Y
inst✝⁹ : NormedSpace R X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
Z : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Z
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ Z
inst✝⁵ : NormedSpace R X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Z
W : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup W
inst✝² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹ : NormedSpace R X
inst✝ : MeasurableSpace W
x : DRand X
f : X → Rand Y
φ✝ : Y → Z
φ : Y → ℝ
y : Z
⊢ (testFunctionExtension x.action fun x' => ∫ (x' : Y), φ x' • y ∂↑(f x').μ) =
    (x.action fun x' => ∫ (x' : Y), φ x' ∂↑(f x').μ) • y
Tactic:
sorry
State after:
no goals