Theorem: Arith.Model.Definable.of_sigma_of_pi (Arithmetization/Definability/Hierarchy.lean)

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
hσ : Definable L (𝚺, m) P
hπ : Definable L (𝚷, m) P
⊢ Definable L (𝚫, m) P
Tactic:
rcases hσ with ⟨p, hp⟩
State after:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
hπ : Definable L (𝚷, m) P
p : HSemiformula L M k (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
⊢ Definable L (𝚫, m) P

State before:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
hπ : Definable L (𝚷, m) P
p : HSemiformula L M k (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
⊢ Definable L (𝚫, m) P
Tactic:
rcases hπ with ⟨q, hq⟩
State after:
case mk.intro.mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
q : HSemiformula L M k (𝚷, m)
hq : DefinedWithParam P q
⊢ Definable L (𝚫, m) P

State before:
case mk.intro.mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
q : HSemiformula L M k (𝚷, m)
hq : DefinedWithParam P q
⊢ Definable L (𝚫, m) P
Tactic:
exact ⟨.mkDelta p q, by intro v; simp [hp.df.iff, hq.df.iff], by intro v; simp [hp.df.iff]⟩
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
q : HSemiformula L M k (𝚷, m)
hq : DefinedWithParam P q
⊢ HSemiformula.ProperWithParamOn M (p.mkDelta q)
Tactic:
intro v
State after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
q : HSemiformula L M k (𝚷, m)
hq : DefinedWithParam P q
v : Fin k → M
⊢ (Semiformula.Evalm M v id) (p.mkDelta q).sigma.val ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (p.mkDelta q).pi.val

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
q : HSemiformula L M k (𝚷, m)
hq : DefinedWithParam P q
v : Fin k → M
⊢ (Semiformula.Evalm M v id) (p.mkDelta q).sigma.val ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (p.mkDelta q).pi.val
Tactic:
simp [hp.df.iff, hq.df.iff]
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
q : HSemiformula L M k (𝚷, m)
hq : DefinedWithParam P q
⊢ FirstOrder.DefinedWithParam P (p.mkDelta q).val
Tactic:
intro v
State after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
q : HSemiformula L M k (𝚷, m)
hq : DefinedWithParam P q
v : Fin k → M
⊢ P v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (p.mkDelta q).val

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p : HSemiformula L M k (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
q : HSemiformula L M k (𝚷, m)
hq : DefinedWithParam P q
v : Fin k → M
⊢ P v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (p.mkDelta q).val
Tactic:
simp [hp.df.iff]
State after:
no goals