Theorem: SciLean.HasAdjDiffM.let_rule (SciLean/Core/Monads/RevDerivMonad.lean)

State before:
ι : Sort ?u.8350
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m : Type → Type
m' : outParam (Type → Type)
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y → m Z
g : X → Y
hf : HasAdjDiffM K fun xy => f xy.1 xy.2
hg : HasAdjDiff K g
⊢ HasAdjDiffM K fun x =>
    let y := g x;
    f x y
Tactic:
let f' := (fun xy : X×Y => f xy.1 xy.2)
State after:
ι : Sort ?u.8350
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m : Type → Type
m' : outParam (Type → Type)
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y → m Z
g : X → Y
hf : HasAdjDiffM K fun xy => f xy.1 xy.2
hg : HasAdjDiff K g
f' : X × Y → m Z := fun xy => f xy.1 xy.2
⊢ HasAdjDiffM K fun x =>
    let y := g x;
    f x y

State before:
ι : Sort ?u.8350
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m : Type → Type
m' : outParam (Type → Type)
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y → m Z
g : X → Y
hf : HasAdjDiffM K fun xy => f xy.1 xy.2
hg : HasAdjDiff K g
f' : X × Y → m Z := fun xy => f xy.1 xy.2
⊢ HasAdjDiffM K fun x =>
    let y := g x;
    f x y
Tactic:
let g' := (fun x => (x, g x))
State after:
ι : Sort ?u.8350
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m : Type → Type
m' : outParam (Type → Type)
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y → m Z
g : X → Y
hf : HasAdjDiffM K fun xy => f xy.1 xy.2
hg : HasAdjDiff K g
f' : X × Y → m Z := fun xy => f xy.1 xy.2
g' : X → X × Y := fun x => (x, g x)
⊢ HasAdjDiffM K fun x =>
    let y := g x;
    f x y

State before:
ι : Sort ?u.8350
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m : Type → Type
m' : outParam (Type → Type)
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y → m Z
g : X → Y
hf : HasAdjDiffM K fun xy => f xy.1 xy.2
hg : HasAdjDiff K g
f' : X × Y → m Z := fun xy => f xy.1 xy.2
g' : X → X × Y := fun x => (x, g x)
⊢ HasAdjDiffM K fun x =>
    let y := g x;
    f x y
Tactic:
rw[show ((fun x => f x (g x))
         =
         fun x => pure (g' x) >>= f') by simp]
State after:
ι : Sort ?u.8350
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m : Type → Type
m' : outParam (Type → Type)
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y → m Z
g : X → Y
hf : HasAdjDiffM K fun xy => f xy.1 xy.2
hg : HasAdjDiff K g
f' : X × Y → m Z := fun xy => f xy.1 xy.2
g' : X → X × Y := fun x => (x, g x)
⊢ HasAdjDiffM K fun x => pure (g' x) >>= f'

State before:
ι : Sort ?u.8350
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m : Type → Type
m' : outParam (Type → Type)
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y → m Z
g : X → Y
hf : HasAdjDiffM K fun xy => f xy.1 xy.2
hg : HasAdjDiff K g
f' : X × Y → m Z := fun xy => f xy.1 xy.2
g' : X → X × Y := fun x => (x, g x)
⊢ HasAdjDiffM K fun x => pure (g' x) >>= f'
Tactic:
apply HasAdjDiffM_bind _ _ hf
State after:
ι : Sort ?u.8350
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m : Type → Type
m' : outParam (Type → Type)
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y → m Z
g : X → Y
hf : HasAdjDiffM K fun xy => f xy.1 xy.2
hg : HasAdjDiff K g
f' : X × Y → m Z := fun xy => f xy.1 xy.2
g' : X → X × Y := fun x => (x, g x)
⊢ HasAdjDiffM K fun x => pure (g' x)

State before:
ι : Sort ?u.8350
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m : Type → Type
m' : outParam (Type → Type)
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y → m Z
g : X → Y
hf : HasAdjDiffM K fun xy => f xy.1 xy.2
hg : HasAdjDiff K g
f' : X × Y → m Z := fun xy => f xy.1 xy.2
g' : X → X × Y := fun x => (x, g x)
⊢ HasAdjDiffM K fun x => pure (g' x)
Tactic:
apply HasAdjDiffM_pure g'
State after:
ι : Sort ?u.8350
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m : Type → Type
m' : outParam (Type → Type)
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y → m Z
g : X → Y
hf : HasAdjDiffM K fun xy => f xy.1 xy.2
hg : HasAdjDiff K g
f' : X × Y → m Z := fun xy => f xy.1 xy.2
g' : X → X × Y := fun x => (x, g x)
⊢ HasAdjDiff K g'

State before:
ι : Sort ?u.8350
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m : Type → Type
m' : outParam (Type → Type)
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y → m Z
g : X → Y
hf : HasAdjDiffM K fun xy => f xy.1 xy.2
hg : HasAdjDiff K g
f' : X × Y → m Z := fun xy => f xy.1 xy.2
g' : X → X × Y := fun x => (x, g x)
⊢ HasAdjDiff K g'
Tactic:
fun_prop
State after:
no goals

State before:
ι : Sort ?u.8350
K : Type
inst✝⁹ : RCLike K
m : Type → Type
m' : outParam (Type → Type)
inst✝⁸ : Monad m
inst✝⁷ : Monad m'
inst✝⁶ : RevDerivMonad K m m'
inst✝⁵ : LawfulMonad m
inst✝⁴ : LawfulMonad m'
X : Type
inst✝³ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type
inst✝² : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace K Z
E : ι → Type
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → Y → m Z
g : X → Y
hf : HasAdjDiffM K fun xy => f xy.1 xy.2
hg : HasAdjDiff K g
f' : X × Y → m Z := fun xy => f xy.1 xy.2
g' : X → X × Y := fun x => (x, g x)
⊢ (fun x => f x (g x)) = fun x => pure (g' x) >>= f'
Tactic:
simp
State after:
no goals