Theorem: ge_of_eventually_nhdsWithin (PrimeNumberTheoremAnd/Wiener.lean)

State before:
n : ℕ
A a✝ b✝ c d u x y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
a b : ℝ
h : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[<] b, c ≤ a
⊢ b ≤ a
Tactic:
apply le_of_forall_lt
State after:
case H
n : ℕ
A a✝ b✝ c d u x y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
a b : ℝ
h : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[<] b, c ≤ a
⊢ ∀ c < b, c < a

State before:
case H
n : ℕ
A a✝ b✝ c d u x y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
a b : ℝ
h : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[<] b, c ≤ a
⊢ ∀ c < b, c < a
Tactic:
intro d hd
State after:
case H
n : ℕ
A a✝ b✝ c d✝ u x y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
a b : ℝ
h : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[<] b, c ≤ a
d : ℝ
hd : d < b
⊢ d < a

State before:
case H
n : ℕ
A a✝ b✝ c d✝ u x y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
a b : ℝ
h : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[<] b, c ≤ a
d : ℝ
hd : d < b
⊢ d < a
Tactic:
have key : ∀ᶠ c in 𝓝[<] b, c > d := by
  apply eventually_of_mem (U := Ioi d) ?_ (fun x hx => hx)
  rw [mem_nhdsWithin]
  refine ⟨Ioi d, isOpen_Ioi, hd, inter_subset_left _ _⟩
State after:
case H
n : ℕ
A a✝ b✝ c d✝ u x y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
a b : ℝ
h : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[<] b, c ≤ a
d : ℝ
hd : d < b
key : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[<] b, c > d
⊢ d < a

State before:
case H
n : ℕ
A a✝ b✝ c d✝ u x y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
a b : ℝ
h : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[<] b, c ≤ a
d : ℝ
hd : d < b
key : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[<] b, c > d
⊢ d < a
Tactic:
obtain ⟨x, h1, h2⟩ := (h.and key).exists
State after:
case H.intro.intro
n : ℕ
A a✝ b✝ c d✝ u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
a b : ℝ
h : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[<] b, c ≤ a
d : ℝ
hd : d < b
key : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[<] b, c > d
x : ℝ
h1 : x ≤ a
h2 : x > d
⊢ d < a

State before:
case H.intro.intro
n : ℕ
A a✝ b✝ c d✝ u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
a b : ℝ
h : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[<] b, c ≤ a
d : ℝ
hd : d < b
key : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[<] b, c > d
x : ℝ
h1 : x ≤ a
h2 : x > d
⊢ d < a
Tactic:
linarith
State after:
no goals

State before:
n : ℕ
A a✝ b✝ c d✝ u x y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
a b : ℝ
h : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[<] b, c ≤ a
d : ℝ
hd : d < b
⊢ ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[<] b, c > d
Tactic:
apply eventually_of_mem (U := Ioi d) ?_ (fun x hx => hx)
State after:
n : ℕ
A a✝ b✝ c d✝ u x y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
a b : ℝ
h : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[<] b, c ≤ a
d : ℝ
hd : d < b
⊢ Ioi d ∈ 𝓝[<] b

State before:
n : ℕ
A a✝ b✝ c d✝ u x y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
a b : ℝ
h : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[<] b, c ≤ a
d : ℝ
hd : d < b
⊢ Ioi d ∈ 𝓝[<] b
Tactic:
rw [mem_nhdsWithin]
State after:
n : ℕ
A a✝ b✝ c d✝ u x y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
a b : ℝ
h : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[<] b, c ≤ a
d : ℝ
hd : d < b
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ b ∈ u ∧ u ∩ Iio b ⊆ Ioi d

State before:
n : ℕ
A a✝ b✝ c d✝ u x y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
a b : ℝ
h : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[<] b, c ≤ a
d : ℝ
hd : d < b
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ b ∈ u ∧ u ∩ Iio b ⊆ Ioi d
Tactic:
refine ⟨Ioi d, isOpen_Ioi, hd, inter_subset_left _ _⟩
State after:
no goals