Theorem: SciLean.FwdFDeriv.Prod.mk.arg_fstsnd.fwdFDeriv_rule_at (SciLean/Core/FunctionTransformations/FwdFDeriv.lean)

State before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.45937
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.45945
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
g : X → Y
hg : DifferentiableAt K g x
f : X → Z
hf : DifferentiableAt K f x
⊢ fwdFDeriv K (fun x => (g x, f x)) x = fun dx =>
    let ydy := fwdFDeriv K g x dx;
    let zdz := fwdFDeriv K f x dx;
    ((ydy.1, zdz.1), ydy.2, zdz.2)
Tactic:
unfold fwdFDeriv
State after:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.45937
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.45945
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
g : X → Y
hg : DifferentiableAt K g x
f : X → Z
hf : DifferentiableAt K f x
⊢ (fun dx => ((fun x => (g x, f x)) x, (fderiv K (fun x => (g x, f x)) x) dx)) = fun dx =>
    let ydy := (g x, (fderiv K g x) dx);
    let zdz := (f x, (fderiv K f x) dx);
    ((ydy.1, zdz.1), ydy.2, zdz.2)

State before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type u_4
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type ?u.45937
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type ?u.45945
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
g : X → Y
hg : DifferentiableAt K g x
f : X → Z
hf : DifferentiableAt K f x
⊢ (fun dx => ((fun x => (g x, f x)) x, (fderiv K (fun x => (g x, f x)) x) dx)) = fun dx =>
    let ydy := (g x, (fderiv K g x) dx);
    let zdz := (f x, (fderiv K f x) dx);
    ((ydy.1, zdz.1), ydy.2, zdz.2)
Tactic:
fun_trans
State after:
no goals