Theorem: Lean4Axiomatic.Rational.close_substR_mul (Lean4Axiomatic/Rational/Metric.lean)

State before:
ℕ ℤ ℚ : Type
inst✝¹² : Natural ℕ
inst✝¹¹ : Integer ℤ
inst✝¹⁰ : Core ℚ
inst✝⁹ : Addition ℚ
inst✝⁸ : Negation ℚ
inst✝⁷ : Subtraction ℚ
inst✝⁶ : Multiplication ℚ
inst✝⁵ : Reciprocation ℚ
inst✝⁴ : Division ℚ
inst✝³ : Sign ℚ
inst✝² : Order ℚ
inst✝¹ : MinMax ℚ
inst✝ : Metric ℚ
ε p q r : ℚ
⊢ p ⊢ε⊣ q → r * p ⊢abs r * ε⊣ r * q
Tactic:
intro (_ : p ⊢ε⊣ q)
State after:
ℕ ℤ ℚ : Type
inst✝¹² : Natural ℕ
inst✝¹¹ : Integer ℤ
inst✝¹⁰ : Core ℚ
inst✝⁹ : Addition ℚ
inst✝⁸ : Negation ℚ
inst✝⁷ : Subtraction ℚ
inst✝⁶ : Multiplication ℚ
inst✝⁵ : Reciprocation ℚ
inst✝⁴ : Division ℚ
inst✝³ : Sign ℚ
inst✝² : Order ℚ
inst✝¹ : MinMax ℚ
inst✝ : Metric ℚ
ε p q r : ℚ
x✝ : p ⊢ε⊣ q
⊢ r * p ⊢abs r * ε⊣ r * q

State before:
ℕ ℤ ℚ : Type
inst✝¹² : Natural ℕ
inst✝¹¹ : Integer ℤ
inst✝¹⁰ : Core ℚ
inst✝⁹ : Addition ℚ
inst✝⁸ : Negation ℚ
inst✝⁷ : Subtraction ℚ
inst✝⁶ : Multiplication ℚ
inst✝⁵ : Reciprocation ℚ
inst✝⁴ : Division ℚ
inst✝³ : Sign ℚ
inst✝² : Order ℚ
inst✝¹ : MinMax ℚ
inst✝ : Metric ℚ
ε p q r : ℚ
x✝ : p ⊢ε⊣ q
⊢ r * p ⊢abs r * ε⊣ r * q
Tactic:
have : p * r ⊢ε * abs r⊣ q * r := close_substL_mul ‹p ⊢ε⊣ q›
State after:
ℕ ℤ ℚ : Type
inst✝¹² : Natural ℕ
inst✝¹¹ : Integer ℤ
inst✝¹⁰ : Core ℚ
inst✝⁹ : Addition ℚ
inst✝⁸ : Negation ℚ
inst✝⁷ : Subtraction ℚ
inst✝⁶ : Multiplication ℚ
inst✝⁵ : Reciprocation ℚ
inst✝⁴ : Division ℚ
inst✝³ : Sign ℚ
inst✝² : Order ℚ
inst✝¹ : MinMax ℚ
inst✝ : Metric ℚ
ε p q r : ℚ
x✝ : p ⊢ε⊣ q
this : p * r ⊢ε * abs r⊣ q * r
⊢ r * p ⊢abs r * ε⊣ r * q

State before:
ℕ ℤ ℚ : Type
inst✝¹² : Natural ℕ
inst✝¹¹ : Integer ℤ
inst✝¹⁰ : Core ℚ
inst✝⁹ : Addition ℚ
inst✝⁸ : Negation ℚ
inst✝⁷ : Subtraction ℚ
inst✝⁶ : Multiplication ℚ
inst✝⁵ : Reciprocation ℚ
inst✝⁴ : Division ℚ
inst✝³ : Sign ℚ
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inst✝ : Metric ℚ
ε p q r : ℚ
x✝ : p ⊢ε⊣ q
this : p * r ⊢ε * abs r⊣ q * r
⊢ r * p ⊢abs r * ε⊣ r * q
Tactic:
have : r * p ⊢ε * abs r⊣ q * r := close_substL_eqv mul_comm this
State after:
ℕ ℤ ℚ : Type
inst✝¹² : Natural ℕ
inst✝¹¹ : Integer ℤ
inst✝¹⁰ : Core ℚ
inst✝⁹ : Addition ℚ
inst✝⁸ : Negation ℚ
inst✝⁷ : Subtraction ℚ
inst✝⁶ : Multiplication ℚ
inst✝⁵ : Reciprocation ℚ
inst✝⁴ : Division ℚ
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inst✝² : Order ℚ
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inst✝ : Metric ℚ
ε p q r : ℚ
x✝ : p ⊢ε⊣ q
this✝ : p * r ⊢ε * abs r⊣ q * r
this : r * p ⊢ε * abs r⊣ q * r
⊢ r * p ⊢abs r * ε⊣ r * q

State before:
ℕ ℤ ℚ : Type
inst✝¹² : Natural ℕ
inst✝¹¹ : Integer ℤ
inst✝¹⁰ : Core ℚ
inst✝⁹ : Addition ℚ
inst✝⁸ : Negation ℚ
inst✝⁷ : Subtraction ℚ
inst✝⁶ : Multiplication ℚ
inst✝⁵ : Reciprocation ℚ
inst✝⁴ : Division ℚ
inst✝³ : Sign ℚ
inst✝² : Order ℚ
inst✝¹ : MinMax ℚ
inst✝ : Metric ℚ
ε p q r : ℚ
x✝ : p ⊢ε⊣ q
this✝ : p * r ⊢ε * abs r⊣ q * r
this : r * p ⊢ε * abs r⊣ q * r
⊢ r * p ⊢abs r * ε⊣ r * q
Tactic:
have : r * p ⊢(abs r) * ε⊣ q * r := close_substM_eqv mul_comm this
State after:
ℕ ℤ ℚ : Type
inst✝¹² : Natural ℕ
inst✝¹¹ : Integer ℤ
inst✝¹⁰ : Core ℚ
inst✝⁹ : Addition ℚ
inst✝⁸ : Negation ℚ
inst✝⁷ : Subtraction ℚ
inst✝⁶ : Multiplication ℚ
inst✝⁵ : Reciprocation ℚ
inst✝⁴ : Division ℚ
inst✝³ : Sign ℚ
inst✝² : Order ℚ
inst✝¹ : MinMax ℚ
inst✝ : Metric ℚ
ε p q r : ℚ
x✝ : p ⊢ε⊣ q
this✝¹ : p * r ⊢ε * abs r⊣ q * r
this✝ : r * p ⊢ε * abs r⊣ q * r
this : r * p ⊢abs r * ε⊣ q * r
⊢ r * p ⊢abs r * ε⊣ r * q

State before:
ℕ ℤ ℚ : Type
inst✝¹² : Natural ℕ
inst✝¹¹ : Integer ℤ
inst✝¹⁰ : Core ℚ
inst✝⁹ : Addition ℚ
inst✝⁸ : Negation ℚ
inst✝⁷ : Subtraction ℚ
inst✝⁶ : Multiplication ℚ
inst✝⁵ : Reciprocation ℚ
inst✝⁴ : Division ℚ
inst✝³ : Sign ℚ
inst✝² : Order ℚ
inst✝¹ : MinMax ℚ
inst✝ : Metric ℚ
ε p q r : ℚ
x✝ : p ⊢ε⊣ q
this✝¹ : p * r ⊢ε * abs r⊣ q * r
this✝ : r * p ⊢ε * abs r⊣ q * r
this : r * p ⊢abs r * ε⊣ q * r
⊢ r * p ⊢abs r * ε⊣ r * q
Tactic:
have : r * p ⊢(abs r) * ε⊣ r * q := close_substR_eqv mul_comm this
State after:
ℕ ℤ ℚ : Type
inst✝¹² : Natural ℕ
inst✝¹¹ : Integer ℤ
inst✝¹⁰ : Core ℚ
inst✝⁹ : Addition ℚ
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inst✝⁷ : Subtraction ℚ
inst✝⁶ : Multiplication ℚ
inst✝⁵ : Reciprocation ℚ
inst✝⁴ : Division ℚ
inst✝³ : Sign ℚ
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ε p q r : ℚ
x✝ : p ⊢ε⊣ q
this✝² : p * r ⊢ε * abs r⊣ q * r
this✝¹ : r * p ⊢ε * abs r⊣ q * r
this✝ : r * p ⊢abs r * ε⊣ q * r
this : r * p ⊢abs r * ε⊣ r * q
⊢ r * p ⊢abs r * ε⊣ r * q

State before:
ℕ ℤ ℚ : Type
inst✝¹² : Natural ℕ
inst✝¹¹ : Integer ℤ
inst✝¹⁰ : Core ℚ
inst✝⁹ : Addition ℚ
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inst✝⁷ : Subtraction ℚ
inst✝⁶ : Multiplication ℚ
inst✝⁵ : Reciprocation ℚ
inst✝⁴ : Division ℚ
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ε p q r : ℚ
x✝ : p ⊢ε⊣ q
this✝² : p * r ⊢ε * abs r⊣ q * r
this✝¹ : r * p ⊢ε * abs r⊣ q * r
this✝ : r * p ⊢abs r * ε⊣ q * r
this : r * p ⊢abs r * ε⊣ r * q
⊢ r * p ⊢abs r * ε⊣ r * q
Tactic:
exact this
State after:
no goals