Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.seqCons_le (Arithmetization/ISigmaOne/HFS/Supplemental.lean)

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x y s t : M
hxy : x ≤ y
hst : s ≤ t
⊢ s ⁀' x ≤ t + exp ((2 * t + y + 1) ^ 2)
Tactic:
have : s ⁀' x ≤ t + exp ⟪2 * t, y⟫ := by
  simp [seqCons]; exact insert_le_of_le_of_le (pair_le_pair (le_trans (lh_bound s) (by simp [hst])) hxy) hst
State after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x y s t : M
hxy : x ≤ y
hst : s ≤ t
this : s ⁀' x ≤ t + exp ⟪2 * t, y⟫
⊢ s ⁀' x ≤ t + exp ((2 * t + y + 1) ^ 2)

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x y s t : M
hxy : x ≤ y
hst : s ≤ t
this : s ⁀' x ≤ t + exp ⟪2 * t, y⟫
⊢ s ⁀' x ≤ t + exp ((2 * t + y + 1) ^ 2)
Tactic:
exact le_trans this (by simp)
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x y s t : M
hxy : x ≤ y
hst : s ≤ t
⊢ s ⁀' x ≤ t + exp ⟪2 * t, y⟫
Tactic:
simp [seqCons]
State after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x y s t : M
hxy : x ≤ y
hst : s ≤ t
⊢ insert ⟪lh s, x⟫ s ≤ t + exp ⟪2 * t, y⟫

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x y s t : M
hxy : x ≤ y
hst : s ≤ t
⊢ insert ⟪lh s, x⟫ s ≤ t + exp ⟪2 * t, y⟫
Tactic:
exact insert_le_of_le_of_le (pair_le_pair (le_trans (lh_bound s) (by simp [hst])) hxy) hst
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x y s t : M
hxy : x ≤ y
hst : s ≤ t
⊢ 2 * s ≤ 2 * t
Tactic:
simp [hst]
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x y s t : M
hxy : x ≤ y
hst : s ≤ t
this : s ⁀' x ≤ t + exp ⟪2 * t, y⟫
⊢ t + exp ⟪2 * t, y⟫ ≤ t + exp ((2 * t + y + 1) ^ 2)
Tactic:
simp
State after:
no goals