Theorem: KummersLemma.minpoly_polyRoot (FltRegular/NumberTheory/KummersLemma/Field.lean)

State before:
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
u : (𝓞 K)ˣ
hcong : (↑hζ.unit' - 1) ^ ↑p ∣ ↑u - 1
hu : ∀ (v : K), v ^ ↑p ≠ (algebraMap (𝓞 K) K) ↑u
L : Type u_2
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
α : L
e : α ^ ↑p = (algebraMap K L) ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑u)
i : ℕ
⊢ minpoly (𝓞 K) (polyRoot hp hζ u hcong α e i) = poly hp hζ u hcong
Tactic:
apply map_injective (algebraMap (𝓞 K) K) Subtype.coe_injective
State after:
case a
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
u : (𝓞 K)ˣ
hcong : (↑hζ.unit' - 1) ^ ↑p ∣ ↑u - 1
hu : ∀ (v : K), v ^ ↑p ≠ (algebraMap (𝓞 K) K) ↑u
L : Type u_2
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
α : L
e : α ^ ↑p = (algebraMap K L) ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑u)
i : ℕ
⊢ map (algebraMap (𝓞 K) K) (minpoly (𝓞 K) (polyRoot hp hζ u hcong α e i)) =
    map (algebraMap (𝓞 K) K) (poly hp hζ u hcong)

State before:
case a
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
u : (𝓞 K)ˣ
hcong : (↑hζ.unit' - 1) ^ ↑p ∣ ↑u - 1
hu : ∀ (v : K), v ^ ↑p ≠ (algebraMap (𝓞 K) K) ↑u
L : Type u_2
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
α : L
e : α ^ ↑p = (algebraMap K L) ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑u)
i : ℕ
⊢ map (algebraMap (𝓞 K) K) (minpoly (𝓞 K) (polyRoot hp hζ u hcong α e i)) =
    map (algebraMap (𝓞 K) K) (poly hp hζ u hcong)
Tactic:
rw [← minpoly.isIntegrallyClosed_eq_field_fractions K L]
State after:
case a
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
u : (𝓞 K)ˣ
hcong : (↑hζ.unit' - 1) ^ ↑p ∣ ↑u - 1
hu : ∀ (v : K), v ^ ↑p ≠ (algebraMap (𝓞 K) K) ↑u
L : Type u_2
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
α : L
e : α ^ ↑p = (algebraMap K L) ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑u)
i : ℕ
⊢ minpoly K ((algebraMap (𝓞 L) L) (polyRoot hp hζ u hcong α e i)) = map (algebraMap (𝓞 K) K) (poly hp hζ u hcong)

case a
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
u : (𝓞 K)ˣ
hcong : (↑hζ.unit' - 1) ^ ↑p ∣ ↑u - 1
hu : ∀ (v : K), v ^ ↑p ≠ (algebraMap (𝓞 K) K) ↑u
L : Type u_2
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
α : L
e : α ^ ↑p = (algebraMap K L) ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑u)
i : ℕ
⊢ IsIntegral (𝓞 K) (polyRoot hp hζ u hcong α e i)

State before:
case a
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
u : (𝓞 K)ˣ
hcong : (↑hζ.unit' - 1) ^ ↑p ∣ ↑u - 1
hu : ∀ (v : K), v ^ ↑p ≠ (algebraMap (𝓞 K) K) ↑u
L : Type u_2
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
α : L
e : α ^ ↑p = (algebraMap K L) ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑u)
i : ℕ
⊢ minpoly K ((algebraMap (𝓞 L) L) (polyRoot hp hζ u hcong α e i)) = map (algebraMap (𝓞 K) K) (poly hp hζ u hcong)

case a
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
u : (𝓞 K)ˣ
hcong : (↑hζ.unit' - 1) ^ ↑p ∣ ↑u - 1
hu : ∀ (v : K), v ^ ↑p ≠ (algebraMap (𝓞 K) K) ↑u
L : Type u_2
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
α : L
e : α ^ ↑p = (algebraMap K L) ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑u)
i : ℕ
⊢ IsIntegral (𝓞 K) (polyRoot hp hζ u hcong α e i)
Tactic:
exact minpoly_polyRoot'' hp hζ u hcong hu α e i
State after:
case a
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
u : (𝓞 K)ˣ
hcong : (↑hζ.unit' - 1) ^ ↑p ∣ ↑u - 1
hu : ∀ (v : K), v ^ ↑p ≠ (algebraMap (𝓞 K) K) ↑u
L : Type u_2
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
α : L
e : α ^ ↑p = (algebraMap K L) ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑u)
i : ℕ
⊢ IsIntegral (𝓞 K) (polyRoot hp hζ u hcong α e i)

State before:
case a
K : Type u_1
p : ℕ+
hpri : Fact p.Prime
inst✝⁴ : Field K
inst✝³ : NumberField K
inst✝² : IsCyclotomicExtension {p} ℚ K
hp : p ≠ 2
ζ : K
hζ : IsPrimitiveRoot ζ ↑p
u : (𝓞 K)ˣ
hcong : (↑hζ.unit' - 1) ^ ↑p ∣ ↑u - 1
hu : ∀ (v : K), v ^ ↑p ≠ (algebraMap (𝓞 K) K) ↑u
L : Type u_2
inst✝¹ : Field L
inst✝ : Algebra K L
α : L
e : α ^ ↑p = (algebraMap K L) ((algebraMap (𝓞 K) K) ↑u)
i : ℕ
⊢ IsIntegral (𝓞 K) (polyRoot hp hζ u hcong α e i)
Tactic:
exact IsIntegralClosure.isIntegral _ L (polyRoot hp hζ u hcong α e i)
State after:
no goals