Theorem: Arith.Model.DefinableFunction.retraction (Arithmetization/Definability/Hierarchy.lean)

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
f : (Fin k → M) → M
hf : DefinableFunction L Γ f
e : Fin k → Fin n
⊢ DefinableFunction L Γ fun v => f fun i => v (e i)
Tactic:
have := Definable.retraction (n := n + 1) hf (0 :> fun i ↦ (e i).succ)
State after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
f : (Fin k → M) → M
hf : DefinableFunction L Γ f
e : Fin k → Fin n
this :
  Definable L Γ fun v =>
    (fun i => v ((0 :> fun i => (e i).succ) i)) 0 = f fun x => (fun i => v ((0 :> fun i => (e i).succ) i)) x.succ
⊢ DefinableFunction L Γ fun v => f fun i => v (e i)

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
f : (Fin k → M) → M
hf : DefinableFunction L Γ f
e : Fin k → Fin n
this :
  Definable L Γ fun v =>
    (fun i => v ((0 :> fun i => (e i).succ) i)) 0 = f fun x => (fun i => v ((0 :> fun i => (e i).succ) i)) x.succ
⊢ DefinableFunction L Γ fun v => f fun i => v (e i)
Tactic:
simp at this
State after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
f : (Fin k → M) → M
hf : DefinableFunction L Γ f
e : Fin k → Fin n
this : Definable L Γ fun v => v 0 = f fun x => v (e x).succ
⊢ DefinableFunction L Γ fun v => f fun i => v (e i)

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
f : (Fin k → M) → M
hf : DefinableFunction L Γ f
e : Fin k → Fin n
this : Definable L Γ fun v => v 0 = f fun x => v (e x).succ
⊢ DefinableFunction L Γ fun v => f fun i => v (e i)
Tactic:
exact this.of_iff _ (by intro x; simp)
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
f : (Fin k → M) → M
hf : DefinableFunction L Γ f
e : Fin k → Fin n
this : Definable L Γ fun v => v 0 = f fun x => v (e x).succ
⊢ ∀ (x : Fin (n + 1) → M),
    (x 0 = (fun v => f fun i => v (e i)) fun x_1 => x x_1.succ) ↔ x 0 = f fun x_1 => x (e x_1).succ
Tactic:
intro x
State after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
f : (Fin k → M) → M
hf : DefinableFunction L Γ f
e : Fin k → Fin n
this : Definable L Γ fun v => v 0 = f fun x => v (e x).succ
x : Fin (n + 1) → M
⊢ (x 0 = (fun v => f fun i => v (e i)) fun x_1 => x x_1.succ) ↔ x 0 = f fun x_1 => x (e x_1).succ

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
f : (Fin k → M) → M
hf : DefinableFunction L Γ f
e : Fin k → Fin n
this : Definable L Γ fun v => v 0 = f fun x => v (e x).succ
x : Fin (n + 1) → M
⊢ (x 0 = (fun v => f fun i => v (e i)) fun x_1 => x x_1.succ) ↔ x 0 = f fun x_1 => x (e x_1).succ
Tactic:
simp
State after:
no goals