Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.of_deltaOne (Arithmetization/Definability/Hierarchy.lean)

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q R : (Fin k → M) → Prop
Γ : SigmaPiDelta
m : ℕ
p : HSemiformula L M k 𝚫₁
h : DefinedWithParam R p
⊢ DefinedWithParam R (p.ofDeltaOne 𝚺 m)
Tactic:
intro _
State after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q R : (Fin k → M) → Prop
Γ : SigmaPiDelta
m : ℕ
p : HSemiformula L M k 𝚫₁
h : DefinedWithParam R p
v✝ : Fin k → M
⊢ R v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (p.ofDeltaOne 𝚺 m).val

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q R : (Fin k → M) → Prop
Γ : SigmaPiDelta
m : ℕ
p : HSemiformula L M k 𝚫₁
h : DefinedWithParam R p
v✝ : Fin k → M
⊢ R v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (p.ofDeltaOne 𝚺 m).val
Tactic:
simp [HSemiformula.ofDeltaOne, h.df.iff, HSemiformula.val_sigma]
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q R : (Fin k → M) → Prop
Γ : SigmaPiDelta
m : ℕ
p : HSemiformula L M k 𝚫₁
h : DefinedWithParam R p
⊢ DefinedWithParam R (p.ofDeltaOne 𝚷 m)
Tactic:
intro _
State after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q R : (Fin k → M) → Prop
Γ : SigmaPiDelta
m : ℕ
p : HSemiformula L M k 𝚫₁
h : DefinedWithParam R p
v✝ : Fin k → M
⊢ R v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (p.ofDeltaOne 𝚷 m).val

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q R : (Fin k → M) → Prop
Γ : SigmaPiDelta
m : ℕ
p : HSemiformula L M k 𝚫₁
h : DefinedWithParam R p
v✝ : Fin k → M
⊢ R v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (p.ofDeltaOne 𝚷 m).val
Tactic:
simp [HSemiformula.ofDeltaOne, h.df.iff, h.proper.iff']
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q R : (Fin k → M) → Prop
Γ : SigmaPiDelta
m : ℕ
p : HSemiformula L M k 𝚫₁
h : DefinedWithParam R p
⊢ HSemiformula.ProperWithParamOn M (p.ofDeltaOne 𝚫 m)
Tactic:
intro _
State after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q R : (Fin k → M) → Prop
Γ : SigmaPiDelta
m : ℕ
p : HSemiformula L M k 𝚫₁
h : DefinedWithParam R p
e✝ : Fin k → M
⊢ (Semiformula.Evalm M e✝ id) (p.ofDeltaOne 𝚫 m).sigma.val ↔ (Semiformula.Evalm M e✝ id) (p.ofDeltaOne 𝚫 m).pi.val

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q R : (Fin k → M) → Prop
Γ : SigmaPiDelta
m : ℕ
p : HSemiformula L M k 𝚫₁
h : DefinedWithParam R p
e✝ : Fin k → M
⊢ (Semiformula.Evalm M e✝ id) (p.ofDeltaOne 𝚫 m).sigma.val ↔ (Semiformula.Evalm M e✝ id) (p.ofDeltaOne 𝚫 m).pi.val
Tactic:
simp [HSemiformula.ofDeltaOne, h.df.iff, HSemiformula.val_sigma, h.proper.iff']
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q R : (Fin k → M) → Prop
Γ : SigmaPiDelta
m : ℕ
p : HSemiformula L M k 𝚫₁
h : DefinedWithParam R p
⊢ FirstOrder.DefinedWithParam R (p.ofDeltaOne 𝚫 m).val
Tactic:
intro _
State after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q R : (Fin k → M) → Prop
Γ : SigmaPiDelta
m : ℕ
p : HSemiformula L M k 𝚫₁
h : DefinedWithParam R p
v✝ : Fin k → M
⊢ R v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (p.ofDeltaOne 𝚫 m).val

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q R : (Fin k → M) → Prop
Γ : SigmaPiDelta
m : ℕ
p : HSemiformula L M k 𝚫₁
h : DefinedWithParam R p
v✝ : Fin k → M
⊢ R v✝ ↔ (Semiformula.Evalm M v✝ id) (p.ofDeltaOne 𝚫 m).val
Tactic:
simp [HSemiformula.ofDeltaOne, h.df.iff, HSemiformula.val_sigma]
State after:
no goals