Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.product_graph (Arithmetization/ISigmaOne/HFS/Basic.lean)

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
⊢ u = a ×ʰᶠ b → ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
Tactic:
rintro rfl x _
State after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
a b x : M
a✝ : x < (a ×ʰᶠ b) + (a + b + 1) ^ 2
⊢ x ∈ a ×ʰᶠ b ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
a b x : M
a✝ : x < (a ×ʰᶠ b) + (a + b + 1) ^ 2
⊢ x ∈ a ×ʰᶠ b ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
Tactic:
simp [mem_product_iff]
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
⊢ (∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫) → u = a ×ʰᶠ b
Tactic:
intro h
State after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
⊢ u = a ×ʰᶠ b

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
⊢ u = a ×ʰᶠ b
Tactic:
apply mem_ext
State after:
case h
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
⊢ ∀ (i : M), i ∈ u ↔ i ∈ a ×ʰᶠ b

State before:
case h
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
⊢ ∀ (i : M), i ∈ u ↔ i ∈ a ×ʰᶠ b
Tactic:
intro x
State after:
case h
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
x : M
⊢ x ∈ u ↔ x ∈ a ×ʰᶠ b

State before:
case h
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
x : M
⊢ x ∈ u ↔ x ∈ a ×ʰᶠ b
Tactic:
simp [mem_product_iff]
State after:
case h
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
x : M
⊢ x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫

State before:
case h
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
x : M
⊢ x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
Tactic:
constructor
State after:
case h.mp
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
x : M
⊢ x ∈ u → ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫

case h.mpr
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
x : M
⊢ (∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫) → x ∈ u

State before:
case h.mp
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
x : M
⊢ x ∈ u → ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
Tactic:
intro hx
State after:
case h.mp
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
x : M
hx : x ∈ u
⊢ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫

State before:
case h.mp
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
x : M
hx : x ∈ u
⊢ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
Tactic:
exact h x (lt_of_lt_of_le (lt_of_mem hx) (by simp)) |>.mp hx
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
x : M
hx : x ∈ u
⊢ u ≤ u + (a + b + 1) ^ 2
Tactic:
simp
State after:
no goals

State before:
case h.mpr
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
x : M
⊢ (∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫) → x ∈ u
Tactic:
rintro ⟨y, hy, z, hz, rfl⟩
State after:
case h.mpr.intro.intro.intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
y : M
hy : y ∈ a
z : M
hz : z ∈ b
⊢ ⟪y, z⟫ ∈ u

State before:
case h.mpr.intro.intro.intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
y : M
hy : y ∈ a
z : M
hz : z ∈ b
⊢ ⟪y, z⟫ ∈ u
Tactic:
exact h ⟪y, z⟫ (lt_of_lt_of_le (pair_lt_pair (lt_of_mem hy) (lt_of_mem hz))
  (le_trans (pair_polybound a b) <| by simp)) |>.mpr ⟨y, hy, z, hz, rfl⟩
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
u a b : M
h : ∀ x < u + (a + b + 1) ^ 2, x ∈ u ↔ ∃ y ∈ a, ∃ z ∈ b, x = ⟪y, z⟫
y : M
hy : y ∈ a
z : M
hz : z ∈ b
⊢ (a + b + 1) ^ 2 ≤ u + (a + b + 1) ^ 2
Tactic:
simp
State after:
no goals