Theorem: SciLean.Prob.DRand.bindRD_dE (SciLean/Modules/Prob/DRand.lean)

State before:
R : Type ?u.23564
inst✝¹⁶ : RealScalar R
X : Type
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ X
inst✝¹³ : NormedSpace R X
inst✝¹² : MeasurableSpace X
Y : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Y
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ Y
inst✝⁹ : NormedSpace R X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
Z : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Z
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ Z
inst✝⁵ : NormedSpace R X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Z
W : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup W
inst✝² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹ : NormedSpace R X
inst✝ : MeasurableSpace W
x : Rand X
f : X → DRand Y
φ : Y → Z
⊢ dE (bindRD x f) φ = E x fun x' => dE (f x') φ
Tactic:
simp only [bindRD,dE,rand_simp,E]
State after:
R : Type ?u.23564
inst✝¹⁶ : RealScalar R
X : Type
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ X
inst✝¹³ : NormedSpace R X
inst✝¹² : MeasurableSpace X
Y : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Y
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ Y
inst✝⁹ : NormedSpace R X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
Z : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Z
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ Z
inst✝⁵ : NormedSpace R X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Z
W : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup W
inst✝² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹ : NormedSpace R X
inst✝ : MeasurableSpace W
x : Rand X
f : X → DRand Y
φ : Y → Z
⊢ testFunctionExtension (fun φ => ∫ (x' : X), (f x').action φ ∂↑x.μ) φ =
    ∫ (x' : X), testFunctionExtension (f x').action φ ∂↑x.μ

State before:
R : Type ?u.23564
inst✝¹⁶ : RealScalar R
X : Type
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ X
inst✝¹³ : NormedSpace R X
inst✝¹² : MeasurableSpace X
Y : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Y
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ Y
inst✝⁹ : NormedSpace R X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
Z : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Z
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ Z
inst✝⁵ : NormedSpace R X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Z
W : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup W
inst✝² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹ : NormedSpace R X
inst✝ : MeasurableSpace W
x : Rand X
f : X → DRand Y
φ : Y → Z
⊢ testFunctionExtension (fun φ => ∫ (x' : X), (f x').action φ ∂↑x.μ) φ =
    ∫ (x' : X), testFunctionExtension (f x').action φ ∂↑x.μ
Tactic:
apply testFunctionExtension_ext
State after:
case h
R : Type ?u.23564
inst✝¹⁶ : RealScalar R
X : Type
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ X
inst✝¹³ : NormedSpace R X
inst✝¹² : MeasurableSpace X
Y : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Y
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ Y
inst✝⁹ : NormedSpace R X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
Z : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Z
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ Z
inst✝⁵ : NormedSpace R X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Z
W : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup W
inst✝² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹ : NormedSpace R X
inst✝ : MeasurableSpace W
x : Rand X
f : X → DRand Y
φ : Y → Z
⊢ ∀ (φ : Y → ℝ) (y : Z),
    (∫ (x' : X), (f x').action φ ∂↑x.μ) • y = ∫ (x' : X), testFunctionExtension (f x').action fun x => φ x • y ∂↑x.μ

State before:
case h
R : Type ?u.23564
inst✝¹⁶ : RealScalar R
X : Type
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ X
inst✝¹³ : NormedSpace R X
inst✝¹² : MeasurableSpace X
Y : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Y
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ Y
inst✝⁹ : NormedSpace R X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
Z : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Z
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ Z
inst✝⁵ : NormedSpace R X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Z
W : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup W
inst✝² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹ : NormedSpace R X
inst✝ : MeasurableSpace W
x : Rand X
f : X → DRand Y
φ : Y → Z
⊢ ∀ (φ : Y → ℝ) (y : Z),
    (∫ (x' : X), (f x').action φ ∂↑x.μ) • y = ∫ (x' : X), testFunctionExtension (f x').action fun x => φ x • y ∂↑x.μ
Tactic:
intro φ y
State after:
case h
R : Type ?u.23564
inst✝¹⁶ : RealScalar R
X : Type
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ X
inst✝¹³ : NormedSpace R X
inst✝¹² : MeasurableSpace X
Y : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Y
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ Y
inst✝⁹ : NormedSpace R X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
Z : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Z
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ Z
inst✝⁵ : NormedSpace R X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Z
W : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup W
inst✝² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹ : NormedSpace R X
inst✝ : MeasurableSpace W
x : Rand X
f : X → DRand Y
φ✝ : Y → Z
φ : Y → ℝ
y : Z
⊢ (∫ (x' : X), (f x').action φ ∂↑x.μ) • y = ∫ (x' : X), testFunctionExtension (f x').action fun x => φ x • y ∂↑x.μ

State before:
case h
R : Type ?u.23564
inst✝¹⁶ : RealScalar R
X : Type
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ X
inst✝¹³ : NormedSpace R X
inst✝¹² : MeasurableSpace X
Y : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Y
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ Y
inst✝⁹ : NormedSpace R X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
Z : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Z
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ Z
inst✝⁵ : NormedSpace R X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Z
W : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup W
inst✝² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹ : NormedSpace R X
inst✝ : MeasurableSpace W
x : Rand X
f : X → DRand Y
φ✝ : Y → Z
φ : Y → ℝ
y : Z
⊢ (∫ (x' : X), (f x').action φ ∂↑x.μ) • y = ∫ (x' : X), testFunctionExtension (f x').action fun x => φ x • y ∂↑x.μ
Tactic:
simp only [testFunctionExtension_test_function]
State after:
case h
R : Type ?u.23564
inst✝¹⁶ : RealScalar R
X : Type
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ X
inst✝¹³ : NormedSpace R X
inst✝¹² : MeasurableSpace X
Y : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Y
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ Y
inst✝⁹ : NormedSpace R X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
Z : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Z
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ Z
inst✝⁵ : NormedSpace R X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Z
W : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup W
inst✝² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹ : NormedSpace R X
inst✝ : MeasurableSpace W
x : Rand X
f : X → DRand Y
φ✝ : Y → Z
φ : Y → ℝ
y : Z
⊢ (∫ (x' : X), (f x').action φ ∂↑x.μ) • y = ∫ (x' : X), ((f x').action fun x => φ x) • y ∂↑x.μ

State before:
case h
R : Type ?u.23564
inst✝¹⁶ : RealScalar R
X : Type
inst✝¹⁵ : NormedAddCommGroup X
inst✝¹⁴ : NormedSpace ℝ X
inst✝¹³ : NormedSpace R X
inst✝¹² : MeasurableSpace X
Y : Type
inst✝¹¹ : NormedAddCommGroup Y
inst✝¹⁰ : NormedSpace ℝ Y
inst✝⁹ : NormedSpace R X
inst✝⁸ : MeasurableSpace Y
Z : Type
inst✝⁷ : NormedAddCommGroup Z
inst✝⁶ : NormedSpace ℝ Z
inst✝⁵ : NormedSpace R X
inst✝⁴ : MeasurableSpace Z
W : Type
inst✝³ : NormedAddCommGroup W
inst✝² : NormedSpace ℝ W
inst✝¹ : NormedSpace R X
inst✝ : MeasurableSpace W
x : Rand X
f : X → DRand Y
φ✝ : Y → Z
φ : Y → ℝ
y : Z
⊢ (∫ (x' : X), (f x').action φ ∂↑x.μ) • y = ∫ (x' : X), ((f x').action fun x => φ x) • y ∂↑x.μ
Tactic:
sorry
State after:
no goals