Theorem: ZetaUpperBnd' (PrimeNumberTheoremAnd/ZetaBounds.lean)

State before:
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
⊢ let C := A.exp * (5 + 8 * 2);
  let N := ⌊|t|⌋₊;
  let s := ↑σ + ↑t * I;
  ‖∑ n ∈ Finset.range (N + 1), 1 / ↑n ^ s‖ + ‖↑N ^ (1 - s) / (1 - s)‖ + ‖↑N ^ (-s) / 2‖ +
      ‖s * ∫ (x : ℝ) in Ioi ↑N, (↑⌊x⌋ + 1 / 2 - ↑x) / ↑x ^ (s + 1)‖ ≤
    C * |t|.log
Tactic:
intros C N s
State after:
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
⊢ ‖∑ n ∈ Finset.range (N + 1), 1 / ↑n ^ s‖ + ‖↑N ^ (1 - s) / (1 - s)‖ + ‖↑N ^ (-s) / 2‖ +
      ‖s * ∫ (x : ℝ) in Ioi ↑N, (↑⌊x⌋ + 1 / 2 - ↑x) / ↑x ^ (s + 1)‖ ≤
    C * |t|.log

State before:
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
⊢ ‖∑ n ∈ Finset.range (N + 1), 1 / ↑n ^ s‖ + ‖↑N ^ (1 - s) / (1 - s)‖ + ‖↑N ^ (-s) / 2‖ +
      ‖s * ∫ (x : ℝ) in Ioi ↑N, (↑⌊x⌋ + 1 / 2 - ↑x) / ↑x ^ (s + 1)‖ ≤
    C * |t|.log
Tactic:
obtain ⟨Npos, N_le_t, logt_gt, σ_gt, σPos, neOne⟩ := UpperBnd_aux hA t_gt hσ.1
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σ_gt : 1 - A < σ
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
⊢ ‖∑ n ∈ Finset.range (N + 1), 1 / ↑n ^ s‖ + ‖↑N ^ (1 - s) / (1 - s)‖ + ‖↑N ^ (-s) / 2‖ +
      ‖s * ∫ (x : ℝ) in Ioi ↑N, (↑⌊x⌋ + 1 / 2 - ↑x) / ↑x ^ (s + 1)‖ ≤
    C * |t|.log

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σ_gt : 1 - A < σ
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
⊢ ‖∑ n ∈ Finset.range (N + 1), 1 / ↑n ^ s‖ + ‖↑N ^ (1 - s) / (1 - s)‖ + ‖↑N ^ (-s) / 2‖ +
      ‖s * ∫ (x : ℝ) in Ioi ↑N, (↑⌊x⌋ + 1 / 2 - ↑x) / ↑x ^ (s + 1)‖ ≤
    C * |t|.log
Tactic:
replace σ_gt : 1 / 2 < σ := by linarith [hA.2]
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ ‖∑ n ∈ Finset.range (N + 1), 1 / ↑n ^ s‖ + ‖↑N ^ (1 - s) / (1 - s)‖ + ‖↑N ^ (-s) / 2‖ +
      ‖s * ∫ (x : ℝ) in Ioi ↑N, (↑⌊x⌋ + 1 / 2 - ↑x) / ↑x ^ (s + 1)‖ ≤
    C * |t|.log

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ ‖∑ n ∈ Finset.range (N + 1), 1 / ↑n ^ s‖ + ‖↑N ^ (1 - s) / (1 - s)‖ + ‖↑N ^ (-s) / 2‖ +
      ‖s * ∫ (x : ℝ) in Ioi ↑N, (↑⌊x⌋ + 1 / 2 - ↑x) / ↑x ^ (s + 1)‖ ≤
    C * |t|.log
Tactic:
calc
  _ ≤ Real.exp A * 2 * Real.log |t| + ‖N ^ (1 - s) / (1 - s)‖ + ‖(N : ℂ) ^ (-s) / 2‖ +
    ‖s * ∫ x in Ioi (N : ℝ), (⌊x⌋ + 1 / 2 - x) / (x : ℂ) ^ (s + 1)‖ := ?_
  _ ≤ Real.exp A * 2 * Real.log |t| + ‖N ^ (1 - s) / (1 - s)‖ + ‖(N : ℂ) ^ (-s) / 2‖ +
    2 * |t| * N ^ (-σ) / σ  := ?_
  _ = Real.exp A * 2 * Real.log |t| + N ^ (1 - σ) / ‖(1 - s)‖ + N ^ (-σ) / 2 +
    2 * |t| * N ^ (-σ) / σ  := ?_
  _ ≤ Real.exp A * 2 * Real.log |t| + |t| ^ (1 - σ) * 2 +
      |t| ^ (1 - σ) + 2 * |t| * (8 * |t| ^ (-σ)) := ?_
  _ = Real.exp A * 2 * Real.log |t| + (3 + 8 * 2) * |t| ^ (1 - σ) := ?_
  _ ≤ Real.exp A * 2 * Real.log |t| + (3 + 8 * 2) * Real.exp A * 1 := ?_
  _ ≤ Real.exp A * 2 * Real.log |t| + (3 + 8 * 2) * Real.exp A * Real.log |t| := ?_
  _ = _ := by ring
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.calc_1
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ ‖∑ n ∈ Finset.range (N + 1), 1 / ↑n ^ s‖ + ‖↑N ^ (1 - s) / (1 - s)‖ + ‖↑N ^ (-s) / 2‖ +
      ‖s * ∫ (x : ℝ) in Ioi ↑N, (↑⌊x⌋ + 1 / 2 - ↑x) / ↑x ^ (s + 1)‖ ≤
    A.exp * 2 * |t|.log + ‖↑N ^ (1 - s) / (1 - s)‖ + ‖↑N ^ (-s) / 2‖ +
      ‖s * ∫ (x : ℝ) in Ioi ↑N, (↑⌊x⌋ + 1 / 2 - ↑x) / ↑x ^ (s + 1)‖

case intro.intro.intro.intro.intro.calc_2
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ A.exp * 2 * |t|.log + ‖↑N ^ (1 - s) / (1 - s)‖ + ‖↑N ^ (-s) / 2‖ +
      ‖s * ∫ (x : ℝ) in Ioi ↑N, (↑⌊x⌋ + 1 / 2 - ↑x) / ↑x ^ (s + 1)‖ ≤
    A.exp * 2 * |t|.log + ‖↑N ^ (1 - s) / (1 - s)‖ + ‖↑N ^ (-s) / 2‖ + 2 * |t| * ↑N ^ (-σ) / σ

case intro.intro.intro.intro.intro.calc_3
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ A.exp * 2 * |t|.log + ‖↑N ^ (1 - s) / (1 - s)‖ + ‖↑N ^ (-s) / 2‖ + 2 * |t| * ↑N ^ (-σ) / σ =
    A.exp * 2 * |t|.log + ↑N ^ (1 - σ) / ‖1 - s‖ + ↑N ^ (-σ) / 2 + 2 * |t| * ↑N ^ (-σ) / σ

case intro.intro.intro.intro.intro.calc_4
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ A.exp * 2 * |t|.log + ↑N ^ (1 - σ) / ‖1 - s‖ + ↑N ^ (-σ) / 2 + 2 * |t| * ↑N ^ (-σ) / σ ≤
    A.exp * 2 * |t|.log + |t| ^ (1 - σ) * 2 + |t| ^ (1 - σ) + 2 * |t| * (8 * |t| ^ (-σ))

case intro.intro.intro.intro.intro.calc_5
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ A.exp * 2 * |t|.log + |t| ^ (1 - σ) * 2 + |t| ^ (1 - σ) + 2 * |t| * (8 * |t| ^ (-σ)) =
    A.exp * 2 * |t|.log + (3 + 8 * 2) * |t| ^ (1 - σ)

case intro.intro.intro.intro.intro.calc_6
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ A.exp * 2 * |t|.log + (3 + 8 * 2) * |t| ^ (1 - σ) ≤ A.exp * 2 * |t|.log + (3 + 8 * 2) * A.exp * 1

case intro.intro.intro.intro.intro.calc_7
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ A.exp * 2 * |t|.log + (3 + 8 * 2) * A.exp * 1 ≤ A.exp * 2 * |t|.log + (3 + 8 * 2) * A.exp * |t|.log

State before:
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σ_gt : 1 - A < σ
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
⊢ 1 / 2 < σ
Tactic:
linarith [hA.2]
State after:
no goals

State before:
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ A.exp * 2 * |t|.log + (3 + 8 * 2) * A.exp * |t|.log = C * |t|.log
Tactic:
ring
State after:
no goals

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.calc_1
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ ‖∑ n ∈ Finset.range (N + 1), 1 / ↑n ^ s‖ + ‖↑N ^ (1 - s) / (1 - s)‖ + ‖↑N ^ (-s) / 2‖ +
      ‖s * ∫ (x : ℝ) in Ioi ↑N, (↑⌊x⌋ + 1 / 2 - ↑x) / ↑x ^ (s + 1)‖ ≤
    A.exp * 2 * |t|.log + ‖↑N ^ (1 - s) / (1 - s)‖ + ‖↑N ^ (-s) / 2‖ +
      ‖s * ∫ (x : ℝ) in Ioi ↑N, (↑⌊x⌋ + 1 / 2 - ↑x) / ↑x ^ (s + 1)‖
Tactic:
simp only [add_le_add_iff_right, one_div_cpow_eq_cpow_neg]
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.calc_1
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ ‖∑ x ∈ Finset.range (N + 1), ↑x ^ (-s)‖ ≤ A.exp * 2 * |t|.log

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.calc_1
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ ‖∑ x ∈ Finset.range (N + 1), ↑x ^ (-s)‖ ≤ A.exp * 2 * |t|.log
Tactic:
convert UpperBnd_aux3 (C := 2) hA hσ.1 t_gt le_rfl using 1
State after:
no goals

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.calc_2
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ A.exp * 2 * |t|.log + ‖↑N ^ (1 - s) / (1 - s)‖ + ‖↑N ^ (-s) / 2‖ +
      ‖s * ∫ (x : ℝ) in Ioi ↑N, (↑⌊x⌋ + 1 / 2 - ↑x) / ↑x ^ (s + 1)‖ ≤
    A.exp * 2 * |t|.log + ‖↑N ^ (1 - s) / (1 - s)‖ + ‖↑N ^ (-s) / 2‖ + 2 * |t| * ↑N ^ (-σ) / σ
Tactic:
simp only [add_le_add_iff_left]
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.calc_2
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ ‖s * ∫ (x : ℝ) in Ioi ↑N, (↑⌊x⌋ + 1 / 2 - ↑x) / ↑x ^ (s + 1)‖ ≤ 2 * |t| * ↑N ^ (-σ) / σ

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.calc_2
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ ‖s * ∫ (x : ℝ) in Ioi ↑N, (↑⌊x⌋ + 1 / 2 - ↑x) / ↑x ^ (s + 1)‖ ≤ 2 * |t| * ↑N ^ (-σ) / σ
Tactic:
exact ZetaBnd_aux1 N (by linarith) ⟨σPos, hσ.2⟩ (by linarith)
State after:
no goals

State before:
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ 1 ≤ N
Tactic:
linarith
State after:
no goals

State before:
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ 2 ≤ |t|
Tactic:
linarith
State after:
no goals

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.calc_3
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ A.exp * 2 * |t|.log + ‖↑N ^ (1 - s) / (1 - s)‖ + ‖↑N ^ (-s) / 2‖ + 2 * |t| * ↑N ^ (-σ) / σ =
    A.exp * 2 * |t|.log + ↑N ^ (1 - σ) / ‖1 - s‖ + ↑N ^ (-σ) / 2 + 2 * |t| * ↑N ^ (-σ) / σ
Tactic:
simp only [norm_div, norm_neg, norm_eq_abs, RCLike.norm_ofNat, Nat.abs_cast, s]
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.calc_3
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ A.exp * 2 * |t|.log + Complex.abs (↑N ^ (1 - (↑σ + ↑t * I))) / Complex.abs (1 - (↑σ + ↑t * I)) +
        Complex.abs (↑N ^ (-(↑σ + ↑t * I))) / 2 +
      2 * |t| * ↑N ^ (-σ) / σ =
    A.exp * 2 * |t|.log + ↑N ^ (1 - σ) / Complex.abs (1 - (↑σ + ↑t * I)) + ↑N ^ (-σ) / 2 + 2 * |t| * ↑N ^ (-σ) / σ

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.calc_3
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ A.exp * 2 * |t|.log + Complex.abs (↑N ^ (1 - (↑σ + ↑t * I))) / Complex.abs (1 - (↑σ + ↑t * I)) +
        Complex.abs (↑N ^ (-(↑σ + ↑t * I))) / 2 +
      2 * |t| * ↑N ^ (-σ) / σ =
    A.exp * 2 * |t|.log + ↑N ^ (1 - σ) / Complex.abs (1 - (↑σ + ↑t * I)) + ↑N ^ (-σ) / 2 + 2 * |t| * ↑N ^ (-σ) / σ
Tactic:
congr <;> (convert norm_natCast_cpow_of_pos Npos _; simp)
State after:
no goals

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.calc_3.e_a.e_a.e_a
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ Complex.abs (↑N ^ (-(↑σ + ↑t * I))) = ↑N ^ (-σ)
Tactic:
convert norm_natCast_cpow_of_pos Npos _
State after:
case h.e'_3.h.e'_6
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ -σ = (-(↑σ + ↑t * I)).re

State before:
case h.e'_3.h.e'_6
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ -σ = (-(↑σ + ↑t * I)).re
Tactic:
simp
State after:
no goals

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.calc_4
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ A.exp * 2 * |t|.log + ↑N ^ (1 - σ) / ‖1 - s‖ + ↑N ^ (-σ) / 2 + 2 * |t| * ↑N ^ (-σ) / σ ≤
    A.exp * 2 * |t|.log + |t| ^ (1 - σ) * 2 + |t| ^ (1 - σ) + 2 * |t| * (8 * |t| ^ (-σ))
Tactic:
have ⟨h₁, h₂, h₃⟩ := UpperBnd_aux6 t_gt ⟨σ_gt, hσ.2⟩ neOne Npos N_le_t
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.calc_4
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
h₁ : ↑⌊|t|⌋₊ ^ (1 - σ) / ‖1 - (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ |t| ^ (1 - σ) * 2
h₂ : ↑⌊|t|⌋₊ ^ (-σ) / 2 ≤ |t| ^ (1 - σ)
h₃ : ↑⌊|t|⌋₊ ^ (-σ) / σ ≤ 8 * |t| ^ (-σ)
⊢ A.exp * 2 * |t|.log + ↑N ^ (1 - σ) / ‖1 - s‖ + ↑N ^ (-σ) / 2 + 2 * |t| * ↑N ^ (-σ) / σ ≤
    A.exp * 2 * |t|.log + |t| ^ (1 - σ) * 2 + |t| ^ (1 - σ) + 2 * |t| * (8 * |t| ^ (-σ))

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.calc_4
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
h₁ : ↑⌊|t|⌋₊ ^ (1 - σ) / ‖1 - (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ |t| ^ (1 - σ) * 2
h₂ : ↑⌊|t|⌋₊ ^ (-σ) / 2 ≤ |t| ^ (1 - σ)
h₃ : ↑⌊|t|⌋₊ ^ (-σ) / σ ≤ 8 * |t| ^ (-σ)
⊢ A.exp * 2 * |t|.log + ↑N ^ (1 - σ) / ‖1 - s‖ + ↑N ^ (-σ) / 2 + 2 * |t| * ↑N ^ (-σ) / σ ≤
    A.exp * 2 * |t|.log + |t| ^ (1 - σ) * 2 + |t| ^ (1 - σ) + 2 * |t| * (8 * |t| ^ (-σ))
Tactic:
refine add_le_add_le_add_le_add le_rfl h₁ h₂ ?_
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.calc_4
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
h₁ : ↑⌊|t|⌋₊ ^ (1 - σ) / ‖1 - (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ |t| ^ (1 - σ) * 2
h₂ : ↑⌊|t|⌋₊ ^ (-σ) / 2 ≤ |t| ^ (1 - σ)
h₃ : ↑⌊|t|⌋₊ ^ (-σ) / σ ≤ 8 * |t| ^ (-σ)
⊢ 2 * |t| * ↑N ^ (-σ) / σ ≤ 2 * |t| * (8 * |t| ^ (-σ))

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.calc_4
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
h₁ : ↑⌊|t|⌋₊ ^ (1 - σ) / ‖1 - (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ |t| ^ (1 - σ) * 2
h₂ : ↑⌊|t|⌋₊ ^ (-σ) / 2 ≤ |t| ^ (1 - σ)
h₃ : ↑⌊|t|⌋₊ ^ (-σ) / σ ≤ 8 * |t| ^ (-σ)
⊢ 2 * |t| * ↑N ^ (-σ) / σ ≤ 2 * |t| * (8 * |t| ^ (-σ))
Tactic:
rw [mul_div_assoc]
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.calc_4
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
h₁ : ↑⌊|t|⌋₊ ^ (1 - σ) / ‖1 - (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ |t| ^ (1 - σ) * 2
h₂ : ↑⌊|t|⌋₊ ^ (-σ) / 2 ≤ |t| ^ (1 - σ)
h₃ : ↑⌊|t|⌋₊ ^ (-σ) / σ ≤ 8 * |t| ^ (-σ)
⊢ 2 * |t| * (↑N ^ (-σ) / σ) ≤ 2 * |t| * (8 * |t| ^ (-σ))

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.calc_4
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
h₁ : ↑⌊|t|⌋₊ ^ (1 - σ) / ‖1 - (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ |t| ^ (1 - σ) * 2
h₂ : ↑⌊|t|⌋₊ ^ (-σ) / 2 ≤ |t| ^ (1 - σ)
h₃ : ↑⌊|t|⌋₊ ^ (-σ) / σ ≤ 8 * |t| ^ (-σ)
⊢ 2 * |t| * (↑N ^ (-σ) / σ) ≤ 2 * |t| * (8 * |t| ^ (-σ))
Tactic:
exact mul_le_mul_left (mul_pos (by norm_num) (by positivity)) |>.mpr h₃
State after:
no goals

State before:
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
h₁ : ↑⌊|t|⌋₊ ^ (1 - σ) / ‖1 - (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ |t| ^ (1 - σ) * 2
h₂ : ↑⌊|t|⌋₊ ^ (-σ) / 2 ≤ |t| ^ (1 - σ)
h₃ : ↑⌊|t|⌋₊ ^ (-σ) / σ ≤ 8 * |t| ^ (-σ)
⊢ 0 < 2
Tactic:
norm_num
State after:
no goals

State before:
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
h₁ : ↑⌊|t|⌋₊ ^ (1 - σ) / ‖1 - (↑σ + ↑t * I)‖ ≤ |t| ^ (1 - σ) * 2
h₂ : ↑⌊|t|⌋₊ ^ (-σ) / 2 ≤ |t| ^ (1 - σ)
h₃ : ↑⌊|t|⌋₊ ^ (-σ) / σ ≤ 8 * |t| ^ (-σ)
⊢ 0 < |t|
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.calc_5
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ A.exp * 2 * |t|.log + |t| ^ (1 - σ) * 2 + |t| ^ (1 - σ) + 2 * |t| * (8 * |t| ^ (-σ)) =
    A.exp * 2 * |t|.log + (3 + 8 * 2) * |t| ^ (1 - σ)
Tactic:
ring_nf
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.calc_5
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ A.exp * |t|.log * 2 + |t| ^ (1 - σ) * 3 + |t| * |t| ^ (-σ) * 16 = A.exp * |t|.log * 2 + |t| ^ (1 - σ) * 19

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.calc_5
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ A.exp * |t|.log * 2 + |t| ^ (1 - σ) * 3 + |t| * |t| ^ (-σ) * 16 = A.exp * |t|.log * 2 + |t| ^ (1 - σ) * 19
Tactic:
conv => lhs; rhs; lhs; rw [mul_comm |t|]
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.calc_5
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ A.exp * |t|.log * 2 + |t| ^ (1 - σ) * 3 + |t| ^ (-σ) * |t| * 16 = A.exp * |t|.log * 2 + |t| ^ (1 - σ) * 19

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.calc_5
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ A.exp * |t|.log * 2 + |t| ^ (1 - σ) * 3 + |t| ^ (-σ) * |t| * 16 = A.exp * |t|.log * 2 + |t| ^ (1 - σ) * 19
Tactic:
rw [← Real.rpow_add_one (by positivity)]
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.calc_5
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ A.exp * |t|.log * 2 + |t| ^ (1 - σ) * 3 + |t| ^ (-σ + 1) * 16 = A.exp * |t|.log * 2 + |t| ^ (1 - σ) * 19

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.calc_5
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ A.exp * |t|.log * 2 + |t| ^ (1 - σ) * 3 + |t| ^ (-σ + 1) * 16 = A.exp * |t|.log * 2 + |t| ^ (1 - σ) * 19
Tactic:
ring_nf
State after:
no goals

State before:
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ |t| ≠ 0
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.calc_6
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ A.exp * 2 * |t|.log + (3 + 8 * 2) * |t| ^ (1 - σ) ≤ A.exp * 2 * |t|.log + (3 + 8 * 2) * A.exp * 1
Tactic:
simp only [Real.log_abs, add_le_add_iff_left, mul_one]
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.calc_6
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ (3 + 8 * 2) * |t| ^ (1 - σ) ≤ (3 + 8 * 2) * A.exp

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.calc_6
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ (3 + 8 * 2) * |t| ^ (1 - σ) ≤ (3 + 8 * 2) * A.exp
Tactic:
exact mul_le_mul_left (by positivity) |>.mpr <| UpperBnd_aux2 t_gt hσ.1
State after:
no goals

State before:
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ 0 < 3 + 8 * 2
Tactic:
positivity
State after:
no goals

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.calc_7
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ A.exp * 2 * |t|.log + (3 + 8 * 2) * A.exp * 1 ≤ A.exp * 2 * |t|.log + (3 + 8 * 2) * A.exp * |t|.log
Tactic:
simp only [add_le_add_iff_left]
State after:
case intro.intro.intro.intro.intro.calc_7
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ (3 + 8 * 2) * A.exp * 1 ≤ (3 + 8 * 2) * A.exp * |t|.log

State before:
case intro.intro.intro.intro.intro.calc_7
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ (3 + 8 * 2) * A.exp * 1 ≤ (3 + 8 * 2) * A.exp * |t|.log
Tactic:
apply mul_le_mul_left (by norm_num [Real.exp_pos]) |>.mpr <| logt_gt.le
State after:
no goals

State before:
A σ t : ℝ
hA : A ∈ Ioc 0 (1 / 2)
t_gt : 3 < |t|
hσ : σ ∈ Icc (1 - A / |t|.log) 2
C : ℝ := A.exp * (5 + 8 * 2)
N : ℕ := ⌊|t|⌋₊
s : ℂ := ↑σ + ↑t * I
Npos : 0 < ⌊|t|⌋₊
N_le_t : ↑⌊|t|⌋₊ ≤ |t|
logt_gt : 1 < |t|.log
σPos : 0 < σ
neOne : ↑σ + ↑t * I ≠ 1
σ_gt : 1 / 2 < σ
⊢ 0 < (3 + 8 * 2) * A.exp
Tactic:
norm_num [Real.exp_pos]
State after:
no goals