Theorem: Super.fp2 (Ray/Dynamics/BottcherNearM.lean)

State before:
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
n : ℕ
p : ℂ × S
⊢ (s.fp^[n] p).2 = (f p.1)^[n] p.2
Tactic:
induction' n with n h
State after:
case zero
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
p : ℂ × S
⊢ (s.fp^[0] p).2 = (f p.1)^[0] p.2

case succ
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
p : ℂ × S
n : ℕ
h : (s.fp^[n] p).2 = (f p.1)^[n] p.2
⊢ (s.fp^[n + 1] p).2 = (f p.1)^[n + 1] p.2

State before:
case zero
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n : ℕ
s : Super f d a
p : ℂ × S
⊢ (s.fp^[0] p).2 = (f p.1)^[0] p.2
Tactic:
simp only [Function.iterate_zero_apply]
State after:
no goals

State before:
case succ
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
p : ℂ × S
n : ℕ
h : (s.fp^[n] p).2 = (f p.1)^[n] p.2
⊢ (s.fp^[n + 1] p).2 = (f p.1)^[n + 1] p.2
Tactic:
have c := s.fp1 n p
State after:
case succ
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
p : ℂ × S
n : ℕ
h : (s.fp^[n] p).2 = (f p.1)^[n] p.2
c : (s.fp^[n] p).1 = p.1
⊢ (s.fp^[n + 1] p).2 = (f p.1)^[n + 1] p.2

State before:
case succ
S : Type
inst✝⁴ : TopologicalSpace S
inst✝³ : CompactSpace S
inst✝² : T3Space S
inst✝¹ : ChartedSpace ℂ S
inst✝ : AnalyticManifold I S
f : ℂ → S → S
c✝ : ℂ
a z : S
d n✝ : ℕ
s : Super f d a
p : ℂ × S
n : ℕ
h : (s.fp^[n] p).2 = (f p.1)^[n] p.2
c : (s.fp^[n] p).1 = p.1
⊢ (s.fp^[n + 1] p).2 = (f p.1)^[n + 1] p.2
Tactic:
simp only [Function.iterate_succ_apply', c, h, fp]
State after:
no goals