Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Exponential.two_le_ext_of_seq₀_of_seqₛ (Arithmetization/ISigmaZero/Exponential/Exp.lean)

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
⊢ 2 ≤ ext i Y
Tactic:
induction i using order_induction_iSigmaZero
State after:
case hP
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
⊢ 𝚺₀-Predicate fun {i} => i ≠ 2 → i ≤ y ^ 2 → PPow2 i → 2 ≤ ext i Y

case ind
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
x✝ : M
a✝ : ∀ y_1 < x✝, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 2 ≤ ext y_1 Y
ne2 : x✝ ≠ 2
hi : x✝ ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 x✝
⊢ 2 ≤ ext x✝ Y

State before:
case hP
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
⊢ 𝚺₀-Predicate fun {i} => i ≠ 2 → i ≤ y ^ 2 → PPow2 i → 2 ≤ ext i Y
Tactic:
definability
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 2 ≤ ext y_1 Y
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
⊢ 2 ≤ ext i Y
Tactic:
by_cases ei : i = 4
State after:
case pos
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 2 ≤ ext y_1 Y
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ei : i = 4
⊢ 2 ≤ ext i Y

case neg
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 2 ≤ ext y_1 Y
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ei : ¬i = 4
⊢ 2 ≤ ext i Y

State before:
case pos
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 2 ≤ ext y_1 Y
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ei : i = 4
⊢ 2 ≤ ext i Y
Tactic:
rcases ei with rfl
State after:
case pos
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
IH : ∀ y_1 < 4, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 2 ≤ ext y_1 Y
ne2 : 4 ≠ 2
hi : 4 ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 4
⊢ 2 ≤ ext 4 Y

State before:
case pos
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
IH : ∀ y_1 < 4, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 2 ≤ ext y_1 Y
ne2 : 4 ≠ 2
hi : 4 ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 4
⊢ 2 ≤ ext 4 Y
Tactic:
simp [h₀.2]
State after:
no goals

State before:
case neg
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 2 ≤ ext y_1 Y
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ei : ¬i = 4
⊢ 2 ≤ ext i Y
Tactic:
have IH : 2 ≤ ext (√i) Y :=
  IH (√i) (sqrt_lt_self_of_one_lt ppi.one_lt) (ppi.sqrt_ne_two ne2 ei) (le_trans (by simp) hi) (ppi.sqrt ne2)
State after:
case neg
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH✝ : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 2 ≤ ext y_1 Y
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ei : ¬i = 4
IH : 2 ≤ ext (√i) Y
⊢ 2 ≤ ext i Y

State before:
case neg
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH✝ : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 2 ≤ ext y_1 Y
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ei : ¬i = 4
IH : 2 ≤ ext (√i) Y
⊢ 2 ≤ ext i Y
Tactic:
rcases show Seqₛ.Even X Y (√i) ∨ Seqₛ.Odd X Y (√i) from
  hₛ (√i) (sqrt_le_of_le_sq $ hi) (ppi.sqrt_ne_two ne2 ei) (ppi.sqrt ne2) with (heven | hodd)
State after:
case neg.inl
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH✝ : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 2 ≤ ext y_1 Y
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ei : ¬i = 4
IH : 2 ≤ ext (√i) Y
heven : Seqₛ.Even X Y (√i)
⊢ 2 ≤ ext i Y

case neg.inr
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH✝ : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 2 ≤ ext y_1 Y
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ei : ¬i = 4
IH : 2 ≤ ext (√i) Y
hodd : Seqₛ.Odd X Y (√i)
⊢ 2 ≤ ext i Y

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 2 ≤ ext y_1 Y
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ei : ¬i = 4
⊢ √i ≤ i
Tactic:
simp
State after:
no goals

State before:
case neg.inl
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH✝ : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 2 ≤ ext y_1 Y
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ei : ¬i = 4
IH : 2 ≤ ext (√i) Y
heven : Seqₛ.Even X Y (√i)
⊢ 2 ≤ ext i Y
Tactic:
calc
  2 ≤ ext (√i) Y     := IH
  _ ≤ (ext (√i) Y)^2 := by simp
  _ = ext i Y        := by simpa [ppi.sq_sqrt_eq ne2] using Eq.symm heven.2
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH✝ : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 2 ≤ ext y_1 Y
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ei : ¬i = 4
IH : 2 ≤ ext (√i) Y
heven : Seqₛ.Even X Y (√i)
⊢ ext (√i) Y ≤ ext (√i) Y ^ 2
Tactic:
simp
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH✝ : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 2 ≤ ext y_1 Y
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ei : ¬i = 4
IH : 2 ≤ ext (√i) Y
heven : Seqₛ.Even X Y (√i)
⊢ ext (√i) Y ^ 2 = ext i Y
Tactic:
simpa [ppi.sq_sqrt_eq ne2] using Eq.symm heven.2
State after:
no goals

State before:
case neg.inr
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH✝ : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 2 ≤ ext y_1 Y
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ei : ¬i = 4
IH : 2 ≤ ext (√i) Y
hodd : Seqₛ.Odd X Y (√i)
⊢ 2 ≤ ext i Y
Tactic:
calc
  2 ≤ ext (√i) Y         := IH
  _ ≤ (ext (√i) Y)^2     := by simp
  _ ≤ 2 * (ext (√i) Y)^2 := by simp
  _ = ext i Y            := by simpa [ppi.sq_sqrt_eq ne2] using Eq.symm hodd.2
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH✝ : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 2 ≤ ext y_1 Y
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ei : ¬i = 4
IH : 2 ≤ ext (√i) Y
hodd : Seqₛ.Odd X Y (√i)
⊢ ext (√i) Y ≤ ext (√i) Y ^ 2
Tactic:
simp
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH✝ : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 2 ≤ ext y_1 Y
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ei : ¬i = 4
IH : 2 ≤ ext (√i) Y
hodd : Seqₛ.Odd X Y (√i)
⊢ ext (√i) Y ^ 2 ≤ 2 * ext (√i) Y ^ 2
Tactic:
simp
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
y X Y : M
h₀ : Seq₀ X Y
hₛ : Seqₛ y X Y
i : M
IH✝ : ∀ y_1 < i, y_1 ≠ 2 → y_1 ≤ y ^ 2 → PPow2 y_1 → 2 ≤ ext y_1 Y
ne2 : i ≠ 2
hi : i ≤ y ^ 2
ppi : PPow2 i
ei : ¬i = 4
IH : 2 ≤ ext (√i) Y
hodd : Seqₛ.Odd X Y (√i)
⊢ 2 * ext (√i) Y ^ 2 = ext i Y
Tactic:
simpa [ppi.sq_sqrt_eq ne2] using Eq.symm hodd.2
State after:
no goals