Theorem: Lean4Lean.VEnv.IsDefEq.isType' (Lean4Lean/Theory/Typing/Lemmas.lean)

State before:
env : VEnv
henv : Ordered env
envIH : OnTypes env fun U e A => HasType env U [] e A ∧ IsType env U [] A
Γ : List VExpr
U : Nat
e1 e2 A : VExpr
hΓ : OnCtx Γ (IsType env U)
H : IsDefEq env U Γ e1 e2 A
⊢ IsType env U Γ A
Tactic:
induction H with
| bvar h => exact .lookup henv hΓ  h
| proofIrrel h1 => exact ⟨_, h1⟩
| extra h1 h2 =>
  have ⟨_, _, _, h⟩ := envIH.2 h1
  exact ⟨_, (h.instL h2).weak0 henv⟩
| sortDF h1 => exact ⟨_, .sort h1⟩
| constDF h1 h2 =>
  let ⟨_, h, _⟩ := envIH.1 h1
  exact ⟨_, (h.instL h2).weak0 henv⟩
| symm _ ih => exact ih hΓ
| trans _ _ ih1 => exact ih1 hΓ
| appDF _ h2 ih1 => exact ((ih1 hΓ).forallE_inv henv).2.instN henv .zero h2.hasType.1
| lamDF h1 _ _ ih2 =>
  let ⟨_, h⟩ := ih2 ⟨hΓ, _, h1.hasType.1⟩
  exact ⟨_, .forallE h1.hasType.1 h⟩
| forallEDF h1 _ ih1 ih2 =>
  exact ⟨_, .sort ⟨(ih1 hΓ).sort_inv henv, (ih2 ⟨hΓ, _, h1.hasType.1⟩).sort_inv henv⟩⟩
| defeqDF h1 => exact ⟨_, h1.hasType.2⟩
| beta _ h2 ih1 ih2 =>
  have ⟨_, h⟩ := ih2 hΓ
  exact (ih1 ⟨hΓ, _, h.hasType.2⟩).instN henv .zero h2
| eta _ ih => exact ih hΓ
State after:
no goals

State before:
case bvar
env : VEnv
henv : Ordered env
envIH : OnTypes env fun U e A => HasType env U [] e A ∧ IsType env U [] A
Γ : List VExpr
U : Nat
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
i✝ : Nat
A✝ : VExpr
h : Lookup Γ✝ i✝ A✝
hΓ : OnCtx Γ✝ (IsType env U)
⊢ IsType env U Γ✝ A✝
Tactic:
exact .lookup henv hΓ  h
State after:
no goals

State before:
case proofIrrel
env : VEnv
henv : Ordered env
envIH : OnTypes env fun U e A => HasType env U [] e A ∧ IsType env U [] A
Γ : List VExpr
U : Nat
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
p✝ h✝ h'✝ : VExpr
h1 : IsDefEq env U Γ✝ p✝ p✝ (VExpr.sort VLevel.zero)
a✝¹ : IsDefEq env U Γ✝ h✝ h✝ p✝
a✝ : IsDefEq env U Γ✝ h'✝ h'✝ p✝
a_ih✝² : OnCtx Γ✝ (IsType env U) → IsType env U Γ✝ (VExpr.sort VLevel.zero)
a_ih✝¹ a_ih✝ : OnCtx Γ✝ (IsType env U) → IsType env U Γ✝ p✝
hΓ : OnCtx Γ✝ (IsType env U)
⊢ IsType env U Γ✝ p✝
Tactic:
exact ⟨_, h1⟩
State after:
no goals

State before:
case extra
env : VEnv
henv : Ordered env
envIH : OnTypes env fun U e A => HasType env U [] e A ∧ IsType env U [] A
Γ : List VExpr
U : Nat
e1 e2 A : VExpr
df✝ : VDefEq
ls✝ : List VLevel
Γ✝ : List VExpr
h1 : env.defeqs df✝
h2 : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls✝ → VLevel.WF U l
a✝ : List.length ls✝ = df✝.uvars
hΓ : OnCtx Γ✝ (IsType env U)
⊢ IsType env U Γ✝ (VExpr.instL ls✝ df✝.type)
Tactic:
have ⟨_, _, _, h⟩ := envIH.2 h1
State after:
case extra
env : VEnv
henv : Ordered env
envIH : OnTypes env fun U e A => HasType env U [] e A ∧ IsType env U [] A
Γ : List VExpr
U : Nat
e1 e2 A : VExpr
df✝ : VDefEq
ls✝ : List VLevel
Γ✝ : List VExpr
h1 : env.defeqs df✝
h2 : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls✝ → VLevel.WF U l
a✝ : List.length ls✝ = df✝.uvars
hΓ : OnCtx Γ✝ (IsType env U)
left✝¹ : (fun U e A => HasType env U [] e A ∧ IsType env U [] A) df✝.uvars df✝.lhs df✝.type
left✝ : HasType env df✝.uvars [] df✝.rhs df✝.type
w✝ : VLevel
h : HasType env df✝.uvars [] df✝.type (VExpr.sort w✝)
⊢ IsType env U Γ✝ (VExpr.instL ls✝ df✝.type)

State before:
case extra
env : VEnv
henv : Ordered env
envIH : OnTypes env fun U e A => HasType env U [] e A ∧ IsType env U [] A
Γ : List VExpr
U : Nat
e1 e2 A : VExpr
df✝ : VDefEq
ls✝ : List VLevel
Γ✝ : List VExpr
h1 : env.defeqs df✝
h2 : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls✝ → VLevel.WF U l
a✝ : List.length ls✝ = df✝.uvars
hΓ : OnCtx Γ✝ (IsType env U)
left✝¹ : (fun U e A => HasType env U [] e A ∧ IsType env U [] A) df✝.uvars df✝.lhs df✝.type
left✝ : HasType env df✝.uvars [] df✝.rhs df✝.type
w✝ : VLevel
h : HasType env df✝.uvars [] df✝.type (VExpr.sort w✝)
⊢ IsType env U Γ✝ (VExpr.instL ls✝ df✝.type)
Tactic:
exact ⟨_, (h.instL h2).weak0 henv⟩
State after:
no goals

State before:
case sortDF
env : VEnv
henv : Ordered env
envIH : OnTypes env fun U e A => HasType env U [] e A ∧ IsType env U [] A
Γ : List VExpr
U : Nat
e1 e2 A : VExpr
l✝ l'✝ : VLevel
Γ✝ : List VExpr
h1 : VLevel.WF U l✝
a✝¹ : VLevel.WF U l'✝
a✝ : l✝ ≈ l'✝
hΓ : OnCtx Γ✝ (IsType env U)
⊢ IsType env U Γ✝ (VExpr.sort (VLevel.succ l✝))
Tactic:
exact ⟨_, .sort h1⟩
State after:
no goals

State before:
case constDF
env : VEnv
henv : Ordered env
envIH : OnTypes env fun U e A => HasType env U [] e A ∧ IsType env U [] A
Γ : List VExpr
U : Nat
e1 e2 A : VExpr
c✝ : Name
ci✝ : VConstant
ls✝ ls'✝ : List VLevel
Γ✝ : List VExpr
h1 : env.constants c✝ = some (some ci✝)
h2 : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls✝ → VLevel.WF U l
a✝² : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls'✝ → VLevel.WF U l
a✝¹ : List.length ls✝ = ci✝.uvars
a✝ : List.Forall₂ (fun x x_1 => x ≈ x_1) ls✝ ls'✝
hΓ : OnCtx Γ✝ (IsType env U)
⊢ IsType env U Γ✝ (VExpr.instL ls✝ ci✝.type)
Tactic:
let ⟨_, h, _⟩ := envIH.1 h1
State after:
case constDF
env : VEnv
henv : Ordered env
envIH : OnTypes env fun U e A => HasType env U [] e A ∧ IsType env U [] A
Γ : List VExpr
U : Nat
e1 e2 A : VExpr
c✝ : Name
ci✝ : VConstant
ls✝ ls'✝ : List VLevel
Γ✝ : List VExpr
h1 : env.constants c✝ = some (some ci✝)
h2 : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls✝ → VLevel.WF U l
a✝² : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls'✝ → VLevel.WF U l
a✝¹ : List.length ls✝ = ci✝.uvars
a✝ : List.Forall₂ (fun x x_1 => x ≈ x_1) ls✝ ls'✝
hΓ : OnCtx Γ✝ (IsType env U)
w✝ : VLevel
h : HasType env ci✝.uvars [] ci✝.type (VExpr.sort w✝)
right✝ : IsType env ci✝.uvars [] (VExpr.sort w✝)
⊢ IsType env U Γ✝ (VExpr.instL ls✝ ci✝.type)

State before:
case constDF
env : VEnv
henv : Ordered env
envIH : OnTypes env fun U e A => HasType env U [] e A ∧ IsType env U [] A
Γ : List VExpr
U : Nat
e1 e2 A : VExpr
c✝ : Name
ci✝ : VConstant
ls✝ ls'✝ : List VLevel
Γ✝ : List VExpr
h1 : env.constants c✝ = some (some ci✝)
h2 : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls✝ → VLevel.WF U l
a✝² : ∀ (l : VLevel), l ∈ ls'✝ → VLevel.WF U l
a✝¹ : List.length ls✝ = ci✝.uvars
a✝ : List.Forall₂ (fun x x_1 => x ≈ x_1) ls✝ ls'✝
hΓ : OnCtx Γ✝ (IsType env U)
w✝ : VLevel
h : HasType env ci✝.uvars [] ci✝.type (VExpr.sort w✝)
right✝ : IsType env ci✝.uvars [] (VExpr.sort w✝)
⊢ IsType env U Γ✝ (VExpr.instL ls✝ ci✝.type)
Tactic:
exact ⟨_, (h.instL h2).weak0 henv⟩
State after:
no goals

State before:
case symm
env : VEnv
henv : Ordered env
envIH : OnTypes env fun U e A => HasType env U [] e A ∧ IsType env U [] A
Γ : List VExpr
U : Nat
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
e✝ e'✝ A✝ : VExpr
a✝ : IsDefEq env U Γ✝ e✝ e'✝ A✝
ih : OnCtx Γ✝ (IsType env U) → IsType env U Γ✝ A✝
hΓ : OnCtx Γ✝ (IsType env U)
⊢ IsType env U Γ✝ A✝
Tactic:
exact ih hΓ
State after:
no goals

State before:
case trans
env : VEnv
henv : Ordered env
envIH : OnTypes env fun U e A => HasType env U [] e A ∧ IsType env U [] A
Γ : List VExpr
U : Nat
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
e₁✝ e₂✝ A✝ e₃✝ : VExpr
a✝¹ : IsDefEq env U Γ✝ e₁✝ e₂✝ A✝
a✝ : IsDefEq env U Γ✝ e₂✝ e₃✝ A✝
ih1 a_ih✝ : OnCtx Γ✝ (IsType env U) → IsType env U Γ✝ A✝
hΓ : OnCtx Γ✝ (IsType env U)
⊢ IsType env U Γ✝ A✝
Tactic:
exact ih1 hΓ
State after:
no goals

State before:
case appDF
env : VEnv
henv : Ordered env
envIH : OnTypes env fun U e A => HasType env U [] e A ∧ IsType env U [] A
Γ : List VExpr
U : Nat
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
f✝ f'✝ A✝ B✝ a✝¹ a'✝ : VExpr
a✝ : IsDefEq env U Γ✝ f✝ f'✝ (VExpr.forallE A✝ B✝)
h2 : IsDefEq env U Γ✝ a✝¹ a'✝ A✝
ih1 : OnCtx Γ✝ (IsType env U) → IsType env U Γ✝ (VExpr.forallE A✝ B✝)
a_ih✝ : OnCtx Γ✝ (IsType env U) → IsType env U Γ✝ A✝
hΓ : OnCtx Γ✝ (IsType env U)
⊢ IsType env U Γ✝ (inst B✝ a✝¹)
Tactic:
exact ((ih1 hΓ).forallE_inv henv).2.instN henv .zero h2.hasType.1
State after:
no goals

State before:
case lamDF
env : VEnv
henv : Ordered env
envIH : OnTypes env fun U e A => HasType env U [] e A ∧ IsType env U [] A
Γ : List VExpr
U : Nat
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
A✝ A'✝ : VExpr
u✝ : VLevel
body✝ body'✝ B✝ : VExpr
h1 : IsDefEq env U Γ✝ A✝ A'✝ (VExpr.sort u✝)
a✝ : IsDefEq env U (A✝ :: Γ✝) body✝ body'✝ B✝
a_ih✝ : OnCtx Γ✝ (IsType env U) → IsType env U Γ✝ (VExpr.sort u✝)
ih2 : OnCtx (A✝ :: Γ✝) (IsType env U) → IsType env U (A✝ :: Γ✝) B✝
hΓ : OnCtx Γ✝ (IsType env U)
⊢ IsType env U Γ✝ (VExpr.forallE A✝ B✝)
Tactic:
let ⟨_, h⟩ := ih2 ⟨hΓ, _, h1.hasType.1⟩
State after:
case lamDF
env : VEnv
henv : Ordered env
envIH : OnTypes env fun U e A => HasType env U [] e A ∧ IsType env U [] A
Γ : List VExpr
U : Nat
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
A✝ A'✝ : VExpr
u✝ : VLevel
body✝ body'✝ B✝ : VExpr
h1 : IsDefEq env U Γ✝ A✝ A'✝ (VExpr.sort u✝)
a✝ : IsDefEq env U (A✝ :: Γ✝) body✝ body'✝ B✝
a_ih✝ : OnCtx Γ✝ (IsType env U) → IsType env U Γ✝ (VExpr.sort u✝)
ih2 : OnCtx (A✝ :: Γ✝) (IsType env U) → IsType env U (A✝ :: Γ✝) B✝
hΓ : OnCtx Γ✝ (IsType env U)
w✝ : VLevel
h : HasType env U (A✝ :: Γ✝) B✝ (VExpr.sort w✝)
⊢ IsType env U Γ✝ (VExpr.forallE A✝ B✝)

State before:
case lamDF
env : VEnv
henv : Ordered env
envIH : OnTypes env fun U e A => HasType env U [] e A ∧ IsType env U [] A
Γ : List VExpr
U : Nat
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
A✝ A'✝ : VExpr
u✝ : VLevel
body✝ body'✝ B✝ : VExpr
h1 : IsDefEq env U Γ✝ A✝ A'✝ (VExpr.sort u✝)
a✝ : IsDefEq env U (A✝ :: Γ✝) body✝ body'✝ B✝
a_ih✝ : OnCtx Γ✝ (IsType env U) → IsType env U Γ✝ (VExpr.sort u✝)
ih2 : OnCtx (A✝ :: Γ✝) (IsType env U) → IsType env U (A✝ :: Γ✝) B✝
hΓ : OnCtx Γ✝ (IsType env U)
w✝ : VLevel
h : HasType env U (A✝ :: Γ✝) B✝ (VExpr.sort w✝)
⊢ IsType env U Γ✝ (VExpr.forallE A✝ B✝)
Tactic:
exact ⟨_, .forallE h1.hasType.1 h⟩
State after:
no goals

State before:
case forallEDF
env : VEnv
henv : Ordered env
envIH : OnTypes env fun U e A => HasType env U [] e A ∧ IsType env U [] A
Γ : List VExpr
U : Nat
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
A✝ A'✝ : VExpr
u✝ : VLevel
body✝ body'✝ : VExpr
v✝ : VLevel
h1 : IsDefEq env U Γ✝ A✝ A'✝ (VExpr.sort u✝)
a✝ : IsDefEq env U (A✝ :: Γ✝) body✝ body'✝ (VExpr.sort v✝)
ih1 : OnCtx Γ✝ (IsType env U) → IsType env U Γ✝ (VExpr.sort u✝)
ih2 : OnCtx (A✝ :: Γ✝) (IsType env U) → IsType env U (A✝ :: Γ✝) (VExpr.sort v✝)
hΓ : OnCtx Γ✝ (IsType env U)
⊢ IsType env U Γ✝ (VExpr.sort (VLevel.imax u✝ v✝))
Tactic:
exact ⟨_, .sort ⟨(ih1 hΓ).sort_inv henv, (ih2 ⟨hΓ, _, h1.hasType.1⟩).sort_inv henv⟩⟩
State after:
no goals

State before:
case defeqDF
env : VEnv
henv : Ordered env
envIH : OnTypes env fun U e A => HasType env U [] e A ∧ IsType env U [] A
Γ : List VExpr
U : Nat
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
A✝ B✝ : VExpr
u✝ : VLevel
e1✝ e2✝ : VExpr
h1 : IsDefEq env U Γ✝ A✝ B✝ (VExpr.sort u✝)
a✝ : IsDefEq env U Γ✝ e1✝ e2✝ A✝
a_ih✝¹ : OnCtx Γ✝ (IsType env U) → IsType env U Γ✝ (VExpr.sort u✝)
a_ih✝ : OnCtx Γ✝ (IsType env U) → IsType env U Γ✝ A✝
hΓ : OnCtx Γ✝ (IsType env U)
⊢ IsType env U Γ✝ B✝
Tactic:
exact ⟨_, h1.hasType.2⟩
State after:
no goals

State before:
case beta
env : VEnv
henv : Ordered env
envIH : OnTypes env fun U e A => HasType env U [] e A ∧ IsType env U [] A
Γ : List VExpr
U : Nat
e1 e2 A A✝ : VExpr
Γ✝ : List VExpr
e✝ B✝ e'✝ : VExpr
a✝ : IsDefEq env U (A✝ :: Γ✝) e✝ e✝ B✝
h2 : IsDefEq env U Γ✝ e'✝ e'✝ A✝
ih1 : OnCtx (A✝ :: Γ✝) (IsType env U) → IsType env U (A✝ :: Γ✝) B✝
ih2 : OnCtx Γ✝ (IsType env U) → IsType env U Γ✝ A✝
hΓ : OnCtx Γ✝ (IsType env U)
⊢ IsType env U Γ✝ (inst B✝ e'✝)
Tactic:
have ⟨_, h⟩ := ih2 hΓ
State after:
case beta
env : VEnv
henv : Ordered env
envIH : OnTypes env fun U e A => HasType env U [] e A ∧ IsType env U [] A
Γ : List VExpr
U : Nat
e1 e2 A A✝ : VExpr
Γ✝ : List VExpr
e✝ B✝ e'✝ : VExpr
a✝ : IsDefEq env U (A✝ :: Γ✝) e✝ e✝ B✝
h2 : IsDefEq env U Γ✝ e'✝ e'✝ A✝
ih1 : OnCtx (A✝ :: Γ✝) (IsType env U) → IsType env U (A✝ :: Γ✝) B✝
ih2 : OnCtx Γ✝ (IsType env U) → IsType env U Γ✝ A✝
hΓ : OnCtx Γ✝ (IsType env U)
w✝ : VLevel
h : HasType env U Γ✝ A✝ (VExpr.sort w✝)
⊢ IsType env U Γ✝ (inst B✝ e'✝)

State before:
case beta
env : VEnv
henv : Ordered env
envIH : OnTypes env fun U e A => HasType env U [] e A ∧ IsType env U [] A
Γ : List VExpr
U : Nat
e1 e2 A A✝ : VExpr
Γ✝ : List VExpr
e✝ B✝ e'✝ : VExpr
a✝ : IsDefEq env U (A✝ :: Γ✝) e✝ e✝ B✝
h2 : IsDefEq env U Γ✝ e'✝ e'✝ A✝
ih1 : OnCtx (A✝ :: Γ✝) (IsType env U) → IsType env U (A✝ :: Γ✝) B✝
ih2 : OnCtx Γ✝ (IsType env U) → IsType env U Γ✝ A✝
hΓ : OnCtx Γ✝ (IsType env U)
w✝ : VLevel
h : HasType env U Γ✝ A✝ (VExpr.sort w✝)
⊢ IsType env U Γ✝ (inst B✝ e'✝)
Tactic:
exact (ih1 ⟨hΓ, _, h.hasType.2⟩).instN henv .zero h2
State after:
no goals

State before:
case eta
env : VEnv
henv : Ordered env
envIH : OnTypes env fun U e A => HasType env U [] e A ∧ IsType env U [] A
Γ : List VExpr
U : Nat
e1 e2 A : VExpr
Γ✝ : List VExpr
e✝ A✝ B✝ : VExpr
a✝ : IsDefEq env U Γ✝ e✝ e✝ (VExpr.forallE A✝ B✝)
ih : OnCtx Γ✝ (IsType env U) → IsType env U Γ✝ (VExpr.forallE A✝ B✝)
hΓ : OnCtx Γ✝ (IsType env U)
⊢ IsType env U Γ✝ (VExpr.forallE A✝ B✝)
Tactic:
exact ih hΓ
State after:
no goals