Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.under_graph (Arithmetization/ISigmaOne/Bit.lean)

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x y : M
⊢ y = under x → y + 1 = exp x
Tactic:
rintro rfl
State after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x : M
⊢ under x + 1 = exp x

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x : M
⊢ under x + 1 = exp x
Tactic:
simp [under, sub_add_self_of_le]
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x y : M
⊢ y + 1 = exp x → y = under x
Tactic:
intro h
State after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x y : M
h : y + 1 = exp x
⊢ y = under x

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x y : M
h : y + 1 = exp x
this : (fun x => x - 1) (y + 1) = (fun x => x - 1) (exp x)
⊢ y = under x
Tactic:
simp [under] at this ⊢
State after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x y : M
h : y + 1 = exp x
this : y = exp x - 1
⊢ y = exp x - 1

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
x y : M
h : y + 1 = exp x
this : y = exp x - 1
⊢ y = exp x - 1
Tactic:
exact this
State after:
no goals