Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Definable.bcomp₂ (Arithmetization/Definability/Definability.lean)

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → Prop
f₁ f₂ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
⊢ Definable L Γ fun v => R (f₁ v) (f₂ v)
Tactic:
rcases hf₁.bounded with ⟨bf₁, hbf₁⟩
State after:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → Prop
f₁ f₂ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
⊢ Definable L Γ fun v => R (f₁ v) (f₂ v)

State before:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → Prop
f₁ f₂ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
⊢ Definable L Γ fun v => R (f₁ v) (f₂ v)
Tactic:
rcases hf₂.bounded with ⟨bf₂, hbf₂⟩
State after:
case mk.intro.mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → Prop
f₁ f₂ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
⊢ Definable L Γ fun v => R (f₁ v) (f₂ v)

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → Prop
f₁ f₂ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
⊢ Definable L Γ fun w => R ((fun x => w x.succ) 0) (w 0)
Tactic:
simpa using hR.retraction (n := k + 2) ![1, 0]
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → Prop
f₁ f₂ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂
⊢ ∀ (x : Fin k → M),
    R (f₁ x) (f₂ x) ↔ ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M x id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M x id bf₂, z₁ = f₁ x ∧ z₂ = f₂ x ∧ R z₁ z₂
Tactic:
intro v
State after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → Prop
f₁ f₂ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂
v : Fin k → M
⊢ R (f₁ v) (f₂ v) ↔ ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → Prop
f₁ f₂ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂
v : Fin k → M
⊢ R (f₁ v) (f₂ v) ↔ ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂
Tactic:
constructor
State after:
case mp
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → Prop
f₁ f₂ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂
v : Fin k → M
⊢ R (f₁ v) (f₂ v) → ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂

case mpr
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → Prop
f₁ f₂ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂
v : Fin k → M
⊢ (∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂) → R (f₁ v) (f₂ v)

State before:
case mp
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → Prop
f₁ f₂ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂
v : Fin k → M
⊢ R (f₁ v) (f₂ v) → ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂
Tactic:
intro h
State after:
case mp
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → Prop
f₁ f₂ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂
v : Fin k → M
h : R (f₁ v) (f₂ v)
⊢ ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂

State before:
case mp
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → Prop
f₁ f₂ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂
v : Fin k → M
h : R (f₁ v) (f₂ v)
⊢ ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂
Tactic:
exact ⟨f₁ v, hbf₁ v, f₂ v, hbf₂ v, rfl, rfl, h⟩
State after:
no goals

State before:
case mpr
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → Prop
f₁ f₂ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂
v : Fin k → M
⊢ (∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂) → R (f₁ v) (f₂ v)
Tactic:
rintro ⟨_, _, _, _, rfl, rfl, h⟩
State after:
case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → Prop
f₁ f₂ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂
v : Fin k → M
left✝¹ : f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
left✝ : f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
h : R (f₁ v) (f₂ v)
⊢ R (f₁ v) (f₂ v)

State before:
case mpr.intro.intro.intro.intro.intro.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type u_1
n : ℕ
M : Type u_2
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
R : M → M → Prop
f₁ f₂ : (Fin k → M) → M
hR : DefinableRel L Γ R
hf₁ : DefinableBoundedFunction L Γ f₁
hf₂ : DefinableBoundedFunction L Γ f₂
bf₁ : Semiterm L M k
hbf₁ : ∀ (v : Fin k → M), f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
bf₂ : Semiterm L M k
hbf₂ : ∀ (v : Fin k → M), f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
this :
  Definable L Γ fun v =>
    ∃ z₁ ≤ Semiterm.valm M v id bf₁, ∃ z₂ ≤ Semiterm.valm M v id bf₂, z₁ = f₁ v ∧ z₂ = f₂ v ∧ R z₁ z₂
v : Fin k → M
left✝¹ : f₁ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₁
left✝ : f₂ v ≤ Semiterm.valm M v id bf₂
h : R (f₁ v) (f₂ v)
⊢ R (f₁ v) (f₂ v)
Tactic:
exact h
State after:
no goals