Theorem: Arith.Model.DefinablePred.of_iff (Arithmetization/Definability/Hierarchy.lean)

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q✝ : (Fin k → M) → Prop
P Q : M → Prop
h : ∀ (x : M), P x ↔ Q x
H : DefinablePred L Γ Q
⊢ DefinablePred L Γ P
Tactic:
rwa [show P = Q from by funext v; simp [h]]
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q✝ : (Fin k → M) → Prop
P Q : M → Prop
h : ∀ (x : M), P x ↔ Q x
H : DefinablePred L Γ Q
⊢ P = Q
Tactic:
funext v
State after:
case h
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q✝ : (Fin k → M) → Prop
P Q : M → Prop
h : ∀ (x : M), P x ↔ Q x
H : DefinablePred L Γ Q
v : M
⊢ P v = Q v

State before:
case h
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P✝ Q✝ : (Fin k → M) → Prop
P Q : M → Prop
h : ∀ (x : M), P x ↔ Q x
H : DefinablePred L Γ Q
v : M
⊢ P v = Q v
Tactic:
simp [h]
State after:
no goals