Theorem: LO.FirstOrder.Arith.StrictHierarchy.succ (Logic/FirstOrder/Arith/StrictHierarchy.lean)

State before:
L : Language
inst✝ : L.LT
μ₁ : Type u_1
n₁ s : ℕ
Γ : Polarity
p : Semiformula L μ₁ n₁
h : StrictHierarchy Γ s p
⊢ StrictHierarchy Γ (s + 1) p
Tactic:
induction h
State after:
case zero
L : Language
inst✝ : L.LT
μ₁ : Type u_1
n₁ s : ℕ
Γ : Polarity
p : Semiformula L μ₁ n₁
x✝ s✝ : ℕ
Γ✝ : Polarity
p✝ : Semiformula L μ₁ x✝
a✝ : DeltaZero p✝
⊢ StrictHierarchy Γ✝ (s✝ + 1) p✝

case sigma
L : Language
inst✝ : L.LT
μ₁ : Type u_1
n₁ s : ℕ
Γ : Polarity
p : Semiformula L μ₁ n₁
s✝ n✝ : ℕ
p✝ : Semiformula L μ₁ (n✝ + 1)
a✝ : StrictHierarchy 𝚷 s✝ p✝
a_ih✝ : StrictHierarchy 𝚷 (s✝ + 1) p✝
⊢ StrictHierarchy 𝚺 (s✝ + 1 + 1) (∃' p✝)

case pi
L : Language
inst✝ : L.LT
μ₁ : Type u_1
n₁ s : ℕ
Γ : Polarity
p : Semiformula L μ₁ n₁
s✝ n✝ : ℕ
p✝ : Semiformula L μ₁ (n✝ + 1)
a✝ : StrictHierarchy 𝚺 s✝ p✝
a_ih✝ : StrictHierarchy 𝚺 (s✝ + 1) p✝
⊢ StrictHierarchy 𝚷 (s✝ + 1 + 1) (∀' p✝)

case ex
L : Language
inst✝ : L.LT
μ₁ : Type u_1
n₁ s : ℕ
Γ : Polarity
p : Semiformula L μ₁ n₁
s✝ n✝ : ℕ
p✝ : Semiformula L μ₁ (n✝ + 1)
a✝ : StrictHierarchy 𝚺 (s✝ + 1) p✝
a_ih✝ : StrictHierarchy 𝚺 (s✝ + 1 + 1) p✝
⊢ StrictHierarchy 𝚺 (s✝ + 1 + 1) (∃' p✝)

case all
L : Language
inst✝ : L.LT
μ₁ : Type u_1
n₁ s : ℕ
Γ : Polarity
p : Semiformula L μ₁ n₁
s✝ n✝ : ℕ
p✝ : Semiformula L μ₁ (n✝ + 1)
a✝ : StrictHierarchy 𝚷 (s✝ + 1) p✝
a_ih✝ : StrictHierarchy 𝚷 (s✝ + 1 + 1) p✝
⊢ StrictHierarchy 𝚷 (s✝ + 1 + 1) (∀' p✝)

State before:
L : Language
inst✝ : L.LT
μ₁ : Type u_1
n₁ s : ℕ
Γ : Polarity
p : Semiformula L μ₁ n₁
x✝ s✝ : ℕ
Γ✝ : Polarity
p✝ : Semiformula L μ₁ x✝
h : DeltaZero p✝
⊢ StrictHierarchy Γ✝ (s✝ + 1) p✝
Tactic:
case zero h => exact zero h
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝ : L.LT
μ₁ : Type u_1
n₁ s : ℕ
Γ : Polarity
p : Semiformula L μ₁ n₁
s✝ n✝ : ℕ
p✝ : Semiformula L μ₁ (n✝ + 1)
a✝ : StrictHierarchy 𝚷 s✝ p✝
ih : StrictHierarchy 𝚷 (s✝ + 1) p✝
⊢ StrictHierarchy 𝚺 (s✝ + 1 + 1) (∃' p✝)
Tactic:
case sigma ih => exact ih.sigma
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝ : L.LT
μ₁ : Type u_1
n₁ s : ℕ
Γ : Polarity
p : Semiformula L μ₁ n₁
s✝ n✝ : ℕ
p✝ : Semiformula L μ₁ (n✝ + 1)
a✝ : StrictHierarchy 𝚺 s✝ p✝
ih : StrictHierarchy 𝚺 (s✝ + 1) p✝
⊢ StrictHierarchy 𝚷 (s✝ + 1 + 1) (∀' p✝)
Tactic:
case pi ih => exact ih.pi
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝ : L.LT
μ₁ : Type u_1
n₁ s : ℕ
Γ : Polarity
p : Semiformula L μ₁ n₁
s✝ n✝ : ℕ
p✝ : Semiformula L μ₁ (n✝ + 1)
a✝ : StrictHierarchy 𝚺 (s✝ + 1) p✝
ih : StrictHierarchy 𝚺 (s✝ + 1 + 1) p✝
⊢ StrictHierarchy 𝚺 (s✝ + 1 + 1) (∃' p✝)
Tactic:
case ex ih => exact ih.ex
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝ : L.LT
μ₁ : Type u_1
n₁ s : ℕ
Γ : Polarity
p : Semiformula L μ₁ n₁
s✝ n✝ : ℕ
p✝ : Semiformula L μ₁ (n✝ + 1)
a✝ : StrictHierarchy 𝚷 (s✝ + 1) p✝
ih : StrictHierarchy 𝚷 (s✝ + 1 + 1) p✝
⊢ StrictHierarchy 𝚷 (s✝ + 1 + 1) (∀' p✝)
Tactic:
case all ih => exact ih.all
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝ : L.LT
μ₁ : Type u_1
n₁ s : ℕ
Γ : Polarity
p : Semiformula L μ₁ n₁
x✝ s✝ : ℕ
Γ✝ : Polarity
p✝ : Semiformula L μ₁ x✝
h : DeltaZero p✝
⊢ StrictHierarchy Γ✝ (s✝ + 1) p✝
Tactic:
exact zero h
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝ : L.LT
μ₁ : Type u_1
n₁ s : ℕ
Γ : Polarity
p : Semiformula L μ₁ n₁
s✝ n✝ : ℕ
p✝ : Semiformula L μ₁ (n✝ + 1)
a✝ : StrictHierarchy 𝚷 s✝ p✝
ih : StrictHierarchy 𝚷 (s✝ + 1) p✝
⊢ StrictHierarchy 𝚺 (s✝ + 1 + 1) (∃' p✝)
Tactic:
exact ih.sigma
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝ : L.LT
μ₁ : Type u_1
n₁ s : ℕ
Γ : Polarity
p : Semiformula L μ₁ n₁
s✝ n✝ : ℕ
p✝ : Semiformula L μ₁ (n✝ + 1)
a✝ : StrictHierarchy 𝚺 s✝ p✝
ih : StrictHierarchy 𝚺 (s✝ + 1) p✝
⊢ StrictHierarchy 𝚷 (s✝ + 1 + 1) (∀' p✝)
Tactic:
exact ih.pi
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝ : L.LT
μ₁ : Type u_1
n₁ s : ℕ
Γ : Polarity
p : Semiformula L μ₁ n₁
s✝ n✝ : ℕ
p✝ : Semiformula L μ₁ (n✝ + 1)
a✝ : StrictHierarchy 𝚺 (s✝ + 1) p✝
ih : StrictHierarchy 𝚺 (s✝ + 1 + 1) p✝
⊢ StrictHierarchy 𝚺 (s✝ + 1 + 1) (∃' p✝)
Tactic:
exact ih.ex
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝ : L.LT
μ₁ : Type u_1
n₁ s : ℕ
Γ : Polarity
p : Semiformula L μ₁ n₁
s✝ n✝ : ℕ
p✝ : Semiformula L μ₁ (n✝ + 1)
a✝ : StrictHierarchy 𝚷 (s✝ + 1) p✝
ih : StrictHierarchy 𝚷 (s✝ + 1 + 1) p✝
⊢ StrictHierarchy 𝚷 (s✝ + 1 + 1) (∀' p✝)
Tactic:
exact ih.all
State after:
no goals