Theorem: Arith.Model.Definable.iff (Arithmetization/Definability/Hierarchy.lean)

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
h₁ : Definable L (𝚫, m) P
h₂ : Definable L (𝚫, m) Q
Γ : SigmaPiDelta
⊢ Definable L (𝚫, m) fun v => P v ↔ Q v
Tactic:
rcases h₁ with ⟨p, hp⟩
State after:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
h₂ : Definable L (𝚫, m) Q
Γ : SigmaPiDelta
p : HSemiformula L M k (𝚫, m)
hp : DefinedWithParam P p
⊢ Definable L (𝚫, m) fun v => P v ↔ Q v

State before:
case mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
h₂ : Definable L (𝚫, m) Q
Γ : SigmaPiDelta
p : HSemiformula L M k (𝚫, m)
hp : DefinedWithParam P p
⊢ Definable L (𝚫, m) fun v => P v ↔ Q v
Tactic:
rcases h₂ with ⟨q, hq⟩
State after:
case mk.intro.mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
Γ : SigmaPiDelta
p : HSemiformula L M k (𝚫, m)
hp : DefinedWithParam P p
q : HSemiformula L M k (𝚫, m)
hq : DefinedWithParam Q q
⊢ Definable L (𝚫, m) fun v => P v ↔ Q v

State before:
case mk.intro.mk.intro
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ✝ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
Γ : SigmaPiDelta
p : HSemiformula L M k (𝚫, m)
hp : DefinedWithParam P p
q : HSemiformula L M k (𝚫, m)
hq : DefinedWithParam Q q
⊢ Definable L (𝚫, m) fun v => P v ↔ Q v
Tactic:
exact ⟨p ⟷ q, hp.iff hq⟩
State after:
no goals