Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Exponential.range_pos (Arithmetization/ISigmaZero/Exponential/Exp.lean)

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
x y : M
h : Exponential x y
⊢ 0 < y
Tactic:
rcases h with (⟨rfl, rfl⟩ | ⟨X, bX, Y, bY, H₀, Hₛ, ⟨u, hu, ne2, ppu, rfl, rfl⟩⟩)
State after:
case inl.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
⊢ 0 < 1

case inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
X Y : M
H₀ : Seq₀ X Y
u : M
ne2 : u ≠ 2
ppu : PPow2 u
bX : X ≤ ext u Y ^ 4
bY : Y ≤ ext u Y ^ 4
Hₛ : Seqₛ (ext u Y) X Y
hu : u ≤ ext u Y ^ 2
⊢ 0 < ext u Y

State before:
case inl.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
⊢ 0 < 1
Tactic:
simp
State after:
no goals

State before:
case inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
X Y : M
H₀ : Seq₀ X Y
u : M
ne2 : u ≠ 2
ppu : PPow2 u
bX : X ≤ ext u Y ^ 4
bY : Y ≤ ext u Y ^ 4
Hₛ : Seqₛ (ext u Y) X Y
hu : u ≤ ext u Y ^ 2
⊢ 0 < ext u Y
Tactic:
have : 2 ≤ ext u Y := two_le_ext_of_seq₀_of_seqₛ H₀ Hₛ ne2 hu ppu
State after:
case inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
X Y : M
H₀ : Seq₀ X Y
u : M
ne2 : u ≠ 2
ppu : PPow2 u
bX : X ≤ ext u Y ^ 4
bY : Y ≤ ext u Y ^ 4
Hₛ : Seqₛ (ext u Y) X Y
hu : u ≤ ext u Y ^ 2
this : 2 ≤ ext u Y
⊢ 0 < ext u Y

State before:
case inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
X Y : M
H₀ : Seq₀ X Y
u : M
ne2 : u ≠ 2
ppu : PPow2 u
bX : X ≤ ext u Y ^ 4
bY : Y ≤ ext u Y ^ 4
Hₛ : Seqₛ (ext u Y) X Y
hu : u ≤ ext u Y ^ 2
this : 2 ≤ ext u Y
⊢ 0 < ext u Y
Tactic:
exact lt_of_lt_of_le (by simp) this
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚫₀
X Y : M
H₀ : Seq₀ X Y
u : M
ne2 : u ≠ 2
ppu : PPow2 u
bX : X ≤ ext u Y ^ 4
bY : Y ≤ ext u Y ^ 4
Hₛ : Seqₛ (ext u Y) X Y
hu : u ≤ ext u Y ^ 2
this : 2 ≤ ext u Y
⊢ 0 < 2
Tactic:
simp
State after:
no goals