Theorem: SciLean.fwdDeriv.ite.arg_te.fwdDeriv_rule (SciLean/Core/FunctionTransformations/FwdDeriv.lean)

State before:
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.126534
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.126545
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.126556
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.126583
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
dec : Decidable c
t e : X → Y
⊢ (fwdDeriv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then fwdDeriv K t y else fwdDeriv K e y
Tactic:
induction dec
State after:
case isFalse
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.126534
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.126545
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.126556
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.126583
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h✝ : ¬c
⊢ (fwdDeriv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then fwdDeriv K t y else fwdDeriv K e y

case isTrue
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.126534
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.126545
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.126556
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.126583
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h✝ : c
⊢ (fwdDeriv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then fwdDeriv K t y else fwdDeriv K e y

State before:
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.126534
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.126545
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.126556
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.126583
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
⊢ (fwdDeriv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then fwdDeriv K t y else fwdDeriv K e y
Tactic:
case isTrue h  => ext y; simp[h]; simp[h]
State after:
no goals

State before:
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.126534
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.126545
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.126556
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.126583
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
⊢ (fwdDeriv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then fwdDeriv K t y else fwdDeriv K e y
Tactic:
case isFalse h => ext y; simp[h]; simp[h]
State after:
no goals

State before:
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.126534
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.126545
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.126556
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.126583
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
⊢ (fwdDeriv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then fwdDeriv K t y else fwdDeriv K e y
Tactic:
ext y
State after:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.126534
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.126545
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.126556
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.126583
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ (fwdDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).1 = ((if c then fwdDeriv K t y else fwdDeriv K e y) x✝).1

case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.126534
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.126545
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.126556
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.126583
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ (fwdDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).2 = ((if c then fwdDeriv K t y else fwdDeriv K e y) x✝).2

State before:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.126534
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.126545
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.126556
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.126583
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ (fwdDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).1 = ((if c then fwdDeriv K t y else fwdDeriv K e y) x✝).1

case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.126534
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.126545
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.126556
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.126583
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ (fwdDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).2 = ((if c then fwdDeriv K t y else fwdDeriv K e y) x✝).2
Tactic:
simp[h]
State after:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.126534
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.126545
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.126556
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.126583
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ (fwdDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).2 = ((if c then fwdDeriv K t y else fwdDeriv K e y) x✝).2

State before:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.126534
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.126545
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.126556
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.126583
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ (fwdDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).2 = ((if c then fwdDeriv K t y else fwdDeriv K e y) x✝).2
Tactic:
simp[h]
State after:
no goals

State before:
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.126534
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.126545
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.126556
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.126583
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
⊢ (fwdDeriv K fun x => if c then t x else e x) = fun y => if c then fwdDeriv K t y else fwdDeriv K e y
Tactic:
ext y
State after:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.126534
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.126545
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.126556
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.126583
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ (fwdDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).1 = ((if c then fwdDeriv K t y else fwdDeriv K e y) x✝).1

case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.126534
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.126545
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.126556
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.126583
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ (fwdDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).2 = ((if c then fwdDeriv K t y else fwdDeriv K e y) x✝).2

State before:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.126534
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.126545
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.126556
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.126583
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ (fwdDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).1 = ((if c then fwdDeriv K t y else fwdDeriv K e y) x✝).1

case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.126534
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.126545
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.126556
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.126583
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ (fwdDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).2 = ((if c then fwdDeriv K t y else fwdDeriv K e y) x✝).2
Tactic:
simp[h]
State after:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.126534
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.126545
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.126556
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.126583
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ (fwdDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).2 = ((if c then fwdDeriv K t y else fwdDeriv K e y) x✝).2

State before:
case h.h.a
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.126534
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.126545
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.126556
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.126583
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t e : X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ (fwdDeriv K (fun x => if c then t x else e x) y x✝).2 = ((if c then fwdDeriv K t y else fwdDeriv K e y) x✝).2
Tactic:
simp[h]
State after:
no goals