Theorem: norm_fpideriv_le_norm_fderiv (ForML/IndexDeriv.lean)

State before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i : ι
f : ((i : ι) → M i) → F
x : (i : ι) → M i
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ ‖fpideriv 𝕜 i f x‖ ≤ ‖fderiv 𝕜 f x‖
Tactic:
simp_rw [fpideriv_eq_fderiv_comp_single hf]
State after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i : ι
f : ((i : ι) → M i) → F
x : (i : ι) → M i
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ ‖ContinuousLinearMap.comp (fderiv 𝕜 f x) (ContinuousLinearMap.single i)‖ ≤ ‖fderiv 𝕜 f x‖

State before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i : ι
f : ((i : ι) → M i) → F
x : (i : ι) → M i
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ ‖ContinuousLinearMap.comp (fderiv 𝕜 f x) (ContinuousLinearMap.single i)‖ ≤ ‖fderiv 𝕜 f x‖
Tactic:
refine le_trans (ContinuousLinearMap.opNorm_comp_le _ _) ?_
State after:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i : ι
f : ((i : ι) → M i) → F
x : (i : ι) → M i
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ ‖fderiv 𝕜 f x‖ * ‖ContinuousLinearMap.single i‖ ≤ ‖fderiv 𝕜 f x‖

State before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
i : ι
f : ((i : ι) → M i) → F
x : (i : ι) → M i
hf : DifferentiableAt 𝕜 f x
⊢ ‖fderiv 𝕜 f x‖ * ‖ContinuousLinearMap.single i‖ ≤ ‖fderiv 𝕜 f x‖
Tactic:
exact mul_le_of_le_one_right (norm_nonneg _) ContinuousLinearMap.norm_single_le_one
State after:
no goals