Theorem: Matroid.Basis.basis_of_cl_eq_cl (Matroid/Closure.lean)

State before:
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : Matroid α
F I J X Y B C R : Set α
e f x y : α
hI : M.Basis I X
hY : I ⊆ Y
h : M.cl X = M.cl Y
hYE : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
⊢ M.Basis I Y
Tactic:
refine' hI.indep.basis_of_subset_of_subset_cl hY _
State after:
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : Matroid α
F I J X Y B C R : Set α
e f x y : α
hI : M.Basis I X
hY : I ⊆ Y
h : M.cl X = M.cl Y
hYE : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
⊢ Y ⊆ M.cl I

State before:
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : Matroid α
F I J X Y B C R : Set α
e f x y : α
hI : M.Basis I X
hY : I ⊆ Y
h : M.cl X = M.cl Y
hYE : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
⊢ Y ⊆ M.cl I
Tactic:
rw [hI.cl_eq_cl, h]
State after:
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : Matroid α
F I J X Y B C R : Set α
e f x y : α
hI : M.Basis I X
hY : I ⊆ Y
h : M.cl X = M.cl Y
hYE : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
⊢ Y ⊆ M.cl Y

State before:
α : Type u_1
ι : Type u_2
M : Matroid α
F I J X Y B C R : Set α
e f x y : α
hI : M.Basis I X
hY : I ⊆ Y
h : M.cl X = M.cl Y
hYE : autoParam (Y ⊆ M.E) _auto✝
⊢ Y ⊆ M.cl Y
Tactic:
exact M.subset_cl Y
State after:
no goals