Theorem: LO.FirstOrder.Arith.Model.Seq.lt_seqCons (Arithmetization/ISigmaOne/HFS/Seq.lean)

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s : M
hs : Seq s
x : M
⊢ s ⊆ s ⁀' x
Tactic:
simp
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s : M
hs : Seq s
x : M
⊢ s ≠ s ⁀' x
Tactic:
simp [seqCons]
State after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s : M
hs : Seq s
x : M
⊢ ¬s = insert ⟪lh s, x⟫ s

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s : M
hs : Seq s
x : M
⊢ ¬s = insert ⟪lh s, x⟫ s
Tactic:
intro A
State after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s : M
hs : Seq s
x : M
A : s = insert ⟪lh s, x⟫ s
⊢ False

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s : M
hs : Seq s
x : M
A : s = insert ⟪lh s, x⟫ s
⊢ False
Tactic:
have : ⟪lh s, x⟫ ∈ s := by simpa [←A] using mem_insert ⟪lh s, x⟫ s
State after:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s : M
hs : Seq s
x : M
A : s = insert ⟪lh s, x⟫ s
this : ⟪lh s, x⟫ ∈ s
⊢ False

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s : M
hs : Seq s
x : M
A : s = insert ⟪lh s, x⟫ s
this : ⟪lh s, x⟫ ∈ s
⊢ False
Tactic:
simpa using hs.lt_lh_of_mem this
State after:
no goals

State before:
M : Type u_1
inst✝⁵ : Zero M
inst✝⁴ : One M
inst✝³ : Add M
inst✝² : Mul M
inst✝¹ : LT M
inst✝ : M ⊧ₘ* 𝐈𝚺₁
s : M
hs : Seq s
x : M
A : s = insert ⟪lh s, x⟫ s
⊢ ⟪lh s, x⟫ ∈ s
Tactic:
simpa [←A] using mem_insert ⟪lh s, x⟫ s
State after:
no goals