Theorem: Matroid.cl_diff_eq_of_subset_coloops (Matroid/Loop.lean)

State before:
α : Type u_1
β : Type u_2
M N : Matroid α
e f : α
B L L' I X✝ Y Z F C K X : Set α
hK : K ⊆ M✶.cl ∅
⊢ M.cl (X \ K) = M.cl X \ K
Tactic:
nth_rw 2 [← inter_union_diff X K]
State after:
α : Type u_1
β : Type u_2
M N : Matroid α
e f : α
B L L' I X✝ Y Z F C K X : Set α
hK : K ⊆ M✶.cl ∅
⊢ M.cl (X \ K) = M.cl (X ∩ K ∪ X \ K) \ K

State before:
α : Type u_1
β : Type u_2
M N : Matroid α
e f : α
B L L' I X✝ Y Z F C K X : Set α
hK : K ⊆ M✶.cl ∅
⊢ M.cl (X \ K) = M.cl (X ∩ K ∪ X \ K) \ K
Tactic:
rw [union_comm, cl_union_eq_of_subset_coloops _ (inter_subset_right.trans hK),
  union_diff_distrib, diff_eq_empty.mpr inter_subset_right, union_empty, eq_comm,
  sdiff_eq_self_iff_disjoint, disjoint_iff_forall_ne]
State after:
α : Type u_1
β : Type u_2
M N : Matroid α
e f : α
B L L' I X✝ Y Z F C K X : Set α
hK : K ⊆ M✶.cl ∅
⊢ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ K → ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ M.cl (X \ K) → a ≠ b

State before:
α : Type u_1
β : Type u_2
M N : Matroid α
e f : α
B L L' I X✝ Y Z F C K X : Set α
hK : K ⊆ M✶.cl ∅
⊢ ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ K → ∀ ⦃b : α⦄, b ∈ M.cl (X \ K) → a ≠ b
Tactic:
rintro e heK _ heX rfl
State after:
α : Type u_1
β : Type u_2
M N : Matroid α
e✝ f : α
B L L' I X✝ Y Z F C K X : Set α
hK : K ⊆ M✶.cl ∅
e : α
heK : e ∈ K
heX : e ∈ M.cl (X \ K)
⊢ False

State before:
α : Type u_1
β : Type u_2
M N : Matroid α
e✝ f : α
B L L' I X✝ Y Z F C K X : Set α
hK : K ⊆ M✶.cl ∅
e : α
heK : e ∈ K
heX : e ∈ M.cl (X \ K)
⊢ False
Tactic:
have he : M.Coloop e := hK heK
State after:
α : Type u_1
β : Type u_2
M N : Matroid α
e✝ f : α
B L L' I X✝ Y Z F C K X : Set α
hK : K ⊆ M✶.cl ∅
e : α
heK : e ∈ K
heX : e ∈ M.cl (X \ K)
he : M.Coloop e
⊢ False

State before:
α : Type u_1
β : Type u_2
M N : Matroid α
e✝ f : α
B L L' I X✝ Y Z F C K X : Set α
hK : K ⊆ M✶.cl ∅
e : α
heK : e ∈ K
heX : e ∈ M.cl (X \ K)
he : M.Coloop e
⊢ False
Tactic:
rw [he.mem_cl_iff_mem] at heX
State after:
α : Type u_1
β : Type u_2
M N : Matroid α
e✝ f : α
B L L' I X✝ Y Z F C K X : Set α
hK : K ⊆ M✶.cl ∅
e : α
heK : e ∈ K
heX : e ∈ X \ K
he : M.Coloop e
⊢ False

State before:
α : Type u_1
β : Type u_2
M N : Matroid α
e✝ f : α
B L L' I X✝ Y Z F C K X : Set α
hK : K ⊆ M✶.cl ∅
e : α
heK : e ∈ K
heX : e ∈ X \ K
he : M.Coloop e
⊢ False
Tactic:
exact heX.2 heK
State after:
no goals