Theorem: extChartAt_mderiv_right_inverse' (Ray/AnalyticManifold/AnalyticManifold.lean)

State before:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
x y : M
m : y ∈ (extChartAt I x).source
⊢ (mfderiv I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x)) y).comp (mfderiv 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x) y)) =
    ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x) y))
Tactic:
have h := extChartAt_mderiv_right_inverse (PartialEquiv.map_source _ m)
State after:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
x y : M
m : y ∈ (extChartAt I x).source
h :
  (mfderiv I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x)) (↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) y))).comp
      (mfderiv 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x) y)) =
    ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x) y))
⊢ (mfderiv I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x)) y).comp (mfderiv 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x) y)) =
    ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x) y))

State before:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
x y : M
m : y ∈ (extChartAt I x).source
h :
  (mfderiv I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x)) (↑(extChartAt I x).symm (↑(extChartAt I x) y))).comp
      (mfderiv 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x) y)) =
    ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x) y))
⊢ (mfderiv I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x)) y).comp (mfderiv 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x) y)) =
    ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x) y))
Tactic:
rw [PartialEquiv.left_inv _ m] at h
State after:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
x y : M
m : y ∈ (extChartAt I x).source
h :
  (mfderiv I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x)) y).comp (mfderiv 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x) y)) =
    ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x) y))
⊢ (mfderiv I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x)) y).comp (mfderiv 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x) y)) =
    ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x) y))

State before:
𝕜 : Type
inst✝²⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E A : Type
inst✝²⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝²⁴ : NormedSpace 𝕜 E
inst✝²³ : CompleteSpace E
inst✝²² : TopologicalSpace A
F B : Type
inst✝²¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝²⁰ : NormedSpace 𝕜 F
inst✝¹⁹ : CompleteSpace F
inst✝¹⁸ : TopologicalSpace B
G C : Type
inst✝¹⁷ : NormedAddCommGroup G
inst✝¹⁶ : NormedSpace 𝕜 G
inst✝¹⁵ : TopologicalSpace C
H D : Type
inst✝¹⁴ : NormedAddCommGroup H
inst✝¹³ : NormedSpace 𝕜 H
inst✝¹² : TopologicalSpace D
M : Type
I : ModelWithCorners 𝕜 E A
inst✝¹¹ : TopologicalSpace M
N : Type
J : ModelWithCorners 𝕜 F B
inst✝¹⁰ : TopologicalSpace N
O : Type
K : ModelWithCorners 𝕜 G C
inst✝⁹ : TopologicalSpace O
P : Type
L : ModelWithCorners 𝕜 H D
inst✝⁸ : TopologicalSpace P
inst✝⁷ : I.Boundaryless
inst✝⁶ : ChartedSpace A M
cm : AnalyticManifold I M
inst✝⁵ : J.Boundaryless
inst✝⁴ : ChartedSpace B N
cn : AnalyticManifold J N
inst✝³ : K.Boundaryless
inst✝² : ChartedSpace C O
co : AnalyticManifold K O
inst✝¹ : L.Boundaryless
inst✝ : ChartedSpace D P
cp : AnalyticManifold L P
x y : M
m : y ∈ (extChartAt I x).source
h :
  (mfderiv I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x)) y).comp (mfderiv 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x) y)) =
    ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x) y))
⊢ (mfderiv I 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x)) y).comp (mfderiv 𝓘(𝕜, E) I (↑(extChartAt I x).symm) (↑(extChartAt I x) y)) =
    ContinuousLinearMap.id 𝕜 (TangentSpace 𝓘(𝕜, E) (↑(extChartAt I x) y))
Tactic:
exact h
State after:
no goals