Theorem: HasFTaylorSeriesUpTo.orderedIteratedFPiDeriv_eq_compContinuousLinearMap (ForML/IndexDeriv.lean)

State before:
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
n : ℕ
N : ℕ∞
hn : ↑n ≤ N
hf : HasFTaylorSeriesUpTo N f f'
js : Fin n → ι
x : (i : ι) → M i
⊢ orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f x =
    ContinuousMultilinearMap.compContinuousLinearMap (f' x n) fun i => ContinuousLinearMap.single (js i)
Tactic:
ext m
State after:
case H
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
n : ℕ
N : ℕ∞
hn : ↑n ≤ N
hf : HasFTaylorSeriesUpTo N f f'
js : Fin n → ι
x : (i : ι) → M i
m : (i : Fin n) → M (js i)
⊢ (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f x) m =
    (ContinuousMultilinearMap.compContinuousLinearMap (f' x n) fun i => ContinuousLinearMap.single (js i)) m

State before:
case H
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
n : ℕ
N : ℕ∞
hn : ↑n ≤ N
hf : HasFTaylorSeriesUpTo N f f'
js : Fin n → ι
x : (i : ι) → M i
m : (i : Fin n) → M (js i)
⊢ (orderedIteratedFPiDeriv 𝕜 js f x) m =
    (ContinuousMultilinearMap.compContinuousLinearMap (f' x n) fun i => ContinuousLinearMap.single (js i)) m
Tactic:
rw [orderedIteratedFPiDeriv_apply hn hf]
State after:
case H
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
n : ℕ
N : ℕ∞
hn : ↑n ≤ N
hf : HasFTaylorSeriesUpTo N f f'
js : Fin n → ι
x : (i : ι) → M i
m : (i : Fin n) → M (js i)
⊢ ((f' x n) fun i => Pi.single (js i) (m i)) =
    (ContinuousMultilinearMap.compContinuousLinearMap (f' x n) fun i => ContinuousLinearMap.single (js i)) m

State before:
case H
ι : Type u_1
𝕜 : Type u_2
inst✝⁸ : Fintype ι
inst✝⁷ : DecidableEq ι
inst✝⁶ : NontriviallyNormedField 𝕜
E : Type u_3
inst✝⁵ : NormedAddCommGroup E
inst✝⁴ : NormedSpace 𝕜 E
M : ι → Type u_4
inst✝³ : (i : ι) → NormedAddCommGroup (M i)
inst✝² : (i : ι) → NormedSpace 𝕜 (M i)
F : Type u_5
inst✝¹ : NormedAddCommGroup F
inst✝ : NormedSpace 𝕜 F
f : ((i : ι) → M i) → F
f' : ((i : ι) → M i) → FormalMultilinearSeries 𝕜 ((i : ι) → M i) F
n : ℕ
N : ℕ∞
hn : ↑n ≤ N
hf : HasFTaylorSeriesUpTo N f f'
js : Fin n → ι
x : (i : ι) → M i
m : (i : Fin n) → M (js i)
⊢ ((f' x n) fun i => Pi.single (js i) (m i)) =
    (ContinuousMultilinearMap.compContinuousLinearMap (f' x n) fun i => ContinuousLinearMap.single (js i)) m
Tactic:
rfl
State after:
no goals