Theorem: SciLean.fwdDeriv.let_rule_at (SciLean/Core/FunctionTransformations/FwdDeriv.lean)

State before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.8253
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.8264
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.8291
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f : X → Y → Z
g : X → Y
hf : CDifferentiableAt K (fun xy => f xy.1 xy.2) (x, g x)
hg : CDifferentiableAt K g x
⊢ fwdDeriv K
      (fun x =>
        let y := g x;
        f x y)
      x =
    fun dx =>
    let ydy := fwdDeriv K g x dx;
    let zdz := fwdDeriv K (fun xy => f xy.1 xy.2) (x, ydy.1) (dx, ydy.2);
    zdz
Tactic:
unfold fwdDeriv
State after:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.8253
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.8264
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.8291
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f : X → Y → Z
g : X → Y
hf : CDifferentiableAt K (fun xy => f xy.1 xy.2) (x, g x)
hg : CDifferentiableAt K g x
⊢ (fun dx =>
      ((fun x =>
            let y := g x;
            f x y)
          x,
        cderiv K
          (fun x =>
            let y := g x;
            f x y)
          x dx)) =
    fun dx =>
    let ydy := (g x, cderiv K g x dx);
    let zdz := ((fun xy => f xy.1 xy.2) (x, ydy.1), cderiv K (fun xy => f xy.1 xy.2) (x, ydy.1) (dx, ydy.2));
    zdz

State before:
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_3
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type u_4
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.8253
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.8264
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.8291
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f : X → Y → Z
g : X → Y
hf : CDifferentiableAt K (fun xy => f xy.1 xy.2) (x, g x)
hg : CDifferentiableAt K g x
⊢ (fun dx =>
      ((fun x =>
            let y := g x;
            f x y)
          x,
        cderiv K
          (fun x =>
            let y := g x;
            f x y)
          x dx)) =
    fun dx =>
    let ydy := (g x, cderiv K g x dx);
    let zdz := ((fun xy => f xy.1 xy.2) (x, ydy.1), cderiv K (fun xy => f xy.1 xy.2) (x, ydy.1) (dx, ydy.2));
    zdz
Tactic:
fun_trans
State after:
no goals