Theorem: SciLean.FwdFDeriv.pi_rule_at (SciLean/Core/FunctionTransformations/FwdFDeriv.lean)

State before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.32781
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.32916
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type u_4
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type u_1
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f : X → (i : ι) → E i
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ fwdFDeriv K (fun x i => f x i) x = fun dx => (fun i => f x i, fun i => (fwdFDeriv K (fun x => f x i) x dx).2)
Tactic:
unfold fwdFDeriv
State after:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.32781
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.32916
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type u_4
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type u_1
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f : X → (i : ι) → E i
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ (fun dx => ((fun x i => f x i) x, (fderiv K (fun x i => f x i) x) dx)) = fun dx =>
    (fun i => f x i, fun i => ((fun x => f x i) x, (fderiv K (fun x => f x i) x) dx).2)

State before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.32781
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.32916
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type u_4
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type u_1
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f : X → (i : ι) → E i
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ (fun dx => ((fun x i => f x i) x, (fderiv K (fun x i => f x i) x) dx)) = fun dx =>
    (fun i => f x i, fun i => ((fun x => f x i) x, (fderiv K (fun x => f x i) x) dx).2)
Tactic:
fun_trans
State after:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.32781
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.32916
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type u_4
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type u_1
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f : X → (i : ι) → E i
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ (fun dx => (fun i => f x i, (fderiv K (fun x i => f x i) x) dx)) = fun dx =>
    (fun i => f x i, fun i => (fderiv K (fun x => f x i) x) dx)

State before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.32781
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.32916
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type u_4
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type u_1
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x : X
f : X → (i : ι) → E i
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableAt K (fun x => f x i) x
⊢ (fun dx => (fun i => f x i, (fderiv K (fun x i => f x i) x) dx)) = fun dx =>
    (fun i => f x i, fun i => (fderiv K (fun x => f x i) x) dx)
Tactic:
funext x
State after:
case h
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.32781
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.32916
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type u_4
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type u_1
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x✝ : X
f : X → (i : ι) → E i
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableAt K (fun x => f x i) x✝
x : X
⊢ (fun i => f x✝ i, (fderiv K (fun x i => f x i) x✝) x) = (fun i => f x✝ i, fun i => (fderiv K (fun x => f x i) x✝) x)

State before:
case h
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.32781
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.32916
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type u_4
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type u_1
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x✝ : X
f : X → (i : ι) → E i
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableAt K (fun x => f x i) x✝
x : X
⊢ (fun i => f x✝ i, (fderiv K (fun x i => f x i) x✝) x) = (fun i => f x✝ i, fun i => (fderiv K (fun x => f x i) x✝) x)
Tactic:
simp
State after:
case h
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.32781
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.32916
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type u_4
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type u_1
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x✝ : X
f : X → (i : ι) → E i
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableAt K (fun x => f x i) x✝
x : X
⊢ (fderiv K (fun x i => f x i) x✝) x = fun i => (fderiv K (fun x => f x i) x✝) x

State before:
case h
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.32781
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.32916
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type u_4
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type u_1
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x✝ : X
f : X → (i : ι) → E i
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableAt K (fun x => f x i) x✝
x : X
⊢ (fderiv K (fun x i => f x i) x✝) x = fun i => (fderiv K (fun x => f x i) x✝) x
Tactic:
rw[fderiv_pi (h:=by fun_prop)]
State after:
case h
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.32781
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.32916
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type u_4
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type u_1
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x✝ : X
f : X → (i : ι) → E i
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableAt K (fun x => f x i) x✝
x : X
⊢ (ContinuousLinearMap.pi fun i => fderiv K (fun x => f x i) x✝) x = fun i => (fderiv K (fun x => f x i) x✝) x

State before:
case h
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.32781
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.32916
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type u_4
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type u_1
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x✝ : X
f : X → (i : ι) → E i
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableAt K (fun x => f x i) x✝
x : X
⊢ (ContinuousLinearMap.pi fun i => fderiv K (fun x => f x i) x✝) x = fun i => (fderiv K (fun x => f x i) x✝) x
Tactic:
simp
State after:
no goals

State before:
K : Type u_3
inst✝⁹ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁸ : NormedAddCommGroup X
inst✝⁷ : NormedSpace K X
Y : Type ?u.32781
inst✝⁶ : NormedAddCommGroup Y
inst✝⁵ : NormedSpace K Y
Z : Type ?u.32916
inst✝⁴ : NormedAddCommGroup Z
inst✝³ : NormedSpace K Z
ι : Type u_4
inst✝² : Fintype ι
E : ι → Type u_1
inst✝¹ : (j : ι) → NormedAddCommGroup (E j)
inst✝ : (j : ι) → NormedSpace K (E j)
x✝ : X
f : X → (i : ι) → E i
hf : ∀ (i : ι), DifferentiableAt K (fun x => f x i) x✝
x : X
⊢ ∀ (i : ι), DifferentiableAt K (fun x => f x i) x✝
Tactic:
fun_prop
State after:
no goals