Theorem: SciLean.fwdDeriv.Prod.fst.arg_self.fwdDeriv_rule_at (SciLean/Core/FunctionTransformations/FwdDeriv.lean)

State before:
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.33201
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.33212
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.33239
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f : X → Y × Z
hf : CDifferentiableAt K f x
⊢ fwdDeriv K (fun x => (f x).1) x = fun dx =>
    let yzdyz := fwdDeriv K f x dx;
    (yzdyz.1.1, yzdyz.2.1)
Tactic:
unfold fwdDeriv
State after:
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.33201
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.33212
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.33239
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f : X → Y × Z
hf : CDifferentiableAt K f x
⊢ (fun dx => ((fun x => (f x).1) x, cderiv K (fun x => (f x).1) x dx)) = fun dx =>
    let yzdyz := (f x, cderiv K f x dx);
    (yzdyz.1.1, yzdyz.2.1)

State before:
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.33201
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.33212
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.33239
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
x : X
f : X → Y × Z
hf : CDifferentiableAt K f x
⊢ (fun dx => ((fun x => (f x).1) x, cderiv K (fun x => (f x).1) x dx)) = fun dx =>
    let yzdyz := (f x, cderiv K f x dx);
    (yzdyz.1.1, yzdyz.2.1)
Tactic:
fun_trans
State after:
no goals