Theorem: Lean4Axiomatic.Rational.close_substL_eqv (Lean4Axiomatic/Rational/Metric.lean)

State before:
ℕ ℤ ℚ : Type
inst✝¹² : Natural ℕ
inst✝¹¹ : Integer ℤ
inst✝¹⁰ : Core ℚ
inst✝⁹ : Addition ℚ
inst✝⁸ : Negation ℚ
inst✝⁷ : Subtraction ℚ
inst✝⁶ : Multiplication ℚ
inst✝⁵ : Reciprocation ℚ
inst✝⁴ : Division ℚ
inst✝³ : Sign ℚ
inst✝² : Order ℚ
inst✝¹ : MinMax ℚ
inst✝ : Metric ℚ
ε p₁ p₂ q : ℚ
⊢ p₁ ≃ p₂ → p₁ ⊢ε⊣ q → p₂ ⊢ε⊣ q
Tactic:
intro (_ : p₁ ≃ p₂) (_ : p₁ ⊢ε⊣ q)
State after:
ℕ ℤ ℚ : Type
inst✝¹² : Natural ℕ
inst✝¹¹ : Integer ℤ
inst✝¹⁰ : Core ℚ
inst✝⁹ : Addition ℚ
inst✝⁸ : Negation ℚ
inst✝⁷ : Subtraction ℚ
inst✝⁶ : Multiplication ℚ
inst✝⁵ : Reciprocation ℚ
inst✝⁴ : Division ℚ
inst✝³ : Sign ℚ
inst✝² : Order ℚ
inst✝¹ : MinMax ℚ
inst✝ : Metric ℚ
ε p₁ p₂ q : ℚ
x✝¹ : p₁ ≃ p₂
x✝ : p₁ ⊢ε⊣ q
⊢ p₂ ⊢ε⊣ q

State before:
ℕ ℤ ℚ : Type
inst✝¹² : Natural ℕ
inst✝¹¹ : Integer ℤ
inst✝¹⁰ : Core ℚ
inst✝⁹ : Addition ℚ
inst✝⁸ : Negation ℚ
inst✝⁷ : Subtraction ℚ
inst✝⁶ : Multiplication ℚ
inst✝⁵ : Reciprocation ℚ
inst✝⁴ : Division ℚ
inst✝³ : Sign ℚ
inst✝² : Order ℚ
inst✝¹ : MinMax ℚ
inst✝ : Metric ℚ
ε p₁ p₂ q : ℚ
x✝¹ : p₁ ≃ p₂
x✝ : p₁ ⊢ε⊣ q
⊢ p₂ ⊢ε⊣ q
Tactic:
have : dist p₁ q ≤ ε := close_dist.mp ‹p₁ ⊢ε⊣ q›
State after:
ℕ ℤ ℚ : Type
inst✝¹² : Natural ℕ
inst✝¹¹ : Integer ℤ
inst✝¹⁰ : Core ℚ
inst✝⁹ : Addition ℚ
inst✝⁸ : Negation ℚ
inst✝⁷ : Subtraction ℚ
inst✝⁶ : Multiplication ℚ
inst✝⁵ : Reciprocation ℚ
inst✝⁴ : Division ℚ
inst✝³ : Sign ℚ
inst✝² : Order ℚ
inst✝¹ : MinMax ℚ
inst✝ : Metric ℚ
ε p₁ p₂ q : ℚ
x✝¹ : p₁ ≃ p₂
x✝ : p₁ ⊢ε⊣ q
this : dist p₁ q ≤ ε
⊢ p₂ ⊢ε⊣ q

State before:
ℕ ℤ ℚ : Type
inst✝¹² : Natural ℕ
inst✝¹¹ : Integer ℤ
inst✝¹⁰ : Core ℚ
inst✝⁹ : Addition ℚ
inst✝⁸ : Negation ℚ
inst✝⁷ : Subtraction ℚ
inst✝⁶ : Multiplication ℚ
inst✝⁵ : Reciprocation ℚ
inst✝⁴ : Division ℚ
inst✝³ : Sign ℚ
inst✝² : Order ℚ
inst✝¹ : MinMax ℚ
inst✝ : Metric ℚ
ε p₁ p₂ q : ℚ
x✝¹ : p₁ ≃ p₂
x✝ : p₁ ⊢ε⊣ q
this : dist p₁ q ≤ ε
⊢ p₂ ⊢ε⊣ q
Tactic:
have : dist p₂ q ≤ ε := le_substL_eqv (dist_substL ‹p₁ ≃ p₂›) this
State after:
ℕ ℤ ℚ : Type
inst✝¹² : Natural ℕ
inst✝¹¹ : Integer ℤ
inst✝¹⁰ : Core ℚ
inst✝⁹ : Addition ℚ
inst✝⁸ : Negation ℚ
inst✝⁷ : Subtraction ℚ
inst✝⁶ : Multiplication ℚ
inst✝⁵ : Reciprocation ℚ
inst✝⁴ : Division ℚ
inst✝³ : Sign ℚ
inst✝² : Order ℚ
inst✝¹ : MinMax ℚ
inst✝ : Metric ℚ
ε p₁ p₂ q : ℚ
x✝¹ : p₁ ≃ p₂
x✝ : p₁ ⊢ε⊣ q
this✝ : dist p₁ q ≤ ε
this : dist p₂ q ≤ ε
⊢ p₂ ⊢ε⊣ q

State before:
ℕ ℤ ℚ : Type
inst✝¹² : Natural ℕ
inst✝¹¹ : Integer ℤ
inst✝¹⁰ : Core ℚ
inst✝⁹ : Addition ℚ
inst✝⁸ : Negation ℚ
inst✝⁷ : Subtraction ℚ
inst✝⁶ : Multiplication ℚ
inst✝⁵ : Reciprocation ℚ
inst✝⁴ : Division ℚ
inst✝³ : Sign ℚ
inst✝² : Order ℚ
inst✝¹ : MinMax ℚ
inst✝ : Metric ℚ
ε p₁ p₂ q : ℚ
x✝¹ : p₁ ≃ p₂
x✝ : p₁ ⊢ε⊣ q
this✝ : dist p₁ q ≤ ε
this : dist p₂ q ≤ ε
⊢ p₂ ⊢ε⊣ q
Tactic:
have : p₂ ⊢ε⊣ q := close_dist.mpr this
State after:
ℕ ℤ ℚ : Type
inst✝¹² : Natural ℕ
inst✝¹¹ : Integer ℤ
inst✝¹⁰ : Core ℚ
inst✝⁹ : Addition ℚ
inst✝⁸ : Negation ℚ
inst✝⁷ : Subtraction ℚ
inst✝⁶ : Multiplication ℚ
inst✝⁵ : Reciprocation ℚ
inst✝⁴ : Division ℚ
inst✝³ : Sign ℚ
inst✝² : Order ℚ
inst✝¹ : MinMax ℚ
inst✝ : Metric ℚ
ε p₁ p₂ q : ℚ
x✝¹ : p₁ ≃ p₂
x✝ : p₁ ⊢ε⊣ q
this✝¹ : dist p₁ q ≤ ε
this✝ : dist p₂ q ≤ ε
this : p₂ ⊢ε⊣ q
⊢ p₂ ⊢ε⊣ q

State before:
ℕ ℤ ℚ : Type
inst✝¹² : Natural ℕ
inst✝¹¹ : Integer ℤ
inst✝¹⁰ : Core ℚ
inst✝⁹ : Addition ℚ
inst✝⁸ : Negation ℚ
inst✝⁷ : Subtraction ℚ
inst✝⁶ : Multiplication ℚ
inst✝⁵ : Reciprocation ℚ
inst✝⁴ : Division ℚ
inst✝³ : Sign ℚ
inst✝² : Order ℚ
inst✝¹ : MinMax ℚ
inst✝ : Metric ℚ
ε p₁ p₂ q : ℚ
x✝¹ : p₁ ≃ p₂
x✝ : p₁ ⊢ε⊣ q
this✝¹ : dist p₁ q ≤ ε
this✝ : dist p₂ q ≤ ε
this : p₂ ⊢ε⊣ q
⊢ p₂ ⊢ε⊣ q
Tactic:
exact this
State after:
no goals