Theorem: SciLean.Prod.snd.arg_self.HasAdjDiffAt_rule (SciLean/Core/FunctionPropositions/HasAdjDiff.lean)

State before:
K✝ : Type ?u.27040
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.27046
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.27059
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.27070
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.27081
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.27108
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.27165
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.27176
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.27203
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → Y × Z
hf : HasAdjDiffAt K f x
⊢ HasAdjDiffAt K (fun x => (f x).2) x
Tactic:
constructor
State after:
case left
K✝ : Type ?u.27040
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.27046
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.27059
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.27070
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.27081
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.27108
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.27165
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.27176
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.27203
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → Y × Z
hf : HasAdjDiffAt K f x
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => (f x).2) x

case right
K✝ : Type ?u.27040
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.27046
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.27059
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.27070
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.27081
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.27108
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.27165
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.27176
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.27203
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → Y × Z
hf : HasAdjDiffAt K f x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => (f x).2) x)

State before:
case left
K✝ : Type ?u.27040
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.27046
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.27059
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.27070
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.27081
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.27108
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.27165
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.27176
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.27203
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → Y × Z
hf : HasAdjDiffAt K f x
⊢ CDifferentiableAt K (fun x => (f x).2) x

case right
K✝ : Type ?u.27040
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.27046
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.27059
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.27070
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.27081
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.27108
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.27165
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.27176
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.27203
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → Y × Z
hf : HasAdjDiffAt K f x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => (f x).2) x)
Tactic:
fun_prop
State after:
case right
K✝ : Type ?u.27040
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.27046
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.27059
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.27070
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.27081
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.27108
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.27165
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.27176
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.27203
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → Y × Z
hf : HasAdjDiffAt K f x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => (f x).2) x)

State before:
case right
K✝ : Type ?u.27040
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.27046
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.27059
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.27070
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.27081
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.27108
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.27165
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.27176
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.27203
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → Y × Z
hf : HasAdjDiffAt K f x
⊢ HasSemiAdjoint K (cderiv K (fun x => (f x).2) x)
Tactic:
fun_trans
State after:
case right
K✝ : Type ?u.27040
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.27046
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.27059
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.27070
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.27081
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.27108
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.27165
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.27176
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.27203
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → Y × Z
hf : HasAdjDiffAt K f x
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => (cderiv K (fun x => f x) x dx).2

State before:
case right
K✝ : Type ?u.27040
inst✝¹⁶ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.27046
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.27059
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.27070
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.27081
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.27108
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_4
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type u_1
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type u_2
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.27165
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.27176
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.27203
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
x : X
f : X → Y × Z
hf : HasAdjDiffAt K f x
⊢ HasSemiAdjoint K fun dx => (cderiv K (fun x => f x) x dx).2
Tactic:
fun_prop
State after:
no goals