Theorem: Arith.Model.DefinedWithParam.and (Arithmetization/Definability/Hierarchy.lean)

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p q : HSemiformula L M k (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
hq : DefinedWithParam Q q
⊢ DefinedWithParam (fun x => P x ∧ Q x) (p ⋏ q)
Tactic:
intro v
State after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p q : HSemiformula L M k (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
hq : DefinedWithParam Q q
v : Fin k → M
⊢ (fun x => P x ∧ Q x) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (p ⋏ q).val

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p q : HSemiformula L M k (𝚺, m)
hp : DefinedWithParam P p
hq : DefinedWithParam Q q
v : Fin k → M
⊢ (fun x => P x ∧ Q x) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (p ⋏ q).val
Tactic:
simp [hp.iff, hq.iff]
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p q : HSemiformula L M k (𝚷, m)
hp : DefinedWithParam P p
hq : DefinedWithParam Q q
⊢ DefinedWithParam (fun x => P x ∧ Q x) (p ⋏ q)
Tactic:
intro v
State after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p q : HSemiformula L M k (𝚷, m)
hp : DefinedWithParam P p
hq : DefinedWithParam Q q
v : Fin k → M
⊢ (fun x => P x ∧ Q x) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (p ⋏ q).val

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p q : HSemiformula L M k (𝚷, m)
hp : DefinedWithParam P p
hq : DefinedWithParam Q q
v : Fin k → M
⊢ (fun x => P x ∧ Q x) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (p ⋏ q).val
Tactic:
simp [hp.iff, hq.iff]
State after:
no goals

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p q : HSemiformula L M k (𝚫, m)
hp : DefinedWithParam P p
hq : DefinedWithParam Q q
⊢ FirstOrder.DefinedWithParam (fun x => P x ∧ Q x) (p ⋏ q).val
Tactic:
intro v
State after:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p q : HSemiformula L M k (𝚫, m)
hp : DefinedWithParam P p
hq : DefinedWithParam Q q
v : Fin k → M
⊢ (fun x => P x ∧ Q x) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (p ⋏ q).val

State before:
L : Language
inst✝⁹ : L.ORing
ξ : Type v
n : ℕ
M : Type u_1
inst✝⁸ : Zero M
inst✝⁷ : One M
inst✝⁶ : Add M
inst✝⁵ : Mul M
inst✝⁴ : LT M
inst✝³ : M ⊧ₘ* 𝐏𝐀⁻
inst✝² : Structure L M
inst✝¹ : Structure.ORing L M
inst✝ : Structure.Monotone L M
Γ : HierarchySymbol
k : ℕ
P Q : (Fin k → M) → Prop
m : ℕ
p q : HSemiformula L M k (𝚫, m)
hp : DefinedWithParam P p
hq : DefinedWithParam Q q
v : Fin k → M
⊢ (fun x => P x ∧ Q x) v ↔ (Semiformula.Evalm M v id) (p ⋏ q).val
Tactic:
simp [hp.df.iff, hq.df.iff]
State after:
no goals