Theorem: SciLean.HasSemiAdjoint.HDiv.hDiv.arg_a0.HasSemiAdjoint_rule (SciLean/Core/FunctionPropositions/HasSemiAdjoint.lean)

State before:
K✝ : Type ?u.44098
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.44104
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.44117
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.44128
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.44139
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.44150
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.44177
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.44212
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.44223
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.44234
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.44245
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.44272
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → K
hf : HasSemiAdjoint K f
y : K
⊢ HasSemiAdjoint K fun x => f x / y
Tactic:
constructor
State after:
case semiAdjoint_exists
K✝ : Type ?u.44098
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.44104
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.44117
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.44128
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.44139
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.44150
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.44177
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.44212
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.44223
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.44234
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.44245
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.44272
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → K
hf : HasSemiAdjoint K f
y : K
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y_1 : K), TestFunction x → ⟪y_1, f x / y⟫_K = ⟪f' y_1, x⟫_K

case is_differentiable
K✝ : Type ?u.44098
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.44104
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.44117
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.44128
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.44139
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.44150
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.44177
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.44212
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.44223
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.44234
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.44245
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.44272
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → K
hf : HasSemiAdjoint K f
y : K
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => f x / y

State before:
case semiAdjoint_exists
K✝ : Type ?u.44098
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.44104
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.44117
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.44128
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.44139
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.44150
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.44177
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.44212
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.44223
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.44234
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.44245
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.44272
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → K
hf : HasSemiAdjoint K f
y : K
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y_1 : K), TestFunction x → ⟪y_1, f x / y⟫_K = ⟪f' y_1, x⟫_K

case is_differentiable
K✝ : Type ?u.44098
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.44104
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.44117
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.44128
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.44139
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.44150
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.44177
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.44212
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.44223
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.44234
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.44245
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.44272
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → K
hf : HasSemiAdjoint K f
y : K
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => f x / y
Tactic:
. apply Exists.intro (fun (y' : K) => (1/conj y) • semiAdjoint K f y') _
  sorry_proof
State after:
case is_differentiable
K✝ : Type ?u.44098
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.44104
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.44117
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.44128
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.44139
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.44150
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.44177
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.44212
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.44223
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.44234
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.44245
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.44272
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → K
hf : HasSemiAdjoint K f
y : K
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => f x / y

State before:
case is_differentiable
K✝ : Type ?u.44098
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.44104
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.44117
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.44128
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.44139
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.44150
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.44177
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.44212
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.44223
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.44234
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.44245
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.44272
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → K
hf : HasSemiAdjoint K f
y : K
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => f x / y
Tactic:
. fun_prop (disch:=sorry_proof)
State after:
no goals

State before:
case semiAdjoint_exists
K✝ : Type ?u.44098
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.44104
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.44117
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.44128
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.44139
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.44150
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.44177
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.44212
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.44223
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.44234
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.44245
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.44272
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → K
hf : HasSemiAdjoint K f
y : K
⊢ ∃ f', ∀ (x : X) (y_1 : K), TestFunction x → ⟪y_1, f x / y⟫_K = ⟪f' y_1, x⟫_K
Tactic:
apply Exists.intro (fun (y' : K) => (1/conj y) • semiAdjoint K f y') _
State after:
K✝ : Type ?u.44098
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.44104
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.44117
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.44128
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.44139
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.44150
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.44177
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.44212
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.44223
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.44234
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.44245
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.44272
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → K
hf : HasSemiAdjoint K f
y : K
⊢ ∀ (x : X) (y_1 : K),
    TestFunction x → ⟪y_1, f x / y⟫_K = ⟪(fun y' => (1 / (starRingEnd K) y) • semiAdjoint K f y') y_1, x⟫_K

State before:
K✝ : Type ?u.44098
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.44104
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.44117
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.44128
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.44139
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.44150
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.44177
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.44212
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.44223
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.44234
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.44245
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.44272
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → K
hf : HasSemiAdjoint K f
y : K
⊢ ∀ (x : X) (y_1 : K),
    TestFunction x → ⟪y_1, f x / y⟫_K = ⟪(fun y' => (1 / (starRingEnd K) y) • semiAdjoint K f y') y_1, x⟫_K
Tactic:
sorry_proof
State after:
no goals

State before:
case is_differentiable
K✝ : Type ?u.44098
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.44104
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.44117
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.44128
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.44139
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.44150
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.44177
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.44212
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.44223
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.44234
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.44245
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.44272
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → K
hf : HasSemiAdjoint K f
y : K
⊢ SciLean.CDifferentiable K fun x => f x / y
Tactic:
fun_prop (disch:=sorry_proof)
State after:
no goals

State before:
case funProp.discharger
K✝ : Type ?u.44098
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.44104
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.44117
inst✝¹⁵ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.44128
inst✝¹⁴ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.44139
inst✝¹³ : SemiInnerProductSpace K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.44150
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.44177
inst✝⁹ : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type u_1
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_2
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K X
Y : Type ?u.44212
inst✝⁶ : SemiInnerProductSpace K Y
Z : Type ?u.44223
inst✝⁵ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.44234
inst✝⁴ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.44245
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.44272
inst✝ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
f : X → K
hf : HasSemiAdjoint K f
y : K
⊢ y ≠ 0
Tactic:
sorry_proof
State after:
no goals