Theorem: SciLean.Inner.inner.arg_a0a1.HasAdjDiffAt_rule (SciLean/Core/FunctionPropositions/HasAdjDiff.lean)

State before:
K✝ : Type ?u.78670
inst✝¹⁹ : RCLike K✝
X✝¹ : Type ?u.78676
inst✝¹⁸ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝¹
Y✝¹ : Type ?u.78689
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.78700
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.78711
inst✝¹⁵ : IndexType ι✝
inst✝¹⁴ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹³ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.78738
inst✝¹² : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type ?u.78754
inst✝¹¹ : RCLike K
X✝ : Type ?u.78760
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpace K X✝
Y✝ : Type ?u.78773
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.78784
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.78795
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.78806
inst✝⁶ : IndexType ι
inst✝⁵ : LawfulIndexType ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.78833
inst✝³ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
R : Type u_1
inst✝² : RealScalar R
X : Type u_2
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace R X
Y : Type u_3
inst✝ : SemiHilbert R Y
x : X
f g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt R f x
hg : HasAdjDiffAt R g x
⊢ HasAdjDiffAt R (fun x => ⟪f x, g x⟫_R) x
Tactic:
constructor
State after:
case left
K✝ : Type ?u.78670
inst✝¹⁹ : RCLike K✝
X✝¹ : Type ?u.78676
inst✝¹⁸ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝¹
Y✝¹ : Type ?u.78689
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.78700
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.78711
inst✝¹⁵ : IndexType ι✝
inst✝¹⁴ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹³ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.78738
inst✝¹² : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type ?u.78754
inst✝¹¹ : RCLike K
X✝ : Type ?u.78760
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpace K X✝
Y✝ : Type ?u.78773
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.78784
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.78795
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.78806
inst✝⁶ : IndexType ι
inst✝⁵ : LawfulIndexType ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.78833
inst✝³ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
R : Type u_1
inst✝² : RealScalar R
X : Type u_2
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace R X
Y : Type u_3
inst✝ : SemiHilbert R Y
x : X
f g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt R f x
hg : HasAdjDiffAt R g x
⊢ CDifferentiableAt R (fun x => ⟪f x, g x⟫_R) x

case right
K✝ : Type ?u.78670
inst✝¹⁹ : RCLike K✝
X✝¹ : Type ?u.78676
inst✝¹⁸ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝¹
Y✝¹ : Type ?u.78689
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.78700
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.78711
inst✝¹⁵ : IndexType ι✝
inst✝¹⁴ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹³ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.78738
inst✝¹² : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type ?u.78754
inst✝¹¹ : RCLike K
X✝ : Type ?u.78760
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpace K X✝
Y✝ : Type ?u.78773
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.78784
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.78795
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.78806
inst✝⁶ : IndexType ι
inst✝⁵ : LawfulIndexType ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.78833
inst✝³ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
R : Type u_1
inst✝² : RealScalar R
X : Type u_2
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace R X
Y : Type u_3
inst✝ : SemiHilbert R Y
x : X
f g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt R f x
hg : HasAdjDiffAt R g x
⊢ HasSemiAdjoint R (cderiv R (fun x => ⟪f x, g x⟫_R) x)

State before:
case left
K✝ : Type ?u.78670
inst✝¹⁹ : RCLike K✝
X✝¹ : Type ?u.78676
inst✝¹⁸ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝¹
Y✝¹ : Type ?u.78689
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.78700
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.78711
inst✝¹⁵ : IndexType ι✝
inst✝¹⁴ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹³ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.78738
inst✝¹² : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type ?u.78754
inst✝¹¹ : RCLike K
X✝ : Type ?u.78760
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpace K X✝
Y✝ : Type ?u.78773
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.78784
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.78795
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.78806
inst✝⁶ : IndexType ι
inst✝⁵ : LawfulIndexType ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.78833
inst✝³ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
R : Type u_1
inst✝² : RealScalar R
X : Type u_2
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace R X
Y : Type u_3
inst✝ : SemiHilbert R Y
x : X
f g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt R f x
hg : HasAdjDiffAt R g x
⊢ CDifferentiableAt R (fun x => ⟪f x, g x⟫_R) x

case right
K✝ : Type ?u.78670
inst✝¹⁹ : RCLike K✝
X✝¹ : Type ?u.78676
inst✝¹⁸ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝¹
Y✝¹ : Type ?u.78689
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.78700
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.78711
inst✝¹⁵ : IndexType ι✝
inst✝¹⁴ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹³ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.78738
inst✝¹² : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type ?u.78754
inst✝¹¹ : RCLike K
X✝ : Type ?u.78760
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpace K X✝
Y✝ : Type ?u.78773
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.78784
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.78795
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.78806
inst✝⁶ : IndexType ι
inst✝⁵ : LawfulIndexType ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.78833
inst✝³ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
R : Type u_1
inst✝² : RealScalar R
X : Type u_2
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace R X
Y : Type u_3
inst✝ : SemiHilbert R Y
x : X
f g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt R f x
hg : HasAdjDiffAt R g x
⊢ HasSemiAdjoint R (cderiv R (fun x => ⟪f x, g x⟫_R) x)
Tactic:
fun_prop
State after:
case right
K✝ : Type ?u.78670
inst✝¹⁹ : RCLike K✝
X✝¹ : Type ?u.78676
inst✝¹⁸ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝¹
Y✝¹ : Type ?u.78689
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.78700
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.78711
inst✝¹⁵ : IndexType ι✝
inst✝¹⁴ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹³ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.78738
inst✝¹² : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type ?u.78754
inst✝¹¹ : RCLike K
X✝ : Type ?u.78760
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpace K X✝
Y✝ : Type ?u.78773
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.78784
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.78795
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.78806
inst✝⁶ : IndexType ι
inst✝⁵ : LawfulIndexType ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.78833
inst✝³ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
R : Type u_1
inst✝² : RealScalar R
X : Type u_2
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace R X
Y : Type u_3
inst✝ : SemiHilbert R Y
x : X
f g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt R f x
hg : HasAdjDiffAt R g x
⊢ HasSemiAdjoint R (cderiv R (fun x => ⟪f x, g x⟫_R) x)

State before:
case right
K✝ : Type ?u.78670
inst✝¹⁹ : RCLike K✝
X✝¹ : Type ?u.78676
inst✝¹⁸ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝¹
Y✝¹ : Type ?u.78689
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.78700
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.78711
inst✝¹⁵ : IndexType ι✝
inst✝¹⁴ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹³ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.78738
inst✝¹² : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type ?u.78754
inst✝¹¹ : RCLike K
X✝ : Type ?u.78760
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpace K X✝
Y✝ : Type ?u.78773
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.78784
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.78795
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.78806
inst✝⁶ : IndexType ι
inst✝⁵ : LawfulIndexType ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.78833
inst✝³ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
R : Type u_1
inst✝² : RealScalar R
X : Type u_2
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace R X
Y : Type u_3
inst✝ : SemiHilbert R Y
x : X
f g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt R f x
hg : HasAdjDiffAt R g x
⊢ HasSemiAdjoint R (cderiv R (fun x => ⟪f x, g x⟫_R) x)
Tactic:
fun_trans
State after:
case right
K✝ : Type ?u.78670
inst✝¹⁹ : RCLike K✝
X✝¹ : Type ?u.78676
inst✝¹⁸ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝¹
Y✝¹ : Type ?u.78689
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.78700
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.78711
inst✝¹⁵ : IndexType ι✝
inst✝¹⁴ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹³ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.78738
inst✝¹² : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type ?u.78754
inst✝¹¹ : RCLike K
X✝ : Type ?u.78760
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpace K X✝
Y✝ : Type ?u.78773
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.78784
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.78795
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.78806
inst✝⁶ : IndexType ι
inst✝⁵ : LawfulIndexType ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.78833
inst✝³ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
R : Type u_1
inst✝² : RealScalar R
X : Type u_2
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace R X
Y : Type u_3
inst✝ : SemiHilbert R Y
x : X
f g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt R f x
hg : HasAdjDiffAt R g x
⊢ HasSemiAdjoint R fun dx => ⟪cderiv R (fun x => f x) x dx, g x⟫_R + ⟪f x, cderiv R (fun x => g x) x dx⟫_R

State before:
case right
K✝ : Type ?u.78670
inst✝¹⁹ : RCLike K✝
X✝¹ : Type ?u.78676
inst✝¹⁸ : SemiInnerProductSpace K✝ X✝¹
Y✝¹ : Type ?u.78689
inst✝¹⁷ : SemiInnerProductSpace K✝ Y✝¹
Z✝ : Type ?u.78700
inst✝¹⁶ : SemiInnerProductSpace K✝ Z✝
ι✝ : Type ?u.78711
inst✝¹⁵ : IndexType ι✝
inst✝¹⁴ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹³ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.78738
inst✝¹² : (i : ι✝) → SemiInnerProductSpace K✝ (E✝ i)
K : Type ?u.78754
inst✝¹¹ : RCLike K
X✝ : Type ?u.78760
inst✝¹⁰ : SemiInnerProductSpace K X✝
Y✝ : Type ?u.78773
inst✝⁹ : SemiInnerProductSpace K Y✝
Z : Type ?u.78784
inst✝⁸ : SemiInnerProductSpace K Z
W : Type ?u.78795
inst✝⁷ : SemiInnerProductSpace K W
ι : Type ?u.78806
inst✝⁶ : IndexType ι
inst✝⁵ : LawfulIndexType ι
inst✝⁴ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.78833
inst✝³ : (i : ι) → SemiInnerProductSpace K (E i)
R : Type u_1
inst✝² : RealScalar R
X : Type u_2
inst✝¹ : SemiInnerProductSpace R X
Y : Type u_3
inst✝ : SemiHilbert R Y
x : X
f g : X → Y
hf : HasAdjDiffAt R f x
hg : HasAdjDiffAt R g x
⊢ HasSemiAdjoint R fun dx => ⟪cderiv R (fun x => f x) x dx, g x⟫_R + ⟪f x, cderiv R (fun x => g x) x dx⟫_R
Tactic:
fun_prop
State after:
no goals