Theorem: le_of_eventually_nhdsWithin (PrimeNumberTheoremAnd/Wiener.lean)

State before:
n : ℕ
A a✝ b✝ c d u x y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
a b : ℝ
h : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[>] b, a ≤ c
⊢ a ≤ b
Tactic:
apply le_of_forall_lt'
State after:
case H
n : ℕ
A a✝ b✝ c d u x y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
a b : ℝ
h : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[>] b, a ≤ c
⊢ ∀ (c : ℝ), b < c → a < c

State before:
case H
n : ℕ
A a✝ b✝ c d u x y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
a b : ℝ
h : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[>] b, a ≤ c
⊢ ∀ (c : ℝ), b < c → a < c
Tactic:
intro d hd
State after:
case H
n : ℕ
A a✝ b✝ c d✝ u x y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
a b : ℝ
h : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[>] b, a ≤ c
d : ℝ
hd : b < d
⊢ a < d

State before:
case H
n : ℕ
A a✝ b✝ c d✝ u x y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
a b : ℝ
h : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[>] b, a ≤ c
d : ℝ
hd : b < d
⊢ a < d
Tactic:
have key : ∀ᶠ c in 𝓝[>] b, c < d := by
  apply eventually_of_mem (U := Iio d) ?_ (fun x hx => hx)
  rw [mem_nhdsWithin]
  refine ⟨Iio d, isOpen_Iio, hd, inter_subset_left _ _⟩
State after:
case H
n : ℕ
A a✝ b✝ c d✝ u x y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
a b : ℝ
h : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[>] b, a ≤ c
d : ℝ
hd : b < d
key : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[>] b, c < d
⊢ a < d

State before:
case H
n : ℕ
A a✝ b✝ c d✝ u x y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
a b : ℝ
h : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[>] b, a ≤ c
d : ℝ
hd : b < d
key : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[>] b, c < d
⊢ a < d
Tactic:
obtain ⟨x, h1, h2⟩ := (h.and key).exists
State after:
case H.intro.intro
n : ℕ
A a✝ b✝ c d✝ u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
a b : ℝ
h : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[>] b, a ≤ c
d : ℝ
hd : b < d
key : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[>] b, c < d
x : ℝ
h1 : a ≤ x
h2 : x < d
⊢ a < d

State before:
case H.intro.intro
n : ℕ
A a✝ b✝ c d✝ u x✝ y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
a b : ℝ
h : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[>] b, a ≤ c
d : ℝ
hd : b < d
key : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[>] b, c < d
x : ℝ
h1 : a ≤ x
h2 : x < d
⊢ a < d
Tactic:
linarith
State after:
no goals

State before:
n : ℕ
A a✝ b✝ c d✝ u x y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
a b : ℝ
h : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[>] b, a ≤ c
d : ℝ
hd : b < d
⊢ ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[>] b, c < d
Tactic:
apply eventually_of_mem (U := Iio d) ?_ (fun x hx => hx)
State after:
n : ℕ
A a✝ b✝ c d✝ u x y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
a b : ℝ
h : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[>] b, a ≤ c
d : ℝ
hd : b < d
⊢ Iio d ∈ 𝓝[>] b

State before:
n : ℕ
A a✝ b✝ c d✝ u x y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
a b : ℝ
h : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[>] b, a ≤ c
d : ℝ
hd : b < d
⊢ Iio d ∈ 𝓝[>] b
Tactic:
rw [mem_nhdsWithin]
State after:
n : ℕ
A a✝ b✝ c d✝ u x y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
a b : ℝ
h : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[>] b, a ≤ c
d : ℝ
hd : b < d
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ b ∈ u ∧ u ∩ Ioi b ⊆ Iio d

State before:
n : ℕ
A a✝ b✝ c d✝ u x y t σ' : ℝ
ψ Ψ : ℝ → ℂ
F G : ℂ → ℂ
f : ℕ → ℂ
𝕜 : Type
inst✝ : _root_.RCLike 𝕜
a b : ℝ
h : ∀ᶠ (c : ℝ) in 𝓝[>] b, a ≤ c
d : ℝ
hd : b < d
⊢ ∃ u, IsOpen u ∧ b ∈ u ∧ u ∩ Ioi b ⊆ Iio d
Tactic:
refine ⟨Iio d, isOpen_Iio, hd, inter_subset_left _ _⟩
State after:
no goals