Theorem: SciLean.dite.arg_te.cderiv_rule (SciLean/Core/FunctionTransformations/CDeriv.lean)

State before:
K✝ : Type ?u.104921
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.104927
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.104940
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.104951
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.104962
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.104973
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.105000
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.105046
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.105057
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.105068
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.105095
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
dec : Decidable c
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
⊢ (cderiv K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then cderiv K (t p) y else cderiv K (e p) y
Tactic:
induction dec
State after:
case isFalse
K✝ : Type ?u.104921
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.104927
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.104940
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.104951
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.104962
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.104973
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.105000
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.105046
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.105057
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.105068
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.105095
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h✝ : ¬c
⊢ (cderiv K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then cderiv K (t p) y else cderiv K (e p) y

case isTrue
K✝ : Type ?u.104921
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.104927
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.104940
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.104951
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.104962
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.104973
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.105000
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.105046
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.105057
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.105068
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.105095
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h✝ : c
⊢ (cderiv K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then cderiv K (t p) y else cderiv K (e p) y

State before:
K✝ : Type ?u.104921
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.104927
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.104940
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.104951
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.104962
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.104973
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.105000
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.105046
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.105057
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.105068
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.105095
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : c
⊢ (cderiv K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then cderiv K (t p) y else cderiv K (e p) y
Tactic:
case isTrue h  => ext y; simp[h]
State after:
no goals

State before:
K✝ : Type ?u.104921
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.104927
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.104940
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.104951
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.104962
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.104973
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.105000
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.105046
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.105057
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.105068
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.105095
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : ¬c
⊢ (cderiv K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then cderiv K (t p) y else cderiv K (e p) y
Tactic:
case isFalse h => ext y; simp[h]
State after:
no goals

State before:
K✝ : Type ?u.104921
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.104927
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.104940
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.104951
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.104962
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.104973
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.105000
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.105046
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.105057
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.105068
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.105095
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : c
⊢ (cderiv K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then cderiv K (t p) y else cderiv K (e p) y
Tactic:
ext y
State after:
case h.h
K✝ : Type ?u.104921
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.104927
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.104940
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.104951
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.104962
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.104973
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.105000
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.105046
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.105057
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.105068
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.105095
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ cderiv K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y x✝ =
    (if p : c then cderiv K (t p) y else cderiv K (e p) y) x✝

State before:
case h.h
K✝ : Type ?u.104921
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.104927
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.104940
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.104951
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.104962
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.104973
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.105000
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.105046
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.105057
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.105068
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.105095
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : c
y x✝ : X
⊢ cderiv K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y x✝ =
    (if p : c then cderiv K (t p) y else cderiv K (e p) y) x✝
Tactic:
simp[h]
State after:
no goals

State before:
K✝ : Type ?u.104921
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.104927
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.104940
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.104951
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.104962
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.104973
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.105000
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.105046
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.105057
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.105068
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.105095
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : ¬c
⊢ (cderiv K fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) = fun y =>
    if p : c then cderiv K (t p) y else cderiv K (e p) y
Tactic:
ext y
State after:
case h.h
K✝ : Type ?u.104921
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.104927
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.104940
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.104951
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.104962
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.104973
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.105000
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.105046
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.105057
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.105068
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.105095
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ cderiv K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y x✝ =
    (if p : c then cderiv K (t p) y else cderiv K (e p) y) x✝

State before:
case h.h
K✝ : Type ?u.104921
inst✝¹⁷ : RCLike K✝
X✝ : Type ?u.104927
inst✝¹⁶ : Vec K✝ X✝
Y✝ : Type ?u.104940
inst✝¹⁵ : Vec K✝ Y✝
Z✝ : Type ?u.104951
inst✝¹⁴ : Vec K✝ Z✝
W✝ : Type ?u.104962
inst✝¹³ : Vec K✝ W✝
ι✝ : Type ?u.104973
inst✝¹² : IndexType ι✝
inst✝¹¹ : LawfulIndexType ι✝
inst✝¹⁰ : DecidableEq ι✝
E✝ : ι✝ → Type ?u.105000
inst✝⁹ : (i : ι✝) → Vec K✝ (E✝ i)
K : Type u_3
inst✝⁸ : RCLike K
X : Type u_1
inst✝⁷ : Vec K X
Y : Type u_2
inst✝⁶ : Vec K Y
Z : Type ?u.105046
inst✝⁵ : Vec K Z
W : Type ?u.105057
inst✝⁴ : Vec K W
ι : Type ?u.105068
inst✝³ : IndexType ι
inst✝² : LawfulIndexType ι
inst✝¹ : DecidableEq ι
E : ι → Type ?u.105095
inst✝ : (i : ι) → Vec K (E i)
c : Prop
t : c → X → Y
e : ¬c → X → Y
h : ¬c
y x✝ : X
⊢ cderiv K (fun x => if x_1 : c then t x_1 x else e x_1 x) y x✝ =
    (if p : c then cderiv K (t p) y else cderiv K (e p) y) x✝
Tactic:
simp[h]
State after:
no goals