Theorem: step3 (FltRegular/FltThree/Edwards.lean)

State before:
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
⊢ ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Tactic:
suffices
  ∀ n : ℕ,
    a.norm.natAbs = n →
      ∃ f : Multiset (ℤ√(-3)),
        (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧
          ∀ pq : ℤ√(-3), pq ∈ f → 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
  by exact this a.norm.natAbs rfl
State after:
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
⊢ ∀ (n : ℕ),
    a.norm.natAbs = n →
      ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs

State before:
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
⊢ ∀ (n : ℕ),
    a.norm.natAbs = n →
      ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Tactic:
intro n hn
State after:
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
n : ℕ
hn : a.norm.natAbs = n
⊢ ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs

State before:
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
n : ℕ
hn : a.norm.natAbs = n
⊢ ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Tactic:
induction' n using Nat.strong_induction_on with n ih generalizing a
State after:
case h
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
⊢ ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs

State before:
case h
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
⊢ ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Tactic:
cases' eq_or_ne a.norm 1 with h h
State after:
case h.inl
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm = 1
⊢ ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs

case h.inr
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
⊢ ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs

State before:
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
this :
  ∀ (n : ℕ),
    a.norm.natAbs = n →
      ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
⊢ ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Tactic:
exact this a.norm.natAbs rfl
State after:
no goals

State before:
case h.inl
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm = 1
⊢ ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Tactic:
use 0
State after:
case h
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm = 1
⊢ (a = Multiset.prod 0 ∨ a = -Multiset.prod 0) ∧ ∀ pq ∈ 0, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs

State before:
case h
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm = 1
⊢ (a = Multiset.prod 0 ∨ a = -Multiset.prod 0) ∧ ∀ pq ∈ 0, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Tactic:
constructor
State after:
case h.left
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm = 1
⊢ a = Multiset.prod 0 ∨ a = -Multiset.prod 0

case h.right
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm = 1
⊢ ∀ pq ∈ 0, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs

State before:
case h.left
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm = 1
⊢ a = Multiset.prod 0 ∨ a = -Multiset.prod 0
Tactic:
simp only [Multiset.prod_zero, Spts.eq_one' h]
State after:
no goals

State before:
case h.right
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm = 1
⊢ ∀ pq ∈ 0, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Tactic:
intro pq hpq
State after:
case h.right
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm = 1
pq : ℤ√(-3)
hpq : pq ∈ 0
⊢ 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs

State before:
case h.right
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm = 1
pq : ℤ√(-3)
hpq : pq ∈ 0
⊢ 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Tactic:
exact absurd hpq (Multiset.not_mem_zero _)
State after:
no goals

State before:
case h.inr
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
⊢ ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Tactic:
obtain ⟨U, q, hc, hd, hp, huv, huvcoprime, descent⟩ := OddPrimeOrFour.factors' h hcoprime
State after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm < a.norm
⊢ ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs

State before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm < a.norm
⊢ ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Tactic:
replace descent :=
  Int.natAbs_lt_natAbs_of_nonneg_of_lt (Zsqrtd.norm_nonneg (by norm_num) _) descent
State after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < a.norm.natAbs
⊢ ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs

State before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < a.norm.natAbs
⊢ ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Tactic:
rw [hn] at descent
State after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
⊢ ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs

State before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
⊢ ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Tactic:
obtain ⟨g, hgprod, hgfactors⟩ := ih U.norm.natAbs descent huvcoprime rfl
State after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = g.prod ∨ U = -g.prod
hgfactors : ∀ pq ∈ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
⊢ ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs

State before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = g.prod ∨ U = -g.prod
hgfactors : ∀ pq ∈ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
⊢ ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Tactic:
refine' ⟨q ::ₘ g, _, _⟩
State after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = g.prod ∨ U = -g.prod
hgfactors : ∀ pq ∈ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
⊢ a = (q ::ₘ g).prod ∨ a = -(q ::ₘ g).prod

case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = g.prod ∨ U = -g.prod
hgfactors : ∀ pq ∈ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
⊢ ∀ pq ∈ q ::ₘ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs

State before:
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm < a.norm
⊢ -3 ≤ 0
Tactic:
norm_num
State after:
no goals

State before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = g.prod ∨ U = -g.prod
hgfactors : ∀ pq ∈ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
⊢ a = (q ::ₘ g).prod ∨ a = -(q ::ₘ g).prod
Tactic:
simp only [huv, Multiset.prod_cons, ← mul_neg]
State after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = g.prod ∨ U = -g.prod
hgfactors : ∀ pq ∈ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
⊢ q * U = q * g.prod ∨ q * U = q * -g.prod

State before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_1
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = g.prod ∨ U = -g.prod
hgfactors : ∀ pq ∈ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
⊢ q * U = q * g.prod ∨ q * U = q * -g.prod
Tactic:
exact Or.imp (congr_arg _) (congr_arg _) hgprod
State after:
no goals

State before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = g.prod ∨ U = -g.prod
hgfactors : ∀ pq ∈ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
⊢ ∀ pq ∈ q ::ₘ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Tactic:
rintro pq hpq
State after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = g.prod ∨ U = -g.prod
hgfactors : ∀ pq ∈ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
pq : ℤ√(-3)
hpq : pq ∈ q ::ₘ g
⊢ 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs

State before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = g.prod ∨ U = -g.prod
hgfactors : ∀ pq ∈ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
pq : ℤ√(-3)
hpq : pq ∈ q ::ₘ g
⊢ 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Tactic:
rw [Multiset.mem_cons] at hpq
State after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = g.prod ∨ U = -g.prod
hgfactors : ∀ pq ∈ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
pq : ℤ√(-3)
hpq : pq = q ∨ pq ∈ g
⊢ 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs

State before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = g.prod ∨ U = -g.prod
hgfactors : ∀ pq ∈ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
pq : ℤ√(-3)
hpq : pq = q ∨ pq ∈ g
⊢ 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Tactic:
obtain rfl | ind := hpq
State after:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2.inl
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U : ℤ√(-3)
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = g.prod ∨ U = -g.prod
hgfactors : ∀ pq ∈ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
pq : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ pq.re
hd : pq.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
huv : a = pq * U
⊢ 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs

case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2.inr
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = g.prod ∨ U = -g.prod
hgfactors : ∀ pq ∈ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
pq : ℤ√(-3)
ind : pq ∈ g
⊢ 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs

State before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2.inl
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U : ℤ√(-3)
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = g.prod ∨ U = -g.prod
hgfactors : ∀ pq ∈ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
pq : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ pq.re
hd : pq.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
huv : a = pq * U
⊢ 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Tactic:
exact ⟨hc, hd, hp⟩
State after:
no goals

State before:
case h.inr.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.intro.refine'_2.inr
n : ℕ
ih :
  ∀ m < n,
    ∀ {a : ℤ√(-3)},
      IsCoprime a.re a.im →
        a.norm.natAbs = m →
          ∃ f, (a = f.prod ∨ a = -f.prod) ∧ ∀ pq ∈ f, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
a : ℤ√(-3)
hcoprime : IsCoprime a.re a.im
hn : a.norm.natAbs = n
h : a.norm ≠ 1
U q : ℤ√(-3)
hc : 0 ≤ q.re
hd : q.im ≠ 0
hp : OddPrimeOrFour q.norm.natAbs
huv : a = q * U
huvcoprime : IsCoprime U.re U.im
descent : U.norm.natAbs < n
g : Multiset (ℤ√(-3))
hgprod : U = g.prod ∨ U = -g.prod
hgfactors : ∀ pq ∈ g, 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
pq : ℤ√(-3)
ind : pq ∈ g
⊢ 0 ≤ pq.re ∧ pq.im ≠ 0 ∧ OddPrimeOrFour pq.norm.natAbs
Tactic:
exact hgfactors pq ind
State after:
no goals