Describe el álgebra de Lie
En matemáticas, un grupo de Lie simple es un grupo de Lie G conexo no abeliano que no tiene subgrupos normales conexos no triviales. La lista de grupos de Lie simples puede utilizarse para leer la lista de álgebras de Lie simples y espacios simétricos riemannianos.

Junto con el grupo de Lie conmutativo de los números reales,
\mathbb {R} , y el de los números complejos de magnitud unitaria, U(1) (el círculo unitario), los grupos de Lie simples constituyen los "bloques" atómicos que forman todos los grupos de Lie conectados (de dimensión finita) mediante la operación de extensión de grupos. Muchos grupos de Lie habituales son simples o "casi" simples: por ejemplo, el llamado "grupo lineal especial" SL(n) de matrices de n por n con determinante igual a 1 es simple para todo n > 1.

La primera clasificación de los grupos de Lie simples fue obra de Wilhelm Killing, y este trabajo fue perfeccionado posteriormente por Élie Cartan. La clasificación final suele denominarse clasificación de Killing-Cartan.
Por desgracia, no existe una definición universalmente aceptada de grupo de Lie simple. En concreto, no siempre se define como un grupo de Lie simple como grupo abstracto. Los autores difieren sobre si un grupo de Lie simple tiene que ser conexo, o sobre si se permite que tenga un centro no trivial, o sobre si
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\mathbb {R} es un grupo de Lie simple.

La definición más común es que un grupo de Lie es simple si es conexo, no abeliano y cada subgrupo normal conexo cerrado es la identidad o el grupo entero. En particular, se permite que los grupos simples tengan un centro no trivial, pero
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\mathbb {R} no es simple.

En este artículo se enumeran los grupos de Lie simples conexos con centro trivial. Una vez conocidos éstos, los de centro no trivial son fáciles de enumerar del siguiente modo. Todo grupo de Lie simple con centro trivial tiene una cubierta universal, cuyo centro es el grupo fundamental del grupo de Lie simple. Los correspondientes grupos de Lie simples con centro no trivial pueden obtenerse como cocientes de esta cubierta universal por un subgrupo del centro.

Alternativas
De la correspondencia de Lie se desprende una definición equivalente de grupo de Lie simple: Un grupo de Lie conexo es simple si su álgebra de Lie es simple. Un punto técnico importante es que un grupo de Lie simple puede contener subgrupos normales discretos. Por este motivo, la definición de grupo de Lie simple no es equivalente a la definición de grupo de Lie simple como grupo abstracto.

Los grupos de Lie simples incluyen muchos grupos de Lie clásicos, que proporcionan un fundamento teórico de grupo para la geometría esférica, la geometría proyectiva y las geometrías afines en el sentido del programa de Erlangen de Félix Klein. En el curso de la clasificación de los grupos de Lie simples surgió que también existen varias posibilidades excepcionales que no corresponden a ninguna geometría conocida. Estos grupos excepcionales dan cuenta de muchos ejemplos y configuraciones especiales en otras ramas de las matemáticas, así como en la física teórica contemporánea.

Como contraejemplo, el grupo lineal general no es ni simple ni semisimple. Esto se debe a que los múltiplos de la identidad forman un subgrupo normal no trivial, eludiendo así la definición. Equivalentemente, el álgebra de Lie correspondiente tiene una forma de Killing degenerada, porque los múltiplos de la identidad se asignan al elemento cero del álgebra. Por tanto, el álgebra de Lie correspondiente tampoco es simple ni semisimple. Otro contraejemplo son los grupos ortogonales especiales de dimensión par. Éstos tienen la matriz
-
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-I en el centro, y este elemento está conectado por trayectoria al elemento identidad, por lo que estos grupos eluden la definición. Ambos son grupos reductores.
Describe Lie Algebra
In mathematics, a simple Lie group is a connected non-abelian Lie group G which does not have nontrivial connected normal subgroups. The list of simple Lie groups can be used to read off the list of simple Lie algebras and Riemannian symmetric spaces.

Together with the commutative Lie group of the real numbers, 
\mathbb {R} , and that of the unit-magnitude complex numbers, U(1) (the unit circle), simple Lie groups give the atomic "blocks" that make up all (finite-dimensional) connected Lie groups via the operation of group extension. Many commonly encountered Lie groups are either simple or 'close' to being simple: for example, the so-called "special linear group" SL(n) of n by n matrices with determinant equal to 1 is simple for all n > 1.

The first classification of simple Lie groups was by Wilhelm Killing, and this work was later perfected by Élie Cartan. The final classification is often referred to as Killing-Cartan classification.
Unfortunately, there is no universally accepted definition of a simple Lie group. In particular, it is not always defined as a Lie group that is simple as an abstract group. Authors differ on whether a simple Lie group has to be connected, or on whether it is allowed to have a non-trivial center, or on whether 
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\mathbb {R}  is a simple Lie group.

The most common definition is that a Lie group is simple if it is connected, non-abelian, and every closed connected normal subgroup is either the identity or the whole group. In particular, simple groups are allowed to have a non-trivial center, but 
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\mathbb {R}  is not simple.

In this article the connected simple Lie groups with trivial center are listed. Once these are known, the ones with non-trivial center are easy to list as follows. Any simple Lie group with trivial center has a universal cover, whose center is the fundamental group of the simple Lie group. The corresponding simple Lie groups with non-trivial center can be obtained as quotients of this universal cover by a subgroup of the center.

Alternatives
An equivalent definition of a simple Lie group follows from the Lie correspondence: A connected Lie group is simple if its Lie algebra is simple. An important technical point is that a simple Lie group may contain discrete normal subgroups. For this reason, the definition of a simple Lie group is not equivalent to the definition of a Lie group that is simple as an abstract group.

Simple Lie groups include many classical Lie groups, which provide a group-theoretic underpinning for spherical geometry, projective geometry and related geometries in the sense of Felix Klein's Erlangen program. It emerged in the course of classification of simple Lie groups that there exist also several exceptional possibilities not corresponding to any familiar geometry. These exceptional groups account for many special examples and configurations in other branches of mathematics, as well as contemporary theoretical physics.

As a counterexample, the general linear group is neither simple, nor semisimple. This is because multiples of the identity form a nontrivial normal subgroup, thus evading the definition. Equivalently, the corresponding Lie algebra has a degenerate Killing form, because multiples of the identity map to the zero element of the algebra. Thus, the corresponding Lie algebra is also neither simple nor semisimple. Another counter-example are the special orthogonal groups in even dimension. These have the matrix 
−
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-I in the center, and this element is path-connected to the identity element, and so these groups evade the definition. Both of these are reductive groups.