topologically enriched category

+-- {: .rightHandSide}
+-- {: .toc .clickDown tabindex="0"}
###Context###
#### Enriched category theory
+--{: .hide}
[[!include enriched category theory contents]]
=--
#### Topology
+--{: .hide}
[[!include topology - contents]]
=--
=--
=--

#Contents#
* table of contents
{:toc}

## Definition

In the following we say _[[Top]]-[[enriched category]]_ and _[[Top]]-[[enriched functor]]_ etc. for what often is referred to as "[[topological category]]" and "[[topological functor]]" etc. As discussed there, these latter terms are ambiguous.

+-- {: .num_defn #kTop}
###### Definition

Write

$$
  Top_{cg} \hookrightarrow Top
$$

for the [[full subcategory]] of [[Top]] on the [[compactly generated topological spaces]]. Under forming [[Cartesian product]]

$$
  (-)\times (-)
  \;\colon\;
  Top_{cg} \times Top_{cg} \longrightarrow Top_{cg}
$$

and compactly generated [[mapping spaces]]

$$
  (-)^{(-)}
  \;\colon\;
  Top_{cg}^{op}\times Top_{cg}
  \longrightarrow
  Top_{cg}
$$

this is a [[cartesian closed category]] (see at _[[convenient category of
topological spaces]]_).

=--

+-- {: .num_defn #TopEnrichedCategory}
###### Definition

A **[[topologically enriched category]]** $\mathcal{C}$ is a $Top_{cg}$-[[enriched category]], hence:

1. a [[class]] $Obj(\mathcal{C})$, called the **class of [[objects]]**;

1. for each $a,b\in Obj(\mathcal{C})$ a [[compactly generated topological space]]

   $$
     \mathcal{C}(a,b)\in Top_{cg}
     \,,
   $$

   called the **space of [[morphisms]]** or the **[[hom-space]]** between $a$ and $b$;

1. for each $a,b,c\in Obj(\mathcal{C})$ a [[continuous function]]

   $$
     \circ_{a,b,c} \;\colon\; \mathcal{C}(a,b)\times \mathcal{C}(b,c) \longrightarrow \mathcal{C}(a,c)
   $$

   out of the cartesian product, called the _[[composition]]_ operation

1. for each $a \in Obj(\mathcal{C})$ a point $id_a\in \mathcal{C}(a,a)$, called the _[[identity]]_ morphism on $a$

such that the composition is [[associativity|associative]] and [[unitality|unital]].

=--

+-- {: .num_remark #UnderlyingCategoryOfTopEnrichedCategory}
###### Remark

Given a [[topologically enriched category]] as in def. \ref{TopEnrichedCategory}, then forgetting the topology on the [[hom-spaces]] (along the [[forgetful functor]] $U \colon Top_k \to Set$) yields an ordinary [[locally small category]] with

$$
  Hom_{\mathcal{C}}(a,b) = U(\mathcal{C}(a,b))
  \,.
$$

It is in this sense that $\mathcal{C}$ is a category with [[extra structure]], and hence "[[enriched category|enriched]]".

=--

The archetypical example is the following:

+-- {: .num_example #TopkAsATopologicallyEnrichedCategory}
###### Example

The category $Top_{cg}$ from def. \ref{kTop} itself, being a [[cartesian closed category]], canonically obtains the structure of a [[topologically enriched category]], def. \ref{TopEnrichedCategory}, with [[hom-spaces]] given by compactly generated [[mapping spaces]]

$$
  Top_{cg}(X,Y)
  \coloneqq
  Y^X
$$

and with [[composition]]

$$
  Y^X \times Z^Y
  \longrightarrow
  Z^X
$$

given by the (product$\dashv$ mapping-space)-[[adjunct]] of the [[evaluation morphism]]

$$
  X \times Y^X \times Z^Y
  \overset{(ev, id)}{\longrightarrow}
  Y \times Z^Y
  \overset{ev}{\longrightarrow}
  Z
  \,.
$$

=--

+-- {: .num_defn #TopologicallyEnrichedFunctor}
###### Definition

A [[topologically enriched functor]] between two [[topologically enriched categories]]

$$
  F \;\colon\;  \mathcal{C}  \longrightarrow \mathcal{D}
$$

is a $Top_{cg}$-[[enriched functor]], hence:

1. a [[function]]

   $$
     F_0 \colon Obj(\mathcal{C}) \longrightarrow Obj(\mathcal{D})
   $$

   of [[objects]];

1. for each $a,b \in Obj(\mathcal{C})$ a [[continuous function]]

   $$
     F_{a,b} \;\colon\; \mathcal{C}(a,b) \longrightarrow \mathcal{D}(F_0(a), F_0(b))
   $$

   of [[hom-spaces]]

such that this preserves [[composition]] and [[identity]] morphisms in the evident sense.

A [[homomorphism]] of topologically enriched functors

$$
  \eta \;\colon\; F \Rightarrow G
$$

is a $Top_{cg}$-[[enriched natural transformation]]: for each $c \in Obj(\mathcal{C})$ a choice of morphism $\eta_c \in \mathcal{D}(F(c),G(c))$ such that for each pair of objects $c,d \in \mathcal{C}$ the two continuous functions

$$
  \eta_d \circ F(-) \;\colon\; \mathcal{C}(c,d) \longrightarrow \mathcal{D}(F(c), G(d))
$$

and

$$
  G(-) \circ \eta_c \;\colon\; \mathcal{C}(c,d) \longrightarrow \mathcal{D}(F(c), G(d))
$$

agree.

We write $[\mathcal{C}, \mathcal{D}]$ for the resulting category of topologically enriched functors. This itself naturally obtains the structure of [[topologically enriched category]], see at _[[enriched functor category]]_.

=--

## Topologically enriched presheaves

+-- {: .num_example #TopologicallyEnrichedFunctorsToTopk}
###### Example

For $\mathcal{C}$ any topologically enriched category, def. \ref{TopEnrichedCategory} then a topologically enriched functor

$$
  F \;\colon\; \mathcal{C} \longrightarrow Top_{cg}
$$

to the archetypical topologically enriched category from example \ref{TopkAsATopologicallyEnrichedCategory} may be thought of as a topologically [[enriched presheaf|enriched]] [[copresheaf]], at least if $\mathcal{C}$ is [[small category|small]] (in that its [[class]] of objects is a proper [[set]]).

Hence the category of topologically enriched functors

$$
  [\mathcal{C}, Top_{cg}]
$$

according to def. \ref{TopologicallyEnrichedFunctor} may be thought of as the ([[copresheaf|co-]])[[presheaf category]] over $\mathcal{C}$ in the realm of topologically enriched categories.

A functor $F \in [\mathcal{C}, Top_{cg}]$ is equivalently

* a [[compactly generated topological space]] $F_a\in Top_{cg}$ for each object $a \in Obj(\mathcal{C})$;

* a [[continuous function]]

  $$
     F_a \times \mathcal{C}(a,b) \longrightarrow F_b
  $$

  for all pairs of objects $a,b \in Obj(\mathcal{C})$

such that composition is respected, in the evident sense.

For every object $c \in \mathcal{C}$, there is a topologically enriched [[representable functor]], denoted $y(c)$ or $\mathcal{C}(c,-)$ which sends objects to

$$
  y(c)(d) = \mathcal{C}(c,d) \in Top_{cg}
$$

and whose action on morphisms is, under the above identification, just the [[composition]] operation in $\mathcal{C}$.

=--

There is a full blown $Top_{cg}$-[[enriched Yoneda lemma]]. The following records a slightly simplified version.

+-- {: .num_prop #TopologicallyEnrichedYonedaLemma}
###### Proposition
**(topologically enriched Yoneda-lemma)**

Let $\mathcal{C}$ be a [[topologically enriched category]], def. \ref{TopEnrichedCategory}, write $[\mathcal{C}, Top_{cg}]$ for its category of topologically enriched (co-)presheaves, and for $c\in Obj(\mathcal{C})$ write $y(c) = \mathcal{C}(c,-) \in [\mathcal{C}, Top_k]$ for the topologically enriched functor that it represents, all according to example \ref{TopologicallyEnrichedFunctorsToTopk}. Recall also the $Top_{cg}$-tensored functors $F \cdot X$ from that example.

For $c\in Obj(\mathcal{C})$, $X \in Top_{cg}$ and $F \in [\mathcal{C}, Top_{cg}]$, there is a [[natural bijection]] between

1. morphisms $y(c) \cdot X \longrightarrow F$ in $[\mathcal{C}, Top_{cg}]$;

1. morphisms $X \longrightarrow F(c)$ in $Top_{cg}$.

=--

+-- {: .proof}
###### Proof

Given a morphism $\eta \colon y(c) \cdot X \longrightarrow F$ consider its component

$$
  \eta_c \;\colon\; \mathcal{C}(c,c)\times X \longrightarrow F(c)
$$

and restrict that to the identity morphism $id_c \in \mathcal{C}(c,c)$ in the first argument

$$
  \eta_c(id_c,-) \;\colon\; X \longrightarrow F(c)
  \,.
$$

We claim that just this $\eta_c(id_c,-)$ already uniquely determines all components

$$
  \eta_d \;\colon\; \mathcal{C}(c,d)\times X \longrightarrow F(d)
$$

of $\eta$, for all $d \in Obj(\mathcal{C})$: By definition of the transformation $\eta$ (def. \ref{TopologicallyEnrichedFunctor}), the two functions

$$
   F(-) \circ \eta_c
  \;\colon\;
  \mathcal{C}(c,d)
  \longrightarrow
  F(d)^{\mathcal{C}(c,c) \times X}
$$

and

$$
  \eta_d  \circ \mathcal{C}(c,-) \times X
  \;\colon\;
  \mathcal{C}(c,d)
  \longrightarrow
  F(d)^{\mathcal{C}(c,c) \times X}
$$

agree. This means that they may be thought of jointly as a function with values in commuting squares in $Top$ of this form:

$$
  f
  \;\;\;\;
  \mapsto
  \;\;\;\;
  \array{
    \mathcal{C}(c,c) \times X &\overset{\eta_c}{\longrightarrow}& F(c)
    \\
    {}^{\mathllap{\mathcal{C}(c,f)}}\downarrow && \downarrow^{\mathrlap{F(f)}}
    \\
    \mathcal{C}(c,d) \times X &\underset{\eta_d}{\longrightarrow}& F(d)
  }
$$

For any $f \in \mathcal{C}(c,d)$, consider the restriction of

$$
  \eta_d \circ \mathcal{C}(c,f) \in F(d)^{\mathcal{C}(c,c) \times X}
$$

to $id_c \in \mathcal{C}(c,c)$, hence restricting the above commuting squares to

$$
  f
  \;\;\;\;
  \mapsto
  \;\;\;\;
  \array{
    \{id_c\} \times X &\overset{\eta_c}{\longrightarrow}& F(c)
    \\
    {}^{\mathllap{\mathcal{C}(c,f)}}\downarrow && \downarrow^{\mathrlap{F}(f)}
    \\
    \{f\} \times X &\underset{\eta_d}{\longrightarrow}& F(d)
  }
$$

This shows that $\eta_d$ is fixed to be the function

$$
  \eta_d(f,x) = F(f)\circ \eta_c(id_c,x)
$$

and this is a continuous function since all the operations it is built from are continuous.

Conversely, given a continuous function $\alpha \colon X \longrightarrow F(c)$, define for each $d$ the function

$$
  \eta_d \colon (f,x) \mapsto F(f) \circ \alpha
  \,.
$$

Running the above analysis backwards shows that this determines a transformation $\eta \colon y(c)\times X \to F$.

=--

+-- {: .num_remark}
###### Remark

With $Top_{cg}$ equipped with the [[classical model structure on topological spaces]], which is a [[locally presentable (∞,1)-category|presentation]] for the archetypical [[(∞,1)-category]] [[∞Grpd]] of [[∞-groupoids]], then the topological functor category

$$
  [\mathcal{C},Top_{cg}]
$$

(def. \ref{TopologicallyEnrichedFunctor}, def. \ref{TopkAsATopologicallyEnrichedCategory}) is a model for the [[(∞,1)-category of (∞,1)-presheaves]] on $\mathcal{C}^{op}$. This is made precise by the _[[model structure on enriched functors]]_, $[\mathcal{C},Top_{Quillen}]_{proj}$. See at _[classical model structure on topological spaces -- Model structure on functors](classical+model+structure+on+topological+spaces#ModelStructureOnTopEnrichedFunctors)_ for details.

=--

## Related concepts

* [[simplicially enriched category]]

* [[model structure on enriched functors]]

* [[(infinity,1)-category]]

[[!redirects topologically enriched categories]]

[[!redirects Top-enriched category]]
[[!redirects Top-enriched categories]]

[[!redirects topologically enriched functor]]
[[!redirects topologically enriched functors]]

[[!redirects Top-enriched functor]]
[[!redirects Top-enriched functors]]

[[!redirects pointed topologically enriched category]]
[[!redirects pointed topologically enriched categories]]

[[!redirects pointed topologically enriched functor]]
[[!redirects pointed topologically enriched functors]]


topologically ringed space

A **topologically ringed space** is a pair $(X,\mathcal{O}_X)$ where $X$ is topological space and $\mathcal{O}_X$ is a sheaf of topological rings. Most often, e.g. in the standard theory of [[formal schemes]], one has a sheaf of complete local rings.

The theory is very similar and generalizes the discrete case of the [[ringed spaces]].

[[!redirects topologically ringed spaces]]


topologically twisted D=4 super Yang-Mills theory

+-- {: .rightHandSide}
+-- {: .toc .clickDown tabindex="0"}
###Context###
#### Physics
+--{: .hide}
[[!include physicscontents]]
=--
#### Quantum field theory
+--{: .hide}
[[!include functorial quantum field theory - contents]]
=--
#### $\infty$-Chern-Weil theory
+--{: .hide}
[[!include infinity-Chern-Weil theory - contents]]
=--
=--
=--

#Contents#
* table of contents
{:toc}

## Idea

A deformation of [[super Yang-Mills theory]] that yields a [[topological field theory]] in 4 [[dimensions]]. This is in higher dimensional analogy to how the [[topological string]]-[[topological twist|twisting]] of the [[superstring]] yields the topological [[A-model]] and [[B-model]] 2d topological field theories.

### For $N = 4$ supersymmetry

Given [[N=4 D=4 super Yang-Mills theory]], the twisting is induced by a choice of [[subgroup]] inclusion of the [[special orthogonal group]] $SO(4)$ into the [[R-symmetry]] group $SO(6)$. Then choose a [[supersymmetry]] $Q$ which is invariant under the resulting combined action of $SO(4)$ on [[spacetime]] and via [[R-symmetry]] and consider the subspace of [[quantum states]]/[[quantum observables]] which are in the [[kernel]] of $Q$. This subspace defines a [[topological field theory]] which is called the corresponding twisted topological super Yang-Mills theory.

Before the twisting super [[Yang-Mills theory]] depends on the complex [[coupling constant]]

$$
  \tau = \frac{\theta}{2\pi} + \frac{4 \pi i }{g_{YM}^2}
$$

(with $\theta$ the _[[theta angle]]_), after the twisting there is an additional complex parameter $t$ encoding the choice of topological supercharge. The twisted theory however only depends on the combination

$$
  \Psi \coloneqq \frac{\theta}{2 \pi}  +
  \frac{4 \pi i}{g_{YM}^2}
  \frac{t - t^{-1}}{t + t^{-1}}
  \,.
$$

([Witten 11, p. 29](#Witten11))

The resulting [[4d TQFT]] is also called the _[[Kapustin-Witten TQFT]]_.

### For $N = 2$ supersymmetry

For [[N=2 D=4 super Yang-Mills theory]] the twisting follows the same idea, but is a little but more intricate ([Witten 11, section 5.1.1](#Witten11))

### Table of relations via holographic, compactifications and twists

[[!include gauge theory from AdS-CFT -- table]]

## Formalization
 {#Formalization}

A formalization of the topological twisting in the framework of [[perturbation theory|perturbative]] [[BV-quantization]] of field theory via [[factorization algebras]] of local [[quantum observables]] is proposed in ([Costello 11, section 15, 16, ...](#Costello11)).

The definition there essentially amounts to saying that a choice of topological twisting is a choice of [[action]] of the [[semidirect product]] [[supergroup]]

$$
  \mathbb{G}_m \ltimes \Pi \mathbb{G}_{ad}
$$

of the [[multiplicative group]] acting on the odd-shifted [[additive group]] via the given [[super Poincare Lie algebra]].

We notice that this group is the [automorphism group of the odd line](odd%20line#TheAutomorphismSuperGroup)

$$
  \mathbf{Aut}(\mathbb{R}^{0|1}) \simeq \mathbb{G}_m \ltimes \Pi \mathbb{G}_{ad}
$$

for which it is well known that an [[action]] of it is equivalent to a choice of [[differential]] $Q$ and corresponding grading.

This chosen differential $Q$ among the supersymmetry generators in the [[super Poincare Lie algebra]] is the choice of what in the physics literature is called the twisting "BRST operator".

The twisted theory itself is then defined to be given by the [[factorization algebra]] of observables which is essentially the [[homotopy fixed points]] of this $\mathbf{Aut}(\mathbb{R}^{0|1})$-[[infinity-action]].

## Related concepts

* [[topological Yang-Mills theory]]

* [[topological twist]]

* [[N=1 D=4 super Yang-Mills theory]]

* [[N=2 D=4 super Yang-Mills theory]]

* [[N=4 D=3 super Yang-Mills theory]]

* [[N=4 D=4 super Yang-Mills theory]]

* [[D=5 super Yang-Mills theory]]

* [[S-duality]], [[geometric Langlands duality]]

* [[chiral ring]], [[quantum cohomology]]

## References
  {#References}

The idea of topological twisting of [[supersymmetry|supersymmetric]] quantum field theory goes back to

* [[Edward Witten]], _Topological quantum field theory_, Comm. Math. Phys. Volume 117, Number 3 (1988), 353-386 ([Euclid](http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104161738))

often referred to as "[[cohomological field theory]]"

* {#Witten91} [[Edward Witten]], _Introduction to cohomological field theory_, InternationalJournal of Modern Physics A, Vol. 6,No 6 (1991) 2775-2792 ([[WittenCQFT.pdf:file]])

where it is [[N=2 D=4 super Yang-Mills theory]] that is twisted and related to [[Donaldson theory]].

A superspace formulation that makes the form of the Lagrangian more transparent is in:

* James Horne. *Superspace versions of topological theories.* Nuclear Physics B 318, no. 1 (1989): 22-52. ([doi](https://doi.org/10.1016/0550-3213(89)90046-1))

The analogous twisting of [[N=4 D=4 super Yang-Mills theory]] is due to

* [[Cumrun Vafa]], [[Edward Witten]], _A Strong Coupling Test of S-Duality_, Nucl. Phys. B **431** (1994) 3-77 [[arXiv:hep-th/9408074](http://arxiv.org/abs/hep-th/9408074)]

This *Vafa-Witten theory* reviewed and further developed in:

* Zhi-Cong Ong, [[Meng-Chwan Tan]], *Vafa-Witten Theory: Invariants, Floer Homologies, Higgs Bundles, a Geometric Langlands Correspondence, and Categorification* [[arXiv:2203.17115](https://arxiv.org/abs/2203.17115)]

The $N=4$-case and  one of the possible $N=2$-twists yield [[instanton]] invariants captured by the [[Seiberg-Witten theory]] generalization of [[Donaldson theory]]. Another variant of the $N=2$ twist was described in

* Neil Marcus, _The other topological twisting of N=4 Yang-Mills_, Nucl.Phys. B452 (1995) 331-345 ([arXiv:hep-th/9506002](http://arxiv.org/abs/hep-th/9506002))

and yields a geometric interpretation of the [[geometric Langlands correspondence]], as found in

* [[Anton Kapustin]], [[Edward Witten]], _Electric-Magnetic Duality And The Geometric Langlands Program_ ([arXiv:hep-th/0604151](http://arxiv.org/abs/hep-th/0604151))

A detailed analysis of the three twists of the $N=4$ theory is in

* Carlos Lozano, _Duality in Topological Quantum Field Theories_, PhD thesis ([arXiv:hep-th/9907123](http://arxiv.org/abs/hep-th/9907123))

Discussion of generalization of the twisting to [[quantum field theory on curved spacetime]] is in

* [[Jeong-Hyuck Park]], [[Dimitrios Tsimpis]], _Topological twisting of conformal supercharges_, Nucl. Phys. B776:405-430, 2007 ([arXiv:hep-th/0610159](http://arxiv.org/abs/hep-th/0610159))

Section 2.2.1 of

* {#Witten11} [[Edward Witten]], _Fivebranes and knots_ ([arXiv:1101.3216](http://arxiv.org/abs/1101.3216))

briefly recalls the topological twisting of [[N=4 D=4 super Yang-Mills theory]]. Section 5.1.1 there discusses the twisting of [[N=2 D=4 super Yang-Mills theory]] (induced from the [[6d (2,0)-superconformal QFT]] on the [[M5-brane]]), which was introduced in section 3.1.2 of

* [[Davide Gaiotto]], [[Gregory Moore]] and [[Andrew Neitzke]], _Wall-crossing, Hitchin Systems, and the WKB Approximation_, ([arXiv:0907.3987](http://arxiv.org/abs/0907.3987))

For more on this see the references listed at _[N=2 D=4 super Yang-Mills theory -- References -- Construction from 5-branes](N%3D2+D%3D4+super+Yang-Mills+theory#ReferencesConstructionFrom5Branes)_.

More mathematically formalized discussion of topologically twisted supersymmetric theories in the framework of [[BV-BRST formalism]] [[perturbation theory]] (and with an eye towards the [[factorization algebra]] formulation) is in

* {#Costello11} [[Kevin Costello]], *Notes on supersymmetric and holomorphic field theories in dimension 2 and 4*, talk at *[Geometric and Algebraic Structures in Mathematics](https://www.math.stonybrook.edu/dennisfest/)*, Stony Brook (2011) [[arXiv:1111.4234](https://arxiv.org/abs/1111.4234)]

More in

* {#ElliottSafronov18} [[Chris Elliott]], [[Pavel Safronov]], _Topological twists of supersymmetric observables_ ([arXiv:1805.10806](https://arxiv.org/abs/1805.10806))

In

* [[Kevin Costello]], _Supersymmetric gauge theory and the Yangian_ ([arXiv:1303.2632](http://arxiv.org/abs/1303.2632))

is discussed that the holomorphically twisted $N=1$ theory is controled by the [[Yangian]] in analogy to how [[Chern-Simons theory]] is controled by a [[quantum group]].

[[!redirects topologically twisted D=4 super Yang-Mills theories]]

[[!redirects topologically twisted super Yang-Mills theory]]
[[!redirects topologically twisted super Yang-Mills theories]]

[[!redirects topologically twisted N=2 D=4 super Yang-Mills theory]]
[[!redirects topologically twisted N=2 D=4 super Yang-Mills theories]]

[[!redirects topologically twisted N=4 D=4 super Yang-Mills theory]]
[[!redirects topologically twisted N=4 D=4 super Yang-Mills theories]]

[[!redirects Vafa-Witten theory]]


topologically twisted supergravity

+-- {: .rightHandSide}
+-- {: .toc .clickDown tabindex="0"}
###Context###
#### Gravity
+--{: .hide}
[[!include gravity contents]]
=--
#### Quantum Field Theory
+--{: .hide}
[[!include AQFT and operator algebra contents]]
=--
#### Super-Geometry
+--{: .hide}
[[!include supergeometry - contents]]
=--
=--
=--

#Contents#
* table of contents
{:toc}

## Idea

A [[topological twist]] of [[supergravity]].

## Related concepts

* [[holography as Koszul duality]]

## References

* [[Kevin Costello]], [[Si Li]], _Twisted supergravity and its quantization_ ([arXiv:1606.00365](https://arxiv.org/abs/1606.00365), [spire:1466640](http://inspirehep.net/record/1466640))


Topologie

{:principle: .un_remark style="border:solid #0000cc;background: #add8e6;border-width:2px 1px;padding:0 1em;margin:0 1em;"}

> this page is the German language version of (parts of) the page _[[topology]]_

***

+-- {: .rightHandSide}
+-- {: .toc .clickDown tabindex="0"}
###Context###
#### Topologie
+--{: .hide}
[[!include topology - contents]]
=--
=--
=--

Diese Seite behandelt _Topologie_ als **Untergebiet der [[mathematics|Mathematik]]**.  Zu "Topologie" im Sinne von **[[structured set|Struktur]]** auf einer [[set|Menge]], siehe _[[topological space|topologischer Raum]]_.

***

$\,$

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#Inhalt#
* table of contents
{:toc}

## Einführung
 {#Introduction}

Im Folgenden geben wir eine kurze Einführung zu den zentralen Konzepten und Werkzeugen der Topologie.

* _[Stetigkeit](#Continuity)_

* _[Topologische Räume](#TopologicalSpaces)_

* _[Homeomorphismen](#Homeomorphisms)_

* _[Homotopie](#Homotopy)_

* _[Zusammenhangskomponenten](#ConnectedComponents)_

* _[Fundamentalgruppe](#FundamentalGroups)_

* _[Überlagerungsräume](#CoveringSpaces)_

### Stetigkeit
 {#Continuity}

Die zentrale Idee der Topologie ist es, [[spaces|Räume]] mit "[[continuous maps|stetigen Abbildungen]]" zwischen ihnen zu betrachten.

Historisch wurde das Konzept der Stetigkeit zuerst in der [[analysis|Analysis]] präzise gemacht, durch "[[epsilontic analysis|epsilontische Analysis]]" von [[open balls|offenen Bällen]], an diese wird unten in def. \ref{EpsilonDeltaDefinitionOfContinuity} erinnert. Dann realisierte man dass dies eine elegantere Formulierung durch den Begriffe der _[[open sets|offenen Mengen]]_ hat, dies ist unten Prop. \ref{ContinuityBetweenMetricSpacesInTermsOfOpenSets}. Der Begriff des  _[[topological spaces|topologischen Raumes]]_ ergibt sich wenn man von diesem allgemeinen Begriff der offenen Mengen ausgeht, dies ist Def. \ref{TopologicalSpace} unten.

Sei daher zunächst an folgende elementare Begriffe der [[analysis|Analysis]] erinnert:

+-- {: .num_defn #MetricSpace}
###### Definition

Ein _[[metric space|metrischer Raum]]_ ist

1. eine [[set|Menge]] $X$ (die "zugrunde liegende Menge");

1. eine [[function|Funktion]] $d \;\colon\; X \times X \to [0,\infty)$ (die "Distanzfunktion") aus dem  [[Cartesian product|kartesischen Produkt]] der Menge mit sich selbst in die [[nonnegative number|nicht-negativen]] [[real number|reellen Zahlen]]

so dass für alle $x,y,z \in X$ gilt:

1. $d(x,y) = 0 \;\;\Leftrightarrow\;\; x = y$

1. (Symmetrie) $d(x,y) = d(y,x)$

1. ([[triangle inequality|Dreiecksungleichung]]) $d(x,y)+ d(y,z) \geq d(x,z)$.

=--

+-- {: .num_example}
###### Beispiel

Jeder [[normed vector space|normierte Vektorraum]] $(V, {\Vert -\Vert})$
wird ein [[metric space|metrischer Raum]] im Sinne von Definition \ref{MetricSpace} indem man setzt:

$$
  d(x,y) \coloneqq {\Vert x-y\Vert}
  \,.
$$

=--

+-- {: .num_defn #OpenBalls}
###### Definition

Sei $(X,d)$, ein [[metric space|metrischer Raum]]. Dann heisst für jedes Element $x \in X$ und jede [[positive number|positive]] [[real number|reelle Zahl]] $\epsilon \in \mathbb{R}_+$ die Menge

$$
  B^\circ_x(\epsilon)
    \;\coloneqq\;
  \left\{
    y \in X \;\vert\; d(x,y) \lt \epsilon
  \right\}
$$

der _[[open ball|offene Ball]] von [[radius|Radius]] $\epsilon$ um $x$_.

=--

+-- {: .num_defn #EpsilonDeltaDefinitionOfContinuity}
###### Definition
**(epsilontische Definition von Stetigkeit)**

Seien $(X,d_X)$ und $(Y,d_Y)$ zwei [[metric spaces|metrische Räume]] (def. \ref{MetricSpace}), dann heisst eine [[function|Funktion]]

$$
  f \;\colon\; X \longrightarrow Y
$$

_stetig am Punkt $x \in X$_ wenn für jedes $\epsilon \gt 0$ ein $\delta\gt 0$ existiert, so dass

$$
  d_X(x,y) \lt \delta \;\;\Rightarrow\;\; d_Y(f(x), f(y)) \lt \epsilon
$$

oder äquivalent dazu, so dass

$$
  f(\;B_x^\circ(\delta)\;) \;\subset\; B^\circ_{f(x)}(\epsilon)
$$

wobei $B^\circ$ den [[open ball|offenen Ball]] bezeichnet (Definition \ref{OpenBalls}).

Die Funktion $f$ heisst _stetig_ wenn sie an jedem Punkt $x \in X$ stetig ist.

=--

Wir formulieren diese analytische Begriffsbildung nun um, durch den einfachen aber wichtigen Begriff der [[open set|offenen Menge]]:

+-- {: .num_defn #OpenSubsetsOfAMetricSpace}
###### Definition
**(Umgebung und offene Menge)**

Sei $(X,d)$ ein [[metric space|metrischer Raum]] (def. \ref{MetricSpace}). Dann sagt man

1. Eine _[[neighbourhood|Umgebung]]_ eines Punktes $x \in X$ ist eine  [[subset|Untermenge]] $x \in U \subset X$, welche mindestens einen [[open ball|offen Ball]] $B_x^\circ(\epsilon)$ um $x$ enthält (def. \ref{OpenBalls}).

1. Eine _[[open subset|offene Menge]]_ von $X$ ist eine [[subset|Untermenge]] $U \subset X$ die für jedes $x \in U$ auch noch eine [[neighbourhood|Umgebung]] von $x$ enthält.

=--

Das folgende Bild zeigt einen Punkt $x$, einige [[open balls|offene Bälle]] $B_i$ die $x$ enthalten, und zwei seiner [[neighbourhoods|Umgebungen]] $U_i$:

> Illustration aus [Munkres 75](#Munkres75)

+-- {: .num_prop #ContinuityBetweenMetricSpacesInTermsOfOpenSets}
###### Proposition
**(Stetigkeit durch offene Mengen ausgedrückt)**

Eine [[function|Funktion]] $f \colon X \to Y$ zwischen [[metric spaces|metrischen Räumen]] (def. \ref{MetricSpace}) ist stetig in dem  [[epsilontic analysis|epsilontischen]] Sinne von def. \ref{EpsilonDeltaDefinitionOfContinuity} genau dann wenn sie die Eigenschaft hat dass:

* ihre [[pre-images|Urbilder]] von [[open subsets|offenen Mengen]] in $Y$ (im Sinne von def. \ref{OpenSubsetsOfAMetricSpace}) sind auch offene Mengen von $X$.

=--

+-- {: principle}
**Prinzip der Stetigkeit**

$\,$ $\,$ _Urbilder offener Mengen sind offen._

=--

$\,$

### Topologische Räume
 {#TopologicalSpaces}

Daher sollten wir uns also gut das Konzept von [[open subset|offenen Mengen]] ansehen. Es stellt sich heraus dass die folgende Abschlusseigenschaft das Konzept von offenen Mengen bereits sinnvoll _charakterisiert_.

+-- {: .num_prop }
###### Proposition
**(Abschlusseigenschaft offener Mengen eines metrischen Raumes)**

Die Menge aller [[open subsets|offenen Mengen]] eines [[metric space|metrischen Raumes]] $(X,d)$ wie in def. \ref{OpenSubsetsOfAMetricSpace} hat die folgenden Eigenschaften:

1. Der [[intersection|Durchschnitt]] einer [[finite number|endlichen Zahl]] von offenen Mengen ist wieder eine offene Menge.

1. Die [[union|Vereinigung]] einer beliebigen [[set|Menge]] von offenen Mengen ist wieder eine offene Menge.

Insbesondere

* die [[empty set|leere Menge]] ist offen (als die Vereinigung keiner Untermenge)

und

* die ganze Menge $X$ selbst ist offen (als Durchschnitt keiner Untermenge).

=--

Dies motiviert die folgende allgemeinere Definition:

+-- {: .num_defn #TopologicalSpace}
###### Definition
**(topologische Räume)**

Gegeben eine [[set|Menge]] $X$, dann ist eine _Topologie_ $\tau$ auf $X$ eine Menge von [[subsets|Untermengen]] von $X$ -- die dann _[[open subsets|offene Mengen]]_ genannt werden -- also eine [[subset|Untermenge]] der [[power set|Potenzmenge]]

$$
  \tau \subset P(X)
$$

so dass diese unter folgenden Operatione abgeschlossen ist:

1. endliche [[intersections|Durchschnitte]];

1. beliebige [[unions|Vereinigungen]].

Ein _[[topological space|topologischer Raum]]_ ist eine Menge $X$ ausgestattet mit einer solchen [[topology|Toplogie]].

=--

Die folgende Illustration zeigt alle Topologien auf der 3-Element Menge (bis auf Permutation der Elemente):

> Illustration aus [Munkres 75](#Munkres75)

Jetzt ist klar wie das Stetigkeitprinzip formalisiert wird.

+-- {: principle}
**Prinzip der Stetigkeit**

$\,$ $\,$ _Urbilder offener Mengen sind offen._

=--

+-- {: .num_defn #ContinuousMaps}
###### Definition
**(stetige Abbildungen)**

Eine _[[continuous function|stetige Abbildung]]_ zwischen [[topological spaces|topologsichen Räumen]]

$$
  f \colon (X, \tau_X) \to (Y, \tau_Y)
$$

ist eine [[function|Funktion]] zwischen den unterliegenden Mengen,

$$
  f \colon X \longrightarrow Y
$$

so dass [[pre-images|Urbilder]] unter $f$ von offenen Mengen in $Y$ wieder offene Mengen in $X$ sind.

=--

Diese einfach Definition von [[open subsets|offenen Untermengen]] und das einfache _Stetigkeitprinzip_
geben der Topologie ihr fundamentales und universelles Gepräge.
Die kombinatoischen Natur dieser Definition macht dass Topologie
enge Bezüge zur [[formal logic|formalen Logik]] hat (mehr dazu siehe _[[locale]]_).

+-- {: .num_remark}
###### Bemerkung
**(die Kategorie der topologischen Räume)**

Die  [[composition|Komposition]] von [[continuous functions|stetigen Abbildungen]] ist offensichtlich [[associativity|assoziativ]] und [[unitality|unital]].

Man sagt dass

1. [[topological spaces|topologische Räume]] sind die [[objects|Objekte]]

1. [[continuous maps|stetige Abbildungen]] sind die [[morphisms|Morphismen]] ([[homomorphisms|Homomorphismen]])

einer _[[category|Kategorie]]_. Die _[[category of topological spaces|Kategorie der topologischen Räume]]_ (kurz: _[[Top]]_ ).

Es ist nützliche eine Ansammlung von [[objects|Objekten]] mit [[morphisms|Morphismen]] dazwischen durch [[diagrams|Diagramme]] darzustellen, wie dieses:

> Illustration aus [Lawvere-Schanuel 09](#category+theory#LawvereSchanuel09).

=--

Unser motivierendes Beispiel ist also folgendes

+-- {: .num_example #MetricTopology}
###### Beispiel
**(metrische Topologie)**

Sei $(X,d)$ ein [[metric space|metrischer Raum]]. Dann ist seine Menge von offenen Mengen im Sinne von def. \ref{OpenSubsetsOfAMetricSpace} eine _[[topological space|Topologie]]_ auf $X$, macht also $X$ zu einem _[[topological space|topologischen Raum]]_ im Sinne von def. \ref{TopologicalSpace}. Dies wird die _[[metric topology|metrische topologie]]_ genannt.

Kurz gesagt, die [[open balls|offenen Bälle]] in einem metrischen Raum sind die "[[basis of a topology|Basis]]" für die [[metric topology|metrische Topologie]].

=--

Ein wichtiger Punkt der allgemeinen Definition von "[[topological space|topologischem Raum]]" ist dass sie Konstruktionen zulässt die intuitiv auf "stetigen Räumen" existieren sollten, aber dies sonst, zum Beispiel in metrischen Räumen, nicht tun:

+-- {: .num_example #DiscreteTopologicalSpace}
###### Beispiel
**(diskrete topologische Räume)**

Sei $S$ eine [[set|Menge]], dann betrachtet die _[[discrete topology|diskrete Topologie]]_ auf $S$ _jede_ Untermenge von $S$ als [[open subset|offene Untermenge]].

=--

+-- {: .num_example #SubspaceTopology}
###### Beispiel
**(Unterraum Topologie)**

Sei $(X, \tau_X)$ ein [[topological space|topologischer Raum]], und sei $X_0 \hookrightarrow X$ eine [[subset|Untermenge]] der zugrunde liegenden Menge. Die zugehörige  _[[topological subspace|Unterraumtopologie]]_ hat dann

* $X_0$ als ihre zugunde liegende Menge,

* die offenen Untermengen sind die Untermengen von $X_0$, welche Einschränkungen von offenen Untermengen in $X$ sind.

(Dies wird auch die _[[initial topology|initiale Topologie]]_ der Injektionsabbildung genannt.)

Die Illustration rechts zeigt zwei offene Untermengen in dem [[square|Quadrat]], betrachtet als [[topological subspace|topologischer Unterraum]] der [[plane|Ebene]] $\mathbb{R}^2$:

> Illustration aus [Munkres 75](#Munkres75)

=--

+-- {: .num_example #QuotientTopologicalSpace}
###### Beispiel
**(topologischer Quotientenraum)**

Sei $(X,\tau_X)$ ein [[topological space|topologischer Raum]] (def. \ref{TopologicalSpace}) und sei

$$
  R_\sim \subset X \times X
$$

eine [[equivalence relation|Äquivalenzrelation]] auf der zugrunde liegenden Menge. Dann hat der _[[quotient topological space|topologische Quotientenraum]]_

* als zugrunde liegende Menge die [[quotient set|quotientenmenge]] $X_{\sim}$, also die Menge von [[equivalence classes|Äquivalenzklassen]],

und

* eine Untermenge $O \subset X_{\sim}$ wird als [[open subset|offene Untermenge]] betrachtet genau dann wenn ihr [[preimage|Urbild]] $\pi^{-1}(O)$ under der kanonischen [[projection map|Projektionsabbildung]]

  $$
    \pi \colon X \to X_\sim
  $$

  eine offene Untermenge von $X$ ist.

(Dies wird auch die _[[final topology|finale Topologie]]_ der Projektion $\pi$ genannt.)

=--

Die obige Illustration zeigt links das [[square|Quadrat]] (ein [[topological subspace|topologischer Unterraum]] der  [[plane|Ebene]]),
dann in der Mitte den resultierenden [[quotient topological space|topologischen Quotientenraum]] erhalten durch Identifizierung zweier gegenüberliegender eiten (der _[[cylinder|Zylinder]]_), und rechts den weiteren Quotientenraum erhalten durch identifizierung auch der verbleibenden beiden Seiten (der _[[torus|Torus]]_).

> Illustration aus [Munkres 75](#Munkres75)

+-- {: .num_example #ProductTopologicalSpace}
###### Beispiel
**(topologischer Produktraum)**

Seien $X$ und $Y$ zwei [[topological spaces|topologische Räume]], dann hat der [[product topological space|topologische Produktraum]] $X \times Y$

*  als zugrunde liegende Menge das [[Cartesian product|kartesische Produkt]] der unterliegenden Mengen $X$ and $Y$,

und

* seine [[open sets|offenen Mengen]] sind die Untermengen $O \subset X \times Y$ des kartesischen Produktes für die gilt dass für alle Punkte $(x,y) \in O$ offene Mengen $x \in O_x \subset X$ und $y \in O_Y \subset Y$ existieren, so dass  $O_x \times O_y \subset O$.

> Illustration aus [Munkres 75](#Munkres75)

=--

Diese Konstruktionen von[[discrete topological spaces|disketen topologischen Räumen]], [[quotient topological spaces|topologischen Quotientenräumen]], [[topological subspaces|topologischen Unterräumen]] und von [[product topological spaces|topologischen Produkträumen]] snd einfache Beispiele für **[[limits|Limiten]]** und **[[colimits|Kolimiten]]** von topologischen Räumen. Die [[category|Kategorie]] [[Top]] von topologischen Räumen hat die nützliche Eigenschaft dass _alle_ [[limits|Limiten]] und [[colimits|Kolimiten]] (über [[small diagrams|kleine Diagramme]]) in ihr existieren (mehr dazu siehe _[Top -- Universelle Konstruktionen](Top#UniversalConstructions)_.)

### Homeomorphismen
 {#Homeomorphisms}

Mit den [[objects|Objekten]] ([[topological spaces|topologischen Räumen]]) und den [[morphisms|Morphismen]] ([[continuous maps|stetige Abbildungen]]) der [[category|Kategorie]] [[Top]] der Topologie also definiert, erhalten wir den Begriff der "Gleichheit" in der Topologie.

Um dies präzise zu machen sagt man dass ein [[morphism|Morphismus]]

$$
  X \overset{f}{\to} Y
$$

in einer [[category|Kategorie]] ein _[[isomorphism|Isomorphismus]]_ ist wenn ein weiterer Morphismus in die andere Richtung existiert

$$
  X \overset{f^{-1}}{\longleftarrow} Y
  \,,
$$

welcher [[inverse|invers]] zu $f$ ist in dem Sinne dass

$$
  f \circ f^{-1} = id_Y \;\;\;\;\; and \;\;\;\;\; f^{-1} \circ f = id_X
  \,.
$$

+-- {: .num_defn #Homeomorphism}
###### Definition
**(Homeomorphismen)**

Ein [[isomorphism|Isomorphismus]] in der [[category|Kategorie]] [[Top]] von [[topological spaces|topologischen Räumen]] mit [[continuous functions|stetigen Abbildungen]] zwischen ihnen heisst _[[homeomorphism|Homeomorphismus]]_.

Das ist also eine [[continuous function|stetige Abbildung]]

$$
  f \;\colon\; X \longrightarrow Y
$$

so dass ein dazu [[inverse|inverser]] [[morphism|Morphismus]] existiert, nämich eine [[continuous function|stetige Funktion]] in der anderen Richtung

$$
  X \longleftarrow Y \;\colon\; f^{-1}
$$

so dass

$$
  f \circ f^{-1} = id_{Y} \;\;\;and\;\;\; f^{-1} \circ f = id_{X}
  \,.
$$

=--

> Illustration aus [Munkres 75](#Munkres75)

+-- {: .num_example #OpenBallsHomeomorphicToRn}
###### Beispiel
**(offenes Intervall homöomorph zur reellen Geraden)**

Das offene [[interval|Intervall]] $(-1,1)$ ist [[homeomorphic|homöomorph]] zu der gesamten [[real line|reellen Geraden]]

$$
  (0,1) \underset{homeo}{\simeq} \mathbb{R}^1
  \,.
$$

Ein [[inverse|inverses]] Paar von [[continuous functions|stetigen Funktionen]] ist zum Beispiel gegeben durch

$$
  \array{
    f &\colon&  \mathbb{R}^1 &\longrightarrow& (-1,+1)
    \\
    && x &\mapsto& \frac{x}{\sqrt{1+ x^2}}
  }
$$

and

$$
  \array{
    f^{-1} &\colon&  (-1,+1) &\longrightarrow& \mathbb{R}^1
    \\
    && x &\mapsto& \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}
  }
  \,.
$$

Allgemein ist jeder [[open ball|offene Ball]] in $\mathbb{R}^n$ (def. \ref{OpenBalls}) [[homeomorphic|homöomorph]] zum ganzen $\mathbb{R}^n$.

=--

+-- {: .num_example #HomeomorphismBetweenTopologicalAndCombinatorialCircle}
###### Beispiel
**(Intervall an den Endpunkten verklebt ist homöomorph zum Kreis)**

Als topologische Räume ist das [[interval|Intervall]] mit identifizierten Endpunkten [[homeomorphic|homöomorph]] (def. \ref{Homeomorphism}) zum [[circle|Einheitskreis]]:

$$
  [0,1]_{/(0 \sim 1)} \;\; \underset{homeo}{\simeq} \;\; S^1
  \,.
$$

Mehr im Detail: Sei

$$
  S^1 \hookrightarrow \mathbb{R}^2
$$

der [[circle|Einheitskreis]] in der  [[plane|Ebene]]

$$
  S^1 = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2, x^2 + y^2 = 1\}
$$

ausgestattet mit der [[subspace topology|Unterraumtopologie]] (Beispiel \ref{SubspaceTopology}) der Ebene $\mathbb{R}^2$, welche selbst mit ihrer standard [[metric topology|metrischen Topologie]] (Beispiel \ref{MetricTopology}) ausgestattet ist.

Darüberhinaus, sei

$$
  [0,1]_{/(0 \sim 1)}
$$

der [[quotient topological space|topologische Quotientenraum]] (Beispiel \ref{QuotientTopologicalSpace}) der aus dem [[interval|Intervall]] $[0,1] \subset \mathbb{R}^1$ mit seine [[subspace topology|Unterraumtopologie]] erhalten wird durch Anwendung der [[equivalence relation|Äquivalenzrelation]], welche die beiden Endpunkte identifiziert (und sonst nichts).

Betrachte dann die Funktion

$$
  f \;\colon\; [0,1] \longrightarrow S^1
$$

gegeben durch

$$
  t \mapsto (cos(t), sin(t))
  \,.
$$

Diese hat die Eigenschaft dass $f(0) = f(1)$, so dass die also absteigt zu einer Funktion auf dem [[quotient topological space|topologischen Quotientenraum]]

$$
  \array{
    [0,1] &\overset{}{\longrightarrow}& [0,1]_{/(0 \sim 1)}
    \\
    & {}_{\mathllap{f}}\searrow & \downarrow^{\mathrlap{\tilde f}}
    \\
    && S^1
  }
  \,.
$$

Wir behaupten dann $\tilde f$ ein [[homeomorphism|Homöomorphismus]] ist (Definition \ref{Homeomorphism}).

Zunächst ist es klar dass $\tilde f$ eine [[continuous function|stetige Funktion]] ist. Das folgt direkt aus der tatsache dass $f$ eine [[continuous function|stetige Funktion]] ist und per Definition der [[quotient topology|Quotiententopologie]] (Beispiel \ref{QuotientTopologicalSpace}).

Wir müssen also prüfen dass $\tilde f$ eine stetige inverse Funtion hat. Offensichtlich hat die Einschränkung von $f$ selbst auf das offene Intervall $(0,1)$ ein stetiges Inverses. Es hat kein stetiges Inverses auf $[0,1)$ und auf $(0,1]$ und hat überhaupt kein Inverses auf [0,1], weil $f(0) = f(1)$. Aber die Relation $[0,1]_{/(0 \sim 1)}$ hat genau die Eigenschaft dass sie diese Probleme herausteilt.

=--

Analog gilt:

Das [[square|Quadrat]] $[0,1]^2$ mit zwei seiner Seiten identifiziert ist der [[cylinder|Zylinder]], und mit zwei weiteren Seiten identifiziert der [[torus|Torus]]:

Wenn die Seiten hingegen mit umgekehrter Orientierung identifiziert werden, dann ist das Resultat das _[[Möbius strip|Möbiusband]]_:

> Illustration aus [Lawson 03](#Lawson03)

$\,$

Wichtige Beispiele von topologischen Räumen die _nicht_ homöomorph sind, enthalten die folgenden:

+-- {: .num_theorem #TopologicalInvarianceOfDimension}
###### Theorem
**([[topological invariance of dimension|topologische Invarianz der Dimension]])**

Seien $n_1, n_2 \in \mathbb{N}$ aber $n_1 \neq n_2$, dann sind die [[Cartesian space|kartesischen Räume]] $\mathbb{R}^{n_1}$ und $\mathbb{R}^{n_2}$ _nicht_ [[homeomorphic|homöomorph]].

Allgemeiner, eine [[open set|offene Menge]] in $\mathbb{R}^{n_1}$ ist nie homöomorph zu einer offenen Menge in $\mathbb{R}^{n_2}$ wenn $n_1 \neq n_2$.

=--

Der beweis des Theorems \ref{TopologicalInvarianceOfDimension} ist überraschend anspruchsvoll, angesichts wie offensichtlich die Aussage intuitiv erscheint. Man benötigt Werkzeuge der _[[algebraic topology|algebraischen Topologie]]_ (insbesondere [[Brouwer's fixed point theorem|den Fixpunktsatz von Brouwer]]).

Wir illustrieren nun die Werkzeuge der [[algebraic topology|algebraischen Topologie]] und demonstrieren die Natur ihrer Anwednung durch den Beweis zweier sehr einfacher Spezialfälle  der [[topological invariance of dimension|topologischen Invarianz der Dimension]] (prop. \ref{TopologicalInvarianceOfDimensionFirstSimpleCase} und prop. \ref{topologicalInvarianceOfDimensionSecondSimpleCase} unten).

+-- {: .num_example }
###### Beispiel
**(Homeomorphismusklassen von Flächen)**

Die [[2-sphere]] $S^2 = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \vert x^2 + y^2 + z^2 = 1\}$ ist _nicht_ [[homeomorphic|homöomorph]] zu dem [[torus|Torus]] $T^2 = S^1 \times S^1$.

Allgemein ist die Homeomorphismusklasse einer [[closed manifold|geschlossenen]] [[orientable|orientierbaren]] [[surface|Fläche]] durch die Anzahl der "Löcher" determiniert die die Fläche hat: ihr _[[genus of a surface|Geschlecht]]_.

=--

$\,$

### Homotopie
  {#Homotopy}

Wir haben oben gesehen dass für $n \geq 1$  der [[open ball|offene Ball]] $B_0^\circ(1)$ in $\mathbb{R}^n$ _nicht_ [[homeomorphic|homöomorph]] zu, insbesondere,  dem Punkt $\ast = \mathbb{R}^0$ ist (Beispiel \ref{OpenBallsHomeomorphicToRn}, Theorem \ref{TopologicalInvarianceOfDimension}). Dennoch ist intuitiv der $n$-Ball eine "stetige Deformierung" des Punktes, den man erhält wenn der Radius des $n$-Balles nach null geht.

Diese Intuition wird durch die Beobachtung präzisiert
dass ein [[continuous function|stetige Funktion]] existiert auf dem  [[product topological space|topologischen Produktraum]]
(Beispiel \ref{ProductTopologicalSpace}) des offenen Balles mit dem geschlossenen [[interval|Intervall]]

$$
  \eta \colon [0,1] \times B_0^\circ(1)  \longrightarrow \mathbb{R}^n
$$

gegeben durch Reskalierung:

$$
  (t,x) \mapsto t \cdot x
  \,.
$$

Dies interpoliert stetig zwischen dem offenen Ball und dem Punkt, in dem Sinne dass für $t = 1$ die Abbildung sich auf die definierende Einbettung einschränkt $B_0^\circ(1)$, währende sie für $t = 0$ konstant ist.

Wir können diese Siutation zusammenfassen durch ein [[diagram|Diagramm]] von [[continuous function|stetigen Abbildungen]] der folgenden Form:

$$
  \array{
    B_0^\circ(1) \times \{0\}
    \\
    \downarrow & \searrow^{\mathrlap{x \mapsto 0}}
    \\
    [0,1] \times B_0^\circ(1)
    &\overset{(t,x) \mapsto t \cdot x}{\longrightarrow}&
    \mathbb{R}^n
    \\
    \uparrow & \nearrow_{\mathrlap{inclusion}}
    \\
    B_0^\circ(1) \times \{1\}
  }
$$

Solche "stetigen Deformationen" heissen _[[homotopies|Homotopien]]_:

+-- {: .num_defn #LeftHomotopy}
###### Definition
**(Homotopie)**

Seien $f,g\colon X \longrightarrow Y$ zwei [[continuous functions|stetige Funktionen]] zwischen [[topological spaces|topologischen Räumen]] $X,Y$, dann ist eine _[[left homotopy|(linke) Homotopie]]_

$$
  \eta \colon f \,\Rightarrow_L\, g
$$

eine [[continuous function|stetige Funktion]]

$$
  \eta \;\colon\; X \times I \longrightarrow Y
$$

aus dem [[product topological space|topologischen Produktraum]] (Beispiel \ref{ProductTopologicalSpace}) des offenen Balles mit
dem standard Intervall, so dass dies in ein [[commuting diagram|kommutierendes Diagramm]] der folgenden Form passt:

$$
  \array{
     {0} \times X
     \\
     {}^{\mathllap{(id,\delta_0)}}\downarrow & \searrow^{\mathrlap{f}}
     \\
     [0,1] \times X  &\stackrel{\eta}{\longrightarrow}& Y
     \\
     {}^{\mathllap{(id,\delta_1)}}\uparrow & \nearrow_{\mathrlap{g}}
     \\
     \{1\} \times X
  }
  \,.
$$

> Illustration von J. Tauber [here](http://jtauber.com/blog/2005/07/01/path_homotopy/)

=--

+-- {: .num_defn #HomotopyEquivalence}
###### Definition
**(Homotopieäquivalenz)**

Eine [[continuous function|stetige Funktion]] $f \;\colon\; X \longrightarrow Y$
heisst _[[homotopy equivalence|Homotopieäquivalenz]]_ wenn

1. es eine stetige Abbildung in der anderen Richtung gibt,
$g \;\colon\; Y \longrightarrow X$,

1. sowie [[left homotopies]], def. \ref{LeftHomotopy}, from the two composites to the identity:

  $$
    \eta_1 \;\colon\; f\circ g \Rightarrow_L id_Y
  $$

  and

  $$
    \eta_2 \;\colon\; g\circ f \Rightarrow_L id_X
    \,.
  $$

=--

+-- {: .num_example}
###### Beispiel
**(der offene Ball ist kontrahierbar)**

Jeder [[open ball|offene Ball]] (oder geschlossene Ball) also
(nach Beispiel \ref{OpenBallsHomeomorphicToRn}) auch jeder [[Cartesian space|kartesische Raum]] ist [[homotopy equivalence|homotopieäquivalent]] zum Punkt

$$
  \mathbb{R}^n \underset{homotopy}{\simeq} \ast
  \,.
$$

=--

+-- {: .num_example}
###### Beispiel

Die folgenden drei [[graphs|Graphen]]

(also die offensichtlichen [[topological subspaces|topologischen Unterräume]] der [[plane|Ebene]] $\mathbb{R}^2$ die diese Bilder anzeigen) sind nicht [[homeomorphic|homöomorph]]. Aber sie sind [[homotopy equivalence|homotopieäquivalent]], tatsächlich sind sie alle homotopieäquivalent zur [[disk|Scheibe]] aus der zwei Punkte entnommen sind, kraft der Homotopien die in folgenden Bildern angedeutet sind:

> Illustration aus [Hatcher](homotopy+equivalence#Hatcher)

=--

$\,$

### Zusammenhangskomponenten
 {#ConnectedComponents}

Unter Verwendung des Begriffs der [[homotopy|Homotopie]] erhält man die grundlegnden Werkzeuge der [[algebraic topology|algebraischen Topologie]], nämlich die Konstruktion algebraischer [[homotopy invariants|Homotopieinvarianten]] von topologischen Räumen. Wir führen hier die einfachsten dieser Werkzuge ein und illustrieren deren Anwendung.

+-- {: .num_example}
###### Bespiel

Eine [[homotopy|Homotopie]] zwischen zwei Punkten

$x,y \;\colon\; \ast \to X$

ist einfach ein stetiger [[path|Pfad]] zwischen diesen Punkten.

=--

+-- {: .num_defn #pi0}
###### Definition
**(Zusammenhangskomponenten)**

Die Megen der [[homotopy classes|Homotopieklassen]] von Punkten in einem topologischen Raum $X$ heisst die Menge der _[[connected components|Pfadzusammenhangskomponenten]]_, bezeichnet durch

$$
  \pi_0(X) \in Set
  \,.
$$

Wen $\pi_0(X) \simeq \ast$ ein einzelnes Element enthält, dann heisst $X$ ein _[[path-connected topological space|pfad-zusammenhängender topologischer Raum]]_.

Wenn $f \colon X \to Y$ eine [[continuous map|stetige Abbildung]] zwischen [[topological spaces|topologischen Räumen ist]], dann indizuiert sie auf [[homotopy classes|Homotopieklassen]] von Punkten eine  [[function|Funktion]] zwischen den Zusammenhangskomponenten. Diese bezeichnen wir durch:

$$
  \pi_0(f) \;\colon\; \pi_0(X) \longrightarrow \pi_0(Y)
  \,.
$$

=--

Diese Konstruktion ist offenbar mit [[composition|Komposition]] verträglich, in dem Sinne dass

$$
  \pi_0(g \circ f) = \pi_0(g) \circ \pi_0(f)
$$

und ist offensichtlich [[unitality|unital]], in dem Sinne dass

$$
  \pi_0(id_X) = id_{\pi_{0}(X)}
  \,.
$$

Man fasst diesen sachverhalt zusammen indem man sagt dass $\pi_0$  _[[functor|Funktor]]_ ist von der [[category|Kategorie]] [[Top]] von [[topological spaces|topologischen Räumen]] zu der [[category|Kategorie]] [[Set]] der [[sets|Mengen]]:

$$
  \pi_0 \;\colon\; Top \longrightarrow Set
  \,.
$$

Eine offensichtliche aber wichtige Konsequen ist dies:

+-- {: .num_prop #ConnectedComponentsDistinctImpliesHeomeClassesDistinct}
###### Proposition

Wenn die Mengen von [[connected components|Zusammenhangskomponenten]] zweier [[topological spaces|topologischer Räume]] nicht [[bijection|bijektiv]] sind, dann können die beiden Räume nicht [[homeomorphism|homöomorph]] zueinander sein:

$$
  \pi_0(X) \neq \pi_0(Y)
  \;\;\;
    \Rightarrow
  \;\;\,
  X \underset{homeo}{\neq} Y
$$

=--

+-- {: .proof}
###### Beweis

Da $\pi_0$ [[functor|funktoriell]] ist, folgt sofort das es  [[isomorphisms|Isomorphismen]] auf [[isomorphisms|Isomorphismen]] schickt, also [[homeomorphisms|Homöomorphismen]] auf [[bijections|Bijektionen]]:

$$
  \begin{aligned}
     & f \circ g = id \;\;and\;\; g \circ f = id
    \\
    \Rightarrow \;\;\;\;\;\;&
    \pi_0(f \circ g) = \pi_0(id) \;\;und \;\; \pi_0(g \circ f) = \pi_0(id)
    \\
    \Leftrightarrow \;\;\;\;\;\;
    &
    \pi_0(f) \circ \pi_0(g) = id \;\;und \;\; \pi_0(g) \circ \pi_0(f) = id
  \end{aligned}
  \,.
$$

=--

Dies bedeutet dass wir dir Zuammenhangskomponenten als eine erste  "topologische Invariante" betrachten können, welche uns erlaubt manche topologischen Räume zu unterscheiden.

+-- {: principle}
**Prinzip der algebraischen Topologie**

$\,\,$ _Verwende topologische Invarianten um topologische Räume zu unterscheiden._

=--

Als Anwendungsbeispiel haben wir den folgenden Beweis eines Spezialfalls der [[topological invariance of dimension|topologischen Invarianz der Dimension]] (Theorem \ref{TopologicalInvarianceOfDimension}):

+-- {: .num_prop #TopologicalInvarianceOfDimensionFirstSimpleCase}
###### Proposition
**([[topological invariance of dimension|topologische Invarianz der Dimension]] -- erster einfacher Fall)**

Die [[Cartesian spaces|kartesische Räume]] $\mathbb{R}^1$ und $\mathbb{R}^2$ sind nicht [[homeomorphic|homöomorph]] (def. \ref{Homeomorphism}).

=--

+-- {: .proof}
###### Beweis

Wir nehmenn an e gäbe einen [[homeomorphism|Homöomorphismus]]

$$
  f \colon \mathbb{R}^1 \longrightarrow \mathbb{R}^2
$$

und werden einen Widerspruch erhalte. Sei also $f$ ein Homeomorphismus, dann ist offensichtlich auch seine Einschränkung auf den [[topological subspaces|topologischen Unterraum]] (Beispiel \ref{SubspaceTopology}) den man durch Entfernen des Ursprunges $0 \in \mathbb{R}^1$ and $f(0) \in \mathbb{R}^2$ erhält ein Homeomorphismus:

$$
  f
    \;\colon\;
  (\mathbb{R}^1-\{0\})
    \longrightarrow
  (\mathbb{R}^2 - \{f(0)\})
  \,.
$$

Es folgt also dass wir ein Bijektion zwischen den [[connected components|Zusammenhangskomponenten]] $\pi_0(\mathbb{R}^1 - \{0\})$ und $\pi_0(\mathbb{R}^2  - \{f(0)\})$ erhalten würden. Aber eine solche existiert offensichtlich nicht, da letztere Menge nur ein Element enthält, aber erstere Menge zwei Elemente enhält (die negativen und die positiven Zahlen )

$$
  \pi_0(\mathbb{R}^1-\{0\})
    \;\neq\;
  \pi_0(\mathbb{R}^2 - \{f(0)\})
  \,.
$$

=--

Die Lehre aus dem beweis von prop. \ref{TopologicalInvarianceOfDimensionFirstSimpleCase} ist seine Strategie:

+-- {: principle}
**Prinzip der algebraischen Topologie**

$\,\,$ _Verwende topologische Invarianten um topologische Räume zu unterscheiden._

=--

Natürlich verwendet man in der Praxis stärkere Invarianten als nur $\pi_0$.

Die enächset topologische Invariante nach den [[connected components|Zusammenhangskomponenten]] ist die _[[fundamental group|Fundamentalgruppe]]:

### Fundamentalgruppe
 {#FundamentalGroups}

+-- {: .num_defn #FundamentalGroup}
###### Definition
**(Fundamentalgruppe)**

Sei $X$ ein [[topological space|topologischer Raum]] und sein $x \in X$ ein gegebener Punkt. Dann schreiben wir

$$
  \pi_1(X,x)
    \;\in\;
  Grp
$$

für, zunächst, die Menge von [[homotopy classes|Homotopieklassen]] von [[paths|Pfaden]] in $X$ die bei $x$ starten und enden. Solche Pfade heissen stetige [[loops|Schleifen]] in $X$ basiert bei $x$.

1. Unter Aneinanderhängen von Schleifen wird $\pi_1(X,x)$ zu einer [[semi-group|Semigruppe]];

1. die konstante Schleife ist [[neutral element|neutrales Element]] und macht $\pi_1(X,x)$ zu einem "[[monoid|Monoiden]]".

1. Umkehrung von Schleifen schickt sie auf ihr [[inverse|Inverses]], und macht $\pi_1(X,x)$ zu einer [[group|Gruppe]].

Diese heisst die _[[fundamental group|Fundamentalgrupp]]_ $\pi_1(X,x)$ von $X$ bei $x$.

=--

Das folgende Bild deutet die vier nicht-trivialen Generatoren der [[fundamental group|Fundamentalgruppe]] der orientierten [[surface|Fläche]] vom [[genus of a surface|Geschlecht]] 2:

> Illustration aus [Lawson 03](#Lawson03)

Auch diese Konstruktion ist [[functor|funktoriell]], nun auf der  [[category]] $Top^{\ast/}$ von [[pointed topological spaces|punktierten topologischen Räumen]]:

$$
  \pi_1 \;\colon\; Top^{\ast/} \longrightarrow Grp
  \,.
$$

As $\pi_0$, so also $\pi_1$ is a topological invariant. As before, we may use this to prove a simple case of the theorem of the [[topological invariance of dimension]]:

+-- {: .num_defn #SimplyConnected}
###### Definition

Ein topologischer Raum $X$ für den

1. $\pi_0(X) \simeq \ast$ ([[path-connected topological space|pfad-zusammenhängend]], def. \ref{pi0})

1. $\pi_1(X,x) \simeq 1$ (die Fundamentalgruppe ist [[trivial group|trivial]], def. \ref{FundamentalGroup}),

heisst _[[simply connected topological space|einfach zusammenhängend]]_.

=--

+-- {: .num_prop #topologicalInvarianceOfDimensionSecondSimpleCase}
###### Proposition
**([[topological invariance of dimension|topologische Invarianz der Dimension]] -- zweites einfaches Beispiel)**

Es gibt  _keinen_ [[homeomorphism|Homöomorphismus]] zwischen $\mathbb{R}^2$ und $\mathbb{R}^3$.

=--

+-- {: .proof}
###### Beweis

Wir nehmen an es gäbe einen Homeomorphismus $f$ und werden einen Widerspruch herleiten.

Sei also $f$ ein Homeomorphismus, dann ist auch seine Einschränkung auf das Komplement eines Punktes einer

$$
  (\mathbb{R}^2 - \{0\})
    \longrightarrow
  (\mathbb{R}^3 - \{f(0)\})
  \,.
$$

Diese Räume sind beide zusammenhängend, lassen sich also durch $\pi_0$ nicht unterscheiden.

Aber ihre [[fundamental groups|Fundamentalgruppen]] $\pi_1$ sind unterschiedlich:

1. Die Fundamentalgruppe von $\mathbb{R}^{2} - \{0\}$ ist $\mathbb{Z}$ (die Windungszahl von Schleifen um den entfernten Punkt).
Wir diskutieren dies näher unten in Beispiel \ref{FundamentalGroupOfTheCircle}.

1. Die Fundamentalgruppe von  $\mathbb{R}^3 - \{f(0)\}$ its trivial: der einzelne fehlende Punkt hindert nicht daran Schleifen beliebig zusammenzuziehen.

Aber weil die Konstrution der Fundamentalgruppe[[functor|funktiell]] sit, so folgt, mit de gleichen Argument wie in dem Beweis von Prop. \ref{ConnectedComponentsDistinctImpliesHeomeClassesDistinct},
dass also $f$ kein [[isomorphism|Isomorphismus]] sein kein, also kein [[homeomorphism|Homöomorphismus]].

=--

$\,$

### Überlagerungsraum
 {#CoveringSpaces}

Wir diskutieren nun eine "duale Erscheinungsform" der Fundamentalgruppe $\pi_1$, welche oft hilft sie zu berechnen.

+-- {: .num_defn #CoveringSpace}
###### Definition
**(Überlagerungsraum)**

Ein _[[covering space|Überlagerungsraum]]_ über einem [[topological space|topologischer Raum]] $X$ ist eine [[continuous map|stetige Abbildung]]

$$
  p \;\colon\; E \longrightarrow X
$$

so dass eine [[open cover|offene Überdeckung]] existiert

$$
  \underset{i}{\sqcup}U_i \longrightarrow X
$$

so dass die Einschränkung von $E \overset{p}{\to} X$ auf jedes der  [[homeomorphic|homöomorph]] ist zu dem [[product topological space|topologischen Produktraum]] (Beispiel \ref{ProductTopologicalSpace}) von $U_i$
mit dem [[discrete topological space|diskreten topologischen Raum]] (Beispiel \ref{DiscreteTopologicalSpace}) auf einer [[set|Menge]] $F_i$:

$$
  \array{
    \underset{i}{\sqcup} U_i \times F_i &\longrightarrow&  E
    \\
    \downarrow &(pb)& \downarrow^{\mathrlap{p}}
    \\
    \underset{i}{\sqcup} U_i &\underset{}{\longrightarrow}& X
  }
  \,.
$$

Für $x \in U_i \subset X$ ein Punkt heissen die Element von $F_x  = F_i$ die _[[leaf|Blätter]]_ der Überlagerung an diesem Punkt.

=--

+-- {: .num_example #kForlCovringOfCircle}
###### Beispiel
**(Überdeckung des Kreises durch den Kreis)**

Betrachte den [[circle|Kreis]] $S^1 = \{ z \in \mathbb{C}  \;\vert\; {\vert z\vert} = 1 \}$ als den [[topological subspace|topologischen Unterraum]] von Elementen mit [[absolute value|Betrag]] 1 in der  [[complex plane|komplexen Ebene]].
Für $k \in \mathbb{N}$, betrachte die stetige Funktion

$$
  p \coloneqq (-)^k \;\colon\; S^1 \longrightarrow S^1
$$

die eine komplexe Zahl auf ihr $k$-te Potenz schickt.

Man denk sich dies als "der Kreis windet sich $k$ mal um sich selbst".
Präzise: für $k \geq 1$ ist dies ein [[covering space|Überlagerungsraum]]
(Def. \ref{CoveringSpace}) mit $k$ Blättern an jedem Punkt.

> Illustration aus [Hatcher](homotopy+equivalence#Hatcher)

=--

+-- {: .num_example #CoveringOfCircleByRealLine}
###### Beispiel
**(Überlagerung des Kreises durch die reelle Gerade)**

Betrachte die [[continuous function|stetige Funktion]]

$$
  \exp(2 \pi i(-)) \;\colon\; \mathbb{R}^1 \longrightarrow S^1
$$

von der [[real line|reellen Geraden]] zum [[circle|Kreis]],
welche

1. mit the Kreis betrachtet als der Einheitskreis in der [[complex plane|komplexen Ebene]] $\mathbb{C}$ durch

   $$
     t \mapsto \exp(2\pi i t)
   $$

   gegeben ist

1. mit dem Kreis betrachtet als Einheitskreis in $\mathbb{R}^2$ durch

   $$
     t \mapsto ( cos(2\pi t), sin(2\pi t) )
   $$

   gegeben ist.

Man darf sich dies vorstellen als  "das unendliche Umwickeln des Kreises durch die reelle Achse".

Präzise: dies ist ein [[covering space|Überlagerungsraum]] (def. \ref{CoveringSpace}) mit  [[leaves|Blattmenge]] an jedem Punkt isomorph zur Menge $\mathbb{Z}$ der [[natural numbers|ganzen Zahlen]].

=--

+-- {: .num_defn #ActionOfFundamentalGroupOnFibersOfCovering}
###### Definition
**(Wirkung der Fundamentalgruppe auf Blätter einer Überlagerung)**

Sei $E \overset{\pi}{\longrightarrow} X$ ein [[covering space|Überlagerungsraum]] (def. \ref{CoveringSpace}).

Dann gilt für jeden Punkt $x \in X$ und jede Wahl von Element $e \in F_x$ aus der [[leaf space|Blattmenge]] über $x$,
es existiert, bis auf  [[homotopy|Homotopie]], eine eindeutige Hebung

* eines Pfades in $X$ der ein Element $\gamma$ der [[fundamental group|Fundamentalgruppe]] $\pi_1(X,x)$ (def. \ref{FundamentalGroup})  repräsentiert

* zu einem stetigen Pfad in $E$ der bei $e$ beginnt.

Dieser Pfad endet notwendigerwise and einem (anderen) Punkt

$$
  \rho_\gama(e) \in F_x
$$

in derselben [[fiber|Faser]].

Diese Kontruktion gibt eine [[function|Funktion]]

$$
  \array{
    \rho &\colon& F_x \times \pi_1(X,x) &\longrightarrow& F_x
    \\
    && (e,\gamma) &\mapsto& \rho_\gamma(e)
  }
$$

aus dem [[Cartesian product|kartesischen Produk]] des [[leaf space|Blattraumes]] mit der [[fundamental group|Fundamentalgruppe]]. Diese Funtion ist kompatibel mit der [[group|Gruppen]]-Struktur auf $\pi_1(X,x)$, in dem Sinne dass die folgenden [[commuting diagram|Diagramme kommutieren]]:

$$
  \array{
    F_x \times \{const_x\} && \longrightarrow && F_x \times \pi_1(X,x)
    \\
    & {}_{\mathllap{id}}\searrow && \swarrow_{\mathrlap{\rho}}
    \\
    && F_x
  }
  \;\;\;\;\;\;
  \left(
  \array{
    \text{das neutrale Element,}
    \\
    \text{also die konstante Schleife}
    \\
    \text{wirkt trivial}
  }
  \right)
$$

and

$$
  \array{
    F_x \times \pi_1(X,x) \times \pi_1(X,x)
      &\overset{\rho \times id}{\longrightarrow}&
    F_x \times \pi_1(X,x)
    \\
    {}^{\mathllap{id \times ((-)\cdot(-))}}\downarrow && \downarrow^{\mathrlap{\rho}}
    \\
    F_x \times \pi_1(X,x)
      &\underset{\rho}{\longrightarrow}&
    F_x
  }
  \;\;\;\;\;\;
  \left(
  \array{
    \text{die Wirkung von zwei Gruppenelementen }
    \\
    \text{ist die gleiche wie}
    \\
    \text{erst beide Elemente zu verknüpfen}
    \\
    \text{und dann mit dem Produkt zu wirken}
  }
  \right)
  \,.
$$

Man sagt auch dass $\rho$ eine _[[action|Wirkung]]_ oder _[[permutation representation|Permutationsdarstellung]]_ von $\pi_1(X,x)$ auf $F_x$ ist.

For $G$ irgend eine [[group|Gruppe]], dann gibt es eine [[category|kategorie]] $G Set$ deren [[objects|Objekte]] die [[sets|Mengen]]
mit  $G$-[[action|Wirkung]] sind, und deren [[morphisms|Morphismen]] solche [[function|Funktionen]] sind die diese $G$-Wirkung respektieren.

Die obige Konstruktion ist dann ein [[functor|Funktor]] der Form

$$
  Cov(X) \longrightarrow \pi_1(X,x) Set
  \,.
$$

=--

+-- {: .num_example }
###### Beispiel
**(drei-blättrige Überdeckung des Kreises)**

Es gibt, bis auf [[isomorphism|Isomorphismus]], drei uterschiedliche 3-blättrige [[covering spaces|Überlagerungen]] des [[circle|Kreises]] $S^1$.

Die von Beeispiel \ref{kForlCovringOfCircle} für $k = 3$. Und eine andere. Und die triviale. Die zugehörigen [[permutation actions|Permutationswirkungen]] sind in dem bild rechts angedeutet.

> graphics grabbed from [Hatcher](homotopy+equivalence#Hatcher)

=--

Wir sind jetzt bereit den Hauptsatz über die [[fundamental group|Fundamentalgruppe]] zu nennen.

Wir bnötigen nur noch die folgende technische Bdingung. Diese ist für alle "sinnvollen" topologischen Räume erfüllt:

+-- {: .num_defn #SemiLocallySimplyConnected}
###### Definition
**(semi-lokal einfach zusammenhängend)**

Ein [[topological space|topologischer Raum]] $X$ heisst

1. _[[locally path-connected|lokal pfad-zusammenhängend]]_ wenn für jeden Punkt $x \in X$ und für jede [[neighbourhoodUmgebung]] $x \in U \subset X$ gilt dass
eine Umgebung $x \in V \subset U$ existiert so dass $V$  [[path-connected topological space|pfad-zusammenhängend]] ist (def. \ref{pi0});

1. _[[semi-locally simply connected topological space|semi-lokal einfach zusammenhängend]]_ wenn jeder Punkt $x \in X$ eine  [[neighbourhood|Umgebung]] $x \in U \subset X$ hat so dass der induzierte Morphismus von [[fundamental groups|Fundamentalgruppen]] $\pi_1(U,x) \to \pi_1(X,x)$ trivial ist (also jedes Element auf das [[neutral element|neutrale Element]] schickt).

=--

+-- {: .num_theorem #FundamentalTheoremOfCoveringSpaces}
###### Theorem
**([[fundamental theorem of covering spaces|Fundamentalsatz der Überlagerungstheorie]])**

Sei $X$ ein [[topological space|topologischer Raum]] der [[connected topological space|pfad-zusammenhängend]] (def. \ref{pi0}),
[[locally path-connected topological space|lokal pfad-zusammenhängend]] (def. \ref{SemiLocallySimplyConnected})
und [[semi-locally simply connected topological space|semi-lokal einfach zusammenhängend]] ist (def. \ref{SemiLocallySimplyConnected}).

Dann ist für jedes $x \in X$ der Funktor
$$
  Fib_x \;\colon\; Cov(X) \overset{}{\longrightarrow} \pi_1(X,x) Set
  \,.
$$

von def. \ref{ActionOfFundamentalGroupOnFibersOfCovering} der die [[action|Wirkung]] der [[fundamental group|Fundamentalgruppe]] von $X$ auf die Menge der [[leaves|Blätter]] über $x$ konstruiert
hat die folgenden Eigenschaften:

1. jede [[isomorphism class|Isomorphieklasse]] von $\pi_1(X,x)$-[[actions|Wirkungen]] ist im Bild des Funktors (man sagt: der Funktor ist _[[essentially surjective functor|essentiell surjectiv]]_);

1. für je zwei Überlagerungsräume $E_1, E_2$ of $X$ ist die Abbildung au [[hom-sets|Morphismen-Mengen]]

   $$
     Fib_x \;\colon\; Hom_{Cov(X)}(E_1, E_2) \longrightarrow Hom( Fib_x(E_1), Fib_x(E_2) )
   $$

   eine [[bijection|Bijektion]] (man sagt der Funktor ist _[[fully faithful functor|voll true]]_ ).

Ein Funktor mit diesen Eigenschaften heisst _[[equivalence of categories|Äquivalenz von Kategorien]]_:

$$
  Cov(X) \overset{\simeq}{\longrightarrow} \pi_1(X,x) Set
  \,.
$$

=--

Dies hat einige interessante Konsequenzen...

$\,$

$\,$

Every sufficiently nice topological space $X$ as above has a covering which is [[simply connected topological space|simply connected]]
(def. \ref{SimplyConnected}). This is the covering corresponding, under the [[fundamental theorem of covering spaces]]
(theorem \ref{FundamentalTheoremOfCoveringSpaces}) to the action of $\pi_1(X)$ on itself.
This is called the _[[universal covering space]]_ $\hat X \to X$. The above theorem implies that the
[[fundamental group]] itself may be recovered as the [[automorphisms]] of the universal covering space:

$$
  \pi_1(X) \simeq Aut_{Cov_{/X}}(\hat X, \hat X)
  \,.
$$

+-- {: .num_example #FundamentalGroupOfTheCircle}
###### Example
**(computing the fundamental group of the circle)**

The covering $\exp(2\pi i(-)) \;\colon\; \mathbb{R}^1 \to S^1$ from example \ref{CoveringOfCircleByRealLine}
is [[simply connected topological space|simply connected]] (def. \ref{SimplyConnected}), hence must be the [[universal covering space]],
up to [[homeomorphism]].

It is fairly straightforward to see that the only [[homeomorphisms]] from $\mathbb{R}^1$ to itself
over $S^1$ are given by [[integer]] translations by $n \in \mathbb{N} \hookrightarrow \mathbb{R}$:

$$
  \array{
    \mathbb{R}^1
      &&
        \underoverset{\simeq}{t \mapsto t + n}{\longrightarrow}
      &&
    \mathbb{R}^1
    \\
    & {}_{\mathllap{\exp(2 \pi i(-))}}\searrow && \swarrow_{\mathrlap{\exp(2 \pi i(-))}}
    \\
    && S^1
  }
  \,.
$$

Hence

$$
  Aut_{Cov_{/S^1}}(\hat S^1, \hat S^1) \simeq \mathbb{Z}
$$

and hence the [[fundamental group]] of the [[circle]] is the additive group of [[integers]]:

$$
  \pi_1(S^1) \simeq \mathbb{Z}
  \,.
$$

=--

$\,$

***

$\,$

## Literatur

Einführende Lehrbücher:

* {#Munkres75} [[James Munkres]], _Topology_, Prentice Hall 1975 (2000)

* {#Lawson03} Terry Lawson, _Topology: A Geometric Approach_, Oxford University Press (2003) ([pdf](http://users.metu.edu.tr/serge/courses/422-2014/supplementary/TGeometric.pdf))

Siehe auch die Literatur unter _[[algebraic topology|algebraische Topologie]]_.

Kurzeinführungen:

* [[Friedhelm Waldhausen]], _Topologie_ ([pdf](https://www.math.uni-bielefeld.de/~fw/ein.pdf))

* Alex Kuronya, _Introduction to topology_, 2010 ([pdf](https://www.uni-
frankfurt.de/64271720/TopNotes_Spring10.pdf))

* Anatole Katok, Alexey Sossinsky, _Introduction to modern topology and geometry_ ([pdf](http://www.personal.psu.edu/axk29/MASS-07/Background-forMASS.pdf))

Siehe auch

* [[Topospaces]], ein Wiki mit Grundlagen zur Topologie.


topologist's sine curve

+-- {: .rightHandSide}
+-- {: .toc .clickDown tabindex="0"}
### Context###
#### Topology
+-- {: .hide}
[[!include topology - contents]]
=--
=--
=--

## References

* Wikipedia, _[Topologist's sine curve](https://en.wikipedia.org/wiki/Topologist%27s_sine_curve)_


topologizing filter

# Topologizing filters
* table of contents
{: toc}

## Definition

Let $R$ be a (possibly noncommutative associative) [[ring]] (unital or [[rng|not]]). The collection of one sided (say right) [[ideal of a ring|ideals]] has a [[partial order]] with respect to inclusion; a [[filter]] with respect to this partial order is a set of right ideals $F$ such that $R\in F$; if $I$,$J$ are right ideals, $I\in F$ and $I\subset J$ then $J\in F$; and if $I,J\in F$ then $I\cap J\in F$.

A filter of ideals in $R$ is __topologizing__ if

1. it is [[uniform filter|uniform]],
   i.e. for any $I\in F$ and $r\in R$, the right ideal

   $$
   (I:r) := \{s\in R \,|\, rs\in I\}
   $$

   is in $I$.

2. if $J\in F$ and $(I:r)\in F$ for all $r\in J$ then $I\in F$.

## Properties

The term topologizing is explained by the following statement:

+-- {.un_prop}
###### Proposition

A topologizing set of right ideals in a ring $R$ is a basis of neighborhoods of $0$ for a topology on $R$.
=--

## References

* Carl Faith, Algebra Vol. I, page 520

* Harold Simmons, _The semiring of topologizing filters of a ring_, [doi](http://dx.doi.org/10.1007/BF02772572)

[[!redirects topologizing filter]]
[[!redirects topologizing filters]]
[[!redirects topologising filter]]
[[!redirects topologising filters]]


topologizing subcategory

+-- {: .rightHandSide}
+-- {: .toc .clickDown tabindex="0"}
### Context
#### Category theory
+-- {: .hide}
[[!include category theory - contents]]
=--
#### Notions of subcategory
+-- {: .hide}
[[!include notions of subcategory]]
=--
=--
=--

#Contents#
* table of contents
{:toc}

## Definition

A [[full subcategory]] $T$ of an [[abelian category]] $A$ is __topologizing__ if

* it is closed with respect to finite [[coproduct]]s (taken in $A$)

* with any object, it contains all its [[subquotient]]s in $A$

In particular, it is nonempty: it contains a [[zero object]] (which equals to the coproduct of the [[empty set]] of objects).

A topologizing subcategory is a [[thick subcategory]] *in strong sense* if it is also closed under [[extension]]s.

The terminology topologizing subcategory is (probably) coming from the related notion of a [[topologizing filter]] from the localization theory of rings.

## Properties

The classes of topologizing subcategories, [[reflective subcategory|reflective]] topologizing  subcategories and [[coreflective subcategory|coreflective]] topologizing subcategories are closed under [[Gabriel multiplication]] defined on the class of full subcategories of $A$. Given a (not necessarily unital) ring $R$, any reflective topologizing subcategory of $R$-$\mathrm{Mod}$ is coreflective.

## Related concepts

Related entries include [[defining ideal of a topologizing subcategory]], [[neighborhood of a topologizing subcategory]], [[Gabriel multiplication]], [[thick subcategory]], [[Serre subcategory]], [[local abelian category]], [[differential monad]], [[localization of an abelian category]].

## References

* A. L. [[Alexander Rosenberg|Rosenberg]], _Noncommutative algebraic geometry and representations of quantized algebras_, MIA __330__, Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1995. xii+315 pp. ISBN: 0-7923-3575-9

* V. A. Lunts, A. L. Rosenberg, _Differential calculus in noncommutative algebraic geometry I. D-calculus on noncommutative rings_, MPI 1996-53 [pdf](http://www.mpim-bonn.mpg.de/preblob/3894)

[[!redirects topologizing subcategories]]