analytic torsion

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###Context###
#### Riemannian geometry
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[[!include Riemannian geometry - contents]]
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#Contents#
* table of contents
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## Idea

What is called _analytic torsion_ or _Ray-Singer torsion_ ([Ray-Singer 73](#RaySinger73)) is the invariant $T(X,g)$ of a [[Riemannian manifold]] $(X,g)$ given by a product of powers of the [[functional determinants]] $det_{reg} \Delta|_{\Omega^p}$ of the [[Laplace operators]] $\Delta|_{\Omega^p}$ of the manifold acting on the space of [[differential p-forms]]:

$$
  T(X,g)
  \coloneqq
  \underset{p}{\prod}
  \left(det_{reg} \Delta|_{\Omega^p}\right)^{-(-1)^p \frac{p}{2}}
  \,.
$$

This analytic torsion is an  [[analogy|analogue]] in [[analysis]] of the invariant of [[topological manifolds]] called _[[Reidemeister torsion]]_. The two agree for compact Riemannian manifolds ([Cheeger 77](#Cheeger77)).

## Properties

### Relation to Iwasawa theory

According to ([Morishita 09](arithmetic+topology#Morishita09)) the relation between Reidemeister torsion and analytic torsion is analogous to that between [[Iwasawa polynomials]] and [[zeta functions]] obtained by [[adelic integration]]. (...)

### Relation to Selberg and Ruelle zeta function
 {#RelationToSelbergZeta}

The [[special value of L-functions|special value]] of a [[Ruelle zeta function]] at $s= 0$ is expressed by [[Reidemeister torsion]]

([Fried 86](#Fried86))

### Relation to Chern-Simons theory

Analytic torsion appears as one factor in the [[perturbation theory|perturbative]] [[path integral]] [[quantization]] of [[Chern-Simons field theory]]. See there at _[Quantization -- Perturbative -- Path integral quantization](http://ncatlab.org/nlab/show/Chern-Simons+theory#PerturbativePathIntegralQuantization)_.

## References

* {#RaySinger73} D. Ray, [[Isadore Singer]], _Analytic torsion for complex manifolds_, Ann. Math. __98__, 1 (1973), 154--177.

* {#Cheeger77} [[Jeff Cheeger]], _Analytic torsion and Reidemeister torsion_, Proc. Natl. Acad. Sci. USA __74__, No. 7, pp. 2651-2654 (1977), [pdf](http://www.pnas.org/content/74/7/2651.full.pdf)

* Wikipedia, _[Analytic torsion](http://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_torsion)_

* A.A. Bytsenko, A.E. Goncalves, W. da Cruz, _Analytic Torsion on Hyperbolic Manifolds and the Semiclassical Approximation for Chern-Simons Theory_ ([arXiv:hep-th/9805187](http://arxiv.org/abs/hep-th/9805187))

Review of the role played in the perturbative [[quantization of Chern-Simons theory]] includes

* {#Young} M. B. Young, section 2 of _Chern-Simons theory, knots and moduli spaces of connections_ ([pdf](http://www.math.sunysb.edu/~myoung/CS.pdf))

Discussion for [[hyperbolic manifolds]] in terms of the [[Selberg zeta function]]/[[Ruelle zeta function]] is due to

* {#Fried86} [[David Fried]], _Analytic torsion and closed geodesics on hyperbolic manifolds_, Invent. math. 84, 523-540 (1986) ([pdf](http://gdz-lucene.tc.sub.uni-goettingen.de/gcs/gcs?&&action=pdf&metsFile=PPN356556735_0084&divID=LOG_0026&pagesize=original&pdfTitlePage=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/pdftitle/?metsFile=PPN356556735_0084%7C&targetFileName=PPN356556735_0084_LOG_0026.pdf&))

with further developments including

* {#BunkeOlbrich94a} [[Ulrich Bunke]], [[Martin Olbrich]], _Theta and zeta functions for odd-dimensional locally symmetric spaces of rank one_ ([arXiv:dg-ga/9407012](http://arxiv.org/abs/dg-ga/9407012))

* {#Park09} Jinsung Park, _Analytic torsion and Ruelle zeta functions for hyperbolic manifolds with cusps_, Journal of Functional Analysis Volume 257, Issue 6, 15 September 2009, Pages 1713–1758

In relation to the  [[topological string]] and [[black hole entropy]]:

* [[Cumrun Vafa]], *Ray-Singer Torsion, Topological Strings and Black Holes* [[arXiv:2401.12816](https://arxiv.org/abs/2401.12816)]

[[!redirects Ray-Singer torsion]]


analytic variety

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### Context
#### Analytic geometry
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[[!include analytic geometry -- contents]]
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#### Complex geometry
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# Analytic varieties
* table of contents
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## Idea

Analytic varieties form an analogue of [[algebraic varieties]] in analytic context; they are more general than [[analytic manifolds]] in allowing [[singularity|singularities]].

While an algebraic variety is the loci of zeros of some set of [[polynomials]], an analytic varieties is the loci of zeros of some set of [[analytic functions]]. By [[Chow's theorem]] every [[complex number|complex]] [[projective variety|projective]] analytic variety is algebraic; this is based on the machinery of Weierstrass (the [[Weierstrass preparation theorem]] etc.).

## Related concepts

* [[analytic space]]

* [[complex analytic variety]]

## Literature

* P. Griffiths, J. Harris, _Principles of algebraic geometry_

[[!redirects analytic variety]]
[[!redirects analytic varieties]]


analytic versus synthetic

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### Context
#### Philosophy
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#Contents#
* table of contents
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## Idea

The analytic-synthetic distinction has a long history stretching back to the ancient Greeks. It has come to mean different things according to the discipline in which it is employed, but each use can trace its origins to the classical version.

In the classical world, thinkers such as Aristotle, Euclid, Pappus and Proclus, used these terms to distinguish between methods of enquiry. A **synthetic** solution to a problem relies on reasoning from first principles, the kind of reasoning we see displayed in Euclid's _Elements_. The solution is thought to be _put together_ (συντίθημι). The kinds of first principle allowed are definitions, common notions and postulates, the latter being concerned with the specific subject matter at hand. By contrast, an **analytic** solution operates by working backwards from the problem to see what needs to be the case to be able to resolve it. Thus it analyses, or _unravels_ (ἀναλύω), the problem. This exercise might then make contact with things already known from first principles, or lead to new such principles. Often analytic discovery was written up in synthetic fashion.

In the seventeenth century, [[Descartes]] understood the distinction in the same way. When asked by Mersennes why he did not present his philosophical arguments in the synthetic fashion, he replied that he considered presentation according to the analytic method as more persuasive. This allowed the reader to see the necessity of the first principles reached, for instance, famously the _Cogito_, 'I think therefore I am'.

Descartes' approach to geometry via coordinates allowed him to resolve open questions bequeathed by Pappus and others from the ancient world (see [Domski](#Domski)). Since it could be seen as operating according to an analytic method, it was named _analytic geometry_.

## Analytic-synthetic distinction in philosophy

Later in the seventeenth century, we find [[Leibniz]] arguing that for any true statement, universal or singular, necessary or contingent, its subject contains within it the predicate stated to hold of it. For some of these propositions, such as identity statements, this is obvious, but others require considerable work to reveal this to be so:

>Implicit containment (or exclusion) was to be revealed by the sort of "analysis of notions" that Leibniz had already emphasized as a crucial philosophical method in his influential paper "Meditations on Knowledge, Truth, and Ideas", and this role accounts both for the general importance of analysis within German rationalism and for Kant’s choice of the term 'analytic' to describe such containment truths. ([Anderson 15, p. 9](#Anderson15))

[[Kant]] famously disagreed with this claim. For him the truth of some propositions relies unavoidably on intuition or empirical sensation along with conceptual understanding. Thus, an _analytic_ proposition for Kant distinguishes a proposition whose predicate concept is wholly contained in its subject concept. A famous example is 'All bachelors are unmarried.' This is sometimes glossed today as _true by virtue of definition_. By contrast, in a _synthetic_ proposition the predicate concept is not wholly contained in the subject content. Kant gives 'All bodies are heavy' as an example of a synthetic statement, whereas 'All bodies are extended' is analytic. Ascertaining that bodies are heavy unavoidably requires empirical sensation.

Note, all the same, that Kant continues to use 'analytic' and 'synthetic' in their original methodological sense:

> I have adopted in this work the method that is, I believe, most suitable if one wants to proceed analytically from common cognition to the determination of its supreme principle, and in turn synthetically from the examination of  this principle and its sources back to the common cognition in which  we find it used. (Groundwork of the Metaphysics of Morals, Preface)

With the introduction of his new logic, [[Frege]] defines analyticity in terms of a proposition's logical form. Where Kant had taken contentful mathematical statements as synthetic yet knowable _a priori_ (i.e., not relying on empirical data), Frege now considered arithmetic statements as analytic by virtue of his logicist analysis of number as a class of equinumerous concepts. So where Kant could argue that knowledge of $7+ 5=12$ relied upon intuitive synthesis

>no matter how long I analyze my concept of such a possible sum [of seven and five] I will still not find twelve in it,

for Frege, such a statement may be established purely by logical means.

In the context of his [[Martin-Löf dependent type theory|dependent type theory]],  [[Per Martin-Löf]] ([ML94](#ML94)) draws on Kant to relate the analytic-synthetic distinction to the distinction between judgmental and propositional [[equality]]. Wherever you must construct an element to establish a proposition, that proposition is synthetic.

## Analytic and synthetic geometry

A distinction between _analytic_ and _synthetic_ methods is often made in geometry, leading on from the description of Descartes' geometry as analytic. In [Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Geometry](http://books.google.co.uk/books?id=fj-ryrSBuxAC), Felix Klein wrote in 1908

> _Synthetic geometry is that which studies figures as such, without recourse to formulas, whereas analytic geometry consistently makes use of such formulas as can be written down after the adoption of an appropriate system of coordinates._ Rightly understood, there exists only a _difference of gradation_ between these two kinds of geometry, according as one gives _more prominence to the figures or to the formulas._ Analytic geometry which dispenses entirely with geometric representation can hardly be called geometry; synthetic geometry does not get very far unless it makes use of a suitable language of formulas to give precise expression to its results. (p. 55)

He continues

> In mathematics, however, as everywhere else, men are inclined to form parties, so that there arose _schools of pure synthesists_ and _schools of pure analysts_, who placed chief emphasis upon absolute "purity of method," and who were thus more one-sided than the nature of the subject demanded. Thus the analytic geometricians often lost themselves in blind calculations, devoid of any geometric representation, The synthesists, on the other hand, saw salvation in an artificial avoidance of all formulas, and thus they accomplished nothing more, finally, than to develop their own peculiar language formulas, different from ordinary formulas. (pp. 55-56)

#Related entries#

* [[synthetic mathematics]]
* [[synthetic differential geometry]]

## References

* {#Domski} Mary Domski, _Descartes’ Mathematics_, ([SEP](https://plato.stanford.edu/entries/descartes-mathematics))

* {#ML94} [[Per Martin-Löf]], _Analytic and Synthetic Judgements in Type Theory_, ([article](http://archive-pml.github.io/martin-lof/pdfs/Martin-Lof-Analytic-and-Synthetic-Judgements-in-Type-Theory.pdf))

* {#Anderson15} R. Lanier Anderson, _The Poverty of Conceptual Truth: Kant's Analytic/Synthetic Distinction and the Limits of Metaphysics_, Oxford University Press, 2015.


analytical index

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### Context
#### Index theory
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#### Integration theory
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[[!include integration theory - contents]]
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#Contents#
* table of contents
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## Idea

By [[pseudo-differential operator|pseudo-differential analysis]] an [[elliptic operator]] acting on [[sections]] of two [[vector bundles]] on a [[manifold]] is a [[Fredholm operator]] and hence has closed [[kernel]] and [[cokernel]] of finite [[dimension]]. The difference of these two dimensions is the _analytical index_ of the operator.

More generally, for $(E_p, D_p)$ an [[elliptic complex]], its analytical index is the alternating sum

$$
  ind_{an}(E_p, D_p)
  =
  \sum_p (-1)^p dim (ker (D_p))
  \,.
$$

## Properties

This index does not the depend of the [[Sobolev space]] used to get a [[bounded operator]] (by elliptic regularity the kernel is made up of smooth sections and the same for the cokernel as it is the kernel of the adjoint). By [[topological K-theory]]  one can associate to it also a [[topological index]]. The [[Atiyah-Singer index theorem]] say that this two indexes coincide.

## Related concepts

* [[index theory]]

  * [[topological index]]

  * analytical index

  * [[Atiyah-Singer index theorem]]

[[!redirects analytical indices]]
[[!redirects analytic index]]
[[!redirects analytic indices]]

[[!redirects index of an elliptic complex]]
[[!redirects index of elliptic complexes]]


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###Context###
#### $\infty$-Chern-Simons theory
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[[!include infinity-Chern-Simons theory - contents]]
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#### Quantum field theory
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[[!include functorial quantum field theory - contents]]
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#### Physics
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[[!include physicscontents]]
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#Contents#
* table of contents
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## Idea

Where ordinary 3d [[Chern-Simons theory]] is given by an [[action functional]] with values in the [[circle group]] $\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ on a space of [[special unitary group]]-[[principal connections]], its
"[[analytic continuation]]"([Gukov 03](#Gukov03), [Witten 10](#Witten10)) instead is defined on complex [[special linear group]]-principal connections and its values are elements in $\mathbb{C}/\mathbb{Z}$ (see also at _[[Chern-Simons theory with complex gauge group]]_).

The [[Wilson line]] [[quantum observables]] of analytically continued Chern-Simons theory are accordingly [[analytic continuations]] of [[knot invariants]] ([Garoufalidis 07](#Garoufalidis07)).

## Properties

Discussion of the [[phase space]] with its complex symplectic form is in [Gukov 03, section 2.2](#Gukov03)

## Related concepts

* [[Chern-Simons theory with complex gauge group]]

* [[complex volume]], [[Cheeger-Simons classes]]

* [[volume conjecture]]

* [[holomorphic Chern-Simons theory]]

* [[Spin Chern-Simons theory]]

* [[analytically continued Wess-Zumino-Witten theory]]

## References

* {#Gukov03} [[Sergei Gukov]], _Three-Dimensional Quantum Gravity, Chern-Simons Theory, and the A-Polynomial_, Commun.Math.Phys. 255 (2005) 577-627 ([arXiv:hep-th/0306165](http://xxx.lanl.gov/abs/hep-th/0306165))

* {#Garoufalidis07} [[Stavros Garoufalidis]], _Chern-Simons theory, analytic continuation and arithmetic_ ([arXiv:0711.1716](http://arxiv.org/abs/0711.1716))

* {#Witten10} [[Edward Witten]], _Analytic Continuation Of Chern-Simons Theory_, Chern–Simons Gauge Theory, 20, 347-446. ([arXiv:1001.2933](http://arxiv.org/abs/1001.2933))

* {#Dimofte11} [[Tudor Dimofte]], _Quantum Riemann Surfaces in Chern-Simons Theory_ ([arXiv:1102.4847](http://arxiv.org/abs/1102.4847))

* {#Witten14} [[Edward Witten]], _Two Lectures On The Jones Polynomial And Khovanov Homology_ ([arXiv:1401.6996](http://arxiv.org/abs/1401.6996))

[[!redirects analytic Chern-Simons theory]]


analytically continued Wess-Zumino-Witten theory

## Idea

[[WZW model]] for non-compact [[complex Lie groups]] such as $SL(2,\mathbb{C})$

## Related concepts

* [[analytically continued Chern-Simons theory]]

* [[Liouville theory]]

## References

* Nobuyuki Ishibashi, _Extra Observables in Gauged WZW Models_, Nucl.Phys. B379 (1992) 199-219 ([arXiv:hep-th/9110071](http://arxiv.org/abs/hep-th/9110071))

* [[Dmitri Sorokin]], Francesco Toppan, _Hamiltonian Reduction of Supersymmetric WZNW Models on Bosonic Groups and Superstrings_, Nucl.Phys. B480 (1996) 457-484 ([arXiv:hep-th/9603187](http://arxiv.org/abs/hep-th/9603187))

* Jian-Feng Wu, Yang Zhou, _From Liouville to Chern-Simons, Alternative Realization of Wilson Loop Operators in AGT Duality_ ([arXiv:0911.1922](http://arxiv.org/abs/0911.1922))


analytification

> under construction

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### Context
#### Analytic geometry
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[[!include analytic geometry -- contents]]
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#### Complex geometry
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[[!include complex geometry - contents]]
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#Contents#
* table of contents
{:toc}

## Idea

Analytification is the process of universally turning an [[algebraic space]] into an [[analytic space]].

## Definition

Let $X \to Spec(\mathbb{C})$ be a [[scheme]] of [[locally finite type]] over the [[complex numbers]]. Its set $X(\mathbb{C})$ of "complex points" is the set of [[maximal ideals]], since $\mathbb{C}$ is an [[algebraically closed field]], e.g. [Neeman 07, prop. 4.2.4](#Neeman07)).

This set $X(\mathbb{C})$ canonically carries the [[complex analytic topology]]. As such it is a [[topological space]] written $X^{an}$. Equipped with the canonical [[structure sheaf]] $\mathcal{O}_{X^{an}}$ this is a [[complex analytic space]]. This $(X^{an}, \mathcal{O}_{X^{an}})$ is called the _analytification_ of $X$.

This construction extends to a [[functor]] from the [[category]] of [[schemes]] over $\mathbb{C}$ to that of [[complex analytic spaces]].

See e.g. ([Neeman 07, section 4, p.71](#Neeman07), [Danilov 91, chapter 3, paragraph 1, section 1.1 (p.61)](#Danilov91)

Generalization to [[structured (infinity,1)-toposes]] is in ([Lurie 08, remark 4.4.13](#Lurie08)).

## Examples

The analytification of the [[projective space]] $\mathbb{P}^1$ is the [[complex projective space]] $(\mathbb{P}^1)^{an} \simeq \mathbb{C}\mathbb{P}^1$, hence the [[Riemann sphere]].

The analytification of an [[elliptic curve]] is the [[complex torus]].

see e.g. ([Danilov 91, example in chapter 3, paragraph 1, section 1.1. (p. 61)](#Danilov91))

## Properties

### Existence and fully faithfulness (GAGA)
 {#Existence}

The analytification of an [[algebraic space]] over the [[complex numbers]] which is

1. [[locally of finite type]]

1. [[locally separated]]

is a [[complex analytic space]].

Moreover, under suitable conditions analytification is a [[fully faithful functor]].

This is a classical result due to ([Artin 70, theorem 7.3](#Artin70)). A textbook account of the proof is in ([Neeman 07, section 10](#Neeman07)).  Discussion in more general [[analytic geometry]] is in ([Conrad-Temkin 09, section 2.2](#ConradTemkin09)).

Generalization to [[algebraic stacks]]/[[Deligne-Mumford stacks]]/[[geometric stacks]] is in ([Lurie 04](#Lurie04), [Hall 11](#Hall11), [Geraschenko & Zureick-Brown 12](#GeraschenkoZureickBrown12)).

### As geometric realization in $\mathbb{A}^1$-homotopy theory
 {#GeometricRealizationInA1Homotopy}

For $k \hookrightarrow \mathbb{C}$ a field, then
the functor that takes a smooth complex scheme to the the [[homotopy type]]
underlying its analytification induces [[geometric realization]]

$$
  Sh_\infty(Sch^{sm}_k)
  \to
  Sh_\infty(Sch^{sm}_k)^{\mathbb{A}^1}
  \to
  \infty Grpd
$$

([Isaksen 01](#Isaksen01), [Dugger-Isaksen 05, theorem 5.2](#DuggerIsaksen05))

## Related concepts

* [[GAGA]]

## References

### Complex analytification

Original articles include

* {#Artin70} [[Michael Artin]], _Algebraization of formal moduli: II. Existence of modifications_, Annals of Math., 91 no. 1 (1970), pp. 88–135.

* [[Alexander Grothendieck]], [[SGA]] I, Exposé XII

A review of that is in

* Yan Zhao, _Géométrie algébrique et géométrie analytique_, 2013 ([pdf](http://pub.math.leidenuniv.nl/~jinj/2013/efg/gaga.pdf))

Textbook accounts include

* {#Neeman07} [[Amnon Neeman]], _Algebraic and analytic geometry_, London Math. Soc. Lec. Note Series __345__, 2007 ([publisher](http://www.cambridge.org/us/academic/subjects/mathematics/geometry-and-topology/algebraic-and-analytic-geometry))

* {#Danilov91} [[Vladimir Danilov]], chapter 3 of _Cohomology of algebraic varieties_, in I. Shafarevich (ed.), _Algebraic Geometry II_, volume 35 of _Encyclopedia of mathematical sciences_, Springer 1991 ([GoogleBooks](http://books.google.de/books?id=ZhzXJHUgcRUC&lpg=PA67&ots=aVQoeMkBwc&dq=analytification&pg=PA61&redir_esc=y#v=onepage&q=analytification&f=false)))

Discussion for [[real analytic spaces]] includes

* {#Huisman02} [[Johannes Huisman]], section 2 of _The exponential sequence in real algebraic geometry and Harnack's Inequality for proper reduced real schemes_, Communications in Algebra, Volume 30, Issue 10, 2002 ([pdf](http://pageperso.univ-brest.fr/~huisman/rech/publications/exphi.pdf))

Generalizations to [[higher geometry]] are in

* {#ConradTemkin09} [[Brian Conrad]], M. Temkin, _Non-Archimedean analytification of algebraic spaces_, J. Algebraic Geom. 18 (2009), no. 4, 731–788 ([arXiv:0706.3441](http://arxiv.org/abs/0706.3441))

* {#Lurie04} [[Jacob Lurie]], _[[Tannaka duality for geometric stacks]]_, ([arXiv:math.AG/0412266](http://arxiv.org/abs/math/0412266))

* {#Lurie08} [[Jacob Lurie]], _[[Structured Spaces]]_, 2008

* {#Hall11} [[Jack Hall]], _Generalizing the GAGA Principle_ ([arXiv:1101.5123](http://arxiv.org/abs/1101.5123))

* {#GeraschenkoZureickBrown12} [[Anton Geraschenko]], David Zureick-Brown, _Formal GAGA for good moduli spaces_ ([arXiv:1208.2882](http://arxiv.org/abs/1208.2882))

See also

* [[Walter Gubler]]. _Forms and currents on the analytification of an algebraic variety (after Chambert-Loir and Ducros)_ ([arXiv:1303.7364](http://arxiv.org/abs/1303.7364))

Discussion in the context of [[hypercovers]] and [[A1-homotopy theory]] is in

* {#Isaksen01} [[Daniel Isaksen]], _Étale realization of the $\mathbb{A}^1$-homotopy theory of schemes_, 2001 ([K-theory archive](http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0495/))

* {#DuggerIsaksen05} [[Daniel Dugger]] and [[Daniel Isaksen]], _Hypercovers in topology_, 2005 ([pdf](http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0528/hypercover.pdf), [K-Theory archive](http://www.math.uiuc.edu/K-theory/0528/))

### Non-archimedean analytification
 {#ReferencesNonArchimedeanAnalytification}

Discussion in more general [[rigid analytic geometry]] is in

* [[Brian Conrad]], Michael Temkin, _Non-archimedean analytification of algebraic spaces_ ([arXiv:0706.3441](http://arxiv.org/pdf/0706.3441))

[[!redirects analytifications]]


ananatural transformation

# Ananatural transformations
* table of contents
{: toc}

## Idea

Just as [[natural transformation|natural transformations]] go between [[functor|functors]], ananatural transformations go between [[anafunctor|anafunctors]].

Given two functors interpreted as anafunctors, the natural transformations and ananatural transformations between them are the same, so the term 'ananatural' is overkill; one only needs it to emphasise the ana-context and otherwise can just say 'natural'.  That is, a 'natural transformation' between anafunctors unambigously means an ananatural transformation.

## Definitions

Given two [[categories]] $C$ and $D$ and two anafunctors $F, G\colon C \to D$, let us interpret $F,G$ as [[spans]] $C \leftarrow \overline{F} \rightarrow D$ and $C \leftarrow \overline{G} \rightarrow D$ of [[strict functors]] (where each backwards-pointing arrow is strictly surjective and faithful; see the definition of [[anafunctor]]).  Form the [[strict 2-limit|strict]] $2$-[[pullback]] $P \coloneqq \overline{F} \times_C \overline{G}$ and consider the strict functors $P \to \overline{F} \to D$ and $P \to \overline{G} \to D$.  Then an ananatural transformation from $F$ to $G$ is simply a natural transformation between these two strict functors.

More explicitly, if $F,G$ are given by sets ${|F|}, {|G|}$ of specifications and additional maps (see the other definition of [[anafunctor]]), then an __ananatural transformation__ from $F$ to $G$ consists of a coherent family of morphisms of $D$ indexed by the elements of $|F|$ and $|G|$ with common values in $C$.  That is:

* for each object $x$ of $C$, each $F$-specification $s$ over $x$, and each $G$-specification $t$ over $x$, we have a morphism
$$ \eta_{s,t}(x)\colon F_s(x) \to G_t(x) $$
in $D$;

* for each morphism $f\colon x \to y$ in $C$, each pair of $F$-specifications $s,t$ over $x,y$, and each pair of $G$-specifications $u,v$ over $x,y$, the diagram
  $$ \array {
     F_s(x)                & \overset{\eta_{s,u}(x)}\rightarrow  & G_u(x) \\
     F_{s,t}(f) \downarrow &                                     & \downarrow F_{u,v}(f) \\
     F_t(y)                & \underset{\eta_{t,v}(y)}\rightarrow & G_v(y)
  } $$
  is a [[commutative square]].

Of course, an __ananatural isomorphism__ is an [[invertible morphism|invertible]] ananatural transformation.

## Composition

Just as natural transformations can be composed vertically to form the morphisms of a [[functor category]], so ananatural transformations can be composed vertically to form an anafunctor category.

Just as natural transformations can also be whiskered by functors and composed horizontally to make a [[strict 2-category]] $Str Cat$ of (strict) categories, (strict) functors and natural transformations, so ananatural transformations can also be whiskered by anafunctors and composed horizontally to make a [[bicategory]] $Cat_{ana}$ of (strict) categories, anafunctors and (ana)natural transformations.  Assuming the [[axiom of choice]], $Cat_{ana}$ is equivalent to $Str Cat$; without choice (and [[internalisation|internally]]), $Cat_{ana}$ has better properties than $Str Cat$ and we will usually identify the former with [[Cat]].

[[!redirects ananatural transformation]]
[[!redirects ananatural transformations]]
[[!redirects ananatural isomorphism]]
[[!redirects ananatural isomorphisms]]


Anand Dessai

* [webpage](https://homeweb.unifr.ch/dessaia/pub/)

## Selected writings

On the [[Witten genus]] and the [[Stolz conjecture]]:

* [[Anand Dessai]], _Some geometric properties of the Witten genus_, in: [[Christian Ausoni]], [[Kathryn Hess]], [[Jérôme Scherer]] (eds.) _Alpine Perspectives on Algebraic Topology_, Contemporary Mathematics 504 (2009) ([pdf](http://homeweb2.unifr.ch/dessaia/pub/papers/Arolla/DessaiArollaFinalRevised30June09.pdf), [[DessaiEllipticGenus.pdf:file]],
[doi:10.1090/conm/504](http://dx.doi.org/10.1090/conm/504))

On the [[Witten genus]] on manifolds with [[SU(2)]]-[[action]]:

* [[Anand Dessai]], _The Witten genus and $S^3$-actions on manifolds_, 1994 ([pdf](https://homeweb.unifr.ch/dessaia/pub/papers/MZpreprint6_Witten_S3.pdf), [[DessaiWittenGenusS3.pdf:file]])

On the [[rigidity theorem for elliptic genera]]:

* [[Anand Dessai]], Rainer Jung, _On the Rigidity Theorem for Elliptic Genera_, Transactions of the American Mathematical Society Vol. 350, No. 10 (Oct., 1998), pp. 4195-4220 (26 pages) ([jstor:117694](https://www.jstor.org/stable/117694))

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Anand Pillay

__Anand Pillay__ is a model theorist, now at University of Notre Dame.

* [homepage](https://www3.nd.edu/~apillay) at Notre Dame

Related items: [[geometric stability theory]], [[definable set]], [[differential Galois theory]]

* _Remarks on Galois cohomology and definability_, The Journal of Symbolic Logic __62__:2 (1997) 487-492 [doi](https://doi.org/10.2307/2275542)
* Moshe Kamensky, Anand Pillay, _Interpretations and differential Galois extensions_, IMRN 24 (2016) 7390–7413 [doi](https://doi.org/10.1093/imrn/rnw019)
* Z. Chatzidakis, Anand Pillay, _Generalized Picard-Vessiot extensions and differential Galois cohomology_, 2017, [pdf](https://www3.nd.edu/~apillay/generalizedPV-PHS.zoe.pdf)


Ananda Roy

* [personal page](https://sites.rutgers.edu/ananda-roy/)

* [institute page](https://physics.rutgers.edu/people/faculty-list/faculty-profile/roy-ananda)

## Selected writings

On [[topological quantum computation]]:

* [[Ananda Roy]], [[David P. DiVincenzo]], *Topological Quantum Computing*, Lecture notes of the [48th IFF Spring School](https://www.fz-juelich.de/en/pgi/expertise/schools-and-courses/iff-spring-school/the-iff-spring-school-topics-and-history/springschool2017) (2017) $[$[arXiv:1701.05052](https://arxiv.org/abs/1701.05052)$]$

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Anastasia Volovich

* [Wikipedia entry](https://en.wikipedia.org/wiki/Anastasia_Volovich)

* [Institute page](https://vivo.brown.edu/display/avolovic)

## Selected writings

On [[twistor string theory]]:

* {#RoibanVolovich04} [[Radu Roiban]], [[Anastasia Volovich]], *All Googly Amplitudes from the B-model in Twistor Space*, Phys. Rev. Lett. 93 (2004) 131602 ([arXiv:hep-th/0402121](https://arxiv.org/abs/hep-th/0402121))

* {#RoibanSpradlinVolovich04} [[Radu Roiban]], [[Marcus Spradlin]], [[Anastasia Volovich]], *On the Tree-Level S-Matrix of Yang-Mills Theory*, Phys. Rev. D70 : 026009, 2004 ([arXiv:hep-th/0403190](https://arxiv.org/abs/hep-th/0403190))

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Anatoly Libgober

* [personal page](http://homepages.math.uic.edu/~libgober/)

* [Wikipedia entry](https://en.wikipedia.org/wiki/Anatoly_Libgober)

## Selected writings

On [[braid groups]], [[braid representations]] and some [[knot theory]]:

* [[Joan S. Birman]], [[Anatoly Libgober]] (eds.) *Braids*, Contemporary Mathematics **78** (1988) [[doi:10.1090/conm/078](http://dx.doi.org/10.1090/conm/078)]

On [[local systems]] and their [[twisted de Rham cohomology]]/[[Dolbeault cohomology]]:

* [[Anatoly Libgober]], [[Sergey Yuzvinsky]], *Cohomology of local systems*, Advanced Studies in Pure Mathematics **27**, Mathematics Society of Japan (2000) 169-184 [[pdf](http://homepages.math.uic.edu/~libgober/otherpapers/export/2000sergeytokyo.pdf), [doi:10.2969/aspm/02710169](https://doi.org/10.2969/aspm/02710169)]

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Anatoly Malcev

[[!redirects A. I. Mal'cev]]
Anatoly Malcev (Анато́лий Ива́нович Ма́льцев; [ˈmɐlʲt͡sef]) was a Russian mathematician.

## Related entries

* [[Malcev completion]]

* [[Malcev variety]]

* [[Malcev category]]

* [[Kan object]]

* [[maximal compact subgroup]]

## References

[List of publications at Math-Net.Ru](http://www.mathnet.ru/php/person.phtml?&personid=26552&option_lang=eng).

[[!redirects А. И. Мальцев]]
[[!redirects А. Мальцев]]
[[!redirects Анатолий Иванович Мальцев]]
[[!redirects Мальцев]]
[[!redirects Malcev]]
[[!redirects Mal'cev]]
[[!redirects Maltsev]]
[[!redirects Mal'tsev]]
[[!redirects A. I. Malcev]]
[[!redirects A. Malcev]]
[[!redirects A. I. Mal'cev]]
[[!redirects A. Mal'cev]]
[[!redirects A. I. Maltsev]]
[[!redirects A. Maltsev]]
[[!redirects A. I. Mal'tsev]]
[[!redirects A. Mal'tsev]]
[[!redirects Anatoly I. Malcev]]
[[!redirects Anatoly Malcev]]
[[!redirects Anatoly I. Mal'cev]]
[[!redirects Anatoly Mal'cev]]
[[!redirects Anatoly I. Maltsev]]
[[!redirects Anatoly Maltsev]]
[[!redirects Anatoly I. Mal'tsev]]
[[!redirects Anatoly Mal'tsev]]

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Anatoly Shirshov

__Anatolij Illarionovič Širšov__ (Anatoly/Anatolii Illarinovich Shirshov, orig. Анатолий Илларионович Ширшов) was an [[algebra|algebraist]] working in Novosibirsk (in former Soviet Union).

* Анатолий Илларионович Ширшов (к 80-летию со дня рождения), Алгебра и логика, 40:4 (2001), I–IV, [pdf](http://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=al&paperid=333&what=fullt&option_lang=rus)

* wikipedia [ru](http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A8%D0%B8%D1%80%D1%88%D0%BE%D0%B2,_%D0%90%D0%BD%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%B9_%D0%98%D0%BB%D0%BB%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87)

* L. A. Bokutʹ, I. P. Shestakov, _Some results by A. I. Shirshov and his school_,  Second International Conference on Algebra (Barnaul, 1991),  1--12, Contemp. Math. __184__, Amer. Math. Soc. 1995.

* A. I. Širšov, _Some algorithm problems for Lie algebras_ (Russian) Sibirsk. Mat. Ž. __3__ 1962, 292--296, [MR0183753](http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=0183753)

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[[!redirects Anatoli Shirshov]]
[[!redirects Anatoly Shirshov]]
[[!redirects Anatoliy Shirshov]]
[[!redirects Anatolii Shirshov]]
[[!redirects Anatolij Shirshov]]
[[!redirects Anatoli Širšov]]
[[!redirects Anatoly Širšov]]
[[!redirects Anatoliy Širšov]]
[[!redirects Anatolii Širšov]]
[[!redirects Anatolij Širšov]]
[[!redirects Anatolij Illarionovič Širšov]]
[[!redirects Анатолий Ширшов]]
[[!redirects Анатолий Илларионович Ширшов]]


Anatoly Vershik

* [Wikipedia entry](https://en.wikipedia.org/wiki/Anatoly_Vershik)

## Selected writings

On the asymptotic number of [[standard Young tableaux]] (dimension of [[Specht modules]]) with respect to the [[Plancherel measure]]:

* {#VershikKerov85} [[Anatoly Vershik]], [[Sergei Kerov]], *Asymptotic of the largest and the typical dimensions of irreducible representations of a symmetric group*, Functional Analysis and Its Applications volume 19, pages 21–31 (1985) ([doi:10.1007/BF01086021](https://doi.org/10.1007/BF01086021))

On the [[representation theory of the symmetric group]] via the [[Gelfand-Tsetlin basis]]/[[seminormal representation]]:

* {#VershikOkounkov04} [[Anatoly Vershik]], [[Andrei Okounkov]], *A New Approach to the Representation Theory of the Symmetric Groups*,
Part I: Selecta Mathematica, New Series **2**, 581-605 ([arXiv:math/0503040](https://arxiv.org/abs/math/0503040), [doi:10.1007/BF02433451](https://doi.org/10.1007/BF02433451));
Part II (incorporates Part I in revised and improved form):
Russian version: [Записки научных семинаров ПОМИ 307 (2004), 57–98](ftp://ftp.pdmi.ras.ru/pub/publicat/znsl/v307/p057.ps.gz) (Zapiski nauchnyh seminarov POMI 307 (2004), 57–98);
English version: Journal of Mathematical Sciences 131 (2005), 5471–5494 ([doi:10.1007/s10958-005-0421-7](https://doi.org/10.1007/s10958-005-0421-7))

* [[Anatoly Vershik]], *Gel'fand-Tsetlin algebras, expectations, inverse limits, Fourier analysis*, pp. 619 in: [[Pavel Etingof]], [[Vladimir S. Retakh]], [[Isadore Singer]] (eds.) *The Unity of Mathematics* In Honor of the Ninetieth Birthday of [[I. M. Gelfand]], Birkhäuser 2006 ([arXiv:math/0503140](https://arxiv.org/abs/math/0503140), [ISBN:978-0-8176-4467-3](https://www.springer.com/gp/book/9780817640767))

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Anaxagoras

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### Context
#### Philosophy
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## Hegel on Anaxagoras

In the _[[Science of Logic]]_, [[Hegel]] writes

> [WdL §54](Science+of+Logic#54) Anaxagoras wird als derjenige gepriesen, der zuerst den Gedanken ausgesprochen habe, daß der [[nous]], der Gedanke, das Princip der Welt, daß das Wesen der Welt als der Gedanke bestimmt ist. Er hat damit den Grund zu einer Intellektualansicht des Universums gelegt, deren reine Gestalt die Logik seyn muß. Es ist in ihr nicht um ein Denken über etwas, das für sich außer dem Denken zu Grunde läge, zu thun, um Formen, welche bloße Merkmale der Wahrheit abgeben sollten; sondern die nothwendigen Formen und eigenen Bestimmungen des Denkens sind der Inhalt und die höchste Wahrheit selbst.

> WdL §54 Anaxagoras is praised as the man who first declared that [[Nous]], thought, is the principle of the world, that the essence of the world is to be defined as thought. In so doing he laid the foundation for an intellectual view of the universe, the pure form of which must be logic. What we are dealing with in logic is not a thinking about something which exists independently as a base for our thinking and apart from it, nor forms which are supposed to provide mere signs or distinguishing marks of truth; on the contrary, the necessary forms and self-consciousness of thought are the content and the ultimate truth itself.

See also the paragraph from the [[Lectures on the History of Philosophy]] starting with "[Das Prinzip des Anaxagoras war ...](#DasPrinzipDesAnaxagorasWar)".

The following is Hegel on Anaxagoras in his _[[Lectures on the History of Philosophy]]_.

### Introduction

> Hier fängt erst an, ein Licht aufzugehen (es ist zwar noch schwach): Der Verstand wird als das Prinzip anerkannt. Von Anaxagoras sagt schon Aristoteles: »Der aber, der sagte, daß die Vernunft wie in dem Lebenden, so auch in der Natur die Ursache ist der Welt und aller Ordnung, ist wie ein Nüchterner erschienen gegen die [, die] vorher ins Blinde (eikê) sprachen.« Die Philosophen vor Anaxagoras, sagt Aristoteles, »sind den Fechtern, die wir Naturalisten nennen, zu vergleichen. Wie diese oft sich in ihrem Herumtummeln gute Stöße tun, aber nicht nach der Kunst, so scheinen auch diese Philosophen kein Bewußtsein über das zu haben, was sie sagen.« Dies Bewußtsein hat zuerst Anaxagoras gehabt, indem er sagt, der Gedanke ist das an und für sich seiende Allgemeine, der reine Gedanke ist das Wahre. Anaxagoras ist wie ein Nüchterner unter Trunkenen erschienen; aber auch sein Stoß geht noch ziemlich ins Blaue hinein.
Als Prinzipien haben wir gesehen das Sein, das Werden, das Eins; es sind Gedanken, allgemeine, nichts Sinnliches, auch nicht Vorstellungen der Phantasie; der Inhalt, die Teile desselben aber sind genommen aus dem Sinnlichen, es sind Gedanken in irgendeiner Bestimmung. Anaxagoras nun sagt, das Allgemeine – nicht Götter, sinnliche Prinzipien, Elemente, noch Gedanken, die wesentlich als bestimmte sind (Reflexionsbestimmungen) –, sondern der Gedanke selbst, an und für sich, das Allgemeine ohne Gegensatz, alles in sich befassend, ist die Substanz. Hierbei müssen wir uns nicht den subjektiven Gedanken vorstellen; wir denken beim Denken sogleich an unser Denken, wie es im Bewußtsein ist. Hier ist dagegen der ganz objektive Gedanke gemeint, das Allgemeine, der tätige Verstand; wie wir sagen, es ist Verstand, Vernunft in der Welt, auch in der Natur, – oder wie[369] wir von Gattungen in der Natur sprechen: sie sind das Allgemeine. Ein Hund ist ein Tier, dies ist seine Gattung, sein Substantielles; er selbst ist dies. Dies Gesetz, dieser Verstand, diese Vernunft ist selbst immanent in der Natur, ist das Wesen der Natur; sie ist nicht von außen formiert, wie die Menschen einen Stuhl machen. Der Tisch ist auch vernünftig gemacht, aber es ist ein äußerlicher Verstand diesem Holze. Aber diese äußere Form, die der Verstand sein soll, fällt uns beim Sprechen vom Verstande sogleich ein. Hier aber ist der Verstand, das Allgemeine gemeint, was die immanente Natur des Gegenstandes selbst ist. Dies ist das Prinzip. Bisher hatten wir Gedanken, jetzt ist es der Gedanke selbst, der zum Prinzip gemacht ist.

> Der [[nous]] ist nichtdenkendes Wesen draußen, das die Welt eingerichtet; so ist der Gedanke des Anaxagoras ganz verdorben, ihm alles philosophische Interesse benommen. Denn ein Individuelles, Einzelnes draußen ist ganz in die Vorstellung herabgefallen und deren Dualismus; ein denkendes sogenanntes Wesen ist kein Gedanke mehr, ist ein Subjekt. Das wahrhaft Allgemeine ist nicht abstrakt, gerade das Allgemeine (Gute, Schöne, Zweck) [ist] dies, in und aus sich selbst das Besondere an und für sich zu bestimmen, – nicht äußerlicher Zweck.

### Life

> Vor seiner Philosophie haben wir seine Lebensumstände zu betrachten. Mit ihm sehen wir die Philosophie in das eigentliche Griechenland, das bisher noch keine hatte, und zwar nach Athen wandern; bisher war Kleinasien oder Italien der Sitz der Philosophie gewesen. Anaxagoras, selbst ein Kleinasiate, lebte vorzüglich in Athen, das, wie das Haupt der griechischen Macht, so jetzt auch der Sitz und Mittelpunkt der Künste und der Wissenschaften war. Anaxagoras lebte in der großen Zeit zwischen den medischen Kriegen und dem Zeitalter des Perikles. Er fällt in die schönste Zeit des griechischen athenischen Lebens und berührt noch den Untergang oder vielmehr den Übergang in den Untergang, in das Sterben des schönen athenischen Lebens. Die Schlacht bei[370] Marathon ist in der 72., die bei Salamis in der 75. Olympiade; in der 81. (456 v. Chr.) kam Anaxagoras nach Athen.
Anaxagoras, Ol. 70 (500 v. Chr.) geboren, ist früher als Demokrit und dem Alter nach ebenso als Empedokles, doch mit diesen überhaupt wie mit Parmenides gleichzeitig; er ist so alt als Zenon. Seine Vaterstadt ist Klazomenai in Lydien, nicht sehr weit von Kolophon und dann Ephesos, auf einer Landenge, die eine große Halbinsel mit dem festen Lande zusammenhängt.

> Anaxagoras schließt diese Periode, nach ihm beginnt eine neue. Er wird, nach der beliebten Ansicht vom genealogischen Übergehen der Prinzipien von Lehrer auf Schüler, weil er aus Ionien war, oft als ein Fortsetzer der ionischen Schule, als ionischer Philosoph vorgestellt; denn Hermotimos von Klazomenai war sein Lehrer. Auch wird er zu diesem Behufe zu einem Schüler des Anaximenes gemacht, dessen Geburt aber in Ol. 55-58 gesetzt wird, also fünfzehn Olympiaden (d.h. 60 Jahre) früher.
Sein Leben besteht kurz darin, daß er sich auf das Studium der Wissenschaften legte, von den öffentlichen Angelegenheiten zurückzog, viele Reisen machte und zuletzt nach einigen im dreißigsten, wahrscheinlicher im fünfundvierzigsten Jahre seines Alters nach Athen kam. Er kam am günstigsten, in der blühendsten Zeit der Stadt dahin; Perikles stand an der Spitze des Staats und erhob ihn zum höchsten Glanze, das ist der Silberblick des atheniensischen Lebens. Perikles suchte den Anaxagoras auf und lebte mit ihm in sehr vertrautem Umgang. Athen hatte damals den Kulminationspunkt seiner schönen Größe erreicht; besonders ist der Gegensatz von Athen und Lakedämon in dieser Zeit interessant. Athen und Lakedämon waren die beiden griechischen Nationen, die um die erste Stelle in Griechenland miteinander[371] wetteiferten. Athens ist im Gegensatze Lakedämons zu erwähnen, – der Prinzipien dieser berühmten Staaten. Keine Kunst und Wissenschaft war bei den Lakedämoniern. Daß Athen der Sitz der Wissenschaften und schönen Künste war, hatte es der Eigentümlichkeit seiner Verfassung und seines ganzen Geistes zu danken.

> Lakedämon ist ebenso seiner Verfassung nach hochzuachten. Die Lakedämonier hatten den strengen dorischen Geist durch ihre konsequente Verfassung geordnet – eine Verfassung, worin der Hauptzug ist, daß die Individualität, alle persönliche Besonderheit dem Allgemeinen, dem Zwecke des Staats, dem Leben des Staats untergeordnet ist oder vielmehr aufgeopfert war, – daß das Individuum das Bewußtsein seiner Ehre, Gültigkeit usf. nur in dem Bewußtsein der Tätigkeit, des Lebens, des Handelns für den Staat hat. Ein Volk von solcher gediegenen Einheit, worin Wille des Einzelnen eigentlich ganz verschwunden ist, machte einen unüberwindlichen Zusammenhang aus; und Lakedämon wurde deswegen an die Spitze der Griechen gestellt und erhielt die Hegemonie, wie wir sie in den trojanischen Zeiten bei den Argivern sahen.

> Dies ist ein großes Prinzip, was in jedem wahrhaften Staate sein muß, was aber bei den Lakedämoniern in seiner Einseitigkeit geblieben ist; diese Einseitigkeit ist von den Atheniensern gemieden, und dadurch sind sie größer geworden. In Lakedämon war die Eigentümlichkeit, Persönlichkeit, Individualität nachgesetzt, und so, daß das Individuum nicht für sich seine freie Ausbildung, Äußerung haben konnte; sie war nicht anerkannt, daher nicht in Übereinstimmung gebracht, nicht in Einheit gesetzt mit dem allgemeinen Zweck des Staats. Dieses allgemeine Leben, dies Aufheben des Rechts der Besonderheit, der Subjektivität, ging bei den Lakedämoniern sehr weit; und wir finden dasselbe Prinzip in Platons Republik auf seine Weise.

> Aber das Allgemeine ist nur lebendiger Geist, insofern das einzelne Bewußtsein sich als solches in ihm findet, – das[372] Allgemeine nicht das unmittelbare Leben und Sein des Individuums, die Substanz nur ausmacht, sondern das bewußte Leben. Wie die Einzelheit, die von dem Allgemeinen sich trennt, ohnmächtig ist und zugrunde geht, ebenso kann die einseitige allgemeine, die seiende Sitte der Individualität nicht widerstehen. Der lakedämonische Geist, der auf die Freiheit des Bewußtseins nicht gerechnet und dessen Allgemeines sich von ihr isoliert hatte, mußte sie deswegen als dem Allgemeinen entgegengesetzt hervorbrechen sehen. Und wenn wir zuerst als Befreier Griechenlands von seinen Tyrannen die Spartaner auftreten sehen, denen selbst Athen die Verjagung der Nachkommen des Peisistratos verdankt, so geht ihr Verhältnis zu ihren Bundesgenossen bald in gemeine, niederträchtige Gewalt über und im Inneren, im Staate ebenso in eine harte Aristokratie sowie die festgesetzte Gleichheit des Eigentums (oder Bestimmtheit des Eigentums, daß bei jeder Familie ihr Erbgut bliebe und durch Verbannung eigentlichen Geldes und Handels und Wandels die Möglichkeit der Ungleichheit des Reichtums verbannt würde) in eine Habsucht über, die dem Allgemeinen entgegen brutal und niederträchtig wurde.

> Dies wesentliche Moment der Besonderheit, nicht in den Staat aufgenommen, damit nicht gesetzlich, sittlich (moralisch zunächst) gemacht, erscheint als Laster. Alle Momente der Idee sind vorhanden in einer vernünftigen Organisation; ist Leber isoliert als Galle, so würde sie darum nicht mehr und nicht weniger tätig sein, -aber als feindlich, sie zeigte sich als vom Körper, der leiblichen Ökonomie sich isolierend.

> Den Atheniensern hatte hingegen Solon nicht nur Gleichheit der Rechte, Einheit des Geistes zu ihrer Verfassung gemacht, sondern auch der Individualität ihren Spielraum gegeben, dem Volke (nicht Ephoren) die Staatsgewalt anvertraut, die es nach Verjagung seiner Tyrannen an sich nahm und so in Wahrheit ein freies Volk wurde. Der Einzelne hatte selbst das Ganze in ihm, sein Bewußtsein und Tun im Ganzen; Ausbildung des freien Bewußtseins muß sich darin finden.[373]

> Bei den Atheniensern war auch Demokratie und reinere Demokratie als in Sparta. Jeder Bürger hatte sein substantielles Bewußtsein in der Einheit mit den Gesetzen, mit dem Staate; aber zugleich war der Individualität, dem Geiste, dem Gedanken des Individuums freigelassen, sich zu gewähren, zu äußern, zu ergehen. So sehen wir in diesem Prinzip die Freiheit der Individualität in ihrer Größe auftreten. Das Prinzip der subjektiven Freiheit erscheint zunächst noch verbunden, in Einigkeit mit der allgemeinen Grundlage der griechischen Sittlichkeit, des Gesetzlichen, selbst mit der Mythologie; und so brachte es in seinem Ergehen, indem der Geist, das Genie seine Konzeptionen frei ausgebären konnte, diese großen Kunstwerke der bildenden schönen Künste und die unsterblichen Werke der Poesie und Geschichte hervor. Das Prinzip der Subjektivität hatte insofern noch nicht die Form angenommen, daß die Besonderheit als solche freigelassen, auch der Inhalt ein subjektiv besonderer, wenigstens im Unterschiede von der allgemeinen Grundlage, der allgemeinen Sittlichkeit, der allgemeinen Religion, den allgemeinen Gesetzen sein sollte. Wir sehen also nicht besonders modifizierte Einfälle haben, sondern den großen, sittlichen, gediegenen göttlichen Inhalt in diesen Werken für das Bewußtsein zum Gegenstande gemacht, vor das Bewußtsein überhaupt gebracht. Wir werden später sehen die Form der Subjektivität für sich freiwerden und in den Gegensatz treten gegen das Substantielle, die Sitte, die Religion, das Gesetz.

> Die Grundlage von diesem Prinzip der Subjektivität, aber die noch ganz allgemeine Grundlage, sehen wir im Anaxagoras. Er lebte etwas früher als Sokrates, aber sie kannten sich noch. Er kam in dieser Zeit, deren Prinzip eben angegeben ist, nach Athen.

> Athen, nach den persischen Kriegen, unterwarf sich den größten Teil der griechischen Inseln sowie eine Menge Seestädte in Thrakien und sonst weiter hinein ins Schwarze Meer. In diesem edlen, freien, gebildeten Volke der Erste[374] des Staats zu sein, – dies Glück wurde Perikles, und dieser Umstand erhebt ihn in der Schätzung der Individualität so hoch, wie wenige Menschen gesetzt werden können. Von allem, was groß unter den Menschen ist, ist die Herrschaft über den Willen der Menschen, die einen Willen haben, das Größte, denn diese herrschende Individualität muß wie die allgemeinste, so die lebendigste sein, – ein Los für Sterbliche, wie es wenige oder keins mehr gibt. Die Größe seiner Individualität war ebenso tief als durchgebildet, ebenso ernst (er hat nie gelacht) als energisch und ruhig; Athen hatte ihn den ganzen Tag. Von Perikles sind uns bei Thukydides einige Reden an das Volk erhalten, denen es wohl wenige Werke an die Seite zu setzen gibt. Unter Perikles findet sich die höchste Ausbildung des sittlichen Gemeinwesens, der Schwebepunkt, wo die Individualität noch unter und im Allgemeinen gehalten ist. Gleich darauf wird die Individualität übermächtig, indem ihre Lebendigkeit in die Extreme gefallen, da der Staat noch nicht als Staat selbständig in sich organisiert ist. Indem das Wesen des athenischen Staats der allgemeine Geist, der Religionsglaube an dies ihr Wesen war, so verschwindet mit dem Verschwinden dieses Glaubens das innere Wesen des Volks, da der Geist nicht als Begriff wie in unseren Staaten ist. Der rasche Übergang hierzu ist der nous die Subjektivität, als Wesen, Reflexionin-sich, – nicht Abstraktion.
Athen war der Sitz, ein Kranz von Sternen der Kunst und Wissenschaft. Wie sich die größten Künstler in Athen sammelten, ebenso haben sich die berühmtesten Philosophen und Sophisten dort aufgehalten: Aischylos, Sophokles, Aristophanes, Thukydides, Diogenes von Apollonia, Protagoras, Anaxagoras und andere Kleinasiaten. Kleinasien selbst fiel unter die Herrschaft der Perser, und mit dem Verluste ihrer Freiheit starb auch die Philosophie bei ihnen aus.

> Anaxagoras lebte in dieser Zeit in Athen, ein Freund des[375] Perikles, ehe dieser mit Staatsgeschäften sich beschäftigte. Aber es wird auch gesagt, er sei in Dürftigkeit gekommen, weil Perikles ihn vernachlässigt habe, – die Lampe nicht mit 01 versehen, die ihn erleuchtet.

> Wichtiger ist, daß Anaxagoras, wie nachher Sokrates und viele andere Philosophen, angeklagt wurde wegen Verachtung der Götter, welche das Volk dafür nähme. Es tritt Gegensatz der Prosa des Verstandes gegen poetisch religiöse Ansicht ein. Bestimmt wird erzählt, Anaxagoras habe die Sonne, die Sterne für glühende Steine gehalten (es wird ihm auch, nach anderen, Schuld gegeben, etwas, das die Propheten für ein Wunder – Omen – ausgegeben, auf natürliche Weise erklärt zu haben); es steht damit in Verbindung, daß er es vorausgesagt haben soll, daß am Tage von Aigos Potamos, wo die Athener gegen Lysander ihre letzte Flotte verloren, ein Stein vom Himmel fiel.
Überhaupt konnte schon bei Thales, Anaximander usf. die Bemerkung gemacht werden, daß sie Sonne, Mond, Erde und Gestirne zu Dingen machten und sie auf verschiedene Weise vorstellten, – Vorstellungen, die übrigens keine weitere Beachtung verdienen; denn diese Seite gehört eigentlich der Bildung. Alle ihre Vorstellungen von solchen Gegenständen enthalten das Gemeinschaftliche, daß die Natur durch sie entgöttert worden. Sie vertilgten die poetische Ansicht der Natur, die allem, was sonst jetzt für leblos gilt, ein eigentliches Leben, etwa auch Empfinden und, wenn man will, ein Sein überhaupt nach Weise des Bewußtseins zuschrieb. Diese poetische Ansicht zogen sie in die prosaische herab. Die Sonne wird als materielles Ding genommen, wie wir sie dafür halten, ist nicht mehr lebendiger Gott; diese Gegenstände sind uns bloße Dinge, dem Geiste äußerliche, geistlose Gegenstände. Dinge kann man herleiten von Denken. Dies[376] Denken tut wesentlich, daß es solche Gegenstände, Vorstellungen davon, die man göttlich, poetisch nennen kann, mit dem ganzen Umfange des Aberglaubens, verjagt, sie herabsetzt zu dem, was man natürliche Dinge nennt. Denn im Denken weiß der Geist sich als das wahrhaft Seiende, Wirkliche. Denken ist die Identität seiner und des Seins; für den Geist setzt sich im Denken das Ungeistige, Äußerliche zu Dingen herab, zum Negativen des Geistes.

> Der Verlust jener Ansicht ist nicht zu beklagen, als ob damit die Einheit mit der Natur, schöner Glaube, unschuldige Reinheit und Kindlichkeit des Geistes verlorengegangen wäre. Unschuldig und kindlich mag sie wohl sein; aber die Vernunft ist eben das Herausgehen aus solcher Unschuld und Einheit mit der Natur. Sobald der Geist sich selbst erfaßt, für sich ist, muß er eben darum das Andere seiner sich als ein Negatives des Bewußtseins entgegensetzen, d.h. zu einem Geistlosen, zu bewußt- und leblosen Dingen bestimmen – und erst aus diesem Gegenstande zu sich kommen. Es ist dies diese Befestigung der sich bewegenden Dinge, die wir in den Mythen der Alten antreffen, die z.B. erzählen, daß die Argonauten die Felsen an der Meerenge des Hellesponts, die vorher wie Scheren sich bewegt hätten, festgestellt haben. Ebenso befestigte die fortschreitende Bildung das, was vorher eigene Bewegung und Leben in sich selbst zu haben gemeint wurde, und machte es zu ruhenden Dingen.
Dieser Übergang solcher mythischen Ansicht zur prosaischen kommt hier zum Bewußtsein der Athenienser. Solche prosaische Ansicht setzt voraus, daß dem Menschen innerlich ganz andere Forderungen aufgehen, als er sonst gehabt hat. Darin liegen also die Spuren der wichtigen, notwendigen Konversion, die in den Vorstellungen der Menschen durch das Erstarken des Denkens, durch das Bewußtsein seiner selbst, durch die Philosophie gemacht ist.

> Die Erscheinung solcher Anklage des Atheismus, die wir noch ausführlicher bei Sokrates berühren werden, ist bei Anaxagoras äußerlich aus dem näheren Grunde begreiflich,[377] daß die Athener auf Perikles eifersüchtig waren; daß die mit Perikles um den ersten Platz in Athen wetteiferten und ihn nicht unmittelbar (öffentlich) anzutasten wagten, seine Lieblinge gerichtlich angriffen und der Neid ihn durch die Anklage seines Freundes zu kränken suchte. So hatte man auch seine Freundin Aspasia zur Anklage gebracht; und der edle Perikles mußte, um sie von der Verdammung zu retten, die einzelnen Bürger Athens mit Tränen um ihre Lossprechung bitten. Das athenische Volk forderte in seiner Freiheit an seine Machthaber, denen es ein Übergewicht zuließ solche Akte, durch welche sie sich ebenso das Bewußtsein ihrer Demütigung vor dem Volke gaben; das Volk revanchierte sich so für das Übergewicht, welches die großen Männer hatten, übte selbst die Nemesis und setzte sich in Gleichgewicht mit ihnen, so wie sie wiederum das Gefühl ihrer Abhängigkeit, Unterwürfigkeit und Machtlosigkeit vor ihm dartaten.

> Die Nachrichten über den Erfolg dieser Anklage des Anaxagoras sind ganz widersprechend und zweifelhaft; wenigstens befreite ihn Perikles von der Verurteilung zum Tode. Und entweder wurde er, nach einigen, nur zur Verbannung verurteilt, nachdem Perikles ihn vor das Volk geführt und für ihn sprach und bat, der schon durch sein Alter und Abzehrung und Schwäche das Mitleid des Volkes erregte. Oder andere sagen, er sei mit Hilfe des Perikles aus Athen geflohen und wurde abwesend zum Tode verurteilt und das Urteil nicht an ihm vollzogen. Oder andere sagen, er sei freigesprochen worden; aber aus Verdruß über diese Anklage und Besorgnis ihrer Wiederholung habe er Athen freiwillig verlassen, und im etlichen und 60. oder 70. Jahre sei er in Lampsakos in der 88. Olympiade (428 v. Chr.) gestorben.

### The general principle of thought

> Der Zusammenhang seiner Philosophie mit den vorhergehenden ist: In Heraklits Idee als Bewegung sind alle Momente absolut verschwindende; Empedokles ist Zusammenfassen dieser Bewegung in die Einheit, aber eine synthetische, ebenso Leukipp und Demokrit, – aber so, daß bei Empedokles die Momente dieser Einheit die seienden Elemente des Feuers, Wassers usf. sind, bei diesen aber reine Abstraktionen, an sich seiende Wesen, Gedanken; hierdurch aber ist unmittelbar die Allgemeinheit gesetzt, denn die Entgegengesetzten haben keinen sinnlichen Halt mehr. Die Einheit kehrt als allgemeine in sich zurück aus der Entgegensetzung (in dem Synthesieren ist das Entgegengesetzte noch getrennt von ihr für sich, nicht der Gedanke selbst das Sein), – der Gedanke, als reiner freier Prozeß in sich selbst, das sich selbst bestimmende Allgemeine, nicht unterschieden vom bewußten Gedanken. Im Anaxagoras tut sich ein ganz anderes Reich auf.

> Aristoteles sagt: »Anaxagoras hat erst diese Bestimmungen angefangen«, – ist also der erste, der das absolute Wesen als Verstand oder Allgemeines aussprach, als Denken (nicht Vernunft). Aristoteles und dann andere nach ihm führen das trockene Faktum an, daß ein Hermotimos auch aus Klazomenai dazu Veranlassung gegeben; aber deutlich, bestimmt habe dies Anaxagoras getan. Damit ist dann wenig gedient, da wir weiter nichts erfahren von Hermotimos' Philosophie; viel mag es nicht gewesen sein. Andere haben viel historische Untersuchungen über diesen Hermotimos angestellt. Dieser Name kommt noch einmal vor: α) Wir haben ihn schon angeführt in der Liste derer, von denen erzählt wird, daß Pythagoras, vor seinem Leben als Pythagoras, sie gewesen sei. β) Wir haben eine Geschichte von[379] Hermotimos: er habe nämlich die eigene Gabe besessen, als Seele seinen Leib zu verlassen. Dies sei ihm aber am Ende schlecht bekommen, denn seine Frau, mit der er Händel hatte und die sonst wohl wußte, wie es damit war, zeigte diesen von seiner Seele verlassenen Leib ihren Bekannten als tot, und er wurde verbrannt, ehe die Seele sich eingestellt hatte, die sich freilich wird verwundert haben. Es ist nicht der Mühe wert, zu untersuchen, was dieser alten Geschichte zugrunde liegt, d.h. wie wir die Sache ansehen wollen; man könnte an Verzückung dabei denken. Wir haben eine Menge solcher Geschichten von alten Philosophen, wie von Pherekydes, Epimenides usf.; daß dieser z.B. (eine Schlafmütze) siebenundfünfzig Jahre geschlafen habe.

> {#DasPrinzipDesAnaxagorasWar} Das Prinzip des Anaxagoras war, daß er den [[nous]] Gedanken oder Verstand überhaupt, als das einfache Wesen der Welt, für das Absolute erkannt hat. Die Einfachheit des nous ist nicht ein Sein, sondern Allgemeinheit (Einheit). Allgemeines ist einfach und von sich unterschieden, – aber so, daß der Unterschied unmittelbar aufgehoben wird und diese Identität gesetzt, für sich ist, das Wesen nicht ein Scheinen in sich, Einzelheit – Reflexion an und für sich bestimmt – ist. Dies Allgemeine für sich, abgetrennt, existiert rein nur als Denken. Es existiert auch als Natur, gegenständliches Wesen, aber dann nicht mehr rein für sich, sondern die Besonderheit als ein Unmittelbares an ihm habend; so Raum und Zeit z.B., das Ideellste, Allgemeinste der Natur als solcher. Aber es gibt keinen reinen Raum und Zeit und Bewegung, sondern dies Allgemeine hat die Besonderheit unmittelbar an ihm, – bestimmter Raum, Luft, Erde man kann keinen reinen Raum zeigen, sowenig als die Materie. Denken ist also dies Allgemeine, aber rein für sich: Ich bin Ich, Ich = Ich. Ich unterscheide eins von mir, aber dieselbe reine Einheit bleibt, – nicht Bewegung, ein Unterschied,[380] der nicht unterschieden, Fürmichsein. Und in allem, was ich denke, wenn das Denken einen bestimmten Inhalt hat, so ist es mein Gedanke, – ich bin mir in diesem Gegenstande ebenso bewußt.

> {#DiesAllgemeineSoFuerSichSeiende} Dies Allgemeine, so für sich Seiende, tritt aber ebenso dem Einzelnen – oder der Gedanke dem Seienden – bestimmt gegenüber. Hier wäre nun die spekulative Einheit dieses Allgemeinen mit dem Einzelnen zu betrachten, wie diese als absolute Einheit gesetzt ist; aber dies wird freilich bei den Alten nicht angetroffen, – den Begriff selbst zu begreifen. Den sich zu einem System realisierenden, als Universum organisierten Verstand, diesen reinen Begriff haben wir nicht zu erwarten. Wie Anaxagoras den [[nous]] erklärt, den Begriff desselben gegeben, gibt Aristoteles näher an: Das Allgemeine hat die zwei Seiten, α) reine Bewegung zu sein, und β) das Allgemeine, Ruhende, Einfache. Es ist darum zu tun, das Prinzip der Bewegung aufzuzeigen, – daß dies das Sichselbstbewegende und dies das Denken (als für sich existierend) ist. So Aristoteles. »Nous ist ihm (Anaxagoras) dasselbe mit Seele.« So unterscheiden wir Seele als das Sichselbstbewegende, unmittelbar Einzelne; aber als einfach ist der nous das Allgemeine. Der Gedanke bewegt um etwas willen, der Zweck ist das erste Einfache (die Gattung ist Zweck), er ist das Erste, welches sich zum Resultate macht, – bei den Alten Gutes und Böses, d.h. eben Zweck als Positives und als Negatives.

> Diese Bestimmung ist eine sehr wichtige; sie hatte auch bei Anaxagoras noch keine große Ausführung. Während die bisherigen Prinzipien (Aristoteles unterscheidet zuerst Qualität, poion dann Materie und Stoff) stoffartig sind, außer dem Heraklitischen Prozeß, der drittens Prinzip der Bewegung ist, so tritt viertens das Umweswillen, die Zweckbestimmung mit dem nous ein. Dies ist das in sich Konkrete. Aristoteles fügt nach der oben (S. 217) angeführten Stelle[381] hinzu: »Nach diesen« (Ioniern und anderen) »und nach solchen Ursachen« (Wasser, Feuer usf.), »da sie nicht hinreichend sind, die Natur der Dinge zu erzeugen (gennêsai), sind die Philosophen von der Wahrheit selbst, wie schon gesagt, gezwungen worden, weiter zu gehen nach dem damit verbundenen Prinzip (tên echomenên archên). Denn daß auf einer Seite alles sich gut und schön verhalte, anderes aber erzeugt werde, – dazu ist weder die Erde noch sonst ein Prinzip hinreichend, auch scheinen jene dies nicht gemeint zu haben, noch macht es sich gut (kalôs echei), dem Selbstbewegen und dem Zufall (automatô kai tychê) ein solches Werk zu überlassen.« Gut und schön drückt den einfachen, ruhenden Begriff aus, Veränderung den Begriff in seiner Bewegung.

> Mit diesem Prinzip kommen nun folgende Bestimmungen herein: a) Verstand überhaupt ist die sich selbst bestimmende Tätigkeit; dies fehlte bisher. Das Werden des Heraklit, was nur Prozeß ist (eimarenê), ist noch nicht das sich selbständig, unabhängig Bestimmende. In der sich selbst bestimmenden Tätigkeit ist zugleich enthalten, daß die Tätigkeit, indem sie den Prozeß macht, sich erhält als das Allgemeine, Sichselbstgleiche. Das Feuer (der Prozeß nach Heraklit) erstirbt; es ist Übergang ins Andere, keine Selbständigkeit. Es ist auch Kreis, Rückkehr zum Feuer; aber das Prinzip erhält sich in seinen Bestimmungen nicht. Es ist nur Übergehen ins Entgegengesetzte gesetzt, – nicht das Allgemeine, welches sich in beiden Formen erhält. ß) Bestimmung der Allgemeinheit liegt darin, wenn sie auch noch nicht förmlich ausgedrückt ist; es bleibt in der Beziehung auf sich in der Bestimmung. Darin liegt 7) Zweck, das Gute.

> Ich habe schon neulich (S. 348 f.) auf den Begriff des Zwecks aufmerksam gemacht. Wir dürfen dabei nicht bloß an die Form des Zwecks denken, wie er in uns, in den Bewußten ist. Wir haben einen Zweck; er ist meine Vorstellung, sie ist[382] für sich, kann sich realisieren oder auch nicht. Es liegt im Zweck die Tätigkeit des Realisierens, wir vollführen diese Bestimmung; und das Produzierte muß dem Zwecke gemäß sein, – wenn man nicht ungeschickt ist, muß das Objekt nichts anderes enthalten als der Zweck. Es ist ein Übergang von der Subjektivität zur Objektivität: ich bin unzufrieden mit meinem Zweck, daß er nur subjektiv ist; meine Tätigkeit ist, ihm diesen Mangel zu benehmen und ihn objektiv zu machen. In der Objektivität hat sich der Zweck erhalten. Ich habe z.B. den Zweck, ein Haus zu bauen, ich bin deshalb tätig; es kommt heraus das Haus, der Zweck ist darin realisiert.

> Wir müssen aber nicht bei der Vorstellung von diesem subjektiven Zweck stehenbleiben, wo beide, ich und der Zweck, selbständig existieren, wie wir dies gewöhnlich tun. Z.B. Gott, als weise, regiert nach Zwecken; da ist die Vorstellung, daß der Zweck für sich ist, in einem vorstellenden, weisen Wesen.

> {DasAllgemeineDesZwecks} Das Allgemeine des Zwecks ist aber, daß er eine für sich feste Bestimmung ist und daß dann diese Bestimmung, die durch die Bestimmung der Tätigkeit gesetzt ist, weiter tätig ist, den Zweck zu realisieren, ihm Dasein zu geben; aber dies Dasein ist beherrscht durch den Zweck, und er ist darin erhalten. Dies ist, daß der Zweck das Wahrhafte, die Seele einer Sache ist. Das Gute gibt sich selbst Inhalt, indem es mit diesem Inhalt tätig ist, dieser Inhalt sich an Anderes wendet, so erhält sich in der Realität die erste Bestimmung, und es kommt kein anderer Inhalt heraus. Was vorher schon vorhanden war, und was nachher ist, nachdem der Inhalt in die Äußerlichkeit getreten ist, beides ist dasselbe; und das ist der Zweck.

> {#DasGroessteBeispielBietetDasLebendige} Das größte Beispiel hiervon bietet das Lebendige dar; es erhält sich so, weil es an sich Zweck ist. Das Lebendige existiert, arbeitet, hat Triebe, diese Triebe sind seine Zwecke; es weiß nichts von diesen Zwecken, es ist bloß lebendig, – es sind erste Bestimmungen, die fest sind. Das Tier arbeitet, diese Triebe zu befriedigen, d.h. den Zweck zu erreichen; es verhält sich zu äußeren Dingen, teils mechanisch, teils chemisch. Aber das Verhältnis seiner Tätigkeit bleibt nicht mechanisch, chemisch. Das Produkt, das Resultat ist vielmehr das Tier selbst, es ist Selbstzweck, es bringt in seiner Tätigkeit nur sich selbst hervor; jene mechanischen usf. Verhältnisse werden darin vernichtet und verkehrt. Im mechanischen und chemischen Verhältnis ist dagegen das Resultat ein Anderes; das Chemische erhält sich nicht. Im Zwecke aber ist das Resultat der Anfang, – Anfang und Ende sind gleich. Selbsterhaltung ist fortdauerndes Produzieren, wodurch nichts Neues entsteht – Zurücknahme der Tätigkeit zum Hervorbringen seiner selbst –, immer nur das Alte.

## related entries

* [[Nous]]

## References

* Wikipedia, _[Anaxagoras](http://en.wikipedia.org/wiki/Anaxagoras)_

* [[Georg Hegel]], _[[Science of Logic]]_

* [[Georg Hegel]], _[[Lectures on the History of Philosophy]] -- [Anaxagoras](Lectures+on+the+History+of+Philosophy#Anaxagoras)_

category: people


Anayeli Ramirez

* [webpage](https://uniovi.academia.edu/AnayeliRamirez)

## Selected writings

On [[black brane|black]]$\;$[[D6-D8-brane bound states]] in [[massive type IIA string theory]], with [[defect QFT|defect]] [[D2-D4-brane bound states]] inside them realizing [[AdS3-CFT2]] as [[defect field theory]] "inside" [[AdS7-CFT6]]:

* [[Yolanda Lozano]], [[Niall Macpherson]], [[Carlos Nunez]], [[Anayeli Ramirez]], $1/4$ BPS $AdS_3/CFT_2$ ([arxiv:1909.09636](https://arxiv.org/abs/1909.09636))

* [[Yolanda Lozano]], [[Niall Macpherson]], [[Carlos Nunez]], [[Anayeli Ramirez]], _Two dimensional $N=(0,4)$ quivers dual to $AdS_3$ solutions in massive IIA_ ([arxiv:1909.10510](https://arxiv.org/abs/1909.10510))

* [[Yolanda Lozano]], [[Niall Macpherson]], [[Carlos Nunez]], [[Anayeli Ramirez]], _$AdS_3$ solutions in massive IIA, defect CFTs and T-duality_ ([arxiv:1909.11669](https://arxiv.org/abs/1909.11669))

On [[AdS2/CFT1]] on [[D1-D3 brane intersections]]:

* [[Giuseppe Dibitetto]], [[Yolanda Lozano]], [[Nicolò Petri]], [[Anayeli Ramirez]], _Holographic Description of M-branes via $AdS_2$_ ([arXiv:1912.09932](https://arxiv.org/abs/1912.09932))

* [[Yolanda Lozano]], [[Carlos Nunez]], [[Anayeli Ramirez]], Stefano Speziali, _New $AdS_2$ backgrounds and $\mathcal{N}=4$ Conformal Quantum Mechanics_ ([arXiv:2011.00005](https://arxiv.org/abs/2011.00005))

category: people


Anders Kock

Anders Kock is a mathematician at Aarhus University, Denmark. He has proved important results in [[category theory]] and particularly in [[synthetic differential geometry]].

[Homepage](https://users-math.au.dk/kock)

## Selected writings

On the [[2-category]] of [[complete categories]] being [[monadic functor|monadic]] over [[Cat]]:

* [[Anders Kock]], _Limit monads in categories_, PhD thesis (advisor [[W. Lawvere]]), University of Chicago (1967) [[proquest](https://www.proquest.com/openview/61883e900f1fd8585fe4dfc4c3f271dc)]

Introducing the notion of [[strong monads]] and relating to [[monoidal monads]] and [[commutative monads]]:

* [[Anders Kock]], *Monads on symmetric monoidal closed categories*, Arch. Math. **21** (1970) 1-10 [[doi:10.1007/BF01220868](https://doi.org/10.1007/BF01220868)]

* [[Anders Kock]], *Closed categories generated by commutative monads*, Journal of the Australian Mathematical Society **12** 4 (Nov 1971) 405-424  [[doi:10.1017/S1446788700010272](https://doi.org/10.1017/S1446788700010272), [[KockMonoidalMonads.pdf:file]]]

* [[Anders Kock]], *Strong functors and monoidal monads*, Arch. Math **23** (1972) 113–120 [[doi:10.1007/BF01304852](https://doi.org/10.1007/BF01304852), [pdf](http://home.imf.au.dk/kock/SFMM.pdf)]

On [[fiber bundles]] [[internalization|internal]] to [[finitely complete categories]]:

* [[Anders Kock]], *Fibre bundles in general categories*, Journal of Pure and Applied Algebra **56** 3 (1989) 233-245 [doi:10.1016/0022-4049(89)90059-5]

* [[Anders Kock]], *Generalized fibre bundles*, in: Categorical Algebra and its Applications, Lecture Notes in Mathematics **1348** (2006) 194-207 [[doi:10.1007/BFb0081359](https://doi.org/10.1007/BFb0081359)]

On [[synthetic differential geometry]]:

*  {#Kock81} [[Anders Kock]], _Synthetic Differential Geometry_, Cambridge University Press (1981, 2006) [[pdf](http://home.imf.au.dk/kock/sdg99.pdf), [doi:10.1017/CBO9780511550812](https://doi.org/10.1017/CBO9780511550812)]

*  {#Kock10} [[Anders Kock]], _Synthetic geometry of manifolds_, Cambridge Tracts in Mathematics **180** (2010) [[pdf](http://home.imf.au.dk/kock/SGM-final.pdf), [doi:10.1017/CBO9780511691690](https://doi.org/10.1017/CBO9780511691690)]

See also:

* A. Kock, _The algebraic theory of moving frames_, Cahiers Top. Géom. Diff. Catégoriques 23 (1982) 347--362

* A. Kock. _Closed categories generated by commutative monads_, J. Austral. Math. Soc. 12(04):405--424, 1971

* A. Kock, [[I. Moerdijk]], _Presentations of étendues_ , Cah. Top. Géom. Diff. Cat. __XXXII__ 2 (1991) 145--164. ([pdf](http://archive.numdam.org/ARCHIVE/CTGDC/CTGDC_1991__32_2/CTGDC_1991__32_2_145_0/CTGDC_1991__32_2_145_0.pdf))

* A. Kock, [[I. Moerdijk]], _Every étendue comes from a local equivalence relation_ , JPAA __82_ (1992) 155--174.

* [[E. J. Dubuc]], A. Kock, _On 1-form classifiers_, Commun. Alg.  12 (1984) 1471--1531 [doi](https://doi.org/10.1080/00927878408823064)

* E. J. Dubuc, [[G. M. Kelly]], _A presentation of topoi as algebraic relative to categories or graphs_, J. Algebra __81__ (1983) 420--433

See

* [[hyperdoctrine]]
* [[Kock-Lawvere axiom]]
* [[synthetic differential geometry]]

## Students

* [[Maren Justesen]]

category: people

[[!redirects A. Kock]]


Anders Mörtberg

* [webpage](https://staff.math.su.se/anders.mortberg/)

## Selected writings

On [[affine schemes]] in [[cubical type theory]]:

* [[Anders Mörtberg]], [[Max Zeuner]], *A Univalent Formalization of Affine Schemes* ([arXiv:2212.02902](https://arxiv.org/abs/2212.02902))

Introducing the [[programming language]] *[[Cubical Agda]]* implementing [[univalence|univalent]] [[cubical type theory|cubical]] [[homotopy type theory]] with [[higher inductive types]]:

* [[Anders Mörtberg]], *Cubical Agda* (2018) [[blog post](https://homotopytypetheory.org/2018/12/06/cubical-agda)]

* {#VMA19} [[Andrea Vezzosi]], [[Anders Mörtberg]], [[Andreas Abel]], *Cubical Agda: A Dependently Typed Programming Language with Univalence and Higher Inductive Types*, Proceedings of the ACM on Programming Languages **3** ICFP 87  (2019) 1–29 [[doi:10.1145/3341691](https://doi.org/10.1145/3341691), [pdf](https://www.cse.chalmers.se/~abela/icfp19.pdf)]

On [[cubical type theory|cubical]] [[homotopy type theory]] implemented in the [[proof assistant]] [[Cubical Agda]]:

* {#Mortberg19} [[Anders Mörtberg]], _Cubical methods in HoTT/UF_, 2019 ([pdf](http://staff.math.su.se/anders.mortberg/papers/cubicalmethods.pdf))

Exposition in view of [[synthetic homotopy theory]]:

* [[Anders Mörtberg]], [[Loïc Pujet]], *Cubical synthetic homotopy theory*,  CPP 2020: Proceedings of the 9th ACM SIGPLAN International Conference on Certified Programs and Proofs (Jan 2020) 158–171 [[doi:10.1145/3372885.3373825](https://doi.org/10.1145/3372885.3373825), [pdf](https://staff.math.su.se/anders.mortberg/papers/cubicalsynthetic.pdf)]

On [[ordinary cohomology in homotopy type theory]]:

* [[Guillaume Brunerie]], [[Axel Ljungström]], [[Anders Mörtberg]], *Synthetic Integral Cohomology in Cubical Agda*, 30th EACSL Annual Conference on Computer Science Logic (CSL 2022) **216** (2022) $[$[doi:10.4230/LIPIcs.CSL.2022.11](https://doi.org/10.4230/LIPIcs.CSL.2022.11)$]$

  > (in [[cubical type theory|cubical]] [[Agda]])

## Related $n$Lab entries

* [[cubical type theory]]

category: people

[[!redirects Anders Moertberg]]
[[!redirects Anders Mortberg]]


Anders S. Buch

* [personal page](https://sites.math.rutgers.edu/~asbuch/)

## Selected writings

On [[quantum K-theory rings]]:

* [[Anders S. Buch]], [[Leonardo C. Mihalcea]], *Quantum K-theory of Grassmannians*, Duke Math. J. **156** 3 (2011) 501-538 [[arXiv:0810.0981](https://arxiv.org/abs/0810.0981), [doi:10.1215/00127094-2010-218](https://doi.org/10.1215/00127094-2010-218)]

category: people


Anderson duality

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### Context
#### Stable Homotopy theory
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[[!include stable homotopy theory - contents]]
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#### Duality
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[[!include duality - contents]]
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#Contents#
* table of contents
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## Idea

The [[stable (infinity,1)-category of spectra]] has a [[dualizing object in a closed category|dualizing object]] (dualizing module) on a suitable subcategory of finite spectra.  It is called the _[[Anderson spectrum]]_ $I_{\mathbb{Z}}$ ([[Representability Theorems|Lurie, Example 4.3.9]]). The [[duality]] that this induces is called _Anderson duality_.

## Examples

The Anderson dual of the [[sphere spectrum]] is discussed in

* ([Hopkins-Singer 05, appendix B](#HopkinsSinger05)) in the context of constructing a [[quadratic refinement]] of the [[intersection pairing]] on [[ordinary differential cohomology]]

* in ([Freed 14, section 5.1.1](#Freed14)) in the context of invertible [[extended topological field theories]].

The Anderson dual of [[KU]] is (complex conjugation-equivariantly) the 4-fold [[suspension spectrum]] $\Sigma^4 KU$ ([Heard-Stojanoska 14, theorem 8.2](#HeardStojanoska14)). This implies that, nonequivariantly $KU$ is Anderson self-dual and the Anderson dual of $KO$ is $\Sigma^4KO$, which were both first proven by [Anderson](#Anderson69).

Similarly [[Tmf]]$[1/2]$ is Anderson dual to its 21-fold suspension ([Stojanoska 12](#Stojanoska12)).

## Related concepts

* [[Brown-Comenetz duality]]

* [[Spanier-Whitehead duality]]

## References

### General

Original articles include

* {#Anderson69} [[Donald W. Anderson]], _Universal coefficient theorems for K-theory_, mimeographed notes, Univ. California, Berkeley, Calif., 1969 ([pdf](https://faculty.tcu.edu/gfriedman/notes/Anderson-UCT.pdf))

* Zen-ichi Yosimura, Universal coefficient sequences for cohomology theories of CW-spectra, Osaka J. Math. 12 (1975), no. 2, 305–323. MR 52 #9212

See also

* [[Jacob Lurie]], section 4.2 of _[[Representability Theorems]]_

### Examples

The Anderson dual of the [[sphere spectrum]] is discussed (in a context of [[extended TQFTs]]) in

* {#HopkinsSinger05} [[Michael Hopkins]], [[Isadore Singer]], appendix B of, _[[Quadratic Functions in Geometry, Topology, and M-Theory]]_, 2005

* {#Freed14} [[Dan Freed]], section 5.1.1 of _Short-range entanglement and invertible field theories_ ([arXiv:1406.7278](http://arxiv.org/abs/1406.7278))

* [[Daniel Freed]], [[Michael Hopkins]], section 5.3 of _Reflection positivity and invertible topological phases_ ([arXiv:1604.06527](https://arxiv.org/abs/1604.06527))

The Anderson duals of [[KU]] and of [[tmf]] are discussed in

* {#Stojanoska12} [[Vesna Stojanoska]], _Duality for Topological Modular Forms_, Doc. Math. 17 (2012) 271-311 ([arXiv:1105.3968](http://arxiv.org/abs/1105.3968))

* {#HeardStojanoska14} [[Drew Heard]], [[Vesna Stojanoska]], _K-theory, reality, and duality_ ([arXiv:1401.2581](http://arxiv.org/abs/1401.2581))

In the context of [[heterotic string theory]]:

* [[Yuji Tachikawa]], [[Mayuko Yamashita]], *Anderson self-duality of topological modular forms, its differential-geometric manifestations, and vertex operator algebras* [[arXiv:2305.06196](https://arxiv.org/abs/2305.06196)]

### Equivariant duality

Anderson duality in [[equivariant stable homotopy theory]] is discussed in

* {#Ricka15} [[Nicolas Ricka]], _Equivariant Anderson duality and Mackey functor duality_ ([arXiv:1408.1581](http://arxiv.org/abs/1408.1581))

[[!redirects Anderson spectrum]]

[[!redirects Anderson dual]]
[[!redirects Anderson duals]]


Andor Lukacs

* [website](http://www.staff.science.uu.nl/~lukac101/)

category: people


Andre Geim

* [Wikipedia entry](https://en.wikipedia.org/wiki/Andre_Geim)

* [institute page](http://www.condmat.physics.manchester.ac.uk/people/academic/geim/)

## Selected writings

Announcing the isolation of [[graphene]]:

* [[Konstantin Novoselov]], [[Andre Geim]], S. V. Morozov, D. Jiang, Y. Zhang, S. V. Dubonos, I. V. Grigorieva, A. A. Firsov, _Electric field effect in atomically thin carbon films_, Science __306__, no. 5696, pp. 666-669 (2004) ([doi:10.1126/science.1102896](http://dx.doi.org/10.1126/science.1102896), [arXiv:cond-mat/0410550](https://arxiv.org/abs/cond-mat/0410550))

and discussion of its [[electron band structure]]:

* A. H. Castro Neto, F. Guinea, N. M. R. Peres, [[Konstantin S. Novoselov]], and [[Andre K. Geim]], *The electronic properties of graphene*, Rev. Mod. Phys. **81** (2009) 109 $[$[doi:10.1103/RevModPhys.81.109](https://doi.org/10.1103/RevModPhys.81.109)$]$

category: people

[[!redirects Andre K. Geim]]


Andre Hirschowitz

* [website](http://math.unice.fr/~ah/)

## related $n$Lab entries

* [[∞-stack]]

* [[schematic homotopy type]]

category: people

[[!redirects Andre Hirschowicz]]


Andre Kornell

* [Institute page](https://math.berkeley.edu/people/grad/andre-kornell)

* [MathematicsGenealogy page](https://www.mathgenealogy.org/id.php?id=220518)

## Selected writings

On [[quantum sets]] with [[quantum relations]]:

* [[Andre Kornell]], *Quantum Sets*, J. Math. Phys. **61** 102202 (2020) [[doi:10.1063/1.5054128](https://doi.org/10.1063/1.5054128)]

* [[Andre Kornell]], *Discrete quantum structures* [[arXiv:2004.04377](https://arxiv.org/abs/2004.04377)]

* [[Andre Kornell]], *Discrete quantum structures I: Quantum predicate logic*, J. Noncommut. Geom. (2023) [[doi:10.4171/jncg/531](https://doi.org/10.4171/jncg/531)]

Introducing a notion of [[quantum CPOs]] for [[quantum computation]] (via [[quantum sets]] carrying [[quantum relations]]):

* [[Andre Kornell]], [[Bert Lindenhovius]], [[Michael Mislove]], *Quantum CPOs*, EPTCS **340** (2021) 174-187 [[arXiv:2109.02196](https://arxiv.org/abs/2109.02196), [doi:10.4204/EPTCS.340.9](https://doi.org/10.4204/EPTCS.340.9)]

On an [[axiom|axiomatic]] characterization of the [[compact closed dagger category]] [[Hilb]] of [[Hilbert spaces]]:

* [[Chris Heunen]], [[Andre Kornell]], *Axioms for the category of Hilbert spaces* ([arXiv:2109.07418](https://arxiv.org/abs/2109.07418))

category: people


Andre Lukas

* [webpage](https://www2.physics.ox.ac.uk/contacts/people/lukas)

## Selected writings:

On [[heterotic M-theory]]:

* {#LalakLukasOvrut97} Zygmunt Lalak, [[André Lukas]], [[Burt Ovrut]], _Soliton Solutions of M-theory on an Orbifold_, Phys. Lett. B425 (1998) 59-70 ([arXiv:hep-th/9709214](https://arxiv.org/abs/hep-th/9709214))

On [[gaugino condensation]] in [[heterotic string theory]] and [[Horava-Witten theory]]:

* [[André Lukas]], [[Burt Ovrut]], [[Daniel Waldram]], _Gaugino condensation in M theory on $S^1/Z_2$_, Phys. Rev. D 57, 7529 (1998) ([arXiv:hep-th/9711197](https://arxiv.org/abs/hep-th/9711197), [doi:10.1103/PhysRevD.57.7529](https://doi.org/10.1103/PhysRevD.57.7529))

* [[André Lukas]], [[Burt Ovrut]], [[Daniel Waldram]], _Five-Branes and Supersymmetry Breaking in M-Theory_, JHEP 9904:009, 1999 ([arXiv:hep-th/9901017](https://arxiv.org/abs/hep-th/9901017))

On [[M-theory on Calabi-Yau 5-folds]] and [[supersymmetric quantum mechanics]]:

* [[Alexander Haupt]], [[Andre Lukas]], [[Kellogg Stelle]], _M-theory on Calabi-Yau Five-Folds_, JHEP 0905:069, 2009 ([arXiv:0810.2685](https://arxiv.org/abs/0810.2685))

On [[heterotic string theory|heterotic]] [[string phenomenology]] with [[heterotic line bundle models]]:

* {#AndersonGrayLukasPalti11} [[Lara Anderson]], [[James Gray]], [[Andre Lukas]], [[Eran Palti]], _Two Hundred Heterotic Standard Models on Smooth Calabi-Yau Threefolds_, Phys. Rev. D 84, 106005 (2011) ([arXiv:1106.4804](http://arxiv.org/abs/1106.4804))

* {#AndersonGrayLukasPalti12} [[Lara Anderson]], [[James Gray]], [[Andre Lukas]], [[Eran Palti]], _Heterotic Line Bundle Standard Models_ JHEP06(2012)113 ([arXiv:1202.1757](https://arxiv.org/abs/1202.1757))

* [[Evgeny Buchbinder]], [[Andrei Constantin]], [[Andre Lukas]], _The Moduli Space of Heterotic Line Bundle Models: a Case Study for the Tetra-Quadric_, 	JHEP03 (2014) 025 ([arXiv:1311.1941](https://arxiv.org/abs/1311.1941))

Scan of [[SU(5)]] [[GUT]] [[perturbative string theory vacuum|vacua]] among [[heterotic line bundle models]]:

* [[Lara Anderson]], [[Andrei Constantin]], [[James Gray]], [[Andre Lukas]], [[Eran Palti]], _A Comprehensive Scan for Heterotic $SU(5)$ GUT models_, JHEP01(2014)047 ([arXiv:1307.4787](https://arxiv.org/abs/1307.4787))

Review:

* [[Andre Lukas]], _Line Bundles in String Model Building_, talk at _[StringPhenomenology 2019](https://indico.cern.ch/event/782251/)_ ([indico:782251/contributions/3441850](https://indico.cern.ch/event/782251/contributions/3441850/), [pdf](https://indico.cern.ch/event/782251/contributions/3441850/attachments/1868056/3072624/Lukas.pdf), [[LukasHeteroticLineBundles.pdf:file]])

On [[moduli stabilization]]:

* [[Lara Anderson]], [[James Gray]], [[Andre Lukas]], [[Burt Ovrut]], _Vacuum Varieties, Holomorphic Bundles and Complex Structure Stabilization in Heterotic Theories_ ([arXiv:1304.2704](http://arxiv.org/abs/1304.2704))

On [[heterotic string theory|heterotic]] [[string phenomenology]] with [[heterotic line bundle models]]:

* [[Andreas Braun]], Callum R. Brodie, [[Andre Lukas]], _Heterotic Line Bundle Models on Elliptically Fibered Calabi-Yau Three-folds_, JHEP04 (2018) 087 ([arXiv:1706.07688](https://arxiv.org/abs/1706.07688))

On [[heterotic line bundles]] seen in [[F-theory]] under [[duality between M/F-theory and heterotic string theory]]:

* [[Andreas Braun]], Callum Brodie, [[Andre Lukas]], [[Fabian Ruehle]], _NS5-Branes and Line Bundles in Heterotic/F-Theory Duality_, Phys. Rev. D 98, 126004 (2018) ([arXiv:1803.06190](https://arxiv.org/abs/1803.06190))

On computation of [[Yukawa couplings]] in [[heterotic string theory]]:

* Stefan Blesneag, [[Evgeny Buchbinder]], [[Andrei Constantin]], [[Andre Lukas]], [[Eran Palti]], _Matter Field Kähler Metric in Heterotic String Theory from Localisation_ ([arXiv:1801.09645](https://arxiv.org/abs/1801.09645))

and via [[machine learning]]:

* Andrei Constantin, Cristofero S. Fraser-Taliente, Thomas R. Harvey, [[Andre Lukas]], [[Burt Ovrut]], *Computation of Quark Masses from String Theory* \[arXiv:2402.01615\]

On realizations of the [[MSSM]] [[standard model of particle physics]] in [[heterotic string theory]]:

* {#CHE18} [[Andrei Constantin]], [[Yang-Hui He]], [[Andre Lukas]], _Counting String Theory Standard Models_, Physics Letters B Volume 792, 10 May 2019, Pages 258-262 ([arXiv:1810.00444](https://arxiv.org/abs/1810.00444))

## Related entries

* [[string phenomenology]]

* [[heterotic string]]

* [[MSSM]]

category: people

[[!redirects André Lukas]]


Andre Scedrov

* [webpage](https://www.math.upenn.edu/people/andre-scedrov)

## Selected writings

On [[category theory]]:

* [[Peter Freyd]], [[Andre Scedrov]], *[[Categories, Allegories]]*, Mathematical Library Vol 39, North-Holland (1990) ([ISBN 978-0-444-70368-2](https://www.elsevier.com/books/categories-allegories/freyd/978-0-444-70368-2))

## Related $n$Lab entries

* [[graded modality]]

category: people


Andrea Amoretti

* [Institute page](https://www.ge.infn.it/~amoretti/)

* [GoogleScholar page](https://scholar.google.com/citations?user=cpBXiPsAAAAJ)

## Selected writings

On [[strange metals]] described by the [[AdS/CFT correspondence in condensed matter physics]]:

* [[Andrea Amoretti]], _Condensed Matter Applications of AdS/CFT: Focusing on strange metals_, 2017 ([spire:1610363](http://inspirehep.net/record/1610363), [[AmorettiStrangeMetals.pdf:file]])

category: people


Andrea Asperti

Andrea Asperti is an Italian computer scientist working at Bologna.

* [home page](http://www.cs.unibo.it/~asperti/)

category:people


Andrea Colledan

* [institute page](https://www.unibo.it/sitoweb/andrea.colledan/en)

## Selected writings

On ([[categorical semantics]] for) [[dynamic lifting]]  in the [[quantum programming language]] "[[Quipper]]":

* [[Andrea Colledan]], [[Ugo Dal Lago]], *On Dynamic Lifting and Effect Typing in Circuit Description Languages* [[arXiv:2202.07636](https://arxiv.org/abs/2202.07636)]

* [[Andrea Colledan]], [[Ugo Dal Lago]], *On Dynamic Lifting
and Effect Typing in Circuit Description Languages*, talk at *TYPES Workshop*, Nantes (2022)  [[pdf](https://types22.inria.fr/files/2022/06/TYPES_2022_slides_13.pdf), [[ColledanLago-DynamicsLifting.pdf:file]]]

category: people


Andrea Corradini

* [personal page](http://pages.di.unipi.it/corradini/)

* [GoogleScholar page](https://scholar.google.com/citations?user=BVhqs7QAAAAJ)

## Selected writings

On [[term]] [[rewriting]] using [[gs-monoidal categories]]:

* [[Andrea Corradini]], [[Fabio Gadducci]], _An algebraic presentation of term graphs, via gs-monoidal categories_, Applied Categorical Structures **7** (1999) 299-331 [[doi:10.1023/A:1008647417502](https://doi.org/10.1023/A:1008647417502)]

category: people


Andrea Prinsloo

* [webpage](http://www.surrey.ac.uk/maths/people/andrea_prinsloo/)

## Selected writings

On [[giant gravitons]]:

* [[Yolanda Lozano]], Jeff Murugan, [[Andrea Prinsloo]], _A giant graviton genealogy_, JHEP 08 (2013) 109 ([arXiv:1305.6932](https://arxiv.org/abs/1305.6932))

## Related $n$Lab entries

* [[AdS3-CFT2 and CS-WZW correspondence]]

category: people


Andrea Vezzosi

[Homepage](https://saizan.github.io/)

## Selected writings

Introducing the [[programming language]] *[[Cubical Agda]]* implementing [[univalence|univalent]] [[cubical type theory|cubical]] [[homotopy type theory]] with [[higher inductive types]]:

* {#VMA19} [[Andrea Vezzosi]], [[Anders Mörtberg]], [[Andreas Abel]], *Cubical Agda: A Dependently Typed Programming Language with Univalence and Higher Inductive Types*, Proceedings of the ACM on Programming Languages **3** ICFP 87  (2019) 1–29 [[doi:10.1145/3341691](https://doi.org/10.1145/3341691), [pdf](https://www.cse.chalmers.se/~abela/icfp19.pdf)]

On [[nLab:cubical type theory|cubical]] [[nLab:homotopy type theory]] implemented in the [[nLab:proof assistant]] [[nLab:Cubical Agda]]:

* _Guarded Cubical Type Theory: Path Equality for Guarded Recursion_, [[Lars Birkedal]], [[Ale? Bizjak]], [[Ranald Clouston]], [[Hans Bugge Grathwohl]], [[Bas Spitters]], [[Andrea Vezzosi]], ([arXiv:1606.05223](https://arxiv.org/abs/1606.05223))

* [[Magnus Baunsgaard Kristensen]], [[Rasmus Ejlers Møgelberg]], [[Andrea Vezzosi]], *Greatest HITs: Higher inductive types in coinductive definitions via induction under clocks* ([arXiv:2102.01969](https://arxiv.org/abs/2102.01969))

category: people


Andreas Abel

Andreas Abel is a Senior Lecturer in the Programming Logic Group, Divison of Computer Science, Department of Computer Science and Engineering at Gothenburg University/Chalmers, a Senior Developer of the dependently-typed language [[Agda]], and the Maintainer of the [Backus--Naur-Form Compiler (BNFC)](http://bnfc.digitalgrammars.com/).

* [Homepage](http://www.cse.chalmers.se/~abela/)

## Selected writings

Introducing the [[programming language]] *[[Cubical Agda]]* implementing [[univalence|univalent]] [[cubical type theory|cubical]] [[homotopy type theory]] with [[higher inductive types]]:

* {#VMA19} [[Andrea Vezzosi]], [[Anders Mörtberg]], [[Andreas Abel]], *Cubical Agda: A Dependently Typed Programming Language with Univalence and Higher Inductive Types*, Proceedings of the ACM on Programming Languages **3** ICFP 87  (2019) 1–29 [[doi:10.1145/3341691](https://doi.org/10.1145/3341691), [pdf](https://www.cse.chalmers.se/~abela/icfp19.pdf)]

category: people


Andreas Blass

* [Homepage](http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/)

## Selected writings

On [[small violations of choice]]:

* {#Blass79} [[Andreas Blass]], _Injectivity, projectivity, and the axiom of choice_,  Trans. Amer. Math. Soc. **255** (1979) 31-59 [[doi:10.1090/S0002-9947-1979-0542870-6](https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1979-0542870-6)]

On [[classifying toposes]]...

...and [[forcing]]:

* [[Andreas Blass]], [[Andrej Ščedrov]], *Classifying topoi and finite forcing*, Journal of Pure and Applied Algebra **28** (1983) 111-140 [doi:10.1016/0022-4049(83)90085-3]

... and the [[axiom of infinity]]:

* [[Andreas Blass]], _Classifying topoi and the axiom of infinity_ , Algebra Universalis **26** (1989) 341-345 [[doi:10.1007/BF01211840](https://doi.org/10.1007/BF01211840)]

On the converse to the [[basis theorem]]:

* [[Andreas Blass]], _Existence of bases implies the axiom of choice_, Contemporary Mathematics **31** (1984) pp. 31-33, [doi:10.1090/conm/031](https://doi.org/10.1090/conm/031), ([author pdf](https://dept.math.lsa.umich.edu/~ablass/bases-AC.pdf)).

On [[objective number theory]]:

* [[Andreas Blass]], *Seven trees in one*, Journal of Pure and Applied Algebra,  **103** 1 (1995) 1–21 [[arXiv:math/9405205](https://arxiv.org/abs/math/9405205), doi:10.1016/0022-4049(95)00098-H]

On [[set theory]] with commentary on [[ETCC]]:

* [[Andreas Blass]], [[Yuri Gurevich]], *Why Sets?*, Bull. Europ. Assoc. Theoret. Comp. Sci. **84** (2004) 139-156.  [[doi:10.1007/978-3-540-78127-1_11](https://doi.org/10.1007/978-3-540-78127-1_11), [pdf](https://web.eecs.umich.edu/~gurevich/Opera/172.pdf), [pdf](http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/set.pdf)]

On formal statement and [[proof]] of the [[deferred measurement principle]] of [[quantum circuits]]:

* {#GurevichBlass21} [[Yuri Gurevich]], [[Andreas Blass]], *Quantum circuits with classical channels and the principle of deferred measurements*, Theoretical Computer Science **920** (2022) 21–32 [[arXiv:2107.08324](https://arxiv.org/abs/2107.08324), [doi:10.1016/j.tcs.2022.02.002](https://doi.org/10.1016/j.tcs.2022.02.002)]

On a formal [[quantum programming language]]-perspective on [[quantum circuits]]:

* [[Yuri Gurevich]], [[Andreas Blass]], *Software science view on quantum circuit algorithms* [[arXiv:2209.13731](https://arxiv.org/abs/2209.13731)]

category:people


Andreas Blommaert

* [webpage](https://biblio.ugent.be/person/802002451712)

## Selected writings

On [[weight systems]] on [[chord diagrams]] as [[observables]] in  [[Jackiw-Teitelboim gravity]] and, under [[AdS2/CFT1]], the [[Sachdev-Ye-Kitaev model]]:

* [[Andreas Blommaert]], [[Thomas Mertens]], [[Henri Verschelde]], _The Schwarzian Theory - A Wilson Line Perspective_, JHEP 1812 (2018) 022 ([arXiv:1806.07765](https://arxiv.org/abs/1806.07765))

* [[Andreas Blommaert]], [[Thomas Mertens]], [[Henri Verschelde]], _Fine Structure of Jackiw-Teitelboim Quantum Gravity_, JHEP 1909 (2019) 066 ([arXiv:1812.00918](https://arxiv.org/abs/1812.00918))

category: people


Andreas Brandhuber

Andreas Brandhuber is doing theoretical [[physics]] at Queen Mary College, London.

* [webpage](http://www.strings.ph.qmul.ac.uk/~andreas/)

## Selected writings

On [[D4-D8 brane bound states]] as [[black branes]]:

* {#BrandhuberOz99} [[Andreas Brandhuber]], [[Yaron Oz]], _The D4-D8 Brane System and Five Dimensional Fixed Points_, Phys.Lett. B460:307-312, 1999 ([arXiv:hep-th/9905148](https://arxiv.org/abs/hep-th/9905148))

## Related $n$Lab entries

* [[G2 manifold]]

category: people


Andreas Braun

* [webpage](https://www.maths.ox.ac.uk/people/andreas.braun)

## Selected writings

On [[heterotic string theory|heterotic]] [[string phenomenology]] with [[heterotic line bundle models]]:

* [[Andreas Braun]], Callum R. Brodie, [[Andre Lukas]], _Heterotic Line Bundle Models on Elliptically Fibered Calabi-Yau Three-folds_, JHEP04 (2018) 087 ([arXiv:1706.07688](https://arxiv.org/abs/1706.07688))

On [[heterotic line bundles]] seen in [[F-theory]] under [[duality between M/F-theory and heterotic string theory]]:

* [[Andreas Braun]], Callum Brodie, [[Andre Lukas]], [[Fabian Ruehle]], _NS5-Branes and Line Bundles in Heterotic/F-Theory Duality_, Phys. Rev. D 98, 126004 (2018) ([arXiv:1803.06190](https://arxiv.org/abs/1803.06190))

On [[Higgs bundles]] and [[M-theory on G2-manifolds]]:

* {#BCHS19} [[Andreas Braun]], Sebastjan Cizel, Max Hubner, [[Sakura Schafer-Nameki]], _Higgs Bundles for M-theory on G2-Manifolds_ ([arXiv:1812.06072](https://arxiv.org/abs/1812.06072))

## Related $n$Lab entries

* [[G2-manifold]]

category: people


Andreas Crivellin

* [institute page](https://www.psi.ch/ltp-theory/people)

## Selected writings

On the [[flavour anomalies]]:

* {#CrivellinEtAl18} A. Cerri, [[Andreas Crivellin]] et. al. _Opportunities in Flavour Physics at the HL-LHC and HE-LHC_, Report from Working Group 4 on the [Physics of the HL-LHC, and Perspectives at the HE-LHC](https://indico.cern.ch/event/686494/) ([arXiv:1812.07638](https://arxiv.org/abs/1812.07638))

* {#CCDGMV17} Bernat Capdevila, [[Andreas Crivellin]], Sébastien Descotes-Genon, Joaquim Matias, [[Javier Virto]], _Patterns of New Physics in $b \to s \ell^+ \ell^-$ transitions in the light of recent data_, JHEP 1801 (2018) 093 ([arXiv:1704.05340](https://arxiv.org/abs/1704.05340))

* Marcel Algueró, Bernat Capdevila, [[Andreas Crivellin]], Sébastien Descotes-Genon, Pere Masjuan, Joaquim Matias, [[Javier Virto]], _Addendum: "Patterns of New Physics in $b \to s \ell^+ \ell^-$ transitions in the light of recent data"_ ([arXiv:1903.09578](https://arxiv.org/abs/1903.09578))

* Pere Arnan, [[Andreas Crivellin]], Marco Fedele, Federico Mescia, _Generic Loop Effects of New Scalars and Fermions in $b \to s \ell^+ \ell^-$ and a Vector-like 4th Generation_ ([arXiv:1904.05890](https://arxiv.org/abs/1904.05890))

* [[Andreas Crivellin]], Martin Hoferichter, _Beta decays as sensitive probes of lepton flavor universality_ ([arXiv:2002.07184](https://arxiv.org/abs/2002.07184))

* {#Crivellin21} [[Andreas Crivellin]], *Heavy Flavours -- Theory*, talk at [LHCP, Paris 2021](https://indico.cern.ch/event/905399/) ([[CrivellinLHCP2021.pdf:file]])

Via [[leptoquarks]]:

* Alexandre Carvunis, [[Andreas Crivellin]], Diego Guadagnoli, Shireen Gangal, *The Forward-Backward Asymmetry in $B \to D^\ast \ell \nu$: One more hint for Scalar Leptoquarks?* ([arXiv:2106.09610](https://arxiv.org/abs/2106.09610))

Via [[Z' bosons]]:

* [[Andreas Crivellin]], Claudio Andreas Manzari, Marcel Alguero, Joaquim Matias, _Combined Explanation of the $Z \to b \bar b$ Forward-Backward Asymmetry, the Cabibbo Angle Anomaly, $\tau \to \mu \nu \nu$ and $b \to s \ell^+ \ell^-$ Data_ ([arXiv:2010.14504](https://arxiv.org/abs/2010.14504))

* {#ACMM22} Marcel Algueró, [[Andreas Crivellin]], Claudio Andrea Manzari, Joaquim Matias, *Unified Explanation of the Anomalies in Semi-Leptonic $B$ decays and the $W$ Mass*, Physical Review D (2022) [[arXiv:2201.08170](https://arxiv.org/abs/2201.08170)]

On [[leptoquarks]]:

* [[Andreas Crivellin]], Dario Mueller, Francesco Saturnino, _Leptoquarks in Oblique Corrections and Higgs Signal Strength: Status and Prospects_ ([arXiv:2006.10758](https://arxiv.org/abs/2006.10758))

* [[Andreas Crivellin]], Christoph Greub, Dario Müller, Francesco Saturnino, _Scalar Leptoquarks in Leptonic Processes_ ([arXiv:2010.06593](https://arxiv.org/abs/2010.06593))

* [[Andreas Crivellin]], Luc Schnell, *Complete Set of Feynman Rules for Scalar Leptoquarks* ([arXiv:2105.04844](https://arxiv.org/abs/2105.04844))

On the [[Cabibbo anomaly]]:

* [[Andreas Crivellin]], *Explaining the Cabibbo Angle Anomaly* [[arXiv:2207.02507](https://arxiv.org/abs/2207.02507)]

## Related entries

* [[flavour anomaly]]

* [[leptoquark]]

* [[Randall-Sundrum model]]

* [[electric dipole moment]]

category:people


Andreas Deser

* [webpage](http://wwwth.mpp.mpg.de/members/deser/)

## Selected writings

* [[Andreas Deser]]

  **Pre‐NQ Manifolds and Correspondence Spaces: the Nilmanifold Example**

  in: Proceedings of _[[Higher Structures in M-Theory 2018]]_

  Fortschritte der Physik, Special Issue Volume 67, Issue 8-9

  [arXiv:1903.02864](https://arxiv.org/abs/1903.02864), [doi:10.1002/prop.201910006](https://doi.org/10.1002/prop.201910006)

* [[Andreas Deser]], [[Jim Stasheff]], _Even symplectic supermanifolds and double field theory_, Commun. Math. Physics __339__:3 (2019) 1003-1020, [arXiv:1406.3601](http://arxiv.org/abs/1406.3601)

## Related $n$Lab entries

* [[double field theory]]

* [[L-infinity algebras in physics]]

category: people


Andreas Dress

* [Wikipedia entry](https://en.wikipedia.org/wiki/Andreas_Dress)

* [MathGenealogy page](https://www.genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=24752)

## related $n$Lab entries

* [[permutation representation]]

category:people


Andreas Döring

* [webpage](https://www.cs.ox.ac.uk/people/andreas.doering/)

## Selected writings

Proposal that the [[Kochen-Specker theorem]] suggests to understand [[quantum physics]] via the [[internal logic]] of
(what later would be called) a *[[Bohr topos]]*:

* {#IshamDoering07} [[Andreas Döring]], [[Chris Isham]], _A Topos Foundation for Theories of Physics_

  *I. Formal Languages for Physics*, J. Math. Phys. **49** (2008) 053515 [[arXiv:quant-ph/0703060](http://arxiv.org/abs/quant-ph/0703060), [doi:10.1063/1.2883740](https://doi.org/10.1063/1.2883740)]

  *II. Daseinisation and the Liberation of Quantum Theory*, J. Math. Phys. **49** (2008) 053516
  [[arXiv:quant-ph/0703062](http://arxiv.org/abs/quant-ph/0703062), [doi:10.1063/1.2883742](https://doi.org/10.1063/1.2883742)]

  *III. The Representation of Physical Quantities With Arrows*, J. Math. Phys. **49** (2008) 053517 [[arXiv:quant-ph/0703064](https://arxiv.org/abs/quant-ph/0703064), [doi:10.1063/1.2883777](https://doi.org/10.1063/1.2883777)]

  *IV. Categories of Systems*, J. Math. Phys. **49** (2008) 053518 [[arXiv:quant-ph/0703066](http://arxiv.org/abs/quant-ph/0703066), [doi:10.1063/1.2883826](https://doi.org/10.1063/1.2883826)]

The [[Döring-Harding-Hamhalter theorem]]:

* [[Andreas Döring]], [[John Harding]],  *Abelian subalgebras and the Jordan structure of a von Neumann algebra*, Houston Journal of Mathematics **42** 2 (2016) [[arXiv:1009.4945](http://arxiv.org/abs/1009.4945), [issue](https://www.math.uh.edu/~hjm/Vol42-2.html), [pdf](https://wordpress.nmsu.edu/hardingj/files/2019/10/2010-Abelian-subalgebras-and-the-Jordan-structure-of-von-Neumann-algebras.pdf)]

## Related entries

* [[poset of commutative subalgebras]]

* [[Bohr topos]]

category: people

[[!redirects Andreas Doering]]
[[!redirects Andreas Doring]]

[[!redirects A. Döring]]
[[!redirects A. Doering]]
[[!redirects A. Doring]]