dkoterwa/mlqa_filtered huggingface dataset:
Nhiều tiên đoán và hệ quả của thuyết tương đối rộng khác biệt hẳn so với kết quả của vật lý cổ điển, đặc biệt khi đề cập đến sự trôi đi của thời gian, hình học của không gian, chuyển động của vật thể khi rơi tự do và sự lan truyền của ánh sáng. Những sự khác biệt như vậy bao gồm sự giãn thời gian do hấp dẫn, thấu kính hấp dẫn, dịch chuyển đỏ do hấp dẫn của ánh sáng, và sự trễ thời gian do hấp dẫn. Mọi quan sát và thí nghiệm đều xác nhận các hiệu ứng này cho tới nay. Mặc dù có một số lý thuyết khác về lực hấp dẫn cũng được nêu ra, nhưng lý thuyết tương đối tổng quát là một lý thuyết đơn giản nhất phù hợp các dữ liệu thực nghiệm. Tuy thế, vẫn còn tồn tại những câu hỏi mở, căn bản nhất như các nhà vật lý chưa biết làm thế nào kết hợp thuyết tương đối rộng với các định luật của vật lý lượng tử nhằm tạo ra một lý thuyết đầy đủ và nhất quán là thuyết hấp dẫn lượng tử.

Question: Nhiều tiên đoán về hệ quả của thuyết tương đối rộng của Eistein khác biệt so với ngành vật lý nào?
Answer: vật lý cổ điển
Có một số hiệu ứng tương đối tính tổng quát liên quan trực tiếp đến tính tương đối của phương hướng. Một hiệu ứng đó là độ lệch trắc địa: trục quay của một con quay trong không thời gian cong sẽ bị lệch đi trong quá trình con quay di chuyển trên quỹ đạo khi so sánh hướng của nó với một vật cố định ở rất xa, như ngôi sao chẳng hạn—cho dù con quay cố giữ hướng trục quay của nó cố định một hướng. Hiệu ứng này thể hiện bằng toán học chính là quá trình "chuyển dịch song song" của một vectơ trên đường trắc địa trong đa tạp cong. Đối với hệ Mặt Trăng–Trái Đất, khi coi Mặt Trăng là một "vectơ", hiệu ứng này đã được đo bằng cách chiếu tia laser lên một tấm phản quang đặt trên Mặt Trăng do các nhà du hành vũ trụ để lại khi đổ bộ lên Mặt Trăng (phương pháp định tầm Mặt Trăng). Gần đây, hiệu ứng trắc địa đã được đo với độ chính xác hơn 0,3% từ bốn con quay hồi chuyển siêu dẫn đặt trên vệ tinh Gravity Probe B quay trên quỹ đạo cực quanh Trái Đất.Trường hấp dẫn gần một thiên thể quay quanh trục của nó có tính động lực cao, hiệu ứng này gọi là hấp dẫn từ hay hiệu ứng kéo hệ quy chiếu. Một quan sát viên ở vị trí xa sẽ nhận thấy vật thử ở gần thiên thể quay bị "kéo theo" chiều quay của thiên thể đó. Hiện ứng này thể hiện rất rõ ở vùng không thời gian quanh lỗ đen quay, vùng này được miêu tả bằng mêtric Kerr. Khi ta một vật đặt vào "vùng sản công" của lỗ đen, việc nó bị kéo theo chiều quay của lỗ đen là không thể tránh khỏi. Sử dụng hướng của các con quay hồi chuyển trên đường trắc địa ta cũng thực hiện được kiểm nghiệm hiệu ứng này. Có một số thử nghiệm gây tranh cãi khi các nhà vật lý sử dụng vệ tinh LAGEOS để kiểm nghiệm xác nhận hiệu ứng này. Tàu thăm dò Mars Global Surveyor thám hiểm Sao Hỏa cũng đã được sử dụng để kiểm tra hiệu ứng này. Kết quả thí nghiệm từ tàu Gravity Probe B cũng xác nhận hiệu ứng này với độ chính xác khoảng 15%.

Question: Phương pháp nào giúp đo đường trắc địa của hệ Mặt Trăng-Trái đất?
Answer: chiếu tia laser lên một tấm phản quang đặt trên Mặt Trăng
giây. Nó được nêu ra từ năm 1980 với mục đích giải thích một số kết quả quan sát không là hệ quả của mô hình vũ trụ học cổ điển, như sự đồng nhất gần như hoàn hảo của bức xạ nền vũ trụ. Những khảo sát gần đây về bức xạ nền vi sóng vũ trụ cho kết quả về chứng cứ đầu tiên của kịch bản này. Tuy thế, có nhiều kịch bản lạm phát khác nhau mà hiện tại chưa thể nói kịch bản nào là phù hợp nhất nếu rút ra từ dữ liệu thực nghiệm. Một câu hỏi lớn hơn nữa trong vật lý của vũ trụ sơ khai, trước cả giai đoạn lạm phát và gần với mô hình vũ trụ học tiên đoán tồn tại kỳ dị của Vụ nổ lớn. Câu trả lời cho trạng thái của giai đoạn sơ khai này đòi hỏi các nhà vật lý phát triển một lý thuyết hoàn thiện về hấp dẫn lượng tử, mà vẫn chưa có được (xem phần Hấp dẫn lượng tử bên dưới).

Question: Loại hấp dẫn vật lý nào cần một câu hỏi chính xác? 
Answer: hấp dẫn lượng tử
Trong thuyết tương đối rộng, không vật nào có vận tốc bằng hoặc vượt tốc độ ánh sáng. Không có sự ảnh hưởng nào từ sự kiện A có thể đến vị trí X trước khi ánh sáng gửi từ A đến X (xem thêm phần Chuyển sang tương đối tính ở trên). Hệ quả của nó là bằng cách sử dụng mọi tuyến thế giới của ánh sáng (light worldline-hay đường trắc địa không) chúng ta sẽ thu được thông tin về cấu trúc nhân quả của không thời gian. Cấu trúc này được thể hiện bằng biểu đồ Penrose–Carter trong đó những vùng không gian lớn vô hạn và khoảng thời gian lớn vô hạn được co lại một cách compact hóa để vừa với một biểu đồ nhỏ, trong khi vẫn cho phép ánh sáng chuyển động trên đường nghiêng 45° hoặc 135° như trong các biểu đồ Minkowski.Nhận thức được vai trò quan trọng của cấu trúc nhân quả, nhà toán học Roger Penrose và những người khác đã phát triển ra hình học toàn cục. Trong hình học này, đối tượng nghiên cứu không phải là một nghiệm đặc biệt (hoặc họ nghiệm) của phương trình Einstein, mà là những liên hệ thỏa mãn cho mọi đường trắc địa, ví dụ như phương trình Raychaudhuri, cũng như những giả thiết không cụ thể về bản chất của vật chất (như được miêu tả thành các điều kiện năng lượng) và sử dụng để suy ra các kết quả tổng quát.

Question: Ánh sáng phải đi từ đâu đến đâu?
Answer: từ A đến X
Khái niệm phương trình tiến hóa có liên hệ mật thiết với những khía cạnh khác của vật lý tương đối tính tổng quát. Trong lý thuyết Einstein, chúng ta không thể có được một định nghĩa chung cho một thuộc tính có vẻ đơn giản của một hệ như tổng khối lượng (hay năng lượng). Lý do chính đó là trường hấp dẫn—như những trường vật lý khác— phải được gán cho một lượng năng lượng xác định, nhưng các nhà vật lý đã chứng minh rằng về cơ bản chúng ta không thể cục bộ hóa (hay định xứ) năng lượng hấp dẫn (tức là không xác định cụ thể được năng lượng hấp dẫn ở phạm vi cục bộ).Mặc dù vậy, chúng ta vẫn có thể xác định tổng khối lượng của hệ (khối lượng toàn cục), hoặc sử dụng kỹ thuật "quan sát viên ở xa vô tận" (khối lượng ADM) hoặc các đối xứng phù hợp (khối lượng Komar). Nếu chúng ta trừ vào tổng khối lượng của hệ bởi năng lượng do sóng hấp dẫn mang ra xa vô tận, kết quả thu được gọi là khối lượng Bondi đối với quan sát viên ở xa vô tận. Cũng giống như trong vật lý cổ điển, các nhà vật lý đã chứng minh được những khối lượng này phải dương. Và cũng có tương ứng định nghĩa khối lượng (năng lượng) toàn cục với việc định nghĩa động lượng và mômen động lượng trên toàn cục. Cũng đã có những cố gắng cho việc định nghĩa những đại lượng giả cục bộ, như khối lượng của một hệ cô lập bằng cách chỉ sử dụng những đại lượng được xác định bên trong phạm vi của không thời gian chứa hệ đó. Mục đích của việc này là nhằm thu được những đại lượng giả cục bộ có ích trong việc miêu tả hệ cô lập, như việc phát biểu chính xác bằng toán học phỏng đoán vòng (hoop conjecture).

Question: Một định nghĩa của đại lượng giả cục bộ là gì?
Answer: khối lượng của một hệ cô lập bằng cách chỉ sử dụng những đại lượng được xác định bên trong phạm vi của không thời gian chứa hệ đó
Hệ thống tư pháp độc lập với các nhánh khác của chính phủ, và được tạo thành từ một hệ thống phân cấp của các tòa án thông qua Tòa án Tối cao của Giám đốc thẩm và Tư pháp, là tòa án tối cao của România. Ngoài ra còn có các tòa án kháng cáo, tòa án quận và tòa án địa phương. Hệ thống tư pháp România bị ảnh hưởng mạnh mẽ bởi mô hình của Pháp, dựa trên luật dân sự và có tính chất tra hỏi trong tự nhiên. Tòa án Hiến pháp (Curtea Constituţională) chịu trách nhiệm đánh giá sự tuân thủ luật và các quy định khác của nhà nước đối với hiến pháp, đó là luật cơ bản của quốc gia và chỉ có thể được sửa đổi thông qua trưng cầu dân ý. Việc gia nhập EU năm 2007 đã ảnh hưởng đáng kể đến chính sách trong nước của nó, và bao gồm cải cách tư pháp, tăng cường hợp tác tư pháp với các nước thành viên khác, và các biện pháp chống tham nhũng.

Question: Hệ thống tư pháp của La Mã chịu ảnh hưởng chính từ hệ thống nào?
Answer: mô hình của Pháp
Không lâu sau, ban nhạc đổi tên thành Hybrid Theory và phát hành một EP đặt theo tên mình. Dù sao, sau khi giải quyết một vấn đề bản quyền với nhà sản xuất nhạc điện tử Hybrid, họ cùng quyết định cái tên Linkin Park, được đề nghị bởi Bennington, người đã nhắc đến một công viên ở Santa Monica lúc đầu là Christine Emerson Reed Park, sau đó được đổi tên thành "Lincoln Park". Linkin Park đã sản xuất một bản demo gồm 9 bài và được gửi tới nhiều công ty thu âm năm 1999. Lúc đầu, họ gặp phải sự từ chối từ hầu hết các công ty thu âm, và thậm chí bị nằm trong danh sách đen của một số công ty. Trong lúc đó, hãng thu âm Warner Bros. bày tỏ sự thích thú với band. Jeff Blue cũng tham gia hãng đĩa sau khi từ chức ở Zomba. Nước đi này cho thấy một hợp đồng thu âm chắc chắn cho band.

Question: Nhóm đã đổi tên của mình thành gì khi Bennington gia nhập?
Answer: Hybrid Theory
Nesher T: Phiên bản huấn luyện 2 chỗ cho Không quân Israel.

Question: Lực lượng Không quân của quốc gia nào đã sử dụng Nesher T?
Answer: Không quân Israel.
Doanh trại Selimiye hay còn được gọi là Doanh trại Scutari (tiếng Thổ Nhĩ Kỳ: Selimiye Kışlası) là một doanh trại của quân đội Thổ Nhĩ Kỳ nằm tại huyện Üsküdar một phần của Istanbul hướng về châu Á của Thổ Nhĩ Kỳ. Nó được xây dựng đầu tiên vào năm 1800 bởi Sultan Selim III để dành cho những người lính của quân đội thường trực mới thành lập trong khuôn khổ của những nỗ lực cải cách quân đội Ottoman "Nizam-i Cedid ".

Question: Năm nào mà Selimiye Barracks được xây dựng lần đầu tiên?
Answer: 1800
Các doanh trại ban đầu được xây dựng bằng vật liệu chủ yếu là gỗ và được thiết kế bởi kiến trúc sư nổi tiếng tiếng người Armenia là Krikor Balyan đã bị đốt cháy vào năm 1806 bởi những người chống lại cải cách. Theo lệnh của Sultan Mahmud II, phải xây dựng lại các doanh trại bằng đá và bắt đầu khởi công từ năm 1825 và nó đã được hoàn thành vào ngày 06 tháng 02 năm 1828. Doanh trại này là một tòa nhà hình chữ nhật khổng lồ (200 x 267 mét) với một mặt bằng để cho các cuộc diễu hành lớn ở khu trung tâm. Cấu trúc có ba tầng trên và hai tầng cánh phía đông do địa hình nghiêng. Trong suốt triều đại của Sultan Abdülmecid, doanh trại được cải tạo hai lần, lần đầu tiên năm 1842-1843 và một lần nữa trong hai năm 1849-1850. Trong quá trình này, một tòa tháp cao bảy tầng nằm trong bốn góc, tạo cho doanh trại có hình dáng như ngày hôm nay.

Question: Các doanh trại bằng gỗ được chuyển thành đá bắt đầu từ năm nào?
Answer: 1825
Shawn Peter Raul Mendes ( /ˈmɛndɛz/, phát âm tiếng Bồ Đào Nha: [ˈmẽdɨʃ]; sinh ngày 8/8/1998) là một ca sĩ, nhạc sĩ người Canada. Anh bắt đầu được mọi người chú ý vào năm 2013, khi anh đăng những bài hát cover lên mạng xã hội Vine. Sau đó, anh đã thu hút sự chú ý của các nhà quản lý nghệ sĩ Andrew Gertler và Island Records A&R Ziggy Chareton, và anh đã kí hợp đồng với hãng thu âm. Mendes đã phát hành EP "The Shawn Mendes EP" và album phòng thu "Handwritten", đĩa đơn "Stitches" của anh lọt vào top 10 tại Mỹ và Canada, và đứng đầu tại Anh. Năm 2016, anh phát hành album thứ hai, "Illuminate" và "Treat You Better". Cả hai đều được giới thiệu trên Billboard 200 của Mỹ.

Question: Shaun Peter Raul Mendes đã ký hợp đồng với hãng thu âm nào trong năm 2014?
Answer: Island Records
Là một cô gái thông minh và hấp dẫn, Caroline được rất nhiều người theo đuổi. Thái phu nhân Sophie gọi bà là "Công chúa dễ thương nhất ở Đức". Bà được xem xét để gả cho Đại Công tước Karl của Áo, từng là một ứng viên cho ngai vàng Tây Ban Nha và về sau trở thành Hoàng đế La Mã Thần thánh. Karl đã đề nghị đàm phán chính thức với bà năm 1703, và hôn sự được nhà vua Friedrich của Phổ khuyến khích. Sau mấy lần suy nghĩ, Caroline từ chối vào năm 1704, vì bà không thể cải đạo từ Tân giáo Luther sang Công giáo. Đầu năm sau, Vương hậu Sophie Charlotte qua đời trong chuyến về thăm quê nhà Hanover. Caroline bị suy sụp, bà viết thư cho Leibniz, "Tai họa chôn vùi tôi với nỗi đau và bệnh tật, vì chỉ hi vọng rằng tôi có thể sớm đi theo bà ấy là điều an ủi với tôi"Tháng 6 năm 1705, cháu trai của Sophie Charlotte, Georg August, Tuyển hầu Công tử xứ Hanover, đến thăm triều đình Ansbach, dưới tên giả, để tìm hiểu Caroline, vì cha anh ta Tuyển đế hầu không muốn con trai vướng vào một cuộc hôn nhân không có tình yêu như ông đã từng. Là cháu trai của ba người chú không có hậu tự, Georg August bị gây sức ép phải kết hôn và có con thừa kế để tránh cái họa tuyệt hậu cho gia tộc Hanover. Ông nghe thấy những lời tường thuật về Caroline "nhan sắc vô song và có trí tuệ". Ông ta ngay lập tức tỏ ra thích "phẩm chất tốt của" bà và công sứ Anh đã tường thuật rằng Georg August "sẽ không nghĩ tới một người khác nữa sau cô". Về phần mình, Caroline không bị lớp ngụy trang của vị công tử ẩn danh đánh lừa, và cảm thấy sự hấp dẫn của người cầu hôn mình. Ông là người thừa kế hợp pháp của Lãnh địa Tuyển hầu Hanover từ phụ thân và đứng thứ ba trong danh sách kế vị ngai vàng Anh của người bà con xa Nữ hoàng Anne, sau tổ mẫu Tuyển hầu Thái phu nhân Sophie và phụ thân tức Tuyển đế hầu.Ngày 22 tháng 8 năm 1705, Caroline đến Hanover cho đám cưới của bà với Georg August; họ kết hôn vào buổi chiều tại nhà nguyện cung điện tại Herrenhausen. Tháng 5 năm sau, Caroline mang thai, và người con lớn của bà Công tử Friedrich chào đời ngày 20 tháng 1 năm 1707. Vài tháng sau khi sinh, vào tháng 7, Caroline mắc bệnh đậu mùa rất nguy kịch tiếp theo sau là bệnh viêm phổi. Cậu bé được cách li với bà, nhưng Georg August vẫn ở bên cạnh bà, và chính ông cũng bị lây bệnh nhưng vẫn qua khỏi. Trong bảy năm tiếp theo, Caroline có thêm ba người con nữa, Anne, Amelia, và Caroline, tất cả đều chào đời ở Hanover.

Question: Ai là Hoàng Thái Hậu của nước Đức vào những năm cuối thế kỷ 1600?
Answer: Sophie

Question: Những đặc điểm đặc biệt của người phụ nữ được coi là phù hợp với Archduke Charles của Áo?
Answer: thông minh và hấp dẫn
John William Coltrane, còn được nhắc đến với tên "Trane" (23 tháng 9 năm 1926 – 17 tháng 7 năm 1967), là một nhạc công saxophone và nhà soạn nhạc jazz. Vào khoảng thời gian đầu sự nghiệp, Coltrane chủ yếu chơi bebop và hard bop, ông tiên phong việc dùng mode trong jazz và sau đó trở thành một gương mặt lớn của free jazz. Trong suốt sự nghiệp, Coltrane đã hoàn thành ít nhất năm mươi album với vai trò chỉ huy (leader), và góp mặt trong rất nhiều album của các nhạc sĩ khác, như nhạc công trumpet Miles Davis và nghệ sĩ piano Thelonious Monk.

Question: Coltrane nổi tiếng với loại nhạc nào?
Answer: free jazz.
Việc xây dựng pháo đài bắt đầu từ năm 1541, dưới sự chỉ đạo của Todar Mal Khatri, một đại diện của Đế chế Sur.  Công việc xây dựng hoàn thành năm 1548. Việc xây dựng ban đầu bị chậm do các bộ lạc Gakhar địa phương được thuê làm lao công từ chối làm việc. Những nhà lãnh đạo Mogul cuối cùng phải tăng lương, khiến cho một số bộ lạc Gakhar tham gia vào việc xây dựng pháo đài.

Question: Pháo đài được xây dựng từ năm nào? 
Answer: 1541
Sau khi Hiến pháp Xã hội chủ nghĩa được ban hành năm 1976, được thông qua mà không cần tuân thủ các quy tắc do Hiến pháp năm 1940 đề ra, Cộng hòa Cuba đã được xác định là một nhà nước xã hội chủ nghĩa. Hiến pháp này đã được thay thế bằng Hiến pháp Xã hội chủ nghĩa năm 1992, hiến pháp hiện nay, tuyên bố nhà nước được dẫn dắt bởi các tư tưởng của José Martí, và các tư tưởng chính trị của Mác, Engels và Lênin. Hiến pháp hiện nay cũng quy định trách nhiệm của Đảng Cộng sản Cuba (PCC) là "lực lượng lãnh đạo xã hội và đất nước." Tổng bí thư Đảng Cộng sản, Miguel Díaz-Canel, hiện là Chủ tịch Hội đồng Nhà nước (Chủ tịch Cuba) và Chủ tịch Hội đồng Bộ trưởng (thỉnh thoảng còn được gọi là Thủ tướng Cuba). Các thành viên của cả hai hội đồng đều do Quốc hội Quyền lực Nhân dân bầu. Chủ tịch Cuba, người cũng do quốc hội bầu, hoạt động với nhiệm kỳ năm năm và không có điều khoản hạn chế số nhiệm kỳ được phục vụ. Fidel Castro đã là Chủ tịch từ khi Hiến pháp được thông qua năm 1976 khi ông thay thế Osvaldo Dorticós Torrado. Tòa án tối cao Cuba là nhánh tư pháp cao nhất của chính phủ. Đây cũng là tòa đưa ra phán xét cuối cùng đối với các phiên phúc thẩm từ các tòa án địa phương.

Question: Cuba được tuyên bố là nước cộng hòa xã hội chủ nghĩa vào năm nào?
Answer: 1976
Thể thao là niềm đam mê quốc gia của Cuba. Vì những mối liên hệ lịch sử với Hoa Kỳ, nhiều người Cuba yêu thích những môn thể thao phổ biến tại Bắc Mỹ, chứ không phải các môn thể thao truyền thống tại các nước Mỹ Latinh khác. Bóng chày là môn thể thao được ưa thích nhất tại đây; các môn thể thao và giải trí khác ở Cuba gồm bóng rổ, bóng chuyền và điền kinh. Cuba rất mạnh trong môn đấm bốc nghiệp dư, thường đoạt huy chương vàng tại các cuộc thi quốc tế lớn.

Question: Tại sao người Cuba chơi các môn thể thao Mỹ?
Answer: Vì những mối liên hệ lịch sử với Hoa Kỳ
Trong một số trường hợp, tập hợp các lớp lân cận (coset) của một nhóm con có thể tuân theo một luật nhóm, tạo thành nhóm thương hay nhóm nhân tử. Nếu điều này là có thể, nhóm con phải là chuẩn tắc. Đối với bất kỳ nhóm con chuẩn tắc N, nhóm thương được định nghĩa là

Question: Điều gì xảy ra khi tập hợp các nhóm con tuân theo luật nhóm? 
Answer: tạo thành nhóm thương hay nhóm nhân tử
Nhiều hệ thống số, như các số nguyên và số hữu tỉ thể hiện bản chất cấu trúc nhóm một cách tự nhiên. Trong một số trường hợp, như đối với số hữu tỉ, cả phép cộng và phép nhân đều làm xuất hiện cấu trúc nhóm. Những hệ thống số này là tiền tổ của những cấu trúc đại số tổng quát hơn gọi là vành và trường. Những khái niệm đại số trừu tượng hơn như mô đun, không gian vectơ và đại số trên một trường cũng tạo thành nhóm toán học.

Question: Hai ví dụ về cấu trúc đại số tổng quát là gì?
Answer: vành và trường
Việc nghiên cứu các nhóm Abel sinh hữu hạn là khá kỹ lưỡng, bao gồm "định lý cơ bản về nhóm Abel sinh hữu hạn; và phản ánh trạng thái này với nhiều khái niệm nhóm liên quan như trung tâm và giao hoán tử, miêu tả sự mở rộng cho những nhóm phi Abel.

Question: Một từ mô tả tốt nhất cách mà các nhóm này được tạo ra là gì?
Answer: hữu hạn
Những nhóm đối xứng hữu hạn như nhóm Mathieu được ứng dụng trong lý thuyết mã hóa, mà đến lượt nó lại áp dụng vào lý thuyết hiệu chỉnh sai số trong việc truyền dữ liệu, và ở đầu đọc đĩa CD. Một ứng dụng khác là lý thuyết Galois vi phân, mà hàm đặc trưng hóa có nguyên hàm của dạng cho trước, đem lại tiêu chuẩn giới hạn lý thuyết nhóm khi nghiệm của những phương trình vi phân xác định tốt. Các tính chất hình học mà vẫn duy trì sự ổn định dưới tác dụng của nhóm được nghiên cứu trong lý thuyết bất biến hình học.

Question: Loại nhóm nào gọi là các nhóm Mathieu?
Answer: Những nhóm đối xứng hữu hạn
GL(n, R) chứa mọi ma trận khả nghịch n x n với các phần tử thực. Các nhóm con của nó được coi như là nhóm ma trận hay nhóm tuyến tính. Ví dụ về nhóm nhị diện đề cập ở trên có thể coi như là nhóm ma trận (có bậc rất nhỏ). Một nhóm ma trận quan trọng khác là nhóm trực giao đặc biệt SO(n). Nó miêu tả mọi phép quay khả dĩ trong không gian n chiều. Thông qua góc Euler, ma trận quay được sử dụng trong lĩnh vực đồ họa vi tính.Lý thuyết biểu diễn một mặt là ứng dụng của khái niệm nhóm nhưng mặt khác có vai trò quan trọng để hiểu ở mức sâu hơn đối với nhóm. Nó nghiên cứu nhóm thông qua tác dụng nhóm trên những không gian khác. Một lớp rộng của phép biểu diễn nhóm là biểu diễn tuyến tinh, ví dụ nhóm tác dụng lên một không gian vectơ, như không gian Euclid 3 chiều R3. Biểu diễn của G trên một không gian vectơ thực n chiều là phép đồng cấu nhóm đơn giản

Question: Kiểu không gian nào mà nhóm đã tác dụng lên?
Answer: không gian vectơ,

Question: Ví dụ có thể được xem như nhóm ma trận kích thước nào?
Answer: rất nhỏ
Khi hoán vị dấu "+" và "−" trong công thức, hay tương đương với hoán vị hai nghiệm của phương trình có thể coi như là một phép toán nhóm (một cách rất đơn giản). Có những công thức tương tự cho phương trình bậc ba và bậc bốn, nhưng không tồn tại một công thức tổng quát cho phương trình bậc năm và bậc cao hơn. Tính chất trừu tượng của nhóm Galois đi kèm với đa thức (đặc biệt là tính giải được) đưa ra một tiêu chuẩn cho những đa thức mà mọi nghiệm của nó có thể biểu diễn dưới dạng công thức chỉ bao gồm phép cộng, nhân và căn thức tương tự như công thức ở trên.Vấn đề này có thể giải quyết được bằng cách dịch chuyển nó sang lý thuyết trường và xem xét trường tách của đa thức. Lý thuyết Galois hiện đại tổng quát hóa những loại nhóm Galois ở trên thành các mở rộng trường và thiết lập lên—thông qua định lý cơ bản của lý thuyết Galois—mối liên hệ chính xác giữa nhóm và trường, hàm chứa một lần nữa sự quan trọng của nhóm trong toán học.

Question: Không tồn tại một công thức tổng quát ở bậc mấy?
Answer: bậc năm và bậc cao hơn
Nhóm nhị diện (nêu ở trên) là nhóm hữu hạn có bậc 8. Bậc của r1 là 4, hay chính là bậc của nhóm con R mà nó sinh ra(xem ở trên). Bậc của các phần tử phản xạ fvv.v bằng 2. Cả hai đều là ước của 8 đúng như định lý Lagrange tiên đoán. Nhóm Fp× ở trên có bậc p − 1.

Question: Theo định lý thì cả hai chia hết cho mấy?
Answer: 8
Các nhà toán học thường nỗ lực thu được sự phân loại (hoặc danh sách) đầy đủ của một khái niệm toán học. Trong trường hợp các nhóm đơn giản hữu hạn, mục đích này nhanh chóng dẫn tới sự khó khăn và sự sâu sắc trong toán học. Theo định lý Lagrange, nhóm hữu hạn bậc p, với p là số nguyên tố, cần thiết là nhóm xilic (Abel) Zp. Cũng có thể chứng minh nhóm có bậc p2 là nhóm Abel, nhưng phát biểu này không còn đúng khi tổng quát hóa cho nhóm bậc p3, vì nhóm phi Abel D4 có bậc 8 = 23 như chỉ ra ở trên. Những hệ thống máy tính đại số được dùng để liệt kê ra những nhóm nhỏ, nhưng không có cách phân loại mọi nhóm hữu hạn. Một bước trung gian là phân loại các nhóm đơn giản hữu hạn. Nhóm không tầm thường gọi là đơn giản chỉ nếu các nhóm con chuẩn tắc của nó là nhóm tầm thường và cũng đối với chính nhóm đó. Định lý Jordan–Hölder chỉ ra các nhóm đơn giản hữu hạn là những viên gạch cơ bản cho mọi nhóm hữu hạn. Công việc liệt kê ra mọi nhóm đơn giản hữu hạn là một thành tựu lớn đạt được của lý thuyết nhóm hiện nay. Richard Borcherds giành Huy chương Fields năm 1998 nhờ chứng minh thành công phỏng đoán quái vật giả tưởng (monstrous moonshine conjectures), một mối liên hệ sâu sắc và kỳ lạ giữ nhóm bất định đơn giản hữu hạn lớn nhất (the largest finite simple sporadic group)— "nhóm quỷ"—với những hàm môđula nhất định, một thành phần trong giải tích phức cổ điển, và lý thuyết dây, lý thuyết tìm cách miêu tả thống nhất nhiều hiện tượng vật lý trong tự nhiên.

Question: Điều gì được coi là một thành tựu lớn trong định lý của Jordan-Holder?
Answer: liệt kê ra mọi nhóm đơn giản hữu hạn

Question: Một trong những mong mỏi của các nhà toán học là gì?
Answer: sự phân loại (hoặc danh sách) đầy đủ
Nhiều nhóm tập hợp một cách đồng thời là nhóm và là ví dụ về cấu trúc toán học cho những nhóm khác. Trong ngôn ngữ của lý thuyết phạm trù, chúng là các vật thể nhóm trong một phạm trù, có nghĩa là chúng là các vật thể (tức là làm ví dụ cho những cấu trúc toán học khác) đi kèm với các phép biến đổi (gọi là cấu xạ- morphism) mà bắt chước giống với những tiên đề nhóm. Ví dụ, mọi nhóm (như định nghĩa ở trên) đều là tập hợp, do vậy một nhóm là vật thể nhóm trong phạm trù các tập hợp.

Question: Mỗi nhóm là gì?
Answer: tập hợp